![DEFINICIÓN 1.1.2 Solución de una EDO
Cualquier función , definida en un intervalo I y que tiene al menos n deriva-
das continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial
ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es
una solución de la ecuación en el intervalo.
En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden
(4) es una función que posee al menos n derivadas para las que
F(x, (x), (x), . . . , (n)
(x)) 0
para toda xen I.
Decimos que satisface la ecuación diferencial en I. Para nuestros propósitos supondremos
que una solución es una función con valores reales. En nuestro análisis de introducción
vimos que y = e0.1x2
es una solución de dydx 0.2xy en el intervalo (, ).
Ocasionalmente será conveniente denotar una solución con el símbolo alternativo y(x).
INTERVALO DE DEFINICIÓN No podemos pensar en la solución de una ecuación
diferencial ordinaria sin simultáneamente pensar en un intervalo. El intervalo I en la defi-
nición 1.1.2 también se conoce con otros nombres como son intervalo de definición, in-
tervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la solución y puede ser un
intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (a, ), etcétera.
EJEMPLO 1 Verificación de una solución
Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada en
el intervalo (, ).
a)
dy
dx xy ; y 1
16
1
2 x4 b) y 2y y 0; y xex
SOLUCIÓN Una forma de verificar que la función dada es una solución, es ver, una
vez que se ha sustituido, si cada lado de la ecuación es el mismo para toda x en el
intervalo.
a) De
lado derecho: xy1/2
x
1
16
x4
1/2
x
1
4
x2
1
4
x3
,
lado izquierdo:
dy
dx
1
16
(4 x3
)
1
4
x3
,
vemos que cada lado de la ecuación es el mismo para todo número real x. Observe
que y1/2 1
4 x2
es, por definición, la raíz cuadrada no negativa de 1
16 x4
.
b) De las derivadas y xex
ex
y y xex
2ex
tenemos que para todo número
real x,
lado derecho: .
0
lado izquierdo: y 2y y (xex
2ex
) 2(xex
ex
) xex
0,
En el ejemplo 1, observe también, que cada ecuación diferencial tiene la solución
constante y 0, x . Una solución de una ecuación diferencial que es igual
a cero en un intervalo I se dice que es la solución trivial.
CURVA SOLUCIÓN La gráfica de una solución de una EDO se llama curva
solución. Puesto que es una función derivable, es continua en su intervalo de de-
1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 5
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 5
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 5 6/4/09 12:14:58 PM
6/4/09 12:14:58 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-24-320.jpg)
![En los problemas 27 a 30 determine los valores de m tales que la
función y emx
sea una solución de la ecuación diferencial dada.
27. y 2y 0 28. 5y 2y
29. y 5y 6y 0 30. 2y 7y 4y 0
En los problemas 31 y 32 determine los valores de m tales que
la función y xm
sea una solución de la ecuación diferencial
dada.
31. xy 2y 0
32. x2
y 7xy 15y 0
En los problemas 33 a 36 use el concepto de que y c,
x , es una función constante si y solo si y 0 para
determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes.
33. 3xy 5y 10
34. y y2
2y 3
35. (y 1)y 1
36. y 4y 6y 10
En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones
indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones dife-
renciales en el intervalo (, ).
37. 38.
,
y cos 2t sen 2t 1
5 et
x cos 2t sen 2t 1
5 et
d2
y
dt2
4x et
;
d2
x
dt2
4y et
y e 2t
5e6t
x e 2t
3e6t
,
dy
dt
5x 3y;
dx
dt
x 3y
Problemas para analizar
39. Construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna
solución real.
40. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga
sólo la solución trivial y 0. Explique su razonamiento.
41. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera de-
rivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un
múltiplo constante k de ella misma? Escriba cada res-
puesta en la forma de una ecuación diferencial de primer
orden con una solución.
42. ¿Qué función (o funciones) conoce de cálculo tal que su
segunda derivada sea ella misma? ¿Que su segunda de-
rivada sea el negativo de ella misma? Escriba cada res-
puesta en la forma de una ecuación diferencial de segundo
orden con una solución.
43. Dado que y sen x es una solución explícita de la ecuación
diferencial de primer orden
dy
dx
11 y2, encuentre
un intervalo de definición I. [Sugerencia: I no es el inter-
valo (, ).]
44. Analice por qué intuitivamente se supone que la ecuación
diferencial lineal y 2y 4y 5 sen t tiene una solu-
ción de la forma y A sen t B cos t, donde A y B son
constantes. Después determine las constantes específicas
A y B tales que y A sen t B cos t es una solución par-
ticular de la ED.
En los problemas 45 y 46 la figura dada representa la gráfica
de una solución implícita G(x, y) 0 de una ecuación dife-
rencial dydx f(x, y). En cada caso la relación G(x, y) 0
implícitamente define varias soluciones de la ED. Reproduzca
cuidadosamente cada figura en una hoja. Use lápices de dife-
rentes colores para señalar los tramos o partes, de cada gráfica
que corresponda a las gráficas de las soluciones. Recuerde que
una solución debe ser una función y derivable. Utilice la
curva solución para estimar un intervalo de definición I
de cada solución .
45.
FIGURA 1.1.5 Gráfica del problema 45.
y
x
1
1
FIGURA 1.1.6 Gráfica del problema 46.
1 x
1
y
46.
47. Las gráficas de los miembros de una familia uni-para-
métrica x3
y3
3cxy se llaman folium de Descartes.
Compruebe que esta familia es una solución implícita de
la ecuación diferencial de primer orden
dy
dx
y(y3
2x3
)
x(2y3
x3
)
.
SECCIÓN 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 11
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 11
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 11 6/4/09 12:15:06 PM
6/4/09 12:15:06 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-31-320.jpg)
![12 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
48. La gráfica de la figura 1.1.6 es el miembro de la fami-
lia del folium del problema 47 correspondiente a c 1.
Analice: ¿cómo puede la ED del problema 47 ayudar
a determinar los puntos de la gráfica de x3
y3
3xy
donde la recta tangente es vertical? ¿Cómo saber dónde
una recta tangente que es vertical ayuda a determinar un
intervalo I de definición de una solución de la ED?
Lleve a cabo sus ideas y compare con sus estimaciones
de los intervalos en el problema 46.
49. En el ejemplo 3, el intervalo I más grande sobre el cual
las soluciones explícitas y 1
(x) y y 2
(x) se encuen-
tran definidas en el intervalo abierto (5, 5). ¿Por qué I
no puede ser el intervalo cerrado I definido por [5, 5]?
50. En el problema 21 se da una familia uni-paramétrica de
soluciones de la ED P P(1P). ¿Cualquier curva so-
lución pasa por el punto (0, 3)? ¿Y por el punto (0, 1)?
51. Analice y muestre con ejemplos cómo resolver ecuaciones
diferenciales de las formas dydx f(x) y d2
ydx2
f(x).
52. La ecuación diferencial x(y)2
4y 12x3
0 tiene la
forma dada en la ecuación (4). Determine si la ecuación
se puede poner en su forma normal dydx f(x, y).
53. La forma normal (5) de una ecuación diferencial de
n-ésimo orden es equivalente a la ecuación (4) si las dos
formas tienen exactamente las mismas soluciones. Forme
una ecuación diferencial de primer orden para la que F(x,
y, y) 0 no sea equivalente a la forma normal dydx
f(x, y).
54. Determine una ecuación diferencial de segundo orden
F(x, y, y, y) 0 para la que y c1
x c2
x2
sea una fami-
lia de soluciones de dos parámetros. Asegúrese de que su
ecuación esté libre de los parámetros arbitrarios c1
y c2
.
Información cualitativa respecto a una solución y (x)
de una ecuación diferencial con frecuencia puede obte-
nerse de la misma ecuación. Antes de trabajar con los
problemas 55 a 58, recuerde el significado geométrico de
las derivadas dydx y d2
ydx2
.
55. Considere la ecuación diferencial
dy
dx
= e−x2
.
a) Explique por qué una solución de la ED debe ser una
función creciente en cualquier intervalo del eje de las x.
b) ¿A qué son iguales lím
x x
dydx y lím dydx. ¿Qué
le sugiere esto respecto a una curva solución con-
forme x :
?
c) Determine un intervalo sobre el cual una curva solu-
ción sea cóncava hacia abajo y un intervalo sobre el
que la curva sea cóncava hacia arriba.
d) Trace la gráfica de una solución y (x) de la ecua-
ción diferencial cuya forma se sugiere en los incisos
a) a c).
56. Considere la ecuación diferencial dydx 5 – y.
a) Ya sea por inspección o por el método sugerido en los
problemas 33 a 36, encuentre una solución constante
de la ED.
b) Utilizando sólo la ecuación diferencial, determine los
intervalos en el eje y en los que una solución cons-
tante y (x) sea creciente. Determine los intervalos
en el eje y en los cuales y (x) es decreciente.
57. Considere la ecuación diferencial dydx y(a – by),
donde a y b son constantes positivas.
a) Ya sea por inspección o por los métodos sugeridos
en los problemas 33 a 36, determine dos soluciones
constantes de la ED.
b) Usando sólo la ecuación diferencial, determine los
intervalos en el eje y en los que una solución no cons-
tante y (x) es creciente. Determine los intervalos
en los que y (x) es decreciente.
c) Utilizando sólo la ecuación diferencial, explique por qué
y a2b es la coordenada y de un punto de inflexión de
la gráfica de una solución no constante y (x).
d) En los mismos ejes coordenados, trace las gráficas
de las dos soluciones constantes en el inciso a). Estas
soluciones constantes parten el plano xy en tres regio-
nes. En cada región, trace la gráfica de una solución
no constante y (x) cuya forma se sugiere por los
resultados de los incisos b) y c).
58. Considere la ecuación diferencial y y2
4.
a) Explique por qué no existen soluciones constantes de
la ecuación diferencial.
b) Describa la gráfica de una solución y (x). Por
ejemplo, ¿puede una curva solución tener un extremo
relativo?
c) Explique por qué y 0 es la coordenada y de un
punto de inflexión de una curva solución.
d) Trace la gráfica de una solución y (x) de la ecua-
ción diferencial cuya forma se sugiere en los incisos
a) a c).
Tarea para el laboratorio de computación
En los problemas 59 y 60 use un CAS (por sus siglas en inglés,
Sistema Algebraico Computacional) para calcular todas las
derivadas y realice las simplificaciones necesarias para com-
probar que la función indicada es una solución particular de la
ecuación diferencial.
59. y(4)
20y 158y 580y 841y 0;
y xe5x
cos 2x
60.
y 20
cos(5 ln x)
x
3
x
x3
y
2x2
y 20xy 78y 0;
sen(5 ln x)
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 12
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 12 6/4/09 12:15:07 PM
6/4/09 12:15:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-32-320.jpg)
![Para el problema con valores iniciales de la ecuación (2) pedimos:
Existencia {¿La ecuación diferencial dydx f(x, y) tiene soluciones?
¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x0
, y0
)?
Unicidad {¿Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente una
curva solución que pasa a través del punto (x0
, y0
)?
Observe que en los ejemplos 1 y 3 se usa la frase “una solución” en lugar de “la solu-
ción” del problema. El artículo indefinido “una” se usa deliberadamente para sugerir la
posibilidad de que pueden existir otras soluciones. Hasta el momento no se ha demos-
trado que existe una única solución de cada problema. El ejemplo siguiente muestra un
problema con valores iniciales con dos soluciones.
EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones
Cada una de las funciones y 0 y y 1
16 x4 satisface la ecuación diferencial dyx
xy1/2
y la condición inicial y(0) 0, por lo que el problema con valores iniciales
dy
dx
xy1/2
, y(0) 0
tiene al menos dos soluciones. Como se muestra en la figura 1.2.5, las gráficas de las
dos soluciones pasan por el mismo punto (0, 0).
Dentro de los límites de seguridad de un curso formal de ecuaciones diferenciales
uno puede confiar en que la mayoría de las ecuaciones diferenciales tendrán soluciones
y que las soluciones de los problemas con valores iniciales probablemente serán únicas.
Sin embargo, en la vida real, no es así. Por tanto es deseable conocer antes de tratar de
resolver un problema con valores iniciales si existe una solución y cuando así sea, si ésta
es la única solución del problema. Puesto que vamos a considerar ecuaciones diferencia-
les de primer orden en los dos capítulos siguientes, estableceremos aquí sin demostrarlo
un teorema directo que da las condiciones suficientes para garantizar la existencia y uni-
cidad de una solución de un problema con valores iniciales de primer orden de la forma
dada en la ecuación (2). Esperaremos hasta el capítulo 4 para retomar la pregunta de la
existencia y unicidad de un problema con valores iniciales de segundo orden.
TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única
Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a x b, c y d
que contiene al punto (x0
, y0
) en su interior. Si f(x, y) y ∂f∂y son continuas en
R, entonces existe algún intervalo I0
: (x0
h, x0
h), h 0, contenido en [a,
b], y una función única y(x), definida en I0
, que es una solución del problema
con valores iniciales (2).
El resultado anterior es uno de los más populares teoremas de existencia y unici-
dad para ecuaciones diferenciales de primer orden ya que el criterio de continuidad de
f(x, y) y de ∂f∂y son relativamente fáciles de comprobar. En la figura 1.2.6 se muestra
la geometría del teorema 1.2.1.
EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4
Como vimos en el ejemplo 4 la ecuación diferencial dydx xy1/2
tiene al menos dos
soluciones cuyas gráficas pasan por el punto (0, 0). Analizando las funciones
f(x, y) xy1/2
f
y
x
2y1/2
y
y
y = 0
y = x4/16
(0, 0)
1
x
FIGURA 1.2.5 Dos soluciones del
mismo PVI.
x
I0
R
a b
c
d
(x0, y0)
y
FIGURA 1.2.6 Región rectangular R.
1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 15
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 15
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 15 6/4/09 12:15:10 PM
6/4/09 12:15:10 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-35-320.jpg)
![18 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
c) Determine el intervalo de definición I más largo para
la solución del problema con valores iniciales y y2
,
y(0) 0. [Sugerencia: La solución no es un miembro
de la familia de soluciones del inciso a)].
32. a) Demuestre que una solución de la familia del inciso a)
del problema 31 que satisface y y2
, y(1) 1, es y
1(2 x).
b) Después demuestre que una solución de la familia del
inciso a) del problema 31 que satisface y y2
, y(3)
1, es y 1(2 x).
c) ¿Son iguales las soluciones de los incisos a) y b)?
33. a) Verifique que 3x2
– y2
c es una familia de solu-
ciones uniparamétricas de la ecuación diferencial
y dydx 3x.
b) Bosqueje, a mano, la gráfica de la solución implícita
3x2
– y2
3. Determine todas las soluciones explíci-
tas y (x) de la ED del inciso a) definidas por esta
relación. Dé un intervalo I de definición de cada una
de las soluciones explícitas.
c) El punto (2, 3) está en la gráfica de 3x2
– y2
3 pero
¿cuál de las soluciones explícitas del inciso b) satis-
face que y(2) 3?
34. a) Utilice la familia de soluciones del inciso a) del problema
33 para determinar una solución implícita del proble-
ma con valores iniciales y dydx 3x, y(2)4. Des-
pués bosqueje, a mano, la gráfica de la solución explícita
de este problema y dé su intervalo I de definición.
b) ¿Existen algunas soluciones explícitas de y dydx
3x que pasen por el origen?
En los problemas 35 a 38 se presenta la gráfica de un miembro
de la familia de soluciones de una ecuación diferencial de se-
gundo orden d2
ydx2
f(x, y, y). Relacione la curva solución
con al menos un par de las siguientes condiciones iniciales.
a) y(1) 1, y(1) 2
b) y(1) 0, y(1) 4
c) y(1) 1, y(1) 2
d) y(0) 1, y(0) 2
e) y(0) 1, y(0) 0
f) y(0) 4, y(0) 2
35.
Problemas de análisis
En los problemas 39 y 40 utilice el problema 51 de los ejerci-
cios 1.1 y (2) y (3) de esta sección.
39. Encuentre una función y f(x) cuya gráfica en cada punto
(x, y) tiene una pendiente dada por 8e2x
6x y la intersec-
ción con el eje y en (0,9).
40. Determine una función y f(x) cuya segunda derivada es y
12x 2 en cada punto (x, y) de su gráfica y y x 5
es tangente a la gráfica en el punto correspondiente a x 1.
41. Considere el problema con valores iniciales y x 2y,
y(0) 1
2. Determine cuál de las dos curvas que se mues-
tran en la figura 1.2.11 es la única curva solución posible.
Explique su razonamiento.
FIGURA 1.2.7 Gráfica del problema 35.
y
x
5
−5
5
FIGURA 1.2.10 Gráfica del problema 38.
y
x
5
−5
5
38.
37.
FIGURA 1.2.9 Gráfica del problema 37.
y
x
5
−5
5
36.
FIGURA 1.2.8 Gráfica del problema 36.
y
x
5
−5
5
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 18
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 18 6/4/09 12:15:14 PM
6/4/09 12:15:14 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-39-320.jpg)
![ción diferencial que describa la forma de la curva C. Esta
curvaCesimportanteenaplicacionescomoconstrucciónde
telescopios o antenas de satélites, faros delanteros de auto-
móviles y colectores solares. [Sugerencia: La inspección de
la figura muestra que podemos escribir 2u. ¿Por qué?
Ahora utilice una identidad trigonométrica adecuada.]
Problemas de análisis
28. Repita el problema 41 de los ejercicios 1.1 y después
proporcione una solución explicíta P(t) para la ecuación
(1). Determine una familia uniparamétrica de soluciones
de (1).
29. Lea nuevamente la oración que se encuentra a continuación
de la ecuación (3) y suponga que Tm
es una constante posi-
tiva. Analice por qué se podría esperar que k 0 en ambos
casos de enfriamiento y de calentamiento. Podría empezar
por interpretar, digamos, T(t) Tm
en una forma gráfica.
30. Lea nuevamente el análisis que condujo a la ecuación (8).
Si suponemos que inicialmente el tanque conserva, diga-
mos 50 libras de sal, es porque se le está agregando sal
continuamente al tanque para t 0, A(t) será una función
creciente. Analice cómo podría determinar a partir de la
ED, sin realmente resolverla, el número de libras de sal
en el tanque después de un periodo largo.
31. Modelo de población La ecuación diferencial
dP
dt
(k cos t)P, donde k es una constante positiva,
modela la población humana, P(t), de cierta comunidad.
Analice e interprete la solución de esta ecuación. En otras
palabras, ¿qué tipo de población piensa que describe esta
ecuación diferencial?
32. Fluido girando Como se muestra en la figura 1.3.22 un
cilindro circular recto parcialmente lleno con un fluido está
girando con una velocidad angular constante v respecto al
eje vertical que pasa por su centro. El fluido girando forma
una superficie de revolución S. Para identificar S, primero
establecemos un sistema coordenado que consiste en un
plano vertical determinado por el eje y y el eje x dibujado
en forma perpendicular al eje y de tal forma que el punto de
intersección de los ejes (el origen) está localizado en el punto
inferior de la superficie S. Entonces buscamos una función
y f(x) que represente la curva C de intersección de la su-
perficie S y del plano coordenado vertical. Sea que el punto
P(x, y) denote la posición de una partícula del fluido girando,
de masa m, en el plano coordenado. Véase la figura 1.3.22b.
a) En P hay una fuerza de reacción de magnitud F de-
bida a las otras partículas del fluido que es perpen-
dicular a la superficie S. Usando la segunda ley de
Newton la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre
la partícula es mv2
x. ¿Cuál es esta fuerza? Utilice la
figura 1.3.22b para analizar la naturaleza y el origen
de las ecuaciones
F cos u = mg, F sen u = mv2
x
b) Use el inciso a) para encontrar una ecuación diferen-
cial que defina la función y f(x).
33. Cuerpo en caída En el problema 21 suponga que r
R s donde s es la distancia desde la superficie de la
Tierra al cuerpo que cae. ¿Cómo es la ecuación diferencial
que se obtuvo en el problema 21 cuando s es muy pequeña
en comparación con R? [Sugerencia: Considere la serie
binomial para
(R s)2
R2
(1 sR)2
.]
34. Gotas de lluvia cayendo En meteorología el término
virga se refiere a las gotas de lluvia que caen o a partículas
de hielo que se evaporan antes de llegar al suelo. Suponga
que en algún tiempo, que se puede denotar por t 0, las
gotas de lluvia de radio r0
caen desde el reposo de una nube
y se comienzan a evaporar.
a) Si se supone que una gota se evapora de tal manera
que su forma permanece esférica, entonces también
tiene sentido suponer que la razón a la cual se evapora
la gota de lluvia, esto es, la razón con la cual ésta
pierde masa, es proporcional a su área superficial.
Muestre que esta última suposición implica que la
razón con la que el radio r de la gota de lluvia dismi-
nuye es una constante. Encuentre r(t). [Sugerencia:
Véase el problema 51 en los ejercicios 1.1.]
b) Si la dirección positiva es hacia abajo, construya un
modelo matemático para la velocidad v de la gota de
lluvia que cae al tiempo t. Desprecie la resistencia del
aire. [Sugerencia: Cuando la masa m de un cuerpo está
cambiando con el tiempo, la segunda ley de Newton es
F
d
dt
(mv), donde F es la fuerza neta que actúa so-
bre el cuerpo y mv es su cantidad de movimiento.]
ω
P
y
x
θ
θ mg
2x
mω
P(x, y)
F
recta tangente
a la curva C en P
curva C de intersección
del plano xy y la
superficie de
revolución
a)
b)
y
FIGURA 1.3.22 Fluido girando del problema 32.
1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 31
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 31
08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 31 6/4/09 12:15:22 PM
6/4/09 12:15:22 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-54-320.jpg)
![a
satisface tanto a la ecuación diferencial como a la condición inicial. Véase la fi-
gura 2.2.4.
SOLUCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Si g es una función continua en
un intervalo abierto I que contiene a a, entonces para toda x en I,
d
dx
x
a
g(t) dt g(x).
Usted podría recordar que el resultado anterior es una de las dos formas del teorema
fundamental del cálculo. Es decir, x
a
g(t) dt es una antiderivada de la función g. En
ocasiones esta forma es conveniente en la solución de ED. Por ejemplo, si g es continua
en un intervalo I que contiene a x0
y a x, entonces una solución del sencillo problema
con valores iniciales dydx g(x), y(x0
) y0
, que está definido en I está dado por
y(x) y0
x
x0
g(t) dt
Usted debería comprobar que y(x) definida de esta forma satisface la condición inicial.
Puesto que una antiderivada de una función continua g no siempre puede expresarse
en términos de las funciones elementales, esto podría ser lo mejor que podemos hacer
para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo siguiente ilustra esta idea.
EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales
Resuelva
dy
dx
ex2
, y(3) 5.
SOLUCIÓN La función g(x) e−x2
es continua en (, ), pero su antiderivada
no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integración,
podemos escribir
y(x) y(3)
x
3
et2
dt.
y(x) y(3)
x
3
et2
dt
y(t)]x
3
x
3
et2
dt
x
3
dy
dt
dt
x
3
et2
dt
Utilizando la condición inicial y(3) 5, obtenemos la solución
y(x) 5
x
3
et2
dt.
El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecua-
ciones separables dydx g(x)f(y) donde, f(y) tiene una antiderivada elemental pero g(x)
no tiene una antiderivada elemental. Véanse los problemas 29 y 30 de los ejercicios 2.2.
a =
0 a 0
(0, 0) x
y
FIGURA 2.2.4 Soluciones de la
ecuación (9) definida en tramos.
2.2 VARIABLES SEPARABLES O 49
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 49
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 49 6/4/09 12:15:59 PM
6/4/09 12:15:59 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-76-320.jpg)
![52 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
en la región cuadrada del plano xy definida por x
1, y 1. Pero la cantidad dentro del radical es no ne-
gativa también en las regiones definidas por x 1,
y 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las
que esta ecuación diferencial tiene soluciones reales.
b) Resuelva la ED del inciso a) en las regiones definidas
por x 1, y 1. Después determine una solución
implícita y una explícita de la ecuación diferencial su-
jeta a y(2) 2.
Modelo matemático
49. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección
1.3 vimos que un modelo matemático para la forma de un
cable flexible colgado de dos postes es
,
dy
dx
W
T1
(10)
donde W denota la porción de la carga vertical total entre
los puntos P1
y P2
que se muestran en la figura 1.3.7. La
ED, ecuación (10) es separable bajo las siguientes condi-
ciones que describen un puente suspendido.
Supongamos que los ejes x y y están como se mues-
tra en la figura 2.2.5, es decir, el eje x va a lo largo de la
superficie de la carretera y el eje y pasa por (0, a), que
es el punto más bajo de un cable en la región que abarca
el puente, que coincide con el intervalo [L2, L2]. En el
caso de un puente suspendido, la suposición usual es que la
carga vertical en (10) es sólo una distribución uniforme de
la superficie de la carretera a lo largo del eje horizontal. En
otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es
despreciable en comparación con el peso de la superficie de
la carretera y que el peso por unidad de longitud de la super-
ficie de la carretera (digamos, libras por pie horizontal) es
una constante r. Utilice esta información para establecer y
resolver un adecuado problema con valores iniciales a par-
tir del cual se determine la forma (una curva con ecuación
y f(x)) de cada uno de los dos cables en un puente sus-
pendido. Exprese su solución del PVI en términos del pan-
deo h y de la longitud L. Véase la figura 2.2.5.
de la familia de soluciones de la ecuación diferencial
.
dy
dx
8x 5
3y2
1
Experimentecondiferentesnúmeros
de las curvas de nivel así como con diferentes regiones
rectangulares definidas por a x b, c y d.
b) En diferentes ejes coordenados dibuje las gráficas
de las soluciones particulares correspondientes a las
condiciones iniciales: y(0) 1; y(0) 2; y(1)
4; y(1) 3.
51. a) Determine una solución implícita del PVI
(2y 2) dy (4x3
6x) dx 0, y(0) 3.
b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explí-
cita y f(x) del PVI.
c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola
función. Use un programa de graficación o un SAC
para trazar la gráfica de esta función y después utilice
la gráfica para estimar su dominio.
d) Con la ayuda de un programa para determinar raíces
de un SAC, determine la longitud aproximada del in-
tervalo de definición más grande posible de la solu-
ción y f(x) del inciso b). Utilice un programa de
graficación o un SAC para trazar la gráfica de la curva
solución para el PVI en este intervalo.
52. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para
dibujar las gráficas representativas de los miembros
de la familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
dx
x(1 x)
y(2 y)
. Experimente con diferentes núme-
ros de curvas de nivel así como en diferentes regiones
rectangulares del plano xy hasta que su resultado se
parezca a la figura 2.2.6.
b) En diferentes ejes coordenados, dibuje la gráfica de
la solución implícita correspondiente a la condición
inicial y(0) 3
2
. Utilice un lápiz de color para indicar
el segmento de la gráfica que corresponde a la curva
solución de una solución f que satisface la condición
inicial. Con ayuda de un programa para determinar raí-
ces de un SAC, determine el intervalo I de definición
aproximado más largo de la solución f. [Sugerencia:
Primero encuentre los puntos en la curva del inciso a)
donde la recta tangente es vertical.]
c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0) 2.
FIGURA 2.2.5 Forma de un cable del problema 49.
L/2
L longitud
cable
superficie de la carretera (carga)
x
(0, a)
L/2
y
h (pandeo)
x
y
FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 52.
Tarea para el laboratorio de computación
50. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para
dibujar las gráficas representativas de los miembros
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 52
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 52 6/4/09 12:16:07 PM
6/4/09 12:16:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-79-320.jpg)
![2.3 ECUACIONES LINEALES
REPASO DE MATERIAL
O Repase la definición de las ED en las ecuaciones (6 ) y (7) de la sección 1.1
INTRODUCCIÓN Continuamos con nuestra búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden
examinando ecuaciones lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente
“amigable” de ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden
o de un miembro de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que podamos encontrar
alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar.
UNA DEFINICIÓN En la ecuación (7) de la sección 1.1, se presenta la forma de
una ED lineal de primer orden. Aquí, por conveniencia, se reproduce esta forma en la
ecuación (6) de la sección 1.1, para el caso cuando n 1.
DEFINICIÓN 2.3.1 Ecuación lineal
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
a1(x)
dy
dx
a0(x)y g(x) (1)
se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea cuando g(x) 0; si no es no
homogénea.
FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coefi-
ciente, a1
(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:
dy
dx
P(x)y f(x). (2)
Buscamos una solución de la ecuación (2) en un intervalo I, en el cual las dos funcio-
nes P y f sean continuas.
En el análisis que se presenta a continuación ilustraremos una propiedad y un proce-
dimiento y terminaremos con una fórmula que representa la forma de cada solución de la
ecuación (2). Pero más importantes que la fórmula son la propiedad y el procedimiento,
porque ambos conceptos también se aplican a ecuaciones lineales de orden superior.
LA PROPIEDAD La ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución
es la suma de las dos soluciones, y yc
yp
, donde yc
es una solución de la ecuación
homogénea asociada
dy
dx
P(x)y 0 (3)
y yp
es una solución particular de ecuación no homogénea (2). Para ver esto, observe que
d
–––
dx
[yc yp] P(x)[yc yp] [ P(x)yc] [ P(x)yp] f(x).
f(x)
0
dyc
–––
dx
dyp
–––
dx
2.3 ECUACIONES LINEALES O 53
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 53
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 53 6/4/09 12:16:07 PM
6/4/09 12:16:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-80-320.jpg)
![54 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ahora la ecuación (3) es también separable. Por lo que podemos determinar yc
al es-
cribir la ecuación (3) en la forma
dy
y
P(x) dx 0
e integramos. Despejando y, se obtiene yc
ce P(x)dx
. Por conveniencia escribimos
yc
cy1
(x), donde y1
e P(x)dx
. A continuación se utiliza el hecho de que dy1
dx
P(x)y1
0, para determinar yp
.
EL PROCEDIMIENTO Ahora podemos definir una solución particular de la ecua-
ción (2), siguiendo un procedimiento llamado variación de parámetros. Aquí, la idea
básica es encontrar una función, u tal que yp
u(x)y1
(x) u(x)e− P(x)dx
sea una solución
de la ecuación (2). En otras palabras, nuestra suposición para yp
es la misma que yc
cy1
(x) excepto que c se ha sustituido por el “parámetro variable” u. Sustituyendo yp
uy1
en la ecuación (2) se obtiene
por tanto y1
du
dx
f (x).
y1 P(x)uy1 f(x) o
u
dy1
–––
dx
du
–––
dx
f(x)
u[ P(x)y1] y1
dy1
–––
dx
du
–––
dx
Regla del producto cero
Entonces separando las variables e integrando se obtiene
.
du
f (x)
y1(x)
f(x)
y1(x)
dx
dx y u
Puesto que y1
(x) e P(x)dx
, vemos que 1y1
(x) e P(x)dx
. Por tanto
,
y ce P(x)dx e P(x)dx
e P(x)dxf(x) dx.
yp
yc
yp uy1
f(x)
y1(x)
dxe P(x)dx
e P(x)dx
e P(x)dx
f(x) dx
y (4)
Por tanto, si la ecuación (2) tiene una solución, debe ser de la forma de la ecuación (4).
Recíprocamente, es un ejercicio de derivación directa comprobar que la ecuación (4)
es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2).
No memorice la fórmula que se presenta en la ecuación (4). Sin embargo recuerde
el término especial
e∫P(x)dx
(5)
ya que se utiliza para resolver la ecuación (2) de una manera equivalente pero más
fácil. Si la ecuación (4) se multiplica por (5),
e P(x)dx
y c
e P(x)dx
f(x) dx, (6)
y después se deriva la ecuación (6),
(7)
se obtiene
,
.
e P(x)dx
dy
dx
P(x)e P(x)dx
y e P(x)dx
f(x)
d
dx
[e P(x)dx
y] e P(x)dx
f(x)
(8)
Dividiendo el último resultado entre e P(x)dx
se obtiene la ecuación (2).
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 54
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 54 6/4/09 12:16:08 PM
6/4/09 12:16:08 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-81-320.jpg)
![MÉTODO DE SOLUCIÓN El método que se recomienda para resolver la ecuación
(2) consiste en realidad en trabajar con las ecuaciones (6) a (8) en orden inverso. En otras
palabras, si la ecuación (2) se multiplica por la ecuación (5), obtenemos la ecuación (8). Se
reconoce que el lado izquierdo de la ecuación (8) es la derivada del producto de e P(x)dx
por
y. Esto nos conduce a la ecuación (7). Entonces, integrando ambos lados de la ecuación
(7) se obtiene la solución (6). Como podemos resolver la ecuación (2) por integración,
después de multiplicar por e P(x)dx
, esta función se llama factor integrante de la ecuación
diferencial. Por conveniencia resumiremos estos resultados. Nuevamente le indicamos
que no debe memorizar la fórmula (4) sino seguir cada vez el siguiente procedimiento.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN
i) Ponga la ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2).
ii) Identifique de la identidad de la forma estándar P(x) y después
determine el factor integrante e P(x)dx
.
iii) Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El
lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada
del factor integrante y y:
d
dx
[e P(x)dx
y] e P(x)dx
f(x).
iv) Integre ambos lados de esta última ecuación.
EJEMPLO 1 Solución de una ED lineal homogénea
Resuelva .
dy
dx
3y 0
SOLUCIÓN Esta ecuación lineal se puede resolver por separación de variables. En
otro caso, puesto que la ecuación ya está en la forma estándar (2), vemos que P(x)
3 y por tanto el factor integrante es e (3)dx
e3x
. Multiplicando la ecuación por este
factor y reconociendo que
e 3x
dy
dx
3e 3x
y 0 es la misma que
d
dx
[e 3x
y] 0.
Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene e3x
y c. Despejando y se
obtiene la solución explícita y ce3x
, x .
EJEMPLO 2 Solución de una ED lineal no homogénea
Resuelva
dy
dx
.
3y 6
SOLUCIÓN La ecuación homogénea asociada a esta ED se resolvió en el ejemplo 1.
Nuevamente la ecuación está ya en la forma estándar (2) y el factor integrante aún es
e (3)dx
e3x
. Ahora al multiplicar la ecuación dada por este factor se obtiene
e 3x
dy
dx
3e 3x
y 6e 3x
, que es la misma que
d
dx
[e 3x
y] 6e 3x
.
Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene e3x
y 2e3x
c o
y 2 ce3x
, x .
2.3 ECUACIONES LINEALES O 55
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 55
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 55 6/4/09 12:16:09 PM
6/4/09 12:16:09 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-82-320.jpg)
![En esta forma identificamos a P(x) 4x y f(x) x5
ex
y además vemos que P y f son
continuas en (0, ). Por tanto el factor integrante es
e4 dx/x e4ln x eln x4
x4.
podemos utilizar ln x en lugar de ln
x
ya que x 0
Aquí hemos utilizado la identidad básica blogbN
N, N 0. Ahora multiplicamos la
ecuación (10) por x4
y reescribimos
x 4
dy
dx
4x 5 x
d
dx
[x 4
y] xex
.
y xe
como
De la integración por partes se tiene que la solución general definida en el intervalo (0,
) es x4
y xex
ex
c o y x5
ex
x4
ex
cx4
.
Excepto en el caso en el que el coeficiente principal es 1, la reformulación de la
ecuación (1) en la forma estándar (2) requiere que se divida entre a1
(x). Los valores
de x para los que a1
(x) 0 se llaman puntos singulares de la ecuación. Los puntos
singulares son potencialmente problemáticos. En concreto, en la ecuación (2), si P(x)
(que se forma al dividir a0
(x) entre a1
(x)) es discontinua en un punto, la discontinuidad
puede conducir a soluciones de la ecuación diferencial.
EJEMPLO 4 Solución general
Determine la solución general de .
(x2
9)
dy
dx
xy 0
SOLUCIÓN Escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar
dy
dx
x
x2
9
y 0 (11)
e identificando P(x) x(x2
– 9). Aunque P es continua en (, 3), (3, 3) y (3,
), resolveremos la ecuación en el primer y tercer intervalos. En estos intervalos el
factor integrante es
.
e x dx/(x2
9)
e
1
2 2x dx/(x2
9)
e
1
2 lnx2
9
1x2
9
Después multiplicando la forma estándar (11) por este factor, obtenemos
.
d
dx 1x2
9 y](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-84-320.jpg)
![58 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales
Resuelva .
dy
dx
y x, y(0) 4
SOLUCIÓN La ecuación está en forma estándar, y P(x) 1 y f(x) x son continuas
en (, ). El factor integrante es e dx
ex
, entonces integrando
d
dx
[ex
y] xex
se tiene que ex
y xex
– ex
c. Despejando y de esta última ecuación se obtiene la
solución general y x 1 cex
. Pero de la condición general sabemos que y 4
cuando x 0. El sustituir estos valores en la solución general implica que c 5. Por
tanto la solución del problema es
y x 1 5ex
, x . (12)
La figura 2.3.2, que se obtuvo con la ayuda de un programa de graficación, mues-
tra la gráfica de (12) en azul oscuro, junto con las gráficas, de las otras soluciones re-
presentativas de la familia uniparamétrica y x – 1 cex
. En esta solución general
identificamos yc
cex
y yp
x – 1. Es interesante observar que conforme x aumenta,
las gráficas de todos los miembros de la familia son cercanas a la gráfica de la solución
particular yp
x – 1 que se muestra con una línea sólida de la figura 2.3.2. Esto es de-
bido a que la contribución de yc
cex
a los valores de una solución es despreciable al
aumentar los valores de x. Decimos que yc
cex
es un término transitorio, ya que yc
: 0 conforme x : . Mientras que este comportamiento no es característico de todas
las soluciones generales de las ecuaciones lineales (véase el ejemplo 2), el concepto de
un transitorio es frecuentemente importante en problemas aplicados.
COEFICIENTES DISCONTINUOS En aplicaciones, los coeficientes P(x) y f(x)
en (2) pueden ser continuos por tramos. En el siguiente ejemplo f(x) es continua por
tramos en [0, ) con una sola discontinuidad, en particular un salto (finito) discontinuo
en x 1. Resolvemos el problema en dos partes correspondientes a los dos interva-
los en los que f está definida. Es entonces posible juntar las partes de las dos soluciones
en x 1 así que y(x) es continua en [0, ).
EJEMPLO 6 Un problema con valores iniciales
Resuelva
dy
dx
y f(x), y(0) 0 donde f(x)
1,
0,
0 x 1,
x 1.
a
SOLUCIÓN En la figura 2.3.3 se muestra la gráfica de la función discontinua f.
Resolvemos la ED para y(x) primero en el intervalo [0, 1] y después en el intervalo
(1, ). Para 0 x 1 se tiene que
.
dy
dx
d
dx
[ex
y] ex
y 1 o, el equivalente,
Integrando esta última ecuación y despejando y se obtiene y 1 c1
ex
. Puesto que
y(0) 0, debemos tener que c1
1 y por tanto y 1 ex
,
0 x 1. Entonces
para x 1 la ecuación
dy
dx
y 0
x
y
4
_4
_4
_2
2
4
_2 2
c=0
c0
c0
FIGURA 2.3.2 Algunas soluciones
y y x.
FIGURA 2.3.3 f(x) discontinua.
x
y
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 58
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 58 6/4/09 12:16:12 PM
6/4/09 12:16:12 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-86-320.jpg)
![conduce a y c2
ex
. Por tanto podemos escribir
y 1 ex
,
c2ex
,
0 x 1,
x 1.
Invocando a la definición de continuidad en un punto, es posible determinar c2
así la
última función es continua en x 1. El requisito de límx→1 y(x) y(1) implica que
c2
e1
1 – e1
o c2
e1. Como se muestra en la figura 2.3.4, la función
y 1 ex
,
(e 1)ex
,
0 x 1,
x 1
(13)
es continua en (0, ).
Es importante considerar la ecuación (13) y la figura 2.3.4 como un bloque pe-
queño; le pedimos que lea y conteste el problema 42 de los ejercicios 2.3.
FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Al final de la sección 2.2 analiza-
mos el hecho de que algunas funciones continuas simples no tienen antiderivadas que
sean funciones elementales y que las integrales de esa clase de funciones se llaman no
elementales. Por ejemplo, usted puede haber visto en cálculo que e−x2
dx y sen x2
dx
no son integrales elementales. En matemáticas aplicadas algunas funciones importan-
tes están definidas en términos de las integrales no elementales. Dos de esas funciones
especiales son la función error y la función error complementario:
.
erf(x)
2
1
x
0
et2 2
1
x
et2
dt
dt y erfc(x) (14)
Del conocido resultado *
0 et2
dt 12 podemos escribir (21)
0 et2
dt 1.
Entonces de la forma 0
0
x
x
se ve de la ecuación (14) que la función error
complementario, erfc(x), se relaciona con erf(x) por erf(x) erfc(x) 1. Debido a su
importancia en probabilidad, estadística y en ecuaciones diferenciales parciales apli-
cadas se cuenta con extensas tablas de la función error. Observe que erf(0) 0 es un
valor obvio de la función. Los valores de erf(x) se pueden determinar con un sistema
algebraico de computación (SAC).
EJEMPLO 7 La función error
Resuelva el problema con valores iniciales .
dy
dx
2xy 2, y(0) 1
SOLUCIÓN Puesto que la ecuación ya se encuentra en la forma normal, el factor
integrante es e−x2
dx, y así de
.
d
dx
[e x2
y] 2e x2
obtenemos
y 2ex2
x
0
e t2
dt cex2
(15)
Aplicando y(0) 1 en la última expresión obtenemos c 1. Por tanto, la solución del
problema es
y 2ex2
x
0
et2
dt ex2
o y ex2
[1 1 erf(x)].
En la figura 2.3.5 se muestra en azul oscuro, la gráfica de esta solución en el intervalo
(, ) junto con otros miembros de la familia definida en la ecuación (15), obtenida
con la ayuda de un sistema algebraico de computación.
1
x
y
FIGURA 2.3.4 Gráfica de la función
de (13).
*
Este resultado normalmente se presenta en el tercer semestre de cálculo.
FIGURA 2.3.5 Algunas soluciones
de y 2xy 2.
x
y
2.3 ECUACIONES LINEALES O 59
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 59
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 59 6/4/09 12:16:13 PM
6/4/09 12:16:13 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-87-320.jpg)
![ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función f tiene la propiedad f(tx, ty)
ta
f(x, y) para algún número real a, entonces se dice que es una función homogénea de
grado a. Por ejemplo f(x, y) x3
y3
es una función homogénea de grado 3, ya que
f(tx, ty) (tx)3
(ty)3
t3
(x3
y3
) t3
f(x, y),
mientras que f (x, y) x3
y3
1 es no homogénea. Una ED de primer orden en
forma diferencial
M(x, y) dx N(x, y) dy 0 (1)
se dice que es homogénea*
si ambas funciones coeficientes M y N son ecuaciones ho-
mogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si
M(tx, ty) t␣
M(x, y) y N(tx, ty) = t␣
N(x, y).
Además, si M y N son funciones homogéneas de grado a, podemos escribir
M(x, y) x␣
M(1, u) y N(x, y) x␣
N(1, u) donde u y/x, (2)
y
M(x, y) y␣
M(v, 1) y N(x, y) y␣
N(v, 1) donde v x/y. (3)
Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sus-
tituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En
concreto, cualquiera de las sustituciones y ux o x vy, donde u y v son las nuevas
variables dependientes, reducirán una ecuación homogénea a una ecuación diferencial
de primer orden separable. Para mostrar esto, observe que como consecuencia de (2)
una ecuación homogénea M(x, y)dx N(x, y)dy 0 se puede reescribir como
x␣
M(1, u) dx x␣
N(1, u) dy 0 o bien M(1, u) dx N(1, u) dy 0,
donde u yx o y ux. Sustituyendo la diferencial dy u dx x du en la última
ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x:
o .
dx
x
N(1, u) du
M(1, u) uN(1, u)
0
[M(1, u) uN(1, u)] dx xN(1, u) du 0
M(1, u) dx N(1, u)[u dx x du] 0
En este momento le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores. No memo-
rice nada de aquí (en particular la última fórmula); más bien, cada vez siga el procedi-
miento. Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones x vy y dx v dy y dv
también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar.
EJEMPLO 1 Solución de una ED homogénea
Resuelva (x2
y2
) dx (x2
xy) dy 0.
SOLUCIÓN Examinando a M(x, y) x2
y2
y a N(x, y) x2
xy se muestra que
estas funciones coeficientes son homogéneas de grado 2. Si hacemos y ux, entonces
*
Aquí la palabra homogénea no significa lo mismo que en la sección 2.3. Recuerde que una ecuación lineal
de primer orden a1(x)y a0(x)y g(x) es homogénea cuando g(x) 0.
2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN O 71
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 71
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 71 6/4/09 12:16:29 PM
6/4/09 12:16:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-101-320.jpg)
![72 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
dy u dx x du, de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en
.
1
2
1 u
du
dx
x
0
1 u
1 u
du
dx
x
0
x2
(1 u) dx x3
(1 u) du 0
(x2
u2
x2
) dx (x2
ux2
)[u dx x du] 0
división larga
Después de integrar la última ecuación se obtiene
.
y
x
2 ln1
y
x ln x lnc
u 2 ln 1 u ln x ln c
; sustituyendo de nuevo u yx
Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como
.
(x y)2
cx
y
x
o (x y)2
cxey/x
ln
Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se puede usar en toda ecuación
diferencial homogénea, en la práctica se intenta con x vy cuando la función M(x, y)
sea más fácil que N(x, y). También podría ocurrir que después de utilizar una sustitu-
ción, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma
cerrada; y el cambiar las sustituciones puede facilitar el problema.
ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial
,
dy
dx
P(x)y f(x)yn
(4)
donde n es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli. Observe que para
n 0 y n 1, la ecuación (4) es lineal. Para n ã 0 y n ã 1 la sustitución u y1n
reduce cualquier ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal.
EJEMPLO 2 Solución de una ED de Bernoulli
Resuelva x
dy
dx
y x2
y2
.
SOLUCIÓN Primero reescribimos la ecuación como
dy
dx
1
x
y xy2
al dividir entre x. Con n 2 tenemos u y1
o y u1
. Entonces sustituimos
dy
dx
dy
du
du
dx
u2
du
dx
; Regla de la cadena
en la ecuación dada y simplificando. El resultado es
.
du
dx
1
x
u x
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 72
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 72 6/4/09 12:16:30 PM
6/4/09 12:16:30 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-102-320.jpg)
![El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos, (0, ) es
Integrando
.
d
dx
[x1
u] 1
e dx/x
eln x
eln x1
x1
se obtiene x1
u x c o u x2
cx. Puesto que u y1
, tenemos que y 1u,
así una solución de la ecuación dada es y 1(x2
cx).
Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial
no lineal original del ejemplo 2 ya que y 0 es una solución singular de la ecuación.
REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la
forma
dy
dx
f(Ax By C) (5)
Se puede siempre reducir a una ecuación con variables separables por medio de la
sustitución u Ax By C, B ã 0. El ejemplo 9 muestra la técnica.
EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales
Resuelva
dy
dx
(2x y)2
7, y(0) 0.
SOLUCIÓN Si hacemos u 2x y, entonces dudx 2 dydx, por lo que la
ecuación diferencial se expresa como
.
du
dx
2 u2
du
dx
u2
9
7 o
La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales
du
(u 3)(u 3)
1
6 1
u 3
1
u 3](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-103-320.jpg)
![78 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En el ejemplo 1 se calcularon los valores verdaderos o reales de la solución cono-
cida y e0.1(x2−1)
.(Compruebe.) El error absoluto se define como
valor real – aproximado .
El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente,
error absoluto error absoluto
valor real
y
valor real
× 100.
Es evidente de las tablas 2.3 y 2.4 que la precisión de las aproximaciones mejora
conforme disminuye el tamaño del paso h. También nosotros vemos esto aun cuando
el error relativo porcentual esté creciendo en cada paso, no parece estar mal. Pero no
debe engañarse por un ejemplo. Si simplemente cambiamos el coeficiente del lado de-
recho de la ED del ejemplo 2 de 0.2 a 2 entonces en xn
1.5 los errores relativos por-
centuales crecen dramáticamente. Véase el problema 4 del ejercicio 2.6.
UNA ADVERTENCIA El método de Euler es sólo uno de los diferentes métodos en
los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su
sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios. Aquí se ha
presentado sólo para dar un primer esbozo de los métodos numéricos. En el capítulo 9
trataremos en detalle el análisis de los métodos numéricos que tienen mucha precisión,
en especial el método de Runge-Kutta conocido como el método RK4.
SOLUCIONADORES NUMÉRICOS Independientemente de si se puede realmente
encontrar una solución explícita o implícita, si existe una solución de una ecuación
diferencial, ésta se representa por una curva suave en el plano cartesiano. La idea bá-
sica detrás de cualquier método numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden es de alguna manera aproximar los valores de y de una solución para
valores de x preseleccionados. Comenzamos con un punto inicial dado (x0
, y0
) de una
curva solución y procedemos a calcular en un modelo paso por paso una secuencia
de puntos (x1
, y1
), (x2
, y2
),…, (xn
, yn
) cuyas coordenadas y, yi
se aproximan a las coor-
denadas y, y(xi
) de los puntos (x1
, y(x1
)), (x2
, y(x2
)),…, (xn
, y(xn
)) que yacen sobre la
gráfica de la solución normalmente desconocida y(x). Tomando las coordenadas x más
cercanas (es decir, para valores pequeños de h) y uniendo los puntos (x1
, y1
), (x2
, y2
),…,
(xn
, yn
) con segmentos de recta cortos, obtenemos una curva poligonal cuyas caracte-
rísticas cualitativas esperamos sean cercanas a las de una curva solución real. El dibujo
de curvas es muy adecuado en una computadora. A un programa de cómputo escrito
para implementar un método numérico o para mostrar una representación visual de
una solución aproximada que ajusta los datos numéricos producidos por este segundo
método se le conoce como un solucionador numérico. Comercialmente hay disponi-
bles muchos solucionadores numéricos ya sea que estén integrados en un gran paquete
computacional, tal como en un sistema algebraico computacional o que sean un pa-
quete autónomo. Algunos paquetes computacionales simplemente dibujan las aproxi-
maciones numéricas generadas, mientras que otros generan pesados datos numéricos
así como la correspondiente aproximación o curvas solución numérica. En la figura
2.6.3 se presenta a manera de ilustración la conexión natural entre los puntos de las
gráficas producidas por un solucionador numérico, las gráficas poligonales pintadas
con dos colores son las curvas solución numérica para el problema con valores inicia-
les y 0.2xy, y(0) 1 en el intervalo [0, 4] obtenidas de los métodos de Euler y RK4
usando el tamaño de paso h 1. La curva suave en azul es la gráfica de la solución
exacta y e0.1x2
del PVI. Observe en la figura 2.6.3 que, aun con el ridículo tamaño
de paso de h 1, el método RK4 produce la “curva solución” más creíble. La curva
solución numérica obtenida del método RK4 es indistinguible de la curva solución real
en el intervalo [0, 4] cuando se usa el tamaño de paso usual de h 0.1.
solución
exacta
(0,1) método
Euler
método
RK4
_1 1 2 3 4 5
y
x
4
5
3
2
1
_1
FIGURA 2.6.3 Comparación de los
métodos de Runge-Kutta (RK4) y de
Euler.
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 78
08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 78 6/4/09 12:16:37 PM
6/4/09 12:16:37 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-110-320.jpg)
![MODELOS LINEALES
REPASO DE MATERIAL
O Ecuación diferencial como modelo matemático en la sección 1.3.
O Leer nuevamente “Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden”, página 55 en la
sección 2.3.
INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden
que se presentaron en la sección 1.3.
3.1
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales
,
dx
dt
kx, x(t0) x0 (1)
donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fe-
nómenos que tienen que ver con crecimiento o decaimiento. En la sección 1.3 vimos
que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bac-
terias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población
presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0
,
la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro,
es decir, a tiempos t t0
. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se de-
termina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida
posterior de x al tiempo t1
t0
. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de
una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dxdt es
directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que
queda al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiacti-
vidad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.
EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias
Inicialmente un cultivo tiene un número P0
de bacterias. En t 1 h se determina que
el número de bacterias es 3
2P0
. Si la razón de crecimiento es proporcional al número
de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se
triplique el número de bacterias.
SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo
x por P. Con t0
0 la condición inicial es P(0) P0
. Entonces se usa la observación
empírica de que P(1) 3
2P0
para determinar la constante de proporcionalidad k.
Observe que la ecuación diferencial dPdt kP es separable y lineal. Cuando se
pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,
,
dP
dt
kP 0
se ve por inspección que el factor integrante es ekt
. Multiplicando ambos lados de la
ecuación e integrando se obtiene, respectivamente,
.
d
dt
[ekt kt
P c
P] 0 y e
Por tanto P(t) cekt
. En t 0 se tiene que P0
ce0
c, por tanto P(t) P0
ekt
. En
t 1 se tiene que 3
2P0
P0
ek
, o ek
3
2. De la última ecuación se obtiene k 1n 3
2
0.4055, por tanto P(t) P0
e0.4055t
. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el
número de bacterias, resolvemos 3P0
P0
e0.4055t
para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o
.
t
ln 3
0.4055
2.71 h
Vea la figura 3.1.1.
t
P
3P0
P0
t = 2.71
P(t) = P0e0.4055t
FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se
triplica la población.
3.1 MODELOS LINEALES O 83
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 83
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 83 6/4/09 12:17:03 PM
6/4/09 12:17:03 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-115-320.jpg)
![ecuación diferencial lineal es et/100
, podemos escribir la ecuación como
.
d
dt
[et/100
A] 6et/100
Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general
A(t) 600 cet/100
. Conforme t 0, A 50, de modo que c 550. Entonces, la
cantidad de sal en el tanque al tiempo t está dada por
.
A(t) 600 550et/100 (6)
La solución (6) se usó para construir la tabla de la figura 3.1.4b. En la ecuación (6) y en
la figura 3.1.4a también se puede ver, que A(t) : 600 conforme t : . Por supuesto que
esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo
la cantidad de libras de sal en la solución debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) 600 lb.
En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que entra la solución al tanque es
la misma que la razón con que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el
mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una razón rsale
que es mayor o menor
que la razón rentra
con la que entra la otra salmuera. Por ejemplo, si la solución bien mez-
clada del ejemplo 5 sale con una razón menor, digamos de rsale
2 gal/min, entonces
se acumulará líquido en el tanque con una razón de rentra
rsale
(3 2) gal/min
1 gal/min. Después de t minutos (1 gal/min) (t min) t gal se acumularán, por lo que
en el tanque habrá 300 t galones de salmuera. La concentración del flujo de salida es
entonces c(t) A(300 t) y la razón con que sale la sal es Rsale
c(t) rsale
, o
.
R A
300 t
lb/galⴢ (2 gal/min)
2A
300 t
lb/min
sale
Por tanto, la ecuación (5) se convierte en
.
dA
dt
6
2A
300 t
o
dA
dt
2
300 t
A 6
Debe comprobar que la solución de la última ecuación, sujeta a A(0) 50, es A(t)
600 2t (4.95 107
)(300 t)2
. Vea el análisis siguiente a la ecuación (8) de la
sección 1.3, del problema 12 en los ejercicios 1.3 y en los problemas 25 a 28 de los
ejercicios 3.1.
CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un
inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a
través del inductor (L(didt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual
al voltaje aplicado (E(t)) al circuito. Vea la figura 3.1.5.
Por tanto obtenemos la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t),
,
L
di
dt
Ri E(t) (7)
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectiva-
mente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema.
La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q
es la carga del capacitor. Por tanto, para el circuito en serie que se muestra en la figura
3.1.6, la segunda ley de Kirchhoff da
.
Ri
1
C
q E(t) (8)
Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i dqdt, así la ecuación (8) se
convierte en la ecuación diferencial lineal
.
R
dq
dt
1
C
q E(t) (9)
t
A A = 600
500
a)
t (min) A (lb)
50 266.41
100 397.67
150 477.27
200 525.57
300 572.62
400 589.93
b)
FIGURA 3.1.4 Libras de sal en el
tanque como una función del tiempo t.
FIGURA 3.1.5 Circuito en serie LR.
E
L
R
R
C
E
FIGURA 3.1.6 Circuito en serie RC.
3.1 MODELOS LINEALES O 87
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 87
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 87 6/4/09 12:17:06 PM
6/4/09 12:17:06 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-119-320.jpg)
![88 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 6 Circuito en serie
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 1
2
henry
y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.
SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver
,
1
2
di
dt
10i 12
sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el
factor integrante es e20t
. Entonces sustituyendo
.
d
dt
[e20t
i] 24e20t
Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene i(t) ce20t
.
6
5
Ahora i(0) 0 implica que 0 c 6
5
6
5 o c .. Por tanto la respuesta es
i(t) e20t
.
6
5
6
5
De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7):
.
i(t)
e(R/L)t
L
e(R/L)t
E(t) dt ce(R/L)t
(10)
En particular, cuando E(t) E0
es una constante, la ecuación (l0) se convierte en
.
i(t)
E0
R
ce(R/L)t
(11)
Observamos que conforme t : , el segundo término de la ecuación (11) tiende a
cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio; los demás términos
se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E0
R también se llama
corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente
está determinada tan sólo por la ley de Ohm (E iR).
COMENTARIOS
La solución P(t) P0
e0.4055t
del problema con valores iniciales del ejemplo 1 des-
cribe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por
supuesto, P(t) es una función continua que toma todos los números reales del
intervalo P0
P . Pero puesto que estamos hablando de una población, el
sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no es-
peraríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada
microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de
tiempo [t1
, t2
], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, la gráfica
que se muestra en la figura 3.1.7a es una descripción más real de P que la gráfi-
ca de una función exponencial. Usar una función continua para describir un fenó-
meno discreto con frecuencia es más conveniente que exacto. Sin embargo, para
ciertos fines nos podemos sentir satisfechos si el modelo describe con gran exac-
titud el sistema, considerado macroscópicamente en el tiempo como se mues-
tra en las figuras 3.1.7b y 3.1.7c, más que microscópicamente, como se muestra
en la figura 3.1.7a.
FIGURA 3.1.7 El crecimiento
poblacional es un proceso discreto.
t
1
t1 t2
P
P0
t
1
P
P0
a)
b)
c)
t
1
P
P0
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 88
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 88 6/4/09 12:17:07 PM
6/4/09 12:17:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-120-320.jpg)
![0, donde t se mide en minutos.
a) Suponga que k 0.1 en la ecuación (2). Antes de
resolver el PVI, describa con palabras cómo espera
que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a
corto plazo. Y a largo plazo.
b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un
programa de graficación para trazar la gráfica de T(t)
en diferentes intervalos de tiempo. ¿Las gráficas con-
cuerdan con sus predicciones del inciso a)?
19. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una
casa donde la temperatura era constante a 70° F. Al tiempo
del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver
se determinó de 85° F. Una hora después una segunda me-
dición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F.
Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0
y que la temperatura del corazón en ese momento era de
98.6° F. Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se
encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t1
0 denote
el tiempo en que se encontró el cadáver.]
20. La razón con la que un cuerpo se enfría también depende
de su área superficial expuesta S. Si S es una constante,
entonces una modificación de la ecuación (2) es
dT
dt
kS(T Tm),
donde k 0 y Tm
es una constante. Suponga que dos tazas
A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente
la temperatura del café es de 150° F. El área superficial del
café en la taza B es del doble del área superficial del café
en la taza A. Después de 30 min la temperatura del café en
la taza A es de 100° F. Si Tm
70° F, entonces ¿cuál es la
temperatura del café de la taza B después de 30 min?
Mezclas
21. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se
han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal
por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la so-
lución bien mezclada sale del tanque con la misma razón.
Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el
tanque al tiempo t.
22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra
agua pura.
23. Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura.
Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galón a razón
de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque
con la misma razón. Determine la cantidad A(t) de libras
de sal que hay en el tanque al tiempo t.
24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en
el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t 5 min? ¿Cuál es la
concentración en el tanque después de un largo tiempo, es
decir, conforme t : ? ¿Para qué tiempo la concentración
de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite?
25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale
con una razón de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacía el tanque?
26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el
ejemplo 5 si la concentración de sal que entra es variable
y está dada por centra
(t) 2 sen(t4) lb/gal. Sin trazar la
gráfica, infiera a qué curva solución del PVI se parecería.
Después utilice un programa de graficación para trazar la
gráfica de la solución en el intervalo [0, 300]. Repita para
el intervalo [0, 600] y compare su gráfica con la que se
muestra en la figura 3.1.4a.
27. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones
de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. La sal-
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 90
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 90 6/4/09 12:17:09 PM
6/4/09 12:17:09 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-123-320.jpg)
![92 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
misma que la ecuación dvdt g, donde se toma
g 32 pies/s2
. Encuentre la velocidad v(t) de la bala
de cañón al tiempo t.
b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para
determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida
desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima
que alcanza la bala.
37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el
problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del
aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es
la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala
del cañón debe ser menor que la del inciso b) del pro-
blema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de
proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: Modifique
ligeramente la ED del problema 35.]
38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su
paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después
de saltar del avión desde una altura de 15 000 pies, la
paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas.
Suponga que la constante de proporcionalidad del mo-
delo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la
caída libre y k 10 después de que se abrió el paracaí-
das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión
es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista
y qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de
que saltó del avión? Vea la figura 3.1.11. ¿Cómo se com-
para la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con
su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
[Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.]
a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del re-
poso.
b) Vuelva a leer el problema 34 de los ejercicios 1.3
y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el
tiempo t es r(t) (kr)t r0
.
c) Si r0
0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos des-
pués de que la gota cae desde una nube, determine el
tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por
completo.
40. Población fluctuante La ecuación diferencial dPdt
(k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo
matemático para una población P(t) que experimenta fluc-
tuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) P0
.
Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de
la solución para diferentes elecciones de P0
.
41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de po-
blación de P(t) de una comunidad, se supone que
,
dP
dt
dB
dt
dD
dt
donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortan-
dad, respectivamente.
a) Determine P(t) si dBdt k1
P y dDdt k2
P.
b) Analice los casos k1
k2
, k1
k2
y k1
k2
.
42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe
la población de una pesquería en la que se cosecha con
una razón constante está dada por
dP
dt
kP h,
donde k y h son constantes positivas.
a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0
.
b) Describa el comportamiento de la población P(t)
conforme pasa el tiempo en los tres casos P0
hk,
P0
hk y 0 P0
hk.
c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar
si la población de peces desaparecerá en un tiempo
finito, es decir, si existe un tiempo T 0 tal que P(T)
0. Si la población desaparecerá, entonces deter-
mine en qué tiempo T.
43. Propagación de una medicina Un modelo matemático
para la razón con la que se propaga una medicina en el
torrente sanguíneo está dado por
dx
dt
r kx,
donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función
que describe la concentración de la medicina en el to-
rrente sanguíneo al tiempo t.
a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de
esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el
valor de x(t) conforme t : .
FIGURA 3.1.11
Cálculo del tiempo
que tarda en llegar al
suelo del problema 38.
caída libre
el paracaídas
se abre
la resistencia del
aire es 0.5v
la resistencia del
aire es 10 v
t = 20 s
39. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota
de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esfé-
rica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez
a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su área
superficial y que se desprecia la resistencia del aire, enton-
ces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es
.
dv
dt
3(k/)
(k/)t r0
v g
Aquí r es la densidad del agua, r0
es el radio de la gota de
lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad
y la dirección hacia abajo se considera positiva.
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 92
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 92 6/4/09 12:17:11 PM
6/4/09 12:17:11 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-125-320.jpg)
![15. Resistencia del aire Una ecuación diferencial para la ve-
locidad v de una masa m que cae sujeta a la resistencia del
aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea es
,
m
dv
dt
mg kv2
donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La
dirección positiva es hacia abajo.
a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial
v(0) v0
.
b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la ve-
locidad límite, o terminal de la masa. En el problema
41 de los ejercicios 2.1 vimos cómo determinar la ve-
locidad terminal sin resolver la ED.
c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se
suelta la masa sobre el suelo, está relacionada con la
velocidad v por dsdt v(t), encuentre una expresión
explícita para s(t) si s(0) 0.
16. ¿Qué tan alto? (Resistencia del aire no lineal) Consi-
dere la bala de cañón de 16 libras que se dispara vertical-
mentehaciaarribaenlosproblemas36y37enlosejercicios
3.1 con una velocidad inicial v0
300 pies/s. Determine
la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la
resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la ve-
locidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es
hacia arriba y tome k 0.0003. [Sugerencia: Modifique
un poco la ED del problema 15.]
17. Esa sensación de hundimiento a) Determine una ecua-
ción diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que
se hunde en agua que le da una resistencia proporcional
al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce
una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada
por el principio de Arquímedes. Véase el problema 18 de
los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es
hacia abajo.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a).
c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa
hundida.
18. Colector solar La ecuación diferencial
dy
dx
x 1x2
y2
y
describe la forma de una curva plana C que refleja los
haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un mo-
delo para el espejo de un telescopio reflector, una antena
de satélite o un colector solar. Vea el problema 27 de los
ejercicios 1.3. Hay varias formas de resolver esta ED.
a) Compruebe que la ecuación diferencial es homogénea
(véase la sección 2.5). Demuestre que la sustitución y
ux produce
.
u du
11 u2
(1 11 u2
)
dx
x
Utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para in-
tegrar el lado izquierdo de la ecuación. Muestre que
la curva C debe ser una parábola con foco en el origen
y simétrica respecto al eje x.
b) Demuestre que la ecuación diferencial puede también
resolverse por medio de la sustitución u x2
y2
.
19. Tsunami a) Un modelo simple para la forma de un tsu-
nami o maremoto, está dado por
,
dW
dx
W 14 2W
donde W(x) 0 es la altura de la ola expresada como
una función de su posición respecto a un punto en
altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones
constantes de la ED.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un
SAC puede ser útil para la integración.
c) Use un programa de graficación para obtener las grá-
ficas de las soluciones que satisfacen la condición ini-
cial W(0) 2.
20. Evaporación Un estanque decorativo exterior con for-
ma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada
hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que
el radio del tanque es R 10 pies, que el agua se bombea a
una rapidez de p pies3
/minuto y que al inicio el tanque está
vacío. Véase la figura 3.2.6. Conforme se llena el tanque,
éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez
de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre
el agua y que la constante de proporcionalidad es k 0.01.
a) La rapidez de cambio dVdt del volumen del agua
al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez
neta para determinar una ecuación diferencial para la
altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que
se muestra en la figura es V pRh2
ph3
1
3
, donde R
10. Exprese el área de la superficie del agua A
pr2
en términos de h.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace
la gráfica de la solución.
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en lle-
narse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cuál es la profundidad del agua en
el tiempo que se determinó en el inciso c)? ¿Alguna
vez se llenará el tanque? Demuestre su afirmación.
FIGURA 3.2.6 Estanque decorativo del problema 20.
pies3
A
V
Salida: el agua se evapora con una razón
proporcional al área A de la superficie
Entrada: el agua se bombea con
una razón de 3/min
π
a) tanque semiesférico b) sección transversal del tanque
R
r
h
3.2 MODELOS NO LINEALES O 101
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 101
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 101 6/4/09 12:17:19 PM
6/4/09 12:17:19 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-134-320.jpg)
![102 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Problemas de proyecto
21. Recta de regresión Lea en el manual de su SAC acerca
de gráficas de dispersión (o diagramas de dispersión) y
ajuste de rectas por mínimos cuadrados. La recta que
mejor se ajusta a un conjunto de datos se llama recta de
regresión o recta de mínimos cuadrados. Su tarea
es construir un modelo logístico para la población de
Estados Unidos, definiendo f(P) en (2) como una ecua-
ción de una recta de regresión que se basa en los datos
de población que aparecen en la tabla del problema 4.
Una manera de hacer esto es aproximar el lado izquierdo
1
P
dP
dt
de la primera ecuación en (2), utilizando el co-
ciente de diferencias hacia adelante en lugar de dPdt:
.
Q(t)
1
P(t)
P(t h) P(t)
h
a) Haga una tabla de los valores t, P(t) y Q(t) usando t
0, 10, 20, . . . , 160 y h 10. Por ejemplo, el pri-
mer renglón de la tabla debería contener t 0, P(0) y
Q(0). Con P(0) 3.929 y P(10) 5.308,
.
Q(0)
1
P(0)
P(10) P(0)
10
0.035
Observe que Q(160) depende de la población del
censo de 1960 P(l70). Busque este valor.
b) Use un SAC para obtener el diagrama de dispersión
de los datos (P(t), Q(t)) que se calculó en el inciso a).
También utilice un SAC para encontrar una ecuación
de la recta de regresión y superponer su gráfica en el
diagrama de dispersión.
c) Construya un modelo logístico dPdt Pf(P), donde
f(P) es la ecuación de la recta de regresión que se
encontró en el inciso b).
d) Resuelva el modelo del inciso c) usando la condición
inicial P(0) 3.929.
e) Utilice un SAC para obtener un diagrama de dispersión,
esta vez de los pares ordenados (t, P(t)) de su tabla del
inciso a). Utilice un SAC para superponer la gráfica de
la solución del inciso d) en el diagrama de dispersión.
f) Busque los datos del censo de Estados Unidos para
1970, 1980 y 1990. ¿Qué población predice el mo-
delo logístico del inciso c) para estos años? ¿Qué
predice el modelo para la población P(t) de Estados
Unidos conforme t : ?
22. Modelo de inmigración a) En los ejemplos 3 y 4 de
la sección 2.1 vimos que cualquier solución P(t) de (4)
tieneelcomportamientoasintóticoP(t):abconforme
t : para P0
ab y para 0 P0
ab; como con-
secuencia, la solución de equilibrio P ab se llama un
atractor. Utilice un programa para determinar raíces de
un SAC (o una calculadora graficadora) para aproximar
la solución de equilibrio del modelo de inmigración
.
dP
dt
P(1 P) 0.3eP
b) Utilice un programa de graficación para trazar la grá-
ficadelafunciónF(P) P(1 P) 0.3eP
.Explique
cómo se puede utilizar esta gráfica para determinar
si el número que se encontró en el inciso a) es un
atractor.
c) Use un programa de solución numérica para compa-
rar las curvas solución de los PVI
dP
dt
P(1 P), P(0) P0
Para P0
0.2 y P0
1.2 con las curvas solución para
los PVI.
dP
dt
P(1 P) 0.3eP
, P(0) P0
para P0
0.2 y P0
1.2. Superponga todas las curvas en
los mismos ejes de coordenadas pero, si es posible, uti-
lice un color diferente para las curvas del segundo pro-
blema con valores iniciales. En un periodo largo, ¿qué
incremento porcentual predice el modelo de inmigración
en la población comparado con el modelo logístico?
23. Lo que sube . . . En el problema 16 sea ta
el tiempo que
tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima y
sea td
el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima
hasta el suelo. Compare el valor ta
con el valor de td
y
compare la magnitud de la velocidad de impacto vi
con
la velocidad inicial v0
. Vea el problema 48 de los ejerci-
cios 3.1. Aquí puede ser útil un programa para determinar
raíces de un SAC. [Sugerencia: Utilice el modelo del pro-
blema 15 cuando la bala de cañón va cayendo.]
24. Paracaidismo Un paracaidista está equipado con un
cronómetro y un altímetro. Como se muestra en la figura
3.2.7, el paracaidista abre su paracaídas 25 segundos des-
pués de saltar del avión que vuela a una altitud de 20 000
pies, y observa que su altitud es de 14 800 pies. Suponga
que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado
de la velocidad instantánea, la velocidad inicial del pa-
racaidista al saltar del avión es cero y g 32 pies/s2
.
a) Encuentre la distancia s(t), medida desde el avión, que
ha recorrido el paracaidista durante la caída libre en el
tiempo t. [Sugerencia: No se especifica la constante
de proporcionalidad k en el modelo del problema 15.
Use la expresión para la velocidad terminal vt
que se
s(t)
25 s
14 800 pies
FIGURA 3.2.7 Paracaidista del problema 24.
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 102
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 102 6/4/09 12:17:20 PM
6/4/09 12:17:20 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-135-320.jpg)
![obtuvo en el inciso b) del problema 15 para eliminar k
del PVI. Luego, finalmente encuentre vt
.]
b) ¿Qué distancia descendió el paracaidista y cuál es su
velocidad cuando t 15 s?
25. Impacto en el fondo Un helicóptero sobrevuela 500 pies
por arriba de un gran tanque abierto lleno de líquido (no
agua). Se deja caer un objeto compacto y denso que pesa
160 libras (liberado desde el reposo) desde el helicóptero en
ellíquido.Supongaquelaresistenciadelaireesproporcional
a la velocidad instantánea v en tanto el objeto está en el aire y
que el amortiguamiento viscoso es proporcional a v2
después
de que el objeto ha entrado al líquido. Para el aire, tome k
1
4
, y para el líquido tome k 0.1. Suponga que la dirección
positiva es hacia abajo. Si el tanque mide 75 pies de alto, de-
termine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto
golpea el fondo del tanque. [Sugerencia: Piense en términos
de dos PVI distintos. Si se utiliza la ecuación (13), tenga
cuidado de eliminar el signo de valor absoluto. Se podría
comparar la velocidad cuando el objeto golpea el líquido, la
velocidad inicial para el segundo problema, con la velocidad
terminal vt
del objeto cuando cae a través del líquido.]
26. Hombre viejo de río . . . En la figura 3.2.8a suponga
que el eje y y la recta vertical x 1 representan, respecti-
vamente, las playas oeste y este de un río que tiene 1 milla
de ancho. El río fluye hacia el norte con una velocidad vr
,
donde |vr
| vr
mi/h es una constante. Un hombre entra a
la corriente en el punto (1, 0) en la costa este y nada en
una dirección y razón respecto al río dada por el vector vs
,
donde la velocidad |vs
| vs
mi/h es una constante. El hom-
bre quiere alcanzar la costa oeste exactamente en (0, 0) y
así nadar de tal forma que conserve su vector velocidad vs
siempre con dirección hacia (0, 0). Utilice la figura 3.2.8b
como una ayuda para mostrar que un modelo matemático
para la trayectoria del nadador en el río es
dy
dx
vsy vr 1x2
y2
vs x
.
[Sugerencia: La velocidad v del nadador a lo largo de la
trayectoria o curva que se muestra en la figura 3.2.8 es
la resultante v vs
vr
. Determine vs
y vr
en compo-
nentes en las direcciones x y y. Si x x(t), y y(t) son
ecuaciones paramétricas de la trayectoria del nadador, en-
tonces v (dxdt, dydt)].
27. a) Resuelva la ED del problema 26 sujeto a y(1) 0. Por
conveniencia haga k vr
vs
.
b) Determine los valores de vs
, para los que el nadador
alcanzará el punto (0, 0) examinando lím
x : 0
y(x) en los
casos k 1, k 1 y 0 k 1.
28. Hombre viejo de río conserva su movimiento . . .
Suponga que el hombre del problema 26 de nuevo entra
a la corriente en (1, 0) pero esta vez decide nadar de tal
forma que su vector velocidad vs
está siempre dirigido
hacia la playa oeste. Suponga que la rapidez |vs
| vs
mi/h
es una constante. Muestre que un modelo matemático
para la trayectoria del nadador en el río es ahora
dy
dx
vr
vs
.
29. La rapidez de la corriente vr
de un río recto tal como el del
problema 26 usualmente no es una constante. Más bien,
una aproximación a la rapidez de la corriente (medida en
millas por hora) podría ser una función tal como vr
(x)
30x(1 x), 0 x 1, cuyos valores son pequeños en las
costas (en este caso, vr
(0) 0 y vr
(1) 0 y más grande
en la mitad de río. Resuelva la ED del problema 28 sujeto
a y(1) 0, donde vs
2 mi/h y vr
(x) está dado. Cuando el
nadador hace esto a través del río, ¿qué tanto tendrá que
caminar en la playa para llegar al punto (0, 0)?
30. Gotas de lluvia continúan cayendo . . . Cuando hace
poco se abrió una botella de refresco se encontró que
decía dentro de la tapa de la botella:
La velocidad promedio de una gota de lluvia cayendo es
de 7 millas/hora.
En una búsqueda rápida por la internet se encontró que el
meteorólogoJeffHabyofrecíainformaciónadicionaldeque
una gota de lluvia esférica en “promedio” tenía un radio de
0.04 pulg. y un volumen aproximado de 0.000000155 pies3
.
Utilice estos datos y, si se necesita investigue más y haga
otras suposiciones razonables para determinar si “la veloci-
dad promedio de . . . 7 millas por hora” es consistente con
los modelos de los problemas 35 y 36 de los ejercicios 3.1
yconelproblema15deesteconjuntodeejercicios.También
vea el problema 34 de los ejercicios 1.3.
31. El tiempo gotea El clepsidra, o reloj de agua, fue un
dispositivo que los antiguos egipcios, griegos, romanos y
chinos usaban para medir el paso del tiempo al observar el
cambio en la altura del agua a la que se le permitía salir por
un agujero pequeño en el fondo de un tanque.
a) Suponga que se ha hecho un tanque de vidrio y que
tiene la forma de un cilindro circular recto de radio 1
pie. Suponga que h(0) 2 pies corresponde a agua
llena hasta la tapa del tanque, un agujero en el fondo
es circular con radio 2
1
32 pulg, g 32 pies/s y c 0.6.
y
(0, 0) (1, 0)
y(t)
x(t)
θ
(x(t), y(t))
vr
playa
oeste
playa
este
nadador
corriente
x
y
(0, 0) (1, 0)
vs
vr
x
a)
b)
FIGURA 3.2.8 Trayectoria del nadador del problema 26.
3.2 MODELOS NO LINEALES O 103
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 103
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 103 6/4/09 12:17:21 PM
6/4/09 12:17:21 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-136-320.jpg)
![104 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para
encontrar la altura h(t) del agua.
b) Para el tanque del inciso a), ¿a qué altura desde su
fondo se debería marcar ese lado, como se muestra en
la figura 3.2.9, que corresponde al paso de una hora?
Después determine dónde colocaría las marcas corres-
pondientes al paso de 2 h, 3 h, . . . , 12 h. Explique por
qué estas marcas no están igualmente espaciadas.
Problema aportado
34. Un modelo logístico para
el crecimiento del gira-
sol Este problema implica
un plantío de semillas de girasol y el dibujo de la altura en
función del tiempo. Podría llevar de 3 a 4 meses obtener
los datos, por lo que ¡comencemos ya! Si puede cámbiela
por una planta diferente, pero puede tener que ajustar la
escala de tiempo y la escala de altura adecuada.
a) Usted va a crear una gráfica de la altura del girasol
(en cm) contra el tiempo (en días). Antes de iniciar
intuya cómo será esta curva y ponga la gráfica intuida
en la malla.
2
1 hora
2 horas
1
FIGURA 3.2.9 Clepsidra del problema 31.
32. a) Suponga que un tanque de vidrio tiene la forma de un
cono con sección transversal circular como se muestra
en la figura 3.2.10. Como en el inciso a) del problema
31, suponga que h(0) 2 pies corresponde a agua
llena hasta la parte superior del tanque, un agujero
circular en el fondo de radio 1
32
pulg, g 32 pies/s2
y
c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema
12 para encontrar la altura h(t) del agua.
b) ¿Puede este reloj de agua medir 12 intervalos de tiempo
de duración de 1 hora? Explique usando matemáticas.
2
1
FIGURA 3.2.10 Clepsidra del problema 12.
33. Suponga que r f(h) define la forma de un reloj de agua
en el que las marcas del tiempo están igualmente espacia-
das. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para
encontrar f(h) y dibuje una gráfica típica de h como una
función de r. Suponga que el área de sección transver-
sal Ah
del agujero es constante. [Sugerencia: En este caso
dhdt a donde a 0 es una constante.]
altura
0 10 20 30 40 50
días
60 70 80 90 100
400
300
200
100
b) Ahora plante su girasol. Tome la medida de la altura el
primer día que su flor brote y llámelo el día 0. Después
tome una medida al menos una vez a la semana; éste
es el momento para empezar a escribir sus datos.
c) ¿Sus datos de puntos más cercanos parecen crecimiento
exponencial o crecimiento logístico? ¿Por qué?
d) Si sus datos más cercanos semejan crecimiento exponen-
cial, la ecuación para la altura en términos del tiempo será
dHdt kH. Si sus datos más cercanos se asemejan a un
crecimiento logístico, la ecuación de peso en términos de
la altura será dHdt kH (C – H). ¿Cuál es el significado
físico de C? Utilice sus datos para calcular C.
e) Ahora experimentalmente determine k. Para cada uno
de sus valores de t, estime dHdt usando diferencias de
cocientes. Después use el hecho de que k
dHdt
H(C H)
para obtener la mejor estimación de k.
f) Resuelva su ecuación diferencial. Ahora trace la grá-
fica de su solución junto con los datos de los puntos.
¿Llegó a un buen modelo? ¿Cree que k cambiará si
planta un girasol diferente el año que entra?
Problema aportado
35. LeydeTorricelli Siperfo-
ramos un agujero en un cubo
lleno de agua, el líquido sale
con una razón gobernada por la ley de Torricelli, que esta-
blece que la razón de cambio del volumen es proporcional
a la raíz cuadrada de la altura del líquido.
Dr. Michael Prophet, Dr. Doug
Shaw, profesores asociados del
Departamento de Matemáticas
de la Universidad de Iowa del
Norte
Ben Fitzpatrick, Ph. D Clarence
Wallen, Departamento de
Matemáticas de la Universidad
Loyola Marymount
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 104
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 104 6/4/09 12:17:22 PM
6/4/09 12:17:22 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-137-320.jpg)
![La ecuación de la razón dada en la figura 3.2.11 surge
del principio de Bernoulli de hidrodinámica que establece
que la cantidad P 1
2
v2
gh es una constante. Aquí P
es la presión, r es la densidad del fluido, v es la velocidad
y g es la aceleración de la gravedad. Comparando la parte
superior del fluido, a la altura h, con el fluido en el agu-
jero, tenemos que
Pparte superior
1
2 rv2
parte superior rgh Pagujero
1
2 rv2
agujero rg 0.
Si la presión en la parte superior y en el fondo son las dos
igual a la presión atmosférica y el radio del agujero es
mucho menor que el radio del cubo, entonces Pparte superior
Pagujero yvpartesuperior 0,porloque rgh 1
2 rv2
agujero conduceala
ley de Torricelli: v 12gh. Puesto que
dV
dt
Aagujerov,
tenemos la ecuación diferencial
dV
dt
A 12gh.
agujero
En este problema, vemos una comparación de la ecua-
ción diferencial de Torricelli con los datos reales.
a) Si el agua está a una altura h, podemos encontrar el
volumen de agua en el cubo usando la fórmula
V(h)
p
3m
[(mh RB)3
R3
B]
en la que m (RT
RB
)/H. Aquí RT
y RB
denotan el
radio de la parte superior y del fondo del cubo, res-
pectivamente y H denota la altura del cubo. Tomando
esta fórmula como dada, se deriva para encontrar una
relación entre las razones dVdt y dhdt.
b) Use la expresión deducida en el inciso a) para en-
contrar una ecuación diferencial para h(t) (es decir,
tendría una variable independiente t, una variable de-
pendiente h y las constantes en la ecuación).
c) Resuelva esta ecuación diferencial usando separación
de variables. Es relativamente directo determinar al
tiempo como una función de la altura, pero despejar la
altura como una función del tiempo puede ser difícil.
d) Haga una maceta, llénela con agua y vea cómo gotea.
Para un conjunto fijo de alturas, registre el tiempo para
el que el agua alcanza la altura. Compare los resultados
con los de la solución de la ecuación diferencial.
e) Se puede ver que una ecuación diferencial más exacta
es
dV
dt
(0.84)A 1gh.
agujero
Resuelva esta ecuación diferencial y compare los re-
sultados del inciso d).
altura del cubo
H
altura del agua
h(t)
ecuación
de razón: = –Aagujero 2gh
dV
dt
FIGURA 3.2.11 Cubo con gotera.
MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN
REPASO DE MATERIAL
O Sección 1.3.
INTRODUCCIÓN Esta sección es similar a la sección 1.3 en que se van a analizar ciertos modelos
matemáticos, pero en lugar de una sola ecuación diferencial los modelos serán sistemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden. Aunque algunos de los modelos se basan en temas que se analizaron
en las dos secciones anteriores, no se desarrollan métodos generales para resolver estos sistemas. Hay
razones para esto: primero, hasta el momento no se tienen las herramientas matemáticas necesarias
para resolver sistemas. Segundo, algunos de los sistemas que se analizan, sobre todo los sistemas de
ED no lineales de primer orden, simplemente no se pueden resolver de forma analítica. Los capítulos
4, 7 y 8 tratan métodos de solución para sistemas de ED lineales.
3.3
SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Se ha visto que una sola ecuación dife-
rencial puede servir como modelo matemático para una sola población en un medio
ambiente. Pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan, y quizá compiten,
viviendo en el mismo medio ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), entonces un
3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 105
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 105
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 105 6/4/09 12:17:23 PM
6/4/09 12:17:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-138-320.jpg)
![libras de sal x1
(t) y x2
(t) al tiempo t en los tanques A y
B, respectivamente.
b) Encuentre una relación entre las variables x1
(t) y x2
(t)
que se cumpla en el tiempo t. Explique por qué esta
relación tiene sentido desde el punto de vista intui-
tivo. Use esta relación para ayudar a encontrar la can-
tidad de sal en el tanque B en t 30 min.
8. Tres tanques grandes contienen salmuera, como se mues-
tra en la figura 3.3.7. Con la información de la figura
construya un modelo matemático para el número de libras
de sal x1
(t), x2
(t) y x3
(t) al tiempo t en los tanques A, B y
C, respectivamente. Sin resolver el sistema, prediga los
valores límite de x1
(t), x2
(t) y x3
(t) conforme t : .
c) x(0) 2, y(0) 7
d) x(0) 4.5, y(0) 0.5
11. Considere el modelo de competencia definido por
,
dy
dt
y(1.7 0.1y 0.15x)
dx
dt
x(1 0.1x 0.05y)
donde las poblaciones x(t) y x(t) se miden en miles y t en
años. Utilice un programa de solución numérica para ana-
lizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de
los casos siguientes:
a) x(0) 1, y(0) 1
b) x(0) 4, y(0) 10
c) x(0) 9, y(0) 4
d) x(0) 5.5, y(0) 3.5
Redes
12. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales
que describa las corrientes i2
(t) e i3
(t) en la red eléctrica
que se muestra en la figura 3.3.8 es
R1
di2
dt
R2
di3
dt
1
C
i3 0.
L
di2
dt
L
di3
dt
R1i2 E(t)
FIGURA 3.3.7 Tanques de mezclado del problema 8.
mezcla
4 gal/min
mezcla
4 gal/min
mezcla
4 gal/min
agua pura
4 gal/min
B
150 gal
C
100 gal
A
200 gal
Modelos depredador–presa
9. Considere el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra
definido por
,
dy
dt
0.2y 0.025xy
dx
dt
0.1x 0.02xy
donde las poblaciones x(t) (depredadores) y y(t) (presa)
se miden en miles. Suponga que x(0) 6 y y(0) 6.
Utilice un programa de solución numérica para graficar
x(t) y y(t). Use las gráficas para aproximar el tiempo t 0
cuando las dos poblaciones son al principio iguales. Use
las gráficas para aproximar el periodo de cada población.
Modelos de competencia
10. Considere el modelo de competencia definido por
,
dy
dt
y(1 0.1y 0.3x)
dx
dt
x(2 0.4x 0.3y)
donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en
años. Use un programa de solución numérica para anali-
zar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de
los casos siguientes:
a) x(0) 1.5, y(0) 3.5
b) x(0) 1, y(0) 1
R1
E
i1 L i2
i3
C
R2
FIGURA 3.3.8 Red del problema 12.
i1 i2
i3
R1
R2 R3
E L1 L2
FIGURA 3.3.9 Red del problema 13.
13. Determine un sistema de ecuaciones diferenciales de pri-
mer orden que describa las corrientes i2
(t) e i3
(t) en la red
eléctrica que se muestra en la figura 3.3.9.
14. Demuestre que el sistema lineal que se proporciona en
(18) describe las corrientes i1
(t) e i2
(t) en la red que se
muestra en la figura 3.3.4. [Sugerencia: dqdt i3
.]
3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 111
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 111
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 111 6/4/09 12:17:29 PM
6/4/09 12:17:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-146-320.jpg)
![10
Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es 0.2 ohm, el vol-
taje aplicado es E(t) 4 e i(0) 0. Trace la gráfica de i(t).
10. Un problema clásico en el cálculo de variaciones es encontrar
la forma de una curva tal que una cuenta, bajo la influencia
de la gravedad, se deslice del punto A(0, 0) al punto B(x1
, y1
)
en el menor tiempo. Vea la figura 3.R.2. Se puede demostrar
que una ecuación no lineal para la forma y(x) de la trayec-
toria es y[1 (y)2
] k, donde k es una constante. Primero
resuelva para dx en términos de y y dy; y después utilice la
sustitución y k sen2
u para obtener una forma paramétrica
de la solución. La curva resulta ser una cicloide.
concentración
C(t)
concentración
Cs
moléculas de soluto
difundiéndose a través
de la membrana de
la célula
FIGURA 3.R.1 Célula del problema 6.
7. Suponga que conforme se enfría un cuerpo, la temperatura del
medio circundante aumenta debido a que absorbe por com-
pleto el calor que pierde el cuerpo. Sean T(t) y Tm(t) las tem-
peraturas del cuerpo y el medio al tiempo t, respectivamente.
Si la temperatura inicial del cuerpo es T1
y la temperatura ini-
cial del medio de T2
, entonces se puede mostrar en este caso
que la ley de Newton del enfriamiento es dTdt k(T – Tm
),
k 0, donde Tm
T2
B(T1
T), B 0 es una constante.
a) La ED anterior es autónoma. Utilice el concepto de
esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el
valor límite de la temperatura T(t) conforme t : .
¿Cuál es el valor límite de Tm
(t) conforme t : ?
b) Compruebe sus respuestas del inciso a) resolviendo
la ecuación diferencial.
c) Analice una interpretación física de sus respuestas en
el inciso a).
8. De acuerdo con la ley de Stefan de la radiación, la tem-
peratura absoluta T de un cuerpo que se enfría en un medio
a temperatura absoluta constante Tm
está dada como
,
dT
dt
k(T4
T4
m )
donde k es una constante. La ley de Stefan se puede uti-
lizar en un intervalo de temperatura mayor que la ley de
Newton del enfriamiento.
a) Resuelva la ecuación diferencial.
b) Muestre que cuando T Tm
es pequeña comparada
con Tm
entonces la ley de Newton del enfriamiento se
aproxima a la ley de Stefan. [Sugerencia: Considere la
serie binomial del lado derecho de la ED.]
FIGURA 3.R.2 Cuenta deslizando del problema 10.
x
y
B(x1, y1)
A(0, 0)
cuenta
mg
11. Un modelo para las poblaciones de dos especies de ani-
males que interactúan es
dy
dt
k2xy.
dx
dt
k1x( x)
Resuelva para x y y en términos de t.
12. En un principio, dos tanques grandes A y B contienen cada
uno 100 galones de salmuera. El líquido bien mezclado se
bombea entre los recipientes como se muestra en la figura
3.R.3. Utilice la información de la figura para construir un
modelo matemático para el número de libras de sal x1
(t) y
x2
(t) al tiempo t en los recipientes A y B, respectivamente.
Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1
) 0 in-
tersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia
FIGURA 3.R.3 Recipientes de mezclado del problema 12.
2 lb/gal
7 gal/min
mezcla
5 gal/min
A
100 gal
B
100 gal
mezcla
3 gal/min
mezcla
1 gal/min
mezcla
4 gal/min
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 114
08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 114 6/4/09 12:17:32 PM
6/4/09 12:17:32 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-150-320.jpg)
![EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden
Dado que y1
ex
es una solución de y y 0 en el intervalo (, ), use reducción
de orden para determinar una segunda solución y2
.
SOLUCIÓN Si y u(x)y1
(x) u(x)ex
, entonces aplicando la regla del producto se
obtiene
por tanto y y ex
(u 2u ) 0.
y uex
ex
u , y uex
2ex
u ex
u ,
Puestoqueex
0,laúltimaecuaciónrequierequeu2u0.Sisehacelasustitución
w u, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en w 2w 0, que
es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x
, se puede
escribir
d
dx
[e2x
w] 0. Después de integrar, se obtiene w c1
e2x
o u cl
e2x
. Al
integrar de nuevo se obtiene u 1
2 c1e 2x
c2. Así
y u(x)ex
c1
2
e x
c2ex . (2)
Haciendo c2
0 y c1
2, se obtiene la segunda solución deseada, y2
ex
. Puesto que
W(ex
, ex
) 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (, ).
Puesto que se ha demostrado que y1
ex
y y2
ex
son soluciones linealmente
independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en
realidad la solución general de y y 0 en (, ).
CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2
(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar
y P(x)y Q(x)y 0, (3)
donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1
(x)
es una solución conocida de (3) en I y que y1
(x) 0 para toda x en el intervalo. Si se
define y u(x)y1
(x), se tiene que
y uy1 y1u , y uy1 2y1u y1u
y Py Qy u[y1 Py1 Qy1] y1u (2y1 Py1)u 0.
cero
Esto implica que se debe tener
y1u (2y1 Py1)u 0 o y1w (2y1 Py1)w 0, (4)
donde hacemos que w u. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como
separable. Separando las variables e integrando, se obtiene
.
ln wy1
2
P dx c wy1
2
c1e P dx
dw
w
2
y1
y1
dx P dx 0
Despejamos a w de la última ecuación, usamos w u e integrando nuevamente:
.
u c1
e P dx
y1
2
dx c2
4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN O 131
o
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 131
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 131 6/4/09 12:18:07 PM
6/4/09 12:18:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-170-320.jpg)
![32. y y cosh x, y(0) 2, y(0) 12
33. ,
d2
x
dt2
2
x F0 sen t
v x(0) 0, x(0) 0
34. ,
d2
x
dt2
2
x F0 cos t
v x(0) 0, x(0) 0
35. y
2y y 2 24ex
40e5x
, y(0) 1
2,
y y y
y (0) 9
2
y (0) 5
2,
36. y
8y 2x 5 8e2x
, y(0) 5, y(0) 3,
y(0) 4
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en
la frontera dado.
37. y y x2
1, y(0) 5, y(1) 0
38. y 2y 2y 2x 2, y(0) 0, y(p) p
39. y 3y 6x, y(0) 0, y(1) y(1) 0
40. y 3y 6x, y(0) y(0) 0, y(1) 0
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores ini-
ciales dado en el que la función de entrada g(x) es discontinua.
[Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y des-
pués encuentre una solución tal que y y y sean continuas en
x p2 (problema 41) y en x p (problema 42).]
41. y 4y g(x), y(0) 1, y(0) 2, donde
g(x)
senx, 0 x 2
0, x 2
42. y 2y 10y g(x), y(0) 0, y(0) 0, donde
g(x)
20, 0 x
0, x
Problemas para analizar
43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx
,
donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de
la ecuación homogénea asociada es am2
bm c 0.
a) Si k no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre
que se puede encontrar una solución particular de la
forma yp
Aekx
, donde A 1(ak2
bk c).
b) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplici-
dad uno, muestre que se puede encontrar una solución
particular de la forma yp
Axekx
, donde A 1(2ak
b). Explique cómo se sabe que k b2a.
c) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad
dos, demuestre que podemos encontrar una solución
particular de la forma y Ax2
ekx
, donde A 1(2a).
44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección
para encontrar una solución particular de y y sen x
cos 2x. Lleve a cabo su idea.
45. Sin resolver, relacione una curva solución de y y
f(x) que se muestra en la figura con una de las siguientes
funciones:
i) f(x) 1, ii) f(x) ex
,
iii) f(x) ex
, iv) f(x) sen 2x,
v) f(x) ex
sen x, vi) f(x) sen x.
Analice brevemente su razonamiento.
x
y
FIGURA 4.4.1 Curva solución.
a)
FIGURA 4.4.2 Curva solución.
x
y
b)
FIGURA 4.4.3 Curva solución.
x
y
c)
FIGURA 4.4.4 Curva solución.
x
y
d)
Tarea para el laboratorio de computación
En los problemas 46 y 47 determine una solución particular
de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para
realizar las derivadas, simplificaciones y álgebra.
46. y 4y 8y (2x2
3x)e2x
cos 2x
(10x2
x 1)e2x
sen 2x
47. y(4)
2y y 2 cos x 3x sen x
4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 149
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 149
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 149 6/4/09 12:18:18 PM
6/4/09 12:18:18 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-188-320.jpg)
![Como una consecuencia inmediata de (3) y el hecho de que la derivación se puede
hacer término a término, un polinomio
c0 c1x c2x2
cn 1xn 1 (4)
se anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de x.
Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal de n-ésimo orden
L son simplemente aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la
ecuación diferencial homogénea L(y) 0.
El operador diferencial (D a)n
anula cada una de las funciones
eax
, xeax
, x2
eax
, . . . , xn1
eax
. (5)
Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D
a)n
y 0 es (m a)n
0. Puesto que a es una raíz de multiplicidad n, la solución
general es
y c1eax
c2xeax
cnxn 1
eax
. (6)
EJEMPLO 1 Operadores anuladores
Encuentre un operador diferencial que anule la función dada.
a) 1 5x2
8x3
b) e3x
c) 4e2x
10xe2x
SOLUCIÓN a) De (3) se sabe que D4
x3
0, así de (4) se tiene que
D4
(1 5x2
8x3
) 0.
b) De (5), con a 3 y n l, vemos que
(D 3)e 3x
0.
c) De (5) y (6), con a 2 y n 2, se tiene que
(D 2)2
(4e2x
10xe2x
) 0.
Cuando a y b, b 0 son números reales, la fórmula cuadrática revela que [m2
2am (a2
b2
)]n
0 tiene raíces complejas a ib, a ib, ambas de multiplicidad
n. Del análisis al final de la sección 4.3, se tiene el siguiente resultado.
El operador diferencial [D2
2aD (a2
b2
)]n
anula cada una de las fun-
ciones
e x
cos x, xe x
cos x, x2
e x
cos x, . . . , xn 1
e x
cos x,
e x
sen x, xe x
sen x, x2
e x
sen x, . . . , xn 1
e x
sen x.
(7)
EJEMPLO 2 Operador anulador
Encuentre un operador diferencial que anule 5ex
cos 2x 9ex
sen 2x.
SOLUCIÓN La inspección de las funciones ex
cos 2x y ex
sen 2x muestra que a
1 y b 2. Por tanto, de la ecuación (7) se concluye que D2
2D 5 anulará cual-
quier función que sea combinación lineal de estas funciones tales como 5ex
cos 2x
9ex
sen 2x.
4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR O 151
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 151
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 151 6/4/09 12:18:19 PM
6/4/09 12:18:19 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-190-320.jpg)
![152 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cuando a 0 y n 1, un caso especial de (7) es
(D2 2
)
cos x
sen x
0. (8)
Por ejemplo D2
16 anulará cualquier combinación lineal de sen 4x y cos 4x.
Con frecuencia estamos interesados en anular la suma de dos o más funciones.
Como acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal
que L(y1
) 0 y L(y2
) 0, entonces L anulará la combinación lineal c1
y1
(x) c2
y2
(x).
Esta es una consecuencia directa del teorema 4.1.2. Supongamos ahora que L1
y L2
son
operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes tales que L1
anula a y1
(x)
y L2
anula a y2
(x), pero L1
(y2
) 0 y L2
(y1
) 0. Entonces el producto de los operadores
diferenciales L1
L2
anula la suma c1
y1
(x) c2
y2
(x). Esto se puede demostrar fácilmente,
usando la linealidad y el hecho de que L1
L2
L2
L1
:
L1L2(y1 y2) L1L2(y1) L1L2(y2)
L2L1(y1) L1L2(y2)
L2[L1(y1)] L1[L2(y2)] 0.
cero cero
Por ejemplo, sabemos de (3) que D2
anula a 7 x y de (8) que D2
16 anula a sen
4x. Por tanto el producto de operadores D2
(D2
16) anulará la combinación lineal
7 x 6 sen 4x.
NOTA El operador diferencial que anula una función no es único. Vimos en el in-
ciso b) del ejemplo 1 que D 3 anula a e3x
, pero también a los operadores diferen-
ciales de orden superior siempre y cuando D 3 sea uno de los factores del operador.
Por ejemplo (D 3)(D 1), (D 3)2
y D3
(D 3) todos anulan a e3x
. (Compruebe
esto.) Como algo natural, cuando se busca un anulador diferencial para una función y
f(x), se quiere que el operador de mínimo orden posible haga el trabajo.
COEFICIENTES INDETERMINADOS Lo anterior lleva al punto del análisis pre-
vio. Suponga que L(y) g(x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes cons-
tantes y que la entrada g(x) consiste en sumas y productos finitos de las funciones
listadas en (3), (5) y (7), es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la
forma
k (constante), xm
, xm
e x
, xm
e x
cos x, y xm
e x
sen x,
donde m es un entero no negativo y a y b son números reales. Ahora se sabe que
una función tal como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1
de
menor orden, que es producto de los operadores Dn
, (D a)n
y (D2
2aD a2
b2
)n
. Al aplicar L1
a ambos lados de la ecuación L(y) g(x) se obtiene L1
L(y)
L1
(g(x)) 0. Al resolver la ecuación homogénea de orden superior L1
L(y) 0, se
descubre la forma de una solución particular yp
para la ecuación original no homo-
génea L(y) g(x). Entonces sustituimos esta forma supuesta en L(y) g(x) para
encontrar una solución particular explícita. Este procedimiento para determinar yp
,
llamado método de los coeficientes indeterminados, se ilustra a continuación en
varios ejemplos.
Antes de proceder, recuerde que la solución general de una ecuación diferencial
lineal no homogénea L(y) g(x) es y yc
yp
donde yc
es la función complementaria,
es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) 0. La solución
general de cada ecuación L(y) g(x) se define en el intervalo (, ).
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 152
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 152 6/4/09 12:18:20 PM
6/4/09 12:18:20 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-191-320.jpg)
![158 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SUPOSICIONES Correspondiendo con la suposición yp
u1
(x)y1
(x) que se usó en
la sección 2.3 para encontrar una solución particular yp
de dydx P(x)y f(x), para la
ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma
yp u1(x)y1(x) u2(x)y2(x), (3)
donde y1
y y2
forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea
asociada de (1). Usando la regla del producto para derivar dos veces a yp
, se obtiene
yp u1y1 y1u1 y1u1 u1y1 u2 y2 y2u2 y2u2 u2 y2.
yp u1y1 y1u1 u2y2 y2u2
Sustituyendo la ecuación (3) y las derivadas anteriores en (2) y agrupando términos
se obtiene
(4)
Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1
y u2
, la razón impone que son
necesarias dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional
de que las funciones u1
y u2
satisfacen y1u1 y2u2 0. Esta suposición en azul no se
presenta por sorpresa, sino que es resultado de los dos primeros términos de (4) puesto
que si se requiere que y1u1 y2u2 0 , entonces (4) se reduce a y1u1 y2u2 f(x).
Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones
para determinar las derivadas u1
y u2
. Por la regla de Cramer, la solución del sistema
y1u1 y2u2 f(x)
y1u1 y2u2 0
puede expresarse en términos de determinantes:
u1
W1
W
y2 f(x)
W
y u2
W2
W
y1 f(x)
W
, (5)
donde .
W
y1
y1
y2
y2
, W1
0
f(x)
y2
y2
, W2
y1
y1
0
f(x)
(6)
Las funciones u1
y u2
se encuentran integrando los resultados de (5). El determinante
W se reconoce como el Wronskiano de y1
y y2.
Por la independencia lineal de y1
y y2
en
I, se sabe que W(y1
(x), y2
(x)) 0 para toda x en el intervalo.
RESUMEN DEL MÉTODO Normalmente, no es buena idea memorizar fórmulas
en lugar de entender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es de-
masiado largo y complicado para usarse cada vez que se desee resolver una ecuación
diferencial. En este caso resulta más eficaz usar simplemente las fórmulas de (5). Así
que para resolver a2
y a1
y a0
y g(x), primero se encuentra la función comple-
mentaria yc
c1
y1
c2
y2
y luego se calcula el Wronskiano W(y1
(x), y2
(x)). Dividiendo
entre a2
, se escribe la ecuación en la forma estándar y Py Qy f(x) para deter-
minar f(x). Se encuentra u1
y u2
integrando u1
W1
W y u2
W2
W, donde W1
y W2
se
definen como en (6). Una solución particular es yp
u1
y1
u2
y2
. Entonces la solución
general de la ecuación es y yc
yp
.
o
r
e
c
o
r
e
c
d
dx
[y1u1 y2u2] P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2 f(x).
d
dx
[y1u1]
d
dx
[y2u2] P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2
y2u2 u2 y2 P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2
yp P(x)yp Q(x)yp u1[y1 Py1 Qy1] u2[y2 Py2 Qy2] y1u1 u1y1
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 158
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 158 6/4/09 12:18:23 PM
6/4/09 12:18:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-197-320.jpg)
![160 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación (7) representa la solución general de la ecuación diferencial en, diga-
mos, el intervalo (0, p6).
CONSTANTES DE INTEGRACIÓN Cuando se calculan las integrales indefinidas
de u1
y u2
, no es necesario introducir algunas constantes. Esto es porque
C1y1 C2 y2 u1y1 u2 y2.
(c1 a1)y1 (c2 b1)y2 u1y1 u2 y2
y yc yp c1y1 c2 y2 (u1 a1)y1 (u2 b1)y2
EJEMPLO 3 Solución general usando variación de parámetros
Resuelva y y
1
x
.
SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m2
1 0 produce m1
1 y m2
1. Por tanto
yc
c1
ex
c2
ex
. Ahora W(ex
, ex
) 2, y
u2
ex
(1x)
2
, u2
1
2
x
x0
et
t
dt.
u1
e x
(1x)
2
, u1
1
2
x
x0
e t
t
dt,
Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir
y por tanto y yc yp c1ex
c2e x
1
2
ex
x
x0
e t
t
dt
1
2
e x
x
x0
et
t
dt.
yp
1
2
ex
x
x0
e t
t
dt
1
2
e x
x
x0
et
t
dt,
(8)
En el ejemplo 3 se puede integrar en algún intervalo [x0
, x] que no contenga al
origen.
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR El método que se describió para ecuacio-
nes diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones
lineales de n-ésimo orden que se han escrito en forma estándar
y(n)
Pn 1(x)y(n 1)
P1(x)y P0(x)y f (x). (9)
Si yc
c1
y1
c2
y2
cn
yn
es la función complementaria para (9), entonces una
solución particular es
yp u1(x)y1(x) u2(x)y2(x) un(x)yn(x),
donde los u
k
, k 1, 2, . . . , n se determinan por las n ecuaciones
(10)
y1
(n 1)
u1 y2
(n 1)
u2 yn
(n 1)
un f(x).
y1u1 y2u2 ynun 0
y1u1 y2u2 ynun 0
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 160
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 160 6/4/09 12:18:24 PM
6/4/09 12:18:24 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-199-320.jpg)
![162 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial
mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones
iniciales y(0) 1, y(0) 0.
19. 4y y xex/2
20. 2y y y x 1
21. y 2y 8y 2e2x
ex
22. y 4y 4y (12x2
6x)e2x
En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son
soluciones linealmente independientes de la ecuación dife-
rencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución
general de la ecuación homogénea.
23. ;
x2
y xy (x2 1
4)y x3/2
y1
x1/2
cos x, y2
x1/2
sen x
24. x2
y xy y sec(ln x);
y1
cos(ln x), y2
sen(ln x)
En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de
tercer orden usando variación de parámetros.
25. y
y tan x 26. y
4y sec 2x
Problemas para analizar
En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse
los métodos de coeficientes indeterminados y variación de pa-
rámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo
sus ideas.
27. 3y 6y 30y 15 sen x ex
tan 3x
28. y 2y y 4x2
3 x1
ex
29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones
generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué
el intervalo de definición de la solución del problema 24
no es (0, ).
30. Encuentre la solución general de x4
y x3
y 4x2
y 1
dado que y1
x2
es una solución de la ecuación homogé-
nea asociada.
31. Suponga que yp
(x) u1
(x)y1
(x) u2
(x)y2
(x), donde u1
y
u2
están definidas por (5) es una solución particular de
(2) en un intervalo I para el que P, Q y f son continuas.
Demuestre que yp
se puede escribir como
yp(x)
x
x0
G(x, t)f(t) dt, (12)
donde x y x0
están en I,
G(x, t)
y1(t)y2(x) y1(x)y2(t)
W(t)
, (13)
y W(t) W(y1
(t), y2
(t)) es el Wronskiano. La función G(x,
t) en (13) se llama la función de Green para la ecuación
diferencial (2).
32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación
diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada
en (8) en términos de la solución particular (12).
33. Compruebe que (12) es una solución del problema con
valores iniciales
d2
y
dx2
P
dy
dx
Qy f(x), y(x0) 0, y (x0) 0
en el intervalo I. [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz
para derivar bajo un signo de integral.]
34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función
de Green encontrada del problema 32 para encontrar una
solución del problema con valores iniciales
y y e2x
, y(0) 0, y (0) 0
usando (12). Evalúe la integral.
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
REPASO DE MATERIAL
O Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3.
INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de
ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en
general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que
cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es
encontrar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que
consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coefi-
cientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x,
senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de
las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar.
4.7
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 162
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 162 6/4/09 12:18:26 PM
6/4/09 12:18:26 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-201-320.jpg)
![donde 4m2
4m 1 0 o (2m 1)2
0. Puesto que m1
1
2
, la solución general
es y c1
x1/2
c2
x1/2
ln x.
Para ecuaciones de orden superior, si m1
es una raíz de multiplicidad k, entonces
se puede demostrar que
xm1
, xm1
ln x, xm1
(ln x)2
, . . . , xm1
(ln x)k 1
son k soluciones linealmente independientes. En correspondencia, la solución general de
la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de estas k soluciones.
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si las raíces de (1) son el par conju-
gado m1
a ib, m2
a ib, donde a y b 0 son reales, entonces una solución es
y C1x i
C2x i
.
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las
ecuaciones con coeficientes constantes, se desea escribir la solución sólo en términos
de funciones reales. Observemos la identidad
xi
(eln x
)i
ei ln x
,
que, por la fórmula de Euler, es lo mismo que
xib
cos(b ln x) i sen(b ln x).
De forma similar, xib
cos(b ln x) i sen(b ln x).
Si se suman y restan los dos últimos resultados, se obtiene
xib
xib
2 cos(b ln x) y xib
xib
2i sen(b ln x),
respectivamente. Del hecho de que y C1
xaib
C2
xaib
es una solución para cual-
quier valor de las constantes, note, a su vez, para C1
C2
1 y C1
1, C2
1
que
y
o y1 2x cos( ln x)
y1 x (xi
x i
)
y y2 2ix sen( ln x)
y2 x (xi
x i
)
también son soluciones. Como W(xa
cos(b ln x), xa
sen(b ln x)) bx2a1
0, b 0
en el intervalo (0, ), se concluye que
y1 x cos( ln x) y y2 x sen( ln x)
constituyen un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial.
Así la solución general es
y x [c1 cos( ln x) c2 sen( ln x)]. (4)
EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales
Resuelva 4x2
y 17y 0, y(1) 1, y (1) 1
2.
SOLUCIÓN El término y falta en la ecuación de Cauchy-Euler; sin embargo, la sus-
titución y xm
produce
4x2
y 17y xm
(4m(m 1) 17) xm
(4m2
4m 17) 0
donde 4m2
4m 17 0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces son
m1
1
2
2i y m2
1
2
2i. Con las identificaciones a 1
2
y b 2 se ve de (4) que la
solución general de la ecuación diferencial es
y x1/2
[c1 cos(2 ln x) c2 sen(2 lnx)].
Aplicando las condiciones iniciales y(l) 1, y (1) 1
2
la solución anterior y
usando ln 1 0, se obtiene, a su vez, que c1
1 y c2
0. Así la solución del problema
x
y
_1
0
1
1
x
y
25 50 75
10
5
100
a) solución para 0
x 1.
b) solución para 0
x 100.
FIGURA 4.7.1 Curva solución del
PVI del ejemplo 3.
4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O 165
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 165
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 165 6/4/09 12:18:27 PM
6/4/09 12:18:27 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-204-320.jpg)
![170 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda
con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para y, D2
y 6y 0.
Inmediatamente se tiene que
y(t) c3e 16t
c4e16t
. (3)
Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de c1
, c2
, c3
y c4
porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución
que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y
y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene
16c1 3c3 e 16t
16c2 3c4 e16t
0.
Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener
16c1 3c3 0 y 16c2 3c4 0. Estas dos ecuaciones nos permiten escribir
c3
como un múltiplo de c1
y c4
como un múltiplo de c2
:
c3
16
3
c1 y c4
16
3
c2 . (4)
Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser
x(t) c1e 16t
c2e16 t
, y(t)
16
3
c1e 16t
16
3
c2e16t
.
Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que
se cumple la misma relación (4) entre las constantes.
EJEMPLO 1 Solución por eliminación
Resuelva
(D 3)x 2y 0.
Dx (D )
2 y 0
(5)
SOLUCIÓN Operando con D – 3 la primera ecuación y la segunda con D y luego
restándolas se elimina x del sistema. Se deduce que la ecuación diferencial para y es
[(D 3)(D 2) 2D]y 0 o (D2
D 6)y 0.
Puesto que la ecuación característica de esta última ecuación diferencial es m2
m
6 (m 2)(m 3) 0, se obtiene la solución
y(t) c1e2t
c2e 3t
. (6)
Eliminando y de modo similar, se obtiene (D2
D 6)x 0, a partir de lo cual se
encuentra que
x(t) c3e2t
c4e 3t
. (7)
Como se observó en la descripción anterior, una solución de (5) no contiene cuatro cons-
tantes independientes. Sustituyendo (6) y (7) en la primera ecuación de (5) se obtiene
(4c1 2c3)e2t
( c2 3c4)e 3t
0.
De 4c1
2c3
0 y c2
3c4
0 se obtiene c3
2c1
y c4
1
3 c2. Por tanto una
solución del sistema es
x(t) 2c1e2t
1
3
c2e 3t
, y(t) c1e2t
c2e 3t
.
Ya que sólo se podría despejar fácilmente a c3
y c4
en términos de c1
y c2
, la solu-
ción del ejemplo 1 se escribe en la forma alternativa
x(t) c3e2t
c4e 3t
, y(t)
1
2
c3e2t
3c4e 3t
.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 170
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 170 6/4/09 12:18:30 PM
6/4/09 12:18:30 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-209-320.jpg)
![En ocasiones da resultado mantener los ojos abiertos cuando se resuelven siste-
mas. Si en el primer ejemplo se hubiera resuelto para x, entonces se podría encontrar
y, junto con la relación entre las constantes, usando la última ecuación del sistema
(5). Usted debe comprobar que la sustitución de x(t) en y 1
2 (Dx 3x) produce
y 1
2 c3e2t
3c4e 3t
. Observe también en la descripción inicial que la relación que
se proporciona en (4) y la solución y(t) de (1) se podría haber obtenido al usar x(t) en
(2) y la primera ecuación de (1) en la forma
y 1
3 Dx 1
3 26c1e 16t 1
3 26c2e16t
.
EJEMPLO 2 Solución por eliminación
Resuelva
x x y 0.
x 4x y t2
(8)
SOLUCIÓN Primero se escribe el sistema en notación de operador diferencial:
(D 1)x Dy 0.
(D 4)x D2
y t2
(9)
Entonces, eliminando a x, obtenemos
o (D3
4D)y t2
2t.
(
[ D 1)D2
(D 4)D]y (D 1)t2
(D 4)0
Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar m(m2
4) 0 son m1
0, m2
2i y m3
2i, la función complementaria es yc
c1
c2
cos 2t c3
sen 2t. Para determinar
la solución particular yp
, se usan coeficientes indeterminados suponiendo que yp
At3
Bt2
Ct. Por tanto yp 3At2
2Bt C, yp 6At 2B, yp 6A,
yp 4yp 12At2
8Bt 6A 4C t2
2t.
La última igualdad indica que 12A 1, 8B 2 y 6A 4C 0; por tanto A 1
12, B 1
4
,
y C 1
8
. Así
y yc yp c1 c2 cos 2t c3sen 2 t
1
12
t3
1
4
t2
1
8
t. (10)
Eliminando y del sistema (9), se obtiene
[(D 4) D(D 1)]x t2
o (D2
4)x t2
.
Debe ser obvio que xc
c4
cos 2t c5
sen 2t y que se pueden aplicar coeficientes in-
determinados para obtener una solución particular de la forma xp
At2
Bt C. En
este caso usando derivadas y álgebra usuales se obtiene xp
1
4 t2 1
8, y así
x xc xp c4 cos 2t c5 sen 2t
1
4
t2
1
8
. (11)
Ahora se expresan c4
y c5
en términos de c2
y c3
sustituyendo (10) y (11) en cual-
quier ecuación de (8). Utilizando la segunda ecuación, se encuentra, después de com-
binar términos,
(c5 2c4 2c2) sen 2t (2c5 c4 2c3) cos 2t 0,
así c5
2c4
2c2
0 y 2c5
c4
2c3
0. Despejando c4
y c5
en términos de c2
y
c3
se obtiene c4
1
5 (4c2
2c3
) y c5
1
5 (2c2
4c3
). Por último, se encuentra que
una solución de (8) es
x(t)
1
5
(4c2 2c3) cos 2t
1
5
(2c2 4c3) sen 2t
1
4
t2
1
8
,
y(t) c1 c2 cos 2t c3 sen 2t
1
12
t3
1
4
t2
1
8
t.
Q Esto podría
ahorrarle algo de
tiempo
4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 171
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 171
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 171 6/4/09 12:18:31 PM
6/4/09 12:18:31 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-210-320.jpg)
![10. D2
x Dy t
(D 3)x (D 3)y 2
11. (D2
1)x y 0
(D 1)x Dy 0
12. (2D2
D 1)x (2D 1)y 1
(D 1)x Dy 1
13.
14.
d2
x
dt2
dx
dt
x y 0
dx
dt
dy
dt
et
dx
dt
x
dy
dt
5et
2
dx
dt
5x
dy
dt
et
15. (D 1)x (D2
1)y 1
(D2
1)x (D 1)y 2
16. D2
x 2(D2
D)y sen t
x Dy 0
17. Dx y 18. Dx z et
Dy z (D 1)x Dy Dz 0
Dz x x 2y Dz et
19. 20.
dz
dt
x y
dy
dt
x z
dx
dt
6y
dz
dt
x y
dy
dt
y z
dx
dt
x z
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores
iniciales.
21. 22.
dy
dt
4x y
dx
dt
5x y
dy
dt
3x 2y
dx
dt
y 1
x(1) 0, y(1) 1 x(0) 0, y(0) 0
Modelos matemáticos
23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de
una pistola tiene un peso w mg y una velocidad v tangente
a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia
del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto
su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales
que describa su trayectoria de movimiento. Véase la figura
4.8.2. Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley
de Newton del movimiento en las direcciones x y y.]
FIGURA 4.8.2 Trayectoria del proyectil del problema 23.
y
x
mg
v
FIGURA 4.8.3 Fuerzas en el problema 24.
k
v
θ
24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire De-
termine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa
la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resis-
tencia del aire es una fuerza retardadora k (de magnitud k)
que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero opuesta
a su movimiento. Véase la figura 4.8.3. Resuelva el sistema.
[Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, digamos, cv.]
Problemas para analizar
25. Examine y analice el siguiente sistema:
(D 1)x 2(D 1)y 1.
Dx 2Dy t2
Tarea para el laboratorio de computación
26. Examine de nuevo la figura 4.8.1 del ejemplo 3. Luego
utilice una aplicación para determinar raíces para saber
cuando el tanque B contiene más sal que el tanque A.
27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3.
En ese problema se pidió demostrar que el sistema de
ecuaciones diferenciales
dx3
dt
2
75
x2
1
25
x3
dx2
dt
1
50
x1
2
75
x2
dx1
dt
1
50
x1
es un modelo para las cantidades de sal en los tanques
de mezclado conectados A, B y C que se muestran en
la figura 3.3.7. Resuelva el sistema sujeto a x1
(0)
15, x2
(t) 10, x3
(t) 5.
b) Use un SAC para graficar x1
(t), x2
(t) y x3
(t) en el
mismo plano coordenado (como en la figura 4.8.1)
en el intervalo [0, 200].
c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque A,
es 1ógico que en algún momento la sal salga de los
tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para
encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la
cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual
que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal
x1
(t), x2
(t) y x3
(t) simultáneamente menores o iguales
que 0.5 libras?
4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 173
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173 6/4/09 12:18:32 PM
6/4/09 12:18:32 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-212-320.jpg)
![10. Encuentre dos soluciones del problema con valores iniciales
(y )2
(y )2
1, y
2
1
2
, y
2
13
2
.
Use un programa de solución numérica para trazar la grá-
fica de las curvas solución.
En los problemas 11 y 12 demuestre que la sustitución u y
conduce a una ecuación de Bernoulli. Resuelva esta ecuación
(véase la sección 2.5).
11. xy y (y)3
12. xy y x(y)2
En los problemas 13 a 16 proceda como en el ejemplo 3 y
obtenga los primeros seis términos no cero de una solución en
serie de Taylor, centrada en 0, del problema con valores ini-
ciales. Use un programa de solución numérica para comparar
la curva solución con la gráfica del polinomio de Taylor.
13. y x y2
, y(0) 1, y(0) 1
14. y y2
1, y(0) 2, y(0) 3
15. y x2
y2
2y, y(0) 1, y(0) 1
16. y ey
, y(0) 0, y(0) 1
17. En cálculo, la curvatura de una línea que se define por
medio de una función y f(x) es
y
[1 (y )2
]3/2
.
k
Encuentre y f(x) para la cual k 1. [Sugerencia: Por
simplicidad, desprecie las constantes de integración.]
Problemas para analizar
18. En el problema 1 vimos que cos x y ex
eran soluciones de
la ecuación no lineal (y)2
y2
0. Compruebe que sen
x y ex
también son soluciones. Sin intentar resolver la
ecuación diferencial, analice cómo se pueden encontrar
estas soluciones usando su conocimiento acerca de las
ecuaciones lineales. Sin intentar comprobar, analice por
qué las combinaciones lineales y c1
ex
c2
ex
c3
cos
x c4
sen x y y c2
ex
c4
sen x no son, en general, so-
luciones, pero las dos combinaciones lineales especiales
y c1
ex
c2
ex
y y c3
cos x c4
sen x deben satisfa-
cer la ecuación diferencial.
19. Analice cómo se puede aplicar el método de reducción de
orden considerado en esta sección a la ecuación diferen-
cial de tercer orden y 11 (y )2 . Lleve a cabo sus
ideas y resuelva la ecuación.
20. Explique cómo encontrar una familia alternativa de solu-
ciones de dos parámetros para la ecuación diferencial no
lineal y 2x(y)2
en el ejemplo 1. [Sugerencia: Suponga
que c1
2
se usa como constante de integración en lugar de
.]
c1
2
Modelos matemáticos
21. Movimiento de un campo de fuerza Un modelo mate-
mático para la posición x(t) de un cuerpo con movimiento
rectilíneo en el eje x en un campo de fuerza inverso del
cuadrado de x es
d2
x
dt2
k2
x2
.
Suponga que en t 0 el cuerpo comienza a partir del reposo
en la posición x x0
, x0
0. Muestre que la velocidad del
cuerpo en el tiempo t está dada por v2
2k2
(1x 1x0
).
Use la última expresión y un SAC para realizar la integración
para expresar al tiempo t en términos de x.
22. Un modelo matemático para la posición x(t) de un objeto
en movimiento es
.
d2
x
dt2
senx 0
Use un programa de solución numérica para investigar en
forma gráfica las soluciones de la ecuación sujeta a x(0) 0,
x(0) x1
, x1](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-217-320.jpg)
![MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
REPASO DE MATERIAL
O Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.3
O Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.4
INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de
segundo orden va acompañado de condiciones iniciales. Es decir, condiciones suplementarias que se
especifican en la función desconocida y su primera derivada es un solo punto. Pero con frecuencia la
descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homo-
génea sujeta a condiciones en la frontera, es decir, condiciones específicas de la función desconocida
o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus
derivadas en dos (o más) puntos diferentes.
5.2
DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o
vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de
alguna fuerza externa. Como veremos a continuación, esta deflexión y(x) está gober-
nada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple.
Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene
secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en
la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones
transversales es una recta conocida como eje de simetría. Véase la figura 5.2.1a. Si se
aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga,
como se muestra en la figura 5.2.1b, experimenta una distorsión y la curva que conecta
los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva
elástica. La curva de deflexión se aproxima a la forma de una viga. Ahora suponga que
el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x), medida desde este eje,
es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de
flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad
de longitud w(x) mediante la ecuación
d2
M
dx2
w(x). (1)
Además, el momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura k de la curva elástica
M(x) EI , (2)
donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la
viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje
conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez f1exional de la viga.
Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por k y[1 (y)2
]32
. Cuando la
deflexión y(x) es pequeña, la pendiente y 0, y por tanto [1 (y)2
]32
1. Si se
permite que k y, la ecuación (2) se convierte en M EI y. La segunda derivada
de esta última expresión es
d2
M
dx2
EI
d2
dx2
y EI
d4
y
dx4
. (3)
Si se utiliza el resultado en (1) para reemplazar d2
Mdx2
en (3), se ve que la deflexión
y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden
EI
d4
y
dx4
w(x). (4)
eje de simetría
curva de deflexión
a)
b)
FIGURA 5.2.1 Deflexión de una viga
homogénea.
5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 199
08367_05_ch05_p181-218.indd 199
08367_05_ch05_p181-218.indd 199 6/4/09 12:19:19 PM
6/4/09 12:19:19 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-240-320.jpg)
![no se pandea hasta que se aplica la carga crítica P3
9p2
EIL2
y la curva de deflexión
será como se muestra en la figura 5.2.5c. Véase el problema 23 de los ejercicios 5.2.
CUERDA ROTANDO La ecuación diferencial lineal de segundo orden
y y 0 (6)
se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que
la ecuación (6) en las formas d2
xdt2
(km)x 0 y d2
qdt2
(1LC)q 0 son mo-
delos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la respuesta
armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando el modelo
para la deflexión de una columna delgada en (5) se escribe como d2
ydx2
(PEI)y 0
que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en esta sección:
como un modelo que define la curva de deflexión o la forma y(x) que adopta una cuerda
rotatoria. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda para
saltar y la hacen girar de una manera sincronizada. Véase la figura 5.2.6a y 5.2.6b.
Suponga que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante r (masa por
unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x 0 y x L. Suponga que
la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante v. Considere
una porción de la cuerda en el intervalo [x, x x], donde x es pequeña. Si la mag-
nitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de
ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones
distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x x]. Primero,
vemos en la figura 5.2.6c se ve que la fuerza vertical neta es
F T sen 2 T sen 1 . (7)
Cuando los ángulos u1
y u2
(medidos en radianes) son pequeños, se tiene sen u2
tan
u2
y sen u1
tan u1
. Además, puesto que tan u2
y tan u1
, son, a su vez, pendientes de
las rectas que contienen los vectores T2
y T1
también se puede escribir
tan 2 y (x x) y .
tan 1 y (x)
Por tanto, la ecuación (7) se convierte en
F T [y (x x) y (x)]. (8)
Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando
la segunda ley de Newton, F ma. Aquí la masa del resorte en el intervalo es
m r x; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular v en
un círculo de radio r es a rv2
. Con x pequeña se toma r y. Así la fuerza vertical
neta es también aproximadamente igual a
F ( x)y 2 , (9)
donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección
opuesta a la dirección y positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene
a)
b)
c)
ω
x = 0 x = L
y(x)
x
x x + Δx
1
θ 2
θ
T2
T1
FIGURA 5.2.6 Cuerda rotatoria y
fuerzas que actúan sobre ella.
y(x x) y(x)
–––––––––––––––––
x
T[y(x x) y(x)] (rx)yv2 T rv2y 0.
o
cociente de diferencias
(10)
Para x cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la se-
gunda derivada d2
ydx2
. Por último, se llega al modelo
T
d2
y
dx2
2
y 0. (11)
Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en x 0 y x L, esperamos que
la solución y(x) de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera y(0)
0 y y(L) 0.
5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 203
08367_05_ch05_p181-218.indd 203
08367_05_ch05_p181-218.indd 203 6/4/09 12:19:36 PM
6/4/09 12:19:36 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-244-320.jpg)
![206 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
26. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, en-
tonces un modelo para la curva de deflexión o forma y(x)
que toma una cuerda rotatoria está dado por
.
d
dx
T(x)
dy
dx
2
y 0
Suponga que 1 x e y que T(x) x2
.
a) Si y(l) 0, y(e) 0 y rv2
0.25, demuestre que
las velocidades críticas de rotación angular son
n
1
2 2(4n2 2
1) y las deflexiones corres-
pondientes son
yn
(x) c2
x12
sen(np ln x), n 1, 2, 3, . . . .
b) Utilice un programa de graficación para trazar las
curvas de deflexión en el intervalo [1, e] para n 1,
2, 3. Elija c2
1.
Diferentes problemas con valores en la frontera
27. Temperatura en una esfera Considere dos esferas
concéntricas de radio r a y r b, a b. Véase la figura
5.2.9. La temperatura u(r) en la región entre las esferas se
determina del problema con valores en la frontera
,
r
d2
u
dr2
2
du
dr
0, u(a) u0, u(b) u1
donde u0
y u1
son constantes. Resuelva para u(r).
donde u0
y u1
son constantes. Demuestre que
.
u(r)
u0 ln(rb) u1 ln(ra)
ln(ab)
Problemas para analizar
29. Movimiento armónico simple El modelo mx kx 0
para el movimiento armónico simple, que se analizó en
la sección 5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de
esta sección.
Considere un sistema resorte/masa libre no amorti-
guado para el cual la constante de resorte es, digamos, k
10 lb/pie. Determine las masas mn
que se pueden unir al
resorte para que cuando se libere cada masa en la posición
de equilibrio en t 0 con una velocidad v0
diferente de
cero, pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo.
¿Cuántas veces pasa cada masa mn
por la posición de
equilibrio en el intervalo de tiempo 0 t 1?
30. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para
el sistema resorte/masa del problema 29 se reemplaza por
mx 2x kx 0. En otras palabras el sistema es libre
pero está sujeto a amortiguamiento numéricamente igual a
dos veces la velocidad instantánea. Con las mismas condi-
ciones iniciales y la constante de resorte del problema 29,
investigue si es posible encontrar una masa m que pase por
la posición de equilibrio en t 1 segundo.
En los problemas 31 y 32, determine si es posible encontrar
valores y0
y y1
(problema 31) y valores de L 0 (problema 32)
tal que el problema con valores iniciales tenga a) exactamente
una solución no trivial, b) más de una solución, c) ninguna
solución, d) la solución trivial.
31. y 16y 0, y(0) y0
, y(p2) y1
32. y 16y 0, y(0) 1, y(L) 1
33. Considere el problema con valores en la frontera
y y 0, y( ) y( ), y ( ) y ( ).
a) Al tipo de condiciones en la frontera especificadas se
le llaman condiciones frontera periódicas. Dé una
interpretación geométrica de estas condiciones.
b) Determine los eigenvalores y las funciones propias
del problema.
c) Usando un programa de graficación para trazar algu-
nas de las funciones propias. Compruebe su interpre-
tación geométrica de las condiciones frontera dadas
en el inciso a).
34. Muestre que los eigenvalores y las funciones propias del
problema con valores en la frontera
y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0
son n
2
n y yn
sen an
x, respectivamente, donde an
,
n 1, 2, 3, ... son las raíces positivas consecutivas de la
ecuación tan a a.
u = u1
u = u0
FIGURA 5.2.9 Esferas concéntricas del problema 27.
28. Temperatura en un anillo La temperatura u(r) en el
anillo circular mostrado en la figura 5.2.10 se determina a
partir del problema con valores en la frontera
,
r
d2
u
dr2
du
dr
0, u(a) u0, u(b) u1
FIGURA 5.2.10 Anillo circular del problema 28.
a
u = u1
u = u0
b
08367_05_ch05_p181-218.indd 206
08367_05_ch05_p181-218.indd 206 6/4/09 12:19:47 PM
6/4/09 12:19:47 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-247-320.jpg)
![Tarea para el laboratorio de computación
35. Use un SAC para trazar las gráficas que lo convenzan
de que la ecuación tan a a del problema 34 tiene
un número infinito de raíces. Explique por qué se pueden
despreciar las raíces negativas de la ecuación. Explique
por qué l 0 no es un eigenvalor aun cuando a 0 es
una solución obvia de la ecuación tan a a.
36. Usando un programa para determinar raíces de un SAC
aproxime los primeros cuatro valores propios l1
, l2
, l3
y
l4
para el PVF del problema 34.
En los problemas 37 y 38, determine los eigenvalores y las
funciones propias del problema con valores en la frontera.
Use un SAC para aproximar los primeros cuatro valores pro-
pios l1
, l2
, l3
y l4
.
37. y y 0, y(0) 0, y(1) 1
2 y (1) 0
38. y(4)
ly 0, y(0) 0, y(0) 0, y(1) 0, y(1) 0
[Sugerencia: considere sólo l a4
, a 0.]
MODELOS NO LINEALES
REPASO DE MATERIAL
O Sección 4.9
INTRODUCCIÓN En esta sección se examinan algunos modelos matemáticos no lineales de
orden superior. Algunos de estos modelos se pueden resolver usando el método de sustitución (lo
que conduce a la reducción de orden de la ED) presentado en la página 174. En algunos casos donde
no se puede resolver el modelo, se muestra cómo se reemplaza la ED no lineal por una ED lineal
mediante un proceso conocido como linealización.
5.3
RESORTES NO LINEALES El modelo matemático en (1) de la sección 5.1 tiene la
forma
m
d2
x
dt2
F(x) 0 , (1)
donde F(x) kx. Debido a que x denota el desplazamiento de la masa desde su posición
de equilibrio, F(x) kx es la ley de Hooke, es decir, la fuerza ejercida por el resorte
que tiende a restaurar la masa a la posición de equilibrio. Un resorte que actúa bajo una
fuerza restauradora lineal F(x) kx se llama resorte lineal. Pero los resortes pocas
veces son lineales. Dependiendo de cómo esté construido y del material utilizado, un
resorte puede variar desde “flexible” o suave, hasta “rígido” o duro, por lo que su fuerza
restauradora puede variar respecto a la ley lineal. En el caso de movimiento libre, si se
supone que un resorte en buen estado tiene algunas características no lineales, entonces
podría ser razonable suponer que la fuerza restauradora de un resorte, es decir, F(x) en
la ecuación (1), es proporcional al cubo del desplazamiento x de la masa más allá de su
posición de equilibrio o que F(x) es una combinación lineal de potencias del desplaza-
miento como el que se determina mediante la función no lineal F(x) kx k1
x3
. Un
resorte cuyo modelo matemático incorpora una fuerza restauradora no lineal, como
m
d2
x
dt2
kx3
0 o m
d2
x
dt2
kx k1x3
0, (2)
se llama resorte no lineal. Además, se examinan modelos matemáticos en los que el
amortiguamiento impartido al movimiento era proporcional a la velocidad instantánea
dxdt y la fuerza restauradora de un resorte está dada por la función lineal F(x) kx.
Pero estas fueron suposiciones muy simples; en situaciones más reales, el amortigua-
miento podría ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea dxdt. La
ecuación diferencial no lineal
m
d2
x
dt2
dx
dt
dx
dt
kx 0 (3)
5.3 MODELOS NO LINEALES O 207
08367_05_ch05_p181-218.indd 207
08367_05_ch05_p181-218.indd 207 6/4/09 12:19:47 PM
6/4/09 12:19:47 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-248-320.jpg)
![214 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Péndulo no lineal
13. Considere el modelo del péndulo no lineal amortiguado
libre dado por
.
d2
dt2
2
d
dt
2
sen 0
Use un programa de solución numérica para inves-
tigar si el movimiento en los dos casos l2
v2
0 y
l2
v2
0 corresponde, respectivamente, a los casos
sobreamortiguado y subamortiguado analizados en la
sección 5.1 para sistemas resorte/masa. Elija las condi-
ciones iniciales apropiadas y los valores de l y v.
Movimiento de un cohete
14. a) Use la sustitución v dydt para despejar de la ecua-
ción (13) a v en términos de y. Suponiendo que la
velocidad del cohete cuando se agota el combustible
es v v0
y y R en ese instante, demuestre que el
valor aproximado de la constante c de integración es
c gR 1
2 v0
2 .
b) Use la solución para v del inciso a) con el fin de de-
mostrar que la velocidad de escape de un cohete está
dada por v0 12gR . [Sugerencia: Tome y S y
suponga que v 0 para todo tiempo t.]
c) El resultado del inciso b) se cumple para cualquier cuerpo
del sistema solar. Use los valores g 32 pies/s2
y R
4000 millas para demostrar que la velocidad de escape de
la Tierra es (aproximadamente) v0
25 000 mi/h.
d) Determine la velocidad de escape en la Luna si la acelera-
ción debida a la gravedad es 0.165g y R 1080 millas.
Masa variable
15. a) En el ejemplo 4, ¿qué longitud de la cadena se es-
peraría, por intuición, que pudiera levantar la fuerza
constante de 5 libras?
b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la cadena?
c) ¿Por qué el intervalo de tiempo que corresponde a
x(t)](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-256-320.jpg)
![0 ilustrado en la figura 5.3.7, no es el inter-
valo I de definición de la solución (21)? Determine
el intervalo I. ¿Qué longitud de la cadena se levanta
en realidad? Explique cualquier diferencia entre esta
respuesta y la predicción del inciso a).
d) ¿Por qué esperaría que x(t) fuese una solución perió-
dica?
16. Una cadena uniforme de longitud L, medida en pies, se man-
tiene verticalmente por lo que el extremo inferior apenas
toca el piso. La cadena pesa 2 lbpie. El extremo superior
que está sujeto se libera desde el reposo en t 0 y la cadena
cae recta. Si x(t) denota la longitud de la cadena en el piso al
tiempo t, se desprecia la resistencia del aire y se determina
que la dirección positiva es hacia abajo, entonces
.
(L x)
d2
x
dt2
dx
dt
2
Lg
a) Resuelva v en términos de x. Determine x en térmi-
nos de t. Exprese v en términos de t.
b) Determine cuánto tarda en caer toda la cadena al suelo.
c) ¿Qué velocidad predice el modelo del inciso a) para el
extremo superior de la cadena cuando toca el suelo?
Diferentes modelos matemáticos
17. Curva de persecución En un ejercicio naval, un barco S1
es perseguido por un submarino S2
como se muestra en la
figura 5.3.8. El barco S1
parte del punto (0, 0) en t 0 y se
mueve a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una
rapidez constante v1
. El submarino S2
mantiene al barco S1
en contacto visual, indicado por la línea punteada L en la
figura mientras que viaja con una rapidez constante v2
a lo
largo de la curva C. Suponga que el barco S2
comienza en el
punto (a, 0), a 0, en t 0 y que L es tangente a C.
a) Determine un modelo matemático que describe la
curva C.
b) Encuentre una solución explícita de la ecuación dife-
rencial. Por conveniencia defina r v1
v2
.
c) Determine si las trayectorias de S1
y S2
alguna vez se in-
terceptarían al considerar los casos r 1, r 1 y r 1.
[Sugerencia:
dt
dx
dt
ds
ds
dx
, donde s es la longitud de
arco medida a lo largo de C.]
S2
x
y
S1
L
C
FIGURA 5.3.8 Curva de persecución del problema 17.
18. Curva de persecución En otro ejercicio naval, un des-
tructor S1
persigue a un submarino S2
. Suponga que S1
en
(9, 0) en el eje x detecta a S2
en (0, 0) y que al mismo tiempo
S2
detecta a S1
. El capitán del destructor S1
supone que el
submarino emprenderá una acción evasiva inmediata y es-
pecula que su nuevo curso probable es la recta indicada en
la figura 5.3.9. Cuando S1
está en (3, 0), cambia de su curso
en línea recta hacia el origen a una curva de persecución
C. Suponga que la velocidad del destructor es, en todo mo-
mento, una constante de 30 millash y que la rapidez del
submarino es constante de 15 millash.
a) Explique por qué el capitán espera hasta que S1
llegue
a (3, 0) antes de ordenar un cambio de curso a C.
b) Usando coordenadas polares, encuentre una ecuación
r f(u) para la curva C.
c) Sea que T denote el tiempo, medido desde la detec-
ción inicial, en que el destructor intercepta al subma-
rino. Determine un límite superior para T.
08367_05_ch05_p181-218.indd 214
08367_05_ch05_p181-218.indd 214 6/4/09 12:19:51 PM
6/4/09 12:19:51 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-257-320.jpg)
![Problemas para analizar
19. Analice por qué el término de amortiguamiento de la
ecuación (3) se escribe como
dx
dt
dx
dt
en lugar de .
dx
dt
2
20. a) Experimente con una calculadora para encontrar un in-
tervalo 0 u u1
, donde u se mide en radianes, para
el cual se considera que sen u u es una estimación
bastante buena. Luego, use un programa de grafica-
ción para trazar las gráficas de y x y y sen x en el
mismo eje de coordenadas para 0 x p2. ¿Las grá-
ficas confirman sus observaciones con la calculadora?
b) Utilice un programa de solución numérica para trazar
las curvas solución de los problemas de valor inicial.
y
d2
dt2
0, (0) 0, (0) 0
d2
dt2
sen 0, (0) 0, (0) 0
para varios valores de u0
en el intervalo 0 u u1
de-
terminado en el inciso a). Luego, trace la gráfica cur-
vas de solución de los problemas con valores iniciales
para varios valores de u0
para los cuales u0
u1
.
21. a) Considere el péndulo no lineal cuyas oscilaciones se
definen por la ecuación (6). Use un programa de solu-
ción numérica como ayuda para determinar si un pén-
dulo de longitud l oscilará más rápido en la Tierra o
en la Luna. Use las mismas condiciones iniciales, pero
elíjalas de tal modo que el péndulo oscile en vaivén.
b) ¿Para qué lugar del inciso a) el péndulo tiene mayor
amplitud?
c) ¿Las conclusiones de los incisos a) y b) son las mis-
mas cuando se emplea el modelo lineal (7)?
Tarea para el laboratorio de computación
22. Considere el problema con valores iniciales
d2
dt2
sen 0, (0)
12
, (0)
1
3
para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resol-
ver la ecuación diferencial, no es posible encontrar una
solución explícita de este problema. Pero suponga que se
desea determinar la primer tl
0 para la cual el péndulo
de la figura 5.3.3, comenzando desde su posición inicial
a la derecha, alcanza la posición OP, es decir, la primera
raíz positiva de u(t) 0. En este problema y el siguiente,
se examinan varias formas de cómo proceder.
a) Aproxime t1
resolviendo el problema lineal
d2
udt2
u 0, u(0) p12, (0) 1
3.
b) Use el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección
4.9 para encontrar los primeros cuatro términos no
nulos de una solución en serie de Taylor u(t) centrada
en 0 para el problema con valores iniciales no lineal.
Dé los valores exactos de los coeficientes.
c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor
del inciso b) para aproximar t1
.
d) Emplee los tres primeros términos de la serie de
Taylor del inciso b) para aproximar t1
.
e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora grá-
fica) para encontrar raíces y los primeros cuatro términos
de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1
.
f) En esta parte del problema se proporcionan las ins-
trucciones de Mathematica que permiten aproximar
la raíz t1
. El procedimiento se modifica con facilidad
por lo que se puede aproximar cualquier raíz de u(t)
0. (Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento
mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que
tiene.) Reproduzca con precisión y luego, a su vez, eje-
cute cada línea de la secuencia dada de instrucciones.
sol NDSolve[{y[t] Sin[y[t]] 0,
y[0] Pi12, y[0] 13},
y, {t, 0, 5}]Flatten
Solución y[t].sol
Clear[y]
y[t_]: Evaluate[Solución]
y[t]
gr1 Plot[y[t], {t, 0, 5}]
root FindRoot[y[t] 0, {t, 1}]
g) Modifique de manera apropiada la sintaxis del inciso f) y
determine las siguientes dos raíces positivas de u(t) 0.
23. Considere un péndulo que se libera desde el reposo con un
desplazamiento inicial de u0
radianes. Resolviendo el modelo
lineal (7) sujeto a las condiciones iniciales u(0) u0
, u(0)
0seobtiene (t) 0 cos 1g/lt.Elperiododeoscilaciones
que se predice con este modelo, se determina mediante la co-
nocida fórmula T 2 1g/l 2 1l/g. Lo interesante
de esta fórmula para T es que no depende de la magnitud del
desplazamiento inicial u0
. En otras palabras, el modelo lineal
predice que el tiempo que tardaría el péndulo en oscilar desde
un desplazamiento inicial de, digamos, u0
p2 ( 90°) a
p2 y de regreso otra vez, sería exactamente el mismo que
tardaría en completar el ciclo de, digamos, u0
p360 (
0.5°) a p360. Esto es ilógico desde el punto de vista in-
tuitivo ya que el periodo real debe depender de u0
.
S2
L
x
y
S1
C
θ
(3, 0) (9, 0)
FIGURA 5.3.9 Curva de persecución del problema 18.
5.3 MODELOS NO LINEALES O 215
08367_05_ch05_p181-218.indd 215
08367_05_ch05_p181-218.indd 215 6/4/09 12:19:52 PM
6/4/09 12:19:52 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-258-320.jpg)
![218 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
21. Un circuito en serie contiene una inductancia de L 1
h, una capacitancia de C 104
f y una fuerza electro-
motriz de E(t) 100 sen 50t V. Al inicio, la carga q y la
corriente i son cero.
a) Determine la carga q(t).
b) Determine la corriente i(t).
c) Calcule los tiempos para los que la carga en el capa-
citor es cero.
22. a) Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie
LRCsatisfacelaecuación L
d2
i
dt2
R
di
dt
1
C
i E (t),
donde E(t) denota la derivada de E(t).
b) Se pueden especificar dos condiciones iniciales i(0) e
i(0) para la ED del inciso a). Si i(0) i0
y q(0) q0
,
¿cuál es i(0)?
23. Considere el problema con valores en la frontera
.
y y 0, y(0) y(2 ), y (0) y (2 )
Demuestre que excepto para el caso l 0, hay dos fun-
ciones propias independientes que corresponden a cada
valor propio.
24. Una cuenta está restringida a deslizarse a lo largo de una
varilla sin fricción de longitud L. La varilla gira en un
plano vertical con velocidad angular constante v respecto
a un pivote P fijo en el punto medio de la varilla, pero el
diseño del pivote permite que la cuenta se mueva a lo
largo de toda la varilla. Sea r(t) la posición de la cuenta
respecto a este sistema de coordenadas giratorio según se
ilustra en la figura 5.R.2. Con el fin de aplicar la segunda
ley de Newton del movimiento a este marco de referencia
rotatorio, es necesario usar el hecho de que la fuerza neta
que actúa en la cuenta es la suma de las fuerzas reales (en
este caso, la fuerza debida a la gravedad) y las fuerzas
inerciales (coriolis, transversal y centrífuga). Las mate-
máticas del caso son un poco complicadas, así que sólo
se da la ecuación diferencial resultante para r:
.
m
d2
r
dt2
m 2
r mg sen t
a) Resuelva la ED anterior sujeta a las condiciones ini-
ciales r(0) r0
, r(0) v0
.
b) Determine las condiciones iniciales para las cuales la
cuenta exhibe movimiento armónico simple. ¿Cuál es
la longitud mínima L de la varilla para la cual puede ésta
acomodar el movimiento armónico simple de la cuenta?
c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en
el inciso b), la cuenta en algún momento debe salir de la
varilla. Explique usando la solución r(t) del inciso a).
d) Suponga que v 1 rads. Use una aplicación grafi-
cadora para trazar la solución r(t) para las condicio-
nes iniciales r(0) 0, r(0) v0
, donde v0
es 0, 10,
15, 16, 16.1 y 17.
e) Suponga que la longitud de la varilla es L 40 pies.
Para cada par de condiciones iniciales del inciso d),
use una aplicación para encontrar raíces para calcular
el tiempo total que la cuenta permanece en la varilla.
cuenta
P
r
(
t
)
t
ω
FIGURA 5.R.2 Varilla rotando del problema 24.
apoyo
rígido
superficie sin fricción:
x = 0
x(t) 0 x(t) 0
m
m
a) equilibrio
b) movimiento
FIGURA 5.R.3 Sistema deslizante resorte/masa del
problema 25.
25. Suponga que una masa m que permanece sobre una super-
ficie plana, seca y sin fricción está unida al extremo libre de
un resorte cuya constante es k. En la figura 5.R.3a la masa
se muestra en la posición de equilibrio x 0, es decir, el
resorte no está ni estirado ni comprimido. Como se ilustra
en la figura 5.R.3b, el desplazamiento x(t) de la masa a la
derecha de la posición de equilibrio es positivo y negativo a
la izquierda. Obtenga una ecuación diferencial para el mo-
vimiento (deslizante) horizontal libre de la masa. Describa
la diferencia entre la obtención de esta ED y el análisis que
da lugar a la ecuación (1) de la sección 5.1.
26. ¿Cuál es la ecuación diferencial de movimiento en el
problema 25 si la fricción cinética (pero ninguna otra
fuerza de amortiguamiento) actúa en la masa deslizante?
[Sugerencia: Suponga que la magnitud de la fuerza de
fricción cinética es fk
mmg, donde mg es el peso de la
masa y la constante m 0 es el coeficiente de fricción
cinética. Luego considere dos casos, x 0 y x 0.
Interprete estos casos desde un punto de vista físico.]
08367_05_ch05_p181-218.indd 218
08367_05_ch05_p181-218.indd 218 6/4/09 12:19:54 PM
6/4/09 12:19:54 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-261-320.jpg)
![222 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 1 Suma de dos series de potencias
Escriba n 2 n(n 1)cnxn 2
n 0 cnxn 1 como una sola serie de potencias cuyo
término general implica a xk
.
SOLUCIÓN Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de las sumas
comiencen con el mismo número y las potencias de x en cada caso estén “en fase”; es
decir, si una serie comienza con un múltiplo de, por ejemplo, x a la primera potencia,
entonces se quiere que la otra serie comience con la misma potencia. Observe que en
el problema la primera serie empieza con x0
, mientras que la segunda comienza con x1
.
