Estadística por Edison Iza
- 1. UNIDAD 1
- 2. ESTADÍSTICA
- 3. Historia de la Estadística Establecer reparto de tierras. Se llevaban registros de nacimientos, muertes y matrimonios también se registraban datos sobre la población y riquezas de los territorios conquistados. El constante uso de estas herramientas dio origen al término estadística, que se refería a la información socioeconómica o a los datos demográficos de los estados. Europa Recoger datos de actividades agrícolas o industriales Egipto China Grecia Cuantificar, organizar y determinar el voto del ciudadano y otras actividades Elaboración de los Censos Edad Antigua Método para la organización, recolección , para la cual se analiza los datos de una muestra representativa de un total para realizar conclusiones de asociación y clasificación.
- 4. Edad Media Durante la Edad Media (aprox. 476 – 1453 d.C.) la estadística no experimentó grandes avances, aunque pueden citarse varios censos, como el de Carlomagno en 762, para conocer la extensión de tierras pertenecientes a la Iglesia, o el registro de propiedades. Durante la Edad Moderna (aprox. 1454 – 1789), al igual que en los periodos anteriores, se continúa con la obtención de información a través de censos Edad Moderna Gaspar Neuman: Teoría de probabilidad y fenómenos aleatorios Edad Contemporánea Muestreo inferencia estadística Emplean los estudios demográficos económicos y sociales, se crean técnicas analíticas Científicos como Laplace, Gauss y Legendre desarrollaron dos conceptos muy usados en el análisis estadístico: la teoría sobre los errores en la observación, y el método de los mínimos cuadrados. Pierre de Fermat Fundador de la teoría de probabilidades, junto a Blaise Pascal
- 5. Importancia de la estadística: • Permite una descripción más exacta. • Nos obliga a ser claros y exactos en nuestros procedimientos y en nuestro pensar. • Permite resumir los resultados de manera significativa y cómoda. • Nos permite deducir conclusiones generales.
- 6. TIPOS DE ESTADÍSTICA Estadística descriptiva o deductiva Es un tipo de estadística que se emplea con la finalidad de poder analizar y describir una serie de conjuntos de tipo numérico, tales series numéricas buscan representar diversos niveles de fenómenos para el mejor manejo de su análisis. En este tipo de estadística no es muy factible llegar a conclusiones definitivas. Características de las estadística descriptiva o deductiva Se implementa cuando se requiere de la elaboración de un resumen que abarque todo tipo de información que en su momento sea requerida. Para eso, la información se asimilará en una serie de conjuntos numéricos que permiten el manejo estadístico.
- 7. Estadística inferencial o inductiva Se trabaja a través del manejo de una serie de datos que se obtienen en una muestra predeterminada, con la finalidad específica de obtener una serie de predicciones que permitan fundamentar las conclusiones a las que se ha llegado en el objeto de estudio. Características de las estadista inferencial o inductiva En su tratamiento este tipo de estadística persigue los siguientes objetivos que son: Llegar a conclusiones validas en relación a la muestra que se definió para la población objeto de estudio. Presentar probables niveles de incertidumbre respecto a un escenario con su respectiva explicación.
- 8. Estadística Aplicada En este caso nos encontramos con dos tipos de estadística, una llamada descriptiva o deductiva y otra conocida como diferencial o inductiva. Para poder delimitar la población que será objeto de estudio, se recurre a una serie de elementos que se consideran “estimadores”. Este tipo de recursos de estudios son empleados en áreas del conocimiento como la medicina, historia, psicología y sociología. Características de las estadística aplicada Este tipo de estadística busca explicar el resultado que se obtiene de una muestra que explica el objeto de estudio conocido como el universo del problema. Generalmente se emplean los estudios estadísticos de la media, la moda y mediana de un fenómeno de las variables estadísticas.
- 9. Estadística Matemática Es un formato de estadística en el que existe el trabajo formal de los datos mediante la teoría que más se ajuste a las necesidades del objeto de estudio. Dichas teorías tienen que ver con el tema de la probabilidad y otras áreas de la matemática. Características de las estadística matemática Lo que se busca con este tipo de estadística es obtener información relevante a través de la categorización de una serie de datos numéricos o para tal fin se apega a la teoría de la probabilidad y estadística.
