Funcionalidad de los materiales didácticos en el aprendizaje de la geometría

Funcionalidad de los materiales
didácticos en el aprendizaje de
la geometría
Por: Gaby Lili Cabello Santos
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La geometría constituye el prototipo de una teoría axiomática, es reconocida uni-
versalmente. Sobre ello, en el siglo pasado y específicamente durante las últimas
décadas como aseveró Jean Dieudonné en el ICME 4 (Berkeley, 1980), la geometría
“exclamando desde sus estrechos confines tradicionales ha revelado sus poderes
ocultos y su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en
una de las herramientas más universales y útiles en todas las partes de las mate-
máticas” (J. Dieudonné: The Universal Domination of Geometry, ZDM 13 (1), pág.
5-7 (1981)).
De otro lado, con relación al arte de ensenar, la didáctica, todavía en la actualidad
se registran vacíos, inseguridades y dificultades por parte del docente en cuanto
a la aplicación de los medios, métodos y técnicas adecuadas para aprender sig-
nificativamente la ciencia exacta, la matemática. En tal sentido, Chevallard (1991)
afirma que la didáctica es el corazón en la formación todo maestro y, Briones (Uni-
versidad de Chile, 2002) luego de su vasta experiencia en cuanto a Didáctica de la
Matemática sostiene, “a las matemáticas ¡por la geometría!”.
Teniendo como base los tópicos anteriores, consideramos que la “funcionalidad”
forma parte del proceso de enseñanza-aprendizaje, es decir los contenidos deben
mostrar su sentido de funcionalidad; el estudiante ha de saber para qué le sirve lo
que estudia a fin de encontrar la utilidad de la materia para la solución de sus pro-
pios problemas. En consecuencia, cuando hablemos de “funcionalidad” nos refe-
rimos a todo objeto o medio que se “diseña o construye”, para un fin determinado;
cumplir los objetivos educacionales y estos objetivos se realizan mediante tareas
y, finalmente, de estas tareas se derivan las funciones.
Los materiales o recursos didácticos adecuados cobran una especial importan-
cia en su faceta de motivadores del proceso formativo del niño y niña dado que
fomentan la exploración, manipulación y comprensión; de modo tal que, efectiva-
mente, favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas.
Sin más preámbulos, desarrollaremos los siguientes tópicos, la geometría y su
importancia, modelo de enseñanza de la geometría, importancia de los materiales
didácticos en el aprendizaje de la geometría, aprendiendo geometría con mate-
riales didácticos, aproximación de las nuevas tecnologías y herramientas para la
geometría; por ultimo las conclusiones y la bibliografía pertinente.
Introducción

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1. Geometría y su importancia
La Geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y, es par-
te de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte,
la geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formaliza-
ción que se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes
de rigor, abstracción y generalidad.
Veamos a continuación las razones que justifican el aprendizaje de la geometría:
En lo cognoscitivo,
• Otorga significado al hecho que la realidad tiene distintos posibles puntos
de vista para su análisis (proyectivo, de coordenadas o métrico).
• Permite reconocer las diferencias y similitudes como características de los
objetos (propiedades geométricas como paralelismos e igualdades)
• Identifica el valor de las clasificaciones como parte de un proceso de con-
ceptualización (triángulos, cuadriláteros, etc.) y las jerarquías.
• Observa el papel de las definiciones como forma de integrar y caracterizar
el conocimiento, estableciendo el juicio de validez o no de la definición, re-
conociendo el problema de los estereotipos. A todo ello le dedicamos cua-
tro horas aproximadamente, de las cuales dos se dedican a la clasificación.
• Su enseñanza serviría de apoyo en el aprendizaje de otras disciplinas ma-
temáticas, como el ´algebra, por ejemplo.
En lo procedimental,
• Reanalizamos el valor de lo visual en lo cotidiano (geometría intuitiva del
entorno), utilizando el diseño como actividad que sirve de colofón para reco-
nocer lo geométrico en lo funcional, lo estético o como una forma descrip-
tiva especial (hasta llegar a distinguir forma y movimiento); Identificamos
la visualización y representaciones desde el ejemplo de las proyecciones
paralelas que no llegan a definirse, y saber mirar los cortes diferentes de un
cubo. Para ello, se usan elementos manipulativos, descripciones verbales
y construcciones con plastilina, arcilla o barro. Se generalizan algunas ca-
racterizaciones de relaciones geométricas en poliedros como problemas

