![2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 47
to se pone en cortocircuito, como se muestra en la figura 2.33a), se deben te-
ner en cuenta dos cosas:
1. La resistencia equivalente Req ϭ 0. [Véase lo que ocurre cuando R2 ϭ 0
en la ecuación (2.37).]
2. La corriente total fluye por el cortocircuito.
Como otro caso extremo, supóngase que R2 ϭ ∞; es decir, que R2 es un
circuito abierto, como se muestra en la figura 2.33b). La corriente sigue flu-
yendo por la trayectoria de menor resistencia, R1. Suponiendo el límite de la
ecuación (2.37) como R2 → ∞, se obtiene Req ϭ R1 en este caso.
Si se divide tanto el numerador como el denominador entre R1R2, la ecua-
ción (2.43) se convierte en
i1 ϭ i (2.44a)
i2 ϭ i (2.44b)
Así, en general, si un divisor de corriente tiene N conductores (G1, G2, ...,
GN) en paralelo con la corriente en la fuente i, el nésimo conductor (Gn) ten-
drá una corriente
in ϭ i (2.45)
En general, a menudo es conveniente y posible combinar resistores en se-
rie y en paralelo y reducir una red resistiva a una sola resistencia equivalen-
te Req. Una resistencia equivalente de este tipo es la resistencia entre las
terminales designadas de la red y debe exhibir las mismas características de
i-v que la red original en las terminales.
Gn
G1 ϩ G2 ϩ и и и ϩ GN
G2
G1 ϩ G2
G1
G1 ϩ G2
Figura 2.34
Para el ejemplo 2.9.
2 Ω
5 Ω
Req
4 Ω
8 Ω
1 Ω
6 Ω 3 Ω
Ejemplo 2.9Halle Req en el circuito que se muestra en la figura 2.34.
Solución:
Para obtener Req se combinan resistores en serie y en paralelo. Los resistores
de 6 y 3 ⍀ están en paralelo, así que su resistencia equivalente es
6 ⍀ || 3 ⍀ ϭ ϭ 2 ⍀
(El símbolo || se usa para indicar una combinación en paralelo.) De igual for-
ma, los resistores de 1 y 5 ⍀ están en serie, y de ahí que su resistencia equi-
valente sea
1 ⍀ ϩ 5 ⍀ ϭ 6 ⍀
Así, el circuito de la figura 2.34 se transforma en el de la figura 2.35a). En
esta última figura se advierte que los dos resistores de 2 ⍀ están en serie, así
que la resistencia equivalente es
2 ⍀ ϩ 2 ⍀ ϭ 4 ⍀
6 ϫ 3
6 ϩ 3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-75-320.jpg)
![88 Capítulo 3 Métodos de análisis
Así, se halla
v1 ϭ ϭ ϭ 4.8 V, v2 ϭ ϭ ϭ 2.4 V
v3 ϭ ϭ ϭ Ϫ2.4 V
como se obtuvo con el método 1.
MÉTODO 3 Ahora se usa MATLAB para resolver la matriz. La ecuación
(3.2.6) puede escribirse como
AV ϭ B 1 V ϭ AϪ1
B
donde A es la matriz cuadrada de 3 por 3, B es el vector de columna y V es
el vector de columna comprendido por v1, v2 y v3 que se desea determinar.
Se usa MATLAB para determinar V como sigue:
ϾϾA ϭ [3 Ϫ2 Ϫ1; Ϫ4 7 Ϫ1; 2 Ϫ3 1];
ϾϾB ϭ [12 0 0]Ј;
ϾϾV ϭ inv(A) * B
4.800
V ϭ 2.4000
Ϫ2.40000
Así, v1 ϭ 4.8 V, v2 ϭ 2.4 V y v3 ϭ Ϫ2.4 V, como se obtuvo anteriormente.
Ϫ24
10
⌬3
⌬
24
10
⌬2
⌬
48
10
⌬1
⌬
Figura 3.6
Para el problema de práctica 3.2.
10 A
2 Ω
3 Ω
4 Ω 6 Ω
ix
4ix
1 3
2
Problema
de práctica 3.2
Halle las tensiones en los tres nodos de no referencia en el circuito de la fi-
gura 3.6.
Respuesta: v1 ϭ 80 V, v2 ϭ Ϫ64 V, v3 ϭ 156 V.
Análisis nodal con fuentes de tensión
Considérese ahora cómo fuentes de tensión afectan el análisis nodal. Se usa-
rá el circuito de la figura 3.7 para efectos ilustrativos. Considérense las dos
siguientes posibilidades.
CASO 1 Si una fuente de tensión está conectada entre el nodo de refe-
rencia y un nodo de no referencia, simplemente se fija la tensión en el nodo
de no referencia como igual a la tensión de la fuente de tensión. En la figu-
ra 3.7, por ejemplo,
v1 ϭ 10 V (3.10)
Así, el análisis se simplifica un poco por el conocimiento de la tensión en es-
te nodo.
CASO 2 Si la fuente de tensión (dependiente o independiente) está co-
nectada entre dos nodos de no referencia, los dos nodos de no referencia for-
3.3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-116-320.jpg)
![4.10 Aplicaciones 155
El valor 2k en el punto 7 es indispensable para el cálculo del punto de
polarización; no puede dejarse en blanco.
El tercer paso es preparar el barrido en DC para explorar el parámetro.
Para hacerlo:
1. Seleccione Analysis/Setup para que aparezca el cuadro de diálogo DC
Sweep.
2. En Sweep Type, seleccione Linear (u Octave para una amplia gama de
RL).
3. En Sweep Var. Type, seleccione Global Parameter.
4. Bajo el cuadro Name, teclee RL.
5. En el cuadro Start Value, teclee 100.
6. En el cuadro End Value, teclee 5k.
7. En el cuadro Increment, teclee 100.
8. Haga clic en OK y en Close para aceptar los parámetros.
Después de dar esos pasos y guardar el circuito, está listo para simular.
Seleccione Analysis/Simulate. Si no hay errores, seleccione Add Trace en
la ventana A/D de PSpice y teclee –V(R2:2)*I(R2) en el cuadro Trace Com-
mand. [El signo negativo es indispensable, ya que I(R2) es negativa.] Esto
produce la gráfica de la potencia suministrada a RL cuando RL varía de 100
a 5 k⍀. También puede obtenerse la potencia absorbida por RL tecleando
V(R2:2)*V(R2:2)/RL en el cuadro Trace Command. De una u otra forma, se
obtiene la gráfica de la figura 4.57. En ella salta a la vista que la máxima
potencia es 250 W. Nótese que ese valor máximo ocurre cuando RL ϭ 1 k⍀,
como era de esperar analíticamente.
Halle la máxima potencia transferida a RL si el resistor de 1 k⍀ de la figura
4.55 se remplaza por un resistor de 2 k⍀.
Respuesta: 125
†
Aplicaciones
En esta sección se expondrán dos importantes aplicaciones prácticas de los
conceptos cubiertos en este capítulo: modelado de fuentes y medición de la
resistencia.
4.10.1 Modelado de fuentes
El modelado de fuentes brinda un ejemplo de la utilidad del equivalente de
Thevenin o de Norton. Una fuente activa como una batería suele caracterizar-
se por medio de su circuito equivalente de Thevenin o de Norton. Una fuen-
te de tensión ideal suministra una tensión constante independientemente de la
corriente tomada por la carga, mientras que una fuente de corriente ideal su-
ministra una corriente constante independientemente de la tensión de carga.
Como se advierte en la figura 4.58, las fuentes de tensión y corriente prácti-
cas no son ideales, debido a sus resistencias internas o resistencias de fuen-
te Rs y Rp. Se vuelven ideales cuando Rs → 0 y Rp → ϱ. Para demostrar que
éste es el caso, considérese el efecto de la carga sobre fuentes de tensión, co-
4.10
Problema
de práctica 4.15
Figura 4.58
a) Fuente de tensión práctica, b) fuente
de corriente práctica.
Figura 4.57
Para el ejemplo 4.15: gráfica de la poten-
cia a través de RL.
250 uW
150 uW
200 uW
100 uW
50 uW
0 2.0 K 4.0 K 6.0 K
–V(R2:2)*I(R2)
RL
vs
Rs
+
−
a)
is
Rp
b)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-183-320.jpg)
![5.8 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada 193
3. Alternativas. Este circuito puede resolverse de varias maneras. Dado que
implica amplificadores operacionales ideales, un método puramente ma-
temático funcionará de manera muy fácil. Un segundo método sería usar
PSpice como confirmación de las operaciones matemáticas.
4. Intentar. Desígnese v11 a la salida del primer circuito del amplificador
operacional y v22 a la salida del segundo. Así se obtiene
v11 ϭ Ϫ3v1 ϭ Ϫ3 ϫ 1 ϭ Ϫ3 V,
v22 ϭ Ϫ2v2 ϭ Ϫ2 ϫ 2 ϭ Ϫ4 V
En el tercer circuito se tiene
vo ϭ Ϫ(10 k⍀/5 k⍀)v11 ϩ [Ϫ(10 k⍀/5 k⍀)v22]
ϭ Ϫ2(Ϫ3) Ϫ (2/3)(Ϫ4)
ϭ 6 ϩ 2.667 ϭ 8.667 V
5. Evaluar. Para evaluar adecuadamente la solución, se debe identificar una
comprobación razonable. Aquí se puede usar fácilmente PSpice para dis-
poner de esa comprobación.
Ahora se puede simular esto en PSpice. Véanse los resultados en la
figura 5.32.
Figura 5.32
Para el ejemplo 5.10.
Nótese que se obtienen los mismos resultados siguiendo dos técnicas por
completo diferentes (la primera fue tratar a los circuitos de amplificado-
res operacionales únicamente como ganancias y un sumador y la segun-
da aplicar el análisis de circuitos con PSpice). Éste es un muy buen
método para garantizar que se tiene la respuesta correcta.
6. ¿Satisfactorio? Se está satisfecho por haber obtenido el resultado solici-
tado. Ahora es posible presentar el trabajo como solución del problema.
R6
2 kΩ
R4
6 kΩ
+
−
−3.000
−
1 V
v1
OPAMP
U1
R7
4 kΩ
R5
8 kΩ
+
−
−4.000
+
−
2 V
v2
OPAMP
U2
R1
10 kΩ
R2
5 kΩ
R3
15 kΩ
+
−
8.667 V
OPAMP
U3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-221-320.jpg)
![196 Capítulo 5 Amplificadores operacionales
Ejemplo 4.12
†
Aplicaciones
El amplificador operacional es un componente fundamental de la instrumenta-
ción electrónica moderna. Se utiliza extensamente en muchos dispositivos, jun-
to con resistores y otros elementos pasivos. Entre las numerosas aplicaciones
prácticas se encuentran amplificadores para instrumentos, convertidores digita-
les-analógicos, computadoras analógicas, cambiadores de nivel, filtros, circuitos
de calibración, inversores, sumadores, integradores, diferenciadores, restadores,
amplificadores logarítmicos, comparadores, elementos rotatorios, osciladores,
rectificadores, reguladores, convertidores de tensión a corriente, convertidores de
corriente a tensión y recortadores. Ya se han considerado algunos de ellos. Aquí
se consideran dos aplicaciones más: el convertidor digital-analógico y el ampli-
ficador para instrumentación.
5.10.1 Convertidor digital-analógico
El convertidor digital-analógico (CDA) transforma señales digitales en analó-
gicas. En la figura 5.36a) se ilustra un ejemplo usual de un CDA de cuatro
bits. Éste puede realizarse de muchas maneras. Una realización simple es la
escalera ponderada binaria que aparece en la figura 5.36b). Los bits son pon-
deraciones según la magnitud de su valor de posición, por valor descendente
de Rf/Rn, de modo que cada bit menor tiene la mitad de peso del inmediato
superior. Éste es obviamente un amplificador sumador inversor. La salida se
relaciona con las entradas como se indicó en la ecuación (5.15). Así,
(5.23)
La entrada V1 se llama bit más significativo (BMS o MSB por sus siglas en
inglés), en tanto que la entrada V1 es el bit menos significativo (BMES o LSB
por sus siglas en inglés). Cada una de las cuatro entradas binarias V1, … , V4
sólo puede asumir dos niveles de tensión: 0 o 1 V. Aplicando los valores ade-
cuados de entrada y resistor de retroalimentación, el CDA arroja una sola sa-
lida, la cual es proporcional a las entradas.
En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.36b), sean Rf ϭ 10 k⍀
y R1 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ 20 k⍀, R3 ϭ 40 k⍀ y R4 ϭ 80 k⍀. Obtenga la salida
analógica de las entradas binarias [0000], [0001], [0010], … , [1111].
Solución:
La sustitución de los valores dados de las entradas y los resistores de retro-
alimentación en la ecuación (5.23) da por resultado
Con base en esta ecuación, una entrada digital [V1V2V3V4] ϭ [0000] produ-
ce una salida analógica de ϪVo ϭ 0 V; [V1V2V3V4] ϭ [0001] lo cual da
ϪVo ϭ 0.125 V.
ϭ V1 ϩ 0.5V2 ϩ 0.25V3 ϩ 0.125V4
ϪVo ϭ
Rf
R1
V1 ϩ
Rf
R2
V2 ϩ
Rf
R3
V3 ϩ
Rf
R4
V4
ϪVo ϭ
Rf
R1
V1 ϩ
Rf
R2
V2 ϩ
Rf
R3
V3 ϩ
Rf
R4
V4
5.10
Figura 5.36
CDA de cuatro bits: a) diagrama en
bloques, b) tipo de escalera ponderada
binaria.
En la práctica, los niveles de tensión
pueden ser habitualmente de 0 y
Ϯ 5 V.
Salida
análoga
Entrada
digital
(0000Ϫ1111)
CDA
de cuatro
bits
a)
+
−
V1 V2 V3 V4
R1 R2 R3 R4
Rf
VoMSB LSB
b )](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-224-320.jpg)
![5.10 Aplicaciones 197
De igual manera,
[V1V2V3V4] = [0010] ⇒ ϪVo ϭ 0.25 V
[V1V2V3V4] = [0011] ⇒ ϪVo ϭ 0.25 ϩ 0.125 ϭ 0.375 V
[V1V2V3V4] = [0100] ⇒ ϪVo ϭ 0.5 V
.
.
.
[V1V2V3V4] = [1111] ⇒ ϪVo ϭ 1 ϩ 0.5 ϩ 0.25 ϩ 0.125
ϭ 1.875 V
En la tabla 5.2 se resume el resultado de la conversión digital-analógica. Nó-
tese que se ha supuesto que cada bit tiene un valor de 0.125 V. Así, en este
sistema no se puede representar una tensión entre 1.000 y 1.125, por ejem-
plo. Esta falta de resolución es una limitación importante de los conversores
digitales-analógicos. Para mayor exactitud se requiere una representación en
palabras con un mayor número de bits. Aun así, una representación digital de
una tensión analógica nunca es exacta. Pese a esta representación inexacta, la
representación digital se ha empleado para conseguir resultados tan notables
como los discos compactos de audio y la fotografía digital.
Un CDA de tres bits se muestra en la figura 5.37.
a) Determine |Vo| para [V1V2V3] ϭ [010].
b) Halle |Vo| si [V1V2V3] ϭ [110].
c) Si se desea |Vo| ϭ 1.25 V, ¿cuál debería ser el valor de [V1V2V3]?
d) Para obtener |Vo| ϭ 1.75 V, ¿cuál debe ser [V1V2V3]?
Respuesta: 0.5 V, 1.5 V, [101], [111].
Figura 5.37
CDA de tres bits; para el problema
de práctica 5.12.
Problema
de práctica 5.12
+
−
10 kΩ
20 kΩ
40 kΩ
10 kΩ
v1
v2
v3
vo
TABLA 5.2
Valores de entrada y salida del CDA de cuatro bits.
Entrada binaria Salida
[V1V2V3V4] Valor decimal ϪVo
0000 0 0
0001 1 0.125
0010 2 0.25
0011 3 0.375
0100 4 0.5
0101 5 0.625
0110 6 0.75
0111 7 0.875
1000 8 1.0
1001 9 1.125
1010 10 1.25
1011 11 1.375
1100 12 1.5
1101 13 1.625
1110 14 1.75
1111 15 1.875](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-225-320.jpg)
![212 Capítulo 5 Amplificadores operacionales
5.80 Use PSpice para resolver el problema 5.61.
5.81 Use PSpice para comprobar los resultados del ejemplo 5.9.
Suponga amplificadores operacionales no ideales LM324.
Sección 5.10 Aplicaciones
5.82 Un CDA de cinco bits cubre un rango de tensión de 0 a
7.75 V. Calcule cuánta tensión posee cada bit.
5.83 Diseñe un convertidor digital-analógico de seis bits.
a) Si se desea |Vo| ϭ 1.1875 ¿cuál debería ser el valor de
[V1V2V3V4V5V6]?
b) Calcule |Vo| si [V1V2V3V4V5V6] ϭ [011011].
c) ¿Cuál es el valor máximo que |Vo| puede adoptar?
*5.84 Un conversor CDA en escalera R-2R de cuatro bits se
presenta en la figura 5.103.
a) Demuestre que la tensión de salida está dada por
b) Si Rf ϭ 12 k⍀ y R ϭ 10 k⍀, halle |Vo| para [V1V2V3V4]
ϭ [1011] y [V1V2V3V4V5V6] ϭ [0101].
Figura 5.103
Para el problema 5.84.
5.85 En el circuito del amplificador operacional de la figura
5.104, halle el valor de R de manera que la potencia
absorbida por el resistor de 10 k⍀ sea de 10 mW. Adopte
vs ϭ 2 V.
Figura 5.104
Para el problema 5.85.
ϪVo ϭ Rf a
V1
2R
ϩ
V2
4R
ϩ
V3
8R
ϩ
V4
16R
b
5.86 Suponiendo una ganancia de 200 para un AI, halle su ten-
sión de salida para:
a) v1 ϭ 0.402 V y v2 ϭ 0.386 V
b) v1 ϭ 1.002 V y v2 ϭ 1.011 V
5.87 En la figura 5.105 se presenta un amplificador de instru-
mentación con dos amplificadores operacionales. Derive
una expresión para vo en términos de v1 y v2. ¿Cómo po-
dría usarse este amplificador como restador?
Figura 5.105
Para el problema 5.87.
*5.88 En la figura 5.106 aparece un amplificador de instrumen-
tación excitado por un puente. Obtenga la ganancia vo/vi
del amplificador.
Figura 5.106
Para el problema 5.88.
R
R
R
R
VoVV+
−V1VV
V2VV
V3VV
V4VV
2R
2R
2R
2R
RfR
R
vsv
+
−
−
+
40 kΩ
10 kΩ
v2
v1
vovv
R4
R3R2
R1
+
−
+
−
25 kΩ
10 kΩ
10 kΩ
500 kΩ
vovv
25 kΩ
2 kΩ
30 kΩ20 kΩ
vi
80 kΩ40 kΩ
500 kΩ
+
−
+
−
+
−](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-240-320.jpg)
![266 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y de
1 para valores positivos de t.
Las tres funciones singulares de uso más común en análisis de circuitos
son las funciones de escalón unitario, de impulso unitario y de rampa unitaria.
En términos matemáticos,
(7.24)
La función escalón unitario está indefinida en t ϭ 0, donde cambia abruptamente
de 0 a 1. Es adimensional, al igual que otras funciones matemáticas, como seno
y coseno. En la figura 7.23 se describe de manera gráfica la función escalón uni-
tario. Si el cambio abrupto ocurre en (donde ) en lugar de t ϭ 0,
la función escalón unitario se convierte en
(7.25)
lo cual equivale a decir que u(t) se atrasa segundos, como se muestra en la
figura 7.24a). Para obtener la ecuación (7.25) de la ecuación (7.24), simple-
mente se remplaza cada t por Si el cambio ocurre en t ϭ Ϫto, la fun-
ción escalón unitario se convierte en
(7.26)
lo que significa que está adelantada segundos, como se muestra en la
figura 7.24b).
Se usa la función escalón para representar un cambio abrupto de tensión
o corriente, como los cambios que ocurren en los circuitos de sistemas de con-
trol y de computadoras digitales. Por ejemplo, la tensión
(7.27)
puede expresarse en términos de la función escalón unitario como
(7.28)
Si entonces es simplemente la tensión del escalón Una
fuente de tensión de se presenta en la figura 7.25a); su circuito equi-
valente se presenta en la figura 7.25b). En esta última figura es evidente que
las terminales a-b están en cortocircuito ( ) para y que v ϭ V0t 6 0v ϭ 0
V0 u(t)
V0 u(t).v(t)t0 ϭ 0,
v(t) ϭ V0u(t Ϫ t0)
v(t) ϭ b
0, t 6 t0
V0, t 7 t0
t0u(t)
u(t ϩ t0) ϭ b
0, t 6 Ϫt0
1, t 7 Ϫt0
t Ϫ t0.
t0
u(t Ϫ t0) ϭ b
0, t 6 t0
1, t 7 t0
t0 7 0t ϭ t0
u(t) ϭ b
0, t 6 0
1, t 7 0
Figura 7.25
a) Fuente de tensión de b) su circuito equivalente.V0u(t),
Figura 7.23
Función escalón unitario.
Figura 7.24
a) Función escalón unitario retardada por
b) función escalón unitario adelantada
de t0.
t0,
Alternativamente, se obtienen las ecua-
ciones (7.25) y (7.26) de la ecuación
(7.24) escribiendo u[f(t)] 1, f(t) 0,
donde f(t) puede ser t t0 o t t0.ϩϪ
7ϭ
0 t
1
u(t)
0 t
1
u(t − t0)
t0
a)
0 t
u(t + t0)
−t0
b)
1
+
−
a)
V0u(t) +
−
b)
V0
b
a
b
a
t = 0
=](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-294-320.jpg)
![7.4 Funciones singulares 269
o por integración de este modo:
(7.39)
Aunque hay muchas más funciones singulares, en este momento sólo intere-
san estas tres (la función impulso, la función escalón unitario y la función
rampa).
u(t) ϭ Ύ
t
Ϫϱ
d(t)dt, r(t) ϭ Ύ
t
Ϫϱ
u(t)dt
Exprese el pulso de tensión de la figura 7.31 en términos del escalón unitario.
Calcule su derivada y trácela.
Solución:
El tipo de pulso de la figura 7.31 se llama función de compuerta. Puede consi-
derarse una función escalón que se activa en un valor de t y se desactiva en
otro valor de t. La función de compuerta que aparece en la figura 7.31 se activa
en y se desactiva en Consta de la suma de dos funciones de
escalones unitarios, como se muestra en la figura 7.32a). De esta última figura
se desprende claramente que
Al tomar la derivada de esta expresión se obtiene
expresión que se muestra a su vez en la figura 7.32b). Se puede obtener la
figura 7.32b) de modo directo de la figura 7.31 observando simplemente que
hay un súbito incremento de 10 V en el cual conduce a
En hay un súbito decremento de 10 V, que conduce a Ϫ10 V d(t Ϫ 5).t ϭ 5 s,
10d(t Ϫ 2).t ϭ 2 s
dv
dt
ϭ 10[d(t Ϫ 2) Ϫ d(t Ϫ 5)]
v(t) ϭ 10u(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 5) ϭ 10[u(t Ϫ 2) Ϫ u(t Ϫ 5)]
t ϭ 5 s.t ϭ 2 s
Las funciones de compuerta se usan
junto con las de conmutación para
transmitir o bloquear otra señal.
Figura 7.31
Para el ejemplo 7.6.
Figura 7.32
a) Descomposición del pulso de la figura 7.31, b) derivada del pulso de la figura 7.31.
0 t
10
v(t)
3 4 51 2
0 t21
10
10u(t − 2) −10u(t − 5)
a)
1 2
0
3 4 5 t
10
−10
+
b)
10
3 4 5 t1 2
0
−10
dv
dt
Ejemplo 7.6](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-297-320.jpg)
![270 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Exprese el pulso de corriente de la figura 7.33 en términos del escalón unita-
rio. Halle su integral y trácela.
Respuesta:
Véase la figura 7.34.r(t Ϫ 4)].
10[u(t) Ϫ 2u(t Ϫ 2) ϩ u(t Ϫ 4)], 10[r(t) Ϫ 2r(t Ϫ 2) ϩ
Figura 7.33
Para el problema de práctica 7.6.
Figura 7.34
Integral de de la figura 7.33.i(t)
Exprese la función diente de sierra que se muestra en la figura 7.35 en térmi-
nos de funciones singulares.
Solución:
Este problema puede resolverse de tres maneras. El primer método es por mera
observación de la función dada, mientras que los otros implican algunas mani-
pulaciones gráficas de la función.
■ MÉTODO 1 Al examinar la gráfica de de la figura 7.35, no es difícil
percatarse de que la función dada es una combinación de funciones singu-
lares. Así, sea
(7.7.1)
La función es la función de rampa de pendiente 5 que se muestra en la
figura 7.36a); es decir,
(7.7.2)v1(t) ϭ 5r(t)
v1(t)
v(t) ϭ v1(t) ϩ v2(t) ϩ p
v(t)
v(t)
Figura 7.35
Para el ejemplo 7.7.
Figura 7.36
Descomposición parcial de de la figura 7.35.v(t)
0
t
10
−10
i(t)
2 4
20 4 t
20
i dt∫
0 t
10
v(t)
2
0 t
10
v1(t)
2 0 t
10
v1 + v2
2
0
t
−10
v2(t)
2
+
a) b) c )
=
Problema
de práctica 7.6
Ejemplo 7.7](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-298-320.jpg)
![7.4 Funciones singulares 271
Dado que tiende al infinito, se necesita otra función en para obtener
Sea esta función la cual es una función rampa de pendiente como
se muestra en la figura 7.36b); es decir,
(7.7.3)
La suma de y da por resultado la señal de la figura 7.36c). Obviamente,
esto no es lo mismo que en la figura 7.35. Pero la diferencia es simple-
mente una constante de 10 unidades para Al sumar una tercera señal
donde
(7.7.4)
se obtiene como se indica en la figura 7.37. La sustitución de las ecua-
ciones (7.7.2) a (7.7.4) en la ecuación (7.7.1) da como resultado
v(t) ϭ 5r(t) Ϫ 5r(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2)
v(t),
v3 ϭ Ϫ10u(t Ϫ 2)
v3,
t 7 2 s.
v(t)
v2v1
v2(t) ϭ Ϫ5r(t Ϫ 2)
Ϫ5,v2,v(t).
t ϭ 2 sv1(t)
Figura 7.37
Descomposición completa de de la figura 7.35.v(t)
■ MÉTODO 2 Una observación detenida de la figura 7.35 revela que
es una multiplicación de dos funciones: una función rampa y una función com-
puerta. Así,
como se obtuvo anteriormente.
■ MÉTODO 3 Este método es similar al método 2. De la figura 7.35 se
deduce por observación que es una multiplicación de una función rampa
y una función escalón unitario, como se advierte en la figura 7.38. Por lo tanto,
Si se remplaza por puede remplazarse por
En consecuencia,
lo que puede simplificarse como en el método 2 para obtener el mismo resul-
tado.
v(t) ϭ 5r(t)[1 Ϫ u(t Ϫ 2)]
1 Ϫ u(t Ϫ 2).
u(Ϫt ϩ 2)1 Ϫ u(t),u(Ϫt)
v(t) ϭ 5r(t)u(Ϫt ϩ 2)
v(t)
ϭ 5r(t) Ϫ 5r(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2)
ϭ 5r(t) Ϫ 5(t Ϫ 2)u(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2)
ϭ 5r(t) Ϫ 5(t Ϫ 2 ϩ 2)u(t Ϫ 2)
ϭ 5tu(t) Ϫ 5tu(t Ϫ 2)
v(t) ϭ 5t[u(t) Ϫ u(t Ϫ 2)]
v(t)
0 t
10
v1 + v2
2
+
c)a)
=
0 t
10
v(t)
2
0
t
−10
v3(t)
2
b)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-299-320.jpg)
![272 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Remítase a la figura 7.39. Exprese en términos de funciones singulares.
Respuesta: 2u(t) Ϫ 2r(t) ϩ 4r(t Ϫ 2) Ϫ 2r(t Ϫ 3).
i(t)
Figura 7.38
Descomposición de de la figura 7.35.v(t)
Figura 7.39
Para el problema de práctica 7.7.
Dada la señal
exprese en términos de funciones escalón y rampa.
Solución:
La señal puede considerarse la suma de tres funciones especificadas
dentro de los tres intervalos t Ͻ 0, 0 Ͻ t Ͻ 1 y
Para puede estimarse como 3 multiplicado por donde
para t Ͻ 0 y 0 para t Ͼ 0. Dentro del intervalo de tiempo
la función puede considerarse como multiplicado por una función de
compuerta Para la función puede estimarse como
multiplicado por la función de escalón unitario Así,
Puede evitarse el problema de usar remplazándolo por
Entonces,
Alternativamente, se puede trazar y aplicar el método 1 del ejemplo 7.7.g(t)
g(t) ϭ 3[1 Ϫ u(t)] Ϫ 2u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1) ϭ 3 Ϫ 5u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1)
1 Ϫ u(t).u(Ϫt)
ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1)
ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ 2(t Ϫ 1)u(t Ϫ 1)
ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ (2t Ϫ 4 ϩ 2)u(t Ϫ 1)
g(t) ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2[u(t) Ϫ u(t Ϫ 1)] ϩ (2t Ϫ 4)u(t Ϫ 1)
u(t Ϫ 1).2t Ϫ 4
t 7 1,[u(t) Ϫ u(t Ϫ 1)].
Ϫ2
0 6 t 6 1,u(Ϫt) ϭ 1
u(Ϫt),t 6 0, g(t)
t 7 1.
g(t)
g(t)
g(t) ϭ c
3, t 6 0
Ϫ2, 0 6 t 6 1
2t Ϫ 4, t 7 1
0 t
10
5r(t)
2
×
0 t
u(−t + 2)
2
1
i(t) (A)
1
0
2 3 t (s)
2
−2
Problema
de práctica 7.7
Ejemplo 7.8](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-300-320.jpg)
![7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 273
Si
exprese en términos de las funciones singulares.
Respuesta: 4u(t) Ϫ r(t Ϫ 2) ϩ r(t Ϫ 6).
h(t)
h(t) ϭ d
0, t 6 0
4, 0 6 t 6 2
6 Ϫ t, 2 6 t 6 6
0, t 7 6
Evalúe las siguientes integrales que incluyen la función impulso:
Solución:
En relación con la primera integral, se aplica la propiedad de filtrado de la ecua-
ción (7.32).
De igual forma, en relación con la segunda integral,
ϭ eϪ1
cos 1 ϩ e1
sen (Ϫ1) ϭ 0.1988 Ϫ 2.2873 ϭ Ϫ2.0885
ϭ eϪt
cos t 0tϭ1 ϩ eϪt
sen t 0 tϭϪ1
Ύ
ϱ
Ϫϱ
[d(t Ϫ 1)eϪt
cos t ϩ d(t ϩ 1)eϪt
sen t]dt
Ύ
10
0
(t2
ϩ 4t Ϫ 2)d(t Ϫ 2)dt ϭ (t2
ϩ 4t Ϫ 2)0tϭ2 ϭ 4 ϩ 8 Ϫ 2 ϭ 10
Ύ
ϱ
Ϫϱ
[d(t Ϫ 1)eϪt
cos t ϩ d(t ϩ 1)eϪt
sen t]dt
Ύ
10
0
(t2
ϩ 4t Ϫ 2)d(t Ϫ 2)dt
Evalúe las siguientes integrales:
Respuesta: 28, Ϫ1.
Ύ
ϱ
Ϫϱ
(t3
ϩ 5t2
ϩ 10)d(t ϩ 3)dt, Ύ
10
0
d(t Ϫ p) cos 3t dt
Respuesta escalón de un circuito RC
Cuando la fuente de cd de un circuito RC se aplica de repente, la fuente de ten-
sión o de corriente puede modelarse como una función escalón, y la respuesta se
conoce como respuesta escalón.
7.5
La respuesta de escalón de un circuito es su comportamiento cuando la
excitación es la función de escalón, la cual puede ser una fuente de tensión
o de corriente.
Problema
de práctica 7.8
Ejemplo 7.9
Problema
de práctica 7.9](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-301-320.jpg)
![276 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Otra manera de concebir la respuesta completa es dividirla en dos com-
ponentes, uno temporal y el otro permanente; es decir,
Respuesta completa ϭ respuesta transitoria ϩ respuesta en estado estable
parte temporal parte permanente
o sea
(7.51)
donde
(7.52a)
y
(7.52b)
La respuesta transitoria es temporal; es la porción de la respuesta completa
que decrece a cero conforme el tiempo tiende al infinito. En consecuencia,
vt
vss ϭ Vs
vt ϭ (Vo Ϫ Vs)eϪt͞t
v ϭ vt ϩ vss
La respuesta transitoria es la respuesta temporal del circuito, la cual se extin-
guirá con el tiempo.
La respuesta en estado estable es la porción de la respuesta completa
que permanece después de que la respuesta transitoria se ha extinguido. Así,
vss
La primera descomposición de la respuesta completa es en términos de
la fuente de las respuestas, mientras que la segunda descomposición es en tér-
minos de la permanencia de las respuestas. En ciertas condiciones, la respuesta
natural y la respuesta transitoria son lo mismo. Esto también puede decirse de
la respuesta forzada y la respuesta en estado estable.
Como quiera que se le considere, la respuesta completa en la ecuación (7.45)
puede expresarse como
(7.53)
donde es la tensión inicial en y es el valor final o de estado
estable. Por lo tanto, para hallar la respuesta de escalón de un circuito RC se
requieren de tres datos:
v(ϱ)t ϭ 0ϩ
v(0)
v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t
La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito mucho
tiempo después de aplicada una excitación externa.
1. La tensión inicial del capacitor
2. La tensión final del capacitor
3. La constante de tiempo t.
v(ϱ).
v(0).
Se obtiene el dato 1 del circuito dado para y los puntos 2 y 3 del cir-
cuito para Habiendo determinado estas piezas, se obtiene la respuestat 7 0.
t 6 0
Esto equivale a afirmar que la respuesta
completa es la suma de las respuestas
transitoria y en estado estable.
Una vez que se sabe x(0), x( ) y ,
casi todos los problemas de circuitos
de este capítulo pueden resolverse
mediante la fórmula
x(t) ϭ x(ϱ) ϩ 3x(0) Ϫ x(ϱ)4eϪt͞t
tϱ](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-304-320.jpg)
![7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 277
con el uso de la ecuación (7.53). Esta técnica se aplica por igual a los circui-
tos RL como se verá en la siguiente sección.
Cabe señalar que si el interruptor cambia de posición en el momento
en vez de en hay un retraso en la respuesta, de modo que la ecua-
ción (7.53) se convierte en
(7.54)
donde es el valor inicial en Tenga en cuenta que la ecuación
(7.53) o (7.54) sólo se aplica a respuestas de escalón; esto es, cuando la exci-
tación de entrada es constante.
t ϭ t0
ϩ
.v(t0)
v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(t0) Ϫ v(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t
t ϭ 0,t ϭ t0
El interruptor en la figura 7.43 ha estado mucho tiempo en la posición A. En
se mueve a B. Determine para y calcule su valor en
y 4 s.
t ϭ 1 st 7 0v(t)t ϭ 0,
Figura 7.43
Para el ejemplo 7.10.
Solución:
Para el interruptor está en la posición A. El capacitor actúa como un
circuito abierto en cd, pero v es igual que la tensión a lo largo del resistor de
5 k⍀. Así, la tensión del capacitor justo antes de se obtiene por división
de tensión como
Con base en el hecho de que la tensión del capacitor no puede cambiar instan-
táneamente,
Para el interruptor está en la posición B. La resistencia de Thevenin
conectada al capacitor es y la constante de tiempo es
Dado que el capacitor actúa como un circuito abierto en cd en estado estable,
Por consiguiente,
En
En
v(4) ϭ 30 Ϫ 15eϪ2
ϭ 27.97 V
t ϭ 4,
v(1) ϭ 30 Ϫ 15eϪ0.5
ϭ 20.9 V
t ϭ 1,
ϭ 30 ϩ (15 Ϫ 30)eϪt͞2
ϭ (30 Ϫ 15eϪ0.5t
) V
v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t
v(ϱ) ϭ 30 V.
t ϭ RThC ϭ 4 ϫ 103
ϫ 0.5 ϫ 10Ϫ3
ϭ 2 s
RTh ϭ 4 k⍀,
t 7 0,
v(0) ϭ v(0Ϫ
) ϭ v(0ϩ
) ϭ 15 V
v(0Ϫ
) ϭ
5
5 ϩ 3
(24) ϭ 15 V
t ϭ 0
t 6 0,
3 kΩ
24 V 30 Vv5 kΩ 0.5 mF
4 kΩ
+
−
+
−
t = 0
A B
+
−
Ejemplo 7.10](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-305-320.jpg)
![7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 279
La resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor es
y la constante de tiempo es
En consecuencia,
Para obtener i, se advierte en la figura 7.46b) que i es la suma de las corrien-
tes a través del resistor de 20 ⍀ y del capacitor; es decir,
Obsérvese en la figura 7.46b) que se satisface como era de espe-
rar. Por lo tanto,
Cabe indicar que la tensión del capacitor es continua, en tanto que la corriente
del resistor no lo es.
i ϭ b
Ϫ1 A, t 6 0
(1 ϩ eϪ0.6t
) A, t 7 0
v ϭ b
10 V, t 6 0
(20 Ϫ 10eϪ0.6t
) V, t Ն 0
v ϩ 10i ϭ 30
ϭ 1 Ϫ 0.5eϪ0.6t
ϩ 0.25(Ϫ0.6)(Ϫ10)eϪ0.6t
ϭ (1 ϩ eϪ0.6t
) A
i ϭ
v
20
ϩ C
dv
dt
ϭ 20 ϩ (10 Ϫ 20)eϪ(3͞5)t
ϭ (20 Ϫ 10eϪ0.6t
) V
v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t
t ϭ RTh C ϭ
20
3
ؒ
1
4
ϭ
5
3
s
RTh ϭ 10 ʈ 20 ϭ
10 ϫ 20
30
ϭ
20
3
⍀
El interruptor en la figura 7.47 se cierra en Halle y en cualquier
tiempo. Tenga en cuenta que para y 0 para También,
que u(Ϫt) ϭ 1 Ϫ u(t).
t 7 0.t 6 0u(Ϫt) ϭ 1
v(t)i(t)t ϭ 0.
Figura 7.47
Para el problema de práctica 7.11.
Respuesta:
v ϭ b
20 V, t 6 0
10(1 ϩ eϪ1.5t
) V, t 7 0
i(t) ϭ b
0, t 6 0
Ϫ2(1 ϩ eϪ1.5t
) A, t 7 0
,
5 Ω
+
−20u(−t) V 10 Ω0.2 F 3 Av
i t = 0
+
−
Problema
de práctica 7.11](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-307-320.jpg)
![280 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Respuesta escalón de un circuito RL
Considere el circuito RL de la figura 7.48a), el cual puede remplazarse por el
circuito de la figura 7.48b). De nuevo la meta es hallar la corriente del in-duc-
tor i como la respuesta del circuito. En lugar de aplicar las leyes de Kirchhoff, se
utilizará la técnica simple de las ecuaciones (7.50) a (7.53). Sea la respuesta
la suma de la corriente natural y la corriente forzada,
(7.55)
Se sabe que la respuesta natural es siempre un decaimiento exponencial, es
decir
(7.56)
donde A es una constante por determinar.
La respuesta forzada es el valor de la corriente mucho tiempo después de
que el interruptor en la figura 7.48a) se cierra. Se sabe que la respuesta natural
se extingue en esencia después de cinco contantes de tiempo. En este momento,
el inductor se convierte en un cortocircuito, y la tensión entre sus terminales es
de cero. La tensión de fuente entera aparece a través de R. Así, la respuesta
forzada es
(7.57)
La sustitución de las ecuaciones (7.56) y (7.57) en la ecuación (7.55) da
(7.58)
Ahora se determina la constante A a partir del valor inicial de i. Sea que es
la corriente inicial a través del inductor, la cual puede proceder de una fuente
distinta a Como la corriente a través del inductor no puede cambiar instan-
táneamente,
(7.59)
Así, en la ecuación (7.58) se convierte en
De esta expresión se obtiene A como
La sustitución de A en la ecuación (7.58) produce
(7.60)
Ésta es la respuesta completa del circuito RL a cual se ilustra en la figura 7.49.
La respuesta en la ecuación (7.60) puede escribirse como
(7.61)i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t
i(t) ϭ
Vs
R
ϩ aI0 Ϫ
Vs
R
beϪt͞t
A ϭ I0 Ϫ
Vs
R
I0 ϭ A ϩ
Vs
R
t ϭ 0,
i(0ϩ
) ϭ i(0Ϫ
) ϭ I0
Vs.
I0
i ϭ AeϪt͞t
ϩ
Vs
R
iss ϭ
Vs
R
Vs
it ϭ AeϪt͞t
, t ϭ
L
R
i ϭ it ϩ iss
7.6
Figura 7.48
Circuito RL con entrada de escalón
de tensión.
Figura 7.49
Respuesta total del circuito RL con
corriente inicial del inductor I0.
R
Vs
t = 0
i
+
−
+
−
v(t)L
a)
i
R
Vsu(t) +
−
+
−
v(t)L
b)
0 t
i(t)
Vs
R
I0](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-308-320.jpg)
![7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 281
donde e son los valores inicial y final de i, Así, para hallar la res-
puesta escalón de un circuito RL se requieren tres datos:
i(ϱ)i(0)
1. La corriente inicial del inductor en
2. La corriente final del inductor
3. La constante de tiempo t.
i(ϱ).
t ϭ 0.i(0)
Se obtiene el punto 1 del circuito dado para y los puntos 2 y 3 del cir-
cuito para Una vez determinados estos puntos, se obtiene la respuesta
con el uso de la ecuación (7.61). Tenga en cuenta que esta técnica sólo se apli-
ca ante respuestas de tipo escalón.
De nueva cuenta, si la conmutación tiene lugar en el tiempo en vez
de la ecuación (7.61) se convierte en
(7.62)
Si entonces
(7.63a)
o sea
(7.63b)
Ésta es la respuesta escalón del circuito RL sin corriente inicial del inductor. La
tensión en el inductor se obtiene de la ecuación (7.63) aplicando
Así se obtiene
o sea
(7.64)
En la figura 7.50 se muestran las respuestas de escalón en las ecuaciones (7.63)
y (7.64).
v(t) ϭ VseϪt͞t
u(t)
v(t) ϭ L
di
dt
ϭ Vs
L
tR
eϪt͞t
, t ϭ
L
R
, t 7 0
v ϭ L di͞dt.
i(t) ϭ
Vs
R
(1 Ϫ eϪt͞t
)u(t)
i(t) ϭ c
0, t 6 0
Vs
R
(1 Ϫ eϪt͞t
), t 7 0
I0 ϭ 0,
i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(t0) Ϫ i(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t
t ϭ 0,
t ϭ t0
t 7 0.
t 6 0
Figura 7.50
Respuestas escalón de un circuito RL sin corriente inicial
del inductor: a) respuesta en corriente, b) respuesta en
tensión.
0 t
v(t)
0 t
i(t)
Vs
R
a) b)
Vs](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-309-320.jpg)
![282 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Halle en el circuito de la figura 7.51 para Suponga que el interrup-
tor ha estado cerrado mucho tiempo.
Solución:
Cuando el resistor de 3 ⍀ está en cortocircuito y el inductor actúa como
un cortocircuito. La corriente que circula por el inductor en (es decir,
justo antes de que ) es
Como la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente,
Cuando el interruptor está abierto. Los resistores de 2 ⍀ y 3 ⍀ están en
serie, así que
La resistencia de Thevenin por las terminales del inductor es
En cuanto a la constante de tiempo,
Por lo tanto,
Comprobación: En la figura 7.51, para debe satisfacerse la LTK; esto
es,
Esto confirma el resultado.
5i ϩ L
di
dt
ϭ [10 ϩ 15eϪ15t
] ϩ c
1
3
(3)(Ϫ15)eϪ15t
d ϭ 10
10 ϭ 5i ϩ L
di
dt
t 7 0,
ϭ 2 ϩ (5 Ϫ 2)eϪ15t
ϭ 2 ϩ 3eϪ15t
A, t 7 0
i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t
t ϭ
L
RTh
ϭ
1
3
5
ϭ
1
15
s
RTh ϭ 2 ϩ 3 ϭ 5 ⍀
i(ϱ) ϭ
10
2 ϩ 3
ϭ 2 A
t 7 0,
i(0) ϭ i(0ϩ
) ϭ i(0Ϫ
) ϭ 5 A
i(0Ϫ
) ϭ
10
2
ϭ 5 A
t ϭ 0
t ϭ 0Ϫ
t 6 0,
t 7 0.i(t)
Figura 7.51
Para el ejemplo 7.12.
El interruptor en la figura 7.52 ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en
Halle para
Respuesta: t 7 0.(2 ϩ eϪ10t
) A,
t 7 0.i(t)t ϭ 0.
Figura 7.52
Para el problema de práctica 7.12.
2 Ω 3 Ω
+
−10 V
i
t = 0
H
1
3
1.5 H
10 Ω5 Ω 3 At = 0
i
Ejemplo 7.12
Problema
de práctica 7.12](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-310-320.jpg)
![7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 283
En el interruptor 1 en la figura 7.53 se cierra, y el interruptor 2 se cierra
4 s después. Halle para Calcule i para y t ϭ 5 s.t ϭ 2 st 7 0.i(t)
t ϭ 0,
Figura 7.53
Para el ejemplo 7.13.
Solución:
Se deben considerar por separado los tres intervalos de tiempo: t Յ 0, 0 Յ t Յ 4
y t Ն 4. Para los interruptores y están abiertos, así que
Dado que la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente,
Para está cerrado, de modo que los resistores de 4 ⍀ y 6 ⍀
están en serie. (Recuerde que en ese momento también está abierto.) Así,
suponiendo por ahora que está cerrado para siempre,
Por lo tanto,
Para está cerrado; la fuente de tensión de 10 V se conecta, y el
circuito cambia. Este súbito cambio no afecta la corriente del inductor, porque
la corriente no puede cambiar abruptamente. Entonces, la corriente inicial es
Para hallar sea la tensión en el nodo P de la figura 7.53. Al aplicar la
LCK,
La resistencia de Thevenin en las terminales del inductor es
y
t ϭ
L
RTh
ϭ
5
22
3
ϭ
15
22
s
RTh ϭ 4 ʈ 2 ϩ 6 ϭ
4 ϫ 2
6
ϩ 6 ϭ
22
3
⍀
i(ϱ) ϭ
v
6
ϭ
30
11
ϭ 2.727 A
40 Ϫ v
4
ϩ
10 Ϫ v
2
ϭ
v
6
1 v ϭ
180
11
V
vi(ϱ),
i(4) ϭ i(4Ϫ
) ϭ 4(1 Ϫ eϪ8
) Ӎ 4 A
t Ն 4, S2
ϭ 4 ϩ (0 Ϫ 4)eϪ2t
ϭ 4(1 Ϫ eϪ2t
) A, 0 Յ t Յ 4
i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t
t ϭ
L
RTh
ϭ
5
10
ϭ
1
2
s
i(ϱ) ϭ
40
4 ϩ 6
ϭ 4 A, RTh ϭ 4 ϩ 6 ϭ 10 ⍀
S1
S2
0 Յ t Յ 4, S1
i(0Ϫ
) ϭ i(0) ϭ i(0ϩ
) ϭ 0
i ϭ 0.S2S1t 6 0,
4 Ω 6 Ω
+
−
+
−
40 V
10 V
2 Ω 5 H
i
t = 0
t = 4
S1
S2
P
Ejemplo 7.13](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-311-320.jpg)
![284 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
De ahí que
Se necesita en la función exponencial, a causa del retraso. Así,
Al reunir todo esto,
En
En
i(5) ϭ 2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667
ϭ 3.02 A
t ϭ 5,
i(2) ϭ 4(1 Ϫ eϪ4
) ϭ 3.93 A
t ϭ 2,
i(t) ϭ c
0, t Յ 0
4(1 Ϫ eϪ2t
), 0 Յ t Յ 4
2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667(tϪ4)
, t Ն 4
ϭ 2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667(tϪ4)
, t Ն 4
i(t) ϭ 2.727 ϩ (4 Ϫ 2.727)eϪ(tϪ4)͞t
, t ϭ
15
22
(t Ϫ 4)
i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(4) Ϫ i(ϱ)]eϪ(tϪ4)͞t
, t Ն 4
El interruptor en la figura 7.54 se cierra en y el interruptor se
cierra en Calcule para cualquier t. Halle e
Respuesta:
i(3) ϭ 3.589 A.i(1) ϭ 1.9997 A,
i(t) ϭ c
0, t 6 0
2(1 Ϫ eϪ9t
), 0 6 t 6 2
3.6 Ϫ 1.6eϪ5(tϪ2)
, t 7 2
i(3).i(1)i(t)t ϭ 2 s.
S2t ϭ 0,S1
Figura 7.54
Para el problema de práctica 7.13.
Circuitos de primer orden con
amplificadores operacionales
Un circuito con un amplificador operacional que contenga un elemento de alma-
cenamiento exhibirá un comportamiento de primer orden. Los diferenciadores e
integradores tratados en la sección 6.6 son ejemplos de circuitos de amplifica-
dores operacionales de primer orden. También por razones prácticas, en esta
ocasión los inductores difícilmente se emplean en circuitos de amplificadores
operacionales; por lo tanto, los circuitos de amplificadores operacionales consi-
derados aquí son del tipo RC.
Como de costumbre, se analizan circuitos de amplificadores operacionales
aplicando el análisis nodal. A veces el circuito equivalente de Thevenin se utili-
za para reducir el circuito de amplificador operacional en uno fácil de manejar.
Los tres ejemplos siguientes ilustran estos conceptos. El primero se refiere a un
circuito de amplificador operacional sin fuente, mientras que los otros dos
implican respuestas de escalón. Los tres se han seleccionado con cuidado para
cubrir todos los tipos RC posibles de circuitos de amplificadores operaciona-
les, dependiendo de la ubicación del capacitor respecto al amplificador operacio-
nal; esto es, el capacitor puede ubicarse en la entrada, la salida o el lazo de
retroalimentación.
7.7
10 Ω
15 Ω
20 Ω
6 A 5 H
t = 0
S1
t = 2
S2
i(t)
Problema
de práctica 7.13](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-312-320.jpg)
![286 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
■ MÉTODO 2 Aplíquese el método abreviado de la ecuación (7.53). Se
debe hallar vo(0ϩ
), vo(ϱ) y Dado que se aplica la
LCK al nodo 2 del circuito de la figura 7.55b) para obtener
o Como el circuito no tiene fuente, Para hallar
se necesita la resistencia equivalente entre las terminales del capacitor.
Si se elimina el capacitor y se remplaza por una fuente de corriente de 1 A, se
tiene el circuito que aparece en la figura 7.55c). La aplicación de la LTK al
lazo de entrada produce
Por consiguiente,
y Así,
como se obtuvo anteriormente.
ϭ 0 ϩ (12 Ϫ 0)eϪ10t
ϭ 12eϪ10t
V, t 7 0
vo(t) ϭ vo(ϱ) ϩ [vo(0) Ϫ vo(ϱ)]eϪt͞t
t ϭ ReqC ϭ 0.1.
Req ϭ
v
1
ϭ 20 k⍀
20,000(1) Ϫ v ϭ 0 1 v ϭ 20 kV
Reqt,
v(ϱ) ϭ 0 V.vo(0ϩ
) ϭ 12 V.
3
20,000
ϩ
0 Ϫ vo(0ϩ
)
80,000
ϭ 0
v(0ϩ
) ϭ v(0Ϫ
) ϭ 3 V,t.
En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.56, halle
para si Suponga que R1 ϭ 10 k⍀ y
Respuesta: Ϫ4eϪ2t
V, t 7 0 .
C ϭ 10 mF.
Rf ϭ 50 k⍀,v(0) ϭ 4 V.t 7 0vo
Figura 7.56
Para el problema de práctica 7.14.
Determine y en el circuito de la figura 7.57.
Solución:
Este problema puede resolverse de dos maneras, justo como el del ejemplo
anterior. Sin embargo, sólo se aplicará el segundo método. Como lo que se bus-
ca es la respuesta escalón, se puede aplicar la ecuación (7.53) y escribir
(7.15.1)v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t
, t 7 0
vo(t)v(t)
vo
+
−
R1
Rf
v+ −
C
+
−
Problema
de práctica 7.14
Ejemplo 7.15](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-314-320.jpg)
![7.7 Circuitos de primer orden con amplificadores operacionales 287
donde sólo se necesita hallar la constante de tiempo el valor inicial y
el valor final Adviértase que esto se aplica estrictamente a la tensión del
capacitor debida a la entrada del escalón. Puesto que no entra corriente a las
terminales de entrada del amplificador operacional, los elementos en el lazo
de retroalimentación del amplificador constituyen un circuito RC con
(7.15.2)
Para el interruptor está abierto y no hay tensión en el capacitor. Así,
Para se obtiene la tensión en el nodo 1 por división de ten-
sión como
(7.15.3)
Dado que en el lazo de entrada no hay ningún elemento de almacenamiento,
permanece constante para cualquier t. En estado estable, el capacitor actúa como
un circuito abierto, de modo que el circuito del amplificador operacional es un
amplificador no inversor. Así,
(7.15.4)
Pero
(7.15.5)
de tal forma que
La sustitución de , v(0) y en la ecuación (7.15.1) da
(7.15.6)
De las ecuaciones (7.15.3), (7.15.5) y (7.15.6) se obtiene
(7.15.7)vo(t) ϭ v1(t) Ϫ v(t) ϭ 7 Ϫ 5eϪ20t
V, t 7 0
v(t) ϭ Ϫ5 ϩ [0 Ϫ (Ϫ5)]eϪ20t
ϭ 5(eϪ20t
Ϫ 1) V, t 7 0
v(ϱ)
v(ϱ) ϭ 2 Ϫ 7 ϭ Ϫ5 V
v1 Ϫ vo ϭ v
vo(ϱ) ϭ a1 ϩ
50
20
bv1 ϭ 3.5 ϫ 2 ϭ 7 V
v1
v1 ϭ
20
20 ϩ 10
3 ϭ 2 V
t 7 0,v(0) ϭ 0.
t 6 0,
t ϭ RC ϭ 50 ϫ 103
ϫ 10Ϫ6
ϭ 0.05
v(ϱ).
v(0),t,
Figura 7.57
Para el ejemplo 7.15.
Figura 7.58
Para el problema de práctica 7.15.
Halle y en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.58.
Respuesta: 40(eϪ10t
Ϫ 1) mV.40(1 Ϫ eϪ10t
) mV,
vo(t)v(t)
vo
v1
+
−
3 V
v+ −
1 F
50 kΩ
20 kΩ
20 kΩ+
−
t = 0
10 kΩ
+
−
vo
+
−
4 mV
v+ −
1 F
100 kΩ
+
−
t = 0
10 kΩ
+
−
Problema
de práctica 7.15](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-315-320.jpg)
![294 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
lámpara actuará como un circuito abiertoy no emitirá luz hasta que la tensión
entre sus extremos exceda un nivel particular, por ejemplo 70 V. Una vez alcan-
zado el nivel de tensión, la lámpra se enciende, y el capacitor se descarga a tra-
vés de ella. Debido a la baja resistencia de la lámpara cuando está encendida,
la tensión del capacitor disminuye rápidamente y la lámpara se apaga. Ésta actúa
de nuevo como circuito abierto y el capacitor se recarga. Mediante el ajuste de
se pueden introducir retrasos cortos o largos en el circuito y hacer que la lám-
para se encienda, se recargue y vuelva a encenderse repetidamente cada determi-
nada constante de tiempo a causa de que transcurre un periodo
antes de que la tensión del capacitor sea suficientemente alta para encender
la lámpara o suficientemente baja para apagarla.
Las luces intermitentes de advertencia comunes en los emplazamientos
de construcción de caminos son un ejemplo de la utilidad de tal circuito de
retraso RC.
t
t ϭ (R1 ϩ R2)C,
R2,
Considere el circuito de la figura 7.73 y suponga que
a) Calcule los límites extremos de la constante de tiempo
del circuito. b) ¿Cuánto tarda en encenderse la lámpara por primera vez
después de que el interruptor ha estado cerrado? Permita que adopte su mayor
valor.
Solución:
a) El menor valor de es y la correspondiente constante de tiempo del
circuito es
El valor mayor de es y la correspondiente constante de tiempo del
circuito es
Así, mediante el adecuado diseño del circuito, la constante de tiempo puede
ajustarse para introducir en el circuito el retraso adecuado.
b) Suponiendo que el capacitor está inicialmente descargado,
mientras que Pero
donde como se calculó en el inciso a). La lámpara se enciende cuan-
do Si en entonces
o sea
Al tomar el logaritmo natural de ambos miembros se obtiene
Una fórmula más general para hallar es
La lámpara se encenderá repetidamente cada segundos si, y sólo si
En este ejemplo, esta condición no se satisface.
v(t0) 6 v(ϱ).t0
t0 ϭ t ln
Ϫv(ϱ)
v(t0) Ϫ v(ϱ)
t0
t0 ϭ t ln
11
4
ϭ 0.4 ln 2.75 ϭ 0.4046 s
eϪt0͞t
ϭ
4
11
1 et0͞t
ϭ
11
4
70 ϭ 110[1 Ϫ eϪt0͞t
] 1
7
11
ϭ 1 Ϫ eϪt0͞t
t ϭ t0,vC(t) ϭ 70 VvC ϭ 70 V.
t ϭ 0.4 s,
vC(t) ϭ vC(ϱ) ϩ [vC(0) Ϫ vC(ϱ)]eϪt͞t
ϭ 110[1 Ϫ eϪt͞t
]
vC(ϱ) ϭ 110.
vC(0) ϭ 0,
t ϭ (R1 ϩ R2)C ϭ (1.5 ϩ 2.5) ϫ 106
ϫ 0.1 ϫ 10Ϫ6
ϭ 0.4 s
2.5 M⍀,R2
t ϭ (R1 ϩ R2)C ϭ (1.5 ϫ 106
ϩ 0) ϫ 0.1 ϫ 10Ϫ6
ϭ 0.15 s
0 ⍀,R2
R2
0 6 R2 6 2.5 M⍀.
R1 ϭ 1.5 M⍀,Ejemplo 7.19](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-322-320.jpg)
![7.9 Aplicaciones 297
7.77b), donde R y L son la resistencia y la inductancia de la bobina.
Cuando el interruptor de la figura 7.77a) se cierra, el circuito de
bobina se activa. La corriente de la bobina aumenta en forma gradual
y produce un campo magnético. A la larga el campo magnético es sufi-
cientemente fuerte para atraer al contacto móvil del otro circuito y ce-
rrar el interruptor En ese momento, se dice que el relevador está
activado. El intervalo entre el cierre de los interruptores y se
llama tiempo de retraso del relevador.
Los relevadores se emplearon en los primeros circuitos digitales y
aún se utilizan en circuitos de conmutación alta potencia.
S2S1td
S2.
S1
S2
Bobina
Campo magnéticoS1
S1
Vs
a) b)
Vs
R
L
Figura 7.77
Circuito relevador.
La bobina de cierto relevador operada con una batería de 12 V. Si la bobina
tiene una resistencia de y una inductancia de 30 mH y la corriente nece-
saria para activarla es de 50 mA, calcule el tiempo de retardo del relevador.
Solución:
La corriente a través de la bobina la da
donde
Así,
Si entonces
o sea
eϪtd͞t
ϭ
3
8
1 etd͞t
ϭ
8
3
50 ϭ 80[1 Ϫ eϪtd͞t
] 1
5
8
ϭ 1 Ϫ eϪtd͞t
i(td) ϭ 50 mA,
i(t) ϭ 80[1 Ϫ eϪt͞t
] mA
t ϭ
L
R
ϭ
30 ϫ 10Ϫ3
150
ϭ 0.2 ms
i(0) ϭ 0, i(ϱ) ϭ
12
150
ϭ 80 mA
i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t
150 ⍀
Ejemplo 7.21](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-325-320.jpg)
![300 Capítulo 7 Circuitos de primer orden
Preguntas de repaso
4. Las funciones singulares incluyen las funciones de: escalón unitario, rampa
unitaria e impulso unitario. La función escalón unitario es
La función impulso unitario es
La función rampa unitaria es
5. La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito después
de la aplicación durante mucho tiempo de una fuente independiente. La res-
puesta transitoria es el componente de la respuesta completa que se extin-
gue con el tiempo.
6. La respuesta total o completa consta de la respuesta en estado estable y
la respuesta transitoria.
7. La respuesta escalón es la respuesta del circuito a una súbita aplicación
de una corriente o tensión de cd. Para hallar la respuesta de escalón de
un circuito de primer orden se requieren el valor inicial el valor
final x(ϱ) y la constante de tiempo Con estos tres elementos se obtiene
la respuesta de escalón como
Una forma más general de esta ecuación es
O bien se puede escribir como
Valor instantáneo ϭ Valor final ϩ [Inicial Ϫ Final]eϪ(t Ϫ to)/
8. PSpice es muy útil para obtener la respuesta transitoria de un circuito.
9. Cuatro aplicaciones prácticas de circuitos RC y RL son el circuito de retraso,
la unidad de flash fotográfico, el circuito relevador y el circuito de encendido
de un automóvil.
x(t) ϭ x(ϱ) ϩ [x(t0
ϩ
) Ϫ x(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t
x(t) ϭ x(ϱ) ϩ [x(0ϩ
) Ϫ x(ϱ)]eϪt͞t
t.
x(0ϩ
),
r(t) ϭ b
0, t Յ 0
t, t Ն 0
d(t) ϭ c
0, t 6 0
Undefined, t ϭ 0
0, t 7 0
u(t) ϭ b
0, t 6 0
1, t 7 0
u(t)
7.1 Un circuito RC tiene y La constante
de tiempo es de:
a) 0.5 s b) 2 s c) 4 s
d) 8 s e) 15 s
7.2 La constante de tiempo de un circuito RL con y
es de:
a) 0.5 s b) 2 s c) 4 s
d) 8 s e) 15 s
7.3 Un capacitor en un circuito RC con y
se está cargando. El tiempo requerido para que la
C ϭ 4 FR ϭ 2 ⍀
L ϭ 4 H
R ϭ 2 ⍀
C ϭ 4 F.R ϭ 2 ⍀ tensión del capacitor llegue a 63.2% de su valor de
estado estable es de:
a) 2 s b) 4 s c) 8 s
d) 16 s e) ninguno de los anteriores
7.4 Un circuito RL tiene y El tiempo
necesario para que la corriente del inductor llegue a 40
por ciento de su valor de estado estable es de:
a) 0.5 s b) 1 s c) 2 s
d) 4 s e) ninguno de los anteriores
L ϭ 4 H.R ϭ 2 ⍀
Indefinido,](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-328-320.jpg)
![Problemas 305
7.35 Halle la solución de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a)
b)
7.36 Determine para en las siguientes ecuaciones
diferenciales, sujetas a la condición inicial indicada.
a)
b)
7.37 Un circuito se describe con
a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito?
b) ¿Cuál es el valor final de v?
c) Si halle para
7.38 Un circuito se describe con
Halle para dado que
Sección 7.5 Respuesta de escalón de un circuito RC
7.39 Calcule la tensión del capacitor para y de
cada uno de los circuitos de la figura 7.106.
t 7 0t 6 0
i(0) ϭ 0.t 7 0i(t)
di
dt
ϩ 3i ϭ 2u(t)
t Ն 0.v(t)v(0) ϭ 2,
v(ϱ),
4
dv
dt
ϩ v ϭ 10
2 dv͞dt Ϫ v ϭ 3u(t), v(0) ϭ Ϫ6
dv͞dt ϩ v ϭ u(t), v(0) ϭ 0
v
2
di
dt
Ϫ 3i ϭ 0, i(0) ϭ 2
dv
dt
ϩ 2v ϭ 0, v(0) ϭ Ϫ1 V
0 321−1
15
10
5
−10
−5
t
v(t)
Figura 7.105
Para el problema 7.27.
7.28 Diagrame la forma de onda representada por
7.29 Grafique las siguientes funciones:
a)
b)
c)
7.30 Evalúe las siguientes integrales que involucran la
funcion impulso:
a)
b)
7.31 Evalúe las siguientes integrales:
a)
b)
7.32 Evalúe las siguientes integrales:
a)
b)
c)
7.33 La tensión a a través de un inductor de 10 mH es
Halle la corriente del inductor,
suponiendo que éste está inicialmente descargado.
7.34 Evalúe las siguientes derivadas:
a)
b)
c)
d
dt
[sin 4tu(t Ϫ 3)]
d
dt
[r(t Ϫ 6)u(t Ϫ 2)]
d
dt
[u(t Ϫ 1)u(t ϩ 1)]
20d(t Ϫ 2) mV.
Ύ
5
1
(t Ϫ 6)2
d(t Ϫ 2)dt
Ύ
4
0
r(t Ϫ 1)dt
Ύ
t
1
u(l)dl
Ύ
ϱ
Ϫϱ
[5d(t) ϩ eϪt
d(t) ϩ cos 2ptd(t)]dt
Ύ
ϱ
Ϫϱ
eϪ4t2
d(t Ϫ 2)dt
Ύ
ϱ
Ϫϱ
4t2
cos 2ptd(t Ϫ 0.5)dt
Ύ
ϱ
Ϫϱ
4t2
d(t Ϫ 1)dt
z(t) ϭ cos 4td(t Ϫ 1)
y(t) ϭ 10eϪ(tϪ1)
u(t)
x(t) ϭ 10eϪt
u(t Ϫ 1)
ϩ r(t Ϫ 3) ϩ u(t Ϫ 4)
i(t) ϭ r(t) Ϫ r(t Ϫ 1) Ϫ u(t Ϫ 2) Ϫ r(t Ϫ 2)
+
−
1 Ω
4 Ω
20 V
12 V
+
−
t = 0
v 2 F
a)
b)
3 Ω
2 A4 Ω
+ −
+
− t = 0
2 F
v
Figura 7.106
Para el problema 7.39.
7.40 Halle la tensión del capacitor para y de
cada uno de los circuitos de la figura 7.107.
t 7 0t 6 0sen](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-333-320.jpg)
![Caso subamortiguado ( )
Para Las raíces pueden escribirse como
(8.22a)
(8.22b)
donde y la cual se llama frecuencia de amorti-
guamiento. Tanto como son frecuencias naturales, porque contribuyen
a determinar la respuesta natural; mientras que a suele llamársele frecuen-
cia natural no amortiguada, se llama frecuencia natural amortiguada. La
respuesta natural es
(8.23)
Usando las identidades de Euler,
(8.24)
se obtiene
(8.25)
Al remplazar las constantes y por las constantes y
se escribe
(8.26)
Con la presencia de las funciones seno y coseno, es claro que la respuesta na-
tural para este caso está amortiguada exponencialmente y es de naturaleza os-
cilatoria. Tal respuesta tiene una constante de tiempo de y un periodo de
En la figura 8.9c) se representa gráficamente una respuesta sub-
amortiguada común. [En la figura 8.9 se supone en cada caso que i(0) ϭ 0.]
Una vez hallada la corriente del inductor i(t) para el circuito RLC en se-
rie como se ha mostrado hasta aquí, pueden hallarse fácilmente otras variables
del circuito, como las tensiones de los elementos individuales. Por ejemplo,
la tensión del resistor es y la tensión del inductor es .
La corriente del inductor i(t) se selecciona como la variable clave por deter-
minar primero a fin de obtener provecho de la ecuación (8.1b).
Se concluye esta sección señalando las siguientes interesantes y peculia-
res propiedades de una red RLC:
1. El comportamiento de una red de este tipo se presenta en la idea de amor-
tiguamiento, el cual es la pérdida gradual de la energía almacenada ini-
cialmente, como lo evidencia el continuo decremento de la amplitud de
la respuesta. El efecto de amortiguamiento se debe a la presencia de la
resistencia R. El factor de amortiguamiento determina la velocidad con
la cual se amortigua la respuesta. Si R ϭ 0, entonces y se tiene
un circuito LC con como frecuencia natural no amortiguada. Da-
do que en este caso, la respuesta no sólo es no amortiguada, si-
no también oscilatoria. Se dice que el circuito es sin pérdidas, porque el
elemento disipador o amortiguador (R) está ausente. Ajustando el valor
de R, la respuesta puede volverse no amortiguada, sobreamortiguada, crí-
ticamente amortiguada o subamortiguada.
2. La respuesta oscilatoria es posible debido a la presencia de los dos tipos
de elementos de almacenamiento. La disposición tanto de L como de C
a 6 0
1͞1LC
a ϭ 0,
a
vL ϭ L di͞dtvR ϭ Ri,
T ϭ 2p͞d.
1͞a
i(t) ϭ eϪat
(B1 cos dt ϩ B2 sen dt)
B2,
B1j(A1 Ϫ A2)(A1 ϩ A2)
ϭ eϪat
[(A1 ϩ A2) cos dt ϩ j(A1 Ϫ A2) sendt]
i(t) ϭ eϪat
[A1(cos dt ϩ j sen dt) ϩ A2(cos dt Ϫ j sendt)]
eju
ϭ cos u ϩ j sen u, eϪju
ϭ cos u Ϫ j sen u
i(t) ϭ A1eϪ(aϪjd)t
ϩ A2eϪ(aϩjd)t
ϭ eϪat
(A1ejdt
ϩ A2eϪjdt
)
d
0
d0
d ϭ 20
2
Ϫ a2
,j ϭ 2Ϫ1
s2 ϭ Ϫa Ϫ 2Ϫ(0
2
Ϫ a2
) ϭ Ϫa Ϫ jd
s1 ϭ Ϫa ϩ 2Ϫ(0
2
Ϫ a2
) ϭ Ϫa ϩ jd
a 6 0, C 6 4L͞R2
.
A Ͻ 0
8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 323
R ϭ 0 produce una respuesta perfecta-
mente senoidal. Esta respuesta no pue-
de cumplirse en la práctica con L y C, a
causa de las pérdidas inherentes a
ellos. Véanse las figuras 6.8 y 6.26. El
dispositivo electrónico llamado oscila-
dor puede producir una respuesta
perfectamente senoidal.
En los ejemplos 8.5 y 8.7 se mostrará el
efecto de la variación de R.
La respuesta de un circuito de segun-
do orden con dos elementos de alma-
cenamiento del mismo tipo, como en
la figura 8.1c) y d), no puede ser osci-
latoria.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-351-320.jpg)
![donde i(0) es la corriente inicial a través del inductor y es la tensión ini-
cial a través del capacitor.
Para t Ͼ 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión desconecta-
da. El circuito equivalente se presenta en la figura 8.11b), de un circuito RLC
en serie sin fuente. Nótese que los resistores de 3 y 6 , que están en se-
rie en la figura 8.10, cuando el interruptor se abre, se han combinado para
producir en la figura 8.11b). Las raíces se calculan de la siguiente
manera:
o sea
Así, la respuesta está subamortiguada ( ); es decir,
(8.4.1)
Ahora se obtiene y usando las condiciones iniciales. En t ϭ 0,
(8.4.2)
Partiendo de la ecuación (8.5),
(8.4.3)
Adviértase que se emplea , porque la polaridad de v en la
figura 8.11b) es la opuesta a la de la figura 8.8. Al tomar la derivada de i(t)
en la ecuación (8.4.1),
La imposición de la condición en la ecuación (8.4.3) en t ϭ 0 da por resul-
tado
Pero por la ecuación (8.4.2). En consecuencia,
La sustitución de los valores de y en la ecuación (8.4.1) produce
la solución completa como
i(t) ϭ eϪ9t
(cos 4.359t ϩ 0.6882 sen 4.359t) A
A2A1
Ϫ6 ϭ Ϫ9 ϩ 4.359A2 1 A2 ϭ 0.6882
A1 ϭ 1
Ϫ6 ϭ Ϫ9(A1 ϩ 0) ϩ 4.359(Ϫ0 ϩ A2)
ϩ eϪ9t
(4.359)(ϪA1 sen 4.359t ϩ A2 cos 4.359t)
di
dt
ϭ Ϫ9eϪ9t
(A1 cos 4.359t ϩ A2 sen 4.359t)
v(0) ϭ V0 ϭ Ϫ6 V
di
dt
2
tϭ0
ϭ Ϫ
1
L
[Ri(0) ϩ v(0)] ϭ Ϫ2[9(1) Ϫ 6] ϭ Ϫ6 A/s
i(0) ϭ 1 ϭ A1
A2A1
i(t) ϭ eϪ9t
(A1 cos 4.359t ϩ A2 sen 4.359t)
a 6
s1,2 ϭ Ϫ9 Ϯ j4.359
s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2
Ϫ 0
2
ϭ Ϫ9 Ϯ 281 Ϫ 100
a ϭ
R
2L
ϭ
9
2(1
2)
ϭ 9, 0 ϭ
1
2LC
ϭ
1
21
2 ϫ 1
50
ϭ 10
R ϭ 9 ⍀
⍀⍀
v(0)
8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 325
0.5 H
0.02 F
9 Ω
i
b)
10 V
4 Ω
v
+
−
6 Ω+
−
i
a)
v
+
−
Figura 8.10
Para el ejemplo 8.4.
Figura 8.11
El circuito de la figura 8.10: a) para t Ͻ 0, b) para t Ͼ 0.
t = 0
10 V
4 Ω
0.5 H
0.02 F v
+
−
3 Ω
+
−
6 Ω
i](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-353-320.jpg)
![Al sustituir i en la ecuación (8.39) y reordenar términos,
(8.40)
que tiene la misma forma que la ecuación (8.4). Más específicamente, los coe-
ficientes son los mismos (lo cual es importante en la determinación de los pa-
rámetros de la frecuencia), pero la variable es diferente. [Véase de igual modo
la ecuación (8.47).] Así, la ecuación característica del circuito RLC en serie
no se ve afectada por la presencia de la fuente de cd.
La solución de la ecuación (8.40) tiene dos componentes: la respuesta
transtoria y la respuesta en estado estable esto es,
(8.41)
La respuesta transitoria es el componente de la respuesta total que se ex-
tingue con el tiempo. La forma de la respuesta transitoria es igual a la de la
solución obtenida en la sección 8.3 para el circuito sin fuente, dada por las
ecuaciones (8.14), (8.21) y (8.26). En consecuencia, la respuesta transitoria
de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado es:
(Sobreamortiguado) (8.42a)
(Críticamente amortiguado) (8.42b)
(Subamortiguado) (8.42c)
La respuesta en estado estable es el valor final de . En el circuito de la fi-
gura 8.18, el valor final de la tensión del capacitor es igual que el de la ten-
sión de fuente . Por lo tanto,
(8.43)
Así, las soluciones completas de los casos sobre, sub y críticamente amorti-
guado son:
(Sobreamortiguado) (8.44a)
(Críticamente amortiguado) (8.44b)
(Subamortiguado) (8.44c)
Los valores de las constantes y se obtienen de las condiciones inicia-
les: y Tenga en cuenta que v e i son la tensión a través del ca-
pacitor y la corriente a través del inductor, respectivamente. Por consiguiente,
la ecuación (8.44) sólo se aplica para determinar v. Pero una vez conocida la
tensión del capacitor , se puede determinar lo que es lo
mismo que la corriente a través del capacitor, el inductor y el resistor. Así
pues, la tensión a través del resistor es mientras que la tensión del
inductor es
Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) pue-
de hallarse en forma directa, porque tiene la forma general
(8.45)
donde es el valor final, y la respuesta transitoria. El valor fi-
nal se halla como en la sección 8.2. La respuesta transitoria tiene la misma
forma que en la ecuación (8.42), y las constantes asociadas se determinan a
partir de la ecuación (8.44), con base en los valores de x(0) y dx(0)/dt.
xt(t)xss ϭ x(ϱ)
x(t) ϭ xss(t) ϩ xt(t)
vL ϭ L di͞dt.
vR ϭ iR,
i ϭ C dv͞dt,vC ϭ v
dv(0)͞dt.v(0)
A2A1
v(t) ϭ Vs ϩ (A1 cos dt ϩ A2 sen dt)eϪat
v(t) ϭ Vs ϩ (A1 ϩ A2t)eϪat
v(t) ϭ Vs ϩ A1es1t
ϩ A2es2t
vss(t) ϭ v(ϱ) ϭ Vs
Vs
v(t)
vt(t) ϭ (A1 cos d t ϩ A2 sendt)eϪat
vt(t) ϭ (A1 ϩ A2t)eϪat
vt(t) ϭ A1es1t
ϩ A2es2t
vt(t)
vt(t)
v(t) ϭ vt(t) ϩ vss(t)
vss(t);vt(t)
d2
v
dt2
ϩ
R
L
dv
dt
ϩ
v
LC
ϭ
Vs
LC
332 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-360-320.jpg)
![Al tomar la derivada de de la ecuación (8.9.8),
(8.9.10)
La sustitución de la ecuación (8.9.2) en la ecuación (8.9.10) en t ϭ 0 da co-
mo resultado
(8.9.11)
De las ecuaciones (8.9.9) y (8.9.11) se obtiene,
así que la ecuación (8.9.8) se convierte en
(8.9.12)
De se puede obtener otras cantidades de interés en referencia a la figura
8.26b). Para obtener i, por ejemplo,
(8.9.13)
Obsérvese que i(0) ϭ 0, en correspondencia con la ecuación (8.9.1).
ϭ 2 Ϫ 6eϪ2t
ϩ 4eϪ3t
A, t 7 0
i ϭ
v
2
ϩ
1
2
dv
dt
ϭ 2 ϩ 6eϪ2t
Ϫ 2eϪ3t
Ϫ 12eϪ2t
ϩ 6eϪ3t
v,
v(t) ϭ 4 ϩ 12eϪ2t
Ϫ 4eϪ3t
V, t 7 0
A ϭ 12, B ϭ Ϫ4
Ϫ12 ϭ Ϫ2A Ϫ 3B 1 2A ϩ 3B ϭ 12
dv
dt
ϭ Ϫ2AeϪ2t
Ϫ 3BeϪ3t
v
8.7 Circuitos generales de segundo orden 341
Determine v e i para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.28. (Véanse los co-
mentarios sobre fuentes de corriente en el problema de práctica 7.5.)
Respuesta: 2(1 Ϫ eϪ5t
) A.8(1 Ϫ eϪ5t
) V,
Figura 8.28
Para el problema de práctica 8.9.
Halle para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.29.
Solución:
Éste es un ejemplo de un circuito de segundo orden con dos inductores. Pri-
mero se obtienen las corrientes de lazo e las cuales circulan por los
inductores. Se necesita obtener los valores iniciales y finales de estas co-
rrientes.
Para t Ͻ 0, 7u(t) ϭ 0, de modo que Para t Ͼ 0,
7u(t) ϭ 7, así que el circuito equivalente es el que aparece en la figura 8.30a).
Debido a la continuidad de la corriente del inductor,
(8.10.1)
(8.10.2)
Al aplicar la LTK al lazo izquierdo de la figura 8.30a) en
7 ϭ 3i1(0ϩ
) ϩ vL1
(0ϩ
) ϩ vo(0ϩ
)
t ϭ 0ϩ
,
vL2
(0ϩ
) ϭ vo(0ϩ
) ϭ 1[(i1(0ϩ
) Ϫ i2(0ϩ
)] ϭ 0
i1(0ϩ
) ϭ i1(0Ϫ
) ϭ 0, i2(0ϩ
) ϭ i2(0Ϫ
) ϭ 0
i1(0Ϫ
) ϭ 0 ϭ i2(0Ϫ
).
i2,i1
vo(t)
Figura 8.29
Para el ejemplo 8.10.
t = 0
2 A10 Ω 4 Ω
2 H
i
v
+
−
F
1
20
7u(t) V +
−
3 Ω
1 Ω vo
+
−i1
i2
H1
2
H1
5
Problema
de práctica 8.9
Ejemplo 8.10](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-369-320.jpg)
![Figura 8.32
Para el problema de práctica 8.10.
donde A y B son constantes. La respuesta forzada es
(8.10.10)
De las ecuaciones (8.10.9) y (8.10.10) se obtiene la respuesta completa como
(8.10.11)
Finalmente se obtienen A y B de los valores iniciales. Con base en las ecua-
ciones (8.10.1) y (8.10.11),
(8.10.12)
Al tomar la derivada de la ecuación (8.10.11), establecer t ϭ 0 en la deriva-
da y emplear la ecuación (8.10.3) se obtiene
(8.10.13)
Con base en las ecuaciones (8.10.12) y (8.10.13), y . Así,
(8.10.14)
Ahora se obtiene de La aplicación de la LTK al lazo izquierdo de
la figura 8.30a) da por resultado
La sustitución de en la ecuación (8.10.14) genera
(8.10.15)
En referencia a la figura 8.29,
(8.10.16)
La sustitución de las ecuaciones (8.10.14) y (8.10.15) en la ecuación (8.10.16)
produce
(8.10.17)
Obsérvese que como era de esperar por la ecuación (8.10.2).vo(0) ϭ 0,
vo(t) ϭ 2(eϪ3t
Ϫ eϪ10t
)
vo(t) ϭ 1[i1(t) Ϫ i2(t)]
ϭ
7
3
Ϫ
10
3
eϪ3t
ϩ eϪ10t
i2(t) ϭ Ϫ7 ϩ
28
3
Ϫ
16
3
eϪ3t
Ϫ 4eϪ10t
ϩ 2eϪ3t
ϩ 5eϪ10t
i1
7 ϭ 4i1 Ϫ i2 ϩ
1
2
di1
dt
1 i2 ϭ Ϫ7 ϩ 4i1 ϩ
1
2
di1
dt
i1.i2
i1(t) ϭ
7
3
Ϫ
4
3
eϪ3t
Ϫ eϪ10t
B ϭ Ϫ1A ϭ Ϫ4͞3
14 ϭ Ϫ3A Ϫ 10B
0 ϭ
7
3
ϩ A ϩ B
i1(t) ϭ
7
3
ϩ AeϪ3t
ϩ BeϪ10t
i1ss ϭ i1(ϱ) ϭ
7
3
A
8.7 Circuitos generales de segundo orden 343
Para t Ͼ 0, obtenga en el circuito de la figura 8.32. (Sugerencia: Halle
primero y )
Respuesta: t 7 0.2(eϪt
Ϫ eϪ6t
) V,
v2.v1
vo(t)
5u(t) V +
−
1 Ω 1 Ω
+ −vo
v1 v2
F1
2 F1
3
Problema
de práctica 8.10](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-371-320.jpg)
![Esto indica que la derivada de se transforma al dominio fasorial como
,
(9.27)
(Dominio temporal) (Dominio fasorial)
De igual modo, la integral de se transforma al dominio fasorial como
,
(9.28)
(Dominio temporal) (Dominio fasorial)
La ecuación (9.27) permite el remplazo de una derivada respecto al tiem-
po por la multiplicación de en el dominio fasorial, mientras que la ecua-
ción (9.28) permite el remplazo de una integral respecto al tiempo por la
división entre en el dominio fasorial. Las ecuaciones (9.27) y (9.28) son
útiles en la determinación de la solución en estado estable, la cual no requie-
re conocer los valores iniciales de las variables implicadas. Ésta es una de las
aplicaciones importantes de los fasores.
Además de la derivación e integración respecto al tiempo, otro importan-
te uso de los fasores reside en la suma de senoides de la misma frecuencia.
Esto se ilustra mejor con un ejemplo, el 9.6.
Conviene subrayar las diferencias entre y V:
1. es la representación instantánea o en el dominio temporal, mientras
que V es la representación de frecuencia o en el dominio fasorial.
2. depende del tiempo, mientras que V no. (Los estudiantes suelen ol-
vidar este hecho.)
3. siempre es real y no tiene ningún término complejo, mientras que V
es generalmente compleja.
Finalmente, se debe tener presente que el análisis fasorial sólo se aplica cuan-
do la frecuencia es constante; se aplica en la manipulación de dos o más se-
ñales senoidales sólo si son de la misma frecuencia.
v(t)
v(t)
v(t)
v(t)
j
j
V
j
3Ύ v dt
V͞j
v(t)
jV3
dv
dt
jV
v(t)
9.3 Fasores 381
La derivación de una senoide equivale
a multiplicar su fasor correspondiente
por j .
Integrar una senoide equivale a dividir
su fasor correspondiente entre j .
La suma de senoides de la misma fre-
cuencia equivale a sumar sus corres-
pondientes fasores.
Evalúe estos números complejos:
a)
b)
Solución:
a) Al aplicar la transformación de coordenadas polares a rectangulares,
La suma da por resultado
40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ ϭ 43.03 ϩ j20.64 ϭ 47.72l25.63Њ
20lϪ30Њ ϭ 20[cos(Ϫ30Њ) ϩ j sen(Ϫ30Њ)] ϭ 17.32 Ϫ j10
40l50Њ ϭ 40(cos50Њ ϩ j sen50Њ) ϭ 25.71 ϩ j30.64
10lϪ30Њ ϩ (3 Ϫ j4)
(2 ϩ j4)(3 Ϫ j5)*
(40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ)1͞2
Ejemplo 9.3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-409-320.jpg)
![Calculando la raíz cuadrada de esta expresión,
b) Al aplicar la transformación polar-rectangular, suma, multiplicación y di-
visión,
ϭ 0.565lϪ160.13Њ
ϭ
11.66 Ϫ j9
Ϫ14 ϩ j22
ϭ
14.73lϪ37.66Њ
26.08l122.47Њ
10lϪ30Њ ϩ (3 Ϫ j4)
(2 ϩ j4)(3 Ϫ j5)*
ϭ
8.66 Ϫ j5 ϩ (3 Ϫ j4)
(2 ϩ j4)(3 ϩ j5)
(40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ)1͞2
ϭ 6.91l12.81Њ
382 Capítulo 9 Senoides y fasores
Evalúe los siguientes números complejos:
a)
b)
Respuesta: a) b) 8.293 ϩ j2.2.Ϫ15.5 Ϫ j13.67,
10 ϩ j5 ϩ 3l40Њ
Ϫ3 ϩ j4
ϩ 10l30Њ
[(5 ϩ j2)(Ϫ1 ϩ j4) Ϫ 5l60Њ]*
Transforme estas senoides en fasores:
a)
b)
Solución:
a) tiene el fasor
b) Puesto que Ϫsen A ϭ cos(A ϩ 90°),
La forma fasorial de es
V ϭ 4l140Њ V
v
ϭ 4 cos(30t ϩ 140Њ) V
v ϭ Ϫ4 sen(30t ϩ 50Њ) ϭ 4 cos(30t ϩ 50Њ ϩ 90Њ)
I ϭ 6lϪ40Њ A
i ϭ 6 cos(50t Ϫ 40Њ)
v ϭ Ϫ4 sen(30t ϩ 50Њ) V
i ϭ 6 cos(50t Ϫ 40Њ) A
Exprese estas senoides como fasores:
a)
b)
Respuesta: a) b) I ϭ 4lϪ80Њ A.V ϭ 7l220Њ V,
i ϭ 4 sen(10t ϩ 10Њ) A
v ϭ Ϫ7 cos(2t ϩ 40Њ) V
Problema
de práctica 9.3
Ejemplo 9.4
Problema
de práctica 9.4](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-410-320.jpg)
![Esto puede escribirse como
o sea
(9.53)
Si entonces
(9.54)
Dado que
(9.55)
lo que indica que la ley de la tensión de Kirchhoff es válida en el caso de los
fasores.
Siguiendo un procedimiento similar, se puede demostrar que la ley de la
corriente de Kirchhoff se cumple en el caso de los fasores. Si es
la corriente que sale o entra a una superficie cerrada en una red en el tiempo
t, entonces
(9.56)
Si son las formas fasoriales de las senoides , entonces
(9.57)
la cual es la ley de la corriente de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia.
Una vez que se ha demostrado que tanto la LTK como la LCK son válidas
en el dominio de la frecuencia, es fácil hacer muchas cosas, como combina-
ción de impedancias, análisis nodal y de lazo, superposición y transformación
de fuentes.
Combinaciones de impedancias
Considérense las N impedancias conectadas en serie que aparecen en la figu-
ra 9.18. A través de ellas fluye la misma corriente I. La aplicación de la LTK
a lo largo del lazo da
(9.58)V ϭ V1 ϩ V2 ϩ p ϩ VN ϭ I(Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN)
9.7
I1 ϩ I2 ϩ p ϩ In ϭ 0
i1, i2, p , in,I1, I2, p , In
i1 ϩ i2 ϩ p ϩ in ϭ 0
i1, i2, p , in
V1 ϩ V2 ϩ p ϩ Vn ϭ 0
ejt
0,
Re[(V1 ϩ V2 ϩ p ϩ Vn)ejt
] ϭ 0
Vk ϭ Vmkejuk
,
Re[(Vm1eju1
ϩ Vm2eju2
ϩ p ϩ Vmnejun
)ejt
] ϭ 0
Re(Vm1eju1
ejt
) ϩ Re(Vm2eju2
ejt
) ϩ p ϩ Re(Vmnejun
ejt
) ϭ 0
390 Capítulo 9 Senoides y fasores
+ − + − + −
+
−
I Z1
Zeq
Z2 ZN
V1
V
V2 VN
Figura 9.18
N impedancias en serie.
La impedancia equivalente en las terminales de entrada es
o sea
(9.59)Zeq ϭ Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN
Zeq ϭ
V
I
ϭ Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-418-320.jpg)
![b) se mantiene igual que en la ecuación (9.15.4), pero y están
en paralelo. Suponiendo una combinación RC en paralelo,
Al igualar las partes real e imaginaria se obtiene
Se ha supuesto una combinación RC en paralelo. También es posible te-
ner una combinación RL en paralelo.
5. Evaluar. Úsese ahora PSpice para ver si realmente se tienen las igual-
dades correctas. La ejecución de PSpice con los circuitos equivalentes,
un circuito abierto entre la porción de “puente” del circuito y una ten-
sión de entrada de 10 volts produce las siguientes tensiones en los
extremos del “puente” en relación con una referencia en la base del cir-
cuito:
FREQ VM($N_0002) VP($N_0002)
2.000E+03 9.993E+00 -8.634E-03
2.000E+03 9.993E+00 -8.637E-03
Dado que las tensiones son básicamente las mismas, ninguna corriente
apreciable puede fluir por la porción de “puente” del circuito entre
cualquier elemento que conecte los dos puntos, y se tiene un puente
equilibrado, como era de esperar. Esto indica que se han encontrado
adecuadamente las incógnitas.
¡Pero hay un problema muy importante en lo realizado! ¿Cuál es?
Se tiene lo que podría llamarse una respuesta ideal, “teórica”, pero no
muy eficaz en la práctica. La diferencia entre las magnitudes de las im-
pedancias superiores y las inferiores es demasiado grande y jamás se
aceptaría en un circuito puente real. Para mayor exactitud, el tamaño de
las impedancias debe estar dentro del mismo orden de magnitud. Para
mejorar la precisión de la solución de este problema, es recomendable
incrementar la magnitud de las impedancias superiores para ubicarlas
en el rango de a Un comentario práctico adicional: el
tamaño de estas impedancias también genera problemas en la toma de
las mediciones reales, así que deben emplearse los instrumentos apro-
piados para minimizar la carga (que alteraría las lecturas de tensión
reales) en el circuito.
6. ¿Satisfactorio? Dado que se hallaron los términos desconocidos y
después se probaron para ver si funcionaban, los resultados están vali-
dados. Pueden presentarse ahora como una solución del problema.
1.5 M⍀.500 k⍀
ϭ Ϫ
Ϫ1.356
2p(2000)(5.9172
ϩ 1.3562
)
ϭ 2.852 mF
Cx ϭ Ϫ
Imag(Zx)
[Real(Zx)2
ϩ Imag(Zx)2
]
Rx ϭ
Real(Zx)2
ϩ Imag(Zx)2
Real(Zx)
ϭ
5.9932
ϩ 1.3562
5.993
ϭ 6.3 M⍀
ϭ Rx ʈ
1
jCx
ϭ
Rx
1 ϩ jRxCx
Zx ϭ (5.993 Ϫ j1.356) M⍀
XxRxZx
9.8 Aplicaciones 401
2 (2 000)(5.9172
ϩ 1.3562
)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-429-320.jpg)
![420 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable
De las ecuaciones (10.4.5) y (10.4.6) se obtiene la ecuación matricial
Se obtienen los siguientes determinantes:
La corriente se obtiene como
La tensión requerida Vo es
■ MÉTODO 2 Se puede usar MATLAB para resolver las ecuaciones
(10.4.1) a (10.4.4). Primero se enuncian como
(10.4.7a)
o sea
Al invertir A se puede obtener I como
(10.4.7b)
Ahora se aplica MATLAB, de esta manera:
>> A = [(8-j*2) j*2 -8 0;
0 1 0 0;
-8 -j*5 (8-j*4) (6+j*5);
0 0 -1 1];
>> B = [10 -3 0 4]’;
>> I = inv(A)*B
I =
0.2828 - 3.6069i
-3.0000
-1.8690 - 4.4276i
2.1310 - 4.4276i
>> Vo = -2*j*(I(1) - I(2))
Vo =
-7.2138 - 6.5655i
como se obtuvo anteriormente.
I ϭ AϪ1
B
AI ϭ B
D
8 Ϫ j2 j2 Ϫ8 0
0 1 0 0
Ϫ8 Ϫj5 8 Ϫ j4 6 ϩ j5
0 0 Ϫ1 1
T D
I1
I2
I3
I4
T ϭ D
10
Ϫ3
0
4
T
ϭ Ϫ7.2134 Ϫ j6.568 ϭ 9.756l222.32Њ V
Vo ϭ Ϫj2(I1 Ϫ I2) ϭ Ϫj2(3.618l274.5Њ ϩ 3)
I1 ϭ
¢1
¢
ϭ
Ϫ58 Ϫ j186
50 Ϫ j20
ϭ 3.618l274.5Њ A
I1
ϭ Ϫ58 Ϫ j186
¢1 ϭ `
10 ϩ j6 Ϫ8
Ϫ24 Ϫ j35 14 ϩ j
` ϭ 140 ϩ j10 ϩ j84 Ϫ 6 Ϫ 192 Ϫ j280
¢ ϭ `
8 Ϫ j2 Ϫ8
Ϫ8 14 ϩ j
` ϭ 112 ϩ j8 Ϫ j28 ϩ 2 Ϫ 64 ϭ 50 Ϫ j20
c
8 Ϫ j2 Ϫ8
Ϫ8 14 ϩ j
d B
I1
I3
R ϭ B
10 ϩ j6
Ϫ24 Ϫ j35
R](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-448-320.jpg)
![422 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable
A partir de las ecuaciones (10.5.4) y (10.5.5),
La expresión de en términos de da como resultado
(10.5.6)
Al sustituir las ecuaciones (10.5.5) y (10.5.6) en la ecuación (10.5.3) se ob-
tiene
o sea
La corriente se obtiene como
(10.5.7)
Con base en las ecuaciones (10.5.2) y (10.5.7) se escribe
lo cual concuerda con lo obtenido en el ejemplo 10.3. Cabe señalar que apli-
car el teorema de superposición no es la mejor manera de resolver este
problema. Al parecer, se ha vuelto doblemente difícil al emplear la superpo-
sición. En cambio, en el ejemplo 10.6 la superposición es evidentemente el
método más fácil.
Io ϭ I¿o ϩ I–o ϭ Ϫ5 ϩ j3.529 ϭ 6.12l144.78Њ A
I–o ϭ ϪI2 ϭ Ϫ2.647 ϩ j1.176
I–o
I2 ϭ
90 Ϫ j40
34
ϭ 2.647 Ϫ j1.176
(8 ϩ j8)[(2 ϩ j2)I2 Ϫ 5] Ϫ j50 ϩ j2I2 ϭ 0
I1 ϭ (2 ϩ j2)I2 Ϫ 5
I2I1
(4 Ϫ j4)I2 ϩ j2I1 ϩ j10 ϭ 0
Halle la corriente en el circuito de la figura 10.8 aplicando el teorema de
superposición.
Respuesta: 1.194l65.45Њ A.
Io
Halle en el circuito de la figura 10.13 aplicando el teorema de superpo-
sición.
vo
Solución:
Como el circuito opera a tres frecuencias diferentes para la fuente de
tensión de cd), una manera de obtener una solución es aplicar la superposición,
la cual descompone el problema en problemas de una sola frecuencia. Sea en-
tonces que
(10.6.1)vo ϭ v1 ϩ v2 ϩ v3
( ϭ 0
Ejemplo 10.6
Problema
de práctica 10.5
2 H 1 Ω 4 Ω
0.1 F 5 V+
−
+
−10 cos 2t V 2 sen 5t A
−+ vo
Figura 10.13
Para el ejemplo 10.6.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-450-320.jpg)
![436 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable
la corriente de G1 fluye del nodo 1 al nodo 3, en tanto que la tensión
controladora ocurre a través del capacitor C2, como se requirió en la
figura 10.38. Los atributos de los seudocomponentes VPRINT1 se fijan
como se muestra en la figura 10.39. Como se trata de un análisis de
frecuencia única, se selecciona Analysis/Setup/AC Sweep y se introdu-
ce Total Pts ϭ 1, Start Freq ϭ 0.159155 y Final Freq ϭ 0.159155.
Tras guardar el esquema, se selecciona Analysis/Simulate para simular
el circuito. Una vez hecho esto, el archivo de salida incluye
FREQ VM(1) VP(1)
1.592E–01 2.708E+00 –5.673E+01
FREQ VM(3) VP(3)
1.592E-01 4.468E+00 –1.026E+02
de lo que se obtiene
5. Evaluar. Una de las lecciones más importantes por aprender es que
cuando se usan programas como PSpice se debe validar la respuesta de
todas maneras. Son muchos los riesgos de cometer un error, incluido el
encuentro con una falla desconocida de PSpice que genere resultados
incorrectos.
Así que, ¿cómo se puede validar esta solución? Obviamente, se
puede repetir el problema entero con análisis nodal, y quizá usando
MATLAB, para ver si se obtiene los mismos resultados. Aquí se seguirá
otro método: escribir las ecuaciones nodales y sustituir las respuestas
obtenidas en la solución en PSpice, para ver si las ecuaciones nodales
se satisfacen.
Las ecuaciones nodales de este circuito se dan a continuación. Ad-
viértase que se ha sustituido en la fuente dependiente.
Ahora, para comprobar la respuesta se sustituyen en esto las respuestas
de PSpice.
[La respuesta se comprueba]
6. ¿Satisfactorio? Aunque sólo se emplea la ecuación del nodo 1 para
comprobar la respuesta, esto es más que satisfactorio para validar la
respuesta de la solución en PSpice. Ahora se puede presentar el trabajo
como una solución del problema.
ϭ 3 Ϫ j0.0003
ϭ4.984 Ϫ j1.4272 Ϫ 1.9842 ϩ j1.4269
ϭ 5.184lϪ15.98Њ Ϫ 2.444lϪ35.72Њ
1.9144l40.76Њ ϫ 2.708lϪ56.74Њ Ϫ 0.3536l45Њ ϫ 6.911lϪ80.72Њ
1.9144l40.76Њ V1 Ϫ 0.3536l45Њ V2 ϭ 3
(1.45 ϩ j1.25)V1 Ϫ (0.25 ϩ j0.25)V2 ϭ 3
Ϫ (0.25 Ϫ j0.25 ϩ j0.5)V2 ϭ 3
(1 ϩ j ϩ 0.25 Ϫ j0.25 ϩ 0.2 ϩ j0.5)V1
Ϫ3 ϩ
V1 Ϫ 0
1
ϩ
V1 Ϫ 0
Ϫj1
ϩ
V1 Ϫ V2
2 ϩ j2
ϩ 0.2V1 ϩ
V1 Ϫ V2
Ϫj2
ϭ 0
V1 ϭ Vx
V1 ϭ 2.708l؊56.74؇ V y V2 ϭ 6.911l؊80.72؇ V](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-464-320.jpg)
![Introducción
El esfuerzo realizado hasta aquí en el análisis de circuitos de ca se ha con-
centrado mayormente en el cálculo de la tensión y la corriente. El principal
interés en este capítulo será el análisis de la potencia.
El análisis de potencia es de suma importancia. La potencia es la canti-
dad más relevante en sistemas de suministro de electricidad, electrónicos y de
comunicación, porque tales sistemas implican la transmisión de potencia de
un punto a otro. De igual manera, cada aparato eléctrico industrial y domés-
tico, cada ventilador, motor, lámpara, plancha, televisor y computadora perso-
nal, tiene una potencia nominal que indica cuánta potencia requiere el equipo;
exceder la potencia nominal puede causar daños permanentes a un dispositi-
vo. La forma más común de potencia eléctrica es la potencia de ca a 50 o 60
Hz. La elección de la ca sobre la cd permitió la transmisión de potencia en
alta tensión desde la planta generadora de energía al consumidor.
Se comenzará definiendo y derivando la potencia instantánea y la poten-
cia promedio. Después se presentarán otros conceptos de potencia. Como apli-
caciones prácticas de estos conceptos se explicará cómo se mide la potencia
y se reconsiderará la forma en que las compañías de suministro de electrici-
dad les cobran a sus clientes.
Potencia instantánea y promedio
Como se mencionó en el capítulo 2, la potencia instantánea p(t) absorbida
por un elemento es el producto de la tensión instantánea v(t) en las terminales
del elemento y la corriente instantánea i(t) a través de él. Suponiendo la con-
vención pasiva de los signos,
(11.1)p(t) ϭ v(t)i(t)
11.2
11.1
458 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca
La potencia instantánea (en watts) es la potencia en cualquier instante.
Es la tasa en la cual un elemento absorbe energía.
Considérese el caso general de la potencia instantánea absorbida por una
combinación arbitraria de elementos de circuitos bajo excitación senoidal, co-
mo se muestra en la figura 11.1. Sean la tensión y la corriente en las termi-
nales del circuito
(11.2a)
(11.2b)
donde e son las amplitudes (o valores pico) y y son los ángulos
de fase de la tensión y la corriente, respectivamente. La potencia instantánea
absorbida por el circuito es
(11.3)
Se aplica la identidad trigonométrica
(11.4)cos A cos B ϭ
1
2
[cos(A Ϫ B) ϩ cos(A ϩ B)]
p(t) ϭ v(t)i(t) ϭ VmIm cos(t ϩ uv) cos(t ϩ ui)
uiuvImVm
i(t) ϭ Im cos(t ϩ ui)
v(t) ϭ Vm cos(t ϩ uv)
Fuente
senoidal
Red lineal
pasiva
i(t)
+
−
v(t)
La potencia instantánea también puede
concebirse como la potencia absorbi-
da por el elemento en un instante
específico. Las cantidades instantáneas
se denotan con letras minúsculas.
Figura 11.1
Fuente senoidal y circuito lineal pasivo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-486-320.jpg)
![La sustitución de p(t) de la ecuación (11.5) en la ecuación (11.6) produce
(11.7)
El primer integrando es constante, y el promedio de una constante es la mis-
ma constante. El segundo integrando es una senoide. Se sabe que el prome-
dio de una senoide a lo largo de su periodo es de cero, por lo que el área bajo
la senoide durante medio ciclo positivo es cancelada por el área bajo ella du-
rante el siguiente medio ciclo negativo. Así, el segundo término de la ecua-
ción (11.7) se anula y la potencia promedio se convierte en
(11.8)
Puesto que lo importante es la diferencia en las
fases de la tensión y la corriente.
Cabe señalar que p(t) es variable en el tiempo, mientras que P no depen-
de del tiempo. Para hallar la potencia instantánea, necesariamente debe tener-
se v(t) e i(t) en el dominio del tiempo. En cambio, la potencia promedio puede
hallarse cuando la tensión y la corriente se expresan en el dominio temporal,
como en la ecuación (11.8), o cuando se expresan en el dominio de frecuen-
cia. Las formas fasoriales de v(t) e i(t) en la ecuación (11.2) son
e respectivamente. P se calcula mediante la ecuación (11.8) o em-
pleando los fasores V e I. Para emplear fasores, adviértase que
(11.9)
En la parte real de esta expresión se reconoce la potencia promedio P, de
acuerdo con la ecuación (11.8). Así,
(11.10)
Considérense dos casos especiales de la ecuación (11.10). Cuando
la tensión y la corriente están en fase. Esto implica un circuito pura-
mente resistivo o carga resistiva R, y
(11.11)
donde La ecuación (11.11) indica que un circuito puramente
resistivo absorbe potencia todo el tiempo. Cuando v Ϫ i ϭ Ϯ90° se tiene un
circuito puramente reactivo, y
(11.12)P ϭ
1
2
VmIm cos 90Њ ϭ 0
0I02
ϭ I ϫ I*.
P ϭ
1
2
VmIm ϭ
1
2
I2
mR ϭ
1
2
0I 02
R
uv ϭ ui,
P ϭ
1
2
Re[VI*] ϭ
1
2
VmIm cos(uv Ϫ ui)
ϭ
1
2
VmIm[cos(uv Ϫ ui) ϩ j sen(uv Ϫ ui)]
1
2
VI* ϭ
1
2
VmImluv Ϫ ui
I ϭ Imlui,
V ϭ Vmluv
cos(uv Ϫ ui) ϭ cos(ui Ϫ uv),
P ϭ
1
2
VmIm cos(uv Ϫ ui)
ϩ
1
2
VmIm
1
T Ύ
T
0
cos(2t ϩ uv ϩ ui) dt
ϭ
1
2
VmIm cos(uv Ϫ ui)
1
T Ύ
T
0
dt
ϩ
1
T Ύ
T
0
1
2
VmIm cos(2t ϩ uv ϩ ui) dt
P ϭ
1
T Ύ
T
0
1
2
VmIm cos(uv Ϫ ui) dt
460 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-488-320.jpg)
![Calcule la potencia promedio absorbida por una impedancia
cuando una tensión se aplica en sus terminales.
Solución:
La corriente a través de la impedancia es
I ϭ
V
Z
ϭ
120l0Њ
30 Ϫ j70
ϭ
120l0Њ
76.16lϪ66.8Њ
ϭ 1.576l66.8Њ A
V ϭ 120l0Њ
Z ϭ 30 Ϫ j70 ⍀
lo que indica que un circuito puramente reactivo no absorbe potencia en pro-
medio. En suma,
11.2 Potencia instantánea y promedio 461
Una carga resistiva (R) absorbe potencia todo el tiempo, mientras que una
carga reactiva (L o C) absorbe una potencia promedio nula.
Dado que
halle la potencia instantánea y la potencia promedio absorbidas por la red li-
neal pasiva de la figura 11.1.
Solución:
La potencia instantánea está dada por
La aplicación de la identidad trigonométrica
da como resultado
o sea
La potencia promedio es
la cual es la parte constante de p(t), arriba.
ϭ 600 cos 55Њ ϭ 344.2 W
P ϭ
1
2
VmIm cos(uv Ϫ ui) ϭ
1
2
120(10) cos[45Њ Ϫ (Ϫ10Њ)]
p(t) ϭ 344.2 ϩ 600 cos(754t ϩ 35Њ) W
p ϭ 600[cos(754t ϩ 35Њ) ϩ cos 55Њ]
cos A cos B ϭ
1
2
[cos(A ϩ B) ϩ cos(A Ϫ B)]
p ϭ vi ϭ 1200 cos(377t ϩ 45Њ) cos(377t Ϫ 10Њ)
v(t) ϭ 120 cos(377t ϩ 45Њ) V y i(t) ϭ 10 cos(377t Ϫ 10Њ) A
Calcule la potencia instantánea y la potencia promedio absorbidas por la
red lineal pasiva de la figura 11.1 si
Respuesta: 385.7 W.385.7 ϩ 600 cos(20t Ϫ 10Њ) W,
v(t) ϭ 80 cos(10t ϩ 20Њ) V y i(t) ϭ 15 sen(10t ϩ 60Њ) A
Ejemplo 11.1
Problema
de práctica 11.1
Ejemplo 11.2
e
1200
e](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-489-320.jpg)
![mo un motor eléctrico, una antena, un televisor, etcétera. En forma rectangu-
lar, la impedancia de Thévenin y la impedancia de carga son
(11.13a)
(11.13b)
La corriente que fluye a través de la carga es
(11.14)
Partiendo de la ecuación (11.11), la potencia promedio suministrada a la car-
ga es
(11.15)
El objetivo es ajustar los parámetros de la carga y de manera que P sea
máxima. Para hacerlo se fijan en cero y . De la ecuación
(11.15) se obtiene
(11.16a)
(11.16b)
La fijación de en cero produce
(11.17)
La fijación de en cero resulta en
(11.18)
La combinación de las ecuaciones (11.17) y (11.18) lleva a la conclusión de
que para la máxima transferencia de potencia promedio debe seleccionar-
se de tal forma que y es decir,
(11.19)ZL ϭ RL ϩ jXL ϭ RTh Ϫ jXTh ϭ Z*Th
RL ϭ RTh,XL ϭ ϪXTh
ZL
RL ϭ 2R2
Th ϩ (XTh ϩ XL)2
0P͞0RL
XL ϭ ϪXTh
0P͞0XL
0P
0RL
ϭ
0VTh 02
[(RTh ϩ RL)2
ϩ (XTh ϩ XL)2
Ϫ 2RL(RTh ϩ RL)]
2[(RTh ϩ RL)2
ϩ (XTh ϩ XL)2
]2
0P
0XL
ϭ Ϫ
0VTh 02
RL(XTh ϩ XL)
[(RTh ϩ RL)2
ϩ (XTh ϩ XL)2
]2
0P͞0XL0P͞0RL
XLRL
P ϭ
1
2
0I02
RL ϭ
0VTh 02
RL͞2
(RTh ϩ RL)2
ϩ (XTh ϩ XL )2
I ϭ
VTh
ZTh ϩ ZL
ϭ
VTh
(RTh ϩ jXTh) ϩ (RL ϩ jXL)
ZL ϭ RL ϩ jXL
ZTh ϭ RTh ϩ jXTh
ZLZTh
11.3 Máxima transferencia de potencia promedio 465
I
ZL
a)
VTh
ZTh
b)
ZL
+
−
Circuito
lineal
Figura 11.7
Determinación de la transferencia de po-
tencia máxima promedio: a) circuito con
una carga, b) el equivalente de Thévenin.
Para la máxima transferencia de potencia promedio, la impedancia de carga
ZL debe ser igual al conjugado de la impedancia compleja de Thévenin ZTh.
Este resultado se conoce como teorema de la máxima transferencia de poten-
cia promedio para el estado estable senoidal. Fijar y en
la ecuación (11.15) da la máxima potencia promedio como
(11.20)
En una situación en la que la carga es puramente real, la condición para
la máxima transferencia de potencia se obtiene de la ecuación (11.18) esta-
bleciendo ; es decir,
(11.21)RL ϭ 2R2
Th ϩ X2
Th ϭ 0ZTh 0
XL ϭ 0
Pmax ϭ
0VTh 02
8RTh
XL ϭ ϪXThRL ϭ RTh
Cuando ZL Z*Th se dice que la carga
está equilibrada con la fuente.
ϭ
Pmáx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-493-320.jpg)
![Solución:
a) En cuanto a los valores rms de la tensión y la corriente, se escribe
La potencia compleja es
La potencia aparente es
b) La potencia compleja puede expresarse en forma rectangular como
Dado que la potencia real es
mientras que la potencia reactiva es
c) El factor de potencia es
El factor de potencia es adelantado, porque la potencia reactiva es negativa.
La impedancia de la carga es
la cual es una impedancia capacitiva.
Z ϭ
V
I
ϭ
60lϪ10Њ
1.5lϩ50Њ
ϭ 40lϪ60Њ ⍀
fp ϭ cos(Ϫ60Њ) ϭ 0.5 (adelantado)
Q ϭ Ϫ38.97 VAR
P ϭ 22.5 W
S ϭ P ϩ jQ,
S ϭ 45lϪ60Њ ϭ 45[cos(Ϫ60Њ) ϩ j sen(Ϫ60Њ)] ϭ 22.5 Ϫ j38.97
S ϭ 0S 0 ϭ 45 VA
S ϭ Vrms I*rms ϭ a
60
22
lϪ10Њba
1.5
22
lϪ50Њb ϭ 45lϪ60Њ VA
Vrms ϭ
60
22
lϪ10Њ, Irms ϭ
1.5
22
lϩ50Њ
476 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca
Para una carga, Determine: a) las po-
tencias compleja y aparente, b) las potencias real y reactiva y c) el factor de
potencia y la impedancia de carga.
Respuesta: a) VA, 44 VA, b) 15.05 W, 41.35 VAR, c) 0.342 atrasa-
do, 94.06 ϩ j258.4 ⍀.
44l70Њ
Vrms ϭ 110l85Њ V, Irms ϭ 0.4l15Њ A.
Una carga Z toma 12 kVA, con un factor de potencia atrasado de 0.856, de una
fuente senoidal de 120 V rms. Calcule: a) las potencias promedio y reactiva su-
ministradas a la carga, b) la corriente pico y c) la impedancia de carga.
Solución:
a) Dado que el ángulo de potencia se obtiene como
Si la potencia aparente es S ϭ 12 000 entonces la
potencia promedio o real es
P ϭ S cos ϭ 12 000 ϫ 0.856 ϭ 10.272 kW
u ϭ cosϪ1
0.856 ϭ 31.13Њ.
fp ϭ cosu ϭ 0.856,
Problema
de práctica 11.11
Ejemplo 11.12](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku-160228142909/85/Fundamentos-de-circuitos-electricos-3edi-sadiku-504-320.jpg)
Fundamentos de-circuitos-electricos-3edi-sadiku
- 5. t e r c e r a e d i c i ó n Fundamentos de Circuitos eléctricos Charles K. Alexander Cleveland State University Matthew N. O. Sadiku Prairie View A&M University MÉXICO • AUCKLAND • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA LISBOA • LONDRES • MADRID • MILÁN • MONTREAL • NUEVA YORK SAN FRANCISCO • SAN JUAN • SAN LUIS • NUEVA DELHI • SANTIAGO SÃO PAULO • SIDNEY • SINGAPUR • TORONTO Traducción Aristeo Vera Bermúdez Traductor profesional Carlos Roberto Cordero Pedraza Catedrático de Ingeniería Electrónica y Comunicaciones Secretaría de Marina Armada de México, CESNAV Revisión técnica Francisco Martín del Campo Profesor de Circuitos Eléctricos Universidad Iberoamericana, Ciudad de México
- 6. Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vázquez Editora de desarrollo: Paula Montaño González Supervisor de producción: Zeferino García García FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Tercera edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2006 respecto a la segunda edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C. P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-5606-X Traducido de la tercera edición de: FUNDAMENTALS OF ELECTRIC CIRCUITS, THIRD EDITION Copyright © MMVI by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions © 2004, and 2000. ISBN 0-07-326800-3 1234567890 09875432106 Impreso en México Printed in Mexico
- 7. Dedicada a nuestras esposas, Kikelomo y Hannah, cuya comprensión y ayuda hicieron posible la realización de este libro. Matthew y Chuck
- 9. vii Prefacio xii Agradecimientos xvi Visita paso a paso xx Nota para el estudiante xxiii Acerca de los autores xxv PARTE 1 Circuitos de cd 2 Capítulo 1 Conceptos básicos 3 1.1 Introducción 4 1.2 Sistemas de unidades 4 1.3 Carga y corriente 6 1.4 Tensión 9 1.5 Potencia y energía 10 1.6 Elementos de circuitos 15 1.7 Aplicaciones 17 1.7.1 Tubo de imagen del televisor 1.7.2 Recibos de consumo de electricidad 1.8 Solución de problemas 20 1.9 Resumen 23 Preguntas de repaso 24 Problemas 24 Problemas de mayor extensión 27 Capítulo 2 Leyes básicas 29 2.1 Introducción 30 2.2 Ley de Ohm 30 2.3 Nodos, ramas y mallas 35 2.4 Leyes de Kirchhoff 37 2.5 Resistores en serie y división de tensión 43 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 45 2.7 Transformaciones estrella-delta 52 2.8 Aplicaciones 58 2.8.1 Sistemas de iluminación 2.8.2 Diseño de medidores de cd 2.9 Resumen 64 Preguntas de repaso 66 Problemas 67 Problemas de mayor extensión 78 Capítulo 3 Métodos de análisis 81 3.1 Introducción 82 3.2 Análisis nodal 82 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 88 3.4 Análisis de lazo 93 3.5 Análisis de lazo con fuentes de corriente 98 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 100 3.7 Comparación del análisis nodal con el de lazo 104 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 105 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd 107 3.10 Resumen 112 Preguntas de repaso 113 Problemas 114 Problemas de mayor extensión 126 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 127 4.1 Introducción 128 4.2 Propiedad de linealidad 128 4.3 Superposición 130 4.4 Transformación de fuentes 135 4.5 Teorema de Thevenin 139 4.6 Teorema de Norton 145 4.7 Derivación de los Teoremas de Thevenin y Norton 149 4.8 Máxima transferencia de potencia 150 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice 152 Contenido
- 10. viii Contenido 4.10 Aplicaciones 155 4.10.1 Modelado de fuentes 4.10.2 Medición de la resistencia 4.11 Resumen 160 Preguntas de repaso 161 Problemas 162 Problemas de mayor extensión 173 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 175 5.1 Introducción 176 5.2 Amplificadores operacionales 176 5.3 Amplificador operacional ideal 179 5.4 Amplificador inversor 181 5.5 Amplificador no inversor 183 5.6 Amplificador sumador 185 5.7 Amplificador diferencial 187 5.8 Circuitos con amplificadores operacionales en cascada 191 5.9 Análisis de circuitos con amplificadores operacionales con PSpice 194 5.10 Aplicaciones 196 5.10.1 Convertidor digital-analógico 5.10.2 Amplificadores para instrumentación 5.11 Resumen 199 Preguntas de repaso 201 Problemas 202 Problemas de mayor extensión 213 Capítulo 6 Capacitores e inductores 215 6.1 Introducción 216 6.2 Capacitores 216 6.3 Capacitores en serie y en paralelo 222 6.4 Inductores 226 6.5 Inductores en serie y en paralelo 230 6.6 Aplicaciones 233 6.6.1 Integrador 6.6.2 Diferenciador 6.6.3 Computadora analógica 6.7 Resumen 240 Preguntas de repaso 241 Problemas 242 Problemas de mayor extensión 251 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 253 7.1 Introducción 254 7.2 Circuito RC sin fuente 254 7.3 Circuito RL sin fuente 259 7.4 Funciones singulares 265 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 273 7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 280 7.7 Circuitos de primer orden con amplificadores operacionales 284 7.8 Análisis transitorio con PSpice 289 7.9 Aplicaciones 293 7.9.1 Circuitos de retraso 7.9.2 Unidad de flash fotográfico 7.9.3 Circuitos relevadores 7.9.4 Circuitos de encendido de un automóvil 7.10 Resumen 299 Preguntas de repaso 300 Problemas 301 Problemas de mayor extensión 311 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden 313 8.1 Introducción 314 8.2 Determinación de valores iniciales y finales 314 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 319 8.4 Circuito RLC en paralelo sin fuente 326 8.5 Respuesta escalón de un circuito RLC en serie 331 8.6 Respuesta escalón de un circuito RLC en paralelo 336 8.7 Circuitos generales de segundo orden 339 8.8 Circuitos de segundo orden con amplificadores operacionales 344 8.9 Análisis de circuitos RLC con PSpice 346 8.10 Dualidad 350 8.11 Aplicaciones 353 8.11.1 Sistema de encendido de un automóvil 8.11.2 Circuitos suavisadores 8.12 Resumen 356 Preguntas de repaso 357 Problemas 358 Problemas de mayor extensión 367 PARTE 2 Circuitos de ca 368 Capítulo 9 Senoides y fasores 369 9.1 Introducción 370 9.2 Senoides 371 9.3 Fasores 376 9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos 385 9.5 Impedancia y admitancia 387 9.6 Las leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial 389 9.7 Combinaciones de impedancias 390
- 11. Contenido ix 9.8 Aplicaciones 396 9.8.1 Desfasadores 9.8.2 Puentes de ca 9.9 Resumen 402 Preguntas de repaso 403 Problemas 403 Problemas de mayor extensión 411 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 413 10.1 Introducción 414 10.2 Análisis nodal 414 10.3 Análisis de lazo 417 10.4 Teorema de superposición 421 10.5 Transformación de fuentes 424 10.6 Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton 426 10.7 Circuitos de ca con amplificadores operacionales 431 10.8 Análisis de ca con el uso de PSpice 433 10.9 Aplicaciones 437 10.9.1 Multiplicador de capacitancia 10.9.2 Osciladores 10.10 Resumen 441 Preguntas de repaso 441 Problemas 443 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca 457 11.1 Introducción 458 11.2 Potencia instantánea y promedio 458 11.3 Máxima transferencia de potencia promedio 464 11.4 Valor eficaz o rms 467 11.5 Potencia aparente y factor de potencia 470 11.6 Potencia compleja 473 11.7 Conservación de la potencia de ca 477 11.8 Corrección del factor de potencia 481 11.9 Aplicaciones 483 11.9.1 Medición de la potencia 11.9.2 Costo del consumo de electricidad 11.10 Resumen 488 Preguntas de repaso 490 Problemas 490 Problemas de mayor extensión 500 Capítulo 12 Circuitos trifásicos 503 12.1 Introducción 504 12.2 Tensiones trifásicas balanceadas 505 12.3 Conexión estrella-estrella balanceada 509 12.4 Conexión estrella-delta balanceada 512 12.5 Conexión delta-delta balanceada 514 12.6 Conexión delta-estrella balanceada 516 12.7 Potencia en un sistema balanceado 519 12.8 Sistemas trifásicos desbalanceados 525 12.9 PSpice para circuitos trifásicos 529 12.10 Aplicaciones 534 12.10.1 Medición de la potencia trifásica 12.10.2 Instalación eléctrica residencial 12.11 Resumen 543 Preguntas de repaso 543 Problemas 544 Problemas de mayor extensión 553 Capítulo 13 Circuitos magnéticamente acoplados 555 13.1 Introducción 556 13.2 Inductancia mutua 557 13.3 Energía en un circuito acoplado 564 13.4 Transformadores lineales 567 13.5 Transformadores ideales 573 13.6 Autotransformadores ideales 581 13.7 Transformadores trifásicos 584 13.8 Análisis con PSpice de circuitos magnéticamente acoplados 586 13.9 Aplicaciones 591 13.9.1 El transformador como dispositivo de aislamiento 13.9.2 El transformador como dispositivo de acoplamiento 13.9.3 Distribución de potencia 13.10 Resumen 597 Preguntas de repaso 598 Problemas 599 Problemas de mayor extensión 611 Capítulo 14 Respuestas en frecuencia 613 14.1 Introducción 614 14.2 Función de transferencia 614 14.3 La escala de decibeles 617 14.4 Diagramas de Bode 619 14.5 Resonancia en serie 629 14.6 Resonancia en paralelo 634 14.7 Filtros pasivos 637 14.7.1 Filtro pasabajas 14.7.2 Filtro pasaaltas 14.7.3 Filtro pasabanda 14.7.4 Filtro rechazabanda 14.8 Filtros activos 642 14.8.1 Filtro pasabajas de primer orden 14.8.2 Filtro pasaaltas de primer orden
- 12. x Contenido 14.8.3 Filtro pasabanda 14.8.4 Filtro rechazabanda (o de muesca) 14.9 Escalamiento 648 14.9.1 Escalamiento de magnitud 14.9.2 Escalamiento de frecuencia 14.9.3 Escalamiento de magnitud y de frecuencia 14.10 Respuesta en frecuencia utilizando PSpice 652 14.11 Computación con MATLAB 655 14.12 Aplicaciones 657 14.12.1 Receptor de radio 14.12.2 Teléfono de tonos por teclas 14.12.3 Red de separación 14.13 Resumen 663 Preguntas de repaso 664 Problemas 665 Problemas de mayor extensión 673 PARTE 3 Análisis avanzado de circuitos 674 Capítulo 15 Introducción a la transformada de Laplace 675 15.1 Introducción 676 15.2 Definición de la transformada de Laplace 677 15.3 Propiedades de la transformada de Laplace 679 15.4 Transformada inversa de Laplace 690 15.4.1 Polos simples 15.4.2 Polos repetidos 15.4.3 Polos complejos 15.5 Integral de convolución 697 15.6 Aplicación de las ecuaciones integrodiferenciales 705 15.7 Resumen 708 Preguntas de repaso 708 Problemas 709 Capítulo 16 Aplicaciones de la transformada de Laplace 715 16.1 Introducción 716 16.2 Modelos de los elementos de un circuito 716 16.3 Análisis de circuitos 722 16.4 Funciones de transferencia 726 16.5 Variables de estado 730 16.6 Aplicaciones 737 16.6.1 Estabilidad de una red 16.6.2 Síntesis de red 16.7 Resumen 745 Preguntas de repaso 746 Problemas 747 Problemas de mayor extensión 754 Capítulo 17 Las series de Fourier 755 17.1 Introducción 756 17.2 Series trigonométricas de Fourier 756 17.3 Consideraciones de simetría 764 17.3.1 Simetría par 17.3.2 Simetría impar 17.3.3 Simetría de media onda 17.4 Aplicaciones en circuitos 774 17.5 Potencia promedio y valores rms 778 17.6 Series exponenciales de Fourier 781 17.7 Análisis de Fourier con PSpice 787 17.7.1 Transformada discreta de Fourier 17.7.2 Transformada rápida de Fourier 17.8 Aplicaciones 793 17.8.1 Analizadores de espectro 17.8.2 Filtros 17.9 Resumen 796 Preguntas de repaso 798 Problemas 798 Problemas de mayor extensión 807 Capítulo 18 Transformada de Fourier 809 18.1 Introducción 810 18.2 Definición de la transformada de Fourier 810 18.3 Propiedades de la transformada de Fourier 816 18.4 Aplicaciones en circuitos 829 18.5 Teorema de Parseval 832 18.6 Comparación de las transformadas de Fourier y de Laplace 835 18.7 Aplicaciones 836 18.7.1 Modulación de amplitud 18.7.2 Muestreo 18.8 Resumen 839 Preguntas de repaso 840 Problemas 841 Problemas de mayor extensión 847 Capítulo 19 Redes de dos puertos 849 19.1 Introducción 850 19.2 Parámetros de impedancia 850 19.3 Parámetros de admitancia 855 19.4 Parámetros híbridos 858
- 13. Contenido xi 19.5 Parámetros de transmisión 863 19.6 Relaciones entre parámetros 868 19.7 Interconexión de redes 871 19.8 Cálculo de los parámetros de dos puertos utilizando PSpice 877 19.9 Aplicaciones 880 19.9.1 Circuitos transistorizados 19.9.2 Síntesis de red en escalera 19.10 Resumen 889 Preguntas de repaso 890 Problemas 890 Problemas de mayor extensión 901 Apéndice A Ecuaciones simultáneas e inversión de matrices A Apéndice B Números complejos A-9 Apéndice C Fórmulas matemáticas A-16 Apéndice D PSpice para Windows A-21 Apéndice E MATLAB A-46 Apéndice F KCIDE para circuitos A-65 Apéndice G Respuestas a los problemas con número impar A-75 Bibliografía B-1 Índice I-1
- 14. xii Prefacio Uno se preguntará por qué se selecciono la foto del NASCAR para la portada. En realidad, se seleccionó por varias razones. Obviamente, es muy excitante, ya que se trató de que McGraw-Hill modificara el auto que va a la delantera con el logo de la compañía pegado sobre el y a “Alexander y Sadiku” ¡al otro lado del auto! Otra razón, no tan obvia, es que la mitad del costo de un auto nuevo lo representa su electrónica (¡circuitos!). Sin embargo, la razón más im- portante es que un ¡auto ganador necesita de un “equipo” para lograrlo! Y trabajar juntos como equipo es muy importante para el ingeniero exitoso y al- go que se fomenta ampliamente en este texto. CARACTERÍSTICAS Conservadas de ediciones anteriores Los objetivos principales de la tercera edición de este libro se mantienen igua- les con respecto a la primera y segunda ediciones, a fin de presentar el aná- lisis de circuitos de una manera que sea más clara, más interesante, y más fácil de comprender que en otros textos, y para ayudar al estudiante a que co- mience a ver la “diversión” de la ingeniería. Este objetivo se logra de las for- mas siguientes: • Introducción y resumen en cada capítulo Cada capítulo inicia con un análisis acerca de cómo desarrollar las habi- lidades que contribuyan al éxito en la solución de problemas así como al éxito en la profesión o con una plática orientada a la profesión sobre al- guna subdisciplina de la ingeniería eléctrica. A esto lo sigue una intro- ducción que vincula el capítulo con los capítulos anteriores y plantea los objetivos de dicho capítulo. Éste finaliza con un resumen de los puntos y fórmulas principales. • Metodología en la solución de problemas El capítulo 1 presenta un método de seis pasos para resolver problemas sobre circuitos, el cual se utiliza de manera consistente a lo largo del tex- to y de los suplementos multimedia a fin de promover las prácticas más actuales para la solución de problemas. • Estilo de la escritura amigable para el estudiante Todos los principios se presentan de una manera clara, lógica y detalla- da. Tratamos de evitar redundancias y detalles superfluos que podrían ocultar los conceptos e impedir la comprensión total del material. • Fórmulas y términos clave encerrados en recuadro Las fórmulas importantes se encierran en un recuadro como una forma de ayudar a los estudiantes a clasificar qué es esencial y qué no; asimis- mo, se definen y destacan términos clave, a fin de asegurar que los estu- diantes perciban claramente la esencia de la materia.
- 15. Prefacio xiii • Notas al margen Las notas al margen se utilizan como una ayuda pedagógica y sirven a varios propósitos: sugerencias, referencias cruzadas, mayor exposición, advertencias, recordatorios para no cometer errores comunes y estrategias para la solución de problemas. • Ejemplos desarrollados Al final de cada sección, se incluyen abundantes ejemplos completamen- te trabajados los cuales se consideran como parte del texto y se explican con toda claridad, sin que se pida al lector que complete los pasos. De este modo se proporciona a los estudiantes una comprensión adecuada de la solución y la confianza para que resuelvan problemas por cuenta pro- pia. Algunos de éstos se resuelven de dos o tres formas para facilitar su comprensión y la comparación de los diferentes métodos. • Problemas de práctica Para proporcionar a los estudiantes la oportunidad de practicar, a cada ejemplo ilustrativo le sigue de inmediato un problema práctico con la res- puesta. Los estudiantes pueden seguir el ejemplo paso a paso para resol- ver el problema práctico sin hojear páginas o buscar al final del libro las respuestas. El problema de práctica busca también verificar que el estu- diante haya comprendido el ejemplo anterior. Esto reforzará la compren- sión del material antes de pasar a la siguiente sección. En ARIS se encuentran disponibles para los estudiantes, las soluciones completas a los problemas de práctica. • Secciones de aplicación La última sección en cada capítulo se dedica a las aplicaciones prácticas de los conceptos examinados en el mismo. Cada capítulo cuenta al me- nos con uno o dos problemas o dispositivos prácticos, lo cual ayuda a que los estudiantes apliquen los conceptos a situaciones de la vida real. • Preguntas de repaso Se incluyen diez preguntas de repaso de opción múltiple al final de cada capítulo, con sus respuestas. Su propósito es describir los pequeños “tru- cos” que quizá no abarquen los ejemplos y los problemas de fin de capí- tulo. Sirven como un dispositivo de autoevaluación y ayudan a los estudiantes a determinar qué tan bien han llegado a dominar el capítulo. • Herramientas de cómputo A fin de reconocer el requerimiento de la ABET® relativo a la integra- ción de herramientas computarizadas, el uso de PSpice, MATLAB y KCIDE para circuitos se fomenta de manera amigable para el estudian- te. PSpice se aborda al principio del texto de tal forma que los estudian- tes se familiaricen y lo utilicen a lo largo del texto. El apéndice D sirve como un tutorial sobre PSpice para Windows. MATLAB también se pre- senta al principio del libro con un tutorial que se encuentra disponible en el apéndice E. KCIDE para circuitos es nuevo en este libro. Es un siste- ma de software muy novedoso y actualizado que se diseñó para ayudar al estudiante a incrementar la probabilidad de éxito en la solución de pro- blemas y se presenta en el apéndice F. • Gusto por la historia Bosquejos históricos a través del texto proporcionan perfiles de pioneros importantes y eventos relevantes al estudio de la ingeniería eléctrica. • Estudio del amplificador operacional al principio del texto El amplificador operacional (op amp) como elemento básico se presenta al principio del texto.
- 16. xiv Prefacio • Amplia cobertura de las transformadas de Fourier y de Laplace Para facilitar la transición entre el curso de circuitos y los cursos de seña- les y sistemas, las transformadas de Fourier y de Laplace se abordan cla- ra y ampliamente. Los capítulos se presentan de tal manera que el profesor interesado en el tema pueda ir desde las soluciones de los circuitos de pri- mer orden hasta el capítulo 15. Lo anterior facilita una secuencia muy na- tural a partir de Laplace, después con Fourier y terminando con ca. Lo nuevo en esta edición Un curso sobre análisis de circuitos es quizás la primera experiencia que ten- gan los estudiantes a la ingeniería eléctrica. Se han incluido algunas nuevas características a fin de ayudar a los estudiantes a que se familiaricen con la materia. • Ejemplos ampliados El desarrollo de ejemplos a detalle de acuerdo con el método de los seis pasos para la solución de problemas, proporciona una guía para el estu- diante con el fin de que resuelva los problemas de una manera consisten- te. Al menos un ejemplo en cada capítulo se presenta de esta forma. • Introducción a los capítulos EC 2000 Con base en el nuevo CRITERIO 3, basado en destrezas de la ABET, es- tas presentaciones de capítulo se dedican a analizar cómo los estudiantes pueden adquirir las destrezas que los conducirán a mejorar de manera muy significativa sus carreras como ingenieros. Debido a que estas des- trezas son de vital importancia para el estudiante durante sus años uni- versitarios, así como a lo largo de su carrera, se usará el encabezado “Mejore sus habilidades y su carrera”. • Problemas de tarea Más de 300 problemas nuevos al final de cada capítulo ofrecen a los es- tudiantes mucha práctica y refuerzan los conceptos fundamentales sobre la materia. • Íconos en los problemas de tarea Los íconos se utilizan para resaltar los problemas relacionados con el di- seño en ingeniería, así como también los problemas que pueden resolver- se utilizando PSpice o MATLAB. • KCIDE para circuitos apéndice F El nuevo apéndice F ofrece un tutorial del software acerca del Ambiente de diseño integral para la obtención del conocimiento (KCIDE para cir- cuitos), el cual se encuentra disponible en ARIS. Organización Este libro se escribió para un curso sobre análisis de circuitos lineales que abarque dos semestres o tres trimestres. Es factible utilizarlo también para un curso de un semestre, mediante la elección adecuada por parte del profesor de los capítulos y las secciones. Está dividido claramente en tres partes. • La parte 1, que consiste de los capítulos 1 al 8, estudia los circuitos de cd. Abarca las leyes y teoremas fundamentales, las técnicas de circuitos, así como los elementos pasivos y activos.
- 17. Prefacio xv • La parte 2, que incluye del capítulo 9 al 14, aborda los circuitos de ca. Presenta los fasores, el análisis senoidal en estado estable, la potencia de ca, los valores rms, los sistemas trifásicos y la respuesta en frecuencia. • La parte 3, que consiste de los capítulos 15 al 19, estudia las técnicas avanzadas para el análisis de redes. Ofrece una sólida introducción a la transformada de Laplace, las series de Fourier, la transformada de Fou- rier y al análisis de las redes de dos puertos. El material en las tres partes es más que suficiente para un curso de dos se- mestres, de manera que el profesor debe elegir cuáles capítulos o secciones deberá abordar. Las secciones que se marcan con un signo de daga (†) pue- den saltarse, explicarse en forma breve o asignarse como tareas. Es posible omitirlas sin pérdida de continuidad. Cada capítulo tiene una gran cantidad de problemas, agrupados de acuerdo con las secciones del material relacionado, y son lo suficientemente variados para que el profesor elija algunos como ejemplos y asigne otros para que se trabajen en casa. Como se comentó con anterioridad, se utilizan tres íconos en esta edi- ción. Se utiliza (el ícono PSpice) para denotar los problemas que requieran ya sea PSpice en el proceso de su solución, donde la complejidad del circuito sea tal que PSpice pueda facilitar el proceso de solución y donde PSpice pue- de utilizarse para verificar si un problema ha sido resuelto de manera correc- ta. Se utiliza (el ícono de MATLAB) para denotar problemas donde se requiere de MATLAB en el proceso de solución, donde tenga sentido utilizar MATLAB por la naturaleza del problema y su complejidad, y donde MATLAB pueda lle- var a cabo una buena verificación para ver si el problema ha sido resuelto de manera correcta. Por último, se utiliza (el ícono de diseño) para identificar los problemas que ayuden al estudiante a desarrollar las destrezas necesarias en el diseño en la ingeniería. Los problemas de mayor dificultad están marcados con un asterisco (*). Los problemas que tienen una mayor profundidad se en- cuentra a continuación de los problemas al final de capítulo. En su mayor par- te son problemas de aplicación que requieren de destrezas aprendidas en el capítulo en particular. Prerrequisitos Al igual que con la mayor parte de los cursos introductorios de circuitos, los principales prerrequisitos son la física y el cálculo. Si bien resulta de utilidad en la última parte del libro, no se requiere tener familiaridad con los núme- ros complejos. Una ventaja muy importante de este texto es que TODAS las ecuaciones matemáticas y fundamentos de física que el estudiante necesita, se encuentran incluidas en el texto. Suplementos Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanza-aprendizaje, así como la evaluación de éstos. Mismos que se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill o envíe un correo electrónico a marketinghe @mcgraw-hill.com
- 18. xvi Prefacio Ambiente de diseño integral para la obtención del conocimiento (KCIDE para circuitos) Este nuevo software desarrollado en la Universidad Estatal de Cleveland y financiado por la NASA, está diseñado a fin de ayudar al estu- diante para que trabaje en un problema sobre circuitos de una manera orga- nizada utilizando la metodología de los seis pasos en la solución de problemas del texto. KCIDE para circuitos permite que el estudiante solucione un pro- blema de circuitos en PSpice y MATLAB, mantenga un registro de la evolu- ción de su solución y guarde un registro de sus procesos para futura referencia. Además, el software genera de manera automática un documento en Word y/o una presentación en PowerPoint. El apéndice F consiste en una descripción de cómo utilizar este software. En la dirección http://kcide.fennresearch.org/, la cual se encuentra enlazada a ARIS, se pueden encontrar ejemplos adicio- nales. El paquete de software se puede bajar de la red sin ningún costo. Reconocimientos Queremos expresar nuestro reconocimiento por la ayuda que recibimos de nuestras esposas (Hannah y Kikelomo), nuestras hijas (Christina, Tamara, Jen- nifer, Motunrayo, Ann y Joyce), hijo (Baixi), y a todos los miembros de nues- tras familias. Queremos agradecer al siguiente equipo editorial y de producción de McGraw-Hill: Suzanne Jeans, editor; Michael Hackett, editor en jefe; Miche- lle Flomenhoft y Katie White, editores de desarrollo; Peggy Lucas y Joyce Watters, administradores del proyecto; Carrie Burger, investigador de fotogra- fía; y Rick Noel, diseñador; así como a los agentes libres Pamela Carley y George Watson, y Vijay Kataria de The GTS Companies. Asimismo, recono- cemos el gran esfuerzo de Tom Hartley de la University of Akron por su eva- luación detallada de los diferentes elementos del texto. Queremos agradecer a Yongjian Fu y a su excelente equipo de estudian- tes Bramarambha Elka y Saravaran Chinniah por su esfuerzo en el desarrollo de KCIDE para circuitos. Agradecemos sus esfuerzos en ayudarnos a conti- nuar mejorando este software. Esta tercera edición se ha visto beneficiada en gran medida de los siguien- tes revisores y asistentes a simposiums (en orden alfabético): Jean Andrian, Florida International University Jorge L. Aravena, Louisiana State University Les Axelrod, Illinois Institute of Tech- nology Alok Berry, George Mason University Tom Brewer, Georgia Institute of Technology Susan Burkett, University of Arkansas Rich Christie, University of Washington Arunsi Chuku, Tuskegee University Thomas G. Cleaver, University of Louisville Randy Collins, Clemson University David Dietz, University of New Mexico Bill Diong, The University of Texas at El Paso Shervin Erfani, University of Windsor Alan Felzer, California State Polytechnic University, Pomona Bob Grondin, Arizona State University Bob Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University
- 19. Prefacio xvii De la misma forma, queremos agradecer a los revisores de ediciones anteriores quienes han contribuido al éxito de este libro hasta el momento. Sheila Horan, New Mexico State University Hans Kuehl, University of Southern California Jack Lee, University of Texas, Austin Long Lee, San Diego State University Sam Lee, University of Oklahoma Jia Grace Lu, University of California, Irvine Hamid Majlesein, Southern University & A&M College Frank Merat, Case Western Reserve University Shayan Mookherjea, University of California, San Diego Mahmoud Nahvi, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Scott Norr, University of Minnesota, Duluth Barbara Oakley, Oakland University Tamara Papalias, San Jose State University Owe Petersen, Milwaukee School of Engineering Craig Petrie, Brigham Young University Michael Polis, Oakland University Aleksandar Prodic, University of Toronto Ceon Ramon, University of Washington Prentiss Robinson, California State Polytechnic University, Pomona Raghu Settaluri, Oregon State University Marwan Simaan, University of Pittsburgh Robin Strickland, University of Arizona Kalpathy Sundaram, University of Central Florida Russell Tatro, California State University Xiao Bang Xu, Clemson University Bogdan Adamczyk, Grand Valley State University Keyvan Ahdut, University of the District of Columbia Hamid Allamehzadeh, Eastern New Mexico University Jorge L. Aravena, Louisiana State University Idir Azouz, Southern Utah University John A. Bloom, Biola University Kiron C. Bordoloi, University of Louisville James H. Burghart, Cleveland State University Phil Burton, University of Limerick Edward W. Chandler, Milwaukee School of Engineering Amit Chatterjea, Purdue University, Fort Wayne Erik Cheever, Swarthmore College Fow-Sen Choa, University of Maryland, Baltimore County Chiu H. Choi, University of North Florida Thomas G. Cleaver, University of Louisville Michael J. Cloud, Lawrence Technological University Mehmet Cultu, Gannon University Saswati Datta, University of Maryland, Baltimore County Mohamed K. Darwish, Brunel University (United Kingdom) Shirshak Dhali, Southern Illinois University Kevin D. Donohue, University of Kentucky Fred Dreyfus, Pace University
- 20. xviii Prefacio Amelito G. Enriquez, Cañada College Ali Eydgahi, University of Maryland Eastern Shore Gary K. Fedder, Carnegie Mellon University Cynthia J. Finelli, Kettering University Rob Frohne, Walla Walla College Andreas Fuchs, Pennsylvania State University, Erie Tayeb A. Giuma, University of North Florida Chandrakanth H. Gowda, Tuskegee University Duane Hanselman, University of Maine Reza Hashemian, Northern Illinois University Hassan Hassan, Lawrence Technological University Rod Heisler, Walla Walla College Amelito G. Henriquez, University of New Orleans H. Randolph Holt, Northern Kentucky University Reza Iravani, University of Toronto Richard Johnston, Lawrence Technological University William K. Kennedy, University of Canterbury (New Zealand) Albert M. Knebel, Monroe Community College William B. Kolasa, Lawrence Technological University Roger A. Kuntz, Penn State Erie, The Behrend College Sharad R. Laxpati, University of Illinois at Chicago Choon Sae Lee, Southern Methodist University Venus Limcharoen, Thammasat University Bin-Da Lio, National Cheng Kung University, Taiwan Joseph L. LoCicero, Illinois Institute of Technology Emeka V. Maduike, New York Institute of Technology Claire L. McCullough, University of Tennessee at Chattanooga José Medina, State University of New York, College of Technology at Delhi Damon Miller, Western Michigan University Martin Mintchev, University of Calgary Philip C. Munro,Youngstown State University Sarhan M. Musa, Prairie View A&M University Ahmad Nafisi, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Nader Namazi, The Catholic University of America Sudarshan Rao Nelatury, Villanova University Habib Rahman, St. Louis University V. Rajaravivarma, Central Connecticut State University Hadi Saadat, Milwaukee School of Engineering Robert W. Sherwood, Germanna Community College Elisa H. Barney Smith, Boise State University Terry L. Speicher, Pennsylvania State University James C. Squire, Virginia Military Institute David W. Sukow, Washington and Lee University Fred Terry, Christian Brother University Les Thede, Ohio Northern University Constantine Vassiliadis, Ohio University Sam Villareal, The University of Texas at Dallas Promos Vohra, Northern Illinois University Chia-Jiu Wang, University of Colorado at Colorado Springs
- 21. Prefacio xix Xingwu Wang, Alfred University Sandra A. Yost, University of Detroit, Mercy Hewlon Zimmer, U.S. Merchant Marine Academy Por último, queremos agradecer la retroalimentación recibida de los profesores y estudiantes que han utilizado las ediciones anteriores. Queremos que esto se siga haciendo, por lo que por favor sigan enviándonos sus correos electrónicos o envíenlos al editor. Nos pueden contactar en [email protected] en el caso de Charles Alexander y [email protected] para Matthew Sadiku. C.K. Alexander y M.N.O. Sadiku
- 22. xx VISITA PASO A PASO El objetivo principal de este libro es presentar el análisis de circuitos de una manera más clara, más interesante y más fácil de comprender que en otros textos. Para usted, estudiante, se presentan aquí algunas características que le ayudarán a estudiar y a tener éxito en este curso. 1.5 Potencia y energía 11 Para relacionar potencia y energía con tensión y corriente, recuérdese de la física que Potencia es la variación respecto del tiempo de entrega o absorción de la ener- gía, medida en watts (W). Esta relación se escribe como p ϭ ⌬ (1.5) donde p es la potencia, en watts (W); w es la energía, en joules (J), y t es el tiempo, en segundos (s). De las ecuaciones (1.1), (1.3) y (1.5) se desprende que p ϭ ϭ · ϭ vi (1.6) o sea p ϭ vi (1.7) La potencia p en la ecuación (1.7) es una cantidad que varía con el tiempo y se llama potencia instantánea. Así, la potencia absorbida o suministrada por un elemento es el producto de la tensión entre los extremos del elemento y la corriente a través de él. Si la potencia tiene signo ϩ, se está suministrando o la está absorbiendo el elemento. Si, por el contrario, tiene signo Ϫ, está sien- do suministrada por el elemento. Pero, ¿cómo saber cuándo la potencia tiene signo negativo o positivo? La dirección de corriente y polaridad de tensión desempeñan un papel primordial en la determinación del signo de la potencia. Por lo tanto, es im- portante que se preste atención a la relación entre la corriente i y la tensión v en la figura 1.8a). La polaridad de tensión y dirección de corriente deben ajustarse a las que aparecen en la figura 1.8a) para que la potencia tenga sig- no positivo. Esto se conoce como convención pasiva de signos. Por efecto de la convención pasiva de los signos, la corriente entra por la polaridad positi- va de la tensión. En este caso, p ϭ ϩvi o vi Ͼ 0 implica que el elemento es- tá absorbiendo potencia. En cambio, si p ϭ Ϫvi o vi Ͻ 0, como en la figura 1.8b), el elemento está liberando o suministrando potencia. La convención pasiva de signos se satisface cuando la corriente entra por la terminal positiva de un elemento y p = +vi. Si la corriente entra por la termi- nal negativa, p = –vi. A menos que se indique otra cosa, en este texto se seguirá la convención pasiva de signos. Por ejemplo, el elemento en los dos circuitos de la figura 1.9 tiene una absorción de potencia de ϩ12 W, porque una corriente positiva entra a la terminal positiva en ambos casos. En la figura 1.10, en cambio, el elemento suministra una potencia de ϩ12 W, porque una corriente positiva entra a la terminal negativa. Desde luego, una absorción de potencia de Ϫ12 W es equivalente a un suministro de potencia de ϩ12 W. En general, ϩPotencia absorbida ϭ ϪPotencia suministrada dq dt dw dq dw dt dw dt p = +vi a) v + – p = – vi b) v + – ii Figura 1.8 Polaridades de referencia para la potencia con el uso de la convención pasiva del sig- no: a) absorción de potencia, b) suminis- tro de potencia. a) 4 V 3 A + – 3 A 4 V 3 A b) + – Figura 1.9 Dos casos de un elemento con una absor- ción de potencia de 12 W: a) p ϭ 4 ϫ 3 ϭ 12 W, b) p ϭ 4 ϫ 3 ϭ 12 W. 3 A a) 4 V 3 A + – 3 A 4 V 3 A b) + – Figura 1.10 Dos casos de un elemento con un sumi- nistro de potencia de 12 W: a) p ϭ Ϫ4 ϫ 3 ϭ Ϫ12 W, b) p ϭ Ϫ4 ϫ 3 ϭ Ϫ12 W. Si las direcciones de tensión y corrien- te son como se muestra en la figura 1.8b), se tiene la convención activa de signos y p = +vi. 20 Capítulo 1 Conceptos básicos † Solución de problemas Aunque los problemas por resolver durante la carrera individual variarán en complejidad y magnitud, los principios básicos que deben seguirse son siem- pre los mismos. El proceso que se describirá aquí lo han practicado los auto- res a lo largo de muchos años de resolución de problemas con estudiantes, para solucionar problemas de ingeniería en la industria y en la investigación. Primero se listan los pasos y después se explican. 1. Definir cuidadosamente el problema. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. 4. Intentar una solución del problema. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. 1. Definir cuidadosamente el problema. Ésta es quizá la parte más impor- tante del proceso, ya que se convierte en el fundamento de los demás pa- sos. En general, la presentación de problemas de ingeniería es un tanto incompleta. Se debe hacer todo lo posible por cerciorarse de comprender el problema en forma tan completa como quien lo presenta. El tiempo dedicado a la clara identificación del problema ahorrará considerable tiempo y frustración posteriores. El estudiante puede clarificar la enun- ciación de un problema en un libro de texto pidiéndole a su profesor que le ayude a comprenderla mejor. Un problema que se le presente en la in- dustria podría requerir la consulta a varios individuos. En este paso es importante formular preguntas que deban responderse antes de continuar con el proceso de solución. Si existen tales preguntas, se debe consultar a los individuos o recursos apropiados para obtener las respuestas corres- pondientes. Con estas respuestas se puede depurar el problema y usar esa depuración como enunciación del problema para el resto del proceso de solución. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. El lector ya está prepa- rado para escribir todo lo que sabe sobre el problema y sus posibles solu- ciones. Este importante paso ahorrará tiempo y frustración posteriores. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. Casi todo problema tendrá varias ru- tas posibles a la solución. Es altamente deseable identificar tantas de esas rutas como sea posible. En este punto también se debe determinar las he- rramientas de que se dispone, como PSpice y MATLAB y otros paquetes de software que pueden reducir enormemente el esfuerzo e incrementar la exactitud. Hay que destacar una vez más que el tiempo que se dedi- que a la cuidadosa definición del problema y a la investigación de méto- dos alternativos de solución rendirán después grandes dividendos. Evaluar las alternativas y determinar cuál ofrece la mayor probabilidad de éxito puede ser difícil, pero bien valdrá el esfuerzo. Se debe documentar mi- nuciosamente este proceso, ya que deberá volver a él si el primer méto- do no da resultado. 4. Intentar una solución del problema. Éste es el momento en que realmen- te se debe proceder a la solución del problema. Se debe documentar de manera minuciosa el proceso que se siga, para presentar una solución de- tallada si tiene éxito, o para evaluar el proceso si no se tiene. Una eva- 1.8 1.8 Solución de problemas 21 luación pormenorizada puede llevar a correcciones que conduzcan des- pués a una solución exitosa. También puede desembocar en el ensayo de nuevas alternativas. Muchas veces es recomendable establecer por com- pleto una solución antes de poner números en las ecuaciones. Esto ayu- dará a verificar sus resultados. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Se debe evaluar todo lo realizado y decidir si la solución es aceptable, la cual el lector estaría dis- puesto a presentar a su equipo, jefe o profesor. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Ahora se debe presentar la solución o probar otra alternativa. En este pun- to, presentar la solución podría poner fin al proceso. A menudo, sin em- bargo, la presentación de una solución conduce a una mayor depuración de la definición del problema, y el proceso continúa. Seguir este proceso llevará finalmente a una conclusión satisfactoria. Este proceso se examina ahora en relación con un estudiante del curso de fundamentos de ingeniería eléctrica y computacional. (El proceso básico se aplica también a casi cualquier curso de ingeniería.) Téngase presente que aun- que se simplificaron los pasos para aplicarlos a problemas de tipo académi- co, el proceso formulado debe seguirse siempre. Considérese un ejemplo simple. Figura 1.19 Ejemplo ilustrativo. Figura 1.20 Definición del problema. 2 4 85 V 3 V+ – + – i8 2 4 85 V 3 V+ – Determine la corriente que fluye por el resistor de 8 ⍀ de la figura 1.19. Solución: 1. Definir cuidadosamente el problema. Éste es un ejemplo sencillo, pero de inmediato es posible advertir que no se conoce la polaridad en la fuen- te de 3 V. Hay las siguientes opciones. Podría preguntar al profesor cuál debía ser la polaridad. De no ser posible esto, debe decidir qué hacer en seguida. Si hay tiempo para resolver el problema de las dos maneras, pue- de determinar la corriente cuando la fuente de 3 V es positiva en el ex- tremo superior y luego en el inferior. Si no hay tiempo para ello, suponga una polaridad y después documente detalladamente su decisión. Supón- gase que el profesor dice que la fuente es positiva en el extremo inferior, como se muestra en la figura 1.20. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. Registrar todo lo que sabe sobre el problema implica en este caso rotular claramente el circui- to, para que defina lo que busca. Dado el circuito de la figura 1.20, debe determinar i8⍀. Verifique entonces con el profesor, de ser razonable, para saber si el pro- blema ha sido apropiadamente definido. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. En esencia pueden usarse tres técni- cas para resolver este problema. Más adelante descubrirá que podría emplear el análisis de circuitos (con el uso de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm), el análisis nodal y el análisis de malla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de circuitos conducirá finalmente a una solución, pero es probable que implique más trabajo que el análisis no- dal o de malla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de lazo requerirá escribir dos ecuaciones simultáneas para hallar las dos corrientes de malla indicadas Ejemplo 1.10 22 Capítulo 1 Conceptos básicos En consecuencia, se determina i8⍀ usando el análisis nodal. 4. Intentar una solución del problema. Primero se escriben todas las ecua- ciones que se necesitan para hallar i8⍀. Es posible resolver ahora para v1. lleva a (4v1 Ϫ 20) ϩ (v1) ϩ (2v1 ϩ 6) ϭ 0 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Ahora puede recurrirse a la ley de tensión de Kirchhoff (LTK) para comprobar los resultados. i1 ϩ i2 ϩ i3 ϭ Ϫ1.5 ϩ 0.25 ϩ 1.25 ϭ 0 (Verificación.) Al aplicar la LTK al lazo 1, Aplicando la LVK al lazo 2, ϭ Ϫ2 ϩ 5 Ϫ 3 ϭ 0 (Checks.) ϭ Ϫ(0.25 ϫ 8) ϩ (1.25 ϫ 4) Ϫ 3 Ϫv8⍀ ϩ v4⍀ Ϫ 3 ϭ Ϫ(i2 ϫ 8) ϩ (i3 ϫ 4) Ϫ 3 ϭ Ϫ5 ϩ 3 ϩ 2 ϭ 0 (Checks.) ϭ Ϫ5 ϩ (Ϫ(Ϫ1.5)2) ϩ (0.25 ϫ 8) Ϫ5 ϩ v2⍀ ϩ v8⍀ ϭ Ϫ5 ϩ (Ϫi1 ϫ 2) ϩ (i2 ϫ 8) i3 ϭ v1 ϩ 3 4 ϭ 2 ϩ 3 4 ϭ 5 4 ϭ 1.25 A i2 ϭ i8⍀ ϭ 0.25 A i1 ϭ v1 Ϫ 5 2 ϭ 2 Ϫ 5 2 ϭ Ϫ 3 2 ϭ Ϫ1.5 A 7v1 ϭ ϩ14, v1 ϭ ϩ2 V, i8⍀ ϭ v1 8 ϭ 2 8 ϭ 0.25 A 8 c v1 Ϫ 5 2 ϩ v1 Ϫ 0 8 ϩ v1 ϩ 3 4 dϭ 0 v1 Ϫ 5 2 ϩ v1 Ϫ 0 8 ϩ v1 ϩ 3 4 ϭ 0 i8⍀ ϭ i2, i2 ϭ v1 8 , i8⍀ ϭ v1 8 en la figura 1.21. Usar el análisis nodal requiere despejar sólo una incógnita. Éste es el método más sencillo. 2 ⍀ 4 ⍀ 8 ⍀ 5 V 3 V+ – + – i2 i1 i3 + – + – + – v8⍀ v4v2 Lazo 1 Lazo 2 v1 Figura 1.21 Uso del análisis nodal. (Verificación.) (Verificación.) 1.9 Resumen 23 Así, ahora hay un muy alto grado de confianza en la exactitud de la res- puesta. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Este problema ha sido resuelto satisfactoriamente. La corriente a través del resistor de 8 ⍀ es de 0.25 A y circula hacia abajo por el resistor de 8 ⍀. Resumen 1. Un circuito eléctrico consta de elementos eléctricos conectados entre sí. 2. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el lenguaje internacional de medición, el cual permite a los ingenieros comunicar sus resultados. De las seis unidades principales pueden derivarse las unidades de las demás cantidades físicas. 3. La corriente es la velocidad del flujo de carga. i ϭ 4. La tensión es la energía requerida para mover 1 C de carga por un ele- mento. v ϭ 5. La potencia es la energía suministrada o absorbida por unidad de tiem- po. También es el producto de tensión y corriente. p ϭ ϭ vi 6. De acuerdo con la convención pasiva de los signos, la potencia adopta signo positivo cuando la corriente entra por la polaridad positiva de la tensión a lo largo de un elemento. 7. Una fuente de tensión ideal produce una diferencia de potencial especí- fica entre sus terminales sin importar a qué se conecte. Una fuente de co- rriente ideal produce una corriente específica a través de sus terminales sin importar a qué se conecte. 8. Las fuentes de tensión y de corriente pueden ser dependientes o indepen- dientes. Una fuente dependiente es aquella cuyo valor depende de otra variable del circuito. 9. Dos áreas de aplicación de los conceptos incluidos en este capítulo son el tubo de imagen del televisor y el procedimiento de facturación de la electricidad. dw dt dw dq dq dt 1.9 Problema de práctica 1.10 Pruebe la aplicación de este proceso en algunos de los problemas más difíci- les que están al final de este capítulo. Un nuevo programa de arte le da vida a los diagramas de circuitos y mejora los conceptos fundamentales que se presentan a través del texto. En el capítulo 1 se presenta una metodolo- gía de seis pasos para la solución de proble- mas y se incorpora en ejemplos resueltos a lo largo del texto a fin de promover las prácticas efectivas paso a paso para la so- lución de problemas.
- 23. Visita paso a paso xxi 90 Capítulo 3 Métodos de análisis En relación con el circuito que se muestra en la figura 3.9, halle las tensio- nes de nodo. Solución: El supernodo contiene la fuente de 2 V, los nodos 1 y 2 y el resistor de 10 ⍀. La aplicación de la LCK al supernodo como se indica en la figura 3.10a) da 2 ϭ i1 ϩ i2 ϩ 7 Al expresar i1 e 12 en términos de las tensiones de nodo, 2 ϭ ϩ ϩ 7 1 8 ϭ 2v1 ϩ v2 ϩ 28 o sea v2 ϭ Ϫ20 Ϫ 2v1 (3.3.1) Para obtener la relación entre v1 y v2, se aplica la LTK al circuito de la figu- ra 3.10b). Al recorrer el lazo se obtiene Ϫv1 Ϫ 2 ϩ v2 ϭ 7 1 v2 ϭ v1 ϩ 2 (3.3.2) A partir de las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2) se escribe v2 ϭ v1 ϩ 2 ϭ Ϫ20 Ϫ 2v1 o sea 3v1 ϭ Ϫ22 1 v1 ϭ Ϫ7.333 V y v2 ϭ v1 ϩ 2 ϭ Ϫ5.333 V. Nótese que el resistor de 10 ⍀ no hace ningu- na diferencia, porque está conectado a través del supernodo. v2 Ϫ 0 4 v1 Ϫ 0 2 Figura 3.9 Para el ejemplo 3.3. +− 2 A 2 V 7 A4 Ω 10 Ω 2 Ω v1 v2 2 A 2 A 7 A 7 A 2 Ω 4 Ω v2v1 i1 i2 1 2 a) +− b) 2 V 1 2 ++ − − v1 v2 Figura 3.10 Aplicación de: a) la LCK al supernodo, b) la LTK al lazo. Figura 3.11 Para el problema de práctica 3.3. 7 V 3 V 4 Ω 3 Ω 2 Ω 6 Ω+ − +− i v + − Ejemplo 3.3 Problema de práctica 3.3 Halle v e i en el circuito de la figura 3.11. Respuesta: Ϫ0.2 V, 1.4 A. 106 Capítulo 3 Métodos de análisis sentan en VIEWPOINTS y se guardan en el archivo de salida exam310.out. El archivo de salida incluye lo siguiente: NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE (1) 120.0000 (2) 81.2900 (3) 89.0320 lo que indica que V1 ϭ 120 V, V2 ϭ 81.29 V, V3 ϭ 89.032 V. Ejemplo 3.11 En el circuito de la figura 3.34, determine las corrientes i1, i2 e i3. Problema de práctica 3.10 Para el circuito de la figura 3.33, use PSpice para hallar las tensiones de nodo. Respuesta: V1 ϭ 240 V, V2 ϭ 57.14 V, V3 ϭ 200 V. + − R1 R3 20 10 120 V V1 R2 R430 40 I1 3 A IDC 0 1 2 3 120.0000 81.2900 89.0320 Figura 3.32 Para el ejemplo 3.10; esquema del circuito de la figura 3.31. + − 2 A 200 V30 Ω 60 Ω 50 Ω 100 Ω 25 Ω 1 2 3 0 Figura 3.33 Para el problema de práctica 3.10. + − +− 24 V 1 Ω i1 i2 i3 + − 4 Ω 2 Ω 2 Ω 8 Ω 4 Ω 3vo vo Figura 3.34 Para el ejemplo 3.11. 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd 107 Solución: El esquema aparece en la figura 3.35. (Este esquema incluye los resultados de salida, lo que implica que es el exhibido en la pantalla después de la si- mulación.) Obsérvese que la fuente de tensión controlada por tensión E1 en la figura 3.35 está conectada de tal manera que la tensión en su entrada sea la del resistor de 4 ⍀; su ganancia se fija igual a 3. Para exhibir las corrientes requeridas, se inserta el seudocomponente IPROBES en las ramas apropiadas. El circuito esquemático se guarda como exam311.sch y se simula seleccio- nando Analysis/Simulate. Los resultados se presentan en IPROBES como se muestra en la figura 3.35 y se guardan en el archivo de salida exam311.out. Del archivo de salida o de IPROBES se obtiene i1 ϭ i2 ϭ 1.333 A e i3 ϭ 2.67 A. †Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd La mayoría de los lectores trata con productos electrónicos en forma rutina- ria y tiene cierta experiencia con computadoras personales. Un componente básico de los circuitos electrónicos que se hallan en esos aparatos electróni- cos y computadoras es el dispositivo activo de tres terminales conocido como transistor. Conocer el transistor es esencial para que un ingeniero pueda em- prender el diseño de un circuito electrónico. En la figura 3.37 se muestran varios tipos de transistores comerciales. Hay dos tipos básicos de transistores: los transistores de unión bipolar (BJT) y los transistores de efecto de campo (FET). Aquí sólo se considerarán los BJT, el primer tipo básico en aparecer y aún en uso. El objetivo es presentar detalles suficientes sobre los BJT que permitan aplicar las técnicas presentadas en es- te capítulo para analizar circuitos transistorizados de cd. 3.9 Problema de práctica 3.11 Use PSpice para determinar las corrientes i1, i2 e i3 en el circuito de la figu- ra 3.36. Respuesta: i1 ϭ Ϫ0.4286 A, i2 ϭ 2.286 A, i3 ϭ 2 A. + − 24 V V1 R1 4 R2 2 R3 8 R4 4 1.333E + 00 1.333E + 00 2.667E + 00 0 R6 1 R5 2 E E1 +− − + Figura 3.35 Esquema del circuito de la figura 3.34. + − 2 A 10 V 2 Ω i1 i1 i2 4 Ω 1 Ω 2 Ω i3 Figura 3.36 Para el problema de práctica 3.11. C a p í t u l o 9Senoides y fasores Aquel que no sabe y no sabe que no sabe es un idiota; evítalo. Aquel que no sabe y sabe que no sabe es un niño; edúcalo. Aquel que sabe y no sabe que sabe está dormido; despiértalo. Aquel que sabe y sabe que sabe es un sabio; síguelo. —Proverbio persa Mejore sus habilidades y su carrera CRITERIOS ABET EC 2000 (3.d), “capacidad para identificar, for- mular y resolver problemas de ingeniería”. La “capacidad para funcionar en equipos multidisciplinarios” es inherente- mente crítica para el ingeniero en activo. Es raro, si es que alguna vez ocu- rre, que los ingenieros trabajen solos. Siempre formarán parte de un equipo. Algo que me agrada recordar a los estudiantes es que no es necesario que les simpaticen todos los miembros de un equipo; lo único necesario es que sean parte exitosa de ese equipo. Muy a menudo tales equipos incluyen a individuos de una amplia varie- dad de disciplinas de la ingeniería y a otros de disciplinas ajenas a la inge- niería, como mercadotecnia y finanzas. Los estudiantes pueden adquirir y reforzar de manera fácil esa capacidad trabajando en grupos de estudio en todos sus cursos. Evidentemente, trabajar en grupos de estudio en cursos ajenos a la ingeniería así como en cursos de ingeniería ajenos a su disciplina también le dará a usted experiencia en equi- pos multidisciplinarios. Fotografía de Charles Alexander A cada uno de los ejemplos ilustrativos inmediatamente lo sigue un problema práctico y su respuesta a fin de evaluar la comprensión del ejemplo que le precede. PSpice® for Windows es una herramienta amigable para el estudiante que se presenta a los estudiantes al principio y lo largo de todo el libro con análisis y ejemplos al final de cada capítulo. Cada capítulo inicia con un análisis acerca de cómo mejo- rar las destrezas que contribuyan a resolver con éxito pro- blemas, así como un texto relacionado con carreras exitosas u orientado a la carrera sobre una subdisciplina de la inge- niería eléctrica a fin de que el estudiante se familiarice con las aplicaciones del mundo real que está aprendiendo. Los íconos que se encuentran junto a los problemas de ta- rea al final de cada capítulo permiten que el estudiante co- nozca qué problemas están relacionados con el diseño de ingeniería y cuáles pueden resolverse utilizando PSpice o MATLAB. Los apéndices que tratan sobre estos programas de computadora proporcionan tutoriales para su utilización. La última sección de cada capítulo está dedicada a las apli- caciones de los conceptos que se estudian en el capítulo a fin de que los estudiantes apliquen los conceptos a situacio- nes de la vida real.
- 25. xxiii Nota para el estudiante Éste tal vez sea su primer curso de la carrera de ingeniería eléctrica. Aunque esta carrera es una disciplina atractiva y desafiante, quizá el curso pueda ame- drentarlo. Este libro se escribió para evitar esto. Un buen libro de texto y un buen profesor representan una gran ventaja, pero usted es el único que habrá de aprender. Si tiene en cuenta las siguientes sugerencias, tendrá un gran apro- vechamiento durante el curso. • Este curso es el fundamento sobre el que otros cursos del plan de estu- dios de la carrera de ingeniería eléctrica se basarán. Por esta razón, haga el máximo esfuerzo posible. Estudie el curso con regularidad. • La solución de problemas es una parte esencial del proceso de aprendi- zaje. Resuelva tantos problemas como pueda. Comience solucionando los problemas de práctica siguiendo cada ejemplo, y después continúe con los problemas que están al final del capítulo. La mejor forma de apren- der es resolviendo una gran cantidad de problemas. Cuando un asterisco anteceda a un problema, quiere decir que éste en un problema que plan- tea un desafío. • Spice, un programa de computadora para el análisis de circuitos, se uti- liza a lo largo de todo el libro. PSpice, la versión para computadora per- sonal de Spice, es el programa popular y estándar para el análisis de circuitos, en la mayoría de las universidades. En el apéndice D se des- cribe a PSpice para Windows. Haga un esfuerzo para aprender a utilizar PSpice, ya que puede verificar cualquier problema sobre circuitos con es- te programa; asimismo, podrá estar seguro de utilizarlo para encontrar la solución correcta de un problema. • MATLAB es otro paquete de software muy útil en el análisis de circuitos y en otros cursos que tomará en el futuro. En el apéndice E se propor- ciona un breve tutorial sobre MATLAB a fin de que se familiarice con él. La mejor forma de aprender MATLAB es comenzar a trabajar con él una vez que haya aprendido a utilizar algunos comandos. • Cada capítulo termina con una sección en la que se describe la forma en que puede aplicarse a situaciones de la vida real el material que se estu- dió en el mismo. Los conceptos de esta sección quizá le resulten nove- dosos y avanzados. Sin duda alguna, aprenderá los detalles en otros cursos. Aquí nos interesa, ante todo, familiarizarlo de manera general con esas ideas. • Intente contestar las preguntas de revisión que están al final de cada ca- pítulo. Le ayudarán a descubrir algunos “trucos” que no se muestran en la clase o en el libro de texto. • Es evidente que se ha realizado un gran esfuerzo para facilitar la com- prensión de los detalles técnicos de este libro. Asimismo, este libro con- tiene toda la física y las matemáticas necesarias para comprender la teoría y será de gran utilidad en otros cursos de ingeniería que tome. Sin em- bargo, también nos hemos enfocado en la creación de un libro de refe- rencia a fin de que lo pueda utilizar tanto en la universidad como en la industria o cuando se encuentre estudiando un posgrado.
