Ingeniería de control: Retroalimentación y sistemas de control.pdf
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Este documento presenta un libro sobre teoría y problemas de retroalimentación y sistemas de control. El libro incluye temas como terminología básica, ecuaciones diferenciales lineales, transformadas de Laplace, estabilidad, funciones de transferencia, diagramas de bloques y grafos de flujo de señales. El libro está dirigido a ingenieros, científicos, matemáticos y estudiantes interesados en sistemas de control.
![TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 19
Algunos autores ponen una cruz en el círculo: (Figura 2-4)
,.
Figura 2-4
Esta notación se evitará aquí porque algunas veces se confunde con la operación de multiplicación.
Para hacer que la misma señal o variable sea una entrada a más de un bloque o punto de suma,
se utiliza un punto de toma. Este permite que la señal prosiga inalterada por diferentes trayecto-
rias a varios destinos.
EJEMPLO 2.3.
a) b)
X~-~-~___
::
x--P-~_t_o_d_e_w_m_ª_
3
________~•~x
X• -
Figura 2-5
2.2 Diagramas de bloques de sistemas de control continuos (analógicos)
con retroalimentación
Los bloques que representan los diferentes componentes de un sistema de control están conec-
tados de un modo que caracteriza sus relaciones funcionales dentro del sistema. En la figura 2-6 se
ilustra la configuración básica de un sistema de control simple en malla cerrada (retroalimentado),
con una sola entrada y una sola salida (abreviada UEUS [en inglés, SISO]) para un sistema con
señales continuas únicamente.
entrada
de referencia
r +
b
señal primaria
de retroalimentación
perturbación
trayectoria directa
trayectoria de retroalimentación
Figura 2-6
salida
~ontrolada
e
"](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-30-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 55
La independencia lineal de y;(t) garantiza que para c1, c2 , ..• , cn puede obtenerse una solución de
estas ecuaciones.
EJEMPLO 3.24.. La respuesta libre Ya(t) de la ecuación diferencial
d2
y dy
-+3-+2y=u
dt2
dt
con las condiciones iniciales y(O) = O, (dy!dt)I, = 0 = 1, se determina haciendo
en donde c1 y c2 son coeficientes desconocidos, y e - 'y e- 2
rson un conjunto fundamental para la ecuación
(ejemplo 3.21). Puesto que ya(t) debe satisfacer las condiciones iniciales, es decir.
yu(O) =y(O) = Ü = C¡ + C2 dya{t)I =dyl =1=-c1
-2c2
dt 1
_
0 dt t=O
entonces c1 - . Entonces, la respuesta libre está dada por Ya<t)
3.10 La respuesta forzada
La respuesta forzada Yb(t) de una ecuación diferencial es la solución de ésta cuando todas las
condiciones iniciales
dy I dn-ly 1
y(O), dt , ... , dtn-i
t=O t=O
son idénticas a cero.
Esta definición implica que la respuesta forzada depende solamente de la entrada u(t). La
respuesta forzada de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede
escribirse en términos de una integral de convolución (véase el ejemplo 3.38):
(3.14)
en donde w(t - T) es la.función de ponderación (o núcleo [kernel]) de la ecuación diferencial.
Esta forma de la integral de convolución supone que la función de ponderación describe un siste-
ma causal (véase la definición 3.22). Esta suposición se mantiene a continuación.
La función de ponderación de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes cons-
tantes puede escribirse como
n
w(t)= LC;Y;(t) t~O
i-1
=O t < o (3.15)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-66-320.jpg)
![58 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL
Deñnición 3.16: Una función rampa unitaria es la integral de una función paso unitario
J
I {{-{
- oo }( T - to) dT = Ü O
para t > t0
para t.$ t0
En la figura 3-2 se ilustra la función rampa unitaria.
Deñnición 3.17: Una función impulso unitario o(f) puede definirse mediante
( . [l(t)-l(t-M)]
8t)=lim d
lit-+O t
lit>O
en donde l(t) es la función paso unitario.
(3.18)
(3.19)*
El par { !~:g} puede abreviarse por 6.t--+O + que quiere decir que 6.t se aproxima a ceropor
la derecha. El cociente entre corchetes representa un rectángulo de altura 1/A.f y de ancho 6.t, como
se muestra en la figura 3-3. El proceso de límite produce una función cuya altura se aproxima a
infinito y el ancho se aproxima a cero. El área bajo la curva es igual a 1para todos los valores de 6.t.
Esto es,
/
00
8{t) dt = l
-oo
La función impulso unitario tiene la siguiente propiedad muy importante:
Propiedad de muestreo: La integral del producto de una función impulso unitario o(f - to) Y
una funciónfit), continuas en t = fo y sobre un intervalo que incluya a
t0 , es igual a la función fit) evaluada en fo, es decir,
(3,20)
Deñnición 3.18: La respuesta impulso unitario de un sistema es la saliday(t) de éste cuando
la entrada u(t) = o(f) y todas sus condiciones iniciales son cero.
EJEMPLO 3.29. Si la relación entrada-salida de un sistema lineal está dada por la integral de convolución
* En un sentido formal, la ecuación (3 .19) define la derivada por un lado de la función paso unitario. Pero en el sentido
matemático ordinario no existen ni el límite ni la derivada. Sin embargo, para los propósitos de este libro y muchos otros,
la definición 3. 17 es satisfactoria.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-69-320.jpg)
![64 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
tiempo sobre el cual sedeseauna·solución, y un conjunto den condiciones iniciales paray(k). La
secuencia de tiempo para los problemas tratados en este libro es el conjunto de enteros no negati-
vos, es decir, k = O,1,2,... El conjunto de condiciones iniciales es
y(O), y(l), ... , y(n - 1} (3.28)
Un problema que se defina sobre esta secuencia de tiempo y con estas condiciones iniciales se
denomina problema del valor inicial.
Considere la ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes de n-simo orden
y(k+n}+an_1y(k+n-1)+ ··· +a1y(k+l}+a0 y(k}=u(k}
Es conveniente definir un operador de desplazamiento Z mediante la ecuación
Z(y(k)] =y(k + 1)
Por aplicación repetida de esta operación, obtenemos
zn(y(k}] =Z[Z[ ... Z[y(k)] ... ]) =y(k+n}
De manera similar, se define un operador unitario /, mediante
J[y(k)] = y(k}
y Zo = l. El operador Z tiene las siguientes propiedades algebraicas importantes:
l. Para e constante, ... , Z[cy(k)] = cZ[y(k)]
2. zm[y(k) + x(k)] = zm[y(k)] + zm[x(k)]
Así, la ecuación de diferencia puede escribirse como
zn[y(k)] +an_1zn-1
[y(k}] + ··· +a1Z[y(k)] +a0 y(k}=u(k}
o (zn+an_ 1zn-1
+ ··· +a1Z+a0 )[y(k)] =u(k)
La ecuación
(3.29}
(3.30)
se llama ecuación característica de la ecuación de diferencia y, p_?r el teorema fundamental del
álgebra, tiene exactamente n soluciones: Z = 21, Z = 22, ... , Z = Zn.
EJEMPLO 3.31. Considere la ecuación de diferencia
5 1
y(k + 2} + - y( k + 1) + - y( k) = u( k)
6 6](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-75-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 73
p
r=----
1 + ecosfJ
en donde r y 0 se definen en la figura 3-7 y p = b2
/a
b
¡
Figura 3-7
En un tiempo infinitesimal dt el ángulo 0 se incrementa en una cantidad d0. El área barrida
por el radio r durante el periodo dt es igual a dA =-½-r2
d0. La velocidad a la cual se barre el área por
el rawo r es una constante (segunda ley de Kepler). Por tanto,
dA l dO
- = -r2
- = constante
dt 2 dt
o
d(J
,2_ =k
dt
La primera ecuación diferencial se obtiene derivando este resultado con respecto al tiempo:
dr d(J d 2
0
2r-- +r2 - =O
dt dt dt2
o
dr d(J d 2
fJ
2-- +r-- =O
dt dt dt2
La segunda ecuación se obtiene derivando la ecuación de la elipse:
dr [ pe senfJ ] dfJ
dt = (l+ecosfJ)2
dt
Utilizando los resultados de d0!dt = klr y (1 + e cos 0) = plr, drldt puede reescribirse como
dr ek
- = -sen(J
dt p
Derivando de nuevo y remplazando a r(d0idt) por k produce
d2r =(!_)( k2)cosO
dt2 p ,2](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-84-320.jpg)
![74 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Pero cos 0 (1/e)fplr - l]. Por tanto
d2, k2 [ p ] k2 k2
dt2 - pr2 r 1 - ,3 p,2
Sustituyendo a r(d0/dt)2
por k2!r3
, obtenemos la segunda ecuación diferencial solicitada.
d2, -,(d8)2+~=0
dt2
dt pr2 o
d2, - ,( d(J )2
dt 2 dt = - pr2
3.4. Como resultado del trabajo de varios autores [2, 3, 4], se ha producido un modelo matemá-
tico para describir una característica de la organización del sistema nervioso denominada
inhibición lateral. El fenómeno inhibitorio lateral puede describirse de manera simple
como la interacción eléctrica inhibitoria entre las neuro11as (células nerviosas) vecinas,
lateralmente espaciadas. Cada neurona en este modelo tiene una respuesta c, medida por la
frecuencia de descarga de pulsos en su axón (el "cable" o "alambre" de conexión). La
respuesta se determina mediante una excitación r suministrada por un estímulo externo, y
se disminuye mediante todas las influencias inhibitorias que actúan sobre las neuronas
como resultado de la actividad de las neuronas vecinas. En un sistema den neuronas, la
respuesta en estado estacionario de la k-ésima neurona está dada por
n
ck = 7k - L ªk-;C;
i=l
en donde la constante ak _; es el coeficiente inhibitorio de la acción de la neurona i sobre la
neurona k. Depende solamente de la separación de la k-ésima y la i-ésima neuronas, y
puede interpretarse como unafunción de ponderación espacial. Además, am = a_ m (inte-
racción espacial simétrica).
a) Si el efecto de la neurona i sobre la neurona k no se siente inmediatamente, sino que
presenta un pequeño retardo de tiempo Át, ¿cómo se modificaría el modelo?
b) Si laentradarit) se determina únicamente por la salidack, Átsegundos antes de t [rit) =
cit - Át)], determine una ecuación diferencial aproximada para el sistema de la parte a).
a) La ecuación se hace
n
ck(t) =rk(t)- ¿ ak_;c;(t-~t)
í=l
b) Sustituyendo cit - ~t) por rdt),
n
ck(t)-ck(t-~t) = -- ¿ ªk-;c;(t-M)
i=l](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-85-320.jpg)
![76 TEORJA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Si S está abierto
Si S está cerrado
podemos decir que la corriente a través de R y C está modulada por m.,(t). En estos términos,
podemos escribir
y puesto que i CdyHrJdt, la ecuación diferencial para este circuito es
dyHO = ( u - YHo ) m ( t)
dt RC s
Notamos que ésta es una ecuación diferencial variable en el tiempo, debido al efecto multiplicativo
de la función m5(t) en el lado derecho. También, a medida que RC se hace más pequeño, es decir,
1/RC se hace más grande, dyHrJdt se hace más grande y el capacitor se carga más rápidamente. Así,
un RC más pequeño en este circuito crea una mejor aproximación de la función de muestreo y de
sostenimiento.
3.7. Si el muestreador del problema anterior es ideal, y la velocidad de muestreo es uniforme,
con un periodo T, ¿cuál es la ecuación diferencial?
En el problema 3.5 se definió la función moduladora mn(t) del tren de impulsos del muestrea-
dor ideal. Así que la ecuación diferencial del muestreo y del sostenimiento se hace
dyHO = ( u - YHo.) f 8( t - kT)
dt RC k-o
En esta idealización, los impulsos remplazan los pulsos de corriente.
Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales
3.8. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales dependiendo de si son ordinarias o par-
ciales. Indique las variables dependientes e independientes.
dx dy
a) - + - +x+y=O X= X(t) y= y(t)
dt dt
b)
a¡ a¡
f =f(x, y)
- + - +x+y=O
ax ay
~[ ª!]=o dx
e) f=x2+ -
dt ax dt
df dy
d) -=x f=y 2(x)+ -
dx dx](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-87-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 77
a) Ordinaria; variable independiente t; variables dependientes x e y.
b) Parcial; variables independientes x e y; variable dependiente f.
e) Puesto que af/ax = 2.x, entonces (dldt)[af/ax] = 2(dxldt) = O, que es una ecuación
diferencial ordinaria; variable independiente t; variable dependiente x.
d) df/dx = 2y(dyldx) + d2
y!dx2
= x, que es una ecuación diferencial ordinaria; variable
independiente x; variable dependiente y.
3.9. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales lineales dependiendo de si son variables
o invariables en el tiempo. Indique los términos variables en el tiempo, si los hay
a)
b)
d2y
dt2 + 2y = o
d
-(t2y)=O
dt
a) Invariable en el tiempo
e) (
1 ) d
2
y ( 1 )
t + l dt 2 + t + l y':' Ü
d2y
d) dt 2 +(cost)y=O
b) (dldt)(i2y) = 2ty + t2
(dyldt) = O. Dividiendo todo por t, se obtiene t, t(dyldt) + 2y = Ola cual
es variable en el tiempo. El término variable en el tiempo es t(dyldt).
e) Multiplicando todo por t + 1, obtenemos d2
y!dt2 +y= Ola cual es invariable en el tiempo.
d) Variable en el tiempo; el término variable en el tiempo es (cos t)y.
3.10. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales dependiendo de si son lineales o no
lineales. Indique las variables independientes y dependientes, y los términos no lineales,
si los hay.
a)
b)
e)
dy d2y
y= y(t)
t- + y=O y= y(t) d) (cost)-
2 +(sen2t)y=O
dt dt
dy
y= y(t)
d2y
y= y(t)
y-+y=O e) (cos y)-
2 + sen2y = O
dt dt
dy d2y
- + y2=0 y= y(t) !) (cosx)-
2
+sen2x=O y=y(t), x=x(t)
dt dt
a) Lineal; variable independiente t; variable dependiente y.
b) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; término no lineal y(dyldt).
e) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; término no lineal y2.
d) Lineal; variable independiente t; variable dependiente y.
e) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; términos no lineales (cos y)d2
yldt2
y sen 2y.
f) No lineal; variable independiente t; variables dependientes x e y; términos no lineales (cos
x)d2
y!dt2
y sen 2x.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-88-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 83
La ecuación característica es D2
+ 4D + 4 = (D + 2)2
= O, con raíz repetida D = -2.
En consecuencia, un conjunto fundamental es el dado por e- 2
', te - 2
', y la función de ponderación
tiene la forma
con las condiciones iniciales
Entonces w(t) = te- 2
'.
3.22. Encuentre la respuesta forzada de la ecuación diferencial (problema 3.21):
d 2
y dy du
-d
2 + 4- + 4y = 3- + 2u
t dt dt
en donde u(t) = e- 31
, t ~ O.
La respuesta forzada está dada por la ecuación (3. J4) como
1
, [ du ]
1
1 du
11
Yh(t) = w(t-T) 3-d +2u dT=3 w(t-T)-dT+2 w(t-T)Ud'T
O 'T O dT O
Realizando la primera integral por partes,
1
1 du 1 1/aw(t-T)
w(t-T)-d dT=w(t-T)u( T)l0
- ---udT
o 'T o a'T
1
1aw(t- T)
= w(O)u(t) -w(t)u(O) - ---udT
o a'T
Pero w(O) = O; en consecuencia, la respuesta forzada puede escribirse como
1
1[ aw(t-T) ]
Yh(t)=
0
-3 aT +2w(t-T) u(T)dT-3w(t)u(O)
A partir del problema 3.21, w(t- T) = (t- T)e- 2<
1
-•>; por tanto
[
aw(t-T) ]
-3 ªT +2w(t-T) =3e- 2
U-•>-4(t-T)e- 2<
1
-•>
y la respuesta forzada es
Yh(t) = 3e- 2
'l1
e2Te- 3
• dT- 4te- 2
'l1
e2•e- 3
• dT + 4e-211
1
Tei.e- 3
• dT - 3te- 2
'
o o o
= 7[ e- 2, - e- 3, - te- 2']
3.23. Encuentre la salida y de un sistema descrito por la ecuación diferencial
d 2
y dy
dt2 + 3 dt + 2y = l + t
con las condiciones iniciales y(O) = O y (dy!dt)l,=o = 1.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-94-320.jpg)
![84 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Hagamos u1 =1 y u2 =t. La respuesta y debida a u1 actuando sola, se determinóen el ejemplo
3.27 que era y1 = ½O - e- 2
'). En el ejemplo 3.24 se encontró que la respuesta libre Ya para la
ecuación diferencial es Ya= e-, - e-·2
'. La respuesta forzada debida a u2 está dada por la ecuación
(3 .14). Utilizando la función de ponderación determinada en el ejemplo 3.25, la respuesta forzada
debida a u2 es
Así, la respu~sta forzada es
1
Yb =Yi +Y2 = ¡[4e-' - 3e-2
' + 2t-1]
y la respuesta total es
1
y=yª +Yb=
4[se-' -7e-2
' + 2t-1]
3.24. Encuentre las respuestas transiente y en estado estacionario de un sistema descrito por la
ecuación diferencial
d 2
y dy
dt2 + 3 dt + 2y = 1 + t
con las condiciones iniciales y(O) = O y (dyldt)I, = o = 1.
La respuesta total para esta ecuación se determinó en el problema 3.23 como
1
y= -[se-1
-1e-21
+ 2t-1]
4
Puesto que el lim, - 0
,J¼(8e-' - 7e- 2
')] =O, la respuesta transiente es YT =¼(Se-, - 7e- 2
'). Y
la respuesta en estado estacionario es YEE = ¡(2t - 1).
Funciones de singularidad
3.25. Evalúe: a) Js8f2a(t- 6) dt, (b) Jt sen ta(t- 7) dt.
a) Utilizando la propiedad de muestreo de la función de impulso unitario
Js8,2
6(t - 6) dt = 1
2
1,-6 = 36.
b) Puesto que el intervalo de integración O:;; t,;; 4 no incluye la posición de la función impulso
unitario, t = 1, la integral Ji sen t6(t - 7) dt = O.
3.26. Demuestre que la respuesta paso unitario y1(t) de un sistema lineal causal, descrito por la
integral de convolución](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-95-320.jpg)
![86 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALJMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Un conjunto fundamental es y1
= e-ª'eÍ"'d1
, y2
= e-ª1
e-i"'d1
; y la función de ponderación puede
escribirse como
en donde c1 y c2 son hasta ahora coeficientes desconocidos. w(t) puede escribirse de nuevo como
w( t) = e-ª'[ c1 cos wdt- jc1 senwdt + c2 cos wdt +jc2 senwdt)
= ( c1 + c2 ) e-at cos wdt +J( c2 - c1) e-at senwdt
= Ae-ª1
cos wdt + Be-ª' senwdt
en donde A =e1 + c2 y B =j(c2 - e1) son los coeficientes desconocidos determinados a partir de las
condiciones iniciales dadas por la ecuación (3.16). Esto es,
y
Por tanto
w(O) = [ Ae-ª1
cos wdt + Be-ª',senwdt] 1,-o= A = O
~ 1 =Be-ª'[ wd cos wdt- asenwdt)J,_0
= Bwd = l
,-o
1
w(t) = -e-ª'senwdt
wd
3.29. Determine la razón de amortiguación ¡;, la frecuencia natural no amortiguada wm la
frecuencia natural amortiguada wd, el coeficiente de amortiguación a, y la constante de
tiempo r, para el siguiente sistema de segundo orden:
'
d 2
y dy
2-
2
+4-+8y=8u
dt dt
Dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación d2
y!dt2
+ 2(dy!dt) + 4y = 4u. Comparando los
coeficientes de esta ecuación con los de la ecuación (3 .22), obtenemos: 2{wn = 2 y w;, = 4 con las
soluciones Wn = 2 y ¡; = ½ = 0,5. Ahora wd = wn¡¡-=-p = ff, a= fwn = 1, YT = 1/a = l.
3.30. El sobrepulso de un sistema de segundo orden en respuesta a una entrada peso unitario es
la diferencia entre el valor máximo alcanzado por la salida y la solución en estado estacio-
nario. Determine el sobrepulso para el sistema del problema 3.29, utilizando la familia de
curvas normalizadas dada en la sección 3.14.
Puesto que la razón de amortiguación del sistema es ¡; = 0,5 se utiliza la curva normalizada
correspondiente a ¡; = 0,5. Esta curva tiene su valor máximo (pico) en Wnt = 3,4. A partir del
problema 3.29, wn = 2, por tanto el tiempo tp en el cual ocurre el pico es tp = 3, 4/wn = 3,4/2 = l,7 s.
El valor alcanzado en este tiempo es l, 17 y el sobrepulso es l, 17 - 1,00 = O,17.
Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones lineales
diferenciales y de diferencia
3.31. Convierta la ecuación diferencial](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-97-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 87
con las condiciones iniciales y(O) = 1y (dy/dt)l,=o = -1, en la forma de variables de estado.
Desarrolle luego una solución para la ecuación de vectores y matrices resultante en la forma
de la ecuación (3.26), y a partir de ella especifique la respuesta libre y la respuesta forzada.
También, para u(t) = 1 especifique las respuestas transiente y en estado estacionario.-
Haciendox1 =yy dx1/dt = x2 , la representación por variables de estado esdx¡/dt = x2 conx1(0) = 1,
y dx2/dt = u con xi(O) = -1. Las matrices A y B en la forma general de la ecuación (3 .25) son
A=[~ ¿] b = [ ~]
Puesto que Ak O para k 2: 2, la matriz de transición es
eAt = l + At = [ ¿ n
y la solución de la ecuación de variables de estado puede escribirse como
[
X¡ ( l) ] = [ 1
xi(t) O
t] [ 1] + ('[ 1 (t - T)][ O]d'T
1 -1 10 O 1 u( 'T)
o, después de multiplicar las matrices en cada término,
x1(t)=l-t+ f(t-T)u(T)d'T
o
Las respuestas libres son
y las respuestas forzadas son
X1a( t) = 1 - (
X2a( t) = -1
~ X1b(t)= f<t-'T)U('T)d'T
X2b(t) = fu('T) d'T
Para u(t) = 1, x1(t) = 1 - t + r/2 yxi(t) = -1 + t. Las respuestm transientes sonx1/._t) = Oyx21-{t) = (
y las respuestas en estado estacionario son XtEE(t) = I - t + r/2 y x2Edt) = -1 + t.
3.32. Demuestre que la secuencia de ponderación de la ecuación de diferencia (3.29) tiene la
forma de la ecuación (3.34).
La técnica utilizada para resolver este problema se llama variación de parámetros. Se supone
que la respuesta forzada de la ecuación (3.29) tiene la forma:
n
Yb(k) = I: cj(k) y/k)
j=l
en donde y¡(k), ... , yn(k) es un conjunto fundamental de soluciones, y c1
(k), ... , cn(k) es un conjunte
de parámetros desconocidos dependientes del tiempo, los cuales van a determinarse. Puesto qu,
yiO) = Opara cualquier respuesta forzada de una ecuación de diferencia, entonces, c1
(0) = O, ...
cn(O) = O. El parámetro c/k + 1) se escribe como cj(k + l) = c/k) + 11c¡(k). Así](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-98-320.jpg)
![88 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Los incrementos iic1(k),... , iicn(k) se escogen de tal manera que el término entre corchetes es cero.
Este proceso se repite para yb(k + 2) de tal modo que
Yb(k + 2) = i/¡(k)y_¡(k + 2) + Ltiic¡(k)y¡(k + 2)]
El término entre corchetes nuevamente se hace cero al escoger los incrementos iic1(k), ... , iicn(k).
Se generan expresiones similares para Yb(k + 3), Yb(k + 4), ... , Yb(k + n - 1). Finalmente,
En esta última expresión, el término entre corchetes no se hace cero. Ahora, la suma en la ecuación
(3.29) es
n n n n
La;yh(k+i) = L c¡(k) LO;Y¡(k+i) +an L iic¡(k)y_¡(k+n) =u(k)
i=O J=l i=O J=l
Puesto que cada elemento del conjunto fundamental es una respuesta libre, entonces
n
L ª;Y¡(k+ i) =O
i=O
para cadaj. Se ha generado entonces un conjunto den ecuaciones algebraicas lineales con n incóg-
nitas:
n
L iic¡( k) y¡( k + I) = O
j=l
n
I: ac¡(k)y¡(k + 2) = o
J=l
n u(k)
L iic¡(k)y1(k+ n) = - -
J=l an
Ahora iicj(k) puede escribirse como
~(k) u(k)
iic ( k) = - - - -
1 M(k) an
en donde M(k) es el determinante
Yi(k+ 1)
M(k) = y¡(k_+ 2)
y1(k+n) yi(k+n)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-99-320.jpg)
![90 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
3.34. Demuestre que un sistema descrito por la integral de convolución
y(t)= f00
w(t,T)u(T)dT
-oo
es lineal, y es la salida y u es la entrada.
Sean u1 y u2 dos entradas arbitrarias, y sean
Ahora, sea c1u1 + c2u2 una tercera entrada, y formamos
fºoow( 1, T )[ C¡ U¡ ( 7") + C2 ui( T)] dT = C¡ f_
00
00w( t, T) U¡ ( 7") dT + C2J_:w( f, T) U2 ( 7") dT
= C¡YJ + C2Y2
Ya que esta relación es válida para cualquier c1 y c2, la integral de convolución es una operación (o
transformación) lineal.
3.35. Utilice el principio de superposición para determinar la salida y, en la figura 3-9.
u1 = sen t +
---y
Figura 3-9
Para u2 = u3 = O, Y1 = 5(d!dt)(sen t) = 5 cos t. Para u1 = u3 = O, y2 = 5(dldt)(cos 2t) = -10 sen 2t
Para u1 = u2 = O, y3 = -5t2
• En consecuencia
y= y1 +y2 +y3 = 5(cost- 2sen2t- t2
)
3.36._ Un sistema lineal se describe mediante la siguiente función de ponderación
w(t, T) = e-¡,-.,-¡ para cualquier t, T
Suponga que el sistema se estimula mediante una entrada
u(t) = t para cualquier t
Encuentre la salida y(t).
La salida está dada por la integral de convolución (ejemplo 3.38):
y( t) = /
00
e·-lt-TITdT = f' e-<t-T)TdT + J00
e<t-T)TdT
-oo -oo '](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-101-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 93
Definición 4.2: Siftt) está definida y es de valor sencillo para t > O, y F(<r) es absolutamen-
te convergente para algún número real cr0 , esto es,
O<t.< T
entonces ftt) es transformable en Laplace para Re(s) > <r0 .
EJEMPLO 4.1. La función e - ' es transformable en Laplace puesto que
EJEMPLO 4.2. La transformada de Laplace de e-, es
00
-1 loo
2[ e-']= i e-te-si dt = ---e-(s+l)t
o+ (s+l) 0
+
1
s+l
para Re(s) > -1
4.3 La inversa de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace convierte un problema del dominio de la variable real tiempo en el
dominio de la variable compleja s. Luego de obtenerse la solución al problema transformado, en
términos des, es necesario "invertir" esta transformada para obtener la solución en el dominio del
tiempo. La transformación del dominios en el dominio t se llama inversa de la transformada de
Laplace.
Definición 4.3: Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f(t), para t > O. La
integral de contorno
1 ¡c+joo
2'-1
[F(s)] =/(t) = -. F(s )est
ds
2'1TJ c--joo
en donde j = 1-=t y e > <ro (<ro como se estableció en la definición 4.2),
se denomina inversa de la transformada de Laplace de F(s).
En la práctica rara vez se hace necesario efectuar la integral de contorno, dada en la definición
4.3. Para las aplicaciones de la transformada de Laplace en este libro, nunca será necesario. En la
sección 4.8 se presenta una técnica simple para evaluar la inversa de la transformada en la mayor
parte de los problemas de sistemas de control.
4.4 Algunas propiedades de la transformada de Laplace y de su inversa
La transformada de Laplace y su inversa tienen varias propiedades importantes que pueden
usarse ventajosamente en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
tantes. Estas son:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-104-320.jpg)
![94 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
1. La transformada de Laplace es una transformación lineal entre funciones definidas en
el dominio t y funciones definidas en el dominio s. Esto es, si F1(s) y F2(s), son las
transformadas de Laplace def1(t) yfz(t), respectivamente, entonces a1F1(s) + a2F2(~)
es la transformada de Laplace de aif1(t) + a2fz(t) en donde a1 y a2 son constantes
arbitrarias.
2. La inversa de la transformada de Laplace es una transformación lineal entre funciones
definidas en el dominios y funciones definidas en el dominio t. Esto es, sif1(t) yfz(t)
son las inversas de las transformadas de Laplace de Fi(s) y Fz(s), respectivamente,
entonces b¡f1(t) + bzfit) es la inversa de la transformada de Laplace de b1F1(s) +
b2Fz(s) en donde b1 y b2 son constantes arbitrarias,
3. Es la transformada de Laplace de la derivada df/dt de una funciónf(t) cuya transforma-
da de Laplace es F(s).
9'[!] =sF(s)-J(o+)
en donde f(O +) es el valor inicial de f(t), evaluada como el límite unilateral de f(t)
cuando t tiende a cero, a partir de valores positivos.
4. Es la transformada de Laplace de la integral J¿J( T) d-r de una funciónf(t) cuya trans-
formada de Laplace es F(s).
[1' ] F(s)
9' /<T) dT = -S-
5. Es el valor inicial f(O+) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s).
/(O+)= lim/(t)= lim sF(s) t>O
,-o s---+ oo
Esta relación se llama teorema del valor inicial.
6. Es el valor final f(x) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s).
/( oo) = lim /( t) = lim sF( s)
(-+OO S--JoÜ
Si existe lim,- 0
of(t). Esta relación se llama teorema del valor final.
7. La transformada de Laplace de una función f(tla) (cambio de escala de tiempo) es
en donde F(s) =9'[/(t}].
8. La inversa de la transformada de Laplace de la función F(sla) (cambio de escala de
frecuencia) es
en donde 9'- 1
[F(s)] = f(t).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-105-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 95
9. La transformada de Laplace de la funciónf(t - n(retardo de tiempo), en donde T > O
y f(t - n = O para t ::s T, es
!l'[/(t- T)] = e-•TF(s)
en donde F(s) =!l'[/(t)].
10. La transformada de Laplace de la función e-ª1
/(t) está dada por
!l'[e-ª1
/(t)] =F(s+a)
en donde F(s) =!l'[/(t)] (traslación compleja).
l 1. La transformada de Laplace del producto de dos funcionesf 1(t) yfz(t) está dada por la
integral de convolución compleja
1 fr+Joo
!l'[/1(t)/2(t)] = 2
7Tj c~Joo F1(w)Fi(s-w)dw
en donde F1(s) =!l'[/1(1)] y F2(s) =!l'[/i(t)].
12. La inversa de la transformada de Laplace del producto de dos transformadas F 1(s) y
F2(s) está dada por las integrales de convolución
EJEMPLO 4.3. Las transformadas de Laplace de las funciones e-, y e- 2
, son ~[e-'] = 1/(s + 1) y
~[e- 21
] = 1/(s + 2). Entonces, por la propiedad 1,
3 1 2s + 5
~[3e-'-e-2']=3~[e-']-~(e-2']= s+l - s+2 = s2+3s+2
EJEMPLO 4.4. Las inversas de las transformadas de Laplace de las funciones 1/(s + 1) y 1/(s + 3) son
~-1[_
1
] = e-3,
s+3
Entonces, por la propiedad 2,
2-1[_2 __
4 ]=2~-1[_1]-4~-1[_1]=2e-'-4e_3,
s+l s+3 s+l s+3
EJEMPLO 4.5. Mediante la aplicación de la propiedad 3 puede determinarse la transformada de (d!dt) (e-').
Puesto que ~[e-1
] = 1/(s + 1) y lim 1
_ 0 e- 1
= 1, ento~ces
~lf.!!_(e-')] =s(--1 )-1=·---=2._
dt s+l s+l
EJEMPLO 4.6. La transformada de Laplace de fóe-T dT puede determinarse por aplicación de la propie-
dad 4. Puesto que ~[e- 1
] = 1/(s) + 1), entonces
~[¡:e-Td'T] =~c:1)=
s(s~l)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-106-320.jpg)
![96 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 4.7. La transformada de Laplace de e-3, es .i'[e-3'] = 1/(s + 3). El valor inicial dee- 3
' puede
determinarse mediante el teorema del valor inicial
lim e- 3
, = lim s(-
1
-) = 1
t-+O s-+oo S + 3
EJEMPLO 4.8. La transformada de Laplace de la función (1 - e-') es 1/s(s + 1). El valor final de esta
función puede determinarse mediante el teorema del valor final.
s
lim (1 - e-') = lim - - - = 1
t-+oo s-+OS(s+l)
EJEMPLO 4.9: La transformada de Laplace e-, es 1/(s + 1). Mediante la aplicación de la propiedad 7
(cambio en la,escala de tiempo) puede determinarse la transformada de Laplace de e- 3
', en donde a=½:
-2' e-3, _ _
1 [ 1 ] 1
[ ]-3 {½s+l) -s+3
EJEMPLO 4.10. La mversade la transformada de 1/(s + l) es e-'. La inversade la transformadade 11(-¼s + l)
puede determinarse mediante la aplicación de la propiedad 8 (cambio en la escala de frecuencia):
_i>-1(--1 ] = 3e-3'
½s + 1
EJEMPLO 4.11. La transformada de Laplace de la función e-' es 1/(s + 1). La transformada de Laplace
de la función definida como
{
-(t-2)
f(t) = e
o
puede determinarse mediante la propiedad 9 con T = 2:
t> 2
,~ 2
EJEMPLO 4.12. La transformada de Laplace de costes s/(s2 + 1). La transformada.de Laplace de e- 2
,
cos t puede determinarse a partir de la propiedad 1O con a = 2:
s+2
.2'[e- 2
'cost] = ----
(s + 2)
2
+ 1
s+2
s
2
+ 4s + 5
EJEMPLO 4.13. La transformada de Laplace del producto e- 2
, cos t puede determinarse mediante la
aplicación de la propiedad 11 (convolución compleja). Es decir, puesto que 9'[e-2
'] = 1/(s + 2) y9'[cos t]
= sl(s2
+ 1), entonces
-2'[ ~-2, cost] = _l_fc+Joo(-"'-)(--1-) dw = _s_+_2_
2wj c-Joo w
2
+ 1 s - w + 2 s2
+ 4s + 5
Aquí no se presentan los detalles de esta integración de contorno porque son demasiado complicados (véase
por ejemplo la referencia [1]) y no son necesarios. La transformada de Laplace de e-2
, cos t se determinó de
manera muy simple al utilizar la propiedad JO, en el ejemplo 4.12. Sin embargo, hay muchos casos en
tratamientos más avanzados de sistemas de control automático en los que puede usarse efectivamente la
convolución compleja.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-107-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 97
EJEMPLO 4.14. La inversa de la transformada de Laplace de la función F(s) = sl(s + 1) (s2
+ 1) puede
determinarse mediante la aplicación de la propiedad 12. Puesto que !R- 1 [l/(s + 1)] = e-1
y !R- 1 [s/(s2 + l)]
= cos t, entonces
!R- 1
[ ( -
1
-)( ~)] = 1'e-(I-T) COSTdT = e-
1
11
eT COSTdT = ½(cost +sen t- e-
1)
s + I s + I o+ o+
4.5 Tabla resumida de transformadas de Laplace
En la tabla 4.1 se presentan algunas transformadas de Laplace. No es completa pero, cuando
esta tabla se usa junto con las propiedades de las transformadas de Laplace descritas en la sección
4.4 y las técnicas de expansión en fracciones parciales descritas en la sección 4.7, es apropiada
para manejar todos los problemas de este libro. En el apéndice A se encuentra una tabla más
completa de los pares de transformadas de Laplace.
TABLA 4.1
Función de tiempo Transformada de Laplace
Impulso unitario 6(t) 1
1
Paso unitario l(t) -
s
1
Rampa unitaria t
S2
n!
Polinomio tn --
5
n+I
1
Exponencial e-al - -
s+a
w
Onda sinusoidal senwt
5 2 + 'w2
s
Onda cosenoidal coswt
s2 + w2
w
Onda sinusoidal amortiguada e-ai sen,wt
(s + a)
2
+ w2
s+a
Onda cosenoidal amortiguada e-ai cos wt
(s+a)
2
+w2
La tabla 4.1 puede utilizarse para encontrar las transformadas de Laplace y sus inversas. Para
encontrar la transformada de Laplace de una función de tiempo que puede representarse por algu-
na combinación de las funciones elementales que se dan en la tabla 4. 1, se escogen las transforma-
das apropiadas de la tabla y se combinan utilizando las propiedades de la sección 4.4.
EJEMPLO 4.15. La transformada de Laplace de la funciónftt) = e-41
+ sen(t - 2) + t2 e- 21 se determina
como sigue. En la tabla se encuentra que las transformadas de e-41
, sen t y t2 son:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-108-320.jpg)
![98 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
1
.!l'[1
sent] = - -
. · s2 + 1
La aplicación de las propiedades 9 y 10 respectivamente, produce
e-2s
.!l'(sen( t - 2)] = s2 +
1
Entonces la propiedad (linealidad) produce
1 e- 2
' 2
.!l'[/(t)] = - + - - + - -
s + 4 s
2
+1 (s+2)~
Para encontrar la inversa de la transformada de una combinación de aquellas dadas en la tabla
4.1, se determinan las correspondientes funciones de tiempo (inversas de las transformadas) de la
tabla y se combinan de manera apropiada utilizando las propiedades de la sección 4.4.
EJEMPLO 4.16. La inversa de la transformada de Laplace de F(s) = [(s + 2)/s2
+ 4] · e-s puede
determinarse como sigue. Escribimos de nuevo F(s) como
Ahora
.!l'- 1
[ ~ ] =cos2t
s +4
.!l'- 1
[-/:-] =sen2t
s-+4
La aplicación de la propiedad 9 para t > 1 produce
[
se-• ] [ 2e·-s ]
.!l'- 1
- - =cos2(t-1) .!l'- 1
- - =sen2(t-1)
s2
+ 4 s
2
+ 4
Entonces la propiedad 2 (linealidad) da
.!l'- 1
[ F( s)] = cos2( t - 1) + sen2( t - 1) t > I
=0 t<l
4.6 Aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes
La aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales linea-
les con coeficientes constantes es de principal importancia en problemas de sistemas lineales de
control. En esta sección tratamos dos clases de ecuaciones de interés general. La primera de ellas
tiene la forma:
n diy
La;-; =u
i=O dt
(4.1)
en donde y es la salida, u es la entrada, los coeficientes a0 , a 1, ••• , an- 1 son constantes, y an = l.
Lai'. condiciones iniciales para esta ecuación se escriben como
dky I
dtk =Yt
1=0+
k=O,l, ... ,n-I](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-109-320.jpg)
![100 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Debe tenerse en cuenta que cuando i = Oen la ecuación (4.2), la suma en el interior de los corchetes, por
definición es
i1I = krl =G
k-0 i=O k-0-
La transformada de Laplace de la ecuación diferencial también puede determinarse de la siguiente
manera. La transformada de d2
y/dt2
está dada por
.Cf'[d
2
;] =s2 Y(s)-sy(o+)- dyl
dt dt ,=o+
Esta ecuación es una consecuencia directa de la propiedad 3, sección 4:4 (véase el problema 4.17). Con esta.,_,,•
información puede determinarse la transformada de la ecuación diferencial aplicando la propiedad 1 (linea-
lidad) de la sección 4.4; esto es,
.Cf'[ ::; +3! +2y] =.Cf'[ ::; ] +.Cf'[3!] +It'(2y] =(s2
+3s+2)Y+s+l=!t'(l(t)] = ~
La transformada de la salida Y(s) se determina reordenando la ecuación anterior, y es
-(s2+ s -1)
Y(s)=----
s(s2 + 3s + 2)
La solución de la salida en el tiempo y(t) es la inversa de la transformada de Y(s). Anteriormente, en las
secci-0nes 4.7 y 4.8 se presentó un método para determinar la inversa de la transformada de funciones como
Y(s).
Ahora, considere ecuaciones de coeficientes constantes de la forma:
n diy m diu
_I: a¡ dti = _I: b¡-¡¡;- <4.s)
1=0 1=0
en donde y es la salida, ues la entrada, an = I y m ::s; n. La transformada de Laplace de la ecuación
(4.5) está dada por
_[ [a; (siY(s) - ;fsi-l-kYt)] = _}: [b¡(siU(s) - i1
si-l-ku~)l (4.6)
1=0 k=O 1=0 k=O
en donde u~= (dku/dtk)l,-o+· La transformada de salida Y(s) es
(4.7)
La solución en el tiempo y(t) es la inversa de la transformada de Laplace de Y(s):](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-111-320.jpg)
![102 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 4.19. Considere un sistema descrito por la ecuación diferencial
d 2
y dy du
-+3-+2y=-+3u
dt2
dt dt
con las condiciones iniciales yg = 1, y¿ =O.Si laentrada está dada poru(t) = e- 4
', entonces la transforma-
da de Laplace y(t) de la salida puede obtenerse por aplicación directa de la ecuación (4.7), identificando
primerom, n, a;, b;y u&: n = 2, a0 = 2, a1 = 3,.a2 = 1, m = 1, ag = Iim ,-.o e-41
= 1, b0 = 3, b1 = 1. La
sustitución de estos valores en la ecuación (4.7) produce
~s= --+ -
(
s+3 )( 1 ) s+3 1
( ) s2 + 3s + 2 s + 4 s2 + 3s + 2 s2
+ 3
Esta transformada también puede obtenerse por aplicación directa de las propiedades 1 y 3, de la sección
4.4, a la ecuación diferencial, como se hizo en el ejemplo 4.17.
Las ecuaciones diferenciales lineales de matrices y vectores con coeficientes constantes, trata-
dos en la sección 3.15, también pueden resolverse mediante las técnicas de transformada de La-
place, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 4.20. Considere la ecuación diferencial de vectores y matrices del problema 3.31:
dx
en donde
x( t) = [ X¡ ( t) ]
· X2(t)
- =Ax+bu
dt
A=[g ~] b= [~] x(O)=[_U
y con u = l(t), la función paso unitario. La transformada de Laplace de la forma de vectores y
matrices de esta ecuación es
1
sX(s) - x(O) = AX(s) + -b
s
en donde ¡XJ(s) es la transformada de Laplace vectorial cuyos componentes son las transformadas
de Laplace de los componentes de x(t). Esta puede escribirse de nuevo como
1
[si -A]X(s) = x(O) + -b
s
en donde/ es la matriz identidad o unidad. La transformada de Laplace del vector solución x(t)
puede escribirse como
1
X(s) =[s1-Ar
1
x(O) +-[sl-Ar
1
b
s
en donde [·]- 1
representa el inverso de la matriz. Puesto que
si-A=[~
entonces
¡ 1 [ s
[si-Ar = -
s2
0](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-113-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPI .ACE Y LA TRANSFORMADA z 103
Sustituyendo [si - A]- 1
, x(O) y b se obtiene
en la cual el primer término es la transformada de Laplace de la respuesta libre, y el segundo es la
transformada de Laplace de la respuesta forzada. Utilizando la tabla 4.1, pueden invertirse, tér-
mino por término, las transformadas de Laplace de estos vectores, que proporcionan el vector
solución:
x(t) = [l(t)- t+ t
2
/2]
-l(t)+t
4.7 Expansiones en fracciones parciales
En la sección 4.6 se mostró que las transformadas de Laplace encontradas en la solución de
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son funciones racionales des (es
decir, razones de polinomios en s). En esta sección se muestra una representación importante de
las funciones racionales: la expansión en fracciones parciales. En la siguiente sección se muestra
que esta representación simplifica de manera significativa la inversión de las transformadas de
Laplace de una función racional.
Considere la función racional
F(s) = i=O
n
La;s'
i=O
( 4.9)
en donde an = 1 y n 2".: m. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica
del denominador
n
L a;s; = O
i=O
tiene n raíces. Algunas de estas raíces pueden ser repetidas.
EJEMPLO 4.21. El polinomio s3
+ 5s2
+ 8s + 4 tiene tres raíces: -2, -2, -1. -2 es una raízrepetida.
Suponga que la ecuación polinómica del denominador anterior tienenI raíces iguales a - p 1, n2
raíces iguales a -p2 , •.• , nr raíces iguales a -pn en donde :E~=1n; = n. Entonces
n r
L a¡Si = n(s +p;}
111
;-o i=l](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-114-320.jpg)
![104 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La función racional F(s) puede escribirse como
F(s) = -,-i=_O
_ __
TI(s+p;)n,
i=l
La representación de la expansión en fracciones parciales de la función racional F(s) es
r n¡ e
F(S} = bn + L L ik
;-1 k=l (s + p;)
( 4.JOa)
en donde bn = O, a no ser que m = n. Los coeficientes C;k están dados por
1 dn,-k
C;k= (n;-k)! tts,n,-k[(s+p;)n,F(s)]
s= -p;
( 4.10b)
Los coeficientes particulares e;¡, i = 1, 2, ... ,r se denominan residuos de F(s) en -p;, i = 1, 2, ... , r.
Si ninguna de las raíces se repite, entonces
n C-¡
F(s) =bn+ L -'- (4.11a)
i=t s +P;
en donde C¡¡ = (s +p;)F(s)Is= -p,
EJEMPLO 4.22. Considere la función racional
s2
+ 2s + 2 s2
+ 2s + 2
F(s)= s2 +3s+2 = (s+Í)(s+2)
La expansión en fracciones parciales de F(s) es
Cu C2¡
F(s) =b2 +- +--
s+l s+2
( 4.JJb)
El coeficiente de s2
en el numeradores b2 = l. Los coeficientes c11 y c21 se determinan de la ecuación (4.11 b)
como
En consecuencia
s
2
+ 2s + 21
cu=(s+l)F(s)ls--l= s+ 2 s--
1
=1
s
2
+ 2s + 21
c21 =(s+2)F(s)ls=-2= s+l =-2
s- -2
1 2
F(s)=l+---
s+l s+2
EJEMPLO 4.23. Considere la función racional
1
F(s)=-----
(s+1)2(s+2)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-115-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPL."'.'.E Y LA TRANSFORMADA z
La expansión en fracciones parciales de F(s) es
C11 C12 C21
F(s) =~+-+-----e-+-
s+l (s+1)2 s+2
Los coeficientes b3, c1" c12, c21 están dados por
b3 =O
d 2 1 d 1 1
c11 =-(s+ 1) F(s) = - - = -1
ds s=-1 ds s+2 s=-1
C12 = ( s + 1)2F( s)1 - = -
1
-1 = 1
s--1 s+2,=-l
c21 =(s+2)F(s)1,--2=1
1 1 1
De esta manera
F(s)= - s+l + (s+1)2 + s+2
4.8 Inversas de las transformadas utilizando expansiones en fracciones parciales
105
En la sección 4.6 se mostró que la solución a una ecuación diferencial lineal ordinaria con
coeficientes constantes puede determinarse encontrando la inversa de la transformada de Laplace
de una función racional. La forma general de esta operación puede escribirse usando la ecuación
(4.10) como
en donde o(t) es la función impulso unitario, y bn = Oa no ser que m = n. Hacemos notar que el
término del extremo derecho en la ecuación (4.12) es la forma general de la respuesta impulso
unitario para la ecuación (4.5).
EJEMPLO 4.24. La inversa de la transformada de Laplace de la función
s2
+ 2s + 2
F(s)= (s+l)(s+2)
está dada por
[
s
2
+ 2s + 2 ] [ 1 2 ] [ 1 ] [ 2 ]
i,-1 - - - - - =!t'-1 1 + -- - - - =!t'-1[1] +!t'-1 - - -!t'-1 - - =S(t) + e-' - :
(s+l)(s+2) s+l s+2 s+l s+2
que es la respuesta impulso unitario para la ecuación diferencial
d 2
y dy d 2
u du
dt2 + 3 dt + 2Y = dt2 + 2 dt + 2u](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-116-320.jpg)
![106 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 4.25. La inversa de la transformada de Laplace de la función
1
F(s)= (s+1}2(s+2)
está dada por
[
1 ] 1[ 1 1 1 ]
y-i (s+1)2(s+2) =Y- - s+l + (s+1)2 + s+2
= _y-1[_1 ] +y-1[ 1 ] +y-1[_1 ] =·-e-,+ te-'+ e-21
s+l (s+1)2
s+2
4.9 La transformada z
La transformada z se utiliza para describir señales y componentes en sistemas de control
discretos en el tiempo. Esta se define como sigue:
Definición 4.4:
Comentario 1:
Comentario 2:
Comentario 3:
Digamos que [f(k)) representa una secuencia de valores realesf(O),f(l),
f(2), ... , o de manera equivalente f(k) para k = O, 1, 2, ... Entonces
00
Z{f(k)}=F(z)= Lf(k)z-k
k=O
se llama transformada z de ¡J(k)). z es una variable complej~ida por
z = µ + jv, en donde µ y v son variables reales y j ~
El k-ésimo término de la serie en esta definición siempre es el k-ésimo ele-
mento de la secuencia que es z- k veces la transformada z.
A menudo, ¡J(k)) se define para tiempos igualmente espaciados: O, T,
2T, ... , kT ... , en donde Tes un intervalo de tiempo fijo. Algunas veces la
secuencia resultante se escribe como {J(k1)}, of(k1), k = O, 1, 2, ... , y
Z {J(k1)} = "f.f_0/ ( kT) z -k, pero, usualmente se suprime la dependencia
de T. Utilizamos los argumentos de la variable k y kT para las secuencias de
tiempo de manera intercambiable, cuando no se presenta ambigüedad.
De modo diferente algunos autores definen la transformada z como la trans-
formación z =esT, la cual se convierte en un simple cambio exponencial de
variables entre la variable compleja z = µ +jv y la variable complejas = u
+jw en el dominio de la transformada de Laplace, en donde Tes el periodo
de muestreo de un sistema discreto en el tiempo. Esta definición implica una
secuencia ¡J(k)l o ¡J(k1)), obtenida mediante un muestreo ideal (algunas
veces llamado muestreo de impulso) de una señal continuaf(t) en tiempos
espaciados uniformemente kT, k = l, 2, ... Entonces, s = In z/T, y nuestra
definición anterior, es decir, F(z) = "f.f_0/(k1)z -k, se obtiene directamente
del resultado del problema 4.39. Comenzando el Capítulo 6 se desarrollan
relaciones adicionales entre sistemas continuos y sistemas discretos en el
tiempo, de manera particular para sistemas con los dos tipos de elementos.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-117-320.jpg)
![I08 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La transformada z de la secuencia/(k) = A k = O, 1,2,... , en la cual A es cualquier número
complejo finito, es
Z { Ak} = 1 + Az- 1 + A 2z- 2 +
l z
----=--,-
1 -Az- 1
z-A
en donde el radio de convergencia es r = IA 1. Eligiendo de manera adecuada A, pueden definir-
se los tipos de secuencias más comunes y sus transformadas z generadas de esta reloción.
EJEMPLO 4.30. Para A = eªT, la secuencia {Ak} es la exponencial muestreada 1, eªT, e2
ªr, ... y la
transformada z de esta secuencia es
con un radio de convergencia r = leªTI·
La transformada z tiene una inversa muy parecida a la inversa de la transformada de Laplace.
Definición 4.5: Sea C un círculo con centro en el origen del plano z, y con un radio mayor
que el radio de convergencia de la transformada z, F(z). Entonces
1
z-1
[F(z)] = {/(k)} = -. jF(z)zk- 1
dz
2'1TJ e
es la inversa de la transformada z de F(z).
En la práctica, rara vez es necesario realizar la integral de contorno de la definición 4.5. Para
las aplicaciones de la transformada zen este libro, nunca será necesario. En lo que resta de esta
sección las propiedades y técnicas son adecuadas para evaluar la inversa de la transformada de la
mayor parte de los problemas de sistemas de control discretos en el tiempo.
En seguida se encuentran algunas propiedades adicionales de la transformada z y de su
inversa, las cuales pueden utilizarse ventajosamente en los problemas de sistemas de control
discretos en el tiempo.
1. La transformada z y su inversa son transformaciones lineales entre el dominio del tiem-
po y el dominio z. En consecuencia, si {/1(k)} y F1(z) son un par de transformadas, y si
{h(k)} y Fz(z) son otro par, entonces {arf1(k) + a2 fi(k} y a1F1(z) + a2Fz(z) son un par
de transformadas para cualquier a1 y a2.
2. Si F(z) es la transformada z de la secuencia/(0),/(1),/(2), ... , entonces
znF(z)-zn/(0)-zn-lf(l)- ··· -z/(n-l)
es la transformada z de la secuencia/(n), f(n + 1), f(n + 2), ... , paran > 1. Nótese
que el k-ésimo elemento de esta secuencia es f(n + k).
3. El término inicial /(O) de la secuencia {/(k)}, cuya transformada z es F(z), e!'.
/(O)= lim (1- z- 1
)F(z) =F{oo)
z-> oo
Esta relación se llama teorema del valor i11id,.l](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-119-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA : 109
4. Asuma que la secuencia {f(k)} tiene una transformada z, F(z), con radio de convergen-
cia :S 1. Entonces, si el siguiente límite existe, el valor finalf(00) de la secuencia está
dado por
/(oo)= lim(l-z- 1
)F(z)
z-> 1
Esta relación se llama teorema del valor final.
5. La inversa de la transformada z de la función F(zla) (cambio de escala de frecuencia) es
k = O, 1,2, ...
en donde z-1
[F(z)] = {/(k)}.
6. Si F(z) es la transformada z de la secuenciaf(O),f(l),f(2), ... , entonces z- 1
F(z) es la
transformada z de la secuencia desplazada en el tiempof(-1 );J(O),f( 1), ... , en donde
f(- 1) = O. Esta relación se llama teorema del desplazamiento.
EJEMPLO 4.31. Lastransformadaszde las secuencias {(½/} y {(½)k} son Z{(½/} = z/(z - ½), y
Z{(½/} = z/(z - ½). Entonces, por la propiedad 1,
z{3(~)k-(~)k} = --2;- -_z
i
2 3 z- 2 z- 3
z
2z2 - -
2
5z 1
z2- - +-
6 6
EJEMPLO 4.32. Las inversas de las transformadas z de las funciones zl(z +½)y z/(z - ¼) son
Entonces, por la propiedad 1,
z-1
[2-z1 -4~]=2z-1
[~]-4z-1
[ ~ ] ={2(-·~)k_4
(~)k}
z+ 2 z-¡ z+ 2 z-¡ 2 4
EJEMPLO 4.33. La transformada z de la secuencia 1,½,¼,... ,(½/,... es z/(z- ½). Entonces, por la
propiedad 2, la transformada z de la secuencia ¼, ¼, ... ,(½
/ +
2
, ••• es
z2(_z_)-z2 - ~ = ~ _z_
z-½ 2 4z-½
EJEMPLO 4.34. La transformada z de {(¼l} es z/(z -¼ ). El valor inicial de {(¡l} puede determinarse
mediante el teorema de valor inicial como](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-120-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z
Mediante la propiedad 2, si Z[x(k)] = X(z), entonces
Z {x(k+l)} =zX(z)-zx(O) =zX(z)
Z{x(k+2)} =z2
X(z)-z2
x(O)-zx(l) =z2
X(z)-z
A partir de la tabla 4.2, vemos que la transformada z de la secuencia paso unitario es
z
z {1} = z-1
La sustitución directa de estas expresiones en la ecuación transformada produce entonces
(
5 1) z
z2
+ - z + - X( z) - z = --
6 6 z-1
Así, la transformada z X(z) de la secuencia solución x(k) es
z z
X(z)= + ( =X(z)+X(z)
z2
+¡z+¼ (z-1) z2
+¡z+¼) ª b
113
Nótese que el primer término Xa(z) resulta de las condiciones iniciales, y el segundo, Xb(z), resulta de I&
secuencia de entrada. En consecuencia, el inverso del primer término es la respuesta libre, y el inverso del
segundo es la respuestaforzada. El primero puede invertirse formando la expansión en fracciones parciales
Xu(z) 1 6 6
--= =---+--
z2 + ¡z + ¼ z + ½ z + ½
z
De esto,
z z
X (z) = -6-- +6--
ª z+½ z+½
y de la tabla 4.2, el inverso de Xu(z) (la respuesta libre) es
k=0,1,2, ...
De modo similar, para encontrar la respuesta forzada se forma la siguiente expansión en fracciones parcia
les:
Así
Xiz) 1
-z- = (z-l){z+½)(z+½)
½ 4 -¡
=--+--+--
z-1 z+½ z+½
1 z 4z .2.z
Xb(z) = _2- + -- - _2-
z-1 z+½ z+½](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-124-320.jpg)
![114 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Entonces, de la tabla 4.2, la inversa de Xb(z) (la respuesta forzada) es
k=0,1,2, ...
La respuesta total x(k) es
1 ( l)k 3( l)k
x(k)ax (k)+xb(k)=--2 -- +- --
ª 2 2 2 3
k = 0,1,2, ...
Las ecuaciones de diferencias lineales de vectores y matrices con coeficientes constantes, presen-
tadas en la sección 3. 17, también pueden resolverse mediante las técnicas de transformadas z,
como se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4.42. Considere la ecuación de diferencia del ejemplo 4.41, escrita en la forma de variables de
estado (véase el ejemplo 3.36):
X¡ ( k + 1) = X2 ( k)
5 1
xi(k + 1) = -
6x2 (k) -
6x1(k) + 1
con condiciones iniciales x1(O) = Oy xi(O) = 1. En la forma de vectores y matrices, estas dos ecuaciones se
escriben como
en donde
x{k + 1) =Ax(k) + bu{k)
b= [~] x( k) = [ X¡ ( k) J
X2(k)
x(O)=[~]
u(k) 1. La transformada z de la forma de vectores y matrices de la ecuación es
z
zX(z)-zx(O) =AX(z) + -b
z-1
en donde X(z) es la transformada z de un vector evaluado, cuyos componentes son las transformadas z de los
componentes correspondientes del vector de estado x(k). Esta ecuación transformada puede escribirse de
nuevo como
z
(z/-A)X(z) =zx(O) + -b
z-1
en donde / es la matriz identidad o unidad. La transformada z del vector solución x(k) es
z
X{z) =z(z/-A)-1
x(O) + --(zl -A)-1
b
z-1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-125-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 115
en donde (-)- 1
representa el inverso de la matriz. Puesto que
zl-A = [; -1 ]
z+¾
entonces
_ 1 1 [z+¾
(zl -A) = 2 s i
z +6z+6 -¼
Sustituyendo en (z/ - A)- 1
, x(O) y b, producen
en donde, el primer término es la transformada z de la respuesta libre, y el segundo, la transformada de la
respuesta forzada. Utilizando el método de expansión en fracciones parciales y la tabla 4.2, la inversa de
esta transformada z es
x(k) = 2 2 2 J
[
l-2(-l)k. +l(-l)kl
½+(-½)k-½(-½)k
k = 0,1,2, ...
4.10 Determinación de raíces de polinomios
Los resultados de las secciones 4.7, 4.8 y 4.9 indican que encontrar la solución de ecuaciones
diferenciales y de diferencia lineales con coeficientes constantes mediante las técnicas de transfor-
mada, generalmente requiere la determinación de las raíces de ecuaciones polinómicas de la forma:
n
Qn(s)= [a;s;=O
i=O
endondean = 1, a0 , a1, ••• , an_,1 son constantes reales, y s se remplaza por zpara los polinomios de
transformada z.
Las raíces de una ecuación polinómica de segundo orden s2
+ a,s + a0 = Opueden obtenerse
directamente de la fórmula de la ecuación cuadrática, y están dadas por
S¡ =
-a1 + ,/af- 4a0
2
Pero, para polinomios de orden superior, en general, tales expresiones analíticas no existen. Las
que existen son muy complicadas. Afortunadamente, existen técnicas numéricas para determinar
estas raíces.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-126-320.jpg)
![116 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Como una ayuda para el uso de tales técnicas numéricas, se dan las siguientes propiedades
generales de Qn(s):
1. Si una raíz repetida de multiplicidad n¡ se cuenta como n¡ raíces, entonces Qn(s) = Otiene
exactamente n raíces (teorema fundamental del álgebra).
2. Si Qn(s) se divide por el factor s + p hasta obtener un residuo constante, el residuo es
Qn(-p).
3. s +pes un factor de Qn(s) si y sólo si Qn(-p) = O [-pes una raíz de Qn(s) = O].
4. Si <r + jw (con a- y w reales) es una raíz de Qn(s) = O, entonces a- - jw también es
raíz de Qn(s) = O.
5. Si n es impar, Qn(s) = O tiene por lo menos una raíz real.
6. El número de raíces reales positivas de Qn(s) = Ono puede exceder el número de variacio-
nes de signo de los coeficientes del polinomio Qn(s), y el número de raíces negativas no
puede exceder el número de variaciones de signo de los coeficientes de Qn(-s) (regla de
los signos, de Descartes).
De las técnicas disponibles para la determinación iterativa de las raíces de una ecuación poli-
nómica (o de modo equivalente, de los factores del polinomio), algunas permiten determinar sólo
las raíces reales, y otras, las reales y las complejas. A continuación se presentan los dos tipos.
El método de Horner
Este método puede utilizarse para determinar las raíces reales de la ecuación polinómica
QnCs) = O. Los pasos a seguir son:
1. Evaluar Q11(s) para los valores enteros reales des, s =O,± l, ±2, ... , hasta que para dos
valores enteros consecutivos como k0 y k0 + l, Qn(k0 ) y QnCko + l) tengan signos opues-
tos. Entre k0 y k0 + l se encuentra una raíz real. Sin perder generalidad, se supone que
esta raíz es positiva. Se toma k0 como la primera aproximación a la raíz. En los pasos
restantes se obtienen correcciones a la misma.
2. Determinar una secuencia de polinomios Q~ (s) utilizando la relación recursiva
Q~+l(s) ~ Q~( 1¿1 + s) = '[ af+is;
1=0
l = O, 1,2, ... (4.13)
en donde Q~ (s) = Qn(s), y los valores k1, l I , 2, ... , se generan en el paso 3.
3. Determinar el entero k1 en cada iteración, evaluando Q~(s) para los valores reales des
dados por s = k/101
, k = O, l, 2, ... , 9. Parados valores consecutivos de k, porejemplok1y
kl+ 1, los valores de QnCk1 /101
) y Qn(k1+ 1/101
) tienen signos opuestos.
4. Repetir el procedimiento hasta que se alcance la exactitud deseada de la raíz. La aproxi-
mación de la raíz real para la N-sima iteración, está dada por
N k
sN= L 1~1
l=O
(4.14)
Cada iteración aumenta la exactitud de la aproximación en una cifra decimal.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-127-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 117
El método de Nfwton
Este método puede determinar las raíces reales de la ecuación polinomial Qn(s) =O. Los pasos
a seguir son:
l. Obtener una primera aproximación de una raíz, s0 , haciendo una suposición "razonable"
o mediante una técnica como la del paso 1 del método de Homer.
2. Generar una secuencia de aproximaciones mejoradas hasta que se alcance la exactitud
deseada, mediante la relación recursiva
S/+1 =s¡- d
ds [Qn(s )]
que también puede escribirse como
n
I: (i-1)a;Sf
i=O
Sl-+1 = n
en donde l = O, 1, 2, ...
L ia;sf- 1
i=l
(4.15)
Este método no proporciona una medida de la exactitud de la aproximación. En realidad, no
hay ninguna garantía de que las aproximaciones converjan al valor correcto.
El método de Lin-Bairstow
Este método puede determinar las raíces reales y las complejas de la ecuación polinomial
Qn(s) =O. Más exactamente, este método define los factores cuadráticos de Qn(s) a partir de los
cuales se determinan dos raíces mediante la fórmula cuadrática. Por supuesto, las raíces pueden
ser reales o complejas. Los pasos a seguir son:
l . Obtener una primera aproximación de un factor cuadrático
s2
+ a1s + a0
de Qn(s) = "f.7-oa;i mediante alg6n método, tal vez una suposición "razonable". En los
pasos siguientes se consigue la corrección a esta aproximación.
2. Generar un conjunto de constantes bn- 2 , bn-3 , ••• , b0 , b_ 1, b_2 a partirde la relación re-
cursiva en donde bn bn-1 = O e i = n, n - 1,... , 1, O.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-128-320.jpg)
![118 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
3. Generar un conjunto de constantes Cn- 2 , cn_ 3 , ... , c 1, c 0 a partir de la relación recursiva.
4.
en donde en = Cn _ 1 = O e í = n, n - 1,... , l.
Resolver las dos ecuaciones simultáneas
c0 da1 +c1 da0 = b_1
( -a1c0 - a 0c1) da1 + c0 da0 = b_2
para Lla1 y Lla0 . La nueva aproximación del factor cuadrático es
5. Repetir los pasos 1 al 4 para el factor cuadrático obtenido en el paso 4, hasta que las
aproximaciones sucesivas se encuentren lo suficientemente cercanas.
Este método no proporciona una medida de la exactitud de la aproximación. En realidad, no
hay ninguna garantía de que las aproximaciones converjan al valor correcto.
El método del lugar de las raíces
Este método puede utilizarse para determinar las raíces reales y las complejas de una ecuación
polinomial Qn(s) = O. La técnica se estudiará en el Capítulo 13.
4.11 El plano complejo: diagramas de polos y ceros
Las funciones racionales F(s) para los sistemas continuos pueden escribirse nuevamente como
m
bmCT(s+z;)
F(s) = _;_-_on___ i=l
n
LO;Si CT(s+pJ
i=O ;-o
en donde los términos s + z; son los factores del numerador polinomial, y los términos s + p; son
los del denominador polinomial, con an = 1. Sis se remplaza por z, F(z) representa una función
del sistema para los sistemas discretos en el tiempo.
Definición 4.6:
Definición 4. 7:
Aquellos valores de la variable complejas, para los cuales IF(s)I [el valor
absoluto de F(s)] es cero, se denominan ceros de F(s).
Aquellos valores de la variable complejas, para los cuales IF(s)I es infi-
nito, se denominan polos de F(s).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-129-320.jpg)
![120 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.12 Evaluación gráfica de residuos*
Sea F(s) una función racional escrita en su forma de factores como:
m
bmCT(s+z;)
F(s) = -~~=-
1
- - -
0 (s+p;)
i=l
Puesto que F(s) es una función compleja, puede escribirse en forma polar como
F(s) = 1
F(s) jeilf> = 1
F(s) lil
en donde IF(s)I es el valor absoluto de F(s) y</>= arg F(s) = tan- 1
[Im F(s)/Re F(s)].
F(s) además puede escribirse en términos de las formas polares de los factores s + z; y s + p;
como
m
bmCT Js+z;J
F(s) = --,~e-·
=_l_ __
n1s+p¡J
i=l
en donde s + z Is + Z¡I /c¡,iz y s + p¡ Is + p;ljcfi;p-
Cada número complejos, z;,p;, s + z; y s + p; puede representarse por un vector en el plano s.
Si pes un número complejo general, el vector que lo representa tiene magnitud lpl y dirección
definida por el ángulo
[Imp]
cf,=tan- 1
- -
Rep
medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje o- positivo.
En la figura 4-3 se muestran un polo -p; y un cero -z; típicos, junto con una variable compleja
general s. También se muestran las sumas de vectores s + z; y s + p;. Nótese que el vector s + z;
comienza en el cero -z; y termina en s, y el vector s + p¡ comienza en el polo -p¡ y termina en s.
* En esta sección, mientras se emplee s para representar la variable compleja no se intenta representar la variable de
Laplace únicamente, sino más bien se hace referencia a una variable compleja en general, y la discusión se aplica tanto a
las transformadas de Laplace como a las transformadas z.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-131-320.jpg)
![122 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.13 Sistemas de segundo orden
Como se indicó en la sección 3.14, muchos sistemas de control pueden describirse o aproxi-
marse mediante la ecuación diferencial de segundo orden
d 2
y dy
- + 2rw - + w2
y = w2
u
dt2 n dt n n
En la cual el coeficiente positivo wn se denomina frecuencia natural no amortiguada, y el
coeficiente ( es la razón de amortiguación del sistema.
La transformada de Laplace de y(t), cuando las condiciones iniciales son cero, es
Y(s) - [,,+ir~,+..;]u(s)
en donde U(s) = .P [u(t)]. Los polos de la función Y(s)IU(s)
Nótese que:
1. Si ( > 1, los dos polos son negativos y reales.
2. Si ( = 1, los polos son iguales, negativos y reales (s = -wn).
3. Si O < ( < 1, los polos son las conjugadas complejas con partes reales negativas
(s = -(wn ± jwn VI -(2
).
4. Si ( = O, los polos son imaginarios y conjugadas complejas (s = ± jwn).
5. Si ( < O, los polos se encuentran al lado derecho del plano s (LDP).
En este libro es de particular interés el caso 3, ya que representa un sistema subamortiguado
de segundo orden, Los polos son conjugadas complejas con partes reales negativas localizadas en
o en
S = -twn ±jw)l - r2
s= -a ±Jwd
en las cuales 1/a = 1/(w11 se denomina constante de tiempo del sistema, y wd = w11V 1 -(2 ,
frecuencia natural amortiguada del sistema. Para un w11 fijo, la figura 4-4 muestra la localiza-
ción de estos polos en función de (, para O < ( < 1. El lugar geométrico es un semicírculo de
radio wn- El ángulo 0 está relacionado con la razón de amortiguación por medio de 0 = cos- 1
(.
No existe una descripción similar tan simple y útil para los sistemas de segundo orden que se
representan mediante ecuaciones de diferencia.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-133-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE· LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z
t=l
8
1=0
Figura 4-4
eje jw
¡.,,.
Problemas resueltos
Transformadas de Laplace a partir de su definición
123
eje <I
4.1 Demuestre que la función paso unitario l(t) tiene transformada de Laplace, y determine su
transformada.
La sustitución directa en la ecuación, de la definición 4.2, produce
para a0 > O. La transformada de Laplace está dada por la definición 4. 1:
1 1
00
2[l(t)] =1
00
1(t)e-st
dt=--e-st
o+ s o+
1
para Res > O
s
4.2 Demuestre que la función rampa unitaria t tiene transformada de Laplace, y determine su
transformada.
La sustitución directa en la ecuación, de la definición 4.2, produce
oo e-ª
0
' 1
00
1
1 ltle-ª01
dt=-(-0¡¡t-l) =-< +oo
0
+ 11 2 11 2
o 0
+ o
para a0 > O. La transformada de Laplacc está dada por la definición 4. 1:
1
S2
para Res > O](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-134-320.jpg)
![124 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.3 Demuestre que la función sen t tiene transformada de Laplace, y determine su transformada.
La integral ¡;..¡sent¡e-ªº' dt puede evaluarse rescribiéndola sobre todos los semiciclos positi-
vos de sen t como
para n par, y para todos los semiciclos negativos de sen t como
(n+l),r e-aomr
-J sen te- 001
dt = - 2
- - [ e-ªo" + 1]
nor a0 + 1
para n impar. Entonces
Para e-ª•"< I ó a0 > O la suma converge y puede escribrrse en forma cerrada como
00 1
L e-ººn'" = ____
n-o 1 - e-ª•"
Entonces
oo [l+e-ªº")( 1)
i ¡sent¡e-0
•
1
dt = ---- ~ < + oo
o+ 1 - e-ª0"' aJ + 1
para <Jo> O
. 100 e-"(-ssent-cost)l
00
1
Fmalmente, Jf[sent] = sente- st
dt = 2
= - 2
- -
0+ s + 1 o+ s + 1
para Res> O
4.4 Demuestre que la transformada de Laplace de la función impulso unitario está dada por
.P(8(t)] = 1.
La sustitución directa de la ecuación (3 .19) en la ecuación de la definición 4. 1 produce
1
00
1
00 [l(t)-l(t-At)l
B(t)e- st
dt= lim - - - - - - e-s
' dt
o+ o+ ¡:,.,...o At
[
ool(t) ool(t-At) l l[l e-ilts]
= lim 1 -- e-SI dt-1 ----e-st
dt = lim - - - - -
¡:,.,...o o+ At o+ At ¡:,.,...o At s s
en donde la transformada de Laplace de l(t) es 1/s, como se demostró en el problema 4.1, y el
segundo término se obtiene utilizando la propiedad 9. Ahora
-llts (Ats)
2
(Ats)
3
e =1-Ats+ --- - - - - +
2! 3!](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-135-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 125
(véase la referencia [I ]). Así
l[l e-A,s] 1[ (dt}2s (dt}3s
2 ]
2[B(t)]= lim - ---- = lim - dt---+---··· =1
At--+O dt s s At--+G dt 2! 3!
Propiedades de la transformada de Laplace y de su inversa
4.5. Demuestre que 2'[aif1(t) + aifi(t)] = a 1F 1(s) + a2Fi(s), en donde F1(s) = 2'[J1(t)] Y
Fz(s) = 2' [fi(t)] (propiedad 1).
Por definición
=a1l<X)!1(t)e-s
' dt + ª2l<X)!2(t)e- s
' dt
o+ oT
= a12[/1(t)] + a22[/2 (t)] = a1F1(s) + a2 .fi(s)
4.6 Demuestre que 2'- 1[a1F 1(s) + a2Fi(s)] = aif1(t) + aifz(t), en donde.2'- 1
[Fi(s)] = f1(t) y
.,2'- 1 [Fi(s)] = fi(t) (propiedad 2).
Por definición
4.7 Demuestre que la transformada de Laplace de la derivada df!dt de una función f(t) está dada por
2[df!dt] = sF(s) - fiO +), en donde F(s) = 2' [fit)] (propiedad 3).
Por definición,](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-136-320.jpg)
![126 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTAGION Y SISTEMAS DE CONTROL
Integrando por partes,
en donde lim,_ 0/(() = /(O+).
4.8 Demuestre que
[
¡r ] F(s)
.fe ;/(r)dr = -s-
en donde F(s) = .fe [f(t)] (Propiedad 4).
Por definición y con un cambio en el orden de las integraciones, tenemos
.fR [f1(T) dr] = 100
11
/( T) dre- st
dt = looj( T) [oo e-SI dtdT
o o+ o o+ lT
00 [ 1 1
oo ] 00 e- ST F( S)
= J J( r) - -e-st
dr= 1 f( r)-dr= -
o+ s T o+ s s
4.9 Demuestrequef(O+) =lim 1 -of(t) = lim s - oo sF(s), en dondeF(s) = .ft'[f(t)] (propiedad
5).
A partir del problema 4.7, .
[
~] T~
2 - =sF(s) -/(O+)= lim J -e-st
dt
dt T-+oo < dt
<-+Ü
Ahora hacemos que s - oo, esto es,
lim [sF(s) - /(o+)]= lim [ lim Jrddfe-st
dtl
s-oo s-+oo T-oo f t
(-+Ü
Puesto que los procesos de límite pueden intercambiarse, tenemos
Pero el lim ., - oce-
s
' =O.En consecuencia el lado derecho de la ecúación es cero, y lim s - oo sF(s)
= f(O+).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-137-320.jpg)
![LA TRAN~FORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 127
4.10 Demuestre que si lim 1 ...., 00 f(t) existe, entoncesf(oo) =lim 1 ..... 00 f(t) = lim s .... o sF(s), en
donde F(s) = 2 [f(t)] (propiedad 6).
Del problema 4.7,
[#] T#
2 - =sF(s) -/(O+)= lim f -e-11
dt
dt T_,oo < dt
, ....o
Ahora, hacemos s -+ O, esto es,
Puesto que los procesos de límite son intercambiables, tenemos
Sumandof(O+) a ambos lados de la última ecuación se produce lim s .... o
sF(s) = f(00) si existe el
límite f(oo) = lim, .... ,,J(t).
4.11. Demuestre que 2 [!(tia)] = aF(as), en donde F(s) = 2 [f(t)] (propiedad 7).
Por definición 2 [!(tia)] = f(fl f(tla)e- st
dt. Haciendo el cambio de variable T = tia,
4.12. Demuestre que 2- 1 [F(sla)]
Por definición,
af(at), en donde f(t) = 2- 1 [F(s)] (propiedad 8).
2-- 1
[ F(!_)] = ~ f +Joo F(!_) e·" ds
a 2'1TJ c-100 a
Haciendo el cambio de variable w = sla,
1 [ (s)] a ¡c+Joo
2- F - = -. . F(w)ew(at>dw=af(at)
a 2'1TJ c-100](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-138-320.jpg)
![128 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.13. Demuestre que Y[J(t - 1)] = e-sTF(s), en dondef(t - 7) = Ot :s; Ty F(s) = Y[J(t)]
(propiedad 9).
Por definición,
9'[/(t- T)] = 100
f(t- T)e- st dt = ¡oof(t- T)e- st dt
o+ lr
Haciendo el cambio de variable 0 = t - T,
4.14. Demuestre que 2 [e-ª'.f(t)] = F(s + a), en donde F(s) = .fé' [J(t)] (propiedad 10).
Por definición,
9'[ e-ª'f(t)] = 100
e-ª1
/(t)e- st dt = 100
f(t)e-<s+a)t dt = F(s + a)
o+ o+
4.15. Demuestre que
En donde F 1(s) = 2 [11(1)) y F2(s) = .P [f'z(t)] (propiedad 11).
Por definición,
Pero
1 ¡c+joo
f1(t)=-. F¡(w)e"''dw
2'1TJ c-joo
En consecuencia
1 loofc+joo
9'[/1(t)Ji( t)] = -
2
. . F¡ ( w) e"'' dwfi( t) e-,, dt
'TTJ o+ c-Joo
Intercambiando el orden de las integraciones se produce](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-139-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 129
Puesto que f0
~f2 (t)e-<•-w)t dt = fi(s - w)',
1 Jc+joo
2[fi(t)/2 (t)] = :;-: F1(w)fi(s-w) dw
;.'ITJ c-joo
4.16. Demuestre que
en donde / 1(t) = ,::e-t [F1(s)] y fz(t) = 2-1
[F2(s)] (propiedad 12).
Por definición,
Pero F¡(s) = /¡~ f 1(r)e-,r dr. Por tanto
Intercambiando el orden de las integraciones se produce
Puesto que
1 re+joo
::-:-; . . Fi(S) e•(t-T) <Ís =!2((- T)
· 100
en donde la segunda igualdad es verdadera puesto que fi(t - r) = O par. r 2: t.
4.17. Demuestre que
ro Y _ iyí ) " i· 1-k k
[
di ] i-1
,,z, - . - s , s - ¿_, s Yo
dt' k=O
para i > O, en donde Y(s) = Je [y(t)] y y; = (dk y!dl)l,~o +
Este resultado puede demostrarse por inducción matemática. Para i = 1, ·
2(!]=sY(s)-y(O') =sY(s)-·Y<i](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-140-320.jpg)
![130 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
como se demostró en el problema 4.7. Ahora, suponemos que este resultado también es válido para
i = n - I, es decir
Entonces .!t' [d" yldt" se puede escribir como
(
n-2 ) n-1
n-ly( ) '' n-2-k k n-1 _ ny( ) _ '' Sn-1-k,,k
= s s s - ,t., s Yo - Yo - s s ,t., .ro
k=O k=O
Para el caso especial en que n = 2, tenemos .!t'[d2
y/dt1
]=s
2
Y(s)-syi-yJ.
Transformadas de Laplace y sus inversas a partir de la tabla de pares de transformadas
4.18. Encuentre la transformada de Laplace def(t) = 2e-t coslOt - t4
+ 6e-<t-io¡ para t > O.
De la tabla de pares de transformadas,
s+l
2 [ e 'cos lOt] = 2
(s + 1) + 102
Utilizando la propiedad 9, .!t'[e-u-io¡] = e- 1
º"/(s + 1). Utilizando la propiedad 1,
2(s + 1) 24 6e- 10
'
2[/(r)] =22[e-'cosl0t]-.!t'[t4 ] +6.!t'[e-<1
-
1ºJJ = ~ - - - - - + - -
s2 + 2s + 101 s5
s + 1
4.19. Encuentre la inversa de la transformada de Laplace de
para t > O.
2
S
2
- 6s + 13
2e-0.5s
F(s)= s2-6s+
2
( s - 3)
2
+ 22
s-1
s2
- 2s + 2
s-1 s-1
s2-2s+2 (s-1)2+1
Las inversas de las transformadas se determinan directamente de la tabla 4.1, así
2
1
[
1
, ] =e
3
'sen2t
(s-3)-+22
2- 1
- - - - - = e' cos t
[
s -1 ]
(s-1)
2
+1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-141-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z
Utilizando la propiedad 9, y luego la propiedad 2, el resultado es
f(t)={-e
1
cost
e3u-o S) sen2( t - 0.5) - e' cos t
O< t ~ 0.5
t> 0.5
131
Transformadas de Laplace de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
4.20. Determine la transformada de la salida Y(s) para la ecuación diferencial
d 3
y d 2
y dy d 2
u
-+3---+6y=--u
dt 3
dt 2
dt dt2
en donde y la salida, u la entrada y las condiciones iniciales son
dy 1
y(o+)=- =O
dt t=O+
Utilizando la propiedad 3 o el resultado del problema 4.17, las transformadas de Laplace de los
términos de la ecuación son como siguen:
[d2
u] du 1
2 - 2
= s2
U(s) -su(o+) - -
dt dt t=O+
en donde Y(s) = !t [y(t)] y U(s) = .;i' [u(t)J. la transformada de Laplace de la ecuación dada puede
escribirse ahora como
2[ ::: ] +32[ ::: ]-2[ !]+62[y]
= s3
Y( s) - 1 + 3s2
Y( s) - sY( s) + 6Y( s)
=2[d
2
:]-2[u] =s2
U(s)-su(o+)- dul - U(s)
dt dt ,-o+
Resolviendo para Y(s), obtenemos
(s2
- l)U(s)
Y(s)=-s3
~+-3s~
2-_-s_+_6
su(o+) + du 1 1
dt ,-o+
------- + --,-------
s3 + 3s2
- s +6 s3+ 3s2
- s +6](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-142-320.jpg)
![132 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.2L ¿Qué parte de la solución del problema 4.20 es la transformada de la respuesta libre? ¿La
respuesta forzada?
La transformada de la respuesta libre Ya(s) es aquella parte de la transformada de salida Y(s) que
no depende de la entrada u(t), de sus derivadas o de su transformada; es decir,
1
Y,, (s) = -s3
_+_3_s_
2 ___
s_+_6
La transformada de la respuesta forzada Yis) es aquella parte de Y(s) que depende de u(t), de su
derivada y de su transformada; es decir,
(s2 -l)U(s)
Y,,(s) = -s-
2 _+_3_s_
2 ---s-+-6
s3 + 3,s-2
- s +6
4.22. ¿Cuál es el polinomio característico para la ecuación diferencial de los problemas 4.20 y
4.21?
El polinomio característico es el denominador polinomial que es común a las transformadas de
las respuestas libre y forzada (véase el problema 4.21), es decir, el polinomio s3
+ 3s2
- s + 6.
4.23 Determine la transformada de la salida Y(s) del sistema del problema 4.20 para una entrada
u(t) = 5 sen t.
De la tabla 4.1, U(s) =.!t' [u(t)] = .!t'l[5 ·sen t] = 5!(s2
+ 1).
Los valores iniciales de u(t) y du!dt son u(O+) = lim,_ 0
5 sen t = O, (du/dt)l,-o+ = lim ,-o
5 cos t = 5.
Sustituyendo estos valores en la transformada de la salida Y(s) dada en el problema 4.20.
s2
- 9
Y(s) = - - - - - - -
( s3
+ 3s2
- s + 6)(s2
+ 1)
Expansiones en fracciones parciales
4.24. Una función racional F(s) puede representarse por
n
F(s) =
L b¡s; r n,
i=O ~ ~ C¡k
r = bn + l.., l.., k
n(s +P;r' . i=l k=l (s +P;)
i=l
( 4.10a)
en donde la segunda forma es la expansión en fracciones parciales de F(s). Demuestre que
las constantes c;k están dadas por](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-143-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 133
( 4.10b)
s= -p¡
Sea (s + p;) el factor de interés y de forma
Esta puede escribirse de nuevo como
Ahora
Nótese que los tres primeros términos del lado derecho de (s + p)n1 F(s) tendrán el factor s + pj en
el numerador aún después de derivarlos nj - l veces (l = 1,2,... , n) de modo que se hacen cero
cuando se evalúan en s = -pj. Entonces
Excepto por el término en la sumatoria para el que k = l, todos los demás son cero puesto que
contienen a (s + p) como factor. Entonces
d"1-I 1
ds"1
_,[(s+p1)
111
F(s)] s=-pJ =(n1 -!)(n1 -t-1) .. ,(l)cJ/
o l d"1-
1
1
C¡1= (ni-/)! dsn,-1[(s+pJ)"íF(s)] s=-p1
4.25. Expanda Y(s), del ejemplo 4.17, en fracciones parciales.
Y(s) puede escribirse de nuevo con el denominador polinomial en forma factorizada como](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-144-320.jpg)
![134 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
-(s2
+s-1)
Y( s) = -s(-s-+-1)-(s_+_2_)
La expansión en fracciones parciales de Y(s) es [véase la ecuación (4.//)J
en donde b3 = O,
-(s
2
+s-l)I
Cu=(s+l)(s+2) .,-o
Así
1
2
C11 C21 C31
Y( s) = b3 + - + -- + --
s s+l s+2
-(s2+s-l)I =-1
C21 = s(s + 2)
s- -1
1 1 1
Y( s) = 2s - s + 1 - 2( s + 2)
-(s
2
+s-l)I
c31 = s(s+l)
4.26. Expanda Y(s), del ejemplo 4.19, en fracciones parciales.
1
= --
2
s- -2
Y(s) puede escribirse nuevamente con el denominador polinomial en forma factorizada como
s2
+9s+l9
Y(s)-------
- (s+l)(s+2)(s+4)
La expansión de Y(s) en fracciones parciales es fvéase la ecuación (4.//)J
C¡¡ Cz¡ C3¡
Y( s) = b + -- + -- + --
3 s+l s+2 s+4
en donde b3 = O,
s
2
+ 9s +19 1 11
C¡¡ = {s+2)(s+4) ,--l =3
s
2
+9s+l9 I
C2¡ = (s+ l}(s+4) s---2
s
2
+ 9s + 19 1 1
c31 =(s+l)(s+2) ,__
4
6
11 5 1
Así
Y(s)= 3(s+l) - 2(s+2) - 6(s+4)
5
2
Inversas de las transformadas de Laplace utilizando expansiones en fracciones parciales
4.27. Determine y(t) para el sistema del ejemplo 4.17.
Del resultado del problema 4.25, la transformada de y(t) puede escribirse como
1 1 1
9'[y(t)] = Y(s) = 2s - -s+-1 - -2(-s+_2_)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-145-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA 135
En consecuencia
y( t) = ~2-1
[~]-2-1
[ -
1
-]- ~2-1
[ -
1
-] = ~[1- 2e-, - e- 21
] t > O
2 s s+l 2 s+2 2
4.28. Determine y(t) para el sistema del ejemplo 4. 19.
Del resultado del problema 4.26, la transformada de y(t) puede escribirse como
11
2[y(t)] = Y(s) = ( )
3 s + 1
5 1
2(s + 2) 6(s + 4)
En consecuencia 11 5 1
y(t) = -e-, - -e- 21 - -e-4'
3 2 6
Raíces de los polinomios
4.29. Encuentre una aproximación de una raíz real de la ecuación polinomial
con una exactitud de tres cifras significativas utilizando el método de Horner.
Mediante la regla de los signos, de Descartes, Q3(s) tiene tres variaciones en los signos de sus
coeficientes (1 a -3, -3 a 4 y 4 a -5). Entonces puede haber tres raíces reales positivas. QJ(-s)
= -s3
- 3s2
- 4s - 5 no tiene cambios de signo; en consecuencia QJ(s) no tiene raíces reales
negativas y sólo se necesita considerar los valores de s mayores que cero.
Paso I - Tenemos Q3(0) = - 5, QJ( 1) = - 3, Q3(2) = -1, Q3(3) = 7. En consecuencia ko = 2 y
la primera aproximación es s0 = k0 = 2.
Paso 2 - Se determina que Q1(s) es
Q1( s) = Q~(2 + s) = (2 + s)
3
- 3(2 + s)2 + 4(2 + s) - 5 = s3
+ 3s2
+ 4s - 1
Paso3-Ql(O) = -I,Q1(ib) = -0.569,Q~(fu) = -0.072,Q~(fo) = 0.497. Dedondek1 = 0.2y
s, = ko + k, = 2.2.
Ahora se repite el paso 2 para determinar Qf(s):
Q?( s) = Q1(0.2 + s) = (0.2 + s)
3
+ 3(0.2 + s)
2
+ 4(0.2 + s) -1 = s3
+ 3.6s2
+ 5.32s - 0.072
Repitiendo el paso 3: Qj(O) = -0.072, Qj(l/100) = -0.ü18,Q~(2/100) = 0.036. De donde k2
= 0.01 y s2= ko + k1 + k2 = 2.21 que es una aproximación de la raíz con una exactitud de tres cifras
significativas.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-146-320.jpg)
![136 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.30. Encuentre una aproximación de una raíz real de la ecuación polinomial dada en el proble-
ma 4.29, utilizando el método de Newton. Efectúe cuatro iteraciones y compare el resulta-
do con la solución obtenida en el problema 4.29.
La secuencia de aproximaciones se define haciendon = 3, a3 = 1, a2 = -3, a 1 = 4yao:,; -5 en la
relación recursiva del método de Newton [ecuación (4. J5)]. El resultado es
2s¡ - 3sl + 5
s -
i+
1
- 3sl - 6s1
+ 4
/= 0,1,2, ...
Digamos que la primera suposición es s0 = O. Entonces
5
s, = - = 125
4 .
2(3.55)
3
- 3(3.55)
2
+ 5
s =--------=2.76
3
3(3.55)2 - 6(3.55) + 4
2(1.25)3 - 3(1.25)
2
+ 5
s, = -------- = 3.55
- 3(1.25)2 - 6(1.25) +4
2(2.76)
3
- 3(2.76)2 + 5
s = -------- = 2.35
4
3(2.76)2- 6(2.76) + 4
La siguiente iteración produce s5 2.22, y la secuencia converge.
4.31. Encuentre una aproximación de un factor cuadrático del polinomio
Q3(s) =s3
- 3s2 + 4s - 5
de los problemas 4.29 y 4.30, utilizando el método de Lin-Bairstow. Realice dos iteracio-
nes.
Paso J - Escoja el factor s1
- s + 2 como primera aproximación.
Las constantes necesarias en el paso 2 son
ª• =-1,ao=2,n=3,a3= l,a2= -3,a, =4,ao= -5.
Paso 2 - De la relación recursiva
i = n, n - 1,... , 1, O, se forman las siguientes constantes:
b¡ =03 = 1
b_¡ =O¡+ b0 - lb¡= 0
Paso 3 - De la relación recursiva
bo = ª2 + b¡ = - 2
'b_ 2 =a0 +b_ 1 -2/,¡¡= -1
C¡-¡ = b;-¡ - tX¡C¡ - IXQC;+¡
i = n, n - 1,... , 1, se determinan las siguientes constantes:
C¡ = b¡ = 1 Co = /,¡¡ +C¡ = - 1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-147-320.jpg)
![138 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
eje jw
polo triple
eje a
-6 5 10
Figura 4-5
4.34. Utilizando la técnica gráfica evalúe los residuos de la función
20
F(s) = -(s_+_I_O_)(_s_+_I_+_j_)(_s_+_I___
j_)
En la figura 4-6 se muestra el diagrama de polos y ceros de F(s).
eje jw
j
2.0
-10/ ---¡;-B--.t.__----.:_jU~.~~
r---__ -6°20' ~
9.07 ---___¡ -j
eje "
Figura 4-6
En este diagrama de polos y ceros se incluyen los vectores de desplazamiento entre los polos.
Por ejemplo, A es el vector de desplazamiento del polos = -10 en relación con el polos= -1 +j.
Entonces, resulta claro que -A es el vectorde desplazamiento del polos= -1 +j en relación con el
polos = -10.
La magnitud del residuo en el polo s - 1O es
20 20
lcd = IA IIBI = (9.07)(9.07) = 0
·
243
El ángulo </J1 del residuo en s = -10 es el negativo de la suma de los ángulos de A y B, esto es,.efJ1
-[186°20' + 173°40'] = -360º. En consecuencia c1 = 0.243.
La magnitud del residuo en el polo s = - I + j es
20 20
lc2I = 1-AI ICI = (9.07)(2) = 1.102
El ángulo efJ2 del residuo en el polos= -1 +j es el negativo de la suma de los ángulos de -A y C:
'P2 = -[6º20' + 90º] = -96°20'. Por tanto c2 = 1.102/-96°20' = -0.128 -jl.095.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-149-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z l39
La magnitud del residuo en el polo s = - 1 - j es
20
---=1.102
(9.07)(2)
El ángulo </>3 del residuo en el polos= -1 -j es el negativo de la suma de los ángulos de -By -C:
</>3 = -[-90º -6º20'] = 96º20'. En consecuencia c3 = 1.102 /96º20'= -0.128 + jl.095.
Nótese que los residuos c2 y c3 de los polos en conjugada compleja también son conjugadas
complejas. Esto siempre es cierto para los residuos de polos en conjugada compleja.
Sistemas de segundo orden
4.35. Determine: a) la frecuencia natural no amortiguada wn, b) la razón de amortiguación(,
e) la constante de tiempo r, d) la frecuencia natural amortiguada (J)d, y e) la ecuación
característica para el sistema de segundo orden dado por
d 2
y dy
- +5- +9y=9u
dt2
dt
Comparando esta ecuación con las definiciones de la sección 4.13, tenemos
1 2
a) w~=9 o w,.=3 rad/s e) T= - = -s
fw,. 5
e) s2
+ Ss + 9 = O
5 5
wd = w)l - r2 = 1.66
b) 2fw = 5 o r= - = - d) rad/s
" 2w,. 6
4.36. ¿Cómo y por qué el siguiente sistema puede aproximarse a uno de segundo orden?
d 3
y d 2
y dy
- 3 +12-
2 +22-+20y=20u
dt dt dt
Cuando las condiciones iniciales sobre y(t) y sus derivadas son cero, la transformada de la
salida es
20
.!'i'[y(t)] = Y(s) = -----U(s)
s3
+ 12s2
+ 22s + 20
en donde U(s) = .[i'[u(t)]. Esta puede escribirse de nuevo como
Ys =- - - - Us +-
10 ( 1 s ) 80 ( U( s) )
( ) 41 s + 10 s2 + 2s + 2 ( ) 41 s2 + 2s + 2
El factor constante W
del segundo término es 8 veces el factor constante del primer término. La
salida y(t) estará dominada por la función de tiempo](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-150-320.jpg)
![140 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
80!f'_ 1 [ U( s) ]
41 s2
+ 2s + 2
La transformada de la salida Y(s) puede aproximarse por este segundo término; esto es,
80 ( U( s) ) ( 2 .)
Y( s) "" 41 s2 + 2s + 2 ""' s2 + 2s + 2 U( s)
La aproximación de segundo orden es d2
y!di2 + 2(dyldt) + 2y = 2u.
4.37. En el Capítulo 6 se mostrará que la salida y(t) de un sistema causal lineal invariante en el
tiempo con todas las condiciones iniciales iguales a cero, está relacionada con la entrada
u(t) en el dominio dela transformada de Laplace mediante la ecuación Y(s) = P(s)U(s), en
donde P(s) se llamafunción de transferéncia del sistema. Demuestre que p(t), la transfor-
mada inversa de Laplace de P(s), es igual a lafunción de ponderación w(t) de un sistema
descrito por la ecuación diferencial con coeficientes constantes
La respuesta forzada de un sistema descrito por la ecuación anterior está dada por la ecuación
(3. I 5), con todos los b; = O excepto b0 = 1:
y( t) =11
w( t - 'T) u( 'T) d'T
o+
y w(t - T) es la función de ponderación de la ecuación diferencial.
La inversa de la transformada de Laplace de Y(s) = P(s)U(s) se determina fácilmente, a partir de
la integral de convolución de la propiedad 12, como
En consecuencia
Problemas misceláneos
4.38. Para la red R-C de la figura 4-7:.
a) Encuentre una ecuación diferencial que relacione el voltaje de salida y el de emradau
b) Haga que el voltaje inicial en el capacitor C sea vc0 = 1voltio, con la polaridad como
se muestra en la figura, y haga u = 2e- 1
• Utilizando la técnica de transformada de
Laplace encuentre y.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-151-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z
C=l
..---·H•---r-----o+
+
~
de entrada
Figura 4-7
a) De la ley del voltaje de Kirchhoff.
R=l y
l 11 11
u=vc0 +- idt+Ri=vc0 + idt+i
e o o
141
Pero y = Ri = i. En consecuencia u = v,-0 + JJ y dt + y. Deri~ando ambos lados de esta
ecuación integral se obtiene la ecuación diferencial y + y = u.
b) La transformada de Laplace de la ecuación diferencial encontrada en la parte a) es
sY(s) -y(O+) + Y(s) =sU(s) - u(o+)
en donde U(s) = !l' [2e-'] = 2/(s + 1) y u(O+) = lim 2e-' = 2. Para hallar y(O+ ), se toman
1-0
los límites a ambos lados de la ecuación original de voltaje:
u(O+)= limu(t)= lim[v,.0 +1dt+y(t)] =v,.0 +y(o+)
1-0 1-0 O
En consecuencia y(O+) = u(O +) - v,,o = 2 - 1 1. La transformada de y(t) entonces es
2s 1 2 2 1 2 1
Y( s) = - - - - - = - , + --- - - = - , + -
(s+l)2
s+l (s+l)" s+l s+l (s+lf s+l
Finalmente,
y(t) =!l'-1[- 2 ] +!l'-1[_1_]=-2te-1 +
e-1
(s+l}2 s+l
4.39. Determine la transformada de Laplace de la salida del muestreador ideal descrito en el
problema 3.5.
De la definición 4. 1 y de la ecuación (3 .20), la propiedad de muestreo del impulso unitario,
tenemos
100 100 00
U*(s) = e-stu*(t) dt= e-SIL u(t) 8(t- kT) dt
o+ o+ k=O
00 OO 00
= L 1 e- s'u(t)8(t-kT)dt= L e-skTu(kT)
k=O o+ k-0](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-152-320.jpg)
![142 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
4.40. Compare el resultado del problema 4.39 con la transformada z de la señal muestreada
u(kD, k = O, 1, 2, ...
Por definición la transformada z de la señal muestreada es
00
U(z) = L u(kT)z-k
k=O
Este resultado se pudo haber obtenido directamente sustituyendo z = e'Ten el resultado del proble-
ma 4.39.
4.41. Pruebe el teorema del desplazamiento (propiedad 6, sección 4.9).
Por definición,
00
Z{f(k)}=F(z)= ¿f(k)z-k
k-0
Si definimos una nueva secuencia desplazada por g(O) =f( - 1) = Oy g(k) =f(k - 1), k = 1, 2, ... ,
entonces
00 00 00
Z{g(k)} = L g(k)z-k= L g(J)z-1= ¿J(J-l)z-J
k=O J=O J-0
(véase el comentario I que sigue a la definición 4.4). Ahora redefinamos a k como k =j - 1en la
última ecuación. Entonces
00 00
Z{f(k-1)} = L J(k)z-k-I=z- 1
¿ J(k)z-k
k=-1 k=-1
00
=z- 1
/(-l)z+ 1 +z-1 ¿f(k)z-k
k-0
00
=zº·O+z-1
L J(k)z-k=z- 1
F(z)
k-0
Nótese que la aplicación repetida de este resultado da
Z[f(k-J)] = z-1F(z)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-153-320.jpg)
![LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 143
Problemas suplementarios
4.42. Demuestre que 2 [ -ef(t)] = dF(s)lds, en donde F(s) = ,P lftt)].
4.43. Utilizando la imegral de convolución encuentre la inversa de la transformada de 1/s(s) + 2).
4.44. Determine el valor final de la función j(t) cuya transformada de Laplace es
2(s + 1)
F(s) = 2
s(s + 3)(s + 5)
4.45. Determine el valor inicial de la función f(t) cuya transformada de Laplace es
4s
F(s) = -s3
_+_2-s2
-+-9s_+_6
4.46. Encuentre la expansión en fracciones parciales de la función F(s) = IO!(s + 4)(s + 2)3 •
4.47. Encuentre la inversa de la transformada de Laplacef(t) de la función F(s) = 10/(s) + 4)(s + 2)3
•
4.48. Resuelva el problema 3.24 utilizando la técnica de la transformada de Laplace.
4.49. Utilizando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta forzada de la ecuación
diferencial
d2
y dy du
-+4-+4y=3- +2u
dt2
dt dt
en donde u(t) = e-3
•, t > O. Compare esta solución con la obtenida en el problema 3.26.
4.50. Usando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre las respuestas transiente y en estado
estacionario del sistema descrito por la ecuación diferencial d2yldf + 3(dy!dt) + 2y = 1 con las
condiciones iniciales y(O+) y (dy!dt)l,~o+ = 1
4.51. Usando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta de impulso unitario del
sistema descrito por la ecuación diferencial d3
y!dt3
+ dy!dt = u.
4.43.
4.44.
Respuestas a algunos problemas suplementarios
.1..
75](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-154-320.jpg)
![148 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
determinantes formados a partir de los coeficientes de la ecuación característica. Se supone que el
primer coeficiente, am es positivo. Los determinantes D..;, i = 1,2, ... , n•- 1 se forman como los
menores principales del determinante
ªn-1 ªn-3
[ a 0 si. n es impar]
o o
a1 s1 n es par
D..11=
an ªn-2
[ a1 si_n es impar ]
o o
a0 s1 n es par
o
o
ªn-1 ªn-3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Ü
ª11-2 · · · · · · · · · · · · · · · · ········O
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
'o ..................................... ªº
Entonces los determinantes se forman como sigue:
d¡ =a11-I
D..i=lªn-1
ª"
ªn-1 ªn-3 ªn-5
D..3 = ª 11 ª 11 - 2 ªn- 4 = ªn-lªn-2ªn--3 + anan-lªn-5 - ana~-3 - ªn-4ª~-.I
O ª11-l ªn-3
y así sucesivamente hasta Ll,, _ 1•
El criterio de Hurwitz: Todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales
negativas si y solo si D..;> O, i = 1, 2, ... , n.
EJEMPLO 5.5. Para n = 3,
~ 1' =ª2ª1ª0 - a5a3,
ªº
Entonces todas las raíces de la ecuación característica tendrán partes reales negativas si
5.5 Criterio de estabilidad de fracciones continuas
Este criterio se aplica a la ecuación característica de un sistema continuo, formando una frac-
ción continua a partir de las porciones impares y pares de la ecuación, de la siguiente manera.
Hacemos](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-159-320.jpg)
![158 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Puesto que todos los coeficientes des son positivos, el polinomio tiene todas sus raíces en la mitad
izquierda del plano, y el sistema con la ecuación característica Q(s) = O es estable.
5.19. Determine los límites sobre el parámetro K para los cuales el sistema con la siguiente
ecuación característica es estable:
s3
+ 14s2
+ 56s + K = O
Q1(s) s3+56s 1 (56-K/14)s 1 1
Q2(s)=l4s 2 +K=l4s+ 14s2 +K =14s+[ i4 ] 1
56 - K/14 s + [ 56 - :/14] s
Para que el sistema sea estable, deben satisfacerse las siguientes condiciones: 56 - K/14' > O
y K > O, es decir, O < K < 784.
5.20. Derive las condiciones para las cuales todas las raíces de un polinomio general de tercer
orden tienen partes reales negativas.
Para Q(s) = a3s3+ a2s2 + a1s + a0 ,
Q1(s) a3s3+a1s a3 [a1 - a3a0/a2]s a3 1
Q2 ( s) = a2s2 + ªo = ª2 s + a2s2 + ªo = ª2 s +
[ ª1 - :32ao/ª2 ]s + _ª_1___
a_31a_o_/..,..a-2"].-s.
ªº
Las condiciones para que todas las raíces de Q(s) tengan partes reales negativas son
ª2
----->O
ª1 - a3ao/a2
ª1 - a3ao/a2
----->O
ªº
Así, si a3 es positivo, las condiciones necesarias son a2, a 1, a0 > Oy a 1a2 - a3a0 >O.Nótese que si
a3 no es positivo, Q(s) debe multiplicarse por -1 antes de verificar las condiciones anteriores.
5.21. ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica?
s4
+ 4s3
+ 8s2
+ 16s + 32 = O
Q1(s) s4
+ 8s2
+ 32 1 4s2+ 32
Qi( s) = -4-s.,...
3 _+_1_6_s_ = 4s + -4-s3
,-+-16-s
1 1
= ¡s+ -16s
s+---
4s2 +32
1 1
= ¡s+ ----l---
s + --1---1-
--s+--
4 -½s](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-169-320.jpg)
![Capítulo 6
Funciones de transferencia
6.1 Definición de función de transferencia de un sistema continuo
Como se mostró en los Capítulos 3 y 4, la respuesta de un sistema lineal invariable en el
tiempo puede separarse en dos partes: la respuesta forzada y la respuesta libre. Esto es cierto para
los sistemas continuos y para los discretos. Consideremos primero las funciones de transferencia
continuas únicamente para sistemas de una sola entrada y una sola salida. La ecuación (4.8) ilustra
con claridad esta división para la más general de las ecuaciones difere'!ciales lineales ordinarias
con coeficientes constantes. La respuesta forzada incluye términos debidos a los valores iniciales
u~ de la entrada, y la respuesta libre depende únicamente efe las condiciones iniciales y;de la
salida. Si se mezclan los términos debidos a todos los valores iniciales, es decir, a u~ y a y;, la
ecuación (4.8) puede escribirse como
y(t) ~: .:r-1
[(,.~ob;s;/,.~-n
0
a;s;)u(s) + (los términos debidos a todos los valores ]
iniciales u~, y;)
o, en notación de la transformada, como
La función de transferencia P(s) de un sistema continuo se define como aquel factor en la ecua-
ción de Y(s) que multiplica la transformada de la entrada U(s). Para el sistema descrito antes, la
función de transferencia es
el denominador es el polinomio característico, y la transformada de la respuesta puede escribirse
nuevamente como
Y( s) = P(s) U( s) + (los términos debidos a todos los valores
iniciales u~, y;)
Si la cantidad (los términos debidos a todos los valores iniciales u~, y;) es cero, la transforma-
da de Laplace de la salida Y(s) en respuesta a una entrada U(s) está dada por
Y(s) = P(s )U(s)
163](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-174-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRAN::;FERENCIA 165
6. Si la función de transferencia del sistema no tiene polos o ceros con partes reales positi-
vas, el sistema es uno de fase mínima.
EJEMPLO 6.1. Considere el sistema con la ecuación diferencial dy!dt + 2y = du/dt + u.
La versión en transformada de Laplace de esta ecuación con todos sus valores iniciales iguales a cero es
(s + 2)Y(s) = (s + 1)U(s).
Entonces, la función de transferencia del sistema .está dada por P(s) = Y(s)/U(s) = (s + 1)/(s + 2).
EJEMPLO 6.2. Si P(s) = (2s + 1)/(s2
+ s + 1), la ecuación diferencial del sistema es
[
2D +1 ]
y= D2 + D+ 1 u
o D2
y + Dy +y= 2Du +u o
d 2
y dy du
-+-+y=2-+u
dt2
dt dt
EJEMPLO 6.3. La función de transferencia P(s) = K(s + a)l(s + b)(s + e) puede especificarse dando la
localización del cero -a, las localizaciones de los polos -b y -e, y el factor de ganancia k.
6.3 Funciones de transferencia de compensadores y controladores de sistemas de control
continuo
A continuación se presentan las funciones de transferencia de cuatro componentes comunes
de los sistemas de control. En los problemas resueltos se presentan las mecanizaciones típicas de
tres de estas funciones de control utilizando redes P-C.
EJEMPLO 6.4. La función de transferencia general de un compensador por adelanto de un sistema
continuo es
s+a
PAdelanto(S) =
s+b
b>a ( 6.2)
Este compensador tiene un cero en s = -a y un polo en s = -b.
EJEMPLO 6.5. La función de transferencia general de un compensador por atraso de un sistema conti-
nuo es
PAtraso(s)
a(s+b)
b(s + a)
b>a ( 6.3)
Sin embargo, en este caso el cero está en s = -by el polo en s = -a. Se incluye el factor de ganancia alb
porque usualmente se mecaniza de este modo (problema 6.13).
EJEMPLO 6.6. La función de transferencia general de un compensador por atraso-adelanto de un
sistema continuo es
( 6.4)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-176-320.jpg)
![166 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Este compensador tiene dos ceros y dos polos. Usualmente se impone la restricción a1b2 = b1a2 por conside-
raciones de mecanización (problema 6.14).
EJEMPLO 6.7. La función de transferencia del controlador PID, del ejemplo 2.14, es
(6.5)
Este controlador tiene dos ceros y un polo. Es similar al compensador por atraso-adelanto del ejemplo
anterior, excepto que el polo más pequeño se encuentra en el origen (un integrador) y no tiene el segundo
polo. Típicamente esto se mecaniza en un computador analógico o digital.
6.4 Respuesta de tiempo de sistemas continuos
La transformada de Laplace de la respuesta de un sistema continuo a una entrada específica
está dada por
Y(s) = P(s )U(s)
cuando todas las condiciones iniciales son cero. La transformada inversay(t) = ~ 1
[P(s)U(s)] es
entonces la respuesta de tiempo, y y(t) puede determinarse encontrando los polos de P(s)U(S)
y evaluando los residuos en estos polos (cuando no hay polos múltiples). En consecuencia y(t)
depende tanto de los polos y ceros de la función de transferencia como de los polos y ceros de la
entrada.
Los residuos pueden determinarse gráficamente a partir del diagrama depolos y ceros de Y(s),
construido a partir del mismo diagrama de P(s), simplemente sumando J.os polos y ceros de U(s).
La evaluación gráfica de los residuos puede efectuarse como se describió en el Capítulo 4, sección
4.12.
6.5 Respuesta de frecuencia del sistema continuo
La respuesta en estado estacionario de un sistema continuo a entradas sinusoidales puede
determinarse a partir de la función de transferencia del sistema. Para el caso especial de una
entrada paso de amplitud A, llamada a menudo entrada en e.e., la transformada de Laplace de la
salida en el sistema está dada por
A
Y(s) =P(s)-
s
Si el sistema es estable, la respuesta en estado estacionario es una función paso de amplitud
·AP(O), puesto que éste es el residuo en el polo de la entrada. La amplitud de la señal de entrada se
multiplica entonces porP(O) para determinar la amplitud de la salida. Entonces, P(O) es la ganan-
cia en e.e. del sistema.
Nótese que para un sistema inestable, tal como un integrador (P(s) = 1/s), no siempre existe
una respuesta en estado estacionario. Si la entrada en un integrador es una función paso, la salida
es una rampa, la cual es no acotada (véanse los problemas 5.7 y 5.8). Por esta razón, algunas
veces se dice que los integradores tienen una ganancia en e.e. infinita.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-177-320.jpg)
![168 TEORIA Y PPOBLEMAS flE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 6.9. La respuesta de trecuencia del sistema usualmente se representa mediante dos gráficas
(véase la figura 6-2): una de IP(iw)I en función de w y una de arg P(jw) en función de w. Para la
función de transferencia del ejemplo 6.8, P(s) = 1/(s + l)(s + 2), estas gráficas se determinan fácilmente
representando los valores de IP(iw)I y del arg P(jw) para diferentes valores de w, como se muestra a
continuación.
w o 0.5 1.0 2.0 4.0 8.0
IP(jw)I 0.5 0.433 0.316 0.158 0.054 0.015
argP(jw) o -40.6° -71.6° -108.5° -139.4° -158.9°
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
IPUw)I
-4u0
-so•
-120•
-160°
-200°
o 2 4 6 8 10
o L--.--~~=~==~--....--., arg P(j.,)
o 2 4 6 8 10
Figura 6-2
6.6 Funciones de transferencia, de sistemas discretos en el tiempo, compensadores y
respuestas de tiempo
La función de transferencia P(z) para un sistema discreto en el tiempo se define como el factor
en la ecuación de la transformada de la salida Y(z) que multiplica la transformada de la entrada
U(z). Si todos los térmmos debidos a las condiciones iniciales son cero, entmn.:es la respuesta del
sistema a una entrada U(z) está dada por: Y(z) = P(z)U(z) en el dominio z, y {y(k)} = z-l[P(z)U(z)]
en el dominio del tiempo.
La función de transferencia de un sistema discreto en el tiempo tiene las siguientes propiedades:
1. P(z) es la transformada z de su respuesta delta de Kronecker y8(k), k = O, 1,...
2. La ecuación de diferencia del sistema puede obtenerse a partir de P(z), remplazando la
variable z por el operador de de~plazamiento Z definido para dos enteros cualesquiera k y
n como
zn[y(k)] =y(k+n) (6.6)
3. El denominador de P(z) es el polinomio característico del sistema. En consecuencia, si
todas las raíces del denominador se encuentran dentro del círculo unitario del plano z, el
sistema es estable.
4. Las raíces del denominador de P(z) son los polos del sistema, y las del numerador son sus
ceros. P(z) puede definirse especificando los polos y ceros del sistema y el factor de
ganancia K:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-179-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
K(z + z1)(z + z2 ) • • • (z + zm)
P(z) = _(_z_+_P_1)_(_z_+_P_2)---.·_(_z_+_P_n)-
169
(6.7)
Los polos y ceros del sistema pueden representarse esquemáticamente mediante un dia~
grama de polos y ceros en el plano z. El diagrama de polos y ceros de la respuesta de salida
puede construirse a partir del mismo diagrama de P(z) incluyendo los polos y ceros de la
entrada U(z).
5. El orden del polinomio del denominador de la función de transferencia de un sistema
causal (realizable físicamente) qiscreto en el tiempo debe ser mayor que o igual al orden
del polinomio del numerador.
6. Larespuesta en estado estacionario de un sistema discreto en el tiempo a una entrada paso
unitario se llama ganancia en e.e. y se determina mediante el teorema del valor final
(sección 4.9):
[
z-1 z ]
lim y(k) = lim --P(z)-- =P(l)
k-+oo z-+1 z z-1
( 6.8)
EJEMPLO 6.1 O. Considere un sistema discreto en el tiempo caracterizado por la ecuación de diferencia
y(k + 2) + l.ly(k+ 1) + 0.3y(k) = u(k + 2) + 0.2u(k + 1)
La versión en transformada z de esta ecuación. con todas sus condiciones iniciales iguales a cero, es
( z2 + l.lz + 0.3) Y( z) = (z2
+ 0.2z) U( z)
La función de transferencia está dada por
z(z + 0.2)
P( z) = -z2
_+_1.-lz_+_0_.3
z(z +0.2)
(z + 0.5)(z + 0.6)
Este sistema tiene un cero en -0.2 y dos polos en -0.5 y en -0.6. Puesto que los polos se encuentran dentro
del círculo unitario, el sistema es estable. La ganancia en e.e. es
1(1.2)
P(l) = (1.5)(1.6
) = 0.5
EJEMPLO 6.11. La función de transferencia general de un compensador digital por adelanto es
KAdelanto ( z - zc)
PAdelanto(Z) =
z-pc
(6.9)
Este compensador tiene un cero en z = zc y un polo en z = Pe· Su ganancia en estado estacionario es
KAdelanto(l - zc)
PAdelanto(I) = - - - - - -
1 - p,.
( 6.10)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-180-320.jpg)
![172 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
para la región de convergencia lzl > ecT. Esta relación entre la transformada de Laplace y la
transformada z puede evaluarse mediante la aplicación de la ley de integración de Cauchy [1]. Sin
embargo, en la práctica, usualmente no es necesario utilizar este método de análisis complejo.
La función y(t) = .P-1 [Y(s)] continua en el tiempo puede determinarse a partir de Y(s) y una
tabla de transformadas de Laplace, remplazando luego la variable t por kT, produciendo el k-
ésimo elemento de la secuencia deseada:
Entonces la transformada z de la secuencia y(kT), k = O, 1,2,... , se genera refiriéndose a una tabla
de transformadas z, lo cual produce el resultado deseado:
Y*(z) =Z {y(kT)} = Z {.P-1
[Y(s)]l1
=kT} (6.16)
Así, en la ecuación (6.16), las operaciones simbólicas .P-1 y z representan directamente una
búsqueda en la tabla, y lt=kT genera la secuencia que va a transformarse en z.
En la figura 6.3 se presenta una combinación común de elementos y señales discretos y conti-
1mos en el tiempo
y*(I)
-
Y*(z)
u(t) / __
u_*(_1_)+ y(t)
U(s) U*(z) Y(s)
Figura 6.3
Si el circuito de sostenimiento es de orden cero, la función de transferencia discreta en el
tiempo de U*(z) a Y*(z), como se demuestra en el problema 6.42, está dada por
1:(z) = (1- z-1) Z {.:e-1 P(s) 1 }
U (z) S t=kT
( 6.17)
En la práctica, puede que el muestreador que genera y*(t) en la figura 6-3 no exista en la
salida. Sin embargo, algunas veces es conveniente suponer que existe uno en ese punto para
propósitos de análisis (por ejemplo, véase el problema 10.13). Cuando se hace esto, a menudo
este muestreador se llama muestreador ficticio.
Si la entrada y la salida en un sistema como el que se muestra en la figura 6-3, son señales
continuas en el tiempo, y en seguida se muestrea la entrada, entonces la ecuación (6.17) genera
una función de transferencia discreta en el tiempo, la cual relaciona la entrada en los tiempos de
muestreo T, 2T, ... , con la salida en los mismos tiempos de muestreo. Sin embargo, esta función
no relaciona las señales de entrada y de salida en los tiempos T, entre los tiempos de muestreo,
esto es, para kT < T < (k + l)T, k = O, 1,2,...
EJEMPLO 6.14. En la figura 6-3, si el circuito de sostenimiento es de orden cero y P(s) = 1/(s + 1), a
partir de la ecuación (6.17), la función de transferencia discreta en el tiempo del subsistema de elementos
mezclados es](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-183-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Y*( z) { ( 1 ) 1 }
U*(z) =(l-z-1)z :r1 s(s+l) ,-kT
= (1 - z- 1
) z {~1
( ~ - _l ) 1 }
S S + 1 t-kT
= (1- z-1
) Z { (l(t) - e-')1,-kT}
= (1- z- 1
) Z {l(kT) - e-kT}
= (1 - z- 1
) [ Z {1( kT)} - Z { e-kT}]
=(l-z-1)(-1
1_¡-l ~T-1]
-z -e z
(
z-1)( z )[l-e-T]
= -z- Z- l Z- e-T
Problemas resueltos
Definiciones de funciones de transferencia
173
6.1. ¿Cuál es la función de transferencia en un sistema en el cual la entrada y la salida están
relacionadas mediante la siguiente ecuación diferencial?
d 2
y dy du
- 2 +3-+2y=u+-
dt dt dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, ignorando los términos debidos a las
condiciones iniciales, obtenemos
s2
Y(s) + 3sY( s) + 2Y( s) = U( s) + sU( s)
Esta ecuación puede escribirse como
[
s + 1 ]
Y(s) = 2
U(s)
s + 3s + 2
La función de transferencia de este sistema está dada entonces por
s+l
P(s)----
- s2
+ 3s + 2](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-184-320.jpg)
![176 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
6.11. Determine la función de transferencia de un sistema con un factor de ganancia de 3 y el
diagrama de polos y ceros que se muestra en la figura 6-5.
La función de transferencia tiene ceros en -2 ±j y polos en -3 y en -1 ±j. Entonces esta
función es P(s) = 3(s + 2+j)(s + 2-j)/(s + 3)(s + 1 +J)(s + 1-J).
Funciones de transferencia de componentes de sistemas de control continuos
6.12. En la figura 6-6 se muestra una red R-C como mecanización de un compensador por ade-
lanto. Encuentre su función de transferencia.
+ +
V¡
e
Figura 6-6
Suponiendo que el circuito no está cargado, es decir, que no fluye corriente a través de sus
terminales de salida, la ley de corriente de Kirchhoff para el nodo de salida produce
La transformada de LapliicC de esta ecuación (con condiciones iniciales cero) es
1 1
Cs[V¡(s)- Vo(s)] + -[V;(s)- V¡¡(s}] = -R Vo(s)
R1 2
La función de transferencia es
Vo(s) Cs+l/R1 s+a
p - - - - - - - - - - -
Adelanto - V¡(s) - Cs+l/R¡+l/R2 s+b
endondea=l/R1C y b=l/R1C+l/R 2C.
6.13. Determine la función de transferencia de la red R-C como mecanización del compensador
por atraso que se muestra en la figura 6-7.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-187-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 181
en donde
3(2 +1)(2-j) 5
R =------
1 3(1 +J)(l - J) 2
3(1)(1- 2J} -3
R3 = (-1-j){2-J)(-2J) =20(?+j)
3(-l+J)(-1-J) -2
R2=--------=-
- 3( -2 +J)( -2 - J) 5
3(1 + 2J)(l) -3
R4 = (2+J)(-l+j){2j) =20(?-j)
Evaluando la transformada inversa de Laplace,
5 2 3/2 . . 5 2 3/i
y= - - -e-31_ --e-'[e-1<1+B>+e1<1+8>] = - - -e-3,_ --e-'cos(t+8)
2 5 4 2 5 2
en donde 8= -tan- 1
(½]= -8.13º.
Respuesta de frecuencia de sistemas continuos
6.20. Demuestre que la salida en estado estacionario en un sistema estable con función de trans-
ferencia P(s) y entrada u = Asenwt está dada por
YEE = A IP (Jw }lsen( wt + q>) en donde q> = arg P (Jw)
La transformada de Laplace de la salida es Y(s) = P(s)U(s) = P(s)[Aw/(s2
+ w2
)).
Cuando esta transformada se expande en fracciones parciales, habrá términos debidos a los
polos de P(s) y dos términos debidos a los polos de la entrada (s = ±jw). Puesto que el sistema es
estable, todas las funciones de tiempo resultantes de los polos de P(s) tienden a cero cuando el
tiempo tiende a infinito. Así, la salida en estado estacionario contiene únicamente las funciones de
tiempo que resultan de los términos en la expansión en fracciones parciales debidas a los polos de la
entrada. La transformada de Laplace de la salida en estado estacionario es entonces
AP(Jw) AP( - jw)
Y (s) = ---- + - - - -
EE 2j(s - jw) -2J(s +jw)
La transformada inversa de esta ecuación es
6.21. Encuentre la ganancia en e.e. de cada uno de los sistemas representados por las siguientes
funciones de transferencia:
a)
1
P(s)=-
s+l
b}
10
P(s)-----
- (s+l)(s+2)
e)
(s + 8)
P(s)= (s+2)(s+·4)
La ganancia en e.e. estád~da porP(O). Entonces a) P(O) = 1, b) P(O) = 5 e) P(O) = l.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-192-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 185
Resolviendo estas ecuaciones simultáneas para la función de transferencia entre V y 0, tenemos
0 K, K,/JL
V= (Js 2
+Bs)(Ls+R)+K,K1s = s[s2
+(B/J+R/L)s+BR/JL+K,K1/JL]
6.29. La f.e.m. generada por el circuito de la armadura de una máquina de e.e. es proporciona_! a
la velocidad angular del eje, como se anotó en el problema anterior. Este principio se
utiliza en el tacómetro de e.e. cuyo esquema se muestra en la figura 6-14, en donde la
armadura v1, genera el voltaje v1,, tiene inductancia L y resistencia Ra, y v0 es el voltaje de
salida. Si K1es la constante de proporcionalidad entre v1, y la velocidad d0!dt del eje, esto es,
V¡,= K1(d0/dt), determine la función de transferencia entre la posición 0 del eje y el voltaje
de salida Vi,. La carga de salida está representada por una resistencia RL y RL + R" = R.
+
Figura 6-14
La ecuación transformada de Laplace que representa el tacómetro es l(R + sL) = KpE>. El
voltaje de salida está dado por
Entonces, la función de transferencia del tacómetro de e.e. es
J-ó = RLK¡( s )
0 L s+R/L
6.30. En la figura 6-15 se muestra un acelerómetro mecánico simple. La posición y de la masaM
con respecto a la caja del acelerómetro es proporcional a la aceleración de la caja. ¿Cuáles
la función de transferencia entre la aceleración de entrada A (a = d2
x!dt
2
) y la salida Y?
>----- x = posición de la caja
caja
Figura 6-15](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-196-320.jpg)
![188 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La ecuación diferencial transformada del sistema con condición inicial cero es
La función de transferencia deseada es
8 1 1/J
T Js2
-NL s2
-NL/J
Nótese que si NL es positivo (centro de presión adelantado con respecto al centro de gravedad del
vehículo), el sistema es inestable porque hay un polo en la mitad derecha del plano en s = VNUJ.
Si NL es negativo, los polos son imaginarios y el sistema es oscilante (estable marginalmente). Sin
embargo, en la realidad se encuentran presentes los términos de amortiguamiento aerodinámico
que no se incluyen en la ecuación diferencial y que amortiguan cualquier oscilación de la función.
6.33. Los receptores de presión, llamados barorreceptores, miden los cambios en la presión de
la sangre arterial, como se describió en el problema 2.14. Allí se muestran como un bloque
en la trayectoria de retroalimentación del diagrama de bloques propuesto para la solución
de tal problema. La frecuencia b(t) a la que se mueven las señales (potenciales de acción) a
lo largo de los nervios vago y glosofaríngeo desde los barorreceptores al centro vasomotor
(CVM) en el cerebro, es proporcional a la presión arterial p de la sangre más la tasa tempo-
ral de cambio de la presión sanguínea. Determine la forma de la función de transferencia
para los barorreceptores.
A partir de la descripción dada antes, la ecuación para b es
en donde k1 y k2 son constantes y pes la presión sanguínea !no debe confundirse aquí a p con la
notación p(t), la transformada inversa de Laplace de P(s), que se introdujo en este capítulo como
representación general para una función de transferencia]. La transformada de Laplace de la ecua-
ción anterior con condiciones iniciales cero, es
La función de transferencia de los barorreceptores es entonces BIP = k1 + k2s. De nuevo recorda-
mos al lector que P representa la transformada de la presión sanguinea arterial en este problema.
6.34. Considere la función de transferencia C,)Rk para el sistema biológico descrito en el proble-
ma 3.4a) mediante las ecuaciones
para k
n
ck(t) = rk(t) - ·L ak_;c;(t- At)
;-1
1, 2, ... , n. Explique cómo puede calcularse C,)Rk.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-199-320.jpg)
![192 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Así, la transformada z de la salida del sistema Y'(z) es
z
Y'(z) =P(z) z-e¡wT
Para invertir Y'(z), formamos la expansión en fracciones parciales de
Y'(z) 1
- - =P(z) .
z z - e1"'
Esta expansión consta de los términos debidos a los polos de P(z) y un término debido al polo en
z = ejw T_ Entonces
y
[ +
P( ei"'T)_]
Y'( z) = z ¿ términos debidos a los polos de P(z)
z -e'w1
{ y'( k)} = ::::- 1[z¿ términos debidos a los polos de P(z) ] + { P( e1"'T) e iwA T}
Puesto que el sistema es estable, el primer término desaparece cuando k se hace grande y
YEE = P( ef"'T) ejwAT = 1P( ei"'T) lej(wk T+.:,)
= 1
P( ei"'T) I[cos( wkT + q>) +}sen( wkT + q>)] k = 0,1,2, ...
en donde <p = arg P(eiwT¡_ La respuesta en estado estacionario a la entrada sen wkT es la parte
imaginaria de YF.F:, o
YEE = 1P( e1
"'T) !sen( wkT + q>) k=0,1,2, ...
6.41. Demuestre que si una función continua en el tiempo y(t) con transformada de Laplace Y(s)
se muestrea uniformemente con un periodo T, la transformada z de la secuencia resultante
de muestras Y*(z) está relacionada con Y(s) por medio de la ecuación (6.15).
De la definición 4.3:
1 ¡c+joo
y(t) = -. Y(s)e" dY
2'1TJ c-joo
en donde e > u0 . El muestreo uniforme de y(t) genera las muestras y(kD, k = O, 1,2,... Entonces
l ¡c+joo
y(kT) = -. Y(s)e'"T dY
2'1TJ c-joo
k=0,1,2, ...
La transformada z de esta secuencia es
00 00 -k
Z ¡c+100
Y*(z) = L y(kT)z-k = L -. Y(s)e'u dY
k=O k=O 2'1TJ c--Joo
y después de intercambiar la integración y la suma,](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-203-320.jpg)
![!"UNCIONES DE TRANSFERENCIA 193
• X
Y*(z) = -. Y(s) ¡_, e'kTz-" ds
1 ¡c+joo "
2'TTJ c-joo k-0
Ahora
00 00
L e'kTz "= L (e'Tz-1)"
es una serie geométrica que converge si le'Tz- 1
1 < 1. En este caso,
La desigualdad le'Tz- 11 < 1 implica que lzl > le'TI. Al hacer la integral de contorno
le'TI = le(< •tw>T¡ = ed
Así la serie converge para lzl > ecr. En consecuencia
1 f"+Joo 1
Y*(z) = -. Y(s) ,T 1 ds
2'TTJ ,·-¡oo 1 - e z
para lzl > e'r, que es la ecuación (6. /5).
6.42. Demuestre que si el circuito de sostenimiento de la figura 6-3 es de orden cero, la ecuación
(6./7) da la ecuación de la función de transferencia discreta en el tiempo.
Hagamos p(t) = !f' 11P(s)]. Entonces, usando la integral de convolución (definición 3.23), la
salida de P(s) se puede escribir como
Puesto que xHCiU) es la salida del dispositivo de sostenimiento de orden cero, ésta es constante sobre
cada intervalo de muestreo. Así, y(t) se puede escribir como:
1
T 2T
y(t)= p(t-T)x(O)dT+ j p(t·-T)x(l)dT+
O T .
f(¡-l)T f'
+ p(t-T)x((j-2)T]dT+ . p(t-T)x((j-l)T]dT
(j-2)T (¡- l)T
en donde (i - 1)T :s:: t :s; jT. Ahora
J-l ( (i+l)T )
y{JT) = i~O !T p{JT- T) dT x( iT)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-204-320.jpg)
![194 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Haciendo 0 =jT - T, la integral se puede escribir como
f(i+l)Tp(JT--r)d-r= ¡(J-i)T p(8)d(J
iT (i-i-l)T
en donde i = 0.1,2,3, ... ,j - 1. Ahora, al definir h(t) = J¿ p(0) d0 y k = j - 1 ój = k + 1, se
produce
pj-i)T p((J)d(J= 1(j-i)Tp(8)d(J- 1(j-i-l)Tp(8)d8= ¡ck-i+l)Tp(8)d8-fk-i)Tp(8)d(J
(j-1-l)T O O O O
=h[(k-i+i)T]-h[(k-i)T]
En consecuencia, podemos escribir
k k
y[(k+l)T]= ¿h[(k-i+I)T]x(iT)- ¿h[(k-i)T]x(iT)
i=O i=O
Al utilizar la relación entre la suma de convolución y el producto de las transformadas z en la
3ección 4.9, el teorema del desplazamiento (propiedad 6, sección 4.9) y la definición de la transfor-
mada z, entonces la transformada z de la última ecuación es
zY*( z) = zH*( z) X*( z) - H*( z) X*( z)
en donde Y*(z) es la transformada z de la secuenciay(kD, k = O, 1, 2, ... , H*(z) es la transformada de
¡~rp(0)d0, k = 0,1, 2, ... , y X*(z) es la transformada z de x(kD, k = 0,1, 2, ... Al reordenar
términos se obtiene
Y*( z) = (1 - z- 1) H*( z)
X*(z)
Entonces, puesto que h(t) = f¿p(8)d8, ~[h(t)] = P(s)/s y
1:(z) =(l-z-i)z{.:r1 (P(s))I }
X (z) s i=kT
6.43. Compare la solución del problema 6.42. con la del problema 6.37. ¿Cuál es la diferencia
fundamental en el problema 6.42 que permite el uso de los métodos del dominio de la
frecuencia lineal en él? ·
La presencia de un muestreador en la salida de P(s) permite el uso de funciones de transferencia
en el dominio z para la combinación del muestreador, el dispositivo de sostenimiento de orden cero
y P(s).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-205-320.jpg)
![FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 197
6.48. y= -4 + e-1
+ e1
+ 2cost
6.49. b) y d) representan sistemas estables; a), e) y e) representan sistemas inestables.
6.51. flí s2
6.53. y=¼ - ¼e--21 + ½t
6.55.
[
Tsen( wT/2) ] . T/2
P(jw)= ---'----'- e_J<.,
wT/2
T
arg PHo
2'17 4'17
T T
2w 4w
T T
Figura P6-55
6.56. Y*(z) _1 2 { _ 1 ( G(s) 1 G(s) )1 }
--=(1-z ) Z !i' --+---
U*(z) s T s2
1-kT](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-208-320.jpg)
![202
Combinación de
bloq4es en cascada
Combinación de
2
bloques en paralelo;
o eliminación de la
-malla directa
3
Remoción de un
bloque de una
trayectoria directa
Eliminación de una
y
y
4 malla de Y
retroalimentación
Remoción de un
5 bloque en una malla Y
de retroalimentación
6a
6b
Reordenamiento de
los puntos de suma
Reordenamiento de
los puntos de suma
Movimiento de un
z
z
y
7 punto de suma z
adelanic de un bloque
Movimiento de un
8 punto de suma más
allá de un bloque
z
TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
W±X±Y
W±X±Y
~
+.z
X ±
y ±
PX± Y
P[X± Y]
Fig. 7-6](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-213-320.jpg)
![ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 205
Paso 1: Hacemos U = O.
Paso 2: El sistema se reduce a
R +
Paso 3: Mediante la ecuación (7.3), la salida CR debida a la entrada Res CR = [G1G2!(l +
G1G2)]R.
Paso 4a: Hacemos R = O.
Paso 4b: Ponemos - 1 en un bloque para representar el efecto de retroalimentación negativo:
Reordenamos el diagrama de bloques:
u +
+
Hacemos que el bloque - 1 se absorba en el punto de suma:
u +
Paso 4c: Mediante la ecuación (7.3), la salida Cu, debida a la entrada U, es Cu= [G2/
(1 + G1G2)]U.
Paso 5: La salida total es](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-216-320.jpg)
![214_ TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
X Pzl{ y
Figura 7-19
7.12. Repita el problema 7. 1O para la transformación 5.
Tenemos Y= P 1[X :¡: P2Y] = P 1P2[(1/P2)X :¡: Y]. En la figura 7-20 se presenta el diagrama de
bloques para esta última forma.
X y
Figura 7-20
7.13. Repita el problema 7. JO para la transformación 7.
Tenemos Z = PX ± Y= P[X ± (1/P)Y], que produce el diagrama de bloques que se da en la
figura 7-21.
X + z
Figura 7-21
7.14. Repita el problema 7.10 para la transformación 8.
Tenemos Z = P(X ± Y) = PX ± PY, cuyo diagrama de bloques se presenta con claridad en la
figura 7-22.
X z
±
y
Figura 7-22](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-225-320.jpg)
![216 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
R + e
Figura 7-26
Hagamos U 1 = U2 = O. Después de combinar los bloques en cascada se obtiene la figura 7-27,
en la cual CR es la salida debida a R cuando ésta actúa sola. Aplicando la ecuación (7.3) a este
sistema, CR = [G1
G2!(/ - G1G2H1H2)]R.
R +
+
Figura 7-27
Ahora, hagamos R = U2 = O. El diagrama de bloques ahora se presenta en la figura 7-28, en el
cual C1 es la respuesta debida a U1 cuando ésta actúa sola. Reordenando los bloques, tenemos la
figura 7-29. A partir de la ecuación (7.3) se obtiene C1 = [G2 /(1 - G1G2H1H2)JU1.
Figura 7-28
U1 +
Figura 7-29](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-227-320.jpg)
![220 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La ecuación (7.3) o la reaplicación de la transformación 4 produce C = KR![(I + K)s +
(1 + O. IK)].
7.19. Reduzca el diagrama de bloques de la figura 7-39 a la forma canónica, aislando el bloque
K en la malla directa.
Mediante la transformación 9 podemos mover el punto de toma adelante del bloque l!(s + 1)
(figura 7-41):
R +
Figura 7-41
Aplicando las transformaciones y 6b, se obtiene la figura 7-42.
R +
•
Figura 7-42
Ahora se puede aplicar la transformación 2 a las mallas de retroalimentación en la forma final
que se da en la figura 7-43.
R + e
Figura 7-43](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-231-320.jpg)
![224 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
7.24. Suponga que las características de G cambian radical o impredeciblemente durante la
operación del sistema. Utilice los resultados del problema anterior y demuestre cómo se
diseñaría el sistema de tal forma que la salida C se pueda predecir siempre razonablemente
bien.
En el problema 7.23 se encontró que
lim - =+-
[e] 1
iGH¡-+oo R - H
Así C ±R!H cuando IGHI oo ó Ces independiente de G para IGHI grande. Entonces el
sistema debe diseñarse de manera que IGHI ~ 1.
7.25. Determine la función de transferencia del sistema de la figura 7-48. Luego haga H 1 = l/G 1
y H2 = l/Gz.
e
Figura 7-48
Reducimos las mallas interiores y obtenemos la figura 7-49.
R + e
Figura 7-49
Aplicando de nuevo la transformación 4, obtenemos la figura 7-50.
R e
Figura 7-50](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-235-320.jpg)
![GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALE, 245
e) Si A y B son operadores multiplicativos (por ejemplo, constantes o funciones de trans-
ferencia), tenemos X2 = AX1 + BX2 = (Al(] - B))X1. En consecuencia el grafo de
flujo de señales será
A
1-B
8.2. Dibuje los grafos de flujo de señales para los diagramas de bloques del problema 7.3, y
8.3.
redúzcalos por la regla de la multiplicación (figura 8-29). ·
10 1 10
a) s + 1 8 - 1 s2 - 1
-
X1 X2 xn X1 Xn
1 10 10
b)
s-1 s+l s2 - 1
- • • •
X1 X2 xn X1 Xn
-10 1 1.4 -14
e)
8 + 1 8 - 1 8 s(s2 - 1)
-
X1 X2 X3 Xn X1 Xn
Figura 8-29
Considere el grafo de flujo de señales de la figura 8-30.
A23
A21
CD A43
• .. • •
X1 X2 Xa X1
Figura 8-30
a) Dibuje el grafo de flujo de señales para el sistema equivalente al dibujado en la figura 8-30,
pero con X3 igual kX3 (con k constante), y Xi X2 y X4 permanecen· iguales.
b) Repita la parte a) para el caso en el cual X2 y X3 se hacen k2X2 y k~3• y Xi y X4 permanecen
iguales (k2 y k3 son constantes).
Este problema ilustra los fundamentos de una técnica que puede utilizarse para cambiar la
escala de las variables.
a) Para que el sistema permanezca igual cuando una variable de un nodo se multiplica por una
constante, todas las señales que entran al nodo deben multiplicarse por la misma constante, y
todas las que salen deben dividirse por esa constante. Puesto que Xi, X2 y X4 deben permanecer
iguales, se modifican las ramas (figura 8-31).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-256-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 27 J
EJEMPLO 9.2. La función de transferencia del sistema discreto en el tiempo que se presenta en la figura
9-1, _es
C K
T=-=----------
R z3
+ ( a + b) z2
+ abz + K
+
R e
Figura 9-1
Si K es el parámetro de interés. (k K), agrupamos los términos en T como sigue:
K
T-~-------~--
- [ z
3
+ ( a + b) z2
+ abz] + K
Comparando T con la ecuación (9.6), vemos que
A3 = z3
+ (a+ h) z2
+abz
Si a es el parámetro de interés (k = a), T puede escribirse nuevamente como
K
T=-----------
[z3 + bz2
+ K) + a[z2
+ bz]
Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), vemos que
A1 =K A3 = z3
+ bz2
+ K
Si h es el parámetro de interés (k h), T puede escribirse esta vez como
K
T=-----------
[z3 + az2
+ K) + b[z2
+ az)
De nuevo, comparando esta expresión con la ecuación (9.6), vemos que
A3 = z3
+ az2
+ K A4 = z2
+ az](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-282-320.jpg)
![272 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 9.3. Para la red de adelanto que se muestra en la figura 9-2, la función de transferencia es
E0 1 + RCs
T=-=
E; 2+RCs
+ R +
E; R Eo
e
Figura 9-2
Si C (la capacidad) es el parámetro de interés, escribimos T = [1 + C(Rs)]/[2 + C(Rs)J. Comparando esta
expresión con la ecuación (9.6), vemos que A1 = 1, A2 = Rs, A3 = 2, A4 = Rs.
EJEMPLO 9.4. Para el sistema del ejemplo 9.2, la sensitividad de T con respecto a K es
T K [ z3
+ (a + b) z2
+ abz]
SK = [ ]
K z3
+ (a + b) z2
+ abz + K
La sensitividad de T con respecto al parámetro a es
7
-aK(z2
+bz)
Sª = K[z3
+ bz2
+ K + a(z2 + bz)]
La sensitividad de T con respecto al parámetro b es
-bK(z2
+az)
ST=-r-:---=-----:---...-
b K [z3
+ az2
+ K + b( z2
+ az)]
1
K
1+--------
z3 + (a + b) z
2
+ abz
-1
z3
+ bz2
+ K
1 + ----:----
a( z2 + bz)
-1
z3
+ az2
+ K
1+-----
b(z2 + az)
EJEMPLO 9.5. Para la red de adelanto de la figura 9-2, la sensitividad de T con respecto a la capacidad C
es
C(2Rs - Rs) RCs
sr = -------- = --------
(" (2 + RCs)(l + RCs) (2 + RCs)(l + RCs)
1
(1 + 2/RCs)(l + 1/RCs)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-283-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 273
EJEMPLO 9.6. Los sistemas en malla abierta y malla cerrada que se presentan en la figura 9-3 tienen la
misma planta y la misma función de transferencia del sistema global para K = 2.
planta
(i =
K
s2+4s+5 R e
planta
K +
,2+4s+3+K R e
Figura 9-3
Aunque estos sistei;nas son precisamente equivalentes para K = 2, sus propiedades difieren de manera
significativa para desviaciones pequeñas (y grandes) de K en relación con el valor K = 2. La función de
transferencia del primer· sistema es
Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), tenemos A 1 = O, A2 = 1, A3 = s2 + 4s + 5, A4 = O.
Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), obtenemos
T K(s2
+4s+5)
S 1 =----- =l
K ( s2
+ 4s + 5) K
para todo K.
La función de transferencia del segundo sistema es
K
s2
+ 4s+ 3 + K
Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), se tiene A 1 = O, A2 = 1, A3 = s2 + 4s + 3, A4 = 1.
Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), obtenemos
K(s2
+ 4s + 3)
ST2 = ---------
K (s2
+4s+3+K)(K)
1
1 + K/( s2
+ 4s + 3)
Para K = 2, s¡, = 1/[l + 2/(s2
+ s + 3)].
Nótese que la sensitividad T1 del sistema en malla abierta se encuentra fija en 1 para todos los valores de
la ganancia K. De otra parte, la sensitividad del sistema en malla cerrada es función de K y de la variable
complejas. Así, S"[2 puede ajustarse en un problema de diseño, variando K o manteniendo las frecuencias en
la función de entrada dentro de un rango apropiado.
Para w < 13 rad/seg, la sensitividad del sistema en malla cerrada es](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-284-320.jpg)
![276 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La función de sensitividad S[ '.entonces puede encontrarse resolviendo primero la ecuación diferencial del
sistema para x(t), porque x(t), es la función de excitación en la ecuación anterior para v(t). Las soluciones
necesarias se desarrollaron en la sección 3.15 como
y
porque v(O) = O. La sensitividad de la salida variable en el tiempo se calcula a partir de esas dos funciones
como
dx a av(t)
SY=--=--
a .da X x(t)
EJEMPLO 9.1 O. Para el sistema discreto definido por
x(k + 1) = ax(k) + u(k)
y(k)=cx(k)
determinamos la sensitividad de la salida y con respecto al parámetro a, como sigue. Hagamos
Entonces
y
éJx(k)
v(k) s - -
éJa
éJx(k+l) éJ
v(k+ 1) = - - - = -[ax(k) + u(k)]
éJa éJa
éJx(k)
= x(k) +a--= av(k) + x(k)
éJa
éJy(k) éJcx(k) éJx(k)
- - = - - - =e--= cv(k)
éJa éJa éJa
Así, para determinar S!, resolvemos primero las dos ecuaciones discretas:
x( k + 1) = ax( k) + u( k)
v(k+ 1) =av(k) + x(k)
(por ejemplo, véase la sección 3. I7). Entonces
éJy(k) a av(k)
st - éJa . y(k) - x(k)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-287-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA YCLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 277
9.4 Clasificación de los sistemas continuos con retroalimentación
Considere la clase de sistemas canónicos con retroalimentación definidos en la figura 9-5.
Para los sistemas continuos, la función de transferencia en malla abierta puede escribirse como
+
R
+
m
KCT(s+z;)
GH = -•-~=-1
- - - -
0 (s +p;)
i=l
Figura 9-5
e
en donde K es una constante, m :5 n, y -z¡ y -p; son ceros y polos finitos, respectivamente, de
GH. Si hay a ceros y b polos en el origen, entonces
m--a
Ksª n(s+z;)
GH= i=l
n-b
sbCT(s+p;)
i=l
En lo que resta de este capítulo, solamente se considerarán los sistemas para los cuales b ;::= a
y l = b - a.
Deñnición 9.4: Un sistem_a canónico con retroalimentación cuya función de transferencia en
malla abierta puede escribirse en la forma
n1-a
GH= _K_f_]l~(s_+_z_;_) - KB1(s)
n-a-1 /B ( )
/n S 2 S
s (s +p;)
(9.9)
i=l
en donde l ;::= Oy - Z¡ y - p¡ son ceros y polos fimtos diferentes de cero de GH,
respectivamente, se denomina sistema tipo l.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-288-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 279
KB (s) { KB1(0)
Kp= limG(s) = lim 1
1
( ) = B2
(0)
s-+O s-+O S B2 S
00
para/=0
para/> O
(9.10)
El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria
cuando la entrada es una función paso unitario [e(oo) = 1 -c(oo)], está relacionado con la constan-
te de error de posición
1
e(oo) = lim e(t) = - -
t-+oo l+KP
(9.11)
EJEMPLO 9.14. La constante de error de posición para un sistema del tipo O es finita. Esto es,
1
KB1(0) 1
IK i= - - <oo
P B2 (0)
El error en estado estacionario para un sistema del tipo O es distinto de cero y finito.
EJEMPLO 9.15. La constante de error de posición para un sistema del tipo 1 es
. KB1(0)
K = lim---=oo
P s--+O sB2 (0).
En consecuencia, el error en estado estacionario es e(oo) = 1/(1 + Kp) = O.
EJEMPLO 9.16. La constante de error de posición para un sistema del tipo 2 es
. KB1(s)
KP = Iim 2
• = oo
s--+OS B2 (s)
Entonces, el error en estado estacionario es e(oo) = 1/(1 + KP) = O.
9.6 Constantes de error de velocidad para sistemas continuos con retroalimentación uni-
taria
Otro criterio de la efectividad de la retroalimentación en un sistema estable del tipo l con
retroalimentación unitaria es la constante de error de velocidad (rampa). Esta es una medida del
error en estado estacionario entre la entrada y la salida del sistema cuando la entrada es una
función rampa unitaria.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-290-320.jpg)
![282 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
9.10 Constantes de error para sistemas más generales
Los resultados de las secciones 9.5 a la 9.9 son aplicables únicamente a sistemas lineales
estables con retroalimentación unitaria. Sin embargo, ellos pueden extenderse fácilmente asiste-
mas lineales estables más generales. En la figura 9-9, T,1 representa la función de transferencia de
un sistema (ideal) deseado, y C!R, la del sistema real (una aproximación de T,1). Res la entrada en
ambos sistemas, y E es la diferencia (el error) entre la salida deseada y la salida real. Para este
sistema más general, a continuación se definen tres constantes de error y se relacionan con el error
en estado estacionario.
sistema ideal
sistema real
+
R e E
Figura 9-9
Definición 9.S: La constante de error de paso K, se define para un sistema continuo como
1
Ks = __,,____
T - C]
d R
(9.16)
lim
s-+0
El error en estado estacionario para el sistema general cuando la entrada es una función paso
unitario, está relacionada con K., mediante
Definición 9.9:
1
e(oo) = lim e(t) = -
t-+oo Ks
(9.17)
La constante de error de rampa K, se define para un sistema continuo
como
1
K,= 1[ C]
lim - Td- -
s-+o s R
(9.18)
El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una función rampa
unitaria, está relacionada con K, mediante](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-293-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIYIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 283
1
e(oo) = lim e(t) = - (9.19)
1-+oo K,
Definición 9.10: La constante de error parabólico KPª se define para sistemas continuos
corno
1
KPª = 1 C]
lim-T--
s-+O s2 d R
(9.20)
El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una función
parabólica unitaria, está relacionada con KPª mediante
1
e(oo) = lim e(t) = -
t-+oo Kpa
(9.21}
EJEMPLO 9.23. El sistema con retroalimentación no unitaria, que se presenta en la figura 9-1 O, tiene la
función de transferencia C!R = 2!(s2
+ 2s + 4). Si la función de transferencia deseada a la cual se aproxima
CIR es Td = ½, entonces
C s(s + 2)
T---------
d R - 2(s2 + 2s + 4)
+
R e
Figura 9-10
Entonces
1 1
Ks = lim s(s +2) ]
s-+O 2(s2
+ 2s + 4)
= 00 K - - - - - - - - - - 4
' - 1 [ s(s + 2) ] -
lim -
s-+O s 2(s2
+ 2s + 4)
1
K =--------=O
pa . 1 [ s( s +2) ]
lim-
, ....o s2
2(s2
+ 2s + 4)
EJEMPLO 9.24. Para el sistema del ejemplo 9.23 los errores en estado estacionario debidos a una entrada
paso unitario; una entrada rampa unitaria y a una entrada parabólica unitaria, pueden encontrarse utilizan-
do los resultados de ese ejemplo. Para una entrada paso unitario e(x) = l!K, = O. Para una entrnda rampa
unitaria e(00) = 1/K, = . Para una entrada parabólica unitaria, e(x) = 1/KPª = x](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-294-320.jpg)
![284 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Para establecer relaciones entre las constantes de error generales K.,, Kr y KP" y las constantes
de error K¡,, K, y K0 para sistemas con retroalimentación unitaria, hacemos que el sistema real sea
uno continuo con retroalimentación unitaria, y que el sistema deseado tenga una función de trans-
ferencia unitaria. Esto es, hacemos
En consecuencia
C G'
y
R 1 +G
1
K. = -.-.-[=---
1 ---=-] = 1 + ~~G(s) = 1 + KP
lim - -
.....o 1 + G
1
K= = limsG (s) = Kv
r
~(l~G)]
lim s-+O
s-+0
1
KPª=
s(l~G)]
= 1ims2
G(s) = Ka
s-+O
lim
s-+O
Problemas resueltos
Configuraciones de sistemas
(9.22)
(9.23)
(9.24)
9.1. Una planta dada tiene una función de transferencia G2 . Se desea un sistema que incluya a
G2 como elemento de salida y que tenga una función de transferencia C/R. Demuestre que,
si no hay restricciones (tales como estabilidad) en los elementos compensadores, el siste-
ma puede sintetizarse en uno en malla abierta o en otro con retroalimentación unitaria.
Si el sistema puede sintetizarse en uno en malla abierta, entonces tendrá !a configuración dada
en la figura 9-11, en donde G I es un elemento compensador desconocido. La función de transferen-
cia del sistema es CIR ~GíG2, del cualGí= (CIR)IG2. Este valor paraGí permite la síntesis de C!R
como un sistema en malla abierta.
R e
Figura 9-11
Si el sistema puede sintetizarse en uno con retroalimentación unitaria, entonces tendrá la confi-
guración dada en la figura 9-12.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-295-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 285
R
+
Figura 9-12
La función de transferencia del sistema es C/R
G--
1 ( C/R )
1 - G2
1- C/R
e
Este valor para GI permite la síntesis de C/R como sistema con retroalimentación unitaria.
9.2. Utilizando los resultados del problema 9.1, demuestre cómo puede sintetizarse la función
de transferencia del sistema C!R = 2/(s2
+ s + 2) que incluye como su elemento de salida
la planta G2 = I/s(s + I), a) como ún sistema en malla abierta, b) como un sistema con
retroalimentación unitaria.
a) Para el sistema en malla abierta
C/R 2s(s+l)
Gí=--=----
G2 s
2
+ s + 2
y el diagrama de bloques del sistema está dado en la figura 9-13.
R e
Figura 9-13
b) Para el sistema con retroalimentación unitaria,
G - - - - - -s s+l ~~-------- -2
1 ( C/R ) [ 2/(s
2
+s+2) ]
¡- G2 l-C/R - ( ) (s2 +s+2-2)/(s2 +s+2) -
y el diagrama de bloques del sistema se da en la figura 9-14.
+
R
Figura 9-14
e](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-296-320.jpg)
![286 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE. CON'J'ROL
Sensitividad de la función de transferencia
9.3. Los dos sistemas que se dan en la figura 9-15 tienen la misma función de transferencia
cuando K1 = K2 = 100.
(C) 1 K1
K2
T = - =-----=100
1 R Ki=lOO 1 + 0.0099K K
1 K2=100 1 2
T=- = - - - - =100
(C) 1 ( K
1
) ( K, )
2
R 2 ::::: 1 + 0.09K1 1 + 0.09K2
e e
Figura 9-15
Compare las sensitividades de estos dos sistemas con respecto al parámetro K1 para valo-
res nominales K1 = K2 = 100.
Para el primer sistema, T 1 = K 1K2![1 + K1(0.0099K2)]. Comparando esta expresión con la
ecuación (9.6) se obtiene A 1 = O, A2 = K2 , A3 = 1, A4 = 0.0099K2• Sustituyendo estos valores en la
ecuación (9.7), obtenemos
r K1K2 1
SK1
= - - - - - - - - - - - - - - - = 0.01
1
(1 + 0.0099K1K2 )( K1K2 ) 1 + 0.0099K1K2
para K1 = K2 = 100
Para el segundo sistema,
( ~ )( ~ ) ~~
Tz = 1 +0.09K1 1 + 0.09K2 = 1 + 0.09K1 + 0.09K2 + 0.0081K1K2
Comparando esta expresión con la ecuación (9.6) se obtiene A, = O,A2 = K2 ,A3 = I +0.09K2 , A4 =
0.09 + 0.008 IK2. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), tenemos
r K1Kz(l +0.09K2 ) 1
SK2 = ...,.------,--------- ----- = 0.1
1
(1 +0.09K1)(1 +0.09K2 )( K1K2 ) 1 + 0.09K1
para K1 = K 2 = 100
Una variación del 10% en K 1 producirá una variación aproximada de 0.1 % en T1, y una de 1%
en T2 . De este modo el segundo sistema T2 es 10 veces más sensitivo que es el primero, a las
variaciones en K 1•](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-297-320.jpg)
![288 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
9.5. Demuestre que las sensitívidades de T(k) = IT(k)lei<f>T, la magnitud IT(k)I y el ángu-
lo de fase <fJT con respecto al parámetro k están relacionados mediante
ST(k) _ SIT(k)I +J·"' . s+r
k - k 'l'T k [ecuación (9.5)]
Usando la ecuación (9.2),
sm>= dlnT(k) = dln[IT(k)ie1"'r] d[InlT(k)l+jc/>T]
k dlnk dlnk dlnk
dlnlT(k}I dc/>T dlnlT(k)I dlnc/>T Tk
= d ln k +j d ln k = d ln k +jc/>r d In k = Sl < >I +jc/>rStr
Nótese que si k es real, entonces Sf<k)I y Sfr son reales, y
SIT<k>I =Re S[<k>
k
c/>rStr = lm s[<k>
9.6. Demuestre que la sensitividad de la función de transferencia T = (A 1 + kA2)/(A3 + kA4 )
con respecto al parámetro k está dada por S[ = k(A 2
A3
-A1A4 )/(A3 + kA4 )
(A1 + kA 2).
Por definición, la sensitividad de T con respecto al parámetro k es
Ahora
Así que
T dlnT dT k
s =--=-·-
k dlnk dk T
dT A2 ( A3 + kA4 ) -A4 ( A1 + kA2 )
-=
dk ( A3 + kA4 )
2
A2 A3 -A1A4
(A3 +kA4 )2
9.7. Considere el sistema del ejemplo 9.6 con la adición de una perturbación en la carga y una
entrada de ruido, como se muestra en la figura 9-18. Demuestre que el controlador con
retroalimentación mejora la sensitividad de la salida a la entrada de ruido y a la perturba-
ción en la carga.
entrada de ruido planta perturbación en la carga
N(s) L(s)
+ e
Figura 9-18](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-299-320.jpg)
![290 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
con (9.27}
en donde
esto es, V es la matriz de las funciones de sensitividad. La derivada de la función de
sensitividad vij está dada por
d ( ax )
ú;1 = dt ap;
Suponiendo que las variables de estado tienen derivadas continuas, podemos intercambiar
el orden de las derivaciones total y parcial, de modo que
En forma de matriz,
. ax a aA ax aB
V= - = -[Ax+Bu] = -x+A-+-u
ap ap ap ap ap
Puesto que V = ax!ap, tenemos
. aA aB
V=AV+-x+-u
ap ap
Entonces
ay acx ac ax ac
- = - - = -x+C- =CV+-x
ap ap ap ap ap
Nótese que, en las ecuaciones anteriores, la derivada parcial de una matriz con respec-
to al vector p se sobreentiende que genera una serie de matrices, cada una de las cuales,
cuando se multiplica por x, genera una columna en la matriz resultante. Esto es, (oA!ap)x
es una matriz con (oA/opj)x como j-ésima columna. Esto puede verificarse fácilmente,
escribiendo de manera explícita todas las ecuaciones escalares y derivándolas término a
término.
Clasificación de sistemas por tipo
9.9. En la figura 9-19 se representa el sistema canónico con retroalimentación](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-301-320.jpg)
![292 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS @E CONTROL
La función de transferencia en malla abierta de este sistema es
s2
(s + l)(s2
+ s + 1)
GH= - - - - - - - -
s4(s + 2)2
(s + 3}2
Por tanto es un sistema del tipo 2.
(s+l)(s2
+s+l)
s2
(s + 2)2(s + 3)2
,,
Constantes de error y errores en estado estacionario
9.11. Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo l con
retroalimentación unitaria, cuando la entrada es una función paso unitario, está relaciona-
da con la constante de error de posición, mediante
1
e(oo) = lim e(t) = - -
t-+(X) 1 + KP
La razón de error (definición 7.5) en un sistema con retroalimentación unitaria negativa está
dadaporlaecuación(7.4),conH= 1,estoes,E!R= 1/(1 +G).ParaR= 1/s,E=(l!s)(l/(1 +G)).
A partir del teorema del valor final, obtenemos
en donde se ha utilizado la definición KP = lim, _ 0G(s).
9.12. Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo l con
retroalimentación unitaria con una función de entrada rampa unitaria, está relacionado con
la constante de error de velocidad mediante e(oo) = lim, .... 00
e(t) = I/Kv.
Tenemos E!R = 1/(1 + G), y E= (lls2)(1!(1 + G)) paraR = l/s2
• Puesto que G = KB1(s)ls1
B2(s),
por la definición 9.4,
1 [ s'Bi(s) ]
E= s2 s1
Bi(s) + KB1
(s)
Para l > O, tenemos
Bi(s)
sE(s) = - - - - - - -
sBi(s) + KB1(s)¡s'- 1
en donde l - 1 2: O. Ahora podemos utilizar el teorema del valor final, como se hizo en el problema
anterior, porque se satisface la condición para la aplicación de este teorema. Es decir, para l > O
tenemos
e(oo)= limsE(s)={ B2~0)
, ....o KB;(O)
para />1
para /= 1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-303-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 293
B1(0) y B2(0) son finitas y diferentes de cero, por la definición 9.4; en consecuencia existe el límite
(es decir, es finito).
No podemos evocar el teorema del valor final para el caso en que l = O porque
1[ .Bi(s) ]
sE(s)l,-o =-; Bi(s) + KB1(s)
y el límite de la cantidad del lado derecho no existe cuando s-0. Sin embargo, podemos utilizar el
siguiente argumento para l = O. Puesto que el sistema es estable, Bz(s) + KB1(s) = Otiene raíces
únicamente en el lado izquierdo del plano. Entonces puede escribirse E con su denominador en la
forma factorizada general:
Bi(s)
E= _2_n_'_(
___
)_n,
s ;-1 s + P;
en donde Re(p;) > Oy I::;_1 n; = n - a (véase la definición 9.4), esto es, puede haber algunas raíces
repetidas. Expandiendo E en fracciones parciales [ecuación (4. IOa)], obtenemos
C20 e r n; e
E=-+~+ E E ik
S2 S i-lk-1(s+p¡)k
en donde bn en la ecuación (4.10a) es cero porque el grado del denominador es mayor que el del
numerador (m < n). Invirtiendo E(s) (sección 4.8), logramos
Puesto que Re(p;) > O y c20 y c10 son constantes finitas diferentes de cero (E es una expresión
algebraica racional), entonces
e(oo)= lim e(t)= lim (c20t)+c10 =oo
t-+ 00 t-+ 00
Agrupando los resultados, tenemos
Bi(O)
{
00
e(oo) = KB~(O)
O de modo equivalente,
{
o
1 KB1{0)
e(oo) = .Bi!O)
para /=O
para /= 1
para /> ¡
para /=O
para /= 1
para /> ¡](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-304-320.jpg)
![294 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Estos tres valores para 1/e(oo) definen a Kv; así
1
e(oo) = -
Kv
9.13. En la figura 9-21, encuentre las constantes de error de posición, velocidad y aceleración.
+
R e
Figura 9-21
La constante de error de posición:
4(s + 2)
K = limG(s)= lim----=oo
P s-+O s-+O s(s + l)(s + 4)
La constante de error de velocidad:
4(s + 2)
K = limsG(s) = lim---- =2
" s-+O s-+o(s+l)(s+4)
La constante de error de aceleración:
4s(s + 2)
K = lims2
G(s) = lim - - - - - =O
ª s-+O s-+O(s+l)(s+4)
9.14. En el sistema del problema 9.13, encuentre el error en estado estacionario para a) una
entrada paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, e) una entrada parabólica unitaria.
a) El error en estado estacionario para una entrada paso unitario está dado por e(oo) = 1/(1 + Kp).
