Geometria analitica unidad 2 cecyted parte 1

GEOMETRÍA
ANALÍTICA
UNIDAD 2
POR ING. LUIS MONREAL

Suma de números
positivos da
positivo
3+4=7

Suma de números
negativos el signo es
del mayor numero
-4+(-5)=-9

Cuando un numero es negativo
siempre se coloca entre paréntesis
para no olvidar que es negativo:
-4+(-5)=-9

La resta de números
positivos se pone el
signo del numero
mayor:
4-5=-1

La resta de números
negativos se pone el
signo del numero
mayor:
-4-(-5)=+1

Resta a menos 4 resta menos 5:
-4-(-5)=
negativo con negativo se vuelve
positivo
-4+5=+1

En multiplicación:
positivo por positivo da positivo
negativo por negativo da negativo
negativo por positivo da negativo

En pocas palabras, en multiplicación
signos iguales da positivo, signos
diferentes da negativo:
(10)(5)=50
(-5)(-6)=30
(-5)(6)=-30

En división se aplican las mismas reglas
que en multiplicación:
positivo entre positivo da positivo
negativo entre negativo da negativo
negativo entre positivo da negativo

El triangulo rectángulo
HIPOTENUSA
CATETO OPUESTO
CATETO ADYACENTE

TEOREMA DE PITÁGORAS
HIPOTENUSA
CATETO OPUESTO
CATETO ADYACENTE

TEOREMA DE PITAGORAS
   22
CENTECATETOADYASTOCATETOOPUEHIPOTENUSA 

SI OBSERVAS, X ES EL CATETO
ADYACENTE Y Y CATETO OPUESTO

PLANO CARTESIANO
X
CATETO ADYACENTE
Y
CATETO OPUESTO

Y LA HIPOTENUSA?
   22
CENTECATETOADYASTOCATETOOPUEHIPOTENUSA 
   2
12
2
12 YYXXHIPOTENUSA 
   2
12
2
12 YYXXDISTANCIA 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
HIPOTENUSA
STOCATETOOPUE
SENO 
HIPOTENUSA
CENTECATETOADYA
COSENO 
CENTECATETOADYA
STOCATETOOPUE
TANGENTE 

GEOMETRÍA
ANALÍTICA DE RENE
DESCARTES

RENÉ DESCARTES SOÑÓ QUE
ALGÚN DÍA LAS IMÁGENES SE
PODRÍAN REPRESENTAR POR
FORMULAS MATEMÁTICAS.

TU CREES QUE SE LOGRO
REPRESENTAR CON FORMULAS
MATEMÁTICAS LA REALIDAD?

MATEMÁTICAS
Y LA REALIDAD

LAS COMPUTADORAS FUNCIONAN
CON FORMULAS MATEMATICAS

TODO LO DIGITAL
SON
MATEMÁTICAS

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
NOS PERMITE REPRESENTAR
LA REALIDAD CON
FORMULAS MATEMÁTICAS.

EMPECEMOS POR LA
FIGURA MAS SIMPLE:
LA RECTA

Es el lugar geométrico de un conjunto
de puntos que tienen la misma
dirección y la misma pendiente
o su razón de cambio constante.

La recta es, probablemente, la figura
más familiar y utilizada en geometría,
ya que se puede observar
en casi todo lo que nos rodea. Existe
una gran cantidad de problemas que
pueden modelarse por medio
de rectas o aproximaciones a éstas.

Geometria analitica unidad 2 cecyted parte 1

POR CADA VALOR DE X, HAY UN VALOR
DE Y.
Y DEPENDE DE X
POR ESO X SE LLAMA VARIABLE
INDEPENDIENTE Y Y VARIABLE
DEPENDIENTE

En nuestra vida cotidiana existen muchas situaciones
en las cuales hacemos uso de la pendiente; por
ejemplo; al salir de viaje durante el recorrido
podemos observar que el camino tiene subidas (le
llamamos pendiente positiva), tiene bajadas (se
denomina pendiente negativa). Por lo tanto podemos
deducir que al hablar de la pendiente en Geometría
Analítica nos referimos a las subidas y bajadas con
relación al ángulo de inclinación de una recta.

PRACTICA:
MIDE LA CONCENTRACIÓN DE
SALES MINERALES EN AGUA Y
GRAFÍCALA.

