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Apuntes de Estadística
para Ingenieros
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo
Dpto de Estadística e Investigación Operativa
Universidad de Jaén
Versión 1.2, julio de 2011

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Apuntes de
Estadística para Ingenieros
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Universidad de Jaén
Versión 1.2
Julio de 2011

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén
2 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Índice general
1. Introducción 11
1.1. ¾Qué signica Estadística? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. La Estadística en el ámbito de la Ciencia y la Ingeniería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Ejemplo del alfalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Ejemplo de la bombilla de bajo consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Ejemplo de los niveles de plomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Ejemplo del índice de masa corporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5. Ejemplo de los cojinetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6. Ejemplo del consumo eléctrico en relación con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.7. Ejemplo de los accidentes laborales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.8. Ejemplo de la cobertura de la antena de telefonía móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.9. Ejemplo de la señal aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Deniciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I Estadística descriptiva 17
2. El tratamiento de los datos. Estadística descriptiva 19
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Tipos de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Métodos grácos y numéricos para describir datos cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Métodos grácos para describir datos cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Métodos numéricos para describir datos cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1. Medidas de tendencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1.1. Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1.2. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1.3. Moda o intervalo modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2. Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3. Medidas de variación o dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3

2.5.3.1. Varianza muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3.2. Desviación típica o estandar muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.3.3. Coeciente de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.4. Medidas de forma. Coeciente de asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.5. Parámetros muestrales y parámetros poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6. Métodos para detectar datos cuantitativos atípicos o fuera de rango . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1. Mediante la regla empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.2. Mediante los percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7. Resolución del ejemplo del asfalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II Cálculo de Probabilidades 39
3. Probabilidad 41
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Denición de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1. Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2. Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Interpretación frecuentista de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Interpretación subjetiva de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Espacio muestral con resultados equiprobables. Fórmula de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8. Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9. Más sobre el Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9.1. Ejemplo del juez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9.2. Ejemplo de la máquina de detección de fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Variable aleatoria. Modelos de distribuciones de probabilidad 63
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2. Función masa de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.3. Función masa de probabilidad empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.4. Media y varianza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables discretas . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Apuntes de Estadística para Ingenieros
4.3.2. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3. Distribución geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.4. Distribución binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. Variable aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2. Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.3. Función de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.4. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.5. Función de distribución empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.6. Media y varianza de una v.a. continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.1. Distribución uniforme (continua) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.2. Distribución exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.3. Distribución Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.4. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6. Cuantiles de una distribución. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6.1. La bombilla de bajo consumo marca ANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.2. Las visitas al pediatra de los padres preocupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5. Variables aleatorias con distribución conjunta 99
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2. Distribuciones conjunta, marginal y condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1. Distribución conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2. Distribuciones marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.3. Distribuciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3. Independencia estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4. Medias, varianzas y covarianzas asociadas a un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1. Covarianza y coeciente de correlación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.2. Vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas de un vector . . . . . . . . . . . . 120
5.5. Distribución normal multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III Inferencia estadística 127
6. Distribuciones en el muestreo 129
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2. Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3. Distribuciones en el muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4. Distribuciones en el muestreo relacionadas con la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . 131
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 5

7. Estimación de parámetros de una distribución 135
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2. Estimación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.1. Denición y propiedades deseables de los estimadores puntuales . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.2. Estimación de la media de una v.a. La media muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.3. Estimación de la varianza de una v.a. Varianza muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.4. Estimación de una proporción poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.5. Obtención de estimadores puntuales. Métodos de estimación . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.5.1. Método de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.5.2. Método de máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.6. Tabla resumen de los estimadores de los parámetros de las distribuciones más comunes 144
7.3. Estimación por intervalos de conanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.1. Intervalos de conanza para la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.2. Intervalos de conanza para una proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.3. Intervalos de conanza para la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.4. Otros intervalos de conanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.4. Resolución del ejemplo de los niveles de plomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8. Contrastes de hipótesis paramétricas 153
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2. Errores en un contraste de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.3. p-valor de un contraste de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.3.1. Denición de p-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.3.2. Cálculo del p-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.4. Contraste para la media de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4.1. Con muestras grandes (n ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4.2. Con muestras pequeñas (n 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.5. Contraste para la diferencia de medias de poblaciones independientes . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5.1. Con muestras grandes (n1, n2 ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5.2. Con muestras pequeñas (n1 30 o n2 30) y varianzas iguales . . . . . . . . . . . . . 164
8.5.3. Con muestras pequeñas, varianzas distintas y mismo tamaño muestral . . . . . . . . . 165
8.5.4. Con muestras pequeñas, varianzas distintas y distinto tamaño muestral . . . . . . . . 165
8.6. Contraste para la diferencia de medias de poblaciones apareadas . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6.1. Con muestras grandes (n ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6.2. Con muestras pequeñas (n 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.7. Contraste para la proporción en una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.8. Contraste para la diferencia de proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.9. Contraste para la varianza de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.10. Contraste para el cociente de varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.11. Contraste para las medias de más de dos poblaciones independientes. ANOVA . . . . . . . . . 172
8.12. El problemas de las pruebas múltiples. Método de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.13. Resolución de los ejemplos del IMC de los varones y del diámetro de los cojinetes . . . . . . . 176
8.13.1. Resolución del ejemplo del índice de masa corporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.13.2. Resolución del ejemplo de los cojinetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9. Contrastes de hipótesis no paramétricas 179
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2. Contrastes de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2.1. Test χ2
de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.2.2. Test de Kolmogorov-Smirno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.3. Contraste de independencia χ2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.4. Resolución del ejemplo de los accidentes laborales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.Regresión lineal simple 191
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.2. Estimación de los coecientes del modelo por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.3. Supuestos adicionales para los estimadores de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.4. Inferencias sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.5. El coeciente de correlación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.6. El coeciente de determinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.7. Predicción y estimación a partir del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.8. Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.8.1. Normalidad de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.8.2. Gráca de residuos frente a valores ajustados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.9. Resolución del ejemplo del consumo eléctrico en relación con la temperatura . . . . . . . . . . 207
IV Procesos aleatorios 209
11.Procesos aleatorios 211
11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.1.1. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.1.2. Tipos de procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.2. Descripción de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.2.1. Descripción estadística mediante distribuciones multidimensionales . . . . . . . . . . . 215
11.2.2. Función media y funciones de autocorrelación y autocovarianza . . . . . . . . . . . . . 215

11.3. Tipos más comunes de procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.3.1. Procesos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.3.2. Procesos con incrementos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3.3. Procesos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3.4. Procesos débilmente estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.3.5. Procesos ergódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.4. Ejemplos de procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.1. Ruidos blancos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.2. Procesos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.4.3. Procesos de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Prólogo
El objeto fundamental de la edición de este documento es facilitar a los alumnos de ingeniería de la Escuela
Politécnica Superior de Linares el desarrollo de los contenidos teóricos de la asignatura Estadística. Desde un
punto de vista menos local, espero que sea útil, en alguna medida, a todo aquel que necesite conocimientos
básicos de las técnicas estadísticas más usuales en el ambiente cientíco-tecnológico.
A todos ellos, alumnos y lectores en general, quiero facilitarles el privilegio de aprender de quienes yo he
aprendido, sugiriéndoles cuatro manuales que para mí han sido referencias fundamentales. Se trata, en primer
lugar, del magníco libro de Sheldon M. Ross, Introducción a la Estadística. En él puede encontrarse la
mayor parte de lo que vamos a estudiar aquí, explicado de forma sencilla y clara, pero también comentarios
históricos, reseñas bibliográcas sobre matemáticos y estadísticos relevantes y ejemplos muy apropiados.
En segundo lugar, recomiendo los trabajos de William Navidi, Estadística para ingenieros y cientícos, y
Jay Devore, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, sobre todo por la actualidad de muchos
de sus ejemplos y por cómo enfatizan el carácter aplicado, práctico, de la Estadística en el ámbito de la
Ciencia y la Tecnología. Finalmente, debo mencionar también el libro de Mendenhal Sincich, Probabilidad
y Estadística para Ingeniería y Ciencias, que incluye, como los dos anteriores, unos ejemplos y ejercicios
propuestos magnícos.
En el actual contexto del Espacio Europeo de Educación Superior, la asignatura Estadística tiene, en la mayor
parte de los grados en ingeniería, un carácter básico y una dotación de 6 créditos ECTS. Así ocurre, por
ejemplo, en las ramas de industriales o telecomunicaciones que se imparten en la Universidad de Jaén. Otras
ramas, como la de ingeniería civil/minera, han optado por incluirla como asignatura obligatoria, compartida
con una asignatura de ampliación de matemáticas en la que se proponen 3 créditos ECTS de estadística. Con
todo, creo que estos apuntes pueden adaptarse a esos distintos contextos, aclarando qué temas pueden ser
más adecuados para cada titulación. En concreto:
1. Para las distintas especialidades de la rama de industriales serían oportunos los capítulos 1, 2, 3, 4, 6,
7, 8, 9 y 10. El capítulo 9, sobre contrastes no paramétricos puede darse a modo de seminario, si el
desarrollo de la docencia así lo sugiere. Sin embargo, el capítulo 10, sobre regresión lineal simple, me
parece imprescindible en la formación de un futuro ingeniero industrial.
2. En los grados de la rama de telecomunicaciones, creo que son necesarios los capítulos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 11. Resulta así el temario quizá más exigente, debido a la necesidad de introducir un capítulo
sobre vectores aleatorios previo a otro sobre procesos estocásticos. Queda a iniciativa del docente la
posibilidad de recortar algunos aspectos en los temas tratados en aras a hacer más ligera la carga
docente.
3. Finalmente, en los grados de la rama civil y minera, donde la dotación de créditos es menor, creo que
9

son adecuados los capítulos 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 y 10, si bien eliminando algunos de sus apartados, cuestión
ésta que dejo, de nuevo, a juicio del docente. También sugiero que se trabajen los problemas sobre estos
capítulos directamente en el contexto de unas prácticas con ordenador.
Sólo me queda pedir disculpas de antemano por las erratas que, probablemente, contienen estas páginas. Os
ruego que me las hagáis llegar para corregirlas en posteriores ediciones.
Linares, junio de 2011.

Capítulo 1
Introducción
Llegará un día en el que el razonamiento estadístico será tan necesario para el ciudadano como
ahora lo es la habilidad de leer y escribir
H.G. Wells (1866-1946)
Resumen. El capítulo incluye una introducción del término Estadística y presenta los conceptos más básicos
relativos a poblaciones y muestras.
Palabras clave: estadística, población, población tangible, población conceptual, variable, muestra, muestra
aleatoria simple.
1.1. ¾Qué signica Estadística?
Si buscamos en el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua (DRAE) el vocablo Estadística
aparecen tres acepciones de dicha palabra
1:
1. Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráco o
de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas.
2. Conjunto de estos datos.
3. Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias
basadas en el cálculo de probabilidades.
Probablemente el más común de los signicados conocidos de la palabra sea el segundo, y por ello solemos
ver en los medios de comunicación que cualquier recopilación de cifras referentes a algún asunto es llamado
(de forma muy reduccionista) estadística o estadísticas.
Sin embargo, el valor real de la Estadística como ciencia tiene que ver mucho más con la primera y la tercera
acepción del DRAE. Concretamente, el primero de los signicados se corresponde con lo que vamos a estudiar
como Estadística Descriptiva, donde la Estadística se utiliza para resumir, describir y explorar datos, y el
tercero con lo que denominaremos Inferencia Estadística, donde lo que se pretende mediante la Estadística
1http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?LEMA=estad%C3%ADstica
11

es utilizar datos de un conjunto reducido de casos para inferir características de éstos al conjunto de todos
ellos.
1.2. La Estadística en el ámbito de la Ciencia y la Ingeniería
El papel de la Estadística en la Ciencia y la Ingeniería hoy en día es crucial, fundamentalmente porque
al analizar datos recopilados en experimentos de cualquier tipo, se observa en la mayoría de las ocasiones
que dichos datos están sujetos a algún tipo de incertidumbre. El investigador o el profesional debe tomar
decisiones respecto de su objeto de análisis basándose en esos datos, para lo cual debe dotarse de herramientas
adecuadas.
A continuación vamos a describir una serie de problemas prácticos en los que se plantean situaciones de este
tipo. Vamos a ponerle un nombre especíco porque iremos mencionándolos a lo largo del curso, conforme
seamos capaces de responder a las cuestiones que cada uno de ellos dejan abiertas.
1.2.1. Ejemplo del alfalto
Este ejemplo aparece en un artículo titulado Evaluation of Low-Temperature Properties of HMA Mixtures,
publicado en Journal of Transportation Engineering en 2002. En él se menciona que se obtuvo una muestra
de 24 mezclas de asfalto mezclado caliente (HMA) y se midieron los distintos valores de la tensión de fractura
(en megapascales) de cada una de las mezclas, obteniendo los siguientes resultados:
30, 75, 79, 80, 80, 105, 126, 138, 149, 179, 179, 191
223, 232, 232, 236, 240, 242, 245, 247, 254, 274, 384, 470
¾Cómo podrá un ingeniero describir en términos generales la tensión de fractura del asfalto? Esos datos le
enfrentan al hecho de que las muestras son bastante distintas entre sí, de manera que facilitar una descripción
general de las características del asfalto puede ser complejo y arriesgado.
1.2.2. Ejemplo de la bombilla de bajo consumo
En el envoltorio de la bombilla marca ANTE de 14W se arma literalmente Lámpara ahorradora de energía.
Duración 8 años.
Debo reconocer de que tengo mis dudas. Para empezar, ¾es que a los 8 años, de repente, la lámpara se
rompe? Por otra parte, creo que todos nosotros hemos experimentado el hecho de que éstas lámparas que
supuestamente tienen una duración mayor que las tradicionales lámparas incandescentes (según el envoltorio,
8 veces mayor), sin embargo, se rompen con facilidad. Luego, ¾qué quiere decir exactamente el envoltorio al
armar que su duración es de 8 años?
En realidad, nosotros deberemos aprender a analizar este problema, asumiendo que la duración de esta
bombilla no es un valor jo y conocido, sino que está sujeto a incertidumbre. Lo que haremos será dotarnos
de un modelo matemático que nos permita valorar si es probable o no que una lámpara ANTE se rompa
antes de un año, después de tres años, etc.

1.2.3. Ejemplo de los niveles de plomo
Un artículo publicado en Journal of Environmental Engineering en 2002, titulado Leachate from Land Dis-
posed Residential Construction Waste, presenta un estudio de la contaminación en basureros que contienen
desechos de construcción y desperdicios de demoliciones. De un sitio de prueba se tomaron 42 muestras de
lixiado, de las cuales 26 contienen niveles detectables de plomo. Se pone así de maniesto que sólo una parte
de los basureros está contaminada por plomo. La cuestión es ¾qué proporción supone esta parte contaminada
de la supercie total de los basureros?
Si una ingeniera desea obtener a partir de esos datos una estimación de la proporción de los basureros que
contiene niveles detectables de plomo debe ser consciente de dos cuestiones:
1. Es imposible analizar todos los rincones de todos los basureros.
2. Si se basa sólo en los datos del artículo, esa estimación será sólo eso, una estimación basada en esa
muestra, que es de sólo 42 datos. Debería, por tanto obtener también una estimación del error que está
cometiendo al hacer la estimación. Con ambos resultados, la estimación en sí y una cuanticación del
error que podría cometer con ella, incluso podrá obtener un rango donde la verdadera proporción se
encuentra, con un alto nivel de conanza.
1.2.4. Ejemplo del índice de masa corporal
En una encuesta realizada por alumnos de la asignatura en el curso 2008/2009 en la escuela, se contabilizó el
índice de masa corporal de los varones que contestaron a la encuesta. Algunos valores de la muestra fueron
los siguientes: 23.94, 20.90, 25.24, 24.56, 24.69, 22.83... De una primera observación de los datos, los alumnos
encargados de la explotación de la encuesta sacaron la impresión de que estos índices parecían indicar que la
media del IMC de los varones estaba por encima de la medida ideal indicada, 22.5. La cuestión es, ¾tienen
realmente, con esos datos, evidencias sucientes de ello? ¾Cómo de fuertes son esas evidencias? No olvidemos
que se trata de una muestra.
1.2.5. Ejemplo de los cojinetes
Un ingeniero industrial es responsable de la producción de cojinetes de bolas y tiene dos máquinas distintas
para ello. Le interesa que los cojinetes producidos tengan diámetros similares, independientemente de la
máquina que los produce, pero tiene sospechas de que está produciendo algún problema de falta de calibración
entre ellas. Para analizar esta cuestión, extrae una muestra de 120 cojinetes que se fabricaron en la máquina
A, y encuentra que la media del diámetro es de 5.068 mm y que su desviación estándar es de 0.011 mm. Realiza
el mismo experimento con la máquina B sobre 65 cojinetes y encuentra que la media y la desviación estándar
son, respectivamente, 5.072 mm y 0.007 mm. ¾Puede el ingeniero concluir que los cojinetes producidos por
las máquinas tienen diámetros medios signicativamente diferentes?
1.2.6. Ejemplo del consumo eléctrico en relación con la temperatura
Un ingeniero que trabaja en una distribuidora eléctrica quiere utilizar el hecho evidente de que en invierno las
bajas temperaturas hacen aumentar el consumo eléctrico para tratar de predecir el consumo en su localidad

a partir de las temperaturas mínimas que se pronostican para el día siguiente. Para ello contabiliza en una
muestra la temperatura pronosticada y el consumo real, con los siguientes resultados:
Tª mínima pronosticada -1 0 2 5 -2 2 1 0 3 4
Consumo (megawatios) 12 12 11 9 14 10 11 12 10 9
¾Qué consumo podría preveer para un día si la temperatura mínima pronosticada para ese día es de -1.5
grados?
1.2.7. Ejemplo de los accidentes laborales
En una empresa se sospecha que hay franjas horarias donde los accidentes laborales son más frecuentes.
Para estudiar este fenómeno, contabilizan los accidentes laborales que sufren los trabajadores según franjas
horarias, durante un año. Los resultados aparecen en la tabla.
Horas del día Número de accidentes
8-10 h. 47
10-12 h. 52
13-15 h. 57
15-17 h. 63
Con esa información, los responsables de seguridad de la empresa deben decidir si hay franjas horarias donde
los accidentes son más probables o si, por el contrario, éstos ocurren absolutamente al azar.
1.2.8. Ejemplo de la cobertura de la antena de telefonía móvil
Reduciendo mucho el problema, supongamos que una antena de telefonía móvil tiene una cobertura que
abarca a cualquier móvil dentro de un círculo de radio r. Un ingeniero puede suponer que un teléfono
concreto puede estar situado en cualquier punto al azar de ese círculo, pero ¾cómo plasmar eso? Por ejemplo,
si nos centramos en la distancia a la antena, ¾cualquier distancia es igualmente probable? ¾Y qué podemos
decir de las coordenadas en un momento concreto del móvil?
1.2.9. Ejemplo de la señal aleatoria
En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe considerarse aleatoria, es decir, debe tenerse en
cuenta que cuando la observamos, parte de ella es debida a la incertidumbre inherente a cualquier proceso de
comunicación. Y es que, por multitud de razones, nadie tiene garantías que la señal enviada sea exactamente
igual a la señal recibida.
Un ingeniero debe tener en cuenta eso y, a pesar de todo, ser capaz de analizar las propiedades más relevantes
de cualquier señal y de estudiar su comportamiento en cualquier momento del proceso de comunicación.
Por ejemplo, hoy en día una señal sufre multitud de transformaciones en el proceso de comunicación. Cada
una de esas transformaciones se considera el resultado del paso de la señal por un sistema. El ingeniero debe
ser capaz de conocer las características más relevantes de la señal a lo largo de todas esas transformaciones.

1.3. Deniciones básicas
Para nalizar este primer tema de introducción, vamos a ir jando las deniciones más elementales que
utilizaremos a lo largo del curso y que ya han sido motivadas en la introducción de los ejemplos anteriores.
Se denomina población a un conjunto de individuos o casos, objetivo de nuestro interés.
Podemos distinguir entre poblaciones tangibles y poblaciones conceptuales.
Una población es tangible si consta de elementos físicos reales que forman un conjunto nito.
Por ejemplo, si estamos considerando el estudio de la altura de los alumnos de la Escuela, el conjunto de
estos alumnos es una población tangible.
Una población conceptual no tiene elementos reales, sino que sus casos se obtienen por la repetición de un
experimento.
Por ejemplo, cuando planteábamos las pruebas de resistencia a las que un ingeniero somete a distintas
muestras de asfalto, vemos que hay tantos casos como pruebas puedan hacerse, lo que supone un conjunto
innito de casos. En poblaciones conceptuales es imposible, por tanto, conocer todos los casos, y tenemos
que conformarnos con muestras de los mismos.
Una variable o dato es una característica concreta de una población.
Por ejemplo:
Si consideramos la población de todos los alumnos de la Escuela, podemos jarnos en la variable altura.
Si consideramos el supuesto de las pruebas de asfalto, podemos considerar la variable presión a la que
se rompe la muestra.
Se denomina muestra a cualquier subconjunto de datos seleccionados de una población.
El objetivo de una muestra, ya sea en una población tangible o en una población conceptual es que los
elementos de la muestra representen al conjunto de todos los elementos de la población. Esta cuestión, la
construcción de muestras adecuadas, representativas, es uno de los aspectos más delicados de la Estadística.
Nosotros vamos a considerar en esta asignatura sólo un tipo de muestras, denominadas muestras aleatorias
simples. En una muestra aleatoria simple, todos los elementos de la población deben tener las mismas
posibilidades de salir en la muestra y, además, los elementos de la muestra deben ser independientes: el que
salga un resultado en la muestra no debe afectar a que ningún otro resultado salga en la muestra.
Por ejemplo, podríamos estar interesados en la población de todos los españoles con derecho a voto (población
tangible, pero enorme), de los que querríamos conocer un dato o variable, su intención de voto en las próximas
elecciones generales. Dado que estamos hablando de millones de personas, probablemente deberemos escoger
una muestra, es decir, un subconjunto de españoles a los que se les realizaría una encuesta. Si queremos que
esa muestra sea aleatoria simple, deberemos tener cuidado de que todos los españoles con derecho a voto

tengan las mismas posibilidades de caer en la muestra y de que la respuesta de un entrevistado no afecte a la
de ningún otro. Como nota curiosa, sabed que la mayoría de las encuestas nacionales se hacen vía telefónica,
lo cual es una pequeña violación de las hipótesis de muestra aleatoria simple, ya que hay españoles con
derecho a voto que no tienen teléfono, luego es imposible que salgan en la muestra.

Parte I
Estadística descriptiva
17

Capítulo 2
El tratamiento de los datos. Estadística
descriptiva
Es un error capital el teorizar antes de poseer datos. Insensiblemente uno comienza a alterar
los hechos para encajarlos en las teorías, en lugar encajar las teorías en los hechos
Sherlock Holmes (A. C. Doyle), en Un escándalo en Bohemia
Resumen. En este capítulo aprenderemos métodos para resumir y describir conjuntos de datos a través de
distintos tipos de tablas, grácos y medidas estadísticas.
Palabras clave: datos cuantitativos, datos cualitativos, datos discretos, datos continuos, distribución de
frecuencias, diagrama de barras, diagrama de sectores, histograma, media, mediana, moda, cuantiles, varianza,
desviación típica, asimetría, datos atípicos.
2.1. Introducción
Obtenidos a través de encuestas, experimentos o cualquier otro conjunto de medidas, los datos estadísticos
suelen ser tan numerosos que resultan prácticamente inútiles si no son resumidos de forma adecuada. Para
ello la Estadística utiliza tanto técnicas grácas como numéricas, algunas de las cuales describimos en este
capítulo.
Podemos decir que existe una clasicación, un tanto articial, de los datos, según se reeran a una población
tangible, en cuyo caso se conocerán todos los casos, o a una población conceptual, en cuyo caso sólo se
conocerá una muestra (aleatoria simple). Sin embargo, esta clasicación no tiene ningún efecto en lo relativo
a lo que vamos a estudiar en este capítulo.
2.2. Tipos de datos
Los datos (o variables) pueden ser de dos tipos: cuantitativos y cualitativos.
19

Los datos cuantitativos son los que representan una cantidad reejada en una escala numérica. A su vez,
pueden clasicarse como datos cuantitativos discretos si se reeren al conteo de alguna característica, o
datos cuantitativos continuos si se reeren a una medida.
Los datos cualitativos o categóricos se reeren a características de la población que no pueden asociarse
a cantidades con signicado numérico, sino a características que sólo pueden clasicarse.
Ejemplo. Veamos algunos ejemplos de cada uno de estos tipos de variables:
En el ejemplo del asfalto, la variable tensión de fractura es cuantitativa continua.
En el ejemplo de los cojinetes, el diámetro de los cojinetes es una variable cuantitativa continua.
En el ejemplo de los niveles de plomo, se está analizando si una muestra contiene niveles detecta-
bles o no. Se trata, por tanto, de una variable cualitativa con dos categorías: sí contiene niveles
detectables o no contiene niveles detectables.
En el ejemplo de los accidentes laborales, la variable número de accidentes laborales es cuantitativa
discreta, mientras que las franjas horarias constituyen una variable cualitativa.
2.3. Métodos grácos y numéricos para describir datos cualitativos
La forma más sencilla de describir de forma numérica una variable cualitativa es determinar su distribución
de frecuencias. Por su parte, esta distribución de frecuencias determina a su vez las representaciones grácas
más usuales.
Supongamos que tenemos una variable cualitativa, que toma una serie de posibles valores (categorías). El
número de veces que se da cada valor es la distribución de frecuencias de la variable. Si en vez de dar el
número de veces nos jamos en la proporción de veces, tenemos la distribución de frecuencias relativas.
Las representaciones grácas más usuales son los diagramas de barras y los diagramas de sectores.
Los diagramas de barras son una representación de cada una de las categorías de la variable mediante una
barra colocada sobre el eje X y cuya altura sea la frecuencia o la frecuencia relativa de dichas categorías.
Los diagramas de sectores son círculos divididos en tantos sectores como categorías, sectores cuyo ángulo
debe ser proporcional a la frecuencia de cada categoría.

Categoría Frecuencia Frecuencia relativa
País Número de reactores nucleares Proporción
Bélgica 4 0.041
Francia 22 0.225
Finlandia 2 0.020
Alemania 7 0.071
Holanda 1 0.010
Japón 11 0.112
Suecia 3 0.031
Suiza 1 0.010
Estados Unidos 47 0.480
TOTAL 98 1.000
Cuadro 2.1: Tabla de frecuencias.
Ejemplo. Tomamos como población los 98 reactores nucleares más grandes en todo el mundo. Nos
jamos en la variable o dato referente al país donde están localizados.
Los datos serían
Bélgica, Bélgica, Bélgica, Bélgica, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia,
Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Finlandia, Finlandia, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania,
Alemania, Alemania, Alemania, Holanda, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Suecia, Suecia, Suecia,
Suiza, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados
Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados
Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos.
Las distribuciones de frecuencias y de frecuencias relativas podemos resumirlas en una tabla de fre-
cuencias como la que aparece en el Cuadro 2.1.
Por su parte, las representaciones mediante diagramas de barras y sectores de estos datos aparecen en la
Figura 2.1 y la Figura 2.2 respectivamente.
2.4. Métodos grácos para describir datos cuantitativos
Si tenemos una variable cuantitativa discreta y ésta toma pocos valores, podemos tratarla como si fuera una
variable cualitativa, calcular su distribución de frecuencias y dibujar un diagrama de barras.
Ejemplo. En una empresa con cadena de montaje donde se empaquetan piezas en cajas se realiza
un estudio sobre la calidad de producción. Los datos siguientes informan sobre el número de piezas
defectuosas encontradas en una muestra de cajas examinadas:
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9

Alemania Bélgica EEUU Finlandia Francia Holanda Japón Suecia Suiza
Reactores nucleares. País de origen
0
10
20
30
40
Figura 2.1: Diagrama de barras.
Alemania
Bélgica
EEUU
Finlandia
Francia
Holanda
Japón
Suecia
Suiza
Reactores nucleares. País de origen
Figura 2.2: Diagrama de sectores.
El diagrama de barras asociado aparecen en la Figura 2.3.
Sin embargo, la mayoría de variables cuantitativas son de tipo continuo, de manera que toman demasiados
valores como para que la representación de su distribución de frecuencias sea útil
1. Por ello el método gráco
más común y tradicional para datos cuantitativos es el histograma.
El histograma es una variante del diagrama de barras donde se agrupan los valores de la variable en intervalos
para que estos intervalos tengan frecuencias mayores que uno.
Para obtener un histograma de forma manual deben seguirse los siguientes pasos:
1. Calculamos el número, N, de intervalos que vamos a utilizar. Se recomienda que sea aproximadamente
igual a la raíz cuadrada del número de datos. Sin embargo, los programas estadísticos suelen utilizar
otro método, llamado Método de Sturges, en el que N = dlog2 n + 1e, donde n es el número de datos y
[] es la función parte entera.
1Si toma muchos valores, muy probablemente la mayor parte de ellos sólo aparezca una vez, por lo que la distribución de
frecuencias será casi siempre constante e igual a 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de piezas defectuosas
0
2
4
6
8
10
Figura 2.3: Diagrama de barras.
2. Calculamos el rango, R, del histograma, que será ligeramente más amplio que el rango de los datos.
El histograma debe comenzar en un número (xm) ligeramente por debajo del mínimo de los datos y
terminar en un número (xM ) ligeramente por encima del máximo. El rango del histograma será, por
tanto, R = xM − xm.
3. Calculamos la longitud, L, de los intervalos, como el cociente entre el rango del histograma y el número
de intervalos, es decir, L = R
N .
4. Se construyen los N intervalos:
I1 = [xm, xm + L)
I2 = [xm + L, xm + 2L)
I3 = [xm + 2L, xm + 3L)
...
IN = [xm + N × L, xM ).
5. Para cada intervalo, contamos el número de datos que hay en él, es decir, la frecuencia del intervalo.
6. El histograma es un diagrama de barras donde en el eje X se colocan los intervalos y sobre ellos se
construyen barras cuya altura sea la frecuencia o la frecuencia relativa del intervalo. En este caso, las
barras deben dibujarse sin espacio entre ellas. En ocasiones, en vez de tomar la frecuencia relativa como
altura de las barras, se toma dicha frecuencia relativa como área de las barras: en ese caso, se habla de
un histograma en escala de densidad.
Nota. Por cuestiones que detallaremos más adelante es importante destacar que el porcentaje de datos
que cae dentro de un intervalo es proporcional al área de la barra que se construye sobre ese intervalo.
Por ejemplo, si el área de una barra es el 30 % del área total del intervalo, entonces el 30 % de los datos
están en dicho intervalo.

Tiempo de procesado
Frecuencias
0 1 2 3 4
0
2
4
6
8
Figura 2.4: Histograma.
Por otra parte, ¾qué pasaría si tomamos un número muy grande de datos? El número de intervalos
del histograma sería también muy grande, y las barras serían muy estrechas, de manera que en vez de
parecer un diagrama de barras, parecería la gráca de una función real de variable real. Hablaremos de
esta función y del área debajo de ella en breve. Por cierto, ¾cómo se calcula el área bajo esta función?
Ejemplo. Los datos siguientes corresponden al tiempo necesario para procesar 25 trabajos en una CPU.
1.17 1.61 1.16 1.38 3.53 1.23 3.76 1.94 0.96 4.75
0.15 2.41 0.71 0.02 1.59 0.19 0.82 0.47 2.16 2.01
0.92 0.75 2.59 3.07 1.4
Vamos a calcular un histograma para esos datos.
1. Dado que
√
25 = 5, utilizaremos 5 intervalos.
2. El mínimo de los datos es 0.02 y el máximo 4.75, de manera que podemos considerar como rango
del histograma el intervalo [0, 4.8], cuya longitud (rango del histograma) es 4.8.
3. La longitud de los intervalos es, en ese caso,
4.8
5 = 0.96.
4. Construimos los intervalos:
I1 = [0, 0.96)
I2 = [0.96, 1.92)
I3 = [1.92, 2.88)
I4 = [2.88, 3.84)
I5 = [3.84, 4.8)

5. Calculamos la distribución de frecuencia asociada a esos intervalos:
Tiempo de procesado Frecuencia
[0, 0.96) 8
[0.96, 1.92) 8
[1.92, 2.88) 5
[2.88, 3.84) 3
[3.84, 4.8) 1
6. Finalmente, representamos el diagrama de barras (Figura 2.4).
2.5. Métodos numéricos para describir datos cuantitativos
Es cierto que un diagrama de barras o un histograma nos ayudan a tener una imagen de cómo son los datos,
pero normalmente es necesario complementar esa imagen mediante medidas que, de forma objetiva, describan
las características generales del conjunto de datos.
Vamos a ver en este apartado tres tipos de medidas, que básicamente responden a tres preguntas: por dónde
están los datos (medidas de posición), cómo de agrupados están los datos (medidas de dispersión) y qué
forma tienen los datos (medidas de forma).
2.5.1. Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central son medidas de posición que tratan de establecer un valor que pueda
considerarse el centro de los datos en algún sentido.
2.5.1.1. Media
Sea un conjunto de datos de una variable cuantitativa, x1, ..., xn. La media de los datos es
x̄ =
Pn
i=1 xi
n
.
Esta medida es la más común dentro de las de tendencia central y corresponde al centro de gravedad de los
datos.
Es inmediato comprobar que si se realiza un cambio de origen y escala sobre los datos, del tipo y = ax + b,
la media sufre el mismo cambio, es decir, ȳ = ax̄ + b.
De igual forma, si tenemos datos de la suma de dos o más variables, la media de la suma es la suma de las
medias de cada variable.

2.5.1.2. Mediana
Sea un conjunto de datos de una variable cuantitativa, x1, ..., xn. Ordenemos la muestra de menor a mayor,
x(1), ..., x(n).
La mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez
ordenados estos.
El cálculo de la mediana dependerá de si el número de datos, n, es par o impar:
Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición
n+1
2 una vez que los datos han sido ordenados
(en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n+1
2 ).
Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos
datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones
n
2 y
n
2 +1. Es decir: Me =
x
(n
2 )
+x
(n
2
+1)
2 .
La mediana corresponde exactamente con la idea de valor central de los datos. De hecho, puede ser un valor
más representativo de éstos que la media, ya que es más robusta que la media. Veámos qué signica esto en
un ejemplo.
Ejemplo. Consideremos los datos siguientes:
0 0 1 2 3 4 5
Su media es
0+0+1+2+3+4+5
7 = 2.1429, y su mediana 2.
Pero imaginemos que por error o por casualidad obtenemos un nuevo dato enormemente grande en
relación al resto de datos, 80. En ese caso, la media sería
0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 80
8
= 11.875
y la mediana 2.5. Es decir, un solo dato puede desplazar enormemente la media, hasta convertirla en una
medida poco representativa, pero sólo desplazará ligeramente la mediana. Ese es el motivo por el que se
dice que la mediana es una medida robusta.
2.5.1.3. Moda o intervalo modal
En principio la moda se dene como el valor más frecuente de los datos. Lo que ocurre es que si éstos son
datos de una variable continua o discreta con muchos valores, puede que los datos apenas se repitan. En ese
caso, en el que, como vimos en las representaciones grácas, se debe agrupar por intervalos, no debe darse
un valor como moda, sino un intervalo modal, aquél con mayor frecuencia asociada.

2.5.2. Cuantiles
Los cuantiles son medidas de posición pero no necesariamente ligados al centro de los datos. La idea a la
que responden es muy sencilla y muy práctica. Se trata de valorar de forma relativa cómo es un dato respecto
del conjunto global de todos los datos.
Si, por ejemplo, un niño de 4 años pesa 13 kilos, ¾está desnutrido? ¾está sano? La respuesta debe ser que
depende. ¾Dónde vive el niño? Es importante porque, por ejemplo, en Estados Unidos los niños son en general
más grandes que, por ejemplo, en Japón. Quizá más que el peso nos interese saber qué posición relativa tiene
el peso del niño dentro de la población de la que forma parte. Por ejemplo, si nos dicen que el niño está entre
el 1 % de los niños que menos pesan, probablemente tiene un problema de crecimiento.
El cuantil p (Qp) de unos datos (0 ≤ p ≤ 1), sería un valor de la variable situado de modo que el 100p % de
los valores sean menores o iguales que él y el resto (100(1 − p) %) mayores.
No obstante, en la práctica vamos a encontrar un problema para encontrar cuantiles, sobre todo con pocos
datos: puede que no exista el valor exacto que deje a la izquierda el 100p % de los valores y el resto a la
derecha. En ese caso, aproximaremos el valor del cuantil correspondiente de la siguiente forma:
1. Si el 100p % de n, donde n es el número de datos, es un entero, k, entonces Qp =
x(k)+x(k+1)
2 .
2. Si el 100p % de n no es un entero, lo redondeamos al entero siguiente, k, y entonces Qp = x(k).
Hay que decir que algunos programas informáticos utilizan otros métodos para aproximar el valor de los
cuantiles, de manera que no debe extrañar si se observan pequeñas diferencias al comparar nuestros resultados
con los de estos programas.
Existen diversos nombres para referirse a algunos tipos de cuantiles. Entre ellos:
Los percentiles son los cuantiles que dividen la muestra en 100 partes, es decir, son los cuantiles
0.01 (percentil 1), 0.02 (percentil 2), ..., 0.99 (percentil 99). Si notamos por Pα al percentil α, con
α = 1, 2, 3, ..., 99, se tiene que Pα = Qα/100. En Estadística Descriptiva es más frecuente hablar de
percentiles que de cuantiles porque se reeren a cantidades entre 0 y 100, en tanto por ciento, que son
más habituales de valorar por todo el mundo.
Los cuartiles dividen a la población en cuatro partes iguales, es decir, corresponden a los cuantiles
0.25, 0.5 (mediana) y 0.75.
Ejemplo. Consideremos de nuevo los datos correspondientes al tiempo de procesado de 25 tareas en una
CPU. Ahora los hemos ordenado de menor a mayor (en 5 las):
0.02 0.75 1.17 1.61 2.59
0.15 0.82 1.23 1.94 3.07
0.19 0.92 1.38 2.01 3.53
0.47 0.96 1.40 2.16 3.76
0.71 1.16 1.59 2.41 4.75

Vamos a calcular distintas medidas de posición y a comentarlas.
En primer lugar, la media es 1.63. La mediana ocupa el lugar 13 en la muestra ordenada, y su valor es
1.38. Obsérvese que la media es algo mayor que la mediana: esto es debido a la presencia de algunos
valores signicativamente más altos que el resto, como pudimos ver en el histograma.
Por su parte, el P25 o cuantil 0.25 ocupa la posición 7, ya que el 25 % de 25 es 6.25. Por tanto, P25 = 0.82.
De igual forma, P75 = Q0.75 = 2.16, el valor que ocupa la posición 19. Podemos ver, por tanto, que los
valores más bajos están muy agrupados al principio, y se van dispersando más conforme se hacen más
altos.
2.5.3. Medidas de variación o dispersión
Las medidas de variación o dispersión están relacionadas con las medidas de tendencia central, ya que
lo que pretenden es cuanticar cómo de concentrados o dispersos están los datos respecto a estas medidas.
Nosotros nos vamos a limitar a dar medidas de dispersión asociadas a la media.
La idea de estas medidas es valorar en qué medida los datos están agrupados en torno a la media. Esta cuestión
tan simple es uno de los motivos más absurdos de la mala prensa que tiene la Estadística en la sociedad en
general. La gente no se fía de lo que ellos llaman la Estadística entre otros motivos, porque parece que todo
el mundo cree que una media tiene que ser un valor válido para todos, y eso es materialmente imposible.
Ejemplo. Pensemos en la media del salario de los españoles. En 2005 fue de 18.750 euros al año. Ahora bien,
esa media incluye tanto a las regiones más desarrolladas como a las más desfavorecidas y, evidentemente, la
cifra generará mucho malestar en gran parte de la población (con toda seguridad, más del 50 %), cuyo salario
está por debajo.
Ejemplo. Existe una frase muy conocida que dice que la Estadística es el arte por el cuál si un español se
come un pollo y otro no se come ninguno, se ha comido medio pollo cada uno. Esa frase se usa en muchas
ocasiones para ridiculizar a la Estadística, cuando en realidad debería servir para desacreditar a quien la dice,
por su ignorancia.
Hay que decir que la Estadística no tiene la culpa de que la gente espere de una media más de lo que es capaz
de dar, ni de que muy poca gente conozca medidas de dispersión asociadas a la media.
2.5.3.1. Varianza muestral
Dados unos datos de una variable cuantitativa, x1, ..., xn, la varianza muestral2 de esos datos es
s2
n−1 =
Pn
i=1 (xi − x̄)
2
n − 1
.

Nota. Para calcular a mano la varianza resulta más cómodo desarrollar un poco su fórmula, como vamos
a ver:
s2
n−1 =
Pn
i=1(xi − x̄)2
n − 1
=
Pn
i=1 x2
i − 2x̄
Pn
i=1 xi + nx̄2
n − 1
=
Pn
i=1 x2
i − 2x̄nx̄ + nx̄2
n − 1
=
Pn
i=1 x2
i − nx̄2
n − 1
.
Tanto mayor sea la varianza de unos datos, más dispersos, heterogéneos o variables son esos datos. Cuanto
más pequeña sea una varianza de unos datos, más agrupados u homogéneos son dichos datos.
Ejemplo. Una muestra aleatoria simple de la altura de 5 personas arroja los siguientes resultados:
1.76 1.72 1.80 1.73 1.79
Calculemos su media y su varianza muestral.
Lo único que necesitamos es
P5
i=1 xi = 8.8 y
P5
i=1 x2
i = 15.493. A partir de estos datos,
x̄ =
8.8
5
= 1.76
y
s2
n−1 =
15.493 − 5 × 1.762
4
= 0.00125
En lo que respecta al comportamiento de la varianza muestral frente a cambios de origen y escala, sólo le
afectan los segundos. Es decir, si tenemos que y = ax + b, se verica que s2
y;n−1 = a2
s2
x;n−1.
Finalmente, si bien habíamos comentado que en el caso de la media, si tenemos la suma de varias variables,
la media total es la suma de las medias de cada variable, no ocurre así con la varianza en general.
2.5.3.2. Desviación típica o estandar muestral
El principal problema de la varianza es su unidad de medida. Por cómo se dene si, por ejemplo, la variable
se expresa en kilos, la media también se expresa en kilos, pero la varianza se expresa en kilos
2
, lo que hace
que sea difícil valorar si una varianza es muy elevada o muy pequeña.
Es por ello que se dene la desviación típica o estandar muestral de los datos como sn−1 =
q
s2
n−1,
cuya unidad de medida es la misma que la de la media.

Nota. La Regla Empírica
Si el histograma asociado a unos datos tiene la forma de una campana o de una joroba, el conjunto de
datos tendrá las siguientes características, lo que en algunos libros se conoce como Regla Empírica:
1. Aproximadamente el 68 % de los datos estará en el intervalo (x̄ − sn−1, x̄ + sn−1) .
2. Aproximadamente el 95 % de los datos estará en el intervalo (x̄ − 2sn−1, x̄ + 2sn−1) .
3. Casi todos los datos estarán en el intervalo (x̄ − 3sn−1, x̄ + 3sn−1) .
Figura 2.5: Representación gráca de la regla empírica.
2.5.3.3. Coeciente de variación
Como acabamos de decir, debemos proporcionar cada media junto con alguna medida de dispersión, prefe-
rentemente la desviación típica. Una forma de valorar en términos relativos cómo es de dispersa una variable
es precisamente proporcionar el cociente entre la desviación típica y la media (en valor absoluto), lo que se
conoce como coeciente de variación.
Dado un conjunto de datos de media x̄ y desviación típica sn−1, se dene su coeciente de variación como
CV =
sn−1
|x̄|
.
La principal ventaja del coeciente de variación es que no tiene unidades de medida, lo que hace más fácil
su interpretación.

Ejemplo. Para los datos de tiempo de procesado en una CPU de 25 tareas, la varianza es 1.42, luego su
desviación estandar es 1.19, y el coeciente de variación
1.19
1.63 = 0.73. Por tanto, la desviación estándar es
algo más del 70 % de la media. Esto indica que los datos no están muy concentrados en torno a la media,
probablemente debido a la presencia de los valores altos que hemos comentado antes.
Nota. El coeciente de variación, tal y como está denido, sólo tiene sentido para conjuntos de datos
con el mismo signo, es decir, todos positivos o todos negativos. Si hubiera datos de distinto signo, la
media podría estar próxima a cero o ser cero, imposibilitando que aparezca en el denominador.
Nota. Suele ser frecuente el error de pensar que el coeciente de variación no puede ser mayor que 1, lo
cual es rigurosamente falso. Si lo expresamos en porcentaje, el coeciente de variación puede ser superior
al 100 % sin más que la desviación típica sea mayor que la media, cosa bastante frecuente, por cierto.
2.5.4. Medidas de forma. Coeciente de asimetría
Las medidas de forma comparan la forma que tiene la representación gráca, bien sea el histograma o el
diagrama de barras de la distribución, con una situación ideal en la que los datos se reparten en igual medida
a la derecha y a la izquierda de la media.
Esa situación en la que los datos están repartidos de igual forma a uno y otro lado de la media se conoce
como simetría, y se dice en ese caso que la distribución de los datos es simétrica. En ese caso, además, su
mediana, su moda y su media coinciden.
Por contra, se dice que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias (absolutas o relativas)
descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda. Si las frecuencias descienden más lentamente
por la izquierda que por la derecha diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.
Para valorar la simetría de unos datos se suele utilizar el coeciente de asimetría de Fisher:
As =
Pn
i=1(xi−x̄)3
n−1
s3
n−1
Obsérvese que para evitar el problema de la unidad y hacer que la medida sea escalar y por lo tanto relativa,
dividimos por el cubo de su desviación típica. De esta forma podemos valorar si unos datos son más o menos
simétricos que otros, aunque no estén medidos en la misma unidad de medida. La interpretación de este
coeciente de asimetría es la siguiente:
Tanto mayor sea el coeciente en valor absoluto, más asimétricos serán los datos.
El signo del coeciente nos indica el sentido de la asimetría:
ˆ Si es positivo indica que la asimetría es a la derecha.

Figura 2.6: Formas típicas de distribuciones de datos.
ˆ Si es negativo, indica que la asimetría es a la izquierda.
Ejemplo. Para los datos de tiempo de procesado en una CPU de 25 tareas, el coeciente de asimetría
de Fisher es 0.91, lo que, como habíamos visto y comentado con anterioridad, pone de maniesto que la
distribución es asimétrica a la derecha, debido a la presencia de tiempos de procesado bastante altos en
relación al resto.
2.5.5. Parámetros muestrales y parámetros poblacionales
Cuando se trabaja con una muestra de una población, ya sea ésta tangible o conceptual, las distintas medidas
de posición, dispersión y forma, se denominan parámetros muestrales. Hay que tener en cuenta que
prácticamente siempre se trabaja con muestras, ya que o bien trabajamos con poblaciones conceptuales o
con poblaciones tangibles (nitas, por tanto), pero con muchísimos elementos.
Frente a estos parámetros muestrales se encuentran los parámetros análogos referidos a toda la población.
Estos parámetros, llamados parámetros poblacionales, son, en general, imposibles de conocer
3. Por ejem-
plo, la media poblacional se calcularía igual que la media muestral de unos datos, pero aplicada la fórmula a
todos los elementos de la población. Como eso es prácticamente imposible de poner en la práctica, veremos
en capítulos posteriores que los parámetros muestrales se utilizan en la práctica para aproximar o estimar los
parámetros poblacionales.
2.6. Métodos para detectar datos cuantitativos atípicos o fuera de
rango
Hay ocasiones en que un conjunto de datos contiene una o más observaciones inconsistentes en algún sentido.
Por ejemplo, en los datos de tiempo de procesado en una CPU de 25 tareas, supongamos que tenemos
3Salvo en el caso de poblaciones nitas con pocos elementos.

una observación más, igual a 85, debido a que la CPU se bloqueó y hubo que reiniciarla. Este dato, que
probablemente no deseemos incluir, es un ejemplo de caso de dato atípico o valor fuera de rango.
En general, una observación que es inusualmente grande o pequeña en relación con los demás valores de un
conjunto de datos se denomina dato atípico o fuera de rango.
Estos valores son atribuibles, por lo general, a una de las siguientes causas:
1. El valor ha sido introducido en la base de datos incorrectamente.
2. El valor proviene de una población distinta a la que estamos estudiando.
3. El valor es correcto pero representa un suceso muy poco común.
A continuación vamos a proponer dos maneras de determinar si un dato es un valor fuera de rango.
2.6.1. Mediante la regla empírica
Este método es adecuado si el histograma de los datos tiene forma de campana, en cuyo caso podemos aplicar
la regla empírica para detectar qué datos están fuera de los rangos lógicos según esta regla.
Según ella, el 99.5 % de los datos están en el intervalo [x̄ − 3sn−1, x̄ + 3sn−1], luego se considerarán datos
atípicos los xi que no pertenezcan al intervalo [x̄ − 3sn−1, x̄ + 3sn−1] .
2.6.2. Mediante los percentiles
Supongamos que tenemos un conjunto de datos x1, ..., xn. El procedimiento es el siguiente:
1. Se calculan los cuartiles primero y tercero, es decir, los percentiles 25 y 75, P25 y P75. Se calcula el
llamado rango intercuartílico, IR = P75 − P25.
2. Se consideran datos atípicos aquellos inferiores a P25 − 1.5IR o superiores a P75 + 1.5IR.
3. Se consideran datos atípicos extremos aquellos inferiores a P25 − 3IR o superiores a P75 + 3IR.
Ejemplo. Vamos a ver si hay algún dato atípico entre los datos de tiempo de procesado en una CPU de
25 tareas.
Dado que el histograma no tenía forma de campana, el método de la regla empírica no es el método más
adecuado para la detección de valores atípicos.
Por su parte, P50 = 1.38, P25 = 0.82 y P75 = 2.16. Por tanto, IR = 2.16−0.82 = 1.34, y el intervalo fuera
del cúal consideramos valores fuera de rango es [0.82 − 1.5 × 1.34, 2.16 + 1.5 × 1.34] = [−1.19, 4.17]. De
esta forma, el valor 4.75 es un valor fuera de rango.
Finalmente, el intervalo fuera del cuál se encuentran los datos atípicos extremos es
[0.82 − 3 × 1.34, 2.16 + 3 × 1.34] = [−3.2, 6.18],
por lo que no hay valores de este tipo.