Utilizando el resultado del problema 9.13 se obtiene e(oo) = 1/(1 + oo) = O.
b) El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria está dado por e(oo) = 1/Kv.
Utilizando de nuevo el resultado del problema 9.13, logramos e(oo) =1.
e) El error en estado estacionario para una entrada parabólica unitaria está dado por e(oo) = l!K0 •
Entonces e(oo) = 1/O = oo
9.15. La figura 9-22 representa de manera aproximada un diferenciador. Su función de transfe-
rencia es C!R = Ks![s(Ts + 1) + K]. Nótese que liinT_0 K_ooC!R = s, esto es, en el
límite, CIR es un diferenciador puro. Encuentre las constantes de error de paso, de rampa y
parabólico en este sistema, en donde se supone que el sistema Td ideal es un diferenciador.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-305-320.jpg)
![MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 295
+
R e
Figura 9-22
Utilizando la notación de la sección 9.10 Td = s y Td - C/R = s2
(rs + 1)/[s(rs + 1) + K].
Aplicando las definiciones 9.8, 9.9 y 9.10 se obtiene
1
---,.--------.- = 00
}i [ s
2
( TS + 1) ]
s~ s(Ts+l)+K
1
= [ s(Ts+l) ] =oo
f~ s( TS + 1) + K
1
= [ TS + l ] = K
f~ s( TS + 1) + K
9.16. Encuentre el valor en estado estacionario de la diferencia (error) entre las salidas de un
diferenciador puro y el diferenciador aproximado del problema anterior, para a) una entra-
da paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, e) una entrada parabólica unitaria.
Del problema 9.15, K., = oo, K, = oo y Kpa = K.
a) El error en estado estacionario para la entrada paso unitario es e(oo) = 1/Ks = O.
b) El error en estado estacionario para la entrada rampa unitaria es e(oo)=l/K,=0.
e) El error en estado estacionario para la entrada parabólica unitaria es
e(oo) = 1/Kpa = 1/K.
9.17. Dado el sistema estable del tipo 2 con retroalimentación unitaria, que se muestra en la
figura 9-23, encuentre a) las constantes de error de posición, de velocidad y de acelera-
ción, b) el error en estado estacionario cuando la entrada es R = ~ _ 2_ + _I_
s s 2 2s3 •
+
R e
Figura 9-23](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-306-320.jpg)
![ANALISJS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 299
{
GH(jw)
GH w =
( ) GH(ei"'T)
1. Margen de ganancia
para sistemas continuos
para sistemas discretos
(lo.J)
El margen de ganancia es una medida de la estabilidad relativa que se define como la magni-
tud del universo de la función de transferencia en malla abierta, evaluada en la frecuencia w,,. en la
cual el ángulo de fase es -180º (véase el Capítulo 6). Esto es,
1
Margen de ganancia - .,....
1
G-H-(w_"'_)...,..I (10.2)
en donde arg GH(w,,.) = -180º = -1r radianes, y w,,. se llama frecuencia de cruce de fase.
2. Margen de fase <l>MF
El margen de fase <PMF es una medida de la estabilidad relativa, definida como 180º más el
ángulo de fase '1>1 de la función de transferencia en malla abierta a ganancia unitaria. Esto es
q,MF = [180 + arg GH( w1)] grados (10.3)
en donde lGH(w1)l = 1 y w1 se llama frecuencia de cruce de ganancia.
EJEMPLO 1.0.1 En la figura 10-1 se ilustran los márgenes de ganancia y de fase de un sistema de control
típico continuo en el tiempo con retroalimentación.
GH(w)
o
arg GH(w)
o
-180º
1°'1
1
1
lw1
1
1.,,.
1
: margen de ganancia
---t----f
1 margen de fase
____ _l
Figura 10-1
.,
.,](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-310-320.jpg)
![ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVO~ Y METODOS 301
A menudo se define el ancho de banda de un sistema como el intervalo de frecuencias sobre el
cual la relación de magnitudes no difiere en más de - 3 dB de su valor a la frecuencia especificada.
Pero no siempre. En general, se hace claro el significado preciso de ancho de banda mediante la
descripción del problema. En cualquier caso, el ancho de banda, generalmente es una medida lle
la velocidad de respuesta de un sistema.
La frecuencia de cruce de ganancia w 1 definida en la ecuación (10.3) a menudo es una buena
aproximación del ancho de banda de un sistema en malla cerrada.
En los Capítulos I y 2 (especialmente en la sección 2.4) se presentaron la noción de muestreo
de señal, y de tiempo de muestreo uniforme T, para sistemas que contienen señales tanto discretas
como continuas en el tiempo, y ambos tipos de elementos, los cuales incluyen muestreadores,
dispositivos de sostenim1~nto y computadores. El valor de Tes un parámetro de diseño para tales
sistemas, y su elección depende de las consideraciones de exactitud y de costos. El teorema de
muestreo [9.1 O] proporciona un límite superior para T, al requerir que la tasa de muestreo sea por
lo menos el doble de la del componente de mayor frecuencia/max de la señal muestreada, esto es,
' 1
T<--
- 2/max . En la práctica, podríamos utilizar la frecuencia de cortefez (como en la figura 10-2)
parafmax,-Y una regla práctica sería escoger a Ten el rango 1 T l .Sin embargo, es
--< <--
l0fc2 - - 6fc2
posible que otros requerimientos de diseño necesiten valores aún menores de T. De otra parte, el
mayor valor de T que sea consistente con las especificaciones a menudo produce el costo más bajo
para los componentes.
5. Tasa de corte
La tasa de corte es la tasa de frecuencia a la cual la relación de magnitudes disminuye más allá
de la frecuencia de corte wc. Por ejemplo, la tasa de corte puede especificarse como 6 dB/octava.
Una octava es un cambio por un factor de dos en frecuencia.
6. Pico de resonancia MP
El pico de resonancia Mp, una medida de la estabilidad relativa, es el valor máximo de la
magnitud de la respuesta de frecuencia en malla cerrada. Esto es,
M =maxlcl
P "' R
(10.6)
7. Frecuencia resonante wP
La frecuencia resonante wP es la frecuencia a la cual ocurre MP.
EJEMPLO 10.2. En la figura 10-3 se ilustran el ancho de banda (AB), la frecuencia de corte w,., el pico de
resonancia Mp y la frecuencia resonante wp, para un sistema continuo subamortiguado de segundo orden.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-312-320.jpg)
![ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 305
combinaciones de componentes que modifican la ganancia K y/o las constantes de tiempo r, o,
de algún modo, agregan ceros o polos a GH. Los compensadores pasivos comprenden elementos
físicamente pasivos, tales como redes de resistores y capacitores, para modificar K(K < 1),
constantes de tiempo, ceros o polos; las redes de atraso, adelanto y atraso-adelanto son ejemplos
de ellos (Capítulo 6). El compensador activo más común es el amplificador (K > 1). El más
general de ellos es el controlador PID (propNcional-integral-derivativo), analizado en los capítu-
los 2 y 6 (ejemplos 2.14 y 6.7), que comúnmente se usa en el diseño de sistemas tanto analógicos
(continuos) como discretos en el tiempos (digitales).
10.6 Métodos de diseño
El diseño por análisis es el esquema de diseño que se ha desarrollado en este libro, porque
generalmente esta es la aproximacion más práctica, con la excepción de que el diseño directo de
sistemas digitales, tratado en la sección 1O.8, es una verdadera técnica de síntesis. Los métodos de
análisis mencionados anteriormente, reiterados a continuación, se aplican al diseño en los Capítu-
los 12, 14, 16 y 18.
1. Diagramas Nyquist (Capítulo 12)
2. Lugar de las raíces (Capítulo 14)
3. Diagramas de Bode (Capítulo 16)
4. Cartas de Nichols (Capítulo 18)
Los procedimientos de análisis y diseño de sistemas de control basados en estos métodos se han
automatizado en paquetes de aplicación para propósitos especiales en computador, llamados pa-
quetes de Diseño ayudado por computador (DAC).
De los cuatro métodos enumerados antes, los de Nyquist, Bode y Nichols son técnicas de
respuesta de frecuencia, porque en cada uno de ellos se exploran gráficamente las propiedades de
GH(w), esto es, GH(jw) para sistemas continuos, o GH(eiwT) para sistemas discretos en el tiem-
po [ecuación (/0. /)], en función de la frecuencia angular w. Más importante aún es el hecho de
que, utilizando estos métodos, el análisis y el diseño se realizan fundamentalmente del mismo
modo para sistemas continuos o discretos, tal como se ilustra en los capítulos siguientes. Las
únicas diferencias (en detalles específicos) provienen del hecho de que la región de estabilidad
para los sistemas continuos es la mitad izquierda del planos, y que para sistemas discretos es el
círculo unitario en el plano z. Sin embargo, una transformación de variables, llamada transforma-
da w, permite el análisis y el diseño de sistemas discretos utilizando los resultados específicos
desarrollados para sistemas continuos. Presentamos las.principales características y los resultados
de la transformada w en la siguiente sección, para su uso en el análisis y el diseño de sistemas de
control en los capítulos siguientes.
10.7 La transformada w para el análisis y el diseño de sistemas discretos en el tiempo
utilizando métodos de sistemas continuos
En el Capítulo 5 se definió la transformada w para el análisis de la estabilidad de sistemas
discretos. Esta es una transformación bilineal entre el plano complejo w y el plano complejo z
definido por el par:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-316-320.jpg)
![ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS y METODOS 309
e
R 1 z - 0.5
G¡ = --,---,,,-
G2 ( 1 - ~)
--=-1---- = -0-
-z---0.-5 (l - l)
que tiene una ganancia infinita, un cero en z = 0.5, y no tiene polos, Jo cual lo hace irrealizable. Para que sea
realizable (sección 6.6), C I debe tener por lo menos igual número de polos ceros. En consecuencia, aún con
la cancelación de los polos y los ceros de C2 con los polos y los ceros de C 1, CIR debe contener por lo menos
n - m polos, en donde n es el número de polos y m es el número de ceros de C2 .
La C!R realizable más simple tiene la forma:
C K
R z-a
Como se muestra en el problema IO. 1O, el tiempo de subida de un sistema discreto de primer orden, como el
dado por la C!R anterior, es
Resolviendo para a se tiene
Entonces
Tln¼
T<--·
' - In a
[
1 ] T,/T [ 1 ] 20
a=
9 =
9 =0.8959
e K K
-=--=----
R z-a z-0.8959
y para que la ganancia en estado estacionario (C/R)(I) sea 1, K = 1 - O.8959 = O. 104J. En consecuencia el
compensador requerido es
e
R
G1 = --,---,,,-
G2 ( 1 - ~)
0.1041
z - 0.8959
_1_(1- 0.1041 )
z - 0.5 z - 0.8959
0.1041( z - 0.5)
z-1
Vemos que C I ha agregado un polo a C I C2 en z = 1, haciendo que el sistema sea del tipo 1. Esto se debe al
requerimiento de que la ganancia en estado estacionario es igual a 1.
Los sistemas con transitorio mínimo son una clase de sistemas discretos en el tiempo que pueden
diseñarse fácilmente al utilizar la aproximación directa descrita antes. Por definición, la respuesta
transitoria en malla cerrada de un sistema con transitorio mínimo tiene una duración finita, esto
es, se hace cero y permanece en cero después de un número finito de tiempos de muestreo. En
respuesta a una entrada paso, la salida en tal sistema es constante en cada tiempo de muestreo
después de un periodo finito. Esta se denomina respuesta con transitorio mínimo.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-320-320.jpg)
![312 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
m(t)
e(t)
Figura 10-8
El amplificador-cohtrolador opera linealmente sobre el intervalo aproximado de -e3 :Se :S e3.
10.2. Determine el margen de ganancia para el sistema en el cual GH(jw) = l/(jw + I)3.
Escribiendo GH(jw) en forma polar, tenemos
Entonces -3 tan- 1
w7T = -7r, w7T = tan(7r/3) = l. 732. Por tanto, por la ecuación (/0.2), el margen
de ganancia es I/IGH(jw7T)I = 8.
10.3. Determine el margen de fase para el sistema del problema 10.2.
Tenemos
1
IGH(jw)I= 312 =l
( w2
+ 1)
únicamente cuando w = w1 = O. Por tanto
<!>MF = 180º + (- 3 tan - 1
O) = 180º = 7T radianes
10.4. Determine el valor promedio de T,lw) sobre el intervalo de frecuencia O::=:; w ::=; 10 para
CIR = jwl(jw + 1). T,lw) se obtiene por medio de la ecuación (10.4).
e ,,,
y= arg-(Jw) = - - tan- 1
w
R 2
y
-dy d l
TAw) = - - = -[tan- 1
w] = - -
dw dw l + w2
Por tanto
. 1
1
10 dw
Avg TA w) Prom = - - -
2
= 0.147 sec
lOol+w
10.5. Determine el ancho de banda en el sistema con función de transferencia (C/R) (s) = 1/(s + I).
Tenemos](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-323-320.jpg)
![ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETRbALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 315
La sexta propiedad se deriva de las identidades trigonométricas elementales.
10.12. Demuestre que la transformada de la frecuencia angular Ww está relacionada con la fre-
cuencia real w mediante la ecuación (10.19).
A partir del problema 10.11, lzl = 1 también implica que w = j[vl(µ + I)] = jw»· [ecuación
(/0./7)]. Pero lzl = 1 implica que z = JwT = cos wT + j sen wT = µ + jv [ecuación (/0./5)].
En consecuencia
se tiene
senwT
w = - - - -
w coswT+ 1
Finalmente; sustituyendo las siguientes identidades trigonométricás para semiángulos, en la última
expresión:
2sen( w;)cos( "'
2
T) =senwT
cos2
( "';)-sen2
( "'
2
T) = coswT
10.13. Para el sistema uniforme y sincrónicamente muestreado, dado en la figura 10-1 O, determi-
ne G1(z) tal que el sistema sea del tipo 1 con respuesta con transitorio mínimo.
sostenimiento de orden cero
Figura 10-10
La transformada z de la malla directa, suponiendo un muestreoficticio de la salida c(t) (véase la
sección 6.8), se determina a partir de la ecuación (6.9)
G2(z)=-z-lz{2-1(_G(_s))I . } =-K1_(z_+z_1)-=-
z s ,-kT (z-l)(z-e-T)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-326-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 319
11.2 Representación gráfica de funciones complejas de una variable compleja
Una función real de una variable real se grafica fácilmente en un conjunto sencillo de ejes de
coordenadas. Por ejemplo, la función realf(x), con x real, se grafica en coordenadas rectangulares
con x como la abscisa yf(x) como la ordenada. Una función compleja de una variable compleja,
tal como la función de transferencia P(s), con s = a + jw, no puede graficarse en un conjunto
sencillo de coordenadas.
La variable complejas= a+ jw depende de dos cantidades independientes, las partes real e
imaginaria des. En consecuencias no puede graficarse mediante una línea. La función compleja
P(s) también tiene partes real e imaginaria. Esta tampoco puede graficarse en una sola dimensión.
De manera similar, la variable compleja z = µ + jv y las funciones de transferencia complejas
P(z) de sistemas discretos en el tiempo, no pueden graficarse en una dimensión.
En general, para representar gráficamente P(s) con s = a + jw, se requieren gráficas bidi-
mensionales. La primera es una gráfica de jw, en función de a llamada plano s, el mismo
conjunto de coordenadas que se utilizó para representar los diagramas de polos y ceros en el
Capítulo 4. La segunda es la parte imaginaria de P(s). (Im P. Versus la parte real de P(s) (Re P)
llamado plano P(s). Los planos de coordenadas correspondientes para sistemas discretos son el
plano z y el plano P(z).
La correspondencia entre los puntos en los dos planos se llama representación o transforma-
ción. Por ejemplo, los puntos en el planos se transforman en puntos en el plano P(s) mediante la
función P (figura 11.1).
representación
---~--------
~----- p ----,
.,,..,..,.,.,,. P(8
0
)
80
O'
8· planos P(8)· plano
Figura 11-1
ImP
ReP
En general, solamente un lugar geométrico de puntos muy específico del planos (o del plano
z) se transforma en el plano P(s) [o en el plano P(z)]. En los diagramas de estabilidad de Nyquist
este lugar geométrico se denomina Trayectoria de Nyquist, y será el tema de la sección 11.7.
Para el caso especial en que a = O, s = jw, el plano s termina siendo una línea, y P(jw) puede
graficarse en un plano P(jw) con w como parámetro. En el plano P(jw) se construyen diagramas
polares a partir de esta línea (s = jw) en el plano s.
EJEMPLO 11.1. Considere la función compleja P(s) = s2
+ 1. El punto s0 = 2 + j4 se transforma en el
punto P(s0) = P(2 + j4) = (2 + j4)2 + 1 = -11 + j 16 (figura 11-2).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-330-320.jpg)
![320 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
iw ImP
1
'4 8
---1 o P(s0) t----- 16
1
1
1
1
1
1
1
2 (T -11
ReP
Figura 11-2
11.3 Definiciones
Las siguientes definiciones son necesarias para entender mejor las próximas secciones.
Definición 11.1: Si la derivada de P en s0 definida mediante
- =hm
dPI _. [P(s)-P(s0 )]
ds s=so s--+s0 S - s0
existe en todos los puntos de una región del planos, esto es, si el límite es
finito y único, entonces Pes analítica en esa región [se da la misma defini-
ción para P(z) en el plano z, remplazando s por z y s0 por z0 ].
Las funciones de transferencia en los sistemas físicos prácticos (aquellos que se consideran en
este libro) son analíticas en el planos finito (o en el plano z finito) excepto en los polos de P(s) [o
en los polos de P(z)]. En los desarrollos siguientes, cuando no hay riesgo de ambigüedad y cuando
un enunciado dado se aplica tanto a P(s) como a P(z), éstas pueden abreviarse como P sin argu-
mento.
Definición 11.2: Un punto en el cual P [P(s) o P(z)] no es analítica es un punto singular o una
singularidad de P [P(s) o P(z)].
Un polo de P [P(s) o P(z)] es un punto singular.
Definición 11.3: Un contorno cerrado en un plano complejo es una curva continua que co-
mienza y termina en el mismo punto (figura 11-3).
Im
contorno
·cerrado
Re
Figura 11-3](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-331-320.jpg)
![322 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 11.2. El contorno del plano P, en la figura 11-6, rodea el origen una vez. Esto es, N0 = 1.
Comenzando en el punto a, giramos una línea radial trazada desde el origen hasta el contorno, en la
dirección R hasta el punto c. El ángulo subtendido es+ 270º. De e ad aumenta el ángulo, luego disminu-
ye, y la suma total es Oº. De da e y de regreso nuevamente ad, el ángulo barrido por la línea radial de nuevo
es Oº. De da e es Oº, y de e hasta a es + 90º. Por tanto, el ángulo total es 270º + 90º = 360º. En
consecuencia N0 = 1.
ImP
e
ReP
Figura 11-6
11.4 Propiedades de las representaciones P(s) o P(z)
Todas las transfonnaciones P [P(s) o P(z)] que se consideran en lo que resta de este capítulo
tienen las siguientes propiedades.
1. Pes unafunción univaluada. Esto es, todo punto en el planos (o en el plano z) se transfor-
ma en uno y sólo uno en el plano P.
2. Los contornos del plano s (y del plano z) evitan los puntos singulares de P.
3. Pes analítica excepto posiblemente en un número finito de puntos (singularidades) en el
plano s (o en el plano z)....
4. Todo co11tomo cerrado en el planos (o en el plano z) se transfonna en otro en el plano P.
5. P es una transformación conforme. Esto significa que la dirección del ángulo y el ángulo
en sí entre dos curvas cualesquiera que se cortan en su punto de intersección en el plano s
(o en el plano :) se preservan en la transfonnación de estas curvas en el plano P.
6. La transfonnación P obedece al principio de los argumentos. Esto es, el número total de
rodeos N0 del origen hechos por un contorno cerrado P en el plano P, transfonnado desde
un contorno cerrado en el planos (oen el planoz), es igual al número de ceros C0 menos el
número de polos P0 de P encerrados por el contorno del planos (o del plano z). Esto es,
N0 = Co - Po (11.1)
7. Si el origen está encerrado por el contorno P, entonces N0 > O. Si el origen no está
encerrado por el contorno P, entonces N0 ::5 O. Esto es,
encerrado~ N0 > O
no encerrado~ N0 ::5 O
El signo de N0 se determina fácilmente al sombrear la región a la derecha del contorno en
la dirección prescrita. Si el origen cae en la región sombreada, N0 > O; si no, N0 ::5 O.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-333-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST
Im P(j111)
coordenadas
rectangulares
Re P(iw)
tf,=270°
325
coordenadas
polares
//
</)(1110)
tf,=0º
P(jw) = Re P(i111) + i lm P(i111) P(iw) =IP(iw)I~
Figura 11-9
general P la representación unificada de las funciones de respuesta de frecuencia que se da en la
ecuación (10.1) para GH, esto es, usamos la representación genérica P(w) definida mediante
para sistemas continuos
para sistemas discretos
En estos términos, las ecuaciones (11.2) a la (11.4) se convierten en
P(w) = IP(w) l/ct,(w) = IP(w) l(coscp(w) +jsen,;f>(w)) = ReP(w) +jlm P(w)
Usamos esta notación unificada en la mayor parte de lo que resta de este capítulo y en los
siguientes, particularmente en donde los resultados son aplicables a ambos sistemas.
11.6 Propiedades de los diagramas polares
Las siguientes son varias propiedades útiles de los diagramas polares de P(w)[PUw) o
P(ej"'7)].
1. El diagrama polar para
P(w) + a
en donde a es cualquier constante compleja, es -idéntico al diagrama para P(w) con el
origen de coordenadas desplazado al punto -a = -(Re a + j Im a).
2. El diagrama polar de la función de transferencia en un sistema lineal invariable en el
tiempo exhibe simetría conjugada. Esto es, la gráfica para -oo < w < Oes la imagen
especúlar alrededor del eje horizontal de la gráfica ·para O :5 w < oo.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-336-320.jpg)
![326 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
3. El diagrama polar puede construirse directamente a partir de un diagrama de Bode (Capí-
tulo 15), si éste se encuentra disponible. Los valores de la magnitud y del ángulo de fase a
diferentes frecuencias w en el diagrama de Bode representan puntos en el lugar geométri-
cos del diagrama polar.
4. Los incrementos constantes de frecuencia generalmente no se encuentran separados por
intervalos iguales en el diagrama polar.
EJEMPLO 11.6. Para a = 1 y P = GH, el diagrama polar de la función l + GH está representado por el
diagrama para GH, con el origen de coordenadas desplazado al punto - l +jO en coordenadas rectangúlares
(figura 11-10).
lm [l+GH]4
1
1
1
1
1
ReGH =-1
ImGH
ReGH =O
Figura 11-10
ReGH
Re [l+Gh]
EJEMPLO 11.7. Para ilustrar la representación gráfica de funciones de transferencia, considere la fun-
ción de transferencia del sistema continuo en malla abierta
1
GH(s)=--
s+l
Haciendo s =jw y escribiendo de nuevo GH(jw) en la forma de la ecuación (J J.2) (forma polar), tenemos
Para w
1 1 /
GH(jw) = -.-- = -=== - tan- 1
w
)W + 1 /w2 + l '------
GH(jO)=l~
GH(jl) = (1/v'2)/ -45º
lim GH(jw) =o/-90°
.., ..... 00](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-337-320.jpg)
![330 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
inferior del círculo unitario en coordenadas polares, desde - 180º (-Tr radianes) hasta Oº (O
radianes) [figura 11-14b)].
planos
jw
.w,
l'[
jwT
o
(a)
w = 2'1T ( r~dianes)
' T tiempo
plano z
jv
w,
w= 4
<t> = 90°
w=O
µ
o </> = ±180° </>=Oº
b
-.,, radianes
a
a
(h)
Figura 11-14
11.8 El diagrama de estabilidad de Nyquist
b
q,( "'o)
',,¿
1 ~ '
q, = 270° o -90°
El diagrama de estabilidad de Nyquist, una extensión del diagrama polar, es una transforma-
ción de toda la trayectoria de Nyquist en el plano P. Se construye utilizando las propiedades de las
transformaciones tratadas en las secciones 11 .4 y 11 .6, y, para los sistemas continuos, las ecua-
ciones(/1.5) a la (11.8) y la ecuación(/1.12). Un bosquejo dibujado cuidadosamente es suficien-
te para la mayor parte de los propósitos.
En los siguientes pasos se esboza un procedimiento general de construcción para los sistemas
continuos.
Paso 1: Verifique los polos de P(s) sobre el eje jw y en el origen.
Paso 2: Utilizando las ecuaciones(/1.5) a la (J 1.7), haga un bosquejo de la imagen de la
trayectoria ad en el plano P(s). Si no hay polos sobre el ejejw, no necesita emplear
la ecuación (11.6). En este caso, el paso 2 debe leerse: haga un bosquejo del diagra-
ma polar de P(jw).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-341-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 333
En los valores extremos de oo tenemos
lim GH(jw) = oo/-90°
w .... o
lim GH(jw) = o/-180º
w--+ <Xl
A medida que w aumenta en el intervalo O< w < oo, la magnitud de GH disminuye de oo a Oy el ángulo
de fase disminuye de manera estacionaria desde -90º hasta -180º. Por tanto el contorno no atraviesa el eje
real negativo, sino que se aproxima a éste desde abajo, como se muestra en la figura 11-19.
e
i
f
Figura 11-18
ImGH
ReGH
Figura 11-19
i'r-
''
'
ImGH
GH(«>)
d',e',f'
'
_,,,
Figura 11-20
I
/
/
ReGH
La trayectoria f' i' es la imagen especular alrededor de Re GH, de la trayectoria a'd'. Puesto que los
puntos d' yf se encuentran en el origen, claramente éste es la imagen de la trayectoria def. En consecuen-
cia se hace innecesaria la aplicación de la ecuación (/ / .8).
La trayectoria ija: s = lim P _ 0 pe19 para - 90° ~ 8 ~ 90°, y
IimGH(pe
19
)=lim[ º(
1
0 )]=lim[~]=oo·e-J9
=oo/_::_!,
p-+O p-+O pe1 pe1 + 1 p-+O pe1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-344-320.jpg)
![338 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 11.13. En la figura 11-24 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para 1/s(s - 1). Se
ha s.ombreado la región a la derecha del contorno, y el punto (- 1, O) está encerrado; entonces N > O. (Es
claro que N = 1.) Los polos de CH están en s = Oy s = +1, y el último polo está en la MDP. Por tanto P0 = 1.
N * -P0 indica que el sistema es inestable. A partir de la ecuación (JJ .14) tenemos
Co = N + Po= 2
ceros de 1 + CH en la MDP.
EJEMPLO 11.14. En el ejemplo 11 .11 se determinó el diagrama de estabilidad de Nyquist para la función
de transferencia discreta en el tiempo en malla abierta
K/4
CH( z) = -(z---1-)(-z---0.5)
y se repite en la figura 11-25 paraK = 1. Se ha sombreado la región a la derecha del contorno, yel punto (-1,
O) no está encerrado para K = I. Así, N :s O, y a partir de la ecuación (/ / .13) no hay polos por fuera del
círculo unitario del plano z, esto es, P0 = O. Por tanto, N = -P0 = O, y en consecuencia el sistema es estable.
e'
/' Re GH
diagrama polar
para O < w < (2n - l)'IT ._
n = 1,2, ...
Figura 11-25
11.11 Estabilidad relativa
Los resultados de esta sección y de la siguiente se establecen en términos de GH(w), para
sistemas continuos [GH(jw)] o para sistemas discretos [GH(ei"'T)].](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-349-320.jpg)
![ANALISJS DE NYQUJST 339
La estabilidad relativa de un sistemade control con retroalimentación se determina fácilmente
a partir del diagrama de estabilidad polar o de Nyquist.
La frecuencia de cruce de fase (angular) w'Tr es aquella a la cual el ángulo de fase de GH(w)
es -180º, es decir, la frecuencia a la que el diagrama polar cruza el eje real negativo. El margen
de ganancia está dado por
1
margen de ganancia = !GH(w.,)I
Estas cantidades se ilustran en la figura 11-26.
ImGH ImGH
//círculo unitario
GH(..,v) (-1,0)/
ReGH ReGH
Figura 11-26 Figura 11-27
La frecuencia de cruce de ganancia w1 es aquella a la cual IGH(w)I = l. El margen de
fase <fJMF es el ángulo por el cual debe rotarse el diagrama polar para hacer que pase por el punto
(-i, O). Este se encuentra dado por
<fJMF = [180 + argGH(w1)] grados
Estas cantidades se ilustran en la figura 11-27.
11.12 Los círculos M y N*
La respuesta de frecuencia en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentación
unitaria esta dada por
e G( w) 1 G( w) 1 -1 [ Im(e/R )( w) ]
R ( "') = 1 + G( w) = 1 + G( w) tan Re(C/ R )( w)
,.._____;;;'--------=
(11.15)
* Las letras M y N, que en esta sección se usan como símbolos para los círculos M y N, no son iguales y no deben
confundirse con la variable manipuladaM =M(s), definida en el Capítulo 2, ni con el número de rodeos N del punto (-1, O)
de la sección 11.10. Es infortunado que se utilicen los mismos símbolos para representar más de una cantidad. Pero, en
virtud de ser consistentes con la mayor parte de los demás textos de sistemas de control, hemos mantenido la terminología
de la literatura clásica, y ahora lo hemos aclarado al lector.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-350-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 343
Realmente las dos líneas en el plano P(jw) están superpuestas, pero aquí, para mayor claridad,
se muestran separadas.
11.3. Transforme la región rectangular del planos, delimitada por las líneas w = O, u = O,
w = 1 y u = 2, al plano P(s) utilizando la transformación P(s) = s + 1 - j2.
Tenemos
w=O:
a=O:
P( a) = (a+ 1) - j2
P( jw) = 1 +j(w - 2)
w=l:
a=2:
P( a+11) = (a+ 1) - 11
P{2 +jw) = 3 +j( w - 2)
Puesto que CT varía en todo el intervalo de los números reales (-oo < (T < oo) sobre la línea
w = O, también lo hace CT + 1 en P(CT) = (CT + 1) -j2. En consecuencia, w =Ose transforma en
la línea -j2 en el plano P(s). De modo similar, CT = Ose transforma en la línea P(s) = 1,"w = 1 se
transforma en la línea P(s) = -ji, y CT = 2 en la línea P(s) = 3. En la figura 11-31 se ilustra la
transformación resultante.
Im P(s)
1 3
2
" Re P(s)
-1
-2
plano s plano P(s)
Figura 11-31
Este tipo de representación se llama transformación por traslación. Nótese que ésta sería exac-
tamente la misma si s = CT + jw se remplazara por z = µ, + jv en este ejemplo.
11.4, Halle la derivada de P(s) = s2
en los puntos s = s0 y s0 = 1.
dPI [P(s)-P(s0 )] [s2
-sJ]
- = 1im - - - - - = 1im - - = 1im (s+s0 ) =2s0
ds s=so S...So s - So , ...so s - So , ...so
En so = 1 tenemos (dP/ds)I s= 1 = 2. De modo similar, si P(z) = z2
, (dP!dz)I z= 1 = 2.
Funciones analíticas y singularidades
11.5. ¿P(s) = s2
es una función analítica en alguna región del planos? Si lo es, ¿en cuál región?
Del problema anterior (dP!ds)ls-so = 2s0 . De donde s1
es analítica dondequiera que 2s0 sea
finita (definición 11.1). De esta manera s2
es analítica en toda la región finita del plano s. Tales
funciones a menudo se llaman funciones completas. Igualmente z2
es analítica en toda la región
finita del plano z.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-354-320.jpg)
![344 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
11.6. ¿P(s) 1/s es analítica en alguna región del plano s?
- =~---=~---=-
dP-1 . [1/s-1/s0 ] • [-(s-s0 )] -1
ds •-•o s-+s0 s - s0 s-s0 ss0 ( s - s0 ) sJ
Esta derivada es única y finita para todo s0 "i' O. De tal manera que lis es analítica en todos los
puntos del plano, excepto en el origen, s = s0 =O.El puntos= Oes una singularidad (polo) de lis.
Existen otras singularidades diferentes de los polos, pero no en las funciones de transferencia de los
componentes de los sistemas de control ordinarios.
11.7. ¿P(s) = ls12
es analítica en alguna región del plano s?
Primero hacemos s = u + jw, s0 = u0 + jWQ. Entonces
dP 1 . [ la+jwl
2
- li1o +Jw<¡j2 l
-;¡; s=so = (s-~-+O (a+Jw) -(0o +}Wo)
= lim
. [ ( a - ao)( a+ ao) + (w - wo)( w + Wo) ]
[(o-oo)+J(c.,-c.,o)]-+O ( a - CJo) +J( W - Wo)
Si existe el límite, éste debe ser único y no debe depender de cómo se aproximes a s0 , o de manera
equivalente cómo [(u - u0) +j(w - w0)] se aproxime a cero. Así que, primero, hagamos que
s -+ s0 a lo largo del eje jw y obtenemos
Ahora, hagamos que s -+ s0 a lo largo del eje u; es decir,
. [ ( a - ao)(a+ ao)]
lim - - - - - =2ao
a-+ao a-ao
w-wo
De donde no existe el límite para valores arbitrarios diferentes de cero de u0 y Wo, y en consecuencia
ls12
no es analítica en parte alguna del planos excepto posiblemente en el origen. Cuando s0 = O,
dP 1 = ~ [lsl
2
- O] = ~ [ (a+ jw)( ~ - jw)] =0
ds ,-o s-+O S s-+O a+JW
Entonces, P(s) = ls12
es analítica únicamente en el origen, s = O.
11.8. Si P(s) es analítica en s0 , demuestre que debe ser continua en s0 . Es decir, demuestre que
lim s -. •o P(s) = P(s0 ).
Puesto que
P(s) - P(s0 )
P(s)-P(s0 )= ( ) ·(s-s0 )
s-so](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-355-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 345
para s # s0 , entonces
[
P(s)-P(s0 )] [dPI]
lim [P(s)-P(s0 )] = lim ( ) · lim (s-s0 ) = - ·0=0
s->so , ...., 0 S - So s-+s0 ds s-so
porque (dP!ds)ls-so existe por hipótesis [es decir, P(s) es analítica]. Por tanto
lim [P(s) - P(s0 )] =0 o lim P(s) =P(s0 )
s-+s0 s-+s0
11.9. Las funciones polinómicas se definen mediante Q(s) =ansn + an_ 1sn-l + ... + a1s +
a0 , en donde an =F- O, n es un entero positivo llamado grado del polinomio, y a0 , á1,... , an
son constantes. Demuestre que Q(s) es analítica en toda región limitada (finita) del plano s.
Primero consideremos sn:
De modo que sn es analítica en toda región finita del plano s. Entonces, por inducción matemática,
sn-,, sn-2
, •• • , stambién son analíticas. En consecuencia, mediante los teoremas elementales de los
límites de sumas y productos, vemos que Q(s) es analítica en toda región finita del plano s.
11.10. Las funciones algebraicas racionales se definen mediante P(s) =N(s)ID(s), en donde N(s)
y D(s) son polinomios. Demuestre queP(s) es analítica en todo puntos dondeD(s) *O; es
decir, pruebe que las funciones de transferencia de los elementos de sistemas de control
que toman la forma de funciones algebraicas racionales son analíticas excepto en sus
polos.
Prácticamente la totalidad de los elementos de los sistemas de control lineales se encuentran en
esta categoría. El teorema fundamental del álgebra, "un polinomio de grado n tienen ceros y puede
expresarse como un producto den factores lineales", nos ayuda a introducir a P(s) en una forma más
reconocible como función de transferencia de un sistema de control; es decir, P(s) puede escribirse
en la forma familiar.
N(s) bmsm + bm_1sm-l + "· +ho bm(s + z1 )(s + z2) "· (s + zm)
P(s)= D(s) = ansn+an_1
s"-1 + ... +a0
= an(s+p¡)(s+p2) ···(s+pn)
en donde -z1, -z2 , ... , -zn son ceros, -p1, -p2, ... , -pn son polos, y m ::5 n.
De la identidad dada por
N(s) _ N(so). ( / ( )[D(s0
)(N(s)-N(s0 )}-N(s0 )(D(s)-D(so))]
D(s) D(s0 ) D s D s0](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-356-320.jpg)
![346 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
en donde D(s) .,¡. O, obtenemos
r
N(s) N(s0 ) l
dP . D(s) - D(s0 )
- = lim
ds 1.,-.-0
s__.,so S - So
. [ 1 ( [N(s)-N(s0 )] [D(s)-D(s0 )])]
= lim - - - - D(s0 ) - - - - -N(s0 )
s---s0 D(s)D(s0 ) s-s0 s-s0
. [ 1 (N(s)-N(s0 ))] . [ N(s0 ) (D(s)-D(s0 ))]
= s~~o D(s) s-so - s~~o D(s)D(so) s-so
= lim - - · lim - - - - - - lim - - - - · hm
. [ 1]. [N(s)-N(s0 )] . [ N(s0 ) ] . [D(s)-D(s0 )]
s---s0 D(s) s---s0 s-s0 s---s0 D(s)D(s0 ) s---s0 s-s0
1 dNI N(s0 ) dDI
D( so) ds ,-so D(so)2 ds ,-,.
en donde hemos usado los resultados de los problemas 11.8, 11.9, y la definición 11.1. En conse-
cuencia, la derivada de P(s) existe (P(s) es analítica) para todos los puntos sen donde D(s) ,é O.
Nótese que hemos determinado una fórmula para la derivada de una función algebraica racional
(la última parte de la ecuación anterior) en térm1nos de las derivadas de su numerador y su denomi-
nador, además de resolver el problema pedido.
11.11. Demuestre que e-sT es analítica en toda región limitada del plano s.
En la teoría de las variables complejas e-sT se define por medio de la serie de potencias
00
( -sT}*
e-•T= L ---
k-o k!
Mediante la prueba de relación, a medida que k - oo tenemos
(-sT)k/k! =lk+ll-oo
( -sT)k+ 1
/(k + 1)! -sT
En consecuencia el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito. La suma de una serie
de potencias es analítica dentro de su radio de convergencia. Así que, e - sT es analítica en cada región
limitada del plano s.
11.12. Demuestre que e- sT P(s) es analítica dondequiera que P(s) sea analítica. En consecuencia
los sistemas que contienen una combinación de funciones de transferencia algebraicas
racionales y operadores de retardo de tiempo (es decir, e - sT) son analíticas excepto en los
polos del sistema.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-357-320.jpg)
![350 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
lo largo de la curva C. En consecuencia, C' se describe por medio de P[s(t)] en el plano P(s). La:
derivadas ds!dt y dP!dt representan los vectores tangentes a los puntos correspondientes en C y C'
Ahora
dP[s(t)) 1 = ds. dP(s) 1
dt P(s)-P(so) dt ds s-so
en donde se ha utilizado el hecho de que Pes analítica en algún punto s0 5 s(t0 ). Poniendo dP!dt 5
r1eN, dP!ds 5 r2eiª, y ds!dt 5 r3ei8
. Entonces
Igualando los ángulos, tenemos </>(s0) = 0(s0) + o:(s0) = 0(s0) + arg (dP/ds)l ,-,0
, y vemrn
que la tangente a C en s0 ha rotado un ángulo arg (dP/ds)l,-,0 en P(s0) sobre C' en el plano P(s)
Ahora consideremos dos curvas CI y C2que intersecan en s0 , con imágenes Cí yC2en el planc
P(s) (figura 11-37).
Sea 01 el ángulo de inclinación de la tangente a C1, y 02 el de C2. Entonces, los ángulos dt
inclinación para Cí y C2son 01 + arg(dP!ds)l,-,0
, y 02 + arg(dP!ds)ls-so·, En consecuencia el
ángulo (01 - 02) entre C1 y C2 es igual en magnitud y sentido al ángulo' entre Cí y L'f.,
Nótese que el arg(dP/ds)l,-,0
es indeterminado si (dP/ds)l ,-,0
O.
jw
(T
ReP
Figura 11-37
11.23. Demuestre que P(s) = e-sT es confobne en toda región limitada del plano s.
e-,T es analítica (problema 11.11). Más aún, (d!ds)(e-sT) = -:Te-sT # Oen cualquier región
limitada (finita) del plano s. Entonces, a partir del problema 11.12, P(s) = e-sT es conforme.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-361-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 351
11.24. Demuestre que P(s)e-sT es conforme para P(s) racional y dP!ds ,f= O.
A partir del problema 11.12, Pe-sT es analítica excepto en los polos de P, y también,
Supóngase (d!ds)[Pe-sT] =O.Entonces, puesto que e-sT i= Opara cualquier s finito, se tiene dP!ds
- TP = Ocuya solución general es P(s) = kesr, con k constante. Pero Pes racional y esT no Jo es.
Por tanto (d!ds)[Pe-sT] =t- O.
11.25. Dos contornos C1 y C2 en el planos intersecan en un ángulo de 90º en la figura 11-38. La
función analítica P(s) transforma estos contornos en el plano P(s), y dP/ds -:f= O en s0 .
Dibuje la imagen del contorno C2 cerca de P(s0 ). También se da la imagen· de C1•
ImP
p
.,,.,..._...----- .......
P(s0)
e;
(T
ReP
Figura 11-38
A partir del problema 11.22, P es conforme; en consecuencia el ángulo entre Cí y q es 90º.
Puesto que C1 hace un giro a la izquierda en tomo a C2 en s0 , entonces Cí también debe girar a la
izquierda en P(s0) (figura 11-39).
ImP
ReP
Figura 11-39
11.26. Pruebe la ecuación (11.1): N0 = C0 - P0 •
La prueba exhaustiva implica mucho más de lo que podemos manejar con lo que se presenta en
este libro acerca de la teoría de variables complejas. Así que asúmimos que se tiene conocimiento](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-362-320.jpg)
![352 TEORIA y PROBLEMAS DE RETROÁLIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
de un teorema bien conocido de funciones de una variable compleja, y continuamos a partir de allí.
El teorema establece que si Ces un contorno cerrado en el planos, P(s) es una función analítica en C
y dentro de C excepto en los posibles polos, y P(s) =t- O en C, entonces
1 P'(s)
2wj { P(s) ds = Co- Po
en donde C0 es el número total de polos dentro de C, PO el número de polos dentro de C y P' =
dP/ds. Los polos y los ceros múltiples se cuentan uno por uno; es decir, un polo doble en un punto
son dos polos del total, un cero triple son tres ceros del total.
Ahora, puesto que d[ln P(s)] = [P'(s)/P(s)]ds y In P(s) = In IP(s)I + j arg P(s), tenemos
1 [ P'( s) ] 1 1 1 1 1
-.J -) ds=-.jd[lnP(s)l =-.[In P(s)] = -. [InlP(s) 1+jargP(s)]
2wJ e P(s 2wJ e 2wJ e 2wJ e
= ~[InlP(s) I] 1 + ~[JargP(s)]I
2wJ e 2wJ e
Ahora, puesto que lnlP(s)I devuelve su valor original cuando vamos una vez alrededor de C, el
primer término en la· última ecuación es cero. Por tanto
C0-P0 = L[argP(s)]lc
Puesto que Ces cerrado, la imagen de C en el plano P(s) es cerrada, y el cambio neto en el ángulo
arg P(s) alrededor del contorno P(s) es 21r veces el número de rodeos N0 del origen en el plano P(s).
Entonces Co - P0 = 2N01r!21r = N0. A menudo este resultado se llama principio del argumento.
Nótese que éste sería el mismo si reemplazamos s por z en todo lo anterior. Por tanto, la ecuación
(11.1) también es válida para sistemas discretos en el tiempo.
11.27. Determine el número N0 de rodeos del contorno en el plano P para el contorno del plano
complejo, transformado en el primero, como se muestra en la figura 11-40.
Im
el contorno encierra
2 polos y I cero
Re
Figura 11-40
P0 = 2, C0 = 1. Por tanto N0 = 1 - 2 = - 1.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-363-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 353
11.28. Determine el número C0 de ceros encerrados por el contorno del plano complejo de la
figura 11-41, en donde P0 = 5.
Im lmP
p
,,,...,.,..--------......
X X
;
X X Re ReP
Figura 11-41
N0 = 1 se calculó en el problema 11.8 a partir del contorno dado en el plano P. Puesto que Po= 5,
entonces Co = N0 + P0 = 1 + 5 = 6.
11.29. Determine el número P0 de polos encerrados por el contorno del plano complejo en la
figura 11-42, en donde C0 == O.
Im ImP
p
,,,...-----.......
Re ReP
Figura 11-42
Claramente, N0 = -1. En consecuencia Po = C0 - N0 = O + 1 = 1.
11.30. Determine N0 [ecuación (J 1.!)] para la función de transferencia (transformación) y el
contorno del plano s de la figura 11-43.
'
;I,)
2j
-
-2 2
...
tT
-2j
Figura 11-43](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-364-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 361
Para O< w < oo, el diagrama polar pasa por el tercero y cuarto cuadrantes porque ,¡, = - [tan- 1
(w!p1) + tan- 1
(w/p2
)] varía desde 0° hasta 180º cuando aumenta w.
A partir del problema 11.39, la trayectoria def se dibuja en el origen P(s) = O. Por tanto el
diagrama de estabilidad de Nyquist es una réplica del diagrama polar. Esta se dibuja fácilmente a
partir de las derivaciones anteriores, como se muestra en la figura 11-53.
11.43. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s.
En la figura 11-54 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema simple del tipo l.
e
"
ImGH}:_
1 '
. "
1 .,
w=oo 1 ReGH
d',e',f'
GH(iw)
I
w=O¡J
/
a/
Figura 11-54 Figura 11-55
Para la trayectoria ad, s = jw O < w < oo, y
1 1 /
GH(jw) =-:- = - -90º
)W W
lim GH(jw) =oo/-90°
.,....o '
lim GH(jw) =O/ -90°
., .... 00
La trayectoria def se transforma en el origen (véase el problema 11.39).
La trayectoria f' i es la imagen especular de dd alrededor del eje real.
La imagen de la trayectoria ija se determina a partir de la ecuación (11.12) haciendo
s =limP_ 0pe111, en donde -90º :S fJ :S 90º:
Para el punto i, {J = -90º; entonces i se transforma en i' en oo /90º. En el punto j, fJ = Oº;
entonces el puntoj se transforma enj' en oo f.!!:_. De manera similar, a se transforma en a' en 00
/ - 90°. La trayectoria tj'a' también pudo haberse obtenido a partir de la propiedad de la
representación conforme de la transformación, como se explicó en el ejemplo 11.9, además de la
afirmación probada en el problema 11.41.
El diagrama de estabilidad de Nyquist resultante se muestra en la figura 11-55.
11.44. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s(s +p1')(.s +p2),
Pi, P2 > O.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-372-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 367
1im GH( jw) = oo/ 180°
w-+a
lim GH(jw) = o/180°
w-+oo
La trayectoria def se transforma en el origen por medio del problema 11.39, y f g'h'a' es la
imagen especular de a'b'e'd' alrededor del eje real. En la figura 11-63 se presenta el diagrama
de estabilidad de Nyquist resultante.
11.50. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = (s - z1)/s(s +p),
Z¡, p > 0.
La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 1 es la misma que para el problema 11.43.
Para la trayectoria ad,
jw-z
GH(jw) = . ( .
1
)
}W JW+ p
en donde hemos utilizado
Ahora
¡;;¡¡-;f 90° - tan- 1 [ w( p +z¡)]
wJw2 + p2 pz¡ - w2
'--------"-----~
lim GH(Jw) = oo/ +90°
w-+O
GH(Jliz;)= ~~
PyPZ¡
lim GH(jw) =0/-90º
w-+oo
Así, el lugar geométrico viene del primer cuadrante, atraviesa el eje real positivo hacia el cuarto
cuadrante, y se aproxima al origen en un ángulo de -90º.
La trayectoria defse transforma en el origen, y la trayectoria ija se transforma en un semicírculo
en el infinito. En la figura 11-64 se presenta la gráfica resultante.
ImGH
a'
., =±ypzl
j' d',e',f' ReGH
'' 1
----4i'
Figura 11-64](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-378-320.jpg)
![368 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
El criterio de estabilidad de Nyquist
11.51. Demuestre el criterio de estabilidad de Nyquist.
La ecuación(//.//) establece que el número N0 de rodeos R (horarios) del origen, hechos por
un contorno cerrado en el plano P, transformados desde un contorno cerrado en el plano complejo,
es igual al número de ceros C0 menos el número de polos Po de P encerrados por el contorno del
plano complejo: N0 = C0 - P0 • Esto se demostró en el problema 11.26.
Ahora hacemos P == 1 + GH. Entonces, el origen para 1 + GH en el plano GH está en GH = -1
(Véanse el ejemplo 11 .6 y el problema 11.33). Por tanto hagamos que N represente el número de
rodeos R (horarios) de este punto -1 + jO == (-1, O), y hagamos que el contorno en el plano
complejo sea la trayectoria de Nyquist definida en la sección 11.7. Entonces N == C0 - P0 , en donde
C0 yP0 son el número de ceros y de polos de 1 + GH encerrados por la trayectoria de Nyquist. P0
también es el número de polos de GH encerrados, puesto que GH == N!D, entonces 1 + GH = 1 +
N!D = (D + N)!D. Esto es, GH y 1 + GH tienen el mismo denominador.
Sabemos, a partir del Capítulo 5, que un sistema con retroalimentación (continuo o discreto) es
absolutamente estable si y sólo si los ceros del polinomio característico 1 + GH (las raíces de la
ecuación característica 1 + GH = 0) están en la MIP (o en el círculo unitario), es decir, C0 =O.Por
tanto, N = -P0 , y claramente P0 2: O.
11.52. Extienda el criterio de estabilidad de Nyquist a una clase superior de sistemas lineales
continuos distintos a los ya considerados en este capítulo.
Desoer [5] ha extendido el criterio de estabilidad de Nyquist. El siguiente enunciado es una
modificación de esta generalización, la cual se encuentra con su prueba en la referencia.
Un criterio generalizado de estabilidad de Nyquist: Considérese el sistema lineal invariable en
el tiempo descrito por el diagrama de bloques de la figura 11-65. Si g(t) satisface las ~ondiciones
que se dan a continuación y el diagrama de estabilidad de Nyquist de G(s) no encierra el punto (- 1,
O), entonces el sistema es estable. Si el punto (- 1, O) está encerrado, el sistema es inestable.
r(t) c(t)
Figura 11-65
J. G(s) representa un elemento de sistema causal lineal invariable en el tiempo.
2. La relación de entrada-salida en g(t) es
en donde ca(t), la respuesta libre del sistema g(t), está limitada para todo t 2: Oy para todas las
condiciones iniciales, y tiende a un valor finito, dependiendo de las condiciones iniciales, a
medida que t -+· "°·
3. La respuesta impulso unitario para g(t) es
fl<,) = rk + fl, <,)11,,)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-379-320.jpg)
![ANALISIS DE NYQUIST 373
d) El margen de fase puede determinarse con facilidad a partir de la gráfica o analíticamente:
arg GH( w1) =arg GH(0.82) =-90° - tan- 1
(0.82) - tan-1
(1.64) =-187.8°
En consecuencia <PMF = 180º + arg GH(w) = -7.8º. El margen de fase negativo significa
que el sistema es inestable.
11.60. Determine los márgenes de fase y de ganancia en el sistema (GH = 1/s) del problema
11.43.
El diagrama de estabilidad de Nyquist de 1/s, como se muestra en la figura 11-74, nunca
atraviesa el eje real negativo; en consecuencia el margen de ganancia es indefinido para este siste-
ma. El margen de fase es <PMF = 90º.
Círculos M y N
11.61. Verifique las ecuaciones (JJ. J8) y (JJ.J9), las cuales dan el radio y el centro de un círculo
M, respectivamente.
Hagamos G(w) = x + jy. Entonces
1
G( w) 1 1 x +jy 1
M = I + G( w) = 1 + x +jy
Elevando al cuadrado ambos lados y reordenando, se produce
[ X - ( 1 ~:2 ) r+Y
2
= ( 1 -MM2 r
[X+ ( M:~1)r+y
2
= (~r
M<l
M>l
Para M = constante, estas ecuaciones son círculos con radios IM/(M2
- 1)1 y centros en
(-M2
/(M2
- 1), O).
11.62. Verifique la ecuación (] 1.20).
La función de transferencia G para un sistema continuo de segundo orden, cuyo grafo de flujo
de señales se muestra en la figura 11-75, es G = w;/s(s + 2fwn) Ahora
M2=1~12
l+G
w4
n](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-384-320.jpg)
![374 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
1 G 1
• •
o
.. •
R e
Figura 11-75
Para encontrar w¡,, hallamos el máximo de la expresión anterior:
d 2 w![2(w;,-,.i2)(-2w)+8fw~w]
-( M ) =---"-------~=O
dw [( w;, - w2)2 +4fw;,w2] 2
de la cual w = w" = ±w,,Vl - 2f. Por tanto para O~ t ~ 0.707,
11.63 Verifique las ecuaciones (/ / .2 /) y (/ / .22), las cuales dan el radio y el centro de un círculo
N.
Hagamos G(w) = x + jy. Entonces
C(w) x2
+x+y2
+jy
R(w) = (l+x)2+y2
y
Im( C/R)( w) y
N=-----
Re( C/R)( w) x2
+ x +·y2
lo cual produce
Para N igual a un parámetro constante, ésta es la ecuación de un círculo de radio / ¼+ (1/2N )
2
y
centro en ( - ½, l/2N).
11.64. Encuentre MP y (para el sistema con retroalimentación unitaria dado por G = 1/s(s + 1).
La función de transferencia general en malla abierta para un sistema de segundo orden es
G = w;,/s(s + 2tw,,). Entonces w,, = 1, t = 0.5, y MP = 1/(2t/i - t2)= 0.$66.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-385-320.jpg)
![376 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
lmGH
0.3 -------......- .................
,, ,,
/ ,,
0.2 /' ,
,, ',
u '
a' b'
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ReGH
-0.1
-0.2
-0.3
Figura 11-77
11.67. Determine el diagrama polar de la función de transferencia en malla abierta del sistema
discreto del tipo I.
paraK= I yT= l.
K(z + 1)2
GH( z) = --~--,-,---,-
( z - l)(z + ½)(z + ½)
Como en el problema 11.66, el diagrama polar que se presenta en la figura 11-78 fue generado
por computador, exactamente de la misma manera como se describió en el problema anterior.
C'
lmGH
4
2
a'
-----------
-] -0.5
-2
--4
Figura 11-78
ReGH](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-387-320.jpg)
![390 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Ahora, insertemos la red de adelanto y determinemos sus efectos. GH3 se hace
>..Ki(b/a)(s + a)
GH4 = ---------
s( s +Pi)( s + p2 )( s + b)
El lim, -olsGH4 (s)J =">..Kv1 nos convence de que la especificación en estado estacionario se ha cumplido.
En efecto, en la región de muy bajas frecuencias tenemos
XKi
GHiJw)l .muypequeno;;; . ( . )( . )
"' )W )W +Pi JW +P2
=GH2
Por tanto el contorno GH4 prácticamente coincide con el contorno GH2 en el intervalo de frecuencias muy
bajas.
En la región de frecuencias muy altas,
. XKi(b/a)
GH4 (Jw)lw muy grande;;; . ( . )( . ) = GH3
)W JW +Pi JW +P2
En consecuencia, el contorno GH4 casi coincide con el contorno GH3 para frecuencias muy altas.
En el intervalo de frecuencias medias, en donde la propiedad de adelanto de fase de la red de adelanto
altera de manera sustancial las características de fase de GH4 , su contorno se inclina desde el lugar geométri-
co de GH2 hacia el de GH3 a medida que w aumenta. Este !fecto se entiende mejor si escribimos GH4 en la
forma siguiente:
GH4
(Jw) = [ XKi(b/a) ] . [jw+a]
Jw(Jw +Pi)(Jw +Pi) jw + b
= GH3.(Jw) ·Padelanto (Jw) = GH3(Jw) ·IPadelanto• (Jw) 1/e/>( W)
ImGH
círculo
unitario
--.......
/ '
I
~
(-1,0)~ /
I
I
I
I
GH3 /
I
1
"
Figura 12-9
ReGH](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-401-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 391
en donde IPactelanto (jw)I = Y(w2
+ a 2
)/(w2
+ b2
), </>(w) = tan- 1
(w/a) - tan- 1
(wlb), a/b <
IPactellmto (jw)I < 1, Oº< </>(w) < 90º. En consecuencia la red de adelanto modifica GH3 como sigue.
GH3 se desplaza hacia abajo comenzando en GHJ(joo) en la dirección S (antihoraria) hacia GH2 , debido a la
contribución de fase positiva de Padelanto [Oº < </>(w) < 90º1- Además está atenuada [O < lPactelanto
(jw)I < 1]. En la figura 12-9 se ilustra el diagrama polar resultante para GH4 .
El sistema representado por GH4 claramente es estable, y <PMF es menor que 45º, al reducir el tiempo de
retraso T" del sistema original representado por GH1• Mediante un procedimiento de ensayo y error, el cero
en -a y el polo en -b pueden elegir de tal manera que se alcance un Mp específico.
En la figura 12-1Ose presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado. Por conve-
niencia sólo se muestra la retroalimentación unitaria.
R
red de
adelanto
12.S Compensación por atraso
amplificador
del factor
de ganancia
Figura 12-10
función de transferencia
de la malla original
e
La función de transferencia para la red de atraso en un sistema continuo, presentada en la
ecuación (6.3), es
Patraso= ~ [S + b]
b s+a
en donde a< b. En la figura 12-11 se presenta el diagrama polar de Pa,raso para O ::5 w < oc.
lm Patraso
Patraso<00
)
Re Patraso
Figura 12-11
Usualmente la red de atraso produce compensación en virtud de su propiedad de atenuación en
la parte de alta frecuencia del diagrama polar, puesto que :Patraso (O) = 1 y Patraso (oc) = a!b < 1.
Varias redes de atraso pueden colocarse en cascada para proporcionar una atenuación aún mayor,](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-402-320.jpg)
![392 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
si se necesita. La contribución de atraso de fase de la red de atraso a menudo se restringe mediante
el diseño al intervalo de muy baja frecuencia. Algunos de los efectos generales de la compensa-
ción por atraso son:
1. Usualmente disminuye el ancho de banda del sistema.
2. La constante de tiempo dominante 7 del sistema a menudo aumenta, produciendo un
sistema más lento.
3. Para una estabilidad relativa dada, el valor de la constante de error aumenta.
4. Para un valor dado de la constante de error, la estabilidad relativa se mejora.
El procedimiento para utilizar la compensación por atraso para mejorar el desempeño del
sistema es esencialmente el mismo usado para la compensación por adelanto.
EJEMPLO 12.5. Rediseñemos el sistema del ejemplo 12.3 utilizando un factor de ganancia más la com-
pensación por atraso. La función de transferencia en malla abierta original es
K1
GH1 = -------
s( s +P1)(s +Pi)
La función de transferencia de la compensación del factor de ganancia es
">.K1
GH2 = - - - - - -
s(s +p¡)(s +p2 )
Puesto que Pa1raso (O)= 1, la introducción de la red de atraso después que se ha cumplido el criterio de estado
estacionario mediante la compensación del factor de ganancia, no requiere un aumento adicional en el factor
de ganancia.
Introduciendo la red de atraso, obtenemos
Ahora
">.K1(a/b)(s + b)
GH3= ----------
s(s +p1 )(s +p2 )(s + a)
lim [ sGH3(s)] = ">..K,,1
s->O
en donde Kv1 = K1/p 1p2 • Por tanto GH3 cumple la especificación de estado estacionario.
En la región de frecuencias muy bajas,
GH3(jw)I,,, muy pequeño
Por tanto GH casi coincide con GH2 a frecuencias muy bajas, y en este intervalo se manifiesta de por sí la
propiedad de atraso de esta red.
En la región de frecuencias muy altas,
. ">.(a/b)K1
GH3(Jw)I,,, muy grande;¡¡ . (. )(. ) =">.(a/b)GH1(jw)
JW JW +P1 JW +P2](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-403-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 397
y w1 satisface la ecuación
Ahora, w 1 y </>MF podrían determinarse de manera gráfica a partir de un diagrama de estabilidad de
Nyquist de Gí'G2 , como se muestra en la figura 11-16. Pero una tarea menos difícil es resolver w1 y
<f>MF a partir de las ecuaciones que los definen, preferiblemente empleando un programa de computador
capaz de hacer cálculos numérios complejos. Esto puede hacerse al sustituir primero zen Gí'G2(z) por
e1oñ, y utilizar las sustituciones de la forma polar, la forma de Euler y/o la forma compleja [ecuaciones
(11.2) a la (11.4)] y luego resolver para w1T de tal modo que 1Gí'G21= l. A este,respecto la solución
por ensayo y error de w1T puede ser útil, ya que la utilizamos para encontrar w 1T = 2.54 rad, después
éle varios ensayos, lo cual da como resultado Gí'Gz(w1) = -0.72 + jO.7, y
</JMF =, [ 180º - tan-l( _:~
72
)] = -44.4°
Con claridad se ve que w1 = 2.54/0.1 = 25.4 > 10 rad/s satisface la espécificación 3 de desempeño
pero no el requerimiento 2 del margen de fase, porque <f>MF = -44.4° 130º, el margen de fase negativo
también indica que el sistema en malla cerrada con Gí'G2
es inestable.
La introducción de un compensador por atraso podría resolver la restricción restante porque éste au-
menta el margen de fase sin afectar el error en estado estacionario. La función de transferencia de un
compensador digital por atraso se presentó en el ejempfo 6.12, ecuación (6.11), como
Patraso (z) = - - - -
. ( 1 - Pe ) [ z - Zc]
1 - zc Z - Pe
(12A)
en donde Ze < Pe· Nótese que Pairaso(l) = Patraso (eJJ) = 1, lo cual explica porqué la red de atraso no afecta la
respuesta en estado estacionario de este sistema del tipo 1. En la figura 12-26 se presenta el diagrama polar
de Patraso,
El problema ahora es escoger los valores apropiados de ze y Pe que produzcan <f>MF ~ 30º y w 1 ~ 10
rad/s. De nuevo, efectuamos esto por ensayo y error, utilizando un computador para evaluar la solución
simultánea para Ze y Pe de las dos relaciones IG{" G2(10)1 = 1, y
en donde G/"G2 = Pairaso (G/'G2). Estas ecuaciones tienen múltiples soluciones y, a menudo, unas
buenas elecciones paraPe y ze son valores cercanos a 1, porque entonces Patraso tiene efectos mínimos sobre
la fase de G/'G2 a frecuencias más altas. El polo y el cero de Parraso efectivamente se cancelan entre sí a
altas frecuencias cuando sus valores son cercanos a 1. Después de varios ensayos, obtuvimos a =0.86 y b =
0.97, y un compensador final:
l.59(z-0.86)
G¡(z)=G¡'"(z)= (z-l)(z-0.97)
En la figura 12-19 se presenta el diagrama polar resultante (para O < w < 1T) en el sistema compensado
G1G2 con </>MF > 30º.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-408-320.jpg)
![402 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
respuesta transitoria es superior a la del sistema no compensado. Sin embargo, el desempeño en
estado estacionario, por lo general es un poco peor. Para una entrada paso unitario el error en estado
estacionario es cero, igual que para cualquier sistema del tipo 1. Pero el error en estado estacionario
para una rampa unitaria o entrada de velocidad es mayor [véanse las ecuaciones (9.4) y (9.5)]. El
esquema de compensación ilustrado por este problema se llama retroalimentación tacométrica o
derivada, y el algoritmo de control es un control (D) derivada.
12.8. Determine un tipo de compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente
45º cuando se agrega a los componentes del sistema fijo definido por
4
GH=------
s(s2 + 3.2s + 64)
Un requerimiento adicional es que la respuesta de alta frecuencia en el sistema compensa-
do sea aproximadamente la misma que la del no compensado.
En la figura 12-25 se presenta el diagrama polar para GH. Este se encuentra muy próximo al eje
imaginario negativo para casi todos los valores de w.
ImGH
45º J'
'y/
(-1,0)
. /
sistema compensado /
por factor JI
de ,ganancia /
mas atraso (
<--,
1
GH(.,)
Figura 12-25
ReGH
El margen de fase es casi de 90º, y un incremento en el factor de ganancia y/o un compensador
por atraso es capaz de satisfacer los requerimientos del margen de fase. Pero, puesto que la red de
atraso puede diseñarse para proporcionar atenuación a altas frecuencias y atraso en el intervalo de
baja frecuencia sería ideal y suficiente una combinación de ambos (véase el ejemplo 12.5), como se
muestra en la figura 12-25. Por supuesto, no es necesario un compensador por factor de ganancia
más atraso, para satisfacer los requerimientos de diseño. Probablemente hay un número infinito de
redes diferentes o funciones de transferencia capaces de satisfacer estas especificaciones. Sin em-
bargo, la red de atraso y el amplificador son convenientes debido a su normalización, disponibili-
dad y facilidad de síntesis.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-413-320.jpg)
![404 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAUMENTAC!ON Y SISTEMAS DE CONTROL
ParaG2 , Kv= lim, -o sGi(s) = 40. En consecuencia la satisfacción de 2) requiere una compen-
sación de ganancia de 5/4. Pero un incremento en la ganancia sólo hace más inestable el sistema.
Por tanto es necesaria una compensación adicional. La compensación por adelanto probablemente
es inadecuada debido a la especificación 3), y no es posible la compensación por atraso debido a la
especificación 4). Así, parece que una red de atraso-adelanto y un amplificador lograrían satisfacer
todos los criterios. La parte de atraso de la red de atraso-adelanto satisfaría la especificación 3), y la
parte de adelanto haría lo propio con las especificaciones 4) y 1).
12.11. ¿Cuál es el efecto sobre el diagrama polar del sistema
m
CT(s+z;)
GH=
i=l
n
en donde m :-s; n, O< z; < oo, O :-s; p; < oo, cuando k polos finitos diferentes de cero se
han incluido en GH, además de los n polos originales?
Para bajas frecuencias el diagrama polar sólo se modifica en magnitud, puesto que
r
m 1 m
n(S +z;) nZ¡ 1
lim GH' = lim r=l = ~ = (--] lim GH
,-o ,-o n+k n+k k ,-o
n<s +P;) nP; nP;
i=l i=l i=l
Para altas frecuencias, agregar k polos reduce en br/2 radianes el ángulo de fase de GH, puesto que
lim argGH'(w) = lim [ Í:, tan- 1
(~)- ntk tan- 1
(~)]
w-+ oo w__. oo i= 1 Z¡ i=l P;
m'IT (n+k)'IT k'1T
= - -
2
= lim argGH- -
2 w-oo 2
En consecuencia, la parte del diagrama polar cerca del origen se gira en el sentido R (horario) br/2
grados cuando se agregan k polos.
12.12. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por atraso dado por la ecuación (J2 .4):
(
1-p )rz-z l
Patraso(z)= l-z: z-p:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-415-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 405
Hagamos z, = 0.86 y p, = 0.97 para simplificar la tarea.
En w O, Patraso Patraso( 1) l. En wT = 1T,
Í" _ ( 1 - Pe) [ -1 - ze] _ 1 - ZePe - ( Pe - zJ = =
PA,raso(e )- - - - ( ) -C 0.2
1 - ze -1 - Pe 1 - z,pe + Pe - ze
En unos pocos valores intermedios, Pa,raso(e17T
14
)==0.02 - J0.03 y Pa,raso(ei7T
12
)==0.2 - JO.O) 2. En
la figura 12.26 se muestra el diagrama polar resultante para O ::s wT ::s 7T radianes. Resulta
instructivo comparar este diagrama polar del compensador digital por atraso con su equivalente
continuo en el tiempo, dado en la figura 12.11.
Im Patraso
0.175
0.15
0.125
0.1
0.075
O.OS
0.025
0.2
w=O
0.4 f 0.6
a/b
Figura 12-26
w = w/T
0.8 Re Patraso
12.13. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por adelanto:
en donde a < b.
Tenemos
(
a ) [ 1 - e- bTl[z - e- aTl
Pactelanto(z)= b l-e-aT z-e-bT
(ª)(1-e-hT)(l-e-ªT) a
Padelanto ( eJOT) = Padelanto (1) = b l _ e-aT l _ e-hT = b < l
El resto de la gráfica se ha dibujado con computador, mediante la evaluación de Pactelan100lq,) para
valores del ángulo q, en el rango de O< q, ,s 1r radianes, para valores específicos de a = 1y b = 2.
El resultado se presenta en la figura 12.27, la cual debe compararse con la figura 12.6, que repre-
senta el diagrama polar de una red de adelanto en un sistema continuo.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-416-320.jpg)
![406 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
IM Padelanto
o
-0.J
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
'1T
w= T
0.2
w=O
1.2 Re Padelanto
Figura 12-27
Esta forma de compensador digital por adelanto, presentada en la ecuación (6.9), tiene un
factor de ganancia
a [ 1- e-bT]
K~delanto = b l _ e-aT
Este compensador es un digital-analógico directo del compensadorcontinuo por adelanto Padelanto =
(s + a)/(s + b), en el cual los ceros y los polos en -a y -ben el planos se han transformado
directamente en ceros y polos en el plano z zc = e-aTyPe= e-bT, y se ha preservado la ganancia en
estado estacionario (en w = O) como a/b.
12.14. El sistema continuo en malla cerrada con compensación del factor de ganancia y con
compensación por adelanto, que se muestra en la figura 12-28, es estable, con una relación
de amortiguación ? = O.7, y una constante de tiempo dominante 'T = 4.5 s (véanse las
secciones 4.13 y 10.4).
r +
red de
adelanto
atenuador de
ganancia
Figura 12-28
planta
e
Rediseñe este sistema remplazando el controlador (incluida la unión de suma) con un
computador digital y cualquier otro componente necesario para la conversión de datos de
analógico a digital. El nuevo sistema debe tener casi las mismas características dinámicas.
La tasa de muestreo de los componentes digitales debe ser suficientemente rápida para reprodu-
cir las señales con exactitud. La frecuencia natural wn se calcula a partir de la ecuación (10.7) como](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-417-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 407
Wn = lltT = 11(0.7)(4.5) = 0.3 I7 rad/s. Para un sistema continuo con esta wn, una frecuencia
angular de muestreo segura es wm = 20wn = 6.35 = 21r rad/s, equivalente afm = I Hz, porque wm
= 27T.fm· En consecuencia escogemos T = 1 s.
Ahora remplazamos el compensador continuo por adelanto por el compensador digital por
adelanto que se dio en el problema 12.13:
(
a ) f 1 - e- bT ) [ z - e - aT ]
Padelanto ¡(z) = b l1 - e-aT Z - e-bT
:0.55[
z - 0.82]
z-0.14
en donde a = 0.2 y b = 2, a partir de la figura 12-28. El factor de 0.55 puede obtenerse con el
compensador de factor de ganancia en el sistema continuo, K = 0.81, produciendo un factor global
de 0.55 (0.81) = 0.45. El diseño resultante también necesita muestreadores en las trayectorias de
retroalimentación y de entrada, y un sistema de sostenimiento de orden cero en la trayectoria
directa, tal como se muestra en la figura 12-29.
~ r(k)
T= 1 s
computador digital
1
1
1 1
L----------------~
c(k)
T= 1 s
Figura 12-29
sistema de
sostenimiento
de orden cero
planta
La función de transferencia digital Padelamo (z). puede implementarse por cálculo digital como
una ecuación de diferencia entre la entrada y la salida de Padelanto, utilizando los métodos que se
describieron en la sección 4.9. Esto es, escribir Padelanto (z) como una función de z- 1
en lugar de z, y
tratar a z- 1
como un operador de desplazamiento de tiempo unitario. Al combinar el factor de
ganancia ú.45 con ?adelanto, obtenemos
0.48 Padelanto
0.45 - 0.39z-1
u( k)
E
1- 0.14z-1 r(k) - c(k)
Entonces, al multiplicar los términos cruzados y hacer z- 1
u(k) = u(k + 1), etc., obtenemos la
ecuación de diferencia deseada:
u(k) ""0.14u(k-1) + 0.45[r(k) - c(k)] - 0.39[r(k-1) - c(k -1))](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-418-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 409
La especificación 3 de desempeño se dio en términos de la frecuencia de cruce de ganancia w1,
como w1 2: 10 rad/s. Esto puede parecer algo irreal o artificial, puesto que también se da como
especificación 2 de desempeño un margen de fase <PMF = [180 + arg GH(w1)] grados. En realidad,
el ancho de banda (AB) del sistema en malla cerrada sería la frecuencia más probable de interés en
el diseño de un sistema de control. (Estos criterios de diseño se analizaron en el Capítulo 10). Sin
embargo, como se hizo notar en la sección 10.4, es usual el caso en que w 1 resulta ser una buena
aproximación del ancho de banda AB del sistema en malla cerrada, cuando se da su interpretación
común como el intervalo de frecuencias sobre el cual la relación de magnitudes del sistema, que en éste
caso significa IC/RI, no cae más de 3 dB de su valor en estado estacionario, en w = O (z = 1).
Para este problema
1.59( z - 0.86)
Gi=-------
(z - l)(z - 0.97)
3( z + I) ( z + ½)
G2 = ---,-----
8z( z + ½)
C G1G2
R I + G1G2
Encontramos fácilmente que
lim (~) = lim (~) = 1
w-o R z-1 R
Ahora, 3 dB por abajo de I es O.707 fvéase la ecuación (10.5)]. En consecuencia el ancho de banda
AB es la frecuencia wAB que satisface la ecuación:
lf<WAB)l=0.707
Rápidamente obtenemos la solución wAB = 10.724 rad/s por ensayo y error, al utilizar un computador
para evaluar la relación de magnitudes a unos pocos valores de w en las proximidades de w 1 = 10.
Así, se confirma como buena la aproximación w 1 ""wA8 para el problema resuelto en el ejemplo
12.7.
Problemas suplementarios
12.17. Determine un valor positivo de factor de ganancia K cuandoMP = 2en el sistema del problema 12.5
12.18. Verifique la ecuación (/2./).
12.19. Verifique las ecuaciones (/2.2) y (/2.3).
12.20. Diseñe un compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente 45° en el sistema
definido por GH = 84/s(s + 2)(s + 6).](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-420-320.jpg)
![ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 413
jw
"': "':
- o 8 -
11 11 11 11
::e: ::e: ::e: ::e:
-2 -1 "'-K=O u
Figura 13-2
13.3 Criterios de ángulo y de magnitud
Para que una rama de un lugar de las raíces pase por un punto particular p 1 en el plano comple-
jo, es necesario que p I sea una raíz de la ecuación característica (J3. J) para algún valor real de K.
Es decir,
o, de manera equivalente,
D(p1 ) + KN(p1 ) = O
GH= KN(pi) = -1
D(p1)
(13.2)
(13.3)
En consecuencia el número complejo GH(p 1 ) debe tener un ángulo de fase de 180º + 360/º, en
donde / es un entero arbitrario. De esta manera tenemos el criterio de ángulo
argGH(p1 ) = 180° + 360/0
= (2/+ l)w radianes
que también puede escribirse como
[
N(p1)] {(2/+l)wradianes
arg --- =
D(p¡) 2!'1T radianes
para K> O
para K<O
l =o,± 1, ± 2, ... (13.4a)
/=0,±1,±2, ... (13.4b)
Para que p 1 sea un polo de la malla cerrada del sistema, en el lugar de las raíces, es necesario
que se satisfaga, además del ángulo de fase, la ecuación (J3.3) con respecto a la magnitud. Es
decir, K debe tener el valor particular que satisfaga el criterio de magnitud: IGH(p1)1 = 1, o
IKl=ID(p¡) 1
N(p1)
(13.5)
El ángulo y la magnitud de GH en cualquier punto de los planos complejos s ó z pueden
determinarse de manera gráfica como se describió en las secciones 4. 12 y 6.5. De esta manera, es
posible construir manualmente el lugar de las raíces por un procedimiento de tanteo, probando
puntos en el plano complejo. Es decir, el lugar de las raíces se dibuja a través de todos los puntos
que satisfacen el criterio del ángulo, ecuación (J3 .4b), y el criterio de magnitud se utiliza para
determinar los valores de K en puntos a lo largo de los lugares. Se dispone ampliamente de progra-](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-424-320.jpg)
![ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 423
EJEMPLO 13.12. Considere el sistema continuo de la figura 13-16. El valor de diseño para el factor de
ganancia es 8, que produce los polos de la malla cerrada (marcados con triángulos pequeños) que se mues-
tran en el lugar de las raíces, de la figura 13-17. El factor de ganancia en el corte del ejejw es 64, de aquí que
el margen de ganancia para este sistema sea 64/8 = 8.
e
a
Figura 13-16 Figura 13-17
EJEMPLO 13.13. El lugar de las raíces para el sistema discreto en el tiempo del ejemplo 13. 11 cruza el
límite de estabilidad (el círculo unitario) para K = 1. Para un valor de diseño de K = 0.25, el margen de
ganancia es 1/0.25 = 4.
El margen de fase también puede determinarse a partir del lugar de las raíces. En este caso es
necesario encontrar el punto w 1 en el límite de estabilidad, en el cual IGH = 1 para el valor de
diseño de K; es decir,
ID(W¡)/N(W1)I = K diseño
Usualmente es necesario emplear un procedimiento de ensayo y error para localizar w 1• Entonces
el margen de fase se calcula a partir del arg GH(w1), como
<p MF = [180º + arg GH( w1)] grados
EJEMPLO 13.14. Para el sistema del ejemplo 13.12, IGH(w1)1 = 18/(jw1 + 2)3
1 =
= O; el ángulo de fase de GH(O) es Oº. En consecuencia el margen de fase es 180º.
(13.17)
cuando w 1
/
EJEMPLO 13.15. Para el sistema continuo de la figura 13-18, el lugar de las raíces se muestra en la figura
13-19. El punto sobre el eje jw para el cual IGH(w1)1 = 124/jw1(jw1 + 4)2
1 = I está en w1 = 1.35;
el ángulo de GH(l .35) es -129.6º. En consecuencia el margen de fase es <PMF = 180º -129.6º = 50.4º.
e
Figura 13-18](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-434-320.jpg)
![ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 429
[
N(s)]
arg-- ;;;-(n-m)·arg(s)=-(n-m)P
D(s)
en donde {3 = arg(s). Para que s esté en el lugar de las raíces, debe satisfacerse el criterio de ángulo,
ecuación (13.4b). Así
arg[N(s1)] = -(n-m)P={(2/+l),r
D(s1) (2/),r
para K> O
para K< O
y, puesto que ± 7T radianes (± 180º) son los mismos ángulos en el plano s, entonces
{
(2/ + 1)180
----- grados
n-m
p= (2/)180
grados
n-m
La prueba es similar para el plano z.
para K> O
para K<O
13.14. Demuestre que el centro de asíntotas está dado por
o=-
c
n m
LP;- LZ;
i-1 i-1
n-m
(13.6)
Los puntos en el lugar de las raíces satisfacen la ecuación característica D + KN = O, o
Dividiendo por el polinomio del numerador N(s), se obtiene
sn-m+(b -a )sn-m-l+ ··· +K=O
n-1 m-1
(lo mismo para el plano z, remplazando s por z). Cuando el primer coeficiente de un polinomio
es la unidad, el segundo coeficiente es igual a menos la suma de las raíces (véase el problema
5.26). Así, apartirdeD(s) = O, bn-1 ='f.f_1 p¡. ¡. ParaN(s) = O, am-1 ='f.;'!..1 z;; y -(bn-1 - ªm- 1)
es igual a la suma de las n - m raíces de la ecuación característica.
Ahora, para valores grandes de K y distancias del origen igualmente grandes, estas n - m
raíces se aproximan a las líneas rectas asíntotas y; a lo largo de estas asíntotas, la suma de las n - m
raíces es igual a -(bn- l - ªm- 1). Puesto que bn-l - am- les un número real, las asíntotas deben
intersecarse en un punto sobre el eje real. El centro de asíntotas está dado entonces por el punto en el
eje real, en donde n - m raíces iguales se suman hasta -(bn- l - ªm- 1). Así
o=-
c
n-m
n m
[p¡- LZ;
;-1 i-1
n-m
Para una prueba más detallada, véase la referencia [6].](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-440-320.jpg)
![ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 431
Puntos de separación
13.17. Demuestre que un punto de separación <T8 satisface
r, 1 =}: 1
i=l (o-s+p;) i=l (o-,+z;)
(13.8)
Un punto de separación es un punto sobre el eje real en donde el factor de ganancia Ka lo largo
de la parte del eje real del lugar de las raíces es un máximo para los polos que se alejan del eje real, o
un mínimo para los polos que se acercan al eje real (véase la sección 13.2.). El factor de ganancia a
lo largo del lugar de las raíces está dado por
IKl=l~I ( 13.5)
En el eje real, s = o- (o z = ¡.L) y los signos de magnitud pueden cancelarse porque D(o-) y N(o-)
son reales. Entonces
D(a)
K=--
N(a)
Para encontrar el valor de o- para el cual K es un máximo o un mínimo, se iguala a cero la derivada
de K con respecto a o-:
Por derivación y factorización repetidas, ésta puede escribirse como
dK t 1 [ D( 11) ] t 1 [ D( 11) ]
da= ;-i (a+p;) N(a) - i=l (a+z;) N(a) =O
Finalmente, al dividir ambos lados por D(o-)/N(o-) se produce el resultado deseado.
13.18. Determine el punto de separación para GH = K/s(s + 3)2.
El punto de separación satisface
1 1 1
-+--+--=O
o-, o-,+ 3 o-, + 3
de la cual u, = - I.
13.19. Encuentre el punto de separación para
K(s + 2)
GH = -,-----,=----------
( s + 1 + j,ff){s + 1 - j,ff)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-442-320.jpg)
![ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR uE LAS RAICES
Para H = (s +1)/(s +2),
48
G=------
s(s + l)(s +4)
C 48(s+2)
y
R (s + l)(s+ 6)(s-j2.83)(s +j2.83)
439
Nótese que en este último caso hay cuatro polos en la malla cerrada, mientras que GH sólo tiene
tres. Esto se debe a la cancelación de un polo de G con un cero de H.
13.33. Determine la respuesta paso unitario del sistema del ejemplo 13.1 con K 1.5.
La función de transferencia en malla cerrada de este sistema es
C 1.5(s+l)
R (s+0.5)(s+ 3)
Para R lis,
1.5(s + 1) 1 - 0.6 -0.4
C=------=-+--+--
s( s +0.5 )( s + 3) s s + 0.5 s + 3
y la respuesta paso unitario es ..w-1
[C(s)] = c(t) = 1- 0.6e-0·5' - 0.4e- 3'.
13.34. Determine la relación entre los ceros de la malla cerrada y los polos y ceros de G y H,
suponiendo que no hay cancelaciones.
Hagamos G = N1/D1 y H = N2/D2 , en donde N1 y D1 son los polinomios del numerador (los
ceros) y del denominador (los polos) de G, y N2 y D2 son los polinomios del numerador y el
denominador de H. Entonces
e G N1D2
- = --- = -----
De esta manera, los ceros de la malla cerrada son iguales a los ceros de G y a los polos de H.
Márgenes de ganancia y de fase
13.35. Encuentre el margen de ganancia del sistema del ejemplo 13.8 para K = 6.
El factor de ganancia en el cruce del eje jw es 48, como se muestra en la figura 13-12. Por tanto
el margen de ganancia es 48/6 = 8.
13.36. Demuestre cómo puede utilizarse una tabla de Routh (sección 5.3) para determinar la
frecuencia y la ganancia en el cruce con el eje jw.
En la sección 5.3 se destacó que una fila de ceros en la fila s1
de la tabla de Routh indica que el
polinomio tiene un par de raíces que satisfacen la ecuación auxiliar As2
+ B =;c O, en donde A y B son](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-450-320.jpg)
![448 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
K1
G'=--
1 z-1
La función de transferencia de la malla directa se hace entonces
3K1(z+l)(z+½)
GíGi(z) = 8(z-l)z(z+0.5)
A partir de la sección 9.9, el coeficiente del error de velocidad es
3K1(1 + 1)(1 + ½)
K0 = S(l)(l + O.S) = 0.667K1
Ahora, para que el sistema en estado estacionario tenga un error menor que 0.2, con entrada rampa unitaria,
debe tenerse K, 2 5, o K1 2 7.5. Para investigar los efectos de la ganancia agregada, considérese el lugar
de las raíces para
K(z+l)(z+½)
GíG2 (z)= z(z+0.5)(z-1)
en donde K = 3K1!8. Este lugar de las raíces se construyó en el problema 13.31 y se repite en la figura 14-10.
K= 5.3 K = 7.1
K = 1.25
/"'
/
/
/
I
.,,,....-
Figura 14-10
]P
---.....,,
K = 0.6 ".
K = 0.2
µ
En el punto z = -0.18 +jO.98 en donde el lugar de las raíces cruza el círculo unitario, w 1TT = 1.75 rad
yK = 1.25 (K1 = 8K/3 = 3.33). Puestoqueéstaesmenorque lagananciaK1 = 7.5necesariaparahacerKv = 5,
es insuficiente la compensación simple del factor de ganancia.
El paso siguiente es evaluar la magnitud y la fase de GíGi(z) a la frecuencia de cruce de ganancia mínima
requerida, w1 = 10, u w1T = 1 rad. Este es el punto z = ejwT = ej sobre el círculo unitario. En este punto,](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-459-320.jpg)
![452
=
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E
TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
(14.J)
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"
3
4
2
o
1
l
"'
o
11
,,~
~
' ~
2
P,l/;wn
Figura 14-11
/; = 0.7
Pr"'~
(s + p,)(s2 --1 21w,/l + w~)
'
>== 0.7
!: 0.3
;¡ r, 6
Figura 14-12
la sobretensión y el tiempo de subida se aproximan a los de un sistema de segundo orden que
solamente tiene polos complejos (véase la figura 3-4). Por tanto, Pr puede despreciarse en la
determinación de la sobretensión y el tiempo de subida si ( > 0.5 y
(14.2)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-463-320.jpg)
![456
-4
TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
j.,
i13
-2 -1 11 -5.25
Figura 14-17
K =16
-4 -2
-0,76
-1
6:--- -j13
P¡*
Figura 14-18
"
14.7 Compensación por retroalimentación
La adición de elementos de compensación a una trayectoria de retroalimentación de un
sistema de control puede emplearse en el diseño del lugar de las raíces de un modo similar al
que se trató en las secciones anteriores. Los elementos de compensación afectan el lugar de
las raíces de la función de transferencia en malla abierta de la misma manera. Pero, aunque
el lugar de las raíces es el mismo cuando el compensador está en la trayectoria directa o en la
de retroalimentación, la función de transferencia en malla cerrada puede ser significativa-
mente diferente. Se demostró, en el problema 13.34, que los ceros de la retroalimentación
no aparecen en la función de transferencia en malla cerrada, mientras que sus polos se hacen
ceros de la función de transferencia en malla cerrada (suponiendo que no se producen cance-
laciones).
EJEMPLO 14.11. Suponga que se agrega un compensador por retroalimentación a un sistema
continuo con función de transferencia directa
K
G = ---------
(s + I)(s + 4)(s + 5)
en un intento por cancelarel polo en -1 y remplazarlo por un polo en -6. Entonces, el compensador
sería H = (s + 1)/(s + 6), GH estaría dada por GH = K!(s + 4)(s + 5)(s + 6), y la función de
transferencia en malla cerrada se volvería
C K(s+6)
R (s+l)[(s+4)(s+5)(s+6}+K]
Aunque el polo en -1 se cancela en GH, éste aparece como un polo de la malla cerrada. Además, el
polo de la retroalimentación en -6 se convierte en un cero de la malla cerrada. En consecuencia, la
técnica de cancelación no funciona con un compensador en la trayectoria de retroalimentación.
EJEMPLO 14.12. El diagrama de bloques del sistema continuo en la figura 14-19 contiene dos
trayectorias de retroalimentación.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-467-320.jpg)
![458 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
iw
-- j,fa
K =100
-6 -2
K =100
-- -jÍ3
Figura 14-21
Si K se iguala a 100, la función de transferencia de la malla cerrada es
C lOO(s + 6)
2
R ( s2
+ 1.72s + 2.96)( s2
+ 12.3s + 135)
y el par de polos complejos dominante s1,2 = 0.86 ± ji .5 están lo suficientemente cercanos a - 1 ±
j/3.
Problemas resueltos
Compensación del factor de ganancia
14.1. Determine el valor del factor de ganancia K para el cual el sistema con función de transfe-
rencia en malla abierta
K
GH=-----
s(s + 2)(s + 4)
tiene polos de malla cerrada con una razón de amortiguación ? = 0.5.
Los polos de la malla cerrada tendrán una razón de amortiguación de 0.5 cuando formen un
ángulo de 60º con el eje real negativo [ecuación (13 .18)]. El valor deseado de K se detennina en el
punto en donde el lugar de las raíces cruce la línea?= 0.5 en el plano s. En la figura 14-22 se
muestra un diagrama del lugar de las raíces. El valor deseado para K es 8.3](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-469-320.jpg)
![466 TEORIA y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
adicional es que a y b para el compensador por atraso deben ser lo suficientemente pequeños como
para no afectar el diseño en alta frecuencia logrado con la red de adelanto. Es decir,
Hacie,,uo b 1 y a 0.074. El compensador requerido es
s+l
Galraso = S + 0_
074
Para sintetizar este compensador utilizando una red de atraso convencional con función de transfe-
rencia
0.074(s + 1)
Patraso= - - - - -
S + 0.074
se requiere un amplificador adicional con una ganancia de 13.5; o de manera equivalente, el valor
de diseño de K escogido antes puede incrementarse en 13.5. Con cualquiera de las mecanizaciones
prácticas, la función de transferencia total en malla abierta es
3100(s+l)
GH = -------------
( s + 0.075)( s + 14)(s + 20)( s + 25)
En la figura 14-29 se muestran los polos y ceros de la malla cerrada. El polo y el cero de baja
frecuencia efectivamente se cancelan entre sí. El polo sobre el eje real en s = - 35 afectará de
manera leve la respuesta del sistema porque p, / ?:wn para este polo es aproximadamente de 3
[ecuación (/4.2)]. Sin embargo, hay necesidad de referirse a las figuras 14-11 y 14-12 para verifi-
car que la sobretensión y el tiempo de subida cumplen bien con las especificaciones. Si el sistema se
ha diseñado para cumplir apenas con la especificación del tiempo de subida con la aproximación de
dos polos dominantes, la presencia del polo adicional en la función de transferencia en malla
cerrada puede haber retardado la respuesta lo suficiente para que no se cumpla esa especificación.
fw
~ -·-·--·- .,,. j12
°'
1
o
1
e:
"
o
o
o.,
-35 -12 (T
1 1
1 e:
1 "
1 8
"
1 u
1
&------ -j12
Figura 14-29](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-477-320.jpg)
![Capítulo 15
Análisis de Bode
15.t Introducción
El análisis de los sistemas de control con retroalimentación utilizando el método de Bode es
equivalente al análisis de Nyquist en que ambas técnicas emplean representaciones gráficas para
la función de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(w), en donde GH(w) se refiere a un
sistema discreto o a uno continuo. Sin embargo, los diagramas de Bode constan de dos gráficas:
la magnitud de GH(w) y el ángulo de fase de GH(w), ambos representados en términos de la
frecuencia w. Usualmente se emplean escalas logarítmicas para los ejes de frecuencia' y para
IGH(w)I.
Los diagramas de Bode ilustran de manera clara la estabilidad relativa de un sistema. En
efecto, a menudo se definen los márgenes de ganancia y de fase en términos de los diagramas de
Bode (véase el ejemplo 10.1). Estas medidas de estabilidad relativa pueden determinarse para un
sistema particular con un mínimo de esfuerzo de cálculo utilizando los diagramas de Bode, espe-
cialmente para aquellos casos en los cuales se dispone de los datos experimentales de la respuesta
de frecuencia.
15.2. Escalas logarítmicas y diagramas de Bode
Los diagramas de Bode utilizan escalas logarítmicas porque simplifican de manera considera-
ble su construcción, manipulación e interpretación.
Se usa una escala logarítmica para el eje w (la abscisa) porque con ello pueden representarse
la magnitud y el ángulo.de fase sobre un intervalo de frecuencias mucho mayor que lo que podría
representarse con el eje lineal de frecuencias, acentuando por igual todas las frecuencias, y tales
gráficas a menudo resultan líneas rectas para sistemas continuos en el tiempo (sección 15.4).
La magnitud IP(w)I de cualquier función de respuesta de frecuencia P(w) para cualquier
valor de w se representa en una escala logarítmica en decibeles (dB), en donde
dB = 20 log10 IP(w)I (15.1}
[Véase también la ecuación (J0.4).]
EJEMPLO 15.1. Si IP(2)1 = IGH(2)1 = 10, la magnitud es 20 log1010 = 20 dB.
Puesto que el decibel es una unidad logarítmica, la magnitud en dB de una función de res-
puesta de frecuencia compuesta de un producto de términos es igual a la suma de las magnitudes
en dB de los términos individuales. Así, cuando se emplea la escala logarítmica, la gráfica de
magnitud de una función de respuesta de frecuencia que puede expresarse como el producto de
más de un término, se obtiene al sumar las magnitudes en dB de las gráficas individuales para cada
término del producto.
471](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-482-320.jpg)
![472 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La gráfica de la magnitud en dB en función del log w se llama diagrama de magnitud de
Bode, y la gráfica de ángulo dejase enfunción del log w es el diagrama de ángulo de fase de
Bode. Algunas veces en la literatura técnica el diagrama de magnitud de Bode se llama diagrama
Lag-módulo.
EJEMPLO 15.2. El diagrama de magnitud de Bode para la función de respuesta de frecuencia continua en
el tiempo
. lOO[l+J(w/10)]
P(1w) = .
1 +Jw
puede obtenerse al sumar los diagramas de magnitud de Bode para 100, 1 + j(w/10) y 1/(1 + jw).
15.3 La forma de Bode y la ganancia de Bode para sistemas continuos en el tiempo
Debido a las aproximaciones asintóticas, de la sección 15.4, es conveniente utilizar la llamada
forma de Bode de una función de respuesta de frecuencia continua en el tiempo cuando se utilizan
los diagramas de Bode para el análisis y el diseño.
La forma de Bode para la función
K(jw + z1)(jw + z2 ) · · · {jw + zm)
(jw )
1
(jw +p1)(jw +p2 ) · · · (jw +p,.)
en donde Les un entero no negativo, se obtiene al factorizar todos los p; y z; y reordenarlos para
formar
[K}]z; }]P;](l +jw/z1)(1 +jw/z2 ) • • • (1 +jw/zm)
(jw )1
(1 +jw/p1)(1 +jw/p2 ) · • • (1 +jw/p,.)
(15.2)
La ganancia de Bode K8 se define como el coeficiente del numerador en la ecuación(/5.2):
(15.3)
i=l
15.4 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas continuas en el
tiempo y sus aproximaciones asintóticas
La constante K8 tiene una magnitud IK8 1y un ángulo de fase de Oº si K8 es positiva, y de
----------------------;.- log10 w
Fi1mra 1,;;.1](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-483-320.jpg)
![474 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
arg [u~>']
1 = 1
-90°
<l.)
"'
<f
<l.)
"O
o -180°
=i
1 = 2
00
e:
'"'
1 = 3
-270°
Figura 15-4
Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.5 2 10
Para un cero de orden l en el origen,
(Jw)'. (15.5)
los diagramas de Bode son las reflexiones alrededor de las líneas de OdB y Oº de las figuras 15-3 y
15-4, como se muestra en las figuras 15-5 y 15-6.
60r-----.------......----"""T----,------.,......----
40
20 log10f(jw)1f
20
/XI
"O
"O
o
E
"i:
00
"'
E
·-20
Figura 15-5
-60 ____......______......___.....;;......____......______..______,
Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.5 2 10](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-485-320.jpg)
![484 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Es importante hacer notar que la magnitud y el ángulo de fase de las funciones de respuesta de
frecuencia discretas en el tiempo son periódicos en la variable de frecuencia angular real w. Esto
es cierto puesto que
así eiwT es periódica en el dominio de la frecuencia con un periodo 21T!T. De este modo, cada
término tanto en la magnitud como en el ángulo de fase es periódico. En consecuencia, sólo es
necesario generar diagramas de Bode en un intervalo angular de -7r :s; wT :s; 1T radianes; y
normalmente la magnitud y el ángulo de fase se representan en términos del ángulo wT en lugar
de la frecuencia angular w.
Otra propiedad útil de la función de respuesta de frecuencia discreta en el tiempo es que la
magnitud es una función par de la frecuencia w (y de wn y que el ángulo de fase es una función
impar de w (y de wn.
EJEMPLO 15.4 En las figuras 15-17 y 15-18 se presentan los diagramas de Bode para la función de
respuesta de frecuencia discreta en el tiempo
_i_(eJwT + 1)2
GH( jwT) = ____
100
_ _ _ _~ - - -
e ( ei"'T - l){ ei"'T + ½){ei"'T + ½)
,-----,----,----,-----------,-----,.......,.-,-,......,.,...20
' ' ¡
t:1:1
-60 -o
]
-80 -~
-100 E
-120
-140
------..--.--,..-r-t-----+---,....--,,-+...,...........,._ __._-+---,--,-+....¡...,-i-.'+- -160
0.05 0.1
15.7 Estabilidad relativa
0.5
Angulo wT, radianes
Figura 15-17
5 10
Los indicadores de estabilidad relativa "margen de ganancia" y "margen de fase", para siste-
mas discretos y sistemas continuos, se definen en términos de la función de respuesta de frecuen-
cia en malla abierta del sistema, en la sección 10.4. En consecuencia, estos parámetros se determi-
nan de manera fácil a partir de los diagramas de Bode de GH(w), como se ilustró en los ejemplos](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-495-320.jpg)
![ANALISIS DE BODE
0.1 0.2 0.4 1.0 2.0 W¡ 4.0
Frecuencia w, rad/s
Figura 15-20
487
JO.O
15.9 Análisis de Bode de sistemas discretos en el tierr.po utilizando la transformada w
La transformada w, estudiada en la sección 10.7, puede utilizarse en el análisis de Bode de
sistemas discretos en el tiempo. El algoritmo para el análisis de Bode utilizando la transformada w
es:
1. Sustituir z por(] + w)/(1 - w) en la función de transferencia en malla abierta GH(z):
GH(z)lz- i+w = GH'( w)
·1-w
2. Hacer w = jww y generar los diagramas de Bode para GH'(jww), utilizando los méto-
dos de las secciones 15.3 a 15.5.
3. Analizar la estabilidad relativa del sistema en el plano w determinando los márgenes de
ganancia y de fase, las frecuencias de cruce de ganancia y de fase, la respuesta de frecuen-
cia en malla cerrada, el ancho de banda y/o cualquierotra característica relacionada con la
frecuencia de interés.
4. Transformar las frecuencias críticas determinadas en el paso 3 al dominio de la frecuencia
del plano z utilizando la transformación wT = 2 tan- 1
ww.
EJEMPLO 15.8. La función de transferencia en malla abierta
T<ia( z +1)
2
GH( z) = -(z---1-)-(z_+_½_)_(
,-+-½-)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-498-320.jpg)
![488 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
se transforma al dominio w al hacer l+w
z=--
lo cual produce
1-w
-....L(w-1)
GH'( w) = - -
100
- - - -
w( w + 2)( w + 3)
Nótese, en particular, que el signo menos contribuye con -180º de ángulo de fase. y el cero en + 1
contribuye con +90º en w,.. = Oº. En las figuras 15-21 y 15-22 se muestran los diagramas de Bode de
GH'(jw,.)
-20
-40
i:o
-o
,.·,- ··- -60 ]
·=
O()
ro
-80 E
-100
l----.--.~~.,.,...~--.-.....,.~~+--~~--.-...,.;..~--,--,~-+-r~+--120
0.01 0.05 0.1 0.5 5 10 50 100
Frccllcncia w.,. rad/s
Figura 15-21
-50
1 ' ' '
1 ¡ i • 1 : .
',,.: .-1,_¡ -100
¡¡ ¡
11 .
90i1f=margen de tase
-150
!1J, • ¡j
¡ l l ¡
-200
-250
-300
1---,--,,...,..+',.,.,..,---r-++'r........+-~.-r-+-'r"r..........--l.----'i-r..,..-or-1-'rrt--400
0.01 0.05 0.1 0.5 1
Frecuencia w.,. rad/s
Figura 15-22
5 10 50 100
7:
"
C)
-o
e
"3
0/J
"
o:l](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-499-320.jpg)
![490 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
y puesto que 8 = 2 X 4, entonces para la parte e) tenemos
20log108 = 20log102 + 20log104 = 6.02 + 12.04 = 18.06
La forma de Bode y la ganancia de Bode en sistemas continuos en el tiempo
15.2 Determine la forma de Bode y la ganancia de Bode para la función de transferencia
K(s + 2)
GH=------
s2(s + 4)(s + 6)
Al tomar 2 como factor en el numerador, y 4 y 6 en el denominador, y al hacer s = jw, se
obtiene la forma de Bode
( K/12)(1 +jw/2)
GH(Jw) = - -
2
- - - - - -
(Jw) (1 +jw/4)(1 +jw/6)
La ganancia de Bode es K8 = K/12.
15.3. ¿Cuándo la ganancia de Bode es igual a la ganancia de e.e. (magnitud a frecuencia cero) de
una función de transferencia?
La ganancia de Bode es igual a la ganancia de e.e. de cualquier función de transferencia sin
polos ni ceros en el origen [l = O en la ecuación (/5.2)].
Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas
15.4. Demuestre que el diagrama de magnitud de Bode para (jwf es una línea recta.
El diagrama de magnitud de Bode para (jwi es una representación gráfica de 20 log 10w1 en
términos de log10w. De esta manera
d(20log10w
1
) 20/d(log10w)
pendic.nte = -------'- = ----- = 20/
d(log10w) d(log10w)
Puesto que la pendiente es constante para cualquier l, el diagrama de magnitud de Bode es una línea
recta.
15.5. Determine: 1) las condiciones bajo las cuales el diagrama de magnitud de Bode para un par
de polos complejos tiene un pico en un valor infinito w, diferente de cero; y 2) la frecuen-
cia a la cual se presenta ese pico.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-501-320.jpg)
![ANALISIS DE BODE 491
La magnitud de Bode está dada por
1
1 1
20log10 2
1 +J2tw/wn - ( w/w,,)
Puesto que el logaritmo es una función que aumenta de manera monótona, la magnitud en decibeles
tiene un pico (máximo) si y sólo si la magnitud en sí misma es máxima. La magnitud al cuadrado,
que es máxima cuando la magnitud también lo es, resulta
1
[ 212 2
1- ( w/w,,) + 4(tw/w,,)
Al tomar la derivada de esta función e igualarla a cero se produce
(4w/w;) [1 - ( w/wn)2
] - 8t2
w/w;
-'-----=------=-----=O
{[1- ( w/wn)
2
]
2
+ 4{rw/wn)
2
f
o
1-(:r-2f=O
y la frecuencia en el pico es w = w,,~. Puesto que w debe ser real, por definición, la
magnitud tiene un pico en un valor w diferente de cero si y sólo si 1 - 2(2 > Oó ( < 1/~
O.707. Para ( 2". O.707, la magnitud de Bode disminuye de manera monótona.
Construcción de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo
15.6. Construya los diagramas de Bode asintóticos para la función de respuesta de frecuencia
1 +jw/2 - { w/2)
2
GH( jw) =j
_w_{_l_+_jw_/_0_.5_)_(
1-+-J-.w-/4-)
Los diagramas de Bode asintóticos se determinan al sumar las gráficas de las representaciones
asintóticas de cada uno de los términos de GH(jw), como se hizo en las ecuaciones (15.10) y
(/5. / /). En las figuras 15-23 y 15-24 se presentan las asíntotas de cada uno de estos términos, y los
diagramas de Bode asintóticos para GH(jw), en las figuras 15-25 y 15-26. Para comparación se
muestran los diagramas de Bode exactos generados por computador.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-502-320.jpg)
![ANALISIS DE BODE 495
15.8. Construya los diagramas de Bode para la función de transferencia en malla abierta
GH = 2(s+ 2)/(s2
- 1).
Con s = jw, la forma de Bode para esta función de transferencia es
. . -4(1 +jw/2)
GH(1w) = (1 +jw)(l-Jw)
Esta función tiene un polo en la mitad derecha del plano [debido el término l/( 1 - jw)] la cual no es
una de las funciones normales presentadas en la sección 15.4. Sin embargo, esta función tiene la
misma magnitud que 1/(1 t jw), y el mismo ángulo de fase que 1 + jw. De esta manera, para una
función de la forma 1/(1 - jwlp), la magnitud puede detenninarse a partir de la figura 15-7, y el
ángulo de fase, a partir de la figura 15-1O. Para este problema las contribuciones al ángulo de fase
de los términos 1/(1 + jw) y 1/(1 - jw) se cancelan entre sí. En la figura 15-29 se presentan las
asíntotas para el diagrama de magnitud de Bode, junto con un diagrama de Bode más exácto. El
ángulo de fase de Bode se determina solamente a partir del arg K8 = arg (-4) - 180º y del cero en
w = 2, como se muestra en la figura 15-30.
10
¡:Q
"O
"O
B
e: o
"°'
"'
E
-10
0.2
Estabilidad relativa
0.4
Frecuencia w, rad/s
Figura 15-29
IO 20
15.9. Para el sistema con función de transferencia en malla abierta, del problema 15.6, encuen-
tre w 1, w"' el margen de ganancia y el margen de fase.
Utilizando la curva de magnitud exacta que se presenta en la figura 15-25, la frecuencia de
cruce de ganancia es w 1 = 0.62. La frecuencia de cruce de fase w7T es indeterminada porque el arg
GH(jw) nunca cruza - 180º (véase la figura 15-26). El arg GH(jw1) = arg GH(j 0.62) es -129º.
Por tanto el margen de fase es -129º + 180º = 51 º. Puesto que w7T es indeterminado, también lo
es el margen de ganancia.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-506-320.jpg)
![504 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
cia. Por tanto, se tiene que establecer un margen de fase de 45º a una frecuencia más alta, necesitándose aún
mayor adelanto de fase. Por estas razones agregamos dos redes de adelanto en cascada (con el aislamiento
necesario para reducir los efectos de carga, si se requiere).
Para determinar los parámetros del compensador por adelanto, suponemos que la ganancia de Bode se
ha incrementado en 20 dB de tal modo que la línea de OdB se reduce efectivamente en 20 dB. Si escogemos
b!a = 10, entonces el compensador por adelanto más un incremento adicional de la ganancia de Bode de
(bla)2 para las dos redes tiene la siguiente forma combinada:
[1OPadelanto
2 (1 +jw/a)2
(Jw)] = Gc(jw) = (1 +jw/lOa)2
Ahora escogemos un valor apropiado para a. Un método útil para mejorar la estabilidad del sistema es tratar
de cruzar la línea de OdB con una pendiente de -6 dB/octava. A menudo cruzar con una pendiente de -12
dB/octava produce un valor demasiado bajo para el margen de fase. Si a 2, un bosquejo de las asíntotas
revela que la línea de OdB se cruza en -12 dB/octava. Si a = 4, la línea de OdB se cruza con una pendiente
de -6 dB/octava. En la figura 16-4 se muestran los diagramas de magnitud y de ángulo de fase de Bode para
el sistema con a = 4 rad/s. El margen de ganancia es 14 dB y el margen de fase es 50º. De esta manera se
satisface la segunda especificación. La frecuencia de cruce de ganancia w 1 = 14 rad/s es sustancialmente
superior al valor especificado, indicando que el sistema responderá muchísimo más rápido de lo pedido en
la tercera especificación. En la figura 16-5 se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado. Si
un amplificador diseñado apropiadamente se coloca entre las dos redes de adelanto puede servir de manera
adicional al propósito de aislar el efecto de carga.
20
Al
"O
"O
3
·2
bO
., o
E
0.2 0.4 2 4 10 w¡ 20 40
Frecuencia w, rad/s
Figura 16-4](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-515-320.jpg)
![C(j,,,)
Figura 1()-10
16.6 Diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando ~I an{llisis de Bode
El diseño <l'fsisfemas discretos en:el fiempo µtil1zando el análisis: de Bode se basa~en la misma
filosofía que ¡:,ara. los si~ternas!c.o}1t.ipµos én el tiejfip971!11qµ.~ ~ªe c911sig0Üa <;pnformación y
reconformación de losd1~gr~m~s drÍu,agÍlituefy dé áí{guÍó de t'#e cti.~déh~sta q~,e cumplan
las especificaciones del sistema. Per~'el esfuerzo necesario en este caso puede ser sustancialmente
~~''-<-,.":'>'.,:'"- .~J , ~t'"> 1,'
mayor. .., ,. ·.<
Algunas veces es posible satisfacer l~s ~spicific~ciones con sólo ajustar el factor de ganancia
K en malla abierta, como se describió en la sección 16.2 para sistemas eontinq,(}§;,
EJEMPLO 16.5. Considere el sistema discreto en el tiempo délejen1p}a,l:5 ;4,, ~f.lm'cíón dé r~puesta de
frecuencia en malla abierta
,,, GI:(t!l~T]~ ' Jwt~ ;~r111~?Y'~Ir:.·/,"·
• ,· ••'>;/•{~. ,_,, ,J,)(cft', :i: lt')h ··· ,,'.f: r},,
yM~ t.'Ía~figüras t6~t íyí(f:12 son iok diagramas a'f'Bt1a2 cÍian t?az¡ídófplJ~dümpu'tii(Íót; r8~~aá:fJs
ilustran los márgenes de ganancia y de fase y las frecuencias de cruce de gáffahc'iá: ytéfaif2'. Á:hótá:'rtitri'trr
mos qu,e )a sola compensación del factor de ganancia puede utilizarse parll; saisfacerla,s siguientesesR'!cifi-
fatloh'éf···f,• •:i;,: ·'/:·: :.c.:C::: ;,:• t· :,::, ,;/, ·.': .;'''.'·s;..:·;,,;:..•::,?'< ;,;; :.:,:;;:;:::,+ <:,, :,,:;::·>'e, ,, •,· ::,:¡r:co ¿'':;.·::
-20
-40 ' "'/; '
¡::Q
-60 ~
E
-80 "i:;
'.',?Ai~
t'f ··S>f;•,h f"icj'¡:c,,~ - -: ~2
-140
L--..J....___;__¡_¡__,.;..._ _....:,:.:,:J_J...._;__J.il.__J___;__;.,.._......;...J-~~-160](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-520-320.jpg)
![Angulo wT, radianes
-160
-180 0
]¡
,·:,,~op1; .,¡
-220
Parl!, completar el diseño, transformamos GH(z) al dominio w haciendo z = (1 + w)/(1 - w) y formando](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-523-320.jpg)
![514 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
_
1
wT _1
wT
<Patraso = tan b - tan -;-
Así, al hacer</> atraso = -6.5º, w = w,.. = 0.55 rad/s y b = 5a (como antes), de esta ecuación fácilmente se
resuelve a. Al escoger la más pequeña de las soluciones, se genera un dipolo (un par polo-cero) muy cerca
del origen del plano w, para a= 0.0157. Escogemos a= 0.015 que da solamente 6.2º de atraso de fase. De
este modo b = 0.075, y el compensador por atraso en el plano w está dado por la expresión
(
0.015) ( w + 0.075)
Patraso(w) = 0.075 w+0.015
Pa1raso se transforma de nuevo al dominio z (paso 4), haciendo w = (z - 1)/(z + 1). El resultado es
(
z - 0.86046)
Patraso( Z) =0.21182
9
z -o. 7044
Al combinar ésta con el polo en z = 1y con el incremento de 18.3 dB en el factor de ganancia (un incremento
de 8.22 en la relación del factor de ganancia), el elemento de compensación completo G1(z) es
[
z - 0.86046 ]
61(z)=l.74l 7 (z-l)(z-0.97044)
En la figura 16-17 se muestra el sistema de control compensado. Nótese que este diseño es bastante similar a
los desarrollados para este mismo sistema con las especificaciones de los ejemplos 12.7 y 14.5.
Figura 16-17
Problemas resueltos
Compensación del factor de ganancia
16.1. Determine el valor máximo para la ganancia de Bode K8 que resultará en un margen de
ganancia de 6 dB o más, y un margen de fase de 45º o más, para el sistema con función de
respuesta de frecuencia en malla abierta
KB
GH(jw} = 2
jw(l +jw/5)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-525-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 515
En la figura I6-18 se presentan los diagramas de Bode para este sistema con Ka l.
El margen de ganancia, medido en w,,. = 5 rad/s, es 20 dB. De este modo la ganancia de Bode
puede elevarse hasta 20 - 6 = 14 dB y aún satisface el requerimiento de margen de ganancia. Sin
embargo, el diagrama de ángulo de fase de Bode indica que para <f>MF ? 45º, la frecuencia de cruce
de ganancia w 1 debe ser menor que 2 rad/s. La curva de magnitud puede elevarse hasta en 7.5 dB
antes que w 1 exceda los 2 rad/s. Así que el valor máximo de Ka que satisface ambas especificacio-
nes es 7.5 dB ó 2.37.
16.2. Diseñe el sistema del problema 15.7 para que tenga un margen de fase de 55º.
El diagrama de ángulo de fase de Bode de la figura 15-28 indica que la frecuencia de cruce de
ganancia w 1 debe ser 0.9 rad/s para un margen de fase de 55º. A partir del diagrama de magnitud
de Bode de la figura 15-27, Ka debe reducirse en 6 dB o en un factor de 2 para alcanzar w1 = O.9
rad/s y en consecuencia </>MF = 55º.
Compens~ción por adelanto
16.3. Demuestre que el máximo adelanto de fase de un compensador por adelanto [ecuación
(16./)] se presenta en Wm = ¼b, y pruebe la ecuación (16.2).
El ángulo de fase del compensador por adelanto es</>= arg Padelanto (jw) = tan- 1
wla - tan- 1
w!b. Entonces
dq, 1 1
dw = a[l+(w/a)2
] - b(l+(w/b)2
]
Al hacer d</>!dw = O, se produce w2
= ab. De este modo el adelanto de fase máximo ocurre en wm
= ¼h. Dedonde</>max = tan- 1
Vb/a- tan- 1
v'a!b. Pero,puestoquetan- 1
Vb/a= 7T/2 - tan - 1
Ya/b, tenemos </>max = (90 - 2 tan- 1
Ya/b).
o
CC
"O
"O
E
·2
-20
Ol)
<SS
E
-40
0.4 2 4 .,.. 10 20
Frecuencia w, rad/s](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-526-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 519
Compensación por atraso
16.6. ¿Cuál es el atraso de fase máximo producido por el compensador por atraso [ecuación
(16.3)]?
El ángulo de fase del compensador por atraso es
w w
arg patraso (jw) = tan- l b - tan- l ; = - arg padelanto (jw)
De esta manera el atraso de fase máximo (ángulo de fase negativo) del compensador por atraso es el
mismo adelanto de fase máximo del compensador por adelanto, con los mismos valores de a y b. De
aquí que el máximo se presente en wm = y;;¡; y, a partir de la ecuación (16.2), se obtiene
<l>max = (90-2tan- l {'f)grados
Expresada en términos de la relación de atraso b!a, la ecuación se escribe
<l>max = (2tan- l {'f -90) grados
16.7. Diseñe la compensación para el sistema del problema 16.1, para satisfacer las mismas
especificaciones y, además, tener una frecuencia de cruce de ganancia w menor que o
igual a 1 rad/s y una constante de error de velocidad Kv > 5.
Los diagramas de Bode para este sistema, que se presentan en la figura 16-18, indican
que w1 = 1rad/s paraK8 = l. En consecuencia Kv= K8 = 1paraw1 = l. Los requerimien-
tos de margen de fase y de ganancia se cumplen de manera fácil con K8 < 2.37; pero la
especificación en estado estacionario requiere que Kv= K8 > 5. Por tanto, un compensador
por atraso en cascada de baja frecuencia con b!a = 5 puede utilizarse para aumentar Kv a5.
manteniendo la frecuencia de cruce y los márgenes de ganancia y de fase en sus valores
anteriores. Como se muestra en la figura 16-22, un compensador por atraso con b = 0.5 y
a = O. 1 satisface estos requerimientos.
20
ce
't:)
't:)
E o
·a
OI)
"
E
-20
o.os 0.1 0.2 0.4 4 10
Frecuencia w, rad/s
Figura 16-22](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-530-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
-100°
-300°-,•--~---...............,-~---~--..,_--............-----...--,.-.-...............-.........
0.2 0-4
Problemas misceláneos
2
10 .,,
Frecuencia w, rad/s
Figura 16-27 (continuación)
20
16.11. La función de frecuencia de respuesta nominal de una planta es
1
G2
(j"') = jc.,(l +jw/8)(1 +jw/20)
100
525
Un sistema de control con retroalimentación debe diseñarse para comandar la salida de
esta planta en cierta aplicación y debe satisfacer las siguientes especificaciones en el domi-
nio de la frecuencia:
])
2)
margen de ganancia ~ 6 dB
margen de fase (<f>MF) ~ 30º
Además, se sabe que los parámetros "fijos" de la planta pueden variar levemente durante
la operación del sistema. Los efectos de esta variación sobre la respuesta del sistema deben
hacerse mínimos sobre el intervalo de frecuencias de interés, el cual es O:5 w :5 8 rad/s, y
el requisito real puede interpretarse como una especificación en la sensitividad de (C/
R)(jw) con respecto a IG2(jw)I, es decir,
J) 20j log S(C/~)(j.,) 1 :e;;; -10 dB
10 iG2(J.,)I para O:e;;; "' :e;;; 8 rad/s
También se sabe que la planta estará sujeta a una perturbación de entrada adicional incon-
trolable, representada en el dominio de la frecuencia por U(jw). En la aplicación, la
respuesta del sistema a esta perturbación de entrada debe suprimirse en el intervalo de
frecuencia O:5 w :5 8 rad/s. Por tanto el problema de di'seño incluye la restricción adicio-
nal sobre la relación de magnitud de la salida a la perturbación de la entrada, expresada
como
4) 20log101~(je.,) 1:e;;; -20 dB para O:e;;;"' :e;;; 8 rad/s
Diseñe un sistema que satisfaga estas cuatro especificaciones.
En la figura 16-28 se presenta la configuración general del sistema, el cual incluye la posibili-
dad de compensadores tanto en cascada como con retroalimentación.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-536-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 527
20log10IG1G2 H(Jw) I~ 10 dB
20log10IG1G2 H(Jw) 1~ [20 +20log10IGi{ Jw) 1] dB
Esta región se encuentra por encima de la línea interrumpida mostrada en el diagrama de magnitud
de Bode de la figura 16-29, en la cual también se incluyen los diagramas de Bode de G2(jw). El
diseño puede completarse al determinar la compensación que satisfaga los requerimientos de mar-
gen de ganancia y de fase, I) y 2), sujetos a esta restricción de magnitud.
Un aumento de 32 dB en la ganancia de Bode, la cual es necesaria en w = 8 rad/s, satisfaría las
especificaciones 3) y 4), pero no las especificaciones 1) y 2). En consecuencia se necesita una
compensación más complicada. Para un segundo intento, encontramos que la compensación por
atraso-adelanto:
G H'( ·w = 100(1 +jw/2.5)(1 +jw/0.25)
1
J ) (1 +jw/25)(1 + jw/0.025)
produce un sistema con un margen de ganancia de 6 dB y <!>MF = 26º, como se muestra en la figura
16-29. En la figura se observa que es necesario un adelanto de fase de más de JOº a 15º cerca de
w = 25 rad/s y IG 1H'(jw)I debe incrementarse por lo menos en 2 dB en las proximidades de
w = 8 rad/s para satisfacer la restricción de magnitud. Si se introduce una red de adelanto adicional
y se aumenta la ganancia de Bode para compensar la atenuación de baja frecuencia de la red de
adelanto, la compensación se hace
G H"( 1w) = 300
. ( 1 +jw/10) [ (1 +jw/2.5)(1 +jw/0.25) ]
1
1 +jw/30 (1 +jw/25)(1 +jw/0.025)
Esto produce un margen de ganancia de 7 dB, </>MF = 30º y la satisfacción de las especificaciones
3) y 4), como se muestra en la figura 16-29. La suposición de que IG 1G2H(jw)I ~ I para O :s
w :s 8 rad/s fácilmente se justifica al calcular los valores reales de las magnitudes dB de
50
20.
iXl
-o 10:
-o
a o
'í:
00
"'
E
0.2 0.4 2
o. 20 log10 1G2(j~)J
O 20 log10 !G1H'(i..,) • G2<i"')!
,; 20 Í-0g10 IG1ll''Uw) • G2(i.,ll
4 10 20
Frecuencia w, rad/s
40](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-538-320.jpg)
![528 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
l Arg <J,if"(j,.,) • G2(j.,)
-300°1 -·-·-··"- ,.......·..,,......... ,_,_,,.,.,,.
0.1 0.2 0.4 1 2 4
Frecuencia w, rad/s
Figura 16-29
y
10 20 40
El compensador G1H"(jw) puede dividirse entre las trayectorias directa y de retroalimenta-
ción, o ponerlas todas en una trayectoria, dependiendo de la forma deseada para (CIR) (jw) si así se
especifica en la aplicación.
Problemas suplementarios
16.12. Diseñe un compensador para el sistema con la función de respuesta de frecuencia en malla abierta
20
GH(jw) = -jw_(_l_+_jw_/_10-)-(l_+_J_·w-/2-5-)(_1_+-jw_/_40_)
con el fin de que se produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por Jo
menos 10 dB y un margen de fase de por Jo menos 45º.
16.13. Determine un compensador para el sistema del problema 16. J que produzca los mismos márgenes
de ganancia y de fase pero con una frecuencia de cruce w1 de por Jo menos 4 rad/s.
16.14. Diseñe un compensador para el sistema con función de respuesta de frecuencia en malla abierta
2
GH(jw) = 2]
(1 +jw)[1 +jw/10 - ( w/4)
que produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por Jo menos 6 dB y un
margen de fase de por Jo menos 40°.
-16.15. Resuelva el problema 12.9 utilizando los diagramas de Bode. Suponga que debe garantizarse una
sobretensión máxima del 25%, si el sistema tiene un margen de fase de por Jo menos 45°.
16.16. Resuelva el problema 12.10 usando diagramas de Bode.
16.17. Resuelva el problema 12.20 usando diagramas de Bode.
16.18. Resuelva el problema 12.21 usando diagramas de Bode.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-539-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 531
20
0.03
0.21 o
~
-20
-40
1.0 ~
2.0 -o
-60 -o
E
·=
-80 01)
"'
E
-100
-120
-140
-------------------~----1- -160
- 400 ° - 350 º - 300 º - 250 ° - 200 º - 150 º -· 100 º - 50 º
ángulo de fase
Figura 17-2
en la cual les un entero no negativo. Para K8 > O [si K8 < O, sume -180º al arg GH(jw)],
20Iog10IGH(jw) 1 = 20log10 K8 + 20log1011 + ~: 1+ · · · +20Iog1+ + ~: 1
+ 20 log101-1
- 1I+ 20 log10
1
. + · · · + 20 log10 ---.w-
(Jw) 1 + )W l + -
(17.2)
P1 ~
arg GH(jw) = arg(l + jw) + · · · + arg(l + jw) + arg[~]
Z1 zm (1w}
1 1
+arg . +···+arg .
)W )W
1+- l+-
(17.3)
P1 Pn
Al utilizar las ecuaciones (/7.2) y (/7.3), el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
GH(jw) se genera al sumar las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los polos y ceros, o los
pares de polos y ceros cuando son conjugados complejos.
El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de K8 es una línea recta paralela al eje del
ángulo de fase. La ordenada de la recta es 20 log1oK8 .
El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un polo de orden l en el origen,
1
(jw )t
(17.4)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-542-320.jpg)
![534 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
16
12
8
4
o
o
Q
Q
"'
1
~
-4 "O
"O
a
·=
01)
-8
.,
E
-12
-16
-20
-24
Figura 17-5
EJEMPLO 17.3. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
GH(jw) = [ 2 ]
(1 +Jw) l-(w/2) +jw/2
10(1 +jw/2)
se construye al sumar las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los factores individuales:
10
jw
l+-
2
1
1 +Jw
1
1 - ( w/2)
2
+jw/2
Como en la tabla 17. 1, la tabulación de estos factores es bastante útil. La primera fila contiene la magnitud
en dB y el ángulo de fase de ganancia de Bode K8 = 1Opara varios valores de frecuencia. La magnitud es 20
dB y el ángulo de fase es Oº para cualquier w. La segunda fila contiene la magnitud en dB y el ángulo de
fase del término (1 +jw/2) para los mismos valores de w. Estos se obtuvieron a partir de la figura 17-4 al
hacer p = 2 y tomar los negativos de los valores en la curva para las frecuencias en la tabla. La tercera fila
corresponde al término 1/(1 +jw), y también se obtuvo de la figura 17-4. La cuarta fila se tomó de la curva
? = 0.5 de la figura 17-5 al hacer wn = 2. La suma de las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-545-320.jpg)
![ANAUSIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 535
Tabla 17.1
- ~
o 0.4 0.8 L2 1.6 2 2.8 4 6 8
T
10 20d8 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº
jw OdB 0.2 0.6 1.3 2.2 3.0 4.7 7 10 12.3
l+ -
2 Oº 11º 21º 31º 39° 45º 54° 63° 71º 76°
1 OdB -0.6 -2.2 -3.8 -5.4 ~7.0 -9.4 -12.3 -15.7 -18.1
__._
1 + jw Oº -21° -39° -50° -57° -63° -70º -76º -81° -83°
1 OdB 0.3 0.6 0.9 1.0 o -4.8 -12 -19.5 -24.5
1 - ( w/2)
2
+ jw/2 Oº -12º -26º -46º -68° -90º -126º -148° -160° -166"
Suma= GH(jw) 20dB 19.9 190 18.4 17.8 16 10.5 2.7 -5.2 -Hl.3
Oº -22° -44º -65° -86° -108º -142º -161° -170º -173°
términos individuales para las frecuencias dadas en la tabla aparecen en la última fila. Estos valores se
grafican en la figura 17-6 y representan el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw).
1
Gll(jw) = (1 + jw)[l - (w/2)2 + jw/2]
10(1 + jw/2)
20
16
12
-4--------_-18-0--t'-·~t----~-;;~---~- O O
ángulo de fase
6.0
8.0
Figura 17-6
17.4 Estabilidad relativa
-4
-8
-12
A partir del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(w), los márgenes de ganancia
y de fase se determinan con facilidad para los sistemas continuos en el tiempo y los sistemas
discretos en el tiempo.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-546-320.jpg)
![La frecuencia de cruce dejase w7T es la freeuené;iáf'a la cual la gráfica de GH(w) corta la línea
de·~rstr e11 eh:tlágfaAfa'de rnagniüíct éntm~á.ngó1ócté rase: el'ma,8e,fae·gdtiá~l4.'iE;an.~,
dad(¡) por · ··· · ·· •·
y ~{.ºlee dífactamel]l~ del d.fagram(de m4~~itud ie!J dB~ífpgulo:; ge fas~, .· . ·•
Lw,frecuencia decrueetiegammáfi.vwr es fafrecueoc-ia álacual.la-gráfü;a defiH(w)-OOrta-la-
1íg~~ de ü
0
dB en efcfiagrarr1~tife maifiitud eílJl3-á11i~'? d~.fase. El~argén)te fase está4apo por
,·, , -::, - ... :: - -- -;'ª. ,,,·_··. . ,.,. ·'
~--,,.,,,,:·;; ·'"; .z· - .:::· ·~ '-·
Y.,;~e leerse direótame~te-adel diagrama~e matnitud<eri dB~ánguló>~ fas~·;,C,'';;,
.) En +a.~may'or,pahl de l~d50-S.:J~fflár~nes,~fase.fde.g~ncia·posid,vos aseguraril'l -la
~tapiH~4f},.si_sterrw.•ef11Wll1~ ~~9'#9ªi ~il)-f:ll,!.b~~gq••~b.~~st;1Q¡~~er~t;.la e~419il.i<lad.ab~0Iltlt
PO,f:·O~ mecfü)S (p{)r,~jeJnp.fQ,, vefq,ts~· i9s,Oilpít~lp~ $ y '~)}~~gllfaf.ltizat:qve•f$tQ,'S~ C!!!f{Qy:;,
EJEMPLO 17.4. En la figura 17-i~-~?f.Vef/diairama d".m:~nitud en dB-ángulo de fase de GH(w)
para un sistema estable. Comq S{i ÍijdÍ~a, él'~arg;·n de ganancia eS: 15 dB y el margen de fase es 35º.
cpMI' = [35º
or,
11 ángulo de fase
"
·¡¡
e:
"
e:
"
""
.g
· Figura 17-7
20
15
10
-5
-10](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-547-320.jpg)
![538 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
o, de modo equivalente,
20log10I ~("')1= 3 dB
Una curva similar aparece en todos los múltiplos impares de 180º a lo largo del eje arg G(w).
El lugar geométrico de los puntos del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para los
cuales arg(C/R)(w) es constante o, de modo equivalente,
tan [arg ~( w)] = N = constante
está definido por la ecuación
(17.13)
Para un valor fijo de N este lugar geométrico de los puntos puede representarse en tres pasos: 1)
elegir los valores para </>a; 2) despejar G(w) de las ecuaciones resultantes; y 3) representar en el
diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase los puntos obtenidos.
EJEMPLO 17.6. En la figura 17-9 se presenta la gráfica del lugar geométrico de los puntos para los cuales
arg (C/R)(w) = -60º o, de modo equivalente,
Una curva similar aparece en todos los múltiplos de 180º a lo largo del eje G(w).
-180"
ángulo de fase
º'
-6 iXl
-o
-o
El
-12 -~
-18
e
arg R(w) = -60º
-24
Figura 17-9
E
Deñnición 17.2: Una carta de Nichols es un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
los lugares geométricos de magnitud constante en dB y ángulo de fase de
(C/R)(w), representados como IG(w)I en términos de arg G(w).
EJEMPLO 17.7. En la figura 17-10 se muestra una carta de Nichols. En esta carta el rango del arg G(w)
es muy apropiado en el análisis de sistemas de control.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-549-320.jpg)
![··'54P
dB y de arg (C/R)(wYse'detérnfüfari directamente·defdlagranm el:~iJÜri'tos é~ <lQnde la gtáfica
de G(w) interséca·Tas"gráfkas d~...lq,s]~~Hs dé l{C¡Rl{w-J(y'a,g'{ct:RjfMl); coiístan{és.
EJEMPLO 11.á; fa1 la figµrii ·17•1lse pre~t,t el diag:1~1fa"4! Nic~o~·~ Gí;((w)·~1e(i~steinacontinuo
en el tiempcfdef ejemp~ tt3. Suponieridó 4Íre:es~é é1i un s1stt~ít'¿ón·retroaliiíieht~(gn unitafia(H = 1),
los valores de ICfR(túY,ly arg<{C/R)(w) $e)Jbtlenw;!'li:~ deesta gf~ficá, y'Sftépt~titan; enla.;flgura
17-12 como:itin<1,i~ina·de·~fucl'~tdB~ú~ttf~;~rasede(?t~t.,,t::l : ,);' .'.° ·
-,.-.-,,,;,''':'
j/"<-·,·:;](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-551-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 541
EJEMPLO 17.9. Suponga que el sistema del ejemplo 17.3 no es un sistema con retroalimentación unitaria
y que
10
"'
H(w) =1 +J-
2
G( w) = [ 2 ]
(1 +jw) 1 - ( w/2) + jw/2
Entonces
C 1 [ GH( w) ] 1 [ G'( w) ]
¡(w) = H{w) 1+ GH(w) = ll(w) 1 + G'(w)
en donde G' = GH. En el ejemplo 17.8 se obtuvo el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
G'(w)/(1 + G'(w)) y se muestra en la figura 17-12. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
(CIR)(w) puede obtenerse al sumar punto por punto a esta gráfica la magnitud y el ángulo de fase del polo
1/(1 +jw/2), los cuales pueden obtenerse a partir de la figura 17-4 para p = 2. El resultado se muestra en la
figura 17-13.
4.8
4.0
2.8,
2.0
---------l--'--~~----------'-'-0
1.2 o
-o
C G(w)
-4 •g
8.0
¡¡(w) 1 + G(w)
-8
-12
-l(j
_ _ _ _ _ _ _ __µ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -20
-240°
80
-240 ·
-180'
-180'
-120
ángulo de fase
Figura 17-12
4.8
-120'·
ángulo de fase
Figura 17-13
-60°
-4
-8
G(w)
1 + GH(w)
-12
-16
-20
-60·
º'
g
¡:,¡
-o
-o
a
·¡;
g¡>
E](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-552-320.jpg)
![542 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Problemas resueltos
Diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase
17.l. Demuestre que el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un polo de orden len el
origen del plano s, 1!(jwi, es una línea recta paralela al eje de magnitud en dB con una
abscisa de -901° para w ?: O.
En forma polar, jw = w/ 90°, w~ O. En consecuencia
-
1
- = ~/- 90/0
w ~ O
(Jw) 1 w,,._
____
20log10,-_
1
-, 1 = 20 log10 ~ = - 20 log10w1
(1w) w
y el arg 1/(jwi = -901". Vemos que el arg ll(jw)1
es independiente de w y por tanto la abscisa del
diagrama es una constante igual a -901". Ade111ás, para la región O$ w $ + 00 , la magnitud en
dB varía desde + oo hasta - oo. De esta manera la abscisa es fija y la ordenada toma todos los
valores. El resultado es la línea recta que se muestra en la figura 17-3.
17.2. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia
en malla abierta continua en el tiempo
2
GH=------
s(l + s)(1 + s/3)
La magnitud en dB de GH(jw) es
2
20log10IGH(Jw) 1= 20log10 l}wl ll +Jwl
- 20log.,2- 20Iog.,[w/J +w' / 1+ : ]
El ángulo de fase de GH(jw) es
arg[ GH(Jw)] = -arg[Jw] - arg[l +Jw] - arg[1 + j:]
= - 90º - tan- 1
w - tan- 1
( i)
En la figura 17-14 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-553-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 545
En la figura 17-15 se presenta un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw), genera-
do por computador.
GH(jw)
-280·
0.5(1 + jw/0.5)
(iw)2[1 - (w/2)2 + jw/2]
-260° 5.0 -240' -220°
ángulo de fase
margen
de ganancia
-200·
Figura 17-15
0.2
-180'
24
20
16
12
0.5
8
4
o co
"
"
a
-1 ·a
O()
"'
E
-8
-12
-16
-20
-24
-28
-160' -150°
17.5. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia
en malla abierta discreta en el tiempo.
3 (z+l)(z+}}
GH(z)=¡ (z-l)(z+½)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-556-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 547
(La frecuencia de cruce de ganancia w1 se determina por interpolación a lo largo de la curva
entre w = 1.0 yw = 1.5, que limita a w 1 arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de
w 1 es 1.2 rad/s.)
La curva cruza la línea de - 180º en una magnitud de - 3. 1 dB. En consecuencia el margen de
ganancia es 3. 1 dB.
(La frecuencia de cruce de fase w" se determina por interpolación entre w = 1.5 y w = 2.0,
que limitan a w" arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de w" es 1.7 rad/s.)
17.8. Determine los márgenes de ganancia y de fase en el sistema definido por la función de
respuesta de frecuencia en malla abierta
GH(jw) = [ 2 ]
jw 1- (w/2) +jw/2
1 +jw/0.5
En la figura 17-17 se prese,nta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw).
Vemos que la curva cruza la línea de OdB en un ángulo de fase de -140º. De donde el margen de
fase es <!>MF = 180º - 140º = 40º.
24
20
16
12
8
~
4 "O
"O
2
·=
o OI)
"'
E
-4
GH(jw)
1 + j.,/0.5
(jw){l - (w/2)2 + jw/2]
-8
-12
-16
---+------------------~-- -20
-180' -160º -140° -120° -100° -80° -60° -50°
ángulo de fase
Figura 17-17](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-558-320.jpg)
![548 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
La curva no cruza la línea de - 180º para el intervalo de magnitudes en dB de la figura 17-17.
Sin embargo, cuando w -:- oo.
jw/0.5 8 /
GH(Jw) -+ - - - - = - -180°
-Jw(w/2)2 w
2
' - - - -
La curva tiende asintóticamente a la línea de - 180º pero no la cruza. Por tanto el margen de
ganancia es indeterminado. Esto implica que el factor de ganancia debe incrementarse en una
cantidad que no produzca inestabilidad.
17.9. Determine los márgenes de fase y de ganancia en el sistema discreto en el tiempo del
problema 17.5.
En la figura 17-16 (problema J?.5) se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase
para la función de transferencia en malla abierta de este sistema. Vemos que la curva cruza la línea
de OdB en un ángulo de fase de -87º. De donde el margen de fase es <!>MF = 180º - 87~ = 93º.
El ángulo de cruce de ganancia w IT puede determinarse por interpolación a lo largo de la curva
entre wT = 0.5 y wT = 1.0, que limitan a w 1T arriba y abajo, respectivamente. w 1T = 0.6 rad.
La curva nunca cruza la línea de - 180º, así que el margen de ganancia es indeterminado al
igual que el ángulo de cruce de fase.
Carta de Nichols
17.10. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos sobre un diagrama de magnitud en dB-
ángulo de fase para los cuales la magnitud de la respuesta de frecuencia en malla cerrada
(C/R)(w) de un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, con retroalimenta-
ción unitaria, igual a una constante M, está definido por la ecuación (17.12).
Utilizando la ecuación (/7.//), l(C/R)(w)I puede escribirse como
l
~(w)I= IG(w)I~
R l+IG(w}l/4>c
Ya que IG(w)l/4>,,= IG(w)¡eosq>G + JIG(w)tsenl/>c;, puede escribirse como
- ( "') = -----=-----'----'----'-----'--
1
C I I IG(w)icosq>c;+JIG(w}lsenq>c; 1
R 1 + IG( w) !cosl/>c + JIG( w) lsenl/>c;
[1 + 1G( w) leos 'Pe]
2
+ 1G( w) l
2
sen2
'Pe 1 + 2IG( w} icosq>c; + IG( w} 1
2
Si igualamos a M esta última expresión, elevamos al cuadrado ambos lados y eliminamos las
fracciones, se obtiene](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-559-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 549
la cual puede escribirse como
(M2
- l)IG( w) 1
2
+ 2M2
IG(w) icos4>c + M2
= O
Al dividir por (M
2
- 1) obtenemos la ecuación (17.12), como se pedía.
17.11. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos en el diagrama de magnitud en dB-
ángulo de fase para los cuales la tangente del argumento de la función de respuesta de
frecuencia en malla cerrada (C/R)(w) de un sistema con retroalimentación unitaria igual a
una constante N, se define mediante la ecuación (17.13).
Al utilizar la ecuación (17./ /), el arg (C!R)(w) puede escribirse como
arg -(w) =arg
[
e ] [ IG(w)I~ l
R l+IG(w)I~
Puesto que, IG(w)l/'1>c;= IG(w)lcos(/>c; + JIG(w)lsen(/>c;,
[
C ] [ IG(w)icos(/>c;+JIG(w)isen(/>c;]
arg R(w) =arg l+IG(w)icos(/>c;+JIG(w)lsen(/>c;
Al multiplicar el numerador y el denominador del término entre corchetes por el conjugado comple-
jo del denominador se produce
arg -( w) = arg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
[
C ] [ (1 G( w) leos </>e;+JI G( w) lsen(/>c;)(1 + 1G( w) leos cf,c; - JI G( w) lsenf/>c;) l
R (1 +IG(w) icosf/>c;)
2
+ IG(w) l
2
sen24>c
Puesto que el término del denominador en el último corchete es real, el arg[(C/R)(w)] se determina
sólo a partir del numerador. Es decir.
arg[ ~( w)] = arg( (1 G( w) leos cf,c; + JI G( w) isenf/>c;)(1 + 1
G( w) lcos(/>c; - JI G( w) isencf,c;)]
= arg(I G( w) icoscf,c; + 1G( w) 1
2
+ JI G( w) lsencf,c;]
utilizando cos2
</)c; + sen2
</)c; = 1. Por consiguiente
tan[arg~(w)] = __
IG_(_w_)l_se_n4>._G_ _
R IG(w)lcoscf,c;+IG(w)l
2
Si igualamos esto a N, si cancelamos los términos comunes IG(w)I y eliminamos la fracción, se
obtiene
N[cos(/>c; + 1G( w) I] = sen(/>c;
la cual puede volver a escribirse en la forma de la ecuación (17.13), como se requiere.
17.12. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase del lugar geométrico definido
por la ecuación (17.12) para la magnitud en dB de (C/R)(w) igual a 6 dB.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-560-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 551
1:0
"O
"O
- o a
·2
¡¡fl
E
-4
-8
---,---~-------+-------~---!,- -10
-240º -220' -200° -180" -160° -120·
ángulo de fase
Figura 17-18
17.13. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase del lugar geométrico definido
por la ecuación (17.13) para tan[arg(C/R)(w)] = N = -oo,
tan[arg(C/R)(w)] = - oo implica que arg(C/R)(w) = -90 + k360º, con k = O, ± 1, ± 1, ... , o
arg(C/R)(w) = -270º + k360º, con k = O, ± 1, ± 1, ... Graficaremos sólo el ciclo entre - 360º y
O°, el cual corresponde a k = O. Al hacer N = - oo en la ecuación (17. / 3), obtenemos la ecuación
del lugar geométrico
1G( w) 1 + cos </>e= O o COS</>c= -IG(w)I
Puesto que leos </>el s 1, el lugar geométrico existe sólo para O s IG(w)I s I o, de manera
equivalente,
Para obtener el diagrama, utilizamos la ecuación del lugar geométrico con el fin de calcular los
valores de magnitud en dB de G(w) correspondientes a valores diferentes de </>c. En la tabla 17.4
se presentan los resultados de estos cálculos. El diagrama deseado se presenta en la figura 17-19.
Tabla 17.4
</>e COS</>c IG(w)I 20Iog10IG(w)I
-180º - -1 1 O dB
-153º -207º -0.893 0.893 -1.0
-135º -222.5º -0.707 0.707 -3
-120º -240° -0.5 0.5 -6
-110.7º -249.3º -0.354 0.354 -9
-104.5 ° -255.5° -0.25 0.25 -12
-100.3° -259.8° -0.178 0.178 -15](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-562-320.jpg)
![552 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
-4
¡:i:¡
"O
-8 ]
·a
-12 E
~
-16
-280 -260' -240° -220º -200' -180' -160· -140' -120· -100=
ángulo de fase
Figura 17-19
Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada
17.14. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de
frecuencia en malla cerrada (CIR)(jw) del sistema con retroalimentación unitaria cuya
función de transferencia en malla abierta es
2
G=-------
s(l + s)(1 + s/3)
C G(jw) 6 6
R(Jw) = 1 + G(jw) (Jw)3
+ 4(jw)2
+ 3jw + 6 (6 - 4w2
) +J(3w - w3
)
Por tanto
1
e 1 1e 1
2
36
20log10 R.(Jw) = 10log10 ¡(iw) = 10log10 2
(6-4w2
) +(3w-w3)
y
arg[~(Jw)] = -tan-1 _3w_-_w_J
R 6-4w2
En la figura 17-20, la línea continua muestra un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de
(C/R)(jw), generado por computador.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-563-320.jpg)
![ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
I
I
I
I
2.0/
I
I
I
I
I
I
I
I
I
-320º -280º -240°
a.o/
I
I
-200' -160'
ángulo de fase
Figura 17-20
-120° -80º -40°
1
Oº
10
o
-5
-10
-15
553
~
-o
-o
·ª
,::
~
E
17.15. Resuelva de nuevo el problema 17.14 utilizando la técnica estudiada en la sección 17.6.
En la figura 17-21 se presenta el diagrama de Nichols de G(jw). Determinamos los valores de
la magnitud en dB de l(C/R)(jw)I y del arg[(C/R)(jw)] por interpolación de los valores de
magnitud en dB y ángulo de fase en el diagrama de Nichols para w = O, 0.2, 0.5, 1.0, 1.25, 1.5,
2.0 y 3.0. En la tabla 17.5 se presentan estos valores.
Tabla 17.5
w 20Iog101~( jw) 1 arg[ ~(Jw)]
o OdB Oº
0.2 0.2 -6º
0.5 1.2 -15°
1.0 6.0 -42°
1.25 JO.O -90º
1.5 6.0 -155°
2.0 -4.0 -194°
3.0 -15.0 -212°
En la figura 17-20, el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de (CIR)(jw), elaborado
utilizando los valores de la tabla, se representa mediante una línea de guiones. Las diferencias entre](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-564-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 561
2. <PMF = 40º.
3. El pico de resonancia = 1.7 dB.
Nótese que la ganancia de Bode es igual a la constante de error de velocidad Kv, Por tanto el error en
estado estacionario del sistema no compensado es e (oo) = 1/Kv =½[ecuación (9.13)]. A partir del diagrama
de magnitud en dB-ángulo de fase de GH en la figura 18-5, vemos que <PMF = 18° y MP = 5 dB.
El error en estado estacionario es demasiado grande para un factor de 2; por tanto la ganancia de Bode
debe aumentarse en un factor de 2 (6 dB). Si incrementamos la ganancia de Bode en 6 dB, obtenemos la
gráfica GHI de la figura 18-5. El margen de fase de GH1 es cercano a cero, y el pico resonante es cercaño a
infinito. El sistema está entonces en el borde de la inestabilidad.
La compensación por adelanto de fase puede utilizarse para mejorar la estabilidad relativa del sistema. La
función de transferencia en malla abierta del sistema compensado es
K8 (a/b)(l +s/a)
GH =----------
2 s(l + s)(1 + s/3)(1 + s/b)
4(1+s/a)
s(l + s)(1 + s/3)(1 + s/b)
en donde K8 = 4(b!a) satisface el error en estado estacionario.
Un modo de satisfacer los requerimientos de <PMF y MP es sumar entre 40º y 50° de adelanto de fase a la
curva GH1 en la región I :S w :5 2.5 sin cambios sustanciales de la magnitud en dB. Ya hemos escogidoK8
= 4(bla) para compensar por a!b en la red de adelanto. Por tanto necesitamos ocupamos únicamente del
efecto que el factor (1 + s/a)/(1 + s!b) tiene sobre la curva GH1• Con referencia a la figura 18-4, vemos que
para proporcionar el adelanto de fase necesario se requiere que b!a 2:: 10. Hacemos notar que las curvas de
la figura 18-4 incluyen el efecto de a!b de la red de adelanto. Puesto que ya se ha hecho la compensación por
ésta, se necesita agregar 20 log 10 (b!a) a las magnitudes en dB sobre la curva. Para mantener pequeña la
contribución a la magnitud en dB de la red de adelanto en la región l :S w :S 2.5 hacemos b!a = 15 y
escogemos a de tal modóque sólo la parte inferior de la curva (wla :S 3.0) contribuya en la región de interés
1 :S w :S 2.5. En particular, hacemos a = 1.333. Entonces la función de transferencia en malla abierta
compensada es
4(1 + s/1.333)
GH = ----------
3 s(l + s)(1 +s/3)(1 + s/20)
En la figura 18-5 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH3 • Vemos que <PMF = 40.5º
y M" = 1.7 dB. De esta manera se cumplen todas las especificaciones. Sin embargo, hacemos notar que la
frecuencia resonante w" del sistema compensado es cerca de 2.25 rad/s. En el sistema no compensado
definido por GH ésta es cerca de 1.2 rad/s. De este modo el ancho de banda se ha incrementado.
R
La figura 18-6 presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado.
red de
adelanto
amplificador de factor
de ganancia
Figura 18-6
función de transferencia
de la malla original
e](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-572-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
10º = margen de fase --,,_
.~----~, 20
0.1
1 5 LO
-20--·--------------- O
3.4 3.0 .
-20
-40
-60
-80
~--~---~-....L_-~---~----.----+-100
-300° - 250 º - 200 º - 180° - 150° -100°
ángulo de fase
Figura 18-12
1.82( w + 1.90)
Gi ( w) = __
w_+_6_.2_7_
-50º
co
-o
-o
B
·e:
OJJ
"'
E
Esta se transforma de nuevo al dominio z haciendo w = (z - 1)/(z + 1), formándose
0.7229( z + 0.3007)
Gi( z) = --z""'+-0-.
7-2-22--'-
En la figura 18-13 se presenta el sistema de control compensado.
R +
Figura 18-13
Problemas resueltos
Compensación de factor de ganancia
e
569
18.1. En la figura 18-14 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función
de respuesta de frecuencia continua en malla abierta
(
. ) K8 [1-(w/2)
2
+jw/2]
GH JW = 2
jw(l +jw/0.5) (1 +jw/4)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-578-320.jpg)
![DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 571
IGH(jw;)I = - JO dB. Una disminución adicional de 7 dB implica que Ka= 10 ™ -
7120
= 0.447.
Puesto que el sistema es estable para Ka = 1, permanece estable cuando la curva GH(jw) se
desplaza hacia abajo. La estabilidad absoluta no se afecta a no ser que la curva GH(jw) se desplace
hacia arriba y atraviese el punto definido por O dB y - 180º, como sería necesario si -20
log10 GH(Jw:,:) = 10 db.
18.3. En el sistema del problema 18.1, determine un valor de K8 tal que: el margen de ganancia
:=::: 10 dB, <l>MF :=::: 45º.
En el problema 18.1 se demostró que <f>MF 2'. 45º si Ka :s 0.3; en el problema 18.2, el margen
de ganancia 2: 10 dB si Ka :s 0.447. Por tanto ambos requerimientos pueden satisfacerse al hacer
Ka :s 0.3. Nótese que si se hubiera especificado un margen de ganancia= 10 dB y <!>MF = 45º, las
especificaciones no se habían podido cumplir con la sola compensación del factor de ganancia.
18.4. Suponga que el sistema del problema 18.1 es con retroalimentación unitaria, y determine
el valor de K8 tal que el pjco resonante MP sea dB.
20
M, = 2 dB r---- 10
o
-10
i:o
"O
"O
1.0 K 8 [1 - (w/2)2 ,- jw/2] 2
GH(jw) = 'é:
.iw(l + jw/0.5)'(1 + jw/4) OI)
"'
-20 E
1.0
• K,. = 1.0
-30
°K 11 = 0.40
-40
-----,----.------11---~---.-f-.;c---,-------,---,----1- -50
--220° -2ooc -180° -140° -120° -100° --90'
Figura 18-15
En la figura 18-15 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw) para Ka= l,
junto con el lugar geométrico de los puntos para los cuales l(C/R) (jw)I = 2 dB (Mp = 2 dB). Vemos que
si K8 dismimuye en 8 dB, la curva resultante GH(jw) apenas es tangente a la curva Mp = 2 dB. Una
disminución de 8 dB implica que K8 = 10-8120
= 0.40.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-580-320.jpg)
![572 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
18.5. En la figura 18-16 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función
de respuesta de frecuencia en malla abierta
K 8 (l +jw/0.5)
GH(jw) = 2[ 2 ]
(jw) 1- (w/2) +jw/2
paraK8 = 0.5. El sistema en malla cerrada definido por GH(jw) es estable para K8 = 0.5.
Determine el valor de K8 que hace máximo el margen de fase.
20
16
arg GH(j.,;) =-147°
12
GHUw) = 0.5(1 + j.,/0.5) ¡¡
(j.,)2 [1 - (w/2)2 + jw/2]
w'
1
l 4
4.6 dB
o ¡:o
"O
"O
.2
-·l ·;:
0Jl
.,
E
-8
-12
-16
-20
-24
-28
-280° -220° -200° -180° -160° -140° ~
'"'
ángulo de fase 1
Figura 18-16
<fJMF = 180º + arg GH(jw1), en donde w1 es la frecuencia de cruce de ganancia. Con referen-
cia a la figura 18-16, vemos que el arg GH(jw) siempre es negativo. Por tanto, si se halla el
máximo para el arg GH(jw1), también será el máximo de <fJMF· La figura 18-16 indica que el arg
GH(jw) se hace máximo cuando w = wí = 0.8 rad/s y el arg GH(jwí) = -147º. La ordenada del
puntoGH(jwÍ) es4.6 dB. Por tanto, si K8 disminuye en4.6dB, la frecuencia de cruce de fase eswí;
y <fJMF toma su máximo valor: </JMF = 180º + arg GH(jwí) = 33º. Una disminución de 4.6 dB en K8
implica que 20 log 10 (K8 /0.5) = -4.6 dB o K8 /0.5 = 10-4
·
6
'
2
º Entonces K8 = 0.295.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-581-320.jpg)
![584 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL
en donde les la longitud de la cuerda del péndulo y ges la aceleración de la gravedad. Si nos interesan los
pequeños movimientos del péndulo alrededor del "punto de operación", 0 = O,entonces la ecuación del
movimiento puede linealizarse alrededor de este punto de operación. Esto se logra con la expansión en serie
de Taylor del término no lineal (g//)sen 0 alrededor del punto 0 = O y la retención de los términos de
primer grado únicamente. La ecuación no lineal es
d2(J g d2(J g 00 (Jk ( dk 1 )
- + - sen(}= - + - " - -(sen 9)
dt2 [ dt2 [ 1.., k I d(Jk
k=O · o-o
= d2(J + ! [(J - ~ + ... ] = o
dt2
l 3!
La ecuación lineal es d2
0idt2 + (gll)0 = O, válida para variaciones pequeñas de 0.
Es instructivo expresar más formalmente el proceso de linealización de las aplicaciones de la
serie de Taylor, para establecer mejor su aplicabilidad y sus iimitaciones.
Serie de Taylor
La expansión en serie infinita de una función no lineal generalflx) puede ser muy útil en el
análisis de sistemas no lineales. La funciónflx) puede escribirse como la siguiente serie infinita,
expandida alrededor del punto x:
(19.J)
en donde (dkf/d:J<)lx=.r es el valor de la k-ésima derivada defcon respecto ax evaluada en el punto
x = x. Obviamente, esta expansión existe (es posible) sólo si existen todas las derivadas reque-
ridas.
Si la suma de los términos de segundo grado y de grado superior en (x - .x) de la ecuación
(19./) son insignificantes comparados con la suma de los dos primeros términos, podemos escribir
f(x) =f(x) + df 1 (x - x)
dx x=x
(19.2)
A menudo esta aproximación es adecuada si x es "suficientemente cercana" a .x, o, lo que es
equivalente, si x - xes "suficientemente pequeño", en cuyo caso los términos de orden superior
son relativamente pequeños.
La ecuación (19.2) puede escribirse de nuevo como
f(x)-f(x)= :~,x=/x-x) (19.3)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-593-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
Entonces, si definimos
Ax=x-x
AJ= J(x) - J(x)
La ecuación (19.3) se convierte en
Af=dfl Ax
dx x=x
585
(19.4)
(19.5)
(19.6)
Si x = x(t) es una función de tiempo t, o de cualquier otra variable independiente, entonces t
puede tratarse como un parámetro fijo para la mayor parte de las aplicaciones cuando se realizan
los cálculos de linealización anteriores, y Ax= Ax(t) = x(t) - x(t), etc.
EJEMPLO 19.6. Suponga que y(t) = j[u(t)] representa un sistema no lineal con entrada_ u(t) y salida y(¡),
en donde t 2". t0 para algún t0 , y df!du existe para todo u. Si las condiciones normales de operación de este
sistema están definidas por la entrada u = ü y la salida y = _v, entonces los cambios pequeños dy(t) = y(t) -
f(t) en la operación de salida en respuesta a cambios pequeños du(t) = u(t) - ü(t) en la entrada pueden
expresarse mediante la relación lineal aproximada
df¡
dy(t);;;; - du(t)
du u=ü(I)
(19.7)
para t 2". to.
Serie de Taylor para procesos vectoriales
Las ecuaciones (/9. l) a (/9.7) se generalizan fácilmente para funciones no lineales m-
vectoriales de argumentos n-vectoriales, f(x), en donde
y m y n son arbitrarios. En este caso, Lix =x - x, M =f(x) - f(x) y la ecuación (19.6) se hace
Af=- Ax
df I
dx _
x=x
(19.8)
en donde df!dx es la matriz definida como
a11 a/1
df
axl ax2
dx
a¡m a¡m
(19.9)
axl ax2](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-594-320.jpg)
![586 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 19.7. Para m = 1 y n = 2, la ecuación (/9.9) se reduce a
y la ecuación (/9.8) es
(19.10)
La ecuación (19.10) representa el caso común en donde una función escalar no lineal! de dos variables,
digamos x1 = x y x2 = y se linealizan alrededor del punto {x, y} en el plano.
Linealización de ecuaciones diferenciales no lineales
Para linealizar ecuaciones diferenciales seguimos el mismo procedimiento empleado para
linealizar funciones f(x). Considere un sistema diferencial no lineal escrito en forma de variables
de estado:
dx
dt =f[x(t),u(t)] (19.11)
en donde el vector den variables de estado x(t) y el vector de r entradas u(t) se definen como en el
Capítulo 3, en las ecuaciones (3 .24) y (3 .25), y t ~ t0 . En la ecuación (J9. 11), fes un vector de n
funciones no lineales de x(t) y u(t).
De manera similar, las ecuaciones de salida no lineales pueden escribirse en la forma vecto-
rial:
y(t) = g[x(t)] (19.12)
en donde y(t) es un vector de m salidas y g es un vector de m funciones no lineales de x(t).
EJEMPLO 19.8. Un ejemplo de un sistema diferencial ESSS no lineal de la forma de las ecuaciones
(/9.l/) y (19.12) es
Las versiones linea/izadas de las ecuaciones (19.11) y (19.12) se representan por
d(ax) a, 1 a, 1
--""- ax+- &i
dt - ax x=!(I) au x=!(I)
u=u(t) u=u(t)
(19.13)
ag 1
ay(1);;;- ax
ax x=x(I)
(19.14)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-595-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 587
en donde las matrices de derivadas parciales en estas ecuaciones se definen como en las ecuacio-
nes (/9.9) y (19.10), cada una evaluada en el "punto" {x, ü}. Los pares x = x(t) y ü = ñ(t)
realmente son funciones de tiempo. pero se tratan como "puntos" en los cálculos indicados.
Las ecuaciones linealizadas (19.13) y (19.14) a menudo se interpretan como sigue. Si la
entrada se distorsiona o se desvía de un "punto de operación" ü(t) en una cantidad suficientemente
pequeña Liu(t), generando perturbaciones Lix(t) suficientemente pequeñas en el estado y perturba-
ciones Liy(t) suficientemente pequeñas en la salida alrededor de sus puntos de operación, entonces
las ecuaciones lineales (/ 9. J3) y (/ 9. J4) son ecuaciones aproximadas razonables para los estados
distorsionados Lix(t) y las salidas distorsionadas .:ly(t ).
Las ecuaciones Iinealizadas (19.13) y (19.14) a menudo se llaman ecuaciones de perturba-
ción (pequeña) en el sistema diferencial no lineal. Son lineales en Lix y (Liu) porque las matrices de
coeficientes:
:: lx=!(t)
u=u(t)
:: lx=!(I)
u=u(t)
que se han evaluado en x(t) y/o ii(t) no son funciones de Lix(t) [o de Liu(t)].
Las ecuaciones linealizadas (19.13) y(/9. J4) también son invariables en el tiempo si ii(t) = ii
= constante y x(t) = x= constante. En este caso, todos los métodos desarrollados en este libro
pueden aplicarse para ecuaciones diferenciales ordinarias invariables en el tiempo. Sin embargo,
los resultados deben interpretarse juiciosamente porque, de nuevo, el modelo linealizado es una
aproximación, válida sólo para perturbaciones "suficientemente pequeñas" alrededor de un punto
de operación y, hablando de modo general, las perturbaciones "suficientemente pequeñas" no
siempre son fáciles de descubrir.