GRAMOS DE VENENO PARTES POR MILLON
0 100
1 110
2 120
3 130
4 140
5 150
6 160
7 170
8 180
9 190
10 200

Chart Title
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Si se habla de un recorrido
de manera horizontal, se
dice que la pendiente es 0.

Conforme el recorrido marque una
tendencia hacia arriba sin llegar a un
punto vertical total será
pendiente positiva y tendrá valores
inclinación mayor a 0° y menor a 90°.

Si el recorrido marca una tendencia
hacia abajo la pendiente será negativa
y tendrá valores de
inclinación de mayor a 90° y menor a
180°.

En esta materia la PENDIENTE es la
tangente del ángulo de inclinación
que posee una recta y que está
estrechamente relacionada con el
ángulo de inclinación de esta y es
representada por la letra (m) y
puede expresarse de la siguiente
manera:

Por ejemplo, si el ángulo de inclinación
de una recta es θ =45 ° , el valor de su
pendiente es igual a 1
(positivo).
𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = tan 45° = 1
Pero si θ =135°, el valor de su
pendiente es -1 (negativo), ya que:
𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = tan 135° = -1

Pero si no sabe el ángulo de inclinación
pero conocemos los dos puntos por
donde pasa A(x1, y1) y B(x2,
y2) podemos obtener el valor de la
pendiente “m” utilizando la definición
de la tangente de un ángulo
es decir:

12
12
xx
yy
centecatetoadya
stocatetoopue
m


 tan
Donde x₂ ǂ x₁

Se llama ángulo de inclinación de una
recta (θ), al ángulo formado por dicha
recta y el extremo positivo
del eje X y se mide desde el eje hasta
la recta, siguiendo el sentido contrario
al de las manecillas del
reloj.

Para calcular el ángulo de inclinación
se aplica la siguiente fórmula:
𝛉 = 𝐭𝐚𝐧-𝟏 𝐦
Nota: Cuando el ángulo de inclinación
resulte con un valor negativo, es
necesario sumarle 180°.

GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. Si Carlos se encuentra situado en el punto
(0,0) y desea subir un bote de cemento hasta el
punto
(4,5) para dárselo al albañil que está
construyendo una pared.
a) ¿Cuál es la pendiente que debe tener la
rampa para que pueda subir el bote?
b) ¿Cuál es el ángulo de inclinación?

Por lo tanto la pendiente formada por
los puntos A(0,0) y B(4,5) es de m=5/4
con un ángulo de
inclinación 51°20'

2.- Determina la pendiente y el ángulo
de inclinación de la recta que pasa por
los siguientes puntos:
A(5,4) y B(-2,2)

Por lo tanto la pendiente formada
por los puntos A(5,4) y B(-2,2) es de
m=2/7 con un ángulo de
inclinación 15°94'

3.- Calcular la pendiente y el
ángulo de inclinación de la
recta que pasa por los
puntos M (3,2) y N (7,9)

Por lo tanto la pendiente de la recta
es m=-7/10 y su ángulo de inclinación
es de 145.01

FORMAS DE UNA RECTA
Y SUS
TRANSFORMACIONES

- Punto-Pendiente.
- Dos puntos.
-Pendiente y ordenada al origen
- (Ecuación común).
- Abscisa y ordenada al origen
(Ecuación simétrica).
- Forma general
- Ecuación Normal
)( 11 xxmyy 
)( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 








bmxy 
1
b
y
a
x
0 CByAx
0 dysenx cos

El nombre que recibe la
expresión algebraica
(función) que determina a
una recta dada se
denomina Ecuación de la
Recta.

DESCARTES QUERÍA HACER
UNA ECUACIÓN
MATEMÁTICA PARA CADA
FIGURA GEOMÉTRICA DE LA
VIDA REAL.

Para comprender esta
definición, es como si la
misma línea solo se
cambia de ropa para que la
vean o sepan de su
existencia.

Es en este contexto que la Geometría
analítica nos enseña que una recta es
la representación gráfica
de una expresión algebraica (función)
o ecuación lineal de primer grado.