Si se escribe el primer término de la primera serie fuera de la notación de suma,
serie comienza
con x
para n 3
serie comienza
con x
para n 0
n(n 1)cnxn2 cnxn1 2 1c2x0 n(n 1)cnxn2 cnxn1,
n2
n0
n3
n0
vemos que ambas series del lado derecho empiezan con la misma potencia de x, en
particular x1
. Ahora, para obtener el mismo índice de la suma, se toman como guía
los exponentes de x; se establece k n 2 en la primera serie y al mismo tiempo
k n 1 en la segunda serie. El lado derecho se convierte en
igual
igual
2c2 (k 2)(k 1)ck2xk ck1xk.
k1
k1
(3)
Recuerde que el índice de la suma es una variable “muda”; el hecho de que k n
1 en un caso y k n 1 en el otro no debe causar confusión si se considera que lo
importante es el valor del índice de suma. En ambos casos k toma los mismos valores
sucesivos k 1, 2, 3, ... cuando n toma los valores n 2, 3, 4, ... para k n 1 y n
0, 1, 2, ... para k n 1. Ahora es posible sumar las series de (3) término a término:
n 2
n(n 1)cnxn 2
n 0
cnxn 1
2c2
k 1
[(k 2)(k 1)ck 2 ck 1]xk
. (4)
Si no está convencido del resultado en (4), entonces escriba algunos términos de
ambos lados de la igualdad.
Puesto que las series de potencias para ex
y sen x convergen para x , la
serie de productos converge en el mismo intervalo. Los problemas relaciona-
dos con multiplicación o división de series de potencias se resuelven mejor
usando un SAC.
CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA Para el resto de esta sección, así
como este capítulo, es importante que se acostumbre a simplificar la suma de dos
o más series de potencias, cada una expresada en notación de suma (sigma), en una
expresión con una sola . Como se muestra en el ejemplo siguiente, la combina-
ción de dos o más sumas en una sola suele requerir que se vuelva a indizar la serie,
es decir, que se realice un cambio en el índice de la suma.
08367_06_ch06_p219-254.indd 222
08367_06_ch06_p219-254.indd 222 6/4/09 12:20:23 PM
6/4/09 12:20:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-265-320.jpg)
![Sustituyendo y n 0 cnxn
y la segunda derivada y n 2 n(n 1)cnxn 2
(véase
(1)) en la ecuación diferencial, se obtiene
y xy
n 2
cnn(n 1)xn 2
x
n 0
cnxn
n 2
cnn(n 1)xn 2
n 0
cnxn 1
. (7)
En el ejemplo 1 ya se sumaron las dos últimas series en el miembro derecho de la
igualdad en (7) corriendo el índice de la suma. Del resultado dado en (4),
y xy 2c2
k 1
[(k 1)(k 2)ck 2 ck 1]xk
0. (8)
En este punto se invoca la propiedad de identidad. Puesto que (8) es idénticamente cero,
es necesario que el coeficiente de cada potencia de x se iguale a cero, es decir, 2c2
0
(es el coeficiente de x0
) y
(k 1)(k 2)ck 2 ck 1 0, k 1, 2, 3, . . . (9)
Ahora 2c2
0 obviamente dice que c2
0. Pero la expresión en (9), llamada relación
de recurrencia, determina la ck
de tal manera que se puede elegir que cierto subcon-
junto del conjunto de coeficientes sea diferente de cero. Puesto que (k 1)(k 2)
0 para los valores de k, se puede resolver (9) para ck 2
en términos de ck 1
:
ck 2
ck 1
(k 1)(k 2)
, k 1, 2, 3, . . . (10)
Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución supuesta, una vez que k
toma los enteros sucesivos indicados en (10):
; c8 es cero
k 9, c11
c8
10 11
0
k 8, c10
c7
9 10
1
3 4 6 7 9 10
c1
k 7, c9
c6
8 9
1
2 3 5 6 8 9
c0
; c5 es cero
k 6, c8
c5
7 8
0
k 5, c7
c4
6 7
1
3 4 6 7
c1
k 4, c6
c3
5 6
1
2 3 5 6
c0
; c2 es cero
k 3, c5
c2
4 5
0
k 2, c4
c1
3 4
k 1, c3
c0
2 3
etcétera. Ahora sustituyendo los coeficientes obtenidos en la suposición original
y c0 c1x c2x2
c3x3
c4x4
c5x5
c6x6
c7x7
c8x8
c9x9
c10x10
c11x11
,
6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 225
08367_06_ch06_p219-254.indd 225
08367_06_ch06_p219-254.indd 225 6/4/09 12:20:24 PM
6/4/09 12:20:24 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-268-320.jpg)
![226 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
c1
3 4 6 7
x7
0
c0
2 3 5 6 8 9
x9
c1
3 4 6 7 9 10
x10
0 .
y c0 c1x 0
c0
2 3
x3
c1
3 4
x4
0
c0
2 3 5 6
x6
obtenemos
Después de agrupar los términos que contienen c0
y los que contienen c1
, se obtiene
y c0
yl
(x) c1
y2
(x), donde
y2(x) x
1
3 4
x4
1
3 4 6 7
x7
1
3 4 6 7 9 10
x10
x
k 1
( 1)k
3 4 (3k)(3k 1)
x3k 1
.
y1(x) 1
1
2 3
x3
1
2 3 5 6
x6
1
2 3 5 6 8 9
x9
1
k 1
( 1)k
2 3 (3k 1)(3k)
x3k
Debido a que el uso recursivo de (10) deja a c0
y a c1
completamente indeterminadas,
se pueden elegir en forma arbitraria. Como ya se mencionó antes de este ejemplo, la com-
binación lineal y c0
yl
(x) c1
y2
(x) representa en realidad la solución general de la ecua-
ción diferencial. Aunque se sabe del teorema 6.1.1 que cada solución en serie converge
para x , este hecho también se puede comprobar con el criterio de la razón.
La ecuación diferencial del ejemplo 3 se llama ecuación de Airy y se encuentra
en el estudio de la difracción de la luz, la difracción de ondas de radio alrededor de
la superficie de la Tierra, la aerodinámica y la deflexión de una columna vertical del-
gada uniforme que se curva bajo su propio peso. Otras formas comunes de la ecuación
de Airy son y xy 0 y y a2
xy 0. Véase el problema 41 de los ejercicios 6.3
para una aplicación de la última ecuación.
EJEMPLO 4 Solución con series de potencias
Resuelva (x2
1)y xy y 0.
SOLUCIÓN Como se vio en la página 223, la ecuación diferencial dada tiene puntos
singulares en x
i y, por tanto, una solución en serie de potencias centrada en 0 que
converge al menos para x 1, donde 1 es la distancia en el plano complejo desde 0 a i
o i. La suposición y n 0 cnxn y sus primeras dos derivadas (véase (1)) conducen a
(x2 1) n(n 1)cnxn2 x ncnxn1 cnxn
n2
n1
n0
n(n 1)cnxn n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn
n2
n2
n1
n0
2c2 c0 6c3x [k(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2 kck ck]xk
k2
2c2 c0 6c3x [(k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2]xk 0.
k2
n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn
n4
n2
n2
2c2x0 c0x0 6c3x c1x c1x n(n 1)cnxn
n2
kn
kn2 kn kn
08367_06_ch06_p219-254.indd 226
08367_06_ch06_p219-254.indd 226 6/4/09 12:20:24 PM
6/4/09 12:20:24 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-269-320.jpg)
![234 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 2 Dos soluciones en series
Debido a que x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial
3xy y y 0, (5)
tratamos de encontrar una solución de la forma y n 0 cn xn r
. Ahora
y
n 0
(n r)cn xn r 1
y y
n 0
(n r)(n r 1)cn xn r 2
,
por lo que
xr
r(3r 2)c0 x 1
k 0
[(k r 1)(3k 3r 1)ck 1 ck]xk
0,
1444442444443 123
k n 1 k n
xr
r(3r 2)c0 x 1
n 1
(n r)(3n 3r 2)cn xn 1
n 0
cn xn
n 0
(n r)(3n 3r 2)cnxn r 1
n 0
cnxn r
3xy y y 3
n 0
(n r)(n r 1)cn xn r 1
n 0
(n r)cn xn r 1
n 0
cn xn r
lo que implica que r(3r 2)c0
0
y (k r 1)(3k 3r 1)ck 1 ck 0, k 0, 1, 2, . . .
Ya que no se ha ganado nada al hacer c0
0, entonces debemos tener
r(3r 2) 0 (6)
y ck 1
ck
(k r 1)(3k 3r 1)
, k 0, 1, 2, . . . (7)
Cuando se sustituye en (7), los dos valores de r que satisfacen la ecuación cuadrática
(6), r1
2
3 y r2
0, se obtienen dos relaciones de recurrencia diferentes:
(8)
r2 0, ck 1
ck
(k 1)(3k 1)
, k 0, 1, 2, . . . .
r1
2
3, ck 1
ck
(3k 5)(k 1)
, k 0, 1, 2, . . .
(9)
De (8) encontramos De (9) encontramos
cn
c0
n!5 8 11 (3n 2)
.
c4
c3
14 4
c0
4!5 8 11 14
c3
c2
11 3
c0
3!5 8 11
c2
c1
8 2
c0
2!5 8
c1
c0
5 1
cn
c0
n!1 4 7 (3n 2)
.
c4
c3
4 10
c0
4!1 4 7 10
c3
c2
3 7
c0
3!1 4 7
c2
c1
2 4
c0
2!1 4
c1
c0
1 1
08367_06_ch06_p219-254.indd 234
08367_06_ch06_p219-254.indd 234 6/4/09 12:20:28 PM
6/4/09 12:20:28 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-278-320.jpg)
![Aquí se encuentra algo que no ocurrió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un
punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes,
pero cada conjunto contiene el mismo múltiplo c0
. Si se omite este término, las solu-
ciones en serie son
(10)
y2(x) x0
1
n 1
1
n!1 4 7 (3n 2)
xn
.
y1(x) x2/3
1
n 1
1
n!5 8 11 (3n 2)
xn
(11)
Con el criterio de la razón se puede demostrar que (10) y (11) convergen para todos los
valores de x; es decir, x . También debe ser evidente de la forma de estas solu-
ciones que ninguna serie es un múltiplo constante de la otra y, por tanto y1
(x) y y2
(x)
son linealmente independientes en todo el eje x. Así, por el principio de superposición,
y C1
y1
(x) C2
y2
(x) es otra solución de (5). En cualquier intervalo que no contenga
al origen, tal como (0,), esta combinación lineal representa la solución general de la
ecuación diferencial.
ECUACIÓN INDICIAL La ecuación (6) se llama ecuación indicial del problema y
los valores r1
2
3 y r2
0 se llaman raíces indiciales, o exponentes, de la singularidad
x 0. En general, después de sustituir y n 0 cn xn r
en la ecuación diferencial dada
y simplificando, la ecuación indicial es una ecuación cuadrática en r que resulta de igua-
lar a cero el coeficiente total de la potencia mínima de x. Se encuentran los dos valores
de r y se sustituyen en una relación de recurrencia como (7). El teorema 6.2.1 garantiza
que al menos se puede encontrar una solución de la supuesta forma en serie.
Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir y n 0 cn xn r en la ecua-
ción diferencial. Si x 0 es un punto singular regular de (1), entonces por la definición
6.2.1 ambas funciones p(x) xP(x) y q(x) x2
Q(x), donde P y Q se definen por la forma
estándar (2), son analíticas en x 0; es decir, los desarrollos en serie de potencias
p(x) xP(x) a0 a1x a2x2 y q(x) x2
Q(x) b0 b1x b2x2 (12)
son válidas en intervalos que tienen un radio de convergencia positivo. Multiplicando
(2) por x2
, se obtiene la forma dada en (3):
x2
y x[xP(x)]y [x2
Q(x)]y 0. (13)
Después de sustituir y n 0 cn xn r
y las dos series en las ecuaciones (12) y (13) y
realizando la multiplicación de la serie, se encuentra que la ecuación indicial general
es
r(r 1) a0r b0 0, (14)
donde a0
y b0
son como se define en (12). Véanse los problemas 13 y 14 de los ejerci-
cios 6.2.
EJEMPLO 3 Dos soluciones en series
Resuelva 2xy (1 x)y y 0.
SOLUCIÓN Sustituyendo y n 0 cn xn r se obtiene
6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 235
08367_06_ch06_p219-254.indd 235
08367_06_ch06_p219-254.indd 235 6/4/09 12:20:29 PM
6/4/09 12:20:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-279-320.jpg)
![0; como se ha dado, la serie
no está definida para valores negativos de x debido a la presencia de x12
. Para r2
0,
una segunda solución es
y2(x) 1
n 1
( 1)n
1 3 5 7 (2n 1)
xn
, x .
En el intervalo (0,) la solución general es y C1
y1
(x) C2
y2
(x).
2xy (1 x)y y 2 (n r)(n r 1)cnxnr1 (n r)cnxnr1
n0
n0
(n r)(2n 2r 1)cnxnr1 (n r 1)cnxnr
n0
n0
xr
[r(2r 1)c0x1 [(k r 1)(2k 2r 1)ck1 (k r 1)ck]xk
],
k0
(n r)cnxnr cnxnr
n0
n0
xr
[r(2r 1)c0x1 (n r)(2n 2r 1)cnxn1 (n r 1)cnxn
]
n1
n0
kn1 kn
08367_06_ch06_p219-254.indd 236
08367_06_ch06_p219-254.indd 236 6/4/09 12:20:29 PM
6/4/09 12:20:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-281-320.jpg)
![238 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
pués de haber encontrado las raíces indiciales y haber examinado con cuidado la relación
de recurrencia que definen los coeficientes cn
. Se podría tener la fortuna de encontrar dos
soluciones que impliquen sólo potencias de x, es decir, y1(x) n 0 cn xn r1
(ecuación
(l9)) y y2(x) n 0 bn xn r2 (ecuación (20) con C 0). Véase el problema 31 de los
ejercicios 6.2. Por otro lado, en el ejemplo 4 se ve que la diferencia de las raíces indiciales
es un entero positivo (r1
– r2
1) y el método de Frobenius falla en obtener una segunda
solución en serie. En esta situación, la ecuación (20), con C 0, indica que la segun-
da solución se parece. Por último, cuando la diferencia r1
– r2
es un cero (caso III), el mé-
todo de Frobenius no da una solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene
un logaritmo y se puede demostrar que es equivalente a (20) con C 1. Una forma de
obtener la segunda solución con el término logarítmico es usar el hecho de que
y2(x) y1(x)
e P(x)dx
y2
1(x)
dx (23)
también es una solución de y P(x)y Q(x)y 0, siempre y cuando y1
(x) sea una
solución conocida. En el ejemplo siguiente, se ilustra cómo usar la ecuación (23).
EJEMPLO 5 Volver a analizar el ejemplo 4 usando un SAC
Encuentre la solución general de xy y 0.
SOLUCIÓN De la conocida solución dada del ejemplo 4,
y1(x) x
1
2
x2
1
12
x3
1
144
x4
,
se puede construir una segunda solución y2
(x) usando la fórmula (23). Quienes tengan
tiempo, energía y paciencia pueden realizar el aburrido trabajo de elevar al cuadrado una
serie, la división larga y la integración del cociente a mano. Pero todas estas operacio-
nes se realizan con relativa facilidad con la ayuda un SAC. Se obtienen los resultados:
y2(x) y1(x)
e ∫0dx
[y1(x)]2
dx y1(x)
dx
x
1
2
x2
1
12
x3
1
144
x4
2
o y2(x) y1(x) ln x 1
1
2
x
1
2
x2
.
y1(x) ln x y1(x)
1
x
7
12
x
19
144
x2
,
y1(x)
1
x
ln x
7
12
x
19
144
x2
y1(x)
1
x2
1
x
7
12
19
72
x dx
y1(x)
dx
x2
x3
5
12
x4
7
72
x5
;
En el intervalo (0,) la solución general es y C1
y1
(x) C2
y2
(x),
Observe que la forma final de y2
en el ejemplo 5 corresponde a (20) con C 1; la
serie entre paréntesis corresponde a la suma en (20) con r2
0.
; después de la división larga
; después de multiplicar
; después de integrar
; después de elevar al cuadrado
08367_06_ch06_p219-254.indd 238
08367_06_ch06_p219-254.indd 238 6/4/09 12:20:30 PM
6/4/09 12:20:30 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-283-320.jpg)
![0, mientras que en (2) sólo consideraremos el caso cuando n es un
entero no negativo.
6.3
c0(r2 2
)xr
xr
n 1
cn[(n r)2 2
]xn
xr
n 0
cn xn 2
.
c0(r2
r r 2
)xr
xr
n 1
cn[(n r)(n r 1) (n r) 2
]xn
xr
n 0
cnxn 2
x2
y xy (x2 2
)y
n 0
cn(n r)(n r 1)xn r
n 0
cn(n r)xn r
n 0
cnxn r 2 2
n 0
cnxn r
(3)
De (3) se ve que la ecuación indicial es r2
2
0, de modo que las raíces indiciales
son r1
y r2
. Cuando r1
, la ecuación (3) se convierte en
Por tanto, por el argumento usual podemos escribir (1 2)c1
0 y
o ck 2
ck
(k 2)(k 2 2 )
, k 0, 1, 2, . . .
(k 2)(k 2 2 )ck 2 ck 0
(4)
La elección c1
0 en (4) implica que c3 c5 c7 0, por lo que para
k 0, 2, 4, . . . se encuentra, después de establecer k 2 2n, n 1, 2, 3, . . . , que
c2n
c2n 2
22
n(n )
.
(5)
xn cnn(n 2n)xn xn cnxn 2
n 1 n 0
xn
[(1 2n)c1x [(k 2)(k 2 2n)ck 2 ck]xk 2
] 0.
k 0
xn
[(1 2n)c1x cnn(n 2n)xn cnxn 2
]
n 2 n 0
k n 2 k n
6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 241
08367_06_ch06_p219-254.indd 241
08367_06_ch06_p219-254.indd 241 6/4/09 12:20:32 PM
6/4/09 12:20:32 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-287-320.jpg)
![De (19) se encuentra que la solución general de la ED en el intervalo (0, ) es
y x 1
[c1J2(6x1/2
) c2Y2(6x1/2
)].
EJEMPLO 4 Volver a revisar el problema del resorte envejecido
Recuerde que en la sección 5.1 vimos que mx keat
x 0, a 0 es un mo-
delo matemático para el movimiento amortiguado libre de una masa en un re-
sorte envejecido. Ahora se está en posición de encontrar la solución general
de la ecuación. Se deja como problema demostrar que el cambio de variables
s
2
B
k
m
e t/2 transforma la ecuación diferencial del resorte envejecido en
s2
d2
x
ds2
s
dx
ds
s2
x 0.
La última ecuación se reconoce como (1) con 0 y donde los símbolos x y s juegan
los papeles de y y x, respectivamente. La solución general de la nueva ecuación es
x c1
J0
(s) c2
Y0
(s). Si se sustituye nuevamente s, entonces se ve que la solución
general de mx keat
x 0 es
x(t) c1J0
2
B
k
m
e t/2 c2Y0
2
B
k
m
e t/2
.
Véanse los problemas 33 y 39 de los ejercicios 6.3.
El otro modelo analizado en la sección 5.1 de un resorte cuyas características
cambian con el tiempo fue mx ktx 0. Si se divide entre m, vemos que la ecuación
x
k
m
tx 0 eslaecuacióndeAiryya2
xy0.Véaseelejemplo3enlasección6.1.
La solución general de la ecuación diferencial de Airy también se puede escribir en
términos de funciones de Bessel. Véanse los problemas 34, 35 y 40 de los ejercicios 6.3.
PROPIEDADES Se listan a continuación algunas de las propiedades más útiles de
las funciones de Bessel de orden m, m 0, 1, 2, . . .:
i) J m(x) ( 1)m
Jm(x), ii) Jm( x) ( 1)m
Jm(x),
iii) Jm(0)
0,
1,
m 0
m 0,
iv) lím
x:0
Ym (x) .
Observe que la propiedad ii) indica que Jm
(x) es una función par si m es un entero par
y una función impar si m es un entero impar. Las gráficas de Y0
(x) y Y1
(x) en la figura
6.3.2 muestran la propiedad iv), en particular, Ym
(x) no está acotada en el origen. Este
último hecho no es obvio a partir de la ecuación (10). Las soluciones de la ecuación
de Bessel de orden 0 se obtienen por medio de las soluciones y1
(x) en (21) y y2
(x) en
(22) de la sección 6.2. Se puede demostrar que la ecuación (21) de la sección 6.2 es
y1
(x) J0
(x), mientras que la ecuación (22) de esa sección es
y2(x) J0(x)ln x
k 1
( 1)k
(k!)2
1
1
2
1
k
x
2
2k
.
Entonces, la función de Bessel de segunda clase de orden 0, Y0
(x) se define como la
combinación lineal Y0(x)
2
( ln 2)y1(x)
2
y2(x) para x 0. Es decir,
Y0(x)
2
J0(x) ln
x
2
2
k 1
( 1)k
(k!)2
1
1
2
1
k
x
2
2k
,
donde g 0.57721566 ... es la constante de Euler. Debido a la presencia del término
logarítmico, es evidente que Y0
(x) es discontinua en x 0.
6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 245
08367_06_ch06_p219-254.indd 245
08367_06_ch06_p219-254.indd 245 6/4/09 12:20:35 PM
6/4/09 12:20:35 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-292-320.jpg)
![Esta última expresión se reconoce como una ecuación diferencial lineal de primer
orden en J
(x). Multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor integrante x
,
se obtiene
d
dx
[x J (x)] x J 1(x). (20)
Se puede demostrar de manera similar que
d
dx
[x J (x)] x J 1(x). (21)
Véase el problema 27 en los ejercicios 6.3. Las relaciones de recurrencia diferencia-
les (20) y (21) también son válidas para la función de Bessel de segunda clase Y
(x).
Observe que cuando 0 se deduce de (20) que
J0(x) J1(x) y Y0(x) Y1(x). (22)
En el problema 39 de los ejercicios 6.3 se presenta una aplicación de estos resultados.
FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS Cuando el orden es la mitad de un en-
tero impar, es decir, 1
2, 3
2, 5
2, . . . , las funciones de Bessel de primera clase J
(x)
se pueden expresar en términos de las funciones elementales sen x, cos x y poten-
cias de x. Este tipo de funciones de Bessel se llaman funciones esféricas de Bessel.
Consideraremos el caso cuando 1
2. De (7),
J1/2(x)
n 0
( 1)n
n! (1 1
2 n)
x
2
2n 1/2
.
En vista de la propiedad (1 a) a(a) y del hecho de que (1
2) 1 los
valores de (1 1
2 n) para n 0, n 1, n 2 y n 3 son, respectivamente,
(9
2) (1 7
2) 7
2 (7
2) 7 5
26
2!
1
7 6 5!
26
6 2!
1
7!
27
3!
1 .
(7
2) (1 5
2) 5
2 (5
2) 5 3
23
1
5 4 3 2 1
23
4 2
1
5!
25
2!
1
(5
2) (1 3
2) 3
2 (3
2) 3
22
1
(3
2) (1 1
2) 1
2 (1
2) 1
2 1
En general, 1
1
2
n
(2n 1)!
22n 1
n!
1 .
Por lo que J1/2(x)
n 0
( 1)n
n!
(2n 1)!
22n 1
n!
1
x
2
2n 1/2
B
2
x n 0
( 1)n
(2n 1)!
x2n 1
.
Puesto que la serie infinita en la última línea es la serie de Maclaurin para sen x, se ha
demostrado que
J1/2(x)
B
2
x
senx. (23)
Se deja como ejercicio demostrar que
J 1/2(x)
B
2
x
cos x. (24)
Véanse los problemas 31 y 32 de los ejercicios 6.3.
6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 247
08367_06_ch06_p219-254.indd 247
08367_06_ch06_p219-254.indd 247 6/4/09 12:20:36 PM
6/4/09 12:20:36 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-294-320.jpg)
![248 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
6.3.2 ECUACIÓN DE LEGENDRE
SOLUCIÓN Puesto que x 0 es un punto ordinario de la ecuación de Legendre (2),
sustituyendo la serie y k 0 ck xk, corriendo los índices de la suma y combinando
la serie se obtiene
j 2
[( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj]xj
0
(1 x2
)y 2xy n(n 1)y [n(n 1)c0 2c2] [(n 1)(n 2)c1 6c3]x
lo que implica que
( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj 0
(n 1)(n 2)c1 6c3 0
n(n 1)c0 2c2 0
o
cj 2
(n j)(n j 1)
( j 2)( j 1)
cj , j 2, 3, 4, . . .
c3
(n 1)(n 2)
3!
c1
c2
n(n 1)
2!
c0
(25)
Si se deja que j tome los valores 2, 3, 4, . . . , la relación de recurrencia (25) produce
c7
(n 5)(n 6)
7 6
c5
(n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6)
7!
c1
c6
(n 4)(n 5)
6 5
c4
(n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5)
6!
c0
c5
(n 3)(n 4)
5 4
c3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)
5!
c1
c4
(n 2)(n 3)
4 3
c2
(n 2)n(n 1)(n 3)
4!
c0
etcétera. Entonces para al menos x 1, se obtienen dos soluciones en serie de poten-
cias linealmente independientes:
(26)
(n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6)
7!
x7
.
y2(x) c1 x
(n 1)(n 2)
3!
x3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)
5!
x5
(n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5)
6!
x6
y1(x) c0 1
n(n 1)
2!
x2
(n 2)n(n 1)(n 3)
4!
x4
Observe que si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2
(x) es
una serie infinita. Por ejemplo, si n 4, entonces
y1(x) c0 1
4 5
2!
x2
2 4 5 7
4!
x4
c0 1 10x2
35
3
x4
.
De manera similar, cuando n es un entero impar, la serie para y2
(x) termina con xn
; es
decir, cuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado
n de la ecuación de Legendre.
08367_06_ch06_p219-254.indd 248
08367_06_ch06_p219-254.indd 248 6/4/09 12:20:36 PM
6/4/09 12:20:36 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-295-320.jpg)
![Debido a que se sabe que un múltiplo constante de una solución de la ecuación de
Legendre también es una solución, se acostumbra elegir valores específicos para c0
y
c1
, dependiendo de si n es un entero positivo par o impar, respectivamente. Para n 0
elegimos c0
1, y para n 2, 4, 6, . . .
c0 ( 1)n /2
1 3 (n 1)
2 4 n
,
mientras que para n 1 se elige c1
1 y para n 3, 5, 7, . . .
c1 ( 1)(n 1)/2
1 3 n
2 4 (n 1)
.
Por ejemplo, cuando n 4, se tiene
y1(x) ( 1)4/2
1 3
2 4
1 10x2
35
3
x4
1
8
(35x4
30x2
3).
POLINOMIOS DE LEGENDRE Estas soluciones polinomiales específicas de
n-ésimo grado se llaman polinomios de Legendre y se denotan mediante Pn
(x). De
las series para y1
(x) y y2
(x) y de las opciones anteriores de c0
y c1
se encuentra que los
primeros polinomios de Legendre son
P0(x) 1, P1(x) x,
P2(x)
1
2
(3x2
1), P3(x)
1
2
(5x3
3x),
P4(x)
1
8
(35x4
30x2
3), P5(x)
1
8
(63x5
70x3
15x).
(27)
Recuerde que P0
(x), P1
(x), P2
(x), P3
(x), . . . son, a su vez, soluciones particulares de las
ecuaciones diferenciales
n 0:
n 1:
n 2:
n 3:
(1 x2
)y 2xy 0,
(1 x2
)y 2xy 2y 0,
(1 x2
)y 2xy 6y 0,
(1 x2
)y 2xy 12y 0,
(28)
En la figura 6.3.3 se presentan las gráficas en el intervalo [1,1], de los seis poli-
nomios de Legendre en (27).
PROPIEDADES Se recomienda que compruebe las siguientes propiedades usando
los polinomios de Legendre en (27).
i) Pn( x) ( 1)n
Pn(x)
ii) Pn(1) 1 iii) Pn( 1) ( 1)n
iv) Pn(0) 0, n impar, v) Pn(0) 0, n par
La propiedad i) indica, como es evidente en la figura 6.3.3, que Pn
(x) es una función
par o impar concordantemente con la condición de si n es par o impar.
RELACIÓN DE RECURRENCIA Las relaciones de recurrencia que vinculan poli-
nomios de Legendre de diferentes grados también son importantes en algunos aspectos
de sus aplicaciones. Se establece, sin comprobación, la relación de recurrencia de tres
términos
(k 1)Pk 1(x) (2k 1)xPk(x) kPk 1(x) 0, (29)
que es válida para k 1, 2, 3, .... En (27) se listan los primeros seis polinomios de
Legendre. Si decimos que se desea encontrar P6
(x), se puede usar la ecuación (29) con
k 5. Esta relación expresa P6
(x) en términos de los conocidos P4
(x) y P5
(x). Véase el
problema 45 de los ejercicios 6.3.
x
y
1
-1
-1
-0.5
0.5
1
-0.5 0.5
P1
P0
P2
FIGURA 6.3.3 Polinomios de
Legendre para n 0, 1, 2, 3, 4, 5.
6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 249
08367_06_ch06_p219-254.indd 249
08367_06_ch06_p219-254.indd 249 6/4/09 12:20:37 PM
6/4/09 12:20:37 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-296-320.jpg)
![250 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
Otra fórmula, que aunque no es una relación de recurrencia, puede generar
los polinomios de Legendre por derivación, es la fórmula de Rodrigues que, para
estos polinomios es
Pn(x)
1
2n
n!
dn
dxn
(x2
1)n
, n 0, 1, 2, . . . . (30)
Véase el problema 48 de los ejercicios 6.3.
COMENTARIOS
i) Aunque se ha supuesto que el parámetro n en la ecuación diferencial de
Legendre (1 x2
)y 2xy n(n 1)y 0, representa un entero no negativo,
en una forma más general n puede representar cualquier número real. Cualquier
solución de la ecuación de Legendre se llama función de Legendre. Si n no es
un entero no negativo, entonces ambas funciones de Legendre y1
(x) y y2
(x) dadas
en (26) son series infinitas convergentes en el intervalo abierto (1, 1) y diver-
gentes (sin límite) en x
l. Si n es un entero no negativo, entonces, como
se ha visto, una de las funciones de Legendre en (26) es un polinomio y la
otra es una serie infinita convergente para 1 x 1. Se debe tener presente
que la ecuación de Legendre tiene soluciones que están acotadas en el intervalo
cerrado [1, 1] sólo en el caso cuando n 0, 1, 2, . . . Más concretamente,
las únicas funciones de Legendre que están acotadas en el intervalo cerrado
[1, 1] son los polinomios de Legendre Pn
(x) o múltiplos constantes de estos
polinomios. Véase el problema 47 de los ejercicios 6.3 y el problema 24 en el
Repaso del capítulo 6.
ii) En los Comentarios al final de la sección 2.3 se mencionó la rama de la mate-
mática llamada funciones especiales. Quizá una mejor denominación para esta
área de las matemáticas aplicadas podría ser funciones nombradas, puesto que
muchas de las funciones estudiadas llevan nombres propios: funciones de Bessel,
funciones de Legendre, funciones de Airy, polinomios de Chebyshev, función
hipergeométrica de Gauss, polinomios de Hermite, polinomios de Jacobi, po-
linomios de Laguerre, funciones de Mathieu, funciones de Weber, etcétera.
Históricamente, las funciones especiales fueron subproducto de la necesidad;
alguien necesitaba una solución de una ecuación diferencial muy especializada
que surgió de un intento por resolver un problema físico.
EJERCICIOS 6.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10.
6.3.1 ECUACIÓN DE BESSEL
En los problemas 1 a 6 use la ecuación (1) para encontrar la so-
lución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ).
1. x2
y xy x2 1
9 y 0
2. x2
y xy (x2
1)y 0
3. 4x2
y 4xy (4x2
25)y 0
4. 16x2
y 16xy (16x2
1)y 0
5. xy y xy 0
6.
d
dx
[xy ] x
4
x
y 0
En los problemas 7 a 10, use la ecuación (12) para encontrar la
solución general de la ecuación diferencial dada en (0, ).
7. x2
y xy (9x2
4)y 0
8.
9. x2
y xy 25x2 4
9 y 0
x2
y xy 36x2 1
4 y 0
10. x2
y xy (2x2
64)y 0
En los problemas 11 y 12 use el cambio de variable indicado
para determinar la solución general de la ecuación diferencial
en (0, ).
11. x2
y 2xy a2
x2
y 0; y x12
v(x)
12. x2
y ( 2
x2 2 1
4)y 0; y 1x v(x)
08367_06_ch06_p219-254.indd 250
08367_06_ch06_p219-254.indd 250 6/4/09 12:20:37 PM
6/4/09 12:20:37 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-297-320.jpg)
![En los problemas 13 a 20 use la ecuación (18) para encontrar
la solución general de la ecuación diferencial en (0, ).
13. xy 2y 4y 0 14. xy 3y xy 0
15. xy y xy 0 16. xy 5y xy 0
17. x2
y (x2
2)y 0
18. 4x2
y (16x2
1)y 0
19. xy 3y x3
y 0
20. 9x2
y 9xy (x6
36)y 0
21. Use la serie en (7) para comprobar que I
(x) i
J
(ix) es
una función real.
22. Suponga que b en la ecuación (18) puede ser un número
imaginario puro, es decir, b bi, b 0, i2
1. Use
esta suposición para expresar la solución general de la
ecuación diferencial en términos de las funciones modifi-
cadas de Bessel In
y Kn
.
a) y x2
y 0 b) xy y 7x3
y 0
En los problemas 23 a 26, use primero la ecuación (18) para
expresar la solución general de la ecuación diferencial en térmi-
nos de funciones de Bessel. Luego use (23) y (24) para expresar
la solución general en términos de funciones elementales.
23. y y 0
24. x2
y 4xy (x2
2)y 0
25. 16x2
y 32xy (x4
12)y 0
26. 4x2
y 4xy (16x2
3)y 0
27. a) Proceda como en el ejemplo 5 para demostrar que
xJ
n
(x) nJn
(x) xJn1
(x).
[Sugerencia: Escriba 2n n 2(n n) n.]
b) Utilice el resultado del inciso a) para deducir (21).
28. Utilice la fórmula del ejemplo 5 junto con el inciso a) del
problema 27 para deducir la relación de recurrencia.
2nJn
(x) xJn1
(x) xJn1
(x).
En los problemas 29 y 30 use la ecuación (20) o (21) para
obtener el resultado dado.
29.
x
0
rJ0(r)dr xJ1(x) 30. J0
(x) J1
(x) J1
(x)
31. Proceda como en la página 247 para deducir la forma ele-
mental de J12
(x) dada en (24).
32. a) Use la relación de recurrencia del problema 28 junto
con (23) y (24) para expresar J32
(x), J32
(x) y J52
(x)
en términos de sen x, cos x y potencias de x.
b) Use un programa de graficación para trazar J12
(x),
J12
(x), J32
(x), J32
(x) y J52
(x).
33. Use el cambio de variables s
2
B
k
m
e t /2
para de-
mostrar que la ecuación diferencial del resorte envejecido
mx keat
x 0, a 0, se convierte en
s2
d2
x
ds2
s
dx
ds
s2
x 0.
34. Demuestre que y x1/2
w(2
3 x3/2
) es una solución de la
ecuación diferencial de Airy y a2
xy 0, x 0, siem-
pre que w sea una solución de la ecuación de Bessel de
orden 1
3
, es decir, t2
w tw (t2 1
9)w 0, t 0.
[Sugerencia: Después de derivar, sustituir y simplificar,
entonces se hace ]
t 2
3 x3/2
.
35. a) Use el resultado del problema 34 para expresar la
solución general de la ecuación diferencial de Airy
para x 0 en términos de funciones de Bessel.
b) Compruebe los resultados del inciso a) usando la
ecuación (18).
36. Use la tabla 6.1 para encontrar los primeros tres valores
propios positivos y las funciones propias correspondien-
tes del problema de valores en la frontera.
xy y xy 0,
y(x), y(x) acotada conforme x S 0
, y(2) 0.
[Sugerencia: Identificando l a2
, la ED es la ecuación
de Bessel paramétrica de orden cero.]
37. a) Use la ecuación (18) para demostrar que la solución
general de la ecuación diferencial xy ly 0 en el
intervalo (0,) es
y c1 xJ1(2 x) c2 xY1(2 x).
1 1 1 1
b) Compruebe por sustitución directa que y 1xJ1
1
(2 x) es una solución particular de la ED en el caso
l 1.
Tarea para el laboratorio de computación
38. Use un SAC para trazar las gráficas de las funciones mo-
dificadas de Bessel I0
(x), I1
(x), I2
(x) y K0
(x), K1
(x), K2
(x).
Compare estas gráficas con las que se muestran en las fi-
guras 6.3.1 y 6.3.2. ¿Qué diferencia principal es evidente
entre las funciones de Bessel y las funciones modificadas
de Bessel?
39. a) Use la solución general dada en el ejemplo 4 para
resolver el PVI
4x e 0.1t
x 0, x(0) 1, x (0) 1
2.
También use J0(x) J1(x) y Y0(x) Y1(x) junto
con la tabla 6.1 o un SAC para evaluar los coeficientes.
b) Use un SAC para trazar la gráfica de la solución ob-
tenida en el inciso a) en el intervalo 0 t .
6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 251
08367_06_ch06_p219-254.indd 251
08367_06_ch06_p219-254.indd 251 6/4/09 12:20:38 PM
6/4/09 12:20:38 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-298-320.jpg)
![Además, recuerde que la ecuación (20) vale para
J1
(u) y Y1
(u). Por último, la identidad
2
u
J1(u)Y2(u) J2(u)Y1(u) será muy útil].
e) Use un SAC para trazar la gráfica de la solución
u(t) del PVI del inciso d) cuando l0
1 pie, u0
1
10
radián y v 1
60 pies. Experimente con la gráfica
usando diferentes intervalos de tiempo, como [0, 10],
[0, 30], etcétera.
f) ¿Qué indican las gráficas acerca del ángulo de des-
plazamiento u(t) cuando la longitud l del alambre se
incrementa con el tiempo?
6.3.2 ECUACIÓN DE LEGENDRE
44. a) Use las soluciones explícitas y1
(x) y y2
(x) de la ecua-
ción de Legendre dada en (26) y la elección apro-
piada de c0
y c1
para encontrar los polinomios de
Legendre P6
(x) y P7
(x).
b) Escriba las ecuaciones diferenciales para las cuales
P6
(x) y P7
(x) son soluciones particulares.
45. Use la relación de recurrencia (29) y P0
(x) 1, P1
(x) x,
para generar los siguientes seis polinomios de Legendre.
46. Demuestre que la ecuación diferencial
sen
d2
y
d 2
cos
dy
d
n(n 1)(sen )y 0
puede convertirse en la ecuación de Legendre por medio
de la sustitución x cos u.
47. Encuentre los primeros tres valores positivos de l para
los cuales el problema
(1 x2
)y 2xy y 0,
y(0) 0, y(x), y(x) está acotada en [1,1]
tiene soluciones no triviales.
Tarea para el laboratorio de computación
48. En la realización de este problema, ignore la lista de
polinomios de Legendre que se presenta en la página
249 y las gráficas de la figura 6.3.3. Use la fórmula de
Rodrigues (30) para generar los polinomios de Legendre
P1
(x), P2
(x), . . . , P7
(x). Use un SAC para realizar las de-
rivadas y las simplificaciones.
49. Use un SAC para trazar las gráficas de P1
(x), P2
(x), . . . ,
P7
(x) en el intervalo [1, 1].
50. Use un programa de cálculo de raíces para determinar las
raíces de P1
(x), P2
(x), . . . , P7
(x). Si los polinomios de
Legendre son funciones incorporadas en su SAC, encuen-
tre los polinomios de Legendre de grado superior. Haga
una suposición acerca de la localización de las raíces de
algún polinomio de Legendre Pn
(x) y luego investigue si
es verdad.
REPASO DEL CAPÍTULO 6
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-10.
En los problemas 1 y 2 conteste falso o verdadero sin consul-
tar de nuevo el texto.
1. La solución general de x2
y xy (x2
1)y 0 es
y c1
J1
(x) c2
J1
(x).
2. Debido a que x 0 es un punto singular irregular de
x3
y xy y 0, la ED no tiene solución que sea ana-
lítica en x 0.
3. ¿En cuál de los siguientes intervalos se garantiza que
convergen para toda x ambas soluciones en serie de po-
tencias de y ln(x 1)y y 0 centradas en el punto
ordinario x 0?
a) (, ) b) (1, )
c) [ 1
2, 1
2] d) [1, 1]
4. x 0 es un punto ordinario de cierta ecuación diferen-
cial lineal. Después que se sustituye la solución supuesta
y n 0 cn xn
en la ED, se obtiene el siguiente sistema
algebraico cuando los coeficientes de x0
, x1
, x2
y x3
se
igualan a cero:
20c5 8c4 c3
2
3 c2 0.
12c4 6c3 c2
1
3 c1 0
6c3 4c2 c1 0
2c2 2c1 c0 0
Teniendo en mente que c0
y c1
son constantes arbitrarias,
escriba los primeros cinco términos de dos series de po-
tencias que son solución de la ecuación diferencial.
5. Suponga que se sabe que la serie de potencias
k 0 ck(x 4)k
converge en 2 y diverge en 13. Analice
si la serie converge en 7, 0, 7, 10 y 11. Las respuestas
posibles son si, no, podría.
REPASO DEL CAPÍTULO 6 O 253
08367_06_ch06_p219-254.indd 253
08367_06_ch06_p219-254.indd 253 6/4/09 12:20:39 PM
6/4/09 12:20:39 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-300-320.jpg)
![254 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES
6. Use la serie de Maclaurin para sen x y cos x junto con la
división larga para encontrar los primeros tres términos
diferentes de cero de una serie de potencias en x para la
función f(x)
senx
cos x
.
En los problemas 7 y 8 construya una ecuación diferencial
lineal de segundo orden que tenga las propiedades dadas.
7. Un punto singular regular en x 1 y un punto singular
irregular en x 0.
8. Puntos singulares regulares en x 1 y en x 3.
En los problemas 9 a 14 use un método de series infinitas
apropiado respecto a x 0 para encontrar dos soluciones de
la ecuación diferencial dada.
9. 2xy y y 0 10. y xy y 0
11. (x 1)y 3y 0 12. y x2
y xy 0
13. xy (x 2)y 2y 0 14. (cosx)y y 0
En los problemas 15 y 16, resuelva el problema con valores
iniciales dado.
15. y xy 2y 0, y(0) 3, y(0) 2
16. (x 2)y 3y 0, y(0) 0, y(0) 1
17. Sin realmente resolver la ecuación diferencial (1 2 sen
x)y xy 0, encuentre un límite inferior para el radio
de convergencia de las soluciones en serie de potencias
respecto al punto ordinario x 0.
18. Aunque x 0 es un punto ordinario de la ecuación dife-
rencial, explique por qué no es una buena idea tratar de
encontrar una solución del PVI
y xy y 0, y(1) 6, y (1) 3
de la forma y n 0 cn xn
. Por medio de series de poten-
cias, determine una mejor forma de resolver el problema.
En los problemas 19 y 20, investigue si x 0 es un punto ordina-
rio, singular o singular irregular de la ecuación diferencial dada.
[Sugerencia: Recuerde la serie de Maclaurin para cos x y ex
.]
19. xy (1 cos x)y x2
y 0
20. (ex
1 x)y xy 0
21. Observe que x 0 es un punto ordinario de la ecuación
diferencial y x2
y 2xy 5 2x 10x3
. Use la
suposición y n 0 cn xn
para encontrar la solución ge-
neral y yc
yp
que consiste en tres series de potencias
centradas en x 0.
22. La ecuación diferencial de primer orden dydx x2
y2
no se puede resolver en términos de funciones elementa-
les. Sin embargo, una solución se puede expresar en tér-
minos de funciones de Bessel.
a) Demuestre que la sustitución y
1
u
du
dx
conduce
a la ecuación u x2
u 0.
b) Use la ecuación (18) de la sección 6.3 para encontrar
la solución general de u x2
u 0.
c) Use las ecuaciones (20) y (21) de la sección 6.3 en las
formas
y J (x)
x
J (x) J 1(x)
J (x)
x
J (x) J 1(x)
como ayuda para demostrar que una familia unipara-
métrica de soluciones de dydx x2
y2
está dada por
y x
J3/4(1
2 x2
) cJ 3/4(1
2 x2
)
cJ1/4(1
2 x2
) J 1/4(1
2 x2
)
.
23. a) Use las ecuaciones (23) y (24) de la sección 6.3 para
demostrar que
Y1/2(x)
B
2
x
cos x.
b) Use la ecuación (15) de la sección 6.3 para demostrar
que
I1/2(x)
B
2
x
senhx y I 1/2(x)
B
2
x
cosh x.
c) Use el inciso b) para demostrar que
K1/2(x)
2x
e x
.
B
24. a) De las ecuaciones (27) y (28) de la sección 6.3 se sabe
que cuando n 0, la ecuación diferencial de Legendre
(1 x2
)y 2xy 0 tiene la solución polinomial
y P0
(x) 1. Use la ecuación (5) de la sección 4.2
para demostrar que una segunda función de Legendre
que satisface la ED en el intervalo 1 x 1 es
y
1
2
ln
1 x
1 x
.
b) También sabemos de las ecuaciones (27) y (28) de la
sección 6.3 que cuando n 1 la ecuación diferencial
de Legendre (1 x2
)y 2xy 2y 0 tiene la
solución polinomial y P1
(x) x. Use la ecuación
(5) de la sección 4.2 para demostrar que una segunda
función de Legendre que satisface la ED en el inter-
valo 1 x 1 es
y
x
2
ln
1 x
1 x
1.
c) Use un programa de graficación para trazar las funciones
de Legendre logarítmicas dadas en los incisos a) y b).
25. a) Use series binomiales para mostrar formalmente que
(1 2xt t2
) 1/2
n 0
Pn(x)tn
.
b) Use el resultado obtenido en el inciso a) para demos-
trar que Pn
(1) 1 y Pn
(1) (1)n
. Véanse las
propiedades ii) y iii) de la página 249.
08367_06_ch06_p219-254.indd 254
08367_06_ch06_p219-254.indd 254 6/4/09 12:20:40 PM
6/4/09 12:20:40 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-301-320.jpg)
![256 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
REPASO DE MATERIAL
O Integrales impropias con límites de integración infinitos.
O Descomposición en fracciones parciales.
INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son trans-
formadas; esto significa, a grandes rasgos, que estas operaciones transforman una función en otra.
Por ejemplo, la función f(x) x2
se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de
funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración:
d
dx
x2
2x y x2
dx
1
3
x3
c.
Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una com-
binación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y b constantes
d
dx
[ f (x) g(x)] f (x) g (x)
y [ f(x) g(x)] dx f(x) dx g(x) dx
siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de trans-
formada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad,
la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para
resolver problemas lineales con valores iniciales.
7.1
TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces
una integral definida de f respecto a una de las variables conduce a una función de la
otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 2
1 2xy2
dx 3y2
. De
igual modo, una integral definida como b
a K(s, t) f(t) dt transforma una función f de
la variable t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una
transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0,
). Si f(t) se define para t 0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f(t) dt se define
como un límite:
0
K(s, t) f (t) dt lím
b :
b
0
K(s, t) f (t) dt. (1)
Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si
no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1)
existirá sólo para ciertos valores de la variable s.
UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la trans-
formada. La elección de K(s, t) est
como el núcleo nos proporciona una transfor-
mada integral especialmente importante.
DEFINICIÓN 7.1.1 Transformada de Laplace
Sea f una función definida para t 0. Entonces se dice que la integral
{f(t)}
0
e st
f(t) dt (2)
es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.
08367_07_ch07_p255-302.indd 256
08367_07_ch07_p255-302.indd 256 6/4/09 12:21:06 PM
6/4/09 12:21:06 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-303-320.jpg)
![258 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO 4 Aplicando la definición 7.1.1
Evalúe {sen 2t}.
SOLUCIÓN De la definición 7.1.1 e integrando por partes se tiene que
lím e st
cos 2t 0, s 0
t:
Transformada de Laplace de sen 2t
e st sen 2t
––––––––––––
s
2
–
s
2
–
s
{sen 2t} e st sen 2t dt
{sen 2t}.
e st cos 2t dt
0 0 0
e st cos 2t
––––––––––––
s
2
–
s
2
–
s
2
––
s2
4
––
s2
[ e st sen 2t dt]
0 0
e st cos 2t dt, s 0
0
En este punto se tiene una ecuación con {sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si
se despeja esa cantidad el resultado es
.
{sen 2t}
2
s2
4
, s 0
ᏸ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funcio-
nes podemos escribir
0
e st
[ f (t) g(t)] dt
0
e st
f(t) dt
0
e st
g(t) dt
siempre que ambas integrales converjan para s c. Por lo que se tiene que
{ f(t) g(t)} { f(t)} {g(t)} F(s) G(s). (3)
Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que es una transformación
lineal. Por ejemplo, de los ejemplos 1 y 2
,
{1 5t} {1} 5 {t}
1
s
5
s2
y de los ejemplos 3 y 4
.
{4e 3t
10 sen 2t} 4 {e 3t
} 10 {sen 2t}
4
s 3
20
s2
4
Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del si-
guiente teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción en
s; se sobreentiende que s está lo suficientemente restringida para garantizar la conver-
gencia de la adecuada transformada de Laplace.
TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas
a) {1}
1
s
b) {tn
}
n!
sn 1
, n 1, 2, 3, . . . c) {eat
}
1
s a
d) {sen kt}
k
s2
k2
e) {cos kt}
s
s2
k2
f) {senh kt}
k
s2
k2
g) {cosh kt}
s
s2
k2
08367_07_ch07_p255-302.indd 258
08367_07_ch07_p255-302.indd 258 6/4/09 12:21:07 PM
6/4/09 12:21:07 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-305-320.jpg)
![y, por tanto, de la linealidad de 1
y del inciso c) del teorema 7.2.1,
1
s2
6s 9
(s 1)(s 2)(s 4)
16
5
1
1
s 1
25
6
1
1
s 2
1
30
1
1
s 4
16
5
et
25
6
e2t
1
30
e 4t . (5)
7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este
capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones
diferenciales.Paratalfin,esnecesarioevaluarcantidadescomo {dydt}y {d2
ydt2
}.
Por ejemplo, si f es continua para t 0, entonces integrando por partes se obtiene
o {f (t)} sF(s) f (0).
f(0) s {f(t)}
{f (t)}
0
e st
f (t) dt e st
f(t)
0
s
0
e st
f(t) dt
(6)
Aquí hemos supuesto que est
f(t) : 0 conforme t : . De manera similar, con la
ayuda de la ecuación (6),
o {f (t)} s2
F(s) sf (0) f (0).
; de (6)
s[sF(s) f(0)] f (0)
f (0) s {f (t)}
{f (t)}
0
e st
f (t) dt e st
f (t)
0
s
0
e st
f (t) dt
(7)
De igual manera se puede demostrar que
{f (t)} s3
F(s) s2
f(0) sf (0) f (0). (8)
La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función
f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada
de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración.
TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada
Si f, f, . . . , f(n1)
son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si
f(n)
(t) es continua por tramos en [0, ), entonces
{f (n)
(t)} sn
F(s) sn 1
f(0) sn 2
f (0) f (n 1)
(0),
donde F(s) {f(t)}.
SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo-
rema 7.2.2 que {dn
ydtn
} depende de Y(s) {y(t)} y las n 1 derivadas de y(t)
evaluadas en t 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada
para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferen-
cial tiene coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una
combinación lineal de términos y, y, y, . . . , y(n)
:
y(0) y0, y (0) y1, . . . , y(n 1)
(0) yn 1,
an
dn
y
dtn
an 1
dn 1
y
dtn 1
a0 y g(t),
7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 265
08367_07_ch07_p255-302.indd 265
08367_07_ch07_p255-302.indd 265 6/4/09 12:21:12 PM
6/4/09 12:21:12 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-312-320.jpg)
![266 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
donde las ai
, i 0, 1, . . . , n y y0
, y1
, . . . , yn1
son constantes. Por la propiedad de linea-
lidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal
de transformadas de Laplace:
an
dn
y
dtn
an 1
dn 1
y
dtn 1
a0 {y} {g(t)}. (9)
Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en
,
an 1[sn 1
Y(s) sn 2
y(0) y(n 2)
(0)] a0Y(s) G(s)
an [sn
Y(s) sn 1
y(0) y(n 1)
(0)]
(10)
donde {y(t)} Y(s) y {g(t)} G(s). En otras palabras, la transformada de
Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se convierte en
una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10)
para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) Q(s) G(s) y después se escribe
Y(s)
Q(s)
P(s)
G(s)
P(s)
, (11)
donde P(s) an
sn
an1
sn1
. . . a0
, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o
igual a n 1 que consiste en varios productos de los coeficientes ai
, i 1, . . . , n y las
condiciones iniciales prescritas y0
, y1
, . . . , yn1
y G(s) es la transformada de Laplace de
g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo
común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones
parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t)
1
{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término.
El procedimiento se resume en el siguiente diagrama.
Encuentre la y(t)
desconocida que
satisface la ED y las
condiciones iniciales
La ED transformada
se convierte en una
ecuación algebraica
en Y(s)
Resuelva la ecuación
transformada para
Y(s)
Solución y(t)
del PVI original
Aplique la transformada
de Laplace
Aplique la transformada
inversa de Laplace −1
En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como
la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s)
contenga un polinomio cuadrático sin factores reales.
*
El polinomio P(s) es igual al polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 4.3
donde el símbolo m usual se sustituye por s.
EJEMPLO 4 Solución de un PVI de primer orden
Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales
.
dy
dt
3y 13 sen 2t, y(0) 6
SOLUCIÓN Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación dife-
rencial.
dy
dt
3 {y} 13 {sen 2t}.
(12)
08367_07_ch07_p255-302.indd 266
08367_07_ch07_p255-302.indd 266 6/4/09 12:21:13 PM
6/4/09 12:21:13 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-313-320.jpg)
![De (6), {dydt} sY(s) y(0) sY(s) 6 , y del inciso d) del teorema 7.1.1,
{sen 2t} 2(s2
4)
y
, por lo que la ecuación (12) es igual que
sY(s) 6 3Y(s)
26
s2
4
o .
(s 3)Y(s) 6
26
s2
4
Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos
Y(s)
6
s 3
26
(s 3)(s2
4)
6s2
50
(s 3)(s2
4)
. (13)
Puesto que el polinomio cuadrático s2
4 no se factoriza usando números reales, se supone
que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s:
.
6s2
50
(s 3)(s2
4)
A
s 3
Bs C
s2
4
Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los
numeradores, se obtiene 6s2
50 A(s2
4) (Bs C)(s 3). Haciendo s 3
se obtiene inmediatamente que A 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces
reales, se igualan los coeficientes de s2
y s: 6 A B y 0 3B C. Si en la primera
ecuación se usa el valor de A se encuentra que B 2, y con este valor aplicado a la
segunda ecuación, se obtiene C 6. Por lo que,
.
Y(s)
6s2
50
(s 3)(s2
4)
8
s 3
2s 6
s2
4
Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos
fracciones. Esto se hizo con la división término a término entre el denominador del
ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo,
.
y(t) 8 1
1
s 3
2 1
s
s2
4
3 1
2
s2
4
Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con
valores iniciales es y(t) 8e3t
2 cos 2t 3 sen 2t.
EJEMPLO 5 Solución de un PVI de segundo orden
Resuelva y 3y 2y e4t
, y(0) 1, y(0) 5.
SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la suma
de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones
iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.2.1 y entonces se resuelve para Y(s):
.
Y(s)
s 2
s2
3s 2
1
(s2
3s 2)(s 4)
s2
6s 9
(s 1)(s 2)(s 4)
(s2
3s 2)Y(s) s 2
1
s 4
s2
Y(s) sy(0) y (0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s)
1
s 4
d2
y
dt2
3
dy
dt
2 {y} {e 4t
}
(14)
Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) ya se presentaron en
el ejemplo 3. En vista de los resultados en (3) y (4), se tiene la solución del problema
con valores iniciales
.
y(t) 1
{Y(s)}
16
5
et
25
6
e2t
1
30
e 4t
7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 267
08367_07_ch07_p255-302.indd 267
08367_07_ch07_p255-302.indd 267 6/4/09 12:21:13 PM
6/4/09 12:21:13 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-314-320.jpg)
![EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales
Resuelva y 6y 9y t2
e3t
, y(0) 2, y(0) 17.
SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la
función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y
las condiciones iniciales, se simplifica y luego se resuelve para Y(s) {f(t)}:
.
Y(s)
2s 5
(s 3)2
2
(s 3)5
(s 3)2
Y(s) 2s 5
2
(s 3)3
(s2
6s 9)Y(s) 2s 5
2
(s 3)3
s2
Y(s) sy(0) y (0) 6[sY(s) y(0)] 9Y(s)
2
(s 3)3
{y } 6 {y } 9 {y} {t2
e3t
}
El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en
(2) del inciso a) del ejemplo (2).
Por lo que
.
y(t) 2 1
1
s 3
11 1
1
(s 3)2
2
4!
1
4!
(s 3)5
Y(s)
2
s 3
11
(s 3)2
2
(s 3)5
. (8)
De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son
1
1
s2
s:s 3
te3t
y .
1
4!
s5
s:s 3
t4
e3t
Por lo que (8) es y(t) 2e3t
11te3t 1
12t4
e3t
.
EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales
Resuelva y 4y 6y 1 et
, y(0) 0, y(0) 0.
SOLUCIÓN
Y(s)
2s 1
s(s 1)(s2
4s 6)
(s2
4s 6)Y(s)
2s 1
s(s 1)
s2
Y(s) sy(0) y (0) 4[sY(s) y(0)] 6Y(s)
1
s
1
s 1
{y } 4 {y } 6 {y} {1} {e t
}
Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales
reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es
.
Y(s)
16
s
13
s 1
s 2 5 3
s2
4s 6
Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último
término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los
resultados en (6) y (7), se tiene la solución
7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 273
08367_07_ch07_p255-302.indd 273
08367_07_ch07_p255-302.indd 273 6/4/09 12:21:17 PM
6/4/09 12:21:17 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-320-320.jpg)
![274 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
.
1
6
1
3
e t
1
2
e 2t
cos 12t
12
3
e 2t
sen 12t
y(t)
1
6
1
1
s
1
3
1
1
s 1
1
2
1
s 2
(s 2)2
2
2
312
1
12
(s 2)2
2
7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que
están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa en
un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de
cierto tiempo. Es conveniente entonces definir una función especial que es el número 0
(desactivada) hasta un cierto tiempo t a y entonces el número 1 (activada) después de
ese tiempo. La función se llama función escalón unitario o función de Heaviside.
DEFINICIÓN 7.3.1 Función escalón unitario
La función escalón unitario (t a) se define como
(t a)
0,
1,
0 t a
t a.
Observe que se define (t a) sólo en el eje t no negativo, puesto que esto es
todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más am-
plio, (t a) 0 para t a. En la figura 7.3.2, se muestra la gráfica de (t a) .
Cuando una función f definida para t 0 se multiplica por (t a), la función
escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de esa función. Por ejemplo, con-
sidere la función f(t) 2t 3. Para “desactivar” la parte de la gráfica de f para 0
t
1, simplemente formamos el producto (2t 3) (t 1). Véase la figura 7.3.3. En
general, la gráfica de f(t) (t a) es 0 (desactivada) para 0
t a y es la parte de
la gráfica de f(activada) para t a.
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones defi-
nidas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0
t 2 ,
2
t 3, y t 3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3), debe ser
evidente que la función definida por tramos que se muestra en la figura 7.3.4 es igual
que f(t) 2 3 (t 2) (t 3). También, una función general definida por
tramos del tipo
f(t)
g(t),
h(t),
0 t a
t a (9)
es la misma que:
f(t) g(t) g(t) (t a) h(t) (t a). (10)
Análogamente, una función del tipo
f(t)
0,
g(t),
0,
0 t a
a t b
t b
(11)
puede ser escrita como
f (t) g(t)[ (t a) (t b)]. (12)
FIGURA 7.3.2 Gráfica de la función
escalón unitario.
t
1
a
FIGURA 7.3.3 La función es
f(t) (2t 3) (t 1).
1
y
t
FIGURA 7.3.4 La función es
f (t) 2 3 (t 2) (t 3).
−1
2
t
f(t)
08367_07_ch07_p255-302.indd 274
08367_07_ch07_p255-302.indd 274 6/4/09 12:21:17 PM
6/4/09 12:21:17 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-321-320.jpg)
![EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales
Resuelva y y f(t), y(0) 5, donde f(t)
0,
3 cos t,
0 t
t .
SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f(t) 3 cos t (t p), y entonces por
linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene
Y(s)
5
s 1
3
2
1
s 1
e s
1
s2
1
e s
s
s2
1
e s
(s 1)Y(s) 5
3s
s2
1
e s
sY(s) y(0) Y(s) 3
s
s2
1
e s
{y } {y} 3 {cos t (t )}
. (17)
Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 6, se tiene de (15) con a p que los
inversos de los términos dentro del paréntesis son
FIGURA 7.3.7 Gráfica de la función
en (18).
_2
1
2
3
4
5
_1
t
y
2
π π 3π
1
1
s 1
e s
e (t )
(t ), 1
1
s2
1
e s
sen(t ) (t ),
y 1
s
s2
1
e s
cos(t ) (t ).
Por lo que el inverso de (17) es
5e t
,
5e t
3
2
e (t )
3
2
sen t
3
2
cos t,
0 t
t .
; identidades trigonométricas
5e t
3
2
[e (t )
sen t cos t] (t )
y(t) 5e t
3
2
e (t )
(t )
3
2
sen(t ) (t )
3
2
cos(t ) (t )
(18)
Usando un programa de graficación hemos obtenido la gráfica de (18) que se muestra
en la figura 7.3.7.
VIGAS En la sección 5.2 vimos que la deflexión estática y(x) de una viga uniforme
de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecua-
ción diferencial lineal de cuarto orden
EI
d4
y
dx4
w(x), (19)
donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una
sección transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para
resolver la ecuación (19) cuando w(x) se define por tramos. Sin embargo, para usar la
transformada de Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x) están defini-
das en (0, ) y no en (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema
con valores en la frontera más que un problema con valores iniciales.
EJEMPLO 9 Un problema con valores en la frontera
Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos, como se muestra en la figura
7.3.8. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por
w(x)
w0 1
2
L
x ,
0,
0 x L2
L2 x L.
FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con
carga variable.
pared
x
y
L
w(x)
7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 277
08367_07_ch07_p255-302.indd 277
08367_07_ch07_p255-302.indd 277 6/4/09 12:21:20 PM
6/4/09 12:21:20 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-326-320.jpg)
![En los problemas 21 a 30, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.
21. y 4y e4t
, y(0) 2
22. y y 1 tet
, y(0) 0
23. y 2y y 0, y(0) 1, y(0) 1
24. y 4y 4y t3
e2t
, y(0) 0, y(0) 0
25. y 6y 9y t, y(0) 0, y(0) 1
26. y 4y 4y t3
, y(0) 1, y(0) 0
27. y 6y 13y 0, y(0) 0, y(0) 3
28. 2y 20y 51y 0, y(0) 2, y(0) 0
29. y y et
cos t, y(0) 0, y(0) 0
30. y 2y 5y 1 t, y(0) 0, y(0) 4
En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace
y el procedimiento descrito en el ejemplo 9 para resolver el
problema con valores en la frontera dado.
31. y 2y y 0, y(0) 2, y(1) 2
32. y 8y 20y 0, y(0) 0, y(p) 0
33. Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a
partir del reposo 18 pulgadas arriba de la posición de equili-
brio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que
ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual
a 7
8
veces la velocidad instantánea. Use la transformada de
Laplace para encontrar la ecuación de movimiento x(t).
34. Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instan-
tánea q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está
dada por
.
L
d2
q
dt2
R
dq
dt
1
C
q E(t)
(20)
Véase la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para
encontrar q(t) cuando L 1 h, R 20 , C 0.005 f,
E(t) 150 V, t 0, q(0) 0 e i(0) 0. ¿Cuál es la co-
rriente i(t)?
35. Considere una batería de voltaje constante E0
que carga el
capacitor que se muestra en la figura 7.3.9. Divida la ecua-
ción (20) entre L y defina 2l RL y v2
1LC. Use la
transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t)
de q 2lq v2
q E0
L sujeta a q(0) 0, i(0) 0 es
q(t)
E0C 1 e t
(cosh 1 2 2
t
1 2 2
senh 1 2 2
t) , ,
E0C[1 e t
(1 t)], ,
E0C 1 e t
(cos 1 2 2
t
1 2 2
sen 1 2 2
t) ,
.
36. Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t)
en un circuito RC en serie cuando q(0) 0 y E(t) E0
ekt
,
k 0. Considere dos casos: k 1RC y k 1RC.
7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t
En los problemas 37 a 48 encuentre F(s) o f(t), como se indica.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
En los problemas 49 a 54, compare la gráfica dada con una de
las funciones de los incisos a) a f). La gráfica de f(t) se pre-
senta en la figura 7.3.10.
a)
b)
c)
d)
e)
f) f(t a) (t a) f (t a) (t b)
f(t) (t a) f(t) (t b)
f(t) f (t) (t b)
f(t) (t a)
f (t b) (t b)
f (t) f(t) (t a)
FIGURA 7.3.9 Circuito en serie del problema 35.
E0 R
C
L
FIGURA 7.3.10 Gráfica para los problemas 49 a 54.
t
f(t)
a b
49.
FIGURA 7.3.11 Gráfica para el problema 49.
t
f(t)
a b
7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 279
1
e s
s(s 1)
1
e s
s2
1
1
e 2s
s3
{cos 2t (t )}
{t (t 2)}
{(t 1) (t 1)}
1
e 2s
s2
(s 1)
1
se s/2
s2
4
1
(1 e 2s
)2
s 2
sen t t
2
{(3t 1) (t 1)}
{e2 t
(t 2)}
08367_07_ch07_p255-302.indd 279
08367_07_ch07_p255-302.indd 279 6/4/09 12:21:21 PM
6/4/09 12:21:21 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-328-320.jpg)
![71. Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies.
Si el peso se libera a partir del reposo en la posición de
equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si
una fuerza f(t) 20t actúa en el sistema para 0
t 5 y
luego se retira (véase el ejemplo 5). Desprecie cualquier
fuerza de amortiguamiento. Use un programa de grafica-
ción para trazar x(t) en el intervalo [0, 10].
72. Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f(t) sen t
actúa en el sistema para 0
t 2p y después se retira.
En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para
encontrar la carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en
serie sujeto a las condiciones indicadas.
73. q(0) 0, R 2.5 , C 0.08 f, E(t) dada en la figura
7.3.19.
t
E(t)
3
5
FIGURA 7.3.19 E(t) en el problema 73.
t
E(t)
1.5
30
30et
FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 74.
74. q(0) q0
, R 10 , C 0.1 f, E(t) dada en la figura
7.3.20.
75. a) Use la transformada de Laplace para encontrar la co-
rriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola malla
cuando i(0) 0, L 1 h, R 10 y E(t) es como se
ilustra en 1a figura 7.3.21.
b) Use un programa de computadora para graficar y di-
buje i(t) en el intervalo 0
t
6. Use la gráfica para
estimar imáx
e imín
, los valores máximo y mínimo de la
corriente.
FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 75.
/2
1
−1
t
E(t)
3 /2
π
sen t, 0 ≤ t 3 /2
π π
π
FIGURA 7.3.22 E(t) en el problema 76.
t
3
1
E(t)
E0
76. a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a
carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie
cuando q(0) 0, R 50 , C 0.01 f y E(t) es
como se muestra en la figura 7.3.22.
b) Suponga que E0
100 V. Use un programa de compu-
tadora para graficar y dibuje q(t) para 0
t
6. Use la
gráfica para estimar qmáx
el valor máximo de 1a carga.
77. Una viga en voladizo está empotrada en su extremo iz-
quierdo y libre en su extremo derecho. Use 1a transfor-
mada de Laplace para determinar la deflexión y(x) cuando
la carga está dada por
w(x)
w0,
0,
0 x L 2
L2 x L.
78. Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por
w(x)
0,
w0,
0,
0 x L3
L3 x 2L 3
2L 3 x L.
79. Encuentre la deflexión y(x) de una viga en voladizo empo-
trada en su extremo izquierdo y libre en su extremo dere-
cho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 9.
80. Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apo-
yada simplemente en el extremo derecho. Encuentre la
deflexión y(x) cuando la carga es como la que se da en el
problema 77.
Modelo matemático
81. Pastel dentro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en
la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se
saca de un horno.
a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de
un pastel mientras está dentro del horno con base en
las siguientes suposiciones: en t 0 la mezcla de pas-
tel está a temperatura ambiente de 70°; el horno no se
precalienta por lo que en t 0, cuando la mezcla de
pastel se coloca dentro del horno, la temperatura den-
tro del horno también es 70°; la temperatura del horno
aumenta linealmente hasta t 4 minutos, cuando se
alcanza la temperatura deseada de 300°; la temperatura
del horno se mantiene constante en 300° para t 4.
b) Use la transformada de Laplace para resolver el pro-
blema con valores iniciales del inciso a).
7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 281
08367_07_ch07_p255-302.indd 281
08367_07_ch07_p255-302.indd 281 6/4/09 12:21:23 PM
6/4/09 12:21:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-330-320.jpg)
![282 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Problemas para analizar
82. Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguien-
tes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pu-
diera usar directamente para encontrar la transformada de
Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación
(16) de esta sección.
a) b)
c) {cos t (t )}
{(2t 1) (t 1)}
d) {(t2
3t) (t 2)}
{et
(t 5)}
83. a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el
símbolo a se reemplaza por ki, donde k es un número
real e i2
1. Demuestre que {tekti
} se puede
usar para deducir
{t sen kt}
2ks
(s2
k2
)2
.
{t cos kt}
s2
k2
(s2
k2
)2
b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver
el problema con valores iniciales x v2
x cos vt,
x(0) 0, x (0) 0.
PROPIEDADES OPERACIONALES II
REPASO DE MATERIAL
O Definición 7.1.1
O Teoremas 7.3.1 y 7.3.2
INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transfor-
mada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f(t) que se multi-
plica por un monomio tn
, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función
periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han en-
contrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones
diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por tramos.
7.4
7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR tn
La transformada de Laplace del
producto de una función f(t) con t se puede encontrar derivando la transformada de
Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) {f (t)} existe y
que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces
;
d
ds
F(s)
d
ds 0
e st
f(t) dt
0 s
[e st
f(t)] dt
0
e st
tf(t) dt {tf(t)}
es decir, {tf(t)}
d
ds
{f (t)}.
Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2
f(t):
.
{t2
f(t)} {t tf(t)}
d
ds
{tf(t)}
d
ds
d
ds
{f(t)}
d 2
ds2
{f (t)}
Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para {tn
f(t)}.
TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas
Si F(s) {f(t)} y n 1, 2, 3, . . . , entonces
.
{tn
f(t)} ( 1)n
dn
dsn
F(s)
08367_07_ch07_p255-302.indd 282
08367_07_ch07_p255-302.indd 282 6/4/09 12:21:23 PM
6/4/09 12:21:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-331-320.jpg)
![INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil
para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas
de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene
1
{F(s)G(s)} f g. (4)
Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice III, se
pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente, se obtiene el elemento
25 de la tabla:
{sen kt kt cos kt}
2k3
(s2
k2
)2
. (5)
EJEMPLO 4 Transformada inversa como una convolución
Evalúe 1
1
(s2
k2
)2
.
SOLUCIÓN Sea F(s) G(s)
1
s2
k2
por lo que
.
f(t) g(t)
1
k
1
k
s2
k2
1
k
sen kt
En este caso la ecuación (4) da
1
1
(s2
k2
)2
1
k2
t
0
sen k sen k(t ) d . (6)
Con la ayuda de la identidad trigonométrica
sen A cos B
1
2
[cos(A B) cos(A B)]
y las sustituciones A kt y B k(t t) se puede realizar la integración en (6):
sen kt kt cos kt
2k3
.
1
2k2
1
2k
sen k(2 t) cos kt
t
0
1
1
(s2
k2
)2
1
2k2
t
0
[cos k(2 t) cos kt] d
Multiplicando ambos lados por 2k3
, se obtiene la forma inversa de (5).
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t) 1 y {g(t)} G(s) 1s,
el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es
t
0
f( ) d
F(s)
s
. (7)
La forma inversa de (7),
t
0
f( ) d 1
F(s)
s
, (8)
se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn
es un factor del denomina-
dor y f(t) 1
{F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f(t) sen t que
F(s) 1(s2
1) y por tanto usando la ecuación (8)
1
1
s2
(s2
1)
t
0
(1 cos ) d t sen t
1
1
s(s2
1)
t
0
sen d 1 cos t
7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 285
08367_07_ch07_p255-302.indd 285
08367_07_ch07_p255-302.indd 285 6/4/09 12:21:25 PM
6/4/09 12:21:25 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-334-320.jpg)
![EJEMPLO 6 Una ecuación integrodiferencial
Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L 0.1 h, R
2 , C 0.1 f, i(0) 0 y el voltaje aplicado es
.
E(t) 120t 120t (t 1) .
SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en
0.1
di
dt
2i 10
t
0
i( ) d 120t 120t (t 1).
Ahora usando (7), I(s) s
{ t
0 i( ) d } , donde I(s) {i(t)}. Por lo que la trans-
formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es
.
0.1sI(s) 2I(s) 10
I(s)
s
120
1
s2
1
s2
e s
1
s
e s ; por (16) de la sección 7.3
Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2
20s 100 (s 10)2
y después al
despejar I(s), se obtiene
.
I(s) 1200
1
s(s 10)2
1
s(s 10)2
e s
1
(s 10)2
e s
Usando fracciones parciales,
1100
s 10
e s
110
(s 10)2
e s
1
(s 10)2
e s
.
I(s) 1200
1100
s
1100
s 10
110
(s 10)2
1100
s
e s
De la forma inversa del segundo teorema de traslación (15) de la sección 7.3, final-
mente se obtiene
120te 10t
1080(t 1)e 10(t 1)
(t 1).
i(t) 12[1 (t 1)] 12[e 10t
e 10(t 1)
(t 1)]
Escrita como una función definida por tramos, la corriente es
i(t)
12 12e 10t
120te 10t
,
12e 10t
12e 10(t 1)
120te 10t
1080(t 1)e 10(t 1)
,
0 t 1
t 1.
Con esta última expresión y un SAC, se traza la gráfica i(t) en cada uno de los dos interva-
los y después se combinan las gráficas. Observe en la figura 7.4.3 que aun cuando la fun-
ción de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua.
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T 0, entonces
f(t T) f(t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una
función periódica se obtiene integrando sobre un periodo.
FIGURA 7.4.3 Gráfica de corriente
i(t) del ejemplo 6.
1
0.5 2
1.5 2.5
20
10
_30
_20
_10
t
i
TEOREMA 7.4.3 Transformada de una función periódica
Si f(t) es continua por tramos en [0, ), de orden exponencial y periódica con
periodo T, entonces
{f(t)}
1
1 e sT
T
0
e st
f(t) dt.
7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 287
08367_07_ch07_p255-302.indd 287
08367_07_ch07_p255-302.indd 287 6/4/09 12:21:26 PM
6/4/09 12:21:26 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-336-320.jpg)
![290 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar
para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coefi-
cientes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use
el teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a
una ED lineal de primer orden en la función transformada.
Resuelva la ED de primer orden para Y(s) {y(t)} y des-
pués encuentre y(t) 1
{Y(s)}
y
.
17. ty y 2t2
, y(0) 0
18. 2y ty 2y 10, y(0) y(0) 0
7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES
En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar
cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la inte-
gral antes de transformar.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. t
t
0
sen d
t
0
et
d
t
0
e cos d
t
0
e d
{e t
et
cos t}
{1 t3
}
30. t
t
0
e d
t
0
sen cos (t ) d
t
0
sen d
t
0
cos d
{e2t
sen t}
{t2
tet
}
En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transfor-
mada inversa.
31. 32.
33. 1
1
s3
(s 1)
1
1
s(s 1)
34. 1
1
s(s a)2
1
1
s2
(s 1)
35. La tabla del apéndice III no contiene un elemento para
.
1
8k3
s
(s2
k2
)3
a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar
esta transformada inversa. Utilice un SAC como
ayuda para evaluar la integral de convolución.
b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría
haber obtenido el resultado en una forma diferente?
36. Emplee la transformada de Laplace y los resultados del pro-
blema 35 para resolver el problema con valores iniciales
.
y y sen t t sen t, y(0) 0, y (0) 0
Use un programa de graficación para trazar la solución.
En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para
resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
dy
dt
6y(t) 9
t
0
y( ) d 1, y(0) 0
y (t) 1 sen t
t
0
y( ) d , y(0) 0
t 2f(t)
t
0
(e e ) f(t ) d
f (t) 1 t
8
3
t
0
( t)3
f( ) d
f (t) cos t
t
0
e f(t ) d
f (t)
t
0
f( ) d 1
f (t) 2
t
0
f( ) cos (t ) d 4e t
sen t
f (t) tet
t
0
f(t ) d
f (t) 2t 4
t
0
sen f(t ) d
f (t)
t
0
(t ) f ( ) d t
En los problemas 47 y 48, resuelva la ecuación (10) sujeta a
i(0) 0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema.
Use un programa de graficación para trazar la solución en el
intervalo 0
t 3.
47. L 0.1 h, R 3 , C 0.05 f,
E(t) 100[ (t 1) (t 2)]
48. L 0.005 h, R 1 , C 0.02 f,
E(t) 100[t (t 1) (t 1)]
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
En los problemas 49 a 54 use el teorema 7.4.3 para determi-
nar la transformada de Laplace de cada una de las funciones
periódicas.
49.
FIGURA 7.4.6 Gráfica para el problema 49.
1
función serpenteante
t
2a
a
f(t)
3a 4a
1
08367_07_ch07_p255-302.indd 290
08367_07_ch07_p255-302.indd 290 6/4/09 12:21:28 PM
6/4/09 12:21:28 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-339-320.jpg)
![57. , b 1, k 5, f
m 1
2
es la función serpenteante del
problema 49 con amplitud 10, y a p, 0
t 2p.
58. m 1, b 2, k 1, f es la función de onda cuadrada del
problema 50 con amplitud 5, y a p, 0
t 4p.
Problemas para analizar
59. Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para en-
contrar
.
1
ln
s 3
s 1
60. En la sección 6.3 vimos que ty y ty 0 es la ecua-
ción de Bessel de orden v 0. En vista de (22) de esta
sección y de la tabla 6.1, una solución del problema con
valores iniciales ty y ty 0, y(0) 1, y(0) 0, es
y J0
(t). Use este resultado y el procedimiento descrito
en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para demos-
trar que
.
{J0(t)}
1
1s2
1
[Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 46 de
los ejercicios 7.2].
61. a) Se sabe que la ecuación diferencial de Laguerre
ty (1 t)y ny 0
tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero
no negativo. Estas soluciones naturalmente se lla-
man polinomios de Laguerre y se denotan por Ln
(t).
Determine y Ln
(t), para n 0, 1, 2, 3, 4 si se sabe
que Ln
(0) 1.
b) Demuestre que
,
et
n!
dn
dtn
tn
e t
Y(s)
donde Y(s) {y} y y Ln
(t) es una solución poli-
nomial de la ED del inciso a). Concluya que
.
Ln(t)
et
n!
dn
dtn
tn
e t
, n 0, 1, 2, . . .
Esta última relación para generar los polinomios de
Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues
para los polinomios de Legendre. Véase (30) en la
sección 6.3.
Tarea para el laboratorio de computación
62. EnesteproblemaseindicanlasinstruccionesdeMathema-
tica que permiten obtener la transformada de Laplace sim-
bólicadeunaecuacióndiferencialylasolucióndelproblema
de valores iniciales al encontrar la transformada inversa. En
Mathematica la transformada de Laplace de una función
y(t) se obtiene usando LaplaceTransform [y[t], t, s]. En el
renglón dos de la sintaxis se reemplaza LaplaceTransform
[y[t], t, s] por el símbolo Y. (Si no tiene Mathematica, en-
tonces adapte el procedimiento dado encontrando la sin-
taxis correspondiente para el SAC que tenga a la mano.)
FIGURA 7.4.7 Gráfica para el problema 50.
1
función de onda cuadrada
t
2a
a
f(t)
3a 4a
50.
FIGURA 7.4.8 Gráfica para el problema 51.
función diente de sierra
t
2b
b
a
f(t)
3b 4b
51.
FIGURA 7.4.9 Gráfica para el problema 52.
1
función triangular
t
2
f(t)
3 4
1
52.
FIGURA 7.4.10 Gráfica para el problema 53.
1
rectificación de onda completa de sen t
t
f(t)
4
3
2
π π π π
53.
FIGURA 7.4.11 Gráfica para el problema 54.
4
3
2
π π π π
1
rectificación de media onda de sent
t
f(t)
54.
En los problemas 55 y 56 resuelva la ecuación (12) sujeta a
i(0) 0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra-
ficación para trazar la solución en el intervalo 0
t 4 en el
caso cuando L I y R 1.
55. E(t) es la función serpenteante del problema 49 con am-
plitud 1 y a 1.
56. E(t) es la función diente de sierra del problema 51 con
amplitud 1 y b l.
En los problemas 57 y 58 resuelva el modelo para un sistema
forzado resorte/masa con amortiguamiento
m
d2
x
dt2
dx
dt
kx f(t), x(0) 0, x (0) 0,
donde la función forzada f es como se especifica. Utilice un pro-
grama de graficación para trazar x(t) en los valores indicados de t.
7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 291
08367_07_ch07_p255-302.indd 291
08367_07_ch07_p255-302.indd 291 6/4/09 12:21:29 PM
6/4/09 12:21:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-340-320.jpg)
![292 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Considere el problema con valores iniciales
.
y 6y 9y t sen t, y(0) 2, y (0) 1
Cargue el paquete de transformada de Laplace. Repro-
duzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada ren-
glón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los
resultados a mano o imprímalo.
diffequat y[t] 6y[t] 9y[t] t Sin[t]
transformdeq LaplaceTransform [diffequat, t, s] /.
{y[0] ⬎ 2, y[0] ⬎ 1,
LaplaceTransform [y[t], t, s] ⬎ Y}
soln Solve[transformdeq, Y]//Flatten
Y Y/.soln
InverseLaplaceTransform[Y, s, t]
63. Modifique de forma apropiada el procedimiento del pro-
blema 62 para encontrar una solución de
.
y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1
y 3y 4y 0,
64. La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie
está dada por
.
q(0) 0, q (0) 0
d2
q
dt2
q 1 4 (t ) 6 (t 3 ),
Modifiquedeformaapropiadaelprocedimientodelproblema
62 para determinar q(t). Trace la gráfica de su solución.
LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 261, se indicó que como una consecuencia
inmediata del teorema 7.1.3, F(s) 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que
es continua por tramos en [0,) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una
función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) 1.
7.5
IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza ex-
terna (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo por
un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un
martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de beisbol,
golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un bate,
palo de golf o raqueta. Vea la figura 7.5.1. La gráfica de la función definida por partes
a(t t0)
0,
1
2a
,
0,
0 t t0 a
t0 a t t0 a
t t0 a,
(1)
a0,t0
0,quesemuestraenlafigura7.5.2a,podríaservircomomodeloparatalfuerza.
Para un valor pequeño de a, da
(t t0
) es en esencia una función constante de gran mag-
nitud que está “activada” sólo durante un periodo muy corto, alrededor de t0
. El compor-
tamientodeda
(tt0
)conformea:0seilustraenlafigura7.5.2b.Lafunciónda
(tt0
)se
llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a(t t0 ) dt 1.
LA FUNCION DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo
de impulso unitario, una “función” que aproxima a da
(t t0
) y se define por el límite
(t t0) lím
a : 0
a(t t0 ). (2)
FIGURA 7.5.1 Un palo de golf aplica
una fuerza de gran magnitud en la bola
durante un periodo muy corto.
08367_07_ch07_p255-302.indd 292
08367_07_ch07_p255-302.indd 292 6/4/09 12:21:29 PM
6/4/09 12:21:29 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-341-320.jpg)
![La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las
dos propiedades
.
i) (t t0)
,
0,
t t0
t t0
y ii)
0
(t t0) dt 1
El impulso unitario d(t t0
) se llama función delta de Dirac.
Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la
suposición formal de que { (t t0)} líma : 0 { a(t t0)}.
TEOREMA 7.5.1 Transformada de la función delta de Dirac
Para t0
0, { (t t0)} e st0
. (3)
DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir da
(t t0
) en términos de la función
escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3:
a(t t0)
1
2a
[ (t (t0 a)) (t (t0 a))].
Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última ex-
presión es
{ a(t t0)}
1
2a
e s(t0 a)
s
e s(t0 a)
s
e st0
esa
e sa
2sa
. (4)
Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 00 conforme a : 0 se aplica la regla de
L'Hôpital:
.
{ (t t0)} lím
a : 0
{ a(t t0)} e st0
lím
a : 0
esa
e sa
2sa
e st0
Ahora cuando t0
0, se puede concluir de (3) que
.
{ (t)} 1
El último resultado enfatiza el hecho de que d(t) no es el tipo usual de función que
se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que {f(t)} : 0
conforme s : .
EJEMPLO 1 Dos problemas con valores iniciales
Resuelva y y 4d(t 2p) sujeta a
a) y(0) 1, y(0) 0 b) y(0) 0, y(0) 0.
Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el
movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amor-
tiguamiento es despreciable. En t 2p la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa
se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la
masa está en reposo en la posición de equilibrio.
SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es
s2
Y(s) s Y(s) 4e 2 s o .
Y(s)
s
s2
1
4e 2 s
s2
1
Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, se encuentra
.
y(t) cos t 4 sen(t 2 ) (t 2 )
Puesto que sen(t 2p) sen t, la solución anterior se puede escribir como
y(t)
cos t, 0 t 2
cos t 4 sen t, t 2 .
(5)
FIGURA 7.5.2 Impulso unitario.
b) comportamiento de !a
conforme a → 0
t
t0
y
t
t0 − a
2a
12a
t0
y
t0 + a
a) gráfica de!a(t t0)
7.5 LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC O 293
08367_07_ch07_p255-302.indd 293
08367_07_ch07_p255-302.indd 293 6/4/09 12:21:30 PM
6/4/09 12:21:30 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-342-320.jpg)
![300 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Resuelva el sistema si R1
10 , R2
5 , L 1 h,
C 0.2 f.
E(t)
120,
0,
0 t 2
t 2,
i2
(0) 0, e i3
(0) 0.
b) Determine la corriente i1
(t).
Tarea para el laboratorio de computación
21. a) Use la transformada de Laplace y la información
dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del
sistema que se presenta en (7).
b) Use un programa de graficación para trazar u1
(t) y
u2
(t) en el plano tu. ¿Cuál masa tiene desplazamien-
tos extremos de mayor magnitud? Use las gráficas
para estimar la primera vez que cada masa pasa por
su posición de equilibrio. Analice si el movimiento
del péndulo es periódico.
c) Trace la gráfica de u1
(t) y u2
(t) en el plano u1
u2
como
ecuaciones paramétricas. La curva que definen estas
ecuaciones paramétricas se llama curva de Lissajous.
d) En la figura 7.6.5a se presentan las posiciones de las
masas en t 0. Observe que se ha usado 1 radián
57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación
de un SAC para construir una tabla de valores de los
ángulos u1
y u2
para t 1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje
las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
e) Use un SAC para encontrar la primera vez que u1
(t)
u2
(t) y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje
las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para
simular las varillas de los péndulos, como se muestra
en la figura 7.6.5. Use la utilidad de animación de
su SAC para hacer un “video” del movimiento del
péndulo doble desde t 0 hasta t 10 usando un
incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coorde-
nadas (x1
(t), y1
(t)) y (x2
(t), y2
(t)) de las masas m1
y m2
respectivamente, en términos de u1
(t) y u2
(t).]
FIGURA 7.6.8 Red del problema 16.
R1
E
i1 L i2
i3
C
R2
17. Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando
R1
6 , R2
5 , L1
1 h, L2
1 h, E(t) 50 sen t
V, i2
(0) 0 e i3
(0) 0.
18. Resuelva (5) cuando E 60 V, L 1
2 h , R 50 , C
104
f, i1
(0) 0 e i2
(0) 0.
19. Resuelva (5) cuando E 60 V, L 2 h, R 50 , C
104
f, i1
(0) 0 e i2
(0) 0.
20. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales
para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i3
(t) en
la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.9 es
L
di3
dt
R2i3
1
C
q 0.
R1
dq
dt
1
C
q R1i3 E(t)
b) Determine la carga en el capacitor cuando L 1 h, R1
1 , R2
1 , C I f.
E(t)
0,
50e t
,
0 t 1
t 1,
i3
(0) 0 y q(0) 0.
FIGURA 7.6.9 Red del problema 20.
R1
E
i1 i2
i3
L
C
R2
REPASO DEL CAPÍTULO 7
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-12
En los problemas 1 y 2 utilice la definición de la transformada
de Laplace para encontrar {f(t)}.
1.
2. f(t)
0,
1,
0,
0 t 2
2 t 4
t 4
f(t)
t,
2 t,
0 t 1
t 1
En los problemas 3 a 24 complete los espacios en blanco o
conteste verdadero o falso.
3. Si f no es continua por tramos en [0, ), entonces {f (t)}
no existirá. _______
4. La función f(t) (et
)10 no es de orden exponencial. ____
5. F(s) s2
(s2
4) no es la transformada de Laplace de
una función que es continua por tramos y de orden expo-
nencial. _______
08367_07_ch07_p255-302.indd 300
08367_07_ch07_p255-302.indd 300 6/4/09 12:21:35 PM
6/4/09 12:21:35 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-349-320.jpg)
![302 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En los problemas 33 a 38, use la transformada de Laplace para
resolver la ecuación dada.
33. y 2y y et
, y(0) 0, y(0) 5
34. y 8y 20y tet
, y(0) 0, y(0) 0
35. y 6y 5y t t(t 2), y(0) 1, y(0) 0
36. y 5y f (t), donde
f(t)
t2
,
0,
0 t 1
t 1
, y(0) 1
37.
38.
t
0
f( ) f(t ) d 6t3
y (t) cos t
t
0
y( ) cos(t ) d , y(0) 1
En los problemas 39 y 40, use la transformada de Laplace para
resolver cada sistema.
39. x y t 40. x y e2t
4x y 0 2x y e2t
x(0) 1, y(0) 2 x(0) 0, y(0) 0,
x(0) 0, y(0) 0
41. La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede deter-
minar de la ecuación integral
,
Ri
1
C
t
0
i( ) d E(t)
donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R
10 , C 0.5 f y E(t) 2(t2
t).
42. Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un
capacitor para el cual L 1
2 h, R 10 y C 0.01 f,
respectivamente. El voltaje
E(t)
10,
0,
0 t 5
t 5
se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t)
en el capacitor para t 0 si q(0) 0 y q(0) 0.
43. Una viga en voladizo uniforme de longitud L está em-
potrada en su extremo izquierdo (x 0) y libre en su
extremo derecho. Encuentre la deflexión y(x) si la carga
por unidad de longitud se determina por
.
w(x)
2w0
L
L
2
x x
L
2
x
L
2
44. Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base
elástica, la ecuación diferencial para su deflexión y(x) es
,
EI
d4
y
dx4
ky w(x)
donde k es el módulo de la base y ky es la fuerza res-
tauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la
de la carga w(x). Vea la figura 7.R.10. Por conveniencia
algebraica suponga que la ecuación diferencial se escribe
como
,
d4
y
dx4
4a4
y
w(x)
EI
donde a (k4EI)1/4
. Suponga que L p y a 1.
Encuentre la deflexión y(x) de una viga que está apoyada
en una base elástica cuando
a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos
y una carga constante w0
se distribuye uniformemente
a lo largo de su longitud,
b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es
una carga concentrada w0
aplicada en x p2.
[Sugerencia: En ambas partes de este problema, use los
elementos 35 y 36 de la tabla de transformadas de Laplace
del apéndice III].
FIGURA 7.R.10 Viga sobre la base elástica del problema 44.
0
x
y
L
w(x)
base elástica
FIGURA 7.R.11 Péndulos acoplados del problema 45.
1
θ
θ2
m
l
l
m
45. a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados
por medio de un resorte con k constante. Véase la fi-
gura 7.R.11. Bajo las mismas suposiciones hechas en el
análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede
demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento
u1
(t) y u2
(t) son pequeños, el sistema de ecuaciones di-
ferenciales lineales que describen el movimiento es
2
g
l
2
k
m
( 1 2).
1
g
l
1
k
m
( 1 2)
Utilice la transformada de Laplace para resolver el
sistema cuando u1
(0) u0
, u1
(0) 0, u2
(0) c0
,
u2
(0) 0, donde u0
y c0
son constantes. Por conve-
niencia, sea v2
gl, K km.
b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento
de los péndulos acoplados en el caso especial cuando
las condiciones iniciales son u1
(0) u0
, u1
(0) 0,
u2
(0) u0
, u2
(0) 0. Cuando las condiciones iniciales
son u1
(0) u0
, u1
(0) 0, u2
(0) u0
, u2
(0) 0.
08367_07_ch07_p255-302.indd 302
08367_07_ch07_p255-302.indd 302 6/4/09 12:21:36 PM
6/4/09 12:21:36 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-351-320.jpg)
![322 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor
complejo
Sea l1
a ib un eigenvalor complejo de la matriz de coeficientes A en el
sistema homogéneo (2) y sean B1
y B2
los vectores columna definidos en (22).
Entonces
X2 [B2 cos t B1 sen t]e t
X1 [B1 cos t B2 sen t]e t
(23)
son soluciones linealmente independientes de (2) en (, ).
Las matrices B1
y B2
en (22) con frecuencia se denotan por
B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24)
ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvec-
tor K1
. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con
K1
1
1 2i
1
1
i
0
2
,
B1 Re(K1)
1
1
y B2 Im(K1)
0
2
.
EJEMPLO 6 Eigenvalores complejos
Resuelva el problema con valores iniciales
X
2
1
8
2
X, X(0)
2
1
. (25)
SOLUCIÓN Primero se obtienen los eigenvalores a partir de
det(A I)
2
1
8
2
2
4 0.
los eigenvalores son ll
2i y 2 1 2i. Para ll
el sistema
k1 ( 2 2i)k2 0
(2 2i) k1 8k2 0
da k1
(2 2i)k2
. Eligiendo k2
1, se obtiene
K1
2 2i
1
2
1
i
2
0
.
Ahora de (24) formamos
B1 Re(K1)
2
1
y B2 Im(K1)
2
0
.
Puesto que a 0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es
c1
2 cos 2t 2 sen 2t
cos 2t
c2
2 cos 2t 2 sen 2t
sen 2t
.
X c1
2
1
cos 2t
2
0
sen 2t c2
2
0
cos 2t
2
1
sen 2t
(26)
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 322
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 322 6/4/09 12:22:14 PM
6/4/09 12:22:14 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-371-320.jpg)
![326 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
43. X
2
5
0
5
6
0
1
4
2
X 44. X
2
1
1
4
2
0
4
0
2
X
En los problemas 45 y 46, resuelva el problema con valores
iniciales.
45.
46. X
6
5
1
4
X, X(0)
2
8
X
1
1
1
12
2
1
14
3
2
X, X(0)
4
6
7
Tarea para el laboratorio de computación
47. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los
problemas 36, 37 y 38.
48. a) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método
descrito en los Comentarios (página 323), es decir, ex-
prese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro
ecuaciones lineales de primer orden. Use un SAC o
software de álgebra lineal como ayuda para determinar
los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de 4
4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solu-
ción general para obtener (4) de la sección 7.6.
b) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el segundo mé-
todo descrito en los Comentarios, es decir, exprese (2)
de la sección 7.6 como un sistema de dos ecuaciones
lineales de segundo orden. Suponga soluciones de la
forma X V sen vt y X V cos vt. Encuentre los
eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 2.
Como en el inciso a), obtenga (4) de la sección 7.6.
Problemas para analizar
49. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas.
a) X
1
1
1
1
X b) X
1
1
1
1
X
Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál
es la importancia geométrica de la recta y x en cada
diagrama?
50. Considere la matriz de 5 5 dada en el problema 31.
Resuelva el sistema X AX sin la ayuda de métodos
matriciales, pero escriba la solución general usando nota-
ción matricial. Use la solución general como base para un
análisis de cómo se puede resolver el sistema usando mé-
todos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas.
51. Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida pa-
ramétricamente por la solución del sistema lineal en el
ejemplo 6. Identifique la curva que pasa por (2, 1) en la
figura 8.2.5. [Sugerencia: Calcule x2
, y2
y xy.]
52. Examine sus diagramas de fase del problema 47. ¿En
qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal
homogéneo de 2 2 con eigenvalores complejos está
compuesto de una familia de curvas cerradas? ¿De una
familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0)
es un repulsor? ¿Un atractor?
SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS
REPASO DE MATERIAL
O Sección 4.4 (Coeficientes indeterminados)
O Sección 4.6 (Variación de parámetros)
INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homo-
géneo X AX F(t) en un intervalo I es X Xc
Xp
, donde Xc
c1
X1
c2
X2
cn
Xn
es la
función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X AX y Xp
es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo obtener
Xc
cuando la matriz de coeficientes A era una matriz de constantes n n. En esta sección considera-
remos dos métodos para obtener Xp
.
Los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros empleados en el ca-
pítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar
a la solución de sistemas lineales no homogéneos X AX F(t). De los dos métodos, variación
de parámetros es la técnica más poderosa. Sin embargo, hay casos en que el método de coeficientes
indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular.
8.3
8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS
LAS SUPOSICIONES Como en la sección 4.4, el método de coeficientes indetermi-
nados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 326
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 326 6/4/09 12:22:17 PM
6/4/09 12:22:17 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-375-320.jpg)
![Sea P una matriz cuyas columnas son eigenvectores K1
,
K2
, . . . , Kn
que corresponden a eigenvalores l1
, l2
, . . . , ln
de una matriz A de n n. Entonces se puede demostrar que A
PDP1
, donde D se define por
l1
0
0
D
( ).
0
0
ln
0
l2
0
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
(9)
En los problemas 19 y 20, compruebe el resultado anterior
para la matriz dada.
19. A
2
3
1
6
20. A
2
1
1
2
21. Suponga que A PDP1
, donde D se define como en (9).
Use (3) para demostrar que eAt
PeDt
P1
.
22. Use (3) para demostrar que
el1t
0
0
eDt
( ),
0
0
elnt
0
el2t
0
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
donde D se define como en (9).
En los problemas 23 y 24 use los resultados de los problemas
19 a 22 para resolver el sistema dado.
23. X
2
3
1
6
X 24. X
2
1
1
2
X
Problemas para analizar
25. Vuelva a leer el análisis que lleva al resultado dado en
(7). ¿La matriz sI A siempre tiene inversa? Explique.
26. Se dice que una matriz A es nilpotente cuando exis-
te algún entero m tal que Am
0. Compruebe que
A
1
1
1
1
0
1
1
1
1
es nilpotente. Analice porqué es rela-
tivamente fácil calcular eAt
cuando A es nilpotente. Calcule
eAt
y luego utilice (1) para resolver el sistema X AX.
Tarea para el laboratorio de computación
27. a) Utilice (1) para obtener la solución general de
X
4
3
2
3
X. Use un SAC para encontrar eAt
.
Luego emplee la computadora para determinar eigen-
valores y eigenvectores de la matriz de coeficientes
A
4
3
2
3
y forme la solución general de acuer-
do con la sección 8.2. Por último, reconcilie las dos
formas de la solución general del sistema.
b) Use (1) para determinar la solución general de
X
3
2
1
1
X. Use un SAC, para determinar
eAt
. En el caso de un resultado complejo, utilice el
software para hacer la simplificación; por ejemplo, en
Mathematica, si m MatrixExp[A t] tiene elemen-
tos complejos, entonces intente con la instrucción
Simplify[ComplexExpand[m]].
28. Use (1) para encontrar la solución general de
.
X
4
0
1
0
0
5
0
3
6
0
1
0
0
4
0
2
X
Use MATLAB o un SAC para encontrar eAt
.
REPASO DEL CAPÍTULO 8
Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-15.
En los problemas 1 y 2 complete los espacios en blanco.
1. El vector X k
4
5
es una solución de
X
1
2
4
1
X
8
1
para k __________.
2. El vector X c1
1
1
e 9t
c2
5
3
e7t
es solución del
problema con valores iniciales X
1
6
10
3
X, X(0)
2
0
para c1
__________ y c2
__________.
3. Considere el sistema lineal X
4
1
1
6
3
4
6
2
3
X.
Sin intentar resolver el sistema, determine cada uno de los
vectores
K1
0
1
1
, K2
1
1
1
, K3
3
1
1
, K4
6
2
5
es un eigenvector de la matriz de coeficientes. ¿Cuál es la
solución del sistema correspondiente a este eigenvector?
REPASO DEL CAPÍTULO 8 O 337
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 337
08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 337 6/4/09 12:22:23 PM
6/4/09 12:22:23 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-386-320.jpg)
![342 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EJEMPLO 1 Límite para errores de truncamiento local
Determine un límite superior para los errores de truncamiento local del método de
Euler aplicado a y 2xy, y(1) 1.
SOLUCIÓN De la solución y ex2
1
obtenemos y (2 4x2
)ex2
1
, por lo que el
error de truncamiento es
y (c)
h2
2
(2 4c2
)e(c2
1)
h2
2
,
donde c está entre xn
y xn
h. En particular, para h 0.1 se puede obtener un límite
superior en el error de truncamiento local para y1
al reemplazar c por 1.1:
[2 (4)(1.1)2
]e((1.1)2
1)
(0.1)2
2
0.0422.
De la tabla 9.1 se observa que el error después del primer paso es 0.0337, menor que
el valor dado por el límite.
De igual forma, se puede obtener un límite para el error de truncamiento local de
cualquiera de los cinco pasos que se muestran en la tabla 9.1 al reemplazar c por 1.5
(este valor de c da el valor más grande de y(c) de cualquiera de los pasos y puede ser
demasiado generoso para los primeros pasos). Al hacer esto se obtiene
[2 (4)(1.5)2
]e((1.5)2
1)
(0.1)2
2
0.1920 (2)
como un límite o cota superior para el error de truncamiento local en cada paso.
Observe que si h se reduce a 0.05 en el ejemplo 1, entonces el límite de error es
0.0480, casi un cuarto del valor que se muestra en (2). Esto es de esperarse porque el
error de truncamiento local para el método de Euler es O(h2
).
En el análisis anterior se supone que el valor de yn
fue exacto en el cálculo de yn 1
pero no lo es porque contiene errores de truncamiento local de los pasos anteriores. El
error total en yn 1
es una acumulación de errores en cada uno de los pasos previos.
Este error total se llama error de truncamiento global. Un análisis completo del error
de truncamiento global queda fuera del alcance de este libro, pero se puede mostrar
que el error de truncamiento global para el método de Euler es O(h).
Se espera que para el método de Euler, si el tamaño de paso es la mitad, el error será
más o menos la mitad. Esto se confirma en las tablas 9.1 y 9.2 donde el error absoluto en
x 1.50 con h 0.1 es 0.5625 y con h 0.05 es 0.3171, aproximadamente la mitad.
En general, se puede demostrar que si un método para la solución numérica de
una ecuación diferencial tiene error de truncamiento local O(ha 1
), entonces el error
de truncamiento global es O(ha
).
En lo que resta de esta sección y en las siguientes, se estudian métodos mucho más
precisos que el método de Euler.
MÉTODO DE EULER MEJORADO El método numérico definido por la fórmula
(3)
donde y*
n 1 yn hf(xn, yn),
yn 1 yn h
f(xn, yn) f(xn 1, y*
n 1)
2
,
(4)
se conoce comúnmente como el método de Euler mejorado. Para calcular yn 1
para
n 0, 1, 2, . . . de (3), se debe, en cada paso, usar primero el método de Euler (4)
para obtener una estimación inicial y*
n 1 . Por ejemplo, con n 0, usando (4) se ob-
tiene ,
y*
1 y0 hf(x0, y0) y después, conociendo este valor, se usa (3) para obtener
y1 y0 h
f(x0, y0) f (x1, y*
1 )
2
, donde x1
x0
h. Estas ecuaciones se representan
08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 342
08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 342 6/4/09 12:22:48 PM
6/4/09 12:22:48 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-391-320.jpg)
![344 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
método de Euler. Puesto que el error de truncamiento para el método de Euler mejorado
es O(h3
), el error de truncamiento global es O(h2
). Esto se puede ver en el ejemplo 2;
cuando el tamaño de paso se reduce a la mitad de h 0.1 a h 0.05, el error abso-
luto en x 1.50 se reduce de 0.0394 a 0.0108, una reducción de aproximadamente
(1
2)2 1
4.
EJERCICIOS 9.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-15.
En los problemas l a 10, use el método de Euler mejorado
para obtener una aproximación de cuatro decimales del valor
indicado. Primero use h 0.1 y después h 0.05.
1. y 2x 3y 1, y(1) 5; y(1.5)
2. y 4x 2y, y(0) 2; y(0.5)
3. y 1 y2
, y(0) 0; y(0.5)
4. y x2
y2
, y(0) 1; y(0.5)
5. y ey
, y(0) 0; y(0.5)
6. y x y2
, y(0) 0; y(0.5)
7. y (x y)2
, y(0) 0.5; y(0.5)
8. y xy 1y, y(0) 1; y(0.5)
9. y xy2
y
x
, y(1) 1; y(1.5)
10. y y y2
, y(0) 0.5; y(0.5)
11. Considere el problema con valores iniciales y (x y
1)2
, y(0) 2. Use el método de Euler mejorado con h
0.1 y h 0.05 para obtener los valores aproximados de
la solución en x 0.5. En cada paso compare el valor
aproximado con el valor real de la solución analítica.
12. Aunque podría no ser evidente de la ecuación diferencial,
su solución podría tener “un mal comportamiento” cerca
de un punto x en el que se desea aproximar y(x). Los pro-
cedimientos numéricos podrían dar resultados bastante
distintos cerca de este punto. Sea y(x) la solución del pro-
blema con valores iniciales y x2
y3
, y(1) 1.
a) Use un programa de solución numérica para trazar la
solución en el intervalo [1, 1.4].
b) Con el tamaño de paso h 0.1, compare los resul-
tados obtenidos con el método de Euler con los del
método de Euler mejorado en la aproximación de
y(1.4).
13. Considere el problema con valores iniciales y 2y,
y(0) 1. La solución analítica es y e2x
.
a) Aproxime y(0.1) con un paso y el método de Euler.
b) Determine un límite para el error de truncamiento
local en y1
.
c) Compare el error en y1
con su límite de error.
d) Aproxime y(0.1) con dos pasos y el método de
Euler.
e) Compruebe que el error de truncamiento global para
el método de Euler es O(h) al comparar los errores de
los incisos a) y d).
14. Repita el problema 13 con el método de Euler mejorado.
Su error de truncamiento global es O(h2
).
15. Repita el problema 13 con el problema con valores inicia-
les y x 2y, y(0) 1. La solución analítica es
y 1
2 x 1
4
5
4 e 2x
.
16. Repita el problema 15 usando el método de Euler mejo-
rado. Su error de truncamiento global es O(h2
).
17. Considere el problema con valores iniciales y 2x 3y
1, y(l) 5. La solución analítica es
y(x) 1
9
2
3 x 38
9 e 3(x 1)
.
a) Encuentre una fórmula en la que intervengan c y h
para el error de truncamiento local en el n-ésimo paso
si se usa el método de Euler.
b) Encuentre un límite para el error de truncamiento local
en cada paso si se usa h 0.1 para aproximar y(1.5).
c) Aproxime y(1.5) con h 0.1 y h 0.05 con el método
de Euler. Véase el problema 1 de los ejercicios 2.6.
d) Calcule los errores del inciso c) y compruebe que el
error de truncamiento global del método de Euler es
O(h).
18. Repita el problema 17 usando el método de Euler mejorado
que tiene un error de truncamiento global O(h2
). Véase el
problema 1. Podría ser necesario conservar más de cuatro
decimales para ver el efecto de reducir el orden del error.
19. Repita el problema 17 para el problema con valores iniciales
y ey
, y(0) 0. La solución analítica es y(x) ln(x 1).
Aproxime y(0.5). Véase el problema 5 en los ejercicios 2.6.
20. Repita el problema 19 con el método de Euler mejorado,
que tiene un error de truncamiento global O(h2
). Véase el
problema 5. Podría ser necesario conservar más de cuatro
decimales para ver el efecto de reducir el orden de error.
Problemas para analizar
21. Conteste la pregunta “¿Por qué no?” que sigue a los tres
enunciados después del ejemplo 2 de la página 343.
