Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR

Facultad de Ciencias Administrativas
Carrera de Contabilidad y Auditoria

ESTADISTICA II
EJERCICIOS DE PROBABILIDADES Y
TEOREMA DE BAYES

PROFESOR: ING. FRANCISCO BAHAMONDE

ALUMNA: LUCÍA REGALADO MONTENEGRO

CURSO: CA 4 – 7

Quito – Ecuador

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1. Cual es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces; obteniendo en el
primer lanzamiento por lo menos una cara y en el segundo lanzamiento sea sello.

A: Salga al menos una cara Em=CC; CS; SS; SC
B: Salga sello

P(A)= 3/4 = 0,75
P(B)= 2/4 = 0,50

2. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que resulte 2 ó 5.

A: Salga 2 Em= 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga 5

P(A.B) = P(A) + P(B)
= 1/6 + 1/6
= 1/3 = 0,3333

3. Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado no salga 5.

A: No salga 5

P(A') = 1 – P(A)
= 1 – 1/6
= 5/6 = 0,8333

4. Hallar la probabilidad de que salga al menos un 4 al realizar dos lanzamientos de un
dado.

E₁ = Salga al menos un 4 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
E₂ = Salga al menos un 4 1; 2; 3; 4; 5; 6

P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁). P(E₂)
= 1/6 + 1/6 – (1/6 . 1/6)
= 11/36

5. Una encuesta de una clase de 34 estudiantes de una escuela de administración,
revelo la siguiente selección de carreras:

 Contaduría 10
 Finanzas 5
 Sistemas de Información 3
 Administración 6
 Mercadotecnia 10

Suponga que se selecciono un estudiante al azar y se observo su opción profesional.

a) Cual es la probabilidad de que él o ella estudie la carrera de administración.

P = 6/34
= 0,18

b) Cual es la probabilidad de que el mismo estudiante estudie administración y
finanzas.

P = 6/34 . 5/34
= 15/578
= 0,03

6. La junta directiva de una empresa esta formada por 8 hombres y 4 mujeres. Se
seleccionara un comité de 4 miembros en forma aleatoria, para recomendar a un
nuevo presidente de la compañía.

a) Cual es la probabilidad de que sean mujeres los 4 miembros del comité de
investigación.

P = 4/12
= 0,3333
= 33,33%

b) Cual es la probabilidad de que los miembros sean los 4 hombres.

P= 8/12
= 0,6666
= 66,66%

c) Cual es la probabilidad de que sean 2 mujeres y 2 hombres

P = 2/4 . 2/8
= 1/8
= 0,13
= 13%

PROBABILIDAD CONDICIONAL

7. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado; resulte un numero
menor que 4, sabiendo que resultó un número impar.

A: Salga un número menor que 4 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga impar
I= 1; 3; 5
P(A/B) = 3/6
2/6
= 3/2

8. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga un numero menor que 5,
sabiendo que saldrá un número impar.

A: Salga un número menor que 5 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga impar
I= 1; 3; 5
P(A/B) = 4/6
2/6
= 4/2
= 2%

9. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga 6 si se sabe que caerá un
número par.

A: Salga 6 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga número par
Par = 2; 4; 6
P(A/B) = 1/6
3/6
= 1/3
= 0,3333 = 33,33%

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

10. Si un hombre tiene 10 camisas; 2 negras y 3 azules además tiene 5 camisas blancas.
Cual es la probabilidad de que al escoger al azar una camisa esta sea blanca o azul.

A: Camisa blanca
B: Camisa azul

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 5/10 + 3/10 – 0/10
= 4/5
=0,80

11. Se saca una carta de un naipe completo. Cual es la probabilidad de la carta sea un 6 o
una carta roja.

A: Salga 6
B: Salga una carta roja

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 4/52 + 26/42 – 2/52
= 7/13
= 0,54

12. Una caja contiene 3 bolas rojas, 5 bolas negras, y 2 bolas verdes. cual es la
probabilidad de que una bola seleccionada al azar sea roja o verde.

