Guía sol inv_sel_avm_02_15

Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
Universidad Centroamericana
“José Simeón Cañas”
Departamento de Matemática.
Álgebra Vectorial y Matrices.
Catedrático: Ing. Eduardo Escapini.
Instructor: Jonathan Landaverde.
Instructores de Células: Carlos Alarcón, Ángel Hernández, Luis Grijalva.
A continuación se presentan una serie de ejercicios para el estudio de los temas de:
Determinantes, Matriz Inversa (Método de Gauss y Adjunta) y Sistemas de Ecuaciones Lineales
(SEL) con dos tipos de solución: Método de Gauss-Jordan y Cramer.
Parte I. Matrices del Segundo tipo.
1) Determinar si las siguientes matrices son Idempotentes, Nilpotentes o Involutivas.
a) 𝐴 = [
1 −1
0 1
]
b) 𝐵 = [
0 1 3
0 0 −2
0 0 0
]
c) 𝐶 = [
0 0 1
0 0 1
0 0 1
]
d) 𝐷 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
]
e) 𝐸 = [
0 −8 0
0 0 0
0 5 0
]
f) 𝐹 = [
1 −1
0 −1
]
g) 𝐺 =
[
2
3
1
3
−
1
3
1
3
1
6
−
1
6
−
1
3
−
1
6
1
6 ]
h) 𝐻 = [
6 0 −1
2 3 2
1 3 1
]

2) Sea 𝐴 = [
3 −1 1
−2 4 −2
−4 4 −2
], comprobar que la matriz B = A - I es idempotente.
Parte II. Determinantes.
1) Calcular los determinantes de las siguientes matrices por el método de cofactores.
a) A=[
2 3 −1
4 −5 2
0 −3 1
] R./2 b) B= [
1 −2 0
0 1 0
2
5
5
0
−3
0
0
−1
0
3
] R./-39
c) C= [
2 0 1
3 5 0
0
4
−1
6
−2
3
3
−2
0
5
] R./-120 d) D= [
1 4 7
−2 2 −1
3 4 7
] R./-36
e) E= [
3 −2 4
2 −3 1
5
−1
1
3
0
1
1
1
2
5
] R./319 f) F= [
3 2 0
1 5 1
4
0
−2
1
0
−3
−1
0
1
2
] R./140
2) Calcular los determinantes de las siguientes matrices por el método de Chío.
a) J=[
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎² 𝑏² 𝑐²
] R./(b-a)(c-a)(c-b) b) L= [
1 1 0
2 −3 4
3
1
0
1
5
1
0
1
2
1
] R./-6
c) M= [
6 −3 4
9 0 −2
1
10
1
−2
−3
1
−2
3
2
1
] R./-6 d) N= [
2 1 0
0 −1 2
5
1
4
0
−3
6
4
−1
2
−2
] R./-95
e) R= [
0 −1 2
4 1 5
3
1
−8
2
−2
4
2
2
0
−2
] R./382 f) S= [
2 1 −1
1 3 2
−1
2
2
−3
1
−1
2
−3
−1
4
] R./ -36
Parte III. Matriz Inversa.
1) Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices, por el método de la Adjunta.
a) B=[
1 2
3 4
] y C=[
0 2
3 4
]
b) D=[
−1 2 3
2 5 0
−2 4 5
] y E= [
1 𝑎 𝑎²
1 𝑏 𝑏²
1 𝑐 𝑐²
]

𝑐) 𝐹 = [
1 0
2
0
0
1
−2
−1
0 −1
0
1
0
−1
−1
0
] y G= [
2 1
1
−1
2
3
2
−3
−1 2
2
1
−1
−3
−1
4
]
2) Siendo: A=[
1 1
3 4
], B=[
2 1
1 1
] y C=[
1 2
1 3
], calcular los valores de X en las siguientes
ecuaciones.
i. XA = B+I
ii. AX+B= C
iii. XA+B= 2C
iv. AX+BX= C
v. XAB-XC= 2C
3) Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices, por el método de Gauss.
a) X= [
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
] b) Y= [
2 0 1
0 −1 2
1 −2 5
] c) Z= [
2 4 1
1 −2 3
5 0 −1
]
d) U= [
1 3
3
0
3
2
1
2
1 1
1
0
2
3
2
1
] e) V= [
1 2
2
1
1
1
0
1
2 1
1
0
2
0
3
2
] f) W= [
1 0
2
0
0
1
−2
−1
0 −1
0
1
0
−1
−1
0
]
g) T= [
−3 1
−6
1
−3
2
0
1
−1 7
−1
2
−5
14
−4
6
] h) λ=
[
2
3
2
8
0
2
0
1
2
0
1
0
−1
5
0
3
6
2
2
3
2
3
5
2
0]
Parte IV. Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL).
1) En los siguientes enunciados decir si son verdaderas o falsas las afirmaciones,
justificando su respuesta.
a) En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y
obtener un sistema equivalente.
b) Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema
homogéneo.
c) Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

