El gran fractal de Sierpinsk
1 recomendación17,092 vistas
Los fractales son objetos geométricos que se repiten a escalas cada vez más pequeñas. El triángulo de Sierpinski es un fractal construido mediante la repetición de un proceso en el que un triángulo se divide en tres triángulos más pequeños. El documento describe cómo se construyó una versión del triángulo de Sierpinski utilizando latas de refresco recicladas para demostrar sus propiedades fractales a través de varias iteraciones del proceso.
El gran fractal de Sierpinsk
- 2. ¿QUÉ SON LOS FRACTALES? Todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación, aparentemente, extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo (autosemejanza), y la dimensión fractal no es necesariamente entera.
- 4. ENTRE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y LA FRACTAL
- 5. CONCEPTO DE FRACTAL A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. Ejemplo: 1,55. Se define la dimensión fractal, que además es una generalización de la dimensión euclídea, como D =log s / log r, donde r es la razón de semejanza y s es el número de copias o partes autosemejantes.
- 6. Los fractales son una idealización. Los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.
- 7. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919 para poner de manifiesto características geométricas extrañas, en este caso para demostrar que una curva puede cruzarse consigo misma en todos sus puntos. Lo hizo del modo siguiente:
- 8. Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a:
- 9. Paso o iteración 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura: Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero.
- 10. Paso o iteración 2: Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la siguiente figura:
- 11. Paso o iteración 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados obteniendo la figura siguiente:
- 13. Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosemejantes del paso anterior. Un objeto de estas características autosemejante en distintas escalas es un fractal, y está caracterizado por su dimensión fractal D, siendo el factor de escala entre los lados del triángulo en una etapa y la siguiente, y el número de partes generadas en cada etapa, de la definición de dimensión resulta: D =log 3 / log 2 = 1.585.
- 14. El triángulo de Sierpinski existe sólo en su estado infinito, pero en la práctica nos conformamos con visualizarlo en alguna etapa finita de su desarrollo. En el apartado “Educación Ambiental” y reciclaje hemos reutilizado para su construcción latas de refrescos.
- 15. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN Primera fase: Pasos de 1 al 4. Hemos realizado “triángulos equiláteros” con 3 latas (paso 1), las cuales pegábamos con silicona (no más clavos), para su transporte rodeábamos la figura con gomas elásticas y posteriormente dejábamos secar. A continuación, se procedía del mismo modo con estas figuras formadas por 3 latas y construíamos figuras con 9 latas (paso 2), y así sucesivamente, hasta llegar al paso 4 constituido por una figura de 81 latas formando un triángulo equilátero.
- 16. De este modo teníamos los cuatro primero términos de la sucesión de triángulos de Sierpinski con latas de refresco, ahora bien, la figura formada por 81 latas presentaba un problema a la hora de su desplazamiento, y es que al mínimo descuido o golpe, acababa por desmoronarse. Decidimos entonces proceder igual que antes, pero además, tras cada uno de los pasos se fijó o rodeó la figura con cinta americana, para que ante cualquier golpe siguiese manteniendo su consistencia.
- 20. Segunda fase: Pasos 5 y 6. Instalación en el exterior. Una vez construidos todos los triángulos del paso 4 necesarios para montar los pasos 5 y 6, salimos al exterior y presentamos la sucesión de triángulos, de tal modo que la distancia de un triángulo a otro estuviese en progresión aritmética, ya que el número de latas empleadas en cada triángulo va en progresión geométrica. Una vez hecha la presentación y viendo que todo salía según lo previsto, procedimos a marcar y atornillar los perfiles de aluminio cuyas medidas previamente habían sido calculadas. Posteriormente se fueron insertando los 3 triángulos del paso 4 para constituir el paso 5, y pegándolos con silicona, del mismo modo se procedió para el paso 6 formado por 729 latas. El hecho de utilizar los perfiles de aluminio ha sido para dar consistencia a la estructura, igualmente, cuando se deterioren las latas se pueden reciclar y reutilizar otras, aprovechando estos mismos perfiles.
- 25. Tercera fase o final: Rotulación y colocación de la placa.