el problema del transporte

el problema del transporte

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  Contenido 1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 2 2. FORMULACION DEL PROBLEMA ............................................................................................ 2 3. El planteamiento del problema es el siguiente: .................................................................... 3 4. Ejemplo de aplicación ........................................................................................................... 5 5. Métodos para determinar una solución factible básica inicial ............................................. 7 5.1. EL METODO DE LA ESQUINA NOROESTE ........................................................................... 7 5.2. EL METODO DE LA MATRIZ MINIMA ................................................................................. 8 5.3. EL MÉTODO DE VOGEL .................................................................................................... 10 6. SOLUCIÓN ÓPTIMA ............................................................................................................. 12 6.1. Ejemplo de aplicación ..................................................................................................... 12 7. Solución del problema utilizando el software WINQSB ...................................................... 17 8. Consideraciones .................................................................................................................. 19
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  2 Lic. AraujoCajamarca, Raul 1. INTRODUCCIÓN El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación Lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el método Simplex, existe un algoritmo simplificado especial para resolverlo. Dentro de la Programación Lineal existe una cierta clase de problemas en los cuales se debe determinar un esquema óptimo del transporte que se origina en los lugares de oferta donde la existencia de cierta mercadería es conocida, y llega a los lugares de donde se conoce la cantidad requerida. El coste de cada envío es proporcional a la cantidad transportada y, el costo total es la suma de los costos individuales. Este tipo de problemas comenzó a estudiarse en 1939 por L. V. Kantarovich, despertándose poco interés en ese tiempo pero conforme se fue necesitando su solución resaltó el hecho de que poseía propiedades matemáticas, que permitían amplificaciones notables en su proceso de cálculo. La solución de estos problemas son útiles en la agricultura la que necesita esquemas de transportación para poder colocar en forma óptima su cosecha en el mercado de consumo, y en la industria, la cual necesita el abastecimiento de materias primas para su trasformación y posteriormente colocar sus productos manufacturados en el mercado. Si el método Simplex fuera usado para encontrar la solución de este problema, el procedimiento de cálculo sería muy ineficiente por tal motivo es deseable un algoritmo especial para este tipo de problemas. 2. FORMULACION DEL PROBLEMA El problema de transporte clásico consiste en distribuir cualquier producto desde un grupo de centros de producción llamados orígenes a un grupo de centros de recepción llamados destinos de manera que conocidos la cantidad de que se dispone en cada origen, la cantidad demandad en cada destino y el costo de transportar una unidad de producto de cada origen a cada destino; se satisfaga la demanda con el costo total mínimo. Consideremos el caso general de m orígenes y n destinos. Esquemáticamente se tiene:
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  3 Lic. AraujoCajamarca, Raul 1 2 m 1 2 n . . . . . . Orígenes (m) Destinos (n) En forma tabular Destinos Oferta 1 2 n Orígenes 1 11 C 12 C 1n C 1 a 2 21 C 22 C 2n C 2 a m m1 C m2 C mn C m a Demanda 1 b 2 b n b 3. El planteamiento del problema es el siguiente: Existen m orígenes y se supone que en cada origen hay i a unidades disponibles o almacenadas de determinado producto; siendo i 1;2;...;m. Existen también n destinos y cada una requiere de j b unidades de este tipo de producto siendo j 1;2;...;n. Los i a se llaman exigencias por fila, las j b exigencias por columna, todas las exigencias por fila y columna son positivas puesto que los valores nulos o negativos no tendrían significado físico. Además se tiene el costo de transporte de una unidad del producto desde el origen i hasta el destino j que está representado por ij c . Supondremos inicialmente que la cantidad disponible en los centros de producción iguala a la cantidad requerida en los centros de consumo, esto es: 1 1 m n i j i j a b    