Hay una versión gráca de este método para detectar valores atípicos mediante los percentiles: se llama
diagrama de caja o diagrama de cajas y bigotes o (en inglés) boxplot. Este diagrama incluye en un
gráco:
1. El valor de la mediana.
2. El valor de los percentiles 25 y 75.
3. Una caja cuyos laterales son el percentil 25 y el percentil 75.
4. Los últimos puntos no extremos a la izquierda y a la derecha los representa como bigotes que salen de
la caja.
5. Normalmente, representa con círculos los datos atípicos.
6. Algunos programas representan, además, con cruces, los datos atípicos extremos.
Figura 2.7: Descripción de un diagrama de caja.
2.7. Resolución del ejemplo del asfalto
Ya estamos en condiciones de abordar la resolución del problema que dejó abierto el ejemplo del asfalto.
Recordemos que allí nos planteábamos que un ingeniero, que estaba analizando la tensión de fractura de un
asfalto producido, encontraba al analizar de 24 mezclas de asfalto mezclado caliente (HMA) los siguientes
valores (en megapascales):

30 75 79 80 80 105 126 138
149 179 179 191 223 232 232 236
240 242 245 247 254 274 384 470
Lo que el ingeniero se plantea es algo, en principio, muy genérico: ¾cómo podrá describir en términos generales
la tensión de fractura del asfalto producido?
En primer lugar, es lógico pensar que el ingeniero experimente cierta sorpresa al ver que los resultados
obtenidos son distintos en las distintas muestras. ¾No se supone que todas las muestras proceden de la misma
planta, o que están obtenidas en las mismas condiciones? Probablemente eso es así, pero hay que tener en
cuenta que en cualquier proceso de producción existen condiciones incontrolables que provocan diferencias
en los resultados de los experimentos. Desde el punto de vista estadístico, observar esas distintas tensiones
de fractura equivale a constatar que el experimento es de tipo aleatorio.
Una vez que hemos aceptado este hecho, es evidente que debemos utilizar técnicas estadísticas para alcanzar
el objetivo deseado, que es, no lo olvidemos, describir la tensión de fractura del asfalto producido.
En este caso, es bastante obvio que las técnicas adecuadas para ello son las que proporciona la Estadística
Descriptiva, incluyendo las que hemos estudiado en este tema.
Vamos a comenzar por ofrecer medidas de posición, en primer lugar de tendencia central, que sitúen al menos
de una forma general, en torno a qué valores aparecen las tensiones de fractura.
En este sentido, la media de los datos es 195.42 megapascales. La mediana, por su parte, es 207. Observamos
que hay diferencias entre el valor medio, 195.42 y la mediana, 207, que analizaremos enseguida.
Para ofrecer un intervalo modal deberíamos agrupar por intervalos y calcular las frecuencias en esos intervalos,
lo cual, por otra parte, nos serviría para obtener un histograma para los datos. Dado que son 24 datos, un
número razonable de intervalos podría ser 5. Vamos a considerar un rango de 0 a 500 para el histograma, que
hará muy fácil la construcción de los intervalos. El histograma asociado al recuento de frecuencias aparece
en la Figura 2.8.
Tensión de fractura del asfalto
Frecuencia
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 2.8: Histograma de la tensión de fractura (en megapascales) para los datos del ejemplo del asfalto
Observamos, en primer lugar, que el intervalo modal está entre 200 y 300 megapascales. Observamos también
que los datos no tienen una distribución de frecuencias simétrica con forma acampanada. De hecho, la forma
es la de una distribución asimétrica a la derecha. Esto lo corroboramos por el valor del coeciente de asimetría,
0.66.

¾Qué indica el hecho de que los datos sean asimétricos a la derecha? La presencia de algunas muestras con
valores de tensión muy superiores al conjunto más representativo de los datos. En el histograma observamos
esas muestras en la cola de la derecha. El ingeniero debería plantearse qué puede provocar que, ocasionalmente,
aparezcan muestras con valores más altos, aunque aún no podemos decir que sean excesivamente altos.
Tenemos, por tanto, que el promedio de la tensión de fractura está en torno a 195 megapascales, valor cercano
a la mediana, y un intervalo modal entre 200 y 300 megapascales.
Ahora vamos a obtener y analizar algunos percentiles. En concreto, centrémonos en el percentil 25 y el
percentil 75. El percentil 25 está aproximadamente en el valor 115.5 y el percentil 75 en torno a 243.5. Eso
implica, por ejemplo, que el 50 % de los valores centrales está precisamente entre 115.5 y 243.5. Parece una
franja muy amplia para los datos más normales. Esto puede ser un indicio de una variabilidad importante
en los datos. Vamos a valorar ahora explícitamente la dispersión de los datos.
La desviación típica muestral es de 121.39 megapascales. Eso supone un coeciente de variación de 0.52, lo
que, en principio, parece indicar que hay una dispersión importante de las distintas tensiones de ruptura
con respecto al valor medio. Decimos en principio porque desconocemos cómo es el comportamiento de esta
variable en otras muestras. El ingeniero debería comparar esta dispersión con la que habitualmente se produce
en otras plantas. Si como parece, la dispersión es importante, los resultados ponen de maniesto que hay unas
diferencias mayores a las esperadas entre las tensiones de ruptura de las muestras que estamos analizando,
lo cual, desde el punto de vista del ingeniero, no puede ser una buena noticia.
Vamos a terminar analizando si hay valores atípicos en la muestra. Teniendo en cuenta lo que acabamos de
decir acerca de la dispersión, esta cuestión es bastante relevante: podría ocurrir que esa dispersión importante
se deba a la presencia de algunos datos atípicos, aunque ya hemos visto que el rango intercuartílico, es decir,
la distancia entre el percentil 25 y el percentil 75 indica que hay diferencias importantes entre los datos más
centrales.
Dado que los datos no tienen forma acampanada, el método más adecuado para analizar la presencia de
valores atípicos es el de los percentiles. Los valores atípicos estarán por debajo de
115.5 − 1.5 × (243.5 − 115.5) = −76.5
o por encima de
243.5 + 1.5 × (243.5 − 115.5) = 435.5.
Observamos que, en efecto, hay un valor atípico a la derecha de los datos, que corresponde a una muestra
cuya tensión de fractura es de 470 megapascales. Si nos plantemos si es un valor atípico extremo, es trivial
constatar que no lo es.
A modo de conclusión, el ingeniero ha constatado que el promedio de las tensiones de fractura está en torno
a 195 megapascales, pero que las diferentes muestras sufren una variabilidad importante respecto a este valor
(coeciente de variación 0.52), constatando además el hecho de que algunas muestras ofrecen tensiones de
fractura altas que provocan cierta asimetría a la derecha de la distribución. Una de estas muestras, de hecho,
puede considerarse como un valor atípico.

100
200
300
400
Tension
24
Figura 2.9: Diagrama de caja de las tensiones de fractura en el ejemplo del asfalto.

Parte II
Cálculo de Probabilidades
39

Capítulo 3
Probabilidad
Vemos que la teoría de la probabilidad en el fondo sólo es sentido común reducido a cálculo; nos
hace apreciar con exactitud lo que las mentes razonables toman por un tipo de instinto, incluso
sin ser capaces de darse cuenta[...] Es sorprendente que esta ciencia, que surgió del análisis de los
juegos de azar, llegara a ser el objeto más importante del conocimiento humano[...] Las principales
cuestiones de la vida son, en gran medida, meros problemas de probabilidad.
Pierre Simon, Marqués de Laplace
Resumen. El capítulo proporciona un tratamiento de los experimentos cuyos resultados no se pueden predecir
con certeza a través del concepto de probabilidad. Se analizan las propiedades de la probabilidad y se introduce
también el concepto de probabilidad condicionada, que surge cuando un suceso modica la asignación de
probabilidades previa.
Palabras clave: experimento aleatorio, experimento determinístico, espacio muestral, suceso, probabilidad,
probabilidad condicionada, independencia de sucesos.
3.1. Introducción
En nuestra vida cotidiana asociamos usualmente el concepto de Probabilidad a su calicativo probable,
considerando probables aquellos eventos en los que tenemos un alto grado de creencia en su ocurrencia.
En esta línea, Probabilidad es un concepto asociado a la medida del azar. También pensamos en el azar
vinculado, fundamentalmente, con los juegos de azar, pero desde esa óptica tan reducida se nos escapan otros
muchísimos ejemplos de fenómenos de la vida cotidiana o asociados a disciplinas de distintas ciencias donde
el azar juega un papel fundamental. Por citar algunos:
¾Qué número de unidades de producción salen cada día de una cadena de montaje? No existe un número
jo que pueda ser conocido a priori, sino un conjunto de posibles valores que podrían darse, cada uno
de ellos con un cierto grado de certeza.
¾Cuál es el tamaño de un paquete de información que se transmite a través de HTTP? No existe en
realidad un número jo, sino que éste es desconocido a priori.
41

¾Cuál es la posición de un objeto detectado mediante GPS? Dicho sistema obtiene, realmente, una
estimación de dicha posición, pero existen márgenes de error que determinan una región del plano
donde el objeto se encuentra con alta probabilidad.
¾Qué ruido se adhiere a una señal que se envía desde un emisor a un receptor? Dependiendo de las
características del canal, dicho ruido será más o menos relevante, pero su presencia no podrá ser conocida
a priori, y deberá ser diferenciada de la señal primitiva, sin que se conozca ésta, teniendo en cuenta que
se trata de un ruido aleatorio.
En todos estos ejemplos el azar es un factor insoslayable para conocer el comportamiento del fenómeno en
estudio.
3.2. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticos
En general, un experimento del que se conocen todos sus posibles resultados y que, repetido en las mismas
condiciones, no siempre proporciona los mismos resultados se conoce como experimento aleatorio.
En contraposición, un experimento determinístico es aquel donde las mismas condiciones aseguran que
se obtengan los mismos resultados.
Lo que el Cálculo de Probabilidades busca es encontrar una medida de la incertidumbre o de la certidumbre
que se tiene de todos los posibles resultados, ya que jamás (o muy difícilmente) se podrá conocer a priori
el resultado de cualquier experimento donde el azar esté presente: a esta medida de la incertidumbre la
denominaremos probabilidad
1.
3.3. Denición de probabilidad
Tenemos, por tanto, que probabilidad es la asignación que hacemos del grado de creencia que tenemos sobre
la ocurrencia de algo. Esta asignación, sin embargo, debe ser coherente. Esta necesidad de que asignemos
probabilidades adecuadamente se va a plasmar en esta sección en tres reglas, conocidas como axiomas, que
debe cumplir cualquier reparto de probabilidades.
3.3.1. Álgebra de conjuntos
Si consideramos un experimento aleatorio, podemos caracterizar los posibles resultados de dicho experimento
como conjuntos. Es de interés, por tanto, repasar los conceptos y propiedades básicas del álgebra de conjuntos.
En todo este apartado no debemos olvidar que los conjuntos representan en nuestro caso los posibles resultados
de un experimento aleatorio.
Un conjunto es una colección de elementos.
Se dice que B es un subconjunto de A si todos sus elementos lo son también de A, y se notará B ⊂ A.
1Es mejor que aceptemos desde el principio que la Estadística no es la ciencia de la adivinación: tan sólo se ocupa de
cuanticar cómo de incierto es un evento y, ocasionalmente, de proponer estrategias de predicción basadas en dicha medida de
la incertidumbre.

Para cada A se verica ∅ ⊂ A ⊂ A ⊂ Ω.
Si C ⊂ B y B ⊂ A, entonces, C ⊂ A. Esto se conoce como propiedad transitiva.
La unión de B y A es un conjunto cuyos elementos son los elementos de A y B, y se nota A ∪ B. Esta
operación verica la propiedad conmutativa y asociativa.
Si A ⊂ B, entonces A ∪ B = B.
La intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B, y se nota AB o
A ∩ B. Esta operación verica la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la unión.
Dos conjuntos, A y B, se dicen mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si su intersección
es vacía, es decir, A ∩ B = ∅.
Si dos conjuntos A y B son disjuntos, su unión suele notarse A + B.
Los conjuntos A1, ..., AN se dicen mutuamente excluyentes si Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j.
Una partición es una colección de conjuntos, A1, ..., AN tal que:
a) A1 ∪ ... ∪ AN = Ω
b) Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j.
El conjunto complementario de un conjunto A, Ā ó Ac
, está formado por todos los elementos de Ω que
no pertenecen a A.
Se sigue por tanto,
A ∪ Ā = Ω
A ∩ Ā = ∅
(Ac
)
c
= A
Ω̄ = ∅
Si B ⊂ A → Ā ⊂ B̄
Si A = B → Ā = B̄.
Finalmente, mencionemos las llamadas Leyes de Morgan:
A ∪ B = Ā ∩ B̄
A ∩ B = Ā ∪ B̄.
3.3.2. Espacio muestral
Consideremos un experimento aleatorio.

El conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento aleatorio recibe el nombre de espacio
muestral, y lo notaremos habitualmente como Ω.
Cualquier subconjunto de un espacio muestral recibe el nombre de suceso o evento.
Hablaremos de ensayo o realización de un experimento aleatorio reriéndonos a una ejecución de dicho
experimento. Así, diremos que en un ensayo ocurre un suceso A si se observa en dicho ensayo cualquier
resultado incluido en el suceso A.
Una observación importante es que el espacio muestral no tiene por qué ser único, sino que dependerá de lo
que deseemos observar del experimento aleatorio. Vamos a poner este hecho de maniesto en los siguientes
ejemplos.
Ejemplo. Si consideramos el lanzamiento de un dado, un espacio muestral sería Ω={1,2,3,4,5,6}.
Los sucesos más elementales posibles son {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}. Otros sucesos no elementales
pueden ser {1,2}, {mayor que 2}, {par}, ...
Sin embargo, supongamos que estamos lanzando un dado porque no tenemos ninguna moneda a mano, y
sólo deseamos ver si el resultado es par o impar. En ese caso, el espacio muestral sería Ω = {par, impar}.
Ejemplo. Un experimento habitual en Biología consiste en extraer, por ejemplo, peces de un río, hasta
dar con un pez de una especie que se desea estudiar. El número de peces que habría que extraer hasta
conseguir el ejemplar deseado de la especie en estudio formaría el espacio muestral, Ω = {1, 2, 3, ...}, si es
que el investigador desea observar exactamente el número de peces hasta extraer ese ejemplar deseado.
Obsérvese que se trata de un conjunto no acotado, pero numerable.
Como ejemplos de posibles sucesos de interés podríamos poner los eventos {1,2,3,4,5}, {mayor o igual a
5},...
Supongamos ahora que el investigador sólo está interesado en comprobar si hacen falta más de 5 ex-
tracciones para obtener un ejemplar de la especie en estudio. En ese caso, el espacio muestral sería
Ω = { 5, ≤ 5}.
Ejemplo. Si consideramos el experimento aleatorio consistente en elegir un número absolutamente al
azar entre 0 y 1, un espacio muestral sería Ω = [0, 1]. A diferencia de los anteriores ejemplos, este espacio
muestral no es nito, ni siquiera numerable.
Como ejemplo de sucesos posibles en este espacio muestral podemos destacar, entre otros, {menor que
0.5} , {mayor que 0.25}, {menor que 0.75} ,...
Otro espacio muestral podría ser observar el valor decimal mayor más cercano. Por ejemplo, si sale 0.25,
me interesa 0.3. En ese caso el espacio muestral sería Ω = 0.1, 0.2, ...1. Este espacio muestral serviría,
por ejemplo, para sortear números entre 1 y 10, sin más que multiplicar el resultado obtenido por 10.

En estos últimos ejemplos podemos ver que hay dos grandes tipos de espacios muestrales según el número de
sucesos elementales.
Un espacio muestral se dice discreto si está formado por un conjunto nito o innito numerable de sucesos
elementales.
Por el contrario, un espacio muestral se dice continuo si está formado por un conjunto no numerable de
sucesos elementales.
3.3.3. Función de probabilidad
Dado un espacio muestral Ω correspondiente a un experimento aleatorio, una función de probabilidad
para ese espacio muestral es cualquier función que asigne a cada suceso un número en el intervalo [0, 1] y que
verique
P [A] ≥ 0, para cualquier evento A.
P [Ω] = 1.
Dada una colección de sucesos A1, A2, ..., An mutuamente excluyentes, es decir, tales que Ai ∩ Aj = ∅ para
todo i 6= j,
P [∪n
i=1Ai] =
n
X
i=1
P [Ai] .
Nota. Hay que notar que se puede dar más de una función de probabilidad asociada al mismo espacio
muestral. Por ejemplo, asociado al espacio muestral Ω = {cara, cruz}, del lanzamiento de una moneda,
pueden darse un número innito no numerable de medidas de la probabilidad; concretamente, asociadas
a cada elección
P [cara] = p
P [cruz] = 1 − p,
para cada p ∈ [0, 1] . Aunque si la moneda no está cargada, como sucede habitualmente, se considera el
caso en que p = 1
2 .
Ejemplo. Volviendo sobre el lanzamiento del dado, si éste no está cargado, podemos denir la siguiente
función de probabilidad:
P [{i}] =
1
6
, i = 1, 2, ..., 6.

Figura 3.1: Circuito
En ese caso, podemos, a su vez, calcular algunas probabilidades. Por ejemplo,
P ({par}) = P [{2, 4, 6}]
= P [{2}] + P [{4}] + P [{6}]
=
1
6
+
1
6
+
1
6
= 0.5.
En este cálculo se ha tenido en cuenta la tercera condición de la denición axiomática.
Como consecuencia de la denición se verican, entre otras, las siguientes propiedades, que además facilitan
bastante los cálculos:
P [∅] = 0.
Sea A un suceso cualquiera. Entonces, P

Ā

= 1 − P [A] .
Sean A y B dos sucesos cualesquiera. Entonces, P

A ∩ B̄

= P [A] − P [A ∩ B] .
Sean A y B dos sucesos cualesquiera. Entonces, P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] .
Ejemplo. El circuito que aparece en la Figura 3.1 está constituido por dos interruptores (switches) en
paralelo. La probabilidad de que cualquiera de ellos esté cerrado es de
1
2 .
Para que pase corriente a través del circuito basta con que pase corriente por alguno de los dos interrup-
tores, esto es, que al menos uno de ellos esté cerrado. Por tanto, si notamos por E al suceso que pase
corriente a través del circuito y Ei al suceso que el interruptor i esté cerrado, entonces,
P [E] = P [E1 ∪ E2] = P [E1] + P [E2] − P [E1 ∩ E2]
=
1
2
+
1
2
− P [E1 ∩ E2] ≤ 1.
Para conocer esta probabilidad de forma exacta necesitamos saber cómo actúan de forma conjunta ambos
circuitos.

Nº de lanzamientos 10 100 250 500 750 1000
Nº de caras 4 46 124 244 379 501
N. de caras
N. de lanzamientos 0.4 0.46 0.496 0.488 0.5053 0.501
Cuadro 3.1: Aproximación frecuentista a la probabilidad de cara en el lanzamiento de una moneda.
3.4. Interpretación frecuentista de la probabilidad
La interpretación más común al concepto de probabilidad tiene que ver con los promedios de ocurrencia de
los sucesos del experimento en cuestión.
Pensemos en el lanzamiento de una moneda: si decimos que la probabilidad de cara es 0.5, entendemos que
si lanzamos la moneda un gran número de veces y anotamos el número de caras, éstas serán más o menos la
mitad.
Generalizando este proceso, podríamos decir que la probabilidad de un evento A, P [A] , es
P [A] = lı́m
n→∞
nA
n
,
donde nA es el número de ocurrencias de A en n ensayos del experimento.
Esta interpretación se conoce como denición frecuentista de la probabilidad. Se trata de una interpretación
de carácter eminentemente práctico porque permite una aproximación física al concepto de probabilidad,
pero se ve limitada por las complicaciones que supone la denición en términos de un límite que, como tal,
sólo se alcanza en el innito. Además, desde un punto de vista realista, ¾en qué ocasiones podremos repetir
el experimento un gran número de veces?
Ejemplo. Se han realizado 1000 lanzamientos de una moneda. En el Cuadro 3.1 aparece un resumen de ese
proceso. Puede observarse como cuanto mayor es el número de lanzamientos, más se aproxima la frecuencia
relativa al valor
1
2 , de manera que podríamos pensar que la probabilidad de cara es igual que la probabilidad
de cruz e iguales ambas a
1
2 , aunque esto sólo es una suposición, o una aproximación, ya que para aplicar
estrictamente la denición frecuentista deberíamos continuar hasta el innito, lo que resulta imposible.
Esta interpretación frecuentista de la probabilidad permite inferir lo que podemos llamar frecuencias espe-
radas. Si un evento A tiene asignada una probabilidad P [A], entonces, si repetimos el experimento aleatorio
n veces, lo más esperable es que el número de veces que se de el evento A será n × P [A] . Más adelante
podremos matizar con más rigor a qué nos referimos con lo más esperable.
Ejemplo. Siguiendo con el ejemplo de la moneda, si la lanzamos 348 veces, lo esperable es que salgan
alrededor de 348 × 0.5 = 174 caras.
3.5. Interpretación subjetiva de la probabilidad
Si nos dicen que la probabilidad de que llueva mañana es del 35 %, ¾cómo podemos interpretar eso en términos
frecuentistas? No tiene sentido pensar en que podemos repetir el experimento día de mañana muchas veces y
contar cuántas veces llueve. ¾Podríamos pensar si hubiera muchos días como el de mañana, aproximadamente
llovería en el 35 % de ellos? Pero eso no tiene sentido porque el día de mañana es único.

La interpretación subjetiva de la probabilidad tiene que ver con la vinculación de este concepto con el grado
de incertidumbre que tenemos sobre las cosas. Si tenemos un experimento aleatorio, el resultado de dicho
experimento es incierto. La probabilidad de un resultado del experimento es el grado de creencia que yo tengo
en la ocurrencia de dicho resultado. Ese grado de creencia es personal, luego es subjetivo, pero lógicamente,
deberá estar acorde con la información que tenemos sobre el experimento.
3.6. Espacio muestral con resultados equiprobables. Fórmula de La-
place
Otro punto de vista que permite abordar el proceso de asignación de probabilidad a sucesos es el siguiente:
continuando con el ejemplo de la moneda, en este experimento son dos los resultados posibles, y no hay razones
para pensar que uno de ellos es más probable que otro, así que tiene sentido considerar que la probabilidad
de cara y la probabilidad de cruz son ambas del 50 %.
En general, si el espacio muestral está formado por N resultados posibles y todos ellos tienen la misma
probabilidad (equiprobables), podríamos decir que la probabilidad de un evento A, P [A] , es
P [A] =
NA
N
,
donde NA es el número de resultados favorables a la ocurrencia de A.
Esta fórmula, conocida como fórmula de Laplace también es fundamentalmente práctica. Por ejemplo, nos
permite deducir que
P [cara] =
1
2
en el lanzamiento de una moneda sin tener que lanzar la moneda un gran número de veces.
Sin embargo, la denición tiene dos grandes inconvenientes: el conjunto de resultados posibles, N, tiene que
ser nito y, además, todos los resultados posibles deben tener la misma probabilidad (con lo cual, lo denido
queda implícitamente inmerso en la denición).
3.7. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos
Para introducir de manera intuitiva el concepto de probabilidad condicionada debemos pensar en la proba-
bilidad como medida de la creencia en la ocurrencia de los sucesos.
Pensemos en un experimento aleatorio y en un suceso de dicho experimento, A, en el que, en principio,
tenemos un grado de creencia P [A] ; pero supongamos que conocemos algo del resultado de dicho experimento;
concretamente, sabemos que ha ocurrido un suceso B. Parece lógico pensar que esa información conocida
sobre el resultado del ensayo modicará nuestro grado de creencia en A: llamemos a este nuevo grado de
creencia P [A | B], probabilidad de A conocida B o probabilidad de A condicionada a B.
Ejemplo. Consideremos el suceso A : el día de hoy va a llover y el suceso B : el día de hoy está nublado.
Obviamente, la probabilidad P [A] será menor que la probabilidad P [A | B] , ya que el hecho de que esté
nublado refuerza nuestra creencia en que llueva.

Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de extraer una carta de una baraja española. Sea el suceso
A : obtener una sota, el suceso B1 : obtener una gura y el suceso B2 : obtener una carta de copas.
Las distintas probabilidades, condicionadas o no, bajo la denición clásica, son las siguientes:
P [A] =
4 sotas
40 cartas
=
1
10
P [A | B1] =
4 sotas
12 figuras
=
1
3
P [A | B2] =
1 sota de copas
10 copas
=
1
10
.
Como puede verse, B1 modica la probabilidad a priori, pero no así B2. Puede decirse que B2 no ofrece
información acerca de A, o que A y B2 son independientes.
Vamos a dar a continuación una denición de probabilidad condicionada que responde a esta idea de
recalcular la probabilidad en función de la información existente.
La probabilidad condicionada de un suceso A, conocido otro suceso B, denotada por P [A | B], se
dene como el cociente
P [A | B] =
P [A ∩ B]
P [B]
,
siempre que P [B] 6= 0.
Una función de probabilidad condicionada P [·/B] es una función de probabilidad en toda regla: por tanto,
cumple las mismas propiedades que cualquier función de probabilidad sin condicionar.
Como hemos comentado, la idea de la probabilidad condicionada es utilizar la información que nos da un
suceso conocido sobre la ocurrencia de otro suceso. Pero, como ya hemos puesto de maniesto en un ejemplo,
no siempre un suceso da información sobre otro. En este caso se dice que ambos sucesos son independientes.
Por tanto:
Dos sucesos A y B se dicen independientes si P [A | B] = P [A] , o equivalentemente si P [B | A] = P [B], o
equivalentemente si P [A ∩ B] = P [A] × P [B] .
Ejemplo. Continuando con el Ejemplo 3.3.3, lo más lógico es pensar que los dos interruptores actúan
de forma independiente, en cuyo caso P [E1 ∩ E2] = P [E1] P [E2] y tenemos que,
P [E] =
1
2
+
1
2
− P [E1 ∩ E1]
=
1
2
+
1
2
−
1
2
1
2
=
3
4
.
Nota. Es muy importante no confundir la probabilidad condicionada de un suceso a otro con la probabili-
dad de la intersección de ambos sucesos. En la Figura 3.2 puede verse la diferencia entre las probabilidades
condicionadas entre dos sucesos y la probabilidad de su intersección. En términos coloquiales, podemos

analizar estas probabilidades como el cociente entre una parte y un todo. Cuando la probabilidad es
condicionada ese todo es el suceso que condiciona. Cuando la probabilidad no es condicionada, ese todo
es todo el espacio muestral. En ambos casos esa parte es la intersección.
Figura 3.2: Esquema acerca de la denición de probabilidad condicionada.
Nota. También suele ser bastante común la confusión entre sucesos independientes y sucesos incompa-
tibles o mutuamente excluyentes.
En este sentido, recordemos que dos sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si
A ∩ B = ∅, en cuyo caso P [A ∩ B] = 0.
Por su parte, A y B serán independientes si P [A ∩ B] = P [A] P [B].
Las diferencias entre ambos conceptos son obvias.
Ejemplo. La probabilidad de que el producto no sea elaborado a tiempo es 0.05. Se solicitan tres pedidos
del producto con la suciente separación en el tiempo como para considerarlos eventos independientes.
1. ¾Cuál es la probabilidad de que todos los pedidos se envíen a tiempo?
En primer lugar, notemos Ei al suceso enviar a tiempo el pedido i-ésimo. En ese caso, sabemos que
P [Ei] = 0.95.
Por su parte, nos piden
P [E1 ∩ E2 ∩ E3] = P [E1] P [E2] P [E3] = 0.953
,
debido a que los pedidos son independientes.
2. ¾Cuál es la probabilidad de que exactamente un pedido no se envíe a tiempo?

En este caso el suceso que nos piden es más complejo:
P

Ē1 ∩ E2 ∩ E3 ∪ E1 ∩ Ē2 ∩ E3 ∪ E1 ∩ E2 ∩ Ē3

= P

Ē1 ∩ E2 ∩ E3

+ P

E1 ∩ Ē2 ∩ E3

+ P

E1 ∩ E2 ∩ Ē3

= 0.05 × 0.952
+ 0.05 × 0.952
+ 0.05 × 0.952
= 0.135,
donde se ha utilizado que los sucesos Ē1 ∩E2 ∩E3, E1 ∩Ē2 ∩E3 y E1 ∩E2 ∩Ē3 son incompatibles.
3. ¾Cuál es la probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo?
Tengamos en cuenta que ya hemos calculado la probabilidad de que todos se envíen a tiempo y de
que todos menos uno se envíen a tiempo. Entonces,
P [dos o más pedidos no se envíen a tiempo]
= 1 − P [todos se envíen a tiempo ∪ un pedido no se envíe a tiempo]
= 1 − (0.953
+ 0.135).
Ejemplo. Consideremos un proceso industrial como el que se esquematiza en la Figura 3.3. En dicho
esquema se pone de maniesto que una unidad será producidad con éxito si pasa en primer lugar un
chequeo previo (A); después puede ser montada directamente (B), redimensionada (C) y después montada
(D) o adaptada (E) y después montada (F); posteriormente debe ser pintada (G) y nalmente embalada
(H). Consideremos que las probabilidades de pasar exitosamente cada subproceso son todas ellas iguales
a 0.95, y que los subprocesos tienen lugar de forma independiente unos de otros. Vamos a calcular en
esas condiciones la probabilidad de que una unidad sea exitosamente producida.
Si nos damos cuenta, A, G y H son ineludibles, mientras que una unidad puede ser producida si pasa
por B, por C y D o por E y F. En notación de conjuntos, la unidad será producida si se da
A ∩ (B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F) ∩ G ∩ H.
Como los procesos son independientes unos de otros, no tenemos problemas con las probabilidades de las
intersecciones, pero tenemos que calcular la probabilidad de una unión de tres conjuntos, B∪C∩D∪E∩F.
En general,
P [A1 ∪ A2 ∪ A3] = P [(A1 ∪ A2) ∪ A3] = P [A1 ∪ A2] + P [A3] − P [(A1 ∪ A2) ∩ A3]
= P [A1] + P [A2] − P [A1 ∩ A2] + P [A3] − P [A1 ∩ A3 ∪ A2 ∩ A3]

= P [A1] + P [A2] − P [A1 ∩ A2] + P [A3]
− (P [A1 ∩ A3] + P [A2 ∩ A3] − P [A1 ∩ A2 ∩ A3])
= P [A1] + P [A2] + P [A3]
− P [A1 ∩ A2] − P [A1 ∩ A3] − P [A2 ∩ A3]
+ P [A1 ∩ A2 ∩ A3]
En nuestro caso,
P [B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F] = P [B] + P [C ∩ D] + P [E ∩ F]
− P [B ∩ C ∩ D] − P [B ∩ E ∩ F] − P [C ∩ D ∩ E ∩ F]
+ P [B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F]
= 0.95 + 2 × 0.952
− 2×0.953
− 0.954
+ 0.955
= 0.9995247
Ya estamos en condiciones de obtener la probabilidad que se nos pide:
P [A ∩ (B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F) ∩ G ∩ H] = P [A] P [B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F] P [G] P [H]
= 0.95 × (0.9995247) × 0.95 × 0.95
= 0.8569675.
En estos ejemplos, el cálculo de la probabilidad de las intersecciones ha resultado trivial porque los sucesos son
independientes. Son embargo, esto no siempre ocurre. ¾Cómo podemos, en general, obtener la probabilidad
de la intersección de dos o más sucesos no necesariamente independientes?
En el caso de sólo dos sucesos, A y B, podemos deducir que
P[A ∩ B] = P[A|B] × P[B]
directamente de la denición de probabilidad condicionada. A partir de esta fórmula, por inducción, se puede
obtener la llamada fórmula producto, que se enuncia de la siguiente forma: si A1, A2, ..., An son sucesos de
un espacio muestral no necesariamente independientes, se verica
P[A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An] = P[A1]P[A2|A1]...P[An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1]

Figura 3.3: Esquema del proceso industrial del ejemplo
Ejemplo. Un lote de 50 arandelas contiene 30 arandelas cuyo grosor excede las especicaciones de diseño.
Suponga que se seleccionan 3 arandelas al azar y sin reemplazo del lote.
1. ¾Cuál es la probabilidad de que las tres arandelas seleccionadas sean más gruesas que las especi-
caciones de diseño?
Comenzamos notando los sucesos Ai: la í-ésima arandela extraida es más gruesa que las especi-
caciones de diseño, i = 1, 2, 3.
Entonces, nos piden
P [A1 ∩ A2 ∩ A3] = P [A1] P [A2/A1
] P [A3/A1∩A2
]
=
30
50
29
49
28
48
.
2. ¾Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela seleccionada sea más gruesa que las especica-
ciones de diseño si las dos primeras fueron más delgadas que la especicación?
P

A3/Ā1∩Ā2

=
30
48
.
3.8. Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes
Los siguientes dos resultados se conocen como Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes
respectivamente, y juegan un importante papel a la hora de calcular probabilidades. Los dos utilizan como

principal herramienta el concepto de probabilidad condicionada.
Teorema de la Probabilidad Total. Sea P una función de probabilidad en un espacio muestral. Sea
{A1, ..., AN } ⊂ F una partición del espacio muestral Ω y sea B un suceso cualquiera. Entonces,
P [B] = P [B | A1] P [A1] + ... + P [B | AN ] P [AN ] .
Teorema de Bayes. En esas mismas condiciones, si P [B] 6= 0,
P [Ai | B] =
P [B | Ai] P [Ai]
P [B | A1] P [A1] + ... + P [B | AN ] P [AN ]
.
Ejemplo. Supongamos que tenemos 4 cajas con componentes electrónicas dentro. La caja 1 contiene
2000 componentes, con un 5 % de defectuosas; la caja 2 contiene 500 componentes, con un 40 % de
defectuosas; las cajas 3 y 4 contienen 1000 componentes, con un 10 % de defectuosas.
1. ¾Cuál es la probabilidad de escoger al azar una componente defectuosa?
Notemos D : componente defectuosa y Ci : componente de la caja i-ésima. Entonces, se tiene que
P [C1] =
2000
2000 + 500 + 1000 + 1000
=
4
9
P [C2] =
500
2000 + 500 + 1000 + 1000
=
1
9
P [C3] =
1000
2000 + 500 + 1000 + 1000
=
2
9
P [C4] =
1000
2000 + 500 + 1000 + 1000
=
2
9
Además, P[D | C1] = 0.05, P[D | C2] = 0.4, P[D | C3] = 0.1 y P[D | C4] = 0.1.
Utilizando el Teorema de la probabilidad total,
P [D] = P [D | C1] P [C1] + P [D | C2] P [C2] + P [D | C3] P [C3]
+ P [D | C4] P [C4]
= 0.05
4
9
+ 0.4
1
9
+ 0.1
2
9
+ 0.1
2
9
= 0. 11111
2. Si se escoge una componente al azar y resulta ser defectuosa, ¾cuál es la probabilidad de que
pertenezca a la caja 1?
P [C1 | D] =
P [D | C1] P [C1]
P[D]
=
0.054
9
0.11111
= 0.2

Número en cada caja
µF 1 2 3 Total
0.01 20 95 25 140
0.1 55 35 75 165
1.0 70 80 145 295
Total 145 210 245 600
Cuadro 3.2: Acumuladores.
Ejemplo. Se disponen tres cajas donde se almacenan acumuladores según aparece en el Cuadro 3.2.
Se escoge al azar una caja y de ella, a su vez, un acumulador.
1. ¾Cuál es la probabilidad de que se haya seleccionado un acumulador de 0.01µF?
Notemos 0.01µF, 0.1µF y 1.0µF a los sucesos extraer un acumulador de 0.01µF, 0.1µF y 1.0µF
respectivamente. De igual forma, notemos c1, c2 y c3 a los sucesos elegir la caja 1, la caja 2 y la
caja 3, respectivamente. Utilizando el teorema de la probabilidad total,
P [0.01µF] = P [0.01µF / c1] P [c1] + P [0.01µF / c2] P [c2] + P [0.01µF / c3] P [c3]
=
20
145
1
3
+
95
210
1
3
+
25
245
1
3
=
5903
25 578
= 0.23078.
2. Si ha sido seleccionado un acumulador de 1.0µF, ¾cuál es la probabilidad de que proceda de la caja
1? Utilizando el teorema de Bayes,
P [c1 / 1.0µF] =
P [1.0µF / c1] P [c1]
P [1.0µF]
.
Por su parte,
P [1.0µF] = P [1.0µF / c1] P [c1] + P [1.0µF / c2] P [c2] + P [1.0µF / c3] P [c3]
=
70
145
1
3
+
80
210
1
3
+
145
245
1
3
=
6205
12 789
= 0.48518,
luego
P [c1 / 1.0µF] =
70
145
1
3
6205
12 789
=
2058
6205
= 0.33167.
Ejemplo. Siguiendo con el ejemplo de las arandelas con grosor fuera de las especicaciones de diseño,
¾cuál es la probabilidad de que la tercera arandela seleccionada sea más gruesa que las especicaciones
de diseño?
P[A3] = P[A3|A1∩A2
]P[A1 ∩ A2] + P[A3|Ā1∩A2
]P[Ā1 ∩ A2]
+P[A3|A1∩Ā2
]P[A1 ∩ Ā2] + P[A3|Ā1∩Ā2
]P[Ā1 ∩ Ā2]

= P[A3|A1∩A2
]P[A1]P[A2|A1
] + P[A3|Ā1∩A2
]P[Ā1]P[A2|Ā1
]
+P[A3|A1∩Ā2
]P[A1]P[Ā2|A1 ] + P[A3|Ā1∩Ā2
]P[Ā1]P[Ā2|Ā1
]
=
28
48
30
50
29
49
+
29
48
20
50
30
49
+
29
48
30
50
20
49
+
30
48
20
50
19
49
.
Ejemplo. En el canal de comunicaciones ternario que se describe en la Figura 3.4, se ha observado
que el dígito 3 es enviado tres veces más frecuentemente que 1, y 2 dos veces más frecuentemente
que 1. Calculemos la probabilidad de que un dígito cualquiera enviado a través del canal sea recibido
correctamente.
En primer lugar, si notamos P [X = 1] = p, entonces P [X = 2] = 2p y P [X = 3] = 3p. Por otra parte,
como
1 = P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3] = 6p,
se tiene que
P [X = 1] =
1
6
, P [X = 2] =
1
3
y P [X = 3] =
1
2
.
Ahora, utilizando el teorema de la probabilidad total,
P [dı́gito OK] = P [dı́gito OK / X = 1] P [X = 1]
+ P [dı́gito OK / X = 2] P [X = 2]
+ P [dı́gito OK / X = 3] P [X = 3]
= P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1]
+ P [Y = 2 / X = 2] P [X = 2]
+ P [Y = 3 / X = 3] P [X = 3]
= (1 − α)
1
6
+ (1 − β)
1
3
+ (1 − γ)
1
2
= P.
Ejemplo. Continuando con el anterior, si se recibe un 1, ¾cuál es la probabilidad de que se hubiera
enviado un 1?
Utilizando el teorema de Bayes,
P [X = 1 / Y = 1] =
P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1]
P [Y = 1]
.

Figura 3.4: Canal ternario de comunicaciones con probabilidad de cruce
Por su parte,
P [Y = 1] = P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1]
+ P [Y = 1 / X = 2] P [X = 2]
+ P [Y = 1 / X = 3] P [X = 3]
=
1 − α
6
+
β
6
+
γ
4
,
luego
P [X = 1 / Y = 1] =
1−α
6
1−α
6 + β
6 + γ
4
= 2
−1 + α
−2 + 2α − 2β − 3γ
.
3.9. Más sobre el Teorema de Bayes
La importancia del Teorema de Bayes en Estadística va mucho más allá de su aplicación como fórmula
que facilita probabilidades condicionadas. La losofía que subyace en él ha dado lugar a toda una forma de
entender la Estadística, llamada por ello Estadística Bayesiana. Vamos a tratar de explicar los fundamentos
de esta manera de entender el teorema.
Supongamos que hay un suceso A sobre el que tenemos un serio desconocimiento acerca de si se da o no se
da. Tanto es así que tenemos que determinar la probabilidad de dicho suceso, P [A]. Es importante entender
que nosotros somos conscientes de que A ha ocurrido o no ha ocurrido: el problema es precisamente que
no sabemos qué ha pasado. Decimos que es importante porque P [A] no representa la probabilidad de que A
ocurra, sino nuestro grado de creencia en que ha ocurrido.
Es posible que no tengamos, en principio, datos para conocer de forma exacta cuál es la probabilidad de A.
Aún así, podríamos atrevernos, como expertos en el tema, a dar una estimación de dicha probabilidad, P [A].
A esta probabilidad inicial que damos la vamos a llamar probabilidad a priori.
Ahora bien, hemos dado una probabilidad a priori P [A] sin ninguna información sobre A. Supongamos ahora

que tenemos nueva información que nos dará pistas acerca de si A ha ocurrido o no, y que dicha información
está recogida en un suceso que llamaremos B1. En ese caso, podríamos y deberíamos actualizar la probabilidad
de A basándonos en esta nueva información, proporcionando una nueva probabilidad de A que tenga en cuenta
B1, es decir, P [A |B1 ], que llamaremos probabilidad a posteriori.
En esa actualización de la probabilidad es donde entra el Teorema de Bayes, ya que nos dice que
P [A |B1
] =
P [B1 |A] P [A]
P [B1 |A] P [A] + P [B1 |Ā] P

Ā
.
Obsérvese que la probabilidad a posteriori es proporcional a la probabilidad a priori.
Finalmente, es muy importante ver que podemos extender esta forma de trabajar aplicando el teorema de
una forma recursiva. Después de conocer B1, nuestra nueva probabilidad para A es P [A |B1
]. Abusando de
la notación, podemos decir que esa es nuestra nueva probabilidad a priori y si, por ejemplo, tenemos más
información sobre A, dada por otro suceso B2, información independiente de B1, la nueva probabilidad
a posteriori sería
P [A |B1∩B2
] =
P [B2 |A∩B1
] P [A |B1
]
P [B2 |A∩B1 ] P [A |B1 ] + P

B2 |Ā∩B1

P

Ā |B1

=
P [B2 |A] P [A |B1 ]
P [B2 |A] P [A |B1 ] + P [B2 |Ā] P

Ā |B1
.
Es muy importante observar que en este cociente P [A |B1
] ocupa el lugar que antes ocupaba la probabilidad
a priori. Además, esta segunda probabilidad a posteriori podría considerarse como la nueva probabilidad a
priori para una nueva aplicación del teorema basada en el conocimiento de nueva información dada por un
suceso B3. Este proceso de actualización de las probabilidades a priori basada en la información disponible
puede realizarse cuantas veces sea necesario.
Vamos a ilustrar esto en un par de ejemplos.
3.9.1. Ejemplo del juez
Supongamos que un juez debe decidir si un sospechoso es inocente o culpable. Él sabe que debe ser cuidadoso
y garantista con los derechos del acusado, pero también por su experiencia parte de una creencia en que
el sospechoso puede ser culpable que, en cualquier caso, estima por debajo de lo que realmente cree para,
insisto, ser garantista con los derechos del acusado. Pongamos que estima esta probabilidad en un 10 %.
Ahora empieza a examinar las pruebas. La primera de ellas es una prueba de ADN en la que el acusado dio
positivo: encontraron material genético en el arma del crimen que, según la prueba, es suyo. Esa prueba de
ADN da positivo en el 99.5 % de las veces en que se comparan dos ADN's idénticos, pero también da positivo
(erróneamente) en el 0.005 % de las veces en que se aplica a dos ADN's distintos. Teniendo en cuenta esta
información, el juez aplica por primera vez el teorema de Bayes con los siguientes datos:
P [culpable] = 0.1, que es la probabilidad a priori que el juez considera.
La probabilidad de que la prueba de ADN de positivo si el acusado es culpable es
P [ADN+ |culpable] = 0.995.

La probabilidad de que la prueba de ADN de positivo si el acusado es inocente es
P [ADN+ |inocente] = 0.00005.
Ahora ya puede actualizar su grado de creencia en la culpabilidad del sospechoso:
P [culpable |ADN+] =
P [ADN+ |culpable] × P [culpable]
P [ADN+ |culpable] × P [culpable] + P [ADN+ |inocente] × P [inocente]
=
0.995 × 0.1
0.995 × 0.1 + 0.00005 × 0.9
= 0.999548
Es decir, ahora piensa que el sospechoso es culpable con un 99.9548 % de certeza. Fijémonos en que nuestra
probabilidad a priori aparece en los términos 0.1 en el numerador y 0.1 y 0.9 en el denominador. Esa, 0.1,
era la probabilidad que teníamos antes de la prueba de que fuera culpable (y 0.9 de que fuera inocente);
después de la prueba esa probabilidad es 0.999548 de que sea culpable (y 0.000452 de que sea inocente).
Sin embargo, el sospechoso insiste en su inocencia, y propone someterse a una prueba de un detector de
mentiras. Los expertos saben que un culpable es capaz de engañar a esta máquina en el 10 % de las veces, y
que la máquina dirá el 1 % de las veces que un inocente miente. Nuestro sospechoso se somete a la máquina y
ésta dice que es inocente. ¾Cuál será ahora la probabilidad que el juez asigna a la culpabilidad del sospechoso?
Teniendo en cuenta que:
P [maquina− |culpable] = 0.1,
P [maquina+ |inocente] = 0.01,
debe aplicar de nuevo el Teorema de Bayes, considerando ahora que la probabilidad a priori de que sea
culpable es 99.9548 %:
P [culpable |maquina−] =
P [maquina− |culpable] × P [culpable]
P [maquina− |culpable] × P [culpable] + P [maquina− |inocente] × P [inocente]
=
0.1 × 0.999548
0.1 × 0.999548 + (1 − 0.01) × (1 − 0.999548)
= 0.9955431.
Es decir, aún con esa prueba negativa, el juez aún tiene un 99.55431 % de certidumbre de que el sospechoso
es culpable. De nuevo, podemos resumir este paso diciendo que antes de la segunda prueba nuestra
probabilidad de que fuera culpable era de 0.999548 (que aparece en la fórmula ocupando la posición de la
probabilidad a priori), mientras que después de la segunda prueba esa probabilidad es 0.9955431.
El proceso puede verse resumido en el Cuadro 3.3.
3.9.2. Ejemplo de la máquina de detección de fallos
En un proceso industrial de producción en serie de capós de coche, existe una máquina encargada de detectar
desperfectos que desechen una pieza de capó. Esa máquina está calibrada para detectar una pieza defectuosa
con un 90 % de acierto, pero también detecta como defectuosas el 5 % de las piezas no defectuosas. El
encargado de calidad estima, por estudios previos, que el porcentaje general de piezas defectuosas es del 5 %.
Este encargado, consciente de que la máquina puede dar por buenas piezas que son defectuosas, decide actuar
de la siguiente forma: una pieza que sea detectada como no defectuosa pasará otras dos veces por la misma
máquina detectora y sólo será declarada no defectuosa cuando en ninguna de esas tres pruebas, de defectuosa.

P [Culpable]
Antes de Después de
la prueba la prueba
1ª prueba: ADN+ 0.1
P [ADN+|culpable]×0.1
P [ADN+|culpable]×0.1+P [ADN+|inocente]×(1−0.1) = 0.999548
2ª prueba: maquina− 0.999548
P [maquina−|culpable]×0.999548
P [maquina−|culpable]×0.999548+P [maquina−|inocente]×(1−0.999548) = 0.9955431
Cuadro 3.3: Esquema del proceso iterativo del teorema de Bayes en el ejemplo del juez. La probabilidad a
priori (antes de cada prueba) es la que se utiliza en la fórmula para obtener la probabilidad a posteriori
(despúés de cada prueba). La probabilidad a posteriori (después) de una prueba es la probabilidad a priori
(antes) de la siguiente prueba.
Supongamos que una pieza pasa las tres veces y da no defectuosa: ¾cuál es la probabilidad de que realmente
sea no defectuosa?
Vamos a empezar notando adecuadamente los sucesos. Notaremos D al suceso ser defectuosa y por + a dar
positivo como defectuosa en la prueba de la máquina. Sabemos que:
P [D] = 0.05, que es la probabilidad a priori;
P [+ |D] = 0.9 y
P [+ |D̄] = 0.05.
La probabilidad a priori de que una pieza sea no defectuosa es de 0.95, pero si es detectada como defectuosa
una primera vez, dicha probabilidad pasa a ser
P

D̄ |+̄

=
P [+̄ |D̄] P

D̄

P [+̄ |D̄] P

D̄

+ P [+̄ |D] P [D]
=
0.95 × 0.95
0.95 × 0.95 + 0.1 × 0.05
= 0.9944904.
Esa probabilidad pasa a ser la probabilidad a priori para la segunda vez que da no defectuosa. Por tanto, la
probabilidad de que sea no defectuosa si da negativo por segunda vez es
P

D̄ |+̄+̄

=
P [+̄ |D̄] 0.9944904
P [+̄ |D̄] 0.9944904 + P [+̄ |D] (1 − 0.9944904)
=
0.95 × 0.9944904
0.95 × 0.9944904 + 0.1 × (1 − 0.9944904)
= 0.9994172.
Finalmente, la probabilidad de que sea no defectuosa si da negativo por tercera vez es
P

D̄ |+̄+̄+̄

=
P [+̄ |D̄] 0.9994172
P [+̄ |D̄] 0.9994172 + P [+̄ |D] (1 − 0.9994172)
=
0.95 × 0.9994172
0.95 × 0.9994172 + 0.1 × (1 − 0.9994172)
= 0.9999386.
Como podemos ver, si una pieza da no defectuosa tres veces, la probabilidad de que sea realmente no
defectuosa es altísima, del orden del 99.99 %, así que el método ideado por el responsable de calidad parece
consistente.

P

D̄

Antes de Después de
la prueba la prueba
1ª prueba: +̄ 0.95
P [+̄|D̄]0.95
P [+̄|D̄]0.95+P [+̄|D](1−0.95) = 0.9944904
2ª prueba: +̄ 0.9944904
P [+̄|D̄]0.9944904
P [+̄|D̄]0.9944904+P [+̄|D](1−0.9944904) = 0.9994172
3ª prueba: +̄ 0.9994172
P [+̄|D̄]0.9994172
P [+̄|D̄]0.9994172+P [+̄|D](1−0.9994172) = 0.9999386
Cuadro 3.4: Esquema del proceso iterativo del teorema de Bayes en el ejemplo de la máquina de detección
de fallos. La probabilidad a priori (antes de cada prueba) es la que se utiliza en la fórmula para obtener la
probabilidad a posteriori (despúés de cada prueba). La probabilidad a posteriori (después) de una prueba es
la probabilidad a priori (antes) de la siguiente prueba.

Capítulo 4
Variable aleatoria. Modelos de
distribuciones de probabilidad
Mas a pesar de todo eso, aunque la mala suerte exista, muy pocos reporteros veteranos creen de
verdad en ella. En la guerra, las cosas suelen discurrir más bien según la ley de las probabilidades:
tanto va el cántaro a la fuente que al nal hace bang.
Arturo Pérez Reverte, en Territorio Comanche
Resumen. En este capítulo continuamos con el estudio de la probabilidad, utilizando el concepto de variable
aleatoria para referirnos a experimentos donde el resultado queda caracterizado por un valor numérico. Se
presentan algunos de los modelos más habituales de asignación de probabilidades y sus propiedades más
relevantes.
Palabras clave: variable aleatoria, variable discreta, función masa de probabilidad, variable continua, función
de densidad de probabilidad, función de distribución, media, varianza, distribución binomial, distribución
de Poisson, distribución geométrica, distribución uniforme, distribución exponencial, distribución Gamma,
distribución normal.
4.1. Introducción
En el tema anterior hemos visto que la Estadística se ocupa de experimentos aleatorios. En general, en Ciencia
y Tecnología se suele analizar cualquier experimento mediante una o varias medidas del mismo. Por ejemplo,
se analiza un objeto según su peso, su volumen, su densidad, su contenido de agua...; o se analiza el tráco
de Internet según el número de conexiones a un servidor, el volumen total de tráco generado, la velocidad...
En estos sencillos ejemplos observamos que se ha descrito un fenómeno físico, como puede ser un objeto o
el estado de una red de comunicaciones en un momento dado, mediante uno o varios números o variables.
Cuando ese fenómeno es de tipo aleatorio, vamos a llamar a esa asignación variable aleatoria.
Consideremos un experimento probabilístico con un espacio muestral Ω en el que se ha denido una función
de probabilidad P [·] .
63

Una variable aleatoria (a partir de ahora v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento
aleatorio. Se trata, por tanto, de una función real con dominio en el espacio muestral, X : Ω → R.
Podemos pensar en una v.a. como en una variable asociada a una población conceptual, ya que sólo podrá
observarse cuando se tomen muestras suyas.
En la notación que vamos a utilizar representaremos las variables aleatorias como funciones siempre en
mayúsculas, y a sus valores concretos siempre en minúscula. Es decir, si queremos referirnos a una v.a. antes
de observar su valor, podemos notarla como X, por ejemplo; pero una vez que se observa el valor de dicha
variable (ya no es, por tanto, algo aleatorio), debemos notar a ese valor en minúscula, por ejemplo, como x.
Por ejemplo, podemos decir que la variable aleatoria X que corresponde a la puntuación obtenida al lanzar el
dado puede tomar los valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Podremos preguntarnos por la probabilidad de que X tome
el valor x = 4 o de que X ≤ 6. Si lanzamos el dado y observamos que ha salido un 6, diremos que x = 6.
No olvidemos que el objeto de la Estadística con respecto a la observación de fenómenos aleatorios es medir
la certidumbre o la incertidumbre asociada a sus posibles resultados. Al describir estos resultados mediante
variables aleatorias, lo que tenemos son resultados numéricos sujetos a incertidumbre. El objetivo ahora es
cuanticar la probabilidad de esos resultados numéricos de alguna forma.
4.2. Variable aleatoria discreta
4.2.1. Denición
Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto, a lo
sumo, numerable (discreto).
Ejemplo. Son variables discretas:
El número de accidentes laborales en una empresa al año.
El número de errores en un mensaje transmitido.
El número de piezas defectuosas producidas a lo largo de un día en una cadena de producción.
El número de días de baja de un trabajador al mes.
4.2.2. Función masa de probabilidad
Dada una v.a. discreta, X, se dene su función masa de probabilidad como
f (x) = P [X = x] ,
para cada x ∈ R.