08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 344
08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 344 6/4/09 12:23:06 PM
6/4/09 12:23:06 PM
www.FreeLibros.me](https://image.slidesharecdn.com/ecuacionesdiferencialesdenniszill7a-220410031652/85/Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a-pdf-393-320.jpg)
Ecuaciones_Diferenciales_Dennis_Zill_7a.pdf
- 2. SÉPTIMA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera 08367_00_frontmatter.indd i 08367_00_frontmatter.indd i 6/4/09 12:28:56 PM 6/4/09 12:28:56 PM www.FreeLibros.me
- 3. 08367_00_frontmatter.indd ii 08367_00_frontmatter.indd ii 6/4/09 12:28:57 PM 6/4/09 12:28:57 PM www.FreeLibros.me
- 4. SÉPTIMA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN Late of Loyola Marymount University TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Universidad La Salle Morelia REVISIÓN TÉCNICA Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur 08367_00_frontmatter.indd iii 08367_00_frontmatter.indd iii 6/4/09 12:28:58 PM 6/4/09 12:28:58 PM www.FreeLibros.me
- 5. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Séptima edición Dennis G. Zill y Michael R. Cullen Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Cordinadora editorial: María Rosas López Editor: Sergio R. Cervantes González Editora de producción: Abril Vega Orozco Ilustrador: Jade Myers, Matrix Diseño de portada: Grupo Insigne OTA, S.A de C.V. Imagen de portada: Photos.com Composición tipográfica: EDITEC S.A. de C.V. © D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S. A. de C. V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with Boundary-Value Problems, Seventh Edition. Zill, Dennis G. and Michael R. Cullen Publicado en inglés por Brooks & Cole /Cengage Learning ©2009 ISBN-13: 978-0-495-10836-8 ISBN-10: 0-495-10836-7 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. y Michael R. Cullen Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Séptima edición ISBN-13: 978-607-481-314-2 ISBN-10: 607-481-314-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com 08367_00_frontmatter.indd iv 08367_00_frontmatter.indd iv 6/4/09 12:28:58 PM 6/4/09 12:28:58 PM www.FreeLibros.me
- 6. v CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1 Prefacio ix 1.1 Definiciones y terminología 2 1.2 Problemas con valores iniciales 13 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 19 REPASO DEL CAPÍTULO 1 32 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34 2.1 Curvas solución sin una solución 35 2.1.1 Campos direccionales 35 2.1.2 ED de primer orden autónomas 37 2.2 Variables separables 44 2.3 Ecuaciones lineales 53 2.4 Ecuaciones exactas 62 2.5 Soluciones por sustitución 70 2.6 Un método numérico 75 REPASO DEL CAPÍTULO 2 80 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 82 3.1 Modelos lineales 83 3.2 Modelos no lineales 94 3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden 105 REPASO DEL CAPÍTULO 3 113 08367_00_frontmatter.indd v 08367_00_frontmatter.indd v 6/4/09 12:28:58 PM 6/4/09 12:28:58 PM www.FreeLibros.me
- 7. vi O CONTENIDO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 117 4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 118 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 118 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 120 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 125 4.2 Reducción de orden 130 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 133 4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 140 4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 150 4.6 Variación de parámetros 157 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 162 4.8 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 169 4.9 Ecuaciones diferenciales no lineales 174 REPASO DEL CAPÍTULO 4 178 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 181 5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 182 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 182 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 186 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 189 5.1.4 Circuito en serie análogo 192 5.2 Modelos lineales: Problema con valores en la frontera 199 5.3 Modelos no lineales 207 REPASO DEL CAPÍTULO 5 216 6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 220 6.1.1 Repaso de series de potencias 220 6.1.2 Soluciones en series de potencias 223 6.2 Soluciones en torno a puntos singulares 231 6.3 Funciones especiales 241 6.3.1 Ecuación de Bessel 241 6.3.2 Ecuación de Legendre 248 REPASO DEL CAPÍTULO 6 253 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 219 6 08367_00_frontmatter.indd vi 08367_00_frontmatter.indd vi 6/4/09 12:28:59 PM 6/4/09 12:28:59 PM www.FreeLibros.me
- 8. CONTENIDO O vii 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 255 7.1 Definición de la transformada de Laplace 256 7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 262 7.2.1 Transformadas inversas 262 7.2.2 Transformadas de derivadas 265 7.3 Propiedades operacionales I 270 7.3.1 Traslación en el eje s 271 7.3.2 Traslación en el eje t 274 7.4 Propiedades operacionales II 282 7.4.1 Derivadas de una transformada 282 7.4.2 Transformadas de integrales 283 7.4.3 Transformada de una función periódica 287 7.5 La función delta de Dirac 292 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 295 REPASO DEL CAPÍTULO 7 300 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 303 8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 304 8.2 Sistemas lineales homógeneos 311 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 312 8.2.2 Eigenvalores repetidos 315 8.2.3 Eigenvalores complejos 320 8.3 Sistemas lineales no homógeneos 326 8.3.1 Coeficientes indeterminados 326 8.3.2 Variación de parámetros 329 8.4 Matriz exponencial 334 REPASO DEL CAPÍTULO 8 337 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 339 9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 340 9.2 Métodos de Runge-Kutta 345 9.3 Métodos multipasos 350 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 353 9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden 358 REPASO DEL CAPÍTULO 9 362 08367_00_frontmatter.indd vii 08367_00_frontmatter.indd vii 6/4/09 12:28:59 PM 6/4/09 12:28:59 PM www.FreeLibros.me
- 9. SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 363 10.1 Sistemas autónomos 364 10.2 Estabilidad de sistemas lineales 370 10.3 Linearización y estabilidad local 378 10.4 Sistemas autónomos como modelos matemáticos 388 REPASO DEL CAPÍTULO 10 395 11 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 397 11.1 Funciones ortogonales 398 11.2 Series de Fourier 403 11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 408 11.4 Problema de Sturm-Liouville 416 11.5 Series de Bessel y Legendre 423 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 424 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 427 REPASO DEL CAPÍTULO 11 430 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 432 12.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 433 12.2 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 437 12.3 Ecuación de calor 443 12.4 Ecuación de onda 445 12.5 Ecuación de Laplace 450 12.6 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 455 12.7 Desarrollos en series ortogonales 461 12.8 Problemas dimensionales de orden superior 466 REPASO DEL CAPÍTULO 12 469 10 viii O CONTENIDO 08367_00_frontmatter.indd viii 08367_00_frontmatter.indd viii 6/4/09 12:29:00 PM 6/4/09 12:29:00 PM www.FreeLibros.me
- 10. CONTENIDO O ix APÉNDICES I Función gamma APE-1 II Matrices APE-3 III Transformadas de Laplace APE-21 Respuestas a los problemas seleccionados con numeración impar RES-1 Índice I-1 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 471 13.1 Coordenadas polares 472 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 477 13.3 Coordenadas esféricas 483 REPASO DEL CAPÍTULO 13 486 14 TRANSFORMADA INTEGRAL 488 14.1 Función error 489 14.2 Transformada de Laplace 490 14.3 Integral de Fourier 498 14.4 Transformadas de Fourier 504 REPASO DEL CAPÍTULO 14 510 15 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 511 15.1 Ecuación de Laplace 512 15.2 Ecuación de calor 517 15.3 Ecuación de onda 522 REPASO DEL CAPÍTULO 15 526 08367_00_frontmatter.indd ix 08367_00_frontmatter.indd ix 6/4/09 12:29:00 PM 6/4/09 12:29:00 PM www.FreeLibros.me
- 11. 08367_00_frontmatter.indd x 08367_00_frontmatter.indd x 6/4/09 12:29:01 PM 6/4/09 12:29:01 PM www.FreeLibros.me
- 12. xi AL ESTUDIANTE Los autores de los libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea. Contrariamente a lo que usted podría creer, casi todo texto de matemáticas de nivel universitario está escrito para usted y no para el profesor. Cierto es que los temas cu- biertos en el texto se escogieron consultando a los profesores, ya que ellos toman la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases; pero todo lo escrito en él está dirigido directamente al estudiante. Entonces quiero invitarle, no, en realidad quiero decirle que ¡lea este libro de texto! Pero no lo haga como leería una novela; no debe leerlo rápido y no debe saltarse nada. Piense en este como un cuaderno de ejercicios. Por eso pienso que las matemáticas siempre deberían ser leídas con lápiz y papel a la mano porque muy probablemente, tendrá que trabajar a su manera los ejemplos y hacer el análisis. Lea —más bien, trabaje— todos los ejemplos de una sección antes de intentar cualquiera de los ejercicios; los ejemplos se han construido para mostrar lo que considero son los aspectos más importantes de la sección y por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas de los conjuntos de ejercicios. Yo les digo a mis estudiantes que cuando lean un ejemplo, cubran su solución y que intenten trabajar primero en ella, comparar su respuesta con la solución dada y luego resolver cualquier diferencia. He tratado de incluir lo más importante de cada ejemplo, pero si algo no es claro usted podría siempre intentarlo —y aquí es donde el papel y el lápiz entran otra vez— complete los detalles o pasos que faltan. Puede no ser fácil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulación de hechos seguidos por la lenta asimilación del entendimiento simplemente no se puede alcanzar sin luchar. En conclusión, le deseo buena suerte y éxito. Espero disfrute el libro y el curso que está por iniciar. Cuando era estudiante de la licenciatura en matemáticas, este curso fue uno de mis favoritos porque me gustan las matemáticas que están conectadas con el mundo físico. Si tiene algún comentario o si encuentra algún error cuando lo lea o trabaje con él o si me quiere hacer llegar una buena idea para mejorar el libro, por favor póngase en contacto conmigo o con mi editor en la Compañía editorial Brooks/Cole: [email protected] AL PROFESOR ¿QUÉ ES LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN? Primero, déjeme decirle que no ha cambiado. El orden del capítulo por temas, el número y el orden de las secciones dentro de un capítulo, se conservan igual que en las ediciones anteriores. PREFACIO 08367_00_frontmatter.indd xi 08367_00_frontmatter.indd xi 6/4/09 12:29:01 PM 6/4/09 12:29:01 PM www.FreeLibros.me
- 13. En caso de que examine este texto por primera vez, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a. edición, se puede utilizar ya sea para un curso de un semestre de ecuaciones diferenciales ordinarias o para cubrir un curso de dos semestres de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La versión cor- ta del libro, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 9a. edición, termina en el capítulo 9. Para un curso de un semestre, supongo que los estudiantes han concluido con éxito al menos un curso de dos semestres de cálculo. Puesto que está leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos para los temas que cubrirá. En este prefacio no encontrará “un programa sugerido”. No pretenderé ser tan sabio como para decir lo que otros profesores enseñen en sus clases. Siento que hay mucho material aquí para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio razonable entre los métodos analíticos, cualitativos y cuantitativos en el es- tudio de las ecuaciones diferenciales. Por lo que mi “filosofía subyacente” es “Un libro para estudiantes de licenciatura debería estar escrito considerando siempre el enten- dimiento del estudiante, lo que significa que el material debería estar presentado en una forma directa, legible y útil, considerando el nivel teórico compatible con la idea ‘de un primer curso’”. A las personas familiarizadas con las ediciones anteriores me gustaría mencionar- les algunas de las mejoras hechas en esta edición. • Problemas aportados Los conjuntos de ejercicios seleccionados concluyen con uno o dos problemas aportados. Estos problemas se han probado en clase y los han enviado profesores de cursos de ecuaciones diferenciales y muestran cómo los profesores han complementado sus presentaciones de clase con proyectos adicionales. • Ejercicios Un gran número de ejercicios se ha actualizado agregando nuevos problemas para evaluar mejor y presentarles retos a los estudiantes. De igual forma, se han mejorado algunos conjuntos de ejercicios quitando algunos pro- blemas. • Diseño Esta edición se ha mejorado con un diseño a cuatro colores, lo que le da profundidad de significado a todas las gráficas y énfasis a frases impor- tantes, supervisé la creación de cada parte de arte para asegurarme de que esté matemáticamente correcta conforme al texto. • Nueva numeración de figuras Me tomó muchas ediciones hacer esto, pero finalmente me convencí de que la vieja numeración de figuras, teoremas y definiciones tenía que cambiarse. En esta revisión he utilizado un sistema de numeración de doble-decimal. Por ejemplo, en la última edición la figura 7.52 sólo indica que es la 52a. del capítulo 7. En esta edición, la misma figura se numeró como la figura 7.6.5 donde Capítulo Sección 7.6.5d Quinta figura en la sección Siento que este sistema proporciona una indicación clara de dónde están las cosas, sin necesidad de agregar el molesto número de página. • Proyectos de ediciones anteriores Problemas y ensayos seleccionados de edi- ciones pasadas del libro se pueden encontrar en el sitio web de la compañía en academic.cengage.com/math/zill RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Student Resource and Solutions Manual, de Warren S. Wright, Dennis G. Zill, y Carol D. Wright (ISBN 0495385662) que acompaña a Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la Frontera 7a. edición, pre- senta repasos del material más importante de Álgebra y Cálculo, las solucio- nes de cada tercer problema de cada conjunto de ejercicios excepto la dis- xii O PREFACIO T T 08367_00_frontmatter.indd xii 08367_00_frontmatter.indd xii 6/4/09 12:29:01 PM 6/4/09 12:29:01 PM www.FreeLibros.me
- 14. PREFACIO O xiii cusión de problemas y laboratorio de conjuntación) los comandos y su sintaxis más importantes de Mathematica y Maple, listas de conceptos importantes, así como útiles sugerencias de cómo empezar ciertos problemas. • Las herramientas de ED (DE tools) son conjuntos de simulaciones que apor- tan una exploración visual interactiva de los conceptos presentados en este texto. Visite academic.cengage.com/math/zill para encontrar más recursos, o contacte a los representantes de ventas de su localidad y pregunte acerca de más opciones disponibles para el aprovechamiento DE tools con este libro. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están dis- ponibles en inglés, y sólo se proporciona a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica [email protected] Cengage Learning Caribe [email protected] Cengage Learning Cono Sur [email protected] Colombia [email protected] • El Text Bank, de Gilbert Lewis (ISBN0495386065) contiene múltiples op- ciones y respuestas cortas a las cuestiones de las pruebas que se plantean en el texto. RECONOCIMIENTOS Compilar un libro de texto de matemáticas como éste y asegurarse de que sus miles de símbolos y cientos de ecuaciones estén (en su mayoría) correctos es una enorme tarea, pero puesto que yo me llamo “el autor” este es mi trabajo y responsabilidad. Pero muchas personas además de mí, invirtieron enormes cantidades de tiempo y energía para lograr por fin su publicación. Entonces me gustaría aprovechar esta oportuni- dad para expresar mi más sincero aprecio a cada uno —la mayoría de ellos no me co- noce— en la Compañía Editorial Brooks/Cole, en Cengage Learning y en Hearthside Publication Services, quienes estuvieron implicados en la publicación de esta nueva edición. Sin embargo, me gustaría seleccionar a unas personas para un reconocimiento especial: En Brooks/Cole/Cengage, a Cheryll Linthicum, jefa del proyecto de produc- ción, por su buena voluntad para escuchar las ideas de autores y contestar paciente- mente las muchas preguntas de los mismos; a Larry Didona por sus excelentes diseños de los forros; a Diane Beasley por el diseño interior; a Vernon Boes por su supervi- sión de todo el arte y el diseño; a Charlie van Wagner, editor anfitrión; a Stacy Green por la coordinación de todos los suplementos; a Leslie Lahr, editora de desarrollo, por sus sugerencias, apoyo y por conseguir y organizar los problemas aportados; y en Hearthside Publication Services, a Anne Seitz, editora de producción, quien puso de nuevo todas las piezas del rompecabezas juntas. Mi más especial agradecimiento va para John Samons por el trabajo excepcional que hizo al revisar el texto y conseguir el manuscrito correcto. También extiendo mi más sincero aprecio a aquellas personas que invirtie- ron su tiempo a pesar sus ocupados horarios académicos para enviar un problema aportado. Ben Fitzpatrick, Loyola Marymount University Layachi Hadji, University of Alabama Michael Prophet, University of Northern Iowa Doug Shaw, University of Northern Iowa 08367_00_frontmatter.indd xiii 08367_00_frontmatter.indd xiii 6/4/09 12:29:01 PM 6/4/09 12:29:01 PM www.FreeLibros.me
- 15. Warren S. Wright, Loyola Marymount University David Zeigler, California State University—Sacramento Finalmente, conforme han pasado los años, estos libros de texto se han mejorado por un número incontable de caminos por las sugerencias y las críticas de los revisores. Así que es justo concluir con un reconocimiento de mi deuda con las siguientes perso- nas por compartir su maestría y experiencia. REVISORES DE EDICIONES PASADAS William Atherton, Cleveland State University Philip Bacon, University of Florida Bruce Bayly, University of Arizona R. G. Bradshaw, Clarkson College Decano R. Brown, Youngstown State University David Buchthal, University of Akron Nguyen P. Cac, University of Iowa T. Chow, California State University-Sacramento Dominic P. Clemence, North Carolina Agricultural and Technical State University Pasquale Condo, University of Massachusetts-Lowell Vincent Connolly, Worcester Polytechnic Institute Philip S. Crooke, Vanderbilt University Bruce E. Davis, St. Louis Community College at Florissant Valley Paul W. Davis, Worcester Polytechnic Institute Richard A. DiDio, La Salle University James Draper, University of Florida James M. Edmondson, Santa Barbara City College John H. Ellison, Grove City College Raymond Fabec, Louisiana State University Donna Farrior, University of Tulsa Robert E. Fennell, Clemson University W.E. Fitzgibbon, University of Houston Harvey J. Fletcher, Brigham Young University Paul J. Gormley, Villanova Terry Herdman, Virginia Polytechnic Institute and State University Zdzislaw Jackiewicz, Arizona State University S.K. Jain, Ohio University Anthony J. John, Southeastern Massachusetts University David C. Johnson, University of Kentucky-Lexington Harry L. Johnson, V.P.I & S.U. Kenneth R. Johnson, North Dakota State University Joseph Kazimir, East Los Angeles College J. Keener, University of Arizona Steve B. Khlief, Tennessee Technological University (retired) C.J. Knickerbocker, St. Lawrence University Carlon A. Krantz, Kean College of New Jersey Thomas G. Kudzma, University of Lowell G.E. Latta, University of Virginia Cecelia Laurie, University of Alabama James R. McKinney, California Polytechnic State University James L. Meek, University of Arkansas Gary H. Meisters, University of Nebraska-Lincoln Stephen J. Merrill, Marquette University Vivien Miller, Mississippi State University Gerald Mueller, Columbus State Community College xiv O PREFACE 08367_00_frontmatter.indd xiv 08367_00_frontmatter.indd xiv 6/4/09 12:29:02 PM 6/4/09 12:29:02 PM www.FreeLibros.me
- 16. Philip S. Mulry, Colgate University C.J. Neugebauer, Purdue University Tyre A. Newton, Washington State University Brian M. O’Connor, Tennessee Technological University J.K. Oddson, University of California-Riverside Carol S. O’Dell, Ohio Northern University A. Peressini, University of Illinois, Urbana-Champaign J. Perryman, University of Texas at Arlington Joseph H. Phillips, Sacramento City College Jacek Polewczak, California State University Northridge Nancy J. Poxon, California State University-Sacramento Robert Pruitt, San Jose State University K. Rager, Metropolitan State College F.B. Reis, Northeastern University Brian Rodrigues, California State Polytechnic University Tom Roe, South Dakota State University Kimmo I. Rosenthal, Union College Barbara Shabell, California Polytechnic State University Seenith Sivasundaram, Embry-Riddle Aeronautical University Don E. Soash, Hillsborough Community College F.W. Stallard, Georgia Institute of Technology Gregory Stein, The Cooper Union M.B. Tamburro, Georgia Institute of Technology Patrick Ward, Illinois Central College Warren S. Wright, Loyola Marymount University Jianping Zhu, University of Akron Jan Zijlstra, Middle Tennessee State University Jay Zimmerman, Towson University REVISORES DE LAS EDICIONES ACTUALES Layachi Hadji, University of Alabama Ruben Hayrapetyan, Kettering University Alexandra Kurepa, North Carolina A&T State University Dennis G. Zill Los Ángeles PREFACIO O xv 08367_00_frontmatter.indd xv 08367_00_frontmatter.indd xv 6/4/09 12:29:02 PM 6/4/09 12:29:02 PM www.FreeLibros.me
- 17. A continuación, queremos agradecer su apoyo y preferencia a algunos profesores que son adopters de nuestra obra: NOMBRE DEL PROFESOR INSTITUCIÓN Claudia Verónica Martínez Casillas Universidad de Guadalajara Jesús de Dios Sánchez Universidad de Guadalajara Rosendo Martínez Silva Universidad de Guadalajara Jesús Ricardo Reyes Ortega Universidad de Guadalajara Elba Lilia de la Cruz García Universidad de Guadalajara Dalmiro García Nava Universidad de Guadalajara Fernando Elizalde Camino Universidad de Guadalajara William Enrique Londoño Terwes Universidad de Guadalajara José Solís Rodríguez Universidad de Guadalajara Rosalba Espinoza Sánchez Universidad de Guadalajara Federico Antonio Huerta Cisneros Universidad de Guadalajara Maria Esther Mejía Marín Universidad de Guadalajara Fernando Renán González Solís Universidad de Guadalajara Eloisa Santiago Hernández Universidad de Guadalajara José Miguel Asunción Gutiérrez Rocha Universidad de Guadalajara Alexander Yakhno Universidad de Guadalajara Maria Merced Arriaga Gutiérrez Universidad de Guadalajara Rafael Martín del Campo Amezcua Universidad de Guadalajara Carlos Alberto Rivera Aguilar Universidad de Guadalajara Octavio Flores Siordia Universidad de Guadalajara Cesar Castillo Quevedo Universidad de Guadalajara Cesar Ascencio Sánchez Universidad de Guadalajara Eduardo Palomar Lever Universidad de Guadalajara Milton Oswaldo Vázquez Lepe Universidad de Guadalajara Maria Carolina Rodríguez Uribe Universidad de Guadalajara Luz Maria Zúñiga Medina Universidad de Guadalajara Gerardo Agustín Hermosillo Rodríguez Universidad de Guadalajara Jesús Castañeda Contreras Universidad de Guadalajara Roger Chiu Zarate Universidad de Guadalajara Héctor Pérez Ladrón de Guevara Universidad de Guadalajara Reyes Angulo Cedeño Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara Luz Maria González Ureña Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara Javier Quezada Andrade Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara Carlos Santillán Verduzco Universidad Panamericana Ignacio Navarro Ruiz Universidad del Valle de Atemajac Martín Muñoz Sánchez Universidad del Valle de Atemajac Norma Elba Espino Rojas Universidad del Valle de Atemajac Raúl Baeza Ornelas Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente Francisco Javier González Orozco Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente Alberto Arjona Cabrera Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente Roberto Langarica Sánchez Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente Paola Zatarain Gómez Universidad Autónoma de Guadalajara Mario Mesino González Universidad Autónoma de Guadalajara Ignacio Sánchez Ramírez Universidad Autónoma de Guadalajara Samuel Flores González Centro de Enseñanza Técnica Industrial Alberto Montañés Espinosa Centro de Enseñanza Técnica Industrial Manuel Márquez Gutiérrez Centro de Enseñanza Técnica Industrial Salvador Cervantes Petersen Instituto Tecnológico Superior de Zapopan Evaristo Martínez Maldonado Instituto Tecnológico Superior de Zapopan Lucia Ángela Navarro Moreno Universidad Tecnológica de Guadalajara Emilio Delgado Ornelas Universidad Tecnológica de Guadalajara Edgar López Mena Universidad Tecnológica de Guadalajara Mario Saldaña Universidad Tecnológica de Guadalajara Francisco Carbajal Ramos Universidad Tecnológica de Guadalajara Luis Andrés Mejia Universidad Tecnológica de Guadalajara José Juárez Palafox Instituto Tecnológico de Morelia Juan Manuel Alanis Gutiérrez Instituto Tecnológico de Morelia Salvador Aburto Bedolla Instituto Tecnológico de Morelia Fabián Ortega Monroy Instituto Tecnológico de Morelia Juan Manuel Torres Jasso Instituto Tecnológico de Morelia José Adalberto Gutiérrez Paredes Instituto Tecnológico de Morelia Gerardo Hernández Medina Instituto Tecnológico de Morelia Francisco Javier Po Chávez Instituto Tecnológico Regional de Jiquilpan Irma Partida Cervantes Instituto Tecnológico Regional de Jiquilpan Daniel Barriga Flores Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Morelia Gladis Ileana Tejeda Campos Universidad de Colima Salvador Gutiérrez Moreno Instituto Tecnológico de Colima ¡Gracias! Atentamente Cengage Learning México AGRADECIMIENTOS 08367_00_frontmatter.indd xvi 08367_00_frontmatter.indd xvi 6/4/09 12:29:02 PM 6/4/09 12:29:02 PM www.FreeLibros.me
- 18. SÉPTIMA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera 08367_00_frontmatter.indd xvii 08367_00_frontmatter.indd xvii 6/4/09 12:29:02 PM 6/4/09 12:29:02 PM www.FreeLibros.me
- 19. 08367_00_frontmatter.indd xviii 08367_00_frontmatter.indd xviii 6/4/09 12:29:02 PM 6/4/09 12:29:02 PM www.FreeLibros.me
- 20. 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Definiciones y terminología 1.2 Problemas con valores iniciales 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL CAPÍTULO 1 Las palabras ecuaciones y diferenciales ciertamente sugieren alguna clase de ecuación que contiene derivadas y, y, . . . Al igual que en un curso de álgebra y trigonometría, en los que se invierte bastante tiempo en la solución de ecuaciones tales como x2 5x 4 0 para la incógnita x, en este curso una de las tareas será resolver ecuaciones diferenciales del tipo y 2y y 0 para la función incógnita y (x). Nos dice algo el párrafo anterior, pero no la historia completa acerca del curso que está por iniciar. Conforme el curso se desarrolle verá que hay más en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solamente dominar los métodos que alguien ha inventado para resolverlas. Pero las cosas en orden. Para leer, estudiar y platicar de un tema especializado, tiene que aprender la terminología de esta disciplina. Esa es la idea de las dos primeras secciones de este capítulo. En la última sección examinaremos brevemente el vínculo entre las ecuaciones diferenciales y el mundo real. Las preguntas prácticas como ¿qué tan rápido se propaga una enfermedad? ¿Qué tan rápido cambia una población? implican razones de cambio o derivadas. Así, la descripción matemática —o modelo matemático— de experimentos, observaciones o teorías puede ser una ecuación diferencial. 1 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 1 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 1 6/4/09 12:14:54 PM 6/4/09 12:14:54 PM www.FreeLibros.me
- 21. 2 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA REPASO DE MATERIAL ● Definición de derivada ● Reglas de derivación ● Derivada como una razón de cambio ● Primera derivada y crecimiento/decrecimiento ● Segunda derivada y concavidad INTRODUCCIÓN La derivada dydx de una función y (x) es otra función (x) que se en- cuentra con una regla apropiada. La función y = e0.1x2 es derivable en el intervalo (, ), y usando la regla de la cadena, su derivada es dydx = 0.2xe0.1x2 . Si sustituimos e0.1x2 en el lado derecho de la ultima ecuación por y, la derivada será . dy dx 0.2xy (1) Ahora imaginemos que un amigo construyó su ecuación (1); usted no tiene idea de cómo la hizo y se pregunta ¿cuál es la función representada con el símbolo y? Se está enfrentando a uno de los problemas básicos de este curso: ¿Cómo resolver una ecuación para la función desconocida y (x)? 1.1 UNA DEFINICIÓN La ecuación (1) es llamada ecuación diferencial. Antes de pro- seguir, consideremos una definición más exacta de este concepto. DEFINICIÓN 1.1.1 Ecuación diferencial Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED). Para hablar acerca de ellas clasificaremos a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad. CLASIFICACIÓN POR TIPO Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo, Una ED puede contener más de una variable dependiente, dy dx 5y ex , d2 y dx2 dy dx 6y 0, y dx dt dy dt 2x y o o (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que involucra derivadas par- ciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo, 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 2 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 2 6/4/09 12:14:55 PM 6/4/09 12:14:55 PM www.FreeLibros.me
- 22. 2 u x2 2 u y2 0, 2 u x2 2 u t2 2 u t , y u y v x (3) son ecuaciones diferenciales parciales.* En todo el libro las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leibniz dydx, d2 ydx2 , d3 ydx3 , . . . o la notación prima y, y, y, . . . . Usando esta última notación, las primeras dos ecuaciones diferenciales en (2) se pueden escribir en una forma un poco más compacta como y 5y ex y y y 6y 0. Realmente, la notación prima se usa para denotar sólo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada se denota y(4) en lugar de y. En general, la n-ésima derivada de y se escribe como dn ydxn o y(n) . Aunque es menos conveniente para escribir o componer tipográficamente, la no- tación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación prima en que muestra claramente ambas variables, las dependientes y las independientes. Por ejemplo, en la ecuación d2x ––– dt2 16x 0 función incógnita o variable dependiente variable independiente se ve inmediatamente que ahora el símbolo x representa una variable dependiente, mientras que la variable independiente es t. También se debe considerar que en ingenie- ría y en ciencias físicas, la notación de punto de Newton (nombrada despectivamente notación de “puntito”) algunas veces se usa para denotar derivadas respecto al tiem- po t. Así la ecuación diferencial d2 sdt2 32 será s̈ 32. Con frecuencia las derivadas parciales se denotan mediante una notación de subíndice que indica las va- riables independientes. Por ejemplo, con la notación de subíndices la segunda ecuación en (3) será uxx utt 2ut . CLASIFICACIÓN POR ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Por ejemplo, primer orden segundo orden 5( )3 4y ex dy ––– dx d2y –––– dx2 es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden algunas veces son escritas en la forma diferencial M(x, y)dx N(x, y) dy 0. Por ejemplo, si suponemos que y denota la variable dependiente en (y x) dx 4xdy 0, entonces y dydx, por lo que al dividir entre la diferencial dx, obtenemos la forma alterna 4xy y x. Véanse los Comentarios al final de esta sección. Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una variable dependiente por la forma general , F(x, y, y , . . . , y(n) ) 0 (4) donde F es una función con valores reales de n 2 variables: x, y, y, …, y(n) . Por ra- zones tanto prácticas como teóricas, de ahora en adelante supondremos que es posible resolver una ecuación diferencial ordinaria en la forma de la ecuación (4) únicamente para la mayor derivada y(n) en términos de las n 1 variables restantes. * Excepto esta sección de introducción, en Un primer curso de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, novena edición, sólo se consideran ecuaciones diferenciales ordinarias. En ese libro la palabra ecuación y la abreviatura ED se refiere sólo a las EDO. Las ecuaciones diferenciales parciales o EDP se consideran en el volumen ampliado Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. séptima edición. 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 3 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 3 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 3 6/4/09 12:14:57 PM 6/4/09 12:14:57 PM www.FreeLibros.me
- 23. 4 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuación diferencial , dn y dxn f(x, y, y , . . . , y(n 1) ) (5) donde f es una función continua con valores reales, se conoce como la forma normal de la ecuación (4). Así que cuando sea adecuado para nuestros propósitos, usaremos las formas normales dy dx f (x, y) y d2 y dx2 f(x, y, y ) para representar en general las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Por ejemplo, la forma normal de la ecuación de primer orden 4xy y x es y (x y)4x; la forma normal de la ecuación de segundo orden y y 6y 0 es y y 6y. Véanse los Comentarios. CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD Una ecuación diferencial de n-ésimo orden (4) se dice que es lineal si F es lineal en y, y, . . . , y(n) . Esto significa que una EDO de n-ésimo orden es lineal cuando la ecuación (4) es an (x)y(n) an1 (x)y(n1) a1 (x)y a0 (x)y g(x) 0 o . an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (6) Dos casos especiales importantes de la ecuación (6) son las ED lineales de primer orden (n 1) y de segundo orden (n 2): . a1(x) dy dx a0(x)y g(x) y a2(x) d2 y dx2 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (7) En la combinación de la suma del lado izquierdo de la ecuación (6) vemos que las dos propiedades características de una EDO son las siguientes: • La variable dependiente y y todas sus derivadas y, y, . . . , y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término que contiene y es igual a 1. • Los coeficientes de a0 , a1 , . . . , an de y, y, . . . , y(n) dependen a lo más de la variable independiente x. Las ecuaciones (y x)dx 4x dy 0, y 2y y 0, y d3 y dx3 x dy dx 5y ex son, respectivamente, ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden. Aca- bamos sólo de mostrar que la primera ecuación es lineal en la variable y cuando se escribe en la forma alternativa 4xy y x. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es sim- plemente no lineal. Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como sen y o ey , no se pueden presentar en una ecuación lineal. Por tanto término no lineal: coeficiente depende de y término no lineal: función no lineal de y término no lineal: el exponente es diferente de 1 (1 y)y 2y ex, sen y 0, y d2y –––– dx2 y2 0 d4y –––– dx4 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer, segundo y cuarto orden respectivamente. SOLUCIONES Como ya se ha establecido, uno de los objetivos de este curso es resolver o encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales. En la siguiente definición consideramos el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 4 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 4 6/4/09 12:14:57 PM 6/4/09 12:14:57 PM www.FreeLibros.me
- 24. DEFINICIÓN 1.1.2 Solución de una EDO Cualquier función , definida en un intervalo I y que tiene al menos n deriva- das continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden (4) es una función que posee al menos n derivadas para las que F(x, (x), (x), . . . , (n) (x)) 0 para toda xen I. Decimos que satisface la ecuación diferencial en I. Para nuestros propósitos supondremos que una solución es una función con valores reales. En nuestro análisis de introducción vimos que y = e0.1x2 es una solución de dydx 0.2xy en el intervalo (, ). Ocasionalmente será conveniente denotar una solución con el símbolo alternativo y(x). INTERVALO DE DEFINICIÓN No podemos pensar en la solución de una ecuación diferencial ordinaria sin simultáneamente pensar en un intervalo. El intervalo I en la defi- nición 1.1.2 también se conoce con otros nombres como son intervalo de definición, in- tervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (a, ), etcétera. EJEMPLO 1 Verificación de una solución Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada en el intervalo (, ). a) dy dx xy ; y 1 16 1 2 x4 b) y 2y y 0; y xex SOLUCIÓN Una forma de verificar que la función dada es una solución, es ver, una vez que se ha sustituido, si cada lado de la ecuación es el mismo para toda x en el intervalo. a) De lado derecho: xy1/2 x 1 16 x4 1/2 x 1 4 x2 1 4 x3 , lado izquierdo: dy dx 1 16 (4 x3 ) 1 4 x3 , vemos que cada lado de la ecuación es el mismo para todo número real x. Observe que y1/2 1 4 x2 es, por definición, la raíz cuadrada no negativa de 1 16 x4 . b) De las derivadas y xex ex y y xex 2ex tenemos que para todo número real x, lado derecho: . 0 lado izquierdo: y 2y y (xex 2ex ) 2(xex ex ) xex 0, En el ejemplo 1, observe también, que cada ecuación diferencial tiene la solución constante y 0, x . Una solución de una ecuación diferencial que es igual a cero en un intervalo I se dice que es la solución trivial. CURVA SOLUCIÓN La gráfica de una solución de una EDO se llama curva solución. Puesto que es una función derivable, es continua en su intervalo de de- 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 5 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 5 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 5 6/4/09 12:14:58 PM 6/4/09 12:14:58 PM www.FreeLibros.me
- 25. 6 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES finición I. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función y la gráfica de la solución . Es decir, el dominio de la función no necesita ser igual al intervalo de definición I (o dominio) de la solución . El ejemplo 2 muestra la diferencia. EJEMPLO 2 Función contra solución El dominio de y 1x, considerado simplemente como una función, es el conjunto de todos los números reales x excepto el 0. Cuando trazamos la gráfica de y 1x, dibuja- mos los puntos en el plano xy correspondientes a un juicioso muestreo de números toma- dos del dominio. La función racional y 1x es discontinua en x 0, en la figura 1.1.1a se muestra su gráfica, en una vecindad del origen. La función y 1x no es derivable en x 0, ya que el eje y (cuya ecuación es x 0) es una asíntota vertical de la gráfica. Ahora y 1x es también una solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden xy y 0 (Compruebe). Pero cuando decimos que y 1x es una solución de esta ED, significa que es una función definida en un intervalo I en el que es derivable y satisface la ecuación. En otras palabras, y 1x es una solución de la ED en cualquier intervalo que no contenga 0, tal como (3, 1), (1 2 , 10), (, 0), o (0, ). Porque las curvas solución definidas por y 1x para 3 x 1 y 1 2 x 10 son simple- mente tramos, o partes, de las curvas solución definidas por y 1x para x 0 y 0 x , respectivamente, esto hace que tenga sentido tomar el intervalo I tan grande como sea posible. Así tomamos I ya sea como (, 0) o (0, ). La curva so- lución en (0, ) es como se muestra en la figura 1.1.1b. SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS Usted debe estar familiarizado con los términos funciones explícitas y funciones implícitas de su curso de cálculo. Una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solución explícita. Para nuestros propósitos, consideremos una solución explícita como una fórmula explícita y (x) que podamos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. Acabamos de ver en los dos últimos ejemplos que y 1 16 x4, y xex , y y 1x son soluciones explíci- tas, respectivamente, de dydx xy1/2 , y 2y y 0, y xy y 0. Además, la solución trivial y 0 es una solución explícita de cada una de estas tres ecuaciones. Cuando lleguemos al punto de realmente resolver las ecuaciones diferenciales ordi- narias veremos que los métodos de solución no siempre conducen directamente a una solución explícita y (x). Esto es particularmente cierto cuando intentamos resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Con frecuencia tenemos que conformarnos con una relación o expresión G(x, y) 0 que define una solución . DEFINICIÓN 1.1.3 Solución implícita de una EDO Se dice que una relación G(x, y) 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria (4) en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función que satisface la relación así como la ecuación diferencial en I. Está fuera del alcance de este curso investigar la condición bajo la cual la relación G(x, y) 0 define una función derivable . Por lo que supondremos que si implemen- tar formalmente un método de solución nos conduce a una relación G(x, y) 0, enton- ces existe al menos una función que satisface tanto la relación (que es G(x, (x)) 0) como la ecuación diferencial en el intervalo I. Si la solución implícita G(x, y) 0 es bastante simple, podemos ser capaces de despejar a y en términos de x y obtener una o más soluciones explícitas. Véanse los Comentarios. 1 x y 1 a) función y 1/x, x 0 b) solución y 1/x, (0, ∞) 1 x y 1 FIGURA 1.1.1 La función y 1x no es la misma que la solución y 1x 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 6 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 6 6/4/09 12:14:59 PM 6/4/09 12:14:59 PM www.FreeLibros.me
- 26. EJEMPLO 3 Comprobación de una solución implícita La relación x2 y2 25 es una solución implícita de la ecuación diferencial dy dx x y (8) en el intervalo abierto (5, 5). Derivando implícitamente obtenemos . d dx x2 d dx y2 d dx 25 o 2x 2y dy dx 0 Resolviendo la última ecuación para dydx se obtiene (8). Además, resolviendo x2 y2 25 para y en términos de x se obtiene y 225 x2 . Las dos funciones 2(x) 125 x2 y 1(x) 125 x2 y y satisfacen la relación (que es, x2 1 2 25) y x2 2 2 25) y son las soluciones explícitas definidas en el inter- valo (5, 5). Las curvas solución dadas en las figuras 1.1.2b y 1.1.2c son tramos de la gráfica de la solución implícita de la figura 1.1.2a. Cualquier relación del tipo x2 y2 – c 0 formalmente satisface (8) para cual- quier constante c. Sin embargo, se sobrentiende que la relación siempre tendrá sentido en el sistema de los números reales; así, por ejemplo, si c 25, no podemos decir que x2 y2 25 0 es una solución implícita de la ecuación. (¿Por qué no?) Debido a que la diferencia entre una solución explícita y una solución implícita debería ser intuitivamente clara, no discutiremos el tema diciendo siempre: “Aquí está una solución explícita (implícita)”. FAMILIAS DE SOLUCIONES El estudio de ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros una solución es algunas veces llamada inte- gral de la ecuación y su gráfica se llama curva integral. Cuando obtenemos una anti- derivada o una integral indefinida en cálculo, usamos una sola constante c de integra- ción. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden F(x, y, y) 0, normalmente obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) 0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamé- trica. Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n, F(x, y, y, . . . , y(n) ) 0, buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) 0. Esto significa que una sola ecuación diferencial puede tener un número infinito de solu- ciones correspondiendo a un número ilimitado de elecciones de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que está libre de la elección de parámetros se llama solución particular. Por ejemplo, la familia uniparamétrica y cx x cos x es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden xy y x2 sen x en el intervalo (, ) (Compruebe). La figura 1.1.3 que se obtuvo usando un paquete computacional de trazado de gráficas, muestra las gráficas de algunas de las solu- ciones en esta familia. La solución y x cos x, la curva azul en la figura, es una solución particular correspondiente a c 0. En forma similar, en el intervalo (, ), y c1 ex c2 xex es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación lineal de segundo orden y 2y y 0 del ejemplo 1 (Compruebe). Algunas soluciones particulares de la ecuación son la solución trivial y 0 (c1 c2 0), y xex (c1 0, c2 1), y 5ex 2xex (c1 5, c2 2), etcétera. Algunas veces una ecuación diferencial tiene una solución que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuación, esto es, una solución que no se puede obtener usando un parámetro específico de la familia de soluciones. Esa solución extra se llama solución singular. Por ejemplo, vemos que y 1 16 x4 y y 0 son soluciones de la ecua- ción diferencial dydx xy1/2 en (, ). En la sección 2.2 demostraremos, al resol- verla realmente, que la ecuación diferencial dydx xy1/2 tiene la familia de solucio- nes uniparamétrica y (1 4 x2 c)2 . Cuando c 0, la solución particular resultante es y 1 16 x4 . Pero observe que la solución trivial y 0 es una solución singular, ya que y x 5 5 y x 5 5 y x 5 5 −5 a) solución implícita x2 y2 25 b) solución explícita y1 25 x2 , 5 x 5 c) solución explícita y2 25 x2 , 5 x 5 FIGURA 1.1.2 Una solución implícita de dos soluciones explícitas de y xy. FIGURA 1.1.3 Algunas soluciones de xy y x2 sen x. y x c0 c0 c=0 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 7 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 7 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 7 6/4/09 12:15:00 PM 6/4/09 12:15:00 PM www.FreeLibros.me
- 27. 8 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES no es un miembro de la familia y (1 4 x2 c)2 ya que no hay manera de asignarle un valor a la constante c para obtener y 0. En todos los ejemplos anteriores, hemos usado x y y para denotar las variables independiente y dependiente, respectivamente. Pero debería acostumbrarse a ver y tra- bajar con otros símbolos que denotan estas variables. Por ejemplo, podríamos denotar la variable independiente por t y la variable dependiente por x: EJEMPLO 4 Usando diferentes símbolos Las funciones x c1 cos 4t y x c2 sen 4t, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o parámetros, son ambas soluciones de la ecuación diferencial lineal x 16x 0. Para x c1 cos 4t las dos primeras derivadas respecto a t son x 4c1 sen 4t y x 16c1 cos 4t. Sustituyendo entonces a x y x se obtiene x 16x 16c1 cos 4t 16(c1 cos 4t) 0. De manera parecida, para x c2 sen 4t tenemos x 16c2 sen 4t, y así x 16x 16c2sen 4t 16(c2 sen 4t) 0. Finalmente, es sencillo comprobar directamente que la combinación lineal de solucio- nes, o la familia de dos parámetros x c1 cos 4t c2 sen 4t, es también una solución de la ecuación diferencial. El siguiente ejemplo muestra que una solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida por tramos. EJEMPLO 5 Una solución definida por tramos Debe comprobar que la familia uni-paramétrica y cx4 es una familia de solucio- nes uni-paramétrica de la ecuación diferencial xy 4y 0 en el intervalo (, ). Véase la figura 1.1.4a. La función derivable definida por tramos y x4 , x 0 x4 , x 0 es una solución particular de la ecuación pero no se puede obtener de la familia y cx4 por una sola elección de c; la solución se construye a partir de la familia eligiendo c 1 para x 0 y c 1 para x
- 28. 0. Véase la figura 1.1.4b. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Hasta este momento hemos ana- lizado sólo ecuaciones diferenciales que contienen una función incógnita. Pero con fre- cuencia en la teoría, así como en muchas aplicaciones, debemos tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias tiene dos o más ecuaciones que implican derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Por ejemplo, si x y y denotan a las variables depen- dientes y t denota a la variable independiente, entonces un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden está dado por dy dt g(t, x, y). dx dt f(t, x, y) (9) FIGURA 1.1.4 Algunas soluciones de xy 4y 0. a) dos soluciones explícitas b) solución definida en tramos c = 1 c = −1 x y c = 1, x 0 ≤ c = −1, x 0 x y 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 8 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 8 6/4/09 12:15:01 PM 6/4/09 12:15:01 PM www.FreeLibros.me
- 29. Una solución de un sistema tal como el de la ecuación (9) es un par de funciones derivables x 1 (t), y 2 (t), definidas en un intervalo común I, que satisface cada ecuación del sistema en este intervalo. COMENTARIOS i) Algunos comentarios finales respecto a las soluciones implícitas de las ecua- ciones diferenciales. En el ejemplo 3 pudimos despejar fácilmente a y de la re- lación x2 y2 25 en términos de x para obtener las dos soluciones explícitas, 1(x) 125 x2 y 2(x) 125 x2 , de la ecuación diferencial (8). Pero no debemos engañarnos con este único ejemplo. A menos que sea fácil o impor- tante o que se le indique, en general no es necesario tratar de despejar y explí- citamente en términos de x, de una solución implícita, G(x, y) 0. Tampoco debemos malinterpretar el posterior segundo enunciado en la definición 1.1.3. Una solución implícita G(x, y) 0 puede definir perfectamente bien a una fun- ción derivable que es una solución de una ecuación diferencial; aunque no se pueda despejar a y de G(x, y) 0 con métodos analíticos como los algebraicos. La curva solución de puede ser un tramo o parte de la gráfica de G(x, y) 0. Véanse los problemas 45 y 46 en los ejercicios 1.1. También lea el análisis siguiente al ejemplo 4 de la sección 2.2. ii) Aunque se ha enfatizado el concepto de una solución en esta sección, también debería considerar que una ED no necesariamente tiene una solución. Véase el problema 39 del ejercicio 1.1. El tema de si existe una solución se tratará en la siguiente sección. iii) Podría no ser evidente si una EDO de primer orden escrita en su forma di- ferencial M(x, y)dx N(x, y)dy 0 es lineal o no lineal porque no hay nada en esta forma que nos muestre qué símbolos denotan a la variable dependiente. Véanse los problemas 9 y 10 del ejercicio 1.1. iv) Podría parecer poco importante suponer que F(x, y, y, . . . , y(n) ) 0 puede resolver para y(n) , pero hay que ser cuidadoso con esto. Existen excepciones y hay realmente algunos problemas conectados con esta suposición. Véanse los problemas 52 y 53 del ejercicio 1.1. v) Puede encontrar el término soluciones de forma cerrada en libros de ED o en clases de ecuaciones diferenciales. La traducción de esta frase normalmente se refiere a las soluciones explícitas que son expresables en términos de funcio- nes elementales (o conocidas): combinaciones finitas de potencias enteras de x, raíces, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. vi) Si toda solución de una EDO de n-ésimo orden F(x, y, y, . . . , y(n) ) 0 en un inter- valo I se puede obtener a partir de una familia n-parámetros G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) 0 eligiendo apropiadamente los parámetros ci , i 1, 2, . . . , n, entonces diremos que la familia es la solución general de la ED. Al resolver EDO lineales impone- mos algunas restricciones relativamente simples en los coeficientes de la ecuación; con estas restricciones podemos asegurar no sólo que existe una solución en un intervalo sino también que una familia de soluciones produce todas las posibles soluciones. Las EDO no lineales, con excepción de algunas ecuaciones de primer orden, son normalmente difíciles o imposibles de resolver en términos de funciones elementales. Además si obtenemos una familia de soluciones para una ecuación no lineal, no es obvio si la familia contiene todas las soluciones. Entonces a nivel práctico, la designación de “solución general” se aplica sólo a las EDO lineales. No se preocupe por el momento de este concepto, pero recuerde las palabras “solu- ción general” pues retomaremos este concepto en la sección 2.3 y nuevamente en el capítulo 4. 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 9 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 9 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 9 6/4/09 12:15:02 PM 6/4/09 12:15:02 PM www.FreeLibros.me
- 30. 10 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIOS 1.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1. En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación dife- rencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación (6). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (1 x)y 4xy 5y cos x t5 y(4) t3 y 6y 0 (sen )y (cos )y 2 ẍ 1 x .2 3 x . x 0 d2 R dt2 k R2 d2 y dx2 1 dy dx 2 d2 u dr2 du dr u cos(r u) x d3 y dx3 dy dx 4 y 0 En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente com- parándola con la primera ecuación dada en (7). 9. (y2 1) dx x dy 0; en y; en x 10. u dv (v uv ueu ) du 0; env; enu En los problemas ll a 14, compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución. 11. 2y y 0; y ex/2 12. dy dt 20y 24; y 6 5 6 5 e 20t 13. y 6y 13y 0; y e3x cos 2x 14. y y tan x; y (cos x)ln(sec x tan x) En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada y (x) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, conside- rando a simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a como una solución de la ecuación dife- rencial, dando al menos un intervalo I de definición. 15. (y x)y y x 8; y x 4x 2 16. y 25 y2 ; y 5 tan 5x 17. y 2xy2 ; y 1(4 x2 ) 18. 2y y3 cos x; y (1 sen x)1/2 En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indi- cada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita y (x) en cada caso. Use alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de defi- nición de cada solución . 19. dX dt (X 1)(1 2X); ln 2X 1 X 1 t 20. 2xy dx (x2 y) dy 0; 2x2 y y2 1 En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicadaesunasolucióndelaecuacióndiferencialdada.Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución. 21. 22. 23. 24. y c1x 1 c2x c3x ln x 4x2 x3 d3 y dx3 2x2 d2 y dx2 x dy dx y 12x2 ; d2 y dx2 4 dy dx 4y 0; y c1e2x c2xe2x dy dx 2xy 1; y e x2 x 0 et2 dt c1e x2 dP dt P(1 P); P c1et 1 c1et 25. Compruebe que la función definida en tramos y x2 , x 0 x2 , x 0 es una solución de la ecuación diferencial xy 2y 0 en (, ). 26. En el ejemplo 3 vimos que y 1(x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 son soluciones de dydx xy en el intervalo (5, 5). Explique por qué la función definida en tramos y 25 x2, 25 x2 , 5 x 0 0 x 5 no es una solución de la ecuación diferencial en el inter- valo (5, 5). 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 10 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 10 6/4/09 12:15:02 PM 6/4/09 12:15:02 PM www.FreeLibros.me
- 31. En los problemas 27 a 30 determine los valores de m tales que la función y emx sea una solución de la ecuación diferencial dada. 27. y 2y 0 28. 5y 2y 29. y 5y 6y 0 30. 2y 7y 4y 0 En los problemas 31 y 32 determine los valores de m tales que la función y xm sea una solución de la ecuación diferencial dada. 31. xy 2y 0 32. x2 y 7xy 15y 0 En los problemas 33 a 36 use el concepto de que y c, x , es una función constante si y solo si y 0 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes. 33. 3xy 5y 10 34. y y2 2y 3 35. (y 1)y 1 36. y 4y 6y 10 En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones dife- renciales en el intervalo (, ). 37. 38. , y cos 2t sen 2t 1 5 et x cos 2t sen 2t 1 5 et d2 y dt2 4x et ; d2 x dt2 4y et y e 2t 5e6t x e 2t 3e6t , dy dt 5x 3y; dx dt x 3y Problemas para analizar 39. Construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real. 40. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga sólo la solución trivial y 0. Explique su razonamiento. 41. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera de- rivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo constante k de ella misma? Escriba cada res- puesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución. 42. ¿Qué función (o funciones) conoce de cálculo tal que su segunda derivada sea ella misma? ¿Que su segunda de- rivada sea el negativo de ella misma? Escriba cada res- puesta en la forma de una ecuación diferencial de segundo orden con una solución. 43. Dado que y sen x es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dy dx 11 y2, encuentre un intervalo de definición I. [Sugerencia: I no es el inter- valo (, ).] 44. Analice por qué intuitivamente se supone que la ecuación diferencial lineal y 2y 4y 5 sen t tiene una solu- ción de la forma y A sen t B cos t, donde A y B son constantes. Después determine las constantes específicas A y B tales que y A sen t B cos t es una solución par- ticular de la ED. En los problemas 45 y 46 la figura dada representa la gráfica de una solución implícita G(x, y) 0 de una ecuación dife- rencial dydx f(x, y). En cada caso la relación G(x, y) 0 implícitamente define varias soluciones de la ED. Reproduzca cuidadosamente cada figura en una hoja. Use lápices de dife- rentes colores para señalar los tramos o partes, de cada gráfica que corresponda a las gráficas de las soluciones. Recuerde que una solución debe ser una función y derivable. Utilice la curva solución para estimar un intervalo de definición I de cada solución . 45. FIGURA 1.1.5 Gráfica del problema 45. y x 1 1 FIGURA 1.1.6 Gráfica del problema 46. 1 x 1 y 46. 47. Las gráficas de los miembros de una familia uni-para- métrica x3 y3 3cxy se llaman folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden dy dx y(y3 2x3 ) x(2y3 x3 ) . SECCIÓN 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 11 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 11 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 11 6/4/09 12:15:06 PM 6/4/09 12:15:06 PM www.FreeLibros.me
- 32. 12 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 48. La gráfica de la figura 1.1.6 es el miembro de la fami- lia del folium del problema 47 correspondiente a c 1. Analice: ¿cómo puede la ED del problema 47 ayudar a determinar los puntos de la gráfica de x3 y3 3xy donde la recta tangente es vertical? ¿Cómo saber dónde una recta tangente que es vertical ayuda a determinar un intervalo I de definición de una solución de la ED? Lleve a cabo sus ideas y compare con sus estimaciones de los intervalos en el problema 46. 49. En el ejemplo 3, el intervalo I más grande sobre el cual las soluciones explícitas y 1 (x) y y 2 (x) se encuen- tran definidas en el intervalo abierto (5, 5). ¿Por qué I no puede ser el intervalo cerrado I definido por [5, 5]? 50. En el problema 21 se da una familia uni-paramétrica de soluciones de la ED P P(1P). ¿Cualquier curva so- lución pasa por el punto (0, 3)? ¿Y por el punto (0, 1)? 51. Analice y muestre con ejemplos cómo resolver ecuaciones diferenciales de las formas dydx f(x) y d2 ydx2 f(x). 52. La ecuación diferencial x(y)2 4y 12x3 0 tiene la forma dada en la ecuación (4). Determine si la ecuación se puede poner en su forma normal dydx f(x, y). 53. La forma normal (5) de una ecuación diferencial de n-ésimo orden es equivalente a la ecuación (4) si las dos formas tienen exactamente las mismas soluciones. Forme una ecuación diferencial de primer orden para la que F(x, y, y) 0 no sea equivalente a la forma normal dydx f(x, y). 54. Determine una ecuación diferencial de segundo orden F(x, y, y, y) 0 para la que y c1 x c2 x2 sea una fami- lia de soluciones de dos parámetros. Asegúrese de que su ecuación esté libre de los parámetros arbitrarios c1 y c2 . Información cualitativa respecto a una solución y (x) de una ecuación diferencial con frecuencia puede obte- nerse de la misma ecuación. Antes de trabajar con los problemas 55 a 58, recuerde el significado geométrico de las derivadas dydx y d2 ydx2 . 55. Considere la ecuación diferencial dy dx = e−x2 . a) Explique por qué una solución de la ED debe ser una función creciente en cualquier intervalo del eje de las x. b) ¿A qué son iguales lím x x dydx y lím dydx. ¿Qué le sugiere esto respecto a una curva solución con- forme x : ? c) Determine un intervalo sobre el cual una curva solu- ción sea cóncava hacia abajo y un intervalo sobre el que la curva sea cóncava hacia arriba. d) Trace la gráfica de una solución y (x) de la ecua- ción diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) a c). 56. Considere la ecuación diferencial dydx 5 – y. a) Ya sea por inspección o por el método sugerido en los problemas 33 a 36, encuentre una solución constante de la ED. b) Utilizando sólo la ecuación diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una solución cons- tante y (x) sea creciente. Determine los intervalos en el eje y en los cuales y (x) es decreciente. 57. Considere la ecuación diferencial dydx y(a – by), donde a y b son constantes positivas. a) Ya sea por inspección o por los métodos sugeridos en los problemas 33 a 36, determine dos soluciones constantes de la ED. b) Usando sólo la ecuación diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una solución no cons- tante y (x) es creciente. Determine los intervalos en los que y (x) es decreciente. c) Utilizando sólo la ecuación diferencial, explique por qué y a2b es la coordenada y de un punto de inflexión de la gráfica de una solución no constante y (x). d) En los mismos ejes coordenados, trace las gráficas de las dos soluciones constantes en el inciso a). Estas soluciones constantes parten el plano xy en tres regio- nes. En cada región, trace la gráfica de una solución no constante y (x) cuya forma se sugiere por los resultados de los incisos b) y c). 58. Considere la ecuación diferencial y y2 4. a) Explique por qué no existen soluciones constantes de la ecuación diferencial. b) Describa la gráfica de una solución y (x). Por ejemplo, ¿puede una curva solución tener un extremo relativo? c) Explique por qué y 0 es la coordenada y de un punto de inflexión de una curva solución. d) Trace la gráfica de una solución y (x) de la ecua- ción diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) a c). Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 59 y 60 use un CAS (por sus siglas en inglés, Sistema Algebraico Computacional) para calcular todas las derivadas y realice las simplificaciones necesarias para com- probar que la función indicada es una solución particular de la ecuación diferencial. 59. y(4) 20y 158y 580y 841y 0; y xe5x cos 2x 60. y 20 cos(5 ln x) x 3 x x3 y 2x2 y 20xy 78y 0; sen(5 ln x) 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 12 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 12 6/4/09 12:15:07 PM 6/4/09 12:15:07 PM www.FreeLibros.me
- 33. PVI DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN EI problema dado en (1) también se llama problema con valores iniciales de n-ésimo orden. Por ejemplo, (2) y y(x0) y0, y (x0) y1 d2 y dx2 f(x, y, y ) y(x0) y0 dy dx f (x, y) Resolver: Sujeto a: Resolver: Sujeto a: (3) son problemas con valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Estos dos problemas son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para la ecuación (2) estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que contenga a x0 , tal que su gráfica pase por el punto dado (x0 , y0 ). En la figura 1.2.1 se muestra en azul una curva solución. Para la ecuación (3) queremos determinar una solución y(x) de la ecuación diferencial y f(x, y, y) en un intervalo I que contenga a x0 de tal manera que su gráfica no sólo pase por el punto dado (x0 , y0 ), sino que también la pendiente a la curva en ese punto sea el número y1 . En la figura 1.2.2 se muestra en azul una curva solu- ción. Las palabras condiciones iniciales surgen de los sistemas físicos donde la variable independiente es el tiempo t y donde y(t0 ) y0 y y(t0 ) y1 representan la posición y la velocidad respectivamente de un objeto al comienzo o al tiempo inicial t0 . Con frecuencia, resolver un problema con valores iniciales de n-ésimo orden tal como (1) implica determinar primero una familia n-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada y después usando las n condiciones iniciales en x0 deter- minar los valores numéricos de las n constantes en la familia. La solución particular resultante está definida en algún intervalo I que contiene al punto inicial x0 . EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden En el problema 41 de los ejercicios 1.1 se le pidió que dedujera que y cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación de primer orden y y. Todas las soluciones en esta familia están definidas en el intervalo (, ). Si imponemos una condición inicial, digamos, y(0)3, entonces al sustituir x 0, y 3 en la familia se PROBLEMAS CON VALORES INICIALES REPASO DE MATERIAL ● Forma normal de una ED ● Solución de una ED ● Familia de soluciones INTRODUCCIÓN Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una solución y(x) de una ecuación diferencial tal que y(x) satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impues- tas sobre una y(x) desconocida o sus derivadas. En algún intervalo I que contiene a x0 el problema 0 0 0 1 (n1) (x0) yn1, dn y dxn f x, y, y, . . . , y(n1) Resolver: Sujeto a: y(x ) y , y(x ) y , . . . , y (1) donde y0 , y1 , . . . , yn1 son constantes reales arbitrarias dadas se llama problema con valores ini- ciales (PVI). Los valores de y(x) y de sus primeras n – 1 derivadas en un solo punto x0 , y(x0 ) y0 , y(x0 ) y1 , . . . , y(n1) (x0 ) yn1 , se llaman condiciones iniciales. FIGURA 1.2.2 Solución del PVI de segundo orden. x I soluciones de la ED (x0, y0) y m = y1 FIGURA 1.2.1 Solución del PVI de primer orden. x I soluciones de la ED (x0, y0) y 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 13 1.2 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 13 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 13 6/4/09 12:15:08 PM 6/4/09 12:15:08 PM www.FreeLibros.me
- 34. 14 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES determina la constante 3 ce0 c por lo que y 3ex es una solución del PVI y y, y(0) 3. Ahora si hacemos que la curva solución pase por el punto (1, 2) en lugar de (0, 3), entonces y(1) 2 se obtendrá 2 ce o c 2e1 . En este caso y 2ex1 es una solución del PVI y y, y(1) 2. En la figura 1.2.3 se muestran en azul oscuro y en rojo oscuro las dos curvas solución. El siguiente ejemplo muestra otro problema con valores iniciales de primer orden. En este ejemplo observe cómo el intervalo de definición I de la solución y(x) depende de la condición inicial y(x0 ) y0 . EJEMPLO 2 Intervalo I de definición de una solución En el problema 6 de los ejercicios 2.2 se le pedirá mostrar que una familia uniparamé- trica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden y 2xy2 0 es y 1(x2 c). Si establecemos la condición inicial y(0) 1, entonces al sustituir x 0 y y 1 en la familia de soluciones, se obtiene 1 1c o c 1. Así y 1(x2 1). Ahora enfatizamos las siguientes tres diferencias: • Considerada como una función, el dominio de y 1(x2 1) es el conjunto de todos los números reales x para los cuales y (x) está definida, excepto en x 1 y en x 1. Véase la figura 1.2.4a. • Considerada como una solución de la ecuación diferencial y 2xy2 0, el intervalo I de definición de y 1(x2 1) podría tomarse como cualquier intervalo en el cual y(x) está definida y es derivable. Como se puede ver en la figura 1.2.4a, los intervalos más largos en los que y 1(x2 1) es una solución son (, 1), (1,1) y (1, ). • Considerada como una solución del problema con valores iniciales y 2xy2 0, y(0) 1, el intervalo I de definición de y 1(x2 1) podría ser cualquier intervalo en el cual y(x) está definida, es derivable y contiene al punto inicial x 0; el intervalo más largo para el cual esto es válido es (1, 1). Véase la curva roja en la figura 1.2.4b. Véanse los problemas 3 a 6 en los ejercicios 1.2 para continuar con el ejemplo 2. EJEMPLO 3 PVI de segundo orden En el ejemplo 4 de la sección 1.1 vimos que x c1 cos 4t c2 sen 4t es una familia de soluciones de dos parámetros de x 16x 0. Determine una solución del problema con valores iniciales x 16x 0, x 2 2, x 2 1. (4) SOLUCIÓN Primero aplicamos x(p2) 2 en la familia de soluciones: c1 cos 2p c2 sen 2p 2. Puesto que cos 2p 1 y sen 2p 0, encontramos que c1 2. Después aplicamos x(p2) 1 en la familia uniparamétrica de soluciones x(t) 2 cos 4t c2 sen 4t. Derivando y después haciendo t p2 y x 1 se obtiene 8 sen 2p 4c2 cos 2p 1, a partir del cual vemos que c2 1 4. Por tanto x 2 cos 4t 1 4 sen 4t es una solución de (4). EXISTENCIA Y UNICIDAD Al considerar un problema con valores iniciales sur- gen dos importantes preguntas: ¿Existe la solución del problema? Si existe la solución, ¿es única? FIGURA 1.2.3 Soluciones de los dos PVI. y x (0, 3) (1, −2) FIGURA 1.2.4 Gráficas de la función y de la solución del PVI del ejemplo 2. (0, −1) x y 1 −1 x y 1 −1 a) función definida para toda x excepto en x = ±1 b) solución definida en el intervalo que contiene x = 0 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 14 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 14 6/4/09 12:15:09 PM 6/4/09 12:15:09 PM www.FreeLibros.me
- 35. Para el problema con valores iniciales de la ecuación (2) pedimos: Existencia {¿La ecuación diferencial dydx f(x, y) tiene soluciones? ¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x0 , y0 )? Unicidad {¿Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente una curva solución que pasa a través del punto (x0 , y0 )? Observe que en los ejemplos 1 y 3 se usa la frase “una solución” en lugar de “la solu- ción” del problema. El artículo indefinido “una” se usa deliberadamente para sugerir la posibilidad de que pueden existir otras soluciones. Hasta el momento no se ha demos- trado que existe una única solución de cada problema. El ejemplo siguiente muestra un problema con valores iniciales con dos soluciones. EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones Cada una de las funciones y 0 y y 1 16 x4 satisface la ecuación diferencial dyx xy1/2 y la condición inicial y(0) 0, por lo que el problema con valores iniciales dy dx xy1/2 , y(0) 0 tiene al menos dos soluciones. Como se muestra en la figura 1.2.5, las gráficas de las dos soluciones pasan por el mismo punto (0, 0). Dentro de los límites de seguridad de un curso formal de ecuaciones diferenciales uno puede confiar en que la mayoría de las ecuaciones diferenciales tendrán soluciones y que las soluciones de los problemas con valores iniciales probablemente serán únicas. Sin embargo, en la vida real, no es así. Por tanto es deseable conocer antes de tratar de resolver un problema con valores iniciales si existe una solución y cuando así sea, si ésta es la única solución del problema. Puesto que vamos a considerar ecuaciones diferencia- les de primer orden en los dos capítulos siguientes, estableceremos aquí sin demostrarlo un teorema directo que da las condiciones suficientes para garantizar la existencia y uni- cidad de una solución de un problema con valores iniciales de primer orden de la forma dada en la ecuación (2). Esperaremos hasta el capítulo 4 para retomar la pregunta de la existencia y unicidad de un problema con valores iniciales de segundo orden. TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a x b, c y d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior. Si f(x, y) y ∂f∂y son continuas en R, entonces existe algún intervalo I0 : (x0 h, x0 h), h 0, contenido en [a, b], y una función única y(x), definida en I0 , que es una solución del problema con valores iniciales (2). El resultado anterior es uno de los más populares teoremas de existencia y unici- dad para ecuaciones diferenciales de primer orden ya que el criterio de continuidad de f(x, y) y de ∂f∂y son relativamente fáciles de comprobar. En la figura 1.2.6 se muestra la geometría del teorema 1.2.1. EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4 Como vimos en el ejemplo 4 la ecuación diferencial dydx xy1/2 tiene al menos dos soluciones cuyas gráficas pasan por el punto (0, 0). Analizando las funciones f(x, y) xy1/2 f y x 2y1/2 y y y = 0 y = x4/16 (0, 0) 1 x FIGURA 1.2.5 Dos soluciones del mismo PVI. x I0 R a b c d (x0, y0) y FIGURA 1.2.6 Región rectangular R. 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 15 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 15 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 15 6/4/09 12:15:10 PM 6/4/09 12:15:10 PM www.FreeLibros.me
- 36. 16 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES vemos que son continuas en la mitad superior del plano definido por y 0. Por tanto el teorema 1.2.1 nos permite concluir que a través de cualquier punto (x0 , y0 ), y0 0 en la mitad superior del plano existe algún intervalo centrado en x0 en el cual la ecuación diferencial dada tiene una solución única. Así, por ejemplo, aún sin resolverla, sabe- mos que existe algún intervalo centrado en 2 en el cual el problema con valores inicia- les dydx xy1/2 , y(2) 1 tiene una solución única. En el ejemplo 1, el teorema 1.2.1 garantiza que no hay otras soluciones de los pro- blemas con valores iniciales y y, y(0) 3 y y y, y(1) 2 distintas a y 3ex y y 2ex1 , respectivamente. Esto es consecuencia del hecho de que f(x, y) y y ∂f∂y 1 son continuas en todo el plano xy. Además podemos mostrar que el intervalo I en el cual cada solución está definida es (, ). INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Suponga que y(x) representa una so- lución del problema con valores iniciales (2). Los siguientes tres conjuntos de números reales en el eje x pueden no ser iguales: el dominio de la función y(x), el intervalo I en el cual la solución y(x) está definida o existe, y el intervalo I0 de existencia y unicidad. El ejemplo 2 de la sección 1.1 muestra la diferencia entre el dominio de una función y el intervalo I de definición. Ahora suponga que (x0 , y0 ) es un punto en el interior de la región rectangular R en el teorema 1.2.1. Esto da como resultado que la continuidad de la función f(x, y) en R por sí misma es suficiente para garantizar la existencia de al menos una solución de dydx f(x, y), y(x0 ) y0 , definida en algún intervalo I. El intervalo I de definición para este problema con valores iniciales normalmente se toma como el inter- valo más grande que contiene x0 en el cual la solución y(x) está definida y es derivable. El intervalo I depende tanto de f(x, y) como de la condición inicial y(x0 ) y0 . Véanse los problemas 31 a 34 en los ejercicios 1.2. La condición extra de continuidad de la primera derivada parcial ∂f∂y en R nos permite decir que no sólo existe una solución en algún intervalo I0 que contiene x0 , sino que esta es la única solución que satisface y(x0 ) y0 . Sin embargo, el teorema 1.2.1 no da ninguna indicación de los tamaños de los intervalos I e I0 ; el intervalo de definición I no necesita ser tan amplio como la región R y el intervalo de existencia y unicidad I0 puede no ser tan amplio como I. El número h . 0 que define el intervalo I0 : (x0 h, x0 h) podría ser muy pequeño, por lo que es mejor considerar que la solución y(x) es única en un sentido local, esto es, una solución definida cerca del punto (x0 , y0 ). Véase el problema 44 en los ejercicios 1.2. COMENTARIOS (i) Las condiciones del teorema 1.2.1 son suficientes pero no necesarias. Esto signi- fica que cuando f(x, y) y xfxy son continuas en una región rectangular R, debe siem- pre seguir que existe una solución de la ecuación (2) y es única siempre que (x0 , y0 ) sea un punto interior a R. Sin embargo si las condiciones establecidas en la hipótesis del teorema 1.2.1 no son válidas, entonces puede ocurrir cualquier cosa: el problema de la ecuación (2) puede tener una solución y esta solución puede ser única o la ecua- ción (2) puede tener varias soluciones o puede no tener ninguna solución. Al leer nuevamente el ejemplo 5 vemos que la hipótesis del teorema 1.2.1 no es válida en la recta y 0 para la ecuación diferencial dydx xy1/2 , pero esto no es sorprendente, ya que como vimos en el ejemplo 4 de esta sección, hay dos soluciones definidas en un intervalo común –h x h que satisface y(0) 0. Por otra parte, la hipótesis del teorema 1.2.1 no es válida en la recta y 1 para la ecuación diferencial dy dx |y 1|. Sin embargo se puede probar que la solución del problema con valores iniciales dydx |y 1|, y(0) 1 es única ¿Puede intuir la solución? (ii) Es recomendable leer, pensar, trabajar y después recordar el problema 43 en los ejercicios 1.2. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 16 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 16 6/4/09 12:15:11 PM 6/4/09 12:15:11 PM www.FreeLibros.me
- 37. EJERCICIOS 1.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1 En los problemas 1 y 2, y 1(1 c1 ex ) es una familia uni- paramétrica de soluciones de la ED de primer orden y y y2 . Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada. 1. y(0) 1 3 2. y(1) 2 En los problemas 3 a 6, y 1(x2 c) es una familia unipara- métrica de soluciones de la ED de primer orden y 2xy2 0. Determine una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada. Dé el intervalo I más largo en el cual está definida la solución. 3. y(2) 1 3 4. y(2) 1 2 5. y(0) 1 6. y(1 2) 4 En los problemas 7 a 10, x c1 cos t c2 sen t es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden x x 0. Determine una solución del PVI de segundo or- den que consiste en esta ecuación diferencial y las condicio- nes iniciales dadas. 7. x(0) 1, x(0) 8 8. x(2) 0, x(2) 1 9. 10. x( 4) 2, x ( 4) 22 x( 6) 1 2 x ( 6) 0 , En los problemas 11 a 14, y c1 ex c2 ex es una familia de solu- ciones de dos parámetros de la ED de segundo orden y – y 0. Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas. 11. y(0) 2 y(0) 1, 12. y(1) 0, y(1) e 13. y(1) 5, y(1) 5 14. y(0) 0, y(0) 0 En los problemas 15 y 16 determine por inspección al menos dos soluciones del PVI de primer orden dado. 15. y 3y2/3 , y(0) 0 16. xy 2y, y(0) 0 En los problemas 17 a 24 determine una región del plano xy para el que la ecuación diferencial dada tendría una solución única cuyas gráficas pasen por un punto (x0 , y0 ) en la región. 17. dy dx y2/3 18. dy dx 1xy 19. x dy dx y 20. dy dx y x 21. (4 y2 )y x2 22. (1 y3 )y x2 23. (x2 y2 )y y2 24. (y x)y y x En los problemas 25 a 28 determine si el teorema 1.2.1 ga- rantiza que la ecuación diferencial y 1y2 9 tiene una solución única que pasa por el punto dado. 25. (1, 4) 26. (5, 3) 27. (2, 3) 28. (1, 1) 29. a) Por inspección determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial xy y. Com- pruebe que cada miembro de la familia es una solución del problema con valores iniciales xy y, y(0) 0. b) Explique el inciso a) determinando una región R en el plano xy para el que la ecuación diferencial xy y tendría una solución única que pase por el punto (x0 , y0 ) en R. c) Compruebe que la función definida por tramos y 0, x 0 x, x
- 38. 0 satisface la condición y(0)0. Determine si esta fun- ción es también una solución del problema con valo- res iniciales del inciso a). 30. a) Compruebe que y tan (x c) es una familia uni- paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial y 1 y2 . b) Puesto que f(x, y) 1 y2 y xfxy 2y son conti- nuas en donde quiera, la región R en el teorema 1.2.1 se puede considerar como todo el plano xy. Utilice la familia de soluciones del inciso a) para determinar una solución explícita del problema con valores iniciales deprimerordeny1y2 ,y(0)0.Auncuandox0 0 esté en el intervalo (2, 2), explique por qué la so- lución no está definida en este intervalo. c) Determine el intervalo I de definición más largo para la solución del problema con valores iniciales del inciso b). 31. a) Verifique que y 1(x c) es una familia de so- luciones uniparamétrica de la ecuación diferencial y y2 . b) Puesto que f(x, y) y2 y xfxy 2y son continuas donde sea, la región R del teorema 1.2.1 se puede tomar como todo el plano xy. Determine una solución de la familia del inciso a) que satisfaga que y(0) 1. Después determine una solución de la familia del in- ciso a) que satisfaga que y(0) 1. Determine el intervalo I de definición más largo para la solución de cada problema con valores iniciales. SECCIÓN 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 17 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 17 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 17 6/4/09 12:15:11 PM 6/4/09 12:15:11 PM www.FreeLibros.me
- 39. 18 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES c) Determine el intervalo de definición I más largo para la solución del problema con valores iniciales y y2 , y(0) 0. [Sugerencia: La solución no es un miembro de la familia de soluciones del inciso a)]. 32. a) Demuestre que una solución de la familia del inciso a) del problema 31 que satisface y y2 , y(1) 1, es y 1(2 x). b) Después demuestre que una solución de la familia del inciso a) del problema 31 que satisface y y2 , y(3) 1, es y 1(2 x). c) ¿Son iguales las soluciones de los incisos a) y b)? 33. a) Verifique que 3x2 – y2 c es una familia de solu- ciones uniparamétricas de la ecuación diferencial y dydx 3x. b) Bosqueje, a mano, la gráfica de la solución implícita 3x2 – y2 3. Determine todas las soluciones explíci- tas y (x) de la ED del inciso a) definidas por esta relación. Dé un intervalo I de definición de cada una de las soluciones explícitas. c) El punto (2, 3) está en la gráfica de 3x2 – y2 3 pero ¿cuál de las soluciones explícitas del inciso b) satis- face que y(2) 3? 34. a) Utilice la familia de soluciones del inciso a) del problema 33 para determinar una solución implícita del proble- ma con valores iniciales y dydx 3x, y(2)4. Des- pués bosqueje, a mano, la gráfica de la solución explícita de este problema y dé su intervalo I de definición. b) ¿Existen algunas soluciones explícitas de y dydx 3x que pasen por el origen? En los problemas 35 a 38 se presenta la gráfica de un miembro de la familia de soluciones de una ecuación diferencial de se- gundo orden d2 ydx2 f(x, y, y). Relacione la curva solución con al menos un par de las siguientes condiciones iniciales. a) y(1) 1, y(1) 2 b) y(1) 0, y(1) 4 c) y(1) 1, y(1) 2 d) y(0) 1, y(0) 2 e) y(0) 1, y(0) 0 f) y(0) 4, y(0) 2 35. Problemas de análisis En los problemas 39 y 40 utilice el problema 51 de los ejerci- cios 1.1 y (2) y (3) de esta sección. 39. Encuentre una función y f(x) cuya gráfica en cada punto (x, y) tiene una pendiente dada por 8e2x 6x y la intersec- ción con el eje y en (0,9). 40. Determine una función y f(x) cuya segunda derivada es y 12x 2 en cada punto (x, y) de su gráfica y y x 5 es tangente a la gráfica en el punto correspondiente a x 1. 41. Considere el problema con valores iniciales y x 2y, y(0) 1 2. Determine cuál de las dos curvas que se mues- tran en la figura 1.2.11 es la única curva solución posible. Explique su razonamiento. FIGURA 1.2.7 Gráfica del problema 35. y x 5 −5 5 FIGURA 1.2.10 Gráfica del problema 38. y x 5 −5 5 38. 37. FIGURA 1.2.9 Gráfica del problema 37. y x 5 −5 5 36. FIGURA 1.2.8 Gráfica del problema 36. y x 5 −5 5 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 18 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 18 6/4/09 12:15:14 PM 6/4/09 12:15:14 PM www.FreeLibros.me
- 40. 42. Determine un valor posible para x0 para el que la gráfica de la solución del problema con valores iniciales y 2y 3x – 6, y(x0 ) 0 es tangente al eje x en (x0 , 0). Explique su razonamiento. 43. Suponga que la ecuación diferencial de primer orden dydx f(x, y) tiene una familia uniparamétrica de solu- ciones y que f(x, y) satisface la hipótesis del teorema 1.2.1 en alguna región rectangular R del plano xy. Explique por qué dos curvas solución diferentes no se pueden intercep- tar o ser tangentes entre sí en un punto (x0 ,y0 ) en R. 44. Las funciones y(x) 1 16 x4 , x y y(x) 0, 1 16 x4 , x 0 x
- 41. 0 tienen el mismo dominio pero son obviamente diferentes. Véanse las figuras 1.2.12a y 1.2.12b, respectivamente. Demuestre que ambas funciones son soluciones del pro- blema con valores iniciales dydx xy1/2 , y(2) 1 en el FIGURA 1.2.11 Gráficas del problema 41. (0, ) 1 2 1 1 x y intervalo (, ). Resuelva la aparente contradicción entre este hecho y el último enunciado del ejemplo 5. Modelo matemático 45. Crecimiento de la población Al inicio de la siguiente sección veremos que las ecuaciones diferenciales se pueden usar para describir o modelar diversos sistemas físicos. En este problema suponemos que un modelo de crecimiento de la población de una pequeña comunidad está dado por el problema con valores iniciales dP dt 0.15P(t) 20, P(0) 100, donde P es el número de personas en la comunidad y el tiempo t se mide en años. ¿Qué tan rápido, es decir, con qué razón está aumentando la población en t 0? ¿Qué tan rápido está creciendo la población cuando la población es de 500? FIGURA 1.2.12 Dos soluciones del PVI del problema 44. a) (2, 1) y x b) (2, 1) y x ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS REPASO DE MATERIAL O Unidades de medida para el peso, masa y densidad O Segunda ley de Newton O Ley de Hooke O Leyes de Kirchhoff O Principio de Arquímedes INTRODUCCIÓN En esta sección introduciremos la idea de una ecuación diferencial como un modelo matemático y analizaremos algunos modelos específicos en biología, química y física. Ya que hayamos estudiado algunos de los métodos de solución de las ED en los capítulos 2 y 4, retoma- remos y resolveremos algunos de estos modelos en los capítulos 3 y 5. 1.3 MODELOS MATEMÁTICOS Con frecuencia es deseable describir en términos mate- máticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos. Por ejemplo, pode- mos desear entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de la población animal en ese sistema, o podemos desear datar fósiles y analizar el decaimiento de una sustancia radiactiva ya sea en el fósil o en el estrato en que éste fue descubierto. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 19 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 19 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 19 6/4/09 12:15:14 PM 6/4/09 12:15:14 PM www.FreeLibros.me
- 42. 20 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia con i) identificación de las variables que ocasionan el cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo. Después, ii) se establece un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis, acerca del sistema que estamos tratando de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas que se pueden aplicar al sistema. Para algunos objetivos quizá baste con conformarse con modelos de baja resolución. Por ejemplo, usted ya es consciente de que en los cursos básicos de física algunas veces se desprecia la fuerza retardadora de la fricción del aire al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra. Pero si usted es un científico cuyo trabajo es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá considerar la resistencia del aire y otros factores, tales como la curvatura de la Tierra. Puesto que con frecuencia las hipótesis acerca de un sistema implican una razón de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hi- pótesis puede ser una o más ecuaciones que contengan derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez que se ha formulado un modelo matemático, ya sea una ecuación diferen- cial o un sistema de ecuaciones diferenciales, nos enfrentamos al problema no fácil de tratar de resolverlo. Si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se obtienen son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o hacer hipótesis alternativas acerca de los mecanismos de cambio del sistema. Entonces se repiten los pasos del proceso de modelado, como se muestra en el diagrama siguiente: Hipótesis Formulación matemática Obtener soluciones Comprobar las predicciones del modelo con hechos conocidos Expresar las hipótesis en términos de las ecuaciones diferenciales Presentar las predicciones del modelo (por ejemplo en forma gráfica) Resolver las ED Si es necesario, modificar las hipótesis o aumentar la resolución del modelo Por supuesto, al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo ma- temático y la probabilidad de que no podamos obtener una solución explícita. Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variable tiempo t. Una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para los valores adecuados de t que describen el sistema en el pasado, presente y futuro. DINÁMICA POBLACIONAL Uno de los primeros intentos para modelar el cre- cimiento de la población humana por medio de las matemáticas fue realizado en 1798 por el economista inglés Thomas Malthus. Básicamente la idea detrás del mo- delo de Malthus es la suposición de que la razón con la que la población de un país en un cierto tiempo es proporcional* a la población total del país en ese tiempo. En otras palabras, entre más personas estén presentes al tiempo t, habrá más en el fu- * Si dos cantidades u y v son proporcionales, se escribe u v. Esto significa que una cantidad es un múltiplo constante de otra: u kv. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 20 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 20 6/4/09 12:15:15 PM 6/4/09 12:15:15 PM www.FreeLibros.me
- 43. turo. En términos matemáticos, si P(t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar como , dP dt P o dP dt kP (1) donde k es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple, falla si se con- sideran muchos otros factores que pueden influir en el crecimiento o decrecimiento (por ejemplo, inmigración y emigración), resultó, sin embargo, bastante exacto en predecir la población de los Estados Unidos, durante 1790-1860. Las poblaciones que crecen con una razón descrita por la ecuación (1) son raras; sin embargo, (1) aún se usa para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos (por ejemplo, crecimiento de bacterias en una caja de Petri). DECAIMIENTO RADIACTIVO El núcleo de un átomo está formado por combina- ciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables, esto es, los átomos se desintegran o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos. Por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, inten- samente radiactivo, se transforma en el radiactivo gas radón, Rn-222. Para modelar el fenómeno del decaimiento radiactivo, se supone que la razón dAdt con la que los núcleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad (más precisa- mente, el número de núcleos), A(t) de la sustancia que queda al tiempo t: . dA dt A o dA dt kA (2) Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica sólo en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como esperamos en la ecuación (l), k 0, y para la desintegra- ción como en la ecuación (2), k 0. El modelo de la ecuación (1) para crecimiento también se puede ver como la ecua- ción dSdt rS, que describe el crecimiento del capital S cuando está a una tasa anual de interés r compuesto continuamente. El modelo de desintegración de la ecuación (2) también se aplica a sistemas biológicos tales como la determinación de la “vida media” de un medicamento, es decir, el tiempo que le toma a 50% del medicamento ser eliminado del cuerpo por excreción o metabolización. En química el modelo del decaimiento, ecuación (2), se presenta en la descripción matemática de una reacción química de primer orden. Lo importante aquí es: Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de muchos fenómenos distintos. Con frecuencia, los modelos matemáticos se acompañan de condiciones que los de- finen. Por ejemplo, en las ecuaciones (l) y (2) esperaríamos conocer una población inicial P0 y por otra parte la cantidad inicial de sustancia radioactiva A0 . Si el tiempo inicial se toma en t 0, sabemos que P(0) P0 y que A(0) A0 . En otras palabras, un modelo matemático puede consistir en un problema con valores iniciales o, como veremos más adelante en la sección 5.2, en un problema con valores en la frontera. LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON De acuerdo con la ley empírica de Newton de enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que cam- bia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea y dTdt es la rapidez con que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en una expresión matemática es , dT dt T Tm o dT dt k(T Tm) (3) donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, enfriamiento o calen- tamiento, si Tm es una constante, se establece que k 0. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 21 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 21 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 21 6/4/09 12:15:15 PM 6/4/09 12:15:15 PM www.FreeLibros.me
- 44. 22 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD Una enfermedad contagiosa, por ejem- plo un virus de gripe, se propaga a través de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. Sea que x(t) denote el número de personas que han contraído la enfermedad y sea que y(t) denote el número de personas que aún no han sido expuestas al contagio. Es lógico suponer que la razón dxdt con la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos de personas. Si suponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, proporcional al producto xy, entonces , dx dt kxy (4) donde k es la constante usual de proporcionalidad. Suponga que una pequeña comuni- dad tiene una población fija de n personas. Si se introduce una persona infectada den- tro de esta comunidad, entonces se podría argumentar que x(t) y y(t) están relacionadas por x y n 1. Utilizando esta última ecuación para eliminar y en la ecuación (4) se obtiene el modelo . dx dt kx(n 1 x) (5) Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación (5) es x(0) 1. REACCIONES QUÍMICAS La desintegración de una sustancia radiactiva, caracterizada por la ecuación diferencial (l), se dice que es una reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que siguen esta misma ley empírica: si las moléculas de la sustancia A se descomponen y forman moléculas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esa descomposición es proporcional a la cantidad de la primera sus- tancia que no ha experimentado la conversión; esto es, si X(t) es la cantidad de la sustancia A que permanece en cualquier momento, entonces dXdt kX, donde k es una constante negativa ya que X es decreciente. Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión del cloruro de terbutilo, (CH3 )3 CCl en alcohol t-butílico (CH3 )3 COH: (CH3)3CCl NaOH : (CH3)3COH NaCl. Sólo la concentración del cloruro de terbutilo controla la rapidez de la reacción. Pero en la reacción CH3Cl NaOH : CH3OH NaCl se consume una molécula de hidróxido de sodio, NaOH, por cada molécula de cloruro de metilo, CH3 Cl, por lo que se forma una molécula de alcohol metílico, CH3 OH y una molécula de cloruro de sodio, NaCl. En este caso, la razón con que avanza la reacción es proporcional al producto de las concentraciones de CH3 Cl y NaOH que quedan. Para describir en general esta segunda reacción, supongamos una molécula de una sustancia A que se combina con una molécula de una sustancia B para formar una molécula de una sustancia C. Si X denota la cantidad de un químico C formado al tiempo t y si ␣ y  son, respectivamente, las cantidades de los dos químicos A y B en t 0 (cantidades iniciales), entonces las cantidades instantáneas no convertidas de A y B al químico C son ␣ X y  X, respectivamente. Por lo que la razón de formación de C está dada por , dX dt k( X)( X) (6) donde k es una constante de proporcionalidad. Una reacción cuyo modelo es la ecua- ción (6) se dice que es una reacción de segundo orden. MEZCLAS Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones surge una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal contenida en la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande inicialmente contiene 300 galones de salmuera (es decir, agua en la que se ha disuelto una cantidad de sal). Otra solución de salmuera entra al tanque con una razón de 3 galones por minuto; la con- 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 22 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 22 6/4/09 12:15:16 PM 6/4/09 12:15:16 PM www.FreeLibros.me
- 45. centración de sal que entra es 2 libras/galón. Cuando la solución en el tanque está bien mezclada, sale con la misma rapidez con que entra. Véase la figura 1.3.1. Si A(t) denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque al tiempo t, entonces la razón con la que A(t) cambia es una razón neta: . dA dt razón de entrada de la sal razón de salida de la sal Rentra Rsale (7) La razón de entrada Rentra con la que entra la sal en el tanque es el producto de la con- centración de entrada de sal por la razón de entrada del fluido. Observe que Rentra está medida en libras por minuto: concentración de sal en el fluido, razón de entrada de la salmuera, razón de entrada de la sal Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min). Ahora, puesto que la solución sale del tanque con la misma razón con la que entra, el número de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300 galones. Por lo que la concentración de la sal en el tanque así como en el flujo de salida es c(t) A(t)300 lb/gal, por lo que la razón de salida Rsale de sal es Rsale ( lb/gal) (3 gal/min) lb/min. A(t) –––– 300 A(t) –––– 100 concentración de sal en el flujo de salida razón de salida de la salmuera razón de salida de la sal La razón neta, ecuación (7) entonces será dA dt 6 A 100 dA dt 1 100 A 6. o (8) Si rentra y rsale denotan las razones generales de entrada y salida de las soluciones de salmuera,* entonces existen tres posibilidades rentra rsale , rentra rsale y rentra rsale . En el análisis que conduce a la ecuación (8) suponemos que rentra rsale . En los dos últimos casos el número de galones de salmuera está ya sea aumentando (rentra rsale ) o disminuyendo (rentra rsale ) a la razón neta rentra rsale . Véanse los problemas 10 a 12 en los ejercicios 1.3. DRENADO DE UN TANQUE En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la rapidez v de salida del agua a través de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que está cayendo libremente desde una altura h esto es, v 12gh, donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión surge al igualar la energía cinética, 1 2mv2 con la energía potencial, mgh, y despejar v. Suponga que un tanque lleno de agua se vacía a través de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Queremos encontrar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque al tiempo t. Considere el tanque que se muestra en la figura 1.3.2. Si el área del agujero es Ah , (en pies2 ) y la rapidez del agua que sale del tanque es v 12gh (en pies/s), en- tonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es Ah 12gh (en pies3 /s). Así, si V(t) denota al volumen de agua en el tanque al tiempo t, entonces , dV dt Ah 2gh (9) razón de entrada de la salmuera 3 gal/min razón de salida de la salmuera 3 gal/min constante 300 gal FIGURA 1.3.1 Tanque de mezclado. h Aw Ah FIGURA 1.3.2 Drenado de un tanque. * No confunda estos símbolos con Rentra y Rsale , que son las razones de entrada y salida de sal. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 23 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 23 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 23 6/4/09 12:15:16 PM 6/4/09 12:15:16 PM www.FreeLibros.me
- 46. 24 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Observe que aquí estamos despreciando la posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la razón de flujo. Si ahora el tanque es tal que el volumen del agua al tiempo t se expresa como V(t) Aw h, donde Aw (en pies2 ) es el área constante de la superficie su- perior del agua (véase la figura 1.3.2), entonces dVdt Aw dhdt. Sustituyendo esta última expresión en la ecuación (9) obtenemos la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua al tiempo t: . dh dt Ah Aw 2gh (10) Es interesante observar que la ecuación (10) es válida aun cuando Aw , no sea constante. En este caso, debemos expresar el área de la superficie superior del agua en función de h, esto es, Aw A(h). Véase el problema 14 de los ejercicios 1.3. CIRCUITOS EN SERIE Considere el circuito en serie simple que tiene un inductor, un resistor y un capacitor que se muestra en la figura 1.3.3a. En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. La figura 1.3.3b muestra los símbolos y fórmulas de las caídas respectivas de voltaje a través de un inductor, un capacitor y un resistor. Como la corriente i(t) está relacionada con la carga q(t) en el capacitor mediante i dqdt, sumamos los tres voltajes inductor resistor capacitor L di dt L d2 q dt2 , iR R dq dt , y 1 C q e igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuación dife- rencial de segundo orden L d2 q dt2 R dq dt 1 C q E(t). (11) En la sección 5.1 examinaremos con detalle una ecuación diferencial análoga a (11). CUERPOS EN CAÍDA Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos de la física elemental, la primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo permanecerá en reposo o continuará moviéndose con una velocidad constante, a menos que sea sometido a una fuerza externa. En los dos casos, esto equivale a decir que cuando la suma de las fuerzas F Fk, esto es, la fuerza neta o fuerza resultante, que actúa sobre el cuerpo es cero, la aceleración a del cuerpo es cero. La segunda ley del movimiento de Newton indica que cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta es proporcional a su aceleración a o, más exactamente, F ma, donde m es la masa del cuerpo. Supongamos ahora que se arroja una piedra hacia arriba desde el techo de un edi- ficio como se muestra en la figura 1.3.4. ¿Cuál es la posición s(t) de la piedra respecto al suelo al tiempo t? La aceleración de la piedra es la segunda derivada d2 sdt2 . Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva y que no hay otra fuerza, además de la fuerza de la gravedad, que actúe sobre la piedra, entonces utilizando la segunda ley de Newton se tiene que . m d2 s dt2 mg o d2 s dt2 g (12) En otras palabras, la fuerza neta es simplemente el peso F F1 W de la piedra cerca de la superficie de la Tierra. Recuerde que la magnitud del peso es W mg, donde m es la (a) (b) E(t) L C R a) Circuito en serie- LRC b) L R Inductor inductancia L: henrys (h) caída de voltaje: L di dt i Capacitor capacitancia C: farads (f) caída de voltaje: 1 C i Resistor resistencia R: ohms (Ω) caída de voltaje: iR i q C FIGURA 1.3.3 Símbolos, unidades y voltajes. Corriente i(t) y carga q(t) están medidas en amperes (A) y en coulombs (C), respectivamente. suelo edificio piedra s(t) s0 v0 FIGURA 1.3.4 Posición de la piedra medida desde el nivel del suelo. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 24 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 24 6/4/09 12:15:18 PM 6/4/09 12:15:18 PM www.FreeLibros.me
- 47. masa del cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad. El signo menos en la ecuación (12) se usa porque el peso de la piedra es una fuerza dirigida hacia abajo, que es opuesta a la dirección positiva. Si la altura del edificio es s0 y la velocidad inicial de la roca es v0 , entonces s se determina a partir del problema con valores iniciales de segundo orden . d2 s dt2 g, s(0) s0, s(0) v0 (13) Aunque no hemos indicado soluciones de las ecuaciones que se han formulado, ob- serve que la ecuación 13 se puede resolver integrando dos veces respecto a t la cons- tante –g. Las condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración. De la física elemental podría reconocer la solución de la ecuación (13) como la fórmula s(t) 1 2gt2 v0t s0. CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE Antes del famoso experimento de la torre inclinada de Pisa de Galileo generalmente se creía que los objetos más pe- sados en caída libre, como una bala de cañón, caían con una aceleración mayor que los objetos ligeros como una pluma. Obviamente, una bala de cañón y una pluma cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altura realmente caen en tiempos dife- rentes, pero esto no es porque una bala de cañón sea más pesada. La diferencia en los tiempos es debida a la resistencia del aire. En el modelo que se presentó en la ecuación (13) se despreció la fuerza de la resistencia del aire. Bajo ciertas circunstancias, un cuerpo que cae de masa m, tal como una pluma con densidad pequeña y forma irregu- lar, encuentra una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea v. Si en este caso, tomamos la dirección positiva dirigida hacia abajo, entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada por F F1 F2 mg kv, donde el peso F1 mg del cuerpo es una fuerza que actúa en la dirección positiva y la resisten- cia del aire F2 kv es una fuerza, que se llama de amortiguamiento viscoso, que actúa en la dirección contraria o hacia arriba. Véase la figura 1.3.5. Ahora puesto que v está relacionada con la aceleración a mediante a dvdt, la segunda ley de Newton será F ma m dv/dt. Al igualar la fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una ecuación diferencial para la velocidad v(t) del cuerpo al tiempo t, . m dv dt mg kv (14) Aquí k es una constante positiva de proporcionalidad. Si s(t) es la distancia que el cuerpo ha caído al tiempo t desde su punto inicial o de liberación, entonces v dsdt y a dvdt d2 sdt2 . En términos de s, la ecuación (14) es una ecuación diferencial de segundo orden. m d2 s dt2 mg k ds dt o m d2 s dt2 k ds dt mg. (15) CABLES SUSPENDIDOS Suponga un cable flexible, alambre o cuerda pesada que está suspendida entre dos soportes verticales. Ejemplos físicos de esto podría ser uno de los dos cables que soportan el firme de un puente de suspensión como el que se muestra en la figura 1.3.6a o un cable telefónico largo entre dos postes como el que se muestra en la figura 1.3.6b. Nuestro objetivo es construir un modelo matemático que describa la forma que tiene el cable. Comenzaremos por acordar en examinar sólo una parte o elemento del cable entre su punto más bajo P1 y cualquier punto arbitrario P2 . Señalado en color azul en la fi- gura 1.3.7, este elemento de cable es la curva en un sistema de coordenada rectangular eligiendo al eje y para que pase a través del punto más bajo P1 de la curva y eligiendo al eje x para que pase a a unidades debajo de P1 . Sobre el cable actúan tres fuerzas: las tensiones T1 y T2 en el cable que son tangentes al cable en P1 y P2 , respectivamente, y la parte W de la carga total vertical entre los puntos P1 y P2 . Sea que T1 T1 , T2 T2 , y W W denoten las magnitudes de estos vectores. Ahora la tensión T2 se dirección positiva resistencia del aire gravedad kv mg FIGURA 1.3.5 Cuerpo de masa m cayendo. a) cable de suspensión de un puente b) alambres de teléfonos FIGURA 1.3.6 Cables suspendidos entre soportes verticales. FIGURA 1.3.7 Elemento del cable. cos alambre T2 θ θ sen T2 T2 P2 T1 W P1 θ y x (x, 0) (0, a) 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 25 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 25 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 25 6/4/09 12:15:19 PM 6/4/09 12:15:19 PM www.FreeLibros.me
- 48. 26 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES descompone en sus componentes horizontal y vertical (cantidades escalares) T2 cos y T2 sen . Debido al equilibrio estático podemos escribir T1 T2cos y W T2sen . Al dividir la ultima ecuación entre la primera, eliminamos T2 y obtenemos tan WT1 . Pero puesto que dydx tan , llegamos a dy dx W T1 . (16) Esta sencilla ecuación diferencial de primer orden sirve como modelo tanto para modelar la forma de un alambre flexible como el cable telefónico colgado bajo su propio peso, como para modelar la forma de los cables que soportan el firme de un puente suspendido. Regresaremos a la ecuación (16) en los ejercicios 2.2 y la sección 5.3. CUÁLES SON LOS MÉTODOS En este libro veremos tres diferentes tipos de méto- dos para el análisis de las ecuaciones diferenciales. Por siglos las ecuaciones diferenciales han ocupado los esfuerzos de científicos o ingenieros para describir algún fenómeno físico o para traducir una ley empírica o experimental en términos matemáticos. En consecuen- cia el científico, ingeniero o matemático con frecuencia pasaría muchos años de su vida tratando de encontrar las soluciones de una ED. Con una solución en la mano, se prosigue con el estudio de sus propiedades. A esta búsqueda de soluciones se le llama método ana- lítico para las ecuaciones diferenciales. Una vez que comprendieron que las soluciones explícitas eran muy difíciles de obtener y en el peor de los casos imposibles de obtener, los matemáticos aprendieron que las ecuaciones diferenciales en sí mismas podrían ser una fuente de información valiosa. Es posible, en algunos casos, contestar directamente de las ecuaciones diferenciales preguntas como ¿en realidad la ED tiene soluciones? Si una solución de la ED existe y satisface una condición inicial, ¿es única esa solución? ¿Cuáles son algunas propiedades de las soluciones desconocidas? ¿Qué podemos decir acerca de la geometría de las curvas de solución? Este método es análisis cualitativo. Por último, si una ecuación diferencial no se puede resolver por métodos analíticos, aún así podemos demostrar que una solución existe; la siguiente pregunta lógica es ¿de qué modo podemos aproximarnos a los valores de una solución desconocida? Aquí entra al reino del análisis numérico. Una respuesta afirmativa a la última pregunta se basa en el hecho de que una ecuación diferencial se puede usar como un principio básico para la construcción de algoritmos de aproximación muy exactos. En el capítulo 2 comenzaremos con consi- deraciones cualitativas de las EDO de primer orden, después analizaremos los artificios analíticos para resolver algunas ecuaciones especiales de primer orden y concluiremos con una introducción a un método numérico elemental. Véase la figura 1.3.8. a) analítico b) cualitativo c) numérico y'=f(y) ¡HÁBLAME! FIGURA 1.3.8 Métodos diferentes para el estudio de ecuaciones diferenciales. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 26 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 26 6/4/09 12:15:19 PM 6/4/09 12:15:19 PM www.FreeLibros.me
- 49. COMENTARIOS Cada ejemplo de esta sección ha descrito un sistema dinámico, un sistema que cambia o evoluciona con el paso del tiempo t. Puesto que el estudio de los siste- mas dinámicos es una rama de las matemáticas de moda en la actualidad, a veces utilizaremos la terminología de esa rama en nuestros análisis. En términos más precisos, un sistema dinámico consiste en un conjunto de variables dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado, junto con una regla que permita determinar (sin ambigüedades) el estado del sistema (que puede ser pasado, presente o futuro) en términos de un estado prescrito al tiempo t0 . Los sistemas dinámicos se clasifican ya sea como sistemas discretos o continuos en el tiempo, o de tiempos discretos o continuos. En este curso sólo nos ocupare- mos de los sistemas dinámicos continuos en el tiempo, sistemas en los que todas las variables están definidas dentro de un intervalo continuo de tiempo. La regla o modelo matemático en un sistema dinámico continuo en el tiempo es una ecuación diferencial o sistema de ecuaciones diferenciales. El estado del sistema al tiempo t es el valor de las variables de estado en ese instante; el estado especificado del sistema al tiempo t0 son simplemente las condiciones iniciales que acompañan al modelo matemático. La solución de un problema con valores iniciales se llama respuesta del sistema. Por ejemplo, en el caso del decaimiento radiactivo, la regla es dAdt kA. Ahora, si se conoce la cantidad de sustancia radiactiva al tiempo t0 , digamos A(t0 ) A0 , entonces, al resolver la regla se encuentra que la respuesta del sistema para t
- 50. t0 es A(t) A0 e (t t0) (véase la sección 3.1). La respuesta A(t) es la única variable de estado para este sistema. En el caso de la piedra arrojada desde el techo de un edificio, la respuesta del sistema, es decir, la solución a la ecuación diferencial d2 sdt2 g, sujeta al estado inicial s(0) s0 , s(0) v0 , es la función , s(t) 1 2gt2 v0t s0; 0 t T donde T representa el valor del tiempo en que la piedra golpea en el suelo. Las variables de estado son s(t) y s(t), la po- sición y la velocidad verticales de la piedra, respectivamente. La aceleración, s(t), no es una variable de estado ya que sólo se conocen la posición y la velo- cidad iniciales al tiempo t0 para determinar, en forma única, la posición s(t) y la velocidad s(t) v(t) de la piedra en cualquier momento del intervalo t0 t T. La aceleración, s(t) a(t) está, por supuesto, dada por la ecuación diferencial s(t) g, 0 t T. Un último punto: No todos los sistemas que se estudian en este libro son sistemas dinámicos. Examinaremos algunos sistemas estáticos en que el modelo es una ecuación diferencial. EJERCICIOS 1.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1. Dinámica poblacional 1. Con base en las mismas hipótesis detrás del modelo de la ecuación (1), determine una ecuación diferencial para la población P(t) de un país cuando se les permite a las personas inmigrar a un país con una razón constante r 0. ¿Cuál es la ecuación diferencial para la población P(t) del país cuando se les permite a las personas emigrar del país con una razón constante r 0? 2. El modelo de población dado en la ecuación (1) falla al no considerar la tasa de mortalidad; la razón de crecimiento es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del cambio de población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en la comunidad. Determine un modelo para la población P(t) si tanto la tasa de natalidad y la mortalidad son pro- porcionales a la población presente al tiempo t. 3. Utilice el concepto de razón neta introducido en el pro- blema 2 para determinar un modelo para una población P(t) si la tasa de natalidad es proporcional a la población presen- te al tiempo t, pero la tasa de mortalidad es proporcional al cuadrado de la población presente al tiempo t. 4. Modifique el problema 3 para la razón neta con la que la población P(t) de una cierta clase de pez cambia al supo- ner que el pez está siendo pescado con una razón cons- tante h 0. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 27 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 27 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 27 6/4/09 12:15:20 PM 6/4/09 12:15:20 PM www.FreeLibros.me
- 51. 28 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton 5. Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfria- miento de Newton, ecuación (3). Utilice los datos de la gráficadelatemperaturaT(t)enlafigura1.3.9paraestimar las constantes Tm , T0 y k en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden: dTdt k (T Tm ), T(0) T0 . cial para el número de personas x(t) que hayan adoptado la innovación al tiempo t si se supone que la razón con la que se propaga la innovación es conjuntamente propor- cional al número de personas que ya la han adoptado y al número de personas que no la han adoptado. Mezclas 9. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene ini- cialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de 3 gal/min y cuando la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque al tiempo t. ¿Cuánto vale A(0)? 10. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene ini- cialmente 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 libras de sal. Otra salmuera introducida al tanque a una razón de 3 gal/min y cuando la solución está bien mezclada sale a una razón lenta de 2 gal/min. Si la con- centración de la solución que entra es 2 lb/gal, determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal A(t) que hay en el tanque al tiempo t. 11. ¿Cuál es la ecuación diferencial del problema 10, si la solución bien mezclada sale a una razón más rápida de 3.5 gal/min? 12. Generalice el modelo dado en la ecuación (8) de la página 23, suponiendo que el gran tanque contiene inicialmente N0 número de galones de salmuera, rentra y rsale son las ra- zones de entrada y salida de la salmuera, respectivamente (medidas en galones por minuto), centra es la concentra- ción de sal en el flujo que entra, c(t) es la concentración de sal en el tanque así como en el flujo que sale al tiempo t (medida en libras de sal por galón), y A(t) es la cantidad de sal en el tanque al tiempo t. Drenado de un tanque 13. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ah que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a cAh 12gh , donde c (0 c 1) es una constante empírica. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cúbico que se muestra en la figura 1.3.11. El radio del agujero es de 2 pulg, y g 32 pies/s2 . FIGURA 1.3.9 Curva de enfriamiento del problema 5. t T 25 50 minutos 75 100 100 50 200 0 150 FIGURA 1.3.10 Temperatura ambiente del problema 6. t Tm(t) 12 medio día 24 36 48 0 media noche media noche medio día media noche 20 40 60 80 100 120 6. La temperatura ambiente Tm en la ecuación (3) podría ser una función del tiempo t. Suponga que en un medio am- biente controlado, Tm (t) es periódica con un periodo de 24 horas, como se muestra en la figura 1.3.10. Diseñe un modelo matemático para la temperatura T(t) de un cuerpo dentro de este medio ambiente. Propagación de una enfermedad/tecnología 7. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa al apartado campus de su universidad de 1000 estu- diantes. Determine una ecuación diferencial para el número de personas x(t) que contraerán la gripe si la razón con la que la enfermedad se propaga es proporcional al número de inte- racciones entre el número de estudiantes que tiene gripe y el número de estudiantes que aún no se han expuesto a ella. 8. Al tiempo denotado por t 0, se introduce una innova- ción tecnológica en una comunidad que tiene una canti- dad fija de n personas. Determine una ecuación diferen- h agujero circular 10 pies Aw FIGURA 1.3.11 Tanque cúbico del problema 13. 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 28 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 28 6/4/09 12:15:21 PM 6/4/09 12:15:21 PM www.FreeLibros.me
- 52. 14. Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la figura 1.3.12 sale agua por un agujero circular que está en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El radio del agujero es 2 pulg, g 32 pies/s2 , y el factor de fricción/contracción es c 0.6. Segunda ley de Newton y Principio de Arquímedes 18. Un barril cilíndrico de s pies de diámetro y w lb de peso, está flotando en agua como se muestra en la figura 1.3.16a. Después de un hundimiento inicial el barril presenta un mo- vimiento oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical. Utilizando la figura 1.3.16b, defina una ecua- ción diferencial para establecer el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el barril está en reposo. Use el Principio de Arquímedes: la fuerza de flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril es igual al peso del agua desplazada. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es 62.4 lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua. L R E FIGURA 1.3.13 Circuito en serie LR del problema 15. FIGURA 1.3.14 Circuito RC en serie del problema 16. R C E FIGURA 1.3.12 Tanque cónico del problema 14. 8 pies agujero circular h 20 pies Aw FIGURA 1.3.15 Resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad del problema 17. mg kv2 SKYDIVING MADE EASY FIGURA 1.3.16 Movimiento oscilatorio del barril flotando del problema 18. 0 y(t) 0 superficie s/2 b) a) s/2 Circuitos en serie 15. Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura 1.3.13. Determine una ecuación diferencial para la corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado es E(t). 16. Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor como se muestra en la figura 1.3.14. Determine una ecuación dife- rencial que exprese la carga q(t) en el capacitor, si la resisten- cia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t). Caida libre y resistencia del aire 17. Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la figura 1.3.15, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad ins- tantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la ve- locidad instantánea. Segunda ley de Newton y ley de Hooke 19. Después de que se fija una masa m a un resorte, éste se estira s unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio como se muestra en la figura 1.3.17b. Después el sistema FIGURA 1.3.17 Sistema resorte/masa del problema 19. resorte sin deformar posición de equilibrio m x = 0 x(t) 0 x(t) 0 m s a) b) c) 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 29 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 29 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 29 6/4/09 12:15:21 PM 6/4/09 12:15:21 PM www.FreeLibros.me
- 53. 30 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES resorte/masa se pone en movimiento, sea que x(t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Como se indica en la figura 1.3.17c, suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa y la fuerza de restauración del resorte estirado. Utilice la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento x(t) al tiempo t. 20. En el problema 19, ¿cuál es la ecuación diferencial para el desplazamientox(t)sielmovimientotienelugarenunmedio que ejerce una fuerza de amortiguamiento sobre el sistema resorte/masa que es proporcional a la velocidad instantánea de la masa y actúa en dirección contraria al movimiento? Segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal 21. De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, la aceleración de caída libre a de un cuerpo, tal como el satélite que se muestra en la figura 1.3.18, que está cayendo desde una gran distancia hacia la superficie no es la constante g. Más bien, la aceleración a es inver- samente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra a kr2 donde k es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en la superficie de la Tierra, r R y a g, para determinar k. Si la direc- ción positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal para encontrar una ecuación diferencial para la distancia r. Modelos matemáticos adicionales 23. Teoría del aprendizaje En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es propor- cional a la cantidad que queda por memorizar. Suponga que M denota la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t. Determine una ecuación diferencial para determinar la cantidad A(t). 24. Falta de memoria Con los datos del problema anterior suponga que la razón con la cual el material es olvidado es proporcional a la cantidad memorizada al tiempo t. Determine una ecuación diferencial para A(t), cuando se considera la falta de memoria. 25. Suministro de un medicamento Se inyecta un medica- mento en el torrente sanguíneo de un paciente a una razón constante de r gramos por segundo. Simultáneamente, se elimina el medicamento a una razón proporcional a la cantidad x(t) presente al tiempo t. Determine una ecua- ción diferencial que describa la cantidad x(t). 26. Tractriz Una persona P que parte del origen se mueve en ladirecciónpositivadelejex,jalandounpesoalolargodela curva C, llamada tractriz, como se muestra en la figura 1.3.20. Inicialmente el peso se encontraba en el eje y, en (0, s) y es jalado con una cuerda de longitud constante s, que se mantiene tensa durante el movimiento. Determine una ecuación diferencial para la trayectoria C de movimiento. Suponga que la cuerda siempre es tangente a C. FIGURA 1.3.18 Satélite del problema 21. Tierra de masa M R satellite of mass m r satélite de masa m superficie FIGURA 1.3.19 Agujero que pasa a través de la Tierra del problema 22. superficie m R r 22. Suponga que se hace un agujero que pasa por el centro de la Tierra y que por él se deja caer una bola de masa m como se muestra en la figura 1.3.19. Construya un modelo matemá- tico que describa el posible movimiento de la bola. Al tiempo t sea que r denote la distancia desde el centro de la Tierra a la masa m, que M denote la masa de la Tierra, que Mr denote la masa de la parte de la Tierra que está dentro de una esfera de radio r, y que d denote la densidad constante de la Tierra. FIGURA 1.3.20 Curva tractriz del problema 26. y x (0, s) (x, y) y s P θ C FIGURA 1.3.21 Superficie reflectora del problema 27. C θ θ φ x y O P(x, y) L tangente 27. Superficie reflectora Suponga que cuando la curva plana C que se muestra en la figura 1.3.21 se gira respecto al eje x genera una superficie de revolución, con la pro- piedad de que todos los rayos de luz paralelos al eje x que inciden en la superficie son reflejados a un solo punto O (el origen). Utilice el hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión para determinar una ecua- 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 30 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 30 6/4/09 12:15:22 PM 6/4/09 12:15:22 PM www.FreeLibros.me
- 54. ción diferencial que describa la forma de la curva C. Esta curvaCesimportanteenaplicacionescomoconstrucciónde telescopios o antenas de satélites, faros delanteros de auto- móviles y colectores solares. [Sugerencia: La inspección de la figura muestra que podemos escribir 2u. ¿Por qué? Ahora utilice una identidad trigonométrica adecuada.] Problemas de análisis 28. Repita el problema 41 de los ejercicios 1.1 y después proporcione una solución explicíta P(t) para la ecuación (1). Determine una familia uniparamétrica de soluciones de (1). 29. Lea nuevamente la oración que se encuentra a continuación de la ecuación (3) y suponga que Tm es una constante posi- tiva. Analice por qué se podría esperar que k 0 en ambos casos de enfriamiento y de calentamiento. Podría empezar por interpretar, digamos, T(t) Tm en una forma gráfica. 30. Lea nuevamente el análisis que condujo a la ecuación (8). Si suponemos que inicialmente el tanque conserva, diga- mos 50 libras de sal, es porque se le está agregando sal continuamente al tanque para t 0, A(t) será una función creciente. Analice cómo podría determinar a partir de la ED, sin realmente resolverla, el número de libras de sal en el tanque después de un periodo largo. 31. Modelo de población La ecuación diferencial dP dt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, modela la población humana, P(t), de cierta comunidad. Analice e interprete la solución de esta ecuación. En otras palabras, ¿qué tipo de población piensa que describe esta ecuación diferencial? 32. Fluido girando Como se muestra en la figura 1.3.22 un cilindro circular recto parcialmente lleno con un fluido está girando con una velocidad angular constante v respecto al eje vertical que pasa por su centro. El fluido girando forma una superficie de revolución S. Para identificar S, primero establecemos un sistema coordenado que consiste en un plano vertical determinado por el eje y y el eje x dibujado en forma perpendicular al eje y de tal forma que el punto de intersección de los ejes (el origen) está localizado en el punto inferior de la superficie S. Entonces buscamos una función y f(x) que represente la curva C de intersección de la su- perficie S y del plano coordenado vertical. Sea que el punto P(x, y) denote la posición de una partícula del fluido girando, de masa m, en el plano coordenado. Véase la figura 1.3.22b. a) En P hay una fuerza de reacción de magnitud F de- bida a las otras partículas del fluido que es perpen- dicular a la superficie S. Usando la segunda ley de Newton la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre la partícula es mv2 x. ¿Cuál es esta fuerza? Utilice la figura 1.3.22b para analizar la naturaleza y el origen de las ecuaciones F cos u = mg, F sen u = mv2 x b) Use el inciso a) para encontrar una ecuación diferen- cial que defina la función y f(x). 33. Cuerpo en caída En el problema 21 suponga que r R s donde s es la distancia desde la superficie de la Tierra al cuerpo que cae. ¿Cómo es la ecuación diferencial que se obtuvo en el problema 21 cuando s es muy pequeña en comparación con R? [Sugerencia: Considere la serie binomial para (R s)2 R2 (1 sR)2 .] 34. Gotas de lluvia cayendo En meteorología el término virga se refiere a las gotas de lluvia que caen o a partículas de hielo que se evaporan antes de llegar al suelo. Suponga que en algún tiempo, que se puede denotar por t 0, las gotas de lluvia de radio r0 caen desde el reposo de una nube y se comienzan a evaporar. a) Si se supone que una gota se evapora de tal manera que su forma permanece esférica, entonces también tiene sentido suponer que la razón a la cual se evapora la gota de lluvia, esto es, la razón con la cual ésta pierde masa, es proporcional a su área superficial. Muestre que esta última suposición implica que la razón con la que el radio r de la gota de lluvia dismi- nuye es una constante. Encuentre r(t). [Sugerencia: Véase el problema 51 en los ejercicios 1.1.] b) Si la dirección positiva es hacia abajo, construya un modelo matemático para la velocidad v de la gota de lluvia que cae al tiempo t. Desprecie la resistencia del aire. [Sugerencia: Cuando la masa m de un cuerpo está cambiando con el tiempo, la segunda ley de Newton es F d dt (mv), donde F es la fuerza neta que actúa so- bre el cuerpo y mv es su cantidad de movimiento.] ω P y x θ θ mg 2x mω P(x, y) F recta tangente a la curva C en P curva C de intersección del plano xy y la superficie de revolución a) b) y FIGURA 1.3.22 Fluido girando del problema 32. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 31 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 31 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 31 6/4/09 12:15:22 PM 6/4/09 12:15:22 PM www.FreeLibros.me
- 55. 32 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 35. Deja que nieve El “problema del quitanieves” es un clá- sico que aparece en muchos libros de ecuaciones diferenciales y que fue probablemente inventado por Ralph Palmer Agnew. “Un día comenzó a nevar en forma intensa y cons- tante. Un quitanieve comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y una milla la segunda. ¿A qué hora comenzó a nevar?” Se encuentra en el libro Differential Equations, de Ralph Palmer Agnew, McGraw-Hill Book Co., búsquelo y después analice la construcción y solución del modelo matemático. 36. Lea nuevamente esta sección y clasifique cada modelo matemático como lineal o no lineal. REPASO DEL CAPÍTULO 1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1. En los problemas 1 y 2 llene el espacio en blanco y después escriba este resultado como una ecuación diferencial de pri- mer orden que no contiene al símbolo c1 y que tiene la forma dydx f(x, y). El símbolo c1 representa una constante. 1. 2. d dx (5 c1e 2x ) d dx c1e10x En los problemas 3 y 4 llene el espacio en blanco y después escriba este resultado como una ecuación diferencial lineal de segundo orden que no contiene a las constantes c1 y c2 y que tiene la forma F(y, y) 0. Los símbolos c1 , c2 y k representan las constantes. 3. 4. d2 dx2 (c1 cosh kx c2 senhkx) d2 dx2 (c1 cos kx c2 senkx) En los problemas 5 y 6 calcule y y y y después combine estas derivadas con y como una ecuación diferencial lineal de segundo orden que no contiene los símbolos c1 y c2 y que tiene la forma F(y, y, y) 0. Estos símbolos c1 y c2 representan constantes. 5. y c1 ex c2 xex 6. y c1 ex cos x c2 ex sen x En los problemas 7 a 12 relacione cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales con una o más de estas soluciones. a) y 0, b) y 2, c) y 2x, d) y 2x2 . 7. xy 2y 8. y 2 9. y 2y 4 10. xy y 11. y 9y 18 12. xy y 0 En los problemas 13 y 14 determine por inspección al menos una solución de la ecuación diferencial dada. 13. y y 14. y y(y 3) En los problemas 15 y 16 interprete cada enunciado como una ecuación diferencial. 15. En la gráfica de y (x) la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, y) es el cuadrado de la distancia de P(x, y) al origen. 16. En la gráfica de y (x) la razón con la que la pendiente cambia respecto a x en un punto P(x, y) es el negativo de la pendiente de la recta tangente en P(x, y). 17. a) Dé el dominio de la función y x2/3 . b) Dé el intervalo I de definición más largo en el cual y x2/3 es solución de la ecuación diferencial 3xy 2y 0. 18. a) Compruebe que la familia uniparamétrica y2 2y x2 –x c es una solución implícita de la ecuación diferencial (2y 2)y 2x 1. b) Encuentre un miembro de la familia uniparamétrica en el inciso a) que satisfaga la condición inicial y(0) 1. c) Utilice su resultado del inciso b) para determinar una función explícita y (x) que satisfaga y(0) 1. Dé el dominio de la función . ¿Es y (x) una solución del problema con valores iniciales? Si es así, dé su in- tervalo I de definición; si no, explique por qué. 19. Dado que y x – 2x es una solución de la ED xy y 2x. Determine x0 y el intervalo I más largo para el cual y(x) es una solución del PVI de primer orden xy y 2x, y(x0 ) 1. 20. Suponga que y(x) denota una solución del PVI de primer orden y x2 y2 , y(1) 1 y que y(x) tiene al menos una segunda derivada en x 1. En alguna vecindad de x 1 utilice la ED para determinar si y(x) está creciendo o decreciendo y si la gráfica y(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo. 21. Una ecuación diferencial puede tener más de una familia de soluciones. a) Dibuje diferentes miembros de las familias y 1 (x) x2 c1 y y 2 (x) x2 c2 . b) Compruebe que y 1 (x) y y 2 (x) son dos solu- ciones de la ecuación diferencial no lineal de primer orden (y)2 4x2 . c) Construya una función definida en tramos que sea una solución de la ED no lineal del inciso b) pero que no es miembro de la familia de soluciones del inciso a). 22. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una solución de y 61y 5x3 que pasa por (1, 4)? 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 32 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 32 6/4/09 12:15:23 PM 6/4/09 12:15:23 PM www.FreeLibros.me
- 56. En los problemas 23 a 26 verifique que la función indicada es una solución particular de la ecuación diferencial dada. Dé un intervalo I de definición para cada solución. 23. y y 2 cos x 2 sen x; y x sen x x cos x 24. y y sec x; y x sen x (cos x)ln(cos x) 25. x2 y xy y 0; y sen(ln x) 26. x2 y xy y sec(ln x); y cos(ln x) ln(cos(ln x)) (ln x) sen(ln x) En los problemas 27 a 30, y c1 e3x c2 ex 2x es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden y – 2y 3y 6x 4. Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y en las condiciones iniciales dadas. 27. y (0) 0, y(0) 0 28. y (0) 1, y(0) 3 29. y (1) 4, y(1) 2 30. y (1) 0, y(1) 1 31. En la figura 1.R.1, se presenta la gráfica de una solución de un problema con valores iniciales de segundo orden d2 ydx2 f(x, y, y), y(2) y0 ; y(2) y1 . Utilice la gráfica para estimar los valores de y0 y y1 . 32. Un tanque que tiene la forma de cilindro circular recto, de 2 pies de radio y 10 pies de altura, está parado sobre su base. Inicialmente, el tanque está lleno de agua y ésta sale por un agujero circular de 1 2 pulg de radio en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. Desprecie la fricción y contracción del agua en el agujero. 33. El número de ratones de campo en una pastura está dado por la función 200 10t, donde el tiempo t se mide en años. Determine una ecuación diferencial que gobierne una población de búhos que se alimentan de ratones si la razón a la que la población de búhos crece es proporcio- nal a la diferencia entre el número de búhos al tiempo t y el número de ratones al mismo tiempo t. 34. Suponga que dAdt 0.0004332 A(t) representa un modelo matemático para el decaimiento radiactivo del radio-226, donde A(t) es la cantidad de radio (medida en gramos) que queda al tiempo t (medido en años). ¿Cuánto de la muestra de radio queda al tiempo t cuando la mues- tra está decayendo con una razón de 0.002 gramos por año? y x 5 −5 5 FIGURA 1.R.1 Gráfica para el problema 31. REPASO DEL CAPÍTULO O 33 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 33 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd 33 6/4/09 12:15:24 PM 6/4/09 12:15:24 PM www.FreeLibros.me
- 57. 34 2.1 Curvas solución sin una solución 2.1.1 Campos direccionales 2.1.2 ED de primer orden autónomas 2.2 Variables separables 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Ecuaciones exactas 2.5 Soluciones por sustitución 2.6 Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2 La historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de su vida a la solución de ecuaciones, al principio de ecuaciones algebraicas y después de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y que una ecuación diferencial tenga una solución que con los métodos existentes actuales no se puede determinar. En las secciones 2.1 y 2.6 no resolveremos ninguna ED pero mostraremos cómo obtener información directamente de la misma ecuación. En la sección 2.1 podemos ver cómo, a partir de la ED, obtenemos información cualitativa de la misma respecto a sus gráficas, lo que nos permite interpretar los dibujos de las curvas solución. En la sección 2.6 usamos ecuaciones diferenciales para construir un procedimiento numérico para soluciones aproximadas. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 34 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 34 6/4/09 12:15:44 PM 6/4/09 12:15:44 PM www.FreeLibros.me
- 58. CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN REPASO DE MATERIAL O La primera derivada como pendiente de una recta tangente. O El signo algebraico de la primera derivada indica crecimiento o decrecimiento. INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden dydx f(x, y), y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones. Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación. 2.1 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si f(x, y) y fy satisfacen algunas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones. ¿Cómo se com- porta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta una solución cuando x : ? Con frecuencia, estas preguntas se pueden responder cuando la función f depende sólo de la variable y. Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cálculo: Una derivada dydx de una función derivable y y(x) da las pendientes de las rectas tangentes en puntos de su gráfica. PENDIENTE Debido a que una solución y y(x) de una ecuación diferencial de primer orden dy dx f (x, y) (1) es necesariamente una función derivable en su intervalo I de definición, debe también ser continua en I. Por tanto la curva solución correspondiente en I no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto (x, y(x)). La función f en la forma normal (1) se llama función pendiente o función razón. La pendiente de la recta tangente en (x, y(x)) en una curva solución es el valor de la primera derivada dydx en este punto y sabemos de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente f(x, y(x)). Ahora suponga- mos que (x, y) representa cualquier punto de una región del plano xy en la que está definida la función f. El valor f(x, y) que la función f le asigna al punto representa la pendiente de una recta o que la visualizaremos como un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuación dydx 0.2xy, donde f(x, y) 0.2xy. En el punto (2, 3) la pendiente de un elemento lineal es f(2, 3) 0.2(2)(3) 1.2. La figura 2.1.1a muestra un segmento de recta con pendiente 1.2 que pasa por (2, 3). Como se muestra en la figura 2.1.1b, si una curva solución también pasa por el punto (2, 3), lo hace de tal forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto. CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a f en una malla rectan- gular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dydx f(x, y). Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano curva solución a) elemento lineal en un punto. b) el elemento lineal es tangente a la curva solución que pasa por el punto. pendiente = 1.2 (2, 3) x y tangente (2, 3) x y FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva solución en (2, 3). 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 35 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 35 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 35 6/4/09 12:15:44 PM 6/4/09 12:15:44 PM www.FreeLibros.me
- 59. 36 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en las que una solución presenta un comportamiento poco común. Una sola curva solución que pasa por un campo direccional debe seguir el patrón de flujo del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la malla. La figura 2.1.2 muestra un campo direccional generado por computadora de la ecuación diferencial dydx sen(x y) en una región del plano xy. Observe cómo las tres cur- vas solución que se muestran a colores siguen el flujo del campo. EJEMPLO 1 Campo direccional El campo direccional para la ecuación diferencial dydx 0.2xy que se muestra en la figura 2.1.3a se obtuvo usando un paquete computacional en el que se definió una malla 5 5 (mh, nh) con m y n enteros, haciendo – 5 m 5, 5 n 5, y h 1. Observe en la figura 2.1.3a que en cualquier punto del eje de las x (y 0) y del eje y (x 0), las pendientes son f(x, 0) 0 y f(0, y) 0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son horizontales. Además observe que en el primer cuadrante para un valor fijo de x los valores de f(x, y) 0.2xy aumentan conforme crece y; análogamente, para una y los valores de f(x, y) 0.2xy aumentan conforme x aumenta. Esto significa que conforme x y y crecen, los ele- mentos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva (f(x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). En el segundo cuadrante, f(x, y) aumenta conforme crecen x y y crecen, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa (f(x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). Leyendo de izquierda a dere- cha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a una herradura. A partir de esto se podría inferir que y : conforme x : . Ahora en el tercer y el cuarto cuadrantes, puesto que f(x, y) 0.2xy 0 y f(x, y) 0.2xy 0, respectivamente, la situación se invierte: una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos en la ecuación (1) de la sección 1.1 que y e0.1x2 es una solución explícita de dydx 0.2xy; usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecuación está dada por: y ce0.1x2 . Con objeto de comparar con la figura 2.1.3a, en la figura 2.1.3b se muestran algunos miembros representativos de esta familia. EJEMPLO 2 Campo direccional Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución aproximada para el pro- blema con valores iniciales dydx sen y, y(0) 3 2. SOLUCIÓN Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de f(x, y) sen y y fy cos y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva solución única que pase por un punto dado (x0 , y0 ) en el plano. Ahora nuevamente seleccionando en nuestro paquete computacional la opción para una región rectangular 5 5 y dando puntos (debidos a la condición inicial) en la región con separación vertical y horizontal de 1 2 unidad, es decir, en puntos (mh, nh), h 1 2, m y n enteros tales como 10 m 10, 10 n 10. En la figura 2.1.4 se presenta el resultado. Puesto que el lado derecho de dydx sen y es 0 en y 0, y en y p, los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas coordenadas son y 0 o y p. Entonces tiene sentido que una curva solución que pasa por el punto inicial (0, 3 2), tenga la forma que se muestra en la figura. CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretación de la derivada dydx como una función que da la pendiente juega el papel principal en la construcción de un campo direccional. A continuación se usará otra contundente propiedad de la primera derivada, es decir, si dydx 0 (o dydx 0) para toda x en un intervalo I, entonces una función derivable y y(x) es creciente (o decreciente) en I. c0 c0 x y 4 _4 _4 _2 2 4 _4 _2 2 4 _2 2 4 _4 _2 2 x y c=0 b) Algunas curvas solución en la familia y ce . 0.1x 2 a) Campo direccional para dy/dx 0.2xy. FIGURA 2.1.3 Campo direccional y curvas solución. FIGURA 2.1.2 Las curvas solución siguen el flujo de un campo direccional. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 36 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 36 6/4/09 12:15:46 PM 6/4/09 12:15:46 PM www.FreeLibros.me
- 60. x y _4 _2 2 4 4 _4 _2 2 FIGURA 2.1.4 Campo direccional del ejemplo 2. COMENTARIOS Dibujar a mano un campo direccional es directo pero tardado; por eso es proba- ble que en la vida solo una o dos veces se realice esta tarea, pero generalmente es más eficiente realizarlo usando un paquete computacional. Antes de las calcu- ladoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el mé- todo de las isoclinas para facilitar el dibujo a mano de un campo direccional. Para la ED dydx f(x, y), cualquier miembro de la familia de curvas f(x, y) c, donde c es una constante, se llama isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos, f(x, y) c1 todos con la misma pendiente c1 . En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportuni- dades para dibujar un campo direccional a mano. 2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS En la sección 1.1 dividimos la clase de las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos brevemente otra clase de clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias, una clasificación que es de particular importancia en la investigación cua- litativa de las ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo x denota a la variable independiente, entonces se puede escribir una ecuación diferencial autónoma de primer orden como f(y, y) 0 o en la forma normal como . dy dx f (y) (2) Supondremos que la función f en la ecuación (2) y su derivada f son funciones conti- nuas de y en algún intervalo I. Las ecuaciones de primer orden f (y) f (x, y) p p dy dx 2 dy dx 0.2xy 1 y y son respectivamente autónoma y no autónoma. Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros símbolos diferentes de y y de x para representar las variables dependientes e indepen- dientes. Por ejemplo, si t representa el tiempo entonces al examinar a , dA dt kA, dx dt kx(n 1 x), dT dt k(T Tm), dA dt 6 1 100 A donde k, n y Tm son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la sección 1.3 son independientes del tiempo y por tanto son autónomas. PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función f en la ecuación (2) son de especial importancia. Decimos que un número real c es un punto crítico de la ecuación dife- rencial autónoma (2) si es una raíz de f, es decir, f(c) 0. Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante y(x) c en la ecuación (2), entonces ambos lados de la ecuación son iguales a cero. Esto significa que: Si c es un punto crítico de la ecuación (2), entonces y(x) c es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma. Una solución constante y(x) c se llama solución de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2). 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 37 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 37 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 37 6/4/09 12:15:47 PM 6/4/09 12:15:47 PM www.FreeLibros.me
- 61. 38 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Como ya lo hemos mencionado, podemos decir cuándo una solución no constante y y(x) de la ecuación (2) está creciendo o decreciendo determinando el signo alge- braico de la derivada dydx; en el caso de la ecuación (2) hacemos esto identificando los intervalos del eje y en los que la función f(y) es positiva o negativa. EJEMPLO 3 Una ED autónoma La ecuación diferencial dP dt P(a bP), donde a y b son constantes positivas, tiene la forma normal dPdt f(P), la de la ecua- ción (2) con t y P jugando los papeles de x y y respectivamente y por tanto es autónoma. De f(P) P(a – bP) 0 vemos que 0 y ab son puntos críticos de la ecuación, así que las soluciones de equilibrio son P(t) 0 y P(t) ab. Poniendo los puntos críticos en una recta vertical, dividimos esta recta en tres intervalos definidos por P 0, 0 P ab, ab P . Las flechas en la recta que se presenta en la figura 2.1.5 indican el signo algebraico de f(P) P(a – bP) en estos intervalos y si una solución constante P(t) está creciendo o decreciendo en un intervalo. La tabla siguiente explica la figura: Intervalo Signo de f (P) P(t) Flecha (, 0) menos decreciente apunta hacia abajo (0, ab) más creciente apunta hacia arriba (ab, ) menos decreciente apunta hacia abajo La figura 2.1.5 se llama un esquema de fase unidimensional, o simplemente esquema de fase, de la ecuación diferencial dPdt P(a bP). La recta vertical se llama recta de fase. CURVAS SOLUCIÓN Sin resolver una ecuación diferencial autónoma, normalmen- te podemos decir gran cantidad de detalles respecto a su curva solución. Puesto que la función f en la ecuación (2) es independiente de la variable x, podemos suponer que f está definida para x o para 0 x . También, puesto que f y su derivada f son funciones continuas de y en algún intervalo I del eje y, los resultados principales del teorema 1.2.1 valen en alguna franja o región R en el plano xy corres- pondiente a I, y así pasa por algún punto (x0 , y0 ) en R por el que pasa una curva solución de la ecuación (2). Véase la figura 2.1.6a. Para realizar nuestro análisis, supongamos que la ecuación (2) tiene exactamente dos puntos críticos c1 y c2 y que c1 c2 . Las gráfi- cas de las soluciones y(x) c1 y y(x) c2 son rectas horizontales y estas rectas dividen la región R en tres subregiones R1 , R2 y R3 , como se muestra en la figura 2.1.6b. Aquí se presentan sin prueba alguna de nuestras conclusiones respecto a una solución no cons- tante y(x) de la ecuación (2): • Si (x0 , y0 ) es una subregión Ri , i 1, 2, 3, y y(x) es una solución cuya gráfica pasa a través de este punto, entonces y(x) permanece en la subregión Ri para toda x. Como se muestra en la figura 2.1.6b, la solución y(x) en R2 está acotada por debajo con c1 y por arriba con c2 , es decir, c1 y(x) c2 para toda x. La curva solución está dentro de R2 para toda x porque la gráfica de una solución no constante de la ecuación (2) no puede cruzar la gráfica de cualquier solución de equilibrio y(x) c1 o y(x) c2 . Véase el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Por continuidad de f debe ser f(y) 0 o f(y) 0 para toda x en una subregión Ri , i 1, 2, 3. En otras palabras, f(y) no puede cambiar de signo en una subregión. Véase el problema 33 de los ejercicios 2.1. eje P a 0 b FIGURA 2.1.5 Esquema de fase de dPdt P(a bP). R I R1 R2 (x0, y0) (x0, y0) y(x) = c2 y(x) = c1 R3 y y x x a) región R. b) subregiones R1, R2, y R3 de R. FIGURA 2.1.6 Las rectas y(x) c1 y y(x) c2 dividen a R en tres subregiones horizontales. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 38 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 38 6/4/09 12:15:48 PM 6/4/09 12:15:48 PM www.FreeLibros.me
- 62. • Puesto que dydx f(y(x)) es ya sea positiva o negativa en una subregión Ri , i 1, 2, 3, una solución y(x) es estrictamente monótona, es decir, y(x) está creciendo o decreciendo en la subregión Ri . Por tanto y(x) no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Véase el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Si y(x) está acotada por arriba con un punto crítico c1 (como en la subregión R1 donde y(x) c1 para toda x), entonces la gráfica de y(x) debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio y(x) c1 conforme x : o x : . Si y(x) está acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (como en la subregión R2 donde c1 y(x) c2 para toda x), entonces la gráfica de y(x) debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio y(x) c1 y y(x) c2 , conforme x : en una y x : en la otra. Si y(x) está acotada por debajo por un punto crítico (como en la subregión R3 donde c2 y(x) para toda x), entonces la gráfica de y(x) debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio y(x) c2 conforme ya sea x : o x : . Véase el problema 34 de los ejercicios 2.1. Considerando estos hechos, analicemos la ecuación diferencial del ejemplo 3. EJEMPLO 4 Volver a tratar el ejemplo Los tres intervalos determinados en el eje P o recta de fase con los puntos críticos P 0 y P ab ahora corresponden en el plano tP a tres subregiones definidas por: R1 : P 0, R2 : 0 P ab, y R3 : ab P , donde t . El esquema de fase de la figura 2.1.7 nos dice que P(t) está de- creciendo en R1 , creciendo en R2 y decreciendo en R3 . Si P(0) P0 es un valor inicial, entonces en R1 , R2 y R3 tenemos, respectivamente, que: i) Para P0 0, P(t) está acotada por arriba. Puesto que P(t) está decreciendo sin límite conforme aumenta t, y así P(t) : 0 conforme t : . Lo que significa que en el eje t negativo, la gráfica de la solución de equilibrio P(t) 0, es una asíntota horizontal para una curva solución. ii) Para 0 P0 ab, P(t) está acotada. Puesto que P(t) está creciendo, P(t) : ab conforme t : y P(t) : 0 conforme t : . Las gráficas de las dos soluciones de equilibrio, P(t) 0 y P(t) ab, son rectas horizontales que son asíntotas horizontales para cualquier curva solución que comienza en esta subregión. iii) Para P0 ab, P(t) está acotada por debajo. Puesto que P(t) está decreciendo, P(t) : ab conforme t : . La gráfica de la solución de equilibrio P(t) ab es una asíntota horizontal para una curva solución. En la figura 2.1.7 la recta de fase es el eje P en el plano tP. Por claridad la recta de fase original de la figura 2.1.5 se ha reproducido a la izquierda del plano en el cual se han sombreado las regiones R1 , R2 y R3 . En la figura se muestran las gráficas de las soluciones de equilibrio P(t) ab y P(t) 0 (el eje t) como las rectas punteadas azules; las gráficas sólidas representan las gráficas típicas de P(t) mostrando los tres casos que acabamos de analizar. En una subregión tal como R1 en el ejemplo 4, donde P(t) está decreciendo y no está acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que P(t) : . No inter- prete que este último enunciado significa que P(t) : conforme t : ; podríamos tener que P(t) : conforme t : T, donde T 0 es un número finito que depende de la condición inicial P(t0 ) P0 . Considerando términos dinámicos, P(t) “explota” en un tiempo finito; considerando la gráfica, P(t) podría tener una asíntota vertical en t T 0. Para la subregión R3 vale una observación similar. La ecuación diferencial dydx sen y en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un nú- mero infinito de puntos críticos, ya que sen y 0 en y np, con n entero. Además, sabe- R1 R2 P0 P0 P0 P P a b 0 t R3 recta de fase decreciente decreciente creciente Plano tP FIGURA 2.1.7 Esquema de fase y curvas solución en cada una de las tres subregiones. 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 39 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 39 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 39 6/4/09 12:15:48 PM 6/4/09 12:15:48 PM www.FreeLibros.me
- 63. 40 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN mos que debido a que la solución y(x) pasa por(0, 3 2) está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (p y(x) 0) y decrece (sen y 0 para p y 0), la gráfica de y(x) debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio como asíntotas horizontales: y(x) : p conforme x : y y(x) : 0 conforme x : . EJEMPLO 5 Curvas solución de una ED autónoma La ecuación autónoma dydx (y 1)2 tiene un solo punto crítico 1. Del esquema de fase de la figura 2.1.8a concluimos que una solución y(x) es una función creciente en las subregiones definidas por y 1 y 1 y , donde x . Para una condición inicial y(0) y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada por arriba por 1 y así y(x) : 1 conforme x : ; para y(0) y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada. Ahora y(x) 1 1(x c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial (vea el problema 4 de los ejercicios 2.2). Una condición ini- cial dada determina un valor para c. Para las condiciones iníciales, y(0) 1 1 y y(0) 2 1, encontramos, respectivamente, que y(x)1 − 1/(x 1 2), y(x)1 − 1/(x − 1). Como se muestra en las figuras 2.1.8b y 2.1.8c, la gráfica de cada una de estas c c c c y0 d) y0 c) y0 b) y0 a) FIGURA 2.1.9 El punto crítico c es un atractor en a) y un repulsor en b) y semi- estable en c) y d). 1 creciente y creciente a) recta de fase (0, −1) y 1 1 2 x x y b) plano xy y(0) 1 (0, 2) y 1 x 1 x y c) plano xy y(0) 1 = = = = − FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de y 1. funciones racionales tienen una asíntota vertical. Pero tenga en mente que las solucio- nes de los problemas con valores iniciales dy dx 2 dy dx (y 1)2 , y(0) 2 (y 1) , y(0) 1 y . están definidas en intervalos especiales. Éstos son, respectivamente, y(x) 1 1 x 1 2 1 2 1 x 1 , x 1. , x y y(x) 1 Las curvas solución son las partes de las gráficas de las figuras 2.1.8b y 2.1.8c que se muestran en azul. Como lo indica el esquema de fase, para la curva solución de la figura 2.1.8b, y(x) : 1 conforme x : para la curva solución de la figura 2.1.8c, y(x) : conforme x : 1 por la izquierda. ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dada en (1) y que c es un punto crítico de la ED. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede presentar cerca de c. En la figura 2.1.9 hemos puesto a c en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas de flecha en cualquier lado del punto c apuntan hacia c, como se muestra en la figura 2.1.9a, todas las soluciones y(x) de la ecuación (1) que comienzan en el punto inicial (x0 , y0 ) suficientemente cerca de c presentan comportamiento asintótico límx→ y(x) c. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 40 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 40 6/4/09 12:15:49 PM 6/4/09 12:15:49 PM www.FreeLibros.me
- 64. Por esta razón se dice que el punto crítico c es asintóticamente estable. Utilizando una analogía física, una solución que comienza en c se parece a una partícula cargada que, con el tiempo, se transforma en una partícula de carga contraria y así c también se conoce como un atractor. Cuando ambas puntas de flecha a los lados de la flecha del punto c apuntan alejándose de c, como se muestra en la figura 2.1.9b, todas las soluciones y(x) de la ecuación (1) que comienzan en un punto inicial (x0 , y0 ) se alejan de c conforme crece x. En este caso se dice que el punto crítico c es inestable. Un punto crítico inestable se co- noce como un repulsor, por razones obvias. En las figuras 2.1.9c y 2.1.9d se muestra el punto crítico c que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que c presenta carac- terísticas tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que comienza desde un punto inicial (x0 , y0 ) que está suficientemente cerca de c es atraída hacia c por un lado y repelida por el otro, este punto crítico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el punto crítico ab es asintóticamente estable (un atractor) y el punto crítico 0 es inestable (un repulsor). El punto crítico 1 del ejemplo 5 es semiestable. ED AUTÓNOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuación diferencial de primer orden es autónoma, entonces vemos del miembro derecho de su forma normal dydx f(y) que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la malla rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED que sólo depende de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos li- neales que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente; por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical, variarán. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal amarilla y la banda vertical azul de la figura 2.1.10. La figura presenta un campo direccional para la ecuación autónoma dydx 2y – 2. Recordando estos hechos, examine nuevamente la figura 2.1.4. varían las pendientes de los elementos sobre una recta vertical. las pendientes de los elementos lineales sobre una recta horizontal son todas iguales. x y FIGURA 2.1.10 Campo direccional para una ED autónoma. x 3 2 1 _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 y FIGURA 2.1.11 Campo direccional del problema 1. x y 8 _8 _8 _4 4 8 _4 4 FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 2. EJERCICIOS 2.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1. 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES En los problemas 1 a 4 reproduzca el campo direccional dado ge- nerado por computadora. Después dibuje a mano, una curva solu- ción aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución. 1. dy dx x2 y2 a) y(2) 1 b) y(3) 0 c) y(0) 2 d) y(0) 0 3. dy dx 1 xy a) y(0) 0 b) y(1) 0 c) y(2) 2 d) y(0) 4 2. dy dx e0.01xy2 a) y(6) 0 b) y(0) 1 c) y(0) 4 d) y(8) 4 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 41 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 41 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 41 6/4/09 12:15:49 PM 6/4/09 12:15:49 PM www.FreeLibros.me