EJEMPLO 19.9. Las ecuaciones linealizadas (de perturbación) del sistema dado en el ejemplo 19.8 se
determinan como sigue, a partir de las ecuaciones (19.13) y (/9./4). Por conveniencia, primero definimos
etc., para simplificar la notación. Entonces
De manera similar,
a¡I aj
ax x=~(t) = ax
u=u(t)
y la ecuación de la perturbación de la salida es](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-596-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 591
con las condiciones iniciales e(O) = 1 - c(O) y (de/dt)l 1 =o = -(dc!dt)l1=o· Luego remplazamos
la ecuación (/ 9.20) por dos ecuaciones diferenciales de primer orden, haciendo e =x I y deldt =x2:
dx¡
-=x
dt
2
dx2
--=-ax-u
dt 2
(19.21)
(19.22)
con las condiciones iniciales x1(0) = e(O) = 1 - c(O) y xi(O) = (de/dt)l,=o = -(dc!dt)l1 =o· Al
eliminar el tiempo como variable independiente, obtenemos entonces
- - = - - - - o (19.23)
Esta ecuación más las condiciones iniciales en x 1(0) y xi(O) definen una trayectoria en el plano de
fase.
Puesto que la señal de control u no conmuta (de + 1 a -1 o de -1 a+ 1) más de una vez,
podemos separar la trayectoria en dos partes, la primera, antes del tiempo de conmutación, y la
segunda, después de la conmutación. Consideremos primero la segunda parte, ya que ésta termina
en el origen del plano de fase, x1 = x2 = O. Hacemos u = ± 1 en la ecuación (19.23) y luego
integramos entre un conjunto general de condiciones iniciales x1(t) y xi(t) y las condiciones termi-
nales x 1 = x2 = O. Para efectuar la integración, consideramos cuatro conjuntos diferentes de condi-
ciones iniciales, cada una correspondiente a uno de los cuadrantes del plano de fase.
En el primercuadrante,x1 > Oy x2 >O.Nótese quedx1/dt = x2 >O.De este modox1 aumenta
cuando x2 está en el primer cuadrante, y cuando x2 tiende a cero, x1 no puede ser cero. Por tanto,
las trayectorias que comienzan en el primer cuadrante no pueden terminar en el origen del plano de
fase si u no conmuta.
Cuando las condiciones iniciales están en el tercer cuadrante tenemos argumentos idénticos,
es decir, si x1 < Oy x2 < O, la trayectoria no puede terminar en el origen si u no conmuta.
En el segundo cuadrante, x1 < Oy x2 >O.Puesto que dx¡ldt = x2 > O, x1 aumentará mientras
x2 > O. Puesto que a > O, entonces -ax2 < Oy así dx2/dt < Opara u = + 1, dondequiera que x2
> O. La integración de la ecuación (19.23) con u = + 1, condiciones iniciales en el segundo
cuadrante y condiciones terminales x 1 = x2 = O, produce
JO Jº X2dX2
dx1 = -xi(t} = -
x1(1) x2(1J ax2 + l
1 iº x 2 (t} 1
ó x1(t} = -dax2 + 1- ln(ax2 + 1}] = - - - + 2 In [axi(t} + 1]
a x2(1) a a
(19.24)
en dondex1(t) :SO, xi(t) 2 O. Esta ecuación define una curva en el segundo cuadrante del plano de
fase, tal que, para cualquier punto sobre esta curva, la trayectoria termina en el origen si u = + 1.
Esto es, la señal de control u = + 1 conduce a x1 y a x2 simultáneamente a cero.
Mediante argumentos idénticos, existe una curva en el cuarto cuadrante definida mediante
x2 ( t) 1
x1(t) = - -a- - ª2 ln[-ax2 (t) + 1] (19.25)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-600-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 593
Consideramos la parte de la trayectoria antes de la conmutación, cuando las condiciones
(x1(0), xz(O)) se encuentran por encima de la curva de conmutación. Para este caso, u= + 1, y la
primera parte de la trayectoria se obtiene mediante la integración de la ecuación (19.23) con u= +
1 entre las condiciones iniciales (x1(0), x2(0)) y un par de puntos arbitrarios (x 1(t), x2(t)) que
satisfacen las desigualdades (19.26) y (19.27). Obtenemos la trayectoria al integrar la ecuación
(19.23), la cual produce
(19.28)
Nótese que esta parte de la trayectoria tiene la misma forma que la de la ecuación (19.24), pero
ésta se encuentra desplazada a la derecha. Así que, cuando x2(t) = O, x1(t) ,= x1(0) + (1/a)
[xz(O) - (1/a)ln(axi(O) + I)], que es mayor que O debido a la desigualdad (19.26).
Así, cuando (x 1(0), x2(0)) se encuentra por encima de la curva de conmutación, el controlador
de encendido-apagado (on-ojf) desarrolla una señal de control u= + 1, y la trayectoria resultante
(x 1(t), xz(t)) se define mediante la ecuación (19.28). Cuando esta trayectoria interseca la curva de
conmutación, es decir, cuando (x1(t), x2(t)) satisface las ecuaciones (19.25) y (19.28) simultánea-
mente, el controlador de encendido-apagado (on-ojf) conmuta la señal a u= -1, y la trayectoria
continúa a lo largo de la curva de conmutación hasta el origen del plano de fase.
Por razonamiento idéntico, si las condiciones iniciales se encuentran.por debajo de la curva de
conmutación, es decir,
cuando x2(0) 2: O, o
x2 (0) 1
x1(0) < - - - - 2 1n[ -ax2(0) + 1]
a a
cuando xz(O) :S O, entonces el controlador de encendido-apagado (on-ojf) genera una señal de
control u = -1 y la trayectoria (x1(t), x2(t)) satisface
(19.29)
Cuando esta trayectoria interseca la curva de conmutación, es decir, cuando (x1(t), x2(t)) satisface
las ecuaciones (19.24) y (19.29) simultáneamente, el controlador de encendido-apagado (on-ojf)
conmuta la señal de control a u = + 1y la trayectoria se mueve a lo largo de la curva de conmuta-
ción en el segundo cuadrante y termina en el origen del plano de fase.
Recordando que x1 =e y x2 =é, la lógica de conmutación del controlador de encendido-
apagado (on-ojf) es como sigue:
é l
a) Cuando é>O y e+ - - 2 ln(aé+l)>O, entonces u= +l
a a](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-602-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 595
ordinarias de primer orden, diferenciales o de diferencia, que escribimos aquí de manera concisa
en forma de variables de estado:
i = f{x,u)
o x{k+ 1) =f[x{k),u{k)]
(19.30)
{19.31)
Las siguientes definiciones de estabilidad son para sistemas no forzados, es decir, para u= O,
y por simplicidad escribimos i = f(x) o x(k + 1) = f[x(k)].
Un punto Xs para el cual f(xs)= Ose llama punto singular. Se dice que un punto singularx. es
estable si, para cualquier región hiperesférica SR (por ejemplo, un círculo en dos dimensiones) de
radio R centrado en X5 , existe una región hiperesférica S,. de radio r :SR también centrada en Xs en
la cual cualquier movimiento x(t) del sistema comenzando en S,. permanece en SR siempre.
Un punto x. para el cual f(x.) = Ose llama punto singular. Se dice que un punto singular x. es
mientos) x(t) tienden hacia x. a medida que el tiempo tiende a infinito.
El criterio de estabilidad de Lyapunov determina que, si el origen es un punto singular~ es
estable si puede encontrarse una función de Lyapunov V(x) con las siguientes propiedades:
a) V(x) > O para todos los valores de x =f= O (19.32)
h) dV/dt :SO para todo x, en sistemas continuos, o LiV[x(k)] =V[x(k + ])] - V[x(k)] :SO,
para todo x, en sistemas discretos (19.33)
Además. si dV!dt (o LiV) nunca es cero excepto en el origen, este último es estable asintóticamente.
EJEMPLO 19.13. Un sistema continuo no lineal representado por
d
2
x dx ( dx)
3
-, +-+ - +x=O
dt· dt dt
o. de modo equivalente, el par de ecuaciones
en donde .r1=.r. tiene un punto singular en x 1 = x2= O. La función V= x~ + x1 es positiva para todo Xi y x2,
excepto x1 = .r2 = O en donde V = O. La derivada
nunca es positiva. En consecuencia el origen es estable.
EJEMPLO 19.14. En la figura 19-9 se muestra el sistema no lineal representado por las ecuaciones
diferenciales [con x1U) = -c(t)]:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-604-320.jpg)
![596 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
-x1 = e
Figura 19-9
También,flO) = Opara este elemento no lineal particular. Sir es constante, podemos hacer los cambios de
variables x{ =x1 + r, xí =x2 + r, y las ecuaciones de estado se convierten en
ií = -f(xí)
El origen x{ = xí = O es un punto singular puesto que .xí = ií = O en el origen. La función de
Lyapunov está definida por V= 2f0
'Í/(e) de+ xí2
> O para todo x{, xí,;. O, si xíf(xí) > O para todo
x{ ,;. O. Derivando V,
V= 2/(xí)ií + 2xíxí = 2/(xí)( -x{ + xí) - 2xíf(x{) = -2xíf(x{)
Así, si nos restringimos a xíf(xí) > Opara mantener V > O, V:s O para x{ ,;. O. En consecuencia el
sistema es estable para cualquier elemento no lineal que satisfaga las condiciones
/(O)= O
xíf( x{) > O para x{ ,;. O
Nótese que este resultado es muy general, y sólo se requieren las condiciones anteriores para asegurar la
estabilidad.
Sir no es constante, la solución i:1rax1(t) y para x2(t) correspondiente a r(t), en general no es constante.
Pero, si se conociera la solución, la estabilidad de la solución podría analizarse de modo similar.
EJEMPLO 19.15. Para el sistema discreto en el tiempo
X¡(k + 1) = X2(k)
X2 ( k + 1) = - / [X¡ ( k)]
en dondeflx1) es la no linealidad de saturación de la figura 19-lb), el origen es un punto singular porque
x1(k) = x2(k) = O implica que x 1(k + 1) = xi(k + 1) = O.
Haciendo V = xf + Xl , que es mayor que cero para todo x 1, x2 =ft O, entonces
~V= xf( k + 1) + Xi( k + 1) - xl( k) - Xi( k)
= xi( k) +/ 2
[ x1( k)] - xl{ k) - xi{ k)
= -xl(k) +/ 2
[x1(k)]
Puesto que/2 (x1) :s Xf para todo x 1, aV :s Opara todo x 1, x2 , y en consecuencia el origen es
estable.
Elección de las funciones de Lyapunov
Para muchos problemas, una elección conveniente de la función de Lyapunov V(x) es la fun-
ción de forma escalar cuadrática V(x) = xTPx, en donde xTes la traspuesta del vector columna x, y](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-605-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 597
Pes una matriz simétrica real. Para producir V> O, la matriz P debe ser claramente posi~iva. A
partir del teorema de Sylvester [7], Pes claramente positiva si y sólo si todos sus discriminantes
son positivos, es decir
Pu>O
'Pu
P21
P121 > O
P22
Pu Pin
>O
pnl pnn
En sistemas continuos x = f(x), la derivada de V(x) = xTPx está dada por
JÍ(x) = xTPx + xTPx = fT(x)Px + xTPl(x)
En sistemas discretos, x(k + 1) = f(x(k)] y
~V( k) = V{k + 1) - V( k) = xT(k + 1)Px(k + 1) - xT(k) Px( k)
= fT[x(k)] Pf[x(k )] - xT(k)Px(k)
(19.34)
EJEMPLO 19.16. En el sistema representado por x= Ax con A = [ -~ _ ~], hacemos V= xTpx
con P = [ ~ ~] . Entonces
2] + [-2
-3 2
· r[-4
V=x
3
en donde
Puesto queP es claramente positiva, V> Opara todo x *O.Los discriminantes de Qson 4 y (24 - 9) = 15.
En consecuencia Q es claramente positiva y -Q es claramente negativa, lo cual garantiza que V< Opara
todo x * O. En este sistema, el origen es estable asintóticamente.
19.5 Métodos de respu~sta de frecuencia
Funciones descriptoras
Las funciones descriptoras son funciones de respuesta de frecuencia aproximadas para los
elementos no lineales de un sistema, las cuales pueden utilizarse para analizar todo el sistema
utilizando las técnicas de respuesta de frecuencia desarrolladas en los capítulos anteriores.
Una función descriptora se desarrolla para un elemento no lineal, al analizar su respuesta a una
entrada sinusoidal A sen wt, la cual puede escribir como una serie de Fourier:](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-606-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 607
Tabla 19.2
e> o e+ e2
/2 >O e- e2
/2> O u
No No No -1
No No Sí +1
No Sí No -1
No Sí Sí +1
Sí No No -1
Sí No Sí -1
Sí Sí No +1
Sí Sí Sí +1
Criterio de estabilidad de Lyapunov
19.12. Encuentre los puntos singulares para el par de ecuaciones
dx1 dx2
--=senx2 -d =x1 +x2
dt t
Los puntos singulares se encuentran al hacer sen x2 = Oy x1 + x1 = O. La primera ecuación se
satisface cuandox2 = ±n1r, n = 0,1,2, ... La segunda se satisface cuandox1 = -x2• Por tanto los
puntos singulares se definen mediante
x1 = +n'TT, x2 = ±n'TT n=0,1,2, ...
19.13. El origen es un punto singular para el par de ecuaciones
dx1
- =ax1 +bx2
dt
Utilizando la teoría de Lyapunov, encuentre las condiciones suficientes en a, b, e y d tales
que el origen sea asintóticamente estable.
Escogemos una función
V=x¡ + Xi
la cual es positiva para todo x1, x2, excepto x1 = x2 = O. La derivada de V con respecto al tiempo es
dV dx1 dx2 2 2
-d = 2x1- + 2x2 - = 2ax1 + 2bx1x2 + 2cx1x2 + 2dx2
t dt dt
•·
Para hacer dV!dt negativa para todo x1, x2 , podríamos escoger a< O, d < Oy b = -c. En este caso,
dV
dt = 2axf + 2dxi < O
excepto cuandox1 = x2 =O.De donde se concluye que un conjunto suficiente de condiciones para la
estabilidad asintótica es a < O, d < O y b = -c. Hay otras soluciones posibles a este problema.
19.14. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del origen del sistema discreto no
lineal descrito por
X¡(k + 1) = x1(k) - f [x1(k )]](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-616-320.jpg)
![608 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Hagamos V[x(k)] = [x1(k)]2, que es mayor que O para todo x + O. Entonces
~V= xf(k + 1) - xf(k) = (x1(k) - /[x1(k)])
2
- xf(k)
= - X¡ ( k) / [X¡ ( k)] (2 - / [X~~k)
1)
Por tanto las condiciones suficientes para que .:iV :5 Oy de esta manera la estabilidad del sistema
son
x¡f(x1) ~ O
/( x1) .::;;
2
para todo x1
X¡
19.15. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema
i=Ax+b/(x1) endonde A=[-~ =~],b=n]
Hagamos V= xTPx y p = [ ~ n. Entonces
-xT[ -4a
-a-4c
-a - 4c]
_ 2c-
4
x+2(a+2c)x¡/(x1) +2(c+2)xzf(x1)
Para eliminar los términos del producto cruz x2/(x1), hacemos e= -2. Entonces
JÍ= -xTQx+2(a-4)x¡/(x1)
En donde Q= [a~8
ª ~ 8
]. Para Q ;:,;,; O, a= 8. La Í' resultante es
. ( /(xi))
V=-32xf+8x¡f(x1 )=-8xf 4-~
Entonces JÍ.::;; O y el sistema es estable si flx 1)/x1 :5 4 para todo x 1 * O.
19.16. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema discreto en el tiempo
no lineal
x(k+ 1) =Ax(k) + b/[x1(k)]
en donde A=[¿ -U y b=[-~1-
Hagamos V= XTPx,en donde p = [; r]. Entonces
~V= V[x(k + 1)] - V[x(k)] = x(k+ lfPx(k + 1) -x(k)'l"Px(k)
== [ /[ x1( k))bT + x( k)TAT] P[ Ax( k) + b/[x1( k))] - x( k)TPx( k)](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-617-320.jpg)
![INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
en donde
a- 2c]
a-2c
609
y 1-c]
Ahora, para A7PA - P :e; O, hacemos a = 2c y, para eliminar el término del producto cruz xifl:x1),
hacemos e= l. Entonces ATPA - P = O y
2 ( /(x1))
.iV= [/(x1)] - 2xif(x1) = -xif(x1) 2- ~
Entonces las condiciones suficientes para que ~V :e; Oy de esta manera la estabilidad en el origen
son
y para todo x1•
Métodos de respuesta de frecuencia
19.17. Demuestre que la función descriptora del elemento de saturación lineal por tramos en el
ejemplo I9. I está dada por
Bi ei+i = ~ [sen- 1 2.. + 2._ cos sen-1 2._]
A .,, A A A
A partir de la figura I9-lb), vemos que, cuando la magnitud de la entrada es menor que 1.0, la
salida se iguala a la entrada. Cuando la entrada excede a 1.0, entonces la salida se iguala a 1.0.
Utilizando la notación del ejemplo 19. 1, si
e(1) =Asenwl A> 1
entonces fil) es como se muestra en la figura 19-19 y puede escribirse como
A
!(1) ==
Asenwl
1
-1
----, /V A sen wt
/ '<
I '
1,0 -- f(t)
,'
,.__,
Figura 19-19
11 .:5: 1 .:5: 12
13 .:5: 1 .:5: 14
2,,.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-618-320.jpg)
![610 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
El tiempo t1 se obtiene al tener en cuenta que
Asenw11 = 1 or
1 1
11 =-sen- 1 -
w A
De manera similar,
.,, l 1
12 = - - - sen- 1 -
w w A
.,, 1 1
13 = - + - sen- 1 -
w w A
2.,, 1 1
14 =- --sen- 1 -
w w A
La magnitud de B I y el ángulo de fase </>1 de la función descriptora se determinan a partir de la
expresión del primer coeficiente de Fourier:
W 12w/w
B1 = - f(1)senw1d1
.,, o
Puesto quefit) es una función impar, el ángulo de fase </> 1 es cero. La integral que define B1 puede
escribirse de nuevo como
"'1'1 2 "'J'i
B1 = - Asen w1d1 + - senw1d1
'1T O '1T 11
W
!'3 2 W
!'4 W
¡2w/w
+ - Asen wld1 - - senwtdt + - Asen2
w1d1
.,, '2 .,, 13 .,, 14
Pero 111 2 ¡2w/w 2 1 !'3 2
Asen wtdt = Asen wtd1 = - Asen wtdt
O 14 2 12
y !~ ¡~ f"'~"'
senwtd1 = - senw1dt = 2 senw1dt
11 13 t1
Podemos escribir B I como
4w 1'1 4w f"'/2w 2 [ A ]
B1 = - Asen2
wtd1 + - senwtdt = - Aw11 - -sen2 w11 + 2cos w11
.,, o .,, ~ .,, 2
Al sustituir t1 = (l/w)sen- 1
(1/A) y simplificar, obtenemos
2 [ 1 1 ]
B1 = - Asen- 1
- + cos sen· 1 -
.,, A A
Finalmente, la función descriptora es
B¡ = !:_ [sen - 1 2_ + 2_cos sen -1 _Al ]
A .,, A A
19.18. Determine la amplitud A y la frecuencia w para las cuales podrían·mantenerse las oscila-
ciones en el sistema del ejemplo 19. 18, aumentando la ganancia de la malla directa desde 8
hasta 32.
En la figura 19-20 se presentan los diagramas polares de](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-619-320.jpg)
![INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 615
bles de estado) inobservables no pueden controlarse de manera individual si se requiere que la
variable de control u sea una función de x, esto es, si se necesita un control retroalimentado.
Los modelos de plantas lineales invariables en el tiempo, en forma de variables de estado
[ecuaciones (3 .25b) o (3 .36)] son controlables si y sólo si la siguiente matriz de controlabilidad
tiene rango n (n columnas linealmente independientes), en donde n es el número de variables de
estado en el vector de estados x:
( 20.1)
De modo similar, el modelo de planta es observable si y sólo si la siguiente matriz de laobserva-
bilidad tiene rango n (n filas linealmente independientes):
e
CA
CA2
(20.2)
EJEMPLO 20.1. Considere el siguiente modelo de planta de entrada sencilla salida sencilla (ESSS) con x
-= [xX¡2] y cada uno de los a 11 , a12 , a22 diferentes de cero:
dx = [ª11
dt o ª12] [11
x+
0
u
ª22
y=Cx=[l O]x
Para probar si este sistema es controlable, primero evaluamos la matriz dada por la ecuación (20.1):
Mediante la definición 3. 11, las dos columnas [ ~] y [ ª~1
] serían linealmente independientes si las
únicas constantes ex y f3 para las cuales
fucnin ex =/3 =O. Claramente este no es el caso, porque ex= 1 y /3 = -1/a11 satisfacen esta ecuación. Por
tanto las dos columnas de [B AB] son linealmente dependientes, el rango de [B AB] = 1 =! 2 = n, y esta
planta entonces es incontrolable.
De modo similar, a partir de la ecuación (20.2),](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-624-320.jpg)
![616 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
Para esta matriz, los únicos a Y/3 para los cuales a[l O] + f3[a 11 a 12] = [O O] son a • /3 *O, porque
a 12 * O. En consecuencia el rango de[ ZA] es n = 2, y la planta es observable.
20.3 Diseño en el dominio del tiempo de sistemas con retroalimentación (retroalimentación
de estados)
El diseño de muchos sistemas de control retroalimentados puede lograrse al utilizar represen-
taciones en el dominio del tiempo y los conceptos de controlabilidad y observabilidad tratados
antes. Como se anotó en capítulos anteriores, particularmente en el Capítulo 14, Diseño utilizan-
do el análisis del lugar de las raíces, el diseño de sistemas de control lineales a menudo se efectúa
al manipular las localizaciones de los polos de la función de transferencia en malla cerrada (las
raíces de fa ecuación característica), utilizando compensadores apropiados en la trayectoria de
alimentación directa o en la de retroalimentación con el fin de cumplir con las especificaciones de
desempeño. Este acercamiento es satisfactorio en muchas circunstancias, pero tiene ciertas limi-
taciones que pueden salvarse utilizando una filosofía de diseño diferente, llamado diseño con
retroalimentación de estados, el cual permite la colocación arbitraria de polos y, en consecuen-
cia, suministra de manera sustancial más flexibilidad en el diseño.
La idea básica que rige el diseño de sistemas de control con retroalimentación de estados es
como sigue para plantas continuas de entrada sencilla dx/dt = Ax + Bu. El procedimiento es el
mismo para sistemas discretos en el tiempo.
Con referencia a la figura 2-1, buscamos un control con retroalimentación de estados:
u= -Gx+r (20.3)
en donde Ges una matriz de retroalimentación 1 x n de ganancias constantes (que va a diseñarse)
y res la entrada de referencia. Al combinar estas ecuaciones, el sistema en malla cerrada resulta
dx
dt = (A - BG)x + Br (20.4)
Si la planta es controlable la matriz G existe y puede producir cualquier conjunto (arbitrario)
de raíces deseadas para la ecuación característica de este sistema en malla cerrada, representado
por l>J-A+BGI = O, en donde las .A soluciones de este determinante son las raíces de la
ecuación. Este es el resultado básico.
EJEMPLO 20.2. En la figura 20-1 se presenta un diagrama de bloques del sistema con retroalimentación
de estados definido en las ecuaciones (203) y (20.4).
planta
matriz de retroalimentación
de ganancia constante
Figura 20-1
X](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-625-320.jpg)
![INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 619
El estudio de los procesos aleatorios en sistemas de control, a menudo llamado teoría de
control estocástico, es un tema de nivel avanzado en matemáticas aplicadas.
20.5 Sistemas de control óptimo
Los problemas de control estudiados ~n los capítulos anteriores son, en un sentido ele-
mental, problemas de control óptimo. Las medidas clásicas de desempeño del sistem<1, tales
como error en estado estacionario, margen de ganancia y margen de fase, son esencialmente
criterios de optimización, y los compensadores de sistemas de control se diseñan para cum-
plir estos requerimientos. En problemas de control óptimo más generales, la medida de de-
sempeño del sistema, o índice de desempeño, no se fija de antemano. En lugar de ello, se
elige la compensación de tal modo que el índice de desempeño se hace máximo o se hace
mínimo. El valor del índice de desempeño no se conoce hasta que se complete el proceso de
optimización.
En muchos problemas, el índice de desempeño es una medida o función del error e(t) entre las
respuestas real e ideal. Se formula en términos de los parámetros de diseño elegidos, con el fin de
optimizar el índice de desempeño, sujeto a las limitaciones físicas existentes.
EJEMPLO 20.7. En el sistema ilustrado en la figura 20-5, queremos encontrar un K 2:: Otal que la integral
del cuadrado del error e sea mínima cuando la entrada sea una función paso unitario. Puesto que e =e(t) no
es constante, sino una función de tiempo, podemos formular este problema como sigue: escoger K 2:: Otal
que /0
"" e2
(t)dt sea mínima, y en donde
[
s+2 ] {E
e(t) =!t'- 1
2
= - - e-'sen(JK-1 t + tan- 1
JK- l)
s + 2s+ K K-1
e
Figura 20-5
La solución puede obtenerse para K > 1 utilizando las técnicas convencionales del cálculo integral para
hallar mínimos, como se muestra a continuación:
La integración produce
fºe
2(
1
) dt =(-K
~-l )(-e~_
2
' )[- l _ _
co_s(_2-/_K_-_1_,_+_2t_an_-_
1
..¡.....,,~=·
-_1_-_t_an_-_
1
(_-_JK_-_1)_) ] [
= K [ + cos(2tan-
1
v'K'=! - tan-
1
(-v'K'=l))]
4{K-1) l K](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-628-320.jpg)
![Apéndice A
Algunos pares de transformadas de
Laplace útiles para el análisis de
sistemas de control
F(s) f(t) t> o
1 B(t) impulso unitario
e-Ts B(t- T) impulso retardado
1
- e-at
s+a
1 1
tn-le-at n = 1,2,3, ...
(s + a)" (n-1)!
1 1
(s+a)(s+b)
-(e-at _ e-h1)
b-a
s 1
(s+a)(s+b)
-(ae-at - be-ht)
a-b
S + z1 1
(s+a)(s+b)
-b-[(z1 - a)e-ª1- (z1 - b)e-h1]
-a
1 e~at e-ht e·-ct
(s+a)(s+b)(s+c)
+ +
(b-a}(c-a) (c-b)(a-b) (a-c}(b-c)
S + z1 (z1-a)e-ª1 (z1 - b)e-h' (z1- c)e-''
(s + a)(s + b}(s + e)
+ + '411
(b-a)(c-a) (c-b)(a-b) (a-c}(b-c)
w
- - sen wt
s2 + w2
s
- - coswt
s2 + w2
---,.
.](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-631-320.jpg)
![624 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
1 1
1 2 - --e-r"'•' sen( wdt +<f,)
s( s2
+ 2fw,,s + w~)
w,, w,,wd
wd =w,,Vl - f2 </J =cos-1
f
1 1
s(s + a)2
-(1- e-a, - ate-ª1
)
ª2
s+z1 1
s(s+a)
2 2 [z1 -z1e-ª1
+ a(a-z1)te-ª1
]
a
1
- t rampa unitaria
si
1 1
1
s2
(s + a)
-(at-1 + e-ª1
)
ª2 '
1 t"-1
- n = 1,2,3, ... O!= 1
s" (n-1)!](https://image.slidesharecdn.com/retroalimentacinysistemasdecontrol-220518054856-f9fab87c/85/Ingenieria-de-control-Retroalimentacion-y-sistemas-de-control-pdf-633-320.jpg)
Ingeniería de control: Retroalimentación y sistemas de control.pdf
- 1. n
- 2. SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Segunda Edición JOSEPH J. DISTEFANO, 111, Ph.D. Departments of Computer Science and Medicine University of California, Los Angeles ALLEN R. STUBBERUD, Ph.D. Department of Electrical and Computer Engineering University of California, Irvine IVAN J. WILLIAMS, Ph.D. Space and Technology Group, TRW Inc. Traducción RIGOBERTO GOMEZ CRUZ Profesor titular de la Facultad de Ciencias. Departamento de Química de la Universidad de los Andes. Revisión técnica JORGE LUIS SANCHEZ TELLEZ Ingeniero electrónico. Jefe de la sección de técnicas digitales del Departamento de Ingeniería Electrónica de la Pontificia Universidad Javeriana. Master of Science in Electrical Engineering State University of New York at Stony Brook McGRAW-HILL Santafé de Bogotá, Buenos Aires, Caracas, Guatemala, Lisboa, Madrid, México, Nueva York, Panamá, San Juan, Santiago, Sao Paulo, Auckland, Hamburgo, Londres, Milán, Montreal, Nueva Delhi, París, San Francisco, San Luis, Sidney, Singapur, T o ~
- 3. JOSEPH J. DISTEFANO, III recibió su grado M.S. en Sistemas de Control y su Ph.D. en Biocibernética de la Universidad de California, Los Angeles (UCLA), en 1966. Actualmente es profesor de Ciencia de la Computación y Medicina, director del Laboratorio de Investigación de Biocibernética y presidente del Programa Interdepartamental de Cibernética en la UCLA. También hace parte de los consejos editoriales de Anales de ingeniería biomédica (Annals of biomedical engineering) y de Aplicaciones y métodos de control óptimo (Optima/ control applications and methods), y es editor y fundador del Foro para la metodología de la modelación (Modeling methodology forum) en las Revistas americanas de Fisiología (American journals ofphysiology). Es autor de más de 100 artículos y libros de investigación y está activamente involucrado con la teoría y el desarrollo de. programas de aplicación de modelación de sistemas, (,software) de igual manera en la investigación experimental sobre fisiología. ALLEN R. STUBBERUD obtuvo el grado B.S. de la Universidad de ldaho y los grados M.S. y Ph.D. de la Universidad de California. Los Angeles (UCLA). En el momento es profesor de Ingeniería Eléctrica y de Computación en la Universidad de California, Irvine. El Dr. Stubberud es autor de más de I00 artículos. y libros y pertenece a varias organizaciones profesionales y técnicas, incluyendo el Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica (IAAA) (American lnstitute of Aeronautics and Astronautics (A/AA). Es miembro del Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electró- nicos (IIEE) (/nstitute ofElectrical and Electronics Engineers (IEEE) y de la Asociación America- na para el avance de la Ciencia (AAAC) (American Association for the Advancement of Science (AAAS). IVAN J. WILLIAMS obtuvo sus grados de B.S., M.S. y Ph.D. de la Universidad de California, Berkeley. Ha sido instructor en cursos de ingeniería en sistemas de control en la Universidad de California, Los Angeles (UCLA), y actualmente es director de proyecto en el Grupo del Espacio y Tecnología de la TRW, Inc. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autori- zación escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS. Copyright© 1992 por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A. Transversal 42B No. 19-77. Santafé de Bogotá, Colombia Traducido de la segunda edición de Schaum's Outline of Theory and Problems of FEEDBACK AND CONTROL SYSTEMS Copyright© MCMXC, por McGRAW-HILL, Inc. ISBN 0-07-017047-9 Editores: Ornar Farfán Bautista y Martha Edna Suárez R. 2134567890 9013456782 ISBN 958-600-IOl-6 Impreso en Colombia Printed in Colombia Se imprimieron 3.500 ejemplares en el mes de julio de 1992 Impresor: Nomos Editores e Impresores.
- 4. Prefacio Los procesos de retroalimentación abundan en la naturaleza y, durante las últimas décadas, la palabra retroalimentación, al igual que computador, ha encontrado su sitio en nuestro lenguaje mucho más persuasivamente que muchas otras de origen tecnológico. El marco de referencia conceptual para la teoría de la retroalimentación y de la disciplina en la que está inmerso -ingeniería de los sistemas de control- se ha desarrollado desde la Segunda Guerra Mundial. Cuan- do se publicó nuestra primera edición, en 1967, el tema de los sistemas de control lineales conti- nuos en el tiempo (o analógicos) ya había alcanzado un alto nivel de madurez y a menudo se designaron (y aún se hace así) control clásico por el conocimiento. Este también fue el periodo del desarrollo temprano del computador digital y de los procesos y aplicaciones de control de datos discretos en el tiempo, durante el cual prevaleció la aparición de cursos y libros sobre sistema de control de "datos muestreados". Sistemas de control digital y controlados por computador son ahora los términos escogidos para sistemas de control en los que se incluyen computadores digita- les o microprocesadores. En esta segunda edición, como en la primera, presentamos un tratamiento conciso aunque bastante completo de los fundamentos de la teoría y las aplicaciones de la retroalimentación y los sistemas de control para ingenieros, estudiosos de las ciencias físicas, biológicas y del comporta- miento, economistas, matemáticos y estudiantes de estas disciplinas. Los únicos prerrequisitos son los conocimientos básicos de cálculo y algo de física. Las herramientas matemáticas necesa- rias más allá del cálculo y los principios físicos y no físicos y los modelos que se utilizan .en las aplicaciones, se desarrollan completamente en el texto y en numerosos problemas resueltos. En esta nueva edición hemos actualizado el material, de varias maneras significativas. Prime- ro que todo, hemos incluido señales, elementos y sistemas de control de datos discretos en el tiempo (digitales), a través de todo el libro, principalmente en conexión con los tratamientos de sus contrapartes continuas en el tiempo (analógicas), en lugar de presentarlos en capítulos o sec- ciones separadas, a diferencia de la mayor parte de los otros libros de texto en que estos temas se han mantenido pedagógicamente separados. Siempre que ha sido posible, hemos integrado estos temas, en un nivel introductorio, en una exposición unificada de los conceptos de sistemas de control continuos en el tiempo y discretos en el tiempo. El énfasis se mantiene en los sistemas de control continuos en el tiempo y lineales, particularmente en los problemas resueltos, pero cree- mos que nuestra aproximación recupera mucho de la mística de las diferencias metodológicas entre los mundos de los sistemas de control analógicos y digitales. Además, hemos actualizado y modernizado la nomenclatura, introducido las representaciones de variables de estado (modelos) y las hemos utilizado en un capítulo reforzado introductorio a los sistemas de control no lineales, como también en un capítulo sustancialmente modernizado introductorio a los conceptos desiste- mas de control avanzado.También hemos resuelto numerosos problemas de análisis y diseño de III
- 5. IV PREFACIO sistemas de control analógicos y digitales usando programas de computador (software) para pro- pósitos especiales, ilustrando el poder y la facilidad de estas nuevas herramientas. El libro está diseñado para utilizarse como texto en un curso formal, como suplemento a otros libros de texto, como manual de referencia o de autoinstrucción. El índice, bastante completo y de formato altamente estructurado, facilitará su uso para cualquierclase de lector. Cada nuevo tópico se presenta por sección o por capítulo, y cada capítulo concluye con numerosos problemas resuel- tos que constan de extensiones y pruebas de la teoría y sus aplicaciones en diferentes campos. Los Angeles, lrvine y Redondo Beach, California Marzo de 1990 JoSEPH J. DiSTEFANO, 111 ALLEN R. STUBBERUD IVAN J. WILLIAMS
- 6. Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 • Contenido INTRODUCCION ................................................................................. 1 1. 1 Sistemas de control: qué son .................................................................. 1 1.2 Ejemplos de sistemas de control .............................................................. 2 1.3 Sistemas de control en mallaabierta yen mallacerrada .................................... 3 1.4 Retroalimentación ............................................................................. 4 1.5 Características de la retroalimentación ...................................................... 5 1.6 Sistemas de control analógicos y digitales ................................................... 5 1.7 El problema de la ingeniería de los sistemas de control .................................... 7 1.8 Modelos o representaciones de sistemas de control ........................................ 7 TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL ............................... 18 2. 1 Diagramas de bloques: fundamentos ....................................................... 18 2.2 Diagramas de bloques de sistemas de control continuos (analógicos) con retroalimentación ..................................................·.. ,................... 19 2.3 Terminología del diagrama de bloques en malla cerrada ................................ 20 2.4 Diagramas de bloques de componentes discretos en el tiempo (datos muestreados digitales), y de sistemas controlados por computador ............ 21 2.5 Terminologíasuplementaria ................................................................ 24 2.6 Servomecanismos ............................................................................ 27 2.7 Reguladores ................................................................................... 27 ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES ................·...................................................... 47 3.1 Ecuaciones de un sistema .................................................................. 47. 3.2 Ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencia ................................... 47 3.3 Ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias ......................................... 48 3.4 Variabilidad e invarianza en el tiempo ................................................... 49 3.5 3.6 Ecuaciones diferenciales yde diferencia lineales y no lineales :....................·... 49 El operadordiferencial D y la ecuación característica .................................. 50 1 3.7 Independencia lineal y conjuntos fundamentales ....................................... 51 3.8 Solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes ..................................................................... 53 3.9 La respuesta libre ........................................................................... 54 3.10 La respuesta forzada ........................................................................ 55 3.11 La respuesta total ........................................................................... 56 V
- 7. VI Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 CONTENIDO 3.12 Las respuestas transitoria y en estado estacionario ...................................... 57 3.13 Funciones de singularidad: pasos, rampas e impulsos .................................. 57 3.14 Sistemas de segundo orden ................................................................ 59 3.15 Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales ......................................................... 60 3.16 Solución de ecuaciones de diferencia lineales con coeficientes constantes .......... 63 3.17 Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones de diferencia lineales ....................................................................... 67 3.18 Linealidad y superposición ................................................................ 69 3.19 Causalidad y sistemas realizables físicamente .......................................... 71 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADAz .................. 92 4. 1 Introducción ................................................................................. 92 4.2 La transformada de Laplace ............................................................... 92 4.3 LainversadelatransformadadeLaplace ................................................ 93 4.4 Algunas propiedades de la transformada de Laplace y de su inversa .................. 93 4.5 Tabla resumida de transformadas de Laplace ............................................ 97 4.6 Aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ......................... 98 4.7 Expansiones en fracciones parciales .................................................... 103 4.8 Inversas de las transformadas utilizando expansiones en fracciones parciales .... I05 4.9 Latransformadaz ......................................................................... 106 4. 10 Determinación de raíces de polinomios ................................................ 115 4. 11 El plano complejo: diagramas de polos y ceros ........................................ 118 4. I2 Evaluación gráfica de residuos ..................................................... .... 120 4: 13 Sistemas de segundo orden .............................................................. 122 ESTABILIDAD ................................................................................ 145 5. 1 Definiciones de estabilidad ............................................................... 145 5.2 Localización de las raíces características en sistemas continuos ...................... 145 5.3 CriteriodeestabilidaddeRouth .......................................................... 146 5.4 Criterio de estabilidad de Hurwitz ........................................................ 147 5.5 Criterio de estabilidad de fracciones continuas ......................................... 148 5.6 Criterio de estabilidad para sistemas discretos en el tiempo ........................... 149 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA .................................................... 163 6.1 Definición de función de transferencia de un sistemacontinuo ....................... 163 6.2 Propiedades de la función de transferencia de un sistemacontinuo ................... I64 6.3 Funciones de transferencia de compensadores y controladores de sistemas de control continuo .............................................................. 165 6.4 Respuesta de tiempo de sistemas continuos ............................................. 166 6.5 Respuesta de frecuencia del sistema continuo .......................................... 166 6.6 Funciones de transferencia, de sistemas discretos en el tiempo, compensadores y respuesta de tiempo ................................................... 168 6.7 Respuesta de frecuencia de sistemas discretos en el tiempo ............ -~ ............ 170 6.8 Combinación de elementos continuos y discretos en el tiempo ....................... 171
- 8. CONTENIDO Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 VII ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DETRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS ............................................ 198 7. 1 Introducción ................................................................................ 198 7.2 Revisión de fundamentos .................................................................. 198 7.3 Bloques encascada ......................................................................... 199 7.4 Formas canónicas de un sistemade control con retroalimentación ................... 200 7.5 Teoremasdetransformacióndediagramasdebloques ................................ 201 7.6 Sistemas con retroalimentación unitaria ................................................. 203 7.7 Superposición de entradas múltiples ..................................................... 204 7. 8 Reducción de diagramas de bloques complicados ...................................... 206 GRAFOS DEFLUJO DE SEÑALES ....................................................... 231 8. l Introducción ................................................................................ 231 8.2 Fundamentos de los grafos de flujo de señales .......................................... 231 8.3 Algebradelosgrafosdeflujodeseñales ................................................. 232 8.4 Definiciones ................................................................................ 234 8.5 Construcción de grafos de flujo de señales .............................................. 235 8.6 Lafórmulageneraldegananciaentrada-sali<la ......................................... 237 8.7 Cálculo de la función de transferenciade componentes de cascada .................. 240 8.8 Reducción de diagramas de bloques utilizando grafos de flujo de señales y la fórmula general de gananciaentrada-salida ............................... 2.:12 MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION ....................................... 268 9. 1 Introducción ............................................................................... 268 9.2 Sensitividad de las funciones de transferencia y de las funciones de respuesta de frecuencia a los parámetros del sistema ................................. 268 9.3 Sensitividad de la salida con respecto a los parámetros para los modelos de ecuaciones diferenciales y de diferencia ............................. 275 9.4 Clasificación de los sistemas continuos con retroalimentación ...................... 277 9.5 Constantes de error de posición para sistemas continuos con retroalimentación unitaria ............................................................... 278 9.6 Constantes de error de velocidad para sistemas continuos con retroalimentación unitaria ............................................................... 279 9.7 Constantes de error de aceleración para sistemas continuos con retroalimentación unitaria ............................................................... 280 9.8 Constantes de error para sistemas discretos con retroalimentación unitaria ........ 281 9.9 Tabla resumen para sistemas continuos y discretos en el tiempo, con retroalimentación unitaria ............................................................... 281 9. 10 Constantes de error para sistemas más generales .......................: .............. 282 Capítulo 10 ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS ............................. 297 10.1 Introducción ............................................................................... 297 10.2 Objetivos del análisis ..................................................................... 297 10.3 Métodos de análisis ....................................................................... 297
- 9. VIII CONTENIDO 10.4 Objetivos del diseño ...................................................................... 298 10.5 Compensación del sistema ............................................................... 304 10.6 Métodos de diseño ........................................................................ 305 JO.7 La transformada w para el análisis y el diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando métodos de sistemas continuos .............................. 305 I0.8 Diseño algebraico de sistemas digitales, incluyendo sistemas con transitorio mínimo ................................................................... 308 Capítulo 11 ANALISIS DE NYQUIST ................................................,................... 318 11 .1 Introducción ............................................................................. 318 11.2 Representación gráficade funciones complejas de una variable compleja ....... 319 11 .3 Definiciones ................... .'......................................................... 320 11.4 Propiedades de las representaciones P(s) oP(z) ..................................... 322 11.5 Diagramas polares ...................................................................... 324 11 .6 Propiedades de los diagramas polares ................................................. 325 11.7 LatrayectoriadeNyquist ................................................................327 11.8 EldiagramadeestabilidaddeNyquist ................................................ 330 11.9 Diagramas de estabilidad de Nyquist de sistemas prácticos de control con retroalimentación ................................................................... 331 11.10 El criterio de estabilidad de Nyquist ................................................... 336 11. 11 -Estabilidad relativa ...................................................................... 338 11.12 Los círculos M y N ...................................................................... 339 Capítulo 12 DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST ................................ 384 12.1 Filosofíadel diseño ................................................................ t.:.... 384 12.2 Compensación del factor de ganancia .................................................. 384 12.3 Compensación del factor de ganancia utilizando círculos M ......................... 386 12.4 Compensaciónporadelanto ............................................................. 387 12.5 Compensación por atraso ................................................................ 391 12.6 Compensaciónporatraso-adelanto ..................................................... 393 12.7 Otros esquemas de compensación y combinaciones de compensadores ........... 395 Capítulo 13 ANALISISUTILIZANDOELLUGARDELASRAICES ............................ 411 13. 1 Introducción ............................................................................. 4I1 13.2 Variación de los polos de un sistema en mallacerrada: el lugarde las raíces ..... 411 13.3 Criterios de ángulo y magnitud ........................................................ 413 13.4 Númerodelugares ...................................................................... 414 13.5 Lugaressobreelejereal ................................................................ 414 13.6 Asíntotas ................................................................................. 415 13.7 Puntos de separación .................................................................... 415 13.8 Angulos de saliday de llegada ......................................................... 416. 13.9 Construccióndellugardelasraíces ................................................... 418 13.10 La función de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el dominio del tiempo .............. .................................................. 420
- 10. CONTENIDO Capítulo 14 Capítulo 15 ... Capítulo 16 Capítulo J7 IX 13.11 Márgenes de ganancia y de fase a partirdel lugar de las raíces ..................... 422 13.12 Relación de amortiguación a partir del lugar de las raíces para sistemas continuos 424 DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES ............................... 443 14.1 Elproblemadediseño .................................................................... 443 14.2 Compensaciónporcancelación ......................................................... 444 14.3 Compensación de fase: redes de adelanto y de atraso ................................. 445 14.4 Compensación de magnitud y combinaciones de compensadores .................. 446 14.5 Aproximacionesporpolos-cerosdominantes ......................................... 449 14.6 Diseño puntual ............................................................................ 454 14.7 Compensación por retroalimentación .................................................. 456 ANALISISDEBODE ......................................:.................................. 471 15.1 Introducción ............................................................................... 471 15.2 Escalas logarítmicas y diagramas de Bode ............................................. 471 15.3 La forma de Bode y la gananciade Bode para sistemas continuos en el tiempo .... 472 15.4 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas continuas en el tiempo y sus aproximaciones asintóticas ............................. 472 15.5 Construcción de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo ........ 480 15.6 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia discretas en el tiempo ................................................................................ 483 15.7 Estabilidad relativa ....................................................................... 484 15.8 Respuesta de frecuencia en malla cerrada .............................................. 486 15.9 Análisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo utilizando la transferencia w ................................................. ..... .... ............... 487 DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE ..................................... 499 16.1 Filosofíadel diseño ....................................................................... 499 16.2 Compensación del factor de ganancia .................................................. 499 16.3 Compensación por adelanto para sistemas continuos en el tiempo .................. 501 16.4 Compensación por atraso para sistemas continuos en el tiempo ..................... 505 16.5 Compensación poratraso-adelanto para sistemas continuos en el tiempo .......... 507 16.6 Diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando el análisis de Bode ........... 509 ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS ..................................... 529 17.1 Introducción ............................................................................... 529 17.2 Diagramas de magnitud en dB -ángulo de fase ........................................ 529 17.3 Construcción de diagramas de magnitud en dB Angulo de fase ..................... 530 17.4 Estabilidad relativa ....................................................................... 535 17.5 LacartadeNichols ....................................................................... 537 17.6 Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada ...... ........... .......... .... 539
- 11. X CONTENIDO Capítulo 18 DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 556 18. 1 Filosofía del diseño ....................................................................... 556 18.2 Compensación del factor de ganancia .................................................. 556 18.3 Compensación del factor de ganancia utilizando curvas de amplitud constante ... 557 18.4 Compensación poradelanto en sistemas continuos en el tiempo .................... 558 18.5 Compensación por atraso en sistemas continuos en el tiempo ....................... 562 18.6 Compensación por atraso-adelanto ..................................................... 564 Capítulo 19 Capítulo 20 18.7 Diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols ......... 568 INTRODUCCJON A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES ........... 581 19. 1 Introducción ............................................................................... 581 19.2 Aproximaciones linealizadas y linealizadas por tramos de sistemas no lineales ... 582 19.3 Métodosdclplanodefase ................................................................ 588 19.4 Criterio de estabilidad de Lyapunov .................................................... 594 19.5 Métodos de respuesta de frecuencia .................................................... 597 INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN EL ANALISIS Y EL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL ............................................ 614 20.1 Introducción ............................................................................... 614 20.2 Controlabilidad y observabilidad ....................................................... 614 20.3 Diseño en el dominio del tiempo de sistemas con retroalimentación (retroalimentación de estados) ..................................... 616 20.4 Sistemas de control con entradas aleatorias ............................................ 618 20.5 Sistemasdecontrolóptimo .............................................................. 619 20.6 Sistemas de control adaptable ........................................................... 620 APENDICE A Algunos pares de transformadas de Laplace útiles para el análisis de sistemas de control ............ .. ........................... ... ............. .. ................. .. . 622 APENDICE B Algunos pares de transformadas z útiles para el análisis de sistemas de control ..... ...... .. ......... ....... .. .. .. ......... ......... .. ....... .. ............... 625 BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS ...................................................... 627 INDICE .......................................................................................... 629
- 12. Capítulo 1 Introducción 1.1 Sistemas de control: qué son El uso moderno de la palabra sistema tiene muchos significados. Así que comencemos por definir lo que queremos decir cuando la utilicemos en este libro; primero, en forma abstracta y luego, de manera más específica, en relación con la literatura científica. Definición 1.la: Un sistema es un conjunto, arreglo o colección de cosas unidas o relaciona- das de tal manera que forman una entidad o un todo. Definición 1.lb: Un sistema es un ordenamiento de componentes físicos, unidos o relaciona- dos de tal manera que forman y/o actúan como una unidad completa. La palabra control usualmente se toma en el sentido de regular, dirigir o mandar. Combinan- do las definiciones anteriores, tenemos Definición 1.2: Un sistema de control es un ordenamiento de componentes físicos unidos o relacionados de tal manera que mandan, dirigen o regulan al mismo sistema o a otro. En el sentido más abstracto, es posible considerar todo sistema físico como un sistema de control. Todo altera su entorno de alguna manera, si no activa, entonces pasivamente, como un espejo que dirige un rayo de luz que lo ilumina en un ángulo agudo. El espejo (figura 1-1) se puede considerar como un sistema de control elemental, ya que controla el rayo de luz de acuerdo con la ecuación simple de "el ángulo de reflexión a es igual al ángulo de incidencia a". fuente 1 luminosa rayo Figura 1-1 rayo reflejado Figura 1-2 espejo
- 13. 2 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL En ciencias e ingeniería usualmente restringimos el significado de sistemas de control para aplicarlo a aquellos sistemas cuya función principal es mandar, dirigir o regular dinámica o acti- vamente. El sist~ma que se muestra en la figura 1-2, que consta de un espejo fijo en uno de sus extremos, y que puede ajustarse hacia arriba o hacia abajo mediante un tomillo en su otro extremo, adecuadamente se denomina sistema de control. El ángulo de la luz reflejada se regula mediante el tomillo. Sin embargo, es importante notar que los sistemas de control de interés para propósitos .de análisis o de diseño incluyen no sólo aquellos que son fabricados, sino también los que existen en la naturaleza, y los sistemas de control con componentes fabricados y naturales. 1.2 Ejemplos de sistemas de control En nuestro ambiente abundan los sistemas de control. Pero antes de dar los ejemplos, defina- mos dos términos: entrada y salida, los cuales nos ayudarán a identificar, delinear o definir un sistema de control. Definición 1.3: Definición 1.4: La entrada es el estímulo, la excitación o el mandato aplicado a un sistema de control, generalmente desde una fuente externa de energía, usualmente para producir una respuesta específica del sistema de control. La salida es la respuesta real que se obtiene de un sistema de control. Puede ser o no igual a la respuesta implícita especificada por la entrada. Las entradas y las salidas pueden tener muchas formas diferentes. Las entradas, por ejemplo, pueden ser variables físicas o cantidades más abstractas, tales como valores de referencia, de ajuste o deseados para la salida del sistema de control. Usualmente, el propósitodel sistemadecontrol es identificaro definir la entrada y la salida. Si se dan la entrada y la salida, es posible identificar, delinear o definir la naturaleza de los compo- nentes del sist~ma. Los sistemas de control pueden tener más de una entrada o de una salida. A menudo, todas las entradas y salidas están bien definidas en la descripción del sistema. Pero algunas veces no. Por ejemplo, una tormenta eléctrica puede interferir intermitentemente con la recepción de radio, produciendo una salida no deseada en el altoparlante, en forma de estática. Esta salida de "ruido" es parte de la salida total que se definió antes, pero para los propósitos de identificar un sistema, normalmente no se consideran como entradas y salidas en la descripción del mismo, aquellas entradas espurias que producen salidas indeseables. Sin embargo, usualmente es necesario consi- derar cuidadosamente esas entradas y salidas extras cuando se examina en detalle el sistema. Los términos entrada y salida también pueden utilizarse en la descripción de cualquier tipo de sistema, sea o no un sistema de control, y un sistema de control puede ser parte de otro mayor, en cuyo caso se llama subsistema o subsistema de control, y sus entradas y salidas pueden ser variables internas del sistema mayor. EJEMPLO 1.1. Un interruptor eléctrico es un sistema de control fabricado, que controla el flujo de electricidad. Por definición, el aparato o la persona que mueve el interruptor no hacen parte de este sistema de control.
- 14. INTRODUCCION 3 El movimiento del interruptor a la posición de encendido o de apagado se puede considerar como la entrada. Es decir, la entrada puede estar en uno de los dos estados, el encendido o el apagado. La salidaes el flujo o el no flujo (dos estados) ue electricidad. El interruptor eléctrico es uno de los sistemas de control más rudimentarios. EJEMPLO 1.2. Un calentador u horno controlado termostáticamente que regula de manera automática la temperatura de un cuarto o un recinto es un sistema de control. La entrada a este sistema es una tempera- tura de referencia, usualmente especificada mediante un termostato ajustado apropiadamente. La salida es la temperatura real del cuarto o del recinto. Cuando el termostato detecta que la salida es menor que la entrada, el horno proporciona calor hasta que la temperatura del recinto se hace igual a la de la entrada de referencia. Entonces el horno se apaga automáti- camente. Cuando la temperatura desciende un poco por debajo de la temperatura de referencia, el horno se enciende de nuevo. EJEMPLO 1.3. El acto aparentemente simple, de señalar un objeto con el dedo requiere un sistema de control biológico, el cual consiste, primordialmente, de los ojos, el brazo, la mano y el dedo, y el cerebro. La entrada es la dirección precisa del "bjeto (en movimiento o no) respecto de al!mna referencia, y la salida es la dirección real señalada en relación con la misma referencia. EJEMPLO 1.4. Una parte del sistema humano de control de temperatura es el sistema de transpiración. Cuando la temperatura del aire exterior a la piel se hace demasiado alta, las glándulas sudoríparas secretan copiosamente, induciendo un enfriamiento en la piel mediante la evaporación. Las secreciones se reducen cuando se logra el efecto refrescante deseado o cuando la temperatura del aire se reduce lo suficiente. La entrada en este sistema puede ser la temperatura "normal" o confortable de la piel, un "punto de referencia", o la temperatura del aire, una variable física. La salida es la temperatura real de la piel. EJEMPLO 1.5. El sistema de control que consiste en una persona que conduce un automóvil tiene com- ponentes fabricados y componentes biológicos. El conductor quiere mantener el automóvil en la calzada correcta de la carretera. El logra esto mirando constantemente la dirección del automóvil con respecto a la dirección del camino. En este caso, la dirección o el curso del camino, representado por la línea o líneas de guía trazadas a los lados de la calzada se pueden considerar como la entrada. El curso del automóvil es la salida del sistema. El conductor controla esta salida constantemente, midiéndola con sus ojos y su cerebro, y corrigiéndola con sus manos sobre el volante. Los componentes principales de este sistema de control son las manos, los ojos y el cerebro del conductor, y el vehículo. 1.3 Sistemas de control en malla abierta y en malla cerrada Los sistemas de control se clasifican en dos categorías: sistemas en malla abierta y en malla cerrada. La distinción se determina mediante la acción de control, esa cantidad responsable de activar el sistema para producir la salida. El término acción de control es muy empleado en la literatura de sistemas de control; sin embargo, la palabra acción en esta expresión no siempre implica directamente cambio, movi- miento o actividad. Por ejemplo, la acción de control en un sistema diseñado para hacer que un objeto dé en un blanco, usualmente es la distancia entre el objeto y el blanco. La distancia, como tal, no es una acción, pero aquí está implícita una acción (movimiento) porque la meta de tal sistema de control es reducir la distancia a cero.
- 15. 4 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Definición 1.5: Un sistema de control en malla abierta es aquel en el cual la acción de control es independiente de la salida. Definición 1.6: Un sistema de control en malla cerrada es aquel en el cual la acción de control depende, de alguna manera, de la salida. Dos características destacadas de los sistemas de control en malla abierta son: 1.. Su capacidad de desempeño con exactitud está determinada por su calibración. Calibrar significa establecer o reestablecer la relación entrada-salida para obtener una exactitud deseada del sistema. 2. Usualmente no presentan problemas de inestabilidad, concepto que se tratará en detalle a continuación. Los sistemas de control en malla cerrada, más comúnmente se llaman sistemas de control retroalimentados; éstos se tratarán de manera más detallada al comienzo de la siguiente sección. Para clasificar un sistema de control en malla abierta o en malla cerrada, debemos distinguir claramente entre los componentes del sistema y los componentes que interactúan con él, pero que no hacen parte del sistema. V. gr., en el ejemplo l.5 el conductor se definió como parte del sistema de control, pero un operador humano puede ser componente de un sistema, o no serlo. EJEMPLO 1.6. La mayor parte de las tostadoras automáticas son sistemas en malla abierta porque están controladas por un temporizador. El tiempo que se requiere para hacer una "buena tostada" debe ser calcula- do por el usuario, quien no hace parte del sistema. El control sobre la calidad del tostado (la salida) se retira una vez que el tiempo, que es la entrada y la acción de control, se ha determinado. Normalmente, el tiempo se ajusta mediante un disco o un interruptor calibrado. EJEMPLO 1.7. Un mecanismo de piloto automático y el avión que éste controla son un sistema de control en malla cerrada (retroalimentado). Su propósito es mantener una dirección específica del avión, a pesar de los cambios atmosféricos. Realiza esta tarea midiendo continuamente ladirección real del avión y ajustando de manera automática los mecanismos de control del avión (timón, alerones, etc.) de tal modo que logra una correspondencia entre la dirección real del avión y la dirección especificada. El piloto humano o el operador que programa el piloto automático no hacen parte del sistema de control: 1.4 · Retroalimentación La retroalimentación es la característica de los sistemas de control en malla cerrada que los distingue de los sistemas en malla abierta. Definición 1. 7: Retroalimentación es aquella propiedad de un sistema en malla cerrada que permite que la salida (o alguna otra variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algún otro componente o subsistema situado internamente) de tal manera que la acción de control apropiada se puede formar como alguna función de la entrada y la salida.
- 16. INTRODUCCION 5 De modo más general, se dice que hay retroalimentación en un sistema cuando existe una secuencia cerrada de relaciones de causa y efecto entre las variables del sistema. EJEMPLO 1.8. El mecanismo de piloto automático del ejemplo 1.7 ilustra claramente ei concepto de retroalimentación. La entrada es la dirección especificada, la cual se puede ajustar con un marcador u otro instrumento en el tablero de control del avión, y la salida es la dirección real, la cual se determina mediante los instrumentos de navegación automática. Un dispositivo de comparación supervisa continuamente la entrada y la salida. Cuando hay correspondencia entre las dos, no se requiere ninguna acción de control. Cuando existe una diferencia entre la entrada y la salida, el dispositivo de comparación envía una señal de acción de control al controlador, el mecanismo de piloto automático. El controlador suministra las señales apropiadas a los mecanismos de control del avión para reducir la diferencia entrada-salida. La retroalimen- tación se puede efectuar mediante conexiones eléctricas o mecánicas de los instrumentos de navegación, que determinan la dirección, al dispositivo de comparación. En la práctica, el dispositivo de comparación puede integrarse dentro del dispositivo del piloto automático. 1.5 Características de la retroalimentación La presencia de retroalimentación típicamente impaite las siguientes propiedades al sistema. 1. Exactitud aumentada. Por ejemplo, la habilidad de reproducir fielmente la entrada. Esta propiedad se ilustra a través de todo el texto. 2. Tendencia hacia la oscilación o la inestabilidad. Esta característica tan importante se considera detalladamente en los Capítulos 5 y 9 al 19. 3. Sensitividad reducida de la razón salida a entrada frente a las variaciones en los paráme- tros del sistema y en otras características (Capítulo 9). 4. Efectos reducidos de las no linealidades (Capítulos 3 y 19). 5. Efectos reducidos de las distorsiones externas o ruido (Capítulos 7, 9 y 10). 6. Ancho de banda aumentado. El ancho de banda de un sistema es una medida de la respuesta de frecuencia de qué tan bien responde (o filtra) el sistema a las variaciones (o frecuencias) de la señal de entrada (Capítulos 6, 10, 12 y 15 al 18). 1.6 Sistemas de control analógicos y digitales Las señales en un sistema de control, por ejemplo, las formas de onda de entrada y salida, son funciones de alguna variable independiente, usualmente el tiempo, denotada por t. Deñnición 1.8: Deñnición 1.9: Una señal dependiente de un continuum de valores de la variable indepen- diente t se llama señal continua en el tiempo o, más generalmente, señal de datos continuos o (con menor frecuencia) señal analógica. Una señal definida o de interés solamente en los instantes discretos (diferen- tes) de la variable independiente t (de la cual depende) se llama señal discre- ta en el tiempo, de datos discretos, de datos muestreados o digital.
- 17. 6 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Destacamos que digital es un término un poco más especializado, particularmente en otros contextos. Lo usamos aquí como sinónimo porque ésta es la convención en la literatura de los sistemas de control. EJEMPLO 1.9. El voltaje continuo que varía sinusoidalmente v(t) o la corriente alterna i (t), disponible en un tomacorriente eléctrico común es una señal continua en el tiempo (analógica) porque está definida en cada uno y en todos los instantes de tiempo t que la energía eléctrica está disponible en esa toma. EJEMPLO 1.1O. Si se conecta una lámpara al tomacorriente del ejemplo 1.9, y si se enciende y luego se apaga inmediatamente cada minuto, la luz de la lámpara es una señal discreta en el tiempo, la cual sólo está encendida un instante cada minuto. EJEMPLO 1.11. La temperatura media Ten una habitación, precisamente a las 8 a.m. (08 horas) de cada día, es una señal discreta en el tiempo. Esta señal se puede indicar de varias maneras, dependiendo de la aplicación; por ejemplo, T(8) para la temperatura a las 8 en punto -y no a otra hora-; T(I), T(2), ... para la temperatura a las 8 en punto de la mañana del día 1, el día 2, etc., o de modo equivalente, utilizando una notación con subíndices, T1, T2 , etc. Note que estas señales discretas en el tiempo son valores muestreados de una señal continua en el tiempo, la temperatura media del cuarto en todas las horas, indicada por T(t). EJEMPLO 1.12. Las señales dentro de los computadores digitales y los microprocesadores son inherente- mente señales discretas en el tiempo, de datos discretos o digitales (o codificadas de manera digital). En su nivel más básico, a menudo se encuentran en forma de secuencias de voltajes, corrientes, intensidades de luz u otras variables físicas, en uno de dos niveles constantes, por ejemplo, ± 15 V; luz encendida, luz apaga- da; etc. Usualmente estas señales binarias se representan en forma alfanumérica (números, letras u otros caracteres) en las entradas y salidas de tales dispositivos digitales. De otra parte, las señales de computado- res analógicos y de otros dispositivos analógicos son continuas en el tiempo. Los sistemas de control se pueden clasificar según los tipos de señales que procesan: continuos en el tiempo (analógicos), discretos en el tiempo (digitales), o la combinación de ambos (híbridos). Definición 1.10: Definición 1.11: Los sistemas de control continuos en el tiempo, llamados también siste- mas de control de datos continuos o sistemas de control analógicos, con- tienen o procesan únicamente señales y componentes continuos en el tiempo (analógicos). Los sistemas de control discretos en el tiempo, llamados también sistemas de control de datos discretos o sistemas de control de datos muestrea- dos, Íienen señales o componentes discretos en el tiempo en uno o más pun- tos del sistema. Anotamos que los sistemas de control discretos en el tiempo pueden tener señales continuas en el tiempo y señales discretas en el tiempo; es decir, pueden ser híbridos. El factor distintivo es que el sistema de control discreto en el tiempo, o digital, debe incluir por lo menos una señal de datos discretos. Así mismo, los sistemas de control digital, particularmente los del tipo de datos mues- treados, a menudo tienen modos de operación en malla abierta y en malla cerrada.
- 18. INTRODUCCION 7 EJEMPLO 1.13. Un sistema de rastreo y seguimiento de un blanco, como el que se describió en el ejemplo 1.3 (rastreo y señalamiento de un objeto con el dedo), usualmente se considera sistema de control analógico o continuo en el tiempo, porque la distancia entre el "rastreador" (el dedo) y el blanco es una función continua en el tiempo, y el objetivo de tal sistema de control es seguir continuamente el blanco. El sistema que consiste en una persona que conduce un ¡mtomóvil (ejemplo 1.5) se considera de la misma categoría. Sin embargo, de manera estricta, los sistemas de rastreo, tanto naturales como fabricados pueden tener señales o componentes digitales. Por ejemplo, en modelos más detallados que incluyen el cerebro, las señales de control del cerebro se tratan a menudo como "pulsatorias" o de datos discretos en el tiempo, y los computadores digitales o los microprocesadores han remplazado muchos de los componentes analógicos en los sistemas de control de los vehículos y en los mecanismos de rastreo. EJEMPLO 1.14. Una mirada más de cerca al sistema de calefacción controlado termostáticamente, el cual aparece en el ejemplo 1.2, nos indica que es un sistema de control de datos muestreados, con señales y componentes digitales y analógicos. Si la temperatura deseada del recinto es, por ejemplo, de 22ºC en el termostato y desciende por debajo de 21ºC, el sistema conmutador del termostato cierra el circuito del calentador (un dispositivo artalógico) y lo enciende hasta que alcance, digamos, 23ºC. Entonces el sistema conmutador automáticamente apaga el calentador hasta que la temperatura delrecinto descienda de nuevo por debajo de 21ºC. En realidad, este sistema de control está operando en malla abierta entre los instantes de encendido y de apagado del calentador, pero la operación completa se considera en malla cerrada. El termostato recibe como entrada una señal continua en el tiempo, la temperatura real del recinto, y entrega como salida una señal discreta en el tiempo (binaria) de conmutación, la cual enciende y apaga el calenta- dor. La temperatura real del recinto varía-así de manera continua eptre los 21ºC y los 23ºC, y la media se controla alrededor de los 22ºC, el valor de referencia en el termostato. Los términos discreto en el tiempo y de datos discretos de datos muestreados y continuo en el tiempo y de datos continuos, a menudo se abrevian como discreto, muestreado y continuo en lo que resta del libro, dondequiera que su significado no sea ambiguo. También se utilizan digital o analógico en lugar de discreto (muestreado) o continuo donde sea apropiado y cuando el significa- do resulte claro del contexto. l.7 El problema de la ingeniería de los sistemas de control La ingeniería de los sistemas de control consiste en el análisis y el diseño de las configuracio- nes de los sistemas de control. El análisis es la investigación de las propiedades de un sistema existente. El diseño es la elección y el ordenamiento de los componentes del sistemá para desempeñar una tarea específica. Existen dos métodos para el diseño: 1. Diseño por análisis 2. Diseño por síntesis El diseño por análisis se efectúa al modificar las características de la configuración de un sistema existente o estándar, y el diseño por síntesis, al definir la forma del sistema directamente de sus especificaciones. 1.8 Modelos o representaciones de sistemas de control Para resolver ún problema de sistemas de control, debemos especificar o describir la configu- ración del sistema y sus componentes de una forma que facilite el análisis o el diseño.
- 19. 8 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL En el estudio de sistemas de control se usan extensamente tres representaciones básicas (mo- delos) de los sistemas y sus componentes: 1. Modelos matemáticos en forma de ecuaciones diferenciales, ecuaciones de diferencia y/u otras relaciones matemáticas, por ejemplo, la transformada de Laplace y la transformada z 2. Diagramas de bloques 3. Grafos de flujo de señales En los Capítulos 3 y 4 se desarrollan los modelos matemáticos de los sistemas de control. Los diagramas de bloques y los grafos de flujo de señales son las representaciones gráficas abreviadas, del diagrama esquemático de un sistema o del conjunto de ecuaciones matemáticas que caracteri- zan sus partes. En los Capítulos 2 y 7 se consideran en detalle los diagramas de bloques, y en el Capítulo 8, los grafos de flujo de señales. Los modelos matemáticos son necesarios cuando se requieren relaciones cuantitativas, por ejemplo, para representar el comportamiento detallado de la salida de un sistema con retroalimen- tación a una entrada dada. El desarrollo de modelos matemáticos usualmente se basa en los princi- pios de las ciencias físicas, biológicas, sociales, o de la información, dependiendo del área de aplicación del sistema de control, y la complejidad de tales modelos varía de manera amplia. Los modelos llamados sistemas lineales han encontrado notable aplicación en la ciencia de los siste- mas de control. En la literatura de las matemáticas aplicadas y la ingeniería se encuentran bien establecidas y documentadas las técnicas para resolver sistemas lineales, y el principal objetivo dé este libro son los sistemas de control lineales retroalimentados, su análisis y su diseño. Se hace énfasis en los sistemas continuos en el tiempo (continuos, analógicos), pero también se desarro- llan técnicas para los sistemas discretos en el tiempo (discretos, digitales) a lo largo del texto, de una manera unificada aunque no exhaustiva. El tema del Capítulo 19 son las técnicas para el análisis y el díseño de sistemas de control no lineales, a manera de introducción a este tema más complejo. Para comunicarse con tantos lectores como sea posible, el material en este libro se desarrolla desde los principios básicos de las ciencias y las matemáticas aplicadas, y en los ejemplos y en los problemas resueltos al final de cada capítulo se presentan aplicaciones específicas en la ingeniería y en otras disciplinas. Problemas resueltos Entrada y salida 1.1. Identifique la entrada y la salida del espejo ajustable de la figura 1-2. La entrada es el ángulo de inclinación 0 del espejo, el cual se varía girando el tomillo. La salida es la posición angular 0 + ex del rayo reflejado con respecto a la superficie de referencia. 1.2. Identifique una entrada y una salida posibles para un generador rotacional de electricidad. La entrada puede ser la velocidad rotacional del motor primario (por ejemplo, una turbina de vapor), en revoluciones por minuto. Suponiendo que el generador no tiene conectada una carga a sus terminales de salida, ésta puede ser el voltaje inducido en los terminales de salida.
- 20. INTRODUCCION 9 Alternativamente, la entrada se puede expresar como el momento angular del eje del motor primario, y la salida como unidades de potencia eléctrica (vatios) con una carga conectada al generador. 1.3. Identifique la entrada y la salida de una máquina lavadora automática. Muchas máquinas lavadoras operan de la siguiente manera: después que la ropa se ha colocado en la máquina, se agregan el jabón o detergente, el blanqueador y el agua, en cantidades apropia- das. El tiempo del ciclo de lavado y exprimido se ajusta en un temporizador, y luego se enciende la lavadora. Cuando el ciclo se completa, la máquina se apaga por 'sí misma. Si las cantidades apropiadas de detergente, blanqueador y agua, y la temperatura del agua están predeterminadas o especificadas por el fabricante de la máquina, o son suministradas automática- mente por la misma máquina, entonces laentrada es el tiempo (en minutos) para el ciclo de lavado y exprimido. Lo usual es que el temporizador lo ajuste una persona. La salida en una máquina lavadora es más difícil de identificar. Definamos limpio como la ausencia de sustancias.extrañas en la ropa que se va a lavar. Entonces podemos identificar la salida como el porcentaje de limpieza. Al comienzo del ciclo la salida es menor_que el 100%, y al final del mismo la salida ideal es igual al 100% (no siempre se obtiene la ropa limpia). Para la mayor parte de las máquinas que operan con monedas, el tiempo del ciclo está predeter- minado, y la máquina comienza a operar cuando se introduce la moneda. En este caso, el porcentaje de limpieza se puede controlar ajustando las cantidades de detergente, blanqueador y agua, y la temperatura del agua. Podemos considerar que todas estas cantidades son las entradas. También son posibles otras combinaciones de entrada~ y salidas. 1.4. Identifique los componentes órgano-sistemas, la entrada y la salida, y describa la opera- ción del sistema de control biológico que consiste en un ser humano que alcanza un objeto. Los componentes básicos de la descripción de este sistema de control, simplificado intencio- nalmente, son el cerebro, el brazo, la mano y los ojos. El cerebro envía la señal requerida al sistema nervioso central para que el brazo y la mano alcancen el objeto. Esta señal se amplifica en los músculos del brazo y de la mano, los cuales sirven de ejecutores de la fuerza para el sistema. Los ojos se emplean como dispositivos sensores que con- tinuamente "retroalimentan" al cerebro la posición de la mano. La posición de la mano es la salida en el sistema. La entrada es la posición del objeto. El objetivo del sistema de control es reducir a cero la distancia entre la posición de la mano y la posición del objeto. La figura 1-3 es un diagrama esquemático. Las líneas punteadas y las flechas representan la dirección del flujo de la información. ~ ~~ 1~ 1 ' 1 .............. t . ' 1 ~ ' 1 Fil!llra 1-3 posición del objeto
- 21. IO TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Sistemas en malla abierta y en malla cerrada 1.5. Explique cómo podría operar una máquina lavadora automática en malla cerrada. Se supone que todas las cantidades descritas como entradas posibles, en el problema 1.3, a saber, tiempo del ciclo, volumen de agua, temperatura del agua, cantidad de detergente y de blan- queador, se pueden ajustar mediante dispositivos como válvulas y calentadores. Una lavadora automática en malla cerrada podría medir de manera continua o periódica el porcentaje de limpieza (salida) de las prendas que se están lavando, ajustar adecuadamente las cantidades de entrada y apagarse sola cuando se alcance la limpieza del 100%. 1.6. ¿Cómo se calibran los siguientes sistemas en malla abierta: a) una lavadora automática, b) una tostadora automática y e) un voltímetro? a) Las lavadoras automáticas se calibran estimando cualquier combinación de las siguientes cantidades de entrada: 1) cantidad de detergente, 2) cantidad de blanqueador u otros aditivos, 3) cantidad de agua, 4) temperatura del agua, 5) tiempo ·del ciclo. En algunas lavadoras se predeterminan una o más de estas entradas. Las cantidades res- tantes las debe estimar el usuario, las cuales dependen de factores tales como el grado de dureza del agua, la clase de detergente, y la clase y el poder del blanqueador o _de otros aditivos. Una vez que esta calibración se ha determinado para un tipo específico de lavada (por ejemplo, ropa blanca, ropa muy sucia), normalmente no tiene que determinarse de nuevo durante el tiempo de vida útil de la máquina. Si ésta sufre una avería y se le instalan piezas de repuesto, puede ser necesaria una recalibración. b) Aunque el disco del temporizador de la mayor parte de las tostadoras automáticas es calibrado por el fabricante (por ejemplo, bajo-medio-alto), la cantidad de calor producida por el ele- mento calefactor puede variar sobre un rango muy amplio. Además, la eficiencia del elemen- to calefactor normalmente se deteriora con el tiempo. En consecuencia, la cantidad de tiempo requerido para un "buen tostado" debe ser estimada por el usuario; a menudo este ajuste debe revisarse en forma periódica. Al principio, la tostada está demasiado clara o demasiado oscu- ra. Después de varios estimativos sucesivamente diferentes, se obtiene el tiempo de tostado requerido para la calidad de tostada deseada. e) En general, un voltímetro se calibra comparándolo con una fuente estándar de voltaje conoci- do y marcando apropiadamente la escala de lectura en los intervalos especificados. 1.7. Identifique la acción de control en los sistemas de los problemas 1.1, 1.2 y 1.4. Para el sistema del espejo señalado en el problema 1.1 , la acción de control es igual a la entrada, es decir, el ángulo de inclinación 0 del espejo. Para el generador especificado en el problema 1.2, la acción de control es igual a la entrada, esto es, la velocidad rotacional o el momento angular del eje del motor primario. En el problema 1.4 la acción de control del sistema de aproximación del ser humano es igual a la distancia entre la mano y la posición del objeto.
- 22. INTRODUCCION JI 1.8. ¿Cuáles de los sistemas de control de los problemas 1.1, 1.2 y 1.4 son en malla abierta? ¿Cuáles son en malla cerrada? Puesto que la acción de control es igual a la entrada en los sistemas de los problemas 1.1 y 1.2, no existe retroalimentación, y los sistemas son en malla abierta. El sistema de aproximación del ser humano del problema 1.4 es en malla cerrada porque la acción de control depende de la salida, esto es, la posición de la mano. 1.9. Identifique la acción de control en los ejemplos 1.1 al 1.5. La acción de control para el interruptor eléctrico del ejemplo 1.1 es igual a la entrada, es decir, la orden de encender o de apagar. La acción de control para el sistema calefactordel ejemplo 1.2 es igual a la diferencia entre la temperatura de referencia y la temperatura del cuarto. Para el sistema de señalamiento con el dedo del ejemplo 1.3, la acción de control es igual a la diferencia entre la dirección real del objeto y la dirección señalada. En el sistema de transpiración del ejempl.-i 1.4, la' acción de control es igual a la diferencia entre la temperatura "normal" y la temperatura real de la superficie de la piel. En el ejemplo 1.5, la diferencia entre la dirección de la carretera y la dirección del automóvil es la acción de control para el sistema de una persona que conduce un automóvil. 1.10. ¿Cuáles de los sistemas de control de los ejemplos 1.1 al 1.5 son en malla abierta? ¿Cuáles son en malla cerrada? El interruptor eléctrico del ejemplo 1. 1 es en malla abierta porque la acción de control es igual a la entrada y, por tanto, índependiente de la salida. Para los restantes ejemplos del 1.2 al 1.5, la acción de control es claramente una función de la salida. En consecuencia, son sistemas en malla cerrada. Retroalimentación 1.11. Considere la red divisora de voltaje de la figura 1-4. La salida es u2 , y la entrada es u1• + fuente de voltaje -v 1 + Figura 1-4 a) Escriba una ecuación parau2 en función de u1, R1 y-R.2 • Es decir, escriba unaecuació1 para u2 que corresponda a un sistema en malla abierta.
- 23. 12 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL b) Escriba una ecuación para v2 en forma de malla cerrada, es decir, v2 en función dev1, v2, R1 Y Rz. Este problema ilustra cómo una red pasiva se puede caracterizar como un sistema en malla abierta o en malla cerrada. a) A partir de la ley de Ohm y de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff, tenemos V¡ i=--- R¡ +R2 Luego b) Expresando la corriente i en una forma algo diferente, tenemos i = (u1 - u2)/R1• Por tanto 1.12. Explique cómo el concepto económico clásico conocido como la ley de la oferta y la demanda se puede interpretar como un sistema de control con retroalimentación. Escoja como salida del sistema el precio del mercado (precio de venta) de un ítem en particular, y suponga que el objetivo del sistema es mantener la estabilidad del precio. La ley se puede enunciar de la siguiente manera. La demanda del mercado por el ítem disminu- ye cuando su precio aumenta. Usualmente la oferta del mercado se incrementa cuando su precio aumenta. La ley de la oferta y la demanda dice que se alcanza un precio estable en el mercado, si y sólo si la oferta es igual a la demanda. La manera como se regula el precio por la oferta y la demanda se puede describir con los conceptos de control con retroalimentación. Escojamos los siguientes cuatro elementos básicos para nuestro sistema: el proveedor, el comprador, el vendedor yel mercado en donde el ítem se compray se vende. (En realidad, estos elementos representan generalmente procesos muy complicados). La entrada en nuestro sistema económico ideal es la estabilidad del precio, esto es, la salida "deseada". Una manera más conveniente de describir esta entrada es fluctuación cero del precio. La salida es el precio real en el mercado. El sistema opera como sigue: el vendedor recibe una orden (cero) para la estabilidad del precio. Este calcula un precio para la transacción en el mercado con la ayuda de la información de su memoria o sus registros de transacciones pasadas. Este precio hace que el proveedor produzca o suministre cierto número de ítems, y que el comprador demande cierto número de los mismos. La diferencia entre la oferta y la demanda es la acción de control en este sistema. Si esta última es diferente de cero, es decir. si la oferta no es igual a la demanda, el vendedor inicia un cambio en el precio del mercado en la dirección que hace que eventualmente la oferta iguale a la demanda. En consecuencia, el proveedor y el comprador pueden considerarse como la retroalimentación, puesto que ellos determinan la acción de control.
- 24. JNTRODUCCION 13 Problemas misceláneos 1.13. a) Explique cómo operan los semáforos corrientes que controlan el tráfico automotor.en las intersecciones de las vías. b) ¿Porqué éstos son sistemas de control en malla abierta? e) ¿Cómo se puede controlar el tráfico más eficientemente? á) ¿Por qué el sistema de e) es en malla cerrada? a) Los semáforos controlan el flujo de ese tráfico confrontando en forma sucesiva el tráfico en una dirección particular (por ejemplo, norte-sur) con una luz roja (pare), y luego con una luz verde (siga). Cuando una direcci'ón tiene la señal verde, el tráfico cruzado en la otra dirección (este-oeste) tiene la roja. En la mayor parte de los semáforos los intervalos de las luces roja y verde están predeterminados por un mecanismo sincronizador calibrado. b) Los sistemas de control operados por mecanismos sincronizadores prefijados son en malla abierta. La acción de control es igual a la entrada, es decir, los intervalos de rojo y verde. e) Además de prevenir los choques, generalmente es función de los semáforos controlar el volumen de tráfico. Para el sistema en malla abierta descrito antes, el volumen de tráfico no influye los intervalos predeterminados de luz verde y luz roja. Para hacer que el tráfico fluya más uniformemente, el intervalo de tiempo de la luz verde debe ser mayor que el de la luz roja en la dirección que tiene mayor volumen de tráfico. A menudo, un agente del tránsito realiza esta tarea. El sistema ideal seóa medir automáticamente el volumen del tránsito en todas las direc- ciones utilizando dispositivos sensores apropiados, compararlos, y luego utilizar la diferen- cia para controlar los intervalos de tiempo de luz verde y luz roja; una tarea ideal para un computador. d) El sistema de e) es en malla cerrada porque la acción de control (la diferencia entre el volumen de tráfico en cada dirección) es una función de la salida (el volumen de tráfico real que fluye por la intersección en cada dirección). 1.14. a) Describa de manera simplificada los componentes y las variables de los sistemas de control biológicos involucrados en el caminar en una dirección determinada. b) ¿Por qué caminar es una operación en malla cerrada? e) ¿Bajo qué condiciones el aparato de cami- nar del ser humano sería un sistema en malla abierta?¿Un sistema de datos muestreados? Suponga que la persona tiene una visión normal. a) Los principales componentes involucrados en la marcha son el cerebro, los ojos, las piernas y los pies. Se puede escoger la entrada como la dirección en la que se desea caminar, y la salida como la dirección real en que se camina. La acción de control se determina por los ojos, los cuales detectan la diferencia entre la entrada y la salida y envían esta información al cerebro. El cerebro ordena a las piernas y los pies caminar en la dirección prescrita. b) Caminar es una operación en malla cerrada porque la acción de control es una función de la salida. e) Si se cierran los ojos se rompe el lazo de retroalimentación y el sistema se hace en malla abierta. Si se abren y cierran los ojos periódicamente él sistema se convierte en uno de datos muestreados, y el caminar se controla de manera más exacta que si se hace siempre con los ojos cerrados.
- 25. 14 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1.15. Diseñe un sistema de control para llenar de agua un recipiente después de haberse vaciado a través de una llave en el fondo. El sistema debe cortarautomáticamente el agua cuando el recipiente esté lleno. El diagrama esquemático simplificado (figura 1-5) ilustra el principio del sistema de llenado de las cisternas comunes de los sanitarios. 1/, poleas· -- tapón agua agua Figura 1-5 cuerda ·flotador de bola recipiente llave La bola flota sobre el agua. A medida que la bola se acerca a la parte superior del recipiente, el tapón disminuye el flujo de agua, y cuando el recipiente se llena, el tapón lo suspende. 1.16. Diseñe un sistema de control simple que encienda automáticamente la lámpara de una habitación al anochecer, y la apague al amanecer. En la figura 1-6 se muestra un sistema simple que realiza esta tarea. Al anochecer, la fotocelda, que funciona como un interruptor sensible a la luz, cierra el circuito de la lámpara y en consecuencia ilumina el cuarto. La lámpara se mantiene encendida hasta el amanecer, cuando la fotocelda detecta el brillo de la luz exterior y abre el circuito de la lámpara. habitación lámpara ventana tomacorriente '.:=======::::::::::..::~ 1 fotocelda hacia el exterior :omacorriente Í _ ____,! Figura 1-6 Figura 1-7
- 26. INTRODUCCION 15 1.17. Diseñe una tostadora automática en malla cerrada. Suponga que cada elemento calefactor suministra la misma cantidad de calor a ambos lados del pan y que la calidad de tostado se puede determinar por su color. En la figura 1-7 se muestra _un diagrama esquemático simplificado de una posible forma de aplicar el principio de retroalimenta- ción a una tostadora. Solamente se ilustra un lado de la tostadora. Inicialmente la tostadora se calibra a una calidad de tostado deseada mediante un botón de ajuste. Este ajuste nunca requiere una recalibración a no ser que cambie el criterio de calidad del tostado. Cuando el interruptor se cierra, el pan se tuesta hasta que el detector de color "ve" el color deseado. Entonces el interruptor se abre automáticamente mediante la conexión de retroalimenta- ción, que puede ser eléctrica o mecánica. 1.18. La red divisora de voltaje del problema 1.11 ¿es un dispositivo analógico o digital? Las entradas y salidas ¿son analógicas o digitales? Claramente es un dispositivo analógico, como lo son todas las redes eléctricas que constan únicamente de elementos pasivos tales como resistores, capacitores e inductores. La fuente de voltaje v1 se considera como una entrada externa a esta red. Si produce una señal continua, por ejemplo, de una batería o una fuente de corriente alterna, la salida es una señal continua o analógi- ca. Sin embargo, si la fuente de voltaje v1 es una señal discreta en el tiempo o digital, entonces así será la salida u2 = u1R2/(R1 + R2). Del mismo modo, si se incluyera un interruptor en el circuito, en serie con una fuente de voltaje analógica, la apertura y el cierre intermitente del interruptor genera- rían una onda muestreada de la fuente de voltaje u1, y en consecuencia se tendría una salida mues- treada o discreta en el tiempo de esta red analógica. 1.19. El sistema que controla el valor total del efectivo en una cuenta bancaria ¿es un sistema continuo o discreto en el tiempo? ¿Por qué? Suponga que se hace un depósito solamente una vez, y no se hace ningún retiro. Si el banco no paga intereses ni extrae derechos por mantenimiento de la cuenta (como poner su dinero "bajo el colchón"), el sistema que controla el valor total del efectivo de la cuenta puede considerarse como continuo, porque el valor siempre es el mismo. Sin embargo, la mayor parte de los bancos pagan intereses en forma periódica, por ejemplo, diaria, mensual o anualmente, y el valor de la cuenta, por tanto, cambia periódicamente en tiempos discretos. En este caso, el sistema que controla el valor del efectivo en la cuenta es un sistema discreto. Suponiendo que no hay retiros, se agregan los intereses al principio de cada vez que la cuenta gana el interés, llamado compuesto, y el valor de la cuenta continúa creciendo sin límite (el "mayor invento de la humani- dad", comentario atribuido a Einstein). 1.20. ¿Qué tipo de sistema de control, en malla abierta o en malla cerrada, continuo o discreto, utiliza un inversionista del mercado ordinario de valores, cuyo objetivo es obtener rentabi- lidad de su inversión? A menudo, los inversionistas del mercado de valores siguen en forma periódica el progreso de sus valores, por ejemplo, de sus precios. Pueden verificar a diario los precios de puja, con su corredor de bolsa o en el periódico del día, o con cierta frecuencia, dependiendo de las circunstan- cias individuales. En cualquier caso, ellos muestrean periódicamente las señales de precios, en consecuencia, el sistema es de datos muestreados o discreto en el tiempo. Sin embargo, los precios de los valores normalmente suben y bajan entre los tiempos de muestreo, y entonces el sistema
- 27. 16 TEORJA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL opera en malla abierta durante estos periodos. La malla de retroalimentación se cierra sólo cuando el inversionista hace sus observaciones periódicas y actúa sobre la información recibida, que puede ser comprar, vender o no hacer nada. De esta manera, el control global es en malla cerrada. El proceso de medida (muestreo) podría, por supuesto, manejarse más eficientemente usando un computador, el cual también se puede programar para que tome decisiones con base en la informa- ción que recibe. En este caso el sistema de control permanece discreto en el tiempo, pero no sólo porque hay un computador digital en la malla de control. Los precios de puja no cambian de modo continuo, sino que inherentemente son señales discretas en el tiempo. Problemas suplementarios 1.21. Identifique la entrada y la salida de un horno con temperatura regulada automáticamente. 1.22. Identifique la entrada y la salida de un refrigerador automático. 1.23. Identifique una entrada y una salida de una cafetera eléctrica automática. ¿Este sistema es en malla abierta o en malla cerrada? 1.24. Diseñe un sistema de control para elevar y bajar en forma automática un puente levadizo .que permita el paso de los barcos. No se permite que el operador sea una persona. El sistema debe funcionar completamente de manera automática. 1.25. Explique la operación e identifique las cantidades y los componentes pertinentes de un cañón antiaéreo automático que es controlado por radar. Suponga que no se necesita operador excepto para poner inicialmente el sistema en un modo operacional. 1.26. ¿Cómo se le puede dar una interpretación de sistema de control con retroalimentación a la red eléctrica de la figura 1-8? ¿Este sistema es analógico o digital? fuente de voltaje v + Figura 1-8 +· R 1.27. Diseñe un sistema de control para poner en posición el timón de una embarcación desde el cuarto de mando localizado lejos ch:I timón. El objetivo del sistema de control es conducir la embarcación en la dirección deseada. 1.28. ¿Qué entradas adicionales a la orden de la dirección deseada esperaría encontrar actuando en el sistema del problema 1.27? 1.29. ¿Se puede interpretar como un sistema de control con retroalimentación la aplicación del capitalis- mo sin intervención del Estado? ¿Por qué? ¿El "socialismo" en su forma más pura? ¿Por qué?
- 28. INTRODUCCION 17 1.30. ¿La operación de intercambio de valores, por ejemplo, comprar y vender acciones, se ajusta al modelo de la ley de la oferta y la demanda descrito en el problema 1.12? ¿Cómo? 1.31. ¿Un sistema económico puramente socialista se ajusta al modelo de la ley de la oferta y la demanda descrito en el problema 1.12? ¿Por qué (o por qué no)? 1.32. ¿Qué sistemas de control de los problemas 1.1 al 1.4 y del 1.12 al 1.17 son digitales o de datos muestreados, y cuáles son continuos o analógicos? Defina las señales continuas y las señales discretas en cada sistema. 1.33. Explique por qué los sistemas de control económico basados en la obtención de datos a partir de los procedimientos de contabilidad corrientes son sistemas de control de datos muestreados ¿Son en malla abierta o en malla cerrada? 1.34. Un sistema de radar de antena rotatoria que normalmente recibe datos direccionales y de intervalo en cada una de las revoluciones, ¿es un sistema analógico o digital? 1.35. ¿Qué tipo de sistema de control está involucrado en el tratamiento de un paciente por un médico, basado en los datos obtenidos de los análisis de laboratorio de una muestra de sangre del paciente? Respuestas a algunos problemas suplementarios 1.21. La entrada es la temperatura de referencia. La salida es la temperatura real del horno. 1.22. La entrada es la temperatura de referencia. La salida es la temperatura real del refrigerador. 1.23. Una entrada posible para la cafetera eléctrica automática es la cantidad de café usado. Además, la mayor parte de las cafeteras tienen un disco que se puede ajustar para café claro, medio u oscuro. Este ajuste generalmente regula un mecanismo de tiempo. Otra entrada posible es el tiempo de preparación. I.,a concentración del café se puede escoger como la salida de cualquier cafetera. Las -eafeteras descritas antes son sistemas en malla abierta.
- 29. Capítulo 2 Terminología de los sistemas de control 2.1 Diagramas de bloques: fundamentos Un diagrama de bloques es una representación gráfica y abreviada de la relación de causa y efecto entre la entrada y la salida de un sistema físico. Proporciona un método útil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diversos componentes de un sistema de con- trol. Los componentes del sistema se llaman de manera alterna elementos del sistema. La forma más simple de un diagrama de bloques es un solo bloque, con una entrada y una salida, como se muestra en la figura 2-1 . bloque entrada salida Figura 2-1 El interior del rectángulo que representa el bloque, usualmente contiene la descripción o el nom- bre del elemento, o el símbolo de la operación matemática que se va a efectuar sobre la entrada para producir la salida. Las flechas representan la dirección de la información o flujo de la señal. EJEMPLO 2.1. a) entrada salida b) Figura 2-2 X dx y= dt Las operaciones de adición y sustracción tienen una representación especial. El bloque se convierte en un pequeño círculo, llamado punto de suma, con el signo apropiado más o menos, asociado con las flechas que entran al círculo. La salida es la suma algebraica de las entradas. Cualquier número de entradas puede llegar a un punto de suma. EJEMPLO 2.2. '. a) X x+y • b) X e) -~ x-y X + • Figura 2-3
- 30. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 19 Algunos autores ponen una cruz en el círculo: (Figura 2-4) ,. Figura 2-4 Esta notación se evitará aquí porque algunas veces se confunde con la operación de multiplicación. Para hacer que la misma señal o variable sea una entrada a más de un bloque o punto de suma, se utiliza un punto de toma. Este permite que la señal prosiga inalterada por diferentes trayecto- rias a varios destinos. EJEMPLO 2.3. a) b) X~-~-~___ :: x--P-~_t_o_d_e_w_m_ª_ 3 ________~•~x X• - Figura 2-5 2.2 Diagramas de bloques de sistemas de control continuos (analógicos) con retroalimentación Los bloques que representan los diferentes componentes de un sistema de control están conec- tados de un modo que caracteriza sus relaciones funcionales dentro del sistema. En la figura 2-6 se ilustra la configuración básica de un sistema de control simple en malla cerrada (retroalimentado), con una sola entrada y una sola salida (abreviada UEUS [en inglés, SISO]) para un sistema con señales continuas únicamente. entrada de referencia r + b señal primaria de retroalimentación perturbación trayectoria directa trayectoria de retroalimentación Figura 2-6 salida ~ontrolada e "
- 31. 20 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Enfatizamos que las flechas de una malla cerrada, que conectan un bloque con otro, represen- tan la dirección del flujo de la energía de control o información, que a menudo no es la fuente principal de energía para el sistema. En el caso del ejemplo 1.2., la fuente principal de energía para el calentador controlado termostáticamente, por lo general, es química, proveniente de la combustión de gasolina, carbón o gas. Pero esta fuente de energía no aparece en la malla de control cerrada del sistema. 2.3 Terminología del diagrama de bloques en malla cerrada Es importante que se entiendan claramente los términos usados en el diagrama de bloques en malla cerrada. Las letras minúsculas se utilizan para representar las variables de entrada y de salida de cada elemento, como también los símbolos para los bloques 81, 82 y h. Estas cantidades representan funciones de tiempo, a no ser que se especifique otra cosa. EJEMPLO 2.4. r = r(t) En los capítulos subsiguientes, usamos letras mayúsculas para mdicarcantidades de transfor- mada de Laplace o de transformada z, como funciones de la variable compleja s, ó z, respectiva- mente, o cantidades de transformada de Fourier (funciones de frecuencia), como funciones de la variable imaginaria purajw. A menudo las funciones des ó de z se abrevian presentando la letra mayúscula sola. Las funciones de frecuencia nunca se abrevian. EJEMPLO 2.5. R(s) se puede abreviar como R, o F(z) como F. R(jw) nunca se abrevia. Se escogieron las letras r, e, e, etc., para preservar la naturaleza genérica del diagrama de bloques. Esta convención ahora es clásica. Definición 2.1: Definición 2.2: Definición 2.3: Definición 2.4: Definición 2.5: La planta (proceso o sistema controlado) 82 es el sistema, subsistema, proceso u objeto comandado por el sistema de control con retroalimenta- ción. La salida controlada e es la variable de salida de la planta, bajo el mando del sistema de control con retroalimentación. La trayectoria directa es la ruta de transmisión del punto de suma al punto de salida controlada c. Los elemen~os anticipativos (de control) 81 son los componentes de la tra- yectoria directa que generan las señales de control u o m aplicadas a la plan- ta. Nota: Entre los elementos anticipativos de control corrientemente se en- cuentran controladores, compensadores (o elementos de ecualización) y/o amplificadores. La señal de control u (o la variable manipulada m) es la señal de salida _de· los elementos anticipativos 8i, aplicada como entrada en la planta 82 •
- 32. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 21 Definición 2.6: Definición 2. 7: La trayectoria de retroalimentación es la ruta de transmisión de la salida controlada c que regresa al punto de suma. Los elementos de retroalimentación h establecen la relación funcional entre la salida controlada c y la señal primaria de retroalimentación b. Nota: Entre los elementos de retroalimentación normalmente se encuentran senso- res de la salida controlada c, compensadores y/o elementos controladores. Definición 2.8: La entrada de referencia res una señal externa aplicada al sistema de con- trol con retroalimentación, usualmente en el primer punto de suma, para ordenar una acción específica a la planta. A menudo representa el comporta- miento ideal (o deseado) de la salida en la planta. Definición 2.9: La señal primaria de retroalimentación bes una función de la salida contro- lada c, sumada algebraicamente con la entrada de referencia r para obtener la señal actuante (error) e, esto es, r ± b =e. Nota: Un sistema en malla abierta no tiene señal primaria de retroalimentación. Definición 2.10: La señal actuante (error) es la señal de entrada de referencia r más o menos la señal primaria de retroalimentación b. La acción de control se genera por la señal actua'ote (error) i::n un sistema de control con retroalimentación (véanse las definiciones 1.5 y 1.6). Nota: En un sistema en malla abierta, que no tiene retroalimentación, la señal actuante es igual a r. Definición 2.11: Retroalimentación negativa significa que el punto de suma es un sustrac- tor, esto es e = r - b Retroalimentación positiva significa que el punto de suma es un sumador, es decir, e = r + b. 2.4 Diagramas de bloques de componentes discretos en el tiempo (datos muestreados digitales), de sistemas de control y de sistemas controlados por computador La definición 1. 11 describe un sistema de control discreto en el tiempo (de datos muestreados o digital) como aquel que tiene señales o componentes discretos en el tiempo en unó o más puntos del sistema. Primero, relacionamos varios componentes comunes de sistemas discretos en el tiem- po, y luego, ilustramos algunas de las formas como pueden interconectarse en los sistemas de control digital. Recordamos al lector que en este libro discreto en el tiempo a menudo se abrevia como discreto, y continuo en el tiempo como continuo, siempre que su significado no resulte ambiguo. ·EJEMPLO 2.6. Un computador digital o microprocesador es un dispositivo discreto en el tiempo (discre- to o digital), componente común en sistemas de control digital. Las señales internas y externas de un computador digital se caracterizan por ser discretas en el tiempo o codificadas digitalmente. EJEMPLO 2.7. Un componente (o componentes) de un sistema discreto con entrad;s u(tk) discretas en el tiempo y señales de salida y(tk) discretas en el tiempo, en donde tk son los instantes discretos de tiempo, k = 1,2,... , etc., puede representarse por un diagrama de bloques como el que se muestra en la figura 2-7.
- 33. 22 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL entrada discreta enel tiempo k=l,2, ... Figura 2-7 salida discreta len el tiempo Muc;hos sistemas de control digital contienen componentes discretos y continuos. Usualmente en tales sistemas se incluyen uno o más dispositivos conocidos como muestreadores, y otros conocidos como retenes. Definición 2.12: Un muestreador es un dispositivo que convierte una señal continua en el tiempo, digamos u(t), en una señal discreta en el tiempo, representada por u*(t), la cual consiste en una secuencia de valores de la señal en los instantes t,, t2 , •.• , es decir, u(t1), u(t2), ••• , etc. Usualmente los muestreadores ideales se representan de manera esquemática por un interrup- tor, como se muestra en la figura 2-8, en la cual el interruptor normalmente está abierto, excepto en los instantes t1, t2 , etc., cuando se cierra por un instante. El interruptor también puede represen- tarse como encerrado en un bloque, como se muestra en la figura 2-9. u(t) / u*(t) u(t) u*( t) / • tk tk Figura 2-8 Figura 2-9 EJEMPLO 2.8. En la figura 2-1Ose ilustran la señal de entrada de un muestreador ideal y algunas mues- tras de la señal de salida. Este tipo de señal habitualmente se llama señal de datos muestreados. u(t1) Figura 2-10 A menudo las señales de datos discretos u(tk) se escriben de manera más simple, con el índice k como único argumento, esto es, u(k), y la secuencia u(t1), u(t2 ), • •• , etc., se convierte en u(l), u(2), ... , etc. En el Capítulo 3 se introduce esta notación. Aunque en general las tasas de muestreo no son uniformes, como en el ejemplo 2.8, en este libro se sigue como regla el muestreo uniforme, es decir, tk+ 1 - tk == T para todo k. ·
- 34. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 23 Definición 2.13: Un retén o sistema de sostenimiento de datos es un dispositivo que convierte la salida discreta en el tiempo de un muestreador en alguna clase particular de señal continua en el tiempo o analógica. EJEMPLO 2.9. Un sistema de sostenimiento de orden cero (retén simple) es aquel que mantiem; (es decir, retiene) el valor de u(tk) constante hasta el siguiente tiempo de muestreo tk+ 1, como se muestra en la figura 2-11. Note que la salida YHo(t) del retén de orden cero es continua, excepto en los tiempos de muestreo. Este tipo de señal se llama continua a tramos. YHo(I) u(l1) u(I) 12 1, 14 15 Fig. 2-11 ~ u*(I) YHoU) 1. Figura 2-12 Definición 2.14: Un convertidor analógico a digital (A/D) es un dispositivo que convierte una señal analógica o continua en una discreta o digital. Definición 2.15: Un convertidor digital a analógico (D/A) es un dispositivo que convierte una señal discreta o digital en una continua en el tiempo o analógica. EJEMPLO 2.10. El muestreador del ejemplo 2.8 (figuras 2-9 y 2-10) es un convertidor A/D. EJEMPLO 2.11. El sistema de sostenimiento de orden cero del ejemplo 2.9 (figuras 2-11 y 2-12) es un convertidor D/A. Los sistemas de muestreo y sostenimiento de orden cero, comúnmente se utilizan como con- vertidores A/D y DIA, pero no son los únicos tipos disponibles. En particular, algunos convertido- res D/A son más complejos. EJEMPLO 2.12. A menudo se utilizan computadores digitales o microprocesadores para controlar plan- tas o procesos continuos. En tales aplicaciones se necesitan convertidores A/D y D/A, para convertir señales de la planta en señales digitales, y señales digitales del computador en señales de control para la planta analógica. La operación conjunta de estos elementos usualmente se sincroniza con un reloj, y el controlador resultante algunas veces se llama filtro digital, como se ilustra en la figura 2-13.
- 35. 24 Definición 2.16: TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ¡-··--------------- : --·-----·---------.' ! : : Figura 2-13 Un sistema controlado por computador incluye un computador como ele- mento primário de control. Los sistemas controlados por computador más comunes tienen computadores digitales co- mandando procesos analógicos o continuos. En este caso, se necesitan convertidores A/D y D/A, como se ilustra en la figura 2-14. r·------------ 1 1 -------------, '1 ¡ ,______ controlador ____.., Figura 2-14 El reloj puede omitirse del diagrama, ya que sincroniza pero no hace parte explícita del flujo de la señal en la malla de control. De la misma manera, algunas veces se omiten del diagrama el punto de suma y la entrada de referencia porque ambos pueden ser implementadas por el computador. 2.5 Terminología suplementaria En este momento hay varios términos que requieren definición e ilustración. Otros se presen- tan en los capítulos subsiguientes a medida que sean necesarios. Definición 2.17: Un transductor es un dispositivo que convierte una forma de energía en otra. Por ejemplo, uno de los transductores más comunes en las aplicaciones de sistemas de control es el potenciómetro, el cual convierte una posición mecánica en un voltaje eléctrico (figura 2-15).
- 36. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL + fuente de voltaje de referencia 1lentrada de 1 V la posición J del brazo • 1 o 1 + I r voltaje de salida esquemático Figura 2-15 posición de entrada V 25 voltaje de salida r diagrama de bloque Definición 2.18: La orden ves una señal de entrada, usualmente igual a la entrada de referen- cia r. Pero, cuando la clase de energía de la orden v no es la misma que la de retroalimentación primaria b, se requiere un transductor entre la orden v y la entrada d ~ referencia r, como se muestra en la figura 2-16 a. entrada orden de referenda V r a) Figura 2-16 Definición 2.19: Cuando el elemento de retroalimentación consta de un transductor, y además se necesita un transductor en la entrada, esa parte del sistema de control, ilustrada en la figura 2-16 b, se llama detector de error. Definición 2.20: Un estímulo o entrada de prueba es cualquier señal de entrada introducida externamente (exógenamente) que afecta la salida controlada c. Nota: la en- trada de referencia res un ejemplo de un estímulo, pero no es la única clase de estímulo. Definición 2.21: Una perturbación n (ruido de entrada) es un estímulo o una señal de entra- da no deseados que afectan el valor e de la salida controlada. Puede entrar a la planta con u o m, como se muestra en el diagrama de bloques de la figura 2-6, en el primer punto de suma o en cualquier otro punto intermedio. Definición 2.22: La respuesta de tiempo de un sistema, subsistema o elemento es la salida como función de tiempo, usualmente en seguida de la aplicación de una entrada prescrita bajo condiciones de operación especificadas. Definición 2.23: Un sistema multivariable es aquel que tiene más de una entrada (multien- trada, ME-), más de una salida (multisalida, -MS) o ambas (multientra- da-multisalida, MEMS).
- 37. 26 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROA[,JMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Definición 2.24: El término controlador en un sistema de control con retroalimentación, a menudo está asociado con los elementos de la trayectoria directa entre la señal actuante (error) e y la variable de control u. Pero, algunas veces, inclu- ye el punto de suma, los elementos de retroalimentación o ambos. Algunos autores utilizan los términos controlador y compensador como sinónimos. El contexto deberá eliminar cualquier ambigüedad. Las cinco definiciones siguientes son ejemplos de leyes de control o algoritmos de control. Definición 2.25: Un controlador de encendido-apagado (on-o.ff)* (controlador binario, de dos posiciones) tiene únicamente dos valores posibles en su salida u, dependiendo de la entrada e en el controlador. EJEMPLO 2.13. Un controlador binario puede tener una salida u es positiva, es decir, e > O, y u = -1 cuando e ::s O. +1 cuando la señal de error Definición 2.26: Un controlador proporcional (P) tiene una salida u proporcional a su entra- da e esto es, u = Kpe, en donde Kp es una constante de proporcionalidad. Definición 2.27: Un controlador derivativo (D) tiene una salida u proporcional a la derivada de su entrada e, esto es, u = K0 deldt, en donde Kv es una constante de proporcionalidad. Definición 2.28: Un controlador integral (J) tiene una salida u proporcional a la integral de su entrada e, esto es, u = K1fe(t)dt, en donde K1 es una constante de propor- cionalidad. Definición 2.29: Los controladores PD, PI, DI y PID son combinaciones de los controlado- res proporcional (P), de derivativo (D) e integral (/). EJEMPLO 2.14. La salida u de un controlador PD tiene la forma: La salida de un controlador PID tiene la forma: * Aunque se escribe en inglés, está muy difundido en español el uso del término controladores on-off.
- 38. TERMJNOLOGJA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 27 2.6 Servomecanismos Los sistemas de control con retroalimentación especializados, llamados servomecanismos, requieren una atención especial, debido a su frecuente aparición en aplicaciones industriales y en la literatura de los sistemas de control. Definición 2.30: Un servomecanismo es un sistema de control con retroalimentación de am- plificación de potencia, en el cual la variable controlada e es una posición mecánica o una derivada con respecto al tiempo, tal como la velocidad o la aceleración. EJEMPLO 2.15. El aparato de dirección de potencia de un automóvil es un servomecanismo. La orden de entrada es la posición angular del volante de dirección. Un pequeño torque rotacional que se aplica al volante de dirección se amplifica hidráulicamente, dando como resultado una fuerza adecuada para modifi- car la salida, la cual es la posición angular de las ruedas delanteras. En la figura 2-17 se presenta el diagrama de bloques de tal sistema. La retroalimentación negativa es necesaria para regresar la válvula de control a la posición neutra, reduciendo a cero el torque del amplificador hidráulico cuando se ha alcanzado la posición deseada en la rueda. posición angular del volante de dirección 2.7 Reguladores Definición 2.31: b Figura 2-17 e posición angular de las ruedas en la carretera Un regulador o sistema regulador es un sistema de control con retroali- mentación en el cual la entrada o comando de referencia es constante por largos periodos de tiempo, habitualmente durante todo el intervalo de tiem- po en el cual el sistema es operacional. Con frecuencia tal entrada se llama punto de referencia. Un regulador se diferencia de un servomecanismo en que la función primaria de un regulador usualmente es mantener una salida controlada constante, mientras que la de un servomecanismo es, casi siempre, hacer que una entrada variable en el sistema ocasione una salida.
- 39. 28 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Problemas resueltos Diagramas de bloque 2.1. Considere las siguientes ecuaciones en las cualesx1, x2 , ... , Xn son variables, y a 1, a2,- .. , an son coeficientes generales u operadores matemáticos: ,a) x 3 = a1x 1 + a 2x 2 - 5 b) Xn=a¡X¡ +a2X2+ ··· +an-IXn-1 Dibuje un diagrama de bloque para cada ecuación, identificando todos los bloques, las entradas y las salidas. a) En la forma como está escrita la ecuación, x3 es la salida. Los términos del lado derecho de la ecuación se combinan en un punto de suma, como se muestra en la figura 2-18. El término a1x 1 se representa por un bloque sencillo, con x1 como entrac;la y a1x 1 como salida. Por tanto, el coeficiente a 1 se coloca dentro del bloque, como se muestra en 1la figura 2-19. a1 puede representar cualquier operación mat~mática. Por ejemplo, si a 1 fuera una constante, la operación del bloque sería "multiplicar la entrada x1 por la c·onstante a i". Usual- mente, de la descripción o del contexto de un problema resulta claro qué significa el símbolo, el operador o la descripción dentro del bloque. Figura 2-18 Figura 2-19 El término a2x2 se representa de la misma manera. En la figura 2.20 se muestra el. diagrama de bloque para la ecuación completa. b) Siguiendo el mismo razonamiento que en la parte a), el diagrama de bloque para se muestra en la figura 2-21. 2.2. Dibuje un diagrama de bloque para cada una de las siguientes ecuaciones: b) d-x2 dx1 X =--+---x 3 dt 2 dt 1 e)
- 40. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 29 X¡ X¡ U¡X¡ 5 Figura 2-20 X¡ ,___ _.,.X3 . . . Figura 2-21 a) En esta ecuac~ón se especifican dos operaciones, a1 y la derivada dldt. Por tanto, el diagrama contiene dos .bloques, como se muestra en la figura 2-22. Nótese el orden de los mismos. X¡ X¡ Figura 2-22 Figura 2-23 Ahora, si a_, fuera constante, el bloque a1 se podría combinar con el bloque d!dt, como se muestra en la figura 2-23, ya_que no habría confusión en relación con el orden de los bloques. Pero, si a1 fuera un operador desconocido, la inversión de los bloques d!dt y a1 no resultaría, necesariamente, en una salida igual a x2 como se muestra en la figura 2-24. X¡ :t(a¡X¡) # U¡ (d;¡) Figura 2-24 b) Las operaciones+ y - indican la necesidad de un punto de suma. La derivada puede tratarse. como en la parte a), o combinando las dos primeras operaciones de derivación en un bloque operador de segunda derivada, con lo cual se obtienen dos diagramas de bloques diferentes para la ecuación de x3, como se muestra en la figura 2-25. dx1 dt Figura 2-25 dx1 dt
- 41. 30 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL e) La integración puede representarse en la forma del diagrama de bloque de la figura 2-26. Figura 2-26 2.3. Dibuje un diagrama de bloque para el mecanismo del espejo ajustable que aparece en la sección 1.1, con la salida que se identifica en el problema 1. 1. Suponga que en cada rotación de 360º del tomillo, el espejo sube o baja k grados. Identifique en el diagrama todas las señales y los componentes del sistema de control. Por conveniencia, en la figura 2-27 se repite el diagrama esquemático del sistema. rayo reflejado ~ / / fuente de luz / I /'a Figura 2-27 Mientras que en el problema 1.1 la entrada se definía como 8, las especificaciones en este problema implican una entrada igual al número de rotaciones del tomillo. Sea n el número de rotaciones del tomillo, tal que n = O cuando 8 = Oº. Por tanto, n y 8 pueden relacionarse mediante un bloque descrito por la constante k, tal que 8 = kn, como se muestra en la figura 2-28. -ro-ta.;..:;:-on-es-•o-tGlt---gra-'"""do_s_.,. Figura 2-28 espejo oscilante --'--·~1---2-",__ Figura 2-29 En ei problema 1.1 se determinó 8 + a como salida del sistema. Pero, puesto que la fuente de luz está dirigida paralela a la superficie de referencia, entonces a = 8. En consecuencia, la salida es igual a 28, y el espejo puede representarse en un bloque mediante una constante igual a 2, como se muestra en la figura 2-29. En la figura 2-30 se da completo el diagrama de bloque del sistema en malla abierta. Para este ejemplo simple, también podemos notar que la salida 28 es igual a 2kn rotaciones del tomillo. Esto produce el diagrama de bloques más simple que se muestra en la figura 2-31.
- 42. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 31 tomillo n rotaciones espejo oscilante Figura 2-30 ángulo dirigido 21 del rayo reflejado grados n 2, rotaciones grados Figura 2-31 2.4. Dibuje un diagrama de bloque en malla abierta y otro en malla cerrada, para la red divisora de voltaje del problema 1.11. V¡ En el problema 1.11 se determinó que la ecuación en malla abierta es v2 = (R2!(R 1 + R2)) v1, en donde v1 es la entrada y v2 es la salida. En consecuencia, el bloque se representa por R2/(R1 + R2) (figura 2-32), y claramente la operación es la multiplicación. La ecuación en malla cerrada es La señal actuante es v1 - v2• El diagrama de bloque en malla cerrada con retroalimentación negativa se construye fácilmente con el único bloque representado por R2/R1,como se muestra en la figura 2-33. Figura 2-32 Figura 2-33 2.5. Dibuje un diagrama de bloque para el interruptor eléctrico del ejemplo 1.1 (véanse los problemas 1.9 y 1.10). Tanto la entrada como la salida son variables binarias (de dos estados). El interruptor se representa por un bloque, y la fuente de potencia eléctrica que el interruptor controla no hace parte del sistema de control. Un posible diagrama de bloques en malla abierta se presenta en la figura 2-34. encendido entrada----,--- apagado Figura 2-34 _e_n_er_gi_za_d_o_ salida no energizado Por ejemplo, suponga que la fuente de potencia es una fuente de corriente eléctrica. Entonces, el diagrama de bloques para el interruptor podría tomar la forma de la figura 2-35, en donde (de nuevo) la fuente de corriente no hace parte del sistema de control, y la entrada en el bloque del interruptor se muestra como una conexión mecánica a un interruptor simple de "cuchilla", y la salida es una corriente diferente de cero sólo cuando el interruptor está cerrado (encendido). De otro modo es cero (apagado).
- 43. 32 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL entrada encendido interruptor operado mecánicamente corriente conectada salida apagado -+---4 __....,. Icorriente 1desconectada Figura 2-35 2.6. Dibuje los diagramas de bkx¡ue simples para los sistemas de control de los ejemplos 1.2 al 1.5. En el problema 1.10 notamos que estos sistemas son en malla cerrada, y del problema 1.9 dedujimos que en cada ejemplo la señal actuante (acción de control) para el sistema es igual a la entrada menos la salida. Por tanto, en cada sistema existe una retroalimentación negativa. Para el calentador controlado termostáticamente, del ejemplo 1.2, se puede escoger el termos- tato como el punto de suma, puesto que éste es el dispositivo que determina si el calentador se enciende o no. La temperatura del ambiente del recinto (cxccrior) puede tratarse como una entrada de ruido que actúa. directamente en el recinto. Los ojos pueden representarse como el punto de suma tanto en el sistema humano de señala- miento, del ejemplo 1.3, como en el sistema del conductor de automóviles, del ejemplo 1.5. Los ojos realizan la función de supervisar la entrada y la salida. Para el sistema de transpiración del ejemplo 1.4, el punto de suma no se define tan fácilmente. En aras de la simplicidad llamémoslo sistema nervioso. Los diagramas de bloque se construyen fácilmente, como se muestra abajo, a partir de la información dada antes y de la lista de componentes, entradas y salidas dadas en los ejemplos. Las flechas entre los componentes en los diagramas de bloque ·de los sistemas biológicos, que se muestran en los ejemplos 1.3 al 1.5, representan señales eléctricas, químicas o mecánicas, controladas por el sistema nervioso central. temperatura de referencia (ajuste) + Ejemplo 1.2 temperatura real del recinto
- 44. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL dirección del objeto + + temperatura normal de la piel sistema o temperatura del aire + dirección de la carretera Ejemplo 1.3 Ejemplo 1.4 Ejemplo 1.5 ,dirección ;señalada 1 temperatura real de la piel dirección del automóvil Diagramas de bloque de sistemas de control con retroalimentación 33 2.7. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema de la cisterna descrito en el problema I.15. ¿Qué componente o componentes conforman la planta, el controlador y la retroalimentación? El recipiente es la planta porque el nivel del agua del recipiente se controla (véase la definición 2.1). La válvula tapón puede escogerse como el elemento de control, y como elementos de retroali- mentación el flotador, la cuerda y las conexiones asociadas. En la figura 2-36 se presenta el diagra- ma de bloques. r + nivel de referencia del agua (lleno) b ,elemento de control elementos de retroalimentación Figura 2-36 nivel real del agua e
- 45. 34 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La retroalimentación es negativa porque la tasa de flujo del agua debe disminuir a medida que sube el nivel del agua en el recipiente. 2.8. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema de control con retroalimentación de los ejemplos 1.7 y 1.8, el avión con piloto automático. La planta para este sistema es el avión, incluyendo sus mecanismos de control y los instrumen- tos de navegación. El controlador es el mecanismo del piloto automático, y el punto de suma es el dispositivo de comparación. La conexión de retroalimentación puede representarse simplemente mediante una flecha desde la salida hasta el punto de suma, ya que esta conexión no está bien definida en el ejemplo 1.8. El piloto automático suministra las señales de control para operar los mecanismos de control (timón, alerones, etc.). Estas señales pueden designarse como u,, u2 , .•. En la figura 2-37 se presenta el diagrama de bloque más simple para este sistema con retroali- mentación. r + Servomecanismos Figura 2-37 dirección real del avión e 2.9 Dibuje un diagrama esquemático y un diagrama de bloque a partir de la siguiente descrip- ción de un servomecanismo de posición cuya función es abrir y cerrar una válvula de agua. En la entrada del sistema hay un potenciómetro de tipo rotatorio conectado a través de una batería como fuente de voltaje. Su terminal móvil (el tercero) está calibrado en térmi- nos de la posición angular (en radianes). Este terminal de salida está conectado eléctrica- mente a un terminal de un amplificador de voltaje llamado servoamplificador. Este último suministra suficiente potencia de salida para operar un motor eléctrico llamado servomo- tor, el cual está conectado en forma mecánica con la válvula de agua de manera que permi- te que esta última sea abierta o cerrada por el motor. Suponga que el efecto de carga de la válvula sobre el motor es despreciable; esto es, no le hace "resistencia" al motor. Una rotación de 360º del eje del motor abre completamente la válvula. Además, el terminal móvil de un segundo potenciómetro conectado en paralelo a los terminales fijos del potenciómetro de entrada se encuentra conectado de manera mecánica
- 46. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 35 batería fuente de voltaje al eje del motor. Este se encuentra conectado eléctricamente al terminal de entrada restante del servoamplificador. Las relaciones del potenciómetro se ajustan de tal modo que sean iguales cuando la válvula esté cerrada. Cuando se da la orden de abrir la válvula, el servomotor gira en la dirección apropiada. A medida que la válvula se abre, el segundo potenciómetro, llamado potenciómetro de retroalimentación, gira en la misma dirección que el potenciómetro de entrada. Este se detiene cuando las relaciones de los potenciómetros son iguales de nuevo. Con la descripción precedente puede trazarse fácilmente el diagrama esquemático (figura 2- 38). Las conexiones mecánicas se muestran con líneas no continuas. r potenciómetro + b de entrada potenciómetro de retroalimentación mecánica 1---------------, 1 1 Figura 2-38 1 -l-.!!. radianes válvula El diagrama de bloque para este sistema (figura 2-39) puede dibujarse fácilmente a partir de este diagrama esquemático. transductor de entrada elemento de control por retroalimentación Rlanta V e radianes b voltios elementos de retroalimentación Figura 2-39 radianes
- 47. 36 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 2.10. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema elemental de control de velocidad (servo- mecanismo de velocidad) que se da en la figura 2-40. potenciómetro de entrada batería + + fuente de ~ voltaje - r voltios + b voltios Figura 2-40 bobinado w (o arrollamiento) de campo del motor 11 + - batería J-~-, radianes/seg 1 1 1 1 1 1 ____________ _J El potenciómetro es de tipo rotatorio, calibrado en radianes por segundo, y las corrien- tes del arranque, del bobinado de campo del motor y del potenciómetro de entrada son funciones constantes de tiempo. Ninguna carga se encuentra acoplada al eje del motor. b voltios r--elementos de control ~ elementos de retroalimentación Figura 2-41 planta e radianes/seg La batería, fuente de voltaje para el potenciómetro de entrada y para el bobinado de campo del motor, y la fuente de arranque para el generador, no hacen parte de la malla de control de este servomecanismo. La salida de cada una de estas fuentes es una función constante de tiempo, y pueden tenerse en cuenta en la descripción matemática del potenciómetro de entrada, del generador y del motor, respectivamente. En consecuencia el diagrama de bloques para este sistema es el dado en la figura 2-41 .
- 48. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 37 Problemas misceláneos 2.11. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema interruptor de luz con fotocelda, descrito en el problema 1.16. La intensidad de luz en la habitación debe mantenerse en un nivel mayor que o igual a un nivel especificado. Un modo de describir este sistema es con dos entradas, la primera se escoge como la intensidad luminosa mínima de referencia en la habitación r1, y la segunda como la intensidad de la luz solar en la habitación r2• La salida e es la intensidad luminosa real en la habitación. La habitación es la planta. La variable manipulada (señal de control) es la cantidad de luz suministrada a la habitación por la lámpara y por el sol. La fotocelda y la lámpara son los elementos de control porque ellos controlan la intensidad luminosa en la habitación. Suponga que la intensi- dad luminosa mínima de referencia en la habitación r1 es igual a la intensidad de la luz en la habitación suministrada solamente por la lámpara. La figura 2-42 presenta un diagrama de bloque para este sistema. e Figura 2-42 Claramente el sistema es en malla abierta. La señal actuante e es independiente de la salida e, y es igual a la diferencia entre las dos entradas: r1 - r2 • Cuando e :s O, l = O(la luz se apaga). Cuando e > O, l = r1 (la luz se enciende). 2.12. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema en malla cerrada de señales de tráfico descrito en el problema 1.13. ¡elementos de control¡ + u r=O Figura 2-43 planta B volumen de tráfico A volumen de tráfico B
- 49. 38 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Este sistema tiene dos salidas, el volumen de tráfico que pasa en la intersección en una direc- ción (la dirección A), y el volumen que pasa en la intersección en la otra dirección (la dirección B). La entrada es la orden de iguales volúmenes de tráfico en las direcciones A y B: es decir, la entrada es la diferencia de volumen cero. Suponga que al mecanismo para calcular los intervalos de tiempo adecuados de luces roja y verde lo llamamos computador para el intervalo de tiempo rojo-verde. Este dispositivo, además de la señal de tráfico, conforma los elementos de control. Las plantas son las vías en las direcciones A y B. El diagrama de bloques de este regulador de tráfico se presenta en la figura 2-43. 2.13. · Dibuje un diagrama de bloque ilustrando la ley de la oferta y la demanda, como se descri- bió en el problema 1.12. El diagrama de bloque se da en la figura 2-44. r-= O fluctuación de precios del mercado cero b1 ~ oferta b2 = demanda Figura 2-44 e precio real del mercado 2.14. El siguiente modelo, muy simplificado, del mecanismo biológico que regula la presión arterial sanguínea humana es un ejemplo de sistema de control con retroalimentación. Debe mantenerse una presión bien regulada en los vasos sanguíneos (arterias, arterio- las y capilares) que irrigan los tejidos, de modo que se mantenga el flujo sanguíneo en forma adecuada. A menudo, esta presión se mide en la aorta (una arteria) y se llama presión sanguínea p. Esta no es constante, y normalmente está en un rango de 70-130 mm de mercurio (mm Hg) en los adultos. Supongamos que pes igual a 100 mm Hg (en prome- dio) en un individuo normal. La siguiente ecuación para la presión arterial es un modelo fundamental para la fisiolo- gía circulatoria: p = Qp en la cual Qes la salida cardíaca, o la tasa volumétrica de flujo de sangre del corazón a la aorta, y pes la resistencia periférica ofrecida por las arteriolas al flujo sanguíneo. Bajo condiciones normales, pes inversamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro d de los vasos (arteriolas).
- 50. TERMINOLOOIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 39 Ahora, se cree que d está controlado por el centro vasomotor (CVM) del cerebro; al aumentar la actividad del CVM disminuye d y viceversa. Aunque hay varios factores que afectan la actividad de CVM, se cree que las células barorreceptoras del seno arterial son las más importantes. La actividad barorreceptora inhibe el CVM, y por tanto funciona a modo de retroalimentación negativa. De acuerdo con esta teoría, si p aumenta, los baro- rreceptores envían señales a lo largo de los nervios vago y glosofaríngeos al CVM, dismi- nuyendo su actividad. De esto resulta un aumento en el diámetro d de la arteriola, una disminución en la resistencia periférica p y (suponiendo constante la salida cardíaca Q) una correspondiente disminución en la presión sanguínea p. Esta red retroalimentada, probablemente regula, al menos en parte, la presión sanguínea en la aorta. Dibuje un diagrama de bloque para este sistema de control con retroalimentación, identificando todas las señales y componentes. Sea la aorta la planta, representada por Q (la salida cardíaca); el CVM y las arteriolas pueden escogerse como el controlador; los barorreceptores son los elementos de retroalimentación. La entrada p0 es la presión sanguínea normal promedio (de referencia), 100 mm Hg. La salida pes la presión real de la sangre. Puesto que p = k(l!d)4, en donde k es una constante de proporcionalidad, las arteriolas se pueden representar en el bloque pork(·)4. El diagrama de bloque se da en la figura 2-45. Po + presión sanguínea promedio de referencia 100 mm Hg ¡---- elementos de control ---------i nervios vago y glosofaríngeo elementos sensores de retroalimentación Figura 2-45 planta p presión sanguínea real 2.15. La tiroides, una glándula endocrina (de secreción interna) localizada en el cuello humano, segrega tiroxina al torrente sanguíneo, el cual es el sistema transmisor de señales para la mayor parte de las glándulas endocrinas, al igual que los alambres conductores son el sistema de transmisión para el flujo de la corriente eléctrica, o los tubos y duetos pueden ser el sistema de transmisión para el flujo de un fluido hidrodinámico. Como la mayor parte de los procesos fisiológicos humanos, la producción de tiroxina en la glándula tiroides se controla automáticamente. La cantidad de tiroxina en el torrente sanguíneo está regulada, en parte, por una hormona secretada por la pituitaria anterior, una glándula endocrina suspendida en la base del cerebro. Esta hormona de "control" se llama hormona estimulante de la tiroides (HET). En una vista simplificada de este sistema de control, cuando la cantidad de tiroxina en el sistema circulatorio es mayor que la reque- rida por el organismo, se inhibe (reduce) la secreción de HET, causando una reducción en la actividad de la tiroides. En consecuencia, esta glándula libera menos tiroxina.
- 51. 40 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Dibuje un diagrama de bloque del sistema simplificado descrito, identificando todos los componentes y señales. Sea la tiroides la planta, y la cantidad de tiroxina en la sangre la variable controlada. La pituita- ria es el controlador, y la variable manipulada es la cantidad de HET que segrega. El diagrama de bloque se da en la figura 2-46. + nivel normal de tiroxina Figura 2-46 nivel de tiroxina en la sangre Enfatizamos que ésta es una forma muy simplificada de este sistema de control biológico, como lo fue el del prol>lema anterior. 2.16. ¿Qué tipo de controlador se incluye en el sistema, más real, de calefacción controlado termostáticamente, descrito en el ejemplo l. 14? El controlador del calentador con termostato tiene una salida binaria: encendido o apagado. En consecuencia, es un controlador de encendido-apagado (on-o.ff). Pero este último no es tan simple como el sensor de signo del ejemplo 2.13. El interruptor del termostato enciende el calentador cuando la temperatura de la habitación desciende lº por debajo del punto de referencia, 22ºC, y lo apaga cuando se eleva 1º por encima de ese punto de referencia. Gráficamente, la curva característica de tal controlador tiene la forma dada en la figura 2-47. u ------,..--+--encendido apagado -1 +2 e Figura 2-47 Esta se llama curva característica de histéresis, porque su salida tiene "memoria"; es decir, los puntos de conmutación dependen de si. la entrada e está aumentando o disminuyendo cuando el controlador conmuta los estados de encendido a apagado o de apagado a encendido.
- 52. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 41 2.17. Haga un bosqll:ejo de las señales de error, de control y de salida controlada en función del tiempo, y analice cómo el controlador de encendido-apagado (on-oft), del problema 2.16, mantiene la temperatura promedio de la habitación especificada por el punto predetermi- nado (22ºC) del termostato. Las señales típicas de e(t), u(t) y c(t) tienen la forma que se muestra en la figura 2-48, suponien- do que la temperatura es inferior a 22ºC al comienzo. elt) -1 c(t) 23º 22° 21° Figura 2-48 1 1 ____i______ 1 1 1 1 1 1 vzz. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ----t----- 1 La temperatura de la habitación c(t) varía de manera constante y en cada intervalo de conmuta- ción del controlador se eleva a una tasa aproximadamente constante, de 2lºC a 23ºC, o disminuye a una tasa de 23ºC a 21ºC. La temperatura promedio de la habitación es el valor medio de esta función c(t), el cual es cercano a 22ºC. 2.18. ¿Cuál es la ventaja principal de un sistema controlado por computador, en relación con un sistema analógico? El controlador (la ley de control) en un sistema controlado por computador se realiza normal- mente por programas de aplicación (software) en lugar de dispositivos adicionales (hardware). En consecuencia, las clases de leyes de control que se pueden desarrollar convenientemente, se incre- mentan de manera sustancial.
- 53. 42 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Problemas suplementarios 2.19. En la figura 2-49 se da el diagrama esquemático de un amplificador de voltaje semiconductor llamado seguidor de emisor. + venir.ida En la figura 2-50 se muestra un circuito equivalente de este amplificador, en donde rP es la resistencia interna yµ, es un parámetro del semiconductor en particular. Dibuje los diagramas d¡; bloques en malla abierta y en malla cerrada para este circuito con una entrada Ventrnda y una salida v salida· RK ohmios + vsalu..la Figura 2-49 + B+ batería fuente de poder Figura 2-50 + ~salida 2.20. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema de caminar humano del problema 1.14. 2.21. Dibuje un diagrama de bloque para el sistema humano de aproximación, descrito en el problema 1.4. 2.22. Dibuje un diagrama de bloque para el horno automático de temperatura regulada, del problema 1.21. 2.23. Dibuje un diagrama de bloque para la tostadora automática en malla cerrada del problema 1. 17. 2.24. Establezca las unidades dimensionales comunes para la entrada y la salida en los siguientes trans- ductores: a) acelerómetro, h) generador de electricidad, c) termistor (resistencia sensitiva a la temperatura), d) termopar. 2.25. ¿Cuáles de los sistemas 2. 1 al 2.8 y del 2.11 al 2.21 son servomecanismos? 2.26. La glándula endocrina conocida como corteza adrenal se localiza encima de cada riñón (en dos partes). Ella segrega varias hormonas, una de las cuales es la cortisona, la cual juega un papel importante en la regulación del metabolismo de los carbohidratos, las proteínas'y las grasas, espe- cialmente en momentos de tensión. La producción de cortisona está controlada por la hormona adrcnocorticotrópica (HACT) de la glándula pituitaria anterior. Cantidades altas de cortisona en la sangre inhiben la producción de HACT. Dibuje un diagrama de bloque de este sistema de control con retroalimentación simplificado. 2.27. Dibuje un diagrama de bloque para cada uno de los siguientes elementos, primero con un voltaje v de entrada y una corriente i de salida, y luego a la inversa: a) resistor R, h) capacitor C, y e) inductor L. 2.28. Dibuje un diagrnma de bloque · para cada uno de los siguientes sistemas mecánicos, en donde la fuerza es la entrada, y la posición es la salida: a) un amortiguador, h) un resorte, c) una masa, y d) una masa, un resorte y un amortiguador conectados en serie y asegurados en un extremo (la posi- ción de la masa es la salida).
- 54. TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 2.29. Dibuje un diagrama de bloque para una red R-L-C, a) en paralelo y b) en serie. 2.30. ¿Cuáles de los sistemas descritos en los problemas de este capítulo son reguladores? 43 2.31. ¿Qué tipo de sistema de datos muestreados, de los descritos en este capítulo, podría utilizarse para implementar un dispositivo o algoritmo para aproximar la integral de una función continua u(t), utilizando la bien conocida regla rectangular o técnica de integración rectangular? 2.32. Dibuje un diagrama de bloque simple de un sistema controlado por computador, en el cual se utilice un computador digital para contwlar una planta o un proceso analógico, con el punto de suma y la entrada de referencia implementadas en los programas de aplicación del computador. 2.33. ¿Qué tipo de controlador es la válvula de tapón del sistema de la cisterna, descrito en el problema 2.7? 2.34. ¿Qué tipos de controladores se encuentran incluidos en: a) cada uno de los servomecanismos de los problemas 2.9 y 2.10, y b) el regulador de tráfico del problema 2.12? Respuestas a los problemas suplementarios 2.19. El circuito equivalente para el seguidor de emisor tiene la misma forma que la red divisora de voltaje del problema 1. 11. En consecuencia, la ecuación en malla abierta para la salida es µ.RK ( µ.RK ) V-=--- V - = salida; r + R ( entrada vsalida) + (l + ) R ventrada p K rp /J,K y el diagrama de bloque en malla abierta se muestra en la figura 2-51 . V entrada Vsalida Figura 2-51 La ecuación de salida en malla cerrada es simplemente
- 55. 44 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAL1MENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL y el diagrama de bloque en malla c~rrada se muestra en la figura 2-52. 2.20. 2.21. 2.22. r + dirección en la que se desea caminar + posición del objeto temperatura de referencia del horno b Figura 2-52 elemento de control planta elemento de control planta I elementos de control-/ V salida planta dirección real en que se camina posición de la mano ·temperatura del horno
- 56. TERMlNOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 45 2.23. Cuando e> O(r > b), el interruptor enciende el calentador. Cuando e :5 O, el calentador se apaga. color del tostado deseado 1 elementos de control! planta color del tostado 2.24. a) La entrada en un acelerómetro es la aceleración. La salida es el desplazamiento de una masa, un voltaje u otra cantidad proporcional a la aceleración. b) Véase el problema 1.2. e) La entrada en un termistor es la temperatura. La salida es una cantidad eléctrica medida en ohmios, voltios o amperios. d) La entrada en un termopar es una diferencia de temperatura. La salida es un voltaje. 2.25. Los siguientes problemas describen servomecanismos: los ejemplos 1.3 y 1.5 en el problema 2.6, y los problemás 2.7, 2.8, 2. 17 y 2.21. 2.26. + nivel normal de cortisol nivel de cortisol en la sangre 2.30. Los sistemas de los ejemplos 1.2 y 1.4 en el problema 2.6, y los sistemas de los problemas 2.7, 2.8, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.22, 2.23 y 2.26 son reguladores 2.31. El dispositivo de muestreo y sostenimiento de orden cero, del ejemplo 2.9, ejecuta parte del proce- so necesario para la integración rectangular. Para este sencillísimo algoritmo de integración numé- rica, el "área bajo la curva" (esto es, la integral) se aproxima por los pequeños rectángulos de altura u(tk) y ancho tk+ 1 - tk. Este resultado podría obtenerse multiplicando la salida del dispositivo de sostenimiento u*(t) por el ancho del intervalo tk+ 1 - tk, cuando u*(t) está en el intervalo entre tk y tk + 1• La suma de estos productos es el resultado deseado.
- 57. 46 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 2.32. 2.33. Si la válvula tapón es sencilla, del tipo de las que sólo pueden estar o totalmente cerradas o total- mente abiertas, es un controlador de encendido-apagado (on-off). Pero si es del tipo de las que se cierran gradualmente a medida que el tanque se llena, es un controlador proporcional.
- 58. Capítulo 3 Ecuaciones diferenciales, ecuaciones de diferencia y sistemas lineales 3.1 Ecuaciones de un sistema Una propiedad común a todas las leyes básicas de la física es que ciertas cantidades fundamen- tales pueden definirse mediante valores numéricos. Las leyes físicas definen relaciones entre estas cantidades fundamentales y usualmente se representan por ecuaciones. EJEMPLO 3.1. La versión escalar de la segunda ley de Newton establece que, si una fuerza de magnitud! se aplica a una masa de M unidades, la aceleración a de la masa está relacionada confpor la ecuación!= Ma. EJEMPLO 3.2. La ley de Ohm establece que si se aplica un voltaje de magnitud va través de una resisten- cia de R unidades, la corriente i que fluye por la resistencia está relacionada con v por la ecuación v = Ri. Muchas leyes que no son físicas también pueden representarse por ecuaciones. EJEMPLO 3.3. La ley del interés compuesto establece que si se deposita una cantidad P(O) durant~ n periodos iguales de tiempo a una tasa de interés/ pafa cada periodo de tiempo, la cantidad crecerá a un valor de P(n) = P(O) (1 + It. 3.2 Ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencia Las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de diferencia son de amplia aplicación en la descripción de sistemas. Definición 3.1: Una ecuación diferencial es cualquier igualdad algebraica o trascendental que involucra diferenciales o derivadas. Las ecuaciones diferenciales son útiles para relacionar razones de cambio de variables y de otros parámetros. EJEMPLO 3.4. De otra manera, la segunda ley de Newton (ejemplo 3.1) puede escribirse como una relación entre la fuerzaf, la masa M y la razón de cambio de la velocidad v de la masa con respecto al tiempo t, esto es, f = M(dv!dt). EJEMPLO 3.5. De otro modo la ley de Ohm (ejemplo 3.2) puede escribirse como la relación entre el voltaje v, la resistencia R, y la razón temporal de paso de carga q a través de la resistencia, esto es, v = R(dqldt). EJEMPLO 3.6. La ecuación de difusión en una dimensión describe la relación entre la razón de cambio temporal de la cantidad Ten un objeto (por ejemplo, concentración de calor en una barra de hierro) y la 47
- 59. 48 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL razón de cambio posicional de T: ul'/ax = k(ul'!at), en donde k es una constante de proporcionalidad, x es una variable de posición y t es el tiempo. Definición 3.2: Una ecuación de diferencia es una igualdad algebraica o trascendental que involucra más de un valor de la(s) variable(s) dependiente(s) correspondien- te, por lo menos, a más de un valor de una de la(s) variable(s) independien- te(s). Las variables dependientes no involucran diferenciales ni derivadas. Las ecuaciones de diferencia son útiles para relacionar la evolución de las variables (o de los parái:netros) de un instante discreto de tiempo (u otra variable independiente) a otro. EJEMPLO 3.7. De otro modo, la ley de interés compuesto, del ejemplo 3.3, puede escribirse como la relación entre P(k), la cantidad de dinero después de k periodos de tiempo, y P(k + 1), la cantidad de dinero después de k + 1 periodos de tiempo, en una ecuación de diferencia, esto es, P(k + 1) = (l + l)P(k). 3.3 Ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias Definición 3.3: Definición 3.4: Una ecuación diferencial parcial es una igualdad que involucra una o más variables dependientes y dos o más variables independientes, junto con las derivadas parciales de la(s) variable(s) dependiente(s) con respecto a las va- riables independientes. Una ecuación diferencial ordinaria (total) es una igualdad que involucra una o más variables dependientes, una variable independiente y una o más derivadas de la(s) variable(s) dependiente(s) con respecto a la variable inde- pendiente. EJEMPLO 3.8. La ecuación de difusión aTJax = k(aT!at) es una ecuación diferencial parcial T == T(x, t) es la variable dependiente que representa la concentración de alguna cantidad en alguna posición y en algún momento en el objeto. La variable independiente x define la posición en el objeto, y la variable indepen- diente t define el tiempo. EJEMPLO 3.9. La segunda ley de Newton (ejemplo 3.4) es una ecuación diferencial ordinaria:f = M(duldt). La velocidad v = v(t y la fuerza!= f(t) son las variables dependientes, y el tiempo tes la variable indepen- diente. EJEMPLO 3.10. La ley de Ohm (ejemplo 3.5) es una ecuación diferencial ordinaria: v = R(dqldt). La carga q = q(t) y el voltaje v = v(t) son las variables dependientes, y el tiempo tes la variable independiente. EJEMPLO 3.11. Una ecuación diferencial de la forma: d"y dn-ly dy a -+a --+ ··· +a1-+a0 y=u(t) n dt" n-1 dtn-1 dt
- 60. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 49 o de manera más compacta, n diy(t) La;-;-= u(t) i=O dt (J.J) en donde a0 , a1, ... , an son constantes, es una ecuación diferencial ordinaria. y(t) y u(t) son variables dependientes, y t es la variable independiente. 3.4 Variabilidad e invarianza en el tiempo En lo que resta de este capítulo, la única variable independiente es el tiempo, a no ser que se especifique otra cosa. Esta variable normalmente se designa como t, excepto en las ecuaciones de diferencia en donde a menudo se usa la variable discreta k como abreviatura para el instante de tiempo tk (véase el ejemplo 1.11 y la sección 2.5); esto es, se utiliza y(k) en lugar de y(tk), etc. Un término de una ecuación diferencial o de una ecuación de difereneia consiste de productos y/o cocientes de funciones explícitas de la variable independiente, las variables dependientes y, para las ecuaciones diferenciales, las derivadas de las variables dependientes. En las definiciones de esta sección y de la siguiente, el término ecuación se refiere a una ecuación diferencial o a una ecuación de diferencia. Definición 3.5: Definición 3.6: Una ecuación variable en el tiempo es aquella en la cual uno o más térmi- nos dependen explícitamente de la variable independiente tiempo. Una ecuación invariable en el tiempo es aquella en la cual ninguno de los términos depende explícitamente de la variable independiente tiempo. EJEMPLO 3.12. La ecuación de diferencia ky(k + 2) + y(k) = u(k), en la cual u e y son las variables dependientes, es variable en el tiempo porque el término ky(k + 2) depende explícitamente del coeficiente k que representa el tiempo tk. EJEMPLO 3.13. Cualquier ecuación diferencia de la forma: (3.2) en donde los coeficientes a0 , ai, ... , an, b0 , bb1, ... , bm son constantes, es invariable en el tiempo. La ecuación depende implícitamente de t a través de las variables dependientes u e y, y de sus derivadas. 3.5 Ecuaciones diferenciales y de diferencia lineales y no lineales Definición 3. 7: Definición 3.8: Un término lineal es aquel de primer grado en la(s) variable(s) dependien- te(s) y en sus derivadas. Una ecuación lineal es aquella que consiste en una suma de términos linea- les. Todas las demás son ecuaciones no lineales.
- 61. 50 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Si algún término de una ecuación diferencial contiene potencias superiores, productos o fun- ciones trascendentales de las variables dependientes, esta ecuación es no lineal. Entre tales térmi- nos se encuentran (dyldt)3 , u(dy!dt) y sen u, respectivamente. Por ejemplo (5/cos t) (d2y!dt2), es un término de primer grado en la variable dependiente y, y 2uy3(dyldt) es un término de quinto grado en las variables u e y. EJEMPLO 3.14. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (dy!dt)2 + y = Oy d2 y!dt2 + cos y = Oson no lineales porque en la primera ecuación (dy!dt)2 es de segundo grado, y cos y en la segunda ecuación no es de primer grado, lo cual es cierto para todas las funciones trascendentales. EJEMPLO 3.15. La ecuación de diferencia y(k + 2) + u(k + 1) y(k + 1) +y(k) = u(k), en la cual u e y son las variables dependientes, es no lineal porque u(k + 1) y(k + 1) es de segundo grado en u e y. Algunas veces, este tipo de ecuación no lineal se llama bilineal en u e y. EJEMPLO 3.16. Cualquier ecuación de diferencia n n [a;(k}y(k+i}= [b¡(k}u(k+i} ( 3.3) i=O i=O en la que los coeficientes a;(k) y b;(k) dependen solamente de la variable independiente k, es lineal. EJEMPLO 3.17 Cualquier ecuación diferencial ordinaria ( 3.4) en donde los coeficientes a;(t) y b;(t) dependen únicamente de la variable independiente t, es lineal. 3.6 El operador diferencial D y la ecuación característica Considere la ecuación diferencial lineal de n-simo orden con coeficientes constantes dy +a1- + ªoY = u dt Es conveniente definir el operador diferencial d D=- dt y de manera más general un operador diferencial de n-simo orden ( 3.5)
- 62. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 51 La ecuación diferencial puede escribirse ahora como Dny + ªn-1Dn-1y + ... +a1DY + ªoY = u o (Dn+ªn-IDn-I+ ... +a1D+ao)y=u Definición 3.9: El polinomio en D: (3.6) se llama polinomio característico. Definición 3.10: La ecuación (3.7) se llama ecuación característica. El teorema fundamental del álgebra establece que la ecuación característica tiene exactamente n solucionesD = D1, D =.D2, ••. , D = Dn· Estas n soluciones (también llamadas raíces) no necesaria- mente son diferentes. EJEMPLO 3.18. Considere la ecuación diferencial d2y dy dt2 +3 dt +2y=u El polinomio característico es DL + 3D + 2. La e¿uación característica es D2 + 3D + 2 = O, la cual tiene dos raíces distintas D = - 1 y D = -2. 3.7 Independencia lineal y conjuntos fundamentales Definición 3.11: Un conjunto de n funciones de tiempo f 1(t), fz(t), ... ,fn(t) es linealmente independiente, si el único conjunto de constantes c1, c2 , ••• , en para las cua- les para cualquier t, son las constantes c1 = c2 = ··· = en O. EJEMPLO 3.19. Las funciones t y t2 son linealmente independientes, puesto que implica que c1/c2 - t. No hay constantes que satisfagan esta relación.
- 63. 52 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Una ecuación diferencial lineal homogénea de n-simo orden de la forma: tiene por lo menos un conjunto de n soluciones linealmente independientes. Definición 3.12: En una ecuación diferencial lineal homogénea de n-simo orden, cualquier conjunto den soluciones linealmente independientes se llama conjunto fun- damental. No hay un conjunto fundamental único. Por medio de la siguiente técnica, pueden generarse otros conjuntos fundamentales a partir de un conjunto fundamental dado. Suponga que y 1(t), y2(t), ... , Yn(t) es un conjunto fundamental de una ecuación diferc::ncial lineal de n-simo orden. Entonces, se puede formar un conjunto de n funciones z1(t), z2(t), ... , Zn(t) n n n Z¡{t) = L ll¡;Y;(t)., Z2(t) = L ll2;Y;(t), ... , zn(t) = L an;Y;(t) (3.8) i=l i=l i=l en donde las a1;son un conjunto de n2 constantes. Cada z;(t) es una solución de la ecuación diferen- cial. Este conjunto de n soluciones es un conjunto fundamental, si el determinante EJEMPLO 3.20. La ecuación del movimiento armónico simple, d2 y!dt2 + w2 y = O, tiene un conjunto fundamental y 1 = sen wt Yz cos úJ( Un segundo conjunto fundamental es* z1 = cos wt + j senwt = eÍ"'' z2 = cos wt - jsenwt = e-Jwt Raíces diferentes n Si la ecuación característica [a;D;=O i=O tiene las raíces D1, D2 , ••• , Dn diferentes, entonces, un conjunto fundamental para la ecuación homogénea * La función exponencial compleja e"", en donde w = u + jv con u y v reales y j = Ff, se define en la teoría de las variables complejas como ew "" e"(cos v + j sen v). Por tanto e± 1"'' = cos wt ± j sen wt.
- 64. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES n diy _Ea¡ dti =o 1=0 es el conjunto de funciones y¡= eDi1 , y2 = eD21 , ••• , Yn = eD•'. EJEMPLO 3.21. La ecuación diferencial d2y dy -+3-+2y=O dt2 dt 53 tienelaecuacióncaracterísticaD2 + 3D + 2 = Ocuyas raícessonD = D 1 = -1 y D = D2 = -2. Un conjunto fundamental para esta ecuación es y1 = e-, y y2 = e- 21 • Raíces repetidas Si la ecuación característica tiene raíces repetidas, entonces para cada raíz D; de multiplicidad n; (es decir, n; raíces iguales a D;), hay n; elementos del conjunto fundamental eD;t, teD;t, ... , tn;-leD;t. EJEMPLO 3.22. La ecuación d2y dy -+2- +y=O dt2 dt con ecuación característica D2 + W + 1 = O, tiene la raíz repetida D = - 1, y un conjunto fundamental que consiste de e-, y te-'. 3.8 Solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes Considere la clase de ecuaciones diferenciales de la forma: (3.9) en donde los coeficientes a; y b; son constantes, u = u(t) (la entrada) es una función de tiempo conocida y y =y(t) (la salida) es la solución desconocida de la ecuación. Si estaecuación describe un sistema físico, generalmente m ::; n, y n se llama el orden de la ecuación diferencial. Para especificar de manera completa el problema de tal modo que pueda obtenerse una solución única y(t), deben darse dos especificaciones adicionales: l) el intervalo de tiempo en el cual se desea la solución, y 2) un conjunto den condiciones iniciales para y(t) y sus primeras n - l derivadas. El intervalo de tiempo para la clase de problemas considerados se define por O :::; t < + 00 y lo usaremos en lo que resta del libro, a menos que se especifique otra cosa. El conjunto de condicio- nes iniciales es
- 65. 54 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL dy I dn-ly 1 y(O), dt ,... , dtn-i t=O t=O (3.10) Un problema definido en este intervalo y con estas condiciones iniciales se denomina problema del valor inicial. La solución de una ecuación diferencial de esta clase puede dividirse en dos partes, una res- puesta libre y una respuestaforzada. La suma de las dos constituye la respuesta total, o solución y(t) de. la ecuación. 3.9 La respuesta libre La respuesta libre de una ecuación diferencial es la solución de ésta cuando la entrada u(t) es idéntica a cero. Si la entrada u(t) es idéntica a cero, entonces la ecuación diferencial tiene la forma: (3.11) La solución y(t) de una ecuación tal, depende únicamente de las n condiciones iniciales de la ecuación (3. IO). EJEMPLO 3.23. La solución de la ecuación diferencial homogénea de primer orden dy!dt + y = Ocon la condicióny(O) =c, es y(t) = ce-'. Esta puede verificarse por sustitución directa. ce-, es la respuesta libre de cualquier ecuación diferencial de la forma dy!dt + y = u con la condición inicial y(O) = c. La respuesta libre de una ecuación diferencial siempre puede escribirse como una combina- ción lineal de los elementos de un conjunto fundamental. Esto es, si y 1(t), y2(t), ... , YnU) es un conjunto fundamental, entonces cualquier respuesta libre ya(t) de la ecuación diferencial puede representarse como n Ya(t)= LC;Y;(t) (3.12) i=l en donde las constantes c; se definen en términos de las condiciones iniciales dy I dn-ly 1 y(O), dt ,... , dtn-i t=O 1-0 a partir del conjunto de n ecuaciones algebraicas n dy 1 y(O) = L c,y,(0), dt 1=1 t=O n dy, 1 dn-ly' _LC'dt ,... , dtn-1 1=1 t=O t=O {3.13)
- 66. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 55 La independencia lineal de y;(t) garantiza que para c1, c2 , ..• , cn puede obtenerse una solución de estas ecuaciones. EJEMPLO 3.24.. La respuesta libre Ya(t) de la ecuación diferencial d2 y dy -+3-+2y=u dt2 dt con las condiciones iniciales y(O) = O, (dy!dt)I, = 0 = 1, se determina haciendo en donde c1 y c2 son coeficientes desconocidos, y e - 'y e- 2 rson un conjunto fundamental para la ecuación (ejemplo 3.21). Puesto que ya(t) debe satisfacer las condiciones iniciales, es decir. yu(O) =y(O) = Ü = C¡ + C2 dya{t)I =dyl =1=-c1 -2c2 dt 1 _ 0 dt t=O entonces c1 - . Entonces, la respuesta libre está dada por Ya<t) 3.10 La respuesta forzada La respuesta forzada Yb(t) de una ecuación diferencial es la solución de ésta cuando todas las condiciones iniciales dy I dn-ly 1 y(O), dt , ... , dtn-i t=O t=O son idénticas a cero. Esta definición implica que la respuesta forzada depende solamente de la entrada u(t). La respuesta forzada de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede escribirse en términos de una integral de convolución (véase el ejemplo 3.38): (3.14) en donde w(t - T) es la.función de ponderación (o núcleo [kernel]) de la ecuación diferencial. Esta forma de la integral de convolución supone que la función de ponderación describe un siste- ma causal (véase la definición 3.22). Esta suposición se mantiene a continuación. La función de ponderación de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes cons- tantes puede escribirse como n w(t)= LC;Y;(t) t~O i-1 =O t < o (3.15)
- 67. 56 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION y· SISTEMAS DE CONTROL en donde c1, ••• , cn son constantes, y el conjunto de funciones y1(t), yi(t), ... , yn(t) es un conjunto fundamental de la ecuación diferencial. Debería notarse que w(t) es una respuesta libre de la ecuación diferencial y, en consecuencia, requíere n condiciones iniciales para su especificación completa. Estas condiciones fijan los valores de las constantes c1, c2 , ••• , cn. Las condiciones iniciales que deben satisfacer todas las funciones de ponderación de las ecuaciones diferenciales lineales son: dw l dn-2w I dn-lw 1 w(0)-0, d =0, ... , dtn-2 =O, dtn-1 -1 t t=O t=O t-0 EJEMPLO 3.25. La función de ponderación de la ecuación diferencial d2y dy -+3-+2y=u dt2 dt es una combinación lineal de e-1 y e- 21 (un conjunto fundamental de la ecuación). Esto es, c1 y c2 se determinan a partir de las dos ecuaciones algebraicas w(O) =O= c1 + c2 dw 1 = 1 = - C¡ - 2c2 dt ,-o La solución es c1 = 1, c2 = - 1, y la función de ponderación es w(t) = e-1 - e-21 • (3.16) EJEMPLO 3.26. Para la ecuación diferencial del ejemplo 3.25, si u(t) = 1, entonces la respuesta forzada yit) de la ecuación es 3.11 La respuesta total La respuesta total de una ecuación diferencial lineal con coeficientes'constantes es la suma de la respuesta libre y la respuesta forzada. EJEMPLO 3.27. La respuesta total y(t) de la ecuación diferencial d2y dy -+3-+2y=l dt2 dt
- 68. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 57 con las condiciones iniciales y(O) = Oy (dyldt)l,=o = 1es la suma de la respuesta libre ya(t), determinada en el ejemplo 3.24, y la respuesta forzada Yb(t), determinada en el ejemplo ~.26. Así 3.12 Las respuestas transitoria y en estado estacionario La respuesta en estado estacionario y la respuesta transitoria son otro par de cantidades cuya suma es igual a la respuesta total. Estos términos se utilizan a menudo para especificar el desem- peño de sistemas de control, y se definen como sigue. Deñnici6n 3.13: La respuesta en estado estacionario es la parte de la respuesta total que no se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Deñnici6n 3.14: La respuesta transitoria es la parte de la respuesta total que se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. EJEMPLO 3.28. La respuesta total de la ecuación diferencial del ejemplo 3.27 se determinó como y= ½- ½e-' . Claramente se ve que la respuesta del estado estacionario está dada por Yee = ½.Puesto que lim, .... 00 (-½e-1 ) = O, la respuesta transiente es YT = -½e-'. 3.13 Funciones de singularidad: pasos, rampas e impulsos En el estudio de los sistemas de control y de las ecuaciones que los describen, se usa extensa- mente una familia particular de funciones llamadasfunciones de singularidad. Cada miembro de esta familia se relaciona con los demás por una o más integrales o derivadas. Las tres funciones de singularidad de más amplio uso son el paso unitario, el impulso unitario y la rampa unitaria. Deñnici6n 3.15: Una función paso unitario l(t - t0) se define mediante l(f-f0 )={~ para t > fo para t :s; fo (3.17) En la figura 3-1 se ilustra esta función paso unitario. paso unitario 1.-------- t =t0 t=O Figura 3-1 t rampa unitaria .!.. At t=O Figura 3-2 l(t) - l{t - 4t) 41 At t Figura 3-3
- 69. 58 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL Deñnición 3.16: Una función rampa unitaria es la integral de una función paso unitario J I {{-{ - oo }( T - to) dT = Ü O para t > t0 para t.$ t0 En la figura 3-2 se ilustra la función rampa unitaria. Deñnición 3.17: Una función impulso unitario o(f) puede definirse mediante ( . [l(t)-l(t-M)] 8t)=lim d lit-+O t lit>O en donde l(t) es la función paso unitario. (3.18) (3.19)* El par { !~:g} puede abreviarse por 6.t--+O + que quiere decir que 6.t se aproxima a ceropor la derecha. El cociente entre corchetes representa un rectángulo de altura 1/A.f y de ancho 6.t, como se muestra en la figura 3-3. El proceso de límite produce una función cuya altura se aproxima a infinito y el ancho se aproxima a cero. El área bajo la curva es igual a 1para todos los valores de 6.t. Esto es, / 00 8{t) dt = l -oo La función impulso unitario tiene la siguiente propiedad muy importante: Propiedad de muestreo: La integral del producto de una función impulso unitario o(f - to) Y una funciónfit), continuas en t = fo y sobre un intervalo que incluya a t0 , es igual a la función fit) evaluada en fo, es decir, (3,20) Deñnición 3.18: La respuesta impulso unitario de un sistema es la saliday(t) de éste cuando la entrada u(t) = o(f) y todas sus condiciones iniciales son cero. EJEMPLO 3.29. Si la relación entrada-salida de un sistema lineal está dada por la integral de convolución * En un sentido formal, la ecuación (3 .19) define la derivada por un lado de la función paso unitario. Pero en el sentido matemático ordinario no existen ni el límite ni la derivada. Sin embargo, para los propósitos de este libro y muchos otros, la definición 3. 17 es satisfactoria.
- 70. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES y( t) = fw( t - 'T) u( 'T) dT o entonces, la respuesta impulso unitario y8(t) del sistema es y8 (t) = {w(t- T) 6( T) dT = J_:w(t- T) 6( T) dT= w(t) 59 ( 3.21) ya que w(t - r) = O para T > t, B(r) = O para T < O, y se ha utilizado la propiedad de muestreo del impulso unitario para evaluar la integral. Definición 3.19: La respuesta paso unitario es la salida y(t) cuando la entrada u(t) = l(t) y todas las condiciones iniciales son cero. Definición 3.20: La respuesta rampa unitaria es la saliday(t) cuando la entrada u(t) = t para t > O, u(t) = O para t :s O, y todas las condiciones iniciales son cero. 3.14 Sistemas de segundo orden En el estudio de los sistemas de control son importantes las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes, de la forma: (3.22) puesto que a menudo los sistemas de orden superior pueden aproximarse a sistemas de segundo orden. La constante ( se llama razón de amortiguación, y la constante Wn se llama frecuencia natural no amortiguada del sistema. De particular interés resulta la respuesta forzada de esta ecuación para entradas u pertenecientes a la clase de funciones de singularidad. Esto es, la res- puesta forzada a un impulso unitario, un paso unitario o una rampa unitaria, es lo mismo que la respuesta impulso unitario, la respuesta paso unitario o la respuesta rampa unitaria de un sistema representado por esta ecuación. Suponiendo que O :s ? :s 1, la ecuación característica de la ecuación (3 .22) es De aquí que las raíces sean D1 = -twn+Jw)l-t2 = -a+jwd en donde a = ?wn se llama el coeficiente de amortiguación, y (J)d = (J)ni1 - (2 se llama frecuencia natural amortiguada. a es el inverso de la constante de tiempo T del sistema, esto es T = 1/a. La función de ponderación de la ecuación (3 .22) es w(t) = (1/wd)e- at sen wdt. La respuesta paso unitario está dada-por
- 71. 60 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL (3.23) La figura 3-4 es una representación paramétrica de la respuesta paso unitario. Note que la abscisa de esta familia de curvas es el tiempo normalizado wnt y el parámetro que define cada curva es la razón de amortiguación (. 3.15 Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales En algunos problemas de retroalimentación y control es más conveniente describir un sistema mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, en lugar de hacerlo por una o más ecuaciones diferenciales de n-simo orden. Una razón para ello es que pueden aplicarse más fácilmente resultados bastante generales y más poderosos a partir del álgebra vectorial y matricial 'para obtener las soluciones a las ecuaciones diferenciales. EJEMPLO 3.30. Considere la forma diferencial de la segunda ley de Newton, f = M(d2 x!di2). De los significados de velocidad v y aceleración a, resulta claro que esta ecuación de segundo orden puede rempla- zarse por dos ecuaciones de primer orden, v = dx!dt y f = M(dvldt). Hay numerosas maneras de transformar ecuaciones diferenciales de n-simo orden en n ecua- ciones de primer orden. Una de éstas es bastante frecuente en la literatura, y únicamente la presen- tamos aquí a modo de ilustración. Considere la ecuación diferencial lineal con coeficientes cons- tantes de n-simo orden y una sola entrada. n diy _La; dt; =u 1=0 Esta ecuación siempre puede remplazarse por las siguientes n ecuaciones diferenciales de primer orden: dx1 --=x dt 2 dx2 --=x dt 3 dxn-1 ---=x dt n dx I ¡n-1 l 1 d n = - - L O¡X¡+¡ + -u t an i=O an (3.24a)
- 72. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 61 1.0 0.9 Y¡ 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 2 3 4 5 6 7 8 l) 10 11 12 Tiempo normalizado Figura 3-4
- 73. 62 TEORIA Y PROBLE~AS DE RETROALIMENTACION· Y SISTEMAS DE CONTROL en donde hemos escogido x1 =y.Utilizando la notación de vectores y matrices, este conjunto de ecuaciones puede escribirse como dx1 o - o 1 o o X¡ dt o dx2 o o 1 o - Xz (3.24b) dt + u o dxn ªº ª1 a2 ªn-1 1 --- xn dt an an an an an o de manera más compacta como dx (3.24c) - =Ax+bu dt En la ecuación (3.24c) x =x(t) se denomina vector de estado, con n funciones de tiempo x1(t), x2(t), ... , xn(t como elementos, llamados variables de estado del sistema. La entrada escalar del sistema es u(t). De una manera más general, los sistemas multientrada-multisalida (MEMS) descritos por una o más ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, pueden representarse me- diante una ecuación diferencial de vectores y matrices de la forma: dx1 dt dx2 dt dxn dt ªni an2 X¡ X2 + o de forma más compacta como dx - =Ax+Bu dt U¡ Uz (3.25a) (3.25b) En la ecuación (3.25b) x se define como en la ecuación (3.24c), A es la matriz n X n de constantes aiJ, yBes la matriz n X r de constantes biJ, cada una dada en la ecuación (3 .25a), yu es un vector r de funciones de entrada.
