![ Sustituyendo:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
C1=
퐶1푥
푥
C1= C1
푑푦
푑푥
=
푥
푦
∫y dy = ∫x dx
[=
푦²
2
=
푥²
2
+
퐶¹
2
]²
y² = x² + C1](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferenciales-141129102022-conversion-gate02/85/Ecuaciones-diferenciales-14-320.jpg)
![ (3x² + y²) dx – 2xy dy =0
[
3푥²
푥²
+ 푦²
푥²
]dx −2푥푦
푥²
dy = 0
M= 3푥²
푥²
푑푚
푑푦
= 2푦
푥²
N= −2푦
푥
= −(−2푦)(1)
(푥)²
= 2푦
푥²](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferenciales-141129102022-conversion-gate02/85/Ecuaciones-diferenciales-25-320.jpg)
![ Derivar función f
휕푓
2푦
=
+ g¹(y)
휕푦
푥
g¹(y) =0
sustitución:
F= 3x
−푦²
푥
+ C1
Reduciendo
3x
−푦²
푥
= C
Multiplicado por X
[3x
−푦²
푥
= C] 3x³- y² = cx
Solución :
3x
푥푦²
푥
+ c1= c2](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferenciales-141129102022-conversion-gate02/85/Ecuaciones-diferenciales-27-320.jpg)
Ecuaciones diferenciales
- 2. Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas. Ejemplo: Y+Y¹= 0
- 3. Ordinarias Parciales Orden de una ecuación diferencial Son como los grados y El orden de la derivada máxima que aparece en la ecuación
- 4. En una función desconocida y la variable independiente X definida en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo dado. Y¹¹= Y biprimaría
- 5. Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0 Y¹= 2cos2x – 4cos (2x) Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x) Comprobación: – 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0 – 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0 esto es una solución general
- 6. Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 0 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x) Y¹= – 6sen2x + 10cos2x Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x Comprobación: –20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0 – 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0 esto es una Solución particular
- 7. Comprobar que: Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1 Y¹ = 2x 2x + (x² – 1 ) ²= 1
- 8. Y= 1 푥 Y¹ + Y = 0 Y¹= – 1 푋² Y¹¹= 2 푋³ – 1 푋² + – ( 1 푋 )² = 0 – 1 푋² + – 1 푋² = 0
- 9. Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0 Y¹=2 푒2푥 Y¹¹= 4 푒2푥 4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 ( 푒2푥) = 0 6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0
- 10. Y= 푒−2푥 + 푒3푥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0 Y ¹ = - 2 푒−2푥 + 3 푒3푥 Y¹¹ = - 4 푒−2푥 + 9푒3푥 - 4 푒−2푥 + 9 푒3푥 - 2 푒−2푥+ 3 푒3푥 - 6 (푒−2푥 + 푒3푥) =0
- 11. Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0 Y¹ = 2 x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ = 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 2+ 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥 -2 (x² + 푒푥 + 푒−2푥)= 0 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥- 2 x²- 2 푒−2푥 = 2( 1+ X - x² ) 2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