- 10. Tras la recogida de datos, el siguiente paso en un trabajo estadístico consiste en una representación de estos datos de manera directa, concisa y visualmente atractiva. Esto se hace en Estadística mediante la tabulación de la variable estadística o del atributo. Realizar una tabulación consiste en elaborar tablas simples, fáciles de leer y que de manera general ofrezcan una acertada visión de las características más importantes de la distribución estadística estudiada. Tabulación de Datos
- 11. La tabulación de un carácter cualitativo es la más simple de todas. Como norma general , para construir una tabla de un carácter cualitativo, debemos tener en cuenta: • Construir una tabla de tres columnas. • En la primera columna se colocan los distintos atributos. • En la segunda columna las frecuencias absolutas, (recuento de datos para cada atributo). • En la tercera columna las frecuencias relativas (división de frecuencia absoluta entre el total de datos), o los porcentajes (para porcentajes se multiplica por cien los valores de la frecuencia relativa). Carácter Cualitativo
- 13. Tabulación de datos Consiste en elaborar tablas simples, fáciles de leer y que de manera general ofrezcan una acertada visión de las características más importantes de la distribución estadística estudiada.
- 14. Tabulación para carácter cualitativo • La tabulación de un carácter cualitativo es la más simple de todas. Como norma general , para construir una tabla de un carácter cualitativo, debemos tener en cuenta: Construir una tabla de tres columnas. • En la primera columna se colocan los distintos atributos. • En la segunda columna las frecuencias absolutas, (recuento de datos para cada atributo). • En la tercera columna las frecuencias relativas (división de frecuencia absoluta entre el total de datos), o los porcentajes (para porcentajes se multiplica por cien los valores de la frecuencia relativa).
- 15. Tabulación de carácter cuantitativo • Para realizar una tabulación de una variable cuantitativa discreta, se recomienda la siguiente disposición: En la primera columna colocar los distintos valores ordenados de menor a mayor de la variable discreta. • En la segunda columna los valores de las frecuencias absolutas (recuento de datos). • En la tercera columna los valores de las frecuencias relativas (división de la frecuencia absoluta entre el total de datos) o de los porcentajes (para porcentajes se multiplica por cien cada frecuencia relativa). • En la cuarta columna los valores de las frecuencias absolutas acumuladas (acumulación o suma de cada frecuencia absoluta con todas las anteriores). • En la quinta columna los valores de las frecuencias relativas acumuladas o porcentajes acumulados (lo mismo que para el caso de la frecuencia relativa).
- 16. De una muestra de 9 estudiantes, se solicita el número de calzado que utilizan: Datos obtenidos: 42, 38, 37, 34, 35, 38, 42, 40, 42 1.- Se ordena los datos de menor a mayor. 34, 35, 37, 38, 38, 40, 42, 42, 42 2.- Se construye una tabla de datos xi fi Fi hi fi/n Hi % hix100 Nº de grados= fi/n x360 34 1 1 1/9= 0,11 0,11 11% 1/9x360= 40º 35 1 2 1/9= 0,11 0,22 11% 1/9x360=40º 37 1 3 1/9=0,11 0,33 11% 1/9x360=40º 38 2 5 2/9=0,22 0,55 22% 2/9x360=80º 10 1 6 1/9=0,11 0,66 11% 1/9x360=40º 42 3 9 3/9=0,33 0,99-1 33% 3/9x360=120º Total n=9 99% 360º
- 17. TABULACIÓN DE DATOS AGRUPADOS 1.- Se ordena los datos de mayor a menor 2.- Se identifica el límite superior e inferior 3.- Se calcula el rango R= Ls -Li 4.- Se calcula el intervalo K=1+3,322xlog(Nº de casos) 5.- Se calcula la amplitud A=R/K Nota: En el casillero de clase se colocan los datos obtenidos en la encuesta, según corresponda.
- 18. Número de calzado de 10 estudiantes: Datos obtenidos: 40,38,35,37,34,39,41,38,40,38 Se ordena los datos de menos a mayor: 34,35,37,38,38,38,39,40,40,41 Se calcula el rango: R=Ls -Li R=41-34 R=7 Se calcula el intervalo: K=1+3,322xlog(nº de casos) K=1+3,322xlog10 K=5 Se calcula la amplitud: A=R/K A=7/5 A= 2 Se construye la tabla de datos.
