Funciones reales

Objetivos Contenidos
Interpretar el Concepto de
concepto de relación.
variable Variables
dependiente y de dependientes,
variable variables
independiente en independientes.
las relaciones.

Ejemplo:
Si se paga a 800 colones la hora. El salario
de un trabajador depende de las horas
que trabaje.

El salario será igual a 800 por el número
de horas trabajadas.

Si S = salario y h = horas trabajadas
entonces:
S 800 h

Variable Variable
Dependiente Independiente

Esto significa que el valor de la
variable S depende del valor del
variable h, porque entre más horas
trabaje mayor es su salario.

 Es una relación que se establece entre
dos conjuntos por medio de la cual a
uno o varios elementos del primer
conjunto se le asigna o asocia uno o
varios elementos del segundo
conjunto.

Nota: Estefany no compró nada,
situación que puede ocurrir en una
correspondencia.

Objetivos Contenidos
Determinar el Dominio, codominio,
dominio, codominio, ámbito, imagen,
ámbito, imagen y preimagen y
preimagen de notación de
funciones. funciones.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una
función f de A en B es una ley, regla o
correspondencia que a cada elemento de
A, le hace corresponder uno y sólo un
elemento de B.

 Alconjunto A se le llama dominio y al
conjunto B se le llama codominio de la
función.

A los elementos del dominio se les llaman:
Preimágenes
 A los elementos del codominio se les
llaman: Imágenes
 Al conjunto de imágenes que es
subconjunto del codominio se le llama:
Rango o Ámbito.

A cada elemento del conjunto A le debe
corresponder algún elemento del
conjunto B, el cual debe ser único.

 No necesariamente todos los elementos
del conjunto B deben corresponder a
algún elemento de A. Es decir pueden
sobrar elementos en el conjunto B.

Se lee como: la función f está definida
del conjunto A al conjunto B, donde A es
el conjunto de partida y B el conjunto de
llegada

Una función describe la dependencia de una
cantidad respecto de otra. Por lo que los
elementos de una función se representan por
medio de pares ordenados, la primer
cantidad pertenece al dominio y la segunda al
codominio. La forma general de representar
un elemento de una función es:

La x es la preimagen de f(x), y f(x) es la imagen
de x, por lo que:

 Si 3 es la imagen de 2, en forma simbólica,
por la función p, se expresa: p(2) 3

 La expresión m( 5) 8 significa que:
* 8 es la imagen de –5 por la función m
ó
* -5 es la preimagen de 8 por la función m

Dominio {a,b,c,d}

Codominio {1,2,3,4,5}

Ámbito {2,3,4,5}

Preimágenes {a,b,c,d}
Imágenes {1,2,3,4,5}
Función g:A -> B
g(b) 5

g(d) 2
La preimagen de 4 a

a) 8 es la preimagen de 10 por medio de la
función t: ____________________

b) m es la preimagen de a por medio de la
función g: ____________________

c) –5 es la imagen de 4 por medio de la función
f: ____________________

d) 9 es la imagen de 12 por medio de la
función q: ____________________

 Ecuación con la que se denota una función.

x 2
f ( x) 2x 4 p ( x)
3
x
t ( x) 5
8

Sea f una función, el grafico de f lo
denotamos G f y se define, como el conjunto
de pares ordenados x, f ( x) .

Ejemplo 1:
Determine el gráfico de la función h,
representada en el diagrama adjunto.
Solución:
Gh 2,3 , 4,6 , 0,1 , 2,4

;

Si g : P IR, g ( x) 2 x 1 halle el gráfico de g,
considerando que P 1,2,4

Solución:

g ( 1) 2 1 1 3
g (2) 2 2 1 3
g (4) 2 4 1 7

Gg 1, 3 , 2,3 , 4,7

 Rectas que se cortan perpendicularmente, el
punto sobre el que ellas se cortan se
identifica como 0, 0 y se llama origen del
sistema.

 Larecta horizontal se le conoce como “eje x o
eje de las abscisas” y la recta vertical se le
conoce como “eje y o eje de las ordenadas”.

 Alplano que contiene los ejes coordenados se
le denomina plano coordenado.

E je d e las ord enadas

IR+

IR - IR+
E je d e las ab scisas

IR -

Si se traza una recta vertical que pase por el
punto “x” y trazamos una recta horizontal
que por el punto “y”, entonces el punto de
intersección de estas rectas se identifica con
el par x, y

x, y

Represente los siguientes puntos en el sistema
coordenado
A( 3,2) B(3, 3) C (0, 1) D( 4,0) E (4,1)

A
E
D

C

B

Determine las coordenadas para los puntos
marcados en el siguiente sistema coordenado.

(0, 5)

(5, 4)
( 4, 2)

(2, 2)

( 2, 4)

 La gráfica de una función, muestra la
posición de cada uno de los elementos de su
gráfico, en un sistema coordenado.

f ( x) 3 x 2 g ( x) x 2 3x 1

Para calcular la imagen de un
elemento del dominio de una
determinada función, se sustituye el
valor dado en lugar de la “x” y así
determinar “y”.

¿Cuál es la imagen de –2, para la función t x 5 x2 ?

