Geometria y trigonometría en diapositivas para principiantes
- 1. UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA EN ALIMENTOS GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA Dr. FREDDY ESCOBAR Marzo 2017 – Septiembre 2017
- 3. Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento. Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia y círculo. Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución). 1.1. Conceptos Preliminares
- 4. Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento. El Punto no tiene dimensiones. Es el elemento más simple con el que trabajamos en geometría. Segun Euclides, se podría decir que un punto sólo tiene posición. La Línea es, según Euclides, una longitud sin anchura. La línea posee una sola dimensión. Podría considerarse como una sucesión infinita de puntos alineados. Un punto en movimiento genera una recta. Si marcamos un punto sobre una recta, dividiéndola en dos, cada parte se llama semirrecta. En una semirrecta, sólo hay un sentido de avance, en el otro extremo, el camino se corta, como en una calle sin salida. Si cerramos la línea por dos extremos, marcando dos puntos, obtenemos un Segmento. Los segmentos no tienen salida por ninguno de los dos sentidos. La Geometría suele utilizarlos para la construcción de figuras o como medida.
- 5. Dos dimensiones: El Plano. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Según Euclides, una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. Si nos movemos en un plano, podemos observar puntos, rectas, polígonos, círcunferencias y círculos. Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son paralelas cuando todos sus puntos están a la misma distancia entre ellas. Pensemos en las rieles del tren como una imagen real de rectas paralelas. Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son secantes cuando tienen un punto en común; es decir, se cortan en un punto. La letra X es un buen ejemplo de rectas secantes. Si forman un ángulo de 90º entre sí, serán rectas perpendiculares.
- 6. Representación en Ejes Cartesianos Para situar objetos en el plano, se utilizan los ejes cartesianos. El eje horizontal (de las x) o eje de abscisas, marca la primera coordenada de un punto y el eje vertical (de las y) o eje de ordenadas, marca la segunda coordenada del punto. Así, un punto viene dado por un par ordenado de números naturales (a,b). Y un triángulo, por tres puntos, como en la figura siguiente. Es una forma exacta de representar figuras en el plano. Si situamos otro eje “z”, perpendicular a los otros dos, tendríamos cubierto todo el espacio. Y cada punto del espacio podría representarse por tres coordenadas.
- 7. El Plano • El plano también es infinito; en él se encuentran infinitos puntos. El punto, la recta y el plano son los conceptos básicos de la geometría. Se conocen como términos primitivos o no definidos.
- 8. Plano • Superficie lisa. • Se extiende indefinidamente en todas las direcciones. • Se representa con figuras de cuatro lados. • Se identifican con una letra mayúscula o con tres puntos contenidos en el plano. • No tiene grosor. • Ejemplo E Q S P Plano E Plano QPS
- 9. Punto • El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor. • En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula. – Por ejemplo: • A se lee punto A x M se lee punto M. • Todas las figuras geométricas están formadas por puntos. • No tiene tamaño. • Es una localización. - Por ejemplo: P Q R
- 10. Diferentes puntos Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
- 11. Puntos Colineales • Son puntos que se encuentran en una misma recta. Ejemplo: A B C D Puntos No Colineales • Son puntos que NO se encuentran en una misma recta. Ejemplo: A B D
- 12. Puntos Coplanarios • Los puntos y rectas coplanarios son aquellos que se encuentran contenidos en un plano. Ejemplo: E Q S P U Puntos No Coplanarios • Los puntos y rectas que NO se encuentran contenidos en un plano. Ejemplo: E Q S P U
- 13. Plano y Recta: Infinitos Puntos • La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y recta. • La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos. • La identificaremos con el dibujo • Una recta puede tener dirección:
- 14. Rectas Está formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección: horizontal, vertical u oblicua, carece de ancho. • “Una recta puede prolongarse en ambas direcciones” • “Por dos puntos dados puede hacerse pasar una sola recta”. Se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. • Por ejemplo: se lee recta AB. • También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas. L es una recta vertical.