- 19. xi Clase Marca de clase fi Fi hi fi/n Hi % hix100 Nº de grados= fi/n x360 1 [34-36) 35 2 2 2/10= 0,2 0,2 20% 2/10x360= 72º 2 [36-38) 37 1 3 1/10= 0,1 0,3 10% 1/10x360=36º 3 [38-40) 40 4 7 4/10=0,4 0,7 40% 4/10x360=144º 4 [40-42) 41 3 10 3/10=0,3 1 30% 3/10x360=108º Total n=10 1 100% 360º
- 20. CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
- 21. Es una tabla estadística que recoge datos de frecuencias y los analiza
- 22. ¿Qué es una frecuencia? • Es lo mismo que un conteo, es el número que resulta de contar las veces que se repite un término en una lista de números. Ejemplo: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 El número 5 se repite 10 veces, por lo que su frecuencia absoluta es 10
- 23. ¿Qué es frecuencia absoluta? • Es la frecuencia como tal, se la hace con un conteo manual, además de la cantidad que resulta del conteo, se lo representa con las letras fi. • Ejemplo: 222222 Xi Conteo fi 1 |||||| 6
- 24. ¿Qué que es frecuencia absoluta acumulada? • Es una estrategia para asegurarse que el conteo esta bien hecho, se lo hace tal que el último término debe ser el mismo que la cantidad total de términos. Se van sumando las frecuencias absolutas de cada piso, una después de la otra, se lo representa con las letras Fi. fi Fi Procedimiento 3 3 Se mantiene el mismo número 4 7 4+3 5 12 7+5 N=12
- 25. ¿Qué es frecuencia relativa? • Es la frecuencia acumulada de cada término, pero dividida por el total de términos (n), esta relacionada con el porcentaje. Se la representa con las letras hi. fi hi Procedimiento 4 0.4 4/10 2 0.2 2/10 4 0.4 4/10 n= 10
- 26. ¿Qué es la frecuencia relativa acumulada? • Es el mismo procedimiento de revisión si esta bien hecho el conteo de la frecuencia absoluta, solo que con la frecuencia relativa. • Igualmente se calcula sumando cada espacio, uno por uno, de todas las frecuencias relativas. • Se suman de tal forma que al final debe dar 1
- 27. Porcentaje • Usando la frecuencia relativa se puede calcular el porcentaje • Se multiplica a la frecuencia relativa por 100 • También es lo mismo que la división de la frecuencia absoluta por el total de términos (n) todo multiplicado por 100 • 𝑓𝑖 𝑛 ∗ 100 = ℎ𝑖 ∗ 100 = %
- 28. Grados • Para construir un gráfico tipo pastel, se necesitan los porcentajes de cada frecuencia, para dibujarlo necesitamos calcular cuantos grados tiene cada parte del pastel. • Se calcula con la multiplicación del porcentaje por 3.6, o la frecuencia relativa por 360 𝑋° = 360 100 ∗ % 𝑋° = 360 ∗ ℎ𝑖
- 29. Ejemplo 1 • Le preguntamos a 67 estudiantes de la facultad cual es su materia favorita Xi fi Fi hi Hi Biología 20 20 0.29850746 0.298507 Lenguaje 17 37 0.25373134 0.55223834 Estadística 10 47 0.14925373 0.70149207 Matemática 5 52 0.07462687 0.77611894 Química 3 55 0.04477612 0.82089506 Investigación 5 60 0.07462687 0.89552193 Psicología 4 64 0.05970149 0.95522342 Zoología 2 66 0.02985075 0.98507416 Pedagogía 1 67 0.01492537 0.99999954 n= 67
- 30. Cuadro de barras 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 Biología Lenguaje Estadística Matemática Química Investigación Psicología Zoología Pedagogía Chart Title
- 32. Ejemplo 2 • Le preguntamos a 135 estudiantes de la facultad cual es su sabor favorito Xi fi Fi hi Hi Vainilla 34 34 0.25 0.25185185 Chocolate 21 55 0.16 0.40740741 Mora 20 75 0.15 0.55555555 Guanábana 17 92 0.13 0.68148148 Chicle 16 108 0.12 0.8 Café 14 122 0.10 0.9037037 Ron con pasas 10 132 0.07 0.97777778 Oreo 2 134 0.01 0.99259259 Fresa 1 135 0.01 1 n= 135
- 33. Cuadro de barras 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vainilla Chocolate Mora Guanábana Chicle Café Ron con pasas Oreo Fresa Sabor favorito
- 34. Cuadro de pastel Vainilla 25% Chocolate 16% Mora 15% Guanábana 13% Chicle 12% Café 10% Ron con pasas 7% Oreo 1% Fresa 1% SABOR FAVORITO
- 35. Ejemplo 3 • Se les preguntó a 524 estudiantes su videojuego favorito Xi fi Fi hi Hi Supermario 70 70 0.13 0.13358779 GTA V 70 140 0.13 0.26717558 Minecraft 66 206 0.13 0.39312977 GTA San andreas 64 270 0.12 0.51526718 Mortal Kombat 60 330 0.11 0.629771 Resident Evil 58 388 0.11 0.74045802 Call of duty 54 442 0.10 0.84351145 FIFA 52 494 0.10 0.9427481 Leyend of zelda 30 524 0.06 1 n= 524
