Fracciones y racionales
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1) Una fracción representa la división de dos números enteros, el numerador y el denominador. 2) Las fracciones pueden representar parte-todo, cociente, operador y razón. 3) Existen fracciones propias, impropias, mixtas, unitarias, decimales y equivalentes.
Fracciones y racionales
- 1. Concepto de fracción Unidad fraccionaria La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes iguales. Concepto de fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma: b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. a, numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas. Representación de fracciones 1
- 2. La fracción como partes de la unidad Un todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Un depósito contiene 2/3 de gasolina. El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo número en el nu merador y el denominador. 2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina. La fracción como cociente Repartir 4 € entre 5 amigos. La fracción como operador Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador. Calcular los 2/3 de 60 €. 2 · 60= 120 120 : 3 = 40 € La fracción como razón y proporción Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cad a cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas. 2
- 3. Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un n úmero y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno). Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa? 35 · 10 = 350 350 : 100 = 3.5 35 − 3.5 = 31.5 € Clasificación de fracciones Fracciones propias Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor comprendido entre cero y uno Fracciones impropias Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1. Número mixto El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto. 3
- 4. Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo. Fracciones unitarias Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador. Fracciones decimales Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios. a y d son los extremos; b y c, los medios. Calcula si son equivalentes las fracciones: 4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 Sí 4
- 5. Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar. Simplificar fracciones Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número. Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes. Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador. Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible. Fracciones irreducibles Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, . 5
- 6. Reducción de fracciones a común denominador Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello: 1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. 12 = 22 · 3 9 = 32 m.c.m.(3. 12. 9) = 22 ·32 = 36 Ordenar fracciones Fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador. Fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador. Con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a común denominador. 6
- 7. Es menor la que tiene menor numerador. Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por . Representación de números racionales Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros. 7
- 8. Para representar con precisión los números racionales: 1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. 2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes. 3Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar. En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos. Suma y resta de fracciones Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. 8
- 9. Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores. División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios. . Potencias de fracciones Potencias de exponente entero y base racional 9
- 10. Propiedades 1. 2. 3. Producto de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. 4. División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. 10
- 11. 6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. Operaciones combinadas con fracciones Prioridades 1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales . 2º.Calcular las potencias y raíces 3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 4º.Efectuar los productos y cocientes. 5º.Realizar las sumas y restas. 11
- 12. Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis. Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. Realizamos el producto y lo simplificamos. Realizamos las operaciones del paréntesis. Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. Fracción generatriz Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos: Pasar de decimal exacto a fracción Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. 12
- 13. Pasar de periódico puro a fracción generatriz Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período. Pasar de periódico mixto a fracción generatriz Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. 13