- 15. • Un subconjunto de la recta es el segmento o trazo. • Este tiene limitados sus 2 extremos, lo que hace posible medir su longitud. • El segmento o es la parte de la recta que contiene los puntos A y B, así como los puntos de la recta que están entre A y B. A los puntos A y B se les llama extremos del segmento. • La longitud o medida de es la distancia entre los puntos A y B. El símbolo significa la longitud de A a B. 1.2. Segmentos
- 16. Rayo • El rayo es la parte de la recta que está formada por A y todos los puntos que están del mismo lado de B. • Al punto A se le llama punto inicial del rayo. • Se dice que dos rayos son opuestos si están en la misma recta y tienen un punto común. En la figura , es opuesto a y tiene el punto común X. A X B
- 17. Intersección • Conjunto formado por todos los puntos contenidos en ambas figuras. m P n X B r
- 18. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Figuras Descripción Ejemplo Se lee Se escribe El punto Posición en el espacio. .W Punto W No tiene símbolo La recta Conjunto infinito de puntos que se extienden en ambas direcciones. ↔ Recta BC ↔ BC El segmento Parte de una recta que tiene dos extremos. — Segment o QR — QR El rayo Parte de una recta que tiene extremo y se extiende hacia el infinito en una dirección. → Rayo ÑO → ÑO El plano Superficie lisa que se extiende indefinidamente. Plano BCDE No tiene símbolo BCDE
- 19. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Dibuja las figuras geométricas, escribe como se lee y como se escriben las mismas. FIGURAS DESCRIPCIÓN DIBUJO SE LEE SE ESCRIBE El punto Posición en el espacio. La recta Conjunto infinito de puntos que se extienden en ambas direcciones. El segmento Parte de una recta que tiene dos extremos. El rayo Parte de una recta que tiene extremo y se extiende hacia el infinito en una dirección. El plano Superficie lisa que se extiende indefinidamente.
- 20. Observa la ilustración (plano), nombra y escribe Identifique: • 4 rectas • 5 rayos • 5 segmentos • 6 puntos : TALLER EN CLASE
- 21. Ejercicio de Práctica l A C B D m j E K 1. Los puntos A, C y ___ son colineales. 2. Los puntos A, B, D y __ son coplanarios. 3. Dé otro nombre a BE. 4. Los puntos C, D, B y __ son no coplanarios. 5. Los puntos A, B y __ son no colineales. 6. Dé otro nombre a la recta j. 7. ¿Qué puntos son coplanarios y colineales? 8. ¿Qué rectas son coplanarias? 9. Nombre un punto entre A y C.
- 22. Dibuje un diagrama para cada descripción. Rotule el diagrama. 1. El punto P está contenido en dos rectas. 2. Los puntos A, Q y S son coplanarios. 3. El punto M no está contenido en la recta l. 4. La recta t contiene los puntos Q y R, pero no contiene el punto P ni el S. 5. El plano K contiene los puntos A, B y C pero no contiene el punto D. 6. El punto X está entre A y B y A está entre X y Y. 7. La recta m interseca a DE en el punto F de tal manera que E está entre D y F.
- 23. 1.3. Medida de angulos
- 37. 1.3. Introducción a los polígonos Un POLÍGONO es una figura geométrica plana limitada por unos segmentos que reciben el nombre de lados. Congruencia de polígonos Dos polígonos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus lados y sus ángulos internos. Semejanza de polígonos Dos polígonos son semejantes si tienen respectivamente sus lados proporcionales y sus ángulos congruentes. TEOREMA # 1 Los perímetros de dos polígonos semejantes son entre si como dos lados homólogos.
- 38. TEOREMA # 2 Si dos polígonos son semejantes se pueden descomponer en un mismo numero de triángulos semejantes, semejantemente dispuestos.
- 40. TEOREMA # 3: Si dos polígonos son semejantes se pueden descomponer en un mismo numero de triángulos semejantes, semejantemente dispuestos.