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Construcción de la sección cónica circunferencia
por medio del uso del geoplano con estudiantes
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de incidencia y descomposición.
• Reconocemos el valor de codificación de representaciones distintas de lo
real (cortes, generaciones, etc.).
• Proponemos la producción de imágenes sobre contenidos como simetría
axial, del que nos preocupamos de recordar como sirve para generar los
movimientos de traslación y giro mediante doblado de papel y uso de es-
pejos.
• Identificamos, mediante la lectura de dos artículos cómo funcionan los
movimientos como las ampliaciones y reducciones (Castelnuovo, E. 1981)
que se relacionan con la idea de proporcionalidad mediante el análisis de
las tareas de Thales y Eratóstenes y consideramos la idea de limitaciones
(Fielker, D.S 1979) en la construcción de conocimiento geométrico.
En lo actitudinal,
• Despertamos el interés y curiosidad del niño por su medio y desarrollamos
su capacidad de observación.
• Promovemos la recreación y fomentamos el desarrollo de actitudes positi-
vas para sus aprendizajes.
• Permite la socialización y desarrollo de una escala de valores mínimos
como: la solidaridad, responsabilidad, libertad, creatividad, entre otros.
2. Modelo de enseñanza de la Geometría
El modelo metodológico seguido tanto en la elaboración como en la experimenta-
ción de los materiales está inspirado en el modelo de la Escuela de Van Hielen. Este
modelo fue diseñado para la enseñanza de la geometría.
Se admite en todos los casos que la manipulación es un elemento clave que hace
que los niños se sienten felices, productivos y libres en el desarrollo de tareas
geométricas: “... contribuyo´ a crear un ambiente en el que se veían ganas de jugar
y probar nuevas cosas”.
La secuenciación de actividades dentro de una misma experiencia se ajusta a los
niveles y fases del citado modelo:

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2.1. Primera fase: Información-pregunta
El docente y los estudiantes toman contacto con el material y los objetos a estu-
diar. Se hacen las primeras preguntas y se realizan las primeras observaciones,
surgen las primeras cuestiones y se introduce el vocabulario específico. El objetivo
de las actividades de esta fase es doble:
- Por una parte le deben servir al profesor para conocer los conocimientos previos
de los alumnos.
- En segundo lugar permitirán a los alumnos saber la dirección del estudio a seguir.
2.2. Segunda fase: Orientación dirigida
Los estudiantes exploran el tópico propuesto utilizando el material según las orien-
taciones del docente. Las actividades permitirán descubrir a los estudiantes las
propiedades de los objetos o ideas matemáticas exploradas.
2.3. Tercera fase: Explicación
Los estudiantes construyen y expresan sus propios descubrimientos. El docente
realizara´ las correcciones de lenguaje necesarias.
2.4. Cuarta fase: Orientación libre
Los estudiantes realizan tareas más complicadas pudiendo ellos mismos orientar
sus investigaciones más o menos abiertas, utilizando otros materiales comple-
G
MODELO
VAN HELEN Información-pregunta
Orientación dirigida
Explicación
Orientación libre
Integración

