Función cuadrática
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El documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo cómo calcular los puntos de corte e igualando la función a cero y cómo determinar el vértice reemplazando en la función. También cubre la monotonía de las funciones cuadráticas y cómo determinar si son crecientes o decrecientes en diferentes intervalos, dependiendo de si x es mayor o menor que el vértice xM. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los conceptos.
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Función cuadrática
- 3. FUNCIÓN CUADRÁTICA La función cuadrática es una función de segundo grado (x²) representa en el plano cartesiano una curva abierta y simétrica. 3 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 𝑎 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
- 4. FUNCIÓN CUADRÁTICA Para calcular los puntos de corte se iguala la función a cero. 4 Puntos de corte 0= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Vértice Primero se calcula la posición en x del vértice y luego se reemplaza en la función para determinar la coordenada en y del vértice. 𝑥 𝑀 = − 𝑏 2𝑎 𝑦 𝑀 = 𝑎𝑥 𝑀 2 + 𝑏𝑥 𝑀 + 𝑐
- 5. FUNCIÓN CUADRÁTICA EJEMPLO 5 Calcular los puntos de corte y el vértice de la siguiente función cuadrática. Puntos de corte 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑥2 − 6𝑥 + 5=0 𝑥 − 5 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 5 𝑥 = 1 Vértice 𝑥 𝑀 = − 𝑏 2𝑎 𝑥 𝑀 = − −6 2(1) 𝑥 𝑀 = 3 𝑦 𝑀 = 𝑎𝑥 𝑀 2 + 𝑏𝑥 𝑀 + 𝑐 𝑦 𝑀 = (3)2−6(3) + 5 𝑦 𝑀 = −4
- 6. MONOTONÍA FUNCIÓN CUADRÁTICA Son los intervalos en los cuales la función es creciente o decreciente. 6 𝑥 𝑀 𝑥 𝑀 De (−∞, ሿ𝑥 𝑀 la función decrece De ሾ 𝑥 𝑀, ∞) la función decreceDe ሾ 𝑥 𝑀, ∞) la función crece De (−∞, ሿ𝑥 𝑀 la función crece
- 7. FUNCIÓN CUADRÁTICA EJEMPLO 7 Determinar el dominio donde la función 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 + 5 es creciente: 𝑥 𝑀 = − 𝑏 2𝑎 𝑥 𝑀 = − 6 2(−1) 𝑥 𝑀 = 3 De (−∞, ሿ3 la función crece 𝑥 𝑀
- 8. EJEMPLO DE APLICACIÓN 8 Una cocina solar de forma parabólica se fabrica siguiendo la ecuación: 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 24 y está montada sobre un mesón cuyo borde coincide con el eje de las abscisas. Si todas las medidas están dadas en metros, determine la profundidad que deberá tener el mesón para que la cocina quepa perfectamente. 𝑥 𝑀 = − 𝑏 2𝑎 𝑥 𝑀 = − −10 2(1) 𝑥 𝑀 = 5 𝑦 𝑀 = (5)2 −10(5) + 24 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 24 𝑦 𝑀 = 25 − 50 + 24 𝒚 𝑴 = −𝟏
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