- 65. 42 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En los problemas 13 y 14 la figura dada representa la gráfica de f(y) y de f(x), respectivamente. Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para dydx f(y) (pro- blema 13) y después para dydx f(x) (problema 14). 13. 4. dy dx (sen x) cos y a) y(0) 1 b) y(1) 0 c) y(3) 3 d) y(0) 5 2 En los problemas 5 a 12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por los puntos dados. 5. y x 6. y x y a) y(0) 0 a) y(2) 2 b) y(0) 3 b) y(1) 3 7. y dy dx x 8. dy dx 1 y a) y(1) 1 a) y(0) 1 b) y(0) 4 b) y(2) 1 9. dy dx 0.2x2 y 10. dy dx xey a) y(0) 1 2 a) y(0) 2 b) y(2) 1 b) y(1) 2.5 11. y y cos 2 x 12. dy dx 1 y x a) y(2) 2 a) y(1 2) 2 b) y(1) 0 b) y(3 2) 0 x y 4 _4 _4 _2 2 4 _2 2 FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 3. f 1 y 1 FIGURA 2.1.15 Gráfica del problema 13. f x 1 1 FIGURA 2.1.16 Gráfica del problema 14. x y 4 _4 _4 _2 2 4 _2 2 FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 4. 14. 15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas f(x, y) c (vea los Comentarios de la página 37) para la ecuación diferencial dada usando los valores de c indicados. Construya un campo direccional sobre una malla dibujando con cuidado elemen- tos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegi- dos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el PVI que consiste en la ED y en la condición inicial y(0) 1. a) dydx x y; c un entero que satisface 5 c 5 b) dydx x2 y2 ; c 1 4, c 1, c 9 4, c 4 Problemas para analizar 16. a) Considere el campo direccional de la ecuación dife- rencial dydx x(y – 4)2 – 2, pero no use tecnología para obtenerlo. Describa las pendientes de los elemen- tos lineales en las rectas x 0, y 3, y 4 y y 5. b) Considere el PVI dydx x(y – 4)2 – 2, y(0) y0 , donde y0 4. Analice, basándose en la información del inciso a), ¿sí puede una solución y(x) : con- forme x : ? 17. Para la ED de primer orden dydx f(x, y) una curva en el plano definido por f(x, y) 0 se llama ceroclina de la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una malla rectangu- 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 42 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 42 6/9/09 10:36:37 AM 6/9/09 10:36:37 AM www.FreeLibros.me
- 66. lar de puntos dydx x2 2y y después superponga la gráfica de la ceroclina y 1 2 x2 sobre el campo direccional. Analice el campo direccional. Analice el comportamiento de las curvas solución en regiones del plano definidas por y 1 2 x2 y por y 1 2 x2 . Dibuje algunas curvas solución aproximadas. Trate de generalizar sus observaciones. 18. a) Identifique las ceroclinas (vea el problema 17) en los problemas 1, 3 y 4. Con un lápiz de color, circule todos los elementos lineales de las figuras 2.1.11, 2.1.13 y 2.1.14, que usted crea que pueden ser un ele- mento lineal en un punto de la ceroclina. b) ¿Qué son las ceroclinas de una ED autónoma de pri- mer orden? 2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS 19. Considere la ecuación diferencial de primer orden dydx y – y3 y la condición inicial y(0) y0 . A mano, dibuje la gráfica de una solución típica y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y0 1 b) 0 y0 1 c) 1 y0 0 d) y0 1 20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer orden dydx y2 – y4 y la condición inicial y(0) y0 . A mano, dibuje la gráfica de una solución típica y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y0 1 b) 0 y0 1 c) 1 y0 0 d) y0 1 En los problemas 21 a 28 determine los puntos críticos y el es- quema de fase de la ecuación diferencial autónoma de primer orden dada. Clasifique cada punto crítico como asintótica- mente estable, inestable o semiestable. Dibuje a mano curvas solución típicas en las regiones del plano xy determinadas por las gráficas de las soluciones de equilibrio. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. dy dx y ln(y 2) dy dx y2 (4 y2 ) dy dx (y 2)4 dy dx y2 3y 28. dy dx yey 9y ey dy dx y(2 y)(4 y) dy dx 10 3y y2 dy dx y2 y3 En los problemas 29 y 30 considere la ecuación diferencial autónoma dydx f(y), donde se presenta la gráfica de f. Utilice la gráfica para ubicar los puntos críticos de cada una de las ecuaciones diferenciales. Dibuje un esquema de fase de cada ecuación diferencial. Dibuje a mano curvas solución típicas en las subregiones del plano xy determinadas por las gráficas de las soluciones de equilibrio. 29. f c y FIGURA 2.1.17 Gráfica del problema 29. 30. f y 1 1 FIGURA 2.1.18 Gráfica del problema 30. Problemas para analizar 31. Considere la ED autónoma dydx (2p)y – sen y. Determine los puntos críticos de la ecuación. Proponga un procedimiento para obtener un esquema de fase de la ecuación. Clasifique los puntos críticos como asintótica- mente estable, inestable o semiestable. 32. Un punto crítico c de una ED de primer orden autónoma se dice que está aislada si existe algún intervalo abierto que contenga a c pero no otro punto crítico. ¿Puede exis- tir una ED autónoma de la forma dada en la ecuación (1) para la cual todo punto crítico no esté aislado? Analice: no considere ideas complicadas. 33. Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecua- ción diferencial autónoma dydx f(y) y que c es un punto crítico de la ED. Analice. ¿Por qué no puede la gráfica de y(x) cruzar la gráfica de la solución de equilibrio y c? ¿Por qué no puede f(y) cambiar de signo en una de las re- giones analizadas de la página 38? ¿Por qué no puede y(x) oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)? 34. Suponga que y(x) es una solución de la ecuación autó- noma dydx f(y) y está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos c1 c2 , como una subregión R2 de la figura 2.1.6b. Si f(y) 0 en la región, entonces límx: y(x) c2 . Analice por qué no puede exis- tir un número L c2 tal que límx: y(x) L. Como parte de su análisis, considere qué pasa con y(x) conforme x : . 35. Utilizando la ecuación autónoma (1), analice cómo se puede obtener información respecto a la ubicación de puntos de inflexión de una curva solución. 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 43 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 43 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 43 6/4/09 12:15:53 PM 6/4/09 12:15:53 PM www.FreeLibros.me
- 67. 44 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 36. Considere la ED dydx y2 – y – 6. Use sus ideas del pro- blema 35 para encontrar los intervalos en el eje y para los que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los que las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice por qué cada curva solución de un problema con valores ini- ciales dydx y2 y – 6, y(0) y0 , donde 2 y0 3, tiene un punto de inflexión con la misma coordenada y. ¿Cuál es la coordenada y? Con cuidado dibuje la curva solución para la que y(0) 1. Repita para y(2) 2. 37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (1) no tiene puntos críticos. Analice el comportamiento de las solu- ciones. Modelos matemáticos 38. Modelo de población La ecuación diferencial en el ejemplo 3 es un muy conocido modelo de población. Suponga que la ED se cambia por , dP dt P(aP b) donde a y b son constantes positivas. Analice qué le pasa a la población P conforme pasa el tiempo. 39. Modelo de población Otro modelo de población está dado por , dP dt kP h donde h y k son constantes positivas. ¿Para qué valor ini- cial P(0) P0 este modelo predice que la población des- aparecerá? 40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la ecuación diferencial autónoma . m dv dt mg kv donde k es una constante positiva y g es la aceleración de la gravedad, es un modelo para la velocidad v de un cuerpo de masa m que está cayendo bajo la influencia de la gravedad. Debido a que el término –kv representa la resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae de una gran altura no aumenta sin límite conforme pasa el tiempo t. Utilice un esquema de fase de la ecuación dife- rencial para encontrar la velocidad límite o terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 41. Suponga que el modelo del problema 40 se modifica de tal manera que la resistencia del aire es proporcional a v2 , es decir . m dv dt mg kv2 Vea el problema 17 de los ejercicios 1.3. Utilice un es- quema de fase para determinar la velocidad terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas cla- ses de reacciones químicas, la razón con la que se forman los nuevos componentes se modela por la ecuación dife- rencial autónoma dX dt k( X)( X), donde k 0 es una constante de proporcionalidad y b a 0. Aquí X(t) denota el número de gramos del nuevo componente al tiempo t. a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de X(t) conforme t : . b) Considere el caso en que a b. Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de X(t) conforme t : cuando X(0) a. Cuando X(0) a. c) Compruebe que una solución explícita de la ED en el caso en que k 1 y a b es X(t) a 1(t c). Determine una solución que satisfaga que X(0) a2. Después determine una solución que satisfaga que X(0) 2a. Trace la gráfica de estas dos solucio- nes. ¿El comportamiento de las soluciones conforme t : concuerdan con sus respuestas del inciso b)? 2.2 VARIABLES SEPARABLES REPASO DE MATERIAL O Fórmulas básicas de integración (véase al final del libro). O Técnicas de integración: integración por partes y por descomposición en fracciones parciales. INTRODUCCIÓN Comenzaremos nuestro estudio de cómo resolver las ecuaciones diferenciales con las más simple de todas las ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Debido a que el método que se presenta en esta sección y que muchas de las técni- cas para la solución de ecuaciones diferenciales implican integración, consulte su libro de cálculo para recordar las fórmulas importantes (como duu) y las técnicas (como la integración por partes). 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 44 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 44 6/4/09 12:15:54 PM 6/4/09 12:15:54 PM www.FreeLibros.me
- 68. SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN Considere la ecuación diferencial de primer orden dydx f(x, y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f(x, y) g(x), la ecuación diferencial dy dx g(x) (1) se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la ecuación (1) se obtiene y g(x) dx = G(x) c, donde G(x) es una anti- derivada (integral indefinida) de g(x). Por ejemplo, si dydx 1 e2x , entonces su solución es . 1 2e2x c y (1 e2x ) dx o y x UNA DEFINICIÓN La ecuación (l) así como su método de solución, no son más que un caso especial en el que f, en la forma normal dydx f(x, y) se puede factori- zar como el producto de una función de x por una función de y. DEFINICIÓN 2.2.1 Ecuación separable Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy dx g(x)h(y) Se dice que es separable o que tiene variables separables. Por ejemplo, las ecuaciones dy dx y2 xe3x4y dy dx y y sen x son respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos fac- torizar f (x, y) y2 xe3x4y como g(x) h(y) p p , f (x, y) y2 xe3x4y (xe3x )( y2 e4y ) pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y sen x como un producto de una función de x por una función de y. Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una ecuación sepa- rable dydx g(x)h(y) como , p(y) dy dx g(x) (2) donde, por conveniencia p(y) representa a lh(y). Podemos ver inmediatamente que la ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y) 1. Ahora si y f(x) representa una solución de la ecuación (2), se tiene que p(f(x))f(x) g(x), y por tanto . p((x))(x) dx g(x) dx (3) Pero dy f(x)dx, por lo que la ecuación (3) es la misma que , p(y) dy g(x) dx o H(y) G(x) c (4) donde H(y) y G(x) son antiderivadas de p(y) 1h(y) y g(x), respectivamente. 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 45 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 45 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 45 6/4/09 12:15:55 PM 6/4/09 12:15:55 PM www.FreeLibros.me
- 69. 46 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN MÉTODO DE SOLUCIÓN La ecuación (4) indica el procedimiento para resolver ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y) dy g(x) dx, se obtiene una fa- milia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita. NOTA No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos H(y) c1 G(x) c2 , entonces la diferencia c2 – c1 se puede reemplazar con una sola constante c, como en la ecuación (4). En muchos casos de los capítulos siguientes, sustituiremos las constantes en la forma más conveniente para una ecuación dada. Por ejemplo, a veces se pueden reemplazar los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante. EJEMPLO 1 Solución de una ED separable Resuelva (1 x) dy y dx 0. SOLUCIÓN Dividiendo entre (1 x)y, podemos escribir dyy dx(1 x), de donde tenemos que ec1 (1 x). 1 x ec1 y eln1xc1 eln1x ⴢ ec1 ln y ln 1 x c1 dy y dx 1 x ;1 x 1 x, 1 x (1 x), x
- 70. 1 x 1 ; leyes de exponentes Haciendo c igual a ec1 se obtiene y c(1 x). SOLUCIÓN ALTERNATIVA Como cada integral da como resultado un logaritmo, la elección más prudente para la constante de integración es lnc, en lugar de c. Rees- cribiendo el segundo renglón de la solución como lny ln1 x lnc nos permi- te combinar los términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos. De lny lnc(1 x) obtenemos inmediatamente que y c(1 x). Aun cuando no todas las integrales indefinidas sean logaritmos, podría seguir siendo más conveniente usar lnc. Sin embargo, no se puede establecer una regla firme. En la sección 1.1 vimos que una curva solución puede ser sólo un tramo o un arco de la gráfica de una solución implícita G(x, y) 0. EJEMPLO 2 Curva solución Resuelva el problema con valores iniciales . dy dx x y , y(4) 3 SOLUCIÓN Si reescribe la ecuación como y dy xdx, obtiene . y dy y2 2 x2 c1 2 x dx y Podemos escribir el resultado de la integración como x2 y2 c2 , sustituyendo a la constante 2c1 por c2 . Esta solución de la ecuación diferencial representa una familia de circunferencias concéntricas centradas en el origen. Ahora cuando x 4, y 3, se tiene 16 9 25 c2 . Así, el problema con valo- res iniciales determina la circunferencia x2 y2 25 de radio 5. Debido a su sencillez podemos escribir de esta solución implícita como una solución explícita que satisfaga la 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 46 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 46 6/4/09 12:15:56 PM 6/4/09 12:15:56 PM www.FreeLibros.me
- 71. condición inicial. Vimos en el ejemplo 3 de la sección 1.1, esta solución como y f2 (x) o 25 x2, 5 x 5 y 1 . Una curva solución es la gráfica de una fun- ción derivable. En este caso la curva solución es la semicircunferencia inferior, que se muestra en azul oscuro en la figura 2.2.1 que contiene al punto (4, 3). PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables ya que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto. Concretamente, si r es una raíz de la función h(y), entonces sustituyendo y r en dydx g(x)h(y) se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y r es una solución constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables se separan, el lado izquierdo de g dy h(y) (x) dx está indefinido en r. Por tanto, y r podría no representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración y simplificación. Recuerde que una solución de este tipo se llama solución singular. EJEMPLO 3 Pérdida de una solución Resuelva . dy dx y2 4 SOLUCIÓN Poniendo la ecuación en la forma . dy y2 4 dx o 1 4 y 2 1 4 y 2
- 72. dy dx (5) La segunda ecuación en la ecuación (5) es el resultado de utilizar fracciones parciales en el lado izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de los logaritmos se obtiene . o ln y 2 y 2 4x c2 o y 2 y 2 e4x c2 1 4 ln y 2 1 4 ln y 2 x c1 Aquí hemos sustituido 4c1 por c2 . Por último, después de sustituir ec2 por c y despe- jando y de la última ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones . y 2 1 ce4x 1 ce4x (6) Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como dydx (y 2)(y 2), sabemos del análisis de puntos críticos de la sección 2.1 que y 2 y y 2 son dos soluciones constantes (de equilibrio). La solución y 2 es un miembro de la familia de soluciones definida por la ecuación (6) correspondiendo al valor c 0. Sin embargo, y 2 es una solución singular; ésta no se puede obtener de la ecuación (6) para cualquier elección del parámetro c. La última solución se perdió al inicio del proceso de solución. El examen de la ecuación (5) indica claramente que debemos excluir y 2 en estos pasos. EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva (e2y y) cos x dy dx y e sen 2x, y(0) 0. FIGURA 2.2.1 Curvas solución para el PVI del ejemplo 2. x y (4, −3) 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 47 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 47 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 47 6/4/09 12:15:57 PM 6/4/09 12:15:57 PM www.FreeLibros.me
- 73. 48 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIÓN Dividiendo la ecuación entre ey cos x se obtiene . e2y y ey dy cos x dx sen 2x Antes de integrar se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad trigonométrica sen 2x 2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que (ey ye y ) dy 2 sen x dx integración de partes se obtiene ey yey ey 2 cos x c. (7) La condición inicial y 0 cuando x 0 implica que c 4. Por tanto una solución del problema con valores iniciales es ey yey ey 4 2 cos x. (8) USO DE COMPUTADORA Los Comentarios al final de la sección 1.1 mencionan que puede ser difícil utilizar una solución implícita G(x, y) 0 para encontrar una solu- ción explícita y f(x). La ecuación (8) muestra que la tarea de despejar y en términos de x puede presentar más problemas que solamente el aburrido trabajo de presionar símbolos; ¡en algunos casos simplemente no se puede hacer! Las soluciones implícitas tales como la ecuación (8) son un poco frustrantes; ya que no se aprecia ni en la gráfica de la ecuación ni en el intervalo una solución definida que satisfaga que y(0) 0. El problema de “percibir” cuál es la solución implícita en algunos casos se puede resol- ver mediante la tecnología. Una manera* de proceder es utilizar la aplicación contour plot de un sistema algebraico de computación (SAC). Recuerde del cálculo de varias variables que para una función de dos variables z G(x, y) las curvas bi-dimensionales definidas por G(x, y) c, donde c es una constante, se llaman las curvas de nivel de la función. En la figura 2.2.2 se presentan algunas de las curvas de nivel de la función G(x, y) ey yey ey 2 cos x que se han reproducido con la ayuda de un SAC. La fa- milia de soluciones definidas por la ecuación (7) son las curvas de nivel G(x, y) c. En la figura 2.2.3 se muestra en color azul la curva de nivel G(x, y) 4, que es la solución particular de la ecuación (8). La otra curva de la figura 2.2.3 es la curva de nivel G(x, y) 2, que es miembro de la familia G(x, y) c que satisface que y(p2) 0. Si al determinar un valor específico del parámetro c en una familia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, hay una inclinación natural de la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) a relajarse y estar satisfechos. Sin embargo, una solución de un problema con valores iniciales podría no ser única. Vimos en el ejemplo 4 de la sección 1.2 que el problema con valores iniciales dy dx xy1/2 , y(0) 0 (9) tiene al menos dos soluciones, y 0 y y 1 16 x4 . Ahora ya podemos resolver esa ecua- ción. Separando las variables e integrando y12 dy xdx obtenemos . 2y1/2 x2 2 c1 o y x2 4 c 2 Cuando x 0, entonces y 0, así que necesariamente, c 0. Por tanto y 1 16 x4 . Se perdió la solución trivial y 0 al dividir entre y12 . Además, el problema con valores iniciales, ecuación (9), tiene una cantidad infinitamente mayor de soluciones porque para cualquier elección del parámetro a
- 74. 0 la función definida en tramos x y 2 _2 _2 _1 1 2 _1 1 FIGURA 2.2.2 Curvas de nivel G(x, y) c, donde G(x, y) ey yey ey 2 cos x. FIGURA 2.2.3 Curvas de nivel c 2 y c 4. (0, 0) /2,0) (π x y 2 _2 _2 _1 1 2 _1 1 c=4 c=2 * En la sección 2.6 analizaremos algunas otras maneras de proceder que están basadas en el concepto de una solución numérica. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 48 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 48 6/4/09 12:15:58 PM 6/4/09 12:15:58 PM www.FreeLibros.me
- 75. y 0, 1 16 (x2 a2 )2 , x a x
- 76. a satisface tanto a la ecuación diferencial como a la condición inicial. Véase la fi- gura 2.2.4. SOLUCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Si g es una función continua en un intervalo abierto I que contiene a a, entonces para toda x en I, d dx x a g(t) dt g(x). Usted podría recordar que el resultado anterior es una de las dos formas del teorema fundamental del cálculo. Es decir, x a g(t) dt es una antiderivada de la función g. En ocasiones esta forma es conveniente en la solución de ED. Por ejemplo, si g es continua en un intervalo I que contiene a x0 y a x, entonces una solución del sencillo problema con valores iniciales dydx g(x), y(x0 ) y0 , que está definido en I está dado por y(x) y0 x x0 g(t) dt Usted debería comprobar que y(x) definida de esta forma satisface la condición inicial. Puesto que una antiderivada de una función continua g no siempre puede expresarse en términos de las funciones elementales, esto podría ser lo mejor que podemos hacer para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo siguiente ilustra esta idea. EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales Resuelva dy dx ex2 , y(3) 5. SOLUCIÓN La función g(x) e−x2 es continua en (, ), pero su antiderivada no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integración, podemos escribir y(x) y(3) x 3 et2 dt. y(x) y(3) x 3 et2 dt y(t)]x 3 x 3 et2 dt x 3 dy dt dt x 3 et2 dt Utilizando la condición inicial y(3) 5, obtenemos la solución y(x) 5 x 3 et2 dt. El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecua- ciones separables dydx g(x)f(y) donde, f(y) tiene una antiderivada elemental pero g(x) no tiene una antiderivada elemental. Véanse los problemas 29 y 30 de los ejercicios 2.2. a = 0 a 0 (0, 0) x y FIGURA 2.2.4 Soluciones de la ecuación (9) definida en tramos. 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 49 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 49 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 49 6/4/09 12:15:59 PM 6/4/09 12:15:59 PM www.FreeLibros.me
- 77. 50 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN COMENTARIOS i) Como acabamos de ver en el ejemplo 5, algunas funciones simples no tienen una antiderivada que es una función elemental. Las integrales de estas clases de funciones se llaman no elementales. Por ejemplo x 3 e−t2 dt y sen x2 dx son integra- les no elementales. Retomaremos nuevamente este concepto en la sección 2.3. ii) En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familia uniparamétrica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se puede redefinir cuando sea conveniente. También se puede presentar con faci- lidad el caso de que dos personas obtengan distintas expresiones de las mismas respuestas resolviendo correctamente la misma ecuación. Por ejemplo, sepa- rando variables se puede demostrar que familias uniparamétricas de soluciones de la ED (l y2 ) dx (1 x2 ) dy 0 son . arctan x arctan y c o x y 1 xy c Conforme avance en las siguientes secciones, considere que las familias de so- luciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de otra, ya sea por redefinición de la constante o utilizando álgebra o trigonometría. Vea los problemas 27 y 29 de los ejercicios 2.2. EJERCICIOS 2.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1. En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables. 1. dy dx sen 5x 2. dy dx (x 1)2 3. dx e3x dy 0 4. dy (y 1)2 dx 0 5. x dy dx 4y 6. dy dx 2xy2 0 7. dy dx e3x 2y 8. ex y dy dx e y e 2x y 9. y ln x dx dy y 1 x 2 10. dy dx 2y 3 4x 5 2 11. csc y dx sec2 x dy 0 12. sen 3x dx 2y cos3 3x dy 0 13. (ey 1)2 ey dx (ex 1)3 ex dy 0 14. x(1 y2 )12 dx y(1 x2 )12 dy 15. dS dr kS 16. dQ dt k(Q 70) 17. dP dt P P2 18. dN dt N Ntet 2 19. dy dx xy 3x y 3 xy 2x 4y 8 20. dy dx xy 2y x 2 xy 3y x 3 21. dy dx x11 y2 22. (ex ex ) dy dx y2 En los problemas 23 a 28 encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dado. 23. 24. 25. 26. 27. 11 y2 dx 11 x2 dy 0, y(0) 13 2 dy dt 2y 1, y(0) 5 2 x2 dy dx y xy, y(1) 1 dy dx y2 1 x2 1 , y(2) 2 dx dt 4(x2 1), x(4) 1 28. (1 x4 ) dy x(1 4y2 ) dx 0, y(1) 0 En los problemas 29 y 30 proceda como en el ejemplo 5 y de- termine una solución explícita del problema con valores ini- ciales dado. 29. 30. dy dx y2 2 1 3 dy dx yex2 , y(4) 1 sen x , y(2) 31. a) Encuentre una solución al problema con valores inicia- les que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo 3 y de las condiciones iniciales y(0) 2, y(0) 2, y . y(1 4) 1 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 50 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 50 6/4/09 12:16:00 PM 6/4/09 12:16:00 PM www.FreeLibros.me
- 78. b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el ejemplo 4 cuando se utiliza In c1 como la constante de integración del lado izquierdo en la solución y 4 In c1 se sustituye por In c. Después resuelva los mismos pro- blemas con valores iniciales que en el inicio a). 32. Encuentre una solución de x dy dx y2 y que pase por los puntos indicados. a) (0, 1) b) (0, 0) c) d) (2, 1 4) (1 2, 1 2) 33. Encuentre una solución singular del problema 21 y del problema 22. 34. Demuestre que una solución implícita de 2 2 10) cos y dy 0 2x sen y dx (x está dada por ln(x2 10) csc y c. Determine las so- luciones constantes si se perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial. Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 35 a 38 determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare cada curva solución en una vecindad de (0, 1). 35. 36. 37. 38. dy dx (y 1)2 0.01, y(0) 1 dy dx (y 1)2 0.01, y(0) 1 dy dx (y 1)2 , y(0) 1.01 dy dx (y 1)2 , y(0) 1 39. Toda ecuación autónoma de primer orden dydx f(y) es separable. Encuentre las soluciones explícitas y1 (x), y2 (x), y3 (x) y y4 (x) de la ecuación diferencial dydx y – y3 , que satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales y1 (0) 2, y2 (0) 1 2 , y3 (0) 1 2 y y4 (0) 2. Utilice un programa de graficación para cada solución. Compare estas gráficas con las bosquejadas en el problema 19 de los ejercicios 2.1. Dé el intervalo de definición exacto para cada solución. 40. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden dydx 1(y 3) no tiene puntos críticos. No obs- tante, coloque 3 en la recta de fase y obtenga un es- quema de fase de la ecuación. Calcule d2 ydx2 para determinar dónde las curvas solución son cóncavas hacia arriba y dónde son cóncavas hacia abajo (vea los problemas 35 y 36 de los ejercicios 2.1). Utilice el esquema de fase y la concavidad para que, a mano, dibuje algunas curvas solución típicas. b) Encuentre las soluciones explícitas y1 (x), y2 (x), y3 (x) y y4 (x) de la ecuación diferencial del inciso a) que satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales y1 (0) 4, y2 (0) 2, y3 (1) 2 y y4 (1) 4. Trace la gráfica de cada solución y compare con sus dibu- jos del inciso a). Indique el intervalo de definición exacto de cada solución. 41. a) Determine una solución explícita del problema con valores iniciales . dy dx 2x 1 2y , y( 2) 1 b) Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de la solución del inciso a). Use la gráfica para estimar el intervalo I de definición de la solución. c) Determine el intervalo I de definición exacto me- diante métodos analíticos. 42. Repita los incisos a) al c) del problema 41 para el PVI que consiste en la ecuación diferencial del problema 7 y de la condición inicial y(0) 0. Problemas para analizar 43. a) Explique por qué el intervalo de definición de la solu- ción explícita y f2 (x) del problema con valores ini- ciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto (5, 5). b) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje x? ¿Usted cree que x2 y2 1 es una solución implícita del problema con valores iniciales dydx xy, y(1) 0? 44. a) Si a 0 analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los problemas con valores iniciales que consisten en la ecuación diferencial dydx xy y de cada una de las condiciones iniciales y(a) a, y(a) a, y(a) a y y(a) a. b) ¿Tiene una solución el problema con valores iniciales dydx xy, y(0) 0? c) Resuelva dydx xy, y(1) 2 e indique el inter- valo de definición exacto de esta solución. 45. En los problemas 39 y 40 vimos que toda ecuación di- ferencial autónoma de primer orden dydx f(y) es se- parable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problema con valores iniciales ? dy dx 1 2 2 1 2 1 y sen y, y(0) Analice. A mano, dibuje una posible curva solución del problema. 46. Sin usar tecnología. ¿Cómo podría resolver ? (1x x) dy dx 1y y Lleve a cabo sus ideas. 47. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su derivada es igual a 1. 48. a) La ecuación diferencial del problema 27 es equiva- lente a la forma normal dy dx B 1 y2 1 x2 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 51 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 51 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 51 6/4/09 12:16:05 PM 6/4/09 12:16:05 PM www.FreeLibros.me
- 79. 52 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en la región cuadrada del plano xy definida por x 1, y 1. Pero la cantidad dentro del radical es no ne- gativa también en las regiones definidas por x 1, y 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las que esta ecuación diferencial tiene soluciones reales. b) Resuelva la ED del inciso a) en las regiones definidas por x 1, y 1. Después determine una solución implícita y una explícita de la ecuación diferencial su- jeta a y(2) 2. Modelo matemático 49. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección 1.3 vimos que un modelo matemático para la forma de un cable flexible colgado de dos postes es , dy dx W T1 (10) donde W denota la porción de la carga vertical total entre los puntos P1 y P2 que se muestran en la figura 1.3.7. La ED, ecuación (10) es separable bajo las siguientes condi- ciones que describen un puente suspendido. Supongamos que los ejes x y y están como se mues- tra en la figura 2.2.5, es decir, el eje x va a lo largo de la superficie de la carretera y el eje y pasa por (0, a), que es el punto más bajo de un cable en la región que abarca el puente, que coincide con el intervalo [L2, L2]. En el caso de un puente suspendido, la suposición usual es que la carga vertical en (10) es sólo una distribución uniforme de la superficie de la carretera a lo largo del eje horizontal. En otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es despreciable en comparación con el peso de la superficie de la carretera y que el peso por unidad de longitud de la super- ficie de la carretera (digamos, libras por pie horizontal) es una constante r. Utilice esta información para establecer y resolver un adecuado problema con valores iniciales a par- tir del cual se determine la forma (una curva con ecuación y f(x)) de cada uno de los dos cables en un puente sus- pendido. Exprese su solución del PVI en términos del pan- deo h y de la longitud L. Véase la figura 2.2.5. de la familia de soluciones de la ecuación diferencial . dy dx 8x 5 3y2 1 Experimentecondiferentesnúmeros de las curvas de nivel así como con diferentes regiones rectangulares definidas por a x b, c y d. b) En diferentes ejes coordenados dibuje las gráficas de las soluciones particulares correspondientes a las condiciones iniciales: y(0) 1; y(0) 2; y(1) 4; y(1) 3. 51. a) Determine una solución implícita del PVI (2y 2) dy (4x3 6x) dx 0, y(0) 3. b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explí- cita y f(x) del PVI. c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola función. Use un programa de graficación o un SAC para trazar la gráfica de esta función y después utilice la gráfica para estimar su dominio. d) Con la ayuda de un programa para determinar raíces de un SAC, determine la longitud aproximada del in- tervalo de definición más grande posible de la solu- ción y f(x) del inciso b). Utilice un programa de graficación o un SAC para trazar la gráfica de la curva solución para el PVI en este intervalo. 52. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para dibujar las gráficas representativas de los miembros de la familia de soluciones de la ecuación diferencial dy dx x(1 x) y(2 y) . Experimente con diferentes núme- ros de curvas de nivel así como en diferentes regiones rectangulares del plano xy hasta que su resultado se parezca a la figura 2.2.6. b) En diferentes ejes coordenados, dibuje la gráfica de la solución implícita correspondiente a la condición inicial y(0) 3 2 . Utilice un lápiz de color para indicar el segmento de la gráfica que corresponde a la curva solución de una solución f que satisface la condición inicial. Con ayuda de un programa para determinar raí- ces de un SAC, determine el intervalo I de definición aproximado más largo de la solución f. [Sugerencia: Primero encuentre los puntos en la curva del inciso a) donde la recta tangente es vertical.] c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0) 2. FIGURA 2.2.5 Forma de un cable del problema 49. L/2 L longitud cable superficie de la carretera (carga) x (0, a) L/2 y h (pandeo) x y FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 52. Tarea para el laboratorio de computación 50. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para dibujar las gráficas representativas de los miembros 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 52 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 52 6/4/09 12:16:07 PM 6/4/09 12:16:07 PM www.FreeLibros.me
- 80. 2.3 ECUACIONES LINEALES REPASO DE MATERIAL O Repase la definición de las ED en las ecuaciones (6 ) y (7) de la sección 1.1 INTRODUCCIÓN Continuamos con nuestra búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden examinando ecuaciones lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente “amigable” de ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de un miembro de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que podamos encontrar alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar. UNA DEFINICIÓN En la ecuación (7) de la sección 1.1, se presenta la forma de una ED lineal de primer orden. Aquí, por conveniencia, se reproduce esta forma en la ecuación (6) de la sección 1.1, para el caso cuando n 1. DEFINICIÓN 2.3.1 Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden de la forma a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (1) se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. Se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea cuando g(x) 0; si no es no homogénea. FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coefi- ciente, a1 (x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: dy dx P(x)y f(x). (2) Buscamos una solución de la ecuación (2) en un intervalo I, en el cual las dos funcio- nes P y f sean continuas. En el análisis que se presenta a continuación ilustraremos una propiedad y un proce- dimiento y terminaremos con una fórmula que representa la forma de cada solución de la ecuación (2). Pero más importantes que la fórmula son la propiedad y el procedimiento, porque ambos conceptos también se aplican a ecuaciones lineales de orden superior. LA PROPIEDAD La ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones, y yc yp , donde yc es una solución de la ecuación homogénea asociada dy dx P(x)y 0 (3) y yp es una solución particular de ecuación no homogénea (2). Para ver esto, observe que d ––– dx [yc yp] P(x)[yc yp] [ P(x)yc] [ P(x)yp] f(x). f(x) 0 dyc ––– dx dyp ––– dx 2.3 ECUACIONES LINEALES O 53 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 53 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 53 6/4/09 12:16:07 PM 6/4/09 12:16:07 PM www.FreeLibros.me
- 81. 54 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ahora la ecuación (3) es también separable. Por lo que podemos determinar yc al es- cribir la ecuación (3) en la forma dy y P(x) dx 0 e integramos. Despejando y, se obtiene yc ce P(x)dx . Por conveniencia escribimos yc cy1 (x), donde y1 e P(x)dx . A continuación se utiliza el hecho de que dy1 dx P(x)y1 0, para determinar yp . EL PROCEDIMIENTO Ahora podemos definir una solución particular de la ecua- ción (2), siguiendo un procedimiento llamado variación de parámetros. Aquí, la idea básica es encontrar una función, u tal que yp u(x)y1 (x) u(x)e− P(x)dx sea una solución de la ecuación (2). En otras palabras, nuestra suposición para yp es la misma que yc cy1 (x) excepto que c se ha sustituido por el “parámetro variable” u. Sustituyendo yp uy1 en la ecuación (2) se obtiene por tanto y1 du dx f (x). y1 P(x)uy1 f(x) o u dy1 ––– dx du ––– dx f(x) u[ P(x)y1] y1 dy1 ––– dx du ––– dx Regla del producto cero Entonces separando las variables e integrando se obtiene . du f (x) y1(x) f(x) y1(x) dx dx y u Puesto que y1 (x) e P(x)dx , vemos que 1y1 (x) e P(x)dx . Por tanto , y ce P(x)dx e P(x)dx e P(x)dxf(x) dx. yp yc yp uy1 f(x) y1(x) dxe P(x)dx e P(x)dx e P(x)dx f(x) dx y (4) Por tanto, si la ecuación (2) tiene una solución, debe ser de la forma de la ecuación (4). Recíprocamente, es un ejercicio de derivación directa comprobar que la ecuación (4) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2). No memorice la fórmula que se presenta en la ecuación (4). Sin embargo recuerde el término especial e∫P(x)dx (5) ya que se utiliza para resolver la ecuación (2) de una manera equivalente pero más fácil. Si la ecuación (4) se multiplica por (5), e P(x)dx y c e P(x)dx f(x) dx, (6) y después se deriva la ecuación (6), (7) se obtiene , . e P(x)dx dy dx P(x)e P(x)dx y e P(x)dx f(x) d dx [e P(x)dx y] e P(x)dx f(x) (8) Dividiendo el último resultado entre e P(x)dx se obtiene la ecuación (2). 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 54 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 54 6/4/09 12:16:08 PM 6/4/09 12:16:08 PM www.FreeLibros.me
- 82. MÉTODO DE SOLUCIÓN El método que se recomienda para resolver la ecuación (2) consiste en realidad en trabajar con las ecuaciones (6) a (8) en orden inverso. En otras palabras, si la ecuación (2) se multiplica por la ecuación (5), obtenemos la ecuación (8). Se reconoce que el lado izquierdo de la ecuación (8) es la derivada del producto de e P(x)dx por y. Esto nos conduce a la ecuación (7). Entonces, integrando ambos lados de la ecuación (7) se obtiene la solución (6). Como podemos resolver la ecuación (2) por integración, después de multiplicar por e P(x)dx , esta función se llama factor integrante de la ecuación diferencial. Por conveniencia resumiremos estos resultados. Nuevamente le indicamos que no debe memorizar la fórmula (4) sino seguir cada vez el siguiente procedimiento. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN i) Ponga la ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2). ii) Identifique de la identidad de la forma estándar P(x) y después determine el factor integrante e P(x)dx . iii) Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y: d dx [e P(x)dx y] e P(x)dx f(x). iv) Integre ambos lados de esta última ecuación. EJEMPLO 1 Solución de una ED lineal homogénea Resuelva . dy dx 3y 0 SOLUCIÓN Esta ecuación lineal se puede resolver por separación de variables. En otro caso, puesto que la ecuación ya está en la forma estándar (2), vemos que P(x) 3 y por tanto el factor integrante es e (3)dx e3x . Multiplicando la ecuación por este factor y reconociendo que e 3x dy dx 3e 3x y 0 es la misma que d dx [e 3x y] 0. Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene e3x y c. Despejando y se obtiene la solución explícita y ce3x , x . EJEMPLO 2 Solución de una ED lineal no homogénea Resuelva dy dx . 3y 6 SOLUCIÓN La ecuación homogénea asociada a esta ED se resolvió en el ejemplo 1. Nuevamente la ecuación está ya en la forma estándar (2) y el factor integrante aún es e (3)dx e3x . Ahora al multiplicar la ecuación dada por este factor se obtiene e 3x dy dx 3e 3x y 6e 3x , que es la misma que d dx [e 3x y] 6e 3x . Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene e3x y 2e3x c o y 2 ce3x , x . 2.3 ECUACIONES LINEALES O 55 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 55 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 55 6/4/09 12:16:09 PM 6/4/09 12:16:09 PM www.FreeLibros.me
- 83. 56 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN FIGURA 2.3.1 Algunas soluciones y 3y 6. 1 _1 2 3 4 _2 _1 1 _3 x y y =_2 La solución final del ejemplo 2 es la suma de dos soluciones: y yc yp , donde yc ce3x es la solución de la ecuación homogénea del ejemplo 1 y yp 2 es una solu- ción particular de la ecuación no homogénea y – 3y 6. No necesita preocuparse de si una ecuación lineal de primer orden es homogénea o no homogénea; cuando sigue el procedimiento de solución que se acaba de describir, la solución de una ecuación no homogénea necesariamente produce y yc yp . Sin embargo, la diferencia entre resolver una ED homogénea y una no homogénea será más importante en el capítulo 4, donde se resolverán ecuaciones lineales de orden superior. Cuando a1 , a0 y g en la ecuación (1) son constantes, la ecuación diferencial es autónoma. En el ejemplo 2 podemos comprobar de la forma normal dydx 3(y 2) que 2 es un punto crítico y que es inestable (un repulsor). Así, una curva solución con un punto inicial ya sea arriba o debajo de la gráfica de la solución de equilibrio y 2 se aleja de esta recta horizontal conforme x aumenta. La figura 2.3.1, obtenida con la ayuda de una aplicación para trazo de gráficas, muestra la gráfica de y 2 junto con otras curvas solución. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Observe que en el análisis general y en los ejemplos 1 y 2 no se ha considerado una constante de integración en la evaluación de la integral indefinida en el exponente e P(x)dx . Si consideramos las leyes de los expo- nentes y el hecho de que el factor integrante multiplica ambos lados de la ecuación diferencial, usted podría explicar por qué es innecesario escribir P(x)dx c. Vea el problema 44 de los ejercicios 2.3. SOLUCIÓN GENERAL Suponga que las funciones P y f en la ecuación (2) son continuas en un intervalo I. En los pasos que conducen a la ecuación (4) mostramos que si la ecuación (2) tiene una solución en I, entonces debe estar en la forma dada en la ecuación (4). Recíprocamente, es un ejercicio directo de derivación comprobar que cualquier función de la forma dada en (4) es una solución de la ecuación diferencial (2) en I. En otras palabras (4) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2) y toda solución de la ecuación (2) definida en I es un miembro de esta familia. Por tanto llamamos a la ecuación (4) la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo I. (Véase los Comentarios al final de la sección 1.1.) Ahora escribiendo la ecuación (2) en la forma normal y F(x, y), podemos identificar F(x, y) P(x)y f(x) y Fy P(x). De la continuidad de P y f en el intervalo I vemos que F y Fy son también continuas en I. Con el teorema 1.2.1 como nuestra justificación, concluimos que existe una y sólo una solución del problema con valores iniciales dy dx P(x)y f(x), y(x0) y0 (9) definida en algún intervalo I0 que contiene a x0 . Pero cuando x0 está en I, encontrar una solución de (9) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de c en la ecuación (4), es decir, a toda x0 en I le corresponde un distinto c. En otras palabras, el intervalo de existencia y unicidad I0 del teorema 1.2.1 para el problema con valores iniciales (9) es el intervalo completo I. EJEMPLO 3 Solución general Resuelva . x dy 4y x6 ex dx SOLUCIÓN Dividiendo entre x, obtenemos la forma estándar . dy dx 4 x y x5 ex (10) 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 56 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 56 6/4/09 12:16:10 PM 6/4/09 12:16:10 PM www.FreeLibros.me
- 84. En esta forma identificamos a P(x) 4x y f(x) x5 ex y además vemos que P y f son continuas en (0, ). Por tanto el factor integrante es e4 dx/x e4ln x eln x4 x4. podemos utilizar ln x en lugar de ln x ya que x 0 Aquí hemos utilizado la identidad básica blogbN N, N 0. Ahora multiplicamos la ecuación (10) por x4 y reescribimos x 4 dy dx 4x 5 x d dx [x 4 y] xex . y xe como De la integración por partes se tiene que la solución general definida en el intervalo (0, ) es x4 y xex ex c o y x5 ex x4 ex cx4 . Excepto en el caso en el que el coeficiente principal es 1, la reformulación de la ecuación (1) en la forma estándar (2) requiere que se divida entre a1 (x). Los valores de x para los que a1 (x) 0 se llaman puntos singulares de la ecuación. Los puntos singulares son potencialmente problemáticos. En concreto, en la ecuación (2), si P(x) (que se forma al dividir a0 (x) entre a1 (x)) es discontinua en un punto, la discontinuidad puede conducir a soluciones de la ecuación diferencial. EJEMPLO 4 Solución general Determine la solución general de . (x2 9) dy dx xy 0 SOLUCIÓN Escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar dy dx x x2 9 y 0 (11) e identificando P(x) x(x2 – 9). Aunque P es continua en (, 3), (3, 3) y (3, ), resolveremos la ecuación en el primer y tercer intervalos. En estos intervalos el factor integrante es . e x dx/(x2 9) e 1 2 2x dx/(x2 9) e 1 2 lnx2 9 1x2 9 Después multiplicando la forma estándar (11) por este factor, obtenemos . d dx 1x2 9 y
- 85. 0 Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene 1x2 9 y c. Por tanto para cualquiera x 3 o x 3 la solución general de la ecuación es . y c 1x2 9 Observe en el ejemplo 4 que x 3 y x 3 son puntos singulares de la ecuación y que toda función en la solución general y c1x2 9 es discontinua en estos pun- tos. Por otra parte, x 0 es un punto singular de la ecuación diferencial en el ejemplo 3, pero en la solución general y x5 ex – x4 ex cx4 es notable que cada función de esta familia uniparamétrica es continua en x 0 y está definida en el intervalo (, ) y no sólo en (0, ), como se indica en la solución. Sin embargo, la familia y x5 ex – x4 ex cx4 definida en (, ) no se puede considerar la solución general de la ED, ya que el punto singular x 0 aún causa un problema. Véase el problema 39 en los ejercicios 2.3. 2.3 ECUACIONES LINEALES O 57 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 57 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 57 6/4/09 12:16:11 PM 6/4/09 12:16:11 PM www.FreeLibros.me
- 86. 58 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales Resuelva . dy dx y x, y(0) 4 SOLUCIÓN La ecuación está en forma estándar, y P(x) 1 y f(x) x son continuas en (, ). El factor integrante es e dx ex , entonces integrando d dx [ex y] xex se tiene que ex y xex – ex c. Despejando y de esta última ecuación se obtiene la solución general y x 1 cex . Pero de la condición general sabemos que y 4 cuando x 0. El sustituir estos valores en la solución general implica que c 5. Por tanto la solución del problema es y x 1 5ex , x . (12) La figura 2.3.2, que se obtuvo con la ayuda de un programa de graficación, mues- tra la gráfica de (12) en azul oscuro, junto con las gráficas, de las otras soluciones re- presentativas de la familia uniparamétrica y x – 1 cex . En esta solución general identificamos yc cex y yp x – 1. Es interesante observar que conforme x aumenta, las gráficas de todos los miembros de la familia son cercanas a la gráfica de la solución particular yp x – 1 que se muestra con una línea sólida de la figura 2.3.2. Esto es de- bido a que la contribución de yc cex a los valores de una solución es despreciable al aumentar los valores de x. Decimos que yc cex es un término transitorio, ya que yc : 0 conforme x : . Mientras que este comportamiento no es característico de todas las soluciones generales de las ecuaciones lineales (véase el ejemplo 2), el concepto de un transitorio es frecuentemente importante en problemas aplicados. COEFICIENTES DISCONTINUOS En aplicaciones, los coeficientes P(x) y f(x) en (2) pueden ser continuos por tramos. En el siguiente ejemplo f(x) es continua por tramos en [0, ) con una sola discontinuidad, en particular un salto (finito) discontinuo en x 1. Resolvemos el problema en dos partes correspondientes a los dos interva- los en los que f está definida. Es entonces posible juntar las partes de las dos soluciones en x 1 así que y(x) es continua en [0, ). EJEMPLO 6 Un problema con valores iniciales Resuelva dy dx y f(x), y(0) 0 donde f(x) 1, 0, 0 x 1, x 1. a SOLUCIÓN En la figura 2.3.3 se muestra la gráfica de la función discontinua f. Resolvemos la ED para y(x) primero en el intervalo [0, 1] y después en el intervalo (1, ). Para 0 x 1 se tiene que . dy dx d dx [ex y] ex y 1 o, el equivalente, Integrando esta última ecuación y despejando y se obtiene y 1 c1 ex . Puesto que y(0) 0, debemos tener que c1 1 y por tanto y 1 ex , 0 x 1. Entonces para x 1 la ecuación dy dx y 0 x y 4 _4 _4 _2 2 4 _2 2 c=0 c0 c0 FIGURA 2.3.2 Algunas soluciones y y x. FIGURA 2.3.3 f(x) discontinua. x y 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 58 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 58 6/4/09 12:16:12 PM 6/4/09 12:16:12 PM www.FreeLibros.me
- 87. conduce a y c2 ex . Por tanto podemos escribir y 1 ex , c2ex , 0 x 1, x 1. Invocando a la definición de continuidad en un punto, es posible determinar c2 así la última función es continua en x 1. El requisito de límx→1 y(x) y(1) implica que c2 e1 1 – e1 o c2 e1. Como se muestra en la figura 2.3.4, la función y 1 ex , (e 1)ex , 0 x 1, x 1 (13) es continua en (0, ). Es importante considerar la ecuación (13) y la figura 2.3.4 como un bloque pe- queño; le pedimos que lea y conteste el problema 42 de los ejercicios 2.3. FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Al final de la sección 2.2 analiza- mos el hecho de que algunas funciones continuas simples no tienen antiderivadas que sean funciones elementales y que las integrales de esa clase de funciones se llaman no elementales. Por ejemplo, usted puede haber visto en cálculo que e−x2 dx y sen x2 dx no son integrales elementales. En matemáticas aplicadas algunas funciones importan- tes están definidas en términos de las integrales no elementales. Dos de esas funciones especiales son la función error y la función error complementario: . erf(x) 2 1 x 0 et2 2 1 x et2 dt dt y erfc(x) (14) Del conocido resultado * 0 et2 dt 12 podemos escribir (21) 0 et2 dt 1. Entonces de la forma 0 0 x x se ve de la ecuación (14) que la función error complementario, erfc(x), se relaciona con erf(x) por erf(x) erfc(x) 1. Debido a su importancia en probabilidad, estadística y en ecuaciones diferenciales parciales apli- cadas se cuenta con extensas tablas de la función error. Observe que erf(0) 0 es un valor obvio de la función. Los valores de erf(x) se pueden determinar con un sistema algebraico de computación (SAC). EJEMPLO 7 La función error Resuelva el problema con valores iniciales . dy dx 2xy 2, y(0) 1 SOLUCIÓN Puesto que la ecuación ya se encuentra en la forma normal, el factor integrante es e−x2 dx, y así de . d dx [e x2 y] 2e x2 obtenemos y 2ex2 x 0 e t2 dt cex2 (15) Aplicando y(0) 1 en la última expresión obtenemos c 1. Por tanto, la solución del problema es y 2ex2 x 0 et2 dt ex2 o y ex2 [1 1 erf(x)]. En la figura 2.3.5 se muestra en azul oscuro, la gráfica de esta solución en el intervalo (, ) junto con otros miembros de la familia definida en la ecuación (15), obtenida con la ayuda de un sistema algebraico de computación. 1 x y FIGURA 2.3.4 Gráfica de la función de (13). * Este resultado normalmente se presenta en el tercer semestre de cálculo. FIGURA 2.3.5 Algunas soluciones de y 2xy 2. x y 2.3 ECUACIONES LINEALES O 59 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 59 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 59 6/4/09 12:16:13 PM 6/4/09 12:16:13 PM www.FreeLibros.me
- 88. 60 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN USO DE COMPUTADORAS Algunos sistemas algebraicos de computación como Mathematica y Maple permiten obtener soluciones implícitas o explícitas para algunos tipos de ecuaciones diferenciales, usando la instrucción dsolve.* COMENTARIOS i) En general, una ED lineal de cualquier orden se dice que es homogénea cuando g(x) 0 en la ecuación (6) de la sección 1.1. Por ejemplo, la ED lineal de se- gundo orden y – 2y 6y 0 es homogénea. Como se puede ver en este ejem- plo y en el caso especial de la ecuación (3) de esta sección, la solución trivial y 0 es siempre una solución de una ED lineal homogénea. ii) A veces, una ecuación diferencial de primer orden es no lineal en una variable pero es lineal en la otra variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial dy dx 1 x y2 es no lineal en la variable y. Pero su recíproca dx dy x y2 o dx dy x y2 se reconoce como lineal en la variable x. Usted debería comprobar que el factor integrante es e (1)dy ey e integrando por partes se obtiene la solución ex- plícita x y2 2y 2 cey para la segunda ecuación. Esta expresión es, entonces, una solución implícita de la primera ecuación. iii) Los matemáticos han adoptado como propias algunas palabras de ingeniería que consideran adecuadas para describir. La palabra transitorio, que ya hemos usado, es uno de estos términos. En futuros análisis ocasionalmente se presenta- rán las palabras entrada y salida. La función f en la ecuación (2) es la función de entrada o de conducción; una solución y(x) de la ecuación diferencial para una entrada dada se llama salida o respuesta. iv) El término funciones especiales mencionado en relación con la función error también se aplica a la función seno integral y a la integral seno de Fresnel introducidas en los problemas 49 y 50 de los ejercicios 2.3. “Funciones especia- les” es una rama de las matemáticas realmente bien definidas. En la sección 6.3 se estudian funciones más especiales. EJERCICIOS 2.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-2. En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución general. Determine si hay al- gunos términos transitorios en la solución general. 1. 2. 3. dy dx y e3x dy dx 5y 4. 3 dy dx 12y 4 dy dx 2y 0 5. y 3x2 y x2 6. y 2xy x3 7. x2 y xy 1 8. y 2y x2 5 9. 10. 11. x dy dx 4y x3 x x dy dx y x2 senx 12. (1 x) dy dx xy x x2 x dy dx 2y 3 13. x2 y x(x 2)y ex *Ciertas instrucciones se deletrean igual, pero las instrucciones en Mathematica inician con una letra mayúscula (Dsolve) mientras que en Maple la misma instrucción comienza con una letra minúscula (dsolve). Cuando analizamos la sintaxis de las instrucciones, nos comprometimos y escribimos, por ejemplo dsolve. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 60 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 60 6/4/09 12:16:15 PM 6/4/09 12:16:15 PM www.FreeLibros.me
- 89. 14. xy (1 x)y ex sen 2x 15. y dx 4(x y6 ) dy 0 16. y dx (yey 2x) dy 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. (x2 1) dy dx 2y (x 1)2 x dy dx (3x 1)y e3x dP dt 2tP P 4t 2 dr d r sec cos (x 2)2 dy dx 5 8y 4xy (x 1) dy dx (x 2)y 2xex 2 dy dx (cos3 x)y 1 cos x dy dx (sen x)y 1 cos x sen x En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores ini- ciales. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución. 25. xy y ex , y(1) 2 26. y dx dy 2 x 2y , y(1) 5 27. L di dt Ri E, i(0) i0, L, R, E e i0 constantes 28. dT dt k(T Tm ); T(0) T0, k, Tm y T0 constantes 29. (x 1) dy dx y ln x, y(1) 10 30. y (tan x)y cos2 x, y(0) 1 En los problemas 31 a 34 proceda como en el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utilice un pro- grama de graficación para trazar la función continua y(x). 31. 32. f(x) 1, 1, 0 x 1 x 1 dy dx f(x) 1, 0, 0 x 3 x 3 dy dx 2y f(x), y(0) 0, donde y f(x), y(0) 1, donde 33. 34. donde f(x) x, x, 0 x 1 x 1 (1 x2 ) dy dx f (x) x, 0, 0 x 1 x 1 dy dx 2xy f(x), y(0) 2, 2xy f(x), y(0) 0, donde 35. Proceda en una forma similar al ejemplo 6 para resolver el pro- blema con valores iniciales y P(x)y 4x, y(0) 3, donde P(x) 2, 2x, 0 x 1, x 1. Utilice un programa de graficación para para trazar la grá- fica de la función continua y(x). 36. Considere el problema con valores iniciales y ex y f(x), y(0) 1. Exprese la solución del PVI para x 0 como una integral no elemental cuando f(x) 1. ¿Cuál es la solución cuando f(x) 0? ¿Y cuándo f(x) ex ? 37. Exprese la solución del problema con valores iniciales y – 2xy 1, y(1) 1, en términos de erf(x). Problemas para analizar 38. Lea nuevamente el análisis siguiente al ejemplo 2. Cons- truya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal y 4 conforme x : . 39. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste en xy – 4y x6 ex y de la condición inicial dada. a) y(0) 0 b) y(0) y0 , y0 0 c) y(x0 ) y0 , x0 0, y0 0 40. Lea nuevamente el ejemplo 4 y después determine la solu- ción general de la ecuación diferencial en el intervalo (3, 3). 41. Lea nuevamente el análisis siguiente al ejemplo 5. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones son asintóticas a la recta y 3x 5 conforme x : . 42. Lea nuevamente el ejemplo 6 y después analice por qué es técnicamente incorrecto decir que la función en (13) es una “solución” del PVI en el intervalo [0, ). 43. a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma xy a0 (x)y g(x) para la cual yc cx3 y yp x3 . Dé un intervalo en el que y x3 cx3 es la solución general de la ED. b) Dé una condición inicial y(x0 ) y0 para la ED que se determinó en el inciso a) de modo que la solución 2.3 ECUACIONES LINEALES O 61 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 61 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 61 6/4/09 12:16:16 PM 6/4/09 12:16:16 PM www.FreeLibros.me
- 90. 62 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN del PVI sea y x3 1x3 . Repita si la solución es y x3 2x3 . Dé un intervalo de definición I de cada una de estas soluciones. Trace la gráfica de las curvas so- lución. ¿Hay un problema con valores iniciales cuya solución esté definida en (, )? c) ¿Es único cada PVI encontrado en el inciso b)? Es decir, puede haber más de un solo PVI para el cual, digamos, y x3 1x3 , x en algún intervalo I, es la solución? 44. Al determinar el factor integrante (5), no usamos una constante de integración en la evaluación de P(x) dx. Explique por qué usar P(x) dx c no tiene efecto en la solución de (2). 45. Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un número en I. ¿Qué se puede decir acerca de la solución del problema con valores iniciales y P(x)y 0, y(a) 0? Modelos matemáticos 46. Series de decaimiento radiactivo El siguiente siste- ma de ecuaciones diferenciales se encuentra en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de elemen- tos radiactivos: dy dt 1x 2 y, dx dt 1x donde l1 y l2 son constantes. Analice cómo resolver este sis- tema sujeto a x(0) x0 , y(0) y0 . Lleve a cabo sus ideas. 47. Marcapasos de corazón Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje cons- tante E0 , un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor se descarga en- viando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal dE dt 1 RC E. Resuelva la ED sujeta a E(4) E0 . Tarea para el laboratorio de computación 48. a) Exprese la solución del problema con valores inicia- les y 2xy 1, , y(0) 1 2 en términos de erfc(x). b) Utilice las tablas de un SAC para determinar el valor de y(2). Use un SAC para trazar la gráfica de la curva solución para el PVI en (, ). 49. a) La función seno integral está definida por Si(x) x 0 (sentt) dt, donde el integrando está defi- nido igual a 1 en t 0. Exprese la solución y(x) del problema con valores iniciales x3 y 2x2 y 10 sen x, y(1) 0 en términos de Si(x). b) Use un SAC para trazar la gráfica de la curva solu- ción para el PVI para x 0. c) Use un SAC para encontrar el valor del máximo ab- soluto de la solución y(x) para x 0. 50. a) La integral seno de Fresnel está definida por . S(x) x 0 sen(pt2 2) dt. Exprese la solución y(x) del problema con valores iniciales y – (sen x2 )y 0, y(0) 5, en términos de S(x). b) Use un SAC para trazar la gráfica de la curva solu- ción para el PVI en (, ). c) Se sabe que S(x) : 1 2 conforme x : y S(x) : 1 2 conforme x : . ¿A dónde tiende la solución y(x) cuando x : ? ¿Y cuando x : ? d) Use un SAC para encontrar los valores del máximo absoluto y del mínimo absoluto de la solución y(x). 2.4 ECUACIONES EXACTAS REPASO DE MATERIAL O Cálculo de varias variables. O Derivación parcial e integración parcial. O Diferencial de una función de dos variables. INTRODUCCIÓN Aunque la sencilla ecuación diferencial de primer orden y dx x dy 0 es separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer que la expresión del lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la función f(x, y) xy, es decir d(xy) y dx x dy. En esta sección analizamos ecuaciones de primer orden en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0. Aplicando una prueba simple a M y a N, podemos determinar si M(x, y) dx N(x, y) dy es una diferencial de una función f(x, y). Si la respuesta es sí, construimos f integrando parcialmente. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 62 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 62 6/4/09 12:16:18 PM 6/4/09 12:16:18 PM www.FreeLibros.me
- 91. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z f(x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial es . dz f x dx f y dy (1) En el caso especial cuando f(x, y) c, donde c es una constante, entonces la ecuación (1) implica que . f x dx f y dy 0 (2) En otras palabras, dada una familia de curvas f(x, y) c, podemos generar una ecua- ción diferencial de primer orden si calculamos la diferencial de ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, si x2 5xy y3 c, entonces la ecuación (2) da la ED de primer orden . (2x 5y) dx (5x 3y2 ) dy 0 (3) UNA DEFINICIÓN Por supuesto, que no todas las ED de primer orden escritas en la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0 corresponden a una diferencial de f(x, y) c. Por tanto para nuestros objetivos es muy importante regresar al problema anterior; en par- ticular, si nos dan una ED de primer orden tal como la ecuación (3), ¿hay alguna forma de reconocer que la expresión diferencial (2x 5y) dx (5x 3y2 ) dy es la diferen- cial d(x2 5xy y3 )? Si la hay, entonces una solución implícita de la ecuación (3) es x2 5xy y3 c. Podemos contestar esta pregunta después de la siguiente definición. DEFINICIÓN 2.4.1 Ecuación exacta Una expresión diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f(x, y) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0 se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo x2 y3 dx x3 y2 dy 0 es una ecuación exacta, ya que su lado iz- quierdo es una diferencial exacta: . d 1 3 x3 y3 x2 y3 dx x3 y2 dy Observe que si hacemos las identificaciones M(x, y) x2 y3 y N(x, y) x3 y2 , entonces My 3x2 y2 Nx. El teorema 2.4.1, que se presenta a continuación, muestra que la igualdad de las derivadas parciales My y Nx no es una coincidencia. TEOREMA 2.4.1 Criterio para una diferencial exacta Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales con- tinuas en una región rectangular R definida por a x b, c y d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x, y) dx N(x, y) dy sea una diferencial exacta es . M y N x (4) 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 63 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 63 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 63 6/4/09 12:16:19 PM 6/4/09 12:16:19 PM www.FreeLibros.me
- 92. 64 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN PRUEBA DE LA NECESIDAD Por simplicidad suponemos que M(x, y) y N(x, y) tie- nen primeras derivadas parciales continuas para todo (x, y). Ahora si la expresión M(x, y) dx N(x, y) dy es exacta, existe alguna función f tal que para toda x en R, Por tanto y . , . M y y f x 2 f y x x f y N x M(x, y) f x , N(x, y) f y M(x, y) dx N(x, y) dy f x dx f y dy La igualdad de las parciales mixtas es una consecuencia de la continuidad de las pri- meras derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y). La parte de suficiencia del teorema 2.4.1 consiste en mostrar que existe una fun- ción f para la que fx M(x, y) y fy N(x, y) siempre que la ecuación (4) sea válida. La construcción de la función f en realidad muestra un procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas. MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0, determine si la igualdad de la ecuación (4) es válida. Si es así, entonces existe una función f para la que . f x M(x, y) Podemos determinar f integrando M(x, y) respecto a x mientras y se conserva cons- tante: , f (x, y) M(x, y) dx g(y) (5) donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivando (5) respecto a y y suponiendo que fy N(x, y): Se obtiene . g(y) N(x, y) y M(x, y) dx f y y M(x, y) dx g(y) N(x, y). (6) Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La solución implícita de la ecuación es f(x, y) c. Haremos algunas observaciones en orden. Primero, es importante darse cuenta de que la expresión N(x, y) (y) M(x, y) dx en (6) es independiente de x, ya que . x N(x, y) y M(x, y) dx
- 93. N x y x M(x, y) dx N x M y 0 Segunda, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de que fy N(x, y). Después, integrando N respecto a y y derivando este resultado, encontraría- mos las ecuaciones que, respectivamente, son análogas a las ecuaciones (5) y (6), . f (x, y) x N(x, y) dy N(x, y) dy h(x) y h(x) M(x, y) En ninguno de ambos casos se deben memorizar estas fórmulas. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 64 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 64 6/4/09 12:16:20 PM 6/4/09 12:16:20 PM www.FreeLibros.me
- 94. EJEMPLO 1 Resolviendo una ED exacta Resuelva 2xy dx (x2 1) dy 0. SOLUCIÓN Con M(x, y) 2xy y N(x, y) x2 1 tenemos que . M y 2x N x Así la ecuación es exacta y por el teorema 2.4.1 existe una función f(x, y) tal que . f x f y x2 1 2xy y Al integrar la primera de estas ecuaciones, se obtiene: f (x, y) x2 y g (y). Tomando la derivada parcial de la última expresión con respecto a y y haciendo el resultado igual a N(x, y) se obtiene . ; N(x, y) f y x2 g(y) x2 1 Se tiene que g(y) 1 y g(y) y. Por tanto f (x, y) x2 y y, así la solución de la ecuación en la forma implícita es x2 y y c. La forma explícita de la solución se ve fácilmente como y c(1 x2 ) y está definida en cualquier intervalo que no con- tenga ni a x 1 ni a x 1. NOTA La solución de la ED en el ejemplo 1 no es f(x, y) x2 y y. Sino que es f(x, y) c; si se usa una constante en la integración de g(y), podemos escribir la solución como f(x, y) 0. Observe que la ecuación también se podría haber resuelto por separación de variables. EJEMPLO 2 Solución de una ED exacta Resuelva (e2y y cos xy) dx (2xe2y x cos xy 2y) dy 0. SOLUCIÓN La ecuación es exacta ya que . M y 2e2y N x xy sen xy cos xy Por tanto existe una función f(x, y) para la cual . M(x, y) f x f y y N(x, y) Ahora, para variar, comenzaremos con la suposición de que f y N(x, y); es decir . f(x, y) 2x e2y dy x cos xy dy 2 y dy f y 2xe2y x cos xy 2y 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 65 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 65 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 65 6/4/09 12:16:21 PM 6/4/09 12:16:21 PM www.FreeLibros.me
- 95. 66 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Recuerde que la razón por la que x sale del símbolo es que en la integración respecto a y se considera que x es una constante ordinaria. Entonces se tiene que , ;M(x, y) f x e2y y cos xy h(x) e2y y cos xy f(x, y) xe2y 2 h(x) sen xy y y así h(x) 0 o h(x) c. Por tanto una familia de soluciones es xe2y sen xy y2 c 0. EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales Resuelva . dy dx xy2 y(1 x2 ) , y(0) 2 cos x sen x SOLUCIÓN Al escribir la ecuación diferencial en la forma (cos x sen x xy2 ) dx y(1 x2 ) dy 0, reconocemos que la ecuación es exacta porque Ahora . f x xy2 2 f(x, y) y2 2 (1 x2 ) h(x) f y y(1 x2 ) M y 2xy N x h(x) cos x sen x xy . La última ecuación implica que h(x) cos x sen x. Integrando se obtiene Por tanto , y2 2 (1 x2 ) 1 2 cos2 x c1 o y2 (1 x2 ) cos2 x c h(x) 1 2 2 (cos x)( sen x dx) cos x. (7) donde se sustituye 2c1 por c. La condición inicial y 2 cuando x 0 exige que 4(1) cos2 (0) c, y por tanto c 3. Una solución implícita del problema es enton- ces y2 (1 x2 ) cos2 x 3. En la figura 2.4.1, la curva solución del PVI es la curva dibujada en azul oscuro, y forma parte de una interesante familia de curvas. Las gráficas de los miembros de la fa- milia uniparamétrica de soluciones dadas en la ecuación (7) se puede obtener de diferen- tes maneras, dos de las cuales son utilizando un paquete de computación para trazar grá- ficas de curvas de nivel (como se analizó en la sección 2.2) y usando un programa de graficación para dibujar cuidadosamente la gráfica de las funciones explícitas obtenidas para diferentes valores de c despejando a y de y2 (c cos2 x)(1 x2 ) para y. FACTORES INTEGRANTES Recuerde de la sección 2.3 que el lado izquierdo de la ecuación lineal y P(x)y f(x) se puede transformar en una derivada cuando mul- tiplicamos la ecuación por el factor integrante. Esta misma idea básica algunas veces funciona bien para una ecuación diferencial no exacta M(x, y) dx N(x, y) dy 0. x y FIGURA 2.4.1 Algunas gráficas de los miembros de la familia y2 (1 x2 ) cos2 x c. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 66 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 66 6/4/09 12:16:22 PM 6/4/09 12:16:22 PM www.FreeLibros.me
- 96. Es decir, algunas veces es posible encontrar un factor integrante m(x, y) de manera que, después de multiplicar el lado izquierdo de m(x, y)M(x, y) dx m(x, y)N(x, y) dy 0 (8) es una diferencial exacta. En un intento por encontrar m, regresamos al criterio (4) de la exactitud. La ecuación (8) es exacta si y sólo si (mM)y (mN)x , donde los subíndi- ces denotan derivadas parciales. Por la regla del producto de la derivación la última ecuación es la misma que mMy my M mNx mx N o mx N my M (My Nx )m. (9) Aunque M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y y, la dificultad aquí al determinar la incógnita m(x, y) de la ecuación (9) es que debemos resolver una ecuación diferencial parcial. Como no estamos preparados para hacerlo, haremos una hipótesis para simpli- ficar. Suponga que m es una función de una variable; por ejemplo, m depende sólo de x. En este caso, mx dmdx y my 0, así la ecuación (9) se puede escribir como . d dx My Nx N (10) Estamos aún en un callejón sin salida si el cociente (My Nx )N depende tanto de x como de y. Sin embargo, si después de que se hacen todas las simplificaciones alge- braicas el cociente (My Nx )N resulta que depende sólo de la variable x, entonces la ecuación (10) es separable así como lineal. Entonces de la sección 2.2 o de la sección 2.3 tenemos que m(x) e ((MyNx)/N)dx . Análogamente, de la ecuación (9) tenemos que si m depende sólo de la variable y, entonces . d dy Nx My M (11) En este caso, si (Nx My )M es una función sólo de y, podemos despejar m de la ecuación (11). Resumiendo estos resultados para la ecuación diferencial. M(x, y) dx N(x, y) dy 0. (12) • Si (My Nx )N es una función sólo de x, entonces un factor integrante para la ecuación (12) es . (x) e MyNx N dx (13) • Si (Nx My )M es una función sólo de y, entonces un factor integrante de (12) es . (y) e NxMy M dy (14) EJEMPLO 4 Una ED no exacta hecha exacta La ecuación diferencial no lineal de primer orden xy dx (2x2 3y2 20) dy 0 es no exacta. Identificando M xy, N 2x2 3y2 20, encontramos que las deriva- das parciales My x y Nx 4x. El primer cociente de la ecuación (13) no nos conduce a nada, ya que My Nx N x 4x 2x2 3y2 20 3x 2x2 3y2 20 depende de x y de y. Sin embargo, la ecuación (14) produce un cociente que depende sólo de y: . Nx My M 4x x xy 3x xy 3 y 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 67 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 67 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 67 6/4/09 12:16:23 PM 6/4/09 12:16:23 PM www.FreeLibros.me
- 97. 68 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN El factor integrante es entonces e 3dyy e3lny elny3 y3 . Después de multiplicar la ED dada por m(y) y3 , la ecuación resultante es xy4 dx (2x2 y3 3y5 20y3 ) dy 0. Usted debería comprobar que la última ecuación es ahora exacta así como mostrar, usando el método que se presentó en esta sección, que una familia de soluciones es . 1 2 x2 y4 1 2 y6 5y4 c COMENTARIOS i) Cuando pruebe la exactitud de una ecuación, se debe asegurar que tiene exac- tamente la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0. Algunas veces una ecuación dife- rencial se escribe como G(x, y) dx H(x, y) dy . En este caso, primero rescriba como G(x, y) dx H(x, y) dy 0 y después identifique M(x, y) G(x, y) y N(x, y) H(x, y) antes de utilizar la ecuación (4). ii) En algunos libros de ecuaciones diferenciales el estudio de las ecuaciones exactas precede al de las ED lineales. Entonces el método que acabamos de des- cribir para encontrar los factores integrantes se puede utilizar para deducir un factor integrante para y P(x) y f(x). Reescribiendo la última ecuación en la forma diferencial (P(x)y f(x)) dx dy 0, vemos que . My Nx N P(x) A partir de la ecuación (13) hemos obtenido el conocido factor integrante e P(x)dx , utilizado en la sección 2.3. EJERCICIOS 2.4 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-2. En los problemas 1 a 20 determine si la ecuación diferencial dada es exacta. Si lo es, resuélvala. 1. (2x 1) dx (3y 7) dy 0 2. (2x y) dx (x 6y) dy 0 3. (5x 4y) dx (4x 8y3 ) dy 0 4. (sen y y sen x) dx (cos x x cos y y) dy 0 5. (2xy2 3) dx (2x2 y 4) dy 0 6. 2y 1 x cos 3xdy dx y x2 4x3 3y sen 3x 0 7. (x2 y2 ) dx (x2 2xy) dy 0 8. 1 ln x y xdx (1 ln x) dy 9. (x y3 y2 sen x) dx (3xy2 2y cos x) dy 10. (x3 y3 ) dx 3xy2 dy 0 11. (y ln y exy ) dx 1 y x ln ydy 0 12. (3x2 y ey ) dx (x3 xey 2y) dy 0 13. x dy dx 2xex y 6x2 14. 1 3 y xdy dx y 3 x 1 15. x2 y3 1 1 9x2dx dy x3 y2 0 16. (5y 2x)y 2y 0 17. (tan x sen x sen y) dx cos x cos y dy 0 18. 2 xy2 )dx (2y sen x cos x y 2y e 2 xy2 )dy (x sen x 4xye 19. (4t3 y 15t2 y) dt (t4 3y2 t) dy 0 20. 1 t 1 t2 y t2 y2dt yey t t2 y2dy 0 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 68 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 68 6/4/09 12:16:24 PM 6/4/09 12:16:24 PM www.FreeLibros.me
- 98. En los problemas 21 a 26 resuelva el problema con valores iniciales. 21. (x y)2 dx (2xy x2 1) dy 0, y(1) 1 22. (ex y) dx (2 x yey ) dy 0, y(0) 1 23. (4y 2t 5) dt (6y 4t 1) dy 0, y(1) 2 24. 3y2 t2 y5 dy dt t 2y4 0, y(1) 1 25. (y2 cos x 3x2 y 2x) dx (2y sen x x3 ln y) dy 0, y(0) e 26. 1 1 y2 cos x 2xydy dx y(y sen x), y(0) 1 En los problemas 27 y 28 determine el valor de k para el que la ecuación diferencial es exacta. 27. (y3 kxy4 2x) dx (3xy2 20x2 y3 ) dy 0 28. (6xy3 cos y) dx (2kx2 y2 x sen y) dy 0 En los problemas 29 y 30 compruebe que la ecuación dife- rencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado m(x, y) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva. 29. (xy sen x 2y cos x) dx 2x cos x dy 0; m(x, y) xy 30. (x2 2xy y2 ) dx (y2 2xy x2 ) dy 0; m(x, y) (x y)2 En los problemas 31 a 36 resuelva la ecuación diferencial dada determinando, como en el ejemplo 4, un factor integrante ade- cuado. 31. (2y2 3x) dx 2xy dy 0 32. y(x y 1) dx (x 2y) dy 0 33. 6xy dx (4y 9x2 ) dy 0 34. cos x dx 1 2 ysen x dy 0 35. (10 6y e3x ) dx 2 dy 0 36. (y2 xy3 ) dx (5y2 xy y3 sen y) dy 0 En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales determinando, como en el ejemplo 5, un factor inte- grante adecuado. 37. x dx (x2 y 4y) dy 0, y(4) 0 38. (x2 y2 5) dx (y xy) dy, y(0) 1 39. a) Demuestre que una familia de soluciones uniparamé- trica de soluciones de la ecuación (4xy 3x2 ) dx (2y 2x2 ) dy 0 es x3 2x2 y y2 c. b) Demuestre que las condiciones iniciales y(0) 2 y y(1) 1 determinan la misma solución implícita. c) Encuentre las soluciones explícitas y1 (x) y y2 (x) de la ecuación diferencial del inciso a) tal que y1 (0) 2 y y2 (1) 1. Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de y1 (x) y y2 (x). Problemas para analizar 40. Considere el concepto de factor integrante utilizado en los problemas 29 a 38. ¿Son las dos ecuaciones Mdx N dy 0 y mM dx mN dy 0 necesariamente equivalen- tes en el sentido de que la solución de una es también una solución de la otra? Analice. 41. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice por qué podemos concluir que el intervalo de definición de la so- lución explícita del PVI (curva azul de la figura 2.4.1) es (1, 1). 42. Analice cómo se pueden encontrar las funciones M(x, y) y N(x, y) tal que cada ecuación diferencial sea exacta. Lleve a cabo sus ideas. a) b) x1/2 y1/2 x x2 ydx N(x, y) dy 0 M(x, y) dx xexy 2xy 1 xdy 0 43. Algunas veces las ecuaciones diferenciales se re- suelven con una idea brillante. Este es un pe- queño ejercicio de inteligencia: aunque la ecuación (x ) dx y dy 0 1x2 y2 no es exacta, demuestre cómo el reacomodo (x dx y dy) dx 1x2 y2 y la observación 1 2 d(x2 y2 ) x dx y dy puede conducir a una solución. 44. Verdadero o falso: toda ecuación de primer orden separa- ble dydx g(x)h(y) es exacta. Modelos matemáticos 45. Cadena cayendo Una parte de una cadena de 8 pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una cla- vija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Vea la figura 2.4.2. Suponga que la lon- gitud de la cadena que cuelga es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lbpie y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t 0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenro- lle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t 0, entonces v dxdt es su velocidad. Cuando se desprecian todas las 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 69 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 69 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 69 6/4/09 12:16:26 PM 6/4/09 12:16:26 PM www.FreeLibros.me
- 99. 70 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por . xv dv dx v2 32x a) Rescriba este modelo en forma diferencial. Proceda como en los problemas 31 a 36 y resuelva la ED para v en términos de x determinando un factor integrante adecuado. Determine una solución explícita v(x). b) Determine la velocidad con que la cadena abandona la plataforma. Tarea para el laboratorio de computación 46. Líneas de flujo a) La solución de la ecuación diferencial 2xy (x2 y2 )2 dx 1 y2 x2 (x2 y2 )2
- 100. dy 0 es una familia de curvas que se pueden interpretar como líneas de flujo de un fluido que discurre alrede- dor de un objeto circular cuya frontera está descrita por la ecuación x2 y2 1. Resuelva esta ED y ob- serve que la solución f(x, y) c para c 0. b) Use un SAC para dibujar las líneas de flujo para c 0, 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8 de tres maneras diferentes. Primero, utilice el contourplot de un SAC. Segundo, despeje x en términos de la variable y. Dibuje las dos funciones resultantes de y para los valores dados de c, y después combine las gráficas. Tercero, utilice el SAC para despejar y de una ecuación cúbica en térmi- nos de x. SUSTITUCIONES Con frecuencia el primer paso para resolver una ecuación diferen- cial es transformarla en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial de primer orden dydx f(x, y) sustituyendo y g(x, u), donde u se considera una función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, usando la regla de la cadena . dy dx g x dx dx g u du dx obtenemos dy dx gx(x, u) gu(x, u) du dx Al sustituir dydx por la derivada anterior y sustituyendo y en f(x, y) por g(x, u), obte- nemoslaEDdydx f(x,y)queseconviertenen gx (x,u) gu (x,u) du dx f(x,g(x,u)),la cual, resuelta para du dx , tiene la forma du dx F(x, u). Si podemos determinar una solu- ción u f(x) de esta última ecuación, entonces una solución de la ecuación diferen- cial original es y(x) g(x, f(x)). En el análisis siguiente examinaremos tres clases diferentes de ecuaciones dife- renciales de primer orden que se pueden resolver mediante una sustitución. x(t) borde de la plataforma clavija FIGURA 2.4.2 Cadena desenrollada del problema 45. 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN REPASO DE MATERIAL O Técnicas de integración. O Separación de variables. O Solución de ED. INTRODUCCIÓN Normalmente resolvemos una ecuación diferencial reconociéndola dentro de una cierta clase de ecuaciones (digamos separables, lineales o exactas) y después aplicamos un proce- dimiento, que consiste en pasos matemáticos específicos para el tipo de ecuación que nos conducen a la solución de la misma. Pero no es inusual que nos sorprenda el tener una ecuación diferencial que no pertenece a alguna de las clases de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos que se analizan en esta sección pueden ser útiles en este caso. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 70 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 70 6/4/09 12:16:28 PM 6/4/09 12:16:28 PM www.FreeLibros.me
- 101. ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función f tiene la propiedad f(tx, ty) ta f(x, y) para algún número real a, entonces se dice que es una función homogénea de grado a. Por ejemplo f(x, y) x3 y3 es una función homogénea de grado 3, ya que f(tx, ty) (tx)3 (ty)3 t3 (x3 y3 ) t3 f(x, y), mientras que f (x, y) x3 y3 1 es no homogénea. Una ED de primer orden en forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0 (1) se dice que es homogénea* si ambas funciones coeficientes M y N son ecuaciones ho- mogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si M(tx, ty) t␣ M(x, y) y N(tx, ty) = t␣ N(x, y). Además, si M y N son funciones homogéneas de grado a, podemos escribir M(x, y) x␣ M(1, u) y N(x, y) x␣ N(1, u) donde u y/x, (2) y M(x, y) y␣ M(v, 1) y N(x, y) y␣ N(v, 1) donde v x/y. (3) Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sus- tituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones y ux o x vy, donde u y v son las nuevas variables dependientes, reducirán una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de primer orden separable. Para mostrar esto, observe que como consecuencia de (2) una ecuación homogénea M(x, y)dx N(x, y)dy 0 se puede reescribir como x␣ M(1, u) dx x␣ N(1, u) dy 0 o bien M(1, u) dx N(1, u) dy 0, donde u yx o y ux. Sustituyendo la diferencial dy u dx x du en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x: o . dx x N(1, u) du M(1, u) uN(1, u) 0 [M(1, u) uN(1, u)] dx xN(1, u) du 0 M(1, u) dx N(1, u)[u dx x du] 0 En este momento le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores. No memo- rice nada de aquí (en particular la última fórmula); más bien, cada vez siga el procedi- miento. Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones x vy y dx v dy y dv también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar. EJEMPLO 1 Solución de una ED homogénea Resuelva (x2 y2 ) dx (x2 xy) dy 0. SOLUCIÓN Examinando a M(x, y) x2 y2 y a N(x, y) x2 xy se muestra que estas funciones coeficientes son homogéneas de grado 2. Si hacemos y ux, entonces * Aquí la palabra homogénea no significa lo mismo que en la sección 2.3. Recuerde que una ecuación lineal de primer orden a1(x)y a0(x)y g(x) es homogénea cuando g(x) 0. 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN O 71 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 71 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 71 6/4/09 12:16:29 PM 6/4/09 12:16:29 PM www.FreeLibros.me
- 102. 72 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dy u dx x du, de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en . 1 2 1 u du dx x 0 1 u 1 u du dx x 0 x2 (1 u) dx x3 (1 u) du 0 (x2 u2 x2 ) dx (x2 ux2 )[u dx x du] 0 división larga Después de integrar la última ecuación se obtiene . y x 2 ln1 y x ln x lnc u 2 ln 1 u ln x ln c ; sustituyendo de nuevo u yx Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como . (x y)2 cx y x o (x y)2 cxey/x ln Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se puede usar en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica se intenta con x vy cuando la función M(x, y) sea más fácil que N(x, y). También podría ocurrir que después de utilizar una sustitu- ción, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; y el cambiar las sustituciones puede facilitar el problema. ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial , dy dx P(x)y f(x)yn (4) donde n es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli. Observe que para n 0 y n 1, la ecuación (4) es lineal. Para n ã 0 y n ã 1 la sustitución u y1n reduce cualquier ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal. EJEMPLO 2 Solución de una ED de Bernoulli Resuelva x dy dx y x2 y2 . SOLUCIÓN Primero reescribimos la ecuación como dy dx 1 x y xy2 al dividir entre x. Con n 2 tenemos u y1 o y u1 . Entonces sustituimos dy dx dy du du dx u2 du dx ; Regla de la cadena en la ecuación dada y simplificando. El resultado es . du dx 1 x u x 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 72 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 72 6/4/09 12:16:30 PM 6/4/09 12:16:30 PM www.FreeLibros.me
- 103. El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos, (0, ) es Integrando . d dx [x1 u] 1 e dx/x eln x eln x1 x1 se obtiene x1 u x c o u x2 cx. Puesto que u y1 , tenemos que y 1u, así una solución de la ecuación dada es y 1(x2 cx). Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no lineal original del ejemplo 2 ya que y 0 es una solución singular de la ecuación. REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la forma dy dx f(Ax By C) (5) Se puede siempre reducir a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución u Ax By C, B ã 0. El ejemplo 9 muestra la técnica. EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales Resuelva dy dx (2x y)2 7, y(0) 0. SOLUCIÓN Si hacemos u 2x y, entonces dudx 2 dydx, por lo que la ecuación diferencial se expresa como . du dx 2 u2 du dx u2 9 7 o La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales du (u 3)(u 3) 1 6 1 u 3 1 u 3
- 104. du dx dx o y después de integrar se obtiene . 1 6 ln u 3 u 3 x c1 o u 3 u 3 e6x 6c1 ce6x e6c1 o d n e y u t i t s u s por c Despejando u de la última ecuación y resustituyendo a u en términos de x y y, se ob- tiene la solución . u 3(1 ce6x ) 1 ce6x 3(1 ce6x ) 1 ce6x o y 2x (6) Por último, aplicando la condición inicial y(0) 0 a la última ecuación en (6) se ob- tiene c 1. La figura 2.5.1, obtenida con la ayuda de un programa de graficación, muestra en azul oscuro la gráfica de la solución particular y 2x 3(1 e6x ) 1 e6x junto con las gráficas de algunos otros miembros de la familia de soluciones (6). x y FIGURA 2.5.1 Algunas soluciones de y (2x y)2 7. 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN O 73 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 73 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 73 6/4/09 12:16:31 PM 6/4/09 12:16:31 PM www.FreeLibros.me
- 105. 74 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 2.5 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-2. Cada una de las ED de los problemas 1-14 es homogénea. En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas. 1. (x y) dx x dy 0 2. (x y) dx x dy 0 3. x dx (y 2x) dy 0 4. y dx 2(x y) dy 5. (y2 yx) dx x2 dy 0 6. (y2 yx) dx x2 dy 0 7. 8. 9. 10. x dy dx y 1x2 y2 , x 0 y dx (x 1xy) dy 0 dy dx x 3y 3x y dy dx y x y x En los problemas 11 a 14 resuelva el problema con valores iniciales dado. 11. 12. (x2 2y2 ) dx dy xy, y(1) 1 xy2 dy dx y3 x3 , y(1) 2 13. (x yeyx ) dx xeyx dy 0, y(1) 0 14. y dx x(ln x ln y 1) dy 0, y(1) e Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación de Bernoulli. En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada. 15. 16. 17. 18. 19. t2 dy dt y2 ty dy dx y(xy3 1) x dy dx y 1 y2 20. 3(1 t2 ) dy dt 2ty(y3 1) x dy dx (1 x)y xy2 dy dx y ex y2 En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales dado. 21. 22. y1/2 dy dx y3/2 1, y(0) 4 x2 dy dx 2xy 3y4 , y(1) 1 2 Cada una de las ED de los problemas 23 a 30 es de la forma dada en la ecuación (5). En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada. 23. 24. 25. 26. 27. dy dx 2 1y 2x 3 dy dx tan2 (x y) dy dx (x y 1)2 28. dy dx 1 eyx5 dy dx dy dx 1 x y x y sen(x y) En los problemas 29 y 30 resuelva el problema con valores iniciales dado. 29. 30. dy dx 3x 2y 3x 2y 2 , y(1) 1 dy dx cos(x y), y(0) 4 Problemas para analizar 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación di- ferencial homogénea M(x, y) dx N(x, y) dy 0 en la forma . dy dx F y x Podría comenzar por demostrar que M(x, y) x␣ M(1, y/x) y N(x, y) x␣ N(1, y/x). 32. Ponga la ecuación diferencial homogénea (5x2 2y2 ) dx xy dy 0 en la forma dada en el problema 31. 33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10. b) Si la condición inicial y(5) 0 es como se indicó para el problema 10, entonces ¿cuál es el intervalo I de de- finición más grande en el cual está definida la solu- ción? Utilice un programa de graficación para obtener la gráfica de la curva solución para el PVI. 34. En el ejemplo 3 la solución y(x) es no acotada conforme x : . Sin embargo, y(x) es asintótica a una curva con- forme x : y a una diferente curva conforme x : . ¿Cuáles son las ecuaciones de estas curvas? 35. La ecuación diferencial dydx P(x) Q(x)y R(x)y2 se conoce como la ecuación de Riccati. a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conoz- 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 74 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 74 6/4/09 12:16:32 PM 6/4/09 12:16:32 PM www.FreeLibros.me
- 106. camos una solución particular, y1 , de la ecuación. Muestre que la sustitución y y1 u reduce la ecua- ción de Riccati a una ecuación de Bernoulli (4) con n 2. La ecuación de Bernoulli se puede entonces reducir a una ecuación lineal sustituyendo w u1 . b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dy dx 4 x2 1 x y y2 donde y1 2x es una solución conocida de la ecua- ción. 36. Determine una sustitución adecuada para resolver xy y ln(xy). Modelos matemáticos 37. Cadena cayendo En el problema 45 de los ejercicios 2.4 vimos que un modelo matemático para la velocidad v de una cadena que se desliza por el borde de una plata- forma horizontal es . xv dv dx v2 32x En ese problema se le pidió que resolviera la ED convir- tiéndola en una ecuación exacta usando un factor inte- grante. Esta vez resuelva la ED usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. 38. Crecimiento de la población En el estudio de la pobla- ción dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística , dP dt P(a bP) donde a y b son constantes positivas. Aunque retomaremos esta ecuación y la resolveremos utilizando un método al- ternativo en la sección 3.2, resuelva la ED por esta primera vez usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. 2.6 UN MÉTODO NUMÉRICO INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial dydx f(x, y) es una fuente de información. Comen- zaremos este capítulo observando que podríamos recolectar información cualitativa de una ED de primer orden respecto a sus soluciones aun antes de intentar resolver la ecuación. Entonces en las sec- ciones 2.2 a 2.5 examinamos a las ED de primer orden analíticamente, es decir, desarrollamos algunos procedimientos para obtener soluciones explícitas e implícitas. Pero una ecuación diferencial puede tener una solución aun cuando no podamos obtenerla analíticamente. Así que para redondear el esquema de los diferentes tipos de análisis de las ecuaciones diferenciales, concluimos este capítulo con un mé- todo con el cual podemos “resolver” la ecuación diferencial numéricamente; esto significa que la ED se utiliza como el principio básico de un algoritmo para aproximar a la solución desconocida. En esta sección vamos a desarrollar únicamente el más sencillo de los métodos numéricos, un método que utiliza la idea de que se puede usar una recta tangente para aproximar los valores de una función en una pequeña vecindad del punto de tangencia. En el capítulo 9 se presenta un tratamiento más extenso de los métodos numéricos. USANDO LA RECTA TANGENTE Suponemos que el problema con valores iniciales y′ f(x, y), y(x0 ) y0 (1) tiene una solución. Una manera de aproximar esta solución es usar rectas tangentes. Por ejemplo, sea que y(x) denote la solución incógnita para el problema con valores inicia- les y 0.11y 0.4x2 , y(2) 4. La ecuación diferencial no lineal en este PVI no se puede resolver directamente por cualquiera de los métodos considerados en las sec- ciones 2.2, 2.4 y 2.5; no obstante, aún podemos encontrar valores numéricos aproxi- mados de la incógnita y(x). En concreto, supongamos que deseamos conocer el valor de y(2, 5). El PVI tiene una solución y como el flujo del campo direccional de la ED en la figura 2.6.1a sugiere, una curva solución debe tener una forma similar a la curva que se muestra en azul. El campo direccional de la figura 2.6.1a se generó con elementos lineales que pasan por puntos de una malla de coordenadas enteras. Puesto que la curva solución pasa por el 2.6 UN MÉTODO NUMÉRICO O 75 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 75 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 75 6/4/09 12:16:34 PM 6/4/09 12:16:34 PM www.FreeLibros.me
- 107. 76 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN punto inicial (2, 4), el elemento lineal en este punto es una recta tangente con pendiente dada por f(2, 4) 0.114 0.4(2)2 1.8. Como se muestra en la figura 2.6.1a y el “zoom in” (acercamiento) de la figura 2.6.1b, cuando x está cerca de 2, los puntos en la curvasoluciónestáncercadelospuntosdelarectatangente(elelementolineal).Utilizando el punto (2, 4), la pendiente f(2, 4) 1.8 y la forma punto pendiente de una recta, encon- tramos que una ecuación de la recta tangente es y L(x), donde L(x) 1.8x 0.4. Esta última ecuación se llama linealización de y(x) en x 2 que se puede utilizar para aproxi- mar los valores dentro de una pequeña vecindad de x 2. Si y1 L(x1 ) denota la coorde- nada y en la recta tangente y y(x1 ) es la coordenada y de la curva solución correspondiente a una coordenada x, x1 que está cerca de x 2, entonces y(x1 ) y1 . Si elegimos, x1 2.1, entonces y1 L(2.1) 1.8(2.1) 0.4 4.18, entonces y(2.1) 4.18. 2 (2, 4) pendiente m =1.8 x y 2 4 _2 a) campo direccional para y
- 108. 0. b) elemento lineal en (2, 4). curva solución FIGURA 2.6.1 Amplificación de una vecindad del punto (2, 4). curva solución x y x1 = + x0 h x0 L(x) (x0, y0) (x1, y1) h (x1, y(x1)) pendiente = f(x0, y0) error FIGURA 2.6.2 Aproximación de y(x1 ) usando una recta tangente. MÉTODO DE EULER Para generalizar el procedimiento que acabamos de ilustrar, usamos la linealización de una solución incógnita y(x) de (1) en x x0 : . L(x) y0 f (x0, y0)(x x0) (2) La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de y y (x) en el punto (x0 , y0 ). Ahora hacemos que h sea un incremento positivo del eje x, como se muestra en la figura 2.6.2. Entonces sustituyendo x por x1 x0 h en la ecuación (2), obtenemos , L(x1) y0 f (x0, y0)(x0 0 1 y0 hf(x1, y1) h x ) o y donde y1 L(x1 ). El punto (x1 , y1 ) en la recta tangente es una aproximación del punto (x1 , y(x1 )) sobre la curva solución. Por supuesto, la precisión de la aproxima- ción L(x1 ) y(x1 ) o y1 y(x1 ) depende fuertemente del tamaño del incremento h. Normalmente debemos elegir este tamaño de paso para que sea “razonablemente pequeño”. Ahora repetimos el proceso usando una segunda “recta tangente” en (x1 , y1 ).* Identificando el nuevo punto inicial como (x1 , y1 ) en lugar de (x0 , y0 ) del análisis anterior, obtenemos una aproximación y2 y(x2 ) correspondiendo a dos pasos de lon- gitud h a partir de x0 , es decir, x2 x1 h x0 2h, y . y(x2) y(x0 2h) y(x1 h) y2 y1 hf (x1, y1) Continuando de esta manera, vemos que y1 , y2 , y3 , . . . , se puede definir recursivamente mediante la fórmula general , yn1 yn hf (xn, yn) (3) donde xn x0 nh, n 0, 1, 2, . . . Este procedimiento de uso sucesivo de las “rectas tangentes” se llama método de Euler. * Esta no es una recta tangente real, ya que (x1 , y1 ) está sobre la primera tangente y no sobre la curva solución. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 76 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 76 6/4/09 12:16:35 PM 6/4/09 12:16:35 PM www.FreeLibros.me
- 109. EJEMPLO 1 Método de Euler Considere el problema con valores iniciales y 0.11y 0.4x2 , y(2) 4 Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) usando primero h 0.1 y después h 0.05. SOLUCIÓN Con la identificación f (x, y) 0.11y 0.4x2 la ecuación (3) se con- vierte en . yn1 yn h(0.11yn 0.4xn 2 ) Entonces para h 0.1, x0 2, y0 4 y n 0 encontramos , y1 y0 h(0.11y0 0.4x0 2 ) 4 0.1(0.114 0.4(2)2 ) 4.18 que, como ya hemos visto, es una estimación del valor y(2.1). Sin embargo, si usamos el paso de tamaño más pequeño h 0.05, le toma dos pasos alcanzar x 2.1. A partir de y2 4.09 0.05(0.114.09 0.4(2.05)2 ) 4.18416187 y1 4 0.05(0.114 0.4(2)2 ) 4.09 tenemos y1 y(2.05) y y2 y(2.1). El resto de los cálculos fueron realizados usando un paquete computacional. En las tablas 2.1 y 2.2 se resumen los resultados, donde cada entrada se ha redondeado a cuatro lugares decimales. Vemos en las tablas 2.1 y 2.2 que le toma cinco pasos con h 0.1 y 10 pasos con h 0.05, respectivamente, para llegar a x 2.5. Intuitivamente, esperaríamos que y10 5.0997 correspondiente a h 0.05 sea la mejor aproximación de y(2.5) que el valor y5 5.0768 correspon- diente a h 0.1. En el ejemplo 2 aplicamos el método de Euler para una ecuación diferencial para la que ya hemos encontrado una solución. Hacemos esto para comparar los valores de las aproximaciones yn en cada caso con los valores verdaderos o reales de la solución y(xn ) del problema con valores iniciales. EJEMPLO 2 Comparación de los valores aproximados y reales Considere el problema con valores iniciales y 0.2xy, y(1) 1. Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(1.5) usando primero h 0.1 y después h 0.05. SOLUCIÓN Con la identificación f (x, y) 0.2xy, la ecuación (3) se convierte en yn1 yn h(0.2xn yn ) donde x0 1 y y0 1. De nuevo con la ayuda de un paquete computacional obtenga los valores de las tablas 2.3 y 2.4. TABLA 2.1 h 0.1 xn yn 2.00 4.0000 2.10 4.1800 2.20 4.3768 2.30 4.5914 2.40 4.8244 2.50 5.0768 TABLA 2.2 h 0.05 xn yn 2.00 4.0000 2.05 4.0900 2.10 4.1842 2.15 4.2826 2.20 4.3854 2.25 4.4927 2.30 4.6045 2.35 4.7210 2.40 4.8423 2.45 4.9686 2.50 5.0997 TABLA 2.3 h 0.1 xn yn Valor real Error absoluto % Error relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.0200 1.0212 0.0012 0.12 1.20 1.0424 1.0450 0.0025 0.24 1.30 1.0675 1.0714 0.0040 0.37 1.40 1.0952 1.1008 0.0055 0.50 1.50 1.1259 1.1331 0.0073 0.64 TABLA 2.4 h 0.05 xn yn Valor real Error absoluto % Error relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.05 1.0100 1.0103 0.0003 0.03 1.10 1.0206 1.0212 0.0006 0.06 1.15 1.0318 1.0328 0.0009 0.09 1.20 1.0437 1.0450 0.0013 0.12 1.25 1.0562 1.0579 0.0016 0.16 1.30 1.0694 1.0714 0.0020 0.19 1.35 1.0833 1.0857 0.0024 0.22 1.40 1.0980 1.1008 0.0028 0.25 1.45 1.1133 1.1166 0.0032 0.29 1.50 1.1295 1.1331 0.0037 0.32 2.6 UN MÉTODO NUMÉRICO O 77 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 77 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 77 6/4/09 12:16:36 PM 6/4/09 12:16:36 PM www.FreeLibros.me
- 110. 78 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En el ejemplo 1 se calcularon los valores verdaderos o reales de la solución cono- cida y e0.1(x2−1) .(Compruebe.) El error absoluto se define como valor real – aproximado . El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente, error absoluto error absoluto valor real y valor real × 100. Es evidente de las tablas 2.3 y 2.4 que la precisión de las aproximaciones mejora conforme disminuye el tamaño del paso h. También nosotros vemos esto aun cuando el error relativo porcentual esté creciendo en cada paso, no parece estar mal. Pero no debe engañarse por un ejemplo. Si simplemente cambiamos el coeficiente del lado de- recho de la ED del ejemplo 2 de 0.2 a 2 entonces en xn 1.5 los errores relativos por- centuales crecen dramáticamente. Véase el problema 4 del ejercicio 2.6. UNA ADVERTENCIA El método de Euler es sólo uno de los diferentes métodos en los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios. Aquí se ha presentado sólo para dar un primer esbozo de los métodos numéricos. En el capítulo 9 trataremos en detalle el análisis de los métodos numéricos que tienen mucha precisión, en especial el método de Runge-Kutta conocido como el método RK4. SOLUCIONADORES NUMÉRICOS Independientemente de si se puede realmente encontrar una solución explícita o implícita, si existe una solución de una ecuación diferencial, ésta se representa por una curva suave en el plano cartesiano. La idea bá- sica detrás de cualquier método numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es de alguna manera aproximar los valores de y de una solución para valores de x preseleccionados. Comenzamos con un punto inicial dado (x0 , y0 ) de una curva solución y procedemos a calcular en un modelo paso por paso una secuencia de puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),…, (xn , yn ) cuyas coordenadas y, yi se aproximan a las coor- denadas y, y(xi ) de los puntos (x1 , y(x1 )), (x2 , y(x2 )),…, (xn , y(xn )) que yacen sobre la gráfica de la solución normalmente desconocida y(x). Tomando las coordenadas x más cercanas (es decir, para valores pequeños de h) y uniendo los puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),…, (xn , yn ) con segmentos de recta cortos, obtenemos una curva poligonal cuyas caracte- rísticas cualitativas esperamos sean cercanas a las de una curva solución real. El dibujo de curvas es muy adecuado en una computadora. A un programa de cómputo escrito para implementar un método numérico o para mostrar una representación visual de una solución aproximada que ajusta los datos numéricos producidos por este segundo método se le conoce como un solucionador numérico. Comercialmente hay disponi- bles muchos solucionadores numéricos ya sea que estén integrados en un gran paquete computacional, tal como en un sistema algebraico computacional o que sean un pa- quete autónomo. Algunos paquetes computacionales simplemente dibujan las aproxi- maciones numéricas generadas, mientras que otros generan pesados datos numéricos así como la correspondiente aproximación o curvas solución numérica. En la figura 2.6.3 se presenta a manera de ilustración la conexión natural entre los puntos de las gráficas producidas por un solucionador numérico, las gráficas poligonales pintadas con dos colores son las curvas solución numérica para el problema con valores inicia- les y 0.2xy, y(0) 1 en el intervalo [0, 4] obtenidas de los métodos de Euler y RK4 usando el tamaño de paso h 1. La curva suave en azul es la gráfica de la solución exacta y e0.1x2 del PVI. Observe en la figura 2.6.3 que, aun con el ridículo tamaño de paso de h 1, el método RK4 produce la “curva solución” más creíble. La curva solución numérica obtenida del método RK4 es indistinguible de la curva solución real en el intervalo [0, 4] cuando se usa el tamaño de paso usual de h 0.1. solución exacta (0,1) método Euler método RK4 _1 1 2 3 4 5 y x 4 5 3 2 1 _1 FIGURA 2.6.3 Comparación de los métodos de Runge-Kutta (RK4) y de Euler. 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 78 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 78 6/4/09 12:16:37 PM 6/4/09 12:16:37 PM www.FreeLibros.me
- 111. USANDO UN SOLUCIONADOR NUMÉRICO No es necesario conocer los di- ferentes métodos numéricos para utilizar un solucionador numérico. Un solucionador usualmente requiere que la ecuación diferencial se pueda expresar en la forma normal dydx f(x, y). Los solucionadores numéricos que sólo generan curvas requieren que se les proporcione f(x, y) y los datos iniciales x0 y y0 y que se indique el método numérico deseado. Si la idea es aproximarse al valor numérico de y(a), entonces un solucionador numérico podría requerir además expresar un valor de h o, del mismo modo, dar el nú- mero de pasos que quiere tomar para llegar de x x0 a x a. Por ejemplo, si queremos aproximar y(4) para el PVI que se muestra en la figura 2.6.3, entonces, comenzando en x 0 le tomaría cuatro pasos llegar a x 4 con un tamaño de paso de h 1; 40 pasos son equivalentes a un tamaño de paso de h 0.1. Aunque aquí no investigaremos todos los problemas que se pueden encontrar cuando se intenta aproximar cantidades matemá- ticas, al menos debe estar consciente del hecho de que el solucionador numérico puede dejar de funcionar cerca de ciertos puntos o dar una incompleta o engañosa imagen cuando se aplica a ciertas ecuaciones diferenciales en la forma normal. La figura 2.6.4 muestra la gráfica que se obtuvo al aplicar el método de Euler a un problema con valores iniciales de primer orden dydx f(x, y), y(0) 1. Se obtuvieron resultados equiva- lentes utilizando tres diferentes solucionadores numéricos, sin embargo la gráfica di- fícilmente es una posible curva solución. (¿Por qué?) Hay diferentes caminos de solución cuando un solucionador numérico tiene dificultades; las tres más obvias son disminuir el tamaño del paso, usar otro método numérico e intentar con un solucionador diferente. FIGURA 2.6.4 Una curva solución que no ayuda mucho. x y 1 2 3 4 5 _1 1 2 3 4 5 6 _2 _1 EJERCICIOS 2.6 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-2. En los problemas 1 y 2 use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión (3), usando primero h 0.1 y después usando h 0.05. 1. y 2x 3y 1, y(1) 5; y(1.2) 2. y x y2 , y(0) 0; y(0.2) En los problemas 3 y 4 use el método de Euler para obte- ner una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero utilice h 0.1 y después utilice h 0.05. Determine una solución explícita para cada problema con valores inicia- les y después construya tablas similares a las tablas 2.3 y 2.4. 3. y y, y(0) 1; y(1.0) 4. y 2xy, y(1) 1; y(1.5) En los problemas 5 a 10 use un solucionador numérico y el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro de- cimales del valor indicado. Primero utilice h 0.1 y después utilice h 0.05. 5. y ey , y(0) 0; y(0.5) 6. y x2 y2 , y(0) 1; y(0.5) 7. y (x y)2 , y(0) 0.5; y(0.5) 8. y xy 1y, y(0) 1; y(0.5) 9. y xy2 y x , y(1) 1; y(1.5) 10. y y y2 , y(0) 0.5; y(0.5) En los problemas 11 y 12 utilice un solucionador para obtener unacurvasoluciónnuméricaparaelproblemaconvaloresiniciales dado.PrimeroutiliceelmétododeEulerydespuéselmétodoRK4. Utilice h 0.25 en cada caso. Superponga ambas curvas solución en los mismos ejes coordenados. Si es posible, utilice un color diferente para cada curva. Repita, usando h 0.1 y h 0.05. 11. y 2(cos x)y, y(0) 1 12. y y(10 2y), y(0) 1 Problemas para analizar 13. Use un solucionador numérico y el método de Euler para aproximar y(0.1), donde y(x) es la solución de y 2xy2 , y(0) 1. Primero use h 0.1 y después use h 0.05. Repita, usando el método RK4. Analice qué podría cau- sar que las aproximaciones a y(1.0) difieran mucho. Tarea para el laboratorio de computación 14. a) Utilice un solucionador numérico y el método RK4 para trazar la gráfica de la solución del problema con valores iniciales y 2xy 1, y(0) 0. b) Resuelva el problema con valores iniciales por uno de los procedimientos analíticos desarrollados en las secciones anteriores en este capítulo. c) Use la solución analítica y(x) que encontró en el in- ciso b) y un SAC para determinar las coordenadas de todos los extremos relativos. 2.6 UN MÉTODO NUMÉRICO O 79 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 79 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 79 6/4/09 12:16:37 PM 6/4/09 12:16:37 PM www.FreeLibros.me
- 112. 80 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN REPASO DEL CAPÍTULO 2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3. Responda los problemas 1 a 4 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco o responda si es verdadero o falso. 1. La ED lineal, y ky A, donde k y A son constantes, es autónomo. El punto crítico de la ecuación es un (atractor o repulsor) para k 0 y un (atractor o repulsor) para k 0. 2. El problema x 4y 0, y(0) k dy dx , tiene un número infinito de soluciones para k y no tiene so- lución para k . 3. La ED lineal, y k1 y k2 , donde k1 y k2 son constantes distintas de cero, siempre tiene una solución constante. 4. La ED lineal, a1 (x)y a2 (x)y 0 es también separable. En los problemas 5 y 6 construya una ecuación diferencial de primer orden dydx f(y) cuyo esquema de fase es consis- tente con la figura dada. 5. 1 3 y FIGURA 2.R.1 Gráfica del problema 5. 6. 0 2 4 y FIGURA 2.R.2 Gráfica del problema 6. 7. El número 0 es un punto crítico de la ecuación diferen- cial autónoma dxdt xn , donde n es un entero positivo. ¿Para qué valores de n es 0 asintóticamente estable? ¿Semiestable? ¿Inestable? Repita para la ecuación dife- rencial dxdt xn . 8. Considere la ecuación diferencial dP / dt f(P), donde f(P) 0.5P3 1.7P 3.4. La función f(P) tiene una raíz real, como se muestra en la figura 2.R.3. Sin intentar resolver la ecuación diferencial, estime el valor de límt→ P(t). FIGURA 2.R.4 Parte de un campo direccional del problema 9. P 1 1 f FIGURA 2.R.3 Gráfica del problema 8. 9. La figura 2.R.4 es una parte de un campo direccional de una ecuación diferencial dydx f(x, y). Dibuje a mano dos diferentes curvas solución, una que es tangente al ele- mento lineal que se muestra en negro y el otro que es tan- gente al elemento lineal que se muestra de color (rojo). 10. Clasifique cada ecuación diferencial como separable, exacta, lineal, homogénea o Bernoulli. Algunas ecuacio- nes pueden ser de más de una clase. No las resuelva. a) dy dx x y x b) dy dx 1 y x c) (x 1) dy dx y 10 d) dy dx 1 x(x y) e) dy dx y2 y x2 x f) dy dx 5y y2 g) y dx (y xy2 ) dy h) x dy dx yex/y x i) xy y y2 2x j) 2xy y y2 2x2 k) y dx x dy 0 l) x2 2y x dx (3 ln x2 ) dy m) dy dx x y y x 1 n) y x2 dy dx e2x3 y2 0 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 80 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 80 6/4/09 12:16:38 PM 6/4/09 12:16:38 PM www.FreeLibros.me
- 113. En los problemas resuelva la ecuación diferencial dada. 11. (y2 1) dx y sec2 x dy 12. y(ln x ln y) dx (x ln x x ln y y) dy 13. (6x 1)y2 dy dx 3x2 2y3 0 14. dx dy 4y2 6xy 3y2 2x 15. t dQ dt Q t4 ln t 16. (2x y 1)y 1 17. (x2 4) dy (2x 8xy) dx 18. (2r2 cos u sen u r cos u) du (4r sen u 2r cos2 u) dr 0 En los problemas 19 y 20 resuelva el problema con valores iniciales dado e indique el intervalo I más largo en el que la solución está definida. 19. senx dy dx (cos x)y 0, y 7 6 2 20. dy dt 2(t 1)y2 0, y(0) 1 8 21. a) Sin resolver, explique por qué el problema con valores iniciales dy dx 1y, y(x0) y0 no tiene solución para y0 0. b) Resuelva el problema con valores iniciales del inciso a) para y0 0 y determine el intervalo I más largo en el que la solución está definida. 22. a) Determine una solución implícita del problema con valores iniciales . dy dx y2 x2 xy , y(1) 12 b) Determine una solución explícita del problema del inciso a) e indique el intervalo de solución más largo de I en el que la solución está definida. Aquí puede ser útil un programa de graficación. 23. En la figura 2.R.5 se presentan las gráficas de algunos miem- bros de una familia de soluciones para una ecuación dife- rencial de primer orden dydx f(x, y). Las gráficas de dos soluciones implícitas, una que pasa por el punto (1, 1) y la otra que pasa por (1, 3) se muestran en rojo. Reproduzca la figura en una hoja. Con lápices de colores trace las curvas solución para las soluciones y y1 (x) y y y2 (x) definidas por las soluciones implícitas tales como y1 (1) 1 y y2 (1) 3, respectivamente. Estime los intervalos en los que las soluciones y y1 (x) y y y2 (x) están definidas. x y FIGURA 2.R.5 Gráfica para el problema 23. 24. Utilice el método de Euler con tamaño de paso h 0.1 para aproximar y(1.2), donde y(x) es una solución del pro- blema con valores iniciales , y(1) 9. y 1 x1y En los problemas 25 y 26 cada figura representa una parte de un campo direccional de una ecuación diferencial de primer orden dydx f(y). Reproduzca esta figura en una hoja y des- pués termine el campo direccional sobre la malla. Los puntos de la malla son (mh, nh) donde h 1 2, m y n son enteros, 7 m 7, 7 n 7. En cada campo direccional dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos sólidos mostrados en rojo. Analice: ¿parece que la ED tiene puntos críticos en el intervalo 3.5 m 3.5? Si es así, clasifique los puntos críticos como asintóticamente estables, inestables o semiestables. 25. 26. FIGURA 2.R.7 Parte de un campo direccional del problema 26. x 3 2 1 _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 y x 3 2 1 _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 y FIGURA 2.R.6 Parte de un campo direccional del problema 25. REPASO DEL CAPÍTULO 2 O 81 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 81 08367_02_ch02_p034-081-ok.indd 81 6/4/09 12:16:41 PM 6/4/09 12:16:41 PM www.FreeLibros.me
- 114. 82 3.1 Modelos lineales 3.2 Modelos no lineales 3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPÍTULO 3 En la sección 1.3 vimos cómo se podría utilizar una ecuación diferencial de primer orden como modelo matemático en el estudio de crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, interés compuesto continuo, enfriamiento de cuerpos, mezclas, reacciones químicas, drenado del fluido de un tanque, velocidad de un cuerpo que cae y corriente en un circuito en serie. Utilizando los métodos del capítulo 2 ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (sección 3.1) y ED no lineales (sección 3.2) que aparecen comúnmente en las aplicaciones. El capítulo concluye con el siguiente paso natural: en la sección 3.3 examinamos cómo surgen sistemas de ED como modelos matemáticos en sistemas físicos acoplados (por ejemplo, una población de predadores como los zorros que interactúan con una población de presas como los conejos). MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 82 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 82 6/4/09 12:17:02 PM 6/4/09 12:17:02 PM www.FreeLibros.me
- 115. MODELOS LINEALES REPASO DE MATERIAL O Ecuación diferencial como modelo matemático en la sección 1.3. O Leer nuevamente “Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden”, página 55 en la sección 2.3. INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3. 3.1 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales , dx dt kx, x(t0) x0 (1) donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fe- nómenos que tienen que ver con crecimiento o decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bac- terias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0 , la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t t0 . La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se de- termina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0 . En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dxdt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiacti- vidad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden. EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t 1 h se determina que el número de bacterias es 3 2P0 . Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t0 0 la condición inicial es P(0) P0 . Entonces se usa la observación empírica de que P(1) 3 2P0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial dPdt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden, , dP dt kP 0 se ve por inspección que el factor integrante es ekt . Multiplicando ambos lados de la ecuación e integrando se obtiene, respectivamente, . d dt [ekt kt P c P] 0 y e Por tanto P(t) cekt . En t 0 se tiene que P0 ce0 c, por tanto P(t) P0 ekt . En t 1 se tiene que 3 2P0 P0 ek , o ek 3 2. De la última ecuación se obtiene k 1n 3 2 0.4055, por tanto P(t) P0 e0.4055t . Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3P0 P0 e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o . t ln 3 0.4055 2.71 h Vea la figura 3.1.1. t P 3P0 P0 t = 2.71 P(t) = P0e0.4055t FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población. 3.1 MODELOS LINEALES O 83 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 83 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 83 6/4/09 12:17:03 PM 6/4/09 12:17:03 PM www.FreeLibros.me
- 116. 84 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Observe en el ejemplo 1 que el número real P0 de bacterias presentes en el tiempo t 0 no tiene que ver en el cálculo del tiempo que se requirió para que el número de bac- terias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas. Como se muestra en la figura 3.1.2, la función exponencial ekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. Así los problemas que descri- ben el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aun de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con decaimiento (como en la desintegración radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0). VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sus- tancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial A0 . Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 años. En 1 700 años la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 años. En aproximadamente 4.5 miles de millones de años la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206. EJEMPLO 2 Vida media del plutonio Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIÓN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem- plo 1, la solución del problema con valores iniciales dA dt kA, A(0) A0 es A(t) A0 ekt . Si se ha desintegrado 0.043% de los átomos de A0 , queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir, 099957 A0 A0 e15k . Despejando k se obtiene k 1 15 1n 0.99957 0.00002867. Por tanto A(t) A0 e−0.00002867t . Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) 1 2 A0 . Despejando t se obtiene 1 2A0 A0 e−0.00002867t o 1 2 e−0.00002867t . De la última ecuación se obtiene . t ln 2 0.00002867 24,180 años DATADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que utiliza al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría del datado con carbono, se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 sea por respiración o alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-l4 radiactivo es de aproximadamente 5 600 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se t ekt, k 0 crecimiento ekt, k 0 crecimiento y FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y decaimiento (k 0). 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 84 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 84 6/9/09 10:35:46 AM 6/9/09 10:35:46 AM www.FreeLibros.me
- 117. ha utilizado para datar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmático sudario de Turín. EJEMPLO 3 Edad de un fósil Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la centésima parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva. Determine la edad del fósil. SOLUCIÓN Elpuntodepartidaes,denuevo,A(t)A0 ekt .Paradeterminarelvalordela constante de decaimiento k, usamos el hecho de que A0 0 A0e5600k . 1 2 1 2 A(5600) o A De 5600k ln ln 2 1 2 , obtenemos k (1n 2)/5600 0.00012378, por tanto A(t) A0 e0.00012378t . Con A0 A0 A0e0.00012378t , 1 1000 1 1000 A(t) tenemos por lo que 0.00012378t ln ln 1000 1 1000 . Así la edad del fósil es aproximadamente . t ln 1000 0.00012378 55800 años En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 9 vidas medias del isótopo, que son aproximadamente 50 000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda, presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de 1 1000 A0 . También, en este método se necesita destruir gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radia- ción que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradores de partículas los científicos han podido separar al C-l4 del estable C-12. Cuando se calcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta 70 000 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de años.† A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación dife- rencial lineal de primer orden , dT dt k(T Tm) (2) donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante. EJEMPLO 4 Enfriamiento de un pastel Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° F. Tres minutos después su tempe- ratura es de 200° F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70º F? * El número de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger. El nivel mínimo de detección es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo. † El fechado con potasio-argón se usa en el registro de materiales tales como minerales, piedras, lava y materiales extraterrestres como rocas lunares y meteoritos. La edad de un fósil se puede estimar determinando la edad del estrato en que se encontraba la roca. 3.1 MODELOS LINEALES O 85 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 85 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 85 6/9/09 10:35:56 AM 6/9/09 10:35:56 AM www.FreeLibros.me
- 118. 86 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIÓN En la ecuación (2) identificamos Tm 70. Debemos resolver el problema con valores iniciales dT dt k(T 70), T(0) 300 (3) y determinar el valor de k tal que T(3) 200. La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables , dT T 70 k dt se obtiene ln|T – 70| kt c1 , y así T 70 c2 ekt . Cuando t 0, T 300, así 300 70 c2 da c2 230. Por tanto T 70 230 ekt . Por último, la medición de T(3) 200 conduce a ln 13 23 0.19018 1 3 e3k 13 23, o k . Así . T(t) 70 230e0.19018t (4) Observamos que la ecuación (4) no tiene una solución finita a T(t) 70 porque límt→ T(t) 70. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcu- rrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra intuición física. Los incisos a) y b) de la figura 3.1.3 muestran claramente que el pastel estará a la temperatura ambiente en aproximadamente una media hora. La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante, pudiera ser una función Tm (t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1. MEZCLAS Al mezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección 1.3, supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una razón neta . dA dt R ´ ´ entra Rsale (5) En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) de la sección 1.3. EJEMPLO 5 Mezcla de dos soluciones de sal Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones de una solución de salmuera. Al tanque entraba y salía sal porque se bombeaba una solución a un flujo de 3 gal/min, se mezclaba con la solución original y salía del tanque con un flujo de 3 gal/min. La concentración de la solución entrante era 2 lb/gal, por consiguiente, la entrada de sal era Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) 6 lb/min y salía del tanque con una razón Rsale (A300 lb/gal) (3 gal/min) Al00 lb/min. A partir de esos datos y de la ecuación (5) obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3. Permítanos preguntar: si había 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque pasado un gran tiempo? SOLUCIÓN Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolve- mos el problema con valores iniciales . dA dt 1 100 A 6, A(0) 50 Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 50 en el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora como el factor integrante de esta t T 15 30 300 150 T = 70 a) T(t) t (min) 75 20.1 74 21.3 73 22.8 72 24.9 71 28.6 70.5 32.3 b) FIGURA 3.1.3 La temperatura de enfriamiento del pastel tiende a la temperatura ambiente. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 86 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 86 6/9/09 10:36:07 AM 6/9/09 10:36:07 AM www.FreeLibros.me
- 119. ecuación diferencial lineal es et/100 , podemos escribir la ecuación como . d dt [et/100 A] 6et/100 Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general A(t) 600 cet/100 . Conforme t 0, A 50, de modo que c 550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque al tiempo t está dada por . A(t) 600 550et/100 (6) La solución (6) se usó para construir la tabla de la figura 3.1.4b. En la ecuación (6) y en la figura 3.1.4a también se puede ver, que A(t) : 600 conforme t : . Por supuesto que esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo la cantidad de libras de sal en la solución debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) 600 lb. En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que entra la solución al tanque es la misma que la razón con que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una razón rsale que es mayor o menor que la razón rentra con la que entra la otra salmuera. Por ejemplo, si la solución bien mez- clada del ejemplo 5 sale con una razón menor, digamos de rsale 2 gal/min, entonces se acumulará líquido en el tanque con una razón de rentra rsale (3 2) gal/min 1 gal/min. Después de t minutos (1 gal/min) (t min) t gal se acumularán, por lo que en el tanque habrá 300 t galones de salmuera. La concentración del flujo de salida es entonces c(t) A(300 t) y la razón con que sale la sal es Rsale c(t) rsale , o . R A 300 t lb/galⴢ (2 gal/min) 2A 300 t lb/min sale Por tanto, la ecuación (5) se convierte en . dA dt 6 2A 300 t o dA dt 2 300 t A 6 Debe comprobar que la solución de la última ecuación, sujeta a A(0) 50, es A(t) 600 2t (4.95 107 )(300 t)2 . Vea el análisis siguiente a la ecuación (8) de la sección 1.3, del problema 12 en los ejercicios 1.3 y en los problemas 25 a 28 de los ejercicios 3.1. CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(didt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t)) al circuito. Vea la figura 3.1.5. Por tanto obtenemos la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t), , L di dt Ri E(t) (7) donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectiva- mente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema. La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q es la carga del capacitor. Por tanto, para el circuito en serie que se muestra en la figura 3.1.6, la segunda ley de Kirchhoff da . Ri 1 C q E(t) (8) Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i dqdt, así la ecuación (8) se convierte en la ecuación diferencial lineal . R dq dt 1 C q E(t) (9) t A A = 600 500 a) t (min) A (lb) 50 266.41 100 397.67 150 477.27 200 525.57 300 572.62 400 589.93 b) FIGURA 3.1.4 Libras de sal en el tanque como una función del tiempo t. FIGURA 3.1.5 Circuito en serie LR. E L R R C E FIGURA 3.1.6 Circuito en serie RC. 3.1 MODELOS LINEALES O 87 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 87 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 87 6/4/09 12:17:06 PM 6/4/09 12:17:06 PM www.FreeLibros.me
- 120. 88 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 6 Circuito en serie Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 1 2 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero. SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver , 1 2 di dt 10i 12 sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t . Entonces sustituyendo . d dt [e20t i] 24e20t Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene i(t) ce20t . 6 5 Ahora i(0) 0 implica que 0 c 6 5 6 5 o c .. Por tanto la respuesta es i(t) e20t . 6 5 6 5 De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7): . i(t) e(R/L)t L e(R/L)t E(t) dt ce(R/L)t (10) En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuación (l0) se convierte en . i(t) E0 R ce(R/L)t (11) Observamos que conforme t : , el segundo término de la ecuación (11) tiende a cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio; los demás términos se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E0 R también se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm (E iR). COMENTARIOS La solución P(t) P0 e0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 des- cribe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P(t) es una función continua que toma todos los números reales del intervalo P0 P . Pero puesto que estamos hablando de una población, el sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no es- peraríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de tiempo [t1 , t2 ], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, la gráfica que se muestra en la figura 3.1.7a es una descripción más real de P que la gráfi- ca de una función exponencial. Usar una función continua para describir un fenó- meno discreto con frecuencia es más conveniente que exacto. Sin embargo, para ciertos fines nos podemos sentir satisfechos si el modelo describe con gran exac- titud el sistema, considerado macroscópicamente en el tiempo como se mues- tra en las figuras 3.1.7b y 3.1.7c, más que microscópicamente, como se muestra en la figura 3.1.7a. FIGURA 3.1.7 El crecimiento poblacional es un proceso discreto. t 1 t1 t2 P P0 t 1 P P0 a) b) c) t 1 P P0 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 88 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 88 6/4/09 12:17:07 PM 6/4/09 12:17:07 PM www.FreeLibros.me
- 121. EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3. Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0 ? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t 10? 3. La población de un pueblo crece con una razón propor- cional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la po- blación en t 30? 4. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias pre- sentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia ra- diactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es propor- cional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. 7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del pro- blema 6. 8. a) El problema con valores iniciales dA兾dt kA, A(0) A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2)兾k. b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A0 2t/T . c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una canti- dad inicial A0 de sustancia decaer a 1 8 A0 ? 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio trans- parente, la razón con que decrece su intensidad I es pro- porcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies de- bajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie? 10. Cuando el interés es compuesto continuamente, la can- tidad de dinero aumenta con una razón proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dS兾dt rS, donde r es la razón de interés anual. a) Calcule la cantidad reunida al final de 5 años cuando se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 53 4 % de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad ob- tenida en el inciso a) con la cantidad S 5000(1 1 4 (0.0575))5(4) que se reúne cuando el interés se com- pone trimestralmente. 11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para ar pin- turas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Vea la figura 3.1.8. Utilice la informa- ción de la página 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. FIGURA 3.1.8 Pintura rupestre en las cuevas de Altamira, España. 12. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, mu- chas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. Vea la figura 3.1.9. En 1988 el Vaticano con- cedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres la- boratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años,* una antigüedad consistente con su aparición histó- FIGURA 3.1.9 * Algunos eruditos no están de acuerdo con este hallazgo. Para más información de este fascinante misterio vea la página del Sudario de Turín en la página http://www.shroud.com 3.1 MODELOS LINEALES ● 89 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 89 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 89 6/4/09 12:17:08 PM 6/4/09 12:17:08 PM Ejemplar de uno de las decenas de libros que se han escrito sobre la certeza de la antigüedad del sudario de Turín. Datando con carbono dat www.FreeLibros.me
- 122. 90 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN rica. Usando esta antigüedad determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termómetro se cambia de una habitación donde la tempe- ratura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. Después de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t 1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° F? 14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el am- biente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F. Después de 1 minuto, el termómetro indica 55° F y des- pués de 5 minutos indica 30° F. ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación? 15. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en un gran tanque de agua hir- viendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 se- gundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98° C? 16. Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se man- tienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100° C, se su- merge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la tem- peratura de la barra es de 90° C. Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9° C? 17. Un termómetro que indica 70° F se coloca en un horno pre- calentado a una temperatura constante. A través de una ven- tana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 110° F después de 1 2 minuto y 145° F después de 1 minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? 18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño líquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80° F. El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por Tm (t) 100 – 40e0.1t , t
- 123. 0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k 0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cómo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo. Y a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un programa de graficación para trazar la gráfica de T(t) en diferentes intervalos de tiempo. ¿Las gráficas con- cuerdan con sus predicciones del inciso a)? 19. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85° F. Una hora después una segunda me- dición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.] 20. La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una modificación de la ecuación (2) es dT dt kS(T Tm), donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 150° F. El área superficial del café en la taza B es del doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 min la temperatura del café en la taza A es de 100° F. Si Tm 70° F, entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 min? Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la so- lución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura. 23. Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t. 24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t 5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t : ? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite? 25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacía el tanque? 26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentración de sal que entra es variable y está dada por centra (t) 2 sen(t4) lb/gal. Sin trazar la gráfica, infiera a qué curva solución del PVI se parecería. Después utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución en el intervalo [0, 300]. Repita para el intervalo [0, 600] y compare su gráfica con la que se muestra en la figura 3.1.4a. 27. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. La sal- 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 90 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 90 6/4/09 12:17:09 PM 6/4/09 12:17:09 PM www.FreeLibros.me
- 124. muera tiene 1 2 de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos. 28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la razón con que entra la solución al tan- que es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño finito ter- minará derramándose. Ahora suponga que el tanque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando co- mienza a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solu- ción está bien mezclada y que la solución sigue sa- liendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t 150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque con- forme t : . ¿Su respuesta coincide con su intuición? e) Utilice un programa de graficación para trazar la grá- fica de A(t) en el intervalo [0, 500). Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente conforme t : . 30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E(t) E0 sen vt y que i(0) i0 . 31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un cir- cuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) 0. Encuentre la corriente i(t). 32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 V a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t : . 33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) 120, 0, 0 t 20 t 20 a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la co- rriente i(t), si i(0) 0. 34. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor va- riable. Si la resistencia al tiempo t está dada por R k1 k2 t, donde k1 y k2 son constantes positivas, entonces la ecuación (9) se convierte en . (k1 k2t) dq dt 1 C q E(t) Si E(t) E0 y q(0) q0 , donde E0 y q0 son constantes, muestre que . q(t) E0C (q0 E0C) k1 k1 k2t 1/Ck2 Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velo- cidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es , m dv dt mg kv donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) v0 . b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por dsdt v(t), determine una expresión explícita para s(t), si s(0) 0. 36. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba, como se muestra en la figura 3.1.10, con una velocidad inicial de v0 300 pies/s. La res- puesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por d2 sdt2 g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que dsdt v(t) la última ecuación diferencial es la FIGURA 3.1.10 Determinación de la altura máxima de la bala de cañón del problema 36. nivel del suelo −mg 3.1 MODELOS LINEALES O 91 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 91 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 91 6/4/09 12:17:10 PM 6/4/09 12:17:10 PM www.FreeLibros.me
- 125. 92 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN misma que la ecuación dvdt g, donde se toma g 32 pies/s2 . Encuentre la velocidad v(t) de la bala de cañón al tiempo t. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala. 37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del pro- blema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: Modifique ligeramente la ED del problema 35.] 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de saltar del avión desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad del mo- delo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la caída libre y k 10 después de que se abrió el paracaí- das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de que saltó del avión? Vea la figura 3.1.11. ¿Cómo se com- para la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.] a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del re- poso. b) Vuelva a leer el problema 34 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (kr)t r0 . c) Si r0 0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos des- pués de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo. 40. Población fluctuante La ecuación diferencial dPdt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P(t) que experimenta fluc- tuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) P0 . Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución para diferentes elecciones de P0 . 41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de po- blación de P(t) de una comunidad, se supone que , dP dt dB dt dD dt donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortan- dad, respectivamente. a) Determine P(t) si dBdt k1 P y dDdt k2 P. b) Analice los casos k1 k2 , k1 k2 y k1 k2 . 42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante está dada por dP dt kP h, donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0 . b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 hk, P0 hk y 0 P0 hk. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la población de peces desaparecerá en un tiempo finito, es decir, si existe un tiempo T 0 tal que P(T) 0. Si la población desaparecerá, entonces deter- mine en qué tiempo T. 43. Propagación de una medicina Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por dx dt r kx, donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función que describe la concentración de la medicina en el to- rrente sanguíneo al tiempo t. a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t : . FIGURA 3.1.11 Cálculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38. caída libre el paracaídas se abre la resistencia del aire es 0.5v la resistencia del aire es 10 v t = 20 s 39. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esfé- rica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y que se desprecia la resistencia del aire, enton- ces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es . dv dt 3(k/) (k/)t r0 v g Aquí r es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera positiva. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 92 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 92 6/4/09 12:17:11 PM 6/4/09 12:17:11 PM www.FreeLibros.me
- 126. b) Resuelva la ED sujeta a x(0) 0. Dibuje la gráfica de x(t) y compruebe su predicción del inciso a). ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? 44. Memorización Cuando se considera la falta de memo- ria, la razón de memorización de un tema está dada por , dA dt k1(M A) k2 A donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M – A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de es- quema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de A(t) conforme t : . Interprete el resultado. b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 0. Dibuje la gráfica de A(t) y compruebe su predicción del inciso a). 45. Marcapasos de corazón En la figura 3.1.12 se muestra un marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitor y el corazón como un resistor. Cuando el interruptor S está en P, el capacitor se carga; cuando S está en Q, el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. En el problema 47 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se están aplicado estímulos eléctricos al corazón, el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal . dE dt 1 RC E a) Suponga que en el intervalo de tiempo de duración t1 , 0 t t1 , el interruptor S está en la posición P como se muestra en la figura 3.1.12 y el capacitor se está cargando. Cuando el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón durante el intervalo de tiempo de duración t2 : t1 t t1 t2 . Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación diferencial definida por tramos. . dE dt 0, 1 RC E, 0 t t1 t1 t t1 t2 Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 se repiten indefinida- mente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0) 0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0, etc. Determine E(t) para 0 t 24. b) Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un pro- grama de graficación para trazar la gráfica de la solu- ción del PVI del inciso a) para 0 t 24. 46. Caja deslizándose a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un án- gulo u con la horizontal como se muestra en la figura 3.1.13. Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: i) No hay fricción cinética y no hay resisten- cia del aire. ii) Hay fricción cinética y no hay resistencia del aire. iii) Hay fricción cinética y hay resistencia del aire. En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es mN, donde m es el coeficiente de fricción cinética y N es la com- ponente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ángulo de inclinación del plano es u 30°, que el coeficiente de fricción cinética es 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a 1 4 v. Resuelva la ecuación dife- rencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto más alto a 50 pies por encima del suelo. corazón C Q P S interruptor E0 R FIGURA 3.1.12 Modelo de un marcapasos del problema 45. FIGURA 3.1.13 Caja deslizándose hacia abajo del plano inclinado del problema 46. θ 50 pies movimiento fricción W = mg 47. Continuación de caja deslizándose a) En el problema 46 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto más alto. Utilice dsdt v(t) y la solución de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 46 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. Aquí puede ser útil un pro- grama para determinar raíces con un SAC. 3.1 MODELOS LINEALES O 93 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 93 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 93 6/4/09 12:17:11 PM 6/4/09 12:17:11 PM www.FreeLibros.me
- 127. 94 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN b) En el caso en que hay fricción (m 0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación u satisface a tan u m. c) La caja se deslizará hacia abajo del plano con- forme tan u m si a ésta se le proporciona una velocidad inicial v(0) v0 0. Suponga que 13 4 y u 23°. Compruebe que tan u m. ¿Qué distancia se deslizará hacia abajo del plano si v0 1 pie/s? d) Utilice los valores 13 4 y u 23° para aproxi- mar la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado. Después encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano. 48. Qué sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del pro- blema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados. b) Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0 . Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC (o una calculadora graficadora). MODELOS NO LINEALES REPASO DE MATERIAL O Ecuaciones (5), (6) y (10) de la sección 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3. O Separación de variables de la sección 2.2. INTRODUCCIÓN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden sim- ples con el análisis de algunos modelos no lineales. 3.2 DINÁMICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPdt kP para cierta k 0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por dPdt P (1) es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razón (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenóme- nos estacionales (vea el problema 18, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: . dPdt P dP dt Pf (P) f(P) o (2) Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de anima- les, se llama hipótesis de dependencia de densidad. ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio ambiente es capaz de sostener, comomáximo,unacantidadKdeterminadadeindividuosenunapoblación.LacantidadK se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se tiene que f(K) 0 y simplemente hacemos f(0) r. En la figura 3.2.1 vemos tres funcio- nes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f(P) es lineal, es decir, f(P) c1 P c2 . Si aplicamos las condiciones f(0) r y f(K) 0, tenemos P f(P) r K FIGURA 3.2.1 La suposición más simple para f(P) es una recta (color azul). 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 94 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 94 6/4/09 12:17:12 PM 6/4/09 12:17:12 PM www.FreeLibros.me
- 128. que c2 r y c1 rK, respectivamente, y así f adopta la forma f(P) r (rK)P. Entonces la ecuación (2) se convierte en . dP dt Pr r K P (3) Redefiniendo las constantes, la ecuación no lineal (3) es igual a . dP dt P(a bP) (4) Alrededor de 1840, P. F. Verhulst, matemático y biólogo belga, investigó mo- delos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuación se llamó ecuación logística y su solución se denomina función logística. La gráfica de una función lo- gística es la curva logística. La ecuación diferencial dPdt kP no es un modelo muy fiel de la población cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presen- tan efectos negativos sobre el ambiente como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la población. Como veremos a continuación, la solución de (4) está acotada conforme t : . Si se rescribe (4) como dPdt aP bP2 , el término no lineal bP2 , b 0 se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia”. También, en la mayoría de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud el cre- cimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta (Drosófila) en un espacio limitado. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Uno de los métodos para resolver la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPP(a bP) dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene P a bP c1eat . ln P a bP at ac 1 a ln P 1 a ln a bP t c 1a P ba a bPdP dt De la última ecuación se tiene que . P(t) ac1eat 1 bc1eat ac1 bc1 eat Si P(0) P0 , P0 ab, encontramos que c1 P0 b(a bP0 ) y así, sustituyendo y simplificando, la solución se convierte en . P(t) aP0 bP0 (a bP0)eat (5) GRÁFICAS DE P(t) La forma básica de la función logística P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t 0, sin embargo tiene cierto interés incluir este intervalo al mostrar las diferentes gráficas de P. De la ecuación (5) vemos que . P(t) aP0 bP0 a b t t y P(t) 0 conforme conforme 3.2 MODELOS NO LINEALES O 95 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 95 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 95 6/4/09 12:17:13 PM 6/4/09 12:17:13 PM www.FreeLibros.me
- 129. 96 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La línea punteada P a2b de la figura 3.2.2 corresponde a la ordenada de un punto de inflexión de la curva logística. Para mostrar esto derivamos la ecuación (4) usando la regla del producto: . 2b2 P P a bP a 2b P(a bP)(a 2bP) d2 P dt2 P b dP dt (a bP) dP dt dP dt (a 2bP) Recuerde del cálculo que los puntos donde d2 Pdt2 0 son posibles puntos de in- flexión, pero obviamente se pueden excluir P 0 y P ab. Por tanto P a2b es el único valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la gráfica. Para 0 P a2b se tiene que P 0, y a2b P ab implica que P 0. Así cuando se lee de izquierda a derecha, la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P a2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 P0 a2b, la gráfica de P(t) adopta la forma de una S, como se ve en la figura 3.2.2a. Para a2b P0 ab la gráfica aún tiene la forma de S, pero el punto de inflexión ocurre en un valor negativo de t, como se muestra en la figura 3.2.2b. En la ecuación (5) de la sección 1.3 ya hemos visto a la ecuación (4) en la forma dxdt kx(n 1 – x), k 0. Esta ecuación diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagación de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una población estática. La solución x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t. EJEMPLO 1 Crecimiento logístico Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado cam- pus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es pro- porcional no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x(4) 50. SOLUCIÓN Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, de- bemos resolver el problema con valores iniciales . dx dt kx(1000 x), x(0) 1 Identificando a 1000k y b k, vemos de inmediato en la ecuación (5) que . x(t) 1000k k 999ke1000kt 1000 1 999e1000kt Ahora, usamos la información x(4) 50 y calculamos k con 50 1000 1 999e4000k . Encontramos 1000k 1 4 1n 19 999 0.9906. Por tanto . x(t) 1000 1 999e 0.9906t Finalmente, x(6) 1000 1 999e5.9436 276 estudiantes. En la tabla de la figura 3.2.3b se dan otros valores calculados de x(t). P P0 a/2b a) a/b t P P0 a/2b b) a/b t FIGURA 3.2.2 Curvas logísticas para diferentes condiciones iniciales. (a) t x x =1000 10 500 5 a) t (días) x (número de infectados) 4 50 (observados) 5 124 6 276 7 507 8 735 9 882 10 953 b) FIGURA 3.2.3 El número de estudiantes infectados x(t) tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 96 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 96 6/4/09 12:17:14 PM 6/4/09 12:17:14 PM www.FreeLibros.me
- 130. MODIFICACIONES DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Hay muchas variaciones de la ecuación logística. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales dP dt P(a bP) h dP dt P(a bP) h y (6) podrían servir, a su vez, como modelos para la población de una pesquería donde el pez se pesca o se reabastece con una razón h. Cuando h 0 es una constante, las ED en las ecuaciones (6) se analizan fácilmente cualitativamente o se resuelven ana- líticamente por separación de variables. Las ecuaciones en (6) también podrían servir como modelos de poblaciones humanas que decrecen por emigración o que crecen por inmigración, respectivamente. La razón h en las ecuaciones (6) podría ser función del tiempo t o depender de la población; por ejemplo, se podría pescar periódicamente o con una razón proporcional a la población P al tiempo t. En el último caso, el modelo sería P P(a – bP) – cP, c 0. La población humana de una comunidad podría cam- biar debido a la inmigración de manera tal que la contribución debida a la inmigración es grande cuando la población P de la comunidad era pequeña pero pequeña cuando P es grande; entonces un modelo razonable para la población de la comunidad sería P′ P(a bP) cekP , c 0, k 0. Vea el problema 22 de los ejercicios 3.2. Otra ecuación de la forma dada en (2), , dP dt P(a b ln P) (7) es una modificación de la ecuación logística conocida como la ecuación diferencial de Gompertz. Esta ED algunas veces se usa como un modelo en el estudio del cre- cimiento o decrecimiento de poblaciones, el crecimiento de tumores sólidos y cierta clase de predicciones actuariales. Vea el problema 22 de los ejercicios 3.2. REACCIONES QUÍMICAS Suponga que a gramos de una sustancia química A se combinan con b gramos de una sustancia química B. Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y X(t) es el número de gramos de la sustancia química C formada, entonces el número de gramos de la sustancia química A y el número de gramos de la sustancia química B que quedan al tiempo t son, respectivamente, . a M M N X b N M N X y La ley de acción de masas establece que cuando no hay ningún cambio de temperatura, la razón con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que aún no se han transformado al tiempo t: . dX dt a M M N Xb N M N X (8) Si se saca el factor M(M N) del primer factor y N(M N) del segundo y se intro- duce una constante de proporcionalidad k 0, la expresión (8) toma la forma , dX dt k( X)( X) (9) donde a a(M N)M y b b(M N)N. Recuerde de (6) de la sección 1.3 que una reacción química gobernada por la ecuación diferencial no lineal (9) se dice que es una reacción de segundo orden. EJEMPLO 2 Reacción química de segundo orden Cuando se combinan dos sustancias químicas A y B se forma un compuesto C. La reacción resultante entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos 3.2 MODELOS NO LINEALES O 97 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 97 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 97 6/4/09 12:17:15 PM 6/4/09 12:17:15 PM www.FreeLibros.me
- 131. 98 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN del producto C. Determine la cantidad de C en el tiempo t si la razón de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y si inicialmente hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución cuando t : . SOLUCIÓN Sea X(t) la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo t. Es obvio que X(0) 0 g y X(10) 30 g. Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, así a b 2 y b 4a. Por tanto, debemos usar a 2(1 5) 2 5 de la sustancia química A y b 2(4 5) 8 5 g de B. En general, para obtener X gramos de C debemos usar . 1 5 X 4 5 X gramos de A y gramos de B. Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son , 50 1 5 X 32 4 5 X y respectivamente. Sabemos que la razón con la que se forma el compuesto C satisface que . dX dt 50 1 5 X32 4 5 X Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, factorizamos 1 5 del primer término y 4 5 del segundo y después introduciremos la constante de proporcionalidad: . dX dt k(250 X)(40 X) Separamos variables y por fracciones parciales podemos escribir que . 1 210 250 X dX 1 210 40 X dX k dt Integrando se obtiene 250 X 40 X 210kt c1 o 250 X 40 X c2e210kt . In (10) Cuando t 0, X 0, se tiene que en este punto c2 25 4 . Usando X 30 g en t 10 encontramos que 210k ln 88 25 1 10 0.1258. Con esta información se despeja X de la última ecuación (10): . X(t) 1000 1 e0.1258t 25 4e0.1258t (11) En la figura 3.2.4 se presenta el comportamiento de X como una función del tiempo. Es claro de la tabla adjunta y de la ecuación (11) que X : 40 conforme t : . Esto significa que se forman 40 gramos del compuesto C, quedando . 50 1 5 (40) 42 g A 32 4 5 (40) 0 g B y de de 10 20 30 40 t X X = 40 a) t (min) X (g) 10 30 (medido) 15 34.78 20 37.25 25 38.54 30 39.22 35 39.59 b) FIGURA 3.2.4 X(t) comienza en 0 y tiende a 40 cuando t crece. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 98 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 98 6/4/09 12:17:16 PM 6/4/09 12:17:16 PM www.FreeLibros.me