Nota. Obsérvese que una función masa de una v.a. discreta está denida en todos los puntos de la recta
real, pero sólo valdrá distinto de cero en un conjunto, a lo sumo, numerable, que corresponde con los
únicos valores que pueden darse de la variable.
Sea X una v.a. discreta y f (x) su función masa. Entonces:
1. f (x) ≥ 0 para todo x ∈ R.
2.
P
x∈R f (x) = 1.
3. En general, para cualquier conjunto B,
P [X ∈ B] =
X
xi∈B
f (xi) ,
donde xi son valores posibles de X.
4.2.3. Función masa de probabilidad empírica
En la práctica nadie conoce la auténtica función masa de una variable discreta, pero podemos aproximarla
mediante la función masa de probabilidad empírica asociada a una muestra de resultados.
Si tenemos una colección de posibles resultados de la variable X, x1, ..., xN , esta función asigna al valor x la
frecuencia con la que dicho valor se da en la muestra, es decir,
femp (x) =
número de valores xi iguales a x
N
.
Si el tamaño, N, de la muestra es grande, esta función tiende a la auténtica, es decir, para cada x ∈ R.
lı́m
N→∞
femp (x) = f (x) .
Ejemplo. En la Figura 4.1 aparece la función masa empírica correspondiente al lanzamiento de un dado
600 veces. Esta función empírica aparece representada en barras verticales, mientras que la función masa
teórica, f (x) = 1
6 , para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 aparece representada como una línea horizontal. Puede apreciar-
se cómo proporcionan probabilidades teóricas y empíricas bastante parecidas. No obstante, ¾deberíamos
concluir a la luz de estos 600 datos que el dado no está cargado?
4.2.4. Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Dada una v.a. discreta, X, con función masa de probabilidad f(x), se dene su media o esperanza matemática
como
EX =
X
x
x × f(x).

Figura 4.1: Función masa empírica de una muestra de 600 lanzamientos de un dado.
Como en el caso de la media muestral de unos datos, la media de una v.a. se interpreta como el centro de
gravedad de los valores que puede tomar la variable, con la diferencia que en una media muestral, el peso de
cada valor lo da la frecuencia de dicho valor en los datos y aquí el peso lo determina la probabilidad, dada
por la función masa.
Dada una v.a. discreta, X, con función masa de probabilidad f(x), se dene su varianza como
V arX =
X
x
(x − EX)2
× f(x).
La forma más cómoda de calcular en la práctica la varianza es desarrollando previamente el cuadrado que
aparece en su denición, ya que
V arX =
X
x
(x − EX)2
× f(x) =
X
x
(x2
− 2xEX + EX2
) × f(x)
=
X
x
x2
× f(x) − 2EX ×
X
x
x × f(x) + EX2
×
X
x
f(x)
=E[X2
] − 2EX2
+ EX2
= E[X2
] − EX2
.
Al igual que ocurre con la varianza muestral es conveniente denir la desviación típica de una v.a., como
σ =
√
V arX, que tiene las mismas unidades que la media y que se puede interpretar como una media del
grado de variación del conjunto de valores que puede tomar la v.a. respecto del valor de la media.
4.3. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables dis-
cretas
Según lo que hemos visto hasta ahora, la forma en que se asigna probabilidad a los resultados de una
variable aleatoria discreta viene dada por la función masa de probabilidad. A esta manera de determinar la

probabilidad asociada a los resultados de la variable la vamos a llamar a partir de ahora distribución de
probabilidad de una v.a. Démonos cuenta que, como acabamos de comentar, para determinar la distribución
de probabilidad de una v.a. sólo tenemos que dar su función función masa de probabilidad.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que en la vida real nadie conoce cuál es la auténtica distribución de
probabilidad de una v.a., porque nadie sabe a priori cuál es la función masa de dicha variable. Todo lo más,
podemos calcular la función masa empírica a partir de los datos de una muestra. Aún así, llegará el momento
de pasar al límite, es decir, de inducir una fórmula teórica que corresponda a la distribución de probabilidad
que proponemos y que se parezca a la distribución empírica de los datos de la muestra.
Para ayudar a ese paso al límite, en Estadística se estudian modelos teóricos de distribuciones de pro-
babilidad. Se trata de fórmulas teóricas de funciones masa que pueden resultar adecuadas para determinadas
variables aleatorias.
Hay una metáfora que puede ayudar a entender cómo se asigna una distribución de probabilidad y sobre la que
abundaremos en lo sucesivo: ¾qué ocurre cuando queremos comprar unos pantalones? En general acudimos
a una tienda de moda y:
1. De entre una serie de modelos, elegimos el modelo que creemos que mejor nos va.
2. Buscamos la talla que hace que mejor se ajuste a nosotros, según nuestras características.
Pues bien, en el caso de las v.a.
nuestras características son las posibles observaciones que tenemos sobre la v.a. que, por ejemplo,
pueden determinar una distribución empírica asociada a una muestra;
los modelos de la tienda, entre los que elegimos el que más nos gusta, son los modelos teóricos que
vamos a empezar a estudiar a continuación;
y la talla que hace que los pantalones se ajusten a nosotros adecuadamente son los parámetros de los
modelos teóricos.
En lo que resta de este capítulo vamos a describir algunos de los modelos teóricos de probabilidad más
habituales en el ámbito de las Ingenierías, comenzando por el caso de v.a. discretas.
4.3.1. Distribución binomial
Sea X una v.a. discreta que toma los valores x = 0, 1, ..., n, donde n es un número natural conocido. Se dice
que X sigue una distribución binomial de parámetros n y p (y se nota X → B (n, p)) si su función masa
es
f (x) =
n
x
!
px
(1 − p)
n−x
=
n!
x! (n − x)!
px
(1 − p)
n−x
, x = 0, 1, 2, ..., n.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
B(10,0.25)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
B(10,0.5)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
B(10,0.75)
Figura 4.2: Funciones masa de distribuciones binomiales.
Sea X → B (n, p). Entonces
EX = np
V arX = np (1 − p) .
Caracterización de la distribución binomial. Supongamos que un determinado experimento aleatorio
se repite n veces de forma independiente y que en ese experimento hay un suceso que denominamos éxito,
que ocurre con probabilidad constante p. En ese caso, la variable aleatoria X que mide el número de éxitos
sigue una B (n, p).
En esta caracterización es importante observar que las dos hipótesis fundamentales de esta distribución son:
los experimentos se repiten de forma independiente y
la probabilidad de éxito es constante.
En la medida en que estas dos hipótesis no sean válidas, la distribución binomial no será adecuada para la
variable que cuenta el número de éxitos.
Un ejemplo particular de distribución binomial lo constituye la denominada distribución de Bernouilli.
Se trata de una distribución B (1, p), con función masa
f (x) =
(
1 − p si x = 0
p si x = 1
.

x 0 1 2 3 4
P [X = x]
4
0

0.20
0.84
= 0.41
4
1

0.21
0.83
= 0.41
4
2

0.22
0.82
= 0.15
4
3

0.23
0.81
= 0.03
4
4

0.24
0.80
= 0.00
Cuadro 4.1: Función masa de una B (4, 0.2)
Ejemplo. Consideremos como v.a. el número de días a la semana que un joven de hoy consu-
me alcohol. ¾Podríamos pensar que se trata de una v.a. con distribución B (7, p), donde p =
número medio de dı́as de consumo
7 ? Probablemente no, porque
1. Puede darse el efecto resaca, es decir, si se consume mucho un día, huir del alcohol al día siguiente; o
el efecto inverso un clavo quita otro clavo; o ...; en denitiva, circunstancias que rompan la hipótesis
de independencia en el consumo en días distintos.
2. Está claro que la probabilidad de consumir un martes no es, en general, la misma que un sábado.
Tampoco todos los jóvenes tienen la misma probabilidad de consumir alcohol un día cualquiera.
Ejemplo. Un ingeniero se ve obligado a transmitir dígitos binarios a través de un sistema de comu-
nicaciones bastante imperfecto. Por estudios previos, estima que la probabilidad de que un dígito se
transmita incorrectamente es del 20 %. El ingeniero envía un mensaje de 4 dígitos y se pregunta cuántos
se recibirán incorrectamente.
Desde el punto de vista estadístico nosotros no podemos responder a esa pregunta. En realidad, nadie
puede responder a esa pregunta con certeza, porque existe incertidumbre latente en ella: el azar deter-
minará cuántos dígitos se cruzan. Lo que sí podemos hacer es facilitarle el grado de certeza, es decir, la
probabilidad, de cada uno de los posibles resultados.
Concretamente, si analizamos la variable X: número de dígitos que se reciben incorrectamente, teniendo
en cuenta que el ensayo de cada envío de cada dígito se hará de forma independiente y que nos ha dicho
que la probabilidad de que un dígito se reciba incorrectamente es 0.2, podemos armar que un modelo de
probabilidad adecuado para dicha variable es una distribución B(4, 0.2). Esta distribución nos permite
calcular la probabilidad de que se crucen 0, 1, 2, 3 o 4 de los dígitos. Lo esquematizamos en la tabla
adjunta. Vistos los resultados, debemos decirle al ingeniero que es hartamente improbable que le fallen
los 4 dígitos, pero que tiene una probabilidad (ver Cuadro 4.1) de
0.41 + 0.15 + 0.03 + 0.00 = 0.59
de que le falle el envío de al menos uno de ellos.

4.3.2. Distribución de Poisson
Sea X una v.a. discreta, que puede tomar los valores x = 0, 1, 2, ... Se dice que X sigue una distribución
de Poisson de parámetro λ (y se nota X → P (λ)) si su función masa es
f (x) = e−λ λx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
Sea X → P (λ). Entonces
EX = λ
V arX = λ.
Caracterización de la distribución de Poisson. Consideremos el número de éxitos en un periodo de
tiempo donde los éxitos acontecen a razón de λ veces por unidad de tiempo (en promedio) y de forma
independiente. En ese caso
X : número de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo
es una variable de Poisson de parámetro λ, y se nota X → P (λ) .
En esta caracterización, las hipótesis fundamentales ahora son:
la independencia de las realizaciones y
el promedio constante de ocurrencias por unidad de tiempo.
Ejemplo. La distribución de Poisson suele utilizarse como modelo para el número de accidentes ocurridos
en los individuos de una población a lo largo de un periodo de tiempo. Lo que mucha gente no termina
de asumir es que hacer esa suposición equivale a decir que todos esos individuos tienen el mismo riesgo
de tener un accidente y que el hecho de que un individuo tenga un accidente no modica para nada la
probabilidad de sufrir un nuevo accidente. Es evidente que en muchas situaciones de la vida real eso no
es cierto, así que el modelo no será adecuado en ellas.
Ejemplo. Otra aplicación muy común de la distribución de Poisson es al número de partículas por unidad
de volumen en un uido cuando una disolución está realmente bien disuelta. En caso de que los datos
indiquen que la distribución de Poisson no es adecuada, podríamos de hecho inferir que la disolución no
está bien disuelta.
Ejemplo. En el contexto de las redes de telecomunicaciones, el uso más común de la distribución de
Poisson es en el ámbito del número de solicitudes de servicio a un servidor. Por ejemplo, se suele considerar
que el nº de llamadas a una centralita o el nº de conexiones a un servidor sigue una distribución de Poisson.

Sin embargo, hay que decir que aunque este uso de la distribución de Poisson es muy común, es evidente
que la hipótesis de que el promedio λ debe ser constante, no se da en estas aplicaciones, ya que uno de
los fenómenos más conocidos en telecomunicaciones es el de la hora cargada: no es el mismo promedio de
llamadas el que se produce a las 12 del mediodía que a las 3 de la mañana. Lo que se suele hacer es aplicar
uno de los principios más importantes aunque menos escritos de la ingeniería, la ley de Murphy (si algo
puede ir mal, prepárate para ello, porque en algun momento irá mal): así, las redes de telecomunicaciones
suelen dimensionarse para ser capaces de funcionar en el peor de los escenarios posibles, es decir, cuando
el promedio de solicitudes es el que se da en la hora cargada.
Aproximación de la binomial. Ley de eventos raros. Supongamos que, como en la caracterización
de la distribución binomial, un determinado experimento aleatorio se repite n veces de forma independiente
y que en ese experimento hay un suceso que denominamos éxito, que ocurre con probabilidad constante p.
Adicionalmente, supongamos que el experimento se repite un gran número de veces, es decir, n es grande y
que el éxito es un suceso raro, es decir, p es pequeño, siendo el promedio de ocurrencias, µ = np. En ese caso,
la variable aleatoria X que mide el número de éxitos sigue (aproximadamente) una P (µ).
En esta segunda caracterización se suele considerar aceptable la aproximación si n 20 y p 0.05. Si
n 100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np 10. Hay que tener en cuenta que
para esos valores de los parámetros, la distribución binomial tendría bastantes problemas para ser computada,
ya que se exigiría, entre otros cálculos, el cálculo de n! para un valor de n alto, por lo que la aproximación
es muy útil.
Ejemplo. Supongamos que un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840
generadores de gran tamaño. Si la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año en curso
es de
1
1200 , determinemos la probabilidad de que
a. 4 generadores fallen durante el año en curso,
b. Más 1 de un generador falle durante el año en curso.
El promedio de motores que fallan en el año es λ = np = (3840)(1/1200) = 3.2.
Sea X la variable que dene el número de motores que pueden fallar en el año, con valores x =
0, 1, 2, 3, ...., 3840.
En principio, X → B (3840, 1/1200) , pero dado que n es muy grande y p muy pequeño, podemos
considerar que X → P (3.2). Por tanto,
P [X = 4] =
e−3.2
3.24
4!
= 0.178 09
Por su parte,
P [X 1] = 1 − P [X = 0, 1] = 1 −
e−3.2
3.20
0!
−
e−3.2
3.21
1!
= 0.828 80

−5 0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
P(1)
−5 0 5 10 15 20 25
0
0.05
0.1
0.15
0.2
P(5)
−5 0 5 10 15 20 25
0
0.05
0.1
0.15
0.2
P(10)
Figura 4.3: Funciones masa de distribuciones de Poisson.
4.3.3. Distribución geométrica
Sea X una v.a. discreta que puede tomar los valores x = 0, 1, 2, ... Se dice que sigue una distribución
geométrica de parámetro p (y se nota X → Geo (p)), con 0 p 1, si su función masa es
f (x) = p (1 − p)
x
, para x = 0, 1, 2, ...
Sea X → Geo (p). Entonces,
EX =
1 − p
p
V arX =
1 − p
p2
.
Caracterización de la distribución geométrica. Supongamos que un determinado experimento aleatorio
se repite sucesivamente de forma independiente y que en ese experimento hay un suceso que denominamos
éxito, que ocurre con probabilidad constante p. En ese caso, la variable aleatoria X que cuenta el número de
fracasos hasta que ocurre el primer éxito sigue una Geo (p).

−5 0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Geo(0.25)
−5 0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Geo(0.5)
−5 0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Geo(0.75)
Figura 4.4: Funciones masa de distribuciones geométricas.
Ejemplo. Siguiendo con un ejemplo anterior, sobre el ingeniero que envía dígitos a través de un canal
imperfecto, ahora se plantea cuántos dígitos se recibirán correctamente hasta que uno se cruce, sabiendo
que la probabilidad de que uno cualquiera lo haga es de 0.2.
La variable de interés ahora es Y : nº de dígitos que se reciben bien hasta el primero que se cruza. Esta
variable tiene como modelo de probabilidad una distribución Geo(0.2). Gracias a este modelo, podemos
decirle, por ejemplo, que la probabilidad de que envíe bien dos y que falle el tercero es de
P [Y = 2] = 0.2 × 0.82
= 0.128.
4.3.4. Distribución binomial negativa
Sea una v.a. discreta que puede tomar los valores x = 0, 1, 2, ... Se dice que X sigue una distribución
binomial negativa de parámetros a y p (y se nota X → BN (a, p)), con a 0 y 0 p 1, si su función
masa es
f (x) =
Γ (a + x)
Γ (a) Γ (x + 1)
pa
(1 − p)
x
para x = 0, 1, 2, ...
donde Γ (x) =
´ ∞
0
sx−1
e−s
ds es la función gamma.
Obsérvese que la distribución geométrica es un caso particular de la binomial negativa, cuando a = 1.

Sea X → BN (a, p). Entonces
EX = a
1 − p
p
V arX = a
1 − p
p2
Caracterización de la distribución binomial negativa. Sea un determinado experimento aleatorio que
se repite sucesivamente de forma independiente y donde hay un suceso que denominamos éxito, que ocurre
con probabilidad constante p. En ese caso, la variable aleatoria X que cuenta el número de fracasos hasta
que ocurre el k-ésimo éxito sigue una BN (k, p). En este caso, además, y dado que Γ (r) = (r − 1)! si r es un
entero,
f (x) =
(k + x − 1)!
(k − 1)!x!
pk
(1 − p)
x
para x = 0, 1, 2, ...
=
k + x − 1
k − 1
!
pk
(1 − p)
x
para x = 0, 1, 2, ...
Caracterización de la distribución binomial negativa. Sean X1, ..., Xn v.a. independientes
a con distri-
bución Geo (p). En ese caso, X =
Pn
i=1 Xi sigue una BN (n, p). De nuevo obsérvese que el primer parámetro
es un entero.
aPodemos quedarnos por ahora con la idea de que v.a. independientes son aquellas tales que el resultado de cualquiera de
ellas no afecta al resto.
Ejemplo. Continuando con el ejemplo de la transmisión de dígitos a través de un sistema imperfec-
to, ¾cuántos dígitos se transmitirán correctamente hasta que dos lo hagan incorrectamente? De nuevo
tenemos que asumir que no hay una respuesta para esto, pero sí podemos considerar un modelo de
probabilidad para ello que nos ayude a tomar decisiones.
Sea Z: nº de dígitos que se reciben bien hasta que dos se cruzan. Esta v.a. sigue una distribución
BN(2, 0.2). Gracias a este modelo, podemos decirle al ingeniero, por ejemplo, que la probabilidad de
que se le crucen 2 dígitos con 10 o menos envíos es
P[Z ≤ 8] =
8
X
z=0
P[Z = z] =
8
X
z=0
(2 + z − 1)!
(2 − 1)!z!
0.22
0.8z
= 0.62

−10 0 10 20 30 40
0
0.05
0.1
−10 0 10 20 30 40
0
0.02
0.04
0.06
−10 0 10 20 30 40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−10 0 10 20 30 40
0
0.05
0.1
0.15
0.2
−10 0 10 20 30 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−10 0 10 20 30 40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
BN(2.5,0.25)
BN(2.5,0.5)
BN(2.5,0.75)
BN(5,0.25)
BN(5,0.5)
BN(5,0.75)
Figura 4.5: Funciones masa de distribuciones binomiales negativas.
4.4. Variable aleatoria continua
4.4.1. Denición
Una variable aleatoria es continua si el conjunto de valores que puede tomar sólo puede encerrarse en
intervalos, formando, por tanto, un conjunto con un número innito no numerable de elementos.
Ejemplo. Son variables aleatorias continuas:
La tensión de fractura de una muestra de asfalto.
El grosor de una lámina de aluminio.
El pH de una muestra de lluvia.
La duración de una llamada telefónica.
4.4.2. Histograma
Hay una diferencia fundamental entre las variables discretas y las continuas: en las discretas podemos, al
menos, numerar los posibles valores y contar el número de veces que sale cada valor posible en una muestra.
Sin embargo, por el carácter que tienen los intervalos de números reales, por muy grande que fuera la muestra

Histograma con N=100 datos
Densidad
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Histograma con N=1000 datos
Densidad
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 4.6: Histogramas.
que tomáramos de una variable continua, jamás tendríamos más de un valor de algunos puntos que puede
tomar la variable
1.
Por esa razón, en una variable continua no podemos denir una función masa empírica, precisamente porque
los valores de una variable continua no tienen masa de probabilidad.
Sin embargo, como sabemos, existe una representación análoga a la función masa empírica que permite
aproximar las probabilidades de los valores de una variable continua: el histograma.
Vamos a considerar un sencillo ejemplo para ilustrar esta cuestión: mediante R simulamos dos muestras de
una variable, una con N = 100 valores y otra con N = 1000. Histogramas asociados a estas muestras, con
10 y 31 intervalos, respectivamente, aparecen en la Figura 4.6. Teniendo en cuenta que el área de las barras
representa la frecuencia relativa con que se dan los valores de los sucesivos intervalos en la muestra, en estos
histogramas podemos ver que la variable toma mayoritariamente valores cercanos a cero; tanto más lejano al
cero es un valor, menos probable parece ser. Este descenso de la probabilidad es además, muy acusado, casi
exponencial.
Por otra parte, obsérvese que al pasar de 100 datos en la muestra a 1000 datos, el histograma esboza la forma
de una función real de variable real. En general, cuanto mayor es N más se aproximan los histogramas a la
forma de una función continua. Vamos a ir viendo cuál es la utilidad de esa función desde el punto de vista
del Cálculo de Probabilidades.
Si en el histograma de la izquierda de la Figura 4.6 quisiéramos calcular la probabilidad en la muestra de
alguno de los intervalos que denen el gráco, la respuesta sería el área de la barra sobre dicho intervalo. Si
quisiéramos la probabilidad en la muestra de varios intervalos, sumaríamos las áreas de las barras.
El problema es que para que las probabilidades en la muestra se parezcan a las verdaderas probabilidades
es necesario que el tamaño de la muestra sea grande, cuanto mayor, mejor. En ese caso, tendríamos un
1Esto sucedería siempre que tomemos un número suciente de decimales en cada valor.

histograma más parecido al de la derecha de la Figura 4.6. En él, de nuevo, si queremos, por ejemplo, calcular
P [a X b] ,
deberíamos sumar las áreas de las barras que forman el intervalo (a, b), si es que hay intervalos que forman,
exactamente, el intervalo (a, b) .
Pero si el tamaño de la muestra es lo sucientemente amplio para poder pasar al límite y encontrar una
función real de variable real f (x) que represente la línea que dene el histograma, calcular una probabilidad
del tipo P [a X b] sumando las áreas de las barras de los intervalos innitesimales que forman el intervalo
(a, b) equivale a integrar dicha función en el intervalo (a, b), es decir,
P [a X b] =
ˆ b
a
f (x) dx.
4.4.3. Función de densidad
Dada una v.a. continua, X, la función de densidad de probabilidad de X es aquella función f (x) tal
que para cualesquiera a, b ∈ R o a, b = ±∞,
P [a X b] =
ˆ b
a
f (x) dx
Nota. Dado que a efectos del cálculo de integrales un punto no afecta al resultado de la integral, si
a, b ∈ R, podemos decir que
P [a X b] =
ˆ b
a
f (x) ,
P [a ≤ X b] =
ˆ b
a
f (x) ,
P [a X ≤ b] =
ˆ b
a
f (x) ,
P [a ≤ X ≤ b] =
ˆ b
a
f (x) .
Este hecho pone de maniesto que los valores concretos de una variable aleatoria continua no tienen
masa de probabilidad, ya que
P [X = x0] =
ˆ x0
x0
f (x) dx = 0,
pero sí tienen densidad de probabilidad, f (x0). Esta densidad de probabilidad representa la probabilidad
de los intervalos innitesimales de valores alrededor de x0. Así, aunque P [X = x0] = 0, si f (x0) toma
un valor alto, querrá decir que los valores alrededor de x0 son muy probables.
Dada una v.a. continua, X con función de densidad f (x):

1. f (x) ≥ 0 para todo x ∈ R.
2.
´ ∞
−∞
f (x) = 1.
3. En general, para cualquier conjunto de números reales, B,
P [X ∈ B] =
ˆ
B
f (x) dx.
4.4.4. Función de distribución
Se dene la función de distribución de probabilidad de una v.a. continua X como
F (x) = P [X ≤ x] =
ˆ x
−∞
f (t) dt.
Si X es una v.a. continua con función de densidad f (x) y función de distribución F (x), entonces
1. lı́mx→−∞ F (x) = 0.
2. lı́mx→∞ F (x) = 1.
3. F es creciente.
4. F es continua.
5. f (x) = F0
(x) .
Ejemplo. Considérese una variable aleatoria continua, X, con función de densidad f (x) = ce−a|x|
.
Vamos a calcular la constante c, la función de distribución y P [X ≥ 0].
En primer lugar,
1 =
ˆ ∞
−∞
f (x) dx =
ˆ 0
−∞
f (x) dx +
ˆ ∞
0
f (x) dx
=
ˆ 0
−∞
c exp (ax) dx +
ˆ ∞
0
c exp (−ax) dx =
2c
a
,
luego es necesario que c = a
2 .
Por otra parte,
F (x) =
ˆ x
−∞
f (t) dt =
(
1
2 eax
si x 0
1
2 + 1−e−ax
2 si x ≥ 0
Por último, P [X ≥ 0] =
´ ∞
0
f (x) dx = 1
2 .
La función de densidad y la de distribución, para a = 1, aparecen en la Figura 4.7.

Figura 4.7: Función de densidad (izquierda) y de distribución (derecha).
Ejemplo. Consideremos una v.a. continua con función de distribución dada por
F (x) =





0 si x 0
x si 0 ≤ x 1
1 si x ≥ 1
.
En ese caso, la función de densidad es
f (x) = F0
(x) =
(
1 si 0 ≤ x ≤ 1
0 en otro caso
Grácamente, ambas funciones aparecen en la Figura 4.8. En esta variable, todos los puntos tienen la
misma densidad de probabilidad, indicando que todos los intervalos de la misma longitud, dentro de
[0, 1] , tienen la misma probabilidad.
4.4.5. Función de distribución empírica
Al igual que ocurre con la función masa empírica con respecto a la función masa y al histograma con respecto
a la función de densidad, la función de distribución, indistintamente de que se trate de una variable discreta
o continua, también tiene una versión muestral.
Concretamente, si tenemos una variable aleatoria X y una muestra suya de tamaño N, (x1, ..., xN ) , la función
de distribución empírica se dene como
SN (x) =
número de valores ≤ x
N
.
Esta función se utiliza para aproximarse a la función de distribución, ya que para un gran número de valores,

Figura 4.8: Función de densidad (izquierda) y de distribución (derecha).
la curva empírica se parecerá bastante a la función de distribución. Dicho de otra forma,
lı́m
N→∞
SN (x) = F (x) ,
para cada x.
Ejemplo. En el ejemplo anterior se hablaba de una variable aleatoria continua cuya función de distri-
bución es
F (x) =





0 si x 0
x si x ∈ [0, 1]
1 si x 1
.
En la Figura 4.9 hemos representado dos funciones de distribución empíricas asociadas a sendas muestras
de tamaño N = 10 (izquierda) y N = 100 (derecha).
Obsérvese que cuando aumenta el tamaño de la muestra (N), la función de distribución empírica se
parece cada vez más a la función de distribución.
4.4.6. Media y varianza de una v.a. continua
Sea X una v.a. continua con función de densidad f(x). Se dene su media o esperanza matemática como
EX =
ˆ ∞
−∞
x × f(x)dx.
La interpretación de la media de una v.a. continua es, de nuevo, la de un valor central alrededor del que se
dan el conjunto de realizaciones de la v.a. Otra interpretación es la de valor esperado, en el sentido de que

Figura 4.9: Funciones de distribución empíricas.
es el valor de la variable aleatoria en el que a priori se tienen más esperanzas.
Ejemplo. Sea una v.a. continua con función de densidad
fX (x) =
(
1
x2−x1
si x1 ≤ x ≤ x2
0 en otro caso
.
Calculemos su media:
EX =
ˆ x2
x1
x ·
1
x2 − x1
· dx
=
1
x2 − x1
·

x2
2
x2
x1
=
1
2
·
x2
2 − x2
1
x2 − x1
=
1
2
·
(x2 − x1) · (x2 + x1)
x2 − x1
=
1
2
(x1 + x2) ,
es decir, el punto medio del intervalo [x1, x2].
Ejemplo. Sea una v.a. continua con función de densidad
fX (x) =
(
λe−λx
si x ≥ 0
0 en otro caso
.

Calculemos su media:
EX =
ˆ ∞
0
x · λ · e−λx
· dx
u = x
dv = λ · e−λx
· dx
=

−x · e−λx
∞
0
+
ˆ ∞
0
e−λx
· dx
= 0 +

−
1
λ
e−λx
∞
0
=
1
λ
.
Vamos a introducir ahora el concepto de varianza de una v.a. continua, que de nuevo se interpreta como una
medida de la concentración de los valores de la v.a. en torno a su media.
Sea una v.a. X. Se dene su varianza como V ar [X] = E
h
(X − EX)
2
i
.
Es decir, es la media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable respecto de su media.
La raíz cuadrada de la varianza, σ =
p
V ar [X] se conoce como desviación típica.
Como en el caso de las v.a. discretas, existe un método más cómodo para el cálculo de cualquier varianza.
En concreto,
V ar [X] = E
h
(X − EX)
2
i
= E
h
X2
− 2X · EX + (EX)
2
i
= E

X2

− 2 · EX · EX + (EX)
2
= E

X2

− (EX)
2
.
Como se comentaba anteriormente, la interpretación de la varianza es la de un promedio que mide la distancia
de los valores de la variable a la media de ésta. Si la varianza es pequeña, indica una alta concentración de
los valores de la variable en torno a la media; y viceversa, si la varianza es grande, indica alta dispersión de
los valores de la variable respecto de la media.
Ejemplo. Calculemos la varianza de una v.a. continua con función de densidad
fX (x) =
(
1
x2−x1
si x1 ≤ x ≤ x2
0 en otro caso
.
E

X2

=
ˆ x2
x1
x2
·
1
x2 − x1
· dx =
1
3
x3
2 − x3
1
x2 − x1
=
x2
2 + x1x2 + x2
1
3
.

Anteriormente habíamos demostrado que
EX =
x1 + x2
2
,
por tanto,
V ar [X] = E

X2

− EX2
=
x2
2 + x1x2 + x2
1
3
−
(x1 + x2)
2
4
=
(x2 − x1)
2
12
.
Nota. Estimaciones muestrales de media y varianza de una v.a.
Probablemente las mentes más despiertas ya se hayan planteado qué relación hay entre la media y la
varianza de una v.a. (discreta o continua) y la media y la varianza de unos datos, denidas en el capítulo
de Estadística Descriptiva.
La respuesta la veremos más adelante, pero podemos ir avanzando que la relación es parecida a la que se
da entre los diagramas de barras y las funciones masa o entre los histogramas y las funciones de densidad.
Es decir, si tenemos unos datos de una variable, en otras palabras, una muestra de una variable, la media
y la varianza de la muestra serán aproximaciones de la media y la varianza de la variable aleatoria,
aproximaciones que deben ser tanto mejores cuanto mayor sea el tamaño de la muestra.
Nota. Comportamiento de la media y la varianza frente a cambios de origen y escala.
Un cambio de origen de una variable consiste en sumar o restar una determinada cantidad a los valores
de la variable, mientras que un cambio de escala supone multiplicar por un factor dichos valroes. En
general, si X es una variable cualquiera, un cambio de origen y escala supone considerar aX + b.
Ya comentamos en el capítulo de Estadística Descriptiva el comportamiento de la media y la varianza
muestral frente a estos cambios de origen y escala. Ahora nos referimos aquí al comportamiento de
sus homólogos poblacionales. Este resultado es muy útil en la práctica y es válido tanto para variables
continuas como para discretas. Concretamente, si X es una v.a. y a, b ∈ R, entonces
E [aX + b] = aE [X] + b
V ar [aX + b] = a2
V arX
Nota. Si tenemos una colección de variables aleatorias independientes, es decir, que son observadas sin
que ninguna de ellas pueda inuir sobre las otras, es muy útil plantearse en ocasiones por la media y la
varianza de la suma de todas ellas.
Vamos a considerar las variables X1, ..., Xn, que pueden ser discretas o continuas. Pues bien, se tiene que
la media de la suma es la suma de las medias y que la varianza de la suma es la suma de las varianzas;

es decir,
E [X1 + ... + Xn] = EX1 + ... + EXn
V ar [X1 + ... + Xn] = V arX1 + ... + V arXn
4.5. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables con-
tinuas
Como en el caso de las variables discretas, vamos a describir a continuación los modelos de distribuciones de
probabilidad más usuales para variables continuas.
De nuevo tenemos que insistir que la utilidad de estos modelos radica en que van a facilitarnos la manera en
que se reparte la probabilidad de los valores de la variable.
4.5.1. Distribución uniforme (continua)
Se dice que una v.a. continua X que sólo puede tomar valores en el intervalo (x1, x2) sigue una distribución
uniforme entre x1 y x2 (y se nota X → U (x1, x2)) si su función de densidad es
f (x) =
(
1
x2−x1
si x1 x x2
0 en otro caso
.
Sea X → U (x1, x2). Entonces
EX =
x1 + x2
2
V arX =
(x2 − x1)
2
12
.
Caracterización de la distribución uniforme. Si X es una v.a. tal que dos intervalos cualesquiera entre
x1 y x2 de la misma longitud, tienen la misma probabilidad, entonces X → U (x1, x2) .
El ejemplo más habitual de esta variable es la variable uniforme en el intervalo (0, 1) ; valores simulados de
esta variable son los que se calculan con la orden RND de cualquier calculadora.
4.5.2. Distribución exponencial
Esta distribución suele ser modelo de aquellos fenómenos aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre
que ocurren dos sucesos. Por ejemplo, entre la puesta en marcha de una cierta componente y su fallo o el
tiempo que transcurre entre dos llamadas consecutivas a una centralita.

Sea X una v.a. continua que puede tomar valores x ≥ 0. Se dice que X sigue una distribución exponencial
de parámetro λ (y se nota X → exp (µ)) si su función de densidad
f(x) =

λe−λx
si x ≥ 0
0 en otro caso
.
Obsérvese que su función de distribución es
F (x) = P [X ≤ x] =

1 − e−λx
si x ≥ 0
0 en otro caso
.
Sea X → exp (λ). Entonces,
EX =
1
λ
V arX =
1
λ2
.
Caracterización de la distribución exponencial. Sea X → P (λ) una v.a. discreta que cuenta el número
de éxitos en un determinado periodo de tiempo. En ese caso, el tiempo que pasa entre dos éxitos consecutivos,
T, es una v.a. que sigue una exp (λ).
Ejemplo. Un elemento radiactivo emite partículas según una variable de Poisson con un promedio de
15 partículas por minuto. En ese caso, el tiempo, T, que transcurre entre la emisión de una partícula y
la siguiente sigue una distribución exponencial de parámetro λ = 15 partículas por minuto. Este modelo
nos permite, por ejemplo, calcular la probabilidad de que entre partícula y partícula pasen más de 10
segundos, dado por
P[T 10/60] =
ˆ ∞
1/6
15e−15t
dt = e−15/6
.
Ejemplo. Recordemos que habíamos comentado que la distribución de Poisson se solía utilizar en el
contexto de las redes de comunicaciones como modelo para el número de solicitudes a un servidor por
unidad de tiempo. Según esta caracterización que acabamos de ver, eso equivale a decir que el tiempo
que pasa entre dos solicitudes a un servidor sigue una distribución exponencial.
Por ejemplo, supongamos que el número de conexiones a un servidor FTP sigue una distribución de
Poisson de media 2.5 conexiones a la hora. En ese caso, podríamos preguntarnos cuál es la probabilidad
de que pasen más de dos horas sin que se produzca ninguna conexión. Teniendo en cuenta que el tiempo
entre conexiones seguiría una distribución exponencial de parámetro 2.5, esa probabilidad sería
P [T 2] =
ˆ ∞
2
2.5e−2.5x
dx = e−5

o bien
P [T 2] = 1 − P [T ≤ 2] = 1 − FT (2) = 1 − 1 − e−2.5×2

= e−5
.
Hay una interesante y curiosa propiedad de la distribución exponencial, conocida como propiedad de no
memoria. Si X es una v.a. con distribución exp(λ) y t y s son dos números positivos. Entonces:
P[X t + s|X s] = P[X t]
La forma de demostrarlo es muy sencilla:
P[X t + s|X s] =
P[X t + s ∩ X s]
P[X s]
=
P[X t + s]
P[X s]
=
e−λ(s+t)
e−λs
= e−λt
= P[X t]
Vamos a tratar de entender la trascendencia de esta propiedad en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. El tiempo de vida, T, de un circuito, sigue una distribución exponencial de media dos años.
Calculemos la probabilidad de que un circuito dure más de tres años:
P[T 3] = e− 1
2 3
Supongamos que un circuito lleva 5 años funcionando, y que nos planteamos la probabilidad de que aún
funcione 3 años más. Según la propiedad de no memoria, esa probabilidad es la misma que si el circuito
acabara de comenzar a funcionar, es decir,
P[T 3 + 5|T 5] = P[T 3] = e− 1
2 3
Desde un punto de vista práctico, parece poco creible, porque entendemos que los 5 años previos de
funcionamiento deben haber afectado a la abilidad del circuito, pero si creemos que la distribución del
tiempo de vida de éste es exponencial, tenemos que asumir esta propiedad.
4.5.3. Distribución Gamma
Sea X una v.a. continua que puede tomar valores x ≥ 0. Se dice que X sigue una distribución Gamma de
parámetros a y λ (y se nota X → Gamma (a, λ)) si su función de densidad es
f (x) =
λ (λx)
a−1
e−λx
Γ (a)
u (x) ,
donde Γ (x) =
´ ∞
0
sx−1
e−s
ds es la función gamma.
Obsérvese que en el caso en que a = 1 se tiene la distribución exponencial.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
exp(1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
exp(5)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.05
0.1
exp(10)
Figura 4.10: Funciones de densidad de distribuciones exponenciales.
En el contexto de las telecomunicaciones, hay un caso especialmente interesante. Si a = n, número natural, la
distribución se denomina Erlang. Lo que la hace interesante es que esta distribución se utiliza como modelo
del tiempo que pasa entre n llamadas telefónicas, por ejemplo.
Otro caso particular lo constituye la distribución χ2
con r grados de libertad, que no es más que una
Gamma r
2 , 1
2

. Esta distribución se utiliza, por ejemplo, para evaluar la bondad del ajuste de una distribución
teórica a unos datos, como veremos más adelante.
Sea X → Gamma (a, λ). Entonces
EX =
a
λ
V arX =
a
λ2
.
Caracterización de la distribución Gamma. Sea X → P (λ) una v.a. discreta que cuenta el número de
éxitos en un determinado periodo de tiempo. En ese caso, el tiempo que pasa entre el k−ésimo éxito y el
k + r, T, es una v.a. que sigue una Gamma (r, λ). Dado que r es un entero, en realidad es una Erlang (r, λ).
Caracterización de la distribución Gamma. Sean X1, ..., Xn v.a. independientes con distribución exp (λ).
En ese caso, X =
Pn
i=1 Xi sigue una Gamma (n, λ). De nuevo obsérvese que el primer parámetro es un entero,
luego se trata de una Erlang.

0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.10
0.20
Gamma(2.5,1)
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.02
0.04
0.06
Gamma(2.5,0.2)
0 5 10 15 20 25 30
0.000
0.010
0.020
0.030
Gamma(2.5,0.1)
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Gamma(5,1)
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Gamma(5,0.2)
0 5 10 15 20 25 30
0.000
0.005
0.010
0.015
Gamma(5,0.1)
Figura 4.11: Funciones de densidad de distribuciones Gamma
4.5.4. Distribución normal
Sea X una v.a. continua que puede tomar cualquier valor real. Se dice que X sigue una distribución normal
o gaussiana, de parámetros µ y σ (y se nota X → N (µ, σ)), si su función de densidad es
f (x) =
1
√
2πσ2
exp

−
(x − µ)
2
2σ2
#
para todo x ∈ R.
Obsérvese que es la única distribución que hemos visto hasta ahora que toma todos los valores entre −∞ y
+∞.
Sea X → N (µ, σ). Entonces
EX = µ
V arX = σ2
.
El propio nombre de la distribución normal indica su frecuente uso en cualquier ámbito cientíco y tecnológico.
Este uso tan extendido se justica por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a
parecerse en su comportamiento a esta distribución, ya que muchas variables aleatorias continuas presentan
una función de densidad cuya gráca tiene forma de campana. Esto, a su vez, es debido a que hay muchas
variables asociadas a fenómenos naturales cuyas características son compatibles con el modelo aleatorio que
supone el modelo de la normal:
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas, ...) de una especie (tallas, pesos,
envergaduras, diámetros, perímetros, ...).

−10 −5 0 5 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(0,1)
−10 −5 0 5 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(1,1)
−10 −5 0 5 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(−1,1)
−10 −5 0 5 10
0
0.05
0.1
N(0,4)
−10 −5 0 5 10
0
0.05
0.1
N(1,4)
−10 −5 0 5 10
0
0.05
0.1
N(−1,4)
Figura 4.12: Funciones de densidad de la distribución normal
Caracteres siológicos (efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono).
Caracteres sociológicos (consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones
de examen...).
Caracteres psicológicos (cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, ...).
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, como por ejemplo la media.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximadas por la normal, ...
En general, como veremos enseguida, cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores
independientes encuentra en la distribución normal un modelo adecuado.
Existe otra razón más pragmática para el uso tan extendido de la distribución normal: sus propiedades
matemáticas son, como iremos viendo, casi inmejorables. Eso conduce a que casi siempre se trate de forzar al
modelo normal como modelo para cualquier variable aleatoria, lo cual, en ocasiones puede conducir a errores
importantes en las aplicaciones prácticas. Lo cierto es que también son frecuentes las aplicaciones en las que
los datos no siguen una distribución normal. En ese caso puede ser relevante estudiar qué factores son los
que provocan la pérdida de la normalidad y, en cualquier caso, pueden aplicarse técnicas estadísticas que no
requieran de esa hipótesis.

Tipicación de la distribución normal. Sea X → N (µ, σ). Entonces,
Z =
X − µ
σ
→ N (0, 1) ,
propiedad que suele conocerse como tipicación de la normal.
Esta conocida propiedad tiene una aplicación práctica muy usual. Dadas las características de la densidad
gaussiana, no es posible calcular probabilidades asociadas a la normal de forma exacta, ya que las integrales
del tipo
ˆ b
a
1
√
2πσ2
exp

−
(x − µ)
2
2σ2
#
dx
no pueden ser expresadas en términos de las funciones usuales, y sólo pueden calcularse por métodos nu-
méricos. No obstante, existen tablas donde aparecen multitud de valores de la función de distribución de la
distribución N (0, 1) y a partir de ellos se pueden calcular otras tantas probabilidades, utilizando la propiedad
de tipicación. Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que una variable X → N (µ, σ) esté en
el intervalo [a, b], tenemos
P [a ≤ X ≤ b] = P

a − µ
σ
≤
X − µ
σ
≤
b − µ
σ

= FZ

b − µ
σ

− FZ

a − µ
σ

,
donde FZ (·) es la función de distribución de una variable Z → N (0, 1), que puede evaluarse mediante el uso
de tablas. Vamos a verlo en un ejemplo.
Ejemplo. En el artículo Índices de relación peso-talla como indicadores de masa muscular en el adulto
del sexo masculino de la revista Revista Cubana Aliment. Nutr. (1998;12(2):91-5) aparece un
colectivo de varones con un peso cuya media y desviación estándar son, respectivamente, 65.6 y 11.7.
1. ¾Cómo podemos, mediante las tablas de la N(0, 1), calcular, por ejemplo, la probabilidad de que
uno de esos varones pese más de 76.25 kilos?
P[X 76.25] = P

X − 65.6
11.7

76.25 − 65.6
11.7

= P[Z 0.91] = 1 − P[Z 0.91] = 1 − 0.819
2. ¾Y la probabilidad de que pese menos de 60 kilos?
P[X 60] = P

X − 65.6
11.7

60 − 65.6
11.7

= P[Z −0.48] = P[Z 0.48]
= 1 − P[Z 0.48] = 1 − 0.684
3. ¾Y la probabilidad de que pese entre 60 y 76.25 kilos?
P [60 X 76.25] = P [X 76.25] − P [X 60] = 0.819 − (1 − 0.684)

Figura 4.13: Búsqueda de probabilidades en la tabla de la N(0, 1). Valor de la probabilidad a la izquierda de
0.91
4. ¾Cuánto pesará aquel varón tal que un 5 % de varones de ese colectivo pesan más que él? Es decir,
¾cuál será el valor de x tal que P[X x] = 0.05 o, equivalentemente, P[X x] = 0.95. Dado que
P[X x] = P

X − 65.6
11.7

x − 65.6
11.7

= P

Z
x − 65.6
11.7

tan sólo tenemos que buscar el valor z = x−65.6
11.7 tal que P[Z z] = 0.95, 1.645 (aproximadamente),
en cuyo caso, x = 65.6 + 11.7 × 1.645.

Figura 4.14: Búsqueda de valores z en la tabla de la N(0, 1). Valor de Z que deja a la derecha una probabilidad
de 0.95
Teorema Central del Límite. Sean X1, ..., XN v.a. independientes, todas ellas con la misma distribución
de probabilidad, distribución de media µX y desviación típica σX. En ese caso, la suma de estas variables
sigue aproximadamente una distribución normal cuando N es elevado, es decir,
N
X
i=1
Xi ≈ N

NµX,
√
NσX

.
Tipicando, podemos reenunciar el Teorema Central del Límite diciendo que
PN
i=1 Xi − NµX
√
NσX
≈ N (0, 1) .
Este teorema es el que proporciona una justicación matemática del porqué la distribución gaussiana es un
modelo adecuado para un gran número de fenómenos reales en donde la v.a. observada en un momento dado
es el resultado de sumar un gran número de sucesos aleatorios elementales.
Ejemplo. Consideremos X1, ..., XN variables independientes con distribución U [0, 1]. Según el teorema
central del límite,
PN
i=1 Xi ≈ N

0.5N,
q
N
12

. Para poner este resultado de maniesto se ha realizado
el siguiente experimento:
Para N = 1, 2, 5 y 10, se ha simulado una muestra de 10000 datos de
PN
i=1 Xi, dibujando su histograma

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
20
40
60
80
100
120
140
N=1
0 0.5 1 1.5 2
0
50
100
150
200
250
N=2
0 1 2 3 4 5
0
50
100
150
200
250
300
N=5
0 2 4 6 8 10
0
50
100
150
200
250
300
350
N=10
Figura 4.15: Ilustración del Teorema Central del Límite.
en cada caso. Estos histogramas aparecen en la Figura 4.15. En ella se pone de maniesto como según
N crece, el histograma se va pareciendo cada vez más a una densidad gaussiana.
Ejemplo. Supongamos que estamos realizando un examen de 150 preguntas, cada una de ellas con una
puntuación de 1 punto y que en función de cómo hemos estudiado, consideramos que la probabilidad
de contestar acertadamente una pregunta cualquiera es de 0.7. Démonos cuenta que el resultado de una
pregunta cualquiera sigue una distribución B (1, 0.7), cuya media es 1 × 0.7 = 0.7 y cuya varianza es
1 × 0.7 × (1 − 0.7) = 0.21.
Por su parte, el resultado nal de la prueba será la suma de las 150 puntuaciones. Podríamos ver este
resultado según una B (150, 0.7), pero los cálculos serían muy tediosos debido a los factoriales de la función
masa de la distribución binomial. En este caso, merece la pena que utilicemos el Teorema Central del
Límite, según el cuál el resultado nal, X, seguiría aproximadamente una distribución
N 150 × 0.7,
√
150 × 0.21

,
es decir, X → N (105, 5.612) . Así, si por ejemplo, nos planteamos cuál es la probabilidad de aprobar,
ésta será
P [X 75] = P [Z −0.952] = 0.830.
Esta aplicación se conoce, en general, como aproximación normal de la binomial.
Enunciando el Teorema Central del Límite en términos de la media, X̄, de las variables X1, ..., XN , podemos
decir que si N es grande,
X̄ ≈ N(µ, σ/
√
N)

Ejemplo. Un ingeniero diseña un aparato de medida que realiza una aproximación más imprecisa que
el aparato tradicional pero mucho más barata. Para reducir el margen de error de la medida realizada,
el ingeniero propondrá que se realicen un número determinado de medidas sobre el mismo objeto y que
se considere la media de estas medidas como valor nal de la medida del objeto.
Inicialmente, el ingeniero hace una valoración que le lleva a concluir que el aparato está bien calibrado,
es decir, que la media de la medida del aparato coincide con la medida real, y que la desviación típica
de las medidas del aparato es igual a 0.75.
¾Cuántas medidas debe proponer el ingeniero para que el error de medida sea inferior a 0.1 con un 95 %
de probabilidad?
Empecemos considerando que cada medida, Xi, tiene como media el verdadero valor de la medida del
objeto, x0, y desviación típica 0.75. Por su parte, la medida nal será X̄ =
Pn
i=1 Xi
n , donde realmente nos
interesa conocer el valor de n. Para ello, tengamos en cuenta que se nos pide que
P

X̄ − x0 0.1

≥ 0.95.
y que, considerando el Teorema Central del Límite, X̄ → N

x0, 0.75
√
n

. Por su parte,
P

X̄ − x0 0.1

= P

x0 − 0.1 X̄ x0 + 0.1

= P

−
0.1
√
n
0.75
Z
0.1
√
n
0.75

= 1 − 2 ×

1 − P

Z
0.1
√
n
0.75

.
Si queremos que P

X̄ − x0 0.1

≥ 0.95, entonces P
h
Z 0.1
√
n
0.75
i
≥ 0.975, de donde
0.1
√
n
0.75 ≥ 1.96 y
entonces, n ≥ 216.09.
Como conclusión, más le vale al ingeniero disminuir la desviación típica del aparato de medida.
4.6. Cuantiles de una distribución. Aplicaciones
Para acabar el tema vamos a ver una de las aplicaciones más sencillas pero a la vez más útiles de los modelos
de probabilidad. Debo decir que son numerosas las ocasiones que desde distintos ambientes cientícos y de la
Ingeniería he asesorado a profesionales con respecto a cuestiones que tienen que ver con lo que esta sección
analiza. Los ejemplos que vamos a considerar son, grosso modo, síntesis de ellas.
Concretamente, vamos a comenzar deniendo el cuantil p (p ∈ [0, 1]) de una distribución de probabilidad
de una v.a. X. Sea ésta discreta o continua, denominemos f (x) a su función masa o de densidad.
Se dene el cuantil p, Qp de su distribución como el primer valor, x, de la variable tal que P [X ≤ x] ≥ p:
Si la variable es discreta, Qp será, por tanto, el primer valor tal que
X
xi≤x
f (x) ≥ p.