A: Bola roja
B: Bola verde

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/10 + 2/10 – 0/10
= 1/2
= 0,50

13. Una caja contiene 6 bolas naranjas, 6 bolas azules y 3 rosadas. Cual es la
probabilidad de que al extraer la bola aleatoria aleatoriamente esta sea naranja o
rosada.

A: Bola naranja
B: Bola rosada

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 6/15 + 3/15 – 0/15

= 3/5
= 0,60

14. Una caja contiene 3 lápices azules, 2 lápices rojos y un lápiz negro. Cual es la
probabilidad de que al sacar un lápiz este sea rojo o negro.

A: Lápiz rojo
B: Lápiz negro

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 2/6 + 1/6 -0/6
= 1/2
= 0,50

15. La empresa X cuenta con dos camiones de servicio que se descomponen
frecuentemente; si la probabilidad de que el primer camión este disponible es 0,75 y
el segundo camión es de 0,50 y la probabilidad de que los dos estén disponibles es
0,30. Cual es la probabilidad de que ningún camión este disponible.

A: Primer camión 0.75
B: Segundo camión 0.50
A y B: Ambos 0.30

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0,75 + 0,50 – 0,30
= 0,95
= 95%

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CON REEMPLAZAMIENTO

16. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 12 bolas rojas, 7 bolas amarillas,
3 bolas blancas y 6 azules. Hallar la probabilidad de que sea:

a) Amarilla o Roja

E₁: Sea amarilla
E₂: Sea roja

P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂)
= 7/28 + 12/28
= 19/28

b) No Roja o Azul

E₁: Sea amarilla
E₂: Sea blanca

P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) P(E') = 1 – P(E)
= 7/28 + 3/28 = 1 – 0,36
= 5/14 = 0,64
= 0,36

c) No Roja

P(E') = 1 – P(E)
= 1 – 12/28
= 4/7

d) Sea Roja o Amarilla o Blanca

E₁: Sea roja
E₂: Sea amarilla
E₃: Sea blanca

P(E₁ + E₂ + E₃) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
= 12/28 + 7/28 + 3/28
= 11/14
= 0,79

17. Se extrae una corbata de una caja al azar en la cual hay 3 corbatas rojas, 6 corbatas
negras, 8 corbatas plomas y 7 corbatas azules. Hallar la probabilidad de que sea:

a) Azul o Ploma

E₁: Sea azul
E₂: Sea ploma

P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂)
= 7/24 + 8/24
= 5/8

b) No sea Negra

P(E') = 1 – P(E)
= 1 – 6/24
= 3/4
c) Sea Roja o Azul o Negra

P( R + A + N ) = P(R) + P(A) + P(N)
= 3/24 + 7/24 + 6/24
= 2/3
= 0,67

18. En una caja se tiene 15 lápices rojos, 7 lápices blancos, 10 lápices celestes, y 12
lápices purpuras; se extrae dos lápices sucesivamente. Hallar la probabilidad de que:

a) Ambos sean Celestes

E₁: Primero celeste P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
E₂: Segundo celeste = 10/44 . 10/44
= 25/484
= 0,05
b) El primero sea Blanco y el segundo Purpura

E₁: Primero blanco
E₂: Segundo purpura

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 7/44 . 12/44
= 21/484
= 0,04

c) Ninguno sea Rojo

P(E') = 1 – P(E)
= 1 – 15/44
= 29/44
= 0,66

d) Sean 2 Blancos ó 2 Purpuras ó 1 Blanco y 1 Purpura

E₁: Sean blancos

P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
= 7/44 . 7/44
= 49/1936

E₂: Sean purpuras

P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
= 12/44 . 12/44
= 9/121

E₃: Sea blanco
E₄: Sea purpura

P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
= 7/44 . 12/44
= 21/484

P = (BB + PP + BP +PB ) = 49/1936 + 9/121 + 2. 21/44 = 361/1936 = 0,19 = 19%

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD SIN REEMPLAZAMIENTO

19. Tengo en una caja las siguientes bolitas; 5 rojas, 10 negras, 15 verdes y 20 azules.
Hallar la probabilidad de que:

a) Ambas sean Verdes

E₁: Primera verde
E₂: Segunda verde

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 15/50 . 14/49
= 3/35
= 0,09