- 26. xxiv Nota para el estudiante • Es muy tentadora la idea de vender este libro cuando haya terminado el curso; sin embargo, nuestro consejo es que ¡NO VENDA SUS LIBROS DE INGENIERÍA! Los libros siempre han sido artículos caros, sin em- bargo, el costo de este libro es prácticamente el mismo que el que pagué por mi libro de texto sobre circuitos a principios de la década de 1960 en términos de dólares reales. De hecho, en realidad es más barato. Ade- más, los libros de ingeniería de años anteriores no están tan completos como los que se encuentran disponibles en la actualidad. Cuando era un estudiante, no vendí ninguno de mis libros sobre ingeniería ¡y estoy muy contento de no haberlo hecho! Me di cuenta que necesitaba la mayoría de ellos a lo largo de mi vida profesional. En el apéndice A se proporciona una revisión breve sobre el cálculo de determinantes. En el apéndice B se estudian de igual manera los números complejos, y en el apéndice C se proporcionan fórmulas matemáticas. Las res- puestas a los problemas impares se dan en el apéndice G. ¡Qué se diviertan! C.K.A. y M.N.O.S.
- 27. xxv Acerca de los autores Charles K. Alexander es director y profesor de ingeniería eléctrica y en com- putación en la Fenn College of Engineering en Cleveland State University, Cleveland Ohio. También es el director de dos centros de investigación, el Center for Research in Electronics and Aerospace Technology (CREATE) y el ICE de Ohio, un centro de investigación en instrumentación, control, elec- trónica y sensores (la unión de CSU, Case y la University of Akron). De 1998 hasta 2002, fue el director interino (2000 y 2001) del Institute for Corrosion and Multiphase Technologies y profesor visitante Stocker de ingeniería eléc- trica y ciencia de la computación en la Ohio University. De 1994-1996 fue director de ingeniería y ciencias de la computación en la California State Uni- versity, Northridge. De 1989-1994 fue director de la escuela de ingeniería de la Temple University, y de 1986-1989 fue profesor y jefe del departamento de ingeniería eléctrica en Temple. De 1980-1986 ocupó las mismas posiciones en la Tennessee Technological University. Fue profesor asociado y profesor de ingeniería eléctrica en la Youngstown State University de 1972-1980, don- de fue nombrado Profesor Distinguido en 1977 como reconocimiento por su “distinguida labor en la enseñanza e investigación”. Fue profesor asistente de ingeniería eléctrica en la Ohio University de Ohio de 1971-1972. Recibió su doctorado (Ph.D.) (1971) y su maestría en ingeniería eléctrica M.S.E.E. (1967) de la Ohio University y su licenciatura B.S.E.E. (1965) de la Ohio Northern University. El Dr. Alexander ha sido consultor de 23 compañías y organizaciones gu- bernamentales, incluidas la Air Force y Navy y algunas firmas de abogados. Ha recibido financiamiento por más de 10 millones de dólares para la inves- tigación y desarrollo de proyectos que van desde energía solar hasta ingenie- ría de software. Es autor de más de 40 publicaciones en las que se incluye un cuaderno de trabajo y una serie de conferencias en videotape y es coautor de Fundamentals of Electric Circuits, Problem Solving Made Almost Easy y la quinta edición del Standard Handbook of Electronic Engineering con Mc- Graw-Hill. Ha escrito más de 500 presentaciones de artículos, profesionales y técnicas. El Dr. Alexander es miembro del IEEE y fue su presidente y CEO en 1997. En 1993 y 1994, fue vicepresidente del IEEE, de actividades profesio- nales y jefe de la United States Activities Board (USAB). En 1991-1992 fue el director de la región 2, colaborando en el Regional Activities Board (RAB) y USAB. También ha sido miembro de Educational Activities Board. Colabo- ró como presidente del Member Activities Council del USAB y vicepresiden- te del Professional Activities Council for Engineers del USAB y presidió el Student Activities Committee del RAB y el Student Professional Awareness Committee del USAB. En 1998 recibió el Distinguished Engineering Educa- tion Achievement Award del Engineering Council y en 1996 el Distinguished Engineering Education Leadership Award del mismo grupo. Cuando se con- virtió en miembro del IEEE en 1994, la referencia decía “por su liderazgo en el campo de la educación en la ingeniería y el desarrollo profesional de los Charles K. Alexander
- 28. xxvi Acerca de los autores estudiantes de ingeniería”. En 1984 recibió la IEEE Centennial Medal y en 1983 recibió el IEEE/RAB Innovation Award, otorgado al miembro del IEEE que ha contribuido de una forma distinguida a alcanzar los objetivos y metas del RAB. Matthew N. O. Sadiku es actualmente profesor en la Prairie View A&M University. Antes de ingresar a Praire View, dio clases en la Florida Atlantic University, Boca Raton y en la Temple University, Philadelphia. También ha trabajado en Lucent/Avaya y en la Boeing Satellite Systems. El Dr. Sadiku es autor de más de 130 artículos profesionales y de más de 20 libros entre los que se incluyen Elements of Electromagnetics (Oxford Uni- versity Press, 3a. ed., 2001), Numerical Techniques in Electromagnetics (2a. ed., CRC Press, 2000), Simulation of Local Area Networks (con M. Ilyas, CRC Press,1994), Metropolitan Area Networks (CRC Press, 1994), y Fundamentals of Electric Circuits (con C. K. Alexander, McGraw-Hill, 3a. ed. 2007). Sus libros se utilizan en todo el mundo y algunos de ellos han sido traducidos al coreano, chino, italiano y español. Recibió el McGraw-Hill/Jacob Millman Award en 2000 por sus sobresalientes contribuciones en el campo de la inge- niería eléctrica. Fue presidente del Student Activities Committee de la región 2 del IEEE y es editor asociado del IEEE “Transactions on Education”. Recibió su doctorado (Ph.D.) en la Tennessee Technological University, Cookeville.Matthew N. O. Sadiku
- 30. P A R T E 1 Circuitos de cd CONTENIDO 1 Conceptos básicos 2 Leyes básicas 3 Métodos de análisis 4 Teoremas de circuitos 5 Amplificadores operacionales 6 Capacitores e inductores 7 Circuitos de primer orden 8 Circuitos de segundo orden
- 31. 3 Conceptos básicos Algo he aprendido en una larga vida: que toda nuestra ciencia, medida con- tra la realidad, es primitiva e infantil, y sin embargo es lo más precioso que tenemos. —Albert Einstein C a p í t u l o 1 Mejore sus habilidades y su carrera Criterios de ABET EC 2000 (3.a), “capacidad para aplicar conoci- mientos de matemáticas, ciencias e ingeniería”. Como estudiante, usted necesita estudiar matemáticas, ciencias e ingeniería con el propósito de ser capaz de aplicar esos conocimientos a la solución de problemas de ingeniería. La habilidad aquí es la capacidad para aplicar los fundamentos de esas áreas a la solución de un problema. Así que, ¿cómo de- sarrollará y mejorará esta habilidad? El mejor método es resolver tantos problemas como sea posible en todos sus cursos. Sin embargo, para que realmente pueda tener éxito con esto, de- be dedicar tiempo a analizar dónde, cuándo y por qué tiene dificultades y así llegar fácilmente a soluciones exitosas. Quizá le sorprenda descubrir que la mayoría de sus dificultades para la resolución de problemas tienen que ver con las matemáticas, más que con su comprensión de la teoría. También po- dría descubrir que comienza a resolver los problemas demasiado pronto. To- marse tiempo para reflexionar en los problemas y en la manera en que debería resolverlos siempre le ahorrará a la larga tiempo y frustraciones. He descubierto que lo que me da mejor resultado es aplicar nuestra técni- ca de resolución de problemas de seis pasos. Después identifico cuidadosamen- te las áreas en las que tengo dificultades para resolver el problema. Muchas veces mis deficiencias residen en mi comprensión y capacidad para usar de ma- nera correcta ciertos principios matemáticos. Regreso entonces a mis textos fun- damentales de matemáticas y repaso detenidamente las secciones apropiadas, y en algunos casos resuelvo algunos problemas de ejemplo de esos textos. Esto me lleva a otra sugerencia importante que usted siempre debería hacer: tener a la mano todos sus libros de texto básicos de matemáticas, ciencias e ingeniería. Al principio, este proceso de continuo examen de material que usted pen- saba que había adquirido en cursos anteriores podría parecer muy tedioso; pe- ro conforme usted desarrolle sus habilidades e incremente sus conocimientos, el proceso se volverá cada vez más fácil. En lo personal, fue justamente este proceso lo que me llevó de ser alguien menos que un estudiante promedio a ser alguien capaz de conseguir un doctorado y convertirse en un investigador exitoso. 3 Fotografía de Charles Alexander.
- 32. 4 Capítulo 1 Conceptos básicos Introducción Las dos teorías fundamentales en las que se apoyan todas las ramas de la in- geniería eléctrica son las de circuitos eléctricos y la electromagnética. Muchas ramas de la ingeniería eléctrica, como potencia, máquinas eléctricas, control, electrónica, comunicaciones e instrumentación, se basan en la teoría de cir- cuitos eléctricos. Por lo tanto, el curso básico de teoría de circuitos eléctricos es el curso más importante para un estudiante de ingeniería eléctrica, y cons- tituye siempre un excelente punto de partida para quien inicia su educación en ingeniería eléctrica. La teoría de circuitos también es valiosa para estudian- tes que se especializan en otras ramas de las ciencias físicas, porque los cir- cuitos son un buen modelo para el estudio de sistemas de energía en general, y también por la matemática aplicada, la física y la topología implicadas. En ingeniería eléctrica, a menudo interesa comunicar o transferir energía de un punto a otro. Hacerlo requiere una interconexión de dispositivos eléc- tricos. A tal interconexión se le conoce como circuito eléctrico, y a cada com- ponente del circuito como elemento. Un circuito eléctrico es una interconexión de elementos eléctricos. Un circuito eléctrico simple se presenta en la figura 1.1. Consta de tres elementos básicos: una batería, una lámpara y alambres de conexión. Un cir- cuito simple como éste puede existir por sí mismo; tiene varias aplicaciones, como las de linterna, reflector, etcétera. Un circuito complejo real se muestra en la figura 1.2, la cual representa el diagrama esquemático de un receptor de radio. Aunque parece complicado, este circuito puede analizarse usando las técnicas incluidas en este libro. La meta de este texto es aprender varias técnicas analíticas y aplicaciones de soft- ware de computación para describir el comportamiento de un circuito como éste. Los circuitos eléctricos se usan en numerosos sistemas eléctricos para rea- lizar diferentes tareas. El objetivo de este libro no es el estudio de diversos usos y aplicaciones de circuitos. Más bien, el principal interés es el análisis de los circuitos. Por análisis de un circuito se entiende un estudio del com- portamiento del circuito: ¿cómo responde a una entrada determinada? ¿Cómo interactúan los elementos y dispositivos interconectados en el circuito? Este estudio inicia con la definición de algunos conceptos básicos. Estos conceptos son carga, corriente, tensión, elementos de circuito, potencia y ener- gía. Pero antes de definirlos se debe establecer el sistema de unidades que se usará a lo largo del texto. Sistemas de unidades Los ingenieros eléctricos trabajan con cantidades mensurables. Esta medición, sin embargo, debe ser comunicada en un lenguaje estándar que prácticamen- te todos los profesionales puedan entender, sin importar el país donde se rea- lice la medición. Tal lenguaje internacional de medición es el Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado por la Conferencia General de Pe- sos y Medidas en 1960. En este sistema hay seis unidades principales de las que pueden derivarse las unidades de todas las demás cantidades físicas. En 1.2 1.1 Lámpara Corriente Batería Ϫ ϩ Figura 1.1 Circuito eléctrico simple.
- 33. la tabla 1.1 aparecen esas seis unidades, sus símbolos y las cantidades físicas que representan. Las unidades del SI se usarán a todo lo largo de este texto. Una gran ventaja de las unidades del SI es que utilizan prefijos basados en las potencias de 10 para relacionar unidades mayores y menores con la uni- dad básica. En la tabla 1.2 aparecen los prefijos del SI y sus símbolos. Por ejemplo, las siguientes son expresiones de la misma distancia en metros (m): 600 000 000 mm 600 000 m 600 km 1.2 Sistemas de unidades 5 2, 5, 6 C Oscilador E B R2 10 k R3 10 k R1 47 Y1 7 MHz C6 5 L2 22.7 H (véase texto) a U1, Terminal 8 R10 10 k GANANCIA + + C16 100 F 16 V C11 100 F 16 V C10 1.0 F 16 V C9 1.0 F 16 V C15 0.47 16 V C17 100 F 16 V + − Suministro de 12 V de cd Salida de audio+ C18 0.1 R12 10 1 4 2 3 C14 0.0022 0.1C13 U2A 1 ⁄2 TL072 U2B 1⁄2 TL072 R9 15 k R5 100 k R8 15 k R6 100 k 5 6 R7 1 M C12 0.0033 + L3 1 mH R11 47 C8 0.1 Q1 2N2222A 7 C3 0.1 L1 0.445 H Antena C1 2200 pF C2 2200 pF 1 8 7 U1 SBL-1 Mezclador 3, 4 C7 532 C4 910 C5 910 R4 220 U3 LM386N Amplificador de potencia de audio 5 4 6 3 2 + + − + − + − + 8 Figura 1.2 Circuito eléctrico de un receptor de radio. Reproducido con autorización de QST, agosto de 1995, p. 23. TABLA 1.1 Las seis unidades básicas del SI. Cantidad Unidad básica Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente eléctrica ampere A Temperatura termodinámica kelvin K Intensidad luminosa candela cd TABLA 1.2 Prefijos del SI. Multiplicador Prefijo Símbolo 1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 102 hecto h 10 deca da 10Ϫ1 deci d 10Ϫ2 centi c 10Ϫ3 mili m 10Ϫ6 micro 10Ϫ9 nano n 10Ϫ12 pico p 10Ϫ15 femto f 10Ϫ18 atto a
- 34. 6 Capítulo 1 Conceptos básicos Carga y corriente El concepto de carga eléctrica es el principio fundamental para explicar todos los fenómenos eléctricos. Asimismo, la cantidad básica en un circuito eléctri- co es la carga eléctrica. Todas las personas experimentan el efecto de la car- ga eléctrica cuando intentan quitarse un suéter de lana y éste se pega al cuerpo o cuando atraviesan una alfombra y reciben un choque. Carga es una propiedad eléctrica de las partículas atómicas de las que se com- pone la materia, medida en coulombs (C). Gracias a la física elemental se sabe que toda la materia se compone de blo- ques constitutivos fundamentales conocidos como átomos y que cada átomo consta de electrones, protones y neutrones. También se sabe que la carga e de un electrón es negativa e igual en magnitud a 1.602 ϫ 10Ϫ19 , en tanto que un protón lleva una carga positiva de la misma magnitud que la del electrón. La presencia de igual número de protones y electrones deja a un átomo cargado neutralmente. Cabe señalar los siguientes puntos sobre la carga eléctrica: 1. El coulomb es una unidad grande para cargas. En 1 C de carga, hay 1͞(1.602 ϫ 10Ϫ19 ) ϭ 6.24 ϫ 1018 electrones. Así, valores realistas o de laboratorio de cargas son del orden de pC, nC o C.1 2. De acuerdo con observaciones experimentales, las únicas cargas que ocu- rren en la naturaleza son múltiplos enteros de la carga electrónica e ϭ Ϫ1.602 ϫ 10Ϫ19 C. 3. La ley de la conservación de la carga establece que la carga no puede ser creada ni destruida, sólo transferida. Así, la suma algebraica de las cargas eléctricas en un sistema no cambia. Se considerará ahora el flujo de las cargas eléctricas. Una característica peculiar de la carga eléctrica o electricidad es el hecho de que es móvil; es- to es, puede ser transferida de un lugar a otro, donde puede ser convertida en otra forma de energía. Cuando un alambre conductor (integrado por varios átomos) se conecta a una batería (una fuente de fuerza electromotriz), las cargas son obligadas a mo- verse; las cargas positivas se mueven en una dirección, mientras que las car- gas negativas se mueven en la dirección opuesta. Este movimiento de cargas crea corriente eléctrica. Por convención se considera al flujo de corriente co- mo el movimiento de cargas positivas. Esto es, opuesto al flujo de cargas ne- gativas, tal como lo ilustra la figura 1.3. Esta convención la introdujo Benjamín Franklin (1706-1790), el científico e inventor estadunidense. Aunque ahora se sabe que la corriente en conductores metálicos se debe a electrones cargados negativamente, en este texto se seguirá la convención universalmente acepta- da de que la corriente es el flujo neto de cargas positivas. Así, Corriente eléctrica es la velocidad de cambio de la carga respecto al tiem- po, medida en amperes (A). 1.3 1 Sin embargo, un capacitor grande de una fuente de poder puede almacenar hasta 0.5 C de carga. Batería I Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫϩ Figura 1.3 Corriente eléctrica debida al flujo de una carga electrónica en un conductor. Una convención es una manera están- dar de describir algo para que otros en la profesión puedan entender lo que significa. En este libro se usarán las convenciones del Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE).
- 35. Matemáticamente, la relación entre la corriente i, la carga q y el tiempo t es i ϭ ⌬ (1.1) donde la corriente se mide en amperes (A), y 1 ampere ϭ 1 coulomb͞segundo La carga transferida entre el tiempo t0 y t se obtiene integrando ambos miem- bros de la ecuación (1.1). Se obtiene (1.2) La forma en que se define la corriente como i en la ecuación (1.1) indica que no es necesario que la corriente sea una función de valor constante. Como lo sugerirán muchos de los ejemplos y problemas de este capítulo y capítulos subsecuentes, puede haber varios tipos de corriente; es decir, la carga puede variar con el tiempo de diversas maneras. Si la corriente no cambia con el tiempo, sino que permanece constante, se conoce como corriente directa (cd). Una corriente directa (cd) es una corriente que permanece constante en el tiempo. Por convención, el símbolo I se usa para representar tal corriente constante. Una corriente que varía con el tiempo se representa con el símbolo i. Una forma común de corriente que varía con el tiempo es la corriente senoidal o corriente alterna (ca). Una corriente alterna (ca) es una corriente que varía senoidalmente con el tiempo. Esta corriente se emplea en los hogares, para accionar el acondicionador de ai- re, refrigerador, lavadora y otros aparatos eléctricos. En la figura 1.4 se mues- Q ϭ ¢ Ύ t t0 i dt dq dt 1.3 Carga y corriente 7 André-Marie Ampère (1775-1836), matemático y físico francés, sentó las bases de la electrodinámica. Definió la corriente eléctrica y desarrolló una ma- nera de medirla en la década de 1820. Ampère nació en Lyon, Francia; a los 12 años de edad dominó el latín en unas cuantas semanas, pues le interesaban vivamente las matemáticas, y muchas de las mejores obras de matemáticas estaban en latín. Fue un brillan- te científico y un prolífico autor. Formuló las leyes del electromagnetismo. In- ventó el electroimán y el amperímetro. La unidad de corriente eléctrica, el ampere, lleva su nombre. Perfiles históricos 0 a) 0 b) t i t I Figura 1.4 Dos tipos comunes de corriente: a) co- rriente directa (cd); b) corriente alterna (ca). The Burndy Library, Dibner Institute for the History of Science and Tech- nology, Cambridge, Massachusetts.
- 36. tran la corriente directa y la corriente alterna; éstos son los dos tipos de co- rriente más comunes. Otros tipos se considerarán más adelante. Una vez definida la corriente como el movimiento de carga, es de espe- rar que la corriente tenga una dirección asociada de flujo. Como ya se men- cionó, por convención se considera que la dirección del flujo de la corriente es la dirección del movimiento de la carga positiva. Con base en esta conven- ción, una corriente de 5 A puede representarse positiva o negativamente, co- mo se observa en la figura 1.5. En otras palabras, una corriente negativa de Ϫ5 A que fluye en una dirección, como se muestra en la figura 1.5b), es igual a una corriente de ϩ5 A que fluye en la dirección opuesta. 8 Capítulo 1 Conceptos básicos 5 A a) b) Ϫ5 A Figura 1.5 Flujo de corriente convencional: a) flujo de corriente positiva, b) flujo de corriente negativa. La carga total que entra a una terminal está determinada por q ϭ 5t sen 4t mC. Calcule la corriente en t ϭ 0.5 s. Solución: i ϭ ϭ (5t sen 4t) mC/s ϭ (5 sen 4t ϩ 20t cos 4t) mA En t ϭ 0.5, i ϭ 5 sen 2 ϩ 10 cos 2 ϭ 0 ϩ 10 ϭ 31.42 mA d dt dq dt Si en el ejemplo 1.2, q ϭ (10 Ϫ 10eϪ2t ) mC, halle la corriente en t ϭ 0.5 s. Respuesta: 7.36 mA. Problema de práctica 1.1 Ejemplo 1.1 Ejemplo 1.2 Problema de práctica 1.2 ¿Cuánta carga representan 4 600 electrones? Solución: Cada electrón tiene Ϫ1.602 ϫ 10Ϫ19 C. Así, 4 600 electrones tendrán Ϫ1.602 ϫ 10Ϫ19 C͞electrón ϫ 4 600 electrones ϭ Ϫ7.369 ϫ 10Ϫ16 C Calcule la cantidad de carga representado por dos millones de protones. Respuesta: ϩ3.204 ϫ 10Ϫ13 C.
- 37. 1.4 Tensión 9 Tensión Como se explicó brevemente en la sección anterior, para mover el electrón en un conductor en una dirección particular es necesario que se transfiera cierto trabajo o energía. Este trabajo lo lleva a cabo una fuerza electromotriz exter- na (fem), habitualmente representada por la batería en la figura 1.3. Esta fem también se conoce como tensión o diferencia de potencial. La tensión vab en- tre dos puntos a y b en un circuito eléctrico es la energía (o trabajo) necesa- ria para mover una carga unitaria desde a hasta b; matemáticamente, vab ϭ ⌬ (1.3) donde w es la energía en joules (J), y q es la carga en coulombs (C). La ten- sión vab, o simplemente v, se mide en volts (V), así llamados en honor al fí- sico italiano Alessandro Antonio Volta (1745-1827), quien inventó la primera batería voltaica. Con base en la ecuación (1.3), es evidente que 1 volt ϭ 1 joule/coulomb ϭ 1 newton-metro/coulomb Así, Tensión (o diferencia de potencial) es la energía requerida para mover una carga unitaria a través de un elemento, medida en volts (V). En la figura 1.6 aparece la tensión entre los extremos de un elemento (re- presentado por un bloque rectangular) conectado a los puntos a y b. Los sig- nos más (ϩ) y menos (Ϫ) se usan para definir la dirección o polaridad de tensión de referencia. El voltaje vab puede interpretarse de dos maneras: 1) el dw dq 1.4 a b vab + – Figura 1.6 Polaridad de tensión vab. Determine la carga total que entra a una terminal entre t ϭ 1 s y t ϭ 2 s si la corriente que pasa por la terminal es i ϭ (3t2 Ϫ t) A. Solución: ϭ at3 Ϫ t2 2 b ` 2 1 ϭ (8 Ϫ 2) Ϫ a1 Ϫ 1 2 b ϭ 5.5 C Q ϭ Ύ 2 tϭ1 i dt ϭ Ύ 2 1 (3t2 Ϫ t)dt Ejemplo 1.3 Problema de práctica 1.3 La corriente que fluye a través de un elemento es Calcule la carga que entra al elemento de t = 0 a t = 2 s. Respuesta: 6.667 C. i ϭ e 2 A, 0 6 t 6 1 2t2 A, t 7 1
- 38. 10 Capítulo 1 Conceptos básicos punto a está a un potencial de vab volts mayor que el punto b, o 2) el poten- cial en el punto a respecto del punto b es vab. De esto se desprende lógica- mente que en general vab ϭ Ϫvba (1.4) Por ejemplo, en la figura 1.7 tenemos dos representaciones de la misma ten- sión. En la figura 1.7a), el punto a tiene ϩ9 V más que el punto b; en la fi- gura 1.7b), el punto b tiene Ϫ9 V más que el punto a. Podemos decir que en la figura 1.7a) hay una caída de tensión de 9 V de a a b o, en forma equiva- lente, un aumento de tensión de 9 V de b a a. En otras palabras, una caída de tensión de a a b es equivalente a un aumento de tensión de b a a. Corriente y tensión son las dos variables básicas en circuitos eléctricos. El término común señal se aplica a una cantidad eléctrica como una corrien- te o tensión (o incluso una onda electromagnética) que se usa para transmitir información. Los ingenieros prefieren llamar señales a esas variables, más que funciones matemáticas del tiempo, a causa de su importancia en las comuni- caciones y otras disciplinas. Al igual que en el caso de la corriente eléctrica, a una tensión constante se le llama tensión de cd y se le representa como V, mientras que a una tensión que varía senoidalmente con el tiempo se le lla- ma tensión de ca y se le representa como v. Una tensión de cd la produce co- múnmente una batería; una tensión de ca la produce un generador eléctrico. Potencia y energía Aunque corriente y tensión son las dos variables básicas en un circuito eléctri- co, no son suficientes por sí mismas. Para efectos prácticos, se necesita saber cuánta potencia puede manejar un dispositivo eléctrico. Todos los lectores sa- ben por experiencia que un foco de 100 watts da más luz que uno de 60 watts. También saben que al pagar una cuenta a la compañía suministradora de elec- tricidad, pagan la energía eléctrica consumida durante cierto periodo. Así, los cálculos de potencia y energía son importantes en el análisis de circuitos. 1.5 9 V a) a b + – – 9 V b) a b + – Figura 1.7 Dos representaciones equivalentes de la misma tensión vab: a) el punto a tiene 9 V más que el punto b, b) el punto b tiene Ϫ9 V más que el punto a. Perfiles históricos Alessandro Antonio Volta (1745-1827), físico italiano, inventó la bate- ría eléctrica, la cual brindó el primer flujo continuo de electricidad, y el ca- pacitor. Nacido en el seno de una familia noble en Como, Italia, Volta ya reali- zaba experimentos eléctricos a los 18 años de edad. Su invención de la bate- ría en 1796 revolucionó el uso de la electricidad. La publicación de su obra en 1800 marcó el inicio de la teoría de los circuitos eléctricos. Volta recibió muchos honores durante su vida. La unidad de tensión o diferencia de poten- cial, el volt, fue llamada así en su honor. The Burndy Library. Dibner Institute for the History of Science and Tech- nology. Cambridge, Massachussets Tenga presente que la corriente eléctri- ca siempre ocurre a través de un ele- mento y que la tensión eléctrica siempre ocurre entre los extremos del elemento o entre dos puntos.
- 39. 1.5 Potencia y energía 11 Para relacionar potencia y energía con tensión y corriente, recuérdese de la física que Potencia es la variación respecto del tiempo de entrega o absorción de la ener- gía, medida en watts (W). Esta relación se escribe como p ϭ ⌬ (1.5) donde p es la potencia, en watts (W); w es la energía, en joules (J), y t es el tiempo, en segundos (s). De las ecuaciones (1.1), (1.3) y (1.5) se desprende que p ϭ ϭ · ϭ vi (1.6) o sea p ϭ vi (1.7) La potencia p en la ecuación (1.7) es una cantidad que varía con el tiempo y se llama potencia instantánea. Así, la potencia absorbida o suministrada por un elemento es el producto de la tensión entre los extremos del elemento y la corriente a través de él. Si la potencia tiene signo ϩ, se está suministrando o la está absorbiendo el elemento. Si, por el contrario, tiene signo Ϫ, está sien- do suministrada por el elemento. Pero, ¿cómo saber cuándo la potencia tiene signo negativo o positivo? La dirección de corriente y polaridad de tensión desempeñan un papel primordial en la determinación del signo de la potencia. Por lo tanto, es im- portante que se preste atención a la relación entre la corriente i y la tensión v en la figura 1.8a). La polaridad de tensión y dirección de corriente deben ajustarse a las que aparecen en la figura 1.8a) para que la potencia tenga sig- no positivo. Esto se conoce como convención pasiva de signos. Por efecto de la convención pasiva de los signos, la corriente entra por la polaridad positi- va de la tensión. En este caso, p ϭ ϩvi o vi Ͼ 0 implica que el elemento es- tá absorbiendo potencia. En cambio, si p ϭ Ϫvi o vi Ͻ 0, como en la figura 1.8b), el elemento está liberando o suministrando potencia. La convención pasiva de signos se satisface cuando la corriente entra por la terminal positiva de un elemento y p = +vi. Si la corriente entra por la termi- nal negativa, p = –vi. A menos que se indique otra cosa, en este texto se seguirá la convención pasiva de signos. Por ejemplo, el elemento en los dos circuitos de la figura 1.9 tiene una absorción de potencia de ϩ12 W, porque una corriente positiva entra a la terminal positiva en ambos casos. En la figura 1.10, en cambio, el elemento suministra una potencia de ϩ12 W, porque una corriente positiva entra a la terminal negativa. Desde luego, una absorción de potencia de Ϫ12 W es equivalente a un suministro de potencia de ϩ12 W. En general, ϩPotencia absorbida ϭ ϪPotencia suministrada dq dt dw dq dw dt dw dt p = +vi a) v + – p = – vi b) v + – ii Figura 1.8 Polaridades de referencia para la potencia con el uso de la convención pasiva del sig- no: a) absorción de potencia, b) suminis- tro de potencia. a) 4 V 3 A + – 3 A 4 V 3 A b) + – Figura 1.9 Dos casos de un elemento con una absor- ción de potencia de 12 W: a) p ϭ 4 ϫ 3 ϭ 12 W, b) p ϭ 4 ϫ 3 ϭ 12 W. 3 A a) 4 V 3 A + – 3 A 4 V 3 A b) + – Figura 1.10 Dos casos de un elemento con un sumi- nistro de potencia de 12 W: a) p ϭ Ϫ4 ϫ 3 ϭ Ϫ12 W, b) p ϭ Ϫ4 ϫ 3 ϭ Ϫ12 W. Si las direcciones de tensión y corrien- te son como se muestra en la figura 1.8b), se tiene la convención activa de signos y p = +vi.
- 40. 12 Capítulo 1 Conceptos básicos De hecho, la ley de la conservación de la energía debe cumplirse en cual- quier circuito eléctrico. Por esta razón, la suma algebraica de la potencia en un circuito, en cualquier instante, debe ser cero: (1.8) Esto confirma de nueva cuenta el hecho de que la potencia total suministra- da al circuito debe equilibrar la potencia total absorbida. A partir de la ecuación (1.6), la energía absorbida o suministrada por un elemento del tiempo t0 al tiempo t es (1.9) Energía es la capacidad para realizar trabajo, medida en joules (J). Las compañías abastecedoras de electricidad miden la energía en watts-horas (Wh), donde 1 Wh ϭ 3 600 J w ϭ Ύ t t0 p dt ϭ Ύ t t0 vi dt a p ϭ 0 Una fuente de energía fuerza una corriente constante de 2 A durante 10 s pa- ra que fluya por una bombilla eléctrica. Si 2.3 kJ se emiten en forma de luz y energía térmica, calcule la caída de tensión en la bombilla. Solución: La carga total es ⌬q ϭ i ⌬t ϭ 2 ϫ 10 ϭ 20 C La caída de tensión es v ϭ ¢w ¢q ϭ 2.3 ϫ 103 20 ϭ 115 V Ejemplo 1.4 Halle la potencia que se entrega a un elemento en t = 3 ms si la corriente que entra a su terminal positiva es i ϭ 5 cos 60 t A y la tensión es: a) v ϭ 3i, b) v ϭ 3 di͞dt. Ejemplo 1.5 Para mover la carga q del punto a al punto b se requieren –30 J. Halle la caí- da de tensión vab si: a) q ϭ 2 C, b) q ϭ Ϫ6 C. Respuesta: a) Ϫ15 V, b) 5 V. Problema de práctica 1.4
- 41. 1.5 Potencia y energía 13 Solución: a) La tensión es v ϭ 3i ϭ 15 cos 60 t; así, la potencia es p ϭ vi = 75 cos2 60t W En t ϭ 3 ms, b) Se encuentra la tensión y la potencia como v ϭ 3 ϭ 3(Ϫ60)5 sen 60t ϭ Ϫ900 sen 60t V p ϭ vi ϭ Ϫ4 500 sen 60t cos 60t W En t ϭ 3 ms, p ϭ Ϫ4 500 sen 0.18 cos 0.18 W ϭ Ϫ14 137.167 sen 32.4Њ cos 32.4Њ ϭ Ϫ6.396 kW di dt p ϭ 75 cos2 (60p ϫ 3 ϫ 10Ϫ3 ) ϭ 75 cos2 0.18p ϭ 53.48 W Problema de práctica 1.5 Problema de práctica 1.6 Un elemento de una estufa eléctrica requiere 15 A cuando está conectado a una línea de 120 V. ¿Cuánto tiempo tarda en consumir 30 kJ? Respuesta: 16.667 s. ¿Cuánta energía consume una bombilla eléctrica de 100 W en dos horas? Solución: ϭ 720 000 J ϭ 720 kJ Esto es lo mismo que w ϭ pt ϭ 100 W ϫ 2 h ϭ 200 Wh w ϭ pt ϭ 100 (W) ϫ 2 (h) ϫ 60 (min/h) ϫ 60 (s/min) Ejemplo 1.6 Halle la potencia provista al elemento del ejemplo 1.5 en t ϭ 5 ms si la co- rriente se mantiene sin cambios pero la tensión es: a) v ϭ 2i V, b) V. Respuesta: a) 17.27 W, b) 29.7 W. v ϭ a10 ϩ 5Ύ t 0 i dtb
- 42. 14 Capítulo 1 Conceptos básicos Instituto Smithsoniano. Perfiles históricos Exhibición de 1884 En Estados Unidos, nada promovió tanto el futuro de la electricidad como la International Electrical Exhibition de 1884. Basta ima- ginar un mundo sin electricidad, un mundo iluminado por velas y lámparas de gas, un mundo donde el transporte más común era caminar, montar a ca- ballo o abordar un carruaje tirado por caballos. En ese mundo se creó una ex- hibición que puso de relieve a Edison y reflejó su muy desarrollada capacidad para promover sus inventos y productos. Su exposición comprendió especta- culares muestras de iluminación alimentadas por un impresionante generador “Jumbo” de 100 kW. Dinamos y lámparas de Edward Weston se presentaron en el pabellón de la United States Electric Lighting Company. También se exhibió la conocida colección de instrumentos científicos de Weston. Otros destacados expositores fueron Frank Sprague, Elihu Thompson y la Brush Electric Company de Cleveland. El American Institute of Electrical En- gineers (AIEE) celebró su primera reunión técnica el 7 y el 8 de octubre en el Franklin Institute durante la exhibición. El AIEE se fusionó con el Institu- te of Radio Engineers (IRE) en 1964 para formar el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE).
- 43. 1.6 Elementos de circuitos 15 Elementos de circuitos Como se explicó en la sección 1.1, un elemento es el bloque constitutivo bá- sico de un circuito. Un circuito eléctrico es simplemente una interconexión de los elementos. El análisis de circuitos es el proceso de determinar las tensio- nes (o las corrientes) a través de los elementos del circuito. Hay dos tipos de elementos en los circuitos eléctricos: elementos pasivos y elementos activos. Un elemento activo es capaz de generar energía, mien- tras que un elemento pasivo no. Ejemplos de elementos pasivos son los resis- tores, los capacitores y los inductores. Los elementos activos más comunes incluyen a los generadores, las baterías y los amplificadores operacionales. El propósito en esta sección es que el lector se familiarice con algunos impor- tantes elementos activos. Los elementos activos más importantes son las fuentes de tensión o de corriente, que generalmente suministran potencia al circuito conectado a ellas. Hay dos tipos de fuentes: independientes y dependientes. Una fuente independiente ideal es un elemento activo que suministra una tensión o corriente especificada y que es totalmente independiente de los de- más elementos del circuito. En otras palabras, una fuente independiente ideal de tensión suministra al cir- cuito la corriente necesaria para mantener su tensión entre las terminales. Fuentes físicas como las baterías y los generadores pueden considerarse apro- ximaciones de fuentes de tensión ideal. En la figura 1.11 aparecen los símbo- los de fuentes de tensión independientes. Nótese que los dos símbolos de la figura 1.11a) y b) pueden usarse para representar una fuente de tensión de cd, pero sólo el símbolo en la figura 1.11a) puede usarse para una fuente de ten- sión que varía con el tiempo. De igual manera, una fuente de corriente indepen- diente ideal es un elemento activo que suministra una corriente especificada completamente independiente de la tensión entre los extremos de la fuente. Esto es, la fuente de corriente aporta al circuito la tensión necesaria para man- tener la corriente designada. El símbolo de una fuente de corriente indepen- diente se presenta en la figura 1.12, donde la flecha indica la dirección de la corriente i. Una fuente dependiente ideal (o controlada) es un elemento activo en el que la magnitud de la fuente se controla por medio de otra tensión o corriente. Las fuentes dependientes suelen indicarse con símbolos en forma de diaman- te, como se muestra en la figura 1.13. Puesto que el control de la fuente de- pendiente lo ejerce una tensión o corriente de otro elemento en el circuito, y dado que la fuente puede ser tensión o corriente, se concluye que existan cua- tro posibles tipos de fuentes dependientes, a saber: 1. Fuente de tensión controlada por tensión (FTCT). 2. Fuente de tensión controlada por corriente (FTCC). 3. Fuente de corriente controlada por tensión (FCCT). 4. Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC). 1.6 Figura 1.11 Símbolos para fuentes de tensión inde- pendientes: a) usado para tensión cons- tante o que varía con el tiempo, b) usado para tensión constante (cd). V b) + – v a) + – i Figura 1.12 Símbolo para fuente de corriente indepen- diente. a) b) v + – i Figura 1.13 Símbolos de: a) fuente de tensión depen- diente, b) fuente de corriente dependiente.
- 44. 16 Capítulo 1 Conceptos básicos Las fuentes dependientes son útiles en el modelado de elementos como tran- sistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados. Un ejemplo de una fuente de tensión controlada por corriente se muestra en la parte derecha de la figura 1.14, donde la tensión 10i de la fuente de tensión depende de la corriente i a través del elemento C. A los estudiantes podría sorprenderles que el valor de la fuente de tensión dependiente sea de 10i V (y no de 10i A), puesto que es una fuente de tensión. La idea clave para tener en cuenta es que una fuente de tensión contiene polaridades (ϩ Ϫ) en su símbolo, mientras que una fuente de corriente se presenta con una flecha, sin importar de qué dependa. Cabe señalar que una fuente de tensión ideal (dependiente o independien- te) producirá cualquier corriente necesaria para asegurar que la tensión entre las terminales sea la requerida, mientras que una fuente de corriente ideal pro- ducirá la tensión necesaria para asegurar el flujo de corriente establecido. Así, en teoría una fuente ideal podría suministrar un monto infinito de energía. Cabe indicar asimismo que las fuentes no sólo suministran potencia a un circuito, sino que también pueden absorber potencia de un circuito. En cuanto a una fuente de tensión, se conoce la tensión, pero no la corriente que alimenta o extrae. Por la misma razón se conoce la corriente suministrada por una fuen- te de corriente, pero no la tensión a través de ella. 2 p3 I = 5 A 20 V 6 A 8 V 0.2I 12 V + – + – + – p1 p4 Figura 1.15 Para el ejemplo 1.7. i A B C 10i5 V + – + – Figura 1.14 La fuente de la parte derecha es una fuen- te de tensión controlada por corriente. Calcule la potencia suministrada o absorbida por cada elemento de la figura 1.15. Solución: Se aplica la convención de los signos para la potencia que se mostró en las figuras 1.8 y 1.9. En el caso de p1, la corriente de 5 A sale de la terminal po- sitiva (o entra a la terminal negativa); así, p1 ϭ 20(Ϫ5) ϭ Ϫ100 W Potencia suministrada En p2 y p3, los flujos de corriente entran a la terminal positiva del elemento en cada caso. p2 ϭ 12(5) ϭ 60 W Potencia absorbida p3 ϭ 8(6) ϭ 48 W Potencia absorbida Para p4, se debe hacer hincapié en que la tensión es de 8 V (positivo en el ex- tremo superior), igual que la tensión para p3, pues tanto el elemento pasivo co- mo la fuente dependiente están conectados a las mismas terminales. (Recuérdese que la tensión siempre se mide a través de un elemento en un circuito.) Dado que la corriente sale de la terminal positiva, p4 ϭ 8(Ϫ0.2I) ϭ 8(Ϫ0.2 ϫ 5) ϭ Ϫ8 W Potencia suministrada Obsérvese que la fuente de tensión independiente de 20 V y la fuente de co- rriente dependiente de 0.2I están suministrando potencia al resto de la red, mientras que los dos elementos pasivos la están absorbiendo. Asimismo, p1 ϩ p2 ϩ p3 ϩ p4 ϭ Ϫ100 ϩ 60 ϩ 48 Ϫ 8 ϭ 0 De acuerdo con la ecuación (1.8), la potencia total suministrada equivale a la potencia total absorbida. Ejemplo 1.7
- 45. 1.7 Aplicaciones 17 † Aplicaciones2 En esta sección se considerarán dos aplicaciones prácticas de los conceptos presentados en este capítulo. La primera tiene que ver con el tubo de imagen del televisor, y la otra con la manera en que las compañías abastecedoras de energía eléctrica determinan la cuenta de la electricidad que el usuario con- sume. 1.7.1 Tubo de imagen del televisor Una importante aplicación del movimiento de electrones se encuentra tanto en la transmisión como en la recepción de señales de televisión. En el extre- mo de la transmisión, una cámara de televisión convierte la imagen óptica de una escena en una señal eléctrica. El barrido se realiza con un fino haz de elec- trones en un tubo de la cámara de iconoscopio. En el extremo de la recepción, la imagen se reconstruye usando un tubo de rayos catódicos (TRC) localizado en el receptor de televisión.3 El TRC se representa en la figura 1.17. A diferencia del tubo de iconoscopio, que produ- ce un haz de electrones de intensidad constante, el haz del TRC varía en in- tensidad de acuerdo con la señal de entrada. El cañón de electrones, mantenido en un potencial alto, activa el haz de electrones. El haz pasa por dos series de placas para las deflexiones vertical y horizontal, a fin de que el punto sobre la pantalla donde el haz impacta pueda moverse a derecha e izquierda y arriba y abajo. Cuando el haz de electrones incide la pantalla fluorescente, produce luz en ese punto. Así se consigue que el haz “plasme” una imagen en la pantalla del televisor. 1.7 8 A 5 V 3 V 2 V 3 A I = 5 A 0.6I+ + – + – + – + – p2 p1 p3 p4 Figura 1.16 Problema de práctica 1.7. 2 El signo de cruz que precede al título de una sección indica que ésta puede omitirse, explicar- se brevemente o asignarse como tarea. 3 Los tubos de los televisores modernos usan una tecnología diferente. Placas de deflexión horizontal Trayectoria del electrón Cañón electrónico Punto luminoso en la pantalla fluorescente Placas de deflexión vertical Figura 1.17 Tubo de rayos catódicos. Fuente: D. E. Tilley, Contemporary College Physics (Menlo Park, Calif., Benjamin/Cummings, 1979), p. 319. Problema de práctica 1.7 Calcule la potencia absorbida o suministrada por cada componente del circui- to de la figura 1.16. Respuesta: p1 ϭ Ϫ40 W, p2 ϭ 16 W, p3 ϭ 9 W, p4 ϭ 15 W.
- 46. 18 Capítulo 1 Conceptos básicos i q Vo Figura 1.18 Diagrama simplificado del tubo de rayos catódicos, para el ejemplo 1.8. Perfiles históricos Karl Ferdinand Braun y Vladimir K. Zworikin Karl Ferdinand Braun (1850-1918), de la Universidad de Estrasburgo, inven- tó en 1879 el tubo de rayos catódicos de Braun. Éste se convirtió después en la base del cinescopio utilizado durante muchos años en los televisores. Hoy sigue siendo el dispositivo más económico, aunque el precio de los sistemas de pantalla plana se está volviendo rápidamente competitivo. Antes de que el tubo de Braun pudiera ser utilizado en la televisión, se precisó de la inventi- va de Vladimir K. Zworikin (1889-1982) para desarrollar el iconoscopio, a fin de que la televisión moderna se hiciera realidad. El iconoscopio evolucio- nó en el orticonoscopio y el orticonoscopio de imagen, que permitían la cap- tura de imágenes y su conversión en señales que pudieran enviarse al receptor de televisión. Así nació la cámara de televisión. Zworikin con un iconoscopio. © Bettmann/Corbis. El haz de electrones en un tubo de imagen de un televisor conduce 1015 elec- trones por segundo. Como ingeniero de diseño, determine la tensión Vo nece- saria para acelerar el haz de electrones a fin de que alcance los 4 W. Solución: La carga en un electrón es e ϭ Ϫ1.6 ϫ 10Ϫ19 C Si el número de electrones es n, entonces q ϭ ne y El signo negativo indica que el electrón fluye en dirección opuesta al flujo de electrones, como se muestra en la figura 1.18, la cual es un diagrama simpli- ficado del TRC para el caso en que las placas de deflexión vertical no con- duzcan ninguna carga. La potencia del haz es p ϭ Voi o Vo = = = 25 000 V Así, la tensión requerida es de 25 kV. 4 1.6 ϫ 10Ϫ4 p i i ϭ dq dt ϭ e dn dt ϭ (Ϫ1.6 ϫ 10Ϫ19 )(1015 ) ϭ Ϫ1.6 ϫ 10Ϫ4 A Ejemplo 1.8 Si el haz de electrones de un tubo de imagen de un televisor conduce 1013 electrones por segundo y pasa por placas mantenidas en una diferencia de po- tencial de 30 kV, calcule la potencia en el haz. Respuesta: 48 mW. Problema de práctica 1.8
- 47. 1.7 Aplicaciones 19 1.7.2 Recibos de consumo de electricidad La segunda aplicación tiene que ver con la manera en que las compañías abas- tecedoras de electricidad les cobran a sus clientes. El costo de la electricidad depende del monto de energía consumida en kilowatts-horas (kWh). (Otros fac- tores que afectan al costo incluyen factores de demanda y potencia, que se ig- nora por ahora.) Sin embargo, aun si un consumidor no usa nada de energía, hay un cargo mínimo de servicio que el cliente debe pagar, porque la conexión permanente a la línea eléctrica tiene un costo monetario. Al aumentar el consu- mo de energía, el costo por kWh disminuye. Es interesante examinar el con- sumo mensual promedio de electrodomésticos para una familia de cinco integrantes, mostrado en la tabla 1.3. El dueño de una casa consume 700 kWh en enero. Determine la cuenta de electricidad de ese mes con base en el siguiente plan de tarifa residencial: Cargo mensual base de $12.00. Primeros 100 kWh por mes, a 16 centavos/kWh. Siguientes 200 kWh por mes, a 10 centavos/kWh. Arriba de 300 kWh por mes, a 6 centavos/kWh. Solución: Se calcula la cuenta de electricidad como sigue. Cargo mensual base = $12.00 Primeros 100 kWh @ 0.16/kWh centavos de dólar = $16.00 Siguientes 200 kWh @ 0.10/kWh centavos de dólar = $20.00 Restantes 400 kWh @ 0.06/kWh cenvavos de dólar = $24.00 Cargo total = $72.00 Costo promedio = = 10.2 centavos de dolar kWh $72 100 ϩ 200 ϩ 400 Ejemplo 1.9 Problema de práctica 1.9 En referencia al plan de tarifa residencial del ejemplo 1.9, calcule el costo promedio por kWh si sólo se consumen 400 kWh en julio, cuando la familia está de vacaciones la mayor parte del tiempo. Respuesta: 13.5 centavos de dólar/kWh. TABLA 1.3 Consumo mensual promedio típico de electrodomésticos. kWh kWh Aparato consumidos Aparato consumidos Calentador de agua 500 Lavadora 120 Refrigerador 100 Estufa eléctrica 100 Iluminación 100 Secadora 80 Lavavajillas 35 Horno de microondas 25 Plancha 15 Computadora 12 TV 10 Radio 8 Tostador 4 Reloj 2
- 48. 20 Capítulo 1 Conceptos básicos † Solución de problemas Aunque los problemas por resolver durante la carrera individual variarán en complejidad y magnitud, los principios básicos que deben seguirse son siem- pre los mismos. El proceso que se describirá aquí lo han practicado los auto- res a lo largo de muchos años de resolución de problemas con estudiantes, para solucionar problemas de ingeniería en la industria y en la investigación. Primero se listan los pasos y después se explican. 1. Definir cuidadosamente el problema. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. 4. Intentar una solución del problema. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. 1. Definir cuidadosamente el problema. Ésta es quizá la parte más impor- tante del proceso, ya que se convierte en el fundamento de los demás pa- sos. En general, la presentación de problemas de ingeniería es un tanto incompleta. Se debe hacer todo lo posible por cerciorarse de comprender el problema en forma tan completa como quien lo presenta. El tiempo dedicado a la clara identificación del problema ahorrará considerable tiempo y frustración posteriores. El estudiante puede clarificar la enun- ciación de un problema en un libro de texto pidiéndole a su profesor que le ayude a comprenderla mejor. Un problema que se le presente en la in- dustria podría requerir la consulta a varios individuos. En este paso es importante formular preguntas que deban responderse antes de continuar con el proceso de solución. Si existen tales preguntas, se debe consultar a los individuos o recursos apropiados para obtener las respuestas corres- pondientes. Con estas respuestas se puede depurar el problema y usar esa depuración como enunciación del problema para el resto del proceso de solución. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. El lector ya está prepa- rado para escribir todo lo que sabe sobre el problema y sus posibles solu- ciones. Este importante paso ahorrará tiempo y frustración posteriores. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. Casi todo problema tendrá varias ru- tas posibles a la solución. Es altamente deseable identificar tantas de esas rutas como sea posible. En este punto también se debe determinar las he- rramientas de que se dispone, como PSpice y MATLAB y otros paquetes de software que pueden reducir enormemente el esfuerzo e incrementar la exactitud. Hay que destacar una vez más que el tiempo que se dedi- que a la cuidadosa definición del problema y a la investigación de méto- dos alternativos de solución rendirán después grandes dividendos. Evaluar las alternativas y determinar cuál ofrece la mayor probabilidad de éxito puede ser difícil, pero bien valdrá el esfuerzo. Se debe documentar mi- nuciosamente este proceso, ya que deberá volver a él si el primer méto- do no da resultado. 4. Intentar una solución del problema. Éste es el momento en que realmen- te se debe proceder a la solución del problema. Se debe documentar de manera minuciosa el proceso que se siga, para presentar una solución de- tallada si tiene éxito, o para evaluar el proceso si no se tiene. Una eva- 1.8
- 49. 1.8 Solución de problemas 21 luación pormenorizada puede llevar a correcciones que conduzcan des- pués a una solución exitosa. También puede desembocar en el ensayo de nuevas alternativas. Muchas veces es recomendable establecer por com- pleto una solución antes de poner números en las ecuaciones. Esto ayu- dará a verificar sus resultados. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Se debe evaluar todo lo realizado y decidir si la solución es aceptable, la cual el lector estaría dis- puesto a presentar a su equipo, jefe o profesor. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Ahora se debe presentar la solución o probar otra alternativa. En este pun- to, presentar la solución podría poner fin al proceso. A menudo, sin em- bargo, la presentación de una solución conduce a una mayor depuración de la definición del problema, y el proceso continúa. Seguir este proceso llevará finalmente a una conclusión satisfactoria. Este proceso se examina ahora en relación con un estudiante del curso de fundamentos de ingeniería eléctrica y computacional. (El proceso básico se aplica también a casi cualquier curso de ingeniería.) Téngase presente que aun- que se simplificaron los pasos para aplicarlos a problemas de tipo académi- co, el proceso formulado debe seguirse siempre. Considérese un ejemplo simple. Figura 1.19 Ejemplo ilustrativo. Figura 1.20 Definición del problema. 2 ⍀ 4 ⍀ 8 ⍀5 V 3 V+ – + – i8 2 ⍀ 4 ⍀ 8 ⍀5 V 3 V+ – Determine la corriente que fluye por el resistor de 8 ⍀ de la figura 1.19. Solución: 1. Definir cuidadosamente el problema. Éste es un ejemplo sencillo, pero de inmediato es posible advertir que no se conoce la polaridad en la fuen- te de 3 V. Hay las siguientes opciones. Podría preguntar al profesor cuál debía ser la polaridad. De no ser posible esto, debe decidir qué hacer en seguida. Si hay tiempo para resolver el problema de las dos maneras, pue- de determinar la corriente cuando la fuente de 3 V es positiva en el ex- tremo superior y luego en el inferior. Si no hay tiempo para ello, suponga una polaridad y después documente detalladamente su decisión. Supón- gase que el profesor dice que la fuente es positiva en el extremo inferior, como se muestra en la figura 1.20. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. Registrar todo lo que sabe sobre el problema implica en este caso rotular claramente el circui- to, para que defina lo que busca. Dado el circuito de la figura 1.20, debe determinar i8⍀. Verifique entonces con el profesor, de ser razonable, para saber si el pro- blema ha sido apropiadamente definido. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofre- ce la mayor probabilidad de éxito. En esencia pueden usarse tres técni- cas para resolver este problema. Más adelante descubrirá que podría emplear el análisis de circuitos (con el uso de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm), el análisis nodal y el análisis de malla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de circuitos conducirá finalmente a una solución, pero es probable que implique más trabajo que el análisis no- dal o de malla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de lazo requerirá escribir dos ecuaciones simultáneas para hallar las dos corrientes de malla indicadas Ejemplo 1.10
- 50. 22 Capítulo 1 Conceptos básicos En consecuencia, se determina i8⍀ usando el análisis nodal. 4. Intentar una solución del problema. Primero se escriben todas las ecua- ciones que se necesitan para hallar i8⍀. Es posible resolver ahora para v1. lleva a (4v1 Ϫ 20) ϩ (v1) ϩ (2v1 ϩ 6) ϭ 0 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Ahora puede recurrirse a la ley de tensión de Kirchhoff (LTK) para comprobar los resultados. i1 ϩ i2 ϩ i3 ϭ Ϫ1.5 ϩ 0.25 ϩ 1.25 ϭ 0 (Verificación.) Al aplicar la LTK al lazo 1, Aplicando la LTK al lazo 2, ϭ Ϫ2 ϩ 5 Ϫ 3 ϭ 0 (Checks.) ϭ Ϫ(0.25 ϫ 8) ϩ (1.25 ϫ 4) Ϫ 3 Ϫv8⍀ ϩ v4⍀ Ϫ 3 ϭ Ϫ(i2 ϫ 8) ϩ (i3 ϫ 4) Ϫ 3 ϭ Ϫ5 ϩ 3 ϩ 2 ϭ 0 (Checks.) ϭ Ϫ5 ϩ (Ϫ(Ϫ1.5)2) ϩ (0.25 ϫ 8) Ϫ5 ϩ v2⍀ ϩ v8⍀ ϭ Ϫ5 ϩ (Ϫi1 ϫ 2) ϩ (i2 ϫ 8) i3 ϭ v1 ϩ 3 4 ϭ 2 ϩ 3 4 ϭ 5 4 ϭ 1.25 A i2 ϭ i8⍀ ϭ 0.25 A i1 ϭ v1 Ϫ 5 2 ϭ 2 Ϫ 5 2 ϭ Ϫ 3 2 ϭ Ϫ1.5 A 7v1 ϭ ϩ14, v1 ϭ ϩ2 V, i8⍀ ϭ v1 8 ϭ 2 8 ϭ 0.25 A 8c v1 Ϫ 5 2 ϩ v1 Ϫ 0 8 ϩ v1 ϩ 3 4 d ϭ 0 v1 Ϫ 5 2 ϩ v1 Ϫ 0 8 ϩ v1 ϩ 3 4 ϭ 0 i8⍀ ϭ i2, i2 ϭ v1 8 , i8⍀ ϭ v1 8 en la figura 1.21. Usar el análisis nodal requiere despejar sólo una incógnita. Éste es el método más sencillo. 2 ⍀ 4 ⍀ 8 ⍀ 5 V 3 V+ – + – i2 i1 i3 + – + – + – v8⍀ v4⍀v2⍀ Lazo 1 Lazo 2 v1 Figura 1.21 Uso del análisis nodal. (Verificación.) (Verificación.)
- 51. 1.9 Resumen 23 Así, ahora hay un muy alto grado de confianza en la exactitud de la res- puesta. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solución; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Este problema ha sido resuelto satisfactoriamente. La corriente a través del resistor de 8 ⍀ es de 0.25 A y circula hacia abajo por el resistor de 8 ⍀. Resumen 1. Un circuito eléctrico consta de elementos eléctricos conectados entre sí. 2. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el lenguaje internacional de medición, el cual permite a los ingenieros comunicar sus resultados. De las seis unidades principales pueden derivarse las unidades de las demás cantidades físicas. 3. La corriente es la velocidad del flujo de carga. i ϭ 4. La tensión es la energía requerida para mover 1 C de carga por un ele- mento. v ϭ 5. La potencia es la energía suministrada o absorbida por unidad de tiem- po. También es el producto de tensión y corriente. p ϭ ϭ vi 6. De acuerdo con la convención pasiva de los signos, la potencia adopta signo positivo cuando la corriente entra por la polaridad positiva de la tensión a lo largo de un elemento. 7. Una fuente de tensión ideal produce una diferencia de potencial especí- fica entre sus terminales sin importar a qué se conecte. Una fuente de co- rriente ideal produce una corriente específica a través de sus terminales sin importar a qué se conecte. 8. Las fuentes de tensión y de corriente pueden ser dependientes o indepen- dientes. Una fuente dependiente es aquella cuyo valor depende de otra variable del circuito. 9. Dos áreas de aplicación de los conceptos incluidos en este capítulo son el tubo de imagen del televisor y el procedimiento de facturación de la electricidad. dw dt dw dq dq dt 1.9 Problema de práctica 1.10 Pruebe la aplicación de este proceso en algunos de los problemas más difíci- les que están al final de este capítulo.
- 52. 24 Capítulo 1 Conceptos básicos 1.8 La tensión a través de un tostador de 1.1 kW que produce una corriente de 10 A es de: a) 11 kV b) 1 100 V c) 110 V d) 11 V 1.9 ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad eléctrica? a) carga b) tiempo c) tensión d) corriente e) potencia 1.10 La fuente dependiente de la figura 1.22 es una: a) fuente de corriente controlada por tensión b) fuente de tensión controlada por tensión c) fuente de tensión controlada por corriente d) fuente de corriente controlada por corriente 1.1 Un milivolt es un millonésimo de un volt. a) Cierto b) Falso 1.2 El prefijo micro significa: a) 106 b) 103 c) 10Ϫ3 d) 10Ϫ6 1.3 La tensión de 2 000 000 V puede expresarse en potencias de 10 como: a) 2 mV b) 2 kV c) 2 MV d) 2 GV 1.4 Una carga de 2 C que fluye por un punto dado cada se- gundo es una corriente de 2 A. a) Cierto b) Falso 1.5 La unidad de corriente es: a) coulomb b) ampere c) volt d) joule 1.6 La tensión se mide en: a) watts b) amperes c) volts d) joules por segundo 1.7 Una corriente de 4 A que carga a un material dieléctrico acumulará una carga de 24 C después de 6 s. a) Cierto b) Falso vs io 6io ϩ Ϫ Figura 1.22 Para la pregunta de repaso 1.10. Respuestas: 1.1b, 1.2d, 1.3c, 1.4a, 1.5b, 1.6c, 1.7a, 1.8c, 1.9b, 1.10d. Figura 1.23 Para el problema 1.6. q(t) (mC) 80 0 2 4 6 8 10 12 t (ms) 1.4 Una corriente de 3.2 A fluye a través de un conductor. Calcule cuánta carga pasa por cualquier sección transver- sal del conductor en 20 s. 1.5 Determine la carga total transferida durante el intervalo de 0 Յ t Յ 10 cuando i(t) ϭ 1 –2 t A. 1.6 La carga que entra a cierto elemento se muestra en la fi- gura 1.23. Halle la corriente en: a) t ϭ 1 ms b) t ϭ 6 ms c) t ϭ 10 ms Sección 1.3 Carga y corriente 1.1 ¿Cuántos coulombs representan las siguientes cantidades de electrones? a) 6.482 ϫ 1017 b) 1.24 ϫ 1018 c) 2.46 ϫ 1019 d) 1.628 ϫ 1020 1.2 Determine la corriente que fluye a través de un elemento si el flujo de la carga está dado por a) q(t) ϭ (3t ϩ 8) mC b) q(t) ϭ (8t2 ϩ 4t Ϫ 2) C c) q(t) ϭ (3eϪt Ϫ 5eϪ2t ) nC d) q(t) ϭ 10 sen 120t pC e) q(t) ϭ 20eϪ4t cos 50t C 1.3 Halle la carga q(t) que fluye a través de un dispositivo si la corriente es: a) i(t) ϭ 3 A, a(0) ϭ 1 C b) i(t) ϭ (2t ϩ 5) mA, q(0) ϭ 0 c) i(t) ϭ 20 cos(10t ϩ ͞6) A, q(0) ϭ 2 C d) i(t) ϭ 10 eϪ30t sen 40t A, q(0) ϭ 0 Problemas Preguntas de repaso
- 53. 1.7 La carga que fluye en un alambre se grafica en la figura 1.24. Trace la corriente correspondiente. 1.8 La corriente que fluye por un punto en un dispositivo se muestra en la figura 1.25. Calcule la carga total a través del punto. 1.9 La corriente a través de un elemento se muestra en la figu- ra 1.26. Determine la carga total que pasó por el elemento en: a) t ϭ 1 s b) t ϭ 3 s c) t ϭ 5 s Secciones 1.4 y 1.5 Tensión, potencia y energía 1.10 Un rayo con 8 kA impacta un objeto durante 15 s. ¿Cuánta carga se deposita en el objeto? 1.11 La batería recargable de una linterna es capaz de suminis- trar 85 mA durante alrededor de 12 h. ¿Cuánta carga puede liberar a esa tasa? Si su tensión en las terminales es de 1.2 V, ¿cuánta energía puede suministrar? 1.12 Si la corriente que fluye a través de un elemento está da- da por Grafique la carga almacenada en el elemento durante 0 < t Ͻ 20 s. i(t) ϭ μ 3tA, 0 Ϲ t 6 6 s 18A, 6 Ϲ t 6 10 s Ϫ12A, 10 Ϲ t 6 15 s 0, t м 15 s 1.13 La carga que entra a la terminal positiva de un elemento es q ϭ 10 sen 4t mC mientras que la tensión a través del elemento (de más a menos) es v ϭ 10 sen 4t V a) Halle la potencia suministrada al elemento en t ϭ 0.3 s. b) Calcule la energía suministrada al elemento entre 0 y 0.6 s. 1.14 La tensión v a través de un dispositivo y la corriente i a través de él son v(t) ϭ 5 cos 2t V, i(t) ϭ 10(1 Ϫ eϪ0.5t ) A Calcule: a) la carga total en el dispositivo en t ϭ 1 s. b) la potencia consumida por el dispositivo en t ϭ 1 s. 1.15 La corriente que entra a la terminal positiva de un dispo- sitivo es i(t) ϭ 3eϪ2t A y la tensión a través del dispositivo es v(t) ϭ 5 di͞dt V. a) Halle la carga suministrada al dispositivo entre t ϭ 0 y t ϭ 2 s. b) Calcule la potencia absorbida. c) Determine la energía absorbida en 3 s. 1.16 En la figura 1.27 se presentan la corriente y la tensión a través de un dispositivo. a) Trace la potencia suministrada al dispositivo en t Ͼ 0. b) Halle la energía total absorbida por el dispositivo en el periodo 0 Ͻ t Ͻ 4 s. Problemas 25 Figura 1.24 Para el problema 1.7. q (C) t (s) 50 –50 0 2 4 6 8 Figura 1.25 Para el problema 1.8. i (mA) t (ms)0 1 2 10 Figura 1.26 Para el problema 1.9. 0 1 2 3 4 5 5 10 i (A) t (s) Figura 1.27 Para el problema 1.16. 0 2 4 60 i (mA) t (s) 0 5 v (V) t (s) – 5 2 4 Sección 1.6 Elementos de circuito 1.17 En la figura 1.28 se presenta un circuito con cinco ele- mentos. Si p1 ϭ Ϫ250 W, p2 ϭ 60 W, p4 ϭ 45 W, p5 ϭ 30 W, calcule la potencia p3 recibida o suministrada por el elemento 3.
- 54. 26 Capítulo 1 Conceptos básicos 1.19 Halle I en la red de la figura 1.30. Figura 1.29 Para el problema 1.18. Figura 1.30 Para el problema 1.19. 1.20 Halle Vo en el circuito de la figura 1.31. I = 10 A 10 V 30 V 8 V 14 A 20 V 12 V 4 A 0.4I + – + – + – + – + – p2 p1 p3 p4 p5 Sección 1.7 Aplicaciones 1.21 Una bombilla incandescente de 60 W opera a 120 V. ¿Cuántos electrones y coulombs fluyen por ésta en un día? 1.22 Un rayo impacta un avión con 30 kA durante 2 ms. ¿Cuántos coulombs de carga se depositan en el avión? 1.23 Un calentador eléctrico de 1.8 kW tarda 15 min en hervir cierta cantidad de agua. Si esto se hace una vez al día y la energía eléctrica cuesta 10 centavos de dólar/kWh, ¿cuál es el costo de operación del calentador durante 30 días? 1.24 Una compañía abastecedora de electricidad cobra 8.5 centavos de dólar/kWh. Si un consumidor opera conti- nuamente una bombilla de 40 W durante un día, ¿cuánto se le cobrará? 1.25 Un tostador de 1.2 kW tarda aproximadamente cuatro mi- nutos en calentar cuatro rebanadas de pan. Halle el costo de operarla una vez al día durante un mes (30 días). Su- ponga que la energía cuesta 9 centavos de dólar/kWh. 1.26 La batería de una linterna tiene un valor nominal de 0.8 ampere-horas (Ah) y un ciclo de vida de 10 horas. a) ¿Cuánta corriente puede suministrar? b) ¿Cuánta potencia puede proporcionar si la tensión en sus terminales es de 6 V? c) ¿Cuánta energía se almacena en ella en kWh? 1.27 Una corriente constante de 3 A durante cuatro horas se re- quiere para cargar una batería de automóvil. Si la tensión en las terminales es de 10 ϩ t͞2 V, donde t está en horas, a) ¿cuánta carga se transporta como resultado de la carga? b) ¿cuánta energía se consume? c) ¿cuánto cuesta la carga? Suponga que la electricidad cuesta 9 centavos de dólar/kWh. 1.28 Una lámpara incandescente de 30 W está conectada a una fuente de 120 V y se le deja encendida continuamente en una escalera a oscuras. Determine: a) la corriente a través de la lámpara. b) su costo de operación durante un año ininterrumpido si la electricidad cuesta 12 centavos de dólar por kWh. 1.29 Una estufa eléctrica con cuatro quemadores y un horno se usa para preparar una comida de la siguiente manera. Quemador 1: 20 minutos Quemador 2: 40 minutos Quemador 3: 15 minutos Quemador 4: 45 minutos Horno: 30 minutos Si la capacidad de cada quemador es de 1.2 kW y la del horno de 1.8 kW, y si la electricidad cuesta 12 centavos de dólar por kWh, calcule el costo de la electricidad usa- da en la preparación de la comida. 9 V 9 V4 A 1 A I + – 3 V 6 V+ – + – + – Figura 1.31 Para el problema 1.20. 6 A 6 A 1 A 3 A 3 A Vo 5Io Io = 2 A 28 V 12 V + – + – 28 V + – + – 30 V – + + – Figura 1.28 Para el problema 1.17. 31 5 2 4 1.18 Halle la potencia absorbida por cada uno de los elemen- tos de la figura 1.29.
- 55. Problemas 27 1.30 Reliant Energy (la compañía eléctrica en Houston, Texas) cobra a sus clientes como sigue: Cargo mensual 6 dólares Primeros 250 kWh @ $0.02/kWh Todos los kWh adicionales @ $0.07/kWh Si un cliente consume 1 218 kWh en un mes, ¿cuánto le cobrará Reliant Energy? 1.31 En un hogar, una computadora personal (PC) de 120 W funciona durante 4 h/día, mientras que una bombilla de 60 W funciona durante 8 h /día. Si la compañía abastece- dora de electricidad cobra $0.12/kWh, calcule cuánto paga al año esa familia por la PC y la bombilla. 1.32 Por un cable telefónico fluye una corriente de 20 A. ¿Cuánto tarda una carga de 15 C en pasar por el alambre? 1.33 Un rayo condujo una corriente de 2 kA y duró 3 ms. ¿Cuántos coulombs contenía el rayo? 1.34 En la figura 1.32 aparece el consumo de electricidad de cierto hogar en un día. Calcule: a) la energía total consumida en kWh. b) la potencia promedio por hora. 12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 10 128 p 800 W 200 W mediodía 1 200 W t (h) Figura 1.32 Para el problema 1.34. 1.35 La gráfica de la figura 1.33 representa la potencia tomada por una planta industrial entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana. Calcule la energía total en MWh consumida por la planta. Figura 1.33 Para el problema 1.35. 8.00 8.05 8.10 8.15 8.20 8.25 8.30 5 4 3 8 p (MW) t 1.36 La capacidad de una batería puede expresarse en ampe- res-horas (Ah). La de una batería de plomo-ácido es de 160 Ah. a) ¿Cuál es la corriente máxima que puede suministrar durante 40 h? b) ¿Cuántos días durará si se descarga a 1 mA? 1.37 Una batería de 12 V requiere una carga total de 40 Ah du- rante su carga. ¿Cuántos joules se le suministran? 1.38 ¿Cuánta energía suministra un motor de 10 hp en 30 mi- nutos? Suponga que 1 caballo de fuerza ϭ 746 W. 1.39 Un receptor de televisión de 600 W permanece encendi- do durante 4 h sin que nadie lo vea. Si la electricidad cuesta 10 centavos de dólar/kWh, ¿cuánto dinero se des- perdicia? Problemas de mayor extensión
- 57. Leyes básicas En lo profundo del inconsciente humano hay una gran necesidad de un uni- verso lógico que tenga sentido. Pero el universo siempre está un paso más allá de la lógica. —Frank Herbert C a p í t u l o 2 Mejore de sus habilidades y su carrera Criterios de ABET EC 2000 (3.b), “capacidad para diseñar un sis- tema, componente o proceso para satisfacer necesidades de- seadas”. Los ingenieros deben ser capaces de diseñar y realizar experimentos, así co- mo de analizar e interpretar datos. La mayoría de los estudiantes ha dedica- do muchas horas a realizar experimentos en la preparatoria y la universidad. Para estos momentos ya se le ha pedido analizar e interpretar datos. Así, ya debería estar calificado para esas dos actividades. Mi recomendación es que, en el proceso de realización de experimentos en el futuro, dedique más tiem- po a analizar e interpretar datos en el contexto del experimento. ¿Qué signi- fica esto? Si observa una gráfica de tensión contra resistencia o de corriente contra resistencia o de potencia contra resistencia, ¿qué es lo que realmente ve? ¿La curva tiene sentido? ¿Es congruente con lo que la teoría le dice? ¿Difiere de las expectativas y, de ser así, por qué? Evidentemente, la práctica del análisis e interpretación de datos desarrollará esta habilidad. Dado que la mayoría de, si no es que todos, los experimentos que debe hacer como estudiante implican escasa o nula práctica en el diseño del expe- rimento, ¿cómo puede generar e incrementar esta habilidad? En realidad, desarrollar esa habilidad bajo tal restricción no es tan difícil como parece. Lo que debe hacer es tomar el experimento y analizarlo. Des- componerlo en sus partes más simples, reconstruirlo tratando de entender por qué cada elemento está ahí y, finalmente, determinar qué está tratando de en- señar el autor del experimento. Aunque quizá no siempre parezca así, todos los experimentos que haga fueron diseñados por alguien que estaba sincera- mente motivado a enseñarle algo. 29 Fotografía de Charles Alexander.
- 58. 30 Capítulo 2 Leyes básicas Introducción En el capítulo 1 se presentaron conceptos básicos como corriente, tensión y potencia en un circuito eléctrico. Determinar realmente los valores de esas va- riables en un circuito dado requiere que se conozcan algunas leyes fundamen- tales que gobiernan a los circuitos eléctricos. Estas leyes, conocidas como la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, son la base en la que se apoya el aná- lisis de circuitos eléctricos. En este capítulo, además de esas leyes, se expondrán algunas técnicas co- múnmente aplicadas en el diseño y análisis de circuitos. Estas técnicas inclu- yen la combinación de resistores en serie o en paralelo, la división de tensión, la división de corriente y las transformaciones delta a estrella y estrella a del- ta. La aplicación de estas leyes y técnicas se restringirá en este capítulo a cir- cuitos resistivos. Por último, se aplicarán tales leyes y técnicas a problemas reales de iluminación eléctrica y de diseño de medidores de cd. Ley de Ohm Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resistencia al flujo de la carga eléctrica. Esta propiedad física, o capacidad pa- ra resistir a la corriente, se conoce como resistencia y se representa con el símbolo R. La resistencia de cualquier material con un área de sección trans- versal uniforme A depende de ésta y su longitud ᐍ, como se muestra en la fi- gura 2.1a). Se puede representar la resistencia (medida en el laboratorio), en forma matemática, como R ϭ (2.1) donde se llama resistividad del material, en ohm-metros. Los buenos con- ductores, como el cobre y el aluminio, tienen baja resistividad, mientras que los aislantes, como la mica y el papel, tienen alta resistividad. En la tabla 2.1 se presentan los valores de de algunos materiales comunes y se indica qué materiales se emplean como conductores, aislantes y semiconductores. El elemento de circuito que se usa para modelar el comportamiento de resistencia a la corriente de un material es el resistor. Para efectos de fabri- ᐍ A 2.2 2.1 l Área de sección transversal A a) Material con resistividad v R i + − b) Figura 2.1 a) Resistor, b) Símbolo de circuito para la resistencia. TABLA 2.1 Resistividad de materiales comunes. Material Resistividad (⍀·m) Uso Plata 1.64 ϫ 10Ϫ8 Conductor Cobre 1.72 ϫ 10Ϫ8 Conductor Aluminio 2.8 ϫ 10Ϫ8 Conductor Oro 2.45 ϫ 10Ϫ8 Conductor Carbón 4 ϫ 10Ϫ5 Semiconductor Germanio 47 ϫ 10Ϫ2 Semiconductor Silicio 6.4 ϫ 102 Semiconductor Papel 1010 Aislante Mica 5 ϫ 1011 Aislante Vidrio 1012 Aislante Teflón 3 ϫ 1012 Aislante
- 59. Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán, determinó experimental- mente en 1826 la ley fundamental que relaciona a la tensión y la corriente en un resistor. La obra de Ohm fue al principio rechazada por los críticos. Nacido en humildes condiciones en Erlangen, Baviera, Ohm se consagró a la investigación eléctrica. Sus esfuerzos dieron fruto en su famosa ley. La Royal Society of London lo galardonó en 1841 con la Medalla Copley. En 1849 se le otorgó la cátedra de profesor de física de la Universidad de Munich. Para honrarlo, la unidad de la resistencia lleva su nombre. Perfiles históricos 2.2 Ley de Ohm 31 cación de circuitos, los resistores suelen hacerse de aleaciones metálicas y compuestos de carbono. El símbolo de circuito del resistor se presenta en la figura 2.1b), donde R significa la resistencia del resistor. El resistor es el ele- mento pasivo más simple. Se acredita a Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán, el descubri- miento de la relación entre corriente y tensión en un resistor. Esta relación se conoce como ley de Ohm. La ley de Ohm establece que la tensión v a lo largo de un resistor es direc- tamente proporcional a la corriente i que fluye a través del resistor. Esto es, v ϰ i (2.2) Ohm definió la constante de proporcionalidad de un resistor como la resisten- cia, R. (La resistencia es una propiedad material que puede cambiar si se al- teran las condiciones internas o externas del elemento; por ejemplo, si hay cambios en la temperatura.) Así, la ecuación (2.2) se convierte en v ϭ iR (2.3) la cual es la forma matemática de la ley de Ohm. R en la ecuación (2.3) se mide en la unidad llamada ohm, designada como ⍀. Así, La resistencia R de un elemento denota su capacidad para resistirse al flujo de la corriente eléctrica; se mide en ohms (⍀). De la ecuación (2.3) se deduce que R ϭ (2.4) de modo que 1 ⍀ ϭ 1 V/A Para aplicar la ley de Ohm como se establece en la ecuación (2.3), se de- be prestar cuidadosa atención a la dirección de la corriente y la polaridad de la tensión. La dirección de la corriente i y la polaridad de la tensión v deben ajustarse a la convención pasiva de los signos, como se indica en la figura v i
- 60. 32 Capítulo 2 Leyes básicas 2.1b). Esto implica que la corriente fluye de un potencial mayor a uno me- nor, a fin de que v ϭ iR. Si la corriente fluye de un potencial menor a uno mayor, v ϭ ϪiR. Puesto que el valor de R puede ir de cero al infinito, es importante con- siderar los dos posibles valores extremos de R. Un elemento con R ϭ 0 se llama cortocircuito, como se señala en la figura 2.2a). En el caso de un cor- tocircuito, v ϭ iR ϭ 0 (2.5) lo que indica que la tensión es de cero pero que la corriente podría ser de cualquier valor. En la práctica, un cortocircuito suele ser un alambre conec- tado, que se supone que es un conductor ideal. Así, Un cortocircuito es un elemento de circuito con resistencia que se aproxima a cero. De igual forma, un elemento con R ϭ ϱ se conoce como circuito abierto, co- mo se señala en la figura 2.2b). En el caso de un circuito abierto, i ϭ RϪϱ lím ϭ 0 (2.6) lo que indica que la corriente es de cero aunque la tensión podría ser de cual- quiera. Así, Un circuito abierto es un elemento del circuito con resistencia que tiende al infinito. Un resistor es fijo o variable. La mayoría de los resistores son del tipo fijo, lo que significa que su resistencia se mantiene constante. Los dos tipos más comunes de resistores fijos (el bobinado y el compuesto) se presentan en la figura 2.3. Los resistores variables tienen una resistencia ajustable. El sím- bolo de circuito de la figura 2.1b) corresponde a un resistor fijo. Los resisto- res variables tienen resistencia ajustable. El símbolo de un resistor variable aparece en la figura 2.4a). Un resistor variable común se conoce como poten- ciómetro o pot, cuyo símbolo se muestra en la figura 2.4b). El potenciómetro es un elemento de tres terminales con un contacto deslizante. Al deslizar di- cho contacto, las resistencias entre la terminal del contacto deslizante y las terminales fijas varían. Como los resistores fijos, los variables pueden ser del tipo bobinado o el compuesto, como se observa en la figura 2.5. Aunque re- sistores como los de las figuras 2.3 y 2.5 se usan en diseños de circuitos, hoy v R a) b) R = 0 i R = ∞ i = 0 v = 0 + − v + − Figura 2.2 a) Cortocircuito (R ϭ 0), b) circuito abierto (R ϭ ϱ). a) b) Figura 2.3 Resistores fijos: a) tipo bobinado, b) tipo película de carbón. Cortesía de Tech America. a) b) Figura 2.4 Símbolos de circuitos de: a) un resistor variable en general, b) un potenciómetro. a) b) Figura 2.5 Resistores variables: a) tipo compuesto, b) potenciómetro deslizable. Cortesía de Tech America.
- 61. 2.2 Ley de Ohm 33 la mayoría de los componentes de circuito que incluyen resistores montandos superficialmente o integrados, por lo general como se indica en la figura 2.6. Cabe señalar que no todos los resistores cumplen con la ley de Ohm. A un resistor que cumple con la ley de Ohm se le conoce como resistor lineal. Tiene una resistencia constante, y por lo tanto su característica de corriente- tensión es como se ilustra en la figura 2.7a): su gráfica de i-v es una línea recta que pasa por el origen. Un resistor no lineal no cumple con la ley de Ohm. Su resistencia varía con la corriente y su característica de i-v es habi- tualmente como la que aparece en la figura 2.7b). Ejemplos de dispositivos con resistencia no lineal son la bombilla y el diodo. Aunque todos los resis- tores prácticos pueden exhibir comportamiento no lineal en ciertas condicio- nes, en este libro se supondrá que todos los elementos diseñados como resistores son lineales. Una cantidad útil en el análisis de circuito es el recíproco de la resisten- cia R, conocido como conductancia y denotado por G: G ϭ ϭ (2.7) La conductancia es una medida de lo bien que un elemento conducirá co- rriente eléctrica. La unidad de conductancia es el mho (ohm escrito al revés) u ohm recíproco, con el símbolo , la omega invertida. Aunque los ingenie- ros suelen usar el mho, en este libro se prefiere utilizar el siemens (S), la uni- dad de conductancia del SI: 1 S ϭ 1 ϭ 1A/V (2.8) Así, La conductancia es la capacidad de un elemento para conducir corriente eléctrica; se mide en mhos ( ) o siemens (S). La propia resistencia puede expresarse en ohms o siemens. Por ejemplo, 10 ⍀ equivale a 0.1 S. A partir de la ecuación (2.7) es posible escribir i ϭ Gv (2.9) La potencia que disipa un resistor puede expresarse en términos de R. Con base en las ecuaciones (1.7) y (2.3), p ϭ vi ϭ i2 R ϭ (2.10) La potencia que disipa un resistor también puede expresarse en términos de G como p ϭ vi ϭ v2 G ϭ (2.11) Cabe señalar dos cosas respecto de las ecuaciones (2.10) y (2.11): 1. La potencia disipada en un resistor es una función no lineal de la corrien- te o la tensión. 2. Puesto que R y G son cantidades positivas, la potencia disipada en un re- sistor siempre es positiva. Así, un resistor siempre absorbe potencia del circuito. Esto confirma la idea de que un resistor es un elemento pasivo, incapaz de generar energía. i2 G v2 R ⍀ ⍀ ⍀ i v 1 R interruptor láserresistores amp op conductor Figura 2.6 Resistores en un circuito de película gruesa. G. Daryanani, Principles of Active Network Synthesis and Design (Nueva York, John Wiley, 1976), p. 461c. Pendiente = R a) v i Pendiente = R b) v i Figura 2.7 Característica de i-v de: a) un resistor li- neal, b) un resistor no lineal.
- 62. 34 Capítulo 2 Leyes básicas 30 V i + − 5 kΩ v + − Figura 2.8 Para el ejemplo 2.2. Figura 2.9 Para el problema de práctica 2.2. 2 mA i 10 kΩ v + − Ejemplo 2.1 Una plancha eléctrica requiere 2 A a 120 V. Halle su resistencia. Solución: Con base en la ley de Ohm, R ϭ ϭ ϭ 60 ⍀ 120 2 v i Ejemplo 2.2 Problema de práctica 2.1 Para el circuito mostrado en la figura 2.9, calcule la tensión v, la conductan- cia G y la potencia p. Respuesta: 20 V, 100 S, 40 mW. Problema de práctica 2.2 El componente esencial de un tostador es un elemento eléctrico (resistor) que convierte energía eléctrica en energía térmica. ¿Cuánta corriente toma un tos- tador con resistencia de 12 ⍀ a 110 V? Respuesta: 9.167 A. En el circuito que aparece en la figura 2.8, calcule la corriente i, la conduc- tancia G y la potencia p. Solución: La tensión en resistor es la misma que la tensión de la fuente (30 V), porque ambos están conectados al mismo par de terminales. Así, la corriente es i ϭ ϭ ϭ 6 mA La conductancia es G ϭ ϭ ϭ 0.2 mS Es posible calcular la potencia de varias maneras, mediante las ecuaciones (1.7), (2.10) o (2.11). p ϭ vi ϭ 30(6 ϫ 10Ϫ3 ) ϭ 180 mW o sea p ϭ i2 R ϭ (6 ϫ 10Ϫ3 )2 5 ϫ 103 ϭ 180 mW o sea p ϭ v2 G ϭ (30)2 0.2 ϫ 10Ϫ3 ϭ 180 mW 1 5 ϫ 103 1 R 30 5 ϫ 103 v R
- 63. 2.3 Nodos, ramas y lazos 35 † Nodos, ramas y lazos Dado que los elementos de un circuito eléctrico pueden interconectarse de va- rias maneras, es necesario conocer algunos conceptos básicos de topología de redes. Para diferenciar entre un circuito y una red, se puede considerar a una red como una interconexión de elementos o dispositivos, mientras que un cir- cuito es una red que proporciona una o más trayectorias cerradas. La conven- ción, al hacer referencia a la topología de red, es usar la palabra red más que circuito. Se hace así pese a que las palabras red y circuito signifiquen lo mis- mo cuando se usan en este contexto. En topología de redes se estudian las propiedades relativas a la disposición de elementos en la red y la configura- ción geométrica de la misma. Tales elementos son ramas, nodos y lazos. Una rama representa un solo elemento, como una fuente de tensión o un re- sistor. En otras palabras, una rama representa a cualquier elemento de dos termina- les. El circuito de la figura 2.10 tiene cinco ramas, a saber: la fuente de ten- sión de 10 V, la fuente de corriente de 2 A y los tres resistores. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. Un nodo suele indicarse con un punto en un circuito. Si un cortocircuito (un alambre de conexión) conecta a dos nodos, éstos constituyen un solo nodo. El circuito de la figura 2.10 tiene tres nodos, a, b y c. Nótese que los tres puntos que forman el nodo b están conectados por alambres perfectamente conductores, y constituyen por lo tanto un solo punto. Lo mismo puede de- cirse de los cuatro puntos que forman el nodo c. Se demuestra que el circui- to de la figura 2.10 sólo tiene tres nodos volviendo a trazarlo en la figura 2.11. Los circuitos de las figuras 2.10 y 2.11 son idénticos. Sin embargo, en afán de mayor claridad, los nodos b y c se exhiben con conductores ideales, como en la figura 2.10. 2.3 10 V 2 A a b c 5 Ω + − 2 Ω 3 Ω Figura 2.10 Nodos, ramas y lazos. b c a 10 V 5 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A + − Figura 2.11 Nuevo trazo del circuito de tres nodos de la figura 2.10. Una fuente de tensión de 20 sen t V está conectada a través de un resistor de 5 k⍀. Halle la corriente a través del resistor y la potencia que se disipa en él. Solución: i ϭ ϭ ϭ 4 sen t mA Así, p ϭ vi ϭ 80 sen2 t mW 20 sen t 5 ϫ 103 v R Ejemplo 2.3 Un resistor absorbe una potencia instantánea de 20 cos2 t mW cuando se co- necta a una fuente de tensión v ϭ 10 cos t V. Halle i y R. Respuesta: 2 cos t mA, 5 k⍀. Problema de práctica 2.3
- 64. 36 Capítulo 2 Leyes básicas Un lazo es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. Un lazo es una trayectoria cerrada que se inicia en un nodo, pasa por un con- junto de nodos y retorna al nodo inicial sin pasar por ningún nodo más de una vez. Se dice que un lazo es independiente si contiene al menos una rama que no forma parte de ningún otro lazo independiente. Los lazos o trayecto- rias independientes dan por resultado conjuntos independientes de ecuaciones. Es posible formar un conjunto de lazos independientes en el que uno de los lazos no contenga una rama así. En la figura 2.11, abca, con el resistor de 2⍀, es independiente. Un segundo lazo, con el resistor de 3⍀ y la fuente de corriente, es independiente. El tercer lazo podría ser aquel con el resistor de 2⍀ en paralelo con el resistor de 3⍀. Esto forma un conjunto de lazos indepen- dientes. Una red con b ramas, n nodos y l lazos independientes satisfará el teore- ma fundamental de la topología de redes: b ϭ l ϩ n Ϫ 1 (2.12) Como lo demuestran las dos definiciones siguientes, la topología de cir- cuitos es de enorme valor para el estudio de tensiones y corrientes en un circui- to eléctrico. Dos o más elementos están en serie si comparten exclusivamente un solo no- do y conducen en consecuencia la misma corriente. Dos o más elementos están en paralelo si están conectados a los dos mismos nodos y tienen en consecuencia la misma tensión entre sus terminales. Los elementos están en serie cuando están conectados en cadena o secuen- cialmente, terminal con terminal. Por ejemplo, dos elementos están en serie si comparten un nodo y ningún otro elemento está conectado a él. Elementos en paralelo están conectados al mismo par de terminales. Los elementos pue- den estar conectados de tal forma que no estén en serie ni en paralelo. En el circuito que aparece en la figura 2.10, la fuente de tensión y el resistor de 5-⍀ están en serie, porque a través de ellos fluirá la misma corriente. El resistor de 2-⍀, el resistor de 3-⍀ y la fuente de corriente están en paralelo, ya que están conectados a los dos mismos nodos (b y c), y en consecuencia tienen la misma tensión entre ellos. Los resistores de 5 y 2-⍀ no están en serie ni en paralelo entre sí. Ejemplo 2.4 Determine el número de ramas y nodos en el circuito que se muestra en la fi- gura 2.12. Identifique qué elementos están en serie y cuáles en paralelo. Solución: Puesto que hay cuatro elementos en el circuito, éste tiene cuatro ramas: 10 V, 5 ⍀, 6 ⍀ y 2 A. El circuito tiene tres nodos, los cuales se identifican en la figura 2.13. El resistor de 5 ⍀ está en serie con la fuente de tensión de 10 V, porque en ambos fluiría la misma corriente. El resistor de 6 ⍀ está en para- lelo con la fuente de corriente de 2 A, porque ambos están conectados a los mismos nodos 2 y 3.
- 65. 2.4 Leyes de Kirchhoff 37 Leyes de Kirchhoff La ley de Ohm no es suficiente en sí misma para analizar circuitos. Pero cuan- do se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y efi- caz de herramientas para analizar gran variedad de circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el físico alemán Gustav Robert Kirch- hoff (1824-1887). Se les conoce formalmente como la ley de la corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservación de la carga, de acuerdo con la cual la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo (o frontera cerrada) es de cero. Matemáticamente, la LCK implica que (2.13) donde N es el número de ramas conectadas al nodo e in es la nésima corrien- te que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que en- a N nϭ1 in ϭ 0 2.4 5 Ω 6 Ω 2 A10 V + − 1 25 Ω 6 Ω 2 A10 V + − 3Figura 2.12 Para el ejemplo 2.4. Figura 2.13 Los tres nodos del circuito de la figura 2.12. 5 Ω 1 Ω 2 Ω 4 Ω10 V+ − 3 Ω 3 1 Ω 2 Ω 4 Ω10 V+ − 1 2 Figura 2.14 Para el problema de práctica 2.4. Figura 2.15 Respuesta del problema de práctica 2.4. ¿Cuántas ramas y nodos tiene el circuito de la figura 2.14? Identifique los ele- mentos que están en serie y en paralelo. Respuesta: Cinco ramas y tres nodos se identifican en la figura 2.15. Los re- sistores de 1 y 2 ⍀ están en paralelo. El resistor de 4 ⍀ y la fuente de 10 V también están en paralelo. Problema de práctica 2.4
- 66. 38 Capítulo 2 Leyes básicas tran a un nodo pueden considerarse positivas, mientras que las corrientes que salen del nodo llegan a considerarse negativas, o viceversa. Para comprobar la LCK, supóngase que un conjunto de corrientes ik(t), k ϭ 1, 2, … , fluye en un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el no- do es iT(t) ϭ i1(t) ϩ i2(t) ϩ i3(t) ϩ · · · (2.14) La integración de ambos miembros de la ecuación (2.14) produce qT(t) ϭ q1(t) ϩ q2(t) ϩ q3(t) ϩ · · · (2.15) donde y Sin embargo, la ley de la conser- vación de la carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica de las cargas eléctricas en el nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carga neta. Así, lo que confirma la validez de la LCK. Considérese el nodo de la figura 2.16. La aplicación de la LCK da como resultado i1 ϩ (Ϫi2) ϩ i3 ϩ i4 ϩ (Ϫi5) ϭ 0 (2.16) puesto que las corrientes i1, i3 e i4 entran al nodo, mientras que las corrien- tes i2 e i5 salen de él. De la reordenación de los términos se obtiene i1 ϩ i3 ϩ i4 ϭ i2 ϩ i3 (2.17) La ecuación (2.17) es una forma alterna de la LCK: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las co- rrientes que salen de él. Obsérvese que la LCK también se aplica a una frontera cerrada. Esto po- dría juzgarse un caso generalizado, porque a un nodo se le podría considerar una superficie cerrada contraída en un punto. En dos dimensiones, una fron- tera cerrada es igual a una trayectoria cerrada. Como lo ilustra representati- vamente el circuito de la figura 2.17, la corriente total que entra a la superficie cerrada es igual a la corriente total que sale de ella. Una aplicación simple de la LCK es la combinación de fuentes de corrien- te en paralelo. La corriente combinada es la suma algebraica de la corriente suministrada por las fuentes individuales. Por ejemplo, las fuentes de corrien- qT (t) ϭ 0 S iT (t) ϭ 0, qT (t) ϭ ͐ iT (t)dt.qk (t) ϭ ͐ ik (t)dt i1 i5 i4 i3 i2 Figura 2.16 Corrientes en un nodo que ilustran la LCK. Frontera cerrada Figura 2.17 Aplicación de la LCK a una frontera cerrada. Perfiles históricos Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), físico alemán, enunció en 1847 dos leyes básicas concernientes a la relación entre corrientes y tensiones en una red eléctrica. Las leyes de Kirchhoff, junto con la ley de Ohm, forman la base de la teoría de circuitos. Hijo de un abogado de Königsberg, Prusia oriental, Kirchhoff ingresó a la Universidad de Königsberg a los 18 años de edad y después fue maestro en Berlín. Su colaboración en espectroscopia con el químico alemán Robert Bunsen derivó en el descubrimiento del cesio en 1860 y del rubidio en 1861. A Kirchhoff también se le acreditó la ley de la radiación de Kirchhoff. Así, es famoso entre los ingenieros, los químicos y los físicos. Se dice que dos fuentes (o circuitos en general) son equivalentes si tienen la misma relación i-v en un par de terminales.
- 67. 2.4 Leyes de Kirchhoff 39 te que aparecen en la figura 2.18a) pueden combinarse como en la figura 2.18b). La fuente de corriente combinada o equivalente puede determinarse aplicando la LCK al nodo a. IT ϩ I2 ϭ I1 ϩ I3 o sea IT ϭ I1 Ϫ I2 ϩ I3 (2.18) Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes, I1 e I2, en serie, a menos que I1 ϭ I2; de lo contrario, se infringirá la LCK. La segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservación de la energía: La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de to- das las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero. Expresada matemáticamente, la LTK establece que (2.19) donde M es el número de tensiones (o el número de ramas en el lazo) y vm es la mésima tensión. Para ilustrar la LTK, considérese el circuito de la figura 2.19. El signo en cada tensión es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer el lazo. Se puede comenzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Supóngase que se inicia con la fuente de tensión y que recorre el lazo en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura; así, las tensiones serían Ϫv1, ϩv2, ϩv3, Ϫv4 y ϩv5, en ese orden. Por ejemplo, al llegar a la rama 3, la prime- ra terminal encontrada es la positiva, y de ahí que se tenga ϩv3. En cuanto a la rama 4, se llega primero a la terminal negativa, y de ahí que Ϫv4. Por lo tanto, la LTK establece Ϫv1 ϩ v2 ϩ v3 Ϫ v4 ϩ v5 ϭ 0 (2.20) La reordenación de los términos produce v2 ϩ v3 ϩ v5 ϭ v1 ϩ v4 (2.21) lo que puede interpretarse como Suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión (2.22) Ésta es una forma alternativa de la LTK. Adviértase que si se hubiera reco- rrido el lazo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado ha- bría sido ϩv1, Ϫv5, ϩv4, Ϫv3 y Ϫv2, igual que antes, salvo que los signos están invertidos. Así, las ecuaciones (2.20) y (2.21) permanecen iguales. Cuando fuentes de tensión se conectan en serie, la LTK puede aplicarse para obtener la tensión total. La tensión combinada es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en relación con las fuen- tes de tensión que aparecen en la figura 2.20a), la fuente de tensión combi- nada o equivalente en la figura 2.20b) se obtiene aplicando la LTK. ϪVab ϩ V1 ϩ V2 Ϫ V3 ϭ 0 a M mϭ1 vm ϭ 0 a a) b) I1 I2 I3 b a IT = I1 – I2 + I3 b IT IT Figura 2.18 Fuentes de corriente en paralelo: a) circuito original, b) circuito equivalente. Figura 2.19 Circuito de un solo lazo que ilustra la LTK. v4v1 + − + − v3v2 v5 + − + − +− La LTK puede aplicarse de dos mane- ras: recorriendo el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o en el con- trario alrededor del lazo. De una u otra forma, la suma algebraica de las ten- siones a lo largo del lazo es de cero.
- 68. 40 Capítulo 2 Leyes básicas o sea Vab ϭ V1 ϩ V2 Ϫ V3 (2.23) Para no infringir la LTK, un circuito no puede contener dos tensiones dife- rentes V1 y V2 en paralelo a menos que V1 ϭ V2. Solución: Para hallar v1 y v2, se aplica la ley de Ohm y la ley de tensión de Kirchhoff. Supóngase que la corriente i fluye a través del lazo como se muestra en la fi- gura 2.21b). Con base en la ley de Ohm, v1 ϭ 2i, v2 ϭ Ϫ3i (2.5.1) La aplicación de la LTK alrededor del lazo produce Ϫ20 ϩ v1 Ϫ v2 ϭ 0 (2.5.2) Al sustituir la ecuación (2.5.1) en la ecuación (2.5.2) se obtiene Ϫ20 ϩ 2i ϩ 3i ϭ 0 o 5i ϭ 0 --> i ϭ 4 A La sustitución de i en la ecuación (2.5.1) origina finalmente v1 ϭ 8 V, v2 ϭ Ϫ12 V Figura 2.20 Fuentes de tensión en serie: a) circuito original, b) circuito equivalente. V1 V2 V3 a b a) VS = V1 + V2 − V3 a b b) + − + − + − Vab + − Vab + − + − Figura 2.21 Para el ejemplo 2.5. a) 20 V + − 3 Ωv2 2 Ω v1 + − + − b) 20 V + − 3 Ωv2 2 Ω v1 + − + − i Ejemplo 2.5 En referencia al circuito de la figura 2.21a), halle las tensiones v1 y v2.
- 69. 2.4 Leyes de Kirchhoff 41 Solución: Se aplica la LTK a lo largo del lazo como se indica en la figura 2.23b). El resultado es Ϫ12 ϩ 4i ϩ 2vo Ϫ 4 ϩ 6i ϭ 0 (2.6.1) La aplicación de la ley de Ohm al resistor de 6 ⍀ produce vo ϭ Ϫ6i (2.6.2) La sustitución de la ecuación (2.6.2) en la ecuación (2.6.1) da Ϫ16 ϩ 10i Ϫ 12i ϭ 0 1 i ϭ Ϫ8 A y vo ϭ 48 V. Figura 2.22 Para el problema de práctica 2.5. 10 V + − 8 V+ − 4 Ω v1 2 Ω v2 + − + − Figura 2.24 Para el problema de práctica 2.6. 35 V 2vx + − + − 10 Ω vx 5 Ω vo + − + − Problema de práctica 2.5 Ejemplo 2.6 Problema de práctica 2.6 Halle vo y v2 en el circuito de la figura 2.22. Respuesta: 12 V, Ϫ6 V. Figura 2.23 Para el ejemplo 2.6. 4 Ω a) 12 V 2vo i 4 V i + − + − + − 4 Ω b) 12 V 2vo 4 V + − + − + − 6 Ω vo 6 Ω vo + − + − Determine vo e i en el circuito que aparece en la figura 2.23a). Halle vx y vo en el circuito de la figura 2.24. Respuesta: 10 V, Ϫ5 V.
- 70. 42 Capítulo 2 Leyes básicas Solución: Se aplica la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de Ohm, v1 ϭ 8i1, v2 ϭ 3i2, v3 ϭ 6i3 (2.8.1) a 0.5io 3 A io 4 Ωvo + − Figura 2.25 Para el ejemplo 2.7. Figura 2.26 Para el problema de práctica 2.7. io 4 6 A io 2 Ω 8 Ω vo + − Figura 2.27 Para el ejemplo 2.8. 8 Ω 30 V + − a) v1 i2 i3i1 a 6 Ωv33 Ωv2 + − + − + − 8 Ω 30 V + − b) v1 i2 i3i1 a 6 Ωv33 Ωv2 + − + − + − Lazo 2Lazo 1 Ejemplo 2.7 Halle la corriente io y la tensión vo en el circuito que aparece en la figura 2.25. Solución: Al aplicar la LCK al nodo a se obtiene 3 ϩ 0.5io ϭ io 1 io ϭ 6 A En cuanto al resistor de 4 ⍀, la ley de Ohm da como resultado vo ϭ 4io ϭ 24 V Ejemplo 2.8 Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la figura 2.27a). Problema de práctica 2.7 Halle vo y io en el circuito de la figura 2.26. Respuesta: 8 V, 4 A.
- 71. 2.5 Resistores en serie y división de tensión 43 Puesto que la tensión y la corriente de cada resistor están relacionados por la ley de Ohm como se indica, en realidad se están buscando tres cosas (v1, v2, v3) o (i1, i2, i3). En el nodo a, la LCK da como resultado i1 Ϫ i2 Ϫ i3 ϭ 0 (2.8.2) Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la figura 2.27b), Ϫ30 ϩ v1 ϩ v2 ϭ 0 Se expresa esto en términos de i1 e i2 como en la ecuación (2.8.1) para ob- tener Ϫ30 ϩ 8i1 ϩ 3i2 ϭ 0 o sea i1 ϭ (2.8.3) Al aplicar la LTK al lazo 2, Ϫv2 ϩ v3 ϭ 0 1 v3 ϭ v2 (2.8.4) como era de esperar, ya que los dos resistores están en paralelo. Se expresa v1 y v2 en términos de i1 e i2 como en la ecuación (2.8.1). La ecuación (2.8.4) se convierte en 6i3 ϭ 3i2 1 i3 ϭ (2.8.5) La sustitución de las ecuaciones (2.8.3) y (2.8.5) en la ecuación (2.8.2) pro- duce Ϫ i2 Ϫ = 0 o i2 ϭ 2 A. Con el valor de i2, ahora se usan las ecuaciones (2.8.1) a (2.8.5) para obtener i1 ϭ 3 A, i3 ϭ 1 A, v1 ϭ 24 V, v2 ϭ 6 A, v3 ϭ 6 A i2 2 30 Ϫ 3i2 8 i2 2 30 Ϫ 3i2 8 Figura 2.28 Para el problema de práctica 2.8. 5 V 3 V+ − i2 i3i1 8 Ωv2 + − 2 Ω v1 4 Ω v3 + − + − + − Resistores en serie y división de tensión La necesidad de combinar resistores en serie o en paralelo ocurre tan frecuen- temente que justifica especial atención. El proceso de combinar los resistores se ve facilitado por su combinación de dos a la vez. Con esto presente, con- sidérese el circuito de un solo lazo de la figura 2.29. Los dos resistores están 2.5 Problema de práctica 2.8 Halle las corrientes y tensiones del circuito que aparece en la figura 2.28. Respuesta: v1 ϭ 3 V, v2 ϭ 2 V, v3 ϭ 5 V, i1 ϭ 1.5 A, i2 ϭ 0.25 A, i3 ϭ 1.25 A.
- 72. 44 Capítulo 2 Leyes básicas en serie, ya que en ambos fluye la misma corriente i. Al aplicar la ley de Ohm a cada uno de los resistores se obtiene v1 ϭ iR1, v2 ϭ iR2 (2.24) Si se aplica la LTK al lazo (desplazándonos en el sentido de las manecillas del reloj), se tiene Ϫv ϩ v1 ϩ v2 ϭ 0 (2.25) De la combinación de las ecuaciones (2.24) y (2.25) se obtiene v ϭ v1 ϩ v2 ϭ i(R1 ϩ R2) (2.26) o sea i ϭ (2.27) Nótese que la ecuación (2.26) puede escribirse como v ϭ iReq (2.28) lo que implica que los dos resistores pueden remplazarse por un resistor equi- valente Req; esto es, Req ϭ R1 ϩ R2 (2.29) Así, la figura 2.29 puede remplazarse por el circuito equivalente de la figura 2.30. Los circuitos de ambas figuras son equivalentes porque exhiben las mis- mas relaciones tensión-corriente en las terminales a-b. Un circuito equivalen- te como el de la figura 2.30 es útil en la simplificación del análisis de un circuito. En general, La resistencia equivalente de cualquier número de resistores conectados en serie es la suma de las resistencias individuales. Así, en el caso de N resistores en serie, (2.30) Para determinar la tensión a lo largo de cada resistor de la figura 2.29, se sustituye la ecuación (2.26) en la ecuación (2.24) y se obtiene v1 ϭ v, v2 ϭ v (2.31) Obsérvese que la tensión en la fuente v se divide entre los resistores en pro- porción directa a sus resistencias; a mayor resistencia, mayor caída de ten- sión. Esto se llama principio de división de tensión, y el circuito de la figura 2.29 se llama divisor de tensión. En general, si un divisor de tensión tiene N resistores (R1, R2, . . . , RN) en serie con la tensión en la fuente v, el nésimo resistor (Rn) tendrá una caída de tensión de vn ϭ v (2.32) Rn R1 ϩ R2 ϩ и и и ϩ RN R2 R1 ϩ R2 R1 R1 ϩ R2 Req ϭ R1 ϩ R2 ϩ p ϩ RN ϭ a N nϭ1 Rn v R1 ϩ R2 Figura 2.30 Circuito equivalente al circuito de la figura 2.29. v Req v + − i + − a b Figura 2.29 Circuito de un solo lazo con dos resistores en serie. v + − R1 v1 R2 v2 i + − + − a b Los resistores en serie se comportan como un resistor único, cuya resisten- cia es igual a la suma de las resistencias de los resistores individuales.
- 73. 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 45 Resistores en paralelo y división de corriente Considérese el circuito de la figura 2.31, donde dos resistores están conecta- dos en paralelo y por lo tanto tienen la misma tensión. Con base en la ley de Ohm, v ϭ i1R1 ϭ i2R2 o sea i1 ϭ , i2 ϭ (2.33) La aplicación de la LCK al nodo a produce la corriente total i como i1 ϭ i1 ϩ i2 (2.34) Al sustituir la ecuación (2.33) en la ecuación (2.34) se obtienen i ϭ ϩ ϭ v ( ϩ )ϭ (2.35) donde Req es la resistencia equivalente de los resistores en paralelo: ϭ ϩ (2.36) o sea ϭ o sea Req ϭ (2.37) Así, La resistencia equivalente de dos resistores en paralelo es igual al producto de sus resistencias dividido entre su suma. Debe subrayarse que esto sólo se aplica a dos resistores en paralelo. Con ba- se en la ecuación (2.37), si R1 ϭ R2, entonces Req ϭ R1͞2. Es posible extender el resultado de la ecuación (2.36) al caso general de un circuito con N resistores en paralelo. La resistencia equivalente es ϭ ϩ ϩ и и и ϩ (2.38) Nótese que Req siempre es menor que la resistencia del resistor menor en la combinación en paralelo. Si R1 ϭ R2 ϭ ϩ и и и ϩ RN ϭ R, entonces Req ϭ R Ϫ N (2.39) 1 RN 1 R2 1 R1 1 Req R1R2 R1 ϩ R2 R1 ϩ R2 R1R2 1 Req 1 R2 1 R1 1 Req v Req 1 R2 1 R1 v R2 v R1 v R2 v R1 2.6 Figura 2.31 Dos resistores en paralelo. Nodo b Nodo a v + − R1 R2 i1 i2 i
- 74. 46 Capítulo 2 Leyes básicas Por ejemplo, si cuatro resistores de 100 ⍀ se contectan en paralelo, su resis- tencia equivalente es de 25 ⍀. A menudo es más conveniente usar la conductancia en vez de la resisten- cia al tratar con resistores en paralelo. Partiendo de la ecuación (2.38), la con- ductancia equivalente para N resistores en paralelo es Geq ϭ G1 ϩ G2 ϩ G3 ϩ и и и ϩ GN (2.40) donde Geq ϭ 1͞Req, G1 ϭ 1͞R1, G2 ϭ 1͞R2, G3 ϭ 1͞R3, . . . GN ϭ 1͞RN. La ecuación (2.40) establece que La conductancia equivalente de resistores conectados en paralelo es la su- ma de sus conductancias individuales. Esto significa que es posible remplazar el circuito de la figura 2.31 por el de la figura 2.32. Adviértase la semejanza entre las ecuaciones (2.30) y (2.40). La conductancia equivalente de resistores en paralelo se obtiene de la misma manera que la resistencia equivalente de resistores en serie. De igual forma, la conductancia equivalente de resistores en serie se obtiene de la misma ma- nera que la resistencia equivalente Geq de N resistores en serie (como se mues- tra en la figura 2.29) es ϭ ϩ ϩ ϩ и и и ϩ (2.41) Dada la corriente total i que entra al nodo a en la figura 2.31, ¿cómo se obtienen las corrientes i1 e i2? Se sabe que el resistor equivalente tiene la mis- ma tensión, o sea v ϭ iReq ϭ (2.42) La combinación de las ecuaciones (2.33) y (2.42) da i1 ϭ , i2 ϭ (2.43) lo que indica que la corriente total i es compartida por los resistores en pro- porción inversa a sus resistencias. Esto se conoce como principio de división de corriente, y el circuito de la figura 2.31 se conoce como divisor de co- rriente. Nótese que la corriente mayor fluye por la resistencia menor. Como un caso extremo, supóngase que uno de los resistores de la figura 2.31 es de cero, digamos R2 ϭ 0; esto es, R2 es un cortocircuito, como se ob- serva en la figura 2.33a). De la ecuación (2.43), R2 ϭ 0 implica que i1 ϭ 0, i2 ϭ i. Esto significa que la corriente total i se salte a R1 y fluya por el cor- tocircuito R2 ϭ 0, la trayectoria de menor resistencia. Así, cuando un circui- R1 i R1 ϩ R2 R2 i R1 ϩ R2 iR1R2 R1 ϩ R2 1 GN 1 G3 1 G2 1 G1 1 Geq R2 = 0 a) R1 i i1 = 0 i2 = i R2 = ∞ b) R1 i i1 = i i2 = 0 Figura 2.33 a) Cortocircuito, b) circuito abierto. Figura 2.32 Circuito equivalente al de la figura 2.31. b a v + − Req o Geq v i Las conductancias en paralelo se com- portan como una conductancia única, cuyo valor es igual a la suma de las conductancias individuales.
- 75. 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 47 to se pone en cortocircuito, como se muestra en la figura 2.33a), se deben te- ner en cuenta dos cosas: 1. La resistencia equivalente Req ϭ 0. [Véase lo que ocurre cuando R2 ϭ 0 en la ecuación (2.37).] 2. La corriente total fluye por el cortocircuito. Como otro caso extremo, supóngase que R2 ϭ ∞; es decir, que R2 es un circuito abierto, como se muestra en la figura 2.33b). La corriente sigue flu- yendo por la trayectoria de menor resistencia, R1. Suponiendo el límite de la ecuación (2.37) como R2 → ∞, se obtiene Req ϭ R1 en este caso. Si se divide tanto el numerador como el denominador entre R1R2, la ecua- ción (2.43) se convierte en i1 ϭ i (2.44a) i2 ϭ i (2.44b) Así, en general, si un divisor de corriente tiene N conductores (G1, G2, ..., GN) en paralelo con la corriente en la fuente i, el nésimo conductor (Gn) ten- drá una corriente in ϭ i (2.45) En general, a menudo es conveniente y posible combinar resistores en se- rie y en paralelo y reducir una red resistiva a una sola resistencia equivalen- te Req. Una resistencia equivalente de este tipo es la resistencia entre las terminales designadas de la red y debe exhibir las mismas características de i-v que la red original en las terminales. Gn G1 ϩ G2 ϩ и и и ϩ GN G2 G1 ϩ G2 G1 G1 ϩ G2 Figura 2.34 Para el ejemplo 2.9. 2 Ω 5 Ω Req 4 Ω 8 Ω 1 Ω 6 Ω 3 Ω Ejemplo 2.9Halle Req en el circuito que se muestra en la figura 2.34. Solución: Para obtener Req se combinan resistores en serie y en paralelo. Los resistores de 6 y 3 ⍀ están en paralelo, así que su resistencia equivalente es 6 ⍀ || 3 ⍀ ϭ ϭ 2 ⍀ (El símbolo || se usa para indicar una combinación en paralelo.) De igual for- ma, los resistores de 1 y 5 ⍀ están en serie, y de ahí que su resistencia equi- valente sea 1 ⍀ ϩ 5 ⍀ ϭ 6 ⍀ Así, el circuito de la figura 2.34 se transforma en el de la figura 2.35a). En esta última figura se advierte que los dos resistores de 2 ⍀ están en serie, así que la resistencia equivalente es 2 ⍀ ϩ 2 ⍀ ϭ 4 ⍀ 6 ϫ 3 6 ϩ 3
- 76. 48 Capítulo 2 Leyes básicas Este resistor de 4 ⍀ está ahora en paralelo con el resistor de 6 ⍀ de la figu- ra 2.35a); su resistencia equivalente es 4 ⍀ || 6 ⍀ ϭ ϭ 2.4 ⍀ El circuito de la figura 2.35a) es remplazado ahora por el de la figura 2.35b). En esta última figura, los tres resistores están en serie. Así, la resistencia equi- valente del circuito es Req ϭ 4 ⍀ ϩ 2.4 ⍀ ϩ 8 ⍀ ϭ 14.4 ⍀ 4 ϫ 6 4 ϩ 6 Solución: Los resistores de 3 y 6 ⍀ están en paralelo, porque están conectados a los mis- mos dos nodos c y b. Su resistencia combinada es 3 ⍀ || 6 ⍀ ϭ ϭ 2 ⍀ (2.10.1) 3 ϫ 6 3 ϩ 6 6 Ω Req 4 Ω a) 8 Ω 2 Ω 2 Ω 2.4 Ω Req 4 Ω b) 8 Ω Figura 2.35 Circuitos equivalentes para el ejemplo 2.9. Figura 2.36 Para el problema de práctica 2.9. 5 Ω4 Ω6 Ω Req 2 Ω 1 Ω 3 Ω 4 Ω 3 Ω Figura 2.37 Para el ejemplo 2.10. a b b b c d 6 Ω 12 Ω 5 Ω4 Ω 10 Ω 1 Ω 1 Ω Rab 3 Ω Ejemplo 2.10 Calcule la resistencia equivalente Rab en el circuito de la figura 2.37. Problema de práctica 2.9 Combinando los resistores de la figura 2.36, halle Req. Respuesta: 6 ⍀.
- 77. 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 49 De igual manera, los resistores de 12 y 4 ⍀ están en paralelo, ya que están conectados a los dos mismos nodos d y b. Por lo tanto, 12 ⍀ || 4 ⍀ ϭ ϭ 3 ⍀ (2.10.2) Asimismo, los resistores de 1 y 5 ⍀ están en serie, y de ahí que su resisten- cia equivalente sea 1 ⍀ ϩ 5 ⍀ ϭ 6 ⍀ (2.10.3) Con estas tres combinaciones, se puede remplazar el circuito de la figura 2.37 por el de la figura 2.38a). En esta última figura, 3 ⍀ en paralelo con 6 ⍀ pro- duce 2 ⍀, como se calculó en la ecuación (2.10.1). Esta resistencia equiva- lente de 2 ⍀ está ahora en serie con la resistencia de 1 ⍀, lo que produce una resistencia combinada de 1 ⍀ ϩ 2 ⍀ ϭ 3 ⍀. Así, se remplaza el circuito de la figura 2.38a) por el de la figura 2.38b). En esta última figura se combinan los resistores de 2 y 3 ⍀ en paralelo para obtener 2 ⍀ || 3 ⍀ ϭ ϭ 1.2 ⍀ Este resistor de 1.2 ⍀ está en serie con el resistor de 10 ⍀, de manera que Rab ϭ 10 ϩ 1.2 ϭ 11.2 ⍀ 2 ϫ 3 2 ϩ 3 12 ϫ 4 12 ϩ 4 a) bb d b c 3 Ω 6 Ω2 Ω 10 Ω 1 Ω a b b ) b b c 3 Ω2 Ω 10 Ω a b Figura 2.38 Circuitos equivalentes para el ejemplo 2.10. Figura 2.39 Para el problema de práctica 2.10. 1 Ω 9 Ω 18 Ω 20 Ω 20 Ω 2 Ω 5 Ω8 Ω a b Rab Halle la conductancia equivalente Geq del circuito de la figura 2.40a). Solución: Los resistores de 8 y 12 S están en paralelo, así que su conductancia es 8 S ϩ 12 S ϭ 20 S El resistor de 20 S está ahora en serie con el de 5 S, como se advierte en la figura 2.40b), así que la conductancia combinada es ϭ 4 S Esto está en paralelo con el resistor de 6 S. En consecuencia, Geq ϭ 6 ϩ 4 ϭ 10 S Cabe señalar que el circuito de la figura 2.40a) es igual al de la figura 2.40c). Mientras que los resistores de la figura 2.40a) se expresan en siemens, 20 ϫ 5 20 ϩ 5 Ejemplo 2.11 Halle Rab en el circuito de la figura 2.39. Respuesta: 11 ⍀. Problema de práctica 2.10
- 78. 50 Capítulo 2 Leyes básicas los de la figura 2.40c) lo están en ohms. Para demostrar que esos circuitos son iguales, se halla Req para el circuito de la figura 2.40c). Esto es igual a lo obtenido anteriormente. Geq ϭ 1 Req ϭ 10 S ϭ 1 6 ϫ 1 4 1 6 ϩ 1 4 ϭ 1 10 ⍀ Req ϭ 1 6 g a 1 5 ϩ 1 8 g 1 12 b ϭ 1 6 g a 1 5 ϩ 1 20 b ϭ 1 6 g 1 4 12 S8 S6 S a) 5 S Geq 20 S6 S b) 5 S Geq c ) Req Ω 1 5 Ω 1 6 Ω 1 8 Ω 1 12 Figura 2.40 Para el ejemplo 2.11: a) circuito original, b) su circuito equivalente, c) el mismo cir- cuito que en a), aunque los resistores se expresan en ohms. Figura 2.41 Para el problema de práctica 2.11. 4 S 6 S 8 S 2 S 12 S Geq Ejemplo 2.12 Halle io y vo en el circuito mostrado en la figura 2.42a). Calcule la potencia disipada en el resistor de 3 ⍀. Solución: Los resistores de 6 y 3 ⍀ están en paralelo, así que su resistencia combinada es 6 ⍀ || 3 ⍀ ϭ ϭ 2 ⍀ En consecuencia, el circuito se reduce al mostrado en la figura 2.42b). Nóte- se que vo no se ve afectado por la combinación de los resistores, porque los resistores están en paralelo, y por lo tanto tienen la misma tensión vo. En la figura 2.42b) se puede obtener vo de dos maneras. Una de ellas es aplicar la ley de Ohm para obtener i ϭ ϭ 2 A 12 4 ϩ 2 6 ϫ 3 6 ϩ 3 Problema de práctica 2.11 Calcule Geq en el circuito de la figura 2.41. Respuesta: 4 S.
- 79. 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 51 y por lo tanto vo ϭ 2i ϭ 2 ϫ 2 ϭ 4 V. Otra manera es aplicar la división de tensión, ya que los 12 V de la figura 2.42b) se dividen entre los resistores de 4 y 2 ⍀. Así, vo ϭ (12 V) ϭ 4 V De igual forma, io puede obtenerse de dos maneras. Un método es apli- car la ley de Ohm al resistor de 3 ⍀ de la figura 2.42a) ahora que se conoce vo; así, vo ϭ 3io ϭ 4 1 io ϭ A Otro método es aplicar la división de corriente al circuito de la figura 2.42a) ahora que se conoce i, escribiendo io ϭ i ϭ (2 A) ϭ A La potencia disipada en el resistor de 3 ⍀ es po ϭ voio ϭ 4 ( )ϭ 5.333 W 4 3 4 3 2 3 6 6 ϩ 3 4 3 2 2 ϩ 4 a b a) 12 V 4 Ωi io 6 Ω 3 Ωvo + − a b b) 12 V 4 Ωi + − 2 Ωvo + − + − Figura 2.42 Para el ejemplo 2.12: a) circuito original, b) su circuito equivalente. Figura 2.43 Para el problema de práctica 2.12. 15 V i1 + − 40 Ωv2 + − 10 Ω 12 Ω v1 6 Ω i2 + − En referencia al circuito que se muestra en la figura 2.44a), determine: a) la tensión vo, b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c) la poten- cia absorbida por cada resistor. Solución: a) Los resistores de 6 y 12 ⍀ están en serie, así que su valor combinado es de 6 ϩ 12 ϭ 18 k⍀. De este modo, el circuito de la figura 2.44a) se trans- forma en el que se muestra en la figura 2.44b). Ahora se aplica la técnica de división de corriente para hallar i1 e i2. i1 ϭ (30 mA) ϭ 20 mA i2 ϭ (30 mA) ϭ 10 mA 9 000 9 000 ϩ 18 000 18 000 9 000 ϩ 18 000 Ejemplo 2.13 Problema de práctica 2.12 Halle v1 y v2 en el circuito que aparece en la figura 2.43. También calcule i1 e i2 y la potencia disipada en los resistores de 12 y 40 ⍀. Respuesta: v1 ϭ 5 V, i1 ϭ 416.7 mA, p1 ϭ 2.083 W, v2 ϭ 10 V, i2 ϭ 250 mA, p2 ϭ 2.5 W.
- 80. 52 Capítulo 2 Leyes básicas Adviértase que la tensión a lo largo de los resistores de 9 y 18 k⍀ es el mis- mo, y que vo ϭ 9 000i1 ϭ 18 000i2 ϭ 180 V, como se esperaba. b) La potencia suministrada por la fuente es po ϭ voio ϭ 180(30) mW ϭ 5.4 W c) La potencia absorbida por el resistor de 12 k⍀ es p ϭ iv ϭ i2(i2R) ϭ i2 2 R ϭ (10 ϫ 10Ϫ3 )2 (12 000) ϭ 1.2 W La potencia absorbida por el resistor de 6 ⍀ es p ϭ i2 2 R ϭ (10 ϫ 10Ϫ3 )2 (6 000) ϭ 0.6 W La potencia absorbida por el resistor de 9 k⍀ es p ϭ ϭ ϭ 3.6 W o sea p ϭ voi1 ϭ 180(20) mW ϭ 3.6 W Nótese que la potencia suministrada (5.4 W) es igual a la potencia absorbida (1.2 ϩ 0.6 ϩ 3.6 ϭ 5.4 W). Ésta es una manera de comprobar resultados. (180)2 9 000 vo 2 R Respuesta: a) 15 V, 20 V, b) 75 mW, 20 mW, c) 200 mW. † Transformaciones estrella-delta En el análisis de circuitos suelen surgir situaciones en las que los resistores no están en paralelo ni en serie. Por ejemplo, considérese el circuito puente de la figura 2.46. ¿Cómo se combinan los resistores R1 a R6 cuando no están en serie ni en paralelo? Muchos circuitos del tipo mostrado en la figura 2.46 pueden simplificarse usando redes equivalentes de tres terminales. Éstas son 2.7 a) 30 mA 9 kΩvo + − 12 kΩ 6 kΩ b) 30 mA 9 kΩvo + − 18 kΩ i1 io i2 Figura 2.44 Para el ejemplo 2.13: a) circuito original, b) su circuito equivalente. 10 mA3 kΩ 5 kΩ 20 kΩ 1 kΩ v1 + − v2 + − Figura 2.45 Para el problema de práctica 2.13. vs + − R1 R4 R2 R5 R3 R6 Figura 2.46 Red puente. Problema de práctica 2.13 En referencia al circuito que aparece en la figura 2.45, halle: a) v1 y v2, b) la potencia disipada en los resistores de 3 y 20 k⍀ y c) la potencia suministra- da por la fuente de corriente.
- 81. 2.7 Transformaciones estrella-delta 53 la red en estrella (Y) o en te (T) que aparece en la figura 2.47 y la red delta (Δ) o pi (Π) que aparece en la figura 2.48. Estas redes se presentan por sí mismas o como parte de una red mayor. Se usan en redes trifásicas, filtros eléctricos y redes de acoplamiento. El principal interés es cómo identificarlas cuando aparecen como parte de una red y cómo aplicar la transformación es- trella-delta en el análisis de esa red. Conversión delta a estrella Supóngase que es más conveniente trabajar con una red en estrella en un lu- gar donde el circuito contiene una configuración en delta. Se superpone una red en estrella en la red en delta existente y se hallan las resistencias equiva- lentes en la red en estrella. Para obtener las resistencias equivalentes en la red en estrella, hay que comparar las dos redes y cerciorarse de que la resisten- cia entre cada par de nodos en la red ⌬ (o ⌸) sea igual a la resistencia entre el mismo par de nodos en la red Y (o T). Para las terminales 1 y 2 de las fi- guras 2.47 y 2.48, por ejemplo, R12(Y) ϭ R1 ϩ R3 (2.46) R12(⌬) ϭ Rb || (Ra ϩ Rc) Dejando R12(Y) ϭ R12(⌬), se obtiene R12 ϭ R1 ϩ R3 ϭ (2.47a) De igual manera, R13 ϭ R1 ϩ R2 ϭ (2.47b) R34 ϭ R2 ϭ R3 ϭ (2.47c) Al sustraer la ecuación (2.47c) de la ecuación (2.47a) se obtiene R1 Ϫ R2 ϭ (2.48) La suma de las ecuaciones (2.47b) y (2.48) origina R1 ϭ (2.49) RbRc Ra ϩ Rb ϩ Rc Rc(Rb Ϫ Ra) Ra ϩ Rb ϩ Rc Ra(Rb ϩ Rc) Ra ϩ Rb ϩ Rc Rc(Ra ϩ Rb) Ra ϩ Rb ϩ Rc Rb(Ra ϩ Rc) Ra ϩ Rb ϩ Rc 1 3 2 4 R3 R2R1 a) 1 3 2 4 R3 R2R1 b) Figura 2.47 Dos formas de la misma red: a) Y, b) T. Figura 2.48 Dos formas de la misma red: a) ⌬, b) ⌸. 1 3 2 4 Rc a) 1 3 2 4 b) RaRb Rc RaRb
- 82. 54 Capítulo 2 Leyes básicas y la sustracción de la ecuación (2.48) de la ecuación (2.47b) origina R2 ϭ (2.50) Al restar la ecuación (2.49) de la ecuación (2.47a) se obtiene R3 ϭ (2.51) No es necesario memorizar las ecuaciones (2.49) a (2.51). Para transformar una red ⌬ en Y, se crea un nodo extra n, como se indica en la figura 2.49, y se sigue esta regla de conversión: Cada resistor de la red Y es el producto de los resistores de las dos ramas ⌬ adyacentes dividido entre la suma de los tres resistores de ⌬. Se puede seguir esta regla y obtener las ecuaciones (2.49) a (2.51) a partir de la figura 2.49. Conversión estrella a delta Para obtener las fórmulas de conversión que transformen una red en estrella en una red delta equivalente, en las ecuaciones (2.49) a (2.51) se advierte que R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 ϭ (2.52) ϭ La división de la ecuación (2.52) entre cada una de las ecuaciones (2.49) a (2.51) conduce a las siguientes ecuaciones: Ra ϭ (2.53) Rb ϭ (2.54) Rc ϭ (2.55) Con base en las ecuaciones (2.53) a (2.55) y de la figura 2.49, la regla de conversión para Y en ⌬ es la siguiente: Cada resistor de la red ⌬ es la suma de todos los productos posibles de los resistores Y tomados de dos en dos, dividido entre el resistor opuesto en Y. R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R3 R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R2 R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R1 RaRbRc Ra ϩ Rb ϩ Rc RaRbRc(Ra ϩ Rb ϩ Rc) (Ra ϩ Rb ϩ Rc)2 RaRb Ra ϩ Rb ϩ Rc RcRa Ra ϩ Rb ϩ Rc Figura 2.49 Superposición de redes Y y ⌬ como ayuda en la transformación de una en otra. R3 RaRb R1 R2 Rc b n a c
- 83. 2.7 Transformaciones estrella-delta 55 Se dice que las redes Y y ⌬ están equilibradas cuando R1 ϭ R2 ϭ R3 ϭ RY, Ra ϭ Rb ϭ Rc ϭ Rd (2.56) En estas condiciones, las fórmulas de conversión vienen a ser RY ϭ o sea R⌬ ϭ 3 RY (2.57) Es posible que provoque sorpresa que RY sea menor que R⌬. A este respec- to, obsérvese que la conexión en Y es como una conexión “en serie”, mien- tras que la conexión en ⌬ es como una conexión “en paralelo”. Nótese que al hacer la transformación, no se quita nada del circuito ni se agrega algo nuevo en él. Solamente se están sustituyendo patrones de red, de tres terminales diferentes, equivalentes matemáticamente para crear un circui- to en el que los resistores estén en serie o en paralelo, lo que nos permite cal- cular la Req de ser necesario. R⌬ 3 Solución: Al usar las ecuaciones (2.49) a (2.51) se obtiene R1 ϭ ϭ ϭ ϭ 5 ⍀ R2 ϭ ϭ ϭ 7.5 ⍀ R3 ϭ ϭ ϭ 3 ⍀ La red Y equivalente se muestra en la figura 2.50b). 15 ϫ 10 50 RaRb Ra ϩ Rb ϩ Rc 25 ϫ 15 50 RcRa Ra ϩ Rb ϩ Rc 250 50 10 ϫ 25 15 ϩ 10 ϩ 25 RbRc Ra ϩ Rb ϩ Rc Figura 2.50 Para el ejemplo 2.14: a) red ⌬ original, b) red Y equivalente. c ba 10 Ω 15 Ω a) Rb Ra Rc 25 Ω c ba 5 Ω 3 Ω 7.5 Ω R2R1 R3 b) Ejemplo 2.14Convierta la red ⌬ de la figura 2.50a) en una red Y equivalente.
- 84. 56 Capítulo 2 Leyes básicas Figura 2.51 Para el problema de práctica 2.14. 20 Ω R2 ba c 10 Ω R1 R3 40 Ω a a i bb c n120 V 5 Ω 30 Ω 12.5 Ω 15 Ω 10 Ω 20 Ω + − Figura 2.52 Para el ejemplo 2.15. Ejemplo 2.15 Problema de práctica 2.14 Transforme la red en estrella de la figura 2.51 en una red delta. Respuesta: Ra ϭ 140 ⍀, Rb ϭ 70 ⍀, Rc ϭ 35 ⍀. Obtenga la resistencia equivalente Rab para el circuito de la figura 2.52 y úse- la para hallar la corriente i. Solución: 1. Definir. El problema está definido con claridad. Tenga en cuenta, sin em- bargo, que normalmente esta parte consumirá de manera merecida mu- cho más tiempo. 2. Presentar. Es obvio que si se elimina la fuente de tensión, se termina con un circuito puramente resistivo. Dado que éste está compuesto por deltas y estrellas, se tiene un proceso más complejo de combinación de los elementos. Se pueden usar transformaciones estrella-delta como un método para hallar una solución. Es útil localizar las estrellas (hay dos de ellas, una en n y la otra en c) y las deltas (hay tres: can, abn, cnb). 3. Alternativas. Pueden usarse varios métodos para resolver este problema. Puesto que el tema de la sección 2.7 es la transformación estrella-delta, és- ta debería ser la técnica por usar. Otro método sería determinar la resisten- cia equivalente inyectando una corriente de un amperio en el circuito y hallando la tensión entre a y b; este método se aprenderá en el capítulo 4. El método que se puede aplicar aquí como comprobación sería usar una transformación estrella-delta como la primera solución del problema. Después se puede comprobar la solución comenzando con una transfor- mación delta-estrella. 4. Intentar. En este circuito hay dos redes Y y una red ⌬. La transformación de sólo una de ellas simplificará el circuito. Si se convierte la red Y com- prendida por los resistores de 5, 10 y 20 ⍀, se puede seleccionar R1 ϭ 10 ⍀, R2 ϭ 20 ⍀, R3 ϭ 5 ⍀ Así, con las ecuaciones (2.53) a (2.55) se tiene Ra ϭ ϭ ϭ ϭ 35 ⍀ Rb ϭ ϭ ϭ 17.5 ⍀ Rc ϭ ϭ ϭ 70 ⍀ 350 5 R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R3 350 20 R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R2 350 10 10 ϫ 20 ϩ 20 ϫ 5 ϩ 5 ϫ 10 10 R1R2 ϩ R2R3 ϩ R3R1 R1
- 85. 2.7 Transformaciones estrella-delta 57 Con la Y convertida en ⌬, el circuito equivalente (con la fuente de tensión eliminada por ahora) se presenta en la figura 2.53a). Al combi- nar los tres pares de resistores en paralelo se obtiene 70 || 30 ϭ ϭ 21 ⍀ 12.5 || 17.5 ϭ ϭ 7.292 ⍀ 15 || 35 ϭ ϭ 10.5 ⍀ por lo que el circuito equivalente es el que se muestra en la figura 2.53b). De este modo, se halla Rab ϭ (7.292 ϩ 10.5) || 21 ϭ ϭ 9.632 ⍀ Entonces, i ϭ ϭ ϭ 12.458 A Obsérvese que se ha resuelto exitosamente el problema. Ahora se de- be evaluar la solución. 5. Evaluar. Ahora se debe determinar si la respuesta es correcta, y después evaluar la solución final. Es relativamente fácil comprobar la respuesta; se hace resolviendo el problema a partir de una transformación delta-estrella. Se transforma la delta, can, en estrella. Sean Rc ϭ 10 ⍀, Ra ϭ 5 ⍀ y Rn ϭ 12.5 ⍀. Esto conducirá a (con- cediendo que d representa la parte media de la estrella): Rad ϭ ϭ ϭ 4.545 ⍀ Rcd ϭ ϭ ϭ 2.273 ⍀ Rnd ϭ ϭ ϭ 1.8182 ⍀ 5 ϫ 10 27.5 RaRc 27.5 5 ϫ 12.5 27.5 RaRn 27.5 10 ϫ 12.5 5 ϩ 10 ϩ 12.5 RcRn Ra ϩ Rc ϩ Rn 120 9.632 vs Rab 17.792 ϫ 21 17.792 ϩ 21 15 ϫ 35 15 ϩ 35 12.5 ϫ 17.5 12.5 ϩ 17.5 70 ϫ 30 70 ϩ 30 a b 30 Ω70 Ω 17.5 Ω 35 Ω 12.5 Ω 15 Ω a) a b 21 Ω b ) 7.292 Ω 10.5 Ω a b c n d 30 Ω 4.545 Ω 20 Ω 1.8182 Ω2.273 Ω 15 Ω c) Figura 2.53 Circuitos equivalentes para la figura 2.52, con la fuente de tensión eliminada.
- 86. 58 Capítulo 2 Leyes básicas Esto conduce ahora al circuito que se muestra en la figura 2.53c). Si se examina la resistencia entre d y b, se tienen en paralelo dos combinacio- nes en serie, lo que produce Esto está en serie con el resistor de 4.545 ⍀, los que a su vez están en paralelo con el resistor de 30 ⍀. Esto proporciona entonces la resistencia equivalente del circuito. Esto conduce ahora a Adviértase que el empleo de las dos variantes de la transformación estre- lla-delta ofrece el mismo resultado. Esto representa una muy buena com- probación. 6. ¿Satisfactorio? Dado que se ha hallado la respuesta deseada determinan- do primero la resistencia equivalente del circuito y comprobando después la respuesta, es evidente que la solución es satisfactoria. Esto quiere de- cir que se le podría presentar a quien planteó el problema. i ϭ vs Rab ϭ 120 9.631 ϭ 12.46 A Rab ϭ (9.642 ϩ 4.545)30 9.642 ϩ 4.545 ϩ 30 ϭ 425.6 44.19 ϭ 9.631 ⍀ Rdb ϭ (2.273 ϩ 15)(1.8182 ϩ 20) 2.273 ϩ 15 ϩ 1.8182 ϩ 20 ϭ 376.9 39.09 ϭ 9.642 ⍀ † Aplicaciones Los resistores se usan con frecuencia para modelar dispositivos que convier- ten energía eléctrica en térmica o en otras formas de energía. Tales dispositi- vos incluyen alambre conductor, bombillas eléctricas, calentadores eléctricos, estufas y hornos eléctricos y altavoces. En esta sección consideraremos dos problemas reales en los que se aplican los conceptos tratados en este capítu- lo: sistemas de iluminación eléctrica y diseño de medidores de cd. 2.8.1 Sistemas de iluminación Los sistemas de iluminación, como el de una casa o un árbol de Navidad, sue- len constar de N lámparas conectadas ya sea en paralelo o en serie, como se indica en la figura 2.55. Cada lámpara es modelada como resistor. Suponien- do que todas las lámparas son idénticas y que Vo es la tensión de la línea eléc- trica, la tensión en cada lámpara es Vo en el caso de la conexión en paralelo y a Vo/N en la conexión en serie. Esta última es fácil de fabricar, pero rara vez se usa en la práctica, por al menos dos razones. Primero, es menos con- fiable; cuando una lámpara falla, todas se apagan. Segundo, es más difícil de mantener; cuando una lámpara está dañada, deben probarse todas una por una para detectar la defectuosa. 2.8 24 Ω 100 V i 30 Ω 10 Ω 50 Ω 13 Ω 20 Ω + − b a Figura 2.54 Para el problema de práctica 2.15. Hasta aquí se ha supuesto que los alambres de conexión son conductores perfectos (es decir, conductores de re- sistencia cero). Pero en los sistemas físi- cos reales, la resistencia del alambre de conexión puede ser apreciablemente grande, y la modelación del sistema debe incluir esa resistencia. Problema de práctica 2.15 En referencia a la red puente de la figura 2.54, halle Rab e i. Respuesta: 40 ⍀, 2.5 A.
- 87. 2.8 Aplicaciones 59 Vo + − Toma de corriente 1 2 3 N Lámparaa) Vo + − 1 2 3 N b) Figura 2.55 a) Conexión en paralelo de bombillas eléctricas, b) conexión en serie de bombillas eléctricas. a) 9 V 10 W 15 W 20 W b ) 9 V + − + − + − I1 I2 V3 V2 V1 R1 I R3 R2 Figura 2.56 a) Sistema de iluminación con tres bombillas, b) modelo del circuito equivalente resistivo. Tres bombillas eléctricas están conectadas a una batería de 9 V, como se in- dica en la figura 2.56a). Calcule: a) la corriente total suministrada por la ba- tería, b) la corriente que circula por cada bombilla, c) la resistencia de cada bombilla. Ejemplo 2.16 Thomas Alva Edison (1847-1931) fue quizá el mayor inventor estadouni- dense. Patentó 1 093 inventos, de tanta trascendencia histórica como la bom- billa eléctrica incandescente, el fonógrafo y los primeros filmes comerciales. Nació en Milan, Ohio, y fue el menor de siete hijos. Edison sólo recibió tres meses de educación formal, pues detestaba la escuela. Su madre lo edu- có en casa, y pronto leía por sí solo. En 1868 leyó uno de los libros de Fara- day y encontró su vocación. En 1876 se trasladó a Menlo Park, Nueva Jersey, donde administró un laboratorio de investigación bien abastecido de personal. La mayoría de sus inventos salió de ese laboratorio, el cual sirvió como mo- delo para modernas organizaciones de investigación. A causa de la diversidad de sus intereses y del abrumador número de sus inventos y patentes, Edison empezó a establecer compañías manufactureras para la fabricación de los apa- ratos que inventaba. Diseñó la primera estación de energía eléctrica para el suministro de luz. La educación formal en ingeniería eléctrica comenzó a me- diados de la década de 1880, con Edison como modelo y líder. Perfiles históricos
- 88. 60 Capítulo 2 Leyes básicas Solución: a) La potencia total suministrada por la batería es igual a la potencia total ab- sorbida por las bombillas; es decir, p ϭ 15 ϩ 10 ϩ 20 ϭ 45 W Puesto que p ϭ VI, la corriente total suministrada por la batería es I ϭ ϭ ϭ 5 A b) Las bombillas pueden modelarse como resistores, como se muestra en la figura 2.56b). Dado que R1 (la bombilla de 20 W) está en paralelo con la ba- tería lo mismo que con la combinación en serie de R2 y R3, V1 ϭ V2 ϩ V3 ϭ 9 V La corriente a través de R1 es I1 ϭ ϭ ϭ 2.222 A Por la LCK, la corriente a través de la combinación en serie de R2 y R3 es I2 ϭ I Ϫ I1 ϭ 5 Ϫ 2.222 ϭ 2.778 A c) Puesto que p ϭ I2 R, R3 ϭ p3 I3 2 ϭ 10 2.7772 ϭ 1.297 ⍀ R2 ϭ p2 I2 2 ϭ 15 2.7772 ϭ 1.945 ⍀ R1 ϭ p1 I1 2 ϭ 20 2.2222 ϭ 4.05 ⍀ 20 9 p1 V1 45 9 p V 2.8.2 Diseño de medidores de cd Por su propia naturaleza, los resistores se usan para controlar el flujo de co- rriente. Esta propiedad se aprovecha en varias aplicaciones, como en un po- tenciómetro (figura 2.57). La palabra potenciómetro, derivada de las palabras potencial y medidor, implica que el potencial puede medirse. El potencióme- tro (o pot para abreviar) es un dispositivo de tres terminales que opera con base en el principio de la división de tensión. Es en esencia un divisor de ten- sión ajustable. En su calidad de regulador de tensión, se utiliza como control de volumen o nivel en radios, televisores y otros aparatos. En la figura 2.57, Vsal ϭ Vbc ϭ Vent (2.58) donde Rac ϭ Rab ϩ Rbc. Así, Vsal disminuye o aumenta cuando el contacto deslizante del potenciómetro se mueve hacia c o a, respectivamente. Rbc Rac + + − − Vent Vsal a b c Máx Mín Figura 2.57 Niveles de potencial controlados por el potenciómetro. Problema de práctica 2.16 Remítase a la figura 2.55 y supóngase que hay 10 bombillas eléctricas que pueden conectarse en paralelo y 10 que pueden conectarse en serie, cada una de ellas con un valor nominal de potencia de 40 W. Si la tensión en la toma de corriente es de 110 V para las conexiones en paralelo y en serie, calcule la co- rriente que circula a través de cada bombilla en ambos casos. Respuesta: 0.364 A (en paralelo), 3.64 A (en serie).
- 89. 2.8 Aplicaciones 61 Considérese la figura 2.59, en la que un voltímetro y un amperímetro ana- lógicos están conectados a un elemento. El voltímetro mide la tensión en una carga, y por lo tanto, está conectado en paralelo con el elemento. Como se ob- serva en la figura 2.60a), el voltímetro consta de un mecanismo de d’Arson- val en serie Rm se hace deliberadamente muy grande (infinita en teoría), para minimizar la corriente tomada del circuito. Para ampliar el intervalo de tensión que puede medir el medidor, suelen conectarse resistores multiplicadores en serie con los voltímetros, como se muestra en la figura 2.60b). El voltímetro de intervalo múltiple de dicha figura puede medir tensiones de 0 a 1 V, 0 a 10 V o 0 a 100 V, dependiendo de que el interruptor esté conectado a R1, R2 o R3, respectivamente. Ahora se presenta el cálculo del resistor multiplicador Rn para el voltíme- tro de un solo intervalo de la figura 2.60a), o Rn ϭ R1, R2 o R3 para el voltí- metro de intervalo múltiple de la figura 2.60b). Se necesita determinar el valor del Rn que se va a conectar en serie con la resistencia interna Rm del voltíme- tro. En cualquier diseño se considera la condición del peor de los casos. En esta circunstancia, el peor de los casos ocurre cuando la corriente de escala máxima Ifs ϭ Im fluye por el medidor. Esto debería corresponder a la lectura de tensión máxima o a la tensión de escala máxima Vfs.* Dado que la resis- tencia multiplicadora Rn está en serie con la resistencia interna Rm, Vfs ϭ Ifs(Rn ϩ Rm) (2.59) Otra aplicación en la que se utilizan los resistores para controlar el flujo de corriente es la de los medidores de cd analógicos: el amperímetro, el vol- tímetro y el óhmetro, los cuales miden corriente, tensión y resistencia, respec- tivamente. En todos esos medidores se emplea el mecanismo del medidor de d’Arsonval, que se muestra en la figura 2.58. Este mecanismo consta en esen- cia de una bobina de núcleo de hierro móvil montada sobre un pivote entre los polos de un imán permanente. Cuando fluye corriente por la bobina, ésta produce un momento de torsión que causa que la aguja se desvíe. La canti- dad de corriente que circula a través de la bobina determina la desviación de la aguja, la cual es registrada en una escala unida al movimiento del medidor. Por ejemplo, si el mecanismo del medidor tiene una especificación de 1 mA, 50 ⍀, se necesitaría 1 mA para causar una desviación de máxima escala en el mecanismo del medidor. Mediante la introducción de circuitería adicional al mecanismo del medidor de d’Arsonval es posible construir un amperímetro, voltímetro u óhmetro. escala aguja resorte imán permanente bobina rotatoria núcleo de hierro estacionario resorte N S V A V I + − Voltímetro Amperímetro Elemento Figura 2.58 Mecanismo del medidor de d’Arsonval. Figura 2.59 Conexión de un voltímetro y un amperí- metro a un elemento. Un instrumento capaz de medir ten- sión, corriente y resistencia se llama multímetro o medidor de volt-ohm. Una carga es un componente que reci- be energía (un receptor de energía), en oposición a un generador, que su- ministra energía (una fuente de ener- gía). En la sección 4.9.1 se explicará más sobre la carga. *Nota de RT: Vfs también se conoce como Vem en algunos países de habla hispana.
- 90. 62 Capítulo 2 Leyes básicas De esto se obtiene Rn ϭ Ϫ Rm (2.60) De igual forma, el amperímetro mide la corriente que circula por la car- ga y está conectada en serie con él. Como se indica en la figura 2.61a), el amperímetro consta de un mecanismo de d’Arsonval en paralelo con un re- sistor, cuya resistencia Rm se hace deliberadamente muy pequeña (teóricamen- te cero) para minimizar la caída de tensión en sus terminales. Con el fin de permitir los intervalos múltiples, casi siempre se conectan resistores en deri- vación en paralelo con Rm, como se advierte en la figura 2.61b). Estos resis- tores permiten al medidor realizar mediciones en el intervalo 0-10 mA, 0-100 mA o 0-1 A, dependiendo de que el interruptor se conecte a R1, R2 o R3, res- pectivamente. Ahora el objetivo es obtener la Rn en derivación multiplicadora para el amperímetro de un solo intervalo de la figura 2.61a), o Rn ϭ R1, R2 o R3 pa- ra el amperímetro de intervalo múltiple de la figura 2.61b). Obsérvese que Rm y Rn están en paralelo y que la lectura de escala máxima I ϭ Ifs ϭ Im ϩ In, donde In es la corriente que pasa por el resistor en derivación Rn en deriva- ción. La aplicación del principio de división de corriente produce Im ϭ Ifs o sea Rm ϭ Im (2.61) La resistencia Rx de un resistor lineal puede medirse de dos maneras. Una manera indirecta es medir la corriente I que fluye por la resistencia al conec- Im Ifs Ϫ Im Rn Rn Ϫ Rm Vfs Ifs Figura 2.61 Amperímetros: a) tipo de una escala, b) ti- po de escala múltiple. Im I Sondas a) RnIn b) R1 R2 R3 10 mA 100 mA 1 A Interruptor Im I Sondas Rm Medidor Rm Medidor Sondas V + − R1 R2 R3 1 V 10 V 100 V Interruptor Im b ) Rn Im Multiplicador Sondas V + − a) Rm Medidor Rm Medidor Figura 2.60 Voltímetros: a) tipo de una escala, b) tipo de escala múltiple.
- 91. 2.8 Aplicaciones 63 tar a la misma un amperímetro en serie, y la tensión V en sus terminales co- nectándole un voltímetro en paralelo, como se muestra en la figura 2.62a). Así pues, Rx ϭ (2.62) El método directo para medir la resistencia es usar un óhmetro. Éste consta básicamente de un mecanismo de d’Arsonval, un resistor variable o potenció- metro y una batería, como se advierte en la figura 2.62b). La aplicación de la LTK al circuito de esta última figura da como resultado E ϭ (R ϩ Rm ϩ Rx)Im o sea Rx ϭ Ϫ (R ϩ Rm) (2.63) El resistor R es seleccionado de manera que el medidor registre una desvia- ción de escala máxima; esto es, Im ϭ Ifs cuando Rx ϭ 0. Esto implica que E ϭ (R ϩ Rm)Ifs (2.64) La sustitución de la ecuación (2.64) en la (2.63) conduce a Rx ϭ ( Ϫ 1 )(R ϩ Rm) (2.65) Como ya se mencionó, los tipos de medidores expuestos se conocen co- mo medidores analógicos y se basan en el mecanismo del medidor de d’Ar- sonval. Otro tipo de medidor, llamado medidor digital, se basa en elementos de circuitos activos como los amplificadores operacionales. Por ejemplo, un multímetro digital presenta como números discretos a las mediciones de ten- sión de cd o ca, en vez de utilizar la desviación de la aguja en una escala con- tinua como ocurre con el multímetro analógico. Los medidores digitales son los que con mayor probabilidad utilizaría el lector en un laboratorio moder- no. Sin embargo, el diseño de medidores digitales escapa al alcance de este libro. Ifs Im E Im V I Im R E Rx Óhmetro b) a) V A + − VRx I Rm Figura 2.62 Dos maneras de medir la resistencia: a) con un amperímetro y un voltímetro, b) con un óhmetro. Samuel F. B. Morse (1791-1872), pintor estadounidense, inventó el telégra- fo, la primera aplicación práctica comercializada de la electricidad. Morse nació en Charlestown, Massachusetts, y estudió en Yale y en la Royal Academy of Arts de Londres para ser artista. En la década de 1830 se interesó en el desarrollo de un telégrafo. Ya tenía un modelo funcional en 1836, y solicitó una patente en 1838. El senado de Estados Unidos le asignó fondos para la construcción de una línea telegráfica entre Baltimore y Was- hington D.C. El 24 de mayo de 1844 envió el famoso primer mensaje: “¡Qué ha hecho Dios!” Morse también elaboró un código de puntos y rayas en re- presentación de letras y números, para el envío de mensajes por el telégrafo. La creación del telégrafo llevó a la invención del teléfono. Perfiles históricos
- 92. 64 Capítulo 2 Leyes básicas Resumen 1. Un resistor es un elemento pasivo en el cual su tensión v es directamen- te proporcional a la corriente i que circula por él. Es decir, es un dispo- sitivo que cumple la ley de Ohm, v ϭ iR donde R es la resistencia del resistor. 2.9 Ejemplo 2.17 Siguiendo el arreglo del voltímetro de la figura 2.60 diseñe un voltímetro pa- ra los siguientes intervalos múltiples: a) 0-1 V b) 0-5 V c) 0-50 V d) 0-100 V Suponga que la resistencia interna Rm ϭ 2 k⍀ y la corriente de escala máxi- ma Ifs ϭ 100 A. Solución: Se aplica la ecuación (2.60) y se supone que R1, R2, R3 y R4 corresponden a los intervalos 0-1 V, 0-5 V, 0-50 V y 0-100 V, respectivamente. a) Para el intervalo 0-1 V, 1 R1 ϭ —————— Ϫ 2 000 ϭ 10 000 Ϫ 2 000 ϭ 8 k⍀ 100 ϫ 10Ϫ6 b) Para el intervalo 0-5 V, 5 R2 ϭ —————— Ϫ 2 000 ϭ 50 000 Ϫ 2 000 ϭ 48 k⍀ 100 ϫ 10Ϫ6 c) Para el intervalo 0-50 V, 50 R3 ϭ —————— Ϫ 2 000 ϭ 500 000 Ϫ 2 000 ϭ 498 k⍀ 100 ϫ 10Ϫ6 d) Para el intervalo 0-100 V, 100 V R4 ϭ —————— Ϫ 2 000 ϭ 1 000 000 Ϫ 2 000 ϭ 998 k⍀ 100 ϫ 10Ϫ6 Nótese que la proporción entre la resistencia total (Rn ϩ Rm) y la tensión a escala máxima Vfs es constante e igual a 1͞Ifs en los cuatro intervalos. Esta proporción (dada en ohms por volt, o ⍀͞V) se conoce como sensibilidad del voltímetro. Cuanto mayor sea la sensibilidad, mejor es el voltímetro. Problema de práctica 2.17 Siguiendo el arreglo del amperímetro de la figura 2.61, diseñe un aparato de este tipo para los siguientes intervalos múltiples: a) 0-1 A b) 0-100 mA c) 0-10 mA Suponga la corriente de escala máxima del medidor como Im ϭ 1 mA y la resistencia interna del amperímetro como Rm ϭ 50 ⍀. Respuesta: Resistores en derivación: 0.05 ⍀, 0.505 ⍀, 5.556 ⍀.
- 93. 2.9 Resumen 65 2. Un cortocircuito es un resistor (un alambre perfectamente conductor) con resistencia cero (R ϭ 0). Un circuito abierto es un resistor con resisten- cia infinita (R ϭ ∞). 3. La conductancia G de un resistor es el recíproco de su resistencia: G ϭ 4. Una rama es un elemento de dos terminales en un circuito eléctrico. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. Un lazo correspon- de a una trayectoria cerrada en un circuito. El número de ramas b, el nú- mero de nodos n y el de lazos independientes l en una red se relacionan de la siguiente manera: b ϭ l ϩ n Ϫ 1 5. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebrai- ca de las corrientes en cualquier nodo es igual a cero. En otras palabras, la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. 6. La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero. En otras palabras, la suma de los aumentos de tensiones es igual a la suma de las caídas de tensión. 7. Dos elementos se encuentran en serie cuando están conectados secuen- cialmente, terminal con terminal. Cuando los elementos están en serie, circula por ellos la misma corriente (i1 ϭ i2). Se encuentran en paralelo si están conectados a los dos mismos nodos. Elementos en paralelo siem- pre tienen la misma tensión (v1 ϭ v2). 8. Cuando dos resistores R1(ϭ1͞G1) y R2(ϭ1͞G2) están en serie, su resis- tencia equivalente Req y su conductancia equivalente Geq son 9. Cuando dos resistores R1(ϭ1͞G1) y R2(ϭ1͞G2) están en paralelo, su re- sistencia equivalente Req y su conductancia equivalente Geq son 10. El principio de división de tensión de dos resistores en serie es 11. El principio de división de corriente para dos resistores en paralelo co- rresponde a 12. Las fórmulas para una transformación delta a estrella son R3 ϭ Ra Rb Ra ϩ Rb ϩ Rc R1 ϭ Rb Rc Ra ϩ Rb ϩ Rc , R2 ϭ Rc Ra Ra ϩ Rb ϩ Rc i1 ϭ R2 R1 ϩ R2 i, i2 ϭ R1 R1 ϩ R2 i v1 ϭ R1 R1 ϩ R2 v, v2 ϭ R2 R1 ϩ R2 v Req ϭ R1R2 R1 ϩ R2 , Geq ϭ G1 ϩ G2 Req ϭ R1 ϩ R2, Geq ϭ G1G2 G1 ϩ G2 1 R
- 94. 66 Capítulo 2 Leyes básicas 13. Las fórmulas para una transformación estrella a delta son 14. Las leyes básicas incluidas en este capítulo pueden aplicarse a problemas de iluminación eléctrica y diseño de medidores de cd. Rc ϭ R1 R2 ϩ R2 R3 ϩ R3 R1 R3 Ra ϭ R1 R2 ϩ R2 R3 ϩ R3 R1 R1 , Rb ϭ R1 R2 ϩ R2 R3 ϩ R3 R1 R2 2.1 El recíproco de la resistencia es: a) tensión b) corriente c) conductancia d) coulombs 2.2 Un calefactor eléctrico toma 10 A de una línea de 120 V. La resistencia del calefactor es: a) 1 200 ⍀ b) 120 ⍀ c) 12 ⍀ d) 1.2 ⍀ 2.3 La caída de tensión en un tostador de 1.5 kW que toma una corriente de 12 A es: a) 18 kV b) 125 V c) 120 V d) 10.42 V 2.4 La corriente máxima que un resistor de 2 W y 80 k⍀ pue- de conducir con seguridad es: a) 160 kA b) 40 kA c) 5 mA d) 25 A 2.5 Una red tiene 12 ramas y 8 lazos independientes. ¿Cuán- tos nodos hay en ella? a) 19 b) 17 c) 5 d) 4 2.6 La corriente I en el circuito de la figura 2.63 es de: a) Ϫ0.8 A b) Ϫ0.2 A c) 0.2 A d) 0.8 A 2.7 La corriente Io de la figura 2.64 es de: a) Ϫ4 A b) Ϫ2 A c) 4 A d) 16 A 2.8 En el circuito de la figura 2.65, V es igual a: a) 30 V b) 14 V c) 10 V d) 6 V 3 V 5 V+ − + − 4 Ω I 6 Ω Figura 2.63 Para la pregunta de repaso 2.6. 10 A 4 A2 A Io Figura 2.64 Para la pregunta de repaso 2.7. + − + − + − + − 10 V 12 V 8 V V Figura 2.65 Para la pregunta de repaso 2.8. Preguntas de repaso
- 95. 2.9 ¿Cuál de los circuitos de la figura 2.66 producirá Vab ϭ 7V? 2.10 En el circuito de la figura 2.67, un decremento en R3 lle- va a un decremento de: a) corriente a través de R3 b) tensión alrededor de R3 c) tensión alrededor de R1 d) potencia disipada en R2 e) ninguno de los casos anteriores Problemas 67 3 V a b 5 V 1 V a) + − + − + − 3 V a b 5 V 1 V b) + − +− + − 3 V a 5 V 1 V c) + − + − +− b 3 V a 5 V 1 V d ) + − +− +− b Figura 2.66 Para la pregunta de repaso 2.9. Vs R1 R2 R3 + − Figura 2.67 Para la pregunta de repaso 2.10. + − 150 Ω100 Ω 3 V 1 2 i Figura 2.68 Para el problema 2.4. Figura 2.69 Para el problema 2.5. Figura 2.70 Para el problema 2.6. Problemas Respuestas: 2.1c, 2.2c, 2.3b, 2.4c, 2.5c, 2.6b, 2.7a, 2.8d, 2.9d, 2.10b, d. Sección 2.2 Ley de Ohm 2.1 La tensión en un resistor de 5 k⍀ es de 16 V. Halle la co- rriente que circula por el resistor. 2.2 Halle la resistencia en caliente de una bombilla eléctrica de valor nominal de 60 W y 120 V. 2.3 Una barra de silicio es de 4 cm de largo con sección trans- versal circular. Si su resistencia es de 240 ⍀ a temperatura ambiente, ¿cuál es el radio de su sección transversal? 2.4 a) Calcule la corriente i en la figura 2.68 cuando el inte- rruptor está en la posición 1. b) Halle la corriente cuando el interruptor está en la po- sición 2. Sección 2.3 Nodos, ramas y lazos 2.5 Para la gráfica de la red de la figura 2.69, halle el número de nodos, ramas y lazos. 2.6 En la gráfica de la red que se muestra en la figura 2.70, determine el número de ramas y nodos.
- 96. 68 Capítulo 2 Leyes básicas 2.7 Determine el número de ramas y nodos en el circuito de la figura 2.71. 2.11 En el circuito de la figura 2.75, calcule V1 y V2. Figura 2.72 Para el problema 2.8. Figura 2.73 Para el problema 2.9. Figura 2.74 Para el problema 2.10. 4 Ω1 Ω 8 Ω 5 Ω12 V 2 A+ − Figura 2.71 Para el problema 2.7. 8 mA 9 mA 12 mA i1 i3i2 10 A 4 A 8 A 2 A A B C 14 Ai1 i3 i2 12 A 3 A 4 A Ϫ2 A i2 i1 5 V + −− + − + + − 1 V + − 2 V V1 V2 Figura 2.75 Para el problema 2.11. + − 20 V + − v1 + − v3 25 V 10 V 15 V v2 + − +− + − + − Figura 2.76 Para el problema 2.12. I1 I2 I4 I3 7 A 2 A 4 A3 A Figura 2.77 Para el problema 2.13. V2 V4 V1 V3 3 V 4 V 5 V + – – – + + – – 2 V + + ++ – – + – Figura 2.78 Para el problema 2.14. Sección 2.4 Leyes de Kirchhoff 2.8 Aplique la LCK para obtener las corrientes i1, i2 e i3 en el circuito que se muestra en la figura 2.72. 2.9 Halle i1, i2 e i3 en la figura 2.73. 2.10 Determine i1 e i2 en el circuito de la figura 2.74. 2.12 En el circuito de la figura 2.76, obtenga v1, v2 y v3. 2.13 En referencia al circuito de la figura 2.77, aplique la LCK para hallar las corrientes de las ramas I1 a I4. 2.14 Dado el circuito de la figura 2.78, aplique la LTK para ha- llar las tensiones de las ramas V1 a V4.
- 97. 2.15 Calcule v e ix en el circuito de la figura 2.79. 2.19 En el circuito de la figura 2.83, halle I, la potencia disipa- da por el resistor y la potencia suministrada por cada fuente. Problemas 69 Figura 2.79 Para el problema 2.15. 2 V + − + − 8 V 12 V + − 12 Ω + − 3ix v + − ix + − 9 V 3 V+ − + − 6 Ω 2 Ω Vo Figura 2.80 Para el problema 2.16. 24 V 12 V 10 Vv3 v2 + − +− + − + − + − v1+ − Figura 2.81 Para el problema 2.17. 5 Ω3 Ω + − + − + − Vab30 V 8 V b a +− 10 V I Figura 2.82 Para el problema 2.18. −8 V 10 V 12 V 3 Ω+ − + − + − I Figura 2.83 Para el problema 2.19. Figura 2.84 Para el problema 2.20. 36 V + − 4 Ω + − 5io io + − 15 V + − 1 Ω 2 Ω 5 Ω Vx + − 2 Vx Figura 2.85 Para el problema 2.21. Figura 2.86 Para el problema 2.22. 10 A6 Ω 2Vo + − 4 Ω Vo 2.16 Determine Vo en el circuito de la figura 2.80. 2.17 Obtenga v1 a v3 en el circuito de la figura 2.81. 2.18 Halle I y Vab en el circuito de la figura 2.82. 2.22 Halle Vo en el circuito de la figura 2.86 y la potencia disi- pada por la fuente controlada. 2.21 Halle Vx en el circuito de la figura 2.85. 2.20 Determine io en el circuito de la figura 2.84.
- 98. 70 Capítulo 2 Leyes básicas 2.23 En el circuito que se muestra en la figura 2.87, determine vx y la potencia absorbida por el resistor de 12 ⍀. 2.27 Calcule Vo en el circuito de la figura 2.91. 6 A 2 Ω 4 Ω 3 Ω 6 Ω 8 Ω 12 Ω 1.2 Ω1 Ω vx + – Figura 2.87 Para el problema 2.23. Vo + − + − R4R3 R1 R2 ␣IoVs Io Figura 2.88 Para el problema 2.24. 0.01VoVo + − 20 kΩ5 kΩ10 kΩ5 mA Figura 2.89 Para el problema 2.25. 16 Ω2 Ω 4 Ω 8 Ω ix io Figura 2.91 Para el problema 2.27. Figura 2.90 Para el problema 2.26. 16 V + − 6 Ω 4 Ω + − Vo 40 V 14 Ω 15 Ω v1 v2+ − + − + − 10 Ωv3 + − Figura 2.92 Para el problema 2.28. Req Figura 2.93 Para el problema 2.29. Req 6 Ω 6 Ω 2 Ω2 Ω Figura 2.94 Para el problema 2.30. 2.24 En referencia al circuito de la figura 2.88, halle Vo͞Vs en términos de a, R1, R2, R3 y R4. Si R1 ϭ R2 ϭ R3 ϭ R4, ¿qué valor de a producirá |Vo͞Vs| ϭ 10? 2.25 Para la red de la figura 2.89, halle la corriente, tensión y potencia asociados con el resistor de 20 k⍀. Secciones 2.5 y 2.6 Resistores en serie y en paralelo 2.26 Para el circuito de la figura 2.90, io ϭ 2 A. Calcule ix y la potencia total disipada por el circuito. 2.30 Halle Req para el circuito de la figura 2.94. 2.28 Halle v1, v2 y v3 en el circuito de la figura 2.92. 2.29 Todos los resistores de la figura 2.93 son de 1 ⍀. Halle Req.
- 99. Problemas 71 2.31 Para el circuito de la figura 2.95, determine i1 a i5. 2.35 Calcule Vo y Io en el circuito de la figura 2.99. 40 V 1 Ω 2 Ω 4 Ω+ − 3 Ω i2 i1 i4 i5 i3 Figura 2.95 Para el problema 2.31. 20 A 10 Ω 40 Ω i4 i3 20 Ω 30 Ω i2 i1 Figura 2.96 Para el problema 2.32. 9 A 2 S1 S 4 S 6 S 3 S + − v i Figura 2.97 Para el problema 2.33. 40 Ω 20 Ω 8 Ω 12 Ω 10 Ω 10 Ω 40 Ω 20 Ω12 V + − Figura 2.98 Para el problema 2.34. 50 V 30 Ω70 Ω + − 5 Ω20 Ω + − Vo Io Figura 2.99 Para el problema 2.35. 25 Ω 10 Ω 24 Ω 50 Ω 20 Ω 60 Ω 20 Ω 30 Ω15 V + − i − + Vo Figura 2.100 Para el problema 2.36. 20 V 30 V+ − + − R 10 Ω + −10 V Figura 2.101 Para el problema 2.37. 6 Ω 60 Ω 15 Ω 20 Ω 80 Ω io 5 Ω 40 V + − Req 12 Ω Figura 2.102 Para el problema 2.38. 2.32 Halle i1 a i4 en el circuito de la figura 2.96. 2.33 Obtenga v e i en el circuito de la figura 2.97. 2.34 Usando la combinacion de resistencias en serie/en parale- lo, halle la resistencia equivalente vista por la fuente en el circuito de la figura 2.98. Halle la potencia total disipada. 2.36 Halle i y Vo en el circuito de la figura 2.100. 2.37 Halle R en el circuito de la figura 2.101. 2.38 Halle Req e io en el circuito de la figura 2.102.
- 100. 72 Capítulo 2 Leyes básicas 2.39 Evalúe Req en cada uno de los circuitos que aparecen en la figura 2.103. 2.43 Calcule la resistencia equivalente Rab en las terminales a-b de cada uno de los circuitos de la figura 2.107. 10 V 6 Ω 2 Ω + − 3 Ω 1 Ω 2 Ω4 Ω I Req Figura 2.104 Para el problema 2.40. Req 30 Ω 10 Ω 60 Ω R 12 Ω 12 Ω 12 Ω Figura 2.105 Para el problema 2.41. 5 Ω 4 Ω 8 Ω 5 Ω 10 Ω 4 Ω 2 Ω 3 Ω a b b) Figura 2.106 Para el problema 2.42. 40 Ω10 Ω 5 Ω 20 Ω a) a b 30 Ω 80 Ω 60 Ω b) a b 10 Ω 20 Ω Figura 2.107 Para el problema 2.43. 5 Ω10 Ω 20 Ω20 Ω a b Figura 2.108 Para el problema 2.44. 8 Ω 5 Ω 20 Ω 30 Ω a b a) 2 kΩ 1 kΩ 1 kΩ2 kΩ a) 12 kΩ4 kΩ 6 kΩ 12 kΩ b) Figura 2.103 Para el problema 2.39. 2.44 Para el circuito de la figura 2.108, obtenga la resistencia equivalente en las terminales a-b. 2.40 Para la red en escalera de la figura 2.104, halle I y Req. 2.41 Si Req ϭ 50 ⍀ en el circuito de la figura 2.105, halle R. 2.42 Reduzca cada uno de los circuitos de la figura 2.106 a un solo resistor en las terminales a-b.
- 101. 2.45 Halle la resistencia equivalente en las terminales a-b de cada circuito de la figura 2.109. 2.47 Halle la resistencia equivalente Rab en el circuito de la fi- gura 2.111. Problemas 73 10 Ω 40 Ω 20 Ω 30 Ω 50 Ω a) 5 Ω a b b) 5 Ω 20 Ω 25 Ω 60 Ω 12 Ω 15 Ω 10 Ω 30 Ω Figura 2.109 Para el problema 2.45. ad e f b c 6 Ω 3 Ω 5 Ω 20 Ω 10 Ω 8 Ω Figura 2.111 Para el problema 2.47. 10 Ω 10 Ω 10 Ω ba c a) 20 Ω30 Ω 50 Ω a b) b c Figura 2.112 Para el problema 2.48. 15 Ω 15 Ω 5 Ω 20 Ω 5 Ω 24 Ω 8 Ω 15 Ω4 Ω 48 V + − I Figura 2.110 Para el problema 2.46. 12 Ω 12 Ω 12 Ω a) a b c 60 Ω 30 Ω 10 Ω b) a b c Figura 2.113 Para el problema 2.49. 2.46 Halle I en el circuito de la figura 2.110. Sección 2.7 Transformaciones estrella-delta 2.48 Convierta los circuitos de la figura 2.112 de Y a ⌬. 2.49 Transforme los circuitos de la figura 2.113 de ⌬ a Y.