Nótese que, al ser la variable discreta, puede que no logremos obtener una igualdad del tipo
P
xi≤x f (x) =
p.
Si la variable es continua, Qp sí puede obtenerse como el valor x tal que
ˆ x
−∞
f (t) dt = p,
o lo que es lo mismo, como el valor x tal que F (x) = p, siendo F la función de distribución de la
variable.
Es muy frecuente que la probabilidad p a la que se asocia un cuantil se exprese en porcentaje. En ese caso,
los cuantiles también se pueden llamar percentiles. Por ejemplo, el cuantil 0.5 es el percentil 50, la mediana.
Desde luego, lo más importante es que interpretemos qué signica el cuantil p de una v.a. Como en Estadística
Descriptiva, se reere al valor de la variable que deja por debajo de sí una proporción p de valores de la variable.
Entonces, si un valor concreto corresponde con un cuantil alto, podemos decir que realmente es un valor alto
dentro de la distribución de probabilidad de la variable, y viceversa. Vamos a tratar de aclararlo con algunos
ejemplos.
4.6.1. La bombilla de bajo consumo marca ANTE
En el capítulo de introducción comentábamos las especicaciones técnicas que aparecían en el envoltorio
de una bombilla de 14W de la marca ANTE, entre las que se decía que tenía una duración de 8 años.
Eso contradice nuestra sensación de que este tipo de lámparas duran mucho menos y, en cualquier caso, es
una simplicación inadmisible, porque es evidente que la duración de la bombilla es una variable sujeta a
incertidumbre, es decir, una variable aleatoria.
Vamos a hacer un par de asunciones. En primer lugar, es probable que lo que quisieran decir en el envoltorio
es que la duración media es de 8 años (lo cuál, por cierto, también podría ser objeto de controversia).
En segundo lugar, dado que tenemos que proponer un modelo de distribución de probabilidad para la du-
ración de la lámpara, vamos a considerar el más sencillo que suele emplearse en este tipo de aplicaciones:
la distribución exponencial. Esta hipótesis también podría ser discutida, pero otros modelos más complejos,
como la distribución Weibull, complicarían bastante nuestros cálculos que, por otra parte, tienen sólo nes
ilustrativos.
Por tanto, vamos a suponer que la duración de la bombilla es una variable aleatoria, D, con distribución
exponencial de media 8 años y, por tanto, con parámetro λ = 1/8. Ahora que ya tenemos un modelo
probabilístico podemos plantearnos muchas cosas:
¾Es muy probable que la lámpara alcance su vida media?
P [D 8] =
ˆ ∞
8
1
8
e− x
8 dx = e−8/8
= 0.3678794.
Obsérvese que eso es algo que ocurrirá con cualquier exponencial: la probabilidad de que se supere la
media es sólo del 36.79 %. Dicho de otra forma, la media es el percentil 63 aproximadamente, lo que
implica que sólo el 37 % aproximadamente de las lámparas superan su vida media... ¾sorprendente?

¾Y cuál es el valor que superan el 50 % de las lámparas? Se trata de la mediana, Me = F−1
(0.5) ,
donde F () es la función de distribución. Por tanto, la mediana es la solución de la ecuación
1 − e−λMe
= 0.5,
que resulta ser Me = log0.5
−λ = 8 × log2 = 5.545177. Luego, visto de otra forma, el 50 % de las lámparas
se rompen antes de 5.545 años.
Para terminar, animo a los lectores interesados a que busquen información sobre el cómputo de la vida
media de este tipo de lámparas, basado en la realización de pruebas aceleradas sobre una muestra (bastante
reducida, por cierto) de lámparas.
4.6.2. Las visitas al pediatra de los padres preocupados
Los que tenemos hijos pequeños observamos con cierta ansiedad la evolución de su peso y su altura. Cuando
vamos al pediatra, éste pesa y mide al bebé y, obviamente, te dice cómo está. Pero el problema es que no
basta con que me diga cuánto pesa y mide mi hijo o mi hija, sino que me diga cuánto pesa y cuánto mide en
relación con los niños o niñas de su misma edad. En esa cuestión es dónde entran los percentiles.
En este caso jugamos con la ventaja de que se han hecho multitud de estudios previos que determinan que
tanto el peso como la altura son variables que siguen una distribución normal. Más aún, se han determinado
las medias y las desviaciones típicas de niños y niñas desde los 0 meses hasta la edad adulta.
Vamos a ponernos en una situación concreta, centrándonos en el peso. Tengo un hijo de tres meses que pesa
5.6 kilos. La pregunta es ¾está gordo? ¾es bajito? En cualquier caso, cómo de gordo o de bajito. El pediatra
sabe por estudios previos
2 que el peso de niños de tres meses es una N (6, 1.2). Lo que se plantea es en qué
posición se sitúa el peso de mi hijo, 5.6 kilos, dentro de esa distribución. Si X es el peso, dado que
P [X ≤ 5.6] = 0.369,
el pediatra me dirá que mi hijo está en el percentil 37, lo que quiere decir que es un pelín bajo de peso, pero
dentro de niveles razonables.
2Fuente: http://www.familia.cl/salud/curvas_de_crecimiento/curvas_de_crecimiento.htm

Figura 4.16: Curvas de crecimiento de 0 a 24 meses.

Capítulo 5
Variables aleatorias con distribución
conjunta
El matrimonio es la principal causa de divorcio.
Groucho Marx
Resumen. En el estudio de las variables aleatorias hemos pasado por alto el hecho de que un conjunto de
dos o más variables puede verse afectado por una serie de relaciones entre ellas. El análisis desde el punto
de vista estadístico de estas relaciones es el objetivo de este capítulo. Como caso especial, describiremos de
forma detallada el modelo que para estas relaciones proporciona la distribución normal multivariante
Palabras clave: distribución conjunta, distribución marginal, distribución condicionada, covarianza, coe-
ciente de correlación, normal multivariante.
5.1. Introducción
El mundo real está repleto de relaciones a todos los niveles. Nosotros, por razones obvias, estaremos intere-
sados principalmente en las relaciones que afectan a variables que describen fenómenos propios del ambiente
cientíco-tecnológico. Estas relaciones pueden tener muy diversas tipologias. Por ejemplo, podríamos pensar
en relaciones causa-efecto, como la que, por ejemplo, explicaría que una página Web tenga un tamaño con-
siderable debido a que lleva incrustado varios archivos de vídeo y audio, o la que se establece entre la edad
en años de un vestigio y su contenido en carbono 14
1. Pero no sólo tendremos relaciones causa-efecto: por
ejemplo, sabemos que el peso y la estatura de un ser humano son variables muy relacionadas, hasta el punto
que no podemos decir que una persona este obesa sólo con saber su peso, sino que debemos valorarlo en
relación a su estatura.
Por otra parte, cuando un fenómeno es determinístico y está bien estudiado, las relaciones entre variables
son leyes más o menos sencillas, pero, en cualquier caso, son inmutables. Por ejemplo,
densidad =
masa
vol.
.
1Relación que, por cierto, sabemos que permite la datación del vestigio.
99

Pero, ¾qué ocurre cuando el fenómeno es aleatorio? Las variables en ese caso son aleatorias y las relaciones que
se puedan dar entre ellas no siempre tienen por qué obedecer a una ley objetiva e inamovible. Por ejemplo,
todos somos conscientes de que, como decíamos, existe una relación entre el peso y la altura de una persona,
pero no existe una razón de conversión capaz de calcular el peso exacto de alguien a partir de su altura. Es
evidente que el tiempo de descarga de una página web estará relacionado con el tamaño de los archivos que
la conguran, pero ¾cómo de evidente? y ¾de qué forma es esa relación? Ambas preguntas tratarán de ser
contestadas a lo largo de este capítulo.
Sean X1, ..., XN variables aleatorias. El vector ordenado




X1
.
.
.
XN




es un vector aleatorio de dimensión N.
Hablaremos de vectores aleatorios continuos o vectores aleatorios discretos cuando cada una de sus
variables sean continuas o discretas, respectivamente. Podrían darse vectores mixtos, pero su tratamiento
estadístico no nos interesa por ahora.
Ejemplo. Consideremos el valor de una señal analógica que depende del tiempo, x (t). En esta notación,
entendemos que el valor de la señal podría ser distinto en cada instante de tiempo t. Es muy frecuente
que la señal se observe realmente contaminada por un ruido aleatorio que también dependerá del tiempo,
N (t). En ese caso, si observamos la señal en los instantes t1, ..., tN , el vector




x (t1) + N (t1)
.
.
.
x (tn) + N (tn)




es un vector aleatorio.
Ejemplo. Se estudia el tiempo que un usuario de Internet dedica a ver una página WEB (T) en relación
con variables como la cantidad de texto que contiene (Tx), el número de imágenes (I) y animaciones
Flash (F) de la página. Entonces, el vector






T
Tx
I
F







Ejemplo. Se contabiliza la duración de las llamadas telefónicas a una centralita. Para cada conjunto de
n-usuarios de la centralita, cada uno de ellos ocupa un tiempo Ti en su llamada. En ese caso, el vector




T1
.
.
.
Tn




5.2. Distribuciones conjunta, marginal y condicionada
El principal objetivo a abordar en el tema es cómo medir la incertidumbre asociada a los sucesos que describe
un vector aleatorio. Ya vimos que en el caso de una variable aleatoria se trataba de hacerlo a partir de la
función masa o la función de densidad. Ahora, como vamos a ver, es algo más complejo.
5.2.1. Distribución conjunta
La distribución conjunta de probabilidad de un vector aleatorio es, esencialmente, la manera en que
se reparte la probabilidad entre todos los posibles resultados del vector. Para describirla vamos a denir los
conceptos de función de densidad o función masa análogos a los asociados a una variable aleatoria.
Sea (X1, ..., XN ) un vector aleatorio discreto. Entonces, se dene su función masa conjunta como
fX1,...,XN
(x1, ..., xN ) = P [X = x1, ..., XN = xN ] .
Por su parte, si (X1, ..., XN ) es un vector aleatorio continuo, entonces, su función de densidad conjunta
es una función tal que
P

(X1, ..., XN ) ∈ A ⊂ RN

=
ˆ
...
A⊂RN
ˆ
fX1,...,XN
(x1, ..., xN ) dx1...dxN
Ejemplo. Consideremos un vector aleatorio bidimensional,(X, Y )
0
, que tiene densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
ce−x−y
si 0 y x
0 en otro caso
.
En primer lugar, podemos calcular la constante c teniendo en cuenta que
ˆ
R2
fX,Y (x, y) dxdy = 1.

Por ello,
1 =
ˆ ∞
0
ˆ x
0
ce−x
e−y
dy

dx =
ˆ ∞
0
ce−x
1 − e−x

dx =
c
2
,
de donde c = 2.
En segundo lugar, por ejemplo, calculemos
P [X + Y ≤ 1] =
ˆ 1
0
ˆ 1−y
y
2e−x
e−y
dxdy
=
ˆ 1
0
2e−y
h
e−y
− e−(1−y)
i
dy
=
−1 − 2e + e2
e2
.
(ver Figura 5.1)
Figura 5.1: Región del plano donde se calcula la probabilidad.
Ejemplo. Consideremos dos variables, X e Y , que tienen densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
1
15 si 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5
0 en otro caso
.
Esta densidad constante en el rectángulo denido indica que la distribución de probabilidad es uniforme
en dicho rectángulo. Vamos a calcular la probabilidad de que Y sea mayor que X (ver Figura 5.2)
P [Y X] =
ˆ 3
0
ˆ 5
x
1
15
dy

dx
=
ˆ 3
0
5 − x
15
dx
=
x
3
−
x2
30
|3
0=
7
10
.

Figura 5.2: Región del plano donde se calcula la probabilidad.
5.2.2. Distribuciones marginales
Una vez que somos capaces de describir la distribución de probabilidad de un vector aleatorio mediante su
función masa o su función de densidad conjunta, surge un nuevo problema: qué ocurre si deseamos conocer la
distribución de probabilidad de una o más variables del vector, no del vector en su conjunto. Esa distribución
de una o más variables de un vector se conoce como distribución marginal.
Sea (X1, ..., XN )
0
un vector aleatorio y (Xi1
, ..., Xik
) un subvector de variables suyo. En ese caso:
Si el vector es continuo,
fXi1
,...,Xik
(xi1 , ..., xik
) =
ˆ
...
xj /
∈(xi1
,...,xik )
ˆ
fX1,...XN
(x1, ..., xn)
Y
xj /
∈(xi1 ,...,xik )
dxj.
Si el vector es discreto,
fXi1
,...,Xik
(xi1
, ..., xik
) =
X
xj /
∈(xi1 ,...,xik )
fX1,...XN
(x1, ..., xn) .
Ejemplo. Sea el vector bidimensional (X, Y ) con función de densidad conjunta fX,Y (x, y) = x·e−x(y+1)
para x, y 0.
La función de densidad marginal de X,
fX (x) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dy =
ˆ ∞
0
xe−x(y+1)
dy = e−x
para x 0.
Análogamente, la función de densidad marginal de Y ,
fY (y) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) · dx =
ˆ ∞
0
xe−x(y+1)
dx =
1
(1 + y)
2
para y 0.

Ejemplo. Consideremos dos variables discretas, Q y G, cuya función masa, fQ,G (q, g) , viene dada por
fQ,G (q, g) g = 0 g = 1 g = 2 g = 3
q = 0 0.06 0.18 0.24 0.12
q = 1 0.04 0.12 0.16 0.08
.
Sus marginales respectivas son:
fQ (q) =
X
g
fQ,G (q, g)
=
(
0.06 + 0.18 + 0.24 + 0.12 si q = 0
0.04 + 0.12 + 0.16 + 0.08 si q = 1
=
(
0.6 si q = 0
0.4 si q = 1
y
fG (g) =















0.06 + 0.04 si g = 0
0.18 + 0.12 si g = 1
0.24 + 0.16 si g = 2
0.12 + 0.08 si g = 3
Ejemplo. En un ejemplo anterior considerábamos dos variables X e Y que tienen densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
1
15 si 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5
0 en otro caso
.
Vamos a calcular sus densidades marginales:
fX (x) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dy
=
( ´ 5
0
1
15 dy si 0 ≤ x ≤ 3
0 en otro caso
=
(
1
3 si 0 ≤ x ≤ 3
0 en otro caso

fY (y) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dx
=
( ´ 3
0
1
15 dx si 0 ≤ y ≤ 5
0 en otro caso
=
(
1
5 si 0 ≤ y ≤ 5
0 en otro caso
.
Por tanto, ambas marginales corresponden a sendas densidades uniformes.
Ejemplo. La densidad conjunta de X e Y es
fX,Y (x, y) =
(
2x si 0 ≤ x ≤ 1, |y| x2
0 en otro caso
.
Calculemos ambas marginales:
fX (x) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dy
=
( ´ x2
−x2 2xdy si 0 ≤ x ≤ 1
0 en otro caso
=
(
4x3
si 0 ≤ x ≤ 1
0 en otro caso
fY (y) =
ˆ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dx
=
( ´ 1
√
|y|
2xdx si − 1 ≤ y ≤ 1
0 en otro caso
=
(
1 − |y| si − 1 ≤ y ≤ 1
0 en otro caso
.
5.2.3. Distribuciones condicionadas
Si tenemos un vector X = (X1, ..., XN )
0
, podemos considerar la distribución de probabilidad de un vector
formado por un subconjunto de variables de X, (Xi1
, ..., Xik
)
0
, condicionada al hecho de que se han dado
determinados valores en otro subconjunto de variables de X, Xj1
= xj1
, ..., Xjl
= xjl
.

Esta distribución vendrá caracterizada por su función masa o su función de densidad condicionadas, según
sea el vector discreto o continuo, y tendrá la expresión
fXi1 ,...,Xik
|Xj1 =xj1 ,...,Xjl
=xjl
(xi1
, ..., xik
) =
fXi1
,...,Xik
,Xj1
,...,Xjl
(xi1 , ..., xik
, xj1 , ..., xjl
)
fXj1
,...,Xjl
(xj1
, ..., xjl
)
,
donde fXi1
,...,Xik
,Xj1
,...,Xjl
(xi1 , ..., xik
, xj1 , ..., xjl
) es la función masa o la función de densidad conjunta de
las variables Xi1 , ..., Xik
, Xj1 , ..., Xjl
y fXj1
,...,Xjl
(xj1 , ..., xjl
) es la función masa o la función de densidad
conjunta de las variables Xj1 , ..., Xjl
.
En el caso más habitual en el que el vector tenga dimensión dos, tenemos la densidad o la función masa de
X condicionada a Y = y,
fX|Y =y (x) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
o la densidad o la función masa de Y condicionada a X = x,
fY |X=x (y) =
fX,Y (x, y)
fX (x)
.
Ejemplo. Sean las variables X e Y con la función masa conjunta siguiente:
yx 0 1 2
0 3/28 9/28 3/28
1 3/14 3/14 0
2 1/28 0 0
Las marginales son
fX (x) =





3
28 + 3
14 + 1
28 si x = 0
9
28 + 3
14 + 0 si x = 1
3
28 + 0 + 0 si x = 2
y
fY (y) =





3
28 + 9
28 + 3
28 si y = 0
3
14 + 3
14 + 0 si y = 1
1
28 + 0 + 0 si y = 2
Como ejemplos de las condicionadas (hay 6 en total) calculemos la función masa de X condicionada a
Y = 1 y la de Y condicionada a X = 1.
fX|Y =1 (x) =







3
14
6
14
si x = 0
3
14
6
14
si x = 1
0
6
14
si x = 2
.
fY |X=1 (y) =







9
28
15
28
si y = 0
3
14
15
28
si x = 1
0
15
28
si x = 2
.

Como es evidente, una vez que tenemos caracterizada la distribución condicionada de una variable aleatoria
al valor de otra, cualquier característica de dicha distribución, como la media o la varianza, puede calcularse
a partir de su función masa o su función de densidad.
Ejemplo. Tal y como planteábamos al comienzo del capítulo, supongamos que la posición (X, Y ) de un
teléfono móvil que recibe cobertura de una antena de telefonía se encuentra dentro de un círculo de radio
r alrededor de esa antena, que supondremos sin pérdida de generalidad que se encuentra en el origen
del plano. Vamos a suponer que esa posición es completamente al azar dentro del círculo. Eso equivale a
considerar que la densidad conjunta debe ser constante en el círculo; para que su integral sea la unidad,
es evidente que
fX,Y (x, y) =
1
πr2
si x2
+ y2
≤ r2
y cero en cualquier punto fuera del círculo. Vamos a ver qué podemos averiguar sobre las
coordenadas X e Y por separado (marginales) y sobre cómo afectan la una a la otra (condicionadas).
En primer lugar,
fX (x) =
ˆ √
r2−x2
−
√
r2−x2
1
πr2
dy =
2
√
r2 − x2
πr2
si −r x r. La marginal de Y es análoga,
fY (y) =
2
p
r2 − y2
πr2
si −r y r. Está claro que para cada coordenada por separado, los puntos más densos, más probables,
son los cercanos al origen, que es donde se da el máximo de ambas funciones.
Ahora supongamos que conocemos una de las coordenadas y veamos qué podemos decir sobre la otra:
fX|Y =y0
(x) =
fX,Y (x, y0)
fY (y0)
=
1
2
p
r2 − y2
0
si −
p
r2 − y2
0 x
p
r2 − y2
0. Análogamente,
fY |X=x0
(y) =
fX,Y (x0, y)
fX (x0)
=
1
2
p
r2 − x2
0
si −
p
r2 − x2
0 y
p
r2 − x2
0. Si nos damos cuenta, ambas son distribuciones uniformes, lo que equivale
a decir que saber una coordenada no me da ninguna información sobre la otra coordenada.
Ejemplo. A las 12 de la noche de un día de la semana comienzan a ser registrados las nuevas llamadas
a un switch de telefonía. Sea X el instante de llegada de la primera llamada, medida en segundos
transcurridos tras la medianoche. Sea Y el instante de llegada de la segunda llamada. En el modelo más

habitual utilizado en telefonía, X e Y son variables aleatorias continuas con densidad conjunta dada por
fX,Y (x, y) =
(
λ2
e−λy
si 0 ≤ x y
0 en otro caso
,
donde λ es una constante positiva. Vamos a calcular las distribuciones marginales y condicionadas que
pueden darse:
Marginal de X:
fX (x) =
ˆ ∞
x
λ2
e−λy
dy = λe−λx
si 0 ≤ x,
luego se trata de una distribución exponencial de parámetro λ.
Marginal de Y :
fY (y) =
ˆ y
0
λ2
e−λy
dx = λ2
ye−λy
si y ≥ 0.
Si nos jamos, esta densidad es una Gamma (2, λ), es decir una Erlang de parámetros 2 y λ.
Condicionada de Y a los valores de X :
fY/X=x (y) =
fX,Y (x, y)
fX (x)
= λe−λ(y−x)
si y x.
En esta expresión no debe olvidarse que x es un valor jo, dado.
Condicionada de X a los valores de Y :
fX/Y =y (x) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
=
1
y
si 0 ≤ x y.
Es decir, conocido el instante en que llegó la segunda llamada (y), no se sabe nada de cuándo llegó
la primera llamada, ya que la distribución de X condicionada a Y = y es uniforme en (0, y).
Ejemplo. Consideremos que la variable X representa el input de un canal de comunicación, con posibles
valores +1 y −1 equiprobables, y sea Y el dígito que llega al destino, con valores también +1 y −1. El
canal es un canal binario simétrico con probabilidad de cruce del 5 %.
Con los datos expuestos podemos caracterizar mediante sus funciones masa las distribuciones marginales
de X e Y , la distribución conjunta de ambos y las dos distribuciones condicionadas posibles de cada
variable respecto de la otra.
La distribución marginal de X viene dada por
fX (x) =
(
1
2 si x = 1
1
2 si x = −1

La distribución marginal de Y viene dada por
P [Y = +1] = P [Y = +1 | X = +1] P [X = +1] + P [Y = +1 | X = −1] P [X = −1]
= 0.95 × 0.5 + 0.05 × 0.5 = 0.5
P [Y = −1] = 0.5,
es decir
fY (y) =
(
1
2 si y = 1
1
2 si y = −1
La distribución de Y condicionada al suceso X = +1 viene dada por:
fY |X=+1 (y) =
(
0.95 si y = 1
0.05 si y = −1
La distribución de Y condicionada al suceso X = −1 viene dada por:
fY |X=−1 (y) =
(
0.95 si y = −1
0.05 si y = 1
La distribución conjunta de X e Y viene dada por
fX,Y (x, y) = P [Y = y | X = x] P [X = x]
=















0.95 × 0.5 si x = +1, y = +1
0.05 × 0.5 si x = +1, y = −1
0.05 × 0.5 si x = −1, y = +1
0.95 × 0.5 si x = −1, y = −1
0 en otro caso
La distribución de X condicionada al suceso Y = +1 viene dada por
fX|Y =+1 (x) =
fX,Y (x, +1)
fY (+1)
=
(
0.95 si x = 1
0.05 si x = −1
.
La distribución de X condicionada al suceso Y = −1 viene dada por
fX|Y =−1 (x) =
fX,Y (x, −1)
fY (−1)
=
(
0.05 si x = 1
0.95 si x = −1
.
5.3. Independencia estadística
En el capítulo referente a probabilidad hablamos de independencia de sucesos. Decíamos entonces que dos
sucesos A y B eran independientes si y sólo si P [A ∩ B] = P [A] · P [B] .

Esta denición puede extenderse al caso en que tengamos dos variables aleatorias X e Y .
Concretamente, diremos que X e Y son estadísticamente independientes si y sólo si
fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,
donde fX,Y (·), fX (·) y fY (·) son función de densidad o función masa, dependiendo de si las variables son
discretas o continuas.
La interpretación del hecho de que dos variables aleatorias sean estadísticamente independientes es que el
comportamiento de una no tiene ningún efecto sobre la otra y viceversa. Cabe preguntarse en ese caso, qué
sentido tiene una distribución condicionada de una variable a otra que no guarda ninguna relación con ella.
Vamos a comprobarlo calculando las distribuciones condicionadas de variables aleatorias estadísticamente
independientes:
fX|Y =y (x) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
=
fX (x) · fY (y)
fY (y)
= fX (x) ;
es decir, el comportamiento aleatorio de una variable aleatoria condicionada al valor de otra que es estadís-
ticamente independiente de ella (descrito mediante la función fX|Y =y (x)) es completamente igual que si no
se condiciona a dicho valor (descrito por la función fX (x)).
Ejemplo. Sea el vector (X, Y ) con función de densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
24xy si x, y ≥ 0 y x + y ≤ 1
0 en otro caso
.
La función de densidad marginal de X :
fX (x) =
ˆ 1−x
0
24xy · dy = 12x (1 − x)
2
si 0 ≤ x ≤ 1
La función de densidad marginal de Y :
fY (y) =
ˆ 1−y
0
24xy · dx = 12y (1 − y)
2
si 0 ≤ y ≤ 1.
Como
fX,Y (x, y) 6= fX (x) · fY (y) ,
las variables X e Y no son independientes.
Ejemplo. Sea ahora el vector (X, Y ) con función de densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(
4xy si 0 ≤ x, y y x, y ≤ 1
0 en otro caso

La función de densidad marginal de X:
fX (x) =
ˆ 1
0
4xy · dy = 2x si 0 ≤ x ≤ 1
La función de densidad marginal de Y :
fY (y) =
ˆ 1
0
4xy · dx = 2y si 0 ≤ y ≤ 1.
Como
fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,
las variables aleatorias X e Y son independientes.
Ejemplo. Supongamos que dos componentes electrónicas tienen una duración cuya distribución de pro-
babilidad puede considerarse exponencial de parámetro λ = 2 horas−1
. Las componentes funcionan en
paralelo, por lo que podemos considerar que son independientes. Por lo tanto, su función de densidad
conjunta será
fX,Y (x, y) = 2e−2x
2e−2y
= 4e−2(x+y)
si x, y 0.
¾Cuál será la probabilidad de que alguna de las componentes dure más de dos horas? Podemos plantearlo
como
P [X 2 ∪ Y 2] = P [X 2] + P [Y 2] − P [X 2 ∩ Y 2]
= P [X 2] + P [Y 2] − P [X 2] P [Y 2] ,
donde se ha utilizado en la probabilidad de la intersección el hecho de que las variables son independientes.
Ahora sólo bastaría recordar que P [X 2] = e−2×2
y P [Y 2] = e−2×2
.
¾Cuál sería la probabilidad de que la duración total de ambas componentes sea inferior a dos horas? La
duración total vendría dada por X + Y , luego se nos pregunta por
P [X + Y 2] =
ˆ 2
0
ˆ 2−x
0
4e−2(x+y)
dydx
=
ˆ 2
0
h
2e−2x

1 − e−2(2−x)
i
dx
=
ˆ 2
0
2e−2x
− 2e−4

dx
= 1 − e−4

− 2e−4
× 2
= 1 − 5e−4
De la interpretación que hemos dado de variables independientes se sigue de manera inmediata que si dos
variables aleatorias son independientes, esto es, no mantienen ninguna relación, tampoco lo harán funciones

suyas. Este hecho se recoge en el siguiente resultado. Lo podemos enunciar más formalmente diciendo que si
X e Y son variables aleatorias independientes y V = g (X) y W = h (Y ) son funciones suyas, entonces, V y
W también son independientes.
En el ámbito de las Telecomunicaciones se dan numerosas situaciones donde aparece una variable aleatoria
W, suma de otras dos variables aleatorias (generalmente continuas) estadísticamente independientes, X
e Y, es decir, W = X + Y. Por ejemplo, se da cuando a una señal X se le adhiere un ruido que le es
completamente ajeno (independiente), Y . En ese caso, la suma representa la señal resultante y querremos
conocer su comportamiento aleatorio a partir del de X e Y . Esto se conoce como teorema de convolución.
Concretamente, sean X e Y dos variables aleatorias independientes y sea W = X + Y . Entonces:
Si X e Y son continuas,
fW (w) =
ˆ ∞
−∞
fY (y) · fX (w − y) · dy
= fX ∗ fY (w)
donde fX y fY son las funciones de densidad de X e Y , respectivamente.
Si X e Y son discretas,
fW (w) =
X
y
fY (y) · fX (w − y)
= fX ∗ fY (w)
donde fX y fY son las funciones masa de X e Y , respectivamente.
Ejemplo. Un sistema opera con una componente clave cuya duración, T1, sigue una distribución ex-
ponencial de parámetro λ. Si esta componente falla, inmediatamente se pone en funcionamiento una
componente exactamente igual que hasta entonces ha funcionado en standby, cuya duración notamos por
T2, variable aleatoria independiente de T1.
Si pretendemos conocer la distribución de probabilidad de la duración total del sistema, que vendrá dada
por la variable aleatoria T = T1 + T2, podemos poner en práctica el teorema de convolución. Para ello,
tengamos en cuenta que
fTi
(x) = λe−λx
, i = 1, 2,
para x 0. Por tanto,
fT (z) =
ˆ z
0
λe−λx
λe−λ(z−x)
dx = λ2
ze−λz
para z 0. Como vemos, se trata de una distribución Erlang de parámetros 2 y λ. Si recordamos, esta
era una de las caracterizaciones de la distribución Erlang, suma de exponenciales independientes.
En el caso de que en vez de dos variables aleatorias se tenga un vector X = (X1, ..., XN )
0
, la manera natural
de extender el concepto de independencia es inmediata.

Se dice que el vector está formado por componentes independientes si
fX1,...,XN
(x1, ..., xN ) = fX1 (x1) · ... · fXN
(xN ) .
Finalmente, si se tienen dos vectores aleatorios XN×1 e YM×1, se dice que son independientes si
fX,Y (x1, ..., xN , y1, ..., yM ) = fX (x1, ..., xN ) fY (y1, ..., yM ) .
5.4. Medias, varianzas y covarianzas asociadas a un vector aleatorio
Si tenemos un vector aleatorio formado por las variables aleatorias X1, ..., XN y g (·) es una función de estas
variables, entonces, la media o esperanza matemática de esta función es
E [g (X1, ..., XN )] =
ˆ ∞
−∞
...
ˆ ∞
−∞
g (x1, ..., xN ) · fX1,...,XN
(x1, ..., xN ) · dxN · ... · dx1
donde fX1,...,XN
(x1, ..., xN ) es la función de densidad o la función masa del vector aleatorio (entendiendo en
este último caso la integral como una suma).
Como consecuencia inmediata de esta denición, tenemos una primera e importante propiedad: este operador
esperanza multivariante también es lineal, en el sentido que se recoge en el siguiente resultado.
Concretamente, podemos formalizarlo diciendo que si tenemos un vector aleatorio (X1, ..., XN )
0
y α1, ..., αN
escalares cualesquiera, entonces
E [α1X1 + ... + αN XN ] = α1E [X1] + ... + αN E [XN ] ,
es decir, la media de la suma ponderada es la suma ponderada de las medias. Podemos tratar de recordar
este resultado si pensamos que es exactamente la misma propiedad que tiene el operador integral, que parte
las sumas y saca fuera los escalares.
5.4.1. Covarianza y coeciente de correlación lineal
Anteriormente hemos comentado que estudiar vectores aleatorios desde una perspectiva estadística tiene
sentido, sobre todo, porque permite analizar las relaciones que se dan entre las variables del vector. Por
ejemplo, vimos cómo los valores de una variable pueden afectar en mayor o menor medida a la distribución
de probabilidad de las otras variables.
Sin embargo, sería muy interesante disponer de una medida numérica sencilla de calcular y de interpretar
para cuanticar al menos en parte cuál es el grado de relación existente entre dos variables de un vector
aleatorio.

En este sentido, dado el vector aleatorio (X, Y ), se dene la correlación entre X e Y como
RXY = m11 = E [XY ] ,
a partir de la cual se puede calcular la covarianza entre X e Y como
Cov (X, Y ) = E [(X − EX) · (Y − EY )] = E [XY ] − EX · EY = RXY − EX · EY.
La covarianza entre dos variables
2 es una medida de la asociación lineal existente entre ellas. Será positiva si
la relación entre ambas es directa (si crece una crece la otra) y negativa si es inversa (si crece una decrece la
otra); además, será tanto mayor en valor absoluto cuanto más fuerte sea la relación lineal existente.
Para poder valorar esta relación lineal en términos relativos se estandariza la covarianza, dando lugar a lo
que se conoce como coeciente de correlación lineal:
ρ =
Cov [X, Y ]
p
V ar [X] · V ar [Y ]
.
Vamos a detallar claramente los posibles valores de ρ y su interpretación:
Este coeciente es siempre un número real entre -1 y 1.
Si es cero, indica una ausencia total de relación lineal entre las variables.
Si es uno o menos uno indica una relación lineal total entre las variables, directa o inversa según lo
indique el signo (esto lo veremos enseguida).
En la medida en que esté más lejos del cero indica una relación lineal más intensa entre las variables.
Si dos variables aleatorias tienen covarianza cero o equivalentemente, si RXY = EX · EY, se dicen que son
incorreladas. Por su parte, si dos variables aleatorias son tales que RXY = 0, se dice que son ortogonales.
Dos variables aleatorias son incorreladas si carecen de cualquier tipo de relación lineal. Por otra parte, deni-
mos anteriormente el concepto de independencia entre variable aleatoria, que implicaba la ausencia de relación
entre ellas. Tenemos, así, dos conceptos, independencia e incorrelación, que están bastante relacionados.
En concreto, dos variable aleatoria independientes, X e Y , son siempre incorreladas, es decir, ρX,Y = 0. La
razón es que, por ser independientes,
fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,
2Si se considera la covarianza de una variable aleatoria consigo misma,
Cov (X, X) = E [(X − EX) (X − EX)] = E
h
(X − EX)2
i
= V arX,
esta cantidad coincide con su varianza.

luego
RXY =
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
xy · fX (x) · fY (y) · dy · dx
=
ˆ ∞
−∞
xfX (x) dx ·
ˆ ∞
−∞
yfY (y) dy = EX · EY,
en cuyo caso Cov [X, Y ] = 0.
La pregunta obvia que surge a la luz de este resultado es: ¾ y al contrario? ¾Dos variable aleatoria incorreladas
serán independientes? O equivalentemente, ¾si dos variable aleatoria no tienen ninguna relación de tipo lineal
(incorreladas), ocurrirá que tampoco tienen ninguna relación de ningún tipo (independientes)? La respuesta
es que no en general.
Ejemplo. Sea α una variable aleatoria con distribución uniforme en (0, 2π). Sean
X = cos α
Y = sin α.
Se tiene que
EX =
ˆ 2π
0
cos α
1
2π
dα = 0
EY =
ˆ 2π
0
sin α
1
2π
dα = 0
E [XY ] =
ˆ 2π
0
sin α cos α
1
2π
dα
=
1
2π
ˆ 2π
0
sin 2αdα = 0,
por lo que X e Y son variables incorreladas. Sin embargo, puede demostrarse fácilmente que no son
independientes.
Nota. La relación más fuerte de tipo lineal que puede darse corresponde al caso en que una variable
aleatoria Y es exactamente una combinación lineal de otra, X, es decir, Y = aX + b. En ese caso,
ρXY = 1 · signo (a) .
La demostración es muy sencilla. Tengamos en cuenta que
E [XY ] = E [X (aX + b)] = aE

X2

+ bE [X] ,

luego
Cov (X, Y ) = E [XY ] − EX · EY
= aE

X2

+ bE [X] − EX (aEX + b)
= a E

X2

− EX2

= aV arX
V arY = E
h
((aX + b) − (aEX + b))
2
i
= E
h
(aX − aEX)
2
i
= E
h
a2
(X − EX)
2
i
= a2
E
h
(X − EX)
2
i
= a2
V arX,
y
ρXY =
Cov (X, Y )
√
V arX · V arY
=
aV arX
√
V arXa2V arX
= 1 · signo (a) .
Nota. Es importante insistir en que la covarianza y su versión estandarizada, el coeciente de correlación
lineal, proporcionan una medida de la relación lineal, no de otro tipo. Por ejemplo, supongamos que la
Figura 5.3 representa los valores conjuntos de dos variables X e Y . Está claro que ambas guardan una
clarísima relación dada por una parábola: de hecho, Y = X2
. Sin embargo, el coeciente de correlación
lineal entre ambas será muy bajo, ya que en realidad, la relación que las une no es lineal en absoluto,
sino parabólica. En este caso, lo recomendable sería, a la vista del gráco, decir que sí existe una fuerte
relación lineal entre X e ±
√
Y .
Figura 5.3: Muestra conjunta de valores de dos variables aleatorias.
Cuando se tienen muestras de pares de variables aleatorias, podemos calcular la versión muestral del coe-
ciente de correlación lineal. Esa versión muestral dará una estimación del verdadero valor del coeciente de
correlación (poblacional). Esta cuestión se aborda con más detalle en el capítulo de regresión. Aquí tan sólo
queremos plasmar con ejemplos cómo se traduce el hecho de que dos variables tengan un mayor o menor
coeciente de correlación. En la Figura 5.4 observamos representaciones conjuntas de muestras de pares de
variables en unos ejes cartesianos (nubes de puntos). Cada punto de cada eje cartesiano representa un valor

dado de la muestra del par (X, Y ). Aparecen 4 guras, correspondientes a 4 simulaciones de pares de variables
(X, Y ) con distintos coecientes de correlación.
−4 −2 0 2 4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
ro=0
−4 −2 0 2 4
−4
−2
0
2
4
6
8
ro=1
−4 −2 0 2 4
−1
0
1
2
3
4
5
6
ro=−1
−4 −2 0 2 4
−4
−2
0
2
4
6
ro=0.7075
Figura 5.4: Nubes de puntos correspondientes a distintos posibles coecientes de correlación lineal.
Ejemplo. Sean X e Y las variable aleatoria que miden el tiempo que transcurre hasta la primera y la
segunda llamada, respectivamente, a una centralita telefónica. La densidad conjunta de estas variables
es fX,Y (x, y) = e−y
para 0 x y. En un ejemplo anterior ya vimos que, lógicamente, el tiempo hasta
la segunda llamada depende del tiempo hasta la primera llamada, pero ¾en qué grado? Vamos a abordar
este problema calculando el coeciente de correlación lineal entre ambas variables.

Como ρX,Y = Cov(X,Y )
√
V arXV arY
, tenemos que calcular Cov (X, Y ), V arX y V arY.
E [XY ] =
ˆ ˆ
xyfX,Y (x, y) dxdy
=
ˆ ∞
0
ˆ y
0
xye−y
dxdy =
ˆ ∞
0
ye−y

x2
2
y
0
dy
=
ˆ ∞
0
y3
2
e−y
dy = 3.
fX (x) =
ˆ
fX,Y (x, y) dy =
ˆ ∞
x
e−y
dy = e−x
, para x 0,
luego
EX =
ˆ
xfX (x) dx =
ˆ ∞
0
xe−x
dx = 1.
fY (y) =
ˆ
fX,Y (x, y) dx =
ˆ y
0
e−y
dx = ye−y
, para y 0,
luego
EY =
ˆ
yfY (y) dy =
ˆ ∞
0
y2
e−y
dy = 2.
Por tanto,
Cov (X, Y ) = 3 − 1 × 2 = 1.
Por su parte,
E

X2

=
ˆ
x2
fX (x) dx =
ˆ ∞
0
x2
e−x
dx = 2
V arX = 2 − 12
= 1
y
E

Y 2

=
ˆ
y2
fY (y) dy =
ˆ ∞
0
y3
e−y
dy = 6
V arY = 6 − 22
= 2,
así que, nalmente,
ρX,Y =
1
√
1 × 2
= 0.707.
El resultado indica que, en efecto, el grado de relación lineal es alto y directo.
Las propiedades del operador esperanza son muy útiles en la práctica, por ejemplo, cuando se trata de conocer
la varianza de combinaciones lineales de varias variables. Veamos algún ejemplo al respecto y después un
resultado general que los englobe todos.

Ejemplo. Calculemos la varianza de X1 + X2 :
E
h
(X1 + X2)
2
i
= E

X2
1 + X2
2 + 2X1X2

= E

X2
1

+ E

X2
2

+ 2E [X1X2]
V ar (X1 + X2) = E
h
(X1 + X2)
2
i
− E [X1 + X2]
2
= E

X2
1

+ E

X2
2

+ 2E [X1X2] − (EX1 + EX2)
2
= E

X2
1

+ E

X2
2

+ 2E [X1X2] − EX2
1 − EX2
2 − 2EX1EX2
= E

X2
1

− EX2
1 + E

X2
2

− EX2
2 + 2 (E [X1X2 − EX1EX2])
= V arX1 + V arX2 + 2Cov (X1, X2) .
Ejemplo. Calculemos la varianza de X1 − X2 :
E
h
(X1 − X2)
2
i
= E

X2
1 + X2
2 − 2X1X2

= E

X2
1

+ E

X2
2

− 2E [X1X2]
V ar (X1 − X2) = E
h
(X1 − X2)
2
i
− E [X1 − X2]
2
= E

X2
1

+ E

X2
2

− 2E [X1X2] − (EX1 − EX2)
2
= E

X2
1

+ E

X2
2

− 2E [X1X2] − EX2
1 − EX2
2 + 2EX1EX2
= E

X2
1

− EX2
1 + E

X2
2

− EX2
2 − 2 (E [X1X2 − EX1EX2])
= V arX1 + V arX2 − 2Cov (X1, X2) .
Podemos generalizar estos ejemplos en el siguiente resultado. Sea una suma de N−variables, X =
PN
i=1 αi·Xi.
Entonces,
V ar [X] =
N
X
i=1
N
X
j=1
αi · αj · Cov (Xi, Xj) ,
donde Cov (Xi, Xi) = V ar (Xi), para i = 1, ..., N.

La demostración es bien sencilla. Como X̄ =
PN
i=1 αi · EXi,
V ar [X] = E
h
X − X̄
2
i
= E
N
X
i=1
αi · Xi − X̄i

! N
X
i=1
αi · Xi − X̄i

!#
=
N
X
i=1
N
X
j=1
αi · αj · E

Xi − X̄i

Xj − X̄j

=
N
X
i=1
N
X
j=1
αi · αj · Cov (Xi, Xj)
Fijémonos que, en el caso en que las variables sean incorreladas,
V ar [X] =
N
X
i=1
N
X
j=1
αi · αj · Cov (Xi, Xj) =
N
X
i=1
α2
i · V ar [Xi] ,
ya que
Cov [X, Y ] =
(
0 si i 6= j
V ar [Xi] si i = j
.
5.4.2. Vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas de un vector
Dado un vector de N−variables, X = (X1, ..., XN )
0
, se dene su vector de medias como
µX =




E [X1]
.
.
.
E [XN ]



 ,
y su matriz de varianzas-covarianzas como
CX = (Ci,j)i,j=1,...,N ,
donde
Ci,j =
(
V ar (Xi) si i = j
Cov (Xi, Xj) si i 6= j
.
Esta matriz contiene las varianzas de cada variable del vector en la diagonal y en el elemento (i, j) la covarianza
entre la i−ésima y la j−ésima variable.
En forma matricial, la matriz de covarianzas puede denirse como
CX N×N = E

(X − µX)N×1 (X − µX)
0
1×N

.
Por otra parte,
CX = E

(X − µX) (X − µX)
0
= E [XX0
] − µXµ0
X,

donde a la matriz E [XX0
] se le suele denominar matriz de correlaciones o de autocorrelaciones, y se
le nota RX.
Ambas matrices, CX y RX, son matrices simétricas.
La linealidad del operador media facilita rápidamente la expresión del vector de medias y la matriz de
varianzas-covarianzas de combinaciones lineales de vectores, como se recoge en el siguiente resultado. Concre-
tamente, si tenemos el vector aleatorio XN×1 con vector de medias µX y matriz de varianzas covarianzas CX
y el vector YM×1 = AM×N ·XN×1 +bM×1, entonces, el vector de medias y la matriz de varianzas covarianzas
de Y vienen dadas por
µY = AµX + b
CY = ACXA0
.
Ejemplo. Vamos a ver que la aplicación de este resultado facilita bastante determinados cálculos. Por
ejemplo, si queremos calcular V ar (X1 + X2), podemos tener en cuenta que
X1 + X2 =

1 1
X1
X2
!
,
de manera que
V ar (X1 + X2) =

1 1
V arX1 Cov (X1, X2)
Cov (X1, X2) V arX2
!
1
1
!
= V arX1 + V arX2 + 2Cov (X1, X2) .
De igual forma, si queremos calcular V ar (5X1 − 3X2) , dado que
5X1 − 3X2 =

5 −3
X1
X2
!
,
se tiene que
V ar (5X1 − 3X2) =

5 −3
V arX1 Cov (X1, X2)
Cov (X1, X2) V arX2
!
5
−3
!
= 25V arX1 + 9V arX2 − 30Cov (X1, X2) .
5.5. Distribución normal multivariante
En el contexto de los modelos de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias, la distribución
normal constituye el ejemplo más relevante, tanto por la frecuencia de su aplicación en casos reales como por
la gran versatilidad de sus propiedades matemática. En el contexto de los vectores aleatorios que estamos
tratando en este capítulo, nos ocupamos de la versión multivariante de esta distribución. De nuevo podemos

estar seguros de que se trata del caso más interesante por dos motivos: porque aparece como modelo adecuado
en un gran número de fenómenos de la naturaleza y porque sus propiedades matemáticas on inmejorables.
Un vector formado por N variables aleatorias X = (X1, ..., XN )
0
se dice que sigue una distribución normal
multivariante o distribución conjuntamente normal o conjuntamente gaussiana, con vector de
medias µX y matriz de varianzas-covarianzas CX, si su función de densidad conjunta es de la forma
fX (x) =
1
q
(2π)
N
det (CX)
· exp

−
1
2
(x − µX)
0
· C−1
X (x − µx)

,
donde
CX = (Ci,j)i,j=1,...,N
Cij =
(
V ar [Xi] si i = j
Cov [Xi, Xj] si i 6= j
x = (x1, ..., xN )
0
µX = (EX1, ..., EXN )
0
y se nota X → NN (µX; CX) .
Vamos a destacar algunas de las excelentes propiedades de la distribución normal multivariante. Concreta-
mente, nos centraremos en los siguientes resultados:
Cualquier marginal sigue también una distribución normal.
Cualquier distribución condicionada sigue también una distribución normal.
Cualquier combinación lineal de un vector normal es también normal.
Vamos a concretarlos. En primer lugar, si tenemos un vector XN×1 = (X1, ..., XN )
0
con distribución conjun-
tamente gaussiana de vector de medias µ y matriz de covarianzas CX, en ese caso, el subconjunto de variables
del vector, (Xi1, ..., XiM ), con M N también sigue distribución conjuntamente gaussiana, de parámetros
(µi1, ..., µiM )
0
y matriz de covarianzas constituida por las las y las columnas de CX correspondientes a las
variables Xi1, ..., XiM .
Ejemplo. Sea un vector (X1, X2, X3)
0
gaussiano, de vector de medias cero y matriz de covarianzas



2 1 0
1 3 1
0 1 1


 .
En aplicación del resultado anterior, las marginales univariantes siguen las distribuciones siguientes:
X1 → N (0, 2) , X2 → N (0, 3) , X3 → N (0, 1).

Por su parte, las marginales bivariantes siguen las distribuciones siguientes:
(X1, X2)
0
→ N2
0
0
!
,
2 1
1 3
!!
(X1, X3)
0
→ N2
0
0
!
,
2 0
0 1
!!
(X2, X3)
0
→ N2
0
0
!
,
3 1
1 1
!!
En cuanto a las distribuciones condicionales, cualquier subconjunto de variables de un vector gaussiano
condicionado a los valores de cualquier otro subconjunto de variables del propio vector sigue distribución
conjuntamente gaussiana. Concretamente, la distribución de XN×1 condicionada a YM×1 = yM×1, siendo
(X, Y )
0
(M+N)×1 conjuntamente gaussiano, es gaussiana de vector de medias
E [X |Y=y] = µX
N×1 + (CXY)N×M C−1
Y

M×M
yM×1 − µY
M×1

y matriz de varianzas-covarianzas
V ar

X |Y=y

= CX − CXY C−1
Y C0
XY ,
donde el elemento (i, j) de CXY es Cov (Xi, Yj).
Ejemplo. Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a considerar la distribución de X1 condicionada a
(X2, X3)
0
= (0.5, 0.25)
0
.
Según el resultado, ésta es gaussiana, de vector de medias
E [X1 |X2=0.5, X3=0.25] = 0 +

1 0
3 1
1 1
!−1
0.5 − 0
0.25 − 0
!
= 0.125
y matriz de covarianzas (es decir, varianza)
V ar (X1 |X2=0.5, X3=0.25) = 2 −

1 0
3 1
1 1
!−1
1
0
!
= 1.5
Ejemplo. Como caso particular, vamos a describir con más detalle el caso bivariante, tanto en lo que
respecta a su densidad como a las distribuciones marginales y condicionadas.
Sea por tanto un vector (X, Y )
0
2×1, con distribución conjuntamente gaussiana de vector de medias

(µX, µY )
0
y matriz de covarianzas
C(X,Y ) =
σ2
X ρσXσY
ρσXσY σ2
Y
!
,
donde ρ = Cov(X,Y )
σX σY
es el coeciente de correlación lineal. Entonces, det C(X,Y ) = σ2
Xσ2
Y 1 − ρ2

y
C−1
(X,Y ) =
1
1 − ρ2
1
σ2
X
− ρ
σX σY
− ρ
σX σY
1
σ2
Y
!
.
Por tanto, la función de densidad conjunta es
fX,Y (x, y) =
1
2πσXσY
p
1 − ρ2
· exp
(
−1
2 (1 − ρ2)

(x − µX)
2
σ2
X
−
2ρ (x − µx) (y − µY )
σXσY
+
(y − µY )
2
σ2
Y
#)
.
Esta función alcanza su máximo,
1
2πσX σY
√
1−ρ2
, en el punto (µX, µY ).
Evidentemente, las distribuciones marginales son N µX, σ2
X

y N µY , σ2
Y

.
En lo que respecta a las distribuciones condicionadas, aplicando el último resultado tenemos que
X | Y = y0 → N

µX + ρ
σX
σY
(y0 − µY ) ; σ2
X 1 − ρ2

Y | X = x0 → N

µY + ρ
σY
σX
(x0 − µX) ; σ2
Y 1 − ρ2

.
Obsérvese que, curiosamente, la varianza condicionada no depende del valor que condiciona. Esto tendrá
importantes repercusiones más adelante.
Continuando con las propiedades, una de las más útiles es su invarianza frente a transformaciones lineales.
Concretamente, si tenemos un vector aleatorio XN×1 = (X1, ..., XN )
0
con distribución gaussiana, vector de
medias µX y matriz de covarianzas CX, entonces una combinación lineal suya,
YM×1 = AM×N · XN×1 + bM×1
tiene distribución gaussiana de vector de medias µY = A · µX + b y matriz de covarianzas CY = A · CX · A0
.
Ejemplo. Sean dos variable aleatoria X1 y X2 con distribución conjuntamente gaussiana con medias
cero, varianzas σ2
X1
= 4 y σ2
X2
= 9 y covarianza, cX1,X2 = 3. Si estas variables se transforman linealmente

Figura 5.5: Ejemplos de densidades de la normal bivariantes con µX = µY = 0, σX = σY = 1 y ρ = 0, 0.5,
−0.5 y 0.9. (En http://www.ilri.org/InfoServ/Webpub/Fulldocs/Linear_Mixed_Models/AppendixD.htm).

en las variables
Y1 = X1 − 2X2
Y2 = 3X1 + 4X2
las nuevas variables tienen distribución conjuntamente gaussiana, con medias
(µY1
, µY2
)
0
=
1 −2
3 4
!
·
0
0
!
=
0
0
!
y matriz de covarianzas
σ2
Y1
cY1,Y2
cY1,Y2 σ2
Y2
!
=
1 −2
3 4
!
4 3
3 9
!
1 3
−2 4
!
=
28 −66
−66 252
!
Otra de las más importantes propiedades es que se trata del único caso en el que independencia e incorrelación
son equivalentes. Es decir, si XN×1 es un vector con distribución conjuntamente gaussiana, entonces sus
componentes son incorreladas si y sólo si son independientes.
La demostración es sencilla. Ya sabemos que si son independientes son incorreladas (incluso si la distribución
no es conjuntamente gaussiana). Por su parte, para probar que si son incorreladas entonces son independientes
sólo hay que tener en cuenta que si son incorreladas, la matriz de covarianzas es diagonal y la densidad
conjunta puede expresarse como producto de las marginales, ya que
fX (x1, ..., xN ) =
1
q
(2π)
N
det (CX)
exp

−
1
2
(x − µX)
0
C−1
X (x − µX)

=
1
q
(2π)
N
σ2
1...σ2
N
exp
(
−
1
2
N
X
i=1

xi − µi
σi
2
)
=
N
Y
i=1
fXi (xi) .
donde x = (x1, ..., xN )
0
, µX = (µ1, ..., µN )
0
y
CX =




σ2
1 . . . 0
.
.
.
. . .
.
.
.
0 . . . σ2
N



 .

