hasta el 100 no...Y las cuentas tampoco entonces ...Que!!!

Irma Fuenlabrada

¿Hasta el 100?...
¡NO!
¿Y las cuentas?...
¡TAMPOCO!
Entonces…
¿QUÉ?

Secretaría de educación Pública
Alonso Lujambio Irazábal

SubSecretaría de educación báSica
José Fernando González Sánchez

dirección General de deSarrollo curricular
Leopoldo F. Rodríguez Gutiérrez

dirección General de deSarrollo de la GeStión e innovación educativa
Juan Martín Martínez Becerra

dirección General de MaterialeS educativoS
María Edith Bernáldez Reyes

dirección General de educación indíGena
Rosalinda Morales Garza

dirección General de ForMación continua de MaeStroS en Servicio
Leticia Gutiérrez Corona

¿Hasta el 100?...
¡NO!
¿Y las cuentas?...
¡TAMPOCO!
Entonces…
¿QUÉ?

coordinación editorial
Felipe G. Sierra Beamonte

diseño de portada e interiores
Lourdes Salas Alexander

Primera edición, 2009

d. r. © Secretaría de educación Pública, 2009
argentina 28
centro, cP 06020
cuauhtémoc, México, dF

iSbn 978–607–467–

impreso en México
distribución gratuita/Prohibida su venta

Presentación .......................................................................07

Consideraciones
generales ........................................................................... 09

¿Qué signiﬁca
resolver un problema? ....................................................... 31

A manera de conclusión ....................................................59

hasta el 100 no...Y las cuentas tampoco entonces ...Que!!!

E l texto Diálogos sobre educación preescolar y primaria: un
encuentro de opiniones forma parte de las acciones para im-
pulsar la reforma pedagógica de la educación preescolar que
la Secretaría de Educación Pública ha llevado a cabo desde
hace más de seis años.
La reforma –cuyo eje es la aplicación del Programa de Educación Pre-
escolar 2004– tiene como finalidad contribuir a la transformación de las
prácticas educativas en el aula, de tal manera que las niñas y los niños
dispongan en todo momento de oportunidades de aprendizaje interesan-
tes y retadoras que propicien el logro de competencias fundamentales,
partiendo siempre de los saberes y las competencias que poseen.
Para las educadoras el logro de esta finalidad ha significado un proceso
de aprendizaje que implica probar con sus alumnos formas de trabajo in-
novadoras, equivocarse, reflexionar, volver a intentar y descubrir en esos
intentos de cambio, no sólo que los niños pequeños tienen múltiples ca-
pacidades, sino que es posible y necesario proponerles actividades que las
hagan emerger.
La maestra Irma Fuenlabrada aporta en este ensayo ideas clave sobre el
significado de que los niños desarrollen competencias en el ámbito de las
matemáticas y por qué ciertas concepciones o creencias sobre los procesos
de desarrollo y aprendizaje infantil construidas en la tradición escolar aún
rigen el trabajo educativo cotidiano; ofrece además consideraciones didác-
ticas precisas que ayudarán a reorientar la práctica docente y a fortalecer
la competencia didáctica.

7

¿Qué.deben.aprender.los.pequeños.sobre.matemáticas.durante.la.edu
cación. preescolar?. ¿Es. posible. que. desde. los. tres. años. de. edad. los. niños.
resuelvan.problemas.matemáticos?.¿Aprenden.diferente.los.niños.de.pri
mero,.segundo.y.tercer.grados.de.preescolar?.¿Por.qué.el.Programa.de.Edu
cación. Preescolar. 2004. no. plantea. competencias. para. cada. grado?. ¿Qué.
deben.conocer.los.docentes.de.preescolar.para.plantear.distintos.tipos.de.
problemas.a.sus.alumnos?.¿Qué.tipos.de.situaciones.es.conveniente.propo
ner.a.los.niños.para.hacerlos.razonar,.buscar.y.encontrar.soluciones.a.pro
blemas.matemáticos?.
A.estas.y.otras.cuestiones.la.maestra.Fuenlabrada.responde.en.este.bre
ve.pero.sustancioso.artículo,.con.ejemplos.que.ayudan.a.pensar.sobre.los.
razonamientos.de.los.pequeños.y.las.formas.en.que.su.maestra.puede.inter
venir. La autora invita a reflexionar sobre las prácticas pedagógicas que no
generan.razonamiento,.conocimiento.ni.competencias.en.los.niños,.y.ofrece.
alternativas.fundamentadas.y.factibles.para.mejorar.el.trabajo.docente..
Con.base.en.la.experiencia.obtenida.en.varias.investigación.sobre.pro
blemas.de.conteo.de.colecciones.y.la.aplicación.de.diversas.formas.de.re
solución. por. parte. de. alumnos. de. educación. preescolar,. la. maestra. Irma.
Fuenlabrada.describe.cómo.pueden.plantearse.a.los.niños.situaciones.di
dácticas.que.desafíen.su.intelecto.y.explica,.entre.otras.cosas,.cómo.iden
tificar diversos tipos de problemas atendiendo la relación semántica entre
los.datos.numéricos.
El.estudio.de.este.material.no.se.agota.con.una.lectura;.es.útil.para.el.
análisis.y.la.discusión.académica.y.sugerente.para.proponer.a.los.pequeños.
situaciones.análogas.a.las.que.ofrece.el.texto.
La.Secretaría.de.Educación.Pública.espera.que.este.texto.contribuya.a.la.
apropiación.de.una.propuesta.de.trabajo.basada.en.la.resolución.de.proble
mas.numéricos,.así.como.a.la.mejor.comprensión.y.aplicación.del.Programa.
de.Educación.Preescolar.2004.

Irma Fuenlabrada1

E ntre las diversas diﬁcultades que han enfrentado las educadoras
al aplicar el Programa de Educación Preescolar 2004 (PEP)2 una
sobre la que particularmente nos ocuparemos en este artículo es
la confusión que tienen entre “adquirir conocimiento” y “desarrollar com-
petencias”.
En primera instancia trataré de esclarecer en dónde se origina dicha
confusión para después ofrecer a las educadoras consideraciones didác-
ticas que les ayuden a reorientar su práctica docente, de tal forma que
al trabajar sobre el campo Pensamiento matemático propicien que los
niños adquieran conocimiento matemático al mismo tiempo que vayan
desarrollando competencias.
Las reﬂexiones que plantearé en este documento se circunscriben a las
ideas que las educadoras tienen sobre los primeros números, su represen-
tación y el conteo, y a cómo estas ideas inciden en la interpretación de
los problemas y de su utilización como recurso didáctico para promover
el conocimiento de los primeros números en los alumnos de preescolar;
asimismo, haré algunas acotaciones sobre lo que se espera aprendan los
niños al respecto.

1 Integrante del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) del Centro de Investigación y de Estudios Avan-
zados (Cinvestav) del IPN. Para la realización de este artículo se contó con la colaboración de Ruth Valencia Pulido,
profesora de la SEP comisionada al DIE, así como de Bertha Vivanco Ocampo, auxiliar de investigación del mismo
departamento.
2 Educación básica. Programa de Educación Preescolar 2004, México, SEP.

9

Teniendo presente que la pretensión del PEP es que las educadoras pro-
muevan el desarrollo de competencias que permitan a los niños y las niñas
del país una participación plena en la vida social (SEP, 2004:31) organizaré
la discusión a partir de los planteamientos hechos en el programa 2004, en
relación con las dos primeras competencias sobre número:

• Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en
juego los principios de conteo.
• Plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y
que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir ob-
jetos (SEP, 2004:75).

Con el propósito de sustentar el desarrollo del contenido, en este do-
cumento retomaré algunos hallazgos de dos investigaciones,3 en una de
las cuales se exploran las creencias matemáticas de las educadoras y la
otra documenta y analiza los procedimientos de resolución de problemas
de niños de preescolar.

¿Qué signiﬁca para las educadoras
desarrollar competencias en los niños?

Desde las consideraciones que hace Mercado sobre los saberes docen-
tes4 se puede decir que las educadoras han elaborado ideas y creencias
sobre las matemáticas y su relación con el número, que tienen su origen
en su propio tránsito por la escuela, en su formación profesional, en las

3 Saberes matemáticos de las educadoras y su incidencia en la enseñanza que realizan en el aula y El desarrollo del
pensamiento matemático en niños del preescolar desde las consideraciones metodológicas del PEP04. Ambas inves-
tigaciones fueron realizadas con la dirección de Irma Fuenlabrada en el DIE del Centro de Investigación y Estudios
Avanzados del IPN.
4 Ruth Mercado (2006), “La organización de la enseñanza”, en I. Fuenlabrada y E. Weiss (coords.), Prácticas escolares
y docentes en las escuelas primarias multigrados Conafe/Cinvestav, Sede Sur, México.

10

interacciones cotidianas con sus pares y particularmente en el hacer y de-
cir de sus alumnos frente a las situaciones de enseñanza que realizan.
Desde el ciclo escolar 2004-2005 las educadoras han establecido un
diálogo con la definición de competencias planteada en el programa
2004, la cual señala:

Una competencia es un conjunto de capacidades que incluye conoci-
mientos, actitudes, habilidades y destrezas que una persona logra me-
diante procesos de aprendizaje y que se manifiestan en su desempeño
en situaciones y contextos diversos (22).

Las educadoras realizan este diálogo con base en sus ideas, creencias
y experiencia docente; así, aunque dicen estar desarrollando compe-
tencias, siguen –las más de las veces– avocándose a la transmisión de
conocimiento por ostentación y repetición.
Se observa todavía en muchos jardines de niños que las educado-
ras sólo retoman de la definición de competencia lo referido al conoci-
miento; específicamente se hacen cargo de los primeros números en su
significado de cardinal, con la finalidad de llegar a la representación y
al reconocimiento de los símbolos numéricos. Esto significa para ellas la
culminación de la adquisición del conocimiento del número y por ello de
una competencia; la cual se manifiesta, dicen, cuando los niños pueden
contar los elementos de una colección (dibujada) y escriben el número
(correspondiente), y también lo pueden hacer al revés (realizar la tarea
inversa).
Sin embargo, la definición citada dice que la competencia es “algo”
más que un conocimiento. Es decir, simultáneamente al conocimiento
que preocupa a las educadoras (los primeros números, su representación
y el conteo) deben desarrollar en sus alumnos actitudes, habilidades y
destrezas, y esto debe expresarse en situaciones y contextos diversos.
A manera de ejemplo, y a partir de la experiencia, he detectado que
hay educadoras que sí reparan en ese “algo más” que incluye la defini-
ción de competencia. Sin embargo, al organizar la enseñanza suponen

11

que deben hacer una “partición” de la definición para lograr los propósi-
tos establecidos en el PEP.
He observado este fenómeno de “partición” de la definición de com-
petencia particularmente en jardines de niños en donde la directora y
educadoras están organizadas como un colectivo. Entre los acuerdos
conjuntos que toman para la marcha e implementación del programa
suceden cosas como las que a continuación se describen.
Las maestras deciden empezar en primer grado e inicios del segundo,
por los conocimientos; esto es equivalente a la “enseñanza” del conteo y
la representación simbólica convencional; en segundo grado e inicios del
tercero continúan trabajando con las actitudes, habilidades y destrezas,
que identifican con el dominio –por parte de los niños– de “lo aprendido”
a través de la repetición (y en todo caso también refiere a una amplia-
ción del rango numérico); finalmente, dejan para tercer grado el espacio
para la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos,
que es equivalente al planteamiento de problemas.
No obstante, esta “partición” de la definición de competencia, es im-
portante señalar que el desarrollo de actitudes involucrado en la definición
se desdibuja en el trabajo sobre el campo de Pensamiento matemático,
porque se considera que las actitudes se atienden en otros campos.
De hecho, esto no ocurre inconscientemente, las educadoras dan
cuenta de ello en sus planeaciones. Al cuestionamiento: En su planea-
ción de enseñanza (matemática), ¿en qué momento se ocupan del desa-
rrollo de actitudes?, frecuentemente responden que desarrollar actitudes
corresponde al campo de Desarrollo personal y social.

