IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Mg. Carlos David Laura Quispe

Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas: Es una igualdad que relaciona funciones trigonométricas de
uno o más arcos, que se verifica para cualquier valor que se asigne a estos arcos y que no
figuren logaritmos ni exponenciales.

1.Identidades Pitagoricas.
2
1.1. Sen   Cos 2  1 ; de donde:
2
1.2. Sen   1  Cos 2  Sen  1  Cos 2
2
1.3. Cos   1  Sen 2  Cos  1  Sen 2
2
1.4. 1  Tg   Sec 2 ; 1.5. 1  Ctg 2  Csc 2

2.Identidades de Cociente.
Sen Cos
2.1. Tg  ; 2.2. Ctg 
Cos Sen

3.Identidades Reciprocas.
1
3.1.Sen .Csc  1  Csc 
Sen
1
3.2.Cos.Sec  1  Sec 
Cos
1
3.3.Tg .Ctg  1  Ctg 
Tg

4.Identidades Adicionales.
1
4.1.Tg  Ctg  Sec.Csc 
Sen.Cos
4.2.Sen   1  Cos 1  Cos  ; 4.3.Cos 2  1  Sen 1  Sen 
2

4.4. 1  2 Sen .Cos  Sen  Cos
4.5.Sen  Cos  1Sen  Cos  1  2 Sen .Cos
1
4.6.Sec  Ctg 
Sec  Tg


Identidades Trigonométricas Auxiliares

5.Identidades Auxiliares.

5.1.Sen 3 x  Cos 3 x  Senx  Cosx 1  Senx.Cosx 
5.2.Sen 4 x  Cos 4 x  1  2 Sen 2 x.Cos 2 x
5.3.Sen 6 x  Cos 6 x  1  3Sen 2 x.Cos 2 x
5.4.Sen 8 x  Cos 8 x  1  4 Sen 2 x.Cos 2 x  2 Sen 4 x.Cos 4 x
5.5.Sen10 x  Cos 10 x  1  5Sen 2 x.Cos 2 x  5Sen 4 x.Cos 4 x
5.6.Sen12 x  Cos 12 x  1  6 Sen 2 x.Cos 2 x  9 Sen 4 x.Cos 4 x  2 Sen 6 x.Cos 6 x
5.7.Sen14 x  Cos 14 x  1  7 Sen 2 x.Cos 2 x  14Sen 4 x.Cos 4 x  7 Sen 6 x.Cos 6 x
5.8.Tgx  Ctgx  Secx.Cscx
5.9.Sec 2 x  Csc 2 x  Sec 2 x.Csc 2 x
5.10.Sen 4 x  Cos 4 x  2 Sen 2 x  1
Senx 1  Cosx
5.11. 
1  Cosx Senx

Cosx 1  Senx
5.12. 
1  Senx Cosx
5.13.( Senx  Cosx) 2  1  2 SenxCosx
5.14.( Senx  Cosx) 2  1  2 SenxCosx
5.15.Sen 4 x  Cos 2 x  Cos 4 x  Sen 2 x
5.16.Sec 4 x  Tg 4 x  1  2 Sec 2 xTg 2 x
5.17.Sec 6 x  Tg 6 x  1  3Sec 2 xTg 2 x
2 2
5.18.Senx  Cosx   Senx  Cosx   2
2 2
5.18.Tgx  Ctgx   Tgx  Ctgx   4
2
5.19.1  Senx  Cosx   21  Senx1  Cosx 
2
5.20.1  Senx  Cosx   21  Senx1  Cosx 
5.21.Csc 4 x  Ctg 4 x  1  2Csc 2 xCtg 2 x
5.22.Csc 6 x  Ctg 6 x  1  3Csc 2 xCtg 2 x
5.23..Sec8 x  Tg 8 x  1  4 Sec 2 xTg 2 x  2 Sec 4 x.Tg 4 x
5.24..Csc 8 x  Ctg 8 x  1  4Csc 2 xCtg 2 x  2Csc 4 x.Ctg 4 x


Consideraciones para Resolver Problemas con Identidades

1. Verificación de Identidades:
1.1. Para demostrar identidades será necesario trabajar sólo con uno de los miembros, de
preferencia el más complejo.
1.2. Transformar el miembro escogido en términos de Seno y Coseno.
1.3.Hacer uso de productos notables algebraicos.
1.4.Cuando haya términos repetidos, puede ser útil factorizar.
1.5.Si hubiera productos indicados, desarrollarlos y simplificar hasta donde sea posible.
1.6.Hacer uso de identidades fundamentales y auxiliares.