b) Que la primera sea Roja y la segunda sea Azul

E₁: Primera roja
E₂: Segunda azul

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 5/50 . 20/49
= 2/49
= 0,04

c) Que ninguna sea Azul

E₁: No se azul
E₂: Sea roja ó negra ó verde

P(E') = 1 – P(E₁)

= 1 – 20/50
= 3/5

P(E₂) = P(R ó N ó v) = 5/49 + 10/49 + 14/49 = 29/49

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 3/5 . 29/49
= 87/245
= 0,36

d) Que las 2 sean Verdes ó Negras ó de ambos colores

E₁: Sean Verdes

P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
= 15/50 . 14/49
= 3/35

E₂: Sean Negras

P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
= 10/50 . 9/49
= 9/245

E₃: Sea Verde
E₄: Sea Negra

P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
= 15/50 . 10/49
= 3/49

P = (VV + NN + VN + NV) = 3/35 + 9/245 + 2. 3/49 = 12/49 = 0,24 = 24%

20. Se tiene en una caja 15 esferos azules, 10 esferos verdes, 5 esferos negros y 8 esferos
rojos. Hallar la probabilidad de que:

a) Ambos sean Verdes

E₁: Primera verde
E₂: Segunda verde

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 10/38 . 9/37

= 45/703
= 0,06

b) Que el primero sea Rojo y el segundo sea Negro

E₁: Primera rojo
E₂: Segunda negro

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 8/38 . 5/37
= 20/703 = 0,03
c) Que ninguno sea Verde

E₁: No sea verde
E₂: Sea Azul ó Negro ó Rojo

P(E') = 1 – P(E₁)
= 1 – 10/38
= 14/19

P(E₂) = P(A + N + R) = 15/37 + 5/37 + 7/37 = 27/37

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
= 14/19 . 27/37
= 378/703

d) Que los 2 sean Azules ó Negros ó 1 Rojo y 1 Verde

E₁: Sea azul

P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
= 15/38 . 14/37
= 105/703

E₂: Sea Negro

P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
= 5/38 . 4/37
= 10/703

E₃: Sea rojo
E₄: Sea verde

P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
= 8/38 . 10/37

= 40/703

P = (AA + NN + RV ) = 105/703 + 10/703 + 40/703 = 0,22 = 22%

TEOREMA DE BAYES

21. Tenemos dos urnas, la urna A₁ contiene 8 bolitas blancas y 2 negras mientras que la
urna A₂ tiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Cual es la probabilidad de que la bolita sea
extraída de la urna A₁ y sea blanca.

A₁

8 B P(B/A₁) = 8/10

P(A₁) = 1/2 2 N

A₂

P(A₂) = 1/2 3 B P(B/A₂) = 3/10

7 N

P(A₁/B) = P(A₁) P(B/A₁)
P(A₁) P(B/A₁) + P(A₂) P(B/A₂)

P(A₁/B) = 1/2 . 8/10
1/2 . 8/10 + 1/2 . 3/10

P(A₁/B) = 2/5
11/20

P(A₁/B) = 8/11

22. Tenemos dos urnas la urna A₁ contiene 3 lápices negros y 2 lápices rojos mientras
que la urna A₂ contiene 4 lápices negros y 1 rojo. Cual es la probabilidad de al elegir
la urna A₁ la bola sea negra.

A₁

3 N P(N/A₁) = 3/5
P(A₁) = 1/2
2 R

A₂
4 N P(N/A₂) = 4/5
P(A₂) = 1/2
1 R

P(A₁/N) = P(A₁) P(N/A₁)
P(A₁) P(N/A₁) + P(A₂) P(N/A₂)

P(A₁/N) = 1/2 . 3/5
1/2 . 3/5 + 1/2 . 4/5

P(A₁/N) = 3/10
7/10

P(A₁/N) = 3/7

23. Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la
noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el
90% de los diurnos. De acuerdo con esto el equipo ganó ayer. Cual es la probabilidad
de que el partido se haya desarrollado en la noche.