- 74. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES La matriz de transición La ecuacion matricial d<P -=A<P dt 63 en donde <I> es una matriz n x n de funciones de tiempo, llamada matriz de transición de la ecuación diferencial (3.24c) o (3.25b), juega un papel especial en la solución de ecuaciones diferenciales de vectores y matrices como la ecuación (3 .25b). Si I es la matriz n X n identidad o unidad y <l>(O) = I es la condición inicial de esta ecuación homogénea, la matriz de transición tiene la solución especial: <l>(t) = e4'. En este caso tt4tes una función matricial n X n definida por la serie infinita: A2t2 A3t3 eA'=l+At+ -- + -- + ·.. 2! 3! <I> también tiene lapropiedad de transición, según la cual, para todo t1 , t2 y t3: <l>(t1 - t2)<l>(t2 - t3) = <l>(t¡ - t3). Para resolver la ecuación diferencial (3 .24) o la (3 .25) debe especificarse el intervalo de tiem- po de interés, por ejemplo, O::'; t < + oo, también se necesita el vector de condición inicial x(O). En este caso, la solución general de la ecuación (3 .25) es (3.26) La condición inicial x(O) se conoce, algunas veces, como el estado del sistema en el tiempo t = O. De laecuación (3 .26) vemos que el conocimiento de x(O), y de la entrada u(t) en el intervalo O::'; t < + 00 , sÓn adecuados para determinar completamente las variables de estado para cualquier tiempo t 2": O. En realidad,. el conocimiento del estado del sistema en cualquier tiempo_t', tal que O < t' < + 00 , y el conocimiento de la entrada u(t) para t' :'.'; t < + oo, son adecuados para definir completamente el vector de estado x(t) en todos los tiempos subsiguientes t ;::,,,: t'. 3.16 Solución de ecuaciones de diferencia lineales con coeficientes constantes Considere la clase de ecuaciones de diferencia n m La;y(k + i) = Lb;u(k + i) i=O i=O ( 3.27) en donde k es la variable discreta de tiempo de valor entero, los coeficientes a; y b; son constantes, a0 yan son diferentes de cero, la entrada u(k) es una secuencia de tiempo conocida, yla salida y(k) es la secuencia desconocida, solución de la ecuación. Puesto que y(k + n) es una función explícita de y(k), y(k + 1),... , y(k + n - 1), entonces el orden de la ecuación de diferencia es n. Para obtener una solución única paray(k) deben especificarse dos términos adicionales, la secuencia de
- 75. 64 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL tiempo sobre el cual sedeseauna·solución, y un conjunto den condiciones iniciales paray(k). La secuencia de tiempo para los problemas tratados en este libro es el conjunto de enteros no negati- vos, es decir, k = O,1,2,... El conjunto de condiciones iniciales es y(O), y(l), ... , y(n - 1} (3.28) Un problema que se defina sobre esta secuencia de tiempo y con estas condiciones iniciales se denomina problema del valor inicial. Considere la ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes de n-simo orden y(k+n}+an_1y(k+n-1)+ ··· +a1y(k+l}+a0 y(k}=u(k} Es conveniente definir un operador de desplazamiento Z mediante la ecuación Z(y(k)] =y(k + 1) Por aplicación repetida de esta operación, obtenemos zn(y(k}] =Z[Z[ ... Z[y(k)] ... ]) =y(k+n} De manera similar, se define un operador unitario /, mediante J[y(k)] = y(k} y Zo = l. El operador Z tiene las siguientes propiedades algebraicas importantes: l. Para e constante, ... , Z[cy(k)] = cZ[y(k)] 2. zm[y(k) + x(k)] = zm[y(k)] + zm[x(k)] Así, la ecuación de diferencia puede escribirse como zn[y(k)] +an_1zn-1 [y(k}] + ··· +a1Z[y(k)] +a0 y(k}=u(k} o (zn+an_ 1zn-1 + ··· +a1Z+a0 )[y(k)] =u(k) La ecuación (3.29} (3.30) se llama ecuación característica de la ecuación de diferencia y, p_?r el teorema fundamental del álgebra, tiene exactamente n soluciones: Z = 21, Z = 22, ... , Z = Zn. EJEMPLO 3.31. Considere la ecuación de diferencia 5 1 y(k + 2} + - y( k + 1) + - y( k) = u( k) 6 6
- 76. ECUACIONES DlrERENCIALES. ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS UNEALES 65 La ecuación característica es Z 2 + iZ + ¼= O, con dos soluciones z = - ½ y Z = - ½. Una ecuación de diferencia lineal homogénea de n-simo orden tiene por lo menos un conjunto de 11 soluciones linealmente independientes. Cualquiera de tales conjuntos se llama conjunto funda- mental. Al igual que las ecuaciones diferenciales, los conjuntos fundamentales no son únicos. Si la ecuación característica tiene Z1, Z2 , .•• , Z,, raíces distintas, un conjunto fundamental para la ecuación homogénea n Lª;Y(k+i)=O ( 3.31) i=O es el conjunto de funciones zt, z;,...,z,7. EJEMPLO 3.32. La ecuación de diferencia 5 1 y( k + 2) + 6y( k + 1) + -6y( k) = o tiene la ecuación característica Z2 + iZ + ¼= O, con raíces Z = Z1 = - ½y Z = Z2 = - ½. Un conjunto fundamental de esta ecuación es r 1(k) = (- ½l' y r,_(k) = (-½ )'. Si la ecuación característica tiene raíces repetidas, entonces existen n; elementos del conjunto fundamental Z;k· kZ;k, ... , kn,·· 2 zt, kn,- 1 zt, para cada raíz Z; de multiplicidad n;. EJEMPLO 3.33. La ecuación r(k + 2) + r(k + 1) + ¼r(k) = O con la raíz repetida Z = - ½tiene un conjunto fundamental que consiste de (- ½/ y k( - ½)'. La respuesta libre de una ecuación de diferencia de la forma de la ecuación (3 .27), es la solución cuando la secuencia de entrada es idéntica a cero. La ecuación tiene entonces la forma de la ecuación (3 .31). y su solución depende únicamente de las n condiciones iniciales (3 .28). Si v1(k), yik), ... , y,/k) es un conjunto fundamental, entonces cualquier respuesta libre de la ecua- ción de diferencia (3 .27) puede representarse como n yjk)= LC;Y;(k) i=l en donde las constantes se definen en términos de las condiciones iniciales _';(O) a partir del con- junto de las n ecuaciones algebraicas: ll y(O) = L C¡y¡(O) i=l ll y(1) = I: c¡y¡(1) i=l n y(n-1)= [c1 y1 (n-l) ( 3.32) i=l
- 77. 66 TIIDRIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La independencia lineal de y;(k) garantiza una solución para c1, c2 , ... , cn- EJEMPLO 3.34. La respuesta libre de la ecuación de diferencia y(k + 2) + ¾y(k + 1) + iy(k) = u(k) con las condiciones iniciales y(O) = O y y(I) = 1 se determina haciendo en donqe c1 y c2 son los coeficientes desconocidos, y (- ½l y (-} l son un conjunto fundamental para la ecuación (véase el ejemplo 3.32). Puesto que ya(k) debe satisfacer las condiciones iniciales, esto es, y0 (0) =y(O) =O=c1 +c2 1 1 y0 (1) =y(l) = 1 = - 2c1 - 3c2 entonces c1 = -6 y c2 = 6. La respuesta libre está dada entonces por yu(k) = -6(- ½l + 6(- ½l. La respuesta forzada Yb(k) de una ecuación de diferencia es su solución cuando todas las condiciones iniciales y(O), y(l), ... , y(n - I) son cero. Esta puede escribirse en términos de una suma de convolución: k=O,l, ... ,n (3.33) en donde w(k - j) es la secuencia de ponderación de la ecuación de diferencia. Nótese que por definición de la respuesta forzada Yb(O) = O, y w(k - j) = Opara k < j (véase la sección 3.19). Si u(j) = ó(j) = I paraj = O, y ó(j) = Oparaj = O, esta entrada especial se denomina secuencia delta de Kronecker, entonces la respuesta forzada Yb(k) = y8(k) se llama respuesta delta de Kronecker. La secuencia de ponderación de una ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes puede escribirse como (3.34) en donde y 1(k), yi(k), ... , Yn(k) es un conjunto fundamental de la ecuación de diferencia, M(l) es el determinante: Y¡(/+1) () Y¡(/+2) MI = . Y¡(/+n) Y2U+ n) Yn(/+ 1) Yn(/ + 2) Yn(/ + n)
- 78. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 67 y Mil) es el cofactor del último elemento en la j-ésima columna de M(l). EJEMPLO 3.35. Considere la ecuación de diferenciay(k + 2) +b(k + l) +} y(k) = u(k). La secuencia de ponderación está dada por y M(/) = En consecuencia ( l)k-1 ( l)k-/ w( k - l) = 12 - 2 - 18 - 3 Al igual que para los sistemas continuos, la respuesta total de una ecuación de diferencia es la suma de las respuestas libre y forzada de la ecuación. La respuesta transitoriade una ecuación de diferencia es aquella parte de la respuesta total que se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Aquella parte de la respuesta total que no se aproxima a cero se llama respuesta en estado estacionario. 3.17 Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones de diferencia lineales Como sucede con las ecuaciones diferenciales de la sección 3. 15, a menudo es útil describir un sistema por medio de un conjunto de ecuaciones de diferencia de primer orden, en lugar de hacerlo por una o más ecuaciones de diferencia de n-simo orden. EJEMPLO 3.36. La ecuación de diferencia de segundo orden 5 1 y(k+2) + -y(k+l) +-y(k) =u(k) 6 6 puede escribirse como dos ecuaciones de primer orden X¡ ( k + l) = X2 ( k) 5 1 xi( k + l) = - 6x2 ( k) - 6x1( k) + u( k) en donde hemos elegido x1(k) = y(k).
- 79. 68 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL Considere la ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes de n-simo orden con una sola entrada. n L a;y(k + i) = u(k) i=O Esta ecuación siempre puede remplazarse por las siguientes n ecuaciones de diferencia de primer orden: x1(k+l)=xz{k) x 2 (k+l)=x3(k) (3.35a) en donde hemos escogido x 1(k) =y(k). Utilizando la notación de vectores y matrices, este conjun- to de ecuaciones puede escribirse como la ecuación de diferencia de vectores y matrices [ x1(k+l)l xz(k + 1) xn(k + 1) O 1 o o o 1 o de manera más .compacta, como x( k + l) = Ax( k) + bu o o u (3.35b) (3.35c) En estas ecuaciones x(k) es un elemento vector n de una secuencia de tiempo llamada vector de estado, conformado por los elementos escalares x 1(k), x2(k), ... , xn(k) llamados variables de esta- do del sistema en el tiempo k. En general, los sistemas multientrada-multisalida (MEMS) descritos por una o más ecuacio- nes de diferencia lineales con coeficientes constantes pueden presentarse por x( k + l) = Ax( k) + Bu( k) (3.36) en donde x(k) es el vector de estado del sistema; como antes, A es una matriz n X n de constantes a;1, yBes una matrizn x rdeconstantes b;1, cada una definida como en la ecuación (3.25a), yu(k) es un elemento vector r de una secuencia de entrada (múltiple). Dados una secuencia de tiempo de interés, k = O, 1,2,... , y un vector x(O) de condición inicial, la solución de la ecuación (3 .36) puede escribirse como k-1 x(k) =Akx(O) + L Ak-I-iBu(J) }=O (3.37)
- 80. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 69 Nótese que la ecuación (3 .37) tiene una forma similar a la (3 .26). Sin embargo, en general, no se necesita que Ak tenga las propiedades de una matriz de transición de una ecuación diferencial. Pero hay un caso muy importante cuando Ak tiene tales propiedades, es decir, en donde Ak es una matriz de transición. Este caso proporciona la base de la discretización de las ecuaciones diferen° ciales, como se ilustra a continuación. Discretización de ecuaciones diferenciales Considere un sistema diferencial descrito por la ecuación (3 .26). Suponga que sólo es necesa- rio tener conocimiento de las variables de estado en instantes periódicos de tiempo t = O, T, 2T, ... , kT, ... En este caso, puede escribirse la siguiente secuencia de vectores de estado como f kT x(kT) = eATx((k - l)T) + eA<k-l)T eA<T-T)Bu( T) dT (k-l)T Si suprimimos el parámetro T, utilizamos la abreviatura x(k) = x(kD y definimos una nueva secuencia de entrada mediante u'(k) = eAkTfk+l)TeA<T-T)Bu( T) dT kT entonces el conjunto anterior de ecuaciones de solución puede remplazarse por la ecuación de diferencia de matrices y vectores x(k + l) = eATx(k) + u'(k) ( 3.38) Nótese que A' = ¿r es una matriz de transición en la ecuación (3 .38). 3.18 Linealidad y superposición En la definición 3.8 se presentó el concepto de linealidad como una propiedad de las ecuacio- nes diferenciales y de diferencia. En esta sección, la linealidad se plantea como una propiedad de los sistemas generales, con una variable independiente, el tiempo t. En los Capítulos 1 y 2 se definieron los conceptos de sistema, entrada y salida. La siguiente definición de linealidad se basa en estas definiciones. Definición 3.21: Si todas las condiciones iniciales en un sistema son cero, esto es, si el siste- ma está completamente en reposo, entonces el sistema es lineal si tiene la siguiente propiedad:
- 81. 70 a) b) c) TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Si una entrada u1(t) produce una salida y 1(t) y una entrada uz(t) produce una salida yz(t), entonces c1u1(t) + c2u2(t) produce una salida c1y1(t) + C2Y2(t) para todos los pares de entradas u1(t) y u2(t) y para todos los pares de cons- tantes c 1 y c2. A menudo los sistemas lineales pueden representarse mediante ecuaciones lineales diferencia-. les o de diferencia. EJEMPLO 3.37. Un sistema es lineal si su relación de entrada-salida puede describirse mediante la ecua- ción diferencial lineal n diy m diu I: a;(t)-¡ = I: b;(t)-¡ i=O dt i=O dt en donde y = y(t) es la salida del sistema, y u = u(t) es la entrada del mismo. ( 3.39) EJEMPLO 3.38. Un sistema es lineal si la relación de entrada-salida puede describirse mediante la inte- gral de convolución y( t) = jr:x:, w( t, 'T) u( 'T) d'T -ex, ( 3.40) en donde w(t, T) es la función de ponderación, que incorpora las propiedades físicas internas del sistema, y(t) es la salida, y u(t) es la entrada. En la sección 3.10 se analizó la relación entre los sistemas de los ejemplos 3.37 y 3.38. A menudo el concepto de linealidad se expresa por el principio de superposición. Principio de superposición: La respuestay(t) de un sistema lineal, debida a varias entradas u1(t), uz(t), ... , un(t) que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas a cada entrada actuando solas, cuando todas las condiciones iniciales en el sistema son cero. Esto es, si y,{t) es la respuesta debida a la entrada u;(t), entonces n y(t) = LY;(t) i=l EJEMPLO 3.39. Un sistema lineal se describe por la ecuación algebraica lineal y( () = 2U¡ ( () + Uz ( () en donde u1 (t) = ty uz(t) = t2 son las entradas, y y(t) es la salida. Cuando u1(t) = ty uz(t) = O, entoncesy(t) = Y1(t) = 2t. Cuandou1(t) = Oyuz(t) = t2,entoncesy(t) = y2(t) = t2. Lasalidatotalresultantedeu1 (t) = tyu2(t) = t2 es entonces igual a y( t) = Yi( t) +yi( t) = 2t + t2
- 82. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENC!A Y SISTEMAS LINEALES 71 El principio de superpcsición se deriva directamente de la definición de linealidad (definición 3.21). Cualquier sistema que satisfaga el principio de superposición es lineal. 3.19 Causalidad y sistemas realizables físicamente Las propiedades de un sistema físico restringen la forma de su salida. Esta restricción se encuentra incorporada en el concepto de causalidad. Definición 3.22: Un sistema en el cual el tiempo es la variable independiente se llama causal si la salida depende únicamente de los valores presente y pasado de la entra- da. Esto es, si y(t) es la salida, entonces y(t) depende únicamente de la entra- da u(T) para valores de T ::; t. Esta definición implica que un sistema causal es aquel en el cual no se puede anticipar cuál será la entrada futura. En concordancia con ello, los sistemas causales algunas veces se llaman realizables físicamente. Una consecuencia importante de la causalidad (la factibilidad física) es que la función de ponderación w(t, T) de un sistema continuo lineal causal es idéntica a cero para T > t; esto es, los valores futuros d~ la entrada se ponderan a cero. Para sistemas causales discretos la secuencia de ponderación w(k - j) = O para j > k. Problemas resueltos Ecuaciones de un sistema 3.1. La ley de Faraday establece que el voltaje v inducido entre los terminales de un inductor es igual a la tasa temporal de cambio de las líneas de flujo. La línea de flujo magnético que une una vuelta del devanado del inductor se define como línea de flujo. Suponga que se determina experimentalmente que el número de líneas de flujo, está relacionado con la corriente i en el ioductor, como se muestra en la figura 3-5. La curva es una línea aproxi- madamente recta para - 10 ::5 i ::; 10 . Determine una ecuación diferencial que relacione el voltaje inducido v y la corriente i, válida para - 10 ::5 i ::5 10 . i Figura 3-5
- 83. 72 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La ley de Faraday puede escribirse como v = dX.!dt. De la gráfica puede verse que en donde L = AolIO se denomina inductancia del inductor. La ecuación que relaciona ve i se obtiene sustituyendo Li por X.: d">. d di v= - = -(Li) = L- en donde -10 5. i 5. 10 dt dt dt 3.2. Determine una ecuación diferencial que relacione el voltaje v(t) y la corriente i(t) para t 2:: O, para la red eléctrica de la figura 3.6. Suponga que el capacitor estádescargado en el tiempo t = O, la corriente i es cero en el tiempo t = O, y se cierra el interruptorSen el tiempo t = O. fuente de voltaje 11 R s ~ e Figura 3.6 L Mediante la ley de voltaje de Kirchhoff, el voltaje aplicado v(t) es igual a la suma de las caídas de voltaje vR, vL y ve a través del resistor R, el inductor L y el capacitor C, respectivamente. Así di 11' V= VR + VL + Ve= Ri + L dt + e oi( 'T) d'T Para eliminar la integral se derivan con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación, resultando la ecuación diferencial deseada: d2 i di i dv L-+R-+-=- dt2 dt e dt 3.3. Las dos primeras leyes del movimiento planetario de Kepler establecen que: I. La órbita de un planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos. 2. El radio vector dibujado desde el sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Encuentre dos ecuaciones diferenciales que describan el movimiento de un planeta alrede- dor del sol, utilizando las dos primeras leyes de Kepler. A partir de la primera ley de Kepler, el movimiento de un planeta satisface la ecuación de una elipse:
- 84. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 73 p r=---- 1 + ecosfJ en donde r y 0 se definen en la figura 3-7 y p = b2 /a b ¡ Figura 3-7 En un tiempo infinitesimal dt el ángulo 0 se incrementa en una cantidad d0. El área barrida por el radio r durante el periodo dt es igual a dA =-½-r2 d0. La velocidad a la cual se barre el área por el rawo r es una constante (segunda ley de Kepler). Por tanto, dA l dO - = -r2 - = constante dt 2 dt o d(J ,2_ =k dt La primera ecuación diferencial se obtiene derivando este resultado con respecto al tiempo: dr d(J d 2 0 2r-- +r2 - =O dt dt dt2 o dr d(J d 2 fJ 2-- +r-- =O dt dt dt2 La segunda ecuación se obtiene derivando la ecuación de la elipse: dr [ pe senfJ ] dfJ dt = (l+ecosfJ)2 dt Utilizando los resultados de d0!dt = klr y (1 + e cos 0) = plr, drldt puede reescribirse como dr ek - = -sen(J dt p Derivando de nuevo y remplazando a r(d0idt) por k produce d2r =(!_)( k2)cosO dt2 p ,2
- 85. 74 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Pero cos 0 (1/e)fplr - l]. Por tanto d2, k2 [ p ] k2 k2 dt2 - pr2 r 1 - ,3 p,2 Sustituyendo a r(d0/dt)2 por k2!r3 , obtenemos la segunda ecuación diferencial solicitada. d2, -,(d8)2+~=0 dt2 dt pr2 o d2, - ,( d(J )2 dt 2 dt = - pr2 3.4. Como resultado del trabajo de varios autores [2, 3, 4], se ha producido un modelo matemá- tico para describir una característica de la organización del sistema nervioso denominada inhibición lateral. El fenómeno inhibitorio lateral puede describirse de manera simple como la interacción eléctrica inhibitoria entre las neuro11as (células nerviosas) vecinas, lateralmente espaciadas. Cada neurona en este modelo tiene una respuesta c, medida por la frecuencia de descarga de pulsos en su axón (el "cable" o "alambre" de conexión). La respuesta se determina mediante una excitación r suministrada por un estímulo externo, y se disminuye mediante todas las influencias inhibitorias que actúan sobre las neuronas como resultado de la actividad de las neuronas vecinas. En un sistema den neuronas, la respuesta en estado estacionario de la k-ésima neurona está dada por n ck = 7k - L ªk-;C; i=l en donde la constante ak _; es el coeficiente inhibitorio de la acción de la neurona i sobre la neurona k. Depende solamente de la separación de la k-ésima y la i-ésima neuronas, y puede interpretarse como unafunción de ponderación espacial. Además, am = a_ m (inte- racción espacial simétrica). a) Si el efecto de la neurona i sobre la neurona k no se siente inmediatamente, sino que presenta un pequeño retardo de tiempo Át, ¿cómo se modificaría el modelo? b) Si laentradarit) se determina únicamente por la salidack, Átsegundos antes de t [rit) = cit - Át)], determine una ecuación diferencial aproximada para el sistema de la parte a). a) La ecuación se hace n ck(t) =rk(t)- ¿ ak_;c;(t-~t) í=l b) Sustituyendo cit - ~t) por rdt), n ck(t)-ck(t-~t) = -- ¿ ªk-;c;(t-M) i=l
- 86. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 75 Dividiendo ambos lados por /:J..t, ck(t)-ck(t-At) ;,(ªk-i) - - - - - - = - ¡_, --- c(t-/:J..t) At i-1 At 1 El lado izquierdo de la ecuación es aproximadamente igual a dckldt para /:J..t pequeño. Si ade- más suponemos que c;(t - /:J..t) = c;(t) para /:J..t pequeño, obtenemos entonces la ecuación dife- rencial aproximada dck n ( ªk-i) - + L - C;(t)=O dt ;-i At 3.5. Determine una ecuación matemática que describa una salida de datos muestreados para el muestreador ideal descrito en la definición 2.12 y el ejemplo 2.8. Una representación conveniente de la salida en un muestreador ideal se basa en la extensión del concepto de función de impulso unitario o(t) a un tren de impulsos, definido para t ~ Ocomo la función en donde t0 mIT(t)=B(t)+B(t-t1)+B(t-t2 )+ ... O y tk+ 1 > tk. La señal muestreada u*(t) está dada entonces por 00 u*(t) = u(t)mIT(t) = u(t) L B(t- tk) k=O La utilidad de esta representación se desarrolla al comienzo del Capítulo 4, en seguida de la intro- ducción de los métodos de transformada. 3.6. Demuestre cómo la red simple R-C, que se da en la figura 3-8, puede usarse para aproxi- mar la función de muestreo y la función de sostenimiento (de orden cero), descrito en el ejemplo 2.9. s __,/ R w,wl • + + u(t) ~ e Y110(1) I • Figura 3-8 Este sistema opera como sigue. Cuando el interruptor de muestreo S se cierra, se carga el capacitor Ca través del resistorR, y el voltaje a través de C se aproxima a la entrada u(t). Cuando S se abre, el capacitor no puede liberar su carga porque la corriente (carga) no tiene en donde disipar- se, así que sostiene su voltaje hasta la siguiente vez que S se cierre. Si describimos la apertura y el cierre del interruptor mediante la función simple
- 87. 76 TEORJA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Si S está abierto Si S está cerrado podemos decir que la corriente a través de R y C está modulada por m.,(t). En estos términos, podemos escribir y puesto que i CdyHrJdt, la ecuación diferencial para este circuito es dyHO = ( u - YHo ) m ( t) dt RC s Notamos que ésta es una ecuación diferencial variable en el tiempo, debido al efecto multiplicativo de la función m5(t) en el lado derecho. También, a medida que RC se hace más pequeño, es decir, 1/RC se hace más grande, dyHrJdt se hace más grande y el capacitor se carga más rápidamente. Así, un RC más pequeño en este circuito crea una mejor aproximación de la función de muestreo y de sostenimiento. 3.7. Si el muestreador del problema anterior es ideal, y la velocidad de muestreo es uniforme, con un periodo T, ¿cuál es la ecuación diferencial? En el problema 3.5 se definió la función moduladora mn(t) del tren de impulsos del muestrea- dor ideal. Así que la ecuación diferencial del muestreo y del sostenimiento se hace dyHO = ( u - YHo.) f 8( t - kT) dt RC k-o En esta idealización, los impulsos remplazan los pulsos de corriente. Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales 3.8. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales dependiendo de si son ordinarias o par- ciales. Indique las variables dependientes e independientes. dx dy a) - + - +x+y=O X= X(t) y= y(t) dt dt b) a¡ a¡ f =f(x, y) - + - +x+y=O ax ay ~[ ª!]=o dx e) f=x2+ - dt ax dt df dy d) -=x f=y 2(x)+ - dx dx
- 88. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 77 a) Ordinaria; variable independiente t; variables dependientes x e y. b) Parcial; variables independientes x e y; variable dependiente f. e) Puesto que af/ax = 2.x, entonces (dldt)[af/ax] = 2(dxldt) = O, que es una ecuación diferencial ordinaria; variable independiente t; variable dependiente x. d) df/dx = 2y(dyldx) + d2 y!dx2 = x, que es una ecuación diferencial ordinaria; variable independiente x; variable dependiente y. 3.9. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales lineales dependiendo de si son variables o invariables en el tiempo. Indique los términos variables en el tiempo, si los hay a) b) d2y dt2 + 2y = o d -(t2y)=O dt a) Invariable en el tiempo e) ( 1 ) d 2 y ( 1 ) t + l dt 2 + t + l y':' Ü d2y d) dt 2 +(cost)y=O b) (dldt)(i2y) = 2ty + t2 (dyldt) = O. Dividiendo todo por t, se obtiene t, t(dyldt) + 2y = Ola cual es variable en el tiempo. El término variable en el tiempo es t(dyldt). e) Multiplicando todo por t + 1, obtenemos d2 y!dt2 +y= Ola cual es invariable en el tiempo. d) Variable en el tiempo; el término variable en el tiempo es (cos t)y. 3.10. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales dependiendo de si son lineales o no lineales. Indique las variables independientes y dependientes, y los términos no lineales, si los hay. a) b) e) dy d2y y= y(t) t- + y=O y= y(t) d) (cost)- 2 +(sen2t)y=O dt dt dy y= y(t) d2y y= y(t) y-+y=O e) (cos y)- 2 + sen2y = O dt dt dy d2y - + y2=0 y= y(t) !) (cosx)- 2 +sen2x=O y=y(t), x=x(t) dt dt a) Lineal; variable independiente t; variable dependiente y. b) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; término no lineal y(dyldt). e) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; término no lineal y2. d) Lineal; variable independiente t; variable dependiente y. e) No lineal; variable independiente t; variable dependiente y; términos no lineales (cos y)d2 yldt2 y sen 2y. f) No lineal; variable independiente t; variables dependientes x e y; términos no lineales (cos x)d2 y!dt2 y sen 2x.
- 89. 78 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 3.11. ¿Por qué ninguna de las funciones trascendentales es de primer grado? Las funciones trascendentales, tales como las logarítmicas, las trigonométricas y las hiperbóli- cas y sus correspondientes inversas, no son de primer orden porque ellas se definen o pueden escribirse como series infinitas. Por tanto su grado es, en general, igual a irifinito. Por ejemplo 00 x2n-l x3 xs senx= I: (-1r-1 - - - =x- - +- - ... n=l (2n -1)! 3! 5! en la cual el primer término es de primer grado, el segundo es de tercer grado, y así sucesivamente. La ecuación característica 3.12. Encuentre el polinomio característico y la ecuación característica para cada sistema: a) d4y d2y - +9- +1y=u dt 4 dt 2 b) d4y d2y - +9-- +7y=senu dt 4 dt 2 a) Haciendo D" =d"ldt" paran = 2 y n = 4, el polinomio característico es D4 + 9D2 + 7; y la ecuación característica es D4 + 9D2 + 7 = O. b) Aunque la ecuación dada en la parte b) es no lineal, mediante la definición 3.8 (el término sen u no es de primer grado en u), podemos tratarla como una ecuación lineal si arbitrariamente hacemos sen u = x, y tratamos ax como una segunda variable dependiente, la cual representa la entrada. En este caso, la parte b) tiene la misma respuesta que la parte a). 3.13. Determine la solución de la ecuación característica del problema anterior. Hagamos D2 = E. Entonces, D4 = E2 , y la ecuación característica se convierte en cuadrática: E2 + 9E+1=0 9±v'53 E=---- 2 Independencia lineal y conjuntos fundamentales y ¡-9±v'53 D= + - 2 . 3.14. Demuestre que para que un conjunto den funcionesf1,!2 , ••• Jn sea linealmente indepen- diente, es condición suficiente que el determinante Í1 !2 Ín df1 df2 dfn dt dt dt ......................... dn-lf1 dn-lf2 d"-lfn dtn-l dtn-l dtn-l seadiferente de cero. Este determinante se llama wronskiano de las funcionesf1,!2 , ••• Jn-
- 90. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 79 Suponicrrdo que lasf; son derivables por lo menos n - 1veces, dejemos que las n - 1 derivadas de se formen como sigue, en donde los e; son las constantes desconocidas: d/1 d/2 dfn c-+c-+···+c-=0 1 dt 2 dt n dt Estas ecuaciones pueden considerarse como n ecuaciones lineales homogéneas simultáneas en las n constantes desconocidas c1, c2, ... , Cn con coeficientes dados por los elementos del wronskiano. Es bien conocido que estas ecuaciones tienen una solución diferente de cero para c1, c2 , ... , Cn (es decir, no todos los e; son iguales a cero) si y sólo si el determinante de los coeficientes (el wronskiano) es igual a cero. En consecuencia, si el wronskiano es diferente de cero, la única solución para c1, c2, ••• , en es la solución degenerada c1 = c2 = ··· = en = O. Evidentemente, esto equivale a decir que si el wronskiano es diferente de cero, las funciones / 1, fz, ...,fn son linealmente independientes, puesto que la única solución para c1f 1 + c2 fz + ··· + cnfn = Oes entonces c1 = c2 = ··· = Cn = O. En consecuencia, una condición suficiente para la independencia lineal de f 1, fz, ...,fn es que el wronskiano sea diferente de cero. Esta no es condición necesaria; es decir, existen conjuntos de funciones linealmente independientes para los cuales el wronskiano es cero. 3.15. Demuestre que las funciones 1, t, t2 son linealmente independientes. El wronskiano de estas tres funciones (véase el problema 3.14) es 1 t O 1 o o 12 2t =2 2 Puesto que el wronskiano es diferente de cero, las funciones son linealmente independientes. 3.16. Determine un conjunto fundamental para las ecuaciones diferenciales a) d 3 y d 2 y dy - +5- +8- +4y=u dt 3 dt 2 dt b) d 3 y d 2 y dy - +4- +6- +4y=u dt 3 dt 2 dt a) El polinomio característico es D3 + 5D2 + 8D + 4, el cual puede escribirse en forma factori- zada como (D + 2)(D + 2)(D + 1). Correspondiente a la raíz D 1 = - 1 hay una solución e - ', y correspondiente a la raíz repetida D2 = D3 = - 2 hay dos soluciones e- 21 y te- 2 '. Las tres soluciones constituyen un conjunto fundamental.
- 91. 80 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL b) El polinomio característico es D3 + 4D2 + 6D + 4, el cual puede escribirse en forma factori- zada como (D + 1 + J)(D + 1 - J)(D + 2). Entonces un conjunto fundamental es e<-1 - 1)1 , e<- 1+1)1 , y e-21 • 3.17. Para las ecuaciones diferenciales del problema 3.16, encuentre conjuntos fundamentales diferentes de los encontrados allí. a) Escojamos cualquier determinante 3 x 3 diferente de cero, digamos 1 2 -3 2 1 3 -1 O = -5 -2 Utilizando los elementos de la primera fila como coeficientes a 1; para el conjunto fundamental e-1 , e-21 , te- 21 , encontrado en el problema 3. 16, se forma Utilizando la segunda fila, se forma De la tercera fila, se forma Las funciones zi, z2 y z3, constituyen un conjunto fundamental. b) Para esta ecuación generamos el segundo conjunto fundamental haciendo = e-1 - - - - - - - - - - - = e-1 cos t ( cos t - j sen t + cos t +j sen t) 2 z = -e<-1+1>1 _ -e<-1-n, = e-' 1 1 ( e' - e-Jt ) 3 2} 2} 2} = e-1 - - - - - - - - - - - = e-1 sen t ( cos t +j sen t - cos t +j sen t ') 2}
- 92. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 81 El determinante de coeficientes en este caso es 1 o o 1 1 o - - 1 2 2 1 1 2j o 2j 2j Solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coéficientes constantes 3.18. Demuestre que cualquier respuesta libre ya(t) =EZ= 1 CkJit) satisface E7=oa;(d;yldf) =O. Por la definición de conjunto fundamental, ykCt), k = 1,2,... , n satisface 'f.7-oa;(d;ykfdl) = O. Sustituyendo LÍ: = 1ckyit) en esta ecuación diferencial se produce Se obtiene la última igualdad porque el término entre corchetes es cero para cualquier k. 3.19. Demuestre que la respuesta forzada dada por la ecuación (3.14) satisface la ecuación diferencial Por simplificación, hagamos r(t) ='f.7'_0 b;(d;u/dii}. Entonces Yb(t) = /ów(t-T)r(T)dT )' dyb 1'aw(t-T) ' 11aw(t-T) -d = a r(T)dT+w(t-T)r(T) = ---r(T)dT+O·r(t) r o , .-, o a, De manera similar, d 2 y,, ,a2w(t-T) dn-IYb ,an-1w(t-T) -d 2 = 1 a 2 r( T) dT, ... , - - 1 = 1 I r( T) dT t o t dtn- o arn- puesto que por la ecuación (3.16), a;w(t~T)I a1' IT-1 = d;w(t) 1 =O dt' ,-o para i=0,1,2, ... ,n-2
- 93. 82 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La n-sima derivada es d"y¡, ltª"w(t-T) a"- 1 w(t-T)' ,a"w(t-T) -d" = a II r(T)dT+ ¡ ·r(t)=l----r(T)dT+r(t) t o t atn- o at" •-t puesto que, por la ecuación (3.16), La suma de las n derivadas es Finalmente, haciendo el cambio de variables t - T = 0 en el término entre corchetes, se produce porque w(0) es una respuesta libre (Véanse la sección 3.10 y el problema 3.18). En consecuencia n d)h -m d'u La-. =r(t) =Lb-. i=O , dt' . ;-o , dt' 3.20. Encuentre la respuesta libre de la ecuación diferencial d 3 y d 2 y dy -+4- +6- +4y=u dt 3 dt 2 dt con las condiciones iniciales y(O) = 1, (dy/dt)l,=o = O, y (d2 y/dt2 )l,=o = -1. De los resultados de los problemas 3.16 y 3.17, se encuentra que un conjunto fundamental para esta ecuación es e-2 ', e-1 , cos t, e--,, sen t. En consecuencia, la respuesta libre puede escribirse como Las condiciones iniciales proporcionan el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas para c1, c2, c3: d 2 Ya' - - = 4c - 2c = -1 dt2 l 3 ,-o de las cuales c1 = ½, ,c2 = ½, c3 = ½. Por tanto, la respuesta libre es 1 1 3 "(t) = -e- 21 + -e-, cost + -e-1 sent .ru 2 2 2 3.21. Encuentre la función de ponderación de la ecuación diferencial d 1 y dy du dt2 + 4 dt + 4y = 3 dt + 2u
- 94. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 83 La ecuación característica es D2 + 4D + 4 = (D + 2)2 = O, con raíz repetida D = -2. En consecuencia, un conjunto fundamental es el dado por e- 2 ', te - 2 ', y la función de ponderación tiene la forma con las condiciones iniciales Entonces w(t) = te- 2 '. 3.22. Encuentre la respuesta forzada de la ecuación diferencial (problema 3.21): d 2 y dy du -d 2 + 4- + 4y = 3- + 2u t dt dt en donde u(t) = e- 31 , t ~ O. La respuesta forzada está dada por la ecuación (3. J4) como 1 , [ du ] 1 1 du 11 Yh(t) = w(t-T) 3-d +2u dT=3 w(t-T)-dT+2 w(t-T)Ud'T O 'T O dT O Realizando la primera integral por partes, 1 1 du 1 1/aw(t-T) w(t-T)-d dT=w(t-T)u( T)l0 - ---udT o 'T o a'T 1 1aw(t- T) = w(O)u(t) -w(t)u(O) - ---udT o a'T Pero w(O) = O; en consecuencia, la respuesta forzada puede escribirse como 1 1[ aw(t-T) ] Yh(t)= 0 -3 aT +2w(t-T) u(T)dT-3w(t)u(O) A partir del problema 3.21, w(t- T) = (t- T)e- 2< 1 -•>; por tanto [ aw(t-T) ] -3 ªT +2w(t-T) =3e- 2 U-•>-4(t-T)e- 2< 1 -•> y la respuesta forzada es Yh(t) = 3e- 2 'l1 e2Te- 3 • dT- 4te- 2 'l1 e2•e- 3 • dT + 4e-211 1 Tei.e- 3 • dT - 3te- 2 ' o o o = 7[ e- 2, - e- 3, - te- 2'] 3.23. Encuentre la salida y de un sistema descrito por la ecuación diferencial d 2 y dy dt2 + 3 dt + 2y = l + t con las condiciones iniciales y(O) = O y (dy!dt)l,=o = 1.
- 95. 84 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Hagamos u1 =1 y u2 =t. La respuesta y debida a u1 actuando sola, se determinóen el ejemplo 3.27 que era y1 = ½O - e- 2 '). En el ejemplo 3.24 se encontró que la respuesta libre Ya para la ecuación diferencial es Ya= e-, - e-·2 '. La respuesta forzada debida a u2 está dada por la ecuación (3 .14). Utilizando la función de ponderación determinada en el ejemplo 3.25, la respuesta forzada debida a u2 es Así, la respu~sta forzada es 1 Yb =Yi +Y2 = ¡[4e-' - 3e-2 ' + 2t-1] y la respuesta total es 1 y=yª +Yb= 4[se-' -7e-2 ' + 2t-1] 3.24. Encuentre las respuestas transiente y en estado estacionario de un sistema descrito por la ecuación diferencial d 2 y dy dt2 + 3 dt + 2y = 1 + t con las condiciones iniciales y(O) = O y (dyldt)I, = o = 1. La respuesta total para esta ecuación se determinó en el problema 3.23 como 1 y= -[se-1 -1e-21 + 2t-1] 4 Puesto que el lim, - 0 ,J¼(8e-' - 7e- 2 ')] =O, la respuesta transiente es YT =¼(Se-, - 7e- 2 '). Y la respuesta en estado estacionario es YEE = ¡(2t - 1). Funciones de singularidad 3.25. Evalúe: a) Js8f2a(t- 6) dt, (b) Jt sen ta(t- 7) dt. a) Utilizando la propiedad de muestreo de la función de impulso unitario Js8,2 6(t - 6) dt = 1 2 1,-6 = 36. b) Puesto que el intervalo de integración O:;; t,;; 4 no incluye la posición de la función impulso unitario, t = 1, la integral Ji sen t6(t - 7) dt = O. 3.26. Demuestre que la respuesta paso unitario y1(t) de un sistema lineal causal, descrito por la integral de convolución
- 96. ECUACIONES DIFERENClf.LES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES está relacionada con la respuesta impulso unitario y8(t) por medio de la ecuación Y1(t) = ÍciY1kr) dT. 85 La respuesta paso unitario está dada por y1(t) ~ Je( w(t - 7)U(7)d7, en donde l(t) es una función paso unitario. En el ejemplo 3.29 se demostró que y8(t) = w(t). Por tanto Y1(t) = l'ya(t- 7)u( T) d7 = [Ys(t-T) dT o o Ahora hacemos el cambio de variable 0 = t - T. Entonces, dT = -d0, T = 0 implica 0 = t, 'r = t implica 0 = O, y la integral se convierte en 3.27. Demuestre que la respuesta rampa unitaria y,(t) de un sistema lineal causal descrito por la integral de convolución (véase el problema 3.26) está relacionada con la respuesta impul- so unitario y8 (t) y con la respuesta paso unitario y1(t) por medio de la ecuación Procediendo como en el problema 3.26 con w(t - 7) = y8(t - 7), y cambiando 7 por t - 7', obtenemos y,( t) = [Ya( t- T) TdT = 1'<t - T') Yi T') dT' = l 1 1YB( T') dT' -1'.va(T') dT' o o o o A partir del problema 3.26, el primer término puede escribirse como tfc(y8 ( T') dT' = ty1(t). El segundo término puede integrarse por partes, produciendo fo'ya( T') dT' =T'y1( T')I~ - {Yt(T1 ) dT' en donde dy1(7') = y8 (7')d7'. En consecuencia Utilizando nuevamente el resultado del problema 3.26, obtenemos la ecuación pedida. Sistemas de segundo orden 3.28. Demuestre que la función de ponderación de la ecuación diferencial de segundo orden d2y dy 2 - 2 --2 + 2fwn-d + wny- wnu dt t está dada por w(t) = (1/wd)e-at sen wdt, en donde a= (wn, wd = wnví=""f, O:5 ( :5 l. La ecuación caracterí~tica D2 + 2fw.D + w~ = O tiene las raíces D1 = -rw. +Jw.Ji - r2 =-a+ jwd D2 = -rw.-Jw.Ji-r2 = -a-jwd
- 97. 86 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALJMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Un conjunto fundamental es y1 = e-ª'eÍ"'d1 , y2 = e-ª1 e-i"'d1 ; y la función de ponderación puede escribirse como en donde c1 y c2 son hasta ahora coeficientes desconocidos. w(t) puede escribirse de nuevo como w( t) = e-ª'[ c1 cos wdt- jc1 senwdt + c2 cos wdt +jc2 senwdt) = ( c1 + c2 ) e-at cos wdt +J( c2 - c1) e-at senwdt = Ae-ª1 cos wdt + Be-ª' senwdt en donde A =e1 + c2 y B =j(c2 - e1) son los coeficientes desconocidos determinados a partir de las condiciones iniciales dadas por la ecuación (3.16). Esto es, y Por tanto w(O) = [ Ae-ª1 cos wdt + Be-ª',senwdt] 1,-o= A = O ~ 1 =Be-ª'[ wd cos wdt- asenwdt)J,_0 = Bwd = l ,-o 1 w(t) = -e-ª'senwdt wd 3.29. Determine la razón de amortiguación ¡;, la frecuencia natural no amortiguada wm la frecuencia natural amortiguada wd, el coeficiente de amortiguación a, y la constante de tiempo r, para el siguiente sistema de segundo orden: ' d 2 y dy 2- 2 +4-+8y=8u dt dt Dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación d2 y!dt2 + 2(dy!dt) + 4y = 4u. Comparando los coeficientes de esta ecuación con los de la ecuación (3 .22), obtenemos: 2{wn = 2 y w;, = 4 con las soluciones Wn = 2 y ¡; = ½ = 0,5. Ahora wd = wn¡¡-=-p = ff, a= fwn = 1, YT = 1/a = l. 3.30. El sobrepulso de un sistema de segundo orden en respuesta a una entrada peso unitario es la diferencia entre el valor máximo alcanzado por la salida y la solución en estado estacio- nario. Determine el sobrepulso para el sistema del problema 3.29, utilizando la familia de curvas normalizadas dada en la sección 3.14. Puesto que la razón de amortiguación del sistema es ¡; = 0,5 se utiliza la curva normalizada correspondiente a ¡; = 0,5. Esta curva tiene su valor máximo (pico) en Wnt = 3,4. A partir del problema 3.29, wn = 2, por tanto el tiempo tp en el cual ocurre el pico es tp = 3, 4/wn = 3,4/2 = l,7 s. El valor alcanzado en este tiempo es l, 17 y el sobrepulso es l, 17 - 1,00 = O,17. Representación por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones lineales diferenciales y de diferencia 3.31. Convierta la ecuación diferencial
- 98. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 87 con las condiciones iniciales y(O) = 1y (dy/dt)l,=o = -1, en la forma de variables de estado. Desarrolle luego una solución para la ecuación de vectores y matrices resultante en la forma de la ecuación (3.26), y a partir de ella especifique la respuesta libre y la respuesta forzada. También, para u(t) = 1 especifique las respuestas transiente y en estado estacionario.- Haciendox1 =yy dx1/dt = x2 , la representación por variables de estado esdx¡/dt = x2 conx1(0) = 1, y dx2/dt = u con xi(O) = -1. Las matrices A y B en la forma general de la ecuación (3 .25) son A=[~ ¿] b = [ ~] Puesto que Ak O para k 2: 2, la matriz de transición es eAt = l + At = [ ¿ n y la solución de la ecuación de variables de estado puede escribirse como [ X¡ ( l) ] = [ 1 xi(t) O t] [ 1] + ('[ 1 (t - T)][ O]d'T 1 -1 10 O 1 u( 'T) o, después de multiplicar las matrices en cada término, x1(t)=l-t+ f(t-T)u(T)d'T o Las respuestas libres son y las respuestas forzadas son X1a( t) = 1 - ( X2a( t) = -1 ~ X1b(t)= f<t-'T)U('T)d'T X2b(t) = fu('T) d'T Para u(t) = 1, x1(t) = 1 - t + r/2 yxi(t) = -1 + t. Las respuestm transientes sonx1/._t) = Oyx21-{t) = ( y las respuestas en estado estacionario son XtEE(t) = I - t + r/2 y x2Edt) = -1 + t. 3.32. Demuestre que la secuencia de ponderación de la ecuación de diferencia (3.29) tiene la forma de la ecuación (3.34). La técnica utilizada para resolver este problema se llama variación de parámetros. Se supone que la respuesta forzada de la ecuación (3.29) tiene la forma: n Yb(k) = I: cj(k) y/k) j=l en donde y¡(k), ... , yn(k) es un conjunto fundamental de soluciones, y c1 (k), ... , cn(k) es un conjunte de parámetros desconocidos dependientes del tiempo, los cuales van a determinarse. Puesto qu, yiO) = Opara cualquier respuesta forzada de una ecuación de diferencia, entonces, c1 (0) = O, ... cn(O) = O. El parámetro c/k + 1) se escribe como cj(k + l) = c/k) + 11c¡(k). Así
- 99. 88 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Los incrementos iic1(k),... , iicn(k) se escogen de tal manera que el término entre corchetes es cero. Este proceso se repite para yb(k + 2) de tal modo que Yb(k + 2) = i/¡(k)y_¡(k + 2) + Ltiic¡(k)y¡(k + 2)] El término entre corchetes nuevamente se hace cero al escoger los incrementos iic1(k), ... , iicn(k). Se generan expresiones similares para Yb(k + 3), Yb(k + 4), ... , Yb(k + n - 1). Finalmente, En esta última expresión, el término entre corchetes no se hace cero. Ahora, la suma en la ecuación (3.29) es n n n n La;yh(k+i) = L c¡(k) LO;Y¡(k+i) +an L iic¡(k)y_¡(k+n) =u(k) i=O J=l i=O J=l Puesto que cada elemento del conjunto fundamental es una respuesta libre, entonces n L ª;Y¡(k+ i) =O i=O para cadaj. Se ha generado entonces un conjunto den ecuaciones algebraicas lineales con n incóg- nitas: n L iic¡( k) y¡( k + I) = O j=l n I: ac¡(k)y¡(k + 2) = o J=l n u(k) L iic¡(k)y1(k+ n) = - - J=l an Ahora iicj(k) puede escribirse como ~(k) u(k) iic ( k) = - - - - 1 M(k) an en donde M(k) es el determinante Yi(k+ 1) M(k) = y¡(k_+ 2) y1(k+n) yi(k+n)
- 100. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 89 Mj(k) es el cofactor del último elemento en laj-ésima columna de este determinante. Entonces los parámetros c1(k), ... , cn(k) están dados por k-1 k-1 M (/) u(l) cik) = L t.cAI) = L M 1 (l) - /=O l=O an Entonces la respuesta forzada se convierte Esta última ecuación está en la forma de una suma de convolución con la secuencia de ponderación n Mil) w( k -1) = L a M( l) Y¡ ( k) ¡=l n Linealidad y superposición 3.33. Usando la definición de linealidad, definición 3.21, demuestre que cualquier ecuación diferencial de la forma: n diy .E a¡(t)-¡ = u i=O dt en donde y es la salida y u es la entrada, es lineal. Sean u1 y u2 dos entrad,as arbitrarias, y seany1 yy2 las salidas correspondientes. Entonces, con todas las condiciones iniciales iguales a cero, y Ahora formamos Puesto que esta ecuación es válida para cualquier c1 y c2, la ecuación es lineal.
- 101. 90 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 3.34. Demuestre que un sistema descrito por la integral de convolución y(t)= f00 w(t,T)u(T)dT -oo es lineal, y es la salida y u es la entrada. Sean u1 y u2 dos entradas arbitrarias, y sean Ahora, sea c1u1 + c2u2 una tercera entrada, y formamos fºoow( 1, T )[ C¡ U¡ ( 7") + C2 ui( T)] dT = C¡ f_ 00 00w( t, T) U¡ ( 7") dT + C2J_:w( f, T) U2 ( 7") dT = C¡YJ + C2Y2 Ya que esta relación es válida para cualquier c1 y c2, la integral de convolución es una operación (o transformación) lineal. 3.35. Utilice el principio de superposición para determinar la salida y, en la figura 3-9. u1 = sen t + ---y Figura 3-9 Para u2 = u3 = O, Y1 = 5(d!dt)(sen t) = 5 cos t. Para u1 = u3 = O, y2 = 5(dldt)(cos 2t) = -10 sen 2t Para u1 = u2 = O, y3 = -5t2 • En consecuencia y= y1 +y2 +y3 = 5(cost- 2sen2t- t2 ) 3.36._ Un sistema lineal se describe mediante la siguiente función de ponderación w(t, T) = e-¡,-.,-¡ para cualquier t, T Suponga que el sistema se estimula mediante una entrada u(t) = t para cualquier t Encuentre la salida y(t). La salida está dada por la integral de convolución (ejemplo 3.38): y( t) = / 00 e·-lt-TITdT = f' e-<t-T)TdT + J00 e<t-T)TdT -oo -oo '
- 102. ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES 91 Causalidad 3.37. Dos sistemas se definen por medio de las relaciones entre sus entradas y sus salidas como sigue: Sistema 1: La entrada es u(t), y en ese mismo instante la salida es y(t) = u(t + T), T> O. Sistema 2: La entrada es u(t), y en ese mismo instante la salida es y(t) = u(t - T), T> O. ¿Alguno de estos sistemas es causal? En el sistema 1, la salida depende únicamente de la entrada T segundos en el futuro. Así que éste· no es causal. Una operación de este tipo se llama predicción__, En el sistema 2, la salida depende únicamente de la entrada T segundos en el pasado. Este es un sistema causal. Una operación de este tipo se llama retardo de tiempo. Problemas suplementarios 3.38. ¿Cuáles de los siguientes términos son de primer grado en la variable dependiente y = y(t)? a) t2y, b) tan y, e) cos t, d) e-.v, e) te- 1 • 3.39. Demuestre que un sistema descrito por la ecuación y = mu + ben donde y es la salida, u la entrada y m y b son constantes diferentes de cero, no es lineal, de acuerdo con la definición 3.21. 3.40. Demuestre que cualquier ecuación diferencial de la forma n diy m d;u ~ a(t)-. = ~ b(t)- _1.., I dt' ·/.., I dt ,=O ,=O satisface la definición 3.21. (Véanse el ejemplo 3.37 y el problema 3.33). 3.41. Demuestre que las funciones cos t y sen t son linealmente independientes. 3.42. Demuestre que las funciones sen nt y sen kt, en las cuales n y k son enteros, son linealmente independientes si n * k. 3.43. Demuestre que las funciones t y t2 constituyen un conjunto fundamental para la ecuación diferencial d 1y dy t1 - -2t- +2y=O dt1 dt . 3.44. Encuentre un conjunto fundamental para d3y d1y dy - +6- +21- +26y=u dt3 dt1 dt
- 103. Capítulo ~ La transformada de Laplace y la transformada z 4.1 Introducción Varias técnicas de las usadas en la resolución de problemas en ingeniería se basan en el rem plazo de funciones de una variable real (usualmente el tiempo o la distancia) por ciertas represen taciones dependientes de la frecuencia o por funciones de una variable compleja que depende de 1: frecuencia. Un ejemplo típico es el uso de las series de Fourier para resolver ciertos problema: eléctricos. Uno de tales problemas consiste en encontrar la corriente en alguna parte de una rec eléctrica lineal, en la cual el voltaje de entrada es una onda periódica o repetitiva. El voltajt periódico puede remplazarse por su representación en series de Fourier, y entonces puede deter- minarse la corriente producida por cada término de la serie. La corriente total es la suma de lai corrientes individuales (superposición). A menudo esta técnica resulta en un ahorro sustancial dt los esfuerzos de cómputo. En este capítulo se presentan dos técnicas de transformación para el análisis de sistemas dt control lineal muy importantes: la transformada de Laplace y la transformada z. La primen relaciona funciones de tiempo con funciones dependientes de la frecuencia de una variable com pleja. La segunda relaciona secuencias de tiempo con un tipo diferente, pero relacionado, dt funciones dependientes de la frecuencia. Aquí también se tratan las aplicaciones de estas transfor- maciones matemáticas para resolver ecuaciones lineales diferenciales y de diferencia con coefi· cientes constantes. Estos métodos juntos proporcionan la base de las técnicas de análisis y diseñe que se desarrollan en los capítulos siguientes. 4.2 La transformada de Laplace La transformada de Laplace se define de la siguiente manera: Definición 4.1: Seaf(t) una función real de una variable real t, definida para t >O.Entonces O<t:< 1 se llama transformada de Laplace defit). ses una variable compleja defi- nida por s = a- + jw, en donde a- y w son variables reales* y j = !'=T. Nótese que el límite inferior de la integral es t = E > O. Esta definición del límite inferior algunas veces es útil al tratar funciones que son discontinuas en t =O.Cuando se hace usoexplícitc de este límite, se abrevia en la forma t = lim , _ 0 E = O+, como se muestra arriba en la integral de la derecha. La variable real t siempre representa el tiempo. * La parte real a de una variable complejas a menudo se escribe como Re(s) (la parte real des) y la parte imaginaria w como Im(s) (la parte imaginaria de s). Se colocan paréntesis alrededor des solamente si existe la posibilidad de confusión.
- 104. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 93 Definición 4.2: Siftt) está definida y es de valor sencillo para t > O, y F(<r) es absolutamen- te convergente para algún número real cr0 , esto es, O<t.< T entonces ftt) es transformable en Laplace para Re(s) > <r0 . EJEMPLO 4.1. La función e - ' es transformable en Laplace puesto que EJEMPLO 4.2. La transformada de Laplace de e-, es 00 -1 loo 2[ e-']= i e-te-si dt = ---e-(s+l)t o+ (s+l) 0 + 1 s+l para Re(s) > -1 4.3 La inversa de la transformada de Laplace La transformada de Laplace convierte un problema del dominio de la variable real tiempo en el dominio de la variable compleja s. Luego de obtenerse la solución al problema transformado, en términos des, es necesario "invertir" esta transformada para obtener la solución en el dominio del tiempo. La transformación del dominios en el dominio t se llama inversa de la transformada de Laplace. Definición 4.3: Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f(t), para t > O. La integral de contorno 1 ¡c+joo 2'-1 [F(s)] =/(t) = -. F(s )est ds 2'1TJ c--joo en donde j = 1-=t y e > <ro (<ro como se estableció en la definición 4.2), se denomina inversa de la transformada de Laplace de F(s). En la práctica rara vez se hace necesario efectuar la integral de contorno, dada en la definición 4.3. Para las aplicaciones de la transformada de Laplace en este libro, nunca será necesario. En la sección 4.8 se presenta una técnica simple para evaluar la inversa de la transformada en la mayor parte de los problemas de sistemas de control. 4.4 Algunas propiedades de la transformada de Laplace y de su inversa La transformada de Laplace y su inversa tienen varias propiedades importantes que pueden usarse ventajosamente en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons- tantes. Estas son:
- 105. 94 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1. La transformada de Laplace es una transformación lineal entre funciones definidas en el dominio t y funciones definidas en el dominio s. Esto es, si F1(s) y F2(s), son las transformadas de Laplace def1(t) yfz(t), respectivamente, entonces a1F1(s) + a2F2(~) es la transformada de Laplace de aif1(t) + a2fz(t) en donde a1 y a2 son constantes arbitrarias. 2. La inversa de la transformada de Laplace es una transformación lineal entre funciones definidas en el dominios y funciones definidas en el dominio t. Esto es, sif1(t) yfz(t) son las inversas de las transformadas de Laplace de Fi(s) y Fz(s), respectivamente, entonces b¡f1(t) + bzfit) es la inversa de la transformada de Laplace de b1F1(s) + b2Fz(s) en donde b1 y b2 son constantes arbitrarias, 3. Es la transformada de Laplace de la derivada df/dt de una funciónf(t) cuya transforma- da de Laplace es F(s). 9'[!] =sF(s)-J(o+) en donde f(O +) es el valor inicial de f(t), evaluada como el límite unilateral de f(t) cuando t tiende a cero, a partir de valores positivos. 4. Es la transformada de Laplace de la integral J¿J( T) d-r de una funciónf(t) cuya trans- formada de Laplace es F(s). [1' ] F(s) 9' /<T) dT = -S- 5. Es el valor inicial f(O+) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s). /(O+)= lim/(t)= lim sF(s) t>O ,-o s---+ oo Esta relación se llama teorema del valor inicial. 6. Es el valor final f(x) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s). /( oo) = lim /( t) = lim sF( s) (-+OO S--JoÜ Si existe lim,- 0 of(t). Esta relación se llama teorema del valor final. 7. La transformada de Laplace de una función f(tla) (cambio de escala de tiempo) es en donde F(s) =9'[/(t}]. 8. La inversa de la transformada de Laplace de la función F(sla) (cambio de escala de frecuencia) es en donde 9'- 1 [F(s)] = f(t).
- 106. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 95 9. La transformada de Laplace de la funciónf(t - n(retardo de tiempo), en donde T > O y f(t - n = O para t ::s T, es !l'[/(t- T)] = e-•TF(s) en donde F(s) =!l'[/(t)]. 10. La transformada de Laplace de la función e-ª1 /(t) está dada por !l'[e-ª1 /(t)] =F(s+a) en donde F(s) =!l'[/(t)] (traslación compleja). l 1. La transformada de Laplace del producto de dos funcionesf 1(t) yfz(t) está dada por la integral de convolución compleja 1 fr+Joo !l'[/1(t)/2(t)] = 2 7Tj c~Joo F1(w)Fi(s-w)dw en donde F1(s) =!l'[/1(1)] y F2(s) =!l'[/i(t)]. 12. La inversa de la transformada de Laplace del producto de dos transformadas F 1(s) y F2(s) está dada por las integrales de convolución EJEMPLO 4.3. Las transformadas de Laplace de las funciones e-, y e- 2 , son ~[e-'] = 1/(s + 1) y ~[e- 21 ] = 1/(s + 2). Entonces, por la propiedad 1, 3 1 2s + 5 ~[3e-'-e-2']=3~[e-']-~(e-2']= s+l - s+2 = s2+3s+2 EJEMPLO 4.4. Las inversas de las transformadas de Laplace de las funciones 1/(s + 1) y 1/(s + 3) son ~-1[_ 1 ] = e-3, s+3 Entonces, por la propiedad 2, 2-1[_2 __ 4 ]=2~-1[_1]-4~-1[_1]=2e-'-4e_3, s+l s+3 s+l s+3 EJEMPLO 4.5. Mediante la aplicación de la propiedad 3 puede determinarse la transformada de (d!dt) (e-'). Puesto que ~[e-1 ] = 1/(s + 1) y lim 1 _ 0 e- 1 = 1, ento~ces ~lf.!!_(e-')] =s(--1 )-1=·---=2._ dt s+l s+l EJEMPLO 4.6. La transformada de Laplace de fóe-T dT puede determinarse por aplicación de la propie- dad 4. Puesto que ~[e- 1 ] = 1/(s) + 1), entonces ~[¡:e-Td'T] =~c:1)= s(s~l)
- 107. 96 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 4.7. La transformada de Laplace de e-3, es .i'[e-3'] = 1/(s + 3). El valor inicial dee- 3 ' puede determinarse mediante el teorema del valor inicial lim e- 3 , = lim s(- 1 -) = 1 t-+O s-+oo S + 3 EJEMPLO 4.8. La transformada de Laplace de la función (1 - e-') es 1/s(s + 1). El valor final de esta función puede determinarse mediante el teorema del valor final. s lim (1 - e-') = lim - - - = 1 t-+oo s-+OS(s+l) EJEMPLO 4.9: La transformada de Laplace e-, es 1/(s + 1). Mediante la aplicación de la propiedad 7 (cambio en la,escala de tiempo) puede determinarse la transformada de Laplace de e- 3 ', en donde a=½: -2' e-3, _ _ 1 [ 1 ] 1 [ ]-3 {½s+l) -s+3 EJEMPLO 4.10. La mversade la transformada de 1/(s + l) es e-'. La inversade la transformadade 11(-¼s + l) puede determinarse mediante la aplicación de la propiedad 8 (cambio en la escala de frecuencia): _i>-1(--1 ] = 3e-3' ½s + 1 EJEMPLO 4.11. La transformada de Laplace de la función e-' es 1/(s + 1). La transformada de Laplace de la función definida como { -(t-2) f(t) = e o puede determinarse mediante la propiedad 9 con T = 2: t> 2 ,~ 2 EJEMPLO 4.12. La transformada de Laplace de costes s/(s2 + 1). La transformada.de Laplace de e- 2 , cos t puede determinarse a partir de la propiedad 1O con a = 2: s+2 .2'[e- 2 'cost] = ---- (s + 2) 2 + 1 s+2 s 2 + 4s + 5 EJEMPLO 4.13. La transformada de Laplace del producto e- 2 , cos t puede determinarse mediante la aplicación de la propiedad 11 (convolución compleja). Es decir, puesto que 9'[e-2 '] = 1/(s + 2) y9'[cos t] = sl(s2 + 1), entonces -2'[ ~-2, cost] = _l_fc+Joo(-"'-)(--1-) dw = _s_+_2_ 2wj c-Joo w 2 + 1 s - w + 2 s2 + 4s + 5 Aquí no se presentan los detalles de esta integración de contorno porque son demasiado complicados (véase por ejemplo la referencia [1]) y no son necesarios. La transformada de Laplace de e-2 , cos t se determinó de manera muy simple al utilizar la propiedad JO, en el ejemplo 4.12. Sin embargo, hay muchos casos en tratamientos más avanzados de sistemas de control automático en los que puede usarse efectivamente la convolución compleja.
- 108. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 97 EJEMPLO 4.14. La inversa de la transformada de Laplace de la función F(s) = sl(s + 1) (s2 + 1) puede determinarse mediante la aplicación de la propiedad 12. Puesto que !R- 1 [l/(s + 1)] = e-1 y !R- 1 [s/(s2 + l)] = cos t, entonces !R- 1 [ ( - 1 -)( ~)] = 1'e-(I-T) COSTdT = e- 1 11 eT COSTdT = ½(cost +sen t- e- 1) s + I s + I o+ o+ 4.5 Tabla resumida de transformadas de Laplace En la tabla 4.1 se presentan algunas transformadas de Laplace. No es completa pero, cuando esta tabla se usa junto con las propiedades de las transformadas de Laplace descritas en la sección 4.4 y las técnicas de expansión en fracciones parciales descritas en la sección 4.7, es apropiada para manejar todos los problemas de este libro. En el apéndice A se encuentra una tabla más completa de los pares de transformadas de Laplace. TABLA 4.1 Función de tiempo Transformada de Laplace Impulso unitario 6(t) 1 1 Paso unitario l(t) - s 1 Rampa unitaria t S2 n! Polinomio tn -- 5 n+I 1 Exponencial e-al - - s+a w Onda sinusoidal senwt 5 2 + 'w2 s Onda cosenoidal coswt s2 + w2 w Onda sinusoidal amortiguada e-ai sen,wt (s + a) 2 + w2 s+a Onda cosenoidal amortiguada e-ai cos wt (s+a) 2 +w2 La tabla 4.1 puede utilizarse para encontrar las transformadas de Laplace y sus inversas. Para encontrar la transformada de Laplace de una función de tiempo que puede representarse por algu- na combinación de las funciones elementales que se dan en la tabla 4. 1, se escogen las transforma- das apropiadas de la tabla y se combinan utilizando las propiedades de la sección 4.4. EJEMPLO 4.15. La transformada de Laplace de la funciónftt) = e-41 + sen(t - 2) + t2 e- 21 se determina como sigue. En la tabla se encuentra que las transformadas de e-41 , sen t y t2 son:
- 109. 98 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 .!l'[1 sent] = - - . · s2 + 1 La aplicación de las propiedades 9 y 10 respectivamente, produce e-2s .!l'(sen( t - 2)] = s2 + 1 Entonces la propiedad (linealidad) produce 1 e- 2 ' 2 .!l'[/(t)] = - + - - + - - s + 4 s 2 +1 (s+2)~ Para encontrar la inversa de la transformada de una combinación de aquellas dadas en la tabla 4.1, se determinan las correspondientes funciones de tiempo (inversas de las transformadas) de la tabla y se combinan de manera apropiada utilizando las propiedades de la sección 4.4. EJEMPLO 4.16. La inversa de la transformada de Laplace de F(s) = [(s + 2)/s2 + 4] · e-s puede determinarse como sigue. Escribimos de nuevo F(s) como Ahora .!l'- 1 [ ~ ] =cos2t s +4 .!l'- 1 [-/:-] =sen2t s-+4 La aplicación de la propiedad 9 para t > 1 produce [ se-• ] [ 2e·-s ] .!l'- 1 - - =cos2(t-1) .!l'- 1 - - =sen2(t-1) s2 + 4 s 2 + 4 Entonces la propiedad 2 (linealidad) da .!l'- 1 [ F( s)] = cos2( t - 1) + sen2( t - 1) t > I =0 t<l 4.6 Aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes La aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales linea- les con coeficientes constantes es de principal importancia en problemas de sistemas lineales de control. En esta sección tratamos dos clases de ecuaciones de interés general. La primera de ellas tiene la forma: n diy La;-; =u i=O dt (4.1) en donde y es la salida, u es la entrada, los coeficientes a0 , a 1, ••• , an- 1 son constantes, y an = l. Lai'. condiciones iniciales para esta ecuación se escriben como dky I dtk =Yt 1=0+ k=O,l, ... ,n-I
- 110. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 99 en donde y; son constantes. La transformada de Laplace de la ecuación (4. /) está dada por y la transformada de la salida es Y(s) = U(s) n + Lª;Si i=O n i-1 L L a;si-l-ky; i=O k=O n Lª;Si i=O { 4.2) ( 4.3) Nótese que el lado derecho de la ecuación (4.13) es la suma de dos términos: uno dependiente únicamente de la transformada de la entrada, y otro que depende sólo qe las condiciones iniciales. Además, nótese que el denominador de ambos términos en la ecuación (4.3), esto es, n. L a¡si = sn + ªn-lsn-1 + ... +a¡S + ªº i=O es el polinomio característico de la ecuación (4./) (véase la sección 3.6). La solución en el tiempo y(t) de la ecuación (4./) es la inversa de la transformada de Laplace de Y(s), esto es, ( 4.4) El primer término de la derecha es la respuestaforzada, y el segundo término es la respuesta libre del sistema, representado por la ecuación (4./). La sustitución directa en las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.4) produce la transformada de la ecuación diferencial, la solución de la transformada Y(s) o la solución en el tiempo y(t), respecti- vamente. Pero, a menudo es más fácil aplicar de manera directa las propiedades de la sección 4.4 para determinar estas cantidades, sobre todo cuando el orden de la ecuación diferencial es bajo. EJEMPLO 4.17. La transformada de Laplace de la ecuación diferencial d2 y dy - 2 + 3- + 2y = 1(t) = paso unitario dt dt con las condiciones iniciales y(O+) = -1 y (dyldt)I ,-r¡+ = 2 puede escribirse directamente a partir de la ecuación (4.2), identificando primero n, a; y yt; n = 2, y0 °= - I, yJ = 2, a0 = 2, a 1 = 3, a2 = 1. La sustitución de estos valores en la ecuación (4.2), produce 1 2Y+3(sY+l) +l(s2 Y+s-2) = - s o -(s2 +s-1) (s2 +3s+2)Y= ---~- s
- 111. 100 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Debe tenerse en cuenta que cuando i = Oen la ecuación (4.2), la suma en el interior de los corchetes, por definición es i1I = krl =G k-0 i=O k-0- La transformada de Laplace de la ecuación diferencial también puede determinarse de la siguiente manera. La transformada de d2 y/dt2 está dada por .Cf'[d 2 ;] =s2 Y(s)-sy(o+)- dyl dt dt ,=o+ Esta ecuación es una consecuencia directa de la propiedad 3, sección 4:4 (véase el problema 4.17). Con esta.,_,,• información puede determinarse la transformada de la ecuación diferencial aplicando la propiedad 1 (linea- lidad) de la sección 4.4; esto es, .Cf'[ ::; +3! +2y] =.Cf'[ ::; ] +.Cf'[3!] +It'(2y] =(s2 +3s+2)Y+s+l=!t'(l(t)] = ~ La transformada de la salida Y(s) se determina reordenando la ecuación anterior, y es -(s2+ s -1) Y(s)=---- s(s2 + 3s + 2) La solución de la salida en el tiempo y(t) es la inversa de la transformada de Y(s). Anteriormente, en las secci-0nes 4.7 y 4.8 se presentó un método para determinar la inversa de la transformada de funciones como Y(s). Ahora, considere ecuaciones de coeficientes constantes de la forma: n diy m diu _I: a¡ dti = _I: b¡-¡¡;- <4.s) 1=0 1=0 en donde y es la salida, ues la entrada, an = I y m ::s; n. La transformada de Laplace de la ecuación (4.5) está dada por _[ [a; (siY(s) - ;fsi-l-kYt)] = _}: [b¡(siU(s) - i1 si-l-ku~)l (4.6) 1=0 k=O 1=0 k=O en donde u~= (dku/dtk)l,-o+· La transformada de salida Y(s) es (4.7) La solución en el tiempo y(t) es la inversa de la transformada de Laplace de Y(s):
- 112. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA : 101 El primer término de la derecha es la respuesta forzada, y el segundo término es la respuesta libre de un sistema representado por la ecuación (4.5). Nótese que la transformada de Laplace Y(s) de la salida y(t) está formada por relaciones entre polinomios en la variable compleja s. Tales relaciÓnes generalmente se llaman funciones racio~ nales (algebraicas). Si todas las condiciones iniciales de la ecuación (4.8) son cero y U(s) = 1, (4.8) da la respuesta impulso unitario. El denominador en cada término de (4.8) es el polinomio característico del sistema. Para los problemas en los cuales no se especifican las condiciones iniciales en y(t), sino en algún otro parámetro del sistema (tal como el voltaje inicial en un capacitar que no aparece en la salida), deben obtenerse los Yt, k = O, 1, ... , n - 1, correspondientes, utilizando la información disponible. Para los sistemas representados en la forma de la ecuación (4.5), es decir, que inclu- yen términos de derivada en u, el cálculo de Yt también dependerá de u~ . El problema 4.38 ilustra estos puntos. La restricción n 2:: m de la ecuación (4 .5) se basa en el hecho de que lo~ sistemas reales t;enen un efecto suavizador en su entrada. Por efecto suavizador quiere decirse que las variaciones en la entra- da se hacen menos pronunciadas (por lo menos no más pronunciadas) por acción del sistema sobre la entrada. Un diferenciador acentúa las variaciones de la función, puesto que genera la pendiente de una función de tiempo. De otra parte, un integrador suma el área bajo la curva de una función de tiempo, en un intervalo determinado, y así promedia (suaviza) las variaciones de la función. En la ecuación (4 .5), la salida y está relacionada con la entrada u mediante una operación que incluye m derivaciones y n integraciones de la entrada. En consecuencia, para que haya un efecto suavizador (por lo menos que no haya acentuación de las variaciones) entre la entrada y la salida, debe haber más (al menos, igual número) integraciones que derivaciones; es decir, n 2:: m. EJEMPLO 4.18. Cierto sistema se describe mediante la ecuación diferencial dyl y(o+)=- =O dt 1-0+ de la cual, en la figura 4-1 se representa gráficamente la entrada u. También se presentan las funciones correspondientes du!dt y 1 1 1 9 du 1 , y(t)= -dad8= · u(8)d8 o+ o+ da o+ en estas gráficas, nótese que la derivación de u acentúa las variaciones, mientras que la integración las suaviza. u -1 du dt 11 1 1 2 Figura 4-1 ; - 1 1 1 3¡ 1 1 1 2 4
- 113. 102 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 4.19. Considere un sistema descrito por la ecuación diferencial d 2 y dy du -+3-+2y=-+3u dt2 dt dt con las condiciones iniciales yg = 1, y¿ =O.Si laentrada está dada poru(t) = e- 4 ', entonces la transforma- da de Laplace y(t) de la salida puede obtenerse por aplicación directa de la ecuación (4.7), identificando primerom, n, a;, b;y u&: n = 2, a0 = 2, a1 = 3,.a2 = 1, m = 1, ag = Iim ,-.o e-41 = 1, b0 = 3, b1 = 1. La sustitución de estos valores en la ecuación (4.7) produce ~s= --+ - ( s+3 )( 1 ) s+3 1 ( ) s2 + 3s + 2 s + 4 s2 + 3s + 2 s2 + 3 Esta transformada también puede obtenerse por aplicación directa de las propiedades 1 y 3, de la sección 4.4, a la ecuación diferencial, como se hizo en el ejemplo 4.17. Las ecuaciones diferenciales lineales de matrices y vectores con coeficientes constantes, trata- dos en la sección 3.15, también pueden resolverse mediante las técnicas de transformada de La- place, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 4.20. Considere la ecuación diferencial de vectores y matrices del problema 3.31: dx en donde x( t) = [ X¡ ( t) ] · X2(t) - =Ax+bu dt A=[g ~] b= [~] x(O)=[_U y con u = l(t), la función paso unitario. La transformada de Laplace de la forma de vectores y matrices de esta ecuación es 1 sX(s) - x(O) = AX(s) + -b s en donde ¡XJ(s) es la transformada de Laplace vectorial cuyos componentes son las transformadas de Laplace de los componentes de x(t). Esta puede escribirse de nuevo como 1 [si -A]X(s) = x(O) + -b s en donde/ es la matriz identidad o unidad. La transformada de Laplace del vector solución x(t) puede escribirse como 1 X(s) =[s1-Ar 1 x(O) +-[sl-Ar 1 b s en donde [·]- 1 representa el inverso de la matriz. Puesto que si-A=[~ entonces ¡ 1 [ s [si-Ar = - s2 0
- 114. LA TRANSFORMADA DE LAPI .ACE Y LA TRANSFORMADA z 103 Sustituyendo [si - A]- 1 , x(O) y b se obtiene en la cual el primer término es la transformada de Laplace de la respuesta libre, y el segundo es la transformada de Laplace de la respuesta forzada. Utilizando la tabla 4.1, pueden invertirse, tér- mino por término, las transformadas de Laplace de estos vectores, que proporcionan el vector solución: x(t) = [l(t)- t+ t 2 /2] -l(t)+t 4.7 Expansiones en fracciones parciales En la sección 4.6 se mostró que las transformadas de Laplace encontradas en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son funciones racionales des (es decir, razones de polinomios en s). En esta sección se muestra una representación importante de las funciones racionales: la expansión en fracciones parciales. En la siguiente sección se muestra que esta representación simplifica de manera significativa la inversión de las transformadas de Laplace de una función racional. Considere la función racional F(s) = i=O n La;s' i=O ( 4.9) en donde an = 1 y n 2".: m. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica del denominador n L a;s; = O i=O tiene n raíces. Algunas de estas raíces pueden ser repetidas. EJEMPLO 4.21. El polinomio s3 + 5s2 + 8s + 4 tiene tres raíces: -2, -2, -1. -2 es una raízrepetida. Suponga que la ecuación polinómica del denominador anterior tienenI raíces iguales a - p 1, n2 raíces iguales a -p2 , •.• , nr raíces iguales a -pn en donde :E~=1n; = n. Entonces n r L a¡Si = n(s +p;} 111 ;-o i=l
- 115. 104 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La función racional F(s) puede escribirse como F(s) = -,-i=_O _ __ TI(s+p;)n, i=l La representación de la expansión en fracciones parciales de la función racional F(s) es r n¡ e F(S} = bn + L L ik ;-1 k=l (s + p;) ( 4.JOa) en donde bn = O, a no ser que m = n. Los coeficientes C;k están dados por 1 dn,-k C;k= (n;-k)! tts,n,-k[(s+p;)n,F(s)] s= -p; ( 4.10b) Los coeficientes particulares e;¡, i = 1, 2, ... ,r se denominan residuos de F(s) en -p;, i = 1, 2, ... , r. Si ninguna de las raíces se repite, entonces n C-¡ F(s) =bn+ L -'- (4.11a) i=t s +P; en donde C¡¡ = (s +p;)F(s)Is= -p, EJEMPLO 4.22. Considere la función racional s2 + 2s + 2 s2 + 2s + 2 F(s)= s2 +3s+2 = (s+Í)(s+2) La expansión en fracciones parciales de F(s) es Cu C2¡ F(s) =b2 +- +-- s+l s+2 ( 4.JJb) El coeficiente de s2 en el numeradores b2 = l. Los coeficientes c11 y c21 se determinan de la ecuación (4.11 b) como En consecuencia s 2 + 2s + 21 cu=(s+l)F(s)ls--l= s+ 2 s-- 1 =1 s 2 + 2s + 21 c21 =(s+2)F(s)ls=-2= s+l =-2 s- -2 1 2 F(s)=l+--- s+l s+2 EJEMPLO 4.23. Considere la función racional 1 F(s)=----- (s+1)2(s+2)
- 116. LA TRANSFORMADA DE LAPL."'.'.E Y LA TRANSFORMADA z La expansión en fracciones parciales de F(s) es C11 C12 C21 F(s) =~+-+-----e-+- s+l (s+1)2 s+2 Los coeficientes b3, c1" c12, c21 están dados por b3 =O d 2 1 d 1 1 c11 =-(s+ 1) F(s) = - - = -1 ds s=-1 ds s+2 s=-1 C12 = ( s + 1)2F( s)1 - = - 1 -1 = 1 s--1 s+2,=-l c21 =(s+2)F(s)1,--2=1 1 1 1 De esta manera F(s)= - s+l + (s+1)2 + s+2 4.8 Inversas de las transformadas utilizando expansiones en fracciones parciales 105 En la sección 4.6 se mostró que la solución a una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede determinarse encontrando la inversa de la transformada de Laplace de una función racional. La forma general de esta operación puede escribirse usando la ecuación (4.10) como en donde o(t) es la función impulso unitario, y bn = Oa no ser que m = n. Hacemos notar que el término del extremo derecho en la ecuación (4.12) es la forma general de la respuesta impulso unitario para la ecuación (4.5). EJEMPLO 4.24. La inversa de la transformada de Laplace de la función s2 + 2s + 2 F(s)= (s+l)(s+2) está dada por [ s 2 + 2s + 2 ] [ 1 2 ] [ 1 ] [ 2 ] i,-1 - - - - - =!t'-1 1 + -- - - - =!t'-1[1] +!t'-1 - - -!t'-1 - - =S(t) + e-' - : (s+l)(s+2) s+l s+2 s+l s+2 que es la respuesta impulso unitario para la ecuación diferencial d 2 y dy d 2 u du dt2 + 3 dt + 2Y = dt2 + 2 dt + 2u
- 117. 106 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 4.25. La inversa de la transformada de Laplace de la función 1 F(s)= (s+1}2(s+2) está dada por [ 1 ] 1[ 1 1 1 ] y-i (s+1)2(s+2) =Y- - s+l + (s+1)2 + s+2 = _y-1[_1 ] +y-1[ 1 ] +y-1[_1 ] =·-e-,+ te-'+ e-21 s+l (s+1)2 s+2 4.9 La transformada z La transformada z se utiliza para describir señales y componentes en sistemas de control discretos en el tiempo. Esta se define como sigue: Definición 4.4: Comentario 1: Comentario 2: Comentario 3: Digamos que [f(k)) representa una secuencia de valores realesf(O),f(l), f(2), ... , o de manera equivalente f(k) para k = O, 1, 2, ... Entonces 00 Z{f(k)}=F(z)= Lf(k)z-k k=O se llama transformada z de ¡J(k)). z es una variable complej~ida por z = µ + jv, en donde µ y v son variables reales y j ~ El k-ésimo término de la serie en esta definición siempre es el k-ésimo ele- mento de la secuencia que es z- k veces la transformada z. A menudo, ¡J(k)) se define para tiempos igualmente espaciados: O, T, 2T, ... , kT ... , en donde Tes un intervalo de tiempo fijo. Algunas veces la secuencia resultante se escribe como {J(k1)}, of(k1), k = O, 1, 2, ... , y Z {J(k1)} = "f.f_0/ ( kT) z -k, pero, usualmente se suprime la dependencia de T. Utilizamos los argumentos de la variable k y kT para las secuencias de tiempo de manera intercambiable, cuando no se presenta ambigüedad. De modo diferente algunos autores definen la transformada z como la trans- formación z =esT, la cual se convierte en un simple cambio exponencial de variables entre la variable compleja z = µ +jv y la variable complejas = u +jw en el dominio de la transformada de Laplace, en donde Tes el periodo de muestreo de un sistema discreto en el tiempo. Esta definición implica una secuencia ¡J(k)l o ¡J(k1)), obtenida mediante un muestreo ideal (algunas veces llamado muestreo de impulso) de una señal continuaf(t) en tiempos espaciados uniformemente kT, k = l, 2, ... Entonces, s = In z/T, y nuestra definición anterior, es decir, F(z) = "f.f_0/(k1)z -k, se obtiene directamente del resultado del problema 4.39. Comenzando el Capítulo 6 se desarrollan relaciones adicionales entre sistemas continuos y sistemas discretos en el tiempo, de manera particular para sistemas con los dos tipos de elementos.
- 118. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 107 EJEMPLO 4.26. La serie F(z) = 1 + z- 1+ z- 2 + ... + z-k + ...,es la transformada z de la secuencia f(k) = 1, k = O, 1, 2, ... Si la tasa de incremento en los términos de la secuencia ¡J(k)) no es mayor que la de alguna serie geométrica, a medida que k tiende a infinito, entonces se dice que ¡J(k)) es de orden expo- nencial. En este caso, existe un número real r tal que 00 F(z) = L f(k )z-k k=O converge para lzl > r. A r se le llama radio de convergencia de la serie. Si r es finito, la secuencia (f(k)) se llama transformable en z. EJEMPLO 4.27. La serie del ejemplo 4.26 es convergente para lzl > 1,-y puede escribirse en forma cerrada como la función 1 F(z) = 1 _ 2_ 1 para lzl > 1 Si existe F(z) para lzl > r, la integral y la derivada de F(z), pueden evaluarse efectuando la opera- ción, término por término, sobre la serie que la define. Además, si 00 F1(2) = L J1(k)2-k para 121 > r1 k=O 00 y fi(z) = L f2(k)z-k para lzl > '2 k=O entonces El término Ef=0f1(k - i)f2(i) se llama suma de convolución d~ las secuencias !f1(k)l y ¡h(k)l donde el radio de convergencia es el mayor de los dos radios de convergencia F 1 (z) y Fi(z). EJEMPLO 4.28. La derivada de la serie, en el ejemplo 4.26, es dF La integral indefinida es - = -z- 2 - 22- 3 - · · • - kz-<k+l) - · · · d2 fF( 2) d2 = 2+ 1n 2- z- 1 + ··· EJEMPLO 4.29. La transformada z de la secuenciafz(k) = 2k, k = 0,1,2,... , es para lzl > 2. Si, F¡(z) es la transformada z en el ejemplo 4.26, entonces para 121 > 2
- 119. I08 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La transformada z de la secuencia/(k) = A k = O, 1,2,... , en la cual A es cualquier número complejo finito, es Z { Ak} = 1 + Az- 1 + A 2z- 2 + l z ----=--,- 1 -Az- 1 z-A en donde el radio de convergencia es r = IA 1. Eligiendo de manera adecuada A, pueden definir- se los tipos de secuencias más comunes y sus transformadas z generadas de esta reloción. EJEMPLO 4.30. Para A = eªT, la secuencia {Ak} es la exponencial muestreada 1, eªT, e2 ªr, ... y la transformada z de esta secuencia es con un radio de convergencia r = leªTI· La transformada z tiene una inversa muy parecida a la inversa de la transformada de Laplace. Definición 4.5: Sea C un círculo con centro en el origen del plano z, y con un radio mayor que el radio de convergencia de la transformada z, F(z). Entonces 1 z-1 [F(z)] = {/(k)} = -. jF(z)zk- 1 dz 2'1TJ e es la inversa de la transformada z de F(z). En la práctica, rara vez es necesario realizar la integral de contorno de la definición 4.5. Para las aplicaciones de la transformada zen este libro, nunca será necesario. En lo que resta de esta sección las propiedades y técnicas son adecuadas para evaluar la inversa de la transformada de la mayor parte de los problemas de sistemas de control discretos en el tiempo. En seguida se encuentran algunas propiedades adicionales de la transformada z y de su inversa, las cuales pueden utilizarse ventajosamente en los problemas de sistemas de control discretos en el tiempo. 1. La transformada z y su inversa son transformaciones lineales entre el dominio del tiem- po y el dominio z. En consecuencia, si {/1(k)} y F1(z) son un par de transformadas, y si {h(k)} y Fz(z) son otro par, entonces {arf1(k) + a2 fi(k} y a1F1(z) + a2Fz(z) son un par de transformadas para cualquier a1 y a2. 2. Si F(z) es la transformada z de la secuencia/(0),/(1),/(2), ... , entonces znF(z)-zn/(0)-zn-lf(l)- ··· -z/(n-l) es la transformada z de la secuencia/(n), f(n + 1), f(n + 2), ... , paran > 1. Nótese que el k-ésimo elemento de esta secuencia es f(n + k). 3. El término inicial /(O) de la secuencia {/(k)}, cuya transformada z es F(z), e!'. /(O)= lim (1- z- 1 )F(z) =F{oo) z-> oo Esta relación se llama teorema del valor i11id,.l
- 120. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA : 109 4. Asuma que la secuencia {f(k)} tiene una transformada z, F(z), con radio de convergen- cia :S 1. Entonces, si el siguiente límite existe, el valor finalf(00) de la secuencia está dado por /(oo)= lim(l-z- 1 )F(z) z-> 1 Esta relación se llama teorema del valor final. 5. La inversa de la transformada z de la función F(zla) (cambio de escala de frecuencia) es k = O, 1,2, ... en donde z-1 [F(z)] = {/(k)}. 6. Si F(z) es la transformada z de la secuenciaf(O),f(l),f(2), ... , entonces z- 1 F(z) es la transformada z de la secuencia desplazada en el tiempof(-1 );J(O),f( 1), ... , en donde f(- 1) = O. Esta relación se llama teorema del desplazamiento. EJEMPLO 4.31. Lastransformadaszde las secuencias {(½/} y {(½)k} son Z{(½/} = z/(z - ½), y Z{(½/} = z/(z - ½). Entonces, por la propiedad 1, z{3(~)k-(~)k} = --2;- -_z i 2 3 z- 2 z- 3 z 2z2 - - 2 5z 1 z2- - +- 6 6 EJEMPLO 4.32. Las inversas de las transformadas z de las funciones zl(z +½)y z/(z - ¼) son Entonces, por la propiedad 1, z-1 [2-z1 -4~]=2z-1 [~]-4z-1 [ ~ ] ={2(-·~)k_4 (~)k} z+ 2 z-¡ z+ 2 z-¡ 2 4 EJEMPLO 4.33. La transformada z de la secuencia 1,½,¼,... ,(½/,... es z/(z- ½). Entonces, por la propiedad 2, la transformada z de la secuencia ¼, ¼, ... ,(½ / + 2 , ••• es z2(_z_)-z2 - ~ = ~ _z_ z-½ 2 4z-½ EJEMPLO 4.34. La transformada z de {(¼l} es z/(z -¼ ). El valor inicial de {(¡l} puede determinarse mediante el teorema de valor inicial como
- 121. 110 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 4.35. La transformada z de la secuencia {I -(¼)*}es¡ z/(z2 - 5 ¡ + ¡). El valor final de esta secuencia puede determinarse mediante el teorema del valor final como lim{1-(~)k}=Iim(l-z-1 )( !2 )=l k-oo 4 z-1 2 Z 1 z--+ 4 4 EJEMPLO 4.36. La inversa de la transformada z de z/(z - ¼) es {(¼l}. La inversa de ({)/(1-=- ¡) es {2k(¼l}={(½)"}. Para los tipos de problemas de control considerados en este libro, las transformadas z resultan- tes son funciones algebraicas racionales de z, como se ilustra a continuación, y hay dos métodos prácticos para invertirlas. El primero es una técnica numérica que genera una expansión en una serie de potencias por una división no abreviada. Suponga que la transformada z tiene la forma: Fácilmente puede escribirse de nuevo en potencias de z- 1 como bn + bn-lz-1 + ... +boz-n F(z)=------- ªn +ªn-lz-l + "'' +aoz-n multiplicando cada término por z-n. Entonces, la división no abreviada del numerador entre el denominador, produce un polinomio en z- 1 de la forma: EJEMPLO 4.37. La transformada z de z/(z -½) puede escribirse de nuevo como 11(1 - z- 112 ), expresión que mediante una división no abreviada tiene la forma: 1 =l+(~)z-1+(~)2z-2+ ... 1 - z- 1 /2 2 2 Por el segundo método de inversión, F(z) se expande primero en una forma de fracción parcial especial, y cada término se invierte utilizando las propiedades discutidas anteriormente. En la tabla 4.2 se presentan algunos pares de transformadas z. Cuando esta tabla se utiliza junto con las propiedades de las transformadas z descritas antes, y se emplean las técnicas de expansión en fracciones parciales descritas en la sección 4.7, es suficiente para resolver todos los problemas de este libro. En el apéndice B se presenta una tabla más completa de transformadas z.
- 122. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA : 111 Tabla 4.2 k-ésimo término de la secuencia de tiempo Transformada z 1 en k. O en cualquier otra parte z-k (Secuencia delta de Kronecker) z 1 (Secuencia de paso unitario) -- z-l z k (Secuencia de rampa unitaria) ( z -1)2 z Ak (Para números complejos A) -- z-A kAk Az (z-A)2 (k+l)(k+2) ···(k+n-l) z" Ak (z-A)n (n-1)! El último par de transformadas, de la tabla 4. 2, puede utilizarse para generar muchas transfor- madas útiles, eligiendo adecuadamente A y utilizando la propiedad 1. Los ejemplos siguientes ilustran cómo pueden invertirse las transformadas z utilizando el método de expansión en fracciones parciales. EJEMPLO 4.38. Para invertir la transformada z F(z) = 1/(z + l)(z + 2), conformamos la expansión en fracciones parciales de F(z)/z: Entonces F(z) 1 ½ -1 ½ --= =-+--+-- z z(z+l)(z+2) z z+l z+2 l z l z F(z)=---+-- 2 z+l 2z+2 ·que puede invertirse término por término, como /(O)= O ( k l k f k)=-(-1) + 2(-2) para todo k~l EJEMPLO 4.39. Para invertir F(z) = 1/(z + 1)2 (z + 2), tomamos la expansión en fracciones parciales de F(z)/z: F(z) ½ O -1 _1 - - =- +-- +---+-2- z z z+l (z+l)2 z+2
- 123. 112 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Entonces 1 z 1 z F(z)=2 - (z+l)2 -2 z+2 k l k f(k)=-k(-1) - 2(-2) para todo k~l y /(0)=0 EJEMPLO 4.40. Utilizando el último par de transformadas, de la tabla 4.2, puede generarse la transformada z de la secuencia ¡k2!2¡, teniendo en cuenta los siguientes pares de transformadas: Puesto que { (k+l)(k+2)} ++ z 3 3 2! ( z -1) z { k} ++ ( z -1)2 z {l} ++ - z-1 (k+l)(k+2) k 2 3 ------ = - + -k+ 1 2! 2 2 entonces, por la propiedad 1, { k2 } z 3 3 z z z(z+l)/2 Z 2 = (z-1)3 -2 (z-1)2 --z---1 = (z-1)3 Las ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes de n-simo orden pueden resolverse utilizando los métodos de las transformadas z mediante un procedimiento que es virtualmente el mismo empleado para resolver ecuaciones diferenciales por medio de las transformadas de Laplace. Esto se ilustra paso a paso en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4.41. La ecuación de diferencia 5 1 x( k + 2) + - x( k + 1) + - x( k) = 1 6 6 con las condiciones inicialesx(O) = Oy x(I) = I se transforma en z aplicando las propiedades I y 2. Mediante la propiedad 1 (linealidad): { 5 1 } 5 1 z x(k+ 2) + 6x(k+ 1) + 6,x(k) ==Z { x(k+ 2)} + 6z{ x(k+ l)} + ¡-z( x(k)} = Z{l}
- 124. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z Mediante la propiedad 2, si Z[x(k)] = X(z), entonces Z {x(k+l)} =zX(z)-zx(O) =zX(z) Z{x(k+2)} =z2 X(z)-z2 x(O)-zx(l) =z2 X(z)-z A partir de la tabla 4.2, vemos que la transformada z de la secuencia paso unitario es z z {1} = z-1 La sustitución directa de estas expresiones en la ecuación transformada produce entonces ( 5 1) z z2 + - z + - X( z) - z = -- 6 6 z-1 Así, la transformada z X(z) de la secuencia solución x(k) es z z X(z)= + ( =X(z)+X(z) z2 +¡z+¼ (z-1) z2 +¡z+¼) ª b 113 Nótese que el primer término Xa(z) resulta de las condiciones iniciales, y el segundo, Xb(z), resulta de I& secuencia de entrada. En consecuencia, el inverso del primer término es la respuesta libre, y el inverso del segundo es la respuestaforzada. El primero puede invertirse formando la expansión en fracciones parciales Xu(z) 1 6 6 --= =---+-- z2 + ¡z + ¼ z + ½ z + ½ z De esto, z z X (z) = -6-- +6-- ª z+½ z+½ y de la tabla 4.2, el inverso de Xu(z) (la respuesta libre) es k=0,1,2, ... De modo similar, para encontrar la respuesta forzada se forma la siguiente expansión en fracciones parcia les: Así Xiz) 1 -z- = (z-l){z+½)(z+½) ½ 4 -¡ =--+--+-- z-1 z+½ z+½ 1 z 4z .2.z Xb(z) = _2- + -- - _2- z-1 z+½ z+½
- 125. 114 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Entonces, de la tabla 4.2, la inversa de Xb(z) (la respuesta forzada) es k=0,1,2, ... La respuesta total x(k) es 1 ( l)k 3( l)k x(k)ax (k)+xb(k)=--2 -- +- -- ª 2 2 2 3 k = 0,1,2, ... Las ecuaciones de diferencias lineales de vectores y matrices con coeficientes constantes, presen- tadas en la sección 3. 17, también pueden resolverse mediante las técnicas de transformadas z, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4.42. Considere la ecuación de diferencia del ejemplo 4.41, escrita en la forma de variables de estado (véase el ejemplo 3.36): X¡ ( k + 1) = X2 ( k) 5 1 xi(k + 1) = - 6x2 (k) - 6x1(k) + 1 con condiciones iniciales x1(O) = Oy xi(O) = 1. En la forma de vectores y matrices, estas dos ecuaciones se escriben como en donde x{k + 1) =Ax(k) + bu{k) b= [~] x( k) = [ X¡ ( k) J X2(k) x(O)=[~] u(k) 1. La transformada z de la forma de vectores y matrices de la ecuación es z zX(z)-zx(O) =AX(z) + -b z-1 en donde X(z) es la transformada z de un vector evaluado, cuyos componentes son las transformadas z de los componentes correspondientes del vector de estado x(k). Esta ecuación transformada puede escribirse de nuevo como z (z/-A)X(z) =zx(O) + -b z-1 en donde / es la matriz identidad o unidad. La transformada z del vector solución x(k) es z X{z) =z(z/-A)-1 x(O) + --(zl -A)-1 b z-1
- 126. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 115 en donde (-)- 1 representa el inverso de la matriz. Puesto que zl-A = [; -1 ] z+¾ entonces _ 1 1 [z+¾ (zl -A) = 2 s i z +6z+6 -¼ Sustituyendo en (z/ - A)- 1 , x(O) y b, producen en donde, el primer término es la transformada z de la respuesta libre, y el segundo, la transformada de la respuesta forzada. Utilizando el método de expansión en fracciones parciales y la tabla 4.2, la inversa de esta transformada z es x(k) = 2 2 2 J [ l-2(-l)k. +l(-l)kl ½+(-½)k-½(-½)k k = 0,1,2, ... 4.10 Determinación de raíces de polinomios Los resultados de las secciones 4.7, 4.8 y 4.9 indican que encontrar la solución de ecuaciones diferenciales y de diferencia lineales con coeficientes constantes mediante las técnicas de transfor- mada, generalmente requiere la determinación de las raíces de ecuaciones polinómicas de la forma: n Qn(s)= [a;s;=O i=O endondean = 1, a0 , a1, ••• , an_,1 son constantes reales, y s se remplaza por zpara los polinomios de transformada z. Las raíces de una ecuación polinómica de segundo orden s2 + a,s + a0 = Opueden obtenerse directamente de la fórmula de la ecuación cuadrática, y están dadas por S¡ = -a1 + ,/af- 4a0 2 Pero, para polinomios de orden superior, en general, tales expresiones analíticas no existen. Las que existen son muy complicadas. Afortunadamente, existen técnicas numéricas para determinar estas raíces.
- 127. 116 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Como una ayuda para el uso de tales técnicas numéricas, se dan las siguientes propiedades generales de Qn(s): 1. Si una raíz repetida de multiplicidad n¡ se cuenta como n¡ raíces, entonces Qn(s) = Otiene exactamente n raíces (teorema fundamental del álgebra). 2. Si Qn(s) se divide por el factor s + p hasta obtener un residuo constante, el residuo es Qn(-p). 3. s +pes un factor de Qn(s) si y sólo si Qn(-p) = O [-pes una raíz de Qn(s) = O]. 4. Si <r + jw (con a- y w reales) es una raíz de Qn(s) = O, entonces a- - jw también es raíz de Qn(s) = O. 5. Si n es impar, Qn(s) = O tiene por lo menos una raíz real. 6. El número de raíces reales positivas de Qn(s) = Ono puede exceder el número de variacio- nes de signo de los coeficientes del polinomio Qn(s), y el número de raíces negativas no puede exceder el número de variaciones de signo de los coeficientes de Qn(-s) (regla de los signos, de Descartes). De las técnicas disponibles para la determinación iterativa de las raíces de una ecuación poli- nómica (o de modo equivalente, de los factores del polinomio), algunas permiten determinar sólo las raíces reales, y otras, las reales y las complejas. A continuación se presentan los dos tipos. El método de Horner Este método puede utilizarse para determinar las raíces reales de la ecuación polinómica QnCs) = O. Los pasos a seguir son: 1. Evaluar Q11(s) para los valores enteros reales des, s =O,± l, ±2, ... , hasta que para dos valores enteros consecutivos como k0 y k0 + l, Qn(k0 ) y QnCko + l) tengan signos opues- tos. Entre k0 y k0 + l se encuentra una raíz real. Sin perder generalidad, se supone que esta raíz es positiva. Se toma k0 como la primera aproximación a la raíz. En los pasos restantes se obtienen correcciones a la misma. 2. Determinar una secuencia de polinomios Q~ (s) utilizando la relación recursiva Q~+l(s) ~ Q~( 1¿1 + s) = '[ af+is; 1=0 l = O, 1,2, ... (4.13) en donde Q~ (s) = Qn(s), y los valores k1, l I , 2, ... , se generan en el paso 3. 3. Determinar el entero k1 en cada iteración, evaluando Q~(s) para los valores reales des dados por s = k/101 , k = O, l, 2, ... , 9. Parados valores consecutivos de k, porejemplok1y kl+ 1, los valores de QnCk1 /101 ) y Qn(k1+ 1/101 ) tienen signos opuestos. 4. Repetir el procedimiento hasta que se alcance la exactitud deseada de la raíz. La aproxi- mación de la raíz real para la N-sima iteración, está dada por N k sN= L 1~1 l=O (4.14) Cada iteración aumenta la exactitud de la aproximación en una cifra decimal.
- 128. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 117 El método de Nfwton Este método puede determinar las raíces reales de la ecuación polinomial Qn(s) =O. Los pasos a seguir son: l. Obtener una primera aproximación de una raíz, s0 , haciendo una suposición "razonable" o mediante una técnica como la del paso 1 del método de Homer. 2. Generar una secuencia de aproximaciones mejoradas hasta que se alcance la exactitud deseada, mediante la relación recursiva S/+1 =s¡- d ds [Qn(s )] que también puede escribirse como n I: (i-1)a;Sf i=O Sl-+1 = n en donde l = O, 1, 2, ... L ia;sf- 1 i=l (4.15) Este método no proporciona una medida de la exactitud de la aproximación. En realidad, no hay ninguna garantía de que las aproximaciones converjan al valor correcto. El método de Lin-Bairstow Este método puede determinar las raíces reales y las complejas de la ecuación polinomial Qn(s) =O. Más exactamente, este método define los factores cuadráticos de Qn(s) a partir de los cuales se determinan dos raíces mediante la fórmula cuadrática. Por supuesto, las raíces pueden ser reales o complejas. Los pasos a seguir son: l . Obtener una primera aproximación de un factor cuadrático s2 + a1s + a0 de Qn(s) = "f.7-oa;i mediante alg6n método, tal vez una suposición "razonable". En los pasos siguientes se consigue la corrección a esta aproximación. 2. Generar un conjunto de constantes bn- 2 , bn-3 , ••• , b0 , b_ 1, b_2 a partirde la relación re- cursiva en donde bn bn-1 = O e i = n, n - 1,... , 1, O.
- 129. 118 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 3. Generar un conjunto de constantes Cn- 2 , cn_ 3 , ... , c 1, c 0 a partir de la relación recursiva. 4. en donde en = Cn _ 1 = O e í = n, n - 1,... , l. Resolver las dos ecuaciones simultáneas c0 da1 +c1 da0 = b_1 ( -a1c0 - a 0c1) da1 + c0 da0 = b_2 para Lla1 y Lla0 . La nueva aproximación del factor cuadrático es 5. Repetir los pasos 1 al 4 para el factor cuadrático obtenido en el paso 4, hasta que las aproximaciones sucesivas se encuentren lo suficientemente cercanas. Este método no proporciona una medida de la exactitud de la aproximación. En realidad, no hay ninguna garantía de que las aproximaciones converjan al valor correcto. El método del lugar de las raíces Este método puede utilizarse para determinar las raíces reales y las complejas de una ecuación polinomial Qn(s) = O. La técnica se estudiará en el Capítulo 13. 4.11 El plano complejo: diagramas de polos y ceros Las funciones racionales F(s) para los sistemas continuos pueden escribirse nuevamente como m bmCT(s+z;) F(s) = _;_-_on___ i=l n LO;Si CT(s+pJ i=O ;-o en donde los términos s + z; son los factores del numerador polinomial, y los términos s + p; son los del denominador polinomial, con an = 1. Sis se remplaza por z, F(z) representa una función del sistema para los sistemas discretos en el tiempo. Definición 4.6: Definición 4. 7: Aquellos valores de la variable complejas, para los cuales IF(s)I [el valor absoluto de F(s)] es cero, se denominan ceros de F(s). Aquellos valores de la variable complejas, para los cuales IF(s)I es infi- nito, se denominan polos de F(s).
- 130. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA EJEMPLO 4.43. Sea F(s) dada por que puede reescribirse como 2s2 - 2s - 4 F( s) = -s-c-- 3 _+_5_s_ 2 _+_8_s_+_6 2(s+l)(s-2) F( s) = (s_+_3_)(_s_+_l_+_1_·)(_s_+_l__ -J-.) 119 F(s) tiene ceros.finitos en s = -1 y s = 2, y un cero en s = oo. F(s) tiene polos.finitos en s = -3, s = -1 -j ys=-1+j. Los polos y los ceros son números complejos determinados por dos variables reales, una que representa la parte real, y la otra, la parte imaginaria del número complejo. Entonces, un polo o un cero pueden representarse como puntos en el sistema de coordenadas rectangulares. La abscisa de este punto representa la parte real, y la ordenada la parte imaginaria. En el planos la abscisa se llama eje (J', y la ordenada eje jw. En el plano z la abscisa se llama eje µ,, y la ordenada eje jv. Los planos definidos por estos sistemas de coordenadas por lo general se llaman plano complejo (planos o plano z). Aquella mitad del plano complejo en la cual Re(s) < Oo Re(z) <Ose llama lado izquierdo del planos o del plano z (UP), y aquella mitad en la que Re(s) > Oo Re(z) >Ose llama lado derecho del planos o del plano z (LDP). La porción del plano zen la que lzl < I se llama (el interior del) círculo unitario en el plano z. La posición de un polo en el plano complejo se nota simbólicamente mediante una equis (X), y la posición de un cero, mediante un pequeño círculo (Ü). El planos que incluye las posiciones de los polos y los ceros finitos de F(s) se denomina diagrama de polos y ceros de F(s). Para el plano z, se tiene una descripción similar. EJEMPLO 4.44. La función racional (s+l)(s-2) F(s) = - - - - - - - - ( s + 3)( s + 1 +J)( s + 1 - J) tiene los polos finitos s = -3, s = -1 -j, y s = - 1 +j, y los ceros finitos s = -1 y s = 2. En la figura4-2 se muestra el diagrama de polos y ceros de F(s). -3 -2 eje jw x--- 1 1 1 1-l 1 j2 *--- ~~:, Figura 4-2 2 3 eje <T
- 131. 120 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.12 Evaluación gráfica de residuos* Sea F(s) una función racional escrita en su forma de factores como: m bmCT(s+z;) F(s) = -~~=- 1 - - - 0 (s+p;) i=l Puesto que F(s) es una función compleja, puede escribirse en forma polar como F(s) = 1 F(s) jeilf> = 1 F(s) lil en donde IF(s)I es el valor absoluto de F(s) y</>= arg F(s) = tan- 1 [Im F(s)/Re F(s)]. F(s) además puede escribirse en términos de las formas polares de los factores s + z; y s + p; como m bmCT Js+z;J F(s) = --,~e-· =_l_ __ n1s+p¡J i=l en donde s + z Is + Z¡I /c¡,iz y s + p¡ Is + p;ljcfi;p- Cada número complejos, z;,p;, s + z; y s + p; puede representarse por un vector en el plano s. Si pes un número complejo general, el vector que lo representa tiene magnitud lpl y dirección definida por el ángulo [Imp] cf,=tan- 1 - - Rep medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje o- positivo. En la figura 4-3 se muestran un polo -p; y un cero -z; típicos, junto con una variable compleja general s. También se muestran las sumas de vectores s + z; y s + p;. Nótese que el vector s + z; comienza en el cero -z; y termina en s, y el vector s + p¡ comienza en el polo -p¡ y termina en s. * En esta sección, mientras se emplee s para representar la variable compleja no se intenta representar la variable de Laplace únicamente, sino más bien se hace referencia a una variable compleja en general, y la discusión se aplica tanto a las transformadas de Laplace como a las transformadas z.
- 132. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 121 eje jw •+z; eje u Figura 4-3 El residuo ckl =ckdel polo -pkpara los diferentes polos de la función.racional F(s), está dado por m bm(s +Pk) nts +Z¡) ek = (s + Pk) F(s)Is--Pk = n i = 1 O(s+p¡) ;-1 Estos residuos pueden determinarse mediante el siguiente procedimiento gráfico: l. Dibujar el diagrama de polos y ceros de (s + Pk) F(s). 2. Sobre este diagrama, dibujar los vectores comenzando en los polos y ceros de (s + Pk) F(s), y terminando en - Pk· Medir la magnitud (en laescala del diagrama de polos yceros) de estos vectores y los ángulos correspondientes desde el eje real positivo en la dirección , contraria al sentido del movimiento de las manecillas del reloj. 3. Obtener la magnitud lckl del residuo ck por medio del producto de bm y las magnitudes de los vectores desde los ceros hasta -pk, dividido entre el producto de las magnitudes de los vectores desde los polos hasta -pk. 4. Determinar al ángulo <Pk del residuo ck mediante la suma de los ángulos de los vectores desde los ceros hasta - Pk menos la suma de los ángulos de los vectores desde los polos hasta -pk. Esto es cierto para bm positivo. Si bm es negativo, se suman 180º a ese ángulo. El residuo ck en forma polar es o en forma rectangular Esta técnica gráfica no es aplicable directamente para la evaluación de residuos de polos múltiples.
- 133. 122 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.13 Sistemas de segundo orden Como se indicó en la sección 3.14, muchos sistemas de control pueden describirse o aproxi- marse mediante la ecuación diferencial de segundo orden d 2 y dy - + 2rw - + w2 y = w2 u dt2 n dt n n En la cual el coeficiente positivo wn se denomina frecuencia natural no amortiguada, y el coeficiente ( es la razón de amortiguación del sistema. La transformada de Laplace de y(t), cuando las condiciones iniciales son cero, es Y(s) - [,,+ir~,+..;]u(s) en donde U(s) = .P [u(t)]. Los polos de la función Y(s)IU(s) Nótese que: 1. Si ( > 1, los dos polos son negativos y reales. 2. Si ( = 1, los polos son iguales, negativos y reales (s = -wn). 3. Si O < ( < 1, los polos son las conjugadas complejas con partes reales negativas (s = -(wn ± jwn VI -(2 ). 4. Si ( = O, los polos son imaginarios y conjugadas complejas (s = ± jwn). 5. Si ( < O, los polos se encuentran al lado derecho del plano s (LDP). En este libro es de particular interés el caso 3, ya que representa un sistema subamortiguado de segundo orden, Los polos son conjugadas complejas con partes reales negativas localizadas en o en S = -twn ±jw)l - r2 s= -a ±Jwd en las cuales 1/a = 1/(w11 se denomina constante de tiempo del sistema, y wd = w11V 1 -(2 , frecuencia natural amortiguada del sistema. Para un w11 fijo, la figura 4-4 muestra la localiza- ción de estos polos en función de (, para O < ( < 1. El lugar geométrico es un semicírculo de radio wn- El ángulo 0 está relacionado con la razón de amortiguación por medio de 0 = cos- 1 (. No existe una descripción similar tan simple y útil para los sistemas de segundo orden que se representan mediante ecuaciones de diferencia.
- 134. LA TRANSFORMADA DE· LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z t=l 8 1=0 Figura 4-4 eje jw ¡.,,. Problemas resueltos Transformadas de Laplace a partir de su definición 123 eje <I 4.1 Demuestre que la función paso unitario l(t) tiene transformada de Laplace, y determine su transformada. La sustitución directa en la ecuación, de la definición 4.2, produce para a0 > O. La transformada de Laplace está dada por la definición 4. 1: 1 1 00 2[l(t)] =1 00 1(t)e-st dt=--e-st o+ s o+ 1 para Res > O s 4.2 Demuestre que la función rampa unitaria t tiene transformada de Laplace, y determine su transformada. La sustitución directa en la ecuación, de la definición 4.2, produce oo e-ª 0 ' 1 00 1 1 ltle-ª01 dt=-(-0¡¡t-l) =-< +oo 0 + 11 2 11 2 o 0 + o para a0 > O. La transformada de Laplacc está dada por la definición 4. 1: 1 S2 para Res > O
- 135. 124 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.3 Demuestre que la función sen t tiene transformada de Laplace, y determine su transformada. La integral ¡;..¡sent¡e-ªº' dt puede evaluarse rescribiéndola sobre todos los semiciclos positi- vos de sen t como para n par, y para todos los semiciclos negativos de sen t como (n+l),r e-aomr -J sen te- 001 dt = - 2 - - [ e-ªo" + 1] nor a0 + 1 para n impar. Entonces Para e-ª•"< I ó a0 > O la suma converge y puede escribrrse en forma cerrada como 00 1 L e-ººn'" = ____ n-o 1 - e-ª•" Entonces oo [l+e-ªº")( 1) i ¡sent¡e-0 • 1 dt = ---- ~ < + oo o+ 1 - e-ª0"' aJ + 1 para <Jo> O . 100 e-"(-ssent-cost)l 00 1 Fmalmente, Jf[sent] = sente- st dt = 2 = - 2 - - 0+ s + 1 o+ s + 1 para Res> O 4.4 Demuestre que la transformada de Laplace de la función impulso unitario está dada por .P(8(t)] = 1. La sustitución directa de la ecuación (3 .19) en la ecuación de la definición 4. 1 produce 1 00 1 00 [l(t)-l(t-At)l B(t)e- st dt= lim - - - - - - e-s ' dt o+ o+ ¡:,.,...o At [ ool(t) ool(t-At) l l[l e-ilts] = lim 1 -- e-SI dt-1 ----e-st dt = lim - - - - - ¡:,.,...o o+ At o+ At ¡:,.,...o At s s en donde la transformada de Laplace de l(t) es 1/s, como se demostró en el problema 4.1, y el segundo término se obtiene utilizando la propiedad 9. Ahora -llts (Ats) 2 (Ats) 3 e =1-Ats+ --- - - - - + 2! 3!
- 136. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 125 (véase la referencia [I ]). Así l[l e-A,s] 1[ (dt}2s (dt}3s 2 ] 2[B(t)]= lim - ---- = lim - dt---+---··· =1 At--+O dt s s At--+G dt 2! 3! Propiedades de la transformada de Laplace y de su inversa 4.5. Demuestre que 2'[aif1(t) + aifi(t)] = a 1F 1(s) + a2Fi(s), en donde F1(s) = 2'[J1(t)] Y Fz(s) = 2' [fi(t)] (propiedad 1). Por definición =a1l<X)!1(t)e-s ' dt + ª2l<X)!2(t)e- s ' dt o+ oT = a12[/1(t)] + a22[/2 (t)] = a1F1(s) + a2 .fi(s) 4.6 Demuestre que 2'- 1[a1F 1(s) + a2Fi(s)] = aif1(t) + aifz(t), en donde.2'- 1 [Fi(s)] = f1(t) y .,2'- 1 [Fi(s)] = fi(t) (propiedad 2). Por definición 4.7 Demuestre que la transformada de Laplace de la derivada df!dt de una función f(t) está dada por 2[df!dt] = sF(s) - fiO +), en donde F(s) = 2' [fit)] (propiedad 3). Por definición,
- 137. 126 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTAGION Y SISTEMAS DE CONTROL Integrando por partes, en donde lim,_ 0/(() = /(O+). 4.8 Demuestre que [ ¡r ] F(s) .fe ;/(r)dr = -s- en donde F(s) = .fe [f(t)] (Propiedad 4). Por definición y con un cambio en el orden de las integraciones, tenemos .fR [f1(T) dr] = 100 11 /( T) dre- st dt = looj( T) [oo e-SI dtdT o o+ o o+ lT 00 [ 1 1 oo ] 00 e- ST F( S) = J J( r) - -e-st dr= 1 f( r)-dr= - o+ s T o+ s s 4.9 Demuestrequef(O+) =lim 1 -of(t) = lim s - oo sF(s), en dondeF(s) = .ft'[f(t)] (propiedad 5). A partir del problema 4.7, . [ ~] T~ 2 - =sF(s) -/(O+)= lim J -e-st dt dt T-+oo < dt <-+Ü Ahora hacemos que s - oo, esto es, lim [sF(s) - /(o+)]= lim [ lim Jrddfe-st dtl s-oo s-+oo T-oo f t (-+Ü Puesto que los procesos de límite pueden intercambiarse, tenemos Pero el lim ., - oce- s ' =O.En consecuencia el lado derecho de la ecúación es cero, y lim s - oo sF(s) = f(O+).
- 138. LA TRAN~FORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 127 4.10 Demuestre que si lim 1 ...., 00 f(t) existe, entoncesf(oo) =lim 1 ..... 00 f(t) = lim s .... o sF(s), en donde F(s) = 2 [f(t)] (propiedad 6). Del problema 4.7, [#] T# 2 - =sF(s) -/(O+)= lim f -e-11 dt dt T_,oo < dt , ....o Ahora, hacemos s -+ O, esto es, Puesto que los procesos de límite son intercambiables, tenemos Sumandof(O+) a ambos lados de la última ecuación se produce lim s .... o sF(s) = f(00) si existe el límite f(oo) = lim, .... ,,J(t). 4.11. Demuestre que 2 [!(tia)] = aF(as), en donde F(s) = 2 [f(t)] (propiedad 7). Por definición 2 [!(tia)] = f(fl f(tla)e- st dt. Haciendo el cambio de variable T = tia, 4.12. Demuestre que 2- 1 [F(sla)] Por definición, af(at), en donde f(t) = 2- 1 [F(s)] (propiedad 8). 2-- 1 [ F(!_)] = ~ f +Joo F(!_) e·" ds a 2'1TJ c-100 a Haciendo el cambio de variable w = sla, 1 [ (s)] a ¡c+Joo 2- F - = -. . F(w)ew(at>dw=af(at) a 2'1TJ c-100
- 139. 128 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.13. Demuestre que Y[J(t - 1)] = e-sTF(s), en dondef(t - 7) = Ot :s; Ty F(s) = Y[J(t)] (propiedad 9). Por definición, 9'[/(t- T)] = 100 f(t- T)e- st dt = ¡oof(t- T)e- st dt o+ lr Haciendo el cambio de variable 0 = t - T, 4.14. Demuestre que 2 [e-ª'.f(t)] = F(s + a), en donde F(s) = .fé' [J(t)] (propiedad 10). Por definición, 9'[ e-ª'f(t)] = 100 e-ª1 /(t)e- st dt = 100 f(t)e-<s+a)t dt = F(s + a) o+ o+ 4.15. Demuestre que En donde F 1(s) = 2 [11(1)) y F2(s) = .P [f'z(t)] (propiedad 11). Por definición, Pero 1 ¡c+joo f1(t)=-. F¡(w)e"''dw 2'1TJ c-joo En consecuencia 1 loofc+joo 9'[/1(t)Ji( t)] = - 2 . . F¡ ( w) e"'' dwfi( t) e-,, dt 'TTJ o+ c-Joo Intercambiando el orden de las integraciones se produce
- 140. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 129 Puesto que f0 ~f2 (t)e-<•-w)t dt = fi(s - w)', 1 Jc+joo 2[fi(t)/2 (t)] = :;-: F1(w)fi(s-w) dw ;.'ITJ c-joo 4.16. Demuestre que en donde / 1(t) = ,::e-t [F1(s)] y fz(t) = 2-1 [F2(s)] (propiedad 12). Por definición, Pero F¡(s) = /¡~ f 1(r)e-,r dr. Por tanto Intercambiando el orden de las integraciones se produce Puesto que 1 re+joo ::-:-; . . Fi(S) e•(t-T) <Ís =!2((- T) · 100 en donde la segunda igualdad es verdadera puesto que fi(t - r) = O par. r 2: t. 4.17. Demuestre que ro Y _ iyí ) " i· 1-k k [ di ] i-1 ,,z, - . - s , s - ¿_, s Yo dt' k=O para i > O, en donde Y(s) = Je [y(t)] y y; = (dk y!dl)l,~o + Este resultado puede demostrarse por inducción matemática. Para i = 1, · 2(!]=sY(s)-y(O') =sY(s)-·Y<i
- 141. 130 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL como se demostró en el problema 4.7. Ahora, suponemos que este resultado también es válido para i = n - I, es decir Entonces .!t' [d" yldt" se puede escribir como ( n-2 ) n-1 n-ly( ) '' n-2-k k n-1 _ ny( ) _ '' Sn-1-k,,k = s s s - ,t., s Yo - Yo - s s ,t., .ro k=O k=O Para el caso especial en que n = 2, tenemos .!t'[d2 y/dt1 ]=s 2 Y(s)-syi-yJ. Transformadas de Laplace y sus inversas a partir de la tabla de pares de transformadas 4.18. Encuentre la transformada de Laplace def(t) = 2e-t coslOt - t4 + 6e-<t-io¡ para t > O. De la tabla de pares de transformadas, s+l 2 [ e 'cos lOt] = 2 (s + 1) + 102 Utilizando la propiedad 9, .!t'[e-u-io¡] = e- 1 º"/(s + 1). Utilizando la propiedad 1, 2(s + 1) 24 6e- 10 ' 2[/(r)] =22[e-'cosl0t]-.!t'[t4 ] +6.!t'[e-<1 - 1ºJJ = ~ - - - - - + - - s2 + 2s + 101 s5 s + 1 4.19. Encuentre la inversa de la transformada de Laplace de para t > O. 2 S 2 - 6s + 13 2e-0.5s F(s)= s2-6s+ 2 ( s - 3) 2 + 22 s-1 s2 - 2s + 2 s-1 s-1 s2-2s+2 (s-1)2+1 Las inversas de las transformadas se determinan directamente de la tabla 4.1, así 2 1 [ 1 , ] =e 3 'sen2t (s-3)-+22 2- 1 - - - - - = e' cos t [ s -1 ] (s-1) 2 +1
- 142. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z Utilizando la propiedad 9, y luego la propiedad 2, el resultado es f(t)={-e 1 cost e3u-o S) sen2( t - 0.5) - e' cos t O< t ~ 0.5 t> 0.5 131 Transformadas de Laplace de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 4.20. Determine la transformada de la salida Y(s) para la ecuación diferencial d 3 y d 2 y dy d 2 u -+3---+6y=--u dt 3 dt 2 dt dt2 en donde y la salida, u la entrada y las condiciones iniciales son dy 1 y(o+)=- =O dt t=O+ Utilizando la propiedad 3 o el resultado del problema 4.17, las transformadas de Laplace de los términos de la ecuación son como siguen: [d2 u] du 1 2 - 2 = s2 U(s) -su(o+) - - dt dt t=O+ en donde Y(s) = !t [y(t)] y U(s) = .;i' [u(t)J. la transformada de Laplace de la ecuación dada puede escribirse ahora como 2[ ::: ] +32[ ::: ]-2[ !]+62[y] = s3 Y( s) - 1 + 3s2 Y( s) - sY( s) + 6Y( s) =2[d 2 :]-2[u] =s2 U(s)-su(o+)- dul - U(s) dt dt ,-o+ Resolviendo para Y(s), obtenemos (s2 - l)U(s) Y(s)=-s3 ~+-3s~ 2-_-s_+_6 su(o+) + du 1 1 dt ,-o+ ------- + --,------- s3 + 3s2 - s +6 s3+ 3s2 - s +6
- 143. 132 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.2L ¿Qué parte de la solución del problema 4.20 es la transformada de la respuesta libre? ¿La respuesta forzada? La transformada de la respuesta libre Ya(s) es aquella parte de la transformada de salida Y(s) que no depende de la entrada u(t), de sus derivadas o de su transformada; es decir, 1 Y,, (s) = -s3 _+_3_s_ 2 ___ s_+_6 La transformada de la respuesta forzada Yis) es aquella parte de Y(s) que depende de u(t), de su derivada y de su transformada; es decir, (s2 -l)U(s) Y,,(s) = -s- 2 _+_3_s_ 2 ---s-+-6 s3 + 3,s-2 - s +6 4.22. ¿Cuál es el polinomio característico para la ecuación diferencial de los problemas 4.20 y 4.21? El polinomio característico es el denominador polinomial que es común a las transformadas de las respuestas libre y forzada (véase el problema 4.21), es decir, el polinomio s3 + 3s2 - s + 6. 4.23 Determine la transformada de la salida Y(s) del sistema del problema 4.20 para una entrada u(t) = 5 sen t. De la tabla 4.1, U(s) =.!t' [u(t)] = .!t'l[5 ·sen t] = 5!(s2 + 1). Los valores iniciales de u(t) y du!dt son u(O+) = lim,_ 0 5 sen t = O, (du/dt)l,-o+ = lim ,-o 5 cos t = 5. Sustituyendo estos valores en la transformada de la salida Y(s) dada en el problema 4.20. s2 - 9 Y(s) = - - - - - - - ( s3 + 3s2 - s + 6)(s2 + 1) Expansiones en fracciones parciales 4.24. Una función racional F(s) puede representarse por n F(s) = L b¡s; r n, i=O ~ ~ C¡k r = bn + l.., l.., k n(s +P;r' . i=l k=l (s +P;) i=l ( 4.10a) en donde la segunda forma es la expansión en fracciones parciales de F(s). Demuestre que las constantes c;k están dadas por
- 144. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 133 ( 4.10b) s= -p¡ Sea (s + p;) el factor de interés y de forma Esta puede escribirse de nuevo como Ahora Nótese que los tres primeros términos del lado derecho de (s + p)n1 F(s) tendrán el factor s + pj en el numerador aún después de derivarlos nj - l veces (l = 1,2,... , n) de modo que se hacen cero cuando se evalúan en s = -pj. Entonces Excepto por el término en la sumatoria para el que k = l, todos los demás son cero puesto que contienen a (s + p) como factor. Entonces d"1-I 1 ds"1 _,[(s+p1) 111 F(s)] s=-pJ =(n1 -!)(n1 -t-1) .. ,(l)cJ/ o l d"1- 1 1 C¡1= (ni-/)! dsn,-1[(s+pJ)"íF(s)] s=-p1 4.25. Expanda Y(s), del ejemplo 4.17, en fracciones parciales. Y(s) puede escribirse de nuevo con el denominador polinomial en forma factorizada como
- 145. 134 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL -(s2 +s-1) Y( s) = -s(-s-+-1)-(s_+_2_) La expansión en fracciones parciales de Y(s) es [véase la ecuación (4.//)J en donde b3 = O, -(s 2 +s-l)I Cu=(s+l)(s+2) .,-o Así 1 2 C11 C21 C31 Y( s) = b3 + - + -- + -- s s+l s+2 -(s2+s-l)I =-1 C21 = s(s + 2) s- -1 1 1 1 Y( s) = 2s - s + 1 - 2( s + 2) -(s 2 +s-l)I c31 = s(s+l) 4.26. Expanda Y(s), del ejemplo 4.19, en fracciones parciales. 1 = -- 2 s- -2 Y(s) puede escribirse nuevamente con el denominador polinomial en forma factorizada como s2 +9s+l9 Y(s)------- - (s+l)(s+2)(s+4) La expansión de Y(s) en fracciones parciales es fvéase la ecuación (4.//)J C¡¡ Cz¡ C3¡ Y( s) = b + -- + -- + -- 3 s+l s+2 s+4 en donde b3 = O, s 2 + 9s +19 1 11 C¡¡ = {s+2)(s+4) ,--l =3 s 2 +9s+l9 I C2¡ = (s+ l}(s+4) s---2 s 2 + 9s + 19 1 1 c31 =(s+l)(s+2) ,__ 4 6 11 5 1 Así Y(s)= 3(s+l) - 2(s+2) - 6(s+4) 5 2 Inversas de las transformadas de Laplace utilizando expansiones en fracciones parciales 4.27. Determine y(t) para el sistema del ejemplo 4.17. Del resultado del problema 4.25, la transformada de y(t) puede escribirse como 1 1 1 9'[y(t)] = Y(s) = 2s - -s+-1 - -2(-s+_2_)
- 146. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA 135 En consecuencia y( t) = ~2-1 [~]-2-1 [ - 1 -]- ~2-1 [ - 1 -] = ~[1- 2e-, - e- 21 ] t > O 2 s s+l 2 s+2 2 4.28. Determine y(t) para el sistema del ejemplo 4. 19. Del resultado del problema 4.26, la transformada de y(t) puede escribirse como 11 2[y(t)] = Y(s) = ( ) 3 s + 1 5 1 2(s + 2) 6(s + 4) En consecuencia 11 5 1 y(t) = -e-, - -e- 21 - -e-4' 3 2 6 Raíces de los polinomios 4.29. Encuentre una aproximación de una raíz real de la ecuación polinomial con una exactitud de tres cifras significativas utilizando el método de Horner. Mediante la regla de los signos, de Descartes, Q3(s) tiene tres variaciones en los signos de sus coeficientes (1 a -3, -3 a 4 y 4 a -5). Entonces puede haber tres raíces reales positivas. QJ(-s) = -s3 - 3s2 - 4s - 5 no tiene cambios de signo; en consecuencia QJ(s) no tiene raíces reales negativas y sólo se necesita considerar los valores de s mayores que cero. Paso I - Tenemos Q3(0) = - 5, QJ( 1) = - 3, Q3(2) = -1, Q3(3) = 7. En consecuencia ko = 2 y la primera aproximación es s0 = k0 = 2. Paso 2 - Se determina que Q1(s) es Q1( s) = Q~(2 + s) = (2 + s) 3 - 3(2 + s)2 + 4(2 + s) - 5 = s3 + 3s2 + 4s - 1 Paso3-Ql(O) = -I,Q1(ib) = -0.569,Q~(fu) = -0.072,Q~(fo) = 0.497. Dedondek1 = 0.2y s, = ko + k, = 2.2. Ahora se repite el paso 2 para determinar Qf(s): Q?( s) = Q1(0.2 + s) = (0.2 + s) 3 + 3(0.2 + s) 2 + 4(0.2 + s) -1 = s3 + 3.6s2 + 5.32s - 0.072 Repitiendo el paso 3: Qj(O) = -0.072, Qj(l/100) = -0.ü18,Q~(2/100) = 0.036. De donde k2 = 0.01 y s2= ko + k1 + k2 = 2.21 que es una aproximación de la raíz con una exactitud de tres cifras significativas.
- 147. 136 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.30. Encuentre una aproximación de una raíz real de la ecuación polinomial dada en el proble- ma 4.29, utilizando el método de Newton. Efectúe cuatro iteraciones y compare el resulta- do con la solución obtenida en el problema 4.29. La secuencia de aproximaciones se define haciendon = 3, a3 = 1, a2 = -3, a 1 = 4yao:,; -5 en la relación recursiva del método de Newton [ecuación (4. J5)]. El resultado es 2s¡ - 3sl + 5 s - i+ 1 - 3sl - 6s1 + 4 /= 0,1,2, ... Digamos que la primera suposición es s0 = O. Entonces 5 s, = - = 125 4 . 2(3.55) 3 - 3(3.55) 2 + 5 s =--------=2.76 3 3(3.55)2 - 6(3.55) + 4 2(1.25)3 - 3(1.25) 2 + 5 s, = -------- = 3.55 - 3(1.25)2 - 6(1.25) +4 2(2.76) 3 - 3(2.76)2 + 5 s = -------- = 2.35 4 3(2.76)2- 6(2.76) + 4 La siguiente iteración produce s5 2.22, y la secuencia converge. 4.31. Encuentre una aproximación de un factor cuadrático del polinomio Q3(s) =s3 - 3s2 + 4s - 5 de los problemas 4.29 y 4.30, utilizando el método de Lin-Bairstow. Realice dos iteracio- nes. Paso J - Escoja el factor s1 - s + 2 como primera aproximación. Las constantes necesarias en el paso 2 son ª• =-1,ao=2,n=3,a3= l,a2= -3,a, =4,ao= -5. Paso 2 - De la relación recursiva i = n, n - 1,... , 1, O, se forman las siguientes constantes: b¡ =03 = 1 b_¡ =O¡+ b0 - lb¡= 0 Paso 3 - De la relación recursiva bo = ª2 + b¡ = - 2 'b_ 2 =a0 +b_ 1 -2/,¡¡= -1 C¡-¡ = b;-¡ - tX¡C¡ - IXQC;+¡ i = n, n - 1,... , 1, se determinan las siguientes constantes: C¡ = b¡ = 1 Co = /,¡¡ +C¡ = - 1
- 148. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z Paso 4 - Las ecuaciones simultáneas c0Aa1+ c1~ = b_1 ( -a1Co - aoc1) Aa1 + Co Aao = b-2 ahora pueden escribirse como -Aa1 +Aa0 =0 -3Aa1 -Aa0 = -1 cuya solución es Aa1 ¼, .:1a0 = ¼, y la nueva aproximación del factor cuadrático es s2 - 0.15s + 2.25 Si se repiten los pasos 1 a 4 para a 1 -0.75, ªº 2,25 la segunda iteración produce s2 - 0.7861s + 2.2583 Diagramas de polos y ceros 4.32. Determine todos los polos y ceros de F(s) = (s2 - 16)J(s5 - 1s4 - 30s3 ). 137 Los polos finitos de F(s) son las raíces del polinomio del denominador de la ecuación s5 - 7s4 - 30s3 = s3 ( s + 3)( s - 10) = O En consecuencias= O, s = -3 y s = 10 son !os polos finitos de F(s). s = Oes una raíz triple de la ecuación y se denomina polo triple de F(s). Estos son los únicos valores de s para los cuales IF(s)I es infinito, y son todos los polos de F(s). Los ceros finitos de F(s) son las raíces del polinomio del numerador de la ecuación s2 -16=(s-4)(s+4) =O En consecuencias= 4y s = -4 son los cerosfinitosdeF(s). A medida que lsl- 00, F(s) = l!s3- O. Entonces F(s) tiene un cero triple en s = 00. 4.33 Dibuje un diagrama de polos y ceros para la función del problema 4.32. De la solución del problema 4.32, F(s) tiene cerosfinitos en s = 4 y s = -4, y polos finitos en s = O(un polo triple) s = -3 y s = 10. En la figura 4-5 se muestra el diagrama de polos y ceros.
- 149. 138 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL eje jw polo triple eje a -6 5 10 Figura 4-5 4.34. Utilizando la técnica gráfica evalúe los residuos de la función 20 F(s) = -(s_+_I_O_)(_s_+_I_+_j_)(_s_+_I___ j_) En la figura 4-6 se muestra el diagrama de polos y ceros de F(s). eje jw j 2.0 -10/ ---¡;-B--.t.__----.:_jU~.~~ r---__ -6°20' ~ 9.07 ---___¡ -j eje " Figura 4-6 En este diagrama de polos y ceros se incluyen los vectores de desplazamiento entre los polos. Por ejemplo, A es el vector de desplazamiento del polos = -10 en relación con el polos= -1 +j. Entonces, resulta claro que -A es el vectorde desplazamiento del polos= -1 +j en relación con el polos = -10. La magnitud del residuo en el polo s - 1O es 20 20 lcd = IA IIBI = (9.07)(9.07) = 0 · 243 El ángulo </J1 del residuo en s = -10 es el negativo de la suma de los ángulos de A y B, esto es,.efJ1 -[186°20' + 173°40'] = -360º. En consecuencia c1 = 0.243. La magnitud del residuo en el polo s = - I + j es 20 20 lc2I = 1-AI ICI = (9.07)(2) = 1.102 El ángulo efJ2 del residuo en el polos= -1 +j es el negativo de la suma de los ángulos de -A y C: 'P2 = -[6º20' + 90º] = -96°20'. Por tanto c2 = 1.102/-96°20' = -0.128 -jl.095.
- 150. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z l39 La magnitud del residuo en el polo s = - 1 - j es 20 ---=1.102 (9.07)(2) El ángulo </>3 del residuo en el polos= -1 -j es el negativo de la suma de los ángulos de -By -C: </>3 = -[-90º -6º20'] = 96º20'. En consecuencia c3 = 1.102 /96º20'= -0.128 + jl.095. Nótese que los residuos c2 y c3 de los polos en conjugada compleja también son conjugadas complejas. Esto siempre es cierto para los residuos de polos en conjugada compleja. Sistemas de segundo orden 4.35. Determine: a) la frecuencia natural no amortiguada wn, b) la razón de amortiguación(, e) la constante de tiempo r, d) la frecuencia natural amortiguada (J)d, y e) la ecuación característica para el sistema de segundo orden dado por d 2 y dy - +5- +9y=9u dt2 dt Comparando esta ecuación con las definiciones de la sección 4.13, tenemos 1 2 a) w~=9 o w,.=3 rad/s e) T= - = -s fw,. 5 e) s2 + Ss + 9 = O 5 5 wd = w)l - r2 = 1.66 b) 2fw = 5 o r= - = - d) rad/s " 2w,. 6 4.36. ¿Cómo y por qué el siguiente sistema puede aproximarse a uno de segundo orden? d 3 y d 2 y dy - 3 +12- 2 +22-+20y=20u dt dt dt Cuando las condiciones iniciales sobre y(t) y sus derivadas son cero, la transformada de la salida es 20 .!'i'[y(t)] = Y(s) = -----U(s) s3 + 12s2 + 22s + 20 en donde U(s) = .[i'[u(t)]. Esta puede escribirse de nuevo como Ys =- - - - Us +- 10 ( 1 s ) 80 ( U( s) ) ( ) 41 s + 10 s2 + 2s + 2 ( ) 41 s2 + 2s + 2 El factor constante W del segundo término es 8 veces el factor constante del primer término. La salida y(t) estará dominada por la función de tiempo
- 151. 140 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 80!f'_ 1 [ U( s) ] 41 s2 + 2s + 2 La transformada de la salida Y(s) puede aproximarse por este segundo término; esto es, 80 ( U( s) ) ( 2 .) Y( s) "" 41 s2 + 2s + 2 ""' s2 + 2s + 2 U( s) La aproximación de segundo orden es d2 y!di2 + 2(dyldt) + 2y = 2u. 4.37. En el Capítulo 6 se mostrará que la salida y(t) de un sistema causal lineal invariante en el tiempo con todas las condiciones iniciales iguales a cero, está relacionada con la entrada u(t) en el dominio dela transformada de Laplace mediante la ecuación Y(s) = P(s)U(s), en donde P(s) se llamafunción de transferéncia del sistema. Demuestre que p(t), la transfor- mada inversa de Laplace de P(s), es igual a lafunción de ponderación w(t) de un sistema descrito por la ecuación diferencial con coeficientes constantes La respuesta forzada de un sistema descrito por la ecuación anterior está dada por la ecuación (3. I 5), con todos los b; = O excepto b0 = 1: y( t) =11 w( t - 'T) u( 'T) d'T o+ y w(t - T) es la función de ponderación de la ecuación diferencial. La inversa de la transformada de Laplace de Y(s) = P(s)U(s) se determina fácilmente, a partir de la integral de convolución de la propiedad 12, como En consecuencia Problemas misceláneos 4.38. Para la red R-C de la figura 4-7:. a) Encuentre una ecuación diferencial que relacione el voltaje de salida y el de emradau b) Haga que el voltaje inicial en el capacitor C sea vc0 = 1voltio, con la polaridad como se muestra en la figura, y haga u = 2e- 1 • Utilizando la técnica de transformada de Laplace encuentre y.
- 152. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z C=l ..---·H•---r-----o+ + ~ de entrada Figura 4-7 a) De la ley del voltaje de Kirchhoff. R=l y l 11 11 u=vc0 +- idt+Ri=vc0 + idt+i e o o 141 Pero y = Ri = i. En consecuencia u = v,-0 + JJ y dt + y. Deri~ando ambos lados de esta ecuación integral se obtiene la ecuación diferencial y + y = u. b) La transformada de Laplace de la ecuación diferencial encontrada en la parte a) es sY(s) -y(O+) + Y(s) =sU(s) - u(o+) en donde U(s) = !l' [2e-'] = 2/(s + 1) y u(O+) = lim 2e-' = 2. Para hallar y(O+ ), se toman 1-0 los límites a ambos lados de la ecuación original de voltaje: u(O+)= limu(t)= lim[v,.0 +1dt+y(t)] =v,.0 +y(o+) 1-0 1-0 O En consecuencia y(O+) = u(O +) - v,,o = 2 - 1 1. La transformada de y(t) entonces es 2s 1 2 2 1 2 1 Y( s) = - - - - - = - , + --- - - = - , + - (s+l)2 s+l (s+l)" s+l s+l (s+lf s+l Finalmente, y(t) =!l'-1[- 2 ] +!l'-1[_1_]=-2te-1 + e-1 (s+l}2 s+l 4.39. Determine la transformada de Laplace de la salida del muestreador ideal descrito en el problema 3.5. De la definición 4. 1 y de la ecuación (3 .20), la propiedad de muestreo del impulso unitario, tenemos 100 100 00 U*(s) = e-stu*(t) dt= e-SIL u(t) 8(t- kT) dt o+ o+ k=O 00 OO 00 = L 1 e- s'u(t)8(t-kT)dt= L e-skTu(kT) k=O o+ k-0
- 153. 142 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.40. Compare el resultado del problema 4.39 con la transformada z de la señal muestreada u(kD, k = O, 1, 2, ... Por definición la transformada z de la señal muestreada es 00 U(z) = L u(kT)z-k k=O Este resultado se pudo haber obtenido directamente sustituyendo z = e'Ten el resultado del proble- ma 4.39. 4.41. Pruebe el teorema del desplazamiento (propiedad 6, sección 4.9). Por definición, 00 Z{f(k)}=F(z)= ¿f(k)z-k k-0 Si definimos una nueva secuencia desplazada por g(O) =f( - 1) = Oy g(k) =f(k - 1), k = 1, 2, ... , entonces 00 00 00 Z{g(k)} = L g(k)z-k= L g(J)z-1= ¿J(J-l)z-J k=O J=O J-0 (véase el comentario I que sigue a la definición 4.4). Ahora redefinamos a k como k =j - 1en la última ecuación. Entonces 00 00 Z{f(k-1)} = L J(k)z-k-I=z- 1 ¿ J(k)z-k k=-1 k=-1 00 =z- 1 /(-l)z+ 1 +z-1 ¿f(k)z-k k-0 00 =zº·O+z-1 L J(k)z-k=z- 1 F(z) k-0 Nótese que la aplicación repetida de este resultado da Z[f(k-J)] = z-1F(z)
- 154. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z 143 Problemas suplementarios 4.42. Demuestre que 2 [ -ef(t)] = dF(s)lds, en donde F(s) = ,P lftt)]. 4.43. Utilizando la imegral de convolución encuentre la inversa de la transformada de 1/s(s) + 2). 4.44. Determine el valor final de la función j(t) cuya transformada de Laplace es 2(s + 1) F(s) = 2 s(s + 3)(s + 5) 4.45. Determine el valor inicial de la función f(t) cuya transformada de Laplace es 4s F(s) = -s3 _+_2-s2 -+-9s_+_6 4.46. Encuentre la expansión en fracciones parciales de la función F(s) = IO!(s + 4)(s + 2)3 • 4.47. Encuentre la inversa de la transformada de Laplacef(t) de la función F(s) = 10/(s) + 4)(s + 2)3 • 4.48. Resuelva el problema 3.24 utilizando la técnica de la transformada de Laplace. 4.49. Utilizando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta forzada de la ecuación diferencial d2 y dy du -+4-+4y=3- +2u dt2 dt dt en donde u(t) = e-3 •, t > O. Compare esta solución con la obtenida en el problema 3.26. 4.50. Usando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre las respuestas transiente y en estado estacionario del sistema descrito por la ecuación diferencial d2yldf + 3(dy!dt) + 2y = 1 con las condiciones iniciales y(O+) y (dy!dt)l,~o+ = 1 4.51. Usando la técnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta de impulso unitario del sistema descrito por la ecuación diferencial d3 y!dt3 + dy!dt = u. 4.43. 4.44. Respuestas a algunos problemas suplementarios .1.. 75
- 155. 144 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 4.45. O 5 5 5 5 4.46. F(s)= - - - - -----,- + --- (s + 2)3 2(s + 2)2 4(s + 2) 4(s + 4) 5t2e -lr 5te-u se- 21 se-4' 4.47. /(t)=-- ---+-- --- 2 2 4 4 4.49. 4.50. Respuesta transitoria= 2e-, - Je- 21 • Respuesta en estado estacionario = ½- 4.51. y8(t) = 1- cost
- 156. Capítulo 5 Estabilidad 5.1 Definiciones de estabilidad La estabilidad de un sistema continuo o discreto en el tiempo se determina por su respuesta a entradas o perturbaciones. Intuitivamente, un sistema estable es el que permanece en reposo a no i;er que se estimule por una fuente externa, y regrese al reposo si se remueven todas las estimula- ciones. La estabilidad puede definirse de manera precisa en términos de la respuesta impulso y.5(t) de un sistema continuo, o de la respuesta delta de Kronecker y5(k) de un sistema discreto en el tiempo (véanse las secciones 3.13 y 3.16), como sigue: Definición 5.la: Uri sistema continuo (discreto en el tiempo) es estable si su respuesta impul- so y5(t) (respuesta delta de Kronecker y5(k)) tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. De otra manera, la definición de sistema estable puede basarse en la respuesta del sistema a entradas acotadas, esto es, entradas cuyas magnitudes son menores que algún valor finito en todo momento. Definición 5.lb: Un sistema continuo o discreto en el tiempo es estable si toda entrada acota- da produce una salida acotada. La consideración del grado de estabilidad de un sistema, a menudo proporciona valiosa infor- mación acerca de su comportamiento. Esto es, si es estable, ¿qué tan cerca está de ser inestable? Este es el concepto de estabilidad relativa. Usualmente, la estabilidad relativa se expresa en términos de alguna variación permisible de un parámetro particular del sistema, durante la cual el sistema permanece estable. En los capítulos posteriores se presentarán definiciones más precisas de los indicadores de estabilidad relativa. En el Capítulo 19 se trata la estabilidad de los sistemas no lineales. 5.2 Localización de las raíces características para sistemas continuos Un resultado importante de los Capítulos 3 y 4 es que la respuesta impulso de un sistema continuo lineal invariable en el tiempo es una suma de funciones exponenciales en el tiempo, cuyos exponentes son las raíces de la ecuación característica del sistema (véase la ecuación 4.12). Una condición necesariay suficientepara que el sistema sea estable es que laspartes reales de las raíces de la ecuación característica sean negativas. Esto asegura que la respuesta de impulso disminuirá exponencialmente con el tiempo. Si el sistema tiene algunas raíces con partes reales iguales a cero, pero no tiene ninguna con parte real positiva, se dice que es estable marginalmente. En este caso, la respuesta impulso no disminuye a cero, aunque está acotada, pero ciertas entradas producirán respuestas no acotadas. Entonces, los sistemas estables marginalmente son inestables. 145
- 157. 146 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 5.1. El sistema descrito por la ecuación diferencial transformada en Laplace. ( s 2 + 1)Y( s) = U( s) tiene la ecuación característica s2 + 1 = 0 Esta ecuación tiene dos raíces ±j,pero al éstas tener partes reales iguales a cero, el sistema no es estable. Sin embargo es marginalmente estable, puesto que la ecuación no tiene raíces con partes reales positivas. En respuesta a la mayor parte de las entradas o perturbaciones, el sistema oscila con una salida acotada. Sin embargo, si la entrada es u= sen t, la salida contendrá un término de la forma y= t cos t, que no es acotado. 5.3 Criterio de estabilidad de Routh El criterio de estabilidad de Routh es un método para determinar la estabilidad de un sistema continuo, para sistemas con una ecuación característica de n-simo orden, de la forma: El criterio se aplica utilizando una tabla de Routh, definida como sigue: sn an ªn-2 ªn-4 sn-1 ªn-1 ªn-3 ªn-5 b¡ h2 b3 C¡ C2 C3 .................. en donde an, an _ 1, •.. , a0 , son los coeficientes de la ecuación característica y ªn-lªn-2 - ªnªn-3 b¡=-------- ªn-1 ªn-lªn-4 - anan-5 h2 = -------- ªn-1 b¡an-5 - ªn-lb3 etc. etc. La tabla se continúa horizontal y verticalmente hasta que sólo se obtengan ceros. Cualquier fila puede multiplicarse por una constante positiva antes de calcular la siguiente fila, sin alterar las propiedades de la tabla. El criterio de Routh: Todas las raíces de la ecuación característica tienen parres reales negativas si y sólo si los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el mismo signo. De lo contrario, el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo.
- 158. ESTABILIDAD 147 EJEMPLO 5.2. s3+ 6s2 + 12s + 8 = O s3 1 12 o si 6 8 o si M o 6 sº 8 Puesto que no hay cambio en el signo de la primera columna de la tabla, todas las raíces de la ecuación tienen partes reales negativas. A menudo es deseable determinar un rango de valores de un parámetro particular del sistema para el cual es estable el sistema. Esto puede lograrse escribiendo las desigualdades que aseguren que no hay cambio de signo en la primera columna de la tabla de Routh para el sistema. Estas desigualdades especifican entonces el rango de valores permisibles para el parámetro. EJEMPLO 5.3. s3+ 3s2 + 3s + 1 + K = O s3 1 3 o si 3 1 + K O si 8-K - - 3 o sº l+K Para que no haya cambios de signo en la primeracolumna, se hace necesario satisfacer las condiciones 8 - K > O, 1 + K > O. Así, la ecuación característica tiene raíces con partes reales negativas si -1 < K < 8, que es la solución simultánea de estas dos desigualdades. Una fila de ceros paras I en la tabla de Routh indica que el polinomio tiene un par de raíces que satisfacen la ecuación auxiliar, formada como sigue: As2 + B= O en donde A y B son el primero y el segundo elementos de la fila s2 . Para continuar la tabla, los ceros en la fila s1 se remplazan con los coeficientes de la derivada de la ecuación auxiliar. La derivada de la ecuación auxiliar es 2As +O= O Los coeficientes 2A y Ose colocan en la fila s 1 , y la tabla se continúa como se describió antes. EJEMPLO 5.4. En el ejemplo anterior, la fila s 1 es cero si K = 8. En este caso, la ecuación auxiliar es 3s2 + 9 = O. En consecuencia dos de las raíces de la ecuación característica son s = ±JfS. 5.4 Criterio de estabilidad de Hurwitz El criterio de Hurwitz es otro método para determinar si todas las raíces de la ecuación caracte- rística de un sistema continuo tienen partes reales negativas. Este criterio se aplica utilizando los
- 159. 148 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL determinantes formados a partir de los coeficientes de la ecuación característica. Se supone que el primer coeficiente, am es positivo. Los determinantes D..;, i = 1,2, ... , n•- 1 se forman como los menores principales del determinante ªn-1 ªn-3 [ a 0 si. n es impar] o o a1 s1 n es par D..11= an ªn-2 [ a1 si_n es impar ] o o a0 s1 n es par o o ªn-1 ªn-3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Ü ª11-2 · · · · · · · · · · · · · · · · ········O 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 'o ..................................... ªº Entonces los determinantes se forman como sigue: d¡ =a11-I D..i=lªn-1 ª" ªn-1 ªn-3 ªn-5 D..3 = ª 11 ª 11 - 2 ªn- 4 = ªn-lªn-2ªn--3 + anan-lªn-5 - ana~-3 - ªn-4ª~-.I O ª11-l ªn-3 y así sucesivamente hasta Ll,, _ 1• El criterio de Hurwitz: Todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas si y solo si D..;> O, i = 1, 2, ... , n. EJEMPLO 5.5. Para n = 3, ~ 1' =ª2ª1ª0 - a5a3, ªº Entonces todas las raíces de la ecuación característica tendrán partes reales negativas si 5.5 Criterio de estabilidad de fracciones continuas Este criterio se aplica a la ecuación característica de un sistema continuo, formando una frac- ción continua a partir de las porciones impares y pares de la ecuación, de la siguiente manera. Hacemos
- 160. ESTABILIDAD Q(s) = ansn + an-lSn-1 + ... +.:z¡S + llo Q¡{s) = ansn + ªn-2sn-2 ... Q2(s) = ªn-lsn-1 + ªn-3sn-3 ... 149 Forme la fracción Q1/Q2 , y luego divida el numerador entre el denominador e invierta el residuo para formar una fracción continua como sigue: = h1s + ------- 1 ---- hzs + _____l___ h3S + -----,l:--- h4s + -.-- 1 Si h 1, h2, •.. , hn son todos positivos, todas las raíces de Q(s) = Otienen partes reales negativas. EJEMPLO 5.6. Q( s) = s3 + 6s2 + 12s + 8 32 Q1( s) s3 + 12s 1 3 s Q2 (s) = 6s2 +8 =6s+ 6s2 +8 1 1 = 6s + ---,,-9-~..,.1- -s + - 16 1s Puesto que todos los coeficientes des en la fracción continua son positivos, es decir, h1 =¼, h2 =r,;, y h3 = f, todas las raíces de la ecuación polinomial Q(s) = O tienen partes reales negativas. 5.6 Criterios de estabilidad para sistemas discretos en el tiempo La estabilidad de sistemas discretos se determina mediante las raíces de la ecuación caracterís- tica del sistema discreto (5.1)
- 161. 150 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Sin embargo, en este caso la región de estabilidad se define mediante el círculo unitario lzl = 1 en el plano z. Una condición suficiente y necesaria para la estabilidad del sistema es que todas las raíces de la ecuación característica tengan una magnitud menor que uno, es decir, que se encuentren dentro del círculo unitario. Esto asegura que la respuesta delta de Kronecker disminu- ye con el tiempo. Un criterio de estabilidad para sistemas discretos, similar al de Routh, se llama prueba de Jury. Para esta prueba, primero se organizan los coeficientes de la ecuación característica en el denominado arreglo de Jury: fila 1 ªo ª1 a2 ªn-1 an 2 an ªn-1 ªn-2 ª1 ªº 3 bo b1 b2 bn-1 4 bn-1 bn-2 bn-3 .bo 5 Co C1 C2 Cn-2 6 cn-2 cn-3 cn-4 Co 2n - 5 ro r1 r2 r3 2n-4 r3 r2 r1 ro 2n - 3 So S1 S2 en donde ck = 1 bo bn-1-k 1 Iªº ªn-kl bk = ak bk an bn-1 so= 1ro r1 r 3 I ro ¡r0 S1 = r3 r 2 1 r1 S2 = 1r 0 r3 r 1 1 rz Las dos primeras filas se escriben utilizando los coeficientes de la ecuación característica, y las dos siguientes se calculan utilizando las relaciones de los determinantes que se mostraron antes. El proceso se continúa de modo que cada par subsiguiente de filas tenga una columna menos que el par anterior, hasta calcular la fila 2 n - 3, la cual sólo tiene tres miembros. Ahí se tennina el arreglo. La prueba deJury: Para que las raíces de Q(z) = Otengan magnitudes menores que uno, las condiciones suficientes y necesarias son: Q(l) > o Q(-1) { >O <O laol < an lhol > lbn-il lrol > lr3I lsol > ls2I paran par paran impar
- 162. ESTABILIDAD 151 Nótese que si no se satisfacen las condiciones anteriores para Q(1) o Q(-1), el sistema es inesta- ble, y no hay necesidad de construir el arreglo. EJEMPLO 5.7. Para Q(z) = 3z4 + 2z3 + z2 + z + 1 = O (n par), Q(l) = 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8 > O 1Q(- 1) = 3 - 2 + 1 - 1 + 1 = 2 > O Debe completarse el arreglo de Jury como fila 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 3 -8 -5 -2 -1 4 -1 -2 -5 -8 5 63 38 11 Las restantes condiciones restrictivas de la prueba son entonces la0 1= 1 < 3 = an ibol = 1- 8j > 1- 11 = lbn-11 !col= 63 > 11 = lcn-21 3 1 Puesto que se satisfacen todas las restricciones de la prueba de Jury, se concluye que todas las raíces de la ecuación característica están dentro del círculo unitario, y el sistema es estable. La transformada w La estabilidad de un sistema lineal discreto en el tiempo, expresada en el dominio z también puede determinarse utilizando los métodos del plano s desarrollados para los sistemas continuos (por ejemplo, Routh, Hurwitz). Las siguientes expresiones equivalentes representan la transfor- mación bilineal de la variable compleja z en la nueva variable compleja w: l+w z=-- l-w (5.2) z-l w=-- z+l (5.3) ella transforma el interior del círculo unitario en el plano zen la mitad izquierda del plano w. En consecuencia, puede determinarse la estabilidad de un sistema discreto en el tiempo con polino- mio característico Q(z), examinando las localizaciones de las raíces de Q(w} =Q(z)lz-(l+w)/(1-w)=O
- 163. 152 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en el plano w, tratando w comos y utilizando las técnicas del planos para establecer las propieda- des de estabilidad. Esta transformación se desarrolla más extensamente en el Capítulo 10, y tam- bién se usa en los subsiguientes capítulos de análisis y diseño en el dominio de la frecuencia. EJEMPLO 5.8. La ecuación polinomial 27z~ + 27z2 + 9z + 1 = O es la ecuación característica de un sistema discreto en el tiempo. Para verificar la existencia de raíces por fuera del círculo unitario lzl = 1, que significaría inestabilidad, hacemos 1 + w z=-- l- w la cual, después de cierta manipulación algebraica, conduce a la nueva ecuación característica en w. w3 + 611'2 + 12w + 8 = O En el ejemplo 5.2 se encontró que esta ecuación solamente tiene raíces en la mitad izquierda del plano complejo. En consecuencia, el sistema original discreto en el tiempo es estable. Problemas resueltos Definiciones de estabilidad 5.1. A continuación se presentan las respuestas impulso de varios sistemas lineales continuos. En cada caso determine si la respuesta impulso representa un sistema estable o inestable a) h(t) = e- 1 , b) h(t) = te-i, e) h(t) = 1, d) h(t) = e- 1 sen 3t, e) h(t) = senwt. Si la respuesta impulso tiende a cero cuando el tiempo se aproxima a infinito, el sistema es estable. Como puede verse en la figura 5-1, las respuestas impulso a), b) y d) tienden a cero a medida que el tiempo tiende a infinito, por tanto representan sistemas estables. Puesto que las respuestas impulso e) y e) no tienden a cero, ellas representan sistemas inestables. (Véase figura 5.1 en la página siguiente). 5.2. Si se aplica una función paso unitario en la entrada de un sistema continuo y la salida permanece por debajo de cierto nivel durante todo el tiempo, ¿es estable el sistema? El sistema no necesariamente es estable puesto que la salida debe ser acotada para toda entrada acotada. Una salida acotada a una entrada específica acotada no asegura estabilidad. 5.3. Si se aplica una función paso unitario a la entrada de un sistema continuo y la salida es de la forma y = t, ¿es estable o inestable el sistema? El sistema es inestable puesto que una entrada acotada produce una salida no acotada.
