Examen de la nueva selectividad de Matemáticas, modelo B
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Este documento presenta dos unidades de evaluación para una prueba de acceso a la universidad de matemáticas. La primera unidad trata sobre el Circuito Ricardo Tormo en Cheste y contiene información sobre el circuito y dos problemas relacionados con el trazado y la velocidad. La segunda unidad trata sobre estrellas mudéjares y contiene dos problemas relacionados con el cálculo de áreas y probabilidades en juegos basados en estas figuras.
Examen de la nueva selectividad de Matemáticas, modelo B
- 1. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 1.º de Bachillerato Curso 2022-2023 Matemáticas I B INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN Esta prueba consta de dos unidades de evaluación. Una unidad de evaluación consiste en un enunciado en el que se plantea una situación de la realidad y a continuación se proponen dos problemas y dos cuestiones. Después de leer atentamente las dos unidades de evaluación, deberá responder de forma razonada a ambas unidades eligiendo SOLO UN PROBLEMA de cada una de ellas. Además, deberá responder a las DOS CUESTIONES de cada una. En total tendrá que resolver dos problemas y responder a cuatro cuestiones. En la hoja de respuestas indique claramente el código de cada problema o cuestión que vaya a contestar. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Cada problema correctamente y completamente resuelto se valorará con 3 puntos. Cada cuestión correctamente respondida y razonada se valorará con 1 punto. La valoración de cada apartado se especifica en el enunciado. En esta página se recogen fórmulas que pueden ser necesarias para resolver el ejercicio. Puede que no sea necesario utilizar todas ellas. El separador decimal empleado en los enunciados es el punto. Puede emplearse cualquier tipo de calculadora, siempre que no disponga de conexión a Internet ni posibilidad de transmisión de datos. TIEMPO MÁXIMO PARA LA PRUEBA: 105 MINUTOS ALGUNAS FÓRMULAS Distancia entre dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2): d(A, B) = |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √v1 2 + v2 2 == √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Ecuación vectorial de la recta: A = (x1, y1) y 𝑣 = (v1, v2) (x, y) = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + λ · 𝑣 𝜆𝜖ℝ Ecuación paramétrica de la recta: 𝑟: { x = x1 + λ · v1 y = y1 + λ · v2 𝜆𝜖ℝ Ecuación continua de la recta: x − x1 v1 = y − y1 v2 Ecuación general de la recta: ax + by + c = 0 Ecuación explícita de la recta: y = m · x + n Velocidad: v = e t Forma cartesiana de un número complejo: z = (a, b) Forma binómica de un número complejo: z = a + b ∙ 𝑖 Forma polar de un número complejo: z = Módulo argumento (ángulo α) Forma trigonométrica de un número complejo: z = Módulo ∙ (cos α + 𝑖 ∙ sin 𝛼) En un triángulo rectángulo, si 0 < α < 90° sen α = cateto opuesto hipotenusa cos α = cateto contiguo hipotenusa tg α = cateto opuesto cateto contiguo
- 2. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I UNIDAD DE EVALUACIÓN: EL CIRCUITO RICARDO TORMO DE CHESTE El Circuito de la Comunidad Valenciana Ricardo Tormo es un autódromo situado en Cheste en la provincia de Valencia. Fue construido en el año 1999 y está previsto que, como mínimo, siga albergando el Gran Premio de la Comunidad Valenciana, prueba puntuable para el Campeonato del Mundo de Motociclismo, hasta 2023. Cuenta con una capacidad para 165 000 espectadores y tiene el nombre del campeón de motociclismo valenciano Ricardo Tormo, doble campeón del mundo de 50 cc. CÓDIGO CP1. CIRCUITO. PROBLEMA 1 Observe el plano del circuito a escala. Cuenta con un trazado principal de 4005 metros de longitud, una recta principal de, aproximadamente, 876 metros y 14 curvas (numeradas en el plano desde el punto de origen y final señalizado con la letra O). Según las informaciones de la prensa deportiva, Cheste es un circuito estrecho. Esta característica, junto con las curvas cerradas y las rectas cortas dificultan los adelantamientos. Este circuito presenta la velocidad media más baja de todos los circuitos en lo que se celebra el campeonato del mundo, con 157 km/h. Dani Pedrosa, el piloto con más victorias de este circuito, explica que es justo en el tramo de recta entre las curvas 11 y 12, delimitado por los puntos E y F, donde se puede lanzar ese último ataque para llegar a meta en primera posición cuando se disputa una carrera muy apretada. Imagen bajo licencia Creative Commons .Wikimedia Commons. Coordenadas adaptadas Con los datos anteriores: a) (1 punto) Verifique, a través de la información que aparece en el plano (segmento AB), que la longitud de la recta principal del circuito, delimitada por los puntos C y D, coincide aproximadamente con la que se da en la descripción del circuito. b) (1 punto) El dron que retransmite las imágenes necesita conocer la expresión algebraica de la ecuación de la recta que pasa por los puntos E y F. Construya la ecuación general de dicha recta. c) (1 punto) Calcule el tiempo (en segundos) del que disponen los pilotos para realizar un adelantamiento entre los puntos E y F, suponiendo que en ese tramo van a la velocidad media que presenta en este circuito (tiempo que tardarían en recorrer esa recta).