- 132. COMENTARIOS La integral indefinida du(a2 u2 ) se puede evaluar en términos de logarit- mos tangente hiperbólica inversa, o de la cotangente hiperbólica inversa. Por ejemplo, de los dos resultados (12) du a2 u2 1 2a a u a u c, u a, du a2 u2 1 a tanh 1 u a c, u a In (13) la ecuación (12) puede ser conveniente en los problemas 15 y 24 de los ejercicios 3.2, mientras que la ecuación (13) puede ser preferible en el problema 25. EJERCICIOS 3.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3. Ecuación logística 1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales . dN dt N(1 0.0005N), N(0) 1 a) Use el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para predecir cuántos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo de tiempo largo. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iniciales dados. b) Resuelva el problema con valores iniciales y después utilice un programa de graficación para comprobar y trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuántas com- pañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t 10? 2. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística. Inicialmente N(0) 500 y se ob- serva que N(1) 1000. Determine N(t) si se predice que habrá un límite de 50 000 personas en la comunidad que verán el anuncio. 3. Un modelo para la población P(t) en un suburbio de una gran ciudad está descrito por el problema con valores ini- ciales , dP dt P(10 1 10 7 P), P(0) 5000 donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardará la población en alcanzar la mitad de ese valor límite? 4. a) En la tabla 3.1 se presentan los datos del censo de los Estados Unidos entre 1790 y 1950. Construya un mo- delo de población logístico usando los datos de 1790, 1850 y 1910. b) Construya una tabla en la que se compare la pobla- ción real del censo con la población predicha por el modelo del inciso a). Calcule el error y el error por- centual para cada par de datos. TABLA 3.1 Año Población (en millones) 1790 3.929 1800 5.308 1810 7.240 1820 9.638 1830 12.866 1840 17.069 1850 23.192 1860 31.433 1870 38.558 1880 50.156 1890 62.948 1900 75.996 1910 91.972 1920 105.711 1930 122.775 1940 131.669 1950 150.697 Modificaciones del modelo logístico 5. a) Si se pesca un número constante h de peces de una pes- quería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t) de una pesquería al tiempo t está dado por , dP dt P(a bP) h, P(0) P0 donde a, b, h y P0 son constantes positivas. Suponga que a 5, b 1 y h 4. Puesto que la ED es au- tónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representa- tivas que corresponden a los casos P0 4, 1 P0 3.2 MODELOS NO LINEALES O 99 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 99 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 99 6/4/09 12:17:17 PM 6/4/09 12:17:17 PM www.FreeLibros.me
- 133. 100 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4 y 0 P0 1. Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso. b) Resuelva el PVI del inciso a). Compruebe los resul- tados de su esquema de fase del inciso a) utilizando un programa de graficación para trazar la gráfica de P(t) con una condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados. c) Utilice la información de los incisos a) y b) para deter- minar si la población de la pesquería desaparecerá en un tiempo finito. De ser así, determine ese tiempo. 6. Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cuali- tativa como analíticamente en el caso en que a 5, b 1, h 25 4 . Determine si la población desaparecerá en un tiempo finito. De ser así, determine ese tiempo. 7. Repita el problema 6 en el caso a 5, b 1, h 7. 8. a) Suponga a b 1 en la ecuación diferencial de Gompertz, ecuación (7). Puesto que la ED es autó- noma, utilice el concepto de esquema de fase de la sec- ción 2.1 para dibujar curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e y 0 P0 e. b) Suponga que a 1, b 1 en la ecuación (7). Utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e1 y 0 P0 e1 . c) Encuentre una solución explícita de la ecuación (7) sujeta a P(0) P0 . Reacciones químicas 9. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de C? ¿Cuál es la cantidad límite de C a largo plazo? ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo? 10. Resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos de la sustancia química A. ¿Cuándo se formará la mitad de la cantidad límite de C? Modelos no lineales adicionales 11. Tanque cilíndrico con gotera Un tanque en forma de un cilindro recto circular en posición vertical está sacando agua por un agujero circular en su fondo. Como se vio en (10) de la sección 1.3, cuando se desprecia la fricción y la contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque está descrita por , dh dt Ah Aw 12gh donde Aa y Ah son las áreas de sección transversal del agua y del agujero, respectivamente. a) Resuelva la ED si la altura inicial del agua es H. A mano, dibuje la gráfica de h(t) y de su intervalo de definición I en términos de los símbolos Aw , Ah y H. Utilice g 32 pies/s2 . b) Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura y un radio de 2 pies y el agujero circular tiene un radio de 1 2 pulg. Si el tanque está inicialmente lleno, ¿cuánto tarda en vaciarse? 12. Tanque cilíndrico con gotera (continuación) Cuando se considera la fricción y contracción del agua en el agu- jero, el modelo del problema 11 se convierte en , dh dt c Ah Aw 12gh donde 0 c 1. ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11b en vaciarse si c 0.6? Vea el problema 13 de los ejercicios 1.3. 13. Tanque cónico con gotera Un tanque con forma de cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua por un agujero circular en su fondo. a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y tiene un radio de 8 pies y el agujero circular mide dos pul- gadas de radio. En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua que sale del tanque es . dh dt 5 6h3/2 En este modelo, se consideró la fricción y la contrac- ción del agua en el agujero con c 0.6 y el valor de g se tomó de 32 pies/s2 . Véase la figura 1.3.12. Si al prin- cipio el tanque está lleno, ¿cuánto tarda en vaciarse? b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice de 60° y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. Determine la ecuación diferencial que gobierna la al- tura h del agua. Utilice c 0.6 y g 32 pies/s2 . Si al principio la altura del agua es de 9 pies, ¿cuánto tarda en vaciarse el tanque? 14. Tanque cónico invertido Suponga que se invierte el tanque cónico del problema 13a, como se muestra en la figura 3.2.5 y que sale agua por un agujero circular con un radio de dos pulgadas en el centro de su base circular. ¿El tiempo en que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque con el vértice hacia abajo del problema l3? Tome el coeficiente de fricción/contracción de c 0.6 y g 32 pies/s2 . 8 pies Aw h 20 pies FIGURA 3.2.5 Tanque cónico invertido del problema 14. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 100 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 100 6/4/09 12:17:18 PM 6/4/09 12:17:18 PM www.FreeLibros.me
- 134. 15. Resistencia del aire Una ecuación diferencial para la ve- locidad v de una masa m que cae sujeta a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea es , m dv dt mg kv2 donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva es hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) v0 . b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la ve- locidad límite, o terminal de la masa. En el problema 41 de los ejercicios 2.1 vimos cómo determinar la ve- locidad terminal sin resolver la ED. c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se suelta la masa sobre el suelo, está relacionada con la velocidad v por dsdt v(t), encuentre una expresión explícita para s(t) si s(0) 0. 16. ¿Qué tan alto? (Resistencia del aire no lineal) Consi- dere la bala de cañón de 16 libras que se dispara vertical- mentehaciaarribaenlosproblemas36y37enlosejercicios 3.1 con una velocidad inicial v0 300 pies/s. Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la ve- locidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y tome k 0.0003. [Sugerencia: Modifique un poco la ED del problema 15.] 17. Esa sensación de hundimiento a) Determine una ecua- ción diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Véase el problema 18 de los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa hundida. 18. Colector solar La ecuación diferencial dy dx x 1x2 y2 y describe la forma de una curva plana C que refleja los haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un mo- delo para el espejo de un telescopio reflector, una antena de satélite o un colector solar. Vea el problema 27 de los ejercicios 1.3. Hay varias formas de resolver esta ED. a) Compruebe que la ecuación diferencial es homogénea (véase la sección 2.5). Demuestre que la sustitución y ux produce . u du 11 u2 (1 11 u2 ) dx x Utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para in- tegrar el lado izquierdo de la ecuación. Muestre que la curva C debe ser una parábola con foco en el origen y simétrica respecto al eje x. b) Demuestre que la ecuación diferencial puede también resolverse por medio de la sustitución u x2 y2 . 19. Tsunami a) Un modelo simple para la forma de un tsu- nami o maremoto, está dado por , dW dx W 14 2W donde W(x) 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones constantes de la ED. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un SAC puede ser útil para la integración. c) Use un programa de graficación para obtener las grá- ficas de las soluciones que satisfacen la condición ini- cial W(0) 2. 20. Evaporación Un estanque decorativo exterior con for- ma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es R 10 pies, que el agua se bombea a una rapidez de p pies3 /minuto y que al inicio el tanque está vacío. Véase la figura 3.2.6. Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es k 0.01. a) La rapidez de cambio dVdt del volumen del agua al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que se muestra en la figura es V pRh2 ph3 1 3 , donde R 10. Exprese el área de la superficie del agua A pr2 en términos de h. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la gráfica de la solución. c) Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en lle- narse el tanque? d) Con evaporación, ¿cuál es la profundidad del agua en el tiempo que se determinó en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenará el tanque? Demuestre su afirmación. FIGURA 3.2.6 Estanque decorativo del problema 20. pies3 A V Salida: el agua se evapora con una razón proporcional al área A de la superficie Entrada: el agua se bombea con una razón de 3/min π a) tanque semiesférico b) sección transversal del tanque R r h 3.2 MODELOS NO LINEALES O 101 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 101 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 101 6/4/09 12:17:19 PM 6/4/09 12:17:19 PM www.FreeLibros.me
- 135. 102 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Problemas de proyecto 21. Recta de regresión Lea en el manual de su SAC acerca de gráficas de dispersión (o diagramas de dispersión) y ajuste de rectas por mínimos cuadrados. La recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos se llama recta de regresión o recta de mínimos cuadrados. Su tarea es construir un modelo logístico para la población de Estados Unidos, definiendo f(P) en (2) como una ecua- ción de una recta de regresión que se basa en los datos de población que aparecen en la tabla del problema 4. Una manera de hacer esto es aproximar el lado izquierdo 1 P dP dt de la primera ecuación en (2), utilizando el co- ciente de diferencias hacia adelante en lugar de dPdt: . Q(t) 1 P(t) P(t h) P(t) h a) Haga una tabla de los valores t, P(t) y Q(t) usando t 0, 10, 20, . . . , 160 y h 10. Por ejemplo, el pri- mer renglón de la tabla debería contener t 0, P(0) y Q(0). Con P(0) 3.929 y P(10) 5.308, . Q(0) 1 P(0) P(10) P(0) 10 0.035 Observe que Q(160) depende de la población del censo de 1960 P(l70). Busque este valor. b) Use un SAC para obtener el diagrama de dispersión de los datos (P(t), Q(t)) que se calculó en el inciso a). También utilice un SAC para encontrar una ecuación de la recta de regresión y superponer su gráfica en el diagrama de dispersión. c) Construya un modelo logístico dPdt Pf(P), donde f(P) es la ecuación de la recta de regresión que se encontró en el inciso b). d) Resuelva el modelo del inciso c) usando la condición inicial P(0) 3.929. e) Utilice un SAC para obtener un diagrama de dispersión, esta vez de los pares ordenados (t, P(t)) de su tabla del inciso a). Utilice un SAC para superponer la gráfica de la solución del inciso d) en el diagrama de dispersión. f) Busque los datos del censo de Estados Unidos para 1970, 1980 y 1990. ¿Qué población predice el mo- delo logístico del inciso c) para estos años? ¿Qué predice el modelo para la población P(t) de Estados Unidos conforme t : ? 22. Modelo de inmigración a) En los ejemplos 3 y 4 de la sección 2.1 vimos que cualquier solución P(t) de (4) tieneelcomportamientoasintóticoP(t):abconforme t : para P0 ab y para 0 P0 ab; como con- secuencia, la solución de equilibrio P ab se llama un atractor. Utilice un programa para determinar raíces de un SAC (o una calculadora graficadora) para aproximar la solución de equilibrio del modelo de inmigración . dP dt P(1 P) 0.3eP b) Utilice un programa de graficación para trazar la grá- ficadelafunciónF(P) P(1 P) 0.3eP .Explique cómo se puede utilizar esta gráfica para determinar si el número que se encontró en el inciso a) es un atractor. c) Use un programa de solución numérica para compa- rar las curvas solución de los PVI dP dt P(1 P), P(0) P0 Para P0 0.2 y P0 1.2 con las curvas solución para los PVI. dP dt P(1 P) 0.3eP , P(0) P0 para P0 0.2 y P0 1.2. Superponga todas las curvas en los mismos ejes de coordenadas pero, si es posible, uti- lice un color diferente para las curvas del segundo pro- blema con valores iniciales. En un periodo largo, ¿qué incremento porcentual predice el modelo de inmigración en la población comparado con el modelo logístico? 23. Lo que sube . . . En el problema 16 sea ta el tiempo que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima y sea td el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima hasta el suelo. Compare el valor ta con el valor de td y compare la magnitud de la velocidad de impacto vi con la velocidad inicial v0 . Vea el problema 48 de los ejerci- cios 3.1. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces de un SAC. [Sugerencia: Utilice el modelo del pro- blema 15 cuando la bala de cañón va cayendo.] 24. Paracaidismo Un paracaidista está equipado con un cronómetro y un altímetro. Como se muestra en la figura 3.2.7, el paracaidista abre su paracaídas 25 segundos des- pués de saltar del avión que vuela a una altitud de 20 000 pies, y observa que su altitud es de 14 800 pies. Suponga que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, la velocidad inicial del pa- racaidista al saltar del avión es cero y g 32 pies/s2 . a) Encuentre la distancia s(t), medida desde el avión, que ha recorrido el paracaidista durante la caída libre en el tiempo t. [Sugerencia: No se especifica la constante de proporcionalidad k en el modelo del problema 15. Use la expresión para la velocidad terminal vt que se s(t) 25 s 14 800 pies FIGURA 3.2.7 Paracaidista del problema 24. 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 102 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 102 6/4/09 12:17:20 PM 6/4/09 12:17:20 PM www.FreeLibros.me
- 136. obtuvo en el inciso b) del problema 15 para eliminar k del PVI. Luego, finalmente encuentre vt .] b) ¿Qué distancia descendió el paracaidista y cuál es su velocidad cuando t 15 s? 25. Impacto en el fondo Un helicóptero sobrevuela 500 pies por arriba de un gran tanque abierto lleno de líquido (no agua). Se deja caer un objeto compacto y denso que pesa 160 libras (liberado desde el reposo) desde el helicóptero en ellíquido.Supongaquelaresistenciadelaireesproporcional a la velocidad instantánea v en tanto el objeto está en el aire y que el amortiguamiento viscoso es proporcional a v2 después de que el objeto ha entrado al líquido. Para el aire, tome k 1 4 , y para el líquido tome k 0.1. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. Si el tanque mide 75 pies de alto, de- termine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto golpea el fondo del tanque. [Sugerencia: Piense en términos de dos PVI distintos. Si se utiliza la ecuación (13), tenga cuidado de eliminar el signo de valor absoluto. Se podría comparar la velocidad cuando el objeto golpea el líquido, la velocidad inicial para el segundo problema, con la velocidad terminal vt del objeto cuando cae a través del líquido.] 26. Hombre viejo de río . . . En la figura 3.2.8a suponga que el eje y y la recta vertical x 1 representan, respecti- vamente, las playas oeste y este de un río que tiene 1 milla de ancho. El río fluye hacia el norte con una velocidad vr , donde |vr | vr mi/h es una constante. Un hombre entra a la corriente en el punto (1, 0) en la costa este y nada en una dirección y razón respecto al río dada por el vector vs , donde la velocidad |vs | vs mi/h es una constante. El hom- bre quiere alcanzar la costa oeste exactamente en (0, 0) y así nadar de tal forma que conserve su vector velocidad vs siempre con dirección hacia (0, 0). Utilice la figura 3.2.8b como una ayuda para mostrar que un modelo matemático para la trayectoria del nadador en el río es dy dx vsy vr 1x2 y2 vs x . [Sugerencia: La velocidad v del nadador a lo largo de la trayectoria o curva que se muestra en la figura 3.2.8 es la resultante v vs vr . Determine vs y vr en compo- nentes en las direcciones x y y. Si x x(t), y y(t) son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del nadador, en- tonces v (dxdt, dydt)]. 27. a) Resuelva la ED del problema 26 sujeto a y(1) 0. Por conveniencia haga k vr vs . b) Determine los valores de vs , para los que el nadador alcanzará el punto (0, 0) examinando lím x : 0 y(x) en los casos k 1, k 1 y 0 k 1. 28. Hombre viejo de río conserva su movimiento . . . Suponga que el hombre del problema 26 de nuevo entra a la corriente en (1, 0) pero esta vez decide nadar de tal forma que su vector velocidad vs está siempre dirigido hacia la playa oeste. Suponga que la rapidez |vs | vs mi/h es una constante. Muestre que un modelo matemático para la trayectoria del nadador en el río es ahora dy dx vr vs . 29. La rapidez de la corriente vr de un río recto tal como el del problema 26 usualmente no es una constante. Más bien, una aproximación a la rapidez de la corriente (medida en millas por hora) podría ser una función tal como vr (x) 30x(1 x), 0 x 1, cuyos valores son pequeños en las costas (en este caso, vr (0) 0 y vr (1) 0 y más grande en la mitad de río. Resuelva la ED del problema 28 sujeto a y(1) 0, donde vs 2 mi/h y vr (x) está dado. Cuando el nadador hace esto a través del río, ¿qué tanto tendrá que caminar en la playa para llegar al punto (0, 0)? 30. Gotas de lluvia continúan cayendo . . . Cuando hace poco se abrió una botella de refresco se encontró que decía dentro de la tapa de la botella: La velocidad promedio de una gota de lluvia cayendo es de 7 millas/hora. En una búsqueda rápida por la internet se encontró que el meteorólogoJeffHabyofrecíainformaciónadicionaldeque una gota de lluvia esférica en “promedio” tenía un radio de 0.04 pulg. y un volumen aproximado de 0.000000155 pies3 . Utilice estos datos y, si se necesita investigue más y haga otras suposiciones razonables para determinar si “la veloci- dad promedio de . . . 7 millas por hora” es consistente con los modelos de los problemas 35 y 36 de los ejercicios 3.1 yconelproblema15deesteconjuntodeejercicios.También vea el problema 34 de los ejercicios 1.3. 31. El tiempo gotea El clepsidra, o reloj de agua, fue un dispositivo que los antiguos egipcios, griegos, romanos y chinos usaban para medir el paso del tiempo al observar el cambio en la altura del agua a la que se le permitía salir por un agujero pequeño en el fondo de un tanque. a) Suponga que se ha hecho un tanque de vidrio y que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio 1 pie. Suponga que h(0) 2 pies corresponde a agua llena hasta la tapa del tanque, un agujero en el fondo es circular con radio 2 1 32 pulg, g 32 pies/s y c 0.6. y (0, 0) (1, 0) y(t) x(t) θ (x(t), y(t)) vr playa oeste playa este nadador corriente x y (0, 0) (1, 0) vs vr x a) b) FIGURA 3.2.8 Trayectoria del nadador del problema 26. 3.2 MODELOS NO LINEALES O 103 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 103 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 103 6/4/09 12:17:21 PM 6/4/09 12:17:21 PM www.FreeLibros.me
- 137. 104 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. b) Para el tanque del inciso a), ¿a qué altura desde su fondo se debería marcar ese lado, como se muestra en la figura 3.2.9, que corresponde al paso de una hora? Después determine dónde colocaría las marcas corres- pondientes al paso de 2 h, 3 h, . . . , 12 h. Explique por qué estas marcas no están igualmente espaciadas. Problema aportado 34. Un modelo logístico para el crecimiento del gira- sol Este problema implica un plantío de semillas de girasol y el dibujo de la altura en función del tiempo. Podría llevar de 3 a 4 meses obtener los datos, por lo que ¡comencemos ya! Si puede cámbiela por una planta diferente, pero puede tener que ajustar la escala de tiempo y la escala de altura adecuada. a) Usted va a crear una gráfica de la altura del girasol (en cm) contra el tiempo (en días). Antes de iniciar intuya cómo será esta curva y ponga la gráfica intuida en la malla. 2 1 hora 2 horas 1 FIGURA 3.2.9 Clepsidra del problema 31. 32. a) Suponga que un tanque de vidrio tiene la forma de un cono con sección transversal circular como se muestra en la figura 3.2.10. Como en el inciso a) del problema 31, suponga que h(0) 2 pies corresponde a agua llena hasta la parte superior del tanque, un agujero circular en el fondo de radio 1 32 pulg, g 32 pies/s2 y c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. b) ¿Puede este reloj de agua medir 12 intervalos de tiempo de duración de 1 hora? Explique usando matemáticas. 2 1 FIGURA 3.2.10 Clepsidra del problema 12. 33. Suponga que r f(h) define la forma de un reloj de agua en el que las marcas del tiempo están igualmente espacia- das. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar f(h) y dibuje una gráfica típica de h como una función de r. Suponga que el área de sección transver- sal Ah del agujero es constante. [Sugerencia: En este caso dhdt a donde a 0 es una constante.] altura 0 10 20 30 40 50 días 60 70 80 90 100 400 300 200 100 b) Ahora plante su girasol. Tome la medida de la altura el primer día que su flor brote y llámelo el día 0. Después tome una medida al menos una vez a la semana; éste es el momento para empezar a escribir sus datos. c) ¿Sus datos de puntos más cercanos parecen crecimiento exponencial o crecimiento logístico? ¿Por qué? d) Si sus datos más cercanos semejan crecimiento exponen- cial, la ecuación para la altura en términos del tiempo será dHdt kH. Si sus datos más cercanos se asemejan a un crecimiento logístico, la ecuación de peso en términos de la altura será dHdt kH (C – H). ¿Cuál es el significado físico de C? Utilice sus datos para calcular C. e) Ahora experimentalmente determine k. Para cada uno de sus valores de t, estime dHdt usando diferencias de cocientes. Después use el hecho de que k dHdt H(C H) para obtener la mejor estimación de k. f) Resuelva su ecuación diferencial. Ahora trace la grá- fica de su solución junto con los datos de los puntos. ¿Llegó a un buen modelo? ¿Cree que k cambiará si planta un girasol diferente el año que entra? Problema aportado 35. LeydeTorricelli Siperfo- ramos un agujero en un cubo lleno de agua, el líquido sale con una razón gobernada por la ley de Torricelli, que esta- blece que la razón de cambio del volumen es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido. Dr. Michael Prophet, Dr. Doug Shaw, profesores asociados del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Iowa del Norte Ben Fitzpatrick, Ph. D Clarence Wallen, Departamento de Matemáticas de la Universidad Loyola Marymount 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 104 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 104 6/4/09 12:17:22 PM 6/4/09 12:17:22 PM www.FreeLibros.me
- 138. La ecuación de la razón dada en la figura 3.2.11 surge del principio de Bernoulli de hidrodinámica que establece que la cantidad P 1 2 v2 gh es una constante. Aquí P es la presión, r es la densidad del fluido, v es la velocidad y g es la aceleración de la gravedad. Comparando la parte superior del fluido, a la altura h, con el fluido en el agu- jero, tenemos que Pparte superior 1 2 rv2 parte superior rgh Pagujero 1 2 rv2 agujero rg 0. Si la presión en la parte superior y en el fondo son las dos igual a la presión atmosférica y el radio del agujero es mucho menor que el radio del cubo, entonces Pparte superior Pagujero yvpartesuperior 0,porloque rgh 1 2 rv2 agujero conduceala ley de Torricelli: v 12gh. Puesto que dV dt Aagujerov, tenemos la ecuación diferencial dV dt A 12gh. agujero En este problema, vemos una comparación de la ecua- ción diferencial de Torricelli con los datos reales. a) Si el agua está a una altura h, podemos encontrar el volumen de agua en el cubo usando la fórmula V(h) p 3m [(mh RB)3 R3 B] en la que m (RT RB )/H. Aquí RT y RB denotan el radio de la parte superior y del fondo del cubo, res- pectivamente y H denota la altura del cubo. Tomando esta fórmula como dada, se deriva para encontrar una relación entre las razones dVdt y dhdt. b) Use la expresión deducida en el inciso a) para en- contrar una ecuación diferencial para h(t) (es decir, tendría una variable independiente t, una variable de- pendiente h y las constantes en la ecuación). c) Resuelva esta ecuación diferencial usando separación de variables. Es relativamente directo determinar al tiempo como una función de la altura, pero despejar la altura como una función del tiempo puede ser difícil. d) Haga una maceta, llénela con agua y vea cómo gotea. Para un conjunto fijo de alturas, registre el tiempo para el que el agua alcanza la altura. Compare los resultados con los de la solución de la ecuación diferencial. e) Se puede ver que una ecuación diferencial más exacta es dV dt (0.84)A 1gh. agujero Resuelva esta ecuación diferencial y compare los re- sultados del inciso d). altura del cubo H altura del agua h(t) ecuación de razón: = –Aagujero 2gh dV dt FIGURA 3.2.11 Cubo con gotera. MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN REPASO DE MATERIAL O Sección 1.3. INTRODUCCIÓN Esta sección es similar a la sección 1.3 en que se van a analizar ciertos modelos matemáticos, pero en lugar de una sola ecuación diferencial los modelos serán sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aunque algunos de los modelos se basan en temas que se analizaron en las dos secciones anteriores, no se desarrollan métodos generales para resolver estos sistemas. Hay razones para esto: primero, hasta el momento no se tienen las herramientas matemáticas necesarias para resolver sistemas. Segundo, algunos de los sistemas que se analizan, sobre todo los sistemas de ED no lineales de primer orden, simplemente no se pueden resolver de forma analítica. Los capítulos 4, 7 y 8 tratan métodos de solución para sistemas de ED lineales. 3.3 SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Se ha visto que una sola ecuación dife- rencial puede servir como modelo matemático para una sola población en un medio ambiente. Pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan, y quizá compiten, viviendo en el mismo medio ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), entonces un 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 105 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 105 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 105 6/4/09 12:17:23 PM 6/4/09 12:17:23 PM www.FreeLibros.me
- 139. 106 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN modelo para sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones dife- renciales de primer orden como . dy dt g2(t, x, y) dx dt g1(t, x, y) (1) Cuando g1 y g2 son lineales en las variables x y y, es decir, g1 y g2 tienen las formas 1 1 2 1 2 3 4 2 g (t, x, y) c x c y f (t) y g (t, x, y) c x c y f (t), donde los coeficientes ci podrían depender de t entonces se dice que es un sistema lineal. Un sistema de ecuaciones diferenciales que no es lineal se llama no lineal. SERIES RADIACTIVAS En el análisis del decaimiento radiactivo en las secciones 1.3 y 3.1 se supuso que la razón de decaimiento era proporcional a la cantidad A(t) de nú- cleos de la sustancia presentes en el tiempo t. Cuando una sustancia se desintegra por radiactividad, usualmente no transmuta en un solo paso a una sustancia estable, sino que la primera sustancia se transforma en otra sustancia radiactiva, que a su vez forma una tercera sustancia, etc. Este proceso, que se conoce como serie de decaimiento radiac- tivo continúa hasta que llega a un elemento estable. Por ejemplo, la serie de decaimiento del uranio es U-238 : Th-234 : :Pb-206, donde Pb-206 es un isótopo estable del plomo. La vida media de los distintos elementos de una serie radiactiva pueden variar de miles de millones de años (4.5 109 años para U-238) a una fracción de segundo. Suponga que una serie radiactiva se describe en forma esquemática por X 1 : Y 2 : Z, donde k1 l1 0 y k2 l2 0 son las constantes de desintegración para las sus- tancias X y Y, respectivamente, y Z es un elemento estable. Suponga, también, que x(t), y(t) y z(t) denotan las cantidades de sustancias X, Y y Z, respectivamente, que quedan al tiempo t. La desintegración del elemento X se describe por , dx dt 1x mientras que la razón a la que se desintegra el segundo elemento Y es la razón neta , dy dt 1x 2 y porque Y está ganando átomos de la desintegración de X y al mismo tiempo perdiendo átomos como resultado de su propia desintegración. Como Z es un elemento estable, simplemente está ganando átomos de la desintegración del elemento Y: . dz dt 2 y En otras palabras, un modelo de la serie de decaimiento radiactivo para los tres ele- mentos es el sistema lineal de tres ecuaciones diferenciales de primer orden (2) dz dt 2 y. dy dt 1 x 2 y dx dt 1 x MEZCLAS Considere los dos tanques que se ilustran en la figura 3.3.1. Suponga que el tanque A contiene 50 galones de agua en los que hay disueltas 25 libras de sal. Suponga que el tanque B contiene 50 galones de agua pura. A los tanques entra y sale líquido como se indica en la figura; se supone que tanto la mezcla intercambiada entre los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B están bien mezcla- 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 106 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 106 6/4/09 12:17:24 PM 6/4/09 12:17:24 PM www.FreeLibros.me
- 140. dos. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad de libras x1 (t) y x2 (t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t. Con un análisis similar al de la página 23 en la sección 1.3 y del ejemplo 5 de la sección 3.1 vemos que la razón de cambio neta de x1 (t) para el tanque A es mezcla 3 gal/min mezcla 4 gal/min B A agua pura 3 gal/min mezcla 1 gal/min FIGURA 3.3.1 Tanques mezclados conectados. dx1 ––– dt (3 gal/min) ? (0 lb/gal) (1 gal/min) ? ( lb/gal) (4 gal/min) ? ( lb/gal) x1 x2. razón de entrada de la sal razón de salida de la sal x2 ––– 50 1 ––– 50 x1 ––– 50 2 ––– 25 De manera similar, para el tanque B la razón de cambio neta de x2 (t) es 2 25 x1 2 25 x2. dx2 dt 4 ⴢ x1 50 3 ⴢ x2 50 1 ⴢ x2 50 Así obtenemos el sistema lineal (3) dx2 dt 2 25 x1 2 25 x2. dx1 dt 2 25 x1 1 50 x2 Observe que el sistema anterior va acompañado de las condiciones iniciales x1 (0) 25, x2 (0) 0. MODELO PRESA-DEPREDADOR Suponga que dos especies de animales interac- túan dentro del mismo medio ambiente o ecosistema y suponga además que la primera especie se alimenta sólo de vegetación y la segunda se alimenta sólo de la primera es- pecie. En otras palabras, una especie es un depredador y la otra es una presa. Por ejemplo, los lobos cazan caribúes que se alimentan de pasto, los tiburones devoran peces pequeños y el búho nival persigue a un roedor del ártico llamado lemming. Por razones de análisis, imagínese que los depredadores son zorros y las presas conejos. Sea x(t) y y(t) las poblaciones de zorros y conejos, respectivamente, en el tiempo t. Si no hubiera conejos, entonces se podría esperar que los zorros, sin un suministro adecuado de alimento, disminuyeran en número de acuerdo con . dx dt ax, a 0 (4) Sin embargo cuando hay conejos en el medio, parece razonable que el número de encuentros o interacciones entre estas dos especies por unidad de tiempo sea conjunta- mente proporcional a sus poblaciones x y y, es decir, proporcional al producto xy. Así, 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 107 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 107 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 107 6/4/09 12:17:25 PM 6/4/09 12:17:25 PM www.FreeLibros.me
- 141. 108 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN cuando están presentes los conejos hay un suministro de alimento y, en consecuencia, los zorros se agregan al sistema en una proporción bxy, b 0. Sumando esta última proporción a (4) se obtiene un modelo para la población de zorros: dx dt ax bxy. (5) Por otro lado, si no hay zorros, entonces la población de conejos, con una suposición adicional de suministro ilimitado de alimento, crecería con una razón proporcional al número de conejos presentes en el tiempo t: . dy dt dy, d 0 (6) Pero cuando están presentes los zorros, un modelo para la población de conejos es la ecuación (6) disminuida por cxy, c 0; es decir, la razón a la que los conejos son comidos durante sus encuentros con los zorros: dy dt dy cxy. (7) Las ecuaciones (5) y (7) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (8) dy dt dy cxy y(d cx), dx dt ax bxy x(a by) donde a, b, c y d son constantes positivas. Este famoso sistema de ecuaciones se co- noce como modelo presa-depredador de Lotka-Volterra. Excepto por dos soluciones constantes, x(t) 0, y(t) 0 y x(t) dc, y(t) ab, el sistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales. Sin embargo, es posible analizar estos sistemas en forma cuantitativa y cualitativa. Vea el capítulo 9, “Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales”, y el capítulo 10 “Sistemas autónomos planos.”* EJEMPLO 1 Modelo presa-depredador Suponga que dy dt 4.5y 0.9xy dx dt 0.16x 0.08xy representa un modelo presa-depredador. Debido a que se está tratando con poblaciones, se tiene x(t)
- 142. 0, y(t)
- 143. 0. En la figura 3.3.2, que se obtuvo con la ayuda de un programa de solución numérica, se ilustran las curvas de población características de los depredadores y presa para este modelo superpuestas en los mismos ejes de coordenadas. Las condicio- nes iniciales que se utilizaron fueron x(0) 4, y(0) 4. La curva en color rojo representa la población x(t) de los depredadores (zorros) y la curva en color azul es la población y(t) de la presa (conejos). Observe que el modelo al parecer predice que ambas poblaciones x(t) y y(t) son periódicas en el tiempo. Esto tiene sentido desde el punto de vista intuitivo porque conforme decrece el número de presas, la población de depredadores decrece en algún momento como resultado de un menor suministro de alimento; pero junto con un decrecimiento en el número de depredadores hay un incremento en el número de presas; esto a su vez da lugar a un mayor número de depredadores, que en última instancia origina otro decrecimiento en el número de presas. * Los capítulos 10 a 15 están en la versión ampliada de este libro, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. FIGURA 3.3.2 Parecen ser periódicas las poblaciones de depredadores (rojo) y presa (azul). t población x, y tiempo predadores presa 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 108 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 108 6/4/09 12:17:26 PM 6/4/09 12:17:26 PM www.FreeLibros.me
- 144. MODELOS DE COMPETENCIA Ahora suponga que dos especies de animales ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa sino como competidores por los mismos recursos (como alimento y espacio vital) en el sistema. En ausencia de la otra, suponga que la razón a la que crece cada población está dada por , dx dt ax dy dt cy y (9) respectivamente. Como las dos especies compiten, otra suposición podría ser que cada una de estas razones se reduzca simplemente por la influencia o existencia, de la otra población. Así un modelo para las dos poblaciones está dado por el sistema lineal (10) , dy dt cy dx dx dt ax by donde a, b, c y d son constantes positivas. Por otra parte, se podría suponer, como se hizo en (5), que cada razón de creci- miento en (9) debe ser reducida por una razón proporcional al número de interacciones entre las dos especies: (11) . dy dt cy dxy dx dt ax bxy Examinando se encuentra que este sistema no lineal es similar al modelo depredador- presa de Lotka-Volterra. Por último, podría ser más real reemplazar las razones en (9), lo que indica que la población de cada especie en aislamiento crece de forma exponen- cial, con tasas que indican que cada población crece en forma logística (es decir, en un tiempo largo la población se acota): . dx dt a1 x b1 x2 dy dt a2 y b2 y2 y (12) Cuando estas nuevas razones decrecen a razones proporcionales al número de interac- ciones, se obtiene otro modelo no lineal (13) , dy dt a2 y b2 y2 c2 xy y(a2 b2 y c2 x) dx dt a1x b1x2 c1xy x(a1 b1x c1y) donde los coeficientes son positivos. Por supuesto, el sistema lineal (10) y los sistemas no lineales (11) y (13) se llaman modelos de competencia. REDES Una red eléctrica que tiene más de una malla también da lugar a ecuaciones diferenciales simultáneas. Como se muestra en la figura 3.3.3, la corriente i1 (t) se di- vide en las direcciones que se muestran en el punto B1 llamado punto de ramificación de la red. Por la primera ley de Kirchhoff se puede escribir i1 (t) i2 (t) i3 (t). (14) Además, también se puede aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla. Para la malla A1 B1 B2 A2 A1 , suponiendo una caída de voltaje en cada parte del circuito, se obtiene . E(t) i1R1 L1 di2 dt i2R2 (15) De modo similar, para la malla A1 B1 C1 C2 B2 A2 A1 tenemos que . E(t) i1R1 L2 di3 dt (16) A1 L1 R1 R2 A2 B1 B2 C1 C2 i1 i2 i3 L2 E FIGURA 3.3.3 Red cuyo modelo está dado en (17). 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 109 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 109 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 109 6/4/09 12:17:27 PM 6/4/09 12:17:27 PM www.FreeLibros.me
- 145. 110 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Usando (14) para eliminar i1 en (15) y (16) se obtienen dos ecuaciones lineales de primer orden para las corrientes i2 (t) e i3 (t): (17) . L2 di3 dt R1i2 R1i3 E(t) L1 di2 dt (R1 R2)i2 R1i3 E(t) Dejamos esto como un ejercicio (vea el problema 14) el mostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes i1 (t) e i2 (t) en la red formada por un resistor, un inductor y un capacitor que se muestra en la figura 3.3.4 es (18) RC di2 dt i2 i1 0. L di1 dt Ri2 E(t) FIGURA 3.3.4 Red cuyo modelo son las ecuaciones (18). i1 L R C i2 i3 E EJERCICIOS 3.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. Series radiactivas 1. Hasta el momento no se han analizado métodos mediante los que se puedan resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, sistemas como (2) se pueden resolver sin otro conocimiento que el necesario para resolver una ecuación diferencial lineal. Encuentre una solución de (2) sujeto a las condiciones iniciales x(0) x0 , y(0) 0, z(0) 0. 2. En el problema 1, suponga que el tiempo se mide en días, que las constantes de desintegración son k1 0.138629 y k2 0.004951, y que x0 20. Utilice un programa de graficación para trazar las gráficas de las soluciones x(t), y(t) y z(t) en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. Utilice las gráficas para aproximar las vidas medias de sustancias X y Y. 3. Utilice las gráficas del problema 2 para aproximar los tiempos cuando las cantidades x(t) y y(t) son las mismas, los tiempos cuando las cantidades x(t) y z(t) son las mis- mas y los tiempos cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas. ¿Por qué, desde el punto de vista intuitivo, el tiempo determinado cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas, tiene sentido? 4. Construya un modelo matemático para una serie radiac- tiva de cuatro elementos W, X, Y y Z, donde Z es un ele- mento estable. Mezclas 5. Considere dos tanques A y B, en los que se bombea y se saca líquido en la misma proporción, como se describe mediante el sistema de ecuaciones (3). ¿Cuál es el sistema de ecuaciones diferenciales si, en lugar de agua pura, se bombea al tanque A una solución de salmuera que con- tiene dos libras de sal por galón? 6. Utilice la información que se proporciona en la figura 3.3.5 para construir un modelo matemático para la can- mezcla 5 gal/min mezcla 6 gal/min mezcla 4 gal/min agua pura 4 gal/min B 100 gal C 100 gal A 100 gal mezcla 2 gal/min mezcla 1 gal/min FIGURA 3.3.5 Tanques de mezclado del problema 6. tidad de libras de sal x1 (t), x2 (t) y x3 (t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. 7. Dos tanques muy grandes A y B están parcialmente lle- nos con 100 galones de salmuera cada uno. Al inicio, se disuelven 100 libras de sal en la solución del tanque A y 50 libras de sal en la solución del tanque B. El sistema es mezcla 2 gal/min mezcla 3 gal/min B 100 gal A 100 gal FIGURA 3.3.6 Tanques de mezclado del problema 7. cerrado ya que el líquido bien mezclado se bombea sólo entre los tanques, como se muestra en la figura 3.3.6. a) Utilice la información que aparece en la figura para construir un modelo matemático para el número de 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 110 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 110 6/4/09 12:17:28 PM 6/4/09 12:17:28 PM www.FreeLibros.me
- 146. libras de sal x1 (t) y x2 (t) al tiempo t en los tanques A y B, respectivamente. b) Encuentre una relación entre las variables x1 (t) y x2 (t) que se cumpla en el tiempo t. Explique por qué esta relación tiene sentido desde el punto de vista intui- tivo. Use esta relación para ayudar a encontrar la can- tidad de sal en el tanque B en t 30 min. 8. Tres tanques grandes contienen salmuera, como se mues- tra en la figura 3.3.7. Con la información de la figura construya un modelo matemático para el número de libras de sal x1 (t), x2 (t) y x3 (t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. Sin resolver el sistema, prediga los valores límite de x1 (t), x2 (t) y x3 (t) conforme t : . c) x(0) 2, y(0) 7 d) x(0) 4.5, y(0) 0.5 11. Considere el modelo de competencia definido por , dy dt y(1.7 0.1y 0.15x) dx dt x(1 0.1x 0.05y) donde las poblaciones x(t) y x(t) se miden en miles y t en años. Utilice un programa de solución numérica para ana- lizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: a) x(0) 1, y(0) 1 b) x(0) 4, y(0) 10 c) x(0) 9, y(0) 4 d) x(0) 5.5, y(0) 3.5 Redes 12. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales que describa las corrientes i2 (t) e i3 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 3.3.8 es R1 di2 dt R2 di3 dt 1 C i3 0. L di2 dt L di3 dt R1i2 E(t) FIGURA 3.3.7 Tanques de mezclado del problema 8. mezcla 4 gal/min mezcla 4 gal/min mezcla 4 gal/min agua pura 4 gal/min B 150 gal C 100 gal A 200 gal Modelos depredador–presa 9. Considere el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra definido por , dy dt 0.2y 0.025xy dx dt 0.1x 0.02xy donde las poblaciones x(t) (depredadores) y y(t) (presa) se miden en miles. Suponga que x(0) 6 y y(0) 6. Utilice un programa de solución numérica para graficar x(t) y y(t). Use las gráficas para aproximar el tiempo t 0 cuando las dos poblaciones son al principio iguales. Use las gráficas para aproximar el periodo de cada población. Modelos de competencia 10. Considere el modelo de competencia definido por , dy dt y(1 0.1y 0.3x) dx dt x(2 0.4x 0.3y) donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un programa de solución numérica para anali- zar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: a) x(0) 1.5, y(0) 3.5 b) x(0) 1, y(0) 1 R1 E i1 L i2 i3 C R2 FIGURA 3.3.8 Red del problema 12. i1 i2 i3 R1 R2 R3 E L1 L2 FIGURA 3.3.9 Red del problema 13. 13. Determine un sistema de ecuaciones diferenciales de pri- mer orden que describa las corrientes i2 (t) e i3 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 3.3.9. 14. Demuestre que el sistema lineal que se proporciona en (18) describe las corrientes i1 (t) e i2 (t) en la red que se muestra en la figura 3.3.4. [Sugerencia: dqdt i3 .] 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 111 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 111 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 111 6/4/09 12:17:29 PM 6/4/09 12:17:29 PM www.FreeLibros.me
- 147. 112 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Modelos no lineales adicionales 15. Modelo SIR Una enfermedad contagiosa se propaga en una pequeña comunidad, con una población fija de n per- sonas, por contacto entre individuos infectados y personas que son susceptibles a la enfermedad. Suponga al princi- pio que todos son susceptibles a la enfermedad y que nadie sale de la comunidad mientras se propaga la epidemia. En el tiempo t, sean s(t), i(t) y r(t), a su vez, el número de personas en la comunidad (medido en cientos) que son susceptibles a la enfermedad pero que aún no están infectadas, el número de personas que están infectadas con la enfermedad y el nú- mero de personas que se han recuperado de la enfermedad. Explique por qué el sistema de ecuaciones diferenciales dr dt k2i, di dt k2i k1si ds dt k1si donde k1 (llamada la razón de infección) y k2 (llamada la razón de eliminación) son constantes positivas, es un modelo matemático razonable, conocido comúnmente como modelo SIR, para la propagación de la epidemia en la comunidad. Asigne condiciones iniciales posibles relacionadas con este sistema de ecuaciones. 16. a) En el problema 15, explique por qué es suficiente ana- lizar sólo . di dt k2i k1si ds dt k1si b) Suponga que k1 0.2, k2 0.7 y n 10. Elija varios valores de i(0) i0 , 0 i0 10. Use un programa de solución numérica para determinar lo que predice el modelo acerca de la epidemia en los dos casos s0 k2 k1 y s0 k2 k1 . En el caso de una epidemia, estime el número de personas que finalmente se infectan. Problemas de proyecto 17. Concentración de un nutriente Suponga que los com- partimientos A y B que se muestran en la figura 3.3.10 se llenan con líquidos y se separan mediante una membrana permeable. La figura es una representación seccional del exterior y el interior de una célula. Suponga también que un nutriente necesario para el crecimiento de la célula pasa por la membrana. Un modelo para las concentracio- nes x(t) y y(t) del nutriente en los compartimientos A y B, respectivamente, en el tiempo t se expresa mediante el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales , dy dt VB (x y) dx dt VA (y x) donde VA y VB son los volúmenes de los compartimientos, y k 0 es un factor de permeabilidad. Sean x(0) x0 y y(0) y0 las concentraciones iniciales del nutriente. Con base únicamente en las ecuaciones del sistema y la supo- sición x0 y0 0, dibuje, en el mismo conjunto de coor- denadas, posibles curvas solución del sistema. Explique su razonamiento. Analice el comportamiento de las solu- ciones en un tiempo largo. 18. El sistema del problema 17, al igual que el sistema en (2), se puede resolver sin un conocimiento avanzado. Resuelva para x(t) y y(t) y compare sus gráficas con sus dibujos del problema 17. Determine los valores límite de x(t) y y(t) conforme t : . Explique por qué la respuesta de la última pregunta tiene sentido intuitivamente. 19. Con base sólo en la descripción física del problema de mezcla de la página 107 y la figura 3.3.1, analice la natu- raleza de las funciones x1 (t) y x2 (t). ¿Cuál es el comporta- miento de cada función durante un tiempo largo? Dibuje las gráficas posibles de x1 (t) y x2 (t). Compruebe sus con- jeturas mediante un programa de solución numérica para obtener las curvas solución de (3) sujetas a las condicio- nes iniciales x1 (0) 25, x2 (0) 0. 20. Ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Como se muestra en la figura 3.3.11, una pequeña barra metálica se coloca dentro del recipiente A y éste se coloca dentro de un recipiente B mucho más grande. A medida que se enfría la barra metálica, la temperatura ambiente TA (t) del medio den- tro del recipiente A cambia de acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento. Conforme se enfría el recipiente A, la tem- peratura en la parte media dentro del recipiente B no cambia FIGURA 3.3.10 Flujo de nutrientes a través de una membrana del problema 17. B A membrana líquido a concentración x(t) líquido a concentración y(t) FIGURA 3.3.11 Recipiente dentro de un recipiente del problema 20. TA (t) recipiente A recipiente B TB = constante barra metálica 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 112 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 112 6/4/09 12:17:30 PM 6/4/09 12:17:30 PM www.FreeLibros.me
- 148. de manera importante y se puede considerar una constante TB . Construya un modelo matemático para las temperaturas T(t) y TA (t), donde T(t) es la temperatura de la barra me- tálica dentro del recipiente A. Como en los problemas 1 y 18, este modelo se puede resolver usando los conocimientos adquiridos. Encuentre una solución del sistema sujeto a las condiciones iniciales T(0) T0 , TA (0) T1 . Problema aportado 21. Un problema de mez- clas Un par de tanques están conectados como se muestra en la figura 3.3.12. Al tiempo t 0, el tanque A contiene 500 litros de líquido, 7 de los cuales son de etanol. Comenzando en t 0, se agregan 3 litros por minuto de una solución de etanol a 20%. Además se bombean 2 L/min del tanque B al tanque A. La mezcla resultante es continua- mente mezclada y se bombean 5 L/min al tanque B. El con- tenido del tanque B es también continuamente mezclado. Además de los 2 litros que se regresan al tanque A, 3 L/min se descargan desde el sistema. Sean que P(t) y Q(t) denoten el número de litros de etanol en los tanques A y B al tiempo t. Queremos encontrar P(t). Usando el principio de que razón de cambio razón de entrada de etanol – razón de salida de etanol, obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de pri- mer orden (19) dQ dt 5 P 500 5 Q 100 P 100 Q 20 . dP dt 3(0.2) 2Q 100 5 P 500 0.6 Q 50 P 100 (20) Dr. Michael Prophet, Dr. Doug Shaw, Profesores Asociados del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Iowa del Norte FIGURA 3.3.12 Tanque de mezclado del problema 21. mezcla 3 L/min mezcla 2 L/min B 100 litros A 500 litros solución de etanol 3 L/min mezcla 5 L/min a) Analice cualitativamente el comportamiento del sistema. ¿Qué ocurre a corto plazo? ¿Qué ocurre a largo plazo? b) Intente resolver este sistema. Cuando la ecuación (19) se deriva respecto al tiempo t, se obtiene d2 P dt2 1 50 dQ dt 1 100 dP dt . 3. Sustituyendo (20) en esta ecuación y simplificando. c) Muestre que cuando se determina Q de la ecuación (19) y se sustituye la respuesta en el inciso b), obtenemos 100 d2 P dt2 6 dP dt 3 100 P 3. d) Está dado que P(0) 200. Muestre que P(0) 63 50 . Después resuelva la ecuación diferencial en el inciso c) sujeto a estas condiciones iniciales. e) Sustituya la solución del inciso d) en la ecuación (19) y resuelva para Q(t). f) ¿Qué les pasa a P(t) y Q(t) conforme t : ? REPASO DEL CAPÍTULO 3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. Responda los problemas 1 a 4 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco y responda verdadero o falso. 1. Si P(t) P0 e0.15t da la población en un medio ambiente al tiempo t, entonces una ecuación diferencial que satisface P(t) es . 2. Si la razón de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad A(t) que queda en el tiempo t, entonces la vida media de la sustancia es necesaria- mente T (ln 2)k. La razón de decaimiento de la sus- tancia en el tiempo t T es un medio de la razón de decaimiento en t 0. 3. En marzo de 1976 la población mundial llegó a cuatro mil millones. Una popular revista de noticias predijo que con una razón de crecimiento anual promedio de 1.8%, la pobla- ción mundial sería de 8 mil millones en 45 años. ¿Cómo se compara este valor con el que se predice por el modelo en el que se supone que la razón de crecimiento en la población es proporcional a la población presente en el tiempo t? 4. A una habitación cuyo volumen es 8000 pies3 se bombea aire que contiene 0.06% de dióxido de carbono. Se intro- duce a la habitación un flujo de aire de 2000 pies3 /min y se extrae el mismo flujo de aire circulado. Si hay una concentración inicial de 0.2% de dióxido de carbono en la habitación, determine la cantidad posterior en la habi- tación al tiempo t. ¿Cuál es la concentración a los 10 mi- nutos? ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono de estado estable o de equilibrio? 5. Resuelva la ecuación diferencial dy dx y 1s2 y2 REPASO DEL CAPÍTULO 3 O 113 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 113 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 113 6/4/09 12:17:31 PM 6/4/09 12:17:31 PM www.FreeLibros.me
- 149. 114 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN de la tractriz. Véase el problema 26 de los ejercicios 1.3. Suponga que el punto inicial en el eje y es (0, 10) y que la longitud de la cuerda es x 10 pies. 6. Suponga que una célula está suspendida en una solución que contiene un soluto de concentración constante Cs . Suponga además que la célula tiene volumen constante V y que el área de su membrana permeable es la constante A. Por la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa m es directamente proporcional al área A y la diferencia Cs – C(t), donde C(t) es la concentración del soluto dentro de la célula al tiempo t. Encuentre C(t) si m V C(t) y C(0) C0 . Vea la figura 3.R.1. 9. Un circuito LR en serie tiene un inductor variable con la inductancia definida por . L(t) 1 1 10 t, 0, 0 t 10 t
- 150. 10 Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es 0.2 ohm, el vol- taje aplicado es E(t) 4 e i(0) 0. Trace la gráfica de i(t). 10. Un problema clásico en el cálculo de variaciones es encontrar la forma de una curva tal que una cuenta, bajo la influencia de la gravedad, se deslice del punto A(0, 0) al punto B(x1 , y1 ) en el menor tiempo. Vea la figura 3.R.2. Se puede demostrar que una ecuación no lineal para la forma y(x) de la trayec- toria es y[1 (y)2 ] k, donde k es una constante. Primero resuelva para dx en términos de y y dy; y después utilice la sustitución y k sen2 u para obtener una forma paramétrica de la solución. La curva resulta ser una cicloide. concentración C(t) concentración Cs moléculas de soluto difundiéndose a través de la membrana de la célula FIGURA 3.R.1 Célula del problema 6. 7. Suponga que conforme se enfría un cuerpo, la temperatura del medio circundante aumenta debido a que absorbe por com- pleto el calor que pierde el cuerpo. Sean T(t) y Tm(t) las tem- peraturas del cuerpo y el medio al tiempo t, respectivamente. Si la temperatura inicial del cuerpo es T1 y la temperatura ini- cial del medio de T2 , entonces se puede mostrar en este caso que la ley de Newton del enfriamiento es dTdt k(T – Tm ), k 0, donde Tm T2 B(T1 T), B 0 es una constante. a) La ED anterior es autónoma. Utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de la temperatura T(t) conforme t : . ¿Cuál es el valor límite de Tm (t) conforme t : ? b) Compruebe sus respuestas del inciso a) resolviendo la ecuación diferencial. c) Analice una interpretación física de sus respuestas en el inciso a). 8. De acuerdo con la ley de Stefan de la radiación, la tem- peratura absoluta T de un cuerpo que se enfría en un medio a temperatura absoluta constante Tm está dada como , dT dt k(T4 T4 m ) donde k es una constante. La ley de Stefan se puede uti- lizar en un intervalo de temperatura mayor que la ley de Newton del enfriamiento. a) Resuelva la ecuación diferencial. b) Muestre que cuando T Tm es pequeña comparada con Tm entonces la ley de Newton del enfriamiento se aproxima a la ley de Stefan. [Sugerencia: Considere la serie binomial del lado derecho de la ED.] FIGURA 3.R.2 Cuenta deslizando del problema 10. x y B(x1, y1) A(0, 0) cuenta mg 11. Un modelo para las poblaciones de dos especies de ani- males que interactúan es dy dt k2xy. dx dt k1x( x) Resuelva para x y y en términos de t. 12. En un principio, dos tanques grandes A y B contienen cada uno 100 galones de salmuera. El líquido bien mezclado se bombea entre los recipientes como se muestra en la figura 3.R.3. Utilice la información de la figura para construir un modelo matemático para el número de libras de sal x1 (t) y x2 (t) al tiempo t en los recipientes A y B, respectivamente. Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1 ) 0 in- tersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia FIGURA 3.R.3 Recipientes de mezclado del problema 12. 2 lb/gal 7 gal/min mezcla 5 gal/min A 100 gal B 100 gal mezcla 3 gal/min mezcla 1 gal/min mezcla 4 gal/min 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 114 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 114 6/4/09 12:17:32 PM 6/4/09 12:17:32 PM www.FreeLibros.me
- 151. H(x, y, c2 ) 0, se dice que las familias son trayectorias ortogonales entre sí. Vea la figura 3.R.4. Si dydx f(x, y) es la ecuación diferencial de una familia, entonces la ecuación diferencial para las trayectorias ortogonales de esta familia es dydx 1f(x, y). En los problemas 13 y 14, encuentre la ecuación diferencial de la familia suminis- trada. Determine las trayectorias de esta familia. Utilice un programa de graficación para trazar las gráficas de ambas familias en el mismo conjunto de ejes coordenados. donde la longitud se mide en metros (m) y el tiempo en segundos (s): Q flujo volumétrico (m3 /s) A área transversal del flujo, perpendicular a la direc- ción del flujo (m2 ) K conductividad hidráulica (m/s) L longitud de la trayectoria de flujo (m) h diferencia de carga hidráulica (m) Donde la carga hidráulica en un punto dado es la suma de la carga de presión y la elevación, el flujo volumétrico puede rescribirse como Q AK p rg y
- 152. L , donde p presión del agua (N/m2 ) r densidad del agua (kg/m3 ) g aceleración de la gravedad (m/s2 ) y elevación (m) Una forma más general de la ecuación resulta cuando el lí- mite de h respecto a la dirección de flujo (x, como se mues- tra en la figura 3.R.5) se evalúa como la longitud de trayec- toria del flujo L : 0. Realizando este cálculo se obtiene Q AK d dx p rg y
- 153. , donde el cambio en el signo indica el hecho de que la carga hidráulica disminuye siempre en la dirección del flujo. El flujo volumétrico por unidad de área se llama flujo q de Darcy y se define mediante la ecuación diferencial q Q A K d dx p rg y
- 154. , (1) donde q se mide en m/s. a) Suponga que la densidad del fluido r y el flujo de Darcy q son funciones de x. Despeje la presión p de la ecua- ción (1). Puede suponer que K y g son constantes. b) Suponga que el flujo de Darcy es evaluado negativa- mente, es decir, q 0. ¿Qué indica esto respecto del cociente pr? En concreto, ¿el cociente entre la pre- sión y la densidad aumenta o disminuye respecto a x? Suponga que la elevación y del cilindro es fija. ¿Qué puede inferirse acerca del cociente pr si el flujo de Darcy es cero? c) Suponga que la densidad del fluido r es constante. Despeje la presión p(x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la presión, es decir, q ap, donde a es una constante de proporcionalidad. Dibuje la familia de soluciones para la presión. d) Ahora, si suponemos que la presión p es constante pero la densidad r es una función de x, entonces el flujo de Darcy es una función de x. Despeje la den- FIGURA 3.R.4 Trayectorias ortogonales. tangentes H(x, y, c2) = 0 G(x, y, c1) = 0 13. y x 1 c1 ex 14. y 1 x c1 Problema aportado 15. Acuíferos y la ley de Darcy De acuerdo con el departamento de servicios de Sacramento en California, aproximadamente 15% del agua para Sacramento proviene de acuíferos. A diferencia de fuentes de agua tales como ríos o lagos que yacen sobre del suelo, un acuífero es una capa de un material poroso bajo el suelo que contiene agua. El agua puede residir en espacios vacíos entre rocas o entre las grietas de las rocas. Debido al material que está arriba, el agua está sujeta a una presión que la impulsa como un fluido en movimiento. La ley de Darcy es una expresión generalizada para describir el flujo de un fluido a través de un medio poroso. Muestra que el flujo volumétrico de un fluido a través de un recipiente es una función del área de sección transversal, de la elevación y de la presión del fluido. La configuración que consideraremos en este problema es la denominada pro- blema para un flujo unidimensional. Considere la columna de flujo como la que se muestra en la figura 3.R.5. Como lo indican las flechas, el flujo del fluido es de izquierda a derecha a través de un recipiente con sección transversal circular. El recipiente está lleno con un material poroso (por ejemplo piedras, arena o algodón) que permiten que el fluido fluya. A la entrada y a la salida del contenedor se tienen piezómetros que miden la carga hidráulica, esto es, la presión del agua por unidad de peso, al reportar la altura de la columna de agua. La diferencia en las alturas de agua en los piezómetros se denota por h. Para esta configuración se calculó experimentalmente mediante Darcy que Q AK h L Dr. David Zeigler profesor asistente Departamento de Matemáticas y Estadística CSU Sacramento REPASO DEL CAPÍTULO 3 O 115 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 115 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 115 6/4/09 12:17:33 PM 6/4/09 12:17:33 PM www.FreeLibros.me
- 155. 116 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN sidad r(x) de la ecuación (1). Despeje la densidad r(x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la densidad, q br, donde b es una constante de proporcionalidad. e) Suponga que el flujo de Darcy es q(x) sen ex y la función densidad es r(x) 1 1 ln(2 x) . Use un SAC para trazar la presión p(x) sobre el inter- valo 0 x 2p. Suponga que Kg 1 y que la pre- sión en el extremo izquierdo del punto (x 0) está nor- malizado a 1. Suponga que la elevación y es constante. Explique las implicaciones físicas de su resultado. f) Considere la solución que corresponde a P(0) 0. ¿Cómo afectaría a la solución un pequeño cambio en P(0)? Modelo de crecimiento logístico: Como vimos en el inciso d), el modelo de crecimiento exponencial que se acaba de presentar no es real para tiempos muy grandes t. ¿Qué limita la población de algas? Suponga que el agua al fluir proporciona una fuente de nutrien- tes estable y saca la basura. En este caso el mayor fac- tor límite es el área del vertedero. Podemos modelarlo como: cada interacción alga-alga tensiona a los orga- nismos implicados. Esto ocasiona una mortandad adi- cional. El número de todas las posibles interacciones es proporcional al cuadrado del número de organismos presentes. Así un modelo razonable sería dP dt kP mP2 , donde k y m son las constantes positivas. En este caso particular tomamos k 1 12 y m 1 500 . g) Construya un campo direccional para esta ecuación diferencial y dibuje la curva solución. h) Resuelva esta ecuación diferencial y trace la gráfica de la solución. Compare su gráfica con la que dibujó en el inciso g). i) Describa las soluciones de equilibrio para esta ecua- ción diferencial autónoma. j) De acuerdo con este modelo, ¿qué pasa conforme t : ? k) En nuestro modelo P(0) 1. Describa cómo afecta- ría la solución un cambio en P(0). l) Considere la solución correspondiente a P(0) 0. ¿Có- mo afectaría la solución un pequeño cambio en P(0)? m) Considere la solución correspondiente a P(0) km. ¿Cómo afectaría la solución un pequeño cambio en P(0)? Un modelo no autónomo: Suponga que el flujo de agua a través de un vertedero está decreciendo conforme pasa el tiempo por lo que también disminuye al paso del tiempo el hábitat del alga. Esto también aumenta el efecto de hacinamiento. Un modelo razonable ahora sería dP dt kP m(1 nt)P2 , Donde n se determinaría como la razón con la cual el ver- tedero se está secando. En nuestro ejemplo, tomamos k y m como ya se consideraron y . n 1 10 n) Construya un campo direccional para esta ecuación diferencial y dibuje la curva solución. o) Describa las soluciones constantes de esta ecuación diferencial no autónoma. p) De acuerdo con este modelo, ¿qué pasa conforme t : ? ¿Qué pasa si se cambia el valor de P(0)? FIGURA 3.R.5 Flujo del problema 15. Δh Q A L x y Problema aportado 16. Modelos de crecimiento de población Se pueden usar campos direccionales para obtener bastante información acerca de los modelos de población. En este problema puede usted construir cam- pos direccionales a mano o utilizar un sistema algebraico de computación para crear algunos detalles. Al tiempo t 0 una fina lámina de agua comienza a fluir sobre el vertedero concreto de una presa. Al mismo tiempo, 1000 algas son agregadas por el vertedero. Modelaremos a P(t), como el número de algas (en miles) presentes después de t horas. Modelo de crecimiento exponencial: Suponemos que la razón de cambio es proporcional a la población presente: dPdt kP. En este caso en particular toma- mos k 1 12 . a) Construya un campo direccional para esta ecuación diferencial y dibuje la curva solución. b) Resuelva la ecuación diferencial y trace la gráfica de la solución. Compare su gráfica con el dibujo del in- ciso a). c) Describa las soluciones de equilibrio de esta ecua- ción diferencial autónoma. d) De acuerdo con este modelo, ¿qué pasa cuando t : ? e) En nuestro modelo, P(0) 1. Describa cómo un cambio de P(0) afecta la solución. Dr. Michael Prophet y Dr. Doug Shaw profesores asociados del Departamento de Matemáticas Universidad de Iowa del Norte 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 116 08367_03_ch03_p082-116-ok.indd 116 6/4/09 12:17:34 PM 6/4/09 12:17:34 PM www.FreeLibros.me
- 156. 117 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 4.2 Reducción de orden 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 4.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 4.6 Variación de parámetros 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 4.8 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.9 Ecuaciones diferenciales no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 4 Ahora trataremos la solución de ecuaciones diferenciales de orden dos o superior. En las primeras siete secciones de este capítulo se analizan la teoría fundamental y cierta clase de ecuaciones lineales. El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales se introduce en la sección 4.8 porque este método simplemente desacopla un sistema en ecuaciones lineales de cada variable dependiente. El capítulo concluye con un breve análisis de ecuaciones no lineales de orden superior. 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 117 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 117 6/4/09 12:18:00 PM 6/4/09 12:18:00 PM www.FreeLibros.me
- 157. 118 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES REPASO DE MATERIAL O Lea nuevamente los Comentarios al final de la sección 1.1. O Sección 2.3 (especialmente páginas 54 a 58). INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 vimos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferencia- les de primer orden si se reconocen como separables, exactas, homogéneas o quizás como ecuacio- nes de Bernoulli. Aunque las soluciones de estas ecuaciones estuvieran en la forma de una familia uniparamétrica, esta familia, con una excepción, no representa la solución de la ecuación diferen- cial. Sólo en el caso de las ED lineales de primer orden se pueden obtener soluciones generales considerando ciertas condiciones iniciales. Recuerde que una solución general es una familia de so- luciones definida en algún intervalo I que contiene todas las soluciones de la ED que están definidas en I. Como el objetivo principal de este capítulo es encontrar soluciones generales de ED lineales de orden superior, primero necesitamos examinar un poco de la teoría de ecuaciones lineales. 4.1 4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA PROBLEMA CON VALORES INICIALES En la sección 1.2 se definió un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de n-ésimo orden. Para una ecua- ción diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-ésimo orden es Resuelva: an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) Sujeta a: . y(x0) y0, y (x0) y1 , . . . , y(n 1) (x0) yn 1 (1) Recuerde que para un problema como éste se busca una función definida en algún in- tervalo I, que contiene a x0 , que satisface la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales que se especifican en x0 : y(x0 ) y0 , y(x0 ) y1 , . . . , y(n1) (x0 ) yn1 . Ya hemos visto que en el caso de un problema con valores iniciales de segundo orden, una curva solución debe pasar por el punto (x0 , y0 ) y tener pendiente y1 en este punto. EXISTENCIA Y UNICIDAD En la sección 1.2 se expresó un teorema que daba las condiciones con las que se garantizaba la existencia y unicidad de una solución de un problema con valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente tiene condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución única del problema en (1). TEOREMA 4.1.1 Existencia de una solución única Sean an (x), an 1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an (x) 0 para toda x en este intervalo. Si x x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema con valores iniciales (1) existe en el intervalo y es única. EJEMPLO 1 Solución única de un PVI El problema con valores iniciales 3y 5y y 7y 0, y(1) 0, y (1) 0, y (1) 0 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 118 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 118 6/4/09 12:18:00 PM 6/4/09 12:18:00 PM www.FreeLibros.me
- 158. tiene la solución trivial y 0. Debido a que la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se cumplen las condiciones del teorema 4.1.1. Por tanto y 0 es la única solución en cualquier intervalo que contiene a x 1. EJEMPLO 2 Solución única de un PVI Se debe comprobar que la función y 3e2x e2x 3x es una solución del problema con valores iniciales y 4y 12x, y(0) 4, y (0) 1. Ahora la ecuación diferencial es lineal; los coeficientes, así como g(x) 12x, son continuos y a2 (x) 1 0 en algún intervalo I que contenga a x 0. Concluimos del teorema 4.1.1 que la función dada es la única solución en I. Los requisitos en el teorema 4.1.1 de que ai (x), i 0, 1, 2, . . . , n sean continuas y an (x) 0 para toda x en I son importantes. En particular, si an (x) 0 para algún x en el intervalo, entonces la solución de un problema lineal con valores iniciales po- dría no ser única o ni siquiera existir. Por ejemplo, se debe comprobar que la función y cx2 x 3 es una solución de problema con valores iniciales x2 y 2xy 2y 6, y(0) 3, y (0) 1 en el intervalo (, ) para alguna elección del parámetro c. En otras palabras, no hay solución única del problema. Aunque se satisface la mayoría de las condiciones del teorema 4.1.1, las dificultades obvias son que a2 (x) x2 es cero en x 0 y que las condiciones iniciales también se imponen en x 0. PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en que la variable de- pendiente y o sus derivadas se específican en diferentes puntos. Un problema tal como Resuelva: a2(x) d2 y dx2 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) Sujeto a: y(a) y0, y(b) y1 se llama problema con valores en la frontera (PVF). Los valores prescritos y(a) y0 y y(b) y1 se llaman condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo I, que contiene a a y b, cuya gráfica pasa por los puntos (a, y0 ) y (b, y1 ). Véase la figura 4.1.1. Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser y (a) y0, y (b) y1, y(a) y0, y (b) y1 y (a) y0, y(b) y1 donde y0 y y1 denotan constantes arbitrarias. Estos pares de condiciones son sólo casos especiales de las condiciones en la frontera generales. 2 y(b) 2 y (b) 2. 1y(a) 1y (a) 1 En el ejemplo siguiente se muestra que aun cuando se cumplen las condiciones del teorema 4.1.1, un problema con valores en la frontera puede tener varias soluciones (como se sugiere en la figura 4.1.1), una solución única o no tener ninguna solución. FIGURA 4.1.1 Curvas solución de un PVF que pasan a través de dos puntos. I soluciones de la ED (b, y1) (a, y0) x y 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 119 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 119 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 119 6/4/09 12:18:00 PM 6/4/09 12:18:00 PM www.FreeLibros.me
- 159. 120 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 3 Un PVF puede tener muchas, una o ninguna solución En el ejemplo 4 de la sección 1.1 vimos que la familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial x 16x 0 es x c1 cos 4t c2 sen 4t. (2) a) Suponga que ahora deseamos determinar la solución de la ecuación que satisface más condiciones en la frontera x(0) 0, x(p2) 0. Observe que la primera condición 0 c1 cos 0 c2 sen 0 implica que c1 0, por tanto x c2 sen 4t. Pero cuando t p2, 0 c2 sen 2p se satisface para cualquier elección de c2 ya que sen 2p 0. Por tanto el problema con valores en la frontera x 16x 0, x(0) 0, x 2 0 (3) tiene un número infinito de soluciones. En la figura 4.1.2 se muestran las gráficas de algunos de los miembros de la familia uniparamétrica x c2 sen 4t que pasa por los dos puntos (0, 0) y (p2, 0). b) Si el problema con valores en la frontera en (3) se cambia a , x 16x 0, x(0) 0, x 8 0 (4) entonces x(0) 0 aún requiere que c1 0 en la solución (2). Pero aplicando x(p8) 0 a x c2 sen 4t requiere que 0 c2 sen (p2) c2 1. Por tanto x 0 es una solución de este nuevo problema con valores en la frontera. De hecho, se puede demostrar que x 0 es la única solución de (4). c) Por último, si se cambia el problema a , x 16x 0, x(0) 0, x 2 1 (5) se encuentra de nuevo de x(0) 0 que c1 0, pero al aplicar x(p2) 1 a x c2 sen 4t conduce a la contradicción 1 c2 sen 2p c2 0 0. Por tanto el problema con valores en la frontera (5) no tiene solución. 4.1.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy dx a0(x)y 0 (6) se dice que es homogénea, mientras que una ecuación an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy dx a0(x)y g(x), (7) con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogénea. Por ejemplo, 2y 3y 5y 0 es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, mientras que x3 y 6y 10y ex es una ecuación diferencial lineal de tercer orden no homogénea. La palabra homogénea en este contexto no se refiere a los coeficientes que son funciones homogéneas, como en la sección 2.5. Después veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea (7), pri- mero se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada (6). Para evitar la repetición innecesaria en lo que resta de este libro, se harán, como algo natural, las siguientes suposiciones importantes cuando se establezcan FIGURA 4.1.2 Algunas curvas solución de (3) x c2 = 0 c2 = 1 c2 = c2 = c2 = − (0, 0) ( /2, 0) 1 1 t π 1 2 1 4 1 2 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 120 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 120 6/4/09 12:18:01 PM 6/4/09 12:18:01 PM www.FreeLibros.me
- 160. definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales (1). En algún intervalo común I, • las funciones coeficientes ai (x), i 0, 1, 2, . . . , n y g(x) son continuas; • an (x) 0 para toda x en el intervalo. OPERADORES DIFERENCIALES En cálculo la derivación se denota con frecuen- cia con la letra D mayúscula, es decir, dydx Dy. El símbolo D se llama opera- dor diferencial porque convierte una función derivable en otra función. Por ejemplo, D(cos 4x) 4 sen 4x y D(5x3 6x2 ) 15x2 12x. Las derivadas de orden superior se expresan en términos de D de manera natural: d dx dy dx d2 y dx2 D(Dy) D2 y y, en general dn y dxn Dn y, donde y representa una función suficientemente derivable. Las expresiones polino- miales en las que interviene D, tales como D 3, D2 3D 4 y 5x3 D3 6x2 D2 4xD 9, son también operadores diferenciales. En general, se define un operador diferencial de n-ésimo orden u operador polinomial como L an (x)Dn an1 (x)Dn1 a1 (x)D a0 (x). (8) Como una consecuencia de dos propiedades básicas de la derivada, D(cf(x)) cDf(x), c es una constante y D{f(x) g(x)} Df(x) Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L operando sobre una combinación lineal de dos funciones derivables es lo mismo que la combinación lineal de L operando en cada una de las funciones. Simbólicamente esto se expresa como L{af (x) bg(x)} aL( f (x)) bL(g(x)), (9) donde a y b son constantes. Como resultado de (9) se dice que el operador diferencial de n-ésimo orden es un operador lineal. ECUACIONES DIFERENCIALES Cualquier ecuación diferencial lineal puede ex- presarse en términos de la notación D. Por ejemplo, la ecuación diferencial y 5y 6y 5x 3 se puede escribir como D2 y 5Dy 6y 5x – 3 o (D2 5D 6)y 5x 3. Usando la ecuación (8), se pueden escribir las ecuaciones diferenciales lineales de n-énesimo orden (6) y (7) en forma compacta como L(y) 0 L(y) g(x), y respectivamente. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN En el siguiente teorema se ve que la suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución. TEOREMA 4.1.2 Principio de superposición; ecuaciones homogéneas Sean y1 , y2 , . . . , yk soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y c1y1(x) c2 y2(x) ck yk(x), donde las ci , i 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, también es una solu- ción en el intervalo. DEMOSTRACIÓN Se demuestra el caso k 2. Sea L el operador diferencial que se definió en (8) y sean y1 (x) y y2 (x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) 0. Si se define y c1 y1 (x) c2 y2 (x), entonces por la linealidad de L se tiene que L(y) L{c1y1(x) c2 y2(x)} c1 L(y1) c2 L(y2) c1 0 c2 0 0. Q Por favor recuerde estas dos suposiciones 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 121 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 121 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 121 6/4/09 12:18:01 PM 6/4/09 12:18:01 PM www.FreeLibros.me
- 161. 122 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COROLARIOS DEL TEOREMA 4.1.2 A) Un múltiplo constante y c1 y1 (x) de una solución y1 (x) de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución. B) Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución tri- vial y 0. EJEMPLO 4 Superposición; ED homogénea Las funciones y1 x2 y y2 x2 ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea x3 y 2xy 4y 0 en el intervalo (0, ). Por el principio de superposición, la combinación lineal y c1x2 c2x2 ln x es también una solución de la ecuación en el intervalo. La función y e7x es una solución de y 9y 14y 0. Debido a que la ecua- ción diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y ce7x es también una solución. Para varios valores de c se ve que y 9e7x , y 0, y 15e7x, . . . son todas soluciones de la ecuación. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Los dos conceptos son básicos para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales. DEFINICIÓN 4.1.1 Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), . . . ,fn (x) es linealmente depen- diente en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , . . . ,cn no todas cero, tales que c1 f1(x) c2 f2(x) cn fn(x) 0 para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente de- pendiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un inter- valo I si las únicas constantes para las que c1 f1(x) c2 f2(x) cn fn(x) 0 para toda x en el intervalo son c1 c2 . . . cn 0. Es fácil entender estas definiciones para un conjunto que consiste en dos funciones f1 (x) y f2 (x). Si el conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, en- tonces existen constantes c1 y c2 que no son ambas cero de manera tal que, para toda x en el intervalo, c1 f1 (x) c2 f2 (x) 0. Por tanto, si suponemos que c1 0, se deduce que f1 (x) (c2 c1 )f2 (x); es decir, si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante del otro. A la inversa, si f1 (x) c2 f2 (x) para alguna constante c2 , entonces ( 1) f1 (x) c2 f2 (x) 0 para toda x en el intervalo. Por tanto, el conjunto de funciones es linealmente dependiente porque al menos una de las constantes (en particular, c1 1) no es cero. Se concluye que un conjunto de dos funciones f1 (x) y f2 (x) es linealmente independiente cuando ninguna función es un múltiplo constante de la otra en el intervalo. Por ejemplo, el conjunto de funciones f1 (x) sen 2x, f2 (x) sen x cos x es linealmente dependiente en (, ) porque f1 (x) es un múltiplo constante de f2 (x). Recuerde de la fórmula del seno del doble de un ángulo que sen 2x 2 sen x cos x. Por otro lado, el conjunto de funciones f1 (x) x, f2 (x) x es li- nealmente independiente en (, ). Al examinar la figura 4.1.3 usted debe convencerse de que ninguna función es un múltiplo constante de la otra en el intervalo. FIGURA 4.1.3 El conjunto que consiste en f1 y f2 es linealmente independiente en (, ). f1 = x x y f2 = |x| x y a) b) 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 122 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 122 6/4/09 12:18:02 PM 6/4/09 12:18:02 PM www.FreeLibros.me
- 162. Del análisis anterior se tiene que el cociente f2 (x)f1 (x) no es una constante en un intervalo en el que el conjunto f1 (x), f2 (x) es linealmente independiente. Esto se usará en la siguiente sección. EJEMPLO 5 Conjunto de funciones linealmente dependiente El conjunto de funciones f1 (x) cos2 x, f2 (x) sen2 x, f3 (x) sec2 x, f4 (x) tan2 x es linealmente dependiente en el intervalo (p2, p2) porque c1 cos2 x c2 sen2 x c3 sec2 x c4 tan2 x 0 donde c1 c2 1, c3 1, c4 1. Aquí se usa cos2 x sen2 x 1 y 1 tan2 x sec2 x. Un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) es linealmente dependiente en un intervalo si por lo menos una función se puede expresar como una combinación lineal de las otras funciones. EJEMPLO 6 Conjunto de funciones linealmente dependientes El conjunto de funciones f1(x) 1x 5, f2(x) 1x 5x, f3 (x) x 1, f4 (x) x2 es linealmente dependientes en el intervalo (0, ) porque f2 puede escribirse como una combinación lineal de fl , f3 y f4 . Observe que f2(x) 1 f1(x) 5 f3(x) 0 f4(x) para toda x en el intervalo (0, ). SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Estamos interesados princi- palmente en funciones linealmente independientes o con más precisión, soluciones li- nealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque se podría apelar siempre en forma directa a la definición 4.1.1, resulta que la cuestión de si el conjunto de n soluciones yl , y2 , . . . , yn de una ecuación diferencial lineal homogénea de n- ésimo orden (6) es linealmente independiente se puede establecer en forma un poco mecánica usando un determinante. DEFINICIÓN 4.1.2 Wronskiano Suponga que cada una de las funciones f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) tiene al menos n 1 derivadas. El determinante W( f1, f2, . . . , fn ) f1 f1 f1 (n 1) f2 f2 f2 (n 1) fn fn fn (n 1) , donde las primas denotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones. TEOREMA 4.1.3 Criterio para soluciones linealmente independientes Sean yl , y2 , . . . , yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente in- dependiente en I si y sólo si W(yl , y2 , . . . , yn ) 0 para toda x en el intervalo. 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 123 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 123 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 123 6/4/09 12:18:02 PM 6/4/09 12:18:02 PM www.FreeLibros.me
- 163. 124 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Se tiene del teorema 4.1.3 que cuando yl , y2 , . . . , yn son n soluciones de (6) en un in- tervalo I, el Wronskiano W(yl , y2 , . . . , yn ) es igual a cero o nunca es cero en el intervalo. Al conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferen- cial lineal homogénea de n-ésimo orden se le da un nombre especial. DEFINICIÓN 4.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto yl , y2 , . . . , yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en un inter- valo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La respuesta a la cuestión básica sobre la existencia de un conjunto fundamental de soluciones para una ecuación lineal está en el siguiente teorema. TEOREMA 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial li- neal homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I. Similar al hecho de que cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes i, j, k, cual- quier solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I se expresa como una combinación lineal de n soluciones linealmente inde- pendientes en I. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes yl , y2 , . . . , yn son los bloques básicos para la solución general de la ecuación. TEOREMA 4.1.5 Solución general; ecuaciones homogéneas Sea yl , y2 , . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación di- ferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y c1y1(x) c2 y2(x) cn yn(x), donde ci , i 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. El teorema 4.1.5 establece que si Y(x) es alguna solución de (6) en el intervalo, entonces siempre se pueden encontrar constantes Cl , C2 , . . . , Cn tales que Y(x) C1y1(x) C2 y2(x) Cn yn(x). Demostraremos el caso cuando n 2. DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y yl y y2 soluciones linealmente independientes de a2 y al y a0 y 0 en un intervalo I. Suponga que x t es un punto en I para el cual W(yl (t), y2 (t)) 0. Suponga también que Y(t) kl y Y(t) k2 . Si ahora exa- minamos las ecuaciones C1y1(t) C2 y2(t) k2, C1y1(t) C2 y2(t) k1 se tiene que podemos determinar Cl y C2 de manera única, a condición de que el deter- minante de los coeficientes satisfaga y1(t) y1(t) y2(t) y2(t) 0. 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 124 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 124 6/4/09 12:18:03 PM 6/4/09 12:18:03 PM www.FreeLibros.me
- 164. Pero este determinante es simplemente el Wronskiano evaluado en x t y por supo- sición, W 0. Si se define G(x) Cl yl (x) C2 y2 (x), se observa que G(x) satisface la ecuación diferencial puesto que es una superposición de dos soluciones conocidas; G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) C1y1(t) C2 y2(t) k1 y G (t) C1y1(t) C2 y2(t) k2; y Y(x) satisface la misma ecuación lineal y las mismas condiciones iniciales. Debido a que la solución de este problema con valores iniciales lineal es única (teorema 4.1.1), se tiene Y(x) G(x) o Y(x) Cl yl (x) C2 y2 (x). EJEMPLO 7 Solución general de una ED homogénea Las funciones yl e3x y y2 e3x son soluciones de la ecuación lineal homogénea y – 9y 0 en el intervalo (, ). Por inspección las soluciones son linealmente inde- pendientes en el eje x. Este hecho se corrobora al observar que el Wronskiano W(e3x , e 3x ) e3x 3e3x e 3x 3e 3x 6 0 para toda x. Se concluye que yl y y2 forman un conjunto fundamental de soluciones y por tanto, y c1 e3x c2 e3x es la solución general de la ecuación en el intervalo. EJEMPLO 8 Una solución obtenida de una solución general La función y 4 senh 3x 5e3x es una solución de la ecuación diferencial del ejemplo 7. (Compruebe esto.) Aplicando el teorema 4.1.5, debe ser posible obtener esta solu- ción a partir de la solución general y c1 e3x c2 e3x . Observe que si se elige c1 2 y c2 7, entonces y 2e3x 7e3x puede rescribirse como y 2e3x 2e 3x 5e 3x 4 e3x e 3x 2 5e 3x . Esta última expresión se reconoce como y 4 senh 3x 5e3x . EJEMPLO 9 Solución general de una ED homogénea Las funciones y1 ex , y2 e2x y y3 e3x satisfacen la ecuación de tercer orden y 6y l1y 6y 0. Puesto que W(ex , e2x , e3x ) p ex ex ex e2x 2e2x 4e2x e3x 3e3x 9e3x p 2e6x 0 para todo valor real de x, las funciones y1 , y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (, ). Se concluye que y c1 ex c2 e2x c3 e3x es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo. 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS Cualquier función yp libre de parámetros arbitrarios, que satisface (7) se dice que es una solución particular o integral particular de la ecuación. Por ejemplo, es una tarea directa demostrar que la función constante yp 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y 9y 27. 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 125 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 125 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 125 6/4/09 12:18:03 PM 6/4/09 12:18:03 PM www.FreeLibros.me
- 165. 126 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ahora si yl , y2 , . . . , yk son soluciones de (6) en un intervalo I y yp es cualquier solución particular de (7) en I, entonces la combinación lineal y c1y1(x) c2y2(x) ckyk(x) yp (10) es también una solución de la ecuación no homogénea (7). Si piensa al respecto, esto tiene sentido, porque la combinación lineal cl yl (x) c2 y2 (x) . . . ck yk (x) se transforma en 0 por el operador L an Dn an 1 Dn 1 . . . a1 D a0 , mientras que yp se convierte en g(x). Si se usa k n soluciones linealmente independientes de la ecuación de n-ésimo orden (6), entonces la expresión en (10) se convierte en la solución general de (7). TEOREMA 4.1.6 Solución general; ecuaciones no homogéneas Sea yp cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal no homo- génea de n-ésimo orden (7) en un intervalo I, y sea yl , y2 , . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (6) en I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp , donde las ci , i 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. DEMOSTRACIÓN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y yp (x) soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y) g(x). Si se define u(x) Y(x) – yp (x), entonces por la linealidad de L se tiene L(u) L{Y(x) yp (x)} L(Y(x)) L(yp (x)) g(x) g(x) 0. Esto demuestra que u(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) 0. Así por el teorema 4.1.5, u(x) cl yl (x) c2 y2 (x) . . . cn yn (x), y así o Y(x) c1y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp(x). Y(x) yp(x) c1y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) FUNCIÓN COMPLEMENTARIA Vemos en el teorema 4.1.6 que la solución general de una ecuación lineal no homogénea está compuesta por la suma de dos funciones: y c1y1(x) c2y2(x) cnyn(x) yp(x) yc(x) yp(x). La combinación lineal yc (x) cl yl (x) c2 y2 (x) . . . cn yn (x), que es la solución ge- neral de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea, primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se encuentra una solución particular de la ecua- ción no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es entonces y función complementaria cualquier solución particular yc yp . EJEMPLO 10 Solución general de una ED no homogénea Por sustitución, se demuestra con facilidad que la función yp 11 12 1 2 x es una solución particular de la ecuación no homogénea y 6y 11y 6y 3x. (11) 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 126 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 126 6/4/09 12:18:04 PM 6/4/09 12:18:04 PM www.FreeLibros.me
- 166. Para escribir la solución general de (11), también se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada y 6y 11y 6y 0. Pero en el ejemplo 9 vimos que la solución general de esta última ecuación en el intervalo (, ) fue yc cl ex c2 e2x c3 e3x . Por tanto la solución general de (11) en el intervalo es y yc yp c1ex c2e2x c3e3x 11 12 1 2 x. OTRO PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El último teorema de este análisis se usará en la sección 4.4 cuando se considera un método para encontrar soluciones par- ticulares de ecuaciones no homogéneas. TEOREMA 4.1.7 Principio de superposición; ecuaciones no homogéneas Sean yp1 , yp2 , . . . , ypk k soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (7) en un intervalo I que corresponde, a su vez, a k funciones diferentes g1 , g2 , . . . , gk . Es decir, se supone que ypi denota una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente an(x)y(n) an 1(x)y(n 1) a1(x)y a0(x)y gi(x), (12) donde i 1, 2, . . . , k. Entonces yp yp1 (x) yp2 (x) ypk (x) (13) es una solución particular de g1(x) g2(x) gk(x). an(x)y(n) an 1(x)y(n 1) a1(x)y a0(x)y (14) DEMOSTRACIÓN Se demuestra el caso k 2. Sea L el operador diferencial de- finido en (8) y sean yp1 (x) y yp2 (x) soluciones particulares de las ecuaciones no ho- mogéneas L(y) g1 (x) y L(y) g2 (x), respectivamente. Si definimos yp yp1 (x) yp2 (x), queremos demostrar que yp es una solución particular de L(y) g1 (x) g2 (x). Nuevamente se deduce el resultado por la linealidad del operador L: L(yp) L{yp1 (x) yp2 (x)} L(yp1 (x)) L(yp2 (x)) g1(x) g2(x). EJEMPLO 11 Superposición, ED no homogénea Usted debe comprobar que es una solución particular de es una solución particular de yp3 xex yp2 e2x yp1 4x2 es una solución particular de y 3y 4y 2xex ex . y 3y 4y 2e2x , y 3y 4y 16x2 24x 8, Se tiene de (13) del teorema 4.1.7 que la superposición de yp1 , yp2 , y yp3 , y yp1 yp2 yp3 4x2 e2x xex , es una solución de y 3y 4y 16x2 24x 8 2e2x 2xex ex. g1(x) g3(x) g2(x) 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 127 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 127 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 127 6/4/09 12:18:04 PM 6/4/09 12:18:04 PM www.FreeLibros.me
- 167. 128 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR NOTA Si las ypi son soluciones particulares de (12) para i 1,2, . . . , k, entonces la combinación lineal yp c1yp1 c2 yp2 ck ypk , donde las ci son constantes, es también una solución particular de (14) cuando el miembro del lado derecho de la ecuación es la combinación lineal c1g1(x) c2 g2(x) ck gk(x). Antes de que empecemos a resolver realmente ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas, se necesita un poco más de la teoría, que se presenta en la siguiente sección. COMENTARIOS Esta observación es una continuación del breve análisis de sistemas dinámicos que se presentó al final de la sección 1.3. Un sistema dinámico cuya regla o modelo matemático es una ecuación di- ferencial lineal de n-ésimo orden an(t)y(n) an 1(t)y(n 1) a1(t)y a0(t)y g(t) se dice que es un sistema lineal de n-ésimo orden. Las n funciones dependientes del tiempo y(t), y(t), . . . , y(n1) (t) son las variables de estado del sistema. Recuerde que sus valores en el tiempo t dan el estado del sistema. La función g tiene varios nombres: función de entrada, función de fuerza o función de excitación. Una solución y(t) de la ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones establecidas en el teorema 4.1.1, la salida o respuesta y(t) se determina de manera única por la entrada y el estado del sistema prescritos en el tiempo t0 ; es decir, por las condiciones iniciales y(t0 ), y(t0 ), . . . , y(n1) ( t0 ). Para que un sistema dinámico sea un sistema lineal es necesario que se cumpla en el sistema el principio de superposición (teorema 4.1.7); es decir, la respuesta del sistema a una superposición de entradas es una superposición de salidas. Ya se analizaron algunos de los sistemas lineales simples en la sección 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la sección 5.l se examinan sistemas lineales en los que los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden. EJERCICIOS 4.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. 4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA En los problemas 1 a 4 la familia de funciones que se propor- ciona es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre un miembro de la familia que sea una solución del problema con valores iniciales. 1. y c1 ex c2 ex , (, ); y y 0, y(0) 0, y(0) 1 2. y c1 e4x c2 ex , (, ); y 3y 4y 0, y(0) 1, y(0) 2 3. y c1 x c2 x ln x, (0, ); x2 y xy y 0, y(1) 3, y(1) 1 4. y c1 c2 cos x c3 sen x, (, ); y y 0, y(p) 0, y(p) 2, y(p) 1 5. Dado que y c1 c2 x2 es una familia de dos parámetros de soluciones de xy y 0 en el intervalo (, ), demuestre que no se pueden encontrar las constantes c1 y c2 tales que un miembro de la familia satisface las condi- ciones iniciales y(0) 0, y(0) 1. Explique por qué esto no viola el teorema 4.1.1. 6. Encuentre dos miembros de la familia de soluciones del problema 5 que satisfagan las condiciones iniciales y(0) 0, y(0) 0. 7. Como x(t) c1 cos vt c2 sen vt es la solución general de x v2 x 0 en el intervalo (, ), demuestre que una solución que satisface las condiciones iniciales x(0) x0 , x(0) x1 está dada por x(t) x0 cos t x1 sen t. v v v 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 128 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 128 6/4/09 12:18:05 PM 6/4/09 12:18:05 PM www.FreeLibros.me
- 168. 8. Use la solución general de x v2 x 0 que se da en el problema 7 para demostrar que una solución que satisface las condiciones iniciales x(t0 ) x0 , x(t0 ) x1 es la solu- ción dada en el problema 7 cambiada por una cantidad t0 : x(t) x0 cos (t t0 ) x1 sen (t t0 ). v v v En los problemas 9 y 10 encuentre un intervalo centrado en x 0 para el cual el problema con valores iniciales dado tiene una solución única. 9. (x 2)y 3y x, y(0) 0, y(0) 1 10. y (tan x)y ex , y(0) 1, y(0) 0 11. a) Utilice la familia del problema 1 para encontrar una solución de y y 0 que satisfaga las condiciones en la frontera y(0) 0, y(l) 1. b) La ED del inciso a) tiene la solución general alterna- tiva y c3 cosh x c4 senh x en (, ). Use esta familia para encontrar una solución que satisfaga las condiciones en la frontera del inciso a). c) Demuestre que las soluciones de los incisos a) y b) son equivalentes. 12. Use la familia del problema 5 para encontrar una solución de xy – y 0 que satisfaga las condiciones en la fron- tera y(0) 1, y(1) 6. En los problemas 13 y 14 la familia de dos parámetros dada es una solución de la ecuación diferencial que se indica en el in- tervalo (, ). Determine si se puede encontrar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones en la frontera. 13. y c1 ex cos x c2 ex sen x; y 2y 2y 0 a) y(0) 1, y(p) 0 b) y(0) 1, y(p) 1 c) y(0) 1, y 2 1 d) y(0) 0, y(p) 0. 14. y c1 x2 c2 x4 3; x2 y 5xy 8y 24 a) y(1) 0, y(1) 4 b) y(0) 1, y(1) 2 c) y(0) 3, y(1) 0 d) y(1) 3, y(2) 15 4.1.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS En los problemas 15 a 22 determine si el conjunto de funcio- nes es linealmente independiente en el intervalo (, ). 15. f1 (x) x, f2 (x) x2 , f3 (x) 4x 3x2 16. f1 (x) 0, f2 (x) x, f3 (x) ex 17. f1 (x) 5, f2 (x) cos2 x, f3 (x) sen2 x 18. f1 (x) cos 2x, f2 (x) 1, f3 (x) cos2 x 19. f1 (x) x, f2 (x) x 1, f3 (x) x 3 20. f1 (x) 2 x, f2 (x) 2 x 21. f1 (x) 1 x, f2 (x) x, f3 (x) x2 22. f1 (x) ex , f2 (x) ex , f3 (x) senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecua- ción diferencial en el intervalo que se indica. Forme la so- lución general. 23. y y 12y 0; e3x , e4x , (, ) 24. y 4y 0; cosh 2x, senh 2x, (, ) 25. y 2y 5y 0; ex cos 2x, ex sen 2x, (, ) 26. 4y 4y y 0; ex/2 , xex/2 , (, ) 27. x2 y 6xy 12y 0; x3 , x4 , (0, ) 28. x2 y xy y 0; cos(ln x), sen(ln x), (0, ) 29. x3 y 6x2 y 4xy 4y 0; x, x2 , x2 ln x, (0, ) 30. y(4) y 0; 1, x, cos x, sen x, (, ) 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS En los problemas 31 a 34 compruebe que dada la familia de so- luciones de dos parámetros, se trata de la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado. 31. y 7y 10y 24ex ; y c1 e2x c2 e5x 6ex , (, ) 32. y y sec x; y c1 cos x c2 sen x x sen x (cos x) ln(cos x), (p2, p2) 33. y 4y 4y 2e2x 4x 12; y c1 e2x c2 xe2x x2 e2x x 2, (, ) 34. 2x2 y 5xy y x2 x; y c1x 1/2 c2x 1 1 15 x2 1 6 x, (0, ) 35. a) Compruebe que yp1 3e2x y yp2 x2 3x son, respec- tivamente, soluciones particulares de y y 6y 5y 5x2 3x 16. y 6y 5y 9e2x b) Use el inciso a) para encontrar soluciones particula- res de y y 6y 5y 10x2 6x 32 e2x . y 6y 5y 5x2 3x 16 9e2x 36. a) Por inspección encuentre una solución particular de y 2y 10. b) Por inspección encuentre una solución particular de y 2y 4x. c) Encuentre una solución particular de y 2y 4x 10. d) Determine una solución particular de y 2y 8x 5. 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 129 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 129 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 129 6/4/09 12:18:05 PM 6/4/09 12:18:05 PM www.FreeLibros.me
- 169. 130 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Problemas para analizar 37. Sea n 1, 2, 3, . . . . Analice cómo pueden utilizarse las observaciones Dn xnl 0 y Dn xn n! para encontrar so- luciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. a) y 0 b) y 0 c) y(4) 0 d) y 2 e) y 6 f) y(4) 24 38. Suponga que y1 ex y y2 ex son dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué y3 cosh x y y4 senh x son también soluciones de la ecuación. 39. a) Compruebe que y1 x3 y y2 x3 son soluciones li- nealmente independientes de la ecuación diferencial x2 y 4xy 6y 0 en el intervalo (, ). b) Demuestre que W(y1 , y2 ) 0 para todo número real x. ¿Este resultado viola el teorema 4.1.3? Explique. c) Compruebe que Y1 x3 y Y2 x2 son también so- luciones linealmente independientes de la ecuación diferencial del inciso a) en el intervalo (, ). d) Determine una solución de la ecuación diferencial que satisfaga y(0) 0, y(0) 0. e) Por el principio de superposición, teorema 4.1.2, ambas combinaciones lineales y c1 y1 c2 y2 y Y c1 Y1 c2 Y2 son soluciones de la ecuación diferencial. Analice si una, ambas o ninguna de las combinacio- nes lineales es una solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (, ). 40. ¿El conjunto de funciones f1 (x) ex 2 , f2 (x) ex 3 es linealmente dependiente o independiente en (, )? Explique. 41. Suponga que yl , y2 , . . . , yk son k soluciones linealmente independientes en (, ) de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden con coeficientes constantes. Por el teorema 4.1.2 se tiene que yk1 0 es también una solución de la ecuación diferencial. ¿Es el conjunto de soluciones yl , y2 , . . . , yk , yk1 linealmente dependiente o independiente en (,)? Explique. 42. Suponga que yl , y2 , . . . , yk son k soluciones no triviales de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden con coeficientes constantes y que k n 1. ¿Es el conjunto de soluciones yl , y2 , . . . , yk linealmente depen- diente o independiente en (, )? Explique. REDUCCIÓN DE ORDEN REPASO DE MATERIAL O Sección 2.5 (utilizando una sustitución). O Sección 4.1. INTRODUCCIÓN En la sección anterior vimos que la solución general de una ecuación diferen- cial lineal homogénea de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (1) es una combinación lineal y c1 y1 c2 y2 , donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un con- junto linealmente independiente en cierto intervalo I. Al comienzo de la siguiente sección se analiza un método para determinar estas soluciones cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y sólo produce una solu- ción simple y1 de la ED. En estos casos se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación homogénea (1) (aun cuando los coeficientes en (1) son variables) siempre que se conozca una solución no trivial y1 de la ED. La idea básica que se describe en esta sección es que la ecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución conocida y1 . Una segunda solución y2 de (1) es evidente después de resolver la ED de primer orden. 4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que y1 se define en un intervalo I. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un con- junto linealmente independiente en I. Recuerde de la sección 4.1 que si y1 y y2 son lineal- mente independientes, entonces su cociente y2 y1 no es constante en I, es decir, y2 (x) y1 (x) u(x) o y2(x) u(x)y1(x). La función u(x) se determina al sustituir y2 (x) u(x)y1 (x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u. 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 130 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 130 6/4/09 12:18:06 PM 6/4/09 12:18:06 PM www.FreeLibros.me
- 170. EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden Dado que y1 ex es una solución de y y 0 en el intervalo (, ), use reducción de orden para determinar una segunda solución y2 . SOLUCIÓN Si y u(x)y1 (x) u(x)ex , entonces aplicando la regla del producto se obtiene por tanto y y ex (u 2u ) 0. y uex ex u , y uex 2ex u ex u , Puestoqueex 0,laúltimaecuaciónrequierequeu2u0.Sisehacelasustitución w u, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en w 2w 0, que es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x , se puede escribir d dx [e2x w] 0. Después de integrar, se obtiene w c1 e2x o u cl e2x . Al integrar de nuevo se obtiene u 1 2 c1e 2x c2. Así y u(x)ex c1 2 e x c2ex . (2) Haciendo c2 0 y c1 2, se obtiene la segunda solución deseada, y2 ex . Puesto que W(ex , ex ) 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (, ). Puesto que se ha demostrado que y1 ex y y2 ex son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en realidad la solución general de y y 0 en (, ). CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2 (x) para escribir la ecuación (1) en la forma estándar y P(x)y Q(x)y 0, (3) donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1 (x) es una solución conocida de (3) en I y que y1 (x) 0 para toda x en el intervalo. Si se define y u(x)y1 (x), se tiene que y uy1 y1u , y uy1 2y1u y1u y Py Qy u[y1 Py1 Qy1] y1u (2y1 Py1)u 0. cero Esto implica que se debe tener y1u (2y1 Py1)u 0 o y1w (2y1 Py1)w 0, (4) donde hacemos que w u. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como separable. Separando las variables e integrando, se obtiene . ln wy1 2 P dx c wy1 2 c1e P dx dw w 2 y1 y1 dx P dx 0 Despejamos a w de la última ecuación, usamos w u e integrando nuevamente: . u c1 e P dx y1 2 dx c2 4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN O 131 o 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 131 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 131 6/4/09 12:18:07 PM 6/4/09 12:18:07 PM www.FreeLibros.me
- 171. 132 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Eligiendo c1 1 y c2 0, se encuentra de y u(x)y1 (x) que una segunda solución de la ecuación (3) es y2 y1(x) e P(x) dx y1 2 (x) dx. (5) Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2 (x) que se define en (5) satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún inter- valo en el que y1 (x) no es cero. EJEMPLO 2 Una segunda solución por la fórmula (5) La función y1 x2 es una solución de x2 y 3xy 4y 0. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ). SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación, encontramos de (5) . x2 dx x x2 ln x ; e3 d x /x eln x3 x3 y2 x2 e3 dx /x x4 dx y 3 x y 4 x2 y 0, La solución general en el intervalo (0, ) está dada por y c1 y1 c2 y2 ; es decir, y c1 x2 c2 x2 ln x. COMENTARIOS i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fór- mula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden. ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y g(x) siempre que se conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas 17 a 20 en los ejercicios 4.2. EJERCICIOS 4.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. En los problemas 1 a 16 la función indicada y1 (x) es una so- lución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución y2 (x). 1. y 4y 4y 0; y1 e2x 2. y 2y y 0; y1 xex 3. y 16y 0; y1 cos 4x 4. y 9y 0; y1 sen 3x 5. y y 0; y1 cosh x 6. y 25y 0; y1 e5x 7. 9y 12y 4y 0; y1 e2x/3 8. 6y y y 0; y1 ex/3 9. x2 y 7xy 16y 0; y1 x4 10. x2 y 2xy 6y 0; y1 x2 11. xy y 0; y1 ln x 12. 4x2 y y 0; y1 x1/2 ln x 13. x2 y xy 2y 0; y1 x sen(ln x) 14. x2 y 3xy 5y 0; y1 x2 cos(ln x) 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 132 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 132 6/4/09 12:18:07 PM 6/4/09 12:18:07 PM www.FreeLibros.me
- 172. 15. (1 2x x2 )y 2(1 x)y 2y 0; y1 x 1 16. (1 x2 )y 2xy 0; y1 1 En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1 (x) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método de reducción de orden para determinar una segunda solución y2 (x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea dada. 17. y 4y 2; y1 e2x 18. y y 1; y1 1 19. y 3y 2y 5e3x ; y1 ex 20. y 4y 3y x; y1 ex Problemas para analizar 21. a) Proporcione una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b, y c constantes, tiene siempre cuando menos una solu- ción de la forma y1 em1x , m1 es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial que se pro- porciona en el inciso a) debe tener una segunda solu- ción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1x , m1 y m2 son constantes. c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5? 22. Compruebe que y1 (x) x es una solución de xy – xy y 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución y2 (x) en la forma de una serie infinita. Estime un intervalo de definición para y2 (x). Tarea para el laboratorio de computación 23. a) Compruebe que y1 (x) ex es una solución de xy (x 10)y 10y 0. b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solu- ción y2 (x). Usando un SAC realice la integración que se requiere. c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2, por qué la segunda solución puede escribirse en forma compacta como . y2(x) 10 n 0 1 n! xn ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES REPASO DE MATERIAL O Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5. O Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales. INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogé- neas ay by 0, donde los coeficientes a 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución, uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación: despejando y de la ecuación ay by 0 se obtiene y ky, donde k es una constante. Esta obser- vación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial emx . Ahora el nuevo método de solución: si sustituimos y emx y y memx en ay by 0, se obtiene amemx bemx 0 o emx (am b) 0. Como emx nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 0. Para este único valor de m, y emx es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2y 5y 0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y emx en la ED; sólo se tiene que formar la ecuación 2m 5 0 y despejar m. De m 5 2 se concluye que y e5x/2 es una solución de 2y 5y 0, y su solución general en el intervalo (, ) es y c1 e5x/2 . En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las ED lineales homogéneas de orden superior, an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y 0, (1) donde los coeficientes ai , i 0, 1, . . . , n son constantes reales y an 0. 4.3 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES O 133 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 133 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 133 6/4/09 12:18:08 PM 6/4/09 12:18:08 PM www.FreeLibros.me
- 173. 134 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden ay by cy 0, (2) donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y emx , entonces después de sustituir y memx y y m2 emx , la ecuación (2) se convierte en am2 emx bmemx cemx 0 o emx (am2 bm c) 0. Como en la introducción se argumenta que debido a que emx 0 para toda x, es obvio que la única forma en que y emx puede satisfacer la ecuación diferencial (2) es cuando se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática am2 bm c 0. (3) Estaúltimaecuaciónsellamaecuaciónauxiliardelaecuacióndiferencial(2).Comolas dos raíces de (3) son m1 ( b 1b2 4ac) 2a y m2 ( b 1b2 4ac) 2a, habrá tres formas de la solución general de (2) que corresponden a los tres casos: • ml y m2 reales y distintas (b2 4ac 0), • ml y m2 reales e iguales (b2 4ac 0), y • ml y m2 números conjugados complejos (b2 4ac 0). Analicemos cada uno de estos casos. CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Bajo la suposición de que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales desiguales ml y m2 , encontramos dos soluciones, y1 em1x y y2 em2x . Vemos que estas funciones son linealmente independientes en (, ) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de (2) en este intervalo es y c1em1x c2em2x . (4) CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml m2 , necesariamente se ob- tiene sólo una solución exponencial, y1 em1x . De la fórmula cuadrática se encuentra que ml b2a puesto que la única forma en que se tiene que ml m2 es tener b2 4ac 0. Tenemos de (5) en la sección 4.2 que una segunda solución de la ecuación es y2 em1x e2m1x e2m1x dx em1x dx xem1x . (5) En (5) hemos usado el hecho de que –ba 2m1 . La solución general es entonces y c1em1x c2xem1x . (6) CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y m2 son complejas, enton- ces se puede escribir ml a ib y m2 a ib, donde a y b 0 son reales i2 1. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por tanto, y C1e(a i )x C2e(a i )x . Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de expo- nenciales complejas. Con este fin se usa la fórmula de Euler: ei cos i sen , donde u es cualquier número real.* Se tiene de esta fórmula que ei x cos x i sen x y e i x cos x i sen x, (7) * Una deducción formal de la fórmula de Euler se obtiene de la serie de Maclaurin ex n 0 xn n! sustituyendo x iu, con i2 1, i3 i, . . . y después separando la serie en las partes real e imaginaria. Así se establece la plausibilidad, por lo que podemos adoptar a cos u i sen u como la definición de eiu . 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 134 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 134 6/4/09 12:18:08 PM 6/4/09 12:18:08 PM www.FreeLibros.me
- 174. donde se usaron cos(bx) cos bx y sen(bx) sen bx. Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en (7), se obtiene, respectivamente, ei x e i x 2 cos x y ei x e i x 2i sen x. Puesto que y C1 e(aib)x C2 e(aib)x es una solución de (2) para alguna elección de las constantes C1 y C2 , las elecciones C1 C2 1 y C1 1, C2 1 dan, a su vez, dos soluciones: Pero y y2 eax (ei x e i x ) 2ieax sen x. y1 eax (ei x e i x ) 2eax cos x y1 e(a i )x e(a i )x y2 e(a i )x e(a i )x . y Por tanto, del corolario A) del teorema 4.1.2, los dos últimos resultados muestran que eax cos bx y eax sen bx son soluciones reales de (2). Además, estas soluciones forman un conjunto fundamental en (, ). Por tanto, la solución general es y c1eax cos x c2eax sen x eax (c1 cos x c2 sen x). (8) EJEMPLO 1 ED de segundo orden Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. a) 2y 5y 3y 0 b) y 10y 25y 0 c) y 4y 7y 0 SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes. a) 2m2 5m 3 (2m 1)(m 3) 0, , m2 3 m1 1 2 De (4), y c1 ex/2 c2 e3x . b) m2 10m 25 (m 5)2 0, m1 m2 5 De (6), y c1 e5x c2 xe5x . c) m2 4m 7 0, m1 2 23i, m2 2 23i De (8) con 2, 23, y e 2x (c1 cos 23x c2 sen 23x). EJEMPLO 2 Un problema con valores iniciales Resuelva 4y 4y 17y 0, y(0) 1, y(0) 2. SOLUCIÓN Usando la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar 4m2 4m 17 0 son m1 1 2 2i y . m2 1 2 2i Por tanto, de la ecuación (8) se tiene que y ex/2 (c1 cos 2x c2 sen 2x). Aplicando la condición y(0) 1, se observa de e0 (c1 cos 0 c2 sen 0) 1 que c1 1. Derivando y ex/2 ( cos 2x c2 sen 2x) y después usando y(0) 2, se obtiene 2c2 2 o c2 . 2 ) 3 4 1 2 Por tanto, la solución del PVI es y e x/2 ( cos 2x sen 2x) 3 4 . En la figura 4.3.1 vemos que la solución es oscilatoria, pero y : 0 conforme x : y y : conforme x : . DOS ECUACIONES QUE MERECEN CONOCERSE Las dos ecuaciones diferenciales y k2 y 0 y , y k2 y 0 FIGURA 4.3.1 Curva solución del PVI del ejemplo 2. x y 4 5 _4 _2 2 _3 _1 1 3 4 _2 _3 2 1 _1 3 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES O 135 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 135 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 135 6/4/09 12:18:09 PM 6/4/09 12:18:09 PM www.FreeLibros.me
- 175. 136 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde k es real, son importantes en matemáticas aplicadas. Para y k2 y 0, la ecua- ción auxiliar m2 k2 0 tienen raíces imaginarias m1 ki y m2 ki. Con a 0 y b k en (8) se ve que la solución general de la ED es y c1 cos kx c2 senkx. (9) Por otra parte, la ecuación auxiliar m2 k2 0 para y k2 y 0 tiene raíces reales distintas m1 k y m2 k, y así por la ecuación (4) la solución general de la ED es y c1ekx c2e kx . (10) Observe que si se elige 1 c1 c2 1 2 c1 1 2, c2 1 2 y en (l0), se obtienen las soluciones particulares . y 1 2 (ekx e kx ) cosh kx y 1 2 (ekx e kx ) senhkx 1 2 2 1 2 2 2 y y Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en algún intervalo del eje x, una forma alternativa para la solución general de y k2 y 0 es y c1 cosh kx c2 senhkx. (11) Vea los problemas 41 y 42 de los ejercicios 4.3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En general, para resolver una ecuación di- ferencial de n-ésimo orden (1) donde ai , i 0, 1, . . . , n son constantes reales, se debe resolver una ecuación polinomial de n-ésimo grado anmn an 1mn 1 a2m2 a1m a0 0. (12) Si todas las raíces de (12) son reales y distintas, entonces la solución general de (1) es y c1em1x c2em2x cnemnx . Es un poco difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecua- ción auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, o cinco raíces reales pero iguales, o cinco raíces reales pero dos de ellas iguales, etc. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, k raíces son iguales a m1 ), es posible demostrar que las soluciones linealmente independientes son em1x , xem1x , x2 em1x , . . . , xk 1 em1x y la solución general debe contener la combinación lineal c1em1x c2xem1x c3x2 em1x ck xk 1 em1x . Por último, se debe recordar que cuando los coeficientes son reales, las raíces com- plejas de una ecuación auxiliar siempre se presentan en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más dos raíces complejas. EJEMPLO 3 ED de tercer orden Resuelva y 3y 4y 0. SOLUCIÓN Debe ser evidente de la inspección de m3 3m2 4 0 que una raíz es m1 1, por tanto, m 1 es un factor de m3 3m2 4. Dividiendo se encuentra que m3 3m2 4 (m 1)(m2 4m 4) (m 1)(m 2)2 , así las raíces son m2 m3 2. Así, la solución general de la ED es y c1 ex c2 e2x c3 xe2x . 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 136 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 136 6/4/09 12:18:10 PM 6/4/09 12:18:10 PM www.FreeLibros.me
- 176. EJEMPLO 4 ED de cuarto orden Resuelva d4 y dx4 2 d2 y dx2 y 0. SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m4 2m2 1 (m2 1)2 0 tiene raíces m1 m3 i y m2 m4 i. Así, del caso II la solución es y C1eix C2e ix C3 xeix C4xe ix . Por la fórmula de Euler el grupo C1 eix C2 eix se puede rescribir como c1 cos x c2 senx después de redefinir de nuevo las constantes. De manera similar, x(C3 eix C4 eix ) se puede expresar como x(c3 cos x c4 sen x). Por tanto, la solución general es y c1 cos x c2 senx c3x cos x c4x senx. El ejemplo 4 ilustra un caso especial cuando la ecuación auxiliar tiene raíces repeti- das complejas. En general, si m1 a ib, b 0 es una raíz compleja de multiplicidad k de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, entonces su conjugada m2 a ib es también una raíz de multiplicidad k. De las 2k soluciones con valores complejos e(a i )x , xe(a i )x , x2 e(a i )x , . . . , xk 1 e(a i )x , e(a i )x , xe(a i )x , x2 e(a i )x , . . . , xk 1 e(a i )x , concluimos, con la ayuda de la fórmula de Euler, que la solución general de la ecua- ción diferencial correspondiente debe tener una combinación lineal de las 2k solucio- nes reales linealmente independientes. eax cos x, xeax cos x, x2 eax cos x, . . . , xk 1 eax cos x, b b b b eax sen x, xeax sen x, x2 eax sen x, , . . . xk 1 eax sen x. b b b b En el ejemplo 4 identificamos k 2, a 0 y b 1. Por supuesto, el aspecto más difícil de resolver ecuaciones diferenciales de coefi- cientes constantes es determinar las raíces de ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos. Por ejemplo, para resolver 3y 5y 10y 4y 0, debemos resolver 3m3 5m2 10m 4 0. Algo que se puede intentar es probar la ecuación auxiliar para raíces racionales. Recuerde que si m1 pq es una raíz racional (en su mínima expresión) de una ecuación auxiliar an mn a1m a0 0 con coeficientes en- teros, entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an . Para la ecuación auxiliar cúbica específica, todos los factores de a0 4 y an 3 son p: 1, 2, 4 1 2 4 y q: 1, 3 por lo que las posibles raíces racionales son pq: 1, 2, 4, 1 3, 2 3, 4 3 .Entonces se puede probar cada uno de estos números, digamos, por división sintética. De esta forma se descubre la raíz m1 1 3 y la factorización 3m3 5m2 10m 4 (m 1 3)(3m2 6m 12). De la fórmula cuadrática se obtienen las otras raíces m2 1 i 23 y m3 1 i 23 . Por tanto, la solución general de 3y 5y 10y 4y 0 es 3 y c1ex/3 e x (c2 cos x c3 sen x). 23 23 USO DE COMPUTADORAS Determinar las raíces o aproximar las raíces de ecuacio- nes auxiliares es un problema de rutina con una calculadora apropiada o con un paquete de cómputo. Las ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor que cinco se re- suelven por medio de fórmulas algebraicas usando las instrucciones solve en Mathematica y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser necesario recurrir a comandos numéricos tales como NSolve y FindRoot en Mathematica. Debido a su ca- pacidad para resolver ecuaciones polinomiales, no es sorprendente que estos sistemas alge- 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES O 137 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 137 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 137 6/4/09 12:18:10 PM 6/4/09 12:18:10 PM www.FreeLibros.me
- 177. 138 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR braicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el equipo de cómputo necesario para resolver de manera eficaz ecuaciones tales como 4.317 d4 y dx4 2.179 d3 y dx3 1.416 d2 y dx2 1.295 dy dx 3.169y 0. (13) Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13). Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en el resultado, Mathematica genera la solución general (aproximada) y c1e 0.728852x cos(0.618605x) c2e 0.728852x sen(0.618605x) c3e0.476478x cos(0.759081x) c4e0.476478x sen(0.759081x). Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en, digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con las cuatro incógnitas (c1 , c2 , c3 y c4 en la solución general). Si se emplea un SAC para resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 59 y 60 del ejercicio 4.3 y el problema 35 en Repaso del capítulo 4. * McGraw-Hill, Nueva York, 1960. EJERCICIOS 4.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada. 1. 4y y 0 2. y 36y 0 3. y y 6y 0 4. y 3y 2y 0 5. y 8y 16y 0 6. y 10y 25y 0 7. 12y 5y 2y 0 8. y 4y y 0 9. y 9y 0 10. 3y y 0 11. y 4y 5y 0 12. 2y 2y y 0 13. 3y 2y y 0 14. 2y 3y 4y 0 En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada. 15. y 4y 5y 0 16. y y 0 17. y 5y 3y 9y 0 18. y 3y 4y 12y 0 19. d3 u dt3 d2 u dt2 2u 0 20. d3 x dt3 d2 x dt2 4x 0 21. y 3y 3y y 0 22. y 6y 12y 8y 0 23. y(4) y y 0 24. y(4) 2y y 0 25. 16 d4 y dx4 24 d2 y dx2 9y 0 26. d4 y dx4 7 d2 y dx2 18y 0 27. d5 u dr5 5 d4 u dr4 2 d3 u dr3 10 d2 u dr2 du dr 5u 0 28. 2 d5 x ds5 7 d4 x ds4 12 d3 x ds3 8 d2 x ds2 0 En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores iniciales 29. y 16y 0, y(0) 2, y(0) 2 30. d2 y d 2 y 0, y 3 0, y 3 2 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 138 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 138 6/4/09 12:18:11 PM 6/4/09 12:18:11 PM www.FreeLibros.me
- 178. 31. d2 y dt2 4 dy dt 5y 0, y(1) 0, y (1) 2 32. 4y 4y 3y 0, y(0) 1, y(0) 5 33. y y 2y 0, y(0) y(0) 0 34. y 2y y 0, y(0) 5, y(0) 10 35. y 12y 36y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7 36. y 2y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1 En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y 10y 25y 0, y(0) 1, y(1) 0 38. y 4y 0, y(0) 0, y(p) 0 39. y y 0, y (0) 0, y 2 0 40. y 2y 2y 0, y(0) 1, y(p) 1 En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11). 41. y 3y 0, y(0) 1, y(0) 5 42. y y 0, y(0) 1, y(1) 0 En los problemas 43 a 48 cada figura representa la gráfica de una solución particular de una de las siguientes ecuaciones diferenciales. a) y 3y 4y 0 b) y 4y 0 c) y 2y y 0 d) y y 0 e) y 2y 2y 0 f) y 3y 2y 0 Relacione una curva solución con una de las ecuaciones dife- renciales. Explique su razonamiento. Problemas para analizar 49. Las raíces de una ecuación cúbica auxiliar son m1 4 y m2 m3 5. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? Analice: ¿su respuesta es única? 50. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica con coeficien- tes reales son m1 1 2 y m2 3 i. ¿Cuál es la ecua- ción diferencial lineal homogénea correspondiente? x y FIGURA 4.3.2 Gráfica del problema 43. 43. x y FIGURA 4.3.3 Gráfica del problema 44. 44. x y FIGURA 4.3.4 Gráfica del problema 45. 45. x y FIGURA 4.3.5 Gráfica del problema 46. 46. π x y FIGURA 4.3.6 Gráfica del problema 47. 47. π x y FIGURA 4.3.7 Gráfica del problema 48. 48. 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES O 139 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 139 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 139 6/4/09 12:18:12 PM 6/4/09 12:18:12 PM www.FreeLibros.me
- 179. 140 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 51. Determine la solución general de y 6y y 34y 0 si se sabe que y1 e4x cos x es una solución. 52. Para resolver y(4) y 0, es necesario encontrar las raí- ces de m4 1 0. Este es un problema trivial si se uti- liza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que m4 1 (m2 1)2 2m2 . ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación diferen- cial. 53. Compruebe que y senh x 2 cos(x p6) es una so- lución particular de y(4) y 0. Reconcilie esta solución particular con la solución general de la ED. 54. Considere el problema con valores en la frontera y ly 0, y(0) 0, y(p2) 0. Analice: ¿es posible determi- nar valores de l tal que el problema tenga a) soluciones triviales?, b) ¿soluciones no triviales? Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 55 a 58 use una computadora ya sea como ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para obtener de forma directa la solución general de la ecuación diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución general, simplifique el resultado y si es necesario, escriba la solución en términos de funciones reales. 55. y 6y 2y y 0 56. 6.11y 8.59y 7.93y 0.778y 0 57. 3.15y(4) 5.34y 6.33y 2.03y 0 58. y(4) 2y y 2y 0 En los problemas 59 y 60 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes ci , i 1, 2, 3, 4 que resulta cuando se aplican las condiciones iniciales a la solución general. 59. 2y(4) 3y 16y 15y 4y 0, y(0) 2, y(0) 6, y(0) 3, y (0) 1 2 60. y(4) 3y 3y y 0, y(0) y(0) 0, y(0) y (0) 1 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN* REPASO DE MATERIAL O Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea an y(n) an 1 y(n 1) a1 y a0 y g(x), (1) se debe hacer dos cosas: • encontrar la función complementaria yc y • encontrar alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea (1). Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es y yc yp . La función complementaria yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir, . an y(n) an 1 y(n 1) a1 y a0 y 0 En la sección 4.3 vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constan- tes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares. 4.4 * Nota para el profesor: En esta sección el método de coeficientes indeterminados se desarrolla desde el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Elija el que convenga. 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 140 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 140 6/4/09 12:18:13 PM 6/4/09 12:18:13 PM www.FreeLibros.me
- 180. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS La primera de las dos for- mas que se consideran para obtener una solución particular yp de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. La idea fundamental detrás de este método es una conjetura acerca de la forma de yp , en realidad una intui- ción educada, motivada por las clases de funciones que forman la función de entrada g(x). El método general se limita a ED lineales como (1) donde • los coeficientes ai , i 0, 1, . . . , n son constantes y • g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial eax , una función seno o coseno sen bx o cos bx o sumas finitas y productos de estas funciones. NOTA Estrictamente hablando, g(x) k (constante) es una función polinomial. Puesto que probablemente una función constante no es lo primero en que se piensa cuando se consideran funciones polinomiales, para enfatizar continuaremos con la re- dundancia “funciones constantes, polinomios, . . . ”. Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas g(x) que son apropiadas para esta descripción: g(x) 10, g(x) x2 5x, g(x) 15x 6 8e x , g(x) sen 3x 5x cos 2x, g(x) xex senx (3x2 1)e 4x . Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase P(x) an xn an 1 xn 1 a1x a0, P(x) eax , P(x) eax sen x y P(x) eax cos x, donde n es un entero no negativo y a y b son números reales. El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma (1) cuando g(x) ln x, g(x) 1 x , g(x) tan x, g(x) sen 1 x, etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la sección 4.6. El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponen- ciales eax , senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de constantes, polinomios, ex- ponenciales eax , senos y cosenos. Debido a que la combinación lineal de derivadas an y(n) p an 1 yp (n 1) a1 yp a0 yp debe ser idéntica a g(x), parece razonable suponer que yp tiene la misma forma que g(x). En los dos ejemplos siguientes se ilustra el método básico. EJEMPLO 1 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva y 4y 2y 2x2 3x 6. (2) SOLUCIÓN Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada y 4y 2y 0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar m2 4m 2 0 son m1 2 16 y m2 2 16 . Por tanto, la función complementaria es yc c1e (2 16)x c2e( 2 16)x . Paso 2. Ahora, debido a que la función g(x) es un polinomio cuadrático, supongamos una solución particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático: yp Ax2 Bx C. 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 141 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 141 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 141 6/4/09 12:18:13 PM 6/4/09 12:18:13 PM www.FreeLibros.me
- 181. 142 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Se busca determinar coeficientes específicos A, B y C para los cuales yp es una solución de (2). Sustituyendo yp y las derivadas yp 2Ax B y yp 2A en la ecuación diferencial (2), se obtiene yp 4yp 2yp 2A 8Ax 4B 2Ax2 2Bx 2C 2x2 3x 6. Como se supone que la última ecuación es una identidad, los coeficientes de los expo- nentes semejantes a x deben ser iguales: igual 2A x2 8A 2B x 2A 4B 2C 2x2 3x 6 Es decir, 2A 2, 8A 2B 3, 2A 4B 2C 6. Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores A 1, B 5 2 y C 9. Así, una solución particular es yp x2 5 2 x 9. Paso 3. La solución general de la ecuación dada es y yc yp c1e (2 16)x c1e( 2 16)x x2 5 2 x 9. EJEMPLO 2 Solución particular usando coeficientes indeterminados Encuentre una solución particular de y y y 2 sen 3x. SOLUCIÓN Una primera suposición natural para una solución particular sería A sen 3x. Pero debido a que las derivadas sucesivas de sen 3x producen sen 3x y cos 3x, se puede suponer una solución particular que incluye ambos términos: yp A cos 3x B sen 3x. Derivando yp y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene, después de reagrupar, yp yp yp ( 8A 3B) cos 3x (3A 8B) sen 3x 2 sen 3x o igual 8A 3B cos 3x 3A 8B sen 3x 0 cos 3x 2 sen 3x. Del sistema de ecuaciones resultante, 8A 3B 0, 3A 8B 2, se obtiene A 6 73 y B 16 73 . Una solución particular de la ecuación es yp 6 73 cos 3x 16 73 sen 3x. Como se mencionó, la forma que se supone para la solución particular yp es una intuición educada; no es una intuición a ciegas. Esta intuición educada debe conside- rar no sólo los tipos de funciones que forman a g(x) sino también, como se verá en el ejemplo 4, las funciones que conforman la función complementaria yc . 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 142 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 142 6/4/09 12:18:14 PM 6/4/09 12:18:14 PM www.FreeLibros.me
- 182. EJEMPLO 3 Formando yp por superposición Resuelva y 2y 3y 4x 5 6xe2x . (3) SOLUCIÓN Paso 1. Primero, se encuentra que la solución de la ecuación homogé- nea asociada y 2y 3y 0 es yc c1 ex c2 e3x . Paso 2. A continuación, la presencia de 4x 5 en g(x) indica que la solución parti- cular incluye un polinomio lineal. Además, debido a que la derivada del producto xe2x produce 2xe2x y e2x , se supone también que la solución particular incluye tanto a xe2x como a e2x . En otras palabras, g es la suma de dos clases básicas de funciones: g(x) g1 (x) g2 (x) polinomio exponenciales. Por lo que, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.1.7) indica que se busca una solución particular yp yp1 yp2 , donde yp1 Ax B y . yp2 Cxe2x Ee2x Sustituyendo yp Ax B Cxe2x Ee2x en la ecuación (3) y agrupando términos semejantes, se obtiene yp 2yp 3yp 3Ax 2A 3B 3Cxe2x (2C 3E)e2x 4x 5 6xe2x . (4) De esta identidad obtenemos las cuatro expresiones 3A 4, 2A 3B 5, 3C 6, 2C 3E 0. La última ecuación en este sistema es resultado de la interpretación de que el coefi- ciente de e2x en el miembro derecho de (4) es cero. Resolviendo, se encuentra que B 23 9 A 4 3 , C, 2 y E 4 3 . Por tanto, yp 4 3 x 23 9 2xe2x 4 3 e2x . Paso 3. La solución general de la ecuación es y c1e x c2e3x 4 3 x 23 9 2x 4 3 e2x . En vista del principio de superposición (teorema 4.1.7) se puede aproximar tam- bién el ejemplo 3 desde el punto de vista de resolver dos problemas más simples. Se debe comprobar que sustituyendo y yp2 Cxe2x Ee2x y 2y 3y 6xe2x yp1 Ax B y 2y 3y 4x 5 en en se obtiene, a su vez, yp1 4 3 x 23 9 y . yp2 2x 4 3 e2x Entonces, una solución particular de (3) es yp yp1 yp2 . En el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición “obvia” para la forma de yp no es una suposición correcta. EJEMPLO 4 Una falla imprevista del método Encuentre una solución particular de y 5y 4y 8ex . SOLUCIÓN Derivando ex no se obtienen nuevas funciones. Así, si se procede como se hizo en los ejemplos anteriores, se puede suponer razonablemente que una solución particular de la forma yp Aex . Pero sustituir esta expresión en la ecuación diferencial 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 143 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 143 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 143 6/4/09 12:18:14 PM 6/4/09 12:18:14 PM www.FreeLibros.me
- 183. 144 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR da como resultado la expresión contradictoria 0 8ex , por lo que claramente se hizo la conjetura equivocada para yp . La dificultad aquí es evidente al examinar la función complementaria yc c1 ex c2 e4x . Observe que la suposición Aex ya está presente en yc . Esto significa que ex es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada y un múltiplo constante Aex cuando se sustituye en la ecuación diferencial necesariamente da cero. ¿Entonces cuál debe ser la forma de yp ? Inspirados en el caso II de la sección 4.3, vemos que sí se puede encontrar una solución particular de la forma yp Axex . Sustituyendo yp Axex Aex y yp Axex 2Aex en la ecuación diferencial y simplificando, se obtiene yp 5yp 4yp 3Aex 8ex . De la última igualdad se ve que el valor de A ahora se determina como . 8 3 A Por tanto, una solución particular de la ecuación dada es yp 8 3 xex . La diferencia en los procedimientos usados en los ejemplos 1 a 3 y en el ejemplo 4 indica que se consideran dos casos. El primer caso refleja la situación en los ejemplos 1 a 3. CASO I Ninguna función de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. En la tabla 4.1 se muestran algunos ejemplos específicos de g(x) en (1) junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por sentado que ninguna función de la solución particular supuesta yp se duplica por una función en la función complementaria yc . TABLA 4.1 Soluciones particulares de prueba g(x) Forma de yp 1. 1 (cualquier constante) A 2. 5x 7 Ax B 3. 3x2 2 Ax2 Bx C 4. x3 x 1 Ax3 Bx2 Cx E 5. sen 4x A cos 4x B sen 4x 6. cos 4x A cos 4x B sen 4x 7. e5x Ae5x 8. (9x 2)e5x (Ax B)e5x 9. x2 e5x (Ax2 Bx C)e5x 10. e3x sen 4x Ae3x cos 4x Be3x sen 4x 11. 5x2 sen 4x (Ax2 Bx C) cos 4x (Ex2 Fx G) sen 4x 12. xe3x cos 4x (Ax B)e3x cos 4x (Cx E)e3x sen 4x EJEMPLO 5 Formas de soluciones particulares. Caso I Determine la forma de una solución particular de a) y 8y 25y 5x3 ex 7ex b) y 4y x cos x SOLUCIÓN a) Se puede escribir g(x) (5x3 7)ex . Usando el elemento 9 de la tabla como modelo, suponemos una solución particular de la forma yp (Ax3 Bx2 Cx E)e x . Observe que no hay duplicación entre los términos en yp y los términos en la función complementaria yc e4x (c1 cos 3x c2 sen 3x). 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 144 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 144 6/4/09 12:18:15 PM 6/4/09 12:18:15 PM www.FreeLibros.me
- 184. b) La función g(x) x cos x es similar al elemento 11 de la tabla 4.1 excepto, por supuesto, que se usa un polinomio lineal en vez de uno cuadrático y cos x y sen x en lugar de cos 4x y sen 4x en la forma de yp : yp (Ax B) cos x (Cx E) senx. Nuevamente observe que no hay duplicación de términos entre yp y yc c1 cos 2x c2 sen 2x. Si g(x) consiste en una suma de, digamos, m términos de la clase listada en la tabla, entonces (como en el ejemplo 3) la suposición para una solución particular yp consiste en la suma de las formas de prueba yp1 , yp2 , . . . , ypm correspondientes a estos términos: yp yp1 yp2 ypm . El enunciado anterior se puede escribir de otra forma: Regla de forma para el caso I La forma de yp es una combinación lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante derivadas suce- sivas de g(x). EJEMPLO 6 Formación de yp por superposición. Caso I Determine la forma de una solución particular de y 9y 14y 3x2 5 sen 2x 7xe6x . SOLUCIÓN Se supone que a 3x2 le corresponde yp1 Ax2 Bx C. Se considera que a 5 sen 2x le corresponde yp2 E cos 2x F sen 2x. Se supone que a 7xe6x le corresponde yp3 (Gx H)e6x . Entonces la presunción para la solución particular es yp yp1 yp2 yp3 Ax2 Bx C E cos 2x F sen 2x (Gx H)e6x . En esta suposición ningún término duplica un término de yc c1 e2x c2 e7x . CASO II Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. El siguiente ejemplo es similar al ejemplo 4. EJEMPLO 7 Solución particular. Caso II Encuentre una solución particular de y 2y y ex . SOLUCIÓN La función complementaria es yc c1 ex c2 xex . Como en el ejemplo 4, la suposición yp Aex falla, puesto que es evidente de yc que ex es una solución de la ecuación homogénea asociada y 2y y 0. Además, no es posible encontrar una solución particular de la forma yp Axex , ya que el término xex también se duplica en yc . A continuación se prueba yp Ax2 ex . Sustituyendo en la ecuación diferencial dada se obtiene 2Aex ex , así A 1 2. Así una solución particular es yp 1 2 x2 ex . 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 145 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 145 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 145 6/4/09 12:18:15 PM 6/4/09 12:18:15 PM www.FreeLibros.me
- 185. 146 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Nuevamente suponga que g(x) consiste en m términos de la clase que se propor- ciona en la tabla 4.1 y suponga además que la presunción usual para una solución particular es yp yp1 yp2 ypm , donde las ypi , i 1, 2, . . . , m son las formas de solución particular de prueba corres- pondientes a estos términos. Bajo las circunstancias descritas en el caso II, se puede formar la siguiente regla general. Regla de multiplicación para el caso II Si alguna ypi contiene términos que duplican los términos de yc , entonces esa ypi se debe multiplicar por xn , donde n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación. EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales Resuelva y y 4x 10 sen x, y(p) 0, y(p) 2. SOLUCIÓN La solución de la ecuación homogénea asociada y y 0 es yc c1 cos x c2 sen x. Debido a que g(x) 4x 10 sen x es la suma de un polinomio lineal y una función seno, la suposición normal para yp , de las entradas 2 y 5 de la tabla 4.1, sería la suma de yp1 Ax B y yp2 C cos x E senx: yp Ax B C cos x E senx. (5) Pero hay una duplicación obvia de los términos cos x y sen x en esta forma supuesta y dos términos de la función complementaria. Esta duplicación se elimina simplemente multiplicando yp2 por x. En lugar de (5) ahora se usa yp Ax B Cx cos x Ex senx. (6) Derivando esta expresión y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene yp yp Ax B 2C senx 2E cos x 4x 10 senx, y por tanto A 4, B 0, 2C l0, y 2E 0. Las soluciones del sistema son inme- diatas: A 4, B 0, C 5, y E 0. Por tanto de la ecuación (6) se obtiene yp 4x 5x cos x. La solución general de la ecuación es y yc yp c1 cos x c2 senx 4x 5x cos x. Ahora se aplican las condiciones iniciales prescritas a la solución general de la ecua- ción. Primero, y(p) c1 cos p c2 sen p 4p 5p cos p 0 produce c1 9p puesto que cos p 1 y sen p 0. Ahora, de la derivada y y ( ) 9 sen c2 cos 4 5 sen 5 cos 2 y 9 senx c2 cos x 4 5x senx 5 cos x encontramos c2 7. La solución del problema con valores iniciales es entonces y 9 cos x 7 senx 4x 5x cos x. EJEMPLO 9 Uso de la regla de multiplicación Resuelva y 6y 9y 6x2 2 12e3x . SOLUCIÓN La función complementaria es yc c1 e3x c2 xe3x . Y así, con base en los elementos 3 y 7 de la tabla 4.1, la suposición usual para una solución particular sería yp Ax2 Bx C Ee3x. yp1 yp2 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 146 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 146 6/4/09 12:18:16 PM 6/4/09 12:18:16 PM www.FreeLibros.me
- 186. La inspección de estas funciones muestra que un término en yp2 se duplica en yc . Si multiplicamos yp2 por x, se nota que el término xe3x aún es parte de yc . Pero multipli- cando yp2 por x2 se eliminan las duplicaciones. Así la forma operativa de una solución particular es yp Ax2 Bx C Ex2 e3x . Derivando esta última forma y sustituyendo en la ecuación diferencial, agrupando términos semejantes se obtiene yp 6yp 9yp 9Ax2 ( 12A 9B)x 2A 6B 9C 2Ee3x 6x2 2 12e3x . De esta identidad se tiene que A , B , C 2 3 8 9 2 3 y E 6 . Por tanto la solución general y yc yp es y c1e3x c2xe3x x2 x 6x2 e3x . 2 3 8 9 2 3 EJEMPLO 10 ED de tercer orden. Caso I Resuelva y y ex cos x. SOLUCIÓN De la ecuación característica m3 m2 0 encontramos que m1 m2 0 y m3 1. Así la función complementaria de la ecuación es yc c1 c2 x c3 ex . Con g(x) ex cos x, se ve de la entrada 10 de la tabla 4.1 que se debe suponer yp Aex cos x Bex senx. Debido a que no hay funciones en yp que dupliquen las funciones de la solución com- plementaria, procedemos de la manera usual. De y p yp ( 2A 4B)ex cos x ( 4A 2B)ex senx ex cos x se obtiene 2A 4B 1 y 4A 2B 0. De este sistema se obtiene A 1 10 y B 1 5 , así que una solución particular es . yp 1 10 ex cos x 1 5 ex senx La solución general de la ecuación es y yc yp c1 c2x c3e x 1 10 ex cos x 1 5 ex senx. EJEMPLO 11 ED de cuarto orden. Caso II Determine la forma de una solución particular de y(4) y 1 x2 ex . SOLUCIÓN Comparando yc c1 c2 x c3 x2 c4 ex con la suposición normal para una solución particular yp A Bx2ex Cxex Eex, yp1 yp2 vemos que las duplicaciones entre yc y yp se eliminan cuando yp1 , se multiplica por x3 y yp2 se multiplica por x. Así la suposición correcta para una solución particular es yp Ax3 Bx3 ex Cx2 ex Exex . 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 147 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 147 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 147 6/4/09 12:18:17 PM 6/4/09 12:18:17 PM www.FreeLibros.me
- 187. 148 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COMENTARIOS i) En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide resolver problemas con valores iniciales y en los problemas 37 a 40 se pide resolver problemas con valores en la frontera. Como se muestra en el ejemplo 8, asegúrese de aplicar las condiciones iniciales o condiciones en la frontera a la solución general y yc yp . Los estudiantes con frecuencia cometen el error de aplicar estas condiciones sólo a la función complementaria yc porque ésta es la parte de la solución que contiene las constantes c1 , c2 , . . . , cn . ii) De la “Regla de la forma para el caso I” de la página 145 de esta sección, se ve por qué el método de coeficientes indeterminados no es muy adecuado para ED lineales no homogéneas cuando la función de entrada g(x) es algo distinta de uno de los cuatro tipos básicos resaltados en color azul en la página 141. Por ejemplo, si P(x) es un polinomio, entonces la derivación continua de P(x)eax sen bx genera un conjunto independiente que contiene sólo un número finito de funciones, todas del mismo tipo, en particular, un polinomio multiplicado por eax sen bx o un polinomio multiplicado por eax cos bx. Por otro lado, la derivación sucesiva de funciones de entrada como g(x) ln x o g(x) tan1 x genera un conjunto independiente que contiene un número infinito de funciones: derivadas de ln x: derivadas de tan1 x: 1 1 x2 , 2x (1 x2 )2 , 2 6x2 (1 x2 )3 , . . . . 1 x , 1 x2 , 2 x3 , . . . , EJERCICIOS 4.4 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados. 1. y 3y 2y 6 2. 4y 9y 15 3. y 10y 25y 30x 3 4. y y 6y 2x 5. 1 4 y y y x2 2x 6. y 8y 20y 100x2 26xex 7. y 3y 48x2 e3x 8. 4y 4y 3y cos 2x 9. y y 3 10. y 2y 2x 5 e2x 11. y y 1 4 y 3 ex/2 12. y 16y 2e4x 13. y 4y 3 sen 2x 14. y 4y (x2 3) sen 2x 15. y y 2x sen x 16. y 5y 2x3 4x2 x 6 17. y 2y 5y ex cos 2x 18. y 2y 2y e2x (cos x 3 sen x) 19. y 2y y sen x 3 cos 2x 20. y 2y 24y 16 (x 2)e4x 21. y 6y 3 cos x 22. y 2y 4y 8y 6xe2x 23. y 3y 3y y x 4ex 24. y y 4y 4y 5 ex e2x 25. y(4) 2y y (x 1)2 26. y(4) y 4x 2xex En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado. 27. y 4y 2, y 8 1 2 , y 8 2 28. 2y 3y 2y 14x2 4x 11, y(0) 0, y(0) 0 29. 5y y 6x, y(0) 0, y(0) 10 30. y 4y 4y (3 x)e2x , y(0) 2, y(0) 5 31. y 4y 5y 35e4x , y(0) 3, y(0) 1 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 148 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 148 6/4/09 12:18:17 PM 6/4/09 12:18:17 PM www.FreeLibros.me
- 188. 32. y y cosh x, y(0) 2, y(0) 12 33. , d2 x dt2 2 x F0 sen t v x(0) 0, x(0) 0 34. , d2 x dt2 2 x F0 cos t v x(0) 0, x(0) 0 35. y 2y y 2 24ex 40e5x , y(0) 1 2, y y y y (0) 9 2 y (0) 5 2, 36. y 8y 2x 5 8e2x , y(0) 5, y(0) 3, y(0) 4 En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y y x2 1, y(0) 5, y(1) 0 38. y 2y 2y 2x 2, y(0) 0, y(p) p 39. y 3y 6x, y(0) 0, y(1) y(1) 0 40. y 3y 6x, y(0) y(0) 0, y(1) 0 En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores ini- ciales dado en el que la función de entrada g(x) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y des- pués encuentre una solución tal que y y y sean continuas en x p2 (problema 41) y en x p (problema 42).] 41. y 4y g(x), y(0) 1, y(0) 2, donde g(x) senx, 0 x 2 0, x 2 42. y 2y 10y g(x), y(0) 0, y(0) 0, donde g(x) 20, 0 x 0, x Problemas para analizar 43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx , donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociada es am2 bm c 0. a) Si k no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Aekx , donde A 1(ak2 bk c). b) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplici- dad uno, muestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Axekx , donde A 1(2ak b). Explique cómo se sabe que k b2a. c) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad dos, demuestre que podemos encontrar una solución particular de la forma y Ax2 ekx , donde A 1(2a). 44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección para encontrar una solución particular de y y sen x cos 2x. Lleve a cabo su idea. 45. Sin resolver, relacione una curva solución de y y f(x) que se muestra en la figura con una de las siguientes funciones: i) f(x) 1, ii) f(x) ex , iii) f(x) ex , iv) f(x) sen 2x, v) f(x) ex sen x, vi) f(x) sen x. Analice brevemente su razonamiento. x y FIGURA 4.4.1 Curva solución. a) FIGURA 4.4.2 Curva solución. x y b) FIGURA 4.4.3 Curva solución. x y c) FIGURA 4.4.4 Curva solución. x y d) Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 46 y 47 determine una solución particular de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para realizar las derivadas, simplificaciones y álgebra. 46. y 4y 8y (2x2 3x)e2x cos 2x (10x2 x 1)e2x sen 2x 47. y(4) 2y y 2 cos x 3x sen x 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN O 149 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 149 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 149 6/4/09 12:18:18 PM 6/4/09 12:18:18 PM www.FreeLibros.me
- 189. 150 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR FACTORIZACIÓN DE OPERADORES Cuando los coeficientes ai , i 0, 1, . . . , n son constantes reales, un operador diferencial lineal (1) se puede factorizar siempre el polinomio característico an mn an1 mn1 a1 m a0 sea factorizable. En otras palabras, si r1 es una raíz de la ecuación auxiliar anmn an 1mn 1 a1m a0 0, entonces L (D rl ) P(D), donde la expresión polinomial P(D) es un operador dife- rencial lineal de orden n 1. Por ejemplo, si se trata a D como una cantidad algebraica, entonces el operador D2 5D 6 se puede factorizar como (D 2)(D 3) o como (D 3)(D 2). Así si una función y f(x) tiene una segunda derivada, entonces (D2 5D 6)y (D 2)(D 3)y (D 3)(D 2)y. Esto muestra una propiedad general: Los factores de un operador diferencial con coeficientes constantes conmutan. Una ecuación diferencial tal como y 4y 4y 0 se escribe como (D2 4D 4)y 0 o (D 2)(D 2)y 0 o (D 2)2 y 0. OPERADOR ANULADOR Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f es una función suficientemente derivable tal que L( f(x)) 0, entonces se dice que L es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una fun- ción constante y k puesto que Dk 0. El operador diferencial D2 anula la función y x puesto que la primera y la segunda derivada de x son 1 y 0, respectivamente. De manera similar, D3 x2 0, etcétera. El operador diferencial Dn anula cada una de las funciones 1, x, x2 , . . . , xn1 . (3) COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR REPASO DE MATERIAL O Repaso de teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN En la sección 4.1 vimos que una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir como anDn y an 1Dn 1 y a1Dy a0y g(x), (1) donde Dk y dk ydxk , k 0, 1, . . . , n. Cuando es adecuado, la ecuación (1) también se escribe como L(y) g(x), donde L denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden anDn an 1Dn 1 a1D a0. (2) La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas un poco abrumadoras para determinar la forma de solución particular yp presentada en la sección anterior. En esta sección no hay reglas especiales; la forma de yp se deduce casi de manera automática una vez que se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a g(x) en (1). Antes de investigar cómo se realiza esto, es necesario analizar dos conceptos. 4.5 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 150 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 150 6/4/09 12:18:19 PM 6/4/09 12:18:19 PM www.FreeLibros.me
- 190. Como una consecuencia inmediata de (3) y el hecho de que la derivación se puede hacer término a término, un polinomio c0 c1x c2x2 cn 1xn 1 (4) se anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de x. Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal de n-ésimo orden L son simplemente aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea L(y) 0. El operador diferencial (D a)n anula cada una de las funciones eax , xeax , x2 eax , . . . , xn1 eax . (5) Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D a)n y 0 es (m a)n 0. Puesto que a es una raíz de multiplicidad n, la solución general es y c1eax c2xeax cnxn 1 eax . (6) EJEMPLO 1 Operadores anuladores Encuentre un operador diferencial que anule la función dada. a) 1 5x2 8x3 b) e3x c) 4e2x 10xe2x SOLUCIÓN a) De (3) se sabe que D4 x3 0, así de (4) se tiene que D4 (1 5x2 8x3 ) 0. b) De (5), con a 3 y n l, vemos que (D 3)e 3x 0. c) De (5) y (6), con a 2 y n 2, se tiene que (D 2)2 (4e2x 10xe2x ) 0. Cuando a y b, b 0 son números reales, la fórmula cuadrática revela que [m2 2am (a2 b2 )]n 0 tiene raíces complejas a ib, a ib, ambas de multiplicidad n. Del análisis al final de la sección 4.3, se tiene el siguiente resultado. El operador diferencial [D2 2aD (a2 b2 )]n anula cada una de las fun- ciones e x cos x, xe x cos x, x2 e x cos x, . . . , xn 1 e x cos x, e x sen x, xe x sen x, x2 e x sen x, . . . , xn 1 e x sen x. (7) EJEMPLO 2 Operador anulador Encuentre un operador diferencial que anule 5ex cos 2x 9ex sen 2x. SOLUCIÓN La inspección de las funciones ex cos 2x y ex sen 2x muestra que a 1 y b 2. Por tanto, de la ecuación (7) se concluye que D2 2D 5 anulará cual- quier función que sea combinación lineal de estas funciones tales como 5ex cos 2x 9ex sen 2x. 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR O 151 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 151 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 151 6/4/09 12:18:19 PM 6/4/09 12:18:19 PM www.FreeLibros.me
- 191. 152 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Cuando a 0 y n 1, un caso especial de (7) es (D2 2 ) cos x sen x 0. (8) Por ejemplo D2 16 anulará cualquier combinación lineal de sen 4x y cos 4x. Con frecuencia estamos interesados en anular la suma de dos o más funciones. Como acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal que L(y1 ) 0 y L(y2 ) 0, entonces L anulará la combinación lineal c1 y1 (x) c2 y2 (x). Esta es una consecuencia directa del teorema 4.1.2. Supongamos ahora que L1 y L2 son operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes tales que L1 anula a y1 (x) y L2 anula a y2 (x), pero L1 (y2 ) 0 y L2 (y1 ) 0. Entonces el producto de los operadores diferenciales L1 L2 anula la suma c1 y1 (x) c2 y2 (x). Esto se puede demostrar fácilmente, usando la linealidad y el hecho de que L1 L2 L2 L1 : L1L2(y1 y2) L1L2(y1) L1L2(y2) L2L1(y1) L1L2(y2) L2[L1(y1)] L1[L2(y2)] 0. cero cero Por ejemplo, sabemos de (3) que D2 anula a 7 x y de (8) que D2 16 anula a sen 4x. Por tanto el producto de operadores D2 (D2 16) anulará la combinación lineal 7 x 6 sen 4x. NOTA El operador diferencial que anula una función no es único. Vimos en el in- ciso b) del ejemplo 1 que D 3 anula a e3x , pero también a los operadores diferen- ciales de orden superior siempre y cuando D 3 sea uno de los factores del operador. Por ejemplo (D 3)(D 1), (D 3)2 y D3 (D 3) todos anulan a e3x . (Compruebe esto.) Como algo natural, cuando se busca un anulador diferencial para una función y f(x), se quiere que el operador de mínimo orden posible haga el trabajo. COEFICIENTES INDETERMINADOS Lo anterior lleva al punto del análisis pre- vio. Suponga que L(y) g(x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes cons- tantes y que la entrada g(x) consiste en sumas y productos finitos de las funciones listadas en (3), (5) y (7), es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la forma k (constante), xm , xm e x , xm e x cos x, y xm e x sen x, donde m es un entero no negativo y a y b son números reales. Ahora se sabe que una función tal como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1 de menor orden, que es producto de los operadores Dn , (D a)n y (D2 2aD a2 b2 )n . Al aplicar L1 a ambos lados de la ecuación L(y) g(x) se obtiene L1 L(y) L1 (g(x)) 0. Al resolver la ecuación homogénea de orden superior L1 L(y) 0, se descubre la forma de una solución particular yp para la ecuación original no homo- génea L(y) g(x). Entonces sustituimos esta forma supuesta en L(y) g(x) para encontrar una solución particular explícita. Este procedimiento para determinar yp , llamado método de los coeficientes indeterminados, se ilustra a continuación en varios ejemplos. Antes de proceder, recuerde que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea L(y) g(x) es y yc yp donde yc es la función complementaria, es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) 0. La solución general de cada ecuación L(y) g(x) se define en el intervalo (, ). 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 152 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 152 6/4/09 12:18:20 PM 6/4/09 12:18:20 PM www.FreeLibros.me
- 192. EJEMPLO 3 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva y 3y 2y 4x2 . (9) SOLUCIÓN Paso 1. Primero, resolvemos la ecuación homogénea y 3y 2y 0. Entonces, de la ecuación auxiliar m2 3m 2 (m l)(m 2) 0 se encuentra ml 1 y m2 2 y así, la función complementaria es yc c1 ex c2 e2x . Paso 2. Ahora, puesto que 4x2 se anula con el operador diferencial D3 , se ve que D3 (D2 3D 2)y 4D3 x2 es lo mismo que D3 (D2 3D 2)y 0. (10) La ecuación auxiliar de la ecuación de quinto orden en (10), m3 (m2 3m 2) 0 o m3 (m 1)(m 2) 0, tiene raíces ml m2 m3 0, m4 1, y m5 2. Así que su solución general debe ser y c1 c2 x c3 x2 c4 e x c5 e 2x (11) Los términos del cuadro sombreado en (11) constituyen la función complementaria de la ecuación original (9). Se puede argumentar que una solución particular yp , de (9) también debe satisfacer la ecuación (10). Esto significa que los términos restantes en (11) deben tener la forma básica de yp : yp A Bx Cx2 , (12) donde, por conveniencia, hemos remplazado c1 , c2 y c3 por A, B y C, respectivamente. Para que (12) sea una solución particular de (9), es necesario encontrar coeficientes específicos A, B y C. Derivando la ecuación (12), se tiene que yp B 2Cx, yp 2C, y sustituyendo esto en la ecuación (9) se obtiene yp 3yp 2yp 2C 3B 6Cx 2A 2Bx 2Cx2 4x2 . Como se supone que la última ecuación es una identidad los coeficientes de potencias semejantes de x deben ser iguales: equal 2C x2 2B 6C x 2A 3B 2C 4x2 0x 0. Es decir 2C 4, 2B 6C 0, 2A 3B 2C 0. (13) Resolviendo las ecuaciones de (13) se obtiene A 7, B 6 y C 2. Por tanto yp 7 6x 2x2 . Paso 3. La solución general de la ecuación en (9) es y yc yp o y c1e x c2e 2x 7 6x 2x2 . 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR O 153 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 153 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 153 6/4/09 12:18:20 PM 6/4/09 12:18:20 PM www.FreeLibros.me
- 193. 154 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 4 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva y 3y 8e3x 4 sen x. (14) SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada y 3y 0 es m2 3m m(m 3) 0, y por tanto, yc c1 c2 e3x . Paso 2. Ahora, puesto que (D 3)e3x 0 y (D2 1) sen x 0, se aplica el operador diferencial (D 3)(D2 1) a ambos lados de la ecuación (14): (D 3)(D2 1)(D2 3D)y 0. (15) La ecuación auxiliar de (15) es: (m 3)(m2 1)(m2 3m) 0 o m(m 3)2 (m2 1) 0. Así y c1 c2 e3x c3xe3x c4 cos x c5 senx. Una vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que co- rresponde a yc se obtiene la forma de yp : yp Axe3x B cos x C senx. Sustituyendo yp en (14) y simplificando, se obtiene yp 3yp 3Ae3x ( B 3C) cos x (3B C) senx 8e3x 4 sen x. Igualando los coeficientes se obtiene que 3A 8, B 3C 0 y 3B C 4. Se encuentra que , A 8 3 B 6 5 , y C 2 5 y por tanto, yp 8 3 xe3x 6 5 cos x 2 5 sen x. Paso 3. Entonces la solución general de (14) es y c1 c2e3x 8 3 xe3x 6 5 cos x 2 5 senx. EJEMPLO 5 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva y y x cos x cos x. (16) SOLUCIÓN La función complementaria es yc c1 cos x c2 sen x. Ahora al com- parar cos x y x cos x con las funciones del primer renglón de (7), vemos que a 0 y n 1 y así (D2 1)2 es un anulador para el miembro derecho de la ecuación en (16). Aplicando este operador a la ecuación diferencial se obtiene (D2 1)2 (D2 1)y 0 o (D2 1)3 y 0. Puesto que i y i son raíces complejas de multiplicidad 3 de la última ecuación auxi- liar, se concluye que y c1 cos x c2 sen x c3x cos x c4x sen x c5x2 cos x c6x2 sen x. Sustituyendo yp Ax cos x Bx sen x Cx2 cos x Ex2 sen x en (16) y simplificando: x cos x cos x. yp yp 4 Ex cos x 4 Cx sen x (2B 2C) cos x ( 2A 2E) sen x 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 154 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 154 6/4/09 12:18:21 PM 6/4/09 12:18:21 PM www.FreeLibros.me