- 164. ESTABILIDAD 153 h(t) h(t) 1.0 J.O +---------- 3 4 2 3 a) b) e) h(t) h(t) 1.0 -1.0 d) e) Figura 5-1 Localizaciones de las raíces características para sistemas continuos 5.4. A continuación se presentan las raíces de las ecuaciones características de varios sistemas. a) b) e) Determine en cada caso si el conjunto de raíces representa sistemas estables, marginal- mente estables o inestables. -1, -2 d) -1 +j, -1 -j g) - 6, -4, 7 --1, +1 e) -2+j,-2-j,2j,-2j h) - 2 + 3}, - 2 - 3}, - 2 - 3, - 2,0 /) 2, -1, - 3 i) - j, j, -1, 1 Los conjuntos de raíces a), d) y h) representan sistemas estables puesto que todas las raíces tienen partes reales negativas. Los conjuntos de raíces e) y e) representan sistemas marginalmente estables puesto que todas las raíces tienen partes reales no positivas, es decir, son cero o negativas. Los conjuntos b), j), g) e i) representan sistemas inestables puesto que cada uno de ellos tiene por lo menos una raíz con parte real positiva. S.S. Un sistema tiene polos en -1 y -5, y ceros en I y -2. ¿Es estable el sistema? El sistema es estable puesto que los polos son las raíces de la ecuación característica del sistema (Capítulo 3) que tienen partes reales negativas. El hecho de que el sistema tenga un cero con una parte real positiva no afecta su estabilidad.
- 165. 154 · TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 5.6. Determine si el sistema con la siguiente ecuación característica es estable: (s + l)(s + 2)(s - 3) = O. Esta ecuación característica tiene las raíces -1, -2 y 3, y en consecuencia representa un sistema inestable puesto que hay una raíz real positiva. 5.7. La ecuación diferencial de un integrador puede escribirse como sigue: dy!dt = u. Determi- ne si un integrador es estable. La ecuación característica de este sistema es s = O. Puesto que la raíz no tiene parte real negativa, un integrador no es estable. Puesto que no tiene raíces con partes reales positivas, un integrador es marginalmente estable. 5.8. Determine una entrada acotada que produzca una salida no acotada de un integrador. La entrada u = 1 producirá la salida y = t, que es no acotada. Criterio de estabilidad de Routh 5.9. Determine si la siguiente ecuación característica representa un sistema estable: s 3 + 4s 2 + 8s + 12 = O La tabla de Routh para este sistema es s 3 f8 s2 4 12 s1 5 O s0 12 Puesto que no hay cambios de signo en la primera columna, todas las raíces de la ecuación caracte- rística tienen partes reales negativas y el sistema es estable. 5.10. Determine si la siguiente ecuación característica tiene alguna raíz con parte real positiva: s4 + s3 - s - l = O Nótese que el coeficiente del término s2 es cero. La tabla de Routh para esta ecuación es S4 1 o -1 S3 1 -1 o S2 1 -1 si o o nueva s1 2 o sº· -1
- 166. ESTABILIDAD 155 La presencia de ceros en la fila s 1 indica que la ecuación característica tiene dos raíces que satisfacen la ecuación auxiliar formada a partir de la fila s2 como s2 - I = O. Las raíces de esta ecuación son +Iy-1. La nueva fila s1 se formó utilizando los coeficientes de la derivada de la ecuación auxiliar: 2s - O= O. Puesto que hay un cambio de signo, la ecuación característica tiene una raíz con una parte rea' positiva, la raíz en +1 determinada a partir de la ecuación auxiliar. 5.11. La ecuación característica de un sistema dado es: s4 + 6s3 + lls2 + 6s + K = O ¿Qué restricciones deben imponérsele al parámetro K para asegurar que el sistema sea estable? La tabla de Routh para este sistema es S4 S3 S2 s1 Para que el sistema sea estable, 60 1 11 K 6 6 o 10 K o 60-6K 10 o K 6K > O, o K < JO y K > O. Así O < K < JO. 5.12. Construya una tabla de Routh y determine el número de raíces con partes reales positivas para la ecuación 2s3 + 4s2 + 4s + 12 = O A continuación se presenta la tabla de Routh para esta ecuación. Aquí se ha dividido por 4 la fila s2 antes de calcular la fila s 1 • La fila s 1 se ha dividido entre 2 antes de calcular la fila s0 • s 3 rn4 s2 1 3 s1 -1 O s 0 3 Puesto que hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh, la ecuación anterior tiene dos raíces con partes reales positivas. Criterio de estabilidad de Hurwitz 5.13. Determine si la siguiente ecuación característica representa un sistema estable o uno ines- table.
- 167. 156 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL s 3 + 8s2 + 14s + 24 = O Los determinantes de Hurwitz para este sistema son 8 24 ~3 = 1 14 O 8 o O = 2112 24 241 = 88 14 Puesto que cada determinante es positivo, el sistema es estable. Nótese que se pudo haber utilizado la formulación general del ejemplo 5.5 para verificar la estabilidad en este caso, sustituyendo los valores apropiados de los coeficientes a0 , a1, a2 y a3• 5.14. ¿Para qué rango de valores de K es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? s2 + Ks + 2K - 1 = O Los determinantes de Hurwitz para este sistema son O 1=2K2 -K=K(2K-l) 2K-l ~1 =K Para que estos determinantes sean positivos, es necesario que K > Oy 2K - l > O. Por tanto el sistema es estable si K > ½. 5.15. Un sistema está diseñado para que tenga un desempeño satisfactorio cuando un amplifica- dor de ganancia particular K = 2. Determine cuánto puede variar K antes de que el sistema se vuelva inestable, si la ecuación característica es s3 + (4 + K) s2 +6s + 16 + 8K = O Sustituyendo los coeficientes de la ecuación dada en las condiciones generales de Hurwitz, del ejemplo 5.5, se obtienen las siguientes condiciones para la estabilidad: 4+K>O (4 + K)6 - (16 + 8K) > O (4 + K)(6)(16 + 8K) - (16 + 8K) 2 > O Suponiendo que la ganancia K del amplificador no puede ser negativa, se satisface la primera condición. Las condiciones segunda y tercera se satisfacen si K es menor que 4. En consecuencia, con un valor de ganancia de diseño del amplificador de 2, el sistema podría tolerar el aumento de ganancia en un factor de 2 antes de hacerse inestable. La ganancia también podría reducirse a cero sin causar inestabilidad. 5.16. Determine las condiciones de Hurwitz para la estabilidad de la siguiente ecuación caracte- rística de cuarto orden, suponiendo que a4 es positivo.
- 168. ESTABILIDAD Los determinantes de Hurwitz son 03 O¡ o o á4= 04 º2 ºº o =0 i 02°1°0 - 0305) - ofooo4 o 03 01 o o 04 º2 ºº 03 O¡ 0 á3 = 04 °2 °o = o3o2o1 - o 0 o~ - o 4 of 0 03 01 Entonces, las condiciones de estabilidad son 5.17. ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? s4 + 3s3 + 6s 2 + 9s + 12 = O 157 Sustituyendo los valores apropiados para los coeficientes en las condiciones generales del problema 5.16, tenemos 3>0 18- 9 > O 162 - 108 - 81 "1- O 3(648 - 432) - 972 "1- O Puesto que no se satisfacen las dos últimas condiciones, el sistema es inestable. Criterio de estabilidad de fracciones continuas 5.18. Repita el problema 5.9 empleando el criterio de estabilidad de fracciones continuas. El polinomio Q(s) = s3 + 4s2 + 8s + 12 se divide en dos partes: La fracción continua para Q1(s)/Qi(s) es Q1( s) s3 + 8s 1 5s 1 1 - - - = - - - =-s+--- =-s+ ~--- Q2(s) 4s2 +12 4 4s2 +12 4 4 1 -s+- 5 ts
- 169. 158 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Puesto que todos los coeficientes des son positivos, el polinomio tiene todas sus raíces en la mitad izquierda del plano, y el sistema con la ecuación característica Q(s) = O es estable. 5.19. Determine los límites sobre el parámetro K para los cuales el sistema con la siguiente ecuación característica es estable: s3 + 14s2 + 56s + K = O Q1(s) s3+56s 1 (56-K/14)s 1 1 Q2(s)=l4s 2 +K=l4s+ 14s2 +K =14s+[ i4 ] 1 56 - K/14 s + [ 56 - :/14] s Para que el sistema sea estable, deben satisfacerse las siguientes condiciones: 56 - K/14' > O y K > O, es decir, O < K < 784. 5.20. Derive las condiciones para las cuales todas las raíces de un polinomio general de tercer orden tienen partes reales negativas. Para Q(s) = a3s3+ a2s2 + a1s + a0 , Q1(s) a3s3+a1s a3 [a1 - a3a0/a2]s a3 1 Q2 ( s) = a2s2 + ªo = ª2 s + a2s2 + ªo = ª2 s + [ ª1 - :32ao/ª2 ]s + _ª_1___ a_31a_o_/..,..a-2"].-s. ªº Las condiciones para que todas las raíces de Q(s) tengan partes reales negativas son ª2 ----->O ª1 - a3ao/a2 ª1 - a3ao/a2 ----->O ªº Así, si a3 es positivo, las condiciones necesarias son a2, a 1, a0 > Oy a 1a2 - a3a0 >O.Nótese que si a3 no es positivo, Q(s) debe multiplicarse por -1 antes de verificar las condiciones anteriores. 5.21. ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? s4 + 4s3 + 8s2 + 16s + 32 = O Q1(s) s4 + 8s2 + 32 1 4s2+ 32 Qi( s) = -4-s.,... 3 _+_1_6_s_ = 4s + -4-s3 ,-+-16-s 1 1 = ¡s+ -16s s+--- 4s2 +32 1 1 = ¡s+ ----l--- s + --1---1- --s+-- 4 -½s
- 170. ESTABILIDAD Puesto que no todos los coeficientes de s son positivos, el sistema es inestable. Sistemas discretos en el tiempo 5.22. ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? Q(z) = z4 + 2z3 + 3z2 + z + l = O Aplicando la prueba de Jury, con n = 4 (par) Q(l) = 1 + 2 + 3 + 1 + 1 = 8 > O Q('-1) = 1 - 2 + 3 - 1 + 1 = 2 > O El arreglo de Jury debe construirse como sigue: Fila 1 1 1 3 2 2 1 2 3 1 3 o -1 o 1 4 1 o -1 o 5 -1 1 o Las restricciones de la prueba de Jury son laol = 1 -l. 1 = an !bol= O'J- 1 = ibn-d !col= 1-11 >O= lc:-21 1 1 Puesto que no se satisfacen todas las restricciones, el sistema es inestable. 5.23, ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? Q( z) = 2z4 + 2z3 + 3z2 + z + l = O Aplicando la prueba de Jury con n = 4 par, Q(l) = 2 + 2 + 3 + 1 + 1 = 9 > O Q( -1) = 2 - 2 + 3 -1 + 1 = 3 > O El arreglo de Jury debe construirse como sigue: 159
- 171. 160 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL fila 1 1 1 3 2 2 2 2 3 1 3 3 3 2 o 4 o 2 3 3 5 9 7 o Las restricciones de la prueba son laol = 1 < 2 = ªn 1h0 1= 3 >O= lbn-d lcol = 9 >O= lcn-21 2 1 Puesto que se satisfacen todas las restricciones, el sistema es estable. 5.24 ¿Es estable el sistema con la siguiente ecuación característica? Q(z) = z5 + 3z4 + 3z3 + 3z2 + 2z + 1 = O Aplicando la prueba de Jury con n = 5 (impar), Q(l) = 1 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 = 13 > O Q( -1) = -1 + 3 - 3 + 3 - 2 + 1 = 1 > O Puesto que n es impar, Q(- 1) debe ser menor que cero para que el sistema sea estable. En conse- cuencia el sistema es inestable. Problemas misceláneos 5.25. Si aparece un cero en la primera columna de la tabla de Routh, ¿el sistema es necesaria- mente inestable? Estrictamente hablando, un cero en la primera columna debe interpretarse como carente de signo, es decir, ni positivo ni negativo. En consecuencia, todos los elementos de la primera colum- na no pueden tener el mismo signo si uno de ellos es cero, y el sistema es inestable. En algunos casos, un cero en la primera columna indica la presencia de dos raíces de igual magnitud pero de signo opuesto (véase el problema 5. 1O). En otros casos, esto indica ta presencia de una o más raíces con partes reales cero. Así, una ecuación característica que tenga una o más raíces con parte real cero y ninguna raíz con parte real positiva, producirá una tabla de Routh en la cual todos los elementos de la primera columna no tienen el mismo signo y tampoco ningún cambio de signo.
- 172. ESTABILIDAD 161 5.26. Pruebe que un sistema continuo es inestable si cualquiera de los coeficientes de la ecuación característica es cero. La ecuación característica puede escribirse en la forma en donde s1, s2 , s3 , •.• , sm son las raíces de la ecuación. Si se efectúa la multiplicación en esta ecuación, pueden obtenerse n ecuaciones nuevas que relacionan las raíces y los coeficientes de la ecuación característica en la forma usual. Así ó y las relaciones son ªn-1 sn+--sn-1 + a,, a "a nn a nn n a ~ = _ " s,. , ~ :::; ~ ~ n - 3 O 11 1..., 1..., 1..., s;s1,--=- L L L s;s1 sk,···,-=(-l} s1s2 ···s,, a,, i=I a,, i=I j=I an i=I j=I k=I a,, ia#'} Los coeficientes an _ 1, an _2, ... , a0 tienen todos el mismo signo que am y son diferentes de cero si todas las raíces s1, s2, ••• , s,, tienen partes reales negativas. La única manera de que alguno de ellos Gea cero es que una de las raíces o más tengan partes reales positivas o sean cero. En cualquiera de estos casos el sistema sería inestable. 5.27. Pruebe que un sistema continuo es inestable si todos los coeficientes de la ecuación carac- terística no tienen el mismo signo. De las relaciones presentadas en el problema 5.26, puede verse que los coeficientes a,,_ i, ªn- 2, ..• , a0tienen el mismo signo queª" si todas las raíces s1, s2,... , s11 tienen partes reales negati- vas. La única manera de que cualquiera de estos coeficientes difiera en signo de a,, es que una de las raíces o más tenga una parte real positiva. De este modo el sistema necesariamente es inestable si todos los coeficientes no tienen el mismo signo. Nótese que un sistema no es necesariamente estable si todos los coeficientes tienen el mismo signo. 5.28. Los criterios de estabilidad para los sistemas continuos, presentados en este capítulo ¿pueden aplicarse a sistemas continuos que contengan retardos de tiempo? No, éstos no pueden aplicarse directamente porque los sistemas que tienen retrasos en el tiempo no poseen ecuaciones características de la forma requerida, es decir, polinomios finitos en s. Por ejemplo, la siguiente ecuación característica representa un .sistema que contiene un retardo de tiempo: S2 + s + e-sT = O Estrictamente hablando, esta ecuación tiene un número infinito de raíces. Sin embargo, en algunos casos puede emplearse una aproximación para e-sr que dé una información útil, aunque no total- mente exacta, en relación con la estabilidad del sistema. Para ilustrar esto, remplacemos e-sT en la ecuación anterior por los dos primeros términos de su expansión en la serie de Taylor. La ecuación entonces se hace
- 173. 162 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL s2 + s + 1- sT= O o s2 + (1- T)s + 1 = O Ahora, puede aplicarse uno de los criterios de estabilidad de este capítulo a esta aproximación de la ecuación característica. 5.29. Determine un límite superior aproximado para el retardo de tiempo de modo que el sistema discutido en la solución del problema 5.28 sea estable. Empleando la ecuación aproximada s2 + (1 - 1)s + 1 = O, los determinantes de Hurwitz son il1 = il2 = 1 - T. Por tanto, para que el sistema sea estable el retardo de tiempo debe ser menor que l. Problemas suplementarios 5.30. Para cada polinomio característico, determine si éste representa un sistema estable o inestable. a) b} 2s4 + 8s3 + 10s2 + 10s + 20 e) s3 +7s2 +7s+46 d) s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 e) s3 - 2s2 + 4s + 6 J) s4 + 8s3 + 24s2 + 32s + 16 s6 + 4s4 + 8s2 + 16 5.31. ¿Para qué valores de K el polinomio s3 + (4 + K)s2 + 6s + 12 tiene raíces reales con partes negativas? 5.32. ¿Cuántas raíces con partes reales positivas tiene cada uno de los siguientes polinomios? a) s3 + s2 - s + 1 b) s4 + 2s3 + 2s2 + 2s + 1 e) s3 + s2 - 2 e) s3 + s2 + s + 6 5.33 ¿Para qué valores positivos de K, el polinomio s4 + 8s3 + 24s2 + 32s + K tiene raíces con partes reales iguales a cero? ¿Cuáles son esas raíces? Respuestas a los problemas suplementarios 5.30. b) y e) representan sistemas estables; a), e), d) y j) representan sistemas inestables. 5.31. K> -2 5.32. a) 2, b) lJ, e) 1, d) 2, e) 2 5.33. K = 80; s = ±J2
- 174. Capítulo 6 Funciones de transferencia 6.1 Definición de función de transferencia de un sistema continuo Como se mostró en los Capítulos 3 y 4, la respuesta de un sistema lineal invariable en el tiempo puede separarse en dos partes: la respuesta forzada y la respuesta libre. Esto es cierto para los sistemas continuos y para los discretos. Consideremos primero las funciones de transferencia continuas únicamente para sistemas de una sola entrada y una sola salida. La ecuación (4.8) ilustra con claridad esta división para la más general de las ecuaciones difere'!ciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. La respuesta forzada incluye términos debidos a los valores iniciales u~ de la entrada, y la respuesta libre depende únicamente efe las condiciones iniciales y;de la salida. Si se mezclan los términos debidos a todos los valores iniciales, es decir, a u~ y a y;, la ecuación (4.8) puede escribirse como y(t) ~: .:r-1 [(,.~ob;s;/,.~-n 0 a;s;)u(s) + (los términos debidos a todos los valores ] iniciales u~, y;) o, en notación de la transformada, como La función de transferencia P(s) de un sistema continuo se define como aquel factor en la ecua- ción de Y(s) que multiplica la transformada de la entrada U(s). Para el sistema descrito antes, la función de transferencia es el denominador es el polinomio característico, y la transformada de la respuesta puede escribirse nuevamente como Y( s) = P(s) U( s) + (los términos debidos a todos los valores iniciales u~, y;) Si la cantidad (los términos debidos a todos los valores iniciales u~, y;) es cero, la transforma- da de Laplace de la salida Y(s) en respuesta a una entrada U(s) está dada por Y(s) = P(s )U(s) 163
- 175. 164 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Si el sistema está en reposo antes de la aplicación de la entrada, es decir, dky/dtk = O, k = O, 1,.. ·, n - 1, para t < O, entonces (los términos debidos a todos los valores iniciales ui, Yt) = O y la salida en función del tiempo y(t) es simplemente la transformada inversa de P(s)U(~). Se hace énfasis en que no todas las funciones de transferencia son expresiones algebraicas racionales. Por ejemplo, la función de transferencia de un sistema continuo que incluye retardos de tiempo contiene términos de la forma e-sT (por ejemplo el problema 5.28). La función de transferencia de un elemento que representa un retardo puro de tiempo es P(s) = e - sT en donde T es el retardo de tiempo en unidades de tiempo. Puesto que la formación de la transformada de la salida Y(s) es simplemente una multiplica- ción algebraica de P(s) y U(s), cuando (los términos debidos a todos los valores iniciales u~,yt} = O, la multiplicación es conmutativa; es decir, Y(s) = U(s )P(s) = P(s )U(s) (6.1) 6.2 Propiedades de la función de transferencia de un sistema continuo La función de transferencia de un sistema continuo tiene varias propiedades útiles: 1. Es la transformada de Laplace de su respuesta impulso y0 (t), t 2'.'. O. Esto es, si la entrada en un sistema con función de transferencia P(s) es un impulso, y todos sus valores inicia- les son cero, la transformada de la salida es P(s). 2. La función de transferencia del sistema puede determinarse a partir de la ecuación dife- rencial del sistema, tomando la transformada de Laplace e ignorando todos los términos provenientes de los valores iniciales. La función de transferencia P(s), entonces, está dada por 3. La ecuación diferencial del sistema puede obtenerse a partir de la función de transferen- cia, remplazando la variables por el operador diferencial D, definido como D = d/dt. 4. La estabilidad de un sistema lineal invariable en el tiempo puede determinarse a partir de la ecuación característica (véase el Capítulo 5). El denominador de la función de transfe- rencia del sistema es el polinomio característico. En consecuencia, para sistemas conti- nuos, si todas las raíces del denominador tienen partes reales negativas, el sistema es estable. 5. Las raíces del denominador son los polos del sistema, y las del numerador son sus ceros (véase el Capítulo 4). La función de transferencia del sistema puede especificarse enton- ces como una constante, especificando los polos y ceros del sistema. Esta constante, usualmente representada por K, es el factor de ganancia del sistema. Como se describió en el Capítulo 4, sección 4.11, los polos y ceros del sistema pueden representarse de manera esquemática por medio de un diagrama de polos y ceros en el plano s.
- 176. FUNCIONES DE TRAN::;FERENCIA 165 6. Si la función de transferencia del sistema no tiene polos o ceros con partes reales positi- vas, el sistema es uno de fase mínima. EJEMPLO 6.1. Considere el sistema con la ecuación diferencial dy!dt + 2y = du/dt + u. La versión en transformada de Laplace de esta ecuación con todos sus valores iniciales iguales a cero es (s + 2)Y(s) = (s + 1)U(s). Entonces, la función de transferencia del sistema .está dada por P(s) = Y(s)/U(s) = (s + 1)/(s + 2). EJEMPLO 6.2. Si P(s) = (2s + 1)/(s2 + s + 1), la ecuación diferencial del sistema es [ 2D +1 ] y= D2 + D+ 1 u o D2 y + Dy +y= 2Du +u o d 2 y dy du -+-+y=2-+u dt2 dt dt EJEMPLO 6.3. La función de transferencia P(s) = K(s + a)l(s + b)(s + e) puede especificarse dando la localización del cero -a, las localizaciones de los polos -b y -e, y el factor de ganancia k. 6.3 Funciones de transferencia de compensadores y controladores de sistemas de control continuo A continuación se presentan las funciones de transferencia de cuatro componentes comunes de los sistemas de control. En los problemas resueltos se presentan las mecanizaciones típicas de tres de estas funciones de control utilizando redes P-C. EJEMPLO 6.4. La función de transferencia general de un compensador por adelanto de un sistema continuo es s+a PAdelanto(S) = s+b b>a ( 6.2) Este compensador tiene un cero en s = -a y un polo en s = -b. EJEMPLO 6.5. La función de transferencia general de un compensador por atraso de un sistema conti- nuo es PAtraso(s) a(s+b) b(s + a) b>a ( 6.3) Sin embargo, en este caso el cero está en s = -by el polo en s = -a. Se incluye el factor de ganancia alb porque usualmente se mecaniza de este modo (problema 6.13). EJEMPLO 6.6. La función de transferencia general de un compensador por atraso-adelanto de un sistema continuo es ( 6.4)
- 177. 166 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Este compensador tiene dos ceros y dos polos. Usualmente se impone la restricción a1b2 = b1a2 por conside- raciones de mecanización (problema 6.14). EJEMPLO 6.7. La función de transferencia del controlador PID, del ejemplo 2.14, es (6.5) Este controlador tiene dos ceros y un polo. Es similar al compensador por atraso-adelanto del ejemplo anterior, excepto que el polo más pequeño se encuentra en el origen (un integrador) y no tiene el segundo polo. Típicamente esto se mecaniza en un computador analógico o digital. 6.4 Respuesta de tiempo de sistemas continuos La transformada de Laplace de la respuesta de un sistema continuo a una entrada específica está dada por Y(s) = P(s )U(s) cuando todas las condiciones iniciales son cero. La transformada inversay(t) = ~ 1 [P(s)U(s)] es entonces la respuesta de tiempo, y y(t) puede determinarse encontrando los polos de P(s)U(S) y evaluando los residuos en estos polos (cuando no hay polos múltiples). En consecuencia y(t) depende tanto de los polos y ceros de la función de transferencia como de los polos y ceros de la entrada. Los residuos pueden determinarse gráficamente a partir del diagrama depolos y ceros de Y(s), construido a partir del mismo diagrama de P(s), simplemente sumando J.os polos y ceros de U(s). La evaluación gráfica de los residuos puede efectuarse como se describió en el Capítulo 4, sección 4.12. 6.5 Respuesta de frecuencia del sistema continuo La respuesta en estado estacionario de un sistema continuo a entradas sinusoidales puede determinarse a partir de la función de transferencia del sistema. Para el caso especial de una entrada paso de amplitud A, llamada a menudo entrada en e.e., la transformada de Laplace de la salida en el sistema está dada por A Y(s) =P(s)- s Si el sistema es estable, la respuesta en estado estacionario es una función paso de amplitud ·AP(O), puesto que éste es el residuo en el polo de la entrada. La amplitud de la señal de entrada se multiplica entonces porP(O) para determinar la amplitud de la salida. Entonces, P(O) es la ganan- cia en e.e. del sistema. Nótese que para un sistema inestable, tal como un integrador (P(s) = 1/s), no siempre existe una respuesta en estado estacionario. Si la entrada en un integrador es una función paso, la salida es una rampa, la cual es no acotada (véanse los problemas 5.7 y 5.8). Por esta razón, algunas veces se dice que los integradores tienen una ganancia en e.e. infinita.
- 178. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 167 La respuesta en estado estacionario de un sistema estable a una entrada u = A sen wt está dada por YEE = AIP( jw) lsen( wt + q,) en donde IP(jw)I = magnitud de P(jw), </J = arg P(jw), y el número complejo P(jw) se determina a partir de P(s), remplazando s porjw (véase el problema 6.20). La salida en el sistema tiene la misma frecuencia que la entrada, y puede obtenerse multiplicando la magnitud de la entrada por IP(jw)I y desplazando el ángulo de fase de la entrada por el arg P(jw). La magni- tud IP(jw)I y el ángulo arg P(jw) para todo w, definen juntos la respuesta de frecuencia del sistema. La magnitud de IP(jw)I es la ganancia del sistema para entradas sinusoidales de frecuencia w. La respuesta de frecuencia del sistema puede determinarse gráficamente en el plano s a partir del diagrama de polos y ceros de P(s) del mismo modo que la determinación gráfica de residuos. Sin embargo, en este caso, la magnitud y el ángulo de fase de P(s) se calculan en un punto sobre el ejejw, midiendo las magnitudes y los ángulos de los vectores dibujados desde los polos y ceros de P(s) al punto en el eje jw. EJEMPLO 6.8. Considere el sistema con función de transferencia 1 P( s) = -(s_+_l_)_( s_+_2_) Con referencia a la figura 6-1 , la magnitud y el ángulo de P(jw) para w = 1 se calculan en el plano s como sigue. La magnitud de P(j l) es y el ángulo es -2 1 1P(jl) 1= 17 ¡;, = 0.316 v5 · v2 jl -1 Figura 6-1 argP(jl) = -26.6º -45° = -71.6°
- 179. 168 TEORIA Y PPOBLEMAS flE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 6.9. La respuesta de trecuencia del sistema usualmente se representa mediante dos gráficas (véase la figura 6-2): una de IP(iw)I en función de w y una de arg P(jw) en función de w. Para la función de transferencia del ejemplo 6.8, P(s) = 1/(s + l)(s + 2), estas gráficas se determinan fácilmente representando los valores de IP(iw)I y del arg P(jw) para diferentes valores de w, como se muestra a continuación. w o 0.5 1.0 2.0 4.0 8.0 IP(jw)I 0.5 0.433 0.316 0.158 0.054 0.015 argP(jw) o -40.6° -71.6° -108.5° -139.4° -158.9° 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 IPUw)I -4u0 -so• -120• -160° -200° o 2 4 6 8 10 o L--.--~~=~==~--....--., arg P(j.,) o 2 4 6 8 10 Figura 6-2 6.6 Funciones de transferencia, de sistemas discretos en el tiempo, compensadores y respuestas de tiempo La función de transferencia P(z) para un sistema discreto en el tiempo se define como el factor en la ecuación de la transformada de la salida Y(z) que multiplica la transformada de la entrada U(z). Si todos los térmmos debidos a las condiciones iniciales son cero, entmn.:es la respuesta del sistema a una entrada U(z) está dada por: Y(z) = P(z)U(z) en el dominio z, y {y(k)} = z-l[P(z)U(z)] en el dominio del tiempo. La función de transferencia de un sistema discreto en el tiempo tiene las siguientes propiedades: 1. P(z) es la transformada z de su respuesta delta de Kronecker y8(k), k = O, 1,... 2. La ecuación de diferencia del sistema puede obtenerse a partir de P(z), remplazando la variable z por el operador de de~plazamiento Z definido para dos enteros cualesquiera k y n como zn[y(k)] =y(k+n) (6.6) 3. El denominador de P(z) es el polinomio característico del sistema. En consecuencia, si todas las raíces del denominador se encuentran dentro del círculo unitario del plano z, el sistema es estable. 4. Las raíces del denominador de P(z) son los polos del sistema, y las del numerador son sus ceros. P(z) puede definirse especificando los polos y ceros del sistema y el factor de ganancia K:
- 180. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA K(z + z1)(z + z2 ) • • • (z + zm) P(z) = _(_z_+_P_1)_(_z_+_P_2)---.·_(_z_+_P_n)- 169 (6.7) Los polos y ceros del sistema pueden representarse esquemáticamente mediante un dia~ grama de polos y ceros en el plano z. El diagrama de polos y ceros de la respuesta de salida puede construirse a partir del mismo diagrama de P(z) incluyendo los polos y ceros de la entrada U(z). 5. El orden del polinomio del denominador de la función de transferencia de un sistema causal (realizable físicamente) qiscreto en el tiempo debe ser mayor que o igual al orden del polinomio del numerador. 6. Larespuesta en estado estacionario de un sistema discreto en el tiempo a una entrada paso unitario se llama ganancia en e.e. y se determina mediante el teorema del valor final (sección 4.9): [ z-1 z ] lim y(k) = lim --P(z)-- =P(l) k-+oo z-+1 z z-1 ( 6.8) EJEMPLO 6.1 O. Considere un sistema discreto en el tiempo caracterizado por la ecuación de diferencia y(k + 2) + l.ly(k+ 1) + 0.3y(k) = u(k + 2) + 0.2u(k + 1) La versión en transformada z de esta ecuación. con todas sus condiciones iniciales iguales a cero, es ( z2 + l.lz + 0.3) Y( z) = (z2 + 0.2z) U( z) La función de transferencia está dada por z(z + 0.2) P( z) = -z2 _+_1.-lz_+_0_.3 z(z +0.2) (z + 0.5)(z + 0.6) Este sistema tiene un cero en -0.2 y dos polos en -0.5 y en -0.6. Puesto que los polos se encuentran dentro del círculo unitario, el sistema es estable. La ganancia en e.e. es 1(1.2) P(l) = (1.5)(1.6 ) = 0.5 EJEMPLO 6.11. La función de transferencia general de un compensador digital por adelanto es KAdelanto ( z - zc) PAdelanto(Z) = z-pc (6.9) Este compensador tiene un cero en z = zc y un polo en z = Pe· Su ganancia en estado estacionario es KAdelanto(l - zc) PAdelanto(I) = - - - - - - 1 - p,. ( 6.10)
- 181. 170 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El factor de ganancia KActelanto se incluye en la función de transferencia para ajustar su ganancia para un w dado a un valor deseado. Por ejemplo, en el problema 12.13, se escoge KActelanto para dar una ganancia en estado estacionario de PActelanto (en w = 0) igual a la de su contraparte analógica. EJEMPLO 6.12. La función de transferencia general de un compensador digital por atraso es PAtraso (z) (1-pe)(z-zJ (1-zc)(z-pJ ( 6.ll) Este compensador tiene un cero en z = zc y un polo en z =Pe· Se incluye el factor de ganancia (1 - Pc)/(1 - zc) de tal modo que la ganancia en bajas frecuencias o en estado estacionario PAtraso ( I) = 1, de manera análoga al compensador por atraso continuo en el tiempo. EJEMPLO 6.13. Los compensadores digitales por adelanto y atraso pueden diseñarse directamente a partir de especificaciones en el dominio s utilizando las transformadas entre los dominios s y z definidos mediante z = e·sr. Esto significa que los polos y ceros de s+a PAdelanto (s) = S + b y a( s + b) PAtraso=---- b( s +a) pueden representarse de acuerdo con z = e·'-r. Para el compensador por adelanto, el cero en s = -a se transforma en el cero en z = zc =e- aT, y el polo en s = -b se transformaen el polo en z = Pe =e-bT. Esto nos da z - e-aT P'Adelanto ( Z) = _ bT z-e (6.12) De modo similar, ( 1 - e-aT) ( z - e-bT) P'Atraso(z)= -bT -aT 1-e z-e ( 6.13) Nótese que P' Atraso ( I) = I. Esta transformación es solamente una de las muchas posibles para los compensadores digita- les por adelanto y atraso, o cualquier tipo de compensadores para ese propósito. En los problemas del 12.13 al 12. 15 se ilustra otra variante de compensadores por adelanto. En el ejemplo 12.7 se presenta la manera como puede utilizarse la ecuación (6.13) en sus aplicaciones. 6.7 Respuesta de frecuencia de sistemas discretos en el tiempo La respuesta en estado estacionario a una secuencia de entrada {u(k) = A sen wkT} de un sistema estable discreto en el tiempo, con función de transferenc1a P(z), está dada por YEE =A IP(eJwT) ¡sen(wkT + q,) k=0,1,2, ... (6.14)
- 182. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 171 en donde IP(ej"'T)I es la magnitud de P(ej"'T), </J = arg P(ej"'T), y la función compleja P(ej"'T) se determina a partir de P(z) remplazando z por ejwT (véase el problema 6.40). La salida en el sistema es una secuencia de muestras de una sinusoide con la misma frecuencia que la sinusoide de eritrada. La secuencia de salida se obtiene multiplicando la magnitud A de la entrada por IP(ej"'T)I y desplazando el ángulo de fase de la entrada en arg P(ej"'T). Para cualquier w la magnitud IP(ej"'T)I y el ángulo de fase arg P(ej"'T) definen juntos la función de respuesta de frecuencia para un sistema discreto en el tiempo. La magnitud IP(ej"'T)I es la ganancia del sistema para entradas sinusoidales con frecuencia angular w. Una función de respuesta de frecuencia de un sistema discreto en el tiempo puede determinar- se en el plano z a partir de un diagrama de polos y ceros de P(z) del mismo modo como se hizo el cálculo gráfico de los residuos (sécción 4. 12). Sin embargo, en este caso, la magnitud y el ángulo de fase se calculan en el círculo ejwT (el círculo unitario), midiendo la magnitud y el ángulo de los vectores dibujados desde los polos y ceros de Pal punto en el círculo unitario. Puesto que P(ej"'T) es periódica en w, con un periodo 27TIT, la función de frecuencia sólo necesita determinarse sobre el intervalo de frecuencia angular -7r/T ::5 w ::5 TTIT. También, puesto que la función magnitud de w es par, y el ángulo de fase w es función impar, los cálculos reales solamente necesitan efectuarse sobre la mitad del intervalo de frecuencia angular, es decir O::5 w ::5 7T/T. 6.8 Combinación de elementos continuos y discretos en el tiempo Hasta aquí, la transformada z se ha utilizado principalmente para describir sistemas y elemen- tos que operan sobre señales discretas en el tiempo y producen sólo señales discretas en el tiempo, y la transformada de Laplace se ha utilizado únicamente para sistemas y elementos continuos en el tiempo, con señales de entrada y salida continuas en el tiempo. Sin embargo, muchos sistemas de control contienen ambos tipos de elementos. Aquí se desarrollan algunas de las relaciones impor- tantes entre las transformadas z y las transformadas de Laplace, parafacilitar el análisis yel diseño de sistemas mixtos (continuos/discretos). Las señales discretas provienen del muestreo de señales continuas en el tiempo o de la salida de un sistema de componentes inherentemente discretos en el tiempo, tales como los computado- res digitales. Si una señal y(t) continuaen el tiempo, con transformada de Laplace Y(s) se muestrea uniformemente, con un periodo T, la secuencia resultante de muestras y(kD, k = O, 1,2,... , puede escribirse como 1 ¡c+joo y(kT) = -. Y(s )eskT ds 27TJ c-joo k=0,1,2, ... en donde e > cr0 (véase la definición 4.3). La transformada z de esta secuencia es Y*(z) = I:k=0 y(kDz -k (definición 4.4), la cual, como se demuestra en el problema 6.41, puede escribir- se como 1 ¡c+joo ( 1 ) Y*(z) = - 2 . Y{s) sT _ 1 ds 7T} c-joo l - e z {6.15)
- 183. 172 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL para la región de convergencia lzl > ecT. Esta relación entre la transformada de Laplace y la transformada z puede evaluarse mediante la aplicación de la ley de integración de Cauchy [1]. Sin embargo, en la práctica, usualmente no es necesario utilizar este método de análisis complejo. La función y(t) = .P-1 [Y(s)] continua en el tiempo puede determinarse a partir de Y(s) y una tabla de transformadas de Laplace, remplazando luego la variable t por kT, produciendo el k- ésimo elemento de la secuencia deseada: Entonces la transformada z de la secuencia y(kT), k = O, 1,2,... , se genera refiriéndose a una tabla de transformadas z, lo cual produce el resultado deseado: Y*(z) =Z {y(kT)} = Z {.P-1 [Y(s)]l1 =kT} (6.16) Así, en la ecuación (6.16), las operaciones simbólicas .P-1 y z representan directamente una búsqueda en la tabla, y lt=kT genera la secuencia que va a transformarse en z. En la figura 6.3 se presenta una combinación común de elementos y señales discretos y conti- 1mos en el tiempo y*(I) - Y*(z) u(t) / __ u_*(_1_)+ y(t) U(s) U*(z) Y(s) Figura 6.3 Si el circuito de sostenimiento es de orden cero, la función de transferencia discreta en el tiempo de U*(z) a Y*(z), como se demuestra en el problema 6.42, está dada por 1:(z) = (1- z-1) Z {.:e-1 P(s) 1 } U (z) S t=kT ( 6.17) En la práctica, puede que el muestreador que genera y*(t) en la figura 6-3 no exista en la salida. Sin embargo, algunas veces es conveniente suponer que existe uno en ese punto para propósitos de análisis (por ejemplo, véase el problema 10.13). Cuando se hace esto, a menudo este muestreador se llama muestreador ficticio. Si la entrada y la salida en un sistema como el que se muestra en la figura 6-3, son señales continuas en el tiempo, y en seguida se muestrea la entrada, entonces la ecuación (6.17) genera una función de transferencia discreta en el tiempo, la cual relaciona la entrada en los tiempos de muestreo T, 2T, ... , con la salida en los mismos tiempos de muestreo. Sin embargo, esta función no relaciona las señales de entrada y de salida en los tiempos T, entre los tiempos de muestreo, esto es, para kT < T < (k + l)T, k = O, 1,2,... EJEMPLO 6.14. En la figura 6-3, si el circuito de sostenimiento es de orden cero y P(s) = 1/(s + 1), a partir de la ecuación (6.17), la función de transferencia discreta en el tiempo del subsistema de elementos mezclados es
- 184. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y*( z) { ( 1 ) 1 } U*(z) =(l-z-1)z :r1 s(s+l) ,-kT = (1 - z- 1 ) z {~1 ( ~ - _l ) 1 } S S + 1 t-kT = (1- z-1 ) Z { (l(t) - e-')1,-kT} = (1- z- 1 ) Z {l(kT) - e-kT} = (1 - z- 1 ) [ Z {1( kT)} - Z { e-kT}] =(l-z-1)(-1 1_¡-l ~T-1] -z -e z ( z-1)( z )[l-e-T] = -z- Z- l Z- e-T Problemas resueltos Definiciones de funciones de transferencia 173 6.1. ¿Cuál es la función de transferencia en un sistema en el cual la entrada y la salida están relacionadas mediante la siguiente ecuación diferencial? d 2 y dy du - 2 +3-+2y=u+- dt dt dt Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, ignorando los términos debidos a las condiciones iniciales, obtenemos s2 Y(s) + 3sY( s) + 2Y( s) = U( s) + sU( s) Esta ecuación puede escribirse como [ s + 1 ] Y(s) = 2 U(s) s + 3s + 2 La función de transferencia de este sistema está dada entonces por s+l P(s)---- - s2 + 3s + 2
- 185. 174 TEORIA Y PROBLEMAS 'DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 6.2. Un sistema particular que contiene un retraso de tiempo tiene la ecuación diferencial (d!dt)y(t) + y(t) = u(t - T). Encuentre su función de transferencia. La transformada de Laplace de la ecuación diferencial, ignorando los términos debidos a las condiciones iniciales, es sY(s) + Y(s) = e-sTU(s). Y(s) y U(s) están relacionadas mediante la siguiente función de s, la cual es la función de transferencia del sistema. Y(s) e-sT P(s)=--=- U(s) s + 1 6.3. La posición y de un objeto en movimiento de masa constante M está relacionada con la fuerzaf aplicada al objeto mediante la ecuación diferencial M(d2 y!dt2 ) = f. Determine la función de transferencia que relaciona la posición con la fuerza aplicada. Tomando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial obtenemos Ms2 Y(s) = F(s). La función de transferencia que relaciona Y(s) con F(s) es entonces P(s) = Y(s)/F(s) = l/Ms2 • 6.4. Un motor conectado a una carga con inercia J y una fricción viscosa B produce un torque proporcional a la corriente de entrada i. Si la ecuación diferencial, para el motor y la carga, es J(d2 0/dr) + B(d0/dt) = Ki, determine la función de transferencia entre la corriente de entrada i y la posición 0 del eje. La versión en transformada de Laplace de la ecuac.ión diferencial es (Js2 + Bs)0(s) = KJ(s) y la función de transferencia requerida es P(s) = 0(s}1I(s) = K/s(Js + B). Propiedades de las funciones de transferencia 6.5. Se aplica un impulso a la entrada en un sistema continuo y se observa que la salida es la función de tiempo e- 21 • Encuentre su función de transferencia. La función de transferencia es P(s) = Y(s)/U(s) y U(s) = 1 para u(t) 1 P(s) = Y(s) = - s+2 8(t). Entonces 6.6. La respuesta impulso en cierto sistema continuo es la señal sinusoidal sen t. Determine la función de transferencia y la ecuación diferencial. La función de transferencia del sistema es la transformada de Laplace de su respuesta impulso, P(s) = l/(s 2 + 1). Entonces P(D) =y/u= 1/(D2 + 1), D2 y +y= u ó d 2 y/dt1 +y= u. 6.7. La respuesta paso de un sistema dado es y= l - fe- 1 + ½e- 21 - }e-41 • ¿Cuál es su función de transferencia? Puesto que la derivada de un paso es un impulso (véase la definición 3.17), la respuesta impulso para este sistema es p(t) = dy/dt = fe-' - 3e-2 ' + fe- 4 ' La transformada de Lapíace de p(t) es la función de transferencia deseada. Así
- 186. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 175 l -3 2 s+8 P(s)= s;l + s+2 + s;4 = (s+l)(s+ Nótese que una solución alterna habría sido calcular la transformada de Laplace de y y luego multiplicarla por s para determinar P(s), ya que una multiplicación por sen el dominio des equivale a su derivación en el dominio del tiempo. 6.8. Determine si la función de transferencia P(s) sistema estable o uno inestable. (2s + 1}/(s2 + s + 1) representa un La ecuación característica del sistema se obtiene igualando a cero el polinomio del denomina- dor, esto es s2 + s + 1 = O. La ecuación característica puede probarse utilizando uno de los criterios de estabi-lidad descritos en el Capítulo 5. La tabla de Routh para este sistema está dad¡t por s 2 rl s1 1 s0 1 Puesto que no hay cambios de signo en la primera columna, el sistema es estable. 6.9. ¿La función de transferencia P(s) = (s + 4)/(s + l)(s + 2)(s - 1) representa un sistema estable o uno inestable? La estabilidad del sistema se determina mediante las raíces del polinomio del denominador, esto es, los polos del sistema. Aquí el denominador se encuentra en forma factorizada, y los polos se localizan en s = -1, -2, +1. Puesto que hay un polo con parte real positiva, el sistema es inestable. 6.10. ¿Cuál es la función de transferencia de un sistema con un factor de ganancia de 2 y el diagrama de polos y ceros en el plano s que se muestra en la figura 6-4? La función de transferencia tiene un cero en -1 y polos en -2 y en el origen. En consecuencia esta función es P(s) = 2(s + 1)/s(s + 2). j., plano-s ~ - - - ->¡<- - - - j 1 1 plano-s 1 1 1 1 ___...,___-"'~---41<---- a -2 -1 -'-----+----+----+----a -3 ¡-2 , -1 1 1 1 1 b----- -*---- -j Figura 6-4 Figura 6-5
- 187. 176 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 6.11. Determine la función de transferencia de un sistema con un factor de ganancia de 3 y el diagrama de polos y ceros que se muestra en la figura 6-5. La función de transferencia tiene ceros en -2 ±j y polos en -3 y en -1 ±j. Entonces esta función es P(s) = 3(s + 2+j)(s + 2-j)/(s + 3)(s + 1 +J)(s + 1-J). Funciones de transferencia de componentes de sistemas de control continuos 6.12. En la figura 6-6 se muestra una red R-C como mecanización de un compensador por ade- lanto. Encuentre su función de transferencia. + + V¡ e Figura 6-6 Suponiendo que el circuito no está cargado, es decir, que no fluye corriente a través de sus terminales de salida, la ley de corriente de Kirchhoff para el nodo de salida produce La transformada de LapliicC de esta ecuación (con condiciones iniciales cero) es 1 1 Cs[V¡(s)- Vo(s)] + -[V;(s)- V¡¡(s}] = -R Vo(s) R1 2 La función de transferencia es Vo(s) Cs+l/R1 s+a p - - - - - - - - - - - Adelanto - V¡(s) - Cs+l/R¡+l/R2 s+b endondea=l/R1C y b=l/R1C+l/R 2C. 6.13. Determine la función de transferencia de la red R-C como mecanización del compensador por atraso que se muestra en la figura 6-7.
- 188. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA R¡ :o--¡--~--i 1 -c-~ - ~ 2 0----------------0 Figura 6-7 La ley de voltaje de Kirchhoff para la malla produce la ecuación 11, iR¡ + - i dt + iR2 = V¡ e o cuya transformada de Laplacc es El voltaje de salida está dado por Vo(s)=(R2 + ;s)I(s) Entonces, la función de transferencia de la red por atraso es Vo(s) R2 +1/Cs PAtra~o = - - = ------ V, (s) R1 +R2 +1/Cs a(s + b) b( s +a) 1 en donde a= ( R1 + R2 )C 177 1 b=- R2C 6.14. Encuentre la función de transferencia de la red R-C como mecanización del compensador por adelanto-atraso que se muestra en la figura 6-8. R1 o o :t o + + ·)r:· V¡ C1 Vo o o Figura 6-8
- 189. 178 TEORIA y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Igualando las corrientes en el nodo de salida a se obtiene El voltaje v0 y la corriente i se relacionan mediante l 11 - i dt + iR2 = v0 Ci o Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones (con condiciones inicial_es_cero) y - eliminando /(s) se obtiene la ecuación ( 1 ) Vo( s) R¡ +C1s [v;(s)-Vo(s)J= 1/sl;+ Entonces la función de transferencia de la red es en donde ( s+ _1 )(s+ _1 ) V¡¡(s) R1C1 R2(i pAA = - - = - - - - - - - - - ' - - - - - - - - - - - - s + --+--+-- s+---- V¡( s) 2 ( 1 1 1 ) 1 R2Ci R2C1 R1C1 R1C1R2 (i 1 ' ª1 = R C 1 l (s+a1)(s+b2 ) (s+b1)(s+a2 ) 6.15. Encuentre la función de transferencia de la red de atraso simple que se muestra en la figura 6-9. Esta red es un caso especial de la red de compensación por atraso del problema 6-13, con R2 igual a cero. En consecuencia la función de transferencia está dada por Vo( s) 1/Cs 1/RC P(s)= V¡(s) = R+l/Cs s+l/R R R1 R2 ~ + + ~ ~ ~ Ic : V¡ IC¡ IC2 Vo o o o o Figura 6-9 Figura 6-10
- 190. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 179 6.16. Determine la función de transferencia de dos redes de atraso simple conectadas en serie, como se muestra en la figura 6-1O Las ecuaciones de las dos mallas son Utilizando la transformación de Laplace y resolviendo las ecuaciones de las dos mallas para /i(s), obtenemos El voltaje de salida está dado por v0 = (l/C2) fo dt. Así que Vo( s) 1 V¡ (s) = R1R2C1C2s2 + (R1C1 + R1C2 + R2C2 ) s + 1 Respuesta de tiempo de sistemas continuos 6.17. ¿Cuál es la respuesta paso unitario de un sistema continuo cuya función de transferencia tiene un cero en -1, un polo en -2 y un factor de ganancia de 2? La transformada de Laplace de la salida está dada por Y(s) = P(s)U(s). Aquí 2(s + 1) P(s) = _s_+_2_ 1 U(s) = - s 2(s+l) 1 l Y( s) = s( s + 2) = -¡ + s + 2 Evaluando la transformada inversa de la expansión en fracciones parciales de Y(s) se obtiene y(t) = 1 + e- 21 6.18. Evalúe gráficamente la respuesta paso unitario de un sistema continuo cuya función de transferencia está dada por (s + 2) p (s) = -( s-+-0-.5-)(-s+-4-)
- 191. 180 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El diagrama de polos y ceros se obtiene sumando los polos y los ceros de la entrada al diagrama de polos y ceros de la función de transferencia. El diagrama de polos y ceros de la salida tiene entonces polos en O, -0,5 y -4, y un cero en -2, como se muestra en la figura 6-11. plano-s ------------bl-----*----'!i!-------u ce: 0 4 de P(s) _ / - 2 -o.s ~ polo debido a la entrada Figura 6-11 El residuo para el polo en el origen es 2 IRd = 0.5(4) = 1 argR1 = 0° Para el polo en -0.5, 1.5 IR2I = 0 _ 5 ( 3 _ 5 ) = 0.857 Para el polo en -4, arg R3 = -180° La respuesta de tiempo es entonces y(r) = R1 + R2 e-051 + R3 e-41 = 1- 0.857e- 0·5' - 0.143e-4 '. 6.19. Evalúe la respuesta paso unitario del sistema del problema 6.11. La transformada de Laplace de la salida en el sistema es 3(s + 2 +J)(s + 2-J) Y(s) - P(s)U(s) - - - - - - - - - - - s( s + 3)(s + 1 +J)(s + 1 - J) Al expandir Y(s) en fracciones parciales se obtiene R1 R2 R3 R4 Y(s) = - + - + --- + --- s s+3 s+l+j s+l-j
- 192. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 181 en donde 3(2 +1)(2-j) 5 R =------ 1 3(1 +J)(l - J) 2 3(1)(1- 2J} -3 R3 = (-1-j){2-J)(-2J) =20(?+j) 3(-l+J)(-1-J) -2 R2=--------=- - 3( -2 +J)( -2 - J) 5 3(1 + 2J)(l) -3 R4 = (2+J)(-l+j){2j) =20(?-j) Evaluando la transformada inversa de Laplace, 5 2 3/2 . . 5 2 3/i y= - - -e-31_ --e-'[e-1<1+B>+e1<1+8>] = - - -e-3,_ --e-'cos(t+8) 2 5 4 2 5 2 en donde 8= -tan- 1 (½]= -8.13º. Respuesta de frecuencia de sistemas continuos 6.20. Demuestre que la salida en estado estacionario en un sistema estable con función de trans- ferencia P(s) y entrada u = Asenwt está dada por YEE = A IP (Jw }lsen( wt + q>) en donde q> = arg P (Jw) La transformada de Laplace de la salida es Y(s) = P(s)U(s) = P(s)[Aw/(s2 + w2 )). Cuando esta transformada se expande en fracciones parciales, habrá términos debidos a los polos de P(s) y dos términos debidos a los polos de la entrada (s = ±jw). Puesto que el sistema es estable, todas las funciones de tiempo resultantes de los polos de P(s) tienden a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Así, la salida en estado estacionario contiene únicamente las funciones de tiempo que resultan de los términos en la expansión en fracciones parciales debidas a los polos de la entrada. La transformada de Laplace de la salida en estado estacionario es entonces AP(Jw) AP( - jw) Y (s) = ---- + - - - - EE 2j(s - jw) -2J(s +jw) La transformada inversa de esta ecuación es 6.21. Encuentre la ganancia en e.e. de cada uno de los sistemas representados por las siguientes funciones de transferencia: a) 1 P(s)=- s+l b} 10 P(s)----- - (s+l)(s+2) e) (s + 8) P(s)= (s+2)(s+·4) La ganancia en e.e. estád~da porP(O). Entonces a) P(O) = 1, b) P(O) = 5 e) P(O) = l.
- 193. 182 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 6.22. Evalúe la ganancia y el desplazamiento de fase de P(s) = 2/(s + 2) para w = 1, 2 y 10. La ganancia de P(s) está dada por IP(jw)I = 2/Vw2 + 4. Para w = 1, IP(j 1)1 = 2/VS = 0.894; para w = 2, IP(j 2)1 = 2/V8 = O.707; para w = 10, IP(j 10)1 = 2/V104 = 0.196. El desplazamiento de fase de la función de transferencia es el ángulo de fase de P(jw), argP(jw) = -tan- 1 w/2. Para.w = 1, arg P(j 1) = -tan- 1 ½= -26.6°; para w = 2, arg P(j 2) = -tan- 1 l = -45º; para w = 10, arg P(j 10) = -tan- 1 5 = -78.7°. 6.23. Esboce los diagramas de IP(jw)I y de arg P(jw) en función de la frecuencia para la función de transferencia del problema 6.22. Adicional a los valores calculados en el problema 6.22 para IP(jw)I y para arg P(jw), también serán útiles los valores para w = O: IP(jO)I = 2/2 = 1, arg P(jO) = -tan- 1 O = O. A medida que w se hace grande IP(jw)I se aproxima asintóticamente a cero mientras que arg P(jw) tiende asintóticamente a -90º. En la figura 6-12 se presentan las gráficas de la respuesta de frecuencia de P(s). IP(iw)I 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 o ., o 2 4 6 8 10 oº ., -20° -40° -60° -80° arg P(jw) Figura 6-12 Funciones de transferencia y respuestas de tiempo de sistemas discretos en el tiempo 6.24. La respuesta delta de Kronecker de un sistema discreto en el tiempo está dada pory8(k) = 1 para todo k 2'.: O. ¿Cuál es su función de transferencia? La función de transferencia es la transformada z de la respuesta delta de Kronecker, como se da en el ejemplo 4.26:
- 194. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 183 o Para determinar una representación de polos y ceros de P(z), notamos que zP( z) - z = P( z) ( z - 1) P( z) = z de modo que z P(z)=- z-1 De otra manera, nótese que la respuesta delta de Kronecker es la secuencia paso unitario que tiene la transformada z (véase la tabla 4.2). z P(z)=- z-1 6.25. La respuesta delta de Kronecker en un sistema discreto particular está dada pory8(k) = (0.5l para k 2: O. ¿Cuál es su función de transferencia? La respuesta delta de Kronecker de un sistema con un solo polo y ningún cero no tiene salida en k = O y su forma indica la presencia de un polo sencillo en 0.5. En consecuencia, la función de transferencia debe tener un cero en el numerador para que la secuen- cia de salida avance un intervalo de muestra. Esto es, z P(z) = - - z-0.5 6.26. Para un sistema cuya función de transferencia es z-0.1 P(z)----- - z2 +0.3z+0.2 ¿Cuál es la ecuación de diferencia? Remplazando a zn por zn, obtenemos Z-0.1 P( Z) = -Z- 2 -+-0-.3-Z-.+-0-.2 Entonces (Z-0.l)u(k) u(k+l)-0.lu(k) y(k) = P(Z)u(k) = Z2 + 0.3Z + 0.2 Z2 + 0.3Z + 0.2
- 195. 184 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION ''. SISTEMAS DE CONTROL y por multiplicación cruzada y(k + 2) + 0.3y(k + 1) + 0.2y(k) = u(k + 1) -0.lu(k) 6.27. ¿Cuál es la funcfón de transferencia en un sistema discreto con un factor de ganancia de 2, ceros en 0.2 y -0.5, y polos en 0.5, 0.6 y -0.4? ¿Es estable? La función de transferencia es 2( z - 0.2)( z + 0.5) P( z) = -(z-_-0_.5_)_(z---0-.6-)-(z_+_0_.4_) Puesto que todos los polos se encuentran dentro del círculo unitario, el sistema es estable. Problemas misceláneos 6.28. En la figura 6-13 se muestra el esquema de un motor de e.e. (de corriente continua). L y R representan la inductancia y la resistencia del circuito de la armadura del motor, y el voltaje vb representa la f.e.m. (fuerza electromotriz) generada, la cual es proporcional a la vdocidad del eje d0/dt. El torque T generado por el motor es proporcional a la corriente i en la armadura. La inercia J representa la inercia combinada de la armadura del motor y de la carga, y B es la fricción viscosa total que actúa sobre el eje de salida. Determine la función de transferencia entre el voltaje de entrada V y la posición angular 0 del eje de salida. Circuito de la armadura del motor Carga inercial J voltaje de entmda 11 ) 6 ángulo de '"""'_.,. dcsplazam1cn1 Figura 6-13 Las ecuaciones diferenciales del circuito de la armadura del motor y de la carga inercial son di dO d2 8 dO Ri+L- =v-K- dt f dt y Ki=J- +B- 1 dt2 dt Tomando la transformada de Laplace de cada ecuación e ignorando las condiciones iniciales, ( R + sL) / = V - K1s8 y KJ= (Js2 + Bs)8
- 196. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 185 Resolviendo estas ecuaciones simultáneas para la función de transferencia entre V y 0, tenemos 0 K, K,/JL V= (Js 2 +Bs)(Ls+R)+K,K1s = s[s2 +(B/J+R/L)s+BR/JL+K,K1/JL] 6.29. La f.e.m. generada por el circuito de la armadura de una máquina de e.e. es proporciona_! a la velocidad angular del eje, como se anotó en el problema anterior. Este principio se utiliza en el tacómetro de e.e. cuyo esquema se muestra en la figura 6-14, en donde la armadura v1, genera el voltaje v1,, tiene inductancia L y resistencia Ra, y v0 es el voltaje de salida. Si K1es la constante de proporcionalidad entre v1, y la velocidad d0!dt del eje, esto es, V¡,= K1(d0/dt), determine la función de transferencia entre la posición 0 del eje y el voltaje de salida Vi,. La carga de salida está representada por una resistencia RL y RL + R" = R. + Figura 6-14 La ecuación transformada de Laplace que representa el tacómetro es l(R + sL) = KpE>. El voltaje de salida está dado por Entonces, la función de transferencia del tacómetro de e.e. es J-ó = RLK¡( s ) 0 L s+R/L 6.30. En la figura 6-15 se muestra un acelerómetro mecánico simple. La posición y de la masaM con respecto a la caja del acelerómetro es proporcional a la aceleración de la caja. ¿Cuáles la función de transferencia entre la aceleración de entrada A (a = d2 x!dt 2 ) y la salida Y? >----- x = posición de la caja caja Figura 6-15
- 197. 186 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Igualando la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa M a su aceleración inercial, obtene- mos dy d2 - B dt - Ky = M dt2 ( y - x) o d2 y dy d2x M dt2 +B dt +Ky=M dt2 =Ma en donde a es la aceleración de entrada. La condición inicial cero de la ecuación transformada es (Ms2 + Bs + K)Y=MA Entonces, la función de transferencia del acelerómetro es y 1 A s2 +(B/M)s+K/M 6.31. Una ecuación diferenc_ial que describe la operación dinámica del giróscopo de un grado de libertad, que se muestra en la figura 6-16, es d2 fJ d(J J- +B- +KfJ=Hw dt 2 dt en la cual w es la velocidad angular del giróscopo alrededor del eje de entrada, () es la posición angular del eje de giro, la salida medida del giróscopo. Hes el momento angular almacenado en la rueda giratoria, J es la inercia de la rueda alrededor del eje de salida, Bes el coeficiente de fricción viscosa alrededor del eje de salida, y K es la constante de recupe- ración del resorte que se encuentra unido al eje de giro. eje de salida --€., - - eje de entrada Figura 6-16 rueda que gira a velocidad constante
- 198. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 187 a) Determine la función de transferencia que relaciona las transformadas de Laplace de w y 0, y demuestre que la salida en estado estacionario es proporcional a la magni- tud de una entrada de tasa constante. Este tipo de giróscopo se llama giro-derivador. b) Determine la función de transferencia entre w y 0 cuando se ha removido el resorte de restauración (K = O). Puesto que aquí la salida es proporcional a la integral de la tasa de entrada, este tipo de giróscopo se llama giro-integrador. a) La transformada con condición inicial cero de la ecuación diferencial del giróscopo es. (Js2 + Bs+K)0= HO en donde E> y n son las transformadas de Laplace de 0 y w, respectivamente. En consecuen- cia, la función de transferencia que relaciona E> y il es e o H (Js2 + Bs + K) Para una entrada de tasa constante o una entrada de e.e. wk, la magnitud de la salida en estado estacionario 0EE puede obtenerse multiplicando la entrada por la ganancia en e.e. de la fun- ción de transferencia, que en este caso es HIK. Así, la salida en estado estacionario es propor- cional a la magnitud de la tasa de entrada, esto es, 0EE = (HIK)wK. h) Igualando Ka cero en la función de transferencia de a) se obtiene 0/il = Hls(Js + B). Esta función de transferencia tiene ahora un polo en el origen, de tal modo que la integración se obtiene entre la entrada il y la salida E>. Entonces la salida es proporcional a la integral de la tasa de entrada o, lo que es equivalente, al ángulo de entrada. 6.32. Una ecuación diferencial que se aproxima a la dinámica rotacional de un vehículo rígido que se mueve en la atmósfera es d2() J-- -NLO=T dt 2 en donde 0 es el ángulo de orientación del vehículo, J es su inercia, N es el coeficiente de fuerza normal. Les la distancia del centro de gravedad al centro de presión, y Tes cual- quier torque aplicado (véase la figura 6-17). Determine la función de transferencia entre un torque aplicado y el ángulo de orientación del vehículo. ' Figura 6-17 velocidad con respecto a la atmósfera
- 199. 188 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La ecuación diferencial transformada del sistema con condición inicial cero es La función de transferencia deseada es 8 1 1/J T Js2 -NL s2 -NL/J Nótese que si NL es positivo (centro de presión adelantado con respecto al centro de gravedad del vehículo), el sistema es inestable porque hay un polo en la mitad derecha del plano en s = VNUJ. Si NL es negativo, los polos son imaginarios y el sistema es oscilante (estable marginalmente). Sin embargo, en la realidad se encuentran presentes los términos de amortiguamiento aerodinámico que no se incluyen en la ecuación diferencial y que amortiguan cualquier oscilación de la función. 6.33. Los receptores de presión, llamados barorreceptores, miden los cambios en la presión de la sangre arterial, como se describió en el problema 2.14. Allí se muestran como un bloque en la trayectoria de retroalimentación del diagrama de bloques propuesto para la solución de tal problema. La frecuencia b(t) a la que se mueven las señales (potenciales de acción) a lo largo de los nervios vago y glosofaríngeo desde los barorreceptores al centro vasomotor (CVM) en el cerebro, es proporcional a la presión arterial p de la sangre más la tasa tempo- ral de cambio de la presión sanguínea. Determine la forma de la función de transferencia para los barorreceptores. A partir de la descripción dada antes, la ecuación para b es en donde k1 y k2 son constantes y pes la presión sanguínea !no debe confundirse aquí a p con la notación p(t), la transformada inversa de Laplace de P(s), que se introdujo en este capítulo como representación general para una función de transferencia]. La transformada de Laplace de la ecua- ción anterior con condiciones iniciales cero, es La función de transferencia de los barorreceptores es entonces BIP = k1 + k2s. De nuevo recorda- mos al lector que P representa la transformada de la presión sanguinea arterial en este problema. 6.34. Considere la función de transferencia C,)Rk para el sistema biológico descrito en el proble- ma 3.4a) mediante las ecuaciones para k n ck(t) = rk(t) - ·L ak_;c;(t- At) ;-1 1, 2, ... , n. Explique cómo puede calcularse C,)Rk.
- 200. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 189 Tomando las transformadas de Laplace de las ecuaciones anteriores e ignorando las condiciones iniciales, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: n R " e -slit ck = k - l..., ªk-i ¡e i=l para k = 1, 2, ... , n. Si se escribieran todas las n ecuaciones anteriores, tendríamos n ecuacio- nes con n incógnitas (Ck para k = 1, 2... , n). La solución general para cualquier Ck en términos de las entradas Rk, pueden determinarse utilizando las técnicas corrientes de resolución de ecuaciones simultáneas. Digamos que D representa el determinante de la matriz de coeficientes: 1 + aoe-slit a_¡e-slit D = a1 e-•t,,1 1 + a0 e·-,M Entonces, en general, ª1-ne-slit ª2--ne-slit en donde Dk es el determinante de la matriz de coeficientes, en el cual se remplaza la k-ésima columna por R,. Entonces, la función de transferencia Ck )Rk se determina igualando a cero todas las entra- das excepto Rk, calculando Ck con la fórmula anterior y dividiendo a Ck entre Rk. 6.35. ¿La función de transferencia en el dominios puede determinarse para el muestreador ideal descrito en los problemas 3.5 y 4.39? ¿Por qué? No. A partir de los resultados del problema 4.39, la transformada de la salida U(s) del muestrea- dor ideal es 00 U*(s) = L e-skTu(kT) k=O No es posible factorizar la transformada U(s) de la señal de entrada u(t) aplicada al muestreador porque el muestreador no es un elemento invariable en el tiempo del sistema. En consecuencia, ésta no puede describirse mediante una función de transferencia ordinaria.
- 201. 190 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 6.36. Con base en los desarrollos del muestreador y de la función de sostenimiento de orden cero, dados en los problemas 3.5, 3.6, 3.7 y 4.39, diseñe una idealización de la función de transferencia del sistema de sostenimiento de orden cero. En el problema 3.7, los impulsos en m,T(t) remplazan los pulsos de corriente modulada por m.,(t) en el problema 3.6. Entonces, por la propiedad de muestreo del impulso unitario, ecuación (3 .20), la integral de cada impulso es el valor de u(t) en el instante de muestreo kT, k = O, 1,... , etc. Entonces, es lógico remplazar el capacitor (y el resistor) en el circuito de sostenimiento aproximado del problema 3.6 por un integrador que tiene la transformada de Laplace 1/s. Para completar el diseño, la salida del circuito de sostenimiento debe ser igual a u en cada tiempo de muestreo, no u - YHo; en consecuencia, necesitamos una función que restaure automáticamente a cero el integra- dor después de cada periodo de muestreo. La función de transferencia de tal dispositivo está dada por la función de transferencia del "pulso": Entonces, podemos escribir la transformada de la salida del dispositivo de sostenimiento ideal como 6.37. ¿Se puede determinar la función de transferencia en el dominios de la combinación: mues- treador ideal y dispositivo de sostenimiento ideal de orden cero del problema anterior? ¿Por qué? No. Es imposible factorizar la transformada U(s) de u(t) aplicada al muestreador. De nuevo, el muestreador no es un dispositivo invariable en el tiempo. 6.38. En el problema 3.6 se describió el circuito de atraso simple de la figura6-3 con un interrup- tor Sen la línea de entrada, como un muestreador y circuito de sostenimiento de orden cero aproximado y se idealizó en el problema 6.36. ¿Por qué se trata de ese caso y bajo qué circunstancias? En el problema 6.15 se demostró que la función de transferencia del atraso simple es l/RC P( s) - -s+-l/_R_C Si RC «; 1, P(s) puede aproximarse como P(s) "" 1 y el capacitor sostiene idealmente la salida constante hasta el siguiente momento de muestreo. 6.39. Demuestre que el orden del polinomio del denominador debe ser igual a o mayor que el orden del polinomio de su numerador (propiedad 6, sección 6.6), para que una función· racional P(z) sea una función de transferencia de un sistema discreto en el tiempo y causal. En la sección 3.16 vimos que un sistema discreto en el tiempo es causal si su secuencia de ponderación w(k) = Opara k <O.Hagamos que P(z), la función de transferencia del sistema, tenga la forma
- 202. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 191 en donde an * O y bm * O. La secuencia de ponderación w(k) puede generarse invirtiendo P(z), empleando la técnica de división no abreviada de la sección 4.9. Dividimos primero el numerador y el denominador de P(z) por zm, formando así bm + bm_lz- 1 + ··· +boz-m P( z) = _a_z_n-_m_+_a__z_n ___m ___ ¡ -+-.- .. -+-a_z___ m n n-1 O Dividiendo el numerador de P(z) entre su denominador, entonces da El coeficiente de z-k en esta expansión de P(z) es w(k) y vemos que w(k) = O para k < n - m y bm w(n-m) = - *º an Para que haya causalidad, w(k) O para k < O, entonces n - m ~ O y n ~ m. 6.40. Demuestre que la respuesta en estado estacionario de un sistema estable, discreto en el tiempo, a una secuencia de entrada u(k) = sen wkT, k = O, 1, 2,... , está dada por YEE = A IP( eJwT) !sen( wkT + q>) k=0,1,2, ... (6.14) en donde P(z) es la función de transferencia del sistema. Puesto que el sistema es lineal, si este resultado es cierto para A = 1, entonces también es cierto para valores arbitrarios de A. Para simplificar los argumentos se utiliza una entrada u'(k) = ejwkT, k = O, 1,2, ... Teniendo en cuenta que u'( k) = eJwkT = cos wkT +j senwkT la respuesta del sistema a {u'(k)} es una combinación compleja de las respuestas a {cos wkT} y {sen wkT} en donde la parte imaginaria es la respuesta a {sen wkT}. De la tabla 4.2, la transformada z de {JwT es z z - ejwT
- 203. 192 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Así, la transformada z de la salida del sistema Y'(z) es z Y'(z) =P(z) z-e¡wT Para invertir Y'(z), formamos la expansión en fracciones parciales de Y'(z) 1 - - =P(z) . z z - e1"' Esta expansión consta de los términos debidos a los polos de P(z) y un término debido al polo en z = ejw T_ Entonces y [ + P( ei"'T)_] Y'( z) = z ¿ términos debidos a los polos de P(z) z -e'w1 { y'( k)} = ::::- 1[z¿ términos debidos a los polos de P(z) ] + { P( e1"'T) e iwA T} Puesto que el sistema es estable, el primer término desaparece cuando k se hace grande y YEE = P( ef"'T) ejwAT = 1P( ei"'T) lej(wk T+.:,) = 1 P( ei"'T) I[cos( wkT + q>) +}sen( wkT + q>)] k = 0,1,2, ... en donde <p = arg P(eiwT¡_ La respuesta en estado estacionario a la entrada sen wkT es la parte imaginaria de YF.F:, o YEE = 1P( e1 "'T) !sen( wkT + q>) k=0,1,2, ... 6.41. Demuestre que si una función continua en el tiempo y(t) con transformada de Laplace Y(s) se muestrea uniformemente con un periodo T, la transformada z de la secuencia resultante de muestras Y*(z) está relacionada con Y(s) por medio de la ecuación (6.15). De la definición 4.3: 1 ¡c+joo y(t) = -. Y(s)e" dY 2'1TJ c-joo en donde e > u0 . El muestreo uniforme de y(t) genera las muestras y(kD, k = O, 1,2,... Entonces l ¡c+joo y(kT) = -. Y(s)e'"T dY 2'1TJ c-joo k=0,1,2, ... La transformada z de esta secuencia es 00 00 -k Z ¡c+100 Y*(z) = L y(kT)z-k = L -. Y(s)e'u dY k=O k=O 2'1TJ c--Joo y después de intercambiar la integración y la suma,
- 204. !"UNCIONES DE TRANSFERENCIA 193 • X Y*(z) = -. Y(s) ¡_, e'kTz-" ds 1 ¡c+joo " 2'TTJ c-joo k-0 Ahora 00 00 L e'kTz "= L (e'Tz-1)" es una serie geométrica que converge si le'Tz- 1 1 < 1. En este caso, La desigualdad le'Tz- 11 < 1 implica que lzl > le'TI. Al hacer la integral de contorno le'TI = le(< •tw>T¡ = ed Así la serie converge para lzl > ecr. En consecuencia 1 f"+Joo 1 Y*(z) = -. Y(s) ,T 1 ds 2'TTJ ,·-¡oo 1 - e z para lzl > e'r, que es la ecuación (6. /5). 6.42. Demuestre que si el circuito de sostenimiento de la figura 6-3 es de orden cero, la ecuación (6./7) da la ecuación de la función de transferencia discreta en el tiempo. Hagamos p(t) = !f' 11P(s)]. Entonces, usando la integral de convolución (definición 3.23), la salida de P(s) se puede escribir como Puesto que xHCiU) es la salida del dispositivo de sostenimiento de orden cero, ésta es constante sobre cada intervalo de muestreo. Así, y(t) se puede escribir como: 1 T 2T y(t)= p(t-T)x(O)dT+ j p(t·-T)x(l)dT+ O T . f(¡-l)T f' + p(t-T)x((j-2)T]dT+ . p(t-T)x((j-l)T]dT (j-2)T (¡- l)T en donde (i - 1)T :s:: t :s; jT. Ahora J-l ( (i+l)T ) y{JT) = i~O !T p{JT- T) dT x( iT)
- 205. 194 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Haciendo 0 =jT - T, la integral se puede escribir como f(i+l)Tp(JT--r)d-r= ¡(J-i)T p(8)d(J iT (i-i-l)T en donde i = 0.1,2,3, ... ,j - 1. Ahora, al definir h(t) = J¿ p(0) d0 y k = j - 1 ój = k + 1, se produce pj-i)T p((J)d(J= 1(j-i)Tp(8)d(J- 1(j-i-l)Tp(8)d8= ¡ck-i+l)Tp(8)d8-fk-i)Tp(8)d(J (j-1-l)T O O O O =h[(k-i+i)T]-h[(k-i)T] En consecuencia, podemos escribir k k y[(k+l)T]= ¿h[(k-i+I)T]x(iT)- ¿h[(k-i)T]x(iT) i=O i=O Al utilizar la relación entre la suma de convolución y el producto de las transformadas z en la 3ección 4.9, el teorema del desplazamiento (propiedad 6, sección 4.9) y la definición de la transfor- mada z, entonces la transformada z de la última ecuación es zY*( z) = zH*( z) X*( z) - H*( z) X*( z) en donde Y*(z) es la transformada z de la secuenciay(kD, k = O, 1, 2, ... , H*(z) es la transformada de ¡~rp(0)d0, k = 0,1, 2, ... , y X*(z) es la transformada z de x(kD, k = 0,1, 2, ... Al reordenar términos se obtiene Y*( z) = (1 - z- 1) H*( z) X*(z) Entonces, puesto que h(t) = f¿p(8)d8, ~[h(t)] = P(s)/s y 1:(z) =(l-z-i)z{.:r1 (P(s))I } X (z) s i=kT 6.43. Compare la solución del problema 6.42. con la del problema 6.37. ¿Cuál es la diferencia fundamental en el problema 6.42 que permite el uso de los métodos del dominio de la frecuencia lineal en él? · La presencia de un muestreador en la salida de P(s) permite el uso de funciones de transferencia en el dominio z para la combinación del muestreador, el dispositivo de sostenimiento de orden cero y P(s).
- 206. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 195 Problemas suplementarios 6.44. Determine la función de transferencia de la red R-C que se muestra en la figura 6.18. + o---•G + RL V salida V¡ V entrada RG Figura 6-18 Figura 6-19 6.45. En la figura 6-19 se muestra un circuito equivalente de un amplificador electrónico. ¿Cuál es su función de transferencia? 6.46. Encuentre la función de transferencia de un sistema que tiene una respuesta impulsop(t) = e-1 (1 - sen t). 6.47. A un sistema con una función de transferencia P(s) = 2/s(s + 2) se aplica una entrada sinusoidal x = 2 sen 2t. Determine la salida en estado estacionario YEE· 6.48. Encuentre, la respuesta al paso de un sistema que tiene la función de transferencia P(s) = 4/(s2 - l)(s2 + 1). 6.49. Determine cuáles de las siguientes funciones de transferencia representan sistemas estables y cuáles representan sistemas inestables: a) b) (s -1) P(s)------ - ( S + 2)( s2 + 4) (s - 1) P(s)= (s+2}(s+4) 5(s + 10) e) P(s) - - - - ~ - - - - (s + 5)(s2 -s + 10) (s+2)(s-2) e) P(s)= (s+l)(s-l)(s+4) 6 d) P(s)= 2 (s2 +s+l)(s+l) 6.50. Use el teorema de valor final (Capítulo 4) para demostrar que el valor en estado estacionario de una salida de un sistema estable, en respuesta a una entrada paso unitario, es igual a la ganancia en e.e. del sistema.
- 207. 196 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 6.51. Detennine la función de transferencia de dos de las redes presentadas en el problema 6.44 conecta- das en cascada (en serie). 6.52. Examine la literatura de las funciones de transferencia de los giróscopos de dos y tres grados de libertad y compárelas con la del giróscopo de un grado de libertad descrito en el problema 6.31. 6.53. Detennine la respuesta rampa de un sistema que tiene la función de transferencia P(s) = (s-'- 1)/(s + 2). 6.54. Demuestre que si un sistema está descrito por para m :=; n está en reposo antes de la aplicación de la entrada, esto es, dky/dt = O, k = O, 1,... , n - l, para t < O, entonces (los ténninos debidos a todos los valores iniciales ut yt) = O. (Sugerencia: Integren veces la ecuación diferencial desde o-= lim, _ o, , < 0f. hasta t yluego haga t .... o+. 6.55. Detennine la respuesta de frecuencia del dispositivo de sostenimiento ideal de orden cero (SOC) con la función de transferencia dada en el problema 6.36 y haga un esquema de las características de ganancia y fase. 6.56. En la definición 2.13 y en el ejemplo 2.9 se explicó un sostenimiento de orden cero, el cual mantiene la pendiente de la función definida por los dos últimos valores de la salida del muestrea- dor, hasta el siguiente instante de muestreo. Detennine la función de transferencia discreta en el tiempo de U*(z) a Y*(z) para el subsistema de la figura 6-3, con un elemento de sostenimiento de primer orden. 6.44. 6.45. 6.46. Respuestas a los problemas suplementarios Vi s V¡ s+l/RC Ysalida -µ,RL Ventrada ( Rk + R1.) RPCPs + (µ, + 1) Rk + Rp + RL s2 +s + 1 P(s)=------- (s+l)(s2+2s+2) 6.47. YEE = 0.707sen(2t - 135°)
- 208. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 197 6.48. y= -4 + e-1 + e1 + 2cost 6.49. b) y d) representan sistemas estables; a), e) y e) representan sistemas inestables. 6.51. flí s2 6.53. y=¼ - ¼e--21 + ½t 6.55. [ Tsen( wT/2) ] . T/2 P(jw)= ---'----'- e_J<., wT/2 T arg PHo 2'17 4'17 T T 2w 4w T T Figura P6-55 6.56. Y*(z) _1 2 { _ 1 ( G(s) 1 G(s) )1 } --=(1-z ) Z !i' --+--- U*(z) s T s2 1-kT
- 209. Capítulo- 7 Algebra de los diagramas de bloques y funciones de transferencia de los sistemas 7.1 Introducción Se destaca en los Capítulos 1 y 2 que los diagramas de bloques son una forma gráfica y abreviada de representar un sistema físico, por medio de la ilustración de las relaciones funciona- les entre sus componentes. Esta última característica permite la evaluaeión de las contribuciones de los elementos individuales al desempeño total del sistema. En este capítulo investigamos primero más detalladamente estas relaciones, utilizando los conceptos de dominio de frecuencia y función de transferencia desarrollados en los capítulos precedentes. Luego desarrollamos métodos para reducir diagramas de bloques complicados a formas más manejables, de tal manera que se puedan utilizar para predecirel desempeño global de un sistema. 7.2 Revisión de fundamentos En general, un diagrama de bloques consiste en una configuración específica de cuatro tipos de elementos: bloques, puntos de suma, puntos de toma y flechas que representan la señal de flujo unidireccional: punto de + z z Figura 7-1 En la figura 7-1 queda claro el significado de cada elemento. punto de toma Las cantidades del dominio del tiempo se representan en minúsculas. EJEMPLO 7.1. r = r(t) para señales continuas y r(tk) o r(k), k = 1, 2, ... , para señales discretas en el tiempo.
- 210. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 199 En este capítulo se utilizan las mayúsculas para las transformadas de Laplace o las transformadas z. A menudo se suprimen los argumentos s ó z para simplificar la notación, si el contexto es claro o si los resultados presentados son los mismos tanto para los dominios de las funciones de trans- fe*encia de Laplace (sistemas continuos en el tiempo) como para las funciones z (sistemas discre- tos en el tiempo). EJEMPLO 7.2. R = R(s) o R = R(z). En la figura 7-2 se reproduce el sistema básico de control con retroalimentación presentado en el Capítulo 2, con todas las cantidades abreviadas en la notación de transformadas. R + e :¡: ' trayectoria directa B trayectoria de retroalimentación Figura 7-2 Las cantidades G1, G2 y H son las funciones de transferencia de los componentes en los blo- ques. Ellas pueden ser funciones de transferencia de las transformadas z o de las de Laplace. EJEMPLO 7.3. G1 = U/E o U = G 1E. Es importante notar que estos resultados se aplican a las funciones de transferencia bien sea transformadas en Laplace o transformadas z, pero no necesariamente a diagramas de bloques mezclados continuos/discretos en los que s~ incluyan muestreadores. Los muestreadores son dis- positivos lineales, pero no son invariables en el tiempo y, por tanto, no se pueden caracterizar mediante una función de transferencia ordinaria en el dominios, como se definió en el Capítulo 6. Véase el problema 7.38 para algunas excepciones, y la sección 6.8 para un análisis más extenso acerca de los sistemas mezclados continuo/discreto. 7.3 Bloques en cascada Cualquier número finito de bloques en serie se puede combinar algebraicamente por medio de la multiplicación de funciones de transferencia. Esto es, n componentes o bloques con funciones de transferencia G1, G2 , .•• , Gn conectados en cascada, son equivalentes a un solo elemento G con una función de transferencia dada por n G = G1 • G2 • G3 • • • Gn = TI G; ;-1 (7.1)
- 211. 200 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Siempre que no haya posibilidad de confusión se omite el símbolo de la multiplicación"·" EJEMPLO 7.4. Figura 7-3 La multiplicación de las funciones de transferencia es conmutativa, esto es, (7.2) para cualquier i ó J. EJEMPLO 7.5. Figura 7-4 Los efectos de carga (interaq;ión de una función de transferencia sobre su vecina) deben tenerse en cuenta en la obtención de funciones de transferencia individuales antes de que los bloques se puedan colocar en cascada. (Véase el problema 7.4) 7.4 Formas canónicas de un sistema de control con retroalimentación Los dos bloques en la trayectoria directa del sistema con retroalimentación de la figura 7-2 se pueden combinar. Haciendo G =GIG2 , la configuración resultante se denomina forma canónica del sistema de control retroalimentado. G y H no necesariamente son únicas para un sistema en particular. Las siguientes definiciones se refieren a la figura 7-5. e B Figura 7-5
- 212. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 201 Definición 7.1: Definición 7.2: Definición 7.3: Definición 7.4: Definición 7.5: Definición 7.6: G =función de transferencia directa =función de transferencia H = función de transferencia de la retroalimentación GH = función de transferencia de la malla =función de transferencia en malla abierta C/R =función de transferencia en malla cerrada =relación de control EIR relación de señal actuante = relación de error B/R = relación de retroalimentación primaria En las siguientes ecuaciones, el signo - se refiere a un sistemacon retroalimentación positiva, y el signo + a un sistema con retroalimentación negativa: e G -= (7.3) R l±GH E 1 R l±GH (7.4) B GH (7.5) R l±GH El denominador de CIR determina la ecuación característica del sistema, que usualmente se defi- ne a partir de 1 ± GH = O, o de forma equivalente, (7.6) en dondeDaHes el denominador y NaHes el numerador de GH, a no ser que un polo de G cancele un cero de H (véase el problema 7.9). Las relaciones (7./) a (7.6) son válidas para sistemas continuos (en el dominio s) y para sistemas discretos (en el dominio z). 7.5 Teorema<, de transformación de diagramas de bloques Los diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden simplificar utilizan- do transformaciones fácilmente derivables. La primera transformación importante, combinar blo- ques en cascada, se presentó en la sección 7.3. Esta se repite en la tabla que ilustra los teoremas de transformaciones (figura 7-6) para presentarla completa. Se utiliza la letra P para representar cualquier función de transferencia, y W, X, Y, Z representan cualesquiera señales transformadas.
- 213. 202 Combinación de bloq4es en cascada Combinación de 2 bloques en paralelo; o eliminación de la -malla directa 3 Remoción de un bloque de una trayectoria directa Eliminación de una y y 4 malla de Y retroalimentación Remoción de un 5 bloque en una malla Y de retroalimentación 6a 6b Reordenamiento de los puntos de suma Reordenamiento de los puntos de suma Movimiento de un z z y 7 punto de suma z adelanic de un bloque Movimiento de un 8 punto de suma más allá de un bloque z TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL W±X±Y W±X±Y ~ +.z X ± y ± PX± Y P[X± Y] Fig. 7-6
- 214. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 203 Movimiemo de un y X 9 punto de toma y = PX ¡¡delante de un y bloque X o...... ~ e~, Movimiento de un 10 punto de toma más y = PX allá de un bloque ~ Movimiento de un punto de toma ± 11 z = X±Y adelante de un punto de suma z ~ X + Movimiento de un punto de toma más ± 12 z = X±Y allá de un punto de suma y + ,Figura 7-6 (continuación) 7.6 Sistemas con retroalimentación unitaria Definición 7. 7: Un sistema con retroalimentación unitaria es aquel en el cual la retroali- mentación primaria b es exactamente igual a la salida controlada c. EJEMPLO 7.6. H = 1 para un sistema lineal con retroalimentación unitaria (figura 7°7). R e Figura 7-7 Cualquier sistema retroalimentado con elementos lineales invariables en el tiempo, única- mente se puede poner en la forma de un sistema con retroalimentación unitaria utilizando la trans- formación 5.
- 215. 204 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 7.7. e e ::¡: Figura 7-8 La ecuación c;iracterística del sistema con retroalimentación unitaria, determinada a partir de ± G = O, es (7.7) en donde De es el denominador y Ne es el numerador de G. 7.7 Superposición de entradas múltiples · Algunas veces es necesario evaluarel desempeño de un sistema cuando se aplican simultánea- mente varias entradas en diferentes puntos de dicho sistema. Si en un sistema lineal están presentes entradas múltiples, cada una se trata independiente- mente. La salida debida a los estímulos que actúan juntos se encuentra así: suponemos condicio- nes iniciales cero, ya que buscamos cómo responde el sistema únicamente a las entradas. Paso 1: Igualar todas las entradas, excepto una, a cero. Paso 2: Transformar el diagrama de bloques a la forma canónica, utilizando las transforma- ciones de la sección 7.5. Paso 3: Calcular la respuesta debida a la entrada escogida cuando ésta actúa sola. Paso 4: Repetir los pasos I al 3 para cada una de las entradas restantes. Paso 5: Sumar algebraicamente todas las respuestas (salidas) determinadas en los pasos I al 4. Esta suma es la salida total del sistema cuando todas las entradas actúan simultá- neamente. Aquí recalcamos nuevamente que el proceso de superposición anterior depende de que el sistema sea lineaL EJEMPLO 7.8. Determinamos la salida C debida a las entradas U y R para la figura 7-9. e Figura 7-9
- 216. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 205 Paso 1: Hacemos U = O. Paso 2: El sistema se reduce a R + Paso 3: Mediante la ecuación (7.3), la salida CR debida a la entrada Res CR = [G1G2!(l + G1G2)]R. Paso 4a: Hacemos R = O. Paso 4b: Ponemos - 1 en un bloque para representar el efecto de retroalimentación negativo: Reordenamos el diagrama de bloques: u + + Hacemos que el bloque - 1 se absorba en el punto de suma: u + Paso 4c: Mediante la ecuación (7.3), la salida Cu, debida a la entrada U, es Cu= [G2/ (1 + G1G2)]U. Paso 5: La salida total es
- 217. 206 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 7.8 Reducción de diagramas de bloques complicados Los diagramas de bloques de sistemas de control con retroalimentación prácticos, a menudo son bastante complicados. Estos pueden presentar varias mallas directas o de retroalimentación y entradas múltiples. Mediante una reducción sistemática del diagrama de bloques, todo sistema de retroalimentación lineal de mallas múltiples se puede reducir a la forma canónica. Las técnicas desarrolladas en los parágrafos anteriores proporcionan las herramientas necesarias. Se pueden utilizar los siguientes pasos generales como una aproximación básica en la reduc- ción de diagramas de bloques complicados. Cada paso se refiere a transformaciones específicas, las cuales se relacionan en la figura 7-6. Paso 1: Combine todos los bloques en cascada utilizando la transformación 1. Paso 2: Combine todos los bloques en paralelo utilizando la transformación 2. Paso 3: Elimine todas las mallas de retroalimentación menores utilizando la transformación 4. Paso 4: Desplace los puntos de suma a la izquierda y los puntos de toma a la derecha de la malla principal utilizando las transformaciones 7, 10 y 12. Paso 5: Repita los pasos I al 4 hasta que alcance la forma canónica para una entrada particu- lar. Paso 6: Repita los pasos I al 5 para cada entrada, según se necesite. Algunas veces las transformaciones 3, 5, 6, 8, 9 y 11 son útiles, y la experiencia con la técnica de reducción determina su aplicación. EJEMPLO 7.9. Reduzcamos el diagrama de bloques (figura 7-10) a la forma canónica. R + e Figura 7-10 Paso 1:
- 218. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 207 Paso 2: Paso 3: --- Paso 4: No se aplica e Paso 5: e Paso 6: No se aplica Una necesidad ocasional en la reducción del diagrama de bloques es el aislamiento de un bloque particular en la malla directa o de retroalimentación. Esto puede ser deseable para exami- nar más fácilmente el efecto de un bloque particular sobre todo el sistema. El aislamiento de un bloque generalmente se logra aplicando los mismos pasos de reducción al sistema, pero usualmente en orden diferente. El bloque que se va ¡i aislar no se puede combinar con alguno de los otros. El reordenamiento de los puntos de suma (transformación 6) y las transformaciones 8, 9 y 11 son especialmente útiles para el aislamiento de bloques.
- 219. 208 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 7.10. Reduzcamos el diagrama de bloques del ejemplo 7.9 aislando el bloque H1. Pasos 1 y 2: 1 ' e En esta oportunidad no aplicamos el paso 3, sino que vamos directamente al paso 4 moviendo el punto de toma I más allá del bloque G2 + G3: R + 1 2 e Ahora podemos reordenar los puntos de suma I y 2 y combinar los bloques en cascada en la malla directa; utilizamos la transformación 6 y en seguida la transformación 1: 2 1 e Paso 3: R + e
- 220. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 209 Finalmente, aplicamos la transformación 5 para eliminar li(G2 + G3) de la malla de retroalimentación: e Note que pudo haberse obtenido el mismo resultado después de aplicar el paso 2 moviendo el punto de toma 2 adelante de G2 + G3, en lugar del punto de toma I más allá de G2 + G3 • El bloque G2 + G3 tiene el mismo efecto sobre la relación de control C/R, bien sea que siga directamente a Ro que preceda directamen- te a C. Problemas resueltos Bloques en cascada 7.1. Pruebe la ecuación (7.J) para bloques en cascada. En la figura 7-11 se da el diagrama de bloques paran funciones de transferencia G1, Gz, ... , Gn en cascada. -------• Figura 7-11 La transformada de la salida para cualquier bloque es igual a la entrada de la transformada multiplicada por la función de transferencia (véase la sección 6.1 ). En consecuencia X2 = X1Gi, X3 X2G2 , ... , X,, = X,,_ 1 G,,_1, X,,+ 1 = X,,G,,. Combinando estas ecuaciones, tenemos Dividiendo ambos lados por X1, obtenemos X11 + 1 /X1 = G1G2 7.2. Pruebe la conmutatividad de los bloques en cascada, ecuación (7.2). Considere dos bloques en cascada (figura 7-12): X¡+1 Figura 7-12
- 221. 210 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL A partirde la ecuación (6.1) tenemos X;+ 1 = X,G; = G¡)(¡y X¡+ 1 = X;+ 1G¡ = G)(;+ t· EntoncesX¡+t = (X,G;)G¡ = X;G;G¡. Dividiendo ambos lados por X;, X¡+ 1IX; = G;G¡. También,X¡+ 1 = Gj(G¡)(¡) = Gp)(;. DividiendodenuevoporX;,X¡+ 1/X; = Gp;. Así G;G¡ = G/J;. Este resultado se extiende por inducción matemática a cualquier número finito de funciones de transferencia (bloques) en cascada. 7.3. Encuentre Xn!X1 para cada uno de los sistemas de la figura 7-13. a) b) Figura 7-13 a) Una manera de resolver este problema es escribir primero X2 en términos de X1: Luego se escribe Xn en términos de X2: Multiplicando y dividiendo ambos lados por X1, tenemos XnfX1 = 10/(s2 - 1). En seguida se presenta un método más corto. Sabemos, a partir de la ecuación (7. /), que dos bloques se pueden reducir a uno simplemente multiplicando sus funciones de transferen- cia. También, la función de transferencia de un bloque sencillo es su transformada de salida a entrada. Por tanto b) Este sistema tiene la misma función de transferencia determinada en la parte a) ya que la multiplicación de las funciones de transferencia es conmutativa. e) Mediante la ecuación (7.1), tenemos
- 222. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 211 Xn (-10)( 1 )(11,4) -14 X1 =s+l s-1 -;-=s(s2 -1) 7.4. La función de transferencia de la figura 7-14-a es wof(s + w0 ), en donde w0 = l!RC. La función de transferencia de la figura 7-14b ¿es igual a w5/(s + w0 )2? ¿Por qué? R WMI le o entrada salida I o o Figura 7-14a 0 '1/W'N' le WI/W le 0 R R entrada salida 0 I I 0 Figura 7-14b No. Si se conectan dos redes en serie (figura 7-15), la segunda carga a la primera extrayendo corriente de ella. Entonces, la ecuación (7. /) no se puede aplicar directamente al sistema combina- do. La función de transferencia correcta para las redes conectadas es WfJl(s2 + 3wo5 + WfJ) (véase el problema 6. 16), y por tanto no es igual a (wof(s + w0))2. R 1 R oo-----'WMI------ le $ wwv, 1 1 1 I 1 1 1 Et) 0 Red I 1 puntos de conexión Figura 7-15 Sistemas canónicos de control con retroalimentación 7.5; Pruebe la ecuación (7.3), CIR = G/(1 ± GH). le I 0 0 Red 2 Las ecuaciones que describen los sistemas canónicos de control con retroalimentación se toman directamente de la figura 7-16, y están dadas por E= R + B, B = HC, y C =GE.Sustituyendo una en la otra, tenemos
- 223. 212 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL C= G(R+B)-G(R+HC) = GR+ GHC == GR + ( +GHC) Restando (+ GHC) de ambos lados, se obtiene C ± GHC = GR o C/R = G/(1 ± GH). e ::¡: B Figura 7-16 7.6. Pruebe la ecuación (7.4), E/R = 1/(1 ± GH). Del problema anterior, tenemos E = R ::¡: B, B = HC y C = GE. Entonces, E = R + HC = R + HGE, E ± GHE = R y EIR = 1/(1 ± GH). 7.7. Pruebe la ecuación (7.5), BIR = GHl(l ± GH). A partir de E= R ::¡: B,B = HCy C = GEseobtieneB = HGE = HG(R + B) = GHR ::¡: GHB Entonces B ± GHB = GHR, B = GHR/(1 ± GH) y B/R = GH/(1 ± GH). 7.8. Pruebe la ecuación (7.6), DcH ± NcH = O. La ecuación característica usualmente se obtiene haciendo 1 ± GH = O. (Véase el problema 7.9 para una excepción). Poniendo GH = NcHIDcH, se obtiene OcH ± NcH = O. 7.9. Determine a) la función de transferencia de la malla, b) la relación de control, e) la rela- ción de error, d) la relación primaria de retroalimentación y e) la ecuación característica del sistema de control retroalimentado en el que K1 y K2 son constantes (figura 7-17). e Figura 7-17
- 224. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 213 a) La función de transferencia de la malla es igual a CH. Por tanto b) La relación de control, o función de transferencia de malla cerrada, está dada por la ecuación (7.3) (con signo negativo para la retroalimentación positiva): C G K1 - =--- =------- R 1-GH s(s + p- K1K2) e) La relación de error, o relación de señal actuante, está dada.por la ecuación (7.4):· E 1 1 s+p - = - - - = - - - - - - - d) La relación de retroalimentación primaria está dada por la ecuación (7.5): B GH -=---=----- R 1-GH s+p-K1K2 e) La ecuación característica está dada por el denominador de CIR, s(s +p - K1K2) =O.En este caso, I - CH= s +p - K 1K2 = O, la cual noes laecuacióncaracterísticaporqueel polosdeC se cancela con el cero s de H. Transformaciones de los diagramas de bloques 7.10. Pruebe la equivalencia de los diagramas de bloques para la transformación 2 (sección 7.5). La ecuación en la segunda columna, Y= P1X ± P2X, rige para la construcción del diagrama de bloques de la tercera columna, tal como se muestra. Reescriba esta ecuación como Y= (P1 ± P2)X. El diagrama de bloques equivalente en la última columna representa con claridad esta forma de la ecuación (figura 7-18) X y Figura 7-18 7.11. Repita el problema 7.10 para la transformación 3. Reescriba Y= P1X ± P2X como Y= (P1!P2)P2X ± P2X. La figura 7-19presentacon claridad el diagrama de bloques para esta forma de la ecuación.
- 225. 214_ TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL X Pzl{ y Figura 7-19 7.12. Repita el problema 7. 1O para la transformación 5. Tenemos Y= P 1[X :¡: P2Y] = P 1P2[(1/P2)X :¡: Y]. En la figura 7-20 se presenta el diagrama de bloques para esta última forma. X y Figura 7-20 7.13. Repita el problema 7. JO para la transformación 7. Tenemos Z = PX ± Y= P[X ± (1/P)Y], que produce el diagrama de bloques que se da en la figura 7-21. X + z Figura 7-21 7.14. Repita el problema 7.10 para la transformación 8. Tenemos Z = P(X ± Y) = PX ± PY, cuyo diagrama de bloques se presenta con claridad en la figura 7-22. X z ± y Figura 7-22
- 226. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 215 Sistemas con retroalimentación unitaria 7.15. Reduzca el diagrama de bloques que se da en la figura 7-23 a la forma con retroalimenta- ción unitaria y encuentre la ecuación característica del sistema. R + e Figura 7-23 Combinando los bloques en la trayectoria directa se obtiene la figura 7-24. R + e Figura 7-24 Aplicando la transformación 5, se tiene la figura 7-25. R e Figura 7-25 Mediante la ecuación (7.7) se obtiene que la ecuación característica de este sistema es s(s + 1) (s + 2) + I = O o s 3 + 3s 2 + 2s + 1 = O. Entradas y salidas múltiples 7.16. En la figura 7-26 determine la salida C debida a U1, U2 y R.
- 227. 216 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL R + e Figura 7-26 Hagamos U 1 = U2 = O. Después de combinar los bloques en cascada se obtiene la figura 7-27, en la cual CR es la salida debida a R cuando ésta actúa sola. Aplicando la ecuación (7.3) a este sistema, CR = [G1 G2!(/ - G1G2H1H2)]R. R + + Figura 7-27 Ahora, hagamos R = U2 = O. El diagrama de bloques ahora se presenta en la figura 7-28, en el cual C1 es la respuesta debida a U1 cuando ésta actúa sola. Reordenando los bloques, tenemos la figura 7-29. A partir de la ecuación (7.3) se obtiene C1 = [G2 /(1 - G1G2H1H2)JU1. Figura 7-28 U1 + Figura 7-29
- 228. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 217 Finalmente, hagamos R = U1 = O. En la figura 7-30 se presenta el diagrama de bloques, en el cual C2 es la respuesta debida a U2 cuando ésta actúa sola. Reordenando los bloques se obtiene la figura 7-31. En consecuencia C2· = [G1 G2H1 /(1 - G1G2H1H21U2- Figura 7-30 Figura 7-31 Por superposición, la salida total es 7.17. La figura 7-32 es un ejemplo de sistema multientrada-multisalida. Determine C1 y C2 debidas a R1 y a R2. + Figura 7-32 Primero expresamos el diagrama de bloques en la forma de la figura 7-33, sin tener en cuenta la salida C2•
- 229. 218 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL + Figura _7.33 Haciendo R2 O y combinando los puntos de suma, se obtiene la figura 7-34. Figura 7-34 EnconsecuenciaC11 = G1 R1 /(1 - G1G2G3G4) es la salida en C1debida aR1sola. ParaR, = O tenemos la figura 7-35. C12 Figura 7-35 Entonces, C,2 = - G,G3G4R2/(1 - G1G2G3G4) es la salida en C1debida a R2 sola. Por tanto e, = e, 1 + C,2 = (G,R, - G1G3G~2)/(1 - G,G2G3G4). Ahora reducimos el diagrama de bloques original, pero ignoramos la salida C1. Primero obtene- mos la figura 7-36. Figura 7-36
- 230. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 219 Luego se obtiene el diagrama de bloques que se presenta en la figura 7-37. Por tanto, C22 = G,/?2/ (1 - G1G2G3G4). Enseguida al hacerR2 = O, se obtiene lafigura7-38. Por tanto, C21 = - G1 G2G4R1 / (1 - G1G2G3G4). Y finalmente, C2 = C22 + C21 = (G4R2 - G1G2G,/?1)/(1 - G1G2G3G4). Figura 7-37 Figura 7-38 Reducción de diagramas de bloques 7.18. Reduzca a la forma canónica el diagrama de bloques que se da en la figura 7-39, y encuen- tre la transformada C de la salida. K es una constante. • R + e Figura 7-39 Primero combinamos los bloques en cascada de la trayectoria directa y aplicamos la transforma- ción 4 a la malla de retroalimentación más interna para obtener la figura 7-40. R + e Figura 7-40
- 231. 220 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La ecuación (7.3) o la reaplicación de la transformación 4 produce C = KR![(I + K)s + (1 + O. IK)]. 7.19. Reduzca el diagrama de bloques de la figura 7-39 a la forma canónica, aislando el bloque K en la malla directa. Mediante la transformación 9 podemos mover el punto de toma adelante del bloque l!(s + 1) (figura 7-41): R + Figura 7-41 Aplicando las transformaciones y 6b, se obtiene la figura 7-42. R + • Figura 7-42 Ahora se puede aplicar la transformación 2 a las mallas de retroalimentación en la forma final que se da en la figura 7-43. R + e Figura 7-43
- 232. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 221 7.20. Reduzca a la forma de malla abierta el diagrama de bloques que se da en la figura 7-44. .. R + Figura 7-44 Primero, al mover el punto de suma de la izquierda más allá de G1 (transformación 8), se obtiene la figura 7-45. R b a Figura 7-45 Luego se mueve el punto de toma a más allá de G1 y se obtiene la figura 7-46. ' ) ) Figura 7-46 1o b Ahora se utiliza la transformación 6b y luego la transformación 2 para combinar las dos mallas de retroalimentación inferiores de (G1H1) que entran en d y en e, y se obtiene la figura i-47.
- 233. 222 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL + o b Figura 7-47 Al aplicar la transformación 4 a esta malla interna, el sistema se vuelve R Aplicando de nuevo la transformación 4 a la malla de retroalimentación restante, se produce R e Finalmente, las transformaciones I y 2 dan el diagrama de bloques en malla abierta: R e
- 234. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 223 Problemas misceláneos 7.21 Demuestre que la transformación 1 de diagramas de bloques simple de la sección 7.5 (combinación de bloques en cascada) no es válida si el primer bloque es (o contiene) un muestreador. En el problema 4.39 se determinó que la transformada U*(s) de la salida de un muestreador ideal es 00 U*(s) = L e-skTu(kT) k=O Tomando a U*(s) como la entrada para el bloque P2 , de la transformación 1 de la tabla, la transfor- mada Y(s) de la salida del bloque P2 es · 00 Y(s) =P2 (s)U*(s) =Pi(s) L e-skTu(kT) k=O Con claridad se ve que la transformada de entrada X(s) = U(s) no se puede factorizar del lado derecho de Y(s), es decir, Y(s) #- F(s)U(s). El mismo problema se presenta si P 1 incluye otros elementos del tipo de los muestreadores. 7.22. ¿Porqué es invariante la ecuación característica bajo las transformaciones de diagramas de bloques? Las transformaciones de diagramas de bloques están determinadas por el reordenamiento de las ecuaciones de entrada-salida de uno o más de los subsistemas que constituyen el sistema total. En consecuencia, el sistema final transformado se rige por las mismas ecuaciones, probablemente ordenadas de forma distinta que en el sistema original. Ahora bien, la ecuación característica está determinada por el denominador de la función de transferencia global del sistema que se iguala a cero. La factorización, o cualquier otro reordena- miento del numerador y del denominador de la función de transferencia del sistema, no la cambia ni la altera si el denominador se iguala a cero. 7.23. Pruebe que la función de transferencia representada por C/R en la ecuación (7.3) se puede aproximar a ± 1/H cuando IGI o IGHI son muy grandes. Dividiendo el numerador y el denominador de G/(1 ± GH) por G se obtiene 1/ ( ¾± n). Entonces Dividiendo por GH y tomando el límite, se obtiene
- 235. 224 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 7.24. Suponga que las características de G cambian radical o impredeciblemente durante la operación del sistema. Utilice los resultados del problema anterior y demuestre cómo se diseñaría el sistema de tal forma que la salida C se pueda predecir siempre razonablemente bien. En el problema 7.23 se encontró que lim - =+- [e] 1 iGH¡-+oo R - H Así C ±R!H cuando IGHI oo ó Ces independiente de G para IGHI grande. Entonces el sistema debe diseñarse de manera que IGHI ~ 1. 7.25. Determine la función de transferencia del sistema de la figura 7-48. Luego haga H 1 = l/G 1 y H2 = l/Gz. e Figura 7-48 Reducimos las mallas interiores y obtenemos la figura 7-49. R + e Figura 7-49 Aplicando de nuevo la transformación 4, obtenemos la figura 7-50. R e Figura 7-50
- 236. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 225 Ahora, al poner Hi = l!Gi y H2 = l/G2, se produce C G1G2 1 R (1 -1)(1- 1) + G1G2 H3 H3 7.26. Demuestre que la figura 7-51 es válida. R + e R e 'Figura 7-51 Del diagrama en malla abierta, tenemos C = Rl(s + Pi). Reordenando, (s + p,)C = R y C = (1/s) (R - piC). El diagrama en malla cerrada se obtiene de esta ecuación. 7.27. Pruebe la figura 7-52. R e R Figura 7-52 Este problema ilustra cómo un cero finito se puede remover de un bloque. A partir del diagrama de malla directa, C = R + (zi - Pi)R!(s + Pi). Reordenando, ( Z¡ - Pi ) ( S +Pi +Z¡ - Pi ) ( S +. Z¡ ) C= 1+-- R= - - - - - R= - - R s+p¡ s+p¡ s+p¡ La equivalencia matemática prueba claramente la equivalencia de los diagramas de bloques. 7.28. Suponga que para cada bloque del sistema de oferta y demanda del problema 2.13 se pueden obtener aproximaciones lineales en forma de funciones de transferencia, y que tal sistema se puede representar por la figura 7-53.
- 237. 226 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Proveedor R + e Consumidor Figura 7-53 Determine la función de transferencia global del sistema. Se aplica dos veces la transformación 4 a este diagrama de bloques y se obtiene la figura 7-54. 1) R + e 2) R e Figura 7-54 En consecuencia, la función de transferencia obtenida por aproximaciones lineales del modelo de oferta y demanda es: Problemas suplementarios 7.29. Determine C/R para cada uno de los sistemas de la figura 7-55. • a) R + e
- 238. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 227 o + b) R + + • e) R + + Figura 7-55 7.30. Considere el regulador de presión sanguínea descrito en el problema 2. 14. Suponga que el centro vasomotor (CVM) se puede describir mediante la función de transferencia lineal G11 (s) y los baro- rreceptores mediante la función de transferencia k1s + k2 (véase el problema 6.33)., Transforme el diagrama de bloques de retroalimentación unitaria, en su forma más simple. 7.31. Reduzca la figura 7-56 a su forma canónica. ~ R + e Figura 7-56
- 239. 228 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 7.32. Determine C para el sistema representado por la figura 7-57. R, + e Figura 7-57 7.33 Dé un ejemplo de dos sistemas con retroalimentación en su forma canónica que tengan idénticas relaciones de control C!R, pero diferentes componentes G y H. 7.34. Determine C!R2 para el sistema dado en la figura 7-58. e Figura 7-58 7.35. Determine la salida completa C, las entradas R I y R2 actúan simultáneamente, para el sistema dado en el problema anterior. 7.36. Determine C/R para el sistema representado por la figura 7-59. e
- 240. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 229 7.37. Determine la ecuación característica de cada uno de los sistemas de los problemas a) 7.32, b) 7.35, e) 7.36. 7.38. ¿Qué reglas de transformación de diagramas de bloques de la tabla de la sección 7.5 permiten la inclusión de un muestreador? Respuestas a los problemas suplementarios 7.29. Véase el problema 8.15. 7.30. 7.31. 7.32. 7.34. 7.35. • 1 presión sanguínea de referencia R + e presión ~anguíne, real
- 241. 230 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 7.37. a) 1 + G2 H2 + G1G2 H1 = O b) 1 + G3 H2 + G2 H3 + G1G2G3H1 = O e) (1 + G1G2 H1)(1 + G3G4 H2 ) + G2G3 H3 =O. 7.38. Los resultados del problema 7.21 indican que cualquier transformación que involucre un producto de dos o más transformadas no es válida si se encuentra incluido un muestreador. Pero son válidos todos aquellos que simplemente involucren sumas o diferencias de señales, estoes, las transformaciones 6, 11 y 12. Cada una representa un reordenamiento simple de las señales como una suma lineal, y la adición es una operación conmutativa, aun para señales muestreadas, es decir Z = X ± Y = Y ± X.
- 242. Capítulo 8 Grafos de flujo de señales 8.1 Introducción La representación gráfica de un sistema de control con retroalimentac.:ión más ampliamente usada es el diagrama de bloques que se presentó en los Capítulos 2 y 7. En este capítulo considera- remos otro modelo, el grafo de flujo de señales. Un grafo de flujo de señales es una representación gráfica de las ecuaciones simultáneas que describen un sistema. Gráficamente muestra la transmisión de señales a través del sistema, cómo lo hace el diagrama de bloques. Pero es más fácil de dibujar y en consecuencia más fácil de manipular que un diagrama de bloques. En las siguientes secciones se presentan las propiedades de los grafos de flujo de señales. El resto del capítulo trata de sus aplicaciones. 8.2 Fundamentos de los grafos de flujo de señales Consideremos primero la ecuación simple (8.1) Las variables X; y Xj pueden ser funciones de tiempo de la frecuencia compleja o de cualquier otra cantidad. Pueden aún ser constantes, las cuales son "variables" en el sentido matemático. Para los grafos de flujo de señales, Au es un operador matemático que transforma aXj en X; y se llama función de transmisión. Por ejemplo, Au puede ser una constante, en cuyo caso X; es una constante Xj veces en la ecuación (8.1); si X; y Xj son funciones des o de z, Au puede ser una función de transferencia A;fs) o A;fz). En la figura 8-1 se presenta el grafo de flujo de señales para la ecuación (8.1). Esta es la forma más simple de un grafo de flujo de señales. Nótese que las variables X; y Xj se representan por un pequeño punto llamado nodo, y la función de transmisión Au por una línea con una flecha llamada rama. nodo xj rama Figura 8-1 nodo Cada variable en un grafo de flujo de señales se designa mediante un nodo, y toda función de transmi- sión mediante una rama. Las ramas siempre son unidireccionales. La flecha representa la dirección de flujo de la señal. 231
- 243. 232 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 8.1. La ley de Ohm establece que V= IR, en donde Ves un voltaje,/ una corriente y Runa resistencia. En la figura 8-2 se muestra la gráfica de flujo de señales para esta ecuación. R 1 V Figura 8-2 8.3. Algebra de los grafos de flujo de señales l. La regla de la adición El valor de la variable designada por un nodo es igual a la suma de todas las señales que entran en él. En otras palabras, la ecuación se representa por la figura 8-3. n X¡= L AijXJ j=l Figura 8-3 EJEMPLO 8.2. En la figura 8-4 se muestra el grafo de flujo de señales para la ecuación de una línea, Y= mX + b, en el sistema de coordenadas rectangulares. Puesto que b, la intersección con el eje Y,-es una constante; ésta puede representar un nodo (variable) o una función de transmisión. Figura 8-4
- 244. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 233 2. La regla de transmisión El valor de la variable designada por un nodo se transmite en todas las ramas que parten de él. En otras palabras, la ecuación i=l,2, ... ,n, kfijo se representa por la figura 8-5. Figura 8-5 EJEMPLO 8.3. En la figura 8-6 se muestra el grafo de flujo de señales de las ecuaciones simultáneas Y = 3X, Z = -4X. X• 3. La regla de la multiplicación 3 4 Figura 8-6 Una conexión en cascada (en serie) den - 1 ramas con funciones de transmisión A21 , A32 , A43, ... , An (n _ 1¡ puede remplazarse por una sola rama con una nueva función de transmisión igual al producto de todas las ramas. Esto es, La figura 8-7 representa la equivalencia en grafos de flujo de señales. A21 An<n-1) An(n-1) ··--·--·•---.-. ... . ~ ~ ~-1 ~ Figura 8-7
- 245. 234 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 8.4. En la figura 8-8 se presenta el grafo de flujo de señales para las ecuaciones simultáneas Y = IOX, Z = -20Y. • X 10 .. 8.4 Definiciones • y -20 .. • z que se reduce a -200 X z Figura 8-8 Con frecuencia se emplea la siguiente terminología en la teoría de grafos de flujo de señales. Los ejemplos asociados con cada definición hacen referencia a la figura 8-9. Definición 8.1: Definición 8.2: Definición 8.3: Definición 8.4: Definición 8.5: Definición 8.6: A2a Figura 8-9 Una trayectoria es una sucesión continua unidireccional de ramas a lo largo de las cuales no se pasa un nodo más de una vez. Por ejemplo, X1 aX2 aX3 a X4 , X2 a X3 y de nuevo a X2 , y X1 a X2 a X4 son trayectorias. Un nodo de entrada o fuente es aquel desde el cual solamente salen ramas. Por ejemplo, X1 es un nodo de entrada. Un nodo de salida o sumidero es aquel al cual solamente llegan ramas. Por ejemplo, X4 es un nodo de salida. Una trayectoria directa es una trayectoria de un nodo de entrada a un nodo de salida. Por ejemplo, X1 a X2 a X3 a X4 , y X1 a X2 a X4 , son trayectorias directas. Una trayectoria de retroalimentación o malla de retroalimentación es aquella que se origina y termina en el mismo nodo. Por ejemplo, X2 aX3 y de nuevo a X2 es una trayectoria de retroalimentación. Una auto-malla es una mana de retroalimentación que consta de una sola rama. Por ejemplo, A33 es una auto-malla.
- 246. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 235 Deñnición 8. 7: Deñnición 8.8: Deñnición 8.9: La ganancia de una rama es la función de transmisión de esa rama, cuando la función de transmisión es un operador multiplicativo. Porejemplo, A33 es la ganancia de la auto-malla, si A33 es una constante o una función de transfe- rencia. La ganancia de la trayectoria es el producto de las ganancias de rama en- contradas a lo largo de una trayectoria. Por ejemplo, la ganancia de la trayec- toria directa de X1 a X2 a X3 a X4 es A 21A32A43. La ganancia de malla es el producto de las ganancias de rama de la malla. Por ejemplo, la ganancia de malla, en la malla de retroalimentación de X2 a X3 y de regreso a X2 es A32A23 . Muy a me1mdo, una variable en un sistema es función de la variable de salida. El sistema canónico retroalimentado es un ejemplo obvio. En este caso, si el grafo de flujo de señales se dibujara directamente a partir de las ecuaciones, el "nodo de salida" necesitaría una rama saliente, contrario a la definición. Este problema puede remediarse agregando una rama con una función de transmisión de unidad que entre a un nodo "hipotético". Por ejemplo, los dos grafos de la figura 8-10 son equivalentes, y Y4 es un nodo de salida. Nótese que Y4 = Y3 . • • Figura 8-10 8.5 Construcción de grafos de flujo de señales Y ~ Y a nodo 1 hipotético .. . El grafo de flujo de señales de un sistema de control lineal con retroalimentación cuyos com- ponentes se especifican mediante funciones de transferencia no interactivas, puede construirse mediante referencia directa al diagrama de bloques del sistema. Cada variable del diagrama de bloques se convierte en un nodo, y cada bloque será una rama. EJEMPLO 8.5. En la figura 8-11 se presenta el diagrama de bloques del sistema de control canónico retroalimentado. E e Figura 8-11
- 247. 236 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El grafo de flujo de señales puede construirse fácilmente a partir de la figura 8-11. Nótese que los signos - o + en los puntos de suma están asociados con H. • R 1 .. Figura 8-12 1 .. • e El grafo de flujo de señales de un sistema descrito por un conjunto de ecuaciones simultáneas puede construirse en la siguiente forma general. 1. Escriba el sistema de ecuaciones en la forma X2=A21X1 +A22X2+ ... +A2nXn Si X1 es un nodo de entrada no se necesita de una ecuación para X1 2. Ordene los mó n (el mayor de los dos) nodos de izquierda a derecha. Los nodos pueden reordenarse si las mallas requeridas más tarde parecen demasiado engorrosas. 3. Conecte los nodos por medio de las ramas apropiadas An, A12, etc. 4. Si el nodo de salida deseado tiene ramas que surgen de él, agregue un nodo hipotético y una rama de ganancia unitaria. 5. Reordene los nodos y/o las mallas en el grafo para lograr la máxima claridad gráfica. • EJEMPLO 8.6. Construyamos un grafo de flujo de señales para la red simple de resistencias dada en la figura 8-13. Allí hay cinco variables v1, v2, v3 , i 1 e i2• Se conoce v1• Podemos escribir cuatro ecuaciones independientes a partir de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff. Procediendo en el esquema de izquierda a derecha, tenemos i =(2-)v -(2-)v i R¡ i R1 2 R1 V2 R2 ~ ~ + V¡ Ra R4 V3 Figura 8-13
- 248. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 237 Colocando los cinco nodos en el mismo orden con v1 como nodo de entrada, y conectando los nodos con las· ramas apropiadas, obtenemos la figura 8-14. Si deseamos considerar a v3 como nodo de salida, debemos agregar una rama de ganancia unitaria y otro nodo; produciendo la figura 8-15. No es necesario reordenar los demás nodos. Tenemos en clara evidencia, una trayectoria directa y tres mallas de retroalimentación. • V¡ • V¡ 1/R1 .. llR1 .. Figura 8-14 1/R1 -R3 -1/R2 1 .. • Figura 8-15 Nótese que la representación de ecuaciones mediante grafos de flujo de señales no es única. Por ejemplo, la adición de la rama de ganancia unitaria, seguida del nodo hipotético cambia el grafo, pero no las ecuaciones que representa. 8.6 La fórmula general de ganancia entrada-salida En el Capítulo 7 encontramos que puede reducirse un diagrama de bloques complicado a la forma canónica, a partir de la cual puede escribirse fácilmente la relación de control como C G R l±GH Es posible simplificar los grafos de flujo de señales de un modo similar a como se hizo la reducción de los diagramas de bloques. Pero también es posible, y consume mucho menos tiem- po, escribir la relación de entrada-salidapor inspección del grafo de flujo de señales original. Esto puede.realizarse utilizando la fórmula que se dará luego. Esta fórmula también puede aplicarse directamente a los diagramas de bloques, pero la representación en grafos de flujo de señales es más fácil de leer, especialmente cuando los diagramas de bloques son muy complicados. Representemos mediante T, la razón de la variable de entrada a la variable de salida. Para sistemas lineales de control con retroalimentación, T = CIR. Para el grafo general de flujo de señales presentado en los parágrafos anteriores T = Xn!X1, en donde Xn es la salida y X1 es la entrada. La fórmula general para cualquier grafo de flujo de señales es 'f..P.t:.. T=-'-'-' t:. (8.2)
- 249. 238 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde P; =la ganancia de la i-ésima trayectoria directa P1k =el j-ésimo producto posible de las ganancias de las k mallas que no se toquen A = 1 - ( - 1) k + 1 L L pjk k j = 1 - LP11 + LP12 - [Pj3 + j j j = 1 - (la suma de todas las ganancias óe malla) + (la suma de todos los productos de las ganancias de dos mallas que no se toquen) - (la suma de todos los productos de las ganancias de tres mallas que no se toquen) + ··· A; =A evaluada eliminando todas las mallas que toquen a P; Se dice que dos maJlas, dos trayectorias o una malla y una trayectoria no se tocan si no tienen nodos en común. A se Jlama determinante del grafo de flujos de señales o función característica, puesto que A = O es la ecuación característica del sistema. La aplicación de la ecuación (8.2) es considerablemente más sencilla de lo que parece, Los siguientes ejemplos ilustran este punto. EJEMPLO 8.7. Apliquemos primero la ecuación (8.2) al grafo de flujo de señales del sistema canónico retroalimentado (figura 8-16). 1 G 1 • .. EC7é .. • R e +H Figura 8-16 Aquí sólo hay una trayectoria directa; en consecuencia P1 =G P2 =P3 = ··· =O Hay solamente una malla (de retroalimentación). Por tanto, Pu= +GH ljk =O J+ 1 k+ 1 Entonces 11 = 1 - Pu = 1 + GH y
- 250. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 239 Finalmente, C P1~ 1 G T=-=-=-- R ~ 1 ± GH EJEMPLO 8.8. En la figura 8-17 se presenta el grafo de flujo de señales de la red de resistencias del ejemplo 8.6. Apliquemos la ecuación (8.2) a este grafo y determinemos la ganancia de voltaje T = vJ!v, para la red de resistencias. • V¡ 1/R1 .. -1/R1 -R3 -1/R2 i¡ , V2 ¼ V3 Figura 8-17 1 ... Hay una trayectoria directa (figura 8-18). Por tanto, la ganancia de esta última,.es l!R1 1 V¡ i1 Figura 8-18 • Hay tres mallas de retroalimentación (figura 8-19). En consecuencia, las ganancias de las mallas son malla 1 Las mallas 1 y 3 no se tocan. Por tanto R3 p =-- 21 R2 malla 2 Figura 8-19 malla 3 producto de las ganancias de las dos únicas mallas que no se tocan
- 251. 240 • TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL No hay tres mallas que no se toquen. Entonces R3 R3 R4 R3 R4 d = 1 - ( P11 + P21 + P31 ) + P12 = 1 + - + - + - + -- R1 R2 R2 R1R2 R1R2 + R1R3 + R1R4 + R2 R3 + R3 R4 R1R2 Puesto que todas las mallas tocan la trayectoria directa, ~ 1 = 1. Finalmente V3 P¡d¡ R3R4 -=--= v1 d R1R2 + R1R3 +R1R4 + R2 R3 + R3 R4 8.7 Cálculo de la función de transferencia de componentes en cascada Los efectos de carga de componentes que interactúan, requieren alguna atención especial cuando se usan grafos de flujo de señales. Combine los grafos de los componentes en sus puntos de unión normales (nodo de salida de uno con el nodo de entrada del otro), tenga en cuenta )~carga al agregar nuevas mallas en los nodos unidos y calcule la ganancia total utilizando la ecúación (8.2). Este procedimiento se ilustra mejor en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 8.9. Suponga que dos redes idénticas de resistencias se unen en cascada y se usan como elementos de control en la malla directa de un sistema de control. Las redes son simples divisores de voltaje de la forma dada en la figura 8-20. Figura 8-20 Las dos ecuaciones independientes para esta red son y El grafo de flujo de señales puede dibujarse fácilmente (figura 8-21). Por inspección, la ganancia de esta red es igual a
- 252. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 241 • V¡ l!R1 .. -l/R1 ~ Í¡ Figura 8-21 Si ignoramos la carga, la ganancia total de las dos redes en cascada se determina simplemente multiplicando las ganancias individuales: Ri 3 Esta respuesta es incorrecta. Probamos esto de la siguiente manera. Cuando las dos redes idénticas se unen en cascada, notamos que el resultado es equivalente a la red del ejemplo 8.6, con R2 = R1 y R4 = R3 (figura 8-22). Figura 8-22 El grafo de flujo de señales de esta red también se determinó en el ejemplo 8.6 (figura 8-23). • V¡ Í¡ -l/R1 -R3 -l/R1 Figura 8-23 1 .. • Observamos que la rama de retroalimentación -R3 , en la figura 8-23, no aparece en el grafo de flujo de señales de las redes individuales conectadas del nodo v2 al v' 1 (figura 8-24). Esto significa que como resultado de la conexión de las dos redes, la segunda red carga a la primera, cambiando la ecuación para v2 de • V¡ l/R1 .. a -l!R1 ----~•---11~-1--~~--R.,,ª--~~--!---• = v{ i' =½ v; =v3 v3 Figura 8-24
- 253. 242 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Este resultado también se pudo haber obtenido escribiendo de manera directa las ecuaciones para las redes combinadas. En este caso, únicamente habría cambiado la forma de la ecuación para v2 . La ganancia de las redes combinadas se determinó en el ejemplo 8.8 como R2 3 cuando R2 se hace igual a R 1, y R4 se hace igual a R3 . Observamos que En general, es una buena práctica calcular la ganancia de redes en cascada directamente del grafo de flujo de señales combinado. La mayor parte de los componentes de sistemas de control se cargan entre sí cuando se conectan en serie. 8.8 Reducción de diagramas de bloques utilizando grafos de flujo de señales y la fórmula general de ganancia entrada-salida A menudo, el modo más fácil de determinar la relación de control de un diagrama de bloques complicado es trasladarlo a un grafo de flujo de señales y aplicar la ecuación (8 .2). Los puntos de toma y los de suma deben separarse mediante una rama de ganancia unitaria en el grafo de flujo de señales, cuando se utiliza la ecuación (8.2). Si se desean los elementos G y H de la representación canónica retroalimentada de la ecuación (8.2) también proporciona esta información. La función de transferencia directa es G= ~ P./l. i.., 1 1 (8.3) La función de transferencia de malla es GH= /l-1 ( 8.4) Las ecuaciones (8.3) y (8.4) se resuelven simultáneamente para G y paraH, y la función canónica retroalimentada se dibuja a partir del resultado. EJEMPLO 8.1 O. Determinemos la relación de control C/R y el diagrama de bloques canónico del sistema de control con retroalimentación, del ejemplo 7.9 (figura 8-25).
- 254. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES Figura 8-25 El grafo de flujo de señales se da en la figura 8-26. Hay dos trayectorias directas: R 1 1 1 Figura 8-26 Hay tres mallas de retroalimentación: Todas las mallas se tocan, y además tocan ambas trayectorias directas; entonces A1¡ = 1 En consecuencia la relación de control es 1 - G1G 4 H1 + G1G2G4 H2 + G1G3G4 H2 G1GiG2 + G3) A partir de las ecuaciones (8.3) y (8.4), tenemos 243 e e
- 255. 244 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL G = G1Gi G2 + G3 ) Y GH = G1Gi G3 H2 + G2 H2 - H1) En consecuencia GH ( G2 + G3 ) H2 - H1 H= - = ------- G G2 + G3 La figura 8-27 presenta el diagrama de bloques canónico. R + e Figura 8-27 El signo negativo en el punto de suma para la malla de retroalimentación resulta de usar un signo positivo para GH en la fórmula anterior. Si esto no resulta obvio, remítase a la ecuación (7.3) y a su explicación en la sección 7.4. El diagrama de bloques anterior puede plantearse en la forma final de los ejemplos 7.9 ó 7. 1Outilizando los teoremas de transformación de la sección 7.5. Problemas resueltos Definiciones y álgebra de los grafos de flujo de señales 8.1. Simplifique los grafos de flujo de señales que se dan en la figura 8-28. A A B ~ ~ A o 1 .. X1 X2 X1 X2 X1 X2 a) b) e) Figura 8-28 a) Claramente X2 AX1 + BX1 = (A + B)X1• En consecuencia tenemos A+B • .. • b) TenemosX2 = BX1 y X1 = AX2 • PortantoX2 = BAX2 oX1 = ABX1, lo cual produce o
- 256. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALE, 245 e) Si A y B son operadores multiplicativos (por ejemplo, constantes o funciones de trans- ferencia), tenemos X2 = AX1 + BX2 = (Al(] - B))X1. En consecuencia el grafo de flujo de señales será A 1-B 8.2. Dibuje los grafos de flujo de señales para los diagramas de bloques del problema 7.3, y 8.3. redúzcalos por la regla de la multiplicación (figura 8-29). · 10 1 10 a) s + 1 8 - 1 s2 - 1 - X1 X2 xn X1 Xn 1 10 10 b) s-1 s+l s2 - 1 - • • • X1 X2 xn X1 Xn -10 1 1.4 -14 e) 8 + 1 8 - 1 8 s(s2 - 1) - X1 X2 X3 Xn X1 Xn Figura 8-29 Considere el grafo de flujo de señales de la figura 8-30. A23 A21 CD A43 • .. • • X1 X2 Xa X1 Figura 8-30 a) Dibuje el grafo de flujo de señales para el sistema equivalente al dibujado en la figura 8-30, pero con X3 igual kX3 (con k constante), y Xi X2 y X4 permanecen· iguales. b) Repita la parte a) para el caso en el cual X2 y X3 se hacen k2X2 y k~3• y Xi y X4 permanecen iguales (k2 y k3 son constantes). Este problema ilustra los fundamentos de una técnica que puede utilizarse para cambiar la escala de las variables. a) Para que el sistema permanezca igual cuando una variable de un nodo se multiplica por una constante, todas las señales que entran al nodo deben multiplicarse por la misma constante, y todas las que salen deben dividirse por esa constante. Puesto que Xi, X2 y X4 deben permanecer iguales, se modifican las ramas (figura 8-31).
- 257. 246 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENT'tlON Y SISTEMAS DE CONTROL • • Figura 8-31 b) Se sustituye k2X2 por X2, y ky(3 por X3 (figura 8-32). ? ? ? • .. .. • Figura 8-32 A partir del grafo es claro que A21 se hace k2A21 , A32 se hace (k3/k2)A32 , A23 se hace (kzfk3)A23, y A43 se hace (1/k3)A43 (figura 8-33). • • k2X2 k3X3 Figura 8-33 8.4. Considere el grafo de flujo de señales que se da en la figura 8-34. 1 Figura 8-34 Identifique a) el nodo de entrada, b) el nodo de salida, e) las trayectorias directas, d) las trayectorias de retroalimentación, e) el autocircuito. Determine f) las ganancias de malla de las mallas de retroalimentación, y g) las ganancias de trayectoria de las trayecto- rias directas.
- 258. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES a) X1 b) X8 e) X1 Xi Xi d) X2 X2 Xs e) aX2 aX3 aX4 aX5 aX6 aX7 aX8 aX2 a X7 aX8 a X2 a X4 aX5 aX6 aX7 aX8 a X2; X3 a X4 a X3; X4 a X5 a X4 ; X2 a X4 a X3 a X2 ; a X5 a X4 a X3 a X2; X5 a X6 a X5; X6 a X7 a~; a X7 a X5; X1 a X7; X2 a X7 a X6 a X5 a X4 a X3 a X2 /) AnAn; A~AM;A~A~; AeA~; AMA~;AeAMAfl; An; AaAMAn; AnAflA~AMAn;AnA~A~AeAMAn Construcción de grafos de flujo de señales 247 8.5. Considere las siguientes ecuaciones, en las cuales x 1, x2 , ... , xn son variables, y a1, a2 , ... , an son los coeficientes de los operadores matemáticos: n-1 b) xn= [akxk+5 k=l ¿Cuál es el número mínimo tanto de nodos como de ramas, necesarios para construir los grafos de flujo de señales de estas ecuaciones? Dibuje los grafos. a) Hay cuatro variables en esta ecuación: x1, x2, x3 y ± 5. Entonces se requiere un mínimo de cuatro nodos. Hay tres coeficientes o funciones de transmisión <,le! lado derecho de la ecua- ción: a 1, a2 y :¡: 1. Por tanto se requiere un mínimo de tres ramas. En la figura 8-35a) se presenta un grafo de flujo de señales mínimo. , , ~ ª2 X2 X3 ::¡:l :±:5 . a) b) Figura 8-35 b) Hay n + 1 variables: xi, x2 , ... , Xn y 5; y hay n coeficientes: a 1, a2 , ..• , ªn-I y 1. Por tanto la figura 8-35b) presenta el grafo de flujo de señales mínimo.
- 259. 248 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 8.6. Dibuje los grafos de flujo de señales para a) b) d 2 x2 dx1 X =--+--x 3 dt2 dt 1 a) Las operaciones solicitadas en esta ecuación son a 1 y d!dt. La ecuación puede escribirse como x2 = a 1 • (dldt)(x1). Puesto que hay dos operaciones, puede definirse una nueva variable dxi!dt y utilizarse como nodo intermedio. El grafo de flujo de señales se da en la figura 8-36. X¡ d dt dx1 dt Figura 8-36 b) De modo similar, x3 = (d2 !dt2)(x2) + (d!dt)(x1) - x1• Por tanto se obtiene la figura 8-37. Figura 8-37 1 .. e) La operación es la integración. Representemos por fdt el operador. En la figura 8-38 se da el grafo de flujo de señales. Figura 8-38 8.7. Construya el grafo de flujo de señales para el siguiente conjunto de ecuaciones simultá- neas: Hay cuatro variables: x1 , ... , x 4. Por tanto se requieren cuatro nodos. Ordenándolos de izquierda a derecha y conectándolos con las ramas apropiadas, obtenemos la figura 8-39.
- 260. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 249 Figura 8-39 En la figura 8-40, este grafo se presenta de una forma más clara. Figura 8-40 8.8. Dibuje un grafo de flujo de señales para la red de resistencias que se muestra en la figura 8-41, en la cual v2(0) = viO) = O. v2 es el voltaje a través de C1• R2 + ~ ~ + 11¡ Te. Te, V3 - o o Figura 8-41 Las cinco variables son v1, v2, v3, i I e i2; v1 es la entrada. Las cuatro ecuaciones independientes que se derivan de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff son Í¡ = ( ;JV¡ - ( ;JV2 i2 =( ;JV2 - ( ;JV3 1 (' 1 (' V2 = -C Ín Í¡ dt - - Ín i2 dt 1 o C1 o
- 261. 250 • • TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El grafo de flujo de señales puede dibujarse directamente a partir de estas ecuaciones (figura 8-42). 1/R1 • -l/R1 (-l/C1) .( dt -1/R2 = Figura 8-42 1 • • En la notación de transformadas de Laplace, al grafo de flujo de señales está dado por la figura 8-43. 1/R1 • -1/R1 -1/sC1 -1/R2 = ~ ~ ~ ~ Figura 8-43 1 • La fórmula general de ganancia entrada-salida 8.9. Las ecuaciones transformadas para el sistema mecánico dado en la figura 8-44, son: i) F+ k1X2 = (M1s2 +/1s + k1)X1 ii) k1X1 = (M2s2 +/2s + k1 + k2 )X2 Figura 8-44 en donde Fes la fuerza, Mes la masa, k es la constante de un resorte,fes la fricción, y X es el desplazamiento. Determine X2/F utilizando la ecuación (8.2). Hay tres variables: X1, X2 y F. Entonces necesitamos tres nodos. Para dibujar el grafo de flujo de señales dividimos la ecuación i) entre A, y la ecuación ii) entreB, en donde A= M1s2 +J,s + k1, y B = M2s 2 + fzs + k1 + k2: iii) ( ~ ) F + ( : 1 ) X2 = X1 iv) ( ~ ) X1 = X2
- 262. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES En consecuencia, el grafo de flujo de señales está dado por la figura 8-45. • F 1/A .. X1 X2 Figura 8-45 251 La ganancia de la trayectoria directa es P1 = k 1/AB. La ganancia de la malla de retroalimenta- ción es P11 = kf IAB. Entonces ~ = 1 - P11 = (AB - kf )IAB y ~ 1 = l. Finalmente X2 P1~ 1 k1 k1 F =-¡;- = AB-kf = (M1s2 + /1s+ k1)(M2s2 + /2s+ k1 +k2 )-kf 8.10. Determine la función de transferencia para el diagrama de bloques del problema 7.20, por medio de las técnicas de grafos de flujo de señales. A partir de la figura 7-44 se dibuja directamente el grafo de flujo de señales, figura 8-46. Hay dos trayectorias directas. Las ganancias de las trayectorias son P 1 = G1 G2G3y P2 = G4. Las ganan- cias de las tres mallas de retroalimentación son P 11 = -G2H1, P2 1 = G1G2H1 y P31 = -G2G~2- Todas las mallas se tocan. En consecuencia~= 1 - (P11 + P21 + P31). También ~1 = 1, y puesto que no hay mallas que toquen los nodos de P2 , ~ 2 = ~- Así 1 R G1G2G3 + G4 + G2G4 H1 - G1G2G4 H1 + G2G3G4 H2 1 + G2 H1 - G1G2 H1 + G2G3H2 1 Figura 8-46 1 e 8.11. Determine la función de transferencia V3/VI del grafo de flujo de señales del problema 8.8. La ganancia de la única trayectoria directa es l/(s2 R1 R2C1C2). Las ganancias de las tres mallas de retroalimentación son P 11 = -1/(sR1 C1), P21 = -1/(sR2C1) y P31= - l/(sR2C2). El producto de las ganancias de las únicas dos mallas que no se tocan es P 12 =P11 · P31 = 1/(s2 R1 R2C1 C2). De aquí
- 263. 252 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Puesto que todas las mallas tocan la trayectoria directa, ~ 1 = l. Finalmente, V¡ P1111 1 V¡ = T = s2 R1R2C1Ci +s( R2Ci + R1Ci + R1C1) + 1 8.12. Resuelva el problema 7.16 con las técnicas de grafos de flujo de señales. A partir de la figura 7-26 puede dibujarse directamente la figura 8-47, la cual muestra el grafo de flujo de señales. 1 R 1 U2 Figura 8-47 1 e Con U1 = U2 = O, tenemos la figura 8-48. Entonces P1 = G1 G2yP11 = G1G2H1H2. Así que ~ = 1 - P¡ 1 = 1 - G1G2H1H2, ~I = 1, y • R 1 .. Ahora hacemos U2 = R = O (figura 8-49). 1 .. •
- 264. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES • 1 .. G1H1H2 Figura 8-49 Ahora hacemos R = U1 = O (figura 8-50). • Finalmente, tenemos 1 .. H2 Figura 8-50 1 .. 1 .. Cálculo de funciones de transferencia de componentes en cascada 253 • • 8.13. Determine la función de transferencia de dos redes en cascada, de las mostradas en la figura 8-51. e o ' + + ~~ 11¡ 2, R 112 Figura 8-51
- 265. 254 • v. TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL En no!ación de transformada de Laplace, la red se convierte en lo que muestra la figura 8-52. 0 + 1/se 1 + R Figura 8-52 Mediante las leyes de Kirchhoff, tenemos/1 = sCV1 - sCV2 y V2 =R/1• En la figura8-53 se presenta el grafo de flujo de señales. • se ... -se ~ l¡ Figura 8-53 Para las dos redes en cascada (figura 8-54) la ecuación de V2 también depende de /2: V2 = R/1 - Rlz. Así que las dos redes están unidas en el nodo 2 (figura 8-55), y se adiciona una malla de retroali- mentación (-R/2) entre /2 y V2 (figura 8-56). 0 + v. se • 2 e e 1 R Figura 8-54 -se Q _____• l¡ V2 Figura 8-55 R sC • + -se Q
- 266. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 255 • se .. -se .-R -se ~ V2 Figura 8-56 P1A 1 s2 T=--=----------=- A, s2 +(3/RC)s+l/(RC)2 8.14. Dos redes de resistencias, de la forma que se muestra en el ejemplo 8.6, se utilizan como elementos de control en la trayectoria directa de un sistema de control. Estos se van a conectar en cascada y deberán tener valores de los respectivos elementos idénticos, como se muestra en la figura 8-57. Encuentre v5/v1 utilizando la ecuación (8.2). + V¡ 3 ~ ~ ~ ~ + Ra R4 R3 R4 V,5 Figura 8-57 Hay nueve variables: v 1, v2 , v3 , v4 , v5 , i 1, i2 , i3, e i4 . Las ocho ecuaciones independientes son Unicamente la ecuación para v3 es diferente de aquellas de la red simple del ejemplo 8.6; en ella hay un término extra, (-R4i3). Por tanto el diagrama de flujo de señales para cada red sola (ejemplo 8.6) puede unirse en el nodo v3 , y se dibuja una rama extra de ganancia -R4 de i3 a v3 . El grafo de flujo de señales resultante para la red doble se presenta en la figura 8-58.
- 267. 256 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 • • Figura 8-58 La ganancia de voltaje T = v5/v 1 se calcula a partir de la ecuación (8.2) como sigue. La trayecto- ria directa produce P 1 = (R3R,¡/R1 R2)2. Las ganancias de las siete mallas de retroalimentación son P11 = -RiR1 = Psi, P21, = -R3IR2 = P61, P31 = -R4IR2 = P11, y P41 = -R,¡/R¡. Hay 15 productos de ganancias de dos mallas que no se tocan. De izquierda a derecha, tenemos R3R4 Rz R2 R3R4 R3R4 p __3_ 3 P12=-- Pn=-- p = - - p - - - R1R2 42- R R R 1R 2 10,2 R1 R2 u.2 - R R 1 2 1 2 R3R4, R3R4 ( R3 r R3R4 R2 P22= ~ Ps2=-- Ps2 = R2 p - - - p = __ 4_ R1R2 11.2 - R~ 14,2 R R 1 l 2 P,, = ( R3 r R3R4 R3R4 P12.2 = ( ::r R3R4 P62= - - P92=~ p - - - -- R1 R1R2 15,2 - R1R2 Hay IOproductos de ganancias de tres mallas que no se tocan. Ue izquierda aderecha, tenemos R3R4 R 3R! R~R4 R 3R! R3 R~ p =-- p =--- P. = - - - P. = - - - P. - - - - D RlR2 33 R1R~ 63 R2R s3 R R2 53 - R2R l 2 1 2 1 2 R~R4 R3R4 R~R4 R3R4 R3 R~ p =--- p =--- p ---- P. - - - - p ---- 21 R R2 43 RfR2 13 - R R2 93 - R R2 10,3 - R R2 1 2 1 2 l . 2 1 2 Hay un productodegananciasdecuatromallasquenosetocan:P14=P11P31Ps1P11 = (R~JR1Rz)2. Por tanto el determinante es 7 15 10 ~ = 1 - L P¡1 + L P¡2 - L P¡3 + P14 J-1 j=l J-1 R1R3 + R1R4 + RiR3 + R2 R4 + 6R3R4 + 2R~ + R~ R3 R4 + R~ R3 + R~ + R3R4 =l+------------------~-+----+----=---- R1R2 Rf R~ Puesto que todas las mallas tocan Ja trayectoria directa ~ 1 1, y P1~ 1 (R3 R4 )2 T = - - = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ <R1R2>2 + Rt( R2R3 + R2R4 + R3R4 + R~ + Rn + RH R~ + R1R3 + R1R4 + R3R4) +2R1R2 R~ + R1R2 R~ + 6R1R2 R3R4
- 268. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 257 Reducción de diagramas de bloques 8.15. Determine C/R para cada uno de los sistemas que se muestran en la figura 8-59, utilizando la ecuación (8.2). a) h) e) + + e + + e + + + R e Figura 8-59 a) En la figura 8-60 se presenta el grafo de flujo de señales. Las ganancias de las dos trayectorias directas son P 1 = G1, P2 = G2 • Las ganancias de las dos mallas de retroalimentación son P11 = G1H1, P21 = G2H1• Entonces
- 269. 258 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL G2 1 e 1 • .. .. • R e H1 Figura 8-60 Ahora, .:i1 = 1y .:i2 = 1porque ambas trayectorias tocan las mallas de retroalimentación en los dos nodos interiores. Así que e R b) El grafo de flujo de señales se presenta en la figura 8-61. De nuevo, tenemos P 1 = GI y P2 = G2. Pero ahora sólo hay una malla de retroalimentación, y P 11 = G1 H1; por tanto !i = 1 - G1H1. La trayectoria directa por G1 toca claramente la malla de retroalimentación en los nodós a y b; así que .:i1 = 1. La trayectoria directa por G2 toca la malla de retroalimentación en el nodo a; así que .:i2 = 1. En consecuencia 1 a b 1 R e Figura 8-61 e) El grafo de flujo de señales se presenta en la figura 8-62. De nuevo, te·nemos P 1 = G 1, P2 = G2, P 11 = G1H 1, .:i = 1 - G1Hi, y .:i 1 = l. Pero la trayectoria de retroalimentación no toca la trayectoria directa por G2 en ningún nodo. Por tanto .:i2 = .:i = 1 - G1H 1, y 1 R e R G1 + G2 (1 - G1H1) 1-G1H1 Figura 8-62 1 e
- 270. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 259 Este problema ilustra la importancia de separar los puntos de suma y los puntos de toma con una rama de ganancia unitaria al aplicar la ecuación (8.2). 8.16. Encuentre la función de transferencia C/R para el sistema que se muestra en la figura 8-63, en la cual K es una constante. R e Figura 8-63 En la figura 8-64 se presenta el grafo de flujo de señales. La ganancia de la única trayectoria directa es 1 1 8 +" . .. R Figura 8-64 Las ganancias de las dos mallas de retroalimentación son P 11 = (1/s) · (-s2 ) = -s y P21 = -0. IK!s. Todas las mallas se tocan. Por tanto s2 +s-0.lK !l.= 1 - ( P11 + P21 ) = - - - - s fl¡ = 1 C P1!l.1 K -=--= R !l. (s+a)(s2 +s+0.1K) 8.17. Resuelva el problema 7.18 utilizando las técnicas de los grafos de flujo de señales. En la figura 8-65 se presenta el grafo de flujo de señales. 1 1 K 8 + 1 1 • • ~-~,¿ .. • R e Figura 8-uS
- 271. 260 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Aplicando las reglas de la multiplicación y la adición, obtenemos la [gura 8-66. Ahora • R y K P=-- 1 s+ I 1 • K(s+O.I) Pn= ----- s+I K •+1 K(s + 0.1) á=l+---- s+l 1 :.~..J • Figura 8-66 P1á1R KR C=TR=--= á (I+K)s+I+O.lK • e 8.18. Encuentre C/R para el sistema de control dado en la figura 8-67. e Figura 8-67 En la figura 8-68 se muestra el grafo de flujo de señales. Las ganancias de las dos trayectorias directas son P 1= G 1 G2G3y P 2 = G 1G4. Las ganancias de las cinco mallas de retroalimentación son P11 = G1G2H1, P21 = G2G3H2, P31 = -G1G2G3, P41 = G4H2, y Psi = -G1G4. Así que
- 272. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES R 1 1 Figura 8-68 y a, = il2 = l . Finalmente C P1A1 +P2A2 G1G2G3 + G1G4 R A 1 + G1G2G3 - G1G2 H1 - G2G3H2 - G4 H2 + G1G4 261 1 e 8.19. Determine C/R para el sistema dado en la figura 8-69. Entonces haga G3 = G1G2H2. R e Figura 8-69 En lafigura8-70sepresentael grafodeflujodeseñales. TenemosP1 = G,G2, P2 = G2G3, P11 = -G2H2, a = 1 + G2H2, a, = il2 = 1, y C P1A1 + P2A2 G2 ( G1 + G3) R A 1 + G2 H2 1 1 • • • • R e Figura 8-70 Haciendo G3 = G1G2H2, obtenemos CIR = G1G2, y la función de transferencia del sistema se convierte en una malla abierta. 8.20. Determine los elementos de un sistema canónico con retroalimentación para el sistema del problema 8.10.
- 273. 262 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL De1problema8.IO,P1=G1G2G3,P2=G4,11= l +G2H1 -G1G2H1 +G2G~2,l11 = l,y/12='1. A partir de la ecuación (8.3) tenemos 2 G = L P¡ll¡ = G¡G3G3+ G4 + G2G4H1 - G1G2G4H¡ + Gp3G4H2 i-1 y de la ecuación (8.4) obtenemos 11-1 G2 H1 - G1G2 H1 + G2G3H2 H=--=------------------ G G1G2G3 + G 4 + G2G 4 H1 - G1G2G 4 H1 + G2G3G 4 H2 Problemas suplementarios 8.21. Encuentre CIR para la figura 8-71, utilizando la ecuación (8.2). + R e Figura 8-71 8.22. Determine un conjunto de funciones de transferencia del sistema canónico con retroalimentación, que aparece en el problema anterior, utilizando las ecuaciones (8.3) y (8.4). 8.23. Cambie la escala del grafo de flujo de señales de la figura 8-72, de tal modo que X3 se convierta en XJ!2 (véase el problema 8.3). 2 1/4 Xa Figura 8-72
- 274. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 263 8.24. Dibuje un grafo de flujo de señales para varios nodos del sistema de inhibición lateral, descrito en el problema 3.4, mediante la ecuación n ck = rk - L ªk-;C; i=l 8.25. Dibuje un grafo de flujo de señales para el sistema presentado en el problema 7-31. 8.26. Dibuje un grafo de flujo de señales para el sistema presentado en el problema 7-32. 8.27. Para el grafo ~e flujo de señales dibujado en el problema 8,26, determine CIR4 a partir de la ecuación (8.2). 8.28. Dibuje un grafo de flujo de señales para la red eléctrica de la figura 8-73. fuente de voltaje de entrada V¡ fuente de ai1 corriente ---------... « = constante Figura 8-73 + V3 salida 8.29. Para la red del problema 8.28, determine V3!Vi a partir de la ecuación (8.2). 8.30. Utilizando las ecuaciones (8 .3) y (8.4), determine los elementos de un sistema canónico con retroa- limentación para la red del problema 8.28. 8.31. Dibuje un grafo de flujo de señales para el circuito de computador analógico de la figura 8-74. 8.32. Cambie la escala del circuito del computador analógico del problema 8.31 , de tal modo que y se convierta en IOy, dy!dt en 20(dy!dt) y d 2 y!dt 2 en 5(d2 y!dt 2 ).
- 275. 264 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL _ integrador e inversor dy dt Figura 8-74 _ inversor y k = multiplicador constante Respuestas a los problemas suplementarios 8.21. P1 = G1G2G4 ; P2 = G~G3G4 , P11 = G1G4 H1, P21 = -G1G2G4 H2 , P31 = -G1G3G4 H2 , li = 1 - G1G4 H1 + G1G2G4 H2 + G1G3G4 H2 , y li1 = li2 = l. Entonces C P1ii1 + P21i2 G1G4 ( G2 + G3) R = ii = 1-G1G4 [H1 -H2 (G2 +G3)) 1 1 1 Figura 8-75
- 276. GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES 8.23. 8.24. 8.25. 1 R 4 Figura 8-76 ck Figura 8-77 Figura 8-78 265 1 e
- 277. 266 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 8.26. R 8.27. 8.28. 1/R1 V¡ 8.29. 1 -1/R¡ 1 R4 Figura 8-79 -Ra Figura 8-80 8.30. G = R4 (R 3 + aR2 ) 8.31. H = R1( R2 + R3 + R4 ) + R3 R4 + R2 R3 (1- a) RiR3 + aRz) 2 7 X A Figura 8-81 1 e 1 -1/s y
- 278. GRAFOS DE FLUJO D'E SEÑALES 267 8.32. 2 35 X 5A 2 Figura 8-82
- 279. Capítulo 9 Medidas de sensitividad de un sistema y clasificación de sistemas con retroalimentación 9.l. Introducción En los capítulos anteriores se ha hecho énfasis en los conceptos de retroalimentación y siste- mas con retroalimentación. Puesto que un sistema con una función de transferencia dada puede sintetizarse en una configuración en malla abierta o en malla cerrada, una configuración en malla cerrada (con retroalimentación) debe tener algunas propiedades deseables qué la distingan·de la configuración en malla abierta. En este capítulo se analizan en detalle algunas de las propiedades de la retroalimentación y de los sistemas con retroalimentación, y las medidas cuantitativas de la efectividad de la retroalimen- tación se desarrollan en términos de los conceptos sensitividad y constantes de error. 9.2 Sensitividad de las funciones de transferencia y de las funciones de respuesta de fre- cuencia a los parámetros del sistema Un primer paso en el análisis o diseño de un sistema de control es la generación de modelos para los diferentes elementos en el sistema. Si éste es lineal e invariante en el tiempo, los dos modelos matemáticos útiles para estos elementos son lafunción de transferencia y lafunción de respuesta de frecuencia (véase el Capítulo 6). La función de transferencia se fija cuando se especifican sus parámetros, y los valores dados a estos parámetros se llaman valores nominales. Si los hay, raras veces se conocen con exactitud, de tal modo que en realidad son aproximaciones a los valores verdaderos de los parámetros. La función de transferencia correspondiénte se llama función nominal de transferencia. La exacti- tud del rryodelo depende entonces, en parte, de cuán cerca estos valores nominales se aproximan a los parámetros reales que representan, y también de cuánto se desvían estos parámetros de los valores nominales durante el curso de la operación del sistema. La sensitividad de un sistema a sus parámetros es una medida de cuánto difiere la función de transferencia de su forma nominal cuando cada uno de sus parámetros difiere de su valor nominal. La sensitividad del sistema también puede definirse y analizarse en términos de la función de respuesta de frecuencia. La función de respuesta de frecuencia de un sistema continuo puede determinarse directamente a partir de la función de transferencia del sistema, si se conoce, rem- plazando en la función de transferencia la variable complejas por jw. Para sistemas discretos en el tiempo, esta función se obtiene remplazando z por eJwT_ De este modo, se define mediante los mismos parámetros que definen la función de transferencia, y su exactitud está determinada por la exactitud de estos parámetros. La función de respuesta de frecuencia puede definirse de otra manera mediante gráficas de su magnitud y su ángulo de fase, dibujados ambos como función de la frecuencia real w. A menudo estas gráficas se determinan experimentalmente, y en muchos casos no pueden definirse por un número finito de parámetros. Por tanto, un número infinito de
- 280. ¡ MEDID~S DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 269 valorJ de amplitud y de ángulo de fase (valores para todas las frecuencias) definen la función de respue~ta de frecuencia. En este caso, la sensitividad del sistema es una medida de cuánto difiere su función de respuesta de frecuencia de su valor nominal cuando la función de respuesta de frecuencia de un elemento del sistema difiere de su valor nominal. Considere el modelo matemático T(k) (función de transferencia o función de respuesta de frecuencia) de un sistema lineal invariable en el tiempo, escrito en forma polar como T( k) = jT( k) jei<t>r (9.1) en donde k es un parámetro del que depende T(k). Usualmente, tanto IT(k)I como </>r dependen de k, y k es un parámetro real o complejo del sistema. Definición 9.1: Definición 9.2: Definición 9.3: Para el modelo matemático T(k), viendo a k como el único parámetro, la sensitividad de T(k) con respecto al parámetro k se define mediante dlnT(k) dT(k)/T(k) dT(k) k s[<k>= dlnk = dk/k =-;¡¡;- T(k) (9.2) En algunos tratamientos de este tema, S[(k) se llama sensitividad relati- va o normalizada, porque representa la variación dTrelativa a la T nominal, para una variación dk relativa a la nominal k. S[<k> algunas veces se llama sensitividad de Bode. La sensitividad de la magnitud de T(k) con respecto al parámetro k se define mediante SIT(k)I= dlnjT(k)I - djT(k)I/IT(k)I = djT(k)l _k_ k - d ln k - dk/k dk IT(k) 1 (9.3) La sensitividad del ángulo de fase <f>r de T(k) con respecto al parámetro k se define mediante d 1n c/>r dcf>rlc/>r dc/>r k S"'T= --- - - - - =---- k - d}nk - dk/k dk c/>T (9.4) Las sensitividades de T(k) = IT(k)I ei<l>r, la magnitud IT(k)I y el ángulo de fase <f>r con respecto al parámetro k están relacionados por la expresión (9.5) Nótese que, en general, sy<k)I y Sfr son números complejos. En el caso especial en que kes real, tanto SL7'k)I como Sfr son reales. Cuando s[<k> = O, T(k) es insensitivo a k.
- 281. 270 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 9.1 Considere la función de respuesta de frecuencia T(µ.) = e-Jwp. en donde µ = k. La magnitud de T(µ) es IT(µ)I = 1, y. el ángulo de fase T(µ) es </>r = -wµ. La sensitividad de T(µ) con respecto al parámetro µ es d(e-1"'") µ. s;<P.l = - - - -.- = -jwµ. d,,. e-Jwp. La sensitividad de la magnitud de T(µ) con respecto al parámetro µ es SIT(p.)I = d!T(µ.) I _P._= o p. µ. IT(µ.)I La sensitividad del ángulo de fase de T(µ) con respecto al parámetro µ es d!fJr µ. P. S<l>7 =--- = -w·-- =1 ,,. dµ. 4'r - wµ. Nótese que El siguiente desarrollo se efectúa en términos de las funciones de transferencia. Sin embargo, todo es aplicable a las funciones de respuesta de frecuencia (para sistemas continuos) simplemente remplazando a s en todas las ecuaciones por jw, o z = eiwT para sistemas discretos. Una clase muy importante de funciones de transferencia de sistemas tiene la forma: A1 +kA2 T=---- A3 + kA4 (9.6) en donde kes un parámetro yA1, A2 , A3 y A4 son polinomios en s (o en z). Este tipo de dependencia entre un parámetro k y una función de transferencia T, es en general suficiente para incluir muchos de los sistemas considerados en este libro. Para las funciones de transferencia con la forma de la ecuación (9.6), la sensitividad de T con respecto al parámetro k está dada por T dT k k(A2 A3 -A1A4 ) sk = - . - = ---------- dk T (A 3 + kA4 )(A1 + kA2 ) (9.7) En general, S[ es una función de la variable compleja s (ó z).