- 102. 74 Capítulo 2 Leyes básicas 2.50 ¿Qué valor de R en el circuito de la figura 2.114 causaría que la fuente de corriente suministrara 800 mW a los re- sistores? 2.51 Obtenga la resistencia equivalente en las terminales a-b de cada uno de los circuitos de la figura 2.115. *2.52 En referencia al circuito que se muestra en la figura 2.116, halle la resistencia equivalente. Todos los resisto- res son de 1 ⍀. *Un asterisco indica un problema difícil. *2.53 Obtenga la resistencia equivalente Rab en cada uno de los circuitos de la figura 2.117. En b), todos los resistores tie- nen un valor de 30 ⍀. 2.54 Considere el circuito de la figura 2.118. Halle la resisten- cia equivalente en las terminales: a) a-b, b) c-d. 2.55 Calcule Io en el circuito de la figura 2.119. 30 mA R R R R R Figura 2.114 Para el problema 2.50. a) b a 30 Ω 10 Ω 10 Ω 20 Ω 20 Ω10 Ω 20 Ω10 Ω 30 Ω 25 Ω b) b a 15 Ω5 Ω Figura 2.115 Para el problema 2.51. Req Figura 2.116 Para el problema 2.52. b) 40 Ω 50 Ω 10 Ω 60 Ω 30 Ω 20 Ω a) b a 80 Ω 30 Ω a b Figura 2.117 Para el problema 2.53. 50 Ω 60 Ω 100 Ω 150 Ω 150 Ω 100 Ω a c db Figura 2.118 Para el problema 2.54. 20 Ω 40 Ω 60 Ω 50 Ω10 Ω 20 Ω 24 V + − Io Figura 2.119 Para el problema 2.55.
- 103. 2.56 Determine V en el circuito de la figura 2.120. Sección 2.8 Aplicaciones 2.58 La bombilla eléctrica de la figura 2.122 tiene el valor no- minal de 120 V, 0.75 A. Calcule Vs para conseguir que la bombilla opere en las condiciones establecidas. 2.59 Tres bombillas están conectadas en serie a una batería de 100 V, como se observa en la figura 2.123. Halle la co- rriente I que circula por las bombillas. 2.60 Si las tres bombillas del problema 2.59 están conectadas en paralelo a la batería de 100 V, calcule la corriente a tra- vés de cada bombilla. 2.61 Como ingeniero de diseño, se le pide diseñar un sistema de iluminación consistente en una fuente de alimentación de 70 W y dos bombillas, como se advierte en la figura 2.124. Debe seleccionar las dos bombillas entre los tres siguientes tipos disponibles: R1 ϭ 80 ⍀, costo ϭ 0.60 dólares (tamaño estándar) R2 ϭ 90 ⍀, costo ϭ 0.90 dólares (tamaño estándar) R3 ϭ 100 ⍀, costo ϭ 0.75 dólares (tamaño no estándar) El sistema debe diseñarse en función de un costo mínimo, de modo que I ϭ 1.2 A Ϯ 5 por ciento. 2.62 Un sistema de tres hilos alimenta a dos cargas A y B, co- mo se muestra en la figura 2.125. La carga A consta de un motor que toma una corriente de 8 A, mientras que la car- ga B es una PC que toma 2 A. Suponiendo 10 h/día de uso durante 365 días y 6 centavos de dólar/kWh, calcule el costo anual de energía del sistema. 2.63 Si un amperímetro con una resistencia interna de 100 ⍀ y una capacidad de corriente de 2 mA debe medir 5 A, de- termine el valor de la resistencia necesaria. Problemas 75 + − 40 Ω Vs 80 ΩBombilla Figura 2.122 Para el problema 2.58. 100 V 30 Ω 15 Ω 10 Ω16 Ω 35 Ω 12 Ω 20 Ω+ − V + − Figura 2.120 Para el problema 2.56. 2 Ω4 Ω 12 Ω 6 Ω 1 Ω 8 Ω 2 Ω 3 Ω10 Ω 5 Ω 4 Ω 20 V + − Req I Figura 2.121 Para el problema 2.57. Figura 2.123 Para el problema 2.59. 30 W 40 W 50 W 100 V + − I I Rx Ry + − Fuente de alimentación de 70 W Figura 2.124 Para el problema 2.61. B A110 V 110 V + – + – Figura 2.125 Para el problema 2.62. *2.57 Halle Req e I en el circuito de la figura 2.121.
- 104. 76 Capítulo 2 Leyes básicas Calcule la potencia disipada en el resistor en derivación. 2.64 El potenciómetro (resistor ajustable) Rx de la figura 2.126 debe diseñarse para ajustar la corriente ix de 1 A a 10 A. Calcule los valores de R y Rx para conseguir ese objetivo. 2.65 Un medidor de d’Arsonval con una resistencia interna de 1 k⍀ requiere 10 mA para producir una desviación de es- cala máxima. Calcule el valor de una resistencia en serie necesaria para medir 50 V de escala máxima. 2.66 Un voltímetro de 20 k⍀/V lee 10 V como escala máxima. a) ¿Qué resistencia en serie se requiere para hacer que lea una escala máxima de 50 V? b) ¿Qué potencia disipará el resistor en serie cuando el medidor registre la escala máxima? 2.67 a) Obtenga la tensión Vo en el circuito de la figura 2.127a). b) Determine la tensión VoЈ medida cuando un voltíme- tro con resistencia interna de 6 k⍀ se conecta como se muestra en la figura 2.127b). c) La resistencia finita del medidor introduce un error en la medición. Calcule el error porcentual como d) Halle el error porcentual si la resistencia interna fue- ra de 36 k⍀. ` Vo Ϫ Vo¿ Vo ` ϫ 100% 2.68 a) Halle la corriente I en el circuito de la figura 2.128a). b) Un amperímetro con una resistencia interna de 1 ⍀ se inserta en la red para medir IЈ, como se advierte en la figura 2.128b). ¿Cuál es el valor de IЈ? c) Calcule el error porcentual introducido por el medi- dor como ` I Ϫ I¿ I ` ϫ 100% 2.69 Un voltímetro se usa para medir Vo en el circuito de la fi- gura 2.129. El modelo del voltímetro consta de un voltímetro ideal en paralelo con un resistor de 100 k⍀. Si Vs ϭ 40 V, Rs ϭ 10 k⍀ y R1 ϭ 20 k⍀. Calcule Vo con y sin el voltímetro cuando a) R2 ϭ 1 k⍀ b) R2 ϭ 10 k⍀ c) R2 ϭ 100 k⍀ + − ix R Rx ix 110 V Figura 2.126 Para el problema 2.64. + − 2 mA 1 kΩ 5 kΩ 4 kΩ Vo a) b) 2 mA + − 1 kΩ 5 kΩ 4 kΩ VoltímetroVo Figura 2.127 Para el problema 2.67. + − I 4 V 16 Ω 40 Ω 60 Ω a) + − I' 4 V 16 Ω 40 Ω 60 Ω b) Amperímetro Figura 2.128 Para el problema 2.68. + − + − V100 kΩVo Vs Rs R1 R2 Figura 2.129 Para el problema 2.69.
- 105. 2.70 a) Considere el puente de Wheatstone que se muestra en la figura 2.130. Calcule va, vb y vab. b) Repita el inciso a) si la tierra se pone en a en vez de en o. 2.71 La figura 2.131 representa un modelo de un panel foto- voltaico solar. Dado que Vs ϭ 30 V, R1 ϭ 20 ⍀ e iL ϭ 1 A, halle RL. 2.72 Halle Vo en el circuito divisor de potencia bidireccional de la figura 2.132. 2.73 Un modelo de amperímetro consta de un amperímetro ideal en serie con un resistor de 20 ⍀. Está conectado con una fuente de corriente y con un resistor desconocido Rx, como se muestra en la figura 2.133. Se registran las lectu- ras del amperímetro. Al añadirse un potenciómetro R y ajustarse hasta que la lectura del amperímetro disminuya a la mitad de su lectura anterior, R ϭ 65 ⍀. ¿Cuál es el va- lor de Rx? 2.74 El circuito de la figura 2.134 sirve para controlar la velo- cidad de un motor de modo que tome corrientes de 5 A, 3 A y 1 A cuando el interruptor esté en las posiciones alta, media y baja, respectivamente. El motor puede modelar- se como una resistencia de carga de 20 m⍀. Determine las resistencias de caída en serie R1, R2 y R3. Problemas 77 25 V o 8 kΩ 15 kΩ 12 kΩ 10 kΩ + – a b Figura 2.130 Para el problema 2.70. Vs RL R1 + − iL Figura 2.131 Para el problema 2.71. I A R Rx 20 Ω Modelo de amperímetro Figura 2.133 Para el problema 2.73. 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 10 V + − Vo Figura 2.132 Para el problema 2.72. 6 V Alta Media Baja Fusible de 10-A, 0.01-Ω R1 R2 R3 Motor Figura 2.134 Para el problema 2.74. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a Figura 2.135 Para el problema 2.75. 2.75 Halle Rab en el circuito divisor de potencia tetradireccio- nal de la figura 2.135. Suponga que cada elemento es de 1 ⍀.
- 106. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a Figura 2.136 Para el problema 2.76. 78 Capítulo 2 Leyes básicas 2.76 Repita el problema 2.75 en relación con el divisor octadi- reccional que aparece en la figura 2.136. 2.77 Suponga que su laboratorio de circuitos tiene en grandes cantidades los siguientes resistores estándar comerciales: 1.8 ⍀ 20 ⍀ 300 ⍀ 24 k⍀ 56 k⍀ Usando combinaciones en serie y en paralelo y un nú- mero mínimo de resistores disponibles, ¿cómo obtendría las siguientes resistencias en un diseño de circuito elec- trónico? a) 5 ⍀ b) 311.8 ⍀ c) 40 k⍀ d) 52.32 k⍀ 2.78 En el circuito de la figura 2.137, el contacto deslizante divide la resistencia del potenciómetro entre ␣R y (1 Ϫ ␣)R, 0 Յ ␣ Յ 1. Halle vo͞vs. 2.81 En cierta aplicación, el circuito de la figura 2.140 debe di- señarse para satisfacer estos dos criterios: a) Vo͞Vs ϭ 0.05 b) Req ϭ 40 k⍀ Si el resistor de carga de 5 k⍀ es fijo, halle R1 y R2 para satisfacer esos criterios. 2.80 Un altavoz está conectado a un amplificador como se muestra en la figura 2.139. Si un altavoz de 10 ⍀ toma la potencia máxima de 12 W del amplificador, determine la potencia máxima que tomará un altavoz de 4 ⍀. 2.79 Un sacapuntas eléctrico de especificaciones a 240 mW, 6 V, está conectado a una batería de 9 V, como se indica en la figura 2.138. Calcule el valor del resistor de reduc- ción en serie Rx necesario para activar al sacapuntas. vo + − + − R R ␣R vs Figura 2.137 Para el problema 2.78. 9 V Interruptor Rx Figura 2.138 Para el problema 2.79. Amplificador Altavoz Figura 2.139 Para el problema 2.80. Vs + − + − 5 kΩVoR2 R1 Req Figura 2.140 Para el problema 2.81. Problemas de mayor extensión
- 107. 2.82 El diagrama de conexiones de un arreglo de resistencias se presenta en la figura 2.141. Halle la resistencia equiva- lente para los siguientes casos: a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 1 y 4 2.83 Dos dispositivos delicados se especifican como se indica en la figura 2.142. Halle los valores de los resistores R1 y R2 necesarios para alimentar los dispositivos con una ba- tería de 24 V. Problemas de mayor extensión 79 20 Ω 20 Ω 40 Ω 10 Ω 10 Ω 1 2 34 80 Ω Figura 2.141 Para el problema 2.82. Dispositivo 1 Dispositivo 2 24 V R1 R2 Fusible de 60 mA, 2-Ω 9 V, 45 mW 24 V, 480 mW Figura 2.142 Para el problema 2.83.
- 109. 81 Métodos de análisis Nunca alguna gran obra se ha hecho de prisa. Lograr un gran descubrimien- to científico, imprimir una excelente fotografía, escribir un poema inmortal, convertirse en ministro o en un general famoso: hacer cualquier gran logro requiere tiempo, paciencia y perseverancia. Estos logros se hacen gradual- mente, “poco a poco”. —W. J. Wilmont Buxton C a p í t u l o 3 Identificación de problemas de un tablero de circuitería electrónica. © Michael Rosenfeld/Getty Images Desarrollo de su carrera Carrera en electrónica Un área de aplicación para el análisis de circuitos eléctricos es la electrónica. El término electrónica se usó originalmente para distinguir circuitos de muy bajos niveles de corriente. Esta distinción ya no procede, puesto que los dis- positivos semiconductores de energía eléctrica operan a niveles altos de co- rriente. Hoy la electrónica se considera la ciencia del movimiento de cargas en un gas, en el vacío o en semiconductores. La electrónica moderna implica tran- sistores y circuitos transistorizados. Los primeros circuitos electrónicos se en- samblaron a partir de componentes. Ahora muchos circuitos electrónicos se producen como circuitos integrados, fabricados en un sustrato o pastilla semi- conductor. Los circuitos electrónicos se aplican en muchas áreas, como automatiza- ción, transmisión, computación e instrumentación. La variedad de los dispo- sitivos que usan circuitos electrónicos es enorme y sólo está limitada por la imaginación. Radio, televisión, computadoras y sistemas estereofónicos son apenas unos cuantos. El ingeniero eléctrico usualmente desempeña diversas funciones y es pro- bable que use, diseñe o construya sistemas que incorporen alguna forma de circuitos electrónicos. Así, es esencial para el ingeniero eléctrico el conoci- miento de la operación y análisis de la electrónica. Ésta se ha convertido en una especialidad distinta a otras disciplinas dentro de la ingeniería eléctrica. A causa de que el campo de la electrónica está en permanente avance, un in- geniero electrónico debe actualizar sus conocimientos periódicamente. La me- jor manera de hacerlo es integrarse a una organización profesional como el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Con más de 300 000 miembros, el IEEE es la mayor organización profesional del mundo. Sus miem- bros se benefician enormemente de las numerosas revistas, publicaciones, ac- tas e informes de conferencias y simposios anualmente editados por el IEEE. Usted debería considerar la posibilidad de convertirse en miembro de este ins- tituto.
- 110. 82 Capítulo 3 Métodos de análisis Introducción Ya comprendidas las leyes fundamentales de la teoría de circuitos (la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff), se está listo para aplicarlas al desarrollo de dos eficaces técnicas de análisis de circuitos: el análisis nodal, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), y el aná- lisis de lazo, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de ten- sión de Kirchhoff (LTK). Estas dos técnicas son tan importantes que este capítulo debería considerarse el más relevante del libro. Por lo tanto, se debe prestar de- tenida atención. Con las dos técnicas por presentar en este capítulo, es posible analizar cualquier circuito lineal mediante la obtención de un conjunto de ecuaciones simultáneas que después sean resueltas para obtener los valores requeridos de corriente o tensión. Un método para la resolución de ecuaciones simultáneas implica la regla de Cramer, la cual permite calcular las variables de circuito como un cociente de determinantes. Los ejemplos de este capítulo ilustrarán este método; en el apéndice A también se resumen brevemente los aspectos esenciales que el lector debe conocer para aplicar la regla de Cramer. Otro método para la resolución de ecuaciones simultáneas es usar MATLAB, soft- ware de computación que se explica en el apéndice E. En este capítulo se presentará asimismo el uso de PSpice for Windows, programa de software de computación para la simulación de circuitos que se usará a lo largo del texto. Por último, se aplicarán las técnicas aprendidas en este capítulo para analizar circuitos transistorizados. Análisis nodal El análisis nodal brinda un procedimiento general para el análisis de circui- tos con el uso de tensiones de nodo como variables de circuito. La elección de las tensiones de nodo en vez de tensiones de elemento como las variables de circuito es conveniente y reduce el número de ecuaciones que deben resolver- se en forma simultánea. Para simplificar las cosas, en esta sección se supondrá que los circuitos no contienen fuentes de tensión. Circuitos que contienen fuentes de tensión se analizarán en la siguiente sección. En el análisis nodal interesa hallar las tensiones de nodo. Dado un cir- cuito con n nodos sin fuentes de tensión, el análisis nodal del circuito impli- ca los tres pasos siguientes. 3.2 3.1 Pasos para determinar las tensiones de los nodos: 1. Seleccione un nodo como nodo de referencia. Asigne las tensiones v1, v2, . . . , vn–1, a los n Ϫ 1 nodos restantes. Las tensiones se asig- nan respecto al nodo de referencia. 2. Aplique la LCK a cada uno de los n – 1 nodos de no referencia. Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en térmi- nos de tensiones de nodo. 3. Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las tensiones de nodo desconocidos. Ahora se explicarán y aplicarán estos tres pasos. El primer paso del análisis nodal es seleccionar un nodo como nodo de re- ferencia o de base. El nodo de referencia se llama comúnmente tierra, pues se El análisis nodal también se conoce como método de la tensión de nodo.
- 111. 3.2 Análisis nodal 83 supone que tiene potencial cero. El nodo de referencia se indica con cualquie- ra de los tres símbolos de la figura 3.1. El tipo de tierra de la figura 3.1b) se llama tierra de chasis (armazón) y se usa en dispositivos en los que la caja, re- cipiente o chasis actúa como punto de referencia para todos los circuitos. Cuan- do el potencial de la tierra se usa como referencia, se emplea la tierra física de la figura 3.1a) o c). Aquí se usará siempre el símbolo de la figura 3.1b). Una vez seleccionado el nodo de referencia, se hacen designaciones de tensión a los nodos de no referencia. Considérese, por ejemplo, el circuito de la figura 3.2a). El nodo 0 es el nodo de referencia (v ϭ 0), mientras que a los nodos 1 y 2 se les asignan las tensiones v1 y v2, respectivamente. Téngase en cuenta que las tensiones de nodo se definen respecto al nodo de referencia. Como se ilustra en la figura 3.2a), cada tensión de nodo es la elevación de la tensión respecto al nodo de referencia desde el nodo correspondiente distinto de tierra, o simplemente la tensión de ese nodo respecto al nodo de referencia. Como segundo paso, se aplica la LCK a cada nodo de no referencia en el circuito. Para no recargar de información el mismo circuito, el circuito de la figura 3.2a), se ha redibujado en la figura 3.2b), donde ahora se añaden i1, i2 e i3, como las corrientes a través de los resistores R1, R2 y R3, respectiva- mente. En el nodo 1, la aplicación de la LCK produce I1 ϭ I2 ϩ i1 ϩ i2 (3.1) En el nodo 2, I2 ϩ i2 ϭ i3 (3.2) Ahora se aplica la ley de Ohm para expresar las corrientes desconocidas i1, i2 e i3, en términos de tensiones de nodo. La idea clave por tener en cuenta es que, puesto que la resistencia es un elemento pasivo, por la convención pasiva de los signos la corriente siempre debe fluir de un potencial mayor a uno menor. La corriente fluye de un potencial mayor a un potencial menor en un resistor. Este principio se puede expresar como i ϭ (3.3) Nótese que este principio concuerda con la manera en que se definió la resis- tencia en el capítulo 2 (véase figura 2.1). Con esto presente, de la figura 3.2b) se obtiene, i1 ϭ o i1 ϭ G1v1 i2 ϭ o i2 ϭ G2(v1 Ϫ v2) (3.4) i3 ϭ o i3 ϭ G3v2 La sustitución de la ecuación (3.4) en las ecuaciones (3.1) y (3.2) da, respec- tivamente, I1 ϭ I2 ϩ ϩ (3.5) I2 ϩ ϭ (3.6) v2 R3 v1 Ϫ v2 R2 v1 Ϫ v2 R2 v1 R1 v1 Ϫ 0 R3 v1 Ϫ v2 R2 v1 Ϫ 0 R1 vmayor Ϫ vmenor R Figura 3.1 Símbolos comunes para indicar el nodo de referencia: a) tierra común, b) tierra, c) tierra de chasis. a) b) c) Figura 3.2 Circuito usual para el análisis nodal. a) b) 1 2 v1 i1 i2 i2 i3 v2 I2 0 R3v2 + − R3 R1v1 + − R1I1 I2 R2 R2 I1 El número de nodos de no referencia es igual al número de ecuaciones inde- pendientes que se derivará.
- 112. 84 Capítulo 3 Métodos de análisis En términos de las conductancias, las ecuaciones (3.5) y (3.6) se convierten en I1 ϭ I2 ϩ G1v1 ϩ G2(v1 Ϫ v2) (3.7) I2 ϩ G2(v1 Ϫ v2) ϭ G3v2 (3.8) El tercer paso del análisis nodal es determinar las tensiones de nodo. Si se aplica la LCK a los n Ϫ 1 nodos de no referencia, se obtienen n Ϫ 1 ecua- ciones simultáneas como las ecuaciones (3.5) y (3.6) o (3.7) y (3.8). En el ca- so del circuito de la figura 3.2, se resuelven las ecuaciones (3.5) y (3.6) o (3.7) y (3.8) para obtener las tensiones de nodo v1 y v2, usando cualquier método es- tándar, como el método de sustitución, el método de eliminación, la regla de Cra- mer o la inversión de matrices. Para emplear alguno de los dos últimos métodos, las ecuaciones simultáneas deben enunciarse en forma matricial. Por ejemplo, las ecuaciones (3.7) y (3.8) pueden enunciarse en forma matricial como ΄ ΅΄ ΅ϭ ΄ ΅ (3.9) la cual puede resolverse para obtener v1 y v2. La ecuación 3.9 se generaliza- rá en la sección 3.6. Las ecuaciones simultáneas también pueden resolverse con calculadora o con paquetes de software como MATLAB, Mathcad, Maple y Quattro Pro. I1 Ϫ I2 I2 v1 v2 G1 ϩ G2 ϪG2 ϪG2 G2 ϩ G3 En el apéndice A se analiza la aplicación de la regla de Cramer. Figura 3.3 Para el ejemplo 3.1: a) circuito original, b) circuito para análisis. 2 1 5 A 10 A2 Ω 6 Ω 4 Ω a) 5 A 10 A2 Ω 6 Ω 4 Ω b) i1 = 5 i1 = 5 i4 = 10i2 i3 i2 i5 v2 v1 Ejemplo 3.1 Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a). Solución: Considérese la figura 3.3b), donde el circuito de la figura 3.3a) se ha prepara- do para el análisis nodal. Nótese cómo se han seleccionado las corrientes para la aplicación de la LCK. Excepto por las ramas con fuentes de corriente, la ro- tulación de las corrientes es arbitraria, pero coherente. (Por coherente entende- mos que si, por ejemplo, se supone que i2 entra al resistor de 4 ⍀ por el lado izquierdo, i2 debe salir de ese resistor por el lado derecho.) Se selecciona el no- do de referencia y se determinan las tensiones de nodo v1 y v2. En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de Ohm produce i1 ϭ i2 ϩ i3 1 5 ϭ ϩ Al multiplicar cada término de esta última ecuación por 4 se obtiene 20 ϭ v1 Ϫ v2 ϩ 2v1 o sea 3v1 Ϫ v2 ϭ 20 (3.1.1) En el nodo 2 se hace lo mismo y se obtiene i2 ϩ i4 ϭ i1 ϩ i5 1 ϩ 10 ϭ 5 ϩ La multiplicación de cada término por 12 produce 3v1 Ϫ 3v2 ϩ 120 ϭ 60 ϩ 2v2 o sea Ϫ3v1 ϩ 5v2 ϭ 60 (3.1.2) v2 Ϫ 0 6 v1 Ϫ v2 4 v1 Ϫ 0 2 v1 Ϫ v2 4
- 113. 3.2 Análisis nodal 85 Ahora hay dos ecuaciones simultáneas, (3.1.1) y (3.1.2). Se pueden resolver con cualquier método para obtener los valores de v1 y v2. MÉTODO 1 Si se aplica la técnica de eliminación, se suman las ecua- ciones (3.1.1) y (3.1.2). 4v2 ϭ 80 1 v2 ϭ 20 V La sustitución de v2 ϭ 20 en la ecuación (3.1.1) produce 3v1 Ϫ 20 ϭ 20 1 v1 ϭ ϭ 13.33 V MÉTODO 2 Si se aplica la regla de Cramer, se deben enunciar las ecua- ciones (3.1.1) y (3.1.2) en forma matricial, de esta manera: ΄ ΅΄ ΅ϭ ΄ ΅ (3.1.3) La determinante de la matriz es ⌬ ϭ Η Ηϭ 15 Ϫ 3 ϭ 12 Ahora se obtienen v1 y v2 de esta forma: v1 ϭ ϭ ϭ ϭ 13.33 V v2 ϭ ϭ ϭ ϭ 20 V lo que da el mismo resultado que con el método de eliminación. Si se necesitan las corrientes, se pueden calcular fácilmente a partir de los valores de las tensiones de nodo. i1 ϭ 5 A, i2 ϭ ϭ Ϫ1.6667 A, i3 ϭ ϭ 6.666 A i4 ϭ 10 A, i5 ϭ ϭ 3.333 A El hecho de que i2 sea negativa indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la supuesta. v2 6 v1 2 v1 Ϫ v2 4 180 ϩ 60 12 3 20 ΗϪ3 60 Η ⌬ ⌬2 ⌬ 100 ϩ 60 12 20 Ϫ1 Η60 5 Η ⌬ ⌬1 ⌬ 3 Ϫ1 Ϫ3 5 20 60 v1 v2 3 Ϫ1 Ϫ3 5 40 3 Figura 3.4 Para el problema de práctica 3.1. 1 A 4 A 6 Ω 2 Ω 7 Ω 1 2 Problema de práctica 3.1 Obtenga las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.4. Respuesta: v1 ϭ Ϫ2V, v2 ϭ Ϫ14V.
- 114. 86 Capítulo 3 Métodos de análisis Determine las tensiones en los nodos de la figura 3.5a). Solución: El circuito de este ejemplo tiene tres nodos de no referencia, a diferencia del ejemplo anterior, en el que había dos nodos de no referencia. Se asignan ten- siones a los tres nodos como se señala en la figura 3.5b) y se rotulan las co- rrientes. Figura 3.5 Para el ejemplo 3.2: a) circuito original, b) circuito para análisis. 4 Ω 4 Ω 2 Ω 8 Ω ix 1 3 2 0 3 A 2ix a) ix ix i3 4 Ω 4 Ω 2 Ω 8 Ω i1 v1 v2 i2 i2 i1 v3 3 A 3 A 2ix b ) Ejemplo 3.2 En el nodo 1, 3 ϭ i1 ϩ ix 1 3 ϭ ϩ Al multiplicar por 4 y reordenar los términos se obtiene 3v1 Ϫ 2v2 Ϫ v3 ϭ 12 (3.2.1) En el nodo 2, ix ϭ i2 ϩ i3 1 ϭ ϩ Al multiplicar por 8 y reordenar los términos se obtienen Ϫ4v1 ϩ 7v2 Ϫ v3 ϭ 0 (3.2.2) En el nodo 3, i1 ϩ i2 ϭ 2ix 1 ϩ ϭ Al multiplicar por 8, reordenar los términos y dividir entre 3 se obtiene 2v1 Ϫ 3v2 ϩ v3 ϭ 0 (3.2.3) Se tiene tres ecuaciones simultáneas por resolver para obtener las tensiones de nodo v1, v2 y v3. Se resolverán las ecuaciones de tres maneras. MÉTODO 1 Aplicando la técnica de eliminación, se suman las ecuacio- nes (3.2.1) y (3.2.3). 5v1 Ϫ 5v2 ϭ 12 o sea v1 Ϫ v2 ϭ ϭ 2.4 (3.2.4) La suma de las ecuaciones (3.2.2) y (3.2.3) da por resultado Ϫ2v1 ϩ 4v2 ϭ 0 1 v1 ϭ 2v2 (3.2.5) 12 5 2(v1 Ϫ v2) 2 v2 Ϫ v3 8 v1 Ϫ v3 4 v2 Ϫ 0 4 v2 Ϫ v3 8 v1 Ϫ v2 2 v1 Ϫ v2 2 v1 Ϫ v3 4
- 115. 3.2 Análisis nodal 87 La sustitución de la ecuación (3.2.5) en la ecuación (3.2.4) produce 2v2 Ϫ v2 ϭ 2.4 1 v2 ϭ 2.4, v1 ϭ 2v2 ϭ 4.8 V De la ecuación (3.2.3) se obtiene v3 ϭ 3v2 Ϫ 2v1 ϭ 3v2 Ϫ 4v2 ϭ Ϫv2 ϭ Ϫ2.4 V Así, v1 ϭ 4.8 V, v2 ϭ 2.4 V v3 ϭ Ϫ2.4 V MÉTODO 2 Para aplicar la regla de Cramer, se enuncian las ecuacio- nes (3.2.1) a (3.2.3) en forma matricial. (3.2.6) De esto se obtiene v1 ϭ , v2 ϭ , v3 ϭ donde ⌬, ⌬1, ⌬2 y ⌬3 son los determinantes por calcular, de la siguiente ma- nera. Como se explica en el apéndice A, para calcular el determinante de una matriz de 3 por 3, se repiten las dos primeras hileras y se multiplica en for- ma cruzada. ϭ 21 Ϫ 12 ϩ 4 ϩ 14 Ϫ 9 Ϫ 8 ϭ 10 De igual forma se obtiene ¢3 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 3 Ϫ2 12 Ϫ4 7 0 2 Ϫ3 0 3 Ϫ2 12 Ϫ4 7 0 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 0 ϩ 144 ϩ 0 Ϫ 168 Ϫ 0 Ϫ 0 ϭ Ϫ24 ¢2 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 3 12 Ϫ1 Ϫ4 0 Ϫ1 2 0 1 3 12 Ϫ1 Ϫ4 0 Ϫ1 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 0 ϩ 0 Ϫ 24 Ϫ 0 Ϫ 0 ϩ 48 ϭ 24 ¢1 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 12 Ϫ2 Ϫ1 0 7 Ϫ1 0 Ϫ3 1 12 Ϫ2 Ϫ1 0 7 Ϫ1 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 84 ϩ 0 ϩ 0 Ϫ 0 Ϫ 36 Ϫ 0 ϭ 48 Ϫ Ϫ Ϫ 5 3 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ4 7 Ϫ1 2 Ϫ3 1 3 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ4 7 Ϫ1 5 ϩ ϩ ϩ 3 Ϫ2 Ϫ1 ¢ ϭ 3 Ϫ4 7 Ϫ13 ϭ 2 Ϫ3 1 ⌬3 ⌬ ⌬2 ⌬ ⌬1 ⌬ £ 3 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ4 7 Ϫ1 2 Ϫ3 1 § £ v1 v2 v3 § ϭ £ 12 0 0 §
- 116. 88 Capítulo 3 Métodos de análisis Así, se halla v1 ϭ ϭ ϭ 4.8 V, v2 ϭ ϭ ϭ 2.4 V v3 ϭ ϭ ϭ Ϫ2.4 V como se obtuvo con el método 1. MÉTODO 3 Ahora se usa MATLAB para resolver la matriz. La ecuación (3.2.6) puede escribirse como AV ϭ B 1 V ϭ AϪ1 B donde A es la matriz cuadrada de 3 por 3, B es el vector de columna y V es el vector de columna comprendido por v1, v2 y v3 que se desea determinar. Se usa MATLAB para determinar V como sigue: ϾϾA ϭ [3 Ϫ2 Ϫ1; Ϫ4 7 Ϫ1; 2 Ϫ3 1]; ϾϾB ϭ [12 0 0]Ј; ϾϾV ϭ inv(A) * B 4.800 V ϭ 2.4000 Ϫ2.40000 Así, v1 ϭ 4.8 V, v2 ϭ 2.4 V y v3 ϭ Ϫ2.4 V, como se obtuvo anteriormente. Ϫ24 10 ⌬3 ⌬ 24 10 ⌬2 ⌬ 48 10 ⌬1 ⌬ Figura 3.6 Para el problema de práctica 3.2. 10 A 2 Ω 3 Ω 4 Ω 6 Ω ix 4ix 1 3 2 Problema de práctica 3.2 Halle las tensiones en los tres nodos de no referencia en el circuito de la fi- gura 3.6. Respuesta: v1 ϭ 80 V, v2 ϭ Ϫ64 V, v3 ϭ 156 V. Análisis nodal con fuentes de tensión Considérese ahora cómo fuentes de tensión afectan el análisis nodal. Se usa- rá el circuito de la figura 3.7 para efectos ilustrativos. Considérense las dos siguientes posibilidades. CASO 1 Si una fuente de tensión está conectada entre el nodo de refe- rencia y un nodo de no referencia, simplemente se fija la tensión en el nodo de no referencia como igual a la tensión de la fuente de tensión. En la figu- ra 3.7, por ejemplo, v1 ϭ 10 V (3.10) Así, el análisis se simplifica un poco por el conocimiento de la tensión en es- te nodo. CASO 2 Si la fuente de tensión (dependiente o independiente) está co- nectada entre dos nodos de no referencia, los dos nodos de no referencia for- 3.3
- 117. 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 89 man un nodo generalizado o supernodo; se aplica tanto la LCK como la LTK para determinar las tensiones de nodo. Un supernodo incluye a una fuente de tensión (dependiente o independien- te) conectada entre dos nodos de no referencia y a cualesquiera elementos conectados en paralelo con ella. En la figura 3.7, los nodos 2 y 3 forman un supernodo. (Un supernodo pue- de estar formado por más de dos nodos. Véase, por ejemplo, el circuito de la figura 3.14.) Un circuito con supernodos se analiza siguiendo los tres mismos pasos mencionados en la sección anterior, salvo que a los supernodos se les trata de diferente manera. ¿Por qué? Porque un componente esencial del aná- lisis nodal es la aplicación de la LCK, lo que requiere conocer la corriente a través de cada elemento. Pero no hay manera de conocer con anticipación la corriente a través de una fuente de tensión. Sin embargo, la LCK debe satis- facerse en un supernodo como en cualquier otro nodo. Así, en el supernodo de la figura 3.7, i1 ϩ i4 ϭ i2 ϩ i3 (3.11a) o sea ϩ ϭ ϩ (3.11b) Para aplicar la ley de tensión de Kirchhoff al supernodo de la figura 3.7, se redibuja el circuito como se muestra en la figura 3.8. Al recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj Ϫv2 ϩ 5 ϩ v3 ϭ 0 1 v2 Ϫ v3 ϭ 5 (3.12) De las ecuaciones (3.10), (3.11b) y (3.12) se obtienen las tensiones de nodo. Cabe reparar en las siguientes propiedades de un supernodo: 1. La fuente de tensión dentro del supernodo aporta una ecuación de restric- ción necesaria para determinar las tensiones de nodo. 2. Un supernodo no tiene tensión propia. 3. Un supernodo requiere la aplicación tanto de la LCK como de la LTK. v3 Ϫ 0 6 v2 Ϫ 0 8 v1 Ϫ v3 4 v1 Ϫ v2 2 Figura 3.7 Circuito con un supernodo. 10 V 5 V 4 Ω 8 Ω 6 Ω 2 Ω v1 v3 v2 i3 i1 i2 i4 Supernodo + − + − + − v2 v3 5 V + + − − Figura 3.8 Aplicación de la LTK a un supernodo. Un supernodo puede considerarse como una superficie cerrada que in- cluye a la fuente de tensión y sus dos nodos.
- 118. 90 Capítulo 3 Métodos de análisis En relación con el circuito que se muestra en la figura 3.9, halle las tensio- nes de nodo. Solución: El supernodo contiene la fuente de 2 V, los nodos 1 y 2 y el resistor de 10 ⍀. La aplicación de la LCK al supernodo como se indica en la figura 3.10a) da 2 ϭ i1 ϩ i2 ϩ 7 Al expresar i1 e 12 en términos de las tensiones de nodo, 2 ϭ ϩ ϩ 7 1 8 ϭ 2v1 ϩ v2 ϩ 28 o sea v2 ϭ Ϫ20 Ϫ 2v1 (3.3.1) Para obtener la relación entre v1 y v2, se aplica la LTK al circuito de la figu- ra 3.10b). Al recorrer el lazo se obtiene Ϫv1 Ϫ 2 ϩ v2 ϭ 7 1 v2 ϭ v1 ϩ 2 (3.3.2) A partir de las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2) se escribe v2 ϭ v1 ϩ 2 ϭ Ϫ20 Ϫ 2v1 o sea 3v1 ϭ Ϫ22 1 v1 ϭ Ϫ7.333 V y v2 ϭ v1 ϩ 2 ϭ Ϫ5.333 V. Nótese que el resistor de 10 ⍀ no hace ningu- na diferencia, porque está conectado a través del supernodo. v2 Ϫ 0 4 v1 Ϫ 0 2 Figura 3.9 Para el ejemplo 3.3. +− 2 A 2 V 7 A4 Ω 10 Ω 2 Ω v1 v2 2 A 2 A 7 A 7 A 2 Ω 4 Ω v2v1 i1 i2 1 2 a) +− b) 2 V 1 2 ++ − − v1 v2 Figura 3.10 Aplicación de: a) la LCK al supernodo, b) la LTK al lazo. Figura 3.11 Para el problema de práctica 3.3. 7 V 3 V 4 Ω 3 Ω 2 Ω 6 Ω+ − +− i v + − Ejemplo 3.3 Problema de práctica 3.3 Halle v e i en el circuito de la figura 3.11. Respuesta: Ϫ0.2 V, 1.4 A.
- 119. Ejemplo 3.4 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 91 Halle las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.12. Figura 3.12 Para el ejemplo 3.4. 20 V 2 Ω 4 Ω 6 Ω 3 Ω 1 Ω vx 3vx + − + − 10 A 1 4 32 + − 3 Ω 6 Ω 2 Ω 4 Ω 1 Ω a) i1 i2 i3 i4i5 v1 v2 v3 v4 vx + − b) + − + − 20 V 3 Ω 6 Ω i3 v1 v2 v3 v4 vx Lazo 1 Lazo 2 Lazo 3 3vx + + ++ − − − − i1 i3 10 A + − Figura 3.13 Aplicación de: a) la LCK a los dos supernodos, b) la LTK a los lazos. Solución Los nodos 1 y 2 forman un supernodo, lo mismo que los nodos 3 y 4. Se apli- ca la LCK a los dos supernodos como en la figura 3.13a). En el supernodo 1-2, i3 ϩ 10 ϭ i1 ϩ i2 Al expresar esto en términos de las tensiones de nodo, ϩ 10 ϭ ϩ o sea 5v1 ϩ v2 Ϫ v3 Ϫ 2v4 ϭ 60 (3.4.1) En el supernodo 3-4, i1 ϭ i3 ϩ i4 ϩ i5 1 ϭ ϩ ϩ o sea 4v1 ϩ 2v2 Ϫ 5v3 Ϫ 16v4 ϭ 0 (3.4.2) v3 4 v4 1 v3 Ϫ v2 6 v1 Ϫ v4 3 v1 2 v1 Ϫ v4 3 v3 Ϫ v2 6
- 120. 92 Capítulo 3 Métodos de análisis Ahora se aplica la LTK a las ramas que implican a las fuentes de tensión co- mo se muestra en la figura 3.13b). En cuanto al lazo 1, Ϫv1 ϩ 20 ϩ v2 ϭ 0 1 v1 Ϫ v2 ϭ 20 (3.4.3) En cuanto al lazo 2, Ϫv3 ϩ 3vx ϩ v4 ϭ 0 Pero vx ϭ v1 Ϫ v4, así que 3v1 Ϫ v3 ϩ 2v4 ϭ 0 (3.4.4) En cuanto al lazo 3, vx Ϫ 3vx ϩ 6i3 Ϫ 20 ϭ 0 Pero 6i3 ϭ v3 Ϫ v2 y vx ϭ v1 Ϫ v4. Por lo tanto, Ϫ2v1 Ϫ v2 ϩ v3 ϩ 2v4 ϭ 20 (3.4.5) Se necesitan cuatro tensiones de nodo, v1, v2, v3 y v4, y para hallarlas sólo se requieren cuatro de las cinco ecuaciones (3.4.1) a (3.4.5). Aunque la quinta ecuación es redundante, puede utilizarse para comprobar resultados. Se pueden resolver las ecuaciones (3.4.1) a (3.4.4) directamente usando MATLAB. Se puede eliminar una tensión de nodo para resolver tres ecuaciones simultá- neas en vez de cuatro. Con base en la ecuación (3.4.3), v2 ϭ v1. La sustitu- ción de esto en las ecuaciones (3.4.1) y (3.4.2), respectivamente, da por resultado 6v1 Ϫ v3 Ϫ 2v4 ϭ 80 (3.4.6) y 6v1 Ϫ 5v3 Ϫ 16v4 ϭ 40 (3.4.7) Las ecuaciones (3.4.4), (3.4.6) y (3.4.7) pueden enunciarse en forma matricial como La aplicación de la regla de Cramer da como resultado Así, se obtienen las tensiones de nodo de esta forma: v1 ϭ ϭ ϭ 26.67 V, v3 ϭ ϭ ϭ 173.33 V v4 ϭ ϭ ϭ Ϫ46.67 V y v2 ϭ v1 Ϫ20 ϭ 6.667 V. No se ha usado la ecuación (3.4.5); aunque pue- de recurrir a ella para comprobar los resultados. 840 Ϫ18 ⌬4 ⌬ Ϫ3 120 Ϫ18 ⌬3 ⌬ Ϫ480 Ϫ18 ⌬1 ⌬ ¢4 ϭ † 3 Ϫ1 0 6 Ϫ1 80 6 Ϫ5 40 † ϭ 840¢3 ϭ † 3 0 Ϫ2 6 80 Ϫ2 6 40 Ϫ16 † ϭ Ϫ3 120, ¢1 ϭ † 0 Ϫ1 Ϫ2 80 Ϫ1 Ϫ2 40 Ϫ5 Ϫ16 † ϭ Ϫ480¢ ϭ † 3 Ϫ1 Ϫ2 6 Ϫ1 Ϫ2 6 Ϫ5 Ϫ16 † ϭ Ϫ18, £ 3 Ϫ1 Ϫ2 6 Ϫ1 Ϫ2 6 Ϫ5 Ϫ16 § £ v1 v3 v4 § ϭ £ 0 80 40 §
- 121. 3.4 Análisis de lazo 93 Halle v1, v2 y v3 en el circuito de la figura 3.14 aplicando el análisis nodal. Respuesta: v1 ϭ 3.043 V, v2 ϭ Ϫ6.956 V, v3 ϭ 0.6522 V. Análisis de lazo El análisis de lazo brinda otro procedimiento general para el análisis de cir- cuitos, con el uso de corrientes de lazo como las variables de circuito. Em- plear corrientes de lazo en vez de corrientes de elemento como variables de circuito es conveniente y reduce el número de ecuaciones que deben resolver- se en forma simultánea. Recuérdese que un lazo es una trayectoria cerrada que no pasa más de una vez por un nodo. Una malla es un lazo que no con- tiene ningún otro lazo dentro de él. En el análisis nodal se aplica la LCK para hallar las tensiones descono- cidas en un circuito dado, mientras que en el análisis de lazo se aplica la LTK para hallar las corrientes desconocidas. El análisis de lazo no es tan general como el nodal, porque sólo es aplicable a un circuito con disposición plana. Un circuito de este tipo es aquel que puede dibujarse en un plano sin ramas cruzadas; de lo contrario, no es de disposición plana. Un circuito puede tener ramas cruzadas y ser de disposición plana de todos modos si es posible vol- ver a dibujarlo sin ramas que se cruzan. Por ejemplo, el circuito de la figura 3.15a) tiene dos ramas que se cruzan, pero puede volver a dibujarse como en la figura 3.15b). Así, el circuito de la figura 3.15a) es de disposición plana. En cambio, el circuito de la figura 3.16 no es de disposición plana, porque no hay manera de volver a dibujarlo y de evitar el cruce de ramas. Los circuitos que no son de disposición plana pueden manejarse con el análisis nodal, pe- ro no se considerarán en este texto. 3.4 Figura 3.14 Para el problema de práctica 3.4. 2 Ω 4 Ω 3 Ω 6 Ω i v1 v2 v3 +− 5i ++ −− 10 V a) 1 A b) 1 A 1 Ω 1 Ω 3 Ω 2 Ω 4 Ω 5 Ω 8 Ω 7 Ω 6 Ω 2 Ω 4 Ω 7 Ω8 Ω 5 Ω 6 Ω 3 Ω Figura 3.15 a) Circuito con disposición plana con ra- mas que se cruzan, b) el mismo circuito dibujado de nuevo sin ramas que se cruzan. Figura 3.16 Circuito sin disposición plana. 5 A 1 Ω 5 Ω 4 Ω 6 Ω 10 Ω 11 Ω 12 Ω 13 Ω 9 Ω 8 Ω 3 Ω 2 Ω7 Ω Problema de práctica 3.4 El análisis de lazo también se conoce como análisis de lazo o método de la corriente de lazo. Para comprender el análisis de lazo, es necesario explicar más lo que se entiende por malla. Una malla es un lazo que no contiene algún otro lazo dentro de ella.
- 122. 94 Capítulo 3 Métodos de análisis En la figura 3.17, por ejemplo, las trayectorias abefa y bcdeb son mallas, pe- ro la trayectoria abcdefa no es una malla. La corriente a través de una malla se conoce como corriente de malla. En el análisis de malla interesa aplicar la LTK para hallar las corrientes de malla en un circuito dado. En esta sección se aplica el análisis de lazo a circuitos planares que no contienen fuentes de corriente. En las siguientes secciones se considerarán cir- cuitos con fuentes de corriente. En el análisis de lazo de un circuito con n la- zos se dan los tres siguientes pasos: Figura 3.17 Circuito con dos mallas. + − + − I1 R1 R2 R3 i1 i2 I2 I3 V1 V2 a b c def Aunque la trayectoria abcdefa es un lazo y no una malla, se sigue cumpliendo la LTK. Ésta es la razón del uso indistinto de los términos análisis de lazo y análisis de malla para desig- nar lo mismo. La dirección de la corriente de lazo es arbitraria (en el sentido de las maneci- llas del reloj o en el sentido contrario) y no afecta la validez de la solución. Este atajo no se aplicará si una co- rriente de lazo se supone que va en la dirección de las manecillas del reloj y la otra se considera en sentido con- trario, aunque esto es permisible. Pasos para determinar las corrientes de lazo: 1. Asigne las corrientes de lazo i1, i2, …, in a los n lazos. 2. Aplique la LTK a cada uno de los n lazos. Use la ley de Ohm pa- ra expresar las tensiones en términos de las corrientes de lazo. 3. Resuelva las n ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las corrientes de lazo. Para ilustrar estos pasos, considérese el circuito de la figura 3.17. El pri- mer paso requiere asignar las corrientes de lazo i1 e i2 a los lazos 1 y 2. Aun- que una corriente de lazo puede asignarse a cada lazo en una dirección arbitraria, por convención se supone que cada corriente de lazo fluye en la di- rección de las manecillas del reloj. Como segundo paso, se aplica la LTK a cada lazo. De la aplicación de la LTK al lazo 1 se obtiene ϪV1 ϩ R1i1 ϩ R3(i1 Ϫ i2) ϭ 0 o sea (R1 ϩ R3)i1 Ϫ R3i2 ϭ V1 (3.13) En el caso del lazo 2, la aplicación de la LTK produce R2i2 ϩ V2 ϩ R3(i2 Ϫ i1) ϭ 0 o ϪR3i1 ϩ (R2 ϩ R3)i2 ϭ ϪV2 (3.14) Adviértase en la ecuación (3.13) que el coeficiente de i1 es la suma de las re- sistencias en la primera malla, mientras que el coeficiente de i2 es el negati- vo de la resistencia común a los lazos 1 y 2. Obsérvese ahora que lo mismo puede decirse de la ecuación (3.14). Esto puede servir como atajo para escri- bir las ecuaciones de lazo. Esta idea se explotará en la sección 3.6.
- 123. 3.4 Análisis de lazo 95 El tercer paso consiste en resolver respecto a las corrientes de malla. El arreglo de las ecuaciones (3.13) y (3.14) en forma de matriz genera (3.15) la cual puede resolverse para obtener las corrientes de lazo i1 e i2. Hay liber- tad de usar cualquier técnica para resolver las ecuaciones simultáneas. De acuerdo con la ecuación (2.12), si un circuito tiene n nodos, b ramas y l la- zos independientes, entonces l ϭ b Ϫ n ϩ 1. Así, l ecuaciones simultáneas independientes se requieren para resolver el circuito con el uso del análisis de lazo. Nótese que las corrientes de rama son diferentes a las corrientes de lazo a menos que el lazo esté aislado. Para distinguir entre esos dos tipos de co- rrientes, se usa i para una corriente de lazo e I para una corriente de rama. Los elementos de corriente I1, I2 e I3 son sumas algebraicas de las corrientes de lazo. En la figura 3.17 es evidente que I1 ϭ i1, I2 ϭ i2, I3 ϭ i1 Ϫ i2 (3.16) c R1 ϩ R3 ϪR3 ϪR3 R2 ϩ R3 d c i1 i2 d ϭ c V1 ϪV2 d Figura 3.18 Para el ejemplo 3.5. + − + − 15 V 10 V 5 Ω 6 Ω 10 Ω 4 Ω I1 i1 I2 i2 I3 Ejemplo 3.5En relación con el circuito de la figura 3.18, halle las corrientes de rama I1, I2 e I3 aplicando el análisis de malla. Solución: Primero se obtienen las corrientes de lazo aplicando la LTK. En cuanto al la- zo 1, Ϫ15 ϩ 5i1 ϩ 10(i1 Ϫ i2) ϩ 10 ϭ 0 o sea 3i1 Ϫ 2i2 ϭ 1 (3.5.1) En cuanto al lazo 2, 6i2 ϩ 4i2 ϩ 10(i2 Ϫ i1) Ϫ 10 ϭ 0 o sea i1 ϭ 2i2 Ϫ 1 (3.5.2) MÉTODO 1 Siguiendo el método de sustitución, se sustituye la ecua- ción (3.5.2) en la ecuación (3.5.1) y se escribe 6i2 Ϫ 3 Ϫ 2i2 ϭ 1 1 i2 ϭ 1 A Con base en la ecuación (3.5.2), i1 ϭ 2i2 Ϫ 1 ϭ 2 Ϫ 1 ϭ 1 A. Así, I1 ϭ i1 ϭ 1 A, I2 ϭ i2 ϭ 1 A, I3 ϭ i1 Ϫ i2 ϭ 0 MÉTODO 2 Para aplicar la regla de Cramer, se enuncian las ecuacio- nes (3.5.1) y (3.5.2) en forma de matriz como c 3 Ϫ2 Ϫ1 2 d c i1 i2 d ϭ c 1 1 d
- 124. Se obtienen los determinantes, Así, i1 ϭ ϭ 1 A, i2 ϭ ϭ 1 A como antes. ⌬2 ⌬ ⌬1 ⌬ ¢2 ϭ ` 3 1 Ϫ1 1 ` ϭ 3 ϩ 1 ϭ 4¢1 ϭ ` 1 Ϫ2 1 2 ` ϭ 2 ϩ 2 ϭ 4, ¢ ϭ ` 3 Ϫ2 Ϫ1 2 ` ϭ 6 Ϫ 2 ϭ 4 96 Capítulo 3 Métodos de análisis Calcule las corrientes de malla i1 e i2 en el circuito de la figura 3.19. Respuesta: i1 ϭ 2 Ϫ3 A, i2 ϭ 0 A. Aplique el análisis de malla para hallar la corriente Io en el circuito de la fi- gura 3.20. Solución: Se aplica la LTK a cada uno de los tres lazos. En cuanto al lazo 1, Ϫ24 ϩ 10(i1 Ϫ i2) ϩ 12(i1 Ϫ i3) ϭ 0 o sea 11i1 Ϫ 5i2 Ϫ 6i3 ϭ 12 (3.6.1) Para el lazo 2, 24i2 ϩ 4(i2 Ϫ i3) ϩ 10(i2 Ϫ i1) ϭ 0 o sea Ϫ5i1 ϩ 19i2 Ϫ 2i3 ϭ 0 (3.6.2) Para el lazo 3, 4Io ϩ 12(i3 Ϫ i1) ϩ 4(i3 Ϫ i2) ϭ 0 Problema de práctica 3.5 12 V 8 V 2 Ω 4 Ω 3 Ω 12 Ω 9 Ω i1 i2 + − + − Figura 3.19 Para el problema de práctica 3.5. + − + − 24 V 12 Ω 4 Ω 10 Ω 24 Ω i1 i1 i3 i2 i2 Io 4Io A Figura 3.20 Para el ejemplo 3.6. Ejemplo 3.6
- 125. 3.4 Análisis de lazo 97 Pero en el nodo A, Io i1 – i2, así que 4(i1 Ϫ i2) ϩ 12(i3 Ϫ i1) ϩ 4(i3 Ϫ i2) ϭ 0 o sea Ϫi1 Ϫ i2 ϩ 2i3 ϭ 0 (3.6.3) En forma de matriz, las ecuaciones (3.6.1) a (3.6.3) se convierten en Los determinantes se obtienen de este modo: Se calculan las corrientes de lazo aplicando la regla de Cramer de esta manera: i1 ϭ ϭ ϭ 2.25 A, i2 ϭ ϭ ϭ 0.75 A i3 ϭ ϭ ϭ 1.5 A Así, Io ϭ i1 Ϫ i2 ϭ 1.5 A. 288 192 ⌬3 ⌬ 144 192 ⌬2 ⌬ 432 192 ⌬1 ⌬ ¢3 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 11 Ϫ5 12 Ϫ5 19 0 Ϫ1 Ϫ1 0 11 Ϫ5 12 Ϫ5 19 0 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 60 ϩ 228 ϭ 288 ¢2 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 11 12 Ϫ6 Ϫ5 0 Ϫ2 Ϫ1 0 2 11 12 Ϫ6 Ϫ5 0 Ϫ2 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 24 ϩ 120 ϭ 144 ¢1 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 12 Ϫ5 Ϫ6 0 19 Ϫ2 0 Ϫ1 2 12 Ϫ5 Ϫ6 0 19 Ϫ2 5 ϩ ϩ ϩ ϭ 456 Ϫ 24 ϭ 432 ϭ 418 Ϫ 30 Ϫ 10 Ϫ 114 Ϫ 22 Ϫ 50 ϭ 192 ¢ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 5 11 Ϫ5 Ϫ6 Ϫ5 19 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ1 2 11 Ϫ5 Ϫ6 Ϫ5 19 Ϫ2 5 ϩ ϩ ϩ £ 11 Ϫ5 Ϫ6 Ϫ5 19 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ1 2 § £ i1 i2 i3 § ϭ £ 12 0 0 §
- 126. 98 Capítulo 3 Métodos de análisis Como se muestra en la figura 3.23b), se crea un superlazo como resultado de la periferia de los dos lazos y se trata de diferente manera. (Si un circuito tie- ne dos o más superlazos que se intersectan, deben combinarse para formar un superlazo más grande.) ¿Por qué se trata de manera diferente al superlazo? Porque en el análisis de lazo se aplica la LTK, lo cual requiere que se conoz- ca la tensión en cada rama, y no se conoce con anticipación la tensión en la fuente de corriente. Sin embargo, un superlazo debe satisfacer la LTK como cualquier otro lazo. En consecuencia, la aplicación de la LTK al superlazo de la figura 3.23b) produce Ϫ20 ϩ 6i1 ϩ 10i2 ϩ 4i2 ϭ 0 Análisis de lazo con fuentes de corriente Aplicar el análisis de lazo a circuitos que contienen fuentes de corriente (de- pendientes o independientes) puede parecer complicado. Pero en realidad es mucho más fácil que lo visto en la sección anterior, porque la presencia de las fuentes de corriente reduce el número de ecuaciones. Considérense los dos posibles casos siguientes. CASO 1 Cuando existe una fuente de corriente sólo en un lazo: considé- rese el circuito de la figura 3.22, por ejemplo. Se establece i2 = Ϫ5 A y se es- cribe una ecuación de lazo para el otro lazo en la forma acostumbrada; esto es, Ϫ10 ϩ 4i1 ϩ 6(i1 Ϫ i2) ϭ 0 1 i1 ϭ Ϫ2 A (3.17) CASO 2 Cuando existe una fuente de corriente entre dos lazos: consi- dérese el circuito de la figura 3.23a), por ejemplo. Se crea un superlazo ex- cluyendo la fuente de corriente y cualesquiera elementos conectados en serie con éste, como se advierte en la figura 3.23b). Así, Se obtiene un superlazo cuando dos lazos tienen una fuente de corriente (de- pendiente o independiente) en común. 3.5 + − − +20 V 4 Ω 8 Ω 2 Ω 6 Ω i1 i2 i3 10io Io Figura 3.21 Para el problema de práctica 3.6. + − 5 A10 V 4 Ω 3 Ω 6 Ωi1 i2 Figura 3.22 Circuito con una fuente de corriente. b) 20 V 4 Ω 6 Ω 10 Ω i1 i2+ − + − 6 A 20 V 6 Ω 10 Ω 2 Ω 4 Ω i1 i1 i2 i2 0 a) Se excluyen estos elementos Figura 3.23 a) Dos lazos con una fuente de corriente en común, b) un superlazo, creado al excluir la fuente de corriente. Problema de práctica 3.6 Aplicando el análisis de lazo, halle Io en el circuito de la figura 3.21. Respuesta: Ϫ5 A.
- 127. 3.5 Análisis de lazo con fuentes de corriente 99 o sea 6i1 ϩ 14i2 ϭ 20 (3.18) Se aplica la LCK a un nodo de la rama donde se intersecan los dos lazos. La aplicación de la LCK al nodo 0 de la figura 3.23a) da como resultado i2 ϭ i1 ϩ 6 (3.19) Al resolver las ecuaciones (3.18) y (3.19) se obtiene i1 ϭ Ϫ3.2 A, i2 ϭ 2.8 A (3.20) Se observan las siguientes propiedades de un superlazo: 1. La fuente de corriente en el superlazo aporta la ecuación de restricción necesaria para determinar las corrientes de lazo. 2. Un superlazo no tiene corriente propia. 3. Un superlazo requiere la aplicación tanto de la LTK como de la LCK. Para el circuito de la figura 3.24, halle i1 a i4 aplicando el análisis de lazo. Ejemplo 3.7 + − 10 V6 Ω 8 Ω 2 Ω4 Ω i1 i2 i3 i4 2 Ω 5 A i1 i2 i2 i3 Io P Q 3Io Figura 3.24 Para el ejemplo 3.7. Solución: Nótese que los lazos 1 y 2 forman un superlazo, ya que tienen una fuente de corriente independiente en común. Asimismo, los lazos 2 y 3 forman otro su- perlazo, porque tienen una fuente de corriente dependiente en común. Los dos superlazos se intersectan y forman un superlazo más grande, como se indica. Al aplicar la LTK al superlazo más grande, 2i1 ϩ 4i3 ϩ 8(i3 Ϫ i4) ϩ 6i2 ϭ 0 o sea i1 ϩ 3i2 ϩ 6i3 Ϫ 4i4 ϭ 0 (3.7.1) Para la fuente de corriente independiente, se aplica la LCK en nodo P: i2 ϭ i1 ϩ 5 (3.7.2) Para la fuente de corriente dependiente, se aplica la LCK en nodo Q: i2 ϭ i3 ϩ 3Io
- 128. 100 Capítulo 3 Métodos de análisis †Análisis nodal y de lazo por inspección Esta sección presenta un procedimiento generalizado para el análisis nodal o de lazo. Es un atajo que se basa en la mera inspección de un circuito. Cuando todas las fuentes en un circuito son fuentes de corriente indepen- dientes, no es necesario aplicar la LCK a cada nodo para obtener las ecuacio- nes de tensión de nodo como se vio en la sección 3.2. Se pueden obtener las ecuaciones por mera inspección del circuito. Como ejemplo, reexamínese el circuito de la figura 3.2, el cual se reproduce en la figura 3.26a) para mayor comodidad. Este circuito tiene dos nodos de no referencia y las ecuaciones de nodo se derivaron en la sección 3.2 como (3.21) Obsérvese que cada uno de los términos diagonales es la suma de las conduc- tancias conectadas directamente al nodo 1 o 2, mientras que los términos no diagonales son los negativos de las conductancias conectadas entre los nodos. Asimismo, cada término del miembro derecho de la ecuación (3.21) es la su- ma algebraica de las corrientes que entran al nodo. En general, si un circuito con fuentes de corriente independientes tiene N nodos distintos del de referencia, las ecuaciones de tensión de nodo pueden escribirse en términos de las conductancias como (3.22)≥ G11 G12 p G1N G21 G22 p G2N o o o o GN1 GN2 p GNN ¥ ≥ v1 v2 o vN ¥ ϭ ≥ i1 i2 o iN ¥ c G1 ϩ G2 ϪG2 ϪG2 G2 ϩ G3 d c v1 v2 d ϭ c I1 Ϫ I2 I2 d 3.6 Pero io ϭ Ϫi4, así que i2 ϭ i3 Ϫ 3i4 (3.7.3) Al aplicar la LTK al lazo 4, 2i4 ϩ 8(i4 Ϫ i3) ϩ 10 ϭ 0 o sea 5i4 Ϫ 4i3 ϭ Ϫ5 (3.7.4) Con base en las ecuaciones (3.7.1) a (3.7.4), i1 ϭ Ϫ7.5 A, i2 ϭ Ϫ2.5 A, i3 ϭ 3.93 A, i4 ϭ 2.143 A + − 3 A 6 V 1 Ω 2 Ω 2 Ω 8 Ω 4 Ωi1 i3 i2 Figura 3.25 Para el problema de práctica 3.7. I1 v1 G1 G3 G2 I2 v2 a) b) i1 i3 V1 V2 + − + − R1 R2 R3 Figura 3.26 a) Circuito de la figura 3.2, b) circuito de la figura 3.17. Problema de práctica 3.7 Aplique el análisis de lazo para determinar i1, i2 e i3 en la figura 3.25. Respuesta: i1 ϭ 3.474 A, i2 ϭ 0.4737 A, i3 ϭ 1.1052 A.
- 129. 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 101 o simplemente Gv ϭ i (3.23) donde Gkk ϭ Suma de las conductancias conectadas al nodo k Gkj ϭ Gjk ϭ Negativo de la suma de las conductancias que conectan di- rectamente a los nodos k y j, k j vk ϭ Tensión desconocida en el nodo k ik ϭ Suma de todas las fuentes de corriente independientes directamen- te conectadas al nodo k, con las corrientes que entran al nodo con- sideradas positivas G se llama matriz de las conductancias; v es el vector de salida, e i es el vec- tor de entrada. La ecuación (3.22) puede resolverse para obtener las tensiones de nodo desconocidos. Téngase en cuenta que esto es válido para circuitos con sólo fuentes de corriente independientes y resistores lineales. De igual forma, se pueden obtener ecuaciones de corriente de lazo por inspección cuando un circuito resistivo lineal tiene sólo fuentes de tensión in- dependientes. Considérese el circuito de la figura 3.17, el cual se ha reprodu- cido en la figura 3.26b) para mayor comodidad. Este circuito tiene dos nodos no de referencia y las ecuaciones de nodo que ya se obtuvieron en la sección 3.4 como (3.24) Adviértase que cada uno de los términos diagonales es la suma de las resis- tencias en el lazo correspondiente, mientras que cada uno de los términos no diagonales es el negativo de la resistencia común a los lazos 1 y 2. Cada uno de los términos del miembro derecho de la ecuación (3.24) es la suma alge- braica en el sentido de las manecillas del reloj de todas las fuentes de tensión independientes en el lazo correspondiente. En general, si el circuito tiene N lazos, las ecuaciones de corriente de la- zo pueden expresarse en términos de la resistencia como (3.25) o simplemente Ri ϭ v (3.26) donde Rkk ϭ Suma de las resistencias en el lazo k Rkj ϭ Rjk ϭ Negativo de la suma de las resistencias en común de los la- zos k y j, k j ik ϭ Corriente de lazo desconocido para el lazo k en el sentido de las manecillas del reloj vk ϭ Suma en el sentido de las manecillas del reloj de todas las fuen- tes de tensión independientes en el lazo k, tratando como positivo el aumento de tensión R se conoce como matriz de resistencia; i es el vector de salida, y v es el vec- tor de entrada. Se puede resolver la ecuación (3.25) para obtener las corrientes de lazo desconocidos. ≥ R11 R12 p R1N R21 R22 p R2N o o o o RN1 RN2 p RNN ¥ ≥ i1 i2 o iN ¥ ϭ ≥ v1 v2 o vN ¥ c R1 ϩ R3 ϪR3 ϪR3 R2 ϩ R3 d c i1 i2 d ϭ c v1 Ϫv2 d
- 130. 102 Capítulo 3 Métodos de análisis Solución: El circuito de la figura 3.27 tiene cuatro nodos de no referencia, así que se necesitan cuatro ecuaciones de nodo. Esto implica que el tamaño de la matriz de conductancia G es de 4 por 4. Los términos diagonales de G, en siemens, son G11 ϭ ϩ ϭ 0.3, G22 ϭ ϩ ϩ ϭ 1.325 G33 ϭ ϩ ϩ ϭ 0.5, G44 ϭ ϩ ϩ ϭ 1.625 Los términos no diagonales son G12 ϭ Ϫ ϭ Ϫ0.2, G13 ϭ G14 ϭ 0 G21 ϭ Ϫ0.2, G23 ϭ Ϫ ϭ Ϫ0.125, G24 ϭ Ϫ ϭ Ϫ1 G31 ϭ 0, G32 ϭ Ϫ0.125, G34 ϭ Ϫ ϭ Ϫ0.125 G41 ϭ 0, G42 ϭ Ϫ1, G43 ϭ Ϫ0.125 El vector de corriente de entrada i tiene los siguientes términos, en amperes: i1 ϭ 3, i2 ϭ Ϫ1 Ϫ 2 ϭ Ϫ3, i3 ϭ 0, i4 ϭ 2 ϩ 4 ϭ 6 Así, las ecuaciones de tensión de nodo son las cuales pueden resolverse usando MATLAB para obtener las tensiones de nodo v1, v2, v3 y v4. ≥ 0.3 Ϫ0.2 0 0 Ϫ0.2 1.325 Ϫ0.125 Ϫ1 0 Ϫ0.125 0.5 Ϫ0.125 0 Ϫ1 Ϫ0.125 1.625 ¥ ≥ v1 v2 v3 v4 ¥ ϭ ≥ 3 Ϫ3 0 6 ¥ 1 8 1 1 1 8 1 5 1 1 1 2 1 8 1 4 1 8 1 8 1 1 1 8 1 5 1 10 1 5 Ejemplo 3.8 Escriba por inspección la matriz de las ecuaciones de tensión de nodos del circuito de la figura 3.27. 3 A 1 A 4 A 2 A 10 Ω 5 Ω 1 Ω 8 Ω 8 Ωv1 v2 v3 v4 4 Ω 2 Ω Figura 3.27 Para el ejemplo 3.8.
- 131. 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 103 Solución: Haya cinco lazos, así que la matriz de resistencia es de 5 por 5. Los térmi- nos de la diagonal, en ohms, son: R11 ϭ 5 ϩ 2 ϩ 2 ϭ 9, R22 ϭ 2 ϩ 4 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 2 ϭ 10 R33 ϭ 2 ϩ 3 ϩ 4 ϭ 9, R44 ϭ 1 ϩ 3 ϩ 4 ϭ 8, R55 ϭ 1 ϩ 3 ϭ 4 Los términos fuera de la diagonal son: R12 ϭ Ϫ2, R13 ϭ Ϫ2, R14 ϭ 0 ϭ R15 R21 ϭ Ϫ2, R23 ϭ Ϫ4, R24 ϭ Ϫ1, R25 ϭ Ϫ1 R31 ϭ Ϫ2, R32 ϭ Ϫ4, R34 ϭ 0 ϭ R35 R41 ϭ 0, R42 ϭ Ϫ1, R43 ϭ 0, R45 ϭ Ϫ3 R51 ϭ 0, R52 ϭ Ϫ1, R53 ϭ 0, R54 ϭ Ϫ3 El vector de tensiones de entrada v tiene los siguientes términos, en volts: v1 ϭ 4, v2 ϭ 10 Ϫ 4 ϭ 6 v3 ϭ Ϫ12 ϩ 6 ϭ Ϫ6, v4 ϭ 0, v5 ϭ Ϫ6 + − + − + − + −10 V 4 V 2 Ω 2 Ω 5 Ω 2 Ω 4 Ω 3 Ω 3 Ω 1 Ω 1 Ω 4 Ω i1 i2 i3 i4 i5 6 V 12 V Figura 3.29 Para el ejemplo 3.9. Figura 3.28 Para el problema de práctica 3.8. 1 A 2 A 3 A 10 Ω 1 Ω 5 Ω 4 Ω 2 Ωv1 v2 v3 v4 Por inspección, escriba las ecuaciones de corriente de lazo del circuito de la fi- gura 3.29. Ejemplo 3.9 Problema de práctica 3.8 Por inspección, obtenga las ecuaciones de tensión de nodo del circuito de la figura 3.28. Respuesta: ≥ 1.3 Ϫ0.2 Ϫ1 0 Ϫ0.2 0.2 0 0 Ϫ1 0 1.25 Ϫ0.25 0 0 Ϫ0.25 0.75 ¥ ≥ v1 v2 v3 v4 ¥ ϭ ≥ 0 3 Ϫ1 3 ¥
- 132. 104 Capítulo 3 Métodos de análisis Así, las ecuaciones de corriente de lazo son A partir de esto, se puede usar MATLAB para obtener las corrientes de lazo i1, i2, i3, i4 e i5. ϭ E 4 6 Ϫ6 0 Ϫ6 UE i1 i2 i3 i4 i5 UE 9 Ϫ2 Ϫ2 0 0 Ϫ2 10 Ϫ4 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ4 9 0 0 0 Ϫ1 0 8 Ϫ3 0 Ϫ1 0 Ϫ3 4 U Comparación del análisis nodal con el de lazo Los análisis tanto nodal como de lazo brindan un medio sistemático para ana- lizar una red compleja. Pero cabría preguntarse: dada una red por analizar, ¿cómo saber qué método es mejor o más eficiente? La selección del mejor método la determinan dos factores. 3.7 Problema de práctica 3.9 Por inspección, obtenga las ecuaciones de corriente de lazo del circuito de la figura 3.30. Respuesta: ϭ E 24 0 Ϫ12 10 Ϫ10 UE i1 i2 i3 i4 i5 UE 170 Ϫ40 0 Ϫ80 0 Ϫ40 80 Ϫ30 Ϫ10 0 0 Ϫ30 50 0 Ϫ20 Ϫ80 Ϫ10 0 90 0 0 0 Ϫ20 0 80 U + − + − 24 V 12 V 10 V 50 Ω 40 Ω i1 i2 i3 i4 i5 10 Ω 30 Ω 20 Ω 60 Ω80 Ω + − Figura 3.30 Para el problema de práctica 3.9.
- 133. 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 105 + − 3 A120 V 20 Ω 30 Ω 40 Ω 10 Ω1 2 3 0 Figura 3.31 Para el ejemplo 3.10. El primer factor es la naturaleza de la red particular. Las redes que con- tienen muchos elementos conectados en serie, fuentes de tensión o superlazos son más adecuadas para el análisis de lazo, mientras que las redes con ele- mentos conectados en paralelo, fuentes de corriente o supernodos son más adecuadas para el análisis nodal. Asimismo, un circuito con menos nodos que lazos se analiza mejor con el análisis nodal, mientras que un circuito con me- nos lazos que nodos se analiza mejor con el análisis de lazo. La clave es se- leccionar el método que produce un número menor de ecuaciones. El segundo factor es la información requerida. Si se requieren tensiones de nodo, puede ser ventajoso aplicar el análisis nodal. Si se requieren corrien- tes de rama o lazo, puede ser mejor aplicar el análisis de lazo. Es útil familiarizarse con ambos métodos de análisis, por al menos dos razones. Primero, un método, de ser posible, puede emplearse para compro- bar los resultados del otro. Segundo, dado que cada método tiene sus limita- ciones, únicamente uno de ellos podría ser conveniente para un problema particular. Por ejemplo, el análisis de lazo es el único método que se usa al analizar circuitos transistorizados, como se verá en la sección 3.9. Sin embar- go, el análisis de lazo no es fácil de utilizar para resolver un circuito ampli- ficador operacional, como se verá en el capítulo 5, porque no hay una manera directa de obtener la tensión en el propio amplificador operacional. En el ca- so de redes que no son de disposición plana, el análisis nodal es la única op- ción, porque el análisis de lazo sólo se aplica a redes de disposición plana. Asimismo, el análisis nodal es más compatible con la solución por compu- tadora, ya que es fácil de programar. Esto permite analizar circuitos compli- cados que desafían el cálculo manual. En seguida se presenta un paquete de software de computación basado en el análisis nodal. Análisis de circuitos con PSpice PSpice es un programa de software de computación para el análisis de circui- tos que aprenderán a usar gradualmente en el curso de este texto. Esta sec- ción ilustra cómo usar PSpice for Windows para analizar los circuitos de cd que se han estudiado hasta aquí. Se espera que el lector consulte las secciones D.1 a D.3 del apéndice D antes de proceder con esta sección. Cabe señalar que PSpice sólo es útil en la determinación de tensiones y corrientes de rama cuando se conocen los va- lores numéricos de todos los componentes de un circuito. 3.8 Use PSpice para hallar las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.31. Solución: El primer paso es dibujar el circuito dado con el uso de Schematics. Si se si- guen las instrucciones de las secciones D.2 y D.3 del apéndice D, se produ- ce el esquema de la figura 3.32. Puesto que éste es un análisis de cd, se usa la fuente de tensión VDC y la fuente de corriente IDC. Se añade el seudo- componente VIEWPOINTS para exhibir las tensiones de nodo requeridas. Una vez dibujado el circuito y guardado como exam310.sch, se ejecuta PSpice se- leccionando Analysis/Simulate. Se simula el circuito y los resultados se pre- Ejemplo 3.10 En el apéndice D se proporciona un tutorial sobre el uso de PSpice for Windows.
- 134. 106 Capítulo 3 Métodos de análisis sentan en VIEWPOINTS y se guardan en el archivo de salida exam310.out. El archivo de salida incluye lo siguiente: NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE (1) 120.0000 (2) 81.2900 (3) 89.0320 lo que indica que V1 ϭ 120 V, V2 ϭ 81.29 V, V3 ϭ 89.032 V. Ejemplo 3.11 En el circuito de la figura 3.34, determine las corrientes i1, i2 e i3. Problema de práctica 3.10 Para el circuito de la figura 3.33, use PSpice para hallar las tensiones de nodo. Respuesta: V1 ϭ 240 V, V2 ϭ 57.14 V, V3 ϭ 200 V. + − R1 R3 20 10 120 V V1 R2 R430 40 I1 3 A IDC 0 1 2 3 120.0000 81.2900 89.0320 Figura 3.32 Para el ejemplo 3.10; esquema del circuito de la figura 3.31. + − 2 A 200 V30 Ω 60 Ω 50 Ω 100 Ω 25 Ω 1 2 3 0 Figura 3.33 Para el problema de práctica 3.10. + − +− 24 V 1 Ω i1 i2 i3 + − 4 Ω 2 Ω 2 Ω 8 Ω 4 Ω 3vo vo Figura 3.34 Para el ejemplo 3.11.
- 135. 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd 107 Solución: El esquema aparece en la figura 3.35. (Este esquema incluye los resultados de salida, lo que implica que es el exhibido en la pantalla después de la si- mulación.) Obsérvese que la fuente de tensión controlada por tensión E1 en la figura 3.35 está conectada de tal manera que la tensión en su entrada sea la del resistor de 4 ⍀; su ganancia se fija igual a 3. Para exhibir las corrientes requeridas, se inserta el seudocomponente IPROBES en las ramas apropiadas. El circuito esquemático se guarda como exam311.sch y se simula seleccio- nando Analysis/Simulate. Los resultados se presentan en IPROBES como se muestra en la figura 3.35 y se guardan en el archivo de salida exam311.out. Del archivo de salida o de IPROBES se obtiene i1 ϭ i2 ϭ 1.333 A e i3 ϭ 2.67 A. †Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd La mayoría de los lectores trata con productos electrónicos en forma rutina- ria y tiene cierta experiencia con computadoras personales. Un componente básico de los circuitos electrónicos que se hallan en esos aparatos electróni- cos y computadoras es el dispositivo activo de tres terminales conocido como transistor. Conocer el transistor es esencial para que un ingeniero pueda em- prender el diseño de un circuito electrónico. En la figura 3.37 se muestran varios tipos de transistores comerciales. Hay dos tipos básicos de transistores: los transistores de unión bipolar (BJT) y los transistores de efecto de campo (FET). Aquí sólo se considerarán los BJT, el primer tipo básico en aparecer y aún en uso. El objetivo es presentar detalles suficientes sobre los BJT que permitan aplicar las técnicas presentadas en es- te capítulo para analizar circuitos transistorizados de cd. 3.9 Problema de práctica 3.11 Use PSpice para determinar las corrientes i1, i2 e i3 en el circuito de la figu- ra 3.36. Respuesta: i1 ϭ Ϫ0.4286 A, i2 ϭ 2.286 A, i3 ϭ 2 A. + − 24 V V1 R1 4 R2 2 R3 8 R4 4 1.333E + 00 1.333E + 00 2.667E + 00 0 R6 1 R5 2 E E1 +− − + Figura 3.35 Esquema del circuito de la figura 3.34. + − 2 A 10 V 2 Ω i1 i1 i2 4 Ω 1 Ω 2 Ω i3 Figura 3.36 Para el problema de práctica 3.11.
- 136. 108 Capítulo 3 Métodos de análisis Hay dos tipos de BJT: npn y pnp, cuyos símbolos de circuitos se indican en la figura 3.38. Cada tipo tiene tres terminales, designadas como emisor (E), base (B) y colector (C). En el caso del transistor npn, las corrientes y tensio- nes del transistor se especifican como en la figura 3.39. La aplicación de la LCK a la figura 3.39a) produce IE ϭ IB ϩ IC (3.27) Perfiles históricos William Schockley (1910-1989), John Bardeen (1908-1991) y Walter Brattain (1902-1987) coinventaron el transistor. Nada ha tenido tanto impacto en la transición de la “era industrial” a la “era de la ingeniería” como el transistor. Seguramente los doctores Schockley, Bardeen y Brattain no tenían la menor idea de que tendrían tan increíble efec- to en la historia. Mientras trabajaban en los Bell Laboratories, probaron con éxito el transistor de puntos de contacto, inventado por Bardeen y Brattain en 1947, y el transistor de unión, que Schockley concibió en 1948 y produjo exi- tosamente en 1951. Es interesante señalar que la idea del transistor de efecto de campo, el de uso más común en la actualidad, lo concibió originalmente en 1925-1928 J. E. Lilienfeld, inmigrante alemán en Estados Unidos. Esto es evidente a par- tir de sus patentes de lo que parece ser un transistor de efecto de campo. Por desgracia, la tecnología para producir ese dispositivo tuvo que esperar hasta 1954, cuando se hizo realidad el transistor de efecto de campo de Schockley. ¡Basta imaginar cómo serían hoy las cosas si se hubiera tenido este transistor 30 años antes! Por sus contribuciones a la creación del transistor, los doctores Schoc- kley, Bardeen y Brattain recibieron en 1956 el Premio Nobel de física. Cabe indicar que el doctor Bardeen es el único individuo que ha ganado dos pre- mios Nobel de física; recibió el segundo por su posterior labor en la super- conductividad en la Universidad de Illinois. Cortesía de Lucent Technologies/Bell Labs Figura 3.37 Varios tipos de transistores. (Cortesía de Tech America.) n n pBase Colector Emisor E B C a) p p nBase Colector Emisor E B C b) Figura 3.38 Dos tipos de BJT y sus símbolos de circuitos: a) npn, b) pnp.
- 137. 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd 109 donde IE, IC e IB, son las corrientes del emisor, colector y base, respectiva- mente. De igual manera, la aplicación de la LTK a la figura 3.39b) produce VCE ϩ VEB ϩ VBC ϭ 0 (3.28) donde VCE, VEB y VBC, son las tensiones colector-emisor, emisor-base y ba- se-colector. El BJT puede operar en uno de tres modos: activo, de corte y de saturación. Cuando los transistores operan en el modo activo, habitualmente VBE Ӎ 0.7 V, IC ϭ ␣IE (3.29) donde ␣ se llama ganancia de corriente de base común. En la ecuación (3.29) ␣ denota la fracción de electrones inyectada por el emisor que recoge el co- lector. Asimismo, IC ϭ IB (3.30) donde  se conoce como ganancia de corriente de emisor común. La ␣ y la  son propiedades características de un transistor dado y toman valores cons- tantes para ese transistor. Usualmente, ␣ adopta valores en la gama de 0.98 a 0.999, mientras que  adopta valores en la gama de 50 a 1 000. Con base en las ecuaciones (3.27) a (3.30), es evidente que IE ϭ (1 ϩ )IB (3.31) y  ϭ (3.32) Estas ecuaciones indican que, en el modo activo, el BJT puede modelarse co- mo una fuente de corriente dependiente controlada por corriente. Así, en el análisis de circuitos, el modelo equivalente de cd de la figura 3.40b) puede usarse para remplazar al transistor npn de la figura 3.40a). Puesto que  en la ecuación (3.32) es grande, una corriente de base pequeña controla corrien- tes altas en el circuito de salida. En consecuencia, es factible que el transis- tor bipolar sirva como amplificador, pues produce tanto ganancia de corriente como de tensión. Tales amplificadores se utilizan para proporcionar una can- tidad considerable de potencia a transductores, como los altavoces o los mo- tores de control. ␣ 1 Ϫ ␣ En los siguientes ejemplos debe repararse en que los circuitos transistori- zados no pueden analizarse directamente con el análisis nodal, a causa de la di- ferencia de potencial entre las terminales del transistor. Sólo cuando el transistor se sustituye por su modelo equivalente es posible aplicar el análisis nodal. B C E + + + − −− VCB VCE VBE B C E IB IC IE a) b) Figura 3.39 Variables de terminales de un transistor npn: a) corrientes, b) tensiones. B C E IB IC VBE VCE + − + − B C E IB a) b) VBE VCE + + − − IB Figura 3.40 a) Transistor npn, b) su modelo equivalente de cd. De hecho, los circuitos transistorizados fomentan el estudio de las fuentes dependientes.
- 138. 110 Capítulo 3 Métodos de análisis Solución: En relación con el lazo de entrada, la LTK da Ϫ4 ϩ IB(20 ϫ 103 ) ϩ VBE ϭ 0 Puesto que VBE ϭ 0.7 V en el modo activo, IB ϭ ϭ 165 A Pero, IC ϭ IB ϭ 50 ϫ 165 A ϭ 8.25 mA Para el lazo de salida, la LTK produce Ϫvo Ϫ 100IC ϩ 6 ϭ 0 o sea vo ϭ 6 Ϫ 100IC ϭ 6 Ϫ 0.825 ϭ 5.175 V Nótese que vo ϭ VCE en este caso. 4 Ϫ 0.7 20 ϫ 103 Ejemplo 3.12 Halle IB, Ic y vo en el circuito transistorizado de la figura 3.41. Suponga que el transistor opera en el modo activo y que  ϭ 50. IC + − + + − − + − 4 V 6 V 20 kΩ IB VBE vo Lazo de salidaLazo de entrada 100 Ω Figura 3.41 Para el ejemplo 3.12. + − + + + − − − + − 5 V 12 V 10 kΩ 500 Ω VBE VCE 200 Ω vo Figura 3.42 Para el problema de práctica 3.12. Problema de práctica 3.12 Para el circuito transistorizado de la figura 3.42, sea  ϭ 100 y VBE ϭ 0.7 V. Determine vo yVCE. Respuesta: 2.876 V, 1.984 V.
- 139. 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados de cd 111 2 V 100 kΩ + − + − 16 V 200 kΩ 1 kΩ + − vo Figura 3.43 Para el ejemplo 3.13. Figura 3.44 Solución del problema del ejemplo 3.13: a) método 1, b) método 2, c) método 3. + − vo + − 1 kΩ 100 kΩ 200 kΩ2 V 16 V 2 V I1 I2 IBV1 I3 a) b) + − + − 0.7 V 100 kΩ 200 kΩ 1 kΩ vo 150IB + − c) R1 100k + − 2 V 0.7 VR2 200k 700.00mV 14.58 V + − R3 1k F1 F + − + − 16 V + − 16 V En el circuito BJT de la figura 3.43,  ϭ 150 y VBE ϭ 0.7 V. Halle vo. Solución: 1. Definir. El circuito está claramente definido y el problema formulado con claridad. Al parecer, no hay preguntas adicionales por plantear. 2. Presentar. Se debe determinar la tensión de salida del circuito que apa- rece en la figura 3.43. Este circuito contiene un transistor ideal con  ϭ 150 y VBE ϭ 0.7 V. 3. Alternativas. Se puede aplicar el análisis de lazos para determinar vo. Es posible remplazar el transistor por su circuito equivalente y aplicar el aná- lisis nodal. Se puede probar ambos métodos y usarlos para comprobarlos entre sí. Como tercera comprobación se puede emplear el circuito equi- valente y resolver usando PSpice. 4. Intentar. MÉTODO 1 Trabajando con la figura 3.44a), se comienza con el pri- mer lazo. Ϫ2 ϩ 100kI1 ϩ 200k(I1 Ϫ I2) ϭ 0 o 3I1 Ϫ 2I2 ϭ 2 ϫ 10Ϫ5 (3.13.1) Ejemplo 3.13
- 140. 112 Capítulo 3 Métodos de análisis Ahora, en cuanto al lazo número 2, 200k(I2 Ϫ I1) ϩ VBE ϭ 0 o Ϫ2I1 ϩ 2I2 ϭ Ϫ0.7 ϫ 10Ϫ5 (3.13.2) Dado que hay dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede determinar I1 e I2. Al sumar la ecuación (3.13.1) y (3.13.2) se obtiene I1 ϭ 1.3 ϫ 10Ϫ5 A e I2 ϭ (Ϫ0.7 ϩ 2.6)10Ϫ5 ͞2 ϭ 9.5 A Puesto que I3 ϭ Ϫ150I2 ϭ Ϫ1.425 mA, ahora se puede determinar vo usan- do el lazo 3: Ϫvo ϩ 1 kI3 ϩ 16 ϭ 0 o vo ϭ Ϫ1.425 ϩ 16 ϭ 14.575 V MÉTODO 2 El remplazo del transistor por su circuito equivalente pro- duce el circuito que se observa en la figura 3.44b). Ahora se puede usar el análisis nodal para determinar vo. En el nodo número 1: V1 ϭ 0.7 V (0.7 Ϫ 2)͞100k ϩ 0.7͞200k ϩ IB ϭ 0 o IB ϭ 9.5 A En el nodo número 2 se tiene 150IB ϩ (vo Ϫ 16)͞1k ϭ 0 o vo ϭ 16 Ϫ 150 ϫ 103 ϫ 9.5 ϫ 10Ϫ6 ϭ 14.575 V 5. Evaluar. Las respuestas se comprueban, pero para una comprobación adi- cional se puede usar PSpice (método 3), el que da la solución que se muestra en la figura 3.44c). 6. ¿Satisfactorio? Obviamente se ha obtenido la respuesta deseada con un muy alto nivel de confianza. Ahora se puede presentar el trabajo como solución del problema. Resumen 1. El análisis nodal es la aplicación de la ley de la corriente de Kirchhoff a los nodos distintos del de referencia. (Se aplica tanto a circuitos de dis- posición plana como no plana.) Se expresa el resultado en términos de voltajes de nodo. La solución de las ecuaciones simultáneas produce las tensiones de los nodos. 2. Un supernodo consta de dos nodos distintos del de referencia conectados mediante una fuente de tensión (dependiente o independiente). 3. El análisis de lazo es la aplicación de la ley de tensión de Kirchhoff a al- rededor de los lazos en un circuito de disposición plana. El resultado se expresa en términos de corrientes de lazo. La solución de las ecuaciones simultáneas produce las corrientes de lazo. 3.10 Problema de práctica 3.13 El circuito transistorizado de la figura 3.45 tiene  ϭ 80 y VBE ϭ 0.7 V. Ha- lle vo e Io. Respuesta: 3 V, 150 A. Figura 3.45 Para el problema de práctica 3.13. 1 V 10 V 120 kΩ 20 kΩ 20 kΩ + − Io VBE + − vo + − + −
- 141. Preguntas de repaso 113 3.2 En el circuito de la figura 3.46, la aplicación de la LCK al nodo 2 da: a) ϩ ϭ b) ϩ ϭ c) ϩ ϭ d) ϩ ϭ v2 6 v2 Ϫ 12 8 v2 Ϫ v1 4 v2 6 12 Ϫ v2 8 v1 Ϫ v2 4 v2 6 v2 8 v1 Ϫ v2 4 v2 6 v2 8 v2 Ϫ v1 4 3.4 En el circuito de la figura 3.47, la tensión v2 es de: a) Ϫ8 V b) Ϫ1.6 V c) 1.6 V d) 8 V 3.5 La corriente i en el circuito de la figura 3.48 es de: a) Ϫ2.667 A b) Ϫ0.667 A c) 0.667 A d) 2.667 A 3.6 La ecuación de lazo del circuito de la figura 3.48 es: a) Ϫ10 ϩ 4i ϩ 6 ϩ 2i ϭ 0 b) 10 ϩ 4i ϩ 6 ϩ 2i ϭ 0 c) 10 ϩ 4i Ϫ 6 ϩ 2i ϭ 0 d) Ϫ10 ϩ 4i Ϫ 6 ϩ 2i ϭ 0 4. Una supermalla consta de dos lazos que tienen una fuente de corriente (dependiente o independiente) en común. 5. El análisis nodal se aplica normalmente cuando un circuito tiene menos ecuaciones de nodo que de lazo. El análisis de lazo se aplica normalmen- te cuando un circuito tiene menos ecuaciones de lazo que ecuaciones de nodo. 6. El análisis de circuitos puede realizarse usando PSpice. 7. Los circuitos transistorizados de cd pueden analizarse siguiendo las téc- nicas cubiertas en este capítulo. 3.1 En el nodo 1 del circuito de la figura 3.46, la aplicación de la LCK da: a) 2 ϩ ϭ ϩ b) 2 ϩ ϭ ϩ c) 2 ϩ ϭ ϩ d) 2 ϩ ϭ ϩ v2 Ϫ v1 4 0 Ϫ v1 6 v1 Ϫ 12 3 v1 Ϫ v2 4 0 Ϫ v1 6 12 Ϫ v1 3 v2 Ϫ v1 4 v1 6 v1 Ϫ 12 3 v1 Ϫ v2 4 v1 6 12 Ϫ v1 3 Preguntas de repaso 3.3 En el circuito de la figura 3.47, v1 y v2 se relacionan co- mo: a) v1 ϭ 6i ϩ 8 ϩ v2 b) v1 ϭ 6i Ϫ 8 ϩ v2 c) v1 ϭ Ϫ6i ϩ 8 ϩ v2 d) v1 ϭ Ϫ6i Ϫ 8 ϩ v2 2 A v1 1 2 v2 12 V + − 3 Ω 4 Ω 6 Ω 6 Ω 8 Ω Figura 3.46 Para las preguntas de repaso 3.1 y 3.2. 10 V + − 6 V+ − 4 Ω i 2 Ω Figura 3.48 Para las preguntas de repaso 3.5 y 3.6. 12 V + − 4 Ω 6 Ω 8 V v2v1 i + − Figura 3.47 Para las preguntas de repaso 3.3 y 3.4.
- 142. 114 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.7 En el circuito de la figura 3.49, la corriente i2 es de: a) 4 A b) 3 A c) 2 A d) 1 A 3.8 La tensión v de la fuente de corriente del circuito de la fi- gura 3.49 es de: a) 20 V b) 15 V c) 10 V d) 5 V 3.9 El nombre de la parte de PSpice para una fuente de ten- sión controlada por corriente es: a) EX b) FX c) HX d) GX 3.10 ¿Cuáles de los siguientes enunciados no son ciertos res- pecto del seudocomponente IPROBE? a) Debe conectarse en serie. b) Grafica la corriente de rama. c) Muestra la corriente a través de la rama en la que está conectado. d) Puede utilizarse para mostrar exhibir tensión conec- tándolo en paralelo. e) Sólo se utiliza para análisis de cd. f) No corresponde a ningún elemento de circuitos parti- cular. Respuestas: 3.1a, 3.2c, 3.3a, 3.4c, 3.5c, 3.6a, 3.7d, 3.8b, 3.9c, 3.10b, d. 3.3 Halle las corrientes I1 a I4 y la tensión vo en el circuito de la figura 3.52. 3.4 Dado el circuito de la figura 3.53, calcule las corrientes I1 a I4. Secciones 3.2 y 3.3 Análisis nodal 3.1 Determine Ix en el circuito que se muestra en la figura 3.50 aplicando el análisis nodal. 3.2 Para el circuito de la figura 3.51, obtenga v1 y v2. Problemas 6 V9 V 1 kΩ 4 kΩ 2 kΩ+ − + − Ix Figura 3.50 Para el problema 3.1. Figura 3.51 Para el problema 3.2. Figura 3.52 Para el problema 3.3. Figura 3.53 Para el problema 3.4. 3 A 6 A 5 Ω10 Ω 2 Ω v1 v2 4 Ω 10 A 2 A 60 Ω30 Ω20 Ω10 Ω I1 I2 I3 I4 vo 4 A 5 A 2 A 5 Ω10 Ω10 Ω5 Ω I1 I2 I3 I4 i1 i22 A20 V + − 2 Ω 1 Ω 3 Ω 4 Ω v + − Figura 3.49 Para las preguntas de repaso 3.7 y 3.8.
- 143. Problemas 115 3.5 Obtenga vo en el circuito de la figura 3.54. 3.6 Aplique el análisis nodal para obtener vo en el circuito de la figura 3.55. 3.7 Aplique el análisis nodal para determinar Vx en el circui- to de la figura 3.56. 3.8 Aplicando el análisis nodal, halle vo en el circuito de la fi- gura 3.57. 3.9 Determine Ib en el circuito de la figura 3.58 aplicando el análisis nodal. 3.10 Halle Io en el circuito de la figura 3.59. 3.11 Halle vo y la potencia disipada en todos los resistores del circuito de la figura 3.60. 3.12 Aplicando el análisis nodal, determine vo en el circuito de la figura 3.61. Figura 3.54 Para el problema 3.5. Figura 3.55 Para el problema 3.6. 30 V + − 2 kΩ 20 V + − 5 kΩ 4 kΩ vo + − 6 Ω 2 Ω12 V 10 V + − + − 4 Ω I3I2 vo I1 10 Ω2 A 0.2Vx20 ΩVx + − Figura 3.56 Para el problema 3.7. Figura 3.57 Para el problema 3.8. 3 V 4vo2 Ωvo + − 1 Ω 3 Ω 5 Ω + − + − Figura 3.58 Para el problema 3.9. 24 V + − 50 Ω 150 Ω 60Ib 250 Ω + − Ib Figura 3.59 Para el problema 3.10. Figura 3.60 Para el problema 3.11. 2 Ω 4 Ω8 Ω 1 Ω 4 A 2Io Io 36 V + − − +2 Ω 12 V 1 Ω Vo 4 Ω Figura 3.61 Para el problema 3.12. 2 Ω 5 Ω 10 Ω 1 Ω 30 V + − 4 Ix Ix Vo + −
- 144. 116 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.13 Calcule v1 y v2 en el circuito de la figura 3.62 aplicando el análisis nodal. 3.14 Aplicando el análisis nodal, halle vo en el circuito de la fi- gura 3.63. 3.15 Aplique el análisis nodal para hallar io y la potencia disi- pada en cada resistor del circuito de la figura 3.64. 3.16 Determine las tensiones v1 a v3 en el circuito de la figura 3.65 aplicando el análisis nodal. 3.17 Aplicando el análisis nodal, halle la corriente i1 en el cir- cuito de la figura 3.66. 3.18 Determine las tensiones de los nodos en el circuito de la figura 3.67 aplicando el análisis nodal. 3.19 Aplique el análisis nodal para hallar v1, v2 y v3 en el cir- cuito de la figura 3.68. Figura 3.62 Para el problema 3.13. Figura 3.63 Para el problema 3.14. Figura 3.64 Para el problema 3.15. 8 Ω 4 Ω 3 A 2 Ω 2 V v2v1 + − 2 Ω 5 A 8 Ω + − + −4 Ω 20 Vvo + − 1 Ω 40 V 5 S6 S 2 A io 4 A 3 S 10 V + − Figura 3.65 Para el problema 3.16. Figura 3.66 Para el problema 3.17. Figura 3.67 Para el problema 3.18. Figura 3.68 Para el problema 3.19. 1 S 13 V 2 S v1 v2 2vo v3 8 S 2 A 4 Svo + − + − + − 60 V io 3io 10 Ω 8 Ω 2 Ω + − 4 Ω 5 A 2 31 2 Ω2 Ω 10 V +− 8 Ω4 Ω 4 Ω 2 Ω 4 Ω 2 Ω 3 A 12 V 8 Ω 8 Ωv1 v2 v3 5 A + –
- 145. Problemas 117 3.20 Para el circuito de la figura 3.69, halle v1, v2 y v3 aplican- do el análisis nodal. 3.21 Para el circuito de la figura 3.70, halle v1 y v2 aplicando el análisis nodal. 3.22 Determine v1 y v2 en el circuito de la figura 3.71. 3.23 Aplique el análisis nodal para hallar vo en el circuito de la figura 3.72. 3.24 Aplique el análisis nodal y MATLAB para hallar Vo en el circuito de la figura 3.73. 3.25 Aplique el análisis nodal junto con MATLAB para deter- minar las tensiones en los nodos de la figura 3.74. 3.26 Calcule las tensiones de nodo v1, v2 y v3 en el circuito de la figura 3.75. Figura 3.69 Para el problema 3.20. Figura 3.70 Para el problema 3.21. 3 mA v2v1 2 kΩ 4 kΩ 1 kΩ vo 3vo + − +− Figura 3.71 Para el problema 3.22. 3 A v2 5vo v1 8 Ω 1 Ω 4 Ω12 V 2 Ω vo + − − + + − Figura 3.72 Para el problema 3.23. + − 3 A30 V 1 Ω 2 Ω 16 Ω 4 Ω 2Vo + − Vo + − Figura 3.73 Para el problema 3.24. 4 Ω 2 Ω1 Ω 2 Ω 2 A4 A 8 Ω 1 Ω Vo+ − 8 Ω4 A 20 Ω 10 Ω 10 Ω1 Ω 20 Ω 30 Ω v3v1 v2 v4 Figura 3.74 Para el problema 3.25. Figura 3.75 Para el problema 3.26. + − + − 3 A 15 V 10 V 5 Ω 5 Ω 10 Ω 5 Ω20 Ω 15 Ω io 4io v2v1 v3 + − 2 Ω 1 Ω i 4 Ω 4 Ω v3 2i –+ 12 V v2v1 + –
- 146. 118 Capítulo 3 Métodos de análisis *3.27 Aplique el análisis nodal para determinar las tensiones v1, v2 y v3, en el circuito de la figura 3.76. *3.28 Use MATLAB para hallar las tensiones en los nodos a, b, c y d en el circuito de la figura 3.77. 3.29 Use MATLAB para determinar las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.78. 3.30 Aplicando el análisis nodal, halle vo e Io en el circuito de la figura 3.79. 3.31 Halle las tensiones de los nodos del circuito de la figura 3.80. *3.32 Obtenga las tensiones de los nodos v1, v2 y v3 en el cir- cuito de la figura 3.81. Figura 3.76 Para el problema 3.27. Figura 3.77 Para el problema 3.28. 2 S2 A 4 S 2 S 4 A io 1 S 4 S 1 Sv1 io v2 v3 10 Ω 30 V 5 Ω 16 Ω 4 Ω 4 Ω 8 Ω20 Ω 8 Ω 45 V b c a d + −+ − * Un asterisco indica un problema difícil. Figura 3.78 Para el problema 3.29. Figura 3.81 Para el problema 3.32. Figura 3.79 Para el problema 3.30. Figura 3.80 Para el problema 3.31. 5 A V1 V3 V4 V2 1 S 4 S 2 A 1 S 1 S 2 S 2 S 6 A 3 S + −100 V 80 Ω vo + − 10 Ω 20 Ω 40 Ω 120 V + − 2Io4vo +− Io 4 Ω1 A 1 Ω 4 Ω 10 V Io 1 Ω 2 Ωv1 2vo4Io v2 v3 + − vo +− + − 10 kΩ4 mA 5 kΩ v1 20 V10 V v2 v3 12 V+ − +− + −
- 147. Problemas 119 Secciones 3.4 y 3.5 Análisis de malla 3.33 ¿Cuál de los circuitos de la figura 3.82 es de disposición plana? Para determinarlo, vuelva a dibujar los circuitos sin que se crucen las ramas. 3.34 Determine cuál de los circuitos de la figura 3.83 es de dis- posición plana y redibújelo sin ramas que se crucen. 3.35 Repita el problema 3.5 aplicando el análisis de lazos. 3.36 Repita el problema 3.6 aplicando el análisis de lazos. 3.37 Resuelva el problema 3.8 aplicando el análisis de lazos. 3.38 Aplique el análisis de malla al circuito de la figura 3.84 y obtenga Io. 3.39 Determine las corrientes de lazo i1 e i2, en el circuito que se muestra en la figura 3.85. Figura 3.82 Para el problema 3.33. 2 Ω 6 Ω 5 Ω 2 A a) 4 Ω 3 Ω 1 Ω b ) 12 V + − 2 Ω 3 Ω 5 Ω 4 Ω 1 Ω 10 V + − 3 Ω 5 Ω 2 Ω 7 Ω 4 Ω a) 1 Ω 6 Ω 7 Ω 6 Ω1 Ω 3 Ω 4 A b) 8 Ω 2 Ω 5 Ω 4 Ω Figura 3.83 Para el problema 3.34. Figura 3.84 Para el problema 3.38. 1 Ω 2 A 1 Ω 2 Ω 2 Ω 9 V 4 A24 V 1 Ω Io 4 Ω 4 Ω 3 Ω + − + − Figura 3.85 Para el problema 3.39. 4 Ω 2 Ω 6 Ω+ − + −10 V 12 V 2Ix Ix i1 i2 − +
- 148. 120 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.40 Para la red puente de la figura 3.86, halle io aplicando el análisis del lazo. 3.41 Aplique el análisis de lazo para hallar i en la figura 3.87. 3.42 Determine las corrientes de lazo en el circuito de la figu- ra 3.88. 3.43 Aplique el análisis de lazos para hallar vab e io en el cir- cuito de la figura 3.89. 3.44 Aplique el análisis de lazos para obtener io en el circuito de la figura 3.90. 3.45 Halle la corriente i en el circuito de la figura 3.91. 3.46 Calcule las corrientes de lazos i1 e i2 en la figura 3.92. Figura 3.86 Para el problema 3.40. Figura 3.87 Para el problema 3.41. 30 V + − 2 kΩ 2 kΩ 6 kΩ 6 kΩ 4 kΩ4 kΩ io + − + − 10 Ω 2 Ω 5 Ω 1 Ω 8 V 6 V i1 i2 i3 i 4 Ω Figura 3.88 Para el problema 3.42. 20 Ω 30 Ω 10 Ω 6 V 8 V 12 V 40 Ω30 Ωi1 i2 i3 + – + – – + Figura 3.89 Para el problema 3.43. Figura 3.90 Para el problema 3.44. Figura 3.91 Para el problema 3.45. + − 20 Ω 20 Ω 30 Ω 30 Ω 20 Ω 80 V + −80 V 30 Ω vab + − io 3 A 12 V+ − 4 Ω io 1 Ω 6 V 2 Ω 5 Ω + − 4 A 30 V i + − 3 Ω 1 Ω 2 Ω 6 Ω 4 Ω 8 Ω Figura 3.92 Para el problema 3.46. 3 Ω 6 Ω 8 Ω12 V + − 2voi1 i2 + − vo + −
- 149. Problemas 121 3.47 Repita el problema 3.19 aplicando el análisis de lazo. 3.48 Determine la corriente a través del resistor de 10 k⍀ en el circuito de la figura 3.93 aplicando el análisis de lazo. 3.49 Halle vo e io en el circuito de la figura 3.94. 3.50 Aplique el análisis de lazo para hallar la corriente io en el circuito de la figura 3.95. 3.51 Aplicar el análisis de lazo para hallar vo en el circuito de la figura 3.96. 3.52 Aplique el análisis de lazos para hallar i1, i2 e i3 en el cir- cuito de la figura 3.97. 3.53 Hallar las corrientes de lazo en el circuito de la figura 3.98 usando MATLAB. Figura 3.93 Para el problema 3.48. Figura 3.94 Para el problema 3.49. Figura 3.95 Para el problema 3.50. 12 V 8 V 6 V 10 kΩ 1 kΩ 4 kΩ 2 kΩ 5 kΩ 3 kΩ + − + − + − 16 V2io 3 Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω + − io vo Figura 3.96 Para el problema 3.51. Figura 3.97 Para el problema 3.52. Figura 3.98 Para el problema 3.53. 20 V 5 A 2 Ω 8 Ω 1 Ω 40 V vo + − + −4 Ω 12 V + − 8 Ω 4 Ω + − 2 Ωvo 2vo i2 i3 i1 3 A + − 2 kΩ I5 6 kΩ 8 kΩ 8 kΩ 3 kΩ I3 I4 1 kΩ 4 kΩ 12 V + − I2I1 3 mA 3io 10 Ω 4 Ω 60 V + − io 8 Ω 2 Ω
- 150. 122 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.54 Hallar las corrientes de lazos i1, i2 e i3 en el circuito de la figura 3.99. 3.58 Halle i1, i2 e i3 en el circuito de la figura 3.103. 3.59 Repita el problema 3.30 aplicando el análisis de lazo. 3.60 Calcular la potencia disipada en cada resistor del circuito de la figura 3.104. 3.61 Calcular la ganancia de corriente io͞is, en el circuito de la figura 3.105. *3.55 En el circuito de la figura 3.100, determinar I1, I2 e I3. 3.56 Determine v1 y v2, en el circuito de la figura 3.101. 3.57 En el circuito de la figura 3.102, halle los valores de R, V1 y V2 dado que io ϭ 18mA. Figura 3.103 Para el problema 3.58. Figura 3.104 Para el problema 3.60. Figura 3.105 Para el problema 3.61. Figura 3.99 Para el problema 3.54. Figura 3.100 Para el problema 3.55. Figura 3.101 Para el problema 3.56. Figura 3.102 Para el problema 3.57. 12 V i1 i2 i3 1 kΩ 1 kΩ 1 kΩ 1 kΩ + − 10 V 12 V 1 kΩ + − + − 4 A 2 Ω 1 A I3 I1 I2 6 Ω 12 Ω 4 Ω 8 V + − 10 V + − 12 V 2 Ω 2 Ω 2 Ω+ − 2 Ω v1 2 Ωv2 + − + − 10 Ω 10 Ω 120 V 30 Ω30 Ω 30 Ω i3 i2 i1 + − 10 V 0.5io 4 Ω 8 Ω 1 Ω 2 Ω+ − io 5vo 20 Ω 10 Ω 40 Ω io is 30 Ωvo + − – + 100 V V1 io + + − V2 + − − R 4 kΩ 3 kΩ
- 151. Problemas 123 3.62 Hallar las corrientes de lazo i1, i2 e i3 en la red de la figu- ra 3.106. 3.63 Hallar vx e ix en el circuito que se muestra en la figura 3.107. 3.64 Halle vo e io en el circuito de la figura 3.108. 3.65 Use MATLAB para resolver las corrientes de lazo del cir- cuito de la figura 3.109. 3.66 Escriba el conjunto de ecuaciones de los lazos para el cir- cuito de la figura 3.110. Use MATLAB para determinar las corrientes de lazo. Sección 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 3.67 Obtenga las ecuaciones de tensión de los nodos del cir- cuito de la figura 3.111 por inspección. Después determine Vo. 3.68 Halle la tensión Vo en el circuito de la figura 3.112. Figura 3.107 Para el problema 3.63. Figura 3.108 Para el problema 3.64. Figura 3.109 Para el problema 3.65. 4 kΩ 8 kΩ 2 kΩ 100 V 4 mA 2i1 40 V+ − + −i1 i2 i3 Figura 3.106 Para el problema 3.62. ix 2 Ωvx 4ix + − 5 Ω 50 V 3 A + − + − vx 4 10 Ω + − + − io + − 2 A 100 V 40 Ω 10 Ω 50 Ω 10 Ω vo 0.2vo 4io 6 Ω 1 Ω1 Ω1 Ω 3 Ω 4 Ω 1 Ω 5 Ω 6 Ω 8 Ω 2 Ω 10 V 12 V 6 V 9 V i4 i2i1 i3 i5 +−+− + − + − 8 Ω 10 Ω 6 Ω 2 Ω 2 Ω 6 Ω 8 Ω 4 Ω 4 Ω 30 V 32 V + − + − 12 V + − 24 V + − + − 10 Ω 4 Ω8 Ω 40 V 8 Ω i1 i2 i5 i4i3 Figura 3.110 Para el problema 3.66. Figura 3.111 Para el problema 3.67. Figura 3.112 Para el problema 3.68. 2 A 4 Ω 2 Ω 10 Ω 5 Ω3Vo 4 A Vo+ − 40 Ω 3 A 10 Ω 25 Ω 20 Ω4 A 24 V+ − Vo + −
- 152. 124 Capítulo 3 Métodos de análisis Sección 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 3.75 Use PSpice para resolver el problema 3.58. 3.76 Use PSpice para resolver el problema 3.27. 3.69 En referencia al circuito que aparece en la figura 3.113, escriba las ecuaciones de tensión de los nodos por inspec- ción. 3.70 Escriba las ecuaciones de tensión de nodo por inspección y después determine los valores de V1 y V2 en el circuito de la figura 3.114. 3.71 Escriba las ecuaciones de corriente de los lazos del cir- cuito de la figura 3.115. Después determine los valores de i1, i2 e i3. 3.72 Por inspección, escriba las ecuaciones de corriente de los lazos del circuito de la figura 3.116. 3.73 Escriba las ecuaciones de corriente de los lazos del cir- cuito de la figura 3.117. 3.74 Por inspección, obtenga las ecuaciones de corriente de los lazos del circuito de la figura 3.118. Figura 3.117 Para el problema 3.73. Figura 3.118 Para el problema 3.74. Figura 3.113 Para el problema 3.69. Figura 3.114 Para el problema 3.70. Figura 3.115 Para el problema 3.71. 2 kΩ 2 kΩ 10 mA20 mA v1 4 kΩ 4 kΩ 1 kΩ 5 mA v2 v3 1S4 A 2 A V2V1 4ix 2 S 5 S ix + − + − 10 V 5 V 4 Ω 5 Ω 2 Ω 3 Ω i1 i3 i2 1 Ω + − +−+− 10 V 4 Ω 5 Ω 2 Ω 4 Ωi1 i2 i3 8 V 4 V i4 1 Ω Figura 3.116 Para el problema 3.72. + − + − +− + − 6 V 4 V 1 Ω 1 Ω 3 Ω 1 Ω i1 i2 i4i3 2 V 3 V 2 Ω 4 Ω 5 Ω + − + − + − i1 i3 V1 V3 V2 V4 i2 i4 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 + −
- 153. Problemas 125 3.77 Determine V1 y V2 en el circuito de la figura 3.119 usan- do PSpice. 3.78 Resuelva el problema 3.20 usando PSpice. 3.79 Repita el problema 3.28 usando PSpice. 3.80 Halle las tensiones nodales v1 a v4 en el circuito de la fi- gura 3.120 usando PSpice. 3.81 Use PSpice para resolver el problema del ejemplo 3.4. 3.82 Si la Schematics Netlist de una red es la siguiente, trace la red. R_R1 1 2 2K R_R2 2 0 4K R_R3 3 0 8K R_R4 3 4 6K R_R5 1 3 3K V_VS 4 0 DC 100 I_IS 0 1 DC 4 F_F1 1 3 VF_F1 2 VF_F1 5 0 0V E_E1 3 2 1 3 3 3.83 El siguiente programa es la Schematics Netlist de un cir- cuito particular. Trace el circuito y determine la tensión en el nodo 2. R_R1 1 2 20 R_R2 2 0 50 R_R3 2 3 70 R_R4 3 0 30 V_VS 1 0 20V I_IS 2 0 DC 2A Sección 3.9 Aplicaciones 3.84 Calcule vo e Io en el circuito de la figura 3.121. 3.85 Un amplificador de audio con una resistencia de 9 ⍀ sumi- nistra energía a un altavoz. ¿Cuál debería ser la resisten- cia del altavoz para el suministro de la energía máxima? 3.86 Para el circuito transistorizado simplificado de la figura 3.122, calcule la tensión vo. 3.87 Para el circuito de la figura 3.123, hallar la ganancia vo͞vs. Figura 3.120 Para el problema 3.80. + − + − 8 A 20 V 1 Ω v1 2 Ω 4 Ω 10 Ω 12 Ωv2 v3 Io 6Io v4 Figura 3.119 Para el problema 3.77. 2 Ω 2ix 5 Ω 1 Ω5 A 2 A V2 ix V1 Figura 3.121 Para el problema 3.84. + − + −3 mV vo + − 4 kΩ 50Io Io vo 100 20 kΩ + − + − I 2 kΩ 5 kΩ 1 kΩ 30 mV vo 400I Figura 3.122 Para el problema 3.86. + − − + + − + − 500 Ω 400 Ω 2 kΩ 200 Ω vs vov1 60v1 Figura 3.123 Para el problema 3.87.
- 154. 126 Capítulo 3 Métodos de análisis *3.88 Determinar la ganancia vo͞vs del circuito amplificador transistorizado de la figura 3.124. 3.89 Para el circuito transistorizado que aparece en la figura 3.125, halle IB y VCE. Sea  ϭ 100 y VBE ϭ 0.7 V. 3.91 Para el circuito transistorizado de la figura 3.127, hallar IB, VCE y vo. Suponga  ϭ 200, VBE ϭ 0.7 V. 3.92 Hallar IB y VC en el circuito de la figura 3.128. Sea  ϭ 100, VBE ϭ 0.7 V. *3.93 Rehaga el ejercicio 3.11 con los cálculos a mano. Problemas de mayor extensión Figura 3.124 Para el problema 3.88. 2 kΩ 100 Ω 200 Ω vs 40Io Io vo 10 kΩ vo 1 000 + − + − + − +− −+ 100 kΩ 15 V 3 V 0.7 V + − 1 kΩ Figura 3.125 Para el problema 3.89. + − 18 V 1 kΩ vs 10 kΩ + − 500 Ω vo Figura 3.126 Para el problema 3.90. + − 9 V 5 kΩ 3 V 6 kΩ + − 400 Ω vo VCE + − IB 2 kΩ Figura 3.127 Para el problema 3.91. + −IB 12 V 4 kΩ VC 10 kΩ 5 kΩ Figura 3.128 Para el problema 3.92. 3.90 Calcule vs en el transistor de la figura 3.126 dado que vo ϭ 4 V,  ϭ 150, VBE ϭ 0.7 V.
- 155. Teoremas de circuitos Las leyes de la naturaleza son justas pero terribles. No hay suave misericor- dia en ellas… El fuego quema, el agua ahoga, el aire carcome, la tierra sepulta. Y quizá sería bueno para nuestra raza que el castigo de los crímenes contra las leyes del hombre fuera tan inevitable como el castigo de los crímenes contra las leyes de la naturaleza, si el hombre fuera tan certero en su juicio como la naturaleza. —Henry Wadsworth Longfellow C a p í t u l o 4 127 La capacidad para la comunicación eficaz es considerada por muchos como el paso más importante para el ascenso de un ejecutivo. © Jon Feingersh/CORBIS Mejore sus habilidades y su carrera Desarrollo de sus habilidades de comunicación Tomar un curso de análisis de circuitos es un paso en su preparación para una carrera en ingeniería eléctrica. Ya que dedicará gran parte de su tiempo a comu- nicarse, el mejoramiento de sus habilidades de comunicación mientras está en la universidad también debería estar presente en esa preparación. Los miembros de la industria se quejan de que los ingenieros recién gra- duados están deficientemente preparados en comunicación escrita y oral. Un in- geniero que se comunica de manera eficaz se convierte en un bien muy valioso. Es probable que usted hable o escriba con facilidad y rapidez. Pero, ¿qué tan eficazmente se comunica? El arte de la comunicación eficaz es de la ma- yor importancia para su éxito como ingeniero. Para los ingenieros industriales, la comunicación es clave para el ascenso. Considere el resultado de una encuesta realizada entre corporaciones de Esta- dos Unidos en la que se preguntó qué factores influyen en el ascenso de los gerentes. Esta encuesta incluía una lista de 22 cualidades personales y su im- portancia para el progreso profesional. Tal vez le sorprenda saber que la “ha- bilidad técnica basada en la experiencia” quedó en cuarto lugar de abajo para arriba. Atributos como la seguridad en uno mismo; la ambición; la flexibili- dad; la madurez; la habilidad para tomar decisiones correctas, obtener resulta- dos y hacerse entender por los demás, y la capacidad para trabajar con tesón ocuparon lugares más altos. El primer lugar de la lista fue para la “capacidad para comunicarse”. Cuanto más alto llegue usted en su carrera profesional, más tendrá que comunicarse. En consecuencia, debería considerar la comunicación eficaz como una importante herramienta en su instrumental de ingeniería. Aprender a comunicarse de manera eficaz es una tarea de toda la vida en la que deberíamos esmerarnos siempre. El mejor momento para empezar es durante la estancia en la universidad. Busque continuamente oportunidades para mejorar y fortalecer sus habilidades de lectura, redacción, escucha y ha- bla. Puede hacerlo mediante presentaciones en el salón de clases, proyectos en equipo, la activa participación en organizaciones estudiantiles y la inscrip- ción en cursos de comunicación. Los riesgos son menores entonces que más tarde en un centro de trabajo.
- 156. 128 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Introducción Una de las principales ventajas de analizar circuitos con el uso de las leyes de Kirchhoff, como se hizo en el capítulo 3, es que se puede analizar un circuito sin alterar su configuración original. Una de las principales desventajas de ese método es que implica en gran medida circuitos complejos y tediosos cálculos. El aumento de las áreas de aplicación de circuitos eléctricos ha causado una evolución de circuitos simples a complejos. Para enfrentar esa compleji- dad, a lo largo de los años los ingenieros han desarrollado algunos teoremas para simplificar el análisis de circuitos. Entre ellos están los teoremas de The- venin y Norton. Como estos teoremas se aplican a circuitos lineales, primero se expondrá el concepto de linealidad de los circuitos. Además de teoremas de circuitos, en este capítulo se expondrán los conceptos de superposición, transformación de fuentes y máxima transferencia de potencia. Los conceptos desarrollados se aplicarán en la última sección a la modelación de fuentes y la medición de la resistencia. Propiedad de linealidad La linealidad es la propiedad de un elemento que describe una relación lineal entre causa y efecto. Aunque tal propiedad se aplica a muchos elementos de circuitos, en este capítulo se limitará su aplicacion a resistores. Esta propie- dad es una combinación de la propiedad de homogeneidad (escalamiento) y la propiedad aditiva. La propiedad de homogeneidad establece que si la entrada (también lla- mada excitación) se multiplica por una constante, la salida (también llamada respuesta) se multiplica por la misma constante. En el caso de un resistor, por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la entrada i con la salida v. v ϭ iR (4.1) Si la corriente se incrementa por una constante k, la tensión se incrementa en consecuencia por k; esto es, kiR ϭ kv (4.2) La propiedad aditiva establece que la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas a cada entrada aplicada por separado. Con base en la relación tensión-corriente de un resistor, si v1 ϭ i1R (4.3a) y v2 ϭ i2R (4.3b) entonces la aplicación de (i1 ϩ i2) da como resultado v ϭ (i1 ϩ i2) R ϭ i1R ϩ i2R ϭ v1 ϩ v2 (4.4) Se dice que un resistor es un elemento lineal a causa de que la relación ten- sión-corriente satisface las propiedades tanto de homogeneidad como de adi- tividad. En general, un circuito es lineal si es tanto aditivo como homogéneo. Un circuito lineal consta únicamente de elementos lineales, fuentes lineales de- pendientes y fuentes lineales independientes. 4.2 4.1
- 157. 4.2 Propiedad de linealidad 129 Un circuito lineal es aquel cuya salida se relaciona linealmente con (o es di- rectamente proporcional a) su entrada. En este libro sólo se consideran circuitos lineales. Nótese que como p ϭ i2 R ϭ v1 /R (lo que hace de ella una función cuadrática más que lineal), la relación entre potencia y tensión (o corriente) es no lineal. Por lo tanto, los teoremas cubiertos en este capítulo no son aplicables a la potencia. Para ilustrar el principio de linealidad, considérese el circuito lineal que se muestra en la figura 4.1. Este circuito lineal no tiene dentro de él fuentes independientes. Es excitado por una fuente de tensión vs, la cual sirve como entrada. El circuito termina con una carga R. Puede tomarse la corriente i a través de R como salida. Supóngase que vs ϭ 10 V da i ϭ 2 A. De acuerdo con el principio de linealidad, vs ϭ 1 V dará en i ϭ 0.2 A. Por la misma ra- zón, i ϭ 1 mA tiene que deberse a vs ϭ 5 mV. Por ejemplo, cuando la corriente i1 fluye por el resistor R, la potencia es p1 ϭ Ri2 1, y cuando la corriente i2 fluye por R, la potencia es p2 ϭ Ri2 2 . Si la corriente i1 ϩ i2 fluye por R, la potencia absorbida es p3 ϭ R(i1 ϩ i2)2 ϭ Ri2 1 ϩ Ri2 2 ϩ 2Ri1i2 p1 ϩ p2. Así, la relación con la potencia es no lineal. Figura 4.3 Para el problema de práctica 4.1. Para el circuito de la figura 4.2, halle Io cuando vs ϭ 12 V y vs ϭ 24 V. Solución: Al aplicar la LTK a las dos mallas se obtiene 12i1 Ϫ 4i2 ϩ vs ϭ 0 (4.1.1) Ϫ4i1 ϩ 16i2 Ϫ 3vs Ϫ vs ϭ 0 (4.1.2) Pero vx ϭ 2i1. Así, la ecuación (4.1.2) se convierte en Ϫ10i1 ϩ 16i2 Ϫ vs ϭ 0 (4.1.3) La suma de las ecuaciones (4.1.1) y (4.1.3) produce 2i1 ϩ 12i2 ϭ 0 1 i1 ϭ Ϫ6i2 Al sustituir esto en la ecuación (4.1.1) se obtiene Ϫ76i2 ϩ vs ϭ 0 1 i2 ϭ Cuando vs ϭ 12 V, Io ϭ i2 ϭ A Cuando vs ϭ 24 V, Io ϭ i2 ϭ A lo que demuestra que cuando el valor de la fuente se duplica, Io se duplica. Para el circuito de la figura 4.3, halle vo cuando is ϭ 15 e is ϭ 30 A. Respuesta: 10 V, 20 V. 24 76 12 16 vs 76 Problema de práctica 4.1 Ejemplo 4.1 Figura 4.2 Para el ejemplo 4.1. Figura 4.1 Circuito lineal con entrada vs y salida i. vs R i + − Circuito lineal is 6 Ω 4 Ω2 Ω + − vo + −vs vx 3vx i1 i2 2 Ω 8 Ω 4 Ω 6 Ω 4 Ω − + + − Io
- 158. 10 V 12 Ω 8 Ω5 Ω+ − + − Vo Suponga que Io ϭ 1 A y aplique el principio de la linealidad para hallar el valor real de Io en el circuito de la figura 4.4. Figura 4.4 Para el ejemplo 4.2. Solución: Si Io ϭ 1 A, entonces V1 ϭ (3 ϩ 5)Io ϭ 8 V e I1 ϭ V1͞4 ϭ 2 A. La aplica- ción de la LCK al nodo 1 da I2 ϭ I1 ϩ Io ϭ 3 A V2 ϭ V1 ϩ 2I2 ϭ 8 ϩ 6 ϭ 14 V, I3 ϭ ϭ 2 A La aplicación de la LCK al nodo 2 da I4 ϭ I3 ϩ I2 ϭ 5 A Por lo tanto, Is ϭ 5 A. Esto demuestra que al suponer que Io ϭ 1 da por re- sultado Is ϭ 5 A, la fuente real de corriente de 15 A dará Io ϭ 3 A como el valor real. V2 7 Suponga que Vo ϭ 1 V y aplique el principio de la linealidad para calcular el valor real de Vo en el circuito de la figura 4.5. Respuesta: 4 V. Ejemplo 4.2 130 Capítulo 4 Teoremas de circuitos La superposición no se limita al análi- sis de circuitos; también se aplica a muchos otros campos en los que causa y efecto guardan una relación lineal entre sí. Problema de práctica 4.2 Figura 4.5 Para el problema de práctica 4.2. Superposición Si un circuito tiene dos o más fuentes independientes, una forma de determi- nar el valor de una variable específica (tensión o corriente) es aplicar el aná- lisis nodal o de malla, como en el capítulo 3. Otra es determinar la contribución de cada fuente independiente a la variable y después sumarlas. Este último método se conoce como superposición. La idea de la superposición se basa en la propiedad de la linealidad. El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o la corriente a través) de un elemento en un circuito lineal es la suma algebrai- ca de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a que ca- da fuente independiente actúa sola. 4.3 Io I4 I2 I3 V2 6 Ω 2 Ω2 5 Ω7 Ω I1 V1 3 Ω1 4 ΩIs = 15 A
- 159. El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente, mediante el cálculo de la contribución de cada fuen- te independiente por separado. Sin embargo, al aplicarlo deben tenerse en cuenta dos cosas: 1. Las fuentes independientes se consideran una a la vez mientras todas las demás fuentes independientes están apagadas. Esto implica que cada fuente de tensión se remplaza por 0 V (o cortocircuito) y cada fuente de corriente por 0 A (o circuito abierto). De este modo se obtiene un circui- to más simple y manejable. 2. Las fuentes dependientes se dejan intactas, porque las controlan variables de circuitos. Con esto en cuenta, el principio de superposición se aplica en tres pasos: El análisis de un circuito aplicando la superposición tiene una gran des- ventaja: muy probablemente puede implicar más trabajo. Si el circuito tiene tres fuentes independientes, quizá deban analizarse tres circuitos más simples, cada uno de los cuales proporciona la contribución debida a la respectiva fuen- te individual. Sin embargo, la superposición ayuda a reducir un circuito com- plejo en circuitos más simples mediante el remplazo de fuentes de tensión por cortocircuitos y de fuentes de corriente por circuitos abiertos. Tenga en cuenta que la superposición se basa en la linealidad. Por esta razón, no es aplicable al efecto sobre la potencia debido a cada fuente, por- que la potencia absorbida por un resistor depende del cuadrado de la tensión o de la corriente. De necesitarse el valor de la potencia, primero debe calcu- larse la corriente (o tensión) a través del elemento aplicando la superposición. Aplique el teorema de la superposición para hallar v en el circuito de la figu- ra 4.6. Solución: Puesto que hay dos fuentes, se tiene v ϭ v1 ϩ v2 donde v1 y v2 son las contribuciones de la fuente de tensión de 6 V y a la fuente de corriente de 3 A, respectivamente. Para obtener v1, la fuente de co- rriente se iguala en cero, como se indica en la figura 4.7a). La aplicación de la LTK al lazo de esta última figura se tiene 12i1 Ϫ 6 ϭ 0 1 i1 ϭ 0.5 A 4.3 Superposición 131 Términos como muerto, inactivo, apa- gado o igual a cero suelen usarse para transmitir la misma idea. Figura 4.6 Para el ejemplo 4.3. Pasos para aplicar el principio de superposición: 1. Apague todas las fuentes independientes, excepto una. Determine la salida (tensión o corriente) debida a esa fuente activa, aplicando las técnicas cubiertas en los capítulos 2 y 3. 2. Repita el paso 1 en cada una de las demás fuentes independientes. 3. Halle la contribución total sumando algebraicamente todas las con- tribuciones debidas a las fuentes independientes. Ejemplo 4.3 6 V v 3 A 8 Ω 4 Ω+ − + −
- 160. 132 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Figura 4.7 Para el ejemplo 4.3: a) cálculo de v1, b) cálculo de v2. Figura 4.8 Para el problema de práctica 4.3. Figura 4.9 Para el ejemplo 4.4. Problema de práctica 4.3 Ejemplo 4.4 Así, v1 ϭ 4i1 ϭ 2 V También se puede aplicar la división de tensión para obtener v1 escribiendo v1 ϭ (6) ϭ 2 V Para obtener v2, la fuente de tensión se iguala en cero, como en la figura 4.7b). Al aplicar el divisor de corriente, i3 ϭ (3) ϭ 2 A Por lo tanto, v2 ϭ 4i3 ϭ 8 V Y se halla v ϭ v1 ϩ v2 ϭ 2 ϩ 8 ϭ 10 V 8 4 ϩ 8 4 4 ϩ 8 Aplicando el teorema de la superposición, halle vo en el circuito de la figura 4.8. Respuesta: 12 V. Halle io en el circuito de la figura 4.9 aplicando la superposición. Solución: El circuito de la figura 4.9 incluye una fuente dependiente, la cual debe de- jarse intacta. Sea io ϭ iЈo ϩ iЉo (4.4.1) donde iЈo e iЉo se deben a la fuente de corriente de 4 A y a la fuente de ten- sión de 20 V, respectivamente. Para obtener iЈo se desactiva la fuente de 20 V, para conseguir el circuito de la figura 4.10a). Se aplica el análisis de malla a fin de obtener iЈo. En cuanto al lazo 1, i1 ϭ 4 A (4.4.2) En cuanto al lazo 2, Ϫ3i1 ϩ 6i2 Ϫ 1i3 Ϫ 5iЈo ϭ 0 (4.4.3) + −6 V i1 8 Ω v14 Ω a) + − 3 A 8 Ω v2 i2 i3 4 Ω b) + − 3 Ω 5 Ω 2 Ω 8 A 20 V+ − + − vo 4 A 20 V 3 Ω 5 Ω 1 Ω 2 Ω 4 Ω + − 5io io + −
- 161. 4.3 Superposición 133 Figura 4.10 Para el ejemplo 4.4: aplicación de la superposición para a) obtener iЈo, b) obtener iЉo. En cuanto al lazo 3, Ϫ5i1 Ϫ 1i2 ϩ 10i3 ϩ 5iЈo ϭ 0 (4.4.4) Pero en el nodo 0, i3 ϭ i1 Ϫ iЈo ϭ 4 Ϫ iЈo (4.4.5) La sustitución de las ecuaciones (4.4.2) y (4.4.5) en las ecuaciones (4.4.3) y (4.4.4) da como resultado dos ecuaciones simultáneas, 3i2 Ϫ 2iЈo ϭ 8 (4.4.6) i2 ϩ 5iЈo ϭ 20 (4.4.7) las que pueden resolverse para obtener iЈo ϭ A (4.4.8) Para obtener iЉo se desactiva la fuente de corriente de 4 A, a fin de que el circuito sea como el que aparece en la figura 4.10b). En cuanto al lazo 4, la LTK da 6i4 Ϫ i5 Ϫ 5iЉo ϭ 0 (4.4.9) y en cuanto al lazo 5, Ϫi4 ϩ 10i5 Ϫ 20 ϩ 5iЉo ϭ 0 (4.4.10) Pero i5 ϭ ϪiЉo. La sustitución de esto en las ecuaciones (4.4.9) y (4.4.10) da por resultado 6i4 Ϫ 4iЉo ϭ 0 (4.4.11) i4 ϩ 5iЉo ϭ Ϫ20 (4.4.12) que se resuelven para obtener iЉo ϭ Ϫ A (4.4.13) Ahora, la sustitución de las ecuaciones (4.4.8) y (4.4.13) en la ecuación (4.4.1) deriva en io ϭ Ϫ ϭ Ϫ0.4706 A 8 17 60 17 52 17 4 A 3 Ω 5 Ω 1 Ω 2 Ω 4 Ω + − i1 i3i′o 5i′o 0 a) 3 Ω 5 Ω 1 Ω 2 Ω 4 Ω + − i′′o 5i′′o b) 20 V + − i1 i2 i3 i5 i4
- 162. 134 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Figura 4.12 Para el ejemplo 4.5. Figura 4.11 Para el problema de práctica 4.4. Problema de práctica 4.4 Ejemplo 4.5 Aplique la superposición para hallar vx en el circuito de la figura 4.11. Respuesta: vx ϭ 12.5 V. En relación con el circuito de la figura 4.12 aplique el teorema de la super- posición para hallar i. Solución: En este caso se tienen tres fuentes. Se tiene i ϭ i1 ϩ i2 ϩ i3 donde i1, i2 e i3 se deben a las fuentes de 12 V, 24 V y 3 A, respectivamen- te. Para obtener i1 considérese el circuito de la figura 4.13a). La combinación de 4 ⍀ (a la derecha) en serie con 8 ⍀ se tiene 12 ⍀. El 12 ⍀ en paralelo con 4 ⍀ da por resultado 12 ϫ 4/16 ϭ 3 ⍀. Así, i1 ϭ ϭ 2 A Para obtener i2 considérese el circuito de la figura 4.13b). La aplicación del análisis de malla da como resultado 16ia Ϫ 4ib ϩ 24 ϭ 0 1 4ia Ϫ ib ϭ Ϫ6 (4.5.1) 7ib Ϫ 4ia ϭ 0 1 ia ϭ ib (4.5.2) La sustitución de la ecuación (4.5.2) en la ecuación (4.5.1) produce i2 ϭ ib ϭ Ϫ1 Para obtener i3 considérese el circuito de la figura 4.13c). La aplicación del análisis nodal da por resultado 3 ϭ ϩ 1 24 ϭ 3v2 Ϫ 2v1 (4.5.3) ϭ ϩ 1 v2 ϭ v1 (4.5.4) La sustitución de la ecuación (4.5.4) en la ecuación (4.5.3) conduce a v1 ϭ 3 e i3 ϭ ϭ 1 A Así, i ϭ i1 ϩ i2 ϩ i3 ϭ 2 Ϫ1 ϩ 1 ϭ 2 A v1 3 10 3 v1 3 v1 4 v2 Ϫ v1 4 v2 Ϫ v1 4 v2 8 7 4 12 6 vx20 Ω 0.1vx4 Ω10 V 2 A+ − + − + − 24 V 8 Ω 4 Ω 3 Ω 3 A12 V 4 Ω i
- 163. 4.4 Transformación de fuentes 135 Problema de práctica 4.5 Figura 4.13 Para el ejemplo 4.5. Figura 4.14 Para el problema de práctica 4.5. Respuesta: 0.75 A. Halle I en el circuito de la figura 4.14 aplicando el principio de superposi- ción. Transformación de fuentes Se ha señalado que la combinación en serie-paralelo y la transformación es- trella-delta ayudan a simplificar circuitos. La transformación de fuentes es otra herramienta para simplificar circuitos. Para estas herramientas es básico el concepto de equivalencia. Recuérdese que un circuito equivalente es aquel cu- yas características de v-i son idénticas a las del circuito original. En la sección 3.6 se vio que es posible obtener ecuaciones de tensión de nodo (o corriente de malla) por mera inspección de un circuito cuando todas las fuentes de corriente son independientes (o son de tensión independientes). Por lo tanto, en análisis de circuitos es útil poder sustituir una fuente de ten- sión en serie con un resistor por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia o viceversa, como se muestra en la figura 4.15. Cualquier sustitu- ción se conoce como transformación de fuente. 4.4 8 Ω 4 Ω 4 Ω 3 Ω12 V + − 3 Ω 3 Ω12 V + − a) 8 Ω24 V 4 Ω 4 Ω 3 Ω b) + − ib ia 8 Ω 4 Ω 4 Ω 3 Ω 3 A v1 v2 c) i1 i2 i3 i1 16 V 8 Ω 2 Ω 4 A 6 Ω + − 12 V+ − I
- 164. 136 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Figura 4.15 Transformación de fuentes independientes. Una transformación de fuentes es el proceso de remplazar una fuente de tensión vs en serie con un resistor R por una fuente de corriente is en paralelo con un resistor R o viceversa. Los dos circuitos de la figura 4.15 son equivalentes, en tanto tengan la mis- ma relación tensión-corriente en las terminales a-b. Es fácil demostrar que en efecto son equivalentes. Si las fuentes se apagan, la resistencia equivalente en las terminales a-b en ambos circuitos es R. Asimismo, cuando las termi- nales a-b están en cortocircuito, la corriente correspondiente que fluye de a a b es isc ϭ vs͞R en el circuito de la izquierda e isc ϭ is en el de la derecha. Así, vs͞R ϭ is para que ambos circuitos sean equivalentes. En consecuencia, la transformación de fuente requiere que vs = is R o is ϭ (4.5) La transformación de fuentes también se aplica a fuentes dependientes, siempre y cuando se maneje con cuidado la variable dependiente. Como se muestra en la figura 4.16, una fuente de tensión dependiente en serie con un resistor puede transformarse en una fuente de corriente dependiente en para- lelo con el resistor o viceversa, confirmando que se satisfaga la ecuación (4.5). Figura 4.16 Transformación de fuentes dependientes. Al igual que la transformación estrella-delta que se estudió en el capítu- lo 2, una transformación de fuente no afecta a la parte restante del circuito. Cuando es aplicable, la transformación de fuentes es una herramienta eficaz que permite manipulaciones de circuitos para facilitar su análisis. No obstan- te, se deben tener en cuenta los siguientes puntos al tratar con la transforma- ción de fuentes. 1. Como se advierte en la figura 4.15 (o 4.16), la flecha de la fuente de co- rriente apunta hacia la terminal positiva de la fuente de tensión. 2. Como se deduce de la ecuación (4.5), la transformación de fuente no es posible cuando R ϭ 0, el cual es el caso de una fuente de tensión ideal. Sin embargo, en una fuente de tensión real no ideal, R 0. De igual for- ma, una fuente de corriente ideal con R ϭ ϱ no puede remplazarse por una fuente de tensión finita. En la sección 4.10.1 se abundará en fuentes ideales y no ideales. vs R + −vs R a b is R a b vs R a b is R a b + −
- 165. 4.4 Transformación de fuentes 137 Aplique la transformación de fuente para encontrar vo en el circuito de la fi- gura 4.17. Solución: Primero hay que transformar las fuentes de corriente y de tensión para obte- ner el circuito de la figura 4.18a). La combinación de los resistores de 4 y 2 ⍀ en serie y la transformación de la fuente de tensión de 12 V dan por resultado la figura 4.18b). Ahora se combinan los resistores de 3 y 6 ⍀ en paralelo, pa- ra obtener 2 ⍀. Se combinan asimismo las fuentes de corriente de 2 y 4 A, para obtener una fuente de 2 A. Así, mediante la repetida aplicación de trans- formaciones de fuente, se obtiene el circuito de la figura 4.18c). Se aplica la división de corriente a la figura 4.18c), para obtener i ϭ (2) ϭ 0.4 A y vo ϭ 8i ϭ 8(0.4) ϭ 3.2 V Alternativamente, puesto que los resistores de 8 y 2 ⍀ de la figura 4.18c) están en paralelo, tienen la misma tensión vo entre sus extremos. Así, vo (8 || 2)(2 A) ϭ (2) ϭ 3.2 V 8 ϫ 2 10 2 2 ϩ 8 Encuentre io en el circuito de la figura 4.19 aplicando la transformación de fuente. Figura 4.19 Para el problema de práctica 4.6. Respuesta: 1.78 A. Problema de práctica 4.6 Ejemplo 4.6 Figura 4.17 Para el ejemplo 4.6. Figura 4.18 Para el ejemplo 4.6. 2 Ω 3 Ω 12 V8 Ω4 Ω 3 A + − + − vo 4 Ω 2 Ω 4 A8 Ω 3 Ω12 V + − a) + − vo 4 A8 Ω6 Ω 3 Ω2 A b) 2 A8 Ω 2 Ω c) i + − vo + − vo 4 Ω5 A 5 V 7 Ω 3 A3 Ω 1 Ω 6 Ω − + io
- 166. 138 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Figura 4.20 Para el ejemplo 4.7. Figura 4.22 Para el problema de práctica 4.7. Figura 4.21 Para el ejemplo 4.7: aplicación de la transformación de fuente al circuito de la figura 4.20. Problema de práctica 4.4 Ejemplo 4.7 Aplique la transformación de fuentes para hallar ix en el circuito que se mues- tra en la figura 4.22. Respuesta: 1.176 A. Encuentre vx en la figura 4.20 aplicando la transformación de fuente. Solución: El circuito de la figura 4.20 incluye una fuente dependiente de corriente con- trolada por voltaje. Se transforma esta fuente de corriente dependiente, lo mis- mo que la fuente de tensión independiente de 6 V, como se indica en la figura 4.21a). La fuente de tensión de 18 V no se transforma, porque no está conec- tada en serie con ningún resistor. Los dos resistores de 2 ⍀ en paralelo se combinan, para dar por resultado un resistor de 1 ⍀, el cual está en paralelo con la fuente de corriente de 3 A. La fuente de corriente se transforma en fuente de tensión, como se indica en la figura 4.21b). Obsérvese que las ter- minales de vx están intactas. La aplicación de la LTK alrededor de la malla de la figura 4.21b) produce Ϫ3 ϩ 5i ϩ vx ϩ 18 ϭ 0 (4.7.1) La aplicación de la LTK alrededor de la malla que contiene únicamente la fuente de tensión de 3 ⍀, el resistor de 1 ⍀ y vx produce Ϫ3 ϩ 1i ϩ vx ϭ 0 1 vx ϭ 3 Ϫ i (4.7.2) Al sustituir esto en la ecuación (4.7.1) se obtiene 15 ϩ 5i ϩ 3 Ϫ i ϭ 0 1 i ϭ Ϫ4.5 A Alternativamente, se puede aplicar la LTK al lazo que contiene vx, el resistor de 4 ⍀, la fuente dependiente de voltaje controlada por tensión y la fuente de voltaje de 18 V en la figura 4.21b). De eso se obtiene Ϫvx ϩ 4i ϩ vx ϩ 18 ϭ 0 1 i ϭ Ϫ4.5 A Así, vx ϭ 3 Ϫ i ϭ 7.5 V. 4 Ω 2 Ω 0.25vx 2 Ω6 V 18 V+ − + − vx + − 2ix 5 Ω 4 A 10 Ω − + ix 18 V3 A 4 Ω 2 Ω2 Ω + − + − a) 18 V3 V 4 Ω1 Ω vx vxvx + − + − + − + − b) i + − vx
- 167. 4.5 Teorema de Thevenin 139 Teorema de Thevenin En la práctica suele ocurrir que un elemento particular de un circuito sea va- riable (usualmente llamado carga) mientras que los demás elementos perma- necen fijos. Como ejemplo habitual, en una toma de corriente doméstica se pueden conectar diferentes aparatos, los que constituyen una carga variable. Cada vez que el elemento variable cambia, el circuito entero tiene que volver a analizarse de nuevo. Para evitar este problema, el teorema de Thevenin pro- porciona una técnica mediante la cual la parte fija del circuito se remplaza por un circuito equivalente. De acuerdo con el teorema de Thevenin, el circuito lineal de la figura 4.23a) puede remplazarse por el de la figura 4.23b). (La carga en la figura 4.23 puede ser un solo resistor u otro circuito.) El circuito a la izquierda de las ter- minales a-b en la figura 4.23b) se conoce como circuito equivalente de The- venin y fue desarrollado en 1883 por el ingeniero de telégrafos francés M. Leon Thevenin (1857-1926). El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión VTh en serie con un resistor RTh, donde VTh es la tensión de circuito abierto en las terminales y RTh es la entrada o resistencia equivalente en las ter- minales cuando las fuentes independientes se apagan. La comprobación de este teorema se dará más adelante, en la sección 4.7. Por ahora el principal interés es cómo hallar la tensión equivalente de Theve- nin VTh y la resistencia RTh. Para hacerlo, supóngase que los dos circuitos de la figura 4.23 son equivalentes. Se dice que dos circuitos son equivalentes si tienen la misma relación tensión-corriente en sus terminales. Indáguese qué vuelve equivalentes a los circuitos de la figura 4.23. Si las terminales a-b es- tán en circuito abierto (mediante la eliminación de la carga), ninguna corrien- te fluye, así que la tensión de circuito abierto entre las terminales a-b de la figura 4.23a) debe ser igual a la fuente de tensión VTh de la figura 4.23b), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así, VTh es la tensión de circuito abier- to entre las terminales, como se indica en la figura 4.24a); es decir, VTh ϭ voc (4.6) Figura 4.24 Cálculo de VTh y RTh. De nueva cuenta, con la carga desconectada y las terminales a-b en cir- cuito abierto, se apagan todas las fuentes independientes. La resistencia de en- trada (o resistencia equivalente) del circuito apagado en las terminales a-b de la figura 4.23a) debe ser igual a RTh en la figura 4.23b), porque ambos cir- cuitos son equivalentes. Así, RTh es la resistencia de entrada en las termina- les cuando las fuentes independientes se apagan, como se muestra en la figura 4.24b); es decir, RTh ϭ Ren (4.6) 4.5 Figura 4.23 Remplazo de un circuito lineal de dos ter- minales por su equivalente de Thevenin: a) circuito original, b) circuito equivalen- te de Thevenin. Circuito lineal de dos terminales Carga I a b V + − a) Carga I a b V + − b) + −VTh RTh Circuito lineal de dos terminales a b voc + − a) VTh = voc Circuito lineal con todas las fuentes independientes igualadas a cero a b Ren b) RTh = Ren
- 168. 140 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Ejemplo 4.8 Halle el circuito equivalente de Thevenin del circuito que aparece en la figu- ra 4.27 a la izquierda de las terminales a-b. Halle después la corriente a tra- vés de RL ϭ 6, 16 y 36 ⍀. Solución: Se halla RTh apagando la fuente de tensión de 32 V (remplazándola por un cortocircuito) y la fuente de corriente de 2 A (remplazándola por un cir- Para aplicar esta idea en el cálculo de la resistencia de Thevenin RTh se deben considerar dos casos. ■ CASO 1 Si la red no tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuen- tes independientes. RTh es la resistencia de entrada que aparece entre las ter- minales a y b, como se advierte en la figura 4.24b). ■ CASO 2 Si la red tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuen- tes independientes. Como en el caso de la superposición, las fuentes depen- dientes no se desactivan, porque son controladas por las variables del circuito. Se aplica una fuente de tensión vo en las terminales a y b y se determina la corriente resultante io. Así, RTh ϭ vo/io, como se señala en la figura 4.25a). Alternativamente, puede insertarse una fuente de corriente io en las termina- les a-b, como se muestra en la figura 4.25b), y hallar la tensión entre las ter- minales vo. De nuevo, RTh ϭ vo/io. Los dos métodos dan el mismo resultado. En ambos puede suponerse cualquier valor de vo e io. Por ejemplo, puede usarse vo ϭ 1 V o io ϭ 1 A, o incluso valores no especificados de vo o io. Suele suceder que RTh adopte un valor negativo. En este caso, la resisten- cia negativa (v ϭ ϪiR) implica que el circuito suministra potencia. Esto es po- sible en un circuito con fuentes dependientes; el ejemplo 4.10 lo ilustrará. El teorema de Thevenin es muy importante en el análisis de circuitos. Ayuda a simplificar un circuito. Un circuito complicado puede remplazarse por una sola fuente de tensión independiente y un solo resistor. Esta técnica de remplazo es una eficaz herramienta en el diseño de circuitos. Como ya se mencionó, un circuito lineal con una carga variable puede remplazarse por el equivalente de Thevenin, exclusivo para la carga. La red equivalente se comporta externamente de la misma manera que el circuito ori- ginal. Considérese un circuito lineal que termina con una carga RL, como se advierte en la figura 4.26a). La corriente VL a través de la carga y la tensión en sus terminales se determinan con facilidad una vez que se obtiene el equi- valente de Thevenin del circuito en las terminales de la carga, como se mues- tra en la figura 4.26b). Con base en esta última figura, se obtiene IL ϭ (4.8a) VL ϭ RL IL ϭ VTh (4.8b) Nótese en la figura 4.26b) que el equivalente de Thevenin es un divisor de tensión simple, lo que produce VL por mera inspección. RL RTh ϩ RL VTh RTh ϩ RL Figura 4.25 Determinación de RTh cuando el circuito tiene fuentes dependientes. Figura 4.26 Circuito con una carga: a) circuito origi- nal, b) equivalente de Thevenin. Más adelante se verá que una forma alterna de hallar RTh es RTh = voc/isc. Figura 4.27 Para el ejemplo 4.8. vo Circuito con todas las fuentes independientes igualadas a cero a b a) RTh = + − vo io io iovo Circuito con todas las fuentes independientes igualadas a cero a b b) RTh = vo io + − Circuito lineal a b a) RL IL a b b) RL IL + −VTh RTh RL32 V 2 A 4 Ω 1 Ω 12 Ω+ − a b
- 169. 4.5 Teorema de Thevenin 141 cuito abierto). El circuito se convierte en el que aparece en la figura 4.28a). Así, RTh ϭ 4 || 12 ϩ 1 ϭ ϩ 1 ϭ 4 ⍀ Figura 4.28 Para el ejemplo 4.8: a) cálculo de RTh, b) cálculo de VTh. Para hallar VTh considérese el circuito de la figura 4.28b). Al aplicar el análisis de malla a los dos lazos se obtiene Ϫ32 ϩ 4i1 ϩ 12(i1 Ϫ i2) ϭ 0 i2 ϭ Ϫ2 A Al despejar i1 se obtiene i1 ϭ 0.5 A. Así, VTh ϭ 12(i1 Ϫ i2) ϭ 12(0.5 ϩ 2.0) ϭ 30 V Alternativamente, es todavía más fácil aplicar el análisis nodal. Se ignora el resistor de 1 ⍀, pues no fluye corriente por él. En el nodo superior, la LCK da ϩ 2 ϭ o sea 96 Ϫ 3VTh ϩ 24 ϭ VTh 1 VTh ϭ 30 V como se obtuvo antes. Para hallar VTh también podría aplicarse la transforma- ción de fuente. El circuito equivalente de Thevenin aparece en la figura 4.29. La corrien- te a través de RL es IL ϭ ϭ Cuando RL ϭ 6, IL ϭ ϭ 3 A Cuando RL ϭ 16, IL ϭ ϭ 1.5 A Cuando RL ϭ 36, IL ϭ ϭ 0.75 A 30 40 30 20 30 10 30 4 ϩ RL VTh RTh ϩ RL VTh 12 32 Ϫ VTh 4 4 ϫ 12 16 Figura 4.29 Circuito equivalente de Thevenin del ejemplo 4.8. 32 V 2 A 4 Ω 1 Ω 12 Ω+ − VTh VTh + − b) 4 Ω 1 Ω 12 Ω a) RTh i1 i2 a b a b RL30 V 4 Ω + − a b IL
- 170. 142 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Problema de práctica 4.8 Ejemplo 4.9 Aplicando el teorema de Thevenin, halle el circuito equivalente a la izquier- da de las terminales en el circuito de la figura 4.30. Después halle I. Respuesta: VTh ϭ 6 V, RTh ϭ 3 ⍀, I ϭ 1.5 A. Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.31. Solución: Este circuito contiene una fuente dependiente, a diferencia del circuito del ejemplo anterior. Para hallar RTh se establece la fuente independiente en ce- ro, pero se deja intacta la fuente dependiente sola. A causa de la presencia de esta última, sin embargo, se excita la red con una fuente de tensión vo co- nectada a las terminales, como se indica en la figura 4.32a). Se puede fijar vo ϭ 1 V para facilitar el cálculo, ya que el circuito es lineal. El objetivo es hallar la corriente io a través de las terminales y después obtener RTh ϭ 1/io. (Alternativamente se puede insertar una fuente de corriente de 1 A, calcular la tensión correspondiente vo y obtener RTh ϭ vo/1.) La aplicación del análisis de lazo al lazo 1 del circuito de la figura 4.32a) da por resultado Ϫ2vx ϩ 2(i1 Ϫ i2) ϭ 0 o vx ϭ i1 Ϫ i2 Pero Ϫ4i2 ϭ vx ϭ i1 Ϫ i2; por lo tanto, i1 ϭ 3i2 (4.9.1) En cuanto a los lazos 2 y 3, la aplicación de la LTK produce 4i2 ϩ 2(i2 Ϫ i1) ϩ 6(i2 Ϫ i3) ϭ 0 (4.9.2) 6(i3 Ϫ i2) ϩ 2i3 ϩ 2 ϭ 0 (4.9.3) Figura 4.30 Para el problema de práctica 4.8. Figura 4.31 Para el ejemplo 4.9. Figura 4.32 Cálculo de RTh y VTh para el ejemplo 4.9. 12 V 2 A 6 Ω 6 Ω 4 Ω 1 Ω+ − a b I 5 A 2 Ω 2vx 2 Ω 6 Ω4 Ω a b − + + − vx 2 Ω 2vx 2 Ω 6 Ω4 Ω a b − + + − vo = 1 V io a) i1 i2 b) 5 A 2 Ω 2vx 2 Ω 6 Ω4 Ω a b − + voc + − i3 i1 i2i3 + − vx + − vx
- 171. 4.5 Teorema de Thevenin 143 La resolución de estas ecuaciones deriva en i3 ϭ Ϫ A Pero io ϭ Ϫi3 ϭ 1͞6 A. En consecuencia, RTh ϭ ϭ 6 ⍀ Para obtener VTh se halla voc en el circuito de la figura 4.32b). Al apli- car el análisis de lazo se obtiene i1 ϭ 5 (4.9.4) Ϫ2vx ϩ 2(i3 Ϫ i2) ϭ 0 1 vx ϭ i3 Ϫ i2 (4.9.5) 4(i2 Ϫ i1) ϩ 2(i2 Ϫ i3) ϩ 6i2 ϭ 0 o sea 12i2 Ϫ 4i1 Ϫ 2i3 ϭ 0 (4.9.6) Pero 4(i1 ϩ i2) ϭ vx. La resolución de estas ecuaciones conduce a i2 ϭ 10/3. Así, VTh ϭ voc ϭ 6i2 ϭ 20 V El equivalente de Thevenin se muestra en la figura 4.33. Halle el circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.34 a la iz- quierda de las terminales. Respuesta: VTh ϭ 5.33 V, RTh ϭ 0.44 ⍀. 1 V io 1 6 Determine el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.35a). Solución: 1. Definir. El problema está claramente definido; se debe determinar el equi- valente de Thevenin del circuito que aparece en la figura 4.35a). 2. Presentar. Este circuito contiene un resistor de 2 ⍀ en paralelo con un resistor de 4 ⍀. A su vez, éstos están en paralelo con una fuente de co- rriente dependiente. Es importante señalar que no hay fuentes indepen- dientes. 3. Alternativas. Lo primero por considerar es que, dado que en este circui- to no se tienen fuentes independientes, se le debe excitar externamente o hallar un circuito equivalente real. Además, cuando no se tienen fuentes independientes, no se tendrá un valor para VTh; sólo debe hallarse RTh. Problema de práctica 4.9 Figura 4.33 Equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.31. Figura 4.34 Para el problema de práctica 4.9. Ejemplo 4.10 20 V 6 Ω a b + − 6 V 3 Ω5 Ω 4 Ω a b 1.5Ix + − Ix
- 172. 144 Capítulo 4 Teoremas de circuitos El método más simple es excitar el circuito con una fuente de tensión de 1 V o una fuente de corriente de 1 A. Como al final habrá una resis- tencia equivalente (positiva o negativa), el autor prefiere usar la fuente de corriente y el análisis nodal, lo que producirá una tensión en las termina- les de salida igual a la resistencia (con una entrada de 1 A, vo es igual a 1 multiplicado por la resistencia equivalente). Como alternativa, este circuito también podría excitarse con una fuen- te de tensión de 1 V y se le podría aplicar el análisis de malla para ha- llar la resistencia equivalente. 4. Intentar. Se comienza escribiendo la ecuación nodal en a en la figura 4.35b) asumiendo que io ϭ 1 A. 2ix ϩ (vo Ϫ 0)͞4 ϩ (vo Ϫ 0)͞2 ϩ (Ϫ1) ϭ 0 (4.10.1) Puesto que hay dos incógnitas y sólo una ecuación, se necesitará una ecuación de restricción. ix ϭ (0 Ϫ vo)͞2 ϭ Ϫvo͞2 (4.10.2) La sustitución de la ecuación (4.10.2) en la ecuación (4.10.1) produce 2(Ϫvo͞2) ϩ (vo Ϫ 0)͞4 ϩ (vo Ϫ 0)͞2 ϩ (Ϫ1) ϭ 0 ϭ (Ϫ1 ϩ 1 –4 ϩ 1 –2)vo Ϫ 1 o vo ϭ Ϫ4 V Dado que vo ϭ 1 ϫ RTh, entonces RTh ϭ vo/1 ϭ Ϫ4 ⍀. El valor negativo de la resistencia indica que, de acuerdo con la con- vención pasiva de los signos, el circuito de la figura 4.35a) está suminis- trando potencia. Desde luego que los resistores de esa figura no pueden suministrar potencia (absorben potencia); es la fuente dependiente la que su- ministra potencia. Éste es un ejemplo del uso de una fuente dependiente y de resistores para simular una resistencia negativa. 5. Evaluar. Antes que nada, adviértase que la respuesta tiene un valor ne- gativo. Se sabe que esto no es posible en un circuito pasivo, pero en es- te circuito hay un dispositivo activo (la fuente dependiente de corriente). Así, el circuito equivalente es en esencia un circuito activo que puede su- ministrar potencia en ciertas condiciones. Ahora se debe evaluar la solución. La mejor manera de hacerlo es efectuar una comprobación, usando un método diferente, y ver si se ob- tiene la misma solución. Inténtese la conexión de un resistor de 9 ⍀ en serie con una fuente de tensión de 10 V entre las terminales de salida del circuito original, y después el equivalente de Thevenin. Para que el cir- cuito sea más fácil de resolver, entonces se puede tomar la fuente de co- rriente y el resistor de 4 ⍀ en paralelo y convertirlos en una fuente de tensión y un resistor de 4 ⍀ en serie aplicando la transformación de fuen- te. Esto, junto con la nueva carga, da por resultado el circuito que apare- ce en la figura 4.35c). Ahora pueden escribirse dos ecuaciones de malla. 8ix ϩ 4i1 ϩ 2(i1 Ϫ i2) ϭ 0 2(i2 Ϫ i1) ϩ 9i2 ϩ 10 ϭ 0 Nótese que sólo hay dos ecuaciones pero tres incógnitas, así que se ne- cesita una ecuación de restricción. Se puede emplear ix ϭ i2 Ϫ i1 Figura 4.35 Para el ejemplo 4.10. 2ix 4 Ω 2 Ω a b ix vo a) 2ix io4 Ω 2 Ω a b ix b) 8ix b a ix − + 2 Ω 4 Ω 9 Ω i2 + − 10 Vi1 c) b a−4 Ω 9 Ω + − 10 Vi d)
- 173. 4.6 Teorema de Norton 145 Esto conduce a una nueva ecuación para la malla 1. La simplificación conduce a (4 ϩ 2 Ϫ 8)i1 ϩ (Ϫ2 ϩ 8)i2 ϭ 0 o sea Ϫ2i1 ϩ 6i2 ϭ 0 o i1 ϭ 3i2 Ϫ2i1 ϩ 11i2 ϭ Ϫ10 La sustitución de la primera ecuación en la segunda da como resultado Ϫ6i2 ϩ 11i2 ϭ Ϫ10 o i2 ϭ Ϫ10͞5 ϭ Ϫ2 A La aplicación del equivalente de Thevenin es sumamente fácil, ya que só- lo se tiene una malla, como se advierte en la figura 4.35d). Ϫ4i ϩ 9i ϩ 10 ϭ 0 o i ϭ Ϫ10͞5 ϭ Ϫ2 A 6. ¿Satisfactorio? Es obvio que se ha hallado el valor del circuito equiva- lente, como lo pedía el enunciado del problema. La comprobación valida esa solución (se compara la respuesta obtenida mediante la aplicación del circuito equivalente con la que se logró mediante el uso de la carga con el circuito original). Se puede presentar todo esto como solución del pro- blema. Teorema de Norton En 1926, casi 43 años después de que Thevenin publicó su teorema, E. L. Norton, ingeniero estadounidense de los Bell Telephone Laboratories, propu- so un teorema similar. El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales pue- de remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de co- rriente IN en paralelo con un resistor RN, donde IN es la corriente de cortocircuito a través de las terminales y RN es la resistencia de entrada o re- sistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes es- tán desactivadas. Así, el circuito de la figura 4.37a) puede remplazarse por el de la figura 4.37b). La comprobación del teorema de Norton se dará en la siguiente sección. Por ahora interesa principalmente cómo obtener RN e IN. RN se halla de la misma manera que RTh. De hecho, por lo que ya se sabe sobre la transfor- mación de fuente, las resistencias de Thevenin y de Norton son iguales; es decir, RN ϭ RTh (4.9) Para encontrar la corriente de Norton IN, se determina la corriente de cor- tocircuito que fluye de la terminal a a la b en los dos circuitos de la figura 4.37. Es evidente que la corriente de cortocircuito de la figura 4.37b) es IN. 4.6 Obtenga el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.36. Respuesta: VTh ϭ 0 V, RTh ϭ Ϫ7.5 ⍀. Problema de práctica 4.10 Figura 4.36 Para el problema de práctica 4.10. Figura 4.37 a) Circuito original, b) circuito equivalen- te de Norton. 5 Ω 15 Ω a b 10 Ω 4vx + − + − vx Circuito lineal de dos terminales a b a) b) RN a b IN
- 174. 146 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Ejemplo 4.11 Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.39. Solución: Se halla RN de la misma manera que se calculó RTh en el circuito equivalen- te de Thevenin. Iguale las fuentes independientes en cero. Esto propicia el cir- cuito de la figura 4.40a), del que se obtiene RN. Así, RN ϭ 5 || (8 ϩ 4 ϩ 8) ϭ 5 || 20 ϭ ϭ 4 ⍀ Para hallar IN se pone en cortocircuito las terminales a y b, como se muestra en la figura 4.40b). Se ignora el resistor de 5 ⍀, porque se ha puesto en cor- tocircuito. Al aplicar el análisis de malla se obtiene i1 ϭ 2 A, 20i2 Ϫ 4i1 Ϫ 12 ϭ 0 De estas ecuaciones se obtiene i2 ϭ 1 A ϭ isc ϭ IN 20 ϫ 5 25 Ésta debe ser igual a la corriente de cortocircuito de la terminal a a la b de la figura 4.37a), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así, IN ϭ isc (4.10) como se indica en la figura 4.38. Las fuentes dependientes e independientes se tratan igual que en el teorema de Thevenin. Obsérvese la estrecha relación entre los teoremas de Norton y de Theve- nin: RN ϭ RTh como en la ecuación (4.9) e IN ϭ 4.11) Esto es en esencia la transformación de una fuente. Por esta razón, a la trans- formación de fuentes suele llamársele transformación de Thevenin-Norton. Puesto que VTh, IN y RTh se relacionan de acuerdo con la ecuación (4.11), para determinar el circuito equivalente de Thevenin o de Norton se requiere hallar: • La tensión de circuito abierto voc entre las terminales a y b. • La corriente de cortocircuito isc por las terminales a y b. • La resistencia equivalente o de entrada Ren en las terminales a y b cuan- do todas las fuentes independientes están apagadas. Se pueden calcular dos de las tres siguiendo el método que implique el me- nor esfuerzo y emplearlas para obtener la tercera aplicando la ley de Ohm. El ejemplo 4.11 lo ilustrará. Asimismo, como VTh ϭ voc (4.12a) IN ϭ isc (4.12b) RTh ϭ ϭ RN (4.12c) las pruebas en circuito abierto y en cortocircuito son suficientes para hallar cualquier equivalente de Thevenin o Norton de un circuito que contenga al menos una fuente independiente. voc isc VTh RTh Figura 4.39 Para el ejemplo 4.11. Figura 4.38 Cálculo de la corriente de Norton. Los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton se relacionan por una transformación de fuente. 2 A 8 Ω 8 Ω 5 Ω 4 Ω 12 V a b + − Circuito lineal de dos terminales a b isc = IN
- 175. 4.6 Teorema de Norton 147 Alternativamente, se puede determinar IN a partir de VTh/RTh. Se obtiene VTh como la tensión en circuito abierto entre las terminales a y b de la figu- ra 4.40c). Al aplicar el análisis de malla se obtiene i3 ϭ 2 A 25i4 Ϫ 4i3 Ϫ 12 ϭ 0 1 i4 ϭ 0.8 A y voc ϭ VTh ϭ 5i4 ϭ 4 V Por lo tanto, IN ϭ ϭ ϭ 1 A como se obtuvo anteriormente. Esto también sirve para confirmar la ecuación (4.12c), que RTh ϭ voc͞isc ϭ 4͞1 ϭ 4 ⍀. Así, el circuito equivalente de Nor- ton es el que se muestra en la figura 4.41. 4 4 VTh RTh Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.42. Respuesta: RN ϭ 4 ⍀, IN ϭ 4.5 A. Problema de práctica 4.11 Figura 4.41 Equivalente de Norton del circuito de la figura 4.39. Figura 4.42 Para el problema de práctica 4.11. Figura 4.40 Para el ejemplo 4.11; cálculo de: a) RN, b) IN ϭ isc, c) VTh ϭ voc. 2 A 5 Ω 4 Ω 12 V a b + − isc = IN b) 2 A 5 Ω 4 Ω 12 V a b + − c) 8 Ω 5 Ω a b 4 Ω a) RN VTh = voc + − i1 i3 i4 i2 8 Ω 8 Ω 8 Ω 8 Ω 8 Ω 1 A 4 Ω a b 4 A15 V 6 Ω a b 3 Ω + − 3 Ω
- 176. 148 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Problema de práctica 4.12 Ejemplo 4.12 Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.45. Respuesta: RN ϭ 1 ⍀, IN ϭ 10 A. Aplicando el teorema de Norton, halle RN e IN en el circuito de la figura 4.43 en las terminales a-b. Solución: Para hallar RN se pone en cero la fuente de tensión independiente y se conec- ta a las terminales una fuente de tensión de vo ϭ 1 V (o cualquier tensión no especificada). Así, se obtiene el circuito de la figura 4.44a). Se ignora el resistor de 4 ⍀, porque está en cortocircuito. También debido al cortocircui- to, el resistor de 5 ⍀, la fuente de tensión y la fuente de corriente dependien- te están en paralelo. Así, ix ϭ 0. En el nodo a, io ϭ 1v –5⍀ ϭ 0.2 A, y RN ϭ ϭ ϭ 5 ⍀ Para hallar IN se pone en cortocircuito las terminales a y b y se halla la corriente isc, como se indica en la figura 4.44b). Nótese en esta última figura que el resistor de 4 ⍀, la fuente de tensión de 10 V, el resistor de 5 ⍀ y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. Por lo tanto, is ϭ ϭ 2.5 A En el nodo a, la LCK resulta en isc ϭ ϩ 2ix ϭ 2 ϩ 2(2.5) ϭ 7 A Así, IN ϭ 7 A 10 5 10 4 1 0.2 vo io Figura 4.43 Para el ejemplo 4.12. Figura 4.44 Para el ejemplo 4.12: a) cálculo de RN, b) cálculo de IN. Figura 4.45 Para el problema de práctica 4.12. 5 Ω 2ix ix 10 V4 Ω a b + − 10 A 2vx 6 Ω 2 Ω a b −+ + − vx 5 Ω 2ix vo = 1 V io 4 Ω a b + − a) 5 Ω 2ix isc = IN 4 Ω a b b) 10 V+ − ix ix
- 177. 4.7 Derivación de los teoremas de Thevenin y Norton 149 † Derivación de los teoremas de Thevenin y Norton En esta sección se comprobarán los teoremas de Thevenin y Norton aplican- do el principio de superposición. Considérese el circuito lineal de la figura 4.46a). Supóngase que este cir- cuito contiene resistores y fuentes dependientes e independientes. Se tiene acce- so a él vía las terminales a y b, a través de las cuales se aplica corriente desde una fuente externa. El objetivo es cerciorarse de que la relación tensión-co- rriente en las terminales a y b es idéntica a la del equivalente de Thevenin de la figura 4.46b). Para mayor simplicidad, supóngase que el circuito lineal de la figura 4.46a) contiene dos fuentes de tensión independientes vs1 y vs2 y dos fuentes de corriente independientes is1 e is2. Se puede obtener cualquier va- riable del circuito, como la tensión en las terminales v, aplicando el teorema de la superposición. Esto es, se considera la contribución debida a cada fuen- te independiente, incluida la fuente externa i. Por superposición, la tensión en las terminales v es v ϭ A0i ϩ A1vs1 ϩ A2vs2 ϩ A3is1 ϩ A4is2 (4.13) donde A0, A1, A2, A3 y A4 son constantes. Cada término del miembro derecho de la ecuación (4.13) es la contribución relacionada de la fuente independien- te; es decir, A0i es la contribución a v debida a la fuente de corriente externa i, A1vs1 es la contribución debida a la fuente de tensión vs1 y así sucesiva- mente. Se pueden reunir los términos de las fuentes independientes internas en B0, de manera que la ecuación (4.13) se convierte en v ϭ A0i ϩ B0 (4.14) donde B0 ϭ A1vs1 ϩ A2vs2 ϩ A3is1 ϩ A4is2. Ahora se desea evaluar los va- lores de las constantes A0 y B0. Cuando las terminales a y b están en circui- to abierto, i ϭ 0 y v ϭ B0. Así, B0 es la tensión de circuito abierto, la cual es igual a voc, de modo que VTh B0 ϭ VTh (4.15) Cuando todas las fuentes internas se apagan, B0 ϭ 0. El circuito puede rem- plazarse entonces por una resistencia equivalente Req, la cual es igual a RTh, así que la ecuación (4.14) se convierte en v ϭ A0i ϭ RThi 1 A0 ϭ RTh (4.16) La sustitución de los valores de A0 y B0 en la ecuación (4.14) da como resul- tado v ϭ RThi ϩ VTh (4.17) la cual expresa la relación tensión-corriente en las terminales a y b del circui- to de la figura 4.46b). Así, los dos circuitos de la figura 4.46a) y 4.46b) son equivalentes. Cuando el mismo circuito lineal se excita con una fuente de tensión v co- mo se indica en la figura 4.47a), la corriente que entra al circuito puede ob- tenerse por superposición como i ϭ C0v ϩ D0 (4.18) donde C0v es la contribución a i debida a la fuente de tensión externa v y contiene las contribuciones a i debidas a todas las fuentes independientes in- ternas. Cuando las terminales a-b se ponen en cortocircuito, vo ϭ 0, de ma- 4.7 Figura 4.46 Derivación del equivalente de Thevenin: a) circuito excitado por corriente, b) su equivalente de Thevenin. Figura 4.47 Derivación del equivalente de Norton: a) circuito excitado por tensión, b) su equivalente de Norton. i Circuito lineal a b a) i a b b) v + − v + − VTh + − RTh v Circuito lineal a b a) v a b b) INRN + − + − i i
- 178. 150 Capítulo 4 Teoremas de circuitos nera que, donde i ϭ D0 ϭ Ϫisc, es la corriente de cortocircuito que sale de la terminal a, la cual es igual a la corriente de Norton IN; es decir, D0 ϭ ϪIN (4.19) Cuando todas las fuentes independientes internas se apagan, D0 ϭ 0, y el cir- cuito puede remplazarse por una resistencia equivalente Req (o una conduc- tancia equivalente Geq ϭ 1/Req), la cual es igual a RTh o RN. Así, la ecuación (4.19) se convierte en i ϭ Ϫ IN (4.20) Esto expresa la relación tensión-corriente en las terminales a-b del circuito de la figura 4.47b), lo que confirma que los circuitos de las figuras 4.47a) y 4.47b) son equivalentes. Máxima transferencia de potencia En muchas situaciones prácticas, un circuito se diseña para suministrar poten- cia a una carga. Hay aplicaciones en áreas como comunicaciones en las que es deseable maximizar la potencia suministrada a una carga. Ahora se abor- dará el problema del suministro de la máxima potencia a una carga dado un sistema con pérdidas internas conocidas. Cabe señalar que esto dará por re- sultado pérdidas internas significativas, mayores que o iguales a la potencia suministrada a la carga. El equivalente de Thevenin es útil para hallar la máxima potencia que un circuito lineal puede suministrar a una carga. Supóngase que se puede ajustar la resistencia de carga RL. Si el circuito entero se remplaza por su equivalen- te de Thevenin exceptuando la carga, como se muestra en la figura 4.48, la potencia suministrada a la carga es p ϭ i2 RL ϭ ( )2 RL (4.21) En un circuito dado, VTh y RTh son fijos. Al variar la resistencia de carga RL, la potencia suministrada a la carga varía como se indica gráficamente en la figura 4.49. En esta figura se advierte que la potencia es mínima para valores pequeños o grandes de RL, pero máxima respecto de algún valor de RL entre 0 y ϱ. Ahora se debe demostrar que esta máxima potencia ocurre cuando RL es igual a RTh. Esto se conoce como teorema de máxima potencia. La máxima potencia se transfiere a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin vista desde la carga (RL ϭ RTh). Para comprobar el teorema de la transferencia de máxima potencia, se de- riva p en la ecuación (4.21) respecto a RL y se fija el resultado en cero. De ello se obtiene ϭ V2 Th c d ϭ V2 Th c d ϭ 0 (RTh ϩ RL Ϫ 2RL) (RTh ϩ RL)3 (RTh ϩ RL)2 Ϫ 2RL(RTh ϩ RL) (RTh ϩ RL)4 dp dRL VTh RTh ϩ RL 4.8 v RTh Figura 4.48 Circuito empleado para la transferen- cia de máxima potencia. Figura 4.49 Potencia suministrada a la carga como función de RL. RLVTh RTh + − a b i p RLRTh0 pmáx
- 179. 4.8 Máxima transferencia de potencia 151 Halle el valor de RL para la transferencia de máxima potencia en el circuito de la figura 4.50. Halle la máxima potencia. Figura 4.50 Para el ejemplo 4.13. Solución: Se necesita hallar la resistencia de Thevenin RTh y la tensión de Thevenin entre las terminales a-b. Para obtener RTh se emplea el circuito de la figura 4.51a) y se obtiene 6 ϫ 12 RTh ϭ 2 ϩ 3 ϩ 6 || 12 ϭ 5 ϩ ———— ϭ 9 ⍀ 18 Figura 4.51 Para el ejemplo 4.13: a) cálculo de RTh, b) cálculo de VTh. Esto implica que 0 ϭ (RTh ϩ RL Ϫ 2RL) ϭ (RTh Ϫ RL) (4.42) lo cual produce RL ϭ RTh (4.23) lo que demuestra que la transferencia de máxima potencia tiene lugar cuando la resistencia de carga RL es igual a la resistencia de Thevenin RTh. Se puede confirmar fácilmente que la ecuación (4.23) brinda la máxima potencia de- mostrando que d2 p͞dR2 L Ͻ 0. La máxima potencia transferida se obtiene sustituyendo la ecuación (4.23) en la ecuación (4.21), de lo que resulta pmáx ϭ (4.24) La ecuación (4.24) sólo se aplica cuando RL ϭ RTh. Cuando RL RTh, la po- tencia suministrada a la carga se calcula mediante la ecuación (4.21). V2 Th 4RTh Ejemplo 4.13 Se dice que la fuente y la carga se igualan cuando RL ϭ RTh. 12 V 2 A 6 Ω 3 Ω 2 Ω 12 Ω RL + − a b 6 Ω 3 Ω 2 Ω 12 Ω RTh 12 V 2 A 6 Ω 3 Ω 2 Ω 12 Ω+ − VTh + − a) b) i1 i2
- 180. 152 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Problema de práctica 4.13 Determine el valor de RL que tomará la máxima potencia del resto del circui- to de la figura 4.52. Calcule la máxima potencia. Respuesta: 4.22 ⍀, 2.901 W. Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice En esta sección se aprenderá a usar PSpice para comprobar los teoremas cu- biertos en este capítulo. Específicamente, se considerará el uso del análisis ba- rrido en CD para hallar el equivalente de Thevenin o de Norton entre cualquier par de nodos en un circuito así como la máxima transferencia de potencia a una carga. Se recomienda al lector consultar la sección D.3 del apéndice D para estudiar esta sección. A fin de hallar el equivalente de Thevenin de un circuito en un par de ter- minales abiertas usando PSpice, se emplea el editor de diagramas para dibujar el circuito e insertar entre las terminales una fuente independiente de corriente de prueba, por decir Ip. El nombre de parte de la fuente de corriente de prue- ba debe ser ISRC. Después se ejecuta un barrido en CD en Ip, como se expli- ca en la sección D.3. Generalmente es posible lograr que la corriente a través de Ip varíe de 0 a 1 A en incrementos de 0.1 A. Luego de guardar y simular el circuito, se utiliza el menú Probe para ilustrar de una gráfica de la tensión en- tre los extremos de Ip contra la corriente a través de Ip. La intersección en ce- ro de la gráfica nos proporciona la tensión equivalente de Thevenin, mientras que la pendiente de la gráfica es igual a la resistencia de Thevenin. Hallar el equivalente de Norton implica pasos similares, excepto que en- tre las terminales se inserta una fuente de voltaje independiente de prueba (con nombre de parte VSRC), por decir Vp. Se ejecuta un barrido en DC en Vp y se permite que Vp varíe de 0 a 1 V en incrementos de 0.1 V. Una gráfica de la corriente a través de Vp contra la tensión entre los extremos de Vp se ob- tiene usando el menú Probe después de la simulación. La intersección en ce- ro es igual a la corriente de Norton, y la pendiente de la gráfica es igual a la conductancia de Norton. Hallar con PSpice la transferencia de máxima potencia a una carga im- plica ejecutar un barrido paramétrico sobre el valor componente de RL en la 4.9 Para obtener VTh se considera el circuito de la figura 4.51b). La aplicación del análisis de malla da como resultado Ϫ12 ϩ 18i1 Ϫ 12i2 ϭ 0, i2 ϭ Ϫ2 A Al despejar i1 se obtiene i1 ϭ Ϫ2/3. La aplicación de la LTK a lo largo del lazo exterior para obtener VTh entre las terminales a-b produce Ϫ12 ϩ 6i1 ϩ 3i2 ϩ 2(0) ϩ VTh ϭ 0 1 VTh ϭ 22 V Para la transferencia de máxima potencia, RL ϭ RTh ϭ 9 ⍀ y la máxima potencia es pmáx ϭ ϭ ϭ 13.44 W 222 4 ϫ 9 V2 Th 4RL Figura 4.52 Para el problema de práctica 4.13. 9 V 4 Ω2 Ω RL 1 Ω 3vx + − + − + −vx
- 181. 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice 153 figura 4.48 y diagramar la potencia suministrada a la carga como función de RL. De acuerdo con la figura 4.49, la máxima potencia ocurre cuando RL ϭ RTh. Esto se ilustra mejor con un ejemplo, el 4.15. Se usan VSRC e ISRC como nombres de parte de las fuentes de tensión y corriente independientes, respectivamente. Ejemplo 4.14 R2 R4 2 2 GAIN=2 E1 R4 4 R3 6 I2I1 0 + − 26 V 24 V 22 V 20 V 0 A 0.2 A 0.4 A 0.6 A 0.8 A 1.0 A = V(I2:_) + − b)a) Considere el circuito de la figura 4.31 (véase el ejemplo 4.9). Use PSpice pa- ra hallar los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton. Solución: a) Para hallar la resistencia de Thevenin RTh y la tensión de Thevenin VTh en las terminales a-b del circuito de la figura 4.31, primero se usa el menú Sche- matics para dibujar el circuito que se muestra en la figura 4.53a). Nótese que en las terminales se ha insertado una fuente de corriente de prueba I2. En el menú Analysis/Setup se selecciona DC Sweep. En el recuadro de diálogo DC Sweep se selecciona Linear en Sweep Type y Current Source en Sweep Var. Type. Se teclea I2 bajo el cuadro Name, 0 como Start Value, 1 como End Va- lue y 0.1 como Increment. Después de la simulación, se añade el trazado V(I2:Ϫ) en la ventana A/D de PSpice y se obtiene la gráfica que aparece en la figura 4.53b). Con base en esta gráfica se obtiene VTh ϭ Intersección en cero ϭ 20 V, RTh ϭ Pendiente ϭ ϭ 6 ⍀ Estos valores coinciden con los que se obtuvieron analíticamente en el ejem- plo 4.9. 26 Ϫ 20 1 Figura 4.53 Para el ejemplo 4.14: a) esquema y b) gráfica para hallar RTh y VTh. b) Para hallar el equivalente de Norton, se modifica el esquema de la figura 4.53a) sustituyendo la fuente de corriente de prueba por una fuente de ten- sión de prueba V1. El resultado es el esquema de la figura 4.54a). De nueva cuenta, en el cuadro de diálogo DC Sweep se selecciona Linear en Sweep Ty- pe y Voltage Source en Sweep Var. Type. Se teclea V1 bajo el recuadro Na- me, 0 como Start Value, 1 como End Value y 0.1 como Increment. En la ventana A/D de PSpice se añade el trazado I(V1) y se obtiene la gráfica de la figura 4.54b). De esta gráfica se obtiene IN ϭ Intersección en cero ϭ 3.335 A GN ϭ Pendiente ϭ ϭ 0.17 S 3.335 Ϫ 3.165 1
- 182. 154 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Problema de práctica 4.14 Ejemplo 4.15 Repita el problema de práctica 4.9 usando PSpice. Respuesta: VTh ϭ 5.33 V, RTh ϭ 0.44 ⍀. Remítase al circuito de la figura 4.55. Use PSpice para hallar la transferencia de máxima potencia a RL. Solución: Debe ejecutarse un barrido de CD sobre RL para determinar en qué momen- to la potencia alcanza su máximo valor. Primero se dibuja el circuito con el uso de Schematics, como se muestra en la figura 4.56. Una vez dibujado el cir- cuito, se dan los tres pasos siguientes para la preparación complementaria del circuito para un barrido de CD. El primer paso implica definir el valor de RL como parámetro, puesto que se desea variarlo. Para hacerlo: 1. Haga doble clic con el botón izquierdo del ratón sobre el valor 1k de R2 (que representa a RL) para abrir el cuadro de diálogo Set Attribute Value. 2. Remplace 1k por {RL} y haga clic en OK para aceptar el cambio. Cabe señalar que las llaves son indispensables. El segundo paso es definir el parámetro. Para conseguirlo: 1. Seleccione Draw/Get New Part/Libraries…/special.slb. 2. Teclee PARAM en el cuadro PartName y haga clic en OK. 3. Arrastre el cuadro a cualquier posición cerca del circuito. 4. Haga clic en el botón izquierdo del ratón para poner fin al modo de co- locación. 5. Haga doble clic en el botón izquierdo para abrir el cuadro de diálogo Part- Name: PARAM. 6. Haga clic con el botón izquierdo en NAME1 = y teclee RL (sin llaves) en el cuadro Value, y después haga clic con el botón izquierdo en Save Attr para aceptar el cambio. 7. Haga clic con el botón izquierdo en VALUE1 = y teclee 2k en el cuadro Value; después haga clic con el botón izquierdo en Save Attr para acep- tar el cambio. 8. Haga clic en OK. Figura 4.55 Para el ejemplo 4.15. Figura 4.56 Esquema del circuito de la figura 4.55. Figura 4.54 Para el ejemplo 4.14: a) esquema y b) gráfica para hallar GN e IN. R2 R1 2 2 GAIN=2 E1 R4 4 R3 6 V1I1 0 + − 3.4 A 3.3 A 3.2 A 3.1 A 0 V 0.2 V 0.4 V 0.6 V 0.8 V 1.0 V I(V1) V_V1 + − + − b)a) RL1 V 1 kΩ + − {RL}DC=1 V + − 0 R1 R2 1k V1 PARÁMETROS: RL 2k
- 183. 4.10 Aplicaciones 155 El valor 2k en el punto 7 es indispensable para el cálculo del punto de polarización; no puede dejarse en blanco. El tercer paso es preparar el barrido en DC para explorar el parámetro. Para hacerlo: 1. Seleccione Analysis/Setup para que aparezca el cuadro de diálogo DC Sweep. 2. En Sweep Type, seleccione Linear (u Octave para una amplia gama de RL). 3. En Sweep Var. Type, seleccione Global Parameter. 4. Bajo el cuadro Name, teclee RL. 5. En el cuadro Start Value, teclee 100. 6. En el cuadro End Value, teclee 5k. 7. En el cuadro Increment, teclee 100. 8. Haga clic en OK y en Close para aceptar los parámetros. Después de dar esos pasos y guardar el circuito, está listo para simular. Seleccione Analysis/Simulate. Si no hay errores, seleccione Add Trace en la ventana A/D de PSpice y teclee –V(R2:2)*I(R2) en el cuadro Trace Com- mand. [El signo negativo es indispensable, ya que I(R2) es negativa.] Esto produce la gráfica de la potencia suministrada a RL cuando RL varía de 100 a 5 k⍀. También puede obtenerse la potencia absorbida por RL tecleando V(R2:2)*V(R2:2)/RL en el cuadro Trace Command. De una u otra forma, se obtiene la gráfica de la figura 4.57. En ella salta a la vista que la máxima potencia es 250 W. Nótese que ese valor máximo ocurre cuando RL ϭ 1 k⍀, como era de esperar analíticamente. Halle la máxima potencia transferida a RL si el resistor de 1 k⍀ de la figura 4.55 se remplaza por un resistor de 2 k⍀. Respuesta: 125 † Aplicaciones En esta sección se expondrán dos importantes aplicaciones prácticas de los conceptos cubiertos en este capítulo: modelado de fuentes y medición de la resistencia. 4.10.1 Modelado de fuentes El modelado de fuentes brinda un ejemplo de la utilidad del equivalente de Thevenin o de Norton. Una fuente activa como una batería suele caracterizar- se por medio de su circuito equivalente de Thevenin o de Norton. Una fuen- te de tensión ideal suministra una tensión constante independientemente de la corriente tomada por la carga, mientras que una fuente de corriente ideal su- ministra una corriente constante independientemente de la tensión de carga. Como se advierte en la figura 4.58, las fuentes de tensión y corriente prácti- cas no son ideales, debido a sus resistencias internas o resistencias de fuen- te Rs y Rp. Se vuelven ideales cuando Rs → 0 y Rp → ϱ. Para demostrar que éste es el caso, considérese el efecto de la carga sobre fuentes de tensión, co- 4.10 Problema de práctica 4.15 Figura 4.58 a) Fuente de tensión práctica, b) fuente de corriente práctica. Figura 4.57 Para el ejemplo 4.15: gráfica de la poten- cia a través de RL. 250 uW 150 uW 200 uW 100 uW 50 uW 0 2.0 K 4.0 K 6.0 K –V(R2:2)*I(R2) RL vs Rs + − a) is Rp b)
- 184. 156 Capítulo 4 Teoremas de circuitos mo se muestra en la figura 4.59a). Por el principio de división de tensión, la tensión de carga es vL ϭ vs (4.25) Cuando RL se incrementa, la tensión de carga se aproxima a una tensión de fuente vs, como se ilustra en la figura 4.59b). En la ecuación (4.25) cabe re- parar en que: 1. La tensión de carga será constante si la resistencia interna Rs de la fuente es de cero o, al menos, Rs ϽϽ RL. En otras palabras, cuanto menor sea Rs en comparación con RL, más cerca estará de ser ideal la fuente de tensión. Figura 4.59 a) Fuente de tensión práctica conectada a una carga RL, b) la tensión de carga disminuye al decrecer RL. 2. Cuando la carga se desconecta (es decir, cuando la fuente se pone en cir- cuito abierto de manera que RL → ϱ), voc ϭ vs. Así, vs puede conside- rarse la tensión de la fuente sin carga. La conexión de la carga causa que la tensión entre las terminales disminuya en magnitud; esto se conoce co- mo efecto de carga. La misma argumentación podría hacerse en relación con una fuente de co- rriente práctica cuando se conecta a una carga como se observa en la figura 4.60a). Por el principio de la división de corriente, iL ϭ is (4.26) En la figura 4.60b) se muestra la variación en la corriente de carga al aumen- tar la resistencia de carga. Esta vez se advierte una caída de corriente debida a la carga (efecto de carga), y la corriente de carga es constante (fuente de corriente ideal) cuando la resistencia interna es muy grande (es decir, cuando Rp → ϱ o, al menos, Rp ϾϾ RL). A veces se necesita conocer la tensión de fuente sin carga vs y la resis- tencia interna Rs de una fuente de tensión. Para hallar vs y Rs se sigue el pro- cedimiento ilustrado en la figura 4.61. Primero se mide la tensión de circuito abierto voc como en la figura 4.61a) y se establece que vs ϭ voc (4.27) Después se conecta una carga variable RL en las terminales como en la figura 4.61b). Se ajusta la resistencia RL hasta medir una tensión de carga de exacta- mente la mitad de la tensión de circuito abierto, vL ϭ voc ͞2, porque ahora RL ϭ RTh ϭ Rs. En este punto se desconecta RL y se mide. Se establece que Rs ϭ RL (4.28) Por ejemplo, una batería de automóvil puede tener vs ϭ12 V y Rs ϭ 0.05 ⍀. Rp Rp ϩ RL RL Rs ϩ RL Figura 4.60 a) Fuente de corriente práctica conecta- da a una carga RL, b) la carga de la co- rriente disminuye al aumentar RL. RL a) is Rp IL b) IL RL0 is Fuente práctica Fuente ideal RLvs Rs + − vL + − a) b) vL RL 0 vs Fuente práctica Fuente ideal
- 185. 4.10 Aplicaciones 157 La tensión entre las terminales de una fuente de tensión es de 12 V cuando se conecta a una carga de 2 W. Cuando la carga se desconecta, la tensión en las terminales aumenta a 12.4 V. a) Calcule la tensión de fuente vs y la resis- tencia interna Rs. b) Determine la tensión cuando una carga de 8 ⍀ se conec- ta a la fuente. Solución: a) Se remplaza la fuente por su equivalente de Thevenin. La tensión en las terminales al desconectar la carga es la de circuito abierto, vs ϭ voc ϭ 12.4 V Al desconectar la carga, como se muestra en la figura 4.62a), vL ϭ 12 V y PL ϭ 2 W. De ahí que pL ϭ 1 RL ϭ ϭ ϭ 72 ⍀ La corriente de carga es iL ϭ ϭ ϭ A La tensión a través de Rs es la diferencia entre la tensión de fuente vs y la tensión de carga vL, o 12.4 Ϫ 12 ϭ 0.4 ϭ RsiL, Rs ϭ ϭ 2.4 ⍀ b) Una vez que se conoce el equivalente de Thevenin de la fuente, se conec- ta la carga de 8 ⍀ entre los extremos al equivalente de Thevenin, como se in- dica en la figura 4.62b). De la división de tensión se obtiene v ϭ (12.4) ϭ 9.538 V 8 8 ϩ 2.4 0.4 IL 1 6 122 72 vL RL 122 2 v2 L pL v2 L RL Problema de práctica 4.16 Figura 4.62 Para el ejemplo 4.16. Figura 4.61 a) Medición de voc, b) medición de vL. Ejemplo 4.16 Fuente de señales a) voc + − Fuente de señales b) vL + − RL Rs a) b) RLvs Rs iL vL + − 8 Ω12.4 V v + − 2.4 Ω + − + − La tensión de circuito abierto medida en cierto amplificador es de 9 V. Esa tensión cae a 8 V cuando un altavoz de 20 ⍀ se conecta al amplificador. Cal- cule la tensión al usarse un altavoz de 10 ⍀. Respuesta: 7.2 V.