Una educadora dice: “(trabajamos el desarrollo de actitudes) cuando les
enseñamos a los niños a reconocer lo bueno que es tener actitudes favo-
rables a la convivencia, al respeto a todos, [...] poco a poco van mejoran-
do su actitudes, se pelean menos, no se quitan el material, esperan su
turno para hablar. Hay niños que les cuesta más trabajo, pero esto tiene
que ver con su casa [...] a veces son muy caprichudos [...]. Israel [por
ejemplo] es hijo único, siempre quiere hacer su voluntad, no le gusta
compartir; él tiene problemas con sus actitudes [de convivencia].

12

Con esta manera de entender el desarrollo de actitudes, las educado-
ras no reconocen la importancia de ocuparse de las mismas en los cam-
pos con mayor contenido disciplinar, como es el de matemáticas.
Es fundamental que la enseñanza se ocupe de propiciar en los niños
actitudes frente a lo que desconocen, como lo es la actitud de búsque-
da de la solución de un problema, en lugar de esperar que alguien (su
maestra) les diga cómo resolverlo.
Todavía me encuentro con educadoras que siguen asumiendo que
si ellas no les dicen a los niños lo que deben hacer, ellos “no pueden”
(encontrar la solución), “todavía necesitan que uno les ayude”, “son muy
pequeños y algunos no saben qué hacer”, “se distraen fácilmente”. Esta
manera de actuar en la enseñanza se sustenta en las prácticas docentes
dominantes que precisamente el programa 2004 pretende cambiar.
Adicionado a esto último es necesario hacer otra precisión respec-
to a la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos.
En los datos que se tienen se observa que las educadoras, si bien en-
tienden que deben plantear problemas a los niños, lo hacen hasta que
sus alumnos dan muestra de “dominio” de los conocimiento necesarios
para resolverlos; es decir, los problemas no son entendidos por las edu-
cadoras como un recurso de la enseñanza para propiciar el aprendizaje
del conocimiento y favorecerlo como se dice en el programa, sino como
el espacio en donde debe “mostrarse” la adquisición de un conocimien-
to “terminal”, entendido como cuando los niños dominan el conteo de
colecciones con los primeros números (alrededor del 30), son capaces
de reconocer y producir la escritura numérica convencional (al menos
hasta el 10) y realizan con éxito tareas explícitas –solicitadas por la edu-
cadora– de conteo de objetos en una colección dibujada y el registro
numérico de su cardinalidad, y a partir de un número los niños lo interpre-
tan para dibujar una colección que le corresponda.
Sin embargo, al margen de que los problemas sean considerados
como un espacio de “aplicación” del conocimiento, se trabajan poco
en la educación preescolar y en tercer grado ceden su lugar, en algunos
casos, a la ampliación del rango numérico y a la operatoria (sumas y res-
tas) de bidígitos sin transformación.

13

Con base en el conocimiento actual acerca de cómo aprenden ma-
temática los niños, estos componentes –conocimiento, actitudes, habili-
dades y destrezas– que se espera desarrollar en ellos no se enseñan “por
separado”, más aún, deben observarse en situaciones y contextos diver-
sos en el proceso mismo de aprendizaje.

¿Qué se enseña y qué se aprende?

En la definición de competencias en el programa de preescolar se se-
ñala que los conocimientos, actitudes, habilidades y destrezas se logran
mediante procesos de aprendizaje. Y es desde esta consideración que
aparecen las primeras dificultades, porque la manera como usualmente
las educadoras realizan la enseñanza todavía dista de la posibilidad de
lograr lo que el programa establece. Además de lo señalado sobre la
“partición” de la definición de competencia, las prácticas de enseñanza
en muchos casos continúan signadas por una serie de actividades mate-
máticas que terminan siendo actividades manuales.
A título de ejemplo, el reconocimiento de la representación simbóli-
ca de los números se entreteje con el boleo con papel crepé para que
los niños rellenen las grafías de los números o bien, los pinten de colores
diferentes según las indicaciones de la educadora: “2 de rojo, el 3 de
verde”, etcétera; con asombrosa facilidad, la intencionalidad matemá-
tica original (reconocer los símbolos de los números) cede su lugar, por
la preocupación de las educadoras, a la actividad manual inmersa en la
situación:

Este es el 2 (lo señala la educadora), ¿de qué color dijimos que lo vamos a
pintar?, ¿rojo? (dice el niño con duda); sí, a ver, ¿cuál es el rojo? (el niño
toma una crayola roja), muy bien... ese es el rojo, ahora píntalo (el núme-
ro) sin salirte de la rayita.

14

Así, para la educadora acaba siendo más importante que el niño
identifique los colores e ilumine bien y, de ser necesario, le ayuda lleván-
dole la manita para que los padres vean “lo bien que trabaja su hijo”. Al
respecto, una directora-educadora nos explica lo que ella y sus compa-
ñeras pretenden: “Deben ser provechosas (las actividades) para que los
niños integren varios conocimientos. Usted lo pudo ver, los pequeños tra-
bajaron con los números, los colores y su motricidad. Esto (la motricidad)
es muy importante en la lectoescritura, no lo podemos perder de vista”.
Frente a la observación de que varios niños no identificaron los núme-
ros y la educadora se los señalaba, la respuesta siguió la siguiente lógica:
“De todo (identificación de los números, los colores y el desarrollo de la
motricidad), lo más difícil es el número, es algo abstracto, que poco a
poco los niños van comprendiendo, por eso, a las primeras no resulta, hay
que ayudarlos, es lento pero los niños lo logran”.
Este espacio no es suficiente para analizar todo lo que hay detrás del
hacer y decir de las educadoras frente a este suceso; por el momento,
sólo quiero destacar el reconocimiento de que el número es difícil, la im-
portancia en la enseñanza del hecho de que los niños aprendan a iden-
tificarlos y, desde luego, a escribirlos, pero más importante es reparar en
los recursos didácticos que suelen utilizar para lograrlo: la repetición (“hay
que hacerlo varias veces”).
En la situación descrita –y en muchas otras– la representación conven-
cional de los números se presenta para ser aprendida por ostentación:
“Este es el 2” (se señala) y por repetición para que los niños logren recor-
darlo y, a la larga, trazarlo; es decir, entre otras cosas, no se consideran
espacios de aprendizaje para que los niños enfrenten la situación de co-
municar la cantidad de una colección, y con ello vayan reconociendo
una de las funciones del número.
Los recursos gráficos para expresar la cantidad de objetos de una co-
lección son diversos y los niños los manifiestan si se les da oportunidad
de hacerlo. Desde luego que entre las muchas maneras como los niños
resuelven las situaciones de comunicación de la cantidad aparece la

15

representación convencional de los números (1, 2, 3, 4,...), pero no es ni
la primera forma de resolver y por supuesto tampoco la única, todo de-
pende de la manera como se plantea la situación de aprendizaje5 y la
actitud de la educadora sobre lo que espera de sus alumnos.
Para ilustrar lo expuesto en el párrafo precedente, revisemos cómo se
conduce una educadora,6 cuando sus recursos de enseñanza respon-
den a los planteamientos metodológicos del PEP. Asimismo, se muestran
los efectos de la enseñanza, en la manera de responder de los niños.

La docente en cuestión planteó a sus alumnos (de tercer grado) que
el día siguiente debían traer material para hacer una maqueta. Les pi-
dió que tomaran nota, “como quisieran”, de los materiales para que en
su casa, “con ese recado pudieran recordar lo que les había pedido”.
Lo importante es, les dijo, que “leyendo su recado puedan decirle a su
mamá lo que tienen que traer para mañana”. El material solicitado fue:
10 palitos, 6 piedritas, 12 hojas y 8 cocodrilos.

Es muy importante analizar la manera como la educadora presenta
la situación (consigna). No les dice a los niños cómo deben hacer la nota
(con dibujitos, números, usando palabras, etcétera). Solamente enfati-
za la función de la nota: a partir del registro deben poder recuperar la infor-
mación que ella les va a dar.
Cabe destacar que los niños sabían escribir los números y realizaban
esa tarea razonablemente bien cuando les era explícitamente solicita-
do, pero el objetivo de la actividad no es “practicar la escritura numéri-
ca” sino instalar a los alumnos en una situación de comunicación –para
ellos mismos y para sus mamás–, de cantidades de diferentes coleccio-

5 Por ejemplo, puede revisarse la secuencia sobre clasiﬁcación cuantitativa, ﬁchas 1, 13, 15 y 19 de ¿Cómo desarrollar
el pensamiento matemático? Fichero de actividades para preescolar (2008).
6 Ma. de los Ángeles Rangel (2007), Experimentación de una secuencia didáctica del eje: los números, sus relaciones
y sus operaciones en un grupo del nivel preescolar, tesis de maestría, DIE.

16

nes. Es decir, se trataba de averiguar qué información de las colecciones
(aspecto cualitativo y cuantitativo) resultaba significativa para los niños,
y conocer los recursos gráficos con los que contaban para registrar esta
información.
Entre las diferentes maneras como los alumnos resolvieron el registro
de la información aparecen cuatro (imágenes 1, 2, 3 y 4) particularmen-
te ilustrativas sobre las posibilidades de comunicación de cantidades de
niños. La actitud de la educadora, cuando los niños intentaban resolver
cómo registrar la información fue la de mantenerse en no decirles cómo
hacerlo: “¿Con dibujitos maestra?” “Cómo ustedes quieran”; “Es que no
sé escribir”. “ No importa, hazlo de otra manera, como tú quieras”.
Es así como tanto el manejo de la consigna por parte de la educadora
como su actitud ante las diferente demandas de los niños propicia que
en las producciones gráficas se pueda rastrear lo que entendieron de la
situación planteada y sus posibilidades para resolverla.
Plantear una consigna a los niños sin decirles cómo se espera que re-
suelvan la actividad, como lo hace la educadora protagonista de este
ejemplo, favorece al desarrollo de la habilidad de abstracción numérica.
No debe perderse de vista que esto responde a uno de los planteamien-
tos centrales de enseñanza sugeridos en el programa 2004.
En las producciones de los niños queda claro que el autor de este pri-
mer registro (imagen 1) entendió que para hacer el recado debía “escri-
bir”; imita el gesto de quienes escriben y hace uso de las letras que sabe
trazar, pero el registro no comunica lo que necesita pedirle a su mamá
para hacer la maqueta.
Para Rodrigo (imagen 2), en esta situación los números no le son útiles
para comunicar cantidades, es mucho mejor para él dibujar las coleccio-
nes (cantidad y cualidad).
A Doris (imagen 3), los números le “sirven” pero no son lo suficientemen-
te claros para comunicar la cantidad, por lo que todavía necesita acom-
pañarlos con el dibujo de las colecciones. Por cierto, registros como el de
Doris, de los ocho cocodrilos, es lo más que se puede esperar para quien
utiliza los números como comunicación de cantidades pero todavía no
sabe escribir, por lo que la palabra cocodrilo se puede remplazar con un

17

dibujo. Observemos que en la tarea solicitada es igualmente importante
registrar la información cuantitativa como cualitativa. Cabe señalar, sin
embargo, que la intención de Doris era hacer ocho cocodrilos, pero dada
la complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer los otros siete.
Finalmente, Jessica (imagen 4) se acerca mucho al tipo de registro que
cualquier alfabetizado puede hacer, usa los números y desde sus posibi-
lidades escribe las palabras correspondientes a los objetos de cada co-
lección.

IMAGEN 1

El autor de este primer registro entendió que
para hacer el recado debía “escribir”; imita el
gesto de quienes escriben y hace uso de las le-
tras que sabe trazar, pero el registro no comuni-
ca lo que necesita pedirle a su mamá para hacer
la maqueta.

IMAGEN 2

para Rodrigo los números no le son útiles para
comunicar cantidades, es mucho mejor para él
dibujar las colecciones (cantidad y cualidad).

18

IMAGEN 3

A Doris, los números le “sirven” pero no son lo
suficientemente claros para comunicar la canti-
dad, por lo que todavía necesita acompañarlos
con el dibujo de las colecciones. La intención de
Doris era hacer ocho cocodrilos, pero dada la
complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer
los otros siete.

IMAGEN 4

Jessica se acerca mucho al tipo de registro que
cualquier alfabetizado puede hacer, usa los nú-
meros y desde sus posibilidades escribe las pa-
labras correspondientes a los objetos de cada
colección.

En el ejemplo debe quedar claro que las producciones de los niños
son expresiones de las distintas formas de aproximarse a la representa-
ción gráfica de las cantidades; al finalizar preescolar se pretende que re-
curran a la escritura convencional de los números por propia iniciativa, no
sólo para enfrentar situaciones de comunicación sino también en otras
donde el número, su representación y el conteo sean utilizados.