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  4 Lic. AraujoCajamarca, Raul (Posteriormente veremos cómo solucionar el problema cuando esta condición no se satisface). Una solución o programa de transporte queda definido por un conjunto de mxn número ij x donde: ij x =Número de unidades a enviar del origen i al destino j . Escribiendo como una matriz solución. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn x x x x x x X x x x              Dado que no hay envíos negativos, supondremos siempre que: 0 ij x  Para i, j La cantidad total enviada por cada origen puede escribirse como: 1 n ij i j x a    , i 1;2;...;m La cantidad total recibidas por cada destino puede, a su vez describirse como: 1 m ij j i x b    , j 1;2;...;n De esta manera, la formula analítica del problema del transporte es la siguiente: Min. 1 1 m n ij ij i j z C x     Sujeto a las condiciones siguientes: 1 n ij i j x a    , i 1;2;...;m y j 1;2;...;n 1 m ij j i x b    , j 1;2;...;n 0 ij x  Para i, j
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  5 Lic. AraujoCajamarca, Raul Observe que los coeficientes de las variables de las restricciones todos son unidades y ceros esto da lugar a una matriz especial y comparando justo con un problema de Programación Lineal es muy diferente. Justamente esta característica especial será aprovechada para obtener la solución de una manera rápida. No es necesario incluir dentro de estas condiciones, el requisito que ij x sea entera ya que si i a , j b son enteros, necesariamente ij x resultará entero. 4. Ejemplo de aplicación MG Autos Company tiene plantas en los Ángeles, Detroit y Nueva Orleans. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1000; 1500 y 1200 automóviles. La demanda trimestral en los dos centros de distribución es de 2300 y 1400 vehículos. En la tabla siguiente se proporciona el millaje entre las plantas y los centros de distribución. Distancia entre orígenes y destinos Plantas Centros de distribución Denver Miami Los Ángeles 1000 2690 Detroit 1250 1350 Nueva Orleans 1275 850 La compañía de camiones encargada del transporte de los automóviles cobra 8 centavos por milla por automóvil. El costo de transporte por automóvil en las diferentes rutas, redondeado al dólar más cercano, se calcula como se indica en la tabla siguiente: Costo por milla entre orígenes y destinos Denver (1) Miami(2) Los Ángeles(1) 80 215 Detroit (2) 100 108 Nueva Orleans (3) 102 68
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  6 Lic. AraujoCajamarca, Raul El modelo de Programación Lineal en forma tabular es el siguiente: Costo de envío de cada origen a cada destino ORIGEN DESTINO 1 2 Oferta 1 80 215 1000 2 100 108 1500 3 102 68 1200 Demanda 2300 1400 3700 Oferte=Demanda=3700 El modelo matemático: Definición de variables: ij x : Número de vehículos enviados desde el origen i hasta el destino j Función objetivo Min 11 12 21 22 z 80x 215x 100x 108x 102x31 68x32 S.A. Restricciones de Oferta 11 12 x  x 1000 21 22 x  x 1500 31 32 x  x 1200 Restricciones de Demanda 11 21 31 x  x  x  2300 12 22 32 x  x  x 1400 Restricciones de no negatividad 0 ij x  i 1;2;3 y j 1;2 Balanceado
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  7 Lic. AraujoCajamarca, Raul 5. Métodos para determinar una solución factible básica inicial En los métodos que se describen a continuación varía en el tiempo para determinar la solución de menos a más. Sin embargo, el tiempo utilizado al obtener una buena solución inicial está bien empleado ya que permite reducir considerablemente el número total de iteraciones requeridas para alcanzar una solución óptima. Los métodos son los siguientes: 1. Método de la esquina noroeste(N-O) 2. Método de la Matriz Mínima 3. Método de Vogel 4. Método de Russell 5.1. EL METODO DE LA ESQUINA NOROESTE 1 2 Oferta 1 1000 80 215 1000 0 2 1300 100 200 108 1500 200 0 3 102 1200 68 1200 0 Demanda 2300 1400 3700 1300 1200 0 0 Por lo tanto la solución básica inicial obtenida se resum e en la figura siguien te: 2300 1400 1000 1500 1200 Los Ángeles Detroit Nueva Orléans 1000 1300 200 1200 Denver Miami El cual se puede dar lectura de la siguiente manera:
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  8 Lic. AraujoCajamarca, Raul Requiere el envío de 1000 automóviles de los Ángeles a Denver Requiere el envío de 1300 automóviles de Detroit a Denver Requiere el envío de 200 automóviles de Detroit a Miami y Requiere el envío de 1200 automóviles de Nueva Orleans El costo mínimo asociado de transporte es de: 1000(80)+1300(100)+200(108)+1200(68)=313200 dolares. 5.2. EL METODO DE LA MATRIZ MINIMA 1 2 Oferta 1 80 215 1000 2 100 108 1500 3 102 1200 68 1200 0 Demanda 2300 1400 3700 200 1 2 Oferta 1 1000 80 215 1000 0 2 100 108 1500 3 102 1200 68 1200 0 Demanda 2300 1400 3700 1300 200 1 2 Oferta 1 1000 80 215 1000 0 2 1300 100 200 108 1500 200 0 3 102 1200 68 1200 0 Demanda 2300 1400 3700 1300 200 0 0 Por lo tanto la solución básica inicial obtenida se resume en la figura siguiente: El menor El menor El menor
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  9 Lic. AraujoCajamarca, Raul 2300 1400 1000 1500 1200 Los Ángeles Detroit Nueva Orléans 1000 1300 200 1200 Denver Miami El cual se puede dar lectura de la siguiente manera: Requiere el envío de 1000 automóviles de los Ángeles a Denver Requiere el envío de 1300 automóviles de Detroit a Denver Requiere el envío de 200 automóviles de Detroit a Miami y Requiere el envío de 1200 automóviles de Nueva Orleans El costo mínimo asociado de transporte es de: 1000(80)+1300(100)+200(108)+1200(68)=313200 dolares.