2. Problemas de Simplificación:
2.1.En este tipo de aplicaciones de lo que se trata es de reducir al máximo la expresión con
ayuda de las identidades fundamentales o las auxiliares.
2.2.Aplicar lo aprendido en las demostraciones anteriores.

3. Problemas Condicionales:
3.1.Dada una condición, de lo que se trata ahora es de calcular o de reducir una expresión
trigonométrica específica.
3.2.Para este tipo de problemas, se puede trabajar indistintamente con el dato, así como con
la expresión a determinarse.
3.3.También se puede expresar la ecuación condicional en términos de la ecuación que se
quiere hallar o viceversa.

4. Eliminación de Ángulos:
4.1. Cuando se Elimina un solo Arco:
En este caso se necesitan dos condiciones y como éstas son ecuaciones trigonométricas,
de cada condición se obtiene una función trigonométrica que junto con los valores que
estas generan, se reemplazan en la identidad fundamental más conveniente.
Si se tuviese que trabajar simultáneamente con ambas condiciones, expresarlas en
términos de Seno y Coseno para realizar luego con ellas la operación más conveniente,
de tal manera que se elimine el arco que permita hallar una función trigonométrica que
junto con los valores que de ésta se calculen, sean reemplazados en una de dichas
condiciones.
4.2. Cuando se Eliminan dos Arcos: En este caso se necesitan tres condiciones, tales
que se relacionen dichos arcos. De la combinación de dos de ellas, se trata en lo posible
de calcular las funciones trigonométricas de dichos arcos, los cuales se reemplazan
adecuadamente en la tercera condición.
Recordar que para eliminar arcos, se necesita siempre una condición más que el número
de arcos a eliminarse.
Eliminar ángulos implica, determinar una relación algebraica independiente de toda
función trigonométrica, que se obtiene a partir de las relaciones dadas.


Suma y Diferencia de Ángulos

1.Suma y Diferencia de Ángulos: Cuando un ángulo está formado por la suma algebraica
de dos o más se denomina ángulo compuesto; así A + B o A – B

2.Fórmulas Fundamentales:
2.1. Sen(x  y) =Sen x .Cos y  Cos x .Sen y
2.2. Cos(x  y) = Cos x .Cos y  Sen x .Sen y
Tgx  Tgy
2.3. Tg ( x  y ) 
1  Tgx.Tgy
Ctgx.Ctgy  1
2.4. Ctg ( x  y ) 
Ctgy  Ctgx

3.Fórmulas Auxiliares:
3.1. Sen(x +y).Sen(x – y) = Sen 2x – Sen 2y = Cos 2y – Cos 2x
3.2. Cos(x +y).Cos(x – y) = Cos 2x – Sen 2y = Cos 2y – Sen 2x
3.3. Sen(x +y).Cos(x – y) = Sen x .Cos x + Sen y .Cos y
3.4. Sen(x – y).Cos(x +y) = Sen x .Cos x – Sen y .Cos y
Sen( x  y ) Tgx  Tgy
3.5. 
Sen( x  y ) Tgx  Tgy
Cos ( x  y ) 1  Tgx.Tgy
3.6. 
Cos ( x  y ) 1  Tgx.Tgy
Sen2 x  Sen2 y
3.7. Tg ( x  y ) 
Senx.Cosx  Seny.Cosy
Sen2 x  Sen2 y
3.8. Tg ( x  y ) 
Senx.Cosx  Seny.Cosy
Sen( x  y )
3.9. Tgx  Tgy 
Cosx.Cosy
Sen( y  x)
3.10. Ctgx  Ctgy 
Senx.Seny