- 282. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 27 J EJEMPLO 9.2. La función de transferencia del sistema discreto en el tiempo que se presenta en la figura 9-1, _es C K T=-=---------- R z3 + ( a + b) z2 + abz + K + R e Figura 9-1 Si K es el parámetro de interés. (k K), agrupamos los términos en T como sigue: K T-~-------~-- - [ z 3 + ( a + b) z2 + abz] + K Comparando T con la ecuación (9.6), vemos que A3 = z3 + (a+ h) z2 +abz Si a es el parámetro de interés (k = a), T puede escribirse nuevamente como K T=----------- [z3 + bz2 + K) + a[z2 + bz] Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), vemos que A1 =K A3 = z3 + bz2 + K Si h es el parámetro de interés (k h), T puede escribirse esta vez como K T=----------- [z3 + az2 + K) + b[z2 + az) De nuevo, comparando esta expresión con la ecuación (9.6), vemos que A3 = z3 + az2 + K A4 = z2 + az
- 283. 272 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 9.3. Para la red de adelanto que se muestra en la figura 9-2, la función de transferencia es E0 1 + RCs T=-= E; 2+RCs + R + E; R Eo e Figura 9-2 Si C (la capacidad) es el parámetro de interés, escribimos T = [1 + C(Rs)]/[2 + C(Rs)J. Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), vemos que A1 = 1, A2 = Rs, A3 = 2, A4 = Rs. EJEMPLO 9.4. Para el sistema del ejemplo 9.2, la sensitividad de T con respecto a K es T K [ z3 + (a + b) z2 + abz] SK = [ ] K z3 + (a + b) z2 + abz + K La sensitividad de T con respecto al parámetro a es 7 -aK(z2 +bz) Sª = K[z3 + bz2 + K + a(z2 + bz)] La sensitividad de T con respecto al parámetro b es -bK(z2 +az) ST=-r-:---=-----:---...- b K [z3 + az2 + K + b( z2 + az)] 1 K 1+-------- z3 + (a + b) z 2 + abz -1 z3 + bz2 + K 1 + ----:---- a( z2 + bz) -1 z3 + az2 + K 1+----- b(z2 + az) EJEMPLO 9.5. Para la red de adelanto de la figura 9-2, la sensitividad de T con respecto a la capacidad C es C(2Rs - Rs) RCs sr = -------- = -------- (" (2 + RCs)(l + RCs) (2 + RCs)(l + RCs) 1 (1 + 2/RCs)(l + 1/RCs)
- 284. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 273 EJEMPLO 9.6. Los sistemas en malla abierta y malla cerrada que se presentan en la figura 9-3 tienen la misma planta y la misma función de transferencia del sistema global para K = 2. planta (i = K s2+4s+5 R e planta K + ,2+4s+3+K R e Figura 9-3 Aunque estos sistei;nas son precisamente equivalentes para K = 2, sus propiedades difieren de manera significativa para desviaciones pequeñas (y grandes) de K en relación con el valor K = 2. La función de transferencia del primer· sistema es Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), tenemos A 1 = O, A2 = 1, A3 = s2 + 4s + 5, A4 = O. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), obtenemos T K(s2 +4s+5) S 1 =----- =l K ( s2 + 4s + 5) K para todo K. La función de transferencia del segundo sistema es K s2 + 4s+ 3 + K Comparando esta expresión con la ecuación (9.6), se tiene A 1 = O, A2 = 1, A3 = s2 + 4s + 3, A4 = 1. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), obtenemos K(s2 + 4s + 3) ST2 = --------- K (s2 +4s+3+K)(K) 1 1 + K/( s2 + 4s + 3) Para K = 2, s¡, = 1/[l + 2/(s2 + s + 3)]. Nótese que la sensitividad T1 del sistema en malla abierta se encuentra fija en 1 para todos los valores de la ganancia K. De otra parte, la sensitividad del sistema en malla cerrada es función de K y de la variable complejas. Así, S"[2 puede ajustarse en un problema de diseño, variando K o manteniendo las frecuencias en la función de entrada dentro de un rango apropiado. Para w < 13 rad/seg, la sensitividad del sistema en malla cerrada es
- 285. 274 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 7 1 3 S 2 ==--=-=06 K 1+½ 5 . Así, el sistema con retroalimentación es 40% menos sensitivo que el sistema en malla abierta para frecuen- cias bajas. Para frecuencias altas, la sensitividad del sistema en malla cerrada se aproxima a 1, el mismo valor que para el sistema en malla abierta. EJEMPLO 9.7. Suponga que G es una función de respuesta de frecuencia, puede ser G(jw) para un sistema continuo, o G(JwT) para un sistema discreto en el tiempo. La función de respuesta de frecuencia para el sistema con retroalimentación unitaria (continuo o discreto en el tiempo), dado en la figura 9-4, se relaciona con la función de respuesta de frecuencia G de la malla directa por medio de e Ie¡ . G iGle)<l>G R= R e'<l>c;R = 1 + G = 1 + 1Gle14>G R ;9-·I.} º••••••·•••••••••••••••••••·••••11----+- 1-~ Figura 9-4 en donde </Jc!R es el ángulo de fase CIR y <Pe es el de G. La sensitividad de CIR con respecto a IGI está dada por IGI ·--=-------c- C/R (1 + ¡G¡eNG)2 !Glei<l>G 1 + IGleJ<l>G 1 1 - - - - = - - 1 + IGleNG 1 + G (9.8) Nótese que para IGI grande la sensitividad de C!R con respecto a IGI es relativamente pequeña. EJEMPLO 9.8. Suponga que el sistema del ejemplo 9.7 es continuo, que w = 1 y para algún G(jw), G(jl) = 1 + j. Entonces IG(Jw)I = ff, </>e= 'IT/4 rad, (C/R)(jw) = ¾+J¼, l(C/R)(jw)I = /iO/5, Y <l>c¡R = 0.3215 rad. Usando los resultados del ejemplo anterior, la sensitividad de (CIR)(jw) con respecto a IG(jw)I es '/R . 1 2 1 s<( . )(jw) - - . 1C<1w>I - 2 +j - 5 -15
- 286. MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 275 Entonces, de la ecuación (9.5), tenemos 2 Si(C/R)(Jw)I = _ = 0 4 IG<Jw)I 5 · <l>c!R 1 S¡G(Jwll = - 5(0.3215) = -0.622 Estos valores reales de scnsitividad indican que un cambio del 10% en IG(jw)I producirán un cambio del 4% en IC/R)(jw)I, y un cambio de -6.22% en <l>c!R· Un atributo cualitativo del sistema, relacionado con su sensitividad, es su robustez. Se dice que un sistema es robusto cuando al operar no es sensitivo a la variación de los parámetros. La robustez puede caracterizarse en términos de la sensitividad de su función de transferencia o de respuesta de frecuencia, o de un conjunto de índices de desempeño con respecto a los parámetros del sistema. 9.3 Sensitividad de 1~ salida con respecto a los parámetros para los modelos de ecuaciones diferenciales y de diferencia El concepto de sensitividad también es aplicable a los modelos de sistemas expresados en el dominio del tiempo. La sensitividad de la salida modelo y a cualquier parámetro p está dada por SY<tl = SY = d(ln y) P P d(lnp) dy/y dy p dp/p dp y Puesto que el modelo se define en el dominio del tiempo, la sensitividad usualmente se encuentra para la salida y(t) en el dominio del tiempo. La derivada dy!dp se llama algunas veces coeficiente de sensitividad de la salida, el cual es una función del tiempo, corno lo es la sensitividad si . EJEMPLO 9.9. Determinamos la sensitividad de la salida y(t) ':' x(t) con respecto al parámetro a, para el sistema -diferencial x = ax + u. La sensitividad es dya dxa SY=--=·-- a day dax Para determinar Sf, consideremos la derivada con respecto al tiempo de dx!da, e intercambiemos el orden de la derivación, esto es, !_(dx) =!!_(dx) =!!_(ax+u) dt da da dt da Ahora definimos una nueva variable v = dx!da. Entonces d dx ü = -(ax+ u)= a- + 1 · x = av + x da da
- 287. 276 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La función de sensitividad S[ '.entonces puede encontrarse resolviendo primero la ecuación diferencial del sistema para x(t), porque x(t), es la función de excitación en la ecuación anterior para v(t). Las soluciones necesarias se desarrollaron en la sección 3.15 como y porque v(O) = O. La sensitividad de la salida variable en el tiempo se calcula a partir de esas dos funciones como dx a av(t) SY=--=-- a .da X x(t) EJEMPLO 9.1 O. Para el sistema discreto definido por x(k + 1) = ax(k) + u(k) y(k)=cx(k) determinamos la sensitividad de la salida y con respecto al parámetro a, como sigue. Hagamos Entonces y éJx(k) v(k) s - - éJa éJx(k+l) éJ v(k+ 1) = - - - = -[ax(k) + u(k)] éJa éJa éJx(k) = x(k) +a--= av(k) + x(k) éJa éJy(k) éJcx(k) éJx(k) - - = - - - =e--= cv(k) éJa éJa éJa Así, para determinar S!, resolvemos primero las dos ecuaciones discretas: x( k + 1) = ax( k) + u( k) v(k+ 1) =av(k) + x(k) (por ejemplo, véase la sección 3. I7). Entonces éJy(k) a av(k) st - éJa . y(k) - x(k)
- 288. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA YCLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 277 9.4 Clasificación de los sistemas continuos con retroalimentación Considere la clase de sistemas canónicos con retroalimentación definidos en la figura 9-5. Para los sistemas continuos, la función de transferencia en malla abierta puede escribirse como + R + m KCT(s+z;) GH = -•-~=-1 - - - - 0 (s +p;) i=l Figura 9-5 e en donde K es una constante, m :5 n, y -z¡ y -p; son ceros y polos finitos, respectivamente, de GH. Si hay a ceros y b polos en el origen, entonces m--a Ksª n(s+z;) GH= i=l n-b sbCT(s+p;) i=l En lo que resta de este capítulo, solamente se considerarán los sistemas para los cuales b ;::= a y l = b - a. Deñnición 9.4: Un sistem_a canónico con retroalimentación cuya función de transferencia en malla abierta puede escribirse en la forma n1-a GH= _K_f_]l~(s_+_z_;_) - KB1(s) n-a-1 /B ( ) /n S 2 S s (s +p;) (9.9) i=l en donde l ;::= Oy - Z¡ y - p¡ son ceros y polos fimtos diferentes de cero de GH, respectivamente, se denomina sistema tipo l.
- 289. 278 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 9.11. El sistema definido en la figura 9-6 es un sistema del tipo 2. e Figura 9-6 EJEMPLO 9.12. El sistema definido en la figura 9-7 es un sistema del tipo J. R e Figura 9-7 EJEMPLO 9.13. El sistema definido en la figura 9-8 es un sistema del tipo O. e Figura 9-8 9.5 Constantes de error de posición para sistemas continuos con retroalimentación unita- ria Un criterio de la efectividad de la retroalimentación en un sistema estable del tipo 1 con retroalimentación unitaria, es la constante de error de posición (paso). Esta es una medida del error en estado estacionario entre la entrada y la salida cuando la entrada es una función paso unitario, esto es, la diferencia entre la entrada y la salida cuando el sistema se encuentra en estado estacionario y la entrada es un paso. Definición 9.5: La constante de error de posición KP de un sistema del tipo l con retroali- mentación unitaria se define como
- 290. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 279 KB (s) { KB1(0) Kp= limG(s) = lim 1 1 ( ) = B2 (0) s-+O s-+O S B2 S 00 para/=0 para/> O (9.10) El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria cuando la entrada es una función paso unitario [e(oo) = 1 -c(oo)], está relacionado con la constan- te de error de posición 1 e(oo) = lim e(t) = - - t-+oo l+KP (9.11) EJEMPLO 9.14. La constante de error de posición para un sistema del tipo O es finita. Esto es, 1 KB1(0) 1 IK i= - - <oo P B2 (0) El error en estado estacionario para un sistema del tipo O es distinto de cero y finito. EJEMPLO 9.15. La constante de error de posición para un sistema del tipo 1 es . KB1(0) K = lim---=oo P s--+O sB2 (0). En consecuencia, el error en estado estacionario es e(oo) = 1/(1 + Kp) = O. EJEMPLO 9.16. La constante de error de posición para un sistema del tipo 2 es . KB1(s) KP = Iim 2 • = oo s--+OS B2 (s) Entonces, el error en estado estacionario es e(oo) = 1/(1 + KP) = O. 9.6 Constantes de error de velocidad para sistemas continuos con retroalimentación uni- taria Otro criterio de la efectividad de la retroalimentación en un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria es la constante de error de velocidad (rampa). Esta es una medida del error en estado estacionario entre la entrada y la salida del sistema cuando la entrada es una función rampa unitaria.
- 291. 280 Definición 9.6: TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La constante de error de velocidad Kv de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria está definida como { o para /= o . ( ) . KB1(s) KB1(0) (9.12) Kv = hm sG s = hm 1 1 = para l= 1 s-->O s-->OS - Bi(s) B2 (0) 00 para I> 1 El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo Lcon retroalimentación unitaria, cuando la entrada es una función rampa unitaria, está relacionado con la constante de error de velocidad mediante 1 e(oo) = lim e(t) = - t-->oo Kv (9.13) EJEMPLO 9.17. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo Oes Kv= O. Puesto que el error en estado estacionario es infinito. EJEMPLO 9.18. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo 1, Kv= KB 1(0)!Bi(O), es finita. Por tanto, el error en estado estacionario es diferente de cero y finito. EJEMPLO 9.19. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo 2 es infinita. Por tanto, el error en estado estacionario es cero. 9.7 Constantes de error de aceleración para sistemas continuos con retroalimentación unitaria Un tercer criterio de la efectividad de la retroalimentación en un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria es la constante de error de aceleración (parabólica). Esta es una me- dida del error en estado estacionario del sistema, cuando la entrada es una función parabólica unitaria; esto es, r = t2!2 y R = l/s 3 • Definición 9. 7: La constante de error de aceleración K0 de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria se define como { o _ . 2 . KB1(s) KB1(0) Ka= hms G(s) = lim 1_ 2 ( ) = B (O) s-->O s-->O S B2 S 2 00 para /=O, 1 para /=2 para /> 2 (9.14) El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria cuando la entrada es una función parabólica unitaria, está relacionado con la constante de error de aceleración mediante
- 292. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 281 1 e(oo) = lim e(t) = - (9.15) ,-oo Kª EJEMPLO 9.20. La constante de error de aceleración para un sistema del tipo Oes Ka =O. Por lo tanto, el error en estado estacionario es infinito. EJEMPLO 9.21. La constante de error de aceleración para un sistema del tipo 1es ka =O. Por lo tanto, el error en estado estacionario es infinito. EJEMPLO 9.22. La constante de error de aceleración para un sistema del tipo 2, Ka= KB,(0)1Bi0) es finita. Por lo tanto, el error en estado estacionario es diferente de cero y finito. 9.8 Constantes de error para sistemas discretos con retroalimentación unitaria La función de transferencia en malla abierta para un sistema discreto del tipo l, puede escribir- se como K(z+z1 ) ••• (z+zm) GH= - - - - - - - - - - (z -1) 1 (z +p1) • · • (z +Pn) en donde l ~ O, y -z; y -p; son los ceros y polos no unitarios de GH en el plano z. Todos los resultados desarrollados en las secciones 9.5 a la 9.7 para los sistemas continuos con retroalimentación unitaria son iguales para los sistemas discretos con esta función de transfe- rencia en malla abierta. 9.9 Tabla resumen para sistemas continuos y discretos en el tiempo, con retroalimentación unitaria En la tabla 9.1 se dan las constantes de error en términos de a, en donde a= Opara sistemas continuos, y a = 1 para sistemas discretos. TABLA 9.1 Entrada Paso Unitario Rampa Unitaria Parábola Unitaria Error en Error en Error en Tipo de Estado Estado Estado Sistema KP Estacionario Kv Estacionario Ka Estacionario KB1(a) 1 Tipo O Bi(a) --- o 00 o 00 l+KP KB1(a) 1 Tipo/ 00 o - o 00 Bi(a) Kv KB1( a) 1 Tipo 2 00 o 00 o - Bi(a) Ka
- 293. 282 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 9.10 Constantes de error para sistemas más generales Los resultados de las secciones 9.5 a la 9.9 son aplicables únicamente a sistemas lineales estables con retroalimentación unitaria. Sin embargo, ellos pueden extenderse fácilmente asiste- mas lineales estables más generales. En la figura 9-9, T,1 representa la función de transferencia de un sistema (ideal) deseado, y C!R, la del sistema real (una aproximación de T,1). Res la entrada en ambos sistemas, y E es la diferencia (el error) entre la salida deseada y la salida real. Para este sistema más general, a continuación se definen tres constantes de error y se relacionan con el error en estado estacionario. sistema ideal sistema real + R e E Figura 9-9 Definición 9.S: La constante de error de paso K, se define para un sistema continuo como 1 Ks = __,,____ T - C] d R (9.16) lim s-+0 El error en estado estacionario para el sistema general cuando la entrada es una función paso unitario, está relacionada con K., mediante Definición 9.9: 1 e(oo) = lim e(t) = - t-+oo Ks (9.17) La constante de error de rampa K, se define para un sistema continuo como 1 K,= 1[ C] lim - Td- - s-+o s R (9.18) El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una función rampa unitaria, está relacionada con K, mediante
- 294. MEDIDAS DE SENSITIYIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 283 1 e(oo) = lim e(t) = - (9.19) 1-+oo K, Definición 9.10: La constante de error parabólico KPª se define para sistemas continuos corno 1 KPª = 1 C] lim-T-- s-+O s2 d R (9.20) El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una función parabólica unitaria, está relacionada con KPª mediante 1 e(oo) = lim e(t) = - t-+oo Kpa (9.21} EJEMPLO 9.23. El sistema con retroalimentación no unitaria, que se presenta en la figura 9-1 O, tiene la función de transferencia C!R = 2!(s2 + 2s + 4). Si la función de transferencia deseada a la cual se aproxima CIR es Td = ½, entonces C s(s + 2) T--------- d R - 2(s2 + 2s + 4) + R e Figura 9-10 Entonces 1 1 Ks = lim s(s +2) ] s-+O 2(s2 + 2s + 4) = 00 K - - - - - - - - - - 4 ' - 1 [ s(s + 2) ] - lim - s-+O s 2(s2 + 2s + 4) 1 K =--------=O pa . 1 [ s( s +2) ] lim- , ....o s2 2(s2 + 2s + 4) EJEMPLO 9.24. Para el sistema del ejemplo 9.23 los errores en estado estacionario debidos a una entrada paso unitario; una entrada rampa unitaria y a una entrada parabólica unitaria, pueden encontrarse utilizan- do los resultados de ese ejemplo. Para una entrada paso unitario e(x) = l!K, = O. Para una entrnda rampa unitaria e(00) = 1/K, = . Para una entrada parabólica unitaria, e(x) = 1/KPª = x
- 295. 284 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Para establecer relaciones entre las constantes de error generales K.,, Kr y KP" y las constantes de error K¡,, K, y K0 para sistemas con retroalimentación unitaria, hacemos que el sistema real sea uno continuo con retroalimentación unitaria, y que el sistema deseado tenga una función de trans- ferencia unitaria. Esto es, hacemos En consecuencia C G' y R 1 +G 1 K. = -.-.-[=--- 1 ---=-] = 1 + ~~G(s) = 1 + KP lim - - .....o 1 + G 1 K= = limsG (s) = Kv r ~(l~G)] lim s-+O s-+0 1 KPª= s(l~G)] = 1ims2 G(s) = Ka s-+O lim s-+O Problemas resueltos Configuraciones de sistemas (9.22) (9.23) (9.24) 9.1. Una planta dada tiene una función de transferencia G2 . Se desea un sistema que incluya a G2 como elemento de salida y que tenga una función de transferencia C/R. Demuestre que, si no hay restricciones (tales como estabilidad) en los elementos compensadores, el siste- ma puede sintetizarse en uno en malla abierta o en otro con retroalimentación unitaria. Si el sistema puede sintetizarse en uno en malla abierta, entonces tendrá !a configuración dada en la figura 9-11, en donde G I es un elemento compensador desconocido. La función de transferen- cia del sistema es CIR ~GíG2, del cualGí= (CIR)IG2. Este valor paraGí permite la síntesis de C!R como un sistema en malla abierta. R e Figura 9-11 Si el sistema puede sintetizarse en uno con retroalimentación unitaria, entonces tendrá la confi- guración dada en la figura 9-12.
- 296. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 285 R + Figura 9-12 La función de transferencia del sistema es C/R G-- 1 ( C/R ) 1 - G2 1- C/R e Este valor para GI permite la síntesis de C/R como sistema con retroalimentación unitaria. 9.2. Utilizando los resultados del problema 9.1, demuestre cómo puede sintetizarse la función de transferencia del sistema C!R = 2/(s2 + s + 2) que incluye como su elemento de salida la planta G2 = I/s(s + I), a) como ún sistema en malla abierta, b) como un sistema con retroalimentación unitaria. a) Para el sistema en malla abierta C/R 2s(s+l) Gí=--=---- G2 s 2 + s + 2 y el diagrama de bloques del sistema está dado en la figura 9-13. R e Figura 9-13 b) Para el sistema con retroalimentación unitaria, G - - - - - -s s+l ~~-------- -2 1 ( C/R ) [ 2/(s 2 +s+2) ] ¡- G2 l-C/R - ( ) (s2 +s+2-2)/(s2 +s+2) - y el diagrama de bloques del sistema se da en la figura 9-14. + R Figura 9-14 e
- 297. 286 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE. CON'J'ROL Sensitividad de la función de transferencia 9.3. Los dos sistemas que se dan en la figura 9-15 tienen la misma función de transferencia cuando K1 = K2 = 100. (C) 1 K1 K2 T = - =-----=100 1 R Ki=lOO 1 + 0.0099K K 1 K2=100 1 2 T=- = - - - - =100 (C) 1 ( K 1 ) ( K, ) 2 R 2 ::::: 1 + 0.09K1 1 + 0.09K2 e e Figura 9-15 Compare las sensitividades de estos dos sistemas con respecto al parámetro K1 para valo- res nominales K1 = K2 = 100. Para el primer sistema, T 1 = K 1K2![1 + K1(0.0099K2)]. Comparando esta expresión con la ecuación (9.6) se obtiene A 1 = O, A2 = K2 , A3 = 1, A4 = 0.0099K2• Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), obtenemos r K1K2 1 SK1 = - - - - - - - - - - - - - - - = 0.01 1 (1 + 0.0099K1K2 )( K1K2 ) 1 + 0.0099K1K2 para K1 = K2 = 100 Para el segundo sistema, ( ~ )( ~ ) ~~ Tz = 1 +0.09K1 1 + 0.09K2 = 1 + 0.09K1 + 0.09K2 + 0.0081K1K2 Comparando esta expresión con la ecuación (9.6) se obtiene A, = O,A2 = K2 ,A3 = I +0.09K2 , A4 = 0.09 + 0.008 IK2. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.7), tenemos r K1Kz(l +0.09K2 ) 1 SK2 = ...,.------,--------- ----- = 0.1 1 (1 +0.09K1)(1 +0.09K2 )( K1K2 ) 1 + 0.09K1 para K1 = K 2 = 100 Una variación del 10% en K 1 producirá una variación aproximada de 0.1 % en T1, y una de 1% en T2 . De este modo el segundo sistema T2 es 10 veces más sensitivo que es el primero, a las variaciones en K 1•
- 298. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 287 9.4. El sistema en malla cerrada que se da en la figura 9-16, se define en términos de la función de respuesta de frecuencia del elemento G(jw) da la trayectoria directa. + G(iro) 1 + G(jro) C(j..,) Figura 9-16 Suponga que G(jw) = Il(jw + 1). En el Capítulo 15 se demuestra que las funciones de respuesta de frecuencia 1/(jw + 1) pueden aproximarse a las gráficas de líneas rectas de magnitud y fase de (G(jw), dadas en la figura 9-17. 20 log10 JG(j..,)J -r/4 ángulo de fase </> ..,=0.1 1 1 ..,=10 -v/2 -----------L------~--- Figura 9-17 En w = 1 los valores verdaderos de 20 log10 IG(jw)I y de </> son -3 y -1r/4, respectivamente. Para w = I, encuentre: a) La sensitividad de l(C/R)(jw)I con respecto a IG(jw)I. b) Utilizando el resultado de la parte a), determine un valor aproximado para el error en l(C/R)(jw)I causado por las aproximaciones a línea recta para 1/(jw + 1). a) Utilizando la ecuación (9.8), la sensitividad de CIR(jw) con respecto a IG(jw)I está dada por 1 1 2-jw S(C/R)(jw) = ____ _ _ IG(Jw)I 1 + G(jw) - 2 +jw - 4 + w2 Puesto que IG(jw)I es real, 2 sl(C/R)(jw)I - Re s<C/R)(jw) - - - IG(Jw)I - IG(jw)I - 4 + w2 Para W = 1 Sl(C/R)(jw)I = O4 ' IG(JW)I •. b) Para w = 1, el valor exacto de G(jw)I es IG(jw)I = l/V2= 0.707. El valor aproxima- do tomado de la gráfica es IG(jw)I = 1. Entonces el porcentaje de error en la aproximación es 100(1 - 0.707)/0.707 = 41.4%. El porcentaje de error aproximado en l(C/R)(jw)I es 41 4 S (C/R)(jw) = 16 601 · IG(jw)I • 70 •
- 299. 288 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 9.5. Demuestre que las sensitívidades de T(k) = IT(k)lei<f>T, la magnitud IT(k)I y el ángu- lo de fase <fJT con respecto al parámetro k están relacionados mediante ST(k) _ SIT(k)I +J·"' . s+r k - k 'l'T k [ecuación (9.5)] Usando la ecuación (9.2), sm>= dlnT(k) = dln[IT(k)ie1"'r] d[InlT(k)l+jc/>T] k dlnk dlnk dlnk dlnlT(k}I dc/>T dlnlT(k)I dlnc/>T Tk = d ln k +j d ln k = d ln k +jc/>r d In k = Sl < >I +jc/>rStr Nótese que si k es real, entonces Sf<k)I y Sfr son reales, y SIT<k>I =Re S[<k> k c/>rStr = lm s[<k> 9.6. Demuestre que la sensitividad de la función de transferencia T = (A 1 + kA2)/(A3 + kA4 ) con respecto al parámetro k está dada por S[ = k(A 2 A3 -A1A4 )/(A3 + kA4 ) (A1 + kA 2). Por definición, la sensitividad de T con respecto al parámetro k es Ahora Así que T dlnT dT k s =--=-·- k dlnk dk T dT A2 ( A3 + kA4 ) -A4 ( A1 + kA2 ) -= dk ( A3 + kA4 ) 2 A2 A3 -A1A4 (A3 +kA4 )2 9.7. Considere el sistema del ejemplo 9.6 con la adición de una perturbación en la carga y una entrada de ruido, como se muestra en la figura 9-18. Demuestre que el controlador con retroalimentación mejora la sensitividad de la salida a la entrada de ruido y a la perturba- ción en la carga. entrada de ruido planta perturbación en la carga N(s) L(s) + e Figura 9-18
- 300. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA YCLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 289 Para el sistema en malla abierta, la salida debida a la entrada de ruido y a la perturbación en la carga es 1 C{s)=L(ú+( )( )N(s) · s+l s+3 independientemente de la acción del controlador en malla abierta. Para un sistema en malla cerrada. (s+l)(s+3) 1 C(s) = ----L(s) + ---N(s) s2 + 4s + 5 s2 + 4s + 5 Para frecuencias bajas, el sistema en malla cerrada atenúa la perturbación en la carga y la entrada de ruido, comparado con el sistema en malla abierta. En particular, el sistema en malla cerrada tiene una ganancia en estado estacionario o de e.e.: 3 1 C{O) = 5L(O) + 5N{O) mientras que el sistema en malla abierta tiene una de 1 C(O) =L{O) + 3N{O) A frecuencias altas, estas ganancias son aproximadamente iguales. Sensitividad de la salida del sistema en el dominio del tiempo 9.8. Para el sistema definido por i = A(p)x + B(p)u y= C(p)x Demuestre que la matriz de sensitividades de salida se determina mediante la solución de las ecuaciones diferenciales i=Ax+u . aA aB V=AV+-x+-u ap ap (9.25) (9.26)
- 301. 290 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL con (9.27} en donde esto es, V es la matriz de las funciones de sensitividad. La derivada de la función de sensitividad vij está dada por d ( ax ) ú;1 = dt ap; Suponiendo que las variables de estado tienen derivadas continuas, podemos intercambiar el orden de las derivaciones total y parcial, de modo que En forma de matriz, . ax a aA ax aB V= - = -[Ax+Bu] = -x+A-+-u ap ap ap ap ap Puesto que V = ax!ap, tenemos . aA aB V=AV+-x+-u ap ap Entonces ay acx ac ax ac - = - - = -x+C- =CV+-x ap ap ap ap ap Nótese que, en las ecuaciones anteriores, la derivada parcial de una matriz con respec- to al vector p se sobreentiende que genera una serie de matrices, cada una de las cuales, cuando se multiplica por x, genera una columna en la matriz resultante. Esto es, (oA!ap)x es una matriz con (oA/opj)x como j-ésima columna. Esto puede verificarse fácilmente, escribiendo de manera explícita todas las ecuaciones escalares y derivándolas término a término. Clasificación de sistemas por tipo 9.9. En la figura 9-19 se representa el sistema canónico con retroalimentación
- 302. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 291 + R Figura 9-19 Clasifique este sistema de acuerdo con el tipo si 1 a) G= - s H=l 5 b) G= s(s+3) s+l H=-- s+2 2 e) G= s2 + 2s + 5 H=s+S 24 d) G= (2s + 1)(4s + 1) 4 1 e) G= s(s + 3) H=- 1 a) GH= -; tipo l) s s S(s + 1) b) GH = s(s + 2)(s + 3); tipo l) 2(s + 5) e) GH - -,----· · O) - s2 + 2s + 5' tipo H= 4 4s(3s+l) 96 1 e d) GH= 4s(2s+1)(3s+1)(4s+l) = s(s+½)(s+½)(s+¼); tipo l) 4 e) GH = s2 (s +3 ); tipo 2) 9.10. Clasifique por tipo el sistema dado en la figura 9-20. + R Figura 9-20 e
- 303. 292 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS @E CONTROL La función de transferencia en malla abierta de este sistema es s2 (s + l)(s2 + s + 1) GH= - - - - - - - - s4(s + 2)2 (s + 3}2 Por tanto es un sistema del tipo 2. (s+l)(s2 +s+l) s2 (s + 2)2(s + 3)2 ,, Constantes de error y errores en estado estacionario 9.11. Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria, cuando la entrada es una función paso unitario, está relaciona- da con la constante de error de posición, mediante 1 e(oo) = lim e(t) = - - t-+(X) 1 + KP La razón de error (definición 7.5) en un sistema con retroalimentación unitaria negativa está dadaporlaecuación(7.4),conH= 1,estoes,E!R= 1/(1 +G).ParaR= 1/s,E=(l!s)(l/(1 +G)). A partir del teorema del valor final, obtenemos en donde se ha utilizado la definición KP = lim, _ 0G(s). 9.12. Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo l con retroalimentación unitaria con una función de entrada rampa unitaria, está relacionado con la constante de error de velocidad mediante e(oo) = lim, .... 00 e(t) = I/Kv. Tenemos E!R = 1/(1 + G), y E= (lls2)(1!(1 + G)) paraR = l/s2 • Puesto que G = KB1(s)ls1 B2(s), por la definición 9.4, 1 [ s'Bi(s) ] E= s2 s1 Bi(s) + KB1 (s) Para l > O, tenemos Bi(s) sE(s) = - - - - - - - sBi(s) + KB1(s)¡s'- 1 en donde l - 1 2: O. Ahora podemos utilizar el teorema del valor final, como se hizo en el problema anterior, porque se satisface la condición para la aplicación de este teorema. Es decir, para l > O tenemos e(oo)= limsE(s)={ B2~0) , ....o KB;(O) para />1 para /= 1
- 304. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 293 B1(0) y B2(0) son finitas y diferentes de cero, por la definición 9.4; en consecuencia existe el límite (es decir, es finito). No podemos evocar el teorema del valor final para el caso en que l = O porque 1[ .Bi(s) ] sE(s)l,-o =-; Bi(s) + KB1(s) y el límite de la cantidad del lado derecho no existe cuando s-0. Sin embargo, podemos utilizar el siguiente argumento para l = O. Puesto que el sistema es estable, Bz(s) + KB1(s) = Otiene raíces únicamente en el lado izquierdo del plano. Entonces puede escribirse E con su denominador en la forma factorizada general: Bi(s) E= _2_n_'_( ___ )_n, s ;-1 s + P; en donde Re(p;) > Oy I::;_1 n; = n - a (véase la definición 9.4), esto es, puede haber algunas raíces repetidas. Expandiendo E en fracciones parciales [ecuación (4. IOa)], obtenemos C20 e r n; e E=-+~+ E E ik S2 S i-lk-1(s+p¡)k en donde bn en la ecuación (4.10a) es cero porque el grado del denominador es mayor que el del numerador (m < n). Invirtiendo E(s) (sección 4.8), logramos Puesto que Re(p;) > O y c20 y c10 son constantes finitas diferentes de cero (E es una expresión algebraica racional), entonces e(oo)= lim e(t)= lim (c20t)+c10 =oo t-+ 00 t-+ 00 Agrupando los resultados, tenemos Bi(O) { 00 e(oo) = KB~(O) O de modo equivalente, { o 1 KB1{0) e(oo) = .Bi!O) para /=O para /= 1 para /> ¡ para /=O para /= 1 para /> ¡
- 305. 294 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Estos tres valores para 1/e(oo) definen a Kv; así 1 e(oo) = - Kv 9.13. En la figura 9-21, encuentre las constantes de error de posición, velocidad y aceleración. + R e Figura 9-21 La constante de error de posición: 4(s + 2) K = limG(s)= lim----=oo P s-+O s-+O s(s + l)(s + 4) La constante de error de velocidad: 4(s + 2) K = limsG(s) = lim---- =2 " s-+O s-+o(s+l)(s+4) La constante de error de aceleración: 4s(s + 2) K = lims2 G(s) = lim - - - - - =O ª s-+O s-+O(s+l)(s+4) 9.14. En el sistema del problema 9.13, encuentre el error en estado estacionario para a) una entrada paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, e) una entrada parabólica unitaria. a) El error en estado estacionario para una entrada paso unitario está dado por e(oo) = 1/(1 + Kp). Utilizando el resultado del problema 9.13 se obtiene e(oo) = 1/(1 + oo) = O. b) El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria está dado por e(oo) = 1/Kv. Utilizando de nuevo el resultado del problema 9.13, logramos e(oo) =1. e) El error en estado estacionario para una entrada parabólica unitaria está dado por e(oo) = l!K0 • Entonces e(oo) = 1/O = oo 9.15. La figura 9-22 representa de manera aproximada un diferenciador. Su función de transfe- rencia es C!R = Ks![s(Ts + 1) + K]. Nótese que liinT_0 K_ooC!R = s, esto es, en el límite, CIR es un diferenciador puro. Encuentre las constantes de error de paso, de rampa y parabólico en este sistema, en donde se supone que el sistema Td ideal es un diferenciador.
- 306. MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION 295 + R e Figura 9-22 Utilizando la notación de la sección 9.10 Td = s y Td - C/R = s2 (rs + 1)/[s(rs + 1) + K]. Aplicando las definiciones 9.8, 9.9 y 9.10 se obtiene 1 ---,.--------.- = 00 }i [ s 2 ( TS + 1) ] s~ s(Ts+l)+K 1 = [ s(Ts+l) ] =oo f~ s( TS + 1) + K 1 = [ TS + l ] = K f~ s( TS + 1) + K 9.16. Encuentre el valor en estado estacionario de la diferencia (error) entre las salidas de un diferenciador puro y el diferenciador aproximado del problema anterior, para a) una entra- da paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, e) una entrada parabólica unitaria. Del problema 9.15, K., = oo, K, = oo y Kpa = K. a) El error en estado estacionario para la entrada paso unitario es e(oo) = 1/Ks = O. b) El error en estado estacionario para la entrada rampa unitaria es e(oo)=l/K,=0. e) El error en estado estacionario para la entrada parabólica unitaria es e(oo) = 1/Kpa = 1/K. 9.17. Dado el sistema estable del tipo 2 con retroalimentación unitaria, que se muestra en la figura 9-23, encuentre a) las constantes de error de posición, de velocidad y de acelera- ción, b) el error en estado estacionario cuando la entrada es R = ~ _ 2_ + _I_ s s 2 2s3 • + R e Figura 9-23
- 307. 296 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL a) Utilizando la última fila de la tabla 9.1 (sistemas del tipo 2), las constantes de error son KP = oo, K,, = oo, Kª = (4)(1)/2 = 2. b) Los errores en estado estacionario para las entradas paso unitario, rampa unitaria y parabólica unitaria, se obtienen de la misma fila de la tabla y están dadas por: e1(oo) = O para el paso unitario ei(00) = O para la rampa unitaria; e3(oo) = ½para la parábola unitaria. Puesto que el sistema es lineal, los errores pueden superponerse. Así, el error en estado estacionario cuando la entrada es R = ~ _ 2._ + _1_ e~tá dado por s s2 2s3 Problemas suplementarios 9.18. Pruebe la validez de la ecuación (9./7). (Sugerencia: véanse los problemas 9.11 y 9.12). 9.19. Pruebe la validez de la ecuación (9./9). (Sugerencia: véanse los problemas 9.11 y 9. 12). 9.20. Pruebe la validez de la ecuación (9.2 /). (Sugerencia: véanse los problemas 9.11 y 9.12). 9.21. - Determine la sensitividad del sistema del problema 7.9, con respecto a las variaciones de cada uno de los parámetros K1, K2 y p, individualmente. 9.22. Genere una expresión, en términos de las sensitividades determinadas en el problema 9.21, que relacione la variación total en la función de transferencia del sistema en el problema 7.9, con respecto a las variaciones en K1 K2 y p. 9.23. Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo l con retroalimen· tación unitaria, con una entrada parabólica unitaria, está relacionada con la constante de error de aceleración mediante e ao = lim 1 - 00 e(t) = l!Ka. (Sugerencia: véase el problema 9.12). 9.24. Verifique las ecuaciones (9.26) y (9.27) efectuando todas las derivaciones sobre el conjunto total de ecuaciones diferenciales simultáneas que hacen la ecuación (9.25). Respuestas a algunos problemas suplementarios 9.21. S C/R_ s+p K - ' s+p-K1K2 9.22.
- 308. Capítulo 1O Análisis y diseño de sistemas de control con retroalimentación: objetivos y métodos 10.1 Introducción En los primeros nueve capítulos se han presentado los conceptos básicos, las herramientas matemáticas y las propiedades de los sistemas de control con retroalimentación. Ahora la atención se enfoca hacia nuestra meta principal: el análisis y el diseño de los sistemas de control con retroalimentación: Los métodos que se presentarán en los próximos ocho capítulos son técnicas lineales, aplica- bles a los modelos lineales. Sin embargo, bajo circunstancias apropiadas, una o más de ellas pueden emplearse para algunos problemas de sistemas de control no lineales, generando de ese modo diseños aproximados cuando el método particular es suficientemente sólido. En el Capítulo 19 se presentan las técnicas para resolver los problemas de sistemas de control representados por modelos no lineales. Este capítulo se dedica principalmente a hacer explícitos los objetivos y a describir de manera breve la metodología del análisis y el diseño. También incluye, en la sección 10.8, una aproxima- ción al diseño de sistemas digitales, la cual puede considerarse independientemente de las diferen- tes aproximaciones que se desarrollan en los capítulos siguientes. 10.2 Objetivos del análisis Los tres objetivos predominantes del análisis de sistemas de control con retroalimentación son la determinación de las siguientes características del sistema: 1. El grado o alcance de la estabilidad del sistema 2. El desempeño en estado estacionario 3. El desempeño transitorio Saber si un sistema es o no absolutamente estable es una información insuficiente para la mayor parte de l_os propósitos. Si un sistema es estable, usualmente queremos saber qué tan cerca está de ser inestable. Necesitamos determinar su estabilidad relativa. En el Capítulo 3 aprendimos que la solución completa de las ecuaciones que describen un sistema puede dividirse en dos partes. La primera, la respuesta en estado estacionario, es la parte de la solución completa que no se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. La segunda, la respuesta transitoria, es la parte de la solución completa que se aproxima a cero (o disminuye) cuando el tiempo tiende a infinito. Pronto veremos que hay una fuerte correlación entre la estabili- dad relativa y la respuesta transitoria de los sistemas de control con retroalimentación. 10.3 Métodos de análisis El procedimiento general para analizar un sistema de control lineal es el siguiente: 297
- 309. 298 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1. Determinar las ecuaciones o la función de transferencia para cada uno de sus componen- tes. 2. Escoger un esquema para representarlo (diagrama de bloques o grafo de flujo de señales). 3. Formular el modelo del mismo conectando apropiadamente sus componentes (bloques o nodos y ramas). 4. Determinar las características de su respuesta. Existen varios métodos para determinar las características de las respuestas de los sistemas lineales. La solución directa del sistema de ecuaciones puede emplearse para encontrar las solu- ciones en estado estacionario y transitoria (Capítulos 3 y 4). Esta técnica puede ser algo engorrosa para sistemas superiores a los de segundo orden, a la vez que se hace difícil estudiar la estabilidad relativa en el dominio del tiempo. El analista de sistemas de control dispone de cuatro métodos gráficos, los cuales son más simples y directos que los métodos en el dominio del tiempo para modelos lineales prácticos de sistemas de control con retroalimentación. Ellos son: 1. El método del lugar de las raíces 2. Representaciones de diagramas de Bode 3. Diagramas de Nyquist 4. Cartas de Nichols Los tres últimos son técnicas en el dominio de la frecuencia. Estos cuatro métodos se conside- ran en detalle en los Capítulos 13, 15, 11 y 17, respectivamente. 10.4 Objetivos del diseño La meta básica en el diseño de sistemas de control es alcanzar las especificaciones de desem- peño, las cuales son las restricciones que se aplican a las características de respuesta del sistema. Estfis especificac.iones pueden establecerse de diversas maneras, generalmente las dos siguientes: 1. Especificaciones en el dominio de la frecuencia (cantidades pertinentes expresadas como funciones de la frecuencia) 2. Especificaciones en el dominio del tiempo (en términos de respuesta de tiempo) Las características que se desean para el sistema pueden prescribirse en cualquiera o ambas de las dos maneras anteriores. En general, ellas especifican tres propiedades importantes de los siste- mas dinámicos: 1. Velocidad de respuesta 2. Estabilidad relativa 3. Exactitud del sistema o error permisible Las especificaciones en el dominio de la frecuencia tanto para sistemas continuos como para sistemas discretos, a menudo se establecen en una o más de las siguientes siete maneras. Para generalizar, definimos una función unificada de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(w):
- 310. ANALISJS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 299 { GH(jw) GH w = ( ) GH(ei"'T) 1. Margen de ganancia para sistemas continuos para sistemas discretos (lo.J) El margen de ganancia es una medida de la estabilidad relativa que se define como la magni- tud del universo de la función de transferencia en malla abierta, evaluada en la frecuencia w,,. en la cual el ángulo de fase es -180º (véase el Capítulo 6). Esto es, 1 Margen de ganancia - .,.... 1 G-H-(w_"'_)...,..I (10.2) en donde arg GH(w,,.) = -180º = -1r radianes, y w,,. se llama frecuencia de cruce de fase. 2. Margen de fase <l>MF El margen de fase <PMF es una medida de la estabilidad relativa, definida como 180º más el ángulo de fase '1>1 de la función de transferencia en malla abierta a ganancia unitaria. Esto es q,MF = [180 + arg GH( w1)] grados (10.3) en donde lGH(w1)l = 1 y w1 se llama frecuencia de cruce de ganancia. EJEMPLO 1.0.1 En la figura 10-1 se ilustran los márgenes de ganancia y de fase de un sistema de control típico continuo en el tiempo con retroalimentación. GH(w) o arg GH(w) o -180º 1°'1 1 1 lw1 1 1.,,. 1 : margen de ganancia ---t----f 1 margen de fase ____ _l Figura 10-1 ., .,
- 311. 300 TEORIA Y PRORI.EMAS DE Rl'TROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 3. Tiempo de retai:do Td El tiempo de retardo T.¡. interpretado como una especificación en el dominio de la frecuencia, es una medida de la velocidad de respuesta. y está dado por ( 10.4} en donde y= arg (C/R). Usualmente se especifica el valor promedio de T,¡(,_w) sobre las frecuen- cias de interés. 4. Ancho de Banda (AB) El ancho de banda de un sistema se definió en el Capítulo I, de manera aproximada, como el intervalo de frecuencias sobre el cual el sistema responde satisfactoriamente. El desempeño satisfactorio se determinó mediante la aplicación y las características del siste- ma en particular. Por ejemplo, los amplificadores de sonido a menudo se comparan con respecto a su ancho de banda. Un amplificador de sonido ideal de alta fidelidad tiene una respuesta de frecuencia plana desde 20 hasta 20,000 Hz. Esto es, tiene una banda de paso o un ancho de banda de 19,980 Hz (usualmente redondeado a 20,000 Hz). Respuesta de frecuencia plana significa que la relación de magnitudes de salida a entrada es, en esencia, constante sobre el ancho de banda. Por tanto, un amplificador con ancho de banda de 20,000 Hz reproduce de manera fiel las señales en el espectro de audio. La relación de magnitudes es el valor absoluto de la función de respuesta de frecuencia del sistema. En la figura 10-2 se muestra la respuesta de frecuencia de un amplificador de sonido de alta fidelidad. La relación de magnitudes es 0.707 de, o aproximadamente, 3 dB por debajo de su máximo en las frecuencias de corte relación de magnitudes dB fc1 = 20 Hz fc2 = 20,000 Hz 20 fc1 _j_ ....------.: 3d8 Figura 10-2 IT 1 1 1 1 20,000 fc2 f Hz "dB" es la abreviatura de decibel, definido mediante la siguiente ecuación dB = 20 logrn(relación de magnitudes) (I0.5)
- 312. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVO~ Y METODOS 301 A menudo se define el ancho de banda de un sistema como el intervalo de frecuencias sobre el cual la relación de magnitudes no difiere en más de - 3 dB de su valor a la frecuencia especificada. Pero no siempre. En general, se hace claro el significado preciso de ancho de banda mediante la descripción del problema. En cualquier caso, el ancho de banda, generalmente es una medida lle la velocidad de respuesta de un sistema. La frecuencia de cruce de ganancia w 1 definida en la ecuación (10.3) a menudo es una buena aproximación del ancho de banda de un sistema en malla cerrada. En los Capítulos I y 2 (especialmente en la sección 2.4) se presentaron la noción de muestreo de señal, y de tiempo de muestreo uniforme T, para sistemas que contienen señales tanto discretas como continuas en el tiempo, y ambos tipos de elementos, los cuales incluyen muestreadores, dispositivos de sostenim1~nto y computadores. El valor de Tes un parámetro de diseño para tales sistemas, y su elección depende de las consideraciones de exactitud y de costos. El teorema de muestreo [9.1 O] proporciona un límite superior para T, al requerir que la tasa de muestreo sea por lo menos el doble de la del componente de mayor frecuencia/max de la señal muestreada, esto es, ' 1 T<-- - 2/max . En la práctica, podríamos utilizar la frecuencia de cortefez (como en la figura 10-2) parafmax,-Y una regla práctica sería escoger a Ten el rango 1 T l .Sin embargo, es --< <-- l0fc2 - - 6fc2 posible que otros requerimientos de diseño necesiten valores aún menores de T. De otra parte, el mayor valor de T que sea consistente con las especificaciones a menudo produce el costo más bajo para los componentes. 5. Tasa de corte La tasa de corte es la tasa de frecuencia a la cual la relación de magnitudes disminuye más allá de la frecuencia de corte wc. Por ejemplo, la tasa de corte puede especificarse como 6 dB/octava. Una octava es un cambio por un factor de dos en frecuencia. 6. Pico de resonancia MP El pico de resonancia Mp, una medida de la estabilidad relativa, es el valor máximo de la magnitud de la respuesta de frecuencia en malla cerrada. Esto es, M =maxlcl P "' R (10.6) 7. Frecuencia resonante wP La frecuencia resonante wP es la frecuencia a la cual ocurre MP. EJEMPLO 10.2. En la figura 10-3 se ilustran el ancho de banda (AB), la frecuencia de corte w,., el pico de resonancia Mp y la frecuencia resonante wp, para un sistema continuo subamortiguado de segundo orden.
- 313. 302 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL o 1 1 ------r- --------+--- 1 1 , - - - - - AB---- Figura 10-3 Es costumbre definir las especificaciones en el dominio del tiempo en términos de las res- puestas paso, rampa y parábola unitarios. Cada respuesta tiene un componente en estado estacio- nario y otro transitorio. El desempeño en estado estacionario, en términos del error en estado estacionario, es una medida de la exactitud del sistema cuando se aplica una entrada específica. Por ejemplo, las constantes Kp, Kv y Ka definidas en el Capítulo 9 son indicadores importantes del desempeño en estado estacionario. El desempeño transitorio a menudo se describe en términos de la respuesta a la función paso unitario. Las especificaciones típicas son: l. Sobretensión La sobretensión es la diferencia máxima entre las soluciones transitoria y en estado estaciona- rio para una entrada paso unitario. Es una medida de la estabilidad relativa, y a menudo se repre- senta como un porcentaje del valor final de la salida (solución en estado estacionario). Las cuatro siguientes especificaciones son medidas de la velocidad de respuesta. 2. Tiempo de retardo T, El tiempo de retardo T,, interpretado como una especificación en el dominio del tiempo, se define a menudo como el tiempo requerido para que la respuesta a una entrada paso unitario alcance el 50% de su valor final, 3. Tiempo de subida Ts Es costumbre definir el tiempo de subida Ts como el tiempo necesario para que la respuesta a una entrada paso unitario suba del 10% al 90% de su valor final. 4. Tiempo de acomodación Tª La mayor parte de las veces el tiempo de acomodación se define como el tiempo requerido
- 314. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METOOOS 303 para que la respuesta a una entrada paso unitario alcance y permanezca dentro de un porcentaje especificado de su valor final (usualmente el 2% o el 5%). 5. Constante de tiempo dominante La constante de tiempo dominante r, una medida alterna del tiempo de acomodación, a menudo se define como la constante de tiempo asociada con el término que domina la respuesta transitoria. La constante de tiempo dominante se define en términos del carácter exponencialmente deca- dente de la respuesta transitoria. Por ejemplo, para sistemas continuos subamortiguados de primer y segundo orden, los términos transitorios tienen la formaAe- at y Ae- at cos(wdt + <l>), respec- tivamente (a > O). En cada caso, la disminución está regida por e-ª t_ La constante de tiempo T se define como el tiempo en el cual el exponente -at = -1, esto es, cuando la exponencial alcanza el 37% de su valor inicial. Por tanto r = 1/a. Para sistemas de control continuos con retroalimentación de orden superior dos, la constante de tiempo dominante algunas veces puede calcularse a partir de la constante de tiempo de un sistema subamortiguado de segundo orden que se aproxime al sistema superior. Puesto que (10.7) { y Wn (Capítulo 3) son los indicadores de desempeño más significativos, definidos para sistemas de segundo orden pero también útiles para sistemas de orden superior. A menudo las especifica- ciones se dan en términos de { y wn. En el Capítulo 14 este concepto se desarrolla más en detalle para sistemas tanto continuos como discretos, en términos de las aproximaciones de polo-cero dominantes. EJEMPLO 10.3. En la figura 10-4, la gráfica de la respuesta paso unitario de un sistema continuo suba- mortiguado de segundo orden ilustra las especificaciones en el dominio del tiempo. c(t) 2.0 sobretensión , Figura 10-4 " .,. envolvente exponencial de la respuesta transitoria T,
- 315. 304 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 10.5 Compensación del sistema Suponemos primero, que G y H son configuraciones fijas de los componentes sobre las cuales el diseñador no tiene control. Para cumplir las especificaciones de desempeño de los sistemas de control con retroalimentación, normalmente se introducen al sistema apropiados componentes de compensación (algunas veces llamados ecualizadores) los cuales pueden consistir de elementos pasivos o activos, varios de ellos se trataron en los Capítulos 2 y 6. Estos componentes pueden introducirse en la trayectoria µirecta (compensación en cascada) o en la trayectoria de retroali- mentación (compensación por retroalimentación), como se muestra en la figura 10-5: R + e :¡: R + e :¡: Figura 10-5 La compensación por retroalimentación también puede ocurrir en una de las mallas de retroa- limentación menores. (figura 10-6). R + e :¡: ± Figura 10-6 Normalmente los compensadores se diseñan de tal forma que todo el sistema (continuo o discreto) tenga una respuesta transitoria aceptable, y por tanto características de estabilidad, y una exactitud deseada o aceptable en estado estacionario (Capítulo 9). A menudo estos objetivos están en conflicto, porque, usualmente, errores pequeños en estado estacionario requieren grandes ga- nancias en malla a~ierta, las cuales degradan la estabilidad del sistema. Por esta razón, a menudo los elementos compensadores simples se combinan en un solo diseño. Normalmente consisten de
- 316. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 305 combinaciones de componentes que modifican la ganancia K y/o las constantes de tiempo r, o, de algún modo, agregan ceros o polos a GH. Los compensadores pasivos comprenden elementos físicamente pasivos, tales como redes de resistores y capacitores, para modificar K(K < 1), constantes de tiempo, ceros o polos; las redes de atraso, adelanto y atraso-adelanto son ejemplos de ellos (Capítulo 6). El compensador activo más común es el amplificador (K > 1). El más general de ellos es el controlador PID (propNcional-integral-derivativo), analizado en los capítu- los 2 y 6 (ejemplos 2.14 y 6.7), que comúnmente se usa en el diseño de sistemas tanto analógicos (continuos) como discretos en el tiempos (digitales). 10.6 Métodos de diseño El diseño por análisis es el esquema de diseño que se ha desarrollado en este libro, porque generalmente esta es la aproximacion más práctica, con la excepción de que el diseño directo de sistemas digitales, tratado en la sección 1O.8, es una verdadera técnica de síntesis. Los métodos de análisis mencionados anteriormente, reiterados a continuación, se aplican al diseño en los Capítu- los 12, 14, 16 y 18. 1. Diagramas Nyquist (Capítulo 12) 2. Lugar de las raíces (Capítulo 14) 3. Diagramas de Bode (Capítulo 16) 4. Cartas de Nichols (Capítulo 18) Los procedimientos de análisis y diseño de sistemas de control basados en estos métodos se han automatizado en paquetes de aplicación para propósitos especiales en computador, llamados pa- quetes de Diseño ayudado por computador (DAC). De los cuatro métodos enumerados antes, los de Nyquist, Bode y Nichols son técnicas de respuesta de frecuencia, porque en cada uno de ellos se exploran gráficamente las propiedades de GH(w), esto es, GH(jw) para sistemas continuos, o GH(eiwT) para sistemas discretos en el tiem- po [ecuación (/0. /)], en función de la frecuencia angular w. Más importante aún es el hecho de que, utilizando estos métodos, el análisis y el diseño se realizan fundamentalmente del mismo modo para sistemas continuos o discretos, tal como se ilustra en los capítulos siguientes. Las únicas diferencias (en detalles específicos) provienen del hecho de que la región de estabilidad para los sistemas continuos es la mitad izquierda del planos, y que para sistemas discretos es el círculo unitario en el plano z. Sin embargo, una transformación de variables, llamada transforma- da w, permite el análisis y el diseño de sistemas discretos utilizando los resultados específicos desarrollados para sistemas continuos. Presentamos las.principales características y los resultados de la transformada w en la siguiente sección, para su uso en el análisis y el diseño de sistemas de control en los capítulos siguientes. 10.7 La transformada w para el análisis y el diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando métodos de sistemas continuos En el Capítulo 5 se definió la transformada w para el análisis de la estabilidad de sistemas discretos. Esta es una transformación bilineal entre el plano complejo w y el plano complejo z definido por el par:
- 317. 306 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y. SISTEMAS DE CONTROL z-1 l+w w=-- z+I z=-- 1-w (10.8) en donde z µ + jv. La variable compleja w se define como w=Rew+jlmw (10.9) Las siguientes relaciones entre estas variables son útiles en el análisis y el diseño de sistemas de control discretos en el tiempo: l. Rew= µ2 + p2-1 (JO.JO) µ,2 + p2 + 2µ, + 1 2P 2. lmw= µ,2 + p2 + 2µ, + 1 (10.11) 3. Si lzl < 1, entoncesw < O (10.12) 4 Si lzl = l,entoncesw=O (10.13) 5. Si lzl > l,entoncesw > O (10.14) 6. Sobre el círculo unitario del plano z z = ejwT = cos wT + j senwT (10.15) µ,2+ v2 = cos2wT+sen2wT= 1 (10.16) p w=j-- µ,+ 1 (10.17) De esta manera, la región dentro del círculo unitario en el plano z representa la mitad izquierda del plano w (MIP); la región de afuera, la mitad derecha del plano w (MDP); y el círculo unitario, el eje imaginario del plano w. Igualmente, las funciones racionales de z se representan en funciones racionales de w. Por estas razones, las propiedades de estabilidad absoluta y relativa de los sistemas discretos pueden determinarse utilizando métodos desarrollados para sistemas continuos en el plano s. De manera específica, para el análisis y el diseño de respuesta de frecuencia de sistemas discretos en el plano w, generalmente se trata el plano w como si fuera el plano s. Sin embargo, deben tenerse en cuenta las distorsiones en ciertas representaciones, de manera particular en la frecuencia angu- lar, cuando se interpretan los resultados. A partir de la ecuación (10.17), definimos una frecuencia angular w.., sobre el eje imaginario en el plano w, mediante p w =-- w µ, + 1 (10.18)
- 318. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 307 Esta nueva frecuencia ¡mgular w.., en el plano w está relacionada con la frecuencia angular verda- dera w en el plano z mediante wT w =tan- w 2 u (10.19) Las siguientes propiedades de w11• son útiles al hacer gráficas de funciones para el análisis de la respuesta de frecuencia en el plano w: l. 2. 3. Si w = O, entonces ww = O '1T Si w-+ T' entonces ww-+ +oo '1T Si w-+ - T, entonces ww-+ - oo '1T '1T (10.20) (10.21) 4. El intervalo - - < w < - se representa en el intervalo - oo < ww < + oo T T (10.22) (10.23) Algoritmo para el análisis y el diseño de la respuesta de frecuencia utilizando la transformada w El procedimiento puede resumirse como sigue: J. Sustituir (1 + w)/(1 - w) por z en la función de transferencia GH(z) en malla abierta: GH(z )lz=(l+w)/(l-w) = GH'( W) (10.24) 2. Generar las curvas de respuesta de frecuencia, esto es, diagramas de Nyquist, diagramas de Bode, etc., para (10.25) 3. Analizarlas propiedades de estabilidad relativa del sistema en el plano w (como si fuera el planos). Por ejemplo, determinar los márgenes de ganancia y de fase, las frecuencias de cruce, la respuesta de frecuencia en malla cerrada, el ancho de banda, o cualquier otra característica deseada y relacionada con la respuesta de frecuencia. 4. Transformar las frecuencias críticas del plano w (valores de ww) determinados en el paso 3 a sus frecuencias angulares correspondientes (valores de w) en el dominio de la fre- cuencia verdadera (plano z), utilizando la ecuación (10.19). 5. Si se trata de un problema de diseño, diseñar los compensadores apropiados para modifi- car GH' (jww) para satisfacer las especificaciones de desempeño. En los Capítulos 15 al 18 se amplía y aplica este algoritmo. EJEMPLO 10.4. La función de transferencia en malla abierta
- 319. 308 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL (z + 1)2/100 GH( z) = -(z---1-)~(z-+-½~)(~z_+_½~) (10.26) se transforma al dominio w sustituyendo z = (1 + w)/(1 - w) en la expresión para GH(z), lo que conduce a -6( w-1)/100 GH'( w) = - - - - - w( w + 2)( w + 3) El análisis de la estabilidad relativa de GH'(w) se pospone hasta el Capítulo 15. (10.27) 10.8 Diseño algebraico de sistemas digitales, incluyendo sistemas con transitorio mínimo Cuando hay computadores digitales o microprocesadores como componentes de un sistema discreto, fácilmente pueden implementarse compensadores por medio de programas de aplicación (software) o de dispositivos (firmware) facilitando de ese modo el diseño directo del sistema mediante la solución algebraica de la función de transferencia del compensador que satisfaga los objetivos dados del diseño. Por ejemplo, suponga que deseamos construir un sistema que tenga una función de transferencia en malla cerrada C/R, la cual podría definirse mediante las caracterís- ticas requeridas en malla cerrada, tales como el ancho de banda, la ganancia en estado estaciona- rio, el tiempo de respuesta, etc. Entonces, dada la función de transferencia Gi(z), de la planta, la malla de compensación directa Gi(z) necesaria puede determinarse a partir de la relación para la función de transferencia en malla cerrada del sistema canónico dado en la sección 7.5: (10.28) Entonces, el compensador requerido se determina resolviendo la ecuación para G1(z): (10.29) EJEMPLO 10.5. Se requiere que el sistema con retroalimentación unitaria (H =1) de muestreo uniforme y sincrónico, de la figura IO-7, con T = O. 1 s tenga una ganancia en estado estacionario (CIR) (1) = 1 Yun tiempo de subida T, de 2 s o menos. R(z) C(z) + Figura 10-7 La C/R más simple que satisface los requerimientos es (C/R) = 1. Sin embargo, el compensador necesa- rio sería
- 320. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS y METODOS 309 e R 1 z - 0.5 G¡ = --,---,,,- G2 ( 1 - ~) --=-1---- = -0- -z---0.-5 (l - l) que tiene una ganancia infinita, un cero en z = 0.5, y no tiene polos, Jo cual lo hace irrealizable. Para que sea realizable (sección 6.6), C I debe tener por lo menos igual número de polos ceros. En consecuencia, aún con la cancelación de los polos y los ceros de C2 con los polos y los ceros de C 1, CIR debe contener por lo menos n - m polos, en donde n es el número de polos y m es el número de ceros de C2 . La C!R realizable más simple tiene la forma: C K R z-a Como se muestra en el problema IO. 1O, el tiempo de subida de un sistema discreto de primer orden, como el dado por la C!R anterior, es Resolviendo para a se tiene Entonces Tln¼ T<--· ' - In a [ 1 ] T,/T [ 1 ] 20 a= 9 = 9 =0.8959 e K K -=--=---- R z-a z-0.8959 y para que la ganancia en estado estacionario (C/R)(I) sea 1, K = 1 - O.8959 = O. 104J. En consecuencia el compensador requerido es e R G1 = --,---,,,- G2 ( 1 - ~) 0.1041 z - 0.8959 _1_(1- 0.1041 ) z - 0.5 z - 0.8959 0.1041( z - 0.5) z-1 Vemos que C I ha agregado un polo a C I C2 en z = 1, haciendo que el sistema sea del tipo 1. Esto se debe al requerimiento de que la ganancia en estado estacionario es igual a 1. Los sistemas con transitorio mínimo son una clase de sistemas discretos en el tiempo que pueden diseñarse fácilmente al utilizar la aproximación directa descrita antes. Por definición, la respuesta transitoria en malla cerrada de un sistema con transitorio mínimo tiene una duración finita, esto es, se hace cero y permanece en cero después de un número finito de tiempos de muestreo. En respuesta a una entrada paso, la salida en tal sistema es constante en cada tiempo de muestreo después de un periodo finito. Esta se denomina respuesta con transitorio mínimo.
- 321. 310 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 10.6. Para un sistema con retroalimentación unitaria con función de transferencia directa la introducción de un compensador anticipativo con produce la función de transferencia en malla cerrada: La respuesta impulso de este sistemaes c(O) = KI y c(k) = Opara k > O. La respuesta paso es c(O) = OYc(k) = K1 para k > O. En general, pueden diseñarse sistemas para que exhiban una respuesta con transitorio mínimo de duración n - m muestras, en donde m es el número de ceros y n es el número de polos de la planta. Sin embargo, para evitar rizado entre las muestras (variaciones periódicas o aperiódicas) en sistemas mixtos continuo/discretos en el tiempo, en los cuales Gz(z) tiene una entrada y/o salida continua, el compensador no debería cancelar los ceros de Gz(z), como en el ejemplo 10.5. La respuesta transitoria en estos casos es un mínimo de n muestras de duración, y la función de transferencia en malla cerrada tiene n polos en z = O. EJEMPLO 10.7. Para un sistema con hagamos Entonces K(z + 0.5) G2 (z)= (z-0.2)(z-0.4) (z - 0.2)(z -0.4) Gi(z)= (z+a)(z+b) C G1G2 K( z + 0.5) R I + G1G2 ( z +a)( z + b) + K( z + 0.5) K(z + 0.5) z2 + (a+ b+ K)z+ ab+ 0.5K
- 322. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DECONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 311 Para una respuesta con transitorio mínimo, escogemos y en consecuencia e R K(z + 0.5) a+b+K=O ab + 0.5K= O Hay muchas soluciones posibles para a, by K, y una de ellas es a = 0.3, b = -0.75 y K = 0.45. Si se requiere que el sistema en malla cerrada sea del tipo 1, es necesario que G1(z)Gz(z) contenga I polos en z = 1. Si G2(z) tiene el número requerido de polos, éstos deberían conservarse, es decir, no deben cancelarse con los ceros de G1(z). Si G2(z) no tiene todos los polos requeridos en z = 1, pueden agregarse en G1(z). EJEMPLO 10.8. Para el sistema con suponga que se desea un sistema del tipo 2 en malla cerrada con respuesta con transitorio mínimo. Esto puede lograrse con un compensador de la forma: z+a G1(z) = - - z-1 el cual agrega un polo en z = 1. Entonces K(z + a) K(z + a) (z-1) 2 +K(z+a) z2 + ( K - 2) z + I + Ka Si se desea una respuesta con transitorio mínimo, debemos tener C K(z + a) R z2 y en consecuencia K - 2 O y 1 + Ka = O, con lo que se obtiene K Problemas resueltos 2 y a -0.5. 10.1. La gráfica de la figura I0-8 representa las características de entrada-salida de un amplifica- dor-controlador para un sistema de control con retroalimentación cuyos otros componen- tes son lineales. ¿Cuál es el intervalo lineal de e(t) en este sistema?
- 323. 312 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL m(t) e(t) Figura 10-8 El amplificador-cohtrolador opera linealmente sobre el intervalo aproximado de -e3 :Se :S e3. 10.2. Determine el margen de ganancia para el sistema en el cual GH(jw) = l/(jw + I)3. Escribiendo GH(jw) en forma polar, tenemos Entonces -3 tan- 1 w7T = -7r, w7T = tan(7r/3) = l. 732. Por tanto, por la ecuación (/0.2), el margen de ganancia es I/IGH(jw7T)I = 8. 10.3. Determine el margen de fase para el sistema del problema 10.2. Tenemos 1 IGH(jw)I= 312 =l ( w2 + 1) únicamente cuando w = w1 = O. Por tanto <!>MF = 180º + (- 3 tan - 1 O) = 180º = 7T radianes 10.4. Determine el valor promedio de T,lw) sobre el intervalo de frecuencia O::=:; w ::=; 10 para CIR = jwl(jw + 1). T,lw) se obtiene por medio de la ecuación (10.4). e ,,, y= arg-(Jw) = - - tan- 1 w R 2 y -dy d l TAw) = - - = -[tan- 1 w] = - - dw dw l + w2 Por tanto . 1 1 10 dw Avg TA w) Prom = - - - 2 = 0.147 sec lOol+w 10.5. Determine el ancho de banda en el sistema con función de transferencia (C/R) (s) = 1/(s + I). Tenemos
- 324. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DECONTROLCON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 313 En la figura 10-9 se da un esquema de l(C/R) (jw)I en función de w. 0.707 w=O Wc Figura 10-9 wc se determina a partir de 1/Y w~ + 1 = 0.707. Puesto que l(CIR)(jw)I es una función estrictamente decreciente de la frecuencia positiva, tenemos AB = wc = 1 rad. 10.6. ¿Cuántas octavas hay entre a) 200 Hz y 800 Hz, b) 200 Hz y 100 Hz, e) 10,048 rad/s (rps) y 100 Hz? a) Dos octavas b) Una octava e) f = w/21r = 10,048/27T = 1.600 Hz. Por tanto, hay cuatro octavas entre 10,048 rps y 100 Hz. 10.7. Determine el pico de resonancia MP y la frecuencia resonante wP en el sistema cuya fun- ción de transferencia es (CIR)(s) = 5!(s2 + 2s + 5). 1 e I s s -(Jw) = - - - - - = -.====== R 1-w2 +2jw+51 /w4 -6w2 +25 Igualando a cero la derivada de l(C/R)(jw)I, obtenemos wP = ± /3. En consecuencia 10.8. La salida en respuesta a la entrada de una función paso unitario en un sistema de control continuo en particular es c(t) = 1 - e- 1 • ¿Cuál es el tiempo de retardo Tr? La salida está dada como una función de tiempo. En consecuencia, es aRlicable la definición de Tren el dominio del tiempo, dada en la sección 10.4. El valor final de la salida es lim,_,, c(t) = 1. Por tanto T, (en el 50% del valor final) es la solución de 0.5 = 1 -e-Tr, yes igual a log, (2) = 0.693. 10.9. Encuentre el tiempo de subida T., para c(t) = 1 -e-1 • Enel 10%delvalorfinal,O.l = l -e-'1,dedondet1 =0.104s.Ene190%dclvalorfinal,0.9= 1 -e-'2 , así que t2 = 2.302 s. Entonces T., = 2.302 - 0.104 = 2.198 s.
- 325. 314 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 10.10. Determine el tiempo de subida del sistema discreto de primer orden P(z} = (1-a}/(z -a} con lal < l. Para una entrada paso, la transformada de la salida es (1-a)z Y(z) = P(z)U(z) = ( )( ) z-1 z-a yel tiempo de respuestaesy(k) = 1 - ak parak = O, 1,... Puesto que y(oo) = 1, eltiempo de subida T., es el tiempo necesario para que esta respuesta paso unitario vaya desde 0.1 a 0.9. Puesto que la respuesta muestreada no puede tener los valores exactos de 0.1 y 0.9, de~mos encontrar los valores muestreados que limitan estos valores. De esta manera, para el valor inferior y(k) :SO. 1 ó 1 - ak :S 0.1 y por tanto ak 2: 0.9. De modo similar, para y(k + TJT) = 1 - ak+T,/T 2: 0.9, ak+T,/T $ 0. J. Dividiendo las dos expresiones, obtenemos o 0 k+T,/T 1 ---<- é - 9 1 0 r,/T < _ -9 Luego, tomando logaritmo a ambos lados, se obtiene Tln¼ T<-- s - In a 10.11. Verifique las seis propiedades de la transformada w en la sección 10.7, ecuaciones (10.10) hasta (10.17). A partir de w= (z-1)/(z + 1) y z =I'+jv, l. 2. 3. 4. 5. l'+fP-1 (µ-l+jv)(l'+l-Jv) ( p,2+v2 -1) ( 2v ) w= l'+Jv+l = (l'+l+jv)(l'+l-jv) = 1'2 +v2 +21'+1 +j ¡.t.2+v2 +21'+1 Por tanto "2 + "2 -1 Re w = p,2 + "2 + 21' + 1 = °w 2v Im w = --,------ = ww "2+ "2 + 21' + 1 lzl < 1 significa 1'2 + v2 < 1, lo cual implica CTw < O lzl = 1 significa 1'2 + v2 = 1, lo cual implica CTw = O lzl > 1 significa 1'2 + v2 > 1, lo cual implica CTw > O
- 326. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETRbALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 315 La sexta propiedad se deriva de las identidades trigonométricas elementales. 10.12. Demuestre que la transformada de la frecuencia angular Ww está relacionada con la fre- cuencia real w mediante la ecuación (10.19). A partir del problema 10.11, lzl = 1 también implica que w = j[vl(µ + I)] = jw»· [ecuación (/0./7)]. Pero lzl = 1 implica que z = JwT = cos wT + j sen wT = µ + jv [ecuación (/0./5)]. En consecuencia se tiene senwT w = - - - - w coswT+ 1 Finalmente; sustituyendo las siguientes identidades trigonométricás para semiángulos, en la última expresión: 2sen( w;)cos( "' 2 T) =senwT cos2 ( "';)-sen2 ( "' 2 T) = coswT 10.13. Para el sistema uniforme y sincrónicamente muestreado, dado en la figura 10-1 O, determi- ne G1(z) tal que el sistema sea del tipo 1 con respuesta con transitorio mínimo. sostenimiento de orden cero Figura 10-10 La transformada z de la malla directa, suponiendo un muestreoficticio de la salida c(t) (véase la sección 6.8), se determina a partir de la ecuación (6.9) G2(z)=-z-lz{2-1(_G(_s))I . } =-K1_(z_+z_1)-=- z s ,-kT (z-l)(z-e-T)
- 327. 316 TEORIA Y.. PROBLEMAS· DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde y Z¡ = 1- e-r - Te-T T+e-r-1 Se hace que Gi(z) tenga la forma G1(z) = (z - e-r)/(z + b). Entonces, si también suponemos un muestreador ficticio en la entrada r(t), puede determinarse la función de transferencia en malla cerrada en el dominio z: C G1G2 K1(z+z1 ) R l+G1G2 (z-l)(z+b)+K1(z+z1) K1(z + z1) z2 + ( b - 1 + K1) z - b + K1z1 Paraunarespuestacontransitoriomínimob-1 +K1 =O(b= 1 -K1)y-b+K1z1 =0(-1 +K1 + K1z1 = O). Entonces y Puesto que 1 K¡=-- 1 + Z¡ Z¡ b=l-K1 = - - 1 + Z¡ K1 = K(T+ e-T -1), K¡ K = ----,,,--- T + e- r - l 1 1 Para este sistema, con señales continuas de entrada y salida, (C/R) (z), determinado como se mues- .tra arriba, origina la relación entrada-salida en malla cerrada únicamente en los tiempos de mues- treo. Problemas suplementarios 10.14. Determine el margen de fase para GH = 2(s + I)/s2 • 10.15. Encuentre el ancho de banda para GH = 60/s(s + 2)(s + 6) para el sistema en malla cerrada. 10.16. Calcule la ganancia y el margen de fase para GH = 432!s(s2 + 13s + 115). 10.17. Calcule el margen de fase y el ancho de banda para GH = 640/s(s + 4) (s + 16) para el sistema en malla cerrada.
- 328. ANALISIS Y DISEÑOS DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS 317 Respuestas a los problemas suplementarios 10.14. cf>MF = 65.5º 10.15. AB = 3 rad/s 10.16. Margen de ganancia = 3.4, margen de fase = 65º 10.17. c/>MF = 17º, AB = 5.5 rad/s
- 329. Capítulo 11 Análisis de Nyquist 11.1 Introducción El análisis de Nyquist, un método de respuesta de frecuencia, es esencialmente un procedi- miento gráfico para determinar la estabilidad absoluta y relativa de sistemas de control en malla cerrada. La información acerca de la estabilidad está disponible de manera directa a partir de una gráfica de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(w), una vez que el sistema con retroalimentación ha sido convertido a su forma canónica. Los métodos de Nyquist son aplicables a sistemas de control, continuos y discretos, y aquí se presenta el desarrollo metodológico del análisis de Nyquist para ambos tipos, con cierto énfasis en los sistemas continuos, por propósitos pedagógicos. Hay varias razones por las cuales puede elegirse el método de Nyquist para determinar la información acerca de la estabilidad del sistema. Los métodos del Capítulo 5 (Routh, Hurwitz, etc.) a menudo son inad~cuados porque, con pocas excepciones, ellos sólo pueden usarse para determinar la estabilidad absoluta, y son aplicables únicamente a sistemas cuya ecuación caracte- rística es un polinomiofinito en so en z. Por ejemplo, cuando una señal se retarda T segundos en alguna parte de la malla de un sistemacontinuo, aparecen términos exponenciales de la forma e - Ts en la ecuación característica. Los métodos del Capítulo 5 pueden aplicarse a tales sistemas si e-Ts se aproxima mediante unos pocos términos de la serie de potencias T2s2 T3s3 e-Ts= 1-Ts+ - - - --- + 2! 3! pero esta técnica sólo produce información aproximada acerca de la estabilidad. El método de Nyquist maneja sistemas con retardos sin la necesidad de aproximaciones, y en consecuencia produce resultados exactos acerca de las estabilidades absoluta y relativa del sistema. Las técnicas de Nyquist también son útiles para obtener información referente a las funciones de transferencia de componentes o sistemas a partir de datos experimentales de respuesta de fre- cuencia. El diagrama polar (sección 11.5) puede construirse directamente a partir de las medidas en estado estacionario sinusoidal de los componentes que conforman la función de transferencia en malla abierta. Esta propiedad es muy útil en la determinación de las características de estahili- dad del sistema cuando las funciones de transferencia de los componentes de la malla no están disponibles en forma analítica, o cuando los sistemas físicos se ensayan y se evalúan experimen- talmente. En varias de las siguientes secciones presentamos los fundamentos y las técnicas matemáticas necesarias para generar diagramas polares y diagramas de estabilidad de Nyquist de sistemas de control con retroalimentación, y las bases y propiedades matemáticas del criterio de estabilidad de Nyquist. Las demás secciones de este capítulo se relacionan con la interpretación y los usos del análisis de Nyquist para la determinación de la estabilidad relativa y la evaluación de la respuesta de frecuencia en malla cerrada. '.llR
- 330. ANALISIS DE NYQUIST 319 11.2 Representación gráfica de funciones complejas de una variable compleja Una función real de una variable real se grafica fácilmente en un conjunto sencillo de ejes de coordenadas. Por ejemplo, la función realf(x), con x real, se grafica en coordenadas rectangulares con x como la abscisa yf(x) como la ordenada. Una función compleja de una variable compleja, tal como la función de transferencia P(s), con s = a + jw, no puede graficarse en un conjunto sencillo de coordenadas. La variable complejas= a+ jw depende de dos cantidades independientes, las partes real e imaginaria des. En consecuencias no puede graficarse mediante una línea. La función compleja P(s) también tiene partes real e imaginaria. Esta tampoco puede graficarse en una sola dimensión. De manera similar, la variable compleja z = µ + jv y las funciones de transferencia complejas P(z) de sistemas discretos en el tiempo, no pueden graficarse en una dimensión. En general, para representar gráficamente P(s) con s = a + jw, se requieren gráficas bidi- mensionales. La primera es una gráfica de jw, en función de a llamada plano s, el mismo conjunto de coordenadas que se utilizó para representar los diagramas de polos y ceros en el Capítulo 4. La segunda es la parte imaginaria de P(s). (Im P. Versus la parte real de P(s) (Re P) llamado plano P(s). Los planos de coordenadas correspondientes para sistemas discretos son el plano z y el plano P(z). La correspondencia entre los puntos en los dos planos se llama representación o transforma- ción. Por ejemplo, los puntos en el planos se transforman en puntos en el plano P(s) mediante la función P (figura 11.1). representación ---~-------- ~----- p ----, .,,..,..,.,.,,. P(8 0 ) 80 O' 8· planos P(8)· plano Figura 11-1 ImP ReP En general, solamente un lugar geométrico de puntos muy específico del planos (o del plano z) se transforma en el plano P(s) [o en el plano P(z)]. En los diagramas de estabilidad de Nyquist este lugar geométrico se denomina Trayectoria de Nyquist, y será el tema de la sección 11.7. Para el caso especial en que a = O, s = jw, el plano s termina siendo una línea, y P(jw) puede graficarse en un plano P(jw) con w como parámetro. En el plano P(jw) se construyen diagramas polares a partir de esta línea (s = jw) en el plano s. EJEMPLO 11.1. Considere la función compleja P(s) = s2 + 1. El punto s0 = 2 + j4 se transforma en el punto P(s0) = P(2 + j4) = (2 + j4)2 + 1 = -11 + j 16 (figura 11-2).
- 331. 320 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL iw ImP 1 '4 8 ---1 o P(s0) t----- 16 1 1 1 1 1 1 1 2 (T -11 ReP Figura 11-2 11.3 Definiciones Las siguientes definiciones son necesarias para entender mejor las próximas secciones. Definición 11.1: Si la derivada de P en s0 definida mediante - =hm dPI _. [P(s)-P(s0 )] ds s=so s--+s0 S - s0 existe en todos los puntos de una región del planos, esto es, si el límite es finito y único, entonces Pes analítica en esa región [se da la misma defini- ción para P(z) en el plano z, remplazando s por z y s0 por z0 ]. Las funciones de transferencia en los sistemas físicos prácticos (aquellos que se consideran en este libro) son analíticas en el planos finito (o en el plano z finito) excepto en los polos de P(s) [o en los polos de P(z)]. En los desarrollos siguientes, cuando no hay riesgo de ambigüedad y cuando un enunciado dado se aplica tanto a P(s) como a P(z), éstas pueden abreviarse como P sin argu- mento. Definición 11.2: Un punto en el cual P [P(s) o P(z)] no es analítica es un punto singular o una singularidad de P [P(s) o P(z)]. Un polo de P [P(s) o P(z)] es un punto singular. Definición 11.3: Un contorno cerrado en un plano complejo es una curva continua que co- mienza y termina en el mismo punto (figura 11-3). Im contorno ·cerrado Re Figura 11-3
- 332. ANALISIS DE NYQUIST 321 Deñnición 11.4: Todos los puntos a la derecha de un contorno, el cual se recorre en una dirección prescrita, se dice que están encerrados en él (figura 11-4). Deñnición 11.5: Deñnición 11.6: Re Figura 11-4 Un recorrido en el sentido de giro de las manecillas del reloj (R*) alrededor de un contorno se define como dirección positiva (figura 11-5). Im Im dirección dirección Re Re Figura 11-5 Un contorno cerrado en el plano P se dice que hace n rodeos positivos del origen si una línea radial, dibujada desde el origen hasta un punto en la curva P, gira en el sentido (R) de las manecillas del reloj 3601'! grados en una tra- yectoria completamente cerrada. Si la trayectoria se recorre en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj (S) se obtiene un rodeo negativo. El número total de rodeos N0 es igual a los rodeos R menos los rodeos S. * N. del T.: Para designar estos giros, en el idioma español se adopta la nomenclatura empleada de manera universal en todos los idiomas cuando se hace referencia a la quiralidad de los sistemas; esto es, R, para rectus, equivalente al sentido de giro de las manecillas del reloj, y S, para sinister, equivalente al sentido contrario al de las manecillas del reloj; entre paréntesis se indica otro modo corriente de referirse a estos giros como horario y antihorario. De otra parte, cabe anotaren este punto que ya algunos fabricantes ofrecen relojes cuyas manecillas giran en sentido contrario al tradicional, y es muy probable que las nuevas generaciones desconozcan el sentido de giro de tales manecillas puesto que cada día son más comunes los relojes digitales.
- 333. 322 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 11.2. El contorno del plano P, en la figura 11-6, rodea el origen una vez. Esto es, N0 = 1. Comenzando en el punto a, giramos una línea radial trazada desde el origen hasta el contorno, en la dirección R hasta el punto c. El ángulo subtendido es+ 270º. De e ad aumenta el ángulo, luego disminu- ye, y la suma total es Oº. De da e y de regreso nuevamente ad, el ángulo barrido por la línea radial de nuevo es Oº. De da e es Oº, y de e hasta a es + 90º. Por tanto, el ángulo total es 270º + 90º = 360º. En consecuencia N0 = 1. ImP e ReP Figura 11-6 11.4 Propiedades de las representaciones P(s) o P(z) Todas las transfonnaciones P [P(s) o P(z)] que se consideran en lo que resta de este capítulo tienen las siguientes propiedades. 1. Pes unafunción univaluada. Esto es, todo punto en el planos (o en el plano z) se transfor- ma en uno y sólo uno en el plano P. 2. Los contornos del plano s (y del plano z) evitan los puntos singulares de P. 3. Pes analítica excepto posiblemente en un número finito de puntos (singularidades) en el plano s (o en el plano z).... 4. Todo co11tomo cerrado en el planos (o en el plano z) se transfonna en otro en el plano P. 5. P es una transformación conforme. Esto significa que la dirección del ángulo y el ángulo en sí entre dos curvas cualesquiera que se cortan en su punto de intersección en el plano s (o en el plano :) se preservan en la transfonnación de estas curvas en el plano P. 6. La transfonnación P obedece al principio de los argumentos. Esto es, el número total de rodeos N0 del origen hechos por un contorno cerrado P en el plano P, transfonnado desde un contorno cerrado en el planos (oen el planoz), es igual al número de ceros C0 menos el número de polos P0 de P encerrados por el contorno del planos (o del plano z). Esto es, N0 = Co - Po (11.1) 7. Si el origen está encerrado por el contorno P, entonces N0 > O. Si el origen no está encerrado por el contorno P, entonces N0 ::5 O. Esto es, encerrado~ N0 > O no encerrado~ N0 ::5 O El signo de N0 se determina fácilmente al sombrear la región a la derecha del contorno en la dirección prescrita. Si el origen cae en la región sombreada, N0 > O; si no, N0 ::5 O.
- 334. ANALISIS DE NYQUIST 323 EJEMPLO 11.3. Enla figura 11-7 se ilustra el principio de transformación conforme. Las curvas C1 y C2 se transforman en C' 1 y C'2 • El ángulo entre las tangentes a estas curvas en s0 y P(s0) es igual a a, y las curvas giran a la derecha en s0 y en P(s0), como lo indican las flechas en ambas gráficas. jo> ImP " Figura 11-7 .--- a ~ / / / /,/ _____ ReP EJEMPLO 11.4. Se sabe que cierta función de transferencia P(s) tiene un cero en la mitad derecha del planos, y que este cero está encerrado por el contorno del planos transformado al plano P(s), como se muestra en la figura 11-8. Los puntos si, s2 , s3 y P(s1), P(s2), P(s3) determinan las direcciones de sus respectivos contornos. La región sombreada a la derecha del contorno del plano P(s) indica que N0 :5 O, puesto que el origen no se encuentra dentro de la región sombreada. Pero claramente, el contorno P(s) rodea el origen una sola vez en la dirección S. Por tanto, N0 = -1. Así, t!l número de polos de P(s) encerrados por el contorno del planos es P0 = C0 - N0 = 1 - (-1) = 2. 82 " Figura 11-8
- 335. 324 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 11.5 Diagramas polares Una función de transferencia P(s) en un sistema continuo puede representarse en el dominio de la frecuencia como una función de transferencia sinusoidal al sustituir s porjw en la expresión de P(s). La forma P(jw) resultante es una función compleja de la variable simple w. Entonces, ésta puede representarse en dos dimensiones, con w como parámetro, y puede escribirse en las siguientes formas equivalentes: Forma polar: Forma de Euler: P(jw) = IP(jw) 1/'i>(w) P(jw) = IP(jw) l(cosq,(w) + jsenq,( w)) (11.2) (11.3) IP(jw)I es la magnitud de la función compleja P(jw), y <f>(jw) es su ángulo de fase, arg P(jw) IP(jw)I cos <f>(w) es la parte real, y IP(jw)I sen </>(w) es la parte imaginaria de P(jw). Por consiguiente P(jw) también puede escribirse como Forma rectangular o compleja: P(jw) = ReP(jw) +j Im P(jw) (11.4) Un diagrama polar de P(jw) es una representación gráfica de Im P(jw) en función de Re P(jw) en la parte finita del plano P(jw) para -oo < w < oo. En los puntos singulares de P(jw) (los polos en el eje jw), IP(jw)I -+ oo. Un diagrama polar también puede generarse sobre un papel de coordenadas polares. La magnitud y el ángulo de fase de P(jw) se grafican variando a w desde - oo hasta + oo. El lugar geométrico de P(jw) es idéntico en cualquiera de las coordenadas rectangulares o polares. La elección del sistema de coordenadas puede depender de si P(j1) está disponible en forma analítica o en datos experimentales. Si P(jw) está expresada analíticamente, la elección de las coordenadas depende de si es más fácil escribir P(jw) en la forma de la ecuación (J / .2), en cuyo caso se utilizan coordenadas polares, o en la forma de la ecuación (J / .4) para coordenadas rectangulares. A menudo los datos experimentales de P(jw) se expresan en términos de la magni- tud y del ángulo de fase. En este caso, la elección natural es coordenadas polares. EJEMPLO 11.5. Los diagramas polares en la figura 11-9 son idénticos; solamente son diferentes los sistemas de coordenadas. Para sistemas discretos en el tiempo, los diagramas polares se definen de la misma manera en el dominio de la frecuencia. Recordemos que puede escribirse z =¿T (véase la sección 4.9). Por consiguiente, una función de transferencia discreta P(z) = P(esT) y, si hacemos s = jw, P(z) se convierte en P(eJwT). El diagrama polar de P(eiw~ es una gráfica de lm P(e1w7) en función de Re P(eJwT) en la parte finita del plano P(eJwT) para - 00 < w < oo. En las secciones subsiguientes analizamos los diagramas polares, sus propiedades, y muchos resultados que dependen de éstas, de una manera unificada, para los sistemas de control, conti- nuos y discretos en el tiempo. Para hacer esto, adoptamos para nuestra función de transferencia
- 336. ANALISIS DE NYQUIST Im P(j111) coordenadas rectangulares Re P(iw) tf,=270° 325 coordenadas polares // </)(1110) tf,=0º P(jw) = Re P(i111) + i lm P(i111) P(iw) =IP(iw)I~ Figura 11-9 general P la representación unificada de las funciones de respuesta de frecuencia que se da en la ecuación (10.1) para GH, esto es, usamos la representación genérica P(w) definida mediante para sistemas continuos para sistemas discretos En estos términos, las ecuaciones (11.2) a la (11.4) se convierten en P(w) = IP(w) l/ct,(w) = IP(w) l(coscp(w) +jsen,;f>(w)) = ReP(w) +jlm P(w) Usamos esta notación unificada en la mayor parte de lo que resta de este capítulo y en los siguientes, particularmente en donde los resultados son aplicables a ambos sistemas. 11.6 Propiedades de los diagramas polares Las siguientes son varias propiedades útiles de los diagramas polares de P(w)[PUw) o P(ej"'7)]. 1. El diagrama polar para P(w) + a en donde a es cualquier constante compleja, es -idéntico al diagrama para P(w) con el origen de coordenadas desplazado al punto -a = -(Re a + j Im a). 2. El diagrama polar de la función de transferencia en un sistema lineal invariable en el tiempo exhibe simetría conjugada. Esto es, la gráfica para -oo < w < Oes la imagen especúlar alrededor del eje horizontal de la gráfica ·para O :5 w < oo.
- 337. 326 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 3. El diagrama polar puede construirse directamente a partir de un diagrama de Bode (Capí- tulo 15), si éste se encuentra disponible. Los valores de la magnitud y del ángulo de fase a diferentes frecuencias w en el diagrama de Bode representan puntos en el lugar geométri- cos del diagrama polar. 4. Los incrementos constantes de frecuencia generalmente no se encuentran separados por intervalos iguales en el diagrama polar. EJEMPLO 11.6. Para a = 1 y P = GH, el diagrama polar de la función l + GH está representado por el diagrama para GH, con el origen de coordenadas desplazado al punto - l +jO en coordenadas rectangúlares (figura 11-10). lm [l+GH]4 1 1 1 1 1 ReGH =-1 ImGH ReGH =O Figura 11-10 ReGH Re [l+Gh] EJEMPLO 11.7. Para ilustrar la representación gráfica de funciones de transferencia, considere la fun- ción de transferencia del sistema continuo en malla abierta 1 GH(s)=-- s+l Haciendo s =jw y escribiendo de nuevo GH(jw) en la forma de la ecuación (J J.2) (forma polar), tenemos Para w 1 1 / GH(jw) = -.-- = -=== - tan- 1 w )W + 1 /w2 + l '------ GH(jO)=l~ GH(jl) = (1/v'2)/ -45º lim GH(jw) =o/-90° .., ..... 00
- 338. ANALISIS DE NYQUIST 327 La sustitución de algunos otros valores positivos de w producen un lugar geométrico semicircular para O:5 w < "°· La gráfica para -'.JO< w < Oes la imagen especular alrededor del diámetro de este semicírculo. Este se muestra en la figura 11-11 mediante una línea de guiones. Note los incrementos de frecuencia marcadamente desiguales entre los arcos ab y be t/> =90° ., =-1 -------....... ,,,,,,. ', / ' / I I e .,=o a w =±oo IGH(i.,)I = .~ v.,•+ 1 t/> =-90° 6(.,) =-tan- 1 ., Figura 11-11 Los diagramas polares no son muy difíciles de dibujar para funciones de transferencia muy simples, aunque usualmente son un poco más difíciles de determinar para sistemas discretos, como se ilustra en el ejemplo 11.11. Pero los cálculos para P(s) o P(z) complicadas pueden ser muy dispendiosos. De otra parte, pueden generarse, de manera más conveniente, diagramas pola- res exactos mediante programas de computador ampliamente difundidos para análisis de respuesta de frecuencia, o, de modo más general, para representar gráficas de funciones complejas de una variable compleja. 11.7 La trayectoria de Nyquist En sistemas continuos, la trayectoria de Nyquist es un contorno cerrado en el planos, que encierra toda la mitad derecha del planos (MDP). En sistemas discretos, la correspondiente tra- yectoria de Nyquist encierra la totalidad del plano z por fuera del círculo unitario. En sistemas continuos, para que la trayectoria de Nyquist no pase por ningún polo de P(s), se requieren pequeños semicírculos en la trayectoria del eje imaginario o en el origen de P(s), si P(s) tiene polos sobre el eje jw o en el origen. Los radios p de estos pequeños círculos se interpretan en el límite como aproximándose a cero.
- 339. 328 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Para encerrar la MDP en el infinito, y de este modo cualquier polo en el interior de la MDP, se dibuja una trayectoria semicirculargrande en la MDP, y el radio R de este semicírculo se interpre- ta en el límite como infinito. El contorno del planos en la figura 11-12 ilustra la trayectoria generalizada de Nyquist en el planos. Es evidente que todo polo y todo cero de P(s) en la MDP están encerrados por la trayec- toria de Nyquist cuando se transforman al plano P(s). polos posibles de P(s) f Figura 11-12 plano S e Las diferentes partes de la trayectoria de Nyquist pueden describirse analíticamente de la siguiente manera. Trayectoria ab: s=jw O<w<w0 (11.5) Trayectoria be: s = lim (iWo + pe18 ) p-+O - 90° ::s; O::s; 90° (11.6) Trayectoria cd: s=jw Wo:$; W< 00 (11.7) Trayectoria def: s= lim Re18 + 90° ::s; O::s; - 90º (11.8) R-+ oo Trayectoria /g: s=jw - 00 < W < -wo (11.9) Trayectoria gh : s = lim (-Jw0 + pei8 ) - 90° ::s; O::s; 90° (11.10) p-+O Trayectoria hi: s=jw -w0 <w<O (11.11) Trayectoria ija: s = lim pe18 - 90º ::s; O::s; 90º (11.12) p-+O
- 340. ANALISIS DE NYQUIST 329 En la figura 11-13 se presenta la trayectoria generalizada de Nyquist en el plano z. Todo polo y todo cero de P(z) por fuera del círculo unitario están encerrados por la trayectoria de Nyquist cuando se transforman al plano P(z). Al recorrer el círculo unitario como una función de frecuencia angular w creciente, cualquier polo de P(z) sobre el círculo unitario que pueda incluir "integradores" en z = 1(correspondientes az =eº· T =1cuandos = O), se excluyen mediante arcm circulares infinitesimales. Por ejemplo, en la figura 11-13 se muestra un par de polos conjugados complejos sobre el círculo unitario, excluidos mediante arcos de radio p --+ O. El resto del plano z por fuera del círculo unitario está encerrado por el círculo grande de radio R --+ oo como se muestra en la figura 11-13. polos posibles de P(z) sobre Figura 11-13 plano z p f e e d p. El círculo unitario en el plano z tiene una característica práctica no compartida por la trayec- toria de Nyquist en el planos, la cual facilita la elaboración de diagramas polares, a la vez que genera otras consecuencias en el diseño de sistemas digitales. Definimos primero la frecuencia angular de muestreo w.,· = 211'/T (radianes por unidad de tiempo). La ventaja es que el círculo unitario se repite en cada frecuencia angular de muestreo w.,· a medida que w aumenta. Esto se muestra en la figura 11-14 (a), la cual ilustra que la parte del eje jw en el plano s entre - jw./2 y +jw./2, se transforma en el círculo unitario completo en el plano z. 1 Esta propiedad es útil al dibujar diagramas polares de funciones P(z) = P(eiwT), porque se obtiene el mismo diagrama polar para nws :S w ::5 (n + l)ws con cualquier n = ± 1, ±2, ... También, puesto que el arco circular desde w = Ohasta w./2 es la imagen especular de aquel desde w = -w_/2 hasta O, la función P(ejwT) sólo necesita evaluarse desde w = -w.,J2 hasta o para obtener un diagrama polar com- pleto, y tomar ventaja de la simetría de la transformación (propiedad 2, sección 11.6). Algunas veces también es conveniente tratar la transformación de diagramas polares como una función de wT en lugar de w. Entonces la franja -(w.J2)T ::5 wT ::5 Oes equivalente a la franja -11' ::5 wT :S O (en radianes), porque w_J2 = 1T!T; esta franja se transforma en la mitad
- 341. 330 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL inferior del círculo unitario en coordenadas polares, desde - 180º (-Tr radianes) hasta Oº (O radianes) [figura 11-14b)]. planos jw .w, l'[ jwT o (a) w = 2'1T ( r~dianes) ' T tiempo plano z jv w, w= 4 <t> = 90° w=O µ o </> = ±180° </>=Oº b -.,, radianes a a (h) Figura 11-14 11.8 El diagrama de estabilidad de Nyquist b q,( "'o) ',,¿ 1 ~ ' q, = 270° o -90° El diagrama de estabilidad de Nyquist, una extensión del diagrama polar, es una transforma- ción de toda la trayectoria de Nyquist en el plano P. Se construye utilizando las propiedades de las transformaciones tratadas en las secciones 11 .4 y 11 .6, y, para los sistemas continuos, las ecua- ciones(/1.5) a la (11.8) y la ecuación(/1.12). Un bosquejo dibujado cuidadosamente es suficien- te para la mayor parte de los propósitos. En los siguientes pasos se esboza un procedimiento general de construcción para los sistemas continuos. Paso 1: Verifique los polos de P(s) sobre el eje jw y en el origen. Paso 2: Utilizando las ecuaciones(/1.5) a la (J 1.7), haga un bosquejo de la imagen de la trayectoria ad en el plano P(s). Si no hay polos sobre el ejejw, no necesita emplear la ecuación (11.6). En este caso, el paso 2 debe leerse: haga un bosquejo del diagra- ma polar de P(jw).
- 342. ANALISIS DE NYQUIST 331 Paso 3: Dibuje la imagen especular cerca del eje real Re P del bosquejo resultante del paso 2. Esta es la transformación de la trayectoria fi Paso 4: Utilice la ecuación (11 .8) para graficar la imagen de la trayectoria def. Esta trayec- toria en el infinito usualmente representa un punto en el plano P(s). Paso 5: Emplee la ecuación (11.12) para graficar la imagen de la trayectoria ija. Paso 6: Conecte todas las curvas dibujadas en los pasos anteriores. Tenga en cuenta que la imagen de un contorno cerrado es, cerrada. La propiedad de transformación confor- me de la representación ayuda a determinar la imagen en el plano P(s) de los ángu- los de esquina de los semicírculos en la trayectoria de Nyquist. El procedimiento es similar para sistemas discretos en el tiempo_, utilizando a cambio la tra- yectoria de Nyquist dada en la figura 11-13, como se ilustra en el ejemplo 11. 11 y en los proble- mas 11.65 al 11.72. 11.9 Diagramas de estabilidad de Nyquist de sistemas prácticos de control con retroalimen- tación Para el análisis de estabilidad de Nyquist en sistemas de control lineales con retroalimentación, P(w) es igual a la función de transferencia en malla abierta GH(w). Los sistemas de control más comunes encontrados en la práctica son los clasificados como de los tipos O, l, 2, ... , l (Capítulo 9). EJEMPLO 11.8. Sistema continuo del tipo O 1 GH(s)=- s+l Por definición, un sistema del tipo Ono tiene polos en el origen. Este sistema particular no tiene polos en el eje jw. En la figura 11-15 se presenta la trayectoria de Nyquist. jt,¡ d Figura 11-15 e " tf,=90° "'=-1 _ .., ,,,, ' / I "'=:t:oo 1 "'=O Figura 11-16 El diagrama polar para esta función de transferencia de malla se construyó en el ejemplo 11.7 y se muestra en la figura 11-16. Este diagrama es la imagen del ejejw, o trayectoriafad de la trayectoria de Nyquist, en el plano GH(s). La trayectoria semicircular defen el infinito se transforma en el plano GH(s) de la siguiente manera. La ecuación (11.8) implica la sustitución de s :e limR _ 00 Rejf! en la expresión para GH(s), en donde 90º ~ 0 ~ -90º. En consecuencia
- 343. 332 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 GH(s)I trayectoria ;,¡;¡ .E GH(oo) Mediante las propiedades elementales de los límites, Pero, puesto que la + bl 2:: llal - lbll, entonces 1 GH( oo) 1= lim IR 1! I Is lim ( R I l ) == O R-+a:, e + R-+a:, - y el semicírculo infinito se representa por un punto en el origen. Por supuesto este cálculo fue innecesario para este ejemplo simple porque el diagrama polar produce un contorno completamente cerrado en el plano GH(s). De hecho, los diagramas polares de todos los sistemas del tipo O presentan esta propiedad. El diagrama de estabilidad de Nyquist es una réplica del diagrama polar con los ejes renombrados, como se presenta en la figura 11-17. ImGH ,,,.---, / ' / GH(O) = 1 GH(oo) 1 ReGH Figura 11-17 EJEMPLO 11.9. Sistema continuo del tipo 1 1 GH(s) = ( ) s s + I Hay un polo en el origen. En la figura 11-18 se presenta la trayectoria de Nyquist. La trayectoria ad: s = jw para O < w < oo, y 1 1 / GH (jw) = . . = ¡::;-:-;-. - 90° - tan- 1 w 1w(Jw+l) wv,.,2+1~-------
- 344. ANALISIS DE NYQUIST 333 En los valores extremos de oo tenemos lim GH(jw) = oo/-90° w .... o lim GH(jw) = o/-180º w--+ <Xl A medida que w aumenta en el intervalo O< w < oo, la magnitud de GH disminuye de oo a Oy el ángulo de fase disminuye de manera estacionaria desde -90º hasta -180º. Por tanto el contorno no atraviesa el eje real negativo, sino que se aproxima a éste desde abajo, como se muestra en la figura 11-19. e i f Figura 11-18 ImGH ReGH Figura 11-19 i'r- '' ' ImGH GH(«>) d',e',f' ' _,,, Figura 11-20 I / / ReGH La trayectoria f' i' es la imagen especular alrededor de Re GH, de la trayectoria a'd'. Puesto que los puntos d' yf se encuentran en el origen, claramente éste es la imagen de la trayectoria def. En consecuen- cia se hace innecesaria la aplicación de la ecuación (/ / .8). La trayectoria ija: s = lim P _ 0 pe19 para - 90° ~ 8 ~ 90°, y IimGH(pe 19 )=lim[ º( 1 0 )]=lim[~]=oo·e-J9 =oo/_::_!, p-+O p-+O pe1 pe1 + 1 p-+O pe1
- 345. 334 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde hemos utilizado el hecho de que (pej/J + 1) -+ 1 cuando p-+ O. Por tanto la trayectoria ija se transforma en un semicírculo de radio infinito. Para el punto i, GH = oo / 90º; para el punto j, GH = 00 !J!..; y para el punto a, GH = oo /-90º. El diagrama de estabilidad de Nyquist que resulta se presenta en la figura 11-20. La trayectoria i'j'a' también se podría haber determinado de la siguiente manera. La trayectoria de Nyquist hace un giro de 90º a la derecha en el punto i; por tanto, por transformación conforme, debe hacer un giro de 90° a la derecha en i en el plano GH(s). Lo mismo va para el punto a'. Puesto que tanto i' como a' son puntos en el infinito, y puesto que el diagrama de estabilidad de Nyquist debe ser un contorno cerrado, el punto i' se debe unir al a' mediante un semicírculo de radio infinito en el sentido horario. Sistemas continuos del tipo / El diagrama de estabilidad de Nyquist de un sistema del tipo l incluye l semicírculos infinitos en su trayectoria. Hay 1801 grados en el arco que conecta al infinito del plano GH(s). EJEMPLO 11.10. El sistema del tipo 3 con 1 GH(s) = s3(s+ 1) tiene tres semicírculos infinitos en su diagrama de estabilidad de Nyquist (figura 11-21). -- / / ---- ti # / / / I I I I d' ImGH -........ ' ' ' 1 1 I / ', // " ' ..,/ " ------·1 ,__ 1., __,.i Figura 11-21 Sistemas discretos en el tiempo ReGH Los diagramas de estabilidad de Nyquist en sistemas discretos en el tiempo se dibujan de la misma manera que los anteriores, la única diferencia es que las trayectorias de Nyquist se presen- tan como en la figura 11-13 en lugar de como se muestran en la figura 11-12. EJEMPLO 11.11. Considere el sistema de control digital del tipo 1 con la función de transferencia en malla abierta.
- 346. ANALIS!S DE NYQU!ST K/4 GH(z)= (z-l)(z-½) 335 El diagrama polar de GH se determina primero transformando la mitad inferior del círculo unitario del plano zen el plano GH. Ello se logra rápidamente con ayuda de la transformación que se ilustra en la figura 11-14 b), es decir, evaluamos GH (ejw~)para valores crecientes de wT, desde - 180º hasta Oº (o desde -7r hasta O radianes). Para valores determinados de K y T, por ejemplo, K = 1 y T = 1, GH(ej"'T) = K/4 1/4 (eiwT_l)(e1wT_½}-(ei"'-l)(ei"'-½) Para los cálculos realizados manualmente, resulta útil emplear una combinación de la forma polar, la forma de Euler y la forma compleja al evaluar GH(ejwT) a diferentes valores de w, porque eiwT = /21wT(rad) = cos (wT + j sen (wT) = Re(ejwT) + j lm(ejwl")_ En w = -7r rad (-180º), tenemos / 0.25 / Oº GH( e-1") = GH(l -180°) = -~---~~L!_=',-----~- (1/ -180º -1li )(1/ -180º - ½~) 0.25 ( -1 +JO - 1)( -1 +JO - ½) =0.083~ Entonces, en w 270º, 0.25 = (-J-1)(-J-½) 0.25 (-2)(-½) 0.25 .:_ ½+.i½ 2(0.25) / / = /10 180° - tan·· 1(3) = 0.158 -108.4º De manera similar, encontramos que GH(e12 j no existe, pero 1im,¡,- 360°GH(ei'I>) = lim,,,_ 0GH(ei"') = oo/90°. Para completar el esquema de esta mitad del diagrama polar, necesitamos evaluar GH(ejj en algunos cuan~os valores más de w. Fácilmente 0 encontramos GH (e-i" 1 1000 ) = 159 /90.5°, GH(e-jw 1 12) = 1.8 ~ , y GH(e-1" 1 6 ) = O.779 ~ . El resultado se representa por la curva de guiones de a' hasta b' en la figura 11-22, que es la transformación de a hasta b de la figura 11-13. La parte restante del diagrama polar, para w = Ohasta 'TT, esto es, desde g' hasta a' en la figura 11-22, es la imagen especular de a' hasta b' alrededor del eje real, mediante la propiedad 2 de la sección 11.6. Esta parte, desde g' hasta a', se ha dibujado como una línea continua, guardando la convención de resaltar los valores positivos de w, O< wT < (2n - I) 'TT, con n = 1, 2, ... en el diagrama polar.
- 347. 336 TEORIA Y PROBLEMAS DE· RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ImGH b' r________...,.._____ -~~ ', ,, ',, ,, ¡; d'-----~. -t--+--+----+~""+--+--4~a'-'_______,.. - 1.2 - l - 0.8 - 0.6 -·0.4.;;;.Q..l_ --------, /' diagrama polar para O< w < (2n - l)w._ n = 1,2, ... g' _ 0 _ 2 e' 0.083 1 -o.4 I -0.6 I I I I -- Figura 11-22 // ,,,, .,, ReGH El diagrama de estabilidad de Nyquist se determina al completar la proyección de la figura 11-13 para los segmentos b a e, e ad, da e, yf ag, en el plano GH. Utilizando las propiedades de las transformaciones de la sección 11 .4, y calculando los límites, GH(ej"') da una vuelta a la derecha en b' desde oo / 90º hasta x /.!!.. en e', luego hasta O ~ en d' y en e', y oo/0º en f hasta oo / - 90º en g', utilizando las operaciones de límites para los radios p y R en la figura I 1-13. Por ejemplo, lim!p-O GH(z = I + peí') para -90º < Í< Oº, proporciona la transformación del arco desde b hasta e en la figura 11- I3, en el arco desde b'(x 90°) hasta e' (oo ~) en la figura 11-22. 11.l O El criterio de estabilidad de Nyquist Un sistema de control continuo lineal en malla cerradaes absolutamente estable si las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas (sección 5.2). O lo que es equivalente, los polos de la función de transferencia en malla cerrada, o los ceros del denominador, 1 + GH(s), de la función de transferencia en malla cerrada, deben estar en la mitad izquierda del plano (MIP). Para sistemas continuos, el criterio de estabilidad de Nyquist establece de manera directa median- te el diagrama de estabilidad de Nyquist de GH(s), el número de ceros de I + GH(s) en la MDP. Para sistemas de control discretos en el tiempo, el criterio de estabilidad de Nyquist establece el número de ceros de I + GH(z) porfuera del círculo unitario del planoz, la región de inestabilidad para sistemas discretos. El criterio de estabilidad de Nyquist para cualquier clase de sistemas, continuos o discretos, puede definirse como sigue.
- 348. ANALISIS DE NYQUIST 337 Criterio de estabilidad de Nyquist El sistema de control en malla cerradacuyafunción de transferencia en malla abierta es GH, es estable si y sólo si N = -P0 ::=; O (11.13) en donde número de polos (~ O) de GH en la MDP para sistemas continuos número de polos(~ O) de GH por fuera del círculo unitario (del plano z) para sistemas discretos número total de rodeos R (horarios) del punto (-1, O) (es decir, GH = -1) en el plano GH (continuo o discreto). Si N > O, el número de ceros C0 de 1 + GH en la MDP para sistemas continuos, o porfuera del círculo unitario para sistemas discretos, se determina mediante C0 = N + P0 (11.14) Si N ::=; O, el punto (-1, 0) no se encuentra encerrado por el diagrama de estabilidad de Nyquist. En consecuencia N ::=; Osi la región a la derecha del contorno en la dirección prescrita no incluye el punto (-1, O). El sombreado de esta región ayuda de manera significativa a determinar si N ::=; O o no. SiN ::=; Oy P0 = O, el sistemaes absolutamente estable, si y sólo siN = O; esto es, si y sólo si el punto (-1, O) no se encuentra en la región sombreada. EJEMPLO 11.12. En el ejemplo 11.9 se determinó el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s(s + 1), y se presenta en la figura 11-23. Se ha sombreado la región de la derecha del contorno. Claramente el punto (- 1, O) no está en la región sombreada; en consecuencia, no está encerrada por el contorno, asíque N :5 O. Los polos de GH(s) están en s = Oy s = -1, ninguno de los cuales se encuentra en la MDP; por tanto P0 = O. Así N = -Po= O y el sistema es absolutamente estable. lmGH ImGH ReGH ReGH Figura 11-23 Figura 11-24
- 349. 338 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 11.13. En la figura 11-24 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para 1/s(s - 1). Se ha s.ombreado la región a la derecha del contorno, y el punto (- 1, O) está encerrado; entonces N > O. (Es claro que N = 1.) Los polos de CH están en s = Oy s = +1, y el último polo está en la MDP. Por tanto P0 = 1. N * -P0 indica que el sistema es inestable. A partir de la ecuación (JJ .14) tenemos Co = N + Po= 2 ceros de 1 + CH en la MDP. EJEMPLO 11.14. En el ejemplo 11 .11 se determinó el diagrama de estabilidad de Nyquist para la función de transferencia discreta en el tiempo en malla abierta K/4 CH( z) = -(z---1-)(-z---0.5) y se repite en la figura 11-25 paraK = 1. Se ha sombreado la región a la derecha del contorno, yel punto (-1, O) no está encerrado para K = I. Así, N :s O, y a partir de la ecuación (/ / .13) no hay polos por fuera del círculo unitario del plano z, esto es, P0 = O. Por tanto, N = -P0 = O, y en consecuencia el sistema es estable. e' /' Re GH diagrama polar para O < w < (2n - l)'IT ._ n = 1,2, ... Figura 11-25 11.11 Estabilidad relativa Los resultados de esta sección y de la siguiente se establecen en términos de GH(w), para sistemas continuos [GH(jw)] o para sistemas discretos [GH(ei"'T)].
- 350. ANALISJS DE NYQUJST 339 La estabilidad relativa de un sistemade control con retroalimentación se determina fácilmente a partir del diagrama de estabilidad polar o de Nyquist. La frecuencia de cruce de fase (angular) w'Tr es aquella a la cual el ángulo de fase de GH(w) es -180º, es decir, la frecuencia a la que el diagrama polar cruza el eje real negativo. El margen de ganancia está dado por 1 margen de ganancia = !GH(w.,)I Estas cantidades se ilustran en la figura 11-26. ImGH ImGH //círculo unitario GH(..,v) (-1,0)/ ReGH ReGH Figura 11-26 Figura 11-27 La frecuencia de cruce de ganancia w1 es aquella a la cual IGH(w)I = l. El margen de fase <fJMF es el ángulo por el cual debe rotarse el diagrama polar para hacer que pase por el punto (-i, O). Este se encuentra dado por <fJMF = [180 + argGH(w1)] grados Estas cantidades se ilustran en la figura 11-27. 11.12 Los círculos M y N* La respuesta de frecuencia en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentación unitaria esta dada por e G( w) 1 G( w) 1 -1 [ Im(e/R )( w) ] R ( "') = 1 + G( w) = 1 + G( w) tan Re(C/ R )( w) ,.._____;;;'--------= (11.15) * Las letras M y N, que en esta sección se usan como símbolos para los círculos M y N, no son iguales y no deben confundirse con la variable manipuladaM =M(s), definida en el Capítulo 2, ni con el número de rodeos N del punto (-1, O) de la sección 11.10. Es infortunado que se utilicen los mismos símbolos para representar más de una cantidad. Pero, en virtud de ser consistentes con la mayor parte de los demás textos de sistemas de control, hemos mantenido la terminología de la literatura clásica, y ahora lo hemos aclarado al lector.
- 351. 340 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Las características de la magmtud y del ángulo de fase de la respuesta de frecuencia en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentación unitaria pueden determinarse de manera directa a partir.del diagramá polar de G(w). Esto se logra dibujando primero las líneas de magni- tud constante, !!amadas círculosM, y las líneas de ángulo de fase constante, llamadas círculosN, directamente en el plano G(w), en donde 1 G(w) 1 M= l+G(w) (11.16) Im( C/R)( w) N=------ Re(C/R)( w) (11.17) La intersección del diagrama polar con un círculo M específico produce el valor de M a la frecuencia w de G(w) en el punto de intersección. La intersección del diagrama polar con un círculo N determinado produce el valor de Na la frecuencia w de G(w) en el punto de intersec- ción. Puede dibujarse fácilmente M en función de w y Nen función de w a partir de esos puntos. En la figura 11-28 se sobreponen varios círculos M en un diagrama polar típico en el plano G(w). ImG M>l Re Figura 11-28
- 352. ANALISIS DE NYQUIST El radio de un círculo M está dado por radio del círculo M = / ~ 1 M -1 341 (11.18) El centro de un círculo M siempre está en el eje Re G(w). El punto del centro está dado por ( -M 2 ) centro del círculo M= 2 , O M -1 (11.19) El pico de resonancia MP está dado por el mayor valor de M del (de los) círculo(s) M tangen- te(s) al diagrama polar. (Puede haber más de una tangencia). La relación de amortiguamiento Cen un sistema continuo de segundo orden con O:5 C:5 0.707 está relacionada con MP por medio de 1 M = - - - - P 2~/1- ~2 (11.20) En la figura 11-29 se muestran varios círculos N superpuestos en un diagrama polar. El radio de un círculo N está dado por rndio del cfrculo 'N~ V¾ + ( 2 ~)' (11.21) Im G +N Re G -N Figura 11-29
- 353. 342 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROi El centro de un círculoN siempre cae sobre la línea Re G(w) = - ½. El punto del centro está dad< por centro del círculo N= (- ~, - 1 -) 2 2N Problemas resueltos Funciones complejas de una variable compleja (11.22 11.1. ¿Cuáles son los valores de P(s) = l/(s2 + 1) para s1 = 2, s2 = j4, y s3 = 2 + j4~ 1 1 1 1 P(s1)=P(2)= 2 =-+JO (2) + 1 5 P(s2 ) = P(j4) = - - - = - - +JO (J4)2 + 1 15 1 1 P(s3 ) = P(2 +J4) = 2 (2 +j4) + 1 -11 +Jl6 1~ 1 -;::::=======::==------ = - /0° - 124.6° v<11>2 + (16)2 ¡ian- 1 (16;-11) 19.4 = 0.0514/ -124.6° = -0.0514/ 55.4° = -0.0292 - J0.0423 11.2. Transforme el eje imaginario del planos al plano P(s), utilizando la función de transfor- mación P(s) = s2 . Tenemos s = jw, -oo < w < oo. En consecuencia P(jw) = (jw)2 = -w2 • Ahora, cuando w ->oo, P(jw) -> -oo (o si Jo prefiere, -oo2). Cuando w -> + oo, P(jw) -> -oo, y cuando w = O, P(jO) =O.Así, a medida quejw aumenta en el eje negativo imaginario desde ~j00 hacia}O, P(jw) aumenta en el eje real negativo desde -oo hasta O. Cuando jw aumenta desde JO hasta + joo, P(jw)disminuye de nuevo hasta -oo, en el eje real negativo. La transformación se representa de la siguiente manera (figura 11-30): ;,,, eje imaginario s=j., jco jO -joo Figura 11-30 Im P(j,,,) P(-jco) Re P(j,,,) P(+joo P(jO)
- 354. ANALISIS DE NYQUIST 343 Realmente las dos líneas en el plano P(jw) están superpuestas, pero aquí, para mayor claridad, se muestran separadas. 11.3. Transforme la región rectangular del planos, delimitada por las líneas w = O, u = O, w = 1 y u = 2, al plano P(s) utilizando la transformación P(s) = s + 1 - j2. Tenemos w=O: a=O: P( a) = (a+ 1) - j2 P( jw) = 1 +j(w - 2) w=l: a=2: P( a+11) = (a+ 1) - 11 P{2 +jw) = 3 +j( w - 2) Puesto que CT varía en todo el intervalo de los números reales (-oo < (T < oo) sobre la línea w = O, también lo hace CT + 1 en P(CT) = (CT + 1) -j2. En consecuencia, w =Ose transforma en la línea -j2 en el plano P(s). De modo similar, CT = Ose transforma en la línea P(s) = 1,"w = 1 se transforma en la línea P(s) = -ji, y CT = 2 en la línea P(s) = 3. En la figura 11-31 se ilustra la transformación resultante. Im P(s) 1 3 2 " Re P(s) -1 -2 plano s plano P(s) Figura 11-31 Este tipo de representación se llama transformación por traslación. Nótese que ésta sería exac- tamente la misma si s = CT + jw se remplazara por z = µ, + jv en este ejemplo. 11.4, Halle la derivada de P(s) = s2 en los puntos s = s0 y s0 = 1. dPI [P(s)-P(s0 )] [s2 -sJ] - = 1im - - - - - = 1im - - = 1im (s+s0 ) =2s0 ds s=so S...So s - So , ...so s - So , ...so En so = 1 tenemos (dP/ds)I s= 1 = 2. De modo similar, si P(z) = z2 , (dP!dz)I z= 1 = 2. Funciones analíticas y singularidades 11.5. ¿P(s) = s2 es una función analítica en alguna región del planos? Si lo es, ¿en cuál región? Del problema anterior (dP!ds)ls-so = 2s0 . De donde s1 es analítica dondequiera que 2s0 sea finita (definición 11.1). De esta manera s2 es analítica en toda la región finita del plano s. Tales funciones a menudo se llaman funciones completas. Igualmente z2 es analítica en toda la región finita del plano z.
- 355. 344 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 11.6. ¿P(s) 1/s es analítica en alguna región del plano s? - =~---=~---=- dP-1 . [1/s-1/s0 ] • [-(s-s0 )] -1 ds •-•o s-+s0 s - s0 s-s0 ss0 ( s - s0 ) sJ Esta derivada es única y finita para todo s0 "i' O. De tal manera que lis es analítica en todos los puntos del plano, excepto en el origen, s = s0 =O.El puntos= Oes una singularidad (polo) de lis. Existen otras singularidades diferentes de los polos, pero no en las funciones de transferencia de los componentes de los sistemas de control ordinarios. 11.7. ¿P(s) = ls12 es analítica en alguna región del plano s? Primero hacemos s = u + jw, s0 = u0 + jWQ. Entonces dP 1 . [ la+jwl 2 - li1o +Jw<¡j2 l -;¡; s=so = (s-~-+O (a+Jw) -(0o +}Wo) = lim . [ ( a - ao)( a+ ao) + (w - wo)( w + Wo) ] [(o-oo)+J(c.,-c.,o)]-+O ( a - CJo) +J( W - Wo) Si existe el límite, éste debe ser único y no debe depender de cómo se aproximes a s0 , o de manera equivalente cómo [(u - u0) +j(w - w0)] se aproxime a cero. Así que, primero, hagamos que s -+ s0 a lo largo del eje jw y obtenemos Ahora, hagamos que s -+ s0 a lo largo del eje u; es decir, . [ ( a - ao)(a+ ao)] lim - - - - - =2ao a-+ao a-ao w-wo De donde no existe el límite para valores arbitrarios diferentes de cero de u0 y Wo, y en consecuencia ls12 no es analítica en parte alguna del planos excepto posiblemente en el origen. Cuando s0 = O, dP 1 = ~ [lsl 2 - O] = ~ [ (a+ jw)( ~ - jw)] =0 ds ,-o s-+O S s-+O a+JW Entonces, P(s) = ls12 es analítica únicamente en el origen, s = O. 11.8. Si P(s) es analítica en s0 , demuestre que debe ser continua en s0 . Es decir, demuestre que lim s -. •o P(s) = P(s0 ). Puesto que P(s) - P(s0 ) P(s)-P(s0 )= ( ) ·(s-s0 ) s-so
- 356. ANALISIS DE NYQUIST 345 para s # s0 , entonces [ P(s)-P(s0 )] [dPI] lim [P(s)-P(s0 )] = lim ( ) · lim (s-s0 ) = - ·0=0 s->so , ...., 0 S - So s-+s0 ds s-so porque (dP!ds)ls-so existe por hipótesis [es decir, P(s) es analítica]. Por tanto lim [P(s) - P(s0 )] =0 o lim P(s) =P(s0 ) s-+s0 s-+s0 11.9. Las funciones polinómicas se definen mediante Q(s) =ansn + an_ 1sn-l + ... + a1s + a0 , en donde an =F- O, n es un entero positivo llamado grado del polinomio, y a0 , á1,... , an son constantes. Demuestre que Q(s) es analítica en toda región limitada (finita) del plano s. Primero consideremos sn: De modo que sn es analítica en toda región finita del plano s. Entonces, por inducción matemática, sn-,, sn-2 , •• • , stambién son analíticas. En consecuencia, mediante los teoremas elementales de los límites de sumas y productos, vemos que Q(s) es analítica en toda región finita del plano s. 11.10. Las funciones algebraicas racionales se definen mediante P(s) =N(s)ID(s), en donde N(s) y D(s) son polinomios. Demuestre queP(s) es analítica en todo puntos dondeD(s) *O; es decir, pruebe que las funciones de transferencia de los elementos de sistemas de control que toman la forma de funciones algebraicas racionales son analíticas excepto en sus polos. Prácticamente la totalidad de los elementos de los sistemas de control lineales se encuentran en esta categoría. El teorema fundamental del álgebra, "un polinomio de grado n tienen ceros y puede expresarse como un producto den factores lineales", nos ayuda a introducir a P(s) en una forma más reconocible como función de transferencia de un sistema de control; es decir, P(s) puede escribirse en la forma familiar. N(s) bmsm + bm_1sm-l + "· +ho bm(s + z1 )(s + z2) "· (s + zm) P(s)= D(s) = ansn+an_1 s"-1 + ... +a0 = an(s+p¡)(s+p2) ···(s+pn) en donde -z1, -z2 , ... , -zn son ceros, -p1, -p2, ... , -pn son polos, y m ::5 n. De la identidad dada por N(s) _ N(so). ( / ( )[D(s0 )(N(s)-N(s0 )}-N(s0 )(D(s)-D(so))] D(s) D(s0 ) D s D s0
- 357. 346 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde D(s) .,¡. O, obtenemos r N(s) N(s0 ) l dP . D(s) - D(s0 ) - = lim ds 1.,-.-0 s__.,so S - So . [ 1 ( [N(s)-N(s0 )] [D(s)-D(s0 )])] = lim - - - - D(s0 ) - - - - -N(s0 ) s---s0 D(s)D(s0 ) s-s0 s-s0 . [ 1 (N(s)-N(s0 ))] . [ N(s0 ) (D(s)-D(s0 ))] = s~~o D(s) s-so - s~~o D(s)D(so) s-so = lim - - · lim - - - - - - lim - - - - · hm . [ 1]. [N(s)-N(s0 )] . [ N(s0 ) ] . [D(s)-D(s0 )] s---s0 D(s) s---s0 s-s0 s---s0 D(s)D(s0 ) s---s0 s-s0 1 dNI N(s0 ) dDI D( so) ds ,-so D(so)2 ds ,-,. en donde hemos usado los resultados de los problemas 11.8, 11.9, y la definición 11.1. En conse- cuencia, la derivada de P(s) existe (P(s) es analítica) para todos los puntos sen donde D(s) ,é O. Nótese que hemos determinado una fórmula para la derivada de una función algebraica racional (la última parte de la ecuación anterior) en térm1nos de las derivadas de su numerador y su denomi- nador, además de resolver el problema pedido. 11.11. Demuestre que e-sT es analítica en toda región limitada del plano s. En la teoría de las variables complejas e-sT se define por medio de la serie de potencias 00 ( -sT}* e-•T= L --- k-o k! Mediante la prueba de relación, a medida que k - oo tenemos (-sT)k/k! =lk+ll-oo ( -sT)k+ 1 /(k + 1)! -sT En consecuencia el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito. La suma de una serie de potencias es analítica dentro de su radio de convergencia. Así que, e - sT es analítica en cada región limitada del plano s. 11.12. Demuestre que e- sT P(s) es analítica dondequiera que P(s) sea analítica. En consecuencia los sistemas que contienen una combinación de funciones de transferencia algebraicas racionales y operadores de retardo de tiempo (es decir, e - sT) son analíticas excepto en los polos del sistema.
- 358. ANALISIS DE NYQUIST 347 A partir del problema 11 .11 , e - sT es analítica en toda región limitada del planos; y a partir del problema 11.1O, P(s) es analítica excepto en sus polos. Ahora Por tanto, e-sT P(s) es analítica dondequiera que P (s) sea analítica. 11.13. Considere la función dada por P(s) = e-sr (s2 + 2s + 3)/(s2 - 2s + 2). ¿En dónde están las singularidades de esta función? ¿En dónde es analítica P (s)? Los puntos singulares son los polos de P(s). Puesto que s2 - 2s + 2 = (s - 1 +j l)(s - 1 - j 1), los dos polos están dados por -p1 = 1 - j I y -p2 = I +j l. P(s) es analítica en toda región limitada del plano s, excepto en los puntos s = -p1 y s = -p2• Contornos y rodeos 11.14. ¿Qué puntos son encerrados por los siguientes contornos (figura 11-32)? Im Im Re Re a) b) Figura 11-32 Sombreando la región a la derecha de cada contorno a medida que se recorre en la dirección prescrita, obtenemos la figura 11-33. Todos los puntos de las regiones sombreadas están encerrados. 11.15. ¿Qué contornos del problema 11.14 son cerrados? Claramente el contorno de la parte b) es cerrado. El de la parte a) puede o no cerrarse sobre sí mismo en el infinito en el plano complejo. Esto no puede determinarse en la gráfica dada. 11.16. ¿Cuál es la dirección (positiva o negativa) de cada contorno en el problema 11.14 a) y ll.14b)?
- 359. 348 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ,. (a) (b) Figura 11-33 Utilizando el origen como base, se dirige cada contorno en dirección S (antihoraria), dirección negativa alrededor del origen. 11.17. Determine el número de rodeos N0 del origen para el contorno de la figura 11-34. Im Re (-1,0) Figura 11-34 Comenzando en el punto a, giramos una línea radial desde el origen hasta el contorno en la dirección de las flechas. Tres giros de 360º en sentido S (antihorario) producen el retomo de la línea radial al punto a. Por tanto N0 = -3. ., 11.18. Determine el número de rodeos N0 del origen para el contorno de la figura 11-35. Al comenzar en el punto a, el contorno barre un ángulo de + 180° cuando se alcanza b por primera vez. Al seguir desde b hasta e y luego regresar a b, la ganancia neta angular es cero. Al regresar de b hasta a produce + 180º. De modo que N0 = + l. 11.19. Determine el número de rodeos N del punto (-1, 0) (esto es, el punto -1 del eje real) para el contorno del problema 11 .17. Al comenzar de nuevo en el punto a, giramos una línea radial desde el punto (- 1, O) hasta el contorno en la dirección de las flechas que se muestran en la figura 11-36. Al seguir de a hasta by
- 360. ANALISIS DE NYQUIST 349 Im Im a a e Re (-1,0) e Re Figura 11-35 Figura 11-36 hasta e, la línea radial barre algo menos de -360º. Pero de e ad y de regreso a b, el ángulo se incrementa de nuevo hacia el valor alcanzado al ir de a hasta b.únicamente. Entonces, de b a e hasta a el ángulo resultante es - 360º. Así que N = - 1. Propiedades de las transformaciones P 11.20. Las siguientes funciones: a) P(s) = s2 , b) P(s) = s112 , ¿son univaluadas? a) La sustitución de cualquier número complejos en P(s) = s2 produce un valor único para P(s). En consecuencia P(s) = s2 es una función univaluada. b) En la forma polar tenemos s = lslej 0 , en donde (J = arg(s). En consecuencia s 112 = lsll/2 ej012 . Ahora, si aumentamos (J en 27T regresamos al mismo punto s. Pero que es otro punto en el plano P(s). En consecuenciaP(s) = s112 tiene dos-puntos en el plano P(s) por cada punto en el plano s. Esta no es una función univaluada, es una función multivaluada (con dos valores). 11.21. Demuestre que todo contorno cerrado que contenga puntos no singulares de P(s) en el plano s se transforma en un contorno cerrado en el plano (P(s). Supongamos que no. Entonces, en algún punto s0 en donde el contorno del plano s se cierra sobre sí mismo, el contorno en el plano P(s) no es cerrado. Esto significa que un punto (no singular) s0 del planos se transforma en más de un punto en el plano P(s) (las imágenes del punto s0). Esto contradice el hecho de que P(s) sea una función univaluada (propiedad 1, sección 11.4). 11.22. Demuestra que Pes una transformación cpnforme dondequiera que P sea analítica y dP!ds =1- O. . Considérense dos curvas: C en el planos y C', la imagen de C, en el plano P(s). Dejemos que la curva en el planos sea descrita porel parámetro t; es decir, cada t corresponde a un puntos = s(t) a
- 361. 350 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL lo largo de la curva C. En consecuencia, C' se describe por medio de P[s(t)] en el plano P(s). La: derivadas ds!dt y dP!dt representan los vectores tangentes a los puntos correspondientes en C y C' Ahora dP[s(t)) 1 = ds. dP(s) 1 dt P(s)-P(so) dt ds s-so en donde se ha utilizado el hecho de que Pes analítica en algún punto s0 5 s(t0 ). Poniendo dP!dt 5 r1eN, dP!ds 5 r2eiª, y ds!dt 5 r3ei8 . Entonces Igualando los ángulos, tenemos </>(s0) = 0(s0) + o:(s0) = 0(s0) + arg (dP/ds)l ,-,0 , y vemrn que la tangente a C en s0 ha rotado un ángulo arg (dP/ds)l,-,0 en P(s0) sobre C' en el plano P(s) Ahora consideremos dos curvas CI y C2que intersecan en s0 , con imágenes Cí yC2en el planc P(s) (figura 11-37). Sea 01 el ángulo de inclinación de la tangente a C1, y 02 el de C2. Entonces, los ángulos dt inclinación para Cí y C2son 01 + arg(dP!ds)l,-,0 , y 02 + arg(dP!ds)ls-so·, En consecuencia el ángulo (01 - 02) entre C1 y C2 es igual en magnitud y sentido al ángulo' entre Cí y L'f., Nótese que el arg(dP/ds)l,-,0 es indeterminado si (dP/ds)l ,-,0 O. jw (T ReP Figura 11-37 11.23. Demuestre que P(s) = e-sT es confobne en toda región limitada del plano s. e-,T es analítica (problema 11.11). Más aún, (d!ds)(e-sT) = -:Te-sT # Oen cualquier región limitada (finita) del plano s. Entonces, a partir del problema 11.12, P(s) = e-sT es conforme.
- 362. ANALISIS DE NYQUIST 351 11.24. Demuestre que P(s)e-sT es conforme para P(s) racional y dP!ds ,f= O. A partir del problema 11.12, Pe-sT es analítica excepto en los polos de P, y también, Supóngase (d!ds)[Pe-sT] =O.Entonces, puesto que e-sT i= Opara cualquier s finito, se tiene dP!ds - TP = Ocuya solución general es P(s) = kesr, con k constante. Pero Pes racional y esT no Jo es. Por tanto (d!ds)[Pe-sT] =t- O. 11.25. Dos contornos C1 y C2 en el planos intersecan en un ángulo de 90º en la figura 11-38. La función analítica P(s) transforma estos contornos en el plano P(s), y dP/ds -:f= O en s0 . Dibuje la imagen del contorno C2 cerca de P(s0 ). También se da la imagen· de C1• ImP p .,,.,..._...----- ....... P(s0) e; (T ReP Figura 11-38 A partir del problema 11.22, P es conforme; en consecuencia el ángulo entre Cí y q es 90º. Puesto que C1 hace un giro a la izquierda en tomo a C2 en s0 , entonces Cí también debe girar a la izquierda en P(s0) (figura 11-39). ImP ReP Figura 11-39 11.26. Pruebe la ecuación (11.1): N0 = C0 - P0 • La prueba exhaustiva implica mucho más de lo que podemos manejar con lo que se presenta en este libro acerca de la teoría de variables complejas. Así que asúmimos que se tiene conocimiento
- 363. 352 TEORIA y PROBLEMAS DE RETROÁLIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL de un teorema bien conocido de funciones de una variable compleja, y continuamos a partir de allí. El teorema establece que si Ces un contorno cerrado en el planos, P(s) es una función analítica en C y dentro de C excepto en los posibles polos, y P(s) =t- O en C, entonces 1 P'(s) 2wj { P(s) ds = Co- Po en donde C0 es el número total de polos dentro de C, PO el número de polos dentro de C y P' = dP/ds. Los polos y los ceros múltiples se cuentan uno por uno; es decir, un polo doble en un punto son dos polos del total, un cero triple son tres ceros del total. Ahora, puesto que d[ln P(s)] = [P'(s)/P(s)]ds y In P(s) = In IP(s)I + j arg P(s), tenemos 1 [ P'( s) ] 1 1 1 1 1 -.J -) ds=-.jd[lnP(s)l =-.[In P(s)] = -. [InlP(s) 1+jargP(s)] 2wJ e P(s 2wJ e 2wJ e 2wJ e = ~[InlP(s) I] 1 + ~[JargP(s)]I 2wJ e 2wJ e Ahora, puesto que lnlP(s)I devuelve su valor original cuando vamos una vez alrededor de C, el primer término en la· última ecuación es cero. Por tanto C0-P0 = L[argP(s)]lc Puesto que Ces cerrado, la imagen de C en el plano P(s) es cerrada, y el cambio neto en el ángulo arg P(s) alrededor del contorno P(s) es 21r veces el número de rodeos N0 del origen en el plano P(s). Entonces Co - P0 = 2N01r!21r = N0. A menudo este resultado se llama principio del argumento. Nótese que éste sería el mismo si reemplazamos s por z en todo lo anterior. Por tanto, la ecuación (11.1) también es válida para sistemas discretos en el tiempo. 11.27. Determine el número N0 de rodeos del contorno en el plano P para el contorno del plano complejo, transformado en el primero, como se muestra en la figura 11-40. Im el contorno encierra 2 polos y I cero Re Figura 11-40 P0 = 2, C0 = 1. Por tanto N0 = 1 - 2 = - 1.
- 364. ANALISIS DE NYQUIST 353 11.28. Determine el número C0 de ceros encerrados por el contorno del plano complejo de la figura 11-41, en donde P0 = 5. Im lmP p ,,,...,.,..--------...... X X ; X X Re ReP Figura 11-41 N0 = 1 se calculó en el problema 11.8 a partir del contorno dado en el plano P. Puesto que Po= 5, entonces Co = N0 + P0 = 1 + 5 = 6. 11.29. Determine el número P0 de polos encerrados por el contorno del plano complejo en la figura 11-42, en donde C0 == O. Im ImP p ,,,...-----....... Re ReP Figura 11-42 Claramente, N0 = -1. En consecuencia Po = C0 - N0 = O + 1 = 1. 11.30. Determine N0 [ecuación (J 1.!)] para la función de transferencia (transformación) y el contorno del plano s de la figura 11-43. ' ;I,) 2j - -2 2 ... tT -2j Figura 11-43
- 365. 354 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La transformación de polos y ceros de P(s) se presenta en la figura 11-44. De donde, hay tres polos (dos en s = Oy uno en s = - 1) y ningún cero encerrados por el contorno. Así PO = 3, C0 = Oy No = -3. - - - o - - x t"' o,______....., -5 -1 r Ll u Figura 11-44 11.31. En la figura 11-45, ¿el origen está encerrado por el contorno? ImP ReP Figura 11-45 Se ha sombreado la región a la derecha del contorno. El origen cae en la región sombreada y, en consecuencia, está encerrado por el contorno. 11.32. ¿Cuál es el signo de N0 en el problema 11.31? Puesto que el origen está encerrado por el contorno en la dirección R (horaria), N0 > O. Diagramas polares 11.33. Verifique la propiedad I de la sección 11.6. Sea P(w) =P 1(w) + )iP(w), y a =a 1 + ja2 , en donde P 1(w), P2(w), a 1 y a2 son reales. Entonces y la imagen de cualquier punto (P1(w), P2(w) en el plano P(w es (P1(w) + a1, P2(w + a2) en el plano (P(w) + a). Por tanto la imagen de un contorno P(w) es simplemente una traslación (véase el problema 11.3). De manera clara puede verse que la traslación del contorno en a unidades es equivalente a la traslación (del origen) de los ejes -a unidades.
- 366. ANAUSIS DE NYQUIST 355 11.34. Verifique la propiedad 2 de la sección 11.6. La función de transferencia P(s) de un sistema lineal con coeficientes constantes es, en general, una relación de polinomios con coeficientes constantes. Las raíces complejas de tales polinomios se presentan en pares conjugados; esto es, si a + jb es una raíz, entonces a - jb también es una raíz. Si representamos con un asterisco(*) la conjugada compleja, entonces, a+ jb = (a - jb)*, y si a= O, entoncesjb = (-jb)*. Entonces P(jw) = P(-jw)*. Gráficamente esto significa que el diagrama para P(-jw) es la imagen especular alrededor del eje real de la gráfica para P(jw) ya que sólo cambia de signo la parte imaginaria de P(jw). 11.35. Dibuje el diagrama polar para cada una de las siguientes funciones complejas: a) P(Jw)=w2 /45º, b) P(jw)=w2 (cos45º +jsen45º), e) P(jw)=0.707w2 + 0.707jw2 . a) w1 ~ está en la forma de la ecuación (/ / .2). En consecuencia se utilizan coordenadas polares en la figura 11-46. h) P(jw) = w1(cos 45º + j sen 45º) = w1 (0.707j) Es decir, P(jw) tiene la forma de la ecuación(// .3) o la(// .4). En consecuencia la elección natural son las coordenadas rectangulares, como se muestra en la figura 11-47. Nótese que esta gráfica es idéntica a la de la parte a) excepto por las coordenadas. En efecto, w 2 (0.707 + 0.707j) = w2 ~ . e) Claramente puede verse que e) es idéntica ah) y en consecuencia a a). Entre otras cosas, este problema ha ilustrado cómo puede escribirse de tres formas diferentes pero matemática y gráficamente equivalentes a una función compleja de frecuencia w: la forma polar, ecuación (/ / .2); laforma de Euler o trigonométrica, ecuación(// .3) y la forma rectangular (compleja) equivalente, ecuación (/ / .4). 180° ------ -90° Figura 11-46 w = :!:oc Oº .. 11.36. Dibuje el diagrama polar de P(Jw) = 0.707w2 (1 +J) + 1 Im P(jw) 0.707..~ Re P(jw) 0.707w! Figura 11-47 En el problema 11.35 b) se dibujó el diagrama polar de 0.707w2 (1 + j).A partir de la propiedad 1 de la sección 11.6, el diagrama polar pedido ~do en el problema 11.35 b) con su origen desplazado a -a = -1, como se muestra eñ"'la figura 11-48.
- 367. 356 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL o Re P Figura 11-48 11.37. Construya un diagrama polar a partir de las gráficas de la magnitud y del ángulo de fase de P(jw) de la figura 11-49, que representan la respuesta de frecuencia de un sistema lineal con coeficientes constantes. P(jw) 10¡-------------- 2 3 4 w <p(w) 2 3 4 5 w -90'' -180° Figura 11-49 Las gráficas que se presentan antes difieren poco de las representaciones de Bode, que se discuten en detalle en el Capítulo 15. El diagrama polar se construye transformando este conjunto de gráficas en el plano P(jw). Solamente es necesario escoger los valores de w y los correspon- dientes de IP(jw)I y </J(w) de las gráficas, y representar estos puntos en el plano P(jw). Por ejemplo en w = O, IP(jw)I = IO y <p(w) =O.En la figura 11-50 se presenta el diagrama polar resultante. La parte de la gráfica para -oo < w < Ose ha dibujado utilizando la propiedad de simetría conjugada (sección 11.6).
- 368. ANA LISIS DE NYQUIST /~ / I I w =-2.sJ / .....-- w=-1 -.......... ......... "'' <I> =180° ........_ ~ ,...___ w =±co P(jO) =10 w=2.5 11.38. Dibuje el diagrama polar para w=l <I> =270° Figura 11-50 1 GH(s) = 4 ( ) s s +p p>O Sustituyendo s por jw y aplicando la ecuación (// .2), obtenemos Para w 1 CH( jw) = ----:¡-¡-(-.-+--) ) W )W p O y w -+ ac, tenemos GH(JO) = oo¿.!!._ lim GH(jw) = O¡ -90° w- 00 357 Claramente, a medida que w aumenta desde cero hasta infinito, el ángulo de fase permanece negativo y disminuye a -90º, y su magnitud disminuye de manera monótona a cero. Así, el
- 369. 358 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL diagrama polar puede dibujarse como se muestra en la figura 11-51. La línea de guiones representa la imagen especular de la gráfica para O < w < oo (sección 11.6, propiedad 2). En consecuencia esta es la gráfica polar para -oo < w < O. <t, =180° --- ,#11'.,, ..._..,., ' - I - - w=oo ...... __ Figura 11-51 La trayectoria de Nyquist 11.39. Demuestre que el semicírculo infinito, la parte defde la trayectoria de Nyquist, se transfor- ma en el origen P(s) = Oen el plano P(s) para todas las funciones de transferencia de la forma: K P(s)=--=-n___ CT(s+p;) i=l en donde n > O, K es una constante, y -p¡ es cualquier polo finito.
- 370. ANALISIS DE NYQUIST 359 Paran > O, l lim P(Re18 )j=IP(oo)I= lim R-oo R-oo K n n(Rei8 + p;) i=l = lim ~n_I_K_I-- 5 lim ~n_l_K_I__ = O R-oo n R 1·(J R-oo nIR - IP,·11 1 e +p¡I i-1 i-1 Puesto que IP(oo)I ~ O, entonces claramente IP(oo)I = O. 11.40. Demuestre que el semicírculo infinito, la parte defde la trayectoria de Nyquist, se transfor- ma en el origen P(s) = Oen el plano P(s) para todas las funciones de transferencia de la forma: m KCT (s + z;) P(s) = _in_=_l_ __ CT(s+p;) i=l en donde m < n, K es una constante, y -p; y -z; son polos y ceros finitos, respectivamen- te. Para m < n, m K n(Re18 + Z;) j 1im P( Reí8) j=1P( oo) 1 = lim -~-=l _ _ __ R-oo R-oo n(ReífJ +P;) i=l m m IK IO !Re18 + z;I IKICTJR+lz;IJ = lim ;.,.1 5 lim ;-1 =O n n R-oo n!Rei9 +p;I R-oo CTIR-lp;II i=l i=l Puesto que IP(oo)I ~ O, entonces IP(oo)I = O. Diagramas de estabilidad de Nyquist 11.41. Pruebe que un sistema continuo del tipo l incluye l semicírculos infinitos en el lugar geo- métrico de su diagrama de estabilidad de Nyquist. Es decir, demuestre que la porción ija de la trayectoria de Nyquist se transforma en un arco de 1801 grados al infinito en el plano P(s). La función de transferencia de un sistema continuo del tipo l tiene la forma:
- 371. 360 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL B1(s) P(s) = --¡--( ) s B2 s en donde B 1(0) y Bi(O) son finitos y diferentes de cero. Si hacemos B1(s)!Bi(s) =F(s), entonces F(s) P(s)=- s' en donde F(O) es finita y diferente de cero. Ahora, hacemos s = pej6 , como se requiere en la ecuación (11.12). Claramente limP _ 0F(pei8 ) = F(O). Entonces P(peJ8) = F(pei8 )j,Jei16 y - 90° ~ fJ ~ +90° En () = -90", el límite es oc· ej90j. En () = + 90", el límite es oo· e- f}OJ_ Por tanto el ángulo subtendido en el plano P(s) al transformar el lugar geométrico del semicírculo infinitesimal de la trayectoria de Nyquist en las vecindades del origen en el planos, es 90[ - (-90[) = 180[ grados, lo cual representa l semicírculos infinitos en el plano P(s). 11.42. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para la función de transferencia en malla abierta dada por En la figura 11-52 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo O. ImGH --...... tT ' ' ,, ReGH e GH(jO) = l/P1P2 f Figura 11-52 Figura 11-53 Puesto que no hay polos en el eje jw, el paso 2 de la sección 11.8 indica que el diagrama polar de GH(jw) produce la imagen de la trayec.oria ad (y en consecuenciafad) en el plano GH(s). Haciendo s = jw para O < w < oo, obtenemos 1 1 / ("') ("') GH(jw) = - - - - - - - = -;:::;:====== - tan- 1 - - tan- 1 . - (Jw+p¡)(jw+p2) /(w2+pr)(w2+pi) P1 P2 GH( JO) = - 1 -b:_ P1P2 lim GH(Jw) =;0/180° ...... 00
- 372. ANALISIS DE NYQUIST 361 Para O< w < oo, el diagrama polar pasa por el tercero y cuarto cuadrantes porque ,¡, = - [tan- 1 (w!p1) + tan- 1 (w/p2 )] varía desde 0° hasta 180º cuando aumenta w. A partir del problema 11.39, la trayectoria def se dibuja en el origen P(s) = O. Por tanto el diagrama de estabilidad de Nyquist es una réplica del diagrama polar. Esta se dibuja fácilmente a partir de las derivaciones anteriores, como se muestra en la figura 11-53. 11.43. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s. En la figura 11-54 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema simple del tipo l. e " ImGH}:_ 1 ' . " 1 ., w=oo 1 ReGH d',e',f' GH(iw) I w=O¡J / a/ Figura 11-54 Figura 11-55 Para la trayectoria ad, s = jw O < w < oo, y 1 1 / GH(jw) =-:- = - -90º )W W lim GH(jw) =oo/-90° .,....o ' lim GH(jw) =O/ -90° ., .... 00 La trayectoria def se transforma en el origen (véase el problema 11.39). La trayectoria f' i es la imagen especular de dd alrededor del eje real. La imagen de la trayectoria ija se determina a partir de la ecuación (11.12) haciendo s =limP_ 0pe111, en donde -90º :S fJ :S 90º: Para el punto i, {J = -90º; entonces i se transforma en i' en oo /90º. En el punto j, fJ = Oº; entonces el puntoj se transforma enj' en oo f.!!:_. De manera similar, a se transforma en a' en 00 / - 90°. La trayectoria tj'a' también pudo haberse obtenido a partir de la propiedad de la representación conforme de la transformación, como se explicó en el ejemplo 11.9, además de la afirmación probada en el problema 11.41. El diagrama de estabilidad de Nyquist resultante se muestra en la figura 11-55. 11.44. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s(s +p1')(.s +p2), Pi, P2 > O.
- 373. 362 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 1 es la misma que para el problema anterior Para la trayectoria ad, s =jw, O< w < oo, y GH(jw) = - - - - - - - - = -======= -90° - tan-i - - tan-i - 1 1 / ("') ("') Jw(Jw +Pi)(Jw +Pi) wJ(w2 +p¡){w2 +pi} Pi Pi lim GH(jw} = oo/ -90° 1im GH(Jw) = o/ -270° = O/ +90º w-o ~~~ Puesto que el ángulo de fase cambia de signo a medida que w aumenta, la gráfica atraviesa el eje real. A valores intermedios de frecuencia, el ángulo de fase </J está dentro del rango 90º < <P < -270º. Por tanto la gráfica está en el segundo y tercer cuadrantes. Se encuentra una asíntota de GH(jw) para w -+ O, al escribir GH(jw) como una parte real más una imaginaria, y tomar luego el límite cuando w -+ O: . -(pi +pi) GH(Jw} = ( 2 2){ 2 2) "' +P1 "' +p2 w("'2 +p;)("'2 +pi} lim GH( . ) -( P1 +P2) . JW = 2 2 - JOO w-+O Pi Pi De aquí que la línea CH = -(p1 + p2)!pfpi sea una asíntota del diagrama polar. La trayectoria def se transforma en el origen (véase el problema 11.39). La trayectoriafi' es la imagen especular -de a'd' alrededor del eje real. La trayectoria i'j'a' se determina más fácilmente mediante la propiedad de la transformación conforme y por el hecho de que un sistema del tipo 1 tiene un semicírculo infinito en su trayectoria (problema 11.41). En la figura 11-56 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist resultante. ImGH i"' ~--- ' ~ GH(iw) a! _,,,,, Figura 11-56 / Re GH I / 11.45. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s2 . La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 2 es la misma que para el problema anterior, excepto que en lugar de uno hay dos polos en el origen. Para ad, 1 1 ~ GH(jw) = -.- = - 180º /w2 "'2 lim GH( jw) = oo/ 180º w-+O lim GH(jw) = o/180° w-+oo
- 374. ANALISIS DE NYQUIST 363 Con claridad puede verse que el diagrama polar se encuentra a le largo del eje real negativo, aumentando desde -oo hasta O a medida que aumenta w. La trayectoria def se transforma en el origen, y la trayectoria ija, en dos semicírculos infinitos en el infinito (véase el problema 11.41). Puesto que la trayectoria de Nyquist gira a la derecha en i y en a, también el diagrama de estabilidad de Nyquist lo hace en i' y a'. En la figura 11-57 se presenta el lugar geométrico resultante. ImGH / - , -....... ' / / I a' I GH(j.,) GH(®) ----- d' e' f' i' , , ReGH . ' ....... _ Figura 11-57 11.46. Dibuje la gráfica de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/s2(s + p), p > O. La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 2 es la misma que la del problema anterior. Para ad, GH(jw) ~N¿w+p) ,,,'~ L-180°-lall '(:;i) lim GH(jw) = oo/-180º lim GH(jw) =O/ -270° w-o w- 00 Para O< w < oo el ángulo de fase varía continuamente desde - 180° hasta -270º; así el diagrama se localiza en el segundo cuadrante. El resto del diagrama de Nyquist se transforma en el plano GH como en el problema anterior. En la figura 11-58 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist resultante. ImGH - - / ....... ,1' ~ I a' / GIIÜ"') GH(®) ,---- d', e',!' I ReGH i' ....._.,, / . / '- ./~ ' --
- 375. 364 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 11.47. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s)=l/s4(s+p), p>O. Hay cuatro polos en el origen en el planos, y la trayectoria de Nyquist es la misma que la del problema anterior. El diagrama polar para este sistema se determinó en el problema 11.38. El resto de la trayectoria de Nyquist se transforma al utilizar los resultados de los problemas 11 .39 y 11 .41 , y la propiedad conforme de la transformación. En la figura 11-59 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist resultante. q, =180° --- / / --- / / / / / / / / / / / I I I / ---........ -- ......... .............. ' ' " ' ' .,....---....... / ....._ --· L -- a' 1 I aumenta w / / / / / / // / / / / ---- / / ---- 1' =-90° Figura 11-59 11.48. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = e-Ts¡(s +p), p > O. El término e - rs representa el retardo en el tiempo de T segundos en la trayectoria directa o en la de retroalimentación. Por ejemplo, en la figura 11-60 se representa un grafo de flujo de señales de tal sistema. • R 1 .. 1 E~_;/ Figura 11-60 1 .. • e
- 376. ANALISIS DE NYQUIST 365 En el ejemplo 11.8 se dibujó el diagrama de estabilidad de Nyquist para 1/(s + 1). El diagrama se modifica de la siguiente manera por la inclusión del término e-Ts_ Para la trayectoria ad, e-TJw 1 / ( "') GH(jw) = -.-- = -tan·- 1 - - Tw JW +p / "'2 +p2 p GH(jO)=~Í!!:. p El límite de GH(jw) cuando w-+ ac no existe. Pero lim.,_ 00 ¡GH(jw)I =O y IGH(jw)I disminuye de manera monótona a medida que w aumenta. El término del ángulo de fase da vueltas repetidamente alrededor del origen entre Oº y - 360º a medida que w aumenta. En consecuencia el diagrama polar es una espiral decreciente, la cual comienza en (1/p) ft y se aproxima al origen en dirección R (horaria). Los puntos en donde el lugar geométrico atraviesa el eje real negativo se determinan haciendo <p = - 180º = -7r radianes: u w7T = ptan (Tw7T) que puede resolverse fácilmente cuando p y T son conocidos. El resto de la trayectoria de Nyquist se transforma al utilizar los resultados de los problemas 11.41 y 11.42. En la figura 11-61 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist. Por claridad se ha omitido la imagen de la trayectoria fa (s - - jw) ImGH ..,=..,.,. Figura 11-61
- 377. 366 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 11.49. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = 1/(si·+ a2 ). Los polos de GH(s) están en s = ±ja = ±jw0 . En consecuencia, en la figura 11-62 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema. Para la trayectoria ab, w < a, y GH(jw)=~~ a -w GH(jO)=~~ a lim GH(jw) = oo~ .,_a Para la trayectoria be, hacemos s = ja + pej11 , -90º ::=; 0 ::=; 90º; entonces j"' d ja e 17 p -ja ImGH f Figura 11-62 d', e',f' Figura 11-63 En 0 = -90º el límite es x ~; en 0 = Oº es x/-90º; en 0 = 90º es x/-180º. Para la trayectoria cd, w > a , y
- 378. ANALISIS DE NYQUIST 367 1im GH( jw) = oo/ 180° w-+a lim GH(jw) = o/180° w-+oo La trayectoria def se transforma en el origen por medio del problema 11.39, y f g'h'a' es la imagen especular de a'b'e'd' alrededor del eje real. En la figura 11-63 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist resultante. 11.50. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH(s) = (s - z1)/s(s +p), Z¡, p > 0. La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 1 es la misma que para el problema 11.43. Para la trayectoria ad, jw-z GH(jw) = . ( . 1 ) }W JW+ p en donde hemos utilizado Ahora ¡;;¡¡-;f 90° - tan- 1 [ w( p +z¡)] wJw2 + p2 pz¡ - w2 '--------"-----~ lim GH(Jw) = oo/ +90° w-+O GH(Jliz;)= ~~ PyPZ¡ lim GH(jw) =0/-90º w-+oo Así, el lugar geométrico viene del primer cuadrante, atraviesa el eje real positivo hacia el cuarto cuadrante, y se aproxima al origen en un ángulo de -90º. La trayectoria defse transforma en el origen, y la trayectoria ija se transforma en un semicírculo en el infinito. En la figura 11-64 se presenta la gráfica resultante. ImGH a' ., =±ypzl j' d',e',f' ReGH '' 1 ----4i' Figura 11-64
- 379. 368 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El criterio de estabilidad de Nyquist 11.51. Demuestre el criterio de estabilidad de Nyquist. La ecuación(//.//) establece que el número N0 de rodeos R (horarios) del origen, hechos por un contorno cerrado en el plano P, transformados desde un contorno cerrado en el plano complejo, es igual al número de ceros C0 menos el número de polos Po de P encerrados por el contorno del plano complejo: N0 = C0 - P0 • Esto se demostró en el problema 11.26. Ahora hacemos P == 1 + GH. Entonces, el origen para 1 + GH en el plano GH está en GH = -1 (Véanse el ejemplo 11 .6 y el problema 11.33). Por tanto hagamos que N represente el número de rodeos R (horarios) de este punto -1 + jO == (-1, O), y hagamos que el contorno en el plano complejo sea la trayectoria de Nyquist definida en la sección 11.7. Entonces N == C0 - P0 , en donde C0 yP0 son el número de ceros y de polos de 1 + GH encerrados por la trayectoria de Nyquist. P0 también es el número de polos de GH encerrados, puesto que GH == N!D, entonces 1 + GH = 1 + N!D = (D + N)!D. Esto es, GH y 1 + GH tienen el mismo denominador. Sabemos, a partir del Capítulo 5, que un sistema con retroalimentación (continuo o discreto) es absolutamente estable si y sólo si los ceros del polinomio característico 1 + GH (las raíces de la ecuación característica 1 + GH = 0) están en la MIP (o en el círculo unitario), es decir, C0 =O.Por tanto, N = -P0 , y claramente P0 2: O. 11.52. Extienda el criterio de estabilidad de Nyquist a una clase superior de sistemas lineales continuos distintos a los ya considerados en este capítulo. Desoer [5] ha extendido el criterio de estabilidad de Nyquist. El siguiente enunciado es una modificación de esta generalización, la cual se encuentra con su prueba en la referencia. Un criterio generalizado de estabilidad de Nyquist: Considérese el sistema lineal invariable en el tiempo descrito por el diagrama de bloques de la figura 11-65. Si g(t) satisface las ~ondiciones que se dan a continuación y el diagrama de estabilidad de Nyquist de G(s) no encierra el punto (- 1, O), entonces el sistema es estable. Si el punto (- 1, O) está encerrado, el sistema es inestable. r(t) c(t) Figura 11-65 J. G(s) representa un elemento de sistema causal lineal invariable en el tiempo. 2. La relación de entrada-salida en g(t) es en donde ca(t), la respuesta libre del sistema g(t), está limitada para todo t 2: Oy para todas las condiciones iniciales, y tiende a un valor finito, dependiendo de las condiciones iniciales, a medida que t -+· "°· 3. La respuesta impulso unitario para g(t) es fl<,) = rk + fl, <,)11,,)
- 380. ANALISIS DE NYQUIST 369 en donde k 2= O, l(t) es la función paso unitario, g1(t) está limitada y es integrable para todo t 2= O, y g 1(t) -> O a medida que t -> oo. Estas condiciones se cumplen muy a menudo en los sistemas físícos descritos mediante ecua- ciones diferenciales ordinarias y parciales, y ecuaciones de diferencia-diferenciales. La forma del diagrama de bloques en malla cerrada que se muestra en la figura 11-65 no es necesariamente restrictiva. Muchos sistemas de interés pueden transformarse a esta configuración. 11.53. Suponga que la trayectoria de Nyquist para GH(s) = 1/s(s + p) se modificara de tal modo que el polo del origen esté encerrado, como se muestra en la figura 11-66. ¿Cómo modifi- ca esto la aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist? ImGH ; ,, Figura 11-66 Figura 11-67 El diagrama polar permanece igual, pero la imagen de la trayectoria ija hace giros a la izquierda en lugar de hacerlo a la derecha en i' y a', igual que en la trayectoria de Nyquist. Entonces, en la figura 11-67 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist. Con claridad se ve que N = -1. Pero, puesto que el polo de GH en el origen está encerrado por la trayectoria de Nyquist, entonces P0 = 1 y C0 = N + P0 = -1 + 1 = O. Entonces el sistema es estable. La aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist no depende de la trayectoria elegida en el plano s. 11.54. El sistema del problema 11.42, ¿es estable o inestable? Al sombrear la región a la derecha del contorno en la dirección prescrita se produce la figura I 1-68. Resulta claro que N = O. El punto (- 1, O) no está en la región sombreada. Ahora, puesto que p, > Oy P2 > O, entonces P0 =O.En consecuencia N = -P0 = O, o C0 = N + P0 , y el sistema es estable. Im GH ReGH Figura 11-68
- 381. 370 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 11.55. El sistema del problema 11.43, ¿es estable o inestable? En la figura 11-69.se ha sombreado la región a la derecha del contorno. El punto (-1, O) no está encerrado, y N = O. Puesto que P0 = O, entonces C0 = P0 + N = O, y el sistema es estable. ReGH Figura 11-69 11.56. Determine la estabilidad del sistema del problema 11.44. En la figura 11 .70 se ha sombreado la región a la derecha del contorno. Si el punto (- 1, O) se encuentra a la izquierda del punto k, entonces N = O; si éste se encuentra a la derecha, entonces N = I. Puesto que PO = O, entonces C0 = Oó 1. Por tanto el sistema es estable si y sólo si el puntb (- 1, O) se halla a la izquierda del punto k. El punto k puede determinarse resolviendo para GH(jw")' en donde -1 " -1 " _,,, ("') ("') - w = 2 - tan P1 - tan P2 cuando se dan p 1 y P2, w.,, puede determinarse fácilmente a partir de esta ecuación. lmGH i f i i , - ~KR, GH región inestable para el punto
- 382. ANALISIS DE NYQUIST 371 11.57. Determine la estabilidad del sistema del problema 11.46. En la figura 11-71 se ha sombreado la región a la derecha del contorno. Claramente puede verse que N = 1, P0 = Oy C0 = 1 + O = 1. En consecuencia el sistema es inestable para todo p > O. ImGH Figura 11-71 11.58. Determine la estabilidad del sistema del problema 11.47. En la figura 11.72 se ha sombreado la región a la derecha del contorno. Resulta claro que N > O. Puesto que P0 = Opara p > O, entonces N * -P0 . En consecuencia el sistema es inestable. Figura 11-72 Figura 11-72
- 383. 372 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Estabilidad relativa 11.59. Determine: a) la frecuencia de cruce de fase w"' b) la frecuencia de cruce de ganancia w1, e) el margen de ganancia, y d) el margen de fase, para el sistema del problema I 1.44 con p 1 1 y P2 = ½. a) Haciendo w = w,,, tenemos o 3w,./(1- 2w;) == tan('ll'/2)"" oo. Por tanto w,, = {f =0.707. b) De IGH(w, )1 = 1, tenemos /w¡/( w~ + 1)( w~ + 0.25) ... 1 u w1 m 0.82. e) El margen de ganancia l/lGH(w77 )1 puede determinarse de manera fácil de la gráfica, como se muestra en la figura 11.73. También puede calcularse analíticamente: IGH(w77 )I = IGHl(j0.707)1 = 4/3; por tanto el margen de ganancia = 3/4. círcuJo unitario ImGH Figura 11-73 ReGH lm GH ~-- 1 ' 4 "' 1 j' d',e',f' a' Figura 11-74 ReGH
- 384. ANALISIS DE NYQUIST 373 d) El margen de fase puede determinarse con facilidad a partir de la gráfica o analíticamente: arg GH( w1) =arg GH(0.82) =-90° - tan- 1 (0.82) - tan-1 (1.64) =-187.8° En consecuencia <PMF = 180º + arg GH(w) = -7.8º. El margen de fase negativo significa que el sistema es inestable. 11.60. Determine los márgenes de fase y de ganancia en el sistema (GH = 1/s) del problema 11.43. El diagrama de estabilidad de Nyquist de 1/s, como se muestra en la figura 11-74, nunca atraviesa el eje real negativo; en consecuencia el margen de ganancia es indefinido para este siste- ma. El margen de fase es <PMF = 90º. Círculos M y N 11.61. Verifique las ecuaciones (JJ. J8) y (JJ.J9), las cuales dan el radio y el centro de un círculo M, respectivamente. Hagamos G(w) = x + jy. Entonces 1 G( w) 1 1 x +jy 1 M = I + G( w) = 1 + x +jy Elevando al cuadrado ambos lados y reordenando, se produce [ X - ( 1 ~:2 ) r+Y 2 = ( 1 -MM2 r [X+ ( M:~1)r+y 2 = (~r M<l M>l Para M = constante, estas ecuaciones son círculos con radios IM/(M2 - 1)1 y centros en (-M2 /(M2 - 1), O). 11.62. Verifique la ecuación (] 1.20). La función de transferencia G para un sistema continuo de segundo orden, cuyo grafo de flujo de señales se muestra en la figura 11-75, es G = w;/s(s + 2fwn) Ahora M2=1~12 l+G w4 n
- 385. 374 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 G 1 • • o .. • R e Figura 11-75 Para encontrar w¡,, hallamos el máximo de la expresión anterior: d 2 w![2(w;,-,.i2)(-2w)+8fw~w] -( M ) =---"-------~=O dw [( w;, - w2)2 +4fw;,w2] 2 de la cual w = w" = ±w,,Vl - 2f. Por tanto para O~ t ~ 0.707, 11.63 Verifique las ecuaciones (/ / .2 /) y (/ / .22), las cuales dan el radio y el centro de un círculo N. Hagamos G(w) = x + jy. Entonces C(w) x2 +x+y2 +jy R(w) = (l+x)2+y2 y Im( C/R)( w) y N=----- Re( C/R)( w) x2 + x +·y2 lo cual produce Para N igual a un parámetro constante, ésta es la ecuación de un círculo de radio / ¼+ (1/2N ) 2 y centro en ( - ½, l/2N). 11.64. Encuentre MP y (para el sistema con retroalimentación unitaria dado por G = 1/s(s + 1). La función de transferencia general en malla abierta para un sistema de segundo orden es G = w;,/s(s + 2tw,,). Entonces w,, = 1, t = 0.5, y MP = 1/(2t/i - t2)= 0.$66.