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  10 Lic. AraujoCajamarca, Raul 5.3. EL MÉTODO DE VOGEL 1 2 P* Oferta 1 1000 80 215 135 1000 0 2 100 108 8 1500 3 102 68 34 1200 P* 20 40 Demanda 2300 1400 3700 1300 1 2 P* Oferta 1 1000 80 215 135 1000 0 2 100 108 8 1500 3 102 1200 68 34 1200 0 P* 2 40 Demanda 2300 1400 3700 1300 200 1 2 P* Oferta 1 1000 80 215 135 1000 0 2 1300 100 200 108 8 1500 200 0 3 102 1200 68 34 1200 0 P* NO NO Demanda 2300 1400 3700 1300 200 0 1. resta de los dos menores 1. Resta de los dos menores 2. El mayor P* 3. El menor costo
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  11 Lic. AraujoCajamarca, Raul 1 2 P* Oferta 1 1000 80 215 135 1000 0 2 1300 100 200 108 8 1500 200 0 3 102 1200 68 34 1200 0 P* NO NO Demanda 2300 1400 3700 1300 200 0 Por lo tanto la solución básica inicial obtenida se resume en la figura siguiente: 2300 1400 1000 1500 1200 Los Ángeles Detroit Nueva Orléans 1000 1300 200 1200 Denver Miami El cual se puede dar lectura de la siguiente manera: Requiere el envío de 1000 automóviles de los Ángeles a Denver Requiere el envío de 1300 automóviles de Detroit a Denver Requiere el envío de 200 automóviles de Detroit a Miami y Requiere el envío de 1200 automóviles de Nueva Orleans El costo mínimo asociado de transporte es de: 1000(80)+1300(100)+200(108)+1200(68)=313200 dolares.
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  12 Lic. AraujoCajamarca, Raul 6. SOLUCIÓN ÓPTIMA 6.1. Ejemplo de aplicación Una fábrica de piensos compuestos dispone de tres plantas diferentes de fabricación y cinco almacenes para la distribución mensual. Las cantidades fabricadas en cada planta son de 100, 200 y 150 t. al mes. Las cantidades mensuales solicitadas por los almacenes son 160, 70, 120, y 80 t., respectivamente. La matriz de costes por unidad de transporte es: D1 D2 D3 D4 Oferta O1 8 9 9 5 100 O2 4 5 8 7 200 O3 3 6 5 9 150 Demanda 160 70 120 80 ¿Cuál es el costo total mínimo de transportar la demanda solicitada al mes? Solución: D1 D2 D3 D4 Oferta O1 8 9 9 5 100 O2 4 5 8 7 200 O3 3 6 5 9 150 Demanda 160 70 120 80 Costo de envío
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  13 Lic. AraujoCajamarca, Raul CALCULAMOS: la Solución Básica inicial, utilizando algún método como: N-O, Matriz Mínima, Vogel o Russell, en este caso utilizaremos el método N-O. D1 D2 D3 D4 D5 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 0 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 140 70 0 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 100 20 0 Demanda 160 70 120 80 20 350 60 0 50 0 0 0 0 Se obtiene una solución básica inicial con un costo de: z  2,920.00 Aplicamos el método para obtener la solución óptima, en este caso el método U-V. D1 D2 D3 D4 D5 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 Demanda 160 70 120 80 20 350 Obtenemos las ecuaciones para cada uno de las asignaciones (o donde haya envíos) hechas: O1+D1=8 02+D1=4 02+D2=5 O2+D3=8 03+D3=5 O3+D4=9 O3+D5=0 CALCULAMOS: Calcular variables "u" y "v" Artificial
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  14 Lic. AraujoCajamarca, Raul Tenemos 7 ecuaciones y 8 variables, por lo tanto no es posible resolver este sistema, entonces haremos convenientemente cero a una de las variables y obtendremos los valores de los otros. HACEMOS 02=0 y obtenemos la siguiente tabla: D1 4 D2 5 D3 8 D4 12 D5 3 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 4 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 0 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 -3 Demanda 160 70 120 80 20 350 CALCULAMOS: los coeficientes de costes reducidos ( ) ij i j c  U V de todos aquellos que “no tengan envíos”, obteniéndose la siguiente tabla: D1 4 D2 5 D3 8 D4 12 D5 3 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 4 0 -3 -11 -7 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 0 -5 -3 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 -3 2 4 Demanda 160 70 120 80 20 350 CALCULAMOS: ciclo de desplazamiento, buscamos el más negativo de los coeficientes de costes reducidos, en este caso es 11, lo marcamos con más (+) y balanceamos o bien las filas o columnas según sea conveniente pero sólo donde haya asignaciones (obtenemos un polígono cerrado), obteniéndose la siguiente tabla: O2+D1=4 C. de costes reducidos 5-(4+12)=-11