d) De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente)
eliminando ecuaciones.
2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan, e
indique el tipo de solución. En los casos de solución única, indique el conjunto
solución y en caso de solución múltiple indique las ecuaciones generadoras.
a) {
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 6
𝑋 + 2𝑌 + 5𝑍 = 12
𝑋 + 4𝑌 + 25𝑍 = 36
R./ {
𝑋 = 3
𝑌 = 2
𝑍 = 1
b) {
2𝑋 − 5𝑌 + 4𝑍 + 𝑈 − 𝑉 = −3
𝑋 − 2𝑌 + 𝑍 − 𝑈 + 𝑉 = 5
𝑋 − 4𝑌 + 6𝑍 + 2𝑈 + 𝑉 = 10
R./ {
𝑋 − 2𝑌 + 𝑍 − 𝑈 + 𝑉 = 5
−𝑌 + 2𝑍 + 3𝑈 − 3𝑉 = −13
𝑍 − 3𝑈 + 6𝑉 = 31
Sist.Comp.Ind
c) {
𝑋 + 𝑌 − 𝑍 = 1
3𝑋 + 2𝑌 + 𝑍 = 1
5𝑋 + 3𝑌 + 4𝑍 = 2
−2𝑋 − 𝑌 + 5𝑍 = 6
R./ Sistema Incompatible.
d) {
4𝑋 − 𝑌 + 2𝑍 = 2
−3𝑋 + 𝑌 − 4𝑍 = −1
𝑋 + 4𝑍 = 1
R./ {
𝑋 = 1
𝑌 = 2
𝑍 = 0
e) {
2𝑋 + 3𝑌 + 4𝑍 = −6
4𝑌 − 𝑋 − 6𝑍 = 6
3𝑋 − 2𝑌 + 2𝑍 = 2
R./ {
𝑋 = 4/3
𝑌 = −2/3
𝑍 = −5/3
f) {
𝑋 + 2𝑌 − 𝑍 = 1
−3𝑋 − 5𝑌 + 2𝑍 = −5
2𝑋 + 6𝑌 + 3𝑍 = −2
R./ {
𝑋 = 5
𝑌 = −2
𝑍 = 0
g) {
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 0
2𝑋 − 7 − 𝑌 = −2𝑍
2𝑌 + 7𝑍 − 5 = 3𝑋
R./ {
𝑋 = 2/3
𝑌 = −7/3
𝑍 = 5/3
h) {
𝑊 + 𝑋 + 𝑌 − 𝑍 = 0
2𝑊 − 3𝑋 − 𝑌 + 2𝑍 = 1
−𝑊 + 𝑋 + 2𝑌 = 5
𝑊 + 3𝑍 − 9 = 0
R./ {
𝑋 = 1
𝑌 = 2
𝑍 = 3
𝑊 = 0
i) {
3
√3𝑋
+ √
27
𝑌
= 2√3
1
3√𝑋
+
2
√𝑌
= 1
R./ {
𝑋 = 1
𝑌 = 9

j) {
𝑋 − 5𝑌 + 2𝑍 + 3𝑊 = 1
2𝑋 + 2𝑌 + 3𝑍 + 𝑊 = 8
𝑌 + 3𝑍 + 𝑊 − 𝑋 = 4
6𝑊 − 5𝑌 + 2𝑋 − 3𝑍 = 0
k) {
2𝑋 + 6𝑌 − 4𝑍 = 1
3𝑌 + 𝑋 − 2𝑍 = 4
𝑌 − 3𝑍 + 2𝑋 = −7
l) {
3𝑋 − 𝑌 + 2𝑍 = 1
𝑋 + 3𝑌 − 𝑍 = −3
2𝑋 − 𝑌 + 𝑍 = −1
R./ {
𝑋 = −2
𝑌 = 1
𝑍 = 4
3) Cada una de las matrices siguientes representa la matriz de un sistema lineal de
ecuaciones. Determinar si el sistema tiene solución única, infinidad de soluciones o
no tiene solución.
a) [
1 −2
0 1
⃒
3
−4
] b) [
1 −3
2 −6
⃒
5
−10
] c) [
1 −2 4
0 3 1
0 0 1
⃒
−2
4
−3
]
R./ Sol. Unica. R./ No tiene Sol. R./ Sol. Unica
d) [
2 1 5
0 3 −2
0 3 −2
⃒
4
10
10
] e) [
3 2 −1
0 1 0
0 1 0
⃒
0
−4
5
]
R./ Inf. Sol. R./ No tiene Sol.
4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.
a) {
𝑋 + 𝑌 − 2𝑍 = 14
2𝑋 − 𝑌 + 𝑍 = 0
6𝑋 + 3𝑌 + 4𝑍 = 1
b) {
2𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 4
10𝑋 − 2𝑌 + 2𝑍 = −1
6𝑋 − 2𝑌 + 4𝑍 = 8
c) {
−2𝑋 + 2𝑌 + 3𝑍 = 1
𝑋 − 𝑌 = 3
𝑌 + 4𝑍 = −2

d) {
𝑋 + 2𝑌 + 3𝑍 = −1
−2𝑋 + 𝑌 = 4
3𝑋 − 𝑌 + 𝑍 = 2
e) {
−5𝑌 + 𝑋 + 2𝑍 = 1
4𝑍 + 2𝑋 + 3𝑌 = 2
𝑋 + 2𝑌 + 2𝑍 = 3
f) {
𝑋 − 𝑌 + 𝑍 = 1
2𝑋 + 𝑌 − 𝑍 = −2
3𝑋 + 2𝑌 + 𝑍 = 3
5) A continuación se presentan problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones
lineales, para lo cual sólo se pide plantear el sistema (NO RESOLVER).
I) Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 1400 ft3
, se pueden
utilizar cuatro tuberías de entrada A, B, C y D. Cuando las cuatro operan a su
capacidad total, el tanque se puede llenar en 10 horas. Cuando sólo se utilizan
B y C, el tiempo se incrementa a 20 horas. Las tuberías A, B y D, llenarían el
tanque en 14 horas. Las tuberías A y D, llenarían la mitad del tanque en 10
horas. Obtener el número de ft3
/hora de cada tubería.
II) Un proveedor de productos para el campo tiene tres tipos de fertilizantes G1,
G2 y G3 que tienen contenidos de nitrógeno de 25%, 30% y 10%,
respectivamente. Se ha planteado mezclarlos para obtener 500 libras de
fertilizante con un contenido de nitrógeno de 30%. Además, dicha mezcla debe
contener 100 libras más del tipo G3 que del tipo G1. Cuántas libras se deben
usar de cada tipo?
III) Un granjero tiene 1,200 manzanas de tierra en los que cultiva maíz, trigo y
soya. Le cuesta $45 por cada manzana cultivar maíz, $60 por cultivar trigo y
$50 si quiere cultivar soya. Debido a la demanda del mercado cultivará el doble
de manzanas de trigo que de maíz. Ya destinó $63,750 para los costos del
cultivo de sus cereales. Cuántas manzanas de cada cereal debe plantar?

6) RESOLVER los siguientes problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones
lineales.
i. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: P1(2,1), P2(-1,-
4) y P3(3,0). (sugerencia: una ecuación de la circunferencia tiene la forma
x2
+y2
+Ax+By+C=0).
ii. Si f (x) = ax3
+bx+c, determine a, b y c tales que la gráfica de f , pase por los puntos
P1(-3,-12), P2(-1,22) y P3(2,13).
iii. Se tiene un número de tres dígitos, donde la cifra de las decenas es menor en uno
que la de las centenas y la suma de las tres cifras es 19. Si al intercambiar la cifra
de las centenas con la de las unidades, el número se incrementa en 198. Cúal es el
número? R.// 658.
iv. Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 1000 ft3
, se pueden utilizar
tres tuberías de entrada A, B y C. Cuando las tres operan a su capacidad total, el
tanque se puede llenar en 10 horas. Cuando sólo se utilizan A y B, el tiempo se
incrementa a 20 horas. Las tuberías A y C, llenarían el tanque en 12.5 horas.
Obtener el número de ft3
/hora de cada tubería. R.// A:30ft3
/h, B:20ft3
/h,
C:50ft3
/h.
v. I.M.E.E.P y asociados fabrica tres tipos de computadora personal: PitagóricaX,
AlgebraX y CicloideX. Para armar una PitagóricaX se necesitan 10 horas, otras 2
horas para probar sus componentes y 2 más para instalar sus programas. El
tiempo requerido para la AlgebraX es de 12 horas en su ensamblado, 2.5 horas
para probarla y 2 horas para instalarla. La CicloideX, la más sencilla de la línea,
necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la
fábrica de esta empresa dispone de 1,560 horas de trabajo por mes para armar,
340 horas para probar y 320 para instalar. Cuántas computadoras de cada tipo
produce la empresa por mes?. R.// 60 PitagóricaX, 40 AlgebraX y 80 CicloideX.
vi. Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es de $234,000, entre sus
cuatro hijas de la manera siguiente.
2
3
de las propiedades deben de dividirse por
igual entre las hijas. Para el resto cada hija debe recibir $3,000 cada año hasta su
vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan tres años, Cuánto recibiría
cada una de los bienes de su padre?, Qué edad tienen ahora esas hijas?. R.// La
hija menor recibirá $72,000 la siguiente $63,000, la siguiente $54,000 y la mayor
$45,000. Actualmente la hija mayor tiene 19 años, la segunda 16, la tercera 13 y
la última 10 años.
vii. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 €
(sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la
cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA
del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura
total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de
bebida. R.// Refrescos=120€, Cerveza=160€ y Vino=220€.

Parte V. Ejercicios Varios.
1. Sean 𝜑(𝛾) = 3𝛾2
− 2 − 5𝛾 y A=[
1 2
3 1
], I=[
1 0
0 1
]. Pruebe que: 𝜑(𝐴) = 3𝐴2
− 2𝐼 − 5𝐴 =
[
14 2
3 14
].
2. Verifique que: A=[
1 0 1
0 1 1
0 0 1
] es una raíz del polinomio 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 1, en el sentido
que 𝐴3
− 3𝐴2
+ 3𝐴 − 𝐼 = 0.
3. Si A=[
1 1 0
0 1 1
0 0 1
], pruebe que: 𝐴 𝑛
= [
1 𝑛
1
2
𝑛(𝑛 − 1)
0 1 𝑛
0 0 1
] .
4. Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, pruebe que: (𝛼𝐴 + 𝛽𝐵) 𝑡
= 𝛼𝐴𝑡
+ 𝛽𝐵 𝑡
,
donde 𝛼 𝑦 𝛽 son dos números reales cualesquiera.
5. Si A y B son dos matrices tales que el producto AB esté definido, pruebe que: (𝐴𝐵) 𝑡
= 𝐵 𝑡
𝐴𝑡
.
6. Verificar que (2, 0, 1) es una solución de la ecuación matricial: AX=B, donde: A=[
1 2 1
2 0 −2
0 3 2
],
X=[
𝑤
𝑦
𝑧
] y B=[
3
2
2
].
7. Mencione todos los casos posibles que se presentan al resolver un sistema de ecuaciones
lineales.
8. De los siguientes sistemas de ecuaciones lineales indique cuales son homogéneos y cuales no
lo son.
a)
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0
} R:_______________________________________
b)
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = −5
2𝑦 − 3𝑧 = 0
} R:_______________________________________
c)
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑦 − 8𝑧 = 0
7𝑥 − 9𝑦 + 𝑧 = 0
} R:_______________________________________
d)
𝑥 + 2𝑦 = 3
−𝑥 + 5𝑦 = 0
5𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧 = 0
} R:_______________________________________
e)
2𝑥 − 𝑧 = −1
3𝑦 + 2𝑧 = 0
} R:_______________________________________
f)
2𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
} R:_______________________________________

9. ¿Es cierto que un sistema homogéneo siempre tiene solución? Si la respuesta es afirmativa,
¿cuál es una solución?
10. Dar todas las soluciones del sistema de ecuaciones cuya matriz aumentada sea: [
2 0 0
0 1 0
0 0 0
⋮
8
3
0
].
11. Explique por qué un sistema de ecuaciones cuya matriz aumentada es: [
2 5 1
0 2 4
0 0 0
⋮
0
0
3
] no
puede tener solución alguna.
12. Relacione los conceptos: Sistema inconsistente, Sistema consistente con solución única y
Número infinitos de soluciones, con las definiciones que se presentan en los siguientes
literales.
a) Después de reducir la matriz del sistema, queda una fila que consta de ceros únicamente.
b) La matriz reducida tiene una fila con ceros desde el primero al penúltimo lugar, habiendo
en la última fila un número distinto de cero.
c) La matriz aumentada del sistema puede reducirse a una del tipo: [
1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 1
⋮
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑛
]
13. ¿Cuál de las relaciones siguientes es la correcta? Considere que A, B son matrices del mismo
tamaño y tienen inversa.
a) (𝐴𝐵)−1
= 𝐴−1
𝐵−1
b) (𝐴𝐵)−1
= 𝐵−1
𝐴−1
, Justifique su respuesta.
14. Probar que la inversa de 𝐵 = 𝐴−1
𝑒𝑠 𝐵−1
= 𝐴.
15. Usar una matriz “general” de orden 2 (es decir, de dos filas y columnas) para comprobar que:
(𝐴𝑡
)−1
= (𝐴−1
) 𝑡
, siempre que A tenga inversa.
16. ¿Para qué valores de “a” existe la inversa de la matriz? A=[
𝑎 + 1 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 + 1 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎 + 1
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎 + 1
].
17. Dada la siguiente tabla:
Cantidades (en gramos) proporcionadas por 100g de ingrediente
Nutrimiento (g) Leche desgrasada Harina de soya Suero
Porciones
recomendadas en una
dieta diaria de 2000
calorías.
Proteínas 36 51 13 33
Carbohidratos 52 34 74 45
Grasa 0 7 1.1 3
Si es posible, encuentre alguna combinación de leche desgrasada, harina de soya y suero que
proporcione las cantidades exactas de proteínas, carbohidratos y grasa proporcionadas para una dieta
de 2000 calorías diarias.

18. Determine las corrientes del circuito que se muestra en la siguiente figura.
19. A es una matriz 𝑛 × 𝑛. Califique las siguientes proposiciones como falsas o verdaderas,
a) Un determinante 𝑛 × 𝑛 está definido por determinantes de submatrices (𝑛 − 1) ×
(𝑛 − 1).
b) El cofactor (𝑖, 𝑗) de una matriz A es la matriz 𝐴𝑖𝑗 que se obtiene al eliminar de A su fila i-
ésima y su columna j-ésima.
c) El desarrollo por cofactores de det(𝐴) descendiendo por una columna es el negativo del
desarrollo por cofactores a lo largo de una fila.
d) El determinante de una matriz triangular es la suma de las entradas de la diagonal
principal.
20. Si A y B son matrices 𝑛 × 𝑛. Califique las siguientes proposiciones como falsas o verdaderas,
a) Una operación de reemplazo de filas no afecta el determinante de una matriz.
b) Si las columnas de A son linealmente dependientes, entonces det(𝐴) = 0.
c) det(𝐴 + 𝐵) = det(𝐴) + det(𝐵)
d) Si se hacen dos intercambios sucesivos de fila, entonces el nuevo determinante es igual al
determinante anterior.
e) El determinante de A es el producto de las entradas diagonales de A.
f) Si det(𝐴) = 0, entonces dos filas o dos columnas son iguales, o una fila o columna es cero.
g) det(𝐴𝑡) = (−1) det(𝐴).
21. Dadas las Matrices 𝐴 = [
1 1
3 4
] 𝑦 𝐵 = [
𝑎 𝑏
1 3
], las cuales son conmutables en su producto.
Calcular el valor de a y b.

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