Ecuaciones presentación
- 1. RESOLVIENDO ECUACIONES AUTORES ARTURO ROQUE LÓPEZ MARIA DOLORES URRUTIA HURTAULT ELVIA GLORIA SANCHEZ MENDEZ MARIA DEL CARMEN GONZÁLEZ HERNÁNDEZ
- 2. ECUACIONES • ¿Qué es una ecuación • Elementos de una ecuación ECUACIONES LINEALES • Ecuación lineales o de primer grado • Forma a + x=b • Forma ax = b • Forma ax + b = c ECUACIÓNES CUADRATICAS • Ecuación Cuadrática • Clasificación • Formas de Resolución: • Factorización • Formula general
- 3. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnita, relacionados mediante operaciones matemáticas. ax=b ax+b=c
- 4. 3 + x = 15 1er miembro 2do miembro igualdad Valores conocidos Valore Operación o datos desconocidos o incógnitas 3 y 15 x suma
- 5. Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable “x” no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. exponente 1 ax+b=c
- 7. Las ecuaciones de la forma a + x = b se resuelve así: Tenemos 73 + x =125 1. Despejamos la x, es decir dejar la x sola a un lado del signo igual. Pasarlo al segundo miembro 73 + x =125 2. Para pasar un número, o una variable, al otro - 73 lado del signo igual. Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. 73 + x =125
- 8. 3. Posteriormente se realizan las operaciones indicadas X = 125 – 73 X =52 Nos dice que “x” vale 52 4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación original y en lugar de la incógnita se coloca el valor encontrado. Comprobación 4. 73 + x =125 73 + 52 = 125 125 = 125 Como es una igualdad ambos miembros tienen que da el mismo resultado
- 9. Laura va al mercado con un billete de $50, después de efectuar sus compras, le sobraron $34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado? La ecuación que expresa el problema es: 34.50 + x = 50 “x” es el valor que gasto en el mercado
- 10. 34.50 + x = 50 x = 50 - 34.50 despejamos x y realizamos operaciones x = 15.50 encontramos el valor de “x” Comprobación 34.50 + x = 50 34.50 + 15.50 = 50 Por lo tanto 15.50 gasto en el mercado
- 12. Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice: “Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene. “ Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.
- 13. Tenemos 5x = 30 1. Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”., o se multiplica por el número que esta dividiendo a “x” Esta multiplicando por 5 • x = 30 lo tanto vamos a dividir por ese número ambos miembros 2. Realizamos las operaciones Encontramos el valor de “x” x=6
- 14. Comprobación 1. Tomamos la ecuación original 5x = 30 2. Sustituimos la incógnita por el valor encontrado 5x = 30 5(6) = 30 30 =30
- 15. Alejandra compró dos cuadernos en la papelería y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada cuaderno? La ecuación que expresa el problema es: 2n = 32.00 “n” es el precio del cuaderno que nos interesa conocer
- 16. 2n = 32 Ambos miembros los dividimos Encontramos el n = 16 valor de “n” Comprobación 2n = 32 2 (16) = 32 32 = 32 Por lo tanto cada cuaderno costo $16
- 18. Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c es: 1. Se resta a “b” en ambos miembros , si su signo es positivo y se suma si su signo es negativo. ax + b = c 2z – 10 = 16 2z – 10 +10 = 16 +10 2. Realizamos operaciones y nos queda 2z = 26
- 19. 3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre “a” En este caso es 2 2z = 26 Nos queda z = 13 Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado. 2z – 10 = 16 2(13) - 10 = 16 26 - 10 = 16 16 = 16
- 20. El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro lado?. y 5 cm La ecuación que expresa el problema es: 2x + 2 • 5 = 16 2x + 10 = 16 Donde “x” es el valor de la longitud que no conocemos su valor
- 21. 2x + 10 = 16 Ambos 2x + 10 -10 = 16 – 10 miembros les restamos 10 2x = 6 Ambos miembros los dividimos entre dos para dejar a “x” solita x=3
- 22. Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado. 2x + 10 = 16 2(3) + 10 = 16 6 + 10 = 16 16 =16 Por lo tanto el lado mide: 2x = 2(3) = 6 medida del lado
- 24. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella en la cual la variable o incógnita esta elevada al cuadrado y tiene la siguiente forma: Termino lineal Coeficiente ax2+bx+c = 0 Termino cuadrático Termino Independiente
- 26. Según su numero de términos una ecuación cuadrática con una incógnita puede ser: completa ax2 + bx +c = 0 3x2 - 5x +6 = 0 Cuando a=1 se tiene la forma ax2+bx+c = 0 x2+3x-2 = 0
- 27. Incompleta Cuando le hace falta un termino lineal ax2 + c = 0 2x2 _ 3 = 0 Cuando le hace falta un termino independiente ax2+bx = 0 3x2 _ 5x = 0 Cuando le falta el termino lineal e independiente ax2 = 0 16x2 = 0
