Inecuaciones

MATEMÁTICAS A 95
Antes de empezar.
1.Sistemas de ecuaciones lineales …… pág. 98
Ecuación lineal con incógnitas
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación de sistemas
2.Métodos de resolución …………………… pág. 99
Reducción
Sustitución
Igualación
2.Aplicaciones prácticas ………………… pág. 102
Resolución de problemas
3.Sistemas de inecuaciones …………… pág. 104
con una incógnita
Resolución
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Objetivos
En esta quincena recordarás la
resolución de sistemas de ecuaciones
y aprenderás a resolver también
algunos sistemas de inecuaciones.
Cuando la hayas estudiado deberás
ser capaz de:
• Resolver un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas por los
distintos métodos.
• Identificar el número de soluciones
de un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
• Utilizar los sistemas de ecuaciones
para plantear y resolver problemas
• Resolver sistemas de inecuaciones
con una incógnita
Sistemas de ecuaciones6

MATEMÁTICAS A 97
Antes de empezar
Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los
babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras
tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera
relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la
resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes
términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
En nuestra notación el sistema es:
Anchura: x
Longitud: y
Manos: t
x+4y=28t
x+y=10t
Restando la primera de la segunda se
obtiene: 3y=18t
Luego: y = 6t
x = 4t
Sistemas de ecuaciones

98 MATEMÁTICAS A
1. Sistemas de ecuaciones
lineales
Ecuación lineal con dos incógnitas
Una ecuación de primer grado se denomina ecuación
lineal.
Una solución de una ecuación lineal con dos
incógnitas es un par de valores (xi,yi) que hacen
cierta la igualdad.
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas
soluciones y si las representamos forman una recta
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales
de las que se busca una solución común.
a1, b1, a2, b2, c1, c2
son números reales
Dos sistemas con la misma solución se dicen
equivalentes
Sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas:
2x 3y 14
3x 4y 19
+ =⎧
⎨
+ =⎩
x 1
y 4
=⎧
⎨
=⎩
Es una solución del sistema
anterior
2(1) 3(4) 2 12 14
3(1) 4(4) 3 16 19
+ = + =⎧
⎨
+ = + =⎩
Una ecuación lineal con dos incógnitas
es una igualdad algebraica del tipo:
ax+by=c, donde x e y son las incógnitas,
y a, b y c son números conocidos
Una solución de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas
es un par de valores (xi,yi) que verifican
las dos ecuaciones a la vez. Resolver el
sistema es encontrar una solución.
3x y 12+ =
Coeficiente de x= 3, Coeficiente de y= 1
Término independiente =12
Una solución de la ecuación es:
x=1 y=9
Observa que 3·(1)+9=12
Para obtener más soluciones se da a x
el valor que queramos y se calcula la y
x 0 y 12 3·0 12
x 1 y 12 3·1 9
x 2 y 12 3·2 6
x 3 y 12 3·3 3
= → = − =
= → = − =
= → = − =
= → = − =
Si representamos los puntos en un
sistema de ejes coordenados forman
una recta:
⎩
⎨
⎧
=+
=+
222
111
cybxa
cybxa

MATEMÁTICAS A 99
Recuerda cómo se representan las rectas
en el plano.
Observa cómo son los coeficientes de las
dos ecuaciones en cada caso:
Si
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
≠= las rectas son paralelas
y son coincidentes si
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
== .
Clasificación de sistemas
En un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, cada ecuación representa una recta en el
plano. Discutir un sistema es estudiar la situación de
estas rectas en el plano, que pueden ser:
• Secantes, el sistema tiene solución única, se llama
Compatible Determinado.
• Coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones,
es Compatible Indeterminado
• Paralelas, el sistema no tiene solución, se llama
Incompatible.
2. Resolver sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos
cualquiera de los tres métodos siguientes:
Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de
las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la
otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer
grado con una sola incógnita; hallada ésta se calcula
la otra.
Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos
ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De
nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con
una sola incógnita.
Método de reducción
Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando
las dos ecuaciones. Para ello se multiplica una de las
ecuaciones o ambas por un número de modo que los
coeficientes de x o de y sean iguales y de signo
contrario.
Resolver:
⎩
⎨
⎧
=−
−=+
1y2x
7y4x3
Por SUSTITUCIÓN
Despejamos x en la 2ª ecuación y
sustituimos en la 1ª: x=1+2y
3(1+2y)+4y=-7
3+6y+4y=-7 ⇒ 10y=-10
y=-1
x=1+2·(-1)=-1
Por IGUALACIÓN
Despejamos x en ambas ecuaciones
e igualamos: y21
3
7y4
+=
−−
-4y-7=3(1+2y)
-4y-6y=3+7 ⇒ -10y=10
y=-1
x=-1
Por REDUCCIÓN
3x+4y=-7
Multiplicamos por 2 → 2x–4y=2
Sumando: 5x =-5
Luego: x=-1
Y sustituyendo:y=-1
×
×
Representar: x-2y=1
y=0,5x-0,5
Damos valores: x 0 1
y -0,5 0
COMPATIBLE
DETERMINADO
INCOMPATIBLE
COMPATIBLE
INDETERMINADO