1

Desafortunadamente, para muchas educadoras la escritura de los
números sigue siendo prioritaria prácticamente desde el inicio de la en-
señanza. No han logrado incorporar aún a sus prácticas docentes recur-
sos didácticos que favorezcan situaciones de aprendizaje en las cuales
los niños produzcan registros personales, entre otros, para representar el
sentido númerico de una colección.

La manifestación del conocimiento
en situaciones y contextos diversos

Promover el logro del conocimiento en situaciones y contextos diversos se
establece en la definición de competencia, también tiene que ver con
los procesos de aprendizaje que posibilite la educadora con las activida-
des que proponga y mediante su intervención docente. Una pregunta
que puede orientar la discusión es: ¿a los niños, en su tránsito por la edu-
cación preescolar, se les está dando la posibilidad de desarrollar compe-
tencias correlacionadas con el conocimiento del número?
Una manera de averiguarlo es si frente a situaciones y problemas di-
versos, en lugar de esperar que su maestra “les diga qué tienen que ha-
cer”, los niños tienen oportunidades para realizar las siguientes acciones
ligadas al razonamiento:

a) Buscar cómo solucionar la situación; es decir, si muestran actitud
de seguridad y certeza como sujetos pensantes que son.
b) Comprender el significado de los datos numéricos en el contex-
to del problema; esto es, para mostrar su pensamiento mate-
mático.
c) legir, del conocimiento aprendido (los números, su represen-
E
tación, el conteo, relaciones aditivas, etcétera), el que les sirve
para resolver la situación.
d) tilizar ese conocimiento con soltura para resolver (habilidades y
U
destrezas) la situación planteada.

20

Si las educadoras hacen una pequeña exploración en su grupo y re-
sulta que al plantear a sus alumnos un problema que implique agregar,
reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos, los niños esperan sus
indicaciones para proceder, les sugiero hacer la siguiente valoración:

• si los niños son de primer grado de preescolar, no hay problema, tie-
nen lo que resta del año y dos más para lograr que sus alumnos desa-
rrollen competencias, no sólo sobre el conocimiento de lo numérico,
sino también sobre cómo actuar frente a lo que desconocen. pero no
pierdan de vista que para lograrlo es indispensable permitan a los ni-
ños, sistemáticamente, que con sus propios recursos encuentren cómo
resolver las diversas situaciones matemáticas que les propongan.
De no “dejarlos hacer”, en el mejor de los casos sus alumnos
aprenderán a contar y a escribir los números, pero muy débilmente
podrán reconocer cuáles son las situaciones en las que el número es
un conocimiento útil para resolverlas.
• si los niños son de segundo grado, ustedes cuentan con menos tiem-
po para “enderezar el rumbo”, ¡todavía están a tiempo de replantear
su enseñanza! atendiendo de manera más eficiente las orientaciones
metodológicas del pEp 2004.
• si los niños son de tercer grado, la situación es grave, están a punto
de que sus alumnos terminen preescolar sin haber logrado al menos
las dos competencias sobre número enunciadas al inicio de este ar-
tículo. Independientemente de las “evidencias” recabadas, las cuales
mostrarán que sus alumnos han aprendido algo sobre los primeros
números (su representación, el conteo, etcétera), no están en posibi-
lidad de retomar ese conocimiento para resolver situaciones varia-
das que implican poner en juego los principios de conteo.

Durante la educación preescolar es necesario que los niños aprendan
ciertas cosas sobre los números, esto lo saben bien las educadoras y se
han ocupado de ello desde antes del PEP 2004, pero cabría preguntarse:
¿qué han aprendido los niños comúnmente en preescolar?

21

• La serie numérica oral, ¿hasta el 10?, ¿hasta el 20?, ¿hasta el 100?
• Conteo de colecciones, ¿hasta el 10?, ¿hasta el 20?, ¿hasta cuál…?
• Realizan con éxito tareas explícitas de correlación entre una colec-
ción y el registro numérico de su cardinalidad y viceversa. Por ejem-
plo, dada una colección de vacas, pueden contar y escribir cuántas
son; o bien, dado un número, logran dibujar una colección cuya car-
dinalidad corresponda a ese número (imagen 5).
• Saben hacer cálculos (3 y 5, 2 y 4, etcétera) usando los deditos de sus
manos, pero ese recurso (contar con los dedos) les sirve de poco, y de
hecho en ocasiones es un obstáculo didáctico7 para resolver cierto
tipo de problemas. Sobre esto regresaremos más adelante.
• Algunos niños “muy avanzados” resuelven sumas, al menos de esto
presumen sus maestras, con la salvedad de que lo hacen con apo-
yo de un gráﬁco8 (imagen 6). Realmente los niños cuentan y van
llenando los espacios, siguiendo las indicaciones y explicaciones de
su maestra:

¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la rayita, aquí abajo, escriban
cuántas hay, fíjense bien, a dónde van a escribir el 4... a ver, ¿cómo se
escribe el 4? (...), la crucecita se lee “más” y dice que vamos a juntar es-
tas tortuguitas con las otras (...) escriban el 3 (...) y en total ¿soooon?...
¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito.

Entonces, si estos son los aprendizajes que favorecen las educadoras,
¿están mal?, ¿son incorrectos? La respuesta es no, sólo que es muy poco

7 Brousseau, en su artículo “Educación y didáctica de las matemáticas”, publicado en la revista Educación matemática,
México, Grupo Editorial Iberoamérica, 2000, deﬁne como “obstáculo didáctico” aquello que, auspiciado por la ense-
ñanza (los docentes no sólo “lo enseñan” sino, en caso de aparecer espontáneamente en al aula, lo valoran positiva-
mente), se convierte en un obstáculo en el proceso de aprendizaje, en virtud de que los alumnos creen reconocer en él
“la manera” de proceder.
8 De las operaciones con números de dos cifras, que también suelen verse en preescolar, emito mi opinión más adelante.

22

respecto a lo que actualmente la investigación nos dice que los niños
pequeños pueden aprender y a lo que se espera aprendan, según se
establece en el PEP 2004.

IMAGEN 5

Dada una colección de vacas, pueden contar y
escribir cuántas son; o bien, dado un número,
logran dibujar una colección cuya cardinalidad
corresponda a ese número.

IMAGEN 6

¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la ra-
yita, aquí abajo, escriban cuántas hay, fíjense
bien, a dónde van a escribir el 4... a ver, ¿cómo
se escribe el 4? (...), la crucecita se lee “más” y
dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las
otras (...) escriban el 3 (...) y en total ¿soooon?...
¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito.

23

Las aspiraciones del PEP 2004

Recordemos que la pretensión del programa es que las educadoras pro-
picien en sus alumnos el desarrollo de competencias; esto significa que el
conocimiento, las destrezas y habilidades que vayan adquiriendo estén
a su disposición para resolver diversas situaciones, no sólo al término de
su educación preescolar sino también en el futuro; lograr esto hace indis-
pensable que las educadoras modifiquen su manera de enseñar, cedien-
do a los niños más autonomía en el proceso de aprendizaje.
Específicamente para el caso que nos ocupa, la cuestión sería: ¿cómo
desarrollar en los niños competencias sobre lo numérico, a la vez que
adquieran la competencia para escuchar a sus compañeros, trabajar en
equipo, argumentar, defender sus ideas, etcétera?
¿Qué van a aprender a escuchar? Las explicaciones de sus compañe-
ros (y no sólo de su maestra) sobre cómo resolver un problema.
¿Cómo van a aprender a trabajar en equipo?9 Buscando juntos, en
parejas, tríadas o equipos de cuatro, la solución a los problemas, opinan-
do sobre cómo proceder, negociando con sus pares.
¿Qué van a argumentar? Las consideraciones que tomaron en cuen-
ta para resolverlos.
¿Qué ideas van a defender? Las que les hayan surgido en la búsque-
da de solución de los problemas.
Es necesario, en este momento, retomar lo ya citado en relación con lo
que se espera que aprendan los niños sobre los números, como utilizarlos
en situaciones variadas que impliquen poner en práctica los principios del
conteo. ¿Cuáles son estas situaciones? Las que les sean familiares e impli-
quen agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.
Observemos que utilizar un conocimiento no es lo mismo que sólo “ad-
quirirlo”. No basta con conocer los números, su representación y saber

9 El trabajo en equipo, que se espera realicen los niños, es un recurso para socializar su conocimiento; no se trata de
una repartición de tareas cuyos productos individuales se reúnen posteriormente para dar cuenta de “lo que hizo el
equipo”.

24

contar, sino, con base en ese conocimiento es necesario, ¡que puedan
resolver diferentes situaciones!
Para que un problema se pueda resolver poniendo en juego los princi-
pios de conteo y esto no resulte artificioso, los datos numéricos involucra-
dos inevitablemente tienen que referir a cantidades pequeñas. Veamos
un problema:

Eric tiene 4 carritos, el día de su cumpleaños le regalaron 8. ¿Cuántos
carritos tiene Eric?

El problema lleva a los niños a contar una colección de 4 fichas (o
cualquier otro objeto disponible), a ésta agregarle 8 y luego a contar
desde el 1 la nueva colección para averiguar que son 12 los carritos que
tiene Eric. Sin embargo, si el problema se planteara así:

Eric tiene 25 carritos y le regalaron el día de su cumpleaños 547.
¿Cuántos carritos tiene Eric?

Ciertamente, se podría contar una colección de 295 elementos (pie-
dritas, fichas, rayitas) y luego, también contando de 1 en 1, agregar otra
de 547 para después iniciar un nuevo conteo desde el 1 hasta el 852 para
averiguar si Eric tiene esa cantidad de carritos. Sin embargo, es claro que
la estrategia de conteo 1 a 1 no es funcional cuando las cantidades son
mayores, resulta fuera de lugar para resolver el problema de cálculo del
problema.
En la matemática se ha desarrollado otra estrategia más económica
y funcional para solucionar el cálculo en este tipo de problemas, ésta,
sabemos, es la suma:

25
547
852

25

No obstante, la operación de suma (resta, multiplicación o división) no
está planteada para la educación preescolar, porque para comprender
dicha operación se requiere del conocimiento del sistema de numera-
ción decimal (con el que habitualmente escribimos los números) y este
contenido temático se aborda al inicio del primer año de primaria y se
formaliza hacia el final del mismo.
Entonces los datos numéricos de los problemas que se espera los ni-
ños de preescolar puedan resolver, deben referir a cantidades pequeñas
(preferentemente menores a 10), y los resultados estarán alrededor del
20, a fin de que la estrategia de conteo tenga sentido y resulte útil para
los niños.
Además, cabe aclarar que proponer a los niños resolver problemas
con cantidades pequeñas los lleva, como veremos con más precisión, a
encontrarse con los números en diversos contextos y a utilizarlos con sen-
tido; es decir, irán reconociendo para qué sirve contar y en qué tipo de
problemas es conveniente hacerlo.
En el proceso de resolución de problemas, los niños se ven en la ne-
cesidad de construir colecciones con determinada cantidad de objetos
(datos del problema) y realizar con esas colecciones diversas acciones,
como separarlas, unirlas, agregar una a otra, compararlas, distribuirlas,
igualarlas –como se proponen el PEP.
Las acciones que los niños realizan (por decisión propia) son sugeridas por
la relación semántica entre los datos del problema que pretenden resolver.
La importancia de recurrir al planteamiento de problemas para posi-
bilitar el aprendizaje del significado de los números y el uso del conteo,
radica en que para resolverlos se necesita que los niños tengan oportuni-
dad de tener experiencias que les permitan dos cosas:

• La primera es establecer la relación semántica entre los datos. se tra-
ta de que en el proceso de aprendizaje los niños encuentren el signifi-
cado de los datos numéricos en el contexto del problema y reconozcan
las relaciones que se pueden establecer entre ellos para encontrar la
solución. Los datos en los problemas aditivos pueden aparecer como
medidas –de colecciones–, transformaciones o relaciones.

26

• La segunda (igualmente importante), es que los niños de preescolar
tengan recursos de cálculo para encontrar la resolución demandada
en el problema (percepción de la cantidad, conteo de 1 en 1, cálculo
mental de colecciones pequeñas, relaciones aditivas de los primeros
números, sobreconteo, etcétera).10

Dependiendo del momento en que se encuentren los niños, a veces
basta con que digan oralmente el resultado y en otras ocasiones la edu-
cadora puede solicitarles que lo escriban; aquí pueden aparecer regis-
tros personales de la cardinalidad de la colección resultante o bien, el
uso de los signos numéricos convencionales (1, 2, 3, etcétera).