- 41. NUMERO DE DIAGONALES Teorema # 1 El numero de diagonales trazadas desde un vértice de un polígono de n lados es igual a (n-3).
- 42. Teorema # 2 El numero de diagonales totales de un polígono de n lados es igual a 2 ) 3 ( n n
- 43. SUMA DE ANGULOS TEOREMA # 1 La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual al producto de dos ángulos rectos por el numero de lados del polígono disminuido en dos.
- 44. TEOREMA # 2 La suma de los ángulos externos de un polígono formados al prolongar los lados en un mismo orden es igual a cuatro ángulos rectos.
- 45. PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS REGULARES 1. Todo poligono regular tiene un circulo inscrito y un circulo circunscrito. El radio del circulo circunscrito es el “radio del polígono” y el radio del circulo es su “apotema”. Los dos círculos son concéntricos y su centro común es el “centro del polígono”. 2. Si un circulo se divide en n arcos congruentes y se unen consecutivamente los puntos de división, el polígono inscrito resultante es regular. Las tangentes trazadas por los mismos puntos forman un polígono regular circunscrito. 3. Todo radio de un polígono regular biseca al ángulo interno. 4. “Angulo central” de un polígono regular es el ángulo formado por dos radios que unen los extremos de sus lados con el centro del polígono. 5. Los ángulos centrales de un polígono regular de n lados son congruentes y cada uno tiene por medida 6. El ángulo central de un polígono regular es el suplemento de su ángulo interno 7. Dos polígonos regulares de igual numero de lados son semejantes 8. Cada ángulo interno de un polígono regular de n lados es igual a ) 3 ( n n / 2 2 ) 2 ( n n
- 46. SUPERFICIE TEOREMA # 1 El área de un polígono regular es igual al semiperimetro por su apotema TEOREMA # 2 La superficie de un polígono regular en función del radio y de su angulo central
- 48. 2.2. Triángulos
- 63. 2.3. Congruencia y semejanza de triángulos -Congruencia o igualdad
- 79. 2.4. Círculos Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los puntos internos a la misma. Una circunferencia y un circulo se representan por su centro y su radio. Lineas y puntos fundamentales Cuerda. Es el segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia. Cuerda AB Diametro. Es la cuerda que contiene el centro del circulo, es la mayor de las cuerdas e igual al doble del radio.
- 80. Tangente. Es una recta que interseca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia o punto de contacto Tangente PT Punto de tangencia .T Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Secantes AE y BD
- 81. Arco. Es una parte cualquiera de la circunferencia comprendida entre dos puntos Los extremos de una cuerda dividen a la circunferencia en dos arcos, llamados arcos subtendidos por la cuerda. Salvo indicación contraria, el arco subtendido por una cuerda se refiere al arco menor de los dos. Ángulos en un circulo Angulo Central (α). Es el angulo cuyo vértice en el centro del circulo y sus lados son radios. Se dice que el interseca al y que el subtiende al angulo central Por definición, un ángulo central se mide por el arco intersecado por sus lados
- 82. Ángulo Inscrito. Es el ángulo cuyos lados son cuerdas del circulo y su vértice pertenece a la circunferencia. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco intersecado por sus lados. Colorario. Todo ángulo inscrito en un semicírculo, es un ángulo recto.
- 83. Ángulo Ex-inscrito. Es el ángulo formado por una cuerda y la prolongación de otra.
- 84. Ángulo Interno. Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan. La medida de un ángulo interno es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y los lados de su ángulo opuesto por el vértice.
- 85. Ángulo Externo. Es el ángulo cuyo vértice esta fuera del circulo y sus lados pueden ser dos secantes, dos tangentes o una secante y una tangente. La medida de un ángulo externo es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
- 86. Ángulo semi-inscrito. Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente y su vértice es el punto de contacto. La medida de un ángulo sem-inscrito es igual a la mitad del arco subtendido por la cuerda.
