![Concavidad Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con observar el coeficiente del primer término ( a ), es decir el término que tiene la variable elevada al cuadrado. Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo. *Análisis Completo de la función cuadrática Conjunto Imagen En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞). Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv]](https://image.slidesharecdn.com/funcincuadrtica-111013163439-phpapp02/85/Funcion-Cuadratica-8-320.jpg)
Función Cuadrática.
- 1. Dolz, Pablo Joaquín. I.S.F.D Nº 107, Cañuelas. Bs. As. Argentina. Año 2011. Función Cuadrática
- 2. Función cuadrática Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresa, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Además de características geométricas de la parábola son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los espejos parabólicos en los faros de los coches y en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite presentan también este tipo de diseño.
- 3. Características Una función de la forma f (x) = a x ² + b x + c con a , b y c pertenecientes a los reales y a distinto de 0 , es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
- 4. Ciertos elementos que la identifican
- 5. Raíces Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0 , es decir los valores de x tales que y = 0 . Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x . Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en: Ninguna raíz Una raíz Dos raíces
- 6. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f(x) = 0 , entonces ax² + bx +c = 0 Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula: Al resultado de la cuenta b ² - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación , esta operación presenta distintas posibilidades: Si b ² - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. Si b ² - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b ² - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.
- 7. Simetría La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea Vértice El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría. Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función. En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba. El vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:
- 8. Concavidad Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con observar el coeficiente del primer término ( a ), es decir el término que tiene la variable elevada al cuadrado. Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo. *Análisis Completo de la función cuadrática Conjunto Imagen En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞). Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv]
- 9. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son decrecientes.Si a>0 , la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ∞) , y decreciente en el intervalo (-∞;xv). Si a<0 , la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞;xv) , y decreciente en el intervalo (xv;-∞). Conjunto de Positividad y Negatividad Las raíces reales de una función, si es que existen, nos permitirán determinar los intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es negativa. Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es positiva, es decir, donde f(x)>0 . Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0. Máximo o mínimo Si a>0 la ordenada del vértice (yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lo toma en xv . Si a< 0 la ordenada del vértice (yv) es el valor máximo que alcanza la función,lo toma en xv . Se lo llama extremo.
- 10. Expresiones de la función cuadrática a, x1, x2 f(x) = a ( x - x1 ). ( x - x2) Factorizada a, xv, yv f(x) = a ( x - xv ) ² + y v Canónica a, b, c f(x) = a x ² + bx +c Polinómica Parámetros Expresión Forma