- 194. Igualando los coeficientes se obtienen las ecuaciones 4E 1, 4C 0, 2B 2C 1, y 2A 2E 0, de las que encontramos , C 0 A 1 4 B 1 2 y E 1 4 . Por tanto la solución general de (16) es . y c1 cos x c2 sen x 1 4 x cos x 1 2 x sen x 1 4 x2 sen x EJEMPLO 6 Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para y 2y y 10e 2x cos x. (17) SOLUCIÓN La función complementaria de la ecuación dada es yc c1 ex c2 xex . Ahora de (7), con a 2, b 1 y n 1, se sabe que (D2 4D 5)e 2x cos x 0. Aplicando el operador D2 4D 5 a (17), se obtiene (D2 4D 5)(D2 2D 1)y 0. (18) Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar de (18) son 2 –i, 2 i, 1 y 1, vemos de y c1 ex c2 xex c3e 2x cos x c4e 2x sen x que una solución particular de (17) se puede encontrar con la forma yp Ae 2x cos x Be 2x sen x. EJEMPLO 7 Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para y 4y 4y 5x2 6x 4x2 e2x 3e5x . (19) SOLUCIÓN Observe que D3 (5x2 6x) 0, (D 2)3 x2 e2x 0 y (D 5)e5x 0. Por tanto, D3 (D 2)3 (D 5) aplicado a (19), se obtiene o D4 (D 2)5 (D 5)y 0. D3 (D 2)3 (D 5)(D3 4D2 4D)y 0 Las raíces de la ecuación auxiliar para la última ecuación diferencial son 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2 y 5. Por tanto, y c1 c2 x c3 x2 c4 x3 c5 e2x c6 xe2x c7 x2 e2x c8 x3 e2x c9 x4 e2x c10 e5x . (20) Debido a que la combinación lineal c1 c5 e2x c6 xe2x corresponde a la función com- plementaria de (19), los términos restantes en (20) dan la forma de una solución parti- cular de la ecuación diferencial: yp Ax Bx2 Cx3 Ex2 e2x Fx3 e2x Gx4 e2x He5x . RESUMEN DEL MÉTODO Por conveniencia se resume el método de coeficientes indeterminados como sigue. 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR O 155 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 155 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 155 6/4/09 12:18:21 PM 6/4/09 12:18:21 PM www.FreeLibros.me
- 195. 156 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR La ecuación diferencial L(y) g(x) tiene coeficientes constantes y la función g(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax , senos y cosenos. i) Encuentre la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y) 0. ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) g(x) con un operador diferencial L1 que anula la función g(x). iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden superior L1 L(y) 0. iv) Elimine de la solución del paso iii) los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso i). Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de L(y) g(x). v) Sustituya yp encontrada en el paso iv) en L(y) g(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los coeficientes desconocidos de yp . vi) Con la solución particular encontrada en el paso v), forme la solución general y yc yp de la ecuación diferencial dada. COMENTARIOS El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones diferen- ciales lineales con coeficientes variables ni tampoco es aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) es una función tal que g(x) ln x, g(x) 1 x , g(x) tan x, g(x) sen 1 x, etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la siguiente sección. EJERCICIOS 4.5 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y) g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L. 1. 9y 4y sen x 2. y 5y x2 2x 3. y 4y 12y x 6 4. 2y 3y 2y 1 5. y 10y 25y ex 6. y 4y ex cos 2x 7. y 2y 13y 10y xex 8. y 4y 3y x2 cos x 3x 9. y(4) 8y 4 10. y(4) 8y 16y (x3 2x)e4x En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferen- cial anula las funciones indicadas. 11. D4 ; y 10x3 2x 12. 2D 1; y 4ex/2 13. (D 2)(D 5); y e2x 3e5x 14. D2 64; y 2 cos 8x 5 sen 8x En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada. 15. 1 6x 2x3 16. x3 (1 5x) 17. 1 7e2x 18. x 3xe6x 19. cos 2x 20. 1 sen x 21. 13x 9x2 sen 4x 22. 8x sen x 10 cos 5x 23. ex 2xex x2 ex 24. (2 ex )2 25. 3 ex cos 2x 26. ex sen x e2x cos x 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 156 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 156 6/4/09 12:18:22 PM 6/4/09 12:18:22 PM www.FreeLibros.me
- 196. En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente independientes que anulan el operador diferencial dado. 27. D5 28. D2 4D 29. (D 6)(2D 3) 30. D2 9D 36 31. D2 5 32. D2 6D 10 33. D3 10D2 25D 34. D2 (D 5)(D 7) En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados. 35. y 9y 54 36. 2y 7y 5y 29 37. y y 3 38. y 2y y 10 39. y 4y 4y 2x 6 40. y 3y 4x 5 41. y y 8x2 42. y 2y y x3 4x 43. y y 12y e4x 44. y 2y 2y 5e6x 45. y 2y 3y 4ex 9 46. y 6y 8y 3e2x 2x 47. y 25y 6 sen x 48. y 4y 4 cos x 3 sen x 8 49. y 6y 9y xe4x 50. y 3y 10y x(ex 1) 51. y y x2 ex 5 52. y 2y y x2 ex 53. y 2y 5y ex sen x 54. y y 1 4 y ex (sen 3x cos 3x) 55. y 25y 20 sen 5x 56. y y 4 cos x sen x 57. y y y x sen x 58. y 4y cos2 x 59. y 8y 6x2 9x 2 60. y y y y xex ex 7 61. y 3y 3y y ex x 16 62. 2y 3y 3y 2y (ex ex )2 63. y(4) 2y y ex 1 64. y(4) 4y 5x2 e2x En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores ini- ciales. 65. y 64y 16, y(0) 1, y(0) 0 66. y y x, y(0) 1, y(0) 0 67. y 5y x 2, y(0) 0, y(0) 2 68. y 5y 6y 10e2x , y(0) 1, y(0) 1 69. y y 8 cos 2x 4 sen x, y 2 1, y 2 0 70. y 2y y xex 5, y(0) 2, y(0) 2, y(0) 1 71. y 4y 8y x3 , y(0) 2, y(0) 4 72. y(4) y x ex , y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0, y (0) 0 Problemas para analizar 73. Suponga que L es un operador diferencial lineal que se factoriza pero que tiene coeficientes variables. ¿Conmutan los factores de L? Defienda su respuesta. VARIACIÓN DE PARÁMETROS REPASO DE MATERIAL O La variación de parámetros se introdujo por primera vez en la sección 2.3 y se usó de nuevo en la sección 4.2. Se recomienda dar un repaso a estas secciones. INTRODUCCIÓN El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular yp de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden supe- rior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x), (1) comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar y P(x)y Q(x)y f (x) (2) dividiendo entre el coeficiente principal a2 (x). La ecuación (2) es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: dydx P(x)y f(x). En (2) se supone que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto en la sección 4.3, no hay dificultad para obtener la función complementaria yc , la solución general de la ecuación homogé- nea asociada de (2), cuando los coeficientes son constantes. 4.6 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 157 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 157 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 157 6/4/09 12:18:22 PM 6/4/09 12:18:22 PM www.FreeLibros.me
- 197. 158 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SUPOSICIONES Correspondiendo con la suposición yp u1 (x)y1 (x) que se usó en la sección 2.3 para encontrar una solución particular yp de dydx P(x)y f(x), para la ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma yp u1(x)y1(x) u2(x)y2(x), (3) donde y1 y y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea asociada de (1). Usando la regla del producto para derivar dos veces a yp , se obtiene yp u1y1 y1u1 y1u1 u1y1 u2 y2 y2u2 y2u2 u2 y2. yp u1y1 y1u1 u2y2 y2u2 Sustituyendo la ecuación (3) y las derivadas anteriores en (2) y agrupando términos se obtiene (4) Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1 y u2 , la razón impone que son necesarias dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que las funciones u1 y u2 satisfacen y1u1 y2u2 0. Esta suposición en azul no se presenta por sorpresa, sino que es resultado de los dos primeros términos de (4) puesto que si se requiere que y1u1 y2u2 0 , entonces (4) se reduce a y1u1 y2u2 f(x). Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones para determinar las derivadas u1 y u2 . Por la regla de Cramer, la solución del sistema y1u1 y2u2 f(x) y1u1 y2u2 0 puede expresarse en términos de determinantes: u1 W1 W y2 f(x) W y u2 W2 W y1 f(x) W , (5) donde . W y1 y1 y2 y2 , W1 0 f(x) y2 y2 , W2 y1 y1 0 f(x) (6) Las funciones u1 y u2 se encuentran integrando los resultados de (5). El determinante W se reconoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal de y1 y y2 en I, se sabe que W(y1 (x), y2 (x)) 0 para toda x en el intervalo. RESUMEN DEL MÉTODO Normalmente, no es buena idea memorizar fórmulas en lugar de entender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es de- masiado largo y complicado para usarse cada vez que se desee resolver una ecuación diferencial. En este caso resulta más eficaz usar simplemente las fórmulas de (5). Así que para resolver a2 y a1 y a0 y g(x), primero se encuentra la función comple- mentaria yc c1 y1 c2 y2 y luego se calcula el Wronskiano W(y1 (x), y2 (x)). Dividiendo entre a2 , se escribe la ecuación en la forma estándar y Py Qy f(x) para deter- minar f(x). Se encuentra u1 y u2 integrando u1 W1 W y u2 W2 W, donde W1 y W2 se definen como en (6). Una solución particular es yp u1 y1 u2 y2 . Entonces la solución general de la ecuación es y yc yp . o r e c o r e c d dx [y1u1 y2u2] P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2 f(x). d dx [y1u1] d dx [y2u2] P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2 y2u2 u2 y2 P[y1u1 y2u2] y1u1 y2u2 yp P(x)yp Q(x)yp u1[y1 Py1 Qy1] u2[y2 Py2 Qy2] y1u1 u1y1 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 158 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 158 6/4/09 12:18:23 PM 6/4/09 12:18:23 PM www.FreeLibros.me
- 198. EJEMPLO 1 Solución general usando variación de parámetros Resuelva y 4y 4y (x 1)e2x . SOLUCIÓN De la ecuación auxiliar m2 4m 4 (m 2)2 0 se tiene yc c1 e2x c2 xe2x . Con las identificaciones y1 e2x y y2 xe2x , a continuación se calcula el Wronskiano: W(e2x , xe2x ) e2x 2e2x xe2x 2xe2x e2x e4x . Puesto que la ecuación diferencial dada ya está en la forma (2) (es decir, el coeficiente de y es 1), identificamos f(x) (x l)e2x . De (6), obtenemos W1 0 (x 1)e2x xe2x 2xe2x e2x (x 1)xe4x , W2 e2x 2e2x 0 (x 1)e2x (x 1)e4x , y así de (5) u1 (x 1)xe4x e4x x2 x, u2 (x 1)e4x e4x x 1. Se tiene que u1 1 3 x3 1 2 x2 y u2 1 2 x2 x . Por tanto yp 1 3 x3 1 2 x2 e2x 1 2 x2 x xe2x 1 6 x3 e2x 1 2 x2 e2x y y yc yp c1e2x c2xe2x 1 6 x3 e2x 1 2 x2 e2x . EJEMPLO 2 Solución general usando variación de parámetros Resuelva 4y 36y csc 3x. SOLUCIÓN Primero se escribe la ecuación en la forma estándar (2) dividiendo entre 4: y 9y 1 4 csc 3x. Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar m2 9 0 son m1 3i y m2 3i, la función complementaria es yc c1 cos 3x c2 sen 3x. Usando y1 cos 3x, y2 sen3x, y f(x) 1 4 csc 3x , obtenemos W(cos 3x, sen 3x) cos 3x 3 sen 3x sen 3x 3 cos 3x 3, W1 0 1 4 csc 3x sen 3x 3 cos 3x 1 4 , W2 cos 3x 3 sen 3x 0 1 4 csc 3x 1 4 cos 3x sen 3x . Integrando u1 W1 W 1 12 y u2 W2 W 1 12 cos 3x sen 3x Se obtiene u1 1 12 x y u2 1 36 lnsen 3x. Así una solución particular es yp 1 12 x cos 3x 1 36 (sen 3x) ln sen 3x . La solución general de la ecuación es y yc yp c1 cos 3x c2 sen 3x 1 12 x cos 3x 1 36 (sen 3x) ln sen 3x . (7) 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 159 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 159 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 159 6/4/09 12:18:24 PM 6/4/09 12:18:24 PM www.FreeLibros.me
- 199. 160 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La ecuación (7) representa la solución general de la ecuación diferencial en, diga- mos, el intervalo (0, p6). CONSTANTES DE INTEGRACIÓN Cuando se calculan las integrales indefinidas de u1 y u2 , no es necesario introducir algunas constantes. Esto es porque C1y1 C2 y2 u1y1 u2 y2. (c1 a1)y1 (c2 b1)y2 u1y1 u2 y2 y yc yp c1y1 c2 y2 (u1 a1)y1 (u2 b1)y2 EJEMPLO 3 Solución general usando variación de parámetros Resuelva y y 1 x . SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m2 1 0 produce m1 1 y m2 1. Por tanto yc c1 ex c2 ex . Ahora W(ex , ex ) 2, y u2 ex (1x) 2 , u2 1 2 x x0 et t dt. u1 e x (1x) 2 , u1 1 2 x x0 e t t dt, Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir y por tanto y yc yp c1ex c2e x 1 2 ex x x0 e t t dt 1 2 e x x x0 et t dt. yp 1 2 ex x x0 e t t dt 1 2 e x x x0 et t dt, (8) En el ejemplo 3 se puede integrar en algún intervalo [x0 , x] que no contenga al origen. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR El método que se describió para ecuacio- nes diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones lineales de n-ésimo orden que se han escrito en forma estándar y(n) Pn 1(x)y(n 1) P1(x)y P0(x)y f (x). (9) Si yc c1 y1 c2 y2 cn yn es la función complementaria para (9), entonces una solución particular es yp u1(x)y1(x) u2(x)y2(x) un(x)yn(x), donde los u k , k 1, 2, . . . , n se determinan por las n ecuaciones (10) y1 (n 1) u1 y2 (n 1) u2 yn (n 1) un f(x). y1u1 y2u2 ynun 0 y1u1 y2u2 ynun 0 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 160 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 160 6/4/09 12:18:24 PM 6/4/09 12:18:24 PM www.FreeLibros.me
- 200. Las primeras n 1 ecuaciones de este sistema, al igual que y1u1 y2u2 0 en (4), son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que yp u1 (x)y1 (x) un (x)yn (x) se sustituye en (9). En este caso usando la regla de Cramer se obtiene uk Wk W , k 1, 2, . . . , n, donde W es el Wronskiano de y1 , y2 , . . . , yn y Wk es el determinante que se obtiene al remplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de (10), es decir, la columna que consta de (0, 0, . . . , f(x)). Cuando n 2, se obtiene la ecuación (5). Cuando n 3, la solución particular yp u1 y1 u2 y2 u3 y3 , donde y1 , y2 y y3 constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y u1 , u2 y u3 se determinan a partir de u1 W1 W , u2 W2 W , u3 W3 W , (11) W1 p 0 0 f(x) y2 y2 y2 y3 y3 y3 p , W2 p y1 y1 y1 0 0 f(x) y3 y3 y3 p , W3 p y1 y1 y1 y2 y2 y2 0 0 f(x) p , W p y1 y1 y1 y2 y2 y2 y3 y3 y3 p . Véanse los problemas 25 y 26 de los ejercicios 4.6. COMENTARIOS i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre produce una solución par- ticular yp , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Este método no se limita a una función f(x) que es una combinación de las cua- tro clases que se listan en la página 141. Como se verá en la siguiente sección, la variación de parámetros, a diferencia de los coeficientes indeterminados, es aplicable a ED lineales con coeficientes variables. ii) Enlosproblemassiguientes,nodudeensimplificarlaformadeyp .Dependiendo de cómo se encuentren las antiderivadas de u1 y u2 , es posible que no se obtenga la misma yp que se da en la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de los ejercicios 4.6 tanto yp sen x x cos x 1 2 1 2 como sen x x cos x 1 2 yp 1 4 son respuestas válidas. En cualquier caso la solución general y yc yp se sim- plifica a y c1 cos x c2 senx x cos x 1 2 . ¿Por qué? EJERCICIOS 4.6 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros. 1. y y sec x 2. y y tan x 3. y y sen x 4. y y sec u tan u 5. y y cos2 x 6. y y sec2 x 7. y y cosh x 8. y y senh 2x 9. y 4y e2x x 10. y 9y 9x e3x 11. y 3y 2y 1 1 ex 12. y 2y y ex 1 x2 13. y 3y 2y sen ex 14. y 2y y et arctan t 15. y 2y y et ln t 16. 2y 2y y 41x 17. 3y 6y 6y ex sec x 18. 4y 4y y ex/2 11 x2 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 161 y 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 161 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 161 6/4/09 12:18:25 PM 6/4/09 12:18:25 PM www.FreeLibros.me
- 201. 162 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales y(0) 1, y(0) 0. 19. 4y y xex/2 20. 2y y y x 1 21. y 2y 8y 2e2x ex 22. y 4y 4y (12x2 6x)e2x En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación dife- rencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución general de la ecuación homogénea. 23. ; x2 y xy (x2 1 4)y x3/2 y1 x1/2 cos x, y2 x1/2 sen x 24. x2 y xy y sec(ln x); y1 cos(ln x), y2 sen(ln x) En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de tercer orden usando variación de parámetros. 25. y y tan x 26. y 4y sec 2x Problemas para analizar En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de pa- rámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo sus ideas. 27. 3y 6y 30y 15 sen x ex tan 3x 28. y 2y y 4x2 3 x1 ex 29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué el intervalo de definición de la solución del problema 24 no es (0, ). 30. Encuentre la solución general de x4 y x3 y 4x2 y 1 dado que y1 x2 es una solución de la ecuación homogé- nea asociada. 31. Suponga que yp (x) u1 (x)y1 (x) u2 (x)y2 (x), donde u1 y u2 están definidas por (5) es una solución particular de (2) en un intervalo I para el que P, Q y f son continuas. Demuestre que yp se puede escribir como yp(x) x x0 G(x, t)f(t) dt, (12) donde x y x0 están en I, G(x, t) y1(t)y2(x) y1(x)y2(t) W(t) , (13) y W(t) W(y1 (t), y2 (t)) es el Wronskiano. La función G(x, t) en (13) se llama la función de Green para la ecuación diferencial (2). 32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada en (8) en términos de la solución particular (12). 33. Compruebe que (12) es una solución del problema con valores iniciales d2 y dx2 P dy dx Qy f(x), y(x0) 0, y (x0) 0 en el intervalo I. [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz para derivar bajo un signo de integral.] 34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función de Green encontrada del problema 32 para encontrar una solución del problema con valores iniciales y y e2x , y(0) 0, y (0) 0 usando (12). Evalúe la integral. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER REPASO DE MATERIAL O Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3. INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es encontrar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coefi- cientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar. 4.7 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 162 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 162 6/4/09 12:18:26 PM 6/4/09 12:18:26 PM www.FreeLibros.me
- 202. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma an xn dn y dxn an 1xn 1 dn 1 y dxn 1 a1x dy dx a0y g(x), donde los coeficientes an , an1 , . . . , a0 son constantes, se conoce como ecuación de Cauchy-Euler. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k n, n 1, . . . , 1, 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la derivación dk ydxk : anxn an1xn1 . . . . dny –––– dxn dn1y –––––– dxn1 mismo mismo Al igual que en la sección 4.3, iniciamos el análisis con un examen detallado de las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden . ax2 d2 y dx2 bx dy dx cy 0 La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También, podemos resolver la ecuación no homogénea ax2 y bxy cy g(x) por variación de parámetros, una vez que se ha determinado la función complementaria yc . NOTA El coeficiente ax2 de y es cero en x 0. Por lo que, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1.1 sean aplicables a la ecuación de Cauchy- Euler, centramos nuestra atención en encontrar soluciones generales definidas en el intervalo (0, ). Las soluciones en el intervalo (, 0) se obtienen al sustituir t x en la ecuación diferencial. Véanse los problemas 37 y 38 de los ejercicios 4.7. MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma y xm , donde m es un valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando se sustituye emx en una ecuación lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye xm , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en m veces xm , puesto que ak xk dk y dxk ak xk m(m 1)(m 2) (m k 1)xm k akm(m 1)(m 2) (m k 1)xm . Por ejemplo, cuando sustituimos y xm , la ecuación de segundo orden se transforma en ax2 d2 y dx2 bx dy dx cy am(m 1)xm bmxm cxm (am(m 1) bm c)xm . Así y xm es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación auxiliar am(m 1) bm c 0 o am2 (b a)m c 0. (1) Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado. CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean m1 y m2 las raíces reales de (1), tales que m1 m2 . Entonces y1 xm1 y y2 xm2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por tanto, la solución general es y c1xm1 c2xm2 . (2) 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O 163 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 163 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 163 6/4/09 12:18:26 PM 6/4/09 12:18:26 PM www.FreeLibros.me
- 203. 164 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 1 Raíces distintas Resuelva x2 d2 y dx2 2x dy dx 4y 0. SOLUCIÓN En lugar de memorizar la ecuación (1), algunas veces es preferible su- poner y xm como la solución para entender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de ecuación auxiliar y la obtenida en la sección 4.3. Derive dos veces, dy dx mxm 1 , d2 y dx2 m(m 1)xm 2 , y sustituyendo esto en la ecuación diferencial xm (m(m 1) 2m 4) xm (m2 3m 4) 0 x2 d2 y dx2 2x dy dx 4y x2 m(m 1)xm 2 2x mxm 1 4xm si m2 3m 4 0. Ahora (m 1)(m 4) 0 implica que m1 1, m2 4, así que y c1 x1 c2 x4 . CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Si las raíces de (l) son repetidas (es decir, m1 m2 ), entonces se obtiene sólo una solución particular, y xm1. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 (b a)m c 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes necesariamente es cero. De la fórmula cuadrática se deduce que las raíces deben ser m1 (b a)2a. Ahora se puede construir una segunda solución y2 , con la ecuación (5) de la sec- ción 4.2. Primero se escribe la ecuación de Cauchy-Euler en la forma estándar d2 y dx2 b ax dy dx c ax2 y 0 y haciendo las identificaciones P(x) bax y (b ax) dx (b a) ln x. Así xm1 dx x xm1 ln x. ; 2m1 (b a)/a xm1 x b/a x(b a)/a dx ; e (b / a)ln x eln x b/a x b / a xm1 x b/a x 2m1 dx y2 xm1 e (b/a)ln x x2m1 dx La solución general es entonces y c1xm1 c2xm1 ln x. (3) EJEMPLO 2 Raíces repetidas Resuelva 4x2 d2 y dx2 8x dy dx y 0. SOLUCIÓN Sustituyendo y xm se obtiene 4x2 d2 y dx2 8x dy dx y xm (4m(m 1) 8m 1) xm (4m2 4m 1) 0 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 164 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 164 6/4/09 12:18:27 PM 6/4/09 12:18:27 PM www.FreeLibros.me
- 204. donde 4m2 4m 1 0 o (2m 1)2 0. Puesto que m1 1 2 , la solución general es y c1 x1/2 c2 x1/2 ln x. Para ecuaciones de orden superior, si m1 es una raíz de multiplicidad k, entonces se puede demostrar que xm1 , xm1 ln x, xm1 (ln x)2 , . . . , xm1 (ln x)k 1 son k soluciones linealmente independientes. En correspondencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de estas k soluciones. CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si las raíces de (1) son el par conju- gado m1 a ib, m2 a ib, donde a y b 0 son reales, entonces una solución es y C1x i C2x i . Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las ecuaciones con coeficientes constantes, se desea escribir la solución sólo en términos de funciones reales. Observemos la identidad xi (eln x )i ei ln x , que, por la fórmula de Euler, es lo mismo que xib cos(b ln x) i sen(b ln x). De forma similar, xib cos(b ln x) i sen(b ln x). Si se suman y restan los dos últimos resultados, se obtiene xib xib 2 cos(b ln x) y xib xib 2i sen(b ln x), respectivamente. Del hecho de que y C1 xaib C2 xaib es una solución para cual- quier valor de las constantes, note, a su vez, para C1 C2 1 y C1 1, C2 1 que y o y1 2x cos( ln x) y1 x (xi x i ) y y2 2ix sen( ln x) y2 x (xi x i ) también son soluciones. Como W(xa cos(b ln x), xa sen(b ln x)) bx2a1 0, b 0 en el intervalo (0, ), se concluye que y1 x cos( ln x) y y2 x sen( ln x) constituyen un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial. Así la solución general es y x [c1 cos( ln x) c2 sen( ln x)]. (4) EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales Resuelva 4x2 y 17y 0, y(1) 1, y (1) 1 2. SOLUCIÓN El término y falta en la ecuación de Cauchy-Euler; sin embargo, la sus- titución y xm produce 4x2 y 17y xm (4m(m 1) 17) xm (4m2 4m 17) 0 donde 4m2 4m 17 0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces son m1 1 2 2i y m2 1 2 2i. Con las identificaciones a 1 2 y b 2 se ve de (4) que la solución general de la ecuación diferencial es y x1/2 [c1 cos(2 ln x) c2 sen(2 lnx)]. Aplicando las condiciones iniciales y(l) 1, y (1) 1 2 la solución anterior y usando ln 1 0, se obtiene, a su vez, que c1 1 y c2 0. Así la solución del problema x y _1 0 1 1 x y 25 50 75 10 5 100 a) solución para 0 x 1. b) solución para 0 x 100. FIGURA 4.7.1 Curva solución del PVI del ejemplo 3. 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O 165 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 165 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 165 6/4/09 12:18:27 PM 6/4/09 12:18:27 PM www.FreeLibros.me
- 205. 166 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR con valores iniciales es y x1/2 cos(2 ln x). En la figura 4.7.1 se presenta la gráfica de esta función que se obtuvo con ayuda de un paquete de cómputo. Se observa que la solu- ción particular es oscilatoria y no acotada conforme x : . En el ejemplo siguiente se ilustra la solución de una ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden. EJEMPLO 4 Ecuación de tercer orden Resuelva x3 d3 y dx3 5x2 d2 y dx2 7x dy dx 8y 0. SOLUCIÓN Las tres primeras derivadas de y xm son dy dx mxm 1 , d2 y dx2 m(m 1)xm 2 , d3 y dx3 m(m 1)(m 2)xm 3 , así la ecuación diferencial dada se convierte en xm (m3 2m2 4m 8) xm (m 2)(m2 4) 0. xm (m(m 1)(m 2) 5m(m 1) 7m 8) x3 d3 y dx3 5x2 d2 y dx2 7x dy dx 8y x3 m(m 1)(m 2)xm 3 5x2 m(m 1)xm 2 7xmxm 1 8xm En este caso veremos que y xm es una solución de la ecuación diferencial para m1 2, m2 2i y m3 2i. Por tanto, la solución general es y c1 x2 c2 cos(2 ln x) c3 sen(2 ln x). El método de coeficientes indeterminados que se describió en las secciones 4.5 y 4.6 no se aplica, en general, a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes varia- bles. Por tanto en el siguiente ejemplo se emplea el método de variación de parámetros. EJEMPLO 5 Variación de parámetros Resuelva x2 y 3xy 3y 2x4 ex . SOLUCIÓN Puesto que la ecuación es no homogénea, primero se resuelve la ecuación homogénea asociada. De la ecuación auxiliar (m l)(m 3) 0 se encuentra yc c1 x c2 x3 . Ahora, antes de usar la variación de parámetros para encontrar una solución particular yp u1 y1 u2 y2 , recuerde que las fórmulas u1 W1W y u2 W2W , donde W1 , W2 y W, son los determinantes definidos en la página 158, que se dedujeron bajo la suposición de que la ecuación diferencial se escribió en la forma estándar y P(x)y Q(x)y f(x). Por tanto, dividiendo entre x2 la ecuación dada, y 3 x y 3 x2 y 2x2 ex hacemos la identificación f(x) 2x2 ex . Ahora con y1 x, y2 x3 , y W x 1 x3 3x2 2x3 , W1 0 2x2 ex x3 3x2 2x5 ex , W2 x 1 0 2x2 ex 2x3 ex , encontramos u1 2x5 ex 2x3 x2 ex y u2 2x3 ex 2x3 ex . 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 166 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 166 6/4/09 12:18:28 PM 6/4/09 12:18:28 PM www.FreeLibros.me
- 206. La integral de la última función es inmediata, pero en el caso de u1 se integra por partes dos veces. Los resultados son u1 x2 ex 2xex 2ex y u2 ex . Por tanto yp u1 y1 u2 y2 es yp ( x2 ex 2xex 2ex )x ex x3 2x2 ex 2xex . Finalmente, y yc yp c1x c2x3 2x2 ex 2xex . REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES Las similitudes entre las formas de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con coeficientes constantes no sólo son una coincidencia. Por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares para ay by cy 0 y ax2 y bxy cy 0 son distintas y reales, las soluciones generales respectivas son y c1em1 x c2em2 x y y c1xm1 c2xm2 , x 0. (5) Usando la identidad eln x x, x 0, la segunda solución dada en (5) puede expresarse en la misma forma que la primera solución: y c1em1 ln x c2em2 ln x c1em1t c2em2 t , donde t ln x. Este último resultado ilustra el hecho de que cualquier ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir de nuevo como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes sustituyendo x et . La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t, usando los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general, sustituir nuevamente t ln x. Este método, que se ilustró en el último ejemplo, requiere el uso de la regla de la cadena de la derivación. EJEMPLO 6 Cambio a coeficientes constantes Resuelva x2 y xy y ln x. SOLUCIÓN Sustituyendo x et o t ln x, se tiene que 1 x d2 y dt2 1 x dy dt 1 x2 1 x2 d2 y dt2 dy dt . ; Regla del producto y regla de la cadena d2 y dx2 1 x d dx dy dt dy dt 1 x2 ; Regla de la cadena dy dx dy dt dt dx 1 x dy dt Sustituyendo en la ecuación diferencial dada y simplificando se obtiene d2 y dt2 2 dy dt y t. Como esta última ecuación tiene coeficientes constantes, su ecuación auxiliar es m2 2m 1 0, o (m 1)2 0. Así se obtiene yc c1 et c2 tet . Usando coeficientes indeterminados se prueba una solución particular de la forma yp A Bt. Esta suposición conduce a 2B A Bt t, por tanto A 2 y B 1. Usando y yc yp , se obtiene y c1 et c2 tet 2 t, así la solución general de la ecuación diferencial original en el intervalo (0, ) es y c1 x c2 x ln x 2 ln x. 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O 167 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 167 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 167 6/4/09 12:18:28 PM 6/4/09 12:18:28 PM www.FreeLibros.me
- 207. 168 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS 4.7 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada. 1. x2 y 2y 0 2. 4x2 y y 0 3. xy y 0 4. xy 3y 0 5. x2 y xy 4y 0 6. x2 y 5xy 3y 0 7. x2 y 3xy 2y 0 8. x2 y 3xy 4y 0 9. 25x2 y 25xy y 0 10. 4x2 y 4xy y 0 11. x2 y 5xy 4y 0 12. x2 y 8xy 6y 0 13. 3x2 y 6xy y 0 14. x2 y 7xy 41y 0 15. x3 y 6y 0 16. x3 y xy y 0 17. xy(4) 6y 0 18. x4 y(4) 6x3 y 9x2 y 3xy y 0 En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial dada por variación de parámetros. 19. xy 4y x4 20. 2x2 y 5xy y x2 x 21. x2 y xy y 2x 22. x2 y 2xy 2y x4 ex 23. x2 y xy y ln x 24. x2 y xy y 1 x 1 En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Use una aplicación para graficar y obtenga la gráfica de la curva solución. 25. x2 y 3xy 0, y(1) 0, y(1) 4 26. x2 y 5xy 8y 0, y(2) 32, y(2) 0 27. x2 y xy y 0, y(1) 1, y(1) 2 28. x2 y 3xy 4y 0, y(1) 5, y(1) 3 29. xy y x, y(1) 1, y (1) 1 2 30. x2 y 5xy 8y 8x6 , y 1 2 0, y 1 2 0 En los problemas 31 a 36 use la sustitución x et para con- vertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5. 31. x2 y 9xy 20y 0 32. x2 y 9xy 25y 0 33. x2 y 10xy 8y x2 34. x2 y 4xy 6y ln x2 35. x2 y 3xy 13y 4 3x 36. x3 y 3x2 y 6xy 6y 3 ln x3 En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales dado en el intervalo (, 0). 37. 4x2 y y 0, y(1) 2, y(1) 4 38. x2 y 4xy 6y 0, y(2) 8, y(2) 0 Problemas para analizar 39. ¿Cómo podría utilizar el método de esta sección para re- solver (x 2)2 y (x 2)y y 0? Lleve a cabo sus ideas. Exprese un intervalo en el cual esté definida la solución. 40. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de Cauchy- Euler de orden mínimo con coeficientes reales si se sabe que 2 y 1 i son raíces de su ecuación auxiliar? Lleve a cabo sus ideas. 41. Las condiciones iniciales y(0) y0 , y(0) y1 se aplican a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: x2 y 0, x2 y 2xy 2y 0, x2 y 4xy 6y 0. ¿Para qué valores de y0 y y1 cada problema con valores iniciales tiene una solución? 42. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la curva solución que se muestra en la figura 4.7.1? ¿Cuántas in- tersecciones con el eje x hay en ? 0 x 1 2 Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 43 al 46 resuelva la ecuación diferencial dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas) de la ecuación auxiliar. 43. 2x3 y 10.98x2 y 8.5xy 1.3y 0 44. x3 y 4x2 y 5xy 9y 0 45. x4 y(4) 6x3 y 3x2 y 3xy 4y 0 46. x4 y(4) 6x3 y 33x2 y 105xy 169y 0 47. Resuelva x3 y x2 y 2xy 6y x2 por variación de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados en (10) de la sección 4.6. 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 168 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 168 6/4/09 12:18:29 PM 6/4/09 12:18:29 PM www.FreeLibros.me
- 208. ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en no- tación de operador diferencial. Recuerde de la sección 4.1 que una sola ecuación lineal any(n) an 1y(n 1) a1y a0y g(t), donde las ai , i 0, 1, . . . , n son constantes, puede escribirse como (anDn an 1D(n 1) a1D a0)y g(t). Si el operador diferencial de n-ésimo orden anDn an 1D(n 1) a1D a0 se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmu- tan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema x y 4x 2y e t x 2x y x 3y sent en términos del operador D, primero se escriben los términos con variables dependien- tes en un miembro y se agrupan las mismas variables. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN REPASO DE MATERIAL O Puesto que el método de eliminación sistemática desacopla un sistema en distintas EDO lineales en cada variable dependiente, esta sección le brinda la oportunidad de practicar lo que aprendió en las secciones 4.3, 4.4 (o 4.5) y 4.6. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones des- conocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio al- gebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas. 4.8 x 2x x y 3y sent x 4x y 2y e t es lo mismo que (D2 2D 1)x (D2 3)y sent (D 4)x (D 2)y e t . SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema de ecuaciones dife- renciales es un conjunto de funciones suficientemente derivables x f1 (t), y f2 (t), z f3 (t), etcétera, que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I. MÉTODO DE SOLUCIÓN Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden dx dt 3y dy dt 2x o, equivalentemente Dx 3y 0 2x Dy 0. (1) Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene D2 x 6x 0. Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son m1 16 y m2 16 , se obtiene x(t) c1e 16t c2e16t . (2) 4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 169 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 169 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 169 6/4/09 12:18:30 PM 6/4/09 12:18:30 PM www.FreeLibros.me
- 209. 170 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para y, D2 y 6y 0. Inmediatamente se tiene que y(t) c3e 16t c4e16t . (3) Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de c1 , c2 , c3 y c4 porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene 16c1 3c3 e 16t 16c2 3c4 e16t 0. Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener 16c1 3c3 0 y 16c2 3c4 0. Estas dos ecuaciones nos permiten escribir c3 como un múltiplo de c1 y c4 como un múltiplo de c2 : c3 16 3 c1 y c4 16 3 c2 . (4) Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser x(t) c1e 16t c2e16 t , y(t) 16 3 c1e 16t 16 3 c2e16t . Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes. EJEMPLO 1 Solución por eliminación Resuelva (D 3)x 2y 0. Dx (D ) 2 y 0 (5) SOLUCIÓN Operando con D – 3 la primera ecuación y la segunda con D y luego restándolas se elimina x del sistema. Se deduce que la ecuación diferencial para y es [(D 3)(D 2) 2D]y 0 o (D2 D 6)y 0. Puesto que la ecuación característica de esta última ecuación diferencial es m2 m 6 (m 2)(m 3) 0, se obtiene la solución y(t) c1e2t c2e 3t . (6) Eliminando y de modo similar, se obtiene (D2 D 6)x 0, a partir de lo cual se encuentra que x(t) c3e2t c4e 3t . (7) Como se observó en la descripción anterior, una solución de (5) no contiene cuatro cons- tantes independientes. Sustituyendo (6) y (7) en la primera ecuación de (5) se obtiene (4c1 2c3)e2t ( c2 3c4)e 3t 0. De 4c1 2c3 0 y c2 3c4 0 se obtiene c3 2c1 y c4 1 3 c2. Por tanto una solución del sistema es x(t) 2c1e2t 1 3 c2e 3t , y(t) c1e2t c2e 3t . Ya que sólo se podría despejar fácilmente a c3 y c4 en términos de c1 y c2 , la solu- ción del ejemplo 1 se escribe en la forma alternativa x(t) c3e2t c4e 3t , y(t) 1 2 c3e2t 3c4e 3t . 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 170 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 170 6/4/09 12:18:30 PM 6/4/09 12:18:30 PM www.FreeLibros.me
- 210. En ocasiones da resultado mantener los ojos abiertos cuando se resuelven siste- mas. Si en el primer ejemplo se hubiera resuelto para x, entonces se podría encontrar y, junto con la relación entre las constantes, usando la última ecuación del sistema (5). Usted debe comprobar que la sustitución de x(t) en y 1 2 (Dx 3x) produce y 1 2 c3e2t 3c4e 3t . Observe también en la descripción inicial que la relación que se proporciona en (4) y la solución y(t) de (1) se podría haber obtenido al usar x(t) en (2) y la primera ecuación de (1) en la forma y 1 3 Dx 1 3 26c1e 16t 1 3 26c2e16t . EJEMPLO 2 Solución por eliminación Resuelva x x y 0. x 4x y t2 (8) SOLUCIÓN Primero se escribe el sistema en notación de operador diferencial: (D 1)x Dy 0. (D 4)x D2 y t2 (9) Entonces, eliminando a x, obtenemos o (D3 4D)y t2 2t. ( [ D 1)D2 (D 4)D]y (D 1)t2 (D 4)0 Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar m(m2 4) 0 son m1 0, m2 2i y m3 2i, la función complementaria es yc c1 c2 cos 2t c3 sen 2t. Para determinar la solución particular yp , se usan coeficientes indeterminados suponiendo que yp At3 Bt2 Ct. Por tanto yp 3At2 2Bt C, yp 6At 2B, yp 6A, yp 4yp 12At2 8Bt 6A 4C t2 2t. La última igualdad indica que 12A 1, 8B 2 y 6A 4C 0; por tanto A 1 12, B 1 4 , y C 1 8 . Así y yc yp c1 c2 cos 2t c3sen 2 t 1 12 t3 1 4 t2 1 8 t. (10) Eliminando y del sistema (9), se obtiene [(D 4) D(D 1)]x t2 o (D2 4)x t2 . Debe ser obvio que xc c4 cos 2t c5 sen 2t y que se pueden aplicar coeficientes in- determinados para obtener una solución particular de la forma xp At2 Bt C. En este caso usando derivadas y álgebra usuales se obtiene xp 1 4 t2 1 8, y así x xc xp c4 cos 2t c5 sen 2t 1 4 t2 1 8 . (11) Ahora se expresan c4 y c5 en términos de c2 y c3 sustituyendo (10) y (11) en cual- quier ecuación de (8). Utilizando la segunda ecuación, se encuentra, después de com- binar términos, (c5 2c4 2c2) sen 2t (2c5 c4 2c3) cos 2t 0, así c5 2c4 2c2 0 y 2c5 c4 2c3 0. Despejando c4 y c5 en términos de c2 y c3 se obtiene c4 1 5 (4c2 2c3 ) y c5 1 5 (2c2 4c3 ). Por último, se encuentra que una solución de (8) es x(t) 1 5 (4c2 2c3) cos 2t 1 5 (2c2 4c3) sen 2t 1 4 t2 1 8 , y(t) c1 c2 cos 2t c3 sen 2t 1 12 t3 1 4 t2 1 8 t. Q Esto podría ahorrarle algo de tiempo 4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 171 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 171 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 171 6/4/09 12:18:31 PM 6/4/09 12:18:31 PM www.FreeLibros.me
- 211. 172 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 3 Volver a tratar un problema de mezclas En (3) de la sección 3.3 vimos que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden dx2 dt 2 25 x1 2 25 x2 dx1 dt 2 25 x1 1 50 x2 es un modelo para la cantidad de libras de sal x1 (t) y x2 (t) en mezclas de salmuera en los tanques A y B, respectivamente, que se muestran en la figura 3.3.1. En ese momento no podíamos resolver el sistema. Pero ahora, en términos de operadores diferenciales, el sistema anterior se puede escribir como 2 25 x1 D 2 25 x2 0. D 2 25 x1 1 50 x2 0 Operando con D 2 25 la primera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por 1 50, se suman y simplifican, y se obtiene (625D2 100D 3)x1 0. De la ecuación auxiliar 625m2 100m 3 (25m 1)(25m 3) 0 se observa inmediatamente que x1 (t) c1 et/25 c2 e3t/25 . Ahora se puede obtener x2 (t) usando la primera ED del sistema en la forma 2 x2 50(D 2 25)x1. De esta manera se encuentra que la solución del sistema es x1(t) c1e t/25 c2e 3t/25 , x2(t) 2c1e t/25 2c2e 3t/25 . En el análisis original de la página 107 se supuso que las condiciones iniciales eran x1 (0) 25 y x2 (0) 0. Aplicando estas condiciones a la solución se obtiene c1 c2 25 y 2c1 2c2 0. Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se obtiene c1 c2 25 2 . Por último, una solución del problema con valores iniciales es x1(t) 25 2 e t/25 25 2 e 3t/25 , x2(t) 25e t/25 25e 3t/25 . En la figura 4.8.1 se muestran las gráficas de ambas ecuaciones. Consistentes con el hecho que se bombea agua pura al tanque A en la figura vemos que x1 (t) : 0 y x2 (t) : 0 con- forme t : . FIGURA 4.8.1 Libras de sal en los tanques A y B. 20 5 10 15 25 20 40 x1(t) x2(t) 60 Tiempo libras de sal 80 100 0 EJERCICIOS 4.8 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-6. En los problemas 1 a 20 resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado por eliminación sistemática. 1. 2. 3. 4. dy dt x t dx dt y t dy dt x dx dt 2x y dy dt x 2 dx dt 4y 1 dy dt x 2y dx dt 4x 7y 5. (D2 5)x 2y 0 2x (D2 2)y 0 6. (D 1)x (D 1)y 2 3x (D 2)y 1 7. 8. d2 y dt2 4x et d2 x dt2 4y et dx dt dy dt x 4y d2 x dt2 dy dt 5x 9. Dx D2 y e3t (D 1)x (D 1)y 4e3t 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 172 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 172 6/4/09 12:18:32 PM 6/4/09 12:18:32 PM www.FreeLibros.me
- 212. 10. D2 x Dy t (D 3)x (D 3)y 2 11. (D2 1)x y 0 (D 1)x Dy 0 12. (2D2 D 1)x (2D 1)y 1 (D 1)x Dy 1 13. 14. d2 x dt2 dx dt x y 0 dx dt dy dt et dx dt x dy dt 5et 2 dx dt 5x dy dt et 15. (D 1)x (D2 1)y 1 (D2 1)x (D 1)y 2 16. D2 x 2(D2 D)y sen t x Dy 0 17. Dx y 18. Dx z et Dy z (D 1)x Dy Dz 0 Dz x x 2y Dz et 19. 20. dz dt x y dy dt x z dx dt 6y dz dt x y dy dt y z dx dt x z En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales. 21. 22. dy dt 4x y dx dt 5x y dy dt 3x 2y dx dt y 1 x(1) 0, y(1) 1 x(0) 0, y(0) 0 Modelos matemáticos 23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de una pistola tiene un peso w mg y una velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa su trayectoria de movimiento. Véase la figura 4.8.2. Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] FIGURA 4.8.2 Trayectoria del proyectil del problema 23. y x mg v FIGURA 4.8.3 Fuerzas en el problema 24. k v θ 24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire De- termine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resis- tencia del aire es una fuerza retardadora k (de magnitud k) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero opuesta a su movimiento. Véase la figura 4.8.3. Resuelva el sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, digamos, cv.] Problemas para analizar 25. Examine y analice el siguiente sistema: (D 1)x 2(D 1)y 1. Dx 2Dy t2 Tarea para el laboratorio de computación 26. Examine de nuevo la figura 4.8.1 del ejemplo 3. Luego utilice una aplicación para determinar raíces para saber cuando el tanque B contiene más sal que el tanque A. 27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3. En ese problema se pidió demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales dx3 dt 2 75 x2 1 25 x3 dx2 dt 1 50 x1 2 75 x2 dx1 dt 1 50 x1 es un modelo para las cantidades de sal en los tanques de mezclado conectados A, B y C que se muestran en la figura 3.3.7. Resuelva el sistema sujeto a x1 (0) 15, x2 (t) 10, x3 (t) 5. b) Use un SAC para graficar x1 (t), x2 (t) y x3 (t) en el mismo plano coordenado (como en la figura 4.8.1) en el intervalo [0, 200]. c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque A, es 1ógico que en algún momento la sal salga de los tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal x1 (t), x2 (t) y x3 (t) simultáneamente menores o iguales que 0.5 libras? 4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 173 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173 6/4/09 12:18:32 PM 6/4/09 12:18:32 PM www.FreeLibros.me
- 213. 174 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ALGUNAS DIFERENCIAS Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. En la sección 4.1 vimos que las ecuaciones lineales homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución (teorema 4.1.2). Las ecuaciones no lineales no tienen esta propiedad de superposición. Vea los problemas 1 y 18 de los ejercicios 4.9. Podemos encontrar soluciones generales de ED lineales de primer orden y ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. Aun cuando se pueda resolver una ecua- ción diferencial no lineal de primer orden en la forma de una familia uniparamétrica, esta familia no representa, como regla, una solución general. Es decir, las ED no linea- les de primer orden pueden tener soluciones singulares, en tanto que las ecuaciones lineales no. Pero la principal diferencia entre las ecuaciones lineales y no lineales de orden dos o superior radica en el área de la solubilidad. Dada una ecuación lineal, hay una probabilidad de encontrar alguna forma de solución que se pueda analizar, una solución explícita o quizá una solución en la forma de una serie infinita (vea el capítulo 6). Por otro lado, las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior desafían vir- tualmente la solución con métodos analíticos. Aunque esto podría sonar desalentador, aún hay cosas que se pueden hacer. Como se señaló al final de la sección 1.3, siempre es posible analizar de modo cualitativo y numérico una ED no lineal. Desde el principio se aclaró que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior son importantes, digamos ¿quizá más que las lineales?, porque a medida que se ajusta un modelo matemático, por ejemplo, un sistema físico, se incrementa por igual la probabilidad de que este modelo de mayor definición sea no lineal. Empezamos por mostrar un método analítico que en ocasiones permite determi- nar soluciones explícitas o implícitas de clases especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales. REDUCCIÓN DE ORDEN Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y, y) 0, donde falta la variable dependiente y, y F(y, y, y) 0, donde falta la variable independiente x, a veces se resuelven usando métodos de primer orden. Cada ecuación se reduce a una de primer orden por medio de la sustitución u y. En el ejemplo siguiente se ilustra la técnica de sustitución para una ecuación de la forma F(x, y, y) 0. Si u y, entonces la ecuación diferencial se convierte en F(x, u, u) 0. Si podemos resolver esta última ecuación para u, podemos encontrar a y por integración. Observe que como se está resolviendo una ecuación de segundo orden, su solución contendrá dos constantes arbitrarias. EJEMPLO 1 Falta la variable dependiente y Resuelva y 2x(y)2 . ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES REPASO DE MATERIAL O Secciones 2.2 y 2.5. O Sección 4.2. O También se recomienda un repaso de series de Taylor. INTRODUCCIÓN A continuación se examinan las dificultades en torno a las ED no lineales de orden superior y los pocos métodos que producen soluciones analíticas. Dos de los métodos de solución que se consideran en esta sección emplean un cambio de variable para reducir una ED de segundo orden a una de primer orden. En ese sentido los métodos son análogos al material de la sección 4.2. 4.9 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 174 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 174 6/4/09 12:18:33 PM 6/4/09 12:18:33 PM www.FreeLibros.me
- 214. SOLUCIÓN Si hacemos u y, entonces dudx y. Después de sustituir, la se- gunda ecuación diferencial se reduce a una ecuación de primer orden con variables separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es u: u 1 x2 c1 2 . u 2 du 2x dx du dx 2xu2 du u2 2x dx La constante de integración se escribe como c1 2 por conveniencia. La razón debe ser obvia en los pocos pasos siguientes. Debido a que u1 ly, se tiene que dy dx 1 x2 c1 2 , y así y dx x2 c1 2 o y 1 c1 tan 1 x c1 c2. A continuación se muestra cómo resolver una ecuación que tiene la forma F(y, y, y) 0. Una vez más se hace u y, pero debido a que falta la variable independiente x, esta sustitución se usa para convertir la ecuación diferencial en una en la que la va- riable independiente es y y la variable dependiente es u. Entonces utilizamos la regla de la cadena para calcular la segunda derivada de y: y du dx du dy dy dx u du dy . En este caso la ecuación de primer orden que debemos resolver es F y, u, u du dy 0. EJEMPLO 2 Falta la variable independiente x Resuelva yy ( y)2 . SOLUCIÓN Con ayuda de u y, la regla de la cadena que se acaba de mostrar y de la separación de variables, la ecuación diferencial se convierte en y u du dy u2 o du u dy y . Entonces, integrando la última ecuación se obtiene lnu lny c1 , que, a su vez, da u c2 y, donde la constante ec1 se identifica como c2 . Ahora se vuelve a sustituir u dydx, se separan de nuevo las variables, se integra y se etiquetan las constantes por segunda vez: dy y c2 dx o ln y c2x c3 o y c4ec2x . USO DE SERIES DE TAYLOR En algunos casos una solución de un problema con valores iniciales no lineales, en el que las condiciones iniciales se específican en x0 , se puede aproximar mediante una serie de Taylor centrada en x0 . 4.9 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES O 175 o 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 175 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 175 6/4/09 12:18:33 PM 6/4/09 12:18:33 PM www.FreeLibros.me
- 215. 176 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 3 Series de Taylor de un PVI Supongamos que existe una solución del problema con valores iniciales y x y y2 , y(0) 1, y (0) 1 (1) Si además se supone que la solución y(x) del problema es analítica en 0, entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: y(x) y(0) y (0) 1! x y (0) 2! x2 y (0) 3! x3 y(4) (0) 4! x4 y(5) (0) 5! x5 . (2) Observe que se conocen los valores del primero y segundo términos en la serie (2) puesto que esos valores son las condiciones iniciales especificadas y(0) 1, y(0) 1. Además, la ecuación diferencial por sí misma define el valor de la segunda derivada en 0: y(0) 0 y(0) y(0)2 0 (1) (1)2 2. Entonces se pueden encon- trar expresiones para las derivadas superiores y , y(4) , . . . calculando las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial: (3) (4) y(5) (x) d dx (y 2yy 2(y )2 ) y 2yy 6y y , y(4) (x) d dx (1 y 2yy ) y 2yy 2(y )2 y (x) d dx (x y y2 ) 1 y 2yy (5) etcétera. Ahora usando y(0) 1 y y(0) 1, se encuentra de (3) que y (0) 4. De los valores y(0) 1, y(0) 1 y y(0) 2 se encuentra y(4) (0) 8 de (4). Con la información adicional de que y (0) 4, entonces se ve de (5) que y(5) (0) 24. Por tanto de (2) los primeros seis términos de una solución en serie del problema con valores iniciales (1) son y(x) 1 x x2 2 3 x3 1 3 x4 1 5 x5 . USO DE UN PROGRAMA DE SOLUCIÓN NUMÉRICA Los métodos numéricos, como el de Euler o el de Runge-Kutta, se desarrollaron sólo para ecuaciones diferen- ciales de primer orden y luego se ampliaron a sistemas de ecuaciones de primer orden. Para analizar en forma numérica un problema con valores iniciales de n-ésimo orden, se expresa la EDO de n-ésimo orden como un sistema de n ecuaciones de primer orden. En resumen, aquí se muestra cómo se hace esto para un problema con valores iniciales de segundo orden: primero, se resuelve para y , es decir, se escribe la ED en la forma nor- mal y f(x, y, y) y después se hace que y u. Por ejemplo, si sustituimos y u en d2 y dx2 f(x, y, y ), y(x0 ) y0, y (x0 ) u0, (6) entonces y u y y(x0 ) u(x0 ), por lo que el problema con valores iniciales (6) se convierte en Resuelva: Sujeto a: y(x0) y0, u(x0) u0. y u u f(x, y, u) Sin embargo, se debe observar que un programa de solución numérica podría no re- querir* que se proporcione el sistema. * Algunos programas de solución numérica sólo requieren que una ecuación diferencial de segundo orden sea expresada en la forma normal y f(x, y, y). La traducción de la única ecuación en un sistema de dos ecuaciones se construye en el programa de computadora, ya que la primera ecuación del sistema siempre es y u y la segunda ecuación es u f(x, y, u). 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 176 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 176 6/4/09 12:18:34 PM 6/4/09 12:18:34 PM www.FreeLibros.me
- 216. EJEMPLO 4 Análisis gráfico del ejemplo 3 Siguiendo el procedimiento anterior, se encuentra que el problema con valores inicia- les de segundo orden del ejemplo 3 es equivalente a du dx x y y2 dy dx u con condiciones iniciales y(0) 1, u(0) 1. Con ayuda de un programa de solución nu- mérica, se obtiene la curva solución en azul en la figura 4.9.1. Por comparación, la gráfica del polinomio de Taylor de quinto grado T5(x) 1 x x2 2 3 x3 1 3 x4 1 5 x5 se muestra en rojo. Aunque no se conoce el intervalo de convergencia de la serie de Taylor obtenida en el ejemplo 3, la proximidad de las dos curvas en una vecindad del origen indica que la serie de potencias podría converger en el intervalo (1, 1). CUESTIONES CUALITATIVAS La gráfica en azul de la figura 4.9.1 origina al- gunas preguntas de naturaleza cualitativa: ¿la solución del problema con valores ini- ciales original es oscilatoria conforme x : ? La gráfica generada con un programa de solución numérica en el intervalo más grande, que se muestra en la figura 4.9.2 parecería sugerir que la respuesta es sí. Pero este simple ejemplo o incluso un grupo de ejemplos, no responde la pregunta básica en cuanto a si todas las soluciones de la ecuación diferencial y x y y2 son de naturaleza oscilatoria. También, ¿qué está sucediendo con la curva solución de la figura 4.9.2 conforme x está cerca de 1? ¿Cuál es el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial conforme x : ? ¿Están acotadas las soluciones conforme x : ? Preguntas como éstas no son fáciles de responder, en general, para ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales. Pero ciertas clases de ecuaciones de segundo orden se prestan a un análisis cualitativo sistemático y éstas, al igual que las ecuaciones de primer orden que se obtuvieron en la sección 2.1, son de la clase que no tiene dependencia explícita en la variable independiente. Las EDO de segundo orden de la forma F(y, y , y ) 0 o d2 y dx2 f(y, y ), ecuaciones libres de la variable independiente x, se llaman autónomas. La ecuación diferencial del ejemplo 2 es autónoma y debido a la presencia del término x en su miembro derecho, la ecuación del ejemplo 3 es autónoma. Para un tratamiento pro- fundo del tema de estabilidad de ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden y sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales, refiérase al capítulo 10 de Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. EJERCICIOS 4.9 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-6. En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial dada pero que y c1 y1 c2 y2 en general, no es una solución. 1. (y)2 y2 ; y1 ex , y2 cos x 2. yy 1 2 (y )2 ; y1 1, y2 x2 En los problemas 3 a 8 resuelva la ecuación diferencial usando la sustitución u y. 3. y (y)2 1 0 4. y 1 (y)2 5. x2 y ( y)2 0 6. (y 1)y (y)2 7. y 2y(y)3 0 8. y2 y y 9. Considere el problema con valores iniciales y yy 0, y(0) 1, y(0) 1. a) Use la ED y un programa de solución numérica para trazar la curva solución. b) Encuentre una solución explícita del PVI. Use un pro- grama de graficación para trazar la solución. c) Determine un intervalo de definición para la solución del inciso b). FIGURA 4.9.2 Curva solución numérica para el PVI en (1). y 10 20 x FIGURA 4.9.1 Comparación de dos soluciones aproximadas. y x polinomio de Taylor curva solución generada mediante un programa de solución numérica 4.9 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES O 177 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 177 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 177 6/4/09 12:18:34 PM 6/4/09 12:18:34 PM www.FreeLibros.me
- 217. 10. Encuentre dos soluciones del problema con valores iniciales (y )2 (y )2 1, y 2 1 2 , y 2 13 2 . Use un programa de solución numérica para trazar la grá- fica de las curvas solución. En los problemas 11 y 12 demuestre que la sustitución u y conduce a una ecuación de Bernoulli. Resuelva esta ecuación (véase la sección 2.5). 11. xy y (y)3 12. xy y x(y)2 En los problemas 13 a 16 proceda como en el ejemplo 3 y obtenga los primeros seis términos no cero de una solución en serie de Taylor, centrada en 0, del problema con valores ini- ciales. Use un programa de solución numérica para comparar la curva solución con la gráfica del polinomio de Taylor. 13. y x y2 , y(0) 1, y(0) 1 14. y y2 1, y(0) 2, y(0) 3 15. y x2 y2 2y, y(0) 1, y(0) 1 16. y ey , y(0) 0, y(0) 1 17. En cálculo, la curvatura de una línea que se define por medio de una función y f(x) es y [1 (y )2 ]3/2 . k Encuentre y f(x) para la cual k 1. [Sugerencia: Por simplicidad, desprecie las constantes de integración.] Problemas para analizar 18. En el problema 1 vimos que cos x y ex eran soluciones de la ecuación no lineal (y)2 y2 0. Compruebe que sen x y ex también son soluciones. Sin intentar resolver la ecuación diferencial, analice cómo se pueden encontrar estas soluciones usando su conocimiento acerca de las ecuaciones lineales. Sin intentar comprobar, analice por qué las combinaciones lineales y c1 ex c2 ex c3 cos x c4 sen x y y c2 ex c4 sen x no son, en general, so- luciones, pero las dos combinaciones lineales especiales y c1 ex c2 ex y y c3 cos x c4 sen x deben satisfa- cer la ecuación diferencial. 19. Analice cómo se puede aplicar el método de reducción de orden considerado en esta sección a la ecuación diferen- cial de tercer orden y 11 (y )2 . Lleve a cabo sus ideas y resuelva la ecuación. 20. Explique cómo encontrar una familia alternativa de solu- ciones de dos parámetros para la ecuación diferencial no lineal y 2x(y)2 en el ejemplo 1. [Sugerencia: Suponga que c1 2 se usa como constante de integración en lugar de .] c1 2 Modelos matemáticos 21. Movimiento de un campo de fuerza Un modelo mate- mático para la posición x(t) de un cuerpo con movimiento rectilíneo en el eje x en un campo de fuerza inverso del cuadrado de x es d2 x dt2 k2 x2 . Suponga que en t 0 el cuerpo comienza a partir del reposo en la posición x x0 , x0 0. Muestre que la velocidad del cuerpo en el tiempo t está dada por v2 2k2 (1x 1x0 ). Use la última expresión y un SAC para realizar la integración para expresar al tiempo t en términos de x. 22. Un modelo matemático para la posición x(t) de un objeto en movimiento es . d2 x dt2 senx 0 Use un programa de solución numérica para investigar en forma gráfica las soluciones de la ecuación sujeta a x(0) 0, x(0) x1 , x1
- 218. 0. Analice el movimiento del objeto para t
- 219. 0 y para diferentes elecciones de x1 . Investigue la ecuación d2 x dt2 dx dt senx 0 en la misma forma. Proponga una interpretación física posible del término dxdt. REPASO DEL CAPÍTULO 4 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-6. Conteste los problemas 1 al 4 sin consultar el final del libro. Complete el espacio en blanco o conteste falso o verdadero. 1. La única solución del problema con valores iniciales y x2 y 0, y(0) 0, y(0) 0 es __________. 2. Para el método de coeficientes indeterminados, la forma supuesta de la solución particular yp para y y 1 ex es __________. 3. Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial lineal es también una solución. __________ 4. Si el conjunto que consiste en dos funciones fl y f2 es li- nealmente independiente en un intervalo I, entonces el Wronskiano W(fl , f2 ) 0 para toda x en I. __________ 5. Dé un intervalo en el que el conjunto de dos funciones fl (x) x2 y f2 (x) xx es linealmente independiente. 178 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 178 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 178 6/4/09 12:18:35 PM 6/4/09 12:18:35 PM www.FreeLibros.me
- 220. Después indique un intervalo en el que el conjunto for- mado por fl y f2 es linealmente dependiente. 6. Sin la ayuda del Wronskiano, determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente o dependiente en el intervalo indicado. a) f1 (x) ln x, f2 (x) ln x2 , (0, ) b) f1 (x) xn , f2 (x) xn1 , n 1, 2, . . . , (, ) c) f1 (x) x, f2 (x) x 1, (, ) d) f1(x) cos x 2 , f2(x) senx, ( , ) e) f1 (x) 0, f2 (x) x, (5, 5) f) f1 (x) 2, f2 (x) 2x, (, ) g) f1 (x) x2 , f2 (x) 1 x2 , f3 (x) 2 x2 , (, ) h) f1 (x) xex1 , f2 (x) (4x 5)ex , f3 (x) xex , (, ) 7. Suponga que m1 3, m2 5 y m3 1 son raíces de multiplicidad uno, dos y tres, respectivamente, de una ecuación auxiliar. Escriba la solución general de la ED lineal homogénea correspondiente si es a) una ecuación con coeficientes constantes, b) una ecuación de Cauchy-Euler. 8. Considere la ecuación diferencial ay by cy g(x), donde a, b y c son constantes. Elija las funciones de en- trada g(x) para las que es aplicable el método de coefi- cientes indeterminados y las funciones de entrada para las que es aplicable el método de variación de parámetros. a) g(x) ex ln x b) g(x) x3 cos x c) g(x) senx ex d) g(x) 2x2 ex e) g(x) sen2 x f) g(x) ex senx En los problemas del 9 a 24 use los procedimientos desarrolla- dos en este capítulo para encontrar la solución general de cada ecuación diferencial. 9. y 2y 2y 0 10. 2y 2y 3y 0 11. y 10y 25y 0 12. 2y 9y 12y 5y 0 13. 3y 10y 15y 4y 0 14. 2y(4) 3y 2y 6y 4y 0 15. y 3y 5y 4x3 2x 16. y 2y y x2 ex 17. y 5y 6y 8 2 sen x 18. y y 6 19. y 2y 2y ex tan x 20. y y 2ex ex e x 21. 6x2 y 5xy y 0 22. 2x3 y 19x2 y 39xy 9y 0 23. x2 y 4xy 6y 2x4 x2 24. x2 y xy y x3 25. Escriba la forma de la solución general y yc yp de la ecuación diferencial en los dos casos v a y v a. No determine los coeficientes en yp . a) y v2 y sen ax b) y v2 y eax 26. a) Dado que y sen x es una solución de y(4) 2y 11y 2y 10y 0, encuentre la solución general de la ED sin la ayuda de una calculadora o computadora. b) Encuentre una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes para la cual y1 1 y y2 ex son soluciones de la ecuación homogénea asociada y yp 1 2 x2 x es una solución particular de la ecuación homogénea. 27. a) Escriba completamente la solución general de la ED de cuarto orden y(4) 2y y 0 en términos de funciones hiperbólicas. b) Escriba la forma de una solución particular de y(4) 2y y senh x. 28. Considere la ecuación diferencial x2 y (x2 2x)y (x 2)y x3 . Compruebe que y1 x es una solución de la ecuación homogénea asociada. Después demuestre que el método de reducción de orden analizado en la sección 4.2 con- duce a una segunda solución y2 de la ecuación homogé- nea así como a una solución particular yp de la ecuación no homogénea. Forme la solución general de la ED en el intervalo (0, ). En los problemas 29 a 34 resuelva la ecuación diferencial su- jeta a las condiciones indicadas. 29. y 2y 2y 0, y 2 0, y( ) 1 30. y 2y y 0, y(1) 0, y(0) 0 31. y y x sen x, y(0) 2, y(0) 3 32. y y sec3 x, y(0) 1, y (0) 1 2 REPASO DEL CAPÍTULO 4 O 179 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 179 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 179 6/4/09 12:18:35 PM 6/4/09 12:18:35 PM www.FreeLibros.me
- 221. 33. yy 4x, y(1) 5, y(1) 2 34. 2y 3y2 , y(0) 1, y(0) 1 35. a) Use un SAC como ayuda para encontrar las raíces de la ecuación auxiliar para 12y(4) 64y 59y 23y 12y 0. Dé la solución general de la ecuación. b) Resuelva la ED del inciso a) sujeta a las condiciones iniciales y(0) 1, y(0) 2, y(0) 5, y (0) 0. Use un SAC como ayuda para resolver el sistema re- sultante de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. 36. Encuentre un miembro de la familia de soluciones de xy y 1x 0 cuya gráfica es tangente al eje x en x 1. Use una aplicación para graficar y obtenga la curva solución. En los problemas 37 a 40 use la eliminación sistemática para resolver cada sistema. 37. 38. 39. 40. 5x (D 3)y cos 2t (D ) 2 x (D 1)y sen 2t 3x (D ) 4 y 7et (D ) 2 x y et dy dt 3x 4y 4t dx dt 2x y t 2 dx dt 2 dy dt y 3 dx dt dy dt 2x 2y 1 180 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 180 08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 180 6/4/09 12:18:36 PM 6/4/09 12:18:36 PM www.FreeLibros.me
- 222. 181 5 5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 5.1.4 Circuito en serie análogo 5.2 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 5.3 Modelos no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 5 Ya hemos visto que una sola ecuación puede servir como modelo matemático para varios sistemas físicos. Por esta razón sólo examinamos una aplicación, el movimiento de una masa sujeta a un resorte, que se trata en la sección 5.1. Excepto por la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecua- ción lineal ay by cy g(t), las matemáticas de, digamos, un circuito eléc- trico en serie son idénticas a las de un sistema vibratorio masa/resorte. Las formas de esta ED de segundo orden se presentan en el análisis de problemas en diversas áreas de la ciencia e ingeniería. En la sección 5.1 se tratan exclusivamente problemas con valores iniciales, mientras que en la sección 5.2 examinamos aplica- ciones descritas por problema con valores en la frontera. También en la sección 5.2 vemos cómo algunos problemas con valores en la frontera conducen a los impor- tantes conceptos con eigenvalores y funciones propias (eigenfunciones). La sección 5.3 inicia con un análisis acerca de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales; entonces se muestra cómo el péndulo simple y un cable suspendido condu- cen a modelos matemáticos no lineales. MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 08367_05_ch05_p181-218.indd 181 08367_05_ch05_p181-218.indd 181 6/4/09 12:19:07 PM 6/4/09 12:19:07 PM www.FreeLibros.me
- 223. 182 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES REPASO DE MATERIAL O Secciones 4.1, 4.3 y 4.4 O Problemas 29 a 36 de los ejercicios 4.3 O Problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 INTRODUCCIÓN En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constan- tes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como t = 0: . a d2 y dt2 b dy dt cy g(t), y(0) y0, y (0) y1 Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema. Una solución y(t) de la ecuación diferencial en un intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema. 5.1 5.1.1 SISTEMAS RESORTEMASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alar- gamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la canti- daddeelongaciónsyesexpresadaenformasimplecomoFks,dondekesunaconstan- te de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esen- cia por el número k. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue 1 2 pie, entonces 10 k 1 2 implica que k 20 lb/pie. Entonces necesariamente una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo 2 5 pie. SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks. Recuerde que el peso se define mediante W mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y g 32 pies/s2 , 9.8 m/s2 , o bien 980 cm/s2 , respectivamente. Como se indica en la figura 5.1.1b, la condición de equilibrio es mg ks o mg ks 0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su po- sición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x s). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento libre— se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso. d2x ––– dt2 k(s x) mg kx mg ks kx. m cero (1) El signo negativo en (1) indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamien- tos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos. Véase la figura 5.1.2. m a) b) c) no estirado movimiento l posición de equilibrio mg − ks = 0 m l l + s s x FIGURA 5.1.1 Sistema masaresorte. m x = 0 x 0 x 0 FIGURA 5.1.2 La dirección hacia abajo de la posición de equilibrio es positiva. 08367_05_ch05_p181-218.indd 182 08367_05_ch05_p181-218.indd 182 6/4/09 12:19:08 PM 6/4/09 12:19:08 PM www.FreeLibros.me
- 224. ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo (1) entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d2 xdt2 (km)x 0, o d2 x dt2 2 x 0, (2) donde v2 km. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con (2) son x(0) x0 y x(0) x1 , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando x(0) 0, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa se libera desde el reposo de un punto x0 unidades arriba de la posición de equilibrio. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para resolver la ecuación (2), se observa que la solución de su ecuación auxiliar m2 v2 0 son los números complejos ml vi , m2 vi . Así de (8) de la sección 4.3 se encuentra la solución general de (2) es x(t) c1 cos t c2 sen t. (3) El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es T 2pv. El número T representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa, es decir, la masa m que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo abajo de la posición de equilibrio hasta el punto más alto arriba de la misma y luego de regreso al punto mínimo. Desde un punto de vista gráfico, T 2pv segundos es la longitud del intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos (o mínimos) de x(t). Recuerde que un máximo de x(t) es el des- plazamiento positivo correspondiente a la masa que alcanza su distancia máxima de- bajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la posición de equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la masa. La frecuencia de movimiento es f 1T v2p y es el número de ciclos com- pletado cada segundo. Por ejemplo, si x(t) 2 cos 3pt 4 sen 3pt, entonces el periodo es T 2p3p 23 s y la frecuencia es f 32 cicloss. Desde un punto de vista esquemático la gráfica de x(t) se repite cada 2 3 de segundo, es decir, x(t 2 3) x(t), y 3 2 ciclos de la gráfica se completan cada segundo (o, equivalentemente, tres ciclos de la gráfica se completan cada dos segundos). El número 1km (medido en radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema. Dependiendo de qué libro lea, tanto f v2p como v se conocen como frecuencia natural del sistema. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes c1 y c2 en (3), se dice que la solución particular resultante o respuesta es la ecuación de movimiento. EJEMPLO 1 Movimiento libre no amortiguado Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t 0 se libera la masa desde un punto que está 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una veloci- dad ascendente de 4 3 pies. Determine la ecuación de movimiento. SOLUCIÓN Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir en pies: 6 pulg 1 2 pie; 8 pulg 2 3 pie. Además, se deben convertir las unidades de peso dadas en libras a unidades de masa. De m Wg tenemos que m 2 32 1 16 slug. También, de la ley de Hooke, 2 k 1 2 implica que la constante de resorte es k 4 lbpie. Por lo que, de la ecuación (1) se obtiene 1 16 d2 x dt2 4x o . d2 x dt2 64x 0 El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) 2 3 , x(0) 4 3 , donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 183 08367_05_ch05_p181-218.indd 183 08367_05_ch05_p181-218.indd 183 6/4/09 12:19:08 PM 6/4/09 12:19:08 PM www.FreeLibros.me
- 225. 184 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ahora v2 64 o v 8, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es x(t) c1 cos 8t c2 sen 8t . (4) Aplicando las condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtiene c1 2 3 y c2 1 6 . Por tanto, la ecuación de movimiento es x(t) 2 3 cos 8t 1 6 sen 8t. (5) FORMA ALTERNATIVA DE X(t) Cuando c1 0 y c2 0, la amplitud A de las vi- braciones libres no es evidente a partir de la inspección de la ecuación (3). Por ejemplo, aunque la masa del ejemplo 1 se desplaza inicialmente 2 3 pie más allá de la posición de equilibrio, la amplitud de las vibraciones es un número mayor que 2 3 . Por tanto, suele ser conveniente convertir una solución de la forma (3) en una forma más simple x(t) Asen( t ), (6) donde A 2c1 2 c2 2 y f es un ángulo de fase definido por sen c1 A cos c2 A tan c1 c2 . (7) Para comprobar esto se desarrolla la ecuación (6) usando la fórmula de suma para la función seno: A sen t cos cos t sen ( sen )cos t ( cos )sen t. (8) Se deduce de la figura 5.1.3 que si f está definida por , sen c1 1c1 2 c2 2 c1 A , cos c2 1c1 2 c2 2 c2 A entonces la ecuación (8) se convierte en . A c1 A cos t A c2 A sen t c1 cos t c2 sen t x(t) EJEMPLO 2 Forma alternativa de solución (5) Envistadeladescripciónanterior,sepuedeescribirlasolución(5)enlaformaalternativa x(t) A sen(8t f). El cálculo de la amplitud es directo, A 2(2 3)2 ( 1 6)2 f 217 36 0.69 pies, pero se debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase f definido por (7). Con c1 2 3 y c2 1 6 se encuentra tan f 4 y, con una calculadora se ob- tiene tan1 (4) 1.326 rad. Este no es el ángulo de fase, puesto que tan1 (4) se localiza en el cuarto cuadrante y por tanto contradice el hecho de que sen f 0 y cos f 0 porque c1 0 y c2 0. Por tanto, se debe considerar que f es un ángulo del segundo cuadrante f p (1.326) 1.816 rad. Así la ecuación (5) es igual a x(t) 117 6 sen(8t 1.816). (9) El periodo de esta función es T 2p8 p4 s. En la figura 5.1.4a se ilustra la masa del ejemplo 2 que recorre aproximadamente dos ciclos completos de movimiento. Leyendo de izquierda a derecha, las primeras cinco posiciones (marcadas con puntos negros) corresponden a la posición inicial de la masa debajo de la posición de equilibrio (x 2 3), la masa que pasa por la posición c1 c2 φ c1 + c2 2 2 FIGURA 5.1.3 Una relación entre c1 0, c2 0 y el ángulo de fase f. 08367_05_ch05_p181-218.indd 184 08367_05_ch05_p181-218.indd 184 6/4/09 12:19:09 PM 6/4/09 12:19:09 PM www.FreeLibros.me
- 226. de equilibrio por primera vez en dirección ascendente (x 0), la masa en su despla- zamiento extremo arriba de la posición de equilibrio (x 117 6), la masa en la posición de equilibrio para la segunda vez que se dirige hacia arriba (x 0) y la masa en su desplazamiento extremo abajo de la posición de equilibrio (x 117 6). Los puntos negros sobre la gráfica de (9), que se presenta en la figura 5.1.4b también con- cuerdan con las cinco posiciones antes mencionadas. Sin embargo, observe que en la figura 5.1.4b la dirección positiva en el plano tx es la dirección ascendente usual y por tanto, es opuesta a la dirección positiva que se indica en la figura 5.1.4a. Por lo que la gráfica sólida azul que representa el movimiento de la masa en la figura 5.1.4b es la reflexión por el eje t de la curva punteada azul de la figura 5.1.4a. La forma (6) es muy útil porque es fácil encontrar valores de tiempo para los cuales la gráfica de x(t) cruza el eje t positivo (la recta x 0). Se observa que sen(vt f) 0 cuando vt f np, donde n es un entero no negativo. SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES En el modelo apenas analizado se supuso una situación ideal, una en la que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. No obstante, en la situación no ideal, parece razonable esperar que cuando un sistema resorte/masa está en movimiento durante un largo tiempo, el re- sorte se debilita; en otras palabras, varía la “constante de resorte”, de manera más especí- fica, decae con el tiempo. En un modelo para el resorte cada vez más viejo la constante de resorte k en (1) se reemplaza con la función decreciente K(t) keat , k 0, a 0. La ecuación diferencial lineal mx keat x 0 no se puede resolver con los métodos considerados en el capítulo 4. Sin embargo, es posible obtener dos soluciones linealmente independientes con los métodos del capítulo 6. Véase el problema 15 en los ejercicios 5.1, el ejemplo 4 de la sección 6.3 y los problemas 33 y 39 de los ejercicios 6.3. x = − 6 17 x = 6 17 x = 0 2 3 x = x = 0 x = 0 x negativa x positiva a) b) x t (0, ) 2 3 periodo 4 π amplitud A = 6 17 x = 0 x negativa x positiva FIGURA 5.1.4 Movimiento armónico simple. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 185 08367_05_ch05_p181-218.indd 185 08367_05_ch05_p181-218.indd 185 6/4/09 12:19:10 PM 6/4/09 12:19:10 PM www.FreeLibros.me
- 227. 186 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Cuando un sistema resorte/masa se somete a un ambiente en el cual la temperatura disminuye con rapidez, podría tener sentido reemplazar la constante k con K(t) kt, k 0, una función que se incrementa con el tiempo. El modelo resultante, mx ktx 0, es una forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación para un resorte viejo, la ecuacióndeAiryseresuelveconlosmétodosdelcapítulo6.Véaseelproblema16delosejer- cicios 5.1, el ejemplo 4 de la sección 6.1 y los problemas 34, 35 y 40 de los ejercicios 6.3. 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante. Como se muestra en la figura 5.1.5, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o unida a un dispositivo amortiguador. ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En el estudio de la mecá- nica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran propor- cionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis pos- terior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dxdt. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que m d2 x dt2 kx dx dt , (10) donde b es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento. Dividiendo la ecuación (10) entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferen- cial del movimiento libre amortiguado es d2 xdt2 (bm)dxdt (km)x 0 o d2 x dt2 2 dx dt 2 x 0 , (11) donde 2 m , 2 k m . (12) El símbolo 2l se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar es m2 2lm v2 0 y las raíces correspondientes son entonces . m1 2 2 2, m2 2 2 2 Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de l2 v2 . Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento elt , l 0, los desplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo t aumenta. CASO I: L2 V2 0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento b es grande comparado con la constante del resorte k. La solución correspondiente de (11) es x(t) c1 em1t c2 em2t o x(t) e t (c1e1 2 2t c2e 1 2 2t ). (13) Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio. En la figura 5.1.6 se muestran dos gráficas posibles de x(t). t x FIGURA 5.1.6 Movimiento de un sistema sobreamortiguado. m a) b) m FIGURA 5.1.5 Dispositivos de amortiguamiento. 08367_05_ch05_p181-218.indd 186 08367_05_ch05_p181-218.indd 186 6/4/09 12:19:10 PM 6/4/09 12:19:10 PM www.FreeLibros.me
- 228. CASO II: L2 V2 0 Este sistema está críticamente amortiguado porque cual- quier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La solución general de (11) es x(t) c1em1t c2tem1t o x(t) e t (c1 c2t). (14) En la figura 5.1.7 se presentan algunas gráficas típicas de movimiento. Observe que el movimiento es bastante similar al de un sistema sobreamortiguado. También es evi- dente de (14) que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez. CASO III: L2 V2 0 En este caso el sistema está subamortiguado puesto que el coeficiente de amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 ahora son complejas: . m1 1 2 2i, m2 1 2 2i Así que la ecuación general de la ecuación (11) es x(t) e t (c1 cos 1 2 2t c2 sen 1 2 2t). (15) Como se indica en la figura 5.1.8, el movimiento descrito por la ecuación (15) es oscila- torio; pero debido al coeficiente elt , las amplitudes de vibración S 0 cuando t S . EJEMPLO 3 Movimiento sobreamortiguado Se comprueba fácilmente que la solución del problema con valores iniciales d2 x dt2 5 dx dt 4x 0, x(0) 1, x (0) 1 es x(t) 5 3 e t 2 3 e 4t . (16) El problema se puede interpretar como representativo del movimiento sobreamorti- guado de una masa sobre un resorte. La masa se libera al inicio de una posición una unidad abajo de la posición de equilibrio con velocidad descendente de 1 pie/s. Para graficar x(t), se encuentra el valor de t para el cual la función tiene un ex- tremo, es decir, el valor de tiempo para el cual la primera derivada (velocidad) es cero. Derivando la ecuación (16) se obtiene x (t) 5 3 e t 8 3 e 4t , así x(t) 0 implica que e3t 8 5 o t 1 3 ln 8 5 0.157 . Se tiene de la prueba de la primera derivada, así como de la intuición física, que x(0.157) 1.069 pies es en realidad un máximo. En otras palabras, la masa logra un desplazamiento extremo de 1.069 pies abajo de la posición de equilibrio. Se debe comprobar también si la gráfica cruza el eje t, es decir, si la masa pasa por la posición de equilibrio. En este caso tal cosa no puede suceder, porque la ecua- ción x(t) 0, o e3t 2 5 , tiene una solución irrelevante desde el punto de vista físico t 1 3 ln 2 5 0.305. En la figura 5.1.9 se presenta la gráfica de x(t), junto con algunos otros datos pertinentes. EJEMPLO 4 Movimiento críticamente amortiguado Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que una fuerza amor- tiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, de- termine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s. t x FIGURA 5.1.7 Movimiento de un sistema críticamente amortiguado. subamortiguado no amortiguado t x FIGURA 5.1.8 Movimiento de un sistema subamortiguado. 1 3 2 t x 5 3 x = − e−t e−4t 2 3 a) t x(t) 1 0.601 1.5 0.370 2 0.225 2.5 0.137 3 0.083 b) FIGURA 5.1.9 Sistema sobreamortiguado. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 187 08367_05_ch05_p181-218.indd 187 08367_05_ch05_p181-218.indd 187 6/4/09 12:19:10 PM 6/4/09 12:19:10 PM www.FreeLibros.me
- 229. 188 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN De la ley de Hooke se ve que 8 k(2) da k 4 lb/pie y que W mg da m 8 32 1 4 slug. La ecuación diferencial de movimiento es entonces 1 4 d2 x dt2 4x 2 dx dt o d2 x dt2 8 dx dt 16x 0. (17) La ecuación auxiliar para (17) es m2 8m 16 (m 4)2 0, así que m1 m2 4. Por tanto el sistema está críticamente amortiguado y x(t) c1e 4t c2te 4t . (18) Aplicando las condiciones iniciales x(0) 0 y x(0) 3, se encuentra, a su vez, que c1 0 y c2 3. Por tanto la ecuación de movimiento es x(t) 3te 4t . (19) Para graficar x(t), se procede como en el ejemplo 3. De x(t) 3e4t (1 4t) vemos que x(t) 0 cuando t 1 4 . El desplazamiento extremo correspondiente es x(1 4) 3(1 4)e 1 0.276 pies. Como se muestra en la figura 5.1.10, este valor se interpreta para indicar que la masa alcanza una altura máxima de 0.276 pies arriba de la posición de equilibrio. EJEMPLO 5 Movimiento subamortiguado Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio el resorte mide 8.2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se sabe además que el medio circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. SOLUCIÓN La elongación del resorte después que se une la masa es 8.2 5 3.2 pies, así que se deduce de la ley de Hooke que 16 k(3.2) o k 5 lb/pie. Además, m 16 32 1 2 slug, por lo que la ecuación diferencial está dada por 1 2 d2 x dt2 5x dx dt o d2 x dt2 2 dx dt 10x 0. (20) Procediendo, encontramos que las raíces de m2 2m 10 0 son m1 1 3i y m2 1 3i, lo que significa que el sistema está subamortiguado y x(t) e t (c1 cos 3t c2sen 3t). (21) Por último, las condiciones iniciales x(0) 2 y x(0) 0 producen c1 2 y c2 2 3 , por lo que la ecuación de movimiento es x(t) e t 2 cos 3t 2 3 sen 3t . (22) FORMA ALTERNATIVA DE x(t) De una manera idéntica al procedimiento usado en la página 184, se puede escribir cualquier solución x(t) e t (c1 cos 1 2 2t c2 sen 1 2 2t) en la forma alternativa x(t) Ae t sen(1 2 2 t ), (23) donde A 1c1 2 c2 2 y el ángulo de fase f se determina de las ecuaciones . sen c1 A , cos c2 A , tan c1 c2 −0.276 t x t = altura máxima arriba de la posición de equilibrio 1 4 FIGURA 5.1.10 Sistema críticamente amortiguado. 08367_05_ch05_p181-218.indd 188 08367_05_ch05_p181-218.indd 188 6/4/09 12:19:11 PM 6/4/09 12:19:11 PM www.FreeLibros.me
- 230. El coeficiente Aelt en ocasiones se llama amplitud amortiguada de vibraciones. Debido a que (23) no es una función periódica, el número 2 1 2 2 se llama cuasi periodo y 1 2 2 2 es la cuasi frecuencia. El cuasi periodo es el in- tervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Se debe comprobar, para la ecuación de movimiento del ejemplo 5, que A 2110 3 y f 4.391. Por tanto, una forma equivalente de (22) es . x(t) 2110 3 e t sen(3t 4.391) 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. Véase la figura 5.1.11. La inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferen- cial de movimiento forzado o dirigido: m d2 x dt2 kx dx dt f(t). (24) Dividiendo la ecuación (24) entre m, se obtiene d2 x dt2 2 dx dt 2 x F(t), (25) donde F(t) f(t)m y, como en la sección anterior, 2l bm, v2 km. Para re- solver la última ecuación homogénea, se puede usar ya sea el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros. EJEMPLO 6 Interpretación de un problema con valores iniciales Interprete y resuelva el problema con valores iniciales 1 5 d2 x dt2 1.2 dx dt 2x 5 cos 4t, x(0) 1 2 , x (0) 0. (26) SOLUCIÓN Se puede interpretar el problema para representar un sistema vibratorio que consiste en una masa (m 1 5 slug o kilogramo) unida a un resorte (k 2 lbpie o Nm). La masa se libera inicialmente desde el reposo 1 2 unidad (pie o metro) abajo de la posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (b 1.2) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa (T p2 s) comenzando en t 0. De manera intuitiva, se podría esperar que incluso con amortiguamiento el sistema perma- neciera en movimiento hasta que se “desactive” la función forzada, en cuyo caso dis- minuirían las amplitudes. Sin embargo, como se plantea en el problema, f(t) 5 cos 4t permanecerá “activada” por siempre. Primero se multiplica la ecuación diferencial en (26) por 5 y se resuelve dx2 dt2 6 dx dt 10x 0 por los métodos usuales. Debido a que m1 3 i, m2 3 i, se deduce que xc (t) e3t (c1 cos t c2 sen t). Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma xp (t) A cos 4t B sen 4t. Derivando xp (t) y sustituyendo en la ED, se obtiene . xp 6xp 10xp ( 6A 24B) cos 4t ( 24A 6B) sen 4t 25 cos 4t m FIGURA 5.1.11 Movimiento vertical oscilatorio del apoyo. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 189 08367_05_ch05_p181-218.indd 189 08367_05_ch05_p181-218.indd 189 6/4/09 12:19:13 PM 6/4/09 12:19:13 PM www.FreeLibros.me
- 231. 190 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR El sistema de ecuaciones resultante 6A 24B 25, 24A 6B 0 se cumple en A 25 102 y B 50 51 . Se tiene que x(t) e 3t (c1 cos t c2 sent) 25 102 cos 4t 50 51 sen 4t. (27) Cuando se hace t 0 en la ecuación anterior, se obtiene c1 38 51. Derivando la expre- sión y haciendo t 0, se encuentra también que c2 86 51 51 . Por tanto, la ecuación de movimiento es x(t) e 3t 38 51 cos t 86 51 sent 25 102 cos 4t 50 51 sen 4t. (28) TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE Cuando F es una función periódica, como F(t) F0 sen gt o F(t) F0 cos gt, la solución general de (25) para l 0 es la suma de una función no periódica xc (t) y una función periódica xp (t). Además xc (t) se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, límt: xc(t) 0. Así, para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante la solución particular xp (t). Se dice que la función complementaria xc (t) es un término transitorio o solución transitoria y la función xp (t), la parte de la solución que per- manece después de un intervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solu- ción de estado estable. Por tanto, observe que el efecto de las condiciones iniciales en un sistema resorte/masa impulsado por F es transitorio. En la solución particular (28), e 3t (38 51 cos t 86 51 sent) es un término transitorio y xp(t) 25 102 cos 4t 50 51 sen 4t es un término de estado estable. Las gráficas de estos dos términos y la solución (28) se presentan en las figuras 5.12a y 5.12b, respectivamente. EJEMPLO 7 Soluciones de estado transitorio y de estado estable La solución del problema con valores iniciales , d2 x dt2 2 dx dt 2x 4 cos t 2 sent, x(0) 0, x (0) x1 donde x1 es constante, está dada por x(t) (x1 2) e t sent 2 sent. transitorio estado estable Las curvas solución para valores seleccionados de la velocidad inicial x1 aparecen en la figura 5.1.13. Las gráficas muestran que la influencia del término transitorio es des- preciable para un valor aproximado de t 3p2. ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO Cuando se ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorio en la solución de un problema. También se ve que una fuerza periódica con una fre- cuencia cercana o igual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa un problema grave en un sistema mecánico oscilatorio. EJEMPLO 8 Movimiento no amortiguado forzado Resuelva el problema con valor inicial d2 x dt2 2 x F0 sen t, x(0) 0, x (0) 0, (29) donde F0 es una constante y g v. t x estado estable xp(t) transitorio _1 1 π/2 a) b) t x x(t)=transitorio + estado estable _1 1 π/2 FIGURA 5.1.12 Gráfica de la solución dada en (28). x 2π π x1=7 x1=3 x1=0 x1=_3 t FIGURA 5.1.13 Gráfica de la solución del ejemplo 7 para diferentes x1 . 08367_05_ch05_p181-218.indd 190 08367_05_ch05_p181-218.indd 190 6/4/09 12:19:14 PM 6/4/09 12:19:14 PM www.FreeLibros.me
- 232. SOLUCIÓN La función complementaria es xc (t) c1 cos vt c2 sen vt. Para obtener una solución particular se supone xp (t) A cos gt B sen gt, por lo que . x p 2 xp A( 2 2 ) cos t B( 2 2 ) sen t F0 sen t Igualando los coeficientes se obtiene de inmediato A 0 y B F0 (v2 g2 ). Por tanto, . xp(t) F0 2 2 sen t Aplicando las condiciones iniciales a la solución general x(t) c1 cos t c2 sen t F0 2 2 sen t se obtiene c1 0 y c2 gF0 v(v2 g2 ). Por tanto, la solución es x(t) F0 ( 2 2 ) ( sen t sen t), (30) RESONANCIA PURA Aunque la ecuación (30) no se define para g v, es inte- resante observar que su valor límite conforme g S v se obtiene al aplicar la regla de LHôpital. Este proceso límite es análogo a “sintonizar” la frecuencia de la fuerza impulsora (g2p) con la frecuencia de vibraciones libres (v2p). De una manera in- tuitiva, se espera que en un espacio de tiempo se deban poder incrementar en forma sustancial las amplitudes de vibración. Para g v se define la solución como (31) F0 2 2 sen t F0 2 t cos t. F0 sen t t cos t 2 2 F0 lím : sen t t cos t 2 x(t) lím : F0 sen t sen t ( 2 2 ) F0 lím : d d ( sen t sen t) d d ( 3 2 ) Como se sospechaba, conforme t S los desplazamientos se vuelven largos; de hecho, x(tn )S cuando tn npv, n 1, 2, ... . El fenómeno recién descrito se conoce como resonancia pura. La gráfica de la figura 5.1.14 muestra el movimiento característico en este caso. En conclusión, se debe observar que no hay necesidad real de usar un proceso límite en (30) para obtener la solución para g v. Alternativamente, la ecuación (31) se deduce resolviendo el problema con valores iniciales d2 x dt2 2 x F0 sen t, x(0) 0, x (0) 0 en forma directa por métodos convencionales. Si realmente una función, como la ecuación (31) describiera los desplazamientos de un sistema resorte/masa, el sistema necesariamente fallaría. Las oscilaciones grandes de la masa forzarán en algún momento el resorte más allá de su límite elástico. Se podría argumentar también que el modelo resonante presentado en la figura 5.1.14 es por com- pleto irreal, porque no se toman en cuenta los efectos retardadores de las fuerzas de amor- tiguamiento que siempre están presentes. Aunque es verdad que la resonancia pura no puede ocurrir cuando se toma en consideración la cantidad pequeña de amortiguamien- to, las amplitudes de vibración grandes e igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque acotadas conforme t S ). Véase el problema 43 de los ejercicios 5.1. x t FIGURA 5.1.14 Resonancia pura. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 191 08367_05_ch05_p181-218.indd 191 08367_05_ch05_p181-218.indd 191 6/4/09 12:19:15 PM 6/4/09 12:19:15 PM www.FreeLibros.me
- 233. 192 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO CIRCUITOS LRC EN SERIE Como se mencionó en la introducción de este capítulo, mu- chos sistemas físicos diferentes se describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento: m d2 x dt2 dx dt kx f(t). (32) Si i(t) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra en la figura 5.1.15, entonces las caídas de voltaje en el inductor, resistor y capacitor son como se muestra en la figura 1.3.3. Por la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estos voltajes es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; es decir, L di dt Ri 1 C q E(t) . (33) Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la corriente i(t) con i dqdt, así la ecuación (33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden L d2 q dt2 R dq dt 1 C q E(t). (34) La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describir sistemas resorte/masa. Si E(t) 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que la ecuación auxiliar para (34) es Lm2 Rm 1C 0, habrá tres formas de solución con R 0, dependiendo del valor del discriminante R2 4LC. Se dice que el circuito es sobreamortiguado si R2 4LC 0. críticamente amortiguado si R2 4LC 0, y subamortiguado si R2 4LC 0. En cada uno de estos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor eRt2L , así q(t) S 0 conforme t S . En el caso subamortiguado cuando q(0) q0 , la carga en el capacitor oscila a medida que ésta disminuye; en otras palabras, el capacitor se carga y se descarga conforme t S . Cuando E(t) 0 y R 0, se dice que el circuito no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin límite; la respuesta del circuito es armónica simple. EJEMPLO 9 Circuito en serie subamortiguado Encuentre la carga q(t) en el capacitor en un circuito LRC cuando L 0.25 henry (h), R 10 ohms (), C 0.001 farad (f), E(t) 0, q(0) q0 coulombs (C) e i(0) 0. SOLUCIÓN Puesto que 1C 1000, la ecuación (34) se convierte en 1 4 q 10q 1000q 0 o . q 40q 4000q 0 Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito es subamortiguado y q(t) e20t (c1 cos 60t c2 sen 60t). Aplicando las condiciones iniciales, se encuentra c1 q0 y c2 1 3 q0 . Por tanto . q(t) q0e 20t cos 60t 1 3 sen 60t C L E R FIGURA 5.1.15 Circuito LRC en serie. 08367_05_ch05_p181-218.indd 192 08367_05_ch05_p181-218.indd 192 6/4/09 12:19:15 PM 6/4/09 12:19:15 PM www.FreeLibros.me
- 234. Usando (23), podemos escribir la solución anterior como . q(t) q0 10 3 e 20t sen(60t 1.249) 1 Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. En el caso cuando R 0, la función complementaria qc (t) de (34) se llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución particular qp (t) de (34) es una solución de estado estable. EJEMPLO 10 Corriente de estado estable Encuentre la solución de estado estable qp (t) y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es E(t) E0 sen gt. SOLUCIÓN La solución de estado estable qp (t) es una solución particular de la ecua- ción diferencial . L d2 q dt2 R dq dt 1 C q E0 sen t Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma qp (t) A sen gt B cos gt. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferen- cial e igualando coeficientes, se obtiene A E0 L 1 C L2 2 2L C 1 C2 2 R2 , B E0R L2 2 2L C 1 C2 2 R2 . Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos. Si X L 1 C , entonces Z2 L2 2 2L C 1 C2 2 . Si Z 1X2 R2, entonces Z2 L2 2 2L C 1 C2 2 R2 . Por tanto A E0 X(gZ2 ) y B E0 R(gZ2 ), así que la carga de estado estable es . qp(t) E0 X Z2 sen t E0 R Z2 cos t Ahora la corriente de estado estable está dada por ip(t) qp(t): ip(t) E0 Z R Z sen t X Z cos t . (35) Las cantidades X Lg 1Cg y Z 1X2 R2 definidas en el ejemplo 11 se llaman reactancia e impedancia del circuito, respectivamente. Tanto la reactancia como la impedancia se miden en ohms. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 193 08367_05_ch05_p181-218.indd 193 08367_05_ch05_p181-218.indd 193 6/4/09 12:19:16 PM 6/4/09 12:19:16 PM www.FreeLibros.me
- 235. 194 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS 5.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-7. 5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya cons- tante es 16 lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la fre- cuencia del movimiento armónico simple es 2p ciclos/s, ¿cuál es la constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kilogramos? 3. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un re- sorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posi- ción de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento. 4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del pro- blema 3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s. 5. Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t p12, p8, p6, p4 y 9p32 s. b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t 3p16 s? ¿En qué dirección se dirige la masa en este instante? c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equi- librio? 6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento. 7. Otro resorte cuya constante es 20 N/m se suspende del mismo soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilogramos y ambas masas se liberan al ini- cio desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movi- miento? b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t p4 s? ¿En p2 s? c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma posición? ¿Dónde están las masas en estos instantes? ¿En qué direcciones se están moviendo las masas? 8. Una masa que pesa 32 libras alarga 2 pies un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad as- cendente de 2 pies/s. ¿Cuántos ciclos enteros habrá com- pletado la masa al final de 4p segundos? 9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte/masa exhibe mo- vimiento armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 3 2 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). 10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 1 4 pie. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a 1 3 pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 5 4 pie/s. Ex- prese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). ¿En qué tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equilibrio numéricamente igual a 1 2 de la amplitud? 11. Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que está 8 pul- gadas arriba de la posición de equilibrio con una veloci- dad descendente de 5 pies/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de 3p segundos? d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez? e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio? f) ¿Cuál es la posición de la masa en t 3 s? g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t 3 s? h) ¿Cuál es la aceleración en t 3 s? i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de equilibrio? j) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio? k) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en dirección hacia arriba? 12. Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya cons- tante es de 9 lbpie. Inicialmente la masa se libera desde un punto que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 13 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s. 08367_05_ch05_p181-218.indd 194 08367_05_ch05_p181-218.indd 194 6/4/09 12:19:16 PM 6/4/09 12:19:16 PM www.FreeLibros.me
- 236. 13. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes para- lelos, con constantes k1 y k2 , soportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa como k 4k1 k2 (k1 k2 ). Una masa que pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y luego a una placa metálica. Como se muestra en la figura 5.1.16, la masa se une al centro de la placa en la configuración de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equili- brio con una velocidad descendente de 2 pies/s. 14. Una cierta masa alarga un resorte 1 3 pie y otro resorte 1 2 pie. Los dos resortes se unen a un soporte rígido común en la manera descrita en el problema 13 y en la figura 5.1.16. Se quita la primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la configuración de resorte doble y se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es p15 segundos, determine cuánto pesa la primera masa. 15. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4x e0.1t x 0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un pe- riodo largo. 16. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4x tx 0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, des- criba el comportamiento del sistema durante un periodo largo. 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En los problemas 17 a 20, la figura representa la gráfica de una ecuación de movimiento para un sistema resorte/masa amorti- guado. Use la gráfica para determinar: a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posi- ción de equilibrio y b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con di- rección descendente o ascendente. 17. 20 lb k 1 2 k FIGURA 5.1.16 Sistema de resorte doble del problema 13. t x FIGURA 5.1.17 Gráfica del problema 17. t x FIGURA 5.1.18 Gráfica del problema 18. 18. t x FIGURA 5.1.20 Gráfica del problema 20. 20. 21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya cons- tante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amor- tiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una veloci- dad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posi- ción de la masa en este instante? t x FIGURA 5.1.19 Gráfica del problema 19. 19. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 195 08367_05_ch05_p181-218.indd 195 08367_05_ch05_p181-218.indd 195 6/4/09 12:19:17 PM 6/4/09 12:19:17 PM www.FreeLibros.me
- 237. 196 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de col- garle una masa que pesa 8 libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecua- ción de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. Calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? 23. Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya cons- tante es 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecua- ciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s. 24. En los incisos a) y b) del problema 23, determine si la masa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplaza- miento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante? 25. Una fuerza de 2 libras alarga 1 pie un resorte. Una masa que pesa 3.2 libras se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortigua- miento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la posición de equilibrio en dirección hacia arriba. 26. Después de que una masa de 10 libras se sujeta a un re- sorte de 5 pies, éste llega a medir 7 pies. Se retira la masa y se sustituye con una de 8 libras. Luego se coloca al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortigua- miento igual a la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se li- bera inicialmente desde el reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo. d) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento. 27. Una masa que pesa 10 libras produce un alargamiento de 2 pies en un resorte. La masa se une a un dispositivo amor- tiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a b (b 0) veces la velocidad instantánea. Determine los valores de la constante de amortiguamiento b por lo que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado, b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado. 28. Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a b (b 0) veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuando 312 la ecuación de movimiento es . x(t) 3 1 2 18 e 2 t/3 senh 2 3 1 2 18t 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO 29. Una masa que pesa 16 libras alarga 8 3 pie un resorte. La masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1 2 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t) 10 cos 3t. 30. Una masa de 1 slug está unida a un resorte cuya cons- tante es 5 lb/pie. Al inicio la masa se libera 1 pie abajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igual a f(t) 12 cos 2t 3 sen 2t actúa sobre la masa. b) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de es- tado estable en los mismos ejes de coordenadas. c) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento. 31. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en éste un alargamiento de 2 pies y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t 0, una fuerza externa igual a f(t) 8 sen 4t se aplica al sis- tema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea. 32. En el problema 31 determine la ecuación de movimiento si la fuerza externa es f(t) et sen 4t. Analice el despla- zamiento para t S . 33. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32 Nm, éste llega al reposo en la posición de equilibrio. Comenzando en t 0, una fuerza igual a f(t) 68e2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento. 34. En el problema 33, escriba la ecuación de movimiento en la forma x(t) Asen(vt f) Be2t sen(4t u). ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones después de un tiempo muy largo? 08367_05_ch05_p181-218.indd 196 08367_05_ch05_p181-218.indd 196 6/4/09 12:19:17 PM 6/4/09 12:19:17 PM www.FreeLibros.me
- 238. 35. Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya constante es k. Después de que la masa alcanza el equili- brio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta horizontal L de acuerdo con una fórmula h(t). El valor de h representa la distancia en pies medida desde L. Véase la figura 5.1.21. a) Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a b(dxdt). b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) si el re- sorte se alarga 4 pies con una masa que pesa 16 libras y b 2, h(t) 5 cos t, x(0) x(0) 0. b) Evalúe lím : F0 2 2 (cos t cos t) . 40. Compare el resultado obtenido en el inciso b) del pro- blema 39 con la solución obtenida usando la variación de parámetros cuando la fuerza externa es F0 cos vt. 41. a) Muestre que x(t) dada en el inciso a) del problema 39 se puede escribir en la forma . x(t) 2F0 2 2 sen 1 2 ( )t sen 1 2 ( )t b) Si se define 1 2 ( ), muestre que cuando e es pequeña una solución aproximada es . x(t) F0 2 sen t sen t Cuando e es pequeña, la frecuencia g2p de la fuerza apli- cada es cercana a la frecuencia v2p de vibraciones libres. Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la figura 5.1.22. Las oscilaciones de esta clase se llaman pulsa- ciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sen et es bastante pequeña en comparación con la frecuencia de sen gt. Las curvas punteadas o envoltura de la gráfica de x(t), se obtienen de las gráficas de (F0 2eg) sen et. Use un pro- grama de graficación para trazar gráficas con varios valores de F0 , e, y g para comprobar la gráfica de la figura 5.1.22. 36. Una masa de 100 gramos se fija a un resorte cuya cons- tante es 1600 dinas/cm. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) sen 8t, donde h representa el desplazamiento desde su posi- ción original. Véanse el problema 35 y la figura 5.1.21. a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecua- ción de movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio. b) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio? c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamien- tos extremos? d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo? e) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento. En los problemas 37 y 38, resuelva el problema con valores iniciales. 37. 38. d2 x dt2 9x 5 sen 3t, x(0) 2, x (0) 0 x(0) 1, x (0) 1 d2 x dt2 4x 5 sen 2t 3 cos 2t, 39. a) Muestre que la solución del problema con valores ini- ciales d2 x dt2 2 x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0 es x(t) F0 2 2 (cos t cos t). L soporte h(t) FIGURA 5.1.21 Soporte oscilante del problema 35. t x FIGURA 5.1.22 Fenómeno de pulsaciones del problema 41. Tarea para el laboratorio de computación 42. ¿Puede haber pulsaciones cuando se agrega una fuerza de amortiguamiento al modelo del inciso a) del problema 39? Defienda su posición con las gráficas obtenidas ya sea de la solución explícita del problema d2 x dt2 2 dx dt 2 x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0 o de curvas solución obtenidas usando un programa de solución numérica. 43. a) Muestre que la solución general de d2 x dt2 2 dx dt 2 x F0 sen t 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 197 08367_05_ch05_p181-218.indd 197 08367_05_ch05_p181-218.indd 197 6/4/09 12:19:18 PM 6/4/09 12:19:18 PM www.FreeLibros.me
- 239. 198 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR es x(t) Ae lt sen 2v2 l2 t f F0 1( 2 2)2 4 2 2 sen( t ), donde A 1c1 2 c2 2 y los ángulos de fase f y u están, respectivamente, definidos por sen f c1 A, cos f c2 A y , sen 2 1( 2 2)2 4 2 2 . cos 2 2 1( 2 2)2 4 2 2 b) La solución del inciso a) tiene la forma x(t) xc (t) xp (t). La inspección muestra que xc (t) es transitoria y por tanto para valores grandes de tiempo, la solución se aproxima mediante xp (t) g(g) sen(gt u), donde . g( ) F0 1( 2 2)2 4 2 2 Aunque la amplitud g(g) de xp (t) está acotada con- forme t S , demuestre que las oscilaciones máxi- mas ocurrirán en el valor 1 1 2 2 2 . ¿Cuál es el valor máximo de g? El número 1 2 2 2/2 se dice que es la frecuencia de resonancia del sistema. c) Cuando F0 2, m 1 y k 4, g se convierte en . g( ) 2 1(4 2 )2 2 2 Construya una tabla de valores de g1 y g(g1 ) que corresponden a los coeficientes de amortiguamien- to b 2, b 1, 3 4, 1 2 , y 1 4 . Usando un programa de graficación para trazar obtenga las gráficas de g que corresponden a estos coeficientes de amortiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas. Esta familia de gráficas se llama curva de resonancia o curva de respuesta de frecuencia del sistema. ¿A qué valor se aproxima g1 conforme b S 0? ¿Qué su- cede con la curva de resonancia conforme b S 0? 44. Considere un sistema resorte/masa no amortiguado des- crito por el problema con valores iniciales . d2 x dt2 2 x F0 senn t, x(0) 0, x (0) 0 a) Para n 2, explique por qué hay una sola frecuencia g1 2p en la que el sistema está en resonancia pura. b) Para n 3, analice por qué hay dos frecuencias g1 2p y g2 2p en las que el sistema está en resonancia pura. c) Suponga que v 1 y F0 1. Use un programa de so- lución numérica para obtener la gráfica de la solución del problema con valores iniciales para n 2 y g g1 en el inciso a). Obtenga la gráfica de la solución del problema con valores iniciales para n 3 que corres- ponde, a su vez, a g g1 y g g2 en el inciso b). 5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO 45. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t 0.01 s cuando L 0.05 h, R 2 , C 0.01 f, E(t) 0 V, q(0) 5 C e i(0) 0 A. Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero. 46. Calcule la carga del capacitor en un circuito LRC en serie cuando L 1 4 h, R 20 , , C 1 300 f E(t) 0 V, q(0) 4 C e i(0) 0 A. ¿Alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero? En los problemas 47 y 48 encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor. 47. , L 5 3 h R 10 , , C 1 30 f E(t) 300 V, q(0) 0 C, i(0) 0 A 48. L 1 h, R 100 , C 0.0004 f, E(t) 30 V, q(0) 0 C, i(0) 2 A 49. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando L 1 h, R 2 , C 0.25 f y E(t) 50 cos t V. 50. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado esta- ble en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada por E0 Z, donde Z es la impedancia del circuito. 51. Use el problema 50 para demostrar que la corriente de es- tado estable en un circuito LRC en serie cuando L 1 2 h , R 20 , C 0.001 f, y E(t) 100 sen 60t V, está dada por ip (t) 4.160 sen(60t 0.588). 52. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L 1 2 h , R 20 , C 0.001 f y E(t) 100 sen 60t 200 cos 40t V. 53. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L 1 2 h , R 10 , C 0.01 f, E(t) 150 V, q(0) 1 C e i(0) 0 A. ¿Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo? 54. Demuestre que si L, R, C y E0 son constantes, entonces la amplitud de la corriente de estado estable del ejemplo 10 es un máximo cuando 1 1LC . ¿Cuál es la ampli- tud máxima? 55. Demuestre que si L, R, E0 y g son constantes, entonces la amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo 10 es un máximo cuando la capacitancia es C 1Lg2 . 56. Calcule la carga en el capacitor y la corriente en un cir- cuito LC cuando L 0.1 h, C 0.1 f, E(t) 100 sen gt V, q(0) 0 C e i(0) 0 A. 57. Calcule la carga del capacitor y la corriente en un circuito LC cuando E(t) E0 cos gt V, q(0) q0 C e i(0) i0 A. 58. En el problema 57, determine la corriente cuando el cir- cuito está en resonancia. 08367_05_ch05_p181-218.indd 198 08367_05_ch05_p181-218.indd 198 6/4/09 12:19:18 PM 6/4/09 12:19:18 PM www.FreeLibros.me
- 240. MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA REPASO DE MATERIAL O Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.3 O Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.4 INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de segundo orden va acompañado de condiciones iniciales. Es decir, condiciones suplementarias que se especifican en la función desconocida y su primera derivada es un solo punto. Pero con frecuencia la descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homo- génea sujeta a condiciones en la frontera, es decir, condiciones específicas de la función desconocida o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus derivadas en dos (o más) puntos diferentes. 5.2 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Como veremos a continuación, esta deflexión y(x) está gober- nada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría. Véase la figura 5.2.1a. Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga, como se muestra en la figura 5.2.1b, experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica. La curva de deflexión se aproxima a la forma de una viga. Ahora suponga que el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x), medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación d2 M dx2 w(x). (1) Además, el momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura k de la curva elástica M(x) EI , (2) donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez f1exional de la viga. Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por k y[1 (y)2 ]32 . Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la pendiente y 0, y por tanto [1 (y)2 ]32 1. Si se permite que k y, la ecuación (2) se convierte en M EI y. La segunda derivada de esta última expresión es d2 M dx2 EI d2 dx2 y EI d4 y dx4 . (3) Si se utiliza el resultado en (1) para reemplazar d2 Mdx2 en (3), se ve que la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden EI d4 y dx4 w(x). (4) eje de simetría curva de deflexión a) b) FIGURA 5.2.1 Deflexión de una viga homogénea. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 199 08367_05_ch05_p181-218.indd 199 08367_05_ch05_p181-218.indd 199 6/4/09 12:19:19 PM 6/4/09 12:19:19 PM www.FreeLibros.me
- 241. 200 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (4) dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o fija en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón son ejemplos comunes de tales vigas, pero incluso árboles, astas de banderas, rascacielos y monumentos, actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un extremo y sujetos a la fuerza de flexión del viento. Para una viga en voladizo la deflexión y(x) debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo x 0: • y(0) 0 porque no hay flexión y • y(0) 0 porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de deflexión es cero en este punto). En x L las condiciones de extremo libre son • y(L) 0 porque el momento de flexión es cero y • y(L) 0 porque la fuerza de corte es cero. La función F(x) dMdx EI d3 ydx3 se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga está apoyado simplemente o abisagrado (a lo que también se conoce como apoyo con perno o fulcro) entonces se debe tener y 0 y y 0 en ese extremo. En la tabla 5.1 se resumen las condiciones en la frontera que se relacionan con (4). Véase la figura 5.2.2. EJEMPLO 1 Una viga empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Encuentre la deflexión de la viga si una carga constante w0 está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, es decir, w(x) w0 , 0 x L. SOLUCIÓN De (4) vemos que la deflexión y(x) satisface . EI d4 y dx4 w0 Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo (x 0) como en su extremo derecho (x L), no hay deflexión vertical y la recta de deflexión es horizontal en estos puntos. Así, las condiciones en la frontera son . y(0) 0, y (0) 0, y(L) 0, y (L) 0 Se puede resolver la ecuación diferencial no homogénea de la manera usual (determi- nar yc observando que m 0 es raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar m4 0 y luego encontrar una solución particular yp por coeficientes indeterminados) o simplemente se integra la ecuación d4 ydx4 w0 EI sucesivamente cuatro veces. De cualquier modo, se encuentra la solución general de la ecuación y yc yp que es . y(x) c1 c2 x c3 x2 c4 x3 w0 24EI x4 Ahora las condiciones y(0) 0 y y(0) 0 dan, a su vez, c1 0 y c2 0, mientras que las condiciones restantes y(L) 0 y y(L) 0 aplicadas a y(x) c3 x2 c4 x3 w0 24EI x4 producen las ecuaciones simultáneas 2c3 L 3c4 L2 w0 6EI L3 0. c3 L2 c4 L3 w0 24EI L4 0 x = 0 x = L a) empotrada en ambos extremos b) viga en voladizo: empotrada en el extremo izquierdo, libre en el extremo derecho c) apoyada simplemente en ambos extremos x = 0 x = L x = 0 x = L FIGURA 5.2.2 Vigas con varias condiciones de extremo. TABLA 5.1 Extremos de la viga Condiciones frontera empotrados y 0, y 0 libres y 0, y 0 apoyados simplemente o abisagrados y 0, y 0 08367_05_ch05_p181-218.indd 200 08367_05_ch05_p181-218.indd 200 6/4/09 12:19:20 PM 6/4/09 12:19:20 PM www.FreeLibros.me
- 242. Resolviendo este sistema se obtiene c3 w0 L2 24EI y c4 w0 L12EI. Así que la deflexión es y(x) w0 L2 24EI x2 w0 L 12EI x3 w0 24EI x4 o y(x) w0 24EI x2 (x L)2 . Eligiendo w0 24EI, y L 1, obtenemos la curva de deflexión de la figura 5.2.3. EIGENVALORES Y FUNCIONES PROPIAS Muchos problemas de aplicación re- quieren que se resuelva un problema con valores en la frontera en dos puntos (PVF) en los que interviene una ecuación diferencial lineal que contiene un parámetro l. Se buscan los valores de l para los que el problema con valores en la frontera tiene solu- ciones no triviales, es decir, no nulas. EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF Resuelva el problema con valores en la frontera . y y 0, y(0) 0, y(L) 0 SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: l 0, l 0 y l 0. CASO I: Para l 0 la solución de y 0 es y c1 x c2 . Las condiciones y(0) 0 y y(L) 0 aplicadas a esta solución implican, a su vez, c2 0 y c1 0. Por tanto, para l 0 la única solución del problema con valores en la frontera es la solución trivial y 0. CASO II: Para l 0 es conveniente escribir l a2 , donde a denota un número positivo. Con esta notación las raíces de la ecuación auxiliar m2 a2 0 son ml a y m2 a. Puesto que el intervalo en el que se está trabajando es finito, se elige escribir la solución general de y a2 y 0 como y c1 cosh ax c2 senh ax. Ahora y(0) es , y(0) c1 cosh 0 c2 senh 0 c1 1 c2 0 c1 y por tanto, y(0) 0 significa que c1 0. Así y c2 senh ax. La segunda condición y(L) 0 requiere que c2 senh aL 0. Para a 0, senh aL 0; en consecuencia, se está forzado a elegir c2 0. De nuevo la solución del PVF es la solución trivial y 0. CASO III: Para l 0 se escribe l a2 , donde a es un número positivo. Debido a que la ecuación auxiliar m2 a2 0 tiene raíces complejas ml ia y m2 ia, la solución general de y a2 y 0 es y c1 cos ax c2 sen ax. Como antes, y(0) 0 produce c1 0 y por tanto y c2 sen ax. Ahora la última condición y(L) 0, o , c2 sen L 0 se satisface al elegir c2 0. Pero esto significa que y 0. Si se requiere c2 0, enton- ces sen aL 0 se satisface siempre que aL sea un múltiplo entero de p. . L n o n L o n n 2 n L 2 , n 1, 2, 3, . . . Por tanto, para cualquier número real c2 distinto de cero, y c2 sen(npxL) es una solu- ción del problema para cada n. Debido a que la ecuación diferencial es homogénea, cual- quier múltiplo constante de una solución también es una solución, así que si se desea se podría simplemente tomar c2 1. En otras palabras, para cada número de la sucesión 1 2 L2 , 2 4 2 L2 , 3 9 2 L2 , , x y 1 0.5 FIGURA 5.2.3 Curva de deflexión para el ejemplo 1. Q Observe que aquí se emplean funciones hiperbólicas. Vuelva a leer “Dos ecuaciones que merecen conocerse” de la página 135. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 201 08367_05_ch05_p181-218.indd 201 08367_05_ch05_p181-218.indd 201 6/4/09 12:19:24 PM 6/4/09 12:19:24 PM www.FreeLibros.me
- 243. 202 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR la función correspondiente en la sucesión y1 sen L x, y2 sen 2 L x, y3 sen 3 L x, , es una solución no trivial del problema original. Los números ln n2 p2 L2 , n 1, 2, 3, . . . para los cuales el problema con va- lores en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales que se conocen como eigenvalores (valores propios). Las soluciones no triviales que dependen de estos va- lores de ln , yn c2 sen(npxL) o simplemente yn sen(npxL), se llaman funciones propias (eigenfunciones). PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA En el siglo xviii, Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema con eigenvalores y analizar cómo se pandea una columna elástica delgada bajo una fuerza axial compresiva. Considere una columna vertical larga y delgada de sección transversal uniforme y longitud L. Sea y(x) la deflexión de la columna cuando se aplica en la parte superior una fuerza compresiva vertical constante, una carga P, como se muestra en la figura 5.2.4. Al comparar los momentos de flexión en algún punto a lo largo de la columna, se obtiene EI d2 y dx2 Py o EI d2 y dx2 Py 0, (5) donde E es el módulo de Young para la elasticidad e I es el momento de inercia de una sección transversal respecto a una recta vertical por su centroide. EJEMPLO 3 La carga de Euler Encuentre la deflexión de una columna homogénea vertical y delgada de longitud L su- jeta a una carga axial constante P si la columna se fija con bisagras en ambos extremos. SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera por resolver es . EI d2 y dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0 Primero observe que y 0 es una solución muy buena de este problema. Esta solución tiene una simple interpretación intuitiva: Si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. Entonces la pregunta es ésta: ¿para qué valores de P se dobla la co- lumna? En términos matemáticos: ¿para qué valores de P el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales? Al escribir l PEI, vemos que y y 0, y(0) 0, y(L) 0 es idéntico al problema del ejemplo 2. Del caso III de esa descripción se ve que las de- flexiones son yn (x) c2 sen(npxL) que corresponden a los eigenvalores ln Pn- EI n2 p2 L2 , n 1, 2, 3, . . . Desde el punto de vista físico, esto significa que la co- lumna experimenta flexión sólo cuando la fuerza compresiva es uno de los valores Pn n2 p2 EIL2 , n 1, 2, 3, . . . Estas fuerzas diferentes se llaman cargas críticas. La deflexión correspondiente a la carga crítica más pequeña P1 p2 EIL2 , llamada carga de Euler, es y1 (x) c2 sen(pxL) y se conoce como primer modo de pandeo. Las curvas de deflexión del ejemplo 3 que corresponden a n 1, n 2 y n 3 se muestran en la figura 5.2.5. Observe que si la columna original tiene alguna clase de restricción física en x L2, entonces la carga crítica más pequeña será P2 4p2 EIL2 , y la curva de deflexión será como se muestra en la figura 5.2.5b. Si se ponen restricciones a la columna en x L3 y en x 2L3, entonces la columna L a) b) P x = 0 x y x = L FIGURA 5.2.4 Pandeo de una columna elástica bajo una fuerza compresiva. L L x b) y x c) y x L a) y FIGURA 5.2.5 Curvas de deflexión que corresponden a las fuerzas compresivas P1 , P2 , P3 . 08367_05_ch05_p181-218.indd 202 08367_05_ch05_p181-218.indd 202 6/4/09 12:19:29 PM 6/4/09 12:19:29 PM www.FreeLibros.me
- 244. no se pandea hasta que se aplica la carga crítica P3 9p2 EIL2 y la curva de deflexión será como se muestra en la figura 5.2.5c. Véase el problema 23 de los ejercicios 5.2. CUERDA ROTANDO La ecuación diferencial lineal de segundo orden y y 0 (6) se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que la ecuación (6) en las formas d2 xdt2 (km)x 0 y d2 qdt2 (1LC)q 0 son mo- delos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la respuesta armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando el modelo para la deflexión de una columna delgada en (5) se escribe como d2 ydx2 (PEI)y 0 que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en esta sección: como un modelo que define la curva de deflexión o la forma y(x) que adopta una cuerda rotatoria. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda para saltar y la hacen girar de una manera sincronizada. Véase la figura 5.2.6a y 5.2.6b. Suponga que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante r (masa por unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x 0 y x L. Suponga que la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante v. Considere una porción de la cuerda en el intervalo [x, x x], donde x es pequeña. Si la mag- nitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x x]. Primero, vemos en la figura 5.2.6c se ve que la fuerza vertical neta es F T sen 2 T sen 1 . (7) Cuando los ángulos u1 y u2 (medidos en radianes) son pequeños, se tiene sen u2 tan u2 y sen u1 tan u1 . Además, puesto que tan u2 y tan u1 , son, a su vez, pendientes de las rectas que contienen los vectores T2 y T1 también se puede escribir tan 2 y (x x) y . tan 1 y (x) Por tanto, la ecuación (7) se convierte en F T [y (x x) y (x)]. (8) Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando la segunda ley de Newton, F ma. Aquí la masa del resorte en el intervalo es m r x; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular v en un círculo de radio r es a rv2 . Con x pequeña se toma r y. Así la fuerza vertical neta es también aproximadamente igual a F ( x)y 2 , (9) donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección opuesta a la dirección y positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene a) b) c) ω x = 0 x = L y(x) x x x + Δx 1 θ 2 θ T2 T1 FIGURA 5.2.6 Cuerda rotatoria y fuerzas que actúan sobre ella. y(x x) y(x) ––––––––––––––––– x T[y(x x) y(x)] (rx)yv2 T rv2y 0. o cociente de diferencias (10) Para x cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la se- gunda derivada d2 ydx2 . Por último, se llega al modelo T d2 y dx2 2 y 0. (11) Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en x 0 y x L, esperamos que la solución y(x) de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera y(0) 0 y y(L) 0. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 203 08367_05_ch05_p181-218.indd 203 08367_05_ch05_p181-218.indd 203 6/4/09 12:19:36 PM 6/4/09 12:19:36 PM www.FreeLibros.me
- 245. 204 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COMENTARIOS i) Los eigenvalores no siempre son fáciles de encontrar, como sucedió en el ejemplo 2; es posible que se tengan que aproximar las raíces de ecuaciones como tan x x o cos x cosh x 1. Véanse los problemas 34 a 38 en los ejercicios 5.2. ii) Las condiciones de frontera aplicadas a una solución general de una ecua- ción diferencial dan lugar a un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales en las que las incógnitas son los coeficientes ci de la solución general. Un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales es siempre consis- tente porque por lo menos tiene una solución trivial. Pero un sistema homogé- neo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero. Podría ser necesario usar este último hecho en los problemas 19 y 20 de los ejercicios 5.2. EJERCICIOS 5.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-8. Deflexión de una viga En los problemas 1 a 5 resuelva la ecuación (4) sujeta a las condiciones de frontera adecuadas. La viga es de longitud L y w0 es una constante. 1. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho y w(x) w0 , 0 x L. b) Use un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando w0 24EI y L 1. 2. a) La viga está apoyada simplemente en ambos extre- mos, y w(x) w0 , 0 x L. b) Use un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando w0 24EI y L 1. 3. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0 , 0 x L. b) Use un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando w0 48EI y L 1. 4. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0 sen(pxL), 0 x L. b) Utilice un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando w0 2 p3 EI y L 1. c) Usando un programa de graficación para encontrar raíces (o de una calculadora gráfica) aproxime el punto en la gráfica del inciso b) en el que ocurre la máxima deflexión. ¿Cuál es la máxima deflexión? 5. a) La viga está simplemente soportada en ambos extre- mos y w(x) w0 x, 0 x L. b) Utilice un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando w0 36EI y L 1. c) Usando un programa de graficación para encontrar raíces (o de una calculadora gráfica) aproxime el punto en la gráfica del inciso b) en el que ocurre la máxima deflexión. ¿Cuál es la máxima deflexión? 6. a) Calcule la deflexión máxima de la viga en voladizo del problema 1. b) ¿Cómo se compara con el valor del inciso a) con la deflexión máxima de una viga que tiene la mitad de largo? c) Encuentre la deflexión máxima de la viga apoyada del problema 2. d) ¿Cómo se compara la deflexión máxima de la viga con apoyos simples del inciso c) con el valor de la de- flexión máxima de la viga empotrada del ejemplo 1? 7. Una viga en voladizo de longitud L está empotrada en su extremo derecho y se aplica una fuerza de P libras en su ex- tremo izquierdo libre. Cuando el origen se toma como su extremo libre, como se ilustra en la figura 5.2.7, se puede demostrar que la deflexión y(x) de la viga satisface la ecuación diferencial . EIy Py w(x) x 2 Encuentre la deflexión de la viga en voladizo si w(x) w0 x, 0 x L y y(0) 0, y(L) 0. x O P y L x w0x FIGURA 5.2.7 Deflexión de la viga en voladizo del problema 7. 08367_05_ch05_p181-218.indd 204 08367_05_ch05_p181-218.indd 204 6/4/09 12:19:42 PM 6/4/09 12:19:42 PM www.FreeLibros.me
- 246. 8. Cuando se aplica una fuerza compresiva en lugar de una fuerza de tensión en el extremo libre de la viga del pro- blema 7, la ecuación diferencial de la deflexión es . EIy Py w(x) x 2 Resuelva esta ecuación si w(x) w0 x, 0 x L, y y(0) 0, y(L) 0. Eigenvalores y funciones propias En los problemas 9 a 18 determine los eigenvalores y las fun- ciones propias del problema con valores en la frontera dado. 9. y ly 0, y(0) 0, y(p) 0 10. y ly 0, y(0) 0, y(p4) 0 11. y ly 0, y(0) 0, y(L) 0 12. y ly 0, y(0) 0, y(p2) 0 13. y ly 0, y(0) 0, y(p) 0 14. y ly 0, y(p) 0, y(p) 0 15. y 2y (l 1)y 0, y(0) 0, y(5) 0 16. y (l 1)y 0, y(0) 0, y(1) 0 17. x2 y xy ly 0, y(1) 0, y(ep ) 0 18. x2 y xy ly 0, y(e1 ) 0, y(1) 0 En los problemas 19 y 20 determine los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera dado. Considere sólo el caso l a4 , a 0. 19. y(4) ly 0, y(0) 0, y(0) 0, y(1) 0, y(1) 0 20. y(4) ly 0, y(0) 0, y(0) 0, y(p) 0, y(p) 0 Pandeo de una columna delgada 21. Considere la figura 5.2.5. ¿Dónde se deben colocar en la columna las restricciones físicas si se quiere que la carga crítica sea P4 ? Dibuje la curva de deflexión correspon- diente a esta carga. 22. Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las condiciones de extremo de la columna. El valor de la carga de Euler P1 en el ejemplo 3 se obtuvo bajo la suposición de que la columna estaba abisagrada por ambos extremos. Su- pongaqueunacolumnaverticalhomogéneadelgadaestáem- potrada en su base (x 0) y libre en su parte superior (x L) y que se aplica una carga axial constante P en su extremo libre. Esta carga causa una deflexión pequeña d como se muestra en la figura 5.2.8 o no causa tal deflexión. En cual- quier caso la ecuación diferencial para la deflexión y(x) es . EI d2 y dx2 Py P a) ¿Cuál es la deflexión predicha cuando d 0? b) Cuando d 0, demuestre que la carga de Euler para esta columna es un cuarto de la carga de Euler para la columna que está abisagrada del ejemplo 3. 23. Como se mencionó en el problema 22, la ecuación dife- rencial (5) que gobierna la deflexión y(x) de una columna elástica delgada sujeta a una fuerza axial compresiva cons- tante P es válida sólo cuando los extremos de la columna están abisagrados. En general, la ecuación diferencial que gobierna la deflexión de la columna está dada por . d2 dx2 EI d2 y dx2 P d2 y dx2 0 Suponga que la columna es uniforme (EI es una constante) y que los extremos de la columna están abisagrados. Mues- tre que la solución de esta ecuación diferencial de cuarto orden sujeta a las condiciones límite y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0 es equivalente al análisis del ejemplo 3. 24. Suponga que una columna elástica delgada y uniforme está abisagrada en el extremo x 0 y empotrada en el extremo x L. a) Use la ecuación diferencial de cuarto orden del pro- blema 23 para encontrar los valores propios ln , las cargas críticas Pn , la carga de Euler P1 y las deflexio- nes yn (x). b) Use un programa de graficación para trazar la gráfica del primer modo de pandeo. Cuerda rotando 25. Considere el problema con valores en la frontera presen- tado en la construcción del modelo matemático para la forma de una cuerda rotatoria: . T d2 y dx2 2 y 0, y(0) 0, y(L) 0 Para T y r constantes, defina las velocidades críticas de la rotación angular vn como los valores de v para los cuales el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales. Determine las rapideces críticas vn y las de- flexiones correspondientes yn (x). y x = 0 x = L P δ x FIGURA 5.2.8 Deflexión de la columna vertical del problema 22. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 205 08367_05_ch05_p181-218.indd 205 08367_05_ch05_p181-218.indd 205 6/4/09 12:19:45 PM 6/4/09 12:19:45 PM www.FreeLibros.me
- 247. 206 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 26. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, en- tonces un modelo para la curva de deflexión o forma y(x) que toma una cuerda rotatoria está dado por . d dx T(x) dy dx 2 y 0 Suponga que 1 x e y que T(x) x2 . a) Si y(l) 0, y(e) 0 y rv2 0.25, demuestre que las velocidades críticas de rotación angular son n 1 2 2(4n2 2 1) y las deflexiones corres- pondientes son yn (x) c2 x12 sen(np ln x), n 1, 2, 3, . . . . b) Utilice un programa de graficación para trazar las curvas de deflexión en el intervalo [1, e] para n 1, 2, 3. Elija c2 1. Diferentes problemas con valores en la frontera 27. Temperatura en una esfera Considere dos esferas concéntricas de radio r a y r b, a b. Véase la figura 5.2.9. La temperatura u(r) en la región entre las esferas se determina del problema con valores en la frontera , r d2 u dr2 2 du dr 0, u(a) u0, u(b) u1 donde u0 y u1 son constantes. Resuelva para u(r). donde u0 y u1 son constantes. Demuestre que . u(r) u0 ln(rb) u1 ln(ra) ln(ab) Problemas para analizar 29. Movimiento armónico simple El modelo mx kx 0 para el movimiento armónico simple, que se analizó en la sección 5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de esta sección. Considere un sistema resorte/masa libre no amorti- guado para el cual la constante de resorte es, digamos, k 10 lb/pie. Determine las masas mn que se pueden unir al resorte para que cuando se libere cada masa en la posición de equilibrio en t 0 con una velocidad v0 diferente de cero, pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo. ¿Cuántas veces pasa cada masa mn por la posición de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 t 1? 30. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para el sistema resorte/masa del problema 29 se reemplaza por mx 2x kx 0. En otras palabras el sistema es libre pero está sujeto a amortiguamiento numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Con las mismas condi- ciones iniciales y la constante de resorte del problema 29, investigue si es posible encontrar una masa m que pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo. En los problemas 31 y 32, determine si es posible encontrar valores y0 y y1 (problema 31) y valores de L 0 (problema 32) tal que el problema con valores iniciales tenga a) exactamente una solución no trivial, b) más de una solución, c) ninguna solución, d) la solución trivial. 31. y 16y 0, y(0) y0 , y(p2) y1 32. y 16y 0, y(0) 1, y(L) 1 33. Considere el problema con valores en la frontera y y 0, y( ) y( ), y ( ) y ( ). a) Al tipo de condiciones en la frontera especificadas se le llaman condiciones frontera periódicas. Dé una interpretación geométrica de estas condiciones. b) Determine los eigenvalores y las funciones propias del problema. c) Usando un programa de graficación para trazar algu- nas de las funciones propias. Compruebe su interpre- tación geométrica de las condiciones frontera dadas en el inciso a). 34. Muestre que los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0 son n 2 n y yn sen an x, respectivamente, donde an , n 1, 2, 3, ... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación tan a a. u = u1 u = u0 FIGURA 5.2.9 Esferas concéntricas del problema 27. 28. Temperatura en un anillo La temperatura u(r) en el anillo circular mostrado en la figura 5.2.10 se determina a partir del problema con valores en la frontera , r d2 u dr2 du dr 0, u(a) u0, u(b) u1 FIGURA 5.2.10 Anillo circular del problema 28. a u = u1 u = u0 b 08367_05_ch05_p181-218.indd 206 08367_05_ch05_p181-218.indd 206 6/4/09 12:19:47 PM 6/4/09 12:19:47 PM www.FreeLibros.me
- 248. Tarea para el laboratorio de computación 35. Use un SAC para trazar las gráficas que lo convenzan de que la ecuación tan a a del problema 34 tiene un número infinito de raíces. Explique por qué se pueden despreciar las raíces negativas de la ecuación. Explique por qué l 0 no es un eigenvalor aun cuando a 0 es una solución obvia de la ecuación tan a a. 36. Usando un programa para determinar raíces de un SAC aproxime los primeros cuatro valores propios l1 , l2 , l3 y l4 para el PVF del problema 34. En los problemas 37 y 38, determine los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera. Use un SAC para aproximar los primeros cuatro valores pro- pios l1 , l2 , l3 y l4 . 37. y y 0, y(0) 0, y(1) 1 2 y (1) 0 38. y(4) ly 0, y(0) 0, y(0) 0, y(1) 0, y(1) 0 [Sugerencia: considere sólo l a4 , a 0.] MODELOS NO LINEALES REPASO DE MATERIAL O Sección 4.9 INTRODUCCIÓN En esta sección se examinan algunos modelos matemáticos no lineales de orden superior. Algunos de estos modelos se pueden resolver usando el método de sustitución (lo que conduce a la reducción de orden de la ED) presentado en la página 174. En algunos casos donde no se puede resolver el modelo, se muestra cómo se reemplaza la ED no lineal por una ED lineal mediante un proceso conocido como linealización. 5.3 RESORTES NO LINEALES El modelo matemático en (1) de la sección 5.1 tiene la forma m d2 x dt2 F(x) 0 , (1) donde F(x) kx. Debido a que x denota el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio, F(x) kx es la ley de Hooke, es decir, la fuerza ejercida por el resorte que tiende a restaurar la masa a la posición de equilibrio. Un resorte que actúa bajo una fuerza restauradora lineal F(x) kx se llama resorte lineal. Pero los resortes pocas veces son lineales. Dependiendo de cómo esté construido y del material utilizado, un resorte puede variar desde “flexible” o suave, hasta “rígido” o duro, por lo que su fuerza restauradora puede variar respecto a la ley lineal. En el caso de movimiento libre, si se supone que un resorte en buen estado tiene algunas características no lineales, entonces podría ser razonable suponer que la fuerza restauradora de un resorte, es decir, F(x) en la ecuación (1), es proporcional al cubo del desplazamiento x de la masa más allá de su posición de equilibrio o que F(x) es una combinación lineal de potencias del desplaza- miento como el que se determina mediante la función no lineal F(x) kx k1 x3 . Un resorte cuyo modelo matemático incorpora una fuerza restauradora no lineal, como m d2 x dt2 kx3 0 o m d2 x dt2 kx k1x3 0, (2) se llama resorte no lineal. Además, se examinan modelos matemáticos en los que el amortiguamiento impartido al movimiento era proporcional a la velocidad instantánea dxdt y la fuerza restauradora de un resorte está dada por la función lineal F(x) kx. Pero estas fueron suposiciones muy simples; en situaciones más reales, el amortigua- miento podría ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea dxdt. La ecuación diferencial no lineal m d2 x dt2 dx dt dx dt kx 0 (3) 5.3 MODELOS NO LINEALES O 207 08367_05_ch05_p181-218.indd 207 08367_05_ch05_p181-218.indd 207 6/4/09 12:19:47 PM 6/4/09 12:19:47 PM www.FreeLibros.me
- 249. 208 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR es un modelo de un sistema libre resorte/masa en el que la fuerza de amortiguamien- to es proporcional al cuadrado de la velocidad. Así que es posible imaginar otras clases de modelos: amortiguamiento lineal y fuerza restauradora no lineal, amortiguamiento no lineal y fuerza restauradora no lineal, etcétera. El punto es que las características no lineales de un sistema físico dan lugar a un modelo matemático que es no lineal. Observe en (2) que tanto F(x) kx3 como F(x) kx k1 x3 son funciones impares de x. Para ver por qué una función polinomial que contiene sólo potencias impares de x proporciona un modelo razonable para la fuerza restauradora, se expresa a F como una serie de potencias centrada en la posición de equilibrio x 0: F(x) c0 c1x c2 x2 c3 x3 . Cuando los desplazamientos x son pequeños, los valores de xn son insignificantes para n suficientemente grande. Si se trunca la serie de potencias, por ejemplo, en el cuarto término, entonces F(x) c0 c1 x c2 x2 c3 x3 . Para la fuerza en x 0, , F(x) c0 c1x c2 x2 c3 x3 y para que la fuerza en x 0, F( x) c0 c1x c2x2 c3x3 tenga la misma magnitud pero actúe en dirección contraria, se debe tener F(x) F(x). Debido a que esto significa que F es una función impar, se debe tener c0 0 y c2 0 y por tanto, F(x) c1 x c3 x3 . Si se hubieran usado sólo los primeros dos términos de la serie, el mismo argumento produce la función lineal F(x) c1 x. Se dice que una fuerza restauradora con potencias mixtas, como F(x) c1 x c2 x2 y las vibraciones correspondientes, son asimétricas. En el análisis siguiente se escribe c1 k y c3 k1 . RESORTES DUROS Y SUAVES Analicemos con más detalle la ecuación (1) para el caso en que la fuerza restauradora está dada por F(x) kx kl x3 , k 0. Se dice que el resorte es duro si kl 0 y suave si kl 0. Las gráficas de tres tipos de fuer- zas restauradoras se muestran en la figura 5.3.1. En el ejemplo siguiente se ilustran estos dos casos especiales de la ecuación diferencial m d2 xdt2 kx k1 x3 0, m 0, k 0. EJEMPLO 1 Comparación de resortes duros y suaves Las ecuaciones diferenciales (4) y d2 x dt2 x x3 0 d2 x dt2 x x3 0 (5) son casos especiales de la segunda ecuación en (2) y son modelos de un resorte duro y uno suave, respectivamente. En la figura 5.3.2a se muestran dos soluciones de (4) y en la figura 5.3.2b dos soluciones de (5) obtenidas de un programa de solución numérica. Las curvas mostradas en rojo son soluciones que satisfacen las condiciones iniciales x(0) 2, x(0) 3; las dos curvas en rojo son soluciones que satisfacen x(0) 2, x(0) 0. Desde luego estas curvas solución indican que el movimiento de una masa en el resorte duro es oscilatorio, mientras que el movimiento de una masa en el resorte flexible al parecer es no oscilatorio. Pero se debe tener cuidado respecto a sacar con- clusiones con base en un par de curvas de solución numérica. Un cuadro más complejo de la naturaleza de las soluciones de ambas ecuaciones, se obtiene del análisis cualita- tivo descrito en el capítulo 10. F resorte lineal resorte duro resorte suave x FIGURA 5.3.1 Resortes duros y suaves. a) resorte duro b) resorte suave x x(0)=2, x'(0)=_3 t x(0)=2, x'(0)=_3 t x x(0)=2, x'(0)=0 x(0)=2, x'(0)=0 FIGURA 5.3.2 Curvas de solución numérica. 08367_05_ch05_p181-218.indd 208 08367_05_ch05_p181-218.indd 208 6/4/09 12:19:48 PM 6/4/09 12:19:48 PM www.FreeLibros.me
- 250. PÉNDULO NO LINEAL Cualquier objeto que oscila de un lado a otro se llama péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial del péndulo físico y consiste en una varilla de longitud l a la que se fija una masa m en un extremo. Al describir el movimiento de un péndulo simple en un plano vertical, se hacen las suposiciones de simplificación de que la masa de la varilla es despreciable y que ninguna fuerza externa de amortiguamiento o motriz actúa sobre el sistema. El ángulo de desplaza- miento u del péndulo, medido desde la vertical, como se ilustra en la figura 5.3.3, se considera positivo cuando se mide a la derecha de OP y negativo a la izquierda de OP. Ahora recuerde que el arco s de un círculo de radio l se relaciona con el ángulo central u por la fórmula s lu. Por tanto, la aceleración angular es . a d2 s dt2 l d2 dt2 De la segunda ley de Newton tenemos que . F ma ml d2 dt2 De la figura 5.3.3 se ve que la magnitud de la componente tangencial de la fuerza debida al peso W es mg sen u. En cuanto a dirección esta fuerza es mg sen u porque apunta a la izquierda para u 0 y a la derecha para u 0. Se igualan las dos versiones distintas de la fuerza tangencial para obtener ml d2 udt2 mg sen u, o d2 dt2 g l sen 0 . (6) LINEALIZACIÓN Como resultado de la presencia de sen u, el modelo en (6) es no lineal. En un intento por entender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior, en ocasiones se trata de simplificar el pro- blema sustituyendo términos no lineales por ciertas aproximaciones. Por ejemplo, la serie de Maclaurin para sen u, está dada por sen 3 3! 5 5! . . . así que si se usa la aproximación sen u u u3 6, la ecuación (6) se convierte en d2 udt2 (gl)u (g6l)u3 0. Observe que esta última ecuación es la misma que la segunda ecuación lineal en (2) con m 1, k gl y k1 g6l. Sin embargo, si se supone que los desplazamientos u son suficientemente pequeños para justificar el uso de la sustitución sen u u, entonces la ecuación (6) se convierte en d2 dt2 g l 0. (7) Vea el problema 22 en los ejercicios 5.3. Si se hace v2 gl, se reconoce a (7) como la ecuación diferencial (2) de la sección 5.1 que es un modelo para las vibraciones libres no amortiguadas de un sistema lineal resorte/masa. En otras palabras, (7) es de nuevo la ecuación lineal básica y ly 0 analizada en la página 201 de la sección 5.2. Como consecuencia se dice que la ecuación (7) es una linealización de la ecuación (6). Debido a que la solución general de (7) es u(t) c1 cos vt c2 sen vt, esta linealiza- ción indica que para condiciones iniciales correspondientes a oscilaciones pequeñas el movimiento del péndulo descrito por (6) es periódico. EJEMPLO 2 Dos problemas con valores iniciales Las gráficas de la figura 5.3.4a se obtuvieron con ayuda de un programa de solución nu- mérica y representan curvas solución de la ecuación (6) cuando v2 1. La curva azul ilustra la solución de (6) que satisface las condiciones iniciales (0) 1 2, (0) 1 2 , mientras que la curva roja es la solución de (6) que satisface u (0) 2 (0) 1 2, . La O θ θ P W = mg mg cos θ mg sen θ l FIGURA 5.3.3 Péndulo simple. t 2 (0)= , (0)=2 (0)= , (0)= a) b) (0) , (0) c) (0) , (0) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 FIGURA 5.3.4 Péndulo oscilante en b); péndulo giratorio en c). 5.3 MODELOS NO LINEALES O 209 08367_05_ch05_p181-218.indd 209 08367_05_ch05_p181-218.indd 209 6/4/09 12:19:48 PM 6/4/09 12:19:48 PM www.FreeLibros.me
- 251. 210 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR curva azul representa una solución periódica, el péndulo que oscila en vaivén como se muestra en la figura 5.3.4b con una amplitud aparente A 1. La curva roja mues- tra que u crece sin límite cuando aumenta el tiempo, el péndulo comenzando desde el mismo desplazamiento inicial recibe una velocidad inicial de magnitud suficien- temente grande para enviarlo hasta arriba; en otras palabras, el péndulo gira respecto a su pivote como se ilustra en la figura 5.3.4c. En ausencia de amortiguamiento, el movimiento en cada caso continúa de forma indefinida. CABLES TELEFÓNICOS La ecuación diferencial de primer orden dydx WT1 es la ecuación (17) de la sección 1.3. Esta ecuación diferencial, establecida con la ayuda de la figura 1.3.7 en la página 25, sirve como modelo matemático para la forma de un cable flexible suspendido entre dos soportes verticales cuando el cable lleva una carga vertical. En la sección 2.2 se resuelve esta ED simple bajo la suposición de que la carga vertical que soportan los cables de un puente suspendido era el peso de la carpeta asfáltica distribuida de modo uniforme a lo largo del eje x. Con W rx, r el peso por unidad de longitud de la carpeta asfáltica, la forma de cada cable entre los apoyos verticales resultó ser parabólica. Ahora se está en condiciones de determinar la forma de un cable flexible uniforme que cuelga sólo bajo su propio peso, como un cable suspendido entre dos postes telefónicos. Ahora la carga vertical es el cable y por tanto, si r es la densidad lineal del alambre (medido, por ejemplo, en libras por pie) y s es la longitud del segmento P1 P2 en la figura 1.3.7, entonces W rs. Por tanto, dy dx s 1 . (8) Puesto que la longitud de arco entre los puntos P1 y P2 está dada por s x 0 B 1 dy dx 2 dx, (9) del teorema fundamental del cálculo se tiene que la derivada de (9) es ds dx B 1 dy dx 2 . (10) Derivando la ecuación (8) respecto a x y usando la ecuación (10) se obtiene la ecuación de segundo orden d2 y dx2 T1 ds dx o d2 y dx2 T1 1 dy dx 2 B . (11) En el ejemplo siguiente se resuelve la ecuación (11) y se muestra que la curva del cable suspendido es una catenaria. Antes de proceder, observe que la ecuación diferen- cial no lineal de segundo orden (11) es una de las ecuaciones que tienen la forma F(x, y, y) 0 analizadas en la sección 4.9. Recuerde que hay posibilidades de resolver una ecuación de este tipo al reducir el orden de la ecuación usando la sustitución u y. EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales De la posición del eje y en la figura 1.3.7 es evidente que las condiciones iniciales relacionadas con la segunda ecuación diferencial en (11) son y(0) a y y(0) 0. Si se sustituye u y, entonces la ecuación en (11) se convierte en du dx 1 11 u2 . Separando las variables se encuentra que du 11 u2 T1 dx se obtiene . senh 1 u T1 x c1 08367_05_ch05_p181-218.indd 210 08367_05_ch05_p181-218.indd 210 6/4/09 12:19:49 PM 6/4/09 12:19:49 PM www.FreeLibros.me
- 252. Ahora, y(0) 0 es equivalente a u(0) 0. Puesto que senh1 0 0, c1 0 y por tanto, u senh (rxT1 ). Por último, integrando ambos lados de dy dx senh T1 x, obtenemos . y T1 cosh T1 x c2 Con y(0) a, cosh 0 1, se deduce de la última ecuación que c2 a T1 r. Por tanto vemos que la forma del cable que cuelga está dada por y (T1 ) cosh( x T1) . a T1 Si en el ejemplo 3 hemos sabido escoger desde el principio a T1 r, entonces la solución del problema habría sido simplemente el coseno hiperbólico y (T1 r) cosh (rxT1 ). MOVIMIENTO DE UN COHETE En la sección 1.3 se vio que la ecuación diferencial de un cuerpo de masa m en caída libre cerca de la superficie de la Tierra está dada por m d2 s dt2 mg, o simplemente , d2 s dt2 g donde s representa la distancia desde la superficie de la Tierra hasta el objeto y se considera que la dirección positiva es hacia arriba. Dicho de otra forma, la suposición básica en este caso es que la distancia s al objeto es pequeña cuando se compara con el radio R de la Tierra; en otras palabras, la distancia y desde el centro de la Tierra al objeto es aproximadamente la misma que R. Si, por otro lado, la distancia y al objeto, por ejemplo un cohete o una sonda espacial, es grande comparada con R, entonces se combina la segunda ley de Newton del movimiento y su ley de gravitación universal para obtener una ecuación diferencial en la variable y. Suponga que se lanza verticalmente hacia arriba un cohete desde el suelo como se ilustra en la figura 5.3.5. Si la dirección positiva es hacia arriba y se desprecia la resis- tencia del aire, entonces la ecuación diferencial de movimiento después de consumir el combustible es m d2 y dt2 k Mm y2 o d2 y dt2 k M y2 , (12) donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia desde el centro de la Tierra al cohete, M es la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para determinar la constante k, se usa el hecho de que cuando y R, kMmR2 mg o k gR2 M. Así que la última ecuación en (12) se convierte en d2 y dt2 g R2 y2 . (13) Véase el problema 14 en los ejercicios 5.3. MASA VARIABLE Observe en la explicación anterior que se describe el movimiento del cohete después de que ha quemado todo su combustible, cuando supuestamente su masa m es constante. Por supuesto, durante su ascenso la masa total del cohete propul- sado varía a medida que se consume el combustible. La segunda ley del movimiento, como la adelantó Newton en un principio, establece que cuando un cuerpo de masa m se mueve por un campo de fuerza con velocidad v, la rapidez de cambio respecto al tiempo de la cantidad de movimiento mv del cuerpo es igual a la fuerza aplicada o neta F que actúa sobre el cuerpo: F d dt (mv) . (14) Si m es constante, entonces la ecuación (14) produce la forma más familiar F m dvdt ma, donde a es la aceleración. En el siguiente ejemplo se usa la forma de la segunda ley de Newton dada en la ecuación (14), en la que la masa m del cuerpo es variable. v0 y centro de la Tierra R FIGURA 5.3.5 La distancia al cohete es grande comparada con R. 5.3 MODELOS NO LINEALES O 211 08367_05_ch05_p181-218.indd 211 08367_05_ch05_p181-218.indd 211 6/4/09 12:19:49 PM 6/4/09 12:19:49 PM www.FreeLibros.me
- 253. 212 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 4 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un ex- tremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. Determine la altura del extremo sobre el nivel de suelo al tiempo t. Véase la figura 5.3.6. SOLUCIÓN Supongamos que x x(t) denota la altura del extremo de la cadena en el aire al tiempo t, v dxdt y que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables: peso: masa: fuerza neta: F 5 W 5 x. m Wg x32, W (x pie) (1 lb/pie) x, Así de la ecuación (14) se tiene regla del producto v 160 32x. x ( v) 5 x o x ––– 32 d ––– dt dv ––– dt dx ––– dt (15) Debido a que v dxdt, la última ecuación se convierte en x d2 x dt2 dx dt 2 32x 160. (16) La segunda ecuación diferencial no lineal de segundo orden (16) tiene la forma F(x, x, x) 0, que es la segunda de las dos formas consideradas en la sección 4.9 que posi- blemente se pueden resolver por reducción de orden. Para resolver la ecuación (16), se vuelve a (15) y se usa v x junto con la regla de la cadena. De dv dt dv dx dx dt v dv dx la segunda ecuación en (15) se puede escribir como xv dv dx v2 160 32x . (17) Al inspeccionar la ecuación (17) podría parecer de difícil solución, puesto que no se puede caracterizar como alguna de las ecuaciones de primer orden resueltas en el capí- tulo 2. Sin embargo, si se reescribe la ecuación (17) en la forma diferencial M(x, v)dx N(x, v)dv 0, se observa que, aunque la ecuación (v2 32x 160)dx xv dv 0 (18) no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta al multiplicarla por un factor integrante. De (My Nx )N lx se ve de (13) de la sección 2.4 que un factor integrante es e dx/x eln x x. Cuando la ecuación (18) se multiplica por m(x) x, la ecuación resultante es exacta (compruebe). Identificando fx xv2 32x2 160 x, f v x2 v y procediendo después como en la sección 2.4, se obtiene 1 2 x2 v2 32 3 x3 80x2 c1. (19) Puesto que se supuso que al principio toda la cadena está sobre el piso, se tiene x(0) 0. Esta última condición aplicada a la ecuación (19) produce c1 0. Resolviendo la ecuación algebraica 1 2 x2 v2 32 3 x3 80x2 0 para v dxdt 0, se obtiene otra ecuación diferencial de primer orden, . dx dt B 160 64 3 x x(t) 5 lb fuerza hacia arriba FIGURA 5.3.6 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante. 08367_05_ch05_p181-218.indd 212 08367_05_ch05_p181-218.indd 212 6/4/09 12:19:50 PM 6/4/09 12:19:50 PM www.FreeLibros.me
- 254. La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Se debe comprobar que 3 32 160 64 3 x 1/2 t c2 . (20) Esta vez la condición inicial x(0) 0 indica que c2 3110 8. Por último, elevando al cuadrado ambos lados de (20) y despejando x, llegamos al resultado deseado, x(t) 15 2 15 2 1 4110 15 t 2 . (21) La gráfica de la ecuación 21 que se presenta en la figura 5.3.7 no se debe, con bases físicas, aceptar tal cual. Véase el problema 15 de los ejercicios 5.3. 0.5 1 8 7 6 5 4 3 2 1 t x 1.5 2 2.5 0 FIGURA 5.3.7 Gráfica de (21) para x(t)
- 255. 0. EJERCICIOS 5.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-8. Al profesor Además de los problemas 24 y 25, todos o parte de los problemas 1 a 6, 8 a 13, 15, 20 y 21 podrían servir como tareas del laboratorio de computación. Resortes no lineales En los problemas 1 al 4, la ecuación diferencial dada es mo- delo de un sistema resorte/masa no amortiguado en el que la fuerza restauradora F(x) en (1) es no lineal. Para cada ecua- ción utilice un programa de solución numérica para trazar las curvas solución que satisfacen las condiciones iniciales del problema. Si al parecer las soluciones son periódicas, use la curva solución para estimar el periodo T de las oscilaciones. 1. 2. 3. 4. x(0) 1, x (0) 1; x(0) 3, x (0) 1 d2 x dt2 xe0.01x 0, x(0) 1, x (0) 1; x(0) 3 2, x (0) 1 d2 x dt2 2x x2 0, x(0) 1, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 2 d2 x dt2 4x 16x3 0, x(0) 1, x (0) 1; x(0) 1 2, x (0) 1 d2 x dt2 x3 0, 5. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde la posición inicial x(0) 1 con una velocidad inicial x(0) x1 . Use un programa de solución numérica para estimar el valor más pequeño de x1 en el que el movimiento de la masa es no periódico. 6. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde una posición inicial x(0) x0 con velocidad inicial x(0) 1. Usando un programa de solución numérica estime un inter- valo a x0 b para el cual el movimiento sea oscilatorio. 7. Determine una linealización de la ecuación diferencial del problema 4. 8. Considere el modelo de un sistema resorte/masa no lineal sin amortiguamiento dado por x 8x 6x3 x5 0. Use un programa de solución numérica para analizar la naturaleza de las oscilaciones del sistema que correspon- den a las condiciones iniciales: x(0) 2, x (0) 0; x(0) 12, x (0) 1. x(0) 12, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 1 2; x(0) 1, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 1 2; En los problemas 9 y 10 la ecuación diferencial dada es un modelo de un sistema resorte/masa no lineal amortiguado. Pre- diga el comportamiento de cada sistema cuando t S . Para cada ecuación use un programa de solución numérica para ob- tener las curvas solución que satisfacen las condiciones inicia- les del problema dadas. 9. 10. x(0) 0, x (0) 3 2; x(0) 1, x (0) 1 d2 x dt2 dx dt x x3 0, x(0) 3, x (0) 4; x(0) 0, x (0) 8 d2 x dt2 dx dt x x3 0, 11. El modelo mx kx k1 x3 F0 cos vt de un sistema no amortiguado resorte/masa forzado en forma periódica se llama ecuación diferencial de Duffing. Considere el pro- blema con valores iniciales x x k1 x3 5 cos t, x(0) 1, x(0) 0. Use un programa de solución numérica para in- vestigar el comportamiento del sistema para valores de k1 0 que van de k1 0.01 a k1 100. Exprese sus conclusiones. 12. a) Encuentre los valores de k1 0 para los cuales el sistema del problema 11 es oscilatorio. b) Considere el problema con valores iniciales x x k1 x3 , cos 3 2 t x(0) 0, x(0) 0. Encuentre valores para k1 0 para los cuales el sis- tema es oscilatorio. 5.3 MODELOS NO LINEALES O 213 08367_05_ch05_p181-218.indd 213 08367_05_ch05_p181-218.indd 213 6/4/09 12:19:50 PM 6/4/09 12:19:50 PM www.FreeLibros.me