100 MATEMÁTICAS A
EJERCICIOS resueltos
1. Dado el sistema:
3x 2y 17
5x y 11
+ =⎧
⎨
− =⎩
, razona si los siguientes pares son solución.
a) x=3 , y=4 Sol: Si es solución
3(3) 2(4) 9 8 17
5(3) (4) 15 4 11
+ = + =⎧
⎨
− = − =⎩
b) x=5 , y=1 Sol: No es solución
3(5) 2(1) 15 2 17
5(5) (1) 25 1 24#11
+ = + =⎧
⎨
− = − =⎩
c) x=3 , y=1 Sol: Si es solución
3(3) 2(1) 9 2 11#17
5(3) (1) 15 1 14#11
+ = + =⎧
⎨
− = − =⎩
2. Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea:
a) x=1 , y=2 Sol:
3x 2y 7
5x y 3
+ =⎧
⎨
− =⎩
b) x=3 , y=1 Sol:
3x y 8
2x y 5
− =⎧
⎨
− =⎩
c) x=2 , y=3 Sol:
3x 5y 21
x 4y 10
+ =⎧
⎨
− = −⎩
3. Haz una tabla de valores y da la solución del sistema:
3x 2y 8
5x y 9
+ =⎧
⎨
− =⎩
Sol:
x 2
y 1
=
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x 2 1 0 21
3x 2y 8
y 7 11 / 2 4 5 1/ 2
− −
+ = →
x 2 1 0 1 2
5x y 9
y 19 14 9 4 1
− −
− = →
− − − −
4. Escribe una ecuación para completar con la x – y = 1, un sistema que sea:
a) Compatible determinado
b) Incompatible
c) Compatible indeterminado
a) Por ejemplo 2x + y = 2 b) Por ejemplo, 2x – 2y = -3 c) Por ejemplo, 3x – 3y = 3

MATEMÁTICAS A 101
5. Resuelve por sustitución:
a)
⎩
⎨
⎧
=−−
−=+
5y5x10
25y4x
b)
⎩
⎨
⎧
−=−−
=+
43yx4
45y5x3
Despejamos x en la 1ª ecuación Despejamos y en la 2ª ecuación
x=-25-4y sustituimos en la 2ª y=-4x+43 sustituimos en la 1ª
-10(-25-4y)-5y=5 ⇒ 250+40y-5y=5 3x+5(-4x+43)=45 ⇒ 3x-20x+215=45
35y=-245 ⇒ y=-7 -17x=-170 ⇒ x=10
x=-25-4·(-7)=3 y=-4·10+43=3
6. Resuelve por igualación:
a)
⎩
⎨
⎧
=−
=+−
0y9x6
20yx4
9/x6y
x420y
=
+=
b)
⎩
⎨
⎧
=−
=−−
11y9x5
31y4x3
5/)y911(x
3/)y431(x
+=
−+=
9
x6
x420 =+ ⇒ 180+36x=6x
5
y911
3
y431 +
=
−
+
⇒ 5(31+4y)=-3(11+9y)
30x=-180 ⇒ x=-6 155+20y=-33-27y ⇒ 47y=-188 ⇒ y=-4
y=-36/9=-4 x=(11-36)/5=-5
7. Resuelve por reducción:
a)
⎩
⎨
⎧
=+
=−
4y2x8
25y10x5
b)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
37y8x7
21y3x5
5x −10y=25 Se multiplica por -7 → -35x-21y=-147
Se multiplica por 5 → 40x+10y=20 Se multiplica por 5 → 35x+40y= 185
Sumando: 45x =45 Sumando: 19y= 38
x=1 y=-2 y=2 x=3
8. Resuelve:
⎩
⎨
⎧
=++
+=+
7)1y(2x
10y)3x(3
Se quitan paréntesis y se reorganiza cada ecuación, quedando el sistema equivalente:
⎩
⎨
⎧
=+
=−
5y2x
1yx3
que resolvemos por sustitución: x+2(3x-1)=5 x+6x-2 =5 7x = 7 x=1 y=2
9. Resuelve
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
28y7x7
15
22
5
y
3
x
quitando denominadores y simplificando la 2ª ecuación,
el sistema se convierte en uno equivalente.
Por REDUCCIÓN: 5x −3y = 22
-3x+3y =-12
2x = 10 ⇒ x=5 y=1
⎩
⎨
⎧
=−
=−
4yx
22y3x5

102 MATEMÁTICAS A
3. Aplicaciones prácticas
Resolución de problemas
Para resolver un problema mediante un sistema, hay
que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del
enunciado y después resolver el sistema planteado.
Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta
asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de
calcular y los datos que te dan.
Una vez resuelta el sistema no te olvides de dar la
solución al problema.
María y su hija Sara tienen en la actualidad 56
años entre las dos. Si dentro de 18 años Sará
tendrá 5 años más que la mitad de la edad de su
madre, ¿qué edad tiene actualmente cada una?.
SOLUCIÓN
Llamamos x a la edad de María.
y a la edad de Sara
La suma de las edades es 56: x+y=56
Dentro de 18 años tendrán x+18, y+18
Y entonces la edad de Sara será y+18=5+(x+18)/2
El sistema es:
⎩
⎨
⎧
−=+−
=+
→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+=+
=+
8y2x
56yx
2
18x
518y
56yx
Por Reducción: 3y = 48 y=16
x= 56 – 16 = 40
Una parcela rectangular tiene un perímetro de 240
m, si mide el triple de largo que de ancho, ¿cuáles
son las dimensiones de la parcela?.
SOLUCIÓN
Llamamos x al ancho de la parcela
y al largo de la parcela
El largo es el triple del ancho: y=3x
El perímetro es: 2x+2y=240
El sistema es:
⎩
⎨
⎧
=+
=
120yx
x3y
Por sustitución: x+3x=120 4x=120 x=30 m
y=90
Solución: María tiene 40 años
Sara tiene 16 años
Comprobación: 40+16=56
Dentro de 18 años tendrán
58 y 34, 34=5+ 58/2
Solución: Ancho = 30 m
Largo = 90 m
Comprobación: 90=3·30
2·90+2·30=240
Recuerda los pasos:
• Comprender el enunciado
• Identificar las incógnitas
• Traducir a lenguaje algebraico
• Plantear las ecuaciones
• Resolver el sistema
• Comprobar la solución

MATEMÁTICAS A 103
10. Jorge tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 20 billetes y 440€
¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?
x y 20 x y 20 y 20 xx :Billetes de 50 €
y :Billetes de 10 € 50x 10y 440 5x y 44 y 44 5x
x 620 x 44 5x 4x 24 x 6
y 20 x 20 6 14 y 14
Tiene 6 billetes de 50 € y 14 billetes de 10 €
+ = + = → = −  
→ → 
+ = + = → = −  
=− = − → = → = 
→ 
= − = − = =
11. En un examen de 100 preguntas Ana ha dejado sin contestar 9 y ha obtenido 574
puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta
incorrecta se restan 2 puntos, ¿cuántas ha contestado bien y cuántas mal?.
x: nº de respuestas correctas, y: nº de respuestas incorrectas,
en total responde 100-9=91 preguntas.
574y2x10
182y2x2
574y2x10
91yx
=−
=+
→



=−
=+
12x = 756 → x=63 preguntas bien y=91-63=28 mal
12. En una curso hay 70 alumnos matriculados. En el último examen de Matemáticas
han aprobado 39 alumnos, el 70% de las chicas y el 50% de los chicos. ¿Cuántos
chicos y cuántas chicas hay en el curso? (50 y 20)
x: chicas y: chicos en total hay 70: x+y=70
aprueban 39: 0,7x+0,5y=39
390y5x7
350y5x5
390y5x7
70yx
=+
−=−−
→



=+
=+
2x =40 → x=20 chicas
y=50 chicos
13. Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es dos. Si la diferencia
entre el dividendo y el divisor es 54, ¿de qué números se trata?.
Dividendo: x Divisor: y x – y = 54
Dividendo=divisor cociente + resto x = 2y+2
1062522x
52y54y2y2
2y2x
54yx
=+⋅=
=→=−+
→



+=
=−

104 MATEMÁTICAS A
3. Sistemas de inecuaciones
con una incógnita
Resolución
Un sistema de inecuaciones con una incógnita está
formado por dos o más inecuaciones con una
incógnita.
Para resolver un sistema de inecuaciones con una
incógnita se resuelve cada inecuación por separado y
se busca la intersección de todas las soluciones.
La solución será un intervalo, una semirrecta o puede
ocurrir que no haya solución.
x≤ a
x<b
x>a
x>b
x>a
x≤ b
3x 12 3x
3x 15 8x
− > −⎧
⎨
+ ≥⎩
Cada inecuación por separado:
3x 12 3x
3x 3x 12
6x 12
x 2
− > −
+ >
>
>
3x 15 8x
3x 8x 15
5x 15
x 3
+ ≥
− ≥ −
− ≥ −
≤
Solución:
(2, 3]
14. Resuelve:
⎩
⎨
⎧
≥+
<−
x520x15
x199x16
16x – 9 < 19x → 16x – 19x < 9 → - 3x < 9 → x >-3
15x + 20 ≥ 5x → 15x – 5x ≥ -20 → 10x ≥ -20 → x ≥-2
Sol: [-2, +∞ )
15. Resuelve:
⎩
⎨
⎧
≥+
−<−
x1642x14
28x3x11
-11x < 3x – 28 → -11x – 3x < -28 → - 14x < -28 → x > 2
14x + 12 ≥ 16x → 14x – 16x ≥ -12 → -2x ≥ -12 → x ≤ 6
Sol: (2, 6]
16. Resuelve:
⎩
⎨
⎧
−≤
<+
18x16x13
x)5x2(3
3(2x + 5) < x → 6x +15 < x → 5x < -15 → x<-3
13x ≤ 16x – 18 → 13x – 16x ≤ -18 → -3x ≤ -18 → x ≥ 6
Sin solución
a b
a b
a b
Sol: [a, b)
Sol: (b, +∞)
Sin solución
2 3
-3 -2
2 6
-3 6

MATEMÁTICAS A 105
Para practicar
1. Calcula el valor de c para qué la
solución de la ecuación, x 7y c+ = sea:
a) x 1 , y 2= =
b) x 3 , y 3= = −
c) x 5 , y 0= =
d) x 2 , y 3= − =
2. Halla una solución (x,y) de la ecuación
4x y 17− + = sabiendo que:
a) x 1=
b) y 7= −
3. Escribe un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas cuya
solución:
a) x 4 , y 3= = −
b) x 1 , y 2= = −
c) x 0 , y 5= =
d) x 1 , y 1= =
4. Escribe un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas que:
a) tenga infinitas soluciones
b) tenga una sola solución
c) no tenga solución
5. Razona si el punto (x,y) es solución del
sistema:
a)
2x 3y 18
x 3 , y 4
3x 4y 24
+ =
= = →
+ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
b)
5x 3y 1
x 1 , y 2
3x 4y 11
− = −
= = →
+ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
6. Resuelve gráficamente los siguientes
sistemas:
a)
x y 6
2x 2y 12
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
b)
x y 8
x y 2
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
7. Resuelve por reducción:
a)
2x y 15
x 2y 15
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
b)
7x 6y 29
x 3y 8
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
8. Resuelve por sustitución:
a)
x 12y 1
4x 9y 15
− =
− − =
⎧
⎨
⎩
b)
x 6y 3
9x 2y 83
+ =
− + = −
⎧
⎨
⎩
9. Resuelve por igualación:
a)
x 2y 17
7x 6y 47
− =
− =
⎧
⎨
⎩
b)
x 4y 32
x 3y 17
− =
− = −
⎧
⎨
⎩
c)
x 2y 14
x 4y 4
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
10. Resuelve los siguientes sistemas por el
método que consideres más adecuado:
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
−=−
12y2x4
5
3
4
y
5
x
b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−
=−
33y5x8
8
3
8
y
4
x
c)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
34y3x7
3
8
3
y
2
x
d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
20y7x5
9
4
2
y
9
x

106 MATEMÁTICAS A
11. Hallar dos números sabiendo que el
mayor más seis veces el menor es igual
a 62 y el menor más cinco veces el
mayor es igual a 78.
12. Dos números suman 241 y su diferencia
es 99. ¿Qué números son?
13. Pedro tiene 335 € en billetes de 5€ y de
10€; si en total tiene 52 billetes,
¿cuántos tiene de cada clase?.
14. En un hotel hay 67 habitaciones entre
dobles y sencillas. Si el número total de
camas es 92, ¿cuántas habitaciones hay
de cada tipo?.
15. Se desea mezclar vino de 1 €/litro con
vino de 3 €/litro para obtener una
mezcla de 1,2 €/litro. ¿Cuántos litros
deberemos poner de cada precio para
obtener 2000 litros de mezcla?.
16. En un almacén hay dos tipos de
lámparas, las de tipo A que utilizan 2
bombillas y las de tipo B que utilizan 7
bombillas. Si en total en el almacén hay
25 lámparas y 160 bombillas, ¿cuántas
lámparas hay de cada tipo?.
17. En un parque de atracciones subir a la
noria cuesta 1 € y subir a la montaña
rusa 4 €. Ana sube un total de 13 veces
y gasta 16 €, ¿cuántas veces subió a
cada atracción?.
18. En un corral hay ovejas y gallinas en
número de 77 y si contamos las patas
obtenemos 274 en total. ¿Cuántas
ovejas y cuántas gallinas hay?
19. Encuentra un número de dos cifras
sabiendo que la suma de éstas es 7 y la
diferencia entre el número y el que
resulta al intercambiarlas es 27.
20. La suma de las edades de Luisa y de
Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la
edad de Miguel será dos veces la edad
de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?
21. María ha comprado un pantalón y un
jersey. Los precios de estas prendas
suman 77€, pero le han hecho un
descuento del 10% en el pantalón y un
20% en el jersey, pagando en total
63’6€.¿Cuál es el precio sin rebajar de
cada prenda
22. Halla dos números tales que si se
dividen el primero por 3 y el segundo
por 4, la suma de los cocientes es 15,
mientras si se multiplica el primero por
2 y el segundo por 5 la suma de los
productos es 188.
23. Resuelve los sistemas de inecuaciones:
a)
⎩
⎨
⎧
−≤−−
+−<−
x531x16
)8x6(2x3
b)
⎩
⎨
⎧
<+
−≥−
x2)5x(6
28x12x9
c)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<−
≤−
x1156x2
0x3x2
d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤+
−≥−
<−
x2)7x2(6
15x12x4
x539x16
24. Rosa quiere comprar globos y
serpentinas para adornar la fiesta de fin
de curso. Quiere comprar doble número
de paquetes de globos que de
serpentinas y no quiere comprar menos
de 30 paquetes de globos. Si el paquete
de serpentinas vale 4€ y el de globos
3€, y además no quiere gastar más de
248€. ¿Cuántos paquetes de
serpentinas puede comprar?.
25. La piscina del edificio A es un cuadrado
y la del edificio B un rectángulo, uno de
cuyos lados mide lo mismo que el del
cuadrado y otro 6 m. Para qué medidas
del lado del cuadrado el perímetro de la
piscina del edificio A es mayor que el de
la piscina del edificio B.
26. Pedro tiene 87 € para comprar todos los
discos de su cantante preferido. Si cada
disco costase 23 € no tendría suficiente
dinero, pero si costase 15 € entonces le
sobraría. ¿Cuántos discos tiene el
cantante?.

MATEMÁTICAS A 107
Sistemas de inecuaciones
de primer grado
con dos incógnitas
Para saber más
Un sistema de inecuaciones con dos
incógnitas, esta formado por dos ó
más inecuaciones con dos
incógnitas.
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ <⎧
⎨
+ <⎩
Se resuelve gráficamente.
Para representar gráficamente la
solución de un sistema de
inecuaciones de primer grado con
dos incógnitas, se representa el
semiplano solución de cada
inecuación y se toma la intersección
de todos los semiplanos
representados
{x 8y 8
3x 15y 15
+ > −
− + >
Se resuelve por separado cada inecuación:
x+8y>-8 -3x+5y>15
La solución es la zona común a las dos soluciones,
la zona rayada en rojo
OTRO EJEMPLO
x + 2y – 2 ≥ 0
2x – y – 4 ≤ 0
y – 3 ≤ 0
La solución es el triángulo
de vértices ABC, común a
las tres zonas

108 MATEMÁTICAS A
Recuerda
lo más importante
Sistemas de inecuaciones
con una incógnita
La solución de una inecuación es un
conjunto de puntos de R. Será de alguna
de estas formas:
x a ( ,a)
x a ( ,a]
x (a, )
x [a, )
> → −∞
≤ → −∞
>→ +∞
≥→ −∞
Dos ó más inecuaciones lineales con una
incógnita forman un sistema de
inecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de
inecuaciones con una incógnita se
resuelve cada una por separado.
La solución del sistema es la
intersección de todas las soluciones.
Clasificación
• Sistema Compatible Determinado
El que tiene una única solución
• Sistema Compatible Indeterminado
El que tiene infinitas soluciones
• Sistema Incompatible
El que no tiene solución
Sistemas de dos ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas
Viene dado por la expresión:
ax by c
px qy r
+ =⎧
⎨
+ =⎩
a, b, p ,q son los coeficientes
c y r son los términos independientes
x≤ a
x<b
x>a
x>b
x>a
x≤ b
a b
a b
a b
[a, b)
(b, +∞)
Sin solución
Métodos de solución
• Reducción
• Sustitución
• Igualación
Para resolver problemas
Comprender el enunciado.
Identificar las incógnitas.
Traducir al lenguaje algebraico.
Resolver el sistema.
Comprobar las soluciones.

MATEMÁTICAS A 109
Autoevaluación
1. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas cuya única solución sea: x=5 , y=-9
2. Halla el valor de a para qué el sistema siguiente sea
compatible indeterminado.
{ ax 6y 3
12x 24y 12
− =
− − = −
3. Resuelve el sistema: {11x 4 12x
2x 14 5x
− ≤
− + ≥
4. Escribe una solución de la ecuación: x 2y 4− + =
5. Resuelve por reducción: {3x y 13
2x y 7
+ =
− =
6. Resuelve por sustitución: {3x 4y 18
5x y 7
+ =
− =
7. Resuelve por igualación: {x 4y 23
x 5y 28
+ =
+ =
8. Halla dos números cuya diferencia sea 18 y su media
aritmética sea 124
9. Indica qué tipo de sistema es: {2x 10y 56
x 5y 28
+ =
+ =
10. Halla las dimensiones de un rectángulo de perímetro 692 cm
si la base mide 40 cm menos que la altura.

110 MATEMÁTICAS A
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. a) 15 b) -18
c) 5 d) 19
2. a) x 1 y 21= =
b) x 6 y 7= − = −
3. a)
x y 1
2x y 5
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
b)
x y 1
x 3y 5
+ = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
c)
2x y 5
x 2y 10
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
d)
x y 2
x 3y 4
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
4. a)
x y 1
2x 2y 2
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
b)
x y 2
x y 0
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
c)
x y 1
x y 2
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
5. a) no b) si
6. a) Hay infinitas soluciones
b) x 5 y 3= =
7. a) x 3 y 9= =
b) x 5 y 1= =
8. a) x 3 y 1 / 3= − = −
b) x 9 y 1= = −
9. a) x 1 y 9= − = −
b) x 4 y 7= =
10. a) x=7 y=8 b) x=1 y=5
c) x=4 y=2 d) x=4 y=0
11. 14 y 8
12. 170, 71
13. 80 y 320
14. 15 de 10€ y 37 de 5€
15. 25 dobles y 42 sencillas
16. 1800 litros de 1€ y 200 litros de 3€
17. 3 de tipo A y 22 de tipo B
18. 12 veces a la noria y 1 a la montaña
19. 17 gallinas y 60 ovejas
20. El nº 52
21. El pantalón 20€ y el jersey 57€
22. Luisa tiene 8 y Miguel 24 años
23. a) [31/11, 16/9) b) (-∞, -15/2]
c) [0, 3] d) (-∞, -21/5]
24. entre 15 y 24
25. x>6
26. entre 4 y 5 discos
Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
1.
x y 4
x y 14
+ = −⎧
⎨
− =⎩
2. a=-3
3. [-4,2]
4. x=0 y=2
5. x=4 y=1
6. x=2 y=3
7. x=3 y=5
8. 133 y 115
9. SCI
10. base=153 altura=193

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