Existen diferentes formas de encontrar
la ecuación de una recta, todo
depende de las condiciones y
elementos con que se cuenten:

-Punto-Pendiente.
- Dos puntos.
- Pendiente y ordenada al origen
(Ecuación común).
- Abscisa y ordenada al origen
- Forma general
- Ecuación Normal

-Punto-Pendiente.
)( 11 xxmyy 

- Dos puntos.
)( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 









- Pendiente y
ordenada al origen
(Ecuación común).
bmxy 

- Abscisa y ordenada
al origen
1
b
y
a
x

- Forma general
0 CByAx

- Ecuación Normal
0 dysenx cos

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE.
Para encontrar la ecuación de la
recta punto-pendiente es
necesario aplicar la siguiente
fórmula:

Encuentra la ecuación de una
recta con pendiente 9 y que
pasa por el punto (-2, -1).

𝑚 = 9
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜
(-2, -1)

Por lo tanto la ecuación de
la recta que pasa por el
punto A(-2,-1) y m=9,
es
y= 9x + 17

APLICACIÓN DE
ECUACIÓN DE LA RECTA
PUNTO-PENDIENTE

La ecuación de la recta punto
pendiente, tiene una importante
aplicación en cálculo diferencial en la
determinación de la ecuación de la
recta tangente de una función, a
continuación se da un ejemplo:

Ecuación de la
recta tangente
y-y1= m(x-x1)

Recta tangente:
recta que toca a una
curva en un punto

a) Primero obtienes el valor
de f(x) de esta manera
obtendrás la coordenada del
punto de
tangencia (x1,y1).

c) En dicha derivada sustituyes
el valor de “x”; de esta manera
obtendrás la pendiente de la
recta
tangente en ese punto (m)

d) Se aplica la fórmula
y listo.

Investigar que es una
derivada

ECUACIÓN DE LA RECTA
“PENDIENTE Y ORDENADA
AL ORIGEN (ECUACIÓN
COMÚN)”

Cuando una recta no es vertical
corta al eje “y” en un punto el cual
lo denominaremos P(0,b). A la “b”
se le conoce como ordenada al
origen.

Ordenada la origen (b): es el valor
donde la recta corta al eje “y”;
puede ser en la parte positiva o
negativa.

El punto donde la recta corta al
eje “y” es (2 positivo), por lo
tanto la ordenada en el origen
es 2, es decir b=2.

Entonces se utiliza la
siguiente la fórmula:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

Donde:
m= La pendiente (se tiene que
proporcionar).
b= La ordenada al origen. (se
proporciona también)

EJEMPLO
1.- Determina la ecuación de la
recta cuya m=3 y corta al eje de las
ordenadas en el punto A(0,-5).

Paso 1: Identificar los datos.
Datos:
m= 3
b= -5

Paso 2: Seleccionar la fórmula.
Paso 3: Sustituir los datos.

DATOS FORMULA Y
SUSTITUCIÓN
m= 3
b= -5
𝒚 = 𝟑(𝒙)+ (-𝟓)

Paso 4: Realizar operaciones.
𝒚 = 𝟑(𝒙)+ (-𝟓)
𝒚 = 𝟑(𝒙)+(-𝟓)
𝒚 = 𝟑𝒙 - 𝟓 Ecuación común

La ecuación que me representa una
recta con una m= 3 y el punto donde
está cortando al eje “y” es
(0,-5).
Para comprobar podemos realizar la
tabulación:

La “m” es la misma debido a
que los puntos están en la
misma recta.

2.- Determina la ecuación de la
recta con m=-2 y ordenada al origen
(Ecuación común) de la siguiente
gráfica.

Paso 1: Identificar los datos.
Datos:
m= -2
b= 1

Paso 2: Seleccionar la
fórmula.

PASO 1:
PASO 2:
PASO 3:



b
m
y
bmxy 
bmxy 

II.- Completa la
siguiente tabla

ECUACIÓN DE LA RECTA CON ABSCISA
Y ORDENADA AL ORIGEN (ECUACIÓN
SIMÉTRICA)

Cuando una recta inclinada no pasa
por el origen, esta corta a los ejes
coordenados en dos puntos a
estos cortes se les conoce como
abscisas y ordenadas al origen

La fórmula a utilizar es:
Por Luis Monreal

Donde:
a= Abscisa al origen.
b= Ordenada al origen.
Por Luis Monreal

Para transformar la ecuación común a
su forma simétrica es necesario hacer
uso de la siguiente
fórmula:
Por Luis Monreal

2.- Encontrar la ecuación de la recta en
su forma simétrica a partir de la
siguiente gráfica.
Por Luis Monreal

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