- 36. Cuadro de barras 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Supermario GTA V Minecraft GTA San andreas Mortal Kombat Resident Evil Call of duty FIFA Leyend of zelda Título del gráfico
- 37. CUADRO DE PASTEL Supermario 13% GTA V 13% Minecraft 13% GTA San andreas 12% Mortal Kombat 12% Resident Evil 11% Call of duty 10% FIFA 10% Leyend of zelda 6%
- 38. Media, mediana, moda, varianza, desviación estándar y punto z
- 39. Ejercicio 1 • Se tienen los siguientes 30 datos de 30 estudiantes, respecto a las veces que se les reprendió de forma disciplinaria, separándolos por sus notas. intervalo x fi Fi fixi (x-ẋ)ʌ2 fi*(x-ẋ)ʌ2 0 4 2 4 4 8 87.1111111 348.444444 4 8 6 5 9 30 28.4444444 142.222222 8 12 10 7 16 70 1.77777778 12.4444444 12 16 14 5 21 70 7.11111111 35.5555556 16 20 18 9 30 162 44.4444444 400 Sumatoria 30 340 938.666667
- 40. Mediana, Moda, Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación, Puntaje z Mediana 11.4285714 Moda 10 Varianza 31.2888889 Desviación estándar 5.59364719 Coeficiente de variación 276.078431 Puntaje z -0.04261364
- 41. Gráfico de pastel 0-4 13% 4-8 17% 8-12 23% 12-16 17% 16-20 30% INDISCIPLINA DE LOS ESTUDIANTES POR SUS PROMEDIOS DE NOTA
- 42. Ejemplo 2 • Se tienen los siguientes 30 datos de 30 afiliados del IESS que cuentan las veces que sacaron turnos, diferenciados por sus edades. intervalo x fi Fi fixi (x-ẋ)ʌ2 fi*(x-ẋ)ʌ2 40 44 42 5 5 210 70.56 352.8 44 48 46 6 11 276 19.36 116.16 48 52 50 7 18 350 0.16 1.12 52 56 54 5 23 270 12.96 64.8 56 60 58 7 30 406 57.76 404.32 Sumatoria 30 1512 939.2
- 43. Mediana, Moda, Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación, Puntaje z Mediana 50.2857143 Moda 49.3333333 Varianza 31.3066667 Desviación estándar 5.59523607 Coeficiente de variación 62.1164021 Puntaje Z -0.01277683
- 44. GRÁFICO DE PASTEL 17% 20% 23% 17% 23% Turnos de afiliados del IESS por edad 40-44 44-48 48-52 52-56 56-60
- 45. Ejemplo 3 • Se tienen los siguientes 75 datos de 75 trabajadores en una empresa que cuentan las veces que dieron permisos al año, diferenciados por sus edades. intervalo x fi Fi fixi (x-ẋ)ʌ2 fi*(x-ẋ)ʌ2 20 24 22 5 5 110 92.16 460.8 24 28 26 10 15 260 31.36 313.6 28 32 30 20 35 600 2.56 51.2 32 36 34 30 65 1020 5.76 172.8 36 40 38 10 75 380 40.96 409.6 Sumatoria 75 2370 1408
- 46. Mediana, Moda, Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación, Puntaje z Mediana 32.5 Moda 30 Varianza 18.7733333 Desviación estándar 4.33282048 Coeficiente de variación 59.4092827 Puntaje Z -0.08522727
- 47. Gráfico de pastel 7% 13% 27%40% 13% Permisos de los trabajadores por edades 20-24 24-28 28-32 32-36 36-40
- 49. Medidas de Posición: son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. Las más usuales son la media, la mediana, la moda, los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. Pueden ser de dos tipos: de tendencia central o de tipismo. Medidas de Dispersión: se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficientes para variables cuantitativas. Las más usuales son el desvío estándar y la varianza. Medidas de tendencia central
- 50. La media de un conjunto de números, algunas veces simplemente llamada el promedio , es la suma de los datos divididos entre el número total de datos. La Media
- 51. El cálculo de la Media Dado un conjunto de observaciones la media se representa mediante y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos, es decir: La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que
- 52. Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten. Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron: Notas Frecuencia absoluta Notas x F. absoluta 3 5 15 5 8 40 6 10 60 7 2 14 Total 25 129 1,5 25 129 Media Datos por frecuencias Total de datos 1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman. 2º. El resultado se divide por el total de datos. Media aritmética (II)
- 53. Mediana La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa). En caso que N sea impar
- 54. La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él. Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: Ejemplo: 72, 65, 71, 56, 59, 63, 72 1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72 2º. El dato que queda en el centro es 65. La mediana vale 65. Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 64 2 6563 Caso: La mediana
- 55. Moda La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.