- 256. 214 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Péndulo no lineal 13. Considere el modelo del péndulo no lineal amortiguado libre dado por . d2 dt2 2 d dt 2 sen 0 Use un programa de solución numérica para inves- tigar si el movimiento en los dos casos l2 v2 0 y l2 v2 0 corresponde, respectivamente, a los casos sobreamortiguado y subamortiguado analizados en la sección 5.1 para sistemas resorte/masa. Elija las condi- ciones iniciales apropiadas y los valores de l y v. Movimiento de un cohete 14. a) Use la sustitución v dydt para despejar de la ecua- ción (13) a v en términos de y. Suponiendo que la velocidad del cohete cuando se agota el combustible es v v0 y y R en ese instante, demuestre que el valor aproximado de la constante c de integración es c gR 1 2 v0 2 . b) Use la solución para v del inciso a) con el fin de de- mostrar que la velocidad de escape de un cohete está dada por v0 12gR . [Sugerencia: Tome y S y suponga que v 0 para todo tiempo t.] c) El resultado del inciso b) se cumple para cualquier cuerpo del sistema solar. Use los valores g 32 pies/s2 y R 4000 millas para demostrar que la velocidad de escape de la Tierra es (aproximadamente) v0 25 000 mi/h. d) Determine la velocidad de escape en la Luna si la acelera- ción debida a la gravedad es 0.165g y R 1080 millas. Masa variable 15. a) En el ejemplo 4, ¿qué longitud de la cadena se es- peraría, por intuición, que pudiera levantar la fuerza constante de 5 libras? b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la cadena? c) ¿Por qué el intervalo de tiempo que corresponde a x(t)
- 257. 0 ilustrado en la figura 5.3.7, no es el inter- valo I de definición de la solución (21)? Determine el intervalo I. ¿Qué longitud de la cadena se levanta en realidad? Explique cualquier diferencia entre esta respuesta y la predicción del inciso a). d) ¿Por qué esperaría que x(t) fuese una solución perió- dica? 16. Una cadena uniforme de longitud L, medida en pies, se man- tiene verticalmente por lo que el extremo inferior apenas toca el piso. La cadena pesa 2 lbpie. El extremo superior que está sujeto se libera desde el reposo en t 0 y la cadena cae recta. Si x(t) denota la longitud de la cadena en el piso al tiempo t, se desprecia la resistencia del aire y se determina que la dirección positiva es hacia abajo, entonces . (L x) d2 x dt2 dx dt 2 Lg a) Resuelva v en términos de x. Determine x en térmi- nos de t. Exprese v en términos de t. b) Determine cuánto tarda en caer toda la cadena al suelo. c) ¿Qué velocidad predice el modelo del inciso a) para el extremo superior de la cadena cuando toca el suelo? Diferentes modelos matemáticos 17. Curva de persecución En un ejercicio naval, un barco S1 es perseguido por un submarino S2 como se muestra en la figura 5.3.8. El barco S1 parte del punto (0, 0) en t 0 y se mueve a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una rapidez constante v1 . El submarino S2 mantiene al barco S1 en contacto visual, indicado por la línea punteada L en la figura mientras que viaja con una rapidez constante v2 a lo largo de la curva C. Suponga que el barco S2 comienza en el punto (a, 0), a 0, en t 0 y que L es tangente a C. a) Determine un modelo matemático que describe la curva C. b) Encuentre una solución explícita de la ecuación dife- rencial. Por conveniencia defina r v1 v2 . c) Determine si las trayectorias de S1 y S2 alguna vez se in- terceptarían al considerar los casos r 1, r 1 y r 1. [Sugerencia: dt dx dt ds ds dx , donde s es la longitud de arco medida a lo largo de C.] S2 x y S1 L C FIGURA 5.3.8 Curva de persecución del problema 17. 18. Curva de persecución En otro ejercicio naval, un des- tructor S1 persigue a un submarino S2 . Suponga que S1 en (9, 0) en el eje x detecta a S2 en (0, 0) y que al mismo tiempo S2 detecta a S1 . El capitán del destructor S1 supone que el submarino emprenderá una acción evasiva inmediata y es- pecula que su nuevo curso probable es la recta indicada en la figura 5.3.9. Cuando S1 está en (3, 0), cambia de su curso en línea recta hacia el origen a una curva de persecución C. Suponga que la velocidad del destructor es, en todo mo- mento, una constante de 30 millash y que la rapidez del submarino es constante de 15 millash. a) Explique por qué el capitán espera hasta que S1 llegue a (3, 0) antes de ordenar un cambio de curso a C. b) Usando coordenadas polares, encuentre una ecuación r f(u) para la curva C. c) Sea que T denote el tiempo, medido desde la detec- ción inicial, en que el destructor intercepta al subma- rino. Determine un límite superior para T. 08367_05_ch05_p181-218.indd 214 08367_05_ch05_p181-218.indd 214 6/4/09 12:19:51 PM 6/4/09 12:19:51 PM www.FreeLibros.me
- 258. Problemas para analizar 19. Analice por qué el término de amortiguamiento de la ecuación (3) se escribe como dx dt dx dt en lugar de . dx dt 2 20. a) Experimente con una calculadora para encontrar un in- tervalo 0 u u1 , donde u se mide en radianes, para el cual se considera que sen u u es una estimación bastante buena. Luego, use un programa de grafica- ción para trazar las gráficas de y x y y sen x en el mismo eje de coordenadas para 0 x p2. ¿Las grá- ficas confirman sus observaciones con la calculadora? b) Utilice un programa de solución numérica para trazar las curvas solución de los problemas de valor inicial. y d2 dt2 0, (0) 0, (0) 0 d2 dt2 sen 0, (0) 0, (0) 0 para varios valores de u0 en el intervalo 0 u u1 de- terminado en el inciso a). Luego, trace la gráfica cur- vas de solución de los problemas con valores iniciales para varios valores de u0 para los cuales u0 u1 . 21. a) Considere el péndulo no lineal cuyas oscilaciones se definen por la ecuación (6). Use un programa de solu- ción numérica como ayuda para determinar si un pén- dulo de longitud l oscilará más rápido en la Tierra o en la Luna. Use las mismas condiciones iniciales, pero elíjalas de tal modo que el péndulo oscile en vaivén. b) ¿Para qué lugar del inciso a) el péndulo tiene mayor amplitud? c) ¿Las conclusiones de los incisos a) y b) son las mis- mas cuando se emplea el modelo lineal (7)? Tarea para el laboratorio de computación 22. Considere el problema con valores iniciales d2 dt2 sen 0, (0) 12 , (0) 1 3 para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resol- ver la ecuación diferencial, no es posible encontrar una solución explícita de este problema. Pero suponga que se desea determinar la primer tl 0 para la cual el péndulo de la figura 5.3.3, comenzando desde su posición inicial a la derecha, alcanza la posición OP, es decir, la primera raíz positiva de u(t) 0. En este problema y el siguiente, se examinan varias formas de cómo proceder. a) Aproxime t1 resolviendo el problema lineal d2 udt2 u 0, u(0) p12, (0) 1 3. b) Use el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección 4.9 para encontrar los primeros cuatro términos no nulos de una solución en serie de Taylor u(t) centrada en 0 para el problema con valores iniciales no lineal. Dé los valores exactos de los coeficientes. c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1 . d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1 . e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora grá- fica) para encontrar raíces y los primeros cuatro términos de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1 . f) En esta parte del problema se proporcionan las ins- trucciones de Mathematica que permiten aproximar la raíz t1 . El procedimiento se modifica con facilidad por lo que se puede aproximar cualquier raíz de u(t) 0. (Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tiene.) Reproduzca con precisión y luego, a su vez, eje- cute cada línea de la secuencia dada de instrucciones. sol NDSolve[{y[t] Sin[y[t]] 0, y[0] Pi12, y[0] 13}, y, {t, 0, 5}]Flatten Solución y[t].sol Clear[y] y[t_]: Evaluate[Solución] y[t] gr1 Plot[y[t], {t, 0, 5}] root FindRoot[y[t] 0, {t, 1}] g) Modifique de manera apropiada la sintaxis del inciso f) y determine las siguientes dos raíces positivas de u(t) 0. 23. Considere un péndulo que se libera desde el reposo con un desplazamiento inicial de u0 radianes. Resolviendo el modelo lineal (7) sujeto a las condiciones iniciales u(0) u0 , u(0) 0seobtiene (t) 0 cos 1g/lt.Elperiododeoscilaciones que se predice con este modelo, se determina mediante la co- nocida fórmula T 2 1g/l 2 1l/g. Lo interesante de esta fórmula para T es que no depende de la magnitud del desplazamiento inicial u0 . En otras palabras, el modelo lineal predice que el tiempo que tardaría el péndulo en oscilar desde un desplazamiento inicial de, digamos, u0 p2 ( 90°) a p2 y de regreso otra vez, sería exactamente el mismo que tardaría en completar el ciclo de, digamos, u0 p360 ( 0.5°) a p360. Esto es ilógico desde el punto de vista in- tuitivo ya que el periodo real debe depender de u0 . S2 L x y S1 C θ (3, 0) (9, 0) FIGURA 5.3.9 Curva de persecución del problema 18. 5.3 MODELOS NO LINEALES O 215 08367_05_ch05_p181-218.indd 215 08367_05_ch05_p181-218.indd 215 6/4/09 12:19:52 PM 6/4/09 12:19:52 PM www.FreeLibros.me
- 259. 216 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si se supone que g 32 pies/s2 y l 32 pies, enton- ces el periodo de oscilación del modelo lineal es T 2p s. Compare este último número con el periodo predicho mediante el modelo no lineal cuando u0 p4. Usando un programa de solución numérica que sea capaz de gene- rar datos concretos y reales, aproxime la solución de d2 dt2 sen 0, (0) 4 , (0) 0 en el intervalo a 0 t 2. Como en el problema 22, si t1 denota la primera vez que el péndulo alcanza la posición OP en la figura 5.3.3, entonces el periodo del péndulo no lineal es 4t1 . Aquí está otra forma de resolver la ecuación u(t) 0. Experimente con tamaños de paso y haga avan- zar el tiempo, comenzando en t 0 y terminando en t 2. De sus datos concretos, observe el tiempo t1 cuando u(t) cambia, por primera vez de positiva a negativa. Use el valor t1 para determinar el valor verdadero del periodo del péndulo no lineal. Calcule el error relativo porcentual en el periodo estimado por T 2p. Problema aportado 24. El péndulo balístico His- tóricamente para mantener el control de calidad sobre las municiones (balas) producidas por una línea de montaje, el fabricante usaría un péndulo balístico para determinar la velocidaddelabocadeunarma,esdecir,lavelocidaddeuna bala cuando deja el barril. El péndulo balístico (inventado en 1742) es simplemente un péndulo plano que consiste en una varilla de masa despreciable que está unida a un bloque de maderademasamw .Elsistemaseponeenmovimientoporel impacto de una bala que se está moviendo horizontalmente con una velocidad desconocida vb ; al momento del impacto, que se toma como t 0, la masa combinada es mw mb , donde mb es la masa de la bala incrustada en la madera. En (7) vimos que en el caso de pequeñas oscilaciones, el des- plazamiento angular u(t) del péndulo plano que se mues- tra en la figura 5.3.3 está dado por la ED lineal u (gl)u 0, donde u 0 corresponde al movimiento a la dere- cha de la vertical. La velocidad vb se puede encontrar mi- diendo la altura h de la masa mw mb en el ángulo de despla- zamiento máximo umáx que se muestra en la figura 5.3.10. Intuitivamente, la velocidad horizontal V de la masa combinada (madera más bala) después del impacto es sólo una fracción de la velocidad vb de la bala, es decir, V mb mw mb vb. Ahora, recuerde que una distancia s que viaja por una partí- cula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular está relacionada con el radio l y el ángulo central u por la fórmula s lu. Derivando la última fórmula respecto al tiempo t, se tiene que la velocidad angular v de la masa y su velocidad lineal v está relacionada por v lv. Por tanto, la veloci- dad angular v0 en el tiempo t para el que la bala impacta el bloque de madera está relacionada con V por V lv0 o v0 mb mw mb vb l . a) Resuelva el problema con valores iniciales d2 u dt2 g l u 0, u(0) 0, u (0) v0. b) Use el resultado del inciso a) para demostrar que vb mw mb mb 2lg umáx. c) Use la figura 5.3.10 para expresar cos umáx en tér- minos de l y de h. Después utilice los primeros dos términos de la serie de Maclaurin para cos u para ex- presar umáx en términos de l y de h. Por último, de- muestre que vb está dado (aproximadamente) por vb mw mb mb 22gh. d) Use el resultado del inciso c) para encontrar vb cuando mb 5 g, mw 1 kg y h 6 cm. Warren S. Wright Profesor del Departamento de Matemáticas, Universidad Loyola Marymount V h l mb vb h máx mw m b m w FIGURA 5.3.10 Péndulo balístico. REPASO DEL CAPÍTULO 5 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-8. Conteste los problemas 1 al 8 sin consultar el texto. Complete el espacio en blanco o conteste verdadero o falso. 1. Si una masa que pesa 10 libras alarga 2.5 pies un resorte, una masa que pesa 32 libras lo alarga pies. 2. El periodo del movimiento armónico simple de una masa que pesa 8 libras, unida a un resorte cuya constante es 6.25 lbpie es de segundos. 3. La ecuación diferencial de un sistema resorte/masa es x 16x 0. Si la masa se libera inicialmente desde un 08367_05_ch05_p181-218.indd 216 08367_05_ch05_p181-218.indd 216 6/4/09 12:19:52 PM 6/4/09 12:19:52 PM www.FreeLibros.me
- 260. punto que está 1 metro arriba de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 3 m/s, la amplitud de las vibraciones es de metros. 4. La resonancia pura no tiene lugar en presencia de una fuerza de amortiguamiento. 5. En presencia de una fuerza de amortiguamiento, los des- plazamientos de una masa en un resorte siempre tienden a cero cuando t S . 6. Una masa en un resorte cuyo movimiento está crítica- mente amortiguado tiene posibilidades de pasar por la posición de equilibrio dos veces. 7. En amortiguamiento crítico cualquier aumento de amorti- guamiento dará como resultado un sistema . 8. Si el movimiento armónico simple se describe mediante x (22 2)sen(2t f), cuando las condiciones inicia- les son x(0) 1 2 y x(0) 1. En los problemas 9 y 10 los eigenvalores y las funciones pro- pias del problema con valores en la frontera y ly 0, y(0) 0, y(p) 0 son ln n2 , n 0, 1, 2, ... , y y cos nx, respectivamente. Llene los espacios en blanco. 9. Una solución del PVF cuando l 8 es y porque . 10. Una solución del PVF cuando l 36 es y porque . 11. Un sistema resorte/masa libre no amortiguado oscila con un periodo de 3 segundos. Cuando se eliminan 8 libras del resorte, el sistema tiene un periodo de 2 segundos. ¿Cuál era el peso de la masa original en el resorte? 12. Una masa que pesa 12 libras alarga 2 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto 1 pie abajo de la posi- ción de equilibrio con una velocidad ascendente de 4 pies/s. a) Determine la ecuación de movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento armónico simple? c) ¿En qué instantes la masa vuelve al punto situado a 1 pie abajo de la posición de equilibrio? d) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba? ¿En dirección hacia abajo? e) ¿Cuál es la velocidad de la masa en t 3p16 s? f) ¿En qué instantes la velocidad es cero? 13. Una fuerza de 2 libras estira 1 pie un resorte. Con un ex- tremo fijo, se une al otro extremo una masa que pesa 8 libras. El sistema yace sobre una mesa que imparte una fuerza de fricción numéricamente igual a 2 3 veces la velocidad instan- tánea. Al inicio, la masa se desplaza 4 pulgadas arriba de la posición de equilibrio y se libera desde el reposo. Encuentre la ecuación de movimiento si el movimiento tiene lugar a lo largo de la recta horizontal que se toma como el eje x. 14. Una masa que pesa 32 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amor- tiguamiento que es numéricamente igual a b veces la velo- cidad instantánea. Determine los valores de b 0 para los que el sistema resorte/masa exhibe movimiento oscilatorio. 15. Un resorte con constante k 2 se suspende en un líquido que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 4 veces la velocidad instantánea. Si una masa m se suspende del resorte, determine los valores de m para que el movimiento libre posterior sea no oscilatorio. 16. El movimiento vertical de una masa sujeta a un resorte se describe mediante el PVI 1 4 x x x 0, x(0) 4, x(0) 2. Determine el desplazamiento vertical máximo de la masa. 17. Una masa que pesa 4 libras estira 18 pulgadas un re- sorte. Se aplica al sistema una fuerza periódica igual a f(t) cos gt sen gt comenzando en t 0. En ausencia de una fuerza de amortiguamiento, ¿para qué valor de g el sistema está en un estado de resonancia pura? 18. Encuentre una solución particular para x 2lx v2 x A, donde A es una fuerza constante. 19. Una masa que pesa 4 libras se suspende de un resorte cuya constante es 3 lb/pie. Todo el sistema se sumerge en un líquido que ofrece una fuerza de amortiguamiento numé- ricamente igual a la velocidad instantánea. Comenzando en t 0, se aplica al sistema una fuerza externa igual f(t) et . Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al inicio desde el reposo en un punto que está 2 pies abajo de la posición de equilibrio. 20. a) Dos resortes se unen en serie como se muestra en la figura 5.R.1. Si se desprecia la masa de cada resorte, muestre que la constante de resorte efectiva k del sis- tema se define mediante 1k 1k1 1k2 . b) Una masa que pesa W libras produce un alargamiento de 1 2 pie en un resorte y uno de 1 4 pie en otro resorte. Se unen los dos resortes y después se fija la masa al resor- te doble como se ilustra en la figura 5.R.1. Suponga que el movimiento es libre y que no hay fuerza de amor- tiguamiento presente. Determine la ecuación de movi- miento si la masa se libera al inicio en un punto situado 1 pie abajo de la posición de equilibrio con una veloci- dad de descenso de 2 3 pie/s. c) Demuestre que la velocidad máxima de la masa es 2 3 23g 1. k2 k1 FIGURA 5.R.1 Resortes unidos del problema 20. REPASO DEL CAPÍTULO 5 O 217 08367_05_ch05_p181-218.indd 217 08367_05_ch05_p181-218.indd 217 6/4/09 12:19:53 PM 6/4/09 12:19:53 PM www.FreeLibros.me
- 261. 218 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 21. Un circuito en serie contiene una inductancia de L 1 h, una capacitancia de C 104 f y una fuerza electro- motriz de E(t) 100 sen 50t V. Al inicio, la carga q y la corriente i son cero. a) Determine la carga q(t). b) Determine la corriente i(t). c) Calcule los tiempos para los que la carga en el capa- citor es cero. 22. a) Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie LRCsatisfacelaecuación L d2 i dt2 R di dt 1 C i E (t), donde E(t) denota la derivada de E(t). b) Se pueden especificar dos condiciones iniciales i(0) e i(0) para la ED del inciso a). Si i(0) i0 y q(0) q0 , ¿cuál es i(0)? 23. Considere el problema con valores en la frontera . y y 0, y(0) y(2 ), y (0) y (2 ) Demuestre que excepto para el caso l 0, hay dos fun- ciones propias independientes que corresponden a cada valor propio. 24. Una cuenta está restringida a deslizarse a lo largo de una varilla sin fricción de longitud L. La varilla gira en un plano vertical con velocidad angular constante v respecto a un pivote P fijo en el punto medio de la varilla, pero el diseño del pivote permite que la cuenta se mueva a lo largo de toda la varilla. Sea r(t) la posición de la cuenta respecto a este sistema de coordenadas giratorio según se ilustra en la figura 5.R.2. Con el fin de aplicar la segunda ley de Newton del movimiento a este marco de referencia rotatorio, es necesario usar el hecho de que la fuerza neta que actúa en la cuenta es la suma de las fuerzas reales (en este caso, la fuerza debida a la gravedad) y las fuerzas inerciales (coriolis, transversal y centrífuga). Las mate- máticas del caso son un poco complicadas, así que sólo se da la ecuación diferencial resultante para r: . m d2 r dt2 m 2 r mg sen t a) Resuelva la ED anterior sujeta a las condiciones ini- ciales r(0) r0 , r(0) v0 . b) Determine las condiciones iniciales para las cuales la cuenta exhibe movimiento armónico simple. ¿Cuál es la longitud mínima L de la varilla para la cual puede ésta acomodar el movimiento armónico simple de la cuenta? c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en el inciso b), la cuenta en algún momento debe salir de la varilla. Explique usando la solución r(t) del inciso a). d) Suponga que v 1 rads. Use una aplicación grafi- cadora para trazar la solución r(t) para las condicio- nes iniciales r(0) 0, r(0) v0 , donde v0 es 0, 10, 15, 16, 16.1 y 17. e) Suponga que la longitud de la varilla es L 40 pies. Para cada par de condiciones iniciales del inciso d), use una aplicación para encontrar raíces para calcular el tiempo total que la cuenta permanece en la varilla. cuenta P r ( t ) t ω FIGURA 5.R.2 Varilla rotando del problema 24. apoyo rígido superficie sin fricción: x = 0 x(t) 0 x(t) 0 m m a) equilibrio b) movimiento FIGURA 5.R.3 Sistema deslizante resorte/masa del problema 25. 25. Suponga que una masa m que permanece sobre una super- ficie plana, seca y sin fricción está unida al extremo libre de un resorte cuya constante es k. En la figura 5.R.3a la masa se muestra en la posición de equilibrio x 0, es decir, el resorte no está ni estirado ni comprimido. Como se ilustra en la figura 5.R.3b, el desplazamiento x(t) de la masa a la derecha de la posición de equilibrio es positivo y negativo a la izquierda. Obtenga una ecuación diferencial para el mo- vimiento (deslizante) horizontal libre de la masa. Describa la diferencia entre la obtención de esta ED y el análisis que da lugar a la ecuación (1) de la sección 5.1. 26. ¿Cuál es la ecuación diferencial de movimiento en el problema 25 si la fricción cinética (pero ninguna otra fuerza de amortiguamiento) actúa en la masa deslizante? [Sugerencia: Suponga que la magnitud de la fuerza de fricción cinética es fk mmg, donde mg es el peso de la masa y la constante m 0 es el coeficiente de fricción cinética. Luego considere dos casos, x 0 y x 0. Interprete estos casos desde un punto de vista físico.] 08367_05_ch05_p181-218.indd 218 08367_05_ch05_p181-218.indd 218 6/4/09 12:19:54 PM 6/4/09 12:19:54 PM www.FreeLibros.me
- 262. 6.1 SOLUCIÓNS ABOUT ORDINARY POINTS O 219 219 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 6.1.1 Repaso de series de potencias 6.1.2 Soluciones en series de potencias 6.2 Soluciones en torno a puntos singulares 6.3 Funciones especiales 6.3.1 Ecuación de Bessel 6.3.2 Ecuación de Legendre REPASO DEL CAPÍTULO 6 Hasta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden dos o superior cuando la ecuación tiene coeficientes constantes. La única excepción fue la ecuación de Cauchy-Euler que se estudió en la sección 4.7. En aplicaciones, las ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes variables son tan importantes o quizá más que las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Como se indicó en la sección 4.7, aun una ecuación simple lineal de segundo orden con coeficientes variables tales como y xy 0 no tiene soluciones que sean funciones elementales. Pero podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes de y xy 0; veremos en las secciones 6.1 y 6.3 que las soluciones de esta ecuación están definidas por series infinitas. En este capítulo estudiaremos dos métodos de series infinitas para encontrar soluciones de ED lineales homogéneas de segundo orden a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0 donde los coeficientes variables a2 (x), a1 (x) y a0 (x) son, la mayoría de las veces, simples polinomios. 08367_06_ch06_p219-254.indd 219 08367_06_ch06_p219-254.indd 219 6/4/09 12:20:21 PM 6/4/09 12:20:21 PM www.FreeLibros.me
- 263. 220 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS REPASO DE MATERIAL O Series de potencias (véase cualquier libro de cálculo) INTRODUCCIÓN En la sección 4.3 vimos que resolver una ED lineal homogénea con coeficientes constantes era en esencia un problema de álgebra. Encontrando las raíces de la ecuación auxiliar es po- sible escribir una solución general de la ED como una combinación lineal de funciones elementales xk , xk eax , xk eax cos bx y xk eax sen bx, donde k es un entero no negativo. Pero como se indicó en la introduc- ción de la sección 4.7, la mayoría de las ED lineales de orden superior con coeficientes variables no se resuelven en términos de funciones elementales. Una estrategia usual para ecuaciones de esta clase es suponer una solución en la forma de series infinitas y proceder de manera similar al método de coeficientes indeterminados (sección 4.4). En esta sección se consideran ED lineales de segundo orden con coeficientes variables que tienen soluciones de la forma de series de potencias. Comenzamos con un repaso breve de algunos hechos importantes acerca de las series de poten- cias. Para un mejor tratamiento del tema consulte un libro de cálculo. 6.1 6.1.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS Recuerde de su curso de cálculo que una serie de potencias en x a es una serie infi- nita de la forma n 0 cn(x a)n c0 c1(x a) c2(x a)2 . Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a. Por ejemplo, la serie de potencias n 0 (x 1)n está centrada en a 1. En esta sección tratamos princi- palmente con las series de potencias en x, en otras palabras, series de potencias como n 1 2n 1 xn x 2x2 4x3 que están centradas en a 0. La siguiente lista resume algunos hechos importantes acerca de las series de potencias. • Convergencia Una serie de potencias n 0 cn(x a)n es convergente en un valor especificado de x si su sucesión de sumas parciales {SN (x)} converge, es decir, si el lím N : SN (x) lím N : N n 0 cn(x a)n existe. Si el límite no existe en x, entonces se dice que la serie es divergente. • Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los números reales x para los que converge la serie. • Radio de convergencia Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia R. Si R 0, entonces la serie de potencias n 0 cn(x a)n converge para x – a R y diverge para x – a R. Si la serie converge sólo en su centro a, entonces R 0. Si la serie converge para toda x, entonces se escribe R . Recuerde que la desigualdad de valor absoluto x – a R es equivalente a la desigualdad simultánea a R x a R. Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos a R y a R de este intervalo. • Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. En otras palabras, si x es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos n 0 cn(x a)n converge. Véase la figura 6.1.1. • Prueba de la razón La convergencia de una serie de potencias suele determi- narse mediante el criterio de la razón. Suponga que cn 0 para toda n y que lím n: cn 1(x a)n 1 cn(x a)n x a lím n: cn 1 cn L. x a a + R a − R divergencia divergencia convergencia absoluta la serie podría converger o divergir en los puntos extremos FIGURA 6.1.1 Convergencia absoluta dentro del intervalo de convergencia y divergencia fuera de este intervalo. 08367_06_ch06_p219-254.indd 220 08367_06_ch06_p219-254.indd 220 6/4/09 12:20:21 PM 6/4/09 12:20:21 PM www.FreeLibros.me
- 264. Si L 1, la serie converge absolutamente; si L 1, la serie diverge, y si L 1, el criterio no es concluyente. Por ejemplo, para la serie de potencias n 1(x 3)n 2n n el criterio de la razón da lím n: (x 3)n 1 2n 1 (n 1) (x 3)n 2n n x 3 lím n: n 2(n 1) 1 2 x 3 ; la serie converge absolutamente para 1 2 x 3 1 o x 3 2 o 1 x 5. Esta última desigualdad define el intervalo abierto de convergencia. La serie diverge para x 3 2, es decir, para x 5 o x 1. En el extremo izquierdo x 1 del intervalo abierto de convergencia, la serie de constantes n 1 (( 1)n n) es convergente por la prueba de series alternantes. En el extremo derecho x 5, la serie n 1 (1n) es la serie armónica divergente. El intervalo de convergencia de la serie es [1, 5) y el radio de convergencia es R 2. • Una serie de potencias define una función Una serie de potencias define una función f(x) n 0 cn(x a)n cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si el radio de convergencia es R 0, entonces f es continua, derivable e integrable en el intervalo (a R, a R). Además, f(x) y f(x)dx se encuentran derivando e integrando término a término. La convergencia en un extremo se podría perder por derivación o ganar por integración. Si y n 0 cnxn es una serie de potencias en x, entonces las primeras dos derivadas son y n 0 nxn 1 y y n 0 n(n 1)xn 2 . Observe que el primer término en la primera derivada y los dos primeros términos de la segunda derivada son cero. Se omiten estos términos cero y se escribe y n 1 cnnxn 1 y y n 2 cnn(n 1)xn 2 . (1) Estos resultados son importantes y se usan en breve. • Propiedad de identidad Si n 0 cn(x a)n 0, R 0, para los números x en el intervalo de convergencia, entonces cn 0 para toda n. • Analítica en un punto Una función f es analítica en un punto a si se puede representar mediante una serie de potencias en x a con un radio positivo o infinito de convergencia. En cálculo se ve que las funciones como ex , cos x, sen x, ln(1 x), etcétera, se pueden representar mediante series de Taylor. Recuerde, por ejemplo que ex 1 x 1! x2 2! . . ., senx x x3 3! x5 5! . . ., cos x 1 x2 2! x4 4! x6 6! . . . (2) para x . Estas series de Taylor centradas en 0, llamadas series de Maclaurin, muestran que ex , sen x y cos x son analíticas en x 0. • Aritmética de series de potencias Las series de potencias se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos para las series de potencias son similares a los que se usan para sumar, multiplicar y dividir dos polinomios, es decir, se suman los coeficientes de potencias iguales de x, se usa la ley distributiva y se reúnen términos semejantes y se realiza la división larga. Por ejemplo, usando las series de (2), tenemos que x x2 x3 3 x5 30 . (1)x (1)x2 1 6 1 2 x3 1 6 1 6 x4 1 120 1 12 1 24 x5 ex senx 1 x x2 2 x3 6 x4 24 x x3 6 x5 120 x7 5040 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 221 08367_06_ch06_p219-254.indd 221 08367_06_ch06_p219-254.indd 221 6/4/09 12:20:22 PM 6/4/09 12:20:22 PM www.FreeLibros.me
- 265. 222 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 1 Suma de dos series de potencias Escriba n 2 n(n 1)cnxn 2 n 0 cnxn 1 como una sola serie de potencias cuyo término general implica a xk . SOLUCIÓN Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de las sumas comiencen con el mismo número y las potencias de x en cada caso estén “en fase”; es decir, si una serie comienza con un múltiplo de, por ejemplo, x a la primera potencia, entonces se quiere que la otra serie comience con la misma potencia. Observe que en el problema la primera serie empieza con x0 , mientras que la segunda comienza con x1 . Si se escribe el primer término de la primera serie fuera de la notación de suma, serie comienza con x para n 3 serie comienza con x para n 0 n(n 1)cnxn2 cnxn1 2 1c2x0 n(n 1)cnxn2 cnxn1, n2 n0 n3 n0 vemos que ambas series del lado derecho empiezan con la misma potencia de x, en particular x1 . Ahora, para obtener el mismo índice de la suma, se toman como guía los exponentes de x; se establece k n 2 en la primera serie y al mismo tiempo k n 1 en la segunda serie. El lado derecho se convierte en igual igual 2c2 (k 2)(k 1)ck2xk ck1xk. k1 k1 (3) Recuerde que el índice de la suma es una variable “muda”; el hecho de que k n 1 en un caso y k n 1 en el otro no debe causar confusión si se considera que lo importante es el valor del índice de suma. En ambos casos k toma los mismos valores sucesivos k 1, 2, 3, ... cuando n toma los valores n 2, 3, 4, ... para k n 1 y n 0, 1, 2, ... para k n 1. Ahora es posible sumar las series de (3) término a término: n 2 n(n 1)cnxn 2 n 0 cnxn 1 2c2 k 1 [(k 2)(k 1)ck 2 ck 1]xk . (4) Si no está convencido del resultado en (4), entonces escriba algunos términos de ambos lados de la igualdad. Puesto que las series de potencias para ex y sen x convergen para x , la serie de productos converge en el mismo intervalo. Los problemas relaciona- dos con multiplicación o división de series de potencias se resuelven mejor usando un SAC. CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA Para el resto de esta sección, así como este capítulo, es importante que se acostumbre a simplificar la suma de dos o más series de potencias, cada una expresada en notación de suma (sigma), en una expresión con una sola . Como se muestra en el ejemplo siguiente, la combina- ción de dos o más sumas en una sola suele requerir que se vuelva a indizar la serie, es decir, que se realice un cambio en el índice de la suma. 08367_06_ch06_p219-254.indd 222 08367_06_ch06_p219-254.indd 222 6/4/09 12:20:23 PM 6/4/09 12:20:23 PM www.FreeLibros.me
- 266. 6.1.2 SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS UNA DEFINICIÓN Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (5) se escribe en forma estándar y P(x)y Q(x)y 0 (6) dividiendo entre el coeficiente principal a2 (x). Se tiene la definición siguiente. DEFINICIÓN 6.1.1 Puntos ordinarios y singulares Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5) si tanto P(x) como Q(x) en la forma estándar (6) son analíticas en x0 . Se dice que un punto que no es punto ordinario es un punto singular de la ecuación. Cada valor finito de x es un punto ordinario de la ecuación diferencial y (ex )y (sen x)y 0. En particular, x 0 es un punto ordinario porque, como ya se vio en (2), tanto ex como sen x son analíticas en este punto. La negación en el segundo enunciado de la definición 6.1.1 establece que si por lo menos una de las funciones P(x) y Q(x) en (6) no es analítica en x0 , entonces x0 es un punto singular. Observe que x 0 es un punto singular de la ecuación diferencial y (ex )y (ln x)y 0 porque Q(x) ln x es dis- continua en x 0 y, por tanto, no se puede representar con una serie de potencias en x. COEFICIENTES POLINOMIALES Se pone atención sobre todo al caso cuando (5) tiene coeficientes polinomiales. Un polinomio es analítico en cualquier valor x y una función racional es analítica excepto en los puntos donde su denominador es cero. Por tanto si a2 (x), a1 (x) y a0 (x) son polinomios sin factores comunes, entonces ambas fun- ciones racionales P(x) a1 (x)a2 (x) y Q(x) a0 (x)a2 (x) son analíticas excepto donde a2 (x) 0. Entonces, se tiene que x x0 es un punto ordinario de (5) si a2 (x0 ) 0 mientras que x x0 es un punto singular de (5) si a2 (x0 ) 0. Por ejemplo, los únicos puntos singulares de la ecuación (x2 l)y 2xy 6y 0 son soluciones de x2 1 0 o x l. Todos los otros valores finitos* de x son pun- tos ordinarios. La inspección de la ecuación de Cauchy-Euler ax2 y bxy cy 0 muestra que tiene un punto singular en x 0. Los puntos singulares no necesitan ser números reales. La ecuación (x2 l)y xy y 0 tiene puntos singulares en las soluciones x2 1 0, en particular, x i. Los otros valores de x, reales o comple- jos, son puntos ordinarios. Establecemos el siguiente teorema acerca de la existencia de soluciones en series de potencias sin demostración. TEOREMA 6.1.1 Existencia de soluciones en series de potencias Si x x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5), siempre es po- sible encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0 , es decir, y n 0 cn(x x0)n . Una solu- ción en serie converge por lo menos en un intervalo definido por x x0 R, donde R es la distancia desde x0 al punto singular más cercano. * Para nuestros propósitos, los puntos ordinarios y puntos singulares siempre serán puntos finitos. Es posible que una EDO tenga un punto singular en el infinito. 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 223 08367_06_ch06_p219-254.indd 223 08367_06_ch06_p219-254.indd 223 6/4/09 12:20:23 PM 6/4/09 12:20:23 PM www.FreeLibros.me
- 267. 224 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Se dice que una solución de la forma y n 0 cn(x x0)n es una solución res- pecto a un punto ordinario x0 . La distancia R en el teorema 6.1.1 es el valor mínimo o límite inferior del radio de convergencia de las soluciones en serie de la ecuación diferencial respecto a x0 . En el ejemplo siguiente, se usa el hecho de que en el plano complejo, la distancia entre dos números complejos a bi y c di es exactamente la distancia entre los puntos (a, b) y (c, d). EJEMPLO 2 Límite inferior para el radio de convergencia Los números complejos 1 2i son puntos singulares de la ecuación diferencial (x2 2x 5)y xy y 0. Ya que x 0 es un punto ordinario de la ecuación, el teorema 6.1.1 garantiza que es posible encontrar dos soluciones en serie de potencias centradas en 0, es decir, soluciones que se parecen a y n 0 cnxn . Sin realmente encontrar estas soluciones, se sabe que cada serie debe converger al menos para x 15 por- que R 15 es la distancia en el plano complejo desde 0 (el punto (0, 0)) a cualquiera de los números 1 2i (el punto (1, 2)) o 1 2i (el punto (1, 2)). Sin embargo, una de estas dos soluciones es válida en un intervalo mucho mayor que 15 x 15; de hecho, esta solución es válida en (, ) porque se puede demostrar que una de las dos soluciones en serie de potencias respecto a 0 se reduce a un polinomio. Por tanto también se dice que 15 es el límite inferior para el radio de convergencia de solucio- nes en serie de la ecuación diferencial respecto a 0. Si se buscan soluciones de la ED dada respecto a un punto ordinario diferente, por ejemplo, x 1, entonces cada serie y n 0 cn(x 1)n converge al menos para x 212 porque la distancia de 1 a 1 2i o a 1 2i es R 18 212. NOTA En los ejemplos que siguen, así como en los ejercicios 6.1, por razones de simplicidad, encontraremos soluciones en serie de potencias sólo respecto al punto or- dinario x 0. Si es necesario encontrar una solución en serie de potencias de una ED lineal respecto a un punto ordinario x0 0, simplemente se hace el cambio de variable t x x0 en la ecuación (esto traduce x x0 en t 0), para encontrar las soluciones de la nueva ecuación de la forma y n 0 cntn y después volver a sustituir t x x0 . DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS La determi- nación real de una solución en serie de potencias de una ED lineal homogénea de segundo orden es bastante similar a lo que se hizo en la sección 4.4 para encontrar soluciones par- ticulares de ED no homogéneas con el método de coeficientes indeterminados. De hecho, el método de serie de potencias para resolver una ED lineal con coeficientes variables con frecuencia se describe como “método de coeficientes indeterminados de series”. En resumen, la idea es la siguiente: sustituimos y n 0 cnxn en la ecuación diferencial, se combina la serie como se hizo en el ejemplo 1 y luego se igualan los coeficientes del miembro derecho de la ecuación para determinar los coeficientes cn . Pero como el miem- bro derecho es cero, el último paso requiere, por la propiedad de identidad en la lista de propiedades anterior, que todos los coeficientes de x se deban igualar a cero. Esto no significa que los coeficientes son cero; esto no tendría sentido después de todo; el teorema 6.1.1 garantiza que se pueden encontrar dos soluciones. En el ejemplo 3 se ilustra cómo la sola suposición de y n 0 cnxn c0 c1x c2x2 conduce a dos conjuntos de coeficientes, por lo que se tienen dos series de potencias distintas y1 (x) y y2 (x), ambas desarrolladas respecto al punto ordinario x 0. La solución general de la ecuación dife- rencial es y C1 y1 (x) C2 y2 (x); de hecho, se puede demostrar que C1 c0 y C2 c1 . EJEMPLO 3 Soluciones en series de potencias Resuelva y xy 0. SOLUCIÓN Puesto que no hay puntos singulares finitos el teorema 6.1.1 garantiza dos soluciones en serie de potencias centradas en 0, convergentes para x . 08367_06_ch06_p219-254.indd 224 08367_06_ch06_p219-254.indd 224 6/4/09 12:20:23 PM 6/4/09 12:20:23 PM www.FreeLibros.me
- 268. Sustituyendo y n 0 cnxn y la segunda derivada y n 2 n(n 1)cnxn 2 (véase (1)) en la ecuación diferencial, se obtiene y xy n 2 cnn(n 1)xn 2 x n 0 cnxn n 2 cnn(n 1)xn 2 n 0 cnxn 1 . (7) En el ejemplo 1 ya se sumaron las dos últimas series en el miembro derecho de la igualdad en (7) corriendo el índice de la suma. Del resultado dado en (4), y xy 2c2 k 1 [(k 1)(k 2)ck 2 ck 1]xk 0. (8) En este punto se invoca la propiedad de identidad. Puesto que (8) es idénticamente cero, es necesario que el coeficiente de cada potencia de x se iguale a cero, es decir, 2c2 0 (es el coeficiente de x0 ) y (k 1)(k 2)ck 2 ck 1 0, k 1, 2, 3, . . . (9) Ahora 2c2 0 obviamente dice que c2 0. Pero la expresión en (9), llamada relación de recurrencia, determina la ck de tal manera que se puede elegir que cierto subcon- junto del conjunto de coeficientes sea diferente de cero. Puesto que (k 1)(k 2) 0 para los valores de k, se puede resolver (9) para ck 2 en términos de ck 1 : ck 2 ck 1 (k 1)(k 2) , k 1, 2, 3, . . . (10) Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución supuesta, una vez que k toma los enteros sucesivos indicados en (10): ; c8 es cero k 9, c11 c8 10 11 0 k 8, c10 c7 9 10 1 3 4 6 7 9 10 c1 k 7, c9 c6 8 9 1 2 3 5 6 8 9 c0 ; c5 es cero k 6, c8 c5 7 8 0 k 5, c7 c4 6 7 1 3 4 6 7 c1 k 4, c6 c3 5 6 1 2 3 5 6 c0 ; c2 es cero k 3, c5 c2 4 5 0 k 2, c4 c1 3 4 k 1, c3 c0 2 3 etcétera. Ahora sustituyendo los coeficientes obtenidos en la suposición original y c0 c1x c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 c6x6 c7x7 c8x8 c9x9 c10x10 c11x11 , 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 225 08367_06_ch06_p219-254.indd 225 08367_06_ch06_p219-254.indd 225 6/4/09 12:20:24 PM 6/4/09 12:20:24 PM www.FreeLibros.me
- 269. 226 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES c1 3 4 6 7 x7 0 c0 2 3 5 6 8 9 x9 c1 3 4 6 7 9 10 x10 0 . y c0 c1x 0 c0 2 3 x3 c1 3 4 x4 0 c0 2 3 5 6 x6 obtenemos Después de agrupar los términos que contienen c0 y los que contienen c1 , se obtiene y c0 yl (x) c1 y2 (x), donde y2(x) x 1 3 4 x4 1 3 4 6 7 x7 1 3 4 6 7 9 10 x10 x k 1 ( 1)k 3 4 (3k)(3k 1) x3k 1 . y1(x) 1 1 2 3 x3 1 2 3 5 6 x6 1 2 3 5 6 8 9 x9 1 k 1 ( 1)k 2 3 (3k 1)(3k) x3k Debido a que el uso recursivo de (10) deja a c0 y a c1 completamente indeterminadas, se pueden elegir en forma arbitraria. Como ya se mencionó antes de este ejemplo, la com- binación lineal y c0 yl (x) c1 y2 (x) representa en realidad la solución general de la ecua- ción diferencial. Aunque se sabe del teorema 6.1.1 que cada solución en serie converge para x , este hecho también se puede comprobar con el criterio de la razón. La ecuación diferencial del ejemplo 3 se llama ecuación de Airy y se encuentra en el estudio de la difracción de la luz, la difracción de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra, la aerodinámica y la deflexión de una columna vertical del- gada uniforme que se curva bajo su propio peso. Otras formas comunes de la ecuación de Airy son y xy 0 y y a2 xy 0. Véase el problema 41 de los ejercicios 6.3 para una aplicación de la última ecuación. EJEMPLO 4 Solución con series de potencias Resuelva (x2 1)y xy y 0. SOLUCIÓN Como se vio en la página 223, la ecuación diferencial dada tiene puntos singulares en x i y, por tanto, una solución en serie de potencias centrada en 0 que converge al menos para x 1, donde 1 es la distancia en el plano complejo desde 0 a i o i. La suposición y n 0 cnxn y sus primeras dos derivadas (véase (1)) conducen a (x2 1) n(n 1)cnxn2 x ncnxn1 cnxn n2 n1 n0 n(n 1)cnxn n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn n2 n2 n1 n0 2c2 c0 6c3x [k(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2 kck ck]xk k2 2c2 c0 6c3x [(k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2]xk 0. k2 n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn n4 n2 n2 2c2x0 c0x0 6c3x c1x c1x n(n 1)cnxn n2 kn kn2 kn kn 08367_06_ch06_p219-254.indd 226 08367_06_ch06_p219-254.indd 226 6/4/09 12:20:24 PM 6/4/09 12:20:24 PM www.FreeLibros.me
- 270. De esta identidad se concluye que 2c2 – c0 0, 6c3 0, y (k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck 2 0. Por tanto, ck 2 1 k k 2 ck, k 2, 3, 4, . . . c3 0 c2 1 2 c0 Sustituyendo k 2, 3, 4, . . . en la última fórmula se obtiene c10 7 10 c8 3 5 7 2 4 6 8 10 c0 1 3 5 7 25 5! c0, ; c7 es cero c9 6 9 c7 0, c8 5 8 c6 3 5 2 4 6 8 c0 1 3 5 24 4! c0 ; c5 es cero c7 4 7 c5 0 c6 3 6 c4 3 2 4 6 c0 1 3 23 3! c0 ; c3 es cero c5 2 5 c3 0 c4 1 4 c2 1 2 4 c0 1 22 2! c0 etcétera. Por tanto, c0y1(x) c1y2(x). c0 1 1 2 x2 1 22 2! x4 1 3 23 3! x6 1 3 5 24 4! x8 1 3 5 7 25 5! x10 c1x y c0 c1x c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 c6x6 c7x7 c8x8 c9x9 c10 x10 Las soluciones son el polinomio y2 (x) x y la serie de potencias y1(x) 1 1 2 x2 n 2 ( 1)n 1 1 3 5 2n 3 2n n! x2n , x 1. EJEMPLO 5 Relación de recurrencia de tres términos Si se busca una solución en serie de potencias y n 0 cnxn para la ecuación diferencial y (1 x)y 0, se obtiene c2 1 2 c0 y la relación de recurrencia de tres términos ck 2 ck ck 1 (k 1)(k 2) , k 1, 2, 3, . . . Se deduce a partir de estos dos resultados que los coeficientes cn , para n
- 271. 3, se ex- presan en términos de c0 y c1 . Para simplificar, se puede elegir primero c0 0, c1 0; 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 227 08367_06_ch06_p219-254.indd 227 08367_06_ch06_p219-254.indd 227 6/4/09 12:20:25 PM 6/4/09 12:20:25 PM www.FreeLibros.me
- 272. 228 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES esto conduce a coeficientes para una solución expresada por completo en términos de c0 . A continuación, si elegimos c0 0, c1 0, entonces los coeficientes para la otra solución se expresan en términos de c1 . Usando c2 1 2 c0 en ambos casos, la relación de recurrencia para k 1, 2, 3, ... se obtiene etcétera. Por último, vemos que la solución general de la ecuación es y c0 yl (x) c1 y2 (x), donde y y2(x) x 1 6 x3 1 12 x4 1 120 x5 . y1(x) 1 1 2 x2 1 6 x3 1 24 x4 1 30 x5 Cada serie converge para todos los valores finitos de x. COEFICIENTES NO POLINOMIALES En el siguiente ejemplo se muestra cómo encontrar una solución en serie de potencias respecto a un punto ordinario x0 0 de una ecuación diferencial cuando sus coeficientes no son polinomios. En este ejemplo vemos una aplicación de la multiplicación de dos series de potencias. EJEMPLO 6 ED con coeficientes no polinomiales Resuelva y (cos x)y 0. SOLUCIÓN Vemos que x 0 es un punto ordinario de la ecuación porque, como ya hemos visto, cos x es analítica en ese punto. Usando la serie de Maclaurin para cos x dada en (2), junto con la suposición usual y n 0 cnxn y los resultados de (1), se encuentra 2c2 c0 (6c3 c1)x 12c4 c2 1 2 c0 x2 20c5 c3 1 2 c1 x3 0. 2c2 6c3x 12c4x2 20c5x3 1 x2 2! x4 4! (c0 c1x c2x2 c3x3 ) y (cos x)y n 2 n(n 1)cnxn 2 1 x2 2! x4 4! x6 6! n 0 cnxn Se tiene que 2c2 c0 0, 6c3 c1 0, 12c4 c2 1 2 c0 0, 20c5 c3 1 2 c1 0, c5 c3 c2 4 5 c0 4 5 1 6 1 2 c0 30 c4 c2 c1 3 4 c0 2 3 4 c0 24 c3 c1 c0 2 3 c0 2 3 c0 6 c2 1 2 c0 c0 0, c1 0 c5 c3 c2 4 5 c1 4 5 6 c1 120 c4 c2 c1 3 4 c1 3 4 c1 12 c3 c1 c0 2 3 c1 2 3 c1 6 c2 1 2 c0 0 c0 0, c1 0 08367_06_ch06_p219-254.indd 228 08367_06_ch06_p219-254.indd 228 6/4/09 12:20:25 PM 6/4/09 12:20:25 PM www.FreeLibros.me
- 273. etcétera. Esto da c5 1 30 c1, . . . . c4 1 12 c0, c3 1 6 c1, c2 1 2 c0, Agrupando términos se llega a la solución general y c0 yl (x) c1 y2 (x), donde y1(x) 1 1 2 x2 1 12 x4 y y2(x) x 1 6 x3 1 30 x5 . Debido a que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencias convergen para x . CURVAS SOLUCIÓN La gráfica aproximada de una solución en serie de potencias y(x) n 0 cnxn se puede obtener de varias maneras. Siempre se puede recurrir a trazar la gráfica de los términos en la sucesión de sumas parciales de la serie; en otras palabras, las gráficas de los polinomios SN (x) N n 0 cnxn . Para valores grandes de N, SN (x) debe darnos una indicación del comportamiento de y(x) cerca del punto ordinario x 0. También se puede obtener una curva solución aproximada o numérica usando un programa, como se hizo en la sección 4.9. Por ejemplo, si se examinan cuidado- samente las soluciones en serie de la ecuación de Airy del ejemplo 3, se debe ver que y1 (x) y y2 (x) son, a su vez, las soluciones de los problemas de valores iniciales y xy 0, y(0) 0, y (0) 1. y xy 0, y(0) 1, y (0) 0, (11) Las condiciones iniciales especificadas “seleccionan” las soluciones yl (x) y y2 (x) de y c0 yl (x) c1 y2 (x), puesto que debe ser evidente de la suposición básica de series y n 0 cnxn que y(0) c0 y y(0) c1 . Ahora, si el programa de solución numérica requiere un sistema de ecuaciones, la sustitución y u en y xy 0 produce y u xy y, por consiguiente, un sistema de dos ecuaciones de primer orden equiva- lente a la ecuación de Airy es u xy. y u (12) Las condiciones iniciales para el sistema en (12) son los dos conjuntos de condiciones iniciales en (11) reescritas como y(0) 1, u(0) 0 y y(0) 0, u(0) 1. Las gráficas de yl (x) y y2 (x) que se muestran en la figura 6.1.2 se obtuvieron con la ayuda de un pro- grama de solución numérica. El hecho de que las curvas solución numéricas parezcan oscilatorias es consistente con el hecho de que la ecuación de Airy se presentó en la sección 5.1 (página 186) en la forma mx ktx 0 como el modelo de un resorte cuya “constante de resorte” K(t) kt se incrementa con el tiempo. COMENTARIOS i) En los problemas que siguen no espere poder escribir una solución en términos de la notación de suma en cada caso. Aun cuando se puedan generar tantos térmi- nos como se desee en una solución en serie y n 0 cn xn ya sea usando una rela- ción de recurrencia o como en el ejemplo 6, por multiplicación, podría no ser posible deducir ningún término general para los coeficientes cn . Podríamos tener que confor- marnos, como se hizo en los ejemplos 5 y 6, con los primeros términos de la serie. ii) Un punto x0 es un punto ordinario de una ED lineal no homogénea de se- gundo orden y P(x)y Q(x)y f(x) si P(x), Q(x) y f(x) son analíticas en x0 . Además, el teorema 6.1.1 se amplía a esta clase de ED; en otras palabras, po- demos encontrar soluciones en serie de potencias y n 0 cn (x x0)n de ED lineales no homogéneas de la misma manera que en los ejemplos 3 a 6. Véase el problema 36 de los ejercicios 6.1. _2 2 4 6 10 8 1 2 3 x y1 _2 _1 _2 _3 2 4 6 10 8 1 x y2 a) Gráfica de y1(x) contra x b) Gráfica dey2(x) contra x FIGURA 6.1.2 Curvas de solución numérica para la ED de Airy. 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 229 08367_06_ch06_p219-254.indd 229 08367_06_ch06_p219-254.indd 229 6/4/09 12:20:26 PM 6/4/09 12:20:26 PM www.FreeLibros.me
- 274. 230 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS 6.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. 6.1.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS En los problemas 1 a 4, determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para las series de potencias. 1. 2. 3. k 1 ( 1)k 10k (x 5)k n 1 2n n xn 4. k 0 k!(x 1)k n 0 (100)n n! (x 7)n En los problemas 5 y 6 la función dada es analítica en x 0. Encuentre los primeros cuatro términos de una serie de po- tencias en x. Efectúe la multiplicación a mano o use un SAC, como se indica. 5. senx cos x 6. e x cos x En los problemas 7 y 8, la función dada es analítica en x 0. Encuentre los primeros cuatro términos de una serie de po- tencias en x. Efectúe a mano la división larga o use un SAC, como se indica. Dé un intervalo abierto de convergencia. 7. 1 cos x 8. 1 x 2 x En los problemas 9 y 10, reescriba la serie de potencias de modo que en su término general tenga xk . 9. n 1 ncnxn 2 10. n 3 (2n 1)cnxn 3 En los problemas 11 y 12, reescriba la expresión dada como una sola serie de potencias en cuyo término general tenga xk . 11. 12. n 2 n(n 1)cnxn 2 n 2 n(n 1)cnxn 2 3 n 1 ncnxn n 1 2ncnxn 1 n 0 6cnxn 1 En los problemas 13 y 14, compruebe por sustitución directa que la serie de potencias dada es una solución particular de la ecuación diferencial dada. 13. 14. y n 0 ( 1)n 22n (n!)2 x2n , xy y xy 0 y n 1 ( 1)n 1 n xn , (x 1)y y 0 6.1.2 SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS En los problemas 15 y 16, sin realmente resolver la ecuación diferencial dada, encuentre un límite inferior para el radio de convergencia de las soluciones en serie de potencias respecto al punto ordinario x 0. Respecto al punto ordinario x 1. 15. (x2 25)y 2xy y 0 16. (x2 2x 10)y xy 4y 0 En los problemas 17 a 28, encuentre dos series de potencias de la ecuación diferencial dada respecto al punto ordinario x 0. 17. y xy 0 18. y x2 y 0 19. y 2xy y 0 20. y xy 2y 0 21. y x2 y xy 0 22. y 2xy 2y 0 23. (x 1)y y 0 24. (x 2)y xy y 0 25. y (x 1)y y 0 26. (x2 1)y 6y 0 27. (x2 2)y 3xy y 0 28. (x2 1)y xy y 0 En los problemas 29 a 32, use el método de series de potencias para resolver el problema con valores iniciales. 29. (x 1)y xy y 0, y(0) 2, y(0) 6 30. (x 1)y (2 x)y y 0, y(0) 2, y(0) 1 31. y 2xy 8y 0, y(0) 3, y(0) 0 32. (x2 1)y 2xy 0, y(0) 0, y(0) 1 En los problemas 33 y 34, use el procedimiento del ejemplo 6 para encontrar dos soluciones en serie de potencias de la ecua- ción diferencial respecto al punto ordinario x 0. 33. y (sen x)y 0 34. y ex y y 0 Problemas para analizar 35. Sin resolver en su totalidad la ecuación diferencial (cos x)y y 5y 0, encuentre un límite inferior para el radio de convergencia de las soluciones en serie de poten- cias respecto a x 0. Respecto a x 1. 36. ¿Cómo se puede usar el método descrito en esta sección para encontrar una solución en serie de potencias de la ecuación no homogénea y xy 1 respecto al punto ordinario x 0? ¿De y 4xy 4y ex ? Lleve a cabo sus ideas al resolver ambas ED. 37. ¿Es x 0 un punto ordinario o singular de la ecuación di- ferencial xy (sen x)y 0? Defienda su respuesta con matemáticas convincentes. 38. Para propósitos de este problema ignore las gráficas pre- sentadas en la figura 6.1.2. Si la ED de Airy se escribe como y xy, ¿qué se puede decir respecto a la forma de una curva solución si x 0 y y 0? ¿Si x 0 y y 0? Tarea para el laboratorio de computación 39. a) Determine dos soluciones en serie de potencias para y xy y 0 y exprese las soluciones y1 (x) y y2 (x) en términos de la notación de suma. 08367_06_ch06_p219-254.indd 230 08367_06_ch06_p219-254.indd 230 6/4/09 12:20:26 PM 6/4/09 12:20:26 PM www.FreeLibros.me
- 275. b) Use un SAC para graficar las sumas parciales SN (x) para y1 (x). Use N 2, 3, 5, 6, 8, 10. Repita con las sumas parciales SN (x) para y2 (x). c) Compare las gráficas obtenidas en el inciso b) con la curva obtenida por medio de un programa de solución numérica. Use las condiciones iniciales y1 (0) 1, y 1 (0) 0 y y2 (0) 0, y 2 (0) 1. d) Reexamine la solución y1 (x) del inciso a). Exprese esta serie como una función elemental. Después use la ecuación (5) de la sección 4.2 para encontrar una segunda solución de la ecuación. Compruebe que esta segunda solución es la misma que la solución en serie de potencias y2 (x). 40. a) Encuentre un término diferente de cero para cada una de las soluciones y1 (x) y y2 (x) del ejemplo 6. b) Determine una solución en serie y(x) del problema de valor inicial y (cos x)y 0, y(0) 1, y(0) 1. c) Use un SAC para trazar las gráficas de las sumas par- ciales SN (x) para la solución y(x) del inciso b). Use N 2, 3, 4, 5, 6, 7. d) Compare las gráficas obtenidas en el inciso c) con la curva obtenida usando un programa de solución numérica para el problema con valores iniciales del inciso b). 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES REPASO DE MATERIAL O Sección 4.2 (especialmente (5) de esa sección) INTRODUCCIÓN Las dos ecuaciones diferenciales y xy 0 y xy y 0 son similares sólo en que son ejemplos de ED lineales simples de segundo orden con coeficientes variables. Eso es todo lo que tienen en común. Debido a que x 0 es un punto ordinario de y xy 0, vimos en la sección anterior que no hubo problema en encontrar dos soluciones en serie de potencias distintas centradas en ese punto. En contraste, debido a que x 0 es un punto singular de xy y 0, encontrar dos soluciones en series infinitas —observe que no se dijo series de po- tencias—, de la ecuación diferencial respecto a ese punto se vuelve una tarea más difícil. El método de solución analizado en esta sección, no siempre produce dos soluciones en series infinitas. Cuando sólo se encuentra una solución, se puede usar la fórmula dada en (5) de la sección 4.2 para encontrar una segunda solución. UNA DEFINICIÓN Un punto singular x0 de una ecuación diferencial lineal a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (1) se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación de nuevo depende de las funciones P y Q en la forma estándar y P(x)y Q(x)y 0. (2) DEFINICIÓN 6.2.1 Puntos singulares regulares e irregulares Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (l) si las funciones p(x) (x – x0 )P(x) y q(x) (x x0 )2 Q(x) son analíticas en x0 . Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. El segundo enunciado en la definición 6.2.1 indica que si una o ambas funciones p(x) (x x0 )P(x) y q(x) (x x0 )2 Q(x) no son analíticas en x0 , entonces x0 es un punto singular irregular. 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 231 08367_06_ch06_p219-254.indd 231 08367_06_ch06_p219-254.indd 231 6/4/09 12:20:27 PM 6/4/09 12:20:27 PM www.FreeLibros.me
- 276. 232 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES COEFICIENTES POLINOMIALES Como en la sección 6.1, estamos principalmente interesados en ecuaciones lineales (1) donde los coeficientes a2 (x), al (x) y a0 (x) son po- linomios sin factores comunes. Ya se ha visto que si a2 (x0 ) 0, entonces x x0 es un punto singular de (1), ya que al menos una de las funciones racionales P(x) al (x)a2 (x) y Q(x) a0 (x)a2 (x) en la forma estándar (2) no es analítica en ese punto. Pero como a2 (x) es un polinomio y x0 es una de sus raíces, se deduce del teorema del factor del álgebra que x x0 es un factor de a2 (x). Esto significa que después de que al (x)a2 (x) y a0 (x)a2 (x) se reducen a términos mínimos, el factor x x0 debe permanecer, para alguna potencia entera positiva, en uno o en ambos denominadores. Ahora suponga que x x0 es un punto singular de (1) pero ambas funciones definidas por los productos p(x) (x x0 )P(x) y q(x) (x x0 )2 Q(x) son analíticas en x0 . Llegamos a la conclu- sión de que multiplicar P(x) por x x0 y Q(x) por (x x0 )2 tiene el efecto (por elimina- ción) de que x x0 ya no aparezca en ninguno de los denominadores. Ahora se puede determinar si x0 es regular con una comprobación visual rápida de los denominadores: Si x x0 aparece a lo más a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo más a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x x0 es un punto singular regular. Además, observe que si x x0 es un punto singular regular y se multiplica la ecuación (2) por (x x0 )2 , entonces la ED original se puede escribir en la forma (x x0)2 y (x x0)p(x)y q(x)y 0, (3) donde p y q son analíticas en x x0 . EJEMPLO 1 Clasificación de puntos singulares Se debe aclarar que x 2 y x 2 son puntos singulares de (x2 4)2 y 3(x 2)y 5y 0. Después de dividir la ecuación entre (x2 4)2 (x 2)2 (x 2)2 y de reducir los co- eficientes a los términos mínimos, se encuentra que P(x) 3 (x 2)(x 2)2 y Q(x) 5 (x 2)2 (x 2)2 . Ahora se prueba P(x) y Q(x) en cada punto singular. Para que x 2 sea un punto singular regular, el factor x 2 puede aparecer elevado a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo más a la segunda potencia en el de- nominador de Q(x). Una comprobación de los denominadores de P(x) y Q(x) muestra que ambas condiciones se satisfacen, por lo que x 2 es un punto singular regular. En forma alternativa, llegamos a la misma conclusión al notar que ambas funciones racionales p(x) (x 2)P(x) 3 (x 2)2 y q(x) (x 2)2 Q(x) 5 (x 2)2 son analíticas en x 2. Ahora, puesto que el factor x (2) x 2 aparece a la segunda potencia en el denominador de P(x), se concluye de inmediato que x 2 es un punto singular irregular de la ecuación. Esto también se deduce del hecho de que p(x) (x 2)P(x) 3 (x 2)(x 2) es no analítica en x 2. 08367_06_ch06_p219-254.indd 232 08367_06_ch06_p219-254.indd 232 6/4/09 12:20:27 PM 6/4/09 12:20:27 PM www.FreeLibros.me
- 277. En el ejemplo 1, observe que como x 2 es un punto singular regular, la ecuación original se puede escribir como (x 2)2y (x 2) y y 0. p(x) analítica en x 2 q(x) analítica en x 2 3 –––––––– (x 2)2 5 –––––––– (x 2)2 Como otro ejemplo, se puede ver que x 0 es punto singular irregular de x3 y 2xy 8y 0 por inspección de los denominadores de P(x) 2x2 y Q(x) 8x3 . Por otro lado, x 0 es un punto singular regular de xy 2xy 8y 0, puesto que x 0 y (x 0)2 incluso no aparecen en los denominadores respectivos de P(x) 2 y Q(x) 8x. Para un punto singular x x0 , cualquier potencia no negativa de x x0 menor que uno (en particular, cero) y cualquier potencia no negativa menor que dos (en particular, cero y uno) en los denominadores de P(x) y Q(x), respectivamente, indican que x0 es un punto singular irregular. Un punto singular puede ser un número complejo. Se debe comprobar que x 3i y que x 3i son dos puntos singulares regulares de (x2 9)y – 3xy (l x)y 0. Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden ax2 y bxy cy 0, donde a, b y c son constantes reales, tiene un punto singular regular en x 0. Se debe comprobar que dos soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler x2 y 3xy 4y 0 en el intervalo (0,) son y1 x2 y y2 x2 ln x. Si se intenta encontrar una solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x 0 (en particular, y n 0 cn xn ), se tendría éxito en obtener sólo la solución polinomial y1 x2 . El hecho de que no se obtuviera la segunda solución no es sorprendente porque ln x (y en consecuencia y2 x2 ln x) no es analítica en x 0, es decir, y2 no tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en x 0. MÉTODO DE FROBENIUS Para resolver una ecuación diferencial (1) respecto a un punto singular regular, se emplea el siguiente teorema debido a Frobenius. TEOREMA 6.2.1 Teorema de Frobenius Si x x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1), entonces existe al menos una solución de la forma y (x x0)r n 0 cn(x x0)n n 0 cn(x x0)n r , (4) donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0 x – x0 R. Observe las palabras al menos en el primer enunciado del teorema 6.2.1. Esto significa que en contraste con el teorema 6.1.1 el teorema 6.2.1 no garantiza que sea posible en- contrar dos soluciones en serie del tipo indicado en (4). El método de Frobenius, para encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0 , es similar al método de coeficientes indeterminados de series de la sección anterior en la que se sustituye y n 0 cn(x x0)n r en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos cn con una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un entero negativo, enton- ces la solución correspondiente y n 0 cn(x x0)n r no es una serie de potencias. Como se hizo en el análisis de soluciones respecto a puntos ordinarios siempre supondremos, por razones de simplicidad al resolver ecuaciones diferenciales, que el punto singular regular es x 0. 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 233 08367_06_ch06_p219-254.indd 233 08367_06_ch06_p219-254.indd 233 6/4/09 12:20:28 PM 6/4/09 12:20:28 PM www.FreeLibros.me
- 278. 234 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 2 Dos soluciones en series Debido a que x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial 3xy y y 0, (5) tratamos de encontrar una solución de la forma y n 0 cn xn r . Ahora y n 0 (n r)cn xn r 1 y y n 0 (n r)(n r 1)cn xn r 2 , por lo que xr r(3r 2)c0 x 1 k 0 [(k r 1)(3k 3r 1)ck 1 ck]xk 0, 1444442444443 123 k n 1 k n xr r(3r 2)c0 x 1 n 1 (n r)(3n 3r 2)cn xn 1 n 0 cn xn n 0 (n r)(3n 3r 2)cnxn r 1 n 0 cnxn r 3xy y y 3 n 0 (n r)(n r 1)cn xn r 1 n 0 (n r)cn xn r 1 n 0 cn xn r lo que implica que r(3r 2)c0 0 y (k r 1)(3k 3r 1)ck 1 ck 0, k 0, 1, 2, . . . Ya que no se ha ganado nada al hacer c0 0, entonces debemos tener r(3r 2) 0 (6) y ck 1 ck (k r 1)(3k 3r 1) , k 0, 1, 2, . . . (7) Cuando se sustituye en (7), los dos valores de r que satisfacen la ecuación cuadrática (6), r1 2 3 y r2 0, se obtienen dos relaciones de recurrencia diferentes: (8) r2 0, ck 1 ck (k 1)(3k 1) , k 0, 1, 2, . . . . r1 2 3, ck 1 ck (3k 5)(k 1) , k 0, 1, 2, . . . (9) De (8) encontramos De (9) encontramos cn c0 n!5 8 11 (3n 2) . c4 c3 14 4 c0 4!5 8 11 14 c3 c2 11 3 c0 3!5 8 11 c2 c1 8 2 c0 2!5 8 c1 c0 5 1 cn c0 n!1 4 7 (3n 2) . c4 c3 4 10 c0 4!1 4 7 10 c3 c2 3 7 c0 3!1 4 7 c2 c1 2 4 c0 2!1 4 c1 c0 1 1 08367_06_ch06_p219-254.indd 234 08367_06_ch06_p219-254.indd 234 6/4/09 12:20:28 PM 6/4/09 12:20:28 PM www.FreeLibros.me
- 279. Aquí se encuentra algo que no ocurrió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene el mismo múltiplo c0 . Si se omite este término, las solu- ciones en serie son (10) y2(x) x0 1 n 1 1 n!1 4 7 (3n 2) xn . y1(x) x2/3 1 n 1 1 n!5 8 11 (3n 2) xn (11) Con el criterio de la razón se puede demostrar que (10) y (11) convergen para todos los valores de x; es decir, x . También debe ser evidente de la forma de estas solu- ciones que ninguna serie es un múltiplo constante de la otra y, por tanto y1 (x) y y2 (x) son linealmente independientes en todo el eje x. Así, por el principio de superposición, y C1 y1 (x) C2 y2 (x) es otra solución de (5). En cualquier intervalo que no contenga al origen, tal como (0,), esta combinación lineal representa la solución general de la ecuación diferencial. ECUACIÓN INDICIAL La ecuación (6) se llama ecuación indicial del problema y los valores r1 2 3 y r2 0 se llaman raíces indiciales, o exponentes, de la singularidad x 0. En general, después de sustituir y n 0 cn xn r en la ecuación diferencial dada y simplificando, la ecuación indicial es una ecuación cuadrática en r que resulta de igua- lar a cero el coeficiente total de la potencia mínima de x. Se encuentran los dos valores de r y se sustituyen en una relación de recurrencia como (7). El teorema 6.2.1 garantiza que al menos se puede encontrar una solución de la supuesta forma en serie. Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir y n 0 cn xn r en la ecua- ción diferencial. Si x 0 es un punto singular regular de (1), entonces por la definición 6.2.1 ambas funciones p(x) xP(x) y q(x) x2 Q(x), donde P y Q se definen por la forma estándar (2), son analíticas en x 0; es decir, los desarrollos en serie de potencias p(x) xP(x) a0 a1x a2x2 y q(x) x2 Q(x) b0 b1x b2x2 (12) son válidas en intervalos que tienen un radio de convergencia positivo. Multiplicando (2) por x2 , se obtiene la forma dada en (3): x2 y x[xP(x)]y [x2 Q(x)]y 0. (13) Después de sustituir y n 0 cn xn r y las dos series en las ecuaciones (12) y (13) y realizando la multiplicación de la serie, se encuentra que la ecuación indicial general es r(r 1) a0r b0 0, (14) donde a0 y b0 son como se define en (12). Véanse los problemas 13 y 14 de los ejerci- cios 6.2. EJEMPLO 3 Dos soluciones en series Resuelva 2xy (1 x)y y 0. SOLUCIÓN Sustituyendo y n 0 cn xn r se obtiene 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 235 08367_06_ch06_p219-254.indd 235 08367_06_ch06_p219-254.indd 235 6/4/09 12:20:29 PM 6/4/09 12:20:29 PM www.FreeLibros.me
- 280. 236 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES cn ( 1)n c0 2n n! . c4 c3 2 4 c0 24 4! c3 c2 2 3 c0 23 3! c2 c1 2 2 c0 22 2! c1 c0 2 1 cn ( 1)n c0 1 3 5 7 (2n 1) . c4 c3 7 c0 1 3 5 7 c3 c2 5 c0 1 3 5 c2 c1 3 c0 1 3 c1 c0 1 lo que implica que r(2r 1) 0 (15) y (k r 1)(2k 2r 1)ck 1 (k r 1)ck 0, (16) k 0, 1, 2, . . . De (15) vemos que las raíces indiciales son r1 1 2 y r2 0. Para r1 1 2 se puede dividir entre k 3 2 en (16) para obtener ck 1 ck 2(k 1) , k 0, 1, 2, . . . , (17) mientras que para r2 0, (16) se convierte en ck 1 ck 2k 1 , k 0, 1, 2, . . . . (18) De (17) encontramos De (18) encontramos Por lo que para la raíz indicial r1 1 2 se obtiene la solución y1(x) x1/2 1 n 1 ( 1)n 2n n! xn n 0 ( 1)n 2n n! xn 1/2 , donde de nuevo se omitió c0 . Esta serie converge para x
- 281. 0; como se ha dado, la serie no está definida para valores negativos de x debido a la presencia de x12 . Para r2 0, una segunda solución es y2(x) 1 n 1 ( 1)n 1 3 5 7 (2n 1) xn , x . En el intervalo (0,) la solución general es y C1 y1 (x) C2 y2 (x). 2xy (1 x)y y 2 (n r)(n r 1)cnxnr1 (n r)cnxnr1 n0 n0 (n r)(2n 2r 1)cnxnr1 (n r 1)cnxnr n0 n0 xr [r(2r 1)c0x1 [(k r 1)(2k 2r 1)ck1 (k r 1)ck]xk ], k0 (n r)cnxnr cnxnr n0 n0 xr [r(2r 1)c0x1 (n r)(2n 2r 1)cnxn1 (n r 1)cnxn ] n1 n0 kn1 kn 08367_06_ch06_p219-254.indd 236 08367_06_ch06_p219-254.indd 236 6/4/09 12:20:29 PM 6/4/09 12:20:29 PM www.FreeLibros.me
- 282. EJEMPLO 4 Sólo una solución en serie Resuelva xy y 0. SOLUCIÓN De xP(x) 0, x2 Q(x) x y el hecho de que 0 y x son sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye que a0 0 y b0 0, por tanto, de la ecuación (14) la ecuación indicial es r(r 1) 0. Se debe comprobar que las dos relaciones de recurrencia correspondientes a las raíces indiciales r1 1 y r2 0 producen exacta- mente el mismo conjunto de coeficientes. En otras palabras, en este caso el método de Frobenius produce sólo una solución en serie y1(x) n 0 ( 1)n n!(n 1)! xn 1 x 1 2 x2 1 12 x3 1 144 x4 . TRES CASOS Por razones de análisis, de nuevo se supone que x 0 es un punto sin- gular regular de la ecuación (1) y que las raíces indiciales r1 y r2 de la singularidad son reales. Cuando usamos el método de Frobenius, se distinguen tres casos que correspon- den a la naturaleza de las raíces indiciales r1 y r2 . En los dos primeros casos el símbolo r1 denota la más grande de dos raíces distintas, es decir, r1 r2 . En el último caso r1 r2 . CASO I: Si r1 y r2 son distintas y la diferencia r1 – r2 no es un entero positivo, enton- ces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma y1(x) n 0 cn xn r1 , c0 0, y2(x) n 0 bn xn r2 , b0 0. Este es el caso que se ilustra en los ejemplos 2 y 3. A continuación suponemos que la diferencia de las raíces es N, donde N es un entero positivo. En este caso la segunda solución podría contener un logaritmo. CASO II: Si r1 y r2 son distintas y la diferencia r1 – r2 es un entero positivo, entonces existen dos soluciones de la ecuación (1) linealmente independientes de la forma (19) y2(x) Cy1(x) ln x n 0 bn xn r2 , b0 0, y1(x) n 0 cn xn r1 , c0 0, (20) donde C es una constante que podría ser cero. Finalmente, en el último caso, el caso cuando r1 r2 , una segunda solución siempre tiene un logaritmo. La situación es similar a la solución de la ecuación de Cauchy-Euler cuando las raíces de la ecuación auxiliar son iguales. CASO III: Si r1 y r2 son iguales, entonces existen dos soluciones linealmente inde- pendientes de la ecuación (1) de la forma (21) y2(x) y1(x) ln x n 1 bn xn r1 . y1(x) n 0 cn xn r1 , c0 0, (22) DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia r1 – r2 es un entero positivo (caso II), se podría o no encontrar dos soluciones de la forma y n 0 cn xn r . Esto es algo que no se sabe con anticipación, pero se determina des- 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 237 08367_06_ch06_p219-254.indd 237 08367_06_ch06_p219-254.indd 237 6/4/09 12:20:30 PM 6/4/09 12:20:30 PM www.FreeLibros.me
- 283. 238 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES pués de haber encontrado las raíces indiciales y haber examinado con cuidado la relación de recurrencia que definen los coeficientes cn . Se podría tener la fortuna de encontrar dos soluciones que impliquen sólo potencias de x, es decir, y1(x) n 0 cn xn r1 (ecuación (l9)) y y2(x) n 0 bn xn r2 (ecuación (20) con C 0). Véase el problema 31 de los ejercicios 6.2. Por otro lado, en el ejemplo 4 se ve que la diferencia de las raíces indiciales es un entero positivo (r1 – r2 1) y el método de Frobenius falla en obtener una segunda solución en serie. En esta situación, la ecuación (20), con C 0, indica que la segun- da solución se parece. Por último, cuando la diferencia r1 – r2 es un cero (caso III), el mé- todo de Frobenius no da una solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo y se puede demostrar que es equivalente a (20) con C 1. Una forma de obtener la segunda solución con el término logarítmico es usar el hecho de que y2(x) y1(x) e P(x)dx y2 1(x) dx (23) también es una solución de y P(x)y Q(x)y 0, siempre y cuando y1 (x) sea una solución conocida. En el ejemplo siguiente, se ilustra cómo usar la ecuación (23). EJEMPLO 5 Volver a analizar el ejemplo 4 usando un SAC Encuentre la solución general de xy y 0. SOLUCIÓN De la conocida solución dada del ejemplo 4, y1(x) x 1 2 x2 1 12 x3 1 144 x4 , se puede construir una segunda solución y2 (x) usando la fórmula (23). Quienes tengan tiempo, energía y paciencia pueden realizar el aburrido trabajo de elevar al cuadrado una serie, la división larga y la integración del cociente a mano. Pero todas estas operacio- nes se realizan con relativa facilidad con la ayuda un SAC. Se obtienen los resultados: y2(x) y1(x) e ∫0dx [y1(x)]2 dx y1(x) dx x 1 2 x2 1 12 x3 1 144 x4 2 o y2(x) y1(x) ln x 1 1 2 x 1 2 x2 . y1(x) ln x y1(x) 1 x 7 12 x 19 144 x2 , y1(x) 1 x ln x 7 12 x 19 144 x2 y1(x) 1 x2 1 x 7 12 19 72 x dx y1(x) dx x2 x3 5 12 x4 7 72 x5 ; En el intervalo (0,) la solución general es y C1 y1 (x) C2 y2 (x), Observe que la forma final de y2 en el ejemplo 5 corresponde a (20) con C 1; la serie entre paréntesis corresponde a la suma en (20) con r2 0. ; después de la división larga ; después de multiplicar ; después de integrar ; después de elevar al cuadrado 08367_06_ch06_p219-254.indd 238 08367_06_ch06_p219-254.indd 238 6/4/09 12:20:30 PM 6/4/09 12:20:30 PM www.FreeLibros.me
- 284. COMENTARIOS i) Las tres formas distintas de una ecuación diferencial lineal de segundo orden en (1), (2) y (3) se usaron para analizar varios conceptos teóricos. Pero a nivel práctico, cuando se tiene que resolver una ecuación diferencial con el método de Frobenius, se recomienda trabajar con la forma de la ED dada en (1). ii) Cuando la diferencia de las raíces indiciales r1 – r2 es un entero positivo (r1 r2 ), a veces da resultado iterar la relación de recurrencia usando primero la raíz r2 más pequeña. Véanse los problemas 31 y 32 en los ejercicios 6.2. iii) Debido a que una raíz indicial r es una solución de una ecuación cuadrática, ésta podría ser compleja. Sin embargo, este caso no se analiza. iv) Si x 0 es punto singular irregular, entonces es posible que no se encuentre ninguna solución de la ED de la forma y n 0 cn xn r . EJERCICIOS 6.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. En los problemas 1 a 10, determine los puntos singulares de la ecuación diferencial dada. Clasifique cada punto singular como regular o irregular. 1. x3 y 4x2 y 3y 0 2. x(x 3)2 y y 0 3. (x2 9)2 y (x 3)y 2y 0 4. y 1 x y 1 (x 1)3 y 0 5. (x3 4x)y 2xy 6y 0 6. x2 (x 5)2 y 4xy (x2 25)y 0 7. (x2 x 6)y (x 3)y (x 2)y 0 8. x(x2 1)2 y y 0 9. x3 (x2 25)(x 2)2 y 3x(x 2)y 7(x 5)y 0 10. (x3 2x2 3x)2 y x(x 3)2 y (x 1)y 0 En los problemas 11 y 12 escriba la ecuación diferencial dada en la forma (3) para cada punto singular regular de la ecua- ción. Identifique las funciones p(x) y q(x). 11. (x2 1)y 5(x 1)y (x2 x)y 0 12. xy (x 3)y 7x2 y 0 En los problemas 13 y 14, x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Use la forma general de la ecuación indicial en (14) para encontrar las raíces indiciales de la singularidad. Sin resolver, indique el número de solu- ciones en serie que se esperaría encontrar usando el método de Frobenius. 13. x2 y (5 3 x x2 )y 1 3 y 0 14. xy y 10y 0 En los problemas 15 a 24, x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial. Muestre que las raíces indiciales de la singularidad no difieren por un entero. Use el método de Frobe- nius para obtener dos soluciones en serie linealmente indepen- dientes respecto a x 0. Forme la solución general en (0, ). 15. 2xy y 2y 0 16. 2xy 5y xy 0 17. 4xy 1 2 y y 0 18. 2x2 y xy (x2 1)y 0 19. 3xy (2 x)y y 0 20. x2 y (x 2 9)y 0 21. 2xy (3 2x)y y 0 22. x2 y xy (x2 4 9)y 0 23. 9x2 y 9x2 y 2y 0 24. 2x2 y 3xy (2x 1)y 0 En los problemas 25 a 30, x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Demuestre que las raíces indi- 6.2 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 239 08367_06_ch06_p219-254.indd 239 08367_06_ch06_p219-254.indd 239 6/4/09 12:20:31 PM 6/4/09 12:20:31 PM www.FreeLibros.me
- 285. 240 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES ciales de la singularidad difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener al menos una solución en serie res- pecto a x 0. Use la ecuación (23) donde sea necesario y un SAC, como se indica, para encontrar una segunda solución. Forme la solución general en (0,). 25. xy 2y xy 0 26. x2 y xy (x2 1 4)y 0 27. xy xy y 0 28. y 3 x y 2y 0 29. xy (1 x)y y 0 30. xy y y 0 En los problemas 31 y 32, x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Demuestre que las raíces indi- ciales de la singularidad difieren por un entero. Use la relación de recurrencia encontrada por el método de Frobenius primero con la raíz más grande r1 . ¿Cuántas soluciones encontró? A continuación use la relación de recurrencia con la raíz más pequeña r2 . ¿Cuántas soluciones encontró? 31. xy (x 6)y 3y 0 32. x(x 1)y 3y 2y 0 33. a) La ecuación diferencial x4 y ly 0 tiene un punto singular irregular en x 0. Demuestre que la sustitu- ción t lx produce la ED d2 y dt2 2 t dy dt y 0, que ahora tiene un punto singular regular en t 0. b) Use el método de esta sección para encontrar dos so- luciones en serie de la segunda ecuación del inciso a) respecto a un punto singular regular t 0. c) Exprese cada solución en serie de la ecuación original en términos de funciones elementales. Modelo matemático 34. Pandeo de una columna cónica En el ejemplo 3 de la sección 5.2, vimos que cuando una fuerza compresiva vertical constante o carga P se aplica a una columna del- gada de sección transversal uniforme, la deflexión y(x) fue una solución del problema con valores en la frontera EI d2 y dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0. (24) La suposición aquí es que la columna está abisagrada en ambos extremos. La columna se pandea sólo cuando la fuerza compresiva es una carga crítica Pn . a) En este problema se supone que la columna es de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura 6.2.1a. Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal y cx, como se muestra en la sección transversal de la figura 6.2.1b, el momento de inercia de una sección transversal res- pecto a un eje perpendicular al plano xy es I 1 4 r4 , donde r y y y cx. Por tanto, escribimos I(x) I0 (xb)4 , donde I0 I(b) 1 4 (cb)4 Sustituyendo I(x) en la ecuación diferencial en (24), vemos que la deflexión en este caso se determina del PVF x4 d2 y dx2 y 0, y(a) 0, y(b) 0, donde l Pb4 EI0 . Use los resultados del pro- blema 33 para encontrar las cargas críticas Pn para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo yn (x) como una sola función. b) Use un SAC para trazar la gráfica del primer modo de pandeo y1 (x) correspondiente a la carga de Euler P1 cuando b 11 y a 1. x = a y P x = b y = cx b − a = L L a) b) x FIGURA 6.2.1 Columna cónica del problema 34. Problemas para analizar 35. Analice cómo definiría un punto singular regular para la ecuación diferencial lineal de primer orden a3(x)y a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0. 36. Cada una de las ecuaciones diferenciales x3 y y 0 y x2 y (3x 1)y y 0 tiene un punto singular irregular en x 0. Determine si el método de Frobenius produce una solución en serie de cada ecuación diferencial respecto a x 0. Analice y ex- plique sus hallazgos. 37. Se ha visto que x 0 es un punto singular regular de cualquier ecuación de Cauchy-Euler ax2 y bxy cy 0. ¿Están relacionadas la ecuación indicial (14) para una ecuación de Cauchy-Euler y su ecuación auxiliar? Analice. 08367_06_ch06_p219-254.indd 240 08367_06_ch06_p219-254.indd 240 6/4/09 12:20:31 PM 6/4/09 12:20:31 PM www.FreeLibros.me
- 286. 6.3.1 ECUACIÓN DE BESSEL LAS SOLUCIÓN Debido a que x 0 es un punto singular regular de la ecuación de Bessel, se sabe que existe al menos una solución de la forma y n 0 cn xn r . Sustituyendo la última expresión en (1), se obtiene FUNCIONES ESPECIALES REPASO DE MATERIAL O Secciones 6.1 y 6.2 INTRODUCCIÓN Las dos ecuaciones diferenciales (1) (1 x2 )y 2xy n(n 1)y 0 x2 y xy (x2 2 )y 0 (2) se presentan en estudios avanzados de matemáticas aplicadas, física e ingeniería. Se llaman ecuación de Bessel de orden v y ecuación de Legendre de orden n, respectivamente. Cuando resolvemos la ecuación (1) se supone que
- 287. 0, mientras que en (2) sólo consideraremos el caso cuando n es un entero no negativo. 6.3 c0(r2 2 )xr xr n 1 cn[(n r)2 2 ]xn xr n 0 cn xn 2 . c0(r2 r r 2 )xr xr n 1 cn[(n r)(n r 1) (n r) 2 ]xn xr n 0 cnxn 2 x2 y xy (x2 2 )y n 0 cn(n r)(n r 1)xn r n 0 cn(n r)xn r n 0 cnxn r 2 2 n 0 cnxn r (3) De (3) se ve que la ecuación indicial es r2 2 0, de modo que las raíces indiciales son r1 y r2 . Cuando r1 , la ecuación (3) se convierte en Por tanto, por el argumento usual podemos escribir (1 2)c1 0 y o ck 2 ck (k 2)(k 2 2 ) , k 0, 1, 2, . . . (k 2)(k 2 2 )ck 2 ck 0 (4) La elección c1 0 en (4) implica que c3 c5 c7 0, por lo que para k 0, 2, 4, . . . se encuentra, después de establecer k 2 2n, n 1, 2, 3, . . . , que c2n c2n 2 22 n(n ) . (5) xn cnn(n 2n)xn xn cnxn 2 n 1 n 0 xn [(1 2n)c1x [(k 2)(k 2 2n)ck 2 ck]xk 2 ] 0. k 0 xn [(1 2n)c1x cnn(n 2n)xn cnxn 2 ] n 2 n 0 k n 2 k n 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 241 08367_06_ch06_p219-254.indd 241 08367_06_ch06_p219-254.indd 241 6/4/09 12:20:32 PM 6/4/09 12:20:32 PM www.FreeLibros.me
- 288. 242 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Por lo que c2n ( 1)n c0 22n n!(1 )(2 ) (n ) , n 1, 2, 3, . . . . c6 c4 22 3(3 ) c0 26 1 2 3(1 )(2 )(3 ) c4 c2 22 2(2 ) c0 24 1 2(1 )(2 ) c2 c0 22 1 (1 ) (6) En la práctica se acostumbra elegir a c0 como c0 1 2 (1 ) , donde (1 ) es la función gamma. Véase el apéndice I. Puesto que esta última fun- ción posee la propiedad conveniente (1 a) a(a), se puede reducir el producto indicado en el denominador de (6) a un término. Por ejemplo, (1 2) (2 ) (2 ) (2 )(1 ) (1 ). (1 1) (1 ) (1 ) Por tanto, se puede escribir (6) como c2n ( 1)n 22n n!(1 )(2 ) (n ) (1 ) ( 1)n 22n n! (1 n) para n 0, 1, 2, . . . FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE Si se usan los coeficientes c2n ape- nas obtenidos y r , una solución en serie de la ecuación (1) es y n 0 c2n x2n . Esta solución usualmente se denota por J (x): J (x) n 0 ( 1)n n! (1 n) x 2 2n (7) Si
- 289. 0, la serie converge al menos en el intervalo [0, ). También, para el segundo exponente r2 se obtiene exactamente de la misma manera, J (x) n 0 ( 1)n n! (1 n) x 2 2n (8) Las funciones J (x) y J (x) se llaman funciones de Bessel de primera clase de orden y , respectivamente. Dependiendo del valor de , (8) puede contener potencias negativas de x y, por tanto, converger en (0, ).* Ahora se debe tener cuidado al escribir la solución general de (1). Cuando 0, es evidente que (7) y (8) son las mismas. Si 0 y r1 r2 () 2 no es un entero positivo, se tiene del caso I de la sección 6.2 que J (x) y J (x) son soluciones linealmente independientes de (1) en (0, ) y, por tanto, la solución general del inter- valo es y c1 J (x) c2 J (x). Pero se sabe que del caso II de la sección 6.2 que cuando r1 r2 2 es un entero positivo, podría existir una segunda solución en serie de (1). En este segundo caso se distinguen dos posibilidades. Cuando m entero positivo, Jm (x) definida por (8) y Jm (x) no son soluciones linealmente independientes. Se puede demostrar que Jm es un múltiplo constante de Jm (véase la propiedad i) en la página 245). Además, r1 r2 2 puede ser un entero positivo cuando es la mitad de * Cuando reemplazamos x por x, las series dadas en (7) y en (8) convergen para 0 x . 08367_06_ch06_p219-254.indd 242 08367_06_ch06_p219-254.indd 242 6/4/09 12:20:33 PM 6/4/09 12:20:33 PM www.FreeLibros.me
- 290. un entero positivo impar. En este último caso se puede demostrar que J (x) y J (x) son linealmente independientes. En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es y c1J (x) c2J (x), entero. (9) En la figura 6.3.1 se presentan las gráficas de y J0 (x) y y J1 (x). EJEMPLO 1 Ecuaciones de Bessel de orden 1 2 Al identificar 2 1 4 y 1 2, se puede ver de la ecuación (9) que la solución general de la ecuación x2 y xy (x2 1 4)y 0 en (0, ) es y c1 J12 (x) c2 J12 (x). FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Si entero, la función defi- nida por la combinación lineal Y (x) cos J (x) J (x) sen (10) y la función J (x) son soluciones linealmente independientes de (1), por lo que otra forma de la solución general de (1) es y c1 J (x) c2 Y (x) siempre que entero. Conforme S m con m entero (10) tiene la forma indeterminada 00. Sin embargo, se puede de- mostrar por la regla de LHôpital que el lím :m Y (x) existe. Además, la función Ym(x) lím :m Y (x) yJm (x)sonsolucioneslinealmenteindependientesdex2 yxy(x2 m2 )y0.Portanto, para cualquier valor de la solución general de (1) en (0, ) se puede escribir como y c1J (x) c2Y (x). (11) Y (x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden . La figura 6.3.2 muestra las gráficas de Y0 (x) y Y1 (x). EJEMPLO 2 Ecuación de Bessel de orden 3 Identificando 2 9 y 3 vemos de la ecuación (11) que la solución general de la ecuación x2 y xy (x2 9)y 0 en (0, ) es y c1 J3 (x) c2 Y3 (x). ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS DE FUNCIONES DE BESSEL Algunas veces es posible convertir una ecuación diferencial en la ecuación (1) por medio de un cam- bio de variable. Podemos entonces expresar la solución de la ecuación original en términos de funciones de Bessel. Por ejemplo, si se establece que t ax, a 0, en x2 y xy (a2 x2 2 )y 0, (12) entonces por la regla de la cadena, dy dx dy dt dt dx dy dt y d2 y dx2 d dt dy dx dt dx 2 d2 y dt2 . Por lo que (12) se convierte en 2 4 6 8 _0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 _0.2 x y J1 J0 FIGURA 6.3.1 Funciones de Bessel de primera clase para n 0, 1, 2, 3, 4. 2 4 6 8 1 _3 _2.5 _2 _1.5 _1 _0.5 0.5 x y Y0 Y1 FIGURA 6.3.2 Funciones de Bessel de segunda clase para n 0, 1, 2, 3, 4. t 2 2 d2 y dt2 t dy dt (t2 2 )y 0 o t2 d2 y dt2 t dy dt (t2 2 )y 0. La última ecuación es la ecuación de Bessel de orden cuya solución es y c1 J (t) c2 Y (t).Volviendo a sustituir t ax en la última expresión, se encuentra que la solu- ción general de (12) es y c1J ( x) c2Y ( x). (13) 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 243 08367_06_ch06_p219-254.indd 243 08367_06_ch06_p219-254.indd 243 6/4/09 12:20:33 PM 6/4/09 12:20:33 PM www.FreeLibros.me
- 291. 244 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES La ecuación (12), que se llama ecuación paramétrica de Bessel de orden y su solu- ción general (13) son muy importantes en el estudio de ciertos problemas con valores en la frontera relacionados con ecuaciones diferenciales parciales que se expresan en coordenadas cilíndricas. Otra ecuación semejante a (1) es la ecuación modificada de Bessel de orden , x2 y xy (x2 2 )y 0. (14) Esta ED se puede resolver en la forma que se acaba de ilustrar para (12). Esta vez si hacemos que t ix, donde i2 1, entonces (14) se convierte en t2 d2 y dt2 t dy dt (t2 2 )y 0. Debido a que las soluciones de la ultima ED son J (t) y Y (t), las soluciones de valores complejos de la ecuación (14) son J (ix) y Y (ix). Una solución de valores reales, que se llama función modificada de Bessel de primera clase de orden , está definida en términos de J (ix): I (x) i J (ix). (15) Véase el problema 21 en los ejercicios 6.3. Análogamente a (10), la función modifi- cada de Bessel de segunda clase de orden entero, se define como K (x) 2 I (x) I (x) sen , (16) y para n entero, Kn(x) lím :n K (x). Debido a que I y K son linealmente independientes en el intervalo (0, ) para cual- quier valor de , la solución general de (14) es y c1I (x) c2K (x). (17) Pero otra ecuación, importante debido a que muchas ED se ajustan a su forma mediante elecciones apropiadas de los parámetros, es y 1 2a x y b2 c2 x2c 2 a2 p2 c2 x2 y 0, p 0. (18) Aunque no se dan los detalles, la solución general de (18), y xa c1Jp(bxc ) c2Yp(bxc ) , (19) se puede encontrar haciendo un cambio de las variables independiente y depen- diente: z bxc , y(x) z b a/c w(z). Si r no es un entero, entonces Yp en (19) se pue- de reemplazar por Jp . EJEMPLO 3 Usando (18) Encuentre la solución general xy 3y 9y 0 en (0, ). SOLUCIÓN Escribiendo la ED como y 3 x y 9 x y 0, podemos hacer las siguientes identificaciones con (18): 1 2a 3, b2 c2 9, 2c 2 1 y a2 p2 c2 0. Las ecuaciones primera y tercera implican que a 1 y c 1 2. Con estos va- lores las ecuaciones segunda y cuarta se satisfacen haciendo b 6 y p 2. 08367_06_ch06_p219-254.indd 244 08367_06_ch06_p219-254.indd 244 6/4/09 12:20:34 PM 6/4/09 12:20:34 PM www.FreeLibros.me
- 292. De (19) se encuentra que la solución general de la ED en el intervalo (0, ) es y x 1 [c1J2(6x1/2 ) c2Y2(6x1/2 )]. EJEMPLO 4 Volver a revisar el problema del resorte envejecido Recuerde que en la sección 5.1 vimos que mx keat x 0, a 0 es un mo- delo matemático para el movimiento amortiguado libre de una masa en un re- sorte envejecido. Ahora se está en posición de encontrar la solución general de la ecuación. Se deja como problema demostrar que el cambio de variables s 2 B k m e t/2 transforma la ecuación diferencial del resorte envejecido en s2 d2 x ds2 s dx ds s2 x 0. La última ecuación se reconoce como (1) con 0 y donde los símbolos x y s juegan los papeles de y y x, respectivamente. La solución general de la nueva ecuación es x c1 J0 (s) c2 Y0 (s). Si se sustituye nuevamente s, entonces se ve que la solución general de mx keat x 0 es x(t) c1J0 2 B k m e t/2 c2Y0 2 B k m e t/2 . Véanse los problemas 33 y 39 de los ejercicios 6.3. El otro modelo analizado en la sección 5.1 de un resorte cuyas características cambian con el tiempo fue mx ktx 0. Si se divide entre m, vemos que la ecuación x k m tx 0 eslaecuacióndeAiryya2 xy0.Véaseelejemplo3enlasección6.1. La solución general de la ecuación diferencial de Airy también se puede escribir en términos de funciones de Bessel. Véanse los problemas 34, 35 y 40 de los ejercicios 6.3. PROPIEDADES Se listan a continuación algunas de las propiedades más útiles de las funciones de Bessel de orden m, m 0, 1, 2, . . .: i) J m(x) ( 1)m Jm(x), ii) Jm( x) ( 1)m Jm(x), iii) Jm(0) 0, 1, m 0 m 0, iv) lím x:0 Ym (x) . Observe que la propiedad ii) indica que Jm (x) es una función par si m es un entero par y una función impar si m es un entero impar. Las gráficas de Y0 (x) y Y1 (x) en la figura 6.3.2 muestran la propiedad iv), en particular, Ym (x) no está acotada en el origen. Este último hecho no es obvio a partir de la ecuación (10). Las soluciones de la ecuación de Bessel de orden 0 se obtienen por medio de las soluciones y1 (x) en (21) y y2 (x) en (22) de la sección 6.2. Se puede demostrar que la ecuación (21) de la sección 6.2 es y1 (x) J0 (x), mientras que la ecuación (22) de esa sección es y2(x) J0(x)ln x k 1 ( 1)k (k!)2 1 1 2 1 k x 2 2k . Entonces, la función de Bessel de segunda clase de orden 0, Y0 (x) se define como la combinación lineal Y0(x) 2 ( ln 2)y1(x) 2 y2(x) para x 0. Es decir, Y0(x) 2 J0(x) ln x 2 2 k 1 ( 1)k (k!)2 1 1 2 1 k x 2 2k , donde g 0.57721566 ... es la constante de Euler. Debido a la presencia del término logarítmico, es evidente que Y0 (x) es discontinua en x 0. 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 245 08367_06_ch06_p219-254.indd 245 08367_06_ch06_p219-254.indd 245 6/4/09 12:20:35 PM 6/4/09 12:20:35 PM www.FreeLibros.me
- 293. 246 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES VALORES NUMÉRICOS En la tabla 6.1 se presentan las primeras cinco raíces no negativas de J0 (x), J1 (x), Y0 (x) y Y1 (x). En la tabla 6.2 se presentan algunos otros valo- res de la función de estas cuatro funciones. TABLA 6.2 Valores numéricos de J0 , J1 , Y0 , y Y1 . x J0 (x) J1 (x) Y0 (x) Y1 (x) 0 1.0000 0.0000 — — 1 0.7652 0.4401 0.0883 0.7812 2 0.2239 0.5767 0.5104 0.1070 3 0.2601 0.3391 0.3769 0.3247 4 0.3971 0.0660 0.0169 0.3979 5 0.1776 0.3276 0.3085 0.1479 6 0.1506 0.2767 0.2882 0.1750 7 0.3001 0.0047 0.0259 0.3027 8 0.1717 0.2346 0.2235 0.1581 9 0.0903 0.2453 0.2499 0.1043 10 0.2459 0.0435 0.0557 0.2490 11 0.1712 0.1768 0.1688 0.1637 12 0.0477 0.2234 0.2252 0.0571 13 0.2069 0.0703 0.0782 0.2101 14 0.1711 0.1334 0.1272 0.1666 15 0.0142 0.2051 0.2055 0.0211 TABLA 6.1 Raíces no negativas de J0 , J1 , Y0 , y Y1 . J0 (x) J1 (x) Y0 (x) Y1 (x) 2.4048 0.0000 0.8936 2.1971 5.5201 3.8317 3.9577 5.4297 8.6537 7.0156 7.0861 8.5960 11.7915 10.1735 10.2223 11.7492 14.9309 13.3237 13.3611 14.8974 RELACIÓN DE RECURRENCIA DIFERENCIAL Las fórmulas de recurrencia que relacionan las funciones de Bessel de diferentes órdenes son importantes en la teoría y en las aplicaciones. En el ejemplo siguiente se deduce una relación de recurrencia diferencial. EJEMPLO 5 Deducción usando la definición de serie Deduzca la fórmula xJ (x) J (x) xJ 1(x). SOLUCIÓN De la ecuación (7) se tiene que xJv(x) ( )2nv n0 k n 1 (1)n(2n ) ––––––––––––––– n! (1 v n) x – 2 L J(x) x ( )2n1 n1 (1)n ––––––––––––––––––––– (n 1)! (1 n) x – 2 L ( )2nv n0 (1)n ––––––––––––––– n! (1 n) x – 2 L 2 ( )2nv n0 (1)nn ––––––––––––––– n! (1 n) x – 2 L J(x) x J(x) xJ1(x). ( )2k1 k0 (1)k ––––––––––––––– k! (2 k) x – 2 L El resultado del ejemplo 5 se puede escribir en una forma alternativa. Dividiendo xJ (x) J (x) xJ 1(x) entre x, se obtiene J (x) x J (x) J 1(x). 08367_06_ch06_p219-254.indd 246 08367_06_ch06_p219-254.indd 246 6/4/09 12:20:35 PM 6/4/09 12:20:35 PM www.FreeLibros.me
- 294. Esta última expresión se reconoce como una ecuación diferencial lineal de primer orden en J (x). Multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor integrante x , se obtiene d dx [x J (x)] x J 1(x). (20) Se puede demostrar de manera similar que d dx [x J (x)] x J 1(x). (21) Véase el problema 27 en los ejercicios 6.3. Las relaciones de recurrencia diferencia- les (20) y (21) también son válidas para la función de Bessel de segunda clase Y (x). Observe que cuando 0 se deduce de (20) que J0(x) J1(x) y Y0(x) Y1(x). (22) En el problema 39 de los ejercicios 6.3 se presenta una aplicación de estos resultados. FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS Cuando el orden es la mitad de un en- tero impar, es decir, 1 2, 3 2, 5 2, . . . , las funciones de Bessel de primera clase J (x) se pueden expresar en términos de las funciones elementales sen x, cos x y poten- cias de x. Este tipo de funciones de Bessel se llaman funciones esféricas de Bessel. Consideraremos el caso cuando 1 2. De (7), J1/2(x) n 0 ( 1)n n! (1 1 2 n) x 2 2n 1/2 . En vista de la propiedad (1 a) a(a) y del hecho de que (1 2) 1 los valores de (1 1 2 n) para n 0, n 1, n 2 y n 3 son, respectivamente, (9 2) (1 7 2) 7 2 (7 2) 7 5 26 2! 1 7 6 5! 26 6 2! 1 7! 27 3! 1 . (7 2) (1 5 2) 5 2 (5 2) 5 3 23 1 5 4 3 2 1 23 4 2 1 5! 25 2! 1 (5 2) (1 3 2) 3 2 (3 2) 3 22 1 (3 2) (1 1 2) 1 2 (1 2) 1 2 1 En general, 1 1 2 n (2n 1)! 22n 1 n! 1 . Por lo que J1/2(x) n 0 ( 1)n n! (2n 1)! 22n 1 n! 1 x 2 2n 1/2 B 2 x n 0 ( 1)n (2n 1)! x2n 1 . Puesto que la serie infinita en la última línea es la serie de Maclaurin para sen x, se ha demostrado que J1/2(x) B 2 x senx. (23) Se deja como ejercicio demostrar que J 1/2(x) B 2 x cos x. (24) Véanse los problemas 31 y 32 de los ejercicios 6.3. 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 247 08367_06_ch06_p219-254.indd 247 08367_06_ch06_p219-254.indd 247 6/4/09 12:20:36 PM 6/4/09 12:20:36 PM www.FreeLibros.me
- 295. 248 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.3.2 ECUACIÓN DE LEGENDRE SOLUCIÓN Puesto que x 0 es un punto ordinario de la ecuación de Legendre (2), sustituyendo la serie y k 0 ck xk, corriendo los índices de la suma y combinando la serie se obtiene j 2 [( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj]xj 0 (1 x2 )y 2xy n(n 1)y [n(n 1)c0 2c2] [(n 1)(n 2)c1 6c3]x lo que implica que ( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj 0 (n 1)(n 2)c1 6c3 0 n(n 1)c0 2c2 0 o cj 2 (n j)(n j 1) ( j 2)( j 1) cj , j 2, 3, 4, . . . c3 (n 1)(n 2) 3! c1 c2 n(n 1) 2! c0 (25) Si se deja que j tome los valores 2, 3, 4, . . . , la relación de recurrencia (25) produce c7 (n 5)(n 6) 7 6 c5 (n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6) 7! c1 c6 (n 4)(n 5) 6 5 c4 (n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5) 6! c0 c5 (n 3)(n 4) 5 4 c3 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5! c1 c4 (n 2)(n 3) 4 3 c2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4! c0 etcétera. Entonces para al menos x 1, se obtienen dos soluciones en serie de poten- cias linealmente independientes: (26) (n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6) 7! x7 . y2(x) c1 x (n 1)(n 2) 3! x3 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5! x5 (n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5) 6! x6 y1(x) c0 1 n(n 1) 2! x2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4! x4 Observe que si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 (x) es una serie infinita. Por ejemplo, si n 4, entonces y1(x) c0 1 4 5 2! x2 2 4 5 7 4! x4 c0 1 10x2 35 3 x4 . De manera similar, cuando n es un entero impar, la serie para y2 (x) termina con xn ; es decir, cuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado n de la ecuación de Legendre. 08367_06_ch06_p219-254.indd 248 08367_06_ch06_p219-254.indd 248 6/4/09 12:20:36 PM 6/4/09 12:20:36 PM www.FreeLibros.me
- 296. Debido a que se sabe que un múltiplo constante de una solución de la ecuación de Legendre también es una solución, se acostumbra elegir valores específicos para c0 y c1 , dependiendo de si n es un entero positivo par o impar, respectivamente. Para n 0 elegimos c0 1, y para n 2, 4, 6, . . . c0 ( 1)n /2 1 3 (n 1) 2 4 n , mientras que para n 1 se elige c1 1 y para n 3, 5, 7, . . . c1 ( 1)(n 1)/2 1 3 n 2 4 (n 1) . Por ejemplo, cuando n 4, se tiene y1(x) ( 1)4/2 1 3 2 4 1 10x2 35 3 x4 1 8 (35x4 30x2 3). POLINOMIOS DE LEGENDRE Estas soluciones polinomiales específicas de n-ésimo grado se llaman polinomios de Legendre y se denotan mediante Pn (x). De las series para y1 (x) y y2 (x) y de las opciones anteriores de c0 y c1 se encuentra que los primeros polinomios de Legendre son P0(x) 1, P1(x) x, P2(x) 1 2 (3x2 1), P3(x) 1 2 (5x3 3x), P4(x) 1 8 (35x4 30x2 3), P5(x) 1 8 (63x5 70x3 15x). (27) Recuerde que P0 (x), P1 (x), P2 (x), P3 (x), . . . son, a su vez, soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales n 0: n 1: n 2: n 3: (1 x2 )y 2xy 0, (1 x2 )y 2xy 2y 0, (1 x2 )y 2xy 6y 0, (1 x2 )y 2xy 12y 0, (28) En la figura 6.3.3 se presentan las gráficas en el intervalo [1,1], de los seis poli- nomios de Legendre en (27). PROPIEDADES Se recomienda que compruebe las siguientes propiedades usando los polinomios de Legendre en (27). i) Pn( x) ( 1)n Pn(x) ii) Pn(1) 1 iii) Pn( 1) ( 1)n iv) Pn(0) 0, n impar, v) Pn(0) 0, n par La propiedad i) indica, como es evidente en la figura 6.3.3, que Pn (x) es una función par o impar concordantemente con la condición de si n es par o impar. RELACIÓN DE RECURRENCIA Las relaciones de recurrencia que vinculan poli- nomios de Legendre de diferentes grados también son importantes en algunos aspectos de sus aplicaciones. Se establece, sin comprobación, la relación de recurrencia de tres términos (k 1)Pk 1(x) (2k 1)xPk(x) kPk 1(x) 0, (29) que es válida para k 1, 2, 3, .... En (27) se listan los primeros seis polinomios de Legendre. Si decimos que se desea encontrar P6 (x), se puede usar la ecuación (29) con k 5. Esta relación expresa P6 (x) en términos de los conocidos P4 (x) y P5 (x). Véase el problema 45 de los ejercicios 6.3. x y 1 -1 -1 -0.5 0.5 1 -0.5 0.5 P1 P0 P2 FIGURA 6.3.3 Polinomios de Legendre para n 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 249 08367_06_ch06_p219-254.indd 249 08367_06_ch06_p219-254.indd 249 6/4/09 12:20:37 PM 6/4/09 12:20:37 PM www.FreeLibros.me
- 297. 250 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Otra fórmula, que aunque no es una relación de recurrencia, puede generar los polinomios de Legendre por derivación, es la fórmula de Rodrigues que, para estos polinomios es Pn(x) 1 2n n! dn dxn (x2 1)n , n 0, 1, 2, . . . . (30) Véase el problema 48 de los ejercicios 6.3. COMENTARIOS i) Aunque se ha supuesto que el parámetro n en la ecuación diferencial de Legendre (1 x2 )y 2xy n(n 1)y 0, representa un entero no negativo, en una forma más general n puede representar cualquier número real. Cualquier solución de la ecuación de Legendre se llama función de Legendre. Si n no es un entero no negativo, entonces ambas funciones de Legendre y1 (x) y y2 (x) dadas en (26) son series infinitas convergentes en el intervalo abierto (1, 1) y diver- gentes (sin límite) en x l. Si n es un entero no negativo, entonces, como se ha visto, una de las funciones de Legendre en (26) es un polinomio y la otra es una serie infinita convergente para 1 x 1. Se debe tener presente que la ecuación de Legendre tiene soluciones que están acotadas en el intervalo cerrado [1, 1] sólo en el caso cuando n 0, 1, 2, . . . Más concretamente, las únicas funciones de Legendre que están acotadas en el intervalo cerrado [1, 1] son los polinomios de Legendre Pn (x) o múltiplos constantes de estos polinomios. Véase el problema 47 de los ejercicios 6.3 y el problema 24 en el Repaso del capítulo 6. ii) En los Comentarios al final de la sección 2.3 se mencionó la rama de la mate- mática llamada funciones especiales. Quizá una mejor denominación para esta área de las matemáticas aplicadas podría ser funciones nombradas, puesto que muchas de las funciones estudiadas llevan nombres propios: funciones de Bessel, funciones de Legendre, funciones de Airy, polinomios de Chebyshev, función hipergeométrica de Gauss, polinomios de Hermite, polinomios de Jacobi, po- linomios de Laguerre, funciones de Mathieu, funciones de Weber, etcétera. Históricamente, las funciones especiales fueron subproducto de la necesidad; alguien necesitaba una solución de una ecuación diferencial muy especializada que surgió de un intento por resolver un problema físico. EJERCICIOS 6.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. 6.3.1 ECUACIÓN DE BESSEL En los problemas 1 a 6 use la ecuación (1) para encontrar la so- lución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ). 1. x2 y xy x2 1 9 y 0 2. x2 y xy (x2 1)y 0 3. 4x2 y 4xy (4x2 25)y 0 4. 16x2 y 16xy (16x2 1)y 0 5. xy y xy 0 6. d dx [xy ] x 4 x y 0 En los problemas 7 a 10, use la ecuación (12) para encontrar la solución general de la ecuación diferencial dada en (0, ). 7. x2 y xy (9x2 4)y 0 8. 9. x2 y xy 25x2 4 9 y 0 x2 y xy 36x2 1 4 y 0 10. x2 y xy (2x2 64)y 0 En los problemas 11 y 12 use el cambio de variable indicado para determinar la solución general de la ecuación diferencial en (0, ). 11. x2 y 2xy a2 x2 y 0; y x12 v(x) 12. x2 y ( 2 x2 2 1 4)y 0; y 1x v(x) 08367_06_ch06_p219-254.indd 250 08367_06_ch06_p219-254.indd 250 6/4/09 12:20:37 PM 6/4/09 12:20:37 PM www.FreeLibros.me
- 298. En los problemas 13 a 20 use la ecuación (18) para encontrar la solución general de la ecuación diferencial en (0, ). 13. xy 2y 4y 0 14. xy 3y xy 0 15. xy y xy 0 16. xy 5y xy 0 17. x2 y (x2 2)y 0 18. 4x2 y (16x2 1)y 0 19. xy 3y x3 y 0 20. 9x2 y 9xy (x6 36)y 0 21. Use la serie en (7) para comprobar que I (x) i J (ix) es una función real. 22. Suponga que b en la ecuación (18) puede ser un número imaginario puro, es decir, b bi, b 0, i2 1. Use esta suposición para expresar la solución general de la ecuación diferencial en términos de las funciones modifi- cadas de Bessel In y Kn . a) y x2 y 0 b) xy y 7x3 y 0 En los problemas 23 a 26, use primero la ecuación (18) para expresar la solución general de la ecuación diferencial en térmi- nos de funciones de Bessel. Luego use (23) y (24) para expresar la solución general en términos de funciones elementales. 23. y y 0 24. x2 y 4xy (x2 2)y 0 25. 16x2 y 32xy (x4 12)y 0 26. 4x2 y 4xy (16x2 3)y 0 27. a) Proceda como en el ejemplo 5 para demostrar que xJ n (x) nJn (x) xJn1 (x). [Sugerencia: Escriba 2n n 2(n n) n.] b) Utilice el resultado del inciso a) para deducir (21). 28. Utilice la fórmula del ejemplo 5 junto con el inciso a) del problema 27 para deducir la relación de recurrencia. 2nJn (x) xJn1 (x) xJn1 (x). En los problemas 29 y 30 use la ecuación (20) o (21) para obtener el resultado dado. 29. x 0 rJ0(r)dr xJ1(x) 30. J0 (x) J1 (x) J1 (x) 31. Proceda como en la página 247 para deducir la forma ele- mental de J12 (x) dada en (24). 32. a) Use la relación de recurrencia del problema 28 junto con (23) y (24) para expresar J32 (x), J32 (x) y J52 (x) en términos de sen x, cos x y potencias de x. b) Use un programa de graficación para trazar J12 (x), J12 (x), J32 (x), J32 (x) y J52 (x). 33. Use el cambio de variables s 2 B k m e t /2 para de- mostrar que la ecuación diferencial del resorte envejecido mx keat x 0, a 0, se convierte en s2 d2 x ds2 s dx ds s2 x 0. 34. Demuestre que y x1/2 w(2 3 x3/2 ) es una solución de la ecuación diferencial de Airy y a2 xy 0, x 0, siem- pre que w sea una solución de la ecuación de Bessel de orden 1 3 , es decir, t2 w tw (t2 1 9)w 0, t 0. [Sugerencia: Después de derivar, sustituir y simplificar, entonces se hace ] t 2 3 x3/2 . 35. a) Use el resultado del problema 34 para expresar la solución general de la ecuación diferencial de Airy para x 0 en términos de funciones de Bessel. b) Compruebe los resultados del inciso a) usando la ecuación (18). 36. Use la tabla 6.1 para encontrar los primeros tres valores propios positivos y las funciones propias correspondien- tes del problema de valores en la frontera. xy y xy 0, y(x), y(x) acotada conforme x S 0 , y(2) 0. [Sugerencia: Identificando l a2 , la ED es la ecuación de Bessel paramétrica de orden cero.] 37. a) Use la ecuación (18) para demostrar que la solución general de la ecuación diferencial xy ly 0 en el intervalo (0,) es y c1 xJ1(2 x) c2 xY1(2 x). 1 1 1 1 b) Compruebe por sustitución directa que y 1xJ1 1 (2 x) es una solución particular de la ED en el caso l 1. Tarea para el laboratorio de computación 38. Use un SAC para trazar las gráficas de las funciones mo- dificadas de Bessel I0 (x), I1 (x), I2 (x) y K0 (x), K1 (x), K2 (x). Compare estas gráficas con las que se muestran en las fi- guras 6.3.1 y 6.3.2. ¿Qué diferencia principal es evidente entre las funciones de Bessel y las funciones modificadas de Bessel? 39. a) Use la solución general dada en el ejemplo 4 para resolver el PVI 4x e 0.1t x 0, x(0) 1, x (0) 1 2. También use J0(x) J1(x) y Y0(x) Y1(x) junto con la tabla 6.1 o un SAC para evaluar los coeficientes. b) Use un SAC para trazar la gráfica de la solución ob- tenida en el inciso a) en el intervalo 0 t . 6.3 FUNCIONES ESPECIALES O 251 08367_06_ch06_p219-254.indd 251 08367_06_ch06_p219-254.indd 251 6/4/09 12:20:38 PM 6/4/09 12:20:38 PM www.FreeLibros.me
- 299. 252 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 40. a) Use la solución general obtenida en el problema 35 para resolver el PVI 4x tx 0, x(0.1) 1, x (0.1) 1 2. Use un SAC para evaluar los coeficientes. b) Use un SAC para trazar la gráfica de la solución ob- tenida en el inciso a) en el intervalo 0 t 200. 41. Columna doblada bajo su propio peso Una columna delgada uniforme de longitud L, colocada verticalmente con un extremo insertado en el suelo, se curva desde la vertical bajo la influencia de su propio peso cuando su longitud o altura excede un cierto valor crítico. Se puede demostrar que la deflexión angular u(x) de la columna desde la vertical en un punto P(x) es una solución del problema con valores en la frontera: EI d2 dx2 g(L x) 0, (0) 0, (L) 0, donde E es el módulo de Young, I es el momento de iner- cia de sección transversal, d es la densidad lineal cons- tante y x es la distancia a lo largo de la columna medida desde su base. Véase la figura 6.3.4. La columna se dobla sólo para aquellos valores de L para los que el problema con valores en la frontera tiene una solución no trivial. a) Establezca de nuevo el problema con valores en la frontera haciendo el cambio de variables t L x. Luego utilice los resultados del problema anterior en este conjunto de ejercicios para expresar la solución general de la ecuación diferencial en términos de funciones de Bessel. b) Use la solución general encontrada en el inciso a) para encontrar una solución del PVF y una ecuación que de- fina la longitud crítica L, es decir, el valor más pequeño de L para la que se comience a doblar la columna. c) Con ayuda de un SAC, encuentre la longitud L de una varilla de acero sólida de radio r 0.05 pulg, dg 0.28 A lbpulg, E 2.6 107 lbpulg2 , A pr2 e I 1 4 r4 . una columna delgada de sección transversal uniforme y abisagrada en ambos extremos, la deflexión y(x) es una solución del PVF: EI d2 y dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0. a) Si el factor de rigidez a la flexión EI es proporcional a x, entonces EI(x) kx, donde k es una constante de proporcionalidad. Si EI(L) kL M es el factor de rigidez máxima entonces k ML y, por tanto, EI(x) MxL. Use la información del problema 37 para encontrar una solución de M x L d2 y dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0 si se sabe que 1xY1(21 x) no es cero en x 0. b) Use la tabla 6.1 para encontrar la carga de Euler P1 para la columna. c) Use un SAC para graficar el primer modo de pandeo y1 (x) correspondiente a la carga de Euler P1 . Por sim- plicidad suponga que c1 1 y L 1. 43. Péndulo de longitud variable Para el péndulo simple descrito en la página 209 de la sección 5.3, suponga que la varilla que sostiene la masa m en un extremo se sustituye por un alambre flexible o cuerda y que el alambre pasa por una polea en el punto de apoyo O en la figura 5.3.3. De esta manera, mientras está en movimiento en el plano vertical la masa m puede subir o bajar. En otras palabras, la longitud l(t) del péndulo varía con el tiempo. Bajo las mismas suposiciones que conducen a la ecuación (6) en la sección 5.3, se puede demostrar* que la ecuación diferen- cial para el ángulo de desplazamiento u ahora es l 2l g sen 0. a) Si l aumenta a una razón constante v y si l(0) l0 , de- muestre que una linealización de la ED anterior es (l0 vt) 2v g 0. (31) b) Realice el cambio de variables x (l0 vt)v y de- muestre que la ecuación (31) se convierte en d2 dx2 2 x d dx g vx 0. c) Use el inciso b) y la ecuación (18) para expresar la solución general de la ecuación (31) en términos de funciones de Bessel. d) Use la solución general del inciso c) para resolver el problema con valores iniciales que consiste en la ecuación (31) y las condiciones iniciales u(0) u0 , u(0) 0. [Sugerencias: para simplificar los cálculos, use un cambio de variable adicional u 2 v 1g(l0 vt) 2 B g v x1/ 2 . * Véase Mathematical Methods in Physical Sciences, Mary Boas, John Wiley Sons, Inc., 1966. También vea el artículo de Borelli, Coleman and Hobson en Mathematicas Magazine, vol. 58, núm. 2, marzo de 1985. x = 0 x θ P(x) suelo FIGURA 6.3.4 Viga del problema 41. 42. Pandeo de una columna vertical delgada En el ejemplo 3 de la sección 5.2 vimos que cuando se aplica una fuerza compresiva vertical constante o carga P a 08367_06_ch06_p219-254.indd 252 08367_06_ch06_p219-254.indd 252 6/4/09 12:20:39 PM 6/4/09 12:20:39 PM www.FreeLibros.me
- 300. Además, recuerde que la ecuación (20) vale para J1 (u) y Y1 (u). Por último, la identidad 2 u J1(u)Y2(u) J2(u)Y1(u) será muy útil]. e) Use un SAC para trazar la gráfica de la solución u(t) del PVI del inciso d) cuando l0 1 pie, u0 1 10 radián y v 1 60 pies. Experimente con la gráfica usando diferentes intervalos de tiempo, como [0, 10], [0, 30], etcétera. f) ¿Qué indican las gráficas acerca del ángulo de des- plazamiento u(t) cuando la longitud l del alambre se incrementa con el tiempo? 6.3.2 ECUACIÓN DE LEGENDRE 44. a) Use las soluciones explícitas y1 (x) y y2 (x) de la ecua- ción de Legendre dada en (26) y la elección apro- piada de c0 y c1 para encontrar los polinomios de Legendre P6 (x) y P7 (x). b) Escriba las ecuaciones diferenciales para las cuales P6 (x) y P7 (x) son soluciones particulares. 45. Use la relación de recurrencia (29) y P0 (x) 1, P1 (x) x, para generar los siguientes seis polinomios de Legendre. 46. Demuestre que la ecuación diferencial sen d2 y d 2 cos dy d n(n 1)(sen )y 0 puede convertirse en la ecuación de Legendre por medio de la sustitución x cos u. 47. Encuentre los primeros tres valores positivos de l para los cuales el problema (1 x2 )y 2xy y 0, y(0) 0, y(x), y(x) está acotada en [1,1] tiene soluciones no triviales. Tarea para el laboratorio de computación 48. En la realización de este problema, ignore la lista de polinomios de Legendre que se presenta en la página 249 y las gráficas de la figura 6.3.3. Use la fórmula de Rodrigues (30) para generar los polinomios de Legendre P1 (x), P2 (x), . . . , P7 (x). Use un SAC para realizar las de- rivadas y las simplificaciones. 49. Use un SAC para trazar las gráficas de P1 (x), P2 (x), . . . , P7 (x) en el intervalo [1, 1]. 50. Use un programa de cálculo de raíces para determinar las raíces de P1 (x), P2 (x), . . . , P7 (x). Si los polinomios de Legendre son funciones incorporadas en su SAC, encuen- tre los polinomios de Legendre de grado superior. Haga una suposición acerca de la localización de las raíces de algún polinomio de Legendre Pn (x) y luego investigue si es verdad. REPASO DEL CAPÍTULO 6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. En los problemas 1 y 2 conteste falso o verdadero sin consul- tar de nuevo el texto. 1. La solución general de x2 y xy (x2 1)y 0 es y c1 J1 (x) c2 J1 (x). 2. Debido a que x 0 es un punto singular irregular de x3 y xy y 0, la ED no tiene solución que sea ana- lítica en x 0. 3. ¿En cuál de los siguientes intervalos se garantiza que convergen para toda x ambas soluciones en serie de po- tencias de y ln(x 1)y y 0 centradas en el punto ordinario x 0? a) (, ) b) (1, ) c) [ 1 2, 1 2] d) [1, 1] 4. x 0 es un punto ordinario de cierta ecuación diferen- cial lineal. Después que se sustituye la solución supuesta y n 0 cn xn en la ED, se obtiene el siguiente sistema algebraico cuando los coeficientes de x0 , x1 , x2 y x3 se igualan a cero: 20c5 8c4 c3 2 3 c2 0. 12c4 6c3 c2 1 3 c1 0 6c3 4c2 c1 0 2c2 2c1 c0 0 Teniendo en mente que c0 y c1 son constantes arbitrarias, escriba los primeros cinco términos de dos series de po- tencias que son solución de la ecuación diferencial. 5. Suponga que se sabe que la serie de potencias k 0 ck(x 4)k converge en 2 y diverge en 13. Analice si la serie converge en 7, 0, 7, 10 y 11. Las respuestas posibles son si, no, podría. REPASO DEL CAPÍTULO 6 O 253 08367_06_ch06_p219-254.indd 253 08367_06_ch06_p219-254.indd 253 6/4/09 12:20:39 PM 6/4/09 12:20:39 PM www.FreeLibros.me
- 301. 254 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6. Use la serie de Maclaurin para sen x y cos x junto con la división larga para encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de una serie de potencias en x para la función f(x) senx cos x . En los problemas 7 y 8 construya una ecuación diferencial lineal de segundo orden que tenga las propiedades dadas. 7. Un punto singular regular en x 1 y un punto singular irregular en x 0. 8. Puntos singulares regulares en x 1 y en x 3. En los problemas 9 a 14 use un método de series infinitas apropiado respecto a x 0 para encontrar dos soluciones de la ecuación diferencial dada. 9. 2xy y y 0 10. y xy y 0 11. (x 1)y 3y 0 12. y x2 y xy 0 13. xy (x 2)y 2y 0 14. (cosx)y y 0 En los problemas 15 y 16, resuelva el problema con valores iniciales dado. 15. y xy 2y 0, y(0) 3, y(0) 2 16. (x 2)y 3y 0, y(0) 0, y(0) 1 17. Sin realmente resolver la ecuación diferencial (1 2 sen x)y xy 0, encuentre un límite inferior para el radio de convergencia de las soluciones en serie de potencias respecto al punto ordinario x 0. 18. Aunque x 0 es un punto ordinario de la ecuación dife- rencial, explique por qué no es una buena idea tratar de encontrar una solución del PVI y xy y 0, y(1) 6, y (1) 3 de la forma y n 0 cn xn . Por medio de series de poten- cias, determine una mejor forma de resolver el problema. En los problemas 19 y 20, investigue si x 0 es un punto ordina- rio, singular o singular irregular de la ecuación diferencial dada. [Sugerencia: Recuerde la serie de Maclaurin para cos x y ex .] 19. xy (1 cos x)y x2 y 0 20. (ex 1 x)y xy 0 21. Observe que x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial y x2 y 2xy 5 2x 10x3 . Use la suposición y n 0 cn xn para encontrar la solución ge- neral y yc yp que consiste en tres series de potencias centradas en x 0. 22. La ecuación diferencial de primer orden dydx x2 y2 no se puede resolver en términos de funciones elementa- les. Sin embargo, una solución se puede expresar en tér- minos de funciones de Bessel. a) Demuestre que la sustitución y 1 u du dx conduce a la ecuación u x2 u 0. b) Use la ecuación (18) de la sección 6.3 para encontrar la solución general de u x2 u 0. c) Use las ecuaciones (20) y (21) de la sección 6.3 en las formas y J (x) x J (x) J 1(x) J (x) x J (x) J 1(x) como ayuda para demostrar que una familia unipara- métrica de soluciones de dydx x2 y2 está dada por y x J3/4(1 2 x2 ) cJ 3/4(1 2 x2 ) cJ1/4(1 2 x2 ) J 1/4(1 2 x2 ) . 23. a) Use las ecuaciones (23) y (24) de la sección 6.3 para demostrar que Y1/2(x) B 2 x cos x. b) Use la ecuación (15) de la sección 6.3 para demostrar que I1/2(x) B 2 x senhx y I 1/2(x) B 2 x cosh x. c) Use el inciso b) para demostrar que K1/2(x) 2x e x . B 24. a) De las ecuaciones (27) y (28) de la sección 6.3 se sabe que cuando n 0, la ecuación diferencial de Legendre (1 x2 )y 2xy 0 tiene la solución polinomial y P0 (x) 1. Use la ecuación (5) de la sección 4.2 para demostrar que una segunda función de Legendre que satisface la ED en el intervalo 1 x 1 es y 1 2 ln 1 x 1 x . b) También sabemos de las ecuaciones (27) y (28) de la sección 6.3 que cuando n 1 la ecuación diferencial de Legendre (1 x2 )y 2xy 2y 0 tiene la solución polinomial y P1 (x) x. Use la ecuación (5) de la sección 4.2 para demostrar que una segunda función de Legendre que satisface la ED en el inter- valo 1 x 1 es y x 2 ln 1 x 1 x 1. c) Use un programa de graficación para trazar las funciones de Legendre logarítmicas dadas en los incisos a) y b). 25. a) Use series binomiales para mostrar formalmente que (1 2xt t2 ) 1/2 n 0 Pn(x)tn . b) Use el resultado obtenido en el inciso a) para demos- trar que Pn (1) 1 y Pn (1) (1)n . Véanse las propiedades ii) y iii) de la página 249. 08367_06_ch06_p219-254.indd 254 08367_06_ch06_p219-254.indd 254 6/4/09 12:20:40 PM 6/4/09 12:20:40 PM www.FreeLibros.me
- 302. 255 En los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos tales como un sistema resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada, de las ecuaciones diferenciales m d2 x dt2 b dx dt kx f(t) L d2 q dt2 R dq dt 1 C q E(t) o es una función de conducción y representa ya sea una fuerza externa f(t) o un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 consideramos problemas en los que las funciones f y E eran continuas. Sin embargo, las funciones de conducción discontinuas son comunes. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo en tramos y periódico tal como la función “diente de sierra” que se muestra arriba. En este caso, resolver la ecuación diferencial del circuito es difícil usando las técnicas del capítulo 4. La transformada de Laplace que se estudia en este capítulo es una valiosa herramienta que simplifica la solución de problemas como éste. 255 7.1 Definición de la transformada de Laplace 7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 7.2.2 Transformadas de derivadas 7.3 Propiedades operacionales I 7.3.1 Traslación en el eje s 7.3.2 Traslación en el eje t 7.4 Propiedades operacionales II 7.4.1 Derivadas de una transformada 7.4.2 Transformadas de integrales 7.4.3 Transformada de una función periódica 7.5 La función delta de Dirac 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales REPASO DEL CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 08367_07_ch07_p255-302.indd 255 08367_07_ch07_p255-302.indd 255 6/4/09 12:21:06 PM 6/4/09 12:21:06 PM www.FreeLibros.me
- 303. 256 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL O Integrales impropias con límites de integración infinitos. O Descomposición en fracciones parciales. INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son trans- formadas; esto significa, a grandes rasgos, que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f(x) x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración: d dx x2 2x y x2 dx 1 3 x3 c. Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una com- binación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y b constantes d dx [ f (x) g(x)] f (x) g (x) y [ f(x) g(x)] dx f(x) dx g(x) dx siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de trans- formada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales. 7.1 TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f respecto a una de las variables conduce a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 2 1 2xy2 dx 3y2 . De igual modo, una integral definida como b a K(s, t) f(t) dt transforma una función f de la variable t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0, ). Si f(t) se define para t 0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f(t) dt se define como un límite: 0 K(s, t) f (t) dt lím b : b 0 K(s, t) f (t) dt. (1) Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s. UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la trans- formada. La elección de K(s, t) est como el núcleo nos proporciona una transfor- mada integral especialmente importante. DEFINICIÓN 7.1.1 Transformada de Laplace Sea f una función definida para t 0. Entonces se dice que la integral {f(t)} 0 e st f(t) dt (2) es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja. 08367_07_ch07_p255-302.indd 256 08367_07_ch07_p255-302.indd 256 6/4/09 12:21:06 PM 6/4/09 12:21:06 PM www.FreeLibros.me
- 304. Cuando la integral de la definición (2) converge, el resultado es una función de s. En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo, . {f(t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s) EJEMPLO 1 Aplicando la definición 7.1.1 Evalúe . {1} SOLUCIÓN De (2), lím b : e st s 0 b lím b : e sb 1 s 1 s {1} 0 e st (1) dt lím b : b 0 e st dt siempre que s 0. En otras palabras, cuando s 0, el exponente sb es negativo y esb : 0 conforme b : . La integral diverge para s 0. El uso del signo de límite se vuelve un poco tedioso, por lo que se adopta la no- tación 0 como abreviatura para escribir límb: ( ) b 0. Por ejemplo, . {1} 0 e st (1) dt e st s 0 1 s , s 0 En el límite superior, se sobreentiende lo que significa est : 0 conforme t : para s 0. EJEMPLO 2 Aplicando la definición 7.1.1 Evalúe {t}. SOLUCIÓN De la definición 7.1.1 se tiene {t} 0 e st t dt. Al integrar por partes y usando s lím t : te st 0, 0, junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene . {t} te st s 0 1 s 0 e st dt 1 s {1} 1 s 1 s 1 s2 EJEMPLO 3 Aplicando la definición 7.1.1 Evalúe {e 3t }. SOLUCIÓN De la definición 7.1.1 se tiene 1 s 3 , s 3. e (s 3)t s 3 0 {e 3t } 0 e st e 3t dt 0 e (s 3)t dt El resultado se deduce del hecho de que límt: e(s3)t 0 para s 3 0 o s 3. 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE O 257 08367_07_ch07_p255-302.indd 257 08367_07_ch07_p255-302.indd 257 6/4/09 12:21:07 PM 6/4/09 12:21:07 PM www.FreeLibros.me
- 305. 258 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 4 Aplicando la definición 7.1.1 Evalúe {sen 2t}. SOLUCIÓN De la definición 7.1.1 e integrando por partes se tiene que lím e st cos 2t 0, s 0 t: Transformada de Laplace de sen 2t e st sen 2t –––––––––––– s 2 – s 2 – s {sen 2t} e st sen 2t dt {sen 2t}. e st cos 2t dt 0 0 0 e st cos 2t –––––––––––– s 2 – s 2 – s 2 –– s2 4 –– s2 [ e st sen 2t dt] 0 0 e st cos 2t dt, s 0 0 En este punto se tiene una ecuación con {sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si se despeja esa cantidad el resultado es . {sen 2t} 2 s2 4 , s 0 ᏸ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funcio- nes podemos escribir 0 e st [ f (t) g(t)] dt 0 e st f(t) dt 0 e st g(t) dt siempre que ambas integrales converjan para s c. Por lo que se tiene que { f(t) g(t)} { f(t)} {g(t)} F(s) G(s). (3) Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que es una transformación lineal. Por ejemplo, de los ejemplos 1 y 2 , {1 5t} {1} 5 {t} 1 s 5 s2 y de los ejemplos 3 y 4 . {4e 3t 10 sen 2t} 4 {e 3t } 10 {sen 2t} 4 s 3 20 s2 4 Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del si- guiente teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción en s; se sobreentiende que s está lo suficientemente restringida para garantizar la conver- gencia de la adecuada transformada de Laplace. TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas a) {1} 1 s b) {tn } n! sn 1 , n 1, 2, 3, . . . c) {eat } 1 s a d) {sen kt} k s2 k2 e) {cos kt} s s2 k2 f) {senh kt} k s2 k2 g) {cosh kt} s s2 k2 08367_07_ch07_p255-302.indd 258 08367_07_ch07_p255-302.indd 258 6/4/09 12:21:07 PM 6/4/09 12:21:07 PM www.FreeLibros.me
- 306. t f(t) b t1 t3 t2 a FIGURA 7.1.1 Función continua por tramos. FIGURA 7.1.2 f es de orden exponencial c. f(t) t T Mect (c 0) f(t) et2 t f(t) c ect FIGURA 7.1.4 et2 no es de orden exponencial. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE ᏸ{f(t)} La integral que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Por ejemplo, no existe {1t}ni {et2 }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de {f (t)} son que f sea continua por tramos en [0,) y que f sea de orden exponencial para t T. Recuerde que la función es continua por tramos en [0,) si, en cualquier intervalo 0 a t b, hay un número finito de puntos tk , k 1, 2, . . . , n (tkl tk ) en los que f tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto (tkl , tk ). Vea la figura 7.1.1. El concepto de orden exponencial se define de la siguiente manera. t e−t 2 cost et a) b) c) t et t 2et f(t) f(t) f(t) t FIGURA 7.1.3 Tres funciones de orden exponencial c 1. Una función como f(t) et2 no es de orden exponencial puesto que, como se muestra en la figura 7.1.4, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e para t c 0. Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que, para c 0, tn Me o ct tn ect M para t T es equivalente a demostrar que el límt : tn ect es finito para n 1, 2, 3, . . . El resul- tado se deduce con n aplicaciones de la regla de LHôpital. TEOREMA 7.1.2 Condiciones suficientes para la existencia Si f es una función continua por tramos en [0,) y de orden exponencial c, entonces {f(t)} existe para s c. DEFINICIÓN 7.1.2 Orden exponencial Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M 0 y T 0 tales que f(t) Mect para toda t T. Si f es una función creciente, entonces la condición f(t) Mect , t T, simple- mente establece que la gráfica de f en el intervalo (T, ) no crece más rápido que la gráfica de la función exponencial Mect , donde c es una constante positiva. Vea la figura 7.1.2. Las funciones f(t) t, f(t) et y f(t) 2 cos t son de orden exponencial c 1 para t 0 puesto que se tiene, respectivamente, . t et , e t et , y 2 cos t 2et Una comparación de las gráficas en el intervalo (0, ) se muestra en la figura 7.1.3. 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE O 259 08367_07_ch07_p255-302.indd 259 08367_07_ch07_p255-302.indd 259 6/4/09 12:21:08 PM 6/4/09 12:21:08 PM www.FreeLibros.me
- 307. 260 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACIÓN Por la propiedad aditiva del intervalo de integrales definidas po- demos escribir . {f(t)} T 0 e st f(t) dt T e st f(t) dt I1 I2 La integral I1 existe ya que se puede escribir como la suma de integrales en los intervalos en los que est f(t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen cons- tantes c, M 0, T 0 tales que f(t) Mect para t T. Entonces podemos escribir I2 T e st f(t) dt M T e st ect dt M T e (s c)t dt M e (s c)T s c para sc.Puestoque T Me (s c)t dt converge,laintegral T e st f(t) dt convergepor la prueba de comparación para integrales impropias. Esto, a su vez, significa que I2 existe parasc.LaexistenciadeI1 eI2 implicaqueexiste {f(t)} 0 e st f(t) dt parasc. EJEMPLO 5 Transformada de una función continua por tramos Evalúe {f(t)} donde f(t) 0, 0 t 3 2, t 3. SOLUCIÓN La función que se muestra en la figura 7.1.5, es continua por tramos y de orden exponencial para t 0. Puesto que f se define en dos tramos, {f(t)} se expresa como la suma de dos integrales: 2e 3s s , s 0. 0 2e st s 3 {f (t)} 0 e st f(t) dt 3 0 e st (0) dt 3 e st (2) dt Se concluye esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de funciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial. t y 3 2 FIGURA 7.1.5 Función continua por tramos. TEOREMA 7.1.3 Comportamiento de F(s) conforme s : Si f es continua por partes en (0, ) y de orden exponencial y F(s) {f(t)}, entonces el lím s: F(s) 0. DEMOSTRACIÓN Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes g, M1 0 y T 0 tales que f(t) M1 egt para t T. También, puesto que f es continua por tramos en el intervalo 0 t T, está necesariamente acotada en el intervalo; es decir, f(t) M2 M2 e0t Si M denota el máximo del conjunto {M1 , M2 } y c denota el máximo de {0, g}, entonces F(s) 0 e st f(t) dt M 0 e st ect dt M 0 e (s c)t dt M s c para s c. Conforme s : , se tiene F(s) : 0 y por tanto F(s) {f(t)} : 0. 08367_07_ch07_p255-302.indd 260 08367_07_ch07_p255-302.indd 260 6/4/09 12:21:09 PM 6/4/09 12:21:09 PM www.FreeLibros.me
- 308. EJERCICIOS 7.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. En los problemas l a 18 use la definición 7.1 para encontrar {f(t)}. 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(t) 0, cos t, 0 t 2 t 2 f(t) sen t, 0, 0 t t f(t) 2t 1, 0, 0 t 1 t 1 f(t) t, 1, 0 t 1 t 1 f(t) 4, 0, 0 t 2 t 2 f(t) 1, 1, 0 t 1 t 1 7. t f(t) (2, 2) 1 1 FIGURA 7.1.6 Gráfica para el problema 7. 9. FIGURA 7.1.8 Gráfica para el problema 9. t f(t) 1 1 FIGURA 7.1.7 Gráfica para el problema 8. t f(t) (2, 2) 1 1 8. FIGURA 7.1.9 Gráfica para el problema 10. f(t) a c b t 10. 11. f(t) et7 12. f(t) e2t5 13. f(t) te4t 14. f(t) t2 e2t 15. f(t) et sen t 16. f(t) et cos t 17. f(t) t cos t 18. f(t) t sen t En los problemas 19 a 36 use el teorema 7.1.1 para encontrar {f (t)}. 19. f(t) 2t4 20. f(t) t5 21. f(t) 4t 10 22. f(t) 7t 3 23. f(t) t2 6t 3 24. f(t) 4t2 16t 9 25. f(t) (t 1)3 26. f(t) (2t 1)3 27. f(t) 1 e4t 28. f(t) t2 e9t 5 29. f(t) (1 e2t )2 30. f(t) (et et )2 31. f(t) 4t2 5 sen 3t 32. f(t) cos 5t sen 2t 33. f(t) senh kt 34. f(t) cosh kt 35. f(t) et senh t 36. f(t) et cosh t En los problemas 37 a 40 encuentre {f(t)} usando primero una identidad trigonométrica. 37. f(t) sen 2t cos 2t 38. f(t) cos2 t 39. f(t) sen(4t 5) 40. f(t) 10 cos t 6 41. Una definición de la función gamma está dada por la in- tegral impropia ( ) 0 t 1 e t dt, 0. COMENTARIOS i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condi- ciones son suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. La función f(t) t1/2 no es continua por tramos en el intervalo [0, ), pero existe su transformada de Laplace. Vea el problema 42 en los ejercicios 7.1. ii) Como consecuencia del teorema 7.1.3 se puede decir que las funciones de s como F1 (s) 1 y F2 (s) s(s 1) no son las transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F1(s) 0 : / y F2(s) 0 : / conforme s : . Pero no se debe concluir de esto que F1 (s) y F2 (s) no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones. 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE O 261 08367_07_ch07_p255-302.indd 261 08367_07_ch07_p255-302.indd 261 6/4/09 12:21:09 PM 6/4/09 12:21:09 PM www.FreeLibros.me
- 309. 262 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE a) Demuestre que (a 1) a(a). b) Demuestre que {t } ( 1) s 1 , 1. 42. Use el hecho de que (1 2) 1 y el problema 41 para encontrar la transformada de Laplace de a) f(t) t1/2 b) f(t) t1/2 c) f(t) t3/2 . Problemas para analizar 43. Construya una función F(t) que sea de orden exponen- cial pero donde f(t) F(t) no sea de orden exponencial. Construya una función f que no sea de orden exponen- cial, pero cuya transformada de Laplace exista. 44. Suponga que {f1(t)} F1(s) para s c1 y que {f2(t)} F2(s) para s c2 . ¿Cuándo {f1(t) f2(t)} F1(s) F2(s)? 45. La figura 7.1.4 indica, pero no demuestra, que la función f(t) et2 no es de orden exponencial. ¿Cómo demuestra la observación de que t2 ln M ct, para M 0 y t sufi- cientemente grande, que et2 Mect para cualquier c? 46. Utilice el inciso c) del teorema 7.1.1 para demostrar que {e(aib)t } s a ib (s a)2 b2 , donde a y b son reales e i2 1. Demuestre cómo se puede usar la fórmula de Euler (página 134) para deducir los resultados . {eat sen bt} b (s a)2 b2 {eat cos bt} s a (s a)2 b2 47. ¿Bajo qué condiciones es una función lineal f(x) mx b, m 0, una transformada lineal? 48. La demostración del inciso b) del teorema 7.1.1 requiere el uso de la inducción matemática. Demuestre que si se supone que {tn1 } (n 1)!sn es cierta, entonces se deduce que {tn } n!sn1 . TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS REPASO DE MATERIAL O Descomposición en fracciones parciales INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares im- portantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f(t), f(t), . . . , se ilustra cómo entran en juego la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecua- ciones diferenciales ordinarias sencillas. 7.2 7.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), es decir, {f(t)} F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe f(t) 1 {F(s)}. En el caso de los ejem- plos 1, 2 y 3 de la sección 7.1 tenemos, respectivamente Transformada Transformada inversa {e 3t } 1 s 3 {t} 1 s2 {1} 1 s e 3t 1 1 s 3 t 1 1 s2 1 1 1 s 08367_07_ch07_p255-302.indd 262 08367_07_ch07_p255-302.indd 262 6/4/09 12:21:10 PM 6/4/09 12:21:10 PM www.FreeLibros.me
- 310. Pronto veremos que en la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones no se puede determinar de manera directa una función desconocida f(t); más bien, se puede despejar la transformada de Laplace F(s) o f(t); pero a partir de ese conocimiento, se determina f calculando f(t) 1 {F(s)}. La idea es simplemente esta: suponga que F(s) 2s 6 s2 4 es una transformada de Laplace; encuentre una función f(t) tal que {f (t)} F(s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este último problema. Para futuras referencias el análogo del teorema 7.1.1 para la transformada inversa se presenta como nuestro siguiente teorema. TEOREMA 7.2.1 Algunas transformadas inversas a) 1 1 1 s b) c) d) e) f) senh kt 1 k s2 k2 sen kt 1 k s2 k2 tn 1 n! sn 1 , n 1, 2, 3, . . . g) cosh kt 1 s s2 k2 cos kt 1 s s2 k2 eat 1 1 s a Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada. EJEMPLO 1 Aplicando el teorema 7.2.1 Evalúe a) 1 1 s5 b) . 1 1 s2 7 SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el inciso b) del teorema 7.2.1, se identifica n 1 5 o n 4 y luego se multiplica y divide entre 4!: . 1 1 s5 1 4! 1 4! s5 1 24 t4 b) Para que coincida con la forma dada en el inciso d) del teorema 7.2.1, identificamos k2 7 y, por tanto, k 17. Se arregla la expresión multiplicando y dividiendo entre 17 : . 1 1 s2 7 1 17 1 17 s2 7 1 17 sen17t 1 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La transformada de Laplace inversa es también una transformada lineal para las constantes a y b 1 { F(s) G(s)} 1 {F(s)} 1 {G(s)}, (1) donde F y G son las transformadas de algunas funciones f y g. Como en la ecuación (2) de la sección 7.1, la ecuación 1 se extiende a cualquier combinación lineal finita de transformadas de Laplace. 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 263 08367_07_ch07_p255-302.indd 263 08367_07_ch07_p255-302.indd 263 6/4/09 12:21:11 PM 6/4/09 12:21:11 PM www.FreeLibros.me
- 311. 264 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE división de cada uno de los términos entre el denominador incisos e) y d) del teorema 7.2.1 con k 2 linealidad y arreglo de las constantes 2s 6 ––––––––– s2 4 6 – 2 1 { } 1 { 2 cos 2t 3 sen 2t. } 2 1 { 1 { } 2s ––––––– s2 4 6 ––––––– s2 4 } 2 ––––––– s2 4 s ––––––– s2 4 (2) FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola ins- trucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el de- nominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consulta- ra un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría. En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales. EJEMPLO 2 División término a término y linealidad Evalúe 1 2s 6 s2 4 . SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones divi- diendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa la ecuación (1): EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales Evalúe 1 s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) . SOLUCIÓN Existen constantes reales A, B y C, por lo que A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 4) . s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) A s 1 B s 2 C s 4 Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos: . s2 6s 9 A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2) (3) Comparando los coeficientes de las potencias de s en ambos lados de la igualdad, sabe- mos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C. Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s 1, s 2 y s 4 en (3) se obtiene, respectivamente, 16 A( 1)(5), 25 B(1)(6) y , 1 C( 5)( 6) y así, B 25 6 A 16 5 , , y C 1 30 . Por lo que la descomposición en fracciones par- ciales es s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) 16 5 s 1 25 6 s 2 1 30 s 4 , (4) 08367_07_ch07_p255-302.indd 264 08367_07_ch07_p255-302.indd 264 6/4/09 12:21:11 PM 6/4/09 12:21:11 PM www.FreeLibros.me
- 312. y, por tanto, de la linealidad de 1 y del inciso c) del teorema 7.2.1, 1 s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) 16 5 1 1 s 1 25 6 1 1 s 2 1 30 1 1 s 4 16 5 et 25 6 e2t 1 30 e 4t . (5) 7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.Paratalfin,esnecesarioevaluarcantidadescomo {dydt}y {d2 ydt2 }. Por ejemplo, si f es continua para t 0, entonces integrando por partes se obtiene o {f (t)} sF(s) f (0). f(0) s {f(t)} {f (t)} 0 e st f (t) dt e st f(t) 0 s 0 e st f(t) dt (6) Aquí hemos supuesto que est f(t) : 0 conforme t : . De manera similar, con la ayuda de la ecuación (6), o {f (t)} s2 F(s) sf (0) f (0). ; de (6) s[sF(s) f(0)] f (0) f (0) s {f (t)} {f (t)} 0 e st f (t) dt e st f (t) 0 s 0 e st f (t) dt (7) De igual manera se puede demostrar que {f (t)} s3 F(s) s2 f(0) sf (0) f (0). (8) La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración. TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada Si f, f, . . . , f(n1) son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n) (t) es continua por tramos en [0, ), entonces {f (n) (t)} sn F(s) sn 1 f(0) sn 2 f (0) f (n 1) (0), donde F(s) {f(t)}. SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo- rema 7.2.2 que {dn ydtn } depende de Y(s) {y(t)} y las n 1 derivadas de y(t) evaluadas en t 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferen- cial tiene coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una combinación lineal de términos y, y, y, . . . , y(n) : y(0) y0, y (0) y1, . . . , y(n 1) (0) yn 1, an dn y dtn an 1 dn 1 y dtn 1 a0 y g(t), 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 265 08367_07_ch07_p255-302.indd 265 08367_07_ch07_p255-302.indd 265 6/4/09 12:21:12 PM 6/4/09 12:21:12 PM www.FreeLibros.me
- 313. 266 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE donde las ai , i 0, 1, . . . , n y y0 , y1 , . . . , yn1 son constantes. Por la propiedad de linea- lidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace: an dn y dtn an 1 dn 1 y dtn 1 a0 {y} {g(t)}. (9) Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en , an 1[sn 1 Y(s) sn 2 y(0) y(n 2) (0)] a0Y(s) G(s) an [sn Y(s) sn 1 y(0) y(n 1) (0)] (10) donde {y(t)} Y(s) y {g(t)} G(s). En otras palabras, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10) para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) Q(s) G(s) y después se escribe Y(s) Q(s) P(s) G(s) P(s) , (11) donde P(s) an sn an1 sn1 . . . a0 , Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n 1 que consiste en varios productos de los coeficientes ai , i 1, . . . , n y las condiciones iniciales prescritas y0 , y1 , . . . , yn1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t) 1 {Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término. El procedimiento se resume en el siguiente diagrama. Encuentre la y(t) desconocida que satisface la ED y las condiciones iniciales La ED transformada se convierte en una ecuación algebraica en Y(s) Resuelva la ecuación transformada para Y(s) Solución y(t) del PVI original Aplique la transformada de Laplace Aplique la transformada inversa de Laplace −1 En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s) contenga un polinomio cuadrático sin factores reales. * El polinomio P(s) es igual al polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 4.3 donde el símbolo m usual se sustituye por s. EJEMPLO 4 Solución de un PVI de primer orden Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales . dy dt 3y 13 sen 2t, y(0) 6 SOLUCIÓN Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación dife- rencial. dy dt 3 {y} 13 {sen 2t}. (12) 08367_07_ch07_p255-302.indd 266 08367_07_ch07_p255-302.indd 266 6/4/09 12:21:13 PM 6/4/09 12:21:13 PM www.FreeLibros.me
- 314. De (6), {dydt} sY(s) y(0) sY(s) 6 , y del inciso d) del teorema 7.1.1, {sen 2t} 2(s2 4) y , por lo que la ecuación (12) es igual que sY(s) 6 3Y(s) 26 s2 4 o . (s 3)Y(s) 6 26 s2 4 Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos Y(s) 6 s 3 26 (s 3)(s2 4) 6s2 50 (s 3)(s2 4) . (13) Puesto que el polinomio cuadrático s2 4 no se factoriza usando números reales, se supone que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s: . 6s2 50 (s 3)(s2 4) A s 3 Bs C s2 4 Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los numeradores, se obtiene 6s2 50 A(s2 4) (Bs C)(s 3). Haciendo s 3 se obtiene inmediatamente que A 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces reales, se igualan los coeficientes de s2 y s: 6 A B y 0 3B C. Si en la primera ecuación se usa el valor de A se encuentra que B 2, y con este valor aplicado a la segunda ecuación, se obtiene C 6. Por lo que, . Y(s) 6s2 50 (s 3)(s2 4) 8 s 3 2s 6 s2 4 Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos fracciones. Esto se hizo con la división término a término entre el denominador del ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo, . y(t) 8 1 1 s 3 2 1 s s2 4 3 1 2 s2 4 Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con valores iniciales es y(t) 8e3t 2 cos 2t 3 sen 2t. EJEMPLO 5 Solución de un PVI de segundo orden Resuelva y 3y 2y e4t , y(0) 1, y(0) 5. SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.2.1 y entonces se resuelve para Y(s): . Y(s) s 2 s2 3s 2 1 (s2 3s 2)(s 4) s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) (s2 3s 2)Y(s) s 2 1 s 4 s2 Y(s) sy(0) y (0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) 1 s 4 d2 y dt2 3 dy dt 2 {y} {e 4t } (14) Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) ya se presentaron en el ejemplo 3. En vista de los resultados en (3) y (4), se tiene la solución del problema con valores iniciales . y(t) 1 {Y(s)} 16 5 et 25 6 e2t 1 30 e 4t 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 267 08367_07_ch07_p255-302.indd 267 08367_07_ch07_p255-302.indd 267 6/4/09 12:21:13 PM 6/4/09 12:21:13 PM www.FreeLibros.me
- 315. 268 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transfor- mada de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría parecer que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el apli- cado a los problemas descritos en las secciones 2.3 y 4.3 a 4.6. No saque conclusiones negativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de parámetros o preocuparse acerca de los casos y el álgebra en el método de coeficien- tes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones iniciales prescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada de aplicar las condiciones iniciales a la solución general y c1 y1 c2 y2 cn yn yp de la ED para determinar constantes específicas en una solución particular del PVI. La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las sec- ciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo permiten resolver problemas de mayor complejidad. COMENTARIOS i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única; en otras palabras, es posible que {f1(t)} { f2(t)} y sin embargo f1 f2 . Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son conti- nuas por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son esencial- mente iguales. Véase el problema 44 en los ejercicios 7.2. Sin embargo, si f1 y f2 son continuas en [0, ) y {f1(t)} { f2(t)}, entonces f1 f2 en el intervalo. ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano des- composiciones en fracciones parciales. Hay otra forma de determinar los coefi- cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando {f(t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un pro- ducto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo 3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición s2 6s 9 (s 1)(s 2)(s 4) A s 1 B s 2 C s 4 (15) digamos, por s 1, se simplifica y entonces se hace s 1. Puesto que los coefi- cientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene s2 6s 9 (s 2)(s 4) s 1 A o . A 16 5 Escrita de otra forma, , s2 6s 9 (s 1) (s 2)(s 4) s 1 16 5 A donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado iz- quierdo se multiplica por s 1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s 2 y s 4: s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) 25 – – – 6 s2 B s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) 1 – – – 30 s4 C. y 08367_07_ch07_p255-302.indd 268 08367_07_ch07_p255-302.indd 268 6/4/09 12:21:14 PM 6/4/09 12:21:14 PM www.FreeLibros.me
- 316. La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determi- nar coeficientes se conoce desde luego como método de cubrimiento. iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sis- temas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s) an sn an1 sn1 a0 en (11) es el coeficiente total de Y(s) en (10) y es simplemente el ladoizquierdodelaEDendondelasderivadasdk ydtk sesustituyenporpotenciassk , k 0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s) 1P(s), función de transferencia del sistema y escribir la ecuación (11) como Y(s) W(s)Q(s) W(s)G(s). (16) De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta y(t) del sistema es una superposición de dos respuestas: . y(t) 1 {W(s)Q(s)} 1 {W(s)G(s)} y0(t) y1(t) . Si la entrada es g(t) 0, entonces la solución del problema es y0(t) 1 {W(s) Q(s)}. Esta solución se llama respuesta de entrada cero del sistema. Por otro lado, la función y1(t) 1 {W(s)G(s)} es la salida debida a la entrada g(t). Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones inicialessoncero),entoncesQ(s)0yportanto,laúnicasolucióndelproblemacon valores iniciales es y1 (t). La última solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Tanto y0 (t) como y1 (t) son soluciones particulares: y0 (t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones iniciales dadas y y1 (t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no ho- mogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la fun- ción de transferencia es W(s) 1(s2 3s 2), la respuesta de entrada cero es , y0(t) 1 s 2 (s 1)(s 2) 3et 4e2t y la respuesta de estado cero es . y1(t) 1 1 (s 1)(s 2)(s 4) 1 5 et 1 6 e2t 1 30 e 4t Compruebe que la suma de y0 (t) y y1 (t) es la solución de y(t) en el ejemplo 5 y que y0(0) 1, y0(0) 5, mientras que y1(0) 0, . y1(0) 0 EJERCICIOS 7.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. 7.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS En los problemas 1 a 30 use el álgebra apropiada y el teorema 7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada. 1. 2. 3. 4. 5. 1 (s 1)3 s4 1 1 s2 48 s5 1 1 s3 6. 1 (s 2)2 s3 1 2 s 1 s3 2 1 1 s4 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 1 2s 6 s2 9 1 4s 4s2 1 1 5 s2 49 1 1 4s 1 1 1 s2 1 s 1 s 2 16. 1 s 1 s2 2 1 1 4s2 1 1 10s s2 16 1 1 5s 2 1 4 s 6 s5 1 s 8 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 269 08367_07_ch07_p255-302.indd 269 08367_07_ch07_p255-302.indd 269 6/4/09 12:21:14 PM 6/4/09 12:21:14 PM www.FreeLibros.me
- 317. 270 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 1 1 s4 9 1 s (s 2)(s2 4) 1 1 s2 s 20 1 s 1 s2 4s 29. 18. 20. 26. 28. 30. 1 1 (s2 1)(s2 4) 1 2s 4 (s2 s)(s2 1) 1 1 s3 5s 1 s2 1 s(s 1)(s 1)(s 2) 1 s (s 2)(s 3)(s 6) 1 s 3 s 13 s 13 1 0.9s (s 0.1)(s 0.2) 1 s s2 2s 3 1 1 s2 3s 7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS En los problemas 31 a 40, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. 31. 32. 2 dy dt y 0, y(0) 3 dy dt y 1, y(0) 0 33. y 6y e4t , y(0) 2 34. y y 2 cos 5t, y(0) 0 35. y 5y 4y 0, y(0) 1, y(0) 0 36. y 4y 6e3t 3et , y(0) 1, y(0) 1 37. y y 22 sen22t, y(0) 10, y (0) 0 38. y 9y et , y(0) 0, y(0) 0 39. 2y 3y 3y 2y et , y(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 40. y 2y y 2y sen 3t, y(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 Las formas inversas de los resultados del problema 46 en los ejercicios 7.1 son 1 b (s a)2 b2 eat sen bt. 1 s a (s a)2 b2 eat cos bt En los problemas 41 y 42 use la transformada de Laplace y estas inversas para resolver el problema con valores iniciales dado. 41. y y e3t cos 2t, y(0) 0 42. y 2y 5y 0, y(0) 1, y(0) 3 Problemas para analizar 43. a) Con un ligero cambio de notación la transformada en (6) es igual a {f (t)} s {f (t)} f(0). Con f(t) teat , analice cómo se puede usar este re- sultado junto con c) del teorema 7.1.1 para evaluar {teat }. b) Proceda como en el inciso a), pero esta vez examine cómo usar (7) con f(t) t sen kt junto con d) y e) del teorema 7.1.1 para evaluar {t sen kt}. 44. Construya dos funciones f1 y f2 que tengan la misma trans- formada de Laplace. No considere ideas profundas. 45. Lea de nuevo el Comentario iii) de la página 269. Encuentre la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero para el PVI del problema 36. 46. Suponga que f(t) es una función para la que f(t) es conti- nua por tramos y de orden exponencial c. Use los resulta- dos de esta sección y la sección 7.1 para justificar , f (0) lím s: sF(s) donde F(s) { f (t)}. Compruebe este resultado con f(t) cos kt. PROPIEDADES OPERACIONALES I REPASO DE MATERIAL O Continúe practicando la descomposición en fracciones parciales. O Completar el cuadrado. INTRODUCCIÓN No es conveniente usar la definición 7.1 cada vez que se desea encontrar la transformada de Laplace de una función f(t). Por ejemplo, la integración por partes requerida para evaluar {et t2 sen 3t} es formidable en pocas palabras. En esta sección y la que sigue se presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y permiten cons- truir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice III) sin tener que recurrir a la definición básica y a la integración. 7.3 30. 1 6s 3 s4 5s2 4 08367_07_ch07_p255-302.indd 270 08367_07_ch07_p255-302.indd 270 6/4/09 12:21:15 PM 6/4/09 12:21:15 PM www.FreeLibros.me
- 318. 7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s UNA TRASLACION Evaluar transformadas tales como {e5t t3 } y {e 2t cos 4t} es directo siempre que se conozca (y así es) {t3 } y {cos 4t}. En general, si se co- noce la transformada de Laplace de una función f, {f(t)} F(s), es posible calcular la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de f, es decir, {eat f(t)}, sin ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar o desplazar, la transformada F(s) a F(s a). Este resultado se conoce como primer teorema de traslación o primer teorema de desplazamiento. TEOREMA 7.3.1 Primer teorema de traslación Si {f(t)} F(s) y a es cualquier número real, entonces . {eat f(t)} F(s a) PRUEBA La demostración es inmediata, ya que por la definición 7.1.1 . {eat f(t)} 0 e st eat f(t) dt 0 e (s a)t f(t) dt F(s a) Si se considera s una variable real, entonces la gráfica de F(s a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad a. Si a 0, la gráfica de F(s) se desplaza a unidades a la derecha, mientras que si a 0, la gráfica se desplaza a unidades a la izquierda. Véase la figura 7.3.1. Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo , {eat f(t)} { f(t)} s:s a donde s : s a significa que en la transformada de Laplace F(s) de f(t) siempre que aparezca el símbolo s se reemplaza por s a. s F(s) s = a, a 0 F F(s − a) FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el eje s. EJEMPLO 1 Usando el primer teorema de traslación Evalúe a) {e5t t3 } b) . {e 2t cos 4t} SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1. a) b) {e 2t cos 4t} {cos 4t} s:s ( 2) s s2 16 s:s 2 s 2 (s 2)2 16 {e5t t3 } {t3 } s: s 5 3! s4 s:s 5 6 (s 5)4 FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de F(s a), se debe reconocer F(s), para encontrar f(t) obteniendo la transformada de Laplace inversa de F(s) y después multiplicar f(t) por la función exponencial eat . Este procedi- miento se resume con símbolos de la siguiente manera: 1 {F(s a)} 1 {F(s) s:s a} eat f(t), (1) donde f(t) 1 {F(s)}. En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones parciales en el caso cuando el denominador de Y(s) contiene factores lineales repetidos. 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 271 08367_07_ch07_p255-302.indd 271 08367_07_ch07_p255-302.indd 271 6/4/09 12:21:16 PM 6/4/09 12:21:16 PM www.FreeLibros.me
- 319. 272 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos Evalúe a) 1 2s 5 (s 3)2 b) . 1 s2 53 s2 4s 6 SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término (s a)n , donde a es un nú- mero real y n es un entero positivo 2. Recuerde que si (s a)n aparece en el denomi- nador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes s a, (s a)2 , . . . , (s a)n . Por tanto, con a 3 y n 2 se escribe . 2s 5 (s 3)2 A s 3 B (s 3)2 Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene el numerador 2s 5 A(s 3) B y esta identidad produce A 2 y B 11. Por tanto, (2) y 1 2s 5 (s 3)2 2 1 1 s 3 11 1 1 (s 3)2 . 2s 5 (s 3)2 2 s 3 11 (s 3)2 (3) Ahora 1(s 3)2 es F(s) 1s2 desplazada tres unidades a la derecha. Ya que 1 {1s2 } t , se tiene de (1) que . 1 1 (s 3)2 1 1 s2 s:s 3 e3t t Por último, (3) es 1 2s 5 (s 3)2 2e3t 11e3t t. (4) b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático s2 4s 6 no tiene raíces reales y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado: s2 53 s2 4s 6 s2 53 (s 2)2 2 . (5) El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada de Laplace F(s) en la cual se ha reemplazado s por s 2. Lo que se trata de hacer es simi- lar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la forma correcta, es decir, s2 2 con s 2 en lugar de s. Sin embargo, se debe arreglar el numerador manipulando las constantes: . 1 2s 5 3 1 2 (s 2) 5 3 2 2 1 2 (s 2) 2 3 Ahora mediante la división entre el denominador de cada término, la linealidad de 1 , los incisos e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1), (6) 1 2 e 2t cos 12t 12 3 e 2t sen 12t. 1 2 1 s s2 2 s:s 2 2 312 1 12 s2 2 s:s 2 1 s2 5 3 s2 4s 6 1 2 1 s 2 (s 2)2 2 2 3 1 1 (s 2)2 2 s2 5 3 (s 2)2 2 1 2 (s 2) 2 3 (s 2)2 2 1 2 s 2 (s 2)2 2 2 3 1 (s 2)2 2 (7) 08367_07_ch07_p255-302.indd 272 08367_07_ch07_p255-302.indd 272 6/4/09 12:21:16 PM 6/4/09 12:21:16 PM www.FreeLibros.me
- 320. EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales Resuelva y 6y 9y t2 e3t , y(0) 2, y(0) 17. SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y las condiciones iniciales, se simplifica y luego se resuelve para Y(s) {f(t)}: . Y(s) 2s 5 (s 3)2 2 (s 3)5 (s 3)2 Y(s) 2s 5 2 (s 3)3 (s2 6s 9)Y(s) 2s 5 2 (s 3)3 s2 Y(s) sy(0) y (0) 6[sY(s) y(0)] 9Y(s) 2 (s 3)3 {y } 6 {y } 9 {y} {t2 e3t } El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en (2) del inciso a) del ejemplo (2). Por lo que . y(t) 2 1 1 s 3 11 1 1 (s 3)2 2 4! 1 4! (s 3)5 Y(s) 2 s 3 11 (s 3)2 2 (s 3)5 . (8) De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son 1 1 s2 s:s 3 te3t y . 1 4! s5 s:s 3 t4 e3t Por lo que (8) es y(t) 2e3t 11te3t 1 12t4 e3t . EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva y 4y 6y 1 et , y(0) 0, y(0) 0. SOLUCIÓN Y(s) 2s 1 s(s 1)(s2 4s 6) (s2 4s 6)Y(s) 2s 1 s(s 1) s2 Y(s) sy(0) y (0) 4[sY(s) y(0)] 6Y(s) 1 s 1 s 1 {y } 4 {y } 6 {y} {1} {e t } Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es . Y(s) 16 s 13 s 1 s 2 5 3 s2 4s 6 Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los resultados en (6) y (7), se tiene la solución 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 273 08367_07_ch07_p255-302.indd 273 08367_07_ch07_p255-302.indd 273 6/4/09 12:21:17 PM 6/4/09 12:21:17 PM www.FreeLibros.me
- 321. 274 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE . 1 6 1 3 e t 1 2 e 2t cos 12t 12 3 e 2t sen 12t y(t) 1 6 1 1 s 1 3 1 1 s 1 1 2 1 s 2 (s 2)2 2 2 312 1 12 (s 2)2 2 7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de cierto tiempo. Es conveniente entonces definir una función especial que es el número 0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t a y entonces el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama función escalón unitario o función de Heaviside. DEFINICIÓN 7.3.1 Función escalón unitario La función escalón unitario (t a) se define como (t a) 0, 1, 0 t a t a. Observe que se define (t a) sólo en el eje t no negativo, puesto que esto es todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más am- plio, (t a) 0 para t a. En la figura 7.3.2, se muestra la gráfica de (t a) . Cuando una función f definida para t 0 se multiplica por (t a), la función escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de esa función. Por ejemplo, con- sidere la función f(t) 2t 3. Para “desactivar” la parte de la gráfica de f para 0 t 1, simplemente formamos el producto (2t 3) (t 1). Véase la figura 7.3.3. En general, la gráfica de f(t) (t a) es 0 (desactivada) para 0 t a y es la parte de la gráfica de f(activada) para t a. La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones defi- nidas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0 t 2 , 2 t 3, y t 3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3), debe ser evidente que la función definida por tramos que se muestra en la figura 7.3.4 es igual que f(t) 2 3 (t 2) (t 3). También, una función general definida por tramos del tipo f(t) g(t), h(t), 0 t a t a (9) es la misma que: f(t) g(t) g(t) (t a) h(t) (t a). (10) Análogamente, una función del tipo f(t) 0, g(t), 0, 0 t a a t b t b (11) puede ser escrita como f (t) g(t)[ (t a) (t b)]. (12) FIGURA 7.3.2 Gráfica de la función escalón unitario. t 1 a FIGURA 7.3.3 La función es f(t) (2t 3) (t 1). 1 y t FIGURA 7.3.4 La función es f (t) 2 3 (t 2) (t 3). −1 2 t f(t) 08367_07_ch07_p255-302.indd 274 08367_07_ch07_p255-302.indd 274 6/4/09 12:21:17 PM 6/4/09 12:21:17 PM www.FreeLibros.me
- 322. EJEMPLO 5 Una función definida por tramos Exprese f(t) 20t, 0, 0 t 5 t 5 en términos de funciones escalón unitario. Trace la gráfica. SOLUCIÓN En la figura 7.3.5 se muestra la gráfica de f. Ahora, de (9) y (10) con a 5, g(t) 20t y h(t) 0, se obtiene f(t) 20t 20t (t 5). Considere una función general y f(t) definida para t 0. La función definida por tramos f(t a) (t a) 0, f(t a), 0 t a t a (13) juega un papel importante en la explicación que sigue. Como se muestra en la figura 7.3.6, para a 0 la gráfica de la función y f(t a) (t a) coincide con la grá- fica de y f(t a) para t a (que es la gráfica completa de y f(t), t 0 desplazada a unidades a la derecha en el eje t), pero es idénticamente cero para 0 t a. Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de f(t) da como resul- tado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del siguiente teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una función expo- nencial eas , a 0, la transformada inversa del producto eas F(s) es la función f desplazada a lo largo del eje t en la manera que se muestra en la figura 7.3.6b. Este resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama segundo teorema de traslación o segundo teorema de desplazamiento. FIGURA 7.3.5 La función es f(t) 20t 20t (t 5). 100 5 f(t) t FIGURA 7.3.6 Desplazamiento en el eje t. a) f (t), t
- 323. 0 b) f (t a) (t a) t f(t) t f(t) a cero para 0 t a uno para t