Parte III
Inferencia estadística
127

Capítulo 6
Distribuciones en el muestreo
Pocas observaciones y mucho razonamiento conducen al error; muchas observaciones y poco
razonamiento, a la verdad.
Alexis Carrel
Resumen. En este capítulo se pretende llamar la atención acerca de que los parámetros muestrales son
en realidad variables aleatorias. Se analiza así la distribución de probabilidad de la media muestral y de la
varianza muestral en diversas situaciones.
Palabras clave: distribuciones en el muestreo, t de Student, F de Snedecor.
6.1. Introducción
Al estudiar el concepto de variable aleatoria, dijimos que viene motivado porque muchas de las variables que
se observan en la vida real, en el ambiente de las Ingenierías en particular, están sujetas a incertidumbre.
Eso quiere decir que si nosotros obtenemos algunas observaciones de esas variables (muestras), los datos
no son iguales. Es más, si obtenemos otras observaciones, las dos muestras tampoco serán ni mucho menos
idénticas.
Por tanto, al hablar de distribuciones teóricas de probabilidad, lo que pretendíamos era proponer un modelo
que permitiera calcular probabilidades asociadas, no a una muestra en particular de datos, sino a todas las
posibles muestras, con todos los posibles datos de la variable.
Recordemos el ejemplo que pusimos: las distribuciones de probabilidad son como un traje que elegimos para
ponernos cualquier día durante un periodo de tiempo amplio. En la medida que el traje de una variable,
su distribución, le quede bien, los resultados que obtengamos mediante el cálculo de probabilidades podrán
aplicarse a cualquier dato o conjunto de datos de la variable. Pero igualmente, si un traje (una distribución
de probabilidad teórica) no le queda bien a una variable, los resultados teóricos, obtenidos a partir de una
función masa o una función de densidad teóricas, pueden no ser realistas respecto a los resultados empíricos
que se obtengan mediante muestras de la variable.
¾Qué nos queda por hacer a lo largo del curso? Dado que, en general, las distribuciones teóricas de probabilidad
dependen de uno o más parámetros, lo que nos ocupará gran parte del resto del curso es tratar de elegir
129

adecuadamente esos parámetros. En el ejemplo de los trajes podíamos pensar que esto es como aprender a
escoger la talla del traje.
En este capítulo vamos a comenzar con algunas cuestiones teóricas acerca de lo que implica el proceso de
muestreo, previo a la elección de los parámetros y, posteriormente, nos vamos a centrar en resultados que
implica el muestreo de datos de variables que siguen una distribución normal.
6.2. Muestreo aleatorio
En multitud de ámbitos de la vida real es evidente que la mejor forma de aprender algo es a partir de la
experiencia. Eso quiere decir que solemos utilizar aquello que vemos para aprender pautas y conductas que
luego generalizamos.
En Estadística pasa algo muy similar: necesitamos basarnos en muestras de una variable para poder aprender
de ellas y generalizar, inferir, aspectos referentes a las muestras a toda la población.
Sin embargo, como en la vida real, en Estadística también debemos ser muy cuidadosos con los datos sobre los
que basamos nuestro aprendizaje. ¾Qué pasaría si basamos nuestro aprendizaje en experiencias incorrectas o
poco signicativas?
Para que esto no ocurra debemos basarnos en muestras donde todos los individuos de la población puedan
verse representados. Por otra parte, es evidente que cuanto mayores sean las muestras más ables deberían
ser nuestras inferencias.
El concepto clave en este planteamiento es el de muestra aleatoria simple. Supongamos que estamos obser-
vando una variable aleatoria, X, en una población determinada. Ya dijimos que una muestra aleatoria simple
de X consiste en la recopilación de datos de la variable, mediante la repetición del experimento al que está
asociada, con dos condiciones básicas:
1. Que todos los elementos de la población tengan las mismas posibilidades de salir en la muestra.
2. Que las distintas observaciones de la muestra sean independientes entre sí.
En ese caso, los valores que toma la variable en cada una de las observaciones de una muestra de tamaño
n, X1, ..., Xn, son en sí mismos, variables aleatorias independientes que siguen la misma distribución de
probabilidad, llamada distribución poblacional. Esta distribución es, en principio, desconocida, por lo
que se intentará utilizar la muestra para hacer inferencia sobre ella y, al menos, aproximar la forma de esta
distribución.
6.3. Distribuciones en el muestreo
Supongamos que estamos observando una variable aleatoria X, y que obtenemos una muestra aleatoria
simple suya, x1
1, ..., x1
n. Con esos datos podemos calcular la media de la muestra, x̄1, y la desviación típica de
la muestra, s1, por ejemplo.
Pero debemos ser conscientes de lo que signica muestra aleatoria. El hecho de que hayan salido los valores
x1
1, ..., x1
n es fruto del azar. De hecho, si obtenemos otra muestra, x2
1, ..., x2
n, obtendremos otra media, x̄2 y
otra desviación típica de la muestra, s2.

Y si, sucesivamente, obtenemos una y otra muestra, obtendremos una y otra media muestral, y una y otra
desviación típica muestral. Por lo tanto, en realidad, lo que estamos viendo es que la media y la varianza
muestrales (y en general, cualquier parámetro de una muestra aleatoria simple) son, en realidad, variables
aleatorias que, como tales, deben tener su distribución, su media, su varianza...
Vamos a recordar dos deniciones que ya introdujimos al comienzo del curso.
Un parámetro muestral es un parámetro (media, varianza, ...) referido a una muestra de una variable
aleatoria.
Un parámetro poblacional es un parámetro (media, varianza, ...) referido a la distribución poblacional de
una variable aleatoria.
Pues bien, asociados a estos dos conceptos tenemos ahora las siguientes deniciones.
La distribución en el muestreo de un parámetro muestral es su distribución de probabilidad.
El error estandar de un parámetro muestral es la desviación típica de su distribución en el muestreo.
El problema es que, en general, es bastante difícil conocer la distribución en el muestreo de los parámetros
muestrales.
Sin embargo, el caso en el que resulta más sencillo hacerlo es probablemente el más importante. Como vamos
a ver, si la variable que observamos sigue una distribución normal, podremos conocer de forma exacta las
distribuciones en el muestreo de los dos parámetros más importantes, la media y la varianza.
¾Y si la variable no es normal? Si lo que pretendemos es estudiar la media y la varianza muestrales, recordemos
que el Teorema Central del Límite nos dice que si una variable es suma de otras variables, su distribución es
aproximadamente normal, y la media es suma de las variables de la muestra. Es decir, si la variable no es
normal, todavía podemos tener conanza de que lo que hagamos para variables normales puede ser válido.
6.4. Distribuciones en el muestreo relacionadas con la distribución
normal
En este apartado simplemente vamos a presentar una serie de resultados acerca de la distribución en el
muestreo, es decir, acerca de las distribuciones de probabilidad, de algunos parámetros muestrales que pueden
obtenerse asociados a una variable aleatoria normal.
Algunas de estas distribuciones aparecen por primera vez, así que debemos denirlas previamente. Por otra
parte, sus funciones de densidad son bastante poco tratables. Esto no es ningún problema hoy en día, gracias
al uso que podemos hacer de los ordenadores para cualquier cálculo. Además, para poder trabajar con ellas
cuando no tenemos un ordenador a mano, existen tablas que pueden ser impresas en papel con muchos valores
de sus funciones de distribución.
Nota. Una de las primeras distribuciones en el muestreo será la χ2
. Recordemos que una distribución χ2
con
n grados de libertad es una distribución Gamma de parámetros
n
2 y
1
2 .

Si Z es una variable aleatoria normal estandar y S una χ2
con n grados de libertad, siendo ambas indepen-
dientes, entonces
t =
Z
p
S/n
sigue una distribución llamada t de student con n grados de libertad.
Si S1 y S2 son variables aleatorias con distribución χ2
con n1 y n2 grados de libertad independientes, entonces
F =
S1/n1
S2/n2
sigue una distribución que se denomina F con n1 y n2 grados de libertad.
Con estas deniciones ya podemos dar las distribuciones en el muestreo de algunos parámetros muestrales
importantes asociados a la normal:
Sea X1, ..., Xn una muestra aleatoria simple de una variable N (µ, σ). Entonces, el parámetro muestral
t =
X̄ − µ
Sn−1/
√
n
sigue una t de Student con n − 1 grados de libertad.
Sea una muestra X1, ..., Xn una muestra aleatoria simple de una variable N (µ, σ). Entonces, el pará-
metro muestral
χ2
=
(n − 1) S2
n−1
σ2
sigue una χ2
con n − 1 grados de libertad.
Sean X1, ..., Xn1
e Y1, ..., Yn2
muestras aleatorias simples de variables independientes con distribuciones
N (µ1, σ) y N (µ2, σ). Entonces, el parámetro muestral
t =
X̄ − Ȳ

− (µ1 − µ2)
Sp
q
1
n1
+ 1
n2
,
donde
S2
p =
(n1 − 1) S1
n−1
2
+ (n2 − 1) S2
n−1
2
n1 + n2 − 2
,
sigue una t de Student con n1 + n2 − 2 grados de libertad.
Sean X1, ..., Xn1
e Y1, ..., Yn2
χ2
=
(n1 + n2 − 2) S2
p
σ2
,
sigue una χ2
n1 + n2 − 2 grados de libertad.
Sean X1, ..., Xn1
e Y1, ..., Yn2

F =
S1
n−1
2
/σ2
1
S2
n−1
2
/σ2
2
sigue una distribución F con n1 − 1 y n2 − 1 grados de libertad.

Capítulo 7
Estimación de parámetros de una
distribución
½Datos, datos, datos! -gritó impacientemente-. No puedo hacer ladrillos sin arcilla.
Sherlock Holmes (A. C. Doyle), en Las aventuras de los bombachos de cobre
Resumen. Se describen las técnicas más usuales para estimar la media, la varianza y otros parámetros
poblacionales mediante valores aislados (estimación puntual) o mediante intervalos de conanza.
Palabras clave: estimador puntual, método de los momentos, método de máxima verosimilitud, intervalo
de conanza, nivel de conanza.
7.1. Introducción
En Estadística hay tres formas de inferir un valor a un parámetro de una población:
Estimando el valor concreto de ese parámetro.
Estimando una región de conanza para el valor del parámetro.
Tomando una decisión sobre un valor hipotético del parámetro.
Ejemplo. El rendimiento de un equipo de trabajo en una cadena de producción puede estar representado
por el número medio de componentes producidas. Supongamos que un ingeniero pretende proporcionar
información acerca de este promedio en su equipo. Existen varias posibilidades:
Podría simplemente tratar de estimar el promedio de componentes producidas a través de un único
valor estimado.
Podría proporcionar un intervalo de valores en el que tenga mucha conanza que se encuentra el
valor promedio.
135

Podría comparar el valor promedio de su equipo con un valor hipotético para, por ejemplo, demos-
trar a la empresa que tiene un mejor rendimiento que el promedio general de la empresa.
En este capítulo nos centraremos en la primera y la segunda forma, que consisten en proporcionar un valor
que creemos que está cerca del parámetro (estimación puntual) o en proporcionar un intervalo en el que
conamos que se encuentra el parámetro desconocido (estimación por intervalos de conanza). La tercera
posibilidad se estudiará en el capítulo de contrastes de hipótesis.
7.2. Estimación puntual
7.2.1. Denición y propiedades deseables de los estimadores puntuales
Un estimador puntual, θ̂, es una regla que nos dice cómo calcular una estimación numérica de un parámetro
poblacional desconocido, θ, a partir de los datos de una muestra. El número concreto que resulta de un cálculo,
para una muestra dada, se denomina estimación puntual.
Ejemplo. Si deseamos obtener estimaciones de la media de una variable aleatoria, lo que parece más lógico
sería utilizar como estimador la media muestral. Cada media muestral de cada muestra sería una estimación
puntual de la media poblacional.
¾Qué sería deseable que le pasara a cualquier estimador? ¾Qué buenas propiedades debería tener un buen
estimador? Vamos a ver dos de ellas.
En primer lugar, parece lógico pensar que si bien el estimador no proporcionará siempre el valor exacto del
parámetro, al menos deberá establecer estimaciones que se equivoquen en igual medida por exceso que por
defecto. Este tipo de estimadores se denominan insesgados.
Un estimador θ̂ de un parámetro θ se dice insesgado si
E
h
θ̂
i
= θ.
Se denomina sesgo de un estimador a E
h
Θ̂
i
− θ .
Observemos que para comprobar si un estimador es insesgado, en principio es necesario conocer su distribución
en el muestreo, para poder calcular su esperanza matemática.
Además de la falta de sesgo, nos gustaría que la distribución de muestreo de un estimador tuviera poca
varianza, es decir, que la dispersión de las estimaciones con respecto al valor del parámetro poblacional, fuera
baja.
En este sentido, se dene el error estandar de un estimador como la desviación típica de dicho estimador,
y se nota s.e.

El estimador insesgado de mínima varianza de un parámetro θ es el estimador θ̂ que tiene la varianza
más pequeña de entre todos los estimadores insesgados.
Hay que decir que no siempre es fácil encontrar este estimador, y que en ocasiones se admite un ligero sesgo
con tal que la varianza del estimador sea mínima.
7.2.2. Estimación de la media de una v.a. La media muestral
Sea una v.a. X, y una muestra aleatoria suya, X1, ..., XN . Entonces, la media muestral,
X̄ =
X1 + ... + XN
N
es un estimador insesgado de E [X] y su error estandar es
s.e.(X̄) =
σX
√
N
.
El resultado establece algo que podía haberse intuido desde la denición de la media o esperanza matemática
de una distribución de probabilidad: si tenemos unos datos (mas) de una v.a., una estimación adecuada de
la media de la v.a. es la media de los datos.
Hay que tener mucho cuidado con no confundir la media de la v.a., es decir, la media poblacional, con la
media de los datos de la muestra, es decir, con la media muestral.
Por otra parte, el error estandar hace referencia a σX, que es un parámetro poblacional y, por lo tanto,
desconocido. Lo que se suele hacer es considerar la desviación típica muestral como una aproximación de la
poblacional para evaluar este error estandar.
7.2.3. Estimación de la varianza de una v.a. Varianza muestral
Sea una v.a. X y una muestra aleatoria simple suya, X1, ..., XN . Entonces, la varianza muestral,
S2
X,N−1 =
PN
i=1 Xi − X̄
2
N − 1
es un estimador insesgado de V ar [X].
Nota. Al hilo del comentario previo que hicimos sobre la media muestral como estimador natural de la
media, ahora quizá sorprenda que en el denominador de la varianza muestral aparezca N − 1 y no N.
En este sentido, si consideramos el estimador
S2
X,N =
PN
i=1 Xi − X̄
2
N
,

se trataría de un estimador no insesgado. A este estimador de la varianza se le conoce habitualmente
como cuasivarianza muestral. Ojo, hay que advertir que en algunos libros la manera de nombrar a la
varianza y a la cuasivarianza muestrales es justo al contrario.
Nota. El que la varianza muestral, S2
N−1, sea un estimador insesgado de la varianza, σ2
, no implica que la
desviación típica muestral, SN−1 =
q
S2
N−1, sea un estimador insesgado de σ, pero en este caso sí ocurre así.
Ejemplo. Mediante R hemos generado una muestra aleatoria simple de 1000 valores de una distribución
N (0, 1). Sabemos, por tanto, que la media (poblacional) de los datos es 0 y que la varianza (poblacional)
es 1. No obstante, vamos a suponer que desconocemos de qué distribución proceden los datos y vamos a
tratar de ajustar una distribución teórica partiendo de los valores de la muestra:
x1×1000 = (−0.9459, −0.9557, 0.2711, 0.2603, 1.014, ...)
Para empezar, debemos pensar en una distribución adecuada. Para ello puede observarse el histograma
de los datos por si éste recuerda la forma de alguna función de densidad conocida. En este caso, el
histograma de la muestra aparece en la Figura 7.1, histograma que recuerda claramente la función de
densidad de una distribución normal.
La pregunta inmediata una vez que se opta por ajustar mediante una distribución normal es ¾qué normal?
Es decir, ¾qué media y qué varianza se proponen para la distribución que queremos ajustar a estos datos?
Una respuesta a esta pregunta la proporcionan los estimadores insesgados que hemos encontrado para
estos parámetros. Concretamente,
x̄ = −0.0133
y
s999 = 0.9813,
por lo que ajustaríamos los datos de la muestra x mediante una distribución
N (−0.0133, 0.9813) .
La densidad de esta distribución aparece también en la Figura 7.1, en trazo continuo, y se observa que
ajusta muy bien la forma del histograma.

Histograma de la muestra
Densidad
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 7.1: Histograma para la muestra x1×1000 con 30 intervalos y función de densidad de la distribución
N (−0.0133, 0.9813).
7.2.4. Estimación de una proporción poblacional
Supongamos que deseamos estimar una proporción p, desconocida, que representa la probabilidad de un
suceso dentro de un espacio muestral. Para ello, se realizan N experimentos asociados al espacio muestral y
se cuenta el nº de veces que ocurre ese suceso del cuál queremos estimar su probabilidad, k. En ese caso, la
proporción muestral,
p̂ =
k
N
,
es un estimador insesgado de p. Además, su error estandar es
s.e.(p̂) =
r
p(1 − p)
N
Sobre el error estandar, obsérvese de nuevo que, dado que p es desconocido, en realidad la expresión de s.e.(p̂)
no puede evaluarse. Sin embargo, es bastante común que si el tamaño de la muestra, N, es grande, se utilice
el valor de la estimación, p̂, en lugar de p en esa expresión.
De todas formas, obsérvese también que la función f(p) = p(1 − p) es menor que
1
4 si 0 ≤ p ≤ 1, luego
s.e.(p̂) ≤
r
1
4N
=
1
2
√
N
.
Es por ello que siempre podemos dar esta cantidad,
1
2
√
N
, como cota superior del error estandar.
Ejemplo. Si el número de varones en una muestra de 1000 individuos de una población es 507, podemos
aproximar la verdadera proporción de varones en toda la población mediante
p̂ =
507
1000
= 0.507,

con un error estandar por debajo de
1
2
√
1000
= 0.01581139. La estimación del error estandar de la
estimación sería
p
0.507 × 0.493/1000 = 0.01580984: en este caso, las diferencias son inapreciables.
7.2.5. Obtención de estimadores puntuales. Métodos de estimación
Hasta ahora hemos puesto un ejemplo acerca de la estimación de la media o la varianza de una población
mediante la media y la varianza muestral. Sin embargo, nosotros hemos visto muchas distribuciones teóricas
que no dependen directamente de la media o la varianza. Por ejemplo, la binomial depende de p, la Gamma
de dos parámetros, a y λ, ... ¾Cómo obtener estimadores de estos parámetros?
Existen diversos métodos de estimación de parámetros. Nosotros vamos a ver dos de los más sencillos.
7.2.5.1. Método de los momentos
Vamos a explicar el método sólo para distribuciones de uno o dos parámetros poblacionales, que son las
únicas que hemos visto nosotros.
Sea x1, ..., xn una muestra de una variable aleatoria X:
1. Si la distribución de X depende de un sólo parámetro, θ, la media poblacional de X, E [X] = µ, será
función de θ, µ = f (θ). En ese caso, el estimador mediante el método de los momentos de θ, θ̂, se
obtiene despejándolo (si es posible) de la ecuación x̄ = f

θ̂

.
2. Si la distribución de X depende de dos parámetros, θ1 y θ2, la media poblacional de X, E [X] = µ, será
función de ambos, µ = f (θ1, θ2) e igualmente la varianza poblacional estará expresada como función
de estos parámetros, V arX = σ2
= g (θ1, θ2). En ese caso, los estimadores mediante el método de los
momentos de θ1 y θ2, θ̂1 y θ̂2, se obtienen despejándolos (si es posible) del sistema de ecuaciones
x̄ = f

θ̂1, θ̂2

s2
n−1 = g

θ̂1, θ̂2

.
Ejemplo. En la distribución binomial sabemos que EX = np, por lo que p = EX
n . Por tanto, dada una
muestra de tamaño N de la variable, el método de los momentos propone como estimador de p a
p̂ =
x̄
n
.
Por cierto, este estimador coincide con el que habíamos considerado en un principio, que era la proporción
muestral, es decir, p̂ = k/N, pero puede haber alguna confusión en la notación. Veamos porqué.
Se supone que tenemos una muestra de tamaño N de datos de una binomial de parámetro n, es decir,
tenemos n experimentos, N veces, o sea, un total de n × N experimentos, con
P
i xi éxitos. Luego, en
efecto,
p̂ =
x̄
n
=
P
i xi
n × N
,

es decir, la proporción muestral, cociente del nº de éxitos entre el nº total de experimentos. No debemos
confundirnos con la expresión k/N que pusimos antes porque N no signica lo mismo en ambos casos.
Ejemplo. En la distribución geométrica sabemos que EX = 1
p −1, de donde p = 1
1+EX , luego el método
de los momentos propone como estimador a
p̂ =
1
1 + x̄
.
Ejemplo. En el caso de la binomial negativa tenemos dos parámetros. Se sabe que
EX =
a (1 − p)
p
V arX =
a (1 − p)
p2
De esta expresión debemos despejar a y p. Dado que
EX
V arX
= p,
se tiene que
a = EX ×
p
1 − p
= EX ×
EX
V arX
1 − EX
V arX
=
EX2
V arX − EX
de donde se proponen como estimadores
p̂ =
x̄
s2
X,N−1
â =
x̄2
s2
X,N−1 − x̄
.
7.2.5.2. Método de máxima verosimilitud
Este método obedece a un principio muy lógico: dada una muestra, escojamos como estimaciones aquellos
valores de los parámetros que hagan más creibles, más verosímiles, los datos de la muestra.
Para desarrollar el método debemos tener en cuenta que si tenemos una muestra aleatoria simple de una
variable X, x1, ..., xn, y la función masa o densidad de la variable es p (x), entonces la función masa o
densidad de la muestra es
p (x1, ..., xn) = p (x1) ...p (xn) .
Esta función masa o densidad representa en cierto modo la credibilidad de los datos de la muestra.
Dada una variable aleatoria X con función masa o función de densidad p (x) , que depende de uno
o dos parámetros, y una muestra aleatoria simple de X, x1, ..., xn, la verosimilitud de la muestra

es la función
L = p (x1) ...p (xn) ,
función que dependerá de los parámetros desconocidos de la variable.
Dada la verosimilitud de una muestra, L,
si L depende de un sólo parámetro, θ, entonces el estimador máximo-verosímil de θ se obtiene
resolviendo el problema de máximo siguiente:
θ̂ = arg

máx
θ
L

.
si L depende de dos parámetros, θ1 y θ2, entonces los estimadores máximo-verosímiles de
θ1 y θ2 se obtienen resolviendo el problema de máximo siguiente:

θ̂1, θ̂2

= arg

máx
θ1,θ2
L

.
Nota. Dado que el máximo de una función coincide con el máximo de su logaritmo, suele ser muy útil
maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud en vez de la función de verosimilitud.
Ejemplo. Vamos a calcular el estimador máximo verosímil del parámetro p de una distribución B (n, p)
basado en una muestra x1, ..., xN .
En primer lugar, la función de verosimilitud es
Lx1,...,xN
(p) =
N
Y
i=1

n
xi

pxi
(1 − p)
n−xi
=
N
Y
i=1

n
xi
!
p
PN
i=1 xi
(1 − p)
nN−
PN
i=1 xi
.
Su logaritmo resulta
ln Lx1,...,xN
(p) = ln
N
Y
i=1

n
xi
!
+
N
X
i=1
xi
!
× ln p + nN −
N
X
i=1
xi
!
ln (1 − p) .
Para maximizar esta función derivamos respecto a p e igualamos a cero:
PN
i=1 xi
p
−
nN −
PN
i=1 xi
1 − p
= 0,
de donde
p
1 − p
=
PN
i=1 xi
nN −
PN
i=1 xi
=
x̄
n − x̄
=
x̄
n
1 − x̄
n
.
Luego el estimador es
p̂ =
x̄
n
.
Obsérvese que coincide con el estimador que obtuvimos por el método de los momentos.

Ejemplo. Vamos a calcular el estimador máximo verosímil del parámetro λ de una distribución exp (λ)
basado en una muestra x1, ..., xN .
Función de verosimilitud:
Lx1,...,xN
(λ) =
N
Y
i=1
λe−λxi
= λN
e−λ
PN
i=1 xi
.
Logaritmo de la función de verosimilitud:
ln Lx1,...,xN
(λ) = N ln λ − λ
N
X
i=1
xi.
Para maximizar esta función, derivamos respecto a λ e igualamos a cero:
N
λ
−
N
X
i=1
xi = 0,
de donde
λ̂ =
N
PN
i=1 xi
=
1
x̄
.
De nuevo el estimador máximo verosímil coincide con el proporcionado por el método de los momentos.
Ejemplo. En el caso de la distribución normal, tenemos dos parámetros. Veamos cómo proceder en esta
situación. Vamos a preocuparnos por los estimadores de la media y de la varianza:
La función de verosimilitud:
Lx1,...,xN
µ, σ2

=
N
Y
i=1
1
√
2πσ2
e−
(xi−µ)2
2σ2
=

1
√
2πσ2
N
e−
Pn
i=1(xi−µ)2
2σ2
.
Su logaritmo:
ln Lx1,...,xN
µ, σ2

= −
N
2
ln (2π) −
N
2
ln σ2

−
PN
i=1 (xi − µ)
2
2σ2
.
Debemos maximizar esta función como función de µ y σ2
. Para ello, derivamos respecto de ambas
variables e igualamos a cero:
d
dµ
ln Lx1,...,xN
µ, σ2

=
PN
i=1 (xi − µ)
σ2
= 0
d
dσ2
ln Lx1,...,xN
µ, σ2

= −
N
2σ2
+
1
2
PN
i=1 (xi − µ)
2
(σ2)
2 = 0
De la primera ecuación se sigue
N
X
i=1
(xi − µ) =
N
X
i=1
xi − Nµ = 0,

Modelo Estimadores por el
método de los momentos
Estimadores por el método
de máxima verosimilitud
B (n, p) p̂ = x̄
n p̂ = x̄
n
P (λ) λ̂ = x̄ λ̂ = x̄
Geo (p) p̂ = 1
1+x̄ p̂ = 1
1+x̄
BN (a, p) â = x̄2
s2
X,N−1−x̄
, p̂ = x̄
s2
X,N−1
Sólo por métodos numéricos
exp (λ) λ̂ = 1
x̄ λ̂ = 1
x̄
Gamma (a, λ) â = x̄2
s2
n−1
, λ̂ = x̄
s2
n−1
Sólo por métodos numéricos
N (µ, σ) µ̂ = x̄, σ̂ = sn−1 µ̂ = x̄, σ̂ = sn
Cuadro 7.1: Estimadores por el método de los momentos y de máxima verosimilitud de los parámetros de las
distribuciones más usuales.
de donde
µ̂ =
PN
i=1 xi
N
= x̄.
De la segunda, sustituyendo en ella µ por x̄,
PN
i=1 (xi − x̄)
2
(σ2)
2 =
N
σ2
,
de donde
σ̂2
=
PN
i=1 (xi − x̄)
2
N
= s2
n.
Nota. De nuevo hay que llamar la atención sobre el hecho de que hemos buscado un estimador, de
máxima verosimilitud, de σ2
, no de σ. Sin embargo, no es muy difícil demostrar que el estimador de
máxima verosimilitud de σ en la distribución normal es la cuasidesviación típica muestral, sn.
7.2.6. Tabla resumen de los estimadores de los parámetros de las distribuciones
más comunes
En toda esta sección, supongamos que tenemos una muestra x1, ..., xN de una variable aleatoria X. Los
estimadores según el método de los momentos y de máxima verosimilitud de los parámetros según las distri-
buciones que hemos descrito aparecen en el Cuadro 7.1.

7.3. Estimación por intervalos de conanza
Sea x1, ..., xN una muestra de una determinada v.a. X cuya distribución depende de un parámetro desconocido
θ. Un intervalo de conanza para θ con un nivel de signicación α, I (x1, ..., xN ) , es un intervalo real
que depende de la muestra, pero que no depende de θ tal que
P [θ ∈ I (x1, ..., xN )] = 1 − α.
Al valor 1 − α también se le llama nivel de conanza.
Obsérvese que la losofía de cualquier intervalo de conanza es proporcionar, basándonos en los datos, una
región donde tengamos un determinado nivel de conanza en que el parámetro se encuentra. Como en el
caso de los estimadores puntuales, el intervalo de conanza es aleatorio, ya que depende de los datos de
una muestra. Además, se da por hecho que existe la posibilidad de que el verdadero parámetro θ no quede
encerrado dentro del intervalo de conanza, cosa que ocurriría con probabilidad α.
Nota. Al respecto de la interpretación del nivel de conanza, tenemos que decir que, dado que desde el
comienzo del curso hemos adoptado una interpretación frecuentista de la probabilidad, un intervalo de
conanza al 95 %, por ejemplo, garantiza que si tomamos 100 muestras el parámetro poblacional estará
dentro del intervalo en aproximadamente 95 intervalos construidos.
Sin embargo, esta interpretación es absurda en la práctica, porque nosotros no tenemos 100 muestras,
sino sólo una.
Nosotros tenemos los datos de una muestra. Con ellos construimos un intervalo de conanza. Y ahora sólo
caben dos posibilidades: o el parámetro está dentro del intervalo o no lo está. El parámetro es constante,
y el intervalo también. ½No podemos repetir el experimento! Es por ello que se habla de intervalos de
conanza, interpretando que tenemos una conanza del 95 % en que el parámetro estará dentro.
7.3.1. Intervalos de conanza para la media
Sea X una v.a. con distribución normal de media µ desconocida y varianza σ2
conocida. Sea una muestra
x = (x1, ..., xN ) de X, y x̄ la media muestral asociada. Entonces,
P

µ ∈

x̄ − z1− α
2
σ
√
N
, x̄ + z1− α
2
σ
√
N

= 1 − α,
donde z1− α
2
a es tal que FZ z1− α
2

= 1 − α
2 , siendo Z → N (0, 1) .
aEl valor de z1− α
2
debe buscarse en la tabla de la normal o calcularse con ayuda del ordenador.
Es decir, la media se encuentra en el intervalo

x̄ − z1− α
2
σ
√
N
, x̄ + z1− α
2
σ
√
N


con un (1 − α) % de conanza.
No obstante, hay que reconocer que en la práctica es poco probable que se desconozca el valor de la media
y sí se conozca el de la varianza, de manera que la aplicación de este teorema es muy limitada. El siguiente
resultado responde precisamente a la necesidad de extender el anterior cuando se desconoce el valor de la
varianza.
Sea X una v.a. con distribución normal de media µ y varianza σ2
, ambas desconocidas. Sea una muestra
x = (x1, ..., xN ) de X, la media muestral x̄ y la varianza muestral s2
X,N−1. Entonces,
P

µ ∈

x̄ − t1− α
2 ;N−1
s
s2
X,N−1
N
, x̄ + t1− α
2 ;N−1
s
s2
X,N−1
N



 = 1 − α,
donde tα;N
a es el valor tal que FTN
(tα;N ) = α, siendo TN una v.a. con distribución T de Student con N
grados de libertad.
aEl valor de t1− α
2
debe buscarse en la tabla de la t o calcularse con ayuda del ordenador
Es decir, conamos en un (1 − α) % en que el intervalo

x̄ − t1− α
2 ;N−1
s
s2
X,N−1
N
, x̄ + t1− α
2 ;N−1
s
s2
X,N−1
N


contiene a la media, que es desconocida.
Ejemplo. Mediante R habíamos simulado 1000 valores de una distribución N (0, 1). La media y la
desviación típica muestrales de esos 1000 valores resultaron ser x̄ = −0.0133 y s999 = 0.9813. Por tanto,
el intervalo de conanza que se establece al 95 % de conanza para la media es

−0.0133 ∓ 1.96
0.9813
√
1000

= (−0.074, 0.0475)
Obsérvese que, en efecto, la verdadera media, µ = 0, está en el intervalo de conanza.
Los dos resultados que acabamos de enunciar se basan en que se conoce la distribución exacta de la muestra,
normal, lo que permite deducir que la media muestral sigue también, y de forma exacta, una distribución
normal de media µ y varianza
σ2
N . Sin embargo, gracias al teorema central del límite se sabe que sea cual
sea la distribución de las variables de la muestra aleatoria simple, la media muestral sigue aproximadamente
una distribución normal de media µ y varianza
σ2
N , ya que se obtiene como suma de v.a. independientes con
la misma distribución. Por lo tanto, podemos obtener un intervalo de conanza aproximado para cualquier
media de cualquier distribución, como se recoge en el siguiente resultado.

Sea X una v.a. con distribución cualquiera de media µ, desconocida, y con varianza, σ2
. Sea una muestra
x = (x1, ..., xN ) de X y la media muestral, x̄. Entonces, si N es sucientemente elevado (N 30 es suciente),
P

µ ∈

x̄ − z1−α/2
σ
√
N
, x̄ + z1−α/2
σ
√
N

' 1 − α.
En esta expresión, si σ es desconocida, puede sustituirse por la desviación típica muestral, sn−1.
Ejemplo. Se considera que el tiempo de fallo de una componente electrónica sigue una distribución
exponencial de parámetro λ desconocido. Se toma una muestra de 50 tiempos de fallo y la media muestral
de éstos es de x̄ = 17.5, siendo la desviación típica muestral de 19.2. Calculemos un intervalo de conanza
para λ con un nivel de signicación α = 0.1:

x̄ − z0.95
sn−1
√
50
, x̄ + z0.95
sn−1
√
50

=

17.5 − 1.645 ×
19.2
√
50
, 17.5 + 1.645 ×
19.2
√
50

= (13.033, 21.967).
Dado que λ = 1
EX , el intervalo de conanza al 90 % de λ es
1
21.967 , 1
13.033

= (0.046, 0.077) .
7.3.2. Intervalos de conanza para una proporción
Sea p la probabilidad desconocida de un determinado evento, que llamaremos éxito, que puede ocurrir en
un determinado experimento. Supongamos que tenemos una muestra de N realizaciones independientes del
experimento, y sea p̂ = k
N la proporción de éxitos en la muestra. Entonces, si N es sucientemente elevado
(N 30), se tiene que
P

p ∈ p̂ − z1−α/2
r
p̂ (1 − p̂)
N
, p̂ + z1−α/2
r
p̂ (1 − p̂)
N
!#
' 1 − α.
Ejemplo. La Junta de Andalucía pretende implantar un programa de ayuda a familias con familiares
dependientes. Dado que la mayor parte de los Servicios Sociales son competencia de los municipios, la
Junta proporcionará los medios económicos, pero serán éstos los encargados de ejecutar el programa.
Los Servicios Sociales de cualquier municipio asumen que, por errores inevitables, no todas las familias
a las que subvencionan reunen los requisitos exigidos, pero la Junta les responsabiliza de que esto no
ocurra en más del 4 % de ellas. Si se supera este porcentaje, penalizará al municipio.
En un municipio se muestrean 200 familias y se detecta que 12 de ellas (6 %) no cumplen las condiciones
exigidas. ¾Debe la Junta sancionar al municipio?
Si nos jamos sólo en el valor de la estimación puntual, 6 %, sí debería hacerlo, pero no sería justo: 12
errores en una muestra de 200 pueden no ser una evidencia suciente de que el porcentaje superara el
4 %.

Consideremos un un intervalo de conanza para la proporción de errores (5 % de signicación) con los
datos obtenidos:
0.06 ∓ 1.96
r
0.06(1 − 0.06)
200
= (0.027, 0.093).
Por tanto, no hay evidencias de que el porcentaje sea superior al 4 % y no debe sancionarse al municipio.
7.3.3. Intervalos de conanza para la varianza
Análogamente, pueden darse intervalos de conanza para la varianza con la media conocida o desconocida,
pero sólo cuando la v.a. observada sigue una distribución gaussiana. Ambos casos se recogen en el siguiente
resultado.
Sea X una v.a. con distribución gaussiana de media µ (desconocida) y varianza σ2
. Sea una muestra
x = (x1, ..., xN ) de X y la media muestral x̄. Entonces
a :
P
PN
i=1 (Xi − x̄)
2
χ2
1− α
2 ;N−1
σ2

PN
i=1 (Xi − x̄)
2
χ2
α
2 ;N−1
#
= 1 − α.
aEl valor de χ2
α/2;N−1
χ2
1−α/2;N−1
y debe buscarse en las tablas de la distribución χ2 u obtenerse mediante el ordenador.
En esta expresión, χ2
α;N corresponde con aquel valor tal que Fχ2 χ2
α;N

= α, donde χ2
sigue una distribución
χ cuadrado con N grados de libertad.
Nota. Un intervalo de conanza para la desviación típica puede obtenerse trivialmente como la raiz cuadrada
del intervalo de conanza para la varianza.
Ejemplo. En el ejemplo donde consideramos 1000 valores simulados de una N (0, 1) teníamos que x̄ =
−0.0133 y s999 = 0.9813. Por tanto, teniendo en cuenta que
N
X
i=1
(Xi − x̄)
2
= 999 × s2
999,
el intervalo de conanza para la varianza al 95 % que proporciona el teorema es

961.9867
1.0885 × 103
,
961.9867
913.3010

= (0.8838, 1.0533) .
Obsérvese que σ = 1 pertenece al intervalo de conanza al 95 %.
Puede que alguno de vosotros esté pensando cuál puede ser el interés de las estimaciones puntuales y, sobre
todo, mediante intervalos de conanza de la varianza. Probablemente todos tenemos muy claro qué es una
media, incluso una proporción, pero quizá se nos escape la importancia práctica del concepto de varianza.
En este sentido, hay que decir que en el ámbito de la Ingeniería la varianza se utiliza muchísimo en lo que
se conoce como control de calidad. Los japoneses son, en esto, los pioneros y quizá los mejores expertos. A

ellos se les atribuye un principio básico del control de calidad en cualquier proceso básico de producción: la
reducción de la varianza es la clave del éxito en la producción.
Pensemos en cualquier proceso de fabricación genérico. En él se tratará de obtener un producto sujeto a unas
especicaciones concretas. Sin embargo, el error inherente a cualquier proceso experimental provocará:
1. Un aumento o una disminución estructurales del producto con respecto a un valor objetivo. Esto podría
detectarse como un sesgo en la media de lo producido con respecto al valor objetivo.
2. Unas diferencias más o menos importantes en los productos resultantes, que podrían ser evaluadas
mediante la varianza.
De esas dos posibles problemáticas, la más compleja, sin duda es la segunda. Probablemente no es un grave
problema calibrar la máquina que produce para que la media se sitúe en el valor objetivo, pero será sin duda
más complejo modicarla para que produzca de forma más homogénea, reduciendo así la varianza.
7.3.4. Otros intervalos de conanza
Se pueden establecer intervalos de conanza para la diferencia entre las medias de dos variables aleatorias,
para la diferencia entre proporciones o para el cociente de varianzas, entre otros parámetros de interés.
Asimismo, se pueden obtener intervalos de conanza unilaterales para cualquiera de los parámetros que hemos
mencionado, es decir, intervalos acotados sólo a un lado, frente a los intervalos bilaterales que hemos visto
aquí.
No obstante, no vamos a detallarlos aquí, aunque su interpretación es análoga a la de los intervalos de conanza
que hemos visto. Cualquier paquete de software estadístico puede facilitar estos intervalos sin dicultad.
7.4. Resolución del ejemplo de los niveles de plomo
Recordemos que al principio del curso planteábamos un problema que aparece en un artículo publicado en
Journal of Environmental Engineering en 2002, titulado Leachate from Land Disposed Residential Cons-
truction Waste, en el que se presenta un estudio de la contaminación en basureros que contienen desechos de
construcción y desperdicios de demoliciones. Decíamos allí que De un sitio de prueba se tomaron 42 muestras
de lixiado, de las cuales 26 contienen niveles detectables de plomo. Una ingeniera desea obtener a partir de
esos datos una estimación de la probabilidad de que una muestra de un basurero contenga niveles detectables
de plomo. No obstante, es consciente de que esa estimación estará basada en esa muestra, que es de sólo 42
datos, luego querrá también obtener una estimación del error que está cometiendo al hacer la estimación.
Finalmente, se plantea si con la estimación y el error de ésta, podrá obtener un rango donde la verdade-
ra probabilidad se encuentre con un alto nivel de conanza. Ahora estamos en condiciones de resolver este
problema.
En primer lugar, tenemos que obtener una estimación de la proporción de muestras (o probabilidad) que
contienen niveles detectables de plomo. Hemos visto que un estimador insesgado de mínima varianza, que
además coincide con el estimador de máxima verosimilitud, de la proporción es la proporción muestral. En
nuestro caso, por tanto, podemos estimar la proporción en p̂ = 26
42 = 0.6190.. Además, podemos estimar el
error estándar de esta estimación en s.e.(p̂) =
q
0.6190(1−0.6190)
42 = 0.0749 y, en cualquier caso, decir que este

error estandar será inferior a
1
2
√
42
= 0.0771. En resumen, tenemos una estimación del 61.90 % con un error
estandar inferior a un 7.71 %.
Por último, en función de esta estimación y de su error estandar, puede armar con un 95 % de conanza
que el intervalo
0.6190 ∓ 1.96 × 0.0749 = (0.4722, 0.7658)
contendrá a la verdadera proporción de muestras con niveles detectables de plomo. Esta última armación
pone de maniesto que dar un intervalo de conanza con un nivel de signicación aceptablemente bajo (5 %)
conduce a un intervalo muy amplio, lo que equivale a decir que aún hay bastante incertidumbre con respecto
a la proporción que estamos estimando. Por ello, deberíamos recomendarle a la ingeniera que aumente el
tamaño de la muestra.

−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0
10
20
30
40
50
Confidence
Interval
Index
Confidence
intervals
based
on
z
distribution
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−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0
10
20
30
40
50
Confidence
Interval
Index
Confidence
intervals
based
on
z
distribution
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−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
0
10
20
30
40
50
Confidence
Interval
Index
Confidence
intervals
based
on
z
distribution
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Figura 7.2: Distintos intervalos de conanza para una media a un 68 % (izquierda), a un 90 % (centro) y
a un 99 % (derecha). Puede observarse que aumentar el nivel de conanza hace más amplios los intervalos.
También puede observarse que no todos los intervalos contienen a la media poblacional (0), pero que el nº
de éstos malos intervalos disminuye conforme aumentamos el nivel de conanza.

Capítulo 8
Contrastes de hipótesis paramétricas
La gran tragedia de la ciencia: la destrucción de una bella hipótesis por un antiestético conjunto
de datos.
Thomas H. Huxley.
La Estadística puede probar todo, incluso la verdad.
N. Moynihan
Resumen. En este capítulo explicamos qué se entiende por contraste de hipótesis estadística y aprendemos
a realizar contrastes de este tipo a partir de datos, referidos a algún parámetro poblacional desconocido.
Palabras clave: contraste de hipótesis, error tipo I, error tipo II, estadístico de contraste, p-valor, nivel de
signicación, nivel de conanza.
8.1. Introducción
Como apuntábamos en la introducción del capítulo anterior, las llamadas pruebas o contrastes de hipó-
tesis se utilizan para inferir decisiones que se reeren a un parámetro poblacional basándose en muestras de
la variable. Vamos a comenzar a explicar el funcionamiento de un contraste de hipótesis con un ejemplo.
Ejemplo. Los cientícos recomiendan que para prever el calentamiento global, la concentración de gases
de efecto invernadero no debe exceder las 350 partes por millón. Una organización de protección del medio
ambiente quiere determinar si el nivel medio, µ, de gases de efecto invernadero en una región cumple con
las pautas requeridas, que establecen un límite máximo de 350 partes por millón. Para ello tomará una
muestra de mediciones diarias de aire para decidir si se supera el límite, es decir, si µ 350 o no. Por
tanto, la organización desea encontrar apoyo para la hipótesis µ 350, llamada hipótesis alternativa,
obteniendo pruebas en la muestra que indiquen que la hipótesis contraria, µ = 350 (o µ ≤ 350), llamada
hipótesis nula, es falsa.
Dicho de otra forma, la organización va a someter a juicio a la hipótesis nula µ ≤ 350. Partirá de su
inocencia, suponiendo que es cierta, es decir, suponiendo que, en principio, no se superan los límites de
153

presencia de gases de efecto invernadero, y sólo la rechazará en favor de H1 si hay pruebas evidentes en
los datos de la muestra para ello.
La decisión de rechazar o no la hipótesis nula en favor de la alternativa deberá basarse en la información
que da la muestra, a través de alguna medida asociada a ella, que se denomina estadístico de contraste.
Por ejemplo, si se toman 30 lecturas de aire y la media muestral es mucho mayor que 350, lo lógico será
rechazar la hipótesis nula en favor de µ 350, pero si la media muestral es sólo ligeramente mayor que
350 o menor que 350, no habrá pruebas sucientes para rechazar µ ≤ 350 en favor de µ 350.
La cuestión clave es en qué momento se decide rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa. En
nuestro ejemplo, en qué momento podemos decir que la media muestral es sucientemente mayor que
350. El conjunto de estos valores del estadístico de contraste, que permiten rechazar µ = 350 en favor de
µ 350 se conoce como región de rechazo.
A la luz de este ejemplo, vamos a tratar de denir de forma general los conceptos que acabamos de introducir.
Un contraste de hipótesis es una prueba que se basa en los datos de una muestra de una variable aleatoria
mediante la cuál podemos rechazar una hipótesis sobre un parámetro de la población, llamada hipótesis
nula (H0), en favor de una hipótesis contraria, llamada hipótesis alternativa (H1).
La prueba se basa en una transformación de los datos de la muestra, lo que se denomina estadístico de
contraste.
Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando el valor del estadístico de contraste se sitúe
en una determinada región, llamada región de rechazo.
La hipótesis H0 se suele expresar como una igualdad
a, del tipo H0 : θ = θ0, donde θ es un parámetro de una
población y θ0 es un valor hipotético para ese parámetro. Por su parte, H1 puede tener tener dos formas:
H1 : θ θ0, en cuyo caso se habla de contraste unilateral a la derecha o de una cola a la derecha o de
un extremo a la derecha, o H1 : θ θ0, en cuyo caso se habla de contraste unilateral a la izquierda
o de una cola a la izquierda o de un extremo a la izquierda.
H1 : θ 6= θ0, en cuyo caso se habla de contraste bilateral o de dos colas o de dos extremos.
aDe todas formas, también es frecuente expresar H0 como negación exacta de H1, en cuyo caso sí puede ser una desigualdad
no estricta. Matemáticamente no hay diferencias en estas dos posibilidades.
Uno de los aspectos más importantes y que se suele prestar a mayor confusión se reere a qué hipótesis
considerar como H0 y cuál como H1. Una regla práctica para hacerlo correctamente puede ser la siguiente:
1. Si estamos intentando probar una hipótesis, ésta debe considerarse como la hipótesis alternativa.
2. Por el contrario, si deseamos desacreditar una hipótesis, debemos incluir ésta como hipótesis nula.
Ejemplo. Para una determinada edicación se exige que los tubos de agua tengan una resistencia media
a la ruptura, µ, por encima de 30 kg por centímetro.

Como primera situación, supongamos que un proveedor quiere facilitar un nuevo tipo de tubo para
ser utilizado en esta edicación. Lo que deberá hacer es poner a trabajar a sus ingenieros, que
deben realizar una prueba para decidir si esos tubos cumplen con las especicaciones requeridas.
En ese caso, deben proponer un contraste que incluya como hipótesis nula H0 : µ ≤ 30 frente a la
alternativa H1 : µ 30. Si al realizar el contraste de hipótesis se rechaza H0 en favor de H1, el
tubo podrá ser utilizado, pero si no se puede rechazar H0 en favor de H1, no se tienen sucientes
garantías sobre la calidad del tubo y no será utilizado.
Como segunda situación, un proveedor lleva suministrando su tipo de tubo desde hace años, sin que
se hayan detectado, en principio, problemas con ellos. Sin embargo, un ingeniero que trabaja para
el gobierno controlando la calidad en las edicaciones viene teniendo sospechas de que ese tipo de
tubo no cumple con las exigencias requeridas. En ese caso, si quiere probar su hipótesis, el ingeniero
deberá considerar un contraste de la hipótesis nula H0 : µ ≥ 30 frente a H1 : µ 30. Dicho de
otra forma, sólo podrá contrastar su hipótesis si encuentra datos empíricos que permitan rechazar
esa hipótesis nula en favor de su alternativa, que demuestren con un alto nivel de abilidad que el
proveedor que estaba siendo aceptado ahora no cumple con los requisitos.
De hecho, es importantísimo que desde el principio tengamos claro qué tipo de decisiones puede proporcio-
narnos un contraste de hipótesis. Aunque ya las hemos comentado, vamos a insistir en ellas. Son las dos
siguientes:
1. Si el valor del estadístico de contraste para los datos de la muestra cae en la región de rechazo, podremos
armar con un determinado nivel de conanza que los datos de la muestra permiten rechazar la
hipótesis nula en favor de la alternativa.
2. Si el valor del estadístico de contraste para los datos de la muestra no cae en la región de rechazo, no
podremos armar con el nivel de conanza exigido que los datos de la muestra permiten rechazar
la hipótesis nula en favor de la alternativa.
La clave radica en que entendamos desde el principio que la hipótesis nula carece de conanza. Es asumida
sólo como punto de partida, pero será abandonada cuando los datos empíricos muestren evidencias claras
en su contra y a favor de la alternativa. La carga de la prueba de hipótesis radica siempre en la hipótesis
alternativa, que es la única hipótesis en la que podremos garantizar un determinado nivel de conanza.
8.2. Errores en un contraste de hipótesis
El contraste de una hipótesis estadística implica, por tanto, una toma de decisión, a favor de H0 o en contra
de H0 y en favor de H1. Esto implica que podemos equivocarnos al tomar la decisión de dos formas.
Se llama error tipo I o falso negativo a rechazar la hipótesis nula cuando es cierta, y su probabilidad se
nota por α, llamado nivel de signicación.
Se llama nivel de conanza a la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es cierta, es decir, 1 − α.