- 186. 158 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Ejemplo 4.17 En la figura 4.63, R1 ϭ 500 ⍀ y R3 ϭ 200 ⍀. El puente está equilibrado cuando R2 se ajusta a 125 ⍀. Determine la resistencia desconocida Rx. Solución: El empleo de la ecuación (4.30) da como resultado Rx ϭ R2 ϭ 125 ϭ 50 ⍀ 200 500 R3 R1 4.10.2 Medición de la resistencia Aunque el método del óhmetro es el medio más simple para medir la resis- tencia, una medición más exacta puede obtenerse con el uso del puente de Wheatstone. Mientras que los óhmetros están diseñados para medir la resis- tencia en un rango bajo, medio o alto, el puente de Wheatstone se utiliza pa- ra medirla en el rango medio, entre, por ejemplo, 1 ⍀ y 1 M⍀. Valores de resistencia muy bajos se miden con un milióhmetro, en tanto que valores muy altos se miden con un probador de Megger. El circuito del puente de Wheatstone (o puente de resistencia) se emplea en varias aplicaciones. Aquí se usará para medir una resistencia desconocida. La resistencia desconocida Rx está conectada al puente como se indica en la figura 4.63. La resistencia variable se ajusta hasta que no fluya corriente por el galvanómetro, el cual es en esencia un mecanismo d’Arsonval que opera como un sensible dispositivo indicador de corriente, a la manera de un ampe- rímetro en el rango de los microamperes. En esta condición v1 ϭ v2 y se di- ce que el puente está equilibrado. Puesto que no fluye corriente por el galvanómetro, R1 y R2 se comportan como si estuvieran en serie, lo mismo que R3 y Rx. El hecho de que no fluya corriente por el galvanómetro también implica que v1 ϭ v2. Al aplicar el principio de división de tensión, vL ϭ v ϭ v2 ϭ v (4.29) Así, no fluye corriente por el galvanómetro cuando ϭ 1 R2R3 ϭ R1Rx o sea Rx ϭ R2 (4.30) Si R1 ϭ R3 y R2 se ajusta hasta que no fluya corriente por el galvanómetro, entonces Rx ϭ R2. ¿Cómo se halla la corriente a través del galvanómetro cuando el puente de Wheatstone está desequilibrado? Se halla el equivalente de Thevenin (VTh y RTh) respecto a las terminales del galvanómetro. Si Rm es la resistencia del galvanómetro, la corriente a través de él en la condición de desequilibrio es I ϭ (4.31) El ejemplo 4.18 ilustrará esto. VTh RTh ϩ Rm R3 R1 Rx R3 ϩ Rx R2 R1 ϩ R2 Rx R3 ϩ Rx R2 R1 ϩ R2 Nota histórica: Este puente lo inventó Charles Wheatstone (1802-1875), profesor inglés que también inventó el telégrafo, como lo hizo por separado Samuel Morse en Estados Unidos. Figura 4.63 Puente de Wheatstone; Rx es la resistencia por medir. v R1 R3 R2 Rx + − Galvanómetro v1 + − + − v2
- 187. 4.10 Aplicaciones 159 El circuito de la figura 4.64 representa un puente desequilibrado. Si el galva- nómetro tiene una resistencia de 40 ⍀, halle la corriente que fluye por él. Figura 4.64 Puente desequilibrado del ejemplo 4.18. Solución: Primero se debe remplazar el circuito por su equivalente de Thevenin en las terminales a y b. La resistencia de Thevenin se halla empleando el circuito de la figura 4.65a). Obsérvese que los resistores de 3 y 1 k⍀ están en paralelo, lo mismo que los resistores de 400 y 600 ⍀. Las dos combinaciones en pa- ralelo forman una combinación en serie respecto a las terminales a y b. Por lo tanto, RTh ϭ 3 000 || 1 000 ϩ 400 || 600 ϭ ϩ ϭ 750 ϩ 240 ϭ 990 ⍀ Para hallar la tensión de Thevenin, considérese el circuito de la figura 4.65b). La aplicación del principio de división de tensión da por resultado v1 ϭ (220) ϭ 55 V, v2 ϭ (220) ϭ 132 V La aplicación de la LTK a lo largo del lazo ab produce Ϫv1 ϩ VTh ϩ v2 ϭ 0 o VTh ϭ v1 Ϫ v2 ϭ 55 Ϫ 132 ϭ Ϫ77V Habiendo determinado el equivalente de Thevenin, la corriente por el galva- nómetro se halla con base en la figura 4.65c). IG ϭ ϭ ϭ Ϫ74.76 mA El signo negativo indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la supuesta, es decir, de la terminal b a la terminal a. Ϫ77 990 ϩ 40 VTh RTh ϩ Rm 600 600 ϩ 400 1 000 1 000 ϩ 3 000 400 ϫ 600 400 ϩ 600 3 000 ϫ 1 000 3 000 ϩ 1 000 Un puente de Wheatstone tiene R1 ϭ R3 ϭ 1 k⍀. R2 se ajusta hasta que nin- guna corriente fluya por el galvanómetro. En ese punto, R2 ϭ 3.2 k⍀. ¿Cuál es el valor de la resistencia desconocida? Respuesta: 3.2 k⍀. Problema de práctica 4.17 Ejemplo 4.18 220 V 400 Ω 600 Ω + − G 3 kΩ 1 kΩ 40 Ωa b
- 188. 160 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Problema de práctica 4.18 Obtenga la corriente que fluye a través del galvanómetro, el cual tiene una re- sistencia de 14 ⍀, en el puente de Wheatstone que aparece en la figura 4.66. Respuesta: 64 mA. Resumen 1. Una red lineal consta de elementos lineales, fuentes dependientes linea- les y fuentes independientes lineales. 2. Los teoremas de redes se usan para reducir un circuito complejo en uno simple, lo que facilita enormemente el análisis de circuitos. 3. El principio de superposición establece que, en un circuito con fuentes independientes múltiples, la tensión a través de un elemento (o corriente que lo atraviesa) es igual a la suma algebraica de todas las tensiones in- dividuales (o corrientes) debidas a cada fuente independiente al actuar por separado. 4. La transformación de las fuentes es un procedimiento para transformar una fuente de tensión en serie con un resistor en una fuente de corriente en paralelo con un resistor o viceversa. 5. Los teoremas de Thevenin y Norton también permiten aislar una porción de una red mientras la porción restante se remplaza por una red equiva- lente. El equivalente de Thevenin consta de una fuente de tensión VTh en serie con un resistor RTh, en tanto que el equivalente de Norton consta de una fuente de corriente IN en paralelo con un resistor RN. Ambos teore- mas se relacionan por la transformación de fuente. RN ϭ RTh, IN ϭ VTh RTh 4.11 Figura 4.65 Para el ejemplo 4.18: a) cálculo de RTh, b) cálculo de VTh, c) cálculo de la corriente por el galvanómetro. Figura 4.66 Para el problema de práctica 4.18. 220 V 400 Ω 600 Ω + − 3 kΩ 1 kΩ a b + − VTh b) VTh 40 Ω + − c ) 400 Ω 600 Ω 3 kΩ 1 kΩ a b RTh a) RTh a b G IG + − v1 + − v2 14 Ω 60 Ω 16 V 40 Ω 20 Ω 30 Ω G
- 189. Preguntas de repaso 161 Preguntas de repaso 6. En un circuito equivalente de Thevenin dado, la máxima transferencia de potencia ocurre cuando Rl ϭ RTh; es decir, cuando la resistencia de car- ga es igual a la resistencia de Thevenin. 7. El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que una fuen- te suministra la máxima potencia a la carga RL cuando RL es igual a RTh, la resistencia de Thevenin en las terminales de la carga. 8. PSpice puede usarse para comprobar los teoremas de circuitos cubiertos en este capítulo. 9. El modelado de fuentes y la medición de la resistencia con el uso del puente de Wheatstone son aplicaciones del teorema de Thevenin. 4.1 La corriente a través de una rama en una red lineal es de 2 A cuando la tensión de la fuente de entrada es de 10 V. Si la tensión se reduce a 1 V y la polaridad se invierte, la corriente por la rama es de: a) –2 A b) –0.2 A c) 0.2 A d) 2 A e) 20 A 4.2 Para la superposición no se requiere considerar una por una las fuentes independientes; cualquier número de fuen- tes independientes puede considerarse simultáneamente. a) Cierto b) Falso 4.3 El principio de superposición se aplica al cálculo de la potencia. a) Cierto b) Falso 4.4 Remítase a la figura 4.67. La resistencia de Thevenin en las terminales a y b es de: a) 25 ⍀ b) 20 ⍀ c) 5 ⍀ d) 4 ⍀ Figura 4.67 Para las preguntas de repaso 4.4 a 4.6. 4.5 La tensión de Thevenin entre las terminales a y b del cir- cuito de la figura 4.67 es de: a) 50 V b) 40 V c) 20 V d) 10 V 4.6 La corriente de Norton en las terminales a y b del circui- to de la figura 4.67 es de: a) 10 A b) 2.5 A c) 2 A d) 0 A 4.7 La resistencia de Norton RN es exactamente igual a la re- sistencia de Thevenin RTh. a) Cierto b) Falso 4.8 ¿Qué par de circuitos de la figura 4.68 son equivalentes? a) a y b b) b y d c) a y c d) c y d Figura 4.68 Para la pregunta de repaso 4.8. 4.9 Una carga se conecta a una red. En las terminales a las que se conecta, RTh ϭ 10 ⍀ y VTh ϭ 40 V. La máxima po- tencia que es posible suministrar a la carga es de: a) 160 W b) 80 W c) 40 W d) 1 W 4.10 La fuente suministra la máxima potencia a la carga cuan- do la resistencia de carga es igual a la resistencia de fuente. a) Cierto b) Falso Respuestas: 4.1b, 4.2a, 4.3b, 4.4d, 4.5b, 4.6a, 4.7a, 4.8c, 4.9c, 4.10a. + −20 V 5 Ω a) 4 A 5 Ω b) 5 Ω c) + −20 V 5 Ω b) 4 A 50 V 20 Ω+ − 5 Ω a b
- 190. 162 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Sección 4.2 Propiedad de linealidad 4.1 Calcule la corriente io en el circuito de la figura 4.69. ¿Qué valor adopta esa corriente cuando la tensión de en- trada aumenta a 10 V? Figura 4.69 Para el problema 4.1. 4.2 Halle vo en el circuito de la figura 4.70. Si la corriente de fuente se reduce a 1 A, ¿cuál es el valor de vo? Figura 4.70 Para el problema 4.2. 4.3 a) En el circuito de la figura 4.71, calcule vo e io cuando vs ϭ 1 V. b) Halle vo e io cuando vs ϭ 10 V. c) ¿Qué valores adoptan vo e io cuando cada uno de los resistores de 1 ⍀ se remplaza por un resistor de 10 ⍀ y vs ϭ 10 V? Figura 4.71 Para el problema 4.3. 4.4 Use la linealidad para determinar io en el circuito de la fi- gura 4.72. Figura 4.72 Para el problema 4.4. 4.5 Para el circuito de la figura 4.73, suponga que vo ϭ 1 V y aplique la linealidad para hallar el valor real de vo. Figura 4.73 Para el problema 4.5. 4.6 Para el circuito lineal que aparece en la figura 4.74, apli- que la linealidad para completar la siguiente tabla. Experimento Vs Vs 1 12V 4V 2 16V 3 1V 4 Ϫ2V Figura 4.74 Para el problema 4.6. 4.7 Use la linealidad y el supuesto de que Vo ϭ 1 V para ha- llar el valor real de Vo en la figura 4.75. Figura 4.75 Para el problema 4.7. Sección 4.3 Superposición 4.8 Usando la superposición, halle Vo en el circuito de la fi- gura 4.76. Compruebe con PSpice. Figura 4.76 Para el problema 4.8. Problemas + − io 1 Ω 5 Ω 3 Ω8 Ω1 V 5 Ω 4 Ω 6 Ω8 Ω1 A 2 Ω + − vo + − 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ωvs 1 Ω io + − vo 2 Ω3 Ω 4 Ω6 Ω 9 A io 2 Ω 3 Ω 4 Ω6 Ω vo 2 Ω 6 Ω15 V + − Circuito lineal + Vo – Vs − + 4 V − + 3 Ω 1 Ω 4 Ω 2 Ω Vo + − 9 V+ − 3 V+ − 3 Ω 5 Ω 4 Ω 1 ΩVo
- 191. Problemas 163 4.9 Use la superposición para hallar vo en el circuito de la fi- gura 4.77. Figura 4.77 Para el problema 4.9. 4.10 Para el circuito de la figura 4.78, halle la tensión entre las terminales Vab aplicando la superposición. Figura 4.78 Para el problema 4.10. 4.11 Use el principio de superposición para hallar io y vo en el circuito de la figura 4.79. Figura 4.79 Para el problema 4.11. 4.12 Determine vo en el circuito de la figura 4.80 aplicando el principio de superposición. Figura 4.80 Para los problemas 4.12 y 4.35. 4.13 Use la superposición para hallar vo en el circuito de la fi- gura 4.81. Figura 4.81 Para el problema 4.13. 4.14 Use el principio de superposición para hallar vo en el cir- cuito de la figura 4.82. Figura 4.82 Para el problema 4.14. 4.15 Para el circuito de la figura 4.83 use la superposición para hallar i. Calcule la potencia suministrada al resistor de 3 ⍀. Figura 4.83 Para los problemas 4.15 y 4.56. 4.16 Dado el circuito de la figura 4.84 aplique la superposición para obtener io. Figura 4.84 Para los problemas 4.16 y 4.28. 1 Ωvo + − 4 Ω 6 A 18 V 2 Ω 2 Ω + − 2 A 4 A 10 Ω 8 Ω 5 Ω 12 V −+ vo + − 4 V 2 A a b 10 Ω 3Vab + − + − Vab + − + − 6 Ω 2 Ω 3 Ω1 A 2 A 20 V 4 Ω + − vo 20 Ω 4io6 A 40 Ω io 10 Ω vo + − 30 V− + 20 V 2 A 3 Ω 2 Ω 1 Ω 4 Ω 16 V− + i + − 12 V 5 Ω6 Ω 2 A 4 Ω 12 Ω3 Ω+ − 19 V+ − + −vo 12 V 3 Ω4 Ω 4 A 2 Ω 5 Ω10 Ω+ − 2 A io
- 192. 164 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 4.17 Use la superposición para obtener vx en el circuito de la figura 4.85. Compruebe su resultado usando PSpice. Figura 4.85 Para el problema 4.17. 4.18 Use la superposición para hallar Vo en el circuito de la fi- gura 4.86. Figura 4.86 Para el problema 4.18. 4.19 Use la superposición para determinar vx en el circuito de la figura 4.87. Figura 4.87 Para el problema 4.19. Sección 4.4 Transformación de fuente 4.20 Use transformaciones de fuentes para reducir el circuito de la figura 4.88 en una sola fuente de tensión en serie con un solo resistor. Figura 4.88 Para el problema 4.20. 4.21 Use la transformación de fuentes para determinar vo e io en el circuito de la figura 4.89. Figura 4.89 Para el problema 4.21. 4.22 En referencia al circuito de la figura 4.90 use la transfor- mación de fuentes para hallar i. Figura 4.90 Para el problema 4.22. 4.23 En referencia a la figura 4.91 use la transformación de fuente para determinar la corriente y potencia en el resis- tor de 8 ⍀. Figura 4.91 Para el problema 4.23. 4.24 Use la transformación de fuentes para hallar la tensión en el circuito de la figura 4.92. Figura 4.92 Para el problema 4.24. 90 V 6 A 30 Ω 10 Ω 20 Ω 60 Ω 30 Ω+ − 40 V+ − + −vx 1 Ω 2 Ω 0.5Vo 2 A 4 Ω10 V + − Vo + − 8 Ω2 Ω 6 A 4 A − + ix 4ix + − vx 3 A 16 V12 V + − + − 20 Ω10 Ω 40 Ω 12 V 2 A 6 Ω 3 Ω+ − io + − vo 5 Ω 10 Ω 4 Ω5 Ω2 A 20 V+ − i 3 A 15 V 3 Ω8 Ω 10 Ω 6 Ω − + 40 V + − 10 Ω 2Vx 3 A 10 Ω8 Ω Vx + −
- 193. Problemas 165 4.25 Obtenga vo en el circuito de la figura 4.93 aplicando la transformación de fuentes. Compruebe su resultado usan- do PSpice. Figura 4.93 Para el problema 4.25. 4.26 Use la transformación de fuentes para hallar io en el cir- cuito de la figura 4.94. Figura 4.94 Para el problema 4.26. 4.27 Aplique la transformación de fuente para hallar vx en el circuito de la figura 4.95. Figura 4.95 Para los problemas 4.27 y 4.40. 4.28 Use la transformación de fuente para hallar Io en la figu- ra 4.96. Figura 4.96 Para el problema 4.28. 4.29 Use la transformación de fuentes para hallar vo en el cir- cuito de la figura 4.97. Figura 4.97 Para el problema 4.29. 4.30 Use la transformación de fuentes al circuito que se mues- tra en la figura 4.98 y halle ix. Figura 4.98 Para el problema 4.30. 4.31 Determine vx en el circuito de la figura 4.99 aplicando la transformación de fuentes. Figura 4.99 Para el problema 4.31. 4.32 Use la transformación de fuentes para hallar ix en el cir- cuito de la figura 4.100. Figura 4.100 Para el problema 4.32. 3 A 9 Ω 2 Ω 2 A 30 V 5 Ω4 Ω 6 A + − + −vo 3 A 4 Ω + − 20 V6 A io 5 Ω 2 Ω 50 V 8 A 10 Ω 12 Ω 20 Ω 40 Ω+ − 40 V+ − a b + −vx 1 Ω 4 ΩIo 3 Ω Vo8 V − + + −Vo 1 3 4 kΩ 1 kΩ3 mA 2 kΩ 3vo − + + − vo 24 Ω 60 Ω 10 Ω30 Ω ix 12 V 0.7ix− + + − 3 Ω 6 Ω 2vx8 Ω12 V + − + −vx 10 Ω 15 Ω 0.5ix 40 Ω60 V + − 50 Ω ix
- 194. 166 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Secciones 4.5 y 4.6 Teoremas de Thevenin y Norton 4.33 Determine RTh y VTh en las terminales 1-2 de cada uno de los circuitos de la figura 4.101. Figura 4.101 Para los problemas 4.33 y 4.46. 4.34 Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 4.102. Figura 4.102 Para los problemas 4.34 y 4.49. 4.35 Aplique el teorema de Thevenin para hallar vo en el pro- blema 4.12. 4.36 Determine la corriente i en el circuito de la figura 4.103 aplicando el teorema de Thevenin. (Sugerencia: Halle el equivalente de Thevenin a través del resistor de 12 ⍀.) Figura 4.103 Para el problema 4.36. 4.37 Halle el equivalente de Norton respecto a las terminales a-b en el circuito que aparece en la figura 4.104. Figura 4.104 Para el problema 4.37. 4.38 Aplique el teorema de Thevenin para hallar RL en el cir- cuito de la figura 4.105. Figura 4.105 Para el problema 4.38. 4.39 Obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 4.106. Figura 4.106 Para el problema 4.39. 4.40 Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 4.107. Figura 4.107 Para el problema 4.40. 10 Ω + −20 V 40 Ω a) b) 1 2 2 A 30 Ω 30 V+ − 60 Ω 1 2 20 Ω10 Ω 3 A 40 V 40 Ω a b + − 12 Ω 30 V 40 Ω + − 10 Ω 50 V + − i 10 kΩ 20 kΩ a b + −Vo 70 V − + − + 4Vo 24 V 3 A a b 5 Ω 10 Ω 16 Ω10 Ω + − 5 Ω 4 Ω 1 Ω 16 Ω3 A Vo 12 V 10 Ω + – − + 12 Ω40 Ω 20 Ω 120 V 2 A a b + −
- 195. Problemas 167 4.41 Halle los equivalentes de Thevenin y Norton en las termi- nales a-b del circuito que se muestra en la figura 4.108. Figura 4.108 Para el problema 4.41. *4.42 Para el circuito de la figura 4.109 halle el equivalente de Thevenin entre las terminales a y b. Figura 4.109 Para el problema 4.42. 4.43 Halle el equivalente de Thevenin revisando las terminales a-b del circuito de la figura 4.110 y determine ix. Figura 4.110 Para el problema 4.43. 4.44 Para el circuito de la figura 4.111 obtenga el equivalente de Thevenin revisando las terminales: a) a-b b) b-c Figura 4.111 Para el problema 4.44. * Un asterisco indica un problema difícil. 4.45 Halle el equivalente de Norton del circuito de la figura 4.112. Figura 4.112 Para el problema 4.45. 4.46 Halle el equivalente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.113. Figura 4.113 Para el problema 4.46. 4.47 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en el circuito de la figura 4.114 respecto a las terminales a y b. Figura 4.114 Para el problema 4.47. 4.48 Determine el equivalente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.115. Figura 4.115 Para el problema 4.48. 4.49 Halle el equivalente de Norton revisando las terminales a-b del circuito de la figura 4.102. 6 Ω 14 Ω 5 Ω3 A1 A 14 V a b +− 20 Ω 20 Ω10 Ω 10 Ω 5 A 10 Ω 20 V 30 V + − − + 10 Ω a b 20 V 2 A 10 Ω 6 Ω 10 Ω+ − 5 Ω a b ix 4 Ω24 V 5 Ω2 Ω 1 Ω3 Ω 2 A a b c + − 4 A 4 Ω a b 6 Ω 6 Ω 20 Ω4 A a b 10 Ω 10 Ω 12 Ω 60 Ω30 V Vx 2Vx a b + − − + 2 A a b 4 Ω 2 Ω 10io io −+
- 196. 168 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 4.50 Obtenga el equivalente de Norton del circuito de la figu- ra 4.116 a la izquierda de las terminales a-b. Use el resultado para hallar la corriente i. Figura 4.116 Para el problema 4.50. 4.51 Dado el circuito de la figura 4.117 obtenga el equivalente de Norton visto desde las terminales: a) a-b b) c-d Figura 4.117 Para el problema 4.51. 4.52 Para el modelo de transistor de la figura 4.118, obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. Figura 4.118 Para el problema 4.52. 4.53 Halle el equivalente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.119. Figura 4.119 Para el problema 4.53. 4.54 Halle el equivalente de Thevenin entre las terminales a-b del circuito de la figura 4.120. Figura 4.120 Para el problema 4.54. *4.55 Obtenga el equivalente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.121. Figura 4.121 Para el problema 4.55. 4.56 Use el teorema de Norton para hallar Vo en el circuito de la figura 4.122. Figura 4.122 Para el problema 4.56. 4.57 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.123. Figura 4.123 Para los problemas 4.57 y 4.79. 2 A a b 4 A4 Ω 5 Ω 12 V6 Ω + − i 120 V c a b d 6 A 2 Ω3 Ω 4 Ω6 Ω + − 6 V 20Io 3 kΩ 2 kΩ+ − a b Io 2 Ω6 Ω 0.25vo 3 Ω18 V + − vo + − a b 1 kΩ 50 Ω3 V Io 40Io2Vx Vx a b + – − + + − 2 V 80I 8 kΩ 50 kΩ+ − a b 0.001Vab + − I + − Vab 36 V 10 kΩ2 kΩ12 kΩ 24 kΩ 1 kΩ3 mA− + Vo + − 50 V 3 Ω 2 Ω 10 Ω+ − a b 0.5vx6 Ω + − vx
- 197. Problemas 169 4.58 La red de la figura 4.124 modela un transistor bipolar de amplificador de emisor común conectado a una carga. Halle la resistencia de Thevenin vista desde la carga. Figura 4.124 Para el problema 4.58. 4.59 Determine los equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.125. Figura 4.125 Para los problemas 4.59 y 4.80. *4.60 Para el circuito de la figura 4.126 halle los circuitos equi- valentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b. Figura 4.126 Para los problemas 4.60 y 4.81. *4.61 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.127. Figura 4.127 Para el problema 4.61. *4.62 Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.128. Figura 4.128 Para el problema 4.62. 4.63 Halle el equivalente de Norton del circuito de la figura 4.129. Figura 4.129 Para el problema 4.63. 4.64 Obtenga el equivalente de Thevenin visto en las termina- les a-b del circuito de la figura 4.130. Figura 4.130 Para el problema 4.64. 4.65 Para el circuito que se muestra en la figura 4.131 determi- ne la relación entre Vo e Io. Figura 4.131 Para el problema 4.65. vs R1 ib RL + − R2 ib 8 A 10 Ω 20 Ω 50 Ω 40 Ω a b + − 18 V 3 A 4 Ω 6 Ω 5 Ω a b 2 A 10 V + − 12 V 6 Ω 2 Ω 6 Ω 2 Ω 6 Ω + − 12 V 2 Ω + − 12 V+ − a b 10 Ω 20 Ω40 Ω + − io 0.1io 2vo + − vo b a 0.5vo 10 Ω + − vo 20 Ω 10ix 4 Ω 2 Ω 1 Ω + − ix a b 4 Ω 2 Ω 12 Ω32 V Io Vo + − − +
- 198. 170 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Sección 4.8 Máxima transferencia de potencia 4.66 Halle la máxima potencia que puede suministrarse al re- sistor R en el circuito de la figura 4.132. Figura 4.132 Para el problema 4.66. 4.67 El resistor variable R en la figura 4.133 se ajusta hasta que absorbe la máxima potencia del circuito. a) Calcule el valor de R para la máxima potencia. b) Determine la máxima potencia absorbida por R. Figura 4.133 Para el problema 4.67. *4.68 Calcule el valor de R que resulta en la transferencia de máxima potencia al resistor de 10 ⍀ de la figura 4.134. Halle la máxima potencia. Figura 4.134 Para el problema 4.68. 4.69 Halle la máxima potencia transferida al resistor R en el circuito de la figura 4.135. Figura 4.135 Para el problema 4.69. 4.70 Determine la máxima potencia suministrada al resistor variable R que aparece en el circuito de la figura 4.136. Figura 4.136 Para el problema 4.70. 4.71 En relación con el circuito de la figura 4.137, ¿qué resis- tor conectado entre las terminales a-b absorberá la máxima potencia del circuito? ¿Cuál es esa potencia? Figura 4.137 Para el problema 4.71. 4.72 a) Obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b, para el circuito de la figura 4.138. b) Calcule la corriente en RL ϭ 8 ⍀. c) Halle RL para la máxima potencia suministrable a RL. d) Determine la máxima potencia. Figura 4.138 Para el problema 4.72. R3 Ω 2 Ω 5 Ω20 V 6 A+ − − + 10 V 10 Ω 20 Ω80 Ω 90 Ω 40 V −+ R + − + − R 20 Ω 10 Ω 8 V 12 V R40 kΩ 30 kΩ100 V + − 0.003vo 22 kΩ10 kΩ + − vo 6 Ω4 Ω 2 A 20 V 4 A 2 Ω a b RL + − R 6 Ω 5 Ω 15 Ω 5 Ω + − 4 V 3 Vx Vx − + 8 V 120vo 3 kΩ 10 kΩ 40 kΩ1 kΩ+ − a b − + + − vo
- 199. Problemas 171 4.73 Determine la máxima potencia que puede suministrarse al resistor variable R en el circuito de la figura 4.139. Figura 4.139 Para el problema 4.73. 4.74 En referencia al circuito puente que se muestra en la figu- ra 4.140, halle la carga RL para la transferencia de máxima potencia y la máxima potencia absorbida por la carga. Figura 4.140 Para el problema 4.74. 4.75 Para el circuito de la figura 4.141 determine el valor de R de manera que la máxima potencia suministrada a la car- ga sea de 3 mW. Figura 4.141 Para el problema 4.75. Sección 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice 4.76 Resuelva el problema 4.34 usando PSpice. 4.77 Use PSpice para resolver el problema 4.44. 4.78 Use PSpice para resolver el problema 4.52. 4.79 Obtenga el equivalente de Thevenin del circuito de la fi- gura 4.123 usando PSpice. 4.80 Use PSpice para hallar el circuito equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 4.125. 4.81 Para el circuito de la figura 4.126, use PSpice para hallar el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. Sección 4.10 Aplicaciones 4.82 Una batería tiene una corriente de cortocircuito de 20 A y una tensión de circuito abierto de 12 V. Si la batería se co- necta a una bombilla eléctrica con 2 ⍀ de resistencia, calcule la potencia disipada por la bombilla. 4.83 Los siguientes resultados se obtuvieron en mediciones to- madas entre las dos terminales de una red resistiva. Tensión entre las terminales 12 V 0 V Corriente en las terminales 0 A 1.5 A Halle el equivalente de Thevenin de la red. 4.84 Conectada a un resistor de 4 ⍀, una batería tiene una ten- sión entre sus terminales de 10.8 V, pero produce 12 V en circuito abierto. Determine el circuito equivalente de Thevenin de la batería. 4.85 El equivalente de Thevenin en las terminales a-b de la red lineal que aparece en la figura 4.142 debe determinarse por medición. Cuando un resistor de 10 k⍀ se conecta a las terminales a-b, se obtiene una medida de 6 V de la ten- sión. Cuando un resistor de 30 k⍀ se conecta a las terminales, la medida obtenida de Vab es de 12 V. Deter- mine: a) el equivalente de Thevenin en las terminales a-b, b) Vab cuando un resistor de 20 k⍀ se conecta a las termi- nales a-b. Figura 4.142 Para el problema 4.85. 4.86 Una caja negra conteniendo un circuito se conecta a un resistor variable. Un amperímetro ideal (con resistencia cero) y un voltímetro ideal (con resistencia infinita) se usan para medir la corriente y la tensión, como se advier- te en la figura 4.143. Los resultados aparecen en la tabla de la página siguiente. Figura 4.143 Para el problema 4.86. 20 Ω 25 Ω10 Ω 5 Ω 60 V R − + R3 RL R4 R1 R2 vs + − R R R 2 V 3 V RL + − 1 V + − + − Red lineal a b Caja negra V A i R
- 200. 172 Capítulo 4 Teoremas de circuitos a) Halle i cuando R = 4 ⍀. b) Determine la máxima potencia desde la caja. R(⍀) V(V) i(A) 2 8 1.5 8 8 1.0 14 10.5 0.75 4.87 Un transductor se modela con una fuente de corriente Is y una resistencia en paralelo Rs. De la corriente en las ter- minales de la fuente se obtiene una medida de 9.975 mA al emplearse un amperímetro con una resistencia interna de 20 ⍀. a) Si la adición de un resistor de 2 k⍀ entre las termina- les de la fuente causa que la lectura del amperímetro disminuya a 9.876 mA, calcule Is y Rs. b) ¿Cuál será la lectura del amperímetro si la resistencia entre las terminales de la fuente cambia a 4 k⍀? 4.88 Considere el circuito de la figura 4.144. Un amperímetro con resistencia interna Ri se inserta entre a y b para medir Io. Determine la lectura del amperímetro si: a) Ri ϭ 500 ⍀, b) Ri ϭ 0 ⍀. (Sugerencia: Halle el circuito equivalente de Thevenin en las terminales a-b.) Figura 4.144 Para el problema 4.88. 4.89 Considere el circuito de la figura 4.145. a) Remplace el resistor RL por un amperímetro de resistencia cero y de- termine la lectura del amperímetro. b) Para comprobar el teorema de reciprocidad, intercambie el amperímetro y la fuente de 12 V y determine de nuevo la lectura del ampe- rímetro. Figura 4.145 Para el problema 4.89. 4.90 El circuito puente de Wheatstone que aparece en la figu- ra 4.146 se usa para medir la resistencia de un sensor de presión. El resistor ajustable tiene una graduación de va- riación lineal con un valor máximo de 100 ⍀. Si se halla que la resistencia del sensor de presión es de 42.6 ⍀, ¿qué fracción del recorrido completo del cursor se tendrá cuan- do el puente está equilibrado? Figura 4.146 Para el problema 4.90. 4.91 a) En el circuito puente de Wheatstone de la figura 4.147 seleccione los valores de R1 y R3 de manera que el puente pueda medir Rx en el rango 0-10 ⍀. Figura 4.147 Para el problema 4.91. b) Repita en relación con el rango de 0-100 ⍀. *4.92 Considere el circuito puente de la figura 4.148. ¿Está equilibrado? Si el resistor de 10 k⍀ se remplaza por uno de 18 k⍀, ¿cuál resistor conectado entre las terminales a-b absorbe la máxima potencia? ¿Cuál es esa potencia? Figura 4.148 Para el problema 4.92. 4 mA30 kΩ 10 kΩ 2 kΩ 5 kΩ 20 kΩ 60 V Io ba − + 20 kΩ 15 kΩ 10 kΩ 12 kΩ 12 V RL − + 220 V 2 kΩ 3 kΩ 6 kΩ 5 kΩ 10 kΩ + − a b R3 Rx R1 V + − G 50 Ω 4 kΩ 100 Ω 2 kΩ + −vs Rs Rx G
- 201. Problemas 173 4.93 El circuito en la figura 4.149 modela un amplificador de transistor de emisor común. Halle ix aplicando la trans- formación de fuente. Figura 4.149 Para el problema 4.93. 4.94 Un atenuador es un circuito de interface que reduce el ni- vel de tensión sin alterar la resistencia de salida. a) Especificando Rs y Rp del circuito de interface de la fi- gura 4.150, diseñe un atenuador que satisfaga los siguientes requisitos: b) Con base en la interface diseñada en el inciso a), cal- cule la corriente a través de una carga de RL ϭ 50 ⍀ cuando Vg ϭ 12 V. Figura 4.150 Para el problema 4.94. *4.95 Un voltímetro de cd con una sensibilidad de 20 k⍀/V se usa para hallar el equivalente de Thevenin de una red li- neal. Las lecturas en dos escalas son las siguientes: a) Escala 0-10 V: 4 V b) Escala 0-50 V: 5 V Obtenga la tensión de Thevenin y la resistencia de Theve- nin de la red. Vo Vg ϭ 0.125, Req ϭ RTh ϭ Rg ϭ 100 ⍀ *4.96 Un sistema de resistencias se conecta a un resistor de car- ga R y una batería de 9 V como se muestra en la figura 4.151. a) Halle el valor de R de manera que Vo ϭ 1.8 V. b) Calcule el valor de R que extraerá máxima corriente. ¿Cuál es la corriente máxima? Figura 4.151 Para el problema 4.96. 4.97 Un circuito de un amplificador de emisor común se pre- senta en la figura 4.152. Obtenga el equivalente de Thevenin a la izquierda de los puntos B y E. Figura 4.152 Para el problema 4.97. *4.98 Para el problema de práctica 4.18 determine la corriente a través del resistor de 40 ⍀ y la potencia disipada por el re- sistor. Problemas de mayor extensión vs Rs + − ixRo ix Vg Rg Rs RL Req + − Rp Vo + − Atenuador Carga 60 Ω 10 Ω 10 Ω 8 Ω 8 Ω R 10 Ω 40 Ω 9 V+ − 3 4 1 2 + −Vo RL Rc E 4 kΩ 6 kΩ 12 V B + −
- 203. 175 Amplificadores operacionales El hombre ignorante se maravilla de lo excepcional; el hombre sabio se maravilla de lo común; la mayor maravilla de todas es la regularidad de la naturaleza. —G. D. Boardman C a p í t u l o 5 Instrumentos electrónicos usados en la investigación médica. © Colin Cuthbert/Photo Researchers, Inc. Desarrollo de su carrera Carrera en instrumentación electrónica La ingeniería implica aplicar principios físicos para diseñar dispositivos en beneficio de la humanidad. Pero los principios físicos no pueden compren- derse sin medición. De hecho, los físicos suelen afirmar que la física es la ciencia que mide la realidad. Así como las medidas son una herramienta pa- ra conocer el mundo físico, los instrumentos son herramientas para medir. El amplificador operacional, el cual se presentará en este capítulo, es uno de los componentes de la instrumentación electrónica moderna. Por lo tanto, domi- nar sus aspectos fundamentales es decisivo para cualquier aplicación práctica de circuitos electrónicos. Los instrumentos electrónicos se usan en todos los campos de la ciencia y la ingeniería. Han proliferado en la ciencia y la tecnología hasta tal punto que sería ridículo adquirir una educación científica o técnica sin tener con- tacto con instrumentos electrónicos. Por ejemplo, los físicos, fisiólogos, quí- micos y biólogos deben aprender a usar instrumentos electrónicos. En cuanto a los estudiantes de ingeniería eléctrica en particular, la habilidad para operar instrumentos electrónicos digitales y analógicos es crucial. Tales instrumen- tos incluyen amperímetros, voltímetros, óhmetros, osciloscopios, analizadores de espectro y generadores de señales. Además de desarrollar la habilidad para operar esos instrumentos, al- gunos ingenieros eléctricos se especializan en el diseño y construcción de instrumentos electrónicos. A estos ingenieros les gusta producir sus propios instrumentos. La mayoría de ellos realizan inventos y los patentan. Los es- pecialistas en instrumentos electrónicos hallan empleo en escuelas de me- dicina, hospitales, laboratorios de investigación, la industria aeronáutica y miles de industrias más en las que es rutinario el uso de instrumentos elec- trónicos.
- 204. 176 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Introducción Luego de aprender las leyes y teoremas básicos del análisis de circuitos, ya se está preparado para estudiar un elemento activo de circuitos de suma importan- cia: el amplificador operacional o amp op: un versátil componente de circuitos. El amplificador operacional es una unidad electrónica que se comporta como una fuente de tensión controlada por tensión. Puede servir asimismo para producir una fuente de corriente controlada por tensión o por corriente. Un amplificador operacional puede sumar señales, am- plificar una señal, integrarla o diferenciarla. Su capacidad para ejecutar esas operaciones matemáticas es la razón de que se llame amplificador operacio- nal. Lo es también por su extendido uso en el diseño analógico. Los amplifi- cadores operacionales son muy comunes en diseños prácticos de circuitos a causa de su versatilidad, bajo costo, facilidad de uso y grato manejo. Se inicia su estudio con la explicación del amplificador operacional ideal y después se tratará el no ideal. Con el uso del análisis nodal como herra- mienta, se tratarán los circuitos de amplificadores operacionales ideales como el inversor, el seguidor de tensión, el sumador y el amplificador diferencial. También se analizarán circuitos del amplificador operacional con PSpice. Por último, se verá cómo se usa un amplificador operacional en convertidores di- gitales-analógicos y en amplificadores para instrumentos. Amplificadores operacionales Un amplificador operacional se diseña para ejecutar algunas operaciones ma- temáticas cuando componentes externos, como resistores y capacitores, están conectados a sus terminales. Así, Un amplificador operacional es un elemento de circuitos activo diseñado para realizar operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, división, diferenciación e integración. El amplificador operacional es un dispositivo electrónico que consta de un complejo sistema de resistores, transistores, capacitores y diodos. Una ex- posición completa de lo que se halla dentro del amplificador operacional es- capa al alcance de este libro. Aquí bastará con tratarlo como un componente de circuitos y con estudiar lo que ocurre en sus terminales. Los amplificadores operacionales se venden en paquetes de circuitos inte- grados de diversas presentaciones. En la figura 5.1 aparece un empaque usual de amplificador operacional. Uno habitual es el empaque en línea doble (dual in-li- ne package, DIP por sus siglas en inglés) de ocho terminales que se muestra en la figura 5.2a). La terminal 8 no se usa, y las terminales 1 y 5 son de escaso in- terés para el objetivo de esta sección. Las cinco terminales importantes son: 1. La entrada inversora, terminal 2. 2. La entrada no inversora, terminal 3. 3. La salida, terminal 6. 4. El suministro de potencia positivo Vϩ , terminal 7. 5. El suministro de potencia negativo VϪ , terminal 4. El símbolo de circuitos del amplificador operacional es el triángulo de la fi- gura 5.2b); como se advierte en ella, el amplificador operacional tiene dos en- 5.2 5.1 El término amplificador operacional se debe a John Ragazzini y sus colegas, quienes lo acuñaron en 1947 en un estudio sobre computadoras analógi- cas para el National Defense Research Council de Estados Unidos después de la Segunda Guerra Mundial. Los pri- meros amplificadores operacionales contenían tubos al vacío en vez de transistores. Un amplificador operacional también puede considerarse un amplificador de tensión de muy alta ganancia. El diagrama de terminales de la figura 5.2a) corresponde al amplificador operacional de propósitos generales 741 fabricado por Fairchild Semicon- ductor. Figura 5.1 Amplificador operacional común. Cortesía de Tech America.
- 205. 5.2 Amplificadores operacionales 177 tradas y una salida. Las entradas se han marcado con los signos menos (Ϫ) y más (ϩ) para especificar las entradas inversora y no inversora, respectiva- mente. Una entrada aplicada a la terminal no inversora aparecerá con la mis- ma polaridad en la salida, mientras que una entrada aplicada a la terminal inversora aparecerá invertida en la salida. Como elemento activo, es necesario un suministro de tensión al amplifi- cador operacional, como se muestra del modo común en la figura 5.3. Aun- que, para mayor simplicidad, en diagramas del circuito del amplificador operacional suelen ignorarse las fuentes de suministro, las corrientes de éstas no deben pasarse por alto. Por efecto de la LCK, io ϭ i1 ϩ i2 ϩ iϩ ϩ iϪ (5.1) El modelo de circuito equivalente de un amplificador operacional se pre- senta en la figura 5.4. La sección de salida consta de una fuente controlada por tensión en serie con la resistencia de salida Ro. En la figura 5.4 es evi- dente que la resistencia de entrada Ri es la resistencia equivalente de Theve- nin vista en las terminales de entrada, mientras que la resistencia de salida Ro es la resistencia equivalente de Thevenin vista en la salida. La tensión de en- trada diferencial vd está dada por vd ϭ v2 Ϫ v1 (5.2) donde v1 es la tensión entre la terminal inversora y tierra y v2 la tensión en- tre la terminal no inversora y tierra. El amplificador operacional percibe la diferencia entre esas dos entradas, la multiplica por la ganancia A y provoca que la tensión resultante aparezca en la salida. Así, la salida vo está dada por vo ϭ Avo ϭ A(v2 Ϫ v1) (5.3) A se llama ganancia en tensión de lazo abierto, porque es la ganancia del amplificador operacional sin retroalimentación externa de la salida a la entra- da. En la tabla 5.1 aparecen los valores habituales de la ganancia en tensión Figura 5.4 Circuito equivalente de un amplificador operacional no ideal. Figura 5.3 Alimentación del amplificador operacional. A veces la ganancia en tensión se expresa en decibeles (dB), como se explicará en el capítulo 14. A dB ϭ 20 log10 A Figura 5.2 Amplificador operacional común: a) configuración de terminales, b) símbolo de circuitos. TABLA 5.1 Gamas habituales de parámetros del amplificador operacional. Parámetro Rango típico Valores ideales Ganancia de lazo abierto, A 105 a 108 ϱ Resistencia de entrada, Ri 105 a 1013 ⍀ ϱ ⍀ Resistencia de salida, Ro 10 a 100 ⍀ 0 ⍀ Tensión de suministro, VCC 5 a 24 V + −1Balance 2Entrada inversora 3Entrada no inversora 4V− 5 Balance 6 Salida 7 V+ 8 Sin conexión a) b) 2Entrada inversora 3Salida no inversora 4 V− V+ 1 5 Cero de compensación 6 Salida 7 7 4 6 VCCVV VCCVV + − + −io i1 i2 i+ i− 2 3 v1 v2 vovv + − + − vd Ri Ro vdv
- 206. A, la resistencia de entrada Ri, la resistencia de salida Ro y la tensión del su- ministro VCC. El concepto de retroalimentación es crucial para la comprensión de los circuitos de amplificadores operacionales. Una retroalimentación negativa se obtiene cuando la salida se retroalimenta a la terminal inversora del amplifi- cador operacional. Como se demostrará en el ejemplo 5.1, cuando hay una vía de retroalimentación de la salida a la entrada, la proporción entre la ten- sión de salida y la tensión de entrada se llama ganancia de lazo cerrado. Co- mo resultado de la retroalimentación negativa, es posible demostrar que la ganancia de lazo cerrado es casi insensible a la ganancia de lazo abierto A del amplificador operacional. Por esta razón se usan amplificadores operaciona- les en circuitos con trayectorias de retroalimentación. Una limitación práctica del amplificador operacional es que la magnitud de su tensión de salida no puede exceder de |VCC |. En otras palabras, la ten- sión de salida depende de y está limitada por la tensión de alimentación. La figura 5.5 ilustra que el amplificador operacional puede funcionar en tres mo- dos, dependiendo de la tensión de entrada diferencial vd: 1. Saturación positiva, vo ϭ VCC. 2. Región lineal, ϪVCC Յ vo ϭ Avd Յ VCC. 3. Saturación negativa, vo ϭ ϪVCC. Si se intenta incrementar vd más allá del rango lineal, el amplificador opera- cional se satura y produce vo ϭ VCC o vo ϭ ϪVCC. En este libro se supon- drá que los amplificadores operacionales funcionan en el modo lineal. Esto significa que la tensión de salida está restringida por ϪVCC Յ vo Յ VCC (5.4) Aunque siempre se opera el amplificador operacional en la región lineal, la posibilidad de saturación debe tenerse en cuenta al realizar diseños que lo in- cluyan, para no diseñar circuitos de amplificadores operacionales que no fun- cionen en el laboratorio. Un amplificador operacional 741 tiene una ganancia en tensión de lazo abier- to de 2 ϫ105 , una resistencia de entrada de 2 M⍀ y una resistencia de sali- da de 50 ⍀. Tal amplificador se usa en el circuito de la figura 5.6a). Halle la ganancia de lazo cerrado vo/vs. Determine la corriente i cuando vs ϭ 2 V. Ejemplo 5.1 178 Capítulo 5 Amplificadores operacionales En este libro se supondrá que un amplificador operacional funciona en el rango lineal. Tenga en cuenta la restricción de la tensión sobre el am- plificador operacional en este modo. Figura 5.5 Tensión de salida o del amplificador operacional como función de la tensión de entrada diferencial d. Figura 5.6 Para el ejemplo 5.1: a) circuito original, b) circuito equivalente. Saturación positiva Saturación negativa vd vo VCCVV −VCCVV 0 10 kΩ 20 kΩ vs i vo + − + − 1 O a) b) + − 741 10 kΩ 20 kΩ vs i i Ro = 50 Ω Ri = 2 MΩ+ − 1 O + − Avd v1 vo − + vd
- 207. Solución: Con base en el modelo de amplificador operacional de la figura 5.4, se ob- tiene el circuito equivalente de la figura 5.6a), el cual se muestra en la figu- ra 5.6b). Ahora se resuelve el circuito de esta última figura aplicando el análisis nodal. En el nodo 1, la LCK da como resultado Al multiplicar 2 000 ϫ 103 se obtiene 200vx ϭ 301v1 Ϫ 100v0 o sea (5.1.1) En el nodo O, Pero vd ϭ Ϫv1 y A ϭ 200 000. Por lo tanto, v1 Ϫ vo ϭ 400(vo ϩ 200 000v1) (5.1.2) La sustitución de v1 de la ecuación (5.1.1) en la ecuación (5.1.2) da por re- sultado Ésta es la ganancia de lazo cerrado, porque el resistor de retroalimentación de 20 k⍀ cierra el lazo entre las terminales de salida y entrada. Cuando vs ϭ 2 V, vo ϭ Ϫ3.9999398 V. De la ecuación (5.1.1) se obtiene v1 ϭ 20.066667 V. Así, Es evidente que trabajar con un amplificador operacional no ideal es tedioso, ya que se trata con números muy grandes. Si el mismo amplificador operacional 741 del ejemplo 5.1 se emplea en el circuito de la figura 5.7, calcule la ganancia de lazo cerrado vo/vs. Halle io cuando vs ϭ 1 V. Respuesta: 9.00041, 0.657 mA. Amplificador operacional ideal Para facilitar la comprensión de los circuitos de amplificadores operaciona- les, se supondrá que son amplificadores operacionales ideales. Un amplifica- dor operacional es ideal si tiene las siguientes características: 1. Ganancia infinita de lazo abierto, A Ӎ ϱ. 2. Resistencia de entrada infinita, Ri Ӎ ϱ. 3. Resistencia de salida cero, Ro Ӎ 0. 5.3 i ϭ v1 Ϫ vo 20 ϫ 103 ϭ 0.19999 mA 0 Ӎ 26 667 067vo ϩ 53 333 333vs 1 vo vs ϭ Ϫ1.9999699 v1 Ϫ vo 20 ϫ 103 ϭ vo Ϫ Avd 50 2vs Ӎ 3v1 Ϫ vo 1 v1 ϭ 2vs ϩ vo 3 vs Ϫ v1 10 ϫ 103 ϭ v1 2 000 ϫ 103 ϩ v1 Ϫ vo 20 ϫ 103 5.3 Amplificador operacional ideal 179 Figura 5.7 Para el problema de práctica 5.1. Problema de práctica 5.1 40 kΩ 20 kΩ5 kΩ vs vo io + − + − + − 741
- 208. 180 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Figura 5.8 Modelo del amplificador operacional ideal. Figura 5.9 Para el ejemplo 5.2. Ejemplo 5.2 Un amplificador operacional ideal es aquel con ganancia infinita de lazo abierto, resistencia de entrada infinita y resistencia de salida cero. Aunque suponer un amplificador operacional ideal brinda apenas un aná- lisis aproximado, la mayoría de los amplificadores modernos tienen ganancias e impedancias de entrada tan grandes que el análisis aproximado es acepta- ble. A menos que se indique otra cosa, en adelante se supondrá que todos los amplificadores operacionales son ideales. Para efectos de análisis de circuitos, el amplificador operacional ideal se ilustra en la figura 5.8, la cual se deriva del modelo no ideal de la figura 5.4. Dos importantes características del amplificador operacional ideal son: 1. Las corrientes por las dos terminales de entrada son de cero: i1 ϭ 0, i2 ϭ 0 (5.5) Esto se debe a la resistencia de entrada infinita. Una resistencia infinita entre las terminales de entrada implica que ahí existe un circuito abierto y que no puede entrar corriente en el amplificador operacional. En cam- bio, la corriente de salida no necesariamente es de cero, de acuerdo con la ecuación (5.1). 2. La tensión entre las terminales de entrada es igual a cero; es decir. vd ϭ v2 Ϫ v1 ϭ 0 (5.6) o sea v1 ϭ v2 (5.7) De este modo, un amplificador operacional ideal tiene corriente cero en sus dos terminales de entrada y la tensión entre las dos terminales de entrada es igual a cero. Las ecuaciones (5.5) y (5.7) son sumamente importantes y deben considerarse los recursos clave para analizar circuitos de amplificadores ope- racionales. Repita el problema de práctica 5.1 con el uso del modelo de amplificador ope- racional ideal. Solución: Se puede remplazar el amplificador operacional de la figura 5.7 por su mo- delo equivalente de la figura 5.9, como se hizo en el ejemplo 5.1. Pero en rea- lidad no es necesario hacer esto. Basta con tener presentes las ecuaciones (5.5) y (5.7) al analizar el circuito de la figura 5.7. Así, el circuito de esta última figura se presenta como en la figura 5.9. Nótese que v2 ϭ vs (5.2.1) Puesto que i1 ϭ 0, los resistores de 40 y 5 k⍀ están en serie; por ellos fluye la misma corriente. v1 es la tensión entre los extremos del resistor de 5 k⍀. Así, al aplicar el principio de la división de tensión, (5.2.2)v1 ϭ 5 5 ϩ 40 vo ϭ vo 9 Estas dos características pueden ex- plotarse señalando que para cálculos de tensión el puerto de entrada se comporta como un cortocircuito y pa- ra cálculos de corriente se comporta como un circuito abierto. i2 = 0 i1 = 0 v1 v2 v1 + − vovv + − vdv + − + − + − 40 kΩ 20 kΩ 5 kΩ vs i1 = 0 i2 = 0 i0 + − v1 v2 O + − + − vovv
- 209. 5.4 Amplificador inversor 181 De acuerdo con la ecuación (5.7), v2 ϭ v1 (5.2.3) La sustitución de las ecuaciones (5.2.1) y (5.2.2) en la ecuación (5.2.3) pro- duce la ganancia de lazo cerrado, (5.2.4) valor muy cercano al de 9.00041 obtenido con el modelo no ideal en el pro- blema de práctica 5.1. Esto demuestra que se produce un error despreciable al suponer el amplificador operacional de características ideales. En el nodo O, (5.2.5) De la ecuación (5.2.4), cuando vs ϭ 1 V, vo ϭ 9 V. La sustitución de vo ϭ 9 V en la ecuación (5.2.5) produce io ϭ 0.2 ϩ 0.45 ϩ 0.65 mA También este valor es cercano al de 0.657 mA obtenido en el problema de práctica 5.1 con el modelo no ideal. Repita el ejemplo 5.1 con el uso del modelo de amplificador operacional ideal. Respuesta: Ϫ2, 0.2 mA. Amplificador inversor En ésta y las siguientes secciones se considerarán algunos circuitos de ampli- ficadores operacionales útiles que suelen servir como módulos para el diseño de circuitos más complejos. El primero de tales circuitos es el amplificador inversor, el cual se muestra en la figura 5.10. En este circuito, la entrada no inversora se conecta a tierra, vi se conecta a la entrada inversora a través de R1 y el resistor de retroalimentación Rf se conecta entre la entrada inversora y la salida. El objetivo es obtener la relación entre la tensión de entrada vi y la tensión de salida vo. Al aplicar la LCK en el nodo 1, (5.8) Pero v1 ϭ v2 ϭ 0 para un amplificador operacional ideal, ya que la terminal no inversora se conecta a tierra. Por lo tanto, vi R1 ϭ Ϫ vo Rf i1 ϭ i2 1 vi Ϫ v1 R1 ϭ v1 Ϫ vo Rf 5.4 io ϭ vo 40 ϩ 5 ϩ vo 20 mA vs ϭ vo 9 1 vo vs ϭ 9 Figura 5.10 Amplificador inversor. Problema de práctica 5.2 Un rasgo clave del amplificador inversor es que tanto la señal de entrada como la retroalimentación se aplican en la terminal inversora del amplificador operacional. R1 RfR vi vovv + − + − v2 v1 0 A 0 V + − + −1 i1 i2
- 210. 182 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Figura 5.13 Para el problema de práctica 5.3. Figura 5.11 Circuito equivalente del inversor de la figura 5.10. Figura 5.12 Para el ejemplo 5.3. Problema de práctica 5.3 Ejemplo 5.3 o sea (5.9) La ganancia en tensión es Av ϭ vo/vi ϭ ϪRf/R1. La designación del circuito de la figura 5.10 como inversor procede del signo negativo. Así, Un amplificador inversor invierte la polaridad de la señal de entrada mientras la amplifica. Obsérvese que la ganancia es la resistencia de retroalimentación dividida entre la resistencia de entrada, lo que significa que la ganancia depende úni- camente de los elementos externos conectados al amplificador operacional. En vista de la ecuación (5.9), en la figura 5.11 se presenta el circuito equivalen- te del amplificador inversor. Este amplificador se utiliza, por ejemplo, en un convertidor de corriente a tensión. Remítase al amplificador operacional de la figura 5.12. Si vi Ϫ 0.5 V, calcu- le: a) la tensión de salida vo y b) la corriente en el resistor de 10 k⍀. Solución: a) Con base en la ecuación (5.9), vo ϭ Ϫ2.5vi ϭ Ϫ2.5(0.5) ϭ Ϫ1.25 V b) La corriente a través del resistor de 10 k⍀ es Halle la salida del circuito del amplificador operacional que aparece en la fi- gura 5.13. Calcule la corriente a través del resistor de retroalimentación. Respuesta: –120 mV, 8 A. i ϭ vi Ϫ 0 R1 ϭ 0.5 Ϫ 0 10 ϫ 103 ϭ 50 mA vo vi ϭ Ϫ Rf R1 ϭ Ϫ 25 10 ϭ Ϫ2.5 vo ϭ Ϫ Rf R1 vi Nótese que hay dos tipos de ganancia: la de aquí es la ganancia en tensión de lazo cerrado Av, mientras que el ampli- ficador operacional mismo tiene una ganancia en tensión de lazo abierto A. ñ + + − vi + − vovvR1 RfR R1 vi 10 kΩ 25 kΩ vi vovv + − + − + − 5 kΩ 15 kΩ 40 mVm vovv + − + − + −
- 211. Determine vo en el circuito del amplificador operacional que se muestra en la figura 5.14. Solución: Al aplicar la LCK al nodo a, va Ϫ vo ϭ 12 Ϫ 2va ⇒ vo ϭ 2va Ϫ 12 Pero va ϭ vb ϭ 2 V para un amplificador operacional ideal, a causa de la caí- da de tensión a cero entre sus terminales de entrada. Así, vo ϭ 6 Ϫ 12 ϭ Ϫ6 V Adviértase que si vb ϭ 0 ϭ va, entonces vo ϭ Ϫ12, como era de esperar de la ecuación (5.9). Dos tipos de convertidores de corriente a tensión (también conocidos como amplificadores de transresistencia) aparecen en la figura 5.15. a) Demuestre que para el convertidor de la figura 5.15a), b) Demuestre que para el convertidor de la figura 5.15b), Respuesta: Comprobación. Figura 5.15 Para el problema de práctica 5.4. Amplificador no inversor Otra importante aplicación del amplificador operacional es el amplificador no inversor que se muestra en la figura 5.16. En este caso, la tensión de entrada vi se aplica directamente a la terminal de entrada no inversora, y el resistor 5.5 vo is ϭ ϪR1a1 ϩ R3 R1 ϩ R3 R2 b vo is ϭ ϪR va Ϫ vo 40 k⍀ ϭ 6 Ϫ va 20 k⍀ 5.5 Amplificador no inversor 183 Problema de práctica 5.4 Ejemplo 5.4 Figura 5.14 Para el ejemplo 5.4. Figura 5.16 Amplificador no inversor. 20 kΩ 40 kΩ 6 V vovv + − 2 V + − + − a b + − R1 RfR vovv + − v1 v2 viv + − i2 i1 + − R is vovv + − a) + − R1 is R2RR vovv + − b) R3 + −
- 212. 184 Capítulo 5 Amplificadores operacionales R1 se conecta entre la tierra y la terminal inversora. Interesan la tensión de salida y la ganancia en tensión. La aplicación de la LCK en la terminal in- versora da por resultado 5.10 Pero v1 ϭ v2 ϭ vi. Así, la ecuación (5.10) se convierte en o sea (5.11) La ganancia en tensión es Av ϭ vo/vi ϭ 1 ϭ Rf/R1, la cual no tiene signo ne- gativo. Así, la salida tiene la misma polaridad que la entrada. Un amplificador no inversor es un circuito de amplificador operacional dise- ñado para suministrar una ganancia en tensión positiva. Nótese de nueva cuenta que la ganancia sólo depende de los resistores exter- nos. Obsérvese asimismo que si el resistor de retroalimentación Rf ϭ 0 (cor- tocircuito) o R1 ϭ ϱ (circuito abierto) o ambos, la ganancia se convierte en 1. En estas condiciones (Rf ϭ 0 y R1 ϭ ϱ), el circuito de la figura 5.16 se convierte en el que aparece en la figura 5.17, el cual se llama seguidor de ten- sión (o amplificador de ganancia unitaria), a causa de que la salida sigue a la entrada. Así, en un seguidor de tensión vo ϭ vi (5.12) Tal circuito tiene una impedancia de entrada muy alta, y por lo tanto es útil como amplificador de etapa intermedia (o buffer) para aislar un circuito de otro, como se describe en la figura 5.18. El seguidor de tensión minimiza la interacción entre las dos etapas y elimina la carga interetapas. En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.19 calcule la ten- sión de salida vo. Solución: Se puede resolver este problema de dos maneras: aplicando la superposición o el análisis nodal. ■ MÉTODO 1 Aplicando la superposición, se tiene vo ϭ vo1 ϩ vo2 vo ϭ a1 ϩ Rf R1 b vi Ϫvi R1 ϭ vi Ϫ vo Rf i1 ϭ i2 1 0 Ϫ v1 R1 ϭ v1 Ϫ vo Rf Figura 5.17 Seguidor de tensión. Figura 5.18 Seguidor de tensión usado para aislar dos etapas en cascada de un circuito. Ejemplo 5.5 vovv = vi + − vi + − + − + − vi + − vovv + − Primera etapa Segunda etapa
- 213. 5.6 Amplificador sumador 185 donde vo1 se debe a la fuente de tensión de 6 V y vo2 a la entrada de 4 V. Pa- ra obtener vo1 se pone en cero la fuente de 4 V. En esta condición, el circui- to se convierte en inversor. Así, la ecuación (5.9) da como resultado Para obtener vo2 se pone en cero la fuente de 6 V. El circuito se convierte en amplificador no inversor, así que se aplica la ecuación (5.11). De este modo, vo ϭ vo1 ϩ vo2 ϭ Ϫ15 ϩ 14 ϭ Ϫ1 V ■ MÉTODO 2 Al aplicar la LCK al nodo a, Pero va ϭ vb ϭ 4, así que o vo ϭ Ϫ1 V, como se obtuvo anteriormente. Calcule vo en el circuito de la figura 5.20. Respuesta: 7 V. Amplificador sumador Aparte de amplificación, el amplificador operacional también puede realizar sumas y restas. La suma la ejecuta el amplificador sumador cubierto en esta sección; la resta, el amplificador de diferencia, el cual se presenta en la si- guiente sección. Un amplificador sumador es un circuito del amplificador operacional que combina varias entradas y produce una salida que es la suma ponderada de las entradas. El amplificador sumador, el cual se muestra en la figura 5.21, es una va- riante del amplificador inversor. Se beneficia del hecho de que la configura- ción del inversor puede manejar muchas entradas al mismo tiempo. Téngase 5.6 6 Ϫ 4 4 ϭ 4 Ϫ vo 10 1 5 ϭ 4 Ϫ vo 6 Ϫ va 4 ϭ va Ϫ vo 10 vo2 ϭ a1 ϩ 10 4 b 4 ϭ 14 V vo1 ϭ Ϫ 10 4 (6) ϭ Ϫ15 V Problema de práctica 5.5 Figura 5.19 Para el ejemplo 5.9. Figura 5.21 Amplificador sumador. Figura 5.20 Para el problema de práctica 5.5. 4 kΩ 10 kΩ 6 V vovv + − + − 4 V + − a b + − 5 kΩ 4 kΩ 2 kΩ 3 V vovv + − + − 8 kΩ + − i1 i2 i3 v1 v2 v3 i i + − vovv 0 0 R1 RfR R2RR R3 a + −
- 214. 186 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Ejemplo 5.6 en cuenta que la corriente que entra a cada terminal del amplificador opera- cional es de cero. La aplicación de la LCK al nodo a da por resulado i ϭ i1 ϩ i2 ϩ i3 (5.13) Pero (5.14) Nótese que vo ϭ 0, y al sustituir la ecuación (5.14) en la ecuación (5.13) se obtiene (5.15) lo que indica que la tensión de salida es una suma ponderada de las entradas. Por esta razón, el circuito de la figura 5.21 se llama sumador. Sobra decir que el sumador puede tener más de tres entradas. Calcule vo e io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.22. Figura 5.22 Para el ejemplo 5.6. Solución: Éste es un sumador con dos entradas. El uso de la ecuación (5.15) da como resultado La corriente io es la suma de las corrientes a través de los resistores de 10 y 2 k⍀. Ambos resistores tienen una tensión vo ϭ Ϫ8 V entre sus extremos, puesto que va ϭ vb ϭ 0. Así, io ϭ vo Ϫ 0 10 ϩ vo Ϫ 0 2 mA ϭ Ϫ0.8 Ϫ 4 ϭ Ϫ4.8 mA vo ϭ Ϫ c 10 5 (2) ϩ 10 2.5 (1)d ϭ Ϫ(4 ϩ 4) ϭ Ϫ8 V vo ϭ Ϫa Rf R1 v1 ϩ Rf R2 v2 ϩ Rf R3 v3b i3 ϭ v3 Ϫ va R3 , i ϭ va Ϫ vo Rf i1 ϭ v1 Ϫ va R1 , i2 ϭ v2 Ϫ va R2 10 kΩ5 kΩ 2.5 kΩ 2 kΩ io vovv a b 1 V+ − + − + − 2 V + −
- 215. 5.7 Amplificador diferencial 187 Halle vo e io en el circuito del amplificador operacional que se muestra en la figura 5.23. Figura 5.23 Para el problema de práctica 5.6. Respuestas: Ϫ3.8 V, Ϫ1.425 mA. Amplificador diferencial Los amplificadores de diferencia (o diferenciales) se utilizan en varias aplica- ciones en las que hay necesidad de amplificar la diferencia entre las señales de entrada. Son primos hermanos del amplificador para instrumentos, el am- plificador más útil y popular, del que se tratará en la sección 5.10. Un amplificador de diferencia es un dispositivo que amplifica la diferencia entre dos entradas pero rechaza toda señal común a las dos entradas. Considérese el circuito del amplificador operacional que aparece en la fi- gura 5.24. Téngase en cuenta que corrientes cero entran a las terminales del amplificador operacional. Al aplicar la LCK al nodo a, o sea (5.16) Figura 5.24 Amplificador de diferencia. vo ϭ a R2 R1 ϩ 1b va Ϫ R2 R1 v1 v1 Ϫ va R1 ϭ va Ϫ vo R2 5.7 El amplificador de diferencia también se conoce como el restador, por razo- nes que se indicarán más adelante. Problema de práctica 5.5 vovv io + − 20 kΩ 10 kΩ 6 kΩ 8 kΩ 4 kΩ+ − + − + − 1.2 V 2 V 1.5 V + − v1 v2 + − vovv 0 0 + − R1 R2 R3 R4 vavv vb + − + −
- 216. 188 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Ejemplo 5.7 Al aplicar la LCK al nodo b, o sea (5.17) Pero va ϭ vb. La sustitución de la ecuación (5.17) en la ecuación (5.16) pro- duce o sea (5.18) Como un amplificador de diferencia debe rechazar una señal común a las dos entradas, debe tener la propiedad de que vo ϭ 0 cuando v1 ϭ v2. Esta pro- piedad existe cuando (5.19) Así, cuando el circuito del amplificador operacional es un amplificador de di- ferencia, la ecuación (5.18) se convierte en (5.20) Si R2 ϭ R1 y R3 ϭ R4, el amplificador de diferencia se convierte en restador, con la salida vo ϭ v2 Ϫ v1 (5.21) Diseñe un circuito del amplificador operacional con entradas v1 y v2 de ma- nera que vo ϭ Ϫ5v1 ϩ 3v2. Solución: El circuito requiere que vo ϭ 3v2 Ϫ 3v1 (5.7.1) Este circuito puede realizarse de dos maneras. DISEÑO 1 Si se desea utilizar sólo un amplificador operacional se puede recurrir al circuito del amplificador operacional de la figura 5.24. Al compa- rar la ecuación (5.7.1) con la ecuación (5.18) se advierte que (5.7.2) R2 R1 ϭ 5 1 R2 ϭ 5R1 vo ϭ R2 R1 (v2 Ϫ v1) R1 R2 ϭ R3 R4 vo ϭ R2 R1 (1 ϩ R1͞R2) (1 ϩ R3͞R4) v2 Ϫ R2 R1 v1 vo ϭ a R2 R1 ϩ 1b R4 R3 ϩ R4 v2 Ϫ R2 R1 v1 vb ϭ R4 R3 ϩ R4 v2 v2 Ϫ vb R3 ϭ vb Ϫ 0 R4
- 217. 5.7 Amplificador diferencial 189 Asimismo, o sea (5.7.3) Si se elige R1 ϭ 10 k⍀ y R3 ϭ 20 k⍀, entonces R2 ϭ 50 k⍀ y R4 ϭ 20 k⍀. DISEÑO 2 Si se desea utilizar más de un amplificador operacional, es po- sible conectar en un amplificador inversor y un sumador inversor con dos en- tradas, como se muestra en la figura 5.25. En cuanto al sumador, vo ϭ Ϫva Ϫ 5v1 (5.7.4) y en cuanto al inversor, va ϭ Ϫ3v2 (5.7.5) La combinación de las ecuaciones (5.7.4) y (5.7.5) da por resultado vo ϭ 3v2 Ϫ 5v1 el cual es el resultado deseado. En la figura 5.25 se puede seleccionar R1 ϭ 10 k⍀ y R3 ϭ 20 k⍀ o R1 ϭ R3 ϭ 10 k⍀. Diseñe un amplificador diferencial con una ganancia de 4. Respuesta: Usual: R1 ϭ R3 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ R4 ϭ 40 k⍀. Un amplificador de instrumentación, el cual aparece en la figura 5.26, es un amplificador de señales de bajo nivel que se emplea en el control de proce- sos o en aplicaciones de medición y se vende en unidades de un solo paque- te. Demuestre que Solución: Se sabe que el amplificador A3 de la figura 5.26 es un amplificador diferen- cial. Así, a partir de la ecuación (5.20), (5.8.1) Puesto que los amplificadores operacionales A1 y A2 no toman corriente, la corriente i fluye a través de los tres resistores como si estuvieran en serie. Así, vo1 Ϫ vo2 ϭ i(R3 ϩ R4 ϩ R3) ϭ i(2R3 ϩ R4) (5.8.2) vo ϭ R2 R1 (vo2 Ϫ vo1) vo ϭ R2 R1 a1 ϩ 2R3 R4 b(v2 Ϫ v1) 2 ϭ 1 ϩ R3 R4 1 R3 ϭ R4 5 (1 ϩ R1͞R2) (1 ϩ R3͞R4) ϭ 3 1 6 5 1 ϩ R3͞R4 ϭ 3 5 Figura 5.25 Para el ejemplo 5.7. Problema de práctica 5.7 Ejemplo 5.8 vo 5R1 R3 R1 vav + −+ − v1 v2 3R3 5R1
- 218. 190 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Problema de práctica 5.8 Figura 5.26 Amplificador para instrumentos; en el ejemplo 5.8. Pero y vo ϭ v1, vb ϭ v2. Por lo tanto, (5.8.3) La inserción de las ecuaciones (5.8.2) y (5.8.3) en la ecuación (5.8.1) da por resultado como se requirió. El amplificador para instrumentos se tratará con detalle en la sección 5.10. Obtenga io en el circuito amplificador para instrumentos de la figura 5.27. Figura 5.27 Amplificador para instrumentos; para el problema de práctica 5.8. Respuesta: 2 A. vo ϭ R2 R1 a1 ϩ 2R3 R4 b(v2 Ϫ v1) i ϭ v1 Ϫ v2 R4 i ϭ va Ϫ vb R4 vovv 1 vovv 2 v1 v2 0 0 vovv + − + − + − A1 A2 A3 R3 R4 R1 R1 R2 R2 R3 vavv vb + − + − i + − + − + − io 20 kΩ 20 kΩ 40 kΩ 10 kΩ40 kΩ 8.00 V 8.01 V
- 219. 5.8 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada 191 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada Como es sabido, los circuitos de amplificadores operacionales son módulos o componentes para el diseño de circuitos complejos. En aplicaciones prácticas suele ser necesario conectar circuitos de amplificadores operacionales en cas- cada (es decir, uno tras otro) para conseguir una ganancia total grande. En ge- neral, dos circuitos se disponen en cascada cuando se conectan en tándem, sucediéndose uno a otro en una sola fila. Una conexión en cascada es un arreglo de dos o más circuitos de amplifica- dores operacionales dispuestos uno tras otro, de manera que la salida de uno es la entrada del siguiente. Cuando se conectan en cascada circuitos de amplificadores operaciona- les, a cada circuito de la cadena se le llama una etapa; la señal de entrada ori- ginal se incrementa con la ganancia de la etapa individual. Los circuitos de amplificadores operacionales tienen la ventaja de que pueden disponerse en cascada sin alterar sus relaciones de entrada-salida. Esto se debe al hecho de que un circuito del amplificador operacional (ideal) tiene resistencia de entrada infinita y resistencia de salida cero. La figura 5.28 muestra una representación del diagrama en bloques de tres circuitos de amplificadores operacionales en cascada. Dado que la salida de una etapa es la entrada de la siguiente, la ga- nancia total de la conexión en cascada es el producto de las ganancias de los circuitos de amplificadores operacionales individuales, o A ϭ A1A2A3 (5.22) Aunque la conexión en cascada no afecta las relaciones de entrada-salida de los amplificadores operacionales, se debe tener cuidado en el diseño de un cir- cuito del amplificador operacional real, para asegurar que la carga debida a la siguiente etapa en la cascada no sature el amplificador. Figura 5.28 Conexión en cascada de tres etapas. Halle vo e io en el circuito de la figura 5.29. Solución: Este circuito consta de dos amplificadores no inversores en cascada. En la sa- lida del primer amplificador operacional, En la salida del segundo amplificador operacional, vo ϭ a1 ϩ 10 4 b va ϭ (1 ϩ 2.5)100 ϭ 350 mV va ϭ a1 ϩ 12 3 b(20) ϭ 100 mV 5.8 Figura 5.29 Para el ejemplo 5.9. Ejemplo 5.9 Etapa 1 v2 = A1v1 + − v1 + − + − A1 Etapa 2 A2 v3 = A2v2 vovv 3v3 + − Etapa 3 A3 10 kΩ 12 kΩ 4 kΩ 20 mV vovv + − + − 3 kΩ a b io + − + −
- 220. Si v1 ϭ 1 V y v2 ϭ 2 V, halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.31. Figura 5.31 Para el ejemplo 5.10. Solución: 1. Definir. El problema está claramente definido. 2. Presentar. Con una entrada de v1 de 1 V y de v2 de 2 V, determine la tensión de salida del circuito que aparece en la figura 5.31. Este circui- to del amplificador operacional se compone en realidad de tres circuitos. El primero actúa como amplificador de la ganancia Ϫ3(Ϫ6 k⍀/2 k⍀) pa- ra v1, y el segundo como amplificador de la ganancia –2(Ϫ8 k⍀/4 k⍀) para v2. El último sirve como sumador de dos ganancias diferentes para la salida de los otros dos circuitos. 192 Capítulo 5 Amplificadores operacionales La corriente requerida io es la corriente a través del resistor de 10 k⍀. Pero vb ϭ va ϭ 100 mV. Así, Determine vo e io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.30. Respuesta: 10 V, 1 mA. io ϭ (350 Ϫ 100) ϫ 10Ϫ3 10 ϫ 103 ϭ 25 mA io ϭ vo Ϫ vb 10 mA Figura 5.30 Para el problema de práctica 5.9. Problema de práctica 5.9 Ejemplo 5.10 6 kΩ 4 kΩ 4 V vovv + − + − io + − + − + − + − + − A B C 5 kΩ 15 kΩ v1 10 kΩ 2 kΩ 4 kΩ 8 kΩ 6 kΩ v2 vovv a b
- 221. 5.8 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada 193 3. Alternativas. Este circuito puede resolverse de varias maneras. Dado que implica amplificadores operacionales ideales, un método puramente ma- temático funcionará de manera muy fácil. Un segundo método sería usar PSpice como confirmación de las operaciones matemáticas. 4. Intentar. Desígnese v11 a la salida del primer circuito del amplificador operacional y v22 a la salida del segundo. Así se obtiene v11 ϭ Ϫ3v1 ϭ Ϫ3 ϫ 1 ϭ Ϫ3 V, v22 ϭ Ϫ2v2 ϭ Ϫ2 ϫ 2 ϭ Ϫ4 V En el tercer circuito se tiene vo ϭ Ϫ(10 k⍀/5 k⍀)v11 ϩ [Ϫ(10 k⍀/5 k⍀)v22] ϭ Ϫ2(Ϫ3) Ϫ (2/3)(Ϫ4) ϭ 6 ϩ 2.667 ϭ 8.667 V 5. Evaluar. Para evaluar adecuadamente la solución, se debe identificar una comprobación razonable. Aquí se puede usar fácilmente PSpice para dis- poner de esa comprobación. Ahora se puede simular esto en PSpice. Véanse los resultados en la figura 5.32. Figura 5.32 Para el ejemplo 5.10. Nótese que se obtienen los mismos resultados siguiendo dos técnicas por completo diferentes (la primera fue tratar a los circuitos de amplificado- res operacionales únicamente como ganancias y un sumador y la segun- da aplicar el análisis de circuitos con PSpice). Éste es un muy buen método para garantizar que se tiene la respuesta correcta. 6. ¿Satisfactorio? Se está satisfecho por haber obtenido el resultado solici- tado. Ahora es posible presentar el trabajo como solución del problema. R6 2 kΩ R4 6 kΩ + − −3.000 − 1 V v1 OPAMP U1 R7 4 kΩ R5 8 kΩ + − −4.000 + − 2 V v2 OPAMP U2 R1 10 kΩ R2 5 kΩ R3 15 kΩ + − 8.667 V OPAMP U3
- 222. 194 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Problema de práctica 5.10 + − LM324 2 3 1 4 U1A 11 V+ V− + − LM111 3 2 7V+ V− U2 8 5 6 1 4 G B ⁄S⁄⁄ c) Subcircuito del amplificador operacional de cinco conexiones b) Subcircuito del amplificador operacional + − uA741 2 3 U3 4 V+ V− + − LF411 2 3 6 7 5 1 U4 4 V+ V− 7 5 1 6052 051B1 d ) Subcircuito del amplificador operacional de cinco conexiones a) Subcircuito del amplificador operacional de entrada JFET Figura 5.34 Modelos del amplificador operacional no ideal disponibles en PSpice. Si v1 ϭ 2 V y v2 ϭ 1.5 V, halle vo en el circuito del amplificador operacio- nal de la figura 5.33. Figura 5.33 Para el problema de práctica 5.10. Respuesta: 9 V. Análisis de circuitos de amplificadores operacionales con PSpice PSpice for Windows no tiene un modelo para un amplificador operacional ideal, aunque puede crearse uno como subcircuito utilizando la línea Create Subcircuit del menú Tools. Pero en vez de crear un amplificador operacional ideal, aquí se utilizará uno de los cuatro amplificadores operacionales no idea- les comercialmente disponibles provistos en la biblioteca eval.slb de PSpice. Esos modelos de amplificador operacional tienen los nombres de parte LF411, LM111, LM324 y uA741, como se advierte en la figura 5.34. Cada uno de ellos puede obtenerse en Draw/Get New Part/libraries…/eval.lib, o simple- mente seleccionando Draw/Get New Part y tecleando el nombre de parte en el cuadro de diálogo PartName, como de costumbre. Cabe señalar que cada uno de estos modelos requiere fuentes de alimentación de cd, sin las cuales el amplificador operacional no funcionará. Las fuentes de cd deben conectar- se como se señala en la figura 5.3. 5.9 + − + − + − + − + − 10 kΩ v1 v2 vovv 500 kΩ 20 kΩ 30 kΩ 60 kΩ
- 223. 5.9 Análisis de circuitos de amplificadores operacionales con PSpice 195 Use PSpice para resolver el circuito del amplificador operacional del ejemplo 5.1. Solución: Con el uso del diagrama Schematics, se dibuja el circuito de la figura 5.6a) como se muestra en la figura 5.35. Adviértase que la terminal positiva de la fuente de tensión vs está conectada a la terminal inversora (terminal 2) vía el resistor de 10 k⍀, mientras que la terminal no inversora (terminal 3) está co- nectada a tierra, como lo requiere la figura 5.6a). Adviértase asimismo que el amplificador operacional está alimentado; la terminal de alimentación positi- va Vϩ (terminal 7) está conectada a la fuente de tensión de cd de 15 V, mien- tras que la terminal de alimentación negativa VϪ (terminal 4) está conectada a Ϫ15 V. Las terminales 1 y 5 se dejan sin conexión, porque se usan para el ajuste de compensación del cero, lo cual no es de interés en este capítulo. Además de agregar las fuentes de alimentación de cd al circuito original de la figura 5.6a), también se han añadido los seudocomponentes VIEWPOINT e IPROBE para medir la tensión de salida vo en la terminal 6 y la corriente requerida i a través del resistor de 20 k⍀, respectivamente. Figura 5.35 Esquema para el ejemplo 5.11. Después de guardar el esquema, se simula el circuito seleccionando Analysis/Simulate y se obtienen los resultados en VIEWPOINT e IPROBE. A partir de esos resultados, la ganancia de lazo cerrado es e i = 0.1999 mA, en coincidencia con los resultados obtenidos analíticamen- te en el ejemplo 5.1. Repita el problema de práctica 5.1 usando PSpice. Respuesta: 9.0027, 0.6502 mA. vo vs ϭ Ϫ3.9983 2 ϭ Ϫ1.99915 Problema de práctica 5.11 Ejemplo 5.11 + − uA741 2 3 U1 4 V+ V− 7 5 1 6052 051 + − + − + − 20 K R2 1.999E–04 V3 15 V 0 15 V V2 10 K R1 VS 2 V 0 Ϫ3.9983
- 224. 196 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Ejemplo 4.12 † Aplicaciones El amplificador operacional es un componente fundamental de la instrumenta- ción electrónica moderna. Se utiliza extensamente en muchos dispositivos, jun- to con resistores y otros elementos pasivos. Entre las numerosas aplicaciones prácticas se encuentran amplificadores para instrumentos, convertidores digita- les-analógicos, computadoras analógicas, cambiadores de nivel, filtros, circuitos de calibración, inversores, sumadores, integradores, diferenciadores, restadores, amplificadores logarítmicos, comparadores, elementos rotatorios, osciladores, rectificadores, reguladores, convertidores de tensión a corriente, convertidores de corriente a tensión y recortadores. Ya se han considerado algunos de ellos. Aquí se consideran dos aplicaciones más: el convertidor digital-analógico y el ampli- ficador para instrumentación. 5.10.1 Convertidor digital-analógico El convertidor digital-analógico (CDA) transforma señales digitales en analó- gicas. En la figura 5.36a) se ilustra un ejemplo usual de un CDA de cuatro bits. Éste puede realizarse de muchas maneras. Una realización simple es la escalera ponderada binaria que aparece en la figura 5.36b). Los bits son pon- deraciones según la magnitud de su valor de posición, por valor descendente de Rf/Rn, de modo que cada bit menor tiene la mitad de peso del inmediato superior. Éste es obviamente un amplificador sumador inversor. La salida se relaciona con las entradas como se indicó en la ecuación (5.15). Así, (5.23) La entrada V1 se llama bit más significativo (BMS o MSB por sus siglas en inglés), en tanto que la entrada V1 es el bit menos significativo (BMES o LSB por sus siglas en inglés). Cada una de las cuatro entradas binarias V1, … , V4 sólo puede asumir dos niveles de tensión: 0 o 1 V. Aplicando los valores ade- cuados de entrada y resistor de retroalimentación, el CDA arroja una sola sa- lida, la cual es proporcional a las entradas. En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.36b), sean Rf ϭ 10 k⍀ y R1 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ 20 k⍀, R3 ϭ 40 k⍀ y R4 ϭ 80 k⍀. Obtenga la salida analógica de las entradas binarias [0000], [0001], [0010], … , [1111]. Solución: La sustitución de los valores dados de las entradas y los resistores de retro- alimentación en la ecuación (5.23) da por resultado Con base en esta ecuación, una entrada digital [V1V2V3V4] ϭ [0000] produ- ce una salida analógica de ϪVo ϭ 0 V; [V1V2V3V4] ϭ [0001] lo cual da ϪVo ϭ 0.125 V. ϭ V1 ϩ 0.5V2 ϩ 0.25V3 ϩ 0.125V4 ϪVo ϭ Rf R1 V1 ϩ Rf R2 V2 ϩ Rf R3 V3 ϩ Rf R4 V4 ϪVo ϭ Rf R1 V1 ϩ Rf R2 V2 ϩ Rf R3 V3 ϩ Rf R4 V4 5.10 Figura 5.36 CDA de cuatro bits: a) diagrama en bloques, b) tipo de escalera ponderada binaria. En la práctica, los niveles de tensión pueden ser habitualmente de 0 y Ϯ 5 V. Salida análoga Entrada digital (0000Ϫ1111) CDA de cuatro bits a) + − V1 V2 V3 V4 R1 R2 R3 R4 Rf VoMSB LSB b )
- 225. 5.10 Aplicaciones 197 De igual manera, [V1V2V3V4] = [0010] ⇒ ϪVo ϭ 0.25 V [V1V2V3V4] = [0011] ⇒ ϪVo ϭ 0.25 ϩ 0.125 ϭ 0.375 V [V1V2V3V4] = [0100] ⇒ ϪVo ϭ 0.5 V . . . [V1V2V3V4] = [1111] ⇒ ϪVo ϭ 1 ϩ 0.5 ϩ 0.25 ϩ 0.125 ϭ 1.875 V En la tabla 5.2 se resume el resultado de la conversión digital-analógica. Nó- tese que se ha supuesto que cada bit tiene un valor de 0.125 V. Así, en este sistema no se puede representar una tensión entre 1.000 y 1.125, por ejem- plo. Esta falta de resolución es una limitación importante de los conversores digitales-analógicos. Para mayor exactitud se requiere una representación en palabras con un mayor número de bits. Aun así, una representación digital de una tensión analógica nunca es exacta. Pese a esta representación inexacta, la representación digital se ha empleado para conseguir resultados tan notables como los discos compactos de audio y la fotografía digital. Un CDA de tres bits se muestra en la figura 5.37. a) Determine |Vo| para [V1V2V3] ϭ [010]. b) Halle |Vo| si [V1V2V3] ϭ [110]. c) Si se desea |Vo| ϭ 1.25 V, ¿cuál debería ser el valor de [V1V2V3]? d) Para obtener |Vo| ϭ 1.75 V, ¿cuál debe ser [V1V2V3]? Respuesta: 0.5 V, 1.5 V, [101], [111]. Figura 5.37 CDA de tres bits; para el problema de práctica 5.12. Problema de práctica 5.12 + − 10 kΩ 20 kΩ 40 kΩ 10 kΩ v1 v2 v3 vo TABLA 5.2 Valores de entrada y salida del CDA de cuatro bits. Entrada binaria Salida [V1V2V3V4] Valor decimal ϪVo 0000 0 0 0001 1 0.125 0010 2 0.25 0011 3 0.375 0100 4 0.5 0101 5 0.625 0110 6 0.75 0111 7 0.875 1000 8 1.0 1001 9 1.125 1010 10 1.25 1011 11 1.375 1100 12 1.5 1101 13 1.625 1110 14 1.75 1111 15 1.875
- 226. 198 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Figura 5.38 a) Amplificador para instrumentos con una resistencia externa para ajustar la ganancia, b) circuito esquemático. Figura 5.39 El AI rechaza tensiones comunes pero amplifica las tensiones de señal pequeña. T. L. Floyd, Electronic Devices, 2a. ed., Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1996, p. 795. 5.10.2 Amplificadores para instrumentación Uno de los circuitos de amplificadores operacionales más útiles y versátiles para medidas de precisión y control de procesos es el amplificador para ins- trumentación (AI), así llamado a causa de su extendido uso en sistemas de medición. Aplicaciones usuales de AI incluyen amplificadores de aislamien- to, amplificadores de termopar y sistemas de adquisición de datos. El amplificador de instrumentación es una prolongación del amplificador diferencial en cuanto que amplifica la diferencia entre sus señales de entrada. Como se mostró en la figura 5.26 (véase ejemplo 5.8), un amplificador para instrumentos suele constar de tres amplificadores operacionales y siete resis- tores. Para mayor comodidad, ese amplificador se reproduce en la figura 5.38a), donde aparecen los mismos resistores excepto por el resistor de ajus- te de ganancia externa RG, conectado entre las terminales de ajuste de ganan- cia. En la figura 5.38b) aparece su símbolo esquemático. En el ejemplo 5.8 se demostró que vo ϭ Av (v2 Ϫ v1) (5.24) donde la ganancia en tensión es (5.25) Como se muestra en la figura 5.39, el amplificador para instrumentos ampli- fica pequeñas tensiones de señales diferenciales sobrepuestas sobre tensiones Av ϭ 1 ϩ 2R RG + − + − + − 1 2 3 R R R R R R RG v1 v2 vo Entrada inversora Ajuste de ganancia Ajuste de ganancia Entrada no inversora Salida a) b) + − + − RG Señales diferenciales pequeñas montadas sobre señales en modo común mayores Amplificador para instrumentos Señal diferencial amplificada, señal en modo no común
- 227. 5.11 Resumen 199 en modo común mayores. Dado que las tensiones en modo común son igua- les, se cancelan entre sí. El AI tiene tres características principales: 1. La ganancia en tensión es ajustada por una resistencia externa RG. 2. La impedancia de entrada de ambas entradas es muy alta y no varía al ajustarse la ganancia. 3. La salida vo depende de la diferencia entre las entradas v1 y v2, no de la tensión común a ellas (tensión en modo común). Debido al difundido uso de los AI, los fabricantes los han desarrollado en unidades de un solo paquete. Un ejemplo usual es el LH0036, producido por National Semiconductor. La ganancia puede variar de 1 a 1 000 por efec- to de una resistencia externa, cuyo valor puede variar a su vez de 100 ⍀ a 10 k⍀. En la figura 5.38, sean R ϭ 10 k⍀, v1 ϭ 2.011 V y v2 ϭ 2.017 V. Si RG se ajusta en 500 ⍀, determine: a) la ganancia en tensión, b) la tensión de salida vo. Solución: a) La ganancia en tensión es b) La tensión de salida es vo ϭ Av (v2 Ϫ v1) ϭ 41(2.017 Ϫ 2.011) ϭ 41(6) mV ϭ 246 mV Determine el valor del resistor de ajuste de ganancia externo RG requerido por el AI de la figura 5.38 para producir una ganancia de 142 cuando R ϭ 25 k⍀. Respuesta: 354.6 ⍀. Resumen 1. El amplificador operacional es un amplificador de alta ganancia con re- sistencia de entrada muy alta y baja resistencia de salida. 2. En la tabla 5.3 se resumen los circuitos de amplificadores operacionales considerados en este capítulo. La expresión para la ganancia de cada cir- cuito del amplificador es válida aunque las entradas sean de cd, ca o va- riables en el tiempo en general. 5.11 Av ϭ 1 ϩ 2R RG ϭ 1 ϩ 2 ϫ 10 000 500 ϭ 41 Ejemplo 5.13 Problema de práctica 5.13
- 228. TABLA 5.3 Resumen de circuitos de amplificador operacional básicos. Circuito del amplificador Nombre/relación de salida-entrada Amplificador inversor Amplificador no inversor Seguidor de tensión Sumador Amplificador de diferencia vo ϭ R2 R1 (v2 Ϫ v1) vo ϭ Ϫa Rf R1 v1 ϩ Rf R2 v2 ϩ Rf R3 v3b vo ϭ vi vo ϭ a1 ϩ R2 R1 bvi vo ϭ Ϫ R2 R1 vi 200 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 3. Un amplificador operacional ideal tiene una resistencia de entrada infini- ta, una resistencia de salida cero y una ganancia infinita. 4. En un amplificador operacional ideal, la corriente por cada una de sus dos terminales de entrada es de cero y la tensión entre las terminales de en- trada es despreciable. 5. En un amplificador inversor, la tensión de salida es un múltiplo negativo de la entrada. 6. En un amplificador no inversor, la salida es un múltiplo positivo de la en- trada. 7. En un seguidor de tensión, la salida sigue a la entrada. 8. En un amplificador sumador, la salida es la suma ponderada de las entradas. 9. En un amplificador diferencial, la salida es proporcional a la diferencia de las dos entradas. 10. Los circuitos del amplificador operacional pueden disponerse en cascada sin alterar sus relaciones de entrada-salida. 11. PSpice puede usarse para analizar un circuito de amplificador operacional. 12. Los aplicaciones usuales de los amplificadores operacionales considera- dos en este capítulo incluyen el convertidor digital-analógico y el ampli- ficador de instrumentación. + − R2 R1 vi vovv vovv R1 + − vi R2RR + − vovvvi v1 v2 v3 vovv R1 R2 R3 RfR + − + − R2R1 v1 R1 R2 v2 vovv
- 229. Preguntas de repaso 201 Preguntas de repaso 5.1 Las dos terminales de entrada de un amplificador opera- cional se llaman: a) alta y baja. b) positiva y negativa. c) inversora y no inversora. d) diferencial y no diferencial. 5.2 En un amplificador operacional ideal, ¿cuáles de los si- guientes enunciados no son ciertos? a) La tensión diferencial entre las terminales de entrada es de cero. b) La corriente hacia las terminales de entrada es cero. c) La corriente procedente de la terminal de salida es de cero. d) La resistencia de entrada es de cero. e) La resistencia de salida es de cero. 5.3 Para el circuito de la figura 5.40, la tensión vo es de: a) –6 V b) –5 V c) –1.2 V d) –0.2 V Figura 5.40 Para las preguntas de repaso 5.3 y 5.4. 5.4 Para el circuito de la figura 5.40, la corriente ix es de: a) 0.6 mA b) 0.5 mA c) 0.2 mA d) 1/12 mA 5.5 Si vo ϭ 0 en el circuito de la figura 5.41, la corriente io es de: a) –10 mA b) –2.5 mA c) 10/12 mA d) 10/14 mA Figura 5.41 Para las preguntas de repaso 5.5 a 5.7. 5.6 Si vs ϭ 8 mV en el circuito de la figura 5.41, la tensión de salida es de: a) Ϫ44 mV b) Ϫ8 mV c) 4 mV d) 7 mV 5.7 Remítase a la figura 5.41. Si vs ϭ 8 mV, la tensión va es de: a) Ϫ8 mV b) 0 mV c) 10/3 mV d) 8 mV 5.8 La potencia absorbida por el resistor de 4 k⍀ en la figura 5.42 es de: a) 9 m⍀ b) 4 m⍀ c) 2 m⍀ d) 1 m⍀ Figura 5.42 Para la pregunta de repaso 5.8. 5.9 ¿Cuál de estos amplificadores se emplea en un converti- dor digital-analógico? a) no inversor b) seguidor de tensión c) sumador d) amplificador de diferencia 5.10 Los amplificadores de diferencia se utilizan en: a) amplificadores para instrumentos b) seguidores de tensión c) reguladores de tensión d) buffers e) amplificadores sumadores f) amplificadores restadores Respuestas: 5.1c, 5.2c, d, 5.3b, 5.4b, 5.5a, 5.6c, 5.7d, 5.8b, 5.9c, 5.10a, f. + − + − 2 kΩ ixi vovv1 V 10 kΩ 3 kΩ + − + −6 V 2 kΩ vovv + − 4 kΩ − + + − + − + − 4 kΩ io vovv10 mV 8 kΩ 2 kΩ + − vsv a
- 230. Sección 5.2 Amplificadores operacionales 5.1 El modelo equivalente de cierto amplificador operacional se muestra en la figura 5.43. Determine: a) la resistencia de entrada b) la resistencia de salida c) la ganancia en tensión en dB Figura 5.43 Para el problema 5.1. 5.2 La ganancia de lazo abierto de un amplificador operacio- nal es de 100 000. Calcule la tensión de salida cuando hay entradas de ϩ10 V en la terminal inversora y ϩ20 V en la terminal no inversora. 5.3 Determine la tensión de salida cuando –20 V se aplica a la terminal inversora de un amplificador operacional y +30 V a su terminal no inversora. Suponga que el amplificador tiene una ganancia de lazo abierto de 200 000. 5.4 La tensión de salida de un amplificador operacional es de Ϫ4 V cuando la entrada no inversora es de 1 mV. Si la ga- nancia de lazo abierto del amplificador es de 2 ϫ 106 , ¿cuál es la entrada inversora? 5.5 El circuito del amplificador operacional de la figura 5.44 tiene una ganancia de lazo abierto de 100 000, una resis- tencia de entrada de 10 k⍀ y una resistencia de salida de 100 ⍀. Halle la ganancia en tensión vo/vi usando el mo- delo de amplificador operacional no ideal. Figura 5.44 Para el problema 5.5. 5.6 Con base en los mismos parámetros del amplificador ope- racional 741 en el ejemplo 5.1, determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.45. Figura 5.45 Para el problema 5.6. 5.7 El amplificador operacional de la figura 5.46 tiene Ri ϭ 100 k⍀, Ro ϭ 100 ⍀, A ϭ 100 000. Halle la tensión diferencial vd y la tensión de salida vo. Figura 5.46 Para el problema 5.7. Sección 5.3 Amplificador operacional ideal 5.8 Obtenga vo para cada uno de los circuitos de amplificado- res operacionales de la figura 5.47. Figura 5.47 Para el problema 5.8. 5.9 Determine vo para cada uno de los circuitos de amplifica- dores operacionales de la figura 5.48. 202 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Problemas 60 Ω + − vd + −1.5 MΩ × 4 vd + − + − vovv741 1 mV − + + − 10 kΩ 100 kΩ vovv vdv + −1 mV + − 2 kΩ a) vovv + − 1 mA 2 V 10 kΩ b) vovv+ −1 V 2 kΩ + − + − + − + − + − + − vovvvi + −
- 231. Figura 5.48 Para el problema 5.9. 5.10 Halle la ganancia vo/vs del circuito de la figura 5.49. Figura 5.49 Para el problema 5.10. 5.11 Halle vo e io en el circuito de la figura 5.50. Figura 5.50 Para el problema 5.11. 5.12 Calcule la ganancia de tensión vo/vs en el circuito del am- plificador operacional de la figura 5.51. Suponga un amplificador ideal. Problemas 203 Figura 5.51 Para el problema 5.12. 5.13 Halle vo e io en el circuito de la figura 5.52. Figura 5.52 Para el problema 5.13. 5.14 Determine la tensión de salida vo en el circuito de la figu- ra 5.53. Figura 5.53 Para el problema 5.14. Sección 5.4 Amplificador inversor 5.15 a) Determine la proporción vo/is en el circuito del ampli- ficador operacional de la figura 5.54. b) Evalúe esa proporción para R1 ϭ 20 k⍀, R2 ϭ 25 k⍀, R3 ϭ 40 k⍀. Figura 5.54 Para el problema 5.15. + − + − 4 V 2 kΩ vovv1 mA + − 1 V 2 kΩ vovv + − + −3 V + − − + 10 kΩ 10 kΩ vovv + − + − 20 kΩ + −vsv + − 5 kΩ 2 kΩ + − io + − 8 kΩ 10 kΩ 4 kΩ3 V vovv 5 kΩ 25 kΩ vs vovv + − + − + − 10 kΩ 50 kΩ vovv + − + −1 V 100 kΩ 90 kΩ 10 kΩ io 10 kΩ + − 5 kΩ vovv + − 2 mA 20 kΩ 10 kΩ 10 kΩ + − is R1 R3 R2 + − + − vo
- 232. 204 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.16 Obtenga ix e iy en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.55. Figura 5.55 Para el problema 5.16. 5.17 Calcule la ganancia vo/vi cuando el interruptor de la figu- ra 5.56 está en la: a) posición 1 b) posición 2 c) posición 3 Figura 5.56 Para el problema 5.17. *5.18 En referencia al circuito de la figura 5.57 halle el equiva- lente de Thevenin a la izquierda de las terminales a-b. Calcule después la potencia absorbida por el resistor de 20 k⍀. Suponga que el amplificador operacional es ideal. Figura 5.57 Para el problema 5.18. * Un asterisco indica un problema difícil. 5.19 Determine io en el circuito de la figura 5.58. Figura 5.58 Para el problema 5.19. 5.20 En el circuito de la figura 5.59 calcule vo si vs ϭ 0. Figura 5.59 Para el problema 5.20. 5.21 Calcule vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.60. Figura 5.60 Para el problema 5.21. 5.22 Diseñe un amplificador inversor con una ganancia de –15. 5.23 Para el circuito del amplificador operacional de la figura 5.61, halle la ganancia en tensión vo/vs. Figura 5.61 Para el problema 5.23. 2 kΩ 8 kΩ 0.5 V 5 kΩ 10 kΩ iyi ixi ññ ++ − + 10 kΩ 1 vovv + − 5 kΩ + −vi 2 MΩ 80 kΩ 12 kΩ 2 3 + − + − 20 kΩ8 kΩ 2 kΩ 10 kΩ 12 kΩ 2 mV + − a b + + − − RfR R1 R2vsv vo ++ ñññ + − vovv + − 3 V + − 1 V + − 10 kΩ 4 kΩ + − + − 9 V 4 kΩ 4 kΩ 2 kΩ 8 kΩ vovv + − vsv + − 1 V 5 kΩ 4 kΩ io + − 4 kΩ 10 kΩ2 kΩ + −
- 233. Problemas 205 5.24 En el circuito que aparece en la figura 5.62 halle k en la función de transferencia de tensión vo ϭ kvs. Figura 5.62 Para el problema 5.24. Sección 5.5 Amplificador no inversor 5.25 Calcule vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.63. Figura 5.63 Para el problema 5.25. 5.26 Determine io en el circuito de la figura 5.64. Figura 5.64 Para el problema 5.26. 5.27 Halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.65. Figura 5.65 Para el problema 5.27. 5.28 Halle io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.66. Figura 5.66 Para el problema 5.28. 5.29 Determine la ganancia en tensión vo/vi del circuito del amplificador operacional de la figura 5.67. Figura 5.67 Para el problema 5.29. 5.30 En el circuito que aparece en la figura 5.68 halle ix y la potencia absorbida por el resistor de 20 k⍀. Figura 5.68 Para el problema 5.30. 5.31 Para el circuito de la figura 5.69 halle ix. Figura 5.69 Para el problema 5.31. Rf vo vsv R1 R2 R4R3 + + − − + − + −2 V 12 kΩ + − + − vov20 kΩ 2 kΩ 5 kΩ 8 kΩ + −0.4 V io + − 5 V + − 16 Ω 8 Ω + − 24 Ω + − vovv12 Ω v2v1 + − 0.4 V 20 kΩ10 kΩ io 50 kΩ + − R2 R1 R2 R1 vo vi + + – − − + + −1.2 V 30 kΩ 20 kΩ ixi 60 kΩ + − ++ − + − 6 kΩ 6 kΩ 3 kΩ4 mA vovv 12 kΩ ixi
- 234. 206 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.32 Calcule ix y vo en el circuito de la figura 5.70. Halle la po- tencia que disipa el resistor de 60 k⍀. Figura 5.70 Para el problema 5.32. 5.33 Remítase al circuito del amplificador operacional de la fi- gura 5.71. Calcule ix y la potencia que disipa el resistor de 3 k⍀. Figura 5.71 Para el problema 5.33. 5.34 Dado el circuito del amplificador operacional que se muestra en la figura 5.72, exprese vo en términos de v1 y v2. Figura 5.72 Para el problema 5.34. 5.35 Diseñe un amplificador no inversor con una ganancia de 10. 5.36 En relación con el circuito que se muestra en la figura 5.73, halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. (Sugerencia: Para hallar RTh aplique una fuente de corriente io y calcule vo.) Figura 5.73 Para el problema 5.36. Sección 5.6 Amplificador sumador 5.37 Determine la salida del amplificador sumador de la figu- ra 5.74. Figura 5.74 Para el problema 5.37. 5.38 Calcule la tensión de salida debida al amplificador suma- dor que aparece en la figura 5.75. Figura 5.75 Para el problema 5.38. 5.39 Para el circuito del amplificador operacional de la figu- ra 5.76 determine el valor de v2 a fin de lograr que vo ϭ Ϫ16.5 V. Figura 5.76 Para el problema 5.39. + − vov+ − 30 kΩ60 kΩ ixi 4 mV 20 kΩ 50 kΩ 10 kΩ + − + − 4 kΩ 2 kΩ ixi 1 mA 3 kΩ 1 kΩ + Ϫ v1 v2 ven R1 R2 R4 R3 vo + − 50 kΩ 25 kΩ10 mV 20 kΩ20 mV 50 kΩ 100 mV + − + − 10 kΩ50 mV +− +− vovv + − + − 10 kΩ 20 kΩ 50 kΩ 50 kΩ +2 V −1 V vo v2 + − 30 kΩ 10 kΩ 1 V 20 kΩ 2 V 30 kΩ 3 V + − +− +− vovv + − + − R1 R2 vsv a b + − − +
- 235. Problemas 207 5.40 Halle vo en términos de v1, v2 y v3 en el circuito de la fi- gura 5.77. Figura 5.77 Para el problema 5.40. 5.41 Un amplificador promediador es un sumador que propor- ciona una salida igual al promedio de las entradas. Aplicando valores adecuados de entrada y resistor de re- troalimentación, puede obtenerse Con el uso de un resistor de retroalimentación de 10 k⍀, diseñe un amplificador promediador con cuatro entradas. 5.42 Un amplificador sumador de tres entradas tiene resistores de entrada con R1 ϭ R2 ϭ R3 ϭ 30 k⍀. Para producir un amplificador promediador, ¿qué valor del resistor de re- troalimentación se necesita? 5.43 Un amplificador sumador de cuatro entradas tiene R1 ϭ R2 ϭ R3 ϭ R4 ϭ 12 k⍀. ¿Qué valor del resistor de re- troalimentación se necesita para convertirlo en un ampli- ficador promediador? 5.44 Demuestre que la tensión de salida vo del circuito de la fi- gura 5.78 es Figura 5.78 Para el problema 5.44. 5.45 Diseñe un circuito del amplificador operacional para rea- lizar la siguiente operación: vo ϭ 3v1 Ϫ 2v2 Todas las resistencias deben ser Յ 100 k⍀. vo ϭ (R3 ϩ R4) R3(R1 ϩ R2) (R2v1 ϩ R1v2) Ϫvsalida ϭ 1 4 (v1 ϩ v2 ϩ v3 ϩ v4) 5.46 Usando sólo dos amplificadores operacionales, diseñe un circuito para resolver Sección 5.7 Amplificador diferencial 5.47 El circuito de la figura 5.79 para un amplificador diferen- cial. Halle vo dado que v1 ϭ 1 V y v2 ϭ 2 V. Figura 5.79 Para el problema 5.47. 5.48 El circuito de la figura 5.80 es un amplificador de diferen- cia excitado por un puente. Halle vo. Figura 5.80 Para el problema 5.48. 5.49 Diseñe un amplificador de diferencia que tenga una ga- nancia de 2 y una resistencia de entrada en modo común de 10 k⍀ en cada entrada. 5.50 Diseñe un circuito para amplificar al doble la diferencia entre dos entradas. a) Use sólo un amplificador operacional. b) Use dos amplificadores operacionales. Ϫvsalida ϭ v1 Ϫ v2 3 ϩ v3 2 vovv + − R R1 RR R2v3 + −v2 + −v1 + − R4 R3 R1 R2 vovv v1 v2 + − + − vovv + − v2 + − v1 + − 30 kΩ 2 kΩ 2 kΩ 20 kΩ 20 kΩ 80 kΩ20 kΩ 80 kΩ vovv+ 5 mV 40 kΩ 10 kΩ 60 kΩ 30 kΩ + −
- 236. 208 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.51 Usando dos amplificadores operacionales, diseñe un res- tador. *5.52 Diseñe un circuito de amplificador operacional de mane- ra que vo ϭ 2v1 ϩ 4v2 Ϫ 5v3 Ϫ v4 Conceda que todos los resistores están en el rango de 5 a 100 ⍀. *5.53 El amplificador diferencial ordinario para operaciones con ganancia fija se muestra en la figura 5.81a). Es simple y confiable a menos que la ganancia sea variable. Una mane- ra de conseguir ajuste de ganancia sin perder simplicidad y exactitud es el uso del circuito de la figura 5.81b). Otra ma- nera es usar el circuito de la figura 5.81c). Demuestre que: a) para el circuito de la figura 5.81a). b) para el circuito de la figura 5.81b), c) para el circuito de la figura 5.81c). vo vi ϭ R2 R1 a1 ϩ R2 2RG b vo vi ϭ R2 R1 1 1 ϩ R1 2RG vo vi ϭ R2 R1 Figura 5.81 Para el problema 5.53. Sección 5.8 Circuitos del amplificador operacional en cascada 5.54 Determine la proporción de transferencia de tensión vo/vs en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.82, donde R ϭ 10 k⍀. Figura 5.82 Para el problema 5.54. 5.55 En cierto dispositivo electrónico se desea un amplificador de tres etapas, cuya ganancia de tensión total sea de 42 dB. Las ganancias individuales de tensión de las dos pri- meras etapas deben ser iguales, mientras que la ganancia de la tercera debe ser de la cuarta parte de cada una de las dos primeras. Calcule la ganancia en tensión de cada una. 5.56 Calcule la ganancia del circuito del amplificador opera- cional de la figura 5.83. Figura 5.83 Para el problema 5.56. R1 R2 R2 R2 R1 a) R2 RG b) R1 2 R1 2 R1 2 R1 2 vi + − + − + − vi + − vovv + − vovv + − + −+ − 10 kΩ 40 kΩ 20 kΩ 1 kΩ vi + − R − ++ − R R R R + + −− vovv vsv vovv R2 2 R2 2 R2 2 R2 2 c) R1 R1 RG + − vi + − + −
- 237. Problemas 209 5.57 Halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.84. Figura 5.84 Para el problema 5.57. 5.58 Calcule io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.85. Figura 5.85 Para el problema 5.58. 5.59 En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.86 determine la ganancia en tensión vo/vs. Adopte R ϭ 10 k⍀. Figura 5.86 Para el problema 5.59. 5.60 Calcule vo/vi en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.87. Figura 5.87 Para el problema 5.60. 5.61 Determine vo en el circuito de la figura 5.88. Figura 5.88 Para el problema 5.61. 5.62 Obtenga la ganancia en tensión de lazo cerrado vo/vi del circuito de la figura 5.89. Figura 5.89 Para el problema 5.62. 5.63 Determine la ganancia vo/vi del circuito de la figura 5.90. Figura 5.90 Para el problema 5.63. 5.64 En referencia al circuito del amplificador operacional que se presenta en la figura 5.91, halle vo/vs. Figura 5.91 Para el problema 5.64. 25 kΩ 100 kΩ 50 kΩ 50 kΩ 100 kΩ 100 kΩ vo vsv 2 vsv 1 + − + − + − 50 kΩ 20 kΩ 10 kΩ 10 kΩ0.4 V −0.2 V + − 40 kΩ + − vovv 20 kΩ 0.6 V + − 4 kΩ io 1 kΩ 10 kΩ 5 kΩ 2 kΩ + − + − 3 kΩ RfR R2 R1 + − + − vi R3 vovvR4 + − + − + − + − 2R 4R R + −vsvv R vovv + − + − + + − − R3 R2 R1 R4 R5 R6 vovv vi + − 10 kΩ 2 kΩ 10 kΩ 5 kΩ 4 kΩ + − + − + − vo + − vi vs vo + − G G G4 G3 G1 G2 + − + − − +
- 238. 210 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.65 Halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.92. Figura 5.92 Para el problema 5.65. 5.66 Para el circuito de la figura 5.93, halle vo. Figura 5.93 Para el problema 5.66. 5.67 Obtenga la salida vo en el circuito de la figura 5.94. Figura 5.94 Para el problema 5.67. 5.68 Halle vo en el circuito de la figura 5.95, suponiendo que Rf ϭ ϱ (circuito abierto). Figura 5.95 Para los problemas 5.68 y 5.69. 5.69 Repita el problema anterior si Rf ϭ 10 k⍀. 5.70 Determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.96. Figura 5.96 Para el problema 5.70. 50 kΩ 10 kΩ 20 kΩ 30 kΩ 8 kΩ 40 kΩ 6 mV vo + − + − + − + − − + + − + − + − 80 kΩ 80 kΩ 20 kΩ 0.4 V 40 kΩ 20 kΩ vovv + − + − 0.2 V + − 10 mV + − 15 kΩ 6 kΩ 5 kΩ RfR + − + − 1 kΩ 2 kΩ + − vovv + − + − + − + − + − 25 kΩ 10 kΩ 40 kΩ 100 kΩ 20 kΩ 6 V 4 V 2 V 20 kΩ vovv + − + − 30 kΩ A C 40 kΩ 10 kΩ 1 V 20 kΩ 60 kΩ + − 10 kΩ 2 V + − 20 kΩ B 3 V + − 10 kΩ 4 V 10 kΩ vovv + − + − + − 10 kΩ
- 239. Problemas 211 5.71 Determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.97. Figura 5.97 Para el problema 5.71. 5.72 Halle la tensión de carga vL en el circuito de la figura 5.98. Figura 5.98 Para el problema 5.72. 5.73 Determine la tensión en la carga vL en el circuito de la fi- gura 5.99. Figura 5.99 Para el problema 5.73. 5.74 Halle io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.100. Figura 5.100 Para el problema 5.74. Sección 5.9 Análisis de circuitos de amplificadores operacionales con PSpice 5.75 Repita el ejemplo 5.11 usando el amplificador operacio- nal no ideal LM324 en vez de uA741. 5.76 Resuelva el problema 5.19 usando PSpice y el amplifica- dor operacional uA741. 5.77 Resuelva el problema 5.48 usando PSpice y el amplifica- dor operacional LM324. 5.78 Use PSpice para obtener vo en el circuito de la figura 5.101. Figura 5.101 Para el problema 5.78. 5.79 Determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.102 usando PSpice. Figura 5.102 Para el problema 5.79. 100 kΩ 40 kΩ 80 kΩ 20 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 50 kΩ 30 kΩ 5 kΩ 20 kΩ 2 V 3 V vo + − + − + − + − + − − + − + + − 100 kΩ 250 kΩ 0.4 V 2 kΩ+ − + − + − vLv 20 kΩ + − 100 kΩ 32 kΩ 10 kΩ 20 kΩ 1.6 kΩ 0.6 V + − 0.4 V+ − + − io 50 kΩ 10 kΩ 5 kΩ 1.8 V 4 kΩ vLv + − + − + − + − vovv + − 20 kΩ 5 V 1 V 10 kΩ + − + − 20 kΩ 10 kΩ 40 kΩ + − 100 kΩ + − 20 kΩ 30 kΩ10 kΩ 1 V + − − 40 kΩ 2 V + − + − vovv + −
- 240. 212 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.80 Use PSpice para resolver el problema 5.61. 5.81 Use PSpice para comprobar los resultados del ejemplo 5.9. Suponga amplificadores operacionales no ideales LM324. Sección 5.10 Aplicaciones 5.82 Un CDA de cinco bits cubre un rango de tensión de 0 a 7.75 V. Calcule cuánta tensión posee cada bit. 5.83 Diseñe un convertidor digital-analógico de seis bits. a) Si se desea |Vo| ϭ 1.1875 ¿cuál debería ser el valor de [V1V2V3V4V5V6]? b) Calcule |Vo| si [V1V2V3V4V5V6] ϭ [011011]. c) ¿Cuál es el valor máximo que |Vo| puede adoptar? *5.84 Un conversor CDA en escalera R-2R de cuatro bits se presenta en la figura 5.103. a) Demuestre que la tensión de salida está dada por b) Si Rf ϭ 12 k⍀ y R ϭ 10 k⍀, halle |Vo| para [V1V2V3V4] ϭ [1011] y [V1V2V3V4V5V6] ϭ [0101]. Figura 5.103 Para el problema 5.84. 5.85 En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.104, halle el valor de R de manera que la potencia absorbida por el resistor de 10 k⍀ sea de 10 mW. Adopte vs ϭ 2 V. Figura 5.104 Para el problema 5.85. ϪVo ϭ Rf a V1 2R ϩ V2 4R ϩ V3 8R ϩ V4 16R b 5.86 Suponiendo una ganancia de 200 para un AI, halle su ten- sión de salida para: a) v1 ϭ 0.402 V y v2 ϭ 0.386 V b) v1 ϭ 1.002 V y v2 ϭ 1.011 V 5.87 En la figura 5.105 se presenta un amplificador de instru- mentación con dos amplificadores operacionales. Derive una expresión para vo en términos de v1 y v2. ¿Cómo po- dría usarse este amplificador como restador? Figura 5.105 Para el problema 5.87. *5.88 En la figura 5.106 aparece un amplificador de instrumen- tación excitado por un puente. Obtenga la ganancia vo/vi del amplificador. Figura 5.106 Para el problema 5.88. R R R R VoVV+ −V1VV V2VV V3VV V4VV 2R 2R 2R 2R RfR R vsv + − − + 40 kΩ 10 kΩ v2 v1 vovv R4 R3R2 R1 + − + − 25 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 500 kΩ vovv 25 kΩ 2 kΩ 30 kΩ20 kΩ vi 80 kΩ40 kΩ 500 kΩ + − + − + −
- 241. Problemas de mayor extensión 213 5.89 Diseñe un circuito que ofrezca una relación entre la ten- sión de salida vo y la tensión de entrada vs de manera que vo ϭ 12vs Ϫ 10. Dispone de dos amplificadores opera- cionales, una batería de 6 V y varios resistores. 5.90 El circuito del amplificador operacional de la figura 5.107 es un amplificador de corriente. Halle su ganancia en corriente io/is. Figura 5.107 Para el problema 5.90. 5.91 Un amplificador de corriente no inversor se presenta en la figura 5.108. Calcule la ganancia io/is. Adopte R1 ϭ 8 k⍀ y R2 ϭ 1 k⍀. Figura 5.108 Para el problema 5.91. 5.92 Remítase al puente amplificador que se muestra en la fi- gura 5.109. Determine la ganancia en tensión vo/vi. Figura 5.109 Para el problema 5.92. *5.93 Un convertidor de voltaje a corriente se muestra en la fi- gura 5.110, lo cual significa que iL ϭ Av1 si R1R2 ϭ R3R4. Halle el término constante A. Figura 5.110 Para el problema 5.93. Problemas de mayor extensión + − 20 kΩ 4 kΩ 5 kΩ 2 kΩis io + − R1 R2 R2 is io + − 60 kΩ vi vovvRL + − + − + − 50 kΩ 20 kΩ 30 kΩ + − R3 R1 iL R2 vi RL R4 + −
- 243. Fotografía de Charles Alexander. Capacitores e inductores Napoleón dijo que el hombre que nunca comete un error, jamás hace la gue- rra. Quienes se contentan con señalar los errores y desaciertos de quienes están en la lucha, cometen el mayor de los desaciertos. Nada es más fácil que criticar. Ningún talento, sacrificio, inteligencia ni carácter se necesitan para prosperar en la murmuración. —Robert West C a p í t u l o 6 215 Mejore sus habilidades y su carrera CRITERIOS ABET EC 2000 (3.c), “capacidad para diseñar un siste- ma, componente o proceso con el fin de satisfacer necesidades deseadas”. La “capacidad para diseñar un sistema, componente o proceso con el fin de satisfacer necesidades deseadas” es el motivo de que se contrate a los inge- nieros. A esto se debe que ésa sea la habilidad técnica más importante que un ingeniero puede poseer. De manera curiosa, el éxito de usted como ingeniero es directamente proporcional a su capacidad para comunicarse, pero su capaci- dad para diseñar es la causa de que se le contrate en primera instancia. El diseño tiene lugar cuando usted enfrenta lo que se conoce como un pro- blema abierto, finalmente definido por la solución. En el contexto de este cur- so o libro sólo es posible explorar algunos elementos del diseño. Pero seguir todos los pasos de nuestra técnica de resolución de problemas le enseñará va- rios de los elementos más importantes del proceso del diseño. Tal vez la parte más importante del diseño sea definir con claridad cuál es el sistema, componente, proceso o problema en cuestión. Es raro que un inge- niero reciba una asignación perfectamente clara. En consecuencia, como estu- diante usted puede desarrollar y reforzar esta habilidad haciéndose preguntas, o haciéndoselas a sus colegas o profesores, dirigidas a aclarar la enunciación de un problema. Explorar soluciones alternas es otra importante parte del proceso del di- seño. De nueva cuenta, como estudiante usted puede practicar esta parte del proceso del diseño en casi cada problema que trabaje. Evaluar sus soluciones es crítico en cualquier asignación de ingeniería. Una vez más, ésta es una habilidad que como estudiante puede practicar en todos los asuntos en que intervenga.
- 244. 216 Capítulo 6 Capacitores e inductores Introducción Hasta aquí el estudio se ha limitado a circuitos resistivos. En este capítulo se presentan dos nuevos e importantes elementos pasivos de los circuitos linea- les: el capacitor y el inductor. A diferencia de los resistores, que disipan ener- gía, los capacitores e inductores no disipan, sino que almacenan energía, la cual puede recuperarse en un momento posterior. Por esta razón, los capacitores e inductores se llaman elementos de almacenamiento. La aplicación de los circuitos resistivos es muy limitada. Con la introduc- ción de capacitores e inductores en este capítulo, se podrán analizar circuitos más importantes y prácticos. Las técnicas de análisis de circuitos cubiertas en los capítulos 3 y 4 son igualmente aplicables a circuitos con capacitores e in- ductores. Se iniciará este tema con la presentación de los capacitores y se descri- birá cómo combinarlos en serie o en paralelo. Después se hará lo mismo con los inductores. Se explorará cómo los capacitores en sus aplicaciones usuales se combinan con amplificadores operacionales para formar integradores, dife- renciadores y computadoras analógicas. Capacitores Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico. Junto con los resistores, los componentes eléctricos más comu- nes son los capacitores, los cuales son de amplio uso en electrónica, comunica- ciones, computadoras y sistemas de potencia. Por ejemplo, se emplean en los circuitos sintonizadores de radiorreceptores y como elementos de memoria di- námica en sistemas de computación. Un capacitor se construye como se indica en la figura 6.1. 6.2 6.1 Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante (o dieléctrico). En muchas aplicaciones prácticas, las placas pueden ser de láminas de aluminio, mientras que el dieléctrico puede ser de aire, cerámica, papel o mica. Cuando una fuente de tensión v se conecta al capacitor, como en la figu- ra 6.2, deposita una carga positiva q en una placa y una carga negativa Ϫq en la otra. Se dice que el capacitor almacena la carga eléctrica. El monto de car- ga almacenada, representado por q, es directamente proporcional a la tensión aplicada v de modo que q ϭ Cv (6.1) donde C, la constante de proporcionalidad, se conoce como la capacitancia del capacitor. La unidad de capacitancia es el farad (F), así llamado en honor al físico inglés Michael Faraday (1791-1867). De la ecuación (6.1) puede de- rivarse la siguiente definición. La capacitancia es la proporción entre la carga en una placa de un capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas, medida en farads (F). De la ecuación (6.1) se deduce que 1 farad = 1 coulomb/volt. En contraste con un resistor, el cual consume o disipa energía en forma irreversible, un inductor o capacitor almacena o libera energía (es decir, tiene memoria). Placas metálicas, con área A d Dieléctrico con permitividad Figura 6.1 Capacitor usual. − − − −q+q + + + + + + −+ v Figura 6.2 Capacitor con tensión v aplicada. Alternativamente, la capacitancia es la cantidad de carga almacenada en cada placa por unidad de diferencia de ten- sión en un capacitor.
- 245. 6.2 Capacitores 217 Perfiles históricos Cortesía de la Burndy Library, Cambridge, Massachusetts Michael Faraday (1791-1867), químico y físico inglés, fue quizá el principal experimentador que haya habido hasta la fecha. Faraday, quien nació cerca de Londres, realizó su sueño de juventud al trabajar con el gran químico sir Humphry Davy en la Royal Institution, donde laboró durante 54 años. Hizo varias contribuciones en todas las áreas de las ciencias físicas y acuñó términos como electrólisis, ánodo y cátodo. Su des- cubrimiento de la inducción electromagnética en 1831 fue un gran avance para la ingeniería, porque brindó un medio para generar electricidad. El motor y el generador eléctricos operan con base en ese principio. La unidad de capa- citancia, el farad, se llama así en su honor. Aunque la capacitancia C de un capacitor es la proporción entre la car- ga q por placa y la tensión v, aplicada, no depende de q ni de v. Depende de las dimensiones físicas del capacitor. Por ejemplo, en relación con el capaci- tor de placas paralelas que aparece en la figura 6.1, la capacitancia está dada por C ϭ (6.2) donde A es el área superficial de cada placa, d la distancia entre las placas y ⑀ la permitividad del material dieléctrico entre las placas. Aunque la ecuación (6.2) sólo se aplica a capacitores de placas paralelas, de ella se puede inferir que, en general, tres factores determinan el valor de la capacitancia: 1. El área superficial de las placas: cuanto más grande el área, mayor capa- citancia. 2. El espaciamiento entre las placas: a menor espaciamiento, mayor capacitan- cia. 3. La permitividad del material: a mayor permitividad, mayor capacitancia. Los capacitores se consiguen comercialmente con diferentes valores y tipos. Normalmente tienen valores en el rango del picofarad (pF) al microfarad (F). Se les describe según el material dieléctrico del que están hechos y si son del tipo fijo o variable. En la figura 6.3 aparecen los símbolos de circuitos de los capacitores fijos y variables. Cabe señalar que, de acuerdo con la convención pasiva de los signos, si v Ͼ 0 e i Ͼ 0 o si v Ͻ 0 e i Ͻ 0, el capacitor se está cargando, y si v и i Ͻ 0, se está descargando. En la figura 6.4 se presentan tipos comunes de capacitores de valor fijo. Los capacitores de poliéster son ligeros y estables y su cambio con la tempera- tura es predecible. En lugar de poliéster pueden usarse otros materiales di- eléctricos, como mica y poliestireno. Los capacitores de película se enrollan y se cubren con películas metálicas o plásticas. Los capacitores electrolíticos producen una capacitancia muy alta. En la figura 6.5 se muestran los tipos más comunes de capacitores variables. La capacitancia de un capacitor tem- porizador (o de compensación) o de un capacitor de émbolo de vidrio varía al ⑀A d El valor nominal de tensión del capaci- tor y la capacitancia se especifican en forma inversa por lo general, debido a las relaciones entre las ecuaciones (6.1) y (6.2). Ocurre un arco eléctrico si d es pequeña y V es alta. Figura 6.3 Símbolos de circuitos de los capacitores: a) capacitor fijo, b) capacitor variable. i iC v+ − C v+ − a) b )
- 246. 218 Capítulo 6 Capacitores e inductores hacer girar el tornillo. El capacitor de compensación en paralelo suele dispo- nerse en paralelo con otro capacitor para que la capacitancia equivalente pue- da variar ligeramente. La capacitancia del capacitor variable de aire (placas entrelazadas) varía haciendo girar el eje. Los capacitores variables se usan en radiorreceptores que permiten sintonizar varias estaciones. Los capacitores sir- ven además para bloquear cd, pasar ca, cambiar de fase, almacenar energía, encender motores y suprimir ruidos. Para obtener la relación de corriente-tensión del capacitor, se toma la de- rivada de ambos miembros de la ecuación (6.1). Puesto que i ϭ (6.3) la derivación de ambos miembros de la ecuación (6.1) da como resultado i ϭ C (6.4) Ésta es la relación de corriente-tensión de un capacitor, suponiendo la con- vención pasiva de los signos. Esta relación se ilustra en la figura 6.6, alusiva a un capacitor cuya capacitancia es independiente de la tensión. Se dice que son lineales los capacitores que satisfacen la ecuación (6.4). En lo tocante a un capacitor no lineal, la gráfica de su relación de corriente-tensión no es una línea recta. Aunque algunos capacitores son no lineales, la mayoría son linea- les. En este libro se supondrá que los capacitores son lineales. La relación de tensión-corriente del capacitor puede obtenerse integran- do ambos miembros de la ecuación (6.4). Así se consigue (6.5) o sea (6.6) donde v(t0) ϭ q(t0)/C es la tensión entre el capacitor en el tiempo t0. La ecua- ción (6.6) demuestra que la tensión del capacitor depende de la historia pasa- v ϭ 1 C Ύ t t0 i dt ϩ v(t0) v ϭ 1 C Ύ t Ϫϱ i dt dv dt dq dt a) b) c) Figura 6.4 Capacitores fijos: a) capacitor de poliéster, b) capacitor cerámico, c) capacitor electrolítico. (Cortesía de Tech America.) Figura 6.5 Capacitores variables: a) capacitor de compensación, b) capacitor de placa variable. Cortesía de Johanson. De acuerdo con la ecuación (6.4), para que un capacitor conduzca corriente su tensión debe variar con el tiempo. Así, en tensión constante, i ϭ 0. Pendiente = C dv ⁄dt0 i Figura 6.6 Relación de corriente-tensión de un capacitor. a) b)
- 247. 6.2 Capacitores 219 da de la corriente del capacitor. Por lo tanto, el capacitor tiene memoria, pro- piedad que se explota con frecuencia. La potencia instantánea suministrada al capacitor es p ϭ vi ϭ Cv (6.7) La energía almacenada en el capacitor es entonces (6.8) Nótese que v(Ϫϱ) ϭ 0, porque el capacitor se descargó en t ϭ Ϫϱ. Así, w ϭ ϭ Cv2 (6.9) Con base en la ecuación (6.1) se puede reformular la ecuación (6.9) como w ϭ (6.10) La ecuación (6.9) o (6.10) representa la energía almacenada en el campo eléc- trico que existe entre las placas del capacitor. Esta energía puede recuperarse, ya que un capacitor ideal no puede disipar energía. De hecho, el término capacitor se deriva de la capacidad de este elemento para almacenar energía en un cam- po eléctrico. Cabe destacar las siguientes importantes propiedades de un capacitor: 1. Como se desprende de la ecuación (6.4), cuando la tensión entre los ex- tremos de un capacitor no cambia con el tiempo (es decir, cuando la ten- sión es de cd), la corriente que circula a través del capacitor es de cero. Así, q2 2C 1 2 w ϭ Ύ t Ϫϱ p dt ϭ C Ύ t Ϫϱ v dv dt dt ϭ C Ύ t Ϫϱ v dv ϭ 1 2 Cv2 ` t tϭϪϱ dv dt Un capacitor es un circuito abierto para la cd. En cambio, si una batería (tensión de cd) se conecta en un capacitor, éste se carga. 2. La tensión en el capacitor debe ser continua. La tensión en un capacitor no puede cambiar abruptamente. El capacitor resiste a un cambio abrupto en la tensión que ocurre en él. De acuerdo con la ecuación (6.4), un cambio discontinuo de tensión requie- re una corriente infinita, lo cual es físicamente imposible. Por ejemplo, la tensión en un capacitor puede adoptar la forma que se muestra en la fi- gura 6.7a), mientras que es físicamente imposible que adopte la forma que se muestra en la figura 6.7b) a causa de cambios abruptos. A la in- versa, la corriente que circula por un capacitor puede cambiar de modo instantáneo. 3. El capacitor ideal no disipa energía. Toma potencia del circuito cuando almacena energía en su campo y devuelve la energía previamente alma- cenada cuando suministra potencia al circuito. 4. Un capacitor real no ideal tiene un modelo con una resistencia de fuga paralelo, como se indica en la figura 6.8. La resistencia de fuga puede ser v t a) v t b) Figura 6.7 Tensión en un capacitor: a) permitida, b) no permisible; no es posible un cambio abrupto. Otra forma de considerar esto es recu- rrir a la ecuación (6.9), la cual indica que la energía es proporcional al cuadrado de la tensión. Como la in- yección o extracción de energía sólo puede hacerse en un tiempo finito, la tensión no puede cambiar instantánea- mente en un capacitor. Resistencia de fuga Capacitancia Figura 6.8 Modelo de circuitos de un capacitor no ideal.
- 248. 220 Capítulo 6 Capacitores e inductores de hasta 100 M⍀ y despreciarse en la mayoría de las aplicaciones prácticas. Por tal razón, en este libro se supondrán capacitores ideales. Ejemplo 6.1 Ejemplo 6.2 Ejemplo 6.3 Problema de práctica 6.1 Problema de práctica 6.2 La tensión en un capacitor de 5 F es v(t) ϭ 10 cos 6 000t V Calcule la corriente que circula por él. Solución: Por definición, la corriente es i(t) ϭ C ϭ 5 ϫ 10Ϫ6 (10 cos 6 000t) ϭ Ϫ5 ϫ 10Ϫ6 ϫ 6 000 ϫ 10 sen 6 000t ϭ Ϫ0.3 sen 6 000t A d dt dv dt Si un capacitor de 10 F se conecta a una fuente de tensión con v(t) ϭ 50 sen 2 000t V determine la corriente que circula por el capacitor. Respuesta: cos 2 000t A. Determine la tensión en un capacitor de 2 F si la corriente que circula por él es i(t) ϭ 6eϪ3 000t mA Suponga que la tensión inicial del capacitor es de cero. a) Calcule la carga almacenada en un capacitor de 3 pF con 20 V a través de él. b) Halle la energía almacenada en el capacitor. Solución: a) Dado que q ϭ Cv, a ϭ 3 ϫ 10Ϫ12 ϫ 20 ϭ 60 pC b) La energía almacenada es w ϭ Cv2 ϭ ϫ 3 ϫ 10Ϫ12 ϫ 400 ϭ 600 pJ 1 2 1 2 ¿Cuál es la tensión en un capacitor de 3 F si la carga en una de sus placas es de 0.12 mC? ¿Cuánta energía se almacena? Respuesta: 40 V, 2.4 mJ.
- 249. 6.2 Capacitores 221 Solución: Puesto que y ϭ 3 ϫ 103 Ϫ3 000 eϪ3 000t ` 0 t ϭ (1 Ϫ eϪ3 000t ) V v ϭ 1 2 ϫ 10Ϫ6 Ύ t 0 6eϪ3 000t dt ؒ 10Ϫ3 v(0) ϭ 0v ϭ 1 C Ύ t 0 i dt ϩ v(0) La corriente que circula por un capacitor de 100 F es i(t) ϭ 50 sen 120t mA. Calcule la tensión entre sus extremos en t ϭ 1 ms y t ϭ 5 ms. Considere v(0) ϭ 0. Respuesta: 93.14 mV, 1.736 V. Determine la corriente que circula por un capacitor de 200 F cuya tensión se muestra en la figura 6.9. Solución: La forma de onda de la tensión puede describirse matemáticamente como Dado que i ϭ Cdv/dt y C ϭ 200 F, se toma la derivada de v para obtener Así, la forma de onda de la corriente es como se muestra en la figura 6.10. ϭ d 10 mA 0 6 t 6 1 Ϫ10 mA 1 6 t 6 3 10 mA 3 6 t 6 4 0 de otra forma i(t) ϭ 200 ϫ 10Ϫ6 ϫ d 50 0 6 t 6 1 Ϫ50 1 6 t 6 3 50 3 6 t 6 4 0 de otra forma v(t) ϭ d 50t V 0 6 t 6 1 100 Ϫ 50t V 1 6 t 6 3 Ϫ200 ϩ 50t V 3 6 t 6 4 0 de otra forma Por un capacitor de 1 mF inicialmente descargado fluye la corriente que se presenta en la figura 6.11. Calcule la tensión a través del capacitor a t = 2 ms y t = 5 ms. Respuesta: 100 mV, 400 mV. v(t) 0 4321 50 −50 t Figura 6.9 Para el ejemplo 6.4. i (mA) 0 4321 10 −10 t Figura 6.10 Para el ejemplo 6.4. i (mA) 0 642 100 t (ms) Figura 6.11 Para el problema de práctica 6.4. Problema de práctica 6.3 Problema de práctica 6.4 Ejemplo 6.4
- 250. 222 Capítulo 6 Capacitores e inductores Obtenga la energía almacenada en cada capacitor de la figura 6.12a) en con- diciones de cd. Solución: En condiciones de cd se remplaza cada capacitor por un circuito abierto, como se advierte en la figura 6.12b). La corriente que circula a través de la combina- ción en serie de los resistores de 2 y 4 k⍀ se obtiene por división de corriente como Así, las tensiones v1 y v2 a través de los capacitores son y las energías almacenadas en ellos son w2 ϭ 1 2 C2v2 2 ϭ 1 2 (4 ϫ 10Ϫ3 )(8)2 ϭ 128 mJ w1 ϭ 1 2 C1v1 2 ϭ 1 2 (2 ϫ 10Ϫ3 )(4)2 ϭ 16 mJ v1 ϭ 2 000i ϭ 4 V v2 ϭ 4 000i ϭ 8 V i ϭ 3 3 ϩ 2 ϩ 4 (6 mA) ϭ 2 mA En condiciones de cd, halle la energía almacenada en los capacitores de la fi- gura 6.13. Respuesta: 405 J, 90 J. Capacitores en serie y en paralelo Por los circuitos resistivos se sabe que la combinación en serie-en paralelo es una eficaz herramienta para reducir circuitos. Esta técnica puede extenderse a conexiones en serie-en paralelo de capacitores, relativamente frecuentes. Inte- resa remplazar esos capacitores por un solo capacitor equivalente Ceq. Para obtener el capacitor equivalente Ceq de N capacitores en paralelo, con- sidérese el circuito de la figura 6.14a). El circuito equivalente se muestra en la 6.3 Figura 6.12 Para el ejemplo 6.5. 10 V + − 6 kΩ 1 kΩ 20 F 10 F 3 kΩ Figura 6.13 Para el problema de práctica 6.5. v1+ − v2 + − 6 mA 3 kΩ 5 kΩ 4 kΩ 2 kΩ 2 mF 4 mF a) 6 mA 3 kΩ 5 kΩ 4 kΩ 2 kΩ b) i Ejemplo 6.5 Problema de práctica 6.5
- 251. 6.3 Capacitores en serie y en paralelo 223 figura 6.14b). Tómese en cuenta que los capacitores tienen la misma tensión v entre ellos. Al aplicar la LCK a la figura 6.14a), i ϭ i1 ϩ i2 ϩ i3 ϩ . . . ϩ iN (6.11) Pero ik ϭ Ck dv/dt. Por lo tanto, (6.12) donde Ceq ϭ C1 ϩ C2 ϩ C3 ϩ . . . ϩ CN (6.13) ϭ a a N kϭ1 Ckb dv dt ϭ Ceq dv dt i ϭ C1 dv dt ϩ C2 dv dt ϩ C3 dv dt ϩ p ϩ CN dv dt La capacitancia equivalente de N capacitores conectados en paralelo es la suma de las capacitancias individuales. Obsérvese que los capacitores en paralelo se combinan de la misma manera que los resistores en serie. Ahora se obtiene la Ceq de N capacitores conectados en serie comparan- do el circuito de la figura 6.15a) con el circuito equivalente de la figura 6.15b). Adviértase que a través de los capacitores fluye la misma corriente i (y consecuentemente la misma carga). Al aplicar la LTK al lazo de la figu- ra 6.15a), (6.14) (6.15) donde (6.16) 1 Ceq ϭ 1 C1 ϩ 1 C2 ϩ 1 C3 ϩ p ϩ 1 CN i C1 a) i1 C2 C3 CN iN v + − i b ) Ceq v + − i2 i3 Figura 6.14 a) N capacitores conectados en paralelo, b) circuito equivalente de los capacitores en paralelo. v C1 a) C2 C3 CN v1 v2 v3 vN + − i + −+ −+ − + − v b) Ceq v+ − i + − Figura 6.15 a) N capacitores conectados en serie, b) circuito equivalente de los capacitores en serie. Pero ϭ 1 Ceq Ύ t t0 i(t) dt ϩ v(t0) ϩ p ϩ vN(t0) ϭ a 1 C1 ϩ 1 C2 ϩ p ϩ 1 CN b Ύ t t0 i(t) dt ϩ v1(t0) ϩ v2(t0) ϩ p ϩ 1 CN Ύ t t0 i(t) dt ϩ vN (t0) v ϭ 1 C1 Ύ t t0 i(t) dt ϩ v1(t0) ϩ 1 C2 Ύ t t0 i(t) dt ϩ v2 (t0) vk ϭ 1 Ck Ύ t t0 i(t) dt ϩ vk(t0). Por consiguiente, v ϭ v1 ϩ v2 ϩ v3 ϩ p ϩ vN
- 252. 224 Capítulo 6 Capacitores e inductores Por efecto de la LTK, la tensión inicial v(t0) en Ceq es la suma de las tensio- nes de los capacitores en t0. O, de acuerdo con la ecuación (6.15), v(t0) ϭ v1(t0) ϩ v2(t0) ϩ … ϩ vN(t0) Así, de acuerdo con la ecuación (6.16), La capacitancia equivalente de capacitores conectados en serie es el recípro- co de la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales. Nótese que los capacitores en serie se combinan de la misma manera que los resistores en paralelo. Cuando N = 2 (es decir, dos capacitores en serie), la ecua- ción (6.16) se convierte en o sea (6.17)Ceq ϭ C1C2 C1 ϩ C2 1 Ceq ϭ 1 C1 ϩ 1 C2 Halle la capacitancia equivalente vista entre las terminales a y b del circuito de la figura 6.16. Solución: Los capacitores de 20 y 5 F están en serie; así, su capacitancia equivalente es Este capacitor de 4 F está en paralelo con los capacitores de 6 y 20 F; así, su capacitancia combinada es 4 ϩ 6 ϩ 20 ϭ 30 F Este capacitor de 30 F está en serie con el capacitor de 60 F. Por lo tan- to, la capacitancia equivalente del circuito completo es Ceq ϭ 30 ϫ 60 30 ϩ 60 ϭ 20 mF 20 ϫ 5 20 ϩ 5 ϭ 4 mF a b Ceq 5 F 20 F 20 F6 F 60 F Figura 6.16 Para el ejemplo 6.6. Ejemplo 6.6
- 253. 6.3 Capacitores en serie y en paralelo 225 Halle la capacitancia equivalente vista en las terminales del circuito de la fi- gura 6.17. Respuesta: 40 F. En referencia al circuito de la figura 6.18 halle la tensión en cada capacitor. Solución: Primero se halla la capacitancia equivalente Ceq, la cual aparece en la figura 6.19. Los dos capacitores en paralelo de la figura 6.18 pueden combinarse para obte- ner 40 + 20 = 60 mF. Este capacitor de 60 mF está en serie con los capacitores de 20 y 30 mF. Así, La carga total es Ésta es la carga en los capacitores de 20 y 30 mF, porque están en serie con la fuente de 30 V. (Una manera rudimentaria de ver esto es imaginar que la car- ga actúa como corriente, ya que i ϭ dq/dt.) Por lo tanto, Luego de determinar v1 y v2, ahora se aplica la LTK para determinar v3 me- diante v3 ϭ 30 Ϫ v1 Ϫ v2 ϭ 5 V Alternativamente, como los capacitores de 40 y 20 mF están en paralelo, tienen la misma tensión v3 y su capacitancia combinada es 40 + 20 = 60 mF. Esta capacitancia combinada está en serie con los capacitores de 20 y 30 mF, y en consecuencia tiene la misma carga en ella. Así, Halle la tensión en cada uno de los capacitores de la figura 6.20. v3 ϭ q 60 mF ϭ 0.3 60 ϫ 10Ϫ3 ϭ 5 V v1 ϭ q C1 ϭ 0.3 20 ϫ 10Ϫ3 ϭ 15 V v2 ϭ q C2 ϭ 0.3 30 ϫ 10Ϫ3 ϭ 10 V q ϭ Ceqv ϭ 10 ϫ 10Ϫ3 ϫ 30 ϭ 0.3 C Ceq ϭ 1 1 60 ϩ 1 30 ϩ 1 20 mF ϭ 10 mF Respuesta: v1 ϭ 30 V, v2 ϭ 30 V, v3 ϭ 10 V, v4 ϭ 20 V. Ceq 120 F20 F70 F 60 F 50 F Figura 6.17 Para el problema de práctica 6.6. 20 mF40 mF 30 mF20 mF 30 V + − v1 v2 v3 + − + − + − Figura 6.18 Para el ejemplo 6.7. Ceq30 V + − Figura 6.19 Circuito equivalente para la figura 6.18. 30 F20 F 60 F40 F 60 V + − v1 v3 v2 v4 + − + − + − + − Figura 6.20 Para el problema de práctica 6.7. Problema de práctica 6.6 Problema de práctica 6.7 Ejemplo 6.7
- 254. 226 Capítulo 6 Capacitores e inductores Inductores Un inductor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su cam- po magnético. Los inductores encuentran numerosas aplicaciones en sistemas electrónicos y de potencia. Se usan en alimentaciones de potencia, transfor- madores, radios, televisores, radares y motores eléctricos. Todos los conductores de corriente eléctrica tienen propiedades inductivas y pueden considerarse inductores. Pero para aumentar el efecto inductivo, un inductor práctico suele formarse en una bobina cilíndrica con muchas vueltas de alambre conductor, como se observa en la figura 6.21. 6.4 Si se permite que pase corriente por un inductor, se descubre que la tensión en el inductor es directamente proporcional a la velocidad de cambio de la transfor- mación de la corriente. Mediante la convención pasiva de los signos, v ϭ L (6.18) donde L es la constante de proporcionalidad, llamada inductancia del inductor. La unidad de inductancia es el henry (H), así llamado en honor al inventor es- tadounidense Joseph Henry (1797-1878). De la ecuación (6.18) se deduce cla- ramente que 1 henry es igual a 1 volt-segundo por ampere. di dt La inductancia de un inductor depende de sus dimensiones y composi- ción física. Las fórmulas para calcular la inductancia de inductores de dife- rentes formas se derivan de la teoría electromagnética y pueden encontrarse en manuales estándar de ingeniería eléctrica. Por ejemplo, en relación con el in- ductor (solenoide) que aparece en la figura 6.21, (6.19) donde N es el número de vueltas, la longitud, A el área de la sección transver- sal y la permeabilidad del núcleo. Mediante la ecuación (6.19) se advierte que la inductancia puede aumentar si se incrementa el número de vueltas de la bobi- na, usando material con mayor permeabilidad a la del núcleo, aumentando el área de la sección transversal o disminuyendo la longitud de la bobina. Al igual que los capacitores, los inductores disponibles comercialmente se presentan en diferentes valores y tipos. Los inductores prácticos usuales tie- nen valores de inductancia que van de unos cuantos microhenrys (H), como en los sistemas de comunicación, a decenas de henrys (H), como en los sistemas de potencia. Los inductores pueden ser fijos o variables. El núcleo puede ser de hierro, acero, plástico o aire. Los términos bobina y reactancia se emplean co- mo sinónimos de inductor. En la figura 6.22 se muestran inductores comunes. Los símbolos de circuitos de los inductores se presentan en la figura 6.23, si- guiendo la convención pasiva de los signos. La ecuación (6.18) es la relación de tensión-corriente de un inductor. En la figura 6.24 se representa gráficamente esta relación respecto de un inductor cuya m / L ϭ N2 mA / Longitud, ᐍ Área de sección transversal, A Material del núcleo Número de vueltas, N Figura 6.21 Forma habitual de un inductor. Según la ecuación (6.18), para que un inductor tenga tensión entre sus termi- nales, su corriente debe variar con el tiempo. Así, v = 0 para corriente constante por el inductor. a) b) c) Figura 6.22 Diversos tipos de inductores: a) solenoide, b) inductor toroidal, c) inductor compacto. Cortesía de Tech America. Un inductor consta de una bobina de alambre conductor. La inductancia es la propiedad por la cual un inductor presenta oposición al cambio de la corriente que fluye por él, medida en henrys (H).