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mentarios. Habrán de explicar y justificar sus resultados.
2.5. Quinta fase: Integración
Los estudiantes revisan los resultados y se forman una idea global de las rela-
ciones y propiedades aprendidas. El docente ayudara´ a realizar esta síntesis de
conocimientos.
3. Importancia de los materiales didácticos en el aprendizaje
de la Geometría
La Geometría vista desde los ángulos de la pedagogía y didáctica, los docentes
se esfuerzan por presentar sus lecciones a los estudiantes de la forma más inte-
resante con la finalidad de lograr mejores éxitos. Indudablemente que para lograr
este propósito, entre otras cosas, deben hacer un uso adecuado de los materiales
didácticos, entonces ¿qué entendemos por material didáctico? y ¿cuáles son las
razones que justifican su intervención en la clase de geometría?
Al respecto, Gimeno Sacristán (1992) afirma, “...instrumento u objeto que pueda
servir como recurso para que, mediante su manipulación, observación o lectura
se ofrezcan oportunidades de aprender algo, o bien con su uso, se intervenga en
el desarrollo de alguna función de la enseñanza”; y, con relación a las razones que
justifican su valía y participación en el proceso de aprendizaje, tenemos:
a. Es un medio que estimula y orienta el proceso aprendizaje del estudiante, permi-
tiéndole la adquisición de información y experiencias; el desarrollo de actitudes y
adopción de normas de conducta, de acuerdo a los objetivos que se quieren lograr.
b. Forma parte de los procesos comunicativos que se dan en la enseñanza.
c. Ofrecen a los alumnos experiencias de conocimiento difícilmente alcanzables
por la lejanía en el tiempo y en el espacio.
d. Son potenciadores de habilidades intelectuales en los alumnos.
e. Son el vehículo expresivo para comunicar las ideas, sentimientos, opiniones de
los alumnos.
f. Representan el recurso muy satisfactorio para el docente creativo. En este caso
la satisfacción es triple: diseñar y elaborar los materiales que se necesitan, obser-
var que se facilita el aprendizaje y atestiguar la satisfacción del propio educando a

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medida que ha dominado las tareas inmediatas.
g. Son recursos facilitadores de aprendizajes académicos, sino también deben
convertirse en objeto de conocimiento para los alumnos.
h. Contribuyen al logro de los objetivos educacionales de una forma más agra-
dable, amena y objetiva.
En síntesis, los materiales didácticos en la clase de matemática cumplen un rol
importante, dado que se educa al niño en base a lo concreto y se desarrolla su in-
teligencia potenciando sus operaciones mentales de observación, manipulación y
experimentación; del mismo modo, permite establecer relaciones de comparación
para así poder obtener sus propias conclusiones en forma significativa.
4. Aprendiendo Geometría con materiales didácticos
Luego de puntualizar la valía y participación del material didáctico en las sesiones
de aprendizaje de la matemática en especial en el nivel básico y fundamental, la
Educación Primaria, en donde somos conscientes que los niños y niñas requieren
de actividades significativas innovadoras que le ayuden a comprender y asimilar con
eficacia y agrado la diversidad de los contenidos matemáticos; proponemos a conti-
nuación algunas actividades recreativas y significativas que promuevan el desarro-
llo de su pensamiento lógico matemático y demás habilidades en los niños y niñas.
Cabe destacar, que si bien los materiales didácticos (bloques lógicos, geo plano,
tangram y origami) registran notoriedad en el tiempo y en el espacio, todavía en la
actualidad se ha constatado en las sesiones de aprendizaje de los centros educa-
tivos estatales de las zonas urbanas y rurales, la ausencia del material didáctico,
el desconocimiento de su funcionalidad y; apatía en muchos docentes que tienen
bajo su responsabilidad la enseñanza de la matemática (MECEP, 1998,1999, 2000
y 2001); en tal sentido, se ha desarrollado experiencias piloto de capacitación do-
cente a cargo de la instancia máxima, Ministerio de Educación del Perú, univer-
sidades e instituciones educativas para difundir la existencia de ellos así como
su funcionalidad en la clase de matemática y sus ventajas que se derivan, pero
lo cierto, es que todavía existen un porcentaje de docentes que desconocen su
utilidad, sentido y funcionalidad, es por tal motivo, que en concordancia con las
demandas educativas revaloramos el rol de los materiales didácticos y sus impli-
cancias positivas.