Estado real
H0 H1
Decisión en H0 Decisión correcta Error tipo II
el contraste H1 Error tipo I Decisión correcta
Cuadro 8.1: Esquematización de los errorres tipo I y tipo II.
Se llama error tipo II o falso positivo a aceptar la hipótesis nula cuando es falsa, y su probabilidad se
nota por β.
Se llama potencia a la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa, es decir, 1 − β.
¾Cuál de los dos errores es más grave? Probablemente eso depende de cada contraste, pero en general, lo que
se pretende es acotar el error tipo I y tratar de minimizar el error tipo II, es decir, tratar de elegir contrastes
lo más potentes posibles garantizando que la probabilidad del error tipo I es inferior a un determinado nivel.
Ejemplo. Un fabricante de minicomputadoras cree que puede vender cierto paquete de software a más
del 20 % de quienes compran sus computadoras. Se seleccionaron al azar 10 posibles compradores de la
computadora y se les preguntó si estaban interesados en el paquete de software. De estas personas, 4 indicaron
que pensaban comprar el paquete. ¾Proporciona esta muestra sucientes pruebas de que más del 20 % de los
compradores de la computadora adquirirán el paquete de software?
Si p es la verdadera proporción de compradores que adquirirán el paquete de software, dado que deseamos
demostrar p 0.2, tenemos que H0 : p = 0.2 y H1 : p 0.2.
Sea X : número de posibles compradores de la muestra, en cuyo caso, X → B (10, p). Utilizaremos el valor
de X como estadístico del contraste, rechazando H0 si X es grande.
Supongamos que establecemos como región de rechazo x ≥ 4. En ese caso, dado que en la muestra x = 4,
rechazaríamos H0 en favor de H1, llegando a la conclusión de que el fabricante tiene razón.
Pero, ¾cuál es el nivel de conanza de este contraste? Calculemos la probabilidad de error tipo I. Para ello,
en el Cuadro 8.2 aparece la distribución de probabilidad del estadístico de contraste que hemos elegido,
suponiendo que H0 es cierta, ya que debemos calcular
α = P[Rechazar H0|H0 es cierta] = P[X ≥ 4|p=0.2]
= 0.08808 + 2.6424 × 10−2
+ 5.505 × 10−3
+ 7.8643 × 10−4
+ 7.3728 × 10−5
+ 4.096 × 10−6
+ 1.024 × 10−7
= 0.12087,
luego el nivel de conanza del contraste es del (1 − 0.12087) × 100 % = 87.913 %. La conclusión sería que a
la luz de los datos podemos armar con un 87.913% de conanza que p 0.2.
¾Y si queremos un nivel de conanza mayor, es decir, una probabilidad de error tipo I menor? Debemos
reducir la región de rechazo. Si ponemos como región de rechazo x ≥ 5, ya no podremos rechazar H0 en favor

x P [X = x]
0
10
0

0.20
0.810
= 0.10737
1
10
1

0.21
0.89
= 0.26844 Región de
2
10
2

0.22
0.88
= 0.30199 aceptación
3
10
3

0.23
0.87
= 0.20133
4
10
4

0.24
0.86
= 0.08808
5
10
5

0.25
0.85
= 2.6424 × 10−2
6
10
6

0.26
0.84
= 5.505 × 10−3
Región
7
10
7

0.27
0.83
= 7.8643 × 10−4
de
8
10
8

0.28
0.82
= 7.3728 × 10−5
rechazo
9
10
9

0.29
0.81
= 4.096 × 10−6
10
10
10

0.210
0.80
= 1.024 × 10−7
Cuadro 8.2: Función masa del estadístico de contraste suponiendo cierta H0, es decir, suponiendo que p = 0.2.
de H1, ya que x = 4. Además, ahora
α = 2.6424 × 10−2
+ 5.505 × 10−3
+ 7.864 3 × 10−4
+ 7.3728 × 10−5
+ 4.096 × 10−6
+ 1.024 × 10−7
= 3.2793 × 10−2
,
luego el nivel de conanza sería 1 − 3.2793 × 10−2

× 100 % = 96.721 %, y la conclusión sería que a la luz
de los datos no podemos armar que p 0.2 con un 96.721% de conanza.
El estudio de β es algo más complicado y no lo abordaremos.
8.3. p-valor de un contraste de hipótesis
Históricamente, la forma más común de actuar en un contraste de hipótesis pasa por elegir un nivel de
signicación (bajo), que determina un límite para el error tipo I que estamos dispuestos a asumir. Ese nivel
de signicación determina toda la región de rechazo y, examinando si el valor del estadístico cae en ella,
podemos concluir si rechazamos o no la hipótesis nula en favor de la alternativa con el nivel de conanza
requerido.
Existe, sin embargo, otra forma de actuar que ha tenido un auge enorme desde que las computadoras se han
convertido en una herramienta al alcance de cualquiera. Bajo esta forma de actuar, calcularemos el valor del
estadístico de contraste y valoraremos cómo es de extremo este valor bajo la distribución en el muestreo de
la hipótesis nula. Si es más extremo que el nivel de signicación deseado, se rechazará la hipótesis nula en
favor de la alternativa. Esta medida de cuán extremo es el valor del estadístico se llama p-valor.
8.3.1. Denición de p-valor
De forma general, supongamos que queremos contrastar una hipótesis estadística simple del tipo H0 : θ = θ0,
frente a alguna de las alternativas siguientes: H1 : θ 6= θ0, H1 : θ θ0 o H1 : θ θ0. Supongamos además
que el contraste se realiza mediante un estadístico que notaremos S, y que el valor del estadístico para la
muestra es s.

El p-valor asociado al contraste se dene como el mínimo nivel de signicación con el que la hipótesis nula
sería rechazada en favor de la alternativa.
Ejemplo. En el Ejemplo 8.2 hemos visto cómo podemos rechazar la hipótesis nula con un 87.913 % de
conanza, pero no con un 96.721 %. Dicho de otra forma, podemos rechazar la hipótesis nula con un
nivel de signicación del 12.087 %, pero no con un nivel de signicación del 3.279 %. Esto implica que el
p-valor estará justo entre estos dos últimos valores.
Dado que normalmente se elige como nivel de signicación máximo α = 0.05, se tiene que la regla de decisión
en un contraste con ese nivel de signicación, dado el p-valor, sería la siguiente:
Si p 0.05, rechazamos H0 en favor de H1 con más de un 95 % de conanza.
Si p ≥ 0.05, no podemos rechazar H0 en favor de H1 con al menos un 95 % de conanza.
Sin embargo, esta regla de decisión, que es la más habitual, es demasiado reduccionista si no se proporciona
el valor exacto del p-valor. La razón es que no es lo mismo rechazar una hipótesis con al menos un 95 % de
conanza si el p-valor es 0.049 que si es 0.001. Hay que proporcionar siempre el p-valor de un contraste, ya
que eso permite a cada lector decidir por sí mismo.
En resumen, el p-valor permite utilizar cualquier otro nivel de signicación, ya que si consideramos un nivel
de signicación α:
Si p α, rechazamos H0 en favor de H1 con más de un (1 − α) × % de conanza.
Si p ≥ α, no podemos rechazar H0 en favor de H1 con al menos un (1 − α) × % de conanza.
Como conclusión, siempre que hagamos un contraste de hipótesis, debemos facilitar el p-valor asociado.
Como nota nal sobre el concepto de p-valor, es importante señalar que, al contrario de lo que erróneamente
se piensa en demasiadas ocasiones, el p-valor no es la probabilidad de la hipótesis nula. Mucha gente piensa
esto porque es cierto que cuando el p-valor es pequeño es cuando se rechaza la hipótesis nula. Sin embargo,
para empezar, no tiene sentido plantearnos la probabilidad de la hipótesis nula, ya que ésta, o es cierta, o es
falsa: desde una perspectiva clásica de la probabilidad, se habla de la probabilidad de un suceso porque a
veces ocurre y a veces no, pero en este caso no podemos pensar así, ya que la hipótesis nula o se da o no se
da. En realidad, el p-valor lo que da es un indicio de la certidumbre que tenemos, de la conanza en que la
hipótesis nula sea verdad, teniendo en cuenta los datos de la muestra. Esta interpretación tiene más que ver
con la interpretación subjetiva de la probabilidad de la que hablamos al principio de curso.
Hay que decir que, en relación a esta interpretación subjetiva de la probabilidad, existe una visión de la
Estadística, llamada Estadística Bayesiana, en la que el p-valor sí puede entenderse como la probabilidad
de la hipótesis nula, pero entendiendo que medimos la probabilidad de la hipótesis nula, no porque pueda
ocurrir o no ocurrir en función del azar, sino porque tenemos incertidumbre sobre ella.
8.3.2. Cálculo del p-valor
Para comprender cómo se calcula el p-valor de un contraste es necesario distinguir entre contrastes unilaterales
o de una cola frente a contrastes bilaterales o de dos colas.

−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
α 1 − α
Región de aceptación
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
α
1 − α
Figura 8.1: Regiones de rechazo en contrastes unilaterales a la izquierda y a la derecha.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
α 2 1 − α α 2
Figura 8.2: Región de rechazo en un contraste bilateral.
Como ya comentamos, los contrastes del tipo H0 : θ = θ0, frente a H1 : θ 6= θ0 son contrastes bilaterales
o de dos colas, ya que el rechazo de la hipótesis nula en favor de la alternativa puede producirse porque el
estadístico de contraste toma valores muy altos o muy bajos. Por contra, los contrastes del tipo H0 : θ = θ0,
frente a H1 : θ θ0 o H1 : θ θ0 son contrastes unilaterales o de una cola, ya que el rechazo de la
hipótesis nula en favor de la alternativa puede producirse sólo si el estadístico de contraste toma valores muy
altos (cuando H1 : θ θ0, llamado contraste a la derecha) o muy bajos (cuando H1 : θ θ0, llamado
contraste a la izquierda).

Por tanto, teniendo en cuenta la denición de p-valor, su cálculo se realiza de la siguiente forma:
Si el contraste es unilateral a la izquierda (H1 : θ θ0),
p = P [S ≤ s/H0
] .
Si el contraste es unilateral a la derecha (H1 : θ θ0),
p = P [S s/H0
] .
Si el contraste es bilateral (H1 : θ 6= θ0),
p = 2 × mı́n {P [S ≤ s/H0
] , P [S s/H0
]} .
Hay que decir que el uso del p-valor se ha extendido hasta convertirse en el método más habitual de toma
de las decisiones desde que el uso de los ordenadores y de los software de cálculo están a disposición de la
mayoría de los usuarios. Hoy en día casi nadie hace Estadística a mano, y prácticamente todos los programas
estadísticos proporcionan el p-valor como dato para la toma de las decisiones.
En lo que resta del tema lo que vamos a hacer es enunciar distintos contrastes de hipótesis para la media, la
varianza o la proporción de una población y para comparar las medias, las varianzas y las proporciones en
dos poblaciones distintas. No nos vamos a centrar en los detalles de cómo se deducen sino sólo en cómo se
utilizan en la práctica.
De todas formas, es importante hacer una aclaración: cuando los datos proceden de una distribución normal,
es muy sencillo obtener la distribución del estadístico del contraste, gracias a los resultados que vimos en
el capítulo de distribuciones en el muestreo. Sin embargo, si los datos no proceden de variables normales,
esta cuestión es muchísimo más difícil. Afortunadamente, si el tamaño de la muestra es grande, el Teorema
Central del Límite garantiza que los parámetros que se basan en sumas basadas en las muestras siguen
aproximadamente una distribución normal. Es por ello que en cada tipo de contraste que vamos a describir
a continuación se distinguen aquellos que se basan en muestras grandes y los que se basan en muestras
reducidas, que sólo podrán ser utilizados si la variable es normal.
En cada caso, vamos a acompañar el contraste con un ejemplo que comentaremos extensamente.
8.4. Contraste para la media de una población
Vamos a suponer que tenemos una muestra x1, ..., xn de una variable aleatoria con media poblacional µ.
Notaremos x̄ a la media muestral y s2
n−1 a la varianza muestral.
8.4.1. Con muestras grandes (n ≥ 30)
El Cuadro 8.3 incluye un resumen del procedimiento para el contraste. En él, zp es el valor de una N(0, 1)
tal que P[Z zp] = p.
A modo de ejemplo, podemos pensar en que los arqueólogos utilizan el hecho conocido de que los húmeros
de los animales de la misma especie tienden a tener aproximadamente las mismas razones longitud/anchura

Tipo de prueba A la izquierda Bilateral A la derecha
Hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ µ0
Estadístico z = x̄−µ0
sn−1/
√
n
Rechazo z zα |z| z1−α/2 z z1−α
p-valor P[Z z] 2P[Z |z|] P[Z z]
Supuestos n ≥ 30
Cuadro 8.3: Contraste para la media con muestras grandes
9.23 10.38 9.76 7.58 9.99 9.46 10.18 9.08 7.09 9.25
12.57 8.71 9.16 10.80 9.86 7.61 8.98 10.81 9.05 9.39
8.42 7.84 9.16 9.40 9.03 9.00 9.25 10.39 8.50 9.51
9.59 8.63 7.48 7.75 8.92 12.85 11.01 8.19 7.44 11.66
11.37 10.06 8.09 9.19 10.79 9.82 9.37 9.66 9.75 9.66
Cuadro 8.4: Datos del ejemplo de las especies
para tratar de discernir si los húmeros fósiles que encuentran en un yacimiento corresponden o no a una nueva
especie.
Supongamos que una especie común en la zona donde se enclava un yacimiento, la Bichus localis, tiene una
razón media longitud/anchura de 9. Los arqueólogos encargados del yacimiento han hallado 50 húmeros
fósiles, cuyos datos aparecen en el Cuadro 8.4. ¾Tienen los arqueólogos indicios sucientes para concluir que
han descubierto en el yacimiento una especie distinta de la Bichus localis?
En primer lugar, observemos que no nos han especicado ningún nivel de signicación en el enunciado. En
este caso, lo habitual es considerar α = 0.05. En caso de que la decisión sea muy relevante, elegiríamos un
nivel más bajo.
A continuación debemos plantear las hipótesis del contraste. En principio, la zona de la excavación indica que
la especie del yacimiento debería ser la especie Bichus localis, salvo que demostremos lo contrario, es decir,
la hipótesis nula es H0 : µ = 9, donde por µ estamos notando la media de la razón longitud/anchura del
húmero de la especie del yacimiento. Como hipótesis alternativa nos planteamos que se trate de otra especie,
es decir H1 : µ 6= 9. Se trata, por tanto, de un contraste de dos colas.
Para realizarlo, debemos calcular en primer lugar el estadístico de contraste. Éste, a su vez, requiere del
cálculo de la media y de la desviación típica muestral de los datos. Estos valores son, respectivamente, 9.414
y 1.239. Por tanto,
z =
9.414 − 9
1.239/
√
50
= 2.363.
Ahora tenemos que plantearnos si este valor del estadístico nos permite rechazar la hipótesis nula en favor
de la alternativa o no. Podemos hacerlo de dos formas:
1. Obteniendo la región de rechazo. Dado que z1−0.05/2 = 1.96, la región de rechazo es |z| 1.96. Vemos
que, en efecto, 2.363 1.96, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa
con un 95 % de conanza, concluyendo con ese nivel de conanza que se trata de una nueva especie.
Nos queda, sin embargo, la duda de saber qué hubiera pasado de tomar un nivel de signicación más
exigente; por ejemplo, α = 0.01.

Tipo de prueba A la izquierda Bilateral A la derecha
Hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ µ0
Estadístico t = x̄−µ0
sn−1/
√
n
Rechazo t tα;n−1 |t| t1−α/2;n−1 t t1−α;n−1
p-valor P[Tn−1 t] 2P[Tn−1 |t|] P[Tn−1 t]
Supuestos Distribución de probabilidad aproximadamente normal
Cuadro 8.5: Contraste para la media con muestras pequeñas
2. Mediante el p-valor. Tenemos que
p = 2 × P[Z |2.363|] = 0.018.
Dado que es inferior al 5 %, podemos rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa con un 95 % de
conanza, concluyendo con ese nivel de conanza que la razón media longitud/anchura de los húmeros
del yacimiento es distinta de la del Bichus localis, pero no podríamos llegar a hacer esa armación con
un 99 % de conanza (1 % de signicación)
1.
8.4.2. Con muestras pequeñas (n 30)
La principal diferencia es que, al no poder utilizar el Teorema Central del Límite por tratarse de muestras
pequeñas, debemos añadir como hipótesis la normalidad de los datos. En ese caso, la distribución en el
muestreo del estadístico ya no es normal, sino t-student. El resumen aparece en el Cuadro 8.5. En ella, tp;v
es el valor de una t de Student con v grados de libertad tal que P [Tv tp;v] = p.
Vamos a aplicar el test en la siguiente situación. El diario Sur publicaba una noticia el 5 de noviembre de 2008
donde se indicaba que los niveles de concentración de benceno, un tipo de hidrocarburo cancerígeno que se
encuentra como vapor a temperatura ambiente y es indisoluble en agua, no superan el máximo permitido por
la Directiva Europea de Calidad del Aire, cinco microgramos por metro cúbico. Ésta es la principal conclusión
del estudio elaborado por un equipo de la Escuela Andaluza de Salud Pública en el Campo de Gibraltar. La
noticia sólo indicaba que el estudio se basaba en una muestra, dando el valor medio muestral en varias zonas
del Campo de Gibraltar, pero no el tamaño ni la desviación típica muestral.
Para realizar el ejemplo, nosotros vamos a imaginar unos datos correspondientes a una muestra de 20 hogares
donde se midió la concentración de benceno, arrojando una media muestral de 5.1 microgramos por metro
cúbico y una desviación típica muestral de 1.7. Estoy seguro de que, en ese caso, el periódico habría sacado
grandes titulares sobre la contaminación por benceno en los hogares del Campo de Gibraltar pero, ¾podemos
armar que, en efecto, se superan los límites de la Directiva Europea de Calidad del Aire?
En primer lugar, de nuevo no nos indican un nivel de signicación con el que realizar la prueba. Escogemos,
en principio, α = 0.05.
Tenemos que tener cuidado, porque el planteamiento de la prueba, tal y como se nos ha planteado, será
contrastar la hipótesis nula H0 : µ = 5 frente a H1 : µ 5, en cuyo caso, un error tipo I se traduce en
concluir que se viola la normativa cuando en realidad no lo hace, lo cuál es grave porque genera alarma
injusticada en la población, mientras que el error tipo II, el que no controlamos con el α, es concluir que
1Debe quedar claro que, estadísticamente, lo que hemos demostrado es que la razón media es distinta de 9. Son los arqueólogos
los que deciden que eso implica una nueva especie.

se cumple la normativa cuando en realidad no lo hace, ½lo cual es gravísimo para la población! Con esto
quiero incidir en una cuestión importante respecto a lo que se nos pide que demostremos: se nos dice que
nos planteemos si se superan los límites de la normativa, en cuyo caso H1 debe ser µ 5, pero en realidad,
deberíamos plantearnos la pregunta de si podemos estar seguros de que se está por debajo de los límites
máximos permitidos, es decir, deberíamos probar H1 : µ 5.
Centrándonos exclusivamente en lo que se nos pide en el enunciado, tenemos que H1 : µ 5 determina que
se trata de una prueba unilateral a la derecha. El estadístico de contraste es
t =
5.1 − 5
1.7/
√
20
= 0.263.
1. Si queremos concluir con la región de rechazo, ésta está formada por los valores t t0.95;19 = 1.729,
luego, dado que 0.263 1.729, no podemos armar con un 95 % de conanza que se esté incumpliendo
la normativa.
2. El p-valor es aún más informativo. Su valor es p = P[T19 0.263] = 0.398, por lo que tendríamos
que llegar hasta casi un 40 % de signicación para rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa
armando que se incumple la normativa.
Por lo tanto, tal y como está planteado el problema, no podemos armar que se esté incumpliendo la normativa
(con un 5 % de signicación), por más que un valor muestral de la media, 5.1, parezca indicar que sí. Lo
que yo recomendaría a los responsables del cumplimiento la normativa es que aumentaran el tamaño de la
muestra, ya que, por ejemplo, si esos mismos datos correspondieran a 1000 hogares en vez de a 20, sí se
podría armar con un 95 % de conanza que se incumple la normativa.
8.5. Contraste para la diferencia de medias de poblaciones indepen-
dientes
Sean dos muestras, x1, ..., xn1
e y1, ..., yn2
, de v.a. independientes con medias µ1 y µ2 y varianzas σ2
1 y σ2
2.
Sean x̄, ȳ, s1
n−1
2
y s2
n−1
2
medias y varianzas muestrales.
8.5.1. Con muestras grandes (n1, n2 ≥ 30)
El resumen del procedimiento para el contraste aparece en el Cuadro 8.6.
Vamos a considerar un ejemplo donde aplicar el contraste. Imaginemos que un ingeniero inventa un nuevo
método de producción con el que cree que pueden reducirse los tiempos de producción. Para comprobarlo,
produce 50 unidades con el nuevo proceso y 30 con el antiguo, contabilizando el tiempo (en segundos) que se
tarda en producir cada unidad. En el Cuadro 8.7 aparece un resumen de los resultados.
¾Proporcionan estas muestras pruebas sucientes para concluir que el promedio de tiempo de producción
disminuye con el nuevo proceso? Pruébese con α = 0.05.
Llamemos µ1 al tiempo medio de producción bajo el nuevo proceso y µ2 al tiempo medio de producción bajo
el antiguo proceso. Nos piden que contrastemos H0 : µ1 = µ2 frente a H1 : µ1 µ2 o, lo que es lo mismo,
H1 : µ1 − µ2 0: se trata, por tanto, de un test unilateral a la izquierda.

Tipo de
prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico
de contraste
z = (x̄−ȳ)−D0
s
(s1
n−1)
2
n1
+
(s2
n−1)
2
n2
Región de
rechazo
z zα |z| z1−α/2 z z1−α
Supuestos n1, n2 ≥ 30. Muestreo independiente y aleatorio
Cuadro 8.6: Contraste para la diferencia de medias con muestras grandes
Proceso nuevo Proceso antiguo
n1 = 50 n2 = 30
¯
y1 = 1255 ¯
y2 = 1330
s1 = 215 s2 = 238
Cuadro 8.7: Datos del ejemplo del nuevo proceso de producción
El estadístico es
z =
1255 − 1330
q
2152
50 + 2382
30
= −1.41.
Para tomar la decisión podemos obtener la región crítica o el p-valor:
1. La región de rechazo es z z0.05 = −1.65. Dado que z = −1.41 no cae en esta región, no podemos
rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa con α = 0.05, es decir, no tenemos un 95 % de
conanza en que el nuevo proceso haya disminuido el tiempo medio de producción. No obstante, esta
respuesta deja abierta la pregunta, si no un 95 % de conanza, ¾cuánta?.
2. Dado que el p-valor es p = P[Z −1.41] = 0.079 0.05, no podemos rechazar la hipótesis nula en
favor de la alternativa con el nivel de signicación α = 0.05.
Hay que decir que no hemos podido probar lo que se sospechaba, que el nuevo proceso reducía el tiempo
medio de producción, pero los datos apuntan en esta dirección. Desde el punto de vista estadístico, deberíamos
recomendar al ingeniero que aumente el tamaño de las muestras porque es posible que en ese caso sí pueda
probar esa hipótesis.
8.5.2. Con muestras pequeñas (n1 30 o n2 30) y varianzas iguales
El resumen aparece en el Cuadro 8.8. A propósito de la hipótesis de la igualdad de las varianzas, ésta debe
basarse en razones no estadísticas. Lo habitual es que se suponga que son iguales porque el experto que está
realizando el contraste tiene razones experimentales para hacerlo, razones ajenas a la estadística.
Vamos a considerar como ejemplo el de un ingeniero que desea comparar dos equipos de trabajo para analizar
si se comportan de forma homogénea. Para ello realiza una prueba de destreza entre los trabajadores de
ambos equipos: 13 del equipo 1 y 15 del equipo 2, cuyas puntuaciones aparecen en el Cuadro 8.9. ¾Hay
indicios sucientes de que existan diferencias entre las puntuaciones medias de los dos equipos? (α = 0.05).

Tipo A la izquierda Bilateral A la derecha
Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico
de contraste
t = (x̄−ȳ)−D0
r
s2
p

1
n1
+ 1
n2
, s2
p =
(n1−1)(s1
n−1)
2
+(n2−1)(s2
n−1)
2
n1+n2−2
Región de
Rechazo
t tα;n1+n2−2 |t| t1−α/2;n1+n2−2 t t1−α;n1+n2−2
p-valor P[Tn1+n2−2 t] 2P[Tn1+n2−2 |t|] P[Tn1+n2−2 t]
Supuestos
Muestreo independiente y aleatorio. Variables normales.
σ2
1 = σ2
2
Cuadro 8.8: Contraste para la igualdad de medias con muestras pequeñas
Equipo 1 59 73 74 61 92 60 84 54 73 47 102 75 33
Equipo 2 71 63 40 34 38 48 60 75 47 41 44 86 53 68 39
Cuadro 8.9: Datos de las puntuaciones de los dos equipos de trabajo
Nos piden que contrastemos la igualdad de las medias (H0 : µ1 = µ2), frente a la alternativa H1 : µ1 6= µ2,
por lo que se trata de un contraste bilateral.
En primer lugar, obtenemos los estadísticos muestrales de ambos equipos. Las medias son, respectivamente,
68.2 y 53.8, mientras que las desviaciones típicas muestrales son 18.6 y 15.8. Con estos valores podemos
calcular s2
p:
s2
p =
12 × 18.6 + 14 × 15.8
13 + 15 − 2
= 294.09.
Con este valor ya podemos calcular el estadístico de contraste:
t =
68.2 − 53.8
q
294.09( 1
13 + 1
15 )
= 2.22.
Aunque no hemos dicho nada al respecto, vamos a suponer que las varianzas son iguales. Esto no parece
descabellado si admitimos que las condiciones en que trabajan ambos equipos determinan que no debe haber
diferencias en la variabilidad de sus puntuaciones. Esta hipótesis debe ser admitida y propuesta por el experto
(en este caso, el ingeniero) que maneja los datos.
Para obtener la conclusión, como siempre, vamos a obtener la región de rechazo y valorar el p-valor:
1. La región de rechazo es |t| t0.975;26 = 2.055. Dado que t = 2.22 cae en esa región, podemos rechazar
la igualdad de las medias con un 95 % de conanza.
2. Dado que el p-valor, p = 2P[T26 2.22] = 0.035 es inferior a 0.05, podemos rechazar la igualdad de las
medias con un 95 % de conanza. De hecho, podríamos llegar a un 96.5 %.
8.5.3. Con muestras pequeñas, varianzas distintas y mismo tamaño muestral
El resumen del contraste se recoge en el Cuadro 8.10
8.5.4. Con muestras pequeñas, varianzas distintas y distinto tamaño muestral
El resumen aparece en el Cuadro 8.11, donde v se redondea al entero más cercano.

Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico
de contraste
t = (x̄−ȳ)−D0
r
1
n

(s1
n−1)
2
+(s2
n−1)
2

Región de
rechazo
t tα;2(n−1) |t| t1−α/2;2(n−1) t t1−α;2(n−1)
p-valor P[Tα;2(n−1) t] 2P[Tα;2(n−1) |t|] P[Tα;2(n−1) t]
Supuestos
Las dos muestras se recogen de forma independiente y aleatoria
Ambas variables siguen distribuciones aproximadamente normales
Las muestras tienen el mismo tamaño, n1 = n2 = n
Cuadro 8.10: Contraste para la igualdad de medias con muestras pequeñas varianzas distintas y mismo
tamaño muestral
Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico
de contraste
t = (x̄−ȳ)−D0
s
(s1
n−1)
2
n1
+
(s2
n−1)
2
n2
, v =
(s1
n−1)
2
n1
+
(s2
n−1)
2
n2
!2



(s1
n−1)
2
n1



2
n1−1 +



(s2
n−1)
2
n2



2
n2−1
Región
de rechazo
t tα;v |t| t1−α/2;v t t1−α;v
p-valor P[Tv t] 2P[Tv |t|] P[Tv t]
Supuestos
Cuadro 8.11: Contraste para la igualdad de medias con muestras pequeñas, varianzas distintas y distinto
tamaño muestral
8.6. Contraste para la diferencia de medias de poblaciones aparea-
das
Tenemos una misma población en la que seleccionamos una muestra de n individuos. En cada uno de ellos
observamos dos variables, X e Y . Estas variables no son independientes: las muestras están apareadas,
(x1, y1) , ..., (xn, yn). Para comparar ambas variables se considera una nueva variable, D = X − Y . Notamos
¯
d a la media muestral de x1 − y1, ..., xn − yn y sd
n−1
2
a su varianza muestral.
8.6.1. Con muestras grandes (n ≥ 30)
El resumen aparece en el Cuadro 8.12.
8.6.2. Con muestras pequeñas (n 30)
El resumen aparece en el Cuadro 8.13. Veamos un ejemplo.
Una empresa farmaceútica está investigando un medicamento que reduce la presencia en sangre de un com-

Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico z =
¯
d−D0
sd
n−1/
√
n
Rechazo z zα |z| z1−α/2 z z1−α
Supuestos n ≥ 30
Cuadro 8.12: Contraste para la igualdad de medias en poblaciones apareadas con muestra grande
Hipótesis
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 6= D0
H0 : µ1 − µ2 = D0
H1 : µ1 − µ2 D0
Estadístico t =
¯
d−D0
sd
n−1/
√
n
Rechazo t tα;n−1 |t| t1−α/2;n−1 t t1−α;n−1
p-valor P[Tn−1 t] 2P[Tn−1 |t|] P[Tn−1 t]
Supuestos D = X − Y , es aproximadamente normal
Cuadro 8.13: Contraste para la igualdad de medias en poblaciones apareadas y muestra pequeña
ponente no deseado
2. Antes de sacarlo al mercado necesita un estudio de casos-controles que demuestre su
ecacia.
El estudio de casos controles consiste en encontrar un número determinado de parejas de personas con
características siológicas parecidas; en este caso, la más importante de estas características sería que las
parejas caso-control tengan al inicio del estudio el mismo o muy parecido nivel de presencia en sangre del
componente no deseado: en cada una de esas parejas, una actúa como caso, tomando la medicación en estudio,
y la otra como control, tomando un producto inocuo llamado placebo. Ninguna de las dos personas, ni siquiera
el médico o el farmaceútico que controla el proceso, sabe quién es el caso y quién el control. Sólo quien recopila
y analiza los resultados, sin contacto alguno con el paciente, tiene esos datos. Esta metodología se conoce
como doble ciego y evita que el conocimiento de que se está administrando la medicina provoque un efecto
en sí mismo. Los datos aparecen en el Cuadro 8.14.
Un análisis costo-benecio de la empresa farmaceútica muestra que será benecioso sacar al mercado el
producto si la disminución media del componente perjudicial es de al menos 2 puntos. Realicemos una nueva
prueba para ayudar a la compañía a tomar la decisión correcta. Los datos son la disminución de presencia
en sangre del componente no deseado después de tomar el medicamento o el placebo.
Empecemos por la notación. Vamos a llamar muestra 1 a la del medicamento y muestra 2 a la del placebo.
Con esta notación, nos piden que contrastemos H0 : µ1 −µ2 = 2 frente a H1 : µ1 µ2 +2, o equivalentemente,
H1 : µ1 − µ2 2. En ese caso, el estadístico de contraste es
t =
3.21 − 2
1.134/
√
10
= 3.375
y el p-valor asociado es p = P[T9 3.375] = 0.004. Vemos que la signicación determina un p-valor inferior,
por ejemplo, a α = 0.05, por lo que podemos concluir con ese nivel de signicación que la mejora es superior,
en media, a 2 puntos y, por tanto, el medicamento es rentable.
2Podría ser colesterol, ácido úrico, ...

Pareja Medicamento Placebo Diferencia
1 32.10 27.10 5.00
2 36.10 31.50 4.60
3 32.30 30.40 1.90
4 29.50 26.90 2.60
5 34.30 29.90 4.40
6 31.90 28.70 3.20
7 33.40 30.20 3.20
8 34.60 31.80 2.80
9 35.20 33.60 1.60
10 32.70 29.90 2.80
Cuadro 8.14: Datos del ejemplo de la compañía farmaceútica
Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : p = p0
H1 : p p0
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0
H0 : p = p0
H1 : p p0
Estadístico
de contraste
z = p̂−p0
q
p0(1−p0)
n
Región
de rechazo
Supuestos np0, n (1 − p0) ≥ 10
Cuadro 8.15: Contraste para una proporción
8.7. Contraste para la proporción en una población
En esta ocasión tenemos una población donde una proporción dada presenta una determinada característica,
que denominamos éxito, y cuya probabilidad es p. Deseamos hacer inferencia sobre esta proporción. Para
ello seleccionamos una muestra aleatoria simple de tamaño n y contabilizamos la proporción de éxitos en la
muestra, p̂. El resumen del contraste aparece en el Cuadro 8.15.
Vamos a considerar un primer ejempo relativo a la relación entre el género y los accidentes de tráco. Se
estima que el 60 % de los conductores son varones. Por otra parte, un estudio realizado sobre los datos de 120
accidentes de tráco muestra que en ellos el 70 % de los accidentes fueron provocados por un varón conductor.
¾Podemos, con esos datos, conrmar que los hombres son más peligrosos al volante?
Si notamos por p a la proporción de varones causantes de accidentes de tráco, la pregunta se responderá
armativamente si logramos contrastar la hipótesis H1 : p 0.6. El valor del estadístico es
z =
0.7 − 0.6
q
0.6×0.4
120
= 2.236.
Por su parte, la región de rechazo sería |z| 1.96 para un α = 0.05, luego en efecto, podemos concluir que la
proporción de varones causantes de accidentes es superior a la proporción de varones conductores en general.
El p-valor, de hecho, es 0.013.
Vamos a analizar con mucho detalle otro ejemplo sobre igualdad de proporciones. De todas formas, lo que
quiero enfatizaros con el ejemplo no está relacionado en sí con el hecho de que se reera a una proporción.
Una marca de nueces arma que, como máximo, el 6 % de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces

al azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de signicación del 5 %, ¾se puede aceptar la armación de
la marca?
En primer lugar, pedir un nivel de signicación del 5 % es equivalente a pedir un nivel de conanza del
95 % ... ¾sobre qué? Nos preguntan si se puede aceptar la armación de la marca con un nivel de
signicación del 5%, es decir, con un nivel de conanza del 95%. Eso implica que queremos
probar con amplias garantías que la marca no miente, y la única forma de hacerlo es poner su hipótesis
(p 0.06) en la hipótesis alternativa. Por tanto, tendríamos H0 : p ≥ 0.06 frente a lo que arma la
marca, H1 : p 0.06.
Ahora bien, jémonos que la proporción muestral de nueces vacías es p̂ = 21/300 = 0.07. Es decir, nos
piden que veamos si una proporción muestral de 0.07 da suciente conanza (95 % para ser exactos) de
que p 0.06... ½No da ninguna! Ni siquiera hace falta hacer el contraste con números. Jamás podremos
rechazar la hipótesis nula en favor de la hipótesis de la marca, es decir, en absoluto podemos armar
lo que dice la marca, p 0.06, con un 95 % de conanza. De todas formas, por si hay algún incrédulo,
el estadístico de contraste sería z = 0.07−0.06
√0.06×0.94
300
= 0.729. La región de rechazo, dado que es un test a la
izquierda, sería z z0.05 = −1.645. Como vemos, el valor del estadístico de contraste está en la cola de
la derecha y la región de rechazo en la de la izquierda. Por eso decía antes que es imposible rechazar la
hipótesis nula en favor de la alternativa, independientemente del nivel de conanza requerido.
Hasta ahora hemos demostrado que la marca no puede armar que la proporción de nueces vacías es
inferior al 6 % con un 95 % de conanza. De hecho, no lo puede armar con ningún nivel de conanza,
porque los datos tomados proporcionan una estimación de 0.07 que va justo en contra de su hipótesis.
Pero vamos a suponer que nos ponemos gallitos y decimos: es más, podría demostrar que hay eviden-
cias empíricas que proporcionan un 95 % de conanza en que la compañía miente, siendo en realidad
la proporción de nueces vacías superior al 6 % . Ahora somos nosotros los que armamos otra cosa:
armamos p 0.06 con un 95 % de conanza, lo que equivale a decir que hemos planteado un nuevo
contraste de hipótesis en el que H0 : p ≤ 0.06 frente a H1 : p 0.06. Las cuentas están casi hechas, ya
que el valor del estadístico de contraste es el mismo, z = 0.729, mientras que la región de rechazo es
z z0.95 = 1.645. Ahora el valor del estadístico, es decir, la información que nos dan los datos (21 de
300 nueces vacías), sí es coherente con la hipótesis alternativa, de ahí que esté en la misma cola que la
región de rechazo... ½pero no cae en ella!. Por lo tanto, no tenemos sucientes evidencias en los datos
para rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa con un 95 % de conanza, así que no podemos
demostrar con ese nivel de conanza que la marca miente.
En resumen, aunque parezca paradójico, no tenemos sucientes evidencias en los datos para armar
que la compañía dice la verdad, pero tampoco para demostrar que miente. La diferencia entre ambas
hipótesis radica en que no tenemos ninguna conanza en la armación de la compañía, y sí alguna
conanza en la armación contraria. ¾Cuánta conanza tenemos en la armación contraria p 0.06?
Ese valor viene dado por el p-valor, P[Z 0.729] = 0.233, que determina que el nivel de conanza en
p 0.06 es (1 − 0.233) × 100 % = 72.9 %.
Finalmente, alguien podría pensar, ¾y entonces qué hacemos? . Desde el punto de vista estadístico
lo único que podemos recomendar es aumentar el tamaño de la muestra, es decir, romper más de 300
nueces para tomar la decisión. Aparentemente, la información recogida con 300 nueces parece indicar

Tipo de
prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : p1 − p2 = D0
H1 : p1 − p2 D0
H0 : p1 − p2 = D0
H1 : p1 − p2 6= D0
H0 : p1 − p2 = D0
H1 : p1 − p2 D0
Estadístico
de contraste
z = p̂1−p̂2−D0
r
p̂(1−p̂)

1
n1
+ 1
n2
, p̂ = n1p̂1+n2p̂2
n1+n2
Región
de rechazo
Supuestos Al menos 10 éxitos y 10 fracasos
Cuadro 8.16: Contraste para la diferencia de proporciones
que la marca miente. De hecho, si la proporción muestral de 0.07 proviniera de una muestra de 1600
nueces en vez de 300, sí hubiéramos podido demostrar con un 95 % de conanza que la marca miente.
8.8. Contraste para la diferencia de proporciones
En esta ocasión partimos de dos poblaciones dentro de las cuales hay proporciones p1 y p2 de individuos con
la característica éxito. Pretendemos comparar estas proporciones mediante la toma de muestras de tamaño n1
y n2. Notaremos p̂1 y p̂2 las proporciones de éxitos en las muestras. Supondremos de nuevo que las muestras
son grandes para poder aplicar el Teorema Central del Límite a la hora de trabajar con el estadístico de
contraste. El resumen del contraste aparece en el Cuadro 8.16.
Vamos a considerar un estudio
3 con datos reales, aunque algo anticuados, referente a la relación entre los
accidentes de tráco y el consumo de alcohol, realizado por la DGT en la Comunidad Autónoma de Navarra
en 1991.
Se realizaron pruebas de alcoholemia en 274 conductores implicados en accidentes de tráco con heridos,
de los cuales, 88 dieron positivo. Por su parte, la Guardia Civil de Tráco realizó en la misma zona 1044
controles de alcoholemia al azar, de los cuales 15 dieron positivo.
Lo que la DGT quiere demostrar es que el alcohol es causante de los accidentes de tráco. Sin embargo,
desde el punto de vista estadístico sólo podemos contrastar la hipótesis de que la proporción de positivos en
la prueba de alcoholemia es mayor en el grupo de conductores implicados en accidentes de tráco.
Notemos por p1 y p2 a las verdaderas proporciones en el grupo de implicados en accidentes y en el grupo
de conductores no implicados. Se nos pide contrastar H0 : p1 = p2 frente a H1 : p1 p2. El estadístico de
contraste es
z =
88
274 − 15
1044
q
88+15
274+1044 (1 − 88+15
274+1044 )( 1
274 + 1
1044 )
= 904.29.
Está claro que el valor del estadístico es bestial, sin necesidad de valorar la región de rechazo, que sería
z z0.95 = 1.645, luego podemos rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa con, al menos, el 95 %
de conanza. El p-valor, p = P[Z 904.29] = 0 indica que la conanza es, de hecho, bastante mayor.
No puedo resistirme a concluir el ejemplo sin recordar que lo que la DGT realmente querrá dar a entender
es que el alcohol es el causante de los accidentes de tráco, pero que eso no puede ser demostrado con el
contraste.
3http://www.dgt.es/educacionvial/imagenes/educacionvial/recursos/dgt/EduVial/50/40/index.htm

Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : σ2
= σ2
0
H1 : σ2
σ2
0
H0 : σ2
= σ2
0
H1 : σ2
6= σ2
0
H0 : σ2
= σ2
0
H1 : σ2
σ2
0
Estadístico
de contraste
χ2
=
(n−1)s2
n−1
σ2
0
Rechazo χ2
χ2
α;n−1
χ2
χ2
α/2;n−1 o
χ2
χ2
1−α/2;n−1
χ2
χ2
1−α;n−1
p-valor P[χ2
n−1 χ2
] 2min(P[χ2
n−1 χ2
], P[χ2
n−1 χ2
]) P[χ2
n−1 χ2
]
Supuestos Distribución de probabilidad aproximadamente normal
Cuadro 8.17: Contraste para la varianza
8.9. Contraste para la varianza de una población
De nuevo consideremos que tenemos una variable aleatoria X con varianza σ2
y que tomamos una muestra de
tamaño n, cuya varianza muestral notamos por s2
n−1. Vamos a tratar de hacer inferencia sobre σ2
. El problema
es que ahora no podemos aplicar el Teorema Central del Límite, por lo que sólo utilizar los contrastes cuando
la variable X es normal. χ2
p;v es el valor de una χ2
de v grados de libertad tal que P

χ2
χ2
p;v

= p.
Las empresa Sidel arma que su máquina de llenado HEMA posee una desviación típica en el llenado de
contenedores de 500ml de producto homogéneo inferior a 0.8 gr.
4 Vamos a suponer que el supervisor de control
de calidad quiere realizar una comprobación al respecto. Recopila para ello una muestra del llenado de 50
contenedores, obteniendo una varianza muestral de 0.6 ¾Esta información proporciona pruebas sucientes de
que la desviación típica de su proceso de llenado es realmente inferior a 0.8gr.?
Planteamos, en primer lugar, las hipótesis del contraste. Se nos pide que contrastemos H0 : σ = 0.8 o,
equivalentemente, H0 : σ2
= 0.64 frente a la alternativa H1 : σ2
0.64. Se trata, por tanto, de un test
unilateral a la izquierda. El estadístico de contraste es
χ2
=
49 × 0.6
0.64
= 45.938.
Ahora concluimos a través de la región de rechazo (elegimos α = 0.05) y del p-valor:
1. Dado que χ2
0.05;9 = 33.930, y χ2
= 45.938 χ2
0.05;9 = 33.930, no podemos concluir con al menos un
95 % de conanza que, en efecto, la desviación típica de la cantidad de llenado es inferior a 0.8gr.
2. Dado que el p-valor es p = P[χ2
49 45.938] = 0.4, bastante alto, tenemos muy serias dudas acerca de
que, en efecto, la desviación típica sea realmente inferior a 0.8gr.
Ojo: antes de que la empresa Sidel se enfade con nosotros, no olvidemos que los datos son imaginarios: sólo
son reales las especicaciones técnicas de σ 0.8gr.
8.10. Contraste para el cociente de varianzas
Tenemos dos muestras, x1, ..., xn1 y y1, ..., yn2 , de dos variables aleatorias independientes con varianzas σ2
1 y
σ2
2. Notaremos (s1
n−1)2
y (s2
n−1)2
a las varianzas muestrales. De nuevo sólo podremos considerar el contraste
4http://www.sidel.com/es/products/equipment/the-art-of-lling/hema-gw

Tipo
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 :
σ2
1
σ2
2
= 1
H1 :
σ2
1
σ2
2
1
H0 :
σ2
1
σ2
2
= 1
H1 :
σ2
1
σ2
2
6= 1
H0 :
σ2
1
σ2
2
= 1
H1 :
σ2
1
σ2
2
1
Estadístico f =
(s1
n−1)
2
(s2
n−1)
2
Rechazo f fα;n1−1,n2−1
f fα/2;n1−1,n2−1 o
f f1−α/2;n1−1,n2−1
f f1−α;n1−1,n2−1
p-valor P[Fn1−1,n2−1 f] 2min(P[Fn1−1,n2−1 f], P[Fn1−1,n2−1 f]) P[Fn1−1,n2−1 f]
Supuestos
Cuadro 8.18: Contraste para el cociente de varianzas
si ambas variables son normales. El resumen del contraste aparece en el Cuadro 8.18. En él, fp;v1,v2
es el
valor de una F de v1 y v2 grados de libertad
5 tal que P[F fp;v1,v2
] = p.
Para practicar sobre el contraste, consideremos que se han realizado 20 mediciones de la dureza en la escala
Vickers de acero con alto contenido en cromo y otras 20 mediciones independientes de la dureza de una
soldadura producida sobre ese metal. Las desviaciones estándar de las muestras de dureza del metal y de
dureza de la soldadura sobre éste fue de 12.06µHV y 11.41µHV , respectivamente. Podemos suponer que
las durezas corresponden a variables normales e independientes. ¾Podemos concluir que la dureza del metal
básico es más variable que la dureza medida en la soldadura?
Vamos a llamar a la dureza sobre el acero, X, y a la dureza sobre la soldadura, Y . Se nos pide que contrastemos
H0 : σ2
X = σ2
Y frente a la alternativa H1 : σ2
X σ2
Y o, equivalentemente, H1 :
σ2
X
σ2
Y
1. Se trata, por tanto, de
una prueba unilateral a la derecha. El estadístico de contraste es
f =
12.062
11.412
= 1.1172.
Vamos a tomar un nivel de signicación de α = 0.05. La región crítica viene delimitada por el valor f0.95;19,19 =
2.168. Dado que f = 1.1172 f0.95;19,19 = 2.168, no podemos concluir al nivel de signicación α = 0.05 que
la dureza del metal básico sea más variable que la dureza medida en la soldadura.
El p-valor, por su parte, es p = P[F19,19 1.1172] = 0.4058.
8.11. Contraste para las medias de más de dos poblaciones inde-
pendientes. ANOVA
En algunas de las secciones anteriores hemos conseguido contrastes de hipótesis para valorar si existen diferen-
cias signicativas entre dos grupos independientes. Lo que nos planteamos aquí es extender estos contrastes
para poder comparar no sólo dos sino tres o más grupos. Se da por hecho, por tanto, que existe un factor
que separa los valores de la variable en varios grupos (dos o más).
Concretamente, supongamos m muestras independientes unas de otras, cada una de ellas con un tamaño
ni
6. Supongamos también que cada una de las muestras provienen de poblaciones con distribución normal
5De cara al uso de las tablas hay una propiedad bastante útil: fp;v1,v2 = 1/f1−p;v2,v1
6No es necesario, aunque sí deseable, que todas las muestras tengan el mismo tamaño.

de medias µi y varianzas todas iguales, σ2
.
Lo que planteamos es contrastar
H0 : µ1 = ... = µm
frente a
H1 : no todas las medias son iguales.
Obsérvese que la alternativa no dice que todas las medias sean distintas sino tan sólo que al menos dos de
ellas sean diferentes.
Denotemos por xi
1, ..., xi
ni
a la muestra i−ésima, y x̄i y s2
i,ni−1 a su media y su varianza muestral, con
i = 1, ..., m.
Este contraste se denomina ANOVA como acrónimo de Analysis of Variance, ya que, como vamos a ver, se
basa en analizar a qué se debe la variabilidad total que presentan los datos, si al azar o a las diferencias entre
las poblaciones de las que proceden las muestras.
Supongamos que juntamos todas las muestras, obteniendo una única muestra global de tamaño
N =
m
X
i=1
ni,
y calculamos su media,
x̄ =
Pm
i=1
Pni
j=1 xi
j
N
.
Ahora, vamos a preguntarnos por las fuentes de variación de los datos:
1. En primer lugar, los datos varían globalmente respecto a la media total. Una medida de esta variación
es la suma de los cuadrados totales,
SCT =
m
X
i=1
ni
X
j=1
xi
j − x̄
2
.
2. Por otro lado, puede haber diferencias entre las medias de cada grupo y la media total. Podemos medir
estas diferencias con la suma de los cuadrados entre-grupos:
SCE =
m
X
i=1
ni (x̄i − x̄)
2
.
Si la hipótesis nula fuera cierta, sólo habría pequeñas diferencias muestrales entre las medias de cada
muestra, en cuyo caso, la SCE sería pequeña. Si fuera falsa, habría muchas diferencias entre las medias
y con respecto a la media total, en cuyo caso SCE sería grande.
3. Por último, debido a la variabilidad inherente a toda muestra, los datos de cada muestra van a va-
riar respecto a su media particular. Como medida de esta variación consideramos la suma de los
cuadrados dentro de los grupos o intra-grupos:
SCD =
m
X
i=1
ni
X
j=1
xi
j − x̄i
2
=
m
X
i=1
(ni − 1) s2
i,ni−1.

La clave en estas consideraciones lo constituye la siguiente igualdad, conocida como teorema de partición
de la varianza:
SCT = SCE + SCD.
Teniendo en cuenta este resultado, el ANOVA consiste en ver si SCE es signicativamente grande respecto
de SCD. Para ello basta considerar que, suponiendo que la hipótesis nula es cierta:
SCT
σ2 sigue una χ2
con N − 1 grados de libertad.
SCE
σ2 sigue una χ2
con m − 1 grados de libertad.
SCD
σ2 sigue una χ2
con N − m grados de libertad.
Así, el estadístico de contraste del test es
F =
SCE
m−1
SCD
N−m
,
que, suponiendo que la hipótesis nula es cierta, sigue una F de Snedecor con m − 1 y N − m grados de
libertad.
Por lo tanto, el test podemos resumirlo de la siguiente forma:
1. Calculamos
x̄ =
Pm
i=1
Pni
j=1 xi
j
N
y con ella
SCE =
m
X
i=1
ni (x̄i − x̄)
2
=
m
X
i=1
nix̄2
i − Nx̄2
.
2. Calculamos
SCD =
m
X
i=1
ni
X
j=1
xi
j − x̄i
2
=
m
X
i=1
(ni − 1) s2
i,ni−1.
3. Calculamos el estadístico del test:
F =
SCE
m−1
SCD
N−m
.
4. Tomamos la decisión:
a) Si F ≤ Fm−1,N−m;1−α, no rechazamos la hipótesis nula en favor de la alternativa con un nivel de
signicación α.
b) Si F Fm−1,N−m;1−α, rechazamos la hipótesis nula en favor de la alternativa con un nivel de
signicación α.
Ejemplo. En un experimento se prepararon ujos de soldadura con 4 composiciones químicas diferentes.
Se hicieron 5 soldaduras con cada composición sobre la misma base de acero, midiendo la dureza en la
escala de Brinell. El Cuadro 8.19 siguiente resume los resultados.
Vamos a contrastar si existen diferencias signicativas entre las durezas, suponiendo que estas siguen
distribuciones normales todas ellas con la misma varianza.