- 386. ANALISIS DE NYQUIST Problemas misceláneos 11.65. Determine el diagrama polar en z P(z}=- z-1 para un periodo de muestreo T = 1. 375 La solución requiere la transformación de la franja desde -jw, 12 hasta jw, 12 sobre el eje jw del planos, o, de modo equivalente, w = -7r hasta w = 7T radianes en el círculo unitario del plano z al plano P(ej). Tenemos P(e±j1) = O.sLQ:,y P(ejO) = co/ ±90°. La evaluación de P(ej) para diferentes valores de w entre -7r y Oda una línea recta paralela al eje imaginario en el plano P, como se muestra en la figura 11-76, en donde los segmentos desde a hasta by desde g,hasta a transforman los segmentos correspondientes del círculo unitario en la figura 11-13. ImP </>o w=O b' 1 1 1 '1 1 1 . 1w = ±1r radianes ½ 0 ' Re P Figura 11-?6 11.66. Determine el diagrama polar de la función de transferencia en malla abierta del sistema discreto del tipo O. ( ) Hz+l){z+½)K GH z = ( 1 ) z z + 2 paraK= 1 yT= l. En este caso, el diagrama polar, como se muestra en la figura 11-77, se ha dibujado mediante un computador. El programa de computador evalúa GH(ej) para valores de wT = w en el rango de -7r hasta 7r radianes, separa cada resultado en las partes real e imaginaria (forrr¡a compleja) y luego genera la gráfica rectangular a partir de estas coordenadas.
- 387. 376 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL lmGH 0.3 -------......- ................. ,, ,, / ,, 0.2 /' , ,, ', u ' a' b' 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ReGH -0.1 -0.2 -0.3 Figura 11-77 11.67. Determine el diagrama polar de la función de transferencia en malla abierta del sistema discreto del tipo I. paraK= I yT= l. K(z + 1)2 GH( z) = --~--,-,---,- ( z - l)(z + ½)(z + ½) Como en el problema 11.66, el diagrama polar que se presenta en la figura 11-78 fue generado por computador, exactamente de la misma manera como se describió en el problema anterior. C' lmGH 4 2 a' ----------- -] -0.5 -2 --4 Figura 11-78 ReGH
- 388. ANALISIS DE NYQUIST 377 11.68. Determine la estabilidad absoluta del sistema dado en los ejemplos 11.11 y 11.14, para K~2yT=I. En la figura 11-79 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para K = 2. La región a la derecha se ha sombreado y lagráficapasaexactamentepor(-1, O). Así, N > Oy N * -P0 , el cual es cero para este problema. En consecuencia el sistema es marginalmente estable para K = 2. Para K > 2, el punto (-1, O) está encerrado por completo N = 1, y el sistema en malla cerrada es inestable. ImGH ReGH Figura 11-79 11.69. Determine el diagrama de estabilidad de Nyquist en el sistema dado en el problema 11.65. Notamos que P(z) == z/(z - 1) tiene un polo en 1, así que debemos comenzar transformando al plano P el segmento desde b hasta e del semicírculo infinitesimal cerca de z = 1, en la figura 11-13. En su conjunto, tenemos una transformación conforme, así que la gráfica debe girar a la derecha en b'. Entre by e, z = 1 + peí"', con cp aumentando desde -90º hasta Oº. En consecuencia 1 + peí</> P(l+peí"')= . peJ"' y Por tanto, el arco desde b hasta e en el plano z se transforma en el semicírculo infinito desde b' hasta e', desde +90º hasta Oº, como se muestra en la figura 11-80. Para obtener la transforma- ción de la línea desde e hasta den la figura 11-13, notamos que ésta es la transformación de P(z) desde z = J/üºhasta z = x ~ (ángulo cp constante), esto es, P(l) = oo~ a ( 1 +a ) ( 1 +a ) ¡ "º 1im - - - - 1im - - -1~ a-oo l+a-1 a-oo a en donde hemos remplazado z en P(z) por 1 + a al obtener el límite. La línea e' ad' (oo -+ 1) en la figura 11-80 muestra la transformación resultante.
- 389. 378 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ImP o l 4 b' l 2 e' /' ReP Figura 11-80 El círculo infinito de Oº a -360º, desde d hasta e en la figura 11-13, se transforma en el semicírculo infinitesimal alrededor del punto z = I en el plano P, porque Rei<I> ei</> P( Rei<I>) = Reí"' - 1 = . 1 e1<1>_ - R y P --+ I a medida que R --+ x para cualquier <f:,; unas pocas evaluaciones del arg P(Rei<f) para valores de <f:, entre Oº y - 360º muestran que el límite se aproxima desde valores en el primer cuadrante de P cuando O < <f:, < - 180º, y desde el cuarto cuadrante cuando - 180º < <f:, < - 360º, con P(R<!<f:,) = 1/(1 + 1/R) < 1 para R > Oen <f:, = I80°. En la figura 11-80 se muestra el arco d' a e' resultante. El arco e' a f en la figura 11-80 se obtiene de la misma manera que el de e' a d', tomando los límites de (a + I)/a a medida que a --+ x y O. Y el cierre final del diagrama de estabilidad de Nyquist, el arco f a g' se obtiene, como se muestra, de la misma manera que. el de b' a e'. 11.70. Para GH = P = zl(z - 1) del problema 11.69, ¿es estable el sistema en malla cerrada? En la figura 11-80 se ha sombreado la región a la derecha del contorno y ésta no encierra el punto (-1, 0). En consecuencia N ::SO. El único polo de CH está en z = 1, el cual no está por fuera del círculo unitario. Así P0 = O, N = -P0 = O, y el sistema es absolutamente estable. 11.71. Determine la estabilidad del sistema dado en el problema 11.66. La función de transferencia en malla abierta es ¾(z+l){z+½) CH= ----,~---,~- z( z+ ½)
- 390. ANALISIS DE NYQUIST 379 En la figura 11-77 se presenta el diagrama polar de GH, que es la transformación de los arcos desde a hasta by desde g hasta a de la figura 11-13. No hay polos de GH en el círculo unitario, así que no se necesitan los arcos infinitesimales de b a e y deja g de la figura 11-13. Haciendo z = 1 + a y utilizando los mismos procedimientos para hallar el límite, mostrados en el problema 11.70, las líneas rectas hacia el infinito y desde el infinito, b ad y e ajen la figura 11-13, se transforman en las líneas deba d y de e aj entre Re GH¾ y Í- De modo similar, remplazando a z por 1 + ReN, y cuando R - 00 , el arco infinito desde d hasta e se transforma en el semicírculo infinitesimal alrededor de ReGH = i, como se muestran todos en la figura 11-81. ImGH b' g' Re GH Figura 11-81 Como se muestra, el punto (-1, O) no está encerrado por este contorno, N = OP0 = O, y el sistema en malla cerrada es absolutamente estable. 11.72. Determine la estabilidad del sistema dado en el problema 11.67. La función de transferencia en malla abierta es (z+l}2 GH = -----,----~ (z-l}{z+½)(z+½) En la figura 11-78 se presenta el diagrama polar de GH. La conclusión de la transformación del contorno cerrado del exterior del círculo unitario en el plano z (figura 11-13) resulta muy parecida a la descrita en el problema 11.69 y en el ejemplo 11. 11. En este caso, el punto (-1, O) está encerrado una sola vez porel contorno, estoes,N = 1. PuestoqueP0 = OyC0 = N +Po= 1, entonces un cerode 1 + GH está por fuera del círculo unitario del plano z, y el sistema en malla cerrada en consecuencia es inestable (figura 11-82).
- 391. 380 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL lmGH Figura 11-82 Problemas suplementarios 11.73. Si en el problema 11 .48, T = 2 y p = 5, ¿es estable este sistema? 11.74. ¿Es estable o inestable el sistema del problema 11.49? 11.75. ¿Es estable o inestable el sistema del problema 11.50? K(s +z1}(s + z2 ) 11.76. Dibuje el diagrama polar para GH = ------- z;, p¡ > O. s3 (s +p¡)(s +p2 )' K 11.77. Dibuje el diagrama polar para GH = ( )( .)( ) , P; > O. s+p¡ s+p2 s+p3 e' /' ReGH 11.78. Encuentre la respuesta de frecuencia en malla cerrada del sistema con retroalimentación unitaria descrito por G = lO( s +O.S} Utilizando los círculos M y N. s2 (s+l}(s+l0)'
- 392. ANALISIS DE NYQUIST . . . K(s+z1) 11.79. Dibuje el diagrama polar para GH = 2 ( )( )( ) , z1, P; > O. s s +p1 s + p2 s +p3. Ke-Ts 11.80. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para GH = - - - s( s + l)" 11.81. Dibuje el diagrama polar para s+ Zi GH = _(___ ) , z1, p1 > 0. s s +P1 11.82. Dibuje el diagrama polar para GH = ( )( ) , z1, P; > 0. s s +Pi s +P2 S+ Zi K 11.83. Dibuje el diagrama polar para GH = 2 ( , P; > O. s s+p1 )(s+p2 ) s+zi 11.84. Dibuje el diagrama polar para GH = ----, Zi, Pi> O. s2 (s+p1) 11.85. Dibuje el diagrama polar para GH = 2 ( )( ·) , z1, P; > O. s s +P1 s +P2 S + Z¡ . . . (s+z1)(s+z2 ) 11.86. Dibuje el diagrama polar para GH = - - - - - - - - - - , Z;, P; > O. s2(s +p1 )(s +P2Hs +p3) K 11.87. Dibuje el diagrama polar paraGH= 3( )( )' p¡>O. s s +P1. s +P2 . . . (s+zi) 11.88. Dibuje el diagrama polar para GH = 3 ( )( ) , Zi, P; > O. s s +P1 s +P2 S +Zi 11.89. Dibuje el diagrama polar para GH = 4 , Zi,}'i > O. s (s +p1) e-Ts(s+z1) 11.90. Dibuje el diagrama polar para GH = 2 ( ) , z1, p1 > O. s s+p1 e-r.,(s+z) 11.91. Dibuje el diagrama polar para GH = 2 ( 2 )( / ) , z1, a, b > O. s s +a s +b 11 92 D.b · 1 d. 1 GH (s-zi) O • • 1 Uje e iagrama po ar para = 2 ( ) , Z¡, P1 > . s s +P1 s 11.93. Dibuje el diagrama polar para GH = ( )( ) , P; > O. s +P1 s- P2 381 11.94. En la figura 11-12 se presentan diferentes partes de la trayectoria de Nyquist para sistemas conti- nuos, y los diferentes segmentos se definen matemáticamente por medio de las ecuaciones(// .5) a
- 393. 382 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL la(//. /2). Escriba las ecuaciones correspondientes a cada segmento de la trayectoria de Nyquist para los sistemas discretos en el tiempo que se dan en la figura 11-13. (Una de éstas se presenta en el problema 11 .11. Véanse también los problemass 11.69 y 11 .70). Respuestas a algunos problemas suplementarios 11.73. Sí 11.74. Inestable 11.75. Inestable 11.76. ImGH ReGH 11.77. ImGH ReGH 11.79. ImGH ReGH
- 395. Capítulo 12 Diseño utilizando el análisis de Nyquist 12.1 Filosofía del diseño El diseño mediante el análisis en el dominio de la frecuencia utilizando las técnicas de Nyquist se realiza de la misma manera general que los otros métodos de diseño descritos en este libro: se introducen redes de compensación apropiadas en las trayectorias directa o de retroalimentación, y se analiza y reanaliza críticamente el comportamiento del sistema resultante. De este modo se da forma y se reforma el diagrama polar hasta que se cumplan las especificaciones de desempeño. El procedimiento se facilita notablemente cuando se utilizan programas de computador para generar diagramas polares. Puesto que el diagrama polar es una representación gráfica de la función de respuesta de frecuencia GH(w) en malla abierta, muchos tipos de componentes de compensación pueden utilizarse en la trayectoria directa o en la de retroalimentación, llegando a ser parte de G o de H. A menudo, la compensación en una sola trayectoria, o una combinación de compensación por retro- alimentación y en cascada, pueden utilizarse para satisfacer las especificaciones. En este capítulo se hace énfasis en la compensación en cascada. 12.2 Compensación del factor de ganancia En el Capítulo 5 se destacó que un sistema inestable con retroalimentación puede estabilizarse algunas veces, o que un sistema estable puede desestabilizarse, al ajustar de manera apropiada el factor de ganancia K de CH. El método del lugar de las raíces, descrito en los Capítulos 13 y 14, ilustra claramente este fenómeno, pero también se evidencia en los diagram<lS de estabilidad de Nyquist. EJEMPLO 12.1. La figura 12-1 indica un sistema continuo inestable cuando el factor de ganancia es K 1, en donde K1 GH(s)=----- s(s+p1)(s+p2) P1, P2, K¡ > O P0 =0 N=2 Como se ilustra en la figura 12-2, una disminución suficiente en el factor de ganancia a KiK2 < K1) estabiliza el sistema. K2 GH(s)=----- s(s +p1)(s +p2) La disminución adicional de K no altera la estabilidad. N=O
- 396. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST Figura 12-1 (-1.0)r I I ' I K=K,I lmGH Figura 12-2 ReGH ReGH EJEMPLO 12.2. El sistema de control del tipo discreto en el tiempo con 1 GH1 = -(z---1)....,(_z___ ½..,...) 385 es inestable, como se muestra en la figura 11-79 y en el problema 11.68. Esto es, la función de transferencia en malla abierta K/4 GH == -(z---1-)-,--( z---½.._...) se encontró inestable para K 2: 2. Por tanto puede utilizarse compensación del factor de ganancia para estabilizar GH1, atenuando el factor de ganancia K 1 = 1 de GH1 por un factor menor que 0.5. Por ejemplo, si al atenuador se le da un valor de 0.25, la GH = GH2 resultante tendría el diagrama de estabilidad de Nyquist de la figura 11-25, el cual se mostró en el ejemplo 11.14 para representar un sistema estable. EJEMPLO 12.3. En la figura 12-3 se indica la región estable para el punto (- 1, 0) mediante la parte no sombreada del eje real:
- 397. 386 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ( ) K(s +z1)(s +z2) GH s - -,---------- s2(s +P1)(s +pz)(s +p3) z1 , Zz > 0 Figura 12-3 P;>O ReGH Si el punto (-1, O) cae en la región estable, un aumento o disminución de K puede causar un desplazamiento en el contorno de GH, hacia la izquierda o hacia la derecha, suficiente para desestabilizar el sistema. Esto puede suceder porque la región sombreada (inestable) aparece a la derecha y a la izquierda de la región no sombreada (estable). Este fenómeno se llama estabilidad condicional. Aunque a menudo la estabilidad absoluta puede alterarse al ajustar sólo el factor de ganancia, otros criterios de desempeño tales como los relacionados con la estabilidad relativa, usualmente requieren compensadores adicionales. 12.3 Compensación del factor de ganancia utilizando círculos M El factor de ganancia K de G en un sistema con retroalimentación unitaria puede determinarse para un pico resonante específico MP por medio del siguiente procedimiento, el cual requiere dibujar el diagrama polar una sola vez. Paso 1: Dibuje el diagrama polar de G(w) para K 1. Paso 2: Calcule Wp, dado por (12.1)
- 398. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 387 Paso 3: Dibuje una línea radial AB a un ángulo 'IJIP por debajo del eje real negativo, como se muestra en la figura 12-4. Im G ImG A Re G A ReG Figura 12-4 Figura 12-5 Paso 4: Dibuje el círculo MP tangente tanto a G(w) como a la líneaAB en C. Trace entonces una línea CD perpendicular al eje real como se muestra en el diagrama polar del ejemplo de la figura 12-5. Paso 5: Mida la longitud de la línea AD a Jo largo del eje real. El factor de ganancia K necesario para el MP especificado se calcula por medio de 1 KM= - P longitud de la línea AD (12.2) Si se dispone del diagrama polar de G para otro factor de ganancia K' diferente de K = 1, no es necesario repetir esta gráfica para K = 1. Simplemente aplique los pasos 2 al 5 y utilice la siguiente fórmula para el factor de ganancia necesario para alcanzar el MP especificado: K' KM= . P longitud de la línea AD (12.3) 12.4 Compensación por adelanto La función de transferencia para una red de adelanto en un sistema continuo, presentada en la ecuación (6.2), es P adelanto s+a s+b en donde a < b. En la figura 12-6 se muestra el diagrama polar de Padelanto para O ~ w < oo.
- 399. 388 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Im Padelanto Padelanto {O) ~padelanto ( 00 ) (a/b,O) (1,0) Re Padelanto l<'igura 12-6 Para algunos sistemas en los cuales es aplicable la compensación por adelanto, una elección apropiada del cero en -a y el polo en -b permite un incremento en el factor de ganancia K en malla abierta, proporcionando mayor exactitud (y algunas veces estabilidad), sin afectar adversamente la respuesta transitoria. A la inversa, para un K dado, el desempeño transitorio puede mejorarse. En algunos casos, las respuestas en estado estacionario y transitoria pueden modificarse de modo favorable con una compensación por adelanto. La red de adelanto proporciona compensación en virtud de su propiedad de adelanto de fase en el rango de baja a media frecuencia y su atenuación es imperceptible a altas frecuencias. El rango de baja a media frecuencia se define en la vecindad de la frecuencia resonante wP. Varias redes de adelanto pueden conectarse en cascada si se requiere un adelanto de fase grande. La compensación por adelanto generalmente aumenta el ancho de banda de un sistema. EJEMPLO 12.4. En la figura 12-7 se presenta el diagrama polar para K¡ GH1(s)=----- s(s +p1 )(s +p2 ) (-1,0) círculo, unitario lmGH1 Figura 12-7 K¡, P1, P2 > O Re GH1 Este sistema es estable, y el margen de fase <J>MF es mayor que 45º. Para una aplicación dada, <J>MF es demasiado grande y causa un tiempo de retardo Td mayor que el deseado en la respuesta transitoria del sistema. El error en estado estacionario también es demasiado grande. Esto es, la constante de error de velocidad K, es demasiado pequeña para un factor de Á > 1, Modificaremos este sistema mediante una combinación de compensación del factor de ganancia, para cumplir la especificación en estado estaciona-
- 400. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 389 rio, y la compensación por adelanto de fase, para mejorar la respuesta transitoria. Suponiendo H(s) = 1, la ecuación (9.12) produce y por tanto Haciendo K2 = AK1, la función de transferencia en malla abierta es entonces El sistema representado por CH2 tiene la constante de velocidad deseada Kv2 = Ji.Kv,. Consideremos ahora lo que le sucedería a Kv2 de CH2 si se introdujera una red de adelanto. Esta actúa como un atenuador a bajas frecuencias. Esto es, puesto que a!b < l .'En consecuencia, si la red de adelanto se usa para modificar la respuesta transitoria, el factor _de ganancia K1 de CH, debe aumentarse A(bla) veces para cumplir con el requerimiento de estado estacionario. La parte del factor de ganancia de la compensación total debería ser entonces más grande de lo que se necesitaría si sólo tuviera que cumplirse la especificación en estado estacionario. Por tanto modifica- mos CH2 , produciéndose >..K1(b/a) CH3 = ------- s(s +P1)(s +P2) Como ocurre a menudo, el sistema se desestabiliza al aumentar el factor de ganancia en una cantidad tan grande como A(bla) veces, como se muestra en los diagramas polares de CH,, CH2 y CH3 en la figura 12-8. ImGH ReGH GH, Figura 12-8
- 401. 390 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Ahora, insertemos la red de adelanto y determinemos sus efectos. GH3 se hace >..Ki(b/a)(s + a) GH4 = --------- s( s +Pi)( s + p2 )( s + b) El lim, -olsGH4 (s)J =">..Kv1 nos convence de que la especificación en estado estacionario se ha cumplido. En efecto, en la región de muy bajas frecuencias tenemos XKi GHiJw)l .muypequeno;;; . ( . )( . ) "' )W )W +Pi JW +P2 =GH2 Por tanto el contorno GH4 prácticamente coincide con el contorno GH2 en el intervalo de frecuencias muy bajas. En la región de frecuencias muy altas, . XKi(b/a) GH4 (Jw)lw muy grande;;; . ( . )( . ) = GH3 )W JW +Pi JW +P2 En consecuencia, el contorno GH4 casi coincide con el contorno GH3 para frecuencias muy altas. En el intervalo de frecuencias medias, en donde la propiedad de adelanto de fase de la red de adelanto altera de manera sustancial las características de fase de GH4 , su contorno se inclina desde el lugar geométri- co de GH2 hacia el de GH3 a medida que w aumenta. Este !fecto se entiende mejor si escribimos GH4 en la forma siguiente: GH4 (Jw) = [ XKi(b/a) ] . [jw+a] Jw(Jw +Pi)(Jw +Pi) jw + b = GH3.(Jw) ·Padelanto (Jw) = GH3(Jw) ·IPadelanto• (Jw) 1/e/>( W) ImGH círculo unitario --....... / ' I ~ (-1,0)~ / I I I I GH3 / I 1 " Figura 12-9 ReGH
- 402. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 391 en donde IPactelanto (jw)I = Y(w2 + a 2 )/(w2 + b2 ), </>(w) = tan- 1 (w/a) - tan- 1 (wlb), a/b < IPactellmto (jw)I < 1, Oº< </>(w) < 90º. En consecuencia la red de adelanto modifica GH3 como sigue. GH3 se desplaza hacia abajo comenzando en GHJ(joo) en la dirección S (antihoraria) hacia GH2 , debido a la contribución de fase positiva de Padelanto [Oº < </>(w) < 90º1- Además está atenuada [O < lPactelanto (jw)I < 1]. En la figura 12-9 se ilustra el diagrama polar resultante para GH4 . El sistema representado por GH4 claramente es estable, y <PMF es menor que 45º, al reducir el tiempo de retraso T" del sistema original representado por GH1• Mediante un procedimiento de ensayo y error, el cero en -a y el polo en -b pueden elegir de tal manera que se alcance un Mp específico. En la figura 12-1Ose presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado. Por conve- niencia sólo se muestra la retroalimentación unitaria. R red de adelanto 12.S Compensación por atraso amplificador del factor de ganancia Figura 12-10 función de transferencia de la malla original e La función de transferencia para la red de atraso en un sistema continuo, presentada en la ecuación (6.3), es Patraso= ~ [S + b] b s+a en donde a< b. En la figura 12-11 se presenta el diagrama polar de Pa,raso para O ::5 w < oc. lm Patraso Patraso<00 ) Re Patraso Figura 12-11 Usualmente la red de atraso produce compensación en virtud de su propiedad de atenuación en la parte de alta frecuencia del diagrama polar, puesto que :Patraso (O) = 1 y Patraso (oc) = a!b < 1. Varias redes de atraso pueden colocarse en cascada para proporcionar una atenuación aún mayor,
- 403. 392 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL si se necesita. La contribución de atraso de fase de la red de atraso a menudo se restringe mediante el diseño al intervalo de muy baja frecuencia. Algunos de los efectos generales de la compensa- ción por atraso son: 1. Usualmente disminuye el ancho de banda del sistema. 2. La constante de tiempo dominante 7 del sistema a menudo aumenta, produciendo un sistema más lento. 3. Para una estabilidad relativa dada, el valor de la constante de error aumenta. 4. Para un valor dado de la constante de error, la estabilidad relativa se mejora. El procedimiento para utilizar la compensación por atraso para mejorar el desempeño del sistema es esencialmente el mismo usado para la compensación por adelanto. EJEMPLO 12.5. Rediseñemos el sistema del ejemplo 12.3 utilizando un factor de ganancia más la com- pensación por atraso. La función de transferencia en malla abierta original es K1 GH1 = ------- s( s +P1)(s +Pi) La función de transferencia de la compensación del factor de ganancia es ">.K1 GH2 = - - - - - - s(s +p¡)(s +p2 ) Puesto que Pa1raso (O)= 1, la introducción de la red de atraso después que se ha cumplido el criterio de estado estacionario mediante la compensación del factor de ganancia, no requiere un aumento adicional en el factor de ganancia. Introduciendo la red de atraso, obtenemos Ahora ">.K1(a/b)(s + b) GH3= ---------- s(s +p1 )(s +p2 )(s + a) lim [ sGH3(s)] = ">..K,,1 s->O en donde Kv1 = K1/p 1p2 • Por tanto GH3 cumple la especificación de estado estacionario. En la región de frecuencias muy bajas, GH3(jw)I,,, muy pequeño Por tanto GH casi coincide con GH2 a frecuencias muy bajas, y en este intervalo se manifiesta de por sí la propiedad de atraso de esta red. En la región de frecuencias muy altas, . ">.(a/b)K1 GH3(Jw)I,,, muy grande;¡¡ . (. )(. ) =">.(a/b)GH1(jw) JW JW +P1 JW +P2
- 404. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 393 En consecuencia, el contorno GH{ se encuentra por encima o por debajo del contorno GH 1, dependiendo de si , > b!a o si , < b!a, respectivamente. Si , = b!a, los contornos GH{ y GH1 coinciden. En el intervalo de frecuencias medias, el efecto de atenuación de Patraso aumenta a medida que w se hace más grande, y hay un atraso de fase relativamente pequeño. En las figuras 12-12 y 12-13 se presentan el diagrama polar resultante (con, = b!a) y un diagrama de bloques del sistema completamente compensado. R círcul_o¡ umtano (-1,0) red de atraso I I • I I 1 IGH, 1 Figura 12-12 amplificador del factor de ganancia Figura 12-13 12.6 Compensación por atraso-adelanto ImGH función de transferencia de la malla original. ReGH e La función de transferencia para una red de atraso-adelanto en un sistema continuo, presenta- da en la ecuación (6.4), es en donde a 1b2/b1a2 = 1, b1/a1 = b2/a2 > 1, a;, b; >O.En la figura 12-14 se presenta el diagrama polar de PAA para O ::5 w ::5 oo.
- 405. 394 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ImPAA RePAA Figura 12-14 La compensación por atraso-adelanto tiene todas las ventajas de la compensación por atra_so y de la compensación por adelanto, y solamente un mínimo de sus características inconvenientes. La satisfacción de muchas especificaciones del sistema es posible sin la carga de un excesivo ancho de banda y de pequeñas constantes de tiempo dominantes.. No es fácil generalizar sobre la aplicación de la compensación por atraso-adelanto o prescribir un método para su empleo, especialmente al utilizar las técnicas de Nyquist. Pero, con propósitos ilustrativos, podemos describir cómo altera las propiedades de un sistema simple del tipo 2, con el ejemplo siguiente. EJEMPLO 12.6. En la figura 12-15 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para K GH=---- s2(s+p1) P1, K>O puede verse con claridad que el sistema es inestable, y ninguna compensación del factor de ganancia puede estabilizarlo porque el contorno para O < w < oo siempre está por encima del eje real negativo. La compensación por atraso también es inaplicable, básicamente por la misma razón. ReGH Figura 12-15 Im GHadelanto efecto de la wmpensación por adelanto Figura 12-16 Re GHadelanto
- 406. DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 395 Como se muestra en la figura 12-16, la compensación por adelanto puede lograr la estabilización del sistema. Pero la aplicación deseada para el sistema compensado puede pedir un ancho de banda menor que el que puede lograrse con la red de adelanto. Si se utiliza la red de atraso-adelanto, la función de transferencia en malla abierta se hace K(s +a1 )(s + bi) GHLL = _2__________ S ( S +p¡)( S + b¡)(S + ª2) y el diagrama polar se presenta en la figura 12-17. Este sistema es condicionalmente estable si el punto (- 1, O) cae sobre el eje real en la región no sombreada. Por ensayo y error, los parámetros de la red de atraso- adelanto pueden escogerse para producir un buen desempeño transitorio y en estado estacionario en este sistema previamente inestable, y el ancho de banda será más pequeño que el del sistema compensado por adelanto. Un paquete de diseño de sistemas de control con ayuda del computador (DAC), o cualquier programa que genere diagramas polares, pueden utilizarse para ayudar a realizar esta tarea de manera rápida y efectiva. Figura 12-17 12.7 Otros esquemas de compensación y combinaciones de compensadores Muchos tipos de redes físicas pueden utilizarse para compensar los sistemas de control con retroalimentación. Las redes de compensación también pueden implementarse mediante progra- mas de aplicación (software), como parte de un algoritmo de control en un sistema controlado por computador. Los controladores PID son de una clase bastante popular (véanse los ejemplos 2.14 y 6.7, y la sección 10.5). En los ejemplos 12.4 y 12.5 se utilizaron combinaciones de redes con factores de ganancia de adelanto o de atraso respectivamente, y en el ejemplo 12.6 se utilizó sólo un compensador por atraso-adelanto. Otras combinaciones también son factibles y efectivas, particularmente donde los requerimientos de error en estado estacionario no pueden alcanzarse mediante la sola compen- sación del factor de ganancia. A menudo este es el caso cuando la función de transferencia en malla abierta tiene muy pocos "integradores", esto es, términos en el denominador de la forma s1 para sistemas continuos, o (z - 1f para sistemas discretos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
- 407. 396 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 12.7. Nuestro objetivo es determinar un compensador apropiado G1(z) para el sistema digital que se muestra en la figura 12-18. El sistema en malla cerrada resultante debe cumplir las siguientes especificaciones de desempeño: 1. El error en estado estacionario e(oo) 1 - c(ooJ ::5 0.2, para una entrada rampa unitaria. 2. Margen de fase 'PMF 2: 30º. 3. Frecuencia de cruce de ganancia w1 2: 10 rad/s* Figura 12-18 El periodo de muestreo en este sistemaes T = 0.1 s (frecuenciaangulardemuestreowm = 21T / 0.1 = 20?Trad/s). Primero notamos que la planta es un sistema del tipo O, porque no hay ningún término "integrador" de la forma (z - 1)1 en el denominador de G2(z) para l 2: 1 (véase la sección 9.8). Para cumplir la primera especificación de desempeño, inmediatamente se aprecia con claridad que el tipo de sistema global en malla abierta debe incrementarse en un factor por lo menos de 1, esto es, el sistema compensado debe ser por lo menos del tipo I , para alcanzar un error en estado estacionario finito para una entrada rampa unitaria..En consecuencia adicionamos un polo sencillo en z = 1, como Gí, en un primer paso para determinar la compensación apropiada: 3(z+l)(z+½) G'G == ----~--s-- 1 2 8z(z-1)(z+½) Ahora, a partir de la tabla de la sección 9.9, el error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria es e(00) = IIKv, y la constante de error de velocidad es Kv= 3(2)(1)18(½) =f. En consecuencia e(oo) =½,que es mayor que el valor de 0.2 requerido por la especificación de desempeño 1. L;i siguiente pregunta obvia es si la adición de una compensación del factor de ganancia sería suficiente para completar el diseño. Esto requeriría un aumento en la ganancia en por lo menos un factor de Á 1/(0.2) (f) = lf, lo cual produce Para verificar los criterios de desempeño restantes (2 y 3) la frecuencia de cruce de ganancia w1 y el margen de fase 'PMF pueden evaluarse a partir de las ecuaciones que los definen en la sección 11.11. Tenemos *Véase el problema 12.16 j>ara un análisis adicional de esta especificación de desempeño y su relación con el ancho de banda AB del sistema.
- 408. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 397 y w1 satisface la ecuación Ahora, w 1 y </>MF podrían determinarse de manera gráfica a partir de un diagrama de estabilidad de Nyquist de Gí'G2 , como se muestra en la figura 11-16. Pero una tarea menos difícil es resolver w1 y <f>MF a partir de las ecuaciones que los definen, preferiblemente empleando un programa de computador capaz de hacer cálculos numérios complejos. Esto puede hacerse al sustituir primero zen Gí'G2(z) por e1oñ, y utilizar las sustituciones de la forma polar, la forma de Euler y/o la forma compleja [ecuaciones (11.2) a la (11.4)] y luego resolver para w1T de tal modo que 1Gí'G21= l. A este,respecto la solución por ensayo y error de w1T puede ser útil, ya que la utilizamos para encontrar w 1T = 2.54 rad, después éle varios ensayos, lo cual da como resultado Gí'Gz(w1) = -0.72 + jO.7, y </JMF =, [ 180º - tan-l( _:~ 72 )] = -44.4° Con claridad se ve que w1 = 2.54/0.1 = 25.4 > 10 rad/s satisface la espécificación 3 de desempeño pero no el requerimiento 2 del margen de fase, porque <f>MF = -44.4° 130º, el margen de fase negativo también indica que el sistema en malla cerrada con Gí'G2 es inestable. La introducción de un compensador por atraso podría resolver la restricción restante porque éste au- menta el margen de fase sin afectar el error en estado estacionario. La función de transferencia de un compensador digital por atraso se presentó en el ejempfo 6.12, ecuación (6.11), como Patraso (z) = - - - - . ( 1 - Pe ) [ z - Zc] 1 - zc Z - Pe (12A) en donde Ze < Pe· Nótese que Pairaso(l) = Patraso (eJJ) = 1, lo cual explica porqué la red de atraso no afecta la respuesta en estado estacionario de este sistema del tipo 1. En la figura 12-26 se presenta el diagrama polar de Patraso, El problema ahora es escoger los valores apropiados de ze y Pe que produzcan <f>MF ~ 30º y w 1 ~ 10 rad/s. De nuevo, efectuamos esto por ensayo y error, utilizando un computador para evaluar la solución simultánea para Ze y Pe de las dos relaciones IG{" G2(10)1 = 1, y en donde G/"G2 = Pairaso (G/'G2). Estas ecuaciones tienen múltiples soluciones y, a menudo, unas buenas elecciones paraPe y ze son valores cercanos a 1, porque entonces Patraso tiene efectos mínimos sobre la fase de G/'G2 a frecuencias más altas. El polo y el cero de Parraso efectivamente se cancelan entre sí a altas frecuencias cuando sus valores son cercanos a 1. Después de varios ensayos, obtuvimos a =0.86 y b = 0.97, y un compensador final: l.59(z-0.86) G¡(z)=G¡'"(z)= (z-l)(z-0.97) En la figura 12-19 se presenta el diagrama polar resultante (para O < w < 1T) en el sistema compensado G1G2 con </>MF > 30º.
- 409. 398 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1.5 Figura 12-19 El ejemplo anterior se trabajó por medio de las técnicas del lugar de las raíces del ejemplo 14.5, y también mediante los métodos de Bode del ejemplo 16.6, la última solución utilizando la transformada w presentada en la sección 10.7. Problemas resueltos Compensación del factor de ganancia 12.1. Considere la función de transferencia en malla abierta GH = -3/(s + l)(s + 2). ¿El sistema representado por GH es estable o inestable? Inestable. La ecuación característica se determina a partir de 1 + GH = Oy está dada mediante s2 + 3s - 1 = O. Puesto que todos los coeficientes no tienen el mismo signo, el sistema es inestable (véase el problema 5.27). 12.2. Determine el valor mínimo del factor de ganancia para estabilizar el sistema del problema anterior. Escribamos GH como GH = Kl(s + 1)(s + 2). Entonces la ecuación característica es s2 + 3s + 2 + K = O, y la tabla de Routh (véase la sección 5.3) es 1 3 2+K) (2+ K) o
- 410. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 399 Por tanto el factor de ganancia mínimo para la estabilidad es K = - 2 + e, en donde e es cualquier número positivo pequeño. 12.3. La solución del problema anterior nos dice que el sistema de los problemas 12.1 y 12.2 es .estable para todo K > -2. Dibuje el diagrama polar de este sistema, superpuestos sobre los mismos ejes de coordenadas, para K 1 = - 3 y K2 = - 1. ¿Qué comentarios generales puede hacer acerca de la respuesta transitoria en el sistema estable? Suponga que es un sistema con retroalimentación unitaria. En la figura 12-20 se muestran los diagramas polares solicitados. El círculo M tangente a la gráfica de K = -1 tiene radio infinito; entonces MP = 1. Esto significa que el pico de la sobretensión es cero (no hay sobretensión), y el sistema es críticamente amortiguado o sobreamortiguado. ImGH (-J, O) (-1, O) ReGH ',...... / ~------.,,,,.,,, Figura 12-20 12.4. El sistema representado por la ecuación característica s3 + 3s2 + 3s + 1 + K = O, ¿es siempre condicionalmente estable? ¿Por qué? Sí. En el ejemplo 5.3 se determinó que el intervalo del factor de ganancia para la estabilidad de este sistema es -1 < K < 8. Puesto que ambos límites son finitos, un aumento del factor de ganancia por encima de 8 o una disminución por debajo de -1 desestabiliza el sistema. 12.5. Determine el factor de ganancia K en un sistema con retroalimentación unitaria cuya fun- ción de transferencia en malla abierta está dada por G = K/(s + 1) (s + 2) para un pico resonante especificado por MP = 2. A partir de la ecuación (12 .1) tenemos 1/"P = sen-1 ( ½) = 30º. En la figura 12-21 se muestra la línea AB trazada a un ángulo de 30º por debajo del eje real negativo, ésta es una réplica de la figura 12-20 para K = -1.
- 411. 400 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CON'fROL Im G diagrama polar paraK= -1 --"} ____ D ReG B Figura 12-21 El círculo marcado con MP = 2 se ha dibujado tangente tanto a AB como al diagrama polar de K = -1. Utilizando la escala de este diagrama polar, la líneaADtiene una longitud igual a0.76. Por tanto la ecuación (/2.3) produce K' -1 K M = - - - - = - = -1.32 ' longitud de AD 0.76 También es posible calcular un valorpositivo de ganancia para Mp = 2 a partir del diagrama polar de G(s) para cualquier valor positivo de K. El diagrama polar para K = 1 es el mismo de la figura 12-21 , pero girado 180º. Compensación miscelánea 12.6. .¿Qué clase de compensación es posible en un sistema cuyo diagrama polar se muestra en la figura 12-22? Las compensaciones de adelanto, de atraso-adelanto y del factor de ganancia simrle son capa- ces de estabilizar el sistema y mejorar su estabilidad relativa. lmGH ReGH Figura 12-22
- 412. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 401 12.7. Considere el sistemacon retroalimentación unitaria cuya función de transferencia en malla abierta está dada por K1 G = -s(~s_+_a_) a, K1 > O La inclusión de una malla de retroalimentación menor con una función de transferencia ... K2s (K2 > O), como se muestra en el diagrama de bloques de la figura 12-23, ¿cómo afectaría el desempeño del sistema en estado transitorio y en estado estacionario? e Figura 12-23 Al combinar los bloques de la malla interna se produce un nuevo sistema con retroalimentación unitaria con una función de transferencia en malla abierta En la figura 12-24 se dibujan los diagramas polares para G y G'. Im (-1,0) Re Figura 12-24 Claramente se ve que el margen de fase es mayor en el sistema de retroalimentación G' con dos mallas. Por tanto el pico de sobretensión es menor, o su relación de amortiguación es mayor,. y la
- 413. 402 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL respuesta transitoria es superior a la del sistema no compensado. Sin embargo, el desempeño en estado estacionario, por lo general es un poco peor. Para una entrada paso unitario el error en estado estacionario es cero, igual que para cualquier sistema del tipo 1. Pero el error en estado estacionario para una rampa unitaria o entrada de velocidad es mayor [véanse las ecuaciones (9.4) y (9.5)]. El esquema de compensación ilustrado por este problema se llama retroalimentación tacométrica o derivada, y el algoritmo de control es un control (D) derivada. 12.8. Determine un tipo de compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente 45º cuando se agrega a los componentes del sistema fijo definido por 4 GH=------ s(s2 + 3.2s + 64) Un requerimiento adicional es que la respuesta de alta frecuencia en el sistema compensa- do sea aproximadamente la misma que la del no compensado. En la figura 12-25 se presenta el diagrama polar para GH. Este se encuentra muy próximo al eje imaginario negativo para casi todos los valores de w. ImGH 45º J' 'y/ (-1,0) . / sistema compensado / por factor JI de ,ganancia / mas atraso ( <--, 1 GH(.,) Figura 12-25 ReGH El margen de fase es casi de 90º, y un incremento en el factor de ganancia y/o un compensador por atraso es capaz de satisfacer los requerimientos del margen de fase. Pero, puesto que la red de atraso puede diseñarse para proporcionar atenuación a altas frecuencias y atraso en el intervalo de baja frecuencia sería ideal y suficiente una combinación de ambos (véase el ejemplo 12.5), como se muestra en la figura 12-25. Por supuesto, no es necesario un compensador por factor de ganancia más atraso, para satisfacer los requerimientos de diseño. Probablemente hay un número infinito de redes diferentes o funciones de transferencia capaces de satisfacer estas especificaciones. Sin em- bargo, la red de atraso y el amplificador son convenientes debido a su normalización, disponibili- dad y facilidad de síntesis.
- 414. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 403 12.9. Esboce el diseño de un servomecanismo capaz de seguir una entrada de velocidad constan- te con error cero en estado estacionario y aproximadamente un 25% de sobretensión máxi- ma en el estado transitorio. La planta fija está dada por G2 = 50/s2 (s + 5). Puesto que la planta es del tipo 2, es capaz de seguir una entrada de velocidad constante con error cero en estado estacionario (véase el Capítulo 9). Sin embargo, el sistema en malla cerrada es inestable para cualquier valor del factor de ganancia (véase el ejemplo 12.6). Puesto que no se han hecho demandas sobre el ancho de banda, debe ser suficiente una compensación de adelanto (de nuevo véase el ejemplo 12.6) para estabilizar el sistema y cumplir con la especificación transitoria. Pero, probablemente se requieran dos redes de adelanto en serie porque el margen de fase del sistema inestable es negativo, y una sobretensión del 25% es equivalente más o menos a un margen de fase de +45º. La mayor parte de las redes normales de adelanto tienen un adelanto de fase máximo de casi 54º (véase la figura 16-2). El diseño detallado sería muy tedioso al utilizar el análisis de Nyquist, si se hace manualmente, porque el diagrama polar a menudo debe dibujarse con detalle varias veces antes de converger a una solución satisfactoria. Si no se dispone de un computador para facilitar dicho proceso, este proble- ma puede resolverse de manera mucho más fácil al utilizar los métodos de diseño que se presentan en los Capítulos 14, 16 y 18. En realidad, dos redes compensadoras por adelanto, cada una con una función de transferencia aproximadamente de Padelanto = (s + 3)/(s + 20), sati'sfaría las especifica- ciones. Si el error máximo de aceleración en estado estacionario, se especificara también, se necesi- taría un preamplificador con las redes de adelanto. Por ejemplo, si Ka = 50, entonces se necesitaría un preamplificador de ganancia 5(20/3)2 . Este preamplificador debería colocarse entre las dos redes de adelanto para prevenir o minimizar los efectos de carga (véase la sección 8.7). 12.10. Esboce un diseño para un sistema con retroalimentación unitaria con una planta dada por 2000 G2 = -------- s( s + 5)(s + 10) y las especificaciones de desempeño: J) o/MF = 45º. 2) Kv = 50. 3) El ancho de banda AB del sistema compensado debe ser aproximadamente igual, o no mucho mayor que el del sistema no compensado, porque se presentan perturbaciones por "ruido" de alta frecuencia, bajo condiciones normales de operación. 4) El sistema compensado no debería responder de manera lenta; esto es, la constante de tiempo 7 predominante del sistema debe mantenerse en un valor que sea aproxima- damente el mismo que el del sistema no compensado. Un cálculo simple nos muestra con claridad que el sistema no compensado es inestable (por ejemplo, pruebe el criterio de Routh). En consecuencia es obligatoria la compensación. Pero debi- do a la naturaleza rigurosa de las especificaciones, el diseño detallado de este sistema al utilizar las técnicas de Nyquist, requiere demasiado esfuerzo, si se hace manualmente. Las técnicas de los siguientes capítulos proporcionan una solución mucho más simple. Sin embargo, el análisis del enunciado del problema indica la clase de compensación necesaria.
- 415. 404 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROAUMENTAC!ON Y SISTEMAS DE CONTROL ParaG2 , Kv= lim, -o sGi(s) = 40. En consecuencia la satisfacción de 2) requiere una compen- sación de ganancia de 5/4. Pero un incremento en la ganancia sólo hace más inestable el sistema. Por tanto es necesaria una compensación adicional. La compensación por adelanto probablemente es inadecuada debido a la especificación 3), y no es posible la compensación por atraso debido a la especificación 4). Así, parece que una red de atraso-adelanto y un amplificador lograrían satisfacer todos los criterios. La parte de atraso de la red de atraso-adelanto satisfaría la especificación 3), y la parte de adelanto haría lo propio con las especificaciones 4) y 1). 12.11. ¿Cuál es el efecto sobre el diagrama polar del sistema m CT(s+z;) GH= i=l n en donde m :-s; n, O< z; < oo, O :-s; p; < oo, cuando k polos finitos diferentes de cero se han incluido en GH, además de los n polos originales? Para bajas frecuencias el diagrama polar sólo se modifica en magnitud, puesto que r m 1 m n(S +z;) nZ¡ 1 lim GH' = lim r=l = ~ = (--] lim GH ,-o ,-o n+k n+k k ,-o n<s +P;) nP; nP; i=l i=l i=l Para altas frecuencias, agregar k polos reduce en br/2 radianes el ángulo de fase de GH, puesto que lim argGH'(w) = lim [ Í:, tan- 1 (~)- ntk tan- 1 (~)] w-+ oo w__. oo i= 1 Z¡ i=l P; m'IT (n+k)'IT k'1T = - - 2 = lim argGH- - 2 w-oo 2 En consecuencia, la parte del diagrama polar cerca del origen se gira en el sentido R (horario) br/2 grados cuando se agregan k polos. 12.12. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por atraso dado por la ecuación (J2 .4): ( 1-p )rz-z l Patraso(z)= l-z: z-p:
- 416. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 405 Hagamos z, = 0.86 y p, = 0.97 para simplificar la tarea. En w O, Patraso Patraso( 1) l. En wT = 1T, Í" _ ( 1 - Pe) [ -1 - ze] _ 1 - ZePe - ( Pe - zJ = = PA,raso(e )- - - - ( ) -C 0.2 1 - ze -1 - Pe 1 - z,pe + Pe - ze En unos pocos valores intermedios, Pa,raso(e17T 14 )==0.02 - J0.03 y Pa,raso(ei7T 12 )==0.2 - JO.O) 2. En la figura 12.26 se muestra el diagrama polar resultante para O ::s wT ::s 7T radianes. Resulta instructivo comparar este diagrama polar del compensador digital por atraso con su equivalente continuo en el tiempo, dado en la figura 12.11. Im Patraso 0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 O.OS 0.025 0.2 w=O 0.4 f 0.6 a/b Figura 12-26 w = w/T 0.8 Re Patraso 12.13. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por adelanto: en donde a < b. Tenemos ( a ) [ 1 - e- bTl[z - e- aTl Pactelanto(z)= b l-e-aT z-e-bT (ª)(1-e-hT)(l-e-ªT) a Padelanto ( eJOT) = Padelanto (1) = b l _ e-aT l _ e-hT = b < l El resto de la gráfica se ha dibujado con computador, mediante la evaluación de Pactelan100lq,) para valores del ángulo q, en el rango de O< q, ,s 1r radianes, para valores específicos de a = 1y b = 2. El resultado se presenta en la figura 12.27, la cual debe compararse con la figura 12.6, que repre- senta el diagrama polar de una red de adelanto en un sistema continuo.
- 417. 406 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL IM Padelanto o -0.J -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 '1T w= T 0.2 w=O 1.2 Re Padelanto Figura 12-27 Esta forma de compensador digital por adelanto, presentada en la ecuación (6.9), tiene un factor de ganancia a [ 1- e-bT] K~delanto = b l _ e-aT Este compensador es un digital-analógico directo del compensadorcontinuo por adelanto Padelanto = (s + a)/(s + b), en el cual los ceros y los polos en -a y -ben el planos se han transformado directamente en ceros y polos en el plano z zc = e-aTyPe= e-bT, y se ha preservado la ganancia en estado estacionario (en w = O) como a/b. 12.14. El sistema continuo en malla cerrada con compensación del factor de ganancia y con compensación por adelanto, que se muestra en la figura 12-28, es estable, con una relación de amortiguación ? = O.7, y una constante de tiempo dominante 'T = 4.5 s (véanse las secciones 4.13 y 10.4). r + red de adelanto atenuador de ganancia Figura 12-28 planta e Rediseñe este sistema remplazando el controlador (incluida la unión de suma) con un computador digital y cualquier otro componente necesario para la conversión de datos de analógico a digital. El nuevo sistema debe tener casi las mismas características dinámicas. La tasa de muestreo de los componentes digitales debe ser suficientemente rápida para reprodu- cir las señales con exactitud. La frecuencia natural wn se calcula a partir de la ecuación (10.7) como
- 418. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 407 Wn = lltT = 11(0.7)(4.5) = 0.3 I7 rad/s. Para un sistema continuo con esta wn, una frecuencia angular de muestreo segura es wm = 20wn = 6.35 = 21r rad/s, equivalente afm = I Hz, porque wm = 27T.fm· En consecuencia escogemos T = 1 s. Ahora remplazamos el compensador continuo por adelanto por el compensador digital por adelanto que se dio en el problema 12.13: ( a ) f 1 - e- bT ) [ z - e - aT ] Padelanto ¡(z) = b l1 - e-aT Z - e-bT :0.55[ z - 0.82] z-0.14 en donde a = 0.2 y b = 2, a partir de la figura 12-28. El factor de 0.55 puede obtenerse con el compensador de factor de ganancia en el sistema continuo, K = 0.81, produciendo un factor global de 0.55 (0.81) = 0.45. El diseño resultante también necesita muestreadores en las trayectorias de retroalimentación y de entrada, y un sistema de sostenimiento de orden cero en la trayectoria directa, tal como se muestra en la figura 12-29. ~ r(k) T= 1 s computador digital 1 1 1 1 L----------------~ c(k) T= 1 s Figura 12-29 sistema de sostenimiento de orden cero planta La función de transferencia digital Padelamo (z). puede implementarse por cálculo digital como una ecuación de diferencia entre la entrada y la salida de Padelanto, utilizando los métodos que se describieron en la sección 4.9. Esto es, escribir Padelanto (z) como una función de z- 1 en lugar de z, y tratar a z- 1 como un operador de desplazamiento de tiempo unitario. Al combinar el factor de ganancia ú.45 con ?adelanto, obtenemos 0.48 Padelanto 0.45 - 0.39z-1 u( k) E 1- 0.14z-1 r(k) - c(k) Entonces, al multiplicar los términos cruzados y hacer z- 1 u(k) = u(k + 1), etc., obtenemos la ecuación de diferencia deseada: u(k) ""0.14u(k-1) + 0.45[r(k) - c(k)] - 0.39[r(k-1) - c(k -1))
- 419. 408 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 12.15. Convierta en digitales los componentes continuos restantes de la figura 12-29 y compare el diagrama polar de: a) la planta continua original sin compensación, Gz(s) = 1/s2 , b) el sistema compensado de la figura 12-28, G1G2(s) y e) el sistema digital de la figura 12-30, G 1Gz(z). La combinación del sistema de sostenimiento de orden cero y la planta G2(s) = 1/s2 puede convertir en digital al utilizar la ecuación (6.9): = T 2 ( z+l ) = 0.5(z+l) 2 (z-1)2 (z-1)2 En la figura 12-30 se muestra el sistema discreto equivalente en malla cerrada. Los diagramas de estabilidad de Nyquist (que no se muestran) indicarían que los sistemas compensados son absolutamente estables. Para verificar la estabilidad relativa, en la figura 12-3 I se muestran superpuestos los diagramas polares de los tres sistemas, sólo para w > O. El margen de fase de G1Gi(s) es <l>MF::::: 53º, una mejora sustancial sobre la de G2(s). Los diagramas polares para G1Gi(s) y G1Gi(z) son bastante similares en un amplio intervalo de w, y el margen de fase para G1G2(z) todavía es bastante bueno, <f>MF ::::: 37º. r(k) + Figura 12-30 Im Gi(s) = l/s 2 Re -4 -5 Figura 12-31 12.16. Determine el ancho de banda AB del sistema en malla cerrada en el sistema compensado que se diseñó en el ejemplo 12.7.
- 420. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST 409 La especificación 3 de desempeño se dio en términos de la frecuencia de cruce de ganancia w1, como w1 2: 10 rad/s. Esto puede parecer algo irreal o artificial, puesto que también se da como especificación 2 de desempeño un margen de fase <PMF = [180 + arg GH(w1)] grados. En realidad, el ancho de banda (AB) del sistema en malla cerrada sería la frecuencia más probable de interés en el diseño de un sistema de control. (Estos criterios de diseño se analizaron en el Capítulo 10). Sin embargo, como se hizo notar en la sección 10.4, es usual el caso en que w 1 resulta ser una buena aproximación del ancho de banda AB del sistema en malla cerrada, cuando se da su interpretación común como el intervalo de frecuencias sobre el cual la relación de magnitudes del sistema, que en éste caso significa IC/RI, no cae más de 3 dB de su valor en estado estacionario, en w = O (z = 1). Para este problema 1.59( z - 0.86) Gi=------- (z - l)(z - 0.97) 3( z + I) ( z + ½) G2 = ---,----- 8z( z + ½) C G1G2 R I + G1G2 Encontramos fácilmente que lim (~) = lim (~) = 1 w-o R z-1 R Ahora, 3 dB por abajo de I es O.707 fvéase la ecuación (10.5)]. En consecuencia el ancho de banda AB es la frecuencia wAB que satisface la ecuación: lf<WAB)l=0.707 Rápidamente obtenemos la solución wAB = 10.724 rad/s por ensayo y error, al utilizar un computador para evaluar la relación de magnitudes a unos pocos valores de w en las proximidades de w 1 = 10. Así, se confirma como buena la aproximación w 1 ""wA8 para el problema resuelto en el ejemplo 12.7. Problemas suplementarios 12.17. Determine un valor positivo de factor de ganancia K cuandoMP = 2en el sistema del problema 12.5 12.18. Verifique la ecuación (/2./). 12.19. Verifique las ecuaciones (/2.2) y (/2.3). 12.20. Diseñe un compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente 45° en el sistema definido por GH = 84/s(s + 2)(s + 6).
- 421. 410 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 12.21. Diseñe un compensador que produzca un margen de fase cercano a 40º y una constante de veloci- dad Kv = 40 en el sistema definido por GH = (4 X 105 )/s(s + 20) (s + 100). 12.22. ¿Qué clase de compensación puede utilizarse para producir una sobretensión máxima del 20% en el sistema definido por GH = (4 x 1if)ls2(s + 100)? 12.23. Demuestre que la adición de k ceros finitos (z; * O) al sistema del problema 12.11 gira en br /2 radianes la parte de alta frecuencia del diagrama polar en la dirección S (antihoraria). Respuestas a algunos problemas suplementarios 12.17. K = 31.2 s + 30 12.18. Padelanto = S + 120 s+ 20 12.21. Padeianto = s + lOO, no se requiere preamplificador. 12.22. Compensación por atraso-adelanto y posiblemente compensación por adelanto más factor de ga- nancia.
- 422. Capítulo 13 Análisis utilizando el lugar de las raíces 13.1 Introducción En los Capítulos 4 y 6 se demostró que los polos de una función de transferencia pueden representarse gráficamente en el planos o en el plano z por medio de un diagrama de polos y ceros. En este capítulo se desarrolla un método analítico para representar la localización de los polos de la función de transferencia en malla cerrada G l+GH a partir del factor de gananciaK (véanse las secciones 6.2 y 6.6) de la función de transferencia GH en malla abierta. Este método, llamado análisis del lugar de las raíces, solamente requiere que se conozca la localización de los polos y los ceros de GH, y no requiere la factorización del polino- mio característico. Las técnicas del lugar de las raíces permiten el cálculo exacto de la respuesta en el dominio del tiempo, además de producir información disponible acerca de la respuesta de frecuencia. La siguiente discusión del análisis del lugar de las raíces se aplica de manera idéntica a siste- mas continuos en el plano s y a sistemas discretos en el plano z. 13.2 Variación de los polos de un sistema en malla cerrada: el lugar de las raíces Considere el sistema canónico de control con retroalimentación dado en la figura 13.1. La función de transferencia en malla cerrada es C G -=--- R l+GH e Figura 13-1 Dejemos que la función de transferencia GH en malla abierta sea representada por KN GH=- D 411
- 423. 412 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde N y D son polinomios finitos de la variable complejas ó z y K es el factor de ganancia en malla abierta. La función de transferencia en malla abierta se hace entonces e G GD - = - - - - - = - - - R l +KN/D D+KN Los polos de la malla cerrada son las rmces de ta ecuación característica D+KN=O (13.1) En general, la localización de estas raíces en el planos o en el plano z cambia a medida que se varía el factor de ganancia K en malla abierta. El lugar geométrico de estas raíces representado gráfica- mente en el plano s o en el plano z a partir de K se denomina lugar de las raíces. ParaK = O, las raíces de la ecuación (13.1) son las raíces del polinomioD, que son los mismos polos de la función de transferencia GH en malla abierta. Si K se hace muy grande, las raíces se aproximan a las del polinomioN, los ceros de la malla abierta. Así, a medida que K aumenta desde cero hasta infinito, los lugares de los polos de la malla cerrada se originan a partir de los polos de la malla abierta y terminan en los ceros de la misma. EJEMPLO 13.1. Considere la función de transferencia del sistema· continuo en malla abierta KN(s) K(s+l) K(s+l) GH = - - - = -,---- = - - - - D(s) s2 +2s s(s+2) Para H ,.= 1, la función de transferencia en malla abierta es e K(s+l) R s2 +2s+K(s+l) Los polos de la malla cerrada de este sistema se determinan fácilmente al factorizar el polinomio del denominador: p1 = -½(2 + K) + V1 +¡K2 p2 = -½(2 + K) - /i + ¡K2 En la figura 13-2 se muestra el lugar geométrico de estas raíces representado en el planos en función de K (para K > O). Como se observa en la figura, este lugar de las raíces tiene dos ramas: una para un polo de la malla cerrada que se mueve desde el polo de la malla abierta en el origen hasta el cero de la malla abierta en -1 y desde el polo de la malla abierta en -2 hasta el cero de la malla abierta en - oc. En el ejemplo anterior, el lugar de las raíces se construye al factorizar el polinomio del deno- minador de la función de transferencia en malla cerrada. En las secciones siguientes se describen técnicas que permiten la construcción de lugares de las raíces sin necesidad de la factorización.
- 424. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 413 jw "': "': - o 8 - 11 11 11 11 ::e: ::e: ::e: ::e: -2 -1 "'-K=O u Figura 13-2 13.3 Criterios de ángulo y de magnitud Para que una rama de un lugar de las raíces pase por un punto particular p 1 en el plano comple- jo, es necesario que p I sea una raíz de la ecuación característica (J3. J) para algún valor real de K. Es decir, o, de manera equivalente, D(p1 ) + KN(p1 ) = O GH= KN(pi) = -1 D(p1) (13.2) (13.3) En consecuencia el número complejo GH(p 1 ) debe tener un ángulo de fase de 180º + 360/º, en donde / es un entero arbitrario. De esta manera tenemos el criterio de ángulo argGH(p1 ) = 180° + 360/0 = (2/+ l)w radianes que también puede escribirse como [ N(p1)] {(2/+l)wradianes arg --- = D(p¡) 2!'1T radianes para K> O para K<O l =o,± 1, ± 2, ... (13.4a) /=0,±1,±2, ... (13.4b) Para que p 1 sea un polo de la malla cerrada del sistema, en el lugar de las raíces, es necesario que se satisfaga, además del ángulo de fase, la ecuación (J3.3) con respecto a la magnitud. Es decir, K debe tener el valor particular que satisfaga el criterio de magnitud: IGH(p1)1 = 1, o IKl=ID(p¡) 1 N(p1) (13.5) El ángulo y la magnitud de GH en cualquier punto de los planos complejos s ó z pueden determinarse de manera gráfica como se describió en las secciones 4. 12 y 6.5. De esta manera, es posible construir manualmente el lugar de las raíces por un procedimiento de tanteo, probando puntos en el plano complejo. Es decir, el lugar de las raíces se dibuja a través de todos los puntos que satisfacen el criterio del ángulo, ecuación (J3 .4b), y el criterio de magnitud se utiliza para determinar los valores de K en puntos a lo largo de los lugares. Se dispone ampliamente de progra-
- 425. 414 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL mas para computadores digitales que grafican los lugares de las raíces. Sin embargo, la construc- ción manual se simplifica de modo considerable al utilizar ciertas reglas de construcción que se· describen en las siguientes secciones. 13.4 Número de lugares El número de lugares, esto es, el número de ramas del lugar de las raíces, es igual al número de polos de la función de transferencia GH en malla abierta (para 'n 2'.'. m). EJEMPLO 13.2. La función de transferencia en malla abierta de un sistema discreto GH(z) = K (z + ½)/z2 (z +¼)tiene tres polos. Por tanto hay tres lugares geométricos en la gráfica del lugar de las raíces. 13.S Lugares sobre el eje real Aquellas secciones del lugar de las raíces sobre el eje real en el plano complejo se determinan al contar el número total de polos y ce_ros finitos de GH a la derecha de los puntos en cuestión. La regla siguiente depende de si el factor de ganancia K en malla abierta es positivo o negativo. Regla para K > O Los puntos del lugar de las raíces en el eje real se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros finitos. Regla para K < O Los puntos del lugar de las raíces en el eje real se encuentran a la izquierda de un número par de polos y ceros finitos. Si no hay puntos en el eje real que se encuentren a la izquierda de un número impar de polos y ceros finitos, entonces ninguna parte del lugar de las raíces para K >Ose encuentra en el eje real. Una afirmación similar también es válida para K < O. EJEMPLO 13.3. Considere el diagrama de polos y ceros de una función de transferencia GH en malla abierta que se presenta en la figura 13-3. Puesto que todos los puntos en el eje real entre Oy -1, y entre -1 y -2, se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros finitos, estos puntos están en el lugar de las raíces para K > O. La parte del eje real entre - oc y -4 se encuentra a la izquierda de un número impar de polos y ceros finitos; por tanto estos puntos también están en el Jugar de las raíces para K > O. En la figura 13-4 se ilustran todas las partes del lugar de las raíces para K > Oen el eje real. Las partes restantes del eje real, esto es, entre -2 y -4, y entre Oe oc, se enq1entran en el lugar de las raíces para K < O. X -4 -2 -1 X Figura 13-3 Im ; -; Re Im X j -4 -2 -1 Re X -j Figura 13-4
- 426. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 415 13.6 Asíntotas Para grandes distancias desde el origen en el plano complejo, las ramas de un lugar de las raíces se aproximan a un conjunto de líneas rectas asíntotas. Estas asíntotas parten de un punto en el plano complejo sobre el eje real, llamado centro de asíntotas <Te, y está dado por a=- c n m LP;- L Z¡ i=l .i=l n-m (13.6) en donde -p; son los polos, y -z; son los ceros, n es el número de polos, y mes el número de ceros de GH. Los ángulos entre· las asíntotas y el eje real están dados por { (2/ + 1)180 grados n-m /3 =. (2/)180 grados n-m para K> O para K < O (13.7) para l = O, 1,2, ... , n - m - l. Esto da como resultado un número de asíntotas igual a n - m. EJEMPLO 13.4. El centro de asíntotas para GH = K(s + 2)/s2 (s + 4) está localizado en 4-2 a=---=-1 (' 2 Puesto que n - m = 3 - I = 2, hay dos asíntotas. Sus ángulos con el eje real son 90° y 270º, para K > O, como se muestra en la figura 13-5. ¡v polo doble -4 -2 tT Figura 13-5 13.7 Puntos de separación Un punto de separación <Ts es un punto en el eje real de donde salen o a donde llegan dos o más ramas del lugar de las raíces. En la gráfica del lugar de las raíces de la figura 13-6 se ilustran dos ramas que salen del eje real, y en la figura 13-7, dos ramas que llegan al eje real. La localización del punto de separación puede determinarse al resolver para <Ts la siguiente ecuación: f. 1 =Í: 1 i-1 ( O"s+ p;) ;-1 (us + z;) (13.8)
- 427. 416 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE, CONTROL lm lm Re Re Figura 13-6 Figura 13-7 en donde -p; y -z; son, respectivamente, los polos y los ceros de GH. La solución de esta ecuación requiere la factorización de un polinomio de orden (n + m - 1) en u8 • En consecuencia, el punto de separación puede determinarse con facilidad sólo de manera analítica para GH relati- vamente simple. Sin embargo, a menudo una localización aproximada puede determinarse de manera intuitiva; entonces, un proceso iterativo puede utilizarse para resolver la ecuación con mayor exactitud (véase el problema 13.20). También podrían aplicarse programas de computador para factorizar los polinomios. EJEMPLO 13.5. Para determinar los puntos de separación en GH = Kls(s + l)(s + 2), debe resolverse para as la siguiente ecuación: 1 1 1 -+--+--=O as a5 + 1 as+ 2 (a.+ l)(as + 2) +us{u8 + 2) +a,(as+ 1) = O la cual se reduce a 3 a2. + 6a, + 2 = O, cuyas raíces son <Ts = -0.423, - 1.577. Al aplicar la regla de las raíces reales de la sección 13.5 para K > O, se indica que hay ramas del lugar de las raíces entre Oy -1, y entre -oo y -2. En consecuencia la raíz en -0.423 es un punto de separación, como se muestra en la figura 13-8. El valor de u, = -1.577 representa una separación en el lugar de las raíces para valores negativos de K puesto que la parte del eje real entre -1 y -2 está en el lugar de las raíces para K < O. u,= -0.423"' -2 -1 (T Figura 13-8 13.8 Angulos de salida y de llegada El ángulo de salida o partida del lugar de las raíces desde un polo complejo está dado por 0p = 180° + arg GH' (13.9)
- 428. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 417 en donde el arg GH' es el ángulo de fase de GH calculado en el polo complejo, pero ignorando la contribución de ese polo particular. EJEMPLO 13.6. Considere la función de transferencia del sistema continuo en malla abierta K(s + 2) GH = -------- (s + 1 +J)(s +1-J) K>O El ángulo de salida del lugar de las raíces desde el polo complejo en s = -1 + j se determina como sigue. El ángulod~ GH paras= -1 +),ignorando la contribución del polo en s = -1 +),es -45º. En consecuencia el ángulo de salida es 180º - 45º 135º como se ilustra en la figura 13-9. ~~ jw 1 1 1 1 -2 -1, (1 1 1 1 *-- -; Figura 13-9 El ángulo de llegada del lugar de las raíces a un cero complejo está dado por 0LL = 180º - arg CH" (13.10) en donde el arg GH" es el ángulo de fase de GH en el cero complejo, ignorando el efecto de ese cero. EJEMPLO 13.7. Considere la función de transferencia del sistema discreto en el tiempo en malla abierta K( z +J)( z - J) z(z + 1) K>O El ángulo de llegada del lugar de las raíces para el cero complejo en z = j es 0LL = 180º -(-45º) = 225º, como se muestra en la figura 13-1O. 225° -1 p. Figura 13-10 -;
- 429. 418 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 13.9 Construcción del lugar de las raíces Un diagrama del lugar de las raíces puede dibujarse con facilidad y exactitud utilizando las reglas que para su construcción se dan en las secciones 13.4 a 13.8. El siguiente es un procedi- miento eficiente. Primero, determine las partes del lugar de las raíces en el eje real. Segundo, calcule el centro y los ángulos de las asíntotas, y dibuje las asíntotas en el diagrama. Luego determine el ángulo de salida del polo complejo y el ángulo de llegada al cero complejo (si hay alguno) e indíquelos en la gráfica. En seguida, haga un bosquejo tentativo de las ramas del lugar de las raíces, tal que cada rama del lugar termine en un cero o tienda a infinito a lo largo de una de las asíntotas. Por supuesto, la exactitud de este último paso debe mejorarse con la experiencia. La exactitud del diagrama puede mejorarse aplicando el criterio del ángulo en la vecindad de las localizaciones estimadas de las ramas. La regla de la sección 13.7 también puede aplicarse para determinar la localización exacta de los puntos de separación. El criterio de magnitud de la sección 13.3 se utiliza para determinar los valores de Ka lo largo de las ramas del lugar de las raíces. Puesto que los polos complejos debe_n presentarse como pares conjugados complejos (supo- niendo coeficientes reales para los polinomios del numerador y del denominador de GH), el lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real. De esta manera es suficiente graficar solamente la mita8 superior del lugar de las raíces. Sin embargo, debe recordarse que, al hacer esto, las mitades inferiores de los polos y ceros complejos en malla abierta deben incluirse cuando se aplican los criterios de ángulo y de magnitud. A menudo, para propósitos de análisis o de diseño, se requiere una gráfica exacta del lugar de las raíces sólo en ciertas regiones del plano complejo. En este caso, los criterios de ángulo y de magnitud sólo se aplican en aquellas regiones de interés luego que un esbozo tentativo haya esta- blecido la forma general de la gráfica. Por supuesto, si se dispone de un programa de aplicación (software) apropiado para computador, la elaboración de gráficas muy complejas de lugares de las raíces aún puede ser un asunto sencillo. EJEMPLO 13.8. El lugar de las raíces para un sistema continuo en malla cerrada con función de transfe- rencia en malla abierta K GH=------ s(s + 2)(s +4) K>O se construye como sigue. Aplicando la regla del eje real de la sección 13.5, las partes del eje real entre Oy -2, y entre -4 y -x, se encuentran en el lugar de las raíces para K > O. A partir de la ecuación(/3 .6), el centro de asíntotas se determina que es uc = -(2 + 4)/3 = "'--2, y hay tres asíntotas localizadas en los ángulos /3 = 60º, 180º y 300°. Puesto que se unen dos ramas del lugar de las raíces en el eje real para K > Oentre Oy -2, existe un punto de separación en esa parte del eje real. Por tanto el lugar de las raíces para K > Opuede dibujarse al estimar la localización del punto de separación y prolongar las ramas del lugar de las raíces hacia las asíntotas, como se muestra en la figura 13-11. Para mejorar la exactitud de esta gráfica, debe determinarse la localización exacta del punto de separación a partir de la ecuación (13 .8): 1 1 1 -+--+--=O u, u,+ 2 u,+ 4
- 430. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 419 la cual simplifica a 3a; + 12us + 8 = O. La solución apropiada de esta ecuación es Us = -0.845. -4 Figura 13-11 El criterio de ángulo se aplica a los puntos en la vecindad del lugar de las raíces aproximado parainejorar la exactitud de la localización de las ramas en la parte compleja del planos; el criterio de magnitud se utiliza para determinar los valores de Ka lo largo del lugar de las raíces. En la figura 13-12 se presenta la gráfica resultante del lugar de las raíces para K > O. 00 "" 11 :.: -6 11 11 :.: :.: -4 -2 u Figura 13-12 El lugar de las raíces para K <Ose construye de manera similar. Sin embargo, en este caso, las partes del eje real entre Oe oc y entre -2 y -4 se encuentran en el lugar de las raíces; el punto de separación se localiza en - 3. 155, y las asíntotas tienen ángulos de Oº, 120º, y 240º. En la figura 13- 13 se muestra el lugar de las raíces para K < O.
- 431. 420 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL j2 jl .,., ,- - 1 1 11 11 :,e: :,e: -4 -2 (T -jl -j2 Figura 13-13 13.10 La función de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el dominio del tiempo La función de transferencia en malla cerrada C/R se determina fácilmente a partir de la gráfica del lugar de las raíces para un valor específico del factor de ganancia K en malla abierta. A partir de ésta, puede determinarse la respuesta en el dominio del tiempo c(t) para una entrada r(t) trans- formable en Laplace, dada para un sistema continuo por medio de la inversión de C(s). Para sistemas.discretos, c(k) puede determinarse de manera similar por medio de la inversión de C(z). Considere la función de transferencia en malla cerrada C/R para el sistema canónico unitario con retroalimentación (negativa) C G R 1 +G (13.11) Las funciones de transferencia en malla abierta que son expresiones algebraicas racionales pueden escribirse (para sistemas continuos) como KN K(s + z1 )(s + z2 ) • • • (s + zm) G=--=------------- D (s+p1)(s+p2)···(s+pn) (13.12) G tiene la misma forma para sistemas discretos, remplazando s por zen la ecuación (13.12). En esta ecuación, - z; son los ceros y - p; son los polos de G, m :5 n, y N y D son polinomios cuyas raíces son -z; y -p;, respectivamente. Entonces C KN R D+KN (13.13)
- 432. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 421 y resulta claro que C!R y G tienen los mismos ceros per-0 no los mismos polos (a no ser que K = 0). En consecuencia e R K(s+z1 )(s+z2 ) ••• (s+zm) {s + a1)(s + á2 ) • • · (s + an) en donde -a¡ denotan los n polos de la malla cerrada. Por definición, la localización de estos polos se determina directamente a partir de la gráfica del lugar de las raíces para un valor específi- co de ganancia K en malla abierta. EJEMPLO 13.9. Considere el sistema continuo cuya función de transferencia en malla abierta es K(s +2) G=---- (s+1)2 K>O En la figura 13-14 se presenta la gráfica del lugar de las raíces. jl K = 4 -jl Figura 13-14 (1 Varios valores de factor de ganancia K se muestrrn en los puntos sobre los lugares marcados con triángulos pequeños. Estos puntos son los polos de la malla cerrada correspondientes a los valores especí- ficos de K. Para K = 2, los polos de la malla cerrada son -a 1 = -2 + j, y -a 2 = -2 - j. Por tanto y C 2(s + 2) R (s+2+j)(s+2-J) Cuando el sistema no tiene retroalimentación unitaria. entonces C G R l+GH KN GH=- D (13.14) (13.15) Los polos de la malla cerrada pueden determinarse directamente a partir del lugar de las raíces para un K dado, pero los ceros de la malla cerrada no son iguales a los ceros de la malla abierta. Estos últimos deben calcularse de manera separada resolviendo las fracciones en la ecuación (13.14).
- 433. 422 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 13.10. Considere el sistema continuo descrito por K(s + 2) 1 K(s + 2) G= H=-- GH= K>O s+l s+l (s+l)2 y e K(s+l)(s+2) K(s+l)(s+2) -= R (s + 1)2 + K(s + 2) (s + a1)(s + a2 ) La gráfica del lugar de las raíces para este ejemplo es la misma del ejemplo 13.9. En consecuencia, para K = 2, n 1 = 2 + j, y n2 = 2 - j. Así C 2(s+l)(s+2) R (s+2+j)(s+2-j) EJEMPLO 13.11. Para el sistema discreto con GH(z) = K/z(z - 1), en la figura 13-15 se muestra la gráfica del lugar de las raíces para K >O.Para K =0.25, las raíces están en z = 0.5, y la función de transferencia en malla cerrada es e 0.25 R (z - 0.5)2 jv j ..- ,, / I 1 -1 ',,, __ - -J Figura 13-15 µ 13.11 Márgenes de ganancia y de fase a partir del lugar de las raíces El margen de ganancia es el factor por el cual puede multiplicarse el factor de ganancia K antes que el sistema en malla cerrada se vuelva inestable. Puede determinarse a partir del lugar de las raíces utilizando la siguiente fórmula: margen de ganancia valor de K en el límite de estabilidad valor de diseño para K (13.16) en donde el límite de estabilidad es el eje jw en el plano s, o el círculo unitario en el plano z. Si el lugar de las raíces no atraviesa el límite de estabilidad, el margen de ganancia es infinito.
- 434. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 423 EJEMPLO 13.12. Considere el sistema continuo de la figura 13-16. El valor de diseño para el factor de ganancia es 8, que produce los polos de la malla cerrada (marcados con triángulos pequeños) que se mues- tran en el lugar de las raíces, de la figura 13-17. El factor de ganancia en el corte del ejejw es 64, de aquí que el margen de ganancia para este sistema sea 64/8 = 8. e a Figura 13-16 Figura 13-17 EJEMPLO 13.13. El lugar de las raíces para el sistema discreto en el tiempo del ejemplo 13. 11 cruza el límite de estabilidad (el círculo unitario) para K = 1. Para un valor de diseño de K = 0.25, el margen de ganancia es 1/0.25 = 4. El margen de fase también puede determinarse a partir del lugar de las raíces. En este caso es necesario encontrar el punto w 1 en el límite de estabilidad, en el cual IGH = 1 para el valor de diseño de K; es decir, ID(W¡)/N(W1)I = K diseño Usualmente es necesario emplear un procedimiento de ensayo y error para localizar w 1• Entonces el margen de fase se calcula a partir del arg GH(w1), como <p MF = [180º + arg GH( w1)] grados EJEMPLO 13.14. Para el sistema del ejemplo 13.12, IGH(w1)1 = 18/(jw1 + 2)3 1 = = O; el ángulo de fase de GH(O) es Oº. En consecuencia el margen de fase es 180º. (13.17) cuando w 1 / EJEMPLO 13.15. Para el sistema continuo de la figura 13-18, el lugar de las raíces se muestra en la figura 13-19. El punto sobre el eje jw para el cual IGH(w1)1 = 124/jw1(jw1 + 4)2 1 = I está en w1 = 1.35; el ángulo de GH(l .35) es -129.6º. En consecuencia el margen de fase es <PMF = 180º -129.6º = 50.4º. e Figura 13-18
- 435. 424 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL iw Figura 13-19 j2 jl -jl -j2 13.12 Relación de amortiguación a partir del lugar de las raices para sistemas continuos El factor de ganancia K requerido para dar una relación de amortiguación ? específica (o viceversa) para el sistema continuo de segundo orden K GH=------ (s +P1)(s +P2) se determina de manera fácil a partir del lugar de las raíces. Simplemente trace una línea desde el origen con un ángulo de más o menos O con el eje real negativo, en donde (13.18) (Véase la sección 4. 13). El factor de ganancia en el punto de intersección con el lugar de las raíces es el valor requerido de K. Este procedimiento puede aplicarse a cualquier par de polos conjuga- dos complejos, para sistemas de segundo orden o de orden superior. Mediante este procedimien- to, para sistemas de orden superior, la relación de amortiguación determinada para un par especí- fico de polos complejos no necesariamente determina la amortiguación (constante de tiempo pre- dominante) del sistema. EJEMPLO 13.16. Considere el sistema de tercer orden del ejemplo 13. 15. La relación de amortiguación ?de los polos complejos para K = 24 se determina de manera fácil al trazar una línea desde el origen hasta el punto sobre el lugar de las raíces donde K =24, como se muestra en la figura 13-20. El ángulo fJ medido es 60º, por tanto f = cos8= 0.5 Este valúr de ?es una buena aproximación de la amortiguación del sistema de tercer orden con K = 24 porque el polo complejo domina la respuesta.
- 436. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 425 j2 K =24 -6 -4 a Figura 13-20 Problemas resueltos Variación de los polos de un sistema en malla cerrada 13.1. Determine la función de transferencia en malla cerrada y la ecuación característica del sistema de control con retroalimentación unitaria negativa cuya función de transferencia en malla abierta es G = K(s + 2)/(s + 1)(s + 4). La función de transferencia en malla cerrada es C G K(s + 2) - = - - = - - - - - - - - - - R l+G (s + l)(s + 4) + K(s + 2) La ecuación característica se obtiene al igualar a cero el polinomio del denominador: (s+l)(s+4)+K(s+2) =O 13.2. ¿Cómo se determinarían los polos de la m¡illa cerrada del sistema del problema 13.1 para K = 2 a partir de su gráfica del lugar de las raíces? El lugar de las raíces es una gráfica de los polos de la malla cerrada de un sistema con retroali- mentación en función de K. En consecuencia los polos de la malla cerrada para K = 2 se determinan medi'ante los puntos del lugar de las raíces que correspondan a K = 2 (un punto en cada rama del lugar). 13.3. ¿Cómo puede emplearse un lugar de las raíces para factorizar el polinomio s2 + 6s + 18? Puesto que, según la ecuación (13.1), el lugar de las raíces es una gráfica de las raíces de la ecuación característica de un sistema en función de su factor de ganancia en malla abierta, las raíces del polinomio anterior pueden determinarse a partir del lugar de las raíces de cualquier sistema cuyo polinomio característico sea equivalente a éste para algún valor de K. Por ejemplo, el lugar de las raíces para GH = Kls(s + 6) factoriza el polinomio s2 + 6s + K. Para K = 18, este polinomio es equivalente al que deseamos factorizar. De este modo, las raíces deseadas se localizan sobre este lugar de las raíces en los puntos correspondientes a K = 18.
- 437. 426 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Nótese que podrían escogerse otras formas para GH, tales como GH = Kl(s + 2)(s + 4) cuyo polinomio característico en malla cerrada corresponde al que deseamos factorizar, pero ahora para K = 10. Criterios de ángulo y de magnitud 13.4. Demuestre que el punto p 1 = -0.5 satisface los criterios de ángulo, ecuación (13 .4), y de magnitud, ecuación (13.5), cuando K = I.5 en la función de transferencia en malla abierta del ejemplo 13. l. K( p1 + 1) 1.5(0.5) arg GH( p1) = arg Pi( Pi + 2) = arg -0.5(1.5) = 180º 1 1.5(0.5) 1 IGH(p1)I= -0.5(1.5) =1 o I D(.p1)1=1-0.5(1.5)1= = N( p¡) 0.5 l. 5 K Así, como se ilustró en la gráfica del lugar de las raíces del ejemplo 13.1, el punto p 1 = -0.5 se encuentra sobre el lugar de las raíces, y es un polo de la malla cerrada para K = 1.5. 13.5. Determine el ángulo y la magnitud de GH(j2) para GH = K!s(s + 2)2 . ¿Qué valor de K satisface IGH(j2)1 = I? K GH( ·2)---- J - }2(12 + 2)2 arg GH( J2) = { - ~~Oº para K> O para K < O iKi iKi IGH(j2) 1 = 2(8) = 16 y para IGH(j2)1 = 1 es necesario que IKI = 16. 13.6. Ilustre la composición gráfica de arg GH(j2) y de IGH(j2)1 del problema 13.5. arg GH(j2) = - 90° - 45º - 45º = -180º -2 -1 Figura 13-21 j2 jl IGH(j2) 1= iKI 2(2fi.) 2 ti iKi 16
- 438. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 13.7. Demuestre que el punto p1 - 1 + jV3 está en el lugar de las raíces para K GH(s) = - - - - - - (s + l)(s + 2)(s + 4) y determine K en este punto. K>O N(p1) 1 arg D( P1) = arg JfS(1 +JfS)(3 +JfS) = - 90º - 60º - 30º = -180º 427 El criterio de ángulo, ecuación (13 .4b), se satisface entonces para K > O, y el puntop 1 = -1 +jV3 está en el lugar de las raíces. A partir de la ecuación (/3.5), Número de lugares ' JfS(I +JfS)(3 +JfS) 1 ~ K = - - - - - - = 3(4)12 = 12 1 13.8. ¿Por qué el número de lugares debe ser igual al número de polos de la malla abierta para m ::5 n? Cada rama del lugar de las raíces representa el lugar geométrico de un polo de la malla cerrada. En consecuencia debe haber tantas ramas o lugares como polos haya en la malla cerrada. Puesto que el número de polos de la malla cerrada es igual al número de polos de la malla abierta para m ::s n, el número de lugares debe ser igu_al al número de polos de la malla abierta. 13.9. ¿Cuántos lugares hay en el lugar de las raíces para K(z + ½)(z + ½) GH( z) = ----,------,-,------s- z(z + ½+j /2)(z - ½- j /2) Puesto que el número de polos de la malla abierta es tres, hay tres lugares en la gráfica del lugar de !'as raíces. Lugares sobre el eje real 13.10. Verifique las reglas de los lugares sobre el eje real. Para cualquier punto sobre el eje real, Oº ó 180º son los ángulos con que cualquier polo o cero sobre el eje real contribuye al arg GH, dependiendo de si el punto está o no a la derecha o a la izquierda del polo o del cero. El ángulo total con que un par de polos o ceros complejos contribuyen al arg Gfl(s) es cero porque arg(s +a1 +jw1) + arg(s + a1 -jw1) =O
- 439. 428 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL para todos los valores reales de s. Entonces, el arg GH(s) para valores reales des (s = u) puede escribirse como argGH(a) = 18()n.i + arg K en donde nd es el número total de polos y ceros finitos a la derecha de u Para satisfacer el criterio de ángulo, nd debe ser impar para K positivo, y par para K negativo. Así, para K > O, los puntos del lugar de las raíces sobre el eje real se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros fmitos; y para K < O, los puntos del lugar de las raíces sobre el eje real se encuentran a la izquierda de un número par de polos y ceros finitos. 13.11. Determine qué partes del eje real están en el lugar de las raíces de K(s + 2) GH= - - - - - - - - - - (s + l)(s + 3 +j)(s + 3 - j) K>O Los puntos en el eje real que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros finitos, son únicamente los puntos entre -1 y -2. Entonces, mediante la regla para K > O, sólo la parte del eje real entre -1 y -2 se encuentra en el lugar de las raíces. 13.12. ¿Qué partes del eje real están en el lugar de las raíces para K GH=------ s(s + 1)2 (s + 2) K>O Los puntos sobre el eje real entre Oy -1 y entre -1, y -2, se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros, y por tanto están en el lugar de las raíces para K > O. Asíntotas 13.13. Verifique que los ángulos de las asíntotas están dados por { (2/+1)180 grados n-m p= (2/)180 - - - grados n-m para K> O para K < O (13.7) Para los puntos s lejos del origen en el plano s, el ángulo con que cada uno de los m ceros contribuye al arg GH es arg(S+ Z;)ll•l>lz,I =arg(S) De manera similar, el ángulo con que cada uno de los n polos contribuye al arg GH es aproximada- mente igual a -arg(s). En consecuencia
- 440. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 429 [ N(s)] arg-- ;;;-(n-m)·arg(s)=-(n-m)P D(s) en donde {3 = arg(s). Para que s esté en el lugar de las raíces, debe satisfacerse el criterio de ángulo, ecuación (13.4b). Así arg[N(s1)] = -(n-m)P={(2/+l),r D(s1) (2/),r para K> O para K< O y, puesto que ± 7T radianes (± 180º) son los mismos ángulos en el plano s, entonces { (2/ + 1)180 ----- grados n-m p= (2/)180 grados n-m La prueba es similar para el plano z. para K> O para K<O 13.14. Demuestre que el centro de asíntotas está dado por o=- c n m LP;- LZ; i-1 i-1 n-m (13.6) Los puntos en el lugar de las raíces satisfacen la ecuación característica D + KN = O, o Dividiendo por el polinomio del numerador N(s), se obtiene sn-m+(b -a )sn-m-l+ ··· +K=O n-1 m-1 (lo mismo para el plano z, remplazando s por z). Cuando el primer coeficiente de un polinomio es la unidad, el segundo coeficiente es igual a menos la suma de las raíces (véase el problema 5.26). Así, apartirdeD(s) = O, bn-1 ='f.f_1 p¡. ¡. ParaN(s) = O, am-1 ='f.;'!..1 z;; y -(bn-1 - ªm- 1) es igual a la suma de las n - m raíces de la ecuación característica. Ahora, para valores grandes de K y distancias del origen igualmente grandes, estas n - m raíces se aproximan a las líneas rectas asíntotas y; a lo largo de estas asíntotas, la suma de las n - m raíces es igual a -(bn- l - ªm- 1). Puesto que bn-l - am- les un número real, las asíntotas deben intersecarse en un punto sobre el eje real. El centro de asíntotas está dado entonces por el punto en el eje real, en donde n - m raíces iguales se suman hasta -(bn- l - ªm- 1). Así o=- c n-m n m [p¡- LZ; ;-1 i-1 n-m Para una prueba más detallada, véase la referencia [6].
- 441. 430 TEORIA Y PROBLEMAS DE RET~OALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 13.15. Encuentre los ángulos y el centro, y dibaje las asíntotas para K(s + 2) GH= - - - - - - - - - - - - - (s + l){s + 3+j){s + 3- j){s + 4) K>O El centro de asíntotas es 1+3+j+3-j+4-2 a= - = -3 ,. 4-1 Hay tres asíntotas localizadas en los ángulos de f3 = 60º, 180º y 300º, como se muestra en la figura 13-22. I r I j2 I I x/ 0 jl ¡;ll -4 -3 -2 -1 X -jl -j2 Figura 13-22 13.16. Dibuje las asíntotas para K > O y K < O, para K GH= - - - - - - - - - - - s(s + 2){s + 1+j){s + 1-j) El centro de asíntotas es ª" = -(0 + 2 + I + j + I - j)/4 = -1. Para K > O, los ángulos de las asíntotas son f3 = 45º, 135º, 225º y 315º, como se muestra en la figura 13-23. Para K < O, los ángulos de las asíntotas son f3 = Oº, 90º, 180º y 270º, como se muestra en la figura 13-24. " jw , 1 iw / "-. K > O / K < O 1 " {i + "-. X "-. / "-. 90° ' /450 -2 -1"-. (1 -2 ¡-1 (1 / "-. / " 1 / X -jl * / / "-. 1 / "' Figura 13-24 1 / ' Figura 13-23
- 442. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 431 Puntos de separación 13.17. Demuestre que un punto de separación <T8 satisface r, 1 =}: 1 i=l (o-s+p;) i=l (o-,+z;) (13.8) Un punto de separación es un punto sobre el eje real en donde el factor de ganancia Ka lo largo de la parte del eje real del lugar de las raíces es un máximo para los polos que se alejan del eje real, o un mínimo para los polos que se acercan al eje real (véase la sección 13.2.). El factor de ganancia a lo largo del lugar de las raíces está dado por IKl=l~I ( 13.5) En el eje real, s = o- (o z = ¡.L) y los signos de magnitud pueden cancelarse porque D(o-) y N(o-) son reales. Entonces D(a) K=-- N(a) Para encontrar el valor de o- para el cual K es un máximo o un mínimo, se iguala a cero la derivada de K con respecto a o-: Por derivación y factorización repetidas, ésta puede escribirse como dK t 1 [ D( 11) ] t 1 [ D( 11) ] da= ;-i (a+p;) N(a) - i=l (a+z;) N(a) =O Finalmente, al dividir ambos lados por D(o-)/N(o-) se produce el resultado deseado. 13.18. Determine el punto de separación para GH = K/s(s + 3)2. El punto de separación satisface 1 1 1 -+--+--=O o-, o-,+ 3 o-, + 3 de la cual u, = - I. 13.19. Encuentre el punto de separación para K(s + 2) GH = -,-----,=---------- ( s + 1 + j,ff){s + 1 - j,ff)
- 443. 432 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL A partir de la ecuación (13 .8), 1 1 1 ----=~+----=~=-- u, + 1 + JfS u, + 1 - JfS u, + 2 lo que nos da af + 4u, = O. Esta ecuación tiene las soluciones u, = Oy u, = ~4; u, = -4 es el punto de separación para K > O, y u, = Oes el punto de separación para K < O, como se muestra en la figura 13-25. iw iw K < O jya -4 -3 -2 -1 a -2 1T -iva -jya Figura 13-25 13.20. Encuentre el punto de separación entre O y - 1 para K GH= - - - - - - - - s(s + l)(s + 3)(s + 4) El punto de separación debe satisfacer 1 1 1 1 -+---+---+---=O u, (u,+1) (u,+3) (u,+4) Si se simplificara esta ecuación, se obtendría un polinomio de tercer orden. Para evitar la resolución de un polinomio de tercer orden; puede utilizarse el siguiente procedimiento. Como primera apro- ximación, suponemos u,= -0.5 y utilizamos este valor en los dos términos para los polos más alejados del punto de separación. Entonces 1 1 1 1 -+--+-+-=O u, u,+1 2.5 3.5 la cual se simplifica a ,u,2+ 3.92u, + 1.46 = O, y tiene la raíz cr, = -0.43 entre Oy - l. Este valor se utiliza para obtener una mejor aproximación, como sigue: 1 1 1 1 -+--+--+--=O u, u,+ 1 2.57 3.57 u,2 + 3.99u,+ 1.496 = O u,= -0.424 El segundo cálculo resultó ser un valor no muy diferente del primero. A menudo puede suceder que la primera aproximación produzca un valor bastante exacto solamente con un cálculo.
- 444. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 433 Angulos de salida y de llegada 13.21. Demuestre que el ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo complejo está dado por 0P = 180º + arg GH' (13.9) Considere un círculo de radio infinitesimalmente pequeño alrededor del polo complejo. Con claridad puede verse que el ángulo de fase arg GH' de GH es constante alrededor de este círculo, despreciando la contribución del polo complejo. Si 0p representa el ángulo de salida, el ángulo de fase total de GH en el punto sobre el círculo en donde se cruza con el lugar de las raíces es argGH= argGH' - 0p puesto que -0p es el ángulo de fase con que el polo complejo contribuye al arg GH. Para satisfacer el criterio del ángulo, el arg GH = arg GH' - 0p = 180º, o 0p = 180º + arg GH', puesto que + 180º y -180º son equivalentes. 13.22. Determine la relación entre el ángulo de salida de un polo complejo para K > Oy K < O. Puesto que arg GH' cambia en 180º si K cambia de un número positivo a uno negativo, el ángulo de partida para K < O difiere en 180º del ángulo de partida para K > O. 13.23. Demuestre que el ángulo de llegada a un cero complejo satisface 0LL =180º - arg GH" (13.10) De la misma manera que en la solución del problema 13.21, el ángulo de fase de GH en la vecindad del cero complejo está dado por arg GH = arg GH" + 0LL, puesto que 0LL es el ángulo de fase con que el cero complejo contribuye al arg GH. Entonces, aplicando el criterio de ángulo se produce 0LL = 180º - arg GH". 13.24. Determine gráficamente el arg GH' y calcule el ángulo de salida del lugar de las raíces del polo complejo en s = -2 + j para K GH = -,----------- (s + l)(s + 2 - j)(s + 2 +j) K>O A partir de la figura 13-26, el arg GH' = -135º -90º = -225º; y 0p = 180º -225º = -45º, como se muestra en la figura 13-27. jl ~ o jl -2 (1 -2 -1 (1 90° -il -jl Figura 13-26 Figura 13-27
- 445. 434 TEORIA, Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 13.25. Determine los ángulos de partida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, para la función de transferencia en malla abierta K(s + 1 +j){s + 1 - J) GH=------- s(s + 2J}(s - 2j) Para el polo complejo en s 2j, arg GH' = 45° + 71.6° - 90° - 90º = -63.4° y K>O (JD = 180° - 63.4° = 116.6º Puesto que el lugar de las raíces es simétrico alrededor del eje real, el ángulo de salida del polo en s = -2j es -116.6º. Para el cero complejo en s = -1 + j, arg GH" = 90º - 108.4° - 135º - 225º = -18.4º y 0LL= 180º - ( -18.4º) = 198.4º Así, el ángulo de llegada al cero complejo s -1 -j es 0LL Construcción del lugar de las raíces 13.26. Construya el lugar de las raíces para K GH= - - - - - - - - - - (s + l){s + 2 - j)(s + 2 +J) K>O -198.4°. El eje real desde -1 hasta - x está sobre el lugar de las raíces. El centro de asíntotas está en -1-2+}-2-j a,.= ---- 3 - - - = -1.67 Hay tres asíntotas (n - m = 3), localizadas en ángulos de 60º, 180º y 300º. El ángulo de salida del polo complejo en s = -2 + j, calculado en el problema 13.24, es -45º. En la figura 13.28 se muestra un esbozo del lugar de las raíces resultante. Al verificar el criterio de ángulo en varios puntos a lo largo de las ramas dibujadas, se obtiene un diagrama exacto del lugar de las raíces, ajustando la localización de las ramas si es necesario, y aplicando luego el criterio de magnitud para determinar los valores de K en los puntos seleccionados a lo largo de las ramas. En la figura 13-29 se muestra el lugar de las raíces completo.
- 446. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 435 J' jw ;1 "' o :i / .,. .,. / 11 11 11 :s:: :.: :s:: -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 (1 ~ -;1 Figura 13-28 Figura 13-29 13.27. Dibuje las ramas del lugar de las raíces para la función de transferencia K(s+ 2) GH = ----:-------- (s + l)(s + 3 +j)(s + 3 - j) K>O El eje real entre - 1 y - 2 está sobre el lugar de las raíces (problema 13. 11). Hay dos asíntotas con ángulos de 90º y 270º. El centro de asíntotas puede calcularse fácilmente como u.. = -2.5, y el ángulo de partida del polo complejo en s = - 3 + j, como 72º. Por simetría, el ángulo de partida del polo en - 3 -j es - 72º. Las ramas del lugar de las raíces pueden dibujarse entonces como se muestra en la figura 13-30. )!1 1 j., -3 1 -2 -1 1 ! Figura 13-30 j2 jl -jl -j2
- 447. 436 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 13.28. Construya el lugar de las raíces para K > O y K < O, para la función de transferencia ' K GH= -------- s(s + I)(s + 3)(s + 4) Para esta función de transferencia el centro de asíntotas es simplemente Uc = -2, y n - m = 4. Por tanto para K > O, las asíntotas tienen ángulos de 45º, 135º, 225º y 315º. Las secciones del eje real entre Oy -1, y entre -3 y -4, están en el Jugar de las raíces paraK > O, yen el problema 13.20 se determinó que hay un punto de separación localizado en u. = -0.424. A partir de la simetría de localización de los polos, otro punto de separación se localiza en -3.576. Este puede verificarse al sustituir este valor en la relación para el punto de separación, ecuación (13 .8). En la figura 13-31 se muestra el Jugar de las raíces completo para K > O. Para K < O, las asíntotas ti~nen ángulos de 0°, 90º, 180º y 270º. En este caso las partes del eje real entre oo y O, entre -1 y -3, y entre -4 y - oo, están en el Jugar de las raíces. Solamente hay un punto de separación, localizado en -2. En la figura 13-32 se muestra el lugar de las raíces completo para K < O. j,,, ;,,, ' ;a K = -130 j3 '' ' K =-40 j2 ' ' Q Q ' ..,. ..,. 1 K = -10 jl 1 ' 11 11 ' :.: :.: ' -3 /-2, -1 / ,K=6 " -4 -3 -2 -1 " / ' K=-10 -jl / ' K = 26 / ' / / K=-40 -j2 K = 144 / / "/ K = -130 -j3 Figura 13-31 Figura 13-32 13.29. Construya el lugar de las raíces para K > Opara la función de transferencia del sistema discreto K(z-0.5) GH(z) = ( )2 z-1 Este lugar de las raíces tiene dos lugares geométricos y una asíntota. El lugar de las raíces está en el eje real para z < 0.5. Los puntos de separación están en z = Oy z = 1. En la figura 13-33 se muestra el lugar de las raíces completo.
- 448. ANALISIS UTILIZANDO (,L LUGAR DE LAS RAICES 437 jr -0.5 µ Figura 13-33 13.30. Construya el lugar de las raíces para K > Opara la función de transferencia del sistema discreto K GH( z) = -(z-+-0-.5-)-(z---1-.5-) Este lugar de las raíces tiene dos ramas y dos asíntotas. El punto de separación y el centro de asíntotas están en z = 0.5. En la figura 13-34 se muestra el lugar de las raíces. Í" --- -- K=¾ ,,,,,,,,. / '" / / / / I I K=l -0.5 11 1.5 µ I / / . // ' / ' ................ --- --- Figura 13-34 -13.31. Construya el lugar de las raíces para K > Opara el sistema discreto con H = 1y función de transferencia directa K(z+½}(z+I) G(z)=-z(_z_+_½_}(_z___ I_)
- 449. 438 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El sistema tiene un polo más que ceros, así que el lugar de las raíces tiene sólo una asíntota a lo largo del eje real negativo. El lugar de las raíces está sobre el eje real entre Oy 1, entre - ½ y -½,ya la izquierda de - 1. Los puntos de separación están localizados entre Oy 1, y a la izquierda de -1. Por ensayo y error (o solución por computador), los puntos de separación se encuentran en z = 0.383, y ¡; = - 2.22. El lugar de las raíces es una elipse entre los puntos de separación en z = 0.383 y z = -2.22. El punto en el eje jv, en donde el arg G(z) = -180º, se encuentra que es z = j 0.85 mediante el procedimiento de ensayo y error. De manera similar, el punto en la línea z = - 1 + jv, en donde el arg G(z) = -180º, es z = -1 +ji. 26. En la figura 13-35 se dibujaellugarde las raíces. El factor de ganancia a lo largo del lugar de las raíces se determina de manera gráfica a partir del diagrama de polos y ceros, o de manera analítica al evaluar G(z). K=5.3 K= 2.9 ¡-;? I K= 7.1 / -1 ',, Figura 13-35 -.. jll --.. '", K = 0.6 ' K= 0.2 1 La función de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el dominio del tiempo 13.32. Determine la función de transferencia en malla cerrada del sistema continuo del ejemplo 13..8 para K = 48, dadas las siguientes funciones de transferencia paraH: a) H = 1, b) H = 4/(s + 1), e) H = (s + 1)/(s + 2). A partir de la gráfica del lugar de las raíces del ejemplo 13.8, los polos de la malla cerrada para K = 48 están localizados en s -6, j2.83 y -J2.83. Para H = 1, 48 G=------ s(s + 2)(s + 4) Para H =4/(s + 1), 12(s + 1) G=------ s(s + 2)(s + 4) y y C GH 48 -=---=----------- R l+GH (s + 6)(s-j2.83)(s + j2.83) C 1 ( GH ) 12(s+l) R = H 1 + GH = (s + 6)(s - j2.83}(s + j2.83)
- 450. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR uE LAS RAICES Para H = (s +1)/(s +2), 48 G=------ s(s + l)(s +4) C 48(s+2) y R (s + l)(s+ 6)(s-j2.83)(s +j2.83) 439 Nótese que en este último caso hay cuatro polos en la malla cerrada, mientras que GH sólo tiene tres. Esto se debe a la cancelación de un polo de G con un cero de H. 13.33. Determine la respuesta paso unitario del sistema del ejemplo 13.1 con K 1.5. La función de transferencia en malla cerrada de este sistema es C 1.5(s+l) R (s+0.5)(s+ 3) Para R lis, 1.5(s + 1) 1 - 0.6 -0.4 C=------=-+--+-- s( s +0.5 )( s + 3) s s + 0.5 s + 3 y la respuesta paso unitario es ..w-1 [C(s)] = c(t) = 1- 0.6e-0·5' - 0.4e- 3'. 13.34. Determine la relación entre los ceros de la malla cerrada y los polos y ceros de G y H, suponiendo que no hay cancelaciones. Hagamos G = N1/D1 y H = N2/D2 , en donde N1 y D1 son los polinomios del numerador (los ceros) y del denominador (los polos) de G, y N2 y D2 son los polinomios del numerador y el denominador de H. Entonces e G N1D2 - = --- = ----- De esta manera, los ceros de la malla cerrada son iguales a los ceros de G y a los polos de H. Márgenes de ganancia y de fase 13.35. Encuentre el margen de ganancia del sistema del ejemplo 13.8 para K = 6. El factor de ganancia en el cruce del eje jw es 48, como se muestra en la figura 13-12. Por tanto el margen de ganancia es 48/6 = 8. 13.36. Demuestre cómo puede utilizarse una tabla de Routh (sección 5.3) para determinar la frecuencia y la ganancia en el cruce con el eje jw. En la sección 5.3 se destacó que una fila de ceros en la fila s1 de la tabla de Routh indica que el polinomio tiene un par de raíces que satisfacen la ecuación auxiliar As2 + B =;c O, en donde A y B son
- 451. 440 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL el primero y segundo elementos de la fila sl. Si A y B tienen el mismo signo, las raíces de la ecuación auxiliar son imaginarias (sobre el eje jw)-. De esta manera, si se construye una tabla de Routh para la ecuación característica de un sistema, pueden determinarse los valores de K y w correspondientes a los cruces con el eje jw. Por ejemplo, considere el sistema con función de transferencia en malla abierta K GH=--- s(s + 2)2 La ecuación característica para este sistema es s3 + 4s2 + 4s + K = O La tabla de Routh para el polinomio característico es S 3 1 4 s2 4 K s1 16- K)/4 s° K La fila s1 es cero para K 16. La ecuación auxiliar entonces se convierte en 4s2 + 16 =O De esta manera, para K = 16 la ecuación característica tiene soluciones (polos de la malla cerrada) en s = ±j2, y el lugar de las raíces cruza el eje jw en j2. 13.37. Determine el margen de fase para el sistema del ejemplo 13.8 (figura 13-12) para K = 6. El punto sobre el eje jw para el cual IGH(jw)I = 1, se encuentra que es j 0.7 mediante el procedimiento de ensayo y error. Entonces el arg GH(j0.7) se calcula como -120º. Por tanto el margen de fase es 180º - 120º = 60º. 13.38. ¿Es necesario construir totalmente el lugar de las raíces para determinar los márgenes de ganancia y de fase de un sistema? No. Solamente se requiere un punto en el lugar de las raíces para determinar el margen de ganancia. Este punto, en w .,,., en donde el lugar de las raíces cruza el límite de estabilidad, puede determinarse por el procedimiento de ensayo y error, o mediante el ~so de una tabla de Routh, como se describió en el problema 13.36. Para determinar el margen de fase sólo es necesario determinar el punto en el límite de estabilidad en donde IGH(jw)I = 1. Aunque no es necesaria la gráfica completa del lugar de las raíces, a menudo puede ser útil, especialmente en el caso de cruces múltiples del límite de estabilidad. Relación de amortiguación a partir del lugar de las raíces para sistemas continuos 13.39. Verifique la ecuación (13.18). Las raíces de s2 + 2rwns + w; son su= -rwn ±jwnVl - r2 . Entonces
- 452. ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES y o ls1I = fs2I = /r2w; + w;(l - r2) = wn argsl,2 = +tan-1(/1 -t2/t) = 180° ± (} S1,2 = w,./180º ± 8. Así cos8 = twn/wn = t. 441 13.40. Determine el valor positivo de la ganancia que resulta en una relación de amortiguación de 0.55 para los polos complejos en el lugar de las raíces que se muestra en la figura 13-12. El ángulo de los polos deseados es 0 = cos- 1 0.55 = 56.6º. Una línea trazada desde el origen y a un ángulo de 55.6º con el eje real negativo, interseca en K = 1 el lugar de las raíces de la figura 13-12. 13.41. Encuentre la relación de amortiguación de los polos complejos del problema 13.26 para K 3.5. Una línea trazada desde el lug¡¡r de las raíces con K = 3.5 hasta el origen hace un ángulo de 53º con el eje real negativo. De aquí que la relación de amortiguación de los polos complejos es ( = cos 53º = 0.6. Problemas suplementarios 13.42. Determine el ángulo y la magnitud de 16(s+l) GH=------ s(s + 2)(s + 4) en los siguientes puntos en el plano s: a) s =j2, b) s = - 2 +}2, e) s = -4 +}2, d) s= -6, e) s = -3. 13.43. Determine el ángulo y la magnitud de 20( s + 10 + jlO)( s + 10 - }10) GH = ----------- (s + lO)(s + l~)(s + 25) en los siguientes puntos del plano s: a) s =JlO, b) s =}20, e) s = -10 +}20, d) s=-20+}20, e)s=-15+}5. 13.44. Para cada función de transferencia, encuentre los puntos de separación en el lugar de las raíces: K a) GH=----- s(s+6)(s+8)' K(s+ 5) b) GH=---- (s+2)(s+4)' K(s + 1) e) GH=--- s2(s + 9) ·
- 453. 442 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 13.45. Encuentre el ángulo de partida del lugar de las raíces del polo en s = - 10 + j10 para K(s +8) GH = ------------- (s + 14)(s + 10 +jlO)(s + 10-JlO) K>O 13.46. Encuentre el ángulo de salida del lugar de las raíces del polo en s = - 15 + j9 para K GH = --------------- (s + 5)(s + lO}(s + 15 +j9)(s + 15 -J9) K>O 13.47. Encuentre el ángulo de llegada del lugar de las raíces al cero en s = - 7 + j5 para K(s + 7 +j5)(s + 7-j5) GH = --------- (s + 3)(s + 5)(s + 10) K>O 13.48. Construya el lugar de las raíces para K > Opara la función de transferencia del problema 13.44a). 13.49. Construya el lugar de las raíces para k > Opara la función de transferencia del problema 13.44c). 13.50. Construya el lugar de las raíces para K > Opara la función de transferencia del problema 13.45. 13.51. Construya el lugar de las raíces para K > Opara la función de transferencia del problema 13.46. 13.52. Determine los márgenes de ganancia y de fase para el sistema con la función de transferencia en malla abierta del problema 13.46, si el factor de ganancia K se iguala a 20.000. Respuestas a algunos problemas suplementarios 13.42. a) argGH=-99º, jGHj=l.5; b) argGH=-153º, jGHj=2.3; e) argGH= -232º, jGH/= 1.8; d) argGH=Oº, /GH/= 1.7; e) argGH= -180º, jGH/= 10.7 13.43. a) argGH= -38°, jGHj=0.68; b) argGH= -40°, jGH/=0.37; e) argGH= -41º, iGH/=0.60; d) argGH= -56º, IGH/=0.95; e) argGH= +80º, jGHi= 6.3 13.44. a) a., = -2.25, -7.07; b) a., = -3.27, -6.73; e) a., = O, -3 13.45. 0p = 124º 13.46. 0p = l93º 13.47. 0ll = 28º 13.52. Margen de ganancia = 3.7; Margen de fase = 102º
- 454. Capítulo 14 Diseño utilizando el lugar de las raíces 14.1 El problema de diseño El método del lugar de las raíces puede resultar bastante efectivo en el diseño de sistemas de control con retroalimentación, continuos o discretos, porque ilustra gráficamente la variación de los polos en malla cerrada del sistema como una función del factor de ganancia K en malla abierta. En su forma más simple, el diseño se efectúa escogiendo un valor de K que produzca un comporta- miento satisfactorio en malla cerrada. Esto se llama compensación delfactor de ganancia (véase también la sección 12.2). Las especificaciones sobre los errores permisibles en estado estaciona- rio usualmente toman la forma de un valor mínimo de K, expresado en términos de las constantes de l!rror, por ejemplo Kp, Kv y Ka (Capítulo 9). Si no es posible cumplir todas las especificaciones usando la sola compensación del factor de ganancia, pueden agregarse al sistema otras formas de compensación para alterar el lugar de las raíces según sea necesario, por ejemplo con redes de atraso, de adelanto, de atraso-adelanto o controladores PID. Para efectuar el diseño del sistema en los planos s ó z utilizando las técnicas del lugar de las raíces, es necesario interpretar las especificaciones del sistema en términos de las configuraciones deseadas de polos y ceros. Los programas para computador digital que construyen el lugar de las raíces son muy útiles en el diseño de sistemas, al igual que para su análisis, como se indicó en el Capítulo 13. EJEMPLO 14.1. Considérese el diseño de un sistema continuo con retroalimentación unitaria con la planta G = K!(s + l)(s + 3) y las siguientes especificaciones: 1) Sobretensión menor qué el 20%, 2) KP ~ 4, 3) tiempo de subida del JO% al 90% menor que I s. En la figura 14-1 se presenta el lugar de las raíces para este sistema. Su función de transferencia en malla cerrada puede escribirse como C K R s2 + 2t,,v +-w; en donde Cy wn pueden determinarse a partir del lugar de las raíces para un valor K dado. Para satisfacer la primera especificación, Cdebe ser mayor que 0.45 (véase la figura 3-4). Entonces, a partir del lugar de las raíces vemos que K debe ser menor que 16 (véase la sección 13.12). En este sistema, Kp está dada por K/3. Así, para satisfacer la segunda especificación, K debe ser mayor que 12. El tiempo de subida es función de ( y de Wn. Supóngase que se escoge un valor de prueba de K = 13. En este caso, C= 0.5, Wn = 4, y el tiempo de subida es 0.5 s. En consecuencia, todas las especificaciones pueden cumplirse haciendo K = 13. Nótese que si la especificación de KP fuera mayor que 5.33, o la especificación del tiempo de subida fuera menor que 0.34 s, todas las especificaciones no podrían cumplirse ajustando simplemente el factor de ganancia en malla abierta. 443
- 455. 444 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL K=4 j cos-- 1 0.45 -3 -2 -¡ (1 Figura 14-1 14.2 Compensación por cancelación Si la configuración de polos y ceros de la planta es tal que las especificaciones del sistema no pueden cumplirse mediante un ajuste del factor de ganancia en malla abierta, puede agregarse un compensador en cascada más complicado, como se presenta en la figura 14-2, con el propósito de cancelar algunos o todos los polos y ceros de la planta. Debido a consideraciones de factibilidad, el compensador no debe tener más ceros que polos. En consecuencia, cuando los polos de la planta se cancelan por los ceros del compensador, éste agrega nuevos polos a la función de transferencia de la malla directa. La filosofía de esta técnica de compensación es entonces remplazar polos inconvenientes con polos convenientes. R + e compensador planta en cascada Figura 14-2 La dificultad encontrada al aplicar este esquema es que no siempre resulta aparente qué confi- guración de polos y ceros en malla abierta es conveniente desde el punto de vista de cumplir las especificaciones de desempeño en un sistema en malla cerrada. Las siguientes son algunas situaciones en las cuales puede utilizarse con ventaja la compensa- ción por cancelación: I. Si las especificaciones de tiempo de subida o de ancho de banda del sistema no pueden cumplirse sin compensación, es útil cancelar los polos de baja frecuencia y remplazarlos por polos de alta frecuencia.
- 456. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 445 2. Si las especificaciones de los errores permisibles en estado estacionario no pueden cum- plirse, podría cancelarse un polo de baja frecuencia y remplazarse por otro de más baja frecuencia, obteniéndose entonces una mayor ganancia de malla directa a frecuencias bajas. 3. Si ciertos polos con pequeñas razones de amortiguación están presentes en la función de transferencia de la planta, pueden cancelarse y remplazarse por polos que tengan mayo- res razones de amortiguación. 14.3 Compensación de fase: redes de adelanto y de atraso A un sistema puede agregarse un compensador en cascada para alterar las características de fase de su función de transferencia en malla abierta, de tal modo que afecte favorablemente su desempeño. Estos efectos se trataron en el Capítulo 12, secciones 12.4 a 12.7, las cuales resumen los efectos generales de estas redes en el dominio de la frecuencia, para redes de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto, utilizando los diagramas polares. En las figuras 14-3 y 14-4 se presentan los diagramas de polos y ceros de las redes de adelanto y de atraso de sistemas continuos. Nótese que una red de adelanto hace una contribución de fase positiva, y una red de atraso hace una negativa. Puede obtenerse una red de atraso-adelanto al combinar en serie, de manera apropiada, una red de atraso y otra de adelanto, o a partir de la construcción descrita en el problema 6. 14. Puesto que el lugar de las raíces del sistema compensado se determina mediante los puntos en el plano complejo, para los cuales el ángulo de fase de G = G I G2 es igual a -180º, las ramas del lugar de las raíces pueden moverse por medio de la selección adecuada del ángulo de fase con que contribuye el compensador. En general, el compensador por adelanto tiene el efecto de mover a la izquierda los lugares de las raíces. arg P adelanto= Ba - Bb > O u s + a Padelanto = 8 + b, O~ a< b Figura 14-3 -b -a u Figura 14-4 EJEMPLO 14.2 El compensador por adelanto de fase G1 = (s + 2)/(s + 8) altera el lugar de las raíces del sistema con planta G2 = Kl(s + 1)", como se ilustra en la figura 14-5.
- 457. 446 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL no compensada compensada por adefanto -1 (T -8 Figura 14-5 EJEMPLO 14.3. En la figura 14-6 se ilustra el uso de compensación por atraso simple (un polo en - 1 y ningún cero) para alterar los ángulos de separación del lugar de las raíces de un par <le polos complejos. no compensada -5 -1 compensada por atraso simple (T -5 ¡., ;4 -;4 Figura 14-6 14.4 Compensación de magnitud y combinaciones de compensadores p = _.!__ Atra~u 5 + } (T Las redes de compensación pueden emplearse para alterar la característica de magnitud (l(C/R) (w)I) en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentación. La característica de baja frecuencia puede modificarse mediante la adición de un par polo-cero de baja frecuencia, o dipo- lo, de tal manera que el comportamiento de alta frecuencia, prácticamente no se altera. EJEMPLO 14.4. En la figura 14-7 se presenta el lugarde las raíces para el sistema continuo CH= Kls(s + 2)2. Supongamos que este sistema tiene una respuesta transitoria satisfactoria con K = 3, pero la constante de error de velocidad resultante Kv = 0.75 es demasiado pequeña. Podemos incrementar Kv a 5 sin afectar seriamente la respuesta transitoria agregando el compensador G 1 = (s + 0.1)/(s + 0.015), puesto que 0.75(0.1) K,'. = K,,G1(0) = 0 _ 015 = 5 En la figura 14-8 se muestra el lugar de las raíces resultante. La parte de alta frecuencia del lugar de las raíces y la respuesta transitoria no se afectan de manera esencial, porque la función de transferencia en malla cerrada tiene un par polo-céro de baja frecuencia que se cancelan entre sí casi totalmente.
- 458. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES K=3 -3 -2 K=3 K, =0.75 -1 Figura 14-7 447 K=3 " -3 " Figura 14-8 Como se muestra en la figura 14-9, un dipolo de baja frecuencia para la compensación de magnitud de un sistema continuo puede sintetizarse con el polo en el origen utilizando un compen- sador proporcional integral (PI), con la función de transferendia ! · s+K1 G1=-- s + ..+ Figura 14-9 Algunas veces se necesitan combinaciones de varios esquemas de compensación para satisfa- cer requerimientos que competen a las especificaciones de desempeño de las respuestas transitoria y en estado estacionario, como se ilustra a continuación. Este ejemplo, resuelto por métodos del lugar de las raíces, es la repetición de un problema de diseño resuelto por los métodos de Nyquist en el ejemplo 12.7, y por los métodos de Bode en el ejemplo 16.6. EJEMPLO 14.5. Nuestro objetivo es determinar un compensador apropiado G 1(z) en el sistema discreto con retroalimentación unitaria, con 3(z+l)(z+½) Gi(z) = 8z(z+0.5) El sistema en malla cerrada resultante debe satisfacer las siguientes especificaciones de desempeño: 1. Error en estado estacionario menor que o igual a 0.2 para una entrada rampa unitaria 2. Margen de fase = <fJMF 2:: 30º. 3. Frecuencia de ganancia de cruce w 1 2: 10 rad/s, con T = 0.1 s. Para tener un error finito en estado estacionario con rampa unitaria, el sistema debe ser del tipo 1. La compensación entonces debe proporcionar un polo en z = 1. Considérese el compensador
- 459. 448 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL K1 G'=-- 1 z-1 La función de transferencia de la malla directa se hace entonces 3K1(z+l)(z+½) GíGi(z) = 8(z-l)z(z+0.5) A partir de la sección 9.9, el coeficiente del error de velocidad es 3K1(1 + 1)(1 + ½) K0 = S(l)(l + O.S) = 0.667K1 Ahora, para que el sistema en estado estacionario tenga un error menor que 0.2, con entrada rampa unitaria, debe tenerse K, 2 5, o K1 2 7.5. Para investigar los efectos de la ganancia agregada, considérese el lugar de las raíces para K(z+l)(z+½) GíG2 (z)= z(z+0.5)(z-1) en donde K = 3K1!8. Este lugar de las raíces se construyó en el problema 13.31 y se repite en la figura 14-10. K= 5.3 K = 7.1 K = 1.25 /"' / / / I .,,,....- Figura 14-10 ]P ---.....,, K = 0.6 ". K = 0.2 µ En el punto z = -0.18 +jO.98 en donde el lugar de las raíces cruza el círculo unitario, w 1TT = 1.75 rad yK = 1.25 (K1 = 8K/3 = 3.33). Puestoqueéstaesmenorque lagananciaK1 = 7.5necesariaparahacerKv = 5, es insuficiente la compensación simple del factor de ganancia. El paso siguiente es evaluar la magnitud y la fase de GíGi(z) a la frecuencia de cruce de ganancia mínima requerida, w1 = 10, u w1T = 1 rad. Este es el punto z = ejwT = ej sobre el círculo unitario. En este punto,
- 460. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 449 IGíG2(ej)I = 1.66K y el arg Gí Gz(ej) = -142.5º. Si se ajustara la ganancia K de tal modo que IGíG2(ej)I = 1, es decir, K = 0.6, el margen de fase sería (180 - 142.5)º = 37.5º y se cumpliría con el requerimiento de 30º. Ello requiere que K1 = 8K/3 = 1.6, y la constante de velocidad se hace K,. = 0.667K1 = 1.067. Para completar el diseño debe agregarse la ganancia adicional para aumentar la constante de velocidad hasta el valor requerido de 5 a bajas frecuencias, sin alterar significativamente las características de alta frecuencia ya obtenidas. Esto requiere una ganancia adicional de 5/1.067 = 4.69, la cual puede suministrar- se con un compensador por atraso. Este deberá tener una ganancia en z = 1 que sea 4.69 veces tan grande como la ganancia en wT = 1, sin agregar más de 7.5° de retraso de fase en wT = 1, para satisfacer el requerimiento de <!>MF ~ 30º. Si se elige el valor de 0.97 para el polo del compensador por atraso, el cero debería localizarse de tal modo que 1-z1 Patraso = 1 - 0.97 ~ 4.69 o z1 :S 0.86. Si se asigna z1 0.86, entonces y 1 z - 0.861 { 4.7 IPa,raso = z - 0.91 = 0.95 para z = 1 para z = ej ( el - 0.86) argPa,raso=arg . = -6.25° e1 -0.91 para z = el El compensador entonces se convierte en K1(z- 0.86) Gi = -(z---0.-97_)_(z---1-) (wT=l) Finalmente, para w 1T = 1, se necesita IG 1Gz(ej)I = 1, así que K1 = 1.60/0.95 = 1.68, para tener en cuenta la ganancia del compensador por atraso en wT = 1. El compensador completo es 1.68( z - 0.86) G1=-:------- (z-0.97)(z-1) que es casi el mismo diseño obtenido por los métodos de Nyquist en el ejemplo 12.7. 14.5 Aproximaciones por polos-ceros dominantes El método del lugar de las raíces ofrece la ventaja de un despliegue gráfico de los polos y los ceros del sistema en malla cerrada. El diseñador puede determinar teóricamente las características de la respuesta del sistema a partir del diagrama de polos y ceros en malla cerrada. Sin embargo, en la práctica esta tarea se hace cada vez más difícil para sistemas con cuatro o más polos y ceros. En algunos casos el problema puede simplificarse de manera considerable si la respuesta está dominada por dos o tres polos y ceros.
- 461. 450 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Efectos en las respuestas de tiempo del sistema La influencia de un polo particular (o un par de polos complejos) en la respuesta, se determina principalmente por dos factores: la razón relativa de disminución del término transitorio debido a ese polo, y la magnitud relativa del residuo en el mismo. Para sistemas continuos, la parte real a del polo p determina la tasa a la cual disminuye el término transitorio debido a ese polo; entre más grande sea a, más rápida es la tasa de disminu: ción. La magnitud relativa del residuo determina el porcentaje de la respuesta total debida a ese polo particular. EJEMPLO 14.6. Considérese un sistema con función de transferencia en malla cerrada e s R (s+l)(s+5} La respuesta paso de este sistema es c(t) = 1- l.25e-' + 0.2se- 5' En la respuesta el término debido al polo en .1· 1 = u 1 = -5 disminuye cinco veces más rápido que el término debido al polo en .1·2 = <12 = -1. Además, el residuo en el polo s 1 = -5 es tan solo¼ del de s2 = -1. En consecuencia, para la mayor parte de los propósitos prácticos, el efecto del polo s1 = .:._ 5 puede ignorarse y el sistema aproximarse mediante e 1 -===-- R s+ 1 El polo en s 1 = - 5 se ha removido de la función de transferencia y el numerador se ha ajustado para mantener la misma ganancia en estado estacionario ((C/R)(O) = 1). La respuesta en el sistema aproximado es e( t) = 1 - t -e . EJEMPLO 14.7. El sistema con función de transferencia en malla cerrada tiene la respuesta paso e 5.S(s+0.91} R (s+l}(s+S) e( t) = 1 +o.12se- 1 - 1.125e- 5' En este caso, la presencia de un cero cerca del polo en - 1 reduce de manera significativa la magnitud del residuo en ese polo. En consecuencia el polo en -5 es el que ahora domina la respuesta del sistema. El polo de la malla cerrada y el cero efectivamente se cancelan entre sí y (C!R)(O) = 1, de tal modo que su función de transferencia aproximada es e s -~-- R s+ 5 y la correspondiente respuesta paso aproximada es e== 1 - e- 51•
- 462. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LA'S RAICES 451 Para sistemas discretos en el tiempo con polos distintos (no repetidos) p 1, p2 , ... , la parte transitorjaYT(k) de la respuesta debida al poloptiene la formayr(k) = pk, conk = O, 1,2,... (véase la tabla ~.2.). Por tanto cada muestra sucesiva en el tiempo es igual al muestreo anterior multipli- cado por p, es decir Yr(k + 1) = PYr(k) La magnitud de un polo distinto determina entonces la tasa de disminución de la respuesta transi- toria, al ser la tasa de disminución inversamente proporcional a lpl: entre más pequeña la magnitud, más rápida la tasa de disminución. Por ejemplo, los polos cerca del círculo unitario disminuyen de manera mucho más lenta que los polos cerca del origen, puesto que sus magnitudes son más pequeñas. El análisis en los sistemas con polos repetidos es más complicado, y las aproximaciones pue- den resultar inapropiadas. EJEMPLO 14.8. El sistema discreto con ·función de transferencia en malla cerrada C 0.45z R (z- O.l)(z - 0.5) tiene la respuesta paso c(k) = 1- l.125(0.5)k +0.125(0.l)k k=0,1,2, ... En la respuesta el término debido al polo en z = 0.1, el valor de la muestra en el tiempo k es sólo el 10% del valor de la muestra en el tiempo k - 1, y por tanto disminuye cinco veces más rápido que el término debido al polo en z = 0.5. La magnitud del residuo en z = 0.1 es 0.125, que es una novena parte de la magnitud del residuo 1.125 en z = 0.5. En consecuencia, para muchos propósitos prácticos, a menudo puede ignorarse el polo en z = 0.1, y el sistema aproximarse mediante e o.5 -=--- R z- 0.5 en donde el numerador se ha ajustado para mantener la misma ganancia en estado estacionario e -(1) = 1 R y el cero en z = Ose eliminó para mantener un polo más que los ceros en el sistema aproximado. Ello es necesario para dar el mismo retardo inicial (tiempo de una muestra) en el sistema aproximado que en el original. La respuesta paso del sistema aproximado es c(k) = 1 - (0.5) con k = O, 1,2,... Efectos en otras características del sistema En las figuras 14-11 y 14-12 se ilustra el efecto de un polo de la malla cerrada en el eje real, en -p.< O, sobre la sobretensión y el tiempo de subida Ts de un sistema continuo que también tiene los polos complejos -pe, - Pe*· Para
- 463. 452 = 'º ·;:; = E TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL (14.J) ] 201----1---+---+-~-+---+---+----I o "' t;9 o °' cii tffe. o o -o o: .!::: cii E .... o = o: -o :E :::1 "' <l.) -o o o. E -~ 10 8 6 E--:' " 3 4 2 o 1 l "' o 11 ,,~ ~ ' ~ 2 P,l/;wn Figura 14-11 /; = 0.7 Pr"'~ (s + p,)(s2 --1 21w,/l + w~) ' >== 0.7 !: 0.3 ;¡ r, 6 Figura 14-12 la sobretensión y el tiempo de subida se aproximan a los de un sistema de segundo orden que solamente tiene polos complejos (véase la figura 3-4). Por tanto, Pr puede despreciarse en la determinación de la sobretensión y el tiempo de subida si ( > 0.5 y (14.2)
- 464. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 453 No hay sobretensión si (14.3) y el tiempo de subida se aproxima al de un sistema de primer orden que contiene solamente un polo en el eje real. En las figuras 14-13 y 14-14 se ilustra el efecto de un cero de la malla cerrada en el eje real, en - zr < O, sobre la sobretensión y el tiempo de subida T.,. de un sistema continuo que también tiene los polos complejos -p,, - Pe*. Estas gráficas muestran que Zr puede despreciarse al determinar la sobretensión y el tiempo de subida si ? > 0.5 y (14.4) 100 8 + z, 80 = 'º 60 ·;¡; = ~ ~ .D 40 o "' &?. 20 o 2 3 4 5 6 7 z,./fwn Figura 14-13 i 2.0 o °' -¡;; &?. 1.6 o :::. o ~ 1.2 N ~ ¡...; E f ... 1 o = 0.8 c<S -o :E ::, 8 + z, "' 0.4 <l.) s2 + 2fwns + w~ -o o o.. E o -~ 1 2 3 4 5 6 7 z,Jtwn Figura 14-14
- 465. 454 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 14.9. La función de transferencia en malla cerrada de un sistema continuo particular está representada por el diagrama de polos y ceros que se muestra en la figura 14-15. Dado que la ganancia en estado estacionario es (C/R)(jO) = 1, una aproximación de polo-cero dominante es e 4 R.= s2 + 2s + 4 Esta es una aproximación razonable porque el polo y el cero cerca des= -2 efectivamente se cancelan entre sí, y los demás polos y ceros satisfacen las ecuaciones (/4.2) y (/4.4) con -pe= -1 +J/3 y r= o.s. jw jlO X j6 X iÍ3 -10 -5 -1 X -jÍ3 -j5 X -jlO Figura 14-15 14.6 Diseño puntual Si a partir de las especificaciones del sistema puede determinarse la posición deseada p I de un polo en malla cerrada, el lugar de las raíces del sistema puede alterarse para asegurar que una rama
- 466. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 455 del lugar de las raíces pasará por el punto deseado p 1• La especificación de un polo en malla cerrada en un punto particular del plano complejo se llama diseño puntual. La técnica se lleva a cabo utilizando la compensación de fase y de magnitud. EJEMPLO 14.10. Considérese la planta continua K G2=-----,-- s(s + 2) 2 La respuesta en malla cerrada debe tener un tiempo de subida del 10% al 90% menor que I s, y una sobretensión menor que el 20%. A partir de la figura 3-4 se observa que estas especificaciones se cumplen si el sistema en malla cerrada tiene una configuración de dos polos dominantes con?;= 0.5 y wn = 2. Así, Pi se escoge en - 1 + jV3, la cual es una solución de para?; = 0.5 y w,, = 2. Claramente puede verse quep¡* =-1 - j'/3 es la otra solución de esta ecuación cuadrática, En la figura 1.4-16 se muestra la orientación de pi con respecto a los polos de G2. -2 -1 11 Figura 14-16 El ángulo de fase de G2 es -240º en Pi. Para que una rama del lugar de las raíces pase por Pi, el sistema debe modificarse de tal modo que el ángulo de fase del sistema compensado sea -180º en Pi. Ello se logra al agregar una red de adelanto en cascada que tenga un ángulo de fase de 240º - 180º = 60º en pi, lo cual se satisface mediante s+l G =P = - - 1 '""''""" s + 4 como se muestra en el diagrama de polos y ceros de la función de transferencia en malla abierta compensada GiG1 , en la figura 14-17. El polo de la malla cerrada puede localizarse ahora en pi escogiendo un valor para K que satisfaga el criterio de magnitud del lugar de las raíces. La solución de la ecuación (13.5) produce K = i6. El lugar de las raíces o diagrama de polos y ceros en malla cerrada del sistema compensado debe dibujarse para verificar la validez de la suposición de los dos polos dominantes. La figura 14-18 ilustra que los polos en Pi y p1* dominan la respuesta.
- 467. 456 -4 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL j., i13 -2 -1 11 -5.25 Figura 14-17 K =16 -4 -2 -0,76 -1 6:--- -j13 P¡* Figura 14-18 " 14.7 Compensación por retroalimentación La adición de elementos de compensación a una trayectoria de retroalimentación de un sistema de control puede emplearse en el diseño del lugar de las raíces de un modo similar al que se trató en las secciones anteriores. Los elementos de compensación afectan el lugar de las raíces de la función de transferencia en malla abierta de la misma manera. Pero, aunque el lugar de las raíces es el mismo cuando el compensador está en la trayectoria directa o en la de retroalimentación, la función de transferencia en malla cerrada puede ser significativa- mente diferente. Se demostró, en el problema 13.34, que los ceros de la retroalimentación no aparecen en la función de transferencia en malla cerrada, mientras que sus polos se hacen ceros de la función de transferencia en malla cerrada (suponiendo que no se producen cance- laciones). EJEMPLO 14.11. Suponga que se agrega un compensador por retroalimentación a un sistema continuo con función de transferencia directa K G = --------- (s + I)(s + 4)(s + 5) en un intento por cancelarel polo en -1 y remplazarlo por un polo en -6. Entonces, el compensador sería H = (s + 1)/(s + 6), GH estaría dada por GH = K!(s + 4)(s + 5)(s + 6), y la función de transferencia en malla cerrada se volvería C K(s+6) R (s+l)[(s+4)(s+5)(s+6}+K] Aunque el polo en -1 se cancela en GH, éste aparece como un polo de la malla cerrada. Además, el polo de la retroalimentación en -6 se convierte en un cero de la malla cerrada. En consecuencia, la técnica de cancelación no funciona con un compensador en la trayectoria de retroalimentación. EJEMPLO 14.12. El diagrama de bloques del sistema continuo en la figura 14-19 contiene dos trayectorias de retroalimentación.
- 468. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE 'LAS RAICES 457 R + e Figura 14-19 R + e Figura 14-20 Estas dos trayectorias pueden comt-inarsc como se muestra en la figura 14-20. En esta representación la trayectoria de retroalimentación contiene un cero en s = - l!K1• Este cero aparece en CH y en consecuencia afecta el lugar de las raíces. Sin embargo, no aparece en la función de transferencia de la malla cerrada, la cual contiene tres polos sin importar dónde esté localizado el cero. El hecho de que los ceros de la retroalimentación no aparezcan en la función de transfe- rencia de la malla cerrada puede utilizarse con ventaja de la siguiente manera. Si se desean polos de malla cerrada en ciertas localizaciones en el plano complejo, los ceros de retroali- mentación pueden colocarse en estos puntos. Puesto que las ramas del lugar de las raíces terminarán en estos ceros, las localizaciones de los polos deseados de la malla cerrada pueden obtenerse al hacer suficientemente grande el factor de ganancia en malla abierta. EJEMPLO 14.13. En un sistema continuo, el compensador por retroalimentación s 2 + 2s + 4 H=---~~ (s + 6)2 se agrega al sistema con función de transferencia en malla directa K G=---- s(s + 2) para garantizar que los polos dominantes de la malla cerrada estén cerca de s = - 1 + jV3. En la figura 14-21 se muestra el lugar de las raíces resultante.
- 469. 458 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL iw -- j,fa K =100 -6 -2 K =100 -- -jÍ3 Figura 14-21 Si K se iguala a 100, la función de transferencia de la malla cerrada es C lOO(s + 6) 2 R ( s2 + 1.72s + 2.96)( s2 + 12.3s + 135) y el par de polos complejos dominante s1,2 = 0.86 ± ji .5 están lo suficientemente cercanos a - 1 ± j/3. Problemas resueltos Compensación del factor de ganancia 14.1. Determine el valor del factor de ganancia K para el cual el sistema con función de transfe- rencia en malla abierta K GH=----- s(s + 2)(s + 4) tiene polos de malla cerrada con una razón de amortiguación ? = 0.5. Los polos de la malla cerrada tendrán una razón de amortiguación de 0.5 cuando formen un ángulo de 60º con el eje real negativo [ecuación (13 .18)]. El valor deseado de K se detennina en el punto en donde el lugar de las raíces cruce la línea?= 0.5 en el plano s. En la figura 14-22 se muestra un diagrama del lugar de las raíces. El valor deseado para K es 8.3
- 470. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 459 r = o.s K = 8.3 -4 -2 (1 -3 -2 (T Figura 14-22 Figura 14-23 14.2. Determine un valor de K para el cual la función de transferencia en malla c1bierta K GH=----- (s + 2)2 {s + 3) satisfaga las siguientes especificaciones: a) KP ~ 2, b) margen de ganancia ~ 3. Para este sistema, KP = K/12. Por tanto, para satisfacer la primera especificación, K debe ser mayor que 24. El valor de K en el cruce del eje jw con el lugar de las raíces es igual a 100, como se muestra en la figura 14-23. Entonces, para satisfacer la segunda especificación, K debe ser menor que 100/3 = 33.3. K = 30 satisface ambas especificaciones. 14.3. Determine un factor de ganancia K para el cual el sistema del ejemplo 13.11 tenga un margen de ganancia de 2. Como se muestra en la figura 13-15, la ganancia en el límite de estabilidad es K = 1. Por tanto, para tener un margen de ganancia de 2, K debe ser 0.5. Compensación por cancelación 14.4. ¿Pueden cancelarse efectivamente los polos de una planta en la mitad derecha del planos con un compensador que tiene un cero en la mitad derecha del plano s? No. Por ejemplo, supóngase una planta particular que tiene la función de transferencia K Gi=-- s-1 K>O y se agrega un compensador en cascada con función de transferencia G1 = (s - 1 + E)/(s + 1). El término E en la función de transferencia representa cualquier pequeño error entre la localización deseada del cero en + 1 y la localización real. La función de transferencia de la malla cerrada es entonces
- 471. 460 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL C K(s -1 +,) R s2 + Ks + K( - K - l Aplicando el criterio de estabilidad de Hurwitz o de Routh (Capítulo 5) al denominador de esta función de transferencia, puede verse que el sistema es inestable para cualquier valor de K si E es menor que (1 + K)IK, que usualmente es el caso porque E representa el error en la localización deseada del cero. 14.5. En el sistema discreto con retroalimentación unitaria, con función de transferencia en malla directa. z+l G2=---- z(z-l) determine un compensador G1 que proporcione una respuesta con transitorio mínimo para el sistema en malla cerrada. Para una respuesta con transitorio mínimo (sección 10.8), queremos que todos los polos de la malla cerrada estén en z = O. En la figura 14-24a) se muestra un diagrama de polos y ceros del sistema. Si cancelamos el polo en z = Oy el cero en z = -1, el lugar de las raíces pasará por z = O, como se muestra en la figura 14-24b). El compensador resultante es entonces -1 1 /L a) z G = - - 1 z+l Figura 14-24 y la función de transferencia en malla cerrada es C G1G2 1 -=---- R 1 + G1G2 z j11 K=l b)
- 472. DISEÑO UTILIZANDO EL _LUGAR DE LAS RAICES 461 Compensación de fase 14.6. Se desea agregar a un sistema un compensador con un cero en s = -1 para producir un adelanto de fase de 60º en s = -2 + j3. ¿Cómo puede determinarse la localización apro0 piada del polo? Con referencia a la figura 14-3, queremos que la contribución de fase de la red sea 00 - 0b = 60º. De la figura 14-25, 0ª = 108º. De donde 0b = 0ª - 60º = 48º, y el polo estaría localizado en s = -4.7, como se muestra en la figura 14-25. -5"'" -4 ... 1 -3 -2 -¡ Figura 14-25 t j., j3 1 +12 1 r a 14.7. Determine un compensador que cambie a -135º el ángulo de desviación del lugar de las raíces a partir del polo en s = -0.5 + j para la función de transferencia de la planta K G =------ 2 s(s2 + s + 1.25) El ángulo de desviación del sistema no compensado es -27º. Para cambiarlo a -135º, puede emplearse un compensador por atraso con retraso de fase de 108º en s = -0.5 +j. El retraso de fase requerido podría suministrarse por medio de un compensador por atraso simple (un polo y ningún cero) con un polo en s = -0.18, como se muestra en la figura 14-26a), o mediante dos atrasos simples en cascada con dos polos en s = -1.22, como se muestra en la figura 14-26b). ¡:., j 108° 1 1 -1 -0.5 a a a) b) Figura 14-26
- 473. 462 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 14.8. Determine un compensador para el sistema discreto en el tiempo con K GH(z)= - - z(z -1) que proporcione una frecuencia de cruce de fase w" tal que w"T = 1r/2 rad. El arg GH en z = eJ7T 12 = j se determina a partir del diagrama de polos y ceros de la figura 14-27 es -225º. Para que el lugar de las raíces pase por este punto, se necesita agregar 45º de adelanto de fase, de tal forma que el arg GH = ± 180º. Esto puede lograrlo el compensador jv -90° - 135° = -225° -1 µ Figura 14-27 El cero en z = Oproporciona un adelanto de fase de 90º, y el polo en z = - I proporciona un atraso de fase de 45º, lo cual resulta en un adelanto neto de 45º. Compensación de magnitud 14.9. En el ejemplo 14.4, la constante de error de velocidad Kv se incrementó en un factor de 6f· sin aumentar ·el factor de ganancia. ¿Cómo puede lograrse esto? Se supuso que el compensador G¡ tenía una ganancia de I en alta frecuencia y una ganancia en (e.e.) de 6f .en baja frecuencia. Este compensador no puede mecanizarse pasivamente porque un compensador pasivo de atraso tiene una ganancia en e.e. de l. En consecuencia, G1 debe incluir un amplificador. Un método alterno sería dejar que G1 sea un compensador pasivo de atraso G{ = 0.015 ( s + 0.1 ) 0.1 s + 0.015 y luego amplificar el factor de ganancia por 6f. Sin embargo, cuando se emplean las técnicas del lugar de las raíces, a menudo es más conveniente suponer que el compensadorjustamente agrega un polo y un cero, como se hizo en el problema 14.4. Algunos ajustes apropiados pueden hacerse en las etapas finales del diseño para alcanzar la más simple y/o la menos costosa mecanización del compensador.
- 474. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 463 Aproximaciones de polo-cero dominante 14.10. Determine la sobretensión y el tiempo de subida en el sistema con función de transferencia e R 1 (s+l)(s2 +s+l) Para este sistema, Wn = 1, ( = 0.5, p, = 1 y p,J( w n = 2. A partir de la figura 14-11, el porcentaje de sobretensión es aproximadamente 8%. A partir de la figura 14-12, el tiempo de subida es 2.4. Los números correspondientes en un sistema con sólo polos complejos son 18% y 1.6 s. De esta manera el polo sobre el eje real reduce la sobretensión y retarda la respuesta. 14.11. Determine la sobretensión y el tiempo de subida en el sistema con la función de transferen- cia e R s+l s 2 + S + l Para este sistema wn = 1, ( = 0.5, z, = 1 y z,J(wn = 2. A partir de la figura 14-13, el porcentaje de sobretensión es 31%. A partir de la figura 14-14, el tiempo de subida, del 10% al 90%, es 1.0 s. Los números correspondientes en un sistema sin el cero son 18% y 1.6 s. De esta manera el cero sobre el eje real aumenta la sobretensión y reduce el tiempo de subida, es decir, acelera la respuesta. 14.12. ¿Cuál es la aproximación adecuada del polo-cero dominante para el siguiente sistema? 2(s + 8) e R (s + l)(s2 + 2s + 3)(s + 6) El polo en s = -6 y el cero en s = -8, sobre el eje real, satisfacen las ecuaciones (14.2) y (14.4), respectivamente, en relación con los polos complejos ((wn = 1 y ( > 0.5) y por tanto pueden despreciarse. El polo sobre el eje real en s = - I y los polos complejos no pueden despreciarse. De aquí que una aproximación adecuada (con la misma ganancia en e.e.) es 8 e R 3(s + l)(s2 + 2s + 3) 14.13. Determine una aproximación de polo dominante en el sistema discreto con función de transferencia 0.16 e R (z - 0.2)(z - 0.8) La respuesta paso está dada por c(k) = 1-1.33(0.S)k + 0.33{0.2)k k=0,1,2, ...
- 475. 464 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La magnitud 0.33 del residuo en z = 0.2 es cuatro veces menor que la magnitud 1.33 del residuo en z = 0.8. También, la respuesta transitoria debida al polo en z = 0.2 disminuye 0.8/0.2 = 4 veces más rápido que la del polo en z = 0.8. Así, el sistema en malla cerrada aproximado tendría sólo un polo en z = 0.8. Sin embargo, para mantener en la respuesta del sistema un retardo de dos muestras (el sistema original tiene dos polos más que los ceros), es necesario agregar a la aproximación un polo en z = O. Entonces e 0.2 -~---- R z(z-0.8) La respuesta paso en el sistema aproximado es c(k) = { ~-1.25(0.S)k para k=O para k>O Nótese que el único efecto del polo en z = O sobre la respuesta es retardarla en una muestra. Diseño puntual 14.14. Determine K, a y b, tales que el sistema con función de transferencia en malla abierta K(s + a) GH=------- {s+b){s+2)2{s+4) tenga un polo en malla cerrada en p1 = -2 + }3. El ángulo que contribuye con los polos en s = -2 y en s = -4 al arg GH(s1) es -237º. Para satisfacer el criterio del ángulo, las contribuciones del cero en s = -a y del polo en s = -b deben totalizar - I80º -(- 237º) = 57º. Puesto que este es un ángulo positivo, el cero debe estar más a la derecha que el polo (b > a). Arbitrariamente (a o b) pueden elegirse tan grande que permita que el otro pueda fijarse en la mitad izquierda finita del planos para dar una contribución total de 57°. Hagamos a = 2, lo cual resulta en una contribución de fase de 90º. Entonces b debe colocarse en donde la contribución del polo sea -33°. Una línea trazada desde p 1 en un ángulo de 33° intercepta el eje real en 6.6 = b, como se muestra en la figura 14-28. p¡ ;a -6.6 -4 -2 C1 Figura 14-28
- 476. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 465 El valor necesario de K, requerido para satisfacer el criterio de magnitud en pi puede calcularse ahora utilizando los valores escogidos para a y b. A partir del siguiente cálculo, el valor requerido de K es 1 ( Pi + 6.6)( P1 + 2)2( P1 + 4) 1 (pi+ 2) r1 --2+J3 =60 14.15. Determine la compensación requerida en un sistema con la función de transferencia de planta K Gi = (s + 8)(s + 14)(s + 20) para satisfacer las siguientes especificaciones: a) sobretensión :5 5%, b) tiempo de subida del 10% al 90% T., :5 150 ms, e) Kr > 6. La primera especificación puede satisfacerse con una función de transferencia en malla cerrada cuya respuesta esté dominada por dos polos complejos con ? 2: O.7, como se observa en la figura 3-4. Una amplia variedad de configuraciones de polo-cero dominante puede satisfacer la especifi- cación de sobretensión; pero la configuración de dos polos usualmente es la forma más simple de obtener. A partir de la figura 3-4 también vemos que, si ? = O.7, el tiempo de subida del 10% al 90% normalizado es cerca de:: wnT, = 2.2. Así, para satisfacer la segunda especificación con? = O.7, tenemos T., = 2.2/wn ::s 0.15 s u Wn 2: 14.7 rad/s. Pero escojamos Wn = 17 de tal modo que se logre algún margen con respecto a la especificación de tiempo de subida. Otros polos en malla cerrada, si aparecen en el diseño final, pueden retardar la respuesta. Así, para satisfacer las primeras dos especificaciones, diseñaremos el sistema con una respuesta dominante de dos polos con?= 0.7 y wn = 17. Una evaluación de G 2(pi) en el planos, con Pi = -12 + j 12 (correspondiente a?= 0.7, wn = 17), produce el arg Gz(pi) = -245º. Entonces, para satisfacer el criterio del ángulo en Pi, debemos compensar el sistema con un adelan- to de fase tal que el ángulo total sea - 180º. Por tanto agregamos un compensador por adelanto en cascada con 245º - 180º = 65º de adelanto de fase en pi. Colocando arbitrariamente el cero del compensador por adelanto en s = -8 se obtiene 0a = 108º (véase la figura 14-3). Entonces, puesto que queremos 0ª - 0h = 65º, 0h = 108º -65º = 43º. Dibujando una línea desde Pi al eje real con el ángulo 0h requerido se determina la localización del polo en s = -25. La adición del compensador por adelanto con a = 8 y b = 25 produce la función de transferencia en malla abierta K G2GAdeianto (s + 14)(s + 20)(s + 25) El valor de K necesario para satisfacer el criterio de magnitud en Pi es K = 31OO. La constante de error posicional resultante para este diseño es Kr = 3100/(14)(20)(25) = 0.444, la cual es sustan- cialmente menor que el valor especificado de 6 o más. KP podría incrementarse levemente al inten- tar otros diseños puntuales (wn más alta); pero el Kr requerido no puede alcanzarse sin algún modo de compensación de magnitud en baja frecuencia. El aumento requerido es 6/0.444 = 13.5, y puede obtenerse con un compensador por atraso en baja frecuencia con bla = 13.5. El único requerimiento
- 477. 466 TEORIA y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL adicional es que a y b para el compensador por atraso deben ser lo suficientemente pequeños como para no afectar el diseño en alta frecuencia logrado con la red de adelanto. Es decir, Hacie,,uo b 1 y a 0.074. El compensador requerido es s+l Galraso = S + 0_ 074 Para sintetizar este compensador utilizando una red de atraso convencional con función de transfe- rencia 0.074(s + 1) Patraso= - - - - - S + 0.074 se requiere un amplificador adicional con una ganancia de 13.5; o de manera equivalente, el valor de diseño de K escogido antes puede incrementarse en 13.5. Con cualquiera de las mecanizaciones prácticas, la función de transferencia total en malla abierta es 3100(s+l) GH = ------------- ( s + 0.075)( s + 14)(s + 20)( s + 25) En la figura 14-29 se muestran los polos y ceros de la malla cerrada. El polo y el cero de baja frecuencia efectivamente se cancelan entre sí. El polo sobre el eje real en s = - 35 afectará de manera leve la respuesta del sistema porque p, / ?:wn para este polo es aproximadamente de 3 [ecuación (/4.2)]. Sin embargo, hay necesidad de referirse a las figuras 14-11 y 14-12 para verifi- car que la sobretensión y el tiempo de subida cumplen bien con las especificaciones. Si el sistema se ha diseñado para cumplir apenas con la especificación del tiempo de subida con la aproximación de dos polos dominantes, la presencia del polo adicional en la función de transferencia en malla cerrada puede haber retardado la respuesta lo suficiente para que no se cumpla esa especificación. fw ~ -·-·--·- .,,. j12 °' 1 o 1 e: " o o o., -35 -12 (T 1 1 1 e: 1 " 1 8 " 1 u 1 &------ -j12 Figura 14-29
- 478. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 467 Compensación por retroalimentación 14.16. Un sistema de control de posición con un tacómetro en la trayectoria de retroalimentación tiene el diagrama de bloques que se muestra en la figura 14-30. Determine los valores de K I y K2 que resultan en el diseño del sistema que produce un tiempo de subida del 10% al 90% menor que Is y una sobretensión menor que el 20%. R + e Figura 14-30 Una vía directa para lograr este diseño es determinar un punto de diseño apropiado en el plano s y utilizar la técnica de diseño puntual. Si se combinan las dos trayectorias de retroalimentación, se obtiene el diagrama de bloques que se muestra en la figura 14-31. R + Para esta configuración Figura 14-31 K2 (s + K1/K2 ) GH=------ s(s + 2)(s + 4) e La localización del cero en s = -K1/K2 aparece en la trayectoria de retroalimentación y el factor de ganancia es K2 . Así, para una localización fija del cero (la relación K 1/K2) un lugar de las raíces para el sistema puede construirse en función de K2 . La función de transferencia en malla cerrada contendrá entonces tres polos, pero ningún cero. Los esbo- zos tentativos del lugar de las raíces (figura 14-32) revelan que si la relación K1/K2 se localiza en cualquier lugar entre Oy 4, la función de transferencia en malla cerrada proba- blemente contendrá dos polos complejos (si K2 es lo suficientemente grande) y un polo sobre el eje real cerca del valor de -K1/K2 .
- 479. 468 -4 K, -2 - K2 a) TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL j., j2 j2 a -4 -2 a b) Figura 14-32 Entonces, es posible que una configuración de tres polos dominantes sea apropiada para el diseño. Un valor de ? = 0.5 para los polos complejos satisfará el requerimiento de sobretensión. Para?= 0.5 y p, !{wn = 2, la figura 14-12 muestra un tiempo de subida normalizado wnT., = 2.3. Así, T.,= 2.3/wn < 1su wn > 2.3 rad/s. Sip, l{wn se hace mayor que 2, el tiempo de subida será más rápido, y viceversa. Para tener un pequeño margen en el caso que p, !{wn sea menor que 2, se escoge wn = 2.6. El punto de diseño en el planos es entonces p1 = -1.3 +j2.3, que corresponde a { = 0.5 y Wn = 2.6. De la figura 14-33 se obtiene que la contribución de los polos en s = O, -2 y -4 al arg GH(p1) es -233º. Entonces la contribución del cero debe ser -180º -(-233º) = 53º en p 1 para satisfacer el criterio del ángulo en p 1• La localización del cero debe ser entonces s = - 3, el cual se obtiene al trazar una línea desde p 1 hasta el eje real en un ángulo de 53º con el eje real. Con K 1!K2 = 3, el factor de gananciaenp1 para CH es 7.5. Así, los valores de diseño son K2 = 7.5 y K1 = 22.5. El polo sobre el eje real para la malla cerrada está a la izquierda del cero localizado en s = -3, pero cerca de él. Por consiguiente, para este diseño p){wn es por lo menos 3/1.3 = 2.3. p¡ j2.3 -4 -3 -2 -1.3 a Figura 14-33 14.17 En el sistema discreto en el tiempo con función de transferencia en malla directa K G2 = -z(-z---1-)
- 480. DISEÑO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 469 determine un compensador por retroalimentación que produzca un sistema en malla cerra- da con una respuesta con transitorio mínimo. Para una respuesta con transitorio mínimo (sección 10.8), la función de transferencia en malla cerrada debe tener todos sus polos en z = O. Puesto que los polos cancelados por los ceros de la retroalimentación aparecen en la función de transferencia en malla cerrada, hagamos que H tenga un cero en z = O. Esto elimina el polo en z = Odel lugar de las raíces, pero permanece en la función de transferencia en malla cerrada. Para que H sea factible también debe tener por lo menos un polo: Si colocamos el polo de H en z = -1, el lugar de las raíces resultante pasa por z = O, como se muestra en la figura 14-34. Entonces, haciendo K = 1, todos los polos de la malla cerrada están localizados en z = O, y el sistema tiene respuesta con transitorio mínimo. jv K = l -1 Figura 14-34 Problemas suplementarios 14.18. En el sistema con función de transferencia en malla abierta CH = K(s + a)l(s2 - l)(s + 5) determine K y a, tales que el sistema en malla cerrada tenga polos dominantes con ( = 0.5 y Wn = 2. ¿Cuál es el porcentaje de sobretensión en el sistema en malla cerrada con estos valores de K y a? 14.19. Determine un compensador apropiado en el sistema con función de transferencia de planta 1 G2 = -s(_s_+_l_)_(s-+-4) para satisfacer las siguientes especificaciones: 1) sobretensión < 20%, 2) tiempo de subida del 10% al 90% :s I s, .3) margen de ganancia 2: 5. 14.20. Determine la compensación adecuada en el sistema con función de transferencia de planta G2 = 1!s(s + 4)2 para satisfacer las siguientes especificaciones: 1) sobretensión < 20%, 2) constante de error de velocidad Kv 2: 10. 14.21. En el sistema que se muestra en el diagrama de bloques de la figura 14-35, determine K1 y K2 tales que el sistema tenga polos en malla cerrada en s = -2 ± j 2.