- 255. 6.4 Inductores 227 Joseph Henry (1797-1878), físico estadounidense, descubrió la inductancia y armó un motor eléctrico. Henry nació en Albany, Nueva York, se graduó en la Albany Academy y enseñó filosofía en la Princeton University de 1832 a 1846. Fue el primer secre- tario de la Smithsonian Institution. Realizó varios experimentos de electromag- netismo y desarrolló poderosos electroimanes capaces de levantar objetos de miles de libras de peso. Curiosamente, descubrió la inducción electromagnética antes que Faraday, pero no publicó sus hallazgos. La unidad de inductancia, el henry, lleva su nombre. inductancia es independiente de la corriente. Tal inductor se conoce como in- ductor lineal. En lo tocante a un inductor no lineal, la gráfica de la ecuación (6.18) no será una línea recta, a causa de que su inductancia varía con la co- rriente. En este libro se supondrán inductores lineales, a menos que se indique otra cosa. La relación de corriente-tensión se obtiene de la ecuación (6.18) como La integración da por resultado (6.20) o sea (6.21) donde i(t0) es la corriente total para Ϫϱ Ͻ t Ͻ t0 e i(Ϫϱ) ϭ 0. La idea de hacer que i(Ϫϱ) ϭ 0 es práctica y razonable, porque debe haber un momento en el pasado en el que no hubo corriente en el inductor. El inductor está diseñado para almacenar energía en su campo magnético. La energía almacenada puede obtenerse de la ecuación (6.18). La potencia su- ministrada al inductor es (6.22) La energía almacenada es (6.23) ϭ L Ύ t Ϫϱ i di ϭ 1 2 Li2 (t) Ϫ 1 2 Li2 (Ϫϱ) w ϭ Ύ t Ϫϱ p dt ϭ Ύ t Ϫϱ aL di dt bi dt p ϭ vi ϭ aL di dt bi i ϭ 1 L Ύ t t0 v(t) dt ϩ i(t0) i ϭ 1 L Ύ t Ϫϱ v(t) dt di ϭ 1 L v dt Pendiente = L di⁄dt0 v i i i a) v L + − b) v L + − c) v L + − Figura 6.23 Símbolos de circuitos de los inductores: a) de núcleo de aire, b) núcleo de hierro, c) variable de núcleo de hierro. Figura 6.24 Relación de tensión-corriente de un inductor. Perfiles históricos
- 256. 228 Capítulo 6 Capacitores e inductores Puesto que i(Ϫϱ) ϭ 0. (6.24) Cabe destacar las siguientes propiedades importantes de un inductor. 1. Como se desprende de la ecuación (6.18), la tensión en un inductor es de cero cuando la corriente es constante. Así, w ϭ 1 2 Li2 Un inductor actúa como un cortocircuito para la cd. 2. Una propiedad relevante del inductor es su oposición al cambio en la co- rriente que fluye por él. La corriente que circula por un inductor no puede cambiar instantáneamente. De acuerdo con la ecuación (6.18), un cambio discontinuo en la corrien- te por un inductor requiere una tensión infinita, lo cual no es físicamente posible. Así, un inductor se opone a un cambio abrupto en la corriente que circula a través de él. Por ejemplo, la corriente en un inductor pue- de adoptar la forma que se muestra en la figura 6.25a), pero no la que aparece en la figura 6.25b) en situaciones reales debido a discontinuida- des. En cambio, la tensión en un inductor puede cambiar abruptamente. 3. Como el capacitor ideal, el inductor ideal no disipa energía. La energía almacenada en él puede recuperarse en un momento posterior. El induc- tor toma potencia del circuito al almacenar la energía y suministra poten- cia al circuito al devolver la energía previamente almacenada. 4. Un inductor práctico no ideal tiene una componente resistiva importante, como se muestra en la figura 6.26. Esto se debe al hecho de que el in- ductor es de un material conductor como cobre, el cual tiene cierta resis- tencia, que se llama resistencia de devanado Rw, y aparece en serie con la inductancia del inductor. La presencia de Rw convierte a éste tanto en un dispositivo de almacenamiento de energía como en un dispositivo de disipación de energía. Puesto que usualmente Rw es muy reducida, se le ignora en la mayoría de los casos. El inductor no ideal también tiene una capacitancia de devanado Cw, debida al acoplamiento capacitivo entre las bobinas conductoras Cw es muy reducida y puede ignorarse en la mayo- ría de los casos, excepto en altas frecuencias. En este libro se supondrán inductores ideales. La corriente que circula a través de un inductor de 0.1 H es i(t) ϭ 10teϪ5t A. Halle la tensión en el inductor y la energía almacenada en él. Solución: Dado que v ϭ Ldi/dt y L ϭ 0.1 H, v ϭ 0.1 d dt (10teϪ5t ) ϭ eϪ5t ϩ t(Ϫ5)eϪ5t ϭ eϪ5t (1 Ϫ 5t) V i t a) i t b ) L Rw Cw Figura 6.25 Corriente que circula a través de un inductor: a) permitida, b) no permisible; no es posible un cambio abrupto. Figura 6.26 Modelo de circuitos de un inductor práctico. Dado que es común que un inductor sea de alambre conductor, tiene muy poca resistencia. Ejemplo 6.8
- 257. 6.4 Inductores 229 La energía almacenada es w ϭ 1 2 Li2 ϭ 1 2 (0.1)100t2 eϪ10t ϭ 5t2 eϪ10t J Si la corriente que circula a través de un inductor de 1 mH es i(t) ϭ 20 cos 100t mA, halle la tensión entre las terminales y la energía almacenada. Respuesta: Ϫ2 sen 100t mV, 0.2 cos2 100t mJ. Halle la corriente que circula a través de un inductor de 5 H si la tensión en él es Halle también la energía almacenada en t ϭ 5 s. Suponga i(v) Ͼ 0. Solución: Dado que La potencia p ϭ vi ϭ 60t5 . Así, la energía almacenada es Alternativamente, se puede obtener la energía almacenada mediante la ecua- ción (6.24), escribiendo como se obtuvo anteriormente. w05 0 ϭ 1 2 Li2 (5) Ϫ 1 2 Li(0) ϭ 1 2 (5)(2 ϫ 53 )2 Ϫ 0 ϭ 156.25 kJ w ϭ Ύp dt ϭ Ύ 5 0 60t5 dt ϭ 60 t6 6 2 5 0 ϭ 156.25 kJ i ϭ 1 5 Ύ t 0 30t2 dt ϩ 0 ϭ 6 ϫ t3 3 ϭ 2t3 A y L ϭ 5 H,i ϭ 1 L Ύ t t0 v(t) dt ϩ i(t0) v(t) ϭ b 30t2 , t 7 0 0, t 6 0 La tensión entre las terminales de un inductor de 2 H es v ϭ 10(1 Ϫ t) V. Halle la corriente que fluye a través de él en t ϭ 4 s y la energía almacena- da en él en t ϭ 4 s. Suponga i(0) ϭ 2 A. Respuesta: Ϫ18 A, 320 J. Problema de práctica 6.8 Problema de práctica 6.9 Ejemplo 6.9
- 258. 230 Capítulo 6 Capacitores e inductores Considere el circuito de la figura 6.27a). En condiciones de cd, halle: a) i, vC e iL, b) la energía almacenada en el capacitor y el inductor. Solución: a) En condiciones de cd, se remplaza el capacitor por un circuito abierto y el inductor por un cortocircuito, como en la figura 6.27b). En esta figura es evi- dente que La tensión vC es la misma que la tensión en el resistor de 5 ⍀. Por lo tanto, b) La energía en el capacitor es y en el inductor es wL ϭ 1 2 LiL 2 ϭ 1 2 (2)(22 ) ϭ 4 J wC ϭ 1 2 CvC 2 ϭ 1 2 (1)(102 ) ϭ 50 J vC ϭ 5i ϭ 10 V i ϭ iL ϭ 12 1 ϩ 5 ϭ 2 A 12 V 1 F + − 4 Ω 5 Ω1 Ω 2 H i iL vC + − a) vC + − 12 V + − 4 Ω 5 Ω1 Ωi iL b) Figura 6.27 Para el ejemplo 6.10. 4 A 2 F3 Ω 1 Ω 0.25 HiL vC + − Figura 6.28 Para el problema de práctica 6.10. L1 a) L2 L3 LNi v + − b) Leq i v + − + −v1 + −v2 + −v3 + −vN . . . Figura 6.29 a) Conexión en serie de N inductores, b) circuito equivalente de los inductores en serie. Ejemplo 6.10 Problema de práctica 6.10 Determine vC, iL y la energía almacenada en el capacitor y el inductor del cir- cuito de la figura 6.28 en condiciones de cd. Respuesta: 3 V, 3 A, 9 J, 1.125 J. Inductores en serie y en paralelo Ahora que el inductor se ha añadido a la lista de elementos pasivos, es nece- sario ampliar la poderosa herramienta de la combinación en serie-paralelo. Se debe saber cómo hallar la inductancia equivalente de un conjunto de inducto- res conectados en serie o en paralelo en circuitos prácticos. Considérese una conexión en serie de N inductores, como se muestra en la figura 6.29a), cuyo circuito equivalente aparece en la figura 6.29b). Por los inductores fluye la misma corriente. Al aplicar la LTK al lazo, (6.25) La sustitución de vk ϭ Lk di/dt da por resultado (6.26) donde Leq ϭ L1 ϩ L2 ϩ L3 ϩ … ϩ LN (6.27) ϭ a a N kϭ1 Lkb di dt ϭ Leq di dt ϭ (L1 ϩ L2 ϩ L3 ϩ p ϩ LN) di dt v ϭ L1 di dt ϩ L2 di dt ϩ L3 di dt ϩ p ϩ LN di dt v ϭ v1 ϩ v2 ϩ v3 ϩ p ϩ vN 6.5
- 259. 6.5 Inductores en serie y en paralelo 231 La inductancia equivalente de inductores conectados en serie es la suma de las inductancias individuales. Así, Los inductores en serie se combinan exactamente de la misma manera que resistores en serie. Considérese ahora una conexión en paralelo de N inductores, como se mues- tra en la figura 6.30a), cuyo circuito equivalente aparece en la figura 6.30b). Entre los inductores ocurre la misma tensión. Al aplicar la LCK, i ϭ i1 ϩ i2 ϩ i3 ϩ … ϩ iN (6.28) (6.29) donde (6.30) Por efecto de la LCK, es de esperar que la corriente inicial i(t0) a través de Leq en t ϭ t0 sea la suma de las corrientes de los inductores en t0. Así, de acuer- do con la ecuación (6.29), De acuerdo con la ecuación (6.30), i(t0) ϭ i1(t0) ϩ i2(t0) ϩ p ϩ iN(t0) 1 Leq ϭ 1 L1 ϩ 1 L2 ϩ 1 L3 ϩ p ϩ 1 LN ϭ a a N kϭ1 1 Lk b Ύ t t0 v dt ϩ a N kϭ1 ik(t0) ϭ 1 Leq Ύ t t0 v dt ϩ i(t0) ϩ p ϩ iN (t0) ϭ a 1 L1 ϩ 1 L2 ϩ p ϩ 1 LN b Ύ t t0 v dt ϩ i1(t0) ϩ i2(t0) ϩ p ϩ 1 LN Ύ t t0 v dt ϩ iN (t0) i ϭ 1 L1 Ύ t t0 v dt ϩ i1(t0) ϩ 1 L2 Ύ t t0 v dt ϩ i2(t0) Pero por lo tanto,ik ϭ 1 Lk Ύ t t0 v dt ϩ ik(t0); La inductancia equivalente de inductores en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las inductancias individuales. Nótese que los inductores en paralelo se combinan de la misma manera que los resistores en paralelo. En el caso de dos inductores en paralelo (N = 2), la ecuación (6.30) se convierte en (6.31) En tanto todos los elementos permanezcan iguales, las transformaciones ⌬-Y referentes a los resistores que se explicaron en la sección 2.7 pueden exten- derse a capacitores e inductores. 1 Leq ϭ 1 L1 ϩ 1 L2 o Leq ϭ L1L2 L1 ϩ L2 a) v + − b) Leq i v + − L1 L2 L3 LN i i1 i2 i3 iN Figura 6.30 a) Conexión en paralelo de N inductores, b) circuito equivalente de los inductores en paralelo.
- 260. 232 Capítulo 6 Capacitores e inductores Resulta conveniente resumir en este momento las características más im- portantes de los tres elementos básicos de circuitos que se han estudiado. Tal resumen se ofrece en la tabla 6.1. La transformación delta a estrella que se vio en la sección 2.7 para resis- tores puede extenderse para capacitores e inductores. Halle la inductancia equivalente del circuito que aparece en la figura 6.31. Solución: Los inductores de 10, 12 y 20 H están en serie; así, su combinación da por re- sultado una inductancia de 42 H. Este inductor de 42 H está en paralelo con el inductor de 7 H, los que se combinan para dar como resultado Este inductor de 6 H está en serie con los inductores de 4 y 8 H. Así, Leq ϭ 4 ϩ 6 ϩ 8 ϭ 18 H 7 ϫ 42 7 ϩ 42 ϭ 6 H Calcule la inductancia equivalente para la red inductiva en escalera de la figura 6.32. Respuesta: 25 mH. 20 mH 100 mH 40 mH 30 mH 20 mH40 mH50 mH Leq Figura 6.32 Para el problema de práctica 6.11. 4 H 20 H 8 H 10 H 12 H7 H Leq Figura 6.31 Para el ejemplo 6.11. Ejemplo 6.11 Problema de práctica 6.11 TABLA 6.1 Importantes características de los elementos básicos.† Relación Resistor (R) Capacitor (C) Inductor (L) v-i: i-v: p o w: En serie: En paralelo: En cd: Igual Circuito abierto Cortocircuito Variable de circuitos que no puede cambiar abruptamente: No aplicable v i † Se supone la convención pasiva de los signos. Leq ϭ L1L2 L1 ϩ L2 Ceq ϭ C1 ϩ C2Req ϭ R1R2 R1 ϩ R2 Leq ϭ L1 ϩ L2Ceq ϭ C1C2 C1 ϩ C2 Req ϭ R1 ϩ R2 w ϭ 1 2 Li2 w ϭ 1 2 Cv2 p ϭ i2 R ϭ v2 R i ϭ 1 L Ύ t t0 vdt ϩ i(t0)i ϭ C dv dt i ϭ v͞R v ϭ L di dt v ϭ 1 C Ύ t t0 i dt ϩ v(t0)v ϭ iR
- 261. 6.6 Aplicaciones 233 En relación con el circuito de la figura 6.33, i(t) ϭ 4(2 Ϫ eϪ10t ) mA. Si i2(0) ϭ Ϫ1 mA, halle a) i1(0); b) v(t), v1(t) y v2(t); c) i1(t) e i2(t). Solución: a) Partiendo de i(t) ϭ 4(2 Ϫ eϪ10t ) mA, i(0) ϭ 4(2 Ϫ 1) ϭ 4 mA. Puesto que i ϭ i1 ϩ i2, i1(0) ϭ i(0) Ϫ i2(0) ϭ 4 Ϫ(Ϫ1) ϭ 5 mA b) La inductancia equivalente es Leq ϭ 2 ϩ 4 || 12 ϭ 2 ϩ 3 ϭ 5 H Así, y Dado que v ϭ v1 ϩ v2, v2(t) ϭ v(t) Ϫ v1(t) ϭ 120eϪ10t mV c) La corriente i1 se obtiene de esta manera: Repárese en que i1(t) ϩ i2(t) ϭ i(t). De igual modo, ϭ ϪeϪ10t 0 t 0 Ϫ 1 mA ϭ ϪeϪ10t ϩ 1 Ϫ 1 ϭ ϪeϪ10t mA i2(t) ϭ 1 12 Ύ t 0 v2 dt ϩ i2(0) ϭ 120 12 Ύ t 0 eϪ10t dt Ϫ 1 mA ϭ Ϫ3eϪ10t 0 t 0 ϩ 5 mA ϭ Ϫ3eϪ10t ϩ 3 ϩ 5 ϭ 8 Ϫ 3eϪ10t mA i1(t) ϭ 1 4 Ύ t 0 v2 dt ϩ i1(0) ϭ 120 4 Ύ t 0 eϪ10t dt ϩ 5 mA v1(t) ϭ 2 di dt ϭ 2(Ϫ4)(Ϫ10)eϪ10t mV ϭ 80eϪ10t mV v(t) ϭ Leq di dt ϭ 5(4)(Ϫ1)(Ϫ10)eϪ10t mV ϭ 200eϪ10t mV 2 H 12 H4 Hv + − v2 v1 + + − − i i1 i2 Figura 6.33 Para el ejemplo 6.12. 3 H 6 H 8 Hv + − v2 + − i i1 i2 + −v1 Figura 6.34 Para el problema de práctica 6.12. Ejemplo 6.12 Problema de práctica 6.12 En el circuito de la figura 6.34, i1(t) ϭ 0.6eϪ2t A. Si i(0) ϭ 1.4 A, halle: a) i2(0); b) i2(t) e i(t); c) v1(t), v2(t) y v(t). Respuesta: a) 0.8 A, b) (Ϫ0.4 ϩ 1.2eϪ2t ) A, (Ϫ0.4 ϩ 1.8eϪ2t ) A. c) Ϫ36eϪ2t V, Ϫ7.2eϪ2t V, Ϫ28.8eϪ2t V. † Aplicaciones Los elementos de circuitos como resistores y capacitores se expenden tanto en forma discreta o como circuitos integrados (CI). A diferencia de los capaci- tores y resistores, los inductores con inductancia significativa son difíciles de producir sobre sustratos de CI. En consecuencia, los inductores (bobinas) usualmente se presentan en forma discreta y tienden a ser más voluminosos y 6.6
- 262. 234 Capítulo 6 Capacitores e inductores costosos. Por esta razón, no son tan versátiles como los capacitores y los re- sistores, y sus aplicaciones son más limitadas. Sin embargo, hay varias apli- caciones en las que los inductores no tienen un sustituto práctico. Se usan rutinariamente en relevadores, retrasadores, dispositivos sensores, fonocapto- res, circuitos telefónicos, receptores de radio y televisión, fuentes de alimen- tación, motores eléctricos, micrófonos y altavoces, por mencionar apenas unas cuantas de sus aplicaciones. Los capacitores y los inductores poseen las siguientes tres propiedades especiales que los vuelven muy útiles en los circuitos eléctricos: 1. La capacidad para almacenar energía los hace útiles como fuentes tempo- rales de tensión o corriente. Así, pueden usarse para generar una elevada cantidad de corriente o tensión por un breve periodo. 2. Los capacitores se oponen a cambios abruptos de tensión, mientras que los inductores se oponen a cambios abruptos de corriente. Esta propiedad ha- ce que los inductores sean útiles para la supresión de chispas o arcos y pa- ra la conversión de una tensión intermitente de cd en una tensión de cd relativamente uniforme. 3. Los capacitores e inductores son sensibles a la frecuencia. Esta propie- dad los hace útiles para la discriminación de frecuencia. Las dos primeras propiedades se ponen en práctica en circuitos de cd y la ter- cera se aprovecha en circuitos de ca. En capítulos posteriores se comprobará su utilidad. Por ahora se consideran tres aplicaciones que incluyen a capacito- res y amplificadores operacionales: integrador, diferenciador y computadora analógica. 6.6.1 Integrador Entre los circuitos importantes del amplificador operacional que emplea elemen- tos de almacenamiento de energía están los integradores y los diferenciado- res. Estos circuitos del amplificador operacional suelen contener resistores y capacitores; los inductores (bobinas) tienden a ser más voluminosos y costosos. El integrador de amplificador operacional tiene numerosas aplicaciones, en especial en las computadoras analógicas, de las que se tratará en la sección 6.6.3. Un integrador es un circuito del amplificador operacional cuya salida es pro- porcional a la integral de la señal de entrada. Si el resistor de retroalimentación Rf del ya conocido amplificador inver- sor de la figura 6.35a) se remplaza por un capacitor, se obtiene un integrador ideal como el que se muestra en la figura 6.35b). Es interesante señalar que es posible obtener una representación matemática de la integración de esta manera. En el nodo a de la figura 6.35b), (6.32) Pero Al sustituir estas expresiones en la ecuación (6.32) se obtiene (6.33a) (6.33b)dvo ϭ Ϫ 1 RC vi dt vi R ϭ ϪC dvo dt iR ϭ vi R , iC ϭ ϪC dvo dt iR ϭ iC R1 Rf i1 v1 i2 vi + − vo + − v2 0 A 0 V + − + − a) 1 R a C iR iC vi + − vo + − + − b) Figura 6.35 El remplazo del resistor de retroali- mentación en el amplificador inversor de a) produce un integrador en b).
- 263. 6.6 Aplicaciones 235 La integración de ambos miembros da por resultado (6.34) Para garantizar que vo(0) ϭ 0, siempre es necesario descargar el capacitor del integrador antes de la aplicación de una señal. Suponiendo que vo(0) ϭ 0, (6.35) lo que demuestra que el circuito de la figura 6.35b) suministra una tensión de salida proporcional a la integral de la entrada. En la práctica, el integrador del amplificador operacional requiere un resistor de retroalimentación para redu- cir la ganancia de cd e impedir la saturación. Debe cuidarse que el amplifi- cador operacional funcione dentro del rango lineal para que no se sature. vo ϭ Ϫ 1 RC Ύ t 0 vi(t) dt vo(t) Ϫ vo(0) ϭ Ϫ 1 RC Ύ t 0 vi(t) dt Si v1 ϭ 10 cos 2t mV y v2 ϭ 0.5t mV, halle vo en el circuito del amplifica- dor operacional de la figura 6.36. Suponga que la tensión en el capacitor es inicialmente de cero. Solución: Éste es un integrador sumador, y ϭ Ϫ 1 6 10 2 sen 2t Ϫ 1 0.2 0.5t2 2 ϭ Ϫ0.833 sen 2t Ϫ 1.25t2 mV Ϫ 1 100 ϫ 103 ϫ 2 ϫ 10Ϫ6 Ύ t 0 0.5t dt ϭ Ϫ 1 3 ϫ 106 ϫ 2 ϫ 10Ϫ6 Ύ t 0 10 cos 2t dt vo ϭ Ϫ 1 R1C Ύ v1 dt Ϫ 1 R2C Ύ v2 dt El integrador de la figura 6.35b) tiene R ϭ 25 k⍀, C ϭ 10 F. Determine la tensión de salida cuando una tensión de cd de 10 mV se aplica en t ϭ 0. Supon- ga que el amplificador operacional está inicialmente en cero. Respuesta: Ϫ40t mV. 6.6.2 Diferenciador Un diferenciador es un circuito del amplificador operacional cuya salida es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de entrada. En la figura 6.35a), si el resistor de entrada se remplaza por un capaci- tor, el circuito resultante es un diferenciador, el cual se muestra en la figura 6.37. Al aplicar la LCK al nodo a, iR ϭ iC (6.36) vo v1 v2 2 F 3 MΩ 100 kΩ + − Figura 6.36 Para el ejemplo 6.13. Ejemplo 6.13 Problema de práctica 6.13
- 264. 236 Capítulo 6 Capacitores e inductores Pero La sustitución de estas expresiones en la ecuación (6.36) produce (6.37) lo que demuestra que la salida es la derivada de la entrada. Los circuitos di- ferenciadores son electrónicamente inestables, porque exageran cualquier ruido eléctrico en ellos. Por esta razón, el circuito del diferenciador de la figura 6.37 no es tan útil y popular como el integrador. Rara vez se utiliza en la práctica. vo ϭ ϪRC dvi dt iR ϭ Ϫ vo R , iC ϭ C dvi dt Grafique la tensión de salida del circuito de la figura 6.38a) dada la tensión de entrada de la figura 6.38b). Adopte vo ϭ 0 en t ϭ 0. Solución: Éste es un diferenciador con Respecto de 0 Ͻ t Ͻ 4 ms, se puede expresar la tensión de entrada de la fi- gura 6.38b) como Esto se repite respecto de 4 Ͻ t Ͻ 8 ms. Al aplicar la ecuación (6.37), la sa- lida se obtiene como Así, la salida es como la trazada en la figura 6.39. vo ϭ ϪRC dvi dt ϭ e Ϫ2 V 0 6 t 6 2 ms 2 V 2 6 t 6 4 ms vi ϭ e 2 000t 0 6 t 6 2 ms 8 Ϫ 2 000t 2 6 t 6 4 ms RC ϭ 5 ϫ 103 ϫ 0.2 ϫ 10Ϫ6 ϭ 10Ϫ3 s El diferenciador de la figura 6.37 tiene R ϭ 10 k⍀ y C ϭ 2 F. Dado que vi ϭ 3t V, determine la salida vo. Respuesta: Ϫ60 mV. R a CiC iR vi + − vo + − + − Figura 6.37 Diferenciador con amplificador operacional. vo vi + − a) + − 0.2 F 5 kΩ + − b) vo(V) 86420 4 t (ms) Figura 6.38 Para el ejemplo 6.14. vo (V) 8642 2 0 −2 t (ms) Figura 6.39 Salida del circuito de la figura 6.38a). Ejemplo 6.14 Problema de práctica 6.14
- 265. 6.6 Aplicaciones 237 6.6.3 Computadora analógica Los amplificadores operacionales se desarrollaron originalmente para las compu- tadoras electrónicas analógicas. Las computadoras analógicas pueden progra- marse para resolver modelos matemáticos de sistemas mecánicos o eléctricos. Estos modelos suelen expresarse en términos de ecuaciones diferenciales. Resolver ecuaciones diferenciales simples con el uso de una computado- ra analógica requiere la disposición en cascada de tres tipos de circuitos con amplificador operacional: circuito integrador, amplificadores sumadores y am- plificadores inversores/no inversores para escalamiento negativo/positivo. La mejor manera de ilustrar cómo una computadora analógica resuelve una ecua- ción diferencial es con un ejemplo. Supóngase que se desea solucionar x(t) de la ecuación (6.38) donde a, b y c son constantes y f(t) es una función arbitraria forzada. La so- lución se obtiene resolviendo primero el término de la derivada de orden su- perior. Al despejar d2 x/dt2 se obtiene (6.39) Para obtener dx/dt, el término d2 x/dt2 se integra e invierte. Por último, para obtener x, el término dx/dt se integra e invierte. La función de forzada se in- troduce en el punto apropiado. Así, la computadora analógica para la reso- lución de la ecuación (6.38) se implementa interconectando los sumadores, inversores e integradores necesarios. Puede utilizarse una graficadora u osci- loscopio para ver la salida x, o dx/dt, o d2 x/dt2 , dependiendo de la parte del sistema a la que se le conecte. Aunque el ejemplo anterior versó sobre una ecuación diferencial de se- gundo orden, cualquier ecuación diferencial puede simularse mediante una computadora analógica que comprenda integradores, inversores y sumadores inversores. Sin embargo, debe tenerse cuidado al seleccionar los valores de los resistores y capacitores, para garantizar que los amplificadores operacio- nales no se saturen durante el intervalo de la resolución. Las computadoras analógicas con tubos al vacío se utilizaron en las déca- das de 1950 y 1960. Recientemente su uso ha disminuido pues las han susti- tuido las computadoras digitales modernas. No obstante, se estudiarán todavía las computadoras analógicas por dos razones. Primero, la disponibilidad de am- plificadores operacionales integrados ha hecho posible producir computadoras analógicas fácilmente y a bajo costo. Segundo, la comprensión de las compu- tadoras analógicas ayuda a apreciar las computadoras digitales. d2 x dt2 ϭ f(t) a Ϫ b a dx dt Ϫ c a x a d2 x dt2 ϩ b dx dt ϩ cx ϭ f(t), t 7 0 Diseñe un circuito de computadora analógica para resolver la ecuación diferencial: sujeta a vo(0) ϭ Ϫ4, vЈo(0) ϭ 1, donde la prima se refiere a la derivada res- pecto al tiempo. Solución: 1. Definir. Hay un problema y una solución esperada claramente definidos. Sin embargo, hay que recordar que muchas veces el problema no está bien definido y que esta porción del proceso de resolución de problemas po- d2 vo dt2 ϩ 2 dvo dt ϩ vo ϭ 10 sen 4t, t 7 0 Ejemplo 6.15
- 266. 238 Capítulo 6 Capacitores e inductores dría requerir mucho más esfuerzo. De ser así, tenga siempre presente que el tiempo invertido en ella redundará después en mucho menor esfuerzo y muy probablemente le ahorrará muchas frustraciones en el proceso. 2. Presentar. Obviamente, el uso de los dispositivos desarrollados en la sección 6.6.3 permitirá crear el circuito de computadora analógica de- seado. Se necesitan los circuitos integradores (quizá combinados con una capacidad de suma) y uno o más circuitos inversores. 3. Alternativas. El método para resolver este problema es directo. Se de- be elegir los valores correctos de las resistencias y capacitores que permitan lograr la ecuación por representar. La salida final del circuito ofrecerá el resultado deseado. 4. Intentar. Hay un número infinito de posibilidades para seleccionar los resistores y capacitores, muchas de las cuales darán por resultado solu- ciones correctas. La selección de las resistencias arrojará los valores necesarios de los capacitores. Valores extremos para los resistores y ca- pacitores provocarán salidas incorrectas. Por ejemplo, tales valores de resistores sobrecargarán la electrónica. La selección de valores dema- siado grandes de los resistores provocará que los amplificadores opera- cionales dejen de funcionar como dispositivos ideales. Los límites pueden determinarse a partir de las características del amplificador operacional real. Primero se determina la segunda derivada como (6.15.1) Resolver esto requiere algunas operaciones matemáticas, como suma, esca- lamiento e integración. La integración de ambos miembros de la ecuación (6.15.1) da como resultado (6.15.2) donde vЈo(0) ϭ 1. Se implementa la ecuación (6.15.2) utilizando el inte- grador sumador que aparece en la figura 6.40a). Los valores de los resistores y capacitores se han elegido de manera que RC ϭ 1 en el tér- mino Los demás términos del integrador sumador de la ecuación (6.15.2) se implementan en correspondencia. La condición inicial dvo(0)/dt ϭ1 se logra conectando una batería de 1 V con un interruptor entre los ex- tremos del capacitor, como se muestra en la figura 6.40a). El siguiente paso es obtener vo integrando dvo(0)/dt e invirtiendo el resultado, (6.15.3) Esto se realiza en el circuito de la figura 6.40b), en el que la batería aporta la condición inicial de Ϫ4 V. Ahora se combinan los circuitos de la figu- ra 6.40a) y b) para obtener el circuito completo presentado en la figura 6.40c). Cuando se aplica la señal de entrada 10 sen 4t, los interruptores se abren en t = 0 para obtener la forma de onda de la salida, la cual pue- de verse en un osciloscopio. vo ϭ ϪΎ t 0 aϪ dvo dt bdt ϩ v(0) Ϫ 1 RC Ύ t 0 vo dt dvo dt ϭ ϪΎ t 0 aϪ10 sen 4t ϩ 2 dvo dt ϩ vobdt ϩ v¿o(0) d2 vo dt2 ϭ 10 sen 4t Ϫ 2 dvo dt Ϫ vo
- 267. 6.6 Aplicaciones 239 5. Evaluar. La respuesta parece correcta, pero ¿lo es? Si se desea una so- lución efectiva de vo una buena comprobación sería hallar la solución realizando primero el circuito en PSpice. Este resultado podría compa- rarse después con una solución obtenida mediante la capacidad de resolución de ecuaciones diferenciales de MATLAB. Pero como todo se reduce a comprobar el circuito y confirmar que representa a la ecuación, se puede seguir una técnica más fácil: la de re- correr sencillamente el circuito para ver si genera la ecuación deseada. Sin embargo, hay todavía algunas decisiones por tomar. Se puede recorrer el circuito de izquierda a derecha, pero esto implicaría derivar el resultado para obtener la ecuación original. Un método más fácil se- ría ir de derecha a izquierda. Éste es el método que se aplicará para comprobar la respuesta. Comenzando por la salida, vo, se advierte que el amplificador ope- racional de la derecha no es más que un inversor con una ganancia de uno. Esto significa que la salida del circuito intermedio es Ϫvo. Lo si- guiente representa la acción del circuito intermedio. donde vo(0) ϭ Ϫ4 V es la tensión inicial entre los extremos del capacitor. El circuito de la izquierda se verifica de la misma manera. dvo dt ϭ Ϫa Ύ t 0 Ϫ d2 vo dt2 dt Ϫ v¿o(0)b ϭ ϪaϪ dvo dt ϩ v¿o(0) Ϫ v¿o(0)b ϭ Ϫ(vo(t) Ϫ vo(0) ϩ vo(0)) Ϫvo ϭ Ϫa Ύ t 0 dvo dt dt ϩ vo(0)b ϭ Ϫavo 2 0 t ϩ vo(0)b a) 1 F1 MΩ 1 V 0.5 MΩ 1 MΩ dvo dt dvo dt t = 0 −10 sen (4t) vo b) 1 F 4 V 1 MΩ 1 MΩdvo dt t = 0 −vo vo 1 MΩ + − + − + − +− − + 1 V dvo dt 1 F 1 MΩ 1 V 0.5 MΩ 1 MΩ t = 0 10 sen (4t) vo c) 1 F 4 V 1 MΩ 1 MΩ t = 0 vo 1 MΩ + − + − + − + − +− − + Figura 6.40 Para el ejemplo 6.15.
- 268. 240 Capítulo 6 Capacitores e inductores Ahora todo lo que se debe comprobar es que la entrada del primer am- plificador operacional es Ϫd2 vo/dt2 . Al examinar la entrada se advierte que es igual a lo que produce Ϫd2 vo/dt2 de la ecuación original. 6. ¿Satisfactorio? La solución obtenida es satisfactoria. Ahora se puede presentar este trabajo como solución del problema. Ϫ10 sen(4t) ϩ vo ϩ 1͞10Ϫ6 0.5 M⍀ dvo dt ϭ Ϫ10 sen(4t) ϩ vo ϩ 2 dvo dt Diseñe un circuito de computadora analógica para resolver la ecuación dife- rencial: sujeta a vo(0) ϭ 2, vЈo(0) ϭ 0. Respuesta: Véase la figura 6.41, donde RC ϭ 1 s. d2 vo dt2 ϩ 3 dvo dt ϩ 2vo ϭ 4 cos 10t, t 7 0 d2 vo dt2 d2 vo dt2 cos (10t) 2 V t = 0 vo + − C R R 2 R C R R R R 3 R 4 + − + − + − + − + − R R Figura 6.41 Para el problema de práctica 6.15. Resumen 1. La corriente que circula a través de un capacitor es directamente propor- cional a la velocidad de cambio en el tiempo de la tensión a través de él. La corriente a través de un capacitor es de cero a menos que la tensión cambie. Así, un capacitor actúa como un circuito abierto con una fuente de cd. i ϭ C dv dt 6.7 Problema de práctica 6.15
- 269. Preguntas de repaso 241 2. La tensión en un capacitor es directamente proporcional a la integral en el tiempo de la corriente que circula a través de él. La tensión en un capacitor no puede cambiar instantáneamente. 3. Los capacitores en serie y en paralelo se combinan de la misma manera que las conductancias. 4. La tensión en un inductor es directamente proporcional a la velocidad de cambio respecto al tiempo de la corriente que circula por él La tensión en el inductor es de cero a menos que la corriente cambie. Así, un inductor actúa como un cortocircuito con una fuente de cd. 5. La corriente que circula por un inductor es directamente proporcional a la integral en el tiempo de la tensión a través del mismo. La corriente que circula por un inductor no puede cambiar instantánea- mente. 6. Los inductores en serie y en paralelo se combinan de la misma manera que resistores en serie y en paralelo. 7. En cualquier momento dado t, la energía almacenada en un capacitor es 1–2Cv2 , mientras que la energía almacenada en un inductor es 1–2Li2 . 8. Tres circuitos de aplicación: el integrador, el diferenciador y el de la compu- tadora analógica pueden lograrse empleando resistores, capacitores y am- plificadores operacionales. i ϭ 1 L Ύ t Ϫϱ v dt ϭ 1 L Ύ t t0 v dt ϩ i(t0) v ϭ L di dt v ϭ 1 C Ύ t Ϫϱ i dt ϭ 1 C Ύ t t0 i dt ϩ v(t0) 6.1 ¿Qué carga tiene un capacitor de 5 F cuando se conecta a una fuente de 120 V? a) 600 C b) 300 C c) 24 C d) 12 C 6.2 La capacitancia se mide en: a) coulombs b) joules c) henrys d) farads 6.3 Cuando la carga total en un capacitor se duplica, la ener- gía almacenada: a) permanece sin cambios b) se reduce a la mitad c) se duplica d) se cuadriplica 6.4 ¿Es posible que la forma de onda de la tensión de la fi- gura 6.42 esté asociada con un capacitor? a) Sí b) No 0 21 10 −10 t v(t) Figura 6.42 Para la pregunta de repaso 6.4. 6.5 La capacitancia total de dos capacitores en serie de 40 mF conectados en paralelo con un capacitor de 4 mF es de: a) 3.8 mF b) 5 mF c) 24 mF d) 44 mF e) 84 mF Preguntas de repaso
- 270. 242 Capítulo 6 Capacitores e inductores v + − i Elemento Figura 6.43 Para la pregunta de repaso 6.6. vs + − v2 v1 L1 L2 + − + − Figura 6.44 Para la pregunta de repaso 6.10. 0 10 −10 8642 t (ms) v(t) V Figura 6.45 Para el problema 6.5. v(t) V 0 6 8 10 1242 10 −10 t (ms) Figura 6.46 Para el problema 6.6. 6.6 En la figura 6.43, si i ϭ cos 4t y v ϭ sen 4t, el elemento es: a) un resistor b) un capacitor c) un inductor 6.7 Un inductor de 5 H cambia su corriente por 3 A en 0.2 s. La tensión producida en sus terminales es de: a) 75 V b) 8.888 V c) 3 V d) 1.2 V 6.8 Si la corriente que circula por un inductor de 10 mH au- menta de cero a 2 A, ¿cuánta energía se almacena en él? a) 40 mJ b) 20 mJ c) 10 mJ d) 5 mJ 6.9 Los inductores en paralelo pueden combinarse exacta- mente igual que resistores en paralelo. a) Verdadero b) Falso 6.10 En el circuito de la figura 6.44, la fórmula del divisor de tensión es: a) b) c) d) v1 ϭ L1 L1 ϩ L2 vsv1 ϭ L2 L1 ϩ L2 vs v1 ϭ L1 ϩ L2 L2 vsv1 ϭ L1 ϩ L2 L1 vs Respuestas: 6.1a, 6.2d, 6.3d, 6.4b, 6.5c, 6.6b, 6.7a, 6.8b, 6.9a, 6.10d. Sección 6.2 Capacitores 6.1 Si la tensión en un capacitor de 5 F es 2teϪ3t V, halle la corriente y la potencia. 6.2 Un capacitor de 20 F tiene una energía de w(t) ϭ 10 cos2 377t J. Determine la corriente que circula por él. 6.3 En 5 s, la tensión en un capacitor de 40 mF cambia de 160 a 220 V. Calcule la corriente promedio por el capa- citor. 6.4 Una corriente de 6 sen 4t fluye a través de un capacitor de 2 F. Halle la tensión v(t) a través del capacitor dado que v(0) ϭ 1 V. 6.5 La tensión en un capacitor de 4 F se muestra en la fi- gura 6.45. Halle la forma de onda de la corriente. 6.6 La forma de onda de la tensión de la figura 6.46 se apli- ca en un capacitor de 30 F. Diagrame la forma de onda de la corriente que circula por él. 6.7 En t ϭ 0, la tensión en un capacitor de 50 mF es de 10 V. Calcule la tensión del capacitor para t Ͼ 0 cuando la corriente 4t mA fluye por él. 6.8 Un capacitor de 4 mF tiene la tensión entre terminales Si el capacitor tiene una corriente inicial de 2 A, halle: a) las constantes A y B, b) la energía almacenada en el capacitor en t ϭ 0, c) la corriente del capacitor en t Ͼ 0. v ϭ b 50 V, t Յ 0 AeϪ100t ϩ BeϪ600t V, t Ն 0 Problemas
- 271. Problemas 243 16 0 1 2 3 4 v (t) (V) t (s) Figura 6.47 Para el problema 6.10. i(t) (mA) 0 8642 15 10 5 −5 −10 t (s) Figura 6.48 Para el problema 6.11. 30 Ω 60 V 20 Ω 10 Ω 50 Ω v2v1C1 C2 + − + − + − Figura 6.49 Para el problema 6.13. 14 F 80 F C a b Figura 6.50 Para el problema 6.16. Ceq Figura 6.52 Para el problema 6.18. 6.9 La corriente que circula por un capacitor de 0.5 F es 6(1 Ϫ eϪt ) A. Determine la tensión y la potencia en t = 2 s. Suponga v(0) ϭ 0. 6.10 La tensión a través de un capacitor de 2 mF se muestra en la figura 6.47. Determine la corriente que circula por el capacitor. 6.11 Un capacitor de 4 mF tiene una corriente con la forma de onda que aparece en la figura 6.48. Suponiendo que v(0) ϭ 10 V, diagrame la forma de onda de tensión v(t). 6.12 Una tensión de 6eϪ2 000t V aparece entre las terminales de una combinación de un capacitor de 100 mF y un re- sistor de 12 ⍀ paralelo. Calcule la potencia absorbida por dicha combinación en paralelo. 6.13 Halle la tensión en las terminales de los capacitores en el circuito de la figura 6.49 en condiciones de cd. Sección 6.3 Capacitores en serie y en paralelo 6.14 Capacitores de 20 y 60 pF conectados en serie se colo- can en paralelo con capacitores de 30 y 70 pF conectados en serie. Determine la capacitancia equiva- lente. 6.15 Dos capacitores (de 20 y 30 F) se conectan a una fuen- te de 100 V. Halle la energía almacenada en cada capacitor si están conectados en: a) paralelo b) serie 6.16 La capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.50 es de 30 F. Calcule el valor de C. 6.17 Determine la capacitancia equivalente de cada uno de los circuitos de la figura 6.51. 4 F 4 F 6 F3 F 12 F a) 6 F 4 F 2 F5 F b) 2 F 3 F c) 6 F3 F 4 F Figura 6.5 Para el problema 6.17. 6.18 Halle Ceq en el circuito de la figura 6.52 si todos los capacitores son de 4 F.
- 272. 244 Capítulo 6 Capacitores e inductores 6.19 Halle la capacitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito de la figura 6.53. Todas las capacitancias están en F. 12 12 40 80 50 30 20 60 10 a b Figura 6.53 Para el problema 6.19. 3 F 2 F 2 F 2 F 1 F 1 F 3 F 3 F 3 F b a Figura 6.54 Para el problema 6.20. 6 F 4 F5 F 3 F 12 F2 F a b Figura 6.55 Para el problema 6.21. 40 F 20 F ba 35 F 5 F 10 F 15 F 15 F 10 F Figura 6.56 Para el problema 6.22. 2 F 6 F 4 F 3 F + −120 V Figura 6.57 Para el problema 6.23. 60 F 20 F 14 F 80 F30 F+ −90 V Figura 6.58 Para el problema 6.24. C1is C2 b) C1 vs v1 v2 C2 a) + − + − + − i1 i2 Figura 6.59 Para el problema 6.25. 6.20 Halle la capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.54. 6.21 Determine la capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.55. 6.22 Obtenga la capacitancia equivalente del circuito de la fi- gura 6.56. 6.24 Repita el problema 6.23 en relación con el circuito de la figura 6.58. 6.25 a) Demuestre que la regla de la división de tensión para dos capacitores en serie como en la figura 6.59a) es suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. v1 ϭ C2 C1 ϩ C2 vs, v2 ϭ C1 C1 ϩ C2 vs 6.23 En referencia al circuito de la figura 6.57, determine: a) la tensión en cada capacitor, b) la energía almacenada en cada capacitor.
- 273. Problemas 245 b) En relación con dos capacitores en paralelo como en la figura 6.59b), demuestre que la regla de la división de corriente es suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. 6.26 Tres capacitores, C1 ϭ 5 F, C2 ϭ 10 F y C3 ϭ 20 F, se conectan en paralelo a través de una fuente de 150 V. Determine: a) la capacitancia total, b) la carga en cada capacitor, c) la energía total almacenada en la combinación en pa- ralelo. 6.27 Dado que cuatro capacitores de 4 F pueden conectarse en serie y en paralelo, halle los valores mínimo y máxi- mo que pueden obtenerse de tal combinación en serie/en paralelo. *6.28 Obtenga la capacitancia equivalente de la red que apare- ce en la figura 6.60. i1 ϭ C1 C1 ϩ C2 is, i2 ϭ C2 C1 ϩ C2 is 6.29 Determine Ceq en cada circuito de la figura 6.61. *Un asterisco indica un problema difícil. 6.30 Suponiendo que los capacitores están inicialmente des- cargados, halle vo(t) en el circuito de la figura 6.62. 6.31 Si v(0) ϭ 0, halle v(t), i1(t) e i2(t) en el circuito de la fi- gura 6.63. 6.32 En el circuito de la figura 6.64, sea que is ϭ 30eϪ2t mA y v1(0) ϭ 50 V, v2(0) ϭ 20 V. Determine: a) v1(t) y v2(t), b) la energía en cada capacitor en t ϭ 0.5 s. 30 F 20 F10 F 50 F40 F Figura 6.60 Para el problema 6.28. C C C C CCeq a) C CC C Ceq b) Figura 6.61 Para el problema 6.29. Figura 6.62 Para el problema 6.30. Figura 6.63 Para el problema 6.31. Figura 6.64 Para el problema 6.32. is + − vo(t) 6 F 3 F is (mA) 0 21 60 t (s) i1 is i2 v6 F 4 F is (mA) 53 41 2 20 0 −20 t + − v1 v220 F 12 F 40 Fis + – + –
- 274. 246 Capítulo 6 Capacitores e inductores 3 F 15 V 2 F 5 F a b − + Figura 6.65 Para el problema 6.33. 0 42 10 6 t (ms) i(t) (A) Figura 6.66 Para el problema 6.40. v(t) (V) 5421 3 10 0 t Figura 6.67 Para el problema 6.42. v(t) 0 21 5 –5 t Figura 6.68 Para el problema 6.45. 5 Ω 2 Ω 4 Ω 2 F 3 A 0.5 H vC + − iL Figura 6.69 Para el problema 6.46. 6.33 Obtenga el equivalente de Thévenin en las terminales a-b del circuito que aparece en la figura 6.65. Tenga en cuenta que por lo general no existen circuitos equivalen- tes de Thévenin de circuitos que incluyen capacitores y resistores. Éste es un caso especial en el que sí existe el circuito equivalente de Thévenin. Sección 6.4 Inductores 6.34 La corriente que circula por un inductor de 10 mH es 6eϪt/2 A. Halle la tensión y la potencia en t ϭ 3 s. 6.35 Un inductor tiene un cambio lineal de corriente de 50 mA a 100 mA en 2 ms e induce una tensión de 160 mV. Calcule el valor del inductor. 6.36 La corriente que circula por un inductor de 12 mH es i(t) ϭ 30teϪ2t A, t Ն 0. Determine: a) la tensión en el induc- tor, b) la potencia suministrada al inductor en t ϭ 1 s, c) la energía almacenada en el inductor en t ϭ 1 s. 6.37 La corriente que circula por un inductor de 12 mH es 4 sen 100t A. Halle la tensión en el inductor en 0 Ͻ t Ͻ /200 s, y la energía almacenada en t ϭ —200 s. 6.38 La corriente que circula por un inductor de 40 mH es Halle la tensión v(t). 6.39 La tensión en un inductor de 200 mH está dada por v(t) ϭ 3t2 ϩ 2t ϩ 4 V para t Ͼ 0. Determine la corriente i(t) que circula por el inductor. Suponga que i(0) ϭ 1 A. 6.40 La corriente que circula por un inductor de 5 mH se muestra en la figura 6.66. Determine la tensión en el inductor en t ϭ 1, 3 y 5 ms. i(t) ϭ b 0, t 6 0 teϪ2t A, t 7 0 6.41 La tensión en un inductor de 2 H es 20(1 Ϫ eϪ2t ) V. Si la corriente inicial a través del inductor es de 0.3 A, halle la corriente y la energía almacenada en el inductor en t ϭ 1 s. 6.42 Si la forma de onda de la tensión de la figura 6.67 se aplica entre las terminales de un inductor de 5 H, calcule la corriente que circula por el inductor. Suponga i(0) ϭ Ϫ1 A. 6.43 La corriente en un inductor de 80 mH aumenta de 0 a 60 mA. ¿Cuánta energía se almacena en el inductor? *6.44 Un inductor de 100 mH se conecta en paralelo con un resistor de 2 k⍀. La corriente por el inductor es i(t) ϭ 50eϪ400t mA. a) Halle la tensión vL en el inductor. b) Halle la tensión vR en el resistor. c) ¿Es vR(t) ϩ vL(t) ϭ 0? d) Calcule la energía en el inductor en t ϭ 0. 6.45 Si la forma de onda de la tensión de la figura 6.68 se aplica a un inductor de 10 mH, halle la corriente del in- ductor i(t). Suponga i(0) = 0. 6.46 Halle vC, iL y la energía almacenada en el capacitor e inductor del circuito de la figura 6.69 en condiciones de cd.
- 275. Problemas 247 R 2 Ω5 A 4 mH 160 F Figura 6.70 Para el problema 6.47. 5 mA 30 kΩ 6 F 20 kΩ 2 mHi v + − Figura 6.71 Para el problema 6.48. Figura 6.72 Para el problema 6.49. 60 mH 20 mH 30 mH 25 mH 10 mH a b Figura 6.73 Para el problema 6.51. 10 H 4 H 6 H 3 H5 H 7 H Leq Figura 6.74 Para el problema 6.52. 8 mH6 mH 8 mH 12 mH 4 mH 6 mH 5 mH 8 mH10 mH a b Figura 6.75 Para el problema 6.53. 9 H 6 H4 H 3 H12 H 10 H a b Figura 6.76 Para el problema 6.54. 6.47 En referencia al circuito de la figura 6.70, calcule el va- lor de R que hará que la energía almacenada en el capacitor sea igual a la almacenada en el inductor en condiciones de cd. 6.48 En condiciones de cd en estado permanente, halle i y v en el circuito de la figura 6.71. Sección 6.5 Inductores en serie y en paralelo 6.49 Halle la inductancia equivalente del circuito de la figura 6.72. Suponga que todos los inductores son de 10 mH. 6.50 Una red de almacenamiento de energía consta de induc- tores en serie de 16 y 14 mH conectados en paralelo con inductores en serie de 24 y 36 mH. Calcule la inductan- cia equivalente. 6.51 Determine Leq en las terminales a-b del circuito de la fi- gura 6.73. 6.52 Halle Leq en el circuito de la figura 6.74. 6.53 Halle Leq en las terminales del circuito de la figura 6.75. 6.54 Halle la inductancia equivalente desde las terminales del circuito de la figura 6.76.
- 276. 248 Capítulo 6 Capacitores e inductores Leq a) L LL L L Leq L L L L L b) Figura 6.77 Para el problema 6.55. L L L L L Leq L L L Figura 6.78 Para el problema 6.56. 3 H 4 H 5 H Leq + − i a b dt di 2 Figura 6.79 Para el problema 6.57. i(t) 0 2 3 4 5 621 t Figura 6.80 Para el problema 6.58. vs + − + − v2 + −v1 L1 L2 a) is L1 L2 b) i1 i2 Figura 6.81 Para el problema 6.59. 3 H 5 H io (t) 4e−2t V + − vo Figura 6.82 Para el problema 6.60. 6.55 Halle Leq en cada uno de los circuitos de la figura 6.77. 6.56 Halle Leq en el circuito de la figura 6.78. *6.57 Determine la Leq que puede usarse para representar la red inductiva de la figura 6.79 en las terminales. 6.58 La forma de onda de la corriente de la figura 6.80 fluye por un inductor de 3 H. Diagrame la tensión en el induc- tor durante el intervalo 0 Ͻ t Ͻ 6 s. 6.59 a) Para dos inductores en serie como en la figura 6.81a), demuestre que el principio de división de tensión es suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. b) Para dos inductores en paralelo como en la figura 6.81b), demuestre que el principio de división de co- rriente es suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. i1 ϭ L2 L1 ϩ L2 is, i2 ϭ L1 L1 ϩ L2 is v1 ϭ L1 L1 ϩ L2 vs, v2 ϭ L2 L1 ϩ L2 vs 6.60 En el circuito de la figura 6.82, io(0) ϭ 2 A. Determine io(t) y vo(t) para t Ͼ 0.
- 277. Problemas 249 is 20 mH 4 mH 6 mH i2i1 Leq + vo – Figura 6.83 Para el problema 6.61. 25 mH 60 mH20 mHv(t) + – i2(t)i1(t) Figura 6.84 Para el problema 6.62. + 2 H i2(t)i1(t) i1(t) (A) vo – 3 0 3 6 i2(t) (A) t (s)t (s) 4 0 2 4 6 Figura 6.85 Para el problema 6.63. t = 0 5 Ω + – 4 Ω B 0.5 H12 V 6 A i v + – A Figura 6.86 Para el problema 6.64. i1 i2 20 H5 Hv + − Caja negra i(t) t = 0 Figura 6.87 Para el problema 6.65. 6.61 Considere el circuito de la figura 6.83. Halle: a) Leq, i1(t) e i2(t) si is ϭ 3eϪt mA, b) vo(t), c) la energía almacenada en el inductor de 20 mH en t ϭ 1 s. 6.62 Considere el circuito de la figura 6.84. Dado que v(t) ϭ 12eϪ3t mV para t Ͼ 0 e i1(0) ϭ Ϫ10 mA, halle: a) i2(0), b) i1(t) e i2(t). 6.63 En el circuito de la figura 6.85 grafique vo. 6.64 El interruptor de la figura 6.86 ha estado mucho tiempo en la posición A. En t ϭ 0 se mueve de la posición A a la B. El interruptor es del tipo sin punto muerto, así que no hay interrupción en la corriente en el inductor. Halle: a) i(t) para t Ͻ 0, b) v inmediatamente después de que el interruptor se ha movido a la posición B, c) v(t) mucho después de que el interruptor está en la posición B. 6.65 Los inductores de la figura 6.87 están inicialmente carga- dos y se conectan a la caja negra en t ϭ 0. Si i1(0) ϭ 4 A, i2(0) ϭ Ϫ2 A y v(t) ϭ 50eϪ200t mV, t Ն 0, halle: a) la energía inicialmente almacenada en cada inductor, b) la energía total suministrada a la caja negra de t ϭ 0 a t ϭ ϱ, c) i1(t) e i2(t), t Ն 0, d) i(t), t Ն 0. 6.66 La corriente i(t) por un inductor de 20 mH es igual en magnitud a la tensión entre sus extremos para todos los valores de tiempo. Si i(0) ϭ 2 A, halle i(t). Sección 6.6 Aplicaciones 6.67 Un integrador con amplificador operacional tiene R ϭ 50 k⍀ y C ϭ 0.04 F. Si la tensión de entrada es vi ϭ 10 sen 50t mV, obtenga la tensión de salida.
- 278. 250 Capítulo 6 Capacitores e inductores 1 V 2 F 10 kΩ 20 kΩ vo + − 0.5 F + − + − + − Figura 6.89 Para el problema 6.72. vo vi + − + − R R R C R + − Figura 6.90 Para el problema 6.73. a) vi(t) 0 10 3 421 t (s) −10 vo vi + − + − 20 kΩ 0.01 F b) + − Figura 6.91 Para el problema 6.74. vi (mV) 0 20 10 –10 –20 3 4 5 621 t (ms) Figura 6.88 Para el problema 6.69. 6.68 Una tensión de cd de 10 V se aplica a un integrador con R ϭ 50 k⍀ y C ϭ 100 F en t ϭ 0. ¿Cuánto tardará en saturarse el amplificador operacional si las tensiones de saturación son de ϩ12 V y Ϫ12 V? Suponga que la ten- sión inicial del capacitor fue de cero. 6.69 Un integrador con amplificador operacional donde R ϭ 4 M⍀ y C ϭ 1 F tiene la forma de onda de entrada que se muestra en la figura 6.88. Trace la forma de onda de salida. 6.70 Usando un solo amplificador operacional, un capacitor y resistores de 100 k⍀ o menor, diseñe un circuito para implementar suponga vo ϭ 0 en t ϭ 0. 6.71 Muestre cómo emplearía un solo amplificador operacio- nal para generar Si el capacitor integrador es C ϭ 2 F, obtenga los valo- res de los demás componentes. 6.72 En t ϭ 1.5 ms, calcule vo debida a los integradores en cascada de la figura 6.89. Suponga que los integradores se reajustan a 0 V en t ϭ 0. vo ϭ ϪΎ t 0 (v1 ϩ 4v2 ϩ 10v3)dt vo ϭ Ϫ50 Ύ t 0 vi(t) dt 6.73 Demuestre que el circuito de la figura 6.90 es un integra- dor no inversor. 6.74 La forma de onda triangular de la figura 6.91a) se aplica a la entrada del diferenciador con el amplificador opera- cional de la figura 6.91b). Trace la salida. 6.75 Un diferenciador con amplificador operacional tiene R ϭ 250 k⍀ y C ϭ 10 F. La tensión de entrada es una rampa r(t) ϭ 12t mV. Halle la tensión de salida. 6.76 Una forma de onda de tensión tiene las siguientes caracte- rísticas: una pendiente positiva de 20 V/s durante 5 ms seguida por una pendiente negativa de 10 V/s durante 10 ms. Si esa forma de onda se aplica a un diferenciador con R ϭ 50 k⍀ y C ϭ 10 F, grafique la forma de onda de la tensión de salida.
- 279. Problemas de mayor extensión 251 b) a) 0 4 3 421 t (s) −4 vo vi vo Ri C Rf + − + − + − Figura 6.92 Para el problema 6.77. vo(t) −f(t) 1 F 1 F 1 MΩ 1 MΩ 1 MΩ 100 kΩ 200 kΩ 500 kΩ 100 kΩ + − + − + − + − Figura 6.93 Para el problema 6.80. *6.77 La salida vo del circuito del amplificador operacional de la figura 6.92a) se muestra en la figura 6.92b). Si Ri ϭ Rf ϭ 1 M⍀ y C ϭ 1 F. Determine la forma de onda de la tensión de entrada y grafíquela. 6.78 Diseñe una computadora analógica para simular donde vo(0) ϭ 2 y vo(0) ϭ 0. d2 vo dt2 ϩ 2 dvo dt ϩ vo ϭ 10 sen 2t 6.79 Diseñe un circuito de computadora analógica para resol- ver la siguiente ecuación diferencial ordinaria, donde v(0) ϭ 1 V. 6.80 En la figura 6.93 se presenta una computadora analógica diseñada para resolver una ecuación diferencial. Supo- niendo que se conoce f(t), formule la ecuación para f(t). dy(t) dt ϩ 4y(t) ϭ f(t) 6.83 El laboratorio en el que usted trabaja dispone de gran número de capacitores de 10 F con capacidad nominal de 300 V. Para diseñar un bloque de capacitores de 40 F con capacidad de 600 V, ¿cuántos capacitores de 10 F se necesitan y cómo los conectaría? 6.84 Un inductor de 8 mH se usa en un experimento de po- tencia de fusión. Si la corriente que circula por el inductor es i(t) ϭ 5 sen2 t mA. t Ͼ 0, halle la potencia suministrada al inductor y la energía almacenada en él en t ϭ 0.5 s. Problemas de mayor extensión 6.81 Diseñe una computadora analógica para simular la si- guiente ecuación: 6.82 Diseñe un circuito con amplificador operacional de ma- nera que donde vs y vo son la tensión de entrada y la tensión de salida, respectivamente. vo ϭ 10vs ϩ 2 Ύ vs dt d2 v dt2 ϩ 5v ϭ Ϫ2f(t)
- 280. 252 Capítulo 6 Capacitores e inductores v (V) 0 5 −5 3 421 t (ms) a) b) i (A) 4 3 4210 t (ms) Figura 6.94 Para el problema 6.85. 6.85 Un generador de onda cuadrada produce una tensión de la forma de onda que se presenta en la figura 6.94a). ¿Qué tipo de componente de circuitos se necesita para convertir esa forma de onda de tensión a la forma de onda triangular de corriente que aparece en la figura 6.94b)? Calcule el valor del componente, suponiendo que está inicialmente descargado. 6.86 Un motor eléctrico puede modelarse como una combina- ción en serie de un resistor de 12 ⍀ y un inductor de 200 mH. Si una corriente i(t) ϭ 2teϪ10t A fluye por la com- binación en serie, halle la tensión entre los extremos de la combinación.
- 281. 253 Circuitos de primer orden Vivimos de logros, no de años; de pensamientos, no de la respiración; de sen- timientos, no de cifras en una carátula. Deberíamos contar el tiempo en latidos. Vive más quien piensa más, siente lo más noble y actúa de la mejor manera. —F. J. Bailey C a p í t u l o 7 Desarrollo de su carrera Carreras de ingeniería en computación La educación en ingeniería eléctrica ha sufrido drásticos cambios en las últi- mas décadas. La mayoría de los departamentos han terminado por llamarse Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computación, haciendo hincapié en los rápidos cambios debidos a las computadoras. Éstas ocupan un lugar desta- cado en la sociedad y la educación modernas. Se han convertido en un objeto común y están contribuyendo a cambiar la faz de la investigación, el des- arrollo, la producción, las empresas y el entretenimiento. Científicos, inge- nieros, médicos, abogados, maestros, pilotos aviadores, personas de negocios: casi todos se benefician de las capacidades de una computadora para almace- nar grandes cantidades de información y para procesar esa información en muy cortos periodos. La internet, la red de comunicación por computadora, se está volviendo esencial para los negocios, la educación y la biblioteconomía. El uso de computadoras aumenta a pasos agigantados. Una educación en ingeniería en computación debería proporcionar am- plios conocimientos de software, diseño de hardware y técnicas básicas de modelación. Debería incluir cursos de estructuras de datos, sistemas digitales, arquitectura de computadoras, microprocesadores, creación de interfases, pro- gramación de software y sistemas operativos. Los ingenieros eléctricos que se especializan en ingeniería en compu- tación encuentran empleo en las industrias de la computación y en numerosos campos en los que se usan computadoras. Las compañías productoras de soft- ware están creciendo rápidamente en número y tamaño y brindando empleo a quienes están calificados en programación. Una excelente manera de enri- quecer los conocimientos personales sobre computación es integrarse a la IEEE Computer Society, la cual auspicia diversas revistas, periódicos y conferencias. Diseño por computadora de circuitos integrados a muy grande escala (very large scale integrated, VLSI por sus siglas en inglés). Cortesía de Brian Fast, Cleveland State University
- 282. 254 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden. Introducción Una vez considerados individualmente los tres elementos pasivos (resistores, capacitores e inductores) y un elemento activo (el amplificador operacional), se está preparado para considerar circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres de los elementos pasivos. En este capítulo se examinan dos tipos de circuitos simples: un circuito que comprende un resistor y un capacitor y un cir- cuito que comprende un resistor y un inductor. Estos circuitos se llaman circuito RC y circuito RL, respectivamente. Como se verá, tan simple como son, estos cir- cuitos hallan continuas aplicaciones en electrónica, comunicaciones y sistemas de control. Tal como se hizo con los circuitos de resistencia se analizarán los circuitos RC y RL aplicando las leyes de Kirchhoff. La única diferencia es que la aplica- ción de las leyes de Kirchhoff sólo a los circuitos de resistencia da por resultado ecuaciones algebraicas, mientras que su aplicación a circuitos RC y RL pro- duce ecuaciones diferenciales, las cuales son más difíciles de resolver que las ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones diferenciales que son el resultado del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Así, a estos circuitos se les conoce de manera genérica como circuitos de primer orden. 7.1 Además de haber dos tipos de circuitos de primer orden (RC y RL), hay dos maneras de excitarlos. La primera es mediante las condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento de los circuitos. Se supone que en estos cir- cuitos conocidos como circuitos sin fuente, la energía se almacena inicialmente en el elemento capacitivo o inductivo. La energía causa que fluya corriente en el circuito y se disipe gradualmente en los resistores. Aunque los circuitos sin fuente están por definición libres de fuentes independientes, pueden tener fuentes dependientes. La segunda manera de excitar circuitos de primer orden es me- diante fuentes independientes. En este capítulo, las fuentes independientes consideradas son fuentes de cd. (En capítulos posteriores se tratarán fuentes senoidales y exponenciales.) Los dos tipos de circuitos de primer orden y las dos maneras de excitarlos producen las cuatro situaciones posibles que se estu- diarán en este capítulo. Por último, se considerarán cuatro aplicaciones usuales de circuitos RC y RL: circuitos de retraso y relevador, una unidad de flash fotográfico y un circuito de encendido de automóviles. Circuito RC sin fuente Un circuito RC sin fuente ocurre cuando su fuente de cd se desconecta súbita- mente. La energía ya almacenada en el capacitor se libera hacia los resistores. Considérese una combinación en serie de un resistor y un capacitor inicial- mente cargado, como se muestra en la figura 7.1. (El resistor y el capacitor podrían ser la resistencia equivalente y la capacitancia equivalente de combina- ciones de resistores y capacitores.) El objetivo es determinar la respuesta del circuito, la que, por razones pedagógicas, se supondrá como la tensión v(t) a lo 7.2 Figura 7.1 Circuito RC sin fuente. Una respuesta de circuito es la manera en que el circuito reacciona a una excitación. v + − iRiC RC
- 283. 7.2 Circuito RC sin fuente 255 La respuesta natural de un circuito se refiere al comportamiento (en términos de tensiones y corrientes) del circuito, sin fuentes externas de excitación. largo del capacitor. Puesto que el capacitor está inicialmente cargado, es posi- ble suponer que en el momento t = 0 la tensión inicial es (7.1) con el correspondiente valor de la energía almacenada como (7.2) La aplicación de la LCK en el nodo superior del circuito de la figura 7.1 pro- duce (7.3) Por definición, e Así, (7.4a) o sea (7.4b) Ésta es una ecuación diferencial de primer orden, ya que sólo implica la pri- mera derivada de v. Para resolverla, el término se reordena como (7.5) Al integrar ambos miembros se obtiene donde ln A es la constante de integración. Por lo tanto, (7.6) Al tomar las potencias de e se tiene Pero desde las condiciones iniciales, En consecuencia, (7.7) Esto demuestra que la respuesta en tensión del circuito RC es una caída expo- nencial de la tensión inicial. Como la respuesta se debe a la energía inicial al- macenada y a las características físicas del circuito y no a una fuente externa de tensión o de corriente, se le llama respuesta natural del circuito. v(t) ϭ V0 eϪt͞RC v(0) ϭ A ϭ V0. v(t) ϭ AeϪt͞RC ln v A ϭ Ϫ t RC ln v ϭ Ϫ t RC ϩ ln A dv v ϭ Ϫ 1 RC dt dv dt ϩ v RC ϭ 0 C dv dt ϩ v R ϭ 0 iR ϭ v͞R.iC ϭ C dv͞dt iC ϩ iR ϭ 0 w(0) ϭ 1 2 CV2 0 v(0) ϭ V0 La respuesta natural se ilustra gráficamente en la figura 7.2 Adviértase que en t = 0, se tiene la condición inicial correcta, como en la ecuación (7.1). Al aumen- tar t, la tensión decrece hacia cero. La rapidez con la cual la tensión decrece La respuesta natural depende sólo de la naturaleza del circuito, sin fuentes externas. De hecho, el circuito tiene sólo una respuesta debido a la energía almacenada inicialmente en el capacitor.
- 284. 256 Capítulo 7 Circuitos de primer orden se expresa en términos de la constante de tiempo, denotada por , la letra griega minúscula tau, . La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, o 36.8% de su valor inicial.1 Esto implica que t ϭ . Así, la ecuación (7.7) se convierte en o (7.8) En términos de la constante de tiempo, la ecuación (7.7) puede expresarse como (7.9) Con una calculadora es fácil demostrar que el valor de es el que se muestra en la tabla 7.1. De ésta se desprende claramente que la tensión es de menos de 1% de después de (cinco constantes de tiempo). Así, se acostumbra suponer que el capacitor está por completo descargado (o cargado) después de cinco constantes de tiempo. En otras palabras, el circuito tarda en llegar a su estado final o estado estable cuando no ocurre ningún cambio con el tiempo. Nótese que por cada intervalo de la tensión pierde 36.8% de su valor previo, sin importar el valor de t. Obsérvese respecto de la ecuación (7.8) que cuanto menor sea la constante de tiempo, más rápidamente disminuirá la tensión; es decir, la respuesta será más rápida. Esto se ilustra en la figura 7.4. Un circuito con una constante de tiempo reducida da una respuesta rápida en cuanto que llega velozmente al estado esta- ble (o estado final) debido a la rápida disipación de la energía almacenada, mien- tras que un circuito con una constante de tiempo grande da una respuesta lenta, porque tarda más en llegar al estado estable. De una u otra forma, así sea reducida o grande la constante de tiempo, el circuito llega al estado estable en cinco cons- tantes de tiempo. Con la tensión en la ecuación (7.9), se puede hallar la corriente (7.10)iR(t) ϭ v(t) R ϭ V0 R eϪt͞t iR(t),v(t) v(t ϩ t) ϭ v(t)͞e ϭ 0.368v(t), t, 5t 5tV0 v(t) v(t)͞V0 v(t) ϭ V0eϪt͞t t ϭ RC V0eϪt͞RC ϭ V0eϪ1 ϭ 0.368V0 1 La constante de tiempo puede verse desde otra perspectiva. Al evaluar la derivada de en la ecuación (7.7) en t = 0, se obtiene Así, la constante de tiempo es la tasa inicial decaída, o el tiempo que tarda en disminuír desde de la unidad hasta cero, suponiendo una tasa constante de decaimiento. Esta interpretación de pendiente inicial de la constante de tiempo suele usarse en el laboratorio para hallar gráficamente a partir de la curva de respuesta exhibida en un osciloscopio. Para hallar partiendo de la curva de respuesta, se traza la tangente a la curva en t = 0, como se indica en la figura 7.3. La tangente interseca el eje del tiempo en t ϭ t. tt v͞V0 d dt a v V0 b 2 tϭ0 ϭ Ϫ 1 t eϪt͞t 2 tϭ0 ϭ Ϫ 1 t v(t) V0e−t ⁄ t 0.368V0 V0 v 0 Figura 7.2 La respuesta en tensión del circuito RC. Figura 7.3 Determinación gráfica de la constante de tiempo a partir de la curva de respuesta. 2 3 4 5 t (s)0 v V0 0.37 0.25 0.75 1.0 0.50 Tangente en t = 0 Valores de v(t)͞V 0 eϪt͞ . t 0.36788 2 0.13534 3 0.04979 4 0.01832 5 0.00674t t t t t v(t)͞V0 ϭ TABLA 7.1
- 285. 7.2 Circuito RC sin fuente 257 La potencia disipada en el resistor es (7.11) La energía absorbida por el resistor hasta el momento t es (7.12) Nótese que conforme que lo mismo que la energía inicialmente almacenada en el capacitor. La energía que se almacenó al inicio en el capacitor se disipa a la larga en el resistor. En suma: wC (0),t S ϱ, wR(ϱ) S 1 2CV0 2 , ϭ Ϫ tV0 2 2R eϪ2t͞t 2 t 0 ϭ 1 2 CV0 2 (1 Ϫ eϪ2t͞t ), t ϭ RC wR(t) ϭ Ύ t 0 p dt ϭ Ύ t 0 V2 0 R eϪ2t͞t dt p(t) ϭ viR ϭ V2 0 R eϪ2t͞t Figura 7.4 Gráfica de para diversos valores de la constante de tiempo. v͞V0 ϭ eϪt͞t La clave para trabajar con un circuito RC sin fuente es hallar: 1. La tensión inicial a lo largo del capacitor. 2. La constante de tiempo t. v(0) ϭ V0 Con estos dos elementos, se obtiene la respuesta como la tensión del capacitor Una vez que la tensión del capacitor se obtiene pri- mero, pueden determinarse otras variables (la corriente del capacitor la ten- sión del resistor vR y la corriente del resistor ). En la búsqueda de la constante de tiempo R suele ser la resistencia equivalente de Thevenin en las ter- minales del capacitor; es decir, se elimina el capacitor C y se halla en sus terminales. R ϭ RTh t ϭ RC, iR iC, vC(t) ϭ v(t) ϭ v(0)eϪt͞t . La constante de tiempo es la misma sin importar cómo se defina la salida. Cuando un circuito contiene un solo capacitor y varios resistores y fuentes dependientes, el equivalente de Thevenin se calcula en las terminales del capacitor para formar un circuito RC simple. También es posible aplicar el teorema de Thevenin cuando se combinan varios capacitores para for- mar un solo capacitor equivalente. En la figura 7.5, sea Halle vC, vx e para Solución: Primero se debe hacer que el circuito de la figura 7.5 se ajuste al circuito RC estándar de la figura 7.1. Se encuentra la resistencia equivalente o resistencia t 7 0.ixvC (0) ϭ 15 V. 0 t 1 3 4 51 2 v V0 e−t ⁄= = 0.5 = 1 = 2 Ejemplo 7.1
- 286. 258 Capítulo 7 Circuitos de primer orden de Thevenin en las terminales del capacitor. El objetivo es siempre obtener pri- mero la tensión del capacitor Con base en ella se puede determinar e Los resistores de 8 ⍀ y 12 ⍀ en serie pueden combinarse para producir un resistor de 20 ⍀. Este resistor de 20 ⍀ en paralelo con el resistor de 5 ⍀ puede combinarse para que la resistencia equivalente sea Así, el circuito equivalente es el que se presenta en la figura 7.6, el cual es análo- go a la figura 7.1. La constante de tiempo es Por lo tanto Con base en la figura 7.5, se puede aplicar el divisor de tensión para obtener así, Por último, ix ϭ vx 12 ϭ 0.75eϪ2.5t A vx ϭ 12 12 ϩ 8 v ϭ 0.6(15eϪ2.5t ) ϭ 9eϪ2.5t V vx; v ϭ v(0)eϪt͞t ϭ 15eϪt͞0.4 V, vC ϭ v ϭ 15eϪ2.5t V t ϭ ReqC ϭ 4(0.1) ϭ 0.4 s Req ϭ 20 ϫ 5 20 ϩ 5 ϭ 4 ⍀ ix.vxvC. Figura 7.5 Para el ejemplo 7.1. Figura 7.6 Circuito equivalente del circuito de la figura 7.5. Figura 7.7 Para el problema de práctica 7.1. El interruptor del circuito de la figura 7.8 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en t = 0. Halle v(t) para Calcule la energía inicial almacenada en el capacitor. Solución: Para t < 0, el interruptor está cerrado; el capacitor es un circuito abierto para cd, como se representa en la figura 7.9a). Al aplicar la división de tensión, Como la tensión a lo largo de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, ésta a t = 0Ϫ es la misma que t = 0, o sea vC (0) ϭ V0 ϭ 15 V vC (t) ϭ 9 9 ϩ 3 (20) ϭ 15 V, t 6 0 t Ն 0. Figura 7.8 Para el ejemplo 7.2. 5 Ω 8 Ω 12 ΩvC vx ix + − + − 0.1 F v + − Req 0.1 F 12 Ω 8 Ω vCF6 Ω io + − vx + − 1 3 3 Ω 20 V + − v9 Ω t = 0 1 Ω 20 mF+ − Remítase al circuito de la figura 7.7. Sea que Determine vC, vx e para Respuesta: 30eϪ0.25t V, 10eϪ0.25t V, Ϫ2.5eϪ0.25t A. t Ն 0.io vC(0) ϭ 30 V.Problema de práctica 7.1 Ejemplo 7.2
- 287. 7.3 Circuito RL sin fuente 259 Para t > 0, el interruptor está abierto, y se tiene el circuito RC que se mues- tra en la figura 7.9b). (Nótese que el circuito RC de esta última figura es sin fuente; la fuente independiente de la figura 7.8 es necesaria para proporcionar o la energía inicial en el capacitor.) Los resistores en serie de 1 ⍀ y 9 ⍀ dan por resultado La constante de tiempo es Así, la tensión a lo largo del capacitor para es o sea La energía inicial almacenada en el capacitor es wC (0) ϭ 1 2 Cv2 C (0) ϭ 1 2 ϫ 20 ϫ 10Ϫ3 ϫ 152 ϭ 2.25 J v(t) ϭ 15eϪ5t V v(t) ϭ vC (0)eϪt͞t ϭ 15eϪt͞0.2 V t Ն 0 t ϭ ReqC ϭ 10 ϫ 20 ϫ 10Ϫ3 ϭ 0.2 s Req ϭ 1 ϩ 9 ϭ 10 ⍀ V0 Figura 7.9 Para el ejemplo 7.2: a) b) t 7 0.t 6 0, Si el interruptor de la figura 7.10 se abre en t ϭ 0, halle para y Respuesta: 5.33 J.8eϪ2t V, wC (0).t Ն 0v(t) Figura 7.10 Para el problema de práctica 7.2. Circuito RL sin fuente Considere la conexión en serie de un resistor y un inductor, como se muestra en la figura 7.11. La meta es determinar la respuesta del circuito, la cual se supondrá como la corriente i(t) a través del inductor. Se selecciona la corriente del inductor como la respuesta para aprovechar la idea de que la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente. En t = 0, supóngase que el in- ductor tiene una corriente inicial o (7.13) con la correspondiente energía almacenada en el inductor como (7.14) Al aplicar la LTK a lo largo del lazo de la figura 7.11, (7.15) Pero y Así, L di dt ϩ Ri ϭ 0 vR ϭ iR.vL ϭ L di͞dt vL ϩ vR ϭ 0 w(0) ϭ 1 2 L I2 0 i(0) ϭ I0 I0, 7.3 Figura 7.11 Circuito RL sin fuente. 9 Ω 1 Ω vC(0) 3 Ω + − + −20 V a) 9 Ω 1 Ω b) + − Vo = 15 V 20 mF 6 Ω + −24 V + − v 12 Ω 4 Ω t = 0 F 1 6 vL + − RL i vR + − Problema de práctica 7.2
- 288. 260 Capítulo 7 Circuitos de primer orden o sea (7.16) La reordenación de los términos y la integración dan como resultado o sea (7.17) Al tomar las potencias de e se tiene (7.18) Esto demuestra que la respuesta natural del circuito RL es una caída exponen- cial de la corriente inicial. La respuesta de la corriente aparece en la figura 7.12. De la ecuación (7.18) se desprende claramente que la constante de tiempo del circuito RL es (7.19) de nuevo con la unidad de segundos. Así, la ecuación (7.18) puede expre- sarse como (7.20) Con la corriente de la ecuación (7.20) se puede hallar la tensión a lo largo del resistor como (7.21) La potencia disipada en el resistor es (7.22) La energía absorbida por el resistor es o sea (7.23) Adviértase que cuando lo cual es lo mismo que la energía inicial almacenada en el inductor como en la ecuación (7.14). También en este caso, la energía inicialmente almacenada en el inductor es finalmente disipada en el resistor. wL(0),t S ϱ, wR(ϱ) S 1 2 L I0 2 , wR(t) ϭ 1 2 L I2 0 (1 Ϫ eϪ2t͞t ) wR(t) ϭ Ύ t 0 p dt ϭ Ύ t 0 I2 0 ReϪ2t͞t dt ϭ Ϫ 1 2 t I0 2 ReϪ2t͞t 2 t 0 , t ϭ L R p ϭ vRi ϭ I2 0 ReϪ2t͞t vR(t) ϭ iR ϭ I0 ReϪt͞t i(t) ϭ I0eϪt͞t t t ϭ L R i(t) ϭ I0eϪRt͞L ln i(t) I0 ϭ Ϫ Rt L ln i 2 i(t) I0 ϭ Ϫ Rt L 2 t 0 1 ln i(t) Ϫ ln I0 ϭ Ϫ Rt L ϩ 0 Ύ i(t) I0 di i ϭ ϪΎ t 0 R L dt di dt ϩ R L i ϭ 0 Figura 7.12 Respuesta de corriente del circuito RL. A menor constante de tiempo de un circuito, más rápida será la velocidad de caída de la respuesta. A mayor constante de tiempo, más lenta será la velocidad de caída de la respuesta. A cualquier velocidad, la respuesta decae a menos de 1% de su valor inicial (es decir, llega al estado estable) después de 5t. t Tangente en t = 0 I0e−t ⁄ t 0.368I0 I0 i(t) 0 La figura 7.12 muestra la interpretación inicial de la pendiente que puede dar .
- 289. 7.3 Circuito RL sin fuente 261 En suma: La clave para trabajar con un circuito RL sin fuente es hallar: 1. La corriente inicial a través del inductor. 2. La constante de tiempo del circuito.t i(0) ϭ I0 Con estos dos elementos, se obtiene la respuesta cuando la corriente del induc- tor Una vez determinada la corriente del inductor pueden obtenerse otras variables (tensión del inductor tensión del resistor vR y la corriente del resistor ). Repárese en que, en general, R en la ecuación (7.19) es la resistencia de Thevenin en las terminales del inductor. iR vL, iL,iL(t) ϭ i(t) ϭ i(0)eϪt͞t . Cuando un circuito tiene un solo inductor y varios resistores y fuentes dependientes, puede hallarse el equivalente de Thevenin en las termi- nales del inductor para formar un circuito RL simple. También es posible aplicar el teorema de Thevenin cuando varios inductores pueden combinarse para formar un solo inductor equiva- lente. Suponiendo que i(0) = 10 A, calcule e en el circuito de la figura 7.13. Solución: Este problema puede resolverse de dos maneras. Una es obtener la resistencia equivalente en las terminales del inductor y después usar la ecuación (7.20). La otra, partir de cero aplicando la ley de tensión de Kirchhoff. Cualquiera que sea el método que se siga, siempre es mejor obtener primero la corriente del inductor. ■ MÉTODO 1 La resistencia equivalente es lo mismo que la resistencia de Thevenin en las terminales del inductor. A causa de la fuente dependiente, se inserta una fuente de tensión con en las terminales a-b del inductor, como en la figura 7.14a). (También podría insertarse en las terminales una fuente de corriente de 1 A.) La aplicación de la LTK a los dos lazos da por resultado (7.3.1) (7.3.2) La sustitución de la ecuación (7.3.2) en la ecuación (7.3.1) da i1 ϭ Ϫ3 A, io ϭ Ϫi1 ϭ 3 A 6i2 Ϫ 2i1 Ϫ 3i1 ϭ 0 1 i2 ϭ 5 6 i1 2(i1 Ϫ i2) ϩ 1 ϭ 0 1 i1 Ϫ i2 ϭ Ϫ 1 2 vo ϭ 1 V ix (t)i(t) Figura 7.13 Para el ejemplo 7.3. Figura 7.14 Resolución del circuito de la figura 7.13. 2 Ω 4 Ω 0.5 H + − i 3i ix 4 Ω 2 Ωvo = 1 V + − + − io i1 i2 3i1 a) a b 4 Ω 2 Ω + − i1 i2 3i b) 0.5 H Ejemplo 7.3
- 290. 262 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Así, La constante de tiempo es De este modo, la corriente a través del inductor es ■ MÉTODO 2 Puede aplicarse directamente la LTK al circuito, como en la figura 7.14b). En cuanto al lazo 1, o sea (7.3.3) En cuanto al lazo 2, (7.3.4) La sustitución de la ecuación (7.3.4) en la ecuación (7.3.3) da como resultado Al reordenar los términos, Puesto que puede remplazarse por i e integrar o sea Al tomar las potencias de e, se obtiene finalmente que es el mismo resultado que con el método 1. La tensión a lo largo del inductor es v ϭ L di dt ϭ 0.5(10)aϪ 2 3 beϪ(2͞3)t ϭ Ϫ 10 3 eϪ(2͞3)t V i(t) ϭ i(0)eϪ(2͞3)t ϭ 10eϪ(2͞3)t A, t 7 0 ln i(t) i(0) ϭ Ϫ 2 3 t ln i 2 i(t) i(0) ϭ Ϫ 2 3 t 2 0 t i1i1 ϭ i, di1 i1 ϭ Ϫ 2 3 dt di1 dt ϩ 2 3 i1 ϭ 0 6i2 Ϫ 2i1 Ϫ 3i1 ϭ 0 1 i2 ϭ 5 6 i1 di1 dt ϩ 4i1 Ϫ 4i2 ϭ 0 1 2 di1 dt ϩ 2(i1 Ϫ i2) ϭ 0 i(t) ϭ i(0)eϪt͞t ϭ 10eϪ(2͞3)t A, t 7 0 t ϭ L Req ϭ 1 2 1 3 ϭ 3 2 s Req ϭ RTh ϭ vo io ϭ 1 3 ⍀
- 291. 7.3 Circuito RL sin fuente 263 Figura 7.15 Para el problema de práctica 7.3. El interruptor del circuito de la figura 7.16 ha estado cerrado mucho tiempo. En t = 0, el interruptor se abre. Calcule i(t) para t > 0. Solución: Cuando t < 0, el interruptor está cerrado, y el inductor actúa como cortocir- cuito para la cd. El resistor de 16 ⍀ se pone en cortocircuito; el circuito resultante se presenta en la figura 7.17a). Para obtener i1 en esta última figura, se combinan los resistores de 4 ⍀ y 12 ⍀ en paralelo para obtener Así, Se obtiene i(t) de i1 en la figura 7.17a) aplicando la división de corriente, y se escribe Dado que la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente, Cuando t > 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión se desconecta. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente de la figura 7.17b). Al combinar los resistores se tiene La constante de tiempo es En consecuencia, i(t) ϭ i(0)eϪt͞t ϭ 6eϪ4t A t ϭ L Req ϭ 2 8 ϭ 1 4 s Req ϭ (12 ϩ 4) ʈ 16 ϭ 8 ⍀ i(0) ϭ i(0Ϫ ) ϭ 6 A i(t) ϭ 12 12 ϩ 4 i1 ϭ 6 A, t 6 0 i1 ϭ 40 2 ϩ 3 ϭ 8 A 4 ϫ 12 4 ϩ 12 ϭ 3 ⍀ Figura 7.16 Para el ejemplo 7.4. Figura 7.17 Resolución del circuito de la figura 7.16: a) para t < 0, b) para t > 0. 1 Ω 5 Ω 3 Ω + − 2vx H i + −vx 1 6 2 Ω 4 Ω + − 40 V 16 Ω12 Ω 2 H t = 0 i(t) 4 Ω 12 Ω 2 Ω + − i1 2 H i(t) 40 V i(t) a) 16 Ω12 Ω 4 Ω b) Como el inductor y el resistor de 2 ⍀ están en paralelo, ix (t) ϭ v 2 ϭ Ϫ1.6667eϪ(2͞3)t A, t 7 0 Halle i y en el circuito de la figura 7.15. Sea i(0) = 5 A. Respuesta: 5eϪ53t A, Ϫ15eϪ53t V. vx Problema de práctica 7.3 Ejemplo 7.4
- 292. 264 Capítulo 7 Circuitos de primer orden En referencia al circuito de la figura 7.18, halle i(t) para t > 0. Respuesta: 2eϪ2t A, t 7 0. Figura 7.18 Para el problema de práctica 7.4. En el circuito que se muestra en la figura 7.19, halle io, vo e i para todos los tiem- pos, suponiendo que el interruptor estuvo abierto mucho tiempo. Solución: Es mejor hallar primero la corriente del inductor i y obtener después otras can- tidades a partir de ella. Para t < 0, el interruptor está abierto. Dado que el inductor actúa como cortocircuito para la cd, el resistor de 6 ⍀ se pone en cortocircuito, de manera que se tiene el circuito que aparece en la figura 7.20a). Así io ϭ 0, e Por lo tanto, i(0) = 2. Para t > 0, el interruptor está cerrado, de modo que la fuente de tensión se pone en cortocircuito. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente que se muestra en la figura 7.20b). En las terminales del inductor, así que la constante de tiempo es Por lo tanto, Puesto que el inductor está en paralelo con los resistores de 6 ⍀ y 3 ⍀, y io(t) ϭ vL 6 ϭ Ϫ 2 3 eϪt A, t 7 0 vo(t) ϭ ϪvL ϭ ϪL di dt ϭ Ϫ2(Ϫ2eϪt ) ϭ 4eϪt V, t 7 0 i(t) ϭ i(0)eϪt͞t ϭ 2eϪt A, t 7 0 t ϭ L RTh ϭ 1 s RTh ϭ 3 ʈ 6 ϭ 2 ⍀ vo (t) ϭ 3i(t) ϭ 6 V, t 6 0 i(t) ϭ 10 2 ϩ 3 ϭ 2 A, t 6 0 Figura 7.19 Para el ejemplo 7.5. Figura 7.20 Circuito de la figura 7.19 para: a) t < 0, b) t > 0. 5 Ω 5 A 12 Ω 8 Ω 2 H t = 0 i(t) 10 V 6 Ω 2 Ht = 0 iio + −vo 3 Ω2 Ω + − 2 Ω + −10 V 6 Ω iio a) + −vo b) 6 Ω 3 Ω + −vo 3 Ω 2 H iio vL + − Problema de práctica 7.4 Ejemplo 7.5
- 293. 7.4 Funciones singulares 265 Así, para todos los tiempos, Obsérvese que la corriente del inductor es continua en t = 0, mientras que la co- rriente a través del resistor de 6 ⍀ cae de 0 a –2/3 en t = 0 y la tensión a lo largo del resistor de 3 ⍀ cae de 6 a 4 en t = 0. Obsérvese asimismo que la cons- tante de tiempo no cambia sin importar la forma en que se defina la salida. En la figura 7.21 se diagraman i e io. i(t) ϭ b 2 A, t 6 0 2eϪt A, t Ն 0 io(t) ϭ c 0 A, t 6 0 Ϫ 2 3 eϪt A, t 7 0 , vo(t) ϭ b 6 V, t 6 0 4eϪt V, t 7 0 Figura 7.21 Gráfica de i e io. Determine i, io y para todo t en el circuito que se muestra en la figura 7.22. Suponga que el interruptor estuvo cerrado mucho tiempo. Cabe señalar que al abrirse un interruptor en serie con una fuente ideal de corriente se crea una tensión infinita en las terminales de la fuente de corriente. Obviamente, esto es imposible. Para los efectos de la resolución de este problema se puede colo- car un resistor derivador en paralelo con la fuente (convertida así en fuente de tensión en serie con un resistor). En circuitos más prácticos, los disposi- tivos que actúan como fuentes de corriente son, en la mayoría de los casos, circuitos electrónicos. Estos circuitos permitirán a la fuente actuar como una fuente ideal de corriente en su rango de operación, pero le impondrán un límite de tensión cuando el resistor de carga se vuelva demasiado grande (como en un circuito abierto). Respuesta: vo ϭ b 8 V, t 6 0 (8͞3)eϪ2t V, t 7 0 i ϭ b 4 A, t 6 0 4eϪ2t A, t Ն 0 , io ϭ b 2 A, t 6 0 Ϫ(4͞3)eϪ2t A, t 7 0 , vo Figura 7.22 Para el problema de práctica 7.5. Funciones singulares Antes de proceder a la segunda mitad de este capítulo se necesita hacer una di- gresión y considerar algunos conceptos matemáticos que ayudarán a entender el análisis transitorio. Un conocimiento básico de las funciones singulares permitirá dotar de sentido a la respuesta de circuitos de primer orden a una súbita aplica- ción de una fuente independiente de tensión o de corriente de cd. Las funciones singulares (también llamadas funciones de conmutación) son muy útiles en análisis de circuitos. Sirven como aproximaciones aceptables de las señales de conmutación que aparecen en circuitos con operaciones de conmu- tación. Son de utilidad en la precisa y compacta descripción de algunos fenóme- nos de circuitos, especialmente la respuesta escalón de circuitos RC o RL, la cual se explicará en las secciones siguientes. Por definición, 7.4 Las funciones singulares son discontinuas o tienen derivadas discontinuas. t 2 i(t) 2 3 − io(t) 1 H 4 Ω 2 Ω 3 Ω 6 A it = 0 io vo + − Problema de práctica 7.5
- 294. 266 Capítulo 7 Circuitos de primer orden La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y de 1 para valores positivos de t. Las tres funciones singulares de uso más común en análisis de circuitos son las funciones de escalón unitario, de impulso unitario y de rampa unitaria. En términos matemáticos, (7.24) La función escalón unitario está indefinida en t ϭ 0, donde cambia abruptamente de 0 a 1. Es adimensional, al igual que otras funciones matemáticas, como seno y coseno. En la figura 7.23 se describe de manera gráfica la función escalón uni- tario. Si el cambio abrupto ocurre en (donde ) en lugar de t ϭ 0, la función escalón unitario se convierte en (7.25) lo cual equivale a decir que u(t) se atrasa segundos, como se muestra en la figura 7.24a). Para obtener la ecuación (7.25) de la ecuación (7.24), simple- mente se remplaza cada t por Si el cambio ocurre en t ϭ Ϫto, la fun- ción escalón unitario se convierte en (7.26) lo que significa que está adelantada segundos, como se muestra en la figura 7.24b). Se usa la función escalón para representar un cambio abrupto de tensión o corriente, como los cambios que ocurren en los circuitos de sistemas de con- trol y de computadoras digitales. Por ejemplo, la tensión (7.27) puede expresarse en términos de la función escalón unitario como (7.28) Si entonces es simplemente la tensión del escalón Una fuente de tensión de se presenta en la figura 7.25a); su circuito equi- valente se presenta en la figura 7.25b). En esta última figura es evidente que las terminales a-b están en cortocircuito ( ) para y que v ϭ V0t 6 0v ϭ 0 V0 u(t) V0 u(t).v(t)t0 ϭ 0, v(t) ϭ V0u(t Ϫ t0) v(t) ϭ b 0, t 6 t0 V0, t 7 t0 t0u(t) u(t ϩ t0) ϭ b 0, t 6 Ϫt0 1, t 7 Ϫt0 t Ϫ t0. t0 u(t Ϫ t0) ϭ b 0, t 6 t0 1, t 7 t0 t0 7 0t ϭ t0 u(t) ϭ b 0, t 6 0 1, t 7 0 Figura 7.25 a) Fuente de tensión de b) su circuito equivalente.V0u(t), Figura 7.23 Función escalón unitario. Figura 7.24 a) Función escalón unitario retardada por b) función escalón unitario adelantada de t0. t0, Alternativamente, se obtienen las ecua- ciones (7.25) y (7.26) de la ecuación (7.24) escribiendo u[f(t)] 1, f(t) 0, donde f(t) puede ser t t0 o t t0.ϩϪ 7ϭ 0 t 1 u(t) 0 t 1 u(t − t0) t0 a) 0 t u(t + t0) −t0 b) 1 + − a) V0u(t) + − b) V0 b a b a t = 0 =
- 295. 7.4 Funciones singulares 267 aparece en las terminales para De igual manera, una fuente de corriente de se muestra en la figura 7.26a), y su circuito equivalente en la figura 7.26b). Adviértase que para hay un circuito abierto ( ), y que fluye para t 7 0.i ϭ I0 i ϭ 0t 6 0, I0 u(t) t 7 0. Figura 7.26 a) Fuente de corriente de b) su circuito equivalente.I0u(t), La derivada de la función escalón unitario es la función ímpulso uni- tario que se expresa como (7.29) La función impulso unitario, también conocida como función delta, se muestra en la figura 7.27. d(t) ϭ d dt u(t) ϭ c 0, t 6 0 Indefinida, t ϭ 0 0, t 7 0 d(t), u(t) La función impulso unitario (t) es de cero siempre, excepto en t 0, donde está indefinida. ϭd Las corrientes y tensiones impulsivas ocurren en circuitos eléctricos como resultado de operaciones de conmutación o fuentes impulsivas. Aunque la fun- ción impulso unitario no es físicamente realizable (lo mismo que las fuentes ideales, los resistores ideales, etc.), es una herramienta matemática muy útil. El impulso unitario puede considerarse un choque aplicado o su resultante. Puede visualizarse como un pulso de área unitaria de muy corta duración. Esto puede expresarse matemáticamente como (7.30) donde denota el momento inmediato anterior a y es el momento inmediato posterior a Por esta razón, se acostumbra escribir 1 (el cual denota área unitaria) junto a la flecha que se usa para simbolizar la función impulso unitario, como en la figura 7.27. El área unitaria se conoce como la fuerza de la función impulso. Cuando una función impulso tiene una fuerza distinta a la unidad, el área del impulso es igual a su fuerza. Por ejemplo, una función impulso tiene un área de 10. En la figura 7.28 aparecen las funciones de impulso 5␦(t ϩ 2), 10␦(t) y Para ilustrar cómo la función impulso afecta otras funciones, evalúese la integral (7.31)Ύ b a f(t)d(t Ϫ t0)dt Ϫ4d(t Ϫ 3). 10d(t) t ϭ 0. t ϭ 0ϩ t ϭ 0t ϭ 0Ϫ Ύ 0ϩ 0Ϫ d(t) dt ϭ 1 Figura 7.27 Función impulso unitario. Figura 7.28 Tres funciones impulso. a) I0u(t) b) I0 b a b a t = 0 i = 0 t (1)␦(t) 5␦(t + 2) 10␦(t) −4␦(t − 3) 10 2 3 t−1−2
- 296. 268 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Figura 7.29 Función de rampa unitaria. Figura 7.30 Función rampa unitaria: a) retardada por b) adelantada por t0.t0, La función rampa unitaria es de cero para valores negativos de t y tiene una pendiente unitaria para valores positivos de t. En la figura 7.29 se presenta la función rampa unitaria. En general, una rampa es una función que cambia a una velocidad constante. La función rampa unitaria puede retardarse o adelantarse, como se advierte en la figura 7.30. En cuanto a la función rampa unitaria retardada, (7.36) y en cuanto a la función rampa unitaria adelantada, (7.37) Se debe tener presente que las tres funciones singulares (impulso, escalón y rampa) se relacionan por diferenciación de esta manera: (7.38)d(t) ϭ du(t) dt , u(t) ϭ dr(t) dt r(t ϩ t0) ϭ b 0, t Յ Ϫt0 t ϩ t0, t Ն Ϫt0 r(t Ϫ t0) ϭ b 0, t Յ t0 t Ϫ t0, t Ն t0 0 t 1 r(t) 1 a) 0 t−t0 + 1−t0 1 r(t + t0) r(t − t0) b) 0 tt0 + 1t0 1 donde Puesto que excepto en el integrando es cero excepto en Así, o sea (7.32) Esto demuestra que cuando una función se integra con la función impulso, se obtiene el valor de la función en el punto en el que ocurre el impulso. Ésta es una propiedad muy útil de la función de impulso, conocida como propiedad de muestreo o filtrado. El caso especial de la ecuación (7.31) es para En consecuencia, la ecuación (7.32) se convierte en (7.33) La integración de la función escalón unitario da por resultado la fun- ción de rampa unitaria se escribe (7.34) o sea (7.35)r(t) ϭ b 0, t Յ 0 t, t Ն 0 r(t) ϭ Ύ t Ϫϱ u(t)dt ϭ tu(t) r(t); u(t) Ύ 0ϩ 0Ϫ f(t)d(t)dt ϭ f(0) t0 ϭ 0. Ύ b a f(t)d(t Ϫ t0)dt ϭ f(t0) ϭ f(t0) Ύ b a d(t Ϫ t0)dt ϭ f(t0) Ύ b a f (t)d(t Ϫ t0)dt ϭ Ύ b a f (t0)d(t Ϫ t0)dt t0. t ϭ t0,d(t Ϫ t0) ϭ 0a 6 t0 6 b.
- 297. 7.4 Funciones singulares 269 o por integración de este modo: (7.39) Aunque hay muchas más funciones singulares, en este momento sólo intere- san estas tres (la función impulso, la función escalón unitario y la función rampa). u(t) ϭ Ύ t Ϫϱ d(t)dt, r(t) ϭ Ύ t Ϫϱ u(t)dt Exprese el pulso de tensión de la figura 7.31 en términos del escalón unitario. Calcule su derivada y trácela. Solución: El tipo de pulso de la figura 7.31 se llama función de compuerta. Puede consi- derarse una función escalón que se activa en un valor de t y se desactiva en otro valor de t. La función de compuerta que aparece en la figura 7.31 se activa en y se desactiva en Consta de la suma de dos funciones de escalones unitarios, como se muestra en la figura 7.32a). De esta última figura se desprende claramente que Al tomar la derivada de esta expresión se obtiene expresión que se muestra a su vez en la figura 7.32b). Se puede obtener la figura 7.32b) de modo directo de la figura 7.31 observando simplemente que hay un súbito incremento de 10 V en el cual conduce a En hay un súbito decremento de 10 V, que conduce a Ϫ10 V d(t Ϫ 5).t ϭ 5 s, 10d(t Ϫ 2).t ϭ 2 s dv dt ϭ 10[d(t Ϫ 2) Ϫ d(t Ϫ 5)] v(t) ϭ 10u(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 5) ϭ 10[u(t Ϫ 2) Ϫ u(t Ϫ 5)] t ϭ 5 s.t ϭ 2 s Las funciones de compuerta se usan junto con las de conmutación para transmitir o bloquear otra señal. Figura 7.31 Para el ejemplo 7.6. Figura 7.32 a) Descomposición del pulso de la figura 7.31, b) derivada del pulso de la figura 7.31. 0 t 10 v(t) 3 4 51 2 0 t21 10 10u(t − 2) −10u(t − 5) a) 1 2 0 3 4 5 t 10 −10 + b) 10 3 4 5 t1 2 0 −10 dv dt Ejemplo 7.6
- 298. 270 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Exprese el pulso de corriente de la figura 7.33 en términos del escalón unita- rio. Halle su integral y trácela. Respuesta: Véase la figura 7.34.r(t Ϫ 4)]. 10[u(t) Ϫ 2u(t Ϫ 2) ϩ u(t Ϫ 4)], 10[r(t) Ϫ 2r(t Ϫ 2) ϩ Figura 7.33 Para el problema de práctica 7.6. Figura 7.34 Integral de de la figura 7.33.i(t) Exprese la función diente de sierra que se muestra en la figura 7.35 en térmi- nos de funciones singulares. Solución: Este problema puede resolverse de tres maneras. El primer método es por mera observación de la función dada, mientras que los otros implican algunas mani- pulaciones gráficas de la función. ■ MÉTODO 1 Al examinar la gráfica de de la figura 7.35, no es difícil percatarse de que la función dada es una combinación de funciones singu- lares. Así, sea (7.7.1) La función es la función de rampa de pendiente 5 que se muestra en la figura 7.36a); es decir, (7.7.2)v1(t) ϭ 5r(t) v1(t) v(t) ϭ v1(t) ϩ v2(t) ϩ p v(t) v(t) Figura 7.35 Para el ejemplo 7.7. Figura 7.36 Descomposición parcial de de la figura 7.35.v(t) 0 t 10 −10 i(t) 2 4 20 4 t 20 i dt∫ 0 t 10 v(t) 2 0 t 10 v1(t) 2 0 t 10 v1 + v2 2 0 t −10 v2(t) 2 + a) b) c ) = Problema de práctica 7.6 Ejemplo 7.7
- 299. 7.4 Funciones singulares 271 Dado que tiende al infinito, se necesita otra función en para obtener Sea esta función la cual es una función rampa de pendiente como se muestra en la figura 7.36b); es decir, (7.7.3) La suma de y da por resultado la señal de la figura 7.36c). Obviamente, esto no es lo mismo que en la figura 7.35. Pero la diferencia es simple- mente una constante de 10 unidades para Al sumar una tercera señal donde (7.7.4) se obtiene como se indica en la figura 7.37. La sustitución de las ecua- ciones (7.7.2) a (7.7.4) en la ecuación (7.7.1) da como resultado v(t) ϭ 5r(t) Ϫ 5r(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2) v(t), v3 ϭ Ϫ10u(t Ϫ 2) v3, t 7 2 s. v(t) v2v1 v2(t) ϭ Ϫ5r(t Ϫ 2) Ϫ5,v2,v(t). t ϭ 2 sv1(t) Figura 7.37 Descomposición completa de de la figura 7.35.v(t) ■ MÉTODO 2 Una observación detenida de la figura 7.35 revela que es una multiplicación de dos funciones: una función rampa y una función com- puerta. Así, como se obtuvo anteriormente. ■ MÉTODO 3 Este método es similar al método 2. De la figura 7.35 se deduce por observación que es una multiplicación de una función rampa y una función escalón unitario, como se advierte en la figura 7.38. Por lo tanto, Si se remplaza por puede remplazarse por En consecuencia, lo que puede simplificarse como en el método 2 para obtener el mismo resul- tado. v(t) ϭ 5r(t)[1 Ϫ u(t Ϫ 2)] 1 Ϫ u(t Ϫ 2). u(Ϫt ϩ 2)1 Ϫ u(t),u(Ϫt) v(t) ϭ 5r(t)u(Ϫt ϩ 2) v(t) ϭ 5r(t) Ϫ 5r(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2) ϭ 5r(t) Ϫ 5(t Ϫ 2)u(t Ϫ 2) Ϫ 10u(t Ϫ 2) ϭ 5r(t) Ϫ 5(t Ϫ 2 ϩ 2)u(t Ϫ 2) ϭ 5tu(t) Ϫ 5tu(t Ϫ 2) v(t) ϭ 5t[u(t) Ϫ u(t Ϫ 2)] v(t) 0 t 10 v1 + v2 2 + c)a) = 0 t 10 v(t) 2 0 t −10 v3(t) 2 b)
- 300. 272 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Remítase a la figura 7.39. Exprese en términos de funciones singulares. Respuesta: 2u(t) Ϫ 2r(t) ϩ 4r(t Ϫ 2) Ϫ 2r(t Ϫ 3). i(t) Figura 7.38 Descomposición de de la figura 7.35.v(t) Figura 7.39 Para el problema de práctica 7.7. Dada la señal exprese en términos de funciones escalón y rampa. Solución: La señal puede considerarse la suma de tres funciones especificadas dentro de los tres intervalos t Ͻ 0, 0 Ͻ t Ͻ 1 y Para puede estimarse como 3 multiplicado por donde para t Ͻ 0 y 0 para t Ͼ 0. Dentro del intervalo de tiempo la función puede considerarse como multiplicado por una función de compuerta Para la función puede estimarse como multiplicado por la función de escalón unitario Así, Puede evitarse el problema de usar remplazándolo por Entonces, Alternativamente, se puede trazar y aplicar el método 1 del ejemplo 7.7.g(t) g(t) ϭ 3[1 Ϫ u(t)] Ϫ 2u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1) ϭ 3 Ϫ 5u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1) 1 Ϫ u(t).u(Ϫt) ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ 2r(t Ϫ 1) ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ 2(t Ϫ 1)u(t Ϫ 1) ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2u(t) ϩ (2t Ϫ 4 ϩ 2)u(t Ϫ 1) g(t) ϭ 3u(Ϫt) Ϫ 2[u(t) Ϫ u(t Ϫ 1)] ϩ (2t Ϫ 4)u(t Ϫ 1) u(t Ϫ 1).2t Ϫ 4 t 7 1,[u(t) Ϫ u(t Ϫ 1)]. Ϫ2 0 6 t 6 1,u(Ϫt) ϭ 1 u(Ϫt),t 6 0, g(t) t 7 1. g(t) g(t) g(t) ϭ c 3, t 6 0 Ϫ2, 0 6 t 6 1 2t Ϫ 4, t 7 1 0 t 10 5r(t) 2 × 0 t u(−t + 2) 2 1 i(t) (A) 1 0 2 3 t (s) 2 −2 Problema de práctica 7.7 Ejemplo 7.8
- 301. 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 273 Si exprese en términos de las funciones singulares. Respuesta: 4u(t) Ϫ r(t Ϫ 2) ϩ r(t Ϫ 6). h(t) h(t) ϭ d 0, t 6 0 4, 0 6 t 6 2 6 Ϫ t, 2 6 t 6 6 0, t 7 6 Evalúe las siguientes integrales que incluyen la función impulso: Solución: En relación con la primera integral, se aplica la propiedad de filtrado de la ecua- ción (7.32). De igual forma, en relación con la segunda integral, ϭ eϪ1 cos 1 ϩ e1 sen (Ϫ1) ϭ 0.1988 Ϫ 2.2873 ϭ Ϫ2.0885 ϭ eϪt cos t 0tϭ1 ϩ eϪt sen t 0 tϭϪ1 Ύ ϱ Ϫϱ [d(t Ϫ 1)eϪt cos t ϩ d(t ϩ 1)eϪt sen t]dt Ύ 10 0 (t2 ϩ 4t Ϫ 2)d(t Ϫ 2)dt ϭ (t2 ϩ 4t Ϫ 2)0tϭ2 ϭ 4 ϩ 8 Ϫ 2 ϭ 10 Ύ ϱ Ϫϱ [d(t Ϫ 1)eϪt cos t ϩ d(t ϩ 1)eϪt sen t]dt Ύ 10 0 (t2 ϩ 4t Ϫ 2)d(t Ϫ 2)dt Evalúe las siguientes integrales: Respuesta: 28, Ϫ1. Ύ ϱ Ϫϱ (t3 ϩ 5t2 ϩ 10)d(t ϩ 3)dt, Ύ 10 0 d(t Ϫ p) cos 3t dt Respuesta escalón de un circuito RC Cuando la fuente de cd de un circuito RC se aplica de repente, la fuente de ten- sión o de corriente puede modelarse como una función escalón, y la respuesta se conoce como respuesta escalón. 7.5 La respuesta de escalón de un circuito es su comportamiento cuando la excitación es la función de escalón, la cual puede ser una fuente de tensión o de corriente. Problema de práctica 7.8 Ejemplo 7.9 Problema de práctica 7.9
- 302. 274 Capítulo 7 Circuitos de primer orden La respuesta escalón es la respuesta del circuito debida a una súbita aplicación de una fuente de tensión o de corriente de cd. Considere el circuito RC de la figura 7.40a), el cual puede remplazarse por el circuito de la figura 7.40b), donde es una fuente de tensión constante de cd. También esta vez se selecciona la tensión del capacitor como la respuesta del circuito por determinar. Supóngase una tensión inicial en el capacitor, aunque esto no es necesario para la respuesta escalón. Como la tensión de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, (7.40) donde es la tensión para el capacitor justo antes de la conmutación y es la tensión inmediatamente después de la conmutación. Al aplicar la LCK se tiene o sea (7.41) donde v es la tensión a lo largo del capacitor. Para la ecuación (7.41) se convierte en (7.42) Reestructurando los términos se tiene o sea (7.43) Al integrar ambos miembros e introducir las condiciones iniciales, o sea (7.44) Al aplicar la función exponencial a ambos miembros se tiene o sea (7.45) Así, (7.46)v(t) ϭ b V0, t 6 0 Vs ϩ (V0 Ϫ Vs)eϪt/t , t 7 0 v(t) ϭ Vs ϩ (V0 Ϫ Vs)eϪt͞t , t 7 0 v Ϫ Vs ϭ (V0 Ϫ Vs)eϪt͞t v Ϫ Vs V0 Ϫ Vs ϭ eϪt͞t , t ϭ RC ln v Ϫ Vs V0 Ϫ Vs ϭ Ϫ t RC ln(v(t) Ϫ Vs) Ϫ ln(V0 Ϫ Vs) ϭ Ϫ t RC ϩ 0 ln(v Ϫ Vs)2 v(t) V0 ϭ Ϫ t RC 2 t 0 dv v Ϫ Vs ϭ Ϫ dt RC dv dt ϭ Ϫ v Ϫ Vs RC dv dt ϩ v RC ϭ Vs RC t 7 0, dv dt ϩ v RC ϭ Vs RC u(t) C dv dt ϩ v Ϫ Vsu(t) R ϭ 0 v(0ϩ ) v(0Ϫ ) v(0Ϫ ) ϭ v(0ϩ ) ϭ V0 V0 Vs Figura 7.40 Circuito RC con entrada de escalón de tensión. R C t = 0 + −Vs + − v a) Vsu(t) R C+ − + − v b)
- 303. 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 275 Esto se conoce como la respuesta completa (o respuesta total) del circuito de RC a una súbita aplicación de una fuente de tensión de cd, suponiendo que el capacitor está inicialmente cargado. La razón del término “completa” será evi- dente más adelante. Suponiendo que en la figura 7.41 se presenta una gráfica de . Si se supone que el capacitor está descargado inicialmente, hay que fijarse en la ecuación (7.46) de manera que (7.47) lo que puede escribirse alternativamente como (7.48) Ésta es la respuesta escalón completa del circuito RC cuando el capacitor está inicialmente descargado. La corriente a través del capacitor se obtiene de la ecuación (7.47) con el uso de Así se obtiene o sea (7.49) En la figura 7.42 se muestran las gráficas de la tensión del capacitor y la corriente del capacitor En lugar de tener que realizar las derivaciones anteriores, existe un método sistemático, o, más bien, un atajo, para hallar la respuesta de escalón de un circuito RC o RL. Reexamínese la ecuación (7.45), la cual es más gene- ral que la ecuación (7.48). Salta a la vista que tiene dos componentes. Hay dos maneras clásicas de descomponerla en esos dos componentes. La primera es dividirla en “una respuesta natural y una respuesta forzada”, y la segunda dividirla en “una respuesta transitoria y una respuesta en estado estable”. Al iniciar por la respuesta natural y la respuesta forzada, se escribe la respuesta total o completa como Respuesta completa = respuesta natural + respuesta forzada energía almacenada fuente independiente o (7.50) donde y Ya se sabe que es la respuesta natural del circuito, pues se explicó en la sección 7.2. se conoce como la respuesta forzada porque la produce el cir- cuito cuando se aplica una “fuerza” externa (una fuente de tensión en este caso). Representa lo que la excitación de entrada fuerza al circuito a hacer. La res-puesta natural se extingue finalmente junto con el componente transi- torio de la respuesta forzada, dejando únicamente el componente de estado estable de la respuesta forzada. vf vn vf ϭ Vs(1 Ϫ eϪt͞t ) vn ϭ VoeϪt͞t v ϭ vn ϩ vf v(t) i(t). v(t) i(t) ϭ Vs R eϪt͞t u(t) i(t) ϭ C dv dt ϭ C t VseϪt͞t , t ϭ RC, t 7 0 i(t) ϭ Cdv͞dt. v(t) ϭ Vs(1 Ϫ eϪt͞t )u(t) v(t) ϭ b 0, t 6 0 Vs(1 Ϫ eϪt͞t ), t 7 0 V0 ϭ 0 v(t) Vs 7 V0, Figura 7.41 Respuesta de un circuito RC con el capacitor inicialmente cargado. Figura 7.42 Respuesta escalón de un circuito RC con capacitor inicialmente descargado: a) res- puesta en tensión, b) respuesta en corriente. 0 t Vs v(t) V0 0 t Vs v(t) a) 0 t i(t) Vs R b)
- 304. 276 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Otra manera de concebir la respuesta completa es dividirla en dos com- ponentes, uno temporal y el otro permanente; es decir, Respuesta completa ϭ respuesta transitoria ϩ respuesta en estado estable parte temporal parte permanente o sea (7.51) donde (7.52a) y (7.52b) La respuesta transitoria es temporal; es la porción de la respuesta completa que decrece a cero conforme el tiempo tiende al infinito. En consecuencia, vt vss ϭ Vs vt ϭ (Vo Ϫ Vs)eϪt͞t v ϭ vt ϩ vss La respuesta transitoria es la respuesta temporal del circuito, la cual se extin- guirá con el tiempo. La respuesta en estado estable es la porción de la respuesta completa que permanece después de que la respuesta transitoria se ha extinguido. Así, vss La primera descomposición de la respuesta completa es en términos de la fuente de las respuestas, mientras que la segunda descomposición es en tér- minos de la permanencia de las respuestas. En ciertas condiciones, la respuesta natural y la respuesta transitoria son lo mismo. Esto también puede decirse de la respuesta forzada y la respuesta en estado estable. Como quiera que se le considere, la respuesta completa en la ecuación (7.45) puede expresarse como (7.53) donde es la tensión inicial en y es el valor final o de estado estable. Por lo tanto, para hallar la respuesta de escalón de un circuito RC se requieren de tres datos: v(ϱ)t ϭ 0ϩ v(0) v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito mucho tiempo después de aplicada una excitación externa. 1. La tensión inicial del capacitor 2. La tensión final del capacitor 3. La constante de tiempo t. v(ϱ). v(0). Se obtiene el dato 1 del circuito dado para y los puntos 2 y 3 del cir- cuito para Habiendo determinado estas piezas, se obtiene la respuestat 7 0. t 6 0 Esto equivale a afirmar que la respuesta completa es la suma de las respuestas transitoria y en estado estable. Una vez que se sabe x(0), x( ) y , casi todos los problemas de circuitos de este capítulo pueden resolverse mediante la fórmula x(t) ϭ x(ϱ) ϩ 3x(0) Ϫ x(ϱ)4eϪt͞t tϱ
- 305. 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 277 con el uso de la ecuación (7.53). Esta técnica se aplica por igual a los circui- tos RL como se verá en la siguiente sección. Cabe señalar que si el interruptor cambia de posición en el momento en vez de en hay un retraso en la respuesta, de modo que la ecua- ción (7.53) se convierte en (7.54) donde es el valor inicial en Tenga en cuenta que la ecuación (7.53) o (7.54) sólo se aplica a respuestas de escalón; esto es, cuando la exci- tación de entrada es constante. t ϭ t0 ϩ .v(t0) v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(t0) Ϫ v(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t t ϭ 0,t ϭ t0 El interruptor en la figura 7.43 ha estado mucho tiempo en la posición A. En se mueve a B. Determine para y calcule su valor en y 4 s. t ϭ 1 st 7 0v(t)t ϭ 0, Figura 7.43 Para el ejemplo 7.10. Solución: Para el interruptor está en la posición A. El capacitor actúa como un circuito abierto en cd, pero v es igual que la tensión a lo largo del resistor de 5 k⍀. Así, la tensión del capacitor justo antes de se obtiene por división de tensión como Con base en el hecho de que la tensión del capacitor no puede cambiar instan- táneamente, Para el interruptor está en la posición B. La resistencia de Thevenin conectada al capacitor es y la constante de tiempo es Dado que el capacitor actúa como un circuito abierto en cd en estado estable, Por consiguiente, En En v(4) ϭ 30 Ϫ 15eϪ2 ϭ 27.97 V t ϭ 4, v(1) ϭ 30 Ϫ 15eϪ0.5 ϭ 20.9 V t ϭ 1, ϭ 30 ϩ (15 Ϫ 30)eϪt͞2 ϭ (30 Ϫ 15eϪ0.5t ) V v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t v(ϱ) ϭ 30 V. t ϭ RThC ϭ 4 ϫ 103 ϫ 0.5 ϫ 10Ϫ3 ϭ 2 s RTh ϭ 4 k⍀, t 7 0, v(0) ϭ v(0Ϫ ) ϭ v(0ϩ ) ϭ 15 V v(0Ϫ ) ϭ 5 5 ϩ 3 (24) ϭ 15 V t ϭ 0 t 6 0, 3 kΩ 24 V 30 Vv5 kΩ 0.5 mF 4 kΩ + − + − t = 0 A B + − Ejemplo 7.10
- 306. 278 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Solución: La corriente del resistor i puede ser discontinua en mientras que la ten- sión del capacitor no puede serlo. Así, siempre es mejor hallar y después obtener i de Por definición de la función de escalón unitario, Para el interruptor está cerrado y de modo que la fuente de tensión se remplaza por un cortocircuito y debe considerarse que no contribuye en nada a Puesto que el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo, la tensión del capacitor ha llegado al estado estable y el capacitor actúa como un circuito abierto. Por lo tanto, el circuito se convierte en el que se mues- tra en la figura 7.46a) para De este circuito se obtiene Dado que la tensión del capacitor no puede cambiar instantáneamente, Para el interruptor está abierto y la fuente de tensión de 10 V se desconecta del circuito. La fuente de tensión entra ahora en operación, así que el circuito se convierte en el que aparece en la figura 7.46b). Después de mucho tiempo, el circuito llega al estado estable y el capacitor actúa de nuevo como un circuito abierto. Se obtiene aplicando la división de tensión, y se escribe v(ϱ) ϭ 20 20 ϩ 10 (30) ϭ 20 V v(ϱ) 30u(t) t 7 0, v(0) ϭ v(0Ϫ ) ϭ 10 V v ϭ 10 V, i ϭ Ϫ v 10 ϭ Ϫ1 A t 6 0. v. 30u(t) 30u(t) ϭ 0,t 6 0, 30u(t) ϭ b 0, t 6 0 30, t 7 0 v. vv t ϭ 0, Halle para en el circuito de la figura 7.44. Suponga que el inte- rruptor ha estado abierto mucho tiempo y se cierra en Calcule en Respuesta: Ϫ5 ϩ 15eϪ2t V, 0.5182 V. t ϭ 0.5. v(t)t ϭ 0. t 7 0v(t) Figura 7.44 Para el problema de práctica 7.10. En la figura 7.45, el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y se abre en Halle i y para cualquier tiempo.vt ϭ 0. Figura 7.45 Para el problema 7.11. Figura 7.46 Solución del ejemplo 7.11: a) para b) para t 7 0. t 6 0, 2 Ω 10 V 5 Vv 6 Ω + − + − t = 0 F1 3 + − 10 Ω 30u(t) V 10 Vv20 Ω+ − + − i t = 0 F 1 4 + − 10 Ω 10 V + − v20 Ω + − i a) 10 Ω 30 V + − v20 Ω+ − i b) F 1 4 Problema de práctica 7.10 Ejemplo 7.11
- 307. 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 279 La resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor es y la constante de tiempo es En consecuencia, Para obtener i, se advierte en la figura 7.46b) que i es la suma de las corrien- tes a través del resistor de 20 ⍀ y del capacitor; es decir, Obsérvese en la figura 7.46b) que se satisface como era de espe- rar. Por lo tanto, Cabe indicar que la tensión del capacitor es continua, en tanto que la corriente del resistor no lo es. i ϭ b Ϫ1 A, t 6 0 (1 ϩ eϪ0.6t ) A, t 7 0 v ϭ b 10 V, t 6 0 (20 Ϫ 10eϪ0.6t ) V, t Ն 0 v ϩ 10i ϭ 30 ϭ 1 Ϫ 0.5eϪ0.6t ϩ 0.25(Ϫ0.6)(Ϫ10)eϪ0.6t ϭ (1 ϩ eϪ0.6t ) A i ϭ v 20 ϩ C dv dt ϭ 20 ϩ (10 Ϫ 20)eϪ(3͞5)t ϭ (20 Ϫ 10eϪ0.6t ) V v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t t ϭ RTh C ϭ 20 3 ؒ 1 4 ϭ 5 3 s RTh ϭ 10 ʈ 20 ϭ 10 ϫ 20 30 ϭ 20 3 ⍀ El interruptor en la figura 7.47 se cierra en Halle y en cualquier tiempo. Tenga en cuenta que para y 0 para También, que u(Ϫt) ϭ 1 Ϫ u(t). t 7 0.t 6 0u(Ϫt) ϭ 1 v(t)i(t)t ϭ 0. Figura 7.47 Para el problema de práctica 7.11. Respuesta: v ϭ b 20 V, t 6 0 10(1 ϩ eϪ1.5t ) V, t 7 0 i(t) ϭ b 0, t 6 0 Ϫ2(1 ϩ eϪ1.5t ) A, t 7 0 , 5 Ω + −20u(−t) V 10 Ω0.2 F 3 Av i t = 0 + − Problema de práctica 7.11
- 308. 280 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Respuesta escalón de un circuito RL Considere el circuito RL de la figura 7.48a), el cual puede remplazarse por el circuito de la figura 7.48b). De nuevo la meta es hallar la corriente del in-duc- tor i como la respuesta del circuito. En lugar de aplicar las leyes de Kirchhoff, se utilizará la técnica simple de las ecuaciones (7.50) a (7.53). Sea la respuesta la suma de la corriente natural y la corriente forzada, (7.55) Se sabe que la respuesta natural es siempre un decaimiento exponencial, es decir (7.56) donde A es una constante por determinar. La respuesta forzada es el valor de la corriente mucho tiempo después de que el interruptor en la figura 7.48a) se cierra. Se sabe que la respuesta natural se extingue en esencia después de cinco contantes de tiempo. En este momento, el inductor se convierte en un cortocircuito, y la tensión entre sus terminales es de cero. La tensión de fuente entera aparece a través de R. Así, la respuesta forzada es (7.57) La sustitución de las ecuaciones (7.56) y (7.57) en la ecuación (7.55) da (7.58) Ahora se determina la constante A a partir del valor inicial de i. Sea que es la corriente inicial a través del inductor, la cual puede proceder de una fuente distinta a Como la corriente a través del inductor no puede cambiar instan- táneamente, (7.59) Así, en la ecuación (7.58) se convierte en De esta expresión se obtiene A como La sustitución de A en la ecuación (7.58) produce (7.60) Ésta es la respuesta completa del circuito RL a cual se ilustra en la figura 7.49. La respuesta en la ecuación (7.60) puede escribirse como (7.61)i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t i(t) ϭ Vs R ϩ aI0 Ϫ Vs R beϪt͞t A ϭ I0 Ϫ Vs R I0 ϭ A ϩ Vs R t ϭ 0, i(0ϩ ) ϭ i(0Ϫ ) ϭ I0 Vs. I0 i ϭ AeϪt͞t ϩ Vs R iss ϭ Vs R Vs it ϭ AeϪt͞t , t ϭ L R i ϭ it ϩ iss 7.6 Figura 7.48 Circuito RL con entrada de escalón de tensión. Figura 7.49 Respuesta total del circuito RL con corriente inicial del inductor I0. R Vs t = 0 i + − + − v(t)L a) i R Vsu(t) + − + − v(t)L b) 0 t i(t) Vs R I0
- 309. 7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 281 donde e son los valores inicial y final de i, Así, para hallar la res- puesta escalón de un circuito RL se requieren tres datos: i(ϱ)i(0) 1. La corriente inicial del inductor en 2. La corriente final del inductor 3. La constante de tiempo t. i(ϱ). t ϭ 0.i(0) Se obtiene el punto 1 del circuito dado para y los puntos 2 y 3 del cir- cuito para Una vez determinados estos puntos, se obtiene la respuesta con el uso de la ecuación (7.61). Tenga en cuenta que esta técnica sólo se apli- ca ante respuestas de tipo escalón. De nueva cuenta, si la conmutación tiene lugar en el tiempo en vez de la ecuación (7.61) se convierte en (7.62) Si entonces (7.63a) o sea (7.63b) Ésta es la respuesta escalón del circuito RL sin corriente inicial del inductor. La tensión en el inductor se obtiene de la ecuación (7.63) aplicando Así se obtiene o sea (7.64) En la figura 7.50 se muestran las respuestas de escalón en las ecuaciones (7.63) y (7.64). v(t) ϭ VseϪt͞t u(t) v(t) ϭ L di dt ϭ Vs L tR eϪt͞t , t ϭ L R , t 7 0 v ϭ L di͞dt. i(t) ϭ Vs R (1 Ϫ eϪt͞t )u(t) i(t) ϭ c 0, t 6 0 Vs R (1 Ϫ eϪt͞t ), t 7 0 I0 ϭ 0, i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(t0) Ϫ i(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t t ϭ 0, t ϭ t0 t 7 0. t 6 0 Figura 7.50 Respuestas escalón de un circuito RL sin corriente inicial del inductor: a) respuesta en corriente, b) respuesta en tensión. 0 t v(t) 0 t i(t) Vs R a) b) Vs
- 310. 282 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Halle en el circuito de la figura 7.51 para Suponga que el interrup- tor ha estado cerrado mucho tiempo. Solución: Cuando el resistor de 3 ⍀ está en cortocircuito y el inductor actúa como un cortocircuito. La corriente que circula por el inductor en (es decir, justo antes de que ) es Como la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente, Cuando el interruptor está abierto. Los resistores de 2 ⍀ y 3 ⍀ están en serie, así que La resistencia de Thevenin por las terminales del inductor es En cuanto a la constante de tiempo, Por lo tanto, Comprobación: En la figura 7.51, para debe satisfacerse la LTK; esto es, Esto confirma el resultado. 5i ϩ L di dt ϭ [10 ϩ 15eϪ15t ] ϩ c 1 3 (3)(Ϫ15)eϪ15t d ϭ 10 10 ϭ 5i ϩ L di dt t 7 0, ϭ 2 ϩ (5 Ϫ 2)eϪ15t ϭ 2 ϩ 3eϪ15t A, t 7 0 i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t t ϭ L RTh ϭ 1 3 5 ϭ 1 15 s RTh ϭ 2 ϩ 3 ϭ 5 ⍀ i(ϱ) ϭ 10 2 ϩ 3 ϭ 2 A t 7 0, i(0) ϭ i(0ϩ ) ϭ i(0Ϫ ) ϭ 5 A i(0Ϫ ) ϭ 10 2 ϭ 5 A t ϭ 0 t ϭ 0Ϫ t 6 0, t 7 0.i(t) Figura 7.51 Para el ejemplo 7.12. El interruptor en la figura 7.52 ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en Halle para Respuesta: t 7 0.(2 ϩ eϪ10t ) A, t 7 0.i(t)t ϭ 0. Figura 7.52 Para el problema de práctica 7.12. 2 Ω 3 Ω + −10 V i t = 0 H 1 3 1.5 H 10 Ω5 Ω 3 At = 0 i Ejemplo 7.12 Problema de práctica 7.12
- 311. 7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 283 En el interruptor 1 en la figura 7.53 se cierra, y el interruptor 2 se cierra 4 s después. Halle para Calcule i para y t ϭ 5 s.t ϭ 2 st 7 0.i(t) t ϭ 0, Figura 7.53 Para el ejemplo 7.13. Solución: Se deben considerar por separado los tres intervalos de tiempo: t Յ 0, 0 Յ t Յ 4 y t Ն 4. Para los interruptores y están abiertos, así que Dado que la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente, Para está cerrado, de modo que los resistores de 4 ⍀ y 6 ⍀ están en serie. (Recuerde que en ese momento también está abierto.) Así, suponiendo por ahora que está cerrado para siempre, Por lo tanto, Para está cerrado; la fuente de tensión de 10 V se conecta, y el circuito cambia. Este súbito cambio no afecta la corriente del inductor, porque la corriente no puede cambiar abruptamente. Entonces, la corriente inicial es Para hallar sea la tensión en el nodo P de la figura 7.53. Al aplicar la LCK, La resistencia de Thevenin en las terminales del inductor es y t ϭ L RTh ϭ 5 22 3 ϭ 15 22 s RTh ϭ 4 ʈ 2 ϩ 6 ϭ 4 ϫ 2 6 ϩ 6 ϭ 22 3 ⍀ i(ϱ) ϭ v 6 ϭ 30 11 ϭ 2.727 A 40 Ϫ v 4 ϩ 10 Ϫ v 2 ϭ v 6 1 v ϭ 180 11 V vi(ϱ), i(4) ϭ i(4Ϫ ) ϭ 4(1 Ϫ eϪ8 ) Ӎ 4 A t Ն 4, S2 ϭ 4 ϩ (0 Ϫ 4)eϪ2t ϭ 4(1 Ϫ eϪ2t ) A, 0 Յ t Յ 4 i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t t ϭ L RTh ϭ 5 10 ϭ 1 2 s i(ϱ) ϭ 40 4 ϩ 6 ϭ 4 A, RTh ϭ 4 ϩ 6 ϭ 10 ⍀ S1 S2 0 Յ t Յ 4, S1 i(0Ϫ ) ϭ i(0) ϭ i(0ϩ ) ϭ 0 i ϭ 0.S2S1t 6 0, 4 Ω 6 Ω + − + − 40 V 10 V 2 Ω 5 H i t = 0 t = 4 S1 S2 P Ejemplo 7.13
- 312. 284 Capítulo 7 Circuitos de primer orden De ahí que Se necesita en la función exponencial, a causa del retraso. Así, Al reunir todo esto, En En i(5) ϭ 2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667 ϭ 3.02 A t ϭ 5, i(2) ϭ 4(1 Ϫ eϪ4 ) ϭ 3.93 A t ϭ 2, i(t) ϭ c 0, t Յ 0 4(1 Ϫ eϪ2t ), 0 Յ t Յ 4 2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667(tϪ4) , t Ն 4 ϭ 2.727 ϩ 1.273eϪ1.4667(tϪ4) , t Ն 4 i(t) ϭ 2.727 ϩ (4 Ϫ 2.727)eϪ(tϪ4)͞t , t ϭ 15 22 (t Ϫ 4) i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(4) Ϫ i(ϱ)]eϪ(tϪ4)͞t , t Ն 4 El interruptor en la figura 7.54 se cierra en y el interruptor se cierra en Calcule para cualquier t. Halle e Respuesta: i(3) ϭ 3.589 A.i(1) ϭ 1.9997 A, i(t) ϭ c 0, t 6 0 2(1 Ϫ eϪ9t ), 0 6 t 6 2 3.6 Ϫ 1.6eϪ5(tϪ2) , t 7 2 i(3).i(1)i(t)t ϭ 2 s. S2t ϭ 0,S1 Figura 7.54 Para el problema de práctica 7.13. Circuitos de primer orden con amplificadores operacionales Un circuito con un amplificador operacional que contenga un elemento de alma- cenamiento exhibirá un comportamiento de primer orden. Los diferenciadores e integradores tratados en la sección 6.6 son ejemplos de circuitos de amplifica- dores operacionales de primer orden. También por razones prácticas, en esta ocasión los inductores difícilmente se emplean en circuitos de amplificadores operacionales; por lo tanto, los circuitos de amplificadores operacionales consi- derados aquí son del tipo RC. Como de costumbre, se analizan circuitos de amplificadores operacionales aplicando el análisis nodal. A veces el circuito equivalente de Thevenin se utili- za para reducir el circuito de amplificador operacional en uno fácil de manejar. Los tres ejemplos siguientes ilustran estos conceptos. El primero se refiere a un circuito de amplificador operacional sin fuente, mientras que los otros dos implican respuestas de escalón. Los tres se han seleccionado con cuidado para cubrir todos los tipos RC posibles de circuitos de amplificadores operaciona- les, dependiendo de la ubicación del capacitor respecto al amplificador operacio- nal; esto es, el capacitor puede ubicarse en la entrada, la salida o el lazo de retroalimentación. 7.7 10 Ω 15 Ω 20 Ω 6 A 5 H t = 0 S1 t = 2 S2 i(t) Problema de práctica 7.13
- 313. 7.7 Circuitos de primer orden con amplificadores operacionales 285 Solución: Este problema puede resolverse de dos maneras: ■ MÉTODO 1 Considere el circuito de la figura 7.55a). Derívese la ecua- ción diferencial correspondiente aplicando el análisis nodal. Si es la tensión en el nodo 1, en ese nodo la LCK da por resultado (7.14.1) Puesto que los nodos 2 y 3 deben estar al mismo potencial, el potencial en el nodo 2 es de cero. Así, o y la ecuación (7.14.1) se con- vierte en (7.14.2) Esta ecuación es similar a la ecuación (7.4b), de modo que la solución se obtiene de la misma manera que en la sección 7.2, es decir (7.14.3) donde es la tensión inicial a lo largo del capacitor. Pero y En consecuencia, (7.14.4) La aplicación de la LCK al nodo 2 da como resultado o sea (7.14.5) Ahora se puede hallar de esta forma: vo ϭ Ϫ80 ϫ 103 ϫ 5 ϫ 10Ϫ6 (Ϫ30eϪ10t ) ϭ 12eϪ10t V, t 7 0 v0 vo ϭ ϪRf C dv dt C dv dt ϭ 0 Ϫ vo Rf v(t) ϭ 3eϪ10t t ϭ 20 ϫ 103 ϫ 5 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.1. v(0) ϭ 3 ϭ V0V0 v(t) ϭ V0eϪt͞t , t ϭ R1C dv dt ϩ v CR1 ϭ 0 v1 ϭ vv1 Ϫ 0 ϭ v 0 Ϫ v1 R1 ϭ C dv dt v1 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 7.55a), halle para dado que Sean y C ϭ 5 mF. Rf ϭ 80 k⍀, R1 ϭ 20 k⍀,v(0) ϭ 3 V.t 7 0,vo Figura 7.55 Para el ejemplo 7.14. vo v + − R1 Rf a) + − 3 21 1 vo (0+ ) 3 V + − b) + − 3 2 vo v + − c) 80 kΩ80 kΩ 20 kΩ20 kΩ 1 AC −+ C + − + − + − Ejemplo 7.14
- 314. 286 Capítulo 7 Circuitos de primer orden ■ MÉTODO 2 Aplíquese el método abreviado de la ecuación (7.53). Se debe hallar vo(0ϩ ), vo(ϱ) y Dado que se aplica la LCK al nodo 2 del circuito de la figura 7.55b) para obtener o Como el circuito no tiene fuente, Para hallar se necesita la resistencia equivalente entre las terminales del capacitor. Si se elimina el capacitor y se remplaza por una fuente de corriente de 1 A, se tiene el circuito que aparece en la figura 7.55c). La aplicación de la LTK al lazo de entrada produce Por consiguiente, y Así, como se obtuvo anteriormente. ϭ 0 ϩ (12 Ϫ 0)eϪ10t ϭ 12eϪ10t V, t 7 0 vo(t) ϭ vo(ϱ) ϩ [vo(0) Ϫ vo(ϱ)]eϪt͞t t ϭ ReqC ϭ 0.1. Req ϭ v 1 ϭ 20 k⍀ 20,000(1) Ϫ v ϭ 0 1 v ϭ 20 kV Reqt, v(ϱ) ϭ 0 V.vo(0ϩ ) ϭ 12 V. 3 20,000 ϩ 0 Ϫ vo(0ϩ ) 80,000 ϭ 0 v(0ϩ ) ϭ v(0Ϫ ) ϭ 3 V,t. En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.56, halle para si Suponga que R1 ϭ 10 k⍀ y Respuesta: Ϫ4eϪ2t V, t 7 0 . C ϭ 10 mF. Rf ϭ 50 k⍀,v(0) ϭ 4 V.t 7 0vo Figura 7.56 Para el problema de práctica 7.14. Determine y en el circuito de la figura 7.57. Solución: Este problema puede resolverse de dos maneras, justo como el del ejemplo anterior. Sin embargo, sólo se aplicará el segundo método. Como lo que se bus- ca es la respuesta escalón, se puede aplicar la ecuación (7.53) y escribir (7.15.1)v(t) ϭ v(ϱ) ϩ [v(0) Ϫ v(ϱ)]eϪt͞t , t 7 0 vo(t)v(t) vo + − R1 Rf v+ − C + − Problema de práctica 7.14 Ejemplo 7.15
- 315. 7.7 Circuitos de primer orden con amplificadores operacionales 287 donde sólo se necesita hallar la constante de tiempo el valor inicial y el valor final Adviértase que esto se aplica estrictamente a la tensión del capacitor debida a la entrada del escalón. Puesto que no entra corriente a las terminales de entrada del amplificador operacional, los elementos en el lazo de retroalimentación del amplificador constituyen un circuito RC con (7.15.2) Para el interruptor está abierto y no hay tensión en el capacitor. Así, Para se obtiene la tensión en el nodo 1 por división de ten- sión como (7.15.3) Dado que en el lazo de entrada no hay ningún elemento de almacenamiento, permanece constante para cualquier t. En estado estable, el capacitor actúa como un circuito abierto, de modo que el circuito del amplificador operacional es un amplificador no inversor. Así, (7.15.4) Pero (7.15.5) de tal forma que La sustitución de , v(0) y en la ecuación (7.15.1) da (7.15.6) De las ecuaciones (7.15.3), (7.15.5) y (7.15.6) se obtiene (7.15.7)vo(t) ϭ v1(t) Ϫ v(t) ϭ 7 Ϫ 5eϪ20t V, t 7 0 v(t) ϭ Ϫ5 ϩ [0 Ϫ (Ϫ5)]eϪ20t ϭ 5(eϪ20t Ϫ 1) V, t 7 0 v(ϱ) v(ϱ) ϭ 2 Ϫ 7 ϭ Ϫ5 V v1 Ϫ vo ϭ v vo(ϱ) ϭ a1 ϩ 50 20 bv1 ϭ 3.5 ϫ 2 ϭ 7 V v1 v1 ϭ 20 20 ϩ 10 3 ϭ 2 V t 7 0,v(0) ϭ 0. t 6 0, t ϭ RC ϭ 50 ϫ 103 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.05 v(ϱ). v(0),t, Figura 7.57 Para el ejemplo 7.15. Figura 7.58 Para el problema de práctica 7.15. Halle y en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.58. Respuesta: 40(eϪ10t Ϫ 1) mV.40(1 Ϫ eϪ10t ) mV, vo(t)v(t) vo v1 + − 3 V v+ − 1 F 50 kΩ 20 kΩ 20 kΩ+ − t = 0 10 kΩ + − vo + − 4 mV v+ − 1 F 100 kΩ + − t = 0 10 kΩ + − Problema de práctica 7.15
- 316. 288 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Para obtener considere el circuito de la figura 7.60b), donde es la resistencia de salida del amplificador operacional. Puesto que se está suponiendo un amplificador operacional ideal, y Al sustituir los valores numéricos dados, El circuito equivalente de Thevenin se presenta en la figura 7.61, la cual es simi- lar a la figura 7.40. De ahí que la solución sea similar a la de la ecuación (7.48); esto es, donde Así, la respuesta de escalón para es vo(t) ϭ 2.5(eϪ100t Ϫ 1)u(t) V t 7 0 t ϭ RThC ϭ 5 ϫ103 ϫ2 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.01. vo(t) ϭ Ϫ2.5(1 Ϫ eϪt͞t )u(t) RTh ϭ R2R3 R2 ϩ R3 ϭ 5 k⍀ VTh ϭ Ϫ R3 R2 ϩ R3 Rf R1 vi ϭ Ϫ 10 20 50 20 2u(t) ϭ Ϫ2.5u(t) RTh ϭ R2 ʈ R3 ϭ R2R3 R2 ϩ R3 Ro ϭ 0, RoRTh, Halle la respuesta de escalón para en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.59. Sean Solución: Nótese que el capacitor del ejemplo 7.14 se ubicaba en el lazo de entrada, mien- tras que el del ejemplo 7.15 está en el lazo de retroalimentación. En este ejemplo el capacitor se sitúa en la salida del amplificador operacional. También esta vez se puede resolver el problema aplicando directamente el análisis nodal. Pero el empleo del circuito equivalente de Thevenin puede simplificar el problema. Se elimina temporalmente el capacitor y se halla el equivalente de Thevenin en sus terminales. Para obtener considere el circuito de la figura 7.60a). Dado que el circuito es un amplificador inversor, Por división de tensión, VTh ϭ R3 R2 ϩ R3 Vab ϭ Ϫ R3 R2 ϩ R3 Rf R1 vi Vab ϭ Ϫ Rf R1 vi VTh, 2 mF.R2 ϭ R3 ϭ 10 k⍀, C ϭ Rf ϭ 50 k⍀,R1 ϭ 20 k⍀,vi ϭ 2u(t) V, t 7 0vo(t) Figura 7.59 Para el ejemplo 7.16. Figura 7.60 Obtención de y a través del capacitor de la figura 7.59.RThVTh Figura 7.61 Circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 7.59. vi vo + − C + − R1 Rf R2 R3 + − vi + − R1 Rf R2 R3 + − Vab VTh + − a b a) b) RTh Ro R2 R3 + − 5 kΩ + −−2.5u(t) 2 F Ejemplo 7.16
- 317. 7.8 Análisis transitorio con PSpice 289 Análisis transitorio con PSpice Como se explicó en la sección 7.5, la respuesta transitoria es la respuesta tem- poral del circuito que pronto desaparece. PSpice puede usarse para obtener la respuesta transitoria de un circuito con elementos de almacenamiento. La sección D.4 del apéndice D contiene una revisión de análisis transitorio usando PSpice for Windows. Es recomendable que lea esa sección antes de continuar con ésta. De ser necesario, primero se efectúa análisis en cd con PSpice para deter- minar las condiciones iniciales. Éstas se utilizan después en el análisis transi- torio con PSpice para obtener las respuestas transitorias. Se recomienda, aunque no es indispensable que, durante ese análisis en cd, todos los capacitores estén en circuito abierto, y todos los inductores en cortocircuito. 7.8 Obtenga la respuesta escalón del circuito de la figura 7.62. Sean Respuesta: 6(1 Ϫ eϪ50t )u(t) V. C ϭ 2 mF.R2 ϭ R3 ϭ 10 k⍀,Rf ϭ 40 k⍀,R1 ϭ 20 k⍀, vi ϭ 2u(t) V,vo(t) Figura 7.62 Para el problema de práctica 7.16. Use PSpice para hallar la respuesta para en el circuito de la figura 7.63. Solución: La resolución de este problema a mano da así que Para usar PSpice, primero se dibuja el esquema que aparece en la figura 7.64. Recuérdese del apéndice D que el nombre de parte para un interruptor ce- rrado es Sw_tclose. No es necesario especificar la condición inicial del inductor, porque PSpice la determinará con base en el circuito. Al seleccionar Analysis/ Setup/Transient, se fija Print Step en 25 ms y Final Step en 5 = 2.5 s. Tras guardar el circuito, se simula seleccionando Analysis/Simulate. En la ventana A/D de PSpice se selecciona Trace/Add para exhibir –I(L1) como la corriente a través del inductor. En la figura 7.65 se muestra la gráfica de la cual con- cuerda con la obtenida mediante el cálculo manual. i(t), i(t) ϭ i(ϱ) ϩ 3i(0) Ϫ i(ϱ)4eϪt͞t ϭ 2(1 Ϫ eϪ2t ), t 7 0 3͞6 ϭ 0.5 s, RTh ϭ 6, t ϭi(0) ϭ 0, i(ϱ) ϭ 2 A, t 7 0i(t) PSpice usa “transitorio” en el sentido de “función del tiempo”. Así, la res- puesta transitoria en PSpice realmente podría no extinguirse de acuerdo a lo esperado. Figura 7.63 Para el ejemplo 7.17. Figura 7.64 Esquema del circuito de la figura 7.63. 1.5 A 0.5 A 2.0 A 1.0 A 0 A 0 s 1.0 s 2.0 s 3.0 s -I(L1) Time Figura 7.65 Para el ejemplo 7.17; respuesta del cir- cuito de la figura 7.63. Rf + − R1 R2 R3 vovi + − C + − 4 Ω 2 Ω6 A 3 H t = 0 i(t) R2 26 A 3 H IDC R1 L1 tClose = 0 1 2 U1 4 0 Problema de práctica 7.16 Ejemplo 7.17
- 318. 290 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Nótese que el signo negativo de I(L1) es necesario, ya que la corriente entra por la terminal superior del inductor, que es la terminal negativa luego de una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj. Una forma de evitar el signo negativo es garantizar que la corriente entre por la terminal 1 del induc- tor. Para obtener la dirección deseada del flujo positivo de corriente, el símbolo del inductor inicialmente horizontal debe hacerse girar en sentido con- trario a las manecillas del reloj y colocársele en la dirección deseada. 270Њ En referencia al circuito de la figura 7.66, use Pspice para hallar para Respuesta: La respuesta es de forma similar a la de la figura 7.65. t 7 0.v(t) ϭ 8(1 Ϫ eϪt ) V, t 7 0. v(t) 3 Ω + −12 V 6 Ω 0.5 F + − v(t) t = 0 Figura 7.66 Para el problema de práctica 7.17. 12 Ω + −30 V 3 Ω6 Ω6 Ω 0.1 F 4 A + −t = 0 t = 0 a) v(t) 6 Ω 6 Ω 12 Ω + − 0.1 F + −v(t) 30 V b) 10 Ω + − 0.1 F + −v(t) 10 V c) Figura 7.67 Para el ejemplo 7.18. Circuito original a), circuito para t Ͼ 0 b), y circuito reducido para t Ͼ 0 c). En el circuito de la figura 7.67, determine la respuesta v(t). Problema de práctica 7.17 Ejemplo 7.18
- 319. 7.8 Análisis transitorio con PSpice 291 Solución: 1. Definir. El problema está claramente formulado y el circuito claramente rotulado. 2. Presentar. Dado el circuito que aparece en la figura 7.67, determine la respuesta 3. Alternativas. Se puede resolver este circuito aplicando el análisis nodal, el análisis de lazo o PSpice. Resuélvase con el análisis nodal y compruébese después la respuesta usando dos métodos de PSpice. 4. Intentar. Para el tiempo el interruptor de la izquierda está abierto y el de la derecha está cerrado. Supóngase que el interruptor de la derecha ha estado cerrado el tiempo suficiente para que el circuito llegue al estado estable; así, el capacitor actúa como un circuito abierto y la corriente procedente de la fuente de 4 A fluye por la combinación en paralelo de 6 ⍀ y 3 ⍀ (6 || 3 ϭ 18/9 ϭ 2), lo que produce una tensión En el interruptor de la izquierda se cierra y el de la derecha se abre, lo que produce el circuito que se muestra en la figura 7.67b). La manera más sencilla de completar la solución es hallar el circuito equivalente de Thevenin visto desde el capacitor. La tensión de circuito abierto (eliminado el capacitor) es igual a la caída de tensión en el resistor de 6 ⍀ de la izquierda, o 10 V (la tensión cae de modo uniforme en el resistor de 12 ⍀, 20 V, y a través del resistor de 6 ⍀, 10 V). Ésta es La resistencia que va hacia dentro desde donde estaba el capacitor es igual a lo cual es la Esto produce el circuito equivalente de Thevenin que aparece en la figura 7.67c). Al conjuntar las condiciones de frontera (v(0) ϭ Ϫ8 V y v(ϱ) ϭ 10 V) y se obtiene 5. Evaluar. Hay dos maneras de resolver este problema usando PSpice. ■ MÉTODO 1 Una manera es hacer primero el análisis en cd de PSpice para determinar la tensión inicial del capacitor. El esquema del circuito correspondiente se observa en la figura 7.68a). Se han insertado dos seudo- componentes VIEWPOINT para medir la tensión en los nodos 1 y 2. Al simu- lar el circuito, se obtiene los valores exhibidos en la figura 7.68a) como y Así, la tensión inicial del capacitor es El análisis transitorio de PSpice se sirve de este valor junto con el esquema de la figura 7.68b). Una vez trazado el esquema de esta última figura, se inserta la tensión inicial del capacitor como Se selecciona Analysis/Setup/Transient y se fija Print Step en 0.1 s y Final Step en 4 ϭ 4 s. Tras guardar el circuito, se selecciona Analysis/Simulate para simular el cir- cuito. En la ventana A/D de PSpice se selecciona Trace/ Add y se despliega V(R2:2) Ϫ V(R3:2) o V(C1:1) Ϫ V(C1:2) como la tensión del capacitor La gráfica de se muestra en la figura 7.69. Esto concuerda con el resul- tado obtenido por cálculo manual, v(t) ϭ 10 Ϫ 18e–t V. v(t) v(t). IC ϭ Ϫ8. V1 Ϫ V2 ϭ Ϫ8 V. v(0) ϭV2 ϭ 8 V.V1 ϭ 0 V v(t) ϭ 10 Ϫ 18eϪt V RC ϭ 1,t ϭ Req. 72͞18 ϩ 6 ϭ 10 ⍀,12 ʈ 6 ϩ 6 ϭ VTh. t ϭ 0, 8 V ϭ Ϫv(0).2 ϫ 4 ϭ 60, v(t).