Composición Media muestral Desviación típica muestral
A 253.8 9.7570
B 263.2 5.4037
C 271.0 8.7178
D 262.0 7.4498
Cuadro 8.19: Datos del ejemplo de ANOVA
En primer lugar, observemos que los tamaños muestrales son iguales: n1 = ... = n4 = 5.
Por otra parte, tenemos:
x̄ =
5 × 253.8 + 5 × 263.2 + 5 × 271.0 + 5 × 262.0
20
= 262.5
SCE = 5 × (253.8 − 262.5)
2
+ ... + 5 × (262.0 − 262.5)
2
= 743.4
SCD = (5 − 1) 9.75702
+ ... + (5 − 1) 7.44982
= 1023.6.
Por tanto,
F =
743.4
4−1
1023.6
20−4
= 3.8734.
Por su parte, el valor de F3,16;0.95 es 3.2389, de manera que podemos armar que existen diferencias
signicativas entre las durezas de los 4 compuestos, con un 95 % de conanza.
8.12. El problemas de las pruebas múltiples. Método de Bonferroni
¾Qué ocurre si en un estudio tenemos que realizar más de una prueba de hipótesis? Cada prueba lleva consigo
un determinado nivel de conanza y, por tanto, una probabilidad de equivocarnos rechazando una hipótesis
nula que es cierta (error tipo I). Cuantas más pruebas hagamos, más probabilidades tenemos de cometer un
error en la decisión rechazando una hipótesis nula cierta o, dicho de otra forma, menor conanza tendremos.
El método de Bonferroni es uno de los métodos más simples para tratar de corregir este problema asociado
a las pruebas múltiples. Se trata de corregir los p-valores de todas las pruebas que se estén realizando
simultáneamente, multiplicándolos por el nº total de pruebas, antes de tomar la decisión.
Ejemplo. En Biología Molecular se estudia la relación que puede tener el nivel de expresión de un gen
con la posibilidad de padecer un tipo de cáncer. Un investigador consigue analizar el nivel de expresión de
10 genes en una muestra de pacientes y realiza 10 contrastes de hipótesis donde la hipótesis alternativa de
cada uno de ellos dice que un gen está relacionado con la posibilidad de padecer ese cáncer. Los p-valores
obtenidos son los siguientes:
(0.1, 0.01, 0.21, 0.06, 0.32, 0.24, 0.45, 0.7, 0.08, 0.0003)

Histogram of x
IMC de los varones
Frequency
20 25 30
0
2
4
6
8
10
12
14
Figura 8.3: Histograma del IMC de los varones de la muestra
En principio, tendríamos evidencias de que el 2º y el último gen están signicativamente relacionados con
ese tipo de cáncer. Sin embargo, debemos corregir el efecto de la realización de las 10 pruebas simultáneas.
Aplicando el método de Bonferroni, debemos multiplicar por 10 los p-valores. En ese caso, el segundo
gen ya no puede ser considerado estadísticamente signicativo para el riesgo de padecer el cáncer (0.01×
10 0.05); por el contrario, dado que 0.0003 × 10 0.05, el último gen sigue siendo considerado
signicativamente relacionado con el cáncer.
8.13. Resolución de los ejemplos del IMC de los varones y del diá-
metro de los cojinetes
8.13.1. Resolución del ejemplo del índice de masa corporal
Recordemos que en este ejemplo planteábamos que en una encuesta realizada por alumnos de la asignatura
en el curso 2008/2009 éstos sacaron la impresión de que el IMC medio de los varones estaba por encima de
la medida ideal indicada, 22.5. La cuestión es, si realmente tienen evidencias sucientes de ello y cómo de
fuertes son esas evidencias.
Los datos muestrales arrojan una media de x̄ = 24.736 y una desviación típica de sn−1 = 10.202. El tamaño
de la muestra fue de 45 varones.
Si notamos por µ a la media poblacional del IMC de los varones, lo que nos planteamos es el contraste de
H0 : µ ≤ 22.5 frente a la alternativa H1 : µ 22.5.
En primer lugar, el histograma de los datos (ver Figura 8.3) hace pensar que éstos no están lejos de la
normalidad. De todas formas, dado que tenemos 45 datos, no es necesario suponer que los datos siguen una
normal, ya que el tamaño muestral es sucientemente grande.
El estadístico de contraste sería
z =
24.736 − 22.5
10.202/
√
45
= 1.47.
El p-valor, P [Z 1.47] = 0.071 es superior al 5 %, lo que indica que a pesar de que el valor muestral es

superior a 22.5, no podemos concluir con un 95 % de conanza que el IMC medio de la población de los
varones sea superior a 22.5.
8.13.2. Resolución del ejemplo de los cojinetes
Recordemos también el planteamiento: Un ingeniero industrial es responsable de la producción de cojinetes
de bolas y tiene dos máquinas distintas para ello. Le interesa que los cojinetes producidos tengan diámetros
similares, independientemente de la máquina que los produce, pero tiene sospechas de que está produciendo
algún problema de falta de calibración entre ellas. Para analizar esta cuestión, extrae una muestra de 120
cojinetes que se fabricaron en la máquina A, y encuentra que la media del diámetro es de 5.068 mm y que
su desviación estándar es de 0.011 mm. Realiza el mismo experimento con la máquina B sobre 65 cojinetes
y encuentra que la media y la desviación estándar son, respectivamente, 5.072 mm y 0.007 mm. ¾Puede el
ingeniero concluir que los cojinetes producidos por las máquinas tienen diámetros medios signicativamente
diferentes?
En este caso, afortunadamente también tenemos un tamaño muestral que va a permitir obviar la hipótesis
de normalidad. Vemos que de nuevo se plantea un supuesto que puede ser analizado a través de la media,
en concreto, comparando la media de ambas máquinas. Si llamamos X al diámetro de la máquina A e Y al
diámetro de la máquina B, tenemos que contrastar H0 : µX = µY frente a H1 : µX 6= µY .
El estadístico de contraste es
z =
5.068 − 5.072
q
0.0112
120 + 0.0072
65
= −3.013.
El p-valor asociado es 2 × P[Z −3.361] = 0.002, luego tenemos evidencias de que, en efecto, el diámetro
medio de ambas máquinas es distinto.

Capítulo 9
Contrastes de hipótesis no paramétricas
Todos aprendemos de la experiencia, y la lección en esta ocasión es que nunca se debe perder
de vista la alternativa.
Sherlock Holmes (A. C. Doyle), en Las Aventuras de Black Peter
Resumen. Continuando con los contraste de hipótesis, presentamos en este capítulo nuevos contrastes que
permitirán decidir si un ajuste mediante una distribución teórica es válido y valorar si existe relación entre
variables cualitativas.
Palabras clave: bondad de ajuste, test χ2
de bondad de ajuste, test de bondad de ajuste de Kolmogorov-
Smirno, test χ2
de independencia.
9.1. Introducción
Todos los contrastes que hemos descrito en el capítulo anterior se basan, directa o indirectamente (a través
del teorema central del límite) en que los datos se ajustan a la distribución normal, haciendo inferencia de
una u otra forma sobre sus parámetros. En este capítulo vamos a considerar contrastes que no necesitan
de tal hipótesis, por lo que no se enuncian como contrastes sobre algún parámetro desconocido: de ahí que
formen parte de los llamados contrastes no paramétricos o contrastes de hipótesis no paramétricas.
9.2. Contrastes de bondad de ajuste
Gracias a lo estudiado en el apartado correspondiente a la estimación puntual de parámetros ahora somos
capaces de ajustar una distribución a unos datos mediante algún método de estimación (momentos, máxima
verosimilitud, ...). Sin embargo, hasta ahora no disponemos de ninguna herramienta capaz de juzgar si ese
ajuste es bueno o malo, o cómo de bueno es. De hecho, en la relación de problemas correspondiente dejamos
abierta esta cuestión, ya que sólo pudimos valorar esta bondad del ajuste mediante representaciones grácas,
lo que sólo nos dio una visión parcial del problema, que puede ser muy subjetiva.
Los dos contrastes de hipótesis que vamos a describir ahora van a permitir contrastar como hipótesis nula
H0 : la distribución se ajusta adecuadamente a los datos,
179

Resultado Observados Esperados
1 105 100
2 107 100
3 89 100
4 103 100
5 111 100
6 85 100
Total 600 600
Cuadro 9.1: Frecuencias observadas y esperadas en 600 lanzamientos del dado.
frente a la alternativa
H1 : la distribución no se ajusta adecuadamente a los datos,
facilitando además un p-valor que permitirá, además, comparar la bondad de distintos ajustes.
Decir, por último, que aunque estos dos contrastes de hipótesis pueden aplicarse a cualquier tipo de variables
están especialmente indicados para variables de tipo discreto o cualitativo en el caso del primero de ellos (test
χ2
de bondad de ajuste) y para variables de tipo continuo en el segundo (test de Kolmogorov-Smirnov).
9.2.1. Test χ2
de bondad de ajuste
Ejemplo. Supongamos que un tahur del Missisipi quiere probar un dado para ver si es adecuado para
jugar honestamente con él. En ese caso, si notamos por pi a la probabilidad de que en el lanzamiento del
dado resulte el valor i = 1, 2, ..., 6, el tahur quiere probar la hipótesis
H0 : p1 = ... = p6 =
1
6
frente a la alternativa de H1 que algún pi sea distinta de
1
6 .
Para realizar la prueba, lanzará el dado 600 veces, anotando el número de veces que se da cada resultado.
Estas cantidades se denominan frecuencias observadas.
Por otra parte, si el dado fuera justo (hipótesis H0), en 600 lanzamientos deberían darse aproximadamente
100 de cada resultado posible. Éstas frecuencias se denominan frecuencias esperadas.
El tahur tomará la decisión con respecto al dado a partir de la comparación de las frecuencias observadas
y las esperadas (ver Cuadro 9.1). ¾Qué decidirías tú a la luz de esos datos?
A continuación, vamos a describir el test χ2
, que permite realizar pruebas de este tipo. Como hemos comentado
en la introducción, con ella podremos juzgar ajustes de los que hemos logrado en el capítulo de estimación
puntual, pero también podremos utilizarla en ejemplos como el que acabamos de ver, en el que el experto
está interesado en contrastar datos experimentales con respecto a una distribución teórica que le resulta de
interés.
En primer lugar y de forma más general, supongamos que tenemos una muestra de tamaño N de una v.a.
discreta o cualitativa, X, ajustada a un modelo dado por una distribución.

Consideremos una partición del conjunto de valores que puede tomar la variable: S1, ..., Sr. En principio,
esta partición podrían ser simplemente todos y cada uno de los valores que toma la variable X, pero, como
veremos, es posible que tengamos que agrupar algunos de ellos.
Seguidamente, consideremos la probabilidad, según la distribución dada por el ajuste que queremos evaluar,
de cada una de estas partes,
pi = P [X ∈ Si/H0
] 0.
De igual forma, calculemos Oi, el número de observaciones de la muestra que caen en cada conjunto Si.
La idea del test es comparar el número de observaciones Oi que caen realmente en cada conjunto Si con el
número esperado de observaciones que deberían caer en Si si el ajuste es el dado por nuestro modelo, que
sería N × pi. Para ello, una medida que compara estas dos cantidades viene dada por
D =
r
X
i=1
(Oi − N × pi)
2
N × pi
.
Si, para una muestra dada, esta v.a. toma un valor d muy alto, indica que los valores observados no cuadran
con el ajuste que hemos propuesto (con lo cuál se rechazaría la hipótesis nula en favor de la alternativa);
si, por el contrario, toma un valor d bajo, indica que nuestro ajuste corresponde bien con los datos de la
muestra, por lo que es aceptable la hipótesis nula.
El problema nal es decidir cuándo el valor de la v.a. D, d, es lo sucientemente alto como para que nos
resulte inaceptable el ajuste. Para decidirlo hay que tener en cuenta que cuando N es razonablemente alto y
la hipótesis H 0 es cierta, la distribución de probabilidad de D es χ2
con r −k −1 grados de libertad, es decir,
D/H0
N
→ χ2
r−k−1,
donde k es el número de parámetros que han sido estimados en el ajuste. Teniendo en cuenta este resultado,
se calcula bajo esta distribución la probabilidad de que se de un valor todavía más alto que d (el p-valor, por
tanto),
p = P [D d/H0
] .
Si esta probabilidad es inferior al 5 %, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa con un 95 % de
conanza. Dicho de otra forma, se acepta la hipótesis nula sólo si el valor de D entra dentro del 95 % de
resultados más favorables a ella.
Esquemáticamente, el proceso es el siguiente:
1. Se enuncia el test:
H0 : los datos siguen la distribución dada por nuestro ajuste
H1 : los datos no siguen la distribución dada por nuestro ajuste
2. Si en la muestra se dan los valores x1, ..., xm, se calculan las frecuencias esperadas según el ajuste
propuesto de cada valor xi, N × P [X = xi], i = 1, ..., m. Si alguna de estas frecuencias es inferior
a 5, se agrupa con alguna de la más cercana hasta que sumen una frecuencia mayor o igual a 5. Se
construye así la partición del conjunto de valores posibles para X, S1, ...Sr, cuyas frecuencias esperadas

xi 0 1 2 3 4 5 6
Frec. obs. 42 28 13 5 7 3 2
Cuadro 9.2: Frecuencias observadas en la muestra de tiempos entre llegadas.
son todas mayores o iguales a 5. En realidad, esto es sólo una recomendación que puede relajarse: si
alguna frecuencia esperada es sólo ligeramente inferior a 5, no es especialmente grave.
3. Se calculan las frecuencias observadas de cada Si, y lo notamos como Oi.
4. Se calcula el estadístico del test en la muestra
d =
r
X
i=1
(Oi − N × pi)
2
N × pi
.
5. Se calcula el p-valor asociado al valor del estadístico,
p = P [D d/H0 ] ,
según una distribución χ2
con r − k − 1 grados de libertad.
6. Se toma la decisión (para un nivel de conanza del 95 %):
a) Si p 0.05, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa, con un 95 % de conanza.
b) Si p ≥ 0.05, se concluye que no hay evidencias en contra de armar que los datos se ajustan a la
distribución dada.
Ejemplo. Los datos que se presentan en el Cuadro 9.2 constituyen una muestra aleatoria simple del
tiempo en ms. que transcurre entre la llegada de paquetes transmitidos por un determinado protocolo.
En la tabla aparecen los valores junto al número de veces que han sido observados en la muestra.
Se sospecha que una distribución geométrica puede ajustar bien esos datos. Vamos a realizar ese ajuste
y contrastar si es aceptable mediante el test de la chi-cuadrado.
En primer lugar, para ajustar una distribución geométrica debemos estimar el parámetro de la misma.
Vamos a hacerlo de forma sencilla por el método de los momentos. El valor de la media de la distribución
es $EX= de donde p = 1
1+EX . Por tanto, nuestro estimador será
p̂ =
1
1 + x̄
.
Por su parte,
x̄ =
0 × 42 + 1 × 28 + 2 × 13 + 3 × 5 + 4 × 7 + 5 × 3 + 6 × 2
100
= 1.24,
luego $

Así pues, deseamos contrastar en qué medida el ajuste de una Geo (0.4464) es válido para los datos de
la muestra. Es decir, deseamos contrastar H0 : X → Geo (0.4464) frente a la alternativa H1 : X 9
Geo (0.4464) .
Vamos a calcular cuáles son las probabilidades teóricas según esa distribución de los valores observados
en la muestra:
P [X = 0] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
0
= 0.4464
P [X = 1] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
1
= 0.2471
P [X = 2] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
2
= 0.1368
P [X = 3] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
3
= 0.0757
P [X = 4] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
4
= 0.0419
P [X = 5] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
5
= 0.0232
P [X = 6] = 0.4464 × (1 − 0.4464)
6
= 0.0128
P [X 6] = 1 − (0.4464 + 0.2471 + 0.1368 + 0.0757 + 0.0419 + 0.0232 + 0.0128) = 0.0159
Ahora tenemos que construir la partición de los valores de la variable que, como sabemos, son 0,1,... Hay
que tener en cuenta que debemos procurar que las frecuencias esperadas sean superiores o iguales a 5.
Como hay 100 observaciones, será necesario agrupar los valores 4 en adelante en un solo conjunto. Vamos
a resumir este planteamiento en el Cuadro 9.3 donde, además, aparecen los residuos al cuadrado entre
las frecuencias observadas y esperadas, necesarios para calcular el estadístico del test.
El valor de éste se calcula a partir de los resultados de la tabla de la siguiente manera:
d =
6.9696
44.64
+
0.0841
27.71
+
0.4624
13.68
+
6.6049
7.57
+
6.8644
9.38
= 1.7973.
Finalmente, el p-valor se calcula como P [D 1.7973] , donde D sigue una χ2
5−1−1, es decir, una Gamma
de parámetros (5 − 1 − 1)/2 y 1/2. Por tanto,
p − valor =
ˆ ∞
1.7973
1
2
1
2 x
3
2 −1
e− 1
2 x
Γ 3
2
dx = 0.61552.
Al ser superior (muy superior, de hecho) a 0.05, podemos armar que no hay evidencias en los datos de
la muestra en contra de que éstos sigan una distribución Geo (0.4464).

xi Oi N × pi (Oi − N × pi)
2
0 42 44.64 (42 − 44.64)
2
= 6.969 6
1 28 27.71 (28 − 27.71)
2
= 0 .0841
2 13 13.68 (13 − 13.68)
2
= 0.462 4
3 5 7.57 (5 − 7.57)
2
= 6.604 9
≥ 4 12 9.38 (12 − 9.38)
2
= 6.864 4
Cuadro 9.3: Frecuencias observadas, frecuencias esperadas y residuos.
9.2.2. Test de Kolmogorov-Smirno
En este caso el test es aplicable sobre todo a variables de tipo continuo. Se basa en la comparación de la
función de distribución teórica propuesta por el modelo cuyo ajuste estamos evaluando con la función de
distribución empírica de los datos.
Concretamente, si tenemos X1, ..., XN una muestra de una v.a. X, si notamos por F (x) a la función de
distribución del modelo propuesto y por SN (x) a la función de distribución empírica asociada a la muestra,
el estadístico que se utiliza para este contraste viene dado por
DN = Sup
x
|F (x) − SN (x)| .
A la hora de calcular este máximo debemos tener en cuenta que la variable x es de tipo continuo.
La hipótesis nula a contrastar es
H0 : los datos de la muestra se ajustan a la distribución dada por F (x) ,
frente a la hipótesis alternativa
H1 : los datos de la muestra no se ajustan a la distribución dada por F (x) .
Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando el p-valor asociado al valor que tome DN sea
inferior a 0.05.
Esquemáticamente, el proceso en el desarrollo del test puede resumirse en los siguientes pasos:
1. Ordenamos los valores de la muestra de menor a mayor: x(1), ..., x(N).
2. Construimos la función de distribución empírica, que en cada valor de la muestra viene dado por
SN x(i)

= i
N .
3. El valor del estadístico se calcula como
dN = máx
1≤i≤N

máx

F x(i)

− SN x(i)

, F x(i)

− SN x(i−1)

.
4. Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa si p = P [DN dN ] 0.05, con un (1 − p) ×
100 % de conanza.
La distribución de probabilidad de DN , necesaria para calcular el p-valor, no es muy conocida. Para evaluar
esta probabilidad hay que echar mano de algún paquete matemático o consultar tablas de dicha distribución.

1.4647 0.4995 0.7216 0.1151 0.2717 0.7842 3.9898 0.1967 0.8103 0.4854
0.2333 0.0814 0.3035 1.7358 0.9021 0.0667 0.0868 0.8909 0.1124 0.0512
Cuadro 9.4: Datos de la muestra.
Ejemplo. Los datos que aparecen en el Cuadro 9.4 corresponden al tiempo en sec. entre conexiones a
un servidor. Nos planteamos si una distribución exponencial es adecuada para su ajuste.
En primer lugar hemos de decidir cuál es el ajuste propuesto. El estimador máximo verosímil del pará-
metro λ de una exponencial coincide con el estimador del método de los momentos, λ̂ = 1
m1
. En este
caso, λ̂ = 1/0.6902 = 1. 448 9.
Para calcular el valor del estadístico del contraste, debemos evaluar la función de distribución de una
exp (1.4489),
F (x) = 1 − e−1.4489x
, x ≥ 0
con la función de distribución empírica. El Cuadro 9.5 muestra ambas funciones de distribución. De ella
se deduce que el valor del estadístico de contraste es 0.172 72. El p-valor asociado (calculado con Matlab)
toma el valor
P [D20 0.172 72] = 0.7507.
Por tanto, no hay en los datos evidencia en contra de asumir que siguen una distribución exp (1.4489).
La Figura 9.1 muestra en una vertiente gráca la bondad del ajuste y el punto donde se alcanza la
distancia máxima entre las función de distribución teórica y empírica.
x(i) F x(i)
i
20
i−1
20
0.0512 7.1499 × 10−2
0.05 0
0.0667 9.2119 × 10−2
0.1 0.05
0.0814 0.11125 0.15 0.1
0.0868 0.11818 0.2 0.15
0.1124 0.15029 0.25 0.2
0.1151 0.1536 0.3 0.25
0.1967 0.24798 0.25 0.3
0.2333 0.28682 0.4 0.35
0.2717 0.32542 0.45 0.4
0.3035 0.3558 0.5 0.45
x(i) F x(i)
i
20
i−1
20
0.4854 0.50505 0.55 0.5
0.4995 0.51506 0.6 0.55
0.7216 0.64849 0.65 0.6
0.7842 0.67897 0.7 0.65
0.8103 0.69089 0.75 0.7
0.8909 0.72496 0.8 0.75
0.9021 0.72938 0.85 0.8
1.4647 0.88023 0.9 0.85
1.7358 0.91914 0.95 0.9
3.9898 0.99691 1 0.95
Cuadro 9.5: Tabla asociada al Test de Kolmogorov-Smirnov.
9.3. Contraste de independencia χ2
Si nos damos cuenta, desde el capítulo de estadística descriptiva nos hemos centrado exclusivamente en
variables de tipo cuantitativo.
Sin embargo, en numerosas ocasiones el objeto de estudio viene determinado, no por una cantidad, sino
por una cualidad o un estado no cuanticable. Es por ello que vamos a considerar un contraste relativo a
variables de tipo cualitativo, concretamente, para valorar si dos de estas variables están o no signicativamente
relacionadas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 9.1: Funciones de distribución teórica y empírica. Valor donde se da el estadístico de Kolmogorov-
Smirnof.
Ejemplo. ¾Está relacionada la ideología política con el género del votante? Es decir, nos planteamos si
el que una persona se declare de izquierdas o de derechas depende de si es varón o mujer. Existen dos
variables cualitativas o características que dividen a la población. Lo que nos interesa es si esa división
está o no relacionada. ¾Serán más conservadoras las mujeres?
Consideremos en general una población en la que cada individuo se clasica de acuerdo con dos características,
designadas como X e Y . Supongamos que los posibles valores de X son x1, ..., xr y los posibles valores de Y
son y1, ..., ys.
Denotemos por pij a la proporción de individuos de la población cuyas características son simultáneamente
xi e yj. Denotemos además, como pi. a la proporción de individuos con característica xi y p.j a la proporción
de individuos con característica yj. En términos de probabilidades, tendremos que si se elige un individuo al
azar,
P [X = xi, Y = yj] = pij
P [X = xi] = pi. =
s
X
j=1
pij
P [Y = yj] = p.j =
r
X
i=1
pij.
Lo que pretendemos contrastar es si las dos características son independientes, es decir, si para todo i y para
todo j,
P [X = xi, Y = yj] = P [X = xi] × P [Y = yj] ,
es decir, si
pij = pi. × p.j.

Así pues, podemos enunciar el contraste como
H0 : pij = pi. × p.j para todo i = 1, ..., r; j = 1, ..., s
frente a
H1 : pij 6= pi. × p.j para algún valor de i y j.
Para llevar a cabo el contraste tomaremos una muestra de la población de tamaño n. Denotemos por nij los
individuos de esa muestra que toman simultáneamente el valor xi y el valor yj (frecuencias observadas),
ni. =
Ps
j=1 nij los individuos de la muestra que toman el valor xi y n.j =
Pr
i=1 nij los que toman el valor
yj.
De esta forma,
p̂ij =
nij
n
será un estimador basado en la muestra de pij,
p̂i. =
ni.
n
será un estimador basado en la muestra de pi. y
p̂.j =
n.j
n
será un estimador basado en la muestra de p.j.
Por otra parte, si la hipótesis nula fuera cierta, el número de individuos en la muestra, de tamaño n, que
toman simultáneamente los valores xi y yj sería
eij = n × pi. × p.j.
Basado en la muestra, los valores
êij = n × p̂i. × p̂.j
=
ni. × n.j
n
(frecuencias esperadas) serían sus estimadores.
Finalmente, el estadístico del contraste se basa en comparar los valores reales en la muestra de nij con
los valores êij que se darían si la hipótesis nula fuera cierta, es decir, si las características X e Y fueran
independientes. El valor del estadístico es
d =
r
X
i=1
s
X
j=1
(nij − êij)
2
êij
.
Suponiendo que la hipótesis nula es cierta, la distribución del estadístico del contraste es χ2
con (r − 1) (s − 1)
grados de libertad, por lo que decidiremos en función del p-valor asociado,
p = P [D d/H0
] ,

donde D → χ2
(r−1)(s−1) o bien:
Rechazaremos H0 con nivel de signicación α si d χ2
(r−1)(s−1);1−α.
No rechazaremos H0 con nivel de signicación α si d χ2
(r−1)(s−1);1−α.
Hay que hacer una última observación: para que en efecto D → χ2
con (r − 1) (s − 1) es necesario que todas
(o casi todas) las frecuencias esperadas êij sean mayores o iguales a 5. Si alguna o algunas de ellas no lo
son, la distribución χ2
podría no ser adecuada y el resultado del test incorrecto. Para que esto no ocurra es
recomendable que el tamaño de la muestra sea grande.
Ejemplo. Se toma una muestra de 300 personas, preguntándoles si se consideran más de derechas, más
de izquierdas o de centro y anotando su género. El resultado se resume en la siguiente tabla:
Izquierda Derecha Centro Total
Mujeres 68 56 32 156
Hombres 52 72 20 144
Total 120 128 52 300
Este tipo de tablas se conocen como tablas de contingencia. Contiene los valores que hemos notado
nij y, en los márgenes inferior y lateral derecho, los valores ni. y n.j.
Vamos a ver si el género está relacionado con la ideología. Si no fuera así, si la ideología fuera independiente
del género, se tendría en una muestra de 300 individuos las frecuencias esperadas serían
Mujeres 300156
300
120
300 300156
300
128
300 300156
300
52
300 156
Hombres 300144
300
120
300 300144
300
128
300 300144
300
52
300 144
Total 120 128 52 300
Mujeres 62.40 66.56 27.04 156
Hombres 57.60 61.44 24.96 144
Total 120 128 52 300
.
El valor del estadístico de contraste es, por tanto,
D =
(68 − 62.40)
2
62.40
+
(56 − 66.56)
2
66.56
+
(32 − 27.04)
2
27.04
+
+
(52 − 57.60)
2
57.60
+
(72 − 61.44)
2
61.44
+
(20 − 24.96)
2
24.96
= 6.433.
Por su parte, χ2
(2−1)(3−1);0.95 = 5.991, de manera que podemos rechazar la hipótesis nula en favor de la
alternativa, armando con un 95 % de conanza que el genero está relacionado con la ideología. ¾En qué
sentido lo estará?
Si nos centramos sólo en los de izquierdas, tenemos que el porcentaje de hombres y mujeres es de
68
120 × 100 % = 56.667 % y de
52
120 × 100 % = 43.333 %, respectivamente.

Si nos centramos sólo en los de derechas, tenemos que el porcentaje de hombres y mujeres es de
56
128 × 100 % = 43.75 % y de
72
128 × 100 % = 56.25 %, respectivamente.
Finalmente, si nos centramos sólo en los de centro, tenemos que el porcentaje de hombres y mujeres
es de
32
52 × 100 = 61.538 % y de
20
52 × 100 = 38.462 %, respectivamente.
Lo que parece que ocurre es que las mujeres tienen mayor preferencia por la derecha. Sin embargo, esta
armación no se ha contrastado, sino que se basa simplemente en datos descriptivos
1.
9.4. Resolución del ejemplo de los accidentes laborales
Redordemos el planteamiento: En una empresa se sospecha que hay franjas horarias donde los accidentes
laborales son más frecuentes. Para estudiar este fenómeno, contabilizan los accidentes laborales que sufren
los trabajadores según franjas horarias, durante un año. Los resultados aparecen en la tabla.
Horas del día Número de accidentes
8-10 h. 47
10-12 h. 52
13-15 h. 57
15-17 h. 63
Con esa información, los responsables de seguridad de la empresa deben decidir si hay franjas horarias donde
los accidentes son más probables o si, por el contrario, éstos ocurren absolutamente al azar.
En primer lugar debemos plantearnos la hipótesis que queremos contrastar. El hecho de que ocurran los
accidentes absolutamente al azar vendría a decir que la probabilidad de ocurrencia es la misma en cada franja
horaria (puesto que todas ellas tienen la misma amplitud). Por ello, si notamos pi a la probabilidad de que
ocurra un accidente en la i-ésima franja horaria, nos planteamos como hipótesis nula H0 : p1 = ... = p4 = 1
4
frente a la alternativa de que no todas las probabilidades sean iguales.
Para realizar el contraste podemos considerar un contraste de bondad de ajuste en el que la distribución de
probabilidad sea una uniforme discreta, que no tiene parámetros.
En este caso, el estadístico de contraste es muy sencillo:
χ2
=
(47 − 219 × (1/4))2
219 × (1/4)
+
(52 − 219 × (1/4))2
219 × (1/4)
+
(57 − 219 × (1/4))2
219 × (1/4)
+
(63 − 219 × (1/4))2
219 × (1/4)
= 2.571.
Por su parte, el p-valor es p = P[χ2
4−0−1 2.571] = 0.462, por lo que no tenemos evidencias en estos datos
que hagan pensar en que hay franjas horarias más propicias a los accidentes.

Capítulo 10
Regresión lineal simple
Un político debe ser capaz de predecir lo que pasará mañana, y la semana, el mes y el año
próximos. Y también debe ser capaz de explicar por qué no acertó.
Winston Churchill
Resumen. En este capítulo se describe el modelo de regresión lineal simple, que asume que entre dos variables
dadas existe una relación de tipo lineal contaminada por un error aleatorio. Aprenderemos a estimar dicho
modelo y, a partir de estas estimaciones y bajo determinadas hipótesis, podremos extraer predicciones del
modelo e inferir la fortaleza de dicha relación lineal.
Palabras clave: regresión lineal simple, variable dependiente, variable independiente, error aleatorio, dia-
grama de dispersión, principio de mínimos cuadrados, coeciente de correlación lineal, coeciente de deter-
minación lineal, bondad del ajuste, predicción, estimación.
10.1. Introducción
Uno de los aspectos más relevantes que aborda la Estadística se reere al análisis de las relaciones que se dan
entre dos variables aleatorias. El análisis de estas relaciones está muy frecuentemente ligado al análisis de
una variable, llamada variable dependiente (Y ) , y del efecto que sobre ella tiene otra (u otras) variable(s),
llamada(s) variable(s) independiente(s) (X), y permite responder a dos cuestiones básicas:
¾Es signicativa la inuencia que tiene la variable independiente sobre la variable dependiente?
Si, en efecto, esa relación es signicativa, ¾cómo es? y ¾podemos aprovechar esa relación para predecir
valores de la variable dependiente a partir de valores observados de la variable independiente?
Ejemplo. Hay un tipo de soldadura llamada soldadura por rozamiento que consiste en que el roce entre
dos piezas provoca un calentamiento que, a su vez, produce la soldadura entre ambas. Supongamos
que realizamos un experimento sobre este tipo de soldadura haciendo rodar a una velocidad jada de
antemano (x, en m/mn) una pieza y llevándola hasta el reposo mediante el rozamiento con otra pieza.
El calor generado por este rozamiento provoca una soldadura de presión caliente cuya resistencia (y)
191

medimos en ksi. Los datos del experimento se recogen en el Cuadro 10.1. Se está tratando de analizar
el efecto que tiene la velocidad (variable independiente) sobre la resistencia de la soldadura (variable
dependiente). ¾Afecta de una forma relevante? Si es así, ¾cómo? ¾Podríamos ser capaces de predecir la
resistencia de la soldadura conocida la velocidad inicial que genera el rozamiento?
Si dibujamos los datos de x e y en unos ejes cartesianos (Figura 10.1) ya intuimos que, en efecto, hay
una relación latente entre las variables, que parece ser de tipo lineal. A esta representación en los ejes
cartesianos se le denomina nube de puntos.
Velocidad Resistencia Velocidad Resistencia
50.00 86.65 75.86 92.09
51.72 89.81 77.59 97.55
53.45 84.02 79.31 96.97
55.17 83.58 81.03 99.21
56.90 87.32 82.76 100.77
58.62 92.48 84.48 101.83
60.34 87.84 86.21 99.42
62.07 87.38 87.93 100.98
63.79 90.31 89.66 106.03
65.52 95.60 91.38 99.81
67.24 92.06 93.10 106.38
68.97 92.06 94.83 103.73
70.69 91.18 96.55 105.20
72.41 92.31 98.28 99.14
74.14 87.35 100.00 100.09
Cuadro 10.1: Datos sobre el experimento de la soldadura por rozamiento
50 60 70 80 90 100
85
90
95
100
105
Velocidad
Resistencia
Figura 10.1: Nube de puntos

Un modelo de regresión lineal simple para una variable, Y (variable dependiente), dada otra variable, X
(variable independiente), es un modelo matemático que permite obtener una fórmula capaz de relacionar
Y con X basada sólo en relaciones lineales, del tipo
Y = β0 + β1X + ε.
En esta expresión:
Y representa a la variable dependiente, es decir, a aquella variable que deseamos estudiar en relación
con otras.
X representa a la variable independiente, es decir, aquellas que creemos que puede afectar en alguna
medida a la variable dependiente. La estamos notando en mayúscula, indicando que podría ser una
variable aleatoria, pero habitualmente se considera que es una constante que el investigador puede jar
a su antojo en distintos valores.
ε representa el error aleatorio, es decir, aquella cantidad (aleatoria) que provoca que la relación entre
la variable dependiente y la variable independiente no sea perfecta, sino que esté sujeta a incertidumbre.
Hay que tener en cuenta que el valor de ε será siempre desconocido hasta que se observen los valores de X e
Y , de manera que el modelo de predicción será realmente
Ŷ = β0 + β1X.
Lo que en primer lugar resultaría deseable de un modelo de regresión es que estos errores aleatorios ocurran en
la misma medida por exceso que por defecto, sea cual sea el valor de X, de manera que E [ε/X=x] = E [ε] = 0
y, por tanto,
E [Y/X=x] = β0 + β1x + E [ε/X=x]
= β0 + β1x.
Es decir, las medias de los valores de Y para un valor de X dado son una recta.
En la Figura 10.2 podemos ver el valor concreto de ε = y − E [Y/X=x] para un dato, supuesto que hemos
obtenido un modelo de regresión. En ella se puede ver también la interpretación de los coecientes del modelo:
β0 es la ordenada al origen del modelo, es decir, el punto donde la recta intercepta o corta al eje y.
β1 representa la pendiente de la línea y, por tanto, puede interpretarse como el incremento de la
variable dependiente por cada incremento en una unidad de la variable independiente.
Nota. Es evidente que la utilidad de un modelo de regresión lineal tiene sentido siempre que la relación
hipotética entre X e Y sea de tipo lineal, pero ¾qué ocurre si en vez de ser de este tipo es de otro tipo
(exponencial, logarítmico, hiperbólico...)?

50 60 70 80 90 100
85
90
95
100
105
x
y
β0 + β1xi
yi
xi
εi
Figura 10.2: Diagrama de dispersión y línea de las medias hipotéticas.
En primer lugar, es absolutamente conveniente dibujar el diagrama de dispersión antes de comenzar a
tratar de obtener un modelo de regresión lineal, ya que si la forma de este diagrama sugiere un perl
distinto al de una recta quizá deberíamos plantearnos otro tipo de modelo.
Y, por otra parte, si se observa que el diagrama de dispersión es de otro tipo conocido, puede optarse
por realizar un cambio de variable para considerar un modelo lineal. Existen técnicas muy sencillas para
esta cuestión, pero no las veremos aquí.
10.2. Estimación de los coecientes del modelo por mínimos cua-
drados
Si queremos obtener el modelo de regresión lineal que mejor se ajuste a los datos de la muestra, deberemos
estimar los coecientes β0 y β1 del modelo. Para obtener estimadores de estos coecientes vamos a considerar
un nuevo método de estimación, conocido como método de mínimos cuadrados. Hay que decir que
bajo determinados supuestos que veremos en breve, los estimadores de mínimos cuadrados coinciden con los
estimadores máximo-verosímiles de β0 y β1.
El razonamiento que motiva el método de mínimos cuadrados es el siguiente: si tenemos una muestra de
valores de las variables independiente y dependiente,
(x1, y1) , ..., (xn, yn) ,
buscaremos valores estimados de β0 y β1, que notaremos por β̂0 y β̂1, de manera que en el modelo ajustado,
ŷx = β̂0 + β̂1x
minimice la suma de los cuadrados de los errores observados. Recordemos que
E [Y/X=x] = β0 + β1x,

luego ŷx puede interpretarse de dos formas:
1. Como una predicción del valor que tomará Y si X = x.
2. Como una estimación del valor medio de Y cuando X = x.
Concretando, lo que buscamos es minimizar la suma de los cuadrados de los errores
SSE =
n
X
i=1

yi − (β̂0 + β̂1xi)
2
,
es decir buscamos

β̂0, β̂1

= arg

mı́n
β0,β1
SSE

.
Se llama recta de regresión por mínimos cuadrados (o simplemente recta de regresión) de Y
dada X a la línea que tiene la SSE más pequeña de entre todos los modelos lineales.
La solución de ese problema de mínimo se obtiene por el mecanismo habitual: se deriva SSE respecto de β̂0
y β̂1, se iguala a cero y se despejan estos. La solución es β̂1 =
SSxy
SSxx
y β̂0 = ȳ − β̂1x̄, donde
SSxy =
n
X
i=1
(xi − x̄) (yi − ȳ) =
n
X
i=1
xiyi − nx̄ȳ
SSxx =
n
X
i=1
(xi − x̄)
2
=
n
X
i=1
x2
i − nx̄2
.
Con esta notación, es fácil demostrar que
SSE =
n
X
i=1

yi − (β̂0 + β̂1xi)
2
=
SSxxSSyy − SS2
xy
SSxx
=SSyy −
SSxy2
SSxx
= SSyy − SSxy × β̂1
Ejemplo. Para los datos sobre el ejemplo sobre la resistencia de la soldadura, vamos a calcular e inter-
pretar la recta de regresión.
SSxy = 2630.975, SSx = 6681.034
luego
β̂1 =
SSxy
SSxx
= 0.3938
β̂0 = ȳ − β̂1x̄ = 65.4374,
así que la recta de regresión ajustada es
ŷx = 65.4374 + 0.3938x
y está representada en la Figura 10.2.

La interpretación de β̂1 es que la resistencia, Y , aumenta en promedio 0.398 unidades por cada incremento
de 1 unidad de la velocidad. La interpretación de β̂0 sería la del valor promedio de Y cuando x = 0, pero
es que en este caso este supuesto no tiene sentido, así que no debe tenerse en cuenta.
Nota. Hay que hacer una observación importante que suele conducir a frecuentes errores. La recta de
regresión para la variable dependiente Y , dada la variable independiente X no es la misma que la recta
de regresión de X dada Y . La razón es muy sencilla: para obtener la recta de regresión de Y dado X
debemos minimizar
n
X
i=1

yi −

β̂0 + β̂1xi
2
,
mientras que para obtener la recta de regresión de X dado Y deberíamos minimizar
n
X
i=1

xi −

β̂0 + β̂1yi
2
,
en cuyo caso obtendríamos como solución
β̂1 =
SSxy
SSyy
β̂0 = x̄ − β̂1ȳ,
siendo la recta de regresión, x̂ = β̂0 + β̂1y.
El error que suele cometerse con frecuencia es pensar que si tenemos, por ejemplo, la recta de Y dado
X, la de X dado Y puede obtenerse despejando.
Nota. Es importante que, para terminar este apartado, recordemos que β̂0 y β̂1 son sólo estimaciones
de β0 y β1, estimaciones basadas en los datos que se han obtenido en la muestra.
10.3. Supuestos adicionales para los estimadores de mínimos cua-
drados
Hasta ahora lo único que le hemos exigido a la recta de regresión es:
1. Que las medias de Y para cada valor de x se ajusten más o menos a una línea recta, algo fácilmente
comprobable con una nube de puntos. Si el aspecto de esta nube no recuerda a una línea recta sino a
otro tipo de función, lógicamente no haremos regresión lineal.
2. Que los errores tengan media cero, independientemente del valor de x, lo que, por otra parte, no es una
hipótesis sino más bien un requerimiento lógico al modelo.
Lo que ahora vamos a hacer es añadir algunos supuestos al modelo de manera que cuando éstos se cumplan,
las propiedades de los estimadores de los coecientes del modelo sean muy buenas. Esto nos va a permitir

hacer inferencia sobre estos coecientes y sobre las estimaciones que pueden darse de los valores de la variable
dependiente.
Los supuestos que podemos añadir se reeren al error del modelo, la variable ε.
Supuesto 1. Tal y como ya hemos dicho, E [/X=x] = E [] = 0, lo que implica que E [Y/X=x] = β0 + β1x.
Supuesto 2. La varianza de también es constante para cualquier valor de x dado, es decir, V ar (/X=x) = σ2
para todo x.
Supuesto 3. La distribución de probabilidad de es normal.
Supuesto 4. Los errores son independientes unos de otros, es decir, la magnitud de un error no inuye en
absoluto en la magnitud de otros errores.
En resumen, todos los supuestos pueden resumirse diciendo que |X=x→ N(0, σ2
) y son independientes entre
sí.
Estos supuestos son restrictivos, por lo que deben comprobarse cuando se aplica la técnica. Si el tamaño de
la muestra es grande, la hipótesis de normalidad de los residuos estará bastante garantizada por el teorema
central del límite. En cuanto a la varianza constante respecto a los valores de x, un incumplimiento moderado
no es grave, pero sí si las diferencias son evidentes.
Existen técnicas especícas para evaluar en qué medida se cumplen estas hipótesis. También existen pro-
cedimientos para corregir el incumplimiento de estos supuestos. Estos aspectos serán tratados al nal del
tema.
10.4. Inferencias sobre el modelo
Al comienzo del capítulo nos planteábamos como uno de los objetivos de la regresión el decidir si el efecto de
la variable independiente es o no signicativo para la variable dependiente. Si nos jamos, esto es equivalente
a contrastar si el coeciente β1 es o no signicativamente distinto de cero. Pues bien, dados los supuestos
descritos en la sección anterior, es posible obtener un contraste de este tipo, tal y como se resumen en el
Cuadro 10.2. En ella, si, en efecto, lo que deseamos es contrastar si el efecto de la variable independiente es
o no signicativo para la variable dependiente, el valor de b1 será cero.
Ejemplo. Para los datos del ejemplo sobre la resistencia de la soldadura, vamos a probar si la velocidad
es o no signicativa (α = 0.05):
β̂1 = 0.3938
s2
e =
SSyy − β̂1SSxy
n − 2
= 9.8345
t0.975;30−2 = 2.0484, t0.025;30−2 = −2.0484
t =
0.3938 − 0
p
9.8345/6681.034
= 10.26,

Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : β1 = b1
H1 : β1 b1
H0 : β1 = b1
H1 : β1 6= b1
H0 : β1 = b1
H1 : β1 b1
Estadístico
de contraste
t =
ˆ
β1−b1
√
s2
e/SSxx
, s2
e =
SSyy−β̂1SSxy
n−2 = SSE
n−2
Región
de rechazo
t tα;n−2 |t| t1−α/2;n−2 t t1−α;n−2
p-valor P[Tn−2 t] 2P[Tn−2 |t|] P[T t]
Supuestos Los dados en la Sección 10.3
Cuadro 10.2: Contraste sobre β1
luego, como cabía esperar, podemos armar a la luz de los datos y con un 95 % de conanza que el
efecto de la velocidad sobre la resistencia es signicativo. El p-valor, de hecho, es p = 2P[T28 10.26] =
5.41 × 10−11
.
Ejemplo. Un ingeniero químico está calibrando un espectrómetro para medir la concentración de CO
en muestras de aire. Esta calibración implica que debe comprobar que no hay diferencias signicativas
entre la concentración verdadera de CO (x) y la concentración medida por el espectrómetro (y). Para
ello toma 11 muestras de aire en las que conoce su verdadera concentración de CO y las compara con la
concentración medida por el espectrómetro. Los datos son los siguientes (las unidades son ppm):
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y 1 12 20 29 38 48 61 68 79 91 97
Un primer paso en la comprobación de que el espectrómetro está bien calibrado implica contrastar que
β = 1. Para ello,
SSxx = 11000; SSyy = 10506.73; SSxy = 10740
β̂1 =
10460
11000
= 0.976
s2
e =
SSyy − β̂1SSxy
n − 2
= 2.286
por lo tanto,
t =
0.951 − 1
p
1.964/11000
= −1.639.
Dado que t1− 0.05
2 ;11−2 = t0.975;9 = 2.262 y |−1.639| 2.262, habría no hay razones para concluir que
β1 6= 1. Así pues, el modelo podría ser
y = β0 + x,
aunque lo deseado, sin duda, sería que fuera
y = x,

Tipo de prueba
Unilateral a
la izquierda
Bilateral
Unilateral
a la derecha
Hipótesis
H0 : β0 = b0
H1 : β0 b0
H0 : β0 = b0
H1 : β0 6= b0
H0 : β0 = b0
H1 : β0 b0
Estadístico
de contraste
t =
ˆ
β0−b0
r
s2
e

1
n + x̄2
SSxx
, s2
e =
SSyy−β̂1SSxy
n−2 = SSE
n−2
Región
de rechazo
t tα;n−2 |t| t1−α/2;n−2 t t1−α;n−2
p-valor P[Tn−2 t] 2P[Tn−2 |t|] P[T t]
Supuestos Los dados en la Sección 10.3
Cuadro 10.3: Contraste sobre β0
es decir, que lo que mida el espectrómetro coincida con la cantidad real de CO en el aire. Eso ocurriría
si β0 = 0, lo que equivale a decir que en ausencia de CO, el espectrómetro esté a cero.
Este último ejemplo pone de maniesto que también puede tener interés realizar contrastes sobre el valor de
β0. Para ello, el Cuadro 10.3 describe el procedimiento de un contraste de este tipo.
Finalmente, tengamos en cuenta que podría ser de interés un contraste conjunto sobre β0 y β1, por ejemplo,
del tipo β0 = 1, β1 = 1. Hay que decir que este tipo de contrastes múltiples superan los contenidos de esta
asignatura. Lo único que podríamos hacer en un contexto como el nuestro es realizar sendos contrastes sobre
β0 y β1 por separado, teniendo en cuenta el nivel de signicación de ambos contrastes.
Ejemplo. En el ejemplo anterior, vamos a contrastar si, en efecto, β0 = 0, lo que equivaldrá a concluir
que no hay razones para pensar que el espectrómetro está mal calibrado. Para ello,
β̂0 = ȳ − β̂1x̄ = 0.636
por lo tanto,
t =
0.636 − 0
q
2.286 1
11 + 502
11000
= 0.746.
Comoquiera que 0.746 t0.975;9 = 2.261, tampoco tenemos razones para pensar que β0 = 0 con un 95 %
de conanza, luego, en resumen, no existen razones para pensar que el espectrómetro está mal calibrado.
10.5. El coeciente de correlación lineal
β̂1 mide en cierto modo la relación que existe entre la variable dependiente y la variable independiente, ya
que se interpreta como el incremento que sufre Y por cada incremento unitario de X. Sin embargo, es una
medida sujeta a la escala de las variables X e Y , de manera que se hace difícil poder comparar distintos β̂0
1s
entre sí.
En esta sección vamos a denir el llamado coeciente de correlación lineal, que ofrece una medida
cuantitativa de la fortaleza de la relación lineal entre X e Y en la muestra, pero que a diferencia de β̂1, es

0 20 60 100
0
20
40
60
80
100
Correlación lineal positiva fuerte
0 20 60 100
−100
−60
−40
−20
0
Correlación lineal negativa fuerte
0 20 60 100
−30
−20
−10
0
10
20
Ausencia de correlación lineal
0 20 60 100
0
2000
6000
10000
Correlación parabólica
Figura 10.3: Valores de r y sus implicaciones.
adimensional, ya que sus valores siempre están entre −1 y 1, sean cuales sean las unidades de medida de las
variables.
Dada una muestra de valores de dos variables (x1, y1) , ..., (xn, yn), el coeciente de correlación lineal
muestral r se dene como
r =
SSxy
p
SSxxSSyy
=
√
SSxx
p
SSyy
β̂1.
Como comentábamos, la interpretación del valor de r es la siguiente:
r cercano o igual a 0 implica poca o ninguna relación lineal entre X e Y.
Cuanto más se acerque a 1 ó -1, más fuerte será la relación lineal entre X e Y .
Si r = ±1, todos los puntos caerán exactamente en la recta de regresión.
Un valor positivo de r implica que Y tiende a aumentar cuando X aumenta, y esa tendencia es más
acusada cuanto más cercano está r de 1.
Un valor negativo de r implica que Y disminuye cuando X aumenta, y esa tendencia es más acusada
cuanto más cercano está r de -1.
Nota. En la Figura 10.3 aparecen algunos de los supuestos que acabamos de enunciar respecto a los
distintos valores de r. Hay que hacer hincapié en que r sólo es capaz de descubrir la presencia de relación
de tipo lineal. Si, como en el último gráco a la derecha de esta gura, la relación entre X e Y no es de
tipo lineal, r no es adecuado como indicador de la fuerza de esa relación.

End
LS Line
Add Point
Delete Point
Move Point
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
x
y
r = 0.27 r^2 = 0.07
Slope = 0.26 Intercept = 3.56
Figura 10.4: Un dato atípico entre datos relacionados linealmente.
Nota. En la Figura 10.4 aparece un valor atípico entre un conjunto de datos con una relación lineal más
que evidente. Por culpa de este dato, el coeciente de correlación lineal será bajo. ¾Qué debe hacerse en
este caso? En general, no se deben eliminar datos de una muestra, pero podría ocurrir que datos atípicos
correspondan a errores en la toma de las muestras, en el registro de los datos o, incluso, que realmente no
procedan de la misma población que el resto de los datos: en ese caso, eliminarlos podría estar justicado
de cara a analizar de una forma más precisa la relación lineal entre los datos.
Nota. Correlación frente a causalidad. Hay que hacer una advertencia importante acerca de las inter-
pretaciones del coeciente de correlación lineal. Es muy frecuente que se utilice para justicar relaciones
causa-efecto, y eso es un grave error. r sólo indica presencia de relación entre las variables, pero eso no
permite inferir, por ejemplo, que un incremento de X sea la causa de un incremento o una disminución
de Y .
Ejemplo. Para los datos del ejemplo sobre la resistencia de la soldadura, calculemos r e interpretémoslo.
Sabemos que
SSxy = 2630.975, SSx = 6681.034
SSyy =
29
X
i=1
y2
i − 29ȳ2
= 1311.511,

luego r = 2630.975
√
6681.034×1311.511
= 0.8888.
Por tanto, la resistencia de la soldadura y la velocidad que genera el rozamiento tienen una correlación
importante para esta muestra de 30 piezas soldadas, lo que implica que existe una relación lineal positiva
entre estas variables.
No podemos olvidar que el coeciente de correlación lineal muestral, r, mide la correlación entre los valores
de X y de Y en la muestra. Existe un coeciente de correlación lineal similar pero que se reere a todos los
posibles valores de la variable. Evidentemente, r es un estimador de este coeciente poblacional.
Dadas dos variables X e Y , el coeciente de correlación lineal poblacional, ρ, se dene como
a
ρ =
E [(X − EX) (Y − EY )]
√
V arXV arY
=
√
V arX
√
V arY
β1.
aEste concepto se estudia también en el capítulo de vectores aleatorios.
Inmediatamente surge la cuestión de las inferencias. Podemos y debemos utilizar r para hacer inferencias
sobre ρ. De todas formas, en realidad estas inferencias son equivalentes a las que hacemos sobre β1, ya que la
relación entre β1 y ρ provoca que la hipótesis H0 : β1 = 0 sea equivalente a la hipótesis H0 : ρ = 0. Podemos,
por lo tanto, utilizar el contraste resumido en el Cuadro 10.2 para b1 = 0 y teniendo en cuenta que
t =
r
√
n − 2
√
1 − r2
.
Ejemplo. Vamos a contrastar H0 : ρ = 0 frente a H1 : ρ 6= 0 de nuevo en el ejemplo de la soldadura.
El estadístico de contraste es t = 0.888×
√
28
√
1−0.8882
= 10.26, que coincide con el valor de t cuando contrastamos
H0 : β1 = 0, frente a H1 : β1 6= 0. Vemos que, en efecto, es el mismo contraste.
10.6. El coeciente de determinación lineal
Como hemos visto, el coeciente de correlación lineal puede interpretarse como una medida de la contribución
de una variable a la predicción de la otra mediante la recta de regresión. En esta sección vamos a ver una
medida más adecuada para valorar hasta qué punto la variable independiente contribuye a predecir la variable
dependiente.
Vamos a ponernos en las dos situaciones límite que pueden darse en cuanto a la precisión de una recta de
regresión:
Si X no tiene ningún tipo de relación lineal con Y , entonces ρ = 0, en cuyo caso β1 =
√
V arY
√
V arX
ρ = 0 y
la recta es simplemente
ŷi = β0 + β1xi
= ȳ.