- 12. Y= C1 푒2푥 + C2 푒2푥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0 Y¹= 2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 Y¹¹= 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 =4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 4(2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 ) + 4 (C1 푒2푥 + C2 푒2푥 ) =0 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 8C1 푒2푥 - 8C 2 푥푒2푥 - 4 C 2 푒2푥 + 4C1 푒2푥 + 4 C2 푒2푥 = 0 8C1 푒2푥 + 8C 2 푥푒2푥 + 4 C 2 푒2푥 -12C2 푒2푥 - 8 C1 푒2푥 = 0 Y= 0
- 13. 푑푦 푑푥 = 푦 푥 ∫ 푑푦 푦 = ∫ 푑푥 푥 lny= l nx + l n C1 l ny = l nC1x Aplicado antilogaritmos Y= C1x Comprobacion Y= C1x 푑푦 푑푥 = C1
- 14. Sustituyendo: 푑푦 푑푥 = 푦 푥 C1= 퐶1푥 푥 C1= C1 푑푦 푑푥 = 푥 푦 ∫y dy = ∫x dx [= 푦² 2 = 푥² 2 + 퐶¹ 2 ]² y² = x² + C1
- 15. (x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0 X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dy no se puede separar M= x² + 2xg + x 푀 푑푦 = 2x no se puede con los exactos N= y² 푁 푑푋 = 0
- 16. (X² + Y² + X ) dx + xy dy =0 M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │ 휕푀 휕푦 = 휕푁 휕푥 M= X² + Y² + X * 휕푀 휕푦 = 2Y N= XY * 휕푁 휕푥 = Y No es exacta porque: 휕푀 휕푦 + 휕푁 휕푥
- 17. (5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0 (5x + 4y) + (4x+8y) 푑푥 20푥³ − 푑푦 32푦5 5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0 M= 5x + 4y 푑푚 = 4 푑푦 N= 4x – 8y³ 푑푛 = 4 푑푥
- 18. a veces es posible encontrar un factor (que llamamos factor integrante) el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta para encontrar este factor integrante se utiliza la sig. Formula: 휕푀 휕푦 = 휕푁 휕푥 __________ N
- 19. Ahora utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la siguiente expresión. M (x)= e∫ 푔 푥 푑푥 = e∫ 1 푥 푑푥 = e∫ 푑푥 푥 = 푒푙푛푥 = x
- 20. Ahora multiplicamos la ecuación diferencial original por este integrante y el resultado de la multiplicación será una ecuación diferencial exacta. (x² + y² + x) dx + xy dy =0 (x³ + x y² + x²) dx + x² y dy =0 M= x³ + xy² + x² 휕푀 휕푦 = 2xy N= x²y 휕푛 휕푥 = 2xy
- 21. A continuación simplemente aplicamos Integramos: (x³+ xy² + x² ) dx (x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx 푥4 4 + y² 푥2 2 + 푥3 3 + g (y)
- 22. Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con respecto a Y 휕푓 휕푦 = 2y 푥2 2 + g (y)* 휕푓 휕푦 = x²y + g¹(y) Este resultado se iguala con N (x²y) X²y + g¹ (y) = X²y Simplificado: + g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0
- 23. Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera Por lo tanto la función buscada es: ƒ = 푥4 4 + y² 푥2 2 + 푥3 3 + C1 Y la solución se obtiene igualando esta función a una constante (C2) 푥4 4 + y² 푥2 2 + 푥3 3 + C1 = C2 Simplificando: 푥4 4 + 푥2푦2 2 + 푥3 3 = C
- 24. Multiplicamos todo por 12 y obtenemos 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 = C 12푥4 4 + 12푥2푦2 2 + 12푥3 3 = C
- 25. (3x² + y²) dx – 2xy dy =0 [ 3푥² 푥² + 푦² 푥² ]dx −2푥푦 푥² dy = 0 M= 3푥² 푥² 푑푚 푑푦 = 2푦 푥² N= −2푦 푥 = −(−2푦)(1) (푥)² = 2푦 푥²
- 26. Integramos: Ƒ (3 + 푦² 푥² ) dx ∫(3 + 푦² 푥² )dx = 3 ∫dx + y² ∫ 푑푥 푥² = 3xy² ∫ x-² Ƒ= 3x+y² 푥−¹ −1 + g (y) Ƒ= 3x- 푦² 푥 + g (y)
- 27. Derivar función f 휕푓 2푦 = + g¹(y) 휕푦 푥 g¹(y) =0 sustitución: F= 3x −푦² 푥 + C1 Reduciendo 3x −푦² 푥 = C Multiplicado por X [3x −푦² 푥 = C] 3x³- y² = cx Solución : 3x 푥푦² 푥 + c1= c2
- 28. Gracias por su atención