- 320. 292 Capítulo 7 Circuitos de primer orden ■ MÉTODO 2 Se puede simular el circuito de la figura 7.67 directamente, ya que PSpice puede manejar los interruptores abierto y cerrado y determinar automáticamente las condiciones iniciales. Siguiendo este método, se traza el esquema que aparece en la figura 7.70. Después de dibujar el circuito, se se- lecciona Analysis/Setup/Transient y se fija Print Step en 0.1 s y Final Step en Se guarda el circuito y se selecciona Analysis/Simulate para simular el circuito. En la ventana A/D de PSpice se selecciona Trace/Add y se despliega como la tensión del capacitor La gráfica de es igual a la que aparece en la figura 7.69.v(t) v(t).V(R2:2) Ϫ V(R3:2) 4t ϭ 4 s. 0.0000 8.0000 6 4A 0.1 1 R3 3R4 I1 2 6R2 0 C1 a) 6 12 R2 6R330 V 0 R1 b) + − 0.1 C1 V1 5 V −5 V 10 V 0 V −10 V 0 s 1.0 s 2.0 s 3.0 s 4.0 s V(R2:2) − V(R3:2) Time Figura 7.68 a) Esquema para el análisis en cd para obtener , b) esquema para el análisis transitorio realizado para obtener la respuesta v(t). v(0) Figura 7.69 Respuesta del circuito de la figura 7.67.v(t) R1 630 V 4 AR2 6R3 3R4 I1 tClose = 0 1 2 12 U1 1 2 U2 0 + − tOpen = 0 0.1 C1 V1 Figura 7.70 Para el ejemplo 7.18. 6. ¿Satisfactorio? Es evidente que se ha hallado el valor de la respuesta de salida tal como se pidió en el enunciado del problema. La comprobación valida esa solución. Se puede presentar todo esto como una solución completa del problema. v(t),
- 321. 7.9 Aplicaciones 293 Aplicaciones Los diversos dispositivos en los que los circuitos RC y RL encuentran aplicación incluyen el filtrado en fuentes de potencia de cd, circuitos suavizadores en co- municaciones digitales, diferenciadores, integradores, circuitos de retraso y circui- tos relevadores. Algunas de estas aplicaciones utilizan constantes de tiempo grandes o pequeñas de los circuitos RC o RL. Aquí se considerarán cuatro apli- caciones simples. Las dos primeras son circuitos RC, las otras dos son circuitos RL. 7.9.1 Circuitos de retraso Un circuito RC puede emplearse para proporcionar diferentes retrasos. En la figura 7.73 se presenta un circuito de este tipo. Consta básicamente de un cir- cuito RC con el capacitor conectado en paralelo con una lámpara de neón. La fuente de tensión puede ser suficiente para encender la lámpara. Cuando el inte- rruptor se cierra, la tensión del capacitor aumenta gradualmente hasta 110 V a un ritmo determinado por la constante de tiempo del circuito, La(R1 ϩ R2)C. 7.9 El interruptor en la figura 7.71 estuvo abierto mucho tiempo, pero se cerró en Si halle para a mano y también con PSpice. Respuesta: La gráfica de obtenida mediante el análi- sis con PSpice se muestra en la figura 7.72. i(t)i(t) ϭ 6 ϩ 4eϪ5t A. t 7 0i(t)i(0) ϭ 10 A,t ϭ 0. 5 Ω 30 Ω12 A 2 H t = 0 6 Ω i(t) 9 A 10 A 7 A 8 A 6 A 0 s 0.5 s 1.0 s I(L1) Time Figura 7.71 Para el problema de práctica 7.18. Figura 7.72 Para el problema de práctica 7.18. R1 R2 110 V C 0.1 F S + − Lámpara de neón de 70 V Figura 7.73 Circuito RC de retraso. Problema de práctica 7.18
- 322. 294 Capítulo 7 Circuitos de primer orden lámpara actuará como un circuito abiertoy no emitirá luz hasta que la tensión entre sus extremos exceda un nivel particular, por ejemplo 70 V. Una vez alcan- zado el nivel de tensión, la lámpra se enciende, y el capacitor se descarga a tra- vés de ella. Debido a la baja resistencia de la lámpara cuando está encendida, la tensión del capacitor disminuye rápidamente y la lámpara se apaga. Ésta actúa de nuevo como circuito abierto y el capacitor se recarga. Mediante el ajuste de se pueden introducir retrasos cortos o largos en el circuito y hacer que la lám- para se encienda, se recargue y vuelva a encenderse repetidamente cada determi- nada constante de tiempo a causa de que transcurre un periodo antes de que la tensión del capacitor sea suficientemente alta para encender la lámpara o suficientemente baja para apagarla. Las luces intermitentes de advertencia comunes en los emplazamientos de construcción de caminos son un ejemplo de la utilidad de tal circuito de retraso RC. t t ϭ (R1 ϩ R2)C, R2, Considere el circuito de la figura 7.73 y suponga que a) Calcule los límites extremos de la constante de tiempo del circuito. b) ¿Cuánto tarda en encenderse la lámpara por primera vez después de que el interruptor ha estado cerrado? Permita que adopte su mayor valor. Solución: a) El menor valor de es y la correspondiente constante de tiempo del circuito es El valor mayor de es y la correspondiente constante de tiempo del circuito es Así, mediante el adecuado diseño del circuito, la constante de tiempo puede ajustarse para introducir en el circuito el retraso adecuado. b) Suponiendo que el capacitor está inicialmente descargado, mientras que Pero donde como se calculó en el inciso a). La lámpara se enciende cuan- do Si en entonces o sea Al tomar el logaritmo natural de ambos miembros se obtiene Una fórmula más general para hallar es La lámpara se encenderá repetidamente cada segundos si, y sólo si En este ejemplo, esta condición no se satisface. v(t0) 6 v(ϱ).t0 t0 ϭ t ln Ϫv(ϱ) v(t0) Ϫ v(ϱ) t0 t0 ϭ t ln 11 4 ϭ 0.4 ln 2.75 ϭ 0.4046 s eϪt0͞t ϭ 4 11 1 et0͞t ϭ 11 4 70 ϭ 110[1 Ϫ eϪt0͞t ] 1 7 11 ϭ 1 Ϫ eϪt0͞t t ϭ t0,vC(t) ϭ 70 VvC ϭ 70 V. t ϭ 0.4 s, vC(t) ϭ vC(ϱ) ϩ [vC(0) Ϫ vC(ϱ)]eϪt͞t ϭ 110[1 Ϫ eϪt͞t ] vC(ϱ) ϭ 110. vC(0) ϭ 0, t ϭ (R1 ϩ R2)C ϭ (1.5 ϩ 2.5) ϫ 106 ϫ 0.1 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.4 s 2.5 M⍀,R2 t ϭ (R1 ϩ R2)C ϭ (1.5 ϫ 106 ϩ 0) ϫ 0.1 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.15 s 0 ⍀,R2 R2 0 6 R2 6 2.5 M⍀. R1 ϭ 1.5 M⍀,Ejemplo 7.19
- 323. 7.9 Aplicaciones 295 7.9.2 Unidad de flash fotográfico Una unidad de flash electrónico constituye un ejemplo común de circuito RC. Esta aplicación aprovecha la propiedad del capacitor para oponerse a cambios abruptos de tensión. En la figura 7.75 se advierte un circuito simplificado. Éste consta en esencia de una fuente de alta tensión de cd, un resistor limitador de co- rriente grande y un capacitor C en paralelo con la lámpara del flash de baja resistencia Cuando el interruptor está en la posición 1, el capacitor se carga lentamente, debido a la elevada constante de tiempo ( ). Como se mues- tra en la figura 7.76, la tensión del capacitor aumenta en forma gradual de cero a mientras que su corriente decrece en forma gradual de a cero. El tiempo de carga es aproximadamente cinco veces la constante de tiempo, (7.65) Con el interruptor en la posición 2, la tensión del capacitor se descarga. La baja resistencia de la lámpara permite una alta corriente de descarga con en un lapso breve, como se describe de manera gráfica en la fi- gura 7.76b). La descarga tiene lugar en aproximadamente cinco veces la cons- tante de tiempo, (7.66)tdescarga ϭ 5R2C I2 ϭ Vs͞R2 R2 tcarga ϭ 5R1C I1 ϭ Vs͞R1Vs, t1 ϭ R1C R2. R1, El circuito RC de la figura 7.74 se diseña para operar una alarma que se activa cuando la corriente que circula por él excede de Si halle el intervalo de retraso que el resistor variable puede crear. Respuesta: Entre 47.23 ms y 124 ms. 6 k⍀, 0 Յ R Յ120 mA. 10 kΩ R 9 V 80 F 4 kΩ S + − Alarma Figura 7.74 Para el problema de práctica 7.19. R1 + − Fuente de alta tensión de cd R2 C vvs 1 2 i + − Figura 7.75 Circuito de unidad de flash que suministra carga lenta en la posición 1 y descarga rápida en la posición 2. Figura 7.76 a) Tensión del capacitor que exhibe carga lenta y descarga rápida, b) corriente del capacitor que exhibe baja corriente de carga y alta corriente de descarga I2 ϭ Vs͞R2. I1 ϭ Vs͞R1 Así, el circuito RC simple de la figura 7.75 proporciona un pulso de corta duración y alta corriente. Tal circuito también se aplica en la electrosoldadura de punto y el tubo transmisor de radar. 0 t Vs v 0 a) b) −I2 I1 i Problema de práctica 7.19
- 324. 296 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.9.3 Circuitos relevadores Un interruptor controlado magnéticamente se llama relevador. Es esencial- mente un dispositivo electromagnético que sirve para abrir o cerrar un interrup- tor que controla a otro circuito. En la figura 7.77a) se muestra un circuito relevador usual. El circuito de una bobina es un circuito RL como el de la figura Un disparador de flash electrónico tiene un resistor limitador de corriente de 6 k⍀ y un capacitor electrolítico de 2 000 F cargado a 240 V. Si la resistencia de la lámpara es de halle: a) la corriente de carga máxima, b) el tiempo requerido por el capacitor para cargarse por completo, c) la corriente de descarga máxima, d) la energía total almacenada en el capacitor y e) la potencia prome- dio disipada por la lámpara. Solución: a) La máxima corriente de carga es b) A partir de la ecuación (7.65), tcarga ϭ 5R1C ϭ 5 ϫ 6 ϫ 103 ϫ 2 000 ϫ 10Ϫ6 ϭ 60 s ϭ 1 minuto c) La corriente de descarga pico es d) La energía almacenada es e) La energía almacenada en el capacitor se disipa en la lámpara durante el periodo de descarga. A partir de la ecuación (7.66), tdescarga ϭ 5R2C ϭ 5 ϫ 12 ϫ 2 000 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0.12 s Así, la potencia promedio disipada es p ϭ W tdischarge ϭ 57.6 0.12 ϭ 480 watts W ϭ 1 2 CV2 s ϭ 1 2 ϫ 2000 ϫ 10Ϫ6 ϫ 2402 ϭ 57.6 J I2 ϭ Vs R2 ϭ 240 12 ϭ 20 A I1 ϭ Vs R1 ϭ 240 6 ϫ 103 ϭ 40 mA 12 ⍀, La unidad de flash de una cámara tiene un capacitor de 2 mF cargado a 80 V. a) ¿Cuánta carga hay en el capacitor? b) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? c) Si el flash se enciende en 0.8 ms, ¿cuál es la corriente promedio a través del tubo del flash? d) ¿Cuánta potencia se suministra al tubo del flash? e) Una vez tomada una fotografía, el capacitor debe ser recargado por una unidad alimentadora que suministra un máximo de 5 mA. ¿Cuánto tiempo tarda en cargarse el capacitor? Respuesta: a) 0.16 C, b) 6.4 J, c) 200 A, d) 8 kW, e) 32 s. Ejemplo 7.20 Problema de práctica 7.20 tdescarga ϫ 2 000 ϫ
- 325. 7.9 Aplicaciones 297 7.77b), donde R y L son la resistencia y la inductancia de la bobina. Cuando el interruptor de la figura 7.77a) se cierra, el circuito de bobina se activa. La corriente de la bobina aumenta en forma gradual y produce un campo magnético. A la larga el campo magnético es sufi- cientemente fuerte para atraer al contacto móvil del otro circuito y ce- rrar el interruptor En ese momento, se dice que el relevador está activado. El intervalo entre el cierre de los interruptores y se llama tiempo de retraso del relevador. Los relevadores se emplearon en los primeros circuitos digitales y aún se utilizan en circuitos de conmutación alta potencia. S2S1td S2. S1 S2 Bobina Campo magnéticoS1 S1 Vs a) b) Vs R L Figura 7.77 Circuito relevador. La bobina de cierto relevador operada con una batería de 12 V. Si la bobina tiene una resistencia de y una inductancia de 30 mH y la corriente nece- saria para activarla es de 50 mA, calcule el tiempo de retardo del relevador. Solución: La corriente a través de la bobina la da donde Así, Si entonces o sea eϪtd͞t ϭ 3 8 1 etd͞t ϭ 8 3 50 ϭ 80[1 Ϫ eϪtd͞t ] 1 5 8 ϭ 1 Ϫ eϪtd͞t i(td) ϭ 50 mA, i(t) ϭ 80[1 Ϫ eϪt͞t ] mA t ϭ L R ϭ 30 ϫ 10Ϫ3 150 ϭ 0.2 ms i(0) ϭ 0, i(ϱ) ϭ 12 150 ϭ 80 mA i(t) ϭ i(ϱ) ϩ [i(0) Ϫ i(ϱ)]eϪt͞t 150 ⍀ Ejemplo 7.21
- 326. 298 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Al tomar el logaritmo natural de ambos miembros se obtiene Alternativamente, se puede hallar usando td ϭ t ln i(0) Ϫ i(ϱ) i(td) Ϫ i(ϱ) td td ϭ t ln 8 3 ϭ 0.2 ln 8 3 ms ϭ 0.1962 ms Un relevador tiene una resistencia de 200 y una inductancia de 500 mH. Los contactos del relevador se cierran cuando la corriente a través de la bobina llega a 350 mA. ¿Cuánto tiempo transcurre entre la aplicación de 110 V a la bobina y el cierre de los contactos? Respuesta: 2.529 ms. ⍀ 7.9.4 Circuito de encendido de un automóvil La capacidad de los inductores para oponerse a rápidos cambios de corriente los vuelve útiles para la generación de arcos o chispas. Un sistema de encendi- do de automóvil aprovecha esta característica. El motor a gasolina de un automóvil requiere que la mezcla combustible- aire en cada cilindro se encienda en los momentos adecuados. Esto se logra por medio de una bujía (figura 7.78), que consta en esencia de un par de electro- dos separados por un entrehierro. Mediante la creación de gran tensión (miles de volts) entre los electrodos, se forma una chispa en ese espacio, lo que enciende el combustible. Pero, ¿cómo puede obtenerse una tensión tan grande de la bate- ría del auto, que sólo suministra 12 V? Esto se logra por medio de un inductor (la bobina de chispa). Puesto que la tensión en el inductor es se puede aumentar generando un cambio de corriente alto en un tiempo muy corto. Cuando el interruptor de encendido en la figura 7.78 se cierra, la corriente a través del inductor aumenta en forma gradual hasta alcanzar un valor final de donde También esta vez el tiempo que tarda en cargarse el inductor es cinco veces la constante de tiempo del circuito (7.67) Dado que en estado estable i es constante, y la tensión del inductor Cuando el interruptor se abre de repente, se crea gran tensión en el in- ductor (debido al campo que rápidamente se colapsa), lo que provoca una chispa o arco en el entrehierro. La chispa continúa hasta que la energía almace- nada en el inductor se disipa en la descarga disruptiva. En los laboratorios, cuando uno está trabajando con circuitos inductivos, este mismo efecto causa un choque muy peligroso y uno debe tener cuidado. v ϭ 0. di͞dt ϭ 0 tcarga ϭ 5 L R (t ϭ L͞R), Vs ϭ 12 V.i ϭ Vs͞R, di͞dt v ϭ L di͞dt, R Vs v + − i Bujía Entre- hierro L Figura 7.78 Circuito del sistema de encendido de un automóvil. Problema de práctica 7.21
- 327. 7.10 Resumen 299 Resumen 1. El análisis contenido en este capítulo es aplicable a cualquier circuito que pueda reducirse en un circuito equivalente que comprenda un resistor y un solo elemento de almacenamiento de energía (inductor o capacitor). Tal circuito es de primer orden a causa de que su comportamiento lo des- cribe por una ecuación diferencial de primer orden. Al analizar circuitos RC y RL siempre debe tenerse en cuenta que el capacitor es un circuito abier- to en condiciones de cd de estado estable, mientras que el inductor es un cortocircuito en condiciones de cd de estado estable. 2. La respuesta natural se obtiene cuando no está presente ninguna fuente inde- pendiente. Tiene la forma general donde x representa la corriente a través (o tensión) de un resistor, un capa- citor o un inductor y es el valor inicial de x. A causa de que la mayoría de los circuitos prácticos siempre tienen pérdidas, la respuesta natural es una respuesta transitoria, lo que quiere decir que se extingue con el tiempo. 3. La constante de tiempo es el tiempo requerido para que una respuesta decaiga a de su valor inicial. En circuitos RC, y en circuitos RL, t ϭ L͞R. t ϭ RCl͞e t x(0) x(t) ϭ x(0)eϪt͞t 7.10 Un solenoide con una resistencia de e inductancia de 6 mH se emplea en un circuito de encendido de automóvil similar al de la figura 7.78. Si la batería suministra 12 V, determine: la corriente final a través del solenoide cuando el interruptor se cierra; la energía almacenada en la bobina y la tensión en el entre- hierro, suponiendo que el interruptor tarda en abrirse. Solución: La corriente final que circula por la bobina es La energía almacenada en la bobina es La tensión en el entrehierro es V ϭ L ¢I ¢t ϭ 6 ϫ 10Ϫ3 ϫ 3 1 ϫ 10Ϫ6 ϭ 18 kV W ϭ 1 2 L I2 ϭ 1 2 ϫ 6 ϫ 10Ϫ3 ϫ 32 ϭ 27 mJ I ϭ Vs R ϭ 12 4 ϭ 3 A 1 ms 4 ⍀ La bobina de chispa de un sistema de encendido de automóvil tiene una inductan- cia de 20 mH y una resistencia de 5 ⍀. Con una tensión de alimentación de 12 V, calcule: el tiempo necesario para que la bobina se cargue por completo; la energía almacenada en ella, y la tensión creada en el entrehierro de la bujía si el interrup- tor se abre en Respuesta: 20 ms, 57.6 mJ y 24 kV. 2 ms. Ejemplo 7.22 Problema de práctica 7.22
- 328. 300 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Preguntas de repaso 4. Las funciones singulares incluyen las funciones de: escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. La función escalón unitario es La función impulso unitario es La función rampa unitaria es 5. La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito después de la aplicación durante mucho tiempo de una fuente independiente. La res- puesta transitoria es el componente de la respuesta completa que se extin- gue con el tiempo. 6. La respuesta total o completa consta de la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria. 7. La respuesta escalón es la respuesta del circuito a una súbita aplicación de una corriente o tensión de cd. Para hallar la respuesta de escalón de un circuito de primer orden se requieren el valor inicial el valor final x(ϱ) y la constante de tiempo Con estos tres elementos se obtiene la respuesta de escalón como Una forma más general de esta ecuación es O bien se puede escribir como Valor instantáneo ϭ Valor final ϩ [Inicial Ϫ Final]eϪ(t Ϫ to)/ 8. PSpice es muy útil para obtener la respuesta transitoria de un circuito. 9. Cuatro aplicaciones prácticas de circuitos RC y RL son el circuito de retraso, la unidad de flash fotográfico, el circuito relevador y el circuito de encendido de un automóvil. x(t) ϭ x(ϱ) ϩ [x(t0 ϩ ) Ϫ x(ϱ)]eϪ(tϪt0)͞t x(t) ϭ x(ϱ) ϩ [x(0ϩ ) Ϫ x(ϱ)]eϪt͞t t. x(0ϩ ), r(t) ϭ b 0, t Յ 0 t, t Ն 0 d(t) ϭ c 0, t 6 0 Undefined, t ϭ 0 0, t 7 0 u(t) ϭ b 0, t 6 0 1, t 7 0 u(t) 7.1 Un circuito RC tiene y La constante de tiempo es de: a) 0.5 s b) 2 s c) 4 s d) 8 s e) 15 s 7.2 La constante de tiempo de un circuito RL con y es de: a) 0.5 s b) 2 s c) 4 s d) 8 s e) 15 s 7.3 Un capacitor en un circuito RC con y se está cargando. El tiempo requerido para que la C ϭ 4 FR ϭ 2 ⍀ L ϭ 4 H R ϭ 2 ⍀ C ϭ 4 F.R ϭ 2 ⍀ tensión del capacitor llegue a 63.2% de su valor de estado estable es de: a) 2 s b) 4 s c) 8 s d) 16 s e) ninguno de los anteriores 7.4 Un circuito RL tiene y El tiempo necesario para que la corriente del inductor llegue a 40 por ciento de su valor de estado estable es de: a) 0.5 s b) 1 s c) 2 s d) 4 s e) ninguno de los anteriores L ϭ 4 H.R ϭ 2 ⍀ Indefinido,
- 329. Problemas 301 7.5 En el circuito de la figura 7.79, la tensión del capacitor justo antes de es de: a) 10 V b) 7 V c) 6 V d) 4 V e) 0 V t ϭ 0 7.8 En el circuito de la figura 7.80, es de: a) 10 A b) 6 A c) 4 A d) 2 A e) 0 A 7.9 Si cambia de 2 V a 4 V en se puede expresar como: a) b) c) d) e) 7.10 El pulso de la figura 7.116a) puede expresarse en términos de funciones singulares como: a) b) c) d) Respuestas: 7.1d, 7.2b, 7.3c, 7.4b, 7.5d, 7.6a, 7.7c, 7.8e, 7.9c,d, 7.10b. 2u(t) ϩ 4u(t Ϫ 1) V2u(t) Ϫ 4u(t Ϫ 1) V 2u(t) Ϫ 2u(t Ϫ 1) V2u(t) ϩ 2u(t Ϫ 1) V 4u(t) Ϫ 2 V 2 ϩ 2u(t) V2u(Ϫt) ϩ 4u(t) V 2u(t) Vd(t) V t ϭ 0,vs i(ϱ) v(t)10 V 2 Ω 3 Ω + − + − t = 0 7 F Figura 7.79 Para las preguntas de repaso 7.5 y 7.6. 7.6 En el circuito de la figura 7.79, es de: a) 10 V b) 7 V c) 6 V d) 4 V e) 0 V 7.7 En relación con el circuito de la figura 7.80, la corriente del inductor justo antes de es de: a) 8 A b) 6 A c) 4 A d) 2 A e) 0 A t ϭ 0 v(ϱ) 10 A 3 Ω 2 Ω 5 H i(t) t = 0 Figura 7.80 Para las preguntas de repaso 7.7 y 7.8. Sección 7.2 Circuito RC sin fuente 7.1 En el circuito que aparece en la figura 7.81, a) Halle los valores de R y C. b) Calcule la constante de tiempo c) Determine el tiempo requerido para que la tensión decrezca a la mitad de su valor inicial en t ϭ 0. t. i(t) ϭ 8eϪ200t mA, t 7 0 v(t) ϭ 56eϪ200t V, t 7 0 7.2 Halle la constante de tiempo del circuito RC de la figura 7.82. CR i v + − Figura 7.81 Para el problema 7.1. + − 80 Ω 120 Ω 12 Ω 50 V 0.5 mF 40 kΩ 30 kΩ 10 kΩ 20 kΩ 100 pF Figura 7.82 Para el problema 7.2. Figura 7.83 Para el problema 7.3. 7.3 Determine la constante de tiempo del circuito de la figura 7.83. Problemas
- 330. 302 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.4 El interruptor en la figura 7.84 se mueve instantáneamente de A a B en Halle para t 7 0.vt ϭ 0. Figura 7.84 Para el problema 7.4. 7.5 Para el circuito de la figura 7.85, halle i(t), t 7 0. Figura 7.85 Para el problema 7.5. 7.6 El interruptor en la figura 7.86 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en Halle para t Ն 0.v(t)t ϭ 0. Figura 7.86 Para el problema 7.6. 7.7 Suponiendo que el interruptor en la figura 7.87 ha estado en la posición A durante mucho tiempo y que se mueve a la posición B en halle para t Ն 0.vo(t)t ϭ 0, Figura 7.87 Para el problema 7.7. 7.8 En referencia al circuito de la figura 7.88, si a) Halle R y C. b) Determine la constante de tiempo. c) Calcule la energía inicial en el capacitor. d) Obtenga el tiempo que tarda en disiparse el 50% de la energía inicial. v ϭ 10eϪ4t V and i ϭ 0.2 eϪ4t A, t 7 0 + − 2 kΩ 5 kΩ 40 V B A 10 F v + − 2 Ω + −24 V 5 Ω 4 Ω i t = 0 F 1 3 24 V + − 2 kΩ 10 kΩ 40 F + – v(t) t = 0 12 V 30 kΩ 2 mFA B t = 0 20 kΩ 40 kΩ + − vo(t) + − Figura 7.88 Para el problema 7.8. 7.9 El interruptor en la figura 7.89 se abre en Halle para t 7 0. vot ϭ 0. Figura 7.89 Para el problema 7.9. 7.10 En relación con el circuito de la figura 7.90, halle para Determine el tiempo necesario para que la tensión del capacitor decrezca a un tercio de su valor en t ϭ 0. t 7 0. vo(t) Figura 7.90 Para el problema 7.10. Figura 7.91 Para el problema 7.11. Sección 7.3 Circuito RL sin fuente 7.11 En relación con el circuito de la figura 7.91, halle para t 7 0. io R v i C + − 6 V 4 kΩ 3 mF 2 kΩ + − t = 0 vo + − 36 V 20 F3 kΩ 9 kΩ + − t = 0 vo + − 3 Ω 4 H + −24 V 4 Ω 8 Ω t = 0 io y
- 331. Problemas 303 7.12 El interruptor en el circuito de la figura 7.92 ha estado cerrado mucho tiempo. En se abre. Calcule para t 7 0. i(t)t ϭ 0, 7.16 Determine la constante de tiempo de cada uno de los circuitos de la figura 7.96. Figura 7.96 Para el problema 7.16. 7.17 Considere el circuito de la figura 7.97. Halle si y v(t) ϭ 0.i(0) ϭ 2 A vo(t) Figura 7.97 Para el problema 7.17. 7.18 En referencia al circuito 7.98, determine cuando y v(t) ϭ 0.i(0) ϭ 1 A vo(t) Figura 7.98 Para el problema 7.18. 7.19 Para el circuito de la figura 7.99, halle para si i(0) ϭ 2 A. t 7 0i(t) Figura 7.99 Para el problema 7.19. Figura 7.92 Para el problema 7.12. 3 Ω + −12 V 4 Ω i (t) t = 0 2 H 7.13 En el circuito de la figura 7.93, a) Halle R, L y . b) Calcule la energía disipada en la resistencia para 0 6 t 6 0.5 ms. t i(t) ϭ 4eϪ103 t mA, t 7 0 v(t) ϭ 20eϪ103 t V, t 7 0 Figura 7.93 Para el problema 7.13. 7.14 Calcule la constante de tiempo del circuito de la figura 7.94. Figura 7.94 Para el problema 7.14. 7.15 Halle la constante de tiempo de cada uno de los circuitos de la figura 7.95. Figura 7.95 Para el problema 7.15. LR i v + − 5 mH 30 kΩ40 kΩ 20 kΩ 10 kΩ 5 H 10 Ω a) 12 Ω 40 Ω b) 40 Ω 8 Ω 160 Ω 20 mH L R1 R2 R3 a) R1 R2 L2L1 R3 b) vo(t)v(t) 1 Ω 3 Ω + − + − i(t) H 1 4 vo(t)v(t) 3 Ω + − + − i(t) 2 Ω 0.4 H 40 Ω10 Ω 0.5i 6 Hi
- 332. 304 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.27 Exprese de la figura 7.105 en términos de funciones de escalón. v(t) 7.20 En referencia al circuito de la figura 7.100, e a) Halle L y R. b) Determine la constante de tiempo. c) Calcule la energía inicial en el inductor. d) ¿Qué fracción de la energía inicial se disipa en 10 ms? i ϭ 30eϪ50t A, t 7 0 v ϭ 120eϪ50t V Sección 7.4 Funciones singulares 7.24 Exprese las siguientes señales en términos de funciones singulares. a) b) c) d) 7.25 Graficar cada una de las siguientes formas de onda. a) b) 7.26 Exprese las señales de la figura 7.104 en términos de funciones singulares. v(t) ϭ r(t) Ϫ r(t Ϫ 3) ϩ 4u(t Ϫ 5) Ϫ 8u(t Ϫ 8) i(t) ϭ u(t Ϫ 2) ϩ u(t ϩ 2) y(t) ϭ c 2, t 6 0 Ϫ5, 0 6 t 6 1 0, t 7 1 x(t) ϭ d t Ϫ 1, 1 6 t 6 2 1, 2 6 t 6 3 4 Ϫ t, 3 6 t 6 4 0, Otherwise i(t) ϭ d 0, t 6 1 Ϫ10, 1 6 t 6 3 10, 3 6 t 6 5 0, t 7 5 v(t) ϭ e 0, t 6 0 Ϫ5, t 7 0 R i + − vL Figura 7.100 Para el problema 7.20. 7.21 En el circuito de la figura 7.101, halle el valor de R respecto al cual la energía en estado estable almacenada en el inductor será de 1 J. 40 Ω R + −60 V 2 H80 Ω Figura 7.101 Para el problema 7.21. 7.22 Halle y para en el circuito de la figura 7.102 si i(0) ϭ 10 A. t 7 0v(t)i(t) Figura 7.102 Para el problema 7.22. 5 Ω 20 Ω 1 Ω 2 H + − v(t) i(t) 7.23 Considere el circuito de la figura 7.103. Dado que halle y para t 7 0.vxvovo(0) ϭ 2 V, 3 Ω 1 Ω 2 Ω vo + − vx H 1 3 + − Figura 7.103 Para el problema 7.23. 0 t 1 −1 v1(t) 1 −1 a) 0 1 2 t −1 −2 v4(t) d) 0 2 4 6 t 2 4 v3(t) c) 0 2 4 t 2 v2(t) b) Figura 7.104 Para el problema 7.26. De otro modo
- 333. Problemas 305 7.35 Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) 7.36 Determine para en las siguientes ecuaciones diferenciales, sujetas a la condición inicial indicada. a) b) 7.37 Un circuito se describe con a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito? b) ¿Cuál es el valor final de v? c) Si halle para 7.38 Un circuito se describe con Halle para dado que Sección 7.5 Respuesta de escalón de un circuito RC 7.39 Calcule la tensión del capacitor para y de cada uno de los circuitos de la figura 7.106. t 7 0t 6 0 i(0) ϭ 0.t 7 0i(t) di dt ϩ 3i ϭ 2u(t) t Ն 0.v(t)v(0) ϭ 2, v(ϱ), 4 dv dt ϩ v ϭ 10 2 dv͞dt Ϫ v ϭ 3u(t), v(0) ϭ Ϫ6 dv͞dt ϩ v ϭ u(t), v(0) ϭ 0 v 2 di dt Ϫ 3i ϭ 0, i(0) ϭ 2 dv dt ϩ 2v ϭ 0, v(0) ϭ Ϫ1 V 0 321−1 15 10 5 −10 −5 t v(t) Figura 7.105 Para el problema 7.27. 7.28 Diagrame la forma de onda representada por 7.29 Grafique las siguientes funciones: a) b) c) 7.30 Evalúe las siguientes integrales que involucran la funcion impulso: a) b) 7.31 Evalúe las siguientes integrales: a) b) 7.32 Evalúe las siguientes integrales: a) b) c) 7.33 La tensión a a través de un inductor de 10 mH es Halle la corriente del inductor, suponiendo que éste está inicialmente descargado. 7.34 Evalúe las siguientes derivadas: a) b) c) d dt [sin 4tu(t Ϫ 3)] d dt [r(t Ϫ 6)u(t Ϫ 2)] d dt [u(t Ϫ 1)u(t ϩ 1)] 20d(t Ϫ 2) mV. Ύ 5 1 (t Ϫ 6)2 d(t Ϫ 2)dt Ύ 4 0 r(t Ϫ 1)dt Ύ t 1 u(l)dl Ύ ϱ Ϫϱ [5d(t) ϩ eϪt d(t) ϩ cos 2ptd(t)]dt Ύ ϱ Ϫϱ eϪ4t2 d(t Ϫ 2)dt Ύ ϱ Ϫϱ 4t2 cos 2ptd(t Ϫ 0.5)dt Ύ ϱ Ϫϱ 4t2 d(t Ϫ 1)dt z(t) ϭ cos 4td(t Ϫ 1) y(t) ϭ 10eϪ(tϪ1) u(t) x(t) ϭ 10eϪt u(t Ϫ 1) ϩ r(t Ϫ 3) ϩ u(t Ϫ 4) i(t) ϭ r(t) Ϫ r(t Ϫ 1) Ϫ u(t Ϫ 2) Ϫ r(t Ϫ 2) + − 1 Ω 4 Ω 20 V 12 V + − t = 0 v 2 F a) b) 3 Ω 2 A4 Ω + − + − t = 0 2 F v Figura 7.106 Para el problema 7.39. 7.40 Halle la tensión del capacitor para y de cada uno de los circuitos de la figura 7.107. t 7 0t 6 0sen
- 334. 306 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.41 En relación con el circuito de la figura 7.108, halle para t 7 0. v(t) Figura 7.108 Para el problema 7.41. 7.42 a) Si el interruptor en la figura 7.109 ha estado abierto mucho tiempo y se cierra en t = 0, halle b) Suponga que ese interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y que se abre en t = 0. Halle vo(t). vo(t). Figura 7.109 Para el problema. 7.42. Figura 7.110 Para el problema 7.43. 7.44 El interruptor en la figura 7.111 ha estado en la posición a durante mucho tiempo. En t = 0, se mueve a la posición b. Calcule i(t) para cualquier t > 0. 3 Ω 2 Ω + − 3 F + − v12 V 4 V + − t = 0 a) Figura 7.107 Para el problema 7.40. 1 F + − v 6 Ω 30 Ω12 V t = 0 + − b) 4 Ω 2 Ω 5 F6 A + − v t = 0 3 F + − vo 2 Ω 4 Ω12 V + − t = 0 7.43 Considere el circuito de la figura 7.110. Halle i(t) para t < 0 y t > 0. 3 F 40 Ω 30 Ω 50 Ω0.5i80 V + − t = 0 i Figura 7.111 Para el problema 7.44. 7.45 Halle en el circuito de la figura 7.112 cuando Suponga que vo(0) ϭ 1 V.vs ϭ 6u(t). vo Figura 7.112 Para el problema 7.45. 7.46 En relación con el circuito de la figura 7.113, Halle v(t).is(t) ϭ 5u(t). Figura 7.113 Para el problema 7.46. 7.47 Determine para t > 0 en el circuito de la figura 7.114 si v(0) ϭ 0. v(t) Figura 7.114 Para el problema 7.47. 2 F 6 Ω 3 Ω30 V + − 12 V + − i t = 0a b + − 40 Ω 10 kΩ20 kΩ vo + − vs 3 F is + 0.25 F – 6 Ω 2 Ω v 3u(t − 1) A 3u(t) A8 Ω2 Ω + − 0.1 F v
- 335. Problemas 307 7.48 Halle e en el circuito de la figura 7.115.i(t)v(t) Figura 7.118 Para el problema 7.52. 7.53 Determine la corriente en el inductor i(t) tanto para t < 0 como para t > 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.119. Figura 7.119 Para el problema 7.53. 7.54 Obtenga la corriente del inductor tanto para t < 0 como para t > 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.120. Figura 7.120 Para el problema 7.54.* Un asterisco indica un problema difícil. Figura 7.115 Para el problema 7.48. 7.49 Si la forma de onda de la figura 7.116a) se aplica al circuito de la figura 7.116b), halle Suponga v(0) ϭ 0. v(t). Figura 7.116 Para el problema 7.49 y la pregunta de repaso 7.10. *7.50 En el circuito de la figura 7.117, halle para Sean R3 ϭ 2 k⍀ y C ϭ 0.25 mF.R1 ϭ R2 ϭ 1 k⍀, t 7 0.ix Figura 7.117 Para el problema 7.50. Sección 7.6 Respuesta de escalón de un circuito RL 7.51 En vez de aplicar el método abreviado que se empleó en la sección 7.6, aplique la LTK para obtener la ecuación (7.60). 7.52 En relación con el circuito de la figura 7.118, halle i(t) para t > 0. vu(−t) A 10 Ω + − 0.1 F 20 Ω i 0 1 t (s) 2 is (A) a) vis 4 Ω + − 0.5 F 6 Ω b) R2 R130 mA t = 0 R3 ix C 40 Ω 20 V 5 H i + − t = 0 10 Ω 25 V 4 H i a) + − t = 0 2 Ω3 Ω 4 Ω6 A 2 Ω 3 H i t = 0 b) 4 Ω2 A 12 Ω 3.5 H i 4 Ω a) t = 0 2 Ω 3 Ω 6 Ω 10 V 2 H i b) + − 24 V + − t = 0
- 336. 308 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.55 Halle para t < 0 y t > 0 del circuito de la figura 7.121. v(t) Figura 7.121 Para el problema 7.55. 7.56 En referencia a la red que aparece en la figura 7.122, halle para t 7 0.v(t) Figura 7.122 Para el problema 7.56. *7.57 Halle e para t > 0 en el circuito de la figura 7.123. i2(t)i1(t) Figura 7.123 Para el problema 7.57. 7.58 Repita el problema 7.17 si i(0) = 10 A y 7.59 Determine la respuesta de escalón a en el circuito de la figura 7.124. vs ϭ 18u(t)vo(t) v(t) ϭ 20u(t) V. 7.60 Halle para t > 0 en el circuito de la figura 7.125 si la corriente inicial en el inductor es de cero. v(t) Figura 7.125 Para el problema 7.60. 7.61 En el circuito de la figura 7.126, cambia de 5 A a 10 A en t = 0; es decir, Halle e i.vis ϭ 5u(Ϫt) ϩ 10u(t). is Figura 7.126 Para el problema 7.61. 7.62 En referencia al circuito de la figura 7.127, calcule i(t) si i(0) = 0. Figura 7.127 Para el problema 7.62. 7.63 Obtenga e i(t) en el circuito de la figura 7.128.v(t) Figura 7.128 Para el problema 7.63. Figura 7.129 Para el problema 7.64. 8 Ω 4io 3 Ω 0.5 H 2 Ω 20 V + − 24 V + − t = 0 + − io + − v Figura 7.124 Para el problema 7.59. 7.64 Halle para t > 0 en el circuito de la figura 7.129.vo(t) 6 Ω 12 Ω2 A 0.5 H20 Ω 5 Ω + − v + − 20 V t = 0 6 Ω5 A 2.5 H 5 Ω 20 Ω 4 H i1 i2 t = 0 3 Ω 6 Ω vs 1.5 H 4 Ω + − + − vo 5 Ω 20 Ω4u(t) 8 H + − v 4 Ωis 0.5 H + − v i 3 Ω 6 Ω + −u(t − 1) V u(t) V2 H i + − 5 Ω + −10u(−t) V 20 Ω 0.5 H i + − v 6 Ω 2 Ω 3 Ω+ − + − vo t = 0 4 H 10 V
- 337. Problemas 309 7.65 Si el pulso de entrada de la figura 7.130a) se aplica al circuito de la figura 7.130b), determine la respuesta i(t). Figura 7.130 Para el problema 7.65. Sección 7.7 Circuitos de amplificadores operacionales de primer orden 7.66 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 7.131, halle Suponga que vs cambia abruptamente de 0 a 1 V en t ϭ 0. vo. Figura 7.131 Para el problema 7.66. 7.67 Si halle para en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.132. Sea y C ϭ 1 mF.R ϭ 10 k⍀ t 7 0vo(t)v(0) ϭ 5 V, 7.69 En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.134, halle para t 7 0.vo(t) Figura 7.134 Para el problema 7.69. 7.70 Determine para t > 0 cuando en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.135. vs ϭ 20 mVvo Figura 7.135 Para el problema 7.70. 7.71 En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.136, suponga que y Halle para t 7 0.v(t) vs ϭ 3 V.v0 ϭ 0 Figura 7.136 Para el problema 7.71. Figura 7.132 Para el problema 7.67. 7.68 Obtenga para para en el circuito de la figura 7.133. t 7 0vo Figura 7.133 Para el problema 7.68. 5 Ω + −vs 20 Ω 2 H i b)a) 0 t (s) vs (V) 10 1 vo + − 0.5 F 50 kΩ + − 20 kΩ + − vs R R R v vo + − C + − 10 kΩ 10 kΩ + − vo + − 25 F t = 0 4 V + − 20 kΩ 100 kΩ10 kΩ + − vo + − 25 mF t = 0 4 V + − 20 kΩ + − vo vs 5 F t = 0 + − + − vvs + − + − 10 kΩ 20 kΩ 10 kΩ 10 F
- 338. 310 Capítulo 7 Circuitos de primer orden Sección 7.8 Análisis transitorio con PSpice 7.76 Repita el problema 7.49 usando PSpice. 7.77 El interruptor en la figura 7.141 se abre en t = 0. Use PSpice para determinar para t 7 0.v(t) Figura 7.141 Para el problema 7.77. 7.78 El interruptor en la figura 7.142 se mueve de la posición a a b en t = 0. Use PSpice para hallar i(t) para t > 0. Figura 7.142 Para el problema 7.78. 7.79 En el circuito de la figura 7.143, el interruptor ha estado en la posición a durante mucho tiempo pero se mueve instantáneamente a la posición b en t = 0. Determine io(t). Figura 7.143 Para el problema 7.79. 7.80 En el circuito de la figura 7.144, suponga que el interruptor ha estado en la posición a durante mucho tiempo y halle: a) i1(0), i2(0) y b) c) i2(ϱ) y vo(ϱ).i1(ϱ), iL(t) vo(0) Figura 7.137 Para el problema 7.72. 7.73 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 7.138, sean C ϭ 20 F y Halle vo.v(0) ϭ 1 V. Rf ϭ 20 k⍀,R1 ϭ 10 k⍀, Figura 7.138 Para el problema 7.73. 7.74 Determine para para en el circuito de la figura 7.139. Sea y suponga que el capacitor está inicialmente descargado. is ϭ 10u(t) mA t 7 0vo(t) Figura 7.139 Para el problema 7.74. 7.75 En el circuito de la figura 7.140, halle e dado que y v(0) ϭ 1 V.vs ϭ 4u(t) V io,vo Figura 7.140 Para el problema 7.75. 4 V 0.1 H 5 Ω 4 Ω 3 Ωt = 0 12 V io + − + − b a 7.72 Halle en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.137. Suponga que R ϭ 10 k⍀ y C ϭ 10 mF. v(0) ϭ Ϫ2 V, io R+ − v 3u(t) io+ − C + − Rf R1 + − vo + − 4u(t) v+ − C + − 10 kΩ 50 kΩ vo + − is 2 F + − vo vs 2 F 10 kΩ 20 kΩ + −v + − io + − 5 Ω 4 Ω5 A 6 Ω 20 Ω + − 30 V t = 0 + −v 100 mF 4 Ω 6 Ω 3 Ω+ −108 V 6 Ω 2 H i(t)t = 0 a b
- 339. Problemas de mayor extensión 311 Figura 7.144 Para el problema 7.80. 7.81 Repita el problema 7.65 usando PSpice. Sección 7.9 Aplicaciones 7.82 Al diseñar un circuito de conmutación de señales, se halló que era necesario un capacitor de 100 F para una constante de tiempo de 3 ms. ¿Un resistor de qué valor es necesario para el circuito? 7.83 Un circuito RC consta de una conexión en serie de una fuente de 120 V, un interruptor, un resistor de 34 M⍀ y un capacitor de 15 F. Este circuito sirve para estimar la velocidad de un caballo que corre por una pista de 4 km. El interruptor se cierra cuando el caballo comienza a correr y se abre cuando el caballo cruza la meta. Suponiendo que el capacitor se carga a 85.6 V, calcule la velocidad del caballo. 7.84 La resistencia de una bobina de 160 mH es Halle el tiempo requerido para que la corriente aumente a 60 por ciento de su valor final cuando se aplica tensión a la bobina. 7.85 Un circuito oscilador simple de relajación se muestra en la figura 7.145. La lámpara de neón se enciende cuando su tensión llega a 75 V y se apaga cuando su tensión se reduce a 30 V. Su resistencia es de cuando está encendido e infinitamente alta cuando está apagado. a) ¿Cuánto tiempo está encendida la lámpara cada vez que el capacitor se descarga? b) ¿Cuál es el intervalo entre los destellos luminosos? 120 ⍀ 8 ⍀. Figura 7.145 Para el problema 7.85. 7.86 En la figura 7.146 aparece un circuito para fijar la duración de la tensión aplicada a los electrodos de una máquina soldadora. Ese periodo corresponde al tiempo que tarda el capacitor en cargarse de 0 a 8 V. ¿Cuál es el intervalo cubierto por la resistencia variable? 30 V + − 3 Ω 10 Ω 5 Ω 6 Ω 4 H i2 iL i1 a b + – vo t = 0 Figura 7.146 Para el problema 7.86. 7.87 Un generador de cd de 120 V suministra energía a un motor cuya bobina tiene una inductancia de 50 H y una resistencia de Una resistencia externa de descarga de se conecta en paralelo con el motor para evitar daños al mismo, como se muestra en la figura 7.147. El sistema se encuentra en estado estable. Halle la corriente a través de la resistencia de descarga 100 ms después de accionarse el interruptor. 400 ⍀ 100 ⍀. 7.88 El circuito de la figura 7.148a) puede diseñarse como un diferenciador aproximado o como un integrador, dependiendo de si la salida se toma a lo largo de la resistencia o del capacitor, y también de la constante de tiempo del circuito y de la amplitud T del pulso de entrada de la figura 7.148b). El circuito es un diferenciador si por decir o un integrador si por decir t 7 10T.t W T, t 6 0.1T,t V T, t ϭ RC Figura 7.147 Para el problema 7.87. a) ¿Cuál es la duración mínima del pulso que permitirá que la salida del diferenciador aparezca en el capacitor? b) Si la salida debe ser una integral de la entrada, ¿cuál es el valor máximo de la duración del pulso que puede adoptar? 120 V 4 MΩ Lámpara de neón 6 F + − 100 kΩ a 1 MΩ 12 V 2 F Unidad de control de la soldadora Electrodo + −120 V 400 Ω Interruptor del circuito Motor Problemas de mayor extensión
- 340. 312 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 7.89 Un circuito RL puede usarse como diferenciador si la salida se toma a través del inductor y (por decir ), donde T es la amplitud del pulso de entrada. Si R está fija en , determine el valor máximo de L requerido para diferenciar un pulso con 7.90 Se diseñó una punta atenuadora empleada en los osciloscopios para atenuar la magnitud de la tensión de entrada por un factor de 10. Como se observa en la figura 7.149, el osciloscopio tiene resistencia interna y una capacitancia mientras que la punta tiene una resistencia interna Si está fija en halle y para que el circuito tenga una constante de tiempo de 15 ms. Cs Rs6 M⍀,RpRp. Cs, Rs vi T ϭ 10 ms. 200 k⍀, 200 k⍀, t 6 0.1T t V T Figura 7.148 Para el problema 7.88. Figura 7.151 Para el problema 7.92. Figura 7.149 Para el problema 7.90. 7.91 Una estudiante de biología usa el circuito de la figura 7.150 para estudiar la “patada de la rana”. Ella notó que la rana pateaba un poco cuando el interruptor estaba cerrado, pero que pateaba con violencia durante 5 s cuando el interruptor se abría. Modele la rana como un resistor y calcule su resistencia. Suponga que se precisa de 10 mA para que la rana patee con violencia. Figura 7.150 Para el problema 7.91. 7.92 Para mover un punto a lo largo de la pantalla de un tubo de rayos catódicos se requiere un incremento lineal de la tensión a través de las placas de deflexión, tal como se indica en la figura 7.151. Dado que la capacitancia de las placas es de 4 nF, grafique la corriente que fluye por ellas. 300 kΩ + − 200 pFvi a) 0 T t Vm vi b) vovi Punta Osciloscopio Rp Cs + − + − Rs 50 Ω 2 H + − 12 V Interruptor Rana Tiempo de subida = 2 ms Tiempo de bajada = 5 s t 10 v (V) (no está a escala)
- 341. Mejorar su carrera implica conocer sus metas, adaptarse a cambios, prever opor- tunidades y planear su propio nicho. Fuente: Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 313 C a p í t u l o 8Circuitos de segundo orden ¿Alguna vez se le ha iluminado el día de pronto a causa de una palabra alen- tadora?… Hoy puede hacer lo mismo por otra persona. Todo es cuestión de un poco de imaginación, tiempo e interés. Piense ahora mismo: “¿Qué pue- do hacer hoy para hacer feliz a alguien?”… Ancianos, niños, sirvientes, ¡e incluso un hueso para el perro o azúcar para el ave! ¿Por qué no? —M. D. Babcock Desarrollo de su carrera Para incrementar sus oportunidades profesionales de ingeniería una vez que se titule, adquiera un firme conocimiento fundamental de una amplia serie de áreas de ingeniería. De ser posible, esto se lograría idealmente cursando de ma- nera inmediata estudios de posgrado después de concluir su licenciatura. Cada grado de ingeniería representa ciertas habilidades que los estudian- tes adquieren. En el nivel de la licenciatura, usted aprende el lenguaje de la ingeniería y los fundamentos de la ingeniería y el diseño. En el nivel de la maes- tría, adquiere la capacidad para realizar proyectos avanzados de ingeniería y para comunicar eficazmente su labor tanto de manera oral como por escrito. El doctorado representa un conocimiento cabal de los fundamentos de la in- geniería eléctrica y el dominio de las habilidades necesarias tanto para trabajar en las fronteras de un área de la ingeniería como para comunicar el esfuerzo propio a los demás. Si usted no tiene idea de qué curso seguirá después de titularse, un pro- grama de posgrado ampliará su capacidad para explorar opciones profesionales. En vista de que su grado de licenciatura le proporcionará sólo los fundamen- tos de la ingeniería, un grado de maestría en ingeniería complementado por cursos de administración beneficia más a los estudiantes de ingeniería que ob- tener una maestría en administración de empresas. El mejor momento para iniciar esta última maestría es después de que usted haya ejercido como in- geniero durante algunos años y decida que su trayectoria profesional se vería favorecida por el fortalecimiento de sus habilidades de negocios. Los ingenieros deben educarse constantemente, de modo formal e infor- mal, aprovechando todos los medios educativos. Quizá no haya mejor mane- ra de desarrollar su carrera que integrarse a una asociación profesional como el IEEE y convertirse en miembro activo de él.
- 342. Introducción En el capítulo anterior se trataron circuitos con un solo elemento de almace- namiento (un capacitor o un inductor). Esos circuitos son de primer orden por- que las ecuaciones diferenciales que los describen son de primer orden. En este capítulo se analizan circuitos que contienen dos elementos de almacena- miento. A estos circuitos se les conoce como circuitos de segundo orden, por- que sus respuestas se describen con ecuaciones diferenciales que contienen segundas derivadas. Ejemplos habituales de circuitos de segundo orden son los circuitos RLC, en los que están presentes los tres tipos de elementos pasivos. Ejemplos de tales circuitos se muestran en la figura 8.1a) y b). Otros ejemplos son los cir- cuitos RC y RL como los que aparecen en la figura 8.1c) y d). En la figura 8.1 es evidente que un circuito de segundo orden puede tener dos elementos de almacenamiento de diferente tipo o del mismo tipo (siempre y cuando los elementos del mismo tipo no puedan representarse con un solo elemento equi- valente). Un circuito de amplificador operacional con dos elementos de alma- cenamiento también puede ser un circuito de segundo orden. Al igual que los circuitos de primer orden, un circuito de segundo orden puede contener va- rios resistores y fuentes dependientes e independientes. 8.1 314 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de segundo orden. Consta de resistores y el equivalente de dos elementos de al- macenamiento de energía. El análisis de circuitos de segundo orden será similar al realizado con los de primer orden. Primero se considerarán circuitos excitados por las condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento. Aunque estos circuitos pueden contener fuentes dependientes, están libres de fuentes independientes. Como es de esperar, estos circuitos sin fuente darán respuestas naturales. Después se tratarán circuitos excitados por fuentes independientes. Estos circuitos darán tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable. En este ca- pítulo sólo se analizarán fuentes independientes de cd. El caso de fuentes se- noidales y exponenciales se dejará para capítulos posteriores. Se iniciará con el aprendizaje para obtener las condiciones iniciales de las variables de circuitos y sus derivadas, ya que esto es crucial para analizar circuitos de segundo orden. Luego se tratarán circuitos RLC en serie y en pa- ralelo, como los que aparecen en la figura 8.1, en los dos casos de excitación: mediante las condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento de energía y mediante entradas de escalón. Posteriormente se examinarán otros tipos de circuitos de segundo orden, incluidos circuitos con amplificadores operacionales. Se analizarán circuitos de segundo orden con PSpice. Por últi- mo, se tratará el sistema de encendido de un automóvil y los circuitos suavi- zadores o estabilizadores como aplicaciones usuales de los circuitos tratados en este capítulo. Otras aplicaciones, como circuitos resonantes y filtros, se pre- sentarán en el capítulo 14. Determinación de valores iniciales y finales Quizá el principal problema que enfrentan los estudiantes al manejar circui- tos de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales y fina- les de la variables de circuitos. Los estudiantes suelen obtener cómodamente los valores inicial y final de v e i, pero a menudo tienen dificultades para de- 8.2 Figura 8.1 Ejemplos habituales de circuitos de se- gundo orden: a) circuito RLC en serie, b) circuito RLC en paralelo, c) circuito RL, d) circuito RC. vs R R L C+ − a) is C LR b) vs R1 R2 + − c) is C2C1 d) L1 L2
- 343. terminar los valores iniciales de sus derivadas: y di/dt. Por tal razón, esta sección se dedicará explícitamente a las sutilezas de la obtención de y A menos que se indique otra cosa en este capítulo, v denota la tensión del capacitor, mientras que i denota la co- rriente del inductor. Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las condiciones iniciales. Primero, como siempre en análisis de circuitos, se debe manejar con cui- dado la polaridad de la tensión en el capacitor y la dirección de la corrien- te i(t) a través del inductor. Tenga en cuenta que v e i se definen estrictamente de acuerdo con la convención pasiva de los signos (véanse figuras 6.3 y 6.23). Se debe observar con atención cómo están definidas esas variables y aplicar- las en consecuencia. Segundo, tenga presente que la tensión del capacitor siempre es continua, de modo que (8.1a) y que la corriente del inductor siempre es continua, de modo que (8.1b) donde denota el momento justo antes de un evento de conmutación y es el momento justo después del evento de conmutación, suponiendo que éste tiene lugar en t ϭ 0. Así, para determinar las condiciones iniciales primero hay que enfocarse en las variables que no pueden cambiar abruptamente, la tensión del capaci- tor y la corriente del inductor, aplicando la ecuación (8.1). Los siguientes ejemplos ilustran estas ideas. t ϭ 0ϩ t ϭ 0Ϫ i(0ϩ ) ϭ i(0Ϫ ) v(0ϩ ) ϭ v(0Ϫ ) v(t) v(ϱ).v(0), i(0), dv(0)͞dt, di(0)͞dt, i(ϱ) dv͞dt 8.2 Determinación de valores iniciales y finales 315 El interruptor en la figura 8.2 ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en t ϭ 0. Halle: a) , b) , c) . Solución: a) Si el interruptor está cerrado mucho tiempo antes de t ϭ 0, esto significa que el circuito ha llegado al estado estable de cd en t ϭ 0. En estado estable de cd, el inductor actúa como un cortocircuito, mientras que el capacitor lo hace como un circuito abierto, así que se tiene el circuito de la figura 8.3a) en Por lo tanto, i(0Ϫ ) ϭ 12 4 ϩ 2 ϭ 2 A, v(0Ϫ ) ϭ 2i(0Ϫ ) ϭ 4 V t ϭ 0Ϫ . i(ϱ), v(ϱ)di(0ϩ )͞dt, dv(0ϩ )͞dti(0ϩ ), v(0ϩ ) Figura 8.2 Para el ejemplo 8.1. Figura 8.3 Circuito equivalente del de la figura 8.2 para: a) b) c) t S ϱ.t ϭ 0ϩ ,t ϭ 0Ϫ , 12 V 4 Ω 0.25 H + − 0.1 F i v + − 2 Ω t = 0 12 V 4 Ω 0.25 H + − 0.1 F i b) 12 V 4 Ω + − i v + − 2 Ω a) 12 V 4 Ω + − i v + − c) + −vL v + − Ejemplo 8.1
- 344. Dado que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cam- biar abruptamente, b) En el interruptor está abierto; el circuito equivalente se muestra en la figura 8.3b). Tanto por el inductor como por el capacitor fluye la misma corriente. Así, Puesto que , y De igual manera, como Ahora se obtiene apli- cando la LTK el lazo de la figura 8.3b). El resultado es o sea En consecuencia, c) Para t Ͼ 0, el circuito pasa por un transiente. Pero como llega otra vez al estado estable. El inductor actúa como cortocircuito y el capacitor como circuito abierto, de modo que el circuito de la figura 8.3b) se convierte en el que aparece en la figura 8.3c), del que se tiene i(ϱ) ϭ 0 A, v(ϱ) ϭ 12 V t S ϱ, di(0ϩ ) dt ϭ vL(0ϩ ) L ϭ 0 0.25 ϭ 0 A/s vL(0ϩ ) ϭ 12 Ϫ 8 Ϫ 4 ϭ 0 Ϫ12 ϩ 4i(0ϩ ) ϩ vL(0ϩ ) ϩ v(0ϩ ) ϭ 0 vLL di͞dt ϭ vL, di͞dt ϭ vL͞L. dv(0ϩ ) dt ϭ iC(0ϩ ) C ϭ 2 0.1 ϭ 20 V/s C dv͞dt ϭ iC, dv͞dt ϭ iC͞C iC(0ϩ ) ϭ i(0ϩ ) ϭ 2 A t ϭ 0ϩ , i(0ϩ ) ϭ i(0Ϫ ) ϭ 2 A, v(0ϩ ) ϭ v(0Ϫ ) ϭ 4 V 316 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden El interruptor en la figura 8.4 estuvo abierto mucho tiempo, pero se cerró en t ϭ 0. Determine: a) b) c) i(ϱ), v(ϱ).di(0ϩ )͞dt, dv(0ϩ )͞dt,i(0ϩ ), v(0ϩ ), Figura 8.4 Para el problema de práctica 8.1. Respuesta: a) 2 A, 4 V, b) 50 A/s, 0 V/s, c) 12 A, 24 V. 10 Ω 24 Vv + − 2 Ω + − i t = 0 0.4 H F 1 20 Problema de práctica 8.1
- 345. 8.2 Determinación de valores iniciales y finales 317 Figura 8.5 Para el ejemplo 8.2. Solución: a) Para t Ͻ 0, 3u(t) ϭ 0. En dado que el circuito ha llegado al esta- do estable, el inductor puede remplazarse por un cortocircuito, mientras que el capacitor se remplaza por un circuito abierto, como se advierte en la figu- ra 8.6a). De esta figura se obtiene (8.2.1) Aunque las derivadas de estas cantidades en no han sido requeridas, es evidente que todas ellas son cero, ya que el circuito ha llegado al estado estable y nada cambia. t ϭ 0Ϫ iL(0Ϫ ) ϭ 0, vR(0Ϫ ) ϭ 0, vC(0Ϫ ) ϭ Ϫ20 V t ϭ 0Ϫ , Figura 8.6 El circuito de la figura 8.5 para: a) b) t ϭ 0ϩ .t ϭ 0Ϫ , Para t Ͼ 0, 3u(t) ϭ 3, así que ahora el circuito es el equivalente al de la figura 8.6b). Puesto que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente, (8.2.2) Aunque no se requiera la tensión del resistor de 4 ⍀ se usará para aplicar las LTK y LCK; llámese La aplicación de la LCK al nodo a de la figu- ra 8.6b) da (8.2.3) La aplicación de la LTK al lazo intermedio de la figura 8.6b) produce (8.2.4)ϪvR(0ϩ ) ϩ vo(0ϩ ) ϩ vC(0ϩ ) ϩ 20 ϭ 0 3 ϭ vR(0ϩ ) 2 ϩ vo(0ϩ ) 4 vo. iL(0ϩ ) ϭ iL(0Ϫ ) ϭ 0, vC(0ϩ ) ϭ vC(0Ϫ ) ϭ Ϫ20 V 3u(t) A 4 Ω 20 V 0.6 H vC + −vR + − 2 Ω + − iL F 1 2 3 A 4 Ω 20 V 0.6 HvR + − 2 Ω + − iLiC vL b) a b4 Ω 20 V vC + − vR + − 2 Ω + − iL a) vo vC + − + − + − F1 2 Ejemplo 8.2En el circuito de la figura 8.5, calcule: a) iL(0ϩ ), vC(0ϩ ), vR(0ϩ ), b) diL(0ϩ )/dt, dvC(0ϩ )/dt, dvR(0ϩ )/dt, c) iL(ϱ), vC(ϱ), vR(ϱ).
- 346. Como de la ecuación (8.2.2), la ecuación (8.2.4) implica que (8.2.5) De las ecuaciones (8.2.3) y (8.2.5) se obtiene (8.2.6) b) Puesto que , Pero la aplicación de la LTK a la malla derecha de la figura 8.6b) da como resultado De ahí que (8.2.7) De igual manera, como , entonces Se aplica la LCK al nodo b de la figura 8.6b) para obtener : (8.2.8) Dado que e Entonces, (8.2.9) Para obtener , la aplicación de la LCK al nodo a produce Al tomar la derivada de cada término y establecer se obtiene (8.2.10) También se aplica la LTK al lazo intermedio de la figura 8.6b), de lo que re- sulta Una vez más, al tomar la derivada de cada término y establecer se ob- tiene La sustitución de rinde (8.2.11) De las ecuaciones (8.2.10) y (8.2.11) se obtiene dvR(0ϩ ) dt ϭ 2 3 V/s dvR(0ϩ ) dt ϭ 2 ϩ dvo(0ϩ ) dt dvC(0ϩ )͞dt ϭ 2 Ϫ dvR(0ϩ ) dt ϩ dvC(0ϩ ) dt ϩ dvo(0ϩ ) dt ϭ 0 t ϭ 0ϩ ϪvR ϩ vC ϩ 20 ϩ vo ϭ 0 0 ϭ 2 dvR(0ϩ ) dt ϩ dvo(0ϩ ) dt t ϭ 0ϩ 3 ϭ vR 2 ϩ vo 4 dvR(0ϩ )͞dt dvC(0ϩ ) dt ϭ iC(0ϩ ) C ϭ 1 0.5 ϭ 2 V/s iL(0ϩ ) ϭ 0, iC(0ϩ ) ϭ 4͞4 ϭ 1 A.vo(0ϩ ) ϭ 4 vo(0ϩ ) 4 ϭ iC (0ϩ ) ϩ iL(0ϩ ) iC dvC͞dt ϭ iC͞C.C dvC͞dt ϭ iC diL(0ϩ ) dt ϭ 0 vL(0ϩ ) ϭ vC(0ϩ ) ϩ 20 ϭ 0 diL(0ϩ ) dt ϭ vL(0ϩ ) L L diL͞dt ϭ vL vR(0ϩ ) ϭ vo(0ϩ ) ϭ 4 V vR(0ϩ ) ϭ vo(0ϩ ) vC(0ϩ ) ϭ Ϫ20 V 318 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden
- 347. Se puede hallar aunque no se haya requerido. Dado que , c) Como el circuito llega al estado estable. Así se tiene el circuito equivalente de la figura 8.6a), salvo que ahora está en operación la fuente de corriente de 3 A. Por el principio de división de corriente, (8.2.12) iL(ϱ) ϭ 2 2 ϩ 4 3 A ϭ 1 A vR(ϱ) ϭ 4 2 ϩ 4 3 A ϫ 2 ϭ 4 V, vC(ϱ) ϭ Ϫ20 V t S ϱ, diR(0ϩ ) dt ϭ 1 5 dvR(0ϩ ) dt ϭ 1 5 2 3 ϭ 2 15 A/s vR ϭ 5iRdiR(0ϩ )͞dt 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 319 En referencia al circuito de la figura 8.7, halle: a) b) , c) iL(ϱ), vC(ϱ), vR(ϱ).diL(0ϩ )͞dt, dvC(0ϩ )͞dt, dvR(0ϩ )͞dt iL(0ϩ ), vC(0ϩ ), vR(0ϩ ), Figura 8.7 Para el problema de práctica 8.2. Respuesta: a) 0, 0, b) 0, 10 V/s, 0, c) 10 V, 10 V.Ϫ1 A,Ϫ3 A, Circuito RLC en serie sin fuente El conocimiento de la respuesta natural del circuito RLC en serie es un ante- cedente necesario para futuros estudios de diseño de filtros y redes de comu- nicación. Considérese el circuito RLC en serie que se presenta en la figura 8.8. Es- te circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tensión inicial del capacitor y la corriente inicial del inductor . Así, en t ϭ 0, (8.2a) (8.2b) Al aplicar la LTK a lo largo de la malla de la figura 8.8, (8.3)Ri ϩ L di dt ϩ 1 C Ύ t Ϫϱ i dt ϭ 0 i(0) ϭ I0 v(0) ϭ 1 C Ύ 0 Ϫϱ i dt ϭ V0 I0V0 8.3 Figura 8.8 Circuito RLC en serie sin fuente. 2u(t) A 3 A 5 Ω 2 H iC iL vC + − iR vL vR+ − + − F1 5 i R L I0 V0 C + − Problema de práctica 8.2
- 348. Para eliminar la integral, se deriva con respecto a t y se reordenan los térmi- nos. Así se obtiene (8.4) Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden y es la razón de que a los circuitos RLC de este capítulo se les llame circuitos de segundo orden. El ob- jetivo es resolver la ecuación (8.4). Resolver esa ecuación diferencial de se- gundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de algunas i y El valor ini- cial de i se da en la ecuación (8.2b). Se obtiene el valor inicial de la deriva- da de i de las ecuaciones (8.2a) y (8.3); es decir, o sea (8.5) Con las dos condiciones iniciales en las ecuaciones (8.2b) y (8.5), ahora se puede resolver la ecuación (8.4). Con base en la experiencia en el capítu- lo anterior, sobre circuitos de primer orden, indica que la solución es de for- ma exponencial. Concédase entonces que (8.6) donde A y s son constantes por determinar. De la sustitución de la ecuación (8.6) en la ecuación (8.4) y de la realización de las derivaciones necesarias se obtiene o sea (8.7) Puesto que es la supuesta solución que se intenta hallar, sólo la ex- presión entre paréntesis puede ser de cero: (8.8) Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecua- ción diferencial (8.4), ya que sus raíces dictan el carácter de i. Las dos raíces de la ecuación (8.8) son (8.9a) (8.9b) Una forma más compacta de expresar estas raíces es (8.10)s1 ϭ Ϫa ϩ 2a2 Ϫ 0 2 , s2 ϭ Ϫa Ϫ 2a2 Ϫ 0 2 s2 ϭ Ϫ R 2L Ϫ B a R 2L b 2 Ϫ 1 LC s1 ϭ Ϫ R 2L ϩ B a R 2L b 2 Ϫ 1 LC s2 ϩ R L s ϩ 1 LC ϭ 0 i ϭ Aest Aest as2 ϩ R L s ϩ 1 LC b ϭ 0 As2 est ϩ AR L sest ϩ A LC est ϭ 0 i ϭ Aest di(0) dt ϭ Ϫ 1 L (RI0 ϩ V0) Ri(0) ϩ L di(0) dt ϩ V0 ϭ 0 v. d2 i dt2 ϩ R L di dt ϩ i LC ϭ 0 320 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Véase el apéndice C.1 en cuanto a la fórmula para hallar las raíces de una ecuación cuadrática.
- 349. donde (8.11) Las raíces y se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito; se conoce como frecuencia resonante, o más estrictamente como frecuen- cia natural no amortiguada, expresada en radianes por segundo (rad/s), y es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, expresada en nepers por segundo. En términos de y , la ecuación (8.8) puede escribirse como (8.8a) Las variables s y son cantidades importantes sobre las que se tratará en el resto del libro. Los dos valores de s en la ecuación (8.10) indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solu- ción en la ecuación (8.6); es decir, (8.12) Como la ecuación (8.4) es una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de las dos distintas soluciones e también es una solución de la ecuación (8.4). Una solución completa o total de la ecuación (8.4) requeriría por lo tan- to una combinación lineal de e . Así, la respuesta natural del circuito RLC en serie es (8.13) donde las constantes y se determinan a partir de los valores iniciales de i(0) y di(0)/dt en las ecuaciones (8.2b) y (8.5). De la ecuación (8.10) se puede inferir que hay tres tipos de soluciones: 1. Si se tiene el caso sobreamortiguado. 2. Si se tiene el caso críticamente amortiguado. 3. Si se tiene el caso subamortiguado. Considérese por separado cada uno de estos casos. Caso sobreamortiguado ( 0 ) Con base en las ecuaciones (8.9) y (8.10), implica que Cuando esto sucede, las raíces y son negativas y reales. La respuesta es (8.14) la cual decrece y tiende a cero al aumentar t. La figura 8.9a) ilustra una res- puesta sobreamortiguada común. Caso críticamente amortiguado ( 0 ) Cuando y (8.15)s1 ϭ s2 ϭ Ϫa ϭ Ϫ R 2L a ϭ 0, C ϭ 4L͞R2 A ؍ i(t) ϭ A1es1t ϩ A2es2t s2s1 C 7 4L͞R2 .a 7 0 A Ͼ a 6 0, a ϭ 0, a 7 0, A2A1 i(t) ϭ A1es1t ϩ A2es2t i2i1 i2i1 i1 ϭ A1es1t , i2 ϭ A2es2t 0 s2 ϩ 2as ϩ 0 2 ϭ 0 0a a 0 s2s1 a ϭ R 2L , 0 ϭ 1 2LC 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 321 El neper (Np) es una unidad adimen- sional así llamada en honor a John Na- pier (1550-1617), matemático escocés. La razón ͞ 0 se conoce como razón de amortiguamiento .z a La respuesta está sobreamortiguada cuando las raíces de la ecuación carac- terística del circuito son diferentes y reales, críticamente amortiguada cuan- do las raíces son iguales y reales y sub- amortiguada cuando las raíces son complejas.
- 350. En este caso, la ecuación (8.13) da por resultado donde . Ésta no puede ser la solución, porque las dos condi- ciones iniciales no pueden satisfacerse con la constante sencilla . ¿Qué pu- do estar mal, entonces? La suposición de una solución exponencial es incorrecta para el caso especial de amortiguamiento crítico. Vuélvase a la ecuación (8.4). Cuando , la ecuación (8.4) se convierte en o sea (8.16) Si se deja que (8.17) la ecuación (8.16) se convierte en la cual es una ecuación diferencial de primer orden con solución donde es una constante. La ecuación (8.17) se convierte entonces en o sea (8.18) Esto puede escribirse como (8.19) La integración de ambos miembros produce o sea (8.20) donde es otra constante. Así, la respuesta natural del circuito críticamente amortiguado es una suma de dos términos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un término lineal, o sea (8.21) Una respuesta críticamente amortiguada común se presenta en la figura 8.9b). De hecho, esta última figura es una aproximación gráfica de la cual alcanza un valor máximo de en una constante de tiem- po, y después decrece hasta cero. t ϭ 1͞a,eϪ1 ͞a i(t) ϭ teϪat , i(t) ϭ (A2 ϩ A1t)eϪat A2 i ϭ (A1t ϩ A2)eϪat eat i ϭ A1t ϩ A2 d dt (eat i) ϭ A1 eat di dt ϩ eat ai ϭ A1 di dt ϩ ai ϭ A1eϪat A1 f ϭ A1eϪat , df dt ϩ af ϭ 0 f ϭ di dt ϩ ai d dt a di dt ϩ aib ϩ aa di dt ϩ aib ϭ 0 d2 i dt2 ϩ 2a di dt ϩ a2 i ϭ 0 a ϭ 0 ϭ R͞2L A3 A3 ϭ A1 ϩ A2 i(t) ϭ A1eϪat ϩ A2eϪat ϭ A3eϪat 322 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.9 a) Respuesta sobreamortiguada, b) res- puesta críticamente amortiguada, c) res- puesta subamortiguada. t i(t) 0 e–t c) t1 ␣ i(t) 0 b) t i(t) 0 a) 2 d
- 351. Caso subamortiguado ( ) Para Las raíces pueden escribirse como (8.22a) (8.22b) donde y la cual se llama frecuencia de amorti- guamiento. Tanto como son frecuencias naturales, porque contribuyen a determinar la respuesta natural; mientras que a suele llamársele frecuen- cia natural no amortiguada, se llama frecuencia natural amortiguada. La respuesta natural es (8.23) Usando las identidades de Euler, (8.24) se obtiene (8.25) Al remplazar las constantes y por las constantes y se escribe (8.26) Con la presencia de las funciones seno y coseno, es claro que la respuesta na- tural para este caso está amortiguada exponencialmente y es de naturaleza os- cilatoria. Tal respuesta tiene una constante de tiempo de y un periodo de En la figura 8.9c) se representa gráficamente una respuesta sub- amortiguada común. [En la figura 8.9 se supone en cada caso que i(0) ϭ 0.] Una vez hallada la corriente del inductor i(t) para el circuito RLC en se- rie como se ha mostrado hasta aquí, pueden hallarse fácilmente otras variables del circuito, como las tensiones de los elementos individuales. Por ejemplo, la tensión del resistor es y la tensión del inductor es . La corriente del inductor i(t) se selecciona como la variable clave por deter- minar primero a fin de obtener provecho de la ecuación (8.1b). Se concluye esta sección señalando las siguientes interesantes y peculia- res propiedades de una red RLC: 1. El comportamiento de una red de este tipo se presenta en la idea de amor- tiguamiento, el cual es la pérdida gradual de la energía almacenada ini- cialmente, como lo evidencia el continuo decremento de la amplitud de la respuesta. El efecto de amortiguamiento se debe a la presencia de la resistencia R. El factor de amortiguamiento determina la velocidad con la cual se amortigua la respuesta. Si R ϭ 0, entonces y se tiene un circuito LC con como frecuencia natural no amortiguada. Da- do que en este caso, la respuesta no sólo es no amortiguada, si- no también oscilatoria. Se dice que el circuito es sin pérdidas, porque el elemento disipador o amortiguador (R) está ausente. Ajustando el valor de R, la respuesta puede volverse no amortiguada, sobreamortiguada, crí- ticamente amortiguada o subamortiguada. 2. La respuesta oscilatoria es posible debido a la presencia de los dos tipos de elementos de almacenamiento. La disposición tanto de L como de C a 6 0 1͞1LC a ϭ 0, a vL ϭ L di͞dtvR ϭ Ri, T ϭ 2p͞d. 1͞a i(t) ϭ eϪat (B1 cos dt ϩ B2 sen dt) B2, B1j(A1 Ϫ A2)(A1 ϩ A2) ϭ eϪat [(A1 ϩ A2) cos dt ϩ j(A1 Ϫ A2) sendt] i(t) ϭ eϪat [A1(cos dt ϩ j sen dt) ϩ A2(cos dt Ϫ j sendt)] eju ϭ cos u ϩ j sen u, eϪju ϭ cos u Ϫ j sen u i(t) ϭ A1eϪ(aϪjd)t ϩ A2eϪ(aϩjd)t ϭ eϪat (A1ejdt ϩ A2eϪjdt ) d 0 d0 d ϭ 20 2 Ϫ a2 ,j ϭ 2Ϫ1 s2 ϭ Ϫa Ϫ 2Ϫ(0 2 Ϫ a2 ) ϭ Ϫa Ϫ jd s1 ϭ Ϫa ϩ 2Ϫ(0 2 Ϫ a2 ) ϭ Ϫa ϩ jd a 6 0, C 6 4L͞R2 . A Ͻ 0 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 323 R ϭ 0 produce una respuesta perfecta- mente senoidal. Esta respuesta no pue- de cumplirse en la práctica con L y C, a causa de las pérdidas inherentes a ellos. Véanse las figuras 6.8 y 6.26. El dispositivo electrónico llamado oscila- dor puede producir una respuesta perfectamente senoidal. En los ejemplos 8.5 y 8.7 se mostrará el efecto de la variación de R. La respuesta de un circuito de segun- do orden con dos elementos de alma- cenamiento del mismo tipo, como en la figura 8.1c) y d), no puede ser osci- latoria.
- 352. permite que el flujo de energía vaya y venga entre los dos. La oscilación amortiguada exhibida por la respuesta subamortiguada se conoce como resonancia. Se deriva de la capacidad de los elementos de almacenamien- to L y C para transferir energía de un lado a otro entre ellos. 3. Obsérvese en la figura 8.9 que las formas de onda de las respuestas di- fieren. En general, resulta difícil percibir la diferencia entre las respuestas sobreamortiguada y críticamente amortiguada en las formas de onda. Es- te último caso es la frontera entre los casos subamortiguado y sobreamor- tiguado, y es el que decae con mayor rápidez. Con las mismas condiciones iniciales, el caso sobreamortiguado tiene el mayor tiempo de estabiliza- ción, porque es en el que la energía inicial almacenada tarda más en di- siparse. Si se desea la respuesta que aproxime con más rapidez el valor final sin oscilación o resonancia, el circuito críticamente amortiguado es la opción correcta. 324 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden En la mayoría de los circuitos prácticos esto significa que lo que se busca es un circuito sobreamortiguado que se acerque lo más posible a uno crítica- mente amortiguado. En la figura 8.8, R ϭ 40 , L ϭ 4 H y C ϭ 1/4 F. Calcule las raíces carac- terísticas del circuito. ¿La respuesta natural está sobre, sub o críticamente amortiguada? Solución: Primero se calcula Las raíces son o sea Puesto que se concluye que la respuesta está sobreamortiguada. Es- to también es evidente en el hecho de que las raíces son reales y negativas. a 7 0, s1 ϭ Ϫ0.101, s2 ϭ Ϫ9.899 s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ5 Ϯ 225 Ϫ 1 a ϭ R 2L ϭ 40 2(4) ϭ 5, 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 24 ϫ 1 4 ϭ 1 ⍀ Si y C ϭ 2 mF en la figura 8.8, halle y ¿Qué tipo de respuesta natural tendrá el circuito? Respuesta: 1, 10, subamortiguada.Ϫ1 Ϯ j9.95, s2.a, 0, s1R ϭ 10 ⍀, L ϭ 5 H Halle i(t) en el circuito de la figura 8.10. Suponga que el circuito ha llegado al estado estable en . Solución: Para t Ͻ 0, el interruptor está cerrado. El capacitor actúa como circuito abier- to, mientras que el inductor lo hace como circuito derivado. El circuito equivalente se muestra en la figura 8.11a). Así, en t ϭ 0, i(0) ϭ 10 4 ϩ 6 ϭ 1 A, v(0) ϭ 6i(0) ϭ 6 V t ϭ 0Ϫ Ejemplo 8.3 Problema de práctica 8.3 Ejemplo 8.4
- 353. donde i(0) es la corriente inicial a través del inductor y es la tensión ini- cial a través del capacitor. Para t Ͼ 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión desconecta- da. El circuito equivalente se presenta en la figura 8.11b), de un circuito RLC en serie sin fuente. Nótese que los resistores de 3 y 6 , que están en se- rie en la figura 8.10, cuando el interruptor se abre, se han combinado para producir en la figura 8.11b). Las raíces se calculan de la siguiente manera: o sea Así, la respuesta está subamortiguada ( ); es decir, (8.4.1) Ahora se obtiene y usando las condiciones iniciales. En t ϭ 0, (8.4.2) Partiendo de la ecuación (8.5), (8.4.3) Adviértase que se emplea , porque la polaridad de v en la figura 8.11b) es la opuesta a la de la figura 8.8. Al tomar la derivada de i(t) en la ecuación (8.4.1), La imposición de la condición en la ecuación (8.4.3) en t ϭ 0 da por resul- tado Pero por la ecuación (8.4.2). En consecuencia, La sustitución de los valores de y en la ecuación (8.4.1) produce la solución completa como i(t) ϭ eϪ9t (cos 4.359t ϩ 0.6882 sen 4.359t) A A2A1 Ϫ6 ϭ Ϫ9 ϩ 4.359A2 1 A2 ϭ 0.6882 A1 ϭ 1 Ϫ6 ϭ Ϫ9(A1 ϩ 0) ϩ 4.359(Ϫ0 ϩ A2) ϩ eϪ9t (4.359)(ϪA1 sen 4.359t ϩ A2 cos 4.359t) di dt ϭ Ϫ9eϪ9t (A1 cos 4.359t ϩ A2 sen 4.359t) v(0) ϭ V0 ϭ Ϫ6 V di dt 2 tϭ0 ϭ Ϫ 1 L [Ri(0) ϩ v(0)] ϭ Ϫ2[9(1) Ϫ 6] ϭ Ϫ6 A/s i(0) ϭ 1 ϭ A1 A2A1 i(t) ϭ eϪ9t (A1 cos 4.359t ϩ A2 sen 4.359t) a 6 s1,2 ϭ Ϫ9 Ϯ j4.359 s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ9 Ϯ 281 Ϫ 100 a ϭ R 2L ϭ 9 2(1 2) ϭ 9, 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 21 2 ϫ 1 50 ϭ 10 R ϭ 9 ⍀ ⍀⍀ v(0) 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 325 0.5 H 0.02 F 9 Ω i b) 10 V 4 Ω v + − 6 Ω+ − i a) v + − Figura 8.10 Para el ejemplo 8.4. Figura 8.11 El circuito de la figura 8.10: a) para t Ͻ 0, b) para t Ͼ 0. t = 0 10 V 4 Ω 0.5 H 0.02 F v + − 3 Ω + − 6 Ω i
- 354. 326 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden El circuito de la figura 8.12 ha llegado al estado estable en Si el con- mutador sin interrupción se mueve a la posición b en t ϭ 0, calcule i(t) para t Ͼ 0. Respuesta: eϪ2.5t (5 cos 1.6583t Ϫ 7.5378 sen1.6583t) A. t ϭ 0Ϫ . t = 0 a b 50 V 10 Ω 1 H + − 5 Ω i(t) F 1 9 Figura 8.12 Para el problema de práctica 8.4. v R L CI0v + − v + − V0 + − Figura 8.13 Circuito RLC en paralelo sin fuente. Circuito RLC en paralelo sin fuente Los circuitos RLC en paralelo tienen muchas aplicaciones prácticas, principal- mente en redes de comunicación y diseño de filtros. Considérese el circuito RLC en paralelo que se presenta en la figura 8.13. Supóngase que la corriente inicial del inductor y la tensión inicial del ca- pacitor , (8.27a) (8.27b) Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos. De acuerdo con la convención pasiva de los signos, en cada ele- mento entra corriente; esto es, la corriente a través de cada elemento sale por el nodo superior. Así, la aplicación de la LCK al nodo superior deriva en (8.28) Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre C resulta (8.29) Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y la segunda derivada por . Siguiendo el mismo razonamiento que el utiliza- do al establecer las ecuaciones (8.4) a (8.8), la ecuación característica se ob- tiene como (8.30) Las raíces de la ecuación característica son o sea (8.31) donde (8.32)a ϭ 1 2RC , 0 ϭ 1 2LC s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 s1,2 ϭ Ϫ 1 2RC Ϯ B a 1 2RC b 2 Ϫ 1 LC s2 ϩ 1 RC s ϩ 1 LC ϭ 0 s2 d2 v dt2 ϩ 1 RC dv dt ϩ 1 LC v ϭ 0 v R ϩ 1 L Ύ t Ϫϱ vdt ϩ C dv dt ϭ 0 v(0) ϭ V0 i(0) ϭ I0 ϭ 1 L Ύ 0 ϱ v(t)dt V0 I0 8.4 Problema de práctica 8.4
- 355. Los nombres de estos términos son los mismos que en la sección anterior, pues desempeñan el mismo papel en la solución. De nueva cuenta, hay tres posibles soluciones, dependiendo de si o Considé- rense estos casos por separado. Caso sobreamortiguado ( ) A partir de la ecuación (8.32), cuando Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas. La respuesta es (8.33) Caso críticamente amortiguado ( ) Para Las raíces son reales e iguales, así que la respues- ta es (8.34) Caso subamortiguado ( ) Cuando En este caso las raíces son complejas y pueden expresarse como (8.35) donde (8.36) La respuesta es (8.37) Las constantes y pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita y El primer término se conoce a partir de la ecuación (8.27b). El segundo se halla combinando las ecuaciones (8.27) y (8.28), en esta forma: o sea (8.38) Las formas de onda de la tensión son similares a las que se mostraron en la figura 8.9, y dependerán de si el circuito está sobre, sub o críticamente amor- tiguado. Habiendo hallado la tensión del capacitor para el circuito RLC en pa- ralelo como se ha indicado aquí, se pueden obtener fácilmente otras variables del circuito, como las corrientes en cada uno de elementos individuales. Por ejemplo, la corriente del resistor es , y la tensión del capacitor es Se ha seleccionado la tensión del capacitor como la varia- ble clave por determinar primero a fin de aprovechar la ecuación (8.1a). Ob- sérvese que en el caso del circuito RLC en serie, primero se halla la corriente del inductor i(t), mientras que en el del circuito RLC en paralelo primero se halla la tensión del capacitor .v(t) v(t)vC ϭ C dv͞dt. iR ϭ v͞R v(t) dv(0) dt ϭ Ϫ (V0 ϩ RI0) RC V0 R ϩ I0 ϩ C dv(0) dt ϭ 0 dv(0)͞dt.v(0) A2A1 v(t) ϭ eϪat (A1 cos dt ϩ A2 sen dt) d ϭ 20 2 Ϫ a2 s1,2 ϭ Ϫa Ϯ jd a 6 0, L 6 4R2 C. A Ͻ 0 v(t) ϭ (A1 ϩ A2t)eϪat L ϭ 4R2 C.a ϭ 0, A ؍ 0 v(t) ϭ A1es1t ϩ A2es2t L 7 4R2 C.a 7 0 A Ͼ 0 a 6 0.a ϭ 0a 7 0, 8.4 Circuito RLC en paralelo sin fuente 327
- 356. 328 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden En el circuito en paralelo de la figura 8.13, halle para t Ͼ 0, suponiendo i(0) ϭ 0, L ϭ 1 H y C ϭ 10 mF. Considere estos casos: y Solución: ■ CASO 1 Si Dado que en este caso, la respuesta está sobreamortiguada. Las raí- ces de la ecuación característica son y la correspondiente respuesta es (8.5.1) Ahora se aplican las condiciones iniciales para obtener y (8.5.2) Pero al derivar la ecuación (8.5.1), En t ϭ 0, (8.5.3) De las ecuaciones (8.5.2) y (8.5.3) se obtiene y La sustitución de y en la ecuación (8.5.1) produce (8.5.4) ■ CASO 2 Cuando mientras que permanece igual. Puesto que la respues- ta está críticamente amortiguada. Por lo tanto, y (8.5.5) Para obtener y se aplican las condiciones iniciales (8.5.6) Pero al derivar la ecuación (8.5.5), dv dt ϭ (Ϫ10A1 Ϫ 10A2t ϩ A2)eϪ10t dv(0) dt ϭ Ϫ v(0) ϩ Ri(0) RC ϭ Ϫ 5 ϩ 0 5 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ Ϫ100 v(0) ϭ 5 ϭ A1 A2,A1 v(t) ϭ (A1 ϩ A2t)eϪ10t s1 ϭ s2 ϭ Ϫ10, a ϭ 0 ϭ 10,0 ϭ 10 a ϭ 1 2RC ϭ 1 2 ϫ 5 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ 10 R ϭ 5 ⍀, v(t) ϭ Ϫ0.2083eϪ2t ϩ 5.208eϪ50t A2A1 A2 ϭ 5.208.A1 ϭ Ϫ0.2083 Ϫ260 ϭ Ϫ2A1 Ϫ 50A2 dv dt ϭ Ϫ2A1eϪ2t Ϫ 50A2eϪ50t dv(0) dt ϭ Ϫ v(0) ϩ Ri(0) RC ϭ Ϫ 5 ϩ 0 1.923 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ Ϫ260 v(0) ϭ 5 ϭ A1 ϩ A2 A2.A1 v(t) ϭ A1eϪ2t ϩ A2eϪ50t s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ2, Ϫ50 a 7 0 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 21 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ 10 a ϭ 1 2RC ϭ 1 2 ϫ 1.923 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ 26 R ϭ 1.923 ⍀, R ϭ 6.25 ⍀.R ϭ 1.923 ⍀, R ϭ 5 ⍀ v(0) ϭ 5 V, v(t)Ejemplo 8.5
- 357. En t ϭ 0, (8.5.7) Con base en las ecuaciones (8.5.6) y (8.5.7), y Así, (8.5.8) ■ CASO 3 Cuando mientras que permanece igual. Como en este caso, la respues- ta está subamortiguada. Las raíces de la ecuación característica son De ahí que (8.5.9) Ahora se obtiene y como (8.5.10) Pero al derivar la ecuación (8.5.9), En t ϭ 0, (8.5.11) Con base en las ecuaciones (8.5.10) y (8.5.11), y . Así, (8.5.12) Se advierte que al aumentar el valor de R, el grado de amortiguamien- to decrece y las respuestas difieren. En la figura 8.14 se diagraman los tres casos. v(t) ϭ (5 cos 6t Ϫ 6.667 sen 6t)eϪ8t A2 ϭ Ϫ6.667A1 ϭ 5 Ϫ80 ϭ Ϫ8A1 ϩ 6A2 dv dt ϭ (Ϫ8A1 cos 6t Ϫ 8A2 sen 6t Ϫ 6A1 sen 6t ϩ 6A2 cos 6t)eϪ8t dv(0) dt ϭ Ϫ v(0) ϩ Ri(0) RC ϭ Ϫ 5 ϩ 0 6.25 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ Ϫ80 v(0) ϭ 5 ϭ A1 A2,A1 v(t) ϭ (A1 cos 6t ϩ A2 sen 6t)eϪ8t s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ8 Ϯ j6 a 6 00 ϭ 10 a ϭ 1 2RC ϭ 1 2 ϫ 6.25 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ 8 R ϭ 6.25 ⍀, v(t) ϭ (5 Ϫ 50t)eϪ10t V A2 ϭ Ϫ50.A1 ϭ 5 Ϫ100 ϭ Ϫ10A1 ϩ A2 8.4 Circuito RLC en paralelo sin fuente 329 Figura 8.14 Para el ejemplo 8.5: respuestas para los tres grados de amortiguamiento. 0.50 1 1.5 Ϫ1 0 1 2 3 4 5 t (s) v(t) V Sobreamortiguado Críticamente amortiguado Subamortiguado
- 358. 330 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden En la figura 8.13, conceda que R ϭ 2 , L ϭ 0.4 H, C ϭ 25 mF, v(0) ϭ 0, i(0) ϭ 3 A. Halle para t Ͼ 0. Respuesta: Ϫ120teϪ10t V. v(t) ⍀ Halle para t Ͼ 0 en el circuito RLC de la figura 8.15.v(t) 40 V 0.4 H 50 Ω 20 F 30 Ω + − i t = 0 v + − Figura 8.15 Para el ejemplo 8.6. Solución: Cuando t Ͻ 0, el interruptor se encuentra abierto; el inductor actúa como cor- tocircuito, mientras que el capacitor se comporta como circuito abierto. La tensión inicial a través del capacitor es igual que la tensión a través del resis- tor de 50 ; es decir, (8.6.1) La corriente inicial que fluye a través del inductor es La dirección de i es la que se indica en la figura 8.15, en conformidad con la dirección de en la figura 8.13, la cual concuerda a su vez con la conven- ción de que la corriente entra por la terminal positiva de un inductor (véase figura 6.23). Se debe expresar esto en términos de , ya que se busca co- nocer v. (8.6.2) Cuando t Ͼ 0, el interruptor está cerrado. La fuente de tensión, junto con el resistor de 30 , está separada del resto del circuito. El circuito RLC en paralelo actúa independientemente de la fuente de tensión, como se ilustra en la figura 8.16. En seguida se determina que las raíces de la ecuación caracte- rística son o sea s1 ϭ Ϫ854, s2 ϭ Ϫ146 ϭ Ϫ500 Ϯ 2250,000 Ϫ 124,997.6 ϭ Ϫ500 Ϯ 354 s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 2 0 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 20.4 ϫ 20 ϫ 10Ϫ6 ϭ 354 a ϭ 1 2RC ϭ 1 2 ϫ 50 ϫ 20 ϫ 10Ϫ6 ϭ 500 ⍀ dv(0) dt ϭ Ϫ v(0) ϩ Ri(0) RC ϭ Ϫ 25 Ϫ 50 ϫ 0.5 50 ϫ 20 ϫ 10Ϫ6 ϭ 0 dv͞dt I0 i(0) ϭ Ϫ 40 30 ϩ 50 ϭ Ϫ0.5 A v(0) ϭ 50 30 ϩ 50 (40) ϭ 5 8 ϫ 40 ϭ 25 V ⍀ Problema de práctica 8.5 Ejemplo 8.6
- 359. 2 A 4 mF20 Ω 10 H t = 0 v + − Figura 8.17 Para el problema de práctica 8.6. Como se tiene la respuesta sobreamortiguada (8.6.3) En t ϭ 0, se emplea la condición de la ecuación (8.6.1), (8.6.4) Al tomar la derivada de de la ecuación (8.6.3), Al imponer la condición de la ecuación (8.6.2), o sea (8.6.5) La solución de las ecuaciones (8.6.4) y (8.6.5) produce Así, la solución completa de la ecuación (8.6.3) se convierte en v(t) ϭ Ϫ5.156eϪ854t ϩ 30.16eϪ146t V A1 ϭ Ϫ5.156, A2 ϭ 30.16 0 ϭ 854A1 ϩ 146A2 dv(0) dt ϭ 0 ϭ Ϫ854A1 Ϫ 146A2 dv dt ϭ Ϫ854A1eϪ854t Ϫ 146A2eϪ146t v(t) v(0) ϭ 25 ϭ A1 ϩ A2 1 A2 ϭ 25 Ϫ A1 v(t) ϭ A1eϪ854t ϩ A2eϪ146t a 7 0, 8.5 Respuesta escalón de un circuito RLC en serie 331 40 V 0.4 H 50 Ω 20 F 30 Ω + − Figura 8.16 Circuito de la figura 8.15 cuando t Ͼ 0. El circuito RLC en paralelo de la derecha actúa independiente- mente del circuito a la izquierda del punto de unión. Remítase al circuito de la figura 8.17. Halle para t Ͼ 0. Respuesta: 66.67(eϪ10t Ϫ eϪ2.5t ) V. v(t) Respuesta escalón de un circuito RLC en serie Como se aprendió en el capítulo anterior, la respuesta de escalón se obtiene de la aplicación súbita de una fuente de cd. Considérese el circuito RLC en serie que se muestra en la figura 8.18. Al aplicar la LTK a lo largo la malla para t Ͼ 0, (8.39) Pero i ϭ C dv dt L di dt ϩ Ri ϩ v ϭ Vs 8.5 Vs R L C+ − i t = 0 v + − Figura 8.18 Tensión de escalón aplicada a un circuito RLC en serie. Problema de práctica 8.6
- 360. Al sustituir i en la ecuación (8.39) y reordenar términos, (8.40) que tiene la misma forma que la ecuación (8.4). Más específicamente, los coe- ficientes son los mismos (lo cual es importante en la determinación de los pa- rámetros de la frecuencia), pero la variable es diferente. [Véase de igual modo la ecuación (8.47).] Así, la ecuación característica del circuito RLC en serie no se ve afectada por la presencia de la fuente de cd. La solución de la ecuación (8.40) tiene dos componentes: la respuesta transtoria y la respuesta en estado estable esto es, (8.41) La respuesta transitoria es el componente de la respuesta total que se ex- tingue con el tiempo. La forma de la respuesta transitoria es igual a la de la solución obtenida en la sección 8.3 para el circuito sin fuente, dada por las ecuaciones (8.14), (8.21) y (8.26). En consecuencia, la respuesta transitoria de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado es: (Sobreamortiguado) (8.42a) (Críticamente amortiguado) (8.42b) (Subamortiguado) (8.42c) La respuesta en estado estable es el valor final de . En el circuito de la fi- gura 8.18, el valor final de la tensión del capacitor es igual que el de la ten- sión de fuente . Por lo tanto, (8.43) Así, las soluciones completas de los casos sobre, sub y críticamente amorti- guado son: (Sobreamortiguado) (8.44a) (Críticamente amortiguado) (8.44b) (Subamortiguado) (8.44c) Los valores de las constantes y se obtienen de las condiciones inicia- les: y Tenga en cuenta que v e i son la tensión a través del ca- pacitor y la corriente a través del inductor, respectivamente. Por consiguiente, la ecuación (8.44) sólo se aplica para determinar v. Pero una vez conocida la tensión del capacitor , se puede determinar lo que es lo mismo que la corriente a través del capacitor, el inductor y el resistor. Así pues, la tensión a través del resistor es mientras que la tensión del inductor es Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) pue- de hallarse en forma directa, porque tiene la forma general (8.45) donde es el valor final, y la respuesta transitoria. El valor fi- nal se halla como en la sección 8.2. La respuesta transitoria tiene la misma forma que en la ecuación (8.42), y las constantes asociadas se determinan a partir de la ecuación (8.44), con base en los valores de x(0) y dx(0)/dt. xt(t)xss ϭ x(ϱ) x(t) ϭ xss(t) ϩ xt(t) vL ϭ L di͞dt. vR ϭ iR, i ϭ C dv͞dt,vC ϭ v dv(0)͞dt.v(0) A2A1 v(t) ϭ Vs ϩ (A1 cos dt ϩ A2 sen dt)eϪat v(t) ϭ Vs ϩ (A1 ϩ A2t)eϪat v(t) ϭ Vs ϩ A1es1t ϩ A2es2t vss(t) ϭ v(ϱ) ϭ Vs Vs v(t) vt(t) ϭ (A1 cos d t ϩ A2 sendt)eϪat vt(t) ϭ (A1 ϩ A2t)eϪat vt(t) ϭ A1es1t ϩ A2es2t vt(t) vt(t) v(t) ϭ vt(t) ϩ vss(t) vss(t);vt(t) d2 v dt2 ϩ R L dv dt ϩ v LC ϭ Vs LC 332 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden
- 361. 8.5 Respuesta escalón de un circuito RLC en serie 333 En referencia al circuito de la figura 8.19, halle e i(t) para t Ͼ 0. Consi- dere estos casos: y . Solución: ■ CASO 1 Cuando Para t Ͻ 0, el interruptor está cerrado du- rante mucho tiempo. El capacitor se comporta como circuito abierto, mientras que el inductor actúa como cortocircuito. La corriente inicial a través del in- ductor es y la tensión inicial a través del capacitor es la misma que la tensión del re- sistor de 1 ⍀; esto es, Para t Ͼ 0, el interruptor está abierto, de modo que el resistor de 1 ⍀ es- tá desconectado. Lo que resta es el circuito RLC en serie con la fuente de tensión. Las raíces características se determinan de esta forma: Puesto que se tiene la respuesta natural sobreamortiguada. Por lo tan- to, la respuesta total es donde es la respuesta en estado estable. Éste es el valor final de la tensión del capacitor. En la figura 8.19, Así, (8.7.1) Ahora se debe hallar y usando las condiciones iniciales. o sea (8.7.2) La corriente a través del inductor no puede cambiar abruptamente, y es igual que la corriente a través del capacitor en , porque el inductor y el ca- pacitor están ahora en serie. En consecuencia, Antes de usar esta condición, se debe tomar la derivada de v de la ecuación (8.7.1). (8.7.3) En t ϭ 0, (8.7.4) dv(0) dt ϭ 16 ϭ ϪA1 Ϫ 4A2 dv dt ϭ ϪA1eϪt Ϫ 4A2eϪ4t i(0) ϭ C dv(0) dt ϭ 4 1 dv(0) dt ϭ 4 C ϭ 4 0.25 ϭ 16 t ϭ 0ϩ Ϫ20 ϭ A1 ϩ A2 v(0) ϭ 4 ϭ 24 ϩ A1 ϩ A2 A2A1 v(t) ϭ 24 ϩ (A1eϪt ϩ A2eϪ4t ) vf ϭ 24 V. vss v(t) ϭ vss ϩ (A1eϪt ϩ A2eϪ4t ) a 7 0, s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ1, Ϫ4 a ϭ R 2L ϭ 5 2 ϫ 1 ϭ 2.5, 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 21 ϫ 0.25 ϭ 2 v(0) ϭ 1i(0) ϭ 4 V i(0) ϭ 24 5 ϩ 1 ϭ 4 A R ϭ 5 ⍀. R ϭ 1 ⍀R ϭ 5 ⍀, R ϭ 4 ⍀ v(t) Figura 8.19 Para el ejemplo 8.7. 24 V R 1 H + − 0.25 F 1 Ω i t = 0 v + − Ejemplo 8.7
- 362. Con base en las ecuaciones (8.7.2) y (8.7.4), y Al sustituir y en la ecuación (8.7.1) se obtiene (8.7.5) Dado que el inductor y el capacitor están en serie para t Ͼ 0, la corrien- te del inductor es igual que la corriente del capacitor. Así, La multiplicación de la ecuación (8.7.3) por C ϭ 0.25 y la sustitución de los valores de y da por resultado (8.7.6) Adviértase que i(0) ϭ 4 A, como era de esperar. ■ CASO 2 Cuando De nueva cuenta, la corriente inicial a tra- vés del inductor es y la tensión inicial del capacitor es Para las raíces características, mientras que permanece igual. En este caso, y se tiene la respuesta natural críticamente amortiguada. En consecuencia, la res- puesta total es y, como en el caso anterior, (8.7.7) Para hallar y se emplean las condiciones iniciales. Se escribe (8.7.8) Puesto que , o A partir de la ecuación (8.7.7), (8.7.9) En t ϭ 0, (8.7.10) dv(0) dt ϭ 19.2 ϭ Ϫ2A1 ϩ A2 dv dt ϭ (Ϫ2A1 Ϫ 2tA2 ϩ A2)eϪ2t dv(0) dt ϭ 4.8 C ϭ 19.2 i(0) ϭ C dv(0)͞dt ϭ 4.8 v(0) ϭ 4.8 ϭ 24 ϩ A1 1 A1 ϭ Ϫ19.2 A2,A1 v(t) ϭ 24 ϩ (A1 ϩ A2t)eϪ2t vss ϭ 24 V, v(t) ϭ vss ϩ (A1 ϩ A2t)eϪ2t s1 ϭ s2 ϭ Ϫa ϭ Ϫ2,0 ϭ 2 a ϭ R 2L ϭ 4 2 ϫ 1 ϭ 2 v(0) ϭ 1i(0) ϭ 4.8 V i(0) ϭ 24 4 ϩ 1 ϭ 4.8 A R ϭ 4 ⍀. i(t) ϭ 4 3 (4eϪt Ϫ eϪ4t ) A A2A1 i(t) ϭ C dv dt v(t) ϭ 24 ϩ 4 3 (Ϫ16eϪt ϩ eϪ4t ) V A2A1 A2 ϭ 4͞3.A1 ϭ Ϫ64͞3 334 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden
- 363. Con base en las ecuaciones (8.7.8) y (8.7.10), y . Así, la ecuación (8.7.7) se convierte en (8.7.11) La corriente del inductor es igual que la corriente del capacitor; esto es, La multiplicación de la ecuación (8.7.9) por C ϭ 0.25 y la sustitución de los valores de y da por resultado (8.7.12) Adviértase que i(0) ϭ 4.8 A, como era de esperar. ■ CASO 3 Cuando . La corriente inicial del inductor es y la tensión inicial a través del capacitor es igual que la tensión a través del resistor de 1 , Puesto que , se tiene la respuesta subamortiguada La respuesta total es en consecuencia (8.7.13) Ahora se determina y Se escribe (8.7.14) Dado que (8.7.15) Pero (8.7.16) En t ϭ 0, La sustitución de da y la ecuación (8.7.13) se con- vierte en (8.7.17) La corriente del inductor es i(t) ϭ C dv dt v(t) ϭ 24 ϩ (21.694 sen 1.936t Ϫ 12 cos 1.936t)eϪ0.5t V A2 ϭ 21.694,A1 ϭ Ϫ12 dv(0) dt ϭ 48 ϭ (Ϫ0 ϩ 1.936A2) Ϫ 0.5(A1 ϩ 0) dv dt ϭ eϪ0.5t (Ϫ1.936A1 sen 1.936t ϩ 1.936A2 cos 1.936t) Ϫ 0.5eϪ0.5t (A1 cos 1.936t ϩ A2 sen 1.936t) dv(0) dt ϭ 12 C ϭ 48 i(0) ϭ C dv(0)͞dt ϭ 12, v(0) ϭ 12 ϭ 24 ϩ A1 1 A1 ϭ Ϫ12 A2.A1 v(t) ϭ 24 ϩ (A1 cos 1.936t ϩ A2 sen 1.936t)eϪ0.5t s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ0.5 Ϯ j1.936 a ϭ 0.5 6 0 ϭ 2 a ϭ R 2L ϭ 1 2 ϫ 1 ϭ 0.5 v(0) ϭ 1i(0) ϭ 12 V ⍀ i(0) ϭ 24 1 ϩ 1 ϭ 12 A R ϭ 1 ⍀ i(t) ϭ (4.8 ϩ 9.6t)eϪ2t A A2A1 i(t) ϭ C dv dt v(t) ϭ 24 Ϫ 19.2(1 ϩ t)eϪ2t V A2 ϭ Ϫ19.2A1 ϭ Ϫ19.2 8.5 Respuesta escalón de un circuito RLC en serie 335
- 364. La multiplicación de la ecuación (8.7.16) por C ϭ 0.25 y la sustitución de los valores de y origina (8.7.18) Adviértase que i(0) ϭ 12 A, como era de esperar. En la figura 8.20 se han diagramado las respuestas de los tres casos. En esta figura se observa que la respuesta críticamente amortiguada es la que aproxima con más rapidez la entrada de escalón de 24 V. i(t) ϭ (3.1 sen 1.936t ϩ 12 cos 1.936t)eϪ0.5t A A2A1 336 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.20 Para el ejemplo 8.7: respuesta de los tres grados de amortiguamiento. Luego de estar en la posición a durante mucho tiempo, el interruptor de la fi- gura 8.21 se mueve a la posición b en t ϭ 0. Halle y para t Ͼ 0.vR(t)v(t) Figura 8.21 Para el problema de práctica 8.7. Respuesta: 2.31eϪ2t sen 3.464t V. 10 Ϫ (1.1547 sen 3.464t ϩ 2 cos 3.464t)eϪ2t V, Respuesta de escalón de un circuito RLC en paralelo Considere el circuito RLC en paralelo que aparece en la figura 8.22. Interesa hallar la i debida a la aplicación repentina de una corriente de cd. Al aplicar la LCK al nodo superior para t Ͼ 0, (8.46) v R ϩ i ϩ C dv dt ϭ Is 8.6 Figura 8.22 Circuito RLC en paralelo con una corrien- te aplicada. t (s) Subamortiguada Sobreamortiguada Críticamente amortiguada v(t) V 40 35 30 35 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t = 0 a b 12 V 1 Ω + − 10 V + − 10 Ω 2 Ω 2.5 H − +vR v + − F1 40 Is CR Lt = 0 i v + − Problema de práctica 8.7
- 365. Pero Al sustituir v en la ecuación (8.46) y dividir entre LC se obtiene (8.47) que tiene la misma ecuación característica que la ecuación (8.29). La solución completa de la ecuación (8.47) consta de la respuesta natu- ral y la respuesta en forzada esto es, (8.48) La respuesta natural es igual que la obtenida en la sección 8.4. La respuesta forzada es el valor final de i. En el circuito de la figura 8.22, el valor final de la corriente a través del inductor es igual que el de la corriente de fuente Así, (Sobreamortiguado) (Críticamente amortiguado) (8.49) (Subamortiguado) Las constantes y pueden determinarse en cada caso a partir de las con- diciones iniciales de i y di/dt. También esta vez se debe tener en cuenta que la ecuación (8.49) sólo se aplica para la determinación de la corriente del in- ductor i. Pero una vez conocida la corriente del inductor , se puede ha- llar lo cual es lo mismo que la tensión a través del inductor, el capacitor y el resistor. Así, la corriente a través del resistor es mien- tras que la corriente del capacitor es Alternativamente, la res- puesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse de manera directa, usando (8.50) donde y son su valor final y su respuesta transitoria, respectivamente.xtxss x(t) ϭ xss(t) ϩ xt(t) iC ϭ C dv͞dt. iR ϭ v͞R, v ϭ L di͞dt, iL ϭ i A2A1 i(t) ϭ Is ϩ (A1 cos dt ϩ A2 sen dt)eϪat i(t) ϭ Is ϩ (A1 ϩ A2t)eϪat i(t) ϭ Is ϩ A1es1t ϩ A2es2t Is. i(t) ϭ it(t) ϩ iss(t) iss;it(t) d2 i dt2 ϩ 1 RC di dt ϩ i LC ϭ Is LC v ϭ L di dt 8.6 Respuesta de escalón de un crcuito RLC en paralelo 337 En el circuito de la figura 8.23, halle i(t) e para t Ͼ 0.iR(t) Figura 8.23 Para el ejemplo 8.8. Solución: Para t Ͻ 0, el interruptor está abierto, y el circuito se divide en dos subcir- cuitos independientes. La corriente de 4 A fluye a través del inductor, de manera que i(0) ϭ 4 A 4 A 20 Ω20 H iRi + − 30u(−t) V t = 0 8 mF 20 Ω v + − Ejemplo 8.8
- 366. Como 30u(Ϫt) ϭ 30 cuando t Ͻ 0 y 0 cuando t Ͼ 0, la fuente de tensión es- tá en operación para el t Ͻ 0 en consideración. El capacitor actúa como circuito abierto y su tensión es igual que la tensión a través del resistor de 20 conectado en paralelo con él. Por división de tensión, la tensión inicial del capacitor es Para t Ͼ 0, el interruptor está cerrado, y se tiene un circuito RLC en pa- ralelo con una fuente de corriente. La fuente de tensión está desactivada o en cortocircuito. Los dos resistores de 20 están ahora en paralelo. Se combinan para producir Las raíces características se determinan de este modo: o sea Puesto que se tiene el caso sobreamortiguado. Así, (8.8.1) donde es el valor final de i(t). Ahora hay que emplear las condiciones iniciales para determinar y En t ϭ 0, (8.8.2) Al tomar la derivada de i(t) en la ecuación (8.8.1), de manera que en t ϭ 0, (8.8.3) Pero Al sustituir esto en la ecuación (8.8.3) e incorporar la ecuación (8.8.2) se ob- tiene Así, y De la inserción de y en la ecuación (8.8.1) da por resultado la solución completa como De i(t) se obtiene e iR(t) ϭ v(t) 20 ϭ L 20 di dt ϭ 0.785eϪ11.978t Ϫ 0.0342eϪ0.5218t A v(t) ϭ L di͞dt i(t) ϭ 4 ϩ 0.0655(eϪ0.5218t Ϫ eϪ11.978t ) A A2A1A2 ϭ 0.0655.A1 ϭ Ϫ0.0655 0.75 ϭ (11.978 Ϫ 0.5218)A2 1 A2 ϭ 0.0655 L di(0) dt ϭ v(0) ϭ 15 1 di(0) dt ϭ 15 L ϭ 15 20 ϭ 0.75 di(0) dt ϭ Ϫ11.978A1 Ϫ 0.5218A2 di dt ϭ Ϫ11.978A1eϪ11.978t Ϫ 0.5218A2eϪ0.5218t i(0) ϭ 4 ϭ 4 ϩ A1 ϩ A2 1 A2 ϭ ϪA1 A2.A1 Is ϭ 4 i(t) ϭ Is ϩ A1eϪ11.978t ϩ A2eϪ0.5218t a 7 0, s1 ϭ Ϫ11.978, s2 ϭ Ϫ0.5218 ϭ Ϫ6.25 Ϯ 5.7282 s1,2 ϭ Ϫa Ϯ 2a2 Ϫ 0 2 ϭ Ϫ6.25 Ϯ 239.0625 Ϫ 6.25 0 ϭ 1 2LC ϭ 1 220 ϫ 8 ϫ 10Ϫ3 ϭ 2.5 a ϭ 1 2RC ϭ 1 2 ϫ 10 ϫ 8 ϫ 10Ϫ3 ϭ 6.25 R ϭ 20 ʈ 20 ϭ 10 ⍀. ⍀ v(0) ϭ 20 20 ϩ 20 (30) ϭ 15 V ⍀ 338 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden
- 367. Circuitos generales de segundo orden Ya dominados los circuitos RLC en serie y en paralelo, se está listo para apli- car las mismas ideas a cualquier circuito de segundo orden con una o más fuentes independientes con valores constantes. Aunque los circuitos RLC en serie y en paralelo son los circuitos de segundo orden de mayor interés, otros circuitos de segundo orden, con amplificadores operacionales, también son úti- les. Dado un circuito de segundo orden, se determina su respuesta de escalón x(t) (la cual puede ser en tensión o en corriente) considerando los cuatro pa- sos siguientes: 1. Como se explicó en la sección 8.2 primero se determinan las condicio- nes iniciales x(0) y dx(0)/dt y el valor final 2. Se halla la respuesta natural aplicando las LCK y LTK. Una vez ob- tenida una ecuación diferencial de segundo orden, se determinan sus raí- ces características. Dependiendo de si la respuesta está sobreamortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada, se obtiene con dos cons- tantes desconocidas como se hizo en las secciones anteriores. 3. Se obtiene la respuesta forzada como (8.51) donde es el valor final de x, obtenido en el paso 1. 4. La respuesta total se halla ahora como la suma de la respuesta transito- ria y la respuesta en estado estable, (8.52) Por último se determinan las constantes asociadas con la respuesta tran- sitoria imponiendo las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt, determinadas en el paso 1. Este procedimiento general puede aplicarse para hallar la respuesta de es- calón de cualquier circuito de segundo orden, incluidos aquellos con amplifi- cadores operacionales. Los siguientes ejemplos ilustrarán esos cuatro pasos. x(t) ϭ xt(t) ϩ xss(t) x(ϱ) xss (t) ϭ x(ϱ) xt(t) xt(t) x(ϱ), 8.7 8.7 Circuitos generales de segundo orden 339 Halle i(t) y para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.24. Respuesta: 20(1 Ϫ cost) A, 100 sent V. v(t) Figura 8.24 Para el problema de práctica 8.8. Un circuito puede parecer complejo al principio. Pero una vez que se desacti- van las fuentes con intención de hallar la respuesta natural, puede reducirse a un circuito de primer orden, cuando los elementos de almacenamiento pueden combinarse, o a un circuito RLC en paralelo/en serie. Si se reduce a un circuito de primer orden, la solu- ción se convierte simplemente en lo que se vio en el capítulo 7. Si se redu- ce a un circuito RLC en paralelo o en serie, se aplican las técnicas de las an- teriores secciones de este capítulo. Los problemas de este capítulo tam- bién pueden resolverse empleando transformadas de Laplace, las que se cubrirán en los capítulos 15 y 16. Halle la respuesta completa v y después i para t Ͼ 0 en el circuito de la fi- gura 8.25. Solución: Primero se determinan los valores inicial y final. En el circuito que- da en estado estable. El interruptor se abre; el circuito equivalente se muestra en la figura 8.26a). En esta última figura es evidente que En el interruptor está cerrado; el circuito equivalente se muestra en la figura 8.26b). Por la continuidad de la tensión del capacitor y la corriente del inductor, se sabe que (8.9.1)v(0ϩ ) ϭ v(0Ϫ ) ϭ 12 V, i(0ϩ ) ϭ i(0Ϫ ) ϭ 0 t ϭ 0ϩ , v(0Ϫ ) ϭ 12 V, i(0Ϫ ) ϭ 0 t ϭ 0Ϫ , Figura 8.25 Para el ejemplo 8.9. 20u(t) A 5 H i 0.2 Fv + − 12 V + − 4 Ω 2 Ω t = 0 1 Hi v + − F 1 2 Problema de práctica 8.8 Ejemplo 8.9
- 368. Para obtener se utiliza o Al aplicar la LCK al nodo a de la figura 8.26b), Así, (8.9.2) Los valores finales se obtienen cuando el inductor se remplaza por un corto- circuito y el capacitor por un circuito abierto en el circuito la figura 8.26b), lo que da por resultado (8.9.3) Después se obtiene la respuesta natural para t Ͼ 0. Al desactivar la fuen- te de tensión de 12 V, se tiene el circuito de la figura 8.27. La aplicación de la LCK al nodo a de esta última figura da por resultado (8.9.4) La aplicación de la LTK a la malla izquierda produce (8.9.5) Puesto que por el momento lo que interesa es v, se sustituye i de la ecuación (8.9.4) en la ecuación (8.9.5). De eso se obtiene o sea De esta expresión se obtiene la ecuación característica como con raíces s ϭ Ϫ2 y s ϭ Ϫ3. Así, la respuesta natural es (8.9.6) donde A y B son constantes desconocidas por determinar más tarde. La res- puesta forzada es (8.9.7) La respuesta completa es (8.9.8) Ahora se determinan A y B con base en los valores iniciales. A partir de la ecuación (8.9.1), . La sustitución de esto en la ecuación (8.9.8) en t ϭ 0 da por resultado (8.9.9)12 ϭ 4 ϩ A ϩ B 1 A ϩ B ϭ 8 v(0) ϭ 12 v(t) ϭ vt ϩ vss ϭ 4 ϩ AeϪ2t ϩ BeϪ3t vss (t) ϭ v(ϱ) ϭ 4 vn(t) ϭ AeϪ2t ϩ BeϪ3t s2 ϩ 5s ϩ 6 ϭ 0 d2 v dt2 ϩ 5 dv dt ϩ 6v ϭ 0 2v ϩ 2 dv dt ϩ 1 2 dv dt ϩ 1 2 d2 v dt2 ϩ v ϭ 0 4i ϩ 1 di dt ϩ v ϭ 0 i ϭ v 2 ϩ 1 2 dv dt i(ϱ) ϭ 12 4 ϩ 2 ϭ 2 A, v(ϱ) ϭ 2i(ϱ) ϭ 4 V dv(0ϩ ) dt ϭ Ϫ6 0.5 ϭ Ϫ12 V/s 0 ϭ iC(0ϩ ) ϩ 12 2 1 iC(0ϩ ) ϭ Ϫ6 A i(0ϩ ) ϭ iC(0ϩ ) ϩ v(0ϩ ) 2 dv͞dt ϭ iC͞C.C dv͞dt ϭ iCdv(0ϩ )͞dt, 340 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.26 Circuito equivalente del circuito de la fi- gura 8.25 para: a) t Ͻ 0, b) t Ͼ 0. Figura 8.27 Obtención de la respuesta natural del ejemplo 8.9. 12 V + − 4 Ω i v + − a) 12 V + − 4 Ω 2 Ω 1 H i 0.5 Fv + − iC b) a 4 Ω 2 Ω 1 Hi a v v + − F 1 2
- 369. Al tomar la derivada de de la ecuación (8.9.8), (8.9.10) La sustitución de la ecuación (8.9.2) en la ecuación (8.9.10) en t ϭ 0 da co- mo resultado (8.9.11) De las ecuaciones (8.9.9) y (8.9.11) se obtiene, así que la ecuación (8.9.8) se convierte en (8.9.12) De se puede obtener otras cantidades de interés en referencia a la figura 8.26b). Para obtener i, por ejemplo, (8.9.13) Obsérvese que i(0) ϭ 0, en correspondencia con la ecuación (8.9.1). ϭ 2 Ϫ 6eϪ2t ϩ 4eϪ3t A, t 7 0 i ϭ v 2 ϩ 1 2 dv dt ϭ 2 ϩ 6eϪ2t Ϫ 2eϪ3t Ϫ 12eϪ2t ϩ 6eϪ3t v, v(t) ϭ 4 ϩ 12eϪ2t Ϫ 4eϪ3t V, t 7 0 A ϭ 12, B ϭ Ϫ4 Ϫ12 ϭ Ϫ2A Ϫ 3B 1 2A ϩ 3B ϭ 12 dv dt ϭ Ϫ2AeϪ2t Ϫ 3BeϪ3t v 8.7 Circuitos generales de segundo orden 341 Determine v e i para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.28. (Véanse los co- mentarios sobre fuentes de corriente en el problema de práctica 7.5.) Respuesta: 2(1 Ϫ eϪ5t ) A.8(1 Ϫ eϪ5t ) V, Figura 8.28 Para el problema de práctica 8.9. Halle para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.29. Solución: Éste es un ejemplo de un circuito de segundo orden con dos inductores. Pri- mero se obtienen las corrientes de lazo e las cuales circulan por los inductores. Se necesita obtener los valores iniciales y finales de estas co- rrientes. Para t Ͻ 0, 7u(t) ϭ 0, de modo que Para t Ͼ 0, 7u(t) ϭ 7, así que el circuito equivalente es el que aparece en la figura 8.30a). Debido a la continuidad de la corriente del inductor, (8.10.1) (8.10.2) Al aplicar la LTK al lazo izquierdo de la figura 8.30a) en 7 ϭ 3i1(0ϩ ) ϩ vL1 (0ϩ ) ϩ vo(0ϩ ) t ϭ 0ϩ , vL2 (0ϩ ) ϭ vo(0ϩ ) ϭ 1[(i1(0ϩ ) Ϫ i2(0ϩ )] ϭ 0 i1(0ϩ ) ϭ i1(0Ϫ ) ϭ 0, i2(0ϩ ) ϭ i2(0Ϫ ) ϭ 0 i1(0Ϫ ) ϭ 0 ϭ i2(0Ϫ ). i2,i1 vo(t) Figura 8.29 Para el ejemplo 8.10. t = 0 2 A10 Ω 4 Ω 2 H i v + − F 1 20 7u(t) V + − 3 Ω 1 Ω vo + −i1 i2 H1 2 H1 5 Problema de práctica 8.9 Ejemplo 8.10
- 370. 342 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.30 Circuito equivalente del de la figura 8.29 para: a) t Ͼ 0, b) t S ϱ. o sea Como (8.10.3) De igual manera, como (8.10.4) Dado que el circuito llega al estado estable, y los inductores pueden remplazarse por cortocircuitos, como se muestra en la figura 8.30b). Con ba- se en esta última figura, (8.10.5) Después se obtienen las respuestas naturales eliminando la fuente de ten- sión, como se advierte en la figura 8.31. La aplicación de la LTK a las dos mallas produce (8.10.6) e (8.10.7) A partir de la ecuación (8.10.6), (8.10.8) La sustitución de la ecuación (8.10.8) en la ecuación (8.10.7) da como resul- tado De esto se obtiene la ecuación característica como cuyas raíces son s ϭ Ϫ3 y s ϭ Ϫ10. Así, la respuesta natural es (8.10.9)i1n ϭ AeϪ3t ϩ BeϪ10t s2 ϩ 13s ϩ 30 ϭ 0 d2 i1 dt2 ϩ 13 di1 dt ϩ 30i1 ϭ 0 4i1 ϩ 1 2 di1 dt ϩ 4 5 di1 dt ϩ 1 10 d2 i1 dt2 Ϫ i1 ϭ 0 i2 ϭ 4i1 ϩ 1 2 di1 dt i2 ϩ 1 5 di2 dt Ϫ i1 ϭ 0 4i1 Ϫ i2 ϩ 1 2 di1 dt ϭ 0 i1(ϱ) ϭ i2(ϱ) ϭ 7 3 A t S ϱ, di2(0ϩ ) dt ϭ vL2 L2 ϭ 0 L2 di2͞dt ϭ vL2 , di1(0ϩ ) dt ϭ vL1 L1 ϭ 7 1 2 ϭ 14 V/s L1 di1͞dt ϭ vL1 , vL1 (0ϩ ) ϭ 7 V Figura 8.31 Obtención de la respuesta natural del ejemplo 8.10. 7 V + − 3 Ω 1 Ω vo vL2 + − + −vL1 i1 + − i2 a) 7 V + − 3 Ω 1 Ω i1 i2 b ) L1 = 1 2 H L2 = 1 5 H 3 Ω 1 Ωi1 i2 H1 2 H1 5
- 371. Figura 8.32 Para el problema de práctica 8.10. donde A y B son constantes. La respuesta forzada es (8.10.10) De las ecuaciones (8.10.9) y (8.10.10) se obtiene la respuesta completa como (8.10.11) Finalmente se obtienen A y B de los valores iniciales. Con base en las ecua- ciones (8.10.1) y (8.10.11), (8.10.12) Al tomar la derivada de la ecuación (8.10.11), establecer t ϭ 0 en la deriva- da y emplear la ecuación (8.10.3) se obtiene (8.10.13) Con base en las ecuaciones (8.10.12) y (8.10.13), y . Así, (8.10.14) Ahora se obtiene de La aplicación de la LTK al lazo izquierdo de la figura 8.30a) da por resultado La sustitución de en la ecuación (8.10.14) genera (8.10.15) En referencia a la figura 8.29, (8.10.16) La sustitución de las ecuaciones (8.10.14) y (8.10.15) en la ecuación (8.10.16) produce (8.10.17) Obsérvese que como era de esperar por la ecuación (8.10.2).vo(0) ϭ 0, vo(t) ϭ 2(eϪ3t Ϫ eϪ10t ) vo(t) ϭ 1[i1(t) Ϫ i2(t)] ϭ 7 3 Ϫ 10 3 eϪ3t ϩ eϪ10t i2(t) ϭ Ϫ7 ϩ 28 3 Ϫ 16 3 eϪ3t Ϫ 4eϪ10t ϩ 2eϪ3t ϩ 5eϪ10t i1 7 ϭ 4i1 Ϫ i2 ϩ 1 2 di1 dt 1 i2 ϭ Ϫ7 ϩ 4i1 ϩ 1 2 di1 dt i1.i2 i1(t) ϭ 7 3 Ϫ 4 3 eϪ3t Ϫ eϪ10t B ϭ Ϫ1A ϭ Ϫ4͞3 14 ϭ Ϫ3A Ϫ 10B 0 ϭ 7 3 ϩ A ϩ B i1(t) ϭ 7 3 ϩ AeϪ3t ϩ BeϪ10t i1ss ϭ i1(ϱ) ϭ 7 3 A 8.7 Circuitos generales de segundo orden 343 Para t Ͼ 0, obtenga en el circuito de la figura 8.32. (Sugerencia: Halle primero y ) Respuesta: t 7 0.2(eϪt Ϫ eϪ6t ) V, v2.v1 vo(t) 5u(t) V + − 1 Ω 1 Ω + −vo v1 v2 F1 2 F1 3 Problema de práctica 8.10
- 372. Circuitos de segundo orden con amplificadores operacionales Un circuito con un amplificador operacional y dos o más elementos de alma- cenamiento que no pueden combinarse en un solo elemento equivalente es de segundo orden. Debido a que los inductores son voluminosos y pesados, es raro que se usen en circuitos con amplificadores operacionales prácticos. Por esta razón, aquí sólo se considerarán circuitos de amplificadores operaciona- les RC de segundo orden. Tales circuitos encuentran una amplia variedad de aplicaciones en dispositivos como filtros y osciladores. En el análisis de un circuito de amplificador operacional de segundo or- den se siguen los mismos cuatro pasos enunciados y demostrados en la sec- ción anterior. 8.8 344 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden En el circuito de amplificador operacional de la figura 8.33, halle para t Ͼ 0 cuando Sean y C2 ϭ 100 mF. C1 ϭ 20 mFR1 ϭ R2 ϭ 10 k⍀,10u(t) mV.vs ϭ vo(t) El uso de amplificadores operaciona- les en circuitos de segundo orden evi- ta el uso de inductores, un tanto indeseables en algunas aplicaciones. Figura 8.33 Para el ejemplo 8.11. Solución: Aunque para resolver este problema se podrían seguir los mismos cuatro pa- sos enunciados en la sección anterior, aquí se resolverá en forma un poco diferente. Debido a la configuración del seguidor de tensión, la tensión a tra- vés de es Al aplicar la LCK al nodo 1, (8.11.1) En el nodo 2 la LCK produce (8.11.2) Pero (8.11.3) Ahora se intenta eliminar y en las ecuaciones (8.11.1) a (8.11.3). La sustitución de las ecuaciones (8.11.2) y (8.11.3) en la ecuación (8.11.1) pro- duce (8.11.4) A partir de la ecuación (8.11.2), (8.11.5)v1 ϭ vo ϩ R2C1 dvo dt vs Ϫ v1 R1 ϭ C2 dv1 dt Ϫ C2 dvo dt ϩ C1 dvo dt v2v1 v2 ϭ v1 Ϫ vo v1 Ϫ vo R2 ϭ C1 dvo dt vs Ϫ v1 R1 ϭ C2 dv2 dt ϩ v1 Ϫ vo R2 vo.C1 vs R1 v1 + − C1 vo R2 − + C2 v2+ − 1 2 vo + − Ejemplo 8.11
- 373. Al sustituir la ecuación (8.11.5) en la ecuación (8.11.4) se obtiene o sea (8.11.6) Con los valores dados de y la ecuación (8.11.6) se convierte en (8.11.7) Para obtener la respuesta natural, se establece en la ecuación (8.11.7), lo que equivale a desactivar la fuente. La ecuación característica es la cual tiene las raíces complejas Así, la respuesta natural es (8.11.8) donde A y B son constantes desconocidas por determinar. Conforme el circuito llega a la condición de estado estable, y los capacitores pueden remplazarse por circuitos abiertos. Dado que en condicio- nes de estado estable no fluye corriente por y ni puede entrar corriente a través de las terminales de entrada del amplificador operacional ideal, no fluye corriente a través de y Por lo tanto, La respuesta forzada es entonces (8.11.9) La respuesta completa es (8.11.10) Para determinar A y B, se necesitan las condiciones iniciales. Para t Ͻ 0, así que Para t Ͼ 0, la fuente está en operación. Sin embargo, debido a la continuidad de la tensión del capacitor, (8.11.11) Con base en la ecuación (8.11.3), y de ahí que con base en la ecuación (8.11.2), (8.11.12) Ahora se impone la ecuación (8.11.11) en la respuesta completa de la ecua- ción (8.11.10) en t ϭ 0, para (8.11.13)0 ϭ 10 ϩ A 1 A ϭ Ϫ10 dvo(0ϩ ) dt ϭ v1 Ϫ vo R2C1 ϭ 0 v1(0ϩ ) ϭ v2(0ϩ ) ϩ vo(0ϩ ) ϭ 0 vo(0ϩ ) ϭ v2(0ϩ ) ϭ 0 vo(0Ϫ ) ϭ v2(0Ϫ ) ϭ 0 vs ϭ 0, vo(t) ϭ vot ϩ voss ϭ 10 ϩ eϪt (A cos 2t ϩ B sen 2t) mV voss ϭ vo(ϱ) ϭ vs ϭ 10 mV, t 7 0 vo(ϱ) ϭ v1(ϱ) ϭ vs R2.R1 C2C1 t S ϱ, vot ϭ eϪt (A cos 2t ϩ B sen 2t) s1,2 ϭ Ϫ1 Ϯ j2. s2 ϩ 2s ϩ 5 ϭ 0 vs ϭ 0 d2 vo dt2 ϩ 2 dvo dt ϩ 5vo ϭ 5vs C2,R1, R2, C1 d2 vo dt2 ϩ a 1 R1C2 ϩ 1 R2C2 b dvo dt ϩ vo R1R2C1C2 ϭ vs R1R2C1C2 vs R1 ϭ vo R1 ϩ R2C1 R1 dvo dt ϩ C2 dvo dt ϩ R2C1C2 d2 vo dt2 Ϫ C2 dvo dt ϩ C1 dvo dt 8.8 Circuitos de segundo orden con amplificadores operacionales 345
- 374. Al tomar la derivada de la ecuación (8.11.10), Al fijar t ϭ 0 e incorporar la ecuación (8.11.12) se obtiene (8.11.14) Partiendo de las ecuaciones (8.11.13) y (8.11.14), A ϭ Ϫ10 y B ϭ Ϫ5. Así, la respuesta de escalón se convierte en vo(t) ϭ 10 Ϫ eϪt (10 cos 2t ϩ 5 sen 2t) mV, t 7 0 0 ϭ ϪA ϩ 2B dvo dt ϭ eϪt (ϪA cos 2t Ϫ B sen 2t Ϫ 2A sen 2t ϩ 2B cos 2t) 346 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden En el circuito de amplificador operacional que se muestra en la figura 8.34, halle para t Ͼ 0. Suponga que y Respuesta: t 7 0.4 Ϫ 5eϪt ϩ eϪ5t V, C2 ϭ 100 mF.C1 ϭ 20 mF R1 ϭ R2 ϭ 10 k⍀,vo(t)vs ϭ 4u(t) V, Figura 8.34 Para el problema de práctica 8.11. Análisis de circuitos RLC con PSpice Los circuitos RLC pueden analizarse con gran facilidad usando PSpice, de igual modo como se hizo con los circuitos RC o RL del capítulo 7. Los dos siguien- tes ejemplos lo ilustrarán. Si se desea, consúltese la sección D.4 del apéndi- ce D, sobre el análisis transitorio en PSpice. 8.9 La tensión de entrada en la figura 8.35a) se aplica al circuito de la figura 8.35b). Use PSpice para graficar para 0 Ͻ t Ͻ 4 s. Solución: 1. Definir. Al igual que la mayoría de los problemas de libros de texto, este problema está claramente definido. 2. Presentar. La entrada es igual a un solo pulso cuadrado de 12 V de am- plitud con un periodo de 2 s. Se pide graficar la salida usando PSpice. 3. Alternativas. Como se pide usar PSpice, ésta es la única alternativa pa- ra una solución. Sin embargo, se puede comprobar aplicando la técnica ilustrada en la sección 8.5 (respuesta de escalón de un circuito RLC en serie). 4. Intentar. El circuito dado se dibuja con Schematics, como en la figura 8.36. El pulso se especifica utilizando la fuente de tensión VPWL, aunque en su lugar podría usarse VPULSE. Empleando la aproxima- ción cuasilineal, se fijan los atributos de VPWL como T1 ϭ 0, V1 ϭ 0, T2 ϭ 0.001, V2 ϭ 12 y así sucesivamente, como se muestra en la figura 8.36. Se insertan dos marcadores de tensión para graficar las tensiones de entrada y salida. Una vez dibujado el circuito y fijados los atributos, se selecciona Analysis/Setup/Transient para abrir el cuadro de diálogo Transient Analysis. Dado que se trata de un circuito RLC en paralelo, las raíces de la ecuación característica son Ϫ1 y Ϫ9. Así, se puede fijar Final Time como 4 s (cuatro veces la magnitud de la raíz menor). Tras v(t) Figura 8.35 Para el ejemplo 8.12. vs R1 + − C2 vo + − R2 C1 − + 20 t (s) 12 vs a) b) vs 3 H60 Ω 60 Ω+ − v + − F1 27 Problema de práctica 8.11 Ejemplo 8.12
- 375. guardar el esquema, se selecciona Analysis/Simulate y se obtiene la gráfica de las tensiones de entrada y salida en la ventana A/D de PSpi- ce, la cual se muestra en la figura 8.37. 8.9 Análisis de circuitos RLC con PSPice 347 Figura 8.36 Esquema del circuito de la figura 8.35b). Figura 8.37 Para el ejemplo 8.12: entrada y salida. Ahora se comprueba aplicando la técnica de la sección 8.5. Se pue- de comenzar mediante la verificación de que el equivalente de Thévenin para la combinación resistor-fuente es (la tensión de circui- to abierto se divide en partes iguales entre ambos resistores) ϭ 6 V. La resistencia equivalente es Así, ahora se puede determi- nar la respuesta empleando Primero es necesario determinar y Puesto que 5 es mayor que 3, el caso está sobreamortiguado. donde lo que produce Al sustituir esto en la expresión anterior se obtiene para todos los casos de 0 Ͻ t Ͻ 2 s. En En t ϭ 2 s Nótese que con base en 2 Ͻ t Ͻ 4 s, lo que implica que Por lo tanto, En t ϭ 2 s, i(t) ϭ (ϪA3eϪ(tϪ2) Ϫ 9A4eϪ9(tϪ2) ) 27 A3 ϩ A4 ϭ 5.086. v(t) ϭ (A3eϪ(tϪ2) ϩ A4eϪ9(tϪ2) )u(t Ϫ 2) V.v(ϱ) ϭ 0. VTh ϭ 0, v(2) ϭ Ϫ6.75eϪ2 ϩ 0 ϩ 6 ϭ 5.086 V.6 ϭ Ϫ3.552 V. Ϫ6.75eϪ1 ϩ 0.75eϪ9 ϭ Ϫ2.483 ϩ 0.0001 ϩt ϭ 1 s, v(1) ϭ v(t) ϭ (؊6.75e؊t ؉ 0.75e؊9t ؉ 6)u(t) V 0 ϭ 9A2 Ϫ A2 ϩ 6, o A2 ϭ 0.75 y A1 ϭ Ϫ6.75. A1 ϭ Ϫ9A2. i(0) ϭ 0 ϭ C(ϪA1 Ϫ 9A2) v(0) ϭ 0 ϭ A1 ϩ A2 ϩ 6 v(t) ϭ A1eϪt ϩ A2eϪ9t ϩ 6 i(t) ϭ C dv(t) dt , v(ϱ) ϭ 6 V, i(0) ϭ 0 v(0) ϭ 0,s1,2 ϭ Ϫ5 Ϯ 252 Ϫ 9 ϭ Ϫ1, Ϫ9, a ϭ R͞(2L) ϭ 30͞6 ϭ 5 y 0 ϭ 1 B 3 1 27 ϭ 3 0:a R ϭ 30 ⍀, L ϭ 3 H y C ϭ (1͞27) F. (60 ʈ 60).30 ⍀ VTh ϭ 12͞2 T1=0 T2=0.0001 T3=2 T4=2.0001 V1=0 V2=12 V3=12 V4=0 V1 R1 60 R2 60 C1 0.03703 3H L1 + − V V 6 V 2 V 8 V 10 V 12 V 4 V 0 V 0s 1.0s 2.0s 3.0s 4.0s V(L1:2) V(R1:1) Time
- 376. e En consecuencia, Al combinar las dos ecuaciones se obtiene lo que conduce a y En t ϭ 3 s, En 5. Evaluar. Una comprobación entre los valores calculados anteriormente y la gráfica que se muestra en la figura 8.37 indica una coincidencia aceptable dentro del nivel obvio de precisión. 6. ¿Satisfactorio? Sí, existe coincidencia y los resultados pueden presen- tarse como una solución del problema. 0.7897 V. t ϭ 4 s, v(4) ϭv(3) ϭ (2.147 Ϫ 0) ϭ 2.147 V. v(t) ϭ (5.835e؊(t؊2) ؊ 0.749e؊9(t؊2) ) u(t ؊ 2) V A4 ϭ Ϫ0.749.A3 ϭ 5.8350.9135, ϪA3 Ϫ 9(5.086 Ϫ A3) ϭ ϪA3 Ϫ 9A4 ϭ 0.9135. i(2) ϭ (6.75eϪ2 Ϫ 6.75eϪ18 ) 27 ϭ 33.83 mA 348 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Halle i(t) usando PSpice para 0 Ͻ t Ͻ 4 s si la tensión del pulso de la figu- ra 8.35a) se aplica al circuito de la figura 8.38. Respuesta: Véase figura 8.39. Figura 8.38 Para el problema de práctica 8.12. Figura 8.39 Gráfica de i(t) para el problema de práctica 8.12. En referencia al circuito de la figura 8.40, use PSpice a fin de obtener i(t) pa- ra 0 Ͻ t Ͻ 3 s. Figura 8.40 Para el ejemplo 8.13. Solución: Cuando el interruptor está en la posición a, el resistor de 6 es redundante. El esquema para este caso aparece en la figura 8.41a). Para garantizar que la ⍀ vs 5 Ω 1 mF 2 H+ − i 3.0 A 1.0 A 2.0 A 0 A 0 s 1.0 s 2.0 s 3.0 s 4.0 s I(L1) Time 4 A 7 H5 Ω 6 Ω i(t) t = 0 a b F1 42 Problema de práctica 8.12 Ejemplo 8.13
- 377. 8.9 Análisis de circuitos RLC con PSPice 349 Figura 8.41 Para el ejemplo 8.13: a) para el análisis de cd, b) para el análisis transitorio. corriente i(t) entre en la terminal 1, el inductor se gira tres veces antes de que se coloque en el circuito. Lo mismo se aplica al capacitor. Se insertan los seu- docomponentes VIEWPOINT e IPROBE para determinar la tensión inicial del capacitor y la corriente inicial del inductor. Se realiza un análisis de cd de PSpice seleccionando Analysis/Simulate. Como se muestra en la figura 8.41a), del análisis de cd se obtiene la tensión inicial del capacitor como 0 V y la co- rriente inicial del inductor i(0) como 4 A. Estos valores iniciales se emplearán en el análisis transitorio. Cuando el interruptor se mueve a la posición b, el circuito se convierte en un circuito RLC en paralelo sin fuente, cuyo esquema aparece en la figu- ra 8.41b). Se establece la condición inicial IC ϭ 0 para el capacitor e IC ϭ 4 A para el inductor. Se inserta un marcador de corriente en la terminal 1 del inductor. Se selecciona Analysis/Setup/Transient para abrir el cuadro de diá- logo Transient Analysis y fijar Final Time en 3 s. Tras guardar el esquema, se selecciona Analysis/Transient. En la figura 8.42 se muestra la gráfica de i(t). Esta gráfica coincide con que es la solución me- diante cálculo manual. i(t) ϭ 4.8eϪt Ϫ 0.8eϪ6t A, Figura 8.42 Gráfica de i(t) para el ejemplo 8.13. Remítase al circuito de la figura 8.21 (véase problema de práctica 8.7). Use PSpice a fin de obtener para 0 Ͻ t Ͻ 2. Respuesta: Véase la figura 8.43. v(t) Figura 8.43 Gráfica de para el problema de práctica 8.13.v(t) IDC4A R1 5 7H L1 0 23.81m C1 a) R2 6 7H L1 0 23.81m C1 IC=0 IC=4A b) I 0.0000 4.000E+00 11 V 9 V 10 V 8 V 0 s 0.5 s 1.0 s 1.5 s 2.0 s V(C1:1) Time 4.00 A 3.92 A 3.96 A 3.88 A 0 s 1.0 s 2.0 s 3.0 s I(L1) Time Problema de práctica 8.13
- 378. Dualidad El concepto de dualidad es una medida que ahorra tiempo y esfuerzo al re- solver problemas de circuitos. Considérese la semejanza entre la ecuación (8.4) y la (8.29). Estas dos ecuaciones son iguales salvo por el hecho de que se deben intercambiar las siguientes cantidades: 1) tensión y corriente, 2) re- sistencia y conductancia, 3) capacitancia e inductancia. Así, en análisis de cir- cuitos a veces ocurre que dos circuitos diferentes tienen las mismas ecuaciones y soluciones, excepto que los papeles de ciertos elementos complementarios se intercambian. Este intercambio se conoce como el principio de dualidad. 8.10 350 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden El principio de dualidad establece un paralelismo entre pares de ecuaciones característicos y sus teoremas de circuitos eléctricos correspondientes. En la tabla 8.1 se muestran pares duales. Obsérvese que la potencia no apa- rece en esta tabla, ya que no tiene par dual. La razón de esto es el principio de linealidad; como la potencia no es lineal, no se le aplica la dualidad. Ob- sérvese también en la tabla 8.1 que el principio de dualidad se extiende a ele- mentos, configuraciones y teoremas de circuitos. Se dice que dos circuitos son duales entre sí si se describen mediante ecuaciones de la misma forma pero en las cuales se intercambian las varia- bles. Se dice que dos circuitos son duales si se describen mediante las mismas ecuaciones de caracteríticas con cantidades duales intercambiadas. La utilidad del principio de dualidad es evidente. Una vez conocida la so- lución de un circuito, automáticamente se tiene la solución del circuito dual. Es obvio que los circuitos de las figuras 8.8 y 8.13 son duales. En consecuen- cia, el resultado de la ecuación (8.32) es el resultado dual del de la ecuación (8.11). Téngase presente que el principio de dualidad se limita a circuitos pla- nares. Los circuitos no planares no tienen circuitos duales, ya que no pueden describirse mediante un sistema de ecuaciones de lazo. Para hallar el dual de un circuito dado no es necesario escribir las ecua- ciones de lazo o de nodo. Se puede usar una técnica gráfica. Dado un circui- to planar, se elabora el circuito dual siguiendo estos tres pasos: 1. Colóquese un nodo en el centro de cada malla del circuito dado. Sitúese el nodo de referencia (la tierra) del circuito dual fuera del circuito dado. 2. Trácense líneas entre los nodos de manera que cada línea cruce un ele- mento. Remplace ese elemento por su elemento dual (véase tabla 8.1). 3. Para determinar la polaridad de fuentes de tensión y la dirección de fuen- tes de corriente, sígase esta regla: una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (en el sentido del movimiento de las maneci- llas del reloj) tiene como su dual una fuente de corriente cuya dirección de referencia es de la tierra al nodo de no referencia. En caso de duda, el circuito dual puede comprobarse escribiendo las ecuacio- nes nodales o de lazo. Las ecuaciones de lazo (o nodales) del circuito origi- nal son similares a las ecuaciones nodales (o de malla) del circuito dual. El principio de dualidad se ilustra con los dos siguientes ejemplos. TABLA 8.1 Pares duales. Resistencia R Conductancia G Inductancia L Capacitancia C Tensión Corriente i Fuente de tensión Fuente de co- rriente Nodo Lazo Trayectoria en serie Trayectoria en paralelo Circuito abierto Cortocircuito LTK LCK Thevenin Norton v Aun si se le aplica el principio de li- nealidad, un elemento o variable de circuitos podría no tener un dual. Por ejemplo, la inductancia mutua (que se cubrirá en el capítulo 13) no tiene dual.
- 379. 8.10 Dualidad 351 Elabore el dual del circuito de la figura 8.44. Solución: Como se observa en la figura 8.45a), primero se localizan los nodos 1 y 2 en los dos lazos y también el nodo de tierra 0 para el circuito dual. Se traza una línea entre un nodo y otro cruzando un elemento. Se remplaza la línea que une a los nodos por los duales de los elementos que cruza. Por ejemplo, una línea entre los nodos 1 y 2 cruza un inductor de 2 H, y se coloca un capaci- tor de 2 F (un dual del inductor) en la línea. Una línea entre los nodos 1 y 0 que cruza la fuente de tensión de 6 V contendrá una fuente de corriente de 6 A. Al trazar líneas que crucen todos los elementos, se elabora el circuito dual sobre el circuito dado como en la figura 8.45a). El circuito dual se ha redi- bujado en la figura 8.45b) para mayor claridad. Figura 8.44 Para el ejemplo 8.14. Figura 8.45 a) Elaboración del circuito dual de la figura 8.44, b) circuito dual redibujado. Trace el circuito dual del que aparece en la figura 8.46. Respuesta: Véase la figura 8.47. Figura 8.46 Para el problema de práctica 8.14. Figura 8.47 Dual del circuito de la figura 8.46. Obtenga el dual del circuito que se muestra en la figura 8.48. Solución: El circuito dual se elabora sobre el circuito original como en la figura 8.49a). Primero se localizan los nodos 1 a 3 y el nodo de referencia 0. Al unir los nodos 1 y 2, se cruza el capacitor de 2 F, el que se remplaza por un inductor de 2 H. 6 V 2 Ω 10 mF2 H+ − t = 0 6 V 6 A 10 mF 10 mH 2 H 2 F + − 2 F t = 0 2 0 1 1 22 Ω 0.5 Ω t = 0 6 A 10 mH 0.5 Ω t = 0 0 a) b) 50 mA 4 H 3 F 10 Ω 50 mV 4 F+ − 0.1 Ω 3 H Ejemplo 8.14 Problema de práctica 8.14 Ejemplo 8.15
- 380. Al unir los nodos 2 y 3, se cruza el resistor de 20- , que se remplaza por un resistor de 1–20 ⍀. Se sigue haciendo esto hasta cruzar todos los elementos. El resultado se presenta en la figura 8.49a). El circuito dual se ha redibujado en la figura 8.49b). ⍀ 352 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.48 Para el ejemplo 8.15. Figura 8.49 Para el ejemplo 8.15: a) elaboración del circuito dual de la figura 8.48, b) circuito dual redibujado. Para verificar la polaridad de la fuente de tensión y la dirección de la fuente de corriente, se pueden aplicar las corrientes de malla e (todas ellas en dirección del movimiento de las manecillas del reloj) del circuito ori- ginal de la figura 8.48. La fuente de tensión de 10 V produce la corriente de malla positiva de modo que su dual es una fuente de corriente de 10 A dirigida de 0 a 1. Asimismo, en la figura 8.48 tiene su dual en la figura 8.49b).v3 ϭ Ϫ3 V i3 ϭ Ϫ3 A i1, i3i1, i2 En referencia al circuito de la figura 8.50, obtenga el circuito dual. Respuesta: Véase la figura 8.51. Figura 8.50 Para el problema de práctica 8.15. Figura 8.51 Dual del circuito de la figura 8.50. 10 V + − 20 Ω 5 H 3 Ai2 i3i1 2 F 1 2 3 0 10 A 3 V5 F 0 2 H + − 1 2 3 b)a) 10 V 10 A + − 20 Ω 5 H 3 A 3 V 2 F 2 H 5 F + − Ω1 20 Ω 1 20 2 A 23 Ω 0.2 F 4 H + − 5 Ω 2 V 20 A 4 F0.2 H + − Ω 1 3 Ω1 5 Problema de práctica 8.15
- 381. Aplicaciones Aplicaciones prácticas de los circuitos RLC se encuentran en circuitos de con- trol y de comunicaciones como circuitos de llamada, circuitos limitadores, cir- cuitos resonantes, circuitos de alisamiento y filtros. La mayoría de estos circuitos no pueden cubrirse hasta que se traten fuentes de ca. Por ahora hay que limitarse a dos aplicaciones simples: el circuito de encendido de un au- tomóvil y el circuito nivelador. 8.11.1 Sistema de encendido de un automóvil En la sección 7.9.4 se consideró el sistema de encendido de un automóvil co- mo sistema de carga. Ésa fue sólo una parte del sistema. Aquí se considerará otra parte: el sistema de generación de tensión. Este sistema se modela en el circuito que aparece en la figura 8.52. La fuente de 12 V se debe a la batería y el alternador. El resistor de 4 representa la resistencia del alambrado. La bobina de encendido se modela con el inductor de 8 mH. El capacitor de 1 F (conocido como condensador en mecánica automotriz) está en paralelo con el interruptor (conocido como punto de ruptura o encendido electrónico). En el si- guiente ejemplo se determina cómo se emplea el circuito RLC de la figura 8.52 en la generación de alta tensión. ⍀ 8.11 8.11 Aplicaciones 353 Figura 8.52 Circuito de encendido de un automóvil. Suponiendo que el interruptor de la figura 8.52 está cerrado antes de halle la tensión del inductor para t Ͼ 0. Solución: Si el interruptor está cerrado antes de y el circuito está en estado es- table, entonces En , el interruptor está abierto. Las condiciones de continuidad requie- ren que (8.16.1) Se obtiene de . La aplicación de la LTK a la malla en produce Ϫ12 ϩ 4 ϫ 3 ϩ vL(0ϩ ) ϩ 0 ϭ 0 1 vL(0ϩ ) ϭ 0 Ϫ12 ϩ 4i(0ϩ ) ϩ vL(0ϩ ) ϩ vC(0ϩ ) ϭ 0 t ϭ 0ϩ vL(0ϩ )di(0ϩ )͞dt i(0ϩ ) ϭ 3 A, vC(0ϩ ) ϭ 0 t ϭ 0ϩ i(0Ϫ ) ϭ 12 4 ϭ 3 A, vC(0Ϫ ) ϭ 0 t ϭ 0Ϫ vL t ϭ 0Ϫ , 12 V 4 Ω 8 mH i vL + − t = 0 1 F vC + − Bobina de encendido Bujía Ejemplo 8.16
- 382. Así, (8.16.2) Como el sistema llega al estado estable, de modo que el capacitor ac- túa como circuito abierto. En consecuencia, (8.16.3) Si se aplica la LTK al lazo para t Ͼ 0, se obtiene Tomar la derivada de cada término produce (8.16.4) Se obtiene la respuesta natural siguiendo el procedimiento de la sección 8.3. Al sustituir y se obtiene Puesto que la respuesta está subamortiguada. La frecuencia natural amortiguada es La respuesta natural es (8.16.5) donde A y B son constantes. La respuesta forzada es (8.16.6) de manera que la respuesta completa es (8.16.7) Ahora se determina A y B. Al tomar la derivada de la ecuación (8.16.7), Al fijar t ϭ 0 e incorporar la ecuación (8.16.2), Así, (8.16.8) La tensión a través del inductor es entonces (8.16.9)vL(t) ϭ L di dt ϭ Ϫ268eϪ250t sen 11,180t i(t) ϭ eϪ250t (3 cos 11,180t ϩ 0.0671 sen 11,180t) 0 ϭ Ϫ250A ϩ 11,180B 1 B ϭ 0.0671 ϩ eϪ250t (Ϫ11,180A sen 11,180t ϩ 11,180B cos 11,180t) di dt ϭ Ϫ250eϪ250t (A cos 11,180t ϩ B sen 11,180t) i(0) ϭ 3 ϭ A ϩ 0 1 A ϭ 3 i(t) ϭ it(t) ϩ iss (t) ϭ eϪ250t (A cos 11,180t ϩ B sen 11,180t) iss (t) ϭ i(ϱ) ϭ 0 it(t) ϭ eϪa (A cosdt ϩ B sendt) d ϭ 22 0 Ϫ a2 Ӎ 0 ϭ 1.118 ϫ 104 a 6 0, a ϭ R 2L ϭ 250, 0 ϭ 1 2LC ϭ 1.118 ϫ 104 C ϭ 1 mF,R ϭ 4 ⍀, L ϭ 8 mH d2 i dt2 ϩ R L di dt ϩ i LC ϭ 0 12 ϭ Ri ϩ L di dt ϩ 1 C Ύ t 0 i dt ϩ vC(0) i(ϱ) ϭ 0 t S ϱ, di(0ϩ ) dt ϭ vL(0ϩ ) L ϭ 0 354 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden
- 383. Esto tiene un valor máximo cuando el seno es unitario, es decir en 11 180to ϭ o En tiempo ϭ t0, la tensión del inductor llega a su va- lor pico, el cual es (8.16.10) Aunque esto es muy inferior al rango de tensión de 6 000 a 10 000 V reque- rido para encender la bujía en un automóvil común, un dispositivo conocido como transformador (del que se tratará en el capítulo 13) se usa para elevar la tensión del inductor al nivel requerido. vL(t0) ϭ Ϫ268eϪ250t0 ϭ Ϫ259 V t0 ϭ 140.5 ms.p͞2 8.11 Aplicaciones 355 En la figura 8.52, halle la tensión del capacitor para t Ͼ 0. Respuesta: 8.11.2 Circuitos suavizadores En un sistema de comunicación digital común, la señal por transmitir prime- ro se muestrea. El muestreo es el procedimiento de selección de muestras de una señal para su procesamiento, en oposición al procesamiento de la señal entera. Cada muestra se convierte a un número binario representado por una serie de pulsos. Éstos se transmiten por medio de una línea de transmisión co- mo cable coaxial, par trenzado o fibra óptica. En el extremo receptor, la se- ñal se aplica a un convertidor digital-analógico (D/A) cuya salida es una función en “escalera”, es decir una función constante en cada intervalo de tiempo. Para recuperar la señal analógica transmitida, la salida se suaviza ha- ciéndola pasar por un circuito “alisador”, como se ilustra en la figura 8.53. Un circuito RLC puede emplearse como circuito alizador. 12 Ϫ 12eϪ250t cos 11,180t ϩ 267.7eϪ250t sen 11,180t V. vC vs(t) Circuito suavizador p(t) D/A v0(t) Figura 8.53 Una serie de pulsos se aplica al converti- dor digital-analógico (D/A), cuya salida se aplica a su vez al circuito nivelador. La salida de un convertidor digital-analógico se muestra en la figura 8.54a). Si el circuito RLC de la figura 8.54b) se utiliza como el circuito suavizador, determine la tensión de salida vo(t). Figura 8.54 Para el ejemplo 8.17: a) salida de un convertidor D/A, b) circuito nivelador RLC. Solución: Este problema se resuelve en forma óptima mediante PSpice. El esquema apa- rece en la figura 8.55a). El pulso en la figura 8.54a) se especifica aplicando vs 1 Ω 1 H 1 F+ − 1 3 0 0 2 b)a) t (s)ñ2 0 4 10 v0 + − vs Problema de práctica 8.16 Ejemplo 8.17
- 384. la aproximación cuasilineal. Los atributos de V1 se fijan como T1 ϭ 0, V1 ϭ 0, T2 ϭ 0.001, V2 ϭ 4, T3 ϭ 1, V3 ϭ 4 y así sucesivamente. Para poder graficar las tensiones tanto de entrada como de salida, se insertan dos marca- dores de tensión, como se indica en la figura 8.55a). Se selecciona Analysis/Setup/Transient para abrir el cuadro de diálogo Transient Analysis y se establece Final Time a 6 s. Una vez guardado el esquema, se selecciona Analysis/Simulate para ejecutar y obtener la gráfica que se muestra en la fi- gura 8.55b). 356 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.55 Para el ejemplo 8.17: a) esquema, b) tensiones de entrada y de salida. Repita el ejemplo 8.17 si la salida del convertidor D/A es como se indica en la figura 8.56. Respuesta: Véase la figura 8.57. Figura 8.56 Para el problema de práctica 8.17. Figura 8.57 Resultado del problema de práctica 8.17. Resumen 1. La determinación de los valores iniciales x(0) y dx(0)/dt y del valor final es crucial para analizar circuitos de segundo orden. 2. El circuito RLC es de segundo orden porque se describe mediante una ecuación diferencial de segundo orden. Su ecuación característica es x(ϱ) 8.12 T1=0 T2=0.001 T3=1 T4=1.001 T5=2 T6=2.001 T7=3 T8=3.001 V1=0 V2=4 V3=4 V4=10 V5=10 V6=−2 V7=−2 V8=0 V1 R1 1 1 C1 0 1H L1 + − V V 10 V 0 V 5 V −5 V 0 s 2.0 s 4.0 s 6.0 s V(V1:+) Time V(C1:1) a) b ) t (s) ñ3 ñ1 0 8 7 1 2 3 4 vs 8.0 V 0 V 4.0 V −4.0 V 0 s 2.0 s 4.0 s 6.0 s V(V1:+) Time V(C1:1) Problema de práctica 8.17
- 385. donde es el factor de amortiguamiento y la fre- cuencia natural no amortiguada. En un circuito en serie, en un circuito en paralelo, y en ambos casos 3. Si no hay fuentes independientes en el circuito después de la conmuta- ción (o cambio súbito), se considera el circuito como sin fuente. La so- lución completa es la respuesta natural. 4. La respuesta natural de un circuito RLC será sobreamortiguada, subamor- tiguada o críticamente amortiguada, dependiendo de las raíces de la ecua- ción característica. La respuesta es críticamente amortiguada cuando las raíces son iguales ( o ), sobreamortiguada cuando las raí- ces son reales y diferentes ( o ) y subamortiguada cuando las raíces son complejas conjugadas ( o ). 5. Si en el circuito están presentes fuentes independientes después de la con- mutación, la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada de estado estable. 6. PSpice se usa para analizar circuitos RLC de la misma manera que en el caso de los circuitos RC o RL. 7. Dos circuitos son duales si las ecuaciones de lazo que describen a uno de ellos tienen la misma forma que las ecuaciones nodales que describen al otro. El análisis de un circuito implica el análisis de su circuito dual. 8. El circuito de encendido de un automóvil y el circuito de alisamiento son aplicaciones usuales del material analizado en este capítulo. a 6 0s1 ϭ s2 * a 7 0s1 s2 a ϭ 0s1 ϭ s2 0 ϭ 1͞01LC.a ϭ 1͞2RC, a ϭ R͞2L, 0as2 ϩ 2as ϩ 0 2 ϭ 0, Preguntas de repaso 357 Preguntas de repaso 8.1 En relación con el circuito de la figura 8.58, la tensión del capacitor en (justo antes de que el interruptor se cierre) es de: a) 0 V b) 4 V c) 8 V d) 12 V t ϭ 0Ϫ 8.4 Si las raíces de la ecuación característica de un circuito RLC son Ϫ2 y Ϫ3, la respuesta es: a) b) c) d) donde A y B son constantes. 8.5 En un circuito RLC en serie, establecer R ϭ 0 producirá: a) una respuesta sobreamortiguada b) una respuesta críticamente amortiguada c) una respuesta subamortiguada d) una respuesta no amortiguada e) ninguna de las anteriores 8.6 Un circuito RLC en paralelo tiene L ϭ 2 H y C ϭ 0.25 F. El valor de R que producirá un factor de amortiguamien- to unitario es: a) b) c) d) 8.7 Refiérase al circuito RLC en serie de la figura 8.59. ¿Qué tipo de respuesta producirá? a) sobreamortiguada b) subamortiguada c) críticamente amortiguada d) ninguna de las anteriores 4 ⍀2 ⍀1 ⍀0.5 ⍀ AeϪ2t ϩ BeϪ3t AeϪ2t ϩ BteϪ3t (A ϩ 2Bt)eϪ3t (A cos2t ϩ B sen 2t)eϪ3t Figura 8.58 Para las preguntas de repaso 8.1 y 8.2. 8.2 En relación con el circuito de la figura 8.58, la corriente inicial del inductor (en t ϭ 0 ) es de: a) 0 A b) 2 A c) 6 A d) 12 A 8.3 Cuando una entrada de escalón se aplica a un circuito de segundo orden, los valores finales de las variables de cir- cuitos se hallan mediante: a) El remplazo de los capacitores por circuitos cerrados y de los inductores por circuitos abiertos. b) El remplazo de los capacitores por circuitos abiertos y de los inductores por circuitos cerrados. c) Ninguno de los casos anteriores. 4 Ω 2 F1 H12 V + − t = 0 2 Ω
- 386. 358 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.59 Para la pregunta de repaso 8.7. 8.8 Considere el circuito RLC en paralelo de la figura 8.60. ¿Qué tipo de respuesta producirá? a) sobreamortiguada b) subamortiguada c) críticamente amortiguada d) ninguna de las anteriores Figura 8.60 Para la pregunta de repaso 8.8. 8.9 Haga coincidir los circuitos de la figura 8.61 con los si- guientes casos: i) circuito de primer orden ii) circuito de segundo orden en serie iii) circuito de segundo orden en paralelo iv) ninguno de los anteriores Figura 8.61 Para la pregunta de repaso 8.9. 8.10 En un circuito eléctrico, el par dual de la resistencia es: a) la conductancia b) la inductancia c) la capacitancia d) el circuito abierto e) el cortocircuito Respuestas: 8.1a, 8.2c, 8.3b, 8.4d, 8.5d, 8.6c, 8.7b, 8.8b, 8.9 i)-c, ii)-b, e, iii)-a, iv)-d, f, 8.10a. Problemas Sección 8.2 Determinación de valores iniciales y finales 8.1 En referencia al circuito de la figura 8.62, encuentre: a) y b) y c) y v(ϱ).i(ϱ) dv(0ϩ )͞dt,di(0ϩ )͞dt v(0ϩ ),i(0ϩ ) Figura 8.62 Para el problema 8.1. 8.2 En el circuito de la figura 8.63, determine: a) iR(0ϩ ), iL(0ϩ ) e b) diR(0ϩ )/ dt, diL(0ϩ )/dt y diC(0ϩ )/dt, c) iR(ϱ), iL(ϱ) e iC(ϱ). iC(0ϩ ), Figura 8.63 Para el problema 8.2. 1 H 1 F 1 Ω 1 F1 H1 Ω vs R C1 c) is C2 C1 L R1 L d) e) is C f) R1 C2 R2 vs R L + − a) is C b) RC + − vs R1 R2 + − L L C R2 12 V 0.4 F 6 Ω + − 2 H 4 Ω i t = 0 v + − 80 V 20 kΩ 2 mH1 F 60 kΩ + − iLiC 25 kΩiR t = 0
- 387. 8.3 Remítase al circuito que aparece en la figura 8.64. Calcule: a) iL(0ϩ ), vC(0ϩ ) y b) diL(0ϩ )/ dt, dvC(0ϩ )/dt y dvR(0ϩ )/dt, c) iL(ϱ), vC(ϱ) y vR(ϱ). vR(0ϩ ), Sección 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 8.7 Un circuito RLC en serie tiene y ¿Qué tipo de amortiguamiento exhibe? 8.8 Una corriente de rama se describe con Determine: a) la ecuación característica, b) el tipo de amortiguamiento exhibido por el circuito, c) i(t) dado que i(0) ϭ 1 y di(0)/dt ϭ 2. 8.9 La corriente en un circuito RLC se describe con Si i(0) ϭ 10 y di(0)/dt ϭ 0, halle i(t) para t Ͼ 0. 8.10 La ecuación diferencial que describe a la tensión en una red RLC es Dado que obtenga 8.11 La respuesta natural de un circuito RLC se describe con la ecuación diferencial para la cual las condiciones iniciales son y Determine 8.12 Si ¿qué valor de C hará que un circuito RLC en serie esté: a) ¿sobreamortiguado? b) ¿críticamente amortiguado? c) ¿subamortiguado? 8.13 Para el circuito de la figura 8.68, calcule el valor de R necesario para tener una respuesta críticamente amorti- guada. R ϭ 20 ⍀, L ϭ 0.6 H, v(t).dv(0)͞dt ϭ 0. v(0) ϭ 10 d2 v dt2 ϩ 2 dv dt ϩ v ϭ 0 v(t).v(0) ϭ 0, dv(0)͞dt ϭ 10, d2 v dt2 ϩ 5 dv dt ϩ 4v ϭ 0 d2 i dt2 ϩ 10 di dt ϩ 25i ϭ 0 d2 i(t) dt2 ϩ 4 di(t) dt ϩ 10i(t) ϭ 0 C ϭ 10 mF. R ϭ 10 k⍀, L ϭ 0.1 mH Problemas 359 Figura 8.64 Para el problema 8.3. 8.4 En el circuito de la figura 8.65, halle: a) e b) y c) e i(ϱ).v(ϱ) di(0ϩ )͞dt,dv(0ϩ )͞dt i(0ϩ ),v(0ϩ ) Figura 8.65 Para el problema 8.4. 8.5 Remítase al circuito de la figura 8.66. Determine: a) y b) y c) y v(ϱ).i(ϱ) dv(0ϩ )͞dt,di(0ϩ )͞dt v(0ϩ ),i(0ϩ ) Figura 8.66 Para el problema 8.5. 8.6 En el circuito de la figura 8.67, halle: a) y b) y c) y vL(ϱ).vR(ϱ) dvL(0ϩ )͞dt,dvR(0ϩ )͞dt vL(0ϩ ),vR(0ϩ ) Figura 8.67 Para el problema 8.6. Figura 8.68 Para el problema 8.13. 2u(t) A 40 Ω 10 V vR + − 10 Ω + − IL vC + − F1 4 H1 8 40u(–t) V 4u(t) A 3 Ω 0.25 H 0.1 F 5 Ω+ − i v + − 4u(t) A 1 H 4 Ω v + − 6 Ω i F 1 4 Vsu(t) Rs R + − LC + −vR + − vL R 4 H0.01 F 60 Ω
- 388. 8.14 El interruptor de la figura 8.69 se mueve de la posición A a la posición B en t ϭ 0 (observe que el interruptor de- be conectar al punto B antes de interrumpir la conexión con A, pues se trata de un conmutador sin interrupción). Halle v(t) para t Ͼ 0. 8.19 Obtenga para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.73.v(t) 360 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.69 Para el problema 8.14. 8.15 Las respuestas de un circuito RLC en serie son donde e son la tensión del capacitor y la corriente del inductor, respectivamente. Determine los valores de R, L y C. 8.16 Halle i(t) para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.70. iLvC iL(t) ϭ 40eϪ20t Ϫ 60eϪ10t mA vC(t) ϭ 30 Ϫ 10eϪ20t ϩ 30eϪ10t V Figura 8.70 Para el problema 8.16. 8.17 En el circuito de la figura 8.71, el interruptor se mueve instantáneamente de la posición A a la B en t ϭ 0. Halle para cualquier t Ն 0.v(t) Figura 8.71 Para el problema 8.17. 8.18 Halle la tensión en el capacitor en función del tiempo para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.72. Suponga que existen condiciones de estado estable en t ϭ 0Ϫ . Figura 8.73 Para el problema 8.19. Figura 8.72 Para el problema 8.18. 8.20 El interruptor en el circuito de la figura 8.74 ha estado cerrado mucho tiempo pero se abre en t ϭ 0. Determine i(t) para t Ͼ 0. Figura 8.74 Para el problema 8.20. *8.21 Calcule para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.75.v(t) Figura 8.75 Para el problema 8.21. * Un asterisco indica un problema difícil. 30 Ω 10 Ω 4 H 20 V t = 0 0.25 F− + + − A B v(t) t = 0 30 V 10 Ω 2.5 H 1 mF 40 Ω+ − 60 Ω i(t) 4 Ω 10 Ω 0.04 F + – v (t) B A t = 0 15 A 0.25 H 1 Ω 5 Ω t = 0 20 V 0.25 H 1 F− + t = 0 120 V 10 Ω 4 H 1 Fv + − + − 2 Ω 12 V i(t) + − t = 0 H1 2 F 1 4 t = 0 24 V 12 Ω 60 Ω + − 3 H 6 Ω 15 Ω 25 Ω v + − F1 27
- 389. Sección 8.4 Circuito RLC en paralelo sin fuente 8.22 Suponiendo que diseñe un circuito RLC en paralelo que tenga la ecuación característica 8.23 En relación con la red de la figura 8.76, ¿qué valor de C se necesita para que la respuesta sea subamortiguada con un factor de amortiguamiento unitario ( )?a ϭ 1 s2 ϩ 100s ϩ 106 ϭ 0. R ϭ 2 k⍀, Si las condiciones iniciales son halle 8.28 Un circuito RLC en serie se describe con Halle la respuesta cuando y C ϭ 0.2 F. Suponga que i(0) ϭ 1, di(0)/dt ϭ 0. 8.29 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales sujetas a las condiciones iniciales especificadas. a) b) c) d) 8.30 La respuesta escalón de un circuito RLC en serie es vC ϭ 40 Ϫ 10eϪ2 000t Ϫ 10eϪ4 000t V, t Ͼ 0 iL(t) ϭ 3eϪ2 000t ϩ 6eϪ4 000t mA, t Ͼ 0 a) Halle C. b) Determine qué tipo de amortiguamiento exhibe el circuito. 8.31 Considere el circuito de la figura 8.79. Halle y vC(0ϩ ). vL(0ϩ ) di(0)͞dt ϭ Ϫ2 d2 i͞dt2 ϩ 2 di͞dt ϩ 5i ϭ 10, i(0) ϭ 4, dv(0)͞dt ϭ 1 d2 v͞dt2 ϩ 2 dv͞dt ϩ v ϭ 3, v(0) ϭ 5, di(0)͞dt ϭ 0 d2 i͞dt2 ϩ 5 di͞dt ϩ 4i ϭ 8, i(0) ϭ Ϫ1, d2 v͞dt2 ϩ 4v ϭ 12, v(0) ϭ 0, dv(0)͞dt ϭ 2 L ϭ 0.5 H, R ϭ 4 ⍀ L d2 i dt2 ϩ R di dt ϩ i C ϭ 2 v(t). v(0) ϭ 0 ϭ dv(0)͞dt, Problemas 361 Figura 8.76 Para el problema 8.23. 8.24 El interruptor de la figura 8.77 se mueve de la posición A a la posición B en t ϭ 0 (repare en que el interruptor debe conectar al punto B antes de interrumpir la cone- xión con A, pues se trata de un conmutador sin interrupción). Determine i(t) para t Ͼ 0. Figura 8.77 Para el problema 8.24. Figura 8.78 Para el problema 8.25. 8.25 En el circuito de la figura 8.78, calcule y para t Ͼ 0. vo(t)io(t) Sección 8.5 Respuesta de escalón de un circuito RLC en serie 8.26 La respuesta escalón de un circuito RLC lo da Asumiendo que i(0) ϭ 2 y di(0)/dt ϭ 4, determine i(t). 8.27 La tensión en una rama de un circuito RLC se describe con d2 v dt2 ϩ 4 dv dt ϩ 8v ϭ 24 d2 i dt2 ϩ 2 di dt ϩ 5i ϭ 10 Figura 8.79 Para el problema 8.31. Figura 8.80 Para el problema 8.32. 8.32 En referencia al circuito de la figura 8.80, halle para t Ͼ 0. v(t) 0.5 H 10 mFC10 Ω 10 Ω10 mF20 Ω A B 4 A t = 0 0.25 H i(t) t = 0 30 V 2 Ω vo(t)8 Ω+ − io(t)1 H + − F 1 4 2u(t) 40 Ω 50 V1 FvL + − 0.5 H + − 10 Ω vC + − 1 H 4 Ω 50u(t) V 2u(−t) A 0.04 F + − 2 Ω v+ −
- 390. 8.33 Halle para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.81.v(t) *8.37 Para la red de la figura 8.85, determine i(t) para t Ͼ 0. 362 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.81 Para el problema 8.33. 8.34 Calcule i(t) para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.82. Figura 8.82 Para el problema 8.34. 8.35 Determine para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.83.v(t) Figura 8.83 Para el problema 8.35. 8.36 Obtenga e i(t) para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.84. v(t) Figura 8.85 Para el problema 8.37. Figura 8.86 Para el problema 8.38. Figura 8.87 Para el problema 8.39. 8.38 Remítase al circuito de la figura 8.86. Calcule i(t) para t Ͼ 0. 8.39 Determine para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.87.v(t) 8.40 El interruptor en el circuito de la figura 8.88 se mueve de la posición a a la b en t ϭ 0. Determine i(t) para t Ͼ 0. Figura 8.88 Para el problema 8.40. 3 A 1 H 10 Ω 5 Ω4 F t = 0 4u(t) Av + − 20u(−t) V 5 Ω + − i v+ − F1 16 H1 4 t = 0 8 V + − 12 V+ − 1 H 2 Ω v + − F 1 5 Figura 8.84 Para el problema 8.36. 3u(t) A 5 H 0.2 F 2 Ω 1 Ω 20 V 5 Ω + − i(t) v(t) + − 30 V 6 Ω + − 10 V + − 6 Ω t = 0 6 Ω i(t) H1 2 F1 8 10 Ω 2u(−t) A 10 Ω 5 Ω i(t) F1 3 H3 4 60u(t) V + − 30u(t) V+ −20 Ω 0.25 H30 Ω 0.5 F v+ − 12 V 2 H + − 2 Ω 14 Ω 6 Ω 4 A i(t) a b 0.02 F t = 0
- 391. *8.41 Para la red de la figura 8.89, halle i(t) para t Ͼ 0. 8.46 Halle i(t) para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.93. Problemas 363 Figura 8.89 Para el problema 8.41. *8.42 Dada la red de la figura 8.90, halle para t Ͼ 0.v(t) Figura 8.90 Para el problema 8.42. 8.43 El interruptor en la figura 8.91 se abre en t ϭ 0 después de que el circuito ha llegado al estado estable. Seleccio- ne R y C de manera que y d ϭ 30 rad/s.a ϭ 8 Np/s Figura 8.91 Para el problema 8.43. 8.44 Un circuito RLC en serie tiene los siguientes parámetros: y C ϭ 10 nF. ¿Qué tipo de amorti- guamiento exhibe? Sección 8.6 Respuesta de escalón de un circuito RLC en paralelo 8.45 En el circuito de la figura 8.92, halle e i(t) para t Ͼ 0. Suponga que e i(0) ϭ 1 A.v(0) ϭ 0 V v(t) R ϭ 1 k⍀, L ϭ 1 H Figura 8.92 Para el problema 8.45. Figura 8.93 Para el problema 8.46. 8.47 Halle la tensión de salida en el circuito de la figura 8.94. vo(t) Figura 8.94 Para el problema 8.47. 8.48 Dado el circuito de la figura 8.95, halle i(t) y para t Ͼ 0. v(t) Figura 8.95 Para el problema 8.48. 8.49 Determine i(t) para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.96. Figura 8.96 Para el problema 8.49. 5 Ω 1 H 100 V 5 Ω+ − t = 0 20 Ω i F 1 25 4 A 1 Ω t = 0 2 A 6 Ω 1 H v + − F1 25 10 Ω 0.5 H t = 0 40 V R C − + 4u(t) A 0.5 F 1 H2 Ω i v + − 12u(t) V + − 8 mH 2 kΩ i(t) 5 F 3 A 10 mF5 Ω 1 H 10 Ω t = 0 vo + − 1 Ω 6 V + − 2 Ω t = 0 1 H i(t) v(t) + − F1 4 3 A5 Ω5 H i(t) 12 V t = 0 4 Ω F 1 20 + −
- 392. 8.50 Para el circuito de la figura 8.97, halle i(t) para t Ͼ 0. 8.55 En referencia al circuito de la figura 8.101, halle para t Ͼ 0. Suponga que e i(0ϩ ) ϭ 2 A.v(0ϩ ) ϭ 4 V v(t) 364 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Figura 8.97 Para el problema 8.50. 8.51 Halle para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.98.v(t) Figura 8.98 Para el problema 8.51. 8.52 La respuesta escalón de un circuito RLC en paralelo es t Ն 0 cuando el inductor es de 50 mH. Halle R y C. Sección 8.7 Circuitos generales de segundo orden 8.53 Después de estar abierto durante un día, el interruptor en el circuito de la figura 8.99 se cierra en t ϭ 0. Halle la ecuación diferencial que describe a i(t), t Ͼ 0. v ϭ 10 ϩ 20eϪ300t (cos 400t Ϫ 2 sen 400t) V, Figura 8.99 Para el problema 8.53. 8.54 El interruptor en la figura 8.100 se mueve de la posición A a la B en t ϭ 0. Determine: a) y c) i(ϱ) y v(ϱ).y dv(0ϩ )͞dt,v(0ϩ ), b) di(0ϩ )͞dt i(0ϩ ) Figura 8.100 Para el problema 8.54. Figura 8.101 Para el problema 8.55. 8.56 En el circuito de la figura 8.102, halle i(t) para t Ͼ 0. Figura 8.102 Para el problema 8.56. 8.57 Si el interruptor en la figura 8.103 ha estado cerrado mucho tiempo antes de t ϭ 0 pero se abre en t ϭ 0, encuentre: a) la ecuación característica del circuito, b) y para t Ͼ 0.vRix Figura 8.103 Para el problema 8.57. 8.58 En el circuito de la figura 8.104, el interruptor ha estado mucho tiempo en la posición 1 pero se movió a la posi- ción 2 en t ϭ 0. Halle: a) b) para t Ն 0.v(t) v(0ϩ ), dv(0ϩ )͞dt Figura 8.104 Para el problema 8.58. 6u(t) A 40 Ω10 mF 4 H i(t) 30 V + − 10 Ω io CLR t = 0 v + − 80 Ω 10 mF 0.25 H120 V + − t = 0 i 20 Ω 50 Ω 10 mF 40 Ω A B 9 A t = 0 20 mH i v + − 2 Ω 0.5 F0.1 F i 4 v + − i 20 V 6 Ω 4 Ω t = 0 + − i F1 25 H1 4 t = 0 16 V 1 H + − 8 Ω 12 Ω vR + − ix F 1 36 0.5 Ω 8 Ω 0.25 H 1 F 4 V 2 t = 0 1 + − v − +
- 393. 8.59 El interruptor de la figura 8.105 ha estado mucho tiempo en la posición 1 para t Ͻ 0. En t ϭ 0 se movió instantá- neamente a la posición 2. Determine v(t). 8.64 En relación con el circuito de amplificador operacional de la figura 8.109, encuentre la ecuación diferencial que relaciona a con vs.vo Problemas 365 Figura 8.105 Para el problema 8.59. 8.60 Obtenga e para t Ͼ 0 en el circuito de la figura 8.106. i2i1 Figura 8.106 Para el problema 8.60. 8.61 En referencia al circuito del problema 8.5, halle i y pa- ra t Ͼ 0. 8.62 Halle la respuesta para t Ͼ 0 en el circuito de la fi- gura 8.107. Sean 2 H y C ϭ 1/18 F.R ϭ 3 ⍀, L ϭ vR(t) v Figura 8.107 Para el problema 8.62. Sección 8.8 Circuitos de segundo orden con amplificadores operacionales 8.63 Para el circuito del amplificador operacional de la figura 8.108, halle la ecuación diferencial para i(t). Figura 8.108 Para el problema 8.63. Figura 8.109 Para el problema 8.64. Figura 8.110 Para el problema 8.65. 8.66 Obtenga las ecuaciones diferenciales de para el cir- cuito del amplificador operacional de la figura 8.111. vo(t) Figura 8.111 Para el problema 8.66. 8.65 Determine la ecuación diferencial para el circuito ampli- ficador operacional de la figura 8.110. Si y halle para t Ͼ 0. Sea y C ϭ 1 mF. R ϭ 100 k⍀vov2(0ϩ ) ϭ 0 V, v1(0ϩ ) ϭ 2 V 4 Ω 16 Ω 4 H 40 V + 1 t = 0 − v F 1 16 − + 4u(t) A 1 H2 Ω i2i1 1 H 3 Ω 10u(t) V R + − LC + −vR C R + − L + − i vs vs + − + − vo − + 1 F 0.5 F 2 Ω 1 Ω R vo + − − C v2 + − C v1 + − R + + − vs + − + − vo − + 10 pF 20 pF 60 kΩ60 kΩ
- 394. 8.75 Obtenga el dual del circuito de la figura 8.119. 8.71 Obtenga v(t) para 0 Ͻ t Ͻ 4 s en el circuito de la figura 8.116 usando PSpice. 366 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden Sección 8.9 Análisis de un circuito RLC con PSpice 8.68 Para la función escalón use PSpice a fin de hallar la respuesta para 0 Ͻ t Ͻ 6 s en el circuito de la figura 8.113. v(t) vs ϭ u(t), Figura 8.113 Para el problema 8.68. 8.69 Dado el circuito sin fuente de la figura 8.114, use PSpice para obtener i(t) para 0 Ͻ t Ͻ 20 s. Tome e i(0) ϭ 2 A. v(0) ϭ 30 V Figura 8.114 Para el problema 8.69. 8.70 Para el circuito de la figura 8.115, use PSpice a fin de obtener para 0 Ͻ t Ͻ 4 s. Suponga que la tensión del capacitor y la corriente del inductor en t ϭ 0 son de cero. v(t) Figura 8.115 Para el problema 8.70. Figura 8.116 Para el problema 8.71. 8.72 El interruptor de la figura 8.117 ha estado mucho tiempo en la posición 1. En t ϭ 0, cambia a la posición 2. Use PSpice para hallar i(t) para 0 Ͻ t Ͻ 0.2 s. Figura 8.117 Para el problema 8.72. 8.73 Repita el problema 8.25 usando PSpice. Grafique para 0 Ͻ t Ͻ 4 s. Sección 8.10 Dualidad 8.74 Un par dual se elabora como se muestra en la figura 8.118a). El par dual se ha redibujado en la figura 8.118b). vo(t) Figura 8.118 Para el problema 8.74. Figura 8.119 Para el problema 8.75. *8.67 En el circuito de amplificador operacional de la figura 8.112 determine para t Ͼ 0. Sean C1 ϭ C2 ϭ 100 mF.ven ϭ u(t) V, R1 ϭ R2 ϭ 10 k⍀, vo(t) Figura 8.112 Para el problema 8.67. R2 C1 R1 C2 ven vo+ − 2 Ω vs + − 1 H 1 F v(t) + − 1 Ω 10 H 2.5 F i v + − 3 Ω 6 Ω 24 V 0.4 F 2 H + − v− + 13u(t) A 39u(t) V6 Ω 6 Ω + − 1 H v(t) + − 20 Ω 0.4 F 2 kΩ 4 kΩ 1 kΩ i 10 V 1 2 t = 0 100 F 100 mH − + 3 A 9 A 9 V 3 V 0.5 Ω 2 Ω 4 Ω 1 Ω 0.25 Ω 6 Ω 1 Ω 1 Ω− + − + − + 1 6 Ω 1 2 Ω 1 4 Ω 1 6 Ω 3 V9 A a) b) 12 V + − 24 V+ − 4 Ω 10 Ω 2 H 0.5 F
- 395. 8.77 Dibuje el dual del circuito de la figura 8.121. Problemas de mayor extensón 367 Figura 8.124 Para el problema 8.83. Figura 8.120 Para el problema 8.76. 8.76 Halle el dual del circuito de la figura 8.120. Figura 8.121 Para el problema 8.77. Sección 8.11 Aplicaciones 8.78 El activador de una bolsa de aire para un automóvil se modela en el circuito de la figura 8.122. Determine el tiempo que tarda la tensión en el disparador del activa- dor en llegar a su primer valor pico tras la conmutación de A a B. Sean y L ϭ 60 mH.R ϭ 3 ⍀, C ϭ 1͞30 F Figura 8.122 Para el problema 8.78. 8.79 Una carga se modela como un inductor de 250 mH en paralelo con un resistor de 12 . Debe conectarse un ca- pacitor a la carga para que la red esté críticamente amortiguada en 60 Hz. Calcule el valor del capacitor. ⍀ Problemas de mayor extensión 8.80 Un sistema mecánico se modela mediante un circuito RLC en serie. Se desea producir una respuesta sobreamortigua- da con constantes de tiempo 0.1 ms y 0.5 ms. Si se usa un resistor en serie de 50 k⍀, halle los valores de L y C. 8.81 Un oscilograma puede modelarse adecuadamente me- diante un sistema de segundo orden en forma de circuito RLC en paralelo. Se desea proporcionar una tensión sub- amortiguada a través de un resistor de 200 . Si la frecuencia amortiguada es de 4 kHz y la constante de tiempo de la envolvente es de 0.25 s, halle los valores necesarios de L y C. 8.82 El circuito de la figura 8.123 es el análogo eléctrico de funciones corporales que se emplea en escuelas de medi- cina para estudiar las convulsiones. La analogía es la siguiente: C1 ϭ Volumen de fluido en un medicamento C2 ϭ Volumen de torrente sanguíneo en una región especificada R1 ϭ Resistencia al paso del medicamento de la entrada al to- rrente sanguíneo R2 ϭ Resistencia del mecanismo excretor, como riñones, etc. v0 ϭ Concentración inicial de la dosis del medicamento v(t) ϭ Porcentaje del medicamento en el torrente sanguíneo Halle para t Ͼ 0 dado que y v0 ϭ 60u(t) V.R1 ϭ 5 M⍀, R2 ϭ 2.5 M⍀5 mF, C2 ϭC1 ϭ 0.5 mF,v(t) ⍀ Figura 8.123 Para el problema 8.82. 8.83 En la figura 8.124 aparece un circuito típico de oscilador con un diodo de túnel. El diodo se modela como un re- sistor no lineal con es decir, la corriente del diodo es una función no lineal de la tensión a través del diodo. Obtenga la ecuación diferencial del circuito en términos de e iD.v iD ϭ f(vD), 20 Ω 10 Ω 30 Ω 4 H 60 V 1 F 2 A + − 120 V − + + − 2 Ω 3 Ω 12 V 5 A 1 Ω0.25 H1 F t = 0 A B 12 V + − L RC Acondicionador de la bolsa de aire R1t = 0 C2C1 vo + − R2 v(t) + − R L i Cv + − + −vs ID vD + −
- 396. P A R T E D O S Circuitos de ca CONTENIDO 9 Senoides y fasores 10 Análisis senoidal en estado estable 11 Análisis de potencia de ca 12 Circuitos trifásicos 13 Circuitos magnéticamente acoplados 14 Respuesta en frecuencia
- 397. C a p í t u l o 9 369 Senoides y fasores Aquel que no sabe y no sabe que no sabe es un idiota; evítalo. Aquel que no sabe y sabe que no sabe es un niño; edúcalo. Aquel que sabe y no sabe que sabe está dormido; despiértalo. Aquel que sabe y sabe que sabe es un sabio; síguelo. —Proverbio persa Mejore sus habilidades y su carrera CRITERIOS ABET EC 2000 (3.d), “capacidad para identificar, for- mular y resolver problemas de ingeniería”. La “capacidad para funcionar en equipos multidisciplinarios” es inherente- mente crítica para el ingeniero en activo. Es raro, si es que alguna vez ocu- rre, que los ingenieros trabajen solos. Siempre formarán parte de un equipo. Algo que me agrada recordar a los estudiantes es que no es necesario que les simpaticen todos los miembros de un equipo; lo único necesario es que sean parte exitosa de ese equipo. Muy a menudo tales equipos incluyen a individuos de una amplia varie- dad de disciplinas de la ingeniería y a otros de disciplinas ajenas a la inge- niería, como mercadotecnia y finanzas. Los estudiantes pueden adquirir y reforzar de manera fácil esa capacidad trabajando en grupos de estudio en todos sus cursos. Evidentemente, trabajar en grupos de estudio en cursos ajenos a la ingeniería así como en cursos de ingeniería ajenos a su disciplina también le dará a usted experiencia en equi- pos multidisciplinarios. Fotografía tomada por Charles Alexander
- 398. Introducción Hasta ahora el análisis se ha limitado en su mayor parte a circuitos de cd: los circuitos excitados por fuentes constantes o invariables en el tiempo. Se ha restringido la función de fuerza a fuentes de cd por simplicidad, razones pe- dagógicas y, también, razones históricas. Las fuentes de cd, históricamente, fueron el principal medio de suministro de energía eléctrica hasta fines del si- glo XIX; a finales de ese siglo comenzó la batalla de esa corriente contra la corriente alterna. Ambas tenían defensores entre los ingenieros eléctricos de la época. A causa de que la ca es más eficiente y económica para la transmi- sión a grandes distancias, los sistemas de ca terminaron imponiéndose. Por ello, en correspondencia con la secuencia histórica de los acontecimientos se ha considerado primero las fuentes de cd. Ahora se inicia el análisis de circuitos en los que la tensión o la corrien- te de fuente varía con el tiempo. En este capítulo nos interesará en particular la excitación senoidal variable con respecto al tiempo, o simplemente excita- ción por una senoide. 9.1 370 Capítulo 9 Senoides y fasores Nikola Tesla (1856-1943) y George Westinghouse (1846-1914) contri- buyeron a establecer la corriente alterna como el modo primario de la trans- misión y distribución de electricidad. Hoy es obvio que la generación de ca está firmemente establecida como la forma de energía eléctrica que vuelve eficiente y económica la extensa distri- bución de este tipo de energía. Sin embargo, a fines del siglo XIX y principios del XX, determinar qué era mejor, si la ca o la cd, se debatió acaloradamente y tuvo muy decididos partidarios de ambos lados. El lado a favor de la cd fue encabezado por Thomas Edison, quien se había ganado enorme respeto por sus numerosas contribuciones. La generación de energía eléctrica con el uso de ca en realidad comenzó a asentarse tras las exitosas contribuciones de Tes- la; sin embargo, el verdadero éxito comercial de la ca procedió de George Westinghouse y el sobresaliente equipo que reunió, entre cuyos miembros se contaba Tesla. Además, hubo otros dos nombres importantes: C. F. Scott y B. G. Lamme. La contribución más significativa a los primeros éxitos de la ca fue la pa- tente lograda por Tesla en 1888 del motor polifásico de ca. El motor de in- ducción y los sistemas polifásicos de generación y distribución sentenciaron a muerte el uso de la cd como fuente primaria de energía. Perfiles históricos Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. Una corriente senoidal se conoce usualmente como corriente alterna (ca). Es- ta corriente se invierte a intervalos regulares y tiene valores alternadamente positivo y negativo. Los circuitos excitados por fuentes de corriente o tensión senoidal se llaman circuitos de ca. Las senoides interesan por varias razones. Primero, la propia naturaleza es característicamente senoidal. Hay variación senoidal en el movimiento de un péndulo, la vibración de una cuerda, las olas en la superficie del océano y la respuesta natural de sistemas subamortiguados de segundo orden, por men- cionar sólo unos cuantos ejemplos. Segundo, una señal senoidal es fácil de generar y transmitir. Es la forma de la tensión generada en todo el mundo y George Westinghouse. Fotografía © Bettmann/Corbis
- 399. suministrada a hogares, fábricas, laboratorios, etc. Es la forma dominante de señal en las industrias de comunicaciones y energía eléctrica. Tercero, por me- dio del análisis de Fourier, cualquier señal periódica práctica puede represen- tarse como una suma de senoides. Las senoides, por lo tanto, desempeñan un importante papel en el análisis de señales periódicas. Por último, una senoi- de es fácil de manejar de manera matemática. La derivada y la integral de una senoide son ellas mismas senoides. Por éstas y otras razones, la senoide es una función extremadamente importante en análisis de circuitos. Una función forzada senoidal produce tanto una respuesta natural como una respuesta en estado estable, a semejanza de la función de escalón vista en los capítulos 7 y 8. La respuesta natural se extingue con el tiempo, de mo- do que sólo la respuesta en estado estable permanece. Se dice que el circuito opera en estado estable senoidal cuando la respuesta natural se ha vuelto des- preciable en comparación con la respuesta en estado estable. La respuesta se- noidal en estado estable es la que más nos interesará en este capítulo. Se inicia con una exposición básica de senoides y fasores. Después se presentan los conceptos de impedancia y admitancia. Las leyes de circuitos básicas, de Kirchhoff y Ohm, ya presentadas en relación con los circuitos de cd, se aplicarán a circuitos de ca. Por último, se consideran aplicaciones de cir- cuitos de ca en desfasadores y puentes. Senoides Considere la tensión senoidal (9.1) donde la amplitud de la senoide la frecuencia angular en radianes/s el argumento de la senoide La senoide se muestra en la figura 9.1a) como función de su argumento, y en la figura 9.1b) como función de tiempo. Es evidente que la senoide se repite cada T segundos; así, T se llama periodo de la senoide. En las gráficas de la figura 9.1 se observa que (9.2)T ϭ 2p T ϭ 2p, t ϭ ϭ Vm ϭ v(t) ϭ Vm sent 9.2 9.2 Senoides 371 Figura 9.1 Gráfica de : a) como función de b) como función de t.t,Vm sent 0 Vm −Vm 2 4 t a) v(t) 0 Vm −Vm b) v(t) T 2 T 2T t3 3T 2
- 400. Como ya se mencionó, el periodo T de la función periódica es el tiempo de un ciclo completo, o el número de segundos por ciclo. El recíproco de esta cantidad es el número de ciclos por segundo, conocido como frecuencia cí- clica f de la senoide. Así, (9.5) De las ecuaciones (9.2) y (9.5) se desprende claramente que (9.6) Mientras que está en radianes por segundo (rad/s), f está en hertz (Hz). ϭ 2pf f ϭ 1 T 372 Capítulo 9 Senoides y fasores Una función periódica es aquella que satisface f (t) ϭ f (t ϩ nT) para cual- quier t y para cualquier n entero. El hecho de que se repita cada T segundos se demuestra remplazando t por t ϩ T en la ecuación (9.1). Así se obtiene (9.3) En consecuencia, (9.4) lo cual quiere decir que tiene el mismo valor en t ϩ T que en t, y se dice que es periódica. En general,v(t) v v(t ϩ T) ϭ v(t) ϭ Vm sen(t ϩ 2p) ϭ Vm sent ϭ v(t) v(t ϩ T) ϭ Vm sen(t ϩ T) ϭ Vm senat ϩ 2p b v(t) Heinrich Rudorf Hertz (1857-1894), físico experimental alemán, demostró que las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes fundamentales que la luz. Su labor confirmó la celebrada teoría y predicción hecha en 1864 por James Clerk Maxwell de que tales ondas existían. Hertz nació en el seno de una próspera familia en Hamburgo, Alemania. Asistió a la Universidad de Berlín, e hizo su doctorado bajo la conducción del distinguido físico Hermann von Helmholtz. Fue profesor en Karlsruhe, donde inició su indagación de las ondas electromagnéticas. Generó y detectó exito- samente ondas electromagnéticas; fue el primero en demostrar que la luz es energía electromagnética. En 1887 señaló por primera vez el efecto fotoeléc- trico de los electrones en una estructura molecular. Aunque sólo vivió 37 años, su descubrimiento de las ondas electromagnéticas pavimentó el camino para el uso práctico de tales ondas en la radio, la televisión y otros sistemas de co- municación. La unidad de frecuencia, el hertz, lleva su nombre. Perfiles históricos La unidad de f se bautizó en honor al físico alemán Heinrich R. Hertz (1857-1894). Cortesía de The Burndy Library, Cambridge, Massachusetts.