Solución:
Se sustituye la x por –2: t 2 5 ( 2) 2
5 4
1

Por lo tanto la imagen de –2 es 1

Dada la función w x 3x 4 determine la imagen
de 7.

Solución:
Significa que x 7, entonces se sustituye:
w7 3 7 4
21 4
25

Por lo tanto –25 es la imagen de 7

 Cuando se tiene una imagen y se quiere
calcular su preimagen(es) se iguala el
criterio de la función con la imagen dada y
se resuelve la ecuación resultante.

 Es decir, se sustituye el valor dado en lugar
de la “y” (f x ) y se determina “x”.

¿ Cuál es la preimagen de 9, para la función
f x 5x 10 ?
Solución
Se sustituye f (x) por 9 y se despeja “x”:
9 5x 10
9 10 5x
1 5x
1
x
5
1
x
5
1
Por lo tanto la preimagen de 9 es .
5

x
Para la función f x 5
3determine la preimagen
de 4.
Solución:
Sustituimos f (x) por 4 y se despeja “x”:
x
4 5
3
x
4 5
3
x
1
3
1 3 x
3 x
Por lo tanto la preimagen de 4 es -3.

Si f x 5 3x halle el valor de la expresión
f 2 f 3

Solución:

Para la función definida por f : Z Z con
3 si x 0
f x
1 x si x 0
halle el valor de f 2 f 2

 Para la función f x 3 2 x determine si los
pares ordenados 2, 1 y 3,3 pertenecen al
gráfico de f.

Para cada pareja que pertenezca al
gráfico de la función, se puede señalar un
punto en la gráfica de una función y así
determinar la posición de la preimagen y
de la imagen.

2 es la preimagen de ____
0

4 es la imagen de ____
2

6 es la preimagen de ____
0

6
0 es la imagen de _____

2 es la imagen de ___
0 5 es la preimagen de ___
2

3
0 es la imagen de ____ y ____
5

6 5
2 es la imagen de ____ y ____

Las preimágenes de 0 son ___ y ___
6 14

3 es imagen de ___ preimágenes
4

1 es imagen de ___ preimágenes
2

Se obtiene determinando la imagen
correspondiente a cada elemento del
dominio.

Para la función , f: 3, 2 Q ,con f x x2 5

halle el ámbito de f.

 Solución:

Como 3, 2 es el dominio de f (son las
preimágenes), entonces:

 Por lo tanto el ámbito es A f 4,1

Si f : 4 ,2 IR , f x 2x 3 . Halle el

ámbito de f.
 Solución:

El ámbito también será dado en forma de
intervalo, por lo que se obtiene las
imágenes de 4 y 2:

Por lo tanto el ámbito es: 11,1

De obtiene determinando la preimagen
correspondiente a cada elemento del
ámbito.

Para la función f : A 1, 4, 9 con f x x .
Halle el dominio de f.

 Solución:

Se debe encontrar la preimagen de 1, 4, 9 :

Df 1,16 , 81

,

Para la función f : IR M ,f x x 2 con
M 1,16, 81 . Halle el dominio de f.

 Solución:

Sustituimos “y” por y obtenemos los
valores respectivos de “x”:

Df 9, 4, 1,1,4,9

 Dominio
Intervalo donde el límite inferior es el menor
valor que toma la función en el “eje x” y el
límite superior es el mayor valor que toma la
función “eje x”.

 Codominio
Por lo general es IR, es decir, toda la recta
vertical.

 Ámbito
Intervalo donde el límite inferior es el menor
valor que toma la función en el “eje y”, y el
límite superior el mayor valor que toma la
función en el “eje y”.

Régimen de variación
 Creciente
f es una función creciente si f x1 f x2
siempre que x1 x2 .
(Puede haber tramos constantes)

 Estrictamente Creciente
f es una función estrictamente creciente si
f x1 f x2 siempre que x1 x2 .

 Decreciente
f es una función decreciente si f x1 f x2
siempre que x1 x2 .

(Puede haber tramos constantes)

 Estrictamente decreciente
f es una función estrictamente decreciente
si f x1 f x2 siempre que x1 x2 .

 Constante
f es una función constante si f x b , con b IR
para todo “x” que pertenece al dominio. Es
decir los puntos de la gráfica están una recta
horizontal que pasa por 0, b .

Se obtiene proyectando perpendicularmente
cada punto de la gráfica sobre el eje y.
Todos los puntos proyectados sobre eje y
constituyen el ámbito de la función.

A 3, 4

se obtiene proyectando perpendicularmente
cada punto de la gráfica sobre el eje x. El
conjunto de todos los puntos proyectados
sobre eje x constituyen el conjunto que
corresponde al dominio de la función.

D 5, {2}

Dominio
12, 6
8

Codominio IR
Ámbito 6, 8
2
-12
Preimagen de -6 12
-3 -1 6
Imagen de 6 8
f 12 f 1 f 6 6 2 8 12
-6
Estrict. Creciente 12, 3 y 1,6

Creciente 12,6

Constante 3, 1

Dominio ,3

Codominio IR

Ámbito ,2

Preimagen de 2 1

Imagen de 1 2

f 1 f 1 2 2 0

Estrict. Creciente , 1 y 1,3

Estrict. Decreciente 1,1

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