- 3. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I CÓDIGO CP2. CIRCUITO. PROBLEMA 2 En los boxes del circuito se han de instalar extractores de humos para que se pueda trabajar con seguridad. Se dispone de la siguiente información: Inicialmente existe una concentración de CO2 del 6 % en el box que va aumentando, pero que después de la puesta en marcha del extractor empieza a disminuir. En menos de 10 minutos de funcionamiento del extractor la concentración de CO2 en el box debe quedar por debajo del 5 %, que es la tasa recomendada para trabajar en condiciones de seguridad. A partir de ahí, debe permanecer siempre por debajo de dicha tasa. El extractor continúa funcionando mientras continúen las actividades en el box. Diferentes modelos de extractor de humos que existen en el mercado se publicitan con una gráfica de rendimiento en la que: en el eje horizontal se expresa el tiempo transcurrido, en minutos, desde que se pone en marcha el extractor, en el vertical se representa la tasa correspondiente de CO2, en porcentaje, existente en el local. Con la información anterior: a) (1,5 puntos) Represente una de las posibles gráficas del modelo de extractor que cumpla con las descripciones requeridas. Incluya la siguiente información: Escalas de los ejes de abscisas y ordenadas de gráfico, con las unidades convenientes. Dominio y recorrido de la función que describe la tasa de concentración de CO2 en el box. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Coordenadas del punto de máxima concentración de CO2 en el box. El instante en el que la concentración de CO2 es del 5 %. Si según la gráfica que ha dibujado el porcentaje de CO2 se estabiliza en algún momento y, en caso afirmativo, en qué valor. b) (1,5 puntos) María es muy aficionada a las carreras, por lo que va a inscribirse en un circuito de karts para practicar en la categoría que corresponde a su edad. Le han dado información sobre los precios en forma de gráfica. Construya una expresión algebraica que se corresponda con la gráfica representada y realice una breve explicación de la situación que está modelizando, prestando atención a las variables que se relacionan y la relación que existe entre ellas.
- 4. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I CÓDIGO CC1. CIRCUITO. CUESTIÓN 1 En los eventos y concentraciones como los de un Gran Premio de Motociclismo, en los que hay muchos desplazamientos por carretera, desde la Dirección General de Tráfico (DGT) se hace hincapié en la prudencia, la velocidad y el consumo de alcohol. La recomendación es no conducir nunca bajo los efectos del alcohol, por muy baja que sea su concentración en sangre. La siguiente tabla muestra los límites de concentración de alcohol en sangre permitidos por la DGT. Tasa de alcoholemia TIPO DE CONDUCTOR EN SANGRE Conductores en general 0,5 g /l Noveles y profesionales 0,3 g/l Tabla 1: límites establecidos por la normativa actual de la DGT Supongamos que la tasa de concentración en sangre viene dada, en general, por la función C(t) = 2,5 · t · e−t , tϵ[0, +∞) siendo t el tiempo en horas desde la ingesta de alcohol y C(t) la concentración de alcohol en sangre en g/l. La gráfica de la función es la siguiente: Se pide: (0,5 puntos cada tipo de conductor: 1 punto en total) ¿A partir de qué momento, tras la ingesta de alcohol, un conductor puede estar seguro de que no supera el límite establecido? Proporcione una respuesta para cada tipo de conductor. La respuesta debe ser lo más aproximada posible. CÓDIGO CC2. CIRCUITO. CUESTIÓN 2 Dos proveedores, Amotalia y Bemotos, proporcionan a la industria de la motocicleta 1400 y 1100 piezas de unas determinadas características, respectivamente. El 2 % de las piezas producidas por Amotalia y el 3 % de las de Bemotos son defectuosas. Se pide: a) (0,5 puntos) Complete la tabla: Piezas defectuosas Piezas no defectuosas Total Proveedor Amotalia Proveedor Bemotos Total 2500 b) (0,5 puntos) Calcule de forma razonada la probabilidad de que una pieza provenga del proveedor Amotalia sabiendo que es defectuosa.