- 88. Teorema # 1 En un mismo circulo las cuerdas equidistantes del centro son congruentes y recíprocamente, cuerdas congruentes equidistan del centro. 2.5. Cuerdas COROLARIOS 1. En un mismo circulo las cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y recíprocamente, arcos congruentes intersecan cuerdas congruentes. 2. En un mismo circulo las cuerdas son congruentes si, y solo si, tienen ángulos centrales congruentes.
- 89. Teorema # 2 Una recta que pasa por el centro del circulo y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y al arco que subtiende. COROLARIOS 1. La mediatriz de una cuerda, pasa por el centro del circulo 2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a esta y a los arcos que subtienden en dos partes congruentes. 3. Todo diámetro biseca al circulo y cada parte congruente se llama semicirculo 4. Dos diámetros perpendiculares entre si, dividen al circulo en cuatro partes congruentes, y cada parte se llama cuadrante. 5. Ángulos centrales congruentes intersecan arcos congruentes y recíprocamente, arcos congruentes subtienden ángulos centrales congruentes..
- 90. Teorema # 3 En todo circulo, dos cuerdas o secantes paralelas intersecan arcos congruentes.
- 91. Teorema # 4 Si dos cuerdas se cortan dentro de un circulo, el producto de las longitudes de los segmentos formados en la una, es igual al producto de las longitudes de los segmentos formados en la otra.
- 92. TANGENTES Y SECANTES Teorema # 1 (TANGENTE EN UN PUNTO) Si una recta es tangente a un circulo, es perpendicular al radio que tiene por extremo de contacto.
- 93. COROLARIOS 1. Toda recta perpendicular a un radio en su extremo es tangente al circulo 2. La perpendicular a una tangente en el punto de contacto, pasa por el centro del circulo. 3. La perpendicular bajada del centro de un circulo a una tangente pasa por el punto de contacto. TEOREMA # 2 (TANGENTES DESDE UN PUNTO) Si desde un punto exterior se trazan dos segmentos tangentes a un circulo, estos son congruentes y el segmento trazado del mismo punto al centro del circulo, es bisectriz del ángulo externo que forman las dos tangentes.
- 94. TEOREMA # 3 Si desde un punto exterior a un circulo se trazan a el una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su parte extrema. COROLARIO Si desde un punto exterior a un circulo se trazan a el dos secantes, el producto de las longitudes de una secante por su parte extrema, es igual al producto de las longitudes de la otra secante por su parte eterna PA2 = BP x CP = EP x DP
- 95. CIRCULO Y TRIANGULO CIRCULO INSCRITO EN UN TRIANGULO Es el circulo tangente a los tres lados del triangulo. TEOREMA # 1 La longitud de la tangente trazada desde un vértice de un triangulo al circulo inscrito, es igual a la diferencia entre el semiperimetro y el lado opuesto de dicho vertice.
- 96. TEOREMA # 2 El área de un triangulo es igual al producto del semiperimetro por el radio del circulo inscrito. TEOREMA # 3 El área del circulo inscrito en un triangulo rectángulo es igual a la suma de las longitudes de los catetos, menos la longitud de la hipotenusa, todo dividido para dos.
- 97. CIRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIANGULO Es el circulo que tiene por cuerdas los tres lados del triangulo. Por tres puntos no colineales pasa un circulo y solo uno. TEOREMA # 1 El producto de dos lados cualesquiera de un triangulo, es igual al producto del diámetro del circulo circunscrito a este, por la altura relativa al tercer lado.
- 98. TEOREMA # 2 En un triangulo, la razón entre una lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro del circulo circunscrito del triangulo. TEOREMA # 3 El área de un triangulo es igual al producto de los tres lados dividido para cuatro veces el radio del circulo circunscrito al triangulo.
- 99. CIRCULO EX-INSCRITO A UN TRIANGULO Es el circulo tangente a un lado de un triangulo y a las prolongaciones de los otros dos lados. TEOREMA # 1 La longitud de la tangente trazada desde un vértice de un triangulo al circulo ex- inscrito, es igual al semiperimetro