Es decir, si X no tiene ningún tipo de relación lineal con Y , entonces la mejor predicción que podemos
dar por el método de mínimos cuadrados es la media. Además, en ese caso
SSE =
n
X
i=1
(yi − ŷi)
2
=
n
X
i=1
(yi − ȳ)
2
= SSyy,
es decir, SSE es el total de la variación de los valores de Y . Está claro que esta es la peor de las
situaciones posibles de cara a la precisión.
Si la relación lineal entre X e Y es total, entonces ρ = 1, en cuyo caso β1 =
√
V arY
√
V arX
. Además, si la
relación lineal es total, y = ŷ, de manera que
SSE =
n
X
i=1
(yi − ŷi)
2
= 0.
Esta, desde luego, es la mejor de las situaciones posibles.
La idea de la medida que vamos a utilizar es cuanticar en qué medida estamos más cerca o más lejos de
estas dos situaciones. Dado que SSE, que es la medida del error de la recta de regresión, puede ir de 0 (mejor
situación posible) a SSy (peor situación posible), tan sólo tenemos que relativizar en una escala cómoda una
medida de este error.
Se dene el coeciente de determinación lineal como
r2
= 1 −
SSE
SSyy
.
Nótese que la notación es r al cuadrado, ya que, en efecto, en una regresión lineal simple coincide con el
coeciente de correlación lineal al cuadrado.
Por lo tanto, la interpretación de r2
es la medida en que X contribuye a la predicción de Y en una escala de
0 a 1, donde el 0 indica que el error es el total de la variación de los valores de Y y el 1 es la precisión total,
el error 0. La medida suele darse en porcentaje. Dicho de otra forma:
Aproximadamente 100 × r2
% de la variación total de los valores de Y respecto de su media
pueden ser explicada mediante la recta de regresión de Y dada X.
Ejemplo. En el ejemplo de la soldadura, r2
= 0.79, de manera que podemos decir que el 79 % de la
variación total de los valores de la resistencia de la soldadura puede ser explicada mediante la recta
de mínimos cuadrados dada la velocidad que genera el rozamiento. Es evidente que es un porcentaje
importante, que proporcionará predicciones relativamente ables.

10.7. Predicción y estimación a partir del modelo
Recordemos que en el modelo ajustado de la recta de regresión,
ŷx = β̂0 + β̂1x
y, por otro lado,
E [Y/X=x] = β0 + β1x,
luego ŷx puede interpretarse de dos formas:
1. Como predicción del valor que tomará Y cuando X = x.
2. Como estimación del valor medio de Y para el valor X = x, es decir, de E [Y/X=x].
Ambas cantidades están sujetas a incertidumbre, que será tanto mayor cuanto más variabilidad tenga Y, y/o
peor sea el ajuste mediante la recta de regresión. En este sentido, se dene el error estandar de la estimación
cuando se tiene el valor X = x como
s2
e =
P
i (yi − ŷx)
2
n − 2
=
P
i

yi −

β̂0 + β̂1x
2
n − 2
=
SSyy − β̂1SSxy
n − 2
.
Cuanto mayor sea esta cantidad, peor son las predicciones de la recta de regresión.
Lo que vamos a ver en esta sección para concluir el tema es cómo establecer regiones de conanza para estas
predicciones de los valores de Y y para las estimaciones de los valores medios de Y dados valores de X. Estos
resultados requieren que se veriquen los supuestos adicionales sobre los errores dados en la sección 10.3.
Podemos garantizar con un (1 − α)×100 % de conanza que cuando X = x, el valor medio de Y se encuentra
en el intervalo

ŷx − t1−α/2;n−2 × se
s
1
n
+
(x − x̄)
2
SSxx
, ŷx + t1−α/2;n−2 × se
s
1
n
+
(x − x̄)
2
SSxx

 ,
es decir, podemos garantizar que
P

E[Y/X=x] ∈

ŷx ∓ t1−α/2;n−2 × se
s
1
n
+
(x − x̄)2
SSxx

 |X=x

 = 1 − α.

Velocidad
Resistencia
80
85
90
95
100
105
110
50 60 70 80 90 100
x
x
observed
fit
conf int
pred int
Figura 10.5: Recta de regresión con intervalos de conanza al 95 % para las predicciones (franjas más exte-
riores) y para las estimaciones (franjas interiores).
Asimismo, podemos garantizar con un (1 − α)×100 % de conanza que cuando X = x, el valor Y se encuentra
en el intervalo

ŷx − t1−α/2;n−2 × se
s
1 +
1
n
+
(x − x̄)
2
SSxx
, ŷx + t1−α/2;n−2 × se
s
1 +
1
n
+
(x − x̄)
2
SSxx

 ,
es decir, podemos garantizar que
P

Y ∈

ŷx ∓ t1−α/2;n−2 × se
s
1 +
1
n
+
(x − x̄)2
SSxx

 |X=x

 = 1 − α
Nota. No debemos olvidar que los modelos de regresión que podemos estimar lo son a partir de los datos
de una muestra de valores de X e Y . A partir de estos modelos podemos obtener, como acabamos de
recordar, predicciones y estimaciones para valores dados de X. Dado que el modelo se basa precisamente
en esos valores de la muestra, no es conveniente hacer predicciones y estimaciones para valores de X
que se encuentren fuera del rango de valores de X en la muestra.
Ejemplo. En la Figura 10.5 aparece la recta de regresión para los datos del ejemplo sobre la soldadura
junto con líneas que contienen los intervalos de conanza al 95 % para las predicciones y las estimaciones
asociadas a los distintos valores de X.
Obsérvese que la amplitud de los intervalos se hace mayor en los valores más extremos de X. Es decir,
los errores en las estimaciones y en las predicciones son mayores en estos valores más extremos. Esto
debe ser un motivo a añadir al comentario anterior para no hacer estimaciones ni predicciones fuera del
rango de valores de X en la muestra.

10.8. Diagnosis del modelo
Todo lo relacionado con inferencia sobre el modelo de regresión se ha basado en el cumplimiento de los
supuestos descritos en el apartado 10.3. Como ya comentamos, en la medida en que todos o algunos de estos
supuestos no se den, las conclusiones que se extraigan en la inferencia sobre el modelo podrían no ser válidas.
Es por ello que es necesario comprobar estos supuestos mediante herramientas de diagnóstico. Aquí vamos a
ver sólo las más básicas, vinculadas al análisis de los residuos y a la gráca de residuos frente a los valores
ajustados.
10.8.1. Normalidad de los residuos
Entre los supuestos del modelo consideramos que los residuos, es decir,
i = yi − ŷi
siguen una distribución normal.
Ni que decir tiene que comprobar esta hipótesis en trivial: bastará con calcular los residuos, ajustarles una
distribución normal y realizar un contraste de bondad de ajuste mediante, por ejemplo, el test de Kolmogorov-
Smirno.
10.8.2. Gráca de residuos frente a valores ajustados
El resto de supuestos se reeren a la varianza constante de los residuos, a su media cero y a su independencia.
Una de las herramientas diagnósticas más simples para estas hipótesis es la llamada gráca de residuos frente
a valores ajustados. Se trata de representar en unos ejes cartesianos:
1. En el eje X, los valores ŷi de la muestra.
2. En el eje Y, los residuos, i = yi − ŷi.
Habitualmente, se le añade a esta gráca la recta de regresión de la nube de puntos resultante.
Vamos a ir viendo cómo debe ser esta gráca en el caso de que se cumplan cada uno de los supuestos:
1. Si la media de los residuos es cero, la nube de puntos de la gráca debe hacernos pensar en una recta de
regresión horizontal situada en el cero, indicando que sea cual sea el valor ŷi, la media de los residuos
es cero.
2. Si los errores son independientes, no debe observarse ningún patrón en la gráca, es decir, ningún efecto
en ella que haga pensar en algún tipo de relación entre ŷi y i.
3. Si los errores tienen una varianza constante (se habla entonces de homocedasticidad), la dispersión
vertical de los puntos de la gráca no debe variar según varíe el eje X. En caso contrario, se habla de
heterocedasticidad.
Una última observación: si se dan todas las condiciones que acabamos de mencionar sobre la gráca de
residuos frente a valores ajustados, entonces es probable, pero no se tiene la seguridad, de que los supuestos
del modelo sean ciertos.

85 90 95 100 105
−5
0
5
Fitted values
Residuals
lm(Resistencia ~ Velocidad)
Residuals vs Fitted
15
24
29
Figura 10.6: Gráca de valores ajustados vs residuos en el ejemplo de la soldadura
Ejemplo. Por última vez vamos a considerar el ejemplo de la soldadura. En la Figura 10.6 aparece el
gráco de residuos vs valores ajustados y podemos ver que a primer vista parece que se dan las condiciones
requeridas:
1. Los puntos se sitúan en torno al eje Y = 0, indicando que la media de los residuos parece ser cero.
2. No se observan patrones en los residuos.
3. No se observa mayor variabilidad en algunas partes del gráco.
10.9. Resolución del ejemplo del consumo eléctrico en relación con
la temperatura
Aquí planteábamos una situación donde un ingeniero que trabaja en una distribuidora eléctrica quiere utilizar
el hecho evidente de que en invierno las bajas temperaturas hacen aumentar el consumo eléctrico para tratar
de predecir el consumo en su localidad a partir de las temperaturas mínimas que se pronostican para el día
siguiente. Los datos que tiene son una muestra la temperatura pronosticada y el consumo real:
Tª mínima pronosticada -1 0 2 5 -2 2 1 0 3 4
Consumo (megawatios) 12 12 11 9 14 10 11 12 10 9
Lo que se plantea es cuál será el consumo para un día cuya temperatura mínima pronosticada es de -1.5
grados.

No es estrictamente necesario, pero podemos empezar diciendo que la relación entre ambas variables es
altamente signicativa: r es -0.9599, con un p-valor asociado al contraste de H0 : ρ = 0 frente a H1 : ρ 6= 0
de 1.08 × 10−5
.
Lo que realmente se nos plantea es el valor de una predicción, concretamente para un valor de la temperatura
de -1.5, que nosotros vamos a complementar con un intervalo de predicción al 95 %.
En primer lugar, la recta de regresión es
ˆ
Consumo = 16.4 − 1.3636 × Temperatura,
por lo que el valor pronosticado del consumo será de 16.4−1.3636×(−1.5) = 12.9595. Por su parte, el intervalo
de predicción nos permite armar que el consumo estará entre 11.7419 y 14.1771 con una probabilidad del
95 %.

Parte IV
Procesos aleatorios
209

Capítulo 11
Procesos aleatorios
The best material model of a cat is another, or preferably the same, cat.
Norbert Wiener, Philosophy of Science (1945) (with A. Rosenblueth)
Resumen. Los procesos aleatorios suponen el último paso en la utilización de modelos matemáticos para
describir fenómenos reales no determinísticos: concretamente, se trata de fenómenos aleatorios que dependen
del tiempo. Se describen principalmente en términos de sus medias y sus covarianzas. En este capítulo se
incluyen además algunos de los ejemplos más comunes de tipos de procesos y su comportamiento cuando se
transmiten a través de sistemas lineales invariantes en el tiempo.
Palabras clave. Procesos aleatorios, función media, función de autocorrelación, función de autocovarian-
za, procesos estacionarios, procesos gaussianos, proceso de Poisson, sistemas lineales, densidad espectral de
potencia.
11.1. Introducción
En muchos experimentos de tipo aleatorio el resultado es una función del tiempo (o del espacio).
Por ejemplo,
en sistemas de reconocimiento de voz las decisiones se toman sobre la base de una onda que reproduce
las características de la voz del interlocutor, pero la forma en que el mismo interlocutor dice una misma
palabra sufre ligeras variaciones cada vez que lo hace;
en un sistema de cola, por ejemplo, en un servidor de telecomunicaciones, el número de clientes en el
sistema a la espera de ser atendidos evoluciona con el tiempo y está sujeto a condiciones tales que su
comportamiento es impredecible;
en un sistema de comunicación típico, la señal de entrada es una onda que evoluciona con el tiempo
y que se introduce en un canal donde es contaminada por un ruido aleatorio, de tal manera que es
imposible separar cuál es el mensaje original con absoluta certeza.
...
211

Desde un punto de vista matemático, todos estos ejemplos tienen en común que el fenómeno puede ser visto
como unas funciones que dependen del tiempo, pero que son desconocidas a priori, porque dependen del
azar. En este contexto vamos a denir el concepto de proceso aleatorio. Nuestro objetivo, como en capítulos
anteriores dedicados a variables y vectores aleatorios, es describir desde un punto de vista estadístico el
fenómeno, proporcionando medidas de posición, medidas sobre la variabilidad, etc.
11.1.1. Denición
Consideremos un experimento aleatorio sobre un espacio muestral Ω. Supongamos que para cada resultado
posible, A, tenemos una observación del fenómeno dada por una función real de variable real, x (t, A), con
t ∈ I ⊂ R. Habitualmente, t representa al tiempo, pero también puede referirse a otras magnitudes físicas.
Para cada A vamos a denominar a x (t, A) realización o función muestral.
Obsérvese que para cada t0 ∈ I, X (t, ·) es una variable aleatoria. Pues bien, al conjunto
{X (t, A) : t ∈ I, A ∈ Ω}
lo denominamos proceso aleatorio (en adelante p.a.) o estocástico.
Si recordamos las deniciones de variable aleatoria y vector aleatorio, podemos ver en qué sentido están
relacionados los conceptos de variable, vector y proceso aleatorio. Concretamente, si Ω es un espacio muestral,
una variable aleatoria es una función
X : Ω → R
que a cada suceso posible le asigna un número real. Por su parte, un vector aleatorio es básicamente una
función
X : Ω → RN
que a cada suceso posible le asigna un vector real. Finalmente, un proceso aleatorio es básicamente una
función
X : Ω → {funciones reales de vble real}
que a cada suceso posible le asigna una función real.
De cara a escribir de ahora en adelante un p.a., lo notaremos normalmente, por ejemplo, como X (t), obviando
así la variable que hace referencia al elemento del espacio muestral al que va asociada la función muestral.
Este convenio es el mismo que nos lleva a escribir X reriéndonos a una v.a. o a un vector.
11.1.2. Tipos de procesos aleatorios
El tiempo es una magnitud física intrínsecamente continua, es decir, que puede tomar cualquier valor de los
números reales. Sin embargo, no siempre es posible observar las cosas en cada instante del tiempo. Por eso,
en el ámbito de los procesos (no sólo estocásticos) es importante preguntarse si el fenómeno que representa
el proceso es observado en cada instante o sólo en momentos concretos del tiempo.

Figura 11.1: Representación de un proceso aleatorio.
Dado un espacio muestral Ω y un p.a. denido en él,
{X (t, A) : t ∈ I, A ∈ Ω} ,
se dice que el proceso es un p.a. en tiempo discreto si I es un conjunto numerable.
En el caso de procesos en tiempo discreto se suele escribir Xn o X [n] reriéndonos a la notación más general
X (n). Por otra parte, el conjunto I normalmente es el conjunto de los enteros o de los enteros positivos,
aunque también puede ser un subconjunto de éstos.
En algunos libros los procesos en tiempo discreto también son denominados secuencias aleatorias.
Dado un espacio muestral Ω y un p.a. denido en él,
{X (t, A) : t ∈ I, A ∈ Ω} ,
se dice que el proceso es un p.a. en tiempo continuo si I es un intervalo.
En el caso de procesos en tiempo continuo, I es normalmente el conjunto de los reales positivos o un subcon-
junto de éstos.
Si nos damos cuenta, esta primera clasicación de los p.a. la hemos hecho en función del carácter discreto
o continuo del tiempo, es decir, del conjunto I. Existe otra clasicación posible en función de cómo son las
variables aleatorias del proceso, discretas o continuas. Sin embargo, ambos tipos de procesos, con variables
discretas o con variables continuas, pueden estudiarse casi siempre de forma conjunta. Por ello sólo distin-

Figura 11.2: Distintas funciones muestrales de un proceso aleatorio.
Figura 11.3: Distintas funciones muestrales de un proceso.
guiremos p.a. con variables discretas y p.a. con variables continuas si es necesario. En este sentido, cuando
nos reramos a la función masa (si el p.a. es de variables discretas) o a la función de densidad (si el p.a. es
de variables continuas), hablaremos en general de función de densidad.
Ejemplo. Sea ξ una variable aleatoria uniforme en (−1, 1). Denimos el proceso en tiempo continuo
X (t, ξ) como
X (t, ξ) = ξ cos (2πt) .
Sus funciones muestrales son ondas sinusoidales de amplitud aleatoria en (−1, 1) (Figura 11.2).
Ejemplo. Sea θ una variable aleatoria uniforme en (−π, π). Denimos el proceso en tiempo continuo
X (t, π) como
X (t, π) = cos (2πt + θ) .
Sus funciones muestrales son versiones desplazadas aleatoriamente de cos (2πt) (Figura 11.3).

11.2. Descripción de un proceso aleatorio
11.2.1. Descripción estadística mediante distribuciones multidimensionales
En general, para especicar cómo es un p.a. de forma precisa es necesario caracterizar la distribución de
probabilidad de cualquier subconjunto de variables del proceso. Es decir, si X (t) es un p.a., es necesario
conocer cuál es la distribución de cualquier vector del tipo
(X (t1) , ..., X (tk)) ,
para todo k 0, (t1, ..., tk) ⊂ I, mediante su función de distribución conjunta
FX(t1),...,X(tk) (x1, ..., xk)
o mediante su función de densidad (o masa) conjunta
fX(t1),...,X(tk) (x1, ..., xk) .
Sin embargo, no siempre es fácil conocer todas las posibles distribuciones de todos los posibles vectores de
variables del proceso. Por ello, para tener una descripción más sencilla aunque puede que incompleta del
proceso, se acude a las medias, a las varianzas y a las covarianzas de sus variables.
11.2.2. Función media y funciones de autocorrelación y autocovarianza
Sea un p.a. X (t). Se dene la función media o simplemente la media de X (t) como
X̄ (t) = x̄ (t) = E [X (t)] =
ˆ ∞
−∞
xfX(t) (x) dx,
para cada t ∈ I.
Nótese que, como su nombre indica, se trata de una función determinística. No tiene ninguna componente
aleatoria. Nótese también que aunque se está escribiendo el símbolo integral, podríamos estar reriéndonos
a una variable discreta, en cuyo caso se trataría de una suma.
Se dene la función de autocovarianza o simplemente la autocovarianza de X (t) como
CX (t, s) = Cov [X (t) , X (s)] = E [(X (t) − mX (t)) (X (s) − mX (s))]
=
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
(x1 − x̄ (t)) (x2 − x̄ (s)) fX(t),X(s) (x1, x2) dx2dx1

Se dene la función de autocorrelación o simplemente la autocorrelación de X (t) como
RX (t, s) = E [X (t) · X (s)] =
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
x1x2fX(t),X(s) (x1, x2) dx2dx1
Nótese, de cara al cálculo, que la diferencia entre ambas funciones tan sólo es el producto de las medias
1.
CX (t, s) = RX (t, s) − mX (t) · mX (s) .
De hecho, si el proceso está centrado en media, es decir, si su media es constantemente cero, ambas
funciones coinciden.
Por otra parte, la varianza de las variables del proceso puede obtenerse como
V ar (X (t)) = CX (t, t) .
La interpretación de la función de autocovarianza CX (t, s) es la de una función que proporciona una medida
de la interdependencia lineal entre dos v.a. del proceso, X (t) y X (s), que distan τ = s − t unidades de
tiempo. De hecho, ya sabemos que podríamos analizar esta relación mediante el coeciente de correlación
lineal
ρX (t, s) =
CX (t, s)
p
CX (t, t) CX (s, s)
.
Aparentemente es esperable que tanto más rápidamente cambie el proceso, más decrezca la autocorrelación
conforme aumenta τ, aunque por ejemplo, los procesos periódicos no cumplen esa propiedad.
En el campo de la teoría de la señal aletatoria, a partir de la función de autocorrelación se puede distinguir
una señal cuyos valores cambian muy rápidamente frente a una señal con variaciones más suaves. En el primer
caso, la función de autocorrelación y de autocovarianza en instantes t y t + τ decrecerán lentamente con τ,
mientras que en el segundo, ese descenso será mucho más rápido. En otras palabras, cuando la autocorrelación
(o la autocovarianza) es alta, entre dos instantes cercanos del proceso tendremos valorer similares, pero cuando
es baja, podremos tener fuertes diferencias entre valores cercanos en el tiempo.
La gran importancia de estas funciones asociadas a un proceso, media y autocovarianza (o autocorrelación),
es por tanto que aportan toda la información acerca de la relación lineal que existe entre dos v.a. cualesquiera
del proceso. Como hemos dicho, en la práctica, resulta extremadamente complicado conocer completamente
la distribución de un proceso y, cuando esto ocurre, no siempre es sencillo utilizar las técnicas del cálculo
de probabilidades para el tratamiento de estos procesos. Sin embargo, tan sólo con la información dada por
la función media y la función de autocorrelación pueden ofrecerse resultados muy relevantes acerca de los
procesos, tal y como hemos visto en el caso de variables y vectores aleatorios.
Ejemplo. La señal recibida por un receptor AM de radio es una señal sinusoidal con fase aleatoria, dada
por X (t) = A · cos (2πfct + Ξ) , donde A y fc son constantes y Ξ es una v.a. uniforme en (−π, π) .
1Esta fórmula es la misma que cuando veíamos la covarianza entre dos variables, calculable como la media del producto menos
el producto de las medias.

En ese caso,
E [X (t)] =
ˆ π
−π
A cos (2πfct + ξ)
1
2π
dξ =
A
2π
[sin (2πfct + ξ)]
ξ=π
ξ=−π
=
A
2π
(sin (2πfct) cos (π) + cos (2πfct) sin (π) − sin (2πfct) cos (−π) − cos (2πfct) sin (−π))
=
A
2π
[0 + 0] = 0.
RX (t, t + τ) = E [X (t + τ) X (t)] = E

A2
cos (2πfct + 2πfcτ + Ξ) cos (2πfct + Ξ)

=
A2
2
E [cos (4πfct + 2πfcτ + 2Ξ)] +
A2
2
E [cos (2πfcτ)]
=
A2
2
ˆ π
−π
1
2π
cos (4πfct + 2πfcτ + 2ξ) dξ +
A2
2
cos (2πfcτ)
=
A2
2
· 0 +
A2
2
cos (2πfcτ) =
A2
2
cos (2πfcτ) .
Por tanto,
CX (t, t + τ) = RX (t, t + τ) − mX (t) mX (t + τ) =
A2
2
cos (2πfcτ) .
11.3. Tipos más comunes de procesos aleatorios
En este apartado denimos propiedades que pueden ser vericadas por algunos procesos aleatorios y que les
coneren características especiales en las aplicaciones prácticas.
11.3.1. Procesos independientes
Sea un p.a. X (t). Si para cada n instantes de tiempo, t1, ..., tn, las v.a. del proceso en esos instantes son
independientes, es decir,
fX(t1),...,X(tn) (x1, ..., xn) = fX(t1) (x1) · ... · fX(tn) (xn) ,
se dice que el proceso es independiente.
La interpretación de este tipo de procesos es la de aquellos en donde el valor de la v.a. que es el proceso en
un momento dado no tiene nada que ver con el valor del proceso en cualquier otro instante. Desde un punto
de vista físico estos procesos son muy caóticos y se asocian en la práctica a ruidos que no guardan en un
momento dado ninguna relación consigo mismos en momentos adyacentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 11.4: Función muestral de un proceso independiente formado por v.a gaussianas de media cero y
varianza uno.
11.3.2. Procesos con incrementos independientes
Sea un p.a. X (t). Se dice que tiene incrementos independientes si cualquier conjunto de N v.a. del proceso,
X (t1) , X (t2) , ..., X (tN ), con t1 t2 ... tN son tales que los incrementos
X (t1) , X (t2) − X (t1) , ..., X (tN ) − X (tN−1)
son independientes entre sí.
11.3.3. Procesos de Markov
No debemos perder de vista la complejidad que implica la descripción estadística de un proceso aleatorio.
Pensemos por ejemplo que un proceso ha evolucionado hasta un instante t y se conoce esa evolución; es decir,
se conoce el valor X (s) = xs para todo s ≤ t. Si se desea describir la posición del proceso en un instante
posterior a t, t + ∆, sería necesario calcular la distribución condicionada
X (t + ∆) | {X (s) = xs para todo s ≤ t} .
Esto, en general, es bastante complejo.
Además, ¾tiene sentido pensar que la evolución del proceso en el instante t + ∆ se vea afectada por toda
la historia del proceso, desde el instante inicial s = 0 hasta el último instante de esa historia s = t? Parece
lógico pensar que la evolución del proceso tenga en cuenta la historia más reciente de éste, pero no toda
la historia. Esta hipotesis se ve avalada por los perles más habituales de las funciones de autocorrelación,
donde observamos que la relación entre variables del proceso suele decrecer en la mayoría de las ocasiones
conforme aumenta la distancia en el tiempo entre las mismas.
Los procesos de Markov son un caso donde esto ocurre. Se trata de procesos que evolucionan de manera que
en cada instante olvidan todo su pasado y sólo tienen en cuenta para su evolución futura el instante más

reciente, más actual. En el siguiente sentido:
Un proceso X (t) se dice markoviano o de Markov si para cualesquiera t1 ... tn tn+1 instantes
consecutivos de tiempo se verica
fX(tn+1)|X(t1)=x1,...,X(tn)=xn
(xn+1) = fX(tn+1)|X(tn)=xn
(xn+1) .
Esta denición se suele enunciar coloquialmente diciendo que un proceso de Markov es aquel cuyo futuro no
depende del pasado sino tan sólo del presente.
11.3.4. Procesos débilmente estacionarios
Una de las propiedades más usuales en los procesos estocásticos consiste en una cierta estabilidad en sus
medias y en sus covaranzas, en el sentido en que vamos a describir a continuación.
X (t) es un proceso débilmente estacionario si
mX (t) es independiente de t y
C (t, s) (o R (t, s)) depende tan sólo de s − t, en cuyo caso se nota C (s − t) (ó R (s − t)).
Es importante destacar que la primera de las condiciones es irrelevante, ya que siempre se puede centrar en
media un proceso para que ésta sea cero, constante. Es decir, en la práctica es indiferente estudiar un proceso
X (t) con función media µX (t) que estudiar el proceso Y (t) = X (t) − µX (t), con media cero.
La propiedad más exigente y realmente importante es la segunda. Viene a decir que la relación entre variables
aleatorias del proceso sólo depende de la distancia en el tiempo que las separa.
Nota. Vamos a hacer una puntualización muy importante respecto a la notación que emplearemos en
adelante. Acabamos de ver que si un proceso es débilmente estacionario, sus funciones de autocovarianza
y de autocorrelación, C (s, t) y R (s, t) no dependen en realidad de s y de t, sino tan sólo de t − s. Por
eso introducimos la notación
C (t, s) ≡ C (s − t)
R (t, s) = R (s − t) .
Por lo tanto, ¾qué queremos decir si escribimos directamente C (τ) o R (τ)? Que tenemos un p.a. débil-
mente estacionario y que hablamos de
C (τ) = C (t, t + τ)
R (τ) = R (t, t + τ) .
Una medida importante asociada a un proceso débilmente estacionario es la potencia promedio, deni-
da como la media del cuadrado de éste en cada instante t, es decir RX (0) = E
h
|X (t)|
2
i
. Más adelante
observaremos con detenimiento esta medida.

Por otra parte, la peculiaridad que dene a los procesos débilmente estacionarios le conere a su función
de autocorrelación y autocovarianza dos propiedades interesantes: sea X (t) un proceso estacionario (débil).
Entonces, si notamos RX (τ) = E [X (t) X (t + τ)] para todo t, su función de autocorrelación y por CX (τ) a
su función de autocovarianza:
1. Ambas son funciones pares, es decir, RX (−τ) = RX (τ) y CX (−τ) = CX (τ).
2. |RX (τ)| ≤ RX (0) y |CX (τ)| ≤ CX (0) = σ2
para todo τ.
Ejemplo. En el ejemplo del oscilador vimos que la señal recibida por un receptor AM de radio es una
señal sinusoidal con fase aleatoria, dada por X (t) = A · cos (2πfct + Ξ) , donde A y fc son constantes y
Ξ es una v.a. uniforme en (−π, π) tiene por función media
E [X (t)] = 0
y por función de autocorrelación
RX (t, t + τ) =
A2
2
cos (2πfcτ) .
De esta forma, podemos ver que el proceso es débilmente estacionario.
Ejemplo. Un proceso binomial es un proceso con función de autocovarianza
C (m, n) = mı́n (m, n) p (1 − p) ,
que no depende sólo de m − n. Por lo tanto no es débilmente estacionario.
Ejemplo. Vamos a considerar un proceso en tiempo discreto e independiente, Xn, con media cero y
varianza constante e igual a σ2
. Vamos a considerar también otro proceso que en cada instante de
tiempo considera la media de X en ese instante y el anterior, es decir,
Yn =
Xn + Xn−1
2
.
En primer lugar, dado que E [Xn] = 0 para todo n, lo mismo ocurre con Yn, es decir,
E [Yn] = E

Xn + Xn−1
2

= 0.

Por otra parte,
CY (n, n + m) = RY (n, n + m) − 0 = E [Y (n) Y (n + m)]
= E

Xn + Xn−1
2
Xn+m + Xn+m−1
2

=
1
4
E [(Xn + Xn−1) (Xn+m + Xn+m−1)]
=
1
4
(E [XnXn+m] + E [XnXn+m−1] + E [Xn−1Xn+m] + E [Xn−1Xn+m−1])
Ahora debemos tener en cuenta que
CX (n, m) = RX (n, m) =



0 si n 6= m
σ2
si n = m
,
ya que Xn es un proceso independiente. Por lo tanto,
CY (n, n + m) =















1
4 σ2
+ 0 + 0 + σ2

si m = 0
1
4 0 + σ2
+ 0 + 0

si m = 1
1
4 0 + 0 + σ2
+ 0

si m = −1
0 en otro caso
=









1
2 σ2
si m = 0
1
4 σ2
si m = ±1
0 en otro caso
Podemos decir, por tanto, que el proceso Yn también es débilmente estacionario, porque su media es
constante (cero) y CY (n, n + m) no depende de n sino tan sólo de m.
11.3.5. Procesos ergódicos
Si nos damos cuenta, estamos describiendo los procesos aleatorios a partir de promedios estadísticos, prin-
cipalmente a partir de la media de cada una de sus variables y de sus correlaciones. Vamos a centrarnos en
procesos débilmente estacionarios. En ese caso, los promedios estadísticos más relevantes serían la media,
E [X (t)] = mX (t) = mX =
ˆ ∞
−∞
xfX(t) (x) dx
y la autocorrelación entre dos variables que disten τ unidades de tiempo,
RX (τ) = E [X (t) X (t + τ)] =
ˆ ∞
−∞
x1x2fX(t)X(t+τ) (x1, x2) dx1dx2.
Hasta ahora quizá no lo habíamos pensado, pero más allá de los típicos ejemplos, ¾cómo podríamos tratar de
calcular o estimar al menos estas cantidades? Si aplicamos lo que hemos aprendido hasta ahora, estimaríamos,
por ejemplo, la media con la media muestral, pero para ello necesitaríamos una muestra muy grande de

funciones muestrales del proceso, y eso no siempre ocurre. De hecho, no es nada rara la situación en la que,
en realidad, sólo es posible observar una única función muestral del proceso.
Ahora bien, dada una única función muestral de un proceso, x (t), en esa función hay muchos datos, tantos
como instantes de tiempo t hayamos sido capaces de observar. ¾No podría ocurrir que utilizáramos todos esos
datos que hay en x (t)para estimar las medias y las autocorrelaciones? Por ejemplo, si tenemos observada la
señal x (t) en un montón de valores t1, ...tn, ¾qué tendrá que ver
x (t1) + ...x (tn)
n
con la media del proceso mX? De hecho, si n es muy grande y corresponde a un intervalo de observación
[−T, T], tendríamos que
x (t1) + ... + x (tn)
n
'
1
2T
ˆ T
−T
x (t) dt.
Ahora no es una integral sobre los valores de x (integral estadística) sino sobre el tiempo.
En el caso de la autocorrelación pasaría igual, tendríamos que podríamos observar un montón de pares de
valores de la señal en los instantes t1, ..., tn y t1 + τ, ..., tn + τ en el intervalo [−T, T] y con ellos podríamos
estimar
1
2T
ˆ T
−T
x (t) x (t + τ) dt '
x (t1) x (t1 + τ) + ... + x (tn) x (tn + τ)
n
.
Lo que no sabemos, en general, es si esa integral tiene algo que ver con RX (τ), que es una integral estadística.
Pues bien, se dice que un proceso estacionario es ergódico cuando las funciones que entrañan valores espe-
rados a lo largo de las realizaciones (integrales o promedios estadísticos) pueden obtenerse también a partir
de una sola función muestral x (t). Es decir, que una sola realización es representativa de todo el proceso.
Más concretamente, un proceso será ergódico en media y en autocorrelación si
limT →∞
1
2T
ˆ T
−T
x (t) dt = mX
y
limT →∞
1
2T
ˆ T
−T
x (t) x (t + τ) dt = RX (τ) .
11.4. Ejemplos de procesos aleatorios
11.4.1. Ruidos blancos
En telecomunicaciones los ruidos son señales que se adhieren a la señal enviada en cualquier proceso de
comunicación, de tal manera que uno de los objetivos fundamentales en este tipo de procesos es, dada la
señal resultante de sumar la señal enviada, X (t), y el ruido del canal, N (t), es decir, dada Y (t) = X (t)+N (t),
saber ltrar esta señal para estimar cuál es el verdadero valor de X (t).
En este apartado nos referimos brevemente a un modelo gastante común para los fenómenos de ruido, llamado
ruido blanco.

Un ruido blanco es un proceso N (t) centrado, débilmente estacionario e incorrelado con varianza
N0
2 . Por
tanto, su función de autocovarianza (y autocorrelación) será
CN (t, t + τ) =



N0
2 si τ = 0
0 en otro caso
.
Utilizando la llamada función impulso, dada por
δ (t) =



1 si t = 0
0 en otro caso
,
esta función de autocovarianza puede escribirse como
CN (τ) =
N0
2
δ (τ) .
La justicación de que este sea un modelo habitual para los ruidos, considerando que los valores del ruido
están incorrelados unos con otros, es que suelen ser debidos a fenómenos completamente aleatorios y caóticos,
por lo que no es esperable que exista relación entre valores del ruido, ni siquiera cuando éstos son muy cercanos
en el tiempo.
11.4.2. Procesos gaussianos
Hasta ahora hemos denido y estudiado familias muy genéricas de procesos (independientes, estacionarios,
...). En esta sección vamos a considerar más concretamente la conocida como familia de procesos aleatorios
gaussianos, que constituye, sin duda, la más importante de entre las que se utilizan en Telecomunicaciones y
en cualquier otro ámbito de aplicación de la Estadística.
Un p.a. X (t) se dice proceso gaussiano si cualquier colección de variables del proceso tiene distribución
conjuntamente gaussiana. Es decir, si cualquier colección X (t1) , ..., X (tn) tiene función de densidad conjunta
fX(t1),...,X(tn) (x1, ..., xn) =
1
p
(2π)
n
det (C)
exp

−
1
2
(x − µ)
0
· C−1
· (x − µ)

,
donde
x = (x1, ..., xn)
0
,
µ = (E [X (t1)] , ..., E [X (tn)])
0
,
C = (Ci,j)i,j=1,..,n ,
Cij = Cov [X (ti) , X (tj)] .
Nótese que un proceso gaussiano está completamente descrito una vez que se conocen su función media y su
autocovarianza o su autocorrelación.

Existen dos razones fundamentales por las que, como hemos comentado, los procesos gaussianos son la familia
de procesos más relevante:
Por una parte, las propiedades analíticas que verican los hacen fácilmente manejables, como veremos
a continuación.
Por otra parte, estos procesos han demostrado ser un excelente modelo matemático para gran número
de experimentos o fenómenos reales (resultado amparado en el Teorema Central del Límite).
Ejemplo. Es muy habitual considerar que los ruidos blancos son gaussianos. En ese caso, si consideramos
ruidos blancos gaussianos, sus variables no sólo son incorreladas, sino que también son independientes.
Ejemplo. Sea un proceso gaussiano X (t) débilmente estacionario con E [X (t)] = 4 y autocorrelación
RX (τ) = 25e−3|τ|
+ 16. Obsérvese que la autocorrelación (y la autocovarianza) decrece rápidamente con
el paso del tiempo.
Si deseamos caracterizar la distribución de probabilidad de tres v.a. del proceso, observadas en los
instantes t0, t1 = t0 + 1
2 y t2 = t1 + 1
2 = t0 + 1, necesitamos las medias, E [X (ti)] = 4 y la matriz de
covarianzas, dada a partir de CX (τ) = 25e−3|τ|
.
CX(t0),X(t1),X(t2) =



25 25e−3/2
25e−6/2
25e−3/2
25 25e−3/2
25e−6/2
25e−3/2
25


 .
Algunas propiedades de interés de los procesos gaussianos:
Un proceso gaussiano es independiente si y sólo si C (ti, tj) = 0 para todo i 6= j.
Sea X (t) un proceso gaussiano. Este proceso es markoviano si y sólo si
CX (t1, t3) =
CX (t1, t2) · CX (t2, t3)
CX (t2, t2)
,
para cualesquiera t1 t2 t3.
Un proceso X (t) gaussiano, centrado, con incrementos independientes y estacionarios es de Markov.
11.4.3. Procesos de Poisson
El proceso de Poisson es un modelo para procesos de la vida real que cuentan ocurrencias de un suceso a lo
largo del tiempo, denominados por ello procesos de recuento.
Algunos de los ejemplos más comunes en el campo de las Telecomunicaciones son el proceso que cuenta el
número de llamadas recibidas en una centralita telefónica o el que cuenta el número de visitas a una página
WEB. En otros ámbitos, como la Física, estos procesos pueden servir, por ejemplo, para contabilizar el
número de partículas emitidas por un cuerpo.

En todas estas aplicaciones, el proceso tendría la expresión
N (t) =
∞
X
n=1
u (t − T [n]) ,
donde T [n] es un proceso en tiempo discreto que representa el momento de la n−ésima llegada que cuenta
el proceso y
u (t − t0) =



0 si t t0
1 si t ≥ t0
es la función umbral.
El proceso de Poisson de parámetro λ es el proceso N (t) =
P∞
n=1 u (t − T [n]) para el cual la v.a. T [n]
es una suma de n exponenciales independientes del mismo parámetro λ, lo que genera una distribución de
Erlang de parámetros n y λ, con función de densidad
fT [n] (t) =
(λt)
n−1
(n − 1)!
λe−λt
u (t) .
Alternativamente, puede decirse que el proceso de Poisson es aquél en el que los tiempos entre
llegadas,
Υ [n] = T [n] − T [n − 1] ,
siguen siempre distribuciones exponenciales independientesa del mismo parámetro, esto es
fΥ[n] (t) = λe−λt
u (t) .
aObsérvese por tanto que el proceso T [n] tiene incrementos independientes.
Ejemplo. En la Figura 11.6 se muestran funciones muestrales de un proceso de Poisson de parámetro
λ = 1. Vamos a interpretar la función muestral de la izquierda pensando, por ejemplo, que representa
el número de visitas a una página WEB: se observa que poco depués de los tres minutos se han dado 3
visitas; después pasan casi 5 minutos sin ninguna visita; a continuación se producen un buen número de
visitas en poco tiempo; ...
Si observamos tan sólo el eje del tiempo, podríamos señalar los instantes en que se producen las llegadas.
Sabemos que esos incrementos en el tiempo desde que se produce una llegada hasta la siguiente siguen
una distribución exponencial, en este caso de parámetro 1.
Vamos a describir algunas de las propiedades más interesantes de los procesos de Poisson:
Sea N (t) un proceso de Poisson de parámetro λ. Entonces, para todo t se tiene que N (t) → P (λt).
La media de un proceso de Poisson de parámetro λ es µN (t) = λt. Por tanto, el proceso de Poisson no
es estacionario.
Sea N (t) un proceso de Poisson de parámetro λ. Entonces, el proceso tiene incrementos independientes

Figura 11.5: Representación gráca de una función muestral de un p.a. de Poisson.
y para cualesquiera t1 t2, el incremento N (t2)−N (t1) sigue una distribución de Poisson de parámetro
λ (t2 − t1).
Sea N (t) un proceso de Poisson de parámetro λ. Entonces
CN (t1, t2) = λ mı́n (t1, t2) .
Sea N (t) un proceso de Poisson de parámetro λ. Entonces, para cualesquiera t1 ... tk,
fN(t1),...,N(tk) (n1, ..., nk)
=



e−α1
α
n1
1
n1! · e−α2
α
n2−n1
2
(n2−n1)! · ... · e−αk
α
nk−nk−1
2
(nk−nk−1)! si n1 ≤ ... ≤ nk
0 en otro caso
,
donde αi = λ (ti − ti−1) .
El proceso de Poisson es de Markov.
Sean N1 (t) p.a. de Poisson de parámetro λ1, N2 (t) p.a. de Poisson de parámetro λ2, ambos indepen-
dientes. Entonces, N1 (t) + N2 (t) es un p.a. de Poisson de parámetro λ1 + λ2. Esta propiedad se conoce
como propiedad aditiva.
Sea N (t) un p.a. de Poisson de parámetro λ. Supongamos que de todos los eventos que cuenta el
proceso, sólo consideramos una parte de ellos; concretamente los que presentan una característica que
tiene probabilidad p entre todos los eventos. En ese caso, si notamos por Np (t) al proceso que cuenta

Figura 11.6: Funciones muestrales de un proceso de Poisson de parámetro 1.
los eventos con la característica dada, dicho proceso es de Poisson de parámetro λ · p. Esta propiedad
se conoce como propiedad de descomposición.
El tiempo W que transcurre desde un instante arbitrario t0 hasta la siguiente discontinuidad de un
proceso de Poisson de parámetro λ es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ, indepen-
dientemente de la elección del punto t0. Esta propiedad aparentemente paradójica se conoce como
propiedad de no memoria del proceso de Poisson. Obsérvese que, en realidad, esta propiedad de no
memoria lo es de la distribución exponencial.
Ejemplo. Es frecuente considerar que el proceso que cuenta el número de partículas emitidas por un
material radiactivo es un proceso de Poisson. Vamos a suponer por tanto, que estamos observando el
comportamiento de un determinado material del que se conoce que emite a razón de λ partículas por
segundo.
Supongamos que se observa el proceso que cuenta el número de partículas emitidas desde un instante
t hasta el instante t + T0. Si en ese intervalo de tiempo se supera un umbral de N0 partículas, debería
sonar una señal de alarma. En ese caso, la probabilidad de que la alarma suene es
P [N (t + T0) − N (t) N0] =
∞
X
k=N0+1
e−λT0
(λT0)
k
k!
= 1 −
N0
X
k=0
e−λT0
(λT0)
k
k!
,
ya que N (t + T0) − N (t) → P (λT0).
Ejemplo. El número de visitas a la página WEB de una empresa que desea vender sus productos a
través de INTERNET es adecuadamente descrito mediante un proceso de Poisson. Sabiendo que durante
una hora se reciben un promedio de 5 visitas,

1. ¾cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna visita en media hora?
P [N (0.5) = 0] = e−5×0.5 (5 × 0.5)
0
0!
= 8.2085 × 10−2
,
apenas un 8 % de probabilidad.
2. ¾Cuál es el promedio de visitas en 5 horas a la WEB? E [N (5)] = 5 × 5 = 25 visitas.
3. La empresa absorbe otra empresa del sector y opta por establecer un enlace directamente desde la
página de su lial a la propia, garantizándose que todos los clientes de la lial visitan su página.
Si el promedio de clientes que visitaban la página de la lial era de 2 clientes a la hora, ¾cuál es la
probabilidad de que tras la fusión no se reciba ninguna visita en 10 minutos?
Al hacerse con los clientes de la otra empresa (notemos por M (t) al proceso de Poisson que contaba
sus visitas, de parámetro λ = 2 visitas/hora), lo que ha ocurrido es que ahora el número de visitas
a la WEB de la empresa es la suma de ambos procesos: T (t) = N (t) + M (t) .
Suponiendo que los procesos de Poisson que contaban las visitas a ambas empresas fueran inde-
pendientes, se tiene que T (t), en virtud de la propiedad aditiva del proceso de Poisson, es también
un proceso de Poisson, de parámetro λ = 5 + 2 = 7 visitas/hora. Por tanto,
P

T

1
6

= 0

= e−7× 1
6
7 × 1
6
0
0!
= 0.3114,
una probabilidad del 31 %.

Bibliografía
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[Ross, S. M. (2005)] Ross, S. M. (2005). Introducción a la Estadística. Editorial Reverté.
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[Walpole, R. E et al (1998)] Walpole, R. E., Myers, R. H. Myers, S. L. (1998). Probabilidad y Estadística
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229

Índice alfabético
ANOVA, 172174
Bonferroni, método de, 175, 176
Coeciente de asimetría, 31
Coeciente de correlación lineal, 114, 199203, 216
Coeciente de variación, 30, 36
Contraste de hipótesis, 136, 153156
Contraste para el cociente de varianzas, 171
Contraste para la diferencia de medias, 163, 164, 166
Contraste para la diferencia de proporciones, 170
Contraste para la media, 160, 162
Contraste para la varianza, 171
Contraste para proporción, 168
Covarianza, 114
Cuantil, 27, 94, 95
Datos cualitativos, 20
Datos cuantitativos, 21, 22, 25, 32
Desviación típica o estandar, 2931, 36, 66, 82, 90,
130, 131, 147, 161
Diagrama de barras, 22, 23, 25, 31
Diagrama de cajas y bigotes, 34, 37
Diagrama de sectores, 20, 21
Diagramas de barras, 2024
Distribución binomial, 67, 68, 71, 89, 93, 140
Distribución binomial negativa, 73, 74, 141
Distribución χ2
, 131
Distribución χ2
, 87, 132, 148, 171, 174, 181, 182, 188,
189
Distribución de Poisson, 70, 85, 89, 226
Distribución exponencial, 8486, 147, 185, 225, 227
Distribución F de Snedecor, 132, 133, 174
Distribución Gamma, 86, 87, 131, 140, 183, 225
Distribución geométrica, 72, 73, 141, 182
Distribución marginal, 103
Distribución normal, 88
Distribución normal multivariante, 122, 223
Distribución t de Student, 132, 162, 165167, 198,
199, 204, 205
Distribución uniforme, 84
Distribuciones condicionadas, 106
Error tipo I, 155157, 162, 175
Error tipo II, 156, 162
Espacio muestral, 4345, 48, 50, 52, 54, 63, 64, 139
Estadístico de contraste, 154157, 159, 161, 163, 165,
167, 170172, 174, 177, 185, 188, 189, 202
Estimador puntual, 136, 179, 180
Función de autocorrelación, 216, 219
Función de autocovarianza, 215, 219
Función de densidad, 7780, 8386, 88, 90, 93, 94,
129, 131, 138, 139, 141
Función de densidad conjunta, 101
Función de distribución, 7880, 85, 90, 95, 184, 185
Función masa conjunta, 101
Función masa de probabilidad, 64, 65, 70, 72, 73, 76,
83, 94, 129, 141
Función media, 215
Función muestral, 212
Histograma, 2225, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 7577, 79,
92, 93, 138, 139
Incorrelación, 114
Independencia de sucesos, 4850, 52, 70, 185
Independencia estadística, 217, 218
Insesgadez, 136139, 149
Intervalos de conanza, 136, 145150, 204
Método de los momentos, 140144, 179, 182, 185
Método de máxima verosimilitud, 141144, 149, 179,
185, 194
Matriz de correlaciones, 121
230

Matriz de varianzas-covarianzas, 120
Media, 25, 66, 137, 160
Media muestral, 25, 26, 2832, 66, 83, 89, 130, 131,
137, 145148, 154, 160, 173, 221
Media poblacional, 32, 65, 66, 80, 82, 83, 92, 93, 131,
137, 145149, 154, 160, 196, 203, 206
Mediana, 26, 28, 31, 34
Moda, 26, 31
muestra, 15
Muestra aleatoria simple, 20, 29, 32, 35, 36, 65, 67,
76, 187, 200, 201
Nivel de conanza, 145, 146, 150, 151, 155158, 161,
162, 164, 165, 175, 181, 182, 184, 188, 198,
204
Ortogonalidad, 114
p-valor, 157, 158, 160, 162165, 167, 170172, 175
177, 180185, 187, 189, 198
Percentil, 27, 33, 34, 36, 9496
Probabilidad, 41, 42, 45, 47, 48
Probabilidad condicionada, 4850
Proceso aleatorio, 212
Proceso aleatorio en tiempo continuo, 213
Proceso aleatorio en tiempo discreto, 213
Proceso débilmente estacionario, 219
Proceso de Markov, 219, 224
Proceso de Poisson, 225
Proceso ergódico, 222
Proceso gaussiano, 223
Procesos independientes, 217
Recta de regresión, 195
Ruido blanco, 223
Tabla de frecuencias, 21
Teorema de Bayes, 5355
Teorema de la probabilidad total, 5355
Test chi2
de bondad de ajuste, 180, 182
Test chi2
de independencia, 185
Test de Kolmogorov-Smirno, 184, 195, 196, 200, 202
206
Valores z, 33, 92
Variable aleatoria, 63, 64, 67, 89, 129131, 140, 141,
144, 154, 193
Variable aleatoria continua, 75, 78, 80
Variable aleatoria discreta, 6466
Varianza muestral, 28, 29, 66, 83, 131, 137, 138, 146,
160, 166, 171, 173
Varianza poblacional, 65, 66, 80, 82, 83, 131, 136138,
140, 145149, 160, 171, 174, 197, 206, 216
Vector aleatorio, 100
Vector de medias, 120

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