Suma y Diferencia de Ángulos

1. Fórmulas Auxiliares:
Cos( x  y) Cos( x  y )
1.1. Ctgx  Tgy  ; 1.2. Ctgx  Tgy 
Senx.Cosy Senx.Cosy
1.3. Tg(x  y)  Tgx  Tgy  Tgx.Tgy.Tg(x  y)
1.4. Senx  Cosx  2 .Sen( x  45)
1.5. 3.Senx  Cosx  2.Sen( x  30)
1.6. Senx  3.Cosx  2.Sen( x  60)
1.7. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx.Cosy–Senx.Sen y .Sen z
1.8. Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy.Senx.Senz–Cos z .Sen x .Sen y
1.9. Sen(x + y + z) = Cos x .Cos y .Cos z (Tg x + Tg y + Tg z – Tg x .Tg y .Tg z)
1.10. Cos(x + y + z) = Sen x .Sen y .Sen z (Ctg x .Ctg y .tg z – CTg x – Ctg y – Ctg z)

2.Fórmulas Adicionales:
2.1.. Si: A = a Sen x + b Cos x; a  b  R, x es variable, se cumple:
Amáx= a b 2 2
Amín =  a  b2 2

También:
a Sen x + b Cos x = a 2  b 2 Sen(x + )
b a
donde: Sen   Cos 
a 2  b2 a2  b2
2.2. Si x + y + z = 180°
2.2.1. Tg x + Tg y + Tg z = Tg x . Tg y .Tg z
2.2.2. Ctg x .Ctg y + Ctg y .Ctg z + Ctg x .Ctg z = 1
2.3. Si x + y + z = 90°
2.3.1. Tg x .Tg y + Tg y . Tg z + Tg x .Tg z = 1
2.3.2. Ctg x + Ctg y + Ctg z = Ctg x .Ctg y .Ctg z
2.4. Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos
2.4.1. Sen (–x) = –Sen (x) Ctg (–x) = –Ctg (x)
2.4.2. Cos (–x) = Cos (x) Sec (–x) = Sec (x)
2.4.3. Tg (–x) = –Tg (x) Csc (–x) = –Csc (x)


Ángulo Duplo

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Doble:
1.1.Sen2 = 2SenCos
1.2. Cos2 = Cos2 - Sen 2
1.3. Cos2 = 1 – 2Sen2
1.4. Cos2= 2Cos2 - 1
1.5. Tg2 = 2Tg ; 1.6. Ctg2 = Ctg 2  1
2
1  Tg  2Ctg

2.Relaciones Auxiliares: Relacionando “Tg2” con un triángulo rectángulo
obtenemos:
2
1 + Tg 
2Tg

2
1 - Tg 

2Tg 1  Tg 2
a).Sen2  2
; b).Cos 2 
1  Tg  1  Tg 2
c). 8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x ; d). 8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x
3  Cos4 x 5  3Cos 4 x
e). Sen4 x  Cos 4 x  ; f). Sen6 x  Cos6 x 
4 8
g). Ctg x + Tg x = 2 Csc 2x ; h). Ctg x – Tg x = 2 Ctg 2x
i). Tg x = Csc 2x – Ctg 2x ; j). Ctg x = Csc 2x + Ctg 2x
3.Observaciones:
3.1. Primera:
Sen2 ( n 1) 
Cos Cos 2 Cos 4 ...Cos 2 n   ( n 1)
2 Sen
3.2. Segunda:
3  Cos 4 5  3 Cos4
3.2.1.Sen 4  Cos 4  ;3.2.2.Sen 6  Cos 6 
4 8
3.3. Tercera:
Tg  Ctg   2Csc 2  Ctg   Tg  2Ctg 2


Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple:
1). Sen3 x  3Senx  4 Sen 3 x