- 324. a ᏸ{f (t a) (t a)} estf (t a) (t a) dt estf (t a) (t a) dt estf (t a) dt. ᐁ ᐁ ᐁ a 0 a a Ahora si hacemos v t a, dv dt en la última integral, entonces TEOREMA 7.3.2 Segundo teorema de traslación Si F(s) {f(t)} y a 0, entonces . {f(t a) (t a)} e as F(s) DEMOSTRACIÓN Por la propiedad de intervalo aditivo de integrales, (t a) dt 0 e st f(t a) se puede escribir como dos integrales: . {f(t a) (t a)} 0 e s(v a) f(v) dv e as 0 e sv f (v) dv e as {f (t)} Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función escalón unitario. Esto puede ser de la definición 7.1.1 o teorema 7.3.2. Si se identifica f(t) 1 en el teorema 7.3.2, entonces f(t a) 1, F(s) {1} 1s y por tanto, { (t a)} e as s . (14) Por ejemplo, si se usa la ecuación (14), la transformada de Laplace de la función de la figura 7.3.4 es 2 1 s 3 e 2s s e 3s s . { f(t)} 2 {1} 3 { (t 2)} { (t 3)} 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 275 08367_07_ch07_p255-302.indd 275 08367_07_ch07_p255-302.indd 275 6/4/09 12:21:18 PM 6/4/09 12:21:18 PM www.FreeLibros.me
- 325. 276 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si f(t) 1 {F(s)}, la forma inversa del teorema 7.3.2 a 0, es 1 {e as F(s)} f(t a) (t a). (15) EJEMPLO 6 Uso de la fórmula (15) Evalúe b) 1 s s2 9 e s/2 a) 1 1 s 4 e 2s . SOLUCIÓN a) De acuerdo con las identidades a 2, F(s) 1(s 4) y 1 {F(s)} e4t , se tiene de (15) . 1 1 s 4 e 2s e4(t 2) (t 2) b) Con a p2, F(s) s(s2 9) y 1 {F(s)} cos 3t, de la ecuación (15) se ob- tiene . 1 s s2 9 e s/2 cos 3 t 2 t 2 La última expresión se puede simplificar un poco con la fórmula adicional para el coseno. Compruebe que el resultado es igual a sen 3t t 2 . FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos con el problema de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función g y una función escalón unitario (t a) donde la función g no tiene la forma precisa de desplazamiento f(t a) del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace de g(t) (t a), es posible arreglar g(t) en la forma requerida f(t a) usando álgebra. Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace de t2 (t 2), se tendría que forzar g(t) t2 a la forma f(t 2). Se debe trabajar alge- braicamente y comprobar que t2 (t 2)2 4(t 2) 4 es una identidad. Por tanto, {t2 (t 2)} {(t 2)2 (t 2) 4(t 2) (t 2) 4 (t 2)}, donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple dise- ñar una forma alternativa del teorema 7.3.2. Usando la definición 7.1.1, la definición de (t a), y la sustitución u t a, se obtiene . {g(t) (t a)} a e st g(t) dt 0 e s(u a) g(u a) du Es decir, {g(t) (t a)} e as {g(t a)}. (16) EJEMPLO 7 Segundo teorema de traslación: forma alternativa Evalúe {cos t (t )}. SOLUCIÓN Con g(t) cos t y a p, entonces g(t p) cos (t p) cos t por la fórmula de adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16), {cos t (t )} e s {cos t} s s2 1 e s . 08367_07_ch07_p255-302.indd 276 08367_07_ch07_p255-302.indd 276 6/4/09 12:21:19 PM 6/4/09 12:21:19 PM www.FreeLibros.me
- 326. EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales Resuelva y y f(t), y(0) 5, donde f(t) 0, 3 cos t, 0 t t . SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f(t) 3 cos t (t p), y entonces por linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene Y(s) 5 s 1 3 2 1 s 1 e s 1 s2 1 e s s s2 1 e s (s 1)Y(s) 5 3s s2 1 e s sY(s) y(0) Y(s) 3 s s2 1 e s {y } {y} 3 {cos t (t )} . (17) Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 6, se tiene de (15) con a p que los inversos de los términos dentro del paréntesis son FIGURA 7.3.7 Gráfica de la función en (18). _2 1 2 3 4 5 _1 t y 2 π π 3π 1 1 s 1 e s e (t ) (t ), 1 1 s2 1 e s sen(t ) (t ), y 1 s s2 1 e s cos(t ) (t ). Por lo que el inverso de (17) es 5e t , 5e t 3 2 e (t ) 3 2 sen t 3 2 cos t, 0 t t . ; identidades trigonométricas 5e t 3 2 [e (t ) sen t cos t] (t ) y(t) 5e t 3 2 e (t ) (t ) 3 2 sen(t ) (t ) 3 2 cos(t ) (t ) (18) Usando un programa de graficación hemos obtenido la gráfica de (18) que se muestra en la figura 7.3.7. VIGAS En la sección 5.2 vimos que la deflexión estática y(x) de una viga uniforme de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecua- ción diferencial lineal de cuarto orden EI d4 y dx4 w(x), (19) donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una sección transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la ecuación (19) cuando w(x) se define por tramos. Sin embargo, para usar la transformada de Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x) están defini- das en (0, ) y no en (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la frontera más que un problema con valores iniciales. EJEMPLO 9 Un problema con valores en la frontera Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos, como se muestra en la figura 7.3.8. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por w(x) w0 1 2 L x , 0, 0 x L2 L2 x L. FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con carga variable. pared x y L w(x) 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 277 08367_07_ch07_p255-302.indd 277 08367_07_ch07_p255-302.indd 277 6/4/09 12:21:20 PM 6/4/09 12:21:20 PM www.FreeLibros.me
- 327. 278 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga esta empotrada en ambos extremos, las condiciones de frontera son y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0. Ahora usando (10) se puede expresar w(x) en términos de la función escalón unitario: 2w0 L L 2 x x L 2 x L 2 . w(x) w0 1 2 L x w0 1 2 L x x L 2 Transformando la ecuación (19) respecto a la variable x, se obtiene o s4 Y(s) sy (0) y (0) 2w0 EIL L2 s 1 s2 1 s2 e Ls/2 . EI s4 Y(s) s3 y(0) s2 y (0) sy (0) y (0) 2w0 L L2 s 1 s2 1 s2 e Ls/2 Si hacemos c1 y(0) y c2 y(0), entonces , Y(s) c1 s3 c2 s4 2w0 EIL L2 s5 1 s6 1 s6 e Ls/2 y en consecuencia c1 2 x2 c2 6 x3 w0 60 EIL 5L 2 x4 x5 x L 2 5 x L 2 . y(x) c1 2! 1 2! s3 c2 3! 1 3! s4 2w0 EIL L2 4! 1 4! s5 1 5! 1 5! s6 1 5! 1 5! s6 e Ls/ 2 Aplicando las condiciones y(L) 0 y y(L) 0 al último resultado, se obtiene un sistema de ecuaciones para c1 y c2 : c1 L c2 L2 2 85w0L3 960EI 0. c1 L2 2 c2 L3 6 49w0L4 1920EI 0 Resolviendo se encuentra que c1 23w0 L2 (960El) y c2 9w0 L(40EI). Por lo que la deflexión está dada por y(x) 23w0L2 1920EI x2 3w0L 80EI x3 w0 60EIL 5L 2 x4 x5 x L 2 5 x L 2 . EJERCICIOS 7.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. 7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s En los problemas 1 a 20 encuentre F(s) o f(t), como se indica. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. {e 2t cos 4t} {e2t (t 1)2 } {t10 e 7t } {te 6t } 9. 10. e3t 9 4t 10 sen t 2 {(1 et 3e 4t ) cos 5t} {et sen 3t} {t(et e2t )2 } {t3 e 2t } {te10t } 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 1 2s 1 s2 (s 1)3 1 s (s 1)2 1 s s2 4s 5 1 1 s2 6s 10 1 1 (s 2)3 20. 1 (s 1)2 (s 2)4 1 5s (s 2)2 1 2s 5 s2 6s 34 1 1 s2 2s 5 1 1 (s 1)4 08367_07_ch07_p255-302.indd 278 08367_07_ch07_p255-302.indd 278 6/4/09 12:21:20 PM 6/4/09 12:21:20 PM www.FreeLibros.me
- 328. En los problemas 21 a 30, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. 21. y 4y e4t , y(0) 2 22. y y 1 tet , y(0) 0 23. y 2y y 0, y(0) 1, y(0) 1 24. y 4y 4y t3 e2t , y(0) 0, y(0) 0 25. y 6y 9y t, y(0) 0, y(0) 1 26. y 4y 4y t3 , y(0) 1, y(0) 0 27. y 6y 13y 0, y(0) 0, y(0) 3 28. 2y 20y 51y 0, y(0) 2, y(0) 0 29. y y et cos t, y(0) 0, y(0) 0 30. y 2y 5y 1 t, y(0) 0, y(0) 4 En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y el procedimiento descrito en el ejemplo 9 para resolver el problema con valores en la frontera dado. 31. y 2y y 0, y(0) 2, y(1) 2 32. y 8y 20y 0, y(0) 0, y(p) 0 33. Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a partir del reposo 18 pulgadas arriba de la posición de equili- brio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 7 8 veces la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace para encontrar la ecuación de movimiento x(t). 34. Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instan- tánea q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está dada por . L d2 q dt2 R dq dt 1 C q E(t) (20) Véase la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para encontrar q(t) cuando L 1 h, R 20 , C 0.005 f, E(t) 150 V, t 0, q(0) 0 e i(0) 0. ¿Cuál es la co- rriente i(t)? 35. Considere una batería de voltaje constante E0 que carga el capacitor que se muestra en la figura 7.3.9. Divida la ecua- ción (20) entre L y defina 2l RL y v2 1LC. Use la transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t) de q 2lq v2 q E0 L sujeta a q(0) 0, i(0) 0 es q(t) E0C 1 e t (cosh 1 2 2 t 1 2 2 senh 1 2 2 t) , , E0C[1 e t (1 t)], , E0C 1 e t (cos 1 2 2 t 1 2 2 sen 1 2 2 t) , . 36. Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) en un circuito RC en serie cuando q(0) 0 y E(t) E0 ekt , k 0. Considere dos casos: k 1RC y k 1RC. 7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t En los problemas 37 a 48 encuentre F(s) o f(t), como se indica. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. En los problemas 49 a 54, compare la gráfica dada con una de las funciones de los incisos a) a f). La gráfica de f(t) se pre- senta en la figura 7.3.10. a) b) c) d) e) f) f(t a) (t a) f (t a) (t b) f(t) (t a) f(t) (t b) f(t) f (t) (t b) f(t) (t a) f (t b) (t b) f (t) f(t) (t a) FIGURA 7.3.9 Circuito en serie del problema 35. E0 R C L FIGURA 7.3.10 Gráfica para los problemas 49 a 54. t f(t) a b 49. FIGURA 7.3.11 Gráfica para el problema 49. t f(t) a b 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 279 1 e s s(s 1) 1 e s s2 1 1 e 2s s3 {cos 2t (t )} {t (t 2)} {(t 1) (t 1)} 1 e 2s s2 (s 1) 1 se s/2 s2 4 1 (1 e 2s )2 s 2 sen t t 2 {(3t 1) (t 1)} {e2 t (t 2)} 08367_07_ch07_p255-302.indd 279 08367_07_ch07_p255-302.indd 279 6/4/09 12:21:21 PM 6/4/09 12:21:21 PM www.FreeLibros.me
- 329. 280 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE FIGURA 7.3.12 Gráfica para el problema 50. t f(t) a b 50. FIGURA 7.3.13 Gráfica para el problema 51. t f(t) a b 51. FIGURA 7.3.14 Gráfica para el problema 52. t f(t) a b 52. FIGURA 7.3.15 Gráfica para el problema 53. t f(t) a b 53. FIGURA 7.3.16 Gráfica para el problema 54. t f(t) a b 54. En los problemas 55 a 62, escriba cada función en términos de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de Laplace de la función dada. 55. 56. 57. f(t) 0, t2 , 0 t 1 t 1 f(t) 1, 0, 1, 0 t 4 4 t 5 t 5 f(t) 2, 2, 0 t 3 t 3 58. 59. 60. f(t) sen t, 0, 0 t 2 t 2 f(t) t, 0, 0 t 2 t 2 f(t) 0, sen t, 0 t 3 2 t 3 2 62. FIGURA 7.3.18 Gráfica para el problema 62. 3 2 1 función escalera t f(t) 1 2 3 4 61. FIGURA 7.3.17 Gráfica para el problema 61. 1 pulso rectangular t b a f(t) En los problemas 63 a 70, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. 63. y y f(t), y(0) 0, donde f(t) 0, 5, 0 t 1 t 1 64. y y f(t), y(0) 0, donde f(t) 1, 1, 0 t 1 t 1 65. y 2y f(t), y(0) 0, donde f(t) t, 0, 0 t 1 t 1 66. donde f(t) 1, 0, 0 t 1 t 1 y 4y f(t), y(0) 0, y (0) 1, 67. 68. 69. , y(0) 1, y (0) 0 , y(0) 0, y (0) 1 donde f (t) 0, 1, 0, 0 t t 2 t 2 y y f(t), y(0) 0, y (0) 1, y 5y 6y (t 1) y 4y sen t (t 2 ) 70. y 4y 3y 1 (t 2) (t 4) (t 6), y(0) 0, y(0) 0 08367_07_ch07_p255-302.indd 280 08367_07_ch07_p255-302.indd 280 6/4/09 12:21:22 PM 6/4/09 12:21:22 PM www.FreeLibros.me
- 330. 71. Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies. Si el peso se libera a partir del reposo en la posición de equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si una fuerza f(t) 20t actúa en el sistema para 0 t 5 y luego se retira (véase el ejemplo 5). Desprecie cualquier fuerza de amortiguamiento. Use un programa de grafica- ción para trazar x(t) en el intervalo [0, 10]. 72. Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f(t) sen t actúa en el sistema para 0 t 2p y después se retira. En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie sujeto a las condiciones indicadas. 73. q(0) 0, R 2.5 , C 0.08 f, E(t) dada en la figura 7.3.19. t E(t) 3 5 FIGURA 7.3.19 E(t) en el problema 73. t E(t) 1.5 30 30et FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 74. 74. q(0) q0 , R 10 , C 0.1 f, E(t) dada en la figura 7.3.20. 75. a) Use la transformada de Laplace para encontrar la co- rriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola malla cuando i(0) 0, L 1 h, R 10 y E(t) es como se ilustra en 1a figura 7.3.21. b) Use un programa de computadora para graficar y di- buje i(t) en el intervalo 0 t 6. Use la gráfica para estimar imáx e imín , los valores máximo y mínimo de la corriente. FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 75. /2 1 −1 t E(t) 3 /2 π sen t, 0 ≤ t 3 /2 π π π FIGURA 7.3.22 E(t) en el problema 76. t 3 1 E(t) E0 76. a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie cuando q(0) 0, R 50 , C 0.01 f y E(t) es como se muestra en la figura 7.3.22. b) Suponga que E0 100 V. Use un programa de compu- tadora para graficar y dibuje q(t) para 0 t 6. Use la gráfica para estimar qmáx el valor máximo de 1a carga. 77. Una viga en voladizo está empotrada en su extremo iz- quierdo y libre en su extremo derecho. Use 1a transfor- mada de Laplace para determinar la deflexión y(x) cuando la carga está dada por w(x) w0, 0, 0 x L 2 L2 x L. 78. Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por w(x) 0, w0, 0, 0 x L3 L3 x 2L 3 2L 3 x L. 79. Encuentre la deflexión y(x) de una viga en voladizo empo- trada en su extremo izquierdo y libre en su extremo dere- cho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 9. 80. Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apo- yada simplemente en el extremo derecho. Encuentre la deflexión y(x) cuando la carga es como la que se da en el problema 77. Modelo matemático 81. Pastel dentro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se saca de un horno. a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en t 0 la mezcla de pas- tel está a temperatura ambiente de 70°; el horno no se precalienta por lo que en t 0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura den- tro del horno también es 70°; la temperatura del horno aumenta linealmente hasta t 4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 300°; la temperatura del horno se mantiene constante en 300° para t 4. b) Use la transformada de Laplace para resolver el pro- blema con valores iniciales del inciso a). 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 281 08367_07_ch07_p255-302.indd 281 08367_07_ch07_p255-302.indd 281 6/4/09 12:21:23 PM 6/4/09 12:21:23 PM www.FreeLibros.me
- 331. 282 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Problemas para analizar 82. Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguien- tes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pu- diera usar directamente para encontrar la transformada de Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación (16) de esta sección. a) b) c) {cos t (t )} {(2t 1) (t 1)} d) {(t2 3t) (t 2)} {et (t 5)} 83. a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el símbolo a se reemplaza por ki, donde k es un número real e i2 1. Demuestre que {tekti } se puede usar para deducir {t sen kt} 2ks (s2 k2 )2 . {t cos kt} s2 k2 (s2 k2 )2 b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales x v2 x cos vt, x(0) 0, x (0) 0. PROPIEDADES OPERACIONALES II REPASO DE MATERIAL O Definición 7.1.1 O Teoremas 7.3.1 y 7.3.2 INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transfor- mada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f(t) que se multi- plica por un monomio tn , la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han en- contrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por tramos. 7.4 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR tn La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar derivando la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) {f (t)} existe y que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces ; d ds F(s) d ds 0 e st f(t) dt 0 s [e st f(t)] dt 0 e st tf(t) dt {tf(t)} es decir, {tf(t)} d ds {f (t)}. Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2 f(t): . {t2 f(t)} {t tf(t)} d ds {tf(t)} d ds d ds {f(t)} d 2 ds2 {f (t)} Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para {tn f(t)}. TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas Si F(s) {f(t)} y n 1, 2, 3, . . . , entonces . {tn f(t)} ( 1)n dn dsn F(s) 08367_07_ch07_p255-302.indd 282 08367_07_ch07_p255-302.indd 282 6/4/09 12:21:23 PM 6/4/09 12:21:23 PM www.FreeLibros.me
- 332. EJEMPLO 1 Uso del teorema 7.4.1 Evalúe {t sen kt}. SOLUCIÓN Con f(t) sen kt, F(s) k(s2 k2 ) y n 1, el teorema 7.4.1 da . {t sen kt} d ds {sen kt} d ds k s2 k2 2ks (s2 k2 )2 Si se quiere evaluar {t2 sen kt} y {t3 sen kt}, todo lo que se necesita hacer, a su vez, es tomar el negativo de la derivada respecto a s del resultado del ejemplo 1 y después tomar el negativo de la derivada respecto a s de {t2 sen kt}. NOTA Para encontrar transformadas de funciones tn eat , se puede usar el teorema 7.3.1 o el teorema 7.4.1. Por ejemplo, Teorema 7.3.1: {te3t } {t}s :s 3 1 s2 s:s 3 1 (s 3)2 . Teorema 7.4.1: {te3t } d ds {e3t } d ds 1 s 3 (s 3) 2 1 (s 3)2 . EJEMPLO 2 Un problema con valores iniciales Resuelva x 16x cos 4t, x(0) 0, x(0) 1. SOLUCIÓN El problema con valores iniciales podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y en resonancia de una masa en un resorte. La masa comienza con una velocidad inicial de 1 pie/s en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio. Transformando la ecuación diferencial, se obtiene (s2 16) X(s) 1 s s2 16 o . X(s) 1 s2 16 s (s2 16)2 Ahora bien, en el ejemplo 1 se vio que 1 2ks (s2 k2 )2 t sen kt (1) y por tanto, identificando k 4 en (1) y en el inciso d) del teorema 7.2.1, se obtiene 1 4 sen 4t 1 8 t sen 4t x(t) 1 4 1 4 s2 16 1 8 1 8s (s2 16)2 7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES CONVOLUCIÓN Si las funciones f y g son continuas por tramos en [0, ), enton- ces un producto especial, denotado por f * g, se define mediante la integral f g t 0 f( ) g(t ) d (2) y se llama convolución de f y g. La convolución de f * g es una función de t. Por ejemplo, et sen t t 0 e sen (t ) d 1 2 ( sen t cos t et ). (3) 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 283 08367_07_ch07_p255-302.indd 283 08367_07_ch07_p255-302.indd 283 6/4/09 12:21:24 PM 6/4/09 12:21:24 PM www.FreeLibros.me
- 333. 284 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Se deja como ejercicio demostrar que t 0 f( ) g(t ) d t 0 f(t ) g( ) d ; es decir, f ∗ g g ∗ f. Esto significa que la convolución de dos funciones es conmutativa. No es cierto que la integral de un producto de funciones sea el producto de las in- tegrales. Sin embargo, es cierto que la transformada de Laplace del producto especial (2), es el producto de la transformada de Laplace de f y g. Esto significa que es posible determinar la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin evaluar en realidad la integral como se hizo en (3). El resultado que sigue se conoce como teorema de convolución. TEOREMA 7.4.2 Teorema de convolución Si f(t) y g(t) son funciones continuas por tramos en [0, ) y de orden expo- nencial, entonces . {f g} { f(t)} {g(t)} F(s)G(s) DEMOSTRACIÓN Sea F(s) {f(t)} 0 e s f( ) d y G(s) {g(t)} 0 e s g( ) d . Procediendo formalmente, tenemos 0 f( ) d 0 e s( ) g( ) d . 0 0 e s( ) f( )g( ) d d F(s)G(s) 0 e s f( ) d 0 e s g( ) d Conservando t fija, hacemos t t b, dt db, por lo que F(s)G(s) 0 f( ) d e st g(t ) dt. En el plano tt se realiza la integración en la región sombreada de la figura 7.4.1. Puesto que f y g son continuas por tramos en [0,) y de orden exponencial, es posible inter- cambiar el orden de integración: F(s) G(s) 0 e st dt t 0 f( )g(t ) d 0 e st t 0 f( ) g(t ) d dt {f g}. EJEMPLO 3 Transformada de una convolución Evalúe t 0 e sen(t ) d . SOLUCIÓN Con f(t) et y g(t) sen t, el teorema de convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace: . t 0 e sen(t ) d {et } {sen t} 1 s 1 1 s2 1 1 (s 1)(s2 1) FIGURA 7.4.1 Cambio del orden de integración de primero t a primero t. t τ τ τ = t : 0 to t t: to ∞ τ 08367_07_ch07_p255-302.indd 284 08367_07_ch07_p255-302.indd 284 6/4/09 12:21:24 PM 6/4/09 12:21:24 PM www.FreeLibros.me
- 334. INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene 1 {F(s)G(s)} f g. (4) Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice III, se pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente, se obtiene el elemento 25 de la tabla: {sen kt kt cos kt} 2k3 (s2 k2 )2 . (5) EJEMPLO 4 Transformada inversa como una convolución Evalúe 1 1 (s2 k2 )2 . SOLUCIÓN Sea F(s) G(s) 1 s2 k2 por lo que . f(t) g(t) 1 k 1 k s2 k2 1 k sen kt En este caso la ecuación (4) da 1 1 (s2 k2 )2 1 k2 t 0 sen k sen k(t ) d . (6) Con la ayuda de la identidad trigonométrica sen A cos B 1 2 [cos(A B) cos(A B)] y las sustituciones A kt y B k(t t) se puede realizar la integración en (6): sen kt kt cos kt 2k3 . 1 2k2 1 2k sen k(2 t) cos kt t 0 1 1 (s2 k2 )2 1 2k2 t 0 [cos k(2 t) cos kt] d Multiplicando ambos lados por 2k3 , se obtiene la forma inversa de (5). TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t) 1 y {g(t)} G(s) 1s, el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es t 0 f( ) d F(s) s . (7) La forma inversa de (7), t 0 f( ) d 1 F(s) s , (8) se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denomina- dor y f(t) 1 {F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f(t) sen t que F(s) 1(s2 1) y por tanto usando la ecuación (8) 1 1 s2 (s2 1) t 0 (1 cos ) d t sen t 1 1 s(s2 1) t 0 sen d 1 cos t 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 285 08367_07_ch07_p255-302.indd 285 08367_07_ch07_p255-302.indd 285 6/4/09 12:21:25 PM 6/4/09 12:21:25 PM www.FreeLibros.me
- 335. 286 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 1 s3 (s2 1) t 0 ( sen ) d 1 2 t2 1 cos t etcétera. ECUACIÓN INTEGRAL DE VOLTERRA El teorema de convolución y el resultado en (7) son útiles para resolver otros tipos de ecuaciones en las que una función des- conocida aparece bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente se resuelve una ecuación integral de Volterra para f(t), f(t) g(t) t 0 f( ) h(t ) d . (9) Las funciones g(t) y h(t) son conocidas. Observe que la integral en (9) tiene la forma de convolución (2) con el símbolo h jugando el papel de g. EJEMPLO 5 Una ecuación integral Resuelva . f(t) 3t2 e t t 0 f( ) et d para f(t). SOLUCIÓN En la integral se identifica h(t t) et t por lo que h(t) et . Se toma la transformada de Laplace de cada término; en particular, por el teorema 7.4.2 la trans- formada de Laplace es el producto de {f(t)} F(s) y {et } 1(s 1). . F(s) 3 2 s3 1 s 1 F(s) 1 s 1 Después de resolver la última ecuación para F(s) y realizar la descomposición en frac- ciones parciales, se encuentra . F(s) 6 s3 6 s4 1 s 2 s 1 La transformada inversa entonces da 3t2 t3 1 2e t . f(t) 3 1 2! s3 1 3! s4 1 1 s 2 1 1 s 1 CIRCUITOS EN SERIE En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en un inductor, resistor y ca- pacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor son, respectivamente, L di dt , Ri(t), y , 1 C t 0 i( ) d donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. Se deduce que la corriente en un circuito, como el que se muestra en la figura 7.4.2, está gobernada por la ecuación integrodiferencial L di dt Ri(t) 1 C t 0 i( ) d E(t). (10) FIGURA 7.4.2 Circuito RCL en serie. C L E R 08367_07_ch07_p255-302.indd 286 08367_07_ch07_p255-302.indd 286 6/4/09 12:21:26 PM 6/4/09 12:21:26 PM www.FreeLibros.me
- 336. EJEMPLO 6 Una ecuación integrodiferencial Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L 0.1 h, R 2 , C 0.1 f, i(0) 0 y el voltaje aplicado es . E(t) 120t 120t (t 1) . SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en 0.1 di dt 2i 10 t 0 i( ) d 120t 120t (t 1). Ahora usando (7), I(s) s { t 0 i( ) d } , donde I(s) {i(t)}. Por lo que la trans- formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es . 0.1sI(s) 2I(s) 10 I(s) s 120 1 s2 1 s2 e s 1 s e s ; por (16) de la sección 7.3 Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2 20s 100 (s 10)2 y después al despejar I(s), se obtiene . I(s) 1200 1 s(s 10)2 1 s(s 10)2 e s 1 (s 10)2 e s Usando fracciones parciales, 1100 s 10 e s 110 (s 10)2 e s 1 (s 10)2 e s . I(s) 1200 1100 s 1100 s 10 110 (s 10)2 1100 s e s De la forma inversa del segundo teorema de traslación (15) de la sección 7.3, final- mente se obtiene 120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1) (t 1). i(t) 12[1 (t 1)] 12[e 10t e 10(t 1) (t 1)] Escrita como una función definida por tramos, la corriente es i(t) 12 12e 10t 120te 10t , 12e 10t 12e 10(t 1) 120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1) , 0 t 1 t 1. Con esta última expresión y un SAC, se traza la gráfica i(t) en cada uno de los dos interva- los y después se combinan las gráficas. Observe en la figura 7.4.3 que aun cuando la fun- ción de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua. 7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T 0, entonces f(t T) f(t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene integrando sobre un periodo. FIGURA 7.4.3 Gráfica de corriente i(t) del ejemplo 6. 1 0.5 2 1.5 2.5 20 10 _30 _20 _10 t i TEOREMA 7.4.3 Transformada de una función periódica Si f(t) es continua por tramos en [0, ), de orden exponencial y periódica con periodo T, entonces {f(t)} 1 1 e sT T 0 e st f(t) dt. 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 287 08367_07_ch07_p255-302.indd 287 08367_07_ch07_p255-302.indd 287 6/4/09 12:21:26 PM 6/4/09 12:21:26 PM www.FreeLibros.me
- 337. 288 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACIÓN Escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales: . {f(t)} T 0 e st f(t) dt T e st f(t) dt Cuando se hace t u T, la última integral se convierte en . T e st f(t) dt 0 e s(u T ) f(u T) du e sT 0 e su f(u) du e sT {f (t)} Por tanto, {f(t)} T 0 e st f(t) dt e sT {f(t)}. Resolviendo la ecuación de la última línea para {f(t)} se demuestra el teorema. EJEMPLO 7 Aplicación de un voltaje periódico Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la figura 7.4.4. SOLUCIÓN La función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo T 2. En el intervalo 0 t 2, E(t) se puede definir por E(t) 1, 0, 0 t 1 1 t 2 y fuera del intervalo por f(t 2) f(t). Ahora del teorema 7.4.3 ; 1 e 2s (1 e s )(1 e s ) 1 1 e 2s 1 e s s {E(t)} 1 1 e 2s 2 0 e st E(t) dt 1 1 e 2s 1 0 e st 1dt 2 1 e st 0dt 1 s(1 e s ) . (11) EJEMPLO 8 Aplicación de un voltaje periódico La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola malla es L di dt Ri E(t). (12) Determine la corriente i(t) cuando i(0) 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que se muestra en la figura 7.4.4. SOLUCIÓN Si se usa el resultado de (11) del ejemplo anterior, la transformada de Laplace de la ED es LsI(s) RI(s) 1 s(1 e s ) o . I(s) 1 L s(s R L) 1 1 e s (13) Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la última función, primero se hace uso de la serie geométrica. Con la identificación x es , s 0, la serie geomé- trica 1 1 x 1 x x2 x3 se convierte en 1 1 e s 1 e s e 2s e 3s . t E(t) 1 4 3 2 1 FIGURA 7.4.4 Onda cuadrada. 08367_07_ch07_p255-302.indd 288 08367_07_ch07_p255-302.indd 288 6/4/09 12:21:27 PM 6/4/09 12:21:27 PM www.FreeLibros.me
- 338. De 1 s(s RL) LR s LR s RL se puede reescribir la ecuación (13) como . 1 R 1 s e s s e 2s s e 3s s 1 R 1 s RL 1 s RL e s e 2s s RL e 3s s RL I(s) 1 R 1 s 1 s RL (1 e s e 2s e 3s ) Aplicando la forma del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series, se obtiene 1 R (e Rt/L e R(t 1)/L (t 1) e R(t 2)/L (t 2) e R(t 3)/L (t 3) ) i(t) 1 R (1 (t 1) (t 2) (t 3) ) o, de forma equivalente i(t) 1 R (1 e Rt/L ) 1 R n 1 ( 1)n (1 e R(t n)/L ) (t n). Para interpretar la solución, se supone por razones de ejemplificación que R 1, L 1 y 0 t 4. En este caso ; i(t) 1 e t (1 et 1 ) (t 1) (1 e (t 2) ) (t 2) (1 e (t 3) ) (t 3) en otras palabras, i(t) 1 e t , e t e (t 1) , 1 e t e (t 1) e (t 2) , e t e (t 1) e (t 2) e (t 3) , 0 t 1 1 t 2 2 t 3 3 t 4. La gráfica de i(t) en el intervalo 0 t 4, que se muestra en la figura 7.4.5, se obtuvo con la ayuda de un SAC. 2 1 3 4 2 1.5 1 0.5 t i FIGURA 7.4.5 Gráfica de la corriente i(t) en ejemplo 8. EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA En los problemas 1 a 8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. {te2t sen 6t} {t2 senh t} {t cos 2t} {te 10t } 8. {te 3t cos 3t} {t2 cos t} {tsenh 3t} {t3 et } En los problemas 9 a 14, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dado. Use la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III cuando sea necesario. 9. y y t sen t, y(0) 0 10. y y tet sen t, y(0) 0 11. y 9y cos 3t, y(0) 2, y(0) 5 12. y y sen t, y(0) 1, y(0) 1 13. y 16y f(t), y(0) 0, y(0) 1, donde f(t) cos 4t, 0, 0 t t 14. y y f(t), y(0) 1, y(0) 0, donde f(t) 1, sen t, 0 t 2 t 2 En los problemas 15 y 16, use un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución indicada. 15. y(t) del problema 13 en el intervalo 0 t 2p 16. y(t) del problema 14 en el intervalo 0 t 3p 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 289 08367_07_ch07_p255-302.indd 289 08367_07_ch07_p255-302.indd 289 6/4/09 12:21:27 PM 6/4/09 12:21:27 PM www.FreeLibros.me
- 339. 290 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coefi- cientes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use el teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a una ED lineal de primer orden en la función transformada. Resuelva la ED de primer orden para Y(s) {y(t)} y des- pués encuentre y(t) 1 {Y(s)} y . 17. ty y 2t2 , y(0) 0 18. 2y ty 2y 10, y(0) y(0) 0 7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la inte- gral antes de transformar. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. t t 0 sen d t 0 et d t 0 e cos d t 0 e d {e t et cos t} {1 t3 } 30. t t 0 e d t 0 sen cos (t ) d t 0 sen d t 0 cos d {e2t sen t} {t2 tet } En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transfor- mada inversa. 31. 32. 33. 1 1 s3 (s 1) 1 1 s(s 1) 34. 1 1 s(s a)2 1 1 s2 (s 1) 35. La tabla del apéndice III no contiene un elemento para . 1 8k3 s (s2 k2 )3 a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar esta transformada inversa. Utilice un SAC como ayuda para evaluar la integral de convolución. b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría haber obtenido el resultado en una forma diferente? 36. Emplee la transformada de Laplace y los resultados del pro- blema 35 para resolver el problema con valores iniciales . y y sen t t sen t, y(0) 0, y (0) 0 Use un programa de graficación para trazar la solución. En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. dy dt 6y(t) 9 t 0 y( ) d 1, y(0) 0 y (t) 1 sen t t 0 y( ) d , y(0) 0 t 2f(t) t 0 (e e ) f(t ) d f (t) 1 t 8 3 t 0 ( t)3 f( ) d f (t) cos t t 0 e f(t ) d f (t) t 0 f( ) d 1 f (t) 2 t 0 f( ) cos (t ) d 4e t sen t f (t) tet t 0 f(t ) d f (t) 2t 4 t 0 sen f(t ) d f (t) t 0 (t ) f ( ) d t En los problemas 47 y 48, resuelva la ecuación (10) sujeta a i(0) 0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema. Use un programa de graficación para trazar la solución en el intervalo 0 t 3. 47. L 0.1 h, R 3 , C 0.05 f, E(t) 100[ (t 1) (t 2)] 48. L 0.005 h, R 1 , C 0.02 f, E(t) 100[t (t 1) (t 1)] 7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA En los problemas 49 a 54 use el teorema 7.4.3 para determi- nar la transformada de Laplace de cada una de las funciones periódicas. 49. FIGURA 7.4.6 Gráfica para el problema 49. 1 función serpenteante t 2a a f(t) 3a 4a 1 08367_07_ch07_p255-302.indd 290 08367_07_ch07_p255-302.indd 290 6/4/09 12:21:28 PM 6/4/09 12:21:28 PM www.FreeLibros.me
- 340. 57. , b 1, k 5, f m 1 2 es la función serpenteante del problema 49 con amplitud 10, y a p, 0 t 2p. 58. m 1, b 2, k 1, f es la función de onda cuadrada del problema 50 con amplitud 5, y a p, 0 t 4p. Problemas para analizar 59. Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para en- contrar . 1 ln s 3 s 1 60. En la sección 6.3 vimos que ty y ty 0 es la ecua- ción de Bessel de orden v 0. En vista de (22) de esta sección y de la tabla 6.1, una solución del problema con valores iniciales ty y ty 0, y(0) 1, y(0) 0, es y J0 (t). Use este resultado y el procedimiento descrito en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para demos- trar que . {J0(t)} 1 1s2 1 [Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 46 de los ejercicios 7.2]. 61. a) Se sabe que la ecuación diferencial de Laguerre ty (1 t)y ny 0 tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero no negativo. Estas soluciones naturalmente se lla- man polinomios de Laguerre y se denotan por Ln (t). Determine y Ln (t), para n 0, 1, 2, 3, 4 si se sabe que Ln (0) 1. b) Demuestre que , et n! dn dtn tn e t Y(s) donde Y(s) {y} y y Ln (t) es una solución poli- nomial de la ED del inciso a). Concluya que . Ln(t) et n! dn dtn tn e t , n 0, 1, 2, . . . Esta última relación para generar los polinomios de Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre. Véase (30) en la sección 6.3. Tarea para el laboratorio de computación 62. EnesteproblemaseindicanlasinstruccionesdeMathema- tica que permiten obtener la transformada de Laplace sim- bólicadeunaecuacióndiferencialylasolucióndelproblema de valores iniciales al encontrar la transformada inversa. En Mathematica la transformada de Laplace de una función y(t) se obtiene usando LaplaceTransform [y[t], t, s]. En el renglón dos de la sintaxis se reemplaza LaplaceTransform [y[t], t, s] por el símbolo Y. (Si no tiene Mathematica, en- tonces adapte el procedimiento dado encontrando la sin- taxis correspondiente para el SAC que tenga a la mano.) FIGURA 7.4.7 Gráfica para el problema 50. 1 función de onda cuadrada t 2a a f(t) 3a 4a 50. FIGURA 7.4.8 Gráfica para el problema 51. función diente de sierra t 2b b a f(t) 3b 4b 51. FIGURA 7.4.9 Gráfica para el problema 52. 1 función triangular t 2 f(t) 3 4 1 52. FIGURA 7.4.10 Gráfica para el problema 53. 1 rectificación de onda completa de sen t t f(t) 4 3 2 π π π π 53. FIGURA 7.4.11 Gráfica para el problema 54. 4 3 2 π π π π 1 rectificación de media onda de sent t f(t) 54. En los problemas 55 y 56 resuelva la ecuación (12) sujeta a i(0) 0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra- ficación para trazar la solución en el intervalo 0 t 4 en el caso cuando L I y R 1. 55. E(t) es la función serpenteante del problema 49 con am- plitud 1 y a 1. 56. E(t) es la función diente de sierra del problema 51 con amplitud 1 y b l. En los problemas 57 y 58 resuelva el modelo para un sistema forzado resorte/masa con amortiguamiento m d2 x dt2 dx dt kx f(t), x(0) 0, x (0) 0, donde la función forzada f es como se especifica. Utilice un pro- grama de graficación para trazar x(t) en los valores indicados de t. 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 291 08367_07_ch07_p255-302.indd 291 08367_07_ch07_p255-302.indd 291 6/4/09 12:21:29 PM 6/4/09 12:21:29 PM www.FreeLibros.me
- 341. 292 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Considere el problema con valores iniciales . y 6y 9y t sen t, y(0) 2, y (0) 1 Cargue el paquete de transformada de Laplace. Repro- duzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada ren- glón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los resultados a mano o imprímalo. diffequat y[t] 6y[t] 9y[t] t Sin[t] transformdeq LaplaceTransform [diffequat, t, s] /. {y[0] ⬎ 2, y[0] ⬎ 1, LaplaceTransform [y[t], t, s] ⬎ Y} soln Solve[transformdeq, Y]//Flatten Y Y/.soln InverseLaplaceTransform[Y, s, t] 63. Modifique de forma apropiada el procedimiento del pro- blema 62 para encontrar una solución de . y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1 y 3y 4y 0, 64. La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie está dada por . q(0) 0, q (0) 0 d2 q dt2 q 1 4 (t ) 6 (t 3 ), Modifiquedeformaapropiadaelprocedimientodelproblema 62 para determinar q(t). Trace la gráfica de su solución. LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 261, se indicó que como una consecuencia inmediata del teorema 7.1.3, F(s) 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que es continua por tramos en [0,) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F(s) 1. 7.5 IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza ex- terna (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo por un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de beisbol, golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un bate, palo de golf o raqueta. Vea la figura 7.5.1. La gráfica de la función definida por partes a(t t0) 0, 1 2a , 0, 0 t t0 a t0 a t t0 a t t0 a, (1) a0,t0 0,quesemuestraenlafigura7.5.2a,podríaservircomomodeloparatalfuerza. Para un valor pequeño de a, da (t t0 ) es en esencia una función constante de gran mag- nitud que está “activada” sólo durante un periodo muy corto, alrededor de t0 . El compor- tamientodeda (tt0 )conformea:0seilustraenlafigura7.5.2b.Lafunciónda (tt0 )se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a(t t0 ) dt 1. LA FUNCION DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, una “función” que aproxima a da (t t0 ) y se define por el límite (t t0) lím a : 0 a(t t0 ). (2) FIGURA 7.5.1 Un palo de golf aplica una fuerza de gran magnitud en la bola durante un periodo muy corto. 08367_07_ch07_p255-302.indd 292 08367_07_ch07_p255-302.indd 292 6/4/09 12:21:29 PM 6/4/09 12:21:29 PM www.FreeLibros.me
- 342. La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las dos propiedades . i) (t t0) , 0, t t0 t t0 y ii) 0 (t t0) dt 1 El impulso unitario d(t t0 ) se llama función delta de Dirac. Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la suposición formal de que { (t t0)} líma : 0 { a(t t0)}. TEOREMA 7.5.1 Transformada de la función delta de Dirac Para t0 0, { (t t0)} e st0 . (3) DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir da (t t0 ) en términos de la función escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3: a(t t0) 1 2a [ (t (t0 a)) (t (t0 a))]. Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última ex- presión es { a(t t0)} 1 2a e s(t0 a) s e s(t0 a) s e st0 esa e sa 2sa . (4) Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 00 conforme a : 0 se aplica la regla de L'Hôpital: . { (t t0)} lím a : 0 { a(t t0)} e st0 lím a : 0 esa e sa 2sa e st0 Ahora cuando t0 0, se puede concluir de (3) que . { (t)} 1 El último resultado enfatiza el hecho de que d(t) no es el tipo usual de función que se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que {f(t)} : 0 conforme s : . EJEMPLO 1 Dos problemas con valores iniciales Resuelva y y 4d(t 2p) sujeta a a) y(0) 1, y(0) 0 b) y(0) 0, y(0) 0. Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amor- tiguamiento es despreciable. En t 2p la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la masa está en reposo en la posición de equilibrio. SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es s2 Y(s) s Y(s) 4e 2 s o . Y(s) s s2 1 4e 2 s s2 1 Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, se encuentra . y(t) cos t 4 sen(t 2 ) (t 2 ) Puesto que sen(t 2p) sen t, la solución anterior se puede escribir como y(t) cos t, 0 t 2 cos t 4 sen t, t 2 . (5) FIGURA 7.5.2 Impulso unitario. b) comportamiento de !a conforme a → 0 t t0 y t t0 − a 2a 12a t0 y t0 + a a) gráfica de!a(t t0) 7.5 LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC O 293 08367_07_ch07_p255-302.indd 293 08367_07_ch07_p255-302.indd 293 6/4/09 12:21:30 PM 6/4/09 12:21:30 PM www.FreeLibros.me
- 343. 294 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE FIGURA 7.5.3 La masa es golpeada en t 2p. t y 1 −1 2 4 π π FIGURA 7.5.4 Ningún movimiento hasta que la masa es golpeada en t 2p. t y 1 −1 2 4 π π En la figura 7.5.3 se ve de la gráfica de (5) que la masa presenta movimiento armónico simple hasta que es golpeada en t 2p. La influencia del impulso unitario es incre- mentar la amplitud de vibración a 117 para t 2p. b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente y así y(t) 4 sen(t 2 ) (t 2 ) Y(s) 4e 2 s s2 1 , 0, 0 t 2 4 sen t, t 2 . (6) La gráfica de (6) de la figura 7.5.4 muestra, como se esperaría de las condiciones ini- ciales, que la masa no exhibe movimiento hasta que es golpeada en t 2p. COMENTARIOS i) Si d(t – t0 ) fuera una función en el sentido usual, entonces la propiedad i) en la página 293 implicaría 0 (t t0) dt 0 en vez de 0 (t t0) dt 1. De- bido a que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordinaria, aun cuando sus usuarios produjeron resultados correctos, al inicio los matemáticos la recibieron con gran desprecio. Sin embargo, en 1940 la controversial función de Dirac fue puesta en un fundamento riguroso por el matemático francés Laurent Schwartz en su libro La Théorie de distribution y esto, a su vez, condujo una rama completamente nueva de la matemática conocida como la teoría de las distribu- ciones o funciones generalizadas. En esta teoría (2) no es una definición acep- tada de d(t – t0 ), ni se habla de una función cuyos valores son o 0. Aunque se deja en paz este tema, basta decir que la función delta de Dirac se caracteriza mejor por su efecto en otras funciones. Si f es una función continua, entonces 0 f(t) (t t0) dt f(t0) (7) se puede tomar como la definición de d(t – t0 ). Este resultado se conoce como propiedad de cribado, puesto que d(t – t0 ) tiene el efecto de separar el valor f(t0 ) del conjunto de valores de f en [0,). Note que la propiedad ii) (con f(t) 1) y (3) (con f(t) esf ) son consistentes con (7). ii) Los Comentarios en la sección 7.2 indicaron que la función de transferencia de una ecuación diferencial lineal general de n-ésimo orden con coeficientes constantes es W(s) 1(P(s), donde P(s) an sn an1 sn1 . . . a0 . La fun- ción de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t), conocida como función peso de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en términos del análisis en cuestión. Por simplicidad se considera un sistema lineal de segundo orden en el que la entrada es un impulso unitario en t 0: . a2 y a1y a0y (t), y(0) 0, y (0) 0 Aplicando la transformada de Laplace y usando { (t)} 1 se muestra que la transformada de la respuesta y en este caso es la función de transferencia Y(s) 1 a2s2 a1s a0 1 P(s) W(s) y así . y 1 1 P(s) w(t) De esto se puede ver, en general, que la función peso y w(t) de un sistema lineal de n-ésimo orden es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario. Por esta razón w(t) también se llama respuesta de impulso del sistema. 08367_07_ch07_p255-302.indd 294 08367_07_ch07_p255-302.indd 294 6/4/09 12:21:31 PM 6/4/09 12:21:31 PM www.FreeLibros.me
- 344. RESORTES ACOPLADOS Dos masas m1 y m2 están conectadas a dos resortes A y B de masa despreciable con constantes de resorte k1 y k2 respectivamente. A su vez, los dos resortes están unidos como se muestra en la figura 7.6.1. Sean x1 (t) y x2 (t) los desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por lo que su elongación neta es x2 – x1 . Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los resortes A y B ejercen fuerzas k1 x1 y k2 (x2 x1 ) respectivamente, en m1 . Si nin- guna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente, entonces la fuerza neta en m1 es k1 x1 k2 (x2 x1 ). Por la segunda ley de Newton se puede escribir . m1 d2 x1 dt2 k1x1 k2(x2 x1) EJERCICIOS 7.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. 1. y 3y d(t 2), y(0) 0 2. y y d(t 1), y(0) 2 3. y y d(t 2p), y(0) 0, y(0) 1 4. y 16y d(t 2p), y(0) 0, y(0) 0 5. y(0) 0, y (0) 0 y y (t 1 2 ) (t 3 2 ), 6. y y d(t 2p) d(t 4p), y(0) 1, y(0) 0 7. y 2y d(t 1), y(0) 0, y(0) 1 8. y 2y 1 d(t 2), y(0) 0, y(0) 1 9. y 4y 5y d(t 2p), y(0) 0, y(0) 0 10. y 2y y d(t 1), y(0) 0, y(0) 0 11. y 4y 13y d(t p) d(t 3p), y(0) 1, y(0) 0 12. y 7y 6y et d(t 2) d(t 4), y(0) 0, y(0) 0 13. Una viga uniforme de longitud L soporta una carga concen- trada w0 en x 1 2L . La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transfor- mada de Laplace para determinar la deflexión y(x) de EI d4 y dx4 w0 x 1 2 L , donde y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y y (L) 0. 14. Resuelva la ecuación diferencial del problema 13 sujeta a y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0. En este caso la viga está empotrada en ambos extremos. Véase la figura 7.5.5. FIGURA 7.5.5 Viga en el problema 14. x y L w0 Problemas para analizar 15. Alguien afirma que las soluciones de dos PVI y 2y 10y 0, y 2y 10y (t), y(0) 0, y (0) 1 y(0) 0, y (0) 0 son exactamente lo mismo. ¿Está de acuerdo o no? Justifique su respuesta. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES REPASO DE MATERIAL O Solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. INTRODUCCIÓN Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace de cada ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones trans- formadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transfor- madas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual. 7.6 7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES O 295 08367_07_ch07_p255-302.indd 295 08367_07_ch07_p255-302.indd 295 6/4/09 12:21:31 PM 6/4/09 12:21:31 PM www.FreeLibros.me
- 345. 296 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 2.5 10 7.5 15 12.5 _0.4 0.2 0.4 _0.2 t x1 a) gráfica de x1(t) vs. t b) gráfica de x2(t) vs. t 5 2.5 10 7.5 15 12.5 _0.4 0.2 0.4 _0.2 t x2 FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las dos masas. De igual manera, la fuerza neta ejercida en la masa m2 se debe sólo a la elongación neta de B; es decir, k2 (x2 x1 ). Por tanto, se tiene . m2 d2 x2 dt2 k2(x2 x1) En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden m2 x2 k2(x2 x1). m1x1 k1x1 k2(x2 x1) (1) En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que k1 6, k2 4, m1 1, m2 1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. EJEMPLO 1 Resortes acoplados Resuelva (2) sujeta a x1(0) 0, x1(0) 1, x2(0) 0, x2(0) 1. 4x1 x2 4x2 0 x1 10x1 4x2 0 SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es 4X1(s) s2 X2(s) sx2(0) x2(0) 4X2(s) 0, s2 X1(s) sx1(0) x1(0) 10X1(s) 4X2(s) 0 donde X1(s) {x1(t)} y X2(s) {x2(t)}. El sistema anterior es igual a 4 X1(s) (s2 4) X2(s) 1. (s2 10) X1(s) 4X2(s) 1 (3) Resolviendo (3) para X1 (s) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene X1(s) s2 (s2 2)(s2 12) 15 s2 2 65 s2 12 , y por tanto 12 10 sen 12t 13 5 sen 213t. x1(t) 1 512 1 12 s2 2 6 5112 1 112 s2 12 Sustituyendo la expresión para X1 (s) en la primera ecuación de (3), se obtiene y 12 5 sen 12t 13 10 sen 213t. x2(t) 2 512 1 12 s2 2 3 5112 1 112 s2 12 X2(s) s2 6 (s2 2)(s2 12) 25 s2 2 35 s2 12 m2 k1 k2 k1 k (x2 − x1) 2 k (x2 − x1) 2 x2 x1 = 0 x2 = 0 x1 x1 A m1 B m1 m2 m2 a) equilibrio b) movimiento c) fuerzas m1 FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa acoplado. 08367_07_ch07_p255-302.indd 296 08367_07_ch07_p255-302.indd 296 6/4/09 12:21:32 PM 6/4/09 12:21:32 PM www.FreeLibros.me
- 346. Por último, la solución del sistema (2) es x2(t) 12 5 sen 12t 13 10 sen 213t. x1(t) 2 10 sen 12t 3 5 sen 213t 1 1 (4) Las gráficas de x1 y x2 de la figura 7.6.2 revelan el complicado movimiento oscilatorio de cada masa. REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes il (t) e i2 (t) de la red que se muestra en la figura 7.6.3 con un inductor, un resistor y un capacitor, estaban goberna- das por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden RC di2 dt i2 i1 0. L di1 dt Ri2 E(t) (5) Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 Una red eléctrica Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones E(t) 60 V, L 1 h, R 50 , C 104 f y al inicio las corrientes i1 e i2 son cero. SOLUCIÓN Debemos resolver 50(10 4 ) di2 dt i2 i1 0 di1 dt 50i2 60 sujeta a i1 (0) 0, i2 (0) 0. Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema y simplifi- cando, se obtiene 200I1(s) (s 200)I2(s) 0, sI1(s) 50I2(s) 60 s donde I1(s) {i1(t)} e I2(s) {i2(t)}. Resolviendo el sistema para I1 e I2 y des- componiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene I2(s) 12 000 s(s 100)2 65 s 65 s 100 120 (s 100)2 . I1(s) 60s 12 000 s(s 100)2 65 s 65 s 100 60 (s 100)2 Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son i2(t) 6 5 6 5 e 100t 120te 100t . i1(t) 6 5 6 5 e 100t 60te 100t FIGURA 7.6.3 Red eléctrica. R i1 L i2 i3 C E 7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES O 297 08367_07_ch07_p255-302.indd 297 08367_07_ch07_p255-302.indd 297 6/4/09 12:21:33 PM 6/4/09 12:21:33 PM www.FreeLibros.me
- 347. 298 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Observe que tanto i1 (t) como i2 (t) del ejemplo 2 tienden hacia el valor ER 6 5 conforme t : . Además, puesto que la corriente a través del capacitor es i3 (t) i1 (t) i2 (t) 60te100t , se observa que i3 (t) : 0 conforme t : . PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un pén- dulo unido a otro como se muestra en la figura 7.6.4. Se supone que el sistema oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad, que la masa de cada varilla es despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la figura 7.6.4 también se muestra que el ángulo de desplazamiento u1 se mide (en radia- nes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y que u2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa m1 . La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal: FIGURA 7.6.4 Péndulo doble. 1 θ 2 θ l1 m1 m2 l2 m2l2 2 2 m2l1l2 1 cos ( 1 2) m2l1l2( 1)2 sen ( 1 2) m2l2 g sen 2 0. (m1 m2)l1 2 1 m2l1l2 2 cos ( 1 2) m2l1l2( 2)2 sen ( 1 2) (m1 m2)l1g sen 1 0 (6) Pero si se supone que los desplazamientos u1 (t) y u2 (t) son pequeños, entonces las aproximaciones cos(u1 u2 ) 1, sen(u1 u2 ) 0, sen u1 u1 , sen u2 u2 nos permi- ten reemplazar el sistema (6) por la linealización m2l2 2 2 m2l1l2 1 m2l2g 2 0. (m1 m2)l1 2 1 m2l1l2 2 (m1 m2)l1g 1 0 (7) EJEMPLO 3 Doble péndulo Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para resolver el sistema (7) cuando m1 3, m2 1, l1 l2 16, u1(0) 1, u2(0) 1, 1(0) 0 y 2(0) 0. Debe encontrar que 2(t) 1 2 cos 2 13 t 3 2 cos 2t. 1(t) 1 4 cos 2 13 t 3 4 cos 2t (8) En la figura 7.6.5 se muestran con la ayuda de un SAC las posiciones de las dos masas en t 0 y en tiempos posteriores. Véase el problema 21 en los ejercicios 7.6. a) t 0 b) t 1.4 c) t 2.5 d ) t 8.5 FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos. 08367_07_ch07_p255-302.indd 298 08367_07_ch07_p255-302.indd 298 6/4/09 12:21:33 PM 6/4/09 12:21:33 PM www.FreeLibros.me
- 348. EJERCICIOS 7.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales. 1. 2. dy dt 2x dx dt x y dy dt 8x t dx dt 2y et x(0) 0, y(0) 1 x(0) 1, y(0) 1 3. 4. x(0) 0, y(0) 0 dx dt x dy dt y et dx dt 3x dy dt 1 dy dt 5x y dx dt x 2y x(0) 1, y(0) 2 5. dx dt dy dt 3x 3y 2 2 dx dt dy dt 2x 1 x(0) 0, y(0) 0 6. dx dt dy dt 2y 0 dx dt x dy dt y 0 x(0) 0, y(0) 1 7. 8. d2 y dt2 y x 0 d2 x dt2 x y 0 d2 y dt2 dy dt 4 dx dt 0 d2 x dt2 dx dt dy dt 0 x(0) 0, x(0) 2, x(0) 1, x(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 y(0) 1, y(0) 5 9. 10. d2 x dt2 d2 y dt2 4t d2 x dt2 d2 y dt2 t2 dx dt 2x 2 d3 y dt3 0 dx dt 4x d3 y dt3 6 sen t x(0) 8, x(0) 0, x(0) 0, y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 y(0) 0, y(0) 0 11. d2 x dt2 3y te t d2 x dt2 3 dy dt 3y 0 x(0) 0, x(0) 2, y(0) 0 12. x(0) 0, y(0) 1 2 dy dt 3x y (t 1) dx dt 4x 2y 2 (t 1) 13. Resuelva el sistema (1) cuando k1 3, k2 2, m1 1, m2 1 y x1 (0) 0, , x2(0) 1, . x2(0) 0 x1(0) 1 14. Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical en línea recta de los resortes acoplados que se muestran en la figura 7.6.6. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando k1 1, k2 1, k3 1, m1 1, m2 1 y x1 (0) 0, , x2(0) 0, . x2(0) 1 x1(0) 1 k m2 k2 3 x2 = 0 m1 k1 x1 = 0 FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14. 15. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i2 (t) e i3 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.7 es L2 di3 dt Ri2 Ri3 E(t). L1 di2 dt Ri2 Ri3 E(t) b) Resuelva el sistema del inciso a) si R 5 , L1 0.01 h, L2 0.0125 h, E 100 V, i2 (0) 0 e i3 (0) 0. c) Determine la corriente i1 (t). FIGURA 7.6.7 Red del problema 15. L1 R E i1 i2 i3 L2 16. a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demos- trar que las corrientes i2 (t) e i1 (t) de la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.8 satisface R1 di2 dt R2 di3 dt 1 C i3 0. L di2 dt L di3 dt R1i2 E(t) 7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES O 299 08367_07_ch07_p255-302.indd 299 08367_07_ch07_p255-302.indd 299 6/4/09 12:21:34 PM 6/4/09 12:21:34 PM www.FreeLibros.me
- 349. 300 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Resuelva el sistema si R1 10 , R2 5 , L 1 h, C 0.2 f. E(t) 120, 0, 0 t 2 t 2, i2 (0) 0, e i3 (0) 0. b) Determine la corriente i1 (t). Tarea para el laboratorio de computación 21. a) Use la transformada de Laplace y la información dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del sistema que se presenta en (7). b) Use un programa de graficación para trazar u1 (t) y u2 (t) en el plano tu. ¿Cuál masa tiene desplazamien- tos extremos de mayor magnitud? Use las gráficas para estimar la primera vez que cada masa pasa por su posición de equilibrio. Analice si el movimiento del péndulo es periódico. c) Trace la gráfica de u1 (t) y u2 (t) en el plano u1 u2 como ecuaciones paramétricas. La curva que definen estas ecuaciones paramétricas se llama curva de Lissajous. d) En la figura 7.6.5a se presentan las posiciones de las masas en t 0. Observe que se ha usado 1 radián 57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación de un SAC para construir una tabla de valores de los ángulos u1 y u2 para t 1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. e) Use un SAC para encontrar la primera vez que u1 (t) u2 (t) y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para simular las varillas de los péndulos, como se muestra en la figura 7.6.5. Use la utilidad de animación de su SAC para hacer un “video” del movimiento del péndulo doble desde t 0 hasta t 10 usando un incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coorde- nadas (x1 (t), y1 (t)) y (x2 (t), y2 (t)) de las masas m1 y m2 respectivamente, en términos de u1 (t) y u2 (t).] FIGURA 7.6.8 Red del problema 16. R1 E i1 L i2 i3 C R2 17. Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando R1 6 , R2 5 , L1 1 h, L2 1 h, E(t) 50 sen t V, i2 (0) 0 e i3 (0) 0. 18. Resuelva (5) cuando E 60 V, L 1 2 h , R 50 , C 104 f, i1 (0) 0 e i2 (0) 0. 19. Resuelva (5) cuando E 60 V, L 2 h, R 50 , C 104 f, i1 (0) 0 e i2 (0) 0. 20. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i3 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.9 es L di3 dt R2i3 1 C q 0. R1 dq dt 1 C q R1i3 E(t) b) Determine la carga en el capacitor cuando L 1 h, R1 1 , R2 1 , C I f. E(t) 0, 50e t , 0 t 1 t 1, i3 (0) 0 y q(0) 0. FIGURA 7.6.9 Red del problema 20. R1 E i1 i2 i3 L C R2 REPASO DEL CAPÍTULO 7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12 En los problemas 1 y 2 utilice la definición de la transformada de Laplace para encontrar {f(t)}. 1. 2. f(t) 0, 1, 0, 0 t 2 2 t 4 t 4 f(t) t, 2 t, 0 t 1 t 1 En los problemas 3 a 24 complete los espacios en blanco o conteste verdadero o falso. 3. Si f no es continua por tramos en [0, ), entonces {f (t)} no existirá. _______ 4. La función f(t) (et )10 no es de orden exponencial. ____ 5. F(s) s2 (s2 4) no es la transformada de Laplace de una función que es continua por tramos y de orden expo- nencial. _______ 08367_07_ch07_p255-302.indd 300 08367_07_ch07_p255-302.indd 300 6/4/09 12:21:35 PM 6/4/09 12:21:35 PM www.FreeLibros.me
- 350. 6. Si {f(t)} F(s) y {g(t)} G(s), entonces . _______ 1 {F(s)G(s)} f(t)g(t) 7. 8. 9. _______ _______ {sen 2t} {e 7t } 10. _______ _______ {e 3t sen 2t} {te 7t } 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ 1 1 L2 s2 n2 2 1 s s2 2 e s 1 e 5s s2 1 s s2 10s 29 1 1 s2 5 1 1 (s 5)3 1 1 3s 1 1 20 s6 {sen 2t (t )} {tsen 2t} 21. {e 5t } existe para s _______. 22. Si {f(t)} F(s), entonces _______. {te8t f(t)} 23. Si {f(t)} F(s) y k 0, entonces _______. {eat f(t k) (t k)} 24. _______ { t 0 ea f( ) d } mientras que _______. {eat t 0 f( ) d } En los problemas 25 a 28, use la función escalón unitario para determinar una ecuación para cada gráfica en términos de la función y f(t), cuya gráfica se presenta en la figura 7.R.1. En los problemas 29 a 32 exprese f en términos de funciones escalón unitario. Encuentre {f(t)} y {et f(t)}. t0 t y y = f(t) FIGURA 7.R.1 Gráfica para los problemas 25 a 28. FIGURA 7.R.2 Gráfica para el problema 25. t0 t y 25. FIGURA 7.R.3 Gráfica para el problema 26. t0 t y 26. FIGURA 7.R.4 Gráfica para el problema 27. t0 t y 27. FIGURA 7.R.5 Gráfica para el problema 28. t0 t y t1 28. 29. FIGURA 7.R.6 Gráfica para el problema 29. 1 1 2 3 4 t f(t) 30. FIGURA 7.R.7 Gráfica para el problema 30. 2 1 −1 t f(t) π π π 3 π π y = sen 3 t, ≤ t ≤ 31. FIGURA 7.R.8 Gráfica para el problema 31. 1 2 3 2 1 t f(t) (3, 3) 32. FIGURA 7.R.9 Gráfica para el problema 32. 1 2 1 t f(t) REPASO DEL CAPÍTULO 7 O 301 08367_07_ch07_p255-302.indd 301 08367_07_ch07_p255-302.indd 301 6/4/09 12:21:35 PM 6/4/09 12:21:35 PM www.FreeLibros.me
- 351. 302 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 33 a 38, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación dada. 33. y 2y y et , y(0) 0, y(0) 5 34. y 8y 20y tet , y(0) 0, y(0) 0 35. y 6y 5y t t(t 2), y(0) 1, y(0) 0 36. y 5y f (t), donde f(t) t2 , 0, 0 t 1 t 1 , y(0) 1 37. 38. t 0 f( ) f(t ) d 6t3 y (t) cos t t 0 y( ) cos(t ) d , y(0) 1 En los problemas 39 y 40, use la transformada de Laplace para resolver cada sistema. 39. x y t 40. x y e2t 4x y 0 2x y e2t x(0) 1, y(0) 2 x(0) 0, y(0) 0, x(0) 0, y(0) 0 41. La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede deter- minar de la ecuación integral , Ri 1 C t 0 i( ) d E(t) donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R 10 , C 0.5 f y E(t) 2(t2 t). 42. Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un capacitor para el cual L 1 2 h, R 10 y C 0.01 f, respectivamente. El voltaje E(t) 10, 0, 0 t 5 t 5 se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t) en el capacitor para t 0 si q(0) 0 y q(0) 0. 43. Una viga en voladizo uniforme de longitud L está em- potrada en su extremo izquierdo (x 0) y libre en su extremo derecho. Encuentre la deflexión y(x) si la carga por unidad de longitud se determina por . w(x) 2w0 L L 2 x x L 2 x L 2 44. Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base elástica, la ecuación diferencial para su deflexión y(x) es , EI d4 y dx4 ky w(x) donde k es el módulo de la base y ky es la fuerza res- tauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de la carga w(x). Vea la figura 7.R.10. Por conveniencia algebraica suponga que la ecuación diferencial se escribe como , d4 y dx4 4a4 y w(x) EI donde a (k4EI)1/4 . Suponga que L p y a 1. Encuentre la deflexión y(x) de una viga que está apoyada en una base elástica cuando a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos y una carga constante w0 se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es una carga concentrada w0 aplicada en x p2. [Sugerencia: En ambas partes de este problema, use los elementos 35 y 36 de la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III]. FIGURA 7.R.10 Viga sobre la base elástica del problema 44. 0 x y L w(x) base elástica FIGURA 7.R.11 Péndulos acoplados del problema 45. 1 θ θ2 m l l m 45. a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados por medio de un resorte con k constante. Véase la fi- gura 7.R.11. Bajo las mismas suposiciones hechas en el análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento u1 (t) y u2 (t) son pequeños, el sistema de ecuaciones di- ferenciales lineales que describen el movimiento es 2 g l 2 k m ( 1 2). 1 g l 1 k m ( 1 2) Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando u1 (0) u0 , u1 (0) 0, u2 (0) c0 , u2 (0) 0, donde u0 y c0 son constantes. Por conve- niencia, sea v2 gl, K km. b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento de los péndulos acoplados en el caso especial cuando las condiciones iniciales son u1 (0) u0 , u1 (0) 0, u2 (0) u0 , u2 (0) 0. Cuando las condiciones iniciales son u1 (0) u0 , u1 (0) 0, u2 (0) u0 , u2 (0) 0. 08367_07_ch07_p255-302.indd 302 08367_07_ch07_p255-302.indd 302 6/4/09 12:21:36 PM 6/4/09 12:21:36 PM www.FreeLibros.me
- 352. 303 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 8.2 Sistemas lineales homogéneos 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 8.2.2 Eigenvalores repetidos 8.2.3 Eigenvalores complejos 8.3 Sistemas lineales no homogéneos 8.3.1 Coeficientes indeterminados 8.3.2 Variación de parámetros 8.4 Matriz exponencial REPASO DEL CAPÍTULO 8 En las secciones 3.3, 4.8 y 7.6 tratamos con sistemas de ecuaciones diferenciales y pudimos resolver algunos de estos sistemas mediante eliminación sistemática o con transformada de Laplace. En este capítulo nos vamos a dedicar sólo a sistemas de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden. Aunque la mayor parte de los sistemas que se consideran se podrían resolver usando eliminación o transformada de Laplace, vamos a desarrollar una teoría general para estos tipos de sistemas y en el caso de sistemas con coeficientes constantes, un método de solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución son similares a los de las ecuaciones de cálculo diferencial de orden superior lineales consideradas en el capítulo 4. Este material es fundamental para analizar ecuaciones no lineales de primer orden. 8 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 303 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 303 6/4/09 12:22:05 PM 6/4/09 12:22:05 PM www.FreeLibros.me
- 353. 304 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones g1 , g2 , . . . , gn en (2) es lineal en las variables dependientes x1 , x2 , . . . , xn , se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. a11(t)x1 a12(t)x2 . . . a1n(t)xn f1(t) a21(t)x1 a22(t)x2 . . . a2n(t)xn f2(t) an1(t)x1 an2(t)x2 . . . ann(t)xn fn(t). dx1 ––– dt dx2 ––– dt dxn ––– dt . . . . . . Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal. Se supone que los coeficientes aij así como las funciones fi son continuas en un intervalo común I. Cuando fi (t) 0, i 1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t), y F(t) denotan ma- trices respectivas x1(t) x2(t) xn(t) X ( ), a11(t) a21(t) an1(t) a1n(t) a2n(t) ann(t) a12(t) a22(t) an2(t) . . . . . . . . . A(t) ( ), f1(t) f2(t) fn(t) F(t) ( ), . . . . . . . . . . . . TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES REPASO DE MATERIAL O En este capítulo se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase el apéndice II o un texto de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos. INTRODUCCIÓN Recuerde que en la sección 4.8 se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuacio- nes diferenciales lineales con n incógnitas de la forma P11(D)x1 P12(D)x2 . . . P1n(D)xn b1(t) P21(D)x1 P22(D)x2 . . . P2n(D)xn b2(t) Pn1(D)x1 Pn2(D)x2 . . . Pnn(D)xn bn(t), . . . . . . (1) donde las Pij eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al es- tudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal g1(t,x1,x2, . . . ,xn) g2(t,x1,x2, . . . ,xn) gn(t,x1,x2, . . . ,xn). dx1 ––– dt dx2 ––– dt dxn ––– dt . . . . . . Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden. (2) (3) 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 304 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 304 6/4/09 12:22:05 PM 6/4/09 12:22:05 PM www.FreeLibros.me
- 354. entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede escribir como (d –– dt x1 x2 xn ) a11(t) a21(t) an1(t) a1n(t) a2n(t) ann(t) a12(t) a22(t) an2(t) . . . . . . . . . ( ( x1 x2 xn ) ( ) f1(t) f2(t) fn(t) ) . . . . . . . . . . . . . . . o simplemente X AX F. (4) Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces X AX. (5) EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial a) Si X x y , entonces la forma matricial del sistema homogéneo dx dt 3x 4y dy dt 5x 7y es X 3 5 4 7 X. b) Si X x y z , entonces la forma matricial del sistema homogéneo dx dt 6x y z t dy dt 8x 7y z 10t dz dt 2x 9y z 6t es X 6 8 2 1 7 9 1 1 1 X t 10t 6t . DEFINICIÓN 8.1.1 Vector solución Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna x1(t) x2(t) xn(t) X ( ). . . cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el intervalo. Un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares x1 f1 (t), x2 f2 (t), . . . , xn fn (t) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. En el caso importante n 2, las ecuaciones x1 f1 (t), x2 f2 (t) representan una curva en el plano x1 x2 . Es práctica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al plano x1 x2 . Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarán en la siguiente sección. 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES O 305 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 305 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 305 6/4/09 12:22:06 PM 6/4/09 12:22:06 PM www.FreeLibros.me
- 355. 306 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 2 Comprobación de soluciones Compruebe que en el intervalo (, ) X1 1 1 e 2t e 2t e 2t y X2 3 5 e6t 3e6t 5e6t son soluciones de X 1 5 3 3 X. (6) SOLUCIÓN De X1 2e 2t 2e 2t y X2 18e6t 30e6t vemos que y AX2 1 5 3 3 3e6t 5e6t 3e6t 15e6t 15e6t 15e6t 18e6t 30e6t X2 . AX1 1 5 3 3 e 2t e 2t e 2t 3e 2t 5e 2t 3e 2t 2e 2t 2e 2t X1, Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden es similar a la de las ecuaciones diferenciales de nésimo orden. PROBLEMA CON VALORES INICIALES Sea t0 que denota un punto en un inter- valo I y x1(t0) x2(t0) xn(t0) X(t0) ( y ) 1 2 n X0 (), . . . . . . donde las gi , i 1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema Resolver: Sujeto a: X(t0) X0 X A(t)X F(t) (7) es un problema con valores iniciales en el intervalo. TEOREMA 8.1.1 Existencia de una solución única Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un inter- valo común I que contiene al punto t0 . Entonces existe una solución única del problema con valores iniciales (7) en el intervalo. SISTEMAS HOMOGÉNEOS En las siguientes definiciones y teoremas se conside- ran sólo sistemas homogéneos. Sin afirmarlo, siempre se supondrá que las aij y las fi son funciones continuas de t en algún intervalo común I. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente resultado es un principio de super- posición para soluciones de sistemas lineales. TEOREMA 8.1.2 Principio de superposición Sea X1 , X2 , . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal X c1X1 c2X2 ckXk, donde las ci , i 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución en el intervalo. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 306 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 306 6/4/09 12:22:06 PM 6/4/09 12:22:06 PM www.FreeLibros.me
- 356. Se deduce del teorema 8.1.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solu- ción de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es también una solución. EJEMPLO 3 Usando el principio de superposición Debería practicar comprobando que los dos vectores X1 cos t 1 2 cos t 1 2 sent cos t sen t y X2 0 et 0 son soluciones del sistema X 1 1 2 0 1 0 1 0 1 X. (8) Por el principio de superposición la combinación lineal X c1X1 c2X2 c1 cos t 1 2 cos t 1 2 sent cos t sent c2 0 et 0 es otra solución del sistema. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Estamos interesados principalmente en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5). DEFINICIÓN 8.1.2 Dependencia/independencia lineal Sea X1 , X2 , . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1 , c2 , . . . , ck , no todas cero, tales que c1X1 c2X2 ckXk 0 para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente depen- diente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El caso cuando k 2 debe ser claro; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro y a la inversa. Para k 2 un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si se puede expresar por lo menos un vector solución como una combinación lineal de los otros vectores. WRONSKIANO En la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación dife- rencial ordinaria se puede introducir el concepto del determinante Wronskiano como prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin prueba. TEOREMA 8.1.3 Criterio para las soluciones linealmente independientes Sean X1 ( x11 x21 xn1 x12 x22 xn2 ), X2 ( . . . , ), x1n x2n xnn Xn ( ) . . . . . . . . . 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES O 307 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 307 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 307 6/4/09 12:22:07 PM 6/4/09 12:22:07 PM www.FreeLibros.me
- 357. 308 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si el Wronskiano W(X1,X2, . . . ,Xn) 0 x11 x21 xn1 x1n x2n xnn x12 x22 xn2 . . . . . . . . . . . . . . . (9) para toda t en el intervalo. Se puede demostrar que si X1 , X2 , . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces para toda t en I ya sea W(X1 , X2 , . . . , Xn ) 0 o W(X1 , X2 , . . . , Xn ) 0. Por tanto, si se puede demostrar que W 0 para alguna t0 en I, entonces W 0 para toda t y, por tanto, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo. Observe que, a diferencia de la definición de Wronskiano en la sección 4, aquí la definición del determinante (9) no implica derivación. EJEMPLO 4 Soluciones linealmente independientes En el ejemplo 2 vimos que X1 1 1 e 2t y X2 3 5 e6t son soluciones del sistema (6). Es evidente que X1 y X2 son linealmente independientes en el intervalo (, ) puesto que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, se tiene W(X1, X2) e 2t e 2t 3e6t 5e6t 8e4t 0 para todos los valores reales de t. DEFINICIÓN 8.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto X1 , X2 , . . . , Xn de n vectores solución linealmente inde- pendientes del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se dice que es un con- junto fundamental de soluciones en el intervalo. TEOREMA 8.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas 4.1.5 y 4.1.6 para sistemas lineales. TEOREMA 8.1.5 Solución general, sistemas homogéneos Sea X1 , X2 , . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema ho- mogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es X c1X1 c2X2 cnXn, donde las ci , i 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 308 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 308 6/4/09 12:22:07 PM 6/4/09 12:22:07 PM www.FreeLibros.me
- 358. EJEMPLO 5 Solución general del sistema (6) Del ejemplo 2 sabemos que X1 1 1 e 2t y X2 3 5 e6t son soluciones lineal- mente independientes de (6) en (, ). Por tanto X1 y X2 son un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo entonces es X c1X1 c2X2 c1 1 1 e 2t c2 3 5 e6t . (10) EJEMPLO 6 Solución general del sistema (8) Los vectores X1 cos t 1 2 cos t 1 2 sent cos t sent , X2 0 1 0 et , X3 sen t 1 2 sent 1 2 cos t sent cos t son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora, W(X1, X2, X3) p cos t 1 2 cos t 1 2 sent cos t sent 0 et 0 sent 1 2 sent 1 2 cos t sent cos t p et 0 para todos los valores reales de t. Se concluye que X1 , X2 y X3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (, ). Por lo que la solución general del sistema en el intervalo es la combinación lineal X c1 X1 c2 X2 c3 X3 ; es decir, X c1 cos t 1 2 cos t 1 2 sent cos t sent c2 0 1 0 et c3 sent 1 2 sent 1 2 cos t sent cos t . SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución par- ticular Xp en el intervalo I es cualquier vector libre de parámetros arbitrarios, cuyos elementos son funciones que satisfacen el sistema (4). TEOREMA 8.1.6 Solución general: sistemas no homogéneos Sea Xp una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I y sea Xc c1X1 c2X2 cnXn que denota la solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo es X Xc Xp. La solución general Xc del sistema homogéneo relacionado (5) se llama función complementaria del sistema no homogéneo (4). 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES O 309 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 309 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 309 6/4/09 12:22:07 PM 6/4/09 12:22:07 PM www.FreeLibros.me
- 359. 310 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 7 Solución general: sistema no homogéneo El vector Xp 3t 4 5t 6 es una solución particular del sistema no homogéneo X 1 5 3 3 X 12t 11 3 (11) en el intervalo (, ). (Compruebe esto.) La función complementaria de (11) en el mismo intervalo o la solución general de X 1 5 3 3 X , como vimos en (10) del ejemplo 5 que Xc c1 1 1 e 2t c2 3 5 e6t . Por tanto, por el teorema 8.1.6 X Xc Xp c1 1 1 e 2t c2 3 5 e6t 3t 4 5t 6 es la solución general de (11) en (, ). En los problemas l a 6 escriba el sistema lineal en forma ma- tricial. 1. 2. 3. 4. dz dt x z dy dt x 2z dx dt x y dy dt 5x dx dt 4x 7y 5. 6. 2. 4. dz dt y 6z e t dy dt 5x 9z 4e t cos 2t dx dt 3x 4y e t sen 2t dz dt x y z t2 t 2 dy dt 2x y z 3t2 dx dt x y z t 1 dz dt dz dt 10x 4y 3z dy dt dy dt 6x y dx dt dx dt 3x 4y 9z dy dt dy dt 4x 8y dx dt dx dt 3x 5y En los problemas 7 a 10, reescriba el sistema dado sin el uso de matrices. 7. X 4 1 2 3 X 1 1 et 8. 9. 10. d dt x y 3 1 7 1 x y 4 8 sent t 4 2t 1 e4t d dt x y z 1 3 2 1 4 5 2 1 6 x y z 1 2 2 e t 3 1 1 t X 7 4 0 5 1 2 9 1 3 X 0 2 1 e5t 8 0 3 e 2t En los problemas 11 a 16, compruebe que el vector X es una solución del sistema dado. 11. 12. 13. 14. X 2 1 1 0 X; X 1 3 et 4 4 tet X 1 1 1 4 1 X; X 1 2 e 3t/2 dy dt 2x 4y; X 5 cos t 3 cos t sent et dx dt 2x 5y dy dt 4x 7y; X 1 2 e 5t dx dt 3x 4y EJERCICIOS 8.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 310 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 310 6/4/09 12:22:08 PM 6/4/09 12:22:08 PM www.FreeLibros.me
- 360. 15. 16. X 1 1 2 0 1 0 1 0 1 X; X sent 1 2 sent 1 2 cos t sent cos t X 1 6 1 2 1 2 1 0 1 X; X 1 6 13 En los problemas 17 a 20, los vectores dados son soluciones de un sistema X AX. Determine si los vectores forman un conjunto fundamental en (, ). 17. 18. 19. 20. X1 1 6 13 , X2 1 2 1 e 4t , X3 2 3 2 e3t X3 3 6 12 t 2 4 4 X1 1 2 4 t 1 2 2 , X2 1 2 4 , X1 1 1 et , X2 2 6 et 8 8 tet X1 1 1 e 2t , X2 1 1 e 6t En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector Xp es una solución particular del sistema dado. 21. dy dt 3x 2y 4t 18; Xp 2 1 t 5 1 dx dt x 4y 2t 7 22. 23. 24. X 1 4 6 2 2 1 3 0 0 X 1 4 3 sen 3t; Xp sen 3t 0 cos 3t X 2 3 1 4 X 1 7 et ; Xp 1 1 et 1 1 tet X 2 1 1 1 X 5 2 ; Xp 1 3 25. Demuestre que la solución general de X 0 1 1 6 0 1 0 1 0 X en el intervalo (, ) es X c1 6 1 5 e t c2 3 1 1 e 2t c3 2 1 1 e3t . 26. Demuestre que la solución general de X 1 1 1 1 X 1 1 t2 4 6 t 1 5 en el intervalo (, ) es X c1 1 1 12 e12t c2 1 1 12 e 12t 1 0 t2 2 4 t 1 0 . SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS REPASO DE MATERIAL O Sección II.3 del apéndice II INTRODUCCIÓN Vimos en el ejemplo 5 de la sección 8.1 que la solución general del sistema homogéneo X 1 5 3 3 X es . X c1X1 c2X2 c1 1 1 e 2t c2 3 5 e6t Ya que los vectores solución X1 y X2 tienen la forma , Xi k1 k2 e it i 1, 2, 8.2 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 311 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 311 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 311 6/4/09 12:22:08 PM 6/4/09 12:22:08 PM www.FreeLibros.me
- 361. 312 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN donde k1 , k2 , l1 y l2 son constantes, nos inquieta preguntar si siempre es posible hallar una solución de la forma X ( k1 k2 kn )elt Kelt . . . (1) para la solución del sistema lineal homogéneo general de primer orden X AX, (2) donde A es una matriz n n de constantes. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solución del sistema homogéneo lineal (2), entonces X Klelt , por lo que el sistema se convierte en Klelt AKelt . Después de dividir entre elt y reacomodando, obtenemos AK lK o AK lK 0. Ya que K IK, la última ecuación es igual a l (A I)K 0. (3) La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas (a11 l)k1 a12k2 . . . a1nkn 0 a2nkn 0 a21k1 (a22 l)k2 . . . an1k1 an2k2 . . . (ann l)kn 0. . . . . . . Por lo que para encontrar soluciones X de (2), necesitamos primero encontrar una solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector no trivial K que satisfaga a (3). Pero para que (3) tenga soluciones que no sean la so- lución obvia k1 k2 kn 0, se debe tener det(A I) 0. Esta ecuación polinomial en l se llama ecuación característica de la matriz A. Sus soluciones son los eigenvalores de A. Una solución K 0 de (3) correspondiente a un eigenvalor l se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homo- géneo (2) es X Kelt . En el siguiente análisis se examinan tres casos: eigenvalores reales y distintos (es decir, los eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por último, eigenva- lores complejos. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS Cuando la matriz A n n tiene n eigenvalores reales y distintos l1 , l2 , . . . , ln en- tonces siempre se puede encontrar un conjunto de n eigenvectores linealmente inde- pendientes K1 , K2 , . . . , Kn y X1 K1e 1t , X2 K2e 2t , . . . , Xn Kne nt es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en el intervalo (, ). TEOREMA 8.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos Sean l1 , l2 , . . . , ln n eigenvalores reales y distintos de la matriz de coeficientes A del sistema homogéneo (2) y sean K1 , K2 , . . . , Kn los eigenvectores correspon- dientes. Entonces la solución general de (2) en el intervalo (, ) está dada por X c1K1e 1t c2K2e 2t cnKne nt . 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 312 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 312 6/4/09 12:22:09 PM 6/4/09 12:22:09 PM www.FreeLibros.me
- 362. EJEMPLO 1 Eigenvalores distintos Resuelva dy dt 2x y. dx dt 2x 3y (4) SOLUCIÓN Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de coeficientes. De la ecuación característica det(A I) 2 2 3 1 2 3 4 ( 1)( 4) 0 vemos que los eigenvalores son l1 1 y l2 4. Ahora para l1 1, (3) es equivalente a 2k1 2k2 0. 3k1 3k2 0 Por lo que k1 k2 . Cuando k2 1, el eigenvector correspondiente es Para l2 4 tenemos 2k1 3k2 0 2k1 3k2 0 K1 1 1 . por lo que k1 3 2 k2; por tanto con k2 2 el eigenvector correspondiente es K2 3 2 . Puesto que la matriz de coeficientes A es una matriz 2 2 y como hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes de (4), X1 1 1 e t y X2 3 2 e4t , Se concluye que la solución general del sistema es X c1X1 c2 X2 c1 1 1 e t c2 3 2 e4t . (5) DIAGRAMA DE FASE Debe considerar que escribir una solución de un sistema de ecuaciones en términos de matrices es simplemente una alternativa al método que se empleó en la sección 4.8, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relación entre las constantes. Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y después igua- lamos las entradas con las entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo, se obtiene la expresión familiar x c1e t 3c2e4t , y c1e t 2c2e4t . Como se indicó en la sección 8.1, se pueden interpretar estas ecuaciones como ecuacio- nes paramétricas de curvas en el plano xy o plano fase. Cada curva, que corresponde a elecciones específicas de c1 y c2 , se llama trayectoria. Para la elección de constantes c1 c2 1 en la solución (5) vemos en la figura 8.2.1, la gráfica de x(t) en el plano tx, la gráfica de y(t) en el plano ty y la trayectoria que consiste en los puntos (x(t), y(t)) _1 _2 _3 2 3 1 _1 _2 _3 2 3 1 1 2 3 4 5 6 t x a) gráfica de x et 3e4t b) gráfica de y et 2e4t c) trayectoria definida por x et 3e4t , y et 2e4t en el plano fase _2 _4 _6 2 4 6 t y _2 _4 _6 _8 _10 12.5 15 10 5 7.5 2.5 2 4 x y FIGURA 8.2.1 Una solución particular de (5) produce tres curvas diferentes en tres planos diferentes. 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 313 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 313 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 313 6/4/09 12:22:10 PM 6/4/09 12:22:10 PM www.FreeLibros.me
- 363. 314 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN en el plano fase. Al conjunto de trayectorias representativas en el plano fase, como se muestra en la figura 8.2.2 se le llama diagrama fase para un sistema lineal dado. Lo que parecen dos rectas rojas en la figura 8.2.2 son en realidad cuatro semirrectas defi- nidas paramétricamente en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes con las so- luciones X2 , X1 , X2 y X1 , respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas y 2 3 x, x 0 y y x, x 0, de las semirrectas en el primer y cuarto cuadrantes se obtuvieron eliminando el parámetro t en las soluciones x 3e4t , y 2e4t y x et , y et , respectivamente. Además, cada eigenvector se puede visualizar como un vector bidimensional que se encuentra a lo largo de una de estas semirrectas. El eigenvector K2 3 2 se encuentra junto con y 2 3 x en el primer cuadrante y K1 1 1 se encuentra junto con y x en el cuarto cuadrante. Cada vector comienza en el origen; K2 termina en el punto (2, 3) y K1 termina en (1, 1). El origen no es sólo una solución constante x 0, y 0 de todo sistema lineal homogéneo 2 2, X AX, sino también es un punto importante en el estudio cua- litativo de dichos sistemas. Si pensamos en términos físicos, las puntas de flecha de cada trayectoria en el tiempo t se mueven conforme aumenta el tiempo. Si imaginamos que el tiempo va de a , entonces examinando la solución x c1 et 3c2 e4t , y c1 et 2c2 e4t , c1 0, c2 0 muestra que una trayectoria o partícula en mo- vimiento “comienza” asintótica a una de las semirrectas definidas por X1 o X1 (ya que e4t es despreciable para t S ) y “termina” asintótica a una de las semirrectas definidas por X2 y X2 (ya que et es despreciable para t S ). Observe que la figura 8.2.2 representa un diagrama de fase que es característico de todos los sistemas lineales homogéneos 2 2 X AX con eigenvalores reales de signos opuestos. Véase el problema 17 de los ejercicios 8.2. Además, los diagramas de fase en los dos casos cuando los eigenvalores reales y distintos tienen el mismo signo son característicos de esos sistemas 2 2; la única diferencia es que las puntas de flecha indican que una partícula se aleja del origen en cualquier trayectoria cuando l1 y l2 son positivas y se mueve hacia el origen en cualquier trayectoria cuando l1 y l2 son negativas. Por lo que al origen se le llama repulsor en el caso l1 0, l2 0 y atractor en el caso l1 0, l2 0. Véase el problema 18 en los ejercicios 8.2. El origen en la figura 8.2.2 no es repulsor ni atractor. La investigación del caso restante cuando l 0 es un eigenvalor de un sistema lineal homogéneo de 2 2 se deja como ejercicio. Véase el problema 49 de los ejercicios 8.2. EJEMPLO 2 Eigenvalores distintos Resuelva (6) dz dt y 3z. dy dt x 5y z dx dt 4x y z SOLUCIÓN Usando los cofactores del tercer renglón, se encuentra det (A I) p 4 1 0 1 5 1 1 1 3 p ( 3)( 4)( 5) 0, y así los eigenvalores son l1 3, l2 4 y l3 5. x y X1 X2 FIGURA 8.2.2 Un diagrama de fase del sistema (4). 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 314 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 314 6/4/09 12:22:10 PM 6/4/09 12:22:10 PM www.FreeLibros.me
- 364. Para l1 3, con la eliminación de Gauss-Jordan, se obtiene (A 3I 0) ( 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 8 1 ) ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 ) operaciones entre renglones Por tanto k1 k3 y k2 0. La elección k3 1 da un eigenvector y el vector solución correspondiente K1 1 0 1 , X1 1 0 1 e 3t . (7) De igual manera, para l2 4 (A 4I 0) ( 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 9 1 ) ( 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 0 ) operaciones entre renglones implica que k1 10k3 y k2 k3 . Al elegir k3 1, se obtiene un segundo eigenvector y el vector solución K2 10 1 1 , X2 10 1 1 e 4t . (8) Por último, cuando l3 5, las matrices aumentadas (A 5I 0) ( 9 1 0 1 1 8 0 0 0 1 0 1 ) ( 1 0 0 1 8 0 0 0 0 0 1 0 ) operaciones entre renglones producen K3 1 8 1 , X3 1 8 1 e5t . (9) La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución en (7), (8) y (9): X c1 1 0 1 e 3t c2 10 1 1 e 4t c3 1 8 1 e5t . USO DE COMPUTADORAS Los paquetes de software como MATLAB, Mathematica, Maple y DERIVE, ahorran tiempo en la determinación de eigenvalores y eigenvectores de una matriz A. 8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS Por supuesto, no todos los n eigenvalores l1 , l2 , . . . , ln de una matriz A de n n deben ser distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podrían ser repetidos. Por ejemplo, la ecuación característica de la matriz de coeficientes en el sistema X 3 2 18 9 X (10) 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 315 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 315 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 315 6/4/09 12:22:11 PM 6/4/09 12:22:11 PM www.FreeLibros.me
- 365. 316 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN se demuestra fácilmente que es (l 3)2 0, y por tanto, l1 l2 3 es una raíz de multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el único eigenvector K1 3 1 , por lo que X1 3 1 e 3t (11) es una solución de (10). Pero como es obvio que tenemos interés en formar la solución general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda solución. En general, si m es un entero positivo y (l l1 )m es un factor de la ecuación característica, mientras que (l l1 )m1 no es un factor, entonces se dice que l1 es un eigenvalor de multiplicidad m. En los tres ejemplos que se dan a continuación se ilustran los casos siguientes: i) Para algunas matrices A de n n sería posible encontrar m eigenvectores linealmente independientes K1 , K2 , . . . , Km , correspondientes a un eigenvalor l1 , de multiplicidad m n. En este caso la solución general del sistema contiene la combinación lineal c1K1e 1t c2K2e 1t cmKme 1t . ii) Si sólo hay un eigenvector propio que corresponde al eingenvalor l1 de multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma X1 K11el1t X2 K21tel1t K22el1t Xm Km1 el1t Km2 el1t . . . Kmmel1t, tm1 –––––––– (m 1)! tm2 –––––––– (m 2)! . . . donde las Kij son vectores columna. EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenva- lores de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos encontrar dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor. EJEMPLO 3 Eigenvalores repetidos Resuelva X 1 2 2 2 1 2 2 2 1 X. SOLUCIÓN Desarrollando el determinante en la ecuación característica det(A I) p 1 2 2 2 1 2 2 2 1 p 0 se obtiene (l l)2 (l 5) 0. Se ve que l1 l2 1 y l3 5. Para l1 1, con la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato (A I 0) ( 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 ) ( 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 ). operaciones entre renglones 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 316 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 316 6/4/09 12:22:11 PM 6/4/09 12:22:11 PM www.FreeLibros.me
- 366. El primer renglón de la última matriz indica que k1 – k2 k3 0 o k1 k2 – k3 . Las elecciones k2 1, k3 0 y k2 1, k3 1 producen, a su vez, k1 1 y k1 0. Por lo que dos eigenvectores correspondientes a l1 1 son K1 1 1 0 y K2 0 1 1 . Puesto que ningún eigenvector es un múltiplo constante del otro, se han encontrado dos soluciones linealmente independientes, X1 1 1 0 e t y X2 0 1 1 e t , que corresponden al mismo eigenvalor. Por último, para l3 5 la reducción (A 5I 0) ( 4 2 2 2 2 4 0 0 0 2 4 2 ) ( 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 ) operaciones entre renglones implica que k1 k3 y k2 k3 . Al seleccionar k3 1, se obtiene k1 1, k2 1; por lo que el tercer eigenvector es K3 1 1 1 . Concluimos que la solución general del sistema es X c1 1 1 0 e t c2 0 1 1 e t c3 1 1 1 e5t . La matriz de coeficientes A del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de n n es simétrica si su trans- puesta AT (donde se intercambian renglones y columnas) es igual que A, es decir, si AT A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X AX es simétrica y tiene elementos reales, entonces siempre es posible encontrar n eigenvectores linealmente independientes K1 , K2 , . . . , Kn , y la solución general de ese sistema es como se mues- tra en el teorema 8.2.1. Como se muestra en el ejemplo 3, este resultado se cumple aun cuando estén repetidos algunos de los eigenvalores. SEGUNDA SOLUCIÓN Suponga que l1 es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un eigenvector asociado con este valor. Se puede encontrar una segunda solución de la forma , X2 Kte 1t Pe 1t (12) donde y ) K ( k1 k2 kn ). P ( p1 p2 pn . . . . . . 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 317 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 317 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 317 6/4/09 12:22:12 PM 6/4/09 12:22:12 PM www.FreeLibros.me
- 367. 318 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Para ver esto sustituya (12) en el sistema X AX y simplifique: (AK 1K)te 1t (AP 1P K)e 1t 0. Puesto que la última ecuación es válida para todos los valores de t, debemos tener (13) y (A 1I)P K. (A 1I)K 0 (14) La ecuación (13) simplemente establece que K debe ser un vector característico de A asociado con l1 . Al resolver (13), se encuentra una solución X1 Ke 1t . Para encon- trar la segunda solución X2 , sólo se necesita resolver el sistema adicional (14) para obtener el vector P. EJEMPLO 4 Eigenvalores repetidos Encuentre la solución general del sistema dado en (10). SOLUCIÓN De (11) se sabe que l1 3 y que una solución es . X1 3 1 e 3t Identificando K 3 1 y , P p1 p2 encontramos de (14) que ahora debemos re- solver . (A 3I)P K o 6p1 18p2 3 2p1 6p2 1 Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuación, se tiene un número infinito de elecciones de p1 y p2 . Por ejemplo, al elegir p1 1 se encuentra que p2 1 6 . Sin embargo, por simplicidad elegimos p1 1 2 por lo que p2 0. Entonces P 1 2 0 . Así de (12) se encuentra que X2 3 1 te 3t 1 2 0 e 3t . La solución gene- ral de (10) es X c1 X1 c2 X2 , o X c1 3 1 e 3t c2 3 1 te 3t 1 2 0 e 3t . Al asignar diversos valores a c1 y c2 en la solución del ejemplo 4, se pueden trazar las trayectorias del sistema en (10). En la figura 8.2.3 se presenta un diagrama fase de (10). Las soluciones X1 y X1 determinan dos semirrectas y 1 3 x, x 0 y y 1 3 x, x 0 respectivamente, mostradas en rojo en la figura. Debido a que el único eigenvalor es negativo y e3t S 0 conforme t S en cada trayectoria, se tiene (x(t), y(t)) S (0, 0) conforme t S . Esta es la razón por la que las puntas de las flechas de la figura 8.2.3 indican que una partícula en cualquier trayectoria se mueve hacia el origen conforme aumenta el tiempo y la razón de que en este caso el origen sea un atractor. Además, una partícula en movimiento o trayectoria y c1e 3t c2te 3t , c2 0 x 3c1e 3t c2(3te 3t 1 2e 3t ), tiende a (0, 0) tangen- cialmente a una de las semirrectas conforme t S . En contraste, cuando el eigenvalor repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulsor. Véase el pro- blema 21 de los ejercicios 8.2. Similar a la figura 8.2.2, la figura 8.2.3 es característica de todos los sistemas lineales homogéneos X AX, 2 2 que tienen dos eigenvalo- res negativos repetidos. Véase el problema 32 en los ejercicios 8.2. EIGENVALOR DE MULTIPLICIDAD TRES Cuando la matriz de coeficientes A tiene sólo un eigenvector asociado con un eigenvalor l1 de multiplicidad tres, podemos x y X1 FIGURA 8.2.3 Diagrama de fase del sistema (l0). 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 318 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 318 6/4/09 12:22:12 PM 6/4/09 12:22:12 PM www.FreeLibros.me
- 368. encontrar una segunda solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma , X3 K t2 2 e 1t Pte 1t Qe 1t (15) donde y ), K ( k1 k2 kn . . . ), P ( p1 p2 pn . . . ). Q ( q1 q2 qn . . . Al sustituir (15) en el sistema X AX, se encuentra que los vectores columna K, P y Q deben satisfacer (16) (17) y (A 1I)Q P. (A 1I)P K (A 1I)K 0 (18) Por supuesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones X1 y X2 . EJEMPLO 5 Eigenvalores repetidos Resuelva X 2 0 0 1 2 0 6 5 2 X . SOLUCIÓN La ecuación característica (l 2)3 0 demuestra que l1 2 es un eigenva- lor de multiplicidad tres. Al resolver (A 2I)K 0, se encuentra el único eigenvector K 1 0 0 . A continuación se resuelven primero el sistema (A 2I)P K y después el sistema (A 2I)Q P y se encuentra que P 0 1 0 y Q 0 6 5 1 5 . Usando (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es . X c1 1 0 0 e2t c2 1 0 0 te2t 0 1 0 e2t c3 1 0 0 t2 2 e2t 0 1 0 te2t 0 6 5 1 5 e2t COMENTARIOS Cuando un eigenvalor l1 tiene multiplicidad m, se pueden determinar m eigen- vectores linealmente independientes o el número de eigenvectores correspon- dientes es menor que m. Por tanto, los dos casos listados en la página 316 no son todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un eigenvalor repetido. Puede suceder, por ejemplo, que una matriz de 5 5 tenga un eigenvalor de multiplicidad cinco y existan tres eigenvectores correspondientes linealmente independientes. Véanse los problemas 31 y 50 de los ejercicios 8.2. 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 319 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 319 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 319 6/4/09 12:22:13 PM 6/4/09 12:22:13 PM www.FreeLibros.me
- 369. 320 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS Si l1 a bi y l2 a bi, b 0, i2 1 son eigenvalores complejos de la matriz de coeficientes A, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores corres- pondientes también tengan entradas complejas.* Por ejemplo, la ecuación característica del sistema dx dt 6x y dy dt 5x 4y (19) es det(A I) 6 5 1 4 2 10 29 0. De la fórmula cuadrática se encuentra l1 5 2i, l2 5 2i. Ahora para l1 5 2i se debe resolver 5k1 (1 2i)k2 0. (1 2i)k1 k2 0 Puesto que k2 (1 2i)k1 ,† la elección k1 1 da el siguiente eigenvector y el vector solución correspondiente: K1 1 1 2i , X1 1 1 2i e(5 2i)t . De manera similar, para l2 5 2i encontramos K2 1 1 2i , X2 1 1 2i e(5 2i)t . Podemos comprobar por medio del Wronskiano que estos vectores solución son li- nealmente independientes y por tanto la solución general de (19) es X c1 1 1 2i e(5 2i )t c2 1 1 2i e(5 2i )t . (20) Observe que las entradas en K2 correspondientes a l2 son los conjugados de las entradas en K1 correspondientes a l1 . El conjugado de l1 es, por supuesto, l2 . Esto se escribe como 2 1 y K2 K1. Hemos ilustrado el siguiente resultado general. TEOREMA 8.2.2 Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo Sea A una matriz de coeficientes que tiene entradas reales del sistema homogé- neo (2) y sea K1 un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo l1 a bi, a y b reales. Entonces K1e 1t y K1e 1t son soluciones de (2). * Cuando la ecuación característica tiene coeficientes reales, los eigenvalores complejos siempre aparecen en pares conjugados. † Note que la segunda ecuación es simplemente (1 2i) veces la primera. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 320 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 320 6/4/09 12:22:13 PM 6/4/09 12:22:13 PM www.FreeLibros.me
- 370. Es deseable y relativamente fácil reescribir una solución tal como (20) en términos de funciones reales. Con este fin primero usamos la fórmula de Euler para escribir e(5 2i )t e5t e 2ti e5t (cos 2t isen 2t). e(5 2i )t e5t e2ti e5t (cos 2t isen 2t) Entonces, multiplicando los números complejos, agrupando términos y reemplazando c1 c2 por C1 y (c1 c2 )i por C2 , (20) se convierte en (21) donde y X2 0 2 cos 2t 1 1 sen 2t e5t . X1 1 1 cos 2t 0 2 sen 2t e5t X C1X1 C2X2 , Ahora es importante entender que los vectores X1 y X2 en (21) constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones reales del sistema original. Estamos justi- ficados para despreciar la relación entre C1 , C2 y c1 , c2, y podemos considerar C1 y C2 como totalmente arbitrarias y reales. En otras palabras, la combinación lineal (21) es una solución general alternativa de (19). Además, con la forma real dada en (21) pode- mos obtener un diagrama de fase del sistema dado en (19). A partir de (21) podemos encontrar que x(t) y y(t) son y (C1 2C2)e5t cos 2t (2C1 C2)e5t sen 2t. x C1e5t cos 2t C2e5t sen 2t Al graficar las trayectorias (x(t), y(t)) para diferentes valores de C1 y C2 , se obtiene el diagrama de fase de (19) que se muestra en la figura 8.2.4. Ya que la parte real de l1 es 5 0, e5t S conforme t S . Es por esto que las puntas de flecha de la figura 8.2.4 apuntan alejándose del origen; una partícula en cualquier trayectoria se mueve en espiral alejándose del origen conforme t S . El origen es un repulsor. El proceso con el que se obtuvieron las soluciones reales en (21) se puede ge- neralizar. Sea K1 un eigenvector característico de la matriz de coeficientes A (con elementos reales) que corresponden al eigenvalor complejo l1 a ib. Entonces los vectores solución del teorema 8.2.2 se pueden escribir como K1e 1t K1e t e i t K1e t (cos t i sen t). K1e 1t K1e t ei t K1e t (cos t i sen t) Por el principio de superposición, teorema 8.1.2, los siguientes vectores también son soluciones: X2 i 2 ( K1e 1t K1e 1t ) i 2 ( K1 K1)e t cos t 1 2 (K1 K1)e t sen t. X1 1 2 (K1e 1t K1e 1t ) 1 2 (K1 K1)e t cos t i 2 ( K1 K1)e t sen t Tanto 1 2 (z z) a como 1 2 i( z z) b son números reales para cualquier número complejo z a ib. Por tanto, los elementos de los vectores columna 1 2(K1 K1) y 1 2 i( K1 K1) son números reales. Definir B1 1 2 (K1 K1) y B2 i 2 ( K1 K1), (22) conduce al siguiente teorema. FIGURA 8.2.4 Un diagrama de fase del sistema (19). x y 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 321 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 321 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 321 6/4/09 12:22:14 PM 6/4/09 12:22:14 PM www.FreeLibros.me
- 371. 322 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor complejo Sea l1 a ib un eigenvalor complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema homogéneo (2) y sean B1 y B2 los vectores columna definidos en (22). Entonces X2 [B2 cos t B1 sen t]e t X1 [B1 cos t B2 sen t]e t (23) son soluciones linealmente independientes de (2) en (, ). Las matrices B1 y B2 en (22) con frecuencia se denotan por B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24) ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvec- tor K1 . Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con K1 1 1 2i 1 1 i 0 2 , B1 Re(K1) 1 1 y B2 Im(K1) 0 2 . EJEMPLO 6 Eigenvalores complejos Resuelva el problema con valores iniciales X 2 1 8 2 X, X(0) 2 1 . (25) SOLUCIÓN Primero se obtienen los eigenvalores a partir de det(A I) 2 1 8 2 2 4 0. los eigenvalores son ll 2i y 2 1 2i. Para ll el sistema k1 ( 2 2i)k2 0 (2 2i) k1 8k2 0 da k1 (2 2i)k2 . Eligiendo k2 1, se obtiene K1 2 2i 1 2 1 i 2 0 . Ahora de (24) formamos B1 Re(K1) 2 1 y B2 Im(K1) 2 0 . Puesto que a 0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es c1 2 cos 2t 2 sen 2t cos 2t c2 2 cos 2t 2 sen 2t sen 2t . X c1 2 1 cos 2t 2 0 sen 2t c2 2 0 cos 2t 2 1 sen 2t (26) 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 322 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 322 6/4/09 12:22:14 PM 6/4/09 12:22:14 PM www.FreeLibros.me
- 372. Algunas gráficas de las curvas o trayectorias definidas por la solución (26) del sis- tema se ilustran en el diagrama de fase de la figura 8.2.5. Ahora la condición inicial X(0) 2 1 , de forma equivalente x(0) 2 y y(0) 1 produce el sistema algebraico 2c1 2c2 2, c1 1, cuya solución es c1 1, c2 0. Así la solución para el problema es X 2 cos 2t 2 sen 2t cos 2t . La trayectoria específica definida paramétricamente por la solución particular x 2 cos 2t 2 sen 2t, y cos 2t es la curva en rojo de la figura 8.2.5. Observe que esta curva pasa por (2,1). COMENTARIOS En esta sección hemos examinado solamente sistemas homogéneos de ecuacio- nes lineales de primer orden en forma normal X AX. Pero con frecuencia el modelo matemático de un sistema dinámico físico es un sistema homogéneo de segundo orden cuya forma normal es X AX. Por ejemplo, el modelo para los resortes acoplados en (1) de la sección 7.6. (27) se puede escribir como MX KX, m2x2 k2(x2 x1), m1x1 k1x1 k2(x2 x1) donde M m1 0 0 m2 , K k1 k2 k2 k2 k2 , y X x1(t) x2(t) . Puesto que M es no singular, se puede resolver X como X AX, donde A M1 K. Por lo que (27) es equivalente a X k1 m1 k2 m1 k2 m2 k2 m1 k2 m2 X. (28) Los métodos de esta sección se pueden usar para resolver este sistema en dos formas: • Primero, el sistema original (27) se puede transformar en un sistema de primer orden por medio de sustituciones. Si se hace x1 x3 y x2 x4 , entonces x3 x1 y x4 x2 por tanto (27) es equivalente a un sistema de cuatro ED lineales de primer orden. o x4 k2 m2 x1 k2 m2 x2 x3 k1 m1 k2 m1 x1 k2 m1 x2 x2 x4 x1 x3 X X. (29) 0 0 k1 m1 k2 m1 k2 m2 0 0 k2 m1 k2 m2 1 0 0 0 0 1 0 0 Al encontrar los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz de coeficientes A en (29), vemos que la solución de este sistema de primer orden proporciona el estado completo del sistema físico, las posiciones de las masas respecto a las posiciones de equilibrio (x1 y x2 ) así como también las velocidades de las masas (x3 y x4 ) en el tiempo t. Véase el problema 48a en los ejercicios 8.2. FIGURA 8.2.5 Un diagrama de fase del sistema (25). x y (2, _1) 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 323 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 323 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 323 6/4/09 12:22:15 PM 6/4/09 12:22:15 PM www.FreeLibros.me
- 373. 324 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN • Segundo, debido a que (27) describe el movimiento libre no amortiguado, se puede argumentar que las soluciones de valores reales del sistema de se- gundo orden (28) tendrán la forma X V cos t y , X V sen t (30) donde V es una matriz columna de constantes. Sustituyendo cualquiera de las funciones de (30) en X AX se obtiene (A v2 I)V 0. (Comprobar.) Identificando con (3) de esta sección se concluye que l v2 representa un eigenvalor y V un eigenvector correspondiente de A. Se puede demostrar que los eigenvalores , i 1, 2 i i 2 de A son negativos y por tanto i 1 i es un número real y representa una frecuencia de vibración (circular) (véase (4) de la sección 7.6). Con superposición de soluciones, la solución general de (28) es entonces (c1 cos 1t c2 sen 1t)V1 (c3 cos 2t c4 sen 2t)V2, X c1V1 cos 1t c2V1 sen 1t c3V2 cos 2t c4V2 sen 2t (31) donde V1 y V2 son, a su vez, eigenvectores reales de A correspondientes a l1 y l2 . El resultado dado en (31) se generaliza. Si 1 2 , 2 2 , . . . , n 2 son eigenvalores negativos y distintos y V1 , V2 , . . . , Vn son los eigenvectores correspondientes reales de la matriz n n de coeficientes A, entonces el sistema homogéneo de segundo orden X AX tiene la solución general X n i 1 (ai cos it bi sen it)Vi, (32) donde ai y bi representan constantes arbitrarias. Véase el problema 48b en los ejercicios 8.2. EJERCICIOS 8.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS En los problemas l a 12 determine la solución general del sis- tema dado. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. dz dt y z dy dt 2y dx dt x y z X 10 8 5 12 X dy dt 5 2 x 2y dx dt 4x 2y dy dt 4x 3y dx dt x 2y dz dt 5y 2z dy dt 5x 10y 4z dx dt 2x 7y X 6 3 2 1 X dy dt 3 4 x 2y dx dt 5 2 x 2y dy dt x 3y dx dt 2x 2y 9. 10. 11. 12. X 1 4 0 4 1 0 2 2 6 X X 1 3 4 1 8 1 3 2 1 4 0 3 1 2 X X 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X X 1 1 0 1 2 3 0 1 1 X En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valores iniciales. 13. 14. X 1 0 1 1 2 1 4 0 1 X, X(0) 1 3 0 X 1 2 1 0 1 2 X, X(0) 3 5 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 324 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 324 6/4/09 12:22:16 PM 6/4/09 12:22:16 PM www.FreeLibros.me
- 374. Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 15 y 16, use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar la solución general del sis- tema dado. 15. 16. X 1 0 1 0 2.8 0 5.1 2 1 0 2 0 3 3.1 0 1.8 1 0 4 1.5 0 3 0 0 1 X X 0.9 0.7 1.1 2.1 6.5 1.7 3.2 4.2 3.4 X 17. a) Utilice software para obtener el diagrama de fase del sistema en el problema 5. Si es posible, incluya puntas de flecha como en la figura 8.2.2. También incluya cuatro semirrectas en el diagrama de fase. b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las cuatro semirrectas del inciso a). c) Dibuje los eigenvectores en el diagrama de fase del sistema. 18. Encuentre los diagramas de fase para los sistemas de los pro- blemas 2 y 4. Para cada sistema determine las trayectorias de semirrecta e incluya estas rectas en el diagrama de fase. 8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS En los problemas 19 a 28 encuentre la solución general del sis- tema. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. X 1 2 0 0 2 1 0 1 0 X X 5 1 0 4 0 2 0 2 5 X dz dt x y z dy dt x y z dx dt 3x y z X 1 3 3 5 X dy dt 9x 3y dx dt 3x y 28. X 4 0 0 1 4 0 0 1 4 X X 1 0 0 0 3 1 0 1 1 X dz dt 4x 2y 3z dy dt 2x 2z dx dt 3x 2y 4z X 12 4 9 0 X dy dt 5x 4y dx dt 6x 5y En los problemas 29 y 30, resuelva el problema de valores ini- ciales 29. 30. X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 X, X(0) 1 2 5 X 2 1 4 6 X, X(0) 1 6 31. Demuestre que la matriz de 5 5 A 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 tiene un eigenvalor l1 de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden determinar tres eigenvectores linealmente in- dependientes correspondientes a l1 . Tarea para el laboratorio de computación 32. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 20 y 21. Para cada sistema determine cual- quier trayectoria de semirrecta e incluya estas líneas en el diagrama de fase. 8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS En los problemas 33 a 44, determine la solución general del sistema dado. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. X 1 1 1 1 1 0 2 0 1 X dz dt y dy dt z dx dt z X 4 5 5 4 X dy dt 2x 3y dx dt 5x y dy dt 5x 2y dx dt 6x y 42. X 4 0 4 0 6 0 1 0 4 X dz dt 4x 3z dy dt 3x 6z dx dt 2x y 2z X 1 1 8 3 X dy dt 2x 6y dx dt 4x 5y dy dt 2x y dx dt x y 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 325 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 325 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 325 6/4/09 12:22:16 PM 6/4/09 12:22:16 PM www.FreeLibros.me
- 375. 326 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 43. X 2 5 0 5 6 0 1 4 2 X 44. X 2 1 1 4 2 0 4 0 2 X En los problemas 45 y 46, resuelva el problema con valores iniciales. 45. 46. X 6 5 1 4 X, X(0) 2 8 X 1 1 1 12 2 1 14 3 2 X, X(0) 4 6 7 Tarea para el laboratorio de computación 47. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 36, 37 y 38. 48. a) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método descrito en los Comentarios (página 323), es decir, ex- prese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro ecuaciones lineales de primer orden. Use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de 4 4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solu- ción general para obtener (4) de la sección 7.6. b) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el segundo mé- todo descrito en los Comentarios, es decir, exprese (2) de la sección 7.6 como un sistema de dos ecuaciones lineales de segundo orden. Suponga soluciones de la forma X V sen vt y X V cos vt. Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 2. Como en el inciso a), obtenga (4) de la sección 7.6. Problemas para analizar 49. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas. a) X 1 1 1 1 X b) X 1 1 1 1 X Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál es la importancia geométrica de la recta y x en cada diagrama? 50. Considere la matriz de 5 5 dada en el problema 31. Resuelva el sistema X AX sin la ayuda de métodos matriciales, pero escriba la solución general usando nota- ción matricial. Use la solución general como base para un análisis de cómo se puede resolver el sistema usando mé- todos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas. 51. Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida pa- ramétricamente por la solución del sistema lineal en el ejemplo 6. Identifique la curva que pasa por (2, 1) en la figura 8.2.5. [Sugerencia: Calcule x2 , y2 y xy.] 52. Examine sus diagramas de fase del problema 47. ¿En qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal homogéneo de 2 2 con eigenvalores complejos está compuesto de una familia de curvas cerradas? ¿De una familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0) es un repulsor? ¿Un atractor? SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS REPASO DE MATERIAL O Sección 4.4 (Coeficientes indeterminados) O Sección 4.6 (Variación de parámetros) INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homo- géneo X AX F(t) en un intervalo I es X Xc Xp , donde Xc c1 X1 c2 X2 cn Xn es la función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X AX y Xp es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo obtener Xc cuando la matriz de coeficientes A era una matriz de constantes n n. En esta sección considera- remos dos métodos para obtener Xp . Los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros empleados en el ca- pítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar a la solución de sistemas lineales no homogéneos X AX F(t). De los dos métodos, variación de parámetros es la técnica más poderosa. Sin embargo, hay casos en que el método de coeficientes indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular. 8.3 8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS LAS SUPOSICIONES Como en la sección 4.4, el método de coeficientes indetermi- nados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 326 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 326 6/4/09 12:22:17 PM 6/4/09 12:22:17 PM www.FreeLibros.me
- 376. solución particular Xp ; la suposición es originada por los tipos de funciones que constitu- yen los elementos de la matriz columna F(t). No es de sorprender que la versión matricial de los coeficientes indeterminados sea aplicable a X AX F(t) sólo cuando los ele- mentos de A son constantes y los elementos de F(t) son constantes, polinomios, funcio- nes exponenciales, senos y cosenos o sumas y productos finitos de estas funciones. EJEMPLO 1 Coeficientes indeterminados Resuelva el sistema X 1 1 2 1 X 8 3 en (, ). SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado X 1 1 2 1 X. La ecuación característica de la matriz de coeficientes A. det (A I) 1 1 2 1 2 1 0, produce los eigenvalores complejos l1 i y . 2 1 i Con los procedimientos de la sección 8.2, se encuentra que Xc c1 cos t sent cos t c2 cos t sent sent . Ahora, puesto que F(t) es un vector constante, se supone un vector solución particular constante Xp a1 b1 . Sustituyendo esta última suposición en el sistema original e igualando las entradas se tiene que 0 a1 b1 3. 0 a1 2b1 8 Al resolver este sistema algebraico se obtiene a1 14 y b1 11 y así, una solución particular Xp 14 11 . La solución general del sistema original de ED en el intervalo (, ) es entonces X Xc Xp o X c1 cos t sent cos t c2 cos t sent sent 14 11 . EJEMPLO 2 Coeficientes indeterminados Resuelva el sistema X 6 4 1 3 X 6t 10t 4 en (, ). SOLUCIÓN Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema homogéneo asociado X 6 4 1 3 X son l1 2, l2 7, , K1 1 4 y K2 1 1 . Por tanto la función complementaria es Xc c1 1 4 e2t c2 1 1 e7t . 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 327 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 327 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 327 6/4/09 12:22:17 PM 6/4/09 12:22:17 PM www.FreeLibros.me
- 377. 328 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Ahora bien, debido a que F(t) se puede escribir como F(t) 6 10 t 0 4 , se tratará de encontrar una solución particular del sistema que tenga la misma forma: Xp a2 b2 t a1 b1 . Sustituyendo esta última suposición en el sistema dado se obtiene o 0 0 (6a2 b2 6)t 6a1 b1 a2 (4a2 3b2 10)t 4a1 3b1 b2 4 . a2 b2 6 4 1 3 a2 b2 t a1 b1 6 10 t 0 4 De la última identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas 6a2 b2 6 0 4a2 3b2 10 0 y 6a1 b1 a2 0 4a1 3b1 b2 4 0. Resolviendo de forma simultánea las primeras dos ecuaciones se obtiene a2 2 y b2 6. Después, se sustituyen estos valores en las dos últimas ecuaciones y se despeja para a1 y b1 . Los resultados son a1 4 7, b1 10 7 . Por tanto, se tiene que un vector solución particular es . Xp 2 6 t 4 7 10 7 la solución general del sistema en (, ) es X Xc Xp o . X c1 1 4 e2t c2 1 1 e7t 2 6 t 4 7 10 7 EJEMPLO 3 Forma de Xp Determine la forma de un vector solución particular Xp para el sistema dy dt x y e t 5t 7. dx dt 5x 3y 2e t 1 SOLUCIÓN Ya que F(t) se puede escribir en términos matriciales como F(t) 2 1 e t 0 5 t 1 7 una suposición natural para una solución particular sería Xp a3 b3 e t a2 b2 t a1 b1 . 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 328 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 328 6/4/09 12:22:18 PM 6/4/09 12:22:18 PM www.FreeLibros.me
- 378. COMENTARIOS El método de coeficientes indeterminados para sistemas lineales no es tan directo como parecerían indicar los últimos tres ejemplos. En la sección 4.4 la forma de una solución particular yp se predijo con base en el cono- cimiento previo de la función complementaria yc . Lo mismo se cumple para la formación de Xp . Pero hay otras dificultades: las reglas que gobiernan la forma de yp en la sección 4.4 no conducen a la formación de Xp . Por ejem- plo, si F(t) es un vector constante como en el ejemplo 1 y l 0 es un eigen- valor de multiplicidad uno, entonces Xc contiene un vector constante. Bajo la regla de multiplicación de la página 146 se trataría comúnmente de una solución particular de la forma Xp a1 b1 t. Esta no es la suposición apropiada para sistemas lineales, la cual debe ser Xp a2 b2 t a1 b1 . De igual manera, en el ejemplo 3, si se reemplaza et en F(t) por e2t (l 2 es un eigenvalor), enton- ces la forma correcta del vector solución particular es Xp a4 b4 te2t a3 b3 e2t a2 b2 t a1 b1 . En vez de ahondar en estas dificultades, se vuelve al método de variación de parámetros. 8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si X1 , X2 . . . , Xn es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo X AX en el intervalo I, entonces su solución general en el intervalo es la combinación lineal X c1 X1 c2 X2 cn Xn o x11 x21 xn1 x12 x22 xn2 x1n x2n xnn c1x11 c2x12 . . . cnx1n c1x21 c2x22 . . . cnx2n c1xn1 c2xn2 . . . cnxnn X c1 ( ) c2 ( ) . . . cn ( ) ( ). . . . . . . . . . . . . (1) La última matriz en (1) se reconoce como el producto de una matriz n n con una matriz n 1. En otras palabras, la solución general (1) se puede escribir como el producto , X (t)C (2) donde C es un vector columna de n 1 constantes arbitrarias c1 , c2 , . . . , cn y la matriz n n, cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solución del sistema X AX, x11 x21 xn1 ⌽(t) ( ), x1n x2n xnn x12 x22 xn2 . . . . . . . . . . . . . . . se llama matriz fundamental del sistema en el intervalo. 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 329 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 329 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 329 6/4/09 12:22:18 PM 6/4/09 12:22:18 PM www.FreeLibros.me
- 379. 330 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN En el análisis siguiente se requiere usar dos propiedades de una matriz fundamental: • Una matriz fundamental (t) es no singular. • Si (t) es una matriz fundamental del sistema X AX, entonces . (t) A (t) (3) Un nuevo examen de (9) del teorema 8.1.3 muestra que det F(t) es igual al Wrons- kiano W(X1 , X2 , . . ., Xn ). Por tanto, la independencia lineal de las columnas de (t) en el intervalo I garantiza que det (t) 0 para toda t en el intervalo. Puesto que (t) es no singular, el inverso multiplicativo 1 (t) existe para todo t en el intervalo. El resultado dado en (3) se deduce de inmediato del hecho de que cada columna de F(t) es un vector solución de X AX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS Análogamente al procedimiento de la sección 4.6, nos preguntamos si es posible reemplazar la matriz de constantes C en (2) por una matriz columna de funciones u1(t) u2(t) un(t) U(t) ( Xp ⌽(t)U(t) por lo que ). . . (4) es una solución particular del sistema no homogéneo . X AX F(t) (5) Por la regla del producto la derivada de la última expresión en (4) es . Xp (t)U (t) (t)U(t) (6) Observe que el orden de los productos en (6) es muy importante. Puesto que U(t) es una matriz columna, los productos U(t)(t) y U(t)(t) no están definidos. Sustituyendo (4) y (6) en (5), se obtiene (t)U (t) (t)U(t) A (t)U(t) F(t). (7) Ahora si usa (3) para reemplazar (t), (7) se convierte en o (t)U (t) F(t). (t)U (t) A (t)U(t) A (t)U(t) F(t) (8) Multiplicando ambos lados de la ecuación (8) por 1 (t), se obtiene U (t) 1 (t)F(t) por tanto . U(t) 1 (t)F(t) dt Puesto que Xp (t)U(t), se concluye que una solución particular de (5) es . Xp (t) 1 (t)F(t) dt (9) Para calcular la integral indefinida de la matriz columna 1 (t)F(t) en (9), se integra cada entrada. Así, la solución general del sistema (5) es X Xc Xp o . X (t)C (t) 1 (t)F(t) dt (10) Observe que no es necesario usar una constante de integración en la evaluación de 1 (t)F(t) dt por las mismas razones expresadas en la explicación de variación de parámetros en la sección 4.6. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 330 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 330 6/4/09 12:22:19 PM 6/4/09 12:22:19 PM www.FreeLibros.me
- 380. EJEMPLO 4 Variación de parámetros Resuelva el sistema X 3 2 1 4 X 3t e t (11) en (, ). SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado . X 3 2 1 4 X (12) la ecuación característica de la matriz de coeficientes es , det(A I) 3 2 1 4 ( 2)( 5) 0 por lo que los eigenvalores son l1 2 y l2 5. Con el método usual se encuentra que los eigenvectores correspondientes a l1 y l2 son, respectivamente, K1 1 1 y K2 1 2 . Entonces, los vectores solución del sistema (11) son X1 1 1 e 2t e 2t e 2t y . X2 1 2 e 5t e 5t 2e 5t Las entradas en X1 a partir de la primera columna de (t) y las entradas en X2 a partir de la segunda columna de (t). Por tanto (t) e 2t e 2t e 5t 2e 5t y . 1 (t) 2 3e2t 1 3 e5t 1 3 e2t 1 3 e5t A partir de (9) obtenemos 6 5 t 27 50 1 4 e t 3 5 t 21 50 1 2 e t . e 2t e 2t e 5t 2e 5t te2t 1 2 e2t 1 3et 1 5 te5t 1 25 e5t 1 12 e4t e 2t e 2t e 5t 2e 5t 2te2t 1 3 et te5t 1 3 e4t dt Xp (t) 1 (t)F(t) dt e 2t e 2t e 5t 2e 5t 2 3 e2t 1 3 e5t 1 3 e2t 1 3 e5t 3t e t dt Por tanto a partir de (10) la solución de (11) en el intervalo es . c1 1 1 e 2t c2 1 2 e 5t 6 5 3 5 t 27 50 21 50 1 4 1 2 e t X e 2t e 2t e 5t 2e 5t c1 c2 6 5 t 27 50 1 4 e t 3 5 t 21 50 1 2 e t 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 331 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 331 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 331 6/4/09 12:22:19 PM 6/4/09 12:22:19 PM www.FreeLibros.me
- 381. 332 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN PROBLEMA CON VALORES INICIALES La solución general de (5) en el inter- valo se puede escribir en una forma alternativa , X (t)C (t) t t0 1 (s)F(s) ds (13) donde t y t0 son puntos en el intervalo. Esta última forma es útil para resolver (5) sujeta a una condición inicial X(t0 ) X0 , porque los límites de integración se eligen de tal forma que la solución particular sea cero en t t0 . Sustituyendo t t0 en (13) se obtiene X0 (t0)C a partir de la que se obtiene C 1 (t0)X0. Sustituyendo este último resultado en (13) se obtiene la siguiente solución del problema con valores iniciales: . X (t) 1 (t0)X0 (t) t t0 1 (s)F(s) ds (14) EJERCICIOS 8.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14. 8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS En los problemas 1 a 8 utilice el método de los coeficientes indeterminados para resolver el sistema dado. 1. 2. dy dt x 11y 6 dx dt 5x 9y 2 dy dt x 2y 5 dx dt 2x 3y 7 3. 4. 5. 6. 7. 8. X 0 0 5 0 5 0 5 0 0 X 5 10 40 X 1 0 0 1 2 0 1 3 5 X 1 1 2 e4t X 1 1 5 1 X sent 2 cos t X 4 9 1 3 6 X 3 10 et X 1 4 4 1 X 4t 9e6t t e6t X 1 3 3 1 X 2t2 t 5 9. Resuelva X 1 3 2 4 X 3 3 sujeta a . X(0) 4 5 10. a) El sistema de ecuaciones diferenciales para las co- rrientes i2 (t) e i3 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 8.3.1 es . d dt i2 i3 R1L1 R1L2 R1L1 (R1 R2)L2 i2 i3 EL1 EL2 Use el método de los coeficientes indeterminados para resolver el sistema si R1 2 , R2 3 , L1 1 h, L2 1 h, E 60 V, i2 (0) 0, e i3 (0) 0. b) Determine la corriente i1 (t). FIGURA 8.3.1 Red del problema 10. R1 R2 L1 L2 i1 i2 i3 E 8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS En los problemas 11 a 30 utilice variación de parámetros para resolver el sistema dado. 11. 12. 13. X 3 3 4 5 1 X 1 1 et/2 dy dt 3x 2y 4t dx dt 2x y dy dt 2x 2y 1 dx dt 3x 3y 4 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 332 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 332 6/4/09 12:22:20 PM 6/4/09 12:22:20 PM www.FreeLibros.me
- 382. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. X 3 1 1 1 1 1 1 1 1 X 0 t 2et X 1 1 0 1 1 0 0 0 3 X et e2t te3t X 1 1 2 1 X tan t 1 X 1 1 2 2 1 X csc t sec t et X 0 1 1 0 X 1 cot t X 0 1 1 0 X 0 sec t tan t X 2 8 2 6 X 1 3 e 2t t X 1 1 1 1 X cos t sent et X 1 1 1 1 X 3 3 et X 0 1 1 0 X sec t 0 X 3 2 2 1 X 1 1 X 3 2 2 1 X 2e t e t X 1 1 8 1 X e t tet X 1 1 8 1 X 12 12 t X 0 1 2 3 X 2 e 3t X 0 1 2 3 X 1 1 et X 2 4 1 2 X sen 2t 2 cos 2t e2t En los problemas 31 y 32, use (14) para resolver el problema con valores iniciales. 31. 32. X 1 1 1 1 X 1t 1t , X(1) 2 1 X 3 1 1 3 X 4e2t 4e4t , X(0) 1 1 33. El sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i1 (t) e i2 (t) en la red eléctrica que se muestra en la figura 8.3.2 es . d dt i1 i2 (R1 R2)L2 R2L1 R2L2 R2L1 i1 i2 EL2 0 Utilice variación de parámetros para resolver el sis- tema si R1 8 , R2 3 , L1 1 h, L2 1 h, E(t) 100 sen t V, i1 (0) 0, e i2 (0) 0. FIGURA 8.3.2 Red del problema 33. i1 i2 i3 R1 R2 E L1 L2 Problemas para analizar 34. Si y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de las ED homogéneas asociadas para y P(x)y Q(x)y f(x), demuestre en el caso de una ED lineal no homogénea de segundo orden que (9) se reduce a la forma de varia- ción de parámetros analizada en la sección 4.6. Tarea para el laboratorio de computación 35. Resolver un sistema lineal no homogéneo X AX F(t) usando variación de parámetros cuando A es una ma- triz 3 3 (o más grande) es casi una tarea imposible de hacer a mano. Considere el sistema X 2 1 0 0 2 3 0 0 2 0 4 2 1 3 2 1 X tet e t e2t 1 . a) Use un SAC o software de álgebra lineal para encon- trar los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz de coeficientes. b) Forme una matriz fundamental (t) y utilice la computadora para encontrar 1 (t). c) Use la computadora para realizar los cálculos de: 1 (t)F(t), 1 (t)F(t) dt, (t) 1 (t)F(t) dt, (t)C, y (t)C 1 (t)F(t) dt, donde C es una matriz columna de constantes c1 , c2 , c3 y c4 . d) Reescriba el resultado de la computadora para la so- lución general del sistema en la forma X Xc Xp , donde Xc c1 X1 c2 X2 c3 X3 c4 X4 . 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 333 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 333 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 333 6/4/09 12:22:20 PM 6/4/09 12:22:20 PM www.FreeLibros.me
- 383. 334 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN SISTEMAS HOMOGÉNEOS Ahora veremos que es posible definir una matriz ex- ponencial eAt tal que X eAt C (1) es una solución del sistema homogéneo X AX. Aquí A es una matriz n n de constantes y C es una matriz columna n 1 de constantes arbitrarias. Observe en (1) que la matriz C se multiplica por la derecha a eAt porque queremos que eAt sea una matriz n n. Mientras que el desarrollo completo del significado y teoría de la matriz exponencial requeriría un conocimiento completo de álgebra de matrices, una forma de definir eAt se basa en la representación en serie de potencias de la función exponen- cial escalar eat : . eat 1 at a2 t2 2! ak tk k! k 0 ak tk k! (2) La serie en (2) converge para toda t. Si se usa esta serie, con la identidad I en vez de 1 y la constante a se reemplaza por una matriz A n n de constantes, se obtiene una definición para la matriz n n, eAt . DEFINICIÓN 8.4.1 Matriz exponencial Para cualquier matriz A n n, . eAt I At A2 t2 2! Ak tk k! k 0 Ak tk k! (3) Se puede demostrar que la serie dada en (3) converge a una matriz n n para todo valor de t. También, A2 AA, A3 A(A)2 , etcétera. DERIVADA DE eAt La derivada de la matriz exponencial es similar a la propiedad de derivación de la exponencial escalar d dt eat aeat . Para justificar , d dt eAt AeAt (4) derivamos (3) término por término: MATRIZ EXPONENCIAL REPASO DE MATERIAL O Apéndice II.1 (definiciones II.10 y II.11) INTRODUCCIÓN Las matrices se pueden usar de una manera completamente distinta para resol- ver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recuerde que la ecuación dife- rencial lineal simple de primer orden x ax, donde a es constante, tiene la solución general x ceat , donde c es constante. Parece natural preguntar si se puede definir una función exponencial matricial eAt , donde A es una matriz de constantes por lo que una solución del sistema X AX es eAt . 8.4 A I At A2 t2 2! AeAt . d dt eAt d dt I At A2 t2 2! Ak tk k! A A2 t 1 2! A3 t2 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 334 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 334 6/4/09 12:22:21 PM 6/4/09 12:22:21 PM www.FreeLibros.me
- 384. Debido a (4), ahora se puede probar que (1) es una solución de X AX para todo vector n 1 C de constantes: X d dt eAt C AeAt C A(eAt C) AX. eAt ES UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si se denota la matriz exponencial eAt con el símbolo (t), entonces (4) es equivalente a la ecuación diferencial matricial (t) A (t) (véase (3) de la sección 8.3). Además, se deduce de inmediato de la definición 8.4.1 que (0) eA0 I, y por tanto det (0) 0. Se tiene que estas propiedades son suficientes para concluir que (t) es una matriz fundamental del sistema X AX. SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Se vio en (4) de la sección 2.4 que la solución general de la ecuación diferencial lineal única de primer orden x ax f(t), donde a es una constante, se puede expresar como . x xc xp ceat eat t t0 e as f(s) ds Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se puede demostrar que la solución general de X AX F(t), donde A es una matriz n n de constantes, es . X Xc Xp eAt C eAt t t0 e As F(s) ds (5) Puesto que la matriz exponencial eAt es una matriz fundamental, siempre es no singular y eAs (eAs )1 . En la práctica, eAs se puede obtener de eAt al reemplazar t por –s. CÁLCULO DE eAt La definición de eAt dada en (3) siempre se puede usar para calcular eAt . Sin embargo, la utilidad práctica de (3) está limitada por el hecho de que los ele- mentos de eAt son series de potencias en t. Con un deseo natural de trabajar con cosas simples y familiares, se trata de reconocer si estas series definen una función de forma cerrada. Véanse los problemas 1 a 4 de los ejercicios 8.4. Por fortuna, hay muchas for- mas alternativas de calcular eAt ; la siguiente explicación muestra cómo se puede usar la transformada de Laplace. USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Vimos en (5) que X eAt es una solución de X AX. De hecho, puesto que eA0 I, X eAt es una solución de pro- blema con valores iniciales . X AX, X(0) I (6) Si x(s) {X(t)} {eAt }, entonces la transformada de Laplace de (6) es sx(s) X(0) Ax(s) o . (sI A)x(s) I Multiplicando la última ecuación por (sI A)1 se tiene que x(s) (sI A)1 I (sI A)1 . En otras palabras, ( ) {eAt } (sI A) 1 o eAt 1 {(sI A) 1 }. (7) EJEMPLO 1 Matriz exponencial Use la transformada de Laplace para calcular eAt A 1 2 1 2 para . 8.4 MATRIZ EXPONENCIAL O 335 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 335 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 335 6/4/09 12:22:21 PM 6/4/09 12:22:21 PM www.FreeLibros.me
- 385. 336 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIÓN Primero calcule la matriz sI – A y determine su inversa: (sI A) 1 s 1 2 1 s 2 1 s 2 s(s 1) 2 s(s 1) 1 s(s 1) s 1 s(s 1) . sI A s 1 2 1 s 2 , Entonces, descomponiendo las entradas de la última matriz en fracciones parciales: . (sI A) 1 2 s 1 s 1 2 s 2 s 1 1 s 1 s 1 1 s 2 s 1 (8) Se deduce de (7) que la transformada de Laplace inversa de (8) proporciona el resul- tado deseado, . eAt 2 e t 2 2e t 1 e t 1 2e t USO DE COMPUTADORAS Para quienes por el momento están dispuestos a intercambiar la comprensión por la velocidad de solución, eAt se puede calcular con la ayuda de software. Véanse los problemas 27 y 28 de los ejercicios 8.4. EJERCICIOS 8.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14. En los problemas l y 2 use (3) para calcular eAt y eAt . 1. A 1 0 0 2 2. A 0 1 1 0 En los problemas 3 y 4 use (3) para calcular eAt . 3. A 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4. A 0 3 5 0 0 1 0 0 0 En los problemas 5 a 8 use (1) para encontrar la solución ge- neral del sistema dado. 5. 6. 7. X 1 1 2 1 1 2 1 1 2 X X 1 0 0 2 X 8. X 0 3 5 0 0 1 0 0 0 X X 0 1 1 0 X En los problemas 9 a 12 use (5) para encontrar la solución general del sistema dado. 9. X 1 0 0 2 X 3 1 10. 11. 12. X 0 1 1 0 X cosh t senht X 0 1 1 0 X 1 1 X 1 0 0 2 X t e4t 13. Resuelva el sistema en el problema 7 sujeto a la condi- ción inicial . X(0) 1 4 6 14. Resuelva el sistema del problema 9 sujeto a la condición inicial . X(0) 4 3 En los problemas 15 a 18, use el método del ejemplo 1 para calcular eAt para la matriz de coeficientes. Use (1) para encon- trar la solución general del sistema dado. 15. 16. 17. X 5 1 9 1 X X 4 4 3 4 X 18. X 0 2 1 2 X X 4 1 2 1 X 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 336 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 336 6/4/09 12:22:22 PM 6/4/09 12:22:22 PM www.FreeLibros.me
- 386. Sea P una matriz cuyas columnas son eigenvectores K1 , K2 , . . . , Kn que corresponden a eigenvalores l1 , l2 , . . . , ln de una matriz A de n n. Entonces se puede demostrar que A PDP1 , donde D se define por l1 0 0 D ( ). 0 0 ln 0 l2 0 . . . . . . . . . . . . . . . (9) En los problemas 19 y 20, compruebe el resultado anterior para la matriz dada. 19. A 2 3 1 6 20. A 2 1 1 2 21. Suponga que A PDP1 , donde D se define como en (9). Use (3) para demostrar que eAt PeDt P1 . 22. Use (3) para demostrar que el1t 0 0 eDt ( ), 0 0 elnt 0 el2t 0 . . . . . . . . . . . . . . . donde D se define como en (9). En los problemas 23 y 24 use los resultados de los problemas 19 a 22 para resolver el sistema dado. 23. X 2 3 1 6 X 24. X 2 1 1 2 X Problemas para analizar 25. Vuelva a leer el análisis que lleva al resultado dado en (7). ¿La matriz sI A siempre tiene inversa? Explique. 26. Se dice que una matriz A es nilpotente cuando exis- te algún entero m tal que Am 0. Compruebe que A 1 1 1 1 0 1 1 1 1 es nilpotente. Analice porqué es rela- tivamente fácil calcular eAt cuando A es nilpotente. Calcule eAt y luego utilice (1) para resolver el sistema X AX. Tarea para el laboratorio de computación 27. a) Utilice (1) para obtener la solución general de X 4 3 2 3 X. Use un SAC para encontrar eAt . Luego emplee la computadora para determinar eigen- valores y eigenvectores de la matriz de coeficientes A 4 3 2 3 y forme la solución general de acuer- do con la sección 8.2. Por último, reconcilie las dos formas de la solución general del sistema. b) Use (1) para determinar la solución general de X 3 2 1 1 X. Use un SAC, para determinar eAt . En el caso de un resultado complejo, utilice el software para hacer la simplificación; por ejemplo, en Mathematica, si m MatrixExp[A t] tiene elemen- tos complejos, entonces intente con la instrucción Simplify[ComplexExpand[m]]. 28. Use (1) para encontrar la solución general de . X 4 0 1 0 0 5 0 3 6 0 1 0 0 4 0 2 X Use MATLAB o un SAC para encontrar eAt . REPASO DEL CAPÍTULO 8 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-15. En los problemas 1 y 2 complete los espacios en blanco. 1. El vector X k 4 5 es una solución de X 1 2 4 1 X 8 1 para k __________. 2. El vector X c1 1 1 e 9t c2 5 3 e7t es solución del problema con valores iniciales X 1 6 10 3 X, X(0) 2 0 para c1 __________ y c2 __________. 3. Considere el sistema lineal X 4 1 1 6 3 4 6 2 3 X. Sin intentar resolver el sistema, determine cada uno de los vectores K1 0 1 1 , K2 1 1 1 , K3 3 1 1 , K4 6 2 5 es un eigenvector de la matriz de coeficientes. ¿Cuál es la solución del sistema correspondiente a este eigenvector? REPASO DEL CAPÍTULO 8 O 337 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 337 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 337 6/4/09 12:22:23 PM 6/4/09 12:22:23 PM www.FreeLibros.me
- 387. 338 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 4. Considere un sistema lineal X AX de dos ecua- ciones diferenciales, donde A es una matriz de coefi- cientes reales. ¿Cuál es la solución general del sis- tema si se sabe que l1 1 2i es un eigenvalor y K1 1 i es un eigenvector correspondiente? En los problemas 5 a 14 resuelva el sistema lineal dado. 5. 6. 7. 8. 9. 10. X 0 1 2 2 1 2 1 2 1 X X 2 2 5 4 X dy dt 2x 4y dx dt 4x 2y 11. 12. 13. 6. 8. 10. X 1 2 1 1 X 1 cot t X 1 1 2 2 1 X 0 et tan t X 2 0 8 4 X 2 16t X 1 0 4 1 1 3 1 3 1 X X 1 2 2 1 X dy dt x dx dt 2x y 14. X 3 1 1 1 X 2 1 e2t 15. a) Considere el sistema lineal X AX de tres ecuacio- nes diferenciales de primer orden, donde la matriz de coeficientes es A 5 3 5 3 5 5 3 3 3 y l 2 es un eigenvalor conocido de multiplicidad dos. Encuentre dos soluciones diferentes del sistema correspondiente a este eigenvalor sin usar una fór- mula especial (como (12) de la sección 8.2) b) Use el procedimiento del inciso a) para resolver . X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 16. Compruebe que X c1 c2 et es una solución del sistema lineal X 1 0 0 1 X para constantes arbitrarias c1 y c2 . A mano, trace un dia- grama de fase del sistema. 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 338 08367_08_ch08_p303-338-ok.indd 338 6/4/09 12:22:23 PM 6/4/09 12:22:23 PM www.FreeLibros.me
- 388. SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 9.2 Métodos de Runge-Kutta 9.3 Métodos multipasos 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL CAPÍTULO 9 Aun cuando se pueda demostrar que la solución de una ecuación diferencial exista, no siempre es posible expresarla en forma explícita o implícita. En muchos casos tenemos que conformarnos con una aproximación de la solución. Si la solución existe, se representa por un conjunto de puntos en el plano cartesiano. En este capítulo continuamos investigando la idea básica de la sección 2.6, es decir, utilizar la ecuación diferencial para construir un algoritmo para aproximar las coordenadas y de los puntos de la curva solución real. Nuestro interés en este capítulo son principalmente los PVI dydx f(x, y), y(x0 ) y0 . En la sección 4.9 vimos que los procedimientos numéricos desarrollados para las ED de primer orden se generalizan de una manera natural para sistemas de ecuaciones de primer orden y por tanto se pueden aproximar soluciones de una ecuación de orden superior remodelándola como un sistema de ED de primer orden. El capítulo 9 concluye con un método para aproximar soluciones de problemas con valores en la frontera lineales de segundo orden. 339 9 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 339 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 339 6/4/09 12:22:47 PM 6/4/09 12:22:47 PM www.FreeLibros.me
- 389. 340 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS UNA COMPARACIÓN En el problema 4 de los ejercicios 2.6 se pidió usar el mé- todo de Euler para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución del problema con valores iniciales y 2xy, y(1) 1. Se debe haber obtenido la solución analítica y ex2 1 y resultados similares a los que se presentan en las tablas 9.1 y 9.2. MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES REPASO DE MATERIAL O Sección 2.6 INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 se examinó uno de los métodos numéricos más simples para aproximar soluciones de problemas con valores iniciales de primer orden y f(x, y), y(x0 ) y0 . Recuerde que la estructura del método de Euler fue la fórmula yn 1 yn hf (xn, yn), (1) donde f es la función obtenida de la ecuación diferencial y f(x, y). El uso recursivo de (1) para n 0, 1, 2, . . . produce las ordenadas y, y1 , y2 , y3 , . . . de puntos en “rectas tangentes” sucesivas res- pecto a la curva solución en x1 , x2 , x3 , . . . o xn x0 nh, donde h es una constante y es el tamaño de paso entre xn y xn 1 . Los valores y1 , y2 , y3 , . . . aproximan los valores de una solución y(x) del PVI en x1 , x2 , x3 , . . . Pero sin importar la ventaja que la ecuación (1) tenga en su simplicidad, se pierde en la severidad de sus aproximaciones. 9.1 TABLA 9.1 Método de Euler con h 0.1 Valor Valor % de error xn yn real absoluto relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.2000 1.2337 0.0337 2.73 1.20 1.4640 1.5527 0.0887 5.71 1.30 1.8154 1.9937 0.1784 8.95 1.40 2.2874 2.6117 0.3244 12.42 1.50 2.9278 3.4903 0.5625 16.12 TABLA 9.2 Método de Euler con h 0.05 Valor Valor % de error xn yn real absoluto relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.05 1.1000 1.1079 0.0079 0.72 1.10 1.2155 1.2337 0.0182 1.47 1.15 1.3492 1.3806 0.0314 2.27 1.20 1.5044 1.5527 0.0483 3.11 1.25 1.6849 1.7551 0.0702 4.00 1.30 1.8955 1.9937 0.0982 4.93 1.35 2.1419 2.2762 0.1343 5.90 1.40 2.4311 2.6117 0.1806 6.92 1.45 2.7714 3.0117 0.2403 7.98 1.50 3.1733 3.4903 0.3171 9.08 En este caso, con un tamaño de paso h 0.1, un error relativo de 16% en el cálculo de la aproximación a y(1.5) es totalmente inaceptable. A expensas de duplicar el número de cálculos, se obtiene cierta mejoría en la precisión al reducir a la mitad el tamaño de paso, es decir h 0.05. ERRORES EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Al elegir y usar un método numé- rico para la solución de un problema con valores iniciales, se debe estar consciente de las distintas fuentes de error. Para ciertas clases de cálculos, la acumulación de errores podría reducir la precisión de una aproximación al punto de hacer inútil el cálculo. Por otra parte, dependiendo del uso dado a una solución numérica, una precisión ex- trema podría no compensar el trabajo y la complicación adicionales. Una fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de re- dondeo. Este error es resultado del hecho de que cualquier calculadora o computadora puede representar números usando sólo un número finito de dígitos. Suponga, por 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 340 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 340 6/4/09 12:22:47 PM 6/4/09 12:22:47 PM www.FreeLibros.me
- 390. ejemplo, que se tiene una calculadora que usa aritmética base 10 y redondea a cuatro dígitos, de modo que 1 3 se representa en la calculadora como 0.3333 y 1 9 se representa como 0.1111. Si con esta calculadora se calcula (x2 1 9) (x 1 3) para x 0.3334, se obtiene (0.3334)2 0.1111 0.3334 0.3333 0.1112 0.1111 0.3334 0.3333 1. Sin embargo, con ayuda de un poco de álgebra, vemos que x2 1 9 x 1 3 (x 1 3)(x 1 3) x 1 3 x 1 3 , por lo que cuando x 0.3334, (x2 1 9) (x 1 3) 0.3334 0.3333 0.6667. Este ejemplo muestra que los efectos del redondeo pueden ser bastante considerables a menos que se tenga cierto cuidado. Una manera de reducir el efecto del redondeo es reducir el número de cálculos. Otra técnica en una computadora es usar aritmética de doble precisión para comprobar los resultados. En general, el error de redondeo es impredecible y difícil de analizar y se desprecia en el análisis siguiente, por lo que sólo nos dedicaremos a investigar el error introducido al usar una fórmula o algoritmo para aproximar los valores de la solución. ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER En la sucesión de valores y1 , y2 , y3 , . . . generados de (1), usualmente el valor de y1 no concuerda con la solución real en x1 , en particular, y(x1 ), porque el algoritmo sólo da una aproximación de línea recta a la solución. Véase la figura 2.6.2. El error se llama error de truncamiento local, error de fórmula o error de discretización. Este ocurre en cada paso, es decir, si se supone que yn es precisa, entonces yn 1 tendrá error de truncamiento local. Para deducir una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, se usa la fórmula de Taylor con residuo. Si una función y(x) tiene k 1 derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x, entonces y(x) y(a) y (a) x a 1! y(k) (a) (x a)k k! y(k 1) (c) (x a)k 1 (k 1)! , donde c es algún punto entre a y x. Al establecer k 1, a xn y x xn 1 xn h, se obtiene y(xn 1) y(xn) y (xn) h 1! y (c) h2 2! o yn1 y(xn1) yn hf(xn, yn) y(c) . h2 –– 2! El método de Euler (1) es la última fórmula sin el último término; por tanto, el error de truncamiento local en yn 1 es y (c) h2 2! , donde xn c xn 1. Usualmente se conoce el valor de c (existe desde el punto de vista teórico) y por tanto no se puede calcular el error exacto, pero un límite superior en el valor absoluto del error es Mh2 2!, donde M máx xn x xn 1 y (x) . Al analizar los errores que surgen del uso de métodos numéricos, es útil usar la nota- ción O(hn ). Para definir este concepto, se denota con e(h) el error en un cálculo numérico dependiendo de h. Entonces se dice que e(h) es de orden hn , denotado con O(hn ), si existe una constante C y un entero positivo n tal que e(h) Chn para h suficientemente pequeña. Por lo que el error de truncamiento local para el método de Euler es O(h2 ). Se observa que, en general, si e(h) en un método numérico es del orden hn y h se reduce a la mitad, el nuevo error es más o menos C(h2)n Chn 2n ; es decir, el error se redujo por un factor de 12n . 9.1 MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES O 341 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 341 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 341 6/4/09 12:22:48 PM 6/4/09 12:22:48 PM www.FreeLibros.me
- 391. 342 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO 1 Límite para errores de truncamiento local Determine un límite superior para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a y 2xy, y(1) 1. SOLUCIÓN De la solución y ex2 1 obtenemos y (2 4x2 )ex2 1 , por lo que el error de truncamiento es y (c) h2 2 (2 4c2 )e(c2 1) h2 2 , donde c está entre xn y xn h. En particular, para h 0.1 se puede obtener un límite superior en el error de truncamiento local para y1 al reemplazar c por 1.1: [2 (4)(1.1)2 ]e((1.1)2 1) (0.1)2 2 0.0422. De la tabla 9.1 se observa que el error después del primer paso es 0.0337, menor que el valor dado por el límite. De igual forma, se puede obtener un límite para el error de truncamiento local de cualquiera de los cinco pasos que se muestran en la tabla 9.1 al reemplazar c por 1.5 (este valor de c da el valor más grande de y(c) de cualquiera de los pasos y puede ser demasiado generoso para los primeros pasos). Al hacer esto se obtiene [2 (4)(1.5)2 ]e((1.5)2 1) (0.1)2 2 0.1920 (2) como un límite o cota superior para el error de truncamiento local en cada paso. Observe que si h se reduce a 0.05 en el ejemplo 1, entonces el límite de error es 0.0480, casi un cuarto del valor que se muestra en (2). Esto es de esperarse porque el error de truncamiento local para el método de Euler es O(h2 ). En el análisis anterior se supone que el valor de yn fue exacto en el cálculo de yn 1 pero no lo es porque contiene errores de truncamiento local de los pasos anteriores. El error total en yn 1 es una acumulación de errores en cada uno de los pasos previos. Este error total se llama error de truncamiento global. Un análisis completo del error de truncamiento global queda fuera del alcance de este libro, pero se puede mostrar que el error de truncamiento global para el método de Euler es O(h). Se espera que para el método de Euler, si el tamaño de paso es la mitad, el error será más o menos la mitad. Esto se confirma en las tablas 9.1 y 9.2 donde el error absoluto en x 1.50 con h 0.1 es 0.5625 y con h 0.05 es 0.3171, aproximadamente la mitad. En general, se puede demostrar que si un método para la solución numérica de una ecuación diferencial tiene error de truncamiento local O(ha 1 ), entonces el error de truncamiento global es O(ha ). En lo que resta de esta sección y en las siguientes, se estudian métodos mucho más precisos que el método de Euler. MÉTODO DE EULER MEJORADO El método numérico definido por la fórmula (3) donde y* n 1 yn hf(xn, yn), yn 1 yn h f(xn, yn) f(xn 1, y* n 1) 2 , (4) se conoce comúnmente como el método de Euler mejorado. Para calcular yn 1 para n 0, 1, 2, . . . de (3), se debe, en cada paso, usar primero el método de Euler (4) para obtener una estimación inicial y* n 1 . Por ejemplo, con n 0, usando (4) se ob- tiene , y* 1 y0 hf(x0, y0) y después, conociendo este valor, se usa (3) para obtener y1 y0 h f(x0, y0) f (x1, y* 1 ) 2 , donde x1 x0 h. Estas ecuaciones se representan 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 342 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 342 6/4/09 12:22:48 PM 6/4/09 12:22:48 PM www.FreeLibros.me
- 392. con facilidad. En la figura 9.1.1 se observa que m0 f(x0 , y0 ) y m1 f(x1, y* 1 ) son pendientes de las rectas trazadas con la línea continua que pasan por los puntos (x0 , y0 ) y (x1, y* 1 ), respectivamente. Tomando un promedio de estas pendientes, es decir, mprom f(x0, y0) f(x1, y1 *) 2 , se obtiene la pendiente de las rectas paralelas inclinadas. Con el primer paso, más que avanzar a lo largo de la recta que pasa por (x0 , y0 ) con pen- diente f(x0 , y0 ) al punto con coordenada y y* 1 obtenida por el método de Euler, se avanza a lo largo de la recta punteada de color rojo que pasa por (x0 , y0 ) con pendiente mprom hasta llegar a x1 . Al examinar la figura parece posible que y1 sea una mejora de y* 1 . En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de un método de predic- ción-corrección. El valor de y* n 1 dado por (4) predice un valor de y(xn ), mientras que el valor de yn 1 definido por la fórmula (3) corrige esta estimación. EJEMPLO 2 Método de Euler mejorado Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución del problema con valores iniciales y 2xy, y(1) 1. Compare los resultados para h 0.1 y h 0.05. SOLUCIÓN Con x0 1, y0 1, f(xn , yn ) 2xn yn , n 0 y h 0.1, primero se calcula (4): y* 1 y0 (0.1)(2x0y0) 1 (0.1)2(1)(1) 1.2. Se usa este último valor en (3) junto con x1 1 h 1 0.1 1.1: y1 y0 (0.1) 2x0 y0 2x1 y* 1 2 1 (0.1) 2(1)(1) 2(1.1)(1.2) 2 1.232. En las tablas 9.3 y 9.4, se presentan los valores comparativos de los cálculos para h 0.1 y h 0.05, respectivamente. (x1, y1) (x1, y* 1) 0 1 mprom x y x0 x1 h (x0, y0) (x1, ) (x1, ) m0 = f(x0, y0) m1 = f(x1, y* 1) (x1, y(x1)) curva solución f(x0, y0) + f(x1, y* 1) 2 mprom= FIGURA 9.1.1 La pendiente de la recta roja punteada es el promedio de m0 y m1 . TABLA 9.4 Método de Euler mejorado con h 0.05 Valor Valor % de error xn yn real absoluto relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.05 1.1077 1.1079 0.0002 0.02 1.10 1.2332 1.2337 0.0004 0.04 1.15 1.3798 1.3806 0.0008 0.06 1.20 1.5514 1.5527 0.0013 0.08 1.25 1.7531 1.7551 0.0020 0.11 1.30 1.9909 1.9937 0.0029 0.14 1.35 2.2721 2.2762 0.0041 0.18 1.40 2.6060 2.6117 0.0057 0.22 1.45 3.0038 3.0117 0.0079 0.26 1.50 3.4795 3.4904 0.0108 0.31 TABLA 9.3 Método de Euler mejorado con h 0.1 Valor Valor % de error xn yn real absoluto relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.2320 1.2337 0.0017 0.14 1.20 1.5479 1.5527 0.0048 0.31 1.30 1.9832 1.9937 0.0106 0.53 1.40 2.5908 2.6117 0.0209 0.80 1.50 3.4509 3.4904 0.0394 1.13 Aquí es importante hacer una advertencia. No se pueden calcular primero todos los valores de y* n ; y después sustituir sus valores en la fórmula (3). En otras palabras, no se pueden usar los datos de la tabla 9.1 para ayudar a construir los valores de la tabla 9.3. ¿Por qué no? ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER MEJORADO El error de truncamiento local para el método de Euler mejorado es O(h3 ). La deduc- ción de este resultado es similar a la deducción del error de truncamiento local para el 9.1 MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES O 343 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 343 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 343 6/4/09 12:22:49 PM 6/4/09 12:22:49 PM www.FreeLibros.me
- 393. 344 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS método de Euler. Puesto que el error de truncamiento para el método de Euler mejorado es O(h3 ), el error de truncamiento global es O(h2 ). Esto se puede ver en el ejemplo 2; cuando el tamaño de paso se reduce a la mitad de h 0.1 a h 0.05, el error abso- luto en x 1.50 se reduce de 0.0394 a 0.0108, una reducción de aproximadamente (1 2)2 1 4. EJERCICIOS 9.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-15. En los problemas l a 10, use el método de Euler mejorado para obtener una aproximación de cuatro decimales del valor indicado. Primero use h 0.1 y después h 0.05. 1. y 2x 3y 1, y(1) 5; y(1.5) 2. y 4x 2y, y(0) 2; y(0.5) 3. y 1 y2 , y(0) 0; y(0.5) 4. y x2 y2 , y(0) 1; y(0.5) 5. y ey , y(0) 0; y(0.5) 6. y x y2 , y(0) 0; y(0.5) 7. y (x y)2 , y(0) 0.5; y(0.5) 8. y xy 1y, y(0) 1; y(0.5) 9. y xy2 y x , y(1) 1; y(1.5) 10. y y y2 , y(0) 0.5; y(0.5) 11. Considere el problema con valores iniciales y (x y 1)2 , y(0) 2. Use el método de Euler mejorado con h 0.1 y h 0.05 para obtener los valores aproximados de la solución en x 0.5. En cada paso compare el valor aproximado con el valor real de la solución analítica. 12. Aunque podría no ser evidente de la ecuación diferencial, su solución podría tener “un mal comportamiento” cerca de un punto x en el que se desea aproximar y(x). Los pro- cedimientos numéricos podrían dar resultados bastante distintos cerca de este punto. Sea y(x) la solución del pro- blema con valores iniciales y x2 y3 , y(1) 1. a) Use un programa de solución numérica para trazar la solución en el intervalo [1, 1.4]. b) Con el tamaño de paso h 0.1, compare los resul- tados obtenidos con el método de Euler con los del método de Euler mejorado en la aproximación de y(1.4). 13. Considere el problema con valores iniciales y 2y, y(0) 1. La solución analítica es y e2x . a) Aproxime y(0.1) con un paso y el método de Euler. b) Determine un límite para el error de truncamiento local en y1 . c) Compare el error en y1 con su límite de error. d) Aproxime y(0.1) con dos pasos y el método de Euler. e) Compruebe que el error de truncamiento global para el método de Euler es O(h) al comparar los errores de los incisos a) y d). 14. Repita el problema 13 con el método de Euler mejorado. Su error de truncamiento global es O(h2 ). 15. Repita el problema 13 con el problema con valores inicia- les y x 2y, y(0) 1. La solución analítica es y 1 2 x 1 4 5 4 e 2x . 16. Repita el problema 15 usando el método de Euler mejo- rado. Su error de truncamiento global es O(h2 ). 17. Considere el problema con valores iniciales y 2x 3y 1, y(l) 5. La solución analítica es y(x) 1 9 2 3 x 38 9 e 3(x 1) . a) Encuentre una fórmula en la que intervengan c y h para el error de truncamiento local en el n-ésimo paso si se usa el método de Euler. b) Encuentre un límite para el error de truncamiento local en cada paso si se usa h 0.1 para aproximar y(1.5). c) Aproxime y(1.5) con h 0.1 y h 0.05 con el método de Euler. Véase el problema 1 de los ejercicios 2.6. d) Calcule los errores del inciso c) y compruebe que el error de truncamiento global del método de Euler es O(h). 18. Repita el problema 17 usando el método de Euler mejorado que tiene un error de truncamiento global O(h2 ). Véase el problema 1. Podría ser necesario conservar más de cuatro decimales para ver el efecto de reducir el orden del error. 19. Repita el problema 17 para el problema con valores iniciales y ey , y(0) 0. La solución analítica es y(x) ln(x 1). Aproxime y(0.5). Véase el problema 5 en los ejercicios 2.6. 20. Repita el problema 19 con el método de Euler mejorado, que tiene un error de truncamiento global O(h2 ). Véase el problema 5. Podría ser necesario conservar más de cuatro decimales para ver el efecto de reducir el orden de error. Problemas para analizar 21. Conteste la pregunta “¿Por qué no?” que sigue a los tres enunciados después del ejemplo 2 de la página 343. 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 344 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 344 6/4/09 12:23:06 PM 6/4/09 12:23:06 PM www.FreeLibros.me
- 394. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA En esencia, los métodos de Runge-Kutta son ge- neralizaciones de la fórmula básica de Euler (1) de la sección 9.1 en que la función pendiente f se reemplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn x xn l . Es decir, promedio ponderado yn1 yn h (w1k1 w2k2 … wmkm). (1) Aquí los pesos wi , i 1, 2, . . . , m, son constantes que generalmente satisfacen w1 w2 . . . wm 1, y cada ki , i 1, 2, . . . , m, es la función f evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el que xn x xn l . Veremos que las ki se definen recursiva- mente. El número m se llama el orden del método. Observe que al tomar m 1, w1 1 y k1 f(xn , yn ), se obtiene la conocida fórmula de Euler yn 1 yn hf(xn , yn ). Por esta razón, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden. El promedio en (1) no se forma a la fuerza, pero los parámetros se eligen de modo que (1) concuerda con un polinomio de Taylor de grado m. Como se vio en la sección anterior, si una función y(x) tiene k 1 derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x, entonces se puede escribir y(x) y(a) y (a) x a 1! y (a) (x a)2 2! y(k 1) (c) (x a)k 1 (k 1)! , donde c es algún número entre a y x. Si se reemplaza a por xn y x por xn 1 xn h, entonces la fórmula anterior se convierte en y(xn 1) y(xn h) y(xn) hy (xn) h2 2! y (xn) hk 1 (k 1)! y(k 1) (c), donde c es ahora algún número entre xn y xn 1 . Cuando y(x) es una solución de y f(x, y) en el caso k 1 y el residuo 1 2 h2 y (c) es pequeño, vemos que un polinomio de Taylor y(xn 1 ) y(xn ) hy(xn ) de grado uno concuerda con la fórmula de aproxima- ción del método de Euler yn 1 yn hyn yn hf(xn, yn). MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN Para ilustrar más (1), ahora se considera un procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden. Éste con- siste en encontrar constantes o parámetros w1 , w2 , a y b tal que la fórmula yn 1 yn h(w1k1 w2k2), (2) donde k1 f(xn, yn) k2 f(xn h, yn hk1), MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA REPASO DE MATERIAL O Sección 2.8 (véase página 78). INTRODUCCIÓN Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y f(x, y), y(x0 ) y0 es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes. 9.2 9.2 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA O 345 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 345 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 345 6/4/09 12:23:12 PM 6/4/09 12:23:12 PM www.FreeLibros.me
- 395. 346 O CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS concuerda con un polinomio de Taylor de grado dos. Para nuestros objetivos es sufi- ciente decir que esto se puede hacer siempre que las constantes satisfagan w1 w2 1, w2 1 2 y w2 1 2 . (3) Este es un sistema algebraico de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene un nú- mero infinito de soluciones: w1 1 w2, 1 2w2 y 1 2w2 , (4) donde w2 0. Por ejemplo, la elección w2 1 2 produce w1 1 2, 1 y 1 y, por tanto (2) se convierte en yn 1 yn h 2 (k1 k2), donde k1 f(xn, yn) y k2 f(xn h, yn hk1). Puesto que xn h xn 1 y yn hk1 yn hf(xn , yn ) se reconoce al resultado anterior como el método mejorado de Euler que se resume en (3) y (4) de la sección 9.1. En vista de que w2 0 se puede elegir de modo arbitrario en (4), hay muchos posibles métodos de Runge-Kutta de segundo orden. Véase el problema 2 en los ejercicios 9.2. Se omite cualquier explicación de los métodos de tercer orden para llegar al punto principal de análisis en esta sección. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN Un procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar parámetros de modo que la fórmula (5) donde k4 f(xn 3h, yn 4hk1 5hk2 6hk3), k3 f(xn 2h, yn 2hk1 3hk2) k2 f(xn 1h, yn 1hk1) k1 f(xn, yn) yn 1 yn h(w1k1 w2k2 w3k3 w4k4), concuerda con un polinomio de Taylor de grado cuatro. Esto da como resultado un sistema de 11 ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado: (6) k4 f (xn h, yn hk3). k3 f (xn 1 2h, yn 1 2hk2) k2 f (xn 1 2h, yn 1 2hk1) k1 f (xn, yn) yn 1 yn h 6 (k1 2k2 2k3 k4), Mientras que las otras fórmulas de cuarto orden se deducen con facilidad, el algoritmo resumido en (6) que es muy usado y reconocido como una invaluable herramienta de cálculo, se denomina el método de Runge-Kutta de cuarto orden o método clásico de Runge-Kutta. De aquí en adelante, se debe considerar a (6), cuando se use la abre- viatura método RK4. Se le aconseja que tenga cuidado con las fórmulas en (6); observe que k2 depende de k1 , k3 depende de k2 y k4 depende de k3 . También, k2 y k3 implican aproximaciones a la pendiente en el punto medio xn 1 2 h en el intervalo definido por xn x xn l . 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 346 08367_09_ch09_p339-362-ok.indd 346 6/4/09 12:23:21 PM 6/4/09 12:23:21 PM www.FreeLibros.me
- 396. EJEMPLO 1 Método RK4 Use el método RK4 con h 0.1 para obtener una aproximación a y(1.5) para la solu- ción de y 2xy, y(1) 1. SOLUCIÓN Para ejemplificar permítanos calcular el caso cuando n 0. De (6) se encuentra que 2(x0 0.1)(y0 0.234255) 2.715361 k4 f(x0 (0.1), y0 (0.1)2.34255) 2(x0 1 2 (0.1))(y0 1 2 (0.231)) 2.34255 k3 f (x0 1 2 (0.1), y0 1 2 (0.1)2.31) 2(x0 1 2 (0.1))(y0 1 2 (0.2)) 2.31 k2 f (x0 1 2 (0.1), y0 1 2 (0.1)2) k1 f(x0, y0) 2x0 y0 2 y por tanto 1 0.1 6 (2 2(2.31) 2(2.34255) 2.715361) 1.23367435. y1 y0 0.1 6 (k1 2k2 2k3 k4) Los cálculos que restan se resumen en la tabla 9.5, cuyas entradas se redondean a cuatro decimales. Al examinar la tabla 9.5 se encuentra por qué el método de Runge-Kutta de cuarto orden es popular. Si todo lo que se desea es una precisión de cuatro decimales, es inne- cesario usar un tamaño de paso más pequeño. En la tabla 9.6 se comparan los resultados de aplicar los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta de cuarto orden al problema con valores iniciales y 2xy, y(l) 1. (Véanse las tablas 9.1 y 9.3.) TABLA 9.5 Método RK4 con h 0.1 Valor Valor % de error xn yn real absoluto relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.2337 1.2337 0.0000 0.00 1.20 1.5527 1.5527 0.0000 0.00 1.30 1.9937 1.9937 0.0000 0.00 1.40 2.6116 2.6117 0.0001 0.00 1.50 3.4902 3.4904 0.0001 0.00 TABLA 9.6 y 2xy, y(1) 1 Comparación de métodos numéricos con h 0.1 Comparación de métodos numéricos con h 0.05 Euler Valor Euler Valor xn Euler mejorado RK4 real xn Euler mejorado RK4 real 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.10 1.2000 1.2320 1.2337 1.2337 1.05 1.1000 1.1077 1.1079 1.1079 1.20 1.4640 1.5479 1.5527 1.5527 1.10 1.2155 1.2332 1.2337 1.2337 1.30 1.8154 1.9832 1.9937 1.9937 1.15 1.3492 1.3798 1.3806 1.3806 1.40 2.2874 2.5908 2.6116 2.6117 1.20 1.5044 1.5514 1.5527 1.5527 1.50 2.9278 3.4509 3.4902 3.4904 1.25 1.6849 1.7531 1.7551 1.7551 1.30 1.8955 1.9909 1.9937 1.9937 1.35 2.1419 2.2721 2.2762 2.2762 1.40 2.4311 2.6060 2.6117 2.6117 1.45 2.7714 3.0038 3.0117 3.0117 1.50 3.1733 3.4795 3.4903 3.4904 ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO RK4 En la sección 9.1 vimos que los errores de truncamiento globales para el método de Euler y el método de Euler mejorado son, respectivamente, O(h) y O(h2 ). Debido a que la primera ecuación en (6) concuerda con un polinomio de Taylor de cuarto grado, el error de truncamiento global para este método es y(5) (c) h5 5! o O(h5 ), y así el error de truncamiento global es O(h4 ). Ahora