Gana = 0,50 A₁ = Noche
A₂ = Día
Pierde = 0,50 B = Ganaron
P(A₁) Noche = 0,70

Gana = 0,90

P(A₂) Día = 0,30

Pierde = 0,10

P(A₁/B) = P(A₁) P(B/ A₁)

P(A₁) P(B/ A₁) + P(A₂) P(B/ A₂)

P(A₁/B) = 0,70 . 0,50
0,70 . 0,50 + 0,30 . 0,90

P(A₁/B) = 0,35
0,62

P(A₁/B) = 0,56

24. Se recibieron dos cajas de ropa provenientes de una fábrica, la caja₁ contenía 5
camisas deportivas y 15 de vestir mientras que en l caja₂ había 30 camisas deportivas
y 10 de vestir. Se selecciono al azar una de las cajas y de ésa se eligió también
aleatoriamente una camisa para inspeccionarla la prenda era deportiva. Cual es la
probabilidad de que la camisa provenga de la caja₁.

A₁
P(D/A₁) = 3/5
25 C. Deportivas
P(Caja₁) = 1/2
15 C. Vestir

A₂
P(D/A₂) = 4/5
30 C. Deportivas
P(Caja₂) = 1/2
10 C. Vestir

P(A₁/D) = P(A₁) P(D/ A₁)
P(A₁) P(D/ A₁) + P(A₂) P(D/ A₂)

P(A₁/D) = 1/2 . 25/40
1/2 . 25/40 + 1/2 . 30/40

P(A₁/D) = 5/16
11/16

P(A₁/D) = 5/11

25. Se tiene tres urnas. La urna A₁ contiene 8 bolas negras y 2 verdes, la urna A₂ 3
bolas negras y 7 verdes y la urna A₃ contiene 5 bolas negras y 5 bolas verdes; se
elige una urna y una bola al azar. Cual es la probabilidad de que la bola sea verde
y provenga de la urna A₃.

A₁

8 N P(V/A₁) = 2/10
P(
A₁) 2 V
=
1/ A₂
2
P(A₂) = 1/2 P(V/A₂) = 7/10
3 N

7 V
P(
A₃)
= A₃
1/ P(V/A₃) = 5/10
5 N
2
5 V

P(A₃/V) = P(A₃) P(V/A₃)
P(A₁) P(V/A₁) + P(A₂) P(V/A₂) + P(A₃) P(V/A₃)

P(A₁/D) = 1/3 . 5/10
1/3 . 2/10 + 1/3 . 7/10 + 1/3 . 5/10

P(A₁/D) = 1/6
7/15

P(A₁/D) = 5/14

EJERCICIO 7)

Un almacén esta considerando cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el
número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas.

El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente
que se demore una semana o mas en sus pagos en dos ocasiones distintas la sugerencia del
gerente se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmente
no pagaron sus cuentas, se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones.

Suponga quede una investigación encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito)
finalmente no pagan sus cuentas y que de ellas que finalmente si las pagan el 45% se han
demorado por lo menos en 2 ocasiones.
Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro en por lo menos 2 ocasiones
finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política que ha
sugerido el gerente de ventas.

2 ocasiones (0,45)

P(Pagan) = 0,98
1 ocasión (0,55)

2 ocasiones (0,90)

P(No paguen) = 0,02
1 ocasión (0,10)

No pagan 0,90 0,02
Pagan 0,10 0,45

P(G/I₁) = 0,90 X 0,02 P(I/G) = 0,441
= 0,018 0,459

P(G/I₂) = 0,98 X 0,45 = 0,96078
= 0,441 = 96%

P(B) = 0,018 + 0,441
= 0,459

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