- 56. La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite. Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla: Ejemplo. La moda es 41. Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45 Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7 El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41. Lo compran 35 personas La moda
- 57. Medidas de Dispersión El desvío estándar Es posible identificar conjuntos de datos que a pesar de ser muy distintos en términos de valores absolutos, poseen la misma media. Una medida diferencial para identificar esos conjuntos de datos es la concentración o dispersión alrededor de la media. Una manera de evitar que los distintos signos se compensen es elevarlas al cuadrado, de manera que todas las desviaciones sean positivas. La raíz cuadrada del promedio de estas cantidades recibe el nombre de desvío estándar, o desviación típica y es representada por la siguiente fórmula:
- 58. La Varianza El cuadrado de la desviación estándar recibe el nombre de varianza y se representa por La suma de los cuadrados de los desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto de la media aritmética de la distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los desvíos respecto de cualquier otro valor que no sea la media aritmética. Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío estándar al cuadrado. Precisamente la manera de simbolizarla es. Por lo mismo, el desvío estándar puede definirse como la raíz cuadrada de la varianza
- 59. 8 cm. Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos tienen la misma base). ¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos? ¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos? 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 9 = 72 9 = 8
- 60. El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros? ¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos? 8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8 9 = 72 9 = 8 ... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación? 8 cm. 10 cm 6 cm
- 61. El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio. 8 cm. 10 cm 6 cm Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos 0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0 Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.
- 62. 8 cm. 10 cm 6 cm Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar... 02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8 Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo dividimos por el número de rectángulos que es 9 02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 9 9 8 = 0,89
- 63. 8 cm. 10 cm 6 cm Se dice entonces que la varianza fue de 0,89 Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados. De manera que se define 0,89 0,943 La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar
- 64. 8 cm. 10 cm 6 cm Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo) en 0,943 centímetros. Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos que se “portaron bien”. La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del promedio
- 65. 8 cm. 10 cm 6 cm 4 cm 8 cm. 8 cm. 8 cm. 7 cm. 8 cm. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos? En primer lugar debemos calcular el promedio 8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8 9 = 7,44 Luego debemos calcular la varianza
- 66. 8 cm. 10 cm 6 cm 4 cm 8 cm. 8 cm. 8 cm. 7 cm. 8 cm. Promedio 7,44 0,56 -3,44 0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44 0,56 0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562 9 22,2224 9 = = 2,469Este es el valor de la varianza
- 67. 10 cm 8 cm. 6 cm 4 cm 8 cm. 8 cm. 8 cm. 7 cm. 8 cm. Promedio 7,44 Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de... 2,469 1,57 Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.
- 68. Para entender la varianza necesariamente debe saber: •Sumar •Restar •Multiplicar •Dividir •Potencia de orden 2 •Raíz cuadrada Y es claro que esto no es suficiente (salvo que queramos que aprenda de memoria los cálculos). Necesitamos estimular su imaginación para que “vea” la variabilidad existente en la naturaleza. Entregue una lista de fenómenos en que un mismo atributo tenga variabilidad si se mide este atributo a un número de individuos u objetos.
