Estabilidad error teoria de control ralch

“Estabilidad y error”
“Escuela de Ing. Eléctrica y Electrónica”
ALCALA CH, Rafael A. C.I 13.814.213
Ing. Eléctrico
Sección “c”
Agosto, 2014
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION - MATURIN

Teoría del control
La teoría del control se aplica a sistemas eléctricos, mecánicos,
neumáticos, hidráulicos, etc. Esta teoría tiene como objeto de
estudio los sistemas físicos en sus características más generales,
prescindiendo de las particularidades.
En el área industrial se encuentra una gran variedad de componentes
y mecanismos de diversa naturaleza; mecánicos, eléctricos,
térmicos, etc. Para comprender el funcionamiento de los sistemas
que hacen uso de estos dispositivos, sean procesos controlados de
producción o máquinas automáticas, es preciso poseer un
conocimiento de las leyes que rigen su funcionamiento, como la
estabilidad y errores que son partes inherentes a cualquier proceso.
La Estabilidad
La estabilidad, en Regulación Automática, a menudo se define de la
siguiente manera: un sistema es estable si, ante cualquier entrada
acotada en un intervalo cualquiera de tiempo, la salida también está
acotada. La estabilidad, así definida, se conoce como estabilidad
BIBO (del inglés Bounded-Input-Bounded-Output)
Estabilidad BIBO (Bounded-Input-Bounded-Output)
En el procesamiento de señales , específicamente la teoría de
control , la estabilidad BIBO es una forma de estabilidad
para lineales señales y sistemas que tienen entradas.
BIBO significa Bounded-entrada acotada-salida. Si un sistema es
BIBO estable, entonces la salida será limitada para cada entrada al
sistema que está limitada.
Una señal es limitada si hay un valor finito tal que la
magnitud de la señal no supera nunca , es decir

Para señales de tiempo discreto, o Para señales
de tiempo continuo.
Si un sistema es estable según la anterior definición, entonces el
sistema no puede "explotar", es decir, ante una entrada finita la
salida del sistema no puede tender a infinito en un intervalo todo lo
amplio que se quiera. Matemáticamente, esto significa que para que
un sistema lineal causal continuo en el tiempo sea estable, todos
los polos de su función de transferencia deben
estar situados en la mitad izquierda del plano complejo si se
usa la transformada de La place, es decir, su parte real
debe ser menor o igual que cero
O bien
estar en la frontera o el interior del círculo de radio unidad
si se usa la transformada Z, es decir, su módulo debe ser
igual o menor que la unidad
Las diferencias entre ambos casos no suponen ninguna
contradicción. La transformada de La place es en coordenadas
cartesianas, mientras que la transformada Z es en coordenadas
polares, y se puede demostrar que:
 la parte real negativa en el dominio de La place corresponde al
interior del círculo unidad en el dominio Z
 la parte real positiva en el dominio de La place corresponde al
exterior del círculo unidad en el dominio Z.
Si el sistema en cuestión tiene una respuesta impulsional de
considerando la transformada Z (véase este
ejemplo) se obtiene con mucho cuidado de la siguiente manera:

Que presenta un polo en (parte imaginaria cero). Este
sistema es BIBO, es decir, asintóticamente estable, ya que el polo
está dentro del círculo unidad.
Sin embargo, si la respuesta impulsional fuera
entonces la correspondiente transformada Z valdría
que tiene un polo en y no es estable
BIBO, puesto que dicho polo tiene módulo estrictamente mayor que
uno.
La condición de estabilidad es fundamental; todo sistema de control
deberá ser estable para prestar alguna utilidad. La condición de
estabilidad significa que, estando el sistema en un punto de equilibrio
y sometido a la acción de una perturbación, o a una variación del
valor de referencia, presentará una respuesta que tenderá a un
nuevo estado de equilibrio. En cambio, un sistema inestable iniciará
una oscilación de amplitud creciente alrededor del valor de equilibrio,
o se saturará en alguno de sus valores extremos.
El teorema de Routh–Hürwitz
Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar
en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están
localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia
de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es
estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que
todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es
estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el
sistema es inestable.

El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del
sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función
de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación
haciendo:
El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado
del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis
estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto
1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su
objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje
imaginario. Dichos puntos marcan el límite de estabilidad del
sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los
polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho
complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es
evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los
resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual
nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de
estable a inestable (ganancia K límite)
Error en Estado Estacionario
Se define como la diferencia entre la salida del sistema y su
entrada, para condiciones de estado estable.
E = c(t) – r(t)
En un sistema realimentado, el análisis del error es el
siguiente:

e(t) = r(t) – H c(t)
(1)
No se debe confundir esta señal de error e(t) con el error de estado
estacionario E, del cual estamos hablando.
Siendo la función de transferencia, por definición:
M = c (t)/r(t)
Resulta, para el sistema realimentado:
c(t) = e(t) G
Pero por (1)
c(t) = [r(t) – H c(t)] G = r(t) G – c(t) HG → c(t) + c(t) GH = r(t) G
c(t) [1 + GH] = r(t) G
M = c(t)/r(t) = G/(1+GH)
Siendo el error de estado estacionario, tal como se ha definido:
E = c(t) – r(t)
Y la salida, en función de M resulta: c(t) = M r(t)
G
H
r(t)
c(t)
e(t)

Entonces: E = M r(t) – r(t)
Luego: E = r(t) [M – 1] (2)
Para que el error sea nulo, debería ser M = 1, o sea la FdT unitaria,
lo que equivale a decir: G / (1+GH) = 1
Lo que ocurrirá únicamente si: G = 1/(1 – H)
También, reemplazando M en la ecuación (2), será:
E = r(t) [G/1+GH – 1]
Si fuera la magnitud de GH mucho mayor que uno (GH>>1), podría
despreciarse el uno frente a GH y quedará:
E = r(t) [G/GH – 1] =
= r(t) [1/H – 1]
Y se observa en consecuencia que los elementos de la rama directa
tienen poca incidencia sobre el error, y los cambios en sus FdT no
serán relevantes para el análisis del error.
En cambio, el error dependerá mayormente de la ganancia de los
elementos del lazo de realimentación H, que es justamente la FdT del
elemento de medición y por lo tanto es lógico que el error dependa
de este último en mayor medida.

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