- 5. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I UNIDAD DE EVALUACIÓN: ESTRELLA MUDÉJAR En el arte mudéjar se repiten diferentes motivos y patrones geométricos. Uno de ellos es la estrella mudéjar de 8 puntas que se muestra en la Figura 1: Figura 1: Detalle de la Catedral de Zaragoza en el que se aprecian estrellas mudéjares (fuente http://baulitoadelrte.blogspot.com/) Figura 2: Construcción de una estrella mudéjar a partir de dos cuadrados iguales Para generar el perfil de una de estas estrellas mudéjares, se pueden utilizar dos cuadrados del mismo lado, girando uno de ellos 45º como se observa la Figura 2. CÓDIGO EP1. ESTRELLA MUDÉJAR. PROBLEMA 1 En unas obras de restauración de la catedral se necesita volver a poner azulejos en una zona del muro que contiene estrellas mudéjares como las que se observan en la Figura 1 y que se esquematizan en la Figura 3. Estas estrellas se construyen a partir de dos estrellas mudéjares concéntricas de distinto tamaño. La parte interior de la pequeña se rellena de azulejos blancos y la parte que queda entre ambas se rellena con azulejos de color. Figura 3 Con la información anterior: a) (1,5 puntos) Calcule, en metros cuadrados, la superficie de la estrella exterior, basada en el cuadrado de 40 cm de lado. Observe la Figura 4 en la que se muestra que la estrella puede descomponerse de varias formas: un cuadrado y 4 triángulos; o 1 octógono y 8 triángulos, entre otras: Propuesta de descomposición 1 Propuesta de descomposición 2 Figura 4 b) (1,5 puntos) Para realizar la reforma se necesitan cinco piezas como las de la Figura 3 cuya parte exterior se basa en un cuadrado de 40 cm de lado y el interior de 30 cm de lado. Si los azulejos de color cuestan a 400 € el metro cuadrado y los blancos a 100 € el metro cuadrado, calcule el precio de la reforma. Observación: Si no ha resuelto el apartado anterior, suponga que el resultado de ese apartado fuera 0,25 m2 .
- 6. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I CÓDIGO EP2. ESTRELLA MUDÉJAR. PROBLEMA 2 Tras la restauración de la catedral, se procede a su reapertura al público. En la explanada frente a la misma, se han colocado suelo con baldosas de las siguientes formas: Figura A Figura B a) (1 punto) Al llegar hay algo de cola. Un cartel anuncia que el tiempo medio de espera es de 10 minutos. En una mañana ha habido 19 grupos de visitantes que han esperado, de media, 10.1 minutos. Si llega un último grupo, ¿cuánto debería ser el tiempo de espera para que realmente se cumpla la información sobre la media anunciada? b) (0,5 puntos) A los visitantes, se les propone un juego que consiste en tirar una ficha en una de las dos figuras A y B. Ganan un recuerdo si la ficha cae en la zona sombreada. Calcule de forma razonada la probabilidad de que la ficha caiga en la zona sombreada en cada una de las figuras e indique en cuál de ellas hay más probabilidad de ganar. Observación: considere que al lanzar la ficha cada uno de los equipos esta cae con toda seguridad sobre la figura que se le ha asignado, que la probabilidad de que caiga en toda la superficie es uniforme y que la ficha cae bien en zona sombreada o bien en no sombreada, no en zonas intermedias. c) (1,5 puntos) También se propone el siguiente juego de competición entre dos grupos: A cada grupo se le entrega una ficha y se le asigna una figura (A o B). El primer grupo lanzará una ficha sobre su figura. Si cae en la zona sombreada, gana la partida. Si cae en la zona no sombreada, el turno pasa al otro grupo, que tira su ficha sobre su figura. Si la ficha cae en la zona sombreada, gana la partida. En caso contrario termina el juego con empate. El equipo que lanza primero su ficha juega con la figura con menor probabilidad de sombra. Razone cuál de los dos equipos tiene mayor probabilidad de ganar, el que juega con la Figura A o el que juega con la Figura B.
- 7. PILOTO DE LA PRUEBA PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD Matemáticas I CÓDIGO EC1. ESTRELLA MUDÉJAR. CUESTIÓN 1 Los arquitectos que planifican la reforma necesitan conocer las coordenadas de varios puntos para hacer los planos. Han representado una estrella en unos ejes de coordenadas, como se muestra en la Figura 5. La figura se ha girado respecto al eje horizontal. Como habrá observado, los puntos A, B, C, D, E, F, G y H forman un octógono regular, como se muestra en la Figura 5. Las coordenadas del punto A son (18.35, 11.47). Como usted sabe, los vértices de un octógono son los afijos(*) de las raíces octavas de un número complejo. a) (0,25 puntos) Calcule el ángulo que forma el eje de abscisas con el segmento OD (argumento del número complejo cuyo afijo es D). b) (0,5 puntos) Calcule el módulo de OD ⃗⃗⃗⃗⃗ (módulo del número complejo cuyo afijo es D). Escriba el número complejo cuyo afijo es D en forma polar. c) (0,25 puntos) Calcule las coordenadas cartesianas de D. (*) Afijo: punto del plano que representa las coordenadas cartesianas de un número complejo. Figura 5 CÓDIGO EC2. ESTRELLA MUDÉJAR. CUESTIÓN 2 (1 punto) Para los actos conmemorativos de uno de los centenarios de la catedral, la ciudad ha decidido decorar las calles con distintos elementos geométricos. Un tipo de piezas que se colgarán sobre las calles consiste en perfiles metálicos con forma de polígono regular. Las diagonales de los polígonos se adornarán con cintas de colores. Una de las siguientes fórmulas proporciona el número cintas que se necesitarán para decorar cada uno de los aros poligonales según el número de lados que tenga, al que denominamos n. Seleccione la fórmula que representa el número de cintas necesarias según el número de lados del polígono. Solo una respuesta es correcta. Razona la respuesta. A. (n − 3) ⋅ (n − 2) B. n⋅(n−3) 2 C. (n−1)⋅(n−2) 3 D. (n − 3)2 ⋅ (n − 2)