2). Cos3 x  4Cos 3 x  3Cosx

3 Tg x  Tg 3 x
3). Tg 3 x 
1  3 Tg 2 x

Ctg 3 x  3 Ctg x
4) Ctg 3x 
3 Ctg 2 x  1

2.Relaciones Auxiliares:
1). Sen3 x  Senx( 2Cos 2 x  1)

2). Cos3x  Cosx( 2Cos 2 x  1)

 2 Cos 2 x  1 
3) Tg 3 x  Tgx.
 2 Cos 2 x  1 

 

4). Sen3 x  4Senx.Sen(60º  x).Sen(60º  x)

5). Cos3 x  4Cosx.Cos(60º  x).Cos(60º  x)

6). Tg 3x  Tgx.Tg (60º  x).Tg (60º  x)

7). Ctg 3x  Ctgx.Ctg (60º  x).Ctg (60º  x)


Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple:

x 1  Cosx x 1  Cosx
1) Sen  ; 2) Cos 
2 2 2 2
x 1  Cosx x 1  Cosx
3) Tg  ; 4) Ctg 
2 1  Cosx 2 1  Cosx
x x x
1) 1  Cosx  2Sen 2 ; 2) 1  Cosx  2Cos2 ; 3) Tg  Cscx  Ctgx
2 2 2
x 1  Cos x
x x Sen x
4) Ctg  Cscx  Ctgx ; 5) Tg = ; 6) Tg =
2 2 Sen x 2 1  Cos x
x 1  Cos x x Sen x
7) Ctg = ; 8) Ctg =
2 Sen x 2 1  Cos x

2.Relaciones Auxiliares:
x x x x
1) Sen + Cos =  1  Sen x ; 2) Sen – Cos =  1  Sen x
2 2 2 2
 x   π
3) 2Sen n  = 2  2  2    2  2 Cosx ; Para x  0 ;
 2
2   
 x   π
4) 2Cos
n
 2  2  2    2  2 Cos x ; Para x  0 ; 
=
2   2
En las fórmulas 11 y 12 se obtienen “n” radicales
 π 
 
2
5) Caso Particular: 2Sen n  = 2  2  2    2  2 Cos π
2  2
 
 
 π 
14) 2Sen n 1  = 2  2  2   2 ; n radicales
2 
 π 
15) 2Cos n 1  = 2  2  2   2 ; n radicales
2 


Transformaciones Trigonométricas

1.Transformaciones de Suma o Diferencia a Producto (A>B).
Existe la necesidad de convertir expresiones en factores, con la finalidad de simplificar
ecuaciones algebraicas. Para ello deberán utilizarse procedimientos algebraicos de la
factorización a las funciones trigonométricas. También es conveniente deducir las
conversiones de productos en sumas o diferencias, pues muchas veces se tendrá que
reagrupar términos par volverlos a factorizar.
2.Relaciones Fundamentales:
 A B  A B
1). SenA  SenB  2 Sen .Cos 
 2   2 
 A B  A B
SenA  SenB  2Cos .Sen 
 2   2 
 A B  A B
CosA  CosB  2Cos .Cos 
 2   2 
 A B  A B
CosA  CosB  2Sen .Sen 
 2   2 

3.Transformaciones de Producto a Suma o Diferencia (A>B).
1. 2 SenA.CosB  Sen A  B   Sen A  B 
2. 2 SenB.CosA  Sen A  B   Sen A  B 
3. 2CosA.CosB  Cos A  B   Cos A  B 
4. - 2 SenA.SenB  Cos A  B   Cos A  B 
SenA SenB
5. TgA  TgB  
CosA CosB
SenA SenB
6. TgA  TgB  
CosA CosB
SenA.CosB  CosA.SenB
7. TgA  TgB 
CosA.CosB
SenA.CosB  CosA.SenB
8. TgA  TgB 
CosA.CosB
Sen A  B  Sen A  B 
9. TgA  TgB  ;10.TgA  TgB 
CosA.CosB CosA.CosB

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS (20)

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS