Inecuaciones de 1er grado
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1. El documento presenta diferentes tipos de desigualdades y sistemas de desigualdades de primer y segundo grado, incluyendo: a) desigualdades lineales, b) cuadráticas, c) combinaciones con grados diferentes, d) factores elevados al cubo y e) factores con potencias fraccionarias en el denominador. También presenta teoremas básicos sobre desigualdades y ejemplos resueltos de sistemas de desigualdades para ilustrar los diferentes casos.
![A. DE PRIMER GRADO O LINEALES C. COMBINACIONES CON GRADOS QUE PUEDEN
SER DIFERENTES
Expresión de la forma:
b Ejemplo:
ax + b > 0 ⇔ x = − ,a≠0
a
(x – 3) (x + 2) (x - 1)2 < 0
Ejemplo:
6
3x – 6 < 0 ⇔ x < se debe llevar a esta forma
3
estándar para luego recién tratar
de esquematizar.
⇔ x < 2
Valores críticos: 3, -2, 1
Valor
crítico
- 2 +
+ -2 - 1 - 3 +
C.S. ]-2, 1[ ∪ ]1, 3[
B. DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS
Expresión de la forma:
D. SI UN FACTOR ESTA ELEVADO AL CUBO
ax2 + bx + c ⇔ x ∈ R
Ejemplo:
Ejemplo:
(x - 3)3 (x - 1) > 0
(x – 2 )2 ≥ 0 ⇔ x ∈ R
Valores críticos 3, 1, -2
Valor
crítico
- -2 + 1 - 3 +
+ +
∴ C.S. ]-2, 1[ ∪ ]3, +∞[
C.S. ]-∞, +∞[
ó x∈R
I.E RAMON CASTILLA M. 42](https://image.slidesharecdn.com/inecuacionesde1ergrado-120627221137-phpapp02/85/Inecuaciones-de-1er-grado-1-320.jpg)
![n
E. CUANDO EL FACTOR (x ± a) ESTA EN EL
DENOMINADOR
Ejemplo:
1. Hallar el conjunto solución de:
( x − 4) 2 (x + 5) (x + 8) ≥ (x + 4) (x + 9) + 4
≥ 0 ⇔ (x - 4)2 (x + 5) ≥ 0 x ≠ -5
(x + 5)
a) x ∈ R b) x ∈ ∅ c) x ∈ {3}
d) x ∈ [40, +∞ > e) x ∈ < -∞, 40]
- -5 + 4 +
2. Resolver:
(x + 5) (x - 2) < (x + 6) (x - 1)
∴ C.S. ]-5, +∞[ Indique el menor valor entero que lo verifica.
a) -2 b) 1 c) 5
d) -1 e) 0
• TEOREMAS BÁSICOS DE LA DESIGUALDAD
3. Resolver:
x −2 4−x x+8
3(x - 5) + + <
1. a < b → a + c < b + c ∀ a, b, c ∈ R 6 3 2
2. a < b ∧ c > 0 → ac < bc ∀ a, b ∈ R Indique el mayor entero que la verifica.
3. a < b ∧ c < 0 → ac > bc ∀ a, b ∈ R
a) 7 b) 6 c) -5
4. a b > 0 ↔ {a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)}
d) 4 e) 8
signos iguales
5. ab < 0 ↔ {(a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)}
4. Resolver el sistema:
signos diferentes x ≥ 2 …………… (I)
-1
6. ∀ a ∈ R – {0}: a y a presentan el mismo x > 3 …………… (II)
signo x < 5 …………… (III)
a > 0 → (1/a) > 0
a) x ∉ ∅ d) x ∉ [3, 5]
a < 0 → (1/a) < 0
b) x ∉ R e) x ∈ < 3, 5>
7. a < b → a2n-1 < b2n-1, ∀ n ∈ N
c) x ∉ R - {3, 5}
8. 0 < a < b → a2n < b2n , ∀ n ∈ N
9. a < b < 0 → a2n > b2n, ∀ n ∈ N 5. Resolver:
2
10. Si a < x < b ∧ ab < 0 → 0 ≤ x < max(a , b ) 2 2
1 1
(x + 2) (x + 1) + < x(x + 2) +
x+5 x+5
11. Si a < b ∧ c < d entonces a + c < b + d
12. Si 0 < a < b ∧ 0 < c < d ⇒ ac < bd
a) x ∈ <-5, -2> d) x ∈ <-2, +∞>
a+b
13. Si 0 < a < b ⇒ a < <b b) x ∈ <-∞; -2> e) x ∈ <-2; +∞> ∪ {5}
2
c) x ∈ <-∞; -2> - {-5}
14. Si 0 < a < b ⇒ a < ab < b
43 I.E RAMON CASTILLA M.](https://image.slidesharecdn.com/inecuacionesde1ergrado-120627221137-phpapp02/85/Inecuaciones-de-1er-grado-2-320.jpg)
![6. Resolver:
2(x + 8) (x - 5) ≥ x (x + 5) + x2
Indique el menor entero que la verifica.
a) 81 b) 79 c) 80
d) 60 e) 51
7. Si:
2 2
6x + 1 + ≤ 5(x + 2) +
x+6 x+6
entonces:
a) x ≤ 9 b) x ≤ 6 c) x < -6
d) x < 2 e) x ≤ 9 ∧ x ≠ -6
8. Resolver el sistema:
x≤2 ………………………….... (I)
x<5 ………………………….... (II)
x ≥ -2 ………………………….... (III)
a) x ∈ [-2, 5> b) x ∈ [-2, 2] c) x ∈ <-∞; 2]
d) x ∈ ∅ e) x ∈ [-2, +∞>
9. Hallar el valor que puede adoptar λ en el
sistema:
x≥5
x≤λ
de tal manera que en su solución presente un
único valor entero.
a) 5,6 b) 6 c) 6,1
d) 6,9 e) Hay 2 correctas
10. Del sistema:
x – 5 > 2x – 3 …………………… I
-x ≤ -5 – 2x …………………… II
-3(x - 1) ≤ 18 ..……………….... III
podemos afirmar:
a) Su conjunto solución es vacío.
b) Se verifica para todo real.
c) Presenta un valor único para x.
d) x ∈ [-5, -2>
e) x ∈ <-5, -2>
I.E RAMON CASTILLA M. 44](https://image.slidesharecdn.com/inecuacionesde1ergrado-120627221137-phpapp02/85/Inecuaciones-de-1er-grado-3-320.jpg)
![a) x ∈ <-∞; 4> b) x ∈ <-∞; -4>
c) x ∈ <4; + ∞ > d) x ∈ <3, +∞>
e) x ∈ <4, 6>
1. Resolver: 6. Resolver:
(x + 8) (x - 3) > x(x + 2) + 3(x - 8) (x + 8) (x + 3) < x (x + 11) + 12
a) x ∈ R b) x ∈ { } c) x ∈ {0} a) x ∈ <-∞, 3> d) x ∈ R
d) x ∈ [24, +∞> e) x ∈ {-24} b) x ∈ <24, +∞> e) x ∈ ∅
c) x ∈ <-∞, 12>
2. Indique el mayor valor entero que verifica la
inecuación: 7. Hallar un valor que verifique la inecuación:
6(x - 1) + 4(x - 2) – 2(x - 5) < 0 3(x + 1) (x - 2) ≤ (3x + 1) (x + 2) – 10x
a) -1 b) 2 c) 1 a) -6 b) 7 c) 6
d) -2 e) 0 d) 5 e) Todas
3. Resolver: 8. Hallar el número de elementos del conjunto:
2 2
(2x - 1) (x - 3) + ≥ (2x + 1) (x - 5) +
x−5 x−5 A = {x ∈ R+ / -5(2 - x) ≥ 0 ⇒ -x > - 5}
a) x ∈ [-4, +∞> a) 4 b) 1 c) 2
b) x ∈ [-5, 5] d) 6 e) N.A.
c) x ∈ <-∞, -4]
9. Resolver el sistema:
d) x ∈ [-4, 5> ∪ <5; +∞> -5 (x + 2) ≥ 0
e) x ∈ <-∞, -4] – {-5} 4 (x - 3) < 0
4. Resolver el sistema: a) x ∈ <-∞, 3> d) x ∈ <-∞, -2>
3(x - 2) ≤ 0 b) x ∈ <-∞, 3] e) Hay 2 correctas
45(x + 8) ≥ 0 c) x ∈ R - <-2, +∞>
a) x ∉ R b) x ∈ ∅ c) x ∈ {4} 10. Resolver el sistema:
d) x ∈ {0} e) x ∈ [-8, 2] (x + 1) (x + 3) < (x + 1) (x + 5) …… (α)
(x + 5) (x + 2) > (x + 5) (x + 4) – 12 ….. (β)
5. Resolver:
x−5 x− 4 x−3 x a) x ∈ <-1, 1> d) x ∈ R
+ + <
5 2 3 30 b) x ∈ R – [-1, 1] e) x ∈ { }
c) x ∈ R - <-1, 1>
45 I.E RAMON CASTILLA M.](https://image.slidesharecdn.com/inecuacionesde1ergrado-120627221137-phpapp02/85/Inecuaciones-de-1er-grado-4-320.jpg)
Inecuaciones de 1er grado
- 1. A. DE PRIMER GRADO O LINEALES C. COMBINACIONES CON GRADOS QUE PUEDEN SER DIFERENTES Expresión de la forma: b Ejemplo: ax + b > 0 ⇔ x = − ,a≠0 a (x – 3) (x + 2) (x - 1)2 < 0 Ejemplo: 6 3x – 6 < 0 ⇔ x < se debe llevar a esta forma 3 estándar para luego recién tratar de esquematizar. ⇔ x < 2 Valores críticos: 3, -2, 1 Valor crítico - 2 + + -2 - 1 - 3 + C.S. ]-2, 1[ ∪ ]1, 3[ B. DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS Expresión de la forma: D. SI UN FACTOR ESTA ELEVADO AL CUBO ax2 + bx + c ⇔ x ∈ R Ejemplo: Ejemplo: (x - 3)3 (x - 1) > 0 (x – 2 )2 ≥ 0 ⇔ x ∈ R Valores críticos 3, 1, -2 Valor crítico - -2 + 1 - 3 + + + ∴ C.S. ]-2, 1[ ∪ ]3, +∞[ C.S. ]-∞, +∞[ ó x∈R I.E RAMON CASTILLA M. 42
- 2. n E. CUANDO EL FACTOR (x ± a) ESTA EN EL DENOMINADOR Ejemplo: 1. Hallar el conjunto solución de: ( x − 4) 2 (x + 5) (x + 8) ≥ (x + 4) (x + 9) + 4 ≥ 0 ⇔ (x - 4)2 (x + 5) ≥ 0 x ≠ -5 (x + 5) a) x ∈ R b) x ∈ ∅ c) x ∈ {3} d) x ∈ [40, +∞ > e) x ∈ < -∞, 40] - -5 + 4 + 2. Resolver: (x + 5) (x - 2) < (x + 6) (x - 1) ∴ C.S. ]-5, +∞[ Indique el menor valor entero que lo verifica. a) -2 b) 1 c) 5 d) -1 e) 0 • TEOREMAS BÁSICOS DE LA DESIGUALDAD 3. Resolver: x −2 4−x x+8 3(x - 5) + + < 1. a < b → a + c < b + c ∀ a, b, c ∈ R 6 3 2 2. a < b ∧ c > 0 → ac < bc ∀ a, b ∈ R Indique el mayor entero que la verifica. 3. a < b ∧ c < 0 → ac > bc ∀ a, b ∈ R a) 7 b) 6 c) -5 4. a b > 0 ↔ {a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)} d) 4 e) 8 signos iguales 5. ab < 0 ↔ {(a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)} 4. Resolver el sistema: signos diferentes x ≥ 2 …………… (I) -1 6. ∀ a ∈ R – {0}: a y a presentan el mismo x > 3 …………… (II) signo x < 5 …………… (III) a > 0 → (1/a) > 0 a) x ∉ ∅ d) x ∉ [3, 5] a < 0 → (1/a) < 0 b) x ∉ R e) x ∈ < 3, 5> 7. a < b → a2n-1 < b2n-1, ∀ n ∈ N c) x ∉ R - {3, 5} 8. 0 < a < b → a2n < b2n , ∀ n ∈ N 9. a < b < 0 → a2n > b2n, ∀ n ∈ N 5. Resolver: 2 10. Si a < x < b ∧ ab < 0 → 0 ≤ x < max(a , b ) 2 2 1 1 (x + 2) (x + 1) + < x(x + 2) + x+5 x+5 11. Si a < b ∧ c < d entonces a + c < b + d 12. Si 0 < a < b ∧ 0 < c < d ⇒ ac < bd a) x ∈ <-5, -2> d) x ∈ <-2, +∞> a+b 13. Si 0 < a < b ⇒ a < <b b) x ∈ <-∞; -2> e) x ∈ <-2; +∞> ∪ {5} 2 c) x ∈ <-∞; -2> - {-5} 14. Si 0 < a < b ⇒ a < ab < b 43 I.E RAMON CASTILLA M.