El lugar de las acciones y la operatoria

Con la ﬁnalidad de que las educadoras reﬂexionen sobre qué les permite
a los niños realizar con los problemas diferentes acciones y comprendan
la importancia de que éstas aparezcan en el proceso de aprendizaje
de los números en particular y la matemática en general, analicemos los
siguientes problemas:

Santiago tiene 2 coches rojos y 5 coches blancos. ¿Cuántos coches tiene
Santiago?

Santiago tenía 2 coches y su mamá le regaló 5 coches. ¿Cuántos coches
tiene Santiago?
Santiago tiene 2 coches y su mamá tiene 5 coches más que Santiago.
¿Cuántos coches tiene la mamá de Santiago?

10 El manejo del cálculo en el nivel de lo simbólico –algoritmos de suma, resta, multiplicación y división, por mencio-
nar algunos– son recursos de cálculo que los niños aprenderán en la primaria, y les encuentran sentido cuando se
trabaja con números mayores.

27

santiago tenía algunos coches, le regaló 2 a Mario y a su mamá le
regaló 5. A santiago ya no le quedaron coches. ¿Cuántos coches tenía
santiago?

Todos los problemas refieren a los coches de Santiago, e involucran
a los números 2 y 5, además se resuelven con la misma operación: 2 +
5 = 7. Sin embargo, los problemas son diferentes, tienen razonamientos
distintos y acciones diferentes sobre el 2 y el 5; entonces, si todos se re-
suelven con la suma 2 + 5, ¿será necesario que la educadora enseñe la
operación de suma para que los niños puedan resolver esos problemas?
¡No! Entonces, ¿cómo podrán los niños resolverlos si no se les enseñan las
operaciones?
Comprender que “la suma” es la operación que resuelve los proble-
mas citados (y muchos otros) es un proceso de abstracción al que los
niños pueden acceder en la escuela primaria, pero el antecedente a la
operatoria se sustenta en la posibilidad de reflexionar sobre las distintas
acciones que se pueden realizar con las colecciones, a la vez que se van
reconociendo las relaciones (aditivas) de los primeros números: el 7 pue-
de verse como un 2 y 5, 4 y 3, 2, 2, 2 y 1; como un 10 al que se le quitan
3, un 9 disminuido en 2, etcétera, sin que deje de aparecer el 7 como el
resultado de un conteo que se realiza de 1 en 1.
Si en su proceso de aprendizaje se da a los niños la oportunidad de
resolver situaciones numéricas con base en su propia experiencia y cono-
cimientos (como se sugiere en el PEP 2004), podrán hacerlo sin conocer
las operaciones; utilizarán el conteo. Por esto es importante que sean ellos
quienes decidan qué les conviene hacer con los datos numéricos de un
problema para resolver la pregunta respectiva. Son estas actividades –in-
teractuar con los datos, tomar decisiones sobre ellos y llevarlas a cabo– las
que darán sentido a los números y al conteo y en general al desarrollo del
pensamiento matemático.
Las operaciones son un contenido de la primaria, realizar acciones so-
bre diversas colecciones y contar, son propósitos de preescolar.

28

Los números en el contexto de un problema

En el apartado precedente se establece que los niños desarrollan su pen-
samiento matemático cuando la educadora les permita decidir qué ha-
cer frente a un problema; asimismo, se afirma que es fundamental poner
a los alumnos en situación de razonar con los distintos significados que
tienen los números en el contexto de un problema. Para ello, es necesario
que la educadora comprenda qué hace diferente los problemas de San-
tiago y sus coches, aunque todos se resuelvan con la suma 2 + 5.
En el primer problema el 2 y el 5 son la medida: la cantidad de coches
rojos y blancos que respectivamente tiene Santiago.
En cambio, en el segundo problema, si bien el 2 sigue siendo una me-
dida (los coches que tiene Santiago) el 5 ya no lo es; ahora está funcio-
nando como una transformación, porque modifica la cantidad de co-
ches que tenía Santiago (de 2 que tenía pasó a tener 7 coches).
En el tercer problema, el 2 nuevamente es una medida; sin embargo,
el 5 es una relación. El 5 en ese problema no es una medida, porque ni
Santiago ni su mamá tienen 5 coches, tampoco el 5 modifica la cantidad
de coches de Santiago, como tampoco los que tiene su mamá, enton-
ces el 5 no es una transformación. El 5 en este problema establece una
relación entre la cantidad de coches que tienen ambos sujetos.
En el cuarto problema, tanto el 2 como el 5 son transformaciones, en
cada uno se modificó la cantidad de coches de Santiago, y en el pro-
ceso se quedó sin coches; “recuperar” la cantidad de coches que tenía
antes de regalarlos hace que se pierda lo aprendido.
Los distintos contextos (problemas) en los que aparecen el 2 y el 5 llevan
a los niños a realizar diferentes acciones; sin embargo, cabe aclarar que los
dos primeros problemas son menos complejos que el tercero y el cuarto.
A fin de ahondar sobre la importancia de establecer la relación se-
mántica entre los datos, es decir, razonar sobre las acciones (y dejar para
la escuela primaria el recurso de la operatoria), convendría que las edu-
cadoras reflexionen también sobre lo que hace a los siguientes proble-
mas diferentes, aunque que todos se resuelvan con la resta 7 – 2.

2

santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan a
santiago para tener 7?

Mario tenía 7 dulces, le dio 2 a Genny y los otros se los dio a santiago.
¿Cuántos dulces le dio Mario a santiago? Mario tenía 7 dulces y se co-
mió 2. ¿Cuántos dulces le quedaron a Mario?

Mario tiene 7 dulces y Genny tiene 2 dulces menos que Mario. ¿Cuántos
dulces tiene Genny?

Resultaría interesante, además, que las educadoras imaginaran las
acciones que sus alumnos podrían realizar para resolver los problemas
anteriores, para planteárselos y observar si lo que hacen coincide o no
con lo que imaginaron y encontraran explicaciones al respecto.

30

1. La relación semántica entre los datos
Una idea generalizada (incluso en niveles educativos posteriores al pre-
escolar) es que para resolver un problema se necesita conocer primero
el recurso convencional de cálculo (operaciones, ecuaciones, etcétera).
De hecho, lo que sucede, como mencionamos, es que hay una confu-
sión entre los dos elementos participantes en la solución de un proble-
ma: los docentes se preocupan sobre todo por la estrategia de cálculo
que permite la solución y minimizan o ignoran la relación semántica que
debe establecerse entre los datos del problema. Esta relación semántica
se realiza en apego al razonamiento matemático y en función de la ex-
periencia y el conocimiento del sujeto que resuelve el problema.
Revisemos a través de un ejemplo lo dicho. Supongamos que quere-
mos resolver el siguiente problema:

En una fábrica se hacen archiveros de cuatro y seis cajones. Si hay 28
cajones para hacer 6 archiveros, ¿cuántos archiveros de cada tipo se
pueden hacer?

En la experiencia de una investigación realizada con educadoras, una
maestra dijo: “Salen cuatro (archiveros) de cuatro (cajones) y dos
(archiveros) de seis (cajones)”. Ante la pregunta, ¿cómo le hizo para
saberlo?, la respuesta fue: “Multipliqué 4 x 4 = 16 y me sobraron 12
cajones, si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido
los archivero de seis cajones”.

31

En esa ocasión la mayoría de los participantes logró resolver el proble
ma de los archiveros con algunas variantes en el procedimiento. Sin em
bargo, nadie recurrió a la estrategia convencional (sistema de ecuacio
nes). Cuando se les preguntó si sabían lo que debían hacer para resolver
ese problema de acuerdo con las matemáticas (solución convencional),
algunas respuestas fueron: múltiplos, distributiva, regla de tres, conteo,
operaciones. Otras educadoras, en lugar de contestar a esa pregunta
querían responder: ¿qué es necesario para resolver un problema? Fue así
que dijeron: “(es necesario) pensar”, “(hace falta) leer bien el problema”,
“con lógica”, “poner atención” (¿a qué?, ¿a las explicaciones del maes
tro?). También hubo quienes se aventuraron a sancionar las prácticas de
enseñanza dominantes: “Si los niños están mecanizados, no se puede (es
perar que resuelvan problemas)”. No obstante la diversidad de respuestas,
no se mencionó la estrategia convencional: los sistemas de ecuaciones
lineales, que más adelante revisaremos.
Conviene precisar que el recurso de solución de las educadoras fue
aritmético, porque cuentan con conocimiento sobre los números y sus
relaciones (4 x 4 = 16; 28 –16 = 12; 2 x 6 =12; 12 + 16 = 28) y desde luego re
currieron al cálculo mental con el apoyo de algunos datos. Ciertamente,
este conocimiento es importante pero no suficiente, ya que la posibilidad
de encontrar la respuesta realmente estuvo en que pudieron establecer
la relación correcta entre los datos. Es decir, controlaron la relación entre
el total de cajones (28), el total de archiveros (6) y el número de cajones
(6 y 4) que deberían tener los archiveros.

Es por esto que la maestra citada dice: “Si hubiera multiplicado por
otro número no me hubieran salido los archiveros de seis cajones”.

Efectivamente, no sólo se trataba de multiplicar o saber las tablas de
multiplicación del 4 o del 2, o saber sumar (recursos de cálculo), porque en
este caso la operatoria para resolver es 4 x 4 = 16, 2 x 6 = 12 y 16 + 12 = 28,
y hacer esta elección entre los distintos productos y sumas posibles entre el

32

4, el 6 y el 28 proviene de lograr establecer la relación entre estos números
en el contexto del problema.
Un problema equivalente11 es resuelto por los niños de primer grado,
pero como no tienen el conocimiento aritmético desplegado por las
educadoras, recurren –como es de esperarse– a lo que todo sujeto cog-
noscente puede acceder: sus conocimientos y experiencias, que para los
niños de ese grado son el dibujo y el conteo.
El razonamiento de los niños se describe a continuación, aunque cabe
aclarar que para efectos de este texto, se traslada su estrategia al mismo
problema planteado a las educadoras. Ellos dibujan los archiveros (6) y a
todos les ponen 4 cajones.

Cuentan los cajones “utilizados” (24) y encuentran que faltan 4 cajo-
nes por repartir, éstos los distribuyen de 2 en 2 para hacer archiveros de
6 cajones y así encuentran que con los 28 cajones se pueden hacer 2
archiveros de 6 cajones y 4 archiveros de 4 cajones.

11 En una fábrica se hacen archiveros, de 2 y 4 cajones. Si hay 14 cajones y con ellos se hacen cinco archiveros, ¿cuán-
tos archiveros de cada tipo se pueden hacer?

33

Quizá se podría caer en la tentación de pensar: ¿para qué sirve el
conocimiento aritmético si el problema se puede resolver con dibujos y
el conteo? Porque si en lugar de que el problema tenga como datos 6
archiveros y 28 cajones, planteara que son 1 020 cajones y con éstos se
hacen 210 archiveros de 6 o 4 cajones, el cálculo mental y las relaciones
aditivas y multiplicativas de los primeros números (4 x 4, 2 x 6, 16 + 12), que
tan útiles resultaron para resolver el problema de los 28 cajones, se reve-
lan insuﬁcientes para esta situación, y los dibujos también, porque aunque
se puedan dibujar, nadie está dispuesto a hacerlo con los 210 archiveros.
Realmente se necesita de otro recurso, de un nuevo conocimiento, que
viene a ser un mayor dominio de lo aritmético.
Retomemos el análisis de las soluciones al problema de los seis archive-
ros. Está claro que tanto los niños como las educadoras pueden resolver-
lo, pero no utilizan la estrategia convencional para ello.12 Ésta, como se
anticipó, es el sistema de ecuaciones lineales que sin grandes explicacio-
nes se reseña a continuación.
Determinamos que:

X representa a los archiveros de 4 cajones
Y representa a los archiveros de 6 cajones

Escribimos el sistema de ecuaciones que establece la relación semán-
tica entre los datos del problema:

X+Y=6
la suma de los archiveros del tipo X y los del tipo Y es 6

12 Cabría preguntarse si todas las educadoras pasaron por la secundaria y con seguridad sus maestros de matemáticas
se esforzaron en “enseñarles” los sistemas de ecuaciones lineales y los diversos métodos de solución, ¿por qué no
evocan ese conocimiento para resolver el problema? Una respuesta posible es que los sistemas de ecuaciones en
este caso resultan excesivos; otra posibilidad es que ese “conocimiento” sólo les sirvió para acreditar; o bien será
que sus maestros se empeñaron en enseñarles y ellas, ¿se empeñaron en no aprender? Finalmente, usando la jerga
actual, ese conocimiento les resultó poco “signiﬁcativo”.

34

4 x + 6 y = 28
cada archivero x representa 4 cajones y cada archivero y representa 6
cajones, la suma de cajones es 28

Ahora es necesario conocer alguna manera de resolver el sistema de
ecuaciones, entre los distintos disponibles se aplica el de “suma y resta”,
que consiste en multiplicar por un número alguna de las ecuaciones –en
este caso se tomó al número negativo 4 y se utilizó en la primera ecua
ción–, para eliminar una de las variables al sumar algebraicamente las
dos ecuaciones, la variable que se elimina en este caso es x:

-4x - 4y = -24
4x + 6y = 28
2y = 4

se dividen ambos miembros de la igualdad entre 2 para “depejar” la
variable y:
y=2

Esto significa que hay 2 archiveros de 6 cajones.

Se sustituye el valor de y en la primera ecuación para encontrar el valor
de x:
x+2=6
x=6–2

se resta en ambos miembros de la igualdad -2 para “despejar” la variable
x:
x=4

Con este resultado hay 4 archiveros de 4 cajones.

Si bien hemos llegado a la resolución convencional, la intención no es
que las educadoras enmienden su conocimiento algebraico, sino resal
tar que existen tres formas de resolver el problema.

35

Las maneras de resolverlo son diferentes porque en cada una el “suje
to que resuelve” cuenta con conocimientos matemáticos distintos (con
teo, recursos aritméticos, recursos algebraicos); cada uno de estos cono
cimientos es más complejo, pero a su vez cada uno permite una gama
de resolución más amplia. Con todo, independientemente del conoci
miento matemático que se tenga, la posibilidad de resolver está en si el
sujeto puede o no establecer la relación entre los datos para encontrar
la solución.
Sin pretender minimizar la importancia del conocimiento aritmético o
algebraico, conviene precisar que sirve de poco tenerlos, en el proceso
de aprendizaje, si no tienen la oportunidad de instalarse como herramien-
tas para resolver problemas. En este punto el conocimiento matemático
encuentra su sentido y utilidad para la educación básica.
En el nivel de preescolar, el desarrollo del pensamiento matemático es
susceptible de favorecerse si a los niños se les da ocasión de “recrearse”
con el conteo, resolviendo problemas que involucren a los primeros 10 nú
meros (el resultado puede rebasar el 10); en este caso sus procedimien
tos tendrán que ver con juntar colecciones, separarlas, igualarlas, distri
buirlas, compararlas, pero “darles” como recurso la operatoria (sumas y
restas) no tiene sentido, porque les resulta ajeno y distante a lo que ellos
espontáneamente hacen cuando su conocimiento se sitúa en los prime
ros números y el conteo, aunque para muchas educadoras y padres de
familia la aparición de las cuentas resulte “más matemático”, “de mayor
nivel” o cualquier otro calificativo similar.
En síntesis, en el nivel de preescolar es conveniente realizar lo siguiente:

• Favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños de
preescolar es darles la posibilidad de resolver problemas numéricos.
Esto significa permitirles que razonen sobre los datos del problema y
determinen qué hacer con las colecciones.
• En su proceso de aprendizaje es importante que los niños vayan en-
contrando formas (acciones) de responder a las distintas maneras en
el contexto en el que aparecen los números (medida, transformación,
relación).

36

• En el proceso de búsqueda de solución, los niños ampliarán su cono-
cimiento sobre los números e irán dominando el conteo, pero sobre
todo reconocerán para qué sirve “eso” que están aprendiendo (los
números y el conteo).

Observar lo que sus alumnos hacen al resolver problemas les da opor
tunidad a las educadoras de ver cómo actúan y percatarse de sus ra
zonamientos: que toman en cuenta, qué conocimientos matemáticos
tienen y cómo los están utilizando y qué les falta aprender de los conte
nidos de preescolar. Los niños no recurren a las operaciones para resolver
problemas, a menos que su maestra insista; en lugar de ello, si los deja
utilizar sus propias posibilidades, hacen dibujos, interpretan los números,
representan de alguna manera las cantidades, cuentan las nuevas co
lecciones que salen al actuar sobre las anteriores y así hallan la respuesta
a la pregunta del problema.
Sin embargo, dejar que los niños resuelvan los problemas echando
mano de sus conocimientos y experiencias no significa, como lo han su
puesto algunas educadoras, dejarlos a la “pata libre”. Si esto fuera cierto,
bastaría con recomendar a los padres de familia que les pusieran pro
blemas a sus hijos (hasta podríamos darles una lista) y las educadoras
podrían recoger sus bártulos y buscarse otra ocupación, pero ¡esto sería
absurdo!
Para propiciar el aprendizaje es necesaria la intervención didáctica
de las educadoras, quienes deben plantear el problema y anticipar las
diferentes maneras como pueden responder sus alumnos; con ese re
ferente deben observar a sus alumnos en el proceso de búsqueda de
solución.
Seguramente las educadoras verán en las resoluciones de sus alumnos
algunos de los procedimientos anticipados y otros no; particularmente
sobre estos últimos tendrán que preguntar a los niños para averiguar en
qué están pensando. Aun observando que los niños están resolviendo
con alguna de las maneras previstas, a veces, quieren resolver contan
do con los dedos, por ejemplo, y no pueden porque les es difícil realizar

37

las acciones (separar, agregar, unir, repartir, etc.), entonces la educado
ra podría acercarles fichas y proponerles que intenten resolver con este
recurso. En ocasiones los niños saben qué quieren hacer con las colec
ciones pero presentan algunos problemas con el conteo, entonces se les
puede ayudar.
Ahora bien, si frente al problema planteado la mayoría de los niños no
sabe qué hacer, una de dos: están acostumbrados a recibir ayuda y por
tanto la están esperando. En este caso, la educadora tendría que pre
guntarse qué significa para ella posibilitar el desarrollo de competencias
en sus alumnos, o bien, el problema rebasa las posibilidades cognitiva de
sus alumnos. Más adelante retomaré algunas situaciones de este tipo.
Pero si se observa que dos o tres niños van por buen camino es reco
mendable que la educadora les proponga que expliquen a sus com
pañeros lo que están haciendo. Recordemos que la socialización de
conocimiento entre pares es un componente importante en el proceso
de aprendizaje. No obstante hacer esto, las educadoras no pueden per
mitirse pensar que el asunto ha quedado resuelto para todo el grupo; es
necesario que reflexionen sobre lo que les falta saber y trabajar con ello
para retomar el asunto en otras clases, con algún problema equivalente
y observar si más niños muestran posibilidades de resolverlo.

2. El rango numérico
Algunas educadoras piensan que los problemas con datos numéricos
menores a 10 son fáciles de resolver, por eso dicen:

Es que mis niños son muy listos, ya saben muy bien los primeros
(números) y se aburren […]; los niños de ahora ‘son más listos que los de
antes’, por eso ya vamos como en el 100 y ya saben sumar y restar.

Pero, ¿los alumnos de esas educadoras sabrán resolver problemas con
números menores a 10, sin que ellas los vayan “orientando” en la búsque
da de la solución? Quizás esas educadoras avanzan sobre la serie numé

38

rica y la operatoria porque no saben qué hacer con los primeros números
y el conteo para mantener el interés intelectual de sus alumnos.
Sin afán de desestimar los esfuerzos de las educadoras para que sus
alumnos “lleguen hasta el 100 o aprendan a sumar y restar”, cabe co
mentar que los niños lo logran porque la serie numérica oral como la es
crita tienen regularidades, ¡que los niños descubren! Esta particularidad
de las series (oral y escrita) no es adjudicable a las competencias docen
tes de las educadoras; lo meritorio en todo caso es el tiempo dedicado
a que sus niños repasen las series numéricas. ¿Se imaginan lo que sería
“aprenderse” una cantidad infinita de nombres y signos (uno para cada
número) si éstos no se sujetaran a cierta regularidad?
No me cabe la menor duda, es mucho más difícil ocuparse de que
los niños desarrollen su capacidad para resolver problemas con los pri
meros números que atender a la memorización de la serie numérica, no
obstante que se llegue hasta el 100 o más allá. Respecto a las operacio
nes, lo que usualmente se hace para “enseñarlas” es informar a los niños
de unas reglas y hacer que las repitan el tiempo necesario, en su salón y
en sus casas con ayuda de sus papás, hasta que las “mecanicen”, pero
esto no significa que sepan utilizarlas por propia iniciativa para resolver
problemas.
No está alejado de realidad decir que los problemas con números pe
queños puedan ser difíciles de resolver, o al menos que los adultos no ten
gamos una respuesta inmediata y sea necesario pensar un poco antes
de encontrar la respuesta. Por esta razón, y con el propósito de reflexionar
sobre el particular, intenten solucionar el siguiente problema, “rapidito y
de buen modo” como se dice.

Eric tiene 2 camarones más que las tortugas que tiene Mariana, pero
Genny tiene 3 pulpos menos que los camarones de Eric. ¿Cuántos
animalitos tiene cada niño?

Está fácil, ¿no?, sólo tiene que ver con el 2 y el 3, números pequeños,
¿no? ¿Cuál es el problema? Además, la pregunta es familiar, se pretende

39

averiguar cuántos animales tiene cada niño. La respuesta no es inmedia-
ta porque la dificultad está en la relación semántica entre los datos y no
en la magnitud de éstos.
En la experiencia con educadoras a la que he hecho alusión, algunas
de las respuestas fueron: “Es cualquier número”; “no tiene solución, no
es exacto, falta (saber) lo que tiene Eric”. Otras respuestas que refieren
las relaciones involucradas son dan siguientes: 5 camarones, 3 tortugas
y 2 pulpos; 6 camarones, 4 tortugas, 3 pulpos; 7 camarones, 5 tortugas, 4
pulpos.
Efectivamente, este problema tiene varias soluciones, pero “no es
cualquier número”, es una terna de números que cumplen con las rela-
ciones “2 más que” y “3 menos que” respecto a la cantidad de camaro-
nes de Eric. Como el problema no precisa cuántos camarones tiene Eric,
la mayoría de las educadoras lo suponen, siempre y cuando –dicen–,
sean 5 o más camarones.
Algunas maestras (incluso de primaria), al igual que los niños,13 no acep-
tan que Erick tenga, por ejemplo, 3 camarones, porque entonces Genny
no tendría pulpos y el problema dice que sí tiene pulpos. Tener pulpos
significa que tiene muchos, dos o más; en ese caso Mariana tendría una
tortuga, pero son tortugas. Para estas educadoras la terna: 3 camarones,
1 tortugas, 0 pulpos, así como 4 camarones, 2 tortugas, 1 pulpo, ¡no son
soluciones!
Aunque desde el punto de vista de la matemática sí lo son. En esa
apreciación subyace uno de los muchos problemas que tuvo la incorpo-
ración de los conjuntos en la escuela primaria: la dificultad de aceptar la
existencia del conjunto vacío (el que no tiene elementos) y los de un ele-
mento, porque en el lenguaje coloquial “un conjunto” refiere un colecti-
vo, y éste tiene sentido si hay dos o más elementos. Este no es el espacio
para argumentar sobre la validez de las soluciones 3 -1 - 0 o 4 - 2 - 1, porque
¡tenemos muchas otras para escoger!

13 En situaciones equivalentes, circunscritas a una sola relación (y no a dos como en el problema que se analiza).

40

Respecto a suponer que el problema “no tiene solución” o “no es
exacto” porque es necesario precisar cuántos camarones tiene Eric, la
dificultad para las educadoras que opinan así es que equivocadamente
suponen que los problemas sólo pueden tener una solución y no varias,
como es el caso de este problema. Esta idea errónea es producto de su
tránsito por el sistema educativo; “los problemas matemáticos” que sus
maestros les plantearon no fueron tales, se trató de un estereotipo de pro
blemas que siempre tenía los datos necesarios y suficientes, en el orden
en que deberían usarse para aplicar una operación y de solución única,
pero como podemos apreciar, existen problemas que no se limitan a tan
infortunado esquema.
Finalmente, es claro que si en lugar del problema planteado se hubie
ra propuesto:

Eric tiene 3 camarones y Mariana 2 tortugas. ¿Cuántos animalitos
tienen entre los dos niños?

La rapidez de la respuesta de las educadoras (no así para los niños
de tres años) no proviene de que no se haga referencia a los pulpos de
Genny, sino que el 3 y el 2 funcionan como medida de colecciones; en
cambio, en el problema que suscitara entre las docentes tantos comen
tarios, el 3 y el 2 actúan como relaciones entre cantidades. Encontrar qué
hacer con los datos en este caso es más complejo que en el que refiere
a la medida de colecciones.
Es necesario aclarar que los niños de tercero de preescolar pueden resol
ver problemas en los que aparece una medida y una relación, tales como:

Eric tiene 4 camarones y Mariana tiene 2 pulpos menos que los
camarones que tiene Eric. ¿Cuántos pulpos tiene Mariana?

Con un poco de más dificultad pueden resolver los que tienen una re
lación:

41

Eric tiene 2 camarones más que los pulpos que tiene Mariana. ¿Cuántos
camarones tiene Eric y cuántos pulpos tiene Mariana?

En situaciones de este tipo, los niños tienden a pensar primero en los
pulpos de Mariana y por ello proponen una cantidad operable, con la
cual determinan cuántos camarones tiene Eric, pero es hasta la discusión
colectiva cuando se dan cuenta que hay varias respuestas posibles.14
Resulta interesante observar que, atendiendo a lo que dice el proble-
ma, los niños se involucren, por ejemplo, en el conteo de 5 pulpos que
puede tener Mariana, y a esta cantidad le agreguen 2 (los camarones
que tiene de más Eric), cuenten la nueva colección y concluyan que
Eric tiene 7 camarones y Mariana 5 pulpos. Si los niños tienen a la mano
la relación aditiva de estos números, como la tienen las educadoras, no
necesitan hacer el conteo.
La actividad intelectual de resolución de problemas es totalmente di-
ferente a solicitarles a los niños que sólo cuenten colecciones, en tanto el
conteo tendrán que hacerlo sin perder la relación entre las cantidades
sugerida en la situación.
Cuando los niños resuelven un problema, ciertamente cuentan co-
lecciones pequeñas, 5, 2, 7, pero están pensando, están interactuando
con la relación entre varios números; están resolviendo una situación más
compleja que la acción de contar.
Es claro que resulta fuera de lugar poner a los niños de cinco años (casi
seis) a contar colecciones de 7 camarones o 5 tortugas, por esto algu-
nas educadoras proponen conjuntos con mayor cantidad de elementos
para que los niños practiquen el conteo, pero la función de los problemas
no es realizar esa práctica; más aún, si los niños resuelven problemas con
números menores y realizan actividades de conteo de colecciones ma-

14 En la investigación de referencia Véase Irma Fuenlabrada, ¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan
más allá del uno, dos, tres?, México, DIE, Cinvestav. Solamente una niña encontró distintas soluciones para este
problema antes de la discusión colectiva de los resultados encontrados.

42

yores (no más de 30), no estaría mal, lo preocupante es dejar de plantear
problemas por ocuparse del conteo de colecciones o llevar la serie oral
hasta el 100 o más.
Para entender mejor la diﬁcultad subyacente en los problemas que
involucran a los primeros números, les sugiero que traten de resolver el
siguiente problema, que también incluye números pequeños, el 2 y el 7:

Eric jugó dos partidos de canicas, en el primero perdió 7 y en el segundo
ganó 2. ¿Con cuántas canicas se quedó Eric al terminar de jugar?

Frente a este problema, en la experiencia realizada con educadoras
(y con docentes de escuelas primarias15), la primera respuesta es: “El pro-
blema está mal planteado“, “está incompleto”, “le faltan datos”. Ante la
precisión de la coordinadora del ejercicio de que no faltaban datos y el
problema está bien planteado, una educadora se aventuró a dar una
respuesta: “3 canicas”.

¿De dónde salieron las 3 (canicas). Para poder jugar el segundo juego (Eric)
tenía que tener una (canica), por eso al principio (del juego) tenía 8, perdió 7
(en el primer juego y se quedó con una canica) y luego ganó 2 (en el segundo
juego), entonces se quedó con 3 (canicas, al término de los dos partidos).

En cambio, otras educadoras opinaron que el resultado era “5 cani-
cas”. Para ellas, Eric había empezado a jugar con 10 canicas, perdió 7 en
el primer juego y se quedó con 3, luego ganó 2, así que cuando terminó
de jugar tenía 5 canicas.

15 Ana Laura Barriendos Rodríguez (2005), ¿Es de suma o de resta? Experiencias con situaciones aditivas para
maestros de primaria, tesis de maestra en Ciencias, Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav.

43

“¿Aaah, estaba jugando con 10 canicas?”, interpeló la coordinadora,
“¿en qué parte del problema se da este dato?” Las educadoras seguían
insistiendo en que al problema “le faltaban datos”, nada más que ahora
lo habían solucionado del “faltante” al decir que Eric empezó a jugar con
8 o 10 canicas.

Hubo incluso quienes justificaron la elección de las 10 canicas aludien
do a que la coordinadora había planteado, en algún momento, que era
conveniente trabajar con los niños los problemas con números que no
pasaran del 10, por eso aceptaban la argumentación externada por la
educadora que dijo que Eric empezó con 8 canicas; pero ¡no con menos
de 8! porque en ese caso habría que aceptar que “Eric era un niño de
esos que se juegan ‘lo que no tienen’”, aunque claro, de que los hay, los
hay.
Ya instaladas en que Eric no fuera un niño “tramposo” desecharon
también el resultado “3 canicas”, que surge de haber empezado con
8, porque “¿cómo es que Eric iba a jugarse 2 canicas (en el segundo
partido), si nada más tenía una al empezarlo?” Así que ajustaron el dato
“faltante”: “Eric empezó a jugar con 9 canicas, perdió 7 en el primer par
tido y con las 2 que tenía ‘apostó’ 2, ganó y se quedó con 4 canicas al
terminar los dos partidos”.
Antes de dar la respuesta, sin suponer lo que Eric tenía al empezar a
jugar, conviene reflexionar sobre la cantidad de razonamientos y justifi
caciones que originó el problema. Recordemos que los números involu
crados son pequeños, el 7 y el 2. De eso se trata, de poner a los sujetos
en situación de razonar sobre las relaciones que guardan los datos en el
contexto de un problema; desde luego, el problema que tantas discusio
nes ocasionara, no se puede proponer a los niños de preescolar, sino a sus
maestras, ¡las educadoras!
La dificultad de establecer la relación semántica entre los datos del
problema de Eric, radica en que ambos datos son transformaciones y el
resultado es otra transformación que se puede expresar en términos de
una relación.

44

A fin de explicar lo dicho respecto a los datos, se propone el esquema16
en el que se muestran gráficamente las relaciones que subyacen en el pro-
blema. En el esquema, E1, E2 y E3 representan los estados de la situación:

E1: estado inicial (dato faltante, a decir de las educadoras).
E2: estado intermedio (resultado al término del primer partido).
E3: estado final (resultado al término del segundo partido).

-7 +2

E1 E2 E3

-5

Los datos 7 y 2 son transformaciones porque modifican la cantidad de
canicas de Eric: perder 7 es una transformación negativa y ganar 2 es
una transformación positiva. Ambas se expresan con números con signo
(-7) y (+2), respectivamente. Perder 7 y ganar 2 es equivalente a perder 5
canicas; es decir, Eric perdió finalmente 5 canicas; la respuesta en térmi-
nos de transformación modifica la cantidad de canicas que tenía Eric al
inicio del juego. O bien, al terminar de jugar los dos partidos Eric se quedó
con 5 canicas menos que las que tenía al empezar, respuesta en términos
de relación.

16 El problema pertenece a la cuarta categoría de problemas aditivos, según la clasificación de Vergnaud (El niño, las
matemáticas y la realidad, México, Trillas, 1985).

45

Observemos que la respuesta es independiente de lo que tenía Eric al
empezar a jugar, el famoso “dato faltante” no es tal, porque no es nece
sario conocerlo para resolver el problema. La respuesta “Eric perdió 5 cani
cas” de las que tenía al empezar es válida para cualquier valor que supon
gamos sobre la cantidad de canicas con las que Eric empezó a jugar.
Por esto, cuando las educadoras dicen que Eric se quedó con “3 ca
nicas”, parten de que inició con 8: si empezó con 8 y se quedó con 3,
perdió 5. Ahora bien, si tomamos la respuesta “Eric se quedó con 4 cani
cas”, es que empezó con 9, si empezó con 9 y se quedó con 4, perdió 5.
Lo mismo sucede si decimos que Eric se quedó con 5 canicas, entonces
empezó con 10 y perdió 5. De hecho, las educadoras al suponer el dato
inicial resolvieron casos particulares del problema planteado.

3. La numerosidad de las colecciones
A veces lo niños no pueden resolver un problema porque no tienen a
mano la numerosidad de las colecciones; es decir, no se sienten seguros
de poder realizar el conteo para construir una colección que tenga la
cantidad indicada porque no tienen una imagen mental de ésta. Supon
gamos lo siguiente:

En Biabialianda, los biabiatenses cuando cuentan van diciendo: ba,
be, bi, bam, (...) bembe, bembi, (...) cam, camba...

Con esta información respondan el siguiente problema:

Samuel se comió bam chocolates de los cambambe que tenía. ¿Cuántos
chocolates le quedan a Samuel?

Una manera de proceder es poner cambambe objetos, y de éstos con
tar bam, quitarlos y contar la colección resultante. Seguramente ustedes ya
habrán averiguado que bam es lo mismo que decir 4, pero saben, ¿cuán

46

to es cambambe?, es decir, ¿pueden construir una colección que tenga
cambambe objetos?, ¿saben contar (como lo harían los biabiatenses)
hasta el cambambe?, ¿tienen alguna idea mental de cuánto se tardarían
en hacer una colección de cambambe fichas, contando de ba en ba?
Las dificultades que tienen con la serie numérica oral de los biabiaten-
ses la tienen los niños cuando están aprendiendo los primeros números,
conocen el inicio de la serie y algunos números “salteados”: 1, 2, 3, 4, 5, 6...
16, 18... 50, 30, 33, 500…
En función del dominio de los números, de su correspondencia con las
colecciones (numerosidad) y el conteo, para algunos niños puede ser im
posible (en el proceso de aprendizaje) resolver el problema de Samuel y en
cambio sí resolver el problema de Sergio que se proponen a continuación:

Samuel se comió 3 chocolates de los 9 que tenía. ¿Cuántos chocolates
le quedan a Samuel?

Sergio se comió 3 chocolates de los 5 que tenía. ¿Cuántos chocolates le
quedan a Sergio?

Ambos problemas tienen la misma estructura, sólo se diferencian en
las cantidades. Para algunos niños el 9 puede ser todavía un misterio, por
tanto, es necesario que amplíen su conocimiento sobre la serie y el con
teo para tener herramientas que le permitan solucionarlo. Sin embargo,
el 5 puede ser ya de su dominio y entonces estarán en posibilidad de
resolver el problema.
Trabajar una colección “grande” puede ser problema cuando se tra
baja con niños, pero en este caso es útil comentar sus respuestas: varios
dijeron “son muchos”, para otro niño eran “como un millón”, a lo que un
tercero dijo: “sí, son como ¡80!” Realmente, entre un millón u 80, ¿cuál es
la diferencia?… ¡son muchos!
Ante esta situación, es muy importante que la educadora observe y
comprenda los razonamientos de sus alumnos, como cuáles son los co
nocimientos que tienen y cuáles todavía no. Cuando están en el proceso
de aprendizaje de los primeros números los números son muy sensibles a

47

su magnitud en función del contexto en el que aparecen. Quizá los niños
puedan contar una colección de nueve o más elementos y sin embargo
no sentirse seguros manejando el 9 cuando aparece en problemas como
el de Samuel.
Ahora bien, si resuelven el problema de Sergio, esto no garantiza que
puedan solucionar el problema de Samuel. O bien, supongamos que la
educadora propone el problema de Samuel y algunos niños no pueden re-
solverlo, concluir que ese tipo de problemas es difícil, no es del todo cierto.
Lo que la educadora debería hacer es proponerles el problema de
Sergio y el de Samuel; si pueden solucionar el primero pero no el segundo
sabrá que una posible diﬁcultad puede ser la magnitud de los números
involucrados y no la estructura del problema.
Ésta es una, entre otras razones, por las que se establece que el Pro-
grama de Educación Preescolar 2004 es un programa para el ciclo de
preescolar. Los contenidos no están repartidos y no deben disgregarse en
años escolares. Se espera que los niños trabajen cada año con todos los
contenidos propuestos; lo que cambia en cada grado es la complejidad
de las situaciones desde una perspectiva de profundización y enriqueci-
miento. Dicha complejidad puede provenir del rango numérico involu-
crado, o bien, de la estructura de los problemas, como puede apreciarse
en el siguiente apartado.

4. La construcción de un nuevo conocimiento
En una investigación de ingeniería didáctica realizada con niños de ter-
cero de preescolar,17 se les planteó el siguiente problema, ya enunciado
en párrafos anteriores:

“Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan
a Santiago para tener 7?”

17 Irma Fuenlabrada (2006), “¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del 1, 2, 3?”, Presentación
en el foro “Educación temprana”, realizado en Cádiz, España, México, DIE, Cinvestav.

48

Entre las condiciones en las que se encontraban los niños participan-
tes, cabe destacar la información de la educadora que los atendía,
quien dijo que sus alumnos realizaban sistemáticamente “cálculos con
sus dedos”; se mostró orgullosa de permitir que lo hicieran e incluso lo
propiciaba. Efectivamente, frente al problema de Santiago los niños utili-
zaron sus dedos para intentar resolverlo, aunque se observaron serias di-
ficultades para coordinar los deditos que querían “contar”. La actividad
de resolver cuánto es 2 y 3, 4 y 1, 3 y 3, etcétera, utilizando los dedos, es
diferente a intentar resolver una situación de cálculo cuando lo que se
tiene en la cabeza son números que deben relacionarse en el contexto
de un problema. Es decir, realizar con los dedos las acciones sugeridas
por la relación semántica entre los datos de un problema, en muchas
ocasiones es imposible.
La sobrevaloración conferida por la educadora (titular del grupo expe-
rimental) al recurso de los dedos para realizar cálculos en esta situación se
manifestó como un obstáculo didáctico (propiciado por la enseñanza);18
por ello, no es recomendable que las educadoras den prioridad a recur-
sos de cálculo como, por ejemplo, sugerir que el cálculo se lleve a cabo
siempre con palitos, dibujitos, deditos, u objetos, ésta es una decisión que
tomarán los niños con base en sus necesidades para resolver situaciones
de cuantificación, en todo caso es conveniente que la educadora les
sugiera todas las posibilidades simultáneamente.
Ante la situación observada en el problema de Santiago se sugirió a
los niños que utilizaran unas fichas que había sobre la mesa, dibujos o lo
que ellos consideraran conveniente. Todos los niños tomaron dos fichas y
agregaron otras, algunos al ir añadiéndolas empezaron a contar. A la pre-
gunta, “¿cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?” La respuesta
fue “7”. Nuevamente se les planteó la situación completa y su respuesta
fue “2”. Si bien, completaban fichas hasta llegar al 7, no eran capaces de

18 Guy Brousseau (1986), “Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáticas”, en E. Sánchez y G. Zubileta
(comps.), Lecturas en didáctica de las matemáticas. Escuela francesa, México, Departamento de Matemática
Educativa, Cinvestav, pp. 1-65.

49

anticipar que éstas no debían revolverlas con las dos que ya tenían, para
así poder contar las fichas agregadas y saber que a Santiago le faltan 5
dulces; entonces, se les planteó un nuevo problema, reduciendo el rango
numérico:

Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a
Santiago para tener 4?

En este caso, la respuesta fue inmediata (no precisaron de usar los
dedos ni las fichas): “2”. Se siguió explorando su posibilidad de respuesta,
con otras situaciones equivalentes:

“Santiago tiene 1 dulce pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a
Santiago para tener 4?” “3”
“Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 5. ¿Cuántos dulces
le faltan a Santiago para tener 5?” “3”

Que los niños pudieran contestar correctamente en el rango numéri
co menor o igual a 5, sin utilizar el conteo, era un indicador de que ha
bían descubierto y controlaban las relaciones aditivas de esos primeros
números, de que ya eran capaces de “mirar” el 4 como 2 y 2, 1 y 3, y al
5 como 2 y 3, por ejemplo; sin embargo, desconocían que el 7 podía ser
2 y 5.

4.1. Las relaciones aditivas de los primeros números
Se dejó por el momento el problema de Santiago de 2 y 7 dulces y se les
plantearon actividades que propiciaran una ampliación de su conoci
miento sobre las relaciones aditivas de los primeros números, postulando
que de contar con un mayor dominio de esas relaciones estarían en me
jores condiciones para resolver el problema de Santiago con números
mayores a 5.

50

El recurso fue trabajar con las fichas del dominó;19 se les pidió a los
niños que tomaran todas las fichas que tuvieran cuatro puntos, a fin de
averiguar si también eran capaces de reconocer las relaciones aditivas
del 4 en este nuevo contexto. No, no las reconocieron. Desordenada-
mente tomaron la fichas: 0/4, 1/4, 2/4; 3/4: 5/4 y 6/4, pero a nadie se le
ocurrió tomar las fichas 1/3 y 2/2, que son otras posibilidades de “tomar
fichas con cuatro puntos”, en donde subyacen expresiones de las rela-
ciones aditivas del 4.20
Se les pidió entonces que ordenaran las fichas del 4, para que empe-
zaran a reflexionar sobre el comportamiento de los números involucrados;
lo hicieron como se muestra en la imagen 7. Hubo quienes ignoraron la
ficha 4/4, y al pedirles explicaran la manera como habían ordenado las
fichas repasaron la serie 1, 2, 3, 4, 5 y 6, que aparece en la parte superior
de las fichas y les desconcertó la 4/0 cuando se fijaron en la parte inferior
de éstas. Notaron que les había sobrado la ficha 4/4 y decidieron incor-
porarla a las que tenían ordenadas (imagen 8), ahora la ficha “fuera de
orden” es la 4/0.

IMAGEN 7

IMAGEN 8

19 Se trabajó con el dominó clásico (hasta la “mula” del 6).
20 La ficha 0/4 es una relación aditiva del 4, pero los niños no la consideraron.

51

Al preguntarles, “¿en qué lugar va esa ficha (se señala la 4/0)?”, “¿en
dónde pueden colocarla?, decidieron acomodarla en el extremo dere-
cho (imagen 9). No les convenció y finalmente la colocaron en el extre-
mo izquierdo (imagen 10).

IMAGEN 9

IMAGEN 10

Como no habían seleccionado las fichas 1/3 y 2/2 como representan-
tes del 4, se les solicitó que de todas las fichas del dominó buscaran ahora
“los 8”, con la pretensión de que se fijaran en las dos partes de las fichas
del dominó, porque, ¡el 8 no existe en un solo lado!
No obstante que en varias ocasiones habían trabajado con el domi-
nó, supusieron que en las fichas donde hay seis puntos en alguna parte
de éstas, 6/0, 6/1, 6/2, etcétera, ¡quizá pudiera haber ocho puntos en
lugar de 6!
Tomaron varias fichas de este tipo, contaban los puntos, sólo para lle-
gar a darse cuenta que se trataba del 6 y no del 8; entonces, tomaron
una que tuviera cinco puntos en una de sus partes (imagen 11) y hasta
ese momento empezaron a mirar todos los puntos de la ficha para en-
contrar cuáles tenían ocho puntos (imagen 12). Así aparecieron las rela-
ciones aditivas posibles del 8 en las fichas del dominó: el 6/2, 5/3 y 4/4.
En todas las ocasiones se pidió explicaran por qué la ficha elegida tenía
ocho puntos, y empezaron a dar explicaciones como: “es que 6 y 2 son
8”, “con los 5 de aquí y los 3 de acá son 8”.

52

Se continuó trabajando con otros números, el 9, el 10, y se regresó al
4 y al 5 para verificar si los niños consideraban las dos partes de las fichas
de dominó para “mirar” el número solicitado.

IMAGEN 11 IMAGEN 12

Nuevamente se planteó el problema de Santiago que, recordemos,
no habían podido resolver, así como otros equivalentes, para verificar si el
nuevo conocimiento de las relaciones aditivas de los primeros 10 números
empezaba a instalarse como un recurso de solución, y así fue.
La importancia de que los niños dominen las relaciones aditivas de los
primeros números, no sólo está en que posibilita la resolución de proble-
mas de cierto tipo, sino también porque favorece la competencias de
cálculo de los pequeños. El conocimiento de las relaciones aditivas mos-
trará sus bondades cuando los niños se enfrenten en la escuela primaria
al cálculo con números más grandes.
También conviene precisar que el empleo de las fichas de dominó
como recurso no muestra totalmente las relaciones aditivas. Activida-
des como ¿cuántos objetos se quedaron en la bolsa?21 profundizan de
manera importante el dominio de las relaciones aditivas. Esta actividad
consiste en meter en una bolsa de papel, a la vista de todos los niños, 10
objetos.22 Un niño pasa y saca algunos y le dice al resto del grupo cuán-
tos sacó.

21 Actividad tomada de Irma Fuenlabrada et al. (2008), ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de
actividades para el preescolar, México, Irma Fuenlabrada Editora.
22 Si los niños son muy pequeños y su dominio de los primeros números no llega al 10, en la bolsa se mete una canti-
dad menor, por ejemplo, seis u ocho objetos.

53

Los niños tienen que averiguar cuántos quedaron en la bolsa. De
manera espontánea, si por ejemplo se dice que se sacaron 3, los niños
empiezan a contar utilizando sus dedos: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (conteo ascen
dente a partir de cualquier número distinto de 1); miran los dedos que
utilizaron y los vuelven a contar (sobreconteo) o reconocen cuántos son,
para decir que son 7 los objetos en la bolsa. Este resultado debe verificar
se sacando y contando los objetos que hay en la bolsa. Al jugar varias
veces, los niños van adquiriendo las relaciones aditivas de los números
menores a 10.
Hay muchas maneras interesantes de trabajar con las relaciones adi
tivas, la única no recomendable es pedir a los niños que “se aprendan
para mañana las tablas de sumar”, o “ejercitarlos sobre la escritura de
expresiones sencillas de suma (2 + 3 = 5)”; en su lugar hay que proponer
actividades como las descritas (dominó, objetos en la bolsa) para que
de manera natural se vean en la necesidad de recapacitar sobre las re
laciones aditivas y su interés por responder rápidamente. Propicie que las
vayan aprendiendo.

5. El dominio del conteo
y su alternancia con los problemas
Pedir que los niños cuenten pequeñas colecciones, por ejemplo, es una
actividad útil e interesante cuando los niños no dominan bien el inicio de
la serie numérica oral. En función del núcleo social de origen, algunos
niños ingresan a preescolar sin ese conocimiento y muchos que lo tie
nen no necesariamente saben contar. Para poder empezar el proceso
de conteo es ineludible conocer “de memoria” la serie oral de los pri
meros números, por lo que, independientemente del conocimiento de
los niños al ingresar a preescolar, la educadora tiene que hacerse cargo
de la memorización de la serie y de su uso en situaciones de conteo. En
un principio se trata de hacer corresponder el nombre de los números
(según aparecen en la serie) con un solo objeto de la colección que se
desea cuantificar.

54

Una actividad lúdica, entre otras que favorecen este aprendizaje, es
organizar a los niños en equipos, poner al centro de las mesas objetos pe-
queños y dar un bote a cada uno. La educadora también tiene un bote
y objetos; dice a los niños que cada quien va a meter seis objetos en su
bote,23 y que se trata de un juego entre equipos. Se hace una tabla de
doble entrada en el pizarrón con el nombre de los equipos para anotar
los aciertos.

La actividad consiste en que la educadora suelta cada vez y de manera
pausada un objeto en el bote y en voz alta lo cuenta; simultáneamente
los niños hacen lo mismo. Todos deben ir a la par: 1 (tac), 2 (tac), 3
(tac)… si el golpeteo de los objetos al caer en el bote o la mención del
número correspondiente no se escucha al unísono, todos vacían su bote
y se vuelve a empezar.

A veces la educadora intercala pausas (al ir mencionado la serie y
realizando el conteo) para favorecer la atención de los niños. Si logran
llegar al 6 coordinadamente, la educadora elige un miembro de cada
equipo para que pase al frente a contar los objetos de su bote; el grupo
puede o no acompañar el conteo, según lo decida la educadora. Si hay
seis objetos en el bote, el equipo gana un punto. La educadora aprove-
cha estos momentos de verificación para pasar al frente a los niños que
observe tienen todavía dificultades con la serie o con el conteo.
Se tiene la seguridad de que las educadoras han desarrollado muchos
recursos para que sus alumnos aprendan a contar; la razón por la que
se ha descrito una actividad de conteo es para reflexionar acerca de la
pertinencia de este tipo de actividades y comprender por qué es impor-
tante realizarlas con los niños pequeños.
Para empezar a resolver problemas, en primer lugar los niños necesitan
tener una herramienta de solución (al menos el conteo de los primeros seis

23 Dependiendo del dominio de los niños, el rango numérico se aumenta.

55

números), pero no es cierto que empezar a plantear problemas deba pos
tergarse hasta que los niños dominen el conteo de colecciones mayores
a 6. Se trata de una alternancia entre actividades de conteo y resolución
de problemas; la alternancia enriquece ambos procesos.
En segundo, siendo las actividades de conteo dominantes en las
ideas que las educadoras tienen acerca de la enseñanza de los nú
meros pueden creer que la resolución de problemas debe, como ya se
ha mencionado, realizarse hasta el tercer grado de preescolar; esto es
incorrecto.
Los niños tienen que interactuar con las distintas funciones, usos y sig
nificados de los números, y éstos aparecen en los problemas. Ya hemos
analizado que el 4, por ejemplo, puede aparecer en el contexto de un
problema como medida (tiene 4 cochecitos), como transformación (per
dió 4 cochecitos) o como relación (tiene 4 cochecitos más que); aunado
a lo anterior, puede ser que para resolver el problema sea necesario reco
nocer al 4 no sólo como: 1, 1, 1, 1, sino también como 1 y 3, 2 y 2, o bien,
como 6 disminuido en 2.
En tercer lugar, cuando los niños dominan el conteo de los primeros
15 o 20 números, si la educadora insiste en proponerles el conteo de co
lecciones para afianzar, para repasar, entonces el conteo se transforma
en una situación mecánica, en la que la actividad de los niños se vuelve
ejecutiva: cuentan colecciones porque se les solicita que lo hagan, pero
tienen escasas posibilidades de reconocer las diversas situaciones en las
que es útil usar los números y el conteo, más allá de satisfacer la demanda
de su maestra. Es decir, la educadora no puede perder de vista que las
pretensiones del PEP 2004 van más allá de que los niños aprendan a contar
y a representar la cardinalidad de las colecciones.
Problematizar una situación implica plantear una pregunta, retar in
telectualmente a los niños. Lo que sistemáticamente se debe averiguar
es cómo utilizan los niños su conocimiento y su experiencia para resolver
situaciones; por ello, los niños deben decidir lo que les conviene hacer.
Una condición que es importante considerar es que la pregunta que
plantea la situación, no rebase las posibilidades cognitivas de los alum-
nos. Veamos el siguiente problema:

56

“María tiene 2 peras y 3 manzanas. ¿Cuántas frutas tiene María?”

Aunque el problema nos parezca simple, si los niños no dominan el con
teo de los primeros seis números, no tendrán a mano ninguna manera de
resolverlo; como el problema se sale de su control, no se involucran en la
búsqueda de solución y por tanto no se comprometen con el aprendizaje.
Si los niños contestaran rápidamente, “5”, lo que están diciendo es
que el problema de María no retó su conocimiento: siendo éste el caso,
la educadora tendría que replantear el problema (María tiene 6 peras y
7 manzanas) y observar si para resolverlo echan a andar algún recurso
de cálculo, como sería, por ejemplo, poner 6 rayitas, luego 7 para contar
después el total y encontrar al 13 como respuesta.
No sobra hacer la siguiente observación: supongamos que los niños
saben contar (al menos hasta el 6) y la educadora sabe bien que no es
lo mismo contar que resolver un problema; entonces decide ayudarles
un “poco”:

A ver, ¿cuántas peras tiene María? ¡Doooos! Pongan dos fichitas, ¿ya
todos las pusieron? ¡Síííí! ¡Muy bien! Ahora díganme, ¿cuántas manzanas
tiene María? ¡Treees! ¡Eso es, muy bien, ahora pongan tres fichitas! Si
juntamos todas la fichitas, tenemos todas las frutas de María, porque
pusimos las dos peras y las tres manzanas, ¿verdad? A ver, cuéntenlas,
vamos a ver quién las puede contar, ¿cuántas son? ¡Ciiiinco! ¿Todos
estamos de acuerdo? Escriban el 5, a ver si lo pueden escribir.

Las educadoras que así proceden tienen que percatarse que son
ellas las que resuelven los problemas, las que deciden qué hacer con los
datos y cómo resolver el cálculo (con los dedos, fichitas, dibujos); mientras
que el trabajo intelectual de los niños, en el mejor de los casos, es contar
hasta el 2, hasta el 3 y luego hasta el 5. Establecer la relación semántica
entre los datos fue realizada por la educadora, no fue una acción produ-
cida por el razonamiento de los niños.

57

Quizá algunas educadoras se ubiquen “enseñando a solucionar pro
blemas” como se ha relatado, y en descargo de su actuación digan: “Yo
lo hago así pero después pongo otros problemas y los niños los resuelven
solos”. Aceptemos la defensa, sin conceder, ¿cuáles son los otros proble
mas que resuelven los niños solitos?, ¿ahora ya no es María sino Jazmín?,
ya no son peras y manzanas sino, ¿muñequitos y muñequitas?; después,
¿aparece Pedrito con cochecitos y camiones?
Si son estos los problemas que los niños resuelven solos, la educadora
está propiciando un proceso de resolución mecánica, porque sus alum
nos están interactuando cada vez solamente con un tipo de problema:
ponen los muñequitos y las muñequitas, juntan y cuentan la nueva colec
ción; ponen los cochecitos y los camiones, juntan y cuentan. La oportuni
dad para los niños de pensar sobre la relación semántica entre los datos
de un problema, en esta manera de proceder en la enseñanza, nunca
está presente, ni cuando la educadora explica la manera de resolver ni
cuando “ellos solos” resuelven problemas que la educadora “ha explica
do” inmediatamente antes.

58

D ebe tenerse presente que una enseñanza que plantea propiciar
el razonamiento en los niños como parte de su proceso de apren-
dizaje, como se propone en el PEP 2004, considera a la resolución
de problemas como recurso didáctico para adquirir conocimiento; esto
signiﬁca que los problemas se plantean no sólo para “aplicar” un cono-
cimiento al que los niños han accedido por otros medios –ejercicios de
conteo y representación de los números, memorización de éstos, planas–,
sino como un espacio de aprendizaje.
Las educadoras que suponen que primero los niños “deben” aprender
los números para después plantearles problemas tipo para que vean “en
dónde se utilizan” los números, no están actuando en apego al enfoque
pedagógico, centrado en el desarrollo de competencias ni a las orien-
taciones para el trabajo docente planteadas en el programa de educa-
ción preescolar.
Para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños
de preescolar a través de la resolución de problemas y, consecuente-
mente, favorecer el desarrollo de las competencias, –y no sólo de la “re-
solución mecánica de problemas”, o de “los números, su representación
y el conteo”– es necesario que los alumnos enfrenten un problema que
los lleve a juntar colecciones, en la siguiente oportunidad una situación
en la que es conveniente separar una colección de otra, posteriormente
interactúen con la comparación, igualación o distribución de coleccio-
nes para volver a encontrarse con un problema en el que deban juntar
las colecciones.

59

El asunto es que los niños cada vez se vean en la necesidad de razonar
sobre los números en función del contexto en el que están apareciendo y
tengan que actuar en consecuencia. Si lo que pretendemos es desarro-
llar competencias, la más importante, en mi opinión, es la actitud frente
a lo desconocido. Ante esto –ya lo he anticipado– hay dos repuestas po-
sibles: el niño espera le digan qué hacer, o se pone a pensar cómo resol-
verlo. Que suceda una o la otra es consecuencia de lo que la educadora
realice en el salón de clases.
Plantear problemas que propicien la aparición de diversas acciones
sobre las colecciones (juntar, separar, completar, igualar, distribuir, etcé-
tera) hace ineludible que la educadora comprenda cómo pueden apa-
recer los números en el contexto de un problema: como medida (tiene 3
canicas), como transformación (perdió 3 canicas) o como relación (tiene
3 canicas menos que) y con base en este conocimiento diseñe diferentes
problemas, anticipando las posibles maneras como sus alumnos van a
trabajar con los números involucrados para verificar después en las expe-
riencias del aula la certeza o no de sus anticipaciones; luego con base
en ello, intente encontrar explicaciones no sólo sobre cómo responden
los niños, sino fundamentalmente sobre lo que ella hizo para que respon-
dieran de esa manera.
El PEP 2004 plantea la importancia de las estrategias espontáneas de
resolución como un recurso didáctico para favorecer el trabajo sobre la
relación semántica entre los datos de un problema. Los conocimientos
cambian, pero siempre subyace el pensamiento lógico matemático en
la resolución de problemas.
Para entretejer de diferente manera lo dicho en el párrafo preceden-
te, regresemos al problema de los archiveros. Para resolverlo es necesario:
a) establecer la relación semántica entre los datos del problema (razonar
sobre los datos), lo que significa poder controlar el número de archiveros,
la cantidad de cajones que tiene cada uno, la cantidad total de cajones
disponibles, y b) haber accedido al menos a uno de los conocimientos
matemáticos necesarios para solucionar el problema, que en el caso que
nos ocupa son los primeros números y el conteo, los números y sus opera-
ciones (aritmética) y los sistemas de ecuaciones (álgebra).

60

Los distintos conocimientos que aparecen cuando el sujeto resuelve
son un indicador de lo que sabe, pero sobre todo si lo ha aprendido de
manera significativa. En este sentido, cabe advertir que las educadoras
no resuelven el problema de los archiveros con recursos algebraicos (al
menos en todas las ocasiones en que he explorado esta situación). Una
explicación posible (aunque dudosa) es que hayan considerado que usar
los sistemas de ecuaciones “es un recurso demasiado complejo cuando
el problema se puede resolver con la aritmética”; o bien (y esto es más
posible), el conocimiento algebraico que debieron haber aprendido en
su paso por la secundaria no les resultó significativo; esto es, les sirvió para
acreditar el curso de álgebra, pero no se instaló como una herramienta
para resolver problemas, como conocimiento susceptible de manifestar-
se en su desempeño en situaciones y contextos diversos.
Entonces, lo que queremos de los niños de preescolar (y de todos los
que cursan la educación básica) es que el conocimiento que adquie-
ran les sea significativo; lo cual quiere decir que en una situación donde
tenga sentido usar ese conocimiento lo recuerden y lo empleen para
resolver, que es equivalente a lograr el tan anhelado desarrollo de com-
petencias.
De poco sirve que los niños sepan contar, reconocer y escribir números
si frente a los problemas que implican aplicar como recurso los principios
del conteo, no deciden hacerlo porque sus maestras de preescolar no les
dieron oportunidad (en el proceso de aprendizaje, consecuencia de la
enseñanza) de comprender para qué sirven los números.
Desarrollar competencias sobre lo numérico es poder utilizar el cono-
cimiento eficiente y eficazmente en situaciones diversas en las que ese
conocimiento esté inmerso. Para la educación preescolar el conocimien-
to sobre lo numérico se circunscribe a que los niños utilicen los números
en situaciones variadas que impliquen poner en juego los principios del
conteo. ¿Cuáles son estas situaciones? Las que les sean familiares y les
impliquen agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

61

¿Hasta el 100?… ¡No!
¿Y las cuentas?… ¡Tampoco!
Entonces… ¿Qué?
se imprimió por encargo de la
Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,
en los talleres de

con domicilio en

el mes de agosto de 2009.
El tiraje fue de 125 000 ejemplares más sobrantes de reposición

hasta el 100 no...Y las cuentas tampoco entonces ...Que!!!

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