- 401. Considérese ahora una expresión más general de la senoide, (9.7) donde es el argumento y es la fase. Tanto el argumento como la fase pueden estar en radianes o grados. Examínense las dos senoides (9.8) que aparecen en la figura 9.2. El punto de partida de en la figura 9.2 ocu- rre primero en el tiempo. Por lo tanto, se dice que se adelanta a en o que se atrasa de en Si también se dice que y están desfasadas. Si se dice que y están en fase; alcanzan sus valores mínimos y máximos exactamente al mismo tiempo. Se puede comparar y de esta manera porque operan a la misma frecuencia; no es necesario que tengan la misma amplitud. v2 v1 v2v1f ϭ 0, v2v1f 0,f.v2v1 fv1v2 v2 v1(t) ϭ Vm sent y v2 (t) ϭ Vm sen(t ϩ f) f(t ϩ f) v(t) ϭ Vm sen(t ϩ f) 9.2 Senoides 373 Figura 9.2 Dos senoides con diferentes fases. Una senoide puede expresarse en forma de seno o de coseno. Cuando se comparan dos senoides, es útil expresar ambas como seno o coseno con am- plitudes positivas. Esto se realiza usando las siguientes identidades trigono- métricas: (9.9) Con estas identidades, es fácil demostrar que (9.10) Usando estas relaciones se puede transformar una senoide de la forma seno a la forma coseno o viceversa. sen(t Ϯ 180Њ) ϭ Ϫsent cos(t Ϯ 180Њ) ϭ Ϫcost sen(t Ϯ 90Њ) ϭ Ϯcost cos(t Ϯ 90Њ) ϭ ϯsent sen(A Ϯ B) ϭ sen A cos B Ϯ cos A sen B cos(A Ϯ B) ϭ cos A cos B ϯ sen A sen B Vm –Vm t v2 = Vm sen(t + ) v1 = Vm sen t 2
- 402. Puede emplearse un método gráfico para relacionar o comparar senoides como opción al uso de las identidades trigonométricas de las ecuaciones (9.9) y (9.10). Considérese el conjunto de ejes que se presenta en la figura 9.3a). El eje horizontal representa la magnitud del coseno, mientras que el eje ver- tical (el cual apunta hacia abajo) denota la magnitud del seno. Los ángulos se miden positivamente en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje horizontal, como suele hacerse en coordenadas polares. Es- ta técnica gráfica puede utilizarse para relacionar dos senoides. Por ejemplo, en la figura 9.3a) se observa que restar 90° al argumento de da o De igual manera, sumar 180° al argumento de da o como se muestra en la figu- ra 9.3b). Esta técnica gráfica también puede aplicarse para sumar dos senoides de la misma frecuencia cuando una está en la forma seno y la otra en la forma coseno. Para sumar y se advierte que A es la magnitud de mientras que B es la magnitud de como se observa en la figura 9.4a). La magnitud y el argumento de la senoide resultante en la forma cose- no se obtienen fácilmente del triángulo. Así, (9.11) donde (9.12) Por ejemplo, se puede sumar y como se muestra en la fi- gura 9.4b) y obtener (9.13) En comparación con las identidades trigonométricas de las ecuaciones (9.9) y (9.10), el método gráfico elimina la memorización. Sin embargo, no se debe confundir los ejes de seno y coseno con los ejes para números com- plejos que se explicarán en la siguiente sección. Algo más por señalar en las figuras 9.3 y 9.4 es que aunque la tendencia natural es que el eje vertical apun- te hacia arriba, la dirección positiva de la función seno es hacia abajo en el presente caso. 3 cost Ϫ 4 sent ϭ 5 cos(t ϩ 53.1Њ) Ϫ4 sen t3 cos t C ϭ 2A2 ϩ B2 , u ϭ tanϪ1 B A A cost ϩ B sent ϭ C cos(t Ϫ u) sent,cost B sent,A cost sen(t ϩ 180Њ) ϭ Ϫsent,Ϫsent,sent cos(t Ϫ 90Њ) ϭ sent. sent,cost 374 Capítulo 9 Senoides y fasores Figura 9.3 Medio gráfico para relacionar coseno y seno: a) b) sen(t ϩ 180Њ) ϭ Ϫsent. cos(t Ϫ 90Њ) ϭ sent, Figura 9.4 a) Suma de A cos t y B sen t, b) suma de 3 cos t y Ϫ4 sen t. –90° 180° + sen t + sen t + cos t + cos t a) b) A C B – sen t cos t a) sen t cos t0 53.1° +3 –4 5 b)
- 403. 9.2 Senoides 375 Halle la amplitud, fase, periodo y frecuencia de la senoide Solución: La amplitud es La fase es La frecuencia angular es El periodo es La frecuencia es f ϭ 1 T ϭ 7.958 Hz. T ϭ 2p ϭ 2p 50 ϭ 0.1257 s. ϭ 50 rad/s. f ϭ 10Њ. Vm ϭ 12 V. v(t) ϭ 12 cos(50t ϩ 10Њ) Dada la senoide calcule su amplitud, fase, frecuencia angu- lar, periodo y frecuencia. Respuesta: 5, 12.57 rad/s, 0.5 s, 2 Hz.Ϫ60Њ, 5 sen(4pt Ϫ 60Њ), Calcule el ángulo de fase entre y 12 sen(t Ϫ 10°). Indique cuál de ambas senoides está adelantada. Solución: Se calculó la fase de tres maneras. Los dos primeros métodos se sirven de identidades trigonométricas, y el tercero del enfoque gráfico. ■ MÉTODO 1 Para comparar y v2 se debe expresar en la misma for- ma. Si se expresa en la forma coseno con amplitudes positivas, (9.2.1) y (9.2.2) De las ecuaciones (9.2.1) y (9.2.2) puede deducirse que la diferencia de fase entre y es de Puede escribirse como (9.2.3) La comparación de las ecuaciones (9.2.1) y (9.2.3) indica claramente que se adelanta a en ■ MÉTODO 2 Alternativamente, se puede expresar en la forma seno: ϭ 10 sen(t Ϫ 40Њ) ϭ 10 sen(t Ϫ 10Њ Ϫ 30Њ) v1 ϭ Ϫ10 cos(t ϩ 50Њ) ϭ 10 sen(t ϩ 50Њ Ϫ 90Њ) v1 30Њ.v1 v2 v2 ϭ 12 cos(t Ϫ 130Њ ϩ 30Њ) o v2 ϭ 12 cos(t ϩ 260Њ) v230Њ.v2v1 v2 ϭ 12 cos(t Ϫ 100Њ) v2 ϭ 12 sen(t Ϫ 10Њ) ϭ 12 cos(t Ϫ 10Њ Ϫ 90Њ) v1 ϭ 10 cos(t Ϫ 130Њ) o v1 ϭ 10 cos(t ϩ 230Њ) v1 ϭ Ϫ10 cos(t ϩ 50Њ) ϭ 10 cos(t ϩ 50Њ Ϫ 180Њ) v1 v2 ϭv1 ϭ Ϫ10 cos(t ϩ 50Њ) Ejemplo 9.1 Problema de práctica 9.1 Ejemplo 9.2
- 404. Pero La comparación de estas dos ecuaciones indica que se atrasa de en Esto es lo mismo que decir que se adelan- ta a en ■ MÉTODO 3 Se puede considerar a como simplemente con un desplazamiento de fase de Así, es como se muestra en la fi- gura 9.5. De igual manera, es con un desplazamiento de fase de Ϫ10°, como se muestra en la figura 9.5. En esta figura se advierte fácilmen- te que se adelanta a en 30°, es decir 90° Ϫ 50° Ϫ 10°.v1v2 12 sentv2 v1ϩ50Њ. Ϫ10 costv1 30Њ.v1 v230Њ.v2v1 v2 ϭ 12 sen(t Ϫ 10Њ). 376 Capítulo 9 Senoides y fasores 50° 10°v1 v2 sen t cos t Figura 9.5 Para el ejemplo 9.2. Halle el ángulo de fase entre ¿ se adelanta o se atrasa de ? Respuesta: se adelanta a Fasores Las senoides se expresan fácilmente en términos de fasores, con los que es más cómodo trabajar que con las funciones seno y coseno. 9.3 i2.155Њ, i1 i2i1 i1 ϭ Ϫ4 sen(377t ϩ 25Њ) y i2 ϭ 5 cos(377t Ϫ 40Њ) Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide. Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excita- dos por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos serían impractica- bles de otra manera. La noción de resolver circuitos de ca usando fasores la propuso originalmente Charles Steinmetz en 1893. Pero antes de definir cabal- mente los fasores y aplicarlos al análisis de circuitos, hay que familiarizarse por completo con los números complejos. Un número complejo z puede escribirse en forma rectangular como (9.14a) donde x es la parte real de z y y es la parte imaginaria de z. En este contexto, las variables x y y no representan una posición, como en el análisis de vectores bidimensionales, sino las partes real e imaginaria de z en el plano complejo. No obstante, cabe señalar que existen algunas seme- janzas entre la manipulación de números complejos y la de vectores bidi- mensionales. El número complejo z también puede escribirse en forma polar o expo- nencial, como (9.14b)z ϭ rlf ϭ rejf j ϭ 1Ϫ1; z ϭ x ϩ jy Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) fue un matemático e ingeniero eléctri- co alemán-austriaco. En el apéndice B se presenta un breve tutorial sobre números complejos. Problema de práctica 9.2 e
- 405. donde r es la magnitud de z y la fase de z. Se advierte entonces que z pue- de representarse de tres maneras: Forma rectangular Forma polar Forma exponencial (9.15) La relación entre la forma rectangular y la polar se muestra en la figura 9.6, donde el eje x representa la parte real y el eje y la parte imaginaria de un número complejo. Dadas x y y, se puede obtener r y como (9.16a) Por otra parte, si se conoce r y se puede obtener x y y como (9.16b) Así, z puede escribirse como (9.17) La suma y resta de números complejos es más sencilla en la forma rec- tangular; la multiplicación y división lo son en forma polar. Dados los núme- ros complejos son importantes las siguientes operaciones. Suma: (9.18a)z1 ϩ z2 ϭ (x1 ϩ x2) ϩ j(y1 ϩ y2) z2 ϭ x2 ϩ jy2 ϭ r2 lf2 z ϭ x ϩ jy ϭ rlf, z1 ϭ x1 ϩ jy1 ϭ r1 lf1 z ϭ x ϩ jy ϭ rlf ϭ r(cosf ϩ j senf) x ϭ r cosf, y ϭ r senf f, r ϭ 2x2 ϩ y2 , f ϭ tanϪ1 y x f z ϭ re jf z ϭ rlf z ϭ x ϩ jy f 9.3 Fasores 377 Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), matemático e ingeniero ale- mán-austriaco, introdujo el método fasorial (tratado en este capítulo) en el análisis de circuitos de ca. También destacó por su labor en la teoría de la histéresis. Steinmetz nació en Breslau, Alemania, y perdió a su madre cuando tenía un año de edad. En su juventud se vio obligado a salir de Alemania a causa de sus actividades políticas justo cuando estaba a punto de terminar su tesis de doctorado en matemáticas en la Universidad de Breslau. Emigró a Suiza y des- pués a Estados Unidos, donde fue contratado por General Electric en 1893. Ese mismo año publicó un estudio en el que por primera vez se usaban números complejos para analizar circuitos de ca. Esto condujo a uno de sus principa- les libros de texto, Theory and Calculation of ac Phenomena, publicado por McGraw-Hill en 1897. En 1901 se le nombró presidente del American Insti- tute of Electrical Engineers, que más tarde se convertiría en el IEEE. Perfiles históricos 0 2j j −2j −j z yr x Eje real Eje imaginario Figura 9.6 Representación de un número complejo x ϩ jy ϭ r lf.z ϭ
- 406. Resta: (9.18b) Multiplicación: (9.18c) División: (9.18d) Inverso: (9.18e) Raíz cuadrada: (9.18f) Conjugado complejo: (9.18g) Nótese que con base en el ecuación (9.18e), (9.18h) Éstas son las propiedades básicas de los números complejos que se necesitan. En el apéndice B se pueden hallar otras propiedades de los números comple- jos. La idea de la representación fasorial se basa en la identidad de Euler. En general, (9.19) lo que indica que se puede considerar a y sen como las partes real e imaginaria de se puede escribir (9.20a) (9.20b) donde Re e Im significan la parte real de y la parte imaginaria de. Dada una senoide se usa la ecuación (9.20a) para expresar como (9.21) o sea (9.22) Por lo tanto, (9.23) donde (9.24)V ϭ Vmejf ϭ Vm lf v(t) ϭ Re(Vejt ) v(t) ϭ Re(Vme jf e jt ) v(t) ϭ Vm cos(t ϩ f) ϭ Re(Vmej(tϩf) ) v(t)v(t) ϭ Vm cos(t ϩ f), sen f ϭ Im(e jf ) cosf ϭ Re(e jf ) ejf ; cosf eϮjf ϭ cosf Ϯ j senf 1 j ϭ Ϫj z* ϭ x Ϫ jy ϭ rlϪf ϭ reϪjf 2z ϭ 2r lf͞2 1 z ϭ 1 r lϪf z1 z2 ϭ r1 r2 lf1 Ϫ f2 z1z2 ϭ r1r2 lf1 ϩ f2 z1 Ϫ z2 ϭ (x1 Ϫ x2) ϩ j(y1 Ϫ y2) 378 Capítulo 9 Senoides y fasores
- 407. V es entonces la representación fasorial de la senoide como ya se dijo. En otras palabras, un fasor es una representación compleja de la magnitud y fase de una senoide. La ecuación (9.20a) o (9.20b) puede utilizarse para de- sarrollar el fasor, aunque la convención estándar es utilizar la ecuación (9.20a). Una manera de examinar las ecuaciones (9.23) y (9.24) es considerar la gráfica del sinor en el plano complejo. Al aumentar el tiempo, el sinor rota en un círculo de radio a una velocidad angular en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se advierte en la figura 9.7a). Se puede considerar como la proyección del sinor en el eje real, como se advierte en la figura 9.7b). El valor del sinor en el tiempo t ϭ 0 es el fasor V de la senoide El sinor puede juzgarse como un fasor giratorio. Así, cada vez que una senoide se expresa como fasor, el término está im- plícitamente presente. En consecuencia, al tratar con fasores es importante te- ner en cuenta la frecuencia del fasor; de lo contrario, se puede cometer graves errores. ejt v(t). Vejt v(t) Vm Vejt ϭ Vmej(tϩf) v(t), 9.3 Fasores 379 Un fasor puede considerarse como un equivalente matemático de una senoi- de sin la dependencia del tiempo. Si se usa el seno para el fasor en vez del coseno, entonces v(t) Vm sen ( t ) Im(Vme j( t ) ) y el fasor correspondiente es el mismo que el de la ecuación (9.24). ϩf ϭϩ f ϭ Rotación a rad ⁄s en t = t0 Vm Re Im t0 t Vm −Vm v(t) = Re(Ve jt ) a) b) Figura 9.7 Representación de a) sinor que rota en sentido contrario de las maneci- llas del reloj, b) su proyección en el eje real, como función de tiempo. Vejt : La ecuación (9.23) establece que para obtener la senoide correspondien- te a un fasor V dado, se multiplica el fasor por el factor de tiempo y se toma la parte real. Como cantidad compleja, un fasor puede expresarse en for- ma rectangular, forma polar o forma exponencial. Dado que un fasor posee magnitud y fase (“dirección”), se comporta como un vector y se representa en negritas. Por ejemplo, los fasores e se representan grá- ficamente en la figura 9.8. Esta representación gráfica de fasores se conoce como diagrama fasorial. Las ecuaciones (9.21) a (9.23) revelan que para obtener el fasor corres- pondiente a una senoide, primero se expresa la senoide en la forma de cose- no para que sea posible escribirla como la parte real de un número complejo. Después se elimina el factor de tiempo y lo que resta es el fasor corres- pondiente a la senoide. Al suprimir el factor de tiempo, se transforma la se- noide del dominio temporal al dominio fasorial. Esta transformación se resume del siguiente modo: (9.25) (Representación en (Representación en el dominio temporal) el dominio fasorial) v(t) ϭ Vm cos(t ϩ f) 3 V ϭ Vmlf ejt , I ϭ Im lϪuV ϭ Vm lf ejt Se usan cursivas como z para repre- sentar números complejos, pero negri- tas como V para representar fasores, porque los fasores son cantidades se- mejantes a los vectores.
- 408. Dada una senoide se obtiene el fasor correspon- diente como La ecuación (9.25) se demuestra asimismo en la ta- bla 9.1, donde se considera la función seno además de la función coseno. En la ecuación (9.25) se advierte que para obtener la representación fasorial de una senoide, ésta se expresa en la forma de coseno y se toman la magnitud y la fase. Dado un fasor, la representación en el dominio temporal se obtiene como la función coseno con la misma magnitud que el fasor y el argumento como más la fase del fasor. La idea de expresar información en dominios alternos es fundamental en todas las áreas de la ingeniería. t V ϭ Vm lf. v(t) ϭ Vm cos(t ϩ f), 380 Capítulo 9 Senoides y fasores TABLA 9.1 Transformación senoide-fasor. Representación en el dominio Representación en el dominio temporal fasorial Im lu Ϫ 90ЊIm sen(t ϩ u) Im luIm cos(t ϩ u) Vm lf Ϫ 90ЊVm sen(t ϩ f) Vm lfVm cos(t ϩ f) Obsérvese que en la ecuación (9.25) se ha suprimido el factor de frecuen- cia (o de tiempo) y que la frecuencia no se muestra explícitamente en la representación en el dominio fasorial, porque es constante. Sin embargo, la respuesta depende de Por esta razón, el dominio fasorial también se cono- ce como dominio frecuencial. A partir de las ecuación (9.23) y (9.24), de manera que (9.26) ϭ Re(Vmejt ejf ej90Њ ) ϭ Re(jVejt ) dv dt ϭ ϪVm sen(t ϩ f) ϭ Vm cos(t ϩ f ϩ 90Њ) (t ϩ f), v(t) ϭ Re(Vejt ) ϭ Vm cos . ejt Dirección de retardo Dirección de adelanto Eje real Eje imaginario Vm Im V I − Figura 9.8 Diagrama fasorial de e I ϭ Im lϪu.V ϭ Vm lf
- 409. Esto indica que la derivada de se transforma al dominio fasorial como , (9.27) (Dominio temporal) (Dominio fasorial) De igual modo, la integral de se transforma al dominio fasorial como , (9.28) (Dominio temporal) (Dominio fasorial) La ecuación (9.27) permite el remplazo de una derivada respecto al tiem- po por la multiplicación de en el dominio fasorial, mientras que la ecua- ción (9.28) permite el remplazo de una integral respecto al tiempo por la división entre en el dominio fasorial. Las ecuaciones (9.27) y (9.28) son útiles en la determinación de la solución en estado estable, la cual no requie- re conocer los valores iniciales de las variables implicadas. Ésta es una de las aplicaciones importantes de los fasores. Además de la derivación e integración respecto al tiempo, otro importan- te uso de los fasores reside en la suma de senoides de la misma frecuencia. Esto se ilustra mejor con un ejemplo, el 9.6. Conviene subrayar las diferencias entre y V: 1. es la representación instantánea o en el dominio temporal, mientras que V es la representación de frecuencia o en el dominio fasorial. 2. depende del tiempo, mientras que V no. (Los estudiantes suelen ol- vidar este hecho.) 3. siempre es real y no tiene ningún término complejo, mientras que V es generalmente compleja. Finalmente, se debe tener presente que el análisis fasorial sólo se aplica cuan- do la frecuencia es constante; se aplica en la manipulación de dos o más se- ñales senoidales sólo si son de la misma frecuencia. v(t) v(t) v(t) v(t) j j V j 3Ύ v dt V͞j v(t) jV3 dv dt jV v(t) 9.3 Fasores 381 La derivación de una senoide equivale a multiplicar su fasor correspondiente por j . Integrar una senoide equivale a dividir su fasor correspondiente entre j . La suma de senoides de la misma fre- cuencia equivale a sumar sus corres- pondientes fasores. Evalúe estos números complejos: a) b) Solución: a) Al aplicar la transformación de coordenadas polares a rectangulares, La suma da por resultado 40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ ϭ 43.03 ϩ j20.64 ϭ 47.72l25.63Њ 20lϪ30Њ ϭ 20[cos(Ϫ30Њ) ϩ j sen(Ϫ30Њ)] ϭ 17.32 Ϫ j10 40l50Њ ϭ 40(cos50Њ ϩ j sen50Њ) ϭ 25.71 ϩ j30.64 10lϪ30Њ ϩ (3 Ϫ j4) (2 ϩ j4)(3 Ϫ j5)* (40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ)1͞2 Ejemplo 9.3
- 410. Calculando la raíz cuadrada de esta expresión, b) Al aplicar la transformación polar-rectangular, suma, multiplicación y di- visión, ϭ 0.565lϪ160.13Њ ϭ 11.66 Ϫ j9 Ϫ14 ϩ j22 ϭ 14.73lϪ37.66Њ 26.08l122.47Њ 10lϪ30Њ ϩ (3 Ϫ j4) (2 ϩ j4)(3 Ϫ j5)* ϭ 8.66 Ϫ j5 ϩ (3 Ϫ j4) (2 ϩ j4)(3 ϩ j5) (40l50Њ ϩ 20lϪ30Њ)1͞2 ϭ 6.91l12.81Њ 382 Capítulo 9 Senoides y fasores Evalúe los siguientes números complejos: a) b) Respuesta: a) b) 8.293 ϩ j2.2.Ϫ15.5 Ϫ j13.67, 10 ϩ j5 ϩ 3l40Њ Ϫ3 ϩ j4 ϩ 10l30Њ [(5 ϩ j2)(Ϫ1 ϩ j4) Ϫ 5l60Њ]* Transforme estas senoides en fasores: a) b) Solución: a) tiene el fasor b) Puesto que Ϫsen A ϭ cos(A ϩ 90°), La forma fasorial de es V ϭ 4l140Њ V v ϭ 4 cos(30t ϩ 140Њ) V v ϭ Ϫ4 sen(30t ϩ 50Њ) ϭ 4 cos(30t ϩ 50Њ ϩ 90Њ) I ϭ 6lϪ40Њ A i ϭ 6 cos(50t Ϫ 40Њ) v ϭ Ϫ4 sen(30t ϩ 50Њ) V i ϭ 6 cos(50t Ϫ 40Њ) A Exprese estas senoides como fasores: a) b) Respuesta: a) b) I ϭ 4lϪ80Њ A.V ϭ 7l220Њ V, i ϭ 4 sen(10t ϩ 10Њ) A v ϭ Ϫ7 cos(2t ϩ 40Њ) V Problema de práctica 9.3 Ejemplo 9.4 Problema de práctica 9.4
- 411. 9.3 Fasores 383 Halle las senoides representadas por estos fasores: a) b) Solución: a) Transformando al dominio del tiempo b) Puesto que La transformación de esto al dominio temporal da por resultado v(t) ϭ 8 cos(t ϩ 70Њ) V ϭ 8l90Њ Ϫ 20Њ ϭ 8l70Њ V V ϭ j8lϪ20Њ ϭ (1l90Њ)(8lϪ20Њ) j ϭ 1l90Њ, i(t) ϭ 5 cos(t ϩ 126.87Њ) A I ϭ Ϫ3 ϩ j4 ϭ 5l126.87Њ. V ϭ j8eϪj20Њ V I ϭ Ϫ3 ϩ j4 A Halle las senoides correspondientes a estos fasores: a) b) Respuesta: a) b) 22.62Њ) A. i(t) ϭ 13 cos(t ϩv(t) ϭ 10 cos(t ϩ 210Њ) V, I ϭ j(5 Ϫ j12) A V ϭ Ϫ10l30Њ V Dadas e halle su suma. Solución: Éste es un uso importante de los fasores: para la suma de senoides de la mis- ma frecuencia. La corriente está en la forma estándar. Su fasor es Se debe expresar en la forma de coseno. La regla para convertir el seno en coseno es restar 90°. Así, y su fasor es Si se concede que entonces ϭ 3.218lϪ56.97Њ A ϭ 3.464 ϩ j2 Ϫ 1.71 Ϫ j4.698 ϭ 1.754 Ϫ j2.698 I ϭ I1 ϩ I2 ϭ 4l30Њ ϩ 5lϪ110Њ i ϭ i1 ϩ i2, I2 ϭ 5lϪ110Њ i2 ϭ 5 cos(t Ϫ 20Њ Ϫ 90Њ) ϭ 5 cos(t Ϫ 110Њ) i2(t) I1 ϭ 4l30Њ i1(t) i2(t) ϭ 5 sen(t Ϫ 20Њ) A,i1(t) ϭ 4 cos(t ϩ 30Њ) A Ejemplo 9.5 Problema de práctica 9.5 Ejemplo 9.6
- 412. Al transformar esto al dominio temporal se obtiene Desde luego que se puede hallar mediante la ecuación (9.9), pero ése es el método difícil. i1 ϩ i2 i(t) ϭ 3.218 cos(t Ϫ 56.97Њ) A 384 Capítulo 9 Senoides y fasores Si y halle Respuesta: v(t) ϭ 10.66 cos(t Ϫ 30.95Њ) V. v1 ϩ v2.v ϭv2 ϭ 20 cos(t Ϫ 45Њ) V,v1 ϭ Ϫ10 sen(t ϩ 30Њ) V Halle la tensión en un circuito descrito por la ecuación integrodiferencial aplicando el método fasorial. Respuesta: v(t) ϭ 2.12 cos(5t Ϫ 88Њ) V. 2 dv dt ϩ 5v ϩ 10 Ύ v dt ϭ 20 cos(5t Ϫ 30Њ) v(t) Aplicando el método fasorial, determine la corriente i(t) en un circuito des- crito por la ecuación integrodiferencial Solución: Se transforma cada término de la ecuación del dominio temporal al fasorial. Teniendo en cuenta las ecuaciones (9.27) y (9.28), se obtiene la forma faso- rial de la ecuación dada como Pero así que Al convertir esto al dominio temporal, Tenga presente que ésta es sólo la solución de estado estable, y que no se re- quiere conocer los valores iniciales. i(t) ϭ 4.642 cos(2t ϩ 143.2Њ) A I ϭ 50l75Њ 4 Ϫ j10 ϭ 50l75Њ 10.77lϪ68.2Њ ϭ 4.642l143.2Њ A I(4 Ϫ j4 Ϫ j6) ϭ 50l75Њ ϭ 2, 4I ϩ 8I j Ϫ 3jI ϭ 50l75Њ 4i ϩ 8 Ύ i dt Ϫ 3 di dt ϭ 50 cos(2t ϩ 75Њ) Problema de práctica 9.6 Ejemplo 9.7 Problema de práctica 9.7
- 413. Relaciones fasoriales de elementos de circuitos Ahora que ya se sabe cómo representar una tensión o una corriente en el do- minio fasorial o frecuencial, el lector se podría preguntar legítimamente cómo aplicar eso a circuitos que implican a los elementos pasivos R, L y C. Lo que se debe hacer es transformar la relación de tensión-corriente del dominio tem- poral al dominio frecuencial en cada elemento. Hay que adoptar de nuevo la convención pasiva de los signos. Iníciese por el resistor. Si la corriente que circula por el resistor R es la tensión a través de él está dada por la ley de Ohm como (9.29) La forma fasorial de esta tensión es (9.30) Pero la representación fasorial de la corriente es Así, (9.31) lo que indica que la relación tensión-corriente del resistor en el dominio faso- rial sigue siendo la ley de Ohm, como en el dominio temporal. La figura 9.9 ilustra las relaciones de tensión-corriente de un resistor. Cabe señalar respecto a la ecuación (9.31) que tensión y corriente están en fase, como lo ilustra el diagrama fasorial de la figura 9.10. En cuanto al inductor L, supóngase que la corriente que circula por él es Así, la tensión a través del inductor es (9.32) Recuérdese de la ecuación (9.10) que Se puede es- cribir la tensión como (9.33) lo que al transformar en la forma fasorial da por resultado (9.34) Pero y con base en la ecuación (9.19), Por lo tanto, (9.35) lo cual indica que la tensión tiene una magnitud de y una fase de La tensión y la corriente están desfasadas 90°. Específicamente, la corriente se atrasa de la tensión en 90°. En la figura 9.11 se muestran las re- laciones tensión-corriente del inductor. En la figura 9.12 se muestra el diagra- ma fasorial. En cuanto al capacitor C, supóngase que la tensión a través de él es La corriente a través del capacitor es (9.36) Al seguir los mismos pasos dados en el caso del inductor o al aplicar la ecua- ción (9.27) en la ecuación (9.36) se obtiene (9.37)I ϭ jCV 1 V ϭ I jC i ϭ C dv dt Vm cos(t ϩ f). v ϭ f ϩ 90Њ. LIm V ϭ jLI ej90Њ ϭ j.ϭ I,Im lf V ϭ LIm ej(fϩ90Њ) ϭ LImejf ej90Њ ϭ LIm lf ϩ 90Њ v ϭ LIm cos(t ϩ f ϩ 90Њ) Ϫsen A ϭ cos(A ϩ 90Њ). v ϭ L di dt ϭ ϪLIm sen(t ϩ f) Im cos(t ϩ f).i ϭ V ϭ RI I ϭ Im lf. V ϭ RIm lf v ϭ iR ϭ RIm cos(t ϩ f) i ϭ Im cos(t ϩ f), 9.4 9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos 385 a) i v + − R v = iR b) I V + − R V = IR Figura 9.9 Relaciones de tensión-corriente de un re- sistor en el: a) dominio temporal, b) do- minio frecuencial. I V 0 Re Im Figura 9.10 Diagrama fasorial para el resistor. Aunque es igualmente correcto decir que la tensión del inductor se adelanta a la corriente en 90°, la convención es indicar la fase de la corriente en rela- ción con la de la tensión. i v + − L v = L di dt a) I V + − L V = jLI b) Figura 9.11 Relaciones de tensión-corriente de un in- ductor en el: a) dominio temporal, b) do- minio de frecuencia. Re Im V I 0 Figura 9.12 Diagrama fasorial para el inductor; I se atrasa de V.
- 414. lo que indica que la corriente y la tensión están desfasadas 90°. Para ser más específicos, la corriente se adelanta a la tensión en 90°. En la figura 9.13 apa- recen las relaciones tensión-corriente del capacitor, y en la figura 9.14 el dia- grama fasorial. En la tabla 9.2 se resumen las representaciones en el dominio temporal y en el dominio fasorial de estos elementos de circuitos. 386 Capítulo 9 Senoides y fasores i v + − C a) i = C dv dt I V + − C b) I = jCV Figura 9.13 Relaciones de tensión-corrien- te del capacitor en el: a) do- minio temporal, b) dominio frecuencial. Re Im I V 0 Figura 9.14 Diagrama fasorial para el capacitor; I se adelanta a V. TABLA 9.2 Resumen de relaciones de tensión-corriente. Elemento Dominio temporal Dominio de frecuencia R L C V ϭ I jC i ϭ C dv dt V ϭ jLIv ϭ L di dt V ϭ RIv ϭ Ri La tensión se aplica a un inductor de 0.1 H. Halle la corriente en estado estable que circula por el inductor. Solución: En el caso del inductor, donde y Así, Al convertir esto al dominio temporal, i(t) ϭ 2 cos(60t Ϫ 45Њ) A I ϭ V jL ϭ 12l45Њ j60 ϫ 0.1 ϭ 12l45Њ 6l90Њ ϭ 2lϪ45Њ A V ϭ 12l45Њ V. ϭ 60 rad/sV ϭ jLI, v ϭ 12 cos(60t ϩ 45Њ) Si la tensión se aplica a un capacitor de calcu- le la corriente que circula por el capacitor. Respuesta: 30 cos(100t ϩ 60°) mA. 50 mFv ϭ 6 cos(100t Ϫ 30Њ) Ejemplo 9.8 Problema de práctica 9.8
- 415. Impedancia y admitancia En la sección anterior se obtuvieron las relaciones de tensión-corriente de los tres elementos pasivos como (9.38) Estas ecuaciones pueden escribirse en términos de la razón entre la tensión fasorial y la corriente fasorial como (9.39) De estas tres expresiones se obtiene la ley de Ohm en forma fasorial para cual- quier tipo de elemento como (9.40) donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como impe- dancia, medida en ohms. Z ϭ V I o sea V ϭ ZI V I ϭ R, V I ϭ jL, V I ϭ 1 jC V ϭ RI, V ϭ jLI, V ϭ I jC 9.5 9.5 Impedancia y admitancia 387 La impedancia representa la oposición que exhibe el circuito al flujo de la co- rriente senoidal. Aunque es la relación entre dos fasores, la impedancia no es un fasor, porque no corresponde a una cantidad que varíe senoidalmente. Las impedancias de resistores, inductores y capacitores pueden obtener- se fácilmente de la ecuación (9.39). En la tabla 9.3 se resumen esas impedan- cias. De ella se desprende que y Considérense dos casos extremos de frecuencia angular. Cuando (es decir, para el caso de fuentes de cd), y lo que confirma lo que ya se sabe: que el inductor actúa como cortocircuito, en tanto que el capacitor lo hace como circuito abierto. Cuando (es decir, para el caso de altas frecuencias), y lo que indica que el inductor es un circuito abierto en al- tas frecuencias, en tanto que el capacitor es un cortocircuito. La figura 9.15 ilustra esto. Como cantidad compleja, la impedancia puede expresarse en forma rec- tangular como (9.41) donde R ϭ Re Z es la resistencia y X ϭ Im Z es la reactancia. La reactan- cia X puede ser positiva o negativa. Se dice que la impedancia es inductiva cuando X es positiva y capacitiva cuando X es negativa. Así, se dice que la impedancia Z ϭ R ϩ jX es inductiva o de retardo, puesto que la corriente se atrasa de la tensión, mientras que la impedancia Z ϭ R Ϫ jX es capacitiva o de adelanto, puesto que la corriente se adelanta a la tensión. La impedancia, la resistencia y la reactancia se miden en ohms. La impedancia también pue- de expresarse en forma polar como (9.42)Z ϭ 0Z 0 lu Z ϭ R ϩ jX ZC ϭ 0,ZL S ϱ S ϱ ZC S ϱ,ZL ϭ 0 ϭ 0 ZC ϭ Ϫj͞C.ZL ϭ jL TABLA 9.3 Impedancias y admitancias de elementos pasivos. Elemento Impedancia Admitancia R L C Y ϭ jCZ ϭ 1 jC Y ϭ 1 jL Z ϭ jL Y ϭ 1 R Z ϭ R Cortocircuito en cd Circuito abierto en altas frecuencias a) Circuito abierto en cd Cortocircuito en altas frecuencias b) L C Figura 9.15 Circuitos equivalentes en cd y altas fre- cuencias: a) inductor, b) capacitor. La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la co- rriente fasorial I, medida en ohms ( ).⍀
- 416. Al comparar las ecuaciones (9.41) y (9.42) se infiere que (9.43) donde (9.44) y (9.45) A veces resulta conveniente trabajar con el inverso de la impedancia, co- nocido como admitancia. R ϭ 0Z0 cosu, X ϭ 0Z0 senu 0Z0 ϭ 2R2 ϩ X2 , u ϭ tanϪ1 X R Z ϭ R ϩ jX ϭ 0Z0lu 388 Capítulo 9 Senoides y fasores La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medido en siemens (S). La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razón entre la corriente fa- sorial y la tensión fasorial a través de él, o sea (9.46) Las admitancias de resistores, inductores y capacitores pueden obtenerse de la ecuación (9.39). También se resumen en la tabla 9.3. Como cantidad compleja, se puede escribir Y como (9.47) donde G ϭ Re Y se llama conductancia y B ϭ Im Y se llama susceptancia. La admitancia, la conductancia y la susceptancia se expresan en siemens (o mhos). Con base en las ecuaciones (9.41) y (9.47), (9.48) Por racionalización, (9.49) La igualación de las partes real e imaginaria da como resultado (9.50) lo que indica que como en los circuitos resistivos. Por supuesto que si X ϭ 0, entonces G ϭ 1/R. G 1͞R G ϭ R R2 ϩ X2 , B ϭ Ϫ X R2 ϩ X2 G ϩ jB ϭ 1 R ϩ jX ؒ R Ϫ jX R Ϫ jX ϭ R Ϫ jX R2 ϩ X2 G ϩ jB ϭ 1 R ϩ jX Y ϭ G ϩ jB Y ϭ 1 Z ϭ I V
- 417. 9.6 Las leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial 389 + − i + − 5 Ω v0.1 Fvs = 10 cos 4t Figura 9.16 Para el ejemplo 9.9. Las leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial No se puede hacer un análisis de circuitos en el dominio frecuencial sin las leyes de la corriente y de la tensión de Kirchhoff. Por lo tanto, se deben ex- presar en ese dominio. En lo tocante a la LTK, sean las tensiones a lo largo de un lazo cerrado. Así, (9.51) En el estado estable senoidal, cada tensión puede escribirse en la forma de coseno, de modo que la ecuación (9.51) se convierte en (9.52) ϩ p ϩ Vmn cos(t ϩ un) ϭ 0 Vm1 cos(t ϩ u1) ϩ Vm2 cos(t ϩ u2) v1 ϩ v2 ϩ p ϩ vn ϭ 0 v1, v2, p , vn 9.6 + − i 4 Ω v0.2 Hvs = 5 sen 10t + − Figura 9.17 Para el problema de práctica 9.9. Halle e en el circuito que aparece en la figura 9.16. Solución: A partir de la fuente de tensión La impedancia es Así, la corriente, (9.9.1) La tensión a través del capacitor es (9.9.2) Al convertir I y V de las ecuaciones (9.9.1) y (9.9.2) al dominio temporal se obtiene Nótese que i(t) se adelanta a en 90°, como era de esperar.v(t) v(t) ϭ 4.47 cos(4t Ϫ 63.43Њ) V i(t) ϭ 1.789 cos(4t ϩ 26.57Њ) A ϭ 1.789l26.57Њ 0.4l90Њ ϭ 4.47lϪ63.43Њ V V ϭ IZC ϭ I jC ϭ 1.789l26.57Њ j4 ϫ 0.1 ϭ 1.6 ϩ j0.8 ϭ 1.789l26.57Њ A I ϭ Vs Z ϭ 10l0Њ 5 Ϫ j2.5 ϭ 10(5 ϩ j2.5) 52 ϩ 2.52 Z ϭ 5 ϩ 1 jC ϭ 5 ϩ 1 j4 ϫ 0.1 ϭ 5 Ϫ j2.5 ⍀ Vs ϭ 10l0Њ V ϭ 4,10 cos 4t, i(t)v(t) Refiérase a la figura 9.17. Determine e i(t). Respuesta: 2.236 sen(10t ϩ 63.43°) V, 1.118 sen(10t Ϫ 26.57°) A. v(t) Ejemplo 9.9 Problema de práctica 9.9
- 418. Esto puede escribirse como o sea (9.53) Si entonces (9.54) Dado que (9.55) lo que indica que la ley de la tensión de Kirchhoff es válida en el caso de los fasores. Siguiendo un procedimiento similar, se puede demostrar que la ley de la corriente de Kirchhoff se cumple en el caso de los fasores. Si es la corriente que sale o entra a una superficie cerrada en una red en el tiempo t, entonces (9.56) Si son las formas fasoriales de las senoides , entonces (9.57) la cual es la ley de la corriente de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia. Una vez que se ha demostrado que tanto la LTK como la LCK son válidas en el dominio de la frecuencia, es fácil hacer muchas cosas, como combina- ción de impedancias, análisis nodal y de lazo, superposición y transformación de fuentes. Combinaciones de impedancias Considérense las N impedancias conectadas en serie que aparecen en la figu- ra 9.18. A través de ellas fluye la misma corriente I. La aplicación de la LTK a lo largo del lazo da (9.58)V ϭ V1 ϩ V2 ϩ p ϩ VN ϭ I(Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN) 9.7 I1 ϩ I2 ϩ p ϩ In ϭ 0 i1, i2, p , in,I1, I2, p , In i1 ϩ i2 ϩ p ϩ in ϭ 0 i1, i2, p , in V1 ϩ V2 ϩ p ϩ Vn ϭ 0 ejt 0, Re[(V1 ϩ V2 ϩ p ϩ Vn)ejt ] ϭ 0 Vk ϭ Vmkejuk , Re[(Vm1eju1 ϩ Vm2eju2 ϩ p ϩ Vmnejun )ejt ] ϭ 0 Re(Vm1eju1 ejt ) ϩ Re(Vm2eju2 ejt ) ϩ p ϩ Re(Vmnejun ejt ) ϭ 0 390 Capítulo 9 Senoides y fasores + − + − + − + − I Z1 Zeq Z2 ZN V1 V V2 VN Figura 9.18 N impedancias en serie. La impedancia equivalente en las terminales de entrada es o sea (9.59)Zeq ϭ Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN Zeq ϭ V I ϭ Z1 ϩ Z2 ϩ p ϩ ZN
- 419. lo que indica que la impedancia total o equivalente de impedancias conecta- das en serie es la suma de cada una de las impedancias individuales. Esto se asemeja a la conexión de resistencias en serie. Si N ϭ 2, como se muestra en la figura 9.19, la corriente que circula por las impedancias es (9.60) Puesto que y entonces (9.61) la cual es la relación de división de tensión. De la misma manera, se puede obtener la impedancia o admitancia equi- valente de las N impedancias conectadas en paralelo que se presentan en la figura 9.20. La tensión en cada impedancia es la misma. Al aplicar la LCK al nodo superior, (9.62)I ϭ I1 ϩ I2 ϩ p ϩ IN ϭ Va 1 Z1 ϩ 1 Z2 ϩ p ϩ 1 ZN b V1 ϭ Z1 Z1 ϩ Z2 V, V2 ϭ Z2 Z1 ϩ Z2 V V2 ϭ Z2I,V1 ϭ Z1I I ϭ V Z1 ϩ Z2 9.7 Combinaciones de impedancias 391 + − + − I + − Z1 V1 Z2V2V Figura 9.19 División de tensión. I + − I1 I2 IN VI Z1 Z2 ZN Zeq Figura 9.20 N impedancias en paralelo. La impedancia equivalente es (9.63) y la admitancia equivalente es (9.64) Esto indica que la admitancia equivalente de una conexión de admitancias en paralelo es la suma de las admitancias individuales. Cuando N ϭ 2, como se muestra en la figura 9.21, la impedancia equi- valente se convierte en (9.65)Zeq ϭ 1 Yeq ϭ 1 Y1 ϩ Y2 ϭ 1 1͞Z1 ϩ 1͞Z2 ϭ Z1Z2 Z1 ϩ Z2 Yeq ϭ Y1 ϩ Y2 ϩ p ϩ YN 1 Zeq ϭ I V ϭ 1 Z1 ϩ 1 Z2 ϩ p ϩ 1 ZN I1 I2+ − I Z1 Z2V Figura 9.21 División de corriente.
- 420. Asimismo, puesto que las corrientes en las impedancias son (9.66) que es el principio del divisor de corriente. Las transformaciones delta a estrella y estrella a delta aplicadas a circui- tos resistivos también son válidas para las impedancias. En referencia a la fi- gura 9.22, las fórmulas de conversión son las siguientes. I1 ϭ Z2 Z1 ϩ Z2 I, I2 ϭ Z1 Z1 ϩ Z2 I V ϭ IZeq ϭ I1Z1 ϭ I2Z2 392 Capítulo 9 Senoides y fasores a b c n Z1 Zb Zc Za Z2 Z3 Figura 9.22 Redes Y y sobrepuestas.¢ Conversión : (9.67) Conversión : (9.68) Z1 ϭ Zb Zc Za ϩ Zb ϩ Zc Z2 ϭ Zc Za Za ϩ Zb ϩ Zc Z3 ϭ Za Zb Za ϩ Zb ϩ Zc ¢-Y Za ϭ Z1Z2 ϩ Z2Z3 ϩ Z3Z1 Z1 Zb ϭ Z1Z2 ϩ Z2Z3 ϩ Z3Z1 Z2 Zc ϭ Z1Z2 ϩ Z2Z3 ϩ Z3Z1 Z3 Y-¢
- 421. Cuando un circuito está equilibrado, las ecuaciones (9.67) y (9.68) se convierten en (9.69) donde y Como puede verse en esta sección, los principios de división de tensión, división de corriente, reducción de circuito, impedancia equivalente y trans- formación se aplican por igual a circuitos de ca. En el capítulo 10 se mostrará que otras técnicas de circuitos —como superposición, análisis nodal, análisis de malla, transformación de fuente, teorema de Thévenin y teorema de Norton— también se aplican en circuitos de ca en forma similar a como ocurre en circuitos de cd. Y-¢ Z¢ ϭ Za ϭ Zb ϭ Zc.ZY ϭ Z1 ϭ Z2 ϭ Z3 Z¢ ϭ 3ZY o ZY ϭ 1 3 Z¢ ¢-Y 9.7 Combinaciones de impedancias 393 Se dice que un circuito delta o estrella están equilibrados si tienen impedan- cias iguales en sus tres ramas. Halle la impedancia de entrada del circuito de la figura 9.23. Suponga que el circuito opera a Solución: Sean Z1 ϭ Impedancia del capacitor de 2 mF Z2 ϭ Impedancia del resistor de 3 en serie con el capacitor de 10 mF Z3 ϭ Impedancia del inductor de 0.2 H en serie con el resistor de 8 Así, La impedancia de entrada es Por lo tanto, Zen ϭ 3.22 Ϫ j11.07 ⍀ ϭ Ϫj10 ϩ (44 ϩ j14)(11 Ϫ j8) 112 ϩ 82 ϭ Ϫj10 ϩ 3.22 Ϫ j1.07 ⍀ Zen ϭ Z1 ϩ Z2 ʈ Z3 ϭ Ϫj10 ϩ (3 Ϫ j2)(8 ϩ j10) 11 ϩ j8 Z3 ϭ 8 ϩ jL ϭ 8 ϩ j50 ϫ 0.2 ϭ (8 ϩ j10) ⍀ Z2 ϭ 3 ϩ 1 jC ϭ 3 ϩ 1 j50 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 ϭ (3 Ϫ j2) ⍀ Z1 ϭ 1 jC ϭ 1 j50 ϫ 2 ϫ 10Ϫ3 ϭ Ϫj10 ⍀ ⍀ ⍀ ϭ 50 rad/s. 3 Ω 10 mF Zent 8 Ω 2 mF 0.2 H Figura 9.23 Para el ejemplo 9.10. Ejemplo 9.10 Zent
- 422. 394 Capítulo 9 Senoides y fasores + − + − 60 Ω 10 mF vo20 cos(4t − 15°) 5 H Figura 9.25 Para el ejemplo 9.11. + − + − −j25 Ω j20 Ω 60 Ω 20 −15° Vo Figura 9.26 Equivalente en el dominio de la frecuen- cia del circuito de la figura 9.25. + − + − 10 Ω vo 0.5 H F10 cos (10t + 75°) 1 20 Figura 9.27 Para el problema de práctica 9.11. 20 Ω 4 mF 2 mF Zent 50 Ω 2 H Figura 9.24 Para el problema de práctica 9.10. Calcule en el circuito de la figura 9.27. Respuesta: vo(t) ϭ 7.071 cos(10t Ϫ 60Њ) V. vo Determine en el circuito de la figura 9.25. Solución: Para hacer el análisis en el dominio de la frecuencia, primero se debe trans- formar el circuito en el dominio temporal de la figura 9.25 al equivalente en el dominio fasorial de la figura 9.26. Esta transformación produce Sean Z1 ϭ Impedancia del resistor de 60 Z2 ϭ Impedancia de la combinación en paralelo del capacitor de 10 mF y el inductor de 5 H Así, y Por el principio de división de tensión, Se convierte esto al dominio temporal y se obtiene vo (t) ϭ 17.15 cos(4t ϩ 15.96Њ) V ϭ (0.8575l30.96Њ)(20lϪ15Њ) ϭ 17.15l15.96Њ V Vo ϭ Z2 Z1 ϩ Z2 Vs ϭ j100 60 ϩ j100 (20lϪ15Њ) Z2 ϭ Ϫj25 ʈ j20 ϭ Ϫj25 ϫ j20 Ϫj25 ϩ j20 ϭ j100 ⍀ Z1 ϭ 60 ⍀ ⍀ 5 H 1 jL ϭ j4 ϫ 5 ϭ j20 ⍀ ϭ Ϫj25 ⍀ 10 mF 1 1 jC ϭ 1 j4 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 vs ϭ 20 cos(4t Ϫ 15Њ) 1 Vs ϭ 20lϪ15Њ V, ϭ 4 vo (t) Determine la impedancia de entrada del circuito de la figura 9.24 en Respuesta: 32.38 Ϫ j73.76 ⍀. 10 rad/s. ϭProblema de práctica 9.10 Ejemplo 9.11 Problema de práctica 9.11
- 423. Solución: La red delta conectada a los nodos a, b y c puede convertirse en la red Y de la figura 9.29. Se obtienen las impedancias en Y con base en la ecuación (9.68) de la siguiente manera: La impedancia total en las terminales de fuente es La corriente deseada es I ϭ V Z ϭ 50l0Њ 13.64l4.204Њ ϭ 3.666lϪ4.204Њ A ϭ 13.6 ϩ j1 ϭ 13.64l4.204Њ ⍀ ϭ 13.6 ϩ j0.8 ϩ j0.2(9.6 ϩ j2.8) 9.6 ϩ j3 ϭ 12 ϩ 1.6 ϩ j0.8 ϩ ( j0.2) ʈ (9.6 ϩ j2.8) Z ϭ 12 ϩ Zan ϩ (Zbn Ϫ j3) ʈ (Zcn ϩ j6 ϩ 8) Zbn ϭ j4(8) 10 ϭ j3.2 ⍀, Zcn ϭ 8(2 Ϫ j4) 10 ϭ (1.6 Ϫ j3.2) ⍀ Zan ϭ j4(2 Ϫ j4) j4 ϩ 2 Ϫ j4 ϩ 8 ϭ 4(4 ϩ j2) 10 ϭ (1.6 ϩ j0.8) ⍀ 9.7 Combinaciones de impedancias 395 Halle la corriente I en el circuito de la figura 9.28. + − 12 Ω 8 Ω 8 Ω j4 Ω j6 Ω −j4 Ω −j3 Ω 2 Ω 50 0° I a b c Figura 9.28 Para el ejemplo 9.12. Zcn + − I Zan Zcn 50 0° 12 Ω 8 Ω j6 Ω −j3 Ω cba n Zbn Figura 9.29 Circuito de la figura 9.28 después de la transformación delta a estrella. Ejemplo 9.12
- 424. Aplicaciones En los capítulos 7 y 8 se analizaron ciertos usos de los circuitos RC, RL y RLC en aplicaciones de cd. Estos circuitos también tienen aplicaciones de ca; entre ellas están los circuitos de acoplamiento, los circuitos desfasadores, los filtros, los circuitos resonantes, los circuitos puente de ca y los transformadores. Esta lista de aplicaciones es inagotable. Después se verán algunas de ellas. Por aho- ra bastará con observar dos simples: los circuitos RC desfasadores y los cir- cuitos puente de ca. 9.8.1 Desfasadores Un circuito desfasador suele emplearse para corregir un corrimiento de fase indeseable ya presente en un circuito o para producir efectos especiales de- seados. Un circuito RC es conveniente para este propósito, porque su capaci- tor provoca que la corriente del circuito se adelante a la tensión aplicada. Dos circuitos RC de uso común aparecen en la figura 9.31. (Circuitos RL o cua- lesquiera circuitos reactivos también podrían servir para el mismo propósito.) En la figura 9.31a), la corriente del circuito I se adelanta a la tensión apli- cada en algún ángulo de fase donde dependiendo de los valores de R y C. Si entonces la impedancia total es Z ϭ R ϩ jXC, y el desplazamiento de fase está dado por (9.70) Esto indica que el corrimiento de fase depende de los valores de R, C y la frecuencia de utilización. Puesto que la tensión de salida a través del re- sistor está en fase con la corriente, se adelanta (desplazamiento de fase po- sitivo) a como se muestra en la figura 9.32a). En la figura 9.31b), la salida se toma a través del capacitor. La corriente I se adelanta a la tensión de entrada en pero la tensión de salida a través del capacitor se atrasa (desplazamiento de fase negativo) de la tensión de entrada como se ilustra en la figura 9.32b).vi(t) vo(t)u,Vi Vi Vo Vo u ϭ tanϪ1 XC R XC ϭ Ϫ1͞C, 0 6 u 6 90Њ,u,Vi 9.8 396 Capítulo 9 Senoides y fasores Halle I en el circuito de la figura 9.30. Respuesta: 6.364l3.802Њ A. + − I −j2 Ω −j3 Ω j5 Ω j4 Ω 5 Ω 10 Ω 8 Ω 30 0° V Figura 9.30 Para el problema de práctica 9.12. a) I + − + − VoVi R C b) I + − VoVi + − R C Figura 9.31 Circuitos RC desfasadores en serie: a) de salida adelantada, b) de salida atrasada. vo t vi a) t vi vo b) Desplazamiento de fase Desplazamiento de fase Figura 9.32 Desplazamiento de fase en circuitos RC: a) salida adelantada, b) salida atrasada. Problema de práctica 9.12
- 425. Se debe tener en cuenta que los circuitos RC simples de la figura 9.31 también actúan como divisores de tensión. Por lo tanto, conforme el corri- miento de fase se aproxima a 90°, la tensión de salida se aproxima a cero. Por esta razón, esos circuitos RC simples sólo se utilizan cuando se re- quieren corrimientos de fase reducidos. Si se desea tener desplazamientos de fase mayores de 60°, se disponen redes RC simples en cascada, para producir un desplazamiento de fase total igual a la suma de los desplazamientos de fa- se individuales. En la práctica, el corrimiento de fase debidos a las etapas no es igual, porque la carga de las etapas sucesivas es menor que la de las etapas anteriores, a menos que se usen amplificadores operacionales para separar las etapas. Vou 9.8 Aplicaciones 397 Diseñe un circuito RC que produzca un adelanto de fase de 90°. Solución: Si se seleccionan componentes de circuitos de igual valor en ohms, por decir a una frecuencia particular, de acuerdo con la ecuación (9.70) el corrimiento de fase será exactamente de 45°. Mediante la disposi- ción en cascada de dos circuitos RC similares a los de la figura 9.31a), se obtiene el circuito de la figura 9.33, el cual produce un desplazamiento de fa- se positivo o de adelanto de 90°, como se demostrará en seguida. Aplicando la técnica de combinación en serie-en paralelo, Z en la figura 9.33 se obtie- ne como (9.13.1) Al aplicar la división de tensión, (9.13.2) y (9.13.3) La sustitución de la ecuación (9.13.2) en la ecuación (9.13.3) produce Así, la salida se adelanta a la entrada en 90°, aunque su magnitud es de ape- nas alrededor de 33% de la entrada. Vo ϭ a 12 2 l45Њb a 12 3 l45Њ Vib ϭ 1 3 l90Њ Vi Vo ϭ 20 20 Ϫ j20 V1 ϭ 12 2 l45Њ V1 V1 ϭ Z Z Ϫ j20 Vi ϭ 12 Ϫ j4 12 Ϫ j24 Vi ϭ 12 3 l45Њ Vi Z ϭ 20 ʈ (20 Ϫ j20) ϭ 20(20 Ϫ j20) 40 Ϫ j20 ϭ 12 Ϫ j4 ⍀ 20 ⍀,R ϭ 0XC 0 ϭ + − + − 20 Ω 20 ΩVi −j20 Ω −j20 Ω Vo Z V1 Figura 9.33 Circuito RC de corrimientode fase con adelanto de 90°; para el ejemplo 9.13. Diseñe un circuito RC que proporcione un corrimiento de fase con un retraso de 90° de la tensión de salida respecto a la tensión de entrada. Si se aplica una ten- sión de ca de 10 V efectivos, ¿cuál es la tensión de salida? Respuesta: En la figura 9.34 se muestra un diseño representativo; 3.33 V efectivos. + − + − 10 Ω 10 Ω −j10 Ω −j10 Ω VoVi Figura 9.34 Para el problema de práctica 9.13. Ejemplo 9.13 Problema de práctica 9.13
- 426. 398 Capítulo 9 Senoides y fasores En referencia al circuito que aparece en la figura 9.35a), calcule el corrimien- to de fase producido a 2 kHz. Solución: A 2 kHz, se transforman las inductancias de 10 mH y 5 mH en las corres- pondientes impedancias. Considérese el circuito de la figura 9.35b). La impedancia Z es la combina- ción en paralelo de Así, (9.14.1) Al aplicar la división de tensión, (9.14.2) y (9.14.3) Al combinar las ecuaciones (9.14.2) y (9.14.3), lo que indica que la salida es de alrededor de 19% de la entrada en magni- tud, pero se adelanta a la entrada en 100°. Si el circuito termina en una carga, ésta afectará al desplazamiento de fase. Vo ϭ (0.532l57.86Њ)(0.3582l42.02Њ) Vi ϭ 0.1906l100Њ Vi Vo ϭ j62.832 100 ϩ j62.832 V1 ϭ 0.532l57.86Њ V1 ϭ 0.3582l42.02Њ Vi V1 ϭ Z Z ϩ 150 Vi ϭ 69.56l60.1Њ 184.7 ϩ j60.3 Vi ϭ j125.7(100 ϩ j62.83) 100 ϩ j188.5 ϭ 69.56l60.1Њ ⍀ Z ϭ j125.7 7 (100 ϩ j62.83) j125.7 ⍀ y 100 ϩ j62.83 ⍀. ϭ 20p ϭ 62.83 ⍀ 5 mH 1 XL ϭ L ϭ 2p ϫ 2 ϫ 103 ϫ 5 ϫ 10Ϫ3 ϭ 40p ϭ 125.7 ⍀ 10 mH 1 XL ϭ L ϭ 2p ϫ 2 ϫ 103 ϫ 10 ϫ 10Ϫ3 150 Ω 100 Ω 10 mH 5 mH a) 150 Ω 100 Ω b) + − + − Z Vi V1 Voj125.7 Ω j62.83 Ω Figura 9.35 Para el ejemplo 9.14. Remítase al circuito RL de la figura 9.36. Si se aplica 1 V, halle la magnitud y el corrimiento de fase producido a 5 kHz. Especifique si el desplazamiento de fase es de adelanto o de atraso. Respuesta: 0.172, 120.4°, de atraso. 9.8.2 Puentes de ca Un circuito puente de ca se usa para medir la inductancia L de un inductor o la capacitancia C de un capacitor. Es de forma similar al puente de Wheat- stone, para la medición de una resistencia desconocida (como se explicó en la sección 4.10), y sigue el mismo principio. Para medir L y C, sin embar- go, se necesita una fuente de ca, así como un medidor de ca en vez del gal- 10 Ω 50 Ω + − + − Vi Vo 1 mH 2 mH Figura 9.36 Para el problema de práctica 9.14. Ejemplo 9.14 Problema de práctica 9.14
- 427. vanómetro. El medidor de ca puede ser un amperímetro o voltímetro de pre- cisión de ca. Considérese la forma general del circuito puente de ca que se presenta en la figura 9.37. El puente está equilibrado cuando no fluye corriente a través del medidor. Esto significa que Al aplicar el principio de división de tensión, (9.71) Así, (9.72) o sea (9.73) Ésta es la ecuación para un puente de ca equilibrado, similar a la ecuación (4.30) para el puente de resistencia, salvo que las R se sustituya con las Z. En la figura 9.38 se muestran puentes de ca específicos para medir L y C, donde y son la inductancia y la capacitancia desconocidas por me- dir, mientras que y son una inductancia y capacitancia estándar (los va- lores de las cuales se conocen con gran precisión). En cada caso, dos resistores, y se hacen variar hasta que el medidor de ca lee cero. El puente está equilibrado entonces. De la ecuación (9.73) se obtiene (9.74) y (9.75) Nótese que el equilibrio de los puentes de ca de la figura 9.38 no depende de la frecuencia f de la fuente, ya que f no aparece en las relaciones de las ecua- ciones (9.74) y (9.75). Cx ϭ R1 R2 Cs Lx ϭ R2 R1 Ls R2,R1 CsLs CxLx Zx ϭ Z3 Z1 Z2 Z2 Z1 ϩ Z2 ϭ Zx Z3 ϩ Zx 1 Z2Z3 ϭ Z1Zx V1 ϭ Z2 Z1 ϩ Z2 Vs ϭ V2 ϭ Zx Z3 ϩ Zx Vs V1 ϭ V2. 9.8 Aplicaciones 399 Medidor de ca + − + − ≈Vs Z1 Z3 Z2 V1 V2 Zx Figura 9.37 Puente de ca general. Medidor de ca ≈ R1 R2 Ls Lx a) Medidor de ca ≈ R1 R2 Cs Cx b) Figura 9.38 Puentes de ca específicos: a) para medir L, b) para medir C.
- 428. 400 Capítulo 9 Senoides y fasores El circuito puente de ca de la figura 9.37 se equilibra cuando es un resis- tor de 1 k⍀, es un resistor de 4.2 k⍀, es una combinación en paralelo de un resistor de 1.5 M⍀ y un capacitor de 12 pF y f = 2 kHz. Halle: a) los componentes en serie que integran a Zx y b) los componentes en paralelo que integran a Solución: 1. Definir. El problema está claramente enunciado. 2. Presentar. Se deben determinar los componentes desconocidos sujetos al hecho de que equilibran las magnitudes dadas. Como existen un equivalente en paralelo y uno en serie de este circuito, se deben hallar ambos. 3. Alternativas. Aunque existen técnicas iterativas que podrían aplicarse para hallar los valores desconocidos, una igualdad directa funcionará mejor. Una vez que se tengan las respuestas, se pueden comprobar si- guiendo técnicas manuales como el análisis nodal o sencillamente utilizando PSpice. 4. Intentar. Con base en la ecuación (9.73), (9.15.1) donde Z1 ϭ 1 000 ⍀, Z2 ϭ 4 200 ⍀ (9.15.2) y Puesto que y o (9.15.3) a) Suponiendo que consta de componentes en serie, se sustituyen las ecuaciones (9.15.2) y (9.15.3) en la ecuación (9.15.1) y se obtiene (9.15.4) La igualación de las partes real e imaginaria produce y una reactancia capacitiva o sea C ϭ 1 Xx ϭ 1 2p ϫ 2 ϫ 103 ϫ 1.356 ϫ 106 ϭ 58.69 pF Xx ϭ 1 C ϭ 1.356 ϫ 106 Rx ϭ 5.993 M⍀ ϭ (5.993 Ϫ j1.356) M⍀ Rx ϩ jXx ϭ 4200 1000 (1.427 Ϫ j0.3228) ϫ 106 Zx Z3 ϭ 1.427 Ϫ j0.3228 M⍀ Z3 ϭ 1.5 ϫ 106 1 ϩ j2p ϫ 2 ϫ 103 ϫ 1.5 ϫ 106 ϫ 12 ϫ 10Ϫ12 ϭ 1.5 ϫ 106 1 ϩ j0.2262 C3 ϭ 12 pF,R3 ϭ 1.5 M⍀ Z3 ϭ R3 ʈ 1 jC3 ϭ R3 jC3 R3 ϩ 1͞jC3 ϭ R3 1 ϩ jR3C3 Zx ϭ Rx ϩ jXx, Zx ϭ Z3 Z1 Z2 Zx. Z3Z2 Z1Ejemplo 9.15 4 200 1 000
- 429. b) se mantiene igual que en la ecuación (9.15.4), pero y están en paralelo. Suponiendo una combinación RC en paralelo, Al igualar las partes real e imaginaria se obtiene Se ha supuesto una combinación RC en paralelo. También es posible te- ner una combinación RL en paralelo. 5. Evaluar. Úsese ahora PSpice para ver si realmente se tienen las igual- dades correctas. La ejecución de PSpice con los circuitos equivalentes, un circuito abierto entre la porción de “puente” del circuito y una ten- sión de entrada de 10 volts produce las siguientes tensiones en los extremos del “puente” en relación con una referencia en la base del cir- cuito: FREQ VM($N_0002) VP($N_0002) 2.000E+03 9.993E+00 -8.634E-03 2.000E+03 9.993E+00 -8.637E-03 Dado que las tensiones son básicamente las mismas, ninguna corriente apreciable puede fluir por la porción de “puente” del circuito entre cualquier elemento que conecte los dos puntos, y se tiene un puente equilibrado, como era de esperar. Esto indica que se han encontrado adecuadamente las incógnitas. ¡Pero hay un problema muy importante en lo realizado! ¿Cuál es? Se tiene lo que podría llamarse una respuesta ideal, “teórica”, pero no muy eficaz en la práctica. La diferencia entre las magnitudes de las im- pedancias superiores y las inferiores es demasiado grande y jamás se aceptaría en un circuito puente real. Para mayor exactitud, el tamaño de las impedancias debe estar dentro del mismo orden de magnitud. Para mejorar la precisión de la solución de este problema, es recomendable incrementar la magnitud de las impedancias superiores para ubicarlas en el rango de a Un comentario práctico adicional: el tamaño de estas impedancias también genera problemas en la toma de las mediciones reales, así que deben emplearse los instrumentos apro- piados para minimizar la carga (que alteraría las lecturas de tensión reales) en el circuito. 6. ¿Satisfactorio? Dado que se hallaron los términos desconocidos y después se probaron para ver si funcionaban, los resultados están vali- dados. Pueden presentarse ahora como una solución del problema. 1.5 M⍀.500 k⍀ ϭ Ϫ Ϫ1.356 2p(2000)(5.9172 ϩ 1.3562 ) ϭ 2.852 mF Cx ϭ Ϫ Imag(Zx) [Real(Zx)2 ϩ Imag(Zx)2 ] Rx ϭ Real(Zx)2 ϩ Imag(Zx)2 Real(Zx) ϭ 5.9932 ϩ 1.3562 5.993 ϭ 6.3 M⍀ ϭ Rx ʈ 1 jCx ϭ Rx 1 ϩ jRxCx Zx ϭ (5.993 Ϫ j1.356) M⍀ XxRxZx 9.8 Aplicaciones 401 2 (2 000)(5.9172 ϩ 1.3562 )
- 430. Resumen 1. Una senoide es una señal con la forma de la función seno o coseno. Tie- ne la forma general donde es la amplitud, la frecuencia angular, el ar- gumento y la fase. 2. Un fasor es una cantidad compleja que representa tanto la magnitud co- mo la fase de una senoide. Dada la senoide su fa- sor V es 3. En circuitos de ca, los fasores de tensión y de corriente siempre tienen una relación fija entre sí en cualquier momento. Si representa la tensión a través de un elemento y re- presenta la corriente a través del elemento, entonces si el ele- mento es un resistor, se adelanta a en 90° si el elemento es un capacitor y se atrasa de en 90° si el elemento es un inductor. 4. La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial y la corriente fasorial a través de él: La admitancia Y es el inverso de la impedancia: Las impedancias se combinan en serie o en paralelo de la misma mane- ra que las resistencias en serie o en paralelo; es decir, las impedancias en serie se suman, mientras que las admitancias en paralelo se suman. 5. Para un resistor para un inductor y para un capa- citor 6. Las leyes de circuitos básicas (de Ohm y de Kirchhoff) se aplican a los circuitos de ca de la misma manera que a los circuitos de cd; es decir, ͚ Vk ϭ 0 (LTK) ͚ Ik ϭ 0 (LCK) V ϭ ZI Z ϭ ϪjX ϭ 1͞jC. Z ϭ jX ϭ jL,Z ϭ R, Y ϭ 1 Z ϭ G() ϩ jB() Z ϭ V I ϭ R() ϩ jX() fvfi fvfi fi ϭ fv Im cos(t ϩ fi)i(t) ϭ Vm cos(t ϩ fv)v(t) ϭ V ϭ Vmlf Vm cos(t ϩ f),v(t) ϭ f (t ϩ f) ϭ 2pfVm v(t) ϭ Vm cos(t ϩ f) 9.9 402 Capítulo 9 Senoides y fasores En el circuito puente de ca de la figura 9.37, suponga que el equilibrio se lo- gra cuando es un resistor de 4.8 k⍀, es un resistor de 10 ⍀ en serie con un inductor de 0.25 H, es un resistor de 12 k⍀ y De- termine los componentes en serie que integran Respuesta: Un resistor de 25 ⍀ en serie con un inductor de 0.625 H. Zx. f ϭ 6 MHz.Z3 Z2Z1 Problema de práctica 9.15
- 431. Problemas 403 7. Las técnicas de división de tensión/corriente, de combinación en serie/en paralelo de impedancias/admitancias, de reducción de circuitos y de trans- formación se aplican por igual al análisis de circuitos de ca. 8. Los circuitos de ca se aplican en desfasadores y puentes. Y-¢ Preguntas de repaso 9.1 ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una manera co- rrecta de expresar la senoide a) b) c) d) 9.2 Se dice que una función que se repite después de inter- valos fijos es: a) un fasor b) armónica c) periódica d) reactiva 9.3 ¿Cuál de estas frecuencias tiene el periodo más corto? a) 1 krad/s b) 1 kHz 9.4 Si y , ¿cuáles de los siguientes enunciados son ciertos? a) se adelanta a b) se adelanta a c) se atrasa de d) se atrasa de e) y están en fase 9.5 La tensión a través de un inductor se adelanta a la co- rriente a través de él en 90°. a) Cierto b) Falso 9.6 La parte imaginaria de la impedancia se llama: a) resistencia b) admitancia c) susceptancia d) conductancia e) reactancia 9.7 La impedancia de un capacitor se incrementa con una frecuencia creciente. a) Cierto b) Falso v2v1 v2v1v1v2 v1v2v2v1 v2 ϭ 20 sen(t ϩ 50Њ)v1 ϭ 30 sen(t ϩ 10Њ) A sen(t Ϫ 90Њ)A cos(t Ϫ T) A cos(2pt͞T)A cos 2p ft A cost? 9.9 Un circuito RC en serie tiene y La tensión de alimentación total es: a) b) 7 V c) 13 V d) 17 V 9.10 Un circuito RLC en serie tiene R ϭ 30 ⍀, XC ϭ 50 ⍀ y La impedancia del circuito es: a) b) c) d) e) Respuestas: 9.1d, 9.2c, 9.3b, 9.4b, d, 9.5a, 9.6e, 9.7b, 9.8d, 9.9c, 9.10b. Ϫ30 ϩ j40 ⍀ Ϫ30 Ϫ j40 ⍀30 Ϫ j40 ⍀ 30 ϩ j40 ⍀30 ϩ j140 ⍀ XL ϭ 90 ⍀. Ϫ7 V 0VC 0 ϭ 5 V. 0VR 0 ϭ 12 V + − + − 1 Ω Hv(t) vo(t)1 4 Figura 9.39 Para la pregunta de repaso 9.8. 9.8 ¿A qué frecuencia la tensión de salida de la figura 9.39 será igual a la tensión de entrada ? a) 0 rad/s b) 1 rad/s c) 4 rad/s d) e) ninguna de las anterioresϱ rad/s v(t) vo(t) Problemas Sección 9.2 Senoides 9.1 Dada la tensión senoidal halle: a) la amplitud b) el periodo T, c) la frecuencia f y d) en t ϭ 10 ms. 9.2 Una fuente de corriente en un circuito lineal tiene is ϭ 8 cos(500pt Ϫ 25Њ) A v(t) Vm, 50 cos(30t ϩ 10Њ) V,v(t) ϭ a) ¿Cuál es la amplitud de la corriente? b) ¿Cuál es la frecuencia angular? c) Halle la frecuencia de la corriente. d) Calcule en t ϭ 2 ms. 9.3 Exprese las siguientes funciones en la forma de coseno: a) b) c) Ϫ10 sen(t ϩ 20Њ) Ϫ2 sen 6t4 sen(t Ϫ 30Њ) is
- 432. 9.13 Evalúe los siguientes números complejos: a) b) c) 9.14 Simplifique las siguientes expresiones: a) b) c) 9.15 Evalúe estos determinantes: a) b) c) 9.16 Transforme las siguientes senoides en fasores: a) b) c) 9.17 Dos tensiones y aparecen en serie, de modo que su suma es Si y halle 9.18 Obtenga las senoides correspondientes a cada uno de los siguientes fasores: a) b) c) d) 9.19 Usando fasores, halle: a) b) c) 9.20 Una red lineal tiene una entrada de corriente y una salida de tensión Determine la impedancia asociada. 10 cos(t ϩ 110Њ) V. 4 cos(t ϩ 20Њ) A Ϫ5 sen(400t Ϫ 20Њ) 20 sen 400t ϩ 10 cos(400t ϩ 60Њ) 40 sen 50t ϩ 30 cos(50t Ϫ 45Њ) 3 cos(20t ϩ 10Њ) Ϫ 5 cos(20t Ϫ 30Њ) I2 ϭ Ϫ0.5 Ϫ j1.2 A, ϭ 103 I1 ϭ 2.8eϪjp͞3 A, ϭ 377 V2 ϭ 6 ϩ j8 V, ϭ 40 V1 ϭ 60l15Њ V, ϭ 1 v.v2 ϭ 12 cos(50t ϩ 30Њ) V, v1 ϭ 10 cos(50t Ϫ p͞3) Vv ϭ v1 ϩ v2. v2v1 4 cos 2t ϩ 3 sen2t 5 sen(20t Ϫ 10Њ)Ϫ10 cos(4t ϩ 75Њ) 3 1 Ϫ j j 1 Ϫj 1 j 0 Ϫj 1 ϩ j 3 2 20lϪ30Њ Ϫ4lϪ10Њ 16l0Њ 3l45Њ 2 2 10 ϩ j6 2 Ϫ j3 Ϫ5 Ϫ1 ϩ j 2 a 10 ϩ j20 3 ϩ j4 b 2 1(10 ϩ j5)(16 Ϫ j20) (240l75Њ ϩ 160lϪ30Њ)(60 Ϫ j80) (67 ϩ j84)(20l32Њ) (5 Ϫ j6) Ϫ (2 ϩ j8) (Ϫ3 ϩ j4)(5 Ϫ j) ϩ (4 Ϫ j6) 2 2 ϩ j3 Ϫj2 Ϫj2 8 Ϫ j5 2 (5l10Њ)(10lϪ40Њ) (4lϪ80Њ)(Ϫ6l50Њ) 2 ϩ j3 1 Ϫ j6 ϩ 7 Ϫ j8 Ϫ5 ϩ j11 9.4 a) Exprese en la forma de seno. b) Convierta en la forma de coseno. 9.5 Dadas y determine el ángulo de fase entre las dos senoides y cuál se atrasa respecto a la otra. 9.6 En relación con los siguientes pares de senoides, deter- mine cuál se adelanta y en cuánto. a) e b) y c) x(t) ϭ 13 cos 2t ϩ 5 sen 2t y Sección 9.3 Fasores 9.7 Si demuestre que 9.8 Calcule estos números complejos y exprese sus resulta- dos en forma rectangular: a) b) c) 9.9 Evalúe los siguientes números complejos y exprese sus resultados en forma polar. a) b) 9.10 Dado que y halle: a) b) 9.11 Halle los fasores correspondientes a las siguientes se- ñales. a) b) c) d) 9.12 Sean y Evalúe las siguientes cantidades y exprese sus resultados en forma polar. a) b) c) (X ϩ Y)͞X(X Ϫ Y)*(X ϩ Y)X* Y ϭ 10lϪ30Њ.X ϭ 8l40Њ i(t) ϭ Ϫ60 cos(30t ϩ 10Њ) mA v(t) ϭ 120 sen(10t Ϫ 50Њ) V i(t) ϭ Ϫ8 sen(10t ϩ 70Њ) mA v(t) ϭ 21 cos(4t Ϫ 15Њ) V z1z2 z3 z1 ϩ z2 ϩ z3 z3 ϭ 8eϪj120Њ ,z2 ϭ 10lϪ30Њ,z1 ϭ 6 Ϫ j8, (10l60Њ)(35lϪ50Њ) (2 ϩ j6) Ϫ (5 ϩ j) 5l30Њ a6 Ϫ j8 ϩ 3l60Њ 2 ϩ j b 10 ϩ (8l50Њ)(5 Ϫ j12) 8lϪ20Њ (2 ϩ j)(3 Ϫ j4) ϩ 10 Ϫ5 ϩ j12 15l45Њ 3 Ϫ j4 ϩ j2 f(f) ϭ ejf .f(f) ϭ cosf ϩ j senf, y(t) ϭ 15 cos(2t Ϫ 11.8Њ) v2(t) ϭ Ϫ20 cos 377tv1(t) ϭ 4 cos(377t ϩ 10Њ) i(t) ϭ 4 sen(4t ϩ 50Њ) v(t) ϭ 10 cos(4t Ϫ 60Њ) 60 cos(t Ϫ 10Њ),v2 ϭv1 ϭ 20 sen(t ϩ 60Њ) i ϭ Ϫ10 sen(3t Ϫ 85Њ) v ϭ 8 cos(7t ϩ 15Њ) 404 Capítulo 9 Senoides y fasores
- 433. 9.21 Simplifique lo siguiente: a) b) c) 9.22 Una tensión alterna la da Use fasores para hallar Suponga que el valor de la integral es de cero en 9.23 Aplique el análisis fasorial para evaluar lo siguiente. a) b) 9.24 Halle en las siguientes ecuaciones integrodiferencia- les aplicando el método fasorial: a) b) 9.25 Usando fasores, determine i(t) en las siguientes ecua- ciones: a) b) 9.26 La ecuación del lazo de un circuito RLC da por resul- tado Suponiendo que el valor de la integral en es de cero, halle i(t) aplicando el método fasorial. 9.27 Un circuito RLC en paralelo tiene la ecuación de nodo Determine aplicando el método fasorial. Puede su- poner que el valor de la integral en es de cero. Sección 9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos 9.28 Determine la corriente que fluye a través de un resistor de 8 ⍀ conectado a una fuente de tensión 9.29 ¿Cuál es la tensión instantánea a través de un capacitor de 2 F cuando la corriente a través de él es i ϭ 4 sen(106 t ϩ 25Њ) A? vs ϭ 110 cos 377t V. t ϭ Ϫϱ v(t) dv dt ϩ 50v ϩ 100 Ύ v dt ϭ 110 cos(377t Ϫ 10Њ) t ϭ Ϫϱ di dt ϩ 2i ϩ Ύ t Ϫϱ i dt ϭ cos 2t 10Ύ i dt ϩ di dt ϩ 6i(t) ϭ 5 cos(5t ϩ 22Њ) 2 di dt ϩ 3i(t) ϭ 4 cos(2t Ϫ 45Њ) dv dt ϩ 5v(t) ϩ 4 Ύ v dt ϭ 20 sen(4t ϩ 10Њ) v(t) ϩ Ύ v dt ϭ 10 cost v(t) i ϭ 15 cos(t ϩ 45Њ) Ϫ 10 sen(t ϩ 45Њ) A v ϭ 50 cos(t ϩ 30Њ) ϩ 30 cos(t Ϫ 90Њ) V t ϭ Ϫϱ. 10v(t) ϩ 4 dv dt Ϫ 2 Ύ t Ϫϱ v(t)dt 20 cos(5t Ϫ 30Њ) V.v(t) ϭ h(t) ϭ Ύ t 0 (10 cos 40t ϩ 50 sen 40t)dt g(t) ϭ 8 sent ϩ 4 cos(t ϩ 50Њ) f(t) ϭ 5 cos(2t ϩ 15Њ) Ϫ 4 sen(2t Ϫ 30Њ) 9.30 Una tensión se aplica a una combinación en paralelo de un resistor de 40 k⍀ y un capacitor de 50 F. Halle las corrientes en estado es- table a través del resistor y el capacitor. 9.31 Un circuito RLC en serie tiene y Si la tensión de entrada es halle la corriente que fluye a través del circuito. 9.32 En referencia a la red de la figura 9.40, halle la corriente de carga IL. 10 cos 2t,v(t) ϭC ϭ 5 mF. R ϭ 80 ⍀, L ϭ 240 mH, v(t) ϭ 100 cos(60t ϩ 20Њ) V Problemas 405 Carga 5 + j4 Ω + −100 0° V IL Figura 9.40 Para el problema 9.32. 9.33 Un circuito RL en serie se conecta a una fuente de ca de 110 V. Si la tensión en el resistor es de 85 V, halle la ten- sión en el inductor. 9.34 ¿Qué valor de causará que la respuesta forzada en la figura 9.41 sea de cero? vo + − 2 Ω + − 5 mF vo 50 cos t V 20 mH Figura 9.41 Para el problema 9.34. Sección 9.5 Impedancia y admitancia 9.35 Halle la corriente i en el circuito de la figura 9.42 cuan- do vs(t) ϭ 50 cos200t V. + − 10 Ω 5 mF vs 20 mH i Figura 9.42 Para el problema 9.35.
- 434. 9.36 En el circuito de la figura 9.43, determine i. Sea 60 cos(200t Ϫ 10Њ) V. vs ϭ 9.40 En el circuito de la figura 9.47, halle cuando: a) b) c) ϭ 10 rad/s ϭ 5 rad/s ϭ 1 rad/s io 406 Capítulo 9 Senoides y fasores 2 kΩ 1 kΩ 1 kΩ10 F 100 mH + − vs i Figura 9.43 Para el problema 9.36. 9.37 Determine la admitancia Y en el circuito de la figura 9.44. j8 Ω −j10 Ω4 Ω Y Figura 9.44 Para el problema 9.37. 9.38 Halle i(t) y en cada uno de los circuitos de la figura 9.45. v(t) + − v i 4 Ω F10 cos (3t + 45°) A a) i 4 Ω 8 Ω F 50 cos 4t V + − + − 3 H b) v1 12 1 6 Figura 9.45 Para el problema 9.38. 9.39 En relación con el circuito que aparece en la figura 9.46, halle y úsela para hallar la corriente I. Sea ϭ 10 rad/s. Zeq 16 Ω j25 Ω j20 Ω −j14 Ω4 Ω + −12 0° V I Figura 9.46 Para el problema 9.39. + − 2 Ω4 cos t V 0.05 F io 1 H Figura 9.47 Para el problema 9.40. 9.41 Halle en el circuito RLC de la figura 9.48.v(t) + − + − 1 Ω 1 Ω 1 H 1 F v(t)10 cos t V Figura 9.48 Para el problema 9.41. 9.42 Calcule en el circuito de la figura 9.49.vo (t) + − + − 30 Ω vo(t) 50 Ω 0.1 H60 sen 200t V 50 F Figura 9.49 Para el problema 9.42. 9.43 Halle la corriente en el circuito que se muestra en la figura 9.50. Io 50 Ω 100 Ω −j40 Ωj80 Ω+ −60 0° V Io Figura 9.50 Para el problema 9.43. 9.44 Calcule i(t) en el circuito de la figura 9.51. Figura 9.51 Para el problema 9.44. + − 3 Ω10 mH 5 mF 6 cos 200t V 4 Ω 5 Ωi
- 435. 9.45 Halle la corriente en la red de la figura 9.52.Io 9.50 Determine en el circuito de la figura 9.57. Sea 5 cos(100t ϩ 40Њ) A. is(t) ϭvx Problemas 407 2 Ω 2 Ω Io −j2 Ω j4 Ω −j2 Ω5 0° A Figura 9.52 Para el problema 9.45. 9.46 Si en el circuito de la figura 9.53, halle io. is ϭ 5 cos(10t ϩ 40Њ) A 0.2 H 0.1 F 4 Ω 3 Ω io is Figura 9.53 Para el problema 9.46. 9.47 En el circuito de la figura 9.54, determine el valor de is(t). 2 Ω 2 mH 20 Ω50 F + − is (t) 5 cos 2 000t V Figura 9.54 Para el problema 9.47. 9.48 Dado que en la figura 9.55, determine ix(t). vs(t) ϭ 20 sen(100t Ϫ 40Њ) 10 Ω 30 Ω 0.2 H ix 0.5 mFvs (t) − + Figura 9.55 Para el problema 9.48. 9.49 Halle en el circuito de la figura 9.56 si la corriente a través del resistor de 1 ⍀ es 0.5 sen 200t A.ix vs(t) + − 1 Ω2 Ω vs j2 Ω −j1 Ω ix Figura 9.56 Para el problema 9.49. vx 0.1 H 1 mF 20 Ωis (t) + ñ Figura 9.57 Para el problema 9.50. 9.51 Si la tensión a través del resistor de 2 ⍀ del circuito de la figura 9.58 es 10 cos 2t V, obtenga is. vo + − vo 0.1 F 1 Ω 2 Ωis 0.5 H Figura 9.58 Para el problema 9.51. 9.52 Si en el circuito de la figura 9.59, halle Is. Vo ϭ 8l30Њ V Figura 9.59 Para el problema 9.52. 9.53 Halle en el circuito de la figura 9.60.Io 4 Ω j6 Ω 8 Ω 10 Ω −j2 Ω2 ΩIo 60 −30° V − + Figura 9.60 Para el problema 9.53. 9.54 En el circuito de la figura 9.61, halle si Io ϭ 2l0Њ A.Vs + − Io 1 Ω2 Ω Vs j2 Ωj4 Ω −j2 Ω −j1 Ω Figura 9.61 Para el problema 9.54. + − 5 Ω10 Ω Vo −j5 Ω j5 ΩIs
- 436. *9.55 Halle Z en la red de la figura 9.62, dado que Vo ϭ 4l0Њ V. 9.59 En referencia a la red de la figura 9.66, halle Sea 10 rad/s. ϭ Zen. 408 Capítulo 9 Senoides y fasores + − + − Z 12 Ω Vo20 −90° V j8 Ω−j4 Ω Figura 9.62 Para el problema 9.55. Sección 9.7 Combinaciones de impedancias 9.56 En halle la impedancia de entrada del circuito que aparece en la figura 9.63. ϭ 377 rad/s, 60 mH 40 Ω 50 F12 Ω Figura 9.63 Para el problema 9.56. 9.57 En obtenga la admitancia de entrada del circuito de la figura 9.64. ϭ 1 rad/s, 1 Ω 2 Ω 2 H 1 F Yen Figura 9.64 Para el problema 9.57. 9.58 Halle la impedancia equivalente en la figura 9.65 en ϭ 10 krad/s. 400 Ω 100 mH 1 kΩ2 F Figura 9.65 Para el problema 9.58. Figura 9.66 Para el problema 9.59. 9.60 Obtenga en el circuito de la figura 9.67.Zen 0.5 H 5 Ω Zen 1 4 F 25 Ω j15 Ω j10 Ω 30 Ω 20 Ω Zen ñj50 Ω Figura 9.67 Para el problema 9.60. 9.61 Halle en el circuito de la figura 9.68.Zeq Zeq 1 − j Ω 1 + j2 Ω j5 Ω 1 + j3 Ω Figura 9.68 Para el problema 9.61. 9.62 En relación con el circuito de la figura 9.69, halle la im- pedancia de entrada en 10 krad/s.Zen Figura 9.69 Para el problema 9.62. + − + −v 2v 50 Ω 2 mH Zen 1 F * Un asterisco indica un problema difícil.
- 437. 9.63 En relación con el circuito de la figura 9.70, halle el va- lor de ZT. 9.67 En halle la admitancia de entrada de ca- da uno de los circuitos de la figura 9.74. ϭ 103 rad/s, Problemas 409 8 Ω 20 Ω j15 Ω –j16 Ω–j12 Ω –j16 Ω 10 Ω 10 Ω 10 Ω ZT Figura 9.70 Para el problema 9.63. 9.64 Halle e I en el circuito de la figura 9.71.ZT 6 Ω j8 Ω30 90° I ZT 4 Ω −j10 ΩV − + Figura 9.71 Para el problema 9.64. 9.65 Determine e I en el circuito de la figura 9.72.ZT + − 2 Ω 3 Ω 4 Ω ZT 120 10° V j4 Ω −j6 Ω I Figura 9.72 Para el problema 9.65. 9.66 En referencia al circuito de la figura 9.73, calcule y Vab. ZT + − 20 Ω + − ZT Vab 60 90° V j10 Ω −j5 Ω 40 Ω a b Figura 9.73 Para el problema 9.66. Yen a) 20 mH 12.5 F 60 Ω 60 Ω Yen b) 30 Ω 10 mH 20 F 60 Ω 40 Ω Figura 9.74 Para el problema 9.67. 9.68 Determine en el circuito de la figura 9.75.Yeq Yeq 3 Ω5 Ω j1 Ω−j2 Ω −j4 Ω Figura 9.75 Para el problema 9.68. 9.69 Halle la admitancia equivalente en el circuito de la figura 9.76. Yeq 2 S 4 S 1 S j5 S j1 S −j3 S −j2 S Figura 9.76 Para el problema 9.69. 9.70 Halle la impedancia equivalente del circuito de la figura 9.77. 10 Ω Zeq j15 Ω −j5 Ω −j10 Ω 2 Ω 5 Ω 8 Ω Figura 9.77 Para el problema 9.70.
- 438. 9.71 Obtenga la impedancia equivalente del circuito de la fi- gura 9.78. 9.77 Remítase al circuito RC de la figura 9.81. a) Calcule el corrimiento de fase a 2 MHz. b) Halle la frecuencia donde el desplazamiento de fase es de 45°. 410 Capítulo 9 Senoides y fasores Zeq 1 Ω j2 Ω j4 Ω −j2 Ω −j Ω 2 Ω Figura 9.78 Para el problema 9.71. 9.72 Calcule el valor de en la red de la figura 9.79.Zab 20 Ω 20 Ω j6 Ω −j9 Ω 10 Ω −j9 Ω −j9 Ω j6 Ω j6 Ω a b Figura 9.79 Para el problema 9.72. 9.73 Determine la impedancia equivalente del circuito de la figura 9.80. 2 Ω 4 Ω j6 Ω j8 Ω j8 Ω j12 Ω −j4 Ω −j6 Ω a b Figura 9.80 Para el problema 9.73. Sección 9.8 Aplicaciones 9.74 Diseñe un circuito RL que produzca un adelanto de fase de 90°. 9.75 Diseñe un circuito que transforme una entrada de ten- sión senoidal en una salida de tensión cosenoidal. 9.76 En relación con los siguientes pares de señales, determi- ne si se adelanta o se atrasa de y en cuánto. a) b) c) v1 ϭ Ϫ4 cos10t, v2 ϭ 15 sen10t v1 ϭ 19 cos(2t ϩ 90Њ), v2 ϭ 6 sen2t v1 ϭ 10 cos(5t Ϫ 20Њ), v2 ϭ 8 sen5t v2v1 + − + − 5 Ω 20 nF VoVi Figura 9.81 Para el problema 9.77. 9.78 Una bobina con impedancia se conecta en se- rie con una reactancia capacitiva X. Esta combinación en serie se conecta a su vez en paralelo con un resistor R. Dado que la impedancia equivalente del circuito resul- tante es halle el valor de R y X. 9.79 a) Calcule el desplazamiento de fase del circuito de la fi- gura 9.82. b) Indique si el desplazamiento de fase es de adelanto o de retraso (salida respecto a la entrada). c) Determine la magnitud de la salida cuando la entrada es de 120 V. 5l0Њ ⍀, 8 ϩ j6 ⍀ + − + − 20 Ω 40 Ω 30 Ω Voj10 Ω j30 Ω j60 ΩVi Figura 9.82 Para el problema 9.79. 9.80 Considere el circuito desplazamiento de fase de la figura 9.83. Sea al operar a 60 Hz. Halle: a) cuando R alcanza su valor máximo b) cuando R alcanza su valor mínimo c) el valor de R que producirá un desplazamiento de fase de 45° Vo Vo Vi ϭ 120 V + − + − 50 Ω 200 mH vovi 0 < R < 100 Ω Figura 9.83 Para el problema 9.80. 9.81 El puente de ca de la figura 9.37 está equilibrado cuando R1 ϭ 400 ⍀, R2 ϭ 600 ⍀, R3 ϭ 1.2 k⍀ y Halle y Suponga que y están en serie. 9.82 Un puente capacitivo se equilibra cuando R2 ϭ 2 k⍀ y ¿Cuál es el valor de la ca- pacitancia del capacitor desconocido? 9.83 Un puente inductivo se equilibra cuando R2 ϭ 500 ⍀ y ¿Cuál es el valor de la inductancia del inductor a prueba? Lx,Ls ϭ 250 mH. R1 ϭ 1.2 k⍀, Cx,Cs ϭ 40 mF. R1 ϭ 100 ⍀, C2R2Cx.Rx C2 ϭ 0.3 mF.
- 439. 9.84 El puente de ca que aparece en la figura 9.84 se conoce como puente de Maxwell y se usa para la medición de precisión de la inductancia y resistencia de una bobina en términos de una capacitancia estándar Demuestre que cuando el puente está equilibrado, Halle y para R3 ϭ 4 k⍀ y Cs ϭ 0.45 mF. R2 ϭ 1.6 k⍀,R1 ϭ 40 k⍀,RxLx Lx ϭ R2R3Cs y Rx ϭ R2 R1 R3 Cs. 9.85 El circuito puente de ca de la figura 9.85 se llama puente de Wien. Sirve para medir la frecuencia de una fuente. Demuestre que cuando el puente está equilibrado, f ϭ 1 2p 2R2R4C2C4 Problemas de mayor extensión 411 Medidor de ca R3 Lx Rx R2 R1 Cs Figura 9.84 Puente de Maxwell; para el problema 9.84. Medidor de ca R3 R2 R1 C4 C2 R4 Figura 9.85 Puente de Wien; para el problema 9.85. Problemas de mayor extensión 9.86 El circuito que se muestra en la figura 9.86 se usa en un receptor de televisión. ¿Cuál es la impedancia total de este circuito? 9.88 Un circuito de audio en serie se presenta en la figura 9.88. a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? b) Si la frecuencia se redujera a la mitad, ¿cuál sería su impedancia? 240 Ω j95 Ω −j84 Ω Figura 9.86 Para el problema 9.86. 9.87 La red de la figura 9.87 forma parte del esquema que describe a un dispositivo industrial de transcripción elec- trónica. ¿Cuál es la impedancia total del circuito a 2 kHz? 50 Ω 10 mH 2 F 80 Ω 100 Ω Figura 9.87 Para el problema 9.87. 9.89 Una carga industrial se modela como una combinación en serie de una capacitancia y una resistencia como se muestra en la figura 9.89. Calcule el valor de una induc- tancia L a lo largo de la combinación en serie de manera que la impedancia neta sea resistiva a una frecuencia de 50 kHz. 200 Ω 50 nF L Figura 9.89 Para el problema 9.89. 250 Hz ≈ j30 Ω 120 Ω −j20 Ω −j20 Ω Figura 9.88 Para el problema 9.88. 9.90 Una bobina industrial se modela como una combinación en serie de una inductancia L y una resistencia R, como se observa en la figura 9.90. Puesto que un voltímetro de ca sólo mide la magnitud de una senoide, las siguientes
- 440. medidas se toman a 60 Hz cuando el circuito opera en el estado estable: Use estas medidas para determinar los valores de L y R. 0Vs 0 ϭ 145 V, 0V1 0 ϭ 50 V, 0Vo 0 ϭ 110 V 9.92 Una línea de transmisión tiene una impedancia en serie de y una admitancia en paralelo de Halle: a) la impedancia característica b) la constante de propagación 9.93 Un sistema de transmisión de energía eléctrica se mode- la como se indica en la figura 9.92. Dado lo siguiente: Tensión de fuente Impedancia de fuente Impedancia de línea Impedancia de carga halle la corriente de carga IL. ZL ϭ 23.2 ϩ j18.9 ⍀, Z/ ϭ 0.4 ϩ j0.3 ⍀, Zs ϭ 1 ϩ j0.5 ⍀, Vs ϭ 115l0Њ V, 1ZY. g ϭZo ϭ 1Z͞Y , 450l48Њ mS.Y ϭ 100l75Њ ⍀Z ϭ 412 Capítulo 9 Senoides y fasores 80 Ω + − + −V1 Vs + − Vo R L Bobina Figura 9.90 Para el problema 9.90. 9.91 En la figura 9.91 se muestra una combinación en parale- lo de una inductancia y una resistencia. Si se desea conectar un capacitor en serie con la combinación en pa- ralelo de manera que la impedancia neta sea resistiva a 10 MHz, ¿cuál es el valor requerido de C? 300 Ω 20 H C Figura 9.91 Para el problema 9.91. + −vs ZᐉZs Zᐉ ZL IL Fuente Línea de transmisión Carga Figura 9.92 Para el problema 9.93.
- 441. 413 Salida de un programa de modelación. Por cortesía de Ansoft C a p í t u l o 10Análisis senoidal en estado estable Tres hombres son mis amigos: el que me estima, el que me detesta y al que le soy indiferente. El que me estima me enseña a apreciar; el que me detes- ta me enseña a protegerme; al que le soy indiferente me enseña a confiar en mí mismo. —J. E. Dinger Desarrollo de su carrera Carrera en ingeniería de programación La ingeniería de programación es el aspecto de la ingeniería que tiene que ver con la aplicación práctica del conocimiento científico en el diseño, elabo- ración y validación de programas de computación y la documentación aso- ciada necesaria para desarrollarlos, operarlos y mantenerlos. Esta rama de la ingeniería eléctrica está adquiriendo creciente importancia a medida que un mayor número de disciplinas requieren de una u otra forma paquetes de programas para ejecutar sus tareas de rutina y a medida que se usan en cada vez más aplicaciones de sistemas microelectrónicos programables. El papel de un ingeniero de programación no debe confundirse con el de un científico en computación; el ingeniero de programación es un profesio- nal, no un teórico. Un ingeniero de programación debe poseer una amplia habilidad para la programación de computadoras y estar familiarizado con los lenguajes de programación, en particular con Cϩϩ , que cada vez es más popular. A causa de la estrecha interrelación entre hardware y software, es esencial que un ingeniero de programación conozca a fondo el diseño de hardware. Más aún, el ingeniero de programación debería poseer ciertos co- nocimientos especializados del área en la que aplicará su habilidad de desa- rrollo de software. En suma, el campo de la ingeniería de programación brinda excelentes po- sibilidades profesionales a quienes gustan de programar y desarrollar paque- tes de software. Las mayores recompensas serán para quienes tengan la mejor preparación, y las oportunidades más interesantes y desafiantes para quienes cuenten con una educación universitaria.
- 442. Ejemplo 10.1 414 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable El análisis en el dominio de frecuencia de un circuito de ca por medio de fasores es mucho más fácil que el análisis del circuito en el dominio del tiempo. 0.5 H0.1 F 1 H10 Ω 2ix ix + −20 cos 4t V Figura 10.1 Para el ejemplo 10.1. Introducción En el capítulo 9 se aprendió que la respuesta forzada o en estado estable de circuitos a entradas senoidales puede obtenerse por medio de fasores. También se aprendió que las leyes de Ohm y de Kirchhoff son aplicables a circuitos de ca. En este capítulo interesa saber cómo se aplican el análisis nodal, el aná- lisis de malla, el teorema de Thevenin, el teorema de Norton, la superposi- ción y las transformaciones de fuente al analizar los circuitos de ca. Puesto que estas técnicas ya se introdujeron en relación con los circuitos de cd, el principal propósito aquí será ilustrar con ejemplos. El análisis de circuitos de ca suele implicar tres pasos. 10.1 Pasos para analizar circuitos de ca: 1. Transformar el circuito al dominio fasorial o de frecuencia. 2. Resolver el problema aplicando técnicas de circuitos (análisis no- dal, análisis de malla, superposición, etcétera). 3. Transformar el fasor resultante al dominio del tiempo. El paso 1 no es necesario si el problema se especifica en el dominio de fre- cuencia. En el paso 2, el análisis se efectúa de la misma manera que el aná- lisis de circuitos de cd, salvo que están implicados números complejos. Después de leer el capítulo 9, ya se sabe cómo manejar el paso 3. Al final del capítulo se aprenderá a aplicar PSpice a la resolución de problemas de circuitos de ca. Por último, se aplicará el análisis de circuitos de ca a dos circuitos prácticos de ca: circuitos de osciladores y de transis- tores de ca. Análisis nodal La base del análisis nodal es la ley de la corriente de Kirchhoff (LCK). Da- do que la LCK es válida en el caso de los fasores, como se demostró en la sección 9.6, es posible analizar circuitos de ca por medio del análisis nodal. Los siguientes ejemplos lo ilustrarán. 10.2 Halle en el circuito de la figura 10.1 aplicando el análisis nodal.ix
- 443. 10.2 Análisis nodal 415 Solución: Primero se convierte el circuito al dominio de frecuencia: Así, el circuito equivalente en el dominio de frecuencia es como se muestra en la figura 10.2. 0.1 F 1 1 jC ϭ Ϫj2.5 0.5 H 1 jL ϭ j2 1 H 1 jL ϭ j4 20 cos 4t 1 20l0Њ, ϭ 4 rad/s Al aplicar la LCK al nodo 1, o sea (10.1.1) En el nodo 2, Pero La sustitución de esto da por resultado Por simplificación se obtiene (10.1.2) Las ecuaciones (10.1.1) y (10.1.2) pueden ponerse en forma matricial como Se obtienen los determinantes como V2 ϭ ¢2 ¢ ϭ Ϫ220 15 Ϫ j5 ϭ 13.91l198.3Њ V V1 ϭ ¢1 ¢ ϭ 300 15 Ϫ j5 ϭ 18.97l18.43Њ V ¢1 ϭ 2 20 j2.5 0 15 2 ϭ 300, ¢2 ϭ 2 1 ϩ j1.5 20 11 0 2 ϭ Ϫ220 ¢ ϭ 2 1 ϩ j1.5 j2.5 11 15 2 ϭ 15 Ϫ j5 B 1 ϩ j1.5 j2.5 11 15 R B V1 V2 R ϭ B 20 0 R 11V1 ϩ 15V2 ϭ 0 2V1 Ϫj2.5 ϩ V1 Ϫ V2 j4 ϭ V2 j2 Ix ϭ V1͞Ϫj2.5. 2Ix ϩ V1 Ϫ V2 j4 ϭ V2 j2 (1 ϩ j1.5)V1 ϩ j2.5V2 ϭ 20 20 Ϫ V1 10 ϭ V1 Ϫj2.5 ϩ V1 Ϫ V2 j4 –j2.5 Ω j2 Ω j4 Ω10 Ω 2Ix Ix + − V1 V2 20 0° V Figura 10.2 Circuito equivalente en el dominio de frecuencia del circuito de la figura 10.1.
- 444. 416 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable La corriente está dada por Al transformar esto al dominio del tiempo, ix ϭ 7.59 cos(4t ϩ 108.4Њ) A Ix ϭ V1 Ϫj2.5 ϭ 18.97l18.43Њ 2.5lϪ90Њ ϭ 7.59l108.4Њ A Ix Aplicando el análisis nodal, halle y en el circuito de la figura 10.3.v2v1 Respuesta: v2(t) ϭ 33.02 sen(2t ϩ 57.12Њ) V. v1(t) ϭ 11.32 sen(2t ϩ 60.01Њ) V, Calcule y en el circuito de la figura 10.4.V2V1 Solución: Los nodos 1 y 2 forman un supernodo, como se indica en la figura 10.5. La aplicación de la LCK al supernodo da como resultado o sea (10.2.1)36 ϭ j4V1 ϩ (1 Ϫ j2)V2 3 ϭ V1 Ϫj3 ϩ V2 j6 ϩ V2 12 4 Ω 2 Ω 3vxvx 2 H 0.2 F v1 v2 + − + − 10 sen 2t A Figura 10.3 Para el problema de práctica 10.1. 4 Ω 12 Ω 1 2V1 V2 –j3 Ω j6 Ω + − 10 45° V 3 0° A Figura 10.4 Para el ejemplo 10.2. Ejemplo 10.2 Problema de práctica 10.1
- 445. 10.3 Análisis de lazo 417 –j3 Ω j6 Ω 12 Ω3 A Supernodo V1 V2 Figura 10.5 Supernodo del circuito de la figura 10.4. 4 Ω 2 Ωj4 Ω –j1 Ω + − + − V1 V2 15 0° V 20 60° V Figura 10.6 Para el problema de práctica 10.2. Pero una fuente de tensión está conectada entre los nodos 1 y 2, de modo que (10.2.2) La sustitución de la ecuación (10.2.2) en la ecuación (10.2.1) da por resul- tado Con base en la ecuación (10.2.2), V1 ϭ V2 ϩ 10l45Њ ϭ 25.78lϪ70.48Њ V 36 Ϫ 40l135Њ ϭ (1 ϩ j2)V2 1 V2 ϭ 31.41lϪ87.18Њ V V1 ϭ V2 ϩ 10l45Њ Calcule y en el circuito que aparece en la figura 10.6.V2V1 Respuesta: Análisis de lazo La ley de la tensión de Kirchhoff (LTK) constituye la base del análisis de lazo. La validez de la LTK para circuitos de ca se demostró en la sección 9.6 y se ilustra en los siguientes ejemplos. Tenga presente que la naturaleza misma del empleo del análisis de lazo es que debe aplicarse a circuitos planares. 10.3 V1 ϭ 19.36l69.67Њ V, V2 ϭ 3.376l165.7Њ V. Determine la corriente en el circuito de la figura 10.7 aplicando el análisis de lazo. Solución: Al aplicar la LTK al lazo 1 se obtiene (10.3.1)(8 ϩ j10 Ϫ j2)I1 Ϫ (Ϫj2)I2 Ϫ j10I3 ϭ 0 Io Ejemplo 10.3 Problema de práctica 10.2
- 446. 418 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 4 Ω 8 Ω −j2 Ω −j2 Ω j10 Ω + − Io I2 I3 I1 5 0° A 20 90° V Figura 10.7 Para el ejemplo 10.3. 8 Ω j4 Ω −j2 Ω 6 Ω + − Io 2 0° A 10 30° V Figura 10.8 Para el problema de práctica 10.3. En cuanto al lazo 2, (10.3.2) En cuanto al lazo 3, Al sustituir esto en las ecuaciones (10.3.1) y (10.3.2) se obtiene (10.3.3) (10.3.4) Las ecuaciones (10.3.3) y (10.3.4) pueden ponerse en forma matricial como de donde se obtienen los determinantes La corriente deseada es Io ϭ ϪI2 ϭ 6.12l144.78Њ A I2 ϭ ¢2 ¢ ϭ 416.17lϪ35.22Њ 68 ϭ 6.12lϪ35.22Њ A ¢2 ϭ 2 8 ϩ j8 j50 j2 Ϫj30 2 ϭ 340 Ϫ j240 ϭ 416.17lϪ35.22Њ ¢ ϭ 2 8 ϩ j8 j2 j2 4 Ϫ j4 2 ϭ 32(1 ϩ j)(1 Ϫ j) ϩ 4 ϭ 68 B 8 ϩ j8 j2 j2 4 Ϫ j4 R B I1 I2 R ϭ B j50 Ϫj30 R j2I1 ϩ (4 Ϫ j4)I2 ϭ Ϫj20 Ϫ j10 (8 ϩ j8)I1 ϩ j2I2 ϭ j50 I3 ϭ 5. (4 Ϫ j2 Ϫ j2)I2 Ϫ (Ϫj2)I1 Ϫ (Ϫj2)I3 ϩ 20l90Њ ϭ 0 Halle en la figura 10.8 aplicando el análisis de malla. Respuesta: 1.194l65.45Њ A. Io Problema de práctica 10.3
- 447. 10.3 Análisis de lazo 419 8 Ω 6 Ω −j2 Ω −j4 Ω j5 Ω 4 0° A + − Vo + − 3 0° A10 0° V Figura 10.9 Para el ejemplo 10.4. 8 Ω 6 Ω –j2 Ω −j4 Ω j5 Ω 10 V 3 A 4 A A + − + − I2 I3 I3 I4 I4 I1 Supermalla Vo Figura 10.10 Análisis del circuito de la figura 10.9. Determine en el circuito de la figura 10.9 aplicando el análisis de lazo.Vo Solución: Como se señala en la figura 10.10, los lazos 3 y 4 forman una supermalla de- bido a la fuente de corriente entre los lazos. En cuanto al lazo 1, la LTK da por resultado o sea (10.4.1) En cuanto al lazo 2, (10.4.2) En cuanto a la supermalla, (10.4.3) Debido a la fuente de corriente entre las mallas 3 y 4, en el nodo A, (10.4.4) ■ MÉTODO 1 En vez de resolver las cuatro ecuaciones anteriores, se re- ducen a dos por eliminación. Al combinar las ecuaciones (10.4.1) y (10.4.2), (10.4.5) Al combinar las ecuaciones (10.4.2) a (10.4.4), (10.4.6)Ϫ8I1 ϩ (14 ϩ j)I3 ϭ Ϫ24 Ϫ j35 (8 Ϫ j2)I1 Ϫ 8I3 ϭ 10 ϩ j6 I4 ϭ I3 ϩ 4 (8 Ϫ j4)I3 Ϫ 8I1 ϩ (6 ϩ j5)I4 Ϫ j5I2 ϭ 0 I2 ϭ Ϫ3 (8 Ϫ j2)I1 ϩ j2I2 Ϫ 8I3 ϭ 10 Ϫ10 ϩ (8 Ϫ j2)I1 Ϫ (Ϫj2)I2 Ϫ 8I3 ϭ 0 Ejemplo 10.4
- 448. 420 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable De las ecuaciones (10.4.5) y (10.4.6) se obtiene la ecuación matricial Se obtienen los siguientes determinantes: La corriente se obtiene como La tensión requerida Vo es ■ MÉTODO 2 Se puede usar MATLAB para resolver las ecuaciones (10.4.1) a (10.4.4). Primero se enuncian como (10.4.7a) o sea Al invertir A se puede obtener I como (10.4.7b) Ahora se aplica MATLAB, de esta manera: >> A = [(8-j*2) j*2 -8 0; 0 1 0 0; -8 -j*5 (8-j*4) (6+j*5); 0 0 -1 1]; >> B = [10 -3 0 4]’; >> I = inv(A)*B I = 0.2828 - 3.6069i -3.0000 -1.8690 - 4.4276i 2.1310 - 4.4276i >> Vo = -2*j*(I(1) - I(2)) Vo = -7.2138 - 6.5655i como se obtuvo anteriormente. I ϭ AϪ1 B AI ϭ B D 8 Ϫ j2 j2 Ϫ8 0 0 1 0 0 Ϫ8 Ϫj5 8 Ϫ j4 6 ϩ j5 0 0 Ϫ1 1 T D I1 I2 I3 I4 T ϭ D 10 Ϫ3 0 4 T ϭ Ϫ7.2134 Ϫ j6.568 ϭ 9.756l222.32Њ V Vo ϭ Ϫj2(I1 Ϫ I2) ϭ Ϫj2(3.618l274.5Њ ϩ 3) I1 ϭ ¢1 ¢ ϭ Ϫ58 Ϫ j186 50 Ϫ j20 ϭ 3.618l274.5Њ A I1 ϭ Ϫ58 Ϫ j186 ¢1 ϭ ` 10 ϩ j6 Ϫ8 Ϫ24 Ϫ j35 14 ϩ j ` ϭ 140 ϩ j10 ϩ j84 Ϫ 6 Ϫ 192 Ϫ j280 ¢ ϭ ` 8 Ϫ j2 Ϫ8 Ϫ8 14 ϩ j ` ϭ 112 ϩ j8 Ϫ j28 ϩ 2 Ϫ 64 ϭ 50 Ϫ j20 c 8 Ϫ j2 Ϫ8 Ϫ8 14 ϩ j d B I1 I3 R ϭ B 10 ϩ j6 Ϫ24 Ϫ j35 R
- 449. 10.4 Teorema de superposición 421 Calcule la corriente en el circuito de la figura 10.11. Respuesta: 5.075l5.943Њ A. Io Teorema de superposición Dado que los circuitos de ca son lineales, el teorema de superposición se aplica a ellos del mismo modo que a los circuitos de cd. Este teorema cobra impor- tancia si el circuito tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias. En este caso, puesto que las impedancias dependen de la frecuencia, se debe tener un circuito diferente en el dominio de frecuencia para cada frecuencia. La respues- ta total debe obtenerse sumando las respuestas individuales en el dominio del tiempo. Es incorrecto tratar de sumar las respuestas en el dominio fasorial o de frecuencia. ¿Por qué? Porque el factor exponencial está implícito en el análisis senoidal, y ese factor alteraría cada frecuencia angular Por lo tanto, no tendría sentido sumar respuestas a diferentes frecuencias en el do- minio fasorial. Así, cuando un circuito tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias, se deben sumar las respuestas debidas a las frecuencias indivi- duales en el dominio del tiempo. . ejt 10.4 Aplique el teorema de superposición para hallar en el circuito de la fi- gura 10.7. Solución: Sea (10.5.1) donde e se deben a las fuentes de tensión y de corriente, respectivamen- te. Para hallar IЈo considérese el circuito de la figura 10.12a). Si tomamos que Z es la combinación en paralelo de Ϫj2 y 8 ϩ j10, entonces y la corriente es o sea (10.5.2) Para obtener IЉo se considera el circuito de la figura 10.12b). En el caso del lazo 1, (10.5.3) En el del lazo 2, (10.5.4) En el del lazo 3, (10.5.5)I3 ϭ 5 (4 Ϫ j4)I2 ϩ j2I1 ϩ j2I3 ϭ 0 (8 ϩ j8)I1 Ϫ j10I3 ϩ j2I2 ϭ 0 I¿o ϭ Ϫ2.353 ϩ j2.353 I¿o ϭ j20 4 Ϫ j2 ϩ Z ϭ j20 4.25 Ϫ j4.25 I¿o Z ϭ Ϫj2(8 ϩ j10) Ϫ2j ϩ 8 ϩ j10 ϭ 0.25 Ϫ j2.25 I–oI¿o Io ϭ I¿o ϩ I–o Io Ejemplo 10.5 Problema de práctica 10.4 j8 Ω −j6 Ω −j4 Ω 5 Ω 10 Ω Io + −50 0° V 2 0° A Figura 10.11 Para el problema de práctica 10.4. 4 Ω 8 Ω −j2 Ω −j2 Ω j10 Ω j20 V+ − I'o a) b) 4 Ω 8 Ω −j2 Ω −j2 Ω j10 Ω 5 A I''o I2 I3 I1 Figura 10.12 Solución del ejemplo 10.5.
- 450. 422 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable A partir de las ecuaciones (10.5.4) y (10.5.5), La expresión de en términos de da como resultado (10.5.6) Al sustituir las ecuaciones (10.5.5) y (10.5.6) en la ecuación (10.5.3) se ob- tiene o sea La corriente se obtiene como (10.5.7) Con base en las ecuaciones (10.5.2) y (10.5.7) se escribe lo cual concuerda con lo obtenido en el ejemplo 10.3. Cabe señalar que apli- car el teorema de superposición no es la mejor manera de resolver este problema. Al parecer, se ha vuelto doblemente difícil al emplear la superpo- sición. En cambio, en el ejemplo 10.6 la superposición es evidentemente el método más fácil. Io ϭ I¿o ϩ I–o ϭ Ϫ5 ϩ j3.529 ϭ 6.12l144.78Њ A I–o ϭ ϪI2 ϭ Ϫ2.647 ϩ j1.176 I–o I2 ϭ 90 Ϫ j40 34 ϭ 2.647 Ϫ j1.176 (8 ϩ j8)[(2 ϩ j2)I2 Ϫ 5] Ϫ j50 ϩ j2I2 ϭ 0 I1 ϭ (2 ϩ j2)I2 Ϫ 5 I2I1 (4 Ϫ j4)I2 ϩ j2I1 ϩ j10 ϭ 0 Halle la corriente en el circuito de la figura 10.8 aplicando el teorema de superposición. Respuesta: 1.194l65.45Њ A. Io Halle en el circuito de la figura 10.13 aplicando el teorema de superpo- sición. vo Solución: Como el circuito opera a tres frecuencias diferentes para la fuente de tensión de cd), una manera de obtener una solución es aplicar la superposición, la cual descompone el problema en problemas de una sola frecuencia. Sea en- tonces que (10.6.1)vo ϭ v1 ϩ v2 ϩ v3 ( ϭ 0 Ejemplo 10.6 Problema de práctica 10.5 2 H 1 Ω 4 Ω 0.1 F 5 V+ − + −10 cos 2t V 2 sen 5t A −+ vo Figura 10.13 Para el ejemplo 10.6.
- 451. 10.4 Teorema de superposición 423 donde se debe a la fuente de tensión de cd de 5 V, a la fuente de ten- sión 10 cos 2t V y a la fuente de corriente 2 sen 5t A. Para hallar v1 se eliminan todas las fuentes menos la fuente de cd de 5 V. Recuérdese que, en estado estable, un capacitor es un circuito abierto en cd, mientras que un inductor es un cortocircuito en cd. Hay una forma alter- na de considerar esto. Puesto que ϭ 0, jL ϭ 0, 1/jC ϭ ϱ. De uno u otro modo, el circuito equivalente se muestra en la figura 10.14a). Mediante la división de tensión, (10.6.2) Para hallar v2 se igualan a cero tanto la fuente de 5 V como la fuente de corriente 2 sen 5t y se transforma el circuito al dominio de frecuencia. El circuito equivalente se muestra en la figura 10.14b). Sea Z ϭ Ϫj5 ʈ 4 ϭ Ϫj5 ϫ 4 4 Ϫ j5 ϭ 2.439 Ϫ j1.951 0.1 F 1 1 jC ϭ Ϫj5 ⍀ 2 H 1 jL ϭ j4 ⍀ 10 cos 2t 1 10l0Њ, ϭ 2 rad/s Ϫv1 ϭ 1 1 ϩ 4 (5) ϭ 1 V v3 v2v1 Mediante la división de tensión, 1 Ω 4 Ω 5 V+ − −+ v1 a) b) c) 1 Ωj4 Ω −j5 Ω 4 Ω + − 1 Ω 4 Ω−j2 Ωj10 Ω I1 10 0° V 2 −90° A + −V2 + −V3 Figura 10.14 Solución del ejemplo 10.6: a) eliminación de todas las fuentes excepto la fuente de cd de 5 V, b) eliminación de todas las fuentes excepto la fuente de tensión de ca, c) eliminación de todas las fuentes en cero excepto la fuente de corriente de ca. (10.6.3) 0.1 F 1 1 jC ϭ Ϫj2 ⍀ 2 H 1 jL ϭ j10 ⍀ 2 sen 5t 1 2lϪ90Њ, ϭ 5 rad/s v2 ϭ 2.498 cos(2t Ϫ 30.79Њ) V2 ϭ 1 1 ϩ j4 ϩ Z (10l0Њ) ϭ 10 3.439 ϩ j2.049 ϭ 2.498lϪ30.79Њ Para obtener v3 se eliminan las fuentes de tensión y se transforma lo que queda del circuito al dominio de frecuencia. En el dominio del tiempo,
- 452. 424 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable El circuito equivalente se presenta en la figura 10.14c). Sea Mediante la división de corriente, En el dominio de tiempo (10.6.4) Al sustituir las ecuaciones (10.6.2) a (10.6.4) en la ecuación (10.6.1) se tiene vo(t) ϭ Ϫ1 ϩ 2.498 cos(2t Ϫ 30.79°) ϩ 2.33 sen(5t ϩ 10°) V v3 ϭ 2.33 cos(5t Ϫ 80Њ) ϭ 2.33 sen(5t ϩ 10Њ) V V3 ϭ I1 ϫ 1 ϭ j10 1.8 ϩ j8.4 (Ϫj2) ϭ 2.328lϪ80Њ V I1 ϭ j10 j10 ϩ 1 ϩ Z1 (2lϪ90Њ) A Z1 ϭ Ϫj2 ʈ 4 ϭ Ϫj2 ϫ 4 4 Ϫ j2 ϭ 0.8 Ϫ j1.6 ⍀ Calcule en el circuito de la figura 10.15 aplicando el teorema de superpo- sición. vo Respuesta: 4.631 sen(5t Ϫ 81.12Њ) ϩ 1.051 cos(10t Ϫ 86.24Њ) V. Transformación de fuentes Como se indica en la figura 10.16, la transformación de fuente en el dominio de frecuencia implica transformar una fuente de tensión en serie con una im- pedancia a una fuente de corriente en paralelo con dicha impedancia, o vice- versa. Al pasar de un tipo de fuente a otro, se debe tener presente la siguiente relación: (10.1)Vs ϭ Zs Is 3 Is ϭ Vs Zs 10.5 8 Ω 0.2 F 1 H+ −30 sen 5t V 2 cos 10t A + − vo Figura 10.15 Para el problema de práctica 10.6. Problema de práctica 10.6
- 453. 10.5 Transformación de fuentes 425 a b Vs Vs = ZsIs Zs Zs + − a b Is Is = Zs Vs Figura 10.16 Transformación de fuentes. 5 Ω j4 Ω −j13 Ω 3 Ω 10 Ω 4 Ω + − + − Vx20 −90° V Figura 10.17 Para el ejemplo 10.7. 5 Ω j4 Ω −j13 Ω 3 Ω 10 Ω 4 Ω + − + − Vx Is = −j4 Α −j13 Ω 10 Ω 4 Ω2.5 Ω j1.25 Ω Vx Vs = 5 − j10 V + − a) b) Figura 10.18 Solución del circuito de la figura 10.17. Calcule en el circuito de la figura 10.17 aplicando el método de transfor- mación de fuente. Vx Solución: Se transforma la fuente de tensión en fuente de corriente y se obtiene el cir- cuito de la figura 10.18a), donde La combinación en paralelo de la resistencia de 5 ⍀ y la impedancia (3 ϩ j4) da La conversión de la fuente de corriente en fuente de tensión produce el cir- cuito de la figura 10.18b), donde Vs ϭ IsZ1 ϭ Ϫj4(2.5 ϩ j1.25) ϭ 5 Ϫ j10 V Z1 ϭ 5(3 ϩ j4) 8 ϩ j4 ϭ 2.5 ϩ j1.25 ⍀ Is ϭ 20lϪ90Њ 5 ϭ 4lϪ90Њ ϭ Ϫj4 A Mediante la división de tensión, Vx ϭ 10 10 ϩ 2.5 ϩ j1.25 ϩ 4 Ϫ j13 (5 Ϫ j10) ϭ 5.519lϪ28Њ V Ejemplo 10.7
- 454. 426 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable Halle en el circuito de la figura 10.19 aplicando el concepto de transfor- mación de fuente. Io Respuesta: 3.288l99.46Њ A. Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton Los teoremas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos de ca de la mis- ma manera que a los circuitos de cd. El único esfuerzo adicional surge de la necesidad de manipular números complejos. La versión en el dominio de fre- cuencia de un circuito equivalente de Thevenin se representa gráficamente en la figura 10.20, donde un circuito lineal se remplaza por una fuente de tensión en serie con una impedancia. El circuito equivalente de Norton se ilustra en la figura 10.21, donde un circuito lineal se remplaza por una fuente de corrien- te en paralelo con una impedancia. Tenga presente que estos dos circuitos equivalentes se relacionan en esta forma: (10.2) justo como en la transformación de fuente. es la tensión de circuito abier- to, mientras que es la corriente de cortocircuito. Si el circuito tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias (véase como muestra el ejemplo 10.6), el circuito equivalente de Thevenin o de Norton debe determinarse para cada frecuencia. Esto conduce a circuitos equivalentes total- mente distintos, uno por cada frecuencia, no a un solo circuito equivalente con fuentes equivalentes e impedancias equivalentes. IN VTh VTh ϭ ZNIN, ZTh ϭ ZN 10.6 Obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 10.22. −j3 Ω j5 Ω j1 Ω2 Ω Io −j2 Ω 4 90° Α 4 Ω 1 Ω Figura 10.19 Para el problema de práctica 10.7. a b ZTh a b VTh Circuito lineal + − a b ZN a b IN Circuito lineal Figura 10.20 Equivalente de Thevenin. Figura 10.21 Equivalente de Norton. 4 Ω d f ce −j6 Ω j12 Ω8 Ω + − a b120 75° V Figura 10.22 Para el ejemplo 10.8. Ejemplo 10.8 Problema de práctica 10.7
- 455. 10.6 Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton 427 Solución: Se halla poniendo la fuente de tensión en cero. Como se advierte en la figura 10.23a), la resistencia de 8 ⍀ está ahora en paralelo con la reactancia Ϫj6, de modo que su combinación da como resultado De igual manera, la resistencia de 4 ⍀ está en paralelo con la reactancia j12 y su combinación produce Z2 ϭ 4 ʈ j12 ϭ j12 ϫ 4 4 ϩ j12 ϭ 3.6 ϩ j1.2 ⍀ Z1 ϭ Ϫj6 ʈ 8 ϭ Ϫj6 ϫ 8 8 Ϫ j6 ϭ 2.88 Ϫ j3.84 ⍀ ZTh La impedancia de Thevenin es la combinación en serie de y es decir, Para hallar VTh considérese el circuito de la figura 10.23b). Las corrien- tes e se obtienen como La aplicación de la LTK a lo largo del lazo bcdeab en la figura 10.23b) pro- duce o sea ϭ Ϫ28.936 Ϫ j24.55 ϭ 37.95l220.31Њ V ϭ 37.95l3.43Њ ϩ 72l201.87Њ VTh ϭ 4I2 ϩ j6I1 ϭ 480l75Њ 4 ϩ j12 ϩ 720l75Њ ϩ 90Њ 8 Ϫ j6 VTh Ϫ 4I2 ϩ (Ϫj6)I1 ϭ 0 I1 ϭ 120l75Њ 8 Ϫ j6 A, I2 ϭ 120l75Њ 4 ϩ j12 A I2I1 ZTh ϭ Z1 ϩ Z2 ϭ 6.48 Ϫ j2.64 ⍀ Z2;Z1 4 Ω8 Ω −j6 Ω j12 Ω ZTh VTh a e c f,d f,d b a) b) 8 Ω 4 Ω j12 Ω −j6 Ω + − I2I1 d e a b c f −+ 120 75° V Figura 10.23 Solución del circuito de la figura 10.22: a) determinación de b) determinación de VTh.ZTh,
- 456. 428 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable −j4 Ω j2 Ω6 Ω 10 Ω+ − a b 30 20° V Figura 10.24 Para el problema de práctica 10.8. −j4 Ω j3 Ω4 Ω 2 Ω a b Io 0.5Io15 0° A Figura 10.25 Para el ejemplo 10.9. 4 + j3 Ω 2 − j4 Ω a b Io 0.5Io 0.5Io VTh15 A + − 21 4 + j3 Ω 2 − j4 Ω a b Vs Is 0.5Io Io Is = 3 0° A a) b) + − Vs Figura 10.26 Solución del problema de la figura 10.25: a) determinación de b) determinación de ZTh.VTh, Respuesta: ZTh ϭ 12.4 Ϫ j3.2 ⍀, VTh ϭ 18.97lϪ51.57Њ V. Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 10.25 visto desde las terminales a-b. Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la fi- gura 10.24. Solución: Para hallar VTh se aplica la LCK al nodo 1 de la figura 10.26a), Al aplicar la LTK a la malla de la derecha en la figura 10.26a) se obtiene o sea Así, la tensión de Thevenin es VTh ϭ 55lϪ90Њ V VTh ϭ 10(2 Ϫ j4) Ϫ 5(4 ϩ j3) ϭ Ϫj55 ϪIo(2 Ϫ j4) ϩ 0.5Io(4 ϩ j3) ϩ VTh ϭ 0 15 ϭ Io ϩ 0.5Io 1 Io ϭ 10 A Ejemplo 10.9 Problema de práctica 10.8
- 457. 10.6 Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton 429 Para obtener ZTh se elimina la fuente independiente. Debido a la presen- cia de la fuente de corriente dependiente, se conecta una fuente de corriente de 3 A (3 es un valor arbitrario elegido por comodidad aquí, pues es divisi- ble entre la suma de las corrientes que salen del nodo) a las terminales a-b, como se observa en la figura 10.26b). En ese nodo, la LCK produce La aplicación de la LTK a la malla externa de la figura 10.26b) produce La impedancia de Thevenin es ZTh ϭ Vs Is ϭ 2(6 Ϫ j) 3 ϭ 4 Ϫ j0.6667 ⍀ Vs ϭ Io(4 ϩ j3 ϩ 2 Ϫ j4) ϭ 2(6 Ϫ j) 3 ϭ Io ϩ 0.5Io 1 Io ϭ 2 A Determine el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 10.27 visto des- de las terminales a-b. Respuesta: ZTh ϭ 4.473lϪ7.64Њ ⍀, VTh ϭ 7.35l72.9Њ V. Obtenga la corriente en la figura 10.28 aplicando el teorema de Norton.Io Solución: El primer objetivo es encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a-b. se halla de la misma manera que Se ponen las fuentes en cero, como se indica en la figura 10.29a). En ésta es evidente que las impedancias (8 Ϫ j2) y (10 ϩ j4) están en cortocircuito, de manera que Para obtener IN se ponen en cortocircuito las terminales a-b, como se muestra en la figura 10.29b), y se aplica el análisis de lazos. Nótese que los la- zos 2 y 3 forman una supermalla, a causa de la fuente de corriente que les une. En cuanto al lazo 1, (10.10.1)Ϫj40 ϩ (18 ϩ j2)I1 Ϫ (8 Ϫ j2)I2 Ϫ (10 ϩ j4)I3 ϭ 0 ZN ϭ 5 ⍀ ZTh.ZN −j2 Ω j4 Ω8 Ω 4 Ω a b 0.2Vo 5 0° A −+ Vo Figura 10.27 Para el problema de práctica 10.9. 3 0° A 40 90° V 8 Ω 5 Ω 20 Ω 10 Ω −j2 Ω j4 Ω j15 Ω+ − Io a b Figura 10.28 Para el ejemplo 10.10. Ejemplo 10.10 Problema de práctica 10.9
- 458. 430 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 3 8 5 10−j2 j4 j40 + − IN I3 I2 I3I2 I1 a b b) 5 20 j15 3 + j8 Io c) 8 5 10 −j2 j4 ZN a) a a b b Figura 10.29 Solución del circuito de la figura 10.28: a) determinación de b) determinación de c) cálculo de Io.VN,ZN, j2 Ω a b Io −j3 Ω −j5 Ω + − 8 Ω 4 Ω 1 Ω 10 Ω 20 0° V 4 −90° A Figura 10.30 Para el problema de práctica 10.10. Problema de práctica 10.10 En cuanto a la supermalla, (10.10.2) En el nodo a, debido a la fuente de corriente entre los lazos 2 y 3, (10.10.3) La suma de las ecuaciones (10.10.1) y (10.10.2) da como resultado A partir de la ecuación (10.10.3), La corriente de Norton es En la figura 10.29c) se muestra el circuito equivalente de Norton así como la impedancia en las terminales a-b. Por división de corriente, Io ϭ 5 5 ϩ 20 ϩ j15 IN ϭ 3 ϩ j8 5 ϩ j3 ϭ 1.465l38.48Њ A IN ϭ I3 ϭ (3 ϩ j8) A I3 ϭ I2 ϩ 3 ϭ 3 ϩ j8 Ϫj40 ϩ 5I2 ϭ 0 1 I2 ϭ j8 I3 ϭ I2 ϩ 3 (13 Ϫ j2)I2 ϩ (10 ϩ j4)I3 Ϫ (18 ϩ j2)I1 ϭ 0 Determine el equivalente de Norton del circuito de la figura 10.30 visto des- de las terminales a-b. Use el equivalente para hallar Io. Respuesta: 1.971lϪ2.101Њ A. ZN ϭ 3.176 ϩ j0.706 ⍀, IN ϭ 8.396lϪ32.68Њ A, Io ϭ
- 459. 10.7 Circuitos de ca con amplificadores operacionales 431 Circuitos de ca con amplificadores operacionales Los tres pasos enunciados en la sección 10.1 también se aplican a los circuitos de amplificadores operacionales, siempre y cuando el amplificador operacio- nal opere en la región lineal. Como de costumbre, se supondrán amplifica- dores operacionales ideales. (Véase la sección 5.2.) Como se explicó en el capítulo 5, la clave para analizar circuitos de amplificadores operacionales es tener en cuenta dos importantes propiedades de un amplificador operacional ideal: 1. Ninguna corriente entra a ninguna de sus terminales de entrada. 2. La tensión en sus terminales de entrada es de cero. Los siguientes ejemplos ilustrarán estas ideas. 10.7 Determine en el circuito de amplificador operacional de la figura 10.31a) si vs ϭ 3 cos 1 000t V. vo(t) Solución: Primero se transforma el circuito al dominio de frecuencia, como se advierte en la figura 10.31b), donde Al aplicar la LCK al nodo 1 se obtiene o sea (10.11.1) En el nodo 2, la LCK produce lo que conduce a (10.11.2) La sustitución de la ecuación (10.11.2) en la ecuación (10.11.1) produce Así, vo(t) ϭ 1.029 cos(1 000t ϩ 59.04°) V Vo ϭ 6 3 Ϫ j5 ϭ 1.029l59.04Њ 6 ϭ Ϫj(5 ϩ j4)Vo Ϫ Vo ϭ (3 Ϫ j5)Vo V1 ϭ ϪjVo V1 Ϫ 0 10 ϭ 0 Ϫ Vo Ϫj10 6 ϭ (5 ϩ j4)V1 Ϫ Vo 3l0Њ Ϫ V1 10 ϭ V1 Ϫj5 ϩ V1 Ϫ 0 10 ϩ V1 Ϫ Vo 20 Vs ϭ 3l0Њ, ϭ 1000 rad/s. + − + − Vo Vo V1 −j5 kΩ −j10 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 20 kΩ 3 0° V + − + − vs vo 10 kΩ 10 kΩ 0.1 F 0.2 F 20 kΩ 1 2 0 V a) b) Figura 10.31 Para el ejemplo 10.11: a) circuito original en el dominio del tiempo, b) su equivalente en el dominio de frecuencia. 1000 Ejemplo 10.11
- 460. 432 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable Halle e en el circuito de amplificador operacional de la figura 10.32. Sea vs ϭ 2 cos 5 000t V. iovo Respuesta: 0.667 sen 5 000t V, 66.67 sen 5 000t A. Calcule la ganancia en lazo cerrado y el desplazamiento de fase del circuito de la figura 10.33. Suponga que y v ϭ Solución: Las impedancias de retroalimentación y de entrada se calculan en esta forma: Puesto que el circuito de la figura 10.33 es un amplificador inversor, la ga- nancia en lazo cerrado lo proporciona Al sustituir los valores dados de R1, R2, C1, C2 y se obtiene Así, la ganancia en lazo cerrado es de 0.434 y el desplazamiento de fase de 130.6°. G ϭ Ϫj4 (1 ϩ j4)(1 ϩ j2) ϭ 0.434l130.6Њ G ϭ Vo Vs ϭ Ϫ Zf Zi ϭ ϪjC1R2 (1 ϩ jR1C1)(1 ϩ jR2C2) Zi ϭ R1 ϩ 1 jC1 ϭ 1 ϩ jR1C1 jC1 Zf ϭ R2 2 2 1 jC2 ϭ R2 1 ϩ jR2C2 200 rad/s. R1 ϭ R2 ϭ 10 k⍀, C1 ϭ 2 mF, C2 ϭ 1 mF Obtenga la ganancia de lazo cerrado y el corrimiento de fase del circuito de la figura 10.34. Sea R ϭ 10 k⍀, C ϭ 1 F y ϭ 1 000 rad/s. Respuesta: 1.015, Ϫ5.599°. + −+ − vs vo 10 kΩ 20 kΩ 20 nF 10 nF io Figura 10.32 Para el problema de práctica 10.11. + − + − vs vo R1 R2 C2 C1 + − Figura 10.33 Para el ejemplo 10.12. + − + − vs vo R R C Figura 10.34 Para el problema de práctica 10.12. Ejemplo 10.12 Problema de práctica 10.12 Problema de práctica 10.11
- 461. 10.8 Análisis de ca con el uso de PSpice 433 Análisis de ca con el uso de PSpice PSpice proporciona una gran ayuda en la tediosa tarea de manipular números complejos en el análisis de circuitos de ca. El procedimiento para el uso de PSpice en el análisis de ca es muy similar al requerido para el análisis de cd. El lector debe consultar la sección D.5 del apéndice D con objeto de hacer un repaso de conceptos de PSpice para el análisis de ca. El análisis de circui- tos de ca se realiza en el dominio fasorial o de frecuencia, y todas las fuen- tes deben tener la misma frecuencia. Aunque el análisis de ca con PSpice implica el uso de AC Sweep, el análisis en este capítulo requiere una sola fre- cuencia El archivo de salida de PSpice contiene fasores de tensión y de corriente. De ser necesario, las impedancias pueden calcularse utilizan- do las tensiones y corrientes del archivo de salida. f ϭ ͞2p. 10.8 Solución: Primero se convierte la función seno en coseno. 8 sen(1 000t ϩ 50°) ϭ 8 cos(1 000t ϩ 50° Ϫ 90°) ϭ 8 cos(1 000t Ϫ 40°) La frecuencia f se obtiene de como El esquema del circuito se muestra en la figura 10.36. Obsérvese que la fuen- te de corriente controlada por la corriente F1 está conectada de manera que su corriente fluya del nodo 0 al nodo 3 de conformidad con el circuito origi- nal, en la figura 10.35. Puesto que sólo interesan la magnitud y fase de e se fijan los atributos de IPRINT y VPRINT1 en AC ϭ yes, MAG ϭ yes, PHASE ϭ yes. Como se trata de un análisis de frecuencia única, se se- lecciona Analysis/Setup/AC Sweep y se introduce Total Pts ϭ 1, Start Freq ϭ 159.155 y Final Freq ϭ 159.155. Tras guardar el esquema, se simula se- leccionando Analysis/Simulate. El archivo de salida incluye la frecuencia de fuente además de los atributos controlados por los seudocomponentes IPRINT y VPRINT1, FREQ IM(V_PRINT3) IP(V_PRINT3) 1.592E+02 3.264E–03 –3.743E+01 FREQ VM(3) VP(3) 1.592E+02 1.550E+00 –9.518E+01 io, vo f ϭ 2p ϭ 1000 2p ϭ 159.155 Hz Obtenga e en el circuito de la figura 10.35 usando PSpice.iovo 2 F 50 mH4 kΩ 2 kΩ io 0.5io + −8 sen(1 000t + 50°) V vo + − Figura 10.35 Para el ejemplo 10.13. 1 000 Ejemplo 10.13
- 462. 434 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable ACMAG=8 ACPHASE=-40 AC=ok MAG=ok PHASE=ok AC=yes MAG=yes PHASE=ok V R1 C1 2u L1 F1 4k IPRINT 50mH GAIN=0.5 2kR2 0 2 3 + − Figura 10.36 Esquema del circuito de la figura 10.35. 1 F 2 H2 kΩ 3 kΩ 1 kΩ io 2vo + −10 cos 3 000t A vo + − + − Figura 10.37 Para el problema de práctica 10.13. Ejemplo 10.14 Problema de práctica 10.13 De este archivo de salida se obtiene los cuales son los fasores para vo ϭ 1.55 cos(1 000t Ϫ 95.18°) ϭ 1.55 sen(1 000t Ϫ 5.18°) V e io ϭ 3.264 cos(1 000t Ϫ 37.43°) mA Vo ϭ 1.55lϪ95.18Њ V, Io ϭ 3.264lϪ37.43Њ mA Use PSpice para obtener e en el circuito de la figura 10.37.iovo Respuesta: 0.2682 cos(3 000t Ϫ 154.6°) V, 0.544 cos(3 000t Ϫ 55.12°) mA. Halle y en el circuito de la figura 10.38. Solución: 1. Definir. En su forma presente, el problema está claramente enunciado. ¡Cabe insistir en que el tiempo dedicado a este paso ahorrará mucho tiempo y esfuerzo después! Algo que podría causar un problema es que, en ausencia de referencias sobre este problema, se tendría que preguntar al individuo asignador del problema dónde localizarlas. De no poder V2V1
- 463. 10.8 Análisis de ca con el uso de PSpice 435 2 Ω 2 ΩV1 V2 −j1 Ω −j2 j2 Ω −j1 Ω1 Ω3 0° A 18 30° V+ − j2 Ω 0.2Vx − + Vx Figura 10.38 Para el ejemplo 10.14. ACMAG=3A ACPHASE=0 R1I1 R2 L1 L2 R3 C1 GG1 V11C1 2 0.5C 2H 2H 2 1 1CC3C2 AC=ok MAG=ok PHASE=yesAC=ok MAG=ok PHASE=yes ACMAG=18V ACPHASE=30 + − + −− − GAIN=0.2 Figura 10.39 Esquema del circuito de la figura 10.38. hacerlo, se tendría que deducir su ubicación y después formular clara- mente lo que se hizo y por qué. 2. Presentar. El circuito dado es un circuito en el dominio de frecuencia y las tensiones de nodo desconocidas y también son valores en el dominio de frecuencia. Evidentemente, se necesita un proceso para determinar esas incógnitas que opere por entero en el dominio de fre- cuencia. 3. Alternativas. Hay dos técnicas alternas de resolución directa fáciles de usar. Se puede aplicar un método directo de análisis nodal o usar PSpi- ce. Como este ejemplo se encuentra en una sección dedicada al uso de PSpice para la resolución de problemas, se empleará PSpice para hallar y Luego se puede aplicar el análisis nodal para comprobar la respuesta. 4. Intentar. El circuito de la figura 10.35 está en el dominio del tiempo, mientras que el de la figura 10.38 está en el dominio de frecuencia. Como no se proporcionó una frecuencia particular y PSpice requiere especificarla, se selecciona una frecuencia adecuada con las impedancias seleccionadas. Por ejemplo, si se selecciona la frecuencia correspondiente es Se obtienen los valores de la capacitancia y las inductancias La realiza- ción de estos cambios produce el esquema de la figura 10.39. Para facilitar la conexión, se intercambia la posición de la fuente de corrien- te controlada por tensión G1 y la impedancia 2 ϩ j2 . Adviértase que⍀ (L ϭ XL͞).1͞XC)(C ϭ 0.15916 Hz.f ϭ ͞2p ϭ ϭ 1 rad/s, V2.V1 V2V1
- 464. 436 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable la corriente de G1 fluye del nodo 1 al nodo 3, en tanto que la tensión controladora ocurre a través del capacitor C2, como se requirió en la figura 10.38. Los atributos de los seudocomponentes VPRINT1 se fijan como se muestra en la figura 10.39. Como se trata de un análisis de frecuencia única, se selecciona Analysis/Setup/AC Sweep y se introdu- ce Total Pts ϭ 1, Start Freq ϭ 0.159155 y Final Freq ϭ 0.159155. Tras guardar el esquema, se selecciona Analysis/Simulate para simular el circuito. Una vez hecho esto, el archivo de salida incluye FREQ VM(1) VP(1) 1.592E–01 2.708E+00 –5.673E+01 FREQ VM(3) VP(3) 1.592E-01 4.468E+00 –1.026E+02 de lo que se obtiene 5. Evaluar. Una de las lecciones más importantes por aprender es que cuando se usan programas como PSpice se debe validar la respuesta de todas maneras. Son muchos los riesgos de cometer un error, incluido el encuentro con una falla desconocida de PSpice que genere resultados incorrectos. Así que, ¿cómo se puede validar esta solución? Obviamente, se puede repetir el problema entero con análisis nodal, y quizá usando MATLAB, para ver si se obtiene los mismos resultados. Aquí se seguirá otro método: escribir las ecuaciones nodales y sustituir las respuestas obtenidas en la solución en PSpice, para ver si las ecuaciones nodales se satisfacen. Las ecuaciones nodales de este circuito se dan a continuación. Ad- viértase que se ha sustituido en la fuente dependiente. Ahora, para comprobar la respuesta se sustituyen en esto las respuestas de PSpice. [La respuesta se comprueba] 6. ¿Satisfactorio? Aunque sólo se emplea la ecuación del nodo 1 para comprobar la respuesta, esto es más que satisfactorio para validar la respuesta de la solución en PSpice. Ahora se puede presentar el trabajo como una solución del problema. ϭ 3 Ϫ j0.0003 ϭ4.984 Ϫ j1.4272 Ϫ 1.9842 ϩ j1.4269 ϭ 5.184lϪ15.98Њ Ϫ 2.444lϪ35.72Њ 1.9144l40.76Њ ϫ 2.708lϪ56.74Њ Ϫ 0.3536l45Њ ϫ 6.911lϪ80.72Њ 1.9144l40.76Њ V1 Ϫ 0.3536l45Њ V2 ϭ 3 (1.45 ϩ j1.25)V1 Ϫ (0.25 ϩ j0.25)V2 ϭ 3 Ϫ (0.25 Ϫ j0.25 ϩ j0.5)V2 ϭ 3 (1 ϩ j ϩ 0.25 Ϫ j0.25 ϩ 0.2 ϩ j0.5)V1 Ϫ3 ϩ V1 Ϫ 0 1 ϩ V1 Ϫ 0 Ϫj1 ϩ V1 Ϫ V2 2 ϩ j2 ϩ 0.2V1 ϩ V1 Ϫ V2 Ϫj2 ϭ 0 V1 ϭ Vx V1 ϭ 2.708l؊56.74؇ V y V2 ϭ 6.911l؊80.72؇ V
- 465. 10.9 Aplicaciones 437 Obtenga e en el circuito que se presenta en la figura 10.40.IxVx Respuesta: 9.842l44.78Њ V, 2.584l158Њ A. Aplicaciones Los conceptos aprendidos en este capítulo se aplicarán en capítulos poste- riores para calcular potencia eléctrica y determinar la respuesta en frecuen- cia. También se les emplea en el análisis de circuitos acoplados, circuitos trifásicos, circuitos transistorizados de ca, filtros, osciladores y otros circui- tos de ca. En esta sección se aplicarán esos conceptos al desarrollo de dos circuitos prácticos de ca: el multiplicador de capacitancia y los osciladores de onda senoidal. 10.9.1 Multiplicador de capacitancia El circuito amplificador operacional de la figura 10.41 se conoce como multipli- cador de capacitancia, por razones que serán obvias más adelante. Tal circui- to se usa en tecnología de circuitos integrados para producir un múltiplo de una reducida capacitancia física C cuando se necesita una gran capacitancia. El circuito de la figura 10.41 puede servir para multiplicar valores de capaci- tancia por un factor hasta de 1 000. Por ejemplo, un capacitor de 10 pF pue- de comportarse como uno de 100 nF. 10.9 1 Ω 1 ΩVx Ix 4Ix−j1 Ω j2 Ω 2 Ω4 60° A 12 0° V j2 Ω −j 0.25 + − + − Figura 10.40 Para el problema de práctica 10.14. + − R1 A1 R2 + − Vo Ii Zi Vi A2 C 0 V 2 1 + − Vi Figura 10.41 Multiplicador de capacitancia. Problema de práctica 10.14
- 466. 438 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable En la figura 10.41, el primer amplificador operacional funciona como se- guidor de tensión, en tanto que el segundo es un amplificador inversor. El segui- dor de tensión aísla la capacitancia formada por el circuito a partir de la carga impuesta por el amplificador inversor. Puesto que no entra corriente a las termi- nales de entrada del amplificador operacional, la corriente de entrada fluye a través del capacitor de retroalimentación. Así, en el nodo 1, (10.3) La aplicación de la LCK al nodo 2 da como resultado o sea (10.4) La sustitución de la ecuación (10.4) en la ecuación (10.3) produce o sea (10.5) La impedancia de entrada es (10.6) donde (10.7) Así, mediante una adecuada selección de los valores de y puede lo- grarse que el circuito de amplificador operacional de la figura 10.41 produz- ca una capacitancia efectiva entre la terminal de entrada y tierra, la cual es un múltiplo de la capacitancia física C. El tamaño de la capacitancia efectiva es- tá limitado prácticamente por la limitación de la tensión de salida invertida. De este modo, a mayor multiplicación de la capacitancia, menor tensión de entrada permisible, para evitar que los amplificadores operacionales lleguen a la saturación. Un circuito similar con amplificador operacional puede diseñarse para si- mular inductancia. (Véase el problema 10.89.) También existe una configura- ción de circuito de amplificador operacional para producir un multiplicador de resistencia. R2,R1 Ceq ϭ a1 ϩ R2 R1 b C Zi ϭ Vi Ii ϭ 1 jCeq Ii Vi ϭ ja1 ϩ R2 R1 b C Ii ϭ jC a1 ϩ R2 R1 b Vi Vo ϭ Ϫ R2 R1 Vi Vi Ϫ 0 R1 ϭ 0 Ϫ Vo R2 Ii ϭ Vi Ϫ Vo 1͞jC ϭ jC(Vi Ϫ Vo) Ii Calcule en la figura 10.41 cuando R1 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ 1 M⍀ y C ϭ 1 nF. Solución: A partir de la ecuación (10.7), Ceq ϭ a1 ϩ R2 R1 b C ϭ a1 ϩ 1 ϫ 106 10 ϫ 103 b 1 nF ϭ 101 nF CeqEjemplo 10.15
- 467. 10.9 Aplicaciones 439 Esto corresponde a 2 f 377 rad/s. ϭp ϭ + − Rf Rg R1 R2 C1 C2 + − v2 + − vo Trayectoria de retroalimentación positiva para crear oscilaciones Trayectoria de retroalimentación negativa para controlar la ganancia Figura 10.42 Oscilador de puente de Wien. Determine la capacitancia equivalente del circuito amplificador operacional de la figura 10.41 si R1 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ 10 M⍀ y C ϭ 10 nF. Respuesta: 10 mF. 10.9.2 Osciladores Se sabe que la cd se produce con baterías. Pero, ¿cómo se produce ca? Un medio para hacerlo es el empleo de osciladores, los cuales son circuitos que convierten cd en ca. Un oscilador es un circuito que produce una forma de onda de ca como salida cuando se le alimenta con una entrada de cd. La única fuente externa que necesita un oscilador es el suministro de po- tencia de cd. Irónicamente, el suministro de potencia de cd suele obtenerse convirtiendo la ca provista por la compañía suministradora de energía eléctrica en cd. Luego de librar la molestia de la conversión, cabría preguntar por qué se debe usar el oscilador para convertir la cd nuevamente en ca. El problema es que la ca provista por la compañía suministradora opera a una frecuencia prestablecida de 60 Hz en Estados Unidos (50 Hz en otras naciones), mientras que muchas aplicaciones como circuitos electrónicos, sistemas de comunica- ción y dispositivos de microondas requieren frecuencias internamente genera- das que van de 0 a 10 GHz o más. Los osciladores sirven para generar esas frecuencias. Para que los osciladores de onda senoidal sostengan sus oscilaciones, de- ben satisfacer los criterios de Barkhausen: 1. La ganancia total del oscilador debe ser unitaria o mayor. Por lo tanto, las pérdidas deben compensarse con un dispositivo de amplificación. 2. El desplazamiento de fase total (de la entrada a la salida y de nuevo a la entrada) debe ser de cero. Hay tres tipos comunes de osciladores de onda senoidal: el de desplazamiento de fase, el T gemelo y el puente de Wien. Aquí sólo se considera el oscilador de puente de Wien. El oscilador de puente de Wien es de amplio uso en la generación de se- noides en la gama de frecuencia inferior a 1 MHz. Es un circuito de amplifi- cador operacional RC con apenas unos cuantos componentes, fácil de ajustar y diseñar. Como se observa en la figura 10.42, este oscilador consta en esencia de un amplificador no inversor con dos trayectorias de retroalimentación: la trayectoria de retroalimentación positiva a la entrada no inversora crea osci- laciones, mientras que la trayectoria de retroalimentación negativa a la entra- da inversora controla la ganancia. Si se definen las impedancias de las combinaciones RC en serie y en paralelo como y entonces (10.8) (10.9) La razón de retroalimentación es (10.10) V2 Vo ϭ Zp Zs ϩ Zp Zp ϭ R2 ʈ 1 jC2 ϭ R2 1 ϩ jR2C2 Zs ϭ R1 ϩ 1 jC1 ϭ R1 Ϫ j C1 Zp,Zs Problema de práctica 10.15
- 468. 440 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable La sustitución de las ecuaciones (10.8) y (10.9) en la ecuación (10.10) produce (10.11) Para satisfacer el segundo criterio de Barkhausen, debe estar en fase con lo que implica que la razón de la ecuación (10.11) debe ser puramente real. Así, la parte imaginaria debe ser de cero. La fijación de la parte imagina- ria en cero produce la frecuencia de oscilación como o sea (10.12) En la mayoría de las aplicaciones prácticas, y de modo que (10.13) o sea (10.14) La sustitución de la ecuación (10.13) y en la ecua- ción (10.11) deriva en (10.15) Así, para satisfacer el primer criterio de Barkhausen, el amplificador opera- cional debe compensar mediante el suministro de una ganancia de 3 o mayor a fin de que la ganancia total sea al menos de 1, o la unidad. Recuérdese que en el caso de un amplificador no inversor, (10.16) o sea (10.17) Debido al retraso inherente causado por el amplificador operacional, los osciladores de puente de Wien están limitados a operar en la gama de fre- cuencia de 1 MHz o menos. Rf ϭ 2Rg Vo V2 ϭ 1 ϩ Rf Rg ϭ 3 V2 Vo ϭ 1 3 C1 ϭ C2 ϭ CR1 ϭ R2 ϭ R, fo ϭ 1 2pRC o ϭ 1 RC ϭ 2pfo C1 ϭ C2 ϭ C,R1 ϭ R2 ϭ R o ϭ 1 1R1R2C1C2 o 2 R1C1R2C2 Ϫ 1 ϭ 0 o Vo, V2 ϭ R2C1 (R2C1 ϩ R1C1 ϩ R2C2) ϩ j(2 R1C1R2C2 Ϫ 1) V2 Vo ϭ R2 R2 ϩ aR1 Ϫ j C1 b(1 ϩ jR2C2) Diseñe un circuito de puente de Wien que oscile a 100 kHz. Solución: Usando la ecuación (10.14), se obtiene la constante de tiempo del circuito como (10.16.1) Si se selecciona después se puede seleccionar C ϭ 159 pF para satisfacer la ecuación (10.16.1). Puesto que la ganancia debe ser de 3, Se podría seleccionar mientras que Rg ϭ 10 k⍀.Rf ϭ 20 k⍀Rf ͞Rg ϭ 2. R ϭ 10 k⍀, RC ϭ 1 2pfo ϭ 1 2p ϫ 100 ϫ 103 ϭ 1.59 ϫ 10Ϫ6 Ejemplo 10.16
- 469. Preguntas de repaso 441 En el circuito oscilador de puente de Wien de la figura 10.42, sean Determine la frecuencia del oscilador. Respuesta: 63.66 kHz. fo2.5 k⍀, C1 ϭ C2 ϭ 1 nF. R1 ϭ R2 ϭ Resumen 1. Se aplicó el análisis nodal y de lazo a los circuitos de ca aplicando la LCK y la LTK a la forma fasorial de los circuitos. 2. Al determinar la respuesta en estado estable de un circuito que tiene fuentes independientes con diferentes frecuencias, cada fuente independiente debe considerarse por separado. El método más natural para analizar tales circuitos es aplicar el teorema de superposición. Un circuito fasorial particular por ca- da frecuencia debe resolverse en forma independiente, y la respuesta corres- pondiente debe obtenerse en el dominio del tiempo. La respuesta total es la suma de las respuestas en el dominio del tiempo de todos los circuitos faso- riales individuales. 3. El concepto de transformación de fuente también es aplicable en el do- minio de frecuencia. 4. El equivalente de Thevenin de un circuito de ca consta de una fuente de tensión en serie con la impedancia de Thevenin 5. El equivalente de Norton de un circuito de ca consta de una fuente de co- rriente en paralelo con la impedancia de Norton 6. PSpice es una herramienta simple y eficaz para la solución de problemas de circuitos de ca. Evita la tediosa tarea de trabajar con los números com- plejos implicados en el análisis en estado estable. 7. El multiplicador de capacitancia y el oscilador de ca son dos aplicacio- nes usuales de los conceptos presentados en este capítulo. Un multiplica- dor de capacitancia es un circuito de amplificador operacional que se utiliza para producir un múltiplo de una capacitancia física. Un oscilador es un dispositivo que se vale de una entrada de cd para generar una sa- lida de ca. ZN (ϭZTh).IN ZTh.VTh 10.10 10.1 La tensión a través del capacitor de la figura 10.43 es: a) b) c) d) 5lϪ45Њ V7.071lϪ45Њ V 7.071l45Њ V5l0Њ V Vo 10.2 El valor de la corriente en el circuito de la figura 10.44 es: a) b) c) d) Ϫ1 A0.6l0Њ A 2.4lϪ90Њ A4l0Њ A Io Problema de práctica 10.16 1 Ω + − Vo + − −j1 Ω10 0° V Figura 10.43 Para la pregunta de repaso 10.1. j8 Ω −j2 Ω3 0° A Io Figura 10.44 Para la pregunta de repaso 10.2. Preguntas de repaso
- 470. 442 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.3 Aplicando el análisis nodal, el valor de en el circuito de la figura 10.45 es de: a) b) c) 8 V d) 24 V Ϫ8 VϪ24 V Vo 10.7 En el circuito de la figura 10.48, la tensión de Thevenin en las terminales a-b es: a) b) c) d) 10.8 Remítase al circuito de la figura 10.49. La impedancia equivalente de Norton en las terminales a-b es: a) b) c) d) j4 ⍀j2 ⍀ Ϫj2 ⍀Ϫj4 ⍀ 7.071l45Њ V7.071lϪ45Њ V 3.535l45Њ V3.535lϪ45Њ V −j3 Ωj6 Ω 4 90° A Vo Figura 10.45 Para la pregunta de repaso 10.3. 10.4 En el circuito de la figura 10.46, la corriente i(t) es: a) b) c) d) e) 4.472 cos(t Ϫ 63.43Њ) A5 sen t A 5 cos t A10 sen t A10 cos t A 1 H 1 F + − 1 Ω10 cos t V i(t) Figura 10.46 Para la pregunta de repaso 10.4. 10.5 Remítase al circuito de la figura 10.47 y observe que las dos fuentes no tienen la misma frecuencia. La corriente puede obtenerse por: a) transformación de fuente b) el teorema de superposición c) PSpice ix(t) 1 F+ − + −sen 2t V sen 10t V 1 H 1 Ω ix Figura 10.47 Para la pregunta de repaso 10.5. 10.6 En relación con el circuito de la figura 10.48, la impe- dancia de Thevenin en las terminales a-b es de: a) b) c) d) e) 1 Ϫ j2 ⍀ 1 ϩ j2 ⍀0.5 ϩ j0.5 ⍀ 0.5 Ϫ j0.5 ⍀1 ⍀ 1 Ω 1 H + − 1 F a b 5 cos t V Figura 10.48 Para las preguntas de repaso 10.6 y 10.7. −j2 Ω j4 Ω+ − a b 6 0° V Figura 10.49 Para las preguntas de repaso 10.8 y 10.9. 10.9 La corriente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 10.49 es: a) b) c) d) 10.10 PSpice puede manejar un circuito con dos fuentes inde- pendientes de diferentes frecuencias. a) Cierto b) Falso Respuestas: 10.1c, 10.2a, 10.3d, 10.4a, 10.5b, 10.6c, 10.7a, 10.8a, 10.9d, 10.10b. 3l90Њ A1.5l90Њ A 1.5 lϪ90Њ A1l0Њ A
- 471. Problemas 443 10.2 Determine en la figura 10.51 aplicando el análisis nodal.Vo 10.7 Aplique el análisis nodal para hallar V en el circuito de la figura 10.56. Problemas Sección 10.2 Análisis nodal 10.1 Determine i en el circuito de la figura 10.50. 10.6 Determine en la figura 10.55.Vx 1 F 1 H+ − 1 Ω 1 Ω2 cos 10t V i Figura 10.50 Para el problema 10.1. + − 2 Ω j4 Ω4 0° V −j5 Ω Vo + − Figura 10.51 Para el problema 10.2. 10.3 Determine en el circuito de la figura 10.52.vo + − 2 H4 Ω vo16 sen 4t V 2 cos 4t A + − 1 Ω 6 Ω F1 12 Figura 10.52 Para el problema 10.3. 10.4 Determine en el circuito de la figura 10.53.i1 + − 2 kΩ 2 F 0.5 H50 cos 103t V i1 30i1 + − Figura 10.53 Para el problema 10.4. 10.5 Halle en el circuito de la figura 10.54.io 2 kΩ 0.25 H 10io + − + −25 cos(4 ϫ 103t) V 2 Fio Figura 10.54 Para el problema 10.5. 20 Ω j10 Ω 20 Ω Vx 4Vx 3 0° A ++ − – Figura 10.55 Para el problema 10.6. 40 Ω j20 Ω 120 −15° V 6 30° A V + − 50 Ω−j30 Ω Figura 10.56 Para el problema 10.7. 10.8 Aplique el análisis nodal para hallar la corriente en el cir- cuito de la figura 10.57. Sea ϭ 6 cos(200t ϩ 15°)A.is io 40 Ω 20 Ω 100 mH50 F io 0.1 vo is vo + – Figura 10.57 Para el problema 10.8. 10.9 Aplique el análisis nodal para hallar en el circuito de la figura 10.58. vo + − 10 mH50 F20 Ω 20 Ω 30 Ω10 cos 103 t V io 4io vo + − Figura 10.58 Para el problema 10.9.
- 472. 444 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.10 Aplique el análisis nodal para hallar en el circuito de la figura 10.59. Sea ϭ 2 krad/s. vo 10.14 Calcule la tensión en los nodos 1 y 2 del circuito de la figura 10.63 aplicando el análisis nodal. 36 sen t A 2 kΩ 4 kΩ 2 F 50 mH 0.1 vxvx vo + – + − Figura 10.59 Para el problema 10.10. 10.11 Aplique el análisis nodal al circuito de la figura 10.60 y determine Io. 2Io + − 2 Ω 2 Ω j8 Ω Ϫj5 ΩIo 4 0° V Figura 10.60 Para el problema 10.11. 10.12 Mediante el análisis nodal, halle en el circuito de la fi- gura 10.61. io 10 Ω 20 Ω 50 F 10 mH20 sen1 000t A 2io io Figura 10.61 Para el problema 10.12. 10.13 Determine en el circuito de la figura 10.62 aplicando el método de su elección. Vx −j2 Ω 3 Ω 10 Ω j6 Ω8 Ω + − + − Vx40 30° V 5 0° A Figura 10.62 Para el problema 10.13. 10 Ω 1 2 –j2 Ω –j5 Ωj2 Ω j4 Ω 20 30° A Figura 10.63 Para el problema 10.14. 10.15 Determine la corriente I en el circuito de la figura 10.64 aplicando el análisis nodal. 2 Ω 4 Ω–j2 Ω j1 Ω 2I 5 0° A 20 –90° V + − I Figura 10.64 Para el problema 10.15. 10.16 Aplique el análisis nodal para hallar en el circuito que se muestra en la figura 10.65. Vx j4 Ω −+ Vx 5 Ω 3 45° A2 0° A –j3 Ω Figura 10.65 Para el problema 10.16. 10.17 Mediante el análisis nodal, obtenga la corriente en el circuito de la figura 10.66. Io 3 Ω 2 Ω 1 Ωj4 Ω –j2 Ω + −100 20° V Io Figura 10.66 Para el problema 10.17.