- 3. 6. Resolver: 2(x + 8) (x - 5) ≥ x (x + 5) + x2 Indique el menor entero que la verifica. a) 81 b) 79 c) 80 d) 60 e) 51 7. Si: 2 2 6x + 1 + ≤ 5(x + 2) + x+6 x+6 entonces: a) x ≤ 9 b) x ≤ 6 c) x < -6 d) x < 2 e) x ≤ 9 ∧ x ≠ -6 8. Resolver el sistema: x≤2 ………………………….... (I) x<5 ………………………….... (II) x ≥ -2 ………………………….... (III) a) x ∈ [-2, 5> b) x ∈ [-2, 2] c) x ∈ <-∞; 2] d) x ∈ ∅ e) x ∈ [-2, +∞> 9. Hallar el valor que puede adoptar λ en el sistema: x≥5 x≤λ de tal manera que en su solución presente un único valor entero. a) 5,6 b) 6 c) 6,1 d) 6,9 e) Hay 2 correctas 10. Del sistema: x – 5 > 2x – 3 …………………… I -x ≤ -5 – 2x …………………… II -3(x - 1) ≤ 18 ..……………….... III podemos afirmar: a) Su conjunto solución es vacío. b) Se verifica para todo real. c) Presenta un valor único para x. d) x ∈ [-5, -2> e) x ∈ <-5, -2> I.E RAMON CASTILLA M. 44
- 4. a) x ∈ <-∞; 4> b) x ∈ <-∞; -4> c) x ∈ <4; + ∞ > d) x ∈ <3, +∞> e) x ∈ <4, 6> 1. Resolver: 6. Resolver: (x + 8) (x - 3) > x(x + 2) + 3(x - 8) (x + 8) (x + 3) < x (x + 11) + 12 a) x ∈ R b) x ∈ { } c) x ∈ {0} a) x ∈ <-∞, 3> d) x ∈ R d) x ∈ [24, +∞> e) x ∈ {-24} b) x ∈ <24, +∞> e) x ∈ ∅ c) x ∈ <-∞, 12> 2. Indique el mayor valor entero que verifica la inecuación: 7. Hallar un valor que verifique la inecuación: 6(x - 1) + 4(x - 2) – 2(x - 5) < 0 3(x + 1) (x - 2) ≤ (3x + 1) (x + 2) – 10x a) -1 b) 2 c) 1 a) -6 b) 7 c) 6 d) -2 e) 0 d) 5 e) Todas 3. Resolver: 8. Hallar el número de elementos del conjunto: 2 2 (2x - 1) (x - 3) + ≥ (2x + 1) (x - 5) + x−5 x−5 A = {x ∈ R+ / -5(2 - x) ≥ 0 ⇒ -x > - 5} a) x ∈ [-4, +∞> a) 4 b) 1 c) 2 b) x ∈ [-5, 5] d) 6 e) N.A. c) x ∈ <-∞, -4] 9. Resolver el sistema: d) x ∈ [-4, 5> ∪ <5; +∞> -5 (x + 2) ≥ 0 e) x ∈ <-∞, -4] – {-5} 4 (x - 3) < 0 4. Resolver el sistema: a) x ∈ <-∞, 3> d) x ∈ <-∞, -2> 3(x - 2) ≤ 0 b) x ∈ <-∞, 3] e) Hay 2 correctas 45(x + 8) ≥ 0 c) x ∈ R - <-2, +∞> a) x ∉ R b) x ∈ ∅ c) x ∈ {4} 10. Resolver el sistema: d) x ∈ {0} e) x ∈ [-8, 2] (x + 1) (x + 3) < (x + 1) (x + 5) …… (α) (x + 5) (x + 2) > (x + 5) (x + 4) – 12 ….. (β) 5. Resolver: x−5 x− 4 x−3 x a) x ∈ <-1, 1> d) x ∈ R + + < 5 2 3 30 b) x ∈ R – [-1, 1] e) x ∈ { } c) x ∈ R - <-1, 1> 45 I.E RAMON CASTILLA M.