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4.1. Bloques lógicos
Los bloques lógicos material concreto que adoptan formas geométricas en car-
tón o madera facilitan la representación de nociones conjuntistas y de lógica, fue
creado por Dienes.
“Consta de 24 o´ 48 piezas, las variables contempladas son:”1
Competencias
Con este material los niños:
• Reconocen colores, tamaños, grosores y formas.
• Clasifican de acuerdo criterios (uno, dos, tres o más).
• Establecen semejanzas y diferencias al compararlos.
• Forman series siguiendo distintas reglas.
• Se aproximan al concepto de número.
• Se Inician en el juego de reglas.
• Realizan muchos juegos lógicos.
• Establecen la relación de pertenencia a conjuntos.
• Emplean los conectivos lógicos (conjunción, negación, disyunción, implicación).
• Definen elementos por la negación.
Variables Valores
Color
Forma
Tamaño
Grosor
Rojo, amarillo, azul.
Cuadrado, circulo, triángulo y rectángulo.
Grande y pequeño.
Grueso y delgado.

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4.2. El geoplano
“Existen diferentes versiones. El geoplano de madera
consta de un tablero de 20 centímetros cuadrados por 2
cm. De grosor con 25 clavos pequeños distribuidos en 5
filas y 5 columnas separados entre sí por 4 centímetros.
Se requiere ligas o trozos de lana de diferentes colores
para armar las figuras.”
Competencias
Cuando los niños interactúan con este material desarrollan las siguientes capaci-
dades:
• Construyen figuras geométricas, en forma libre o partir de modelos dados.
• Reconocen y describen figuras geométricas y las relacionan con objetos de
su entorno.
• Reconocen propiedades de las figuras geométricas básicas.
• Identifican polígonos regulares y encuentran sus características.
• A partir de las construcciones que realizan redactan cómo encontraron cier-
tas propiedades de lados y diagonales, de cuadriláteros y otros polígonos.
• Diseñan guardillas y mosaicos a partir de diferentes figuras geométricas.
• Relacionan los vértices de las figuras con puntos de un plano usando el
primer cuadrante cartesiano.
• Realizan traslaciones, rotaciones, ampliaciones, reducciones y simetrías de
diferentes figuras.
• Formulan y resuelven problemas relacionados con figuras geométricas a
partir de situaciones de la vida cotidiana.
4.3. El tangram
El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado “Chi
Chiao Pan” que significa “juego de los siete elementos” o
“tabla de la sabiduría”.
Se considera como un rompecabezas geométrico tiene
siete piezas. La dinámica consiste en que las piezas al

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unirlas pueden formar un cuadrado, un triángulo, un rectángulo, un trapecio, un
romboide y tantas figuras como se puede imaginar.
Hoy en día el Tangram no se usa solo como un entretenimiento, se utiliza también
en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía.
Competencias
Permite que los niños:
• Desarrollen la concentración, memoria y creatividad.
• Identifiquen las formas geométricas básicas.
• Identifiquen tamaños (grande, mediano y pequeño).
• Conciban la noción de mitad, cuarta, etc.
• Fijen la noción de número.
• Desarrollen secuencias lógicas.
• Armen siluetas de objetos, frutas, animales y gestos personas.
• Determinen la noción de simetría y asimetría.
• Fijen los conceptos de líneas paralelas, perpendiculares, punto medio de un
segmento, y diagonales de un cuadrado.
4.4. El origami
“Origami”, es el arte japonés del plegado de papel, viene de
las palabras Japonesas “ori” que significa plegado, y “gami”
que significa papel. El Origami es una ocupación apasionante
para aquel que siente placer en las figuras y las formas, tam-
bién apropiado como ocupación de grupo, sirve para ayuda y
estimulo ya sean niños, jóvenes o adultos. Su gran ventaja es
sin dudas el material empleado, solamente “papel”.
Muchos de nosotros recordara´ vasos plegados, el salero-
pimentero y globos de papel, cajitas, y por supuesto el “pá-
jaro aleteador” hechos alguna vez en la escuela.
Competencias
Permite que los niños:

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• Despierten su curiosidad por su medio.
• Desarrollen la concentración, memoria y creatividad.
• Adquieran motricidad.
• Entiendan las consignas y sigan la secuencia lógica para plegar.
• Discriminen formas, tamaños y colores.
• Conciban la noción de mitad, cuarta.
• Perciben los grosores y pliegues.
• Compartan con sus compañeros experiencias.
5. Aproximación de las nuevas tecnologías y herramientas
para la Geometría
Hay una larga tradición de matemáticos que hacen uso de herramientas tecno-
lógicas y recíprocamente, el uso de estas herramientas ha hecho surgir nuevos
retos en problemas matemáticos (por ejemplo, la regla y el compás para las cons-
trucciones geométricas, los logaritmos y los instrumentos mecánicos para los
cómputos numéricos). En años recientes la nueva tecnología, y en particular las
computadoras han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra so-
ciedad. Muchas actividades tradicionales se han vuelto obsoletas mientras que
nuevas profesiones y nuevos retos emergen. Por ejemplo, el dibujo técnico ya no
se hace a mano. En su lugar uno usa software comercial, plotters y otros acce-
sorios tecnológicos. CAD-CAM y software para ´algebra simbólica están amplia-
mente disponibles.

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Las computadoras han hecho posible la construcción de “realidades virtuales”
y la generación de animaciones interactivas o cuadros maravillosos (por ejem-
plo, imágenes fractales). Más aún, los accesorios electrónicos pueden ser usados
para lograr experiencias que en la vida cotidiana son inaccesibles, o accesibles
solamente a través de trabajo sumamente tedioso y que generalmente consume
muchísimo tiempo.
Por supuesto, en todas estas actividades la geometría está profundamente in-
volucrada tanto para promover la habilidad de usar herramientas tecnológicas
apropiadamente, como para interpretar y entender el significado de las imágenes
producidas.
Las computadoras pueden también ser usadas para obtener un entendimiento
más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamen-
te diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular
las construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los
elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen
fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una presen-
tación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus inva-
riantes.
Hasta ahora, la práctica escolar ha sido solo marginalmente influida por estas in-
novaciones. Pero en el futuro cercano es posible que al menos algunos de estos
tópicos encontrarán su camino dentro de la curricular. Esto implicaría en grandes
términos los siguientes cuestionamientos: ¿Cómo afectaría el uso de las com-
putadoras la enseñanza de la geometría, sus propósitos, sus contenidos y sus
métodos?, ¿Serán preservados los valores culturales de la geometría clásica, o
estos evolucionaran, y cómo?, estas y otras interrogantes son motivo de nuestra
preocupación y que esperamos abordarla en una próxima comunicación.
6. Conclusiones
• La Geometría constituye uno de los medios eficaces para aprender la matemá-
tica en forma experimental, recreativa y reflexiva.
• La Geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de
nuestras actuales sociedades (producción industrial, diseño, arquitectura, to-
pografía, etc.).

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• La manipulación es un elemento clave del aprendizaje con los niños, ellos se
sienten felices, productivos y libres en el desarrollo de tareas geométricas.
• El material que se elabora y utiliza con propiedad, es considerado como educa-
tivo por las derivaciones de esta índole que tiene su aplicación en la enseñanza,
sobre todo, en lo que atañe a la educación intelectual y, en términos generales,
respecto del desarrollo y la formación del alumno.
• Existen muchos materiales educativos diseñados y elaborados para el área
lógico-matemática pero en la actualidad son pocos los docentes del nivel que
conocen y manejan tanto creativamente y adecuadamente en el proceso ense-
ñanza-aprendizaje.
• Los materiales didácticos como por ejemplo: los bloques lógicos, geoplano,
tangram y el origami constituyen los facilitadores y potenciadores de habilida-
des intelectuales en lo referido a la Geometría.
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