- 481. 470 TEORIA Y PRORLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL R + e Figura 14-35 14.22. Determine un valor de K en el sistema con función de transferencia en malla abierta GH = K!s(_s2 + 6s + 25) tal que la constante de error de velocidad Kv > 1, la respuesta paso en malla cerrada no tenga sobretensión y el margen de ganancia > 5. 14.23. Diseñe un compensador en el sistema con función de transferencia de planta G2 = 63/s(s + 7)(s + 9) tal que la constante de error de velocidad Kv> 30, la sobretensión sea menor que el 20% y el tiempo de subida del 10% al 90% sea menor que 0.5 s. Respuestas a los problemas suplementarios 14.18. K = 11. 25, a = 1.6, sobretensión = 38%; nótese que el sistema tiene un cero de malla cerrada en s = -a = -1.6. 14.19. G1 = 24(s + 1)/(s +4) 14.20. G1 = 24(s + 0.2)/(s +0.03) 14.21. K2 = 1, K1 = 5 14.22. K=28 14.23. G1 = 3(s + 0.5)/(s +0.05)
- 482. Capítulo 15 Análisis de Bode 15.t Introducción El análisis de los sistemas de control con retroalimentación utilizando el método de Bode es equivalente al análisis de Nyquist en que ambas técnicas emplean representaciones gráficas para la función de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(w), en donde GH(w) se refiere a un sistema discreto o a uno continuo. Sin embargo, los diagramas de Bode constan de dos gráficas: la magnitud de GH(w) y el ángulo de fase de GH(w), ambos representados en términos de la frecuencia w. Usualmente se emplean escalas logarítmicas para los ejes de frecuencia' y para IGH(w)I. Los diagramas de Bode ilustran de manera clara la estabilidad relativa de un sistema. En efecto, a menudo se definen los márgenes de ganancia y de fase en términos de los diagramas de Bode (véase el ejemplo 10.1). Estas medidas de estabilidad relativa pueden determinarse para un sistema particular con un mínimo de esfuerzo de cálculo utilizando los diagramas de Bode, espe- cialmente para aquellos casos en los cuales se dispone de los datos experimentales de la respuesta de frecuencia. 15.2. Escalas logarítmicas y diagramas de Bode Los diagramas de Bode utilizan escalas logarítmicas porque simplifican de manera considera- ble su construcción, manipulación e interpretación. Se usa una escala logarítmica para el eje w (la abscisa) porque con ello pueden representarse la magnitud y el ángulo.de fase sobre un intervalo de frecuencias mucho mayor que lo que podría representarse con el eje lineal de frecuencias, acentuando por igual todas las frecuencias, y tales gráficas a menudo resultan líneas rectas para sistemas continuos en el tiempo (sección 15.4). La magnitud IP(w)I de cualquier función de respuesta de frecuencia P(w) para cualquier valor de w se representa en una escala logarítmica en decibeles (dB), en donde dB = 20 log10 IP(w)I (15.1} [Véase también la ecuación (J0.4).] EJEMPLO 15.1. Si IP(2)1 = IGH(2)1 = 10, la magnitud es 20 log1010 = 20 dB. Puesto que el decibel es una unidad logarítmica, la magnitud en dB de una función de res- puesta de frecuencia compuesta de un producto de términos es igual a la suma de las magnitudes en dB de los términos individuales. Así, cuando se emplea la escala logarítmica, la gráfica de magnitud de una función de respuesta de frecuencia que puede expresarse como el producto de más de un término, se obtiene al sumar las magnitudes en dB de las gráficas individuales para cada término del producto. 471
- 483. 472 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La gráfica de la magnitud en dB en función del log w se llama diagrama de magnitud de Bode, y la gráfica de ángulo dejase enfunción del log w es el diagrama de ángulo de fase de Bode. Algunas veces en la literatura técnica el diagrama de magnitud de Bode se llama diagrama Lag-módulo. EJEMPLO 15.2. El diagrama de magnitud de Bode para la función de respuesta de frecuencia continua en el tiempo . lOO[l+J(w/10)] P(1w) = . 1 +Jw puede obtenerse al sumar los diagramas de magnitud de Bode para 100, 1 + j(w/10) y 1/(1 + jw). 15.3 La forma de Bode y la ganancia de Bode para sistemas continuos en el tiempo Debido a las aproximaciones asintóticas, de la sección 15.4, es conveniente utilizar la llamada forma de Bode de una función de respuesta de frecuencia continua en el tiempo cuando se utilizan los diagramas de Bode para el análisis y el diseño. La forma de Bode para la función K(jw + z1)(jw + z2 ) · · · {jw + zm) (jw ) 1 (jw +p1)(jw +p2 ) · · · (jw +p,.) en donde Les un entero no negativo, se obtiene al factorizar todos los p; y z; y reordenarlos para formar [K}]z; }]P;](l +jw/z1)(1 +jw/z2 ) • • • (1 +jw/zm) (jw )1 (1 +jw/p1)(1 +jw/p2 ) · • • (1 +jw/p,.) (15.2) La ganancia de Bode K8 se define como el coeficiente del numerador en la ecuación(/5.2): (15.3) i=l 15.4 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas continuas en el tiempo y sus aproximaciones asintóticas La constante K8 tiene una magnitud IK8 1y un ángulo de fase de Oº si K8 es positiva, y de ----------------------;.- log10 w Fi1mra 1,;;.1
- 484. ANALISIS DE BODE 473 -180º si K8 es negativa. En consecuencia los diagramas de Bode para K8 son simplemente líneas rectas horizontales, como las que se muestran en las figuras 15-1 y 15-2. 1;l ~ Oº " K8 > O 1----------..;;.------------• log10 w 'O o -a el) e: ,., -180° KB < o Figura 15-2 La función de respuesta de frecuencia (o función de transferencia sinusoidal) para un polo de orden I en el origen es 1 (Jw )1 (15.4) Los diagramas de Bode para esta función son líneas rectas. como las que se muestran en las figuras 15-3 y 15-4. 60 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 40 20 log10 1 (j~)' 1 20 ce "O "O -~ = 0/J o "" E --20 Figura 15-3 -60'-----..L...----......1----1.----..L...------'---~ Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.5 2 5 10
- 485. 474 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL arg [u~>'] 1 = 1 -90° <l.) "' <f <l.) "O o -180° =i 1 = 2 00 e: '"' 1 = 3 -270° Figura 15-4 Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.5 2 10 Para un cero de orden l en el origen, (Jw)'. (15.5) los diagramas de Bode son las reflexiones alrededor de las líneas de OdB y Oº de las figuras 15-3 y 15-4, como se muestra en las figuras 15-5 y 15-6. 60r-----.------......----"""T----,------.,......---- 40 20 log10f(jw)1f 20 /XI "O "O o E "i: 00 "' E ·-20 Figura 15-5 -60 ____......______......___.....;;......____......______..______, Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.5 2 10
- 486. ANALISIS DE BODE OJ "' ~ OJ "O o =i 00 e ,., 360° 270° 180° 90° Oº 0.1 1 =3 l =2 l =1 0.2 0.5 Frecuencia w, rad/s Figura 15-6 arg (jw)1 475 10 Considere la función de transferencia de polo sencillo pl(s + p), p > O. Los diagramas de Bode para su función de respuesta de frecuencia 1 1 +jw/p (15.6) se presenta en las figuras 15-7 y 15-8. Nótese que la escala de frecuencia logarítmicaestá normali- zada en términos de p. 0.1 0.2 0.5 2 5 10 Frecuencia normalizada, wlp Figura 15-7
- 487. 476 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL -20° 1;l <l:: (1) "O -40° o :i Ol) e: '~ -60° U.1 0.2 0.5 2 5 10 Frecuencia normalizada, wlp Figura 15-8 Para determinar las aproximaciones asintóticas para estos diagramas de Bode, vemos que para w!p ~ 1, u w ~ p, y para wlp ;¡¡;, 1, u w ;¡¡;, p, 20log10 ll ~ / 1 s. 20log10 ,-.- 1 -1= - 20log10 ( "' ) +JW p JW/p p En consecuencia el diagrama de magnitud de Bode se aproxima asintóticamente a una línea recta horizontal a OdB a medida que wlp se aproxima a cero, y a -20 log10 (wlp) a medida que wlp tiende a infinito (figura 15-7). Nótese que esta asíntota de alta frecuencia es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década o -6 dB/octava cuando se representan en escalas logarítmicas de frecuencia, como se muestra en la figura 15-7. Las dos asíntotas se intersecan en la frecuencia de corte w = p rad/s. Para determinar la asíntota del ángulo de fase, vemos que para wlp ~ 1, u w ~ p,
- 488. ANALISIS DE BODE 477 arg( ~ )=-tan-1 ("')1 ==<0° 1 +Jw/p p .,«p y para wlp ;l1> 1, u w ;l1> p, arg( ~ ) = - tan- 1 ( "' ) 1 ==< - 90° 1 +Jú>/p p .,,p Así, el diagrama de ángulo de fase de Bode tiende asintóticamente a Oº a medida que w/p tiende a cero, y a -90º a medida que w/p tiende a infinito, como se muestra en la figura 15-8. Una línea recta asíntota de pendiente negativa puede utilizarse para unir la asíntota de Oº y la asíntota de -90º, trazando una línea desde la asíntota de Oº en w = p/5 hasta la asíntota de -90º en w .= 5p. Nótese que ésta es tangente a las curvas exactas en w = p. En la tabla 15-1 se muestran los errores introducidos por estas aproximaciones asintóticas para la función de transferencia de polo sencillo a diferentes frecuencias. 1 Tabla 15-1. Errores asintóticos para ---- 1+ j(,1)/p w p/5 p/2 p 2p 5p Error de magnitud (dB) -0.17 -0.96 -3 -0.96 -0.17 Error de ángulo de fase -11.3° -0.8° Oº +0.8° + 11.3º En las figuras 15-9 y 15-1Ose muestran los diagramas de Bode y sus aproximaciones asintóti- cas para la función de respuesta de frecuencia de cero sencillo jw 1+- Z¡ (15.7) 20 Figura 15-9 ~cuencia normalizada, w/z 1 0.1 0.2 0.5 10
- 489. 478 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALJMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL 60º " ., ,!! .g o :3 40° b() e "" 0.1 0.2 0.5 2 5 JO Frecuencia normalizada , w/z1 Figura 15-10
- 490. ANALISIS DE BODE 0.1 0.2 0.1 0.2 0.5 Frecuencia normalizada, wlWn Figura 15-11 0.5 Frecuencia normalizada, wlw11 Figura 15-12 479 5 10 10
- 491. 480 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL En las figuras 15-11 y 15-12 se muestran los diagramas de Bode y sus aproximaciones asintóticas para la función de respuesta de frecuencia de segundo orden con polos complejos, 1 (15.8) Nótese que en estas gráficas la relación de amortiguación { es un parámetro. La asíntota de magnitud que se muestra en la figura 15-11 tiene un frecuencia de corte en w = Wn, y una pendiente de alta frecuencia que es dos veces la de la asíntota para el caso del polo sencillo de la figura 15-7. La asíntota del ángulo de fase es similar a la de la figura 15-8 excepto que la parte de alta frecuencia se encuentra en - 180º en lugar de -90º, y el punto de tangencia o inflexión está en -90º. Los diagramas de Bode para un par de ceros complejos son las reflexiones alrededor de las líneas de O dB y Oº para aquellos polos complejos. 15.5 Construcción de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo Los diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia continuas en el tiempo se construyen sumando las contribuciones de magnitud y de ángulo de fase para cada polo y cada cero (o pares de polos y ceros complejos). A menudo son suficientes las aproximaciones asintóti- cas de estas gráficas. Si se desean gráficas más exactas, se consiguen muchos paquetes de progra- mas de aplicación para efectuar de manera rápida esta tarea. En general, para la función de respuesta de frecuencia en malla abierta . K8 (1 + jw/z1)(1 + jw/z2 ) • • • (1 + jw/zm) GH(l"') = - - 1---'-----=------ (jw) (1 +jw/p1){1 +jw/p2 ) • • • (1 +jw/pn) (15.9) en donde l es un entero positivo o cero, la magnitud y el ángulo de fase están dados por 20log10 IGH{jw) 1= 20log10 jK8 1+ 20log1011 + ~: 1 + · · · +20log10ll + ~: 1 1 1 1 + 20log10 I( . )ti + 20log10 1 . / + · · · +20log10 1 . (15.10) }'41 1 +}'41 P1I 1 +JW/Pnl y ( 1) ( 1) ( 1) +arg - - +arg + ... +arg (jw) 1 1 +jw/p1 1 +jw/pn (15.11)
- 492. ANALISIS DE BODE 481 En las figuras 15-1 a 15-12 se muestran los diagramas de Bode para cada uno de los términos de las ecuaciones (15.10) y (15-11). Si GH(jw) tiene polos o ceros complejos, los términos que tengan forma similar a la ecuación (15 .8) simplemente se suman a las ecuaciones (J5.10) y (J5.11). El procedimiento de construcción se ilustra mejor mediante un ejemplo. EJEMPLO 15.3. Los diagramas de Bode asintóticos para la función de respuesta de frecuencia . 10(1 +jw) GH(1w) = 2[ 2) (jw) 1 +jw/4-(w/4) seconstruyen utilizando las ecuaciones (15.10) y (15.11): 201og10IGH(Jw)l=201og1010+20log10 il+jwi+20Iog101- ...1 2 l+20log101 . 1 ( )2 1 {Jw) 1 +Jw/4 - w/4 arg GH( jw) = arg(l + jw) + arg(1/( jw) 2 ) + arg( . 1 )2) 1 +Jw/4 - ( w/4 ~ "'O "'O E ·e Oll "' E o -20 -40 0.1 0.2 0.4 2 Frecuencia w, rad/s Figura 15-13 10 20 40 Los diagramas para cada uno de los términos en estas ecuaciones se obtienen de las figuras 15-1 a 15-12, y se presentan en las figuras 15-13 y 15-14. Los diagramas de Bode asintóticos para GH(jw) se obtienen al sumar estas curvas, como se muestra en las figuras 15-15 y 15-16, en las cuales también se muestran, para comparación con las aproximaciones asintóticas, los diagramas de Bode para la función de respuesta de frecuencia generados por computador.
- 493. 482 0.1 0.2 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.4 2 Frecuencia w, rad/s Figura 15-14 4 10 20Io 1 . lO(l+jt.J) ;¡ i1~ (¡~)2(1 +J'i,l/4 - (w/4t ' . . 20 40 40 20 o -20 -40 -60 t---"T"""""T"""T-t-r-Ti......- -.......---...............,......_ _......,._,_.,........,.....,....,...,......+-80 0.1 0.5 1 5 10 50 100 Frecuencia w, rad/s Figura 15-15
- 494. ANALISIS DE BODE 483 -140 -160 -180 ., "' ~ -200 ., "O o "3 -220 bO s:: ,.. -240 -260 -280 0.1 0.5 5 10 50 100 Frecuencia w, rad/s Figura 15-16 15.6 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia discretas en el tiempo La forma factorizada de la función general de respuesta de frecuencia en malla abierta discreta en el tiempo es (15.12) No existen aproximaciones asintóticas simples, similares a las de la sección 15.4, para los térmi- nos individuales de la ecuación (15 .12). Así que no hay ninguna ventaja particular para unaforma de Bode del tipo de la ecuación (15.12) para sistemas discretos. En general, los computadores proporcionan la vía más conveniente para generar los diagramas de Bode de los sistemas discretos en el tiempo, y existen varios paquetes de programas de aplicación para realizar esta tarea. Para la función general de respuesta de frecuencia en malla abierta de la ecuación (15-12), la magnitud y el ángulo de fase se obtienen por medio de 20log10IGH{e1"'T) 1= 20log10IKI + 20log101e1"'T + z11 + ··· +20log101e1"'T + zml 1 1 + 20log10 . T + ··· +20log10-.-T-- Ie1 "' +P1I le1 "' +Pnl (15.13) y arg GH( e1"'T) = arg K + arg(ei"'T + z1) + ··, + arg( ei"'T + zm) + arg ( . / ) + ... +arg( . Tl ) el"' + Pi el"' + Pn (15.14)
- 495. 484 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Es importante hacer notar que la magnitud y el ángulo de fase de las funciones de respuesta de frecuencia discretas en el tiempo son periódicos en la variable de frecuencia angular real w. Esto es cierto puesto que así eiwT es periódica en el dominio de la frecuencia con un periodo 21T!T. De este modo, cada término tanto en la magnitud como en el ángulo de fase es periódico. En consecuencia, sólo es necesario generar diagramas de Bode en un intervalo angular de -7r :s; wT :s; 1T radianes; y normalmente la magnitud y el ángulo de fase se representan en términos del ángulo wT en lugar de la frecuencia angular w. Otra propiedad útil de la función de respuesta de frecuencia discreta en el tiempo es que la magnitud es una función par de la frecuencia w (y de wn y que el ángulo de fase es una función impar de w (y de wn. EJEMPLO 15.4 En las figuras 15-17 y 15-18 se presentan los diagramas de Bode para la función de respuesta de frecuencia discreta en el tiempo _i_(eJwT + 1)2 GH( jwT) = ____ 100 _ _ _ _~ - - - e ( ei"'T - l){ ei"'T + ½){ei"'T + ½) ,-----,----,----,-----------,-----,.......,.-,-,......,.,...20 ' ' ¡ t:1:1 -60 -o ] -80 -~ -100 E -120 -140 ------..--.--,..-r-t-----+---,....--,,-+...,...........,._ __._-+---,--,-+....¡...,-i-.'+- -160 0.05 0.1 15.7 Estabilidad relativa 0.5 Angulo wT, radianes Figura 15-17 5 10 Los indicadores de estabilidad relativa "margen de ganancia" y "margen de fase", para siste- mas discretos y sistemas continuos, se definen en términos de la función de respuesta de frecuen- cia en malla abierta del sistema, en la sección 10.4. En consecuencia, estos parámetros se determi- nan de manera fácil a partir de los diagramas de Bode de GH(w), como se ilustró en los ejemplos
- 496. ANALISJS DE BODE ,¡ · i .. 1 • 1 90 ° =!margen de fase t--~-~~~----~--TT~- j 1 - 1 1 1 0.05 0.1 -0., 1 w.T Angulo wT, radianes Figura 15-18 485 -50 -100 -150 -180 -200 -250 -300 -350 -400 10 10.1 y 15.4. Puesto que OdB corresponde a una magnitud de 1, el margen de ganancia es el número de decibeles que IGH(w)I está por debajo de OdB a la frecuencia de cruce de fase w.,, (el arg GH(w.,,) = -180º). El margen de fase es el número de grados que el arg GH(w) está por encima de -180º a la frecuencia de cruce de ganancia w1 (IGH(w1)1 = 1). Para determinar con exactitud w.,,, w1 y los márgenes de ganancia y de fase, deben utilizarse diagramas de Bode generados por computador. En la mayor parte de los casos, márgenes de ganancia y de fase positivos, como se definieron antes, aseguran la estabilidad del sistema en malla cerrada. Sin embargo, puede dibujarse un diagrama de estabilidad de Nyquist (Capítulo 11) o utilizarse uno de los métodos del Capítulo 5 para verificar la estabilidad absoluta del sistema. EJEMPLO 15.5. El sistema continuo en el tiempo cuyos diagramas de Bode se presentan en la figura 15-19, tiene un margen de ganancia de 8 dB y un margen de fase de 40°. 20 o -20 ¡:o "O "O B -40 ·a bl) "' E -60 -80 0.2 0.4 W¡ Frecuencia w, rad/s Figura 15-19 10 ~ ~ ~ :-150°,@ bl) ,§ 20
- 497. 486 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 15.6. Para el sistema del ejemplo 15.4, el margen de ganancia es 39 dB, el ángulo en la frecuencia de cruce de fase W1r es w1r T = 1.51 rad, el margen de fase es 90º, y el ángulo en la frecuencia de cruce de ganancia w1 es w,T = 0.02 rad, tal como se ilustra en las figuras 15-17 y 15-18. 15.8 Respuesta de frecuencia en malla cerrada Aunque no hay un método directo para representar la gráfica de la respuesta de frecuencia en malla cerrada (C/R)(w) a partir de los diagramas de Bode de GH(w), puede aproximarse de la siguiente manera, para sistemas de control tanto continuos como discretos en el tiempo. La res- puesta de frecuencia en malla cerrada está dada por C G(w) R ( "') = 1 + GH( w) Si IGH(w)I » 1, C (w)I = G(w) 1 R JGH(w)J»l GH(w) = H(w) Si IGH(w)I « 1, -(w) =G(w) e 1 R JGH(w)J«l La respuesta de frecuencia en malla abierta para la mayor parte de los sistemas se caracteriza por una ganancia grande para bajas frecuencias y una disminución de la ganancia para frecuencias más altas, debido al usual exceso de polos sobre ceros. De esta manera, la respuesta de frecuencia en malla cerradapara un sistema con retroalimentación unitaria (H = I) se aproxima a una magnitud de 1 (O dB) y un ángulo de fase de Oº para frecuencias por debajo de la frecuencia de cruce de ganancia w 1• Para frecuencias por encima de w 1, la respuesta de frecuencia en malla cerrada puede aproximarse a la magnitud y al ángulo de fase de G(w). Lafrecuencia de cruce de ganancia w1 es para muchos sistemas un ancho de banda en malla cerrada aproximado (véase el ejemplo 12.7). EJEMPLO 15.7. En la figura 15-20 se presentan el diagrama de magnitud de Bode en malla abierta y el diagrama de magnitud de Bode en malla cerrada aproximado para el sistema continuo con retroalimentación unitaria representado por GUw) = 10/jw(l + jw).
- 498. ANALISIS DE BODE 0.1 0.2 0.4 1.0 2.0 W¡ 4.0 Frecuencia w, rad/s Figura 15-20 487 JO.O 15.9 Análisis de Bode de sistemas discretos en el tierr.po utilizando la transformada w La transformada w, estudiada en la sección 10.7, puede utilizarse en el análisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. El algoritmo para el análisis de Bode utilizando la transformada w es: 1. Sustituir z por(] + w)/(1 - w) en la función de transferencia en malla abierta GH(z): GH(z)lz- i+w = GH'( w) ·1-w 2. Hacer w = jww y generar los diagramas de Bode para GH'(jww), utilizando los méto- dos de las secciones 15.3 a 15.5. 3. Analizar la estabilidad relativa del sistema en el plano w determinando los márgenes de ganancia y de fase, las frecuencias de cruce de ganancia y de fase, la respuesta de frecuen- cia en malla cerrada, el ancho de banda y/o cualquierotra característica relacionada con la frecuencia de interés. 4. Transformar las frecuencias críticas determinadas en el paso 3 al dominio de la frecuencia del plano z utilizando la transformación wT = 2 tan- 1 ww. EJEMPLO 15.8. La función de transferencia en malla abierta T<ia( z +1) 2 GH( z) = -(z---1-)-(z_+_½_)_( ,-+-½-)
- 499. 488 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL se transforma al dominio w al hacer l+w z=-- lo cual produce 1-w -....L(w-1) GH'( w) = - - 100 - - - - w( w + 2)( w + 3) Nótese, en particular, que el signo menos contribuye con -180º de ángulo de fase. y el cero en + 1 contribuye con +90º en w,.. = Oº. En las figuras 15-21 y 15-22 se muestran los diagramas de Bode de GH'(jw,.) -20 -40 i:o -o ,.·,- ··- -60 ] ·= O() ro -80 E -100 l----.--.~~.,.,...~--.-.....,.~~+--~~--.-...,.;..~--,--,~-+-r~+--120 0.01 0.05 0.1 0.5 5 10 50 100 Frccllcncia w.,. rad/s Figura 15-21 -50 1 ' ' ' 1 ¡ i • 1 : . ',,.: .-1,_¡ -100 ¡¡ ¡ 11 . 90i1f=margen de tase -150 !1J, • ¡j ¡ l l ¡ -200 -250 -300 1---,--,,...,..+',.,.,..,---r-++'r........+-~.-r-+-'r"r..........--l.----'i-r..,..-or-1-'rrt--400 0.01 0.05 0.1 0.5 1 Frecuencia w.,. rad/s Figura 15-22 5 10 50 100 7: " C) -o e "3 0/J " o:l
- 500. ANALISIS DE BODE 489 EJEMPLO 15.9. A partir de los diagramas de Bode del ejemplo 15.8, el margen de ganancia en el dominio w es 39 dB, y la frecuencia de cruce de fase es Ww1r = 1 rad/s. Al transformar de nuevo al dominio z, la frecuencia de cruce de fase w,, se obtiene a partir de Compare estos resultados con los del ejemplo 15.6, notará que son los mismos. EJEMPLO 15.10. A partir de los diagramas de Bode del ejemplo 15.8. el margen de fase es 90º, y la frecuencia de cruce de ganancia es•ww1 = O.O1 rad/s. Al transformar al dominio z, la frecuencia de cruce de ganancia w 1 se obtiene a partir de Compare estos resultados con los del ejemplo 15.6, notará que son los mismos. Con la amplia disponibilidad de programas de aplicación (software) para el análisis desiste- mas de control. a menudo es innecesario el uso de la transformada w para el análisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. Sin embargo, para el diseño utilizando el análisis de Bode como se estudiará en el Capítulo 16. en donde la visión ganada en las técnicas de diseño de sistemas continuos en el tiempo se transfiere al diseño de sistemas discretos en el tiempo, la transformada· w puede ser una herramienta muy útil. Problemas resueltos Escalas logarítmicas 15.1.' Exprese las siguientes cantidades en decibeles (dB): a) 2, b) 4, e) 8, d) 20, e) 25,f) 140. A partir de la ecuación (15.J), dBa= 20log10 2 = 20(0.301) = 6.02 dBh= 20log104 = 20(0.602) = 12.04 dBc= 20log108 = 20(0.903) = 18.06 dBd = 20log10 20 = 20(1.301) = 26.02 dB, = 20log1025 = 20(1.398) = 27.96 dB¡ = 201og10140 = 20(2.146) = 42.92 Nótese que, puesto que 4 = 2 x 2, entonces para la parte b) tenemos
- 501. 490 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL y puesto que 8 = 2 X 4, entonces para la parte e) tenemos 20log108 = 20log102 + 20log104 = 6.02 + 12.04 = 18.06 La forma de Bode y la ganancia de Bode en sistemas continuos en el tiempo 15.2 Determine la forma de Bode y la ganancia de Bode para la función de transferencia K(s + 2) GH=------ s2(s + 4)(s + 6) Al tomar 2 como factor en el numerador, y 4 y 6 en el denominador, y al hacer s = jw, se obtiene la forma de Bode ( K/12)(1 +jw/2) GH(Jw) = - - 2 - - - - - - (Jw) (1 +jw/4)(1 +jw/6) La ganancia de Bode es K8 = K/12. 15.3. ¿Cuándo la ganancia de Bode es igual a la ganancia de e.e. (magnitud a frecuencia cero) de una función de transferencia? La ganancia de Bode es igual a la ganancia de e.e. de cualquier función de transferencia sin polos ni ceros en el origen [l = O en la ecuación (/5.2)]. Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas 15.4. Demuestre que el diagrama de magnitud de Bode para (jwf es una línea recta. El diagrama de magnitud de Bode para (jwi es una representación gráfica de 20 log 10w1 en términos de log10w. De esta manera d(20log10w 1 ) 20/d(log10w) pendic.nte = -------'- = ----- = 20/ d(log10w) d(log10w) Puesto que la pendiente es constante para cualquier l, el diagrama de magnitud de Bode es una línea recta. 15.5. Determine: 1) las condiciones bajo las cuales el diagrama de magnitud de Bode para un par de polos complejos tiene un pico en un valor infinito w, diferente de cero; y 2) la frecuen- cia a la cual se presenta ese pico.
- 502. ANALISIS DE BODE 491 La magnitud de Bode está dada por 1 1 1 20log10 2 1 +J2tw/wn - ( w/w,,) Puesto que el logaritmo es una función que aumenta de manera monótona, la magnitud en decibeles tiene un pico (máximo) si y sólo si la magnitud en sí misma es máxima. La magnitud al cuadrado, que es máxima cuando la magnitud también lo es, resulta 1 [ 212 2 1- ( w/w,,) + 4(tw/w,,) Al tomar la derivada de esta función e igualarla a cero se produce (4w/w;) [1 - ( w/wn)2 ] - 8t2 w/w; -'-----=------=-----=O {[1- ( w/wn) 2 ] 2 + 4{rw/wn) 2 f o 1-(:r-2f=O y la frecuencia en el pico es w = w,,~. Puesto que w debe ser real, por definición, la magnitud tiene un pico en un valor w diferente de cero si y sólo si 1 - 2(2 > Oó ( < 1/~ O.707. Para ( 2". O.707, la magnitud de Bode disminuye de manera monótona. Construcción de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo 15.6. Construya los diagramas de Bode asintóticos para la función de respuesta de frecuencia 1 +jw/2 - { w/2) 2 GH( jw) =j _w_{_l_+_jw_/_0_.5_)_( 1-+-J-.w-/4-) Los diagramas de Bode asintóticos se determinan al sumar las gráficas de las representaciones asintóticas de cada uno de los términos de GH(jw), como se hizo en las ecuaciones (15.10) y (/5. / /). En las figuras 15-23 y 15-24 se presentan las asíntotas de cada uno de estos términos, y los diagramas de Bode asintóticos para GH(jw), en las figuras 15-25 y 15-26. Para comparación se muestran los diagramas de Bode exactos generados por computador.
- 503. 492 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 40 20 a:l "O "O E ·2 o 1:)1) o:! E -20 -40 Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.4 2 4 10 20 Figura 15-23 150° 100° Figura 15-24 Frecuencia w, rad/s 0.1 0.2 0.4 2 4 10 20 40
- 504. ANALISIS DE BODE 40 30 20 10 i:o o "O "O a -10 ·a 01) "" 20log10JGH(jw)I -20 E -30 ' -40 -50 0.01 0.05 0.1 0.5 5 10 50 100 Frecuencia w, rad/s Figura 15-25 -70 -80 -90 <l.) "' ~ -100 ~ o -110 :i 01) = ,c,:i -120 -130 -141' 0.01 0.05 0.1 0.5 1 5 10 50 100 Frecuencia w, rad/s Figura 15-26 15.7, Construya los diagramas de Bode para la función de respuesta de frecuencia 2 GH(jw)- - - - - - - - jw(l +jw/2)(1 +jw/5) 493 Los diagramas de Bode asintóticos se construyen al sumar las gráficas asintóticas de cada término de GH(jw), como se hizo en las ecuaciones (15 .10) y (15.11), y se presentan en las figuras 15-27 y 15-28. Por computador se determinaron numéricamente curvas más exactas, que también se muestran para comparación.
- 505. 494 o c:i "O "O a -20 ·2 01) '"" E -40 0.2 0.2 0.4 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.4 2 Frecuencia w, rad/s Figura 15-27 2 4 Frecuencia w, rad/s Figura 15-28 4 10 20 10 20 40
- 506. ANALISIS DE BODE 495 15.8. Construya los diagramas de Bode para la función de transferencia en malla abierta GH = 2(s+ 2)/(s2 - 1). Con s = jw, la forma de Bode para esta función de transferencia es . . -4(1 +jw/2) GH(1w) = (1 +jw)(l-Jw) Esta función tiene un polo en la mitad derecha del plano [debido el término l/( 1 - jw)] la cual no es una de las funciones normales presentadas en la sección 15.4. Sin embargo, esta función tiene la misma magnitud que 1/(1 t jw), y el mismo ángulo de fase que 1 + jw. De esta manera, para una función de la forma 1/(1 - jwlp), la magnitud puede detenninarse a partir de la figura 15-7, y el ángulo de fase, a partir de la figura 15-1O. Para este problema las contribuciones al ángulo de fase de los términos 1/(1 + jw) y 1/(1 - jw) se cancelan entre sí. En la figura 15-29 se presentan las asíntotas para el diagrama de magnitud de Bode, junto con un diagrama de Bode más exácto. El ángulo de fase de Bode se determina solamente a partir del arg K8 = arg (-4) - 180º y del cero en w = 2, como se muestra en la figura 15-30. 10 ¡:Q "O "O B e: o "°' "' E -10 0.2 Estabilidad relativa 0.4 Frecuencia w, rad/s Figura 15-29 IO 20 15.9. Para el sistema con función de transferencia en malla abierta, del problema 15.6, encuen- tre w 1, w"' el margen de ganancia y el margen de fase. Utilizando la curva de magnitud exacta que se presenta en la figura 15-25, la frecuencia de cruce de ganancia es w 1 = 0.62. La frecuencia de cruce de fase w7T es indeterminada porque el arg GH(jw) nunca cruza - 180º (véase la figura 15-26). El arg GH(jw1) = arg GH(j 0.62) es -129º. Por tanto el margen de fase es -129º + 180º = 51 º. Puesto que w7T es indeterminado, también lo es el margen de ganancia.
- 507. 496 0.2 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.4 2 Frecuencia w, rad/s Figura 15-30 4 10 20 15.10. Determine los márgenes de ganancia y de fase para los sistemas con la función de respues- ta de frecuencia en malla abierta del problema 15.7. A partir de la figura 15-27, w1 = 1.5; y a partir de la figura 15-28, el arg GH(jw1) = -144º. Por tanto el margen de fase es 180º - 144º = 36°. A partir de la figura 15-28, w'TT = 3.2, y el margen de ganancia. leído de la figura 15-27 es -20 log10 IGH(jw'TT)I = 11 dB. 15.11. Determine los márgenes de ganancia y de fase para el sistema con la función de transferen- cia en malla abierta del problema 15.8. A partir de la figura 15-29, w1 = 2.3 rad/s. A partir de la figura 15-30, el arg GH(jw1) = - 127º. Por tanto el margen de fase es 180º -127º = 53º. Como se muestra en la figura 15-30, el arg GH(jw) tiende a -180º a medida que w disminuye. Puesto que el arg GH(jw) = -180º únicamente en w = O, entonces w'TT = O. Por tanto el margen de ganancia es -20 log101GH(jw7T)I = -12 dB utilizando el procedimiento normal. Aunque un margen de ganancia negativo indica inestabilidad para la mayor parte de los sistemas, este sistema es estable, como puede verificarse mediante el diagrama de estabilidad de Nyquist que se muestra en la mitad figura 15-31 . Recuerde que el sistema tiene un polo de malla abierta en la mitad derecha del plano; pero el cero de GH en -2 actúa para estabilizar el sistema para K = 2. ReGH Figura 15-31
- 508. ANALISIS DE BODE 497 Respuesta de frecuencia en malla cerrada 15.12. Para el sistema del ejemplo 15.7, conH = 1, determine la función de respuesta de frecuen- cia en malla cerrada y compare el diagrama de magnitud real de Bode en malla cerrada con el diagrama aproximado del ejemplo 15.7. Para este sistema, CH = 10/s(s + 1). Entonces e 10 R s2 + s + 10 y e 1 R(jw) = l+Jw/10-w2/10 Por tanto, el diagrama de magnitud de Bode en malla cerrada corresponde a la figura 15;11, con ( = 0.18 y wn = 3.16. A partir de esta gráfica, el ancho de banda real de 3 dB es wlwn = 1.5 en forma normalizada; de donde, puesto que wn = 3.16, AB = 1.5(3.16) = 4.74 rad/s. El ancho de banda aproximado de 3 dB determinado a partir de la figura 15-20 del ejemplo 15.7 es 3.7 rad/s. Nótese que wn = 3. 16 rad/s para el sistema en malla cerrada se corresponde muy bien con w1 = 3.1 rad/s a partir de la figura 15-20. De esta manera la frecuencia de cruce de ganancia del sistema en malla abierta se corresponde muy bien con wn del sistema en malla cerrada, aunque el ancho de banda aproximado de 3 dB, determinado antes, no es muy exacto. La razón de esto es que el diagrama de magnitud de Bode aproximado de la figura 15-20 no muestra los picos que se presentan en la curva exacta. 15.13. Para el sistema discreto en el tiempo con función de respuesta de frecuencia en malla abierta 0.01 3(z+l)(z+½) GH( z) = -8z_(_z--1-)-( z_+_½_) 0.05 0.1 0.5 1 Angulo wT, radianes Figura 15-32 H=l í ¡ 5 40 20 o .o 'O -20 'O ·ª = OJ) " -40 E -60 -80 10
- 509. 498 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL encuentre el margen de ganancia, el margen de fase, el ángulo de cruce de fase y el ángulo de cruce de ganancia. En las figuras 15-32 (véase página 497) y 15-33 se muestran los diagramas de Bode para este sistema. El ángulo de cruce de fase wwT es 1.74 rad, determinado a partir de la figura 15-33. En la figura 15-32 se encuentra que el correspondiente margen de ganancia es 11dB. El ángulo de cruce de ganancia w 1Tes 0.63 rad, determinado a partir de la figura 15-32. El correspondiente margen de fase que se encuentra sobre la figura 15-33 es 57°. 0.01 0.05 0.1 0.5 Angulo wT, radianes Figura 15-33 Problemas suplementarios 5 10 -80 -100 -120 -140 -160 ~ e;;! -180 O) "O o -200 3 00 " -220 '"' -240 -260 -280 15.14. Construya los diagramas de Bode para la función de respuesta de frecuencia en malla abierta. 4(1 +jw/2) GH(Jw) = - - 2 - - - - - - - (Jw) (1 +jw/8)(1 +jw/10) 15.15. Construya los diagramas de Bode y determine los márgenes de ganancia y de fase para el sistema con la función de respuesta de frecuencia en m·alla abierta . 4 GH(Jw) = 2 (1 +jw)(1 +jw/3) 15.16. Resuelva los problemas 13.35 y 13.37 construyendo los diagramas de Bode. 15.17. Desarrolle el problema 13.52 utilizando los diagramas de Bode. 15.18. Desarrolle el problema 11.59 utilizando los diagramas de Bode.
- 510. Capítulo 16 Diseño utilizando el análisis de Bode 16.1 Filosofía del diseño El diseño de un sistema de control con retroalimentación utilizando las técnicas de Bode trae consigo determinar y redeterminar los diagramas de magnitud y de ángulo de fase de Bode hasta satisfacer las especificaciones del sistema. Estas se expresan más convenientemente en términos de indicadores de desempeño en el dominio de la frecuencia, como son los márgenes de ganancia y de fase para el desempeño transitorio y las constantes de error (Capítulo 9) para la respuesta en estado estacionario en el dominio del tiempo. La conformación de diagramas de Bode asintóticos de sistemas continuos en el tiempo suman- do compensación en cascada o por retroalimentación, es un procedimiento relativamente simple. En las secciones 16.3, 16.4 y 16.5 se presentan los diagramas de Bode para varias redes de compensación comunes continuas en el tiempo. Con estas gráficas las contribuciones de magnitud y de ángulo de fase de un compensador particular pueden sumarse directamente a los diagramas de Bode del sistema no compensado. A menudo es necesario corregir los diagramas de Bode asintóti- cos en las fases finales del diseño para verificar de manera exacta la satisfacción de las especifica- ci<rnes de desempeño. Puesto que no existen diagramas de Bode asintóticos simples para sistemas discretos en el tiempo, la determinación y la redeterminación de diagramas de Bode para sistemas discretos en el tiempo no es tan simple e intuitiva como para los sistemas continuos en el tiempo. Sin embargo, al transformar al plano w, la función de transferencia discreta en el tiempo, el diseño de sistemas discretos en el tiempo puede efectuarse por medio de técnicas continuas en el tiempo. 16.2 Compensación del factor de ganancia En algunos casos es posible satisfacer todas las especificaciones del sistema simplemente ajustando el factor de ganancia K en malla abierta. El ajuste del factor de ganancia K no afecta el diagrama del ángulo de fase. Esto sólo desplaza el diagrama de magnitud hacia arriba o hacia abajo, en correspondencia con el aumento o la disminución de K. El procedimiento más simple es alterar la escala de dB del diagrama de magnitud de acuerdo con el cambio en K, en lugar de volver a construir toda la curva. Por ejemplo, si K se duplica la escala de dB debe desplazarse 20 log 102 = 6,02 dB hacia abajo. Cuando se trabaja con diagramas de Bode continuos en el tiempo, es más conveniente utilizar la ganancia de Bode: i=l Kn= -'-n_:__ CTP; i=l en donde -p; y -z; son los polos y ceros finitos de GH. 499
- 511. 500 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 16.1. En la figura 16-1 se muestran los diagramas de Bode para K GH( ·w) - 8 1 - Jw(l +jw/2) para KB = 1. La cantidad máxima en que puede incrementarse KB para mejorar el desempeño en estado estacionario del sistema sin disminuir el margen de fase por debajo de 45º, se determina como sigue. En la figura 16-1, el margen de fase es 45º si la frecuencia de cruce de ganancia w 1 es 2 rad/s, y el diagrama de magnitud puede subirse a lo sumo en 9 dB antes que w 1 se haga 2 rad/s. Así K8 puede incrementarse hasta en 9 dB sin disminuir el margen de fase por debajo de 45º. 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w. rad/s 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w, rad/s Figura 16-1
- 512. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 501 16.3 Compensación por adelanto para sistemas continuos en el tiempo El compensador por adelanto, que se presentó en las secciones 6.3 y 12.4, tiene la siguiente forma de Bode de función de respuesta de frecuencia: (a/b)(1 + jw/a) Padelanto(jw) = -~------ 1 +jw/b (16.1) En la figura 16-2 se presentan los diagramas de Bode para este compensador con diferentes rela- ciones de adelanto a/b. Estas gráficas ilustran que la adición a un sistema de un compensador por adelanto en cascada disminuye'ª totalidad de la curva de magnitud en la región de baja frecuencia y eleva la totalidad de la curva de ángulo de fase en la región de baja a media frecuencia. En la sección 12.4 se discuten otras propiedades del compensador por adelanto. La cantidad de atenuación de baja frecuencia y de adelanto de fase que produzca un compen- sador por adelanto depende de la relación de adelanto alb. El máximo adelanto de fase se produce a la frecuencia w,,, = Vah, y es igual a a/b .= o,i;: 0.2 0.4 </>max= (90-2tan- 1 Ja/b) grados 2 4 Frecuencia normalizada , w/a Frecuencia normalizada , w/a Figura 16-2 (16.2) 10 20 40
- 513. 502 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La compensación por adelanto de un sistema se utiliza normalmente para aumentar los márge- nes de ganancia y/o de fase o para aumentar su ancho de banda. A menudo, como se describe en la sección 12.4, se requiere una modificación adicional de la ganancia de. Bode K8 con redes de adelanto. EJEMPLO 16.2. Va a diseñarse un sistema continuo no compensado cuya función de transferencia en malla abierta es 24 GH=----,------ s(s+2)(s+6) H=l para que cumpla las siguientes especificaciones de desempeño: 1. cuando la entrada es un rampa con pendiente (velocidad) 21r rad/s, el error de posición en estado estacionario debe ser menor que o igual a 1r/IO radianes. 2. <PMF = 45º ± 5º. 3. la frecuencia de cruce de ganancia w 1 2: I rad/s*. Como se describió detalladamente en el ejemplo 12.4, la compensación por adelanto es apropiada. Al transformar GH(jw) en la forma de Bode, 2 GH(jw) = - - - - - - - jw(l +jw/2)(1 +jw/6) notamos que la ganancia de Bode KR es igual a la constante de error de velocidad Kv, = 2. En la figura 16-3 (véase página 503) se presentan los diagramas de Bode para este sistema. La ecuación (9.13) da para la función de entrada rampa unitaria 1/Kv, para el error en estado estacionario e(x). Por tanto, si e(x) ::e; 1r/lO radianes y la rampa tiene una pendiente de 21r en lugar de 1, entonces la constante de error de velocidad requerida es 2'1T K >-- - 20 s- 1 v2 - 'IT/lO - * Cuando se utilizan las técnicas de Bode, las especificaciones de ancho de banda del sistema en malla cerrada a menudo se interpretan en términos de la frecuencia de cruce de ganancia w 1, la cual se determina de manera fácil a partir del diagrama de magnitud de Bode. Generalmente el ancho de banda y w1 no son equ;valentes; pero si uno de ellos aumenta o disminuye, el otro también lo hace. Como se anotó en las secciones 10.4, y 15.8, y en el problema 12.6, a menudo w, es una aproximación razonable para el ancho de banda.
- 514. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 503 20 .a o 'O ~ e bO "' E -20 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w, rad/s O) <ll ~ -150° O) 'O o "3 bO e "" -200° 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w, rad/s Figura 16-3 De esta manera un amplificador en cascada con una ganancia de A = 1Oó 20 dB satisface la especificación en estado estacionario. Pero esta ganancia debe incrementarse aún más depués de escoger los parámetros de la red de adelanto, como se describió en el ejemplo 12.4. Cuando la ganancia de Bode aumenta en 20dB, el margen de ganancia es -8 dB y el margen de fase -28º, como puede leerse directamente de las gráficas de la figura 16-3. En consecuencia el compensador por adelanto debe escogerse de tal modo que lleve el margen de fase a 45º. Esto requiere una gran cantidad de adelanto de fase. Además, puesto que la adición del compensador por adelanto debe estar acompañada de un incremento en la ganancia de b!a, el efecto neto es incrementar la ganancia en las frecuencias medias y altas, elevando así la frecuencia de cruce de ganan-
- 515. 504 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL cia. Por tanto, se tiene que establecer un margen de fase de 45º a una frecuencia más alta, necesitándose aún mayor adelanto de fase. Por estas razones agregamos dos redes de adelanto en cascada (con el aislamiento necesario para reducir los efectos de carga, si se requiere). Para determinar los parámetros del compensador por adelanto, suponemos que la ganancia de Bode se ha incrementado en 20 dB de tal modo que la línea de OdB se reduce efectivamente en 20 dB. Si escogemos b!a = 10, entonces el compensador por adelanto más un incremento adicional de la ganancia de Bode de (bla)2 para las dos redes tiene la siguiente forma combinada: [1OPadelanto 2 (1 +jw/a)2 (Jw)] = Gc(jw) = (1 +jw/lOa)2 Ahora escogemos un valor apropiado para a. Un método útil para mejorar la estabilidad del sistema es tratar de cruzar la línea de OdB con una pendiente de -6 dB/octava. A menudo cruzar con una pendiente de -12 dB/octava produce un valor demasiado bajo para el margen de fase. Si a 2, un bosquejo de las asíntotas revela que la línea de OdB se cruza en -12 dB/octava. Si a = 4, la línea de OdB se cruza con una pendiente de -6 dB/octava. En la figura 16-4 se muestran los diagramas de magnitud y de ángulo de fase de Bode para el sistema con a = 4 rad/s. El margen de ganancia es 14 dB y el margen de fase es 50º. De esta manera se satisface la segunda especificación. La frecuencia de cruce de ganancia w 1 = 14 rad/s es sustancialmente superior al valor especificado, indicando que el sistema responderá muchísimo más rápido de lo pedido en la tercera especificación. En la figura 16-5 se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado. Si un amplificador diseñado apropiadamente se coloca entre las dos redes de adelanto puede servir de manera adicional al propósito de aislar el efecto de carga. 20 Al "O "O 3 ·2 bO ., o E 0.2 0.4 2 4 10 w¡ 20 40 Frecuencia w, rad/s Figura 16-4
- 516. ¡I) 'tl 'tl E ·e 00 "' E DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 0.2 0.4 2 4 Frecuencia w, rad/s 10 20 Figura 16-4 (continuación) redes de adeianto ganancia de '-(b/a)2 planta no compensada Figura 16-5 16.4 Compensación por atraso para sistemas continuos en el tiempo 505 40 C(;w) El compensador por atraso, presentado en las secciones 6.3 y 12.5 tiene la siguiente forma de Bode para la función de respuesta de frecuencia 1 +jw/b Patraso(jw) = l +jw/a (16.3) En la figura 16-6 se presentan los diagramas de Bode para el compensador por atraso, para varias relaciones de atraso bla. Las propiedades de este compensador se estudiaron en la sección 12.5. o -10 -20 0.02 0.04 0.1 0.2 0.4 Frecuencia normalizada, w/b Figura 16-6 2 4
- 517. 1;l ~ cu "O o :i 00 _§ 506 -25ª;: -50° 0.02 0.04 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.1 0.2 0.4 Frecuencia normalizada w/b Figura 16-6 (continuación) arg patta;., (~ii)• 2 4 EJEMPLO 16.3. Rediseñamos el sistema del ejemplo 16.2 utilizando un factor de ganancia más compen- sación por atraso, como se describió de manera detallada en el ejemplo 12.5. De nuevo, el sistema no compensado se representa por y las especificaciones l. K,. 2: 20 s- 1 2. <PMF = 45º ± 3. W¡ 2". 1 rad/s son: 5º 2 GH(1·w)'"' - - - - - - - jw(l +jw/2)(1 +jw/6) Como antes, se requiere un incremento en la ganancia Bode por un factor de IOó 20 dB para satisfacer la primera especificación (estado estacionario). De aquí que se necesite considerar de nuevo los diagramas de Bode de la figura 16-3 bajando efectivamente en 20 dB la línea de OdB. La adición de un retraso de fase significativo a frecuencias menores que 0.1 rad/s bajará la curva o elevará efectivamente la línea de OdB en una cantidad correspondiente a bla. De esta manera la relación bla debe elegirse de tal modo que el margen de fase resultante sea 45º. A partir del diagrama de ángulo de fase de Bode (figura 16-3) vemos que se obtiene un margen de fase de 45º si la frecuencia de cruce de ganancia es w 1 = 1.3 rad/s. A partir del diagrama de magnitud de Bode, esto requiere que la curva de magnitud baje 2 + 20 = 22 dB. De este modo se necesita una disminución de ganancia de 22 dB o en un factor de 14. Esto puede obtenerse utilizando un compensador por atraso con bla = 14. La localización real del compensador es arbitraria, ya que el despla- zamiento de fase producido en w 1 es despreciable. Los valores de a = 0.01 y b = 0.14 rad/s son los adecuados. En la figura 16-7 se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado. C(;w) compensador por atraso gai;iancia de ¡,. planta no compensada Figura 16-7
- 518. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 507 16.5 Compensación por atraso-adelanto para sistemas continuos en el tiempo Algunas veces es conveniente, como se estudió en la sec;ción 12.6, emplear de manera simul- tánea tanto la compensación por atraso como la de adelanto. Aunque cada una de estas dos redes pueda conectarse en serie para alcanzar el efecto deseado, a menudo es más conveniente mecani- zar el compensador por atraso-adelanto combinado, descrito en el ejemplo 6.6. Este compensador puede construirse con una red R-C sencilla, como se muestra en el problema 6.14. La forma de Bode de la función de respuesta de frecuencia para el compensador por atraso- adelanto es con b1 > a1, b2 > a2 y aIb2 = b Ia2 • En la figura 16-8 se muestra un diagrama de magnitud de Bode típico en el cual a 1 > b2 . Los diagramas de Bode para un compensador por atraso-adelanto especí- fico pueden determinarse al combinar los diagramas de Bode para la parte de atraso de la figura 16-6 con los de la parte de adelanto de la figura 16-2. En la sección 12.6 se estudiaron las propie- dades adicionales del compensador por atraso-adelanto. 0.2 0.4 2 4 Frecuencia w, rad/s Figura 16-8 10 20 40 EJEMPLO 16.4. Rediseñemos el sistema del ejemplo 16.2 utilizando compensación por atraso-adelanto. Suponga, por ejemplo, que se quiere que la frecuencia de cruce de ganancia w 1 (aproximadamente el ancho de banda en malla cerrada) sea mayor que 2 rad/s pero menor que 5 rad/s, con todas las demás especificacio- nes iguales a las del ejemplo 16.2. Para esta aplicación, vemos que el compensador por atraso-adelanto tiene ventajas sobre la compensación por atraso o por adelanto. De nuevo, el sistema no compensado está representado por 2 GH(jw) = . . . Jw(} +JW/2)(1 +JW/6)
- 519. 508 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL En la figura 16-3 se muestran los diagramas de Bode. Como en el ejemplo 16.2, se requiere un incremento de 20 dB en la ganancia de Bode para satisfacer la especificación de desempeño en estado estacionario. Una vez más, refiriéndonos a la figura 16-3, el incremento en la ganancia de Bode corresponde a un desplaza- miento de 20 dB hacia abajo de la línea de OdB, los parámetros del compensador por atraso-adelanto deben elegirse tales que resulten en una frecuencia de cruce de ganancia entre 2 y 5 rad/s con un margen de fase cercano a 45º. El diagrama de ángulo de fase de la figura 16-3 presenta un ángulo de fase cercano a - 188º aproximadamente a 4 rad/s. Así que necesitamos cerca de 53º de adelanto de fase para establecer un margen de fase de 45º en ese rango de frecuencia. Escojamos una relación de adelanto de a1/b1 = 0.1 para estar seguros de que tenemos suficiente adelanto de fase. Para colocarlo cerca del intervalo de frecuencia correc- to, hagamos a1 = 0.8 y b1 = 8 rad/s. La parte de atraso debe tener la misma relación a2/b2 = O. I, pero debe ser lo suficientemente más pequeña que a1 como para no reducir de manera significativa el adelanto de fase logrado con la parte de adelanto; b2 = 0.2 y a2 = 0.02 son adecuados. En la figura 16-9 se presentan los diagramas de Bode para el sistema compensado, y en la figura 16- JO se muestra el diagrama de bloques. Hacemos notar que el compensador por atraso-adelanto no produce atenuación de magnitud a frecuen- cias altas ni a frecuencias bajas. En consecuencia, al utilizar la compensación por atraso-adelanto se obtiene un ajuste en el factor de ganancia más pequeño (que el obtenido con la compensación por atraso en el ejemplo 16.3), un ancho de banda y una frecuencia de cruce de ganancia más pequeños (que los resultantes con la compensación por adelanto del problema 16.2). .xi "0 "0 a ·;: ~ ~ ~ .2 01) "' E 40 20 o 0.2 0.4 Frecuencia w, rad/s 2 4 10 sli -150°"--····"·'-~------···-'--,-..····-····'•-···'-•-·+·•·-~---'·'-"·'-··'·,.¡._.•.~•c.,_,...____,-•..;.;.,,_,;...+"-+-"'i,~--•-i---•····'-"-1--rl ª . -200°--......- - - - -................................................__,...;.._..._.................................................,,;, 0.1 0.2 0.4 Frecuencia w, rad/s Figura 16-9 2 4 10
- 520. C(j,,,) Figura 1()-10 16.6 Diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando ~I an{llisis de Bode El diseño <l'fsisfemas discretos en:el fiempo µtil1zando el análisis: de Bode se basa~en la misma filosofía que ¡:,ara. los si~ternas!c.o}1t.ipµos én el tiejfip971!11qµ.~ ~ªe c911sig0Üa <;pnformación y reconformación de losd1~gr~m~s drÍu,agÍlituefy dé áí{guÍó de t'#e cti.~déh~sta q~,e cumplan las especificaciones del sistema. Per~'el esfuerzo necesario en este caso puede ser sustancialmente ~~''-<-,.":'>'.,:'"- .~J , ~t'"> 1,' mayor. .., ,. ·.< Algunas veces es posible satisfacer l~s ~spicific~ciones con sólo ajustar el factor de ganancia K en malla abierta, como se describió en la sección 16.2 para sistemas eontinq,(}§;, EJEMPLO 16.5. Considere el sistema discreto en el tiempo délejen1p}a,l:5 ;4,, ~f.lm'cíón dé r~puesta de frecuencia en malla abierta ,,, GI:(t!l~T]~ ' Jwt~ ;~r111~?Y'~Ir:.·/,"· • ,· ••'>;/•{~. ,_,, ,J,)(cft', :i: lt')h ··· ,,'.f: r},, yM~ t.'Ía~figüras t6~t íyí(f:12 son iok diagramas a'f'Bt1a2 cÍian t?az¡ídófplJ~dümpu'tii(Íót; r8~~aá:fJs ilustran los márgenes de ganancia y de fase y las frecuencias de cruce de gáffahc'iá: ytéfaif2'. Á:hótá:'rtitri'trr mos qu,e )a sola compensación del factor de ganancia puede utilizarse parll; saisfacerla,s siguientesesR'!cifi- fatloh'éf···f,• •:i;,: ·'/:·: :.c.:C::: ;,:• t· :,::, ,;/, ·.': .;'''.'·s;..:·;,,;:..•::,?'< ;,;; :.:,:;;:;:::,+ <:,, :,,:;::·>'e, ,, •,· ::,:¡r:co ¿'':;.·:: -20 -40 ' "'/; ' ¡::Q -60 ~ E -80 "i:; '.',?Ai~ t'f ··S>f;•,h f"icj'¡:c,,~ - -: ~2 -140 L--..J....___;__¡_¡__,.;..._ _....:,:.:,:J_J...._;__J.il.__J___;__;.,.._......;...J-~~-160
- 521. 510 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL .. •I l'. . :...,.,. 1 . 1 t •.l 90° =·~arg.en .. defase..70º·.{r · ..·. ', 1 · . 1· 30°!1 ---~-------------~-~~-~~~-J+- 1 . 1 1 1 1 r •1 , l 1 1 1 1 1 1 1 J J •.l 1 1 1 1 1 1 1· 1 1 1 1 1 1 l ¡, 4 1 1 1' 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1, J 1 1 , 1 1 1 1 o.35 1 u1 1 1 0.05 0.1 1. <f>MF 2: 30º. 0.5 1 w.T Angulo wT, radianes Figura 16-12 2. 10 dB :S margen de ganancia :S 15 dB. -100 -150 -180 <1) -200 "' ~ <1) -o -250 o :i 0lJ i: -300 ,c,s -350 -400 5 10 A partir de la figura 16. 12 vemos que si w1T puede incrementarse a 1. 11 rad, entonces <l>MF = 30º. Para lograr esto, la ganancia debe incrementarse en 35 dB, como se muestra en la figura 16-11 , con lo cual resulta un margen de ganancia de 39 - 35 = 4 dB, que es demasiado pequeño. Si aumentamos la ganancia sólo en 25 dB (el aumento de K en un factor de 18), entonces w 1T = 0.35 rad y el margen de fase es 70º. Nótese que al cambiar K no se altera w"'T. Para especificaciones de diseño de sistemas discretos en el tiempo que no puedan satisfacerse por la sola compensación del factor de ganancia, el diseño de Bode en el dominio de z no es tan directo como en el dominio de s. Sin embargo, los métodos de diseño de sistemas continuos en el tiempo pueden transferirse a sistemas discretos en el tiempo utilizando la transformada w. Con base en los desarrollos de las secciones 10.7 y 15.9, el algoritmo de diseño es como sigue: 1. Sustituir z por (1 + w)/(1 - w) en la función de transferencia en malla cerrada GH(z): GH(z )lz-(l+w)/(1-w) = GH'( W) 2. Hacer w = jww y luego transformar del dominio z al dominio w las frecuencias críticas en las especificaciones de desempeño, utilizando wT w =tan- w 2 3. Desarrollar una compensación continua en el tiempo (como en las secciones 16.3 a 16.5) tal que el sistema en el dominio w satisfaga las especificaciones dadas a las frecuencias obtenidas en el paso 2 (como si el dominio w fuera el dominio s).
- 522. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 511 4. Transformar de nuevo al dominio z los elementos de compensación obtenidos en el paso 3 para completar el diseño, utilizando w = (z - I) (z + I). EJEMPLO 16.6. El sistema discreto con retroalimentación unitaria y función de transferencia en malla abierta ( 3 (z+l){z+½) G z) = GH( z) = - ( 1.) 8 z z + 2 y periodo de muestreo T = O. 1 s va a compensar de tal mánera que cumpla con las siguientes especificacio- nes: 1. El error en estado estacionario debe ser menor que o igual a 0.2 para una entrada rampa unitaria. 2. <PMF 2: 30º. 3. La frecuencia de cruce de ganancia w1 debe satisfacer w 1T 2: 1 rad. Este es un sistema del tipo Oy el error en estado estacionario para la entrada rampa unitaria es infinito (sección 9.9). Portanto la compensación debe tenerun polo en z = 1, y la nueva funéión de transfer~nciaque incluye este polo se convierte en 3 (z+l)(z+t) GH'( z) = 8-z(_z___l_)(~z-+-½--c-) A partir de la tabla de la sección 9.9 el error en estado estacionario para la rampa unitaria es e(00) = 1/Kv, en donde K,. = GH(I) =lim, -,(z - 1)GH'(z) = r De esta manera, con e(oo) = f, el factor de ganancia debe incrementarse en un factor de I5/2 (17.5 dB). En las figuras 16-13 y 16-14 se muestran los diagramas de Bode para GH'. De la figura 16-13, el ángulo en la frecuencia de cruce de ganancia es w 1T = 0.68 rad y el margen de fase es 56º. Aumentando la ganancia en 17.5 dB se movería el ángulo en la frecuencia de cruce de ganancia a w 1T = 2.56 rad, pero el margen de fase se haría entonces -41 º, desestabilizando el sistema. Aparentemente la sola compensación del factor de ganancia no es adecuada para este problema de diseño. 0.01 0.05 0.1 0.5 w1T 1 Angulo wT, radianes Figura 16-13 5 10 40 20 o 1%1 .,, .,, -20 ·ª ~ e -40 -60 -80
- 523. Angulo wT, radianes -160 -180 0 ]¡ ,·:,,~op1; .,¡ -220 Parl!, completar el diseño, transformamos GH(z) al dominio w haciendo z = (1 + w)/(1 - w) y formando
- 524. Siguiendo el paso 2, la especifio~~~-frt~ici~4efttl{¿cfa ~ari'árioia w1T 2= 1 rad se transforma a' plano w utilizando · · · •· ·· A partir)qe Ja,fjgn,ra0f(i.J..j.Jo de w;:..,,'.'1' taR(0,6812)) l¡¡c.frecqem:iade crui;e'ile g,ma,rc*-es}1),;:3$1'lJ(ilsy.-et margen de fase es 56º (como era en el dominio z). Para satisfacer la especificación del error ¡n est~d~ ~stacionario, el factor de ganancia debe aumentar por lo menos a 17.5 dB (como se anotó antes), y para satisfacer las demás especificaciones, la frecuencia de cruce de ganancia debe incrementarse a por lo menos 0.55 rad/s (figura 16-16), y el ángulo de fase en ww = 0.55 debe mantenerse hasta pqf. Jo tnel)()S - 15:0º,; E&J;e úJtiillo~uerimiento implica que no puede presentarse un atraso de más de 6.5ci€tf¿,..,",;;,'ó:ss ~ac!Ís:??fóté~'e'Cfü~r~quiere cerca de 4.3 dB de aumento de ganancia en ww = 0.55 rad/s de tal manera que esta frecuencia puede llegar a ser la frecuencia de cruce de ganancia. . .~.l! c:9Jllpensactó11 r,qr ~tr¡iso,puecfe satisfact:r estas ~specific~_cicmf~ (paso 3LA partir ce)a figura 1(>-~. J~a i'ef/iéió~.dé·att'~sddéHfa:~ 5 ptóRoréidniJ4'clB a~áte~uaci6h:á ffeéüéndas~is affaJ;·fiátáiñcremenfíii Iáfr6(:'uiricfa de cruée'dé gariaficfa,: el fáctot efe gífnlnícHfseirtcrementa ~íflir.:rcílt, ife:>ta:fffl.()O{) que en Ww = 0.55 hay un incremento neto de 4.3 dB. Cori·da'ifdád'5éve'que::estoés<ádeétiaikf~ara'siitisfacer también la especificación de error en estado estacionario (se necesitan 17.5 dB). Ahora el parámetro a en la relación de atraso puede escogerse para satisfacer el requerimiento de margen de fase. Como se anotó antes, debemos. nmmooir etatraso de,.fa~pc;I compensador por debajo de 6.5º en w"' = 0.55 rad/s. Notemos que el at'r~&o de, faS':0 .décl compensador por atraso es
- 525. 514 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL _ 1 wT _1 wT <Patraso = tan b - tan -;- Así, al hacer</> atraso = -6.5º, w = w,.. = 0.55 rad/s y b = 5a (como antes), de esta ecuación fácilmente se resuelve a. Al escoger la más pequeña de las soluciones, se genera un dipolo (un par polo-cero) muy cerca del origen del plano w, para a= 0.0157. Escogemos a= 0.015 que da solamente 6.2º de atraso de fase. De este modo b = 0.075, y el compensador por atraso en el plano w está dado por la expresión ( 0.015) ( w + 0.075) Patraso(w) = 0.075 w+0.015 Pa1raso se transforma de nuevo al dominio z (paso 4), haciendo w = (z - 1)/(z + 1). El resultado es ( z - 0.86046) Patraso( Z) =0.21182 9 z -o. 7044 Al combinar ésta con el polo en z = 1y con el incremento de 18.3 dB en el factor de ganancia (un incremento de 8.22 en la relación del factor de ganancia), el elemento de compensación completo G1(z) es [ z - 0.86046 ] 61(z)=l.74l 7 (z-l)(z-0.97044) En la figura 16-17 se muestra el sistema de control compensado. Nótese que este diseño es bastante similar a los desarrollados para este mismo sistema con las especificaciones de los ejemplos 12.7 y 14.5. Figura 16-17 Problemas resueltos Compensación del factor de ganancia 16.1. Determine el valor máximo para la ganancia de Bode K8 que resultará en un margen de ganancia de 6 dB o más, y un margen de fase de 45º o más, para el sistema con función de respuesta de frecuencia en malla abierta KB GH(jw} = 2 jw(l +jw/5)
- 526. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 515 En la figura I6-18 se presentan los diagramas de Bode para este sistema con Ka l. El margen de ganancia, medido en w,,. = 5 rad/s, es 20 dB. De este modo la ganancia de Bode puede elevarse hasta 20 - 6 = 14 dB y aún satisface el requerimiento de margen de ganancia. Sin embargo, el diagrama de ángulo de fase de Bode indica que para <f>MF ? 45º, la frecuencia de cruce de ganancia w 1 debe ser menor que 2 rad/s. La curva de magnitud puede elevarse hasta en 7.5 dB antes que w 1 exceda los 2 rad/s. Así que el valor máximo de Ka que satisface ambas especificacio- nes es 7.5 dB ó 2.37. 16.2. Diseñe el sistema del problema 15.7 para que tenga un margen de fase de 55º. El diagrama de ángulo de fase de Bode de la figura 15-28 indica que la frecuencia de cruce de ganancia w 1 debe ser 0.9 rad/s para un margen de fase de 55º. A partir del diagrama de magnitud de Bode de la figura 15-27, Ka debe reducirse en 6 dB o en un factor de 2 para alcanzar w1 = O.9 rad/s y en consecuencia </>MF = 55º. Compens~ción por adelanto 16.3. Demuestre que el máximo adelanto de fase de un compensador por adelanto [ecuación (16./)] se presenta en Wm = ¼b, y pruebe la ecuación (16.2). El ángulo de fase del compensador por adelanto es</>= arg Padelanto (jw) = tan- 1 wla - tan- 1 w!b. Entonces dq, 1 1 dw = a[l+(w/a)2 ] - b(l+(w/b)2 ] Al hacer d</>!dw = O, se produce w2 = ab. De este modo el adelanto de fase máximo ocurre en wm = ¼h. Dedonde</>max = tan- 1 Vb/a- tan- 1 v'a!b. Pero,puestoquetan- 1 Vb/a= 7T/2 - tan - 1 Ya/b, tenemos </>max = (90 - 2 tan- 1 Ya/b). o CC "O "O E ·2 -20 Ol) <SS E -40 0.4 2 4 .,.. 10 20 Frecuencia w, rad/s
- 527. sus Fr~cuencia w, rad/s '~¾~á )1~íi'~;: ,,. 16~4,, ¿Qué atenuación (~gtfttq,d) se11r-Oductrconun OOfflpelsadorpor:~~Jít;l.tfrecuencia de adelanto de fase máxima wm = l;ii;? El factor de atenua9ión•está'·dadfr por Ja e;'(presiffl1,,,· ,- . --·· <--~ < ,_ - - ... ~'..~: ": ~ 16.5. Diseñe la compensación para el sistema ·.,,". ·- ,•-: '.' .,·,· ....3,, GH(jw) = (1 +j~){l+jw/3)2 que·produzcauh margen de fasetotal de 45º y la.misma fre<;q.en{:'fa.ie cruce de ganancia w 1 que el sistema no compensade. En esencia _estoúltim; es igual a diseñarlo para el mismo áncho de banda, como se tri:ttó_eñ lá sección 15.8. ·
- 528. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 517 -soo0 .................................................- ...........................................................................- .......................... 0.2 0.4 2 "'1 4 10 20 Frecuencia w, rad/s Figura 16-19 La frecuencia de cruce de ganancia w1 es 3.4 rad/s y el margen de fase es IOº. Las especifica- ciones pueden cumplir,se con un compensador por adelanto en cascada y un amplificador de factor de ganancia. La elección de a y b para el compensador por adelanto es algo arbitraria, ya que el adelanto de fase en w1 = 3.4 es suficiente para elevar el margen de fase desde 10° hasta 45º. Sin embargo, a menudo es conveniente, por razones económicas, reducir al mínimo la atenuación de baja frecuencia obtenida de la red de ad¡;lanto, escogiendo la relación de adelanto alb < 1 más grande, la cual suministrará la cantidad de aumento de fase requerido. Suponiendo que este es el caso, la máxima relación de adelanto que produce un adelanto de fase de 45º - IOº = 35º es cerca de 0.3, a partir de la figura 16-2. La solución de la ecuación (16.2) produce un valor para alb =0.27. Pero utilizaremos a/b = 0.3 porque disponemos de las curvas para este valor en la figura 16-2. Queremos escoger un a y un b tales que el adelanto de fase máximo que ocurra en Wm = Vabse obtenga en w1 = 3.4 rad/s. De este modo ¼b = 3.4. Si sustituimos a= 0.3b en esta ecuación y despejamos b, encontramos que b = 6.2 y a = 1.86. Pero este compensador produce 20 log 10 !6.2/1.86 = 5.2 dB de atenuación en w1 = 3.4 rad/s (véase el problema 16.4). Por tanto se requiere un amplificador con una ganancia de 5.2 dB ó 1.82, además del compensador por adelan- to, para mantener w1 en 3.4 rad/s. En la figura 16-20 se muestran los diagramas de Bode del sistema compensado, y el diagrama de bloques, en la figura 16-21.
- 529. 518 0.2 0.2 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.4 0.4 compensador por adelanto 2 Frecuencia w, rad/s 2 Frecuencia w, rad/s Figura 16-20 amplificador Figura 16-21 4 10 20 4 10 20 C(jw) sistema no compensado
- 530. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 519 Compensación por atraso 16.6. ¿Cuál es el atraso de fase máximo producido por el compensador por atraso [ecuación (16.3)]? El ángulo de fase del compensador por atraso es w w arg patraso (jw) = tan- l b - tan- l ; = - arg padelanto (jw) De esta manera el atraso de fase máximo (ángulo de fase negativo) del compensador por atraso es el mismo adelanto de fase máximo del compensador por adelanto, con los mismos valores de a y b. De aquí que el máximo se presente en wm = y;;¡; y, a partir de la ecuación (16.2), se obtiene <l>max = (90-2tan- l {'f)grados Expresada en términos de la relación de atraso b!a, la ecuación se escribe <l>max = (2tan- l {'f -90) grados 16.7. Diseñe la compensación para el sistema del problema 16.1, para satisfacer las mismas especificaciones y, además, tener una frecuencia de cruce de ganancia w menor que o igual a 1 rad/s y una constante de error de velocidad Kv > 5. Los diagramas de Bode para este sistema, que se presentan en la figura 16-18, indican que w1 = 1rad/s paraK8 = l. En consecuencia Kv= K8 = 1paraw1 = l. Los requerimien- tos de margen de fase y de ganancia se cumplen de manera fácil con K8 < 2.37; pero la especificación en estado estacionario requiere que Kv= K8 > 5. Por tanto, un compensador por atraso en cascada de baja frecuencia con b!a = 5 puede utilizarse para aumentar Kv a5. manteniendo la frecuencia de cruce y los márgenes de ganancia y de fase en sus valores anteriores. Como se muestra en la figura 16-22, un compensador por atraso con b = 0.5 y a = O. 1 satisface estos requerimientos. 20 ce 't:) 't:) E o ·a OI) " E -20 o.os 0.1 0.2 0.4 4 10 Frecuencia w, rad/s Figura 16-22
- 531. 520 0.05 0.1 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 0.2 0.4 Frecuencia w, rad/s Figura 16-22 (continuación) 2 4 10 La función de respuesta de frecuencia en malla abierta, compensada, es 5(1 +jw/0.5) jw(l +jw/0.1)(1 +jw/5)2 • 16.8. Diseñe un sistema discreto con retroalimentación unitaria, con la planta fija 27 (z+l) 3 Gz{z) = 64 {z+ ½)3 que satisfaga las siguientes especificaciones: 1) Kp 2= 4, 2) margen de ganancia:::: 12 dB, 3) margen de fase :::: 45º. La especificación en la constante de error de posición Kp requiere un incremento de 4 en el factor de ganancia. Esta función de transferencia se transforma al plano w haciendo z = (1 + w)/ (1 - w), formando así 1 G'(w)---- 2 - (1 + w/3)3 En la figura 16-23 se presentan los diagramas de Bode para este sistema con el factor de ganancia incrementando en 20 log10 4 = 12 dB. 0.04 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w.,, rad/s
- 532. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 0.04 0.1 0.2 0.4 Frecuencia w.,., rad/s Figura 16-23 (continuación) 521 2 10 El margen de ganancia es 6 dB y el margen de fase es 30º Estos márgenes pueden incrementar- se al agregar un compensador por atraso. Para aumentar el margen de ganancia en 12 dB, la magnitud de alta frecuencia debe reducirse en 6 dB. Para elevar el margen de fase a 45º, w,..i debe bajarse a 3.0 rad/s o menos. Esto requiere una atenuación de magnitud de 3 dB a esa frecuencia. En consecuencia escogemos una relación de atraso bla = 2 para producir una atenuación de alta fre- cuencia de 20 log10 2 = 6 dB. Para a = 0.1 y b = 0.2 el margen de fase es 65º y el margen de ganancia es 12 dB, como se muestra en los diagramas de Bode compensados de la figura 16-23. La función de respuesta de frecuencía en malla abierta compensada es 4(1 +jww/0.2) El elemento de compensación 4(1 + w/0.2) Gí( w) = 1+ w/0.1 se transforma de nuevo al dominio z haciendo w = (z 24 {z-f) G1( z) = ll (z - rr) Compensación por atraso-adelanto 1)/(z + 1), en 16.9. Determine la compensación para el sistema del problema 16.5 de tal modo que produzca una constante de error de posición KP ~ 10, <PMF ~ 45º y la misma frecuencia de cruce de ganancia w que el sistema no compensado. La compensación determinada en el problema 16.5 satisface todas las especificaciones excepto que Kp es solamente 4.4. El compensador por adelanto escogido en dicho problema tiene una atenuación de baja frecuencia de 10.4 dB o un factor de 3.33. Remplacemos la red de adelanto por un compensador por atraso-adelanto, escogiendoa1 = 1.86, b1 = 66.2ya2 / b2 =0.3. La magnitud a baja frecuencia se hace a 1b1 / b1a2 = 1ó OdB, y se borra la.atenuación producida por la red de adelanto, elevando efectivamente KP para el sistema en un factor de 3.33 hasta 14.5. La parte de atraso del compensador debe colocarse a frecuencias suficientemente bajas como para que el mar-
- 533. 522 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL gen ae fase no se reduzca por debajo del valor especificado de 45º. Esto puede lograrse con a2 = 0.09 y b2 = 0.3. En la figura 16-24 se presenta el diagrama de bloques del sistema compensado. Nótese que se incluye un amplificador con una ganancia de 1.82, del mismo modo que en el problema 16.5, para mantener w 1 = 3.4. ~(Jw) + C(j.,) compensador por atraso-adelanto .amplificador sistema no compensado Figura 16-24 Los diagramas de Bode compensados se muestran en la figura 16-25. 20 '° "O "O B ·= el) o "' E - 20 •«••••"•••=''"'""'''''-''"''""''•'•~•-•-••~••••-••=•"""•••••••••·••=••M•=••••••"'~''-'°""_,,,;,,.'""'e'•"''•••'·'••'"'"•"""' •••••'""•'"''•"M.~M'<¼••••"'"" 0.04 0.1 0.2 0.4 4 10 Frecuencia w, rad/s 0.04 0.1 0.2 0.4 2 4 10 Frecuencia w, rad/s Figura 16-25
- 534. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 523 16.10. Diseñe una compensación en cascada para un sistema de control con retroalimentación unitaria, c9n planta 1 G2 (jw) = jw(l +jw/8)(1 +jw/20) para que cumpla con las siguientes especificaciones: 1) Ku~lOO 3) margen de ganancia ~ 10 dB 2) "'1 ~ 10 rad/s 4) margen de fase <PMF ~ 45° Para satisfacer la primera especificación se requiere incrementar la ganancia de Bode en un factor de 100, puesto que el Kv no compensado es igual a l. En la figura 16-26 se muestran los diagramas de Bode para este sistema con su ganancia incrementada a 100. 20 ¡:i:i -o -o z! o ·a Oll ,. E -20 2 4 10 20 "'1 40 100 Frecuencia w, rad/s Frecuencia w, rad/s Figura 16-26
- 535. 524 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La frecuencia de cruce de ganancia"'' es 23 rad/s, el margen de fase es -30º y el margen de ganancia es -12 dB. La compensación por atraso podría utilizarse para incrementar los márgenes de ganancia y de fase al reducir"''. Sin embargo, "'' tendría que bajarse a menos de 8 rad/s para lograr un margen de fase de 45º, y a menos de 6 rad/s, para un margen de ganancia de JO dB. En consecuencia no se satisfaría la segunda especificación. Con la compensación por adelanto, se requeriría un incremento adicional de la ganancia de Bode en un factor de bla y "'' aumentaría, necesitando así mucho más de 75º de adelanto de fase para "'' = 23 rad/s. Estas desventajas pueden recuperarse al utilizar una compensación por atraso-adelanto. La parte adelanto produce atenuación y adelanto de fase. Las frecuencias a las que ocurren estos efectos deben localizarse cerca de"'' de tal modo que"'' se reduzca levemente y se incremente el margen de fase. Nótese que, aunque la compensación por adelanto pura aumenta"'', la parte de adelanto del compensador por atraso-adelanto disminuye"'' porque el incremento debla en el factor de ganancia es innecesa- rio, reduciendo de este modo la característica de magnitud. La parte de adelanto puede determinar- se independientemente al utilizar las curvas de la figura 16-2; pero debe tenerse presente que, cuando se incluye la parte de atraso, pueden reducirse en algo la atenuación y el adelanto de fase. Ensayemos una relación de adelanto de a1/b1 =0.1, con a1 = 5 y b1 =50. El máximo adelanto de fase ocurre entonces a 15.8 rad/s. Esto permite que la asíntota de magnitud cruce la línea de OdB con una·pendiente de -6 dB/octava (véase el ejemplo 16.2). En la figura 16-27 se muestran los diagramas de Bode compensados escogiendo a2 y"b2 como 0.1 y 1.0 rad/s, respectivamente. Los parámetros resultantes son"'' = 12 rad/s, el margen de ganancia = 14 dB y <!>MF =52º, como se muestra en las gráficas. La función de respuesta de frecuencia en malla abierta del sistema compen- sado es Frecuencia w, rad/s Figura 16-27
- 536. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE -100° -300°-,•--~---...............,-~---~--..,_--............-----...--,.-.-...............-......... 0.2 0-4 Problemas misceláneos 2 10 .,, Frecuencia w, rad/s Figura 16-27 (continuación) 20 16.11. La función de frecuencia de respuesta nominal de una planta es 1 G2 (j"') = jc.,(l +jw/8)(1 +jw/20) 100 525 Un sistema de control con retroalimentación debe diseñarse para comandar la salida de esta planta en cierta aplicación y debe satisfacer las siguientes especificaciones en el domi- nio de la frecuencia: ]) 2) margen de ganancia ~ 6 dB margen de fase (<f>MF) ~ 30º Además, se sabe que los parámetros "fijos" de la planta pueden variar levemente durante la operación del sistema. Los efectos de esta variación sobre la respuesta del sistema deben hacerse mínimos sobre el intervalo de frecuencias de interés, el cual es O:5 w :5 8 rad/s, y el requisito real puede interpretarse como una especificación en la sensitividad de (C/ R)(jw) con respecto a IG2(jw)I, es decir, J) 20j log S(C/~)(j.,) 1 :e;;; -10 dB 10 iG2(J.,)I para O:e;;; "' :e;;; 8 rad/s También se sabe que la planta estará sujeta a una perturbación de entrada adicional incon- trolable, representada en el dominio de la frecuencia por U(jw). En la aplicación, la respuesta del sistema a esta perturbación de entrada debe suprimirse en el intervalo de frecuencia O:5 w :5 8 rad/s. Por tanto el problema de di'seño incluye la restricción adicio- nal sobre la relación de magnitud de la salida a la perturbación de la entrada, expresada como 4) 20log101~(je.,) 1:e;;; -20 dB para O:e;;;"' :e;;; 8 rad/s Diseñe un sistema que satisfaga estas cuatro especificaciones. En la figura 16-28 se presenta la configuración general del sistema, el cual incluye la posibili- dad de compensadores tanto en cascada como con retroalimentación.
- 537. 526 + TEORIA Y PROBLEMAS .DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL U(j.,) compensador en cascada compensador por retroalimentación Figura 16-28 planta A partir de la figura 16-28, se obtiene C G2 (Jw) U (Jw) = 1 + G1 G2H(Jw) y C . G1G2{jw) ¡(Jw) = 1 + G1 G2H(Jw) De manera similar a la del ejemplo 9.7, fácilmente puede demostrarse que 1 s<CIR)(Jw) = ______ IGz(Jw)I 1 + G1G2H(jw) Si suponemos que IG1G2H(jw)I ~ 1 en el intervalo de frecuencia O :s w :s 8 rad/s (esta desigualdad debe verificarse al completar el diseño y, si no se satisface, la compensación deberá calcularse de nuevo) entonces la especificación 3) puede aproximarse por medio de 20}og ls(C/R)(Jw)l==2Ü}og I l 1 10 IG,(Jw)I 10 G1G2H(Jw) = -20log10IG1G 2H(jw)l 5 -10 dB o De modo similar, la especificación 4) puede aproximarse por medio de 1 C . 1 1G2 (Jw) 1 20 log10 U ( JW) == 20log10 IG 1 G 2 H{ jw) I = 20log10IG2(Jw) 1-20log10IG1G2H(jw) l5 -20 dB o Las especificaciones 3) y 4) pueden transformarse entonces en la siguiente forma combinada. Necesitamos que la respuesta de frecuencia en malla abierta GIG2H(jw) se localice en una región del diagrama de magnitud de Bode que satisfaga simultáneamente las dos desigualdades:
- 538. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE 527 20log10IG1G2 H(Jw) I~ 10 dB 20log10IG1G2 H(Jw) 1~ [20 +20log10IGi{ Jw) 1] dB Esta región se encuentra por encima de la línea interrumpida mostrada en el diagrama de magnitud de Bode de la figura 16-29, en la cual también se incluyen los diagramas de Bode de G2(jw). El diseño puede completarse al determinar la compensación que satisfaga los requerimientos de mar- gen de ganancia y de fase, I) y 2), sujetos a esta restricción de magnitud. Un aumento de 32 dB en la ganancia de Bode, la cual es necesaria en w = 8 rad/s, satisfaría las especificaciones 3) y 4), pero no las especificaciones 1) y 2). En consecuencia se necesita una compensación más complicada. Para un segundo intento, encontramos que la compensación por atraso-adelanto: G H'( ·w = 100(1 +jw/2.5)(1 +jw/0.25) 1 J ) (1 +jw/25)(1 + jw/0.025) produce un sistema con un margen de ganancia de 6 dB y <!>MF = 26º, como se muestra en la figura 16-29. En la figura se observa que es necesario un adelanto de fase de más de JOº a 15º cerca de w = 25 rad/s y IG 1H'(jw)I debe incrementarse por lo menos en 2 dB en las proximidades de w = 8 rad/s para satisfacer la restricción de magnitud. Si se introduce una red de adelanto adicional y se aumenta la ganancia de Bode para compensar la atenuación de baja frecuencia de la red de adelanto, la compensación se hace G H"( 1w) = 300 . ( 1 +jw/10) [ (1 +jw/2.5)(1 +jw/0.25) ] 1 1 +jw/30 (1 +jw/25)(1 +jw/0.025) Esto produce un margen de ganancia de 7 dB, </>MF = 30º y la satisfacción de las especificaciones 3) y 4), como se muestra en la figura 16-29. La suposición de que IG 1G2H(jw)I ~ I para O :s w :s 8 rad/s fácilmente se justifica al calcular los valores reales de las magnitudes dB de 50 20. iXl -o 10: -o a o 'í: 00 "' E 0.2 0.4 2 o. 20 log10 1G2(j~)J O 20 log10 !G1H'(i..,) • G2<i"')! ,; 20 Í-0g10 IG1ll''Uw) • G2(i.,ll 4 10 20 Frecuencia w, rad/s 40
- 539. 528 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL l Arg <J,if"(j,.,) • G2(j.,) -300°1 -·-·-··"- ,.......·..,,......... ,_,_,,.,.,,. 0.1 0.2 0.4 1 2 4 Frecuencia w, rad/s Figura 16-29 y 10 20 40 El compensador G1H"(jw) puede dividirse entre las trayectorias directa y de retroalimenta- ción, o ponerlas todas en una trayectoria, dependiendo de la forma deseada para (CIR) (jw) si así se especifica en la aplicación. Problemas suplementarios 16.12. Diseñe un compensador para el sistema con la función de respuesta de frecuencia en malla abierta 20 GH(jw) = -jw_(_l_+_jw_/_10-)-(l_+_J_·w-/2-5-)(_1_+-jw_/_40_) con el fin de que se produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por Jo menos 10 dB y un margen de fase de por Jo menos 45º. 16.13. Determine un compensador para el sistema del problema 16. J que produzca los mismos márgenes de ganancia y de fase pero con una frecuencia de cruce w1 de por Jo menos 4 rad/s. 16.14. Diseñe un compensador para el sistema con función de respuesta de frecuencia en malla abierta 2 GH(jw) = 2] (1 +jw)[1 +jw/10 - ( w/4) que produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por Jo menos 6 dB y un margen de fase de por Jo menos 40°. -16.15. Resuelva el problema 12.9 utilizando los diagramas de Bode. Suponga que debe garantizarse una sobretensión máxima del 25%, si el sistema tiene un margen de fase de por Jo menos 45°. 16.16. Resuelva el problema 12.10 usando diagramas de Bode. 16.17. Resuelva el problema 12.20 usando diagramas de Bode. 16.18. Resuelva el problema 12.21 usando diagramas de Bode.
- 540. Capítulo 17 Análisis de los diagramas de Nichols 17.1 Introducción El análisis de los diagramas de Nichols, un método de respuesta de frecuencia, es una modifi- cación de los métodos de Nyquist y de Bode. La carta de Nichols en esenciaes una transformación de los círculosM yNen el diagrama polar (sección 11.12) en contornos no circulares M yNen una gráfica de la magnitud en dB en términos del ángulo de fase en coordenadas rectangulares. Si GH(w) representa la función de respuesta de frecuencia en malla abierta de un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, entonces GH(w) representado en una carta de Nichols se llama diagrama de carta de Nichols de GH(w). La estabilidad relativa de un sistema en malla cerrada se obtiene fácilmente a partir de esta gráfica. Sin embargo, la determinación de la estabili- dad absoluta con este método en general no es práctica, y es preferible emplear las técnicas del Capítulo 5 o el criterio de estabilidad de Nyquist (sección 11.10). Las razones para utilizar el análisis de los diagramas de Nichols son las mismas que para los otros métodos de respuesta de frecuencia, las técnicas de Nyquist y de Bode, las cuales se discutie- ron en los Capítulos 11 y 15. El diagrama de cartade NichoIs tiene por lo menos dos ventajas sobre el diagrama polar: 1) puede graficarse un intervalo de magnitudes mucho más amplio porque IGH(w)I se representa en una escala logarítmica; y 2) la gráfica de GH(w) se obtiene de la suma algebraica de las contribuciones de las magnitudes y los ángulos de fase individuales de sus polos y ceros. Si bien estas dos propiedades son compartidas por los diagramas de Bode, IGH(w)I y el arg GH(w) se incluyen en un solo diagrama de carta de Nichols, en lugar de dos diagramas de Bode. Las técnicas de la carta de Nichols son útiles para representar de manera directa (C/R)(w) y se aplican especialmente en el diseño de sistemas, como se muestra en el capítulo siguiente. 17.2 Diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase La forma polar de las funciones de respuesta de frecuencia en malla abierta, tanto de sistemas continuos como discretos, es GH(w) = IGH(w) 1/argGH(w) (17.1) Deñnieión 17.1: El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(w) es una gráfica de IGH(w)I, en decibeles, en términos de arg GH(w), en grados, en coordenadas rectangulares con w como parámetro. EJEMPLO 17.1. En la figura 17-1 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta continua en el tiempo. GH(jw) = 1 +jw = -/1 + w2 / tan-1 w 529
- 541. 530 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 28 24 20 i:c 16 "O "O a ·¡; ?J' 12 E 8 4 O' 20' 20.0 GH(iw) =1 + j., 15.0 10.0 3.:·º/4(. .:;¡ § 2.0 / / 60c 80° ángulo de fase Figura 17-1 100° 17.3 Construcción de diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase Los diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase para sistemas continuos en el tiempo o discretos en el tiempo pueden construirse directamente al evaluar 20 log10 IGH(w)I y arg GH(w) en grados, para un número suficiente de valores de w (o de wD, y representar los resultados en coordenadas rectangulares con el log de la magnitud como ordenada, y el ángulo de fase como abscisa. Algunos programas de aplicación disponibles hacen de éste un proceso relati- vamente simple. EJEMPLO 17.2. En la figura 17-2 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de respuesta .L( eiwT +1)2 GH( ¡wT) = ___1_00 _ _~ - - - ~ e ( eJwT - l)( eiwT + ½ )( eJwT + ½) de· frecuencia en malla abierta. Nótese que wT es el parámetro a lo largo de la curva. Al examinar la técnica aplicada a los sistemas continuos, se ilustrará un método gráfico para la construcción de los diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase. Primero se escribe GH(jw) en la forma de Bode (sección 15.3): K8 (1 +jw/z1) • • • (1 +jw/zm) GH(jw) = - - 1 - - - - - - - - (jw) (1 +jw/p1 ) • • • (1 +jw/pn)
- 542. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 531 20 0.03 0.21 o ~ -20 -40 1.0 ~ 2.0 -o -60 -o E ·= -80 01) "' E -100 -120 -140 -------------------~----1- -160 - 400 ° - 350 º - 300 º - 250 ° - 200 º - 150 º -· 100 º - 50 º ángulo de fase Figura 17-2 en la cual les un entero no negativo. Para K8 > O [si K8 < O, sume -180º al arg GH(jw)], 20Iog10IGH(jw) 1 = 20log10 K8 + 20log1011 + ~: 1+ · · · +20Iog1+ + ~: 1 + 20 log101-1 - 1I+ 20 log10 1 . + · · · + 20 log10 ---.w- (Jw) 1 + )W l + - (17.2) P1 ~ arg GH(jw) = arg(l + jw) + · · · + arg(l + jw) + arg[~] Z1 zm (1w} 1 1 +arg . +···+arg . )W )W 1+- l+- (17.3) P1 Pn Al utilizar las ecuaciones (/7.2) y (/7.3), el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw) se genera al sumar las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los polos y ceros, o los pares de polos y ceros cuando son conjugados complejos. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de K8 es una línea recta paralela al eje del ángulo de fase. La ordenada de la recta es 20 log1oK8 . El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un polo de orden l en el origen, 1 (jw )t (17.4)
- 543. 532 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL es una línea recta paralela al eje de la magnitud en dB con una abscisa -901°, como se muestra en la figura 17-3. Nótese que el parámetro sobre esta curva es w1 • 0.1 20 0.125 1 0.167 (i..,¡1 16 0.2 0.25 12 0.33 3 8 0.5 s e "' E :::, 4 "' 0.7 ..,, = 1 ----+---+-------~--o -100/' -80/º -601º -401º -201° 1.4 ángulo de fase 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 Figura 17-3 El diagrama para un cero de orden l en el origen, (jw ), Oº -4 -8 -12 -16 -20 (17.5) es una línea recta paralela al eje de magnitud en dB con una abscisa de 901°. El diagrama para (jwi e~ la imagen diagonal especular con respecto al origen de la gráfica de 1/(jw)1 Es.decir, para un valor fijo de w, la magnitud en dB y el ángulo de fase de l/(jw/ son los valores negativos de los de (.jwf En la figura 17-4 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un polo real, 1 1 +jw/p p>O (17.6) la forma de la gráfica es independiente de p porque el parámetro de frecuencia en la curva se encuentra normalizado a wlp.
- 544. angulo de fase -100· "-80º --~~,· -4Qº -20º 0'· -'-----~-'---+'~---'---~:A"-, o -4 20.0 Figura 17-4 El diagrama para un cero real jw 1 + if" o (17.7) es la imagen diagonal especl!larc:1.:Qnre.~t-0 JJ.l 9:ri~11, ~~,J<!t;Ji¡1,1i;él;-J,RA:c :'' En la figura 17-5 se presenta un conjunto de diagramas de magnitud en dB-ángulo de .varios pares de polos conju_9t:1<?.~}p&fl!Jl/,P~.f' Para un valor fijo de(, las'gráfteflSSOntndependientes de ;¡¡:porque elparámetro de frecuencia se encuentra normalizacf~'ai wí1i> ~· ·· ····' ' ·. Los d<!gr~m_a_s p~r~- C(?rps conjt,tga_do_s fq,mplejos:. ,
- 545. 534 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 16 12 8 4 o o Q Q "' 1 ~ -4 "O "O a ·= 01) -8 ., E -12 -16 -20 -24 Figura 17-5 EJEMPLO 17.3. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw) = [ 2 ] (1 +Jw) l-(w/2) +jw/2 10(1 +jw/2) se construye al sumar las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los factores individuales: 10 jw l+- 2 1 1 +Jw 1 1 - ( w/2) 2 +jw/2 Como en la tabla 17. 1, la tabulación de estos factores es bastante útil. La primera fila contiene la magnitud en dB y el ángulo de fase de ganancia de Bode K8 = 1Opara varios valores de frecuencia. La magnitud es 20 dB y el ángulo de fase es Oº para cualquier w. La segunda fila contiene la magnitud en dB y el ángulo de fase del término (1 +jw/2) para los mismos valores de w. Estos se obtuvieron a partir de la figura 17-4 al hacer p = 2 y tomar los negativos de los valores en la curva para las frecuencias en la tabla. La tercera fila corresponde al término 1/(1 +jw), y también se obtuvo de la figura 17-4. La cuarta fila se tomó de la curva ? = 0.5 de la figura 17-5 al hacer wn = 2. La suma de las magnitudes en dB y los ángulos de fase de los
- 546. ANAUSIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 535 Tabla 17.1 - ~ o 0.4 0.8 L2 1.6 2 2.8 4 6 8 T 10 20d8 20 20 20 20 20 20 20 20 20 Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº jw OdB 0.2 0.6 1.3 2.2 3.0 4.7 7 10 12.3 l+ - 2 Oº 11º 21º 31º 39° 45º 54° 63° 71º 76° 1 OdB -0.6 -2.2 -3.8 -5.4 ~7.0 -9.4 -12.3 -15.7 -18.1 __._ 1 + jw Oº -21° -39° -50° -57° -63° -70º -76º -81° -83° 1 OdB 0.3 0.6 0.9 1.0 o -4.8 -12 -19.5 -24.5 1 - ( w/2) 2 + jw/2 Oº -12º -26º -46º -68° -90º -126º -148° -160° -166" Suma= GH(jw) 20dB 19.9 190 18.4 17.8 16 10.5 2.7 -5.2 -Hl.3 Oº -22° -44º -65° -86° -108º -142º -161° -170º -173° términos individuales para las frecuencias dadas en la tabla aparecen en la última fila. Estos valores se grafican en la figura 17-6 y representan el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw). 1 Gll(jw) = (1 + jw)[l - (w/2)2 + jw/2] 10(1 + jw/2) 20 16 12 -4--------_-18-0--t'-·~t----~-;;~---~- O O ángulo de fase 6.0 8.0 Figura 17-6 17.4 Estabilidad relativa -4 -8 -12 A partir del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(w), los márgenes de ganancia y de fase se determinan con facilidad para los sistemas continuos en el tiempo y los sistemas discretos en el tiempo.
- 547. La frecuencia de cruce dejase w7T es la freeuené;iáf'a la cual la gráfica de GH(w) corta la línea de·~rstr e11 eh:tlágfaAfa'de rnagniüíct éntm~á.ngó1ócté rase: el'ma,8e,fae·gdtiá~l4.'iE;an.~, dad(¡) por · ··· · ·· •· y ~{.ºlee dífactamel]l~ del d.fagram(de m4~~itud ie!J dB~ífpgulo:; ge fas~, .· . ·• Lw,frecuencia decrueetiegammáfi.vwr es fafrecueoc-ia álacual.la-gráfü;a defiH(w)-OOrta-la- 1íg~~ de ü 0 dB en efcfiagrarr1~tife maifiitud eílJl3-á11i~'? d~.fase. El~argén)te fase está4apo por ,·, , -::, - ... :: - -- -;'ª. ,,,·_··. . ,.,. ·' ~--,,.,,,,:·;; ·'"; .z· - .:::· ·~ '-· Y.,;~e leerse direótame~te-adel diagrama~e matnitud<eri dB~ánguló>~ fas~·;,C,'';;, .) En +a.~may'or,pahl de l~d50-S.:J~fflár~nes,~fase.fde.g~ncia·posid,vos aseguraril'l -la ~tapiH~4f},.si_sterrw.•ef11Wll1~ ~~9'#9ªi ~il)-f:ll,!.b~~gq••~b.~~st;1Q¡~~er~t;.la e~419il.i<lad.ab~0Iltlt PO,f:·O~ mecfü)S (p{)r,~jeJnp.fQ,, vefq,ts~· i9s,Oilpít~lp~ $ y '~)}~~gllfaf.ltizat:qve•f$tQ,'S~ C!!!f{Qy:;, EJEMPLO 17.4. En la figura 17-i~-~?f.Vef/diairama d".m:~nitud en dB-ángulo de fase de GH(w) para un sistema estable. Comq S{i ÍijdÍ~a, él'~arg;·n de ganancia eS: 15 dB y el margen de fase es 35º. cpMI' = [35º or, 11 ángulo de fase " ·¡¡ e: " e: " "" .g · Figura 17-7 20 15 10 -5 -10
- 548. 17.5 La carta de Nichols Lo que sigue de este tema se restringe a los sistt;mas continuos o discretos, con retroalimenta- ción unitaria. Como se ilustra en el ej~plo i1l),Í:0$:r~dos se generalizan con facilidad a los sistemas con retroalimentación no unitaria.·· · ·.·. ,.. 4/lpleign,Q~ respJYl'jta;de f~.uenci~.eQJP:ªl!;l;~,C~fühyk;.tllJ;,~i~~ema,:w.P. re{r~Ji!Jl~l;lt,al..i9g unitaria puede escribirse en forma polar como · · ·· ·· · · · · · · · · ~(~) ~1~(~)1z~~'(ii~,~=~~~,~,~:~~i:, _':¡,}:; :-:··,,./:.·s_:S-;;' ·.::': 'j . r' 1:;:'rf:F~l};:- en donde </>e= arg G( w). El lugar geométrico de los puntos en el diagrama de magnituci.:~J;i.·sll}:;,~n¡t1lg..,~e/~f~t~r~J.9s cuales ·· · · ·· · · · · · ·· .. · ··1c{:{1:=¡;/-= cons:i~te ., ,.,, .. ·,,, .•o,,.c;.; :,,i15ir-:./i~,i,).;J.,_,':,: ·~ s/ctdtiü; ñi~füá~te: 1{6~iiii13n ~,. -, ::t•::. Para un valor fijo de M, el lugar geoipétricq pue~ representarse en tres pasos: 1) escoger los valores numéricos para IG(w)I; 2) d駡Jejar W,a ki~ «s¡e'CÚaciones resultantes, excluyendo los valores de IG(w)I para los cuales el l~os ·</>al ':>1; y3) representar en el diagramade magnitud en dB~~lo·défase·fos (>unt~ oBteniaós:•'J'q'ótese""ijilé parité'vafotes ñjds de·M y,ti~ IG(w)I, </Je tiene valores ll)~ltiples porque aparece en la ecuación como cos 'PG· EJEMPLO 17.5 En la figúr~:t7°8''Sfrépfeseh{~~':efJl.li~¡{'ieo~itfié@- tfeJ6s puntos para los cuales "· ·: ._ ·,,;;>~~:-/· -·:~ -.~ -:-, . ltr~;1 =v'2
- 549. 538 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL o, de modo equivalente, 20log10I ~("')1= 3 dB Una curva similar aparece en todos los múltiplos impares de 180º a lo largo del eje arg G(w). El lugar geométrico de los puntos del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para los cuales arg(C/R)(w) es constante o, de modo equivalente, tan [arg ~( w)] = N = constante está definido por la ecuación (17.13) Para un valor fijo de N este lugar geométrico de los puntos puede representarse en tres pasos: 1) elegir los valores para </>a; 2) despejar G(w) de las ecuaciones resultantes; y 3) representar en el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase los puntos obtenidos. EJEMPLO 17.6. En la figura 17-9 se presenta la gráfica del lugar geométrico de los puntos para los cuales arg (C/R)(w) = -60º o, de modo equivalente, Una curva similar aparece en todos los múltiplos de 180º a lo largo del eje G(w). -180" ángulo de fase º' -6 iXl -o -o El -12 -~ -18 e arg R(w) = -60º -24 Figura 17-9 E Deñnición 17.2: Una carta de Nichols es un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de los lugares geométricos de magnitud constante en dB y ángulo de fase de (C/R)(w), representados como IG(w)I en términos de arg G(w). EJEMPLO 17.7. En la figura 17-10 se muestra una carta de Nichols. En esta carta el rango del arg G(w) es muy apropiado en el análisis de sistemas de control.
- 550. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 539 o o o g o o o o o o o o o o o o o o o ~ o o o o o o "' ... .. ao "' ... o ao "' i .. .. .. .. .. 7 7 i i 7 1 1 1 1 1 1 1 ángulo de fase Figura 17-10 Definición 17.3: Un diagrama de Nichols es una gráfica de magnitud en dB-ángulo de fase de una función de respuesta de frecuencia P(w) superpuesta a una carta de Nichols. 17.6 Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada La función de respuesta de frecuencia (C/R)(w) de un sistema con retroalimentación unitaria puede determinarse a partir del diagrama de Nichols de G(w). Los valores de l(C/R)(w)I en
- 551. ··'54P dB y de arg (C/R)(wYse'detérnfüfari directamente·defdlagranm el:~iJÜri'tos é~ <lQnde la gtáfica de G(w) interséca·Tas"gráfkas d~...lq,s]~~Hs dé l{C¡Rl{w-J(y'a,g'{ct:RjfMl); coiístan{és. EJEMPLO 11.á; fa1 la figµrii ·17•1lse pre~t,t el diag:1~1fa"4! Nic~o~·~ Gí;((w)·~1e(i~steinacontinuo en el tiempcfdef ejemp~ tt3. Suponieridó 4Íre:es~é é1i un s1stt~ít'¿ón·retroaliiíieht~(gn unitafia(H = 1), los valores de ICfR(túY,ly arg<{C/R)(w) $e)Jbtlenw;!'li:~ deesta gf~ficá, y'Sftépt~titan; enla.;flgura 17-12 como:itin<1,i~ina·de·~fucl'~tdB~ú~ttf~;~rasede(?t~t.,,t::l : ,);' .'.° · -,.-.-,,,;,''':' j/"<-·,·:;
- 552. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 541 EJEMPLO 17.9. Suponga que el sistema del ejemplo 17.3 no es un sistema con retroalimentación unitaria y que 10 "' H(w) =1 +J- 2 G( w) = [ 2 ] (1 +jw) 1 - ( w/2) + jw/2 Entonces C 1 [ GH( w) ] 1 [ G'( w) ] ¡(w) = H{w) 1+ GH(w) = ll(w) 1 + G'(w) en donde G' = GH. En el ejemplo 17.8 se obtuvo el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de G'(w)/(1 + G'(w)) y se muestra en la figura 17-12. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de (CIR)(w) puede obtenerse al sumar punto por punto a esta gráfica la magnitud y el ángulo de fase del polo 1/(1 +jw/2), los cuales pueden obtenerse a partir de la figura 17-4 para p = 2. El resultado se muestra en la figura 17-13. 4.8 4.0 2.8, 2.0 ---------l--'--~~----------'-'-0 1.2 o -o C G(w) -4 •g 8.0 ¡¡(w) 1 + G(w) -8 -12 -l(j _ _ _ _ _ _ _ __µ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -20 -240° 80 -240 · -180' -180' -120 ángulo de fase Figura 17-12 4.8 -120'· ángulo de fase Figura 17-13 -60° -4 -8 G(w) 1 + GH(w) -12 -16 -20 -60· º' g ¡:,¡ -o -o a ·¡; g¡> E
- 553. 542 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Problemas resueltos Diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase 17.l. Demuestre que el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un polo de orden len el origen del plano s, 1!(jwi, es una línea recta paralela al eje de magnitud en dB con una abscisa de -901° para w ?: O. En forma polar, jw = w/ 90°, w~ O. En consecuencia - 1 - = ~/- 90/0 w ~ O (Jw) 1 w,,._ ____ 20log10,-_ 1 -, 1 = 20 log10 ~ = - 20 log10w1 (1w) w y el arg 1/(jwi = -901". Vemos que el arg ll(jw)1 es independiente de w y por tanto la abscisa del diagrama es una constante igual a -901". Ade111ás, para la región O$ w $ + 00 , la magnitud en dB varía desde + oo hasta - oo. De esta manera la abscisa es fija y la ordenada toma todos los valores. El resultado es la línea recta que se muestra en la figura 17-3. 17.2. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta continua en el tiempo 2 GH=------ s(l + s)(1 + s/3) La magnitud en dB de GH(jw) es 2 20log10IGH(Jw) 1= 20log10 l}wl ll +Jwl - 20log.,2- 20Iog.,[w/J +w' / 1+ : ] El ángulo de fase de GH(jw) es arg[ GH(Jw)] = -arg[Jw] - arg[l +Jw] - arg[1 + j:] = - 90º - tan- 1 w - tan- 1 ( i) En la figura 17-14 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase.
- 554. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 543 17.3. Utilizando los diagramas de las figuras 17-3 y 17-4, demuestre cómo puede aproximarse el diagrama de la figura 17-14. Escribimos GH(jw) como La magnitud en dB de GH(jw) es 20log10IGH( jw) 1= 20log102 + 20log101j~ 1+ 20log101 1 : jw 1+ 20log10l 1 +;w 13 1 28 24 20· 16 12 8 -4 GH(jw) = 2 iw(l + j.,)(1 +jw/3) -8 -12 -16 ---r---..-----+-----.---..-----.-----.--+-20 -220° -200° -1soc -160° -140' ángulo de fase Figura 17-14 -120" -100° -90°
- 555. 544 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El ángulo de fase es argGH(jw) = arg(2) + argC~) + arg( 1 : jw) + arg( 1 +~w/3 ) Ahora construimos la tabla 17.2. La primera fila contiene la magnitud en dB y el ángulo de fase de la gananciade Bode K8 =2. La segunda fila contiene la magnitud en dB y el ángulo de fase del término 1/jw para diferentes valóres de w. Estos se obtienen a partir de la figura 17-3 al hacer l = 1y tomar los valores de la curva para las frecuencias dadas. La tercerafila corresponde al término 1/(1 + jw) y se obtiene a parttr,de la figura 17-4 para p = I. La cuarta fila corresponde al término 1/(1 +jw/3) y se obtiene a partir efe la figura 17-4 para p = 3. Cada par de valores de la última fila se obtiene al sumar las magnitudes en dB y los ángulos de fase de ~ada columna y corresponde a la magnitud en dB y el ángulo de fase de GH(jw) para el valor dado de w. En la figura 17-14 se representan estos valores de la última fila de esta tabla (con excepción del primero) y se unen para generar una aproximación. Tabla 17.2 ~ o 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 o 2 6 dB 6 6 6 6 6 6 6 Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº Oº 1 00 20 14 6 o -3.6 -6 -9.5 jw -90º -90º -90º -90º -90º -90º -90º -90º 1 o -0.1 -0.3 -1.0 -3.0 -5.2 -7.0 -10 1 +jw Oº -5.5° -11º -26° -45° -57° -63º -72º 1 o o -0.1 -0.2 -0.5 -10 -1,6 -3.0 1 + jw/3 Oº -2º -4º -9º -17,5° -26º -33° -45° Suma = GH(jw) 00 25.9 19.6 10.8 2.5 -3.8 -8.6 -16.5 -90º -97.5° -105° -125° -152.5° -173° -186° -207° 17.4. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta 4(s + 0.5) GH=------ s2(s2 + 2s + 4) La función de respuesta de frecuencia es GH(jw) = 2( 2 ) (jw) (jw) +2jw+4 4(jw +0.5)
- 556. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 545 En la figura 17-15 se presenta un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw), genera- do por computador. GH(jw) -280· 0.5(1 + jw/0.5) (iw)2[1 - (w/2)2 + jw/2] -260° 5.0 -240' -220° ángulo de fase margen de ganancia -200· Figura 17-15 0.2 -180' 24 20 16 12 0.5 8 4 o co " " a -1 ·a O() "' E -8 -12 -16 -20 -24 -28 -160' -150° 17.5. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta discreta en el tiempo. 3 (z+l)(z+}} GH(z)=¡ (z-l)(z+½)
- 557. 546 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La función de respuesta de frecuencia en malla abierta es En la figura 17-16 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH generado por computador. 20 10 o -10 - 90 º - 88° - 86° - 84° - 82 º - 80 ° - 78º ángulo de fase Figura 17-16 ¡,:¡ .,, .,, 3 ·¡; 00 "' E Márgenes de ganancia y de fase 17.6. Determine los márgenes de ganancia y de fase en el sistema del problema 17.2. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta de este sistema se presenta en la figura 17-14 (problema 17.2). Vemos que la curva cruza la línea de OdB en un ángulo de fase de -162º. Por tanto el margen de fase es cf>MF = 180º - 162º = 18º. (La frecuencia de cruce de ganancia w1 se determina por interpolación a lo largo de la curva entre w = 1.0 y w = 1.5, que limita a w1 arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de w 1 es 1.2 rad/s.) La curva cruza la línea de -180° en una magnitud de -6 dB. En consecuencia el margen de fase es = -(-6) = 6 dB. (La frecuencia de cruce de fase w" se determina por interpolación a lo largo de la curva entre w = 1.5 y w = 2.0, que limitan a w" arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de w" es 1.75 rad/s.) 17.7. Determine los márgenes de ganancia y de fase en el sistema del problema 17.4. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta de este sistema se presenta en la figura 17-15 (problema 17.4). Vemos que la curva cruza la línea de OdB en un ángulo de fase de - 159º. Por tanto el margen de fase es cf>MF = 180º - 159º = 21 º.
- 558. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 547 (La frecuencia de cruce de ganancia w1 se determina por interpolación a lo largo de la curva entre w = 1.0 yw = 1.5, que limita a w 1 arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de w 1 es 1.2 rad/s.) La curva cruza la línea de - 180º en una magnitud de - 3. 1 dB. En consecuencia el margen de ganancia es 3. 1 dB. (La frecuencia de cruce de fase w" se determina por interpolación entre w = 1.5 y w = 2.0, que limitan a w" arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de w" es 1.7 rad/s.) 17.8. Determine los márgenes de ganancia y de fase en el sistema definido por la función de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(jw) = [ 2 ] jw 1- (w/2) +jw/2 1 +jw/0.5 En la figura 17-17 se prese,nta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw). Vemos que la curva cruza la línea de OdB en un ángulo de fase de -140º. De donde el margen de fase es <!>MF = 180º - 140º = 40º. 24 20 16 12 8 ~ 4 "O "O 2 ·= o OI) "' E -4 GH(jw) 1 + j.,/0.5 (jw){l - (w/2)2 + jw/2] -8 -12 -16 ---+------------------~-- -20 -180' -160º -140° -120° -100° -80° -60° -50° ángulo de fase Figura 17-17
- 559. 548 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL La curva no cruza la línea de - 180º para el intervalo de magnitudes en dB de la figura 17-17. Sin embargo, cuando w -:- oo. jw/0.5 8 / GH(Jw) -+ - - - - = - -180° -Jw(w/2)2 w 2 ' - - - - La curva tiende asintóticamente a la línea de - 180º pero no la cruza. Por tanto el margen de ganancia es indeterminado. Esto implica que el factor de ganancia debe incrementarse en una cantidad que no produzca inestabilidad. 17.9. Determine los márgenes de fase y de ganancia en el sistema discreto en el tiempo del problema 17.5. En la figura 17-16 (problema J?.5) se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta de este sistema. Vemos que la curva cruza la línea de OdB en un ángulo de fase de -87º. De donde el margen de fase es <!>MF = 180º - 87~ = 93º. El ángulo de cruce de ganancia w IT puede determinarse por interpolación a lo largo de la curva entre wT = 0.5 y wT = 1.0, que limitan a w 1T arriba y abajo, respectivamente. w 1T = 0.6 rad. La curva nunca cruza la línea de - 180º, así que el margen de ganancia es indeterminado al igual que el ángulo de cruce de fase. Carta de Nichols 17.10. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos sobre un diagrama de magnitud en dB- ángulo de fase para los cuales la magnitud de la respuesta de frecuencia en malla cerrada (C/R)(w) de un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, con retroalimenta- ción unitaria, igual a una constante M, está definido por la ecuación (17.12). Utilizando la ecuación (/7.//), l(C/R)(w)I puede escribirse como l ~(w)I= IG(w)I~ R l+IG(w}l/4>c Ya que IG(w)l/4>,,= IG(w)¡eosq>G + JIG(w)tsenl/>c;, puede escribirse como - ( "') = -----=-----'----'----'-----'-- 1 C I I IG(w)icosq>c;+JIG(w}lsenq>c; 1 R 1 + IG( w) !cosl/>c + JIG( w) lsenl/>c; [1 + 1G( w) leos 'Pe] 2 + 1G( w) l 2 sen2 'Pe 1 + 2IG( w} icosq>c; + IG( w} 1 2 Si igualamos a M esta última expresión, elevamos al cuadrado ambos lados y eliminamos las fracciones, se obtiene
- 560. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 549 la cual puede escribirse como (M2 - l)IG( w) 1 2 + 2M2 IG(w) icos4>c + M2 = O Al dividir por (M 2 - 1) obtenemos la ecuación (17.12), como se pedía. 17.11. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos en el diagrama de magnitud en dB- ángulo de fase para los cuales la tangente del argumento de la función de respuesta de frecuencia en malla cerrada (C/R)(w) de un sistema con retroalimentación unitaria igual a una constante N, se define mediante la ecuación (17.13). Al utilizar la ecuación (17./ /), el arg (C!R)(w) puede escribirse como arg -(w) =arg [ e ] [ IG(w)I~ l R l+IG(w)I~ Puesto que, IG(w)l/'1>c;= IG(w)lcos(/>c; + JIG(w)lsen(/>c;, [ C ] [ IG(w)icos(/>c;+JIG(w)isen(/>c;] arg R(w) =arg l+IG(w)icos(/>c;+JIG(w)lsen(/>c; Al multiplicar el numerador y el denominador del término entre corchetes por el conjugado comple- jo del denominador se produce arg -( w) = arg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - [ C ] [ (1 G( w) leos </>e;+JI G( w) lsen(/>c;)(1 + 1G( w) leos cf,c; - JI G( w) lsenf/>c;) l R (1 +IG(w) icosf/>c;) 2 + IG(w) l 2 sen24>c Puesto que el término del denominador en el último corchete es real, el arg[(C/R)(w)] se determina sólo a partir del numerador. Es decir. arg[ ~( w)] = arg( (1 G( w) leos cf,c; + JI G( w) isenf/>c;)(1 + 1 G( w) lcos(/>c; - JI G( w) isencf,c;)] = arg(I G( w) icoscf,c; + 1G( w) 1 2 + JI G( w) lsencf,c;] utilizando cos2 </)c; + sen2 </)c; = 1. Por consiguiente tan[arg~(w)] = __ IG_(_w_)l_se_n4>._G_ _ R IG(w)lcoscf,c;+IG(w)l 2 Si igualamos esto a N, si cancelamos los términos comunes IG(w)I y eliminamos la fracción, se obtiene N[cos(/>c; + 1G( w) I] = sen(/>c; la cual puede volver a escribirse en la forma de la ecuación (17.13), como se requiere. 17.12. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase del lugar geométrico definido por la ecuación (17.12) para la magnitud en dB de (C/R)(w) igual a 6 dB.
- 561. 550 TEORJA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 20 logw l(C/R)(w)I = 6 dB implica que l(C/R)(w)I = 2. En consecuencia hacemos M = 2 en la ecuación (17.12) y obtenemos: 2 8 4 IG(w)I + 31G(w)lcos'P(;+ 3 =O como ccuac1on que define el lugar geométrico. Puesto que lcos<fael :S 1, puede tomarse IG(w)I únicamente en aquellos valores para los cuales se satisface la restricción. Para determi- nar los límites de IG(w)I, hacemos que cos 'Pe tome sólo sus dos valores extremos de más y menos la unidad. Para cos 'Pe = 1, la ecuación del lugar geométrico se hace 2 8 4 IG(w)I + 31G(w)I + 3 =O cuyas soluciones son IG(w)I = -2 y IG(w)I = -½. Puesto que un valor absoluto no puede ser negativo, se descartan estas soluciones. Esto implica que el lugar geométrico no existe en la línea de Oº (en general, en cualquier línea que sea múltiplo de 360°), lo que corresponde a cos 'Pe = 1. Para cos 'Pe = -1, la ecuación del lugar geométrico se hace 2 8 4 IG(w)I --IG(w)l+-=0 3 3 cuyas soluciones son IG(w)I = 2 y IG(w)I = J. Estas soluciones son válidas para IG(w)I y son los valores extremos que puede tomar IG(w)I. Al despejar cos 'Pe de la ecuación del lugar geométrico, obtenemos Las curvas obtenidas a partir de esta relación son periódicas, con un periodo de 360°. La gráfica se restringe a un solo ciclo en la vecindad de la línea de - 180º y se obtiene al despejar 'Pe para varios valores de IG(w)I entre los límites 2 y f. En la tabla 17.3 se presentan los resultados. Tabla 17.3 IG(w)I 20log10IG(w)I COS!/>e !f>c 2.0 6 dB -1 -180° - 1.59 4 -0.910 -204.5° -155.5º 1.26 2 -0.867 -209.9° -150.1º 1.0 o -0.873 -209.2° - 150.8º 0.79 -2 -0.928 -201.9° -158.1º 0.67 -3.5 -1 -180° - Nótese que hay dos valores de 'Pe para todo valor leos <fael < l. En la figura 17-18 se presenta el diagrama resultante.
- 562. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 551 1:0 "O "O - o a ·2 ¡¡fl E -4 -8 ---,---~-------+-------~---!,- -10 -240º -220' -200° -180" -160° -120· ángulo de fase Figura 17-18 17.13. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase del lugar geométrico definido por la ecuación (17.13) para tan[arg(C/R)(w)] = N = -oo, tan[arg(C/R)(w)] = - oo implica que arg(C/R)(w) = -90 + k360º, con k = O, ± 1, ± 1, ... , o arg(C/R)(w) = -270º + k360º, con k = O, ± 1, ± 1, ... Graficaremos sólo el ciclo entre - 360º y O°, el cual corresponde a k = O. Al hacer N = - oo en la ecuación (17. / 3), obtenemos la ecuación del lugar geométrico 1G( w) 1 + cos </>e= O o COS</>c= -IG(w)I Puesto que leos </>el s 1, el lugar geométrico existe sólo para O s IG(w)I s I o, de manera equivalente, Para obtener el diagrama, utilizamos la ecuación del lugar geométrico con el fin de calcular los valores de magnitud en dB de G(w) correspondientes a valores diferentes de </>c. En la tabla 17.4 se presentan los resultados de estos cálculos. El diagrama deseado se presenta en la figura 17-19. Tabla 17.4 </>e COS</>c IG(w)I 20Iog10IG(w)I -180º - -1 1 O dB -153º -207º -0.893 0.893 -1.0 -135º -222.5º -0.707 0.707 -3 -120º -240° -0.5 0.5 -6 -110.7º -249.3º -0.354 0.354 -9 -104.5 ° -255.5° -0.25 0.25 -12 -100.3° -259.8° -0.178 0.178 -15
- 563. 552 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL -4 ¡:i:¡ "O -8 ] ·a -12 E ~ -16 -280 -260' -240° -220º -200' -180' -160· -140' -120· -100= ángulo de fase Figura 17-19 Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada 17.14. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla cerrada (CIR)(jw) del sistema con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia en malla abierta es 2 G=------- s(l + s)(1 + s/3) C G(jw) 6 6 R(Jw) = 1 + G(jw) (Jw)3 + 4(jw)2 + 3jw + 6 (6 - 4w2 ) +J(3w - w3 ) Por tanto 1 e 1 1e 1 2 36 20log10 R.(Jw) = 10log10 ¡(iw) = 10log10 2 (6-4w2 ) +(3w-w3) y arg[~(Jw)] = -tan-1 _3w_-_w_J R 6-4w2 En la figura 17-20, la línea continua muestra un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de (C/R)(jw), generado por computador.
- 564. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS I I I I 2.0/ I I I I I I I I I -320º -280º -240° a.o/ I I -200' -160' ángulo de fase Figura 17-20 -120° -80º -40° 1 Oº 10 o -5 -10 -15 553 ~ -o -o ·ª ,:: ~ E 17.15. Resuelva de nuevo el problema 17.14 utilizando la técnica estudiada en la sección 17.6. En la figura 17-21 se presenta el diagrama de Nichols de G(jw). Determinamos los valores de la magnitud en dB de l(C/R)(jw)I y del arg[(C/R)(jw)] por interpolación de los valores de magnitud en dB y ángulo de fase en el diagrama de Nichols para w = O, 0.2, 0.5, 1.0, 1.25, 1.5, 2.0 y 3.0. En la tabla 17.5 se presentan estos valores. Tabla 17.5 w 20Iog101~( jw) 1 arg[ ~(Jw)] o OdB Oº 0.2 0.2 -6º 0.5 1.2 -15° 1.0 6.0 -42° 1.25 JO.O -90º 1.5 6.0 -155° 2.0 -4.0 -194° 3.0 -15.0 -212° En la figura 17-20, el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de (CIR)(jw), elaborado utilizando los valores de la tabla, se representa mediante una línea de guiones. Las diferencias entre
- 565. 554 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL las dos curvas se deben a las interpolaciones necesarias para obtener los valores de magnitud en dB y ángulo de fase. 12 8 ~ -o -o o a 'i: bO "' -4 E -8 o o o o ' o ~ " o " o $ o o $ o o o o o "' ... o 00 "' ... o 00 "' ... ... ... ... ... ... i i i i 1 1· 1 1 1 1 1 1 1 ángulo de fase Figura 17-21 Problemas suplementarios 17.16. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta GH = __ 5(_s_+_2_)_ s(s + 3)(s + 5)
- 566. ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 555 17.17. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta 10 GH = -------- s(l + s/5){1 + s/50) 17.18. Construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para la función de transferencia en malla abierta 1 +s/2 GH = ---------- s(l + s)(1 + s/4)(1 + s/20) 17.19. Determine los márgenes de ganancia y de fase en el sistema del problema 17.17. 17.20. Determine el pico de resonancia MP y la frecuencia resonante wP en el sistema cuya función de transferencia en malla abierta es 1 GH=------- s(l + s)(1 + s/4) 17.21. Determine las frecuencias de cruce de ganancia y de cruce de fase en el sistema del problema 17.17. 17.22. Determine el pico de resonancia MP y la frecuencia resonante wP del sistema del problema 17.17. 17.23. Convierta el sistema del problema 17. 17 en uno con retroalimentación unitaria y construya el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de (C!R)(jw). Respuestas a algunos problemas suplementarios 17.19. Margen de ganancia = 9.5 dB, 'PMF = 25º 17.20. MP = 1.3 dB, wP = 0.9 rad/s 17.21. w1 = 7 rad/s, w,,,. = 14.5 rad/s 17.22. MP = 8 dB, wP = 7.2 rad/s
- 567. Capítulo 18 Diseño utiIizando el análisis de los diagramas de Nichols 18.1 Filosofía del diseño El diseño mediante el análisis en el dominio de la frecuencia utilizando las técnicas de la carta de Nichols se efectúa del mismo modo general que los métodos de diseño descritos en los capítu- los anteriores: redes de compensación apropiadas se introducen en las trayect01ias directa y/o de retroalimentación, y el comportamiento del sistema resultante se analiza críticamente. De esta manera, el diagrama de Nichols se construye y se reconstruye hasta que se cumplan las especifica- ciones de desempeño. Estas se expresan de modo más conveniente como indicadores de desempe- ño en el dominio de la frecuencia, tales como margen de ganancia y margen de fase para el desempeño transitorio, y las constantes de error (Capítulo 9) para la respuesta en estado estaciona- rio en el dominio del tiempo. El diagrama de Nichols es una gráfica de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(w), para un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, y la compensación puede introducirse en las trayectorias directa y/o de retroalimentación, modificando así G(w), H(w), o ambas. Debemos hacer énfasis en que ningún sistema de compensación simple es aplicable uni- versalmente. 18.2 Compensación del factor de ganancia Hemos visto en algunos de los capítulos anteriores (5, 12, 13, 16) que algunas veces un sistema inestable con retroalimentación puede estabilizarse, o un sistema estable puede desestabi- lizarse mediante ajuste del factor de ganancia K de GH. Los diagramas de Nichols se adecúan de manera particular para determinar los ajustes del factor de ganancia. Sin embargo, cuando se utilizan las técnicas de Nichols para sistemas continuos en el tiempo, es más conveniente utilizar la ganancia de Bode K8 (sección 15.3), expresada en decibeles (dB) en lugar del factor de ganan- cia K. Los cambios en K8 y en K, cuando se dan en decibeles, son iguales. EJEMPLO 18.1. En la figura 18-1 se muestra el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para un sistema inestable continuo en el tiempo, representado por GH(jw) con una ganancia de Bode Ka = 5. La inestabilidad de este sistema puede verificarse mediante un bosquejo del diagrama de Nyquist o mediante la aplicación del criterio de Routh. El diagrama de Nyquist del ejemplo 12.1 ilustra la forma general de todos los diagramas de Nyquist de sistemas con un polo en el origen y dos polos reales en la mitad izquierda del plano. Esta gráfica indica que los márgenes de ganancia y de fase positivos garantizan la estabilidad, y los márgenes de ganancia y de fase negativos garantizan la inestabilidad de tal sistema, lo cual implica que una disminución suficiente en la ganancia de Bode estabiliza el s·istema. Si la ganancia de Bode disminuye de 20 log105 dB a 20 log102 dB, el sistema se estabiliza. En la figura 18-2 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para el sistema compensado. Una disminución adicional en la ganancia no altera la estabilidad. Nótese que las curvas para Ka = 5 y Ka = 2 tienen formas idénticas, y la úniéa diferencia es que las ordenadas de la curva para Ka = 5 exceden a las de Ka = 2 en 20 log10(5/2) dB. Entonces, el cambio de la ganancia en un diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase se logra simplemente al desplazar hacia arriba o hacia abajo el lugar geométrico de GH(jw) en un apropiado número de decibeles.
- 568. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 557 Aunque a menudo puede alterarse la estabilidad absoluta mediante el ajuste del factor de ganancia, este modo de compensación es inadecuado en la mayor parte de los diseños porque otros criterios tales como los relacionados con la estabilidad relativa usualmente no pueden cumplirse sin la inclusión de otros tipos de compensadores. 36 28 32 24 28 20 24 16 '° "O 20 "O 12 8 ·¡; Of) 16 " E 12 1.0 8 4 -4 - o 2 GH(jw) = jw(l + jw)(l +jw/3) -8 -4 -12 GH(jw) = jw(l + jw~l + jw/3) 3.0 -8 -16 -12 _ _ _ _...¡...._ _~-----------4-, -20 -200-· -180º -160° -140º -i20° -100° -9oc -200° -180° -160° -140° -120º -100°-90° ángulo de fase ángulo de fase Figura 18-1 Figura 18-2 18.3 Compensación del factor de ganancia utilizando curvas de amplitud constante La carta de Nichols puede utilizarse para determinar el factor de ganancia K (en un sistema con retroalimentación unitaria) para un pico resonante específico MP (en decibeles). El siguiente procedimiento requiere dibujar el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase sólo una vez. Paso 1: Sobre un papel transparente dibuje el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de G(w) para K = 1. La escala de la gráfica debe ser la misma que la de la carta de Nichols. Paso 2: Superponga este diagrama a la carta de Nichols de tal manera que en cada hoja queden alineadas las escalas de magnitud y ángulo de fase.
- 569. 558 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Paso 3: Fije la carta de Nichols y deslice el diagrama hacia arriba o hacia abajo hasta que sea tangente a la curva de amplitud constante de MP dB. La cantidad de desplazamiento en decibeles es el valor requerido de K. EJEMPLO 18.2. En la figura 18-3 a), el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta de un sistema particular con retroalimentación unitaria con K = 1se presenta superpuesta a la carta de Nichols. El MP deseado es 4 dB. En la figura 18-3b) vemos que si la transparencia se desplaza 4 dB hacia arriba, el pico resonante del sistema MPes 4 dB. Por tanto el K deseado es 4 dB. r______rtransparencia - - - - - , 1 Carta de Nichols : ¡:o "O "O B -~ E 1 ________ _ángu~ ~ fas:_ __ J____.1_4 dB a) r-- ____etransparencia - - - - - , 1 1 1 1 1 1 b) Figura 18-3 18.4 Compensación por adelanto en sistemas continuos en el tiempo La forma de Bode de la función de transparencia para una red de adelanto es Padelanto = (a/b)(1 + ~) s 1 + - b (18.1)
- 570. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 559 en donde a/b < 1. En la figura 18-4, los diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase de Pade1anto se presentan para diferentes valores de b/a y con la frecuencia normalizada wla como parámetro. En algunos sistemas en los cuales es aplicable la compensación por adelanto, en malla directa, la elección adecuada de a y b permite un incremento en K8 , lo cual proporciona mayor exactitud y menor sensitividad, sin afectar de manera adversa el desempeño transitorio. A la inversa, para una K8 determinada, el desempeño transitorio puede mejorarse mediante la compensación por adelan- to también es posible mejorar las respuestas transitoria y en estado estacionario. Las propiedades importantes de una red compensadora por adelanto son su contribución al adelanto de fase en el intervalo de frecuencia bajo a medio (la vecindad de la frecuencia resonante wp) y su atenuación insignificante a altas frecuencias. Si se requiere un adelanto de fase muy grande, varias redes de adelanto pueden colocarse en cascada. La compensación por adelanto generalmente aumenta el ancho de banda de un sistema. ángulo de fase o 10° 20" 40° 50° 60° 70° o-r-...~~;;.:=--~---'------'-----'----'-- Pad 1 (. ) - (a/b)(l + j.,/a,) e anto ¡., - l + ;.,/b -4 -8 ¡:o "O 4.0 "O -12 _g " 0/J "' E 3.0 -Hi -24 0.2 Figura 18-4
- 571. 560 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 18.3. El sistema continuo no compensado con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia en malla abierta es 2 GH=------ s(l +s)(1 +s/3) debe diseñarse de tal modo que cumpla las siguientes especificaciones de desempeño: I. Cuando la entrada es una función rampa unitaria, el error de posición en estado estacionario debe ser menor que 0.25. 32 2_8 24 20 16 12 8 Mv = l.7dB 4 -o -4 • GH(iw) o GH1(iw) -8 OGH3(iw) -12 __.,...-.,________-+,----------------.....--+-, -14 -220° 3.0 -180º -160° -140° -120° -100º -90° ángulo de fase Figura 18-5 ce "O "O B 'i: OI) "' E
- 572. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 561 2. <PMF = 40º. 3. El pico de resonancia = 1.7 dB. Nótese que la ganancia de Bode es igual a la constante de error de velocidad Kv, Por tanto el error en estado estacionario del sistema no compensado es e (oo) = 1/Kv =½[ecuación (9.13)]. A partir del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH en la figura 18-5, vemos que <PMF = 18° y MP = 5 dB. El error en estado estacionario es demasiado grande para un factor de 2; por tanto la ganancia de Bode debe aumentarse en un factor de 2 (6 dB). Si incrementamos la ganancia de Bode en 6 dB, obtenemos la gráfica GHI de la figura 18-5. El margen de fase de GH1 es cercano a cero, y el pico resonante es cercaño a infinito. El sistema está entonces en el borde de la inestabilidad. La compensación por adelanto de fase puede utilizarse para mejorar la estabilidad relativa del sistema. La función de transferencia en malla abierta del sistema compensado es K8 (a/b)(l +s/a) GH =---------- 2 s(l + s)(1 + s/3)(1 + s/b) 4(1+s/a) s(l + s)(1 + s/3)(1 + s/b) en donde K8 = 4(b!a) satisface el error en estado estacionario. Un modo de satisfacer los requerimientos de <PMF y MP es sumar entre 40º y 50° de adelanto de fase a la curva GH1 en la región I :S w :5 2.5 sin cambios sustanciales de la magnitud en dB. Ya hemos escogidoK8 = 4(bla) para compensar por a!b en la red de adelanto. Por tanto necesitamos ocupamos únicamente del efecto que el factor (1 + s/a)/(1 + s!b) tiene sobre la curva GH1• Con referencia a la figura 18-4, vemos que para proporcionar el adelanto de fase necesario se requiere que b!a 2:: 10. Hacemos notar que las curvas de la figura 18-4 incluyen el efecto de a!b de la red de adelanto. Puesto que ya se ha hecho la compensación por ésta, se necesita agregar 20 log 10 (b!a) a las magnitudes en dB sobre la curva. Para mantener pequeña la contribución a la magnitud en dB de la red de adelanto en la región l :S w :S 2.5 hacemos b!a = 15 y escogemos a de tal modóque sólo la parte inferior de la curva (wla :S 3.0) contribuya en la región de interés 1 :S w :S 2.5. En particular, hacemos a = 1.333. Entonces la función de transferencia en malla abierta compensada es 4(1 + s/1.333) GH = ---------- 3 s(l + s)(1 +s/3)(1 + s/20) En la figura 18-5 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH3 • Vemos que <PMF = 40.5º y M" = 1.7 dB. De esta manera se cumplen todas las especificaciones. Sin embargo, hacemos notar que la frecuencia resonante w" del sistema compensado es cerca de 2.25 rad/s. En el sistema no compensado definido por GH ésta es cerca de 1.2 rad/s. De este modo el ancho de banda se ha incrementado. R La figura 18-6 presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado. red de adelanto amplificador de factor de ganancia Figura 18-6 función de transferencia de la malla original e
- 573. 562 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 18.5 Compensación por atraso en sistemas continuos en el tiempo La forma de Bode para la función de transferencia de una red por atraso es -70° -60° 1 +s/b Patraso = l / +s a ángulo de fase -50° -40° -30° / / / / / ___,,,, -20º / / / / ---- / / / wla = 4.0 -- / ,/ / ,/ I / / / / / / 6/a "'6 . 1 + jw/b Patraso íJw) = l + jw/a Figura 18-7 -10° -2 -4 -6 -8 / I I -10 / I 1 '° / / I "O / I 1 "O I I -12 .3 / ·= I I 00 I "' / I E I I I -14 I I I -16 -18 -20 -22 -24 (18.2) en donde a < b. En la figura 18-7, los diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase de Patraso se presentan para diferentes valores de b!a y con la frecuencia normalizada wla como parámetro. La red por atraso produce la compensación al atenuar la parte de alta frecuencia del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase. Una atenuación mayor se produce al colocar en cascada varias redes de atraso.
- 574. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 563 Algunos de los efectos generales de la compensación por atraso son: 1. El ancho de banda del sistema usualmente disminuye. 2. La constante de tiempo dominante r del sistema usualmente aumenta produciendo un sistema más lento. 3. Para una estabilidad relativa dada, el valor de la constante de error se aumenta. 4. Para una constante de error dada, la estabilidad relativa se mejora. El procedimiento para usar la compensación por atraso es esencialmente el mismo que aquel para la compensación por adelanto. EJEMPLO 18.4. Rediseñemos el sistema del ejemplo 18.3 utilizando un factor de ganancia más una compensación por atraso. CH I satisface de nuevo la especificación en estado estacionario. En la figura 18-8 se repite el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de CH1• Puesto que PatrasoUO) = 1, la introducción 32 28 24 20 16 12 8 4 - o ...4 -8 -12 _ _ _ _...L__ _ _ _ _-1.___.::....:...._ _ _ _ _~--~---~--+,- -14 -220° -200º -160° -140° ángulo de fase Figura 18-8 -120° -100° -90° ill "O "O B ·a Ol) "' E
- 575. 566 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL ángulo de fase -60° -40º -20º Oº 20° 40° 60° - ~ 1 1 -2 ~~/ ~ -4 "' r § -6 -8 40.0 400.0 ¡:Q "O 3.0 "O a ·e a1 =10a2 b/) " E a1 =100a2 4.0 10.0 -16 -18 60.0 (1 + j.,/a¡)(l + jw/b2) 40.0 PAA(j.,) = (1 + jw/b1)(1 + iw/a2) -20 b¡/a1 =b/a2 =10 Figura 18-10 e) Al combinar los diagramas de las redes de atraso (figura 18-7) y de las redes de adelanto (figura 18-4) pueden obtenerse gráficas adicionales de PAA para otros valores de b1/a1 y a 1/a2 . La compensación por atraso-adelanto tiene todas las ventajas de la compensación por atraso y de la compensación por adelanto y un mínimo de sus características usualmente inconvenientes. Por ejemplo, las especificaciones del sistema pueden satisfacerse sin el ancho de banda excesivo o sin la demora en el tiempo de respuesta causados por el adelanto o el atraso de fase, respectiva- mente. EJEMPLO 18.5. Rediseñemo~ el sistema del ejemplo 18.3 utilizando un factor de ganancia más una compensación por atraso-adelanto. Agregamos la especificación adicional de la frecuencia resonante wP del sistema compensado que debe ser aproximadamente la misma que la del sistema no compensado. La especificación en estado estacionario nuevamente se satisface con 4 GH =------- 1 s(l +s)(1 +s/3)
- 576. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 567 como se demostró en el ejemplo 18.3. Puesto que PAA(jO) = I, la introducción de la red de atraso-adelanto no requiere un incremento adicional del factor de ganancia. Al insertar la red de atraso-adelanto obtenemos la función de transferencia en malla abierta 4(1 +s/a1)(1 + s//Ji) G~=-s(_l_+_s_)_(l_+_s_/_3)_(_1_+_s/_b_ 1 _)(_1_+_s_fe_2_) A partir de la figura 18-5, vemos que en el sistema no compensado GH, wP = 1.2 rad/s. A partir del diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH1 (figura 18-11) vemos que si GH1(jl .2) se atenúa en 6.5 dB y tiene una fase incrementada en 20º, la frecuencia resonante wP = 1.2 se desplaza a MP = 1.7 dB. Con referencia a la figura 18-10 a), vemos que la atenuación y el adelanto de fase deseados se obtienen con b1/a1 = bifa2 = 3, a1fa2 = 10 y wla2 = 12. 32 28 24 0.2 20 16 12 8 M•=l.7d8 4 o -4 • GH1(jw) -8 o GH5(iw) -12 ---.-"---r--~-+,---.-----r----.----.---+, -14 -220º -200° -180° -160° -140° -120º -100º -90º ángulo de fase Figura 18-11 /:0 -o -o B ·e bl) " E
- 577. 568 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Las constantes a 1, a2, b1 y b2 se determinan teniendo en cuenta que wP 1.2 a,=-=- =01 - 12 12 . GH5 se hace · 4(1 +s)(1 +s/0.3) /Ji= 3a2 = 0.3 y 4(1 + s/0.3) b1 = 3a1 = 3 G~=-s{_l_+_s_)(_l_+_s_/_3)_(_1_+_s/_3_)_(1_+_s_/_0_.1) s(l + s/3)2(1 + s/0.1) En la figura 18-11 se presenta el diagrama completo de magnitud en dB-ángulo de fase de GH5 . Vemos que <PMF = 40.5º, MP = 1.7 dB y la frecuencia resonante wp == 1.15. De este modo se han satisfecho todas las especificaciones. 18.7 Diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols Al igual que con los métodos de Bode (sección 16-6), el diseño de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols no es tan directo como el diseño de sistemas continuos en el tiempo utilizando cualquiera de estos métodos. Pero, de nuevo, la transformada w puede facili- tar el proceso como lo hizo para el diseño utilizando el análisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. El método es el mismo desarrollado en la sección 16.6. EJEMPLO 18.6. El sistema discreto no compensado con retroalimentación unitaria y función de transfe- rencia de planta 9 (z+l)3 Gi(z) = 4-(-- 1 -) 2 z z + 2 debe diseñarse de tal modo que produzca un margen de fase global de 40º y la misma frecuencia de cruce de ganancia w 1que el sistema no compensado. Puesto que ambas especificaciones se encuentran en el dominio de la frecuencia, transformamos el problema directamente al dominio de w sustituyendo z = (1 + w)/( 1 - w), formando así 72 G'(w)------ 2 - (w+l)(w+3)2 En la figura 18-12 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de este sistema. La frecuencia de cruce de ganancia obtenida de esta gráfica es w,l'I = 3.4 rad/s y el margen de fase de 10º. Un compensa- dor por adelanto con algunos a y b arbitrarios puede escogerse para que el adelanto de fase en w,..i = 3.4 rad/s sea suficiente para elevar el margen de fase de 10º a 40º. La relación b!a mínima que produce un adelanto de fase de 30º es cerca de 3.3, a partir de la figura 18-4. Escogemos a y b tales que el máximo adelanto de fase se presente en w,l'i = 3.4 rad/s. De la sección 16.3 obtenemos que esto ocurre cuando w"'1 = 3.4 = -v-;;¡;_ Puesto que b = 3.3a, encontramos b = 6.27 y a= 1.90. Este compensador produce cerca de 20 log10 Y(6.27/l .90) = 5 dB de atenuación en w"'1= 3.4 rad/s. De e.ste modo se requiere un amplificador con una ganancia de 5.2 dB o un factor de ganancia de 1.82, además del compensador por adelanto, para mantener w"'1 en 3.4 rad/s. Entonces, la función de transferencia en el dominio w para el compensador es
- 578. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 10º = margen de fase --,,_ .~----~, 20 0.1 1 5 LO -20--·--------------- O 3.4 3.0 . -20 -40 -60 -80 ~--~---~-....L_-~---~----.----+-100 -300° - 250 º - 200 º - 180° - 150° -100° ángulo de fase Figura 18-12 1.82( w + 1.90) Gi ( w) = __ w_+_6_.2_7_ -50º co -o -o B ·e: OJJ "' E Esta se transforma de nuevo al dominio z haciendo w = (z - 1)/(z + 1), formándose 0.7229( z + 0.3007) Gi( z) = --z""'+-0-. 7-2-22--'- En la figura 18-13 se presenta el sistema de control compensado. R + Figura 18-13 Problemas resueltos Compensación de factor de ganancia e 569 18.1. En la figura 18-14 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia continua en malla abierta ( . ) K8 [1-(w/2) 2 +jw/2] GH JW = 2 jw(l +jw/0.5) (1 +jw/4)
- 579. 570 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y . SISTEMAS DE CONTROL para K8 = 1. El sistema en malla cerrada definido por GH(jw) es estable para K8 = 1. Deterr un valor de K8 en el cual el margen de fase sea 45º. 1.0 1 - (..,/2)2 + j..,/2 GH(j..,) = j(l + j..,/0.5)2(1 + j..,/4) -20 -30 -40 ---..----,-----+----..-----.----.----...--,l.. -50 -220° -200° -180° -160° -140° ángulo de fase Figura 18-14 -120° -100° -90° <PMF = 180º + arg GH(jw1), en donde w1es la frecuencia de cruce de ganancia. Para <PMF = 45º, debe escogerse w1 de tal manera que el arg GH(jw1) = -135º. Si dibujamos una línea vertical con abscisa de -135º, ésta corta la curva GH(jw) en el punto wí = 0.25 rad/s en donde el arg GH(jwí) = - 135º. La ordenada en este punto de intersección es I0.5 dB. Si disminuimos K8 en 10.5 dB, la frecuencia de cruce de ganancia se hace "'ÍY <PMF = 45º. Una disminución de 10.5 dB implica que 20 log10 K8 = 10.5 oK8 = 10- 10·5120 = 0.3. Una disminución adicional enK8 aumenta <PMF más allá de 45º. 18.2. En el sistema del problema 18.1, determine el valor de K8 para el cual el sistema es estable y el margen de ganancia es 10 dB. Margen de ganancia = -20 logJO IGH(jw,,)I dB, en donde w,,. es la frecuencia de cruce de fase. Con referencia a la figura 18-4, vemos que hay dos frecuencias de cruce de fase: w~ = 0.62 rad/s y w:,: = 1.95 rad/s. Para w~ = 0.62, tenemos 20 log 10 IGH(jw~1I = -3 dB. Por tanto el margen de ganancia es 3 dB. Este puede aumentarse hasta JO dB al desplazar la curva GH(jw) 7 dB hacia abajo. La frecuencia de cruce de fase w~ es la misma en la nueva posición, pero 20 log10
- 580. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 571 IGH(jw;)I = - JO dB. Una disminución adicional de 7 dB implica que Ka= 10 ™ - 7120 = 0.447. Puesto que el sistema es estable para Ka = 1, permanece estable cuando la curva GH(jw) se desplaza hacia abajo. La estabilidad absoluta no se afecta a no ser que la curva GH(jw) se desplace hacia arriba y atraviese el punto definido por O dB y - 180º, como sería necesario si -20 log10 GH(Jw:,:) = 10 db. 18.3. En el sistema del problema 18.1, determine un valor de K8 tal que: el margen de ganancia :=::: 10 dB, <l>MF :=::: 45º. En el problema 18.1 se demostró que <f>MF 2'. 45º si Ka :s 0.3; en el problema 18.2, el margen de ganancia 2: 10 dB si Ka :s 0.447. Por tanto ambos requerimientos pueden satisfacerse al hacer Ka :s 0.3. Nótese que si se hubiera especificado un margen de ganancia= 10 dB y <!>MF = 45º, las especificaciones no se habían podido cumplir con la sola compensación del factor de ganancia. 18.4. Suponga que el sistema del problema 18.1 es con retroalimentación unitaria, y determine el valor de K8 tal que el pjco resonante MP sea dB. 20 M, = 2 dB r---- 10 o -10 i:o "O "O 1.0 K 8 [1 - (w/2)2 ,- jw/2] 2 GH(jw) = 'é: .iw(l + jw/0.5)'(1 + jw/4) OI) "' -20 E 1.0 • K,. = 1.0 -30 °K 11 = 0.40 -40 -----,----.------11---~---.-f-.;c---,-------,---,----1- -50 --220° -2ooc -180° -140° -120° -100° --90' Figura 18-15 En la figura 18-15 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de GH(jw) para Ka= l, junto con el lugar geométrico de los puntos para los cuales l(C/R) (jw)I = 2 dB (Mp = 2 dB). Vemos que si K8 dismimuye en 8 dB, la curva resultante GH(jw) apenas es tangente a la curva Mp = 2 dB. Una disminución de 8 dB implica que K8 = 10-8120 = 0.40.
- 581. 572 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 18.5. En la figura 18-16 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta K 8 (l +jw/0.5) GH(jw) = 2[ 2 ] (jw) 1- (w/2) +jw/2 paraK8 = 0.5. El sistema en malla cerrada definido por GH(jw) es estable para K8 = 0.5. Determine el valor de K8 que hace máximo el margen de fase. 20 16 arg GH(j.,;) =-147° 12 GHUw) = 0.5(1 + j.,/0.5) ¡¡ (j.,)2 [1 - (w/2)2 + jw/2] w' 1 l 4 4.6 dB o ¡:o "O "O .2 -·l ·;: 0Jl ., E -8 -12 -16 -20 -24 -28 -280° -220° -200° -180° -160° -140° ~ '"' ángulo de fase 1 Figura 18-16 <fJMF = 180º + arg GH(jw1), en donde w1 es la frecuencia de cruce de ganancia. Con referen- cia a la figura 18-16, vemos que el arg GH(jw) siempre es negativo. Por tanto, si se halla el máximo para el arg GH(jw1), también será el máximo de <fJMF· La figura 18-16 indica que el arg GH(jw) se hace máximo cuando w = wí = 0.8 rad/s y el arg GH(jwí) = -147º. La ordenada del puntoGH(jwÍ) es4.6 dB. Por tanto, si K8 disminuye en4.6dB, la frecuencia de cruce de fase eswí; y <fJMF toma su máximo valor: </JMF = 180º + arg GH(jwí) = 33º. Una disminución de 4.6 dB en K8 implica que 20 log 10 (K8 /0.5) = -4.6 dB o K8 /0.5 = 10-4 · 6 ' 2 º Entonces K8 = 0.295.
- 582. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 573 18.6. En el sistema del problema 18.5, determine un valor de K8 para el cual el sistema sea estable y el margen de ganancia sea 8 dB. Margen de ganancia = -20 log10 IGH(jw")I dB. Con referencia en la figura 18-16, vemos que el margen de ganancia es 3. 1 dB. Este puede incrementarse a 8 dB al desplazar la curva 4.9 dB hacia abajo; w" permanece igual ya que es independiente de Ka. Una disminución de 4.9 dB en Ka implica que 20 log 10 (Ka/0.5) = -4.9 ó Ka = 0.254. Compensación de fase 18.7. En la figura 18-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase, determinado experimentalmente, de la función de transferencia en malla abierta G(jw) de un sistema particular con retroalimentación unitaria. Además, se midió el error en estado estacionario e(co) para una entrada rampa unitaria, encontrándose e(co) = 0.2. Se sabe que la función de transferencia en malla abierta tiene un polo en el origen. Determine una combinación de adelanto de fase más compensación de ganancia tal que: MP = 1.5 dB, o/MF = 40º y el error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria sea e(co) = 0.1: 26 24 20 16 12 8 4 o -4 -8 0 G(iw) No compensada -12 o G 1(j.,l Compensación de ganancia • G,(i.,) Comp. de ganancia y de fase -16 • Gj(j.,) Comp. de ganancia y de fase -,-'~--.--~--+---~-~--~--~--+ -20 -240° -220° -200º -180º 160º -140° ángulo de fase Figura 18-17 -·-120° -100° 0 "' 1 ¡:e "O "O E ·= OIJ " E
- 583. 574 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Puesto que e(co) = IIKv = I/K8 , el requerimiento en estado estacionario puede satisfacerse al duplicar K8 . La compensación tiene la forma K'P ·w _ K'( a/b)(l + s/a) adelanto ( 1 ) - l + s/b En consecuencia K8 se duplica al hacer K' (alb) = 2 ó K' = 2(bla). En la figura 18-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta, compensada en ganancia G1(Jw) = 2G(Jw) G1(jw) satisface la especificación en estado estacionario. Para satisfacer las especificaciones sobre MP y <fJMF, la curva G1{jw) debe desplazarse de 30º a 40º a la derecha en la región 1.2 :S w s 2.5 sin cambios sustanciales de la magnitud en dB. Esto se hace mediante la elección apropiada de a y b. Con referencia a la figura 18-4, vemos que se obtiene un adelanto de fase de 30º para wla ;:,e: 0.65 con b/a = 10. Puesto que la relación de adelanto alb de la red de adelanto se tiene en cuenta al diseñar para un factor de gananciaK' = 2(bla) = 20, debemos sumar20 log10 (bla) = 201og1010 = 20 dB para todas las magnitudes en dB tomadas de la figura 18-4. Para obtener 30º o más de adelanto de fase en el intervalo de frecuencia de interés, hacemos a = 2. Para esta elección tenemos w = (2)(0.65) = 1.3 y se obtienen 30º de adelanto de fase. Puesto que b/a = 10, entonces b = 20. La función de respuesta de frecuencia en malla abierta compensada es . 2(1 +jw/2) . G2(1w)= l+jw/20 G(Jw) En la figura 18-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de Gz{jw). Vemos que Mp = 2.0 dB y </JMF = 36º; por tanto las especificaciones no se satisfacen con esta compensa- ción. Necesitamos desplazar Gz(jw) entre 5º y 10º más hacia la derecha; luego se necesita un adelanto de fase adicional. Una vez más con referencia a la figura 18-4, vemos que al hacer b/a = 15 se incrementa el adelanto de fase. De nuevo, hacemos a= 2; entonces b = 30. En la figura 18-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de 2(1 +jw/2) G3(Jw) = 1 + jw/30 G(Jw) Vemos que </JMF = 41 º y MP = 1.5 dB y por tanto las especificaciones se cumplen con la compen- sación 2(1 +s/2) 30 P - - - - - adelanto - l +S 130
- 584. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 575 18.8. Resuelva el problema 18.7 utilizando una compensación por atraso más ganancia. MP =1.5dB 28 24 20 16 12 ·8 4 o -4 -8 • G,(Jw) Comp. de ganancia o G4(j.,) Comp. de fase de ganancia -12 oG.(iw) Comp. de fase y ganancia ----,----,----+---.,---..----..----..---t--16 -220° -200° -180º -160° -140º -120º -100° ~ "' ángulo de fase 1 :Figura 18-18 ¡:o "O "O a ·a 00 "' E En el problema 18.7 encontramos que la ganancia de Bode K8 debió incrementarse en un factor de 2 para satisfacer la especificación en estado estacionario. Pero la ganancia de Bode de una red de atraso es . 1 + s/b 1im P adelanto= lim - 1 + / = 1 s-+O s-+O S a Por tanto, en este problema, la compensación requerida tiene la forma 2(1 + sla)l(I + slb) en donde el incremento de dos veces el factor de ganancia lo suministra un amplificador, y a y b deben escogerse para la red de atraso de tal manera que satisfagan los requerimientos de MP y <!>MF· En la figura 18-18 se presenta la función compensada en ganancia como G1(jw) = 2G(jw); G1(jw) debe desplazarse entre 7 y IOdB hacia abajo en la región O.7 ~ w ~ 2.0, sin un incremento sustancial en el retraso de fase, para cumplir con las especificaciones transitorias. Con referencia a la figura 18-7, vemos que para b/a = 3, obtenemos una atenuación máxima de 9.5 dB. Para a= 0.1, el atraso de fase es -15ºenw = 0.7 (wla = 7) y -6ºenw = 2.0(wla = 20), es decir, el atraso de fase es relativamente pequeño en la región de frecuencia de interés. En la figura 18-18 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para
- 585. 576 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 2(1 +jw/0.3) GiJw) = 1 +jw/0.1 G(jw) con MP = 2.5 dB y <l>MF = 32º; en consecuencia este sistema no cumple con las especificaciones. Para disminuir el atraso de fase presentado en la región de frecuencia 0.7 s w s 2.0, cambiamos a a 0.05 y b a 0.15. Ahora el atraso de fase es 9º en w = 0.7 (w/a = 14). En la figura 18-18 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase para 2(1 +jw/0.15) G5(jw) = 1 +jw/0.05 G(jw) Vemos que MP = 1.5 dB y <l>MF = 41º. De este modo se satisfacen las especificaciones. La compensación deseada es 2(1 + s/0.15) 2 p =----- Atraso 1 + s/0.05 18.9. Resuelva el problema 18.7 utilizando una compensación por atraso-adelanto más ganan- cia. Además de las especificaciones anteriores, necesitamos que la frecuencia resonante wP del sistema compensado sea aproximadamente la misma que la del sistema no com- pensado. En los problemas 18.7 y 18.8 encontramos que la ganancia de Bode K8 debe aumentarse en un factor de 2 para satisfacer la especificación en estado estacionario. La función de respuesta de frecuencia de la compensación por atraso-adelanto más ganancia resulta entonces . 2(1 +jw/a1)(1 +jw/b2 ) 2 PAA (Jw) = (1 +jw/b1 )(1 +jw/a2 ) Ahora debemos escoger a1, b1, b2 y a2 para satisfacer los requerimientos sobre Mp, <l>MF y wP. Con referencia a la figura 18-17, vemos que la frecuencia resonante en el sistema no compensado es cercana a 1.1 rad/s. El diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de G1(jw) = 2G(jw), que se presenta en la figura 18-19, indica que si la curva G1(jw) se atenúa en 6.5 dB y se agrega un adelanto de fase de 10º a una frecuencia de w = 1.0 rad/s, entonces la curva resultante será tangente a la curva Mp = 2 dB cerca de I rad/s. Con referencia a la figura 18-10, si hacemos b1/a1 = b2!a2 = 3, a 1 = 6a2 y wla2 = 6.0 para w = 1, obtenemos la atenuación y el adelanto de fase deseados. Al resolverlosparámetrosrestantesobtenemosa2 = 1/6 = O. 167, b2 = 3a2 = 0.50,a1 = 6a2 = 1.0, b1 = 3a1 = 3.0. En la figura 18-19 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase de la función de respuesta de frecuencia en malla abierta resultante G ·w _ 2(1 +jw)(1 +jw/0.5) . 6 ( 1 ) - (1 +jw/3){1 +jw/0.167) G(Jw) en donde Mp = 1.5 dB, <l>MF = 44º y wP = 1.0 rad/s. Estos valores satisfacen aproximadamente las especificaciones.
- 586. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 577 28 24 20 16 12 ¡:o "O 8 "O B Mv = 1.5 dB ·= OJj "' 4 E -4 -8 0 G1iw) Compensado en ganancia -12 • G6(jw) Compensado en fase y ganancia ~---~---~----1--------~--~------.---+--16 -210' -220º -200° -180° -160º -140° -120º -100°-90º ángulo de fase Figura 18-19 18.10. Diseñe la compensación del sistema discreto en el tiempo con función de trnnsferencia en malla abierta K(z + 1)3 GH(z) = (z-l)(z+f) tal que se satisfagan las siguientes especificaciones de desempeño: 1. margen de ganancia 2: 6 dB 2. margen de fase <PMF 2: 45º 3. frecuencia de cruce de ganancia w 1 tal que w1T :s 1.6 rad 4. constante de velocidad Kv 2: 10
- 587. 578 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El diagrama de NichoIs de GH que se presenta en la figura 18-20 indica que w 1T = 1.6 rad para K = - 3 dB. Los márgenes de ganancia y de fase se cumplen si K < 4.7 dB; pero la especificación en estado estacionario requiere que K > 10.8 dB (factor de ganancia de 3.47). Al sustituir z = (1 + w)/(1 - w), transformamos la función de transferencia en malla abierta del dominio z al dominio w, · formando así 36 K GH'(w)= 25 w(l+w/5)2 r-------- 2.5 Jt 50 o -50 .e "O "O B ·.; -100 ~ E -150 r-----.--~--~-~--1----------~--~-200 -280º -260°-240° -220° -200º -180° -160º-140°-120°-100º -80º ángulo de fase Figura 18-20 En el dominio de w la especificación de frecuencia de cruce de ganancia se hace ( w1T) "'w1 = tan -2- = 1.02 rad/s Un compensador por atraso de baja frecuencia en cascada con bla = 3.5 puede utilizarse para aumentar Kv a 10, mientras se mantiene la frecuencia de cruce de ganancia w 1 y los márgenes de ganancia y de fase en sus valores anteriores. Un compensador por atraso con b = 0.35 y a = 0.1 satisface los requerimientos. El compensador por atraso en el plano w es G (w) __ 3_.S(_l_+_w_/_0._35_) 1 - 1 + w/0.1 Este se transforma de nuevo al dominio de z al sustituir w ( z - 0.4815) G1(z) = 1.2273 z-0.8182 (z - 1)/(z + 1), formándose
- 588. DISEÑO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS 579 En la figura 18-21 se presenta el diagrama de magnitud en dB-ángulo de fase del sistema discreto compensado. 0.01 r--------- 2.0 1. 9 100 50 o p::¡ -o -o -50 B ·a 00 "' E -100 -150 ....--....--~---.----r----ii----.-----.---.----r---t- - 200 -280º -260° -240° -220º -200° -180° -160°-140° -120° -100º -80° ángulo de fase Figura 18-21 Problemas suplementarios 18.11. Encuentre el valor de K8 para el cual el sistema cuya función de transferencia en malla abierta es K GH= B s(l + s/200)(1 +s/250) tiene un pico resonante MP de 1.4 dB. Resp. K8 = 119.4. 18.12. Para el sistema del problema 18.11, encuentre la compensación de ganancia más atraso tal que MP ~ l. 7, <fJMF 2: 35º y K,. 2: 50. 18.13. Para el sistema del problema 18. 11 , encuentre la compensación de ganancia más adelanto tal que Mp ~ J.7, <fJMF 2: 50º Y Kv 2: 50. 18.14. Para el sistema del problema 18.11, encuentre la compensación de ganancia más atraso-adelanto tal que MP ~ 1.5, <fJMF 2: 40º y K,. 2: 100. 18.15. Encuentre la compensación de ganancia más atraso para el sistema cuya función de transferencia en malla abierta es K GH= B s(l + s/10)(1 + s/5) tal que Kv 30 y </JMF 2: 40º.
- 589. 580 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 18.16. Para el sistema del problema 18.15, encuentre la compensación de ganancia más adelanto tal que Kv 2:: 30, </>MF 2:: 45º. Sugerencia: utilice dos redes de compensación por adelanto en cascada. 18.17. Encuentre la compensación de ganancia más adelanto para el sistema cuya función de transferencia en malla abierta es K GH= 8 s(l + s/2) tal que K, 45°.
- 590. Capítulo 19 Introducción a los sistemas de control no lineales 19.1 Introducción Hasta ahora hemos limitado el estudio a los sistemas que pueden describirse mediante mode- los de ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones de diferencia lineales invariables en el tiempo, o mediante sus funciones de transferencia, excitados por funciones de entrada transfor- mables en Laplace o transformables en z. Las técnicas desarrolladas para estudiar estos sistemas son relativamente directas y a menudo conducen a diseños de sistemas de control prácticos. Si bien es cierto que ningún sistema físico es exactamente lineal e invariable en el tiempo, tales modelos a menudo son aproximaciones adecuadas y, como resultado, Jos métodos de sistemas lineales desarrollados en este libro tienen amplia aplicación. Sin embargo, hay muchas situacio- nes para las cuales son inapropiadas las representaciones lineales y se requieren modelos no linea- les. Las teorías y los métodos para el análisis y el diseño de sistemas de control no lineales consti- tuyen un amplio campo de conocimiento, parte del cual es bastante complejo. El propósito de este capítulo es presentar algunas de las técnicas clásicas que prevalecen, utilizando las matemáticas casi en el mismo nivel que en los capítulos anteriores. Los sistemas lineales se establecen en la definición 3.21. Cualquier sistema que no satisfaga esta definición es no lineal. La mayor dificultad con los sistemas no lineales, especialmente con los descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones de diferencia no lineales, es que las soluciones analíticas o de forma cerrada sólo son posibles para muy pocos casos espe- ciales, y éstos, por lo general, no son de interés práctico en el análisis o el diseño de sistemas de control. Además, a diferencia de los sistemas lineales, para los cuales pueden determinarse de manera separada las respuestas libre y forzada y luego superponer los resultados para obtener la respuesta total, las respuestas libre y forzada de los sistemas no lineales a menudo interactúan y no pueden estudiarse por separado y la superposición generalmente no se cumple para las entradas o las condiciones iniciales. En general. las respuestas características y la estabilidad de los sistemas no lineales dependen cualitativa y cuantitativamente de los valores de las condiciones iniciales y de la magnitud, confi- guración y forma de las entradas al sistema. De otra parte, a menudo las soluciones a ecuaciones de sistemas no lineales en el dominio del tiempo pueden obtenerse mediante técnicas de simula- ci.ón por computador, para entradas, parámetros y condiciones iniciales específica_s. Los algorit- mos y programas de aplicación para simulación, un tema especial que se encuentra fuera del alcance de este libro, son ampliamente accesibles y por tanto aquí no recibirán atención adicional. En lugar de ello, nos enfocaremos sobre varios métodos analíticos para estudiar sistemas de con- trol no lineales. Los problemas de sistemas de control no lineales aparecen cuando la estructura de elementos fijos de un sistema son inherentemente no lineales y/o se presenta compensación no lineal en el sistema con el propósito de mejorar su comportamiento. En cualquier caso, las propiedades de estabilidad son la consecuencia central. 581
- 591. r 582 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 19.1. La figura 19-la) es un diagrama de bloques de un sistema retroalimentado no lineal que contiene dos bloques. El bloque lineal está representado por la función de transferencia G2 = 1/D(D + 1), en donde D =d/dt es el operador.diferencial. Se utilizaD en lugar des en esta función de transferencia lineal porque la