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Si usted compra un artículo para uso empresarial, al preparar la declaración de impuestos usted puede
repartir su costo entre toda la vida útil del artículo. Esto se denomina depreciación. Un método de
depreciación es la depreciación lineal, en la que la depreciación anual se calcula dividiendo el costo
del artículo, menos su valor de rescate, entre su vida útil. Supóngase que el costo es C dólares, la vida
útil es N años y no hay valor de rescate. Entonces el valor V (en dólares) del artículo al final de n
años está dado por:
Si el mobiliario nuevo de una oficina se compró por $3200, tiene una vida útil de 8 años y no tiene
valor de rescate, ¿después de cuántos años tendrá un valor de $2000?
1
n
V C
N
 
= −
 
 

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve de manera autónoma diferentes situaciones
problemáticas que involucran el uso de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado.
1. Ecuaciones e inecuaciones
1.1. Definición.
1.2. Ecuaciones de primer y segundo grado
1.3. Inecuaciones de primer y segundo grado
1.4. Ejercicios
CONTENIDO

Un ecuación es un enunciado de
igualdad que contiene una o
varias variables
ECUACIONES
2
5 4 0
x x
− + =
Una raíz o solución es un número “a” que
origina un enunciado verdadero al
sustituirlo por “x”
( ) ( )
2
2
"4" es solución de: 5 4 0
4 5 4 4 0
x x
V
− + =
− + =
Resolver.- Encontrar todas las soluciones de una ecuación.

Si 𝑎 = 𝑏 y “c” es cualquier número real, entonces:
a c b c
+ = + a c b c
 =  0 0 ;
a a
 =  
0 0 0
a b a b
 =  =  =

Son reducibles a expresiones de la forma:
0 ; 0
ax b a
+ = 
Su solución se obtiene a partir de:
0
ax b
ax b
b
x
a
+ =
= −
= −
EJEMPLOS
1. Determine el conjunto solución de la ecuación
en variable “x”, sabiendo que es lineal.
2. Determine el conjunto solución de:
2 2
3 5 4 1
nx nx x n
+ + = + −
1 1
a b
x x
b a a b
+ = +

Son reducibles a expresiones de la forma:
2
0 ; 0
ax bx c a
+ + = 
Su solución se obtiene a partir de:
2
1
2
2
4
2
4
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
− + −
=
− − −
=
La expresión: 𝑏2
− 4𝑎𝑐 se denomina
discriminante “∆”.
2
Si 0 Hay 2 soluciones reales diferentes
4
2
b b ac
x
a
  →
−  −
=
Si 0 Hay 1 solución:
2
b
x
a
−
 = → =
Si 0 x
  → 

EJEMPLOS
Supongamos que en la ecuación cuadrática
2
0 ; 0
ax bx c a
+ + = 
tiene como raíces: 𝑥1 y 𝑥2.
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a
+ = −
 =
2
4 12 3 0
x x
− + =
2. Si el conjunto solución de la ecuación
es “a” y “b”, hallar:
2
5 3 4 0
x x
− + =
5 5
a b
+
3. Resolver: 6 7 6 1
1
2 1 2
x x
x x
+ +
− =
+
4. Resolver:
2 2 4 7
x x
+ = −

Un inecuación es una desigualdad
entre dos expresiones matemáticas que
al menos tienen una variable
INECUACIONES
2
2
3 2 5 1
1
4 5
1
x x x
x
x
 − +
−  −
−
La solución o conjunto solución está
formado por todos los valores que
satisfacen la desigualdad.
Resolver.- Implica encontrar todas
las soluciones de una inecuación.

Propiedades PUNTOS CRÍTICOS
1. Presentar la expresión como una
multiplicación de factores en R.
2. Hallar las raíces reales de dicha
expresión (puntos críticos ) y ubicarlos
en la recta real.
3. Ubicar dichas raíces en la recta
numérica real, separando en zonas de
derecha a izquierda colocando signos
(según criterios).

EJEMPLOS
2
) 2 10 0
a x x
− − 
2
) 8 65 0
b x x
+ − 
( )( )( )
2
) 4 1 1 0
c x x x
− − + 
( )( )( )
2 2 2
) 7 16 1 0
d x x x
− − + 
2
3 2
20
) 0
3 3
x x
e
x x x
− −

− − +
( )( )
3
3
3
2 3 1
) 0
2
x x
f
x x
− +

+ −

Determine el conjunto solución de:
6 6
1) 1 1 24
x x
x x
  
+ + − + =
  
  
ACTIVIDAD PRÁCTICA
( )
4
2
2
8
2) 2 7
2
a
x x a a
x ax
− = +
−
( )( )( )( )
3) 2 1 2 3 2 5 2 7 9
x x x x
+ + + + =
1 1 1
4) 2 ; 0
x a x b x c
abc
bc ac ab a b c
− − −  
+ + = + + 
 
 
2
15 7
5) 1 0
6
x
x x
−
+ 
+ −
13 3
6) 7 2
3
x
x
x
+
 −
−
2
2
2 3
7) 0
3 2
x x
x x
+ +

− +
2 1 7
8)
3 3 9
x
x
−
 
+

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