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  15 Lic. AraujoCajamarca, Raul NOTA: si no hubiese negativos, entonces se habrá llegado a la solución final. D1 4 D2 5 D3 8 D4 12 D5 3 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 4 - 0 -3 + -11 -7 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 0 + - -5 -3 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 -3 2 4 + - Demanda 160 70 120 80 20 350 Todas las filas y columnas deben quedar balaceadas, primero en signos. BUSCAMOS: Las asignaciones que tienen signo negativo (-) y elegimos el menor en valor absoluto, entonces elegimos 70, luego aumentamos en 70 las celdas con más (+) y disminuimos en 70 las celdas con menos (-). D1 4 D2 5 D3 8 D4 12 D5 3 Oferta O1 100 8 9 9 5 0 100 4 - 0 -3 + -11 -7 O2 60 4 70 5 70 8 7 0 200 0 + - -5 -3 O3 3 6 50 5 80 9 20 0 150 -3 2 4 + - Demanda 160 70 120 80 20 350 El más negativo El menor en valor absoluto
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  16 Lic. AraujoCajamarca, Raul Obteniéndose la siguiente tabla: D1 4 D2 5 D3 8 D4 12 D5 3 Oferta O1 30 8 9 9 70 5 0 100 4 - 0 -3 + -11 -7 O2 130 4 70 5 0 8 7 0 200 0 + - -5 -3 O3 3 6 120 5 10 9 20 0 150 -3 2 4 + - Demanda 160 70 120 80 20 350 Hasta el momento el valor óptimo de Z  2,150 Teniéndose la nueva tabla listo para aplicar nuevamente la siguiente iteración……. D1 D2 D3 D4 D5 Oferta O1 30 8 9 9 70 5 0 100 O2 130 4 70 5 8 7 0 200 O3 3 6 120 5 10 9 20 0 150 Demanda 160 70 120 80 20 350 Que después de 4 iteraciones la solución óptima será: z 1,960
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  17 Lic. AraujoCajamarca, Raul 7. Solución del problema utilizando el software WINQSB Ingresamos al metodo del problema Ingresamos los datos: costos, demandas y ofertas Datos ingresados: costos, demandas y ofertas
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  18 Lic. AraujoCajamarca, Raul Configuramos el método para la solución básica inicial Método de VOGEL, pero utilizamos N-O Obtenemos la solución básica inicial método N-O
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  19 Lic. AraujoCajamarca, Raul Solución óptima 8. Consideraciones Degeneración: Existe degeneración cuando: NUMERO DE SOLUCIONES <NUMERO DE FILAS +COLUMNAS-1 Soluciones=5 Filas+Columnas-1=3+4-1=6 Soluciones: asignaciones determinadas por algún método de solución básica inicia y/o óptima. No vamos a poder relacionar las ecuaciones, entonces hacemos arbitrariamente una asignación, según nos convenga, pero el valor de dicha asignación debe ser cero. Esto nos indica que puede haber varias formas de asignación pero un mismo valor óptimo. En la tabla siguiente podemos observar justamente este caso: AGREGAMOS: O3+V1=0, Luego continuamos con los pasos de la solución óptima método U-V 03=0
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  20 Lic. AraujoCajamarca, Raul Hay degeneración: puesto que el número de soluciones (asignaciones) es menor que la suma de filas más columnas menos uno. Entonces hacemos arbitrariamente una asignación, según nos convenga, pero el valor de dicha asignación debe ser cero. Esto nos indica que puede haber varias formas de asignación pero un mismo valor óptimo. Y luego continuamos con el proceso que ya conocemos.
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  21 Lic. AraujoCajamarca, Raul Como no hay costos reducidos negativos, hemos encontrado la asignación óptima 13 x  30 24 x  50 31 x  30 32 x  20 33 x 10 34 x  40 z  290 Unidades monetarias