Estadística Probabilidades
- 1. Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal, con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la poblaciónde todaslas bombillas que produce esta empresa. Datos: 𝜎 = 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥̅ = 780 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑛 = 30 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 96% 𝑍 𝛼 2 = 2.06 𝑥̅ − 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 780 − 2.06 ∗ 40 √30 < 𝜇 < 780 + 2.06 ∗ 40 √30 764.95 < 𝜇 < 795.04 Una muestra aleatoria de l00 propietarios de automóviles muestra que, en el estado de Virginia, un automóvil se maneja, en promedio, 23,500 kilómetros poraño con una desviación estándar de 3900 kilómetros. Suponga que la distribución de las medicioneses aproximadamente normal. a) Construya un intervalo de confianza de 99% para el número promedio de kilómetros que se maneja un automóvil anualmente en Virginia. b) ¿Qué puede afirmar con99% de confianza acerca del tamaño posible de nuestro error, si estimamos que el número promedio de kilómetros manejadospor los propietariosde automóviles en Virginia es 23,500 kilómetros poraño? Datos: 𝜎 = 3900 kilómetros 𝑥̅ = 23,500 kilómetros 𝑛 = 100 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖 𝑜 𝑠 𝛼 = 99% a) 𝑍 𝛼 2 = 2.575 0.02 0.48 0.48 0.02 0.005 0.495 0.495 0.005
- 2. 𝑥̅ − 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 23,500− 2.575 ∗ 3900 √100 < 𝜇 < 23,500 + 2.575∗ 3900 √100 22,496 < 𝜇 < 24,504 b) 𝑒 < 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 𝑒 < 2.575 ∗ 3900 √100 = 1004 Una máquina produce piezasmetálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezasy los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el diámetro medio de las piezasde esta máquina. Suponga una distribución aproximadamente normal. Datos: 𝜎 = 0.0245 𝑥̅ = 1.005 𝑛 = 9 𝛼 = 99% 𝑍 𝛼 2 = 3.335 𝑥̅ − 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑍 𝛼 2 ∗ 𝜎 √ 𝑛 1.005 − 3.335 ∗ 0.0245 √9 < 𝜇 < 23,500+ 3.335∗ 0.0245 √9 0.978 < 𝜇 < 1.0319 Una muestra aleatoria de tamaño n1 = 25 que se toma de una poblaciónnormal conuna desviación estándar σ1 = 5 tiene una media 1 = 80. Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 36, que se toma de una poblaciónnormal diferente con una desviación estándar σ2 = 3, tiene una media 2 = 75. Encuentre un intervalo de confianza de 94% para μ1 – μ2. Datos: 𝑛1 = 25 𝜎1 = 5 𝑥̅1 = 80 0.005 0.495 0.495 0.005
- 3. 𝑛2 = 36 σ2 = 3 𝑥̅2 = 75 𝑛 = 100 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖 𝑜 𝑠 𝛼 = 94% 𝑍 𝛼 2 = 1.88 ( 𝑥̅1 − 𝑥̅2) − 𝑍 𝛼 2 ∗ √ 𝜎12 𝑛1 + 𝜎22 𝑛2 < 𝜇1 − 𝜇2 < ( 𝑥̅1 − 𝑥̅2) − 𝑍 𝛼 2 ∗ √ 𝜎12 𝑛1 + 𝜎22 𝑛2 (80 − 75) − 1.88 ∗ √ 25 25 + 9 36 < 𝜇1 − 𝜇2 < (80 − 75) + 1.88 ∗ √ 25 25 + 9 36 2.9 < 𝜇1 − 𝜇2 < 7.1 En un estudio que se lleva a cabo en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia sobre el desarrollo de ectomycorrhizal, una relación simbiótica entre las raíces de los árbolesy un hongo, en la cual se transfieren minerales del hongo a los árboles y azúcaresde los árboles a los hongos, se plantan en un invernadero 20 robles rojos con el hongo Pisolithus tinctorus. Todoslos árboles se plantan en el mismo tipo de suelo y reciben la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad no recibe nitrógeno en el momento de plantarlos para servir como control y la otra mitad recibe 368 ppm de nitrógeno en forma de NaN03. Los pesosde los tallos, que se registran en gramos, al final de 140 días se registran como sigue: SIN NITROGENO CON NITROGENO 0.32 0.26 0.53 0.43 0.28 0.47 0.27 0.49 0.47 0.52 0.43 0.75 0.36 0.79 0.42 0.86 0.38 0.62 0.43 0.46 0.03 0.47 0.47 0.03
- 4. Construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en los pesos mediosde los tallos entre los que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368 ppm de nitrógeno. Suponga que las poblaciones están distribuidas normalmente con varianzas iguales. DATOS SIN NITROGENO 𝑛1 = 10 𝜎1 = 0.07279 𝑥̅1 = 0.399 CON NITROGENO 𝑛2 = 10 σ2 = 0.1867 𝑥̅2 = 0.565 𝛼 = 95% 𝑡 = 2.101 ( 𝑥̅1 − 𝑥̅2) − 𝑍 𝛼 2 ∗ √ 𝜎12 𝑛1 + 𝜎22 𝑛2 < 𝜇1 − 𝜇2 < ( 𝑥̅1 − 𝑥̅2) − 𝑍 𝛼 2 ∗ √ 𝜎12 𝑛1 + 𝜎22 𝑛2 (0.399 − 0.565) − 2.101∗ √ 0.075792 10 + 0.18672 10 < 𝜇1 − 𝜇2 < (0.399 − 0.565) + 2.101∗ √ 0.075792 10 + 0.18672 10 (0.399 − 0.565) − 2.101∗ √ 1 10 + 1 10 < 𝜇1 − 𝜇2 < (0.399− 0.565) + 2.101 ∗ √ 1 10 + 1 10 0.033 < 𝜇1 − 𝜇2 < 0.299 0.005 0.495 0.495 0.005