- 473. Problemas 445 10.18 Aplique el análisis nodal para obtener en el circuito de la figura 10.67, abajo.Vo 10.22 En referencia al circuito de la figura 10.71 determine Vo͞Vs. 8 Ω 2 Ω –j1 Ω –j2 Ω j6 Ω 4 Ω j5 Ω 2Vx Vo 4 45° A + − Vx + − Figura 10.67 Para el problema 10.18. 10.19 Obtenga en la figura 10.68 aplicando el análisis nodal.Vo 4 Ω 2 Ω –j4 Ω j2 Ω Vo 0.2Vo + − + − 12 0° V Figura 10.68 Para el problema 10.19. 10.20 Remítase a la figura 10.69. Si y derive las expresiones de A y f.vo(t) ϭ A sen(t ϩ f), vs(t) ϭ Vm sent + − vo(t)vs(t) + − L R C Figura 10.69 Para el problema 10.20. 10.21 En relación con cada uno de los circuitos de la figura 10.70, halle para ϭ 0, S ϱ y 2 ϭ 1͞LC.Vo͞Vi Vo + − Vo + − Vi + − Vi + − C R R CL L b)a) Figura 10.70 Para el problema 10.21. + −Vs Vo + −L R1 R2 C Figura 10.71 Para el problema 10.22. 10.23 Aplicando el análisis nodal obtenga V en el circuito de la figura 10.72. + −Vs R V jL jC jC 1 1 + – Figura 10.72 Para el problema 10.23. Sección 10.3 Análisis de lazos 10.24 Aplique el análisis de lazo para hallar en el circuito del problema 10.2. 10.25 Determine en la figura 10.73 aplicando el análisis de lazos. io Vo + − + − 2 H 0.25 F 4 Ω 10 cos 2t V 6 sen 2t V io Figura 10.73 Para el problema 10.25.
- 474. 446 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.26 Aplique el análisis de lazos para hallar la corriente en el circuito de la figura 10.74. io 10.30 Aplique el análisis de lazos para hallar en el circuito de la figura 10.78. Sean vs2 ϭ 80 cos 100t V. vs1 ϭ 120 cos(100t ϩ 90Њ) V, 0.4 H+ − + −10 cos 103t V 20 sen 103t V 2 kΩ 1 F io Figura 10.74 Para el problema 10.26. 10.27 Aplicando el análisis de lazos, halle e en el circuito de la figura 10.75. I2I1 + − + − I2I1 j10 Ω –j20 Ω 40 Ω 50 0° V40 30° V Figura 10.75 Para el problema 10.27. 10.28 En el circuito de la figura 10.76 determine las corrientes de lazo e Sean y v2 ϭ 20 cos(4t Ϫ 30Њ) V. v1 ϭ 10 cos 4t Vi2.i1 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 H 1 H 1 F i2 v2 v1 i1 + − + − Figura 10.76 Para el problema 10.28. 10.29 Mediante el análisis de lazos, halle e en el circuito que se presenta en la figura 10.77. I2I1 I2I1 j4 Ω j2 Ω j1 Ω –j6 Ω 3 Ω 2 Ω 30 20° V 3 Ω + − Figura 10.77 Para el problema 10.29. + − 200 mH400 mH20 Ω 10 Ω+ −vs1 vs2 50 F300 mH vo + − Figura 10.78 Para el problema 10.30. 10.31 Aplique el análisis de lazos para determinar la corriente en el circuito de la figura 10.79, abajo.Io Figura 10.79 Para el problema 10.31. –j40 Ω –j40 Ω j60 Ω80 Ω 20 ΩIo + − + −100 120° V 60 –30° V
- 475. Problemas 447 10.32 Determine e en el circuito de la figura 10.80 apli- cando el análisis de mallas. IoVo 10.39 Halle I3 e en el circuito de la figura 10.84.IxI2,I1, j4 Ω Io 3Vo –j2 Ω4 –30° A 2 Ω + − Vo + − Figura 10.80 Para el problema 10.32. 10.33 Calcule I en el problema 10.15 aplicando el análisis de lazos. 10.34 Aplique el análisis de lazos para hallar en la figura 10.28 (para el ejemplo 10.10). 10.35 Calcule en la figura 10.30 (para el problema de prácti- ca 10.10) aplicando el análisis de lazos. 10.36 Calcule en el circuito de la figura 10.81 aplicando el análisis de mallas. Vo Io Io –j3 Ω 2 Ω j4 Ω + −2 Ω 2 Ω 12 0° V 2 0° A 4 90° A Vo + − Figura 10.81 Para el problema 10.36. 10.37 Aplique el análisis de mallas para hallar las corrientes I2 e en el circuito de la figura 10.82.I3I1, + − + − I1 I2 Z Z = 80 – j35 Ω 120 –90° V 120 –30° V Z I3 Figura 10.82 Para el problema 10.37. 10.38 Aplicando el análisis de lazos obtenga en el circuito que aparece en la figura 10.83. Io –j4 Ωj2 Ω 2 Ω 1 Ω 1 Ω Io + − 10 90° V 4 0° A 2 0° A Figura 10.83 Para el problema 10.38. 20 Ω –j15 Ω 8 Ω j16 Ω 10 Ω –j25 Ω+ −12 64° V Ix I1 I2 I3 Figura 10.84 Para el problema 10.39. Sección 10.4 Teorema de superposición 10.40 Halle en el circuito que se muestra en la figura 10.85 aplicando superposición. io 4 Ω + − + − 2 Ω 8 V1 H10 cos 4t V io Figura 10.85 Para el problema 10.40. 10.41 Halle en el circuito de la figura 10.86 suponiendo que vs ϭ 6 cos 2t ϩ 4 sen 4t V. vo 0.25 F 2 Ω vovs + – + − Figura 10.86 Para el problema 10.41.
- 476. 448 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.42 Determine en el circuito de la figura 10.87.Io 10.46 Determine en el circuito de la figura 10.91 aplican- do el principio de superposición. vo(t) j10 Ω −j40 Ω 60 Ω 50 Ω+ − + − Io 20 0° V 30 45° V Figura 10.87 Para el problema 10.42. 10.43 Aplicando el principio de superposición, halle en el circuito de la figura 10.88. ix + − 3 Ω 4 H 10 cos(2t – 60°) V5 cos(2t + 10°) A ix F 1 8 Figura 10.88 Para el problema 10.43. 10.44 Aplique el principio de superposición para obtener en el circuito de la figura 10.89. Sean e is ϭ 12 cos(6t ϩ 10Њ) A. vs ϭ 50 sen 2t V vx vsvx + − 20 Ω 16 Ω 5 H + – is Figura 10.89 Para el problema 10.44. 10.45 Aplique la superposición para hallar i(t) en el circuito de la figura 10.90. 20 Ω 300 mH + − + −–j1 Ω i 16 cos(10t + 30°) V 6 sen 4t V Figura 10.90 Para el problema 10.45. + − + − 6 Ω 2 H 10 V12 cos 3t V 4 sen 2t A + − voF1 12 Figura 10.91 Para el problema 10.46. 10.47 Determine en el circuito de la figura 10.92 aplicando el principio de superposición. io + − 1 Ω 2 H 24 V 2 cos 3t2 Ω 4 Ω +− io 10 sen(t – 30°) V F 1 6 Figura 10.92 Para el problema 10.47. 10.48 Halle en el circuito de la figura 10.93 aplicando la su- perposición. io 80 Ω 60 Ω 40 mH 20 F 24 V 100 Ω + − + −50 cos 2 000t V 2 sen 4 000t A io Figura 10.93 Para el problema 10.48. Sección 10.5 Transformación de fuentes 10.49 Aplicando transformación de fuente halle i en el circuito de la figura 10.94. 3 Ω 5 Ω 5 mH 1 mF 8 sen(200t + 30°) A i Figura 10.94 Para el problema 10.49.
- 477. Problemas 449 10.50 Use la transformación de fuentes para hallar en el cir- cuito de la figura 10.95. vo 10.56 En referencia a cada uno de los circuitos de la figura 10.99, obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b. 20 Ω 80 Ω 0.4 mH 0.2 F+ −5 cos 105 t V vo + − Figura 10.95 Para el problema 10.50. 10.51 Use la transformación de fuentes para hallar en el cir- cuito del problema 10.42. 10.52 Aplique el método de transformación de fuentes para ha- llar en el circuito de la figura 10.96.Ix Io + − 2 Ω j4 Ω –j2 Ω –j3 Ω 6 Ω 4 Ω Ix 60 0° V 5 90° A Figura 10.96 Para el problema 10.52. 10.53 Use el concepto de transformación de fuentes para hallar en el circuito de la figura 10.97.Vo + − 4 Ω j4 Ω–j3 Ω –j2 Ωj2 Ω 2 Ω20 0° V Vo + − Figura 10.97 Para el problema 10.53. 10.54 Repita el problema 10.7 usando transformación de fuentes. Sección 10.6 Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton 10.55 Halle los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b de cada uno de los circuitos de la figu- ra 10.98. –j10 Ω j20 Ω 10 Ω a b 50 30° V + − a) a b 4 0° A –j5 Ω j10 Ω8 Ω b) Figura 10.98 Para el problema 10.55. j4 Ω 6 Ω a b 2 0° A –j2 Ω a) –j5 Ω 30 Ω a b 120 45° V j10 Ω 60 Ω b) + − Figura 10.99 Para el problema 10.56. 10.57 Halle los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton del circuito que aparece en la figura 10.100. j20 Ω 5 Ω 2 Ω 60 120° V + − –j10 Ω Figura 10.100 Para el problema 10.57. 10.58 En relación con el circuito que se presenta en la figura 10.101, halle el circuito equivalente de Thevenin en las terminales a-b. a b 5 45° A j10 Ω 8 Ω –j6 Ω Figura 10.101 Para el problema 10.58.
- 478. 450 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.59 Calcule la impedancia de salida del circuito que se muestra en la figura 10.102. 10.63 Obtenga el equivalente de Norton del circuito que se presenta en la figura 10.106 en las terminales a-b. j40 Ω 10 Ω–j2 Ω 0.2Vo + −Vo Figura 10.102 Para el problema 10.59. Figura 10.103 Para el problema 10.60. 10.60 Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 10.103 visto desde: a) las terminales a-b b) las terminales c-d 10 Ω a b 4 0° A20 0° V –j4 Ω j5 Ω 4 Ω+ − c d 10.61 Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 10.104. –j3 Ω 4 Ω a b Ix 1.5Ix2 0° A Figura 10.104 Para el problema 10.61. 10.62 Aplicando el teorema de Thevenin halle en el circuito de la figura 10.105. vo 2 H4 Ω 2 Ω vo io 3io + −12 cos t V + − F1 4 F1 8 Figura 10.105 Para el problema 10.62. a b 5 F 10 H 2 kΩ4 cos(200t + 30°) A Figura 10.106 Para el problema 10.63. 10.64 En referencia al circuito que se muestra en la figura 10.107, halle el circuito equivalente de Norton en las terminales a-b. 60 Ω 40 Ω –j30 Ωj80 Ω a b3 60° A Figura 10.107 Para el problema 10.64. 10.65 Calcule en la figura 10.108 aplicando el teorema de Norton. io 2 Ω 4 H 5 cos 2t V + − io F1 4 F 1 2 Figura 10.108 Para el problema 10.65. 10.66 En las terminales a-b obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton de la red que se presenta en la fi- gura 10.109. Adopte ϭ 10 rad/s. a b 10 mF 10 Ω2 sen t A 12 cos t V +− vo 2vo + − H1 2 Figura 10.109 Para el problema 10.66.
- 479. Problemas 451 10.67 Halle los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 10.110. 10.71 Halle en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.114. vo 13 Ω 12 Ω –j5 Ω a b j6 Ω 8 Ω 10 Ω + −60 45° V Figura 10.110 Para el problema 10.67. 10.68 Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 10.111. 4 Ω 1 H4io vo 3 1 20 io 6 sen10t V a b + + + − − − vo F Figura 10.111 Para el problema 10.68. Sección 10.7 Circuitos de ca con amplificadores operacionales 10.69 En relación con el diferenciador que aparece en la figura 10.112, obtenga Halle cuando y ϭ 1͞RC.vs(t) ϭ Vm sent vo(t)Vo͞Vs. + − vs vo R C + − + − Figura 10.112 Para el problema 10.69. 10.70 El circuito de la figura 10.113 es un integrador con un resistor de retroalimentación. Calcule si 2 cos 4 ϫ 104 t V.vs ϭ vo(t) + − vs vo + − 10 nF 100 kΩ 50 kΩ + − Figura 10.113 Para el problema 10.70. 10 kΩ 2 kΩ 8 cos(2t + 30°) V + − 0.5 F + – vo + − Figura 10.114 Para el problema 10.71. 10.72 Calcule en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.115 si vs ϭ 4 cos 104 t V. io(t) + − vs 50 kΩ 1 nF 100 kΩ io + − Figura 10.115 Para el problema 10.72. 10.73 Si la impedancia de entrada se define como Zen ϭ Vs /Is, halle la impedancia de entrada del circuito del am- plificador operacional de la figura 10.116 cuando R1 ϭ 10 k⍀, R2 ϭ 20 k⍀, C1 ϭ 10 nF, C2 ϭ 20 nF y ϭ 5 000 rad/s. Vs C2 C1 R1 R2 Is Zen Vo + − + − Figura 10.116 Para el problema 10.73.
- 480. 452 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.74 Evalúe la ganancia en tensión en el circuito de amplificador operacional de la figura 10.117. Halle ϭ 1/R1C1 y ϭ 1/R2C2.Av en ϭ 0, S ϱ, Av ϭ Vo͞Vs 10.77 Calcule la ganancia en lazo cerrado del circuito del amplificador operacional de la figura 10.120. Vo͞Vs + −Vs Vo + − C1R1 C2R2 + − Figura 10.117 Para el problema 10.74. 10.75 En el circuito del amplificador operacional de la figura 10.118, halle la ganancia en lazo cerrado y el desplaza- miento de fase de la tensión de salida respecto a la tensión de entrada si R2 ϭ 100 k⍀, R3 ϭ 20 k⍀, R4 ϭ 40 k⍀ y ϭ 2 000 rad/s. C1 ϭ C2 ϭ 1 nF, R1 ϭ vs vo C1 R1 R2 + − C2 R4 R3 + − + − Figura 10.118 Para el problema 10.75. 10.76 Determine e en el circuito del amplificador opera- cional de la figura 10.119. IoVo + − 20 kΩ 10 kΩ –j2 kΩ2 30° V –j4 kΩ + − Io + − Vo Figura 10.119 Para el problema 10.76. + − + −vs vo + − C1 R1 R3 C2 R2 Figura 10.120 Para el problema 10.77. 10.78 Determine en el circuito del amplificador operacio- nal de la figura 10.121, abajo. vo(t) vo + − 10 kΩ 20 kΩ 20 kΩ 40 kΩ10 kΩ0.25 F 0.5 F + − 2 sen 400t V Figura 10.121 Para el problema 10.78.
- 481. Problemas 453 10.79 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 10.122, obtenga vo(t). 10.84 Obtenga en el circuito de la figura 10.126 usando PSpice. Vo vo + − 10 kΩ 20 kΩ 40 kΩ 0.1 F 0.2 F + − + − + − 5 cos 103 t V Figura 10.122 Para el problema 10.79. 10.80 Obtenga en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.123 si vs ϭ 4 cos(1 000t Ϫ 60°) V. vo(t) vo vs + − 10 kΩ 50 kΩ 20 kΩ 0.2 F 0.1 F + − + − + − Figura 10.123 Para el problema 10.80. Sección 10.8 Análisis de ca con el uso de PSpice 10.81 Use PSpice para determinar en el circuito de la figura 10.124. Suponga que ϭ 1 rad/s. Vo 4 0° A 24 0° V 40 Ω 30 Ω 25 Ω 10 Ω –j2 Ω j4 Ω + − Vo + − Figura 10.124 Para el problema 10.81. 10.82 Resuelva el problema 10.19 usando PSpice. 10.83 Use PSpice para hallar en el circuito de la figura 10.125. Sea is ϭ 2 cos(103 t) A. vo(t) 2 Ω 6 Ω 8 Ω 4 Ω 10 mH 4 F is + – vo Figura 10.125 Para el problema 10.83. 1 Ω j4 Ω –j2 Ω 2 Ω + − Vx 2Vx + − Vo 3 0° A Figura 10.126 Para el problema 10.84. 10.85 Use PSpice para hallar en el circuito de la figura 10.127. Vo 2 Ω 1 Ω –j1 Ω j1 Ω 2 Ω 1 Ω0.25Vx + – Vo Vx 2 0° A + – Figura 10.127 Para el problema 10.85. 10.86 Use PSpice para hallar V2 y en la red de la figura 10.128. V3V1, + − 8 Ω j10 Ω j10 Ω –j4 Ω –j4 Ω V1 V3V2 60 30° V 4 0° A Figura 10.128 Para el problema 10.86.
- 482. 454 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado estable 10.87 Determine V1, V2 y V3 en el circuito de la figura 10.129 usando PSpice. 10.90 En la figura 10.132 aparece una red de puente de Wien. Demuestre que la frecuencia a la que el desplazamiento de fase entre las señales de entrada y de salida es de cero es y que la ganancia necesaria es a esa frecuencia.Av ϭ Vo͞Vi ϭ 3 f ϭ 1 2p RC, 8 Ω j10 Ω 1 Ω2 Ω j6 Ω –j2 Ω –j4 Ω V1 V3V2 4 0° A 2 0° A Figura 10.129 Para el problema 10.87. 10.88 Use PSpice para hallar e en el circuito de la figura 10.130, abajo. iovo 20 mF 25 mF 2 H4 Ω 10 Ω vo0.5vo io 4io + −6 cos 4t V + − + − Ven Ien + − + − R1 R2 R3 C R4 + − Figura 10.131 Para el problema 10.89. Figura 10.130 Para el problema 10.88. Vi + − R R1 R2 R C C + −Vo Figura 10.132 Para el problema 10.90. 10.91 Considere el oscilador de la figura 10.133. a) Determine la frecuencia de oscilación. b) Obtenga el valor mínimo de R con el cual la oscila- ción tiene lugar. + − R 10 kΩ 20 kΩ 80 kΩ 0.4 mH 2 nF Figura 10.133 Para el problema 10.91. Sección 10.9 Aplicaciones 10.89 El circuito del amplificador operacional de la figura 10.131 se llama simulador de inductancia. Demuestre que la impedancia de entrada está dada por donde Leq ϭ R1R3R4 R2 C Zen ϭ Ven Ien ϭ jLeq
- 483. Problemas 455 10.93 En la figura 10.135 se presenta un oscilador Colpitts. Demuestre que la frecuencia de oscilación es donde Suponga Ri W XC2 .CT ϭ C1C2͞(C1 ϩ C2). fo ϭ 1 2p1LCT 10.96 Refiérase al oscilador de la figura 10.137. a) Demuestre que b) Determine la frecuencia de oscilación c) Obtenga la relación entre y para que la oscila- ción ocurra. R2R1 fo. V2 Vo ϭ 1 3 ϩ j(L͞R Ϫ R͞L) 10.92 El circuito oscilador de la figura 10.134 emplea un am- plificador operacional ideal. a) Calcule el valor mínimo de que causará que ocurra oscilación. b) Halle la frecuencia de oscilación. Ro + − 10 kΩ 100 kΩ 1 MΩ 10 H 2 nF Ro Figura 10.134 Para el problema 10.92. + − Rf Ri C2 C1 L Vo Figura 10.135 Oscilador Colpitts; para el problema 10.93. (Sugerencia: Fije en cero la parte imaginaria de la impe- dancia en el circuito de retroalimentación.) 10.94 Diseñe un oscilador de Colpitts que opere a 50 kHz. + − Rf Ri L2 L1 C Vo Figura 10.136 Oscilador Hartley; para el problema 10.95. + − R L RL R1 R2 Vo V2 Figura 10.137 Para el problema 10.96. 10.95 En la figura 10.136 se muestra un oscilador Hartley. De- muestre que la frecuencia de oscilación es fo ϭ 1 2p1C(L1 ϩ L2)
- 485. 457 Análisis de potencia de ca Cuatro cosas no regresan: la palabra dicha, la flecha arrojada, el tiempo pa- sado y la oportunidad perdida. —Al Halif Omar Ibn Desarrollo de su carrera Carrera en Ingeniería de energía El descubrimiento del principio del generador de ca por Michael Faraday en 1831 fue un gran adelanto para la ingeniería; brindó un medio conveniente para generar la energía eléctrica necesaria para todos los aparatos electróni- cos, eléctricos y electromecánicos que se emplean en la actualidad. La energía eléctrica se obtiene convirtiendo energía de fuentes de com- bustibles fósiles (gas, petróleo y carbón), combustible nuclear (uranio), ener- gía hidráulica (la caída de agua), energía geotérmica (agua caliente, vapor), energía eólica, energía de las mareas y energía de la biomasa (desechos). Es- tos medios diversos para la generación de energía eléctrica se estudian en de- talle en el campo de la ingeniería de potencia, la cual se ha convertido en una especialidad indispensable de la ingeniería eléctrica. Un ingeniero eléctrico debe estar familiarizado con el análisis, generación, transmisión, distribución y costo de la energía eléctrica. La industria eléctrica es una muy importante fuente de empleo para los ingenieros eléctricos. Incluye a miles de sistemas de suministro de energía que van desde grandes sistemas abastecedores interconectados de enormes áreas regionales hasta pequeñas compañías que atienden a comunidades o fábricas particulares. Debido a la complejidad de la industria, existen numerosos pues- tos para ingenieros eléctricos en diversas áreas: plantas eléctricas (generación), transmisión y distribución, mantenimiento, investigación, adquisición de da- tos y control de flujo, y administración. Dado que la energía eléctrica se uti- liza en todas partes, las compañías de suministro de energía también están en todos lados, ofreciendo interesante capacitación y empleo estable a hombres y mujeres en miles de comunidades del mundo entero. C a p í t u l o 11 Transformador de poste con sistema de distribución de baja tensión de tres hilos. © Vol. 129 PhotoDisc/Getty
- 486. Introducción El esfuerzo realizado hasta aquí en el análisis de circuitos de ca se ha con- centrado mayormente en el cálculo de la tensión y la corriente. El principal interés en este capítulo será el análisis de la potencia. El análisis de potencia es de suma importancia. La potencia es la canti- dad más relevante en sistemas de suministro de electricidad, electrónicos y de comunicación, porque tales sistemas implican la transmisión de potencia de un punto a otro. De igual manera, cada aparato eléctrico industrial y domés- tico, cada ventilador, motor, lámpara, plancha, televisor y computadora perso- nal, tiene una potencia nominal que indica cuánta potencia requiere el equipo; exceder la potencia nominal puede causar daños permanentes a un dispositi- vo. La forma más común de potencia eléctrica es la potencia de ca a 50 o 60 Hz. La elección de la ca sobre la cd permitió la transmisión de potencia en alta tensión desde la planta generadora de energía al consumidor. Se comenzará definiendo y derivando la potencia instantánea y la poten- cia promedio. Después se presentarán otros conceptos de potencia. Como apli- caciones prácticas de estos conceptos se explicará cómo se mide la potencia y se reconsiderará la forma en que las compañías de suministro de electrici- dad les cobran a sus clientes. Potencia instantánea y promedio Como se mencionó en el capítulo 2, la potencia instantánea p(t) absorbida por un elemento es el producto de la tensión instantánea v(t) en las terminales del elemento y la corriente instantánea i(t) a través de él. Suponiendo la con- vención pasiva de los signos, (11.1)p(t) ϭ v(t)i(t) 11.2 11.1 458 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca La potencia instantánea (en watts) es la potencia en cualquier instante. Es la tasa en la cual un elemento absorbe energía. Considérese el caso general de la potencia instantánea absorbida por una combinación arbitraria de elementos de circuitos bajo excitación senoidal, co- mo se muestra en la figura 11.1. Sean la tensión y la corriente en las termi- nales del circuito (11.2a) (11.2b) donde e son las amplitudes (o valores pico) y y son los ángulos de fase de la tensión y la corriente, respectivamente. La potencia instantánea absorbida por el circuito es (11.3) Se aplica la identidad trigonométrica (11.4)cos A cos B ϭ 1 2 [cos(A Ϫ B) ϩ cos(A ϩ B)] p(t) ϭ v(t)i(t) ϭ VmIm cos(t ϩ uv) cos(t ϩ ui) uiuvImVm i(t) ϭ Im cos(t ϩ ui) v(t) ϭ Vm cos(t ϩ uv) Fuente senoidal Red lineal pasiva i(t) + − v(t) La potencia instantánea también puede concebirse como la potencia absorbi- da por el elemento en un instante específico. Las cantidades instantáneas se denotan con letras minúsculas. Figura 11.1 Fuente senoidal y circuito lineal pasivo.
- 487. y se expresa la ecuación (11.3) como (11.5) Esto indica que la potencia instantánea tiene dos partes. La primera es cons- tante o independiente del tiempo. Su valor depende de la diferencia de fa- se entre la tensión y la corriente. La segunda parte es una función senoidal cuya frecuencia es el doble de la frecuencia angular de la tensión o la corriente. Una gráfica de p(t) en la ecuación (11.5) se presenta en la figura 11.2, donde es el periodo de la tensión o la corriente. Obsérvese que p(t) es periódica, y que tiene un periodo de ya que su frecuencia es dos veces la de la tensión o la corriente. Obsérvese asi- mismo que p(t) es positiva en cierta parte de cada ciclo y negativa en el res- to del ciclo. Cuando p(t) es positiva, el circuito absorbe potencia. Cuando p(t) es negativa, la fuente absorbe potencia; es decir, se transfiere potencia del cir- cuito a la fuente. Esto es posible a causa de los elementos de almacenamien- to (capacitores e inductores) en el circuito. T0 ϭ T͞2,p(t) ϭ p(t ϩ T0), 2p͞T ϭ 2, p(t) ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) ϩ 1 2 VmIm cos(2t ϩ uv ϩ ui) 11.2 Potencia instantánea y promedio 459 La potencia promedio, en watts, es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo. Así, la potencia promedio está dada por (11.6) Aunque la ecuación (11.6) muestra el promedio sobre T, se obtendría el mis- mo resultado si se realizara la integración sobre el periodo real de p(t), el cual es T0 ϭ T͞2. P ϭ 1 T Ύ T 0 p(t) dt 0 VmIm cos(v − i ) VmIm p(t) T 2 T t 1 2 1 2 Figura 11.2 Entrada de potencia instantánea p(t) a un circuito. La potencia instantánea cambia con el tiempo, y por lo tanto es difícil de medir. La potencia promedio es más fácil de medir. De hecho, el wattímetro, el instrumento para medir la potencia, responde a la potencia promedio.
- 488. La sustitución de p(t) de la ecuación (11.5) en la ecuación (11.6) produce (11.7) El primer integrando es constante, y el promedio de una constante es la mis- ma constante. El segundo integrando es una senoide. Se sabe que el prome- dio de una senoide a lo largo de su periodo es de cero, por lo que el área bajo la senoide durante medio ciclo positivo es cancelada por el área bajo ella du- rante el siguiente medio ciclo negativo. Así, el segundo término de la ecua- ción (11.7) se anula y la potencia promedio se convierte en (11.8) Puesto que lo importante es la diferencia en las fases de la tensión y la corriente. Cabe señalar que p(t) es variable en el tiempo, mientras que P no depen- de del tiempo. Para hallar la potencia instantánea, necesariamente debe tener- se v(t) e i(t) en el dominio del tiempo. En cambio, la potencia promedio puede hallarse cuando la tensión y la corriente se expresan en el dominio temporal, como en la ecuación (11.8), o cuando se expresan en el dominio de frecuen- cia. Las formas fasoriales de v(t) e i(t) en la ecuación (11.2) son e respectivamente. P se calcula mediante la ecuación (11.8) o em- pleando los fasores V e I. Para emplear fasores, adviértase que (11.9) En la parte real de esta expresión se reconoce la potencia promedio P, de acuerdo con la ecuación (11.8). Así, (11.10) Considérense dos casos especiales de la ecuación (11.10). Cuando la tensión y la corriente están en fase. Esto implica un circuito pura- mente resistivo o carga resistiva R, y (11.11) donde La ecuación (11.11) indica que un circuito puramente resistivo absorbe potencia todo el tiempo. Cuando v Ϫ i ϭ Ϯ90° se tiene un circuito puramente reactivo, y (11.12)P ϭ 1 2 VmIm cos 90Њ ϭ 0 0I02 ϭ I ϫ I*. P ϭ 1 2 VmIm ϭ 1 2 I2 mR ϭ 1 2 0I 02 R uv ϭ ui, P ϭ 1 2 Re[VI*] ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) ϭ 1 2 VmIm[cos(uv Ϫ ui) ϩ j sen(uv Ϫ ui)] 1 2 VI* ϭ 1 2 VmImluv Ϫ ui I ϭ Imlui, V ϭ Vmluv cos(uv Ϫ ui) ϭ cos(ui Ϫ uv), P ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) ϩ 1 2 VmIm 1 T Ύ T 0 cos(2t ϩ uv ϩ ui) dt ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) 1 T Ύ T 0 dt ϩ 1 T Ύ T 0 1 2 VmIm cos(2t ϩ uv ϩ ui) dt P ϭ 1 T Ύ T 0 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) dt 460 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca
- 489. Calcule la potencia promedio absorbida por una impedancia cuando una tensión se aplica en sus terminales. Solución: La corriente a través de la impedancia es I ϭ V Z ϭ 120l0Њ 30 Ϫ j70 ϭ 120l0Њ 76.16lϪ66.8Њ ϭ 1.576l66.8Њ A V ϭ 120l0Њ Z ϭ 30 Ϫ j70 ⍀ lo que indica que un circuito puramente reactivo no absorbe potencia en pro- medio. En suma, 11.2 Potencia instantánea y promedio 461 Una carga resistiva (R) absorbe potencia todo el tiempo, mientras que una carga reactiva (L o C) absorbe una potencia promedio nula. Dado que halle la potencia instantánea y la potencia promedio absorbidas por la red li- neal pasiva de la figura 11.1. Solución: La potencia instantánea está dada por La aplicación de la identidad trigonométrica da como resultado o sea La potencia promedio es la cual es la parte constante de p(t), arriba. ϭ 600 cos 55Њ ϭ 344.2 W P ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) ϭ 1 2 120(10) cos[45Њ Ϫ (Ϫ10Њ)] p(t) ϭ 344.2 ϩ 600 cos(754t ϩ 35Њ) W p ϭ 600[cos(754t ϩ 35Њ) ϩ cos 55Њ] cos A cos B ϭ 1 2 [cos(A ϩ B) ϩ cos(A Ϫ B)] p ϭ vi ϭ 1200 cos(377t ϩ 45Њ) cos(377t Ϫ 10Њ) v(t) ϭ 120 cos(377t ϩ 45Њ) V y i(t) ϭ 10 cos(377t Ϫ 10Њ) A Calcule la potencia instantánea y la potencia promedio absorbidas por la red lineal pasiva de la figura 11.1 si Respuesta: 385.7 W.385.7 ϩ 600 cos(20t Ϫ 10Њ) W, v(t) ϭ 80 cos(10t ϩ 20Њ) V y i(t) ϭ 15 sen(10t ϩ 60Њ) A Ejemplo 11.1 Problema de práctica 11.1 Ejemplo 11.2 e 1200 e
- 490. La potencia promedio es P ϭ 1 2 VmIm cos(uv Ϫ ui) ϭ 1 2 (120)(1.576) cos(0 Ϫ 66.8Њ) ϭ 37.24 W 462 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Una corriente fluye a través de una impedancia Halle la potencia promedio suministrada a la impedancia. Respuesta: 927.2 W. Z ϭ 20lϪ22Њ ⍀.I ϭ 10l30Њ 4 Ω + − I −j2 Ω5 30° V Figura 11.3 Para el ejemplo 11.3. En el circuito de la figura 11.4 calcule la potencia promedio absorbida por el resistor y el inductor (bobina). Halle la potencia promedio suministrada por la fuente de tensión. Respuesta: 9.6 W, 0 W, 9.6 W. 3 Ω + − j1 Ω8 45° V Figura 11.4 Para el problema de práctica 11.3. En referencia al circuito de la figura 11.3, halle la potencia promedio sumi- nistrada por la fuente y la potencia promedio absorbida por el resistor. Solución: La corriente I está dada por La potencia promedio suministrada por la fuente de tensión es La corriente a través del resistor es y la tensión en sus terminales es La potencia promedio absorbida por el resistor es la cual es igual que la potencia promedio suministrada. El capacitor absorbe potencia promedio nula. P ϭ 1 2 (4.472)(1.118) ϭ 2.5 W VR ϭ 4IR ϭ 4.472l56.57Њ V IR ϭ I ϭ 1.118l56.57Њ A P ϭ 1 2 (5)(1.118) cos(30Њ Ϫ 56.57Њ) ϭ 2.5 W I ϭ 5l30Њ 4 Ϫ j2 ϭ 5l30Њ 4.472lϪ26.57Њ ϭ 1.118l56.57Њ A Problema de práctica 11.2 Ejemplo 11.3 Problema de práctica 11.3
- 491. Solución: Se aplica el análisis de lazos, como se muestra en la figura 11.5b). En rela- ción con el lazo 1, En relación con el lazo 2, o sea En la fuente de tensión, la corriente que fluye a través de ella es y la tensión entre sus terminales es de modo que la potencia pro- medio es Siguiendo la convención pasiva de los signos (véase la figura 1.8), esta poten- cia promedio es absorbida por la fuente, en vista de la dirección de y la polaridad de la fuente de tensión. Es decir, el circuito suministra potencia pro- medio a la fuente de tensión. En relación con la fuente de corriente, la corriente que fluye por ella es y la tensión en sus terminales es La potencia promedio suministrada por la fuente de corriente es Este valor es negativo de acuerdo con la convención pasiva de los signos, lo que significa que la fuente de corriente suministra potencia al circuito. Para la resistencia, la corriente que fluye por ella es y la ten- sión entre sus terminales es de manera que la potencia absorbida por el resistor es P2 ϭ 1 2 (80)(4) ϭ 160 W 20I1 ϭ 80l0Њ, I1 ϭ 4l0Њ P1 ϭ Ϫ 1 2 (184.984)(4) cos(6.21Њ Ϫ 0) ϭ Ϫ367.8 W ϭ 183.9 ϩ j20 ϭ 184.984l6.21Њ V V1 ϭ 20I1 ϩ j10(I1 Ϫ I2) ϭ 80 ϩ j10(4 Ϫ 2 Ϫ j10.39) I1 ϭ 4l0Њ I2 P5 ϭ 1 2 (60)(10.58) cos(30Њ Ϫ 79.1Њ) ϭ 207.8 W 60l30Њ V, I2 ϭ 10.58l79.1Њ A ϭ 10.58l79.1Њ A j5I2 ϭ Ϫ60l30Њ ϩ j40 1 I2 ϭ Ϫ12lϪ60Њ ϩ 8 (j10 Ϫ j5)I2 Ϫ j10I1 ϩ 60l30Њ ϭ 0, I1 ϭ 4 A I1 ϭ 4 A 11.2 Potencia instantánea y promedio 463 Determine la potencia promedio generada por cada fuente y la potencia pro- medio absorbida por cada elemento pasivo del circuito de la figura 11.5a). 20 Ω + −j10 Ω −j5 Ω 4 0° Α 60 30° V1 3 5 42 a) 20 Ω + −j10 Ω −j5 Ω 4 0° Α 60 30° V b) + − + − V2 V1 I1 I2 Figura 11.5 Para el ejemplo 11.4. Ejemplo 11.4
- 492. Respuesta: Fuente de tensión de 40 V: fuente de tensión de j20 V: resistor: 100 W; los demás: 0 W.Ϫ40 W; Ϫ60 W; Para el capacitor, la corriente que fluye por él es y la tensión entre sus terminales es Así, la potencia promedio absorbida por el capacitor es Para el inductor (bobina), la corriente que fluye por él es La tensión en sus terminales es Por lo tanto, la potencia promedio absorbida por el in- ductor es Nótese que el inductor y el capacitor absorben una potencia promedio nula y que la potencia total suministrada por la fuente de corriente es igual a la po- tencia absorbida por el resistor y la fuente de tensión, o lo que indica que la potencia se conserva. P1 ϩ P2 ϩ P3 ϩ P4 ϩ P5 ϭ Ϫ367.8 ϩ 160 ϩ 0 ϩ 0 ϩ 207.8 ϭ 0 P3 ϭ 1 2 (105.8)(10.58) cos 90Њ ϭ 0 10.58lϪ79.1Њϩ90Њ. j10(I1 ϪI2)ϭ2 Ϫ j10.39 ϭ 10.58lϪ79.1Њ. I1 Ϫ I2 ϭ P4 ϭ 1 2 (52.9)(10.58) cos(Ϫ90Њ) ϭ 0 Ϫj5I2 ϭ (5lϪ90Њ)(10.58l79.1Њ) ϭ 52.9l79.1Њ Ϫ 90Њ. I2 ϭ 10.58l79.1Њ 464 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Calcule la potencia promedio absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito de la figura 11.6. 8 Ω + − + − −j2 Ω j4 Ω 40 0° V 20 90° V Figura 11.6 Problema de práctica 11.4. Máxima transferencia de potencia promedio En la sección 4.8 se resolvió el problema de maximizar la potencia suminis- trada por una red resistiva de suministro de potencia a una carga Repre- sentando el circuito con su equivalente de Thévenin, se demostró que la potencia máxima se entregaría a la carga si la resistencia de carga era igual a la resistencia de Thévenin Ahora se extenderá este resultado a los circuitos de ca. Considérese el circuito de la figura 11.7, en el que un circuito de ca es- tá conectado a una carga y se representa con su equivalente de Thévenin. La carga suele representarse con una impedancia, la cual puede modelarse co- ZL RL ϭ RTh. RL. 11.3 Problema de práctica 11.4
- 493. mo un motor eléctrico, una antena, un televisor, etcétera. En forma rectangu- lar, la impedancia de Thévenin y la impedancia de carga son (11.13a) (11.13b) La corriente que fluye a través de la carga es (11.14) Partiendo de la ecuación (11.11), la potencia promedio suministrada a la car- ga es (11.15) El objetivo es ajustar los parámetros de la carga y de manera que P sea máxima. Para hacerlo se fijan en cero y . De la ecuación (11.15) se obtiene (11.16a) (11.16b) La fijación de en cero produce (11.17) La fijación de en cero resulta en (11.18) La combinación de las ecuaciones (11.17) y (11.18) lleva a la conclusión de que para la máxima transferencia de potencia promedio debe seleccionar- se de tal forma que y es decir, (11.19)ZL ϭ RL ϩ jXL ϭ RTh Ϫ jXTh ϭ Z*Th RL ϭ RTh,XL ϭ ϪXTh ZL RL ϭ 2R2 Th ϩ (XTh ϩ XL)2 0P͞0RL XL ϭ ϪXTh 0P͞0XL 0P 0RL ϭ 0VTh 02 [(RTh ϩ RL)2 ϩ (XTh ϩ XL)2 Ϫ 2RL(RTh ϩ RL)] 2[(RTh ϩ RL)2 ϩ (XTh ϩ XL)2 ]2 0P 0XL ϭ Ϫ 0VTh 02 RL(XTh ϩ XL) [(RTh ϩ RL)2 ϩ (XTh ϩ XL)2 ]2 0P͞0XL0P͞0RL XLRL P ϭ 1 2 0I02 RL ϭ 0VTh 02 RL͞2 (RTh ϩ RL)2 ϩ (XTh ϩ XL )2 I ϭ VTh ZTh ϩ ZL ϭ VTh (RTh ϩ jXTh) ϩ (RL ϩ jXL) ZL ϭ RL ϩ jXL ZTh ϭ RTh ϩ jXTh ZLZTh 11.3 Máxima transferencia de potencia promedio 465 I ZL a) VTh ZTh b) ZL + − Circuito lineal Figura 11.7 Determinación de la transferencia de po- tencia máxima promedio: a) circuito con una carga, b) el equivalente de Thévenin. Para la máxima transferencia de potencia promedio, la impedancia de carga ZL debe ser igual al conjugado de la impedancia compleja de Thévenin ZTh. Este resultado se conoce como teorema de la máxima transferencia de poten- cia promedio para el estado estable senoidal. Fijar y en la ecuación (11.15) da la máxima potencia promedio como (11.20) En una situación en la que la carga es puramente real, la condición para la máxima transferencia de potencia se obtiene de la ecuación (11.18) esta- bleciendo ; es decir, (11.21)RL ϭ 2R2 Th ϩ X2 Th ϭ 0ZTh 0 XL ϭ 0 Pmax ϭ 0VTh 02 8RTh XL ϭ ϪXThRL ϭ RTh Cuando ZL Z*Th se dice que la carga está equilibrada con la fuente. ϭ Pmáx
- 494. Esto significa que para que la transferencia de potencia promedio a una car- ga puramente resistiva sea máxima, la impedancia (o resistencia) de la carga debe ser igual a la magnitud de la impedancia de Thévenin. 466 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Determine la impedancia de carga que maximiza la potencia promedio to- mada del circuito de la figura 11.8. ¿Cuál es la máxima potencia promedio? Solución: Primero se obtiene el equivalente de Thévenin en las terminales de la carga. Para obtener ZTh considérese el circuito que se muestra en la figura 11.9a). Se halla ZTh ϭ j5 ϩ 4 ʈ (8 Ϫ j6) ϭ j5 ϩ 4(8 Ϫ j6) 4 ϩ 8 Ϫ j6 ϭ 2.933 ϩ j4.467 ⍀ ZL 4 Ω 8 Ω + − −j6 Ω j5 Ω 10 0° V ZL Figura 11.8 Para el ejemplo 11.5. 4 Ω 8 Ω −j6 Ω j5 Ω 10 V ZTh a) 4 Ω 8 Ω −j6 Ω j5 Ω VTh b) + − + − Figura 11.9 Determinación del equivalente de Thévenin del circuito de la figura 11.8. Para hallar VTh considérese el circuito de la figura 11.9b). Por división de ten- sión, La impedancia de carga toma la potencia máxima del circuito cuando De acuerdo con la ecuación (11.20), la máxima potencia promedio es Pmax ϭ 0VTh 02 8RTh ϭ (7.454)2 8(2.933) ϭ 2.368 W ZL ϭ Z*Th ϭ 2.933 Ϫ j4.467 ⍀ VTh ϭ 8 Ϫ j6 4 ϩ 8 Ϫ j6 (10) ϭ 7.454lϪ10.3Њ V En referencia al circuito que aparece en la figura 11.10 halle la impedancia de carga que absorbe la máxima potencia promedio. Calcule la máxima potencia promedio. Respuesta: 1.429 W.3.415 Ϫ j0.7317 ⍀, ZL 5 Ω8 Ω −j4 Ω j10 Ω ZL2 A Figura 11.10 Para el problema de práctica 11.5. Ejemplo 11.5 Problema de práctica 11.5 Pmáx
- 495. 11.4 Valor eficaz o rms 467 En el circuito de la figura 11.11, halle el valor de que absorberá la máxi- ma potencia promedio. Calcule esa potencia. Solución: Primero se halla el equivalente de Thévenin en las terminales de Por división de tensión, El valor de que absorberá la máxima potencia promedio es La corriente que fluye a través de la carga es La máxima potencia promedio absorbida por es Pmax ϭ 1 2 0I02 RL ϭ 1 2 (1.8)2 (24.25) ϭ 39.29 W RL I ϭ VTh ZTh ϩ RL ϭ 72.76l134Њ 33.66 ϩ j22.35 ϭ 1.8l100.42Њ A RL ϭ 0ZTh 0 ϭ 29.4122 ϩ 22.352 ϭ 24.25 ⍀ RL VTh ϭ j20 j20 ϩ 40 Ϫ j30 (150l30Њ) ϭ 72.76l134Њ V ZTh ϭ (40 Ϫ j30) ʈ j20 ϭ j20(40 Ϫ j30) j20 ϩ 40 Ϫ j30 ϭ 9.412 ϩ j22.35 ⍀ RL. RL 40 Ω + − j20 Ω −j30 Ω 150 30° V RL Figura 11.11 Para el ejemplo 11.6. En la figura 11.12, la resistencia se ajusta hasta que absorbe la máxima potencia promedio. Calcule y la máxima potencia promedio absorbi- da por ella. RL RL 80 Ω + − 90 Ω j60 Ω 120 60° V RL−j30 Ω Figura 11.12 Para el problema de práctica 11.6. Respuesta: 30 ⍀, 6.863 W. Valor eficaz o rms La idea del valor eficaz surge de la necesidad de medir la eficacia de una fuente de tensión o de corriente en el suministro de potencia a una carga resistiva. 11.4 El valor eficaz de una corriente periódica es la corriente de cd que suminis- tra la misma potencia promedio a una resistencia que la corriente periódica. Ejemplo 11.6 Problema de práctica 11.6 Pmáx
- 496. En la figura 11.13, el circuito en a) es de ca, mientras que el de b) es de cd. El objetivo es hallar la que transferirá la misma potencia al resistor R que la senoide i. La potencia promedio absorbida por el resistor en el circuito de ca es (11.22) en tanto que la potencia absorbida por el resistor en el circuito de cd es (11.23) Al igualar las expresiones de las ecuaciones (11.22) y (11.23) y despejar , se obtiene (11.24) El valor eficaz de la tensión se halla de la misma manera que el de la corrien- te; es decir, (11.25) Esto indica que el valor eficaz es la raíz (cuadrada) de la media (o promedio) del cuadrado de la señal periódica. Así, el valor eficaz también se conoce co- mo valor cuadrático medio, o valor rms (por root-mean-square en inglés), y se escribe Iefi ϭ Irms, Vefi ϭ Vrms (11.26) Para cualquier función periódica x(t) en general, el valor rms está dado por (11.27)Xrms ϭ B 1 T Ύ T 0 x2 dt Vefi ϭ B 1 T Ύ T 0 v2 dt Iefi ϭ B 1 T Ύ T 0 i2 dt Iefi P ϭ I2 efi R P ϭ 1 T Ύ T 0 i2 R dt ϭ R T Ύ T 0 i2 dt Iefi 468 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca R+ − i(t) v(t) a) R Iefi Vefi b) + − Figura 11.13 Determinación de la corriente eficaz: a) circuito de ca, b) circuito de cd. La ecuación (11.27) establece que para hallar el valor rms de x(t) prime- ro se debe hallar su cuadrado x2 , después el valor promedio de éste, o y por último la raíz cuadrada ( ) de esa media. El valor rms de una constante es la propia constante. En el caso de la senoide , el valor eficaz o rms es (11.28) De igual forma, en el caso de (11.29) Téngase en cuenta que las ecuaciones (11.28) y (11.29) sólo son válidas para señales senoidales. Vrms ϭ Vm 12 v(t) ϭ Vm cost, ϭ B I2 m T Ύ T 0 1 2 (1 ϩ cos 2t) dt ϭ Im 12 Irms ϭ B 1 T Ύ T 0 I2 m cos2 t dt i(t) ϭ Im cost 1 1 T Ύ T 0 x2 dt El valor eficaz de una señal periódica es su valor medio cuadrático (rms).
- 497. La potencia promedio de la ecuación (11.8) puede expresarse en térmi- nos de los valores rms. (11.30) De la misma manera, la potencia promedio absorbida por un resistor R en la ecuación (11.11) puede expresarse como (11.31) Cuando se especifica una tensión o corriente senoidal, a menudo se hace en términos de su valor máximo (o pico) o de su valor rms, ya que su valor promedio es de cero. Las industrias relacionadas con la potencia especifican magnitudes fasoriales en términos de sus valores rms más que de sus valores pico. Por ejemplo, los 110 V disponibles en todos los hogares son el valor rms de la tensión procedente de la compañía suministradora de energía eléc- trica. En análisis de potencia es conveniente expresar la tensión y la corrien- te en sus valores rms. Asimismo, los voltímetros y amperímetros analógicos están diseñados para leer en forma directa el valor rms de la tensión y la co- rriente alterna, respectivamente. P ϭ I2 rms R ϭ V2 rms R ϭ Vrms Irms cos(uv Ϫ ui) P ϭ 1 2 Vm Im cos(uv Ϫ ui) ϭ Vm 12 Im 12 cos(uv Ϫ ui) 11.4 Valor eficaz o rms 469 Determine el valor rms de la onda de corriente de la figura 11.14. Si la co- rriente pasa por una resistencia de halle la potencia promedio absorbida por dicha resistencia. Solución: El periodo de la onda es A lo largo de un periodo, la onda de corrien- te puede expresarse como El valor rms es La potencia disipada por una resistencia de es P ϭ I2 rms R ϭ (8.165)2 (2) ϭ 133.3 W 2-⍀ ϭ B 1 4 c25 t3 3 ` 2 0 ϩ 100t ` 4 2 d ϭ B 1 4 a 200 3 ϩ 200b ϭ 8.165 A Irms ϭ B 1 T Ύ T 0 i2 dt ϭ B 1 4 c Ύ 2 0 (5t)2 dt ϩ Ύ 4 2 (Ϫ10)2 dt d i(t) ϭ b 5t, 0 6 t 6 2 Ϫ10, 2 6 t 6 4 T ϭ 4. 2-⍀ 0 t 10 −10 i(t) 2 4 6 8 10 Figura 11.14 Para el ejemplo 11.7. Halle el valor rms de la onda de la corriente en la figura 11.15. Si la co- rriente fluye a traves de una resistencia de calcule la potencia promedio absorbida por el resistor. Respuesta: 2.309 A, 48 W. 9-⍀ 2 310 4 5 6 t 4 i(t) Figura 11.15 Para el problema de práctica 11.7. Ejemplo 11.7 Problema de práctica 11.7
- 498. Potencia aparente y factor de potencia En la sección 11.2 se vio que si la tensión y la corriente en las termi- nales de un circuito son (11.32) o, en forma fasorial, e la potencia promedio es (11.33) En la sección 11.4 se vio que (11.34) Se ha añadido un nuevo término a la ecuación: (11.35)S ϭ Vrms Irms P ϭ VrmsIrms cos(uv Ϫ ui) ϭ S cos(uv Ϫ ui) P ϭ 1 2 Vm Im cos(uv Ϫ ui) I ϭ Imlui,V ϭ Vmluv v(t) ϭ Vm cos(t ϩ uv) y i(t) ϭ Im cos(t ϩ ui) 11.5 470 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca La señal que se muestra en la figura 11.16 es una senoide rectificada de me- dia onda. Halle el valor rms y la potencia promedio disipada en una resisten- cia de . Solución: El periodo de esta forma de onda de tensión es y El valor rms se obtiene como Pero . Así, La potencia promedio absorbida es P ϭ V2 rms R ϭ 52 10 ϭ 2.5 W ϭ 50 2p ap Ϫ 1 2 sen 2p Ϫ 0b ϭ 25, Vrms ϭ 5 V V2 rms ϭ 1 2p Ύ p 0 100 2 (1 Ϫ cos 2t) dt ϭ 50 2p at Ϫ sen 2t 2 b ` p 0 sen2 t ϭ 1 2 (1 Ϫ cos 2t) V2 rms ϭ 1 T Ύ T 0 v2 (t) dt ϭ 1 2p c Ύ p 0 (10 sen t)2 dt ϩ Ύ 2p p 02 dt d v(t) ϭ b 10 sent, 0 6 t 6 p 0, p 6 t 6 2p T ϭ 2p, 10-⍀ 0 t 8 v(t) 2 3 0 t 10 v(t) 2 3 Figura 11.16 Para el ejemplo 11.8. Figura 11.17 Para el problema de práctica 11.8. Halle el valor rms de la señal senoidal rectificada de onda completa de la figura 11.17. Calcule la potencia promedio disipada en una resisten- cia de . Respuesta: 5.657 V, 5.334 W. 6-⍀ Ejemplo 11.8 Problema de práctica 11.8 e
- 499. La potencia promedio es producto de dos términos. El producto se conoce como potencia aparente S. El factor se llama factor de potencia (fp). cos(uv Ϫ ui) Vrms Irms 11.5 Potencia aparente y factor de potencia 471 La potencia aparente se llama así porque aparentemente la potencia debería ser el producto voltaje-corriente, por analogía con los circuitos resistivos de cd. Esta potencia se mide en volt-amperes o VA para distinguirla de la poten- cia promedio o real, la cual se mide en watts. El factor de potencia es adi- mensional, ya que es la proporción entre la potencia promedio y la potencia aparente, (11.36) El ángulo se llama ángulo del factor de potencia, dado que es el ángulo cuyo coseno es igual al factor de potencia. El ángulo del factor de po- tencia es igual al ángulo de la impedancia de carga si V es la tensión entre las terminales de la carga e I la corriente que fluye por ella. Esto es eviden- te a partir del hecho de que (11.37) Alternativamente, puesto que (11.38a) e (11.38b) la impedancia es (11.39)Z ϭ V I ϭ Vrms Irms ϭ Vrms Irms luv Ϫ ui Irms ϭ I 12 ϭ Irmslui Vrms ϭ V 12 ϭ Vrmsluv Z ϭ V I ϭ Vmluv Imlui ϭ Vm Im luv Ϫ ui uv Ϫ ui pf ϭ P S ϭ cos(uv Ϫ ui) La potencia aparente (en VA) es el producto de los valores rms del voltaje por la corriente. El factor de potencia es el coseno de la diferencia de fase entre la tensión (voltaje) y la corriente. También es igual al coseno del ángulo de la impedan- cia de la carga. Con base en la ecuación (11.36), el factor de potencia puede interpretarse como el factor por el cual debe multiplicarse la potencia aparente para obte- ner la potencia real o promedio. El valor del fp va de cero a la unidad. En el caso de una carga puramente resistiva, la tensión y la corriente están en fase, de modo que y fp ϭ 1. Esto implica que la potencia aparente es igual a la potencia promedio. En el caso de una carga puramente reactiva, y fp ϭ 0. En esta circunstancia la potencia promedio es de cero. Entre estos dos casos extremos, se dice que el fp está adelantado o atrasado. Un factor de potencia adelantado significa que la corriente se ade- lanta a la tensión, lo cual implica una carga capacitiva. Un factor de potencia uv Ϫ ui ϭ Ϯ90Њ uv Ϫ ui ϭ 0 Por la ecuación (11.36), el factor de potencia también puede considerarse como la proporción entre la potencia real disipada en la carga y la potencia aparente de la carga. fp
- 500. atrasado significa que la corriente se atrasa de la tensión, lo que implica una carga inductiva. El factor de potencia afecta las cuentas de electricidad que pagan los consumidores a las compañías suministradoras, como se verá en la sección 11.9.2. 472 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Una carga conectada en serie toma una corriente cuando la tensión aplicada es Halle la poten- cia aparente y el factor de potencia de la carga. Determine los valores de los elementos que forman la carga conectada en serie. Solución: La potencia aparente es El factor de potencia es El fp está adelantado porque la corriente se adelanta a la tensión. El fp se puede obtenerse también a partir de la impedancia de la carga. La impedancia de carga Z puede modelarse como una resistencia de en serie con un capacitor con o sea C ϭ 1 15 ϭ 1 15 ϫ 100p ϭ 212.2 mF XC ϭ Ϫ15 ϭ Ϫ 1 C 25.98-⍀ pf ϭ cos(Ϫ30Њ) ϭ 0.866 (adelantado) Z ϭ V I ϭ 120lϪ20Њ 4l10Њ ϭ 30lϪ30Њ ϭ 25.98 Ϫ j15 ⍀ pf ϭ cos(uv Ϫ ui) ϭ cos(Ϫ20Њ Ϫ 10Њ) ϭ 0.866 (adelantado) S ϭ Vrms Irms ϭ 120 12 4 12 ϭ 240 VA v(t) ϭ 120 cos(100pt Ϫ 20Њ) V. i(t) ϭ 4 cos(100pt ϩ 10Њ) A Obtenga el factor de potencia y la potencia aparente de una carga cuya impe- dancia resulta cuando la tensión aplicada es Respuesta: 0.832 atrasado, 156 VA. 150 cos(377t ϩ 10Њ) V. v(t) ϭZ ϭ 60 ϩ j40 ⍀ Determine el factor de potencia del circuito completo de la figura 11.18 visto desde la fuente. Calcule la potencia promedio suministrada por la fuente. Solución: La impedancia total es Z ϭ 6 ϩ 4 ʈ (Ϫj2) ϭ 6 ϩ Ϫj2 ϫ 4 4 Ϫ j2 ϭ 6.8 Ϫ j1.6 ϭ 7lϪ13.24Њ ⍀ Ejemplo 11.9 Problema de práctica 11.9 Ejemplo 11.10 fp fp
- 501. El factor de potencia es ya que la impedancia es capacitiva. El valor rms de la corriente es La potencia promedio suministrada por la fuente es o sea donde R es la parte resistiva de Z. P ϭ I2 rms R ϭ (4.286)2 (6.8) ϭ 125 W P ϭ Vrms Irms pf ϭ (30)(4.286)0.9734 ϭ 125 W Irms ϭ Vrms Z ϭ 30l0Њ 7lϪ13.24Њ ϭ 4.286l13.24Њ A pf ϭ cos(Ϫ13.24) ϭ 0.9734 (adelantado) 11.6 Potencia compleja 473 6 Ω 4 Ω+ −30 0° V rms −j2 Ω Figura 11.18 Para el ejemplo 11.10. Calcule el factor de potencia del circuito completo de la figura 11.19 vis- to desde la fuente. ¿Cuál es la potencia promedio provista por la fuente? Respuesta: 0.936 atrasado, 118 W. 10 Ω + − 8 Ω j4 Ω −j6 Ω40 0° V rms Figura 11.19 Para el problema de práctica 11.10. Potencia compleja A lo largo de los años se han invertido considerables esfuerzos para expresar las relaciones de potencia en la forma más sencilla posible. Los ingenieros del área de potencia han acuñado el término potencia compleja, que emplean pa- ra hallar el efecto total de cargas en paralelo. La potencia compleja es impor- tante en el análisis de potencia a causa de que contiene toda la información correspondiente a la potencia recibida por una carga dada. Considérese la carga de ca de la figura 11.20. Dada la forma fasorial e de la tensión y la corriente i(t), la potencia compleja S recibida por la carga de ca es el producto de la tensión por el conjugado de la corriente compleja, o (11.40) suponiendo la convención pasiva de los signos (véase la figura 11.20). En tér- minos de los valores rms, (11.41) donde (11.42) e (11.43)Irms ϭ I 12 ϭ Irmslui Vrms ϭ V 12 ϭ Vrmsluv S ϭ VrmsI*rms S ϭ 1 2 VI* v(t)I ϭ ImluiVmluv V ϭ 11.6 V I + − Carga Z Figura 11.20 Fasores de tensión y corriente asociados con una carga. Problema de práctica 11.10 fp fp
- 502. Así, la ecuación (11.41) puede escribirse como (11.44) Esta ecuación también puede obtenerse de la ecuación (11.9). Cabe indicar acerca de la ecuación (11.44) que la magnitud de la potencia compleja es la potencia aparente, y de ahí que la potencia compleja se mida en volt-ampe- res (VA). Asimismo, que el ángulo de la potencia compleja es el ángulo del factor de potencia. La potencia compleja puede expresarse en términos de la impedancia de carga Z. A partir de la ecuación (11.37), la impedancia de carga Z puede es- cribirse como (11.45) Así, Sustituyendo esto en la ecuación (11.41) da por resultado (11.46) Puesto que la ecuación (11.46) se convierte en (11.47) donde P y Q son las partes real e imaginaria de la potencia compleja; es decir, (11.48) (11.49) P es la potencia promedio o real y depende de la resistencia de la carga R. Q depende de la reactancia de la carga X y se llama potencia reactiva (o en cua- dratura). Al comparar la ecuación (11.44) con la ecuación (11.47) se advierte que (11.50) La potencia real P es la potencia promedio en watts suministrada a una car- ga; es la única potencia útil. Es la verdadera potencia disipada en la carga. La potencia reactiva Q es una medida del intercambio de energía entre la fuente y la parte reactiva de la carga. La unidad de Q es el volt-ampere reactivo (VAR), para distinguirla de la potencia real, cuya unidad es el watt. Se sabe por el capítulo 6 que los elementos de almacenamiento de energía no disipan ni suministran potencia, sino que intercambian potencia con el resto de la red. De igual manera, la potencia reactiva se transfiere entre la carga y la fuente. Representa un intercambio sin pérdidas entre la carga y la fuente. Cabe seña- lar que: 1. en cargas resistivas (fp unitario). 2. en cargas capacitivas (fp adelantado). 3. en cargas inductivas (fp atrasado). Así, Q 7 0 Q 6 0 Q ϭ 0 P ϭ Vrms Irms cos(uv Ϫ ui), Q ϭ Vrms Irms sen(uv Ϫ ui) Q ϭ Im(S) ϭ I2 rms X P ϭ Re(S) ϭ I2 rmsR S ϭ I2 rms(R ϩ jX) ϭ P ϩ jQ Z ϭ R ϩ jX, S ϭ I2 rmsZ ϭ Vrms 2 Z* ϭ Vrms I*rms Vrms ϭ ZIrms. Z ϭ V I ϭ Vrms Irms ϭ Vrms Irms luv Ϫ ui ϭ VrmsIrms cos(uv Ϫ ui) ϩ jVrmsIrms sen(uv Ϫ ui) S ϭ VrmsIrmsluv Ϫ ui 474 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Al trabajar con los valores rms de las corrientes o las tensiones, puede eli- minarse el subíndice rms si esto no causa confusión. La potencia compleja (en VA) es el producto del fasor de la tensión rms y el conjugado del fasor complejo de la corriente rms. Como variable compleja, su parte real representala potencia real P y su parte imaginaria la potencia reactiva Q.
- 503. La introducción de la potencia compleja permite obtener las potencias real y reactiva directamente de los fasores de la tensión y la corriente. (11.51) Esto demuestra que la potencia compleja contiene toda la información de po- tencia relevante sobre una carga dada. Es práctica común representar S, P y Q con un triángulo llamado triángu- lo de potencia, el cual aparece en la figura 11.21a). Este triángulo es similar al triángulo de impedancia, que exhibe la relación entre Z, R y X, ilustrado en la figura 11.21b). El triángulo de potencia contiene cuatro elementos: la potencia aparente/compleja, la potencia real, la potencia reactiva y el ángulo de factor de potencia. Dados dos de estos elementos, los otros dos pueden ob- tenerse fácilmente del triángulo. Como se indica en la figura 11.22, cuando S se sitúa en el primer cuadrante, se tiene una carga inductiva y un fp atrasado. Cuando S se sitúa en el cuarto cuadrante, la carga es capacitiva y el fp está adelantado. También es posible que la potencia compleja se ubique en el se- gundo o tercer cuadrante. Esto requiere que la impedancia de carga tenga una resistencia negativa, lo cual sólo es posible con circuitos activos. Factor de potencia ϭ P S ϭ cos(uv Ϫ ui) Potencia reactiva ϭ Q ϭ Im(S) ϭ S sen(uv Ϫ ui) Potencial real ϭ P ϭ Re(S) ϭ S cos(uv Ϫ ui) Potencia aparente ϭ S ϭ 0S0 ϭ Vrms Irms ϭ 2P2 ϩ Q2 ϭ Vrms Irmsluv Ϫ ui Potencia compleja ϭ S ϭ P ϩ jQ ϭ 1 2 VI* 11.6 Potencia compleja 475 S contiene toda la información de potencia de una carga. La parte real de S es la potencia real P; su parte imaginaria es la potencia reactiva Q; su magnitud es la potencia aparente S, y el coseno de su ángulo de fase es el factor de potencia fp. S Q P a) |Z| X R b) Figura 11.21 a) Triángulo de potencia, b) triángulo de impedancia. P Re Im S S +Q (fp atrasado) −Q (fp adelantado) v − i v − i Figura 11.22 Triángulo de potencia. La tensión en las terminales de una carga es y la corriente que fluye a través del elemento en la dirección de la caída de ten- sión es Halle: a) las potencias compleja y aparente, b) las potencias real y reactiva y c) el factor de potencia y la impedancia de carga. 1.5 cos(t ϩ 50Њ) A.i(t) ϭ v(t) ϭ 60 cos(t Ϫ 10Њ) V Ejemplo 11.11
- 504. Solución: a) En cuanto a los valores rms de la tensión y la corriente, se escribe La potencia compleja es La potencia aparente es b) La potencia compleja puede expresarse en forma rectangular como Dado que la potencia real es mientras que la potencia reactiva es c) El factor de potencia es El factor de potencia es adelantado, porque la potencia reactiva es negativa. La impedancia de la carga es la cual es una impedancia capacitiva. Z ϭ V I ϭ 60lϪ10Њ 1.5lϩ50Њ ϭ 40lϪ60Њ ⍀ fp ϭ cos(Ϫ60Њ) ϭ 0.5 (adelantado) Q ϭ Ϫ38.97 VAR P ϭ 22.5 W S ϭ P ϩ jQ, S ϭ 45lϪ60Њ ϭ 45[cos(Ϫ60Њ) ϩ j sen(Ϫ60Њ)] ϭ 22.5 Ϫ j38.97 S ϭ 0S 0 ϭ 45 VA S ϭ Vrms I*rms ϭ a 60 22 lϪ10Њba 1.5 22 lϪ50Њb ϭ 45lϪ60Њ VA Vrms ϭ 60 22 lϪ10Њ, Irms ϭ 1.5 22 lϩ50Њ 476 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Para una carga, Determine: a) las po- tencias compleja y aparente, b) las potencias real y reactiva y c) el factor de potencia y la impedancia de carga. Respuesta: a) VA, 44 VA, b) 15.05 W, 41.35 VAR, c) 0.342 atrasa- do, 94.06 ϩ j258.4 ⍀. 44l70Њ Vrms ϭ 110l85Њ V, Irms ϭ 0.4l15Њ A. Una carga Z toma 12 kVA, con un factor de potencia atrasado de 0.856, de una fuente senoidal de 120 V rms. Calcule: a) las potencias promedio y reactiva su- ministradas a la carga, b) la corriente pico y c) la impedancia de carga. Solución: a) Dado que el ángulo de potencia se obtiene como Si la potencia aparente es S ϭ 12 000 entonces la potencia promedio o real es P ϭ S cos ϭ 12 000 ϫ 0.856 ϭ 10.272 kW u ϭ cosϪ1 0.856 ϭ 31.13Њ. fp ϭ cosu ϭ 0.856, Problema de práctica 11.11 Ejemplo 11.12
- 505. mientras que la potencia reactiva es O ϭ S sen ϭ 12 000 ϫ 0.517 ϭ 6.204 kVA b) Dado que el fp es atrasado, la potencia compleja es De S ϭ VrmsI*rms se obtiene Así, y la corriente pico es c) La impedancia de carga es la cual es una impedancia inductiva. Z ϭ Vrms Irms ϭ 120l0Њ 100lϪ31.13Њ ϭ 1.2l31.13Њ ⍀ Im ϭ 22Irms ϭ 22(100) ϭ 141.4 A Irms ϭ 100lϪ31.13Њ I*rms ϭ S Vrms ϭ 10,272 ϩ j6204 120l0Њ ϭ 85.6 ϩ j51.7 A ϭ 100l31.13Њ A S ϭ P ϩ jQ ϭ 10.272 ϩ j6.204 kVA 11.7 Conservación de la potencia de ca 477 Una fuente senoidal suministra una potencia reactiva de 10 kVAR a la car- ga Determine: a) el factor de potencia, b) la potencia aparente provista a la carga y c) la tensión pico. Respuesta: a) 0.2588 adelantado, b) c) 2.275 kV.ϩ10.35 kVA, 250lϪ75Њ ⍀.Z ϭ Conservación de la potencia de ca El principio de la conservación de la potencia se aplica a los circuitos de ca tanto como a los circuitos de cd (véase la sección 1.5). Para confirmarlo, considérese el circuito de la figura 11.23a), en el que dos impedancias de carga y están conectadas en paralelo a una fuente de ca V. La LCK produce (11.52) La potencia compleja suministrada por la fuente es (11.53)S ϭ 1 2 VI* ϭ 1 2 V(I1 * ϩ I2 *) ϭ 1 2 VI*1 ϩ 1 2 VI*2 ϭ S1 ϩ S2 I ϭ I1 ϩ I2 Z2Z1 11.7 De hecho, en los ejemplos 11.3 y 11.4 ya se vio que la potencia promedio se conserva en circuitos de ca. a) b) I V Z2Z1 Z2Z1 + − I1 I2 I V + − + −V1 + −V2 Figura 11.23 Fuente de tensión de ca que alimenta a cargas conectadas: a) en para- lelo, b) en serie. Problema de práctica 11.12 10 272
- 506. donde y denotan las potencias complejas provistas a las cargas y respectivamente. Si las cargas se conectan en serie con la fuente de tensión, como se mues- tra en la figura 11.23b), la LTK produce (11.54) La potencia compleja suministrada por la fuente es (11.55) donde y denotan las potencias complejas provistas a las cargas y respectivamente. De las ecuaciones (11.53) y (11.55) se concluye que si las cargas se co- nectan en serie o en paralelo (o en general), la potencia total suministrada por la fuente es igual a la potencia total provista a la carga. Así, en general, en el caso de una fuente conectada a N cargas, (11.56) Esto significa que la potencia compleja total en una red es la suma de las po- tencias complejas de los componentes individuales. (Esto también se aplica a la potencia real y a la potencia reactiva, pero no a la potencia aparente.) Es- to expresa el principio de la conservación de la potencia de ca: S ϭ S1 ϩ S2 ϩ p ϩ SN Z2,Z1S2S1 S ϭ 1 2 VI* ϭ 1 2 (V1 ϩ V2)I* ϭ 1 2 V1I* ϩ 1 2 V2I* ϭ S1 ϩ S2 V ϭ V1 ϩ V2 Z2,Z1S2S1 478 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca En realidad, todas las formas de potencia de ca se conservan: instantánea, real, reactiva y compleja. Las potencias compleja, real y reactiva de las fuentes son iguales a las respec- tivas sumas de las potencias complejas, reales y reactivas de las cargas indi- viduales. De esto se desprende que el flujo de la potencia real (o reactiva) procedente de las fuentes en una red es igual al flujo de potencia real (o reactiva) en los demás elementos de la red. En la figura 11.24 aparece una carga alimentada por una fuente de tensión mediante una línea de transmisión. La impedancia de la línea está representa- da por la impedancia y una trayectoria de retorno. Halle la poten- cia real y la potencia reactiva absorbidas por: a) la fuente, b) la línea y c) la carga. (4 ϩ j2) ⍀ 4 Ω + − j2 Ω 220 0° V rms −j10 Ω 15 Ω I Fuente Línea Carga Figura 11.24 Para el ejemplo 11.13. Solución: La impedancia total es Z ϭ (4 ϩ j2) ϩ (15 Ϫ j10) ϭ 19 Ϫ j8 ϭ 20.62lϪ22.83Њ ⍀ Ejemplo 11.13
- 507. La corriente que fluye por el circuito es a) En lo relativo a la fuente, la potencia compleja es De esto se obtiene la potencia real como 2 163.5 W y la potencia reactiva co- mo 910.8 VAR (adelantada). b) En lo relativo a la línea, la tensión es La potencia compleja absorbida por la línea es o sea Esto es, la potencia real es de 455.4 W y la potencia reactiva de 227.76 VAR (atrasada). c) En lo relativo a la carga, la tensión es La potencia compleja absorbida por la carga es La potencia real es de 1 708 W y la potencia reactiva de 1 139 VAR (adelan- tada). Nótese que Ss ϭ Slínea ϩ SL, como era de esperar. Se han empleado los valores rms de tensiones y corrientes. ϭ 2053lϪ33.7Њ ϭ (1708 Ϫ j1139) VA SL ϭ VLI* ϭ (192.38lϪ10.87Њ)(10.67lϪ22.83Њ) ϭ 192.38lϪ10.87Њ V rms VL ϭ (15 Ϫ j10)I ϭ (18.03lϪ33.7Њ)(10.67l22.83Њ) Sline ϭ 0I 02 Zline ϭ (10.67)2 (4 ϩ j2) ϭ 455.4 ϩ j227.7 VA ϭ 509.2l26.57Њ ϭ 455.4 ϩ j227.7 VA Sline ϭ Vline I* ϭ (47.72l49.4Њ)(10.67lϪ22.83Њ) ϭ 47.72l49.4Њ V rms Vline ϭ (4 ϩ j2)I ϭ (4.472l26.57Њ)(10.67l22.83Њ) ϭ 2347.4lϪ22.83Њ ϭ (2163.5 Ϫ j910.8) VA Ss ϭ VsI* ϭ (220l0Њ)(10.67lϪ22.83Њ) I ϭ Vs Z ϭ 220l0Њ 20.62lϪ22.83Њ ϭ 10.67l22.83Њ A rms 11.7 Conservación de la potencia de ca 479 En el circuito de la figura 11.25, el resistor de 60 ⍀ absorbe una potencia promedio de 240 W. Halle V y la potencia compleja de cada rama del circuito. ¿Cuál es la potencia compleja total del circuito? (Suponga que la corriente a través de la resistencia de 60 ⍀ no tiene corrimiento de fase.) Respuesta: el resistor de 656 VA; el la impedancia el la impedancia: total: 1 376 Ϫ j80 VA.240 ϩ j80 VA; (60 ϩ j20) ⍀480 Ϫ j160 VA;(30 Ϫ j10) ⍀ 20-⍀240.67l21.45Њ V (rms); 20 Ω 30 Ω + − −j10 Ω j20 Ω V 60 Ω Figura 11.25 Para el problema de práctica 11.13. Problema de práctica 11.13 ϭ 2 347.4 ϭ (2 163.5 Ϫ j910.8) VA Vlínea Slínea ϭ VlíneaI* Slínea ϭ ΈIΈ2 Zlínea ϭ 2 053 ϭ (1 708 Ϫ j1 139) VA
- 508. 480 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca En el circuito de la figura 11.26, y Calcule los valores totales de: a) la potencia aparente, b) la potencia real, c) la poten- cia reactiva y d) el fp, suministrados por la fuente y vistos por la fuente. Solución: La corriente a través de es mientras que la corriente que fluye a través de es Las potencias complejas absorbidas por las impedancias son La potencia compleja total es a) La potencia aparente total es b) La potencia real total es c) La potencia reactiva total es d) El fp ϭ Pt͞ΈStΈ ϭ 462.4͞481.6 ϭ 0.96 (atrasado). El resultado puede comprobarse hallando la potencia compleja suministra- da por la fuente. como se obtuvo anteriormente. ϭ 482.88l16.21Њ ϭ 463 ϩ j135 VA Ss ϭ VI*t ϭ (120l10Њ)(4.024l6.21Њ) ϭ 4 Ϫ j0.435 ϭ 4.024lϪ6.21Њ A rms It ϭ I1 ϩ I2 ϭ (1.532 ϩ j1.286) ϩ (2.457 Ϫ j1.721) Ss Qt ϭ Im(St) ϭ 134.6 VAR or Qt ϭ Q1 ϩ Q2. Pt ϭ Re(St) ϭ 462.4 W or Pt ϭ P1 ϩ P2. 0 St 0 ϭ 2462.42 ϩ 134.62 ϭ 481.6 VA. St ϭ S1 ϩ S2 ϭ 462.4 ϩ j134.6 VA S2 ϭ V2 rms Z*2 ϭ (120)2 40lϪ45Њ ϭ 360l45Њ ϭ 254.6 ϩ j254.6 VA S1 ϭ V2 rms Z*1 ϭ (120)2 60l30Њ ϭ 240lϪ30Њ ϭ 207.85 Ϫ j120 VA I2 ϭ V Z2 ϭ 120l10Њ 40l45Њ ϭ 3lϪ35Њ A rms Z2 I1 ϭ V Z1 ϭ 120l10Њ 60lϪ30Њ ϭ 2l40Њ A rms Z1 Z2 ϭ 40l45Њ ⍀.Z1 ϭ 60lϪ30Њ ⍀ It Z2Z1 + − I1 I2 120 10° V rms Figura 11.26 Para el ejemplo 11.14. Dos cargas conectadas en paralelo son de 2 kW con fp adelantado de 0.75 y de 4 kW con fp atrasado de 0.95, respectivamente. Calcule el fp de las dos cargas. Halle la potencia compleja suministrada por la fuente. Respuesta: 0.9972 (adelantado), 6 Ϫ j0.4495 kVA. Ejemplo 11.14 Problema de práctica 11.14 o o
- 509. Corrección del factor de potencia La mayoría de las cargas domésticas (como lavadoras, aparatos de aire acon- dicionado y refrigeradores) y de las cargas industriales (como los motores de inducción) son inductivas y operan con un factor de potencia bajo y atrasa- do. Aunque la naturaleza inductiva de la carga no puede modificarse, es po- sible incrementar su factor de potencia. 11.8 11.8 Corrección del factor de potencia 481 El proceso de incrementar el factor de potencia sin alterar la tensión o corriente de la carga original se conoce como corrección del factor de potencia. Dado que la mayoría de las cargas son inductivas, como se advierte en la figura 11.27a), el factor de potencia de una carga mejora o se corrige al ins- talar deliberadamente un capacitor en paralelo con la carga, como se observa en la figura 11.27b). El efecto de añadir el capacitor puede ilustrarse con el triángulo de potencia o el diagrama fasorial de las corrientes implicadas. En la figura 11.28 se muestra este último, en el que se ha supuesto que el circui- to de la figura 11.27a) tiene un factor de potencia de mientras que el de la figura 11.27b) tiene un factor de potencia de En la figura 11.28 es evidente que la adición del capacitor ha causado que el ángulo de fase en- tre la tensión y la corriente suministradas se reduzca de a con lo que se ha incrementado el factor de potencia. De las magnitudes de los vectores en la figura 11.28 también se desprende que, con la misma tensión suministrada, el circuito de la figura 11.27a) toma mayor corriente que la corriente I toma- da por el circuito de la figura 11.27b). Las compañías suministradoras de ener- gía eléctrica cobran más por corrientes mayores, a causa de que éstas provocan mayores pérdidas de potencia (por un factor cuadrático, ya que ). Así pues, es benéfico tanto para una compañía de ese tipo como para el consumi- dor industrial hacer un gran esfuerzo para minimizar el nivel de corriente o mantener el factor de potencia lo más cerca posible a la unidad. Mediante la elección del tamaño adecuado del capacitor, puede lograrse que la corriente esté completamente en fase con la tensión, lo que implica un factor de poten- cia unitario. P ϭ IL 2 R IL u2,u1 cosu2. cosu1, Alternativamente, la corrección del factor de potencia puede concebirse como la adición de un elemento reac- tivo (usualmente un capacitor) en para- lelo con la carga para que el factor de potencia se acerque más a la unidad. Una carga inductiva se modela como una combinación en serie de un inductor y un resistor. V + − a) IL Carga inductiva V + − b) IL IC Carga inductiva C I Figura 11.27 Corrección del factor de potencia: a) carga inductiva original, b) carga inductiva con factor de potencia mejorado. V IC IC IL I 1 2 Figura 11.28 Diagrama fasorial que muestra el efecto de añadir un capacitor en paralelo con la carga inductiva. La corrección del factor de potencia puede examinarse desde otra pers- pectiva. Considérese el triángulo de potencia de la figura 11.29. Si la carga inductiva original tiene la potencia aparente entonces (11.57)P ϭ S1 cosu1, Q1 ϭ S1 senu1 ϭ P tanu1 S1,
- 510. Si se desea incrementar el factor de potencia de a sin alterar la potencia real (es decir, ), la nueva potencia reactiva es (11.58) La reducción de la potencia reactiva es causada por el capacitor en deriva- ción; es decir, (11.59) Pero con base en la ecuación (11.46), El valor de la capacitancia en paralelo requerida se determina como (11.60) Adviértase que la potencia real P disipada por la carga no se ve afectada por la corrección del factor de potencia, porque la potencia promedio debida a la capacitancia es de cero. Aunque la situación más común en la práctica es la de una carga induc- tiva, también es posible que la carga sea capacitiva; es decir, que opere con factor de potencia adelantado. En este caso, debe conectarse un inductor en la carga para la corrección del factor de potencia. La inductancia en paralelo L requerida puede calcularse a partir de (11.61) donde la diferencia entre la nueva y la antigua potencias reac- tivas. QL ϭ Q1 Ϫ Q2, QL ϭ V2 rms XL ϭ V2 rms L 1 L ϭ V2 rms QL C ϭ QC V 2 rms ϭ P(tanu1 Ϫ tanu2) V2 rms QC ϭ V2 rms͞XC ϭ CV2 rms. QC ϭ Q1 Ϫ Q2 ϭ P(tanu1 Ϫ tanu2) Q2 ϭ P tanu2 P ϭ S2 cosu2 cosu2cosu1 482 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca S1 S2 QC Q2 Q1 1 2 P Figura 11.29 Triángulo de potencia que ilustra la corrección del factor de potencia. Cuando se conecta a una línea de potencia de 120 V (rms) a 60 Hz, una car- ga absorbe 4 kW con factor de potencia atrasado de 0.8. Halle el valor de la capacitancia necesaria para aumentar el fp a 0.95. Solución: Si el entonces donde es la diferencia de fase entre la tensión y la corriente. La potencia aparente se obtiene de la potencia real y el fp como La potencia reactiva es Cuando el fp aumenta a 0.95, cosu2 ϭ 0.95 1 u2 ϭ 18.19Њ Q1 ϭ S1 senu ϭ 5000 sen 36.87 ϭ 3000 VAR S1 ϭ P cosu1 ϭ 4000 0.8 ϭ 5000 VA u1 cosu1 ϭ 0.8 1 u1 ϭ 36.87Њ fp ϭ 0.8, Ejemplo 11.15 4 000 5 000 VA 3 000 VAR5 000
- 511. La potencia real P no ha cambiado. Pero la potencia aparente sí; su nuevo va- lor es La nueva potencia reactiva es La diferencia entre la nueva y la antigua potencias reactivas se debe a la adi- ción a la carga del capacitor en paralelo. La potencia reactiva debida al capacitor es QC ϭ Q1 Ϫ Q2 ϭ 3 000 Ϫ 1 314.4 ϭ 1 685.6 VAR y Nota: Al comprar capacitores, normalmente se toman en cuenta las tensiones esperadas. En este caso, la tensión máxima que este capacitor soportará es de alrededor de 170 V de pico. Se sugiere adquirir un capacitor con una tensión nominal igual o mayor a 200 V. C ϭ QC V2 rms ϭ 1685.6 2p ϫ 60 ϫ 1202 ϭ 310.5 mF Q2 ϭ S2 senu2 ϭ 1314.4 VAR S2 ϭ P cosu2 ϭ 4000 0.95 ϭ 4210.5 VA 11.9 Aplicaciones 483 Halle el valor de la capacitancia en paralelo necesaria para corregir una carga de 140 kVAR con fp atrasado de 0.85 y convertirlo en fp unitario. Suponga que la carga se alimenta con una línea de 110 V (rms) a 60 Hz. Respuesta: 30.69 mF. Aplicaciones En esta sección se considerarán dos áreas de aplicación importantes: cómo se mide la potencia y cómo las compañías suministradoras de energía eléctrica determinan el costo del consumo de electricidad. 11.9.1 Medición de la potencia La potencia promedio absorbida por una carga se mide con un instrumento llamado wattímetro. 11.9 El wattímetro es el instrumento para medir la potencia promedio. En la figura 11.30 aparece un wattímetro que consta en esencia de dos bobinas: la bobina de corriente y la bobina de tensión. Una bobina de corriente con muy baja impedancia (idealmente de cero) se conecta en serie con la carga (figura 11.31) y responde a la corriente de carga. La bobina de tensión con una impedancia muy alta (idealmente infinita) se conecta en paralelo con la car- ga, como se muestra en la figura 11.31, y responde a la tensión de carga. La bobina de corriente actúa como cortocircuito, a causa de su baja impedancia; La potencia reactiva se mide con un instrumento llamado varmetro. Éste suele conectarse a la carga de la misma manera que el wattímetro. Algunos wattímetros no tienen bobinas; el considerado aquí es del tipo electromagnético. Problema de práctica 11.15 4 000 4 210.5 VA 1 314.4 VAR 1 685.6
- 512. la bobina de tensión se comporta como circuito abierto, a causa de su alta im- pedancia. Así, la presencia del wattímetro no perturba al circuito ni tiene efec- tos en la medición de la potencia. Cuando las dos bobinas se energizan, la inercia mecánica del sistema mó- vil produce un ángulo de desviación proporcional al valor promedio del pro- ducto Si la corriente y la tensión de la carga son e sus correspondientes fasores rms son (11.62) y el wattímetro mide la potencia promedio dada por (11.63) Como se observa en la figura 11.31, cada bobina del wattímetro tiene dos terminales, una de ellas marcada como Para asegurar una deflexión ascen- dente, la terminal de la bobina de corriente se encuentra hacia la fuente, mientras que la terminal de la bobina de tensión está conectada a la misma línea que la bobina de corriente. La inversión de la conexión de ambas bobi- nas daría por resultado de cualquier modo en una deflexión ascendente. Sin em- bargo, la inversión de sólo una de ellas, pero no de la otra daría por resultado una desviación invertida y en una lectura nula del wattímetro. Ϯ Ϯ Ϯ. P ϭ |Vrms||Irms| cos(uv Ϫ ui) ϭ 1 2 Vm Im cos(uv Ϫ ui) Vrms ϭ Vm 22 luv y Irms ϭ Im 22 lui i(t) ϭ Im cos(t ϩ ui), v(t) ϭ Vm cos(t ϩ uv)v(t)i(t). 484 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca i + − v R ± ± ii + − v Bobina de corriente Bobina de tensión ± ± ZL Figura 11.30 Wattímetro. Figura 11.31 Wattímetro conectado a la carga. Halle la lectura del wattímetro del circuito de la figura 11.32. ± ± + − 12 Ω 150 0° V rms j10 Ω −j6 Ω 8 Ω Figura 11.32 Para el ejemplo 11.16. Solución: 1. Definir. El problema está definido de manera clara. Curiosamente, éste es un problema en el que el estudiante realmente podría validar los re- sultados realizándolo en el laboratorio con un wattímetro real. Ejemplo 11.16 e
- 513. 2. Presentar. Este problema consiste en determinar la potencia promedio suministrada a una carga por una fuente y una impedancia externa en serie. 3. Alternativas. Éste es un problema simple de circuitos en el que todo lo que debe hacerse es hallar la magnitud y la fase de la corriente a través de la carga y la magnitud y la fase de la tensión a través de la carga. Estas cantidades también podrían hallarse usando PSpice, lo que se hará como comprobación. 4. Intentar. En la figura 11.32, el wattímetro lee la potencia promedio absorbida por la impedancia porque la bobina de corriente está en serie con la impedancia, mientras que la bobina de tensión está en paralelo con ella. La corriente a través del circuito es La tensión a través de la impedancia es La potencia compleja es El wattímetro lee 5. Evaluar. Los resultados pueden comprobarse con el uso de PSpice. P ϭ Re(S) ϭ 432.7 W ϭ 423.7 Ϫ j324.6 VA S ϭ Vrms I*rms ϭ 150(8 Ϫ j6) 20 ϩ j4 ؒ 150 20 Ϫ j4 ϭ 1502 (8 Ϫ j6) 202 ϩ 42 Vrms ϭ Irms(8 Ϫ j6) ϭ 150(8 Ϫ j6) 20 ϩ j4 V (8 Ϫ j6) ⍀ Irms ϭ 150l0Њ (12 ϩ j10) ϩ (8 Ϫ j6) ϭ 150 20 ϩ j4 A (8 Ϫ j6) ⍀ 11.9 Aplicaciones 485 ACMAG=150V ACPHASE=0 AC=ok MAG=ok PHASE=yes AC=ok MAG=ok PHASE=yes V1 R1 L1 12 10 + − 8R2 C2 0.16667 IPRINT La simulación produce: FREQ IM(V_PRINT2) IP(V_PRINT2) 1.592E-01 7.354E+00 -1.131E+01 y FREQ VM($N_0004) VP($N_0004) 1.592E-01 7.354E+01 -4.818E+01
- 514. Para comprobar la respuesta, todo lo que se necesita es la magnitud de la corriente (7.354 A) que fluye a través del resistor de carga. Como era de esperar, ¡la respuesta se comprueba! 6. ¿Satisfactorio? El problema se ha resuelto satisfactoriamente y ahora los resultados pueden presentarse como una solución. P ϭ (IL)2 R ϭ (7.354)2 8 ϭ 432.7 W 486 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca ± ± + − 4 Ω 120 30° V rms j9 Ω −j2 Ω 12 Ω En referencia al circuito de la figura 11.33, halle la lectura del wattímetro. Figura 11.33 Para el problema de práctica 11.16. Respuesta: 1 437 W. 11.9.2 Costo del consumo de electricidad En la sección 1.7 se consideró un modelo simplificado de la forma en que se determina el costo del consumo de electricidad. Sin embargo, en los cálculos respectivos no se incluyó el concepto de factor de potencia. Ahora se consi- derará la importancia del factor de potencia en el costo del consumo de elec- tricidad. Como se explicó en la sección 11.8, las cargas con bajos factores de poten- cia son de operación costosa a causa de que requieren corrientes grandes. La si- tuación ideal sería extraer una corriente mínima de una fuente de alimentación de manera que S ϭ P, Q ϭ 0 y fp ϭ 1. Una carga con Q diferente a cero sig- nifica que la energía fluye de un lado a otro entre la carga y la fuente, lo que provoca pérdidas adicionales de potencia. En vista de esto, las compañías sumi- nistradoras de energía eléctrica suelen alentar a sus clientes a tener factores de potencia lo más cercanos posible a la unidad y sancionan a algunos clientes que no mejoran sus factores de potencia de carga. Las compañías suministradoras dividen a sus clientes en categorías: resi- dencial (doméstica), comercial e industrial, o de potencia reducida, potencia media y gran potencia. Tienen diferentes estructuras de tarifas para cada ca- tegoría. El monto de energía consumida en unidades de kilowatt-hora (kWh) se mide con un watthorímetro instalado en el domicilio del cliente. Aunque las compañías suministradoras se sirven de diferentes métodos de cobro a sus clientes, la tarifa o cargo al consumidor consta por lo común de dos partes. La primera es fija y corresponde al costo de generación, transmisión y distribución de electricidad para satisfacer los requerimientos de carga de los consumidores. Esta parte de la tarifa se expresa por lo general como cierto Problema de práctica 11.16
- 515. precio por kW de demanda máxima. O puede basarse en kVA de demanda máxima, para tomar en cuenta el factor de potencia (fp) del consumidor. Una multa de fp puede imponerse al consumidor, por la cual se cobra cierto por- centaje de la demanda máxima de kW o kVA por cada caída de 0.01 en el fp por debajo de un valor prescrito, por decir 0.85 o 0.9. Por otro lado, podría ex- tenderse un crédito de fp por cada 0.01 en que el fp exceda al valor prescrito. La segunda parte es proporcional a la energía consumida en kWh, la cual podría ser en forma gradual; por ejemplo, los primeros 100 kWh a 16 centavos/- kWh, los siguientes 200 kWh a 10 centavos/kWh, etcétera. Así, la cuenta se determina con base en la siguiente ecuación: Costo total ϭ costo fijo ϩ costo de energía (11.64) 11.9 Aplicaciones 487 Una industria manufacturera consume 200 MWh al mes. Si su demanda máxi- ma es de 1 600 kW, calcule su cuenta de electricidad con base en la siguiente tarifa en dos partes: Cargo de demanda: $5.00 al mes por kW de demanda facturable. Cargo de energía: 8 centavos por kWh para los primeros 50 000 kWh, 5 centavos por kWh para la energía restante. Solución: El cargo de demanda es $5.00 ϫ 1 600 ϭ $8 000 (11.17.1) El cargo de energía por los primeros 50 000 kWh es $0.08 ϫ 50 000 ϭ $4 000 (11.17.2) La energía restante es de y el correspondiente cargo de energía es $0.05 ϫ 150 000 ϭ $7 500 (11.17.3) La suma de las ecuaciones (11.17.1) a (11.17.3) da por resultado Podría parecer que el costo de la electricidad es demasiado alto. Pero a me- nudo equivale a una fracción reducida del costo total de producción de los bienes manufacturados o del precio de venta del producto terminado. Cuenta mensual total ϭ $8 000 ϩ $4 000 ϩ $7 500 ϭ $19 500 200 000 kWh Ϫ 50 000 kWh ϭ 150 000 kWh, La lectura mensual del medidor de una fábrica de papel es la siguiente: Demanda máxima: 32 000 kW Energía consumida: 500 MWh Usando la tarifa de dos partes del ejemplo 11.17, calcule la cuenta mensual de la fábrica de papel. Respuesta: $186 500. Ejemplo 11.17 Problema de práctica 11.17
- 516. 488 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Una carga de 300 kW suministrada a 13 kV (rms) opera 520 horas al mes con un factor de potencia de 80%. Calcule el costo promedio por mes con base en esta tarifa simplificada: Cargo de energía: 6 centavos por kWh Multa de factor de potencia: 0.1% del cargo de energía por cada 0.01 que el fp caiga por debajo de 0.85. Crédito de factor de potencia: 0.1% del cargo de energía por cada 0.01 que el fp exceda de 0.85. Solución: La energía consumida es W ϭ 300 kW ϫ 520 h ϭ 156 000 kWh El factor de potencia de operación está por deba- jo del factor de potencia prescrito de 0.85. Dado que hay una multa de 0.1% del cargo de energía por cada 0.01, en este caso hay un cargo de multa de factor de potencia de 0.5%. Esto asciende a un cargo de energía de La energía total es El costo por mes está dado por Cost ϭ 6 cents ϫ Wt ϭ $0.06 ϫ 156,780 ϭ $9,406.80 Wt ϭ W ϩ ¢W ϭ 156,000 ϩ 780 ϭ 156,780 kWh ¢W ϭ 156,000 ϫ 5 ϫ 0.1 100 ϭ 780 kWh 5 ϫ 0.01fp ϭ 80% ϭ 0.8 Un horno de inducción de 800 kW con factor de potencia de 0.88 opera 20 horas diarias durante 26 días al mes. Determine la cuenta mensual de electri- cidad con base en la tarifa del ejemplo 11.18. Respuesta: $24 885.12. Resumen 1. La potencia instantánea absorbida por un elemento es el producto de la ten- sión entre las terminales del elemento y la corriente a través del elemento: 2. La potencia promedio o real (en watts) es el promedio de la potencia ins- tantánea p: Si e entonces y P ϭ 1 2 Vm Im cos(uv Ϫ ui) ϭ Vrms Irms cos(uv Ϫ ui) Vm͞12, Irms ϭ Im͞12, Vrms ϭi(t) ϭ Im cos(t ϩ ui),v(t) ϭ Vm cos(t ϩ uv) P ϭ 1 T Ύ T 0 p dt p ϭ vi. 11.10 Ejemplo 11.18 Problema de práctica 11.18 Costo
- 517. Los inductores y los capacitores no absorben potencia promedio, mientras que la potencia promedio absorbida por un resistor es 3. La potencia máxima promedio se transfiere a una carga cuando la impe- dancia de carga es la conjugada compleja de la impedancia de Thévenin vista desde las terminales de la carga, 4. El valor eficaz de una señal periódica x(t) es su valor cuadrático medio (rms). En el caso de una senoide, el valor eficaz o rms es su amplitud dividida entre 5. El factor de potencia es el coseno de la diferencia de fase entre la ten- sión y la corriente: También es el coseno del ángulo de la impedancia de la carga o la pro- porción entre la potencia real y la potencia aparente. El fp está atrasado si la corriente se atrasa respecto a la tensión (carga inductiva) y adelan- tado si la corriente se adelanta respecto a la tensión (carga capacitiva). 6. La potencia aparente S (en VA) es el producto de los valores rms de la tensión y la corriente: También está dada por donde Q es la potencia reactiva. 7. La potencia reactiva (en VAR) es: 8. La potencia compleja S (en VA) es el producto del fasor de la tensión rms y el conjugado del fasor complejo de la corriente rms. También es la suma compleja de la potencia real P y la potencia reactiva Q. Asimismo, 9. La potencia compleja total de una red es la suma de las potencias com- plejas de sus componentes individuales. La potencia real y la potencia reactiva totales también son las sumas de las potencias reales y de las po- tencias reactivas individuales, respectivamente, pero la potencia aparente total no se calcula mediante este método. 10. La corrección del factor de potencia es necesaria por razones económi- cas; es el procedimiento de mejoramiento del factor de potencia de una carga mediante la reducción de la potencia reactiva total. 11. El wattímetro es el instrumento para medir la potencia promedio. La ener- gía consumida se mide con un watthorímetro. S ϭ I2 rms Z ϭ Vrms 2 Z* S ϭ Vrms I*rms ϭ Vrms Irmsluv Ϫ ui ϭ P ϩ jQ Q ϭ 1 2 Vm Im sen(uv Ϫ ui) ϭ Vrms Irms sen(uv Ϫ ui) S ϭ 0S0 ϭ 2P2 ϩ Q2 , S ϭ Vrms Irms fp ϭ cos(uv Ϫ ui) 12. Xeff ϭ Xrms ϭ B 1 T Ύ T 0 x2 dt ZL ϭ Z*Th. (1͞2)Im 2 R ϭ I2 rms R. 11.10 Resumen 489 Xefi
- 518. 490 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Preguntas de repaso 11.1 La potencia promedio absorbida por un inductor es de cero. a) Cierto b) Falso 11.2 La impedancia de Thévenin de una red vista desde las terminales de la carga es Para la máxima transferencia de potencia, la impedancia de carga debe ser: a) b) c) d) 11.3 La amplitud de la tensión disponible en el tomacorriente a 60 Hz y 120 V del domicilio de usted es de: a) 110 V b) 120 V c) 170 V d) 210 V 11.4 Si la impedancia de carga es el factor de potencia es de: a) b) 0 c) 1 d) 0.7071 e) ninguno de los anteriores 11.5 Una cantidad que contiene toda la información de potencia sobre una carga dada es: a) el factor de potencia b) la potencia reactiva c) la potencia aparente d) la potencia compleja e) la potencia promedio 11.6 La potencia reactiva se mide en: a) watts b) VA c) VAR d) ninguno de los anteriores 11.7 En el triángulo de potencia que aparece en la figura 11.34a), la potencia reactiva es de: a) 1 000 VAR adelantada b) 1 000 VAR atrasada c) 866 VAR adelantada d) 866 VAR atrasada lϪ45Њ 20 Ϫ j20, 80 ϩ j55 ⍀80 Ϫ j55 ⍀ Ϫ80 Ϫ j55 ⍀Ϫ80 ϩ j55 ⍀ 80 ϩ j55 ⍀. a) b) 60° 500 W 30° 1 000 VAR Figura 11.34 Para las preguntas de repaso 11.7 y 11.8. 11.8 En relación con el triángulo de potencia de la figura 11.34b), la potencia aparente es de: a) 2 000 VA b) 1 000 VAR c) 866 VAR d) 500 VAR 11.9 Una fuente se conecta a tres cargas y en para- lelo. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es cierto? a) b) c) d) 11.10 El instrumento para medir la potencia promedio es el: a) voltímetro b) amperímetro c) wattímetro d) varsmetro e) watthorímetro Respuestas: 11.1a, 11.2c, 11.3c, 11.4d, 11.5e, 11.6c, 11.7d, 11.8a, 11.9c, 11.10c. S ϭ S1 ϩ S2 ϩ S3S ϭ S1 ϩ S2 ϩ S3 Q ϭ Q1 ϩ Q2 ϩ Q3P ϭ P1 ϩ P2 ϩ P3 Z3Z1, Z2 Problemas Sección 11.2 Potencia instantánea y promedio 11.1 Si e calcule la potencia instantánea y la potencia promedio. 11.2 Dado el circuito de la figura 11.35, halle la potencia promedio suministrada o absorbida por cada elemento. Ϫ20 sen(50t Ϫ 30Њ) A, i(t) ϭv(t) ϭ 160 cos 50t V 11.3 Una carga consta de un resistor de en paralelo con un capacitor de . Si la carga está conectada a una fuente de tensión vs(t) ϭ 40 cos 2 000t, halle la potencia promedio suministrada a la carga. 11.4 Halle la potencia promedio disipada por las resistencias del circuito de la figura 11.36. Después, verifique la con- servación de la potencia. 90-mF 60-⍀ Ϫj4 Ω j1 Ω 5 Ω2 0° Α Figura 11.35 Para el problema 11.2. Figura 11.36 Para el problema 11.4. 5 Ω −j6 Ω 8 Ω j4 Ω+ −20 30° V
- 519. 11.5 Suponiendo que en el circuito de la figura 11.37, halle la potencia promedio provista a cada uno de los elementos pasivos. vs ϭ 8 cos(2t Ϫ 40Њ) V 11.9 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 11.41, Halle la potencia promedio absorbida por el resistor de .20-k⍀ Vs ϭ 10l30Њ V rms. Problemas 491 Figura 11.37 Para el problema 11.5. 11.6 En referencia al circuito de la figura 11.38, Halle la potencia promedio absorbida por el resistor de .50-⍀ is ϭ 6 cos 103 t A. Figura 11.38 Para el problema 11.6. 11.7 Dado el circuito de la figura 11.39 halle la potencia pro- medio absorbida por el resistor de .10-⍀ Figura 11.39 Para el problema 11.7. 11.8 En el circuito de la figura 11.40 determine la potencia promedio absorbida por el resistor de .40-⍀ Figura 11.40 Para el problema 11.8. 1 Ω 2 Ω + − 3 H 0.25 Fvs 20ix 20 mH 10 Ω40 F is + − 50 Ω ix + − 10 Ω+ − Io 8 20° V 0.1Vo 4 Ω j5 Ω −j5 Ω 8Io + − Vo Io 6 0° A j10 Ω 0.5Io 40 Ω −j20 Ω j4 kΩ Ϫj12 kΩ 10 kΩ 2 kΩ 20 kΩ j6 kΩ – + Vs + − Figura 11.41 Para el problema 11.9. 11.10 En el circuito del amplificador operacional de la figura 11.42, halle la potencia promedio total absorbida por los resistores. + − R R RVo cos t V + − + − Figura 11.42 Para el problema 11.10. 11.11 En relación con la red de la figura 11.43 suponga que la impedancia de puerto es Halle la potencia promedio consumida por la red cuando R ϭ 10 k⍀, C ϭ 200 nF e i ϭ 2 sen(377t ϩ 22Њ) mA. Zab ϭ R 21 ϩ 2 R2 C2 lϪtanϪ1 RC Figura 11.43 Para el problema 11.11. Sección 11.3 Máxima transferencia de potencia promedio 11.12 En referencia al circuito que se muestra en la figura 11.44, determine la impedancia de carga Z para la máxima transferencia de potencia (hacia Z). Calcule la máxima potencia absorbida por la carga. v i + − Red lineal a b
- 520. 11.13 La impedancia de Thévenin de una fuente es mientras que la tensión pico de Thévenin es Determine la máxima potencia promedio disponible de la fuente. 11.14 Se desea transferir la máxima potencia a la carga Z en el circuito de la figura 11.45. Halle Z y la máxima potencia. Sea is ϭ 5 cos 40t A. VTh ϭ 110 ϩ j0 V. 120 ϩ j60 ⍀, ZTh ϭ 11.17 Calcule el valor de en el circuito de la figura 11.48 con objeto de que reciba la potencia máxima promedio. ¿Cuál es la potencia máxima promedio recibida por ZL? ZL ZL 492 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Ϫj3 Ω4 Ω j2 Ω 5 ΩZL + −40 0° V Figura 11.44 Para el problema 11.12. is 40 mF 12 Ω7.5 mH 8 Ω Z Figura 11.45 Para el problema 11.14. 11.15 En el circuito de la figura 11.46 halle el valor de que absorberá la máxima potencia y el valor de ésta. ZL Figura 11.46 Para el problema 11.15. j1 Ω 1 Ω −j1 Ω 12 0° V + − + − Vo 2Vo ZL 11.16 En referencia al circuito de la figura 11.47 halle la máxima potencia suministrada a la carga .ZL 2 Ω 10 cos 4t V 4 Ω 0.5 vo 1 H ZL F1 20 + – vo + − Figura 11.47 Para el problema 11.16. Figura 11.48 Para el problema 11.17. 11.18 Halle el valor de en el circuito de la figura 11.49 para la transferencia de la potencia máxima. ZL Figura 11.49 Para el problema 11.18. 11.19 La resistencia variable R del circuito de la figura 11.50 se ajusta hasta que absorbe la máxima potencia promedio. Halle R y la máxima potencia promedio absorbida. Figura 11.50 Para el problema 11.19. 11.20 La resistencia de carga de la figura 11.51 se ajusta hasta que absorbe la máxima potencia promedio. Calcule el valor de y la máxima potencia máxima promedio.RL RL Figura 11.51 Para el problema 11.20. −j10 Ω j20 Ω 30 Ω 40 Ω 5 90° A ZL 40 Ω 40 Ω −j10 Ω j20 Ω + − 80 Ω 60 0° V 5 0° A ZL j1 Ω −j2 Ω3 Ω 6 Ω4 0° A R −j10 Ω−j10 Ω+ − Io 120 0° V 40 Ω j20 Ω 4Io RL + −
- 521. 11.21 Suponiendo que la impedancia de carga debe ser puramente resistiva, ¿qué carga debería conectarse a las terminales a-b del circuito de la figura 11.52 de manera que se transfiera a la carga la máxima potencia? 11.25 Halle el valor rms de la señal que se muestra en la figura 11.56. Problemas 493 Figura 11.52 Para el problema 11.21. Sección 11.4 Valor eficaz o rms 11.22 Halle el valor rms de la onda senoidal rectificada que aparece en la figura 11.53. Figura 11.53 Para el problema 11.22. 11.23 Determine el valor rms de la tensión que se muestra en la figura 11.54. Figura 11.54 Para el problema 11.23. 11.24 Determine el valor rms de la onda de la figura 11.55. Figura 11.55 Para el problema 11.24. 100 Ω 40 Ω −j10 Ω j30 Ω 50 Ω+ −120 60° V 2 90° A a b i(t) t 4 0 2 3 v(t) 10 3 4210 t 1 0 2 3 4 t 5 −5 v(t) Figura 11.56 Para el problema 11.25. 11.26 Halle el valor eficaz de la onda de tensión mostrada en la figura 11.57. Figura 11.57 Para el problema 11.26. 11.27 Calcule el valor rms de la onda de corriente mostrada en la figura 11.58. Figura 11.58 Para el problema 11.27. 11.28 Halle el valor rms de la señal de tensión de la figura 11.59 así como la potencia promedio absorbida por un resistor de cuando esa tensión se aplica en el resistor. 2-⍀ Figura 11.59 Para el problema 11.28. f(t) 4 –4 –1 5 t0 1 2 3 4 20 4 6 8 10 t 5 10 v(t) 50 10 15 20 25 t 5 i(t) 20 5 7 10 12 t 8 v(t)
- 522. 11.29 Calcule el valor eficaz de la onda de corriente de la figura 11.60 y la potencia promedio suministrada a un resistor de cuando esa corriente circula por el resistor. 12-⍀ 11.33 Determine el valor rms de la señal de la figura 11.64. 494 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Figura 11.60 Para el problema 11.29. 11.30 Calcule el valor rms de la onda que se presenta en la figura 11.61. Figura 11.61 Para el problema 11.30. 11.31 Halle el valor rms de la señal que aparece en la figura 11.62. Figura 11.62 Para el problema 11.31. 11.32 Obtenga el valor rms de la onda de corriente que se muestra en la figura 11.63. Figura 11.63 Para el problema 11.32. 5 0 15 25 t 10 −10 i(t) 10 20 30 2 −1 0 4 6 8 10 t 2 v(t) v(t) 2 0 –4 1 2 3 4 5 t 10 2 3 4 5 t 10 i(t) 10t2 Figura 11.64 Para el problema 11.33. 11.34 Halle el valor eficaz de f(t) definida en la figura 11.65. Figura 11.65 Para el problema 11.34. 11.35 Un ciclo de la onda periódica de tensión se representa gráficamente en la figura 11.66. Halle el valor eficaz de la tensión. Note que el ciclo empieza en y termina en t ϭ 6 s. t ϭ 0 Figura 11.66 Para el problema 11.35. 11.36 Calcule el valor rms de cada una de las siguientes funciones: a) b) c) d) 11.37 Calcule el valor rms de la suma de estas tres corrientes: i1 ϭ 8, i2 ϭ 4 sen(t ϩ 10°), i3 ϭ 6 cos(2t ϩ 30°) A Sección 11.5 Potencia aparente y factor de potencia 11.38 En relación con el sistema de potencia de la figura 11.67, halle: a) la potencia promedio, b) la potencia reactiva, c) el factor de potencia. Tome en cuenta que 220 V es un valor rms. v(t) ϭ 5 sent ϩ 4 cost Vi(t) ϭ 8 Ϫ 6 sen 2t A v(t) ϭ 4 ϩ 3 cos 5t Vi(t) ϭ 10 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i(t) 5 t f(t) 6 –1 0 1 2 3 4 5 t 10 2 3 4 65 t 10 20 30 v(t)
- 523. 11.39 Un motor de ca con impedancia se alimenta con una fuente de 220 V a 60 Hz. a) Halle fp, P y Q. b) Determine el capacitor requerido para conectarse en paralelo con el motor de manera que el factor de po- tencia se corrija y se iguale a la unidad. 11.40 Una carga que consta de motores de inducción toma 80 kW de una línea de potencia de 220 V a 60 Hz con fp atrasado de 0.72. Halle el valor del capacitor requerido para elevar el fp a 0.92. 11.41 Obtenga el factor de potencia de cada uno de los circuitos de la figura 11.68. Especifique si cada factor de potencia está adelantado o atrasado. ZL ϭ 4.2 ϩ j3.6 ⍀ 11.43 La tensión aplicada a un resistor de es a) Calcule el valor rms de la tensión. b) Determine la potencia promedio disipada en el resistor. 11.44 Halle la potencia compleja provista por a la red de la figura 11.69. Sea vs ϭ 100 cos 2 000t V. vs v(t) ϭ 5 ϩ 3 cos(t ϩ 10Њ) ϩ cos(2t ϩ 30Њ) V 10-⍀ Problemas 495 Figura 11.67 Para el problema 11.38. + − 220 V, 60 Hz 20 − j25 Ω 90 + j80 Ω 124 0° Ω −j2 Ω j2 Ω j1 Ω −j1 Ω 1 Ω −j2 Ω a) 4 Ω b) j5 Ω4 Ω Figura 11.68 Para el problema 11.41. Sección 11.6 Potencia compleja 11.42 Una fuente de 110 V (rms) a 60 Hz se aplica a una impedancia de carga Z. La potencia aparente que entra a la carga es de 120 VA con factor de potencia atrasado de 0.707. a) Calcule la potencia compleja. b) Encontrar la corriente rms suministrada a la carga. c) Determine Z. d) Suponiendo que Z ϭ R ϩ jL halle los valores de R y L. 30 Ω 40 F + − 20 Ω 60 mHvs ix + − 4ix Figura 11.69 Para el problema 11.44. 11.45 La tensión entre los extremos de una carga y la corriente a través de ella están dadas por Halle: a) los valores rms de la tensión y de la corriente b) la potencia promedio disipada en la carga 11.46 En relación con los siguientes fasores de tensión y corriente, calcule la potencia compleja, la potencia aparente, la potencia real y la potencia reactiva. Especifique si el fp está adelantado o atrasado. a) b) c) d) 11.47 En cada uno de los siguientes casos, halle la potencia compleja, la potencia promedio y la potencia reactiva: a) b) c) d) 11.48 Determine la potencia compleja en los siguientes casos: a) b) Q ϭ 2 000 VAR, fp ϭ 0.9 (adelantado) c) d) 0Z0 ϭ 40 ⍀ (inductiva) Vrms ϭ 220 V, P ϭ 1 kW, S ϭ 600 VA, Q ϭ 450 VAR (inductiva) P ϭ 269 W, Q ϭ 150 VAR (capacitiva) I ϭ 10l60Њ A rms, Z ϭ 100l45Њ ⍀ V ϭ 80l60Њ V rms, Z ϭ 50l30Њ ⍀ i(t) ϭ 4 cos(377t ϩ 45Њ) A v(t) ϭ 160 cos 377t V, i(t) ϭ 4 cos(t Ϫ 50Њ) A v(t) ϭ 112 cos(t ϩ 10Њ) V, V ϭ 160l45Њ V rms, I ϭ 8.5l90Њ A rms V ϭ 120l0Њ V rms, I ϭ 2.4lϪ15Њ A rms I ϭ 6.2lϪ25Њ A rms V ϭ 250lϪ10Њ V rms, V ϭ 220l30Њ V rms, I ϭ 0.5l60Њ A rms i(t) ϭ 1 Ϫ 0.5 sen 100t A v(t) ϭ 20 ϩ 60 cos 100t V
- 524. 11.49 Halle la potencia compleja en los siguientes casos: a) P ϭ 4 kW, fp ϭ 0.86 (atrasado) b) c) d) 11.50 Obtenga la impedancia total en los siguientes casos: a) P ϭ 1 000 W, fp ϭ 0.8 (adelantado), b) P ϭ 1 500 W, Q ϭ 2 000 VAR (inductiva), c) 11.51 Para el circuito completo de la figura 11.70, calcule: a) el factor de potencia b) la potencia promedio provista por la fuente c) la potencia reactiva d) la potencia aparente e) la potencia compleja S ϭ 4500l60Њ VA, V ϭ 120l45Њ V Irms ϭ 12 A Vrms ϭ 220 V Vrms ϭ 120l30Њ V, Z ϭ 40 ϩ j60 ⍀ Vrms ϭ 208l20Њ V, Irms ϭ 6.5lϪ50Њ A S ϭ 2 kVA, P ϭ 1.6 kW (capacitiva) Sección 11.7 Conservación de la potencia de ca 11.54 En la red de la figura 11.73 halle la potencia compleja absorbida por cada elemento. 496 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca 2 Ω 10 Ω + − −j5 Ω j6 Ω 8 Ω 16 45° V Figura 11.70 Para el problema 11.51. 11.52 En el circuito de la figura 11.71, el dispositivo A recibe 2 kW con fp atrasado de 0.8, el dispositivo B recibe 3 kVA con fp adelantado de 0.4, mientras que el dispositivo C es inductivo y consume 1 kW y recibe 500 VAR. a) Determine el factor de potencia del sistema completo. b) Halle I dado que Vs ϭ 120l45Њ V rms. B I Vs C A + – Figura 11.71 Para el problema 11.52. 11.53 En el circuito de la figura 11.72, la carga A recibe 4 kVA con fp adelantado de 0.8. La carga B recibe 2.4 kVA con fp atrasado de 0.6. El bloque C es una carga inductiva que consume 1 kW y recibe 500 VAR. a) Determine I. b) Calcule el factor de potencia de la combinación. 120 30° V + – I A CB Figura 11.72 Para el problema 11.53. Figura 11.73 Para el problema 11.54. 11.55 Halle la potencia compleja absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito de la figura 11.74. Figura 11.74 Para el problema 11.55. 11.56 Obtenga la potencia compleja provista por la fuente del circuito de la figura 11.75. Figura 11.75 Para el problema 11.56. 4 Ω + − −j3 Ω j5 Ω8 −20° V + − + −20 Ω40 0° V rms j10 Ω−j20 Ω 50 90° V rms −j2 Ω j4 Ω 5 Ω 3 Ω 2 30° Α 6 Ω 11.57 En el circuito de la figura 11.76 halle las potencias promedio, reactiva y compleja suministradas por la fuente dependiente de corriente. 4 Ω 1 Ω −j1 Ω j2 Ω24 0° V 2 Ω + − 2Vo + − Vo Figura 11.76 Para el problema 11.57. S ϭ 4 500
- 525. 11.58 Obtenga la potencia compleja suministrada a la resisten- cia de 10 k⍀ en la figura 11.77, abajo. Problemas 497 11.59 Calcule la potencia reactiva en el inductor y el capacitor del circuito de la figura 11.78. 11.60 En alusión al circuito de la figura 11.79 halle y el factor de potencia de entrada. Vo Figura 11.79 Para el problema 11.60. Figura 11.78 Para el problema 11.59. 11.61 Dado el circuito de la figura 11.80 halle y la potencia compleja total suministrada. Io Figura 11.80 Para el problema 11.61. Figura 11.81 Para el problema 11.62. 11.62 En relación con el circuito de la figura 11.81 halle .Vs + − 10 kΩ Io 0.2 0° V rms 500 Ω −j3 kΩ j1 kΩ 20Io 4 kΩ Figura 11.77 Para el problema 11.58. −j20 Ω j30 Ω50 Ω 240 0° V 4 0° A 40 Ω+ − 6 0° A rms + − Vo 20 kW fp atrasado 0.8 16 kW fp atrasado 0.9 100 90° V 2 kVA fp adelantado 0.707 1.2 kW 0.8 kVAR (cap) 4 kW fp atrasado 0.9 Io + − Vs + − 120 V rms 10 W fp atrasado 0.9 15 W fp adelantado 0.8 0.2 Ω 0.3 Ωj0.04 Ω j0.15 Ω + − 11.63 Halle en el circuito de la figura 11.82.Io 220 0° V 12 kW fp adelantado 0.866 20 kVAR fp atrasado 0.6 16 kW fp atrasado 0.85 Io + − Figura 11.82 Para el problema 11.63.
- 526. 11.64 Determine en el circuito de la figura 11.83 si la fuente de tensión suministra 2.5 kW y 0.4 kVAR (adelantada). Is 11.68 Calcule la potencia compleja suministrada por la fuente de corriente en el circuito RLC en serie de la figura 11.87. 498 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca Figura 11.83 Para el problema 11.64. 8 Ω j12 Ω 120 0° V+ − Is 11.65 En el circuito de amplificador operacional de la figura 11.84, Halle la potencia promedio suministrada al resistor de 50 k⍀. vs ϭ 4 cos104 t V. + − 100 kΩ + −vs 50 kΩ1 nF Figura 11.84 Para el problema 11.65. Figura 11.85 Para el problema 11.66. 11.66 Obtenga la potencia promedio absorbida por el resistor de 6 k⍀ en el circuito del amplificador operacional de la figura 11.85. + − 4 kΩ j3 kΩ −j2 kΩ j4 kΩ + − 6 kΩ 2 kΩ 4 45° V 11.67 En relación con el circuito de amplificador operacional de la figura 11.86, calcule: a) la potencia compleja provista por la fuente de tensión b) la potencia promedio en el resistor de 12 ⍀ 8 Ω 3 H 10 Ω 12 Ω + −0.6 sen(2t + 20°) V 0.1 F + − Figura 11.86 Para el problema 11.67. Figura 11.87 Para el problema 11.68. Sección 11.8 Corrección del factor de potencia 11.69 En el circuito de la figura 11.88. a) ¿Cuál es el factor de potencia? b) ¿Cuál es la potencia promedio disipada? c) ¿Cuál es el valor de la capacitancia que dará por resultado un factor de potencia unitario al conectarse a la carga? Figura 11.88 Para el problema 11.69. 11.70 Una carga de 880 VA a 220 V y 50 Hz tiene un factor de potencia atrasado de 0.8. ¿Qué valor de capacitancia en paralelo corregirá el factor de potencia de la carga para acercarlo a la unidad? 11.71 Tres cargas se conectan en paralelo con una fuente . La carga 1 absorbe 60 kVAR con fp atrasado = 0.85, la carga 2 absorbe 90 kW y 50 kVAR adelantada y la carga 3 absorbe 100 kW con fp = 1. a) Halle la impedancia equivalente. b) Calcule el factor de potencia de la combinación en paralelo. c) Determine la corriente suministrada por la fuente. 11.72 Dos cargas conectadas en paralelo toman un total de 2.4 kW, con fp atrasado de 0.8, de una línea a 120 V rms y 60 Hz. Una de las cargas absorbe 1.5 kW con fp atrasado de 0.707. Determine: a) el fp de la segunda carga, b) el elemento en paralelo requerido para corregir el fp de las dos cargas y convertirlo en atrasado de 0.9. 11.73 Una alimentación de 240 V rms a 60 Hz abastece a una carga de 10 kW (resistiva), 15 kVAR (capacitiva) y 22 kVAR (inductiva). Halle: a) la potencia aparente b) la corriente tomada de la alimentación c) la capacidad nominal de kVAR y la capacitancia requeridas para mejorar el factor de potencia a atrasado de 0.96 d) la corriente tomada de la alimentación en las nuevas condiciones de factor de potencia 120l0Њ V rms LR Io cos t C Z = 10 + j12 Ω+ − C 120 V rms 60 Hz
- 527. 11.74 Una fuente de 120 V rms a 60 Hz alimenta a dos cargas conectadas en paralelo, como se observa en la figura 11.89. a) Halle el factor de potencia de la combinación en paralelo. b) Calcule el valor de la capacitancia conectada en paralelo que elevará el factor de potencia a la unidad. 11.78 Halle la lectura del wattímetro del circuito que aparece en la figura 11.93. Problemas 499 Carga 1 24 kW fp atrasado = 0.8 Carga 2 40 kW fp atrasado = 0.95 Figura 11.89 Para el problema 11.74. 11.75 Considere el sistema de potencia que se muestra en la figura 11.90. Calcule: a) la potencia compleja total b) el factor de potencia Figura 11.90 Para el problema 11.75. Sección 11.9 Aplicaciones 11.76 Obtenga la lectura del wattímetro del circuito de la figura 11.91. Figura 11.91 Para el problema 11.76. 11.77 ¿Cuál es la lectura del wattímetro en la red de la figura 11.92? + − 240 V rms, 50 Hz 80 − j50 Ω 120 + j70 Ω 60 + j0 4 Ω −j3 Ω j2 Ω 8 Ω+ −12 0° V 3 30° A ± ± 6 Ω 4 H 15 Ω0.1 F + −120 cos 2t V ± ± Figura 11.92 Para el problema 11.77. 10 Ω 4 Ω+ − 5 Ω 1 H 20 cos 4t V ± ± F1 12 Figura 11.93 Para el problema 11.78. 11.79 Determine la lectura del wattímetro del circuito de la figura 11.94. 20 Ω 40 Ω + − i 2 i10 cos100t 10 mH 500 F ± ± Figura 11.94 Para el problema 11.79. 11.80 El circuito de la figura 11.95 representa un wattímetro conectado a una red de ca. a) Halle la corriente de carga. b) Calcule la lectura del wattímetro. ZL = 6.4 Ω fp = 0.825 + −110 V WM Figura 11.95 Para el problema 11.80.
- 528. 11.81 Una secadora de cabello eléctrica de 120 V rms a 60 Hz consume 600 W con fp atrasado de 0.92. Calcule el valor rms de la corriente que toma la secadora. 11.82 Una fuente de 240 V rms a 60 Hz alimenta a una combinación en paralelo de un calentador de 5 kW y un motor de inducción de 30 kVA cuyo factor de potencia es de 0.82. Determine: a) la potencia aparente del sistema b) la potencia reactiva del sistema c) la capacidad nominal de kVA de un capacitor requerida para ajustar el factor de potencia del sistema a atrasado de 0.9 d) el valor del capacitor requerido 11.83 Las mediciones de un osciloscopio indican que la tensión entre los extremos de una carga y la corriente a través de ella son, respectivamente, y . Determine: a) la potencia real b) la potencia aparente c) la potencia reactiva d) el factor de potencia 11.84 Un consumidor tiene un consumo anual de 1 200 MWh con una demanda máxima de 2.4 MVA. El cargo por de- manda máxima es de $30 por kVA al año, y el cargo de energía por kWh es de 4 centavos. 8l25Њ A 210l60Њ V a) Determine el costo anual de energía. b) Calcule el cargo por kWh con una tarifa uniforme si los ingresos de la compañía suministradora de energía deben ser los mismos que en el caso de una tarifa en dos partes. 11.85 Un sistema doméstico de un circuito monofásico de tres hilos permite la operación de aparatos tanto de 120 V como de 240 V a 60 Hz. Este circuito doméstico se modela como se indica en la figura 11.96. Calcule: a) las corrientes I1, I2 e In b) la potencia compleja total suministrada c) el factor de potencia total del circuito 500 Capítulo 11 Análisis de potencia de ca I2 I1 In 10 Ω 30 Ω 10 Ω + − + − 15 mH 120 0° V Lámpara Refrigerador Estufa 120 0° V Figura 11.96 Para el problema 11.85. Problemas de mayor extensión 11.86 Un transmisor suministra potencia máxima a una antena cuando ésta se ajusta para representar una carga de una resistencia de 75 ⍀ en serie con una inductancia de Si el transmisor opera a 4.12 MHz, halle su impedancia interna. 11.87 En un transmisor de televisión, un circuito en serie tiene una impedancia de y una corriente total de 50 mA. Si la tensión en la resistencia es de 80 V, ¿cuál es el factor de potencia del circuito? 11.88 Cierto circuito electrónico se conecta a una línea de ca de 110 V. El valor cuadrático medio de la corriente tomada es de 2 A, con un ángulo de fase de a) Halle la verdadera potencia que toma el circuito. b) Calcule la potencia aparente. 11.89 Un calefactor industrial tiene una etiqueta en la que se lee: 210 V 60 Hz 12 kVA fp atrasado 0.78. Determine: a) las potencias aparente y compleja b) la impedancia del calentador *11.90 Un turbogenerador de 2 000 kW con factor de potencia de 0.85 opera en la carga nominal. Se agrega una carga adicional de 300 kW con factor de potencia de 0.8. ¿Qué 55Њ. 3 k⍀ 4 mH. kVAR de capacitores se requiere para operar el turbogenerador pero evitando que se sobrecargue? 11.91 La etiqueta de un motor eléctrico contiene la siguiente información: Tensión de línea: 220 V rms Corriente de línea: 15 A rms Frecuencia de línea: 60 Hz Potencia: 2 700 W Determine el factor de potencia (atrasado) del motor. Halle el valor de la capacitancia C que debe conectarse a través del motor para elevar el fp a la unidad. 11.92 Como se muestra en la figura 11.97, una línea alimentadora de 550 V abastece a una planta industrial compuesta por un motor que toma 60 kW con fp (inductivo) de 0.75, un capacitor con capacidad nominal de 20 kVAR y una iluminación que toma 20 kW. a) Calcule la potencia reactiva y la potencia aparente totales absorbidas por la planta. b) Determine el fp total. c) Halle la corriente en la línea alimentadora. * Un asterico indica un problema difícil.
- 529. 11.96 Un amplificador de potencia tiene una impedancia de salida de Produce una tensión de salida sin carga de 146 V a 300 Hz. a) Determine la impedancia de la carga que logra la transferencia de potencia máxima. b) Calcule la potencia de la carga en esta condición de equilibrio. 11.97 Un sistema de transmisión de potencia se modela como se muestra en la figura 11.99. Si halle la potencia promedio absorbida por la carga. Vs ϭ 240l0Њ rms, 40 ϩ j8 ⍀. Problemas de mayor extensión 501 60 kW pf = 0.75 550 V 20 kVAR 20 kW+ − Figura 11.97 Para el problema 11.92. 11.93 Una fábrica tiene las siguientes cuatro cargas principales: • Un motor con capacidad nominal de 5 hp, fp atrasado de 0.8 (1 hp ϭ 0.7457 kW) • Un calefactor con capacidad nominal de 1.2 kW, fp de 1.0. • Diez focos de 120 W. • Un motor síncrono con capacidad nominal de 1.6 kVAR, fp adelantado de 0.6. a) Calcule las potencias real y reactiva totales. b) Halle el factor de potencia total. 11.94 Una subestación de 1 MVA opera en plena carga con un factor de potencia de 0.7. Se desea elevar éste a 0.95 instalando capacitores. Suponga que las nuevas instalaciones de subestación y distribución tienen un costo de $120 por kVA instalado, y que los capacitores tienen un costo de $30 por kVA instalado. a) Calcule el costo de los capacitores necesarios. b) Halle los ahorros en capacidad liberada de la subestación. c) ¿Son convenientes económicamente los capacitores para incrementar implícitamente de la capacidad de la subestación? 11.95 Un capacitor acoplador se utiliza para bloquear la corriente de cd de un amplificador, como se advierte en la figura 11.98a). El amplificador y el capacitor actúan como la fuente, mientras que el altavoz es la carga, como se indica en la figura 11.98b). a) ¿A qué frecuencia se transfiere la potencia máxima al altavoz? b) Si ¿cuánta potencia se suministra al altavoz a esa frecuencia? Vs ϭ 4.6 V rms, Amplificador Vent Altavoz Capacitor de acoplo a) 10 Ω 40 nF 80 mH 4 Ω vs Amplificador Altavoz b) Figura 11.98 Para el problema 11.95. 0.1 Ω 0.1 Ω j1 Ω j1 Ω + − j20 Ω 100 Ω Vs Fuente Línea Carga Figura 11.99 Para el problema 11.97.
- 531. Circuitos trifásicos Quien no puede perdonar a los demás, rompe el puente que él mismo debe cruzar. —G. Herbert C a p í t u l o 12 Mejore sus habilidades y su carrera CRITERIOS ABET EC 2000 (3.e), “capacidad para identificar, formular y resolver problemas de ingeniería”. La “capacidad para identificar, formular y resolver problemas de ingeniería” es precisamente lo que se desarrolla y refuerza en usted con este libro de tex- to. De hecho, seguir nuestro proceso de resolución de problemas de seis pa- sos está específicamente diseñado para lograrlo. Le recomendamos aplicar ese proceso tanto como sea posible. Quizá le agrade saber que dicho proceso da buenos resultados incluso en cursos no relacionados con la ingeniería. CRITERIOS ABET EC 2000 (f), “comprensión de la responsabilidad profesional y ética”. Una “comprensión de la responsabilidad profesional y ética” es necesaria en cada ingeniero. Hasta cierto punto, se trata de algo muy personal. Usted sa- be que esto es algo que se espera de usted, así que le ofrezco algunos indi- cadores para ayudarle a desarrollar esa comprensión. Una de mis maneras favoritas de entender esto es que un ingeniero tiene la responsabilidad de con- testar lo que llamo la “pregunta no hecha”. Pongamos un ejemplo sencillo. Imagine que su automóvil tiene un problema con la transmisión y lo ofrece en venta. Un posible cliente le pregunta si hay un problema en el cojinete de la rueda delantera derecha. Usted responde que no. Sin embargo, como inge- niero debe informar al posible cliente que hay un problema con la transmi- sión, aunque él no haya hecho esta pregunta. Su responsabilidad, tanto profesional como ética, es actuar de tal mane- ra que no perjudique a quienes lo rodean y a aquellos ante quienes tiene que rendir cuentas. Evidentemente, mejorar esta capacidad demandará de usted tiempo y madurez. Le recomiendo practicarla buscando las características pro- fesionales y éticas de sus actividades diarias. 503 Foto por Charles Alexander
- 532. 504 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Introducción Hasta aquí se ha tratado acerca de circuitos monofásicos. Un sistema mono- fásico de potencia de ca consta de un generador conectado a través de un par de conductores (una línea de transmisión) a una carga. En la figura 12.1a) aparece un sistema monofásico de dos conductores, donde Vp es la magnitud de la tensión de fuente y la fase. Más común en la práctica es un sistema monofásico de tres conductores, como el que aparece en la figura 12.1b). Es- te sistema contiene dos fuentes idénticas (de igual magnitud y de la misma fase) conectadas a dos cargas por medio de dos conductores exteriores y el neutro. Por ejemplo, el sistema doméstico normal es un sistema monofásico de tres conductores, porque las tensiones entre las terminales tienen la misma magnitud y la misma fase. Tal sistema permite la conexión de aparatos tanto de 120 V como de 240 V. 12.1 Nota histórica: Thomas Edison inventó el sistema de tres conductores, usando tres conductores en vez de cuatro. Figura 12.1 Sistemas monofásicos: a) tipo de dos conductores, b) tipo de tres conductores. ZLVp + − a) ZL1Vp a A n N b B + − b) ZL2Vp + − ZL1 Vp a A n N b B + − ZL2 + −−90° Vp 0° ZL1a A b B c C n N Vp 0° − + ZL2 Vp −120° Vp +120° − + ZL3 − + Los circuitos o sistemas en los que las fuentes de ca operan a la misma frecuencia pero en diferentes fases se conocen como polifásicos. En la figura 12.2 se muestra un sistema bifásico de tres conductores, y en la figura 12.3 un sistema trifásico de cuatro conductores. A diferencia de un sistema mono- fásico, uno bifásico se produce con un generador que consta de dos bobinas dispuestas en forma perpendicular entre sí a fin de que la tensión generada por una se atrase 90° de la otra. Por la misma razón, un sistema trifásico se produce con un generador que consta de tres fuentes con la misma amplitud y frecuencia, pero desfasadas 120° entre sí. Dado que el sistema trifásico es con mucho el sistema polifásico más frecuente y económico, este capítulo tra- tará principalmente de los sistemas trifásicos. Los sistemas trifásicos son importantes por al menos tres razones. Prime- ro, casi toda la potencia eléctrica se genera y distribuye en forma trifásica, a una frecuencia de utilización de 60 Hz (o ϭ 377 rad/s) en Estados Unidos o de 50 Hz (o ϭ 314 rad/s) en otras partes del mundo. Cuando se requie- ren entradas monofásicas o bifásicas, se les toma del sistema trifásico en vez de generarlas en forma independiente. Y aun si se necesitan más de tres fa- ses, como en la industria del aluminio, donde se requieren 48 fases para efec- tos de fundición, es posible obtenerlas manipulando las tres fases provistas. Segundo, la potencia instantánea en un sistema trifásico puede ser constante (no pulsante), como se verá en la sección 12.7. Esto produce una transmisión uniforme de potencia y menos vibración de las máquinas trifásicas. Tercero, respecto del mismo monto de potencia, el sistema trifásico es más económi- co que el monofásico. La cantidad de alambre conductor requerida para un sistema trifásico es menor que la requerida para un sistema monofásico equi- valente. Figura 12.2 Sistema bifásico de tres conductores. Figura 12.3 Sistema trifásico de cuatro conductores.
- 533. 12.2 Tensiones trifásicas balanceadas 505 Nikola Tesla (1856-1943) fue un ingeniero croata-estadounidense cuyos in- ventos, entre ellos el motor de inducción y el primer sistema polifásico de po- tencia de ca, influyeron enormemente en la resolución a favor de la ca del debate entre ésta y la cd. También fue responsable de la adopción de 60 Hz como norma de los sistemas de potencia de ca en Estados Unidos. Nacido en Austria-Hungría (hoy Croacia) e hijo de un eclesiástico, Tesla poseía una memoria increíble y una marcada afinidad con las matemáticas. Se trasladó a Estados Unidos en 1884, y al principio trabajó para Thomas Edi- son. En ese entonces, en aquel país se libraba la “batalla de las corrientes”; George Westinghouse (1846-1914) promovía la ca y Thomas Edison dirigía firmemente a las fuerzas de la cd. Tesla se apartó de Edison y se unió a Wes- tinghouse, a causa de su interés en la ca. Por medio de Westinghouse, Tesla obtuvo el prestigio y aceptación de su sistema polifásico de generación, trans- misión y distribución de ca. Consiguió en vida 700 patentes. Sus demás in- ventos incluyen un aparato de alta tensión (la bobina de Tesla) y un sistema de transmisión inalámbrico. La unidad de densidad de flujo magnético, el tes- la, se llama así en su honor. Perfiles históricos Estator Salida trifásica a b c n c N S b′ c′ ba a′ Rotor Se comenzará con una explicación de las tensiones trifásicas balanceadas. Después se analizarán cada una de las cuatro posibles configuraciones de los sistemas trifásicos balanceados. También se tratará el análisis de sistemas tri- fásicos desbalanceados. Se aprenderá a usar PSpice for Windows para anali- zar un sistema trifásico balanceado o desbalanceado. Por último, los conceptos de este capítulo se aplicarán a la medición de la potencia trifásica y a la ins- talación eléctrica residencial. Tensiones trifásicas balanceadas Las tensiones trifásicas se producen a menudo con un generador (o alterna- dor) trifásico de ca, la apariencia de cuya sección transversal se muestra en la figura 12.4. Este generador consta básicamente de un imán giratorio (lla- mado rotor) rodeado por un devanado estacionario (llamado estator). Tres de- 12.2 Figura 12.4 Generador trifásico. Cortesía de Smithsonian Institution
- 534. 506 Capítulo 12 Circuitos trifásicos vanados o bobinas independientes con terminales a-aЈ, b-b, y c-cЈ se dispo- nen físicamente alrededor del estator a 120° de distancia entre sí. Las termi- nales a y aЈ, por ejemplo, representan uno de los extremos de las bobinas, en dirección hacia la página, y el otro extremo de las bobinas, hacia fuera de la página. Al girar el rotor, su campo magnético “corta” el flujo de las tres bo- binas e induce tensiones en ellas. A causa de que las bobinas se hallan a 120° de distancia entre sí, las tensiones inducidas en ellas son iguales en magnitud pero están desfasadas 120° (figura 12.5). Puesto que cada bobina puede con- siderarse en sí misma un generador monofásico, el generador trifásico puede suministrar potencia a cargas tanto mono como trifásicas. Un sistema trifásico habitual consta de tres fuentes de tensión conectadas a cargas mediante tres o cuatro conductores (o líneas de transmisión). (Las fuentes trifásicas de corriente son muy escasas.) Un sistema trifásico equiva- le a tres circuitos monofásicos. Las fuentes de tensión pueden conectarse en estrella, como se observa en la figura 12.6a), o en delta, como en la figura 12.6b). 0 120° Van t Vbn Vcn 240° + − + − + − a) a Van VbnVcn Vca Vab Vbc n b c + − + − b) a b c − + 120° Vcn Van Vbn 120° −120° a) 120° Vbn Van Vcn 120° −120° b) Figura 12.5 Las tensiones generadas están desfasadas 120° entre sí. Figura 12.6 Fuentes trifásicas de tensión: a) conectadas en Y, b) conectadas en ⌬. Considérense por ahora las tensiones conectadas en estrella de la figura 12.6a). Las tensiones Van, Vbn y Vcn se encuentran respectivamente entre las líneas a, b y c y la línea neutra n. Esas tensiones se llaman tensiones de fa- se. Si las fuentes de tensión tienen la misma amplitud y frecuencia y están desfasadas 120° entre sí, se dice que las tensiones están balanceadas. Esto implica que Van ϩ Vbn ϩ Vcn ϭ 0 (12.1) ΗVanΗ ϭ ΗVbnΗ ϭ ΗVcnΗ (12.2) Así, Las tensiones de fase balanceadas son de igual magnitud y están desfasa- das 120° entre sí. Dado que las tensiones trifásicas están desfasadas 120° entre sí, hay dos combinaciones posibles. Una posibilidad aparece en la figura 12.7a) y se ex- presa matemáticamente como (12.3) Vcn ϭ VplϪ240Њ ϭ Vplϩ120Њ Vbn ϭ VplϪ120Њ Van ϭ Vpl0Њ Figura 12.7 Secuencias de fases: a) abc o secuencia positiva, b) acb o secuencia negativa.
- 535. 12.2 Tensiones trifásicas balanceadas 507 donde Vp es el valor eficaz o rms de las tensiones de fase. Esto se conoce co- mo secuencia abc o secuencia positiva. En esta secuencia de fases, Van se adelanta a Vbn, la que a su vez se adelanta a Vcn. Esta secuencia se produce cuando el rotor de la figura 12.4 gira en sentido contrahorario. La otra posi- bilidad aparece en la figura 12.7b) y está dada por (12.4) Esto se llama secuencia acb o secuencia negativa. En esta secuencia de fa- ses, Van se adelanta a Vcn, la que a su vez se adelanta a Vbn. La secuencia acb se produce cuando el rotor de la figura 12.4 gira en la dirección de las manecillas del reloj. Es fácil demostrar que las tensiones en las ecuaciones (12.3) o (12.4) satisfacen las ecuaciones (12.1) y (12.2). Por ejemplo, partien- do de la ecuación (12.3). Van ϩ Vbn ϩ Vcn ϭ Vpl ¬ 0° ϩ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ ϩ Vpl ¬ ϩ120° ¬ ϭ Vp(1.0 Ϫ 0.5 Ϫ j0.866 Ϫ 0.5 ϩ j0.866) (12.5) ϭ 0 La secuencia de fases es el orden temporal en que las tensiones pasan por sus respectivos valores máximos. La secuencia de fases está determinada por el orden en que los fasores pasan por un punto fijo en el diagrama de fase. En la figura 12.7a), mientras los fasores giran en dirección contraria a las manecillas del reloj con la frecuencia , pasan por el eje horizontal en una secuencia abcabca… Así, esta secuencia es abc, bca o cab. De igual mane- ra, en cuanto a los fasores de la figura 12.7b), al girar en dirección contraria a las manecillas del reloj pasan por el eje horizontal en una secuencia acbac- ba… Esto describe a la secuencia acb. La secuencia de fases es importante en la distribución de potencia trifásica. Determina la dirección de la rotación de un motor conectado a la fuente de potencia, por ejemplo. Al igual que las conexiones del generador, una carga trifásica puede co- nectarse en estrella o en delta, dependiendo de la aplicación final. En la figu- ra 12.8a) se presenta una carga conectada en estrella, y en la figura 12.8b) una carga conectada en delta. La línea neutra de la figura 12.8a) puede exis- tir o no, dependiendo de si el sistema es de cuatro o de tres conductores. (Y, desde luego, una conexión neutra es topológicamente imposible en una cone- xión en delta.) Se dice que una carga conectada en estrella o en delta está des- balanceada si las impedancias de fase no son iguales en magnitud o fase. Una carga balanceada es aquella en la que las impedancias de las fases son iguales en magnitud y en fase. En una carga balanceada conectada en estrella, Z1 ϭ Z2 ϭ Z3 ϭ ZY (12.6) Vbn ϭ VplϪ240Њ ϭ Vplϩ120Њ Vcn ϭ VplϪ120Њ Van ϭ Vpl0Њ Por una costumbre común en sistemas de potencia, en este capítulo la ten- sión y la corriente están en valores rms, a menos que se indique otra cosa. La secuencia de fases también puede concebirse como el orden en que las tensiones de fase llegan a sus valores pico (o máximos) respecto al tiempo. Recordatorio: Al incrementarse el tiempo, cada fasor (o sinor) gira a una velocidad angular . a b n c a) Z2 Z1 Z3 a b c b) ZbZc Za Figura 12.8 Dos posibles configuraciones de cargas trifásicas: a) conexión en Y, b) conexión en ⌬.
- 536. Problema de práctica 12.1 508 Capítulo 12 Circuitos trifásicos donde ZY es la impedancia de carga por fase. En una carga balanceada co- nectada en delta, Za ϭ Zb ϭ Zc ϭ Z⌬ (12.7) donde Z⌬ es la impedancia de carga por fase en este caso. Recuérdese de la ecuación (9.69) que Z⌬ ϭ 3ZY o ZY ϭ Z⌬ (12.8) así que se sabe que una carga conectada en estrella puede transformarse en una carga conectada en delta, o viceversa, con el uso de la ecuación (12.8). Puesto que tanto la fuente trifásica como la carga trifásica pueden conec- tarse ya sea en estrella o en delta, se tienen cuatro conexiones posibles: • Conexión Y-Y (es decir, fuente conectada en Y con carga conectada en Y). • Conexión Y-⌬. • Conexión ⌬-⌬. • Conexión ⌬-Y. En las secciones subsecuentes se considerará cada una de estas posibles con- figuraciones. Conviene mencionar aquí que una carga balanceada conectada en delta es más común que una carga balanceada conectada en estrella. Esto se debe a la facilidad con la que pueden añadirse o retirarse cargas de cada fase de una carga conectada en delta. Esto es muy difícil con una carga conectada en es- trella, porque la línea neutra podría no estar accesible. Por otra parte, las fuen- tes conectadas en delta no son comunes en la práctica, a causa de la corriente circulante que se producirá en la malla en delta si las tensiones trifásicas es- tán levemente desbalanceadas. 1 3 Recordatorio: Una carga conectada en Y consta de tres impedancias conec- tadas a un nodo neutro, mientras que una carga conectada en ⌬ consta de tres impedancias conectadas a lo largo de una malla. La carga está balanceada cuando las tres impedancias son iguales en cualquiera de ambos casos. Ejemplo 12.1 Determine la secuencia de fases del conjunto de tensiones van ϭ 200 cos (t ϩ 10°) vbn ϭ 200 cos (t Ϫ 230°), vcn ϭ 200 cos (t Ϫ 110°) Solución: Las tensiones pueden expresarse en forma fasorial como Van ϭ 200l ¬ 10° ¬ V, Vbn ϭ 200l ¬ Ϫ230° ¬ V, Vcn ϭ 200l ¬ Ϫ110° ¬ V Es notorio que Van se adelanta a Vcn en 120°, y que Vcn se adelanta a su vez a Vbn en 120°. Así, se tiene una secuencia acb. Dado que Vbn ϭ 110l ¬ 30° ¬ V, halle Van y Vcn suponiendo una secuencia po- sitiva (abc). Respuesta: 110l ¬ 150° ¬ V, 110l ¬ Ϫ90° ¬ V.
- 537. 12.3 Conexión estrella-estrella balanceada 509 Conexión estrella-estrella balanceada Se comenzará por el sistema Y-Y, porque cualquier sistema trifásico balancea- do puede reducirse a un sistema Y-Y equivalente. Por lo tanto, el análisis de este sistema debe considerarse la clave para resolver todos los sistemas trifá- sicos balanceados. Un sistema Y-Y balanceado es un sistema trifásico con fuente balanceada co- nectada en Y y carga balanceada conectada en Y. Considérese el sistema Y-Y balanceado de cuatro conductores de la figu- ra 12.9, en el que una carga conectada en Y se conecta a una fuente conecta- da en Y. Se supone una carga balanceada, de modo que las impedancias de carga son iguales. Aunque la impedancia ZY es la impedancia de carga total por fase, también puede concebirse como la suma de la impedancia de fuen- te Zs, la impedancia de línea Zഞ y la impedancia de carga ZL de cada fase, ya que estas impedancias están en serie. Como se ilustra en la figura 12.9, Zs denota la impedancia interna del devanado de fase del generador; Zഞ es la im- pedancia de la línea que une a una fase de la fuente con una fase de la car- ga; ZL es la impedancia de cada fase de la carga, y Zn es la impedancia de la línea neutra. Así, en general, ZY ϭ Zs ϩ Zഞ ϩ ZL (12.9) 12.3 Figura 12.9 Sistema Y-Y balanceado, en el que se indican las im- pedancias de fuente, línea y carga. Figura 12.10 Conexión Y-Y balanceada. + − Zഞ Zഞ Zഞ Zn Zs Zs Zs ZL ZL ZL Van Vcn Vbn A N BCb n c a + − + − + − ZY ZYZY Van Vcn Vbn A N BC b n c a In Ib Ia Ic + − + − Zs y Zഞ suelen ser muy reducidas en comparación con ZL, de modo que pue- de suponerse que ZY ϭ ZL si no se da ninguna impedancia de fuente o línea. En todo caso, mediante la agrupación de las impedancias, el sistema Y-Y de la figura 12.9 puede simplificarse en el que se muestra en la figura 12.10. Suponiendo la secuencia positiva, las tensiones de fase (o tensiones línea- neutro) son Van ϭ Vpl ¬ 0° (12.10) Vbn ϭ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ , Vcn ϭ Vpl ¬ ϩ120° ¬
- 538. 510 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Las tensiones línea-línea, o simplemente tensiones de línea, Vab, Vbc y Vca se relacionan con las tensiones de fase. Por ejemplo, Vbc ϭ Van ϩ Vnb ϭ Van Ϫ Vbn ϭ Vpl ¬ 0° Ϫ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ (12.11a) De igual manera puede obtenerse Vbc ϭ Vbn Ϫ Vcn ϭ ͙ළ3Vpl ¬ Ϫ90° ¬ (12.11b) Vca ϭ Vcn Ϫ Van ϭ ͙ළ3Vpl ¬ Ϫ210° ¬ (12.11c) Por lo tanto, la magnitud de las tensiones de línea VL es ͙ෆ3 veces la mag- nitud de las tensiones de fase Vp, o VL ϭ ͙ෆ3 Vp (12.12) donde Vp ϭ ΗVanΗ ϭ ΗVbnΗ ϭ ΗVcnΗ (12.13) y VL ϭ ΗVabΗ ϭ ΗVbcΗ ϭ ΗVcaΗ (12.14) Asimismo, las tensiones de línea se adelantan respecto a las tensiones de fase correspondientes en 30°. La figura 12.11a) ilustra esto. Esta figura también in- dica cómo determinar Vab a partir de las tensiones de fase, en tanto que la fi- gura 12.11b) indica lo mismo acerca de las tres tensiones de línea. Nótese que Vab se adelanta a Vbc en 120° y Vbc se adelanta a Vca en 120°, de manera que las tensiones de línea suman cero, al igual que las tensiones de fase. Al aplicar la LTK a cada fase de la figura 12.10, se obtienen las corrien- tes de línea como (12.15) Se infiere fácilmente que las corrientes de línea suman cero, Ia ϩ Ib ϩ Ic ϭ 0 (12.16) de modo que In ϭ Ϫ(Ia ϩ Ib ϩ Ic) ϭ 0 (12.17a) o sea VnN ϭ ZnIn ϭ 0 (12.17b) lo cual quiere decir que la tensión en el conductor neutro es de cero. Así pues, la línea neutra puede eliminarse sin afectar el sistema. De hecho, en transmi- sión de potencia de larga distancia se emplean conductores en múltiplos de tres en los que la tierra actúa como el conductor neutro. Los sistemas de po- tencia que se diseñan de esta manera se aterrizan cuidadosamente en todos los puntos críticos para garantizar la seguridad. Mientras que la corriente de línea es la corriente en cada línea, la corrien- te de fase es la corriente en cada fase de la fuente o la carga. En el sistema Y-Y, la corriente de línea es igual a la corriente de fase. Se usará un solo sub- Ic ϭ Vcn ZY ϭ VanlϪ240Њ ZY ϭ IalϪ240Њ Ia ϭ Van ZY , Ib ϭ Vbn ZY ϭ VanlϪ120Њ ZY ϭ IalϪ120Њ ϭ Vp a1 ϩ 1 2 ϩ j 13 2 b ϭ 13Vpl30Њ Figura 12.11 Diagramas fasoriales que ilustran la relación entre tensiones de línea y las de fase. a) 30° Vcn Vnb Vab = Van + Vnb Van Vbn b) Vca Vcn Vab Van Vbc Vbn
- 539. 12.3 Conexión estrella-estrella balanceada 511 índice en las corrientes de línea, porque es natural y convencional suponer que las corrientes de línea fluyen de la fuente a la carga. Otra forma de analizar un sistema Y-Y balanceado es hacerlo “por fase”. Se examina una fase, la fase a por ejemplo, y se analiza el circuito monofá- sico equivalente de la figura 12.12. El análisis monofásico produce la corrien- te de línea Ia como Ia ϭ (12.18) A partir de Ia, se aplica la secuencia de fases para obtener las demás corrien- tes de línea. Así, en tanto el sistema esté balanceado, basta con analizar una fase. Esto puede hacerse aun si la línea neutra está ausente, como en el sis- tema de tres conductores. Van ZY Figura 12.12 Circuito monofásico equivalente. ZYVan + − a A n N Ia + − 5 – j2 Ω 10 + j8 Ω 10 + j8 Ω A B c b a 5 – j2 Ω 10 + j8 Ω C5 – j2 Ω 110 −120° V110 −240° V 110 0° V + − + − Ejemplo 12.2Calcule las corrientes de línea del sistema Y-Y de tres conductores de la fi- gura 12.13. Figura 12.13 Sistema Y-Y de tres conductores, para el ejemplo 12.2. Solución: El circuito trifásico de la figura 12.13 está balanceado; se le puede remplazar por su circuito monofásico equivalente, como el de la figura 12.12. Ia se ob- tiene del análisis monofásico como Ia ϭ donde ZY ϭ (5 Ϫ j2) ϩ (10 ϩ j8) ϭ 15 ϩ j6 ϭ 16.155l ¬ 21.8° ¬ . Así, Como las tensiones de fuente de la figura 12.13 están en secuencia positiva, las corrientes de línea también están en secuencia positiva: Ic ϭ IalϪ240Њ ϭ 6.81lϪ261.8Њ A ϭ 6.81l98.2Њ A Ib ϭ IalϪ120Њ ϭ 6.81lϪ141.8Њ A Ia ϭ 110l0Њ 16.155l21.8Њ ϭ 6.81lϪ21.8Њ A Van ZY
- 540. 512 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Conexión estrella-delta balanceada Un sistema Y-⌬ balanceado consta de una fuente balanceada conectada en Y que alimenta a una carga balanceada conectada en ⌬. El sistema Y-delta balanceado se presenta en la figura 12.14, en la que la fuente está conectada en estrella y la carga está conectada en ⌬. No hay, des- de luego, conexión neutra de la fuente a la carga en este caso. Suponiendo la secuencia positiva, las tensiones de fase son de nueva cuenta Van ϭ Vpl ¬ 0° Vbn ϭ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ , Vcn ϭ Vpl ¬ ϩ120° ¬ (12.19) Como se mostró en la sección 12.3, las tensiones de línea son Vab ϭ ͙ළ3Vpl ¬ 30° ¬ ϭ VAB, Vbc ϭ ͙ළ3Vpl ¬ Ϫ90° ¬ ϭ VBC Vca ϭ ͙ළ3Vpl ¬ Ϫ150° ¬ ϭ VCA (12.20) lo que indica que las tensiones de línea son iguales a las tensiones en las im- pedancias de carga en esta configuración de sistemas. De estas tensiones pue- den obtenerse las corrientes de fase como IAB ϭ , IBC ϭ , ICA ϭ (12.21) Estas corrientes tienen la misma magnitud, pero están defasadas 120° entre sí. VCA Z⌬ VBC Z⌬ VAB Z⌬ 12.4 Problema de práctica 12.2 Un generador trifásico balanceado conectado en Y con una impedancia de 0.4 ϩ j0.3 ⍀ por fase se conecta con una carga balanceada conectada en Y con una impedancia de 24 ϩ j19 ⍀ por fase. La línea que une al generador y la carga tiene una impedancia de 0.6 ϩ j0.7 ⍀ por fase. Suponiendo una secuen- cia positiva de las tensiones de fuente y que Van ϭ 120l ¬ 30° ¬ V halle: a) las tensiones de línea, b) las corrientes de línea. Respuesta: a) b) 3.75lϪ8.66Њ A, 3.75lϪ128.66Њ A, 3.75lϪ111.34Њ A. 207.85l60Њ V, 207.85lϪ60Њ V, 207.85lϪ180Њ V, Éste es quizá el sistema trifásico más práctico, ya que las fuentes trifásicas suelen conectarse en Y, mientras que las cargas trifásicas suelen conectarse en ⌬. + − ZΔ ZΔ ZΔ Van Vcn Vbn IAB ICA A C b c B n a + − + − Ia Ib IBCIc Figura 12.14 Conexión Y-⌬ balanceada.
- 541. 12.4 Conexión estrella-delta balanceada 513 Otra manera de obtener estas corrientes de fase es aplicar la LTK. Por ejem- plo, la aplicación de la LTK a lo largo del lazo aABbna da como resultado ϪVan ϩ Z⌬IAB ϩ Vbn ϭ 0 o sea IAB ϭ ϭ ϭ (12.22) ecuación igual a la ecuación (12.21). Ésta es la manera más general de deter- minar las corrientes de fase. Las corrientes de línea se obtienen de las corrientes de fase aplicando la LCK en los nodos A, B y C. Así, Ia ϭ IAB Ϫ ICA, Ib ϭ IBC Ϫ IAB, Ic ϭ ICA Ϫ IBC (12.23) Puesto que ICA ϭ IABl ¬ Ϫ240° ¬ , Ia ϭ IAB Ϫ ICA ϭ IAB(1 Ϫ 1l ¬ Ϫ240° ¬ ) ϭ IAB(1 ϩ 0.5 Ϫ j0.866) ϭ IAB͙ළ3l ¬ Ϫ30° ¬ (12.24) lo que indica que la magnitud IL de la corriente de línea es ͙ළ3 veces la mag- nitud Ip de la corriente de fase, o IL ϭ ͙ළ3Ip (12.25) donde IL ϭ ͉Ia͉ ϭ ͉IbΗ ϭ ͉Ic͉ (12.26) y Ip ϭ ͉IAB͉ ϭ ͉IBC͉ ϭ ͉ICA͉ (12.27) Asimismo, las corrientes de línea se atrasan respecto a las corrientes de fase respectivas en 30°, suponiendo la secuencia positiva. La figura 12.15 es un diagrama fasorial que ilustra la relación entre las corrientes de fase y las co- rrientes de línea. Otra manera de analizar el circuito Y-⌬ es transformar la carga conectada en ⌬ en una carga equivalente conectada en Y. Mediante la fórmula de trans- formación ⌬-Y de la ecuación (12.8), ZY ϭ (12.28) Después de esta transformación, se tiene un sistema Y-Y como el de la figu- ra 12.10. El sistema trifásico Y-⌬ de la figura 12.14 puede remplazarse por el circuito monofásico equivalente de la figura 12.16. Esto permite calcular úni- camente las corrientes de línea. Las corrientes de fase se obtienen con base en la ecuación (12.25) y en el hecho de que cada corriente de fase se adelan- ta respecto a la corriente de línea respectiva en 30°. Z⌬ 3 VAB Z⌬ Vab Z⌬ Van Ϫ Vbn Z⌬ Figura 12.15 Diagrama fasorial que ilustra la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea. 30° 30° 30° ICA IAB Ib IBC Ia Ic Van + − Ia ZΔ 3 Figura 12.16 Circuito monofásico equivalente de un circuito Y-⌬ balanceado. Ejemplo 12.3Una fuente balanceada conectada en Y en secuencia abc con Van ϭ 100l ¬ 10° ¬ V se conecta con una carga balanceada conectada en ⌬ de (8 ϩ j4) ⍀ por fase. Calcule las corrientes de fase y de línea.
- 542. 514 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Solución: Este problema puede resolverse de dos maneras. MÉTODO 1 La impedancia de carga es Si la tensión de fase Van ϭ 100l ¬ 10° ¬ , entonces la tensión de línea es o sea Las corrientes de fase son Las corrientes de línea son MÉTODO 2 Alternativamente, aplicando el análisis monofásico, como se obtuvo anteriormente. Las demás corrientes de línea se obtienen si- guiendo la secuencia de fases abc. Ia ϭ Van Z¢͞3 ϭ 100l10Њ 2.981l26.57Њ ϭ 33.54lϪ16.57Њ A Ic ϭ Ialϩ120Њ ϭ 33.53l103.43Њ A Ib ϭ IalϪ120Њ ϭ 33.53lϪ136.57Њ A ϭ 33.53lϪ16.57Њ A Ia ϭ IAB 13lϪ30Њ ϭ 13(19.36)l13.43Њ Ϫ 30Њ ICA ϭ IABlϩ120Њ ϭ 19.36l133.43Њ A IBC ϭ IABlϪ120Њ ϭ 19.36lϪ106.57Њ A IAB ϭ VAB Z¢ ϭ 173.2l40Њ 8.944l26.57Њ ϭ 19.36l13.43Њ A VAB ϭ 173.2l40Њ V Vab ϭ Van 13l30Њ ϭ 10013l10Њ ϩ 30Њ ϭ VAB Z¢ ϭ 8 ϩ j4 ϭ 8.944l26.57Њ ⍀ Problema de práctica 12.3 Una tensión de línea de una fuente balanceada conectada en Y es VAB ϭ 180l ¬ Ϫ20° ¬ V. Si la fuente se conecta a una carga en ⌬ de 20l ¬ 40° ¬ ⍀, halle las corrientes de fase y de línea. Suponga la secuencia abc. Respuesta: 9l ¬ Ϫ60° ¬ , 9l ¬ Ϫ180° ¬ , 9l ¬ 60° ¬ , 15.59l ¬ Ϫ90° ¬ , 15.59l ¬ Ϫ150° ¬ , 15.59l ¬ 30° ¬ A. Conexión delta-delta balanceada Un sistema ⌬-⌬ balanceado es aquel en el que tanto la fuente balanceada como la carga balanceada están conectadas en ⌬. La fuente y la carga pueden conectarse en delta como se muestra en la fi- gura 12.17. La meta, como siempre, es obtener las corrientes de fase y de línea. 12.5
- 543. 12.5 Conexión delta-delta balanceada 515 Suponiendo una secuencia positiva, las tensiones de fase de una fuente conec- tada en delta son Vab ϭ Vpl ¬ 0° Vbc ϭ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ , Vca ϭ l ¬ ϩ120° ¬ (12.29) Las tensiones de línea son iguales a las tensiones de fase. Con base en la fi- gura 12.17, suponiendo que no hay impedancias de línea, las tensiones de fa- se de la fuente conectada en delta equivalen a las tensiones a través de las impedancias; es decir, Vab ϭ VAB, Vbc ϭ VBC, Vca ϭ VCA (12.30) Así, las corrientes de fase son IAB ϭ ϭ , IBC ϭ ϭ (12.31) ICA ϭ ϭ Dado que la carga está conectada en delta como en la sección anterior, algu- nas de las fórmulas derivadas en ella se aplican aquí. Las corrientes de línea se obtienen de las corrientes de fase aplicando la LCK en los nodos A, B y C, como se hizo en la sección anterior: Ia ϭ IAB Ϫ ICA, Ib ϭ IBC Ϫ IAB, Ic ϭ ICA Ϫ IBC (12.32) Asimismo, como se indicó en la sección precedente, cada corriente de línea se atrasa de la correspondiente corriente de fase en 30°; la magnitud IL de la corriente de línea es ͙ළ3 veces la magnitud Ip de la corriente de fase, IL ϭ ͙ළ3Ip (12.33) Otra forma de analizar el circuito ⌬-⌬ es convertir tanto la fuente como la carga en sus equivalentes en Y. Ya se sabe que ZY ϭ Z⌬͞3. Para convertir una fuente conectada en ⌬ en una fuente conectada en Y, véase la siguiente sección. Vca Z⌬ VCA Z⌬ Vbc Z⌬ VBC Z⌬ Vab Z⌬ VAB Z⌬ ZΔ ZΔ ZΔ Vca Vbc Vab IAB ICA A C b c B a + − Ia Ib IBCIc + − − + Figura 12.17 Conexión ⌬-⌬ balanceada. Ejemplo 12.4Una carga balanceada conectada en ⌬ y con impedancia 20 Ϫ j15 ⍀ se co- necta con un generador conectado en ⌬ en secuencia positiva con Vab ϭ 330l ¬ 0° V. Calcule las corrientes de fase de la carga y las corrientes de línea.
- 544. 516 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Solución: La impedancia de carga por fase es Dado que VAB ϭ Vab, las corrientes de fase son En el caso de una carga en delta, la corriente de línea siempre se atrasa de la correspondiente corriente de fase en 30° y tiene una magnitud de ͙ළ3 veces la de la corriente de fase. En consecuencia, las corrientes de línea son Ic ϭ Ialϩ120Њ ϭ 22.86l126.87Њ A Ib ϭ IalϪ120Њ ϭ 22.86lϪ113.13Њ A ϭ 22.86l6.87Њ A Ia ϭ IAB 13lϪ30Њ ϭ (13.2l36.87Њ)(13lϪ30Њ) ICA ϭ IABlϩ120Њ ϭ 13.2l156.87Њ A IBC ϭ IABlϪ120Њ ϭ 13.2lϪ83.13Њ A IAB ϭ VAB Z¢ ϭ 330l0Њ 25lϪ36.87 ϭ 13.2l36.87Њ A Z¢ ϭ 20 Ϫ j15 ϭ 25lϪ36.87Њ ⍀ Problema de práctica 12.4 Una fuente balanceada conectada en ⌬ en secuencia positiva alimenta a una carga balanceada conectada en ⌬. Si la impedancia por fase de la carga es 18 ϩ j12 ⍀ y Ia ϭ 22.5l ¬ 35° ¬ A, halle IAB y VAB. Respuesta: 13l ¬ 65° ¬ A, 281.5l ¬ 98.69° ¬ V. Conexión delta-estrella balanceada Un sistema ⌬-Y balanceado consta de una fuente balanceada conectada en ⌬ que alimenta a una carga balanceada conectada en Y. Considérese el circuito ⌬-Y de la figura 12.18. Suponiendo otra vez la secuencia abc, las tensiones de fase de una fuente conectada en delta son Vab ϭ Vpl ¬ 0° ¬ , Vbc ϭ Vpl ¬ Ϫ120° ¬ (12.34) Vca ϭ Vpl ¬ ϩ120° ¬ Éstas son también las tensiones de línea así como las de fase. Las corrientes de línea pueden obtenerse de muchas maneras. Una de ellas es aplicar la LTK al lazo aANBba de la figura 12.18 y escribir ϪVab ϩ ZY Ia Ϫ ZY Ib ϭ 0 o sea ZY (Ia ϩ Ib) ϭ Vab ϭ Vpl ¬ 0° ¬ Así, Ia Ϫ Ib ϭ (12.35) Vpl ¬ 0° ¬ ZY 12.6
- 545. 12.6 Conexión delta-estrella balanceada 517 Pero Ib se atrasa de Ia en 120°, ya que se ha supuesto la secuencia abc; esto es, Ib ϭ Ial ¬ Ϫ120° ¬ . Por lo tanto, (12.36) La sustitución de la ecuación (12.36) en la ecuación (12.35) produce (12.37) De esto se obtienen las demás corrientes de línea Ib y Ic siguiendo la secuen- cia positiva de fases, es decir Ib ϭ Ial ¬ Ϫ120° ¬ , Ic. ϭ Ial ¬ ϩ120° ¬ . Las corrien- tes de fase son iguales a las corrientes de línea. Otra forma de obtener las corrientes de línea es remplazar la fuente conec- tada en delta por su fuente equivalente conectada en estrella, como se señala en la figura 12.19. En la sección 12.3 se determinó que las tensiones línea-línea de una fuente conectada en estrella se adelantan a sus correspondientes tensiones de fase en 30°. En consecuencia, cada tensión de fase de la fuente equivalente conectada en estrella se obtiene dividiendo la correspondiente tensión de línea de la fuente conectada en delta entre ͙ළ3 y alterando su fase en –30°. Así, la fuente equivalente conectada en estrella tiene las tensiones de fase (12.38) Si la fuente conectada en delta tiene una impedancia de fuente Zs por fase, la fuente equivalente conectada en estrella tendrá una impedancia de fuente de Zs͞3 por fase, de acuerdo con la ecuación (9.69). Una vez transformada la fuente en estrella, el circuito se convierte en un sistema estrella-estrella. Por consiguiente, es posible emplear el circuito mo- nofásico equivalente que aparece en la figura 12.20, con base en el cual la co- rriente de línea de la fase a es (12.39) ecuación igual a la ecuación (12.37). Ia ϭ Vp͞13lϪ30Њ ZY Vbn ϭ Vp 13 lϪ150Њ, Vcn ϭ Vp 13 lϩ90Њ Van ϭ Vp 13 lϪ30Њ Ia ϭ Vp͞13lϪ30Њ ZY ϭ Iaa1 ϩ 1 2 ϩ j 13 2 b ϭ Ia 13l30Њ Ia Ϫ Ib ϭ Ia(1 Ϫ 1lϪ120Њ) ZY ZY ZY Vca Vbc Vab A C b c B N a + − Ia Ib Ic + − − + Van VabVca Vbn Vbc Vcn a c b n+ − + − + − − + + − + − ZY + − Ia Vp −30° √3 Figura 12.18 Conexión ⌬-Y balanceada Figura 12.20 Circuito monofásico equivalente. Figura 12.19 Transformación de una fuente conectada en ⌬ en una fuente equivalente conectada en Y
- 546. 518 Capítulo 12 Circuitos trifásicos Alternativamente, la carga conectada en estrella puede transformarse en una carga equivalente conectada en delta. Esto da por resultado un sistema delta-delta, el cual puede analizarse como en la sección 12.5. Note que (12.40) Como ya se señaló, la carga conectada en delta es preferible que la car- ga conectada en estrella. Es más fácil modificar las cargas en cualquiera de las fases conectadas en delta, ya que las cargas individuales se conectan di- rectamente entre las líneas. En cambio, la fuente conectada en delta difícil- mente se usa en la práctica, porque cualquier leve desbalance en las tensiones de fase provocará corrientes circulantes indeseables. En la tabla 12.1 se presenta un resumen de las fórmulas de corrientes y tensiones de fase y de corrientes y tensiones de línea de las cuatro conexio- nes. Se aconseja a los estudiantes no memorizarlas, sino comprender cómo se VBN ϭ VANlϪ120Њ, VCN ϭ VANlϩ120Њ VAN ϭ IaZY ϭ Vp 13 lϪ30Њ TABLA 12.1 Resumen de tensiones/corrientes de fase y de línea de sistemas trifásicos balanceados.1 Conexión Tensiones/corrientes de fase Tensiones/corrientes de línea Y-Y Misma corriente de línea Mismo voltaje de fase Mismo voltaje de fase Misma corriente de línea 1 Se supone secuencia positiva o abc. Ic ϭ Ialϩ120Њ Ib ϭ IalϪ120Њ Ia ϭ VplϪ30Њ 13ZY Vca ϭ Vplϩ120Њ Vbc ϭ VplϪ120Њ Vab ϭ Vpl0Њ¢-Y Ic ϭ Ialϩ120ЊICA ϭ Vca͞Z¢ Ib ϭ IalϪ120ЊIBC ϭ Vbc͞Z¢ Ia ϭ IAB 13lϪ30ЊIAB ϭ Vab͞Z¢ Vca ϭ Vplϩ120Њ Vbc ϭ VplϪ120Њ Vab ϭ Vpl0Њ¢-¢ Ic ϭ Ialϩ120ЊICA ϭ VCA͞Z¢ Ib ϭ IalϪ120ЊIBC ϭ VBC͞Z¢ Ia ϭ IAB 13lϪ30ЊIAB ϭ VAB͞Z¢ Vca ϭ VCA ϭ Vablϩ120ЊVcn ϭ Vplϩ120Њ Vbc ϭ VBC ϭ VablϪ120ЊVbn ϭ VplϪ120Њ Vab ϭ VAB ϭ 13Vpl30ЊVan ϭ Vpl0ЊY-¢ Ic ϭ Ialϩ120Њ Ib ϭ IalϪ120Њ Ia ϭ Van͞ZY Vca ϭ Vablϩ120ЊVcn ϭ Vplϩ120Њ Vbc ϭ VablϪ120ЊVbn ϭ VplϪ120Њ Vab ϭ 13Vpl30ЊVan ϭ Vpl0Њ
- 547. 12.7 P