El logaritmo
- 1. El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Siendo “a “la base, “x” el número e “y” el logaritmo. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1. “x” tiene que ser un número positivo (x > 0). “n” puede ser cualquier número real. LOGARITMOS DECIMALES: Los logaritmos decimales son los que tienen base 10. Se representan por log (x). log 10 = 1 101 = 10 log 1000 = 3 103 = 1000
- 2. log (1/10 000) = −4 10−4 = 1/10 000 LOGARITMOS NEPERIANOS O NATURALES: Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Los logaritmos neperianos deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados. El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x. ln 1 = 0 e0 = 1 PROPIEDADES: 1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si 2. El logaritmo de la base es 1 , pues
- 3. 3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base , pues 4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 6. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 7. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
- 4. 8. Cambio de base: EJERCICIOS I. Demostrarlassiguientesidentidades: 1. log 𝟐𝟕 𝟐𝟖 + log√𝟗𝟖 + log √𝟖 𝟗 ≡ log3 log27 – log28 + 1 2 log98 + log√8 - log9 log27 – log4.7 + 1 2 log2.49 + 1 2 log8 – log9 log33 – log4 + log7 + 1 2 log2 + 1 2 log49 + 1 2 log23 – log32 3log3 – (2log2 + log7) + 1 2 (log2 + 2log7) + 3 2 log2 – 2log3 3log3 – 2log2 - log7 + 1 2 log2 + log7 + 3 2 log2 – 2log3 log3 ≡ log3 2. log a2 + log 𝟏 𝒂 + log√𝒂 ≡ 𝟑 𝟐 log a 2log a + log a-1 + log a 1 2 2log a – 1log a + 1 2 log a log a + 1 2 log a ≡ 3 2 log a 3 2 log a ≡ 3 2 log a 3. hallar “x” en las sgtes ecuaciones: 4log 𝒙 𝟐 + 3log 𝒙 𝟑 = 5log x - log27 log( 𝑥 2 )4 + log ( 𝑥 2 )3 = log x5 – log27 logx4 /16 + logx3 /27 = logx5 – log27
- 5. logx4 – log16 + logx3 – log27 =logx5 – log27 logx4 + logx3 – log16 =logx5 logx4 .x3 /x5 = log16 logx7 /x5 = log16 logx2 =log16 x2 = 16 X=4 4. logx√𝟏𝟐𝟓 =3/2 x3/2 = √125 x3/2 = 125 1/2 x3/2 = (53 )1/2 x3/2 = 53/2 x = 5