- 29. Resolución de una ecuación cuadrática por el método de factorización: Tenemos x² - 4x = 12 1) La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada lado de la igualdad le restaremos 12. x² - 4x = 12 x² - 4x-12 = 12-12 x² - 4x -12 = 0 2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como producto de factores. x² - 4x-12 = 0 (x )(x )=0
- 30. como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay que buscar los factores que al multiplicarse nos de cómo resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado sea -4. (+2) x (-6) = -12 x² - 4x-12 = 0 (+2) + (-6) = -4 (x +2 ) (x - 6 )= 0 3) Por ultimo se iguala a cero cada factor y se despeja la variable. (x +2) = 0 (x - 6) = 0 x+ 2 = 0 x–6=0
- 31. Para poder despejar a x en las igualdades si la constante tiene signo positivo se resta a los dos lados de la igualdad y si tiene signo negativo se suma. x+2-2=0-2 x -6 +6 = 0 + 6 x= -2 x = +6 Los valores de x son: -2 y +6 Comprobación: Se sustituyen cada uno de los valores encontrados. X = -2 x = +6 x² - 4x = 12 x² - 4x = 12 (-2)² - 4(-2) =12 (+6)² -4(+6) = 12 4 + 8 = 12 36 – 24 = 12 12 = 12 12 = 12
- 32. El área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus lados mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? Área = 32m² x x+4 La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos B = x + 4 , la altura = x y el A= 32m², entonces 32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática: 32 = x² + 4x x² + 4x = 32
- 33. x² + 4x = 32 1) Igualamos a cero la ecuación x² + 4x - 32 = 32 - 32 Para igualar a cero la ecuación le restamos 32 a los dos lados de la igualdad x² + 4x -32 = 0 El -4 y 8 son los factores (x- 4) (x+ 8 ) = 0 que al multiplicarlos nos da -32 y al sumarlos 4
- 34. Se iguala a cero cada uno de los factores X – 4= 0 X +8 = 0 X -4 +4= 0 + 4 X + 8 - 8= 0 -8 X= 4 X=-8 Los valores de x son 4 y -8, pero para resolver el problema utilizaremos el valor de 4, ya que la medida de un lado del rectángulo no puede ser negativa. Base = x + 4 altura = x Base = 4 + 4 = 8 altura = 4 Las medidas de los lados del rectángulo son 8m y 4m respectivamente
- 35. sustituimos el valor de x=4, en la ecuación x² + 4x = 32 (4)² + 4(4) = 32 16 + 16 = 32 32 = 32
- 37. La formula general nos permite resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática. La expresión es conocida como Discriminante y determina el numero y tipo de soluciones. Si su valor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones reales, una positiva y otra negativa. Si su valor es cero tiene una solución real Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias.
- 38. Resolución de una ecuación cuadrática por medio de la formula general 6x² - 8x+2=0 1) Identificamos en la ecuación cada uno de los valores para a, b y c a=6 6x² - 8x+2= 0 c=2 a=coeficiente de x² c=Termino independiente b=-8 b=coeficiente de x
- 39. 2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general. a=6, b=-8 y c=2 Se realizan las operaciones indicadas. La discriminante nos indica que su solución tiene 2 números reales distintos Xı = 1 X2 = ⅓
- 40. Comprobación: Reemplazamos los valores de x en la ecuación, para comprobar si se cumple la igualdad . Con el valor de Con el valor de 6x² -8x+2=0 6x² -8x+2 = 0 6(1)² -8(1)+2=0 6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0 6–8+2=0 6(1/9) - 8/3 + 2 = 0 8–8=0 6/9 – 8/3 + 2 = 0 0=0 2/3 – 8/3 + 2 = 0 -6/3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 0=0
- 41. Los lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. 2x + 2 2x + 4 2x Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemos que: a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4 Entonces: (2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados 4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad 4x² + 4x² + 8x + 4 - 4x² - 16x - 16 = 0 Se reducen términos semejantes
- 42. Por lo que se tiene la ecuación: 4x² - 8x – 12 = 0 4 x² - 2x – 3 a b c SOLUCION Utilizando la formula general Se sustituyen cada uno de los valores en la formula =3 De los 2 valores de x , el que permitirá resolver el problema es 3
- 43. Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndolo en cada una de las ecuaciones tenemos que: a=2x b= 2x+2 c=2x+4 a= 2(3) b = 2(3)+2 c=2(3)+4 a=6 b= 8 c= 10 Las medidas de los lados del triangulo son: 6cm, 8cm y 10cm respectivamente. COMPROBACION x² - 2x – 3= 0 3² - 2(3) – 3 = 0 (-1)² - 2(-1) – 3 = 0 9–6–3=0 X= - 1 1+2–3=0 9–9=0 X=3 3–3=0 0=0 0=0