- 70. • La Dispersión hace referencia a la forma en que se dispersan o alejan las puntuaciones de una distribución o lista de puntajes 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 11 12 No.DEPERSONAS EDADES EDAD 0 2 4 6 8 10 12 14 5 6 7 8 9 10 11 12 MEDIA: 8.5 años
- 71. MEDIDAS DE DISPERSION • RANGO (Símbolo: R) • DESVIACIÓN MEDIA (Símbolo Dx) • DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA (Símbolo σ ó S) • VARIANZA (σ2 ó S2)
- 72. RANGO El Rango corresponde a la distancia entre el puntaje mayor (llamado valor máximo) y el puntaje menor (llamado valor mínimo). Rango = XMax – XMin
- 73. La siguiente tabla representa la pérdida de peso en libras, de un grupo de personas que se sometieron a un tratamiento durante el último año. Valor Máximo: 60 Valor Mínimo: 10 Rango = XMax – XMin = 60 - 10 = 50 3- 73 10 13 22 26 16 23 35 53 17 32 41 35 24 23 27 16 20 60 48 EJEMPLO
- 74. DESVIACIÓN MEDIA La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la La desviación media se representa por Dx
- 75. Varianza: Corresponde a la Desviación Estándar al cuadrado. Desviación Estándar o Típica: Indica cómo se dispersan los datos con respecto a la media. 3- 75 DESVIACION ESTANDAR Y VARIANZA Varianza: La media aritmética de las desviaciones cuadradas de la media. Desviación Estándar: Corresponde a la Raíz Cuadrada de la Varianza.
- 76. EJEMPLO • Calcular varianza y desviación estándar para los siguientes puntajes • 10 – 12 – 15 – 18 - 20 (X - )2 N = 2
- 77. EJEMPLO X 10 -5 25 12 -3 9 15 0 0 18 3 9 20 5 25 2 )( XX XX 15X 6,13 5 682 69,36,13
- 78. Varianza en Muestras (s2) s2 = (X - X)2 n-1 Desviación Estándar en Muestras (s) 2 ss 3- 78 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN MUESTRAS
- 79. RANGO En estadística, el rango representa la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. El rango nos muestra la distribución de los valores en una serie. Si el rango es un número muy alto, entonces los valores de la serie están bastante distribuidos. En cambio, si se trata de un número pequeño, quiere decir que los valores de la serie están muy cerca entre sí.
- 80. Cómo calcular el rango estadístico 1.- Haz una lista con los elementos de tu conjunto de datos. Para encontrar el rango de un conjunto, debes hacer una lista con todos los elementos para que puedas identificar los números más altos y los más bajos. Escribe todos los elementos. Los números de este conjunto son: 14, 19, 20, 24, 25 y 28. Puede ser más sencillo identificar el valor máximo y el valor mínimo en el conjunto si pones los números en orden ascendente. • En este ejemplo, acomodaremos los números de esta manera: 14, 19, 20, 24, 24, 25, 28. Al poner los elementos en orden también se te facilitarán otro tipo de cálculos, como encontrar la moda, la media o la mediana del conjunto.
- 81. 2.- Identifica los valores mínimo y máximo del conjunto. En este caso, el número más bajo del conjunto es 14 y el más grande es 25.
- 82. 3.- Réstale el valor mínimo del valor máximo. Ahora que has identificado el número más grande y el número más chico en el conjunto, lo único que debes hacer es restarlos. Resta 14 de 25 (25 - 14) para obtener 11, el rango del conjunto.
- 83. • 4.- Etiqueta claramente tu rango. Una vez que hayas encontrado el rango, etiquétalo con claridad. Esto te ayudará a evitar confundirlo con algún otro cálculo estadístico que tengas que hacer, como la media, la moda o la mediana. Fórmula
- 84. Intervalo • menciona la distancia o el espacio que hay de un lugar a otro o de un tiempo a otro. • Es la clasificación de los datos de una muestra en grupos definidos, también se le llama clase: • Ii = [a;b[ • donde a es el Límite inferior y b es el Límite superior. A este intervalo de clase pertenecen los datos x que cumplen la condición: a <= x <b
- 85. • NÚMEROS DE INTERVALOS DE CLASE (k) Para obtener un valor aproximado, podemos emplear la regla de ¨STURGES¨. • k = 1 + 3,3logN • donde N es el número de elementos de la muestra. • AMPLITUD DE IN INTERVALO DE CLASE (C) Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo determinado. • Ii = [a;b[, entonces C = b – a • También podemos aplicar: • Donde: R: Rango k: número de intervalos de clase
- 86. Amplitud • La amplitud total (AT) es la diferencia entre la puntuación de mayor valor y la de menor valor: La amplitud total es un estadístico muy sencillo y fácil de calcular, pero a menudo esta simplicidad es un inconveniente. Consideremos el siguiente ejemplo:
- 87. Los grupos A y B son bastante semejantes, pero no los coeficientes de amplitud. La diferencia en los coeficientes es ocasionada por la variación introducida por una sola puntuación con valor extremo, el 1000. Por esta razón es conveniente disponer de otras medidas más adecuadas. Principales características: Además de la ya señalada, el coeficiente de amplitud total no tiene en cuenta los valores entre extremos, que son los que determinan su valor.
- 88. Marca de clase La marca de clase es el punto medio de cada intervalo. La marca de clase es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros como la media aritmética o la desviación típica.
- 89. ¿Como calcular la marca de clase ? • Se calcula la marca de clase (Xi), que es el valor medio o promedio de cada intervalo, el cual sirve para facilitar el cálculo de algunas medidas de posición y de dispersión. • Una vez escogido el número de intervalos se determina la amplitud de cada clase o intervalo (C).
- 90. • Esta amplitud es igual al rango de los datos dividida en el número de intervalos. • El primer intervalo debe contener el menor valor de los datos y el último intervalo debe contener el mayor valor de los datos. • Se determina el número de intervalos o clase (K) que se utilizan para agrupar los datos. • En general se recomienda tener, hasta donde sea posible, tener entre 5 y 20 intervalos o clases.
- 91. En consideración • Sin embargo, si no se tiene seguridad del número de intervalos a utilizar, se puede aplicar la regla de Sturges, con la cual se obtiene una aproximación aceptable sobre el número de intervalos necesarios para agruparlos. • La regla de Sturges es una regla que permite calcular el numero de clase cuando se conoce el tamaño de la población o muestra.
- 96. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: Intervalos Marca de clase ( xi ) Frecuencia absoluta (fi ) xi · fi [10, 15) 12.5 3 37.5 [15, 20) 17.5 5 87.5 [20, 25) 22.5 7 157.5 [25, 30) 27.5 4 110 [30, 35) 32.5 2 65 21 457.5
- 98. Intervalos Marca de clase ( xi ) Frecuencia absoluta (fi ) xi · fi [0-10) 5 3 15 [10-20) 15 6 90 [20-30) 25 7 175 [30-40) 35 12 420 [40-50) 45 3 135 31 835
- 99. Intervalos Marca de clase ( xi ) Frecuencia absoluta (fi ) xi · fi [10, 20) 15 1 15 [20, 30) 25 8 200 [30,40) 35 10 350 [40, 50) 45 9 405 [50, 60) 55 8 440 [60,70) 65 4 260 [70, 80) 75 2 150 42 1 820 En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
- 100. Resolución de la mediana 1.-Ordenamos los datos de menor a mayor. 2.-Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Mediana = 5
- 101. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9,5 Existen dos métodos para el cálculo de la mediana: • Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos. • Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
- 102. • En los datos no agrupados la formula para calcular la Me= n/2 o Me=(n+1)/2 • En los datos agrupados la formula es
- 103. Mediana 1.- Encuesta a 179 estudiantes de su clase.
- 104. 2.- Encuesta de las edades de 250 alumnos, determinar la mediana.
- 105. Resolución de la mediana
- 106. • Me = Mediana • L i - 1 = Límite inferior de la clase de la mediana. • ni = Frecuencia de la clase de la mediana • N = Total de datos o frecuencias. • N i - 1 = Frecuencia acumulada anterior a la mediana.
- 107. Moda 1.Escribe los números de la serie de datos. 2.Ordena los números de menor a mayor.
- 108. 3.Cuenta el número de veces que se repite cada número. 4.Identifica el valor (o valores) que aparecen con mayor frecuencia ese será la moda.
- 109. • Ejemplo de moda para datos agrupados. De la tabla de distribución de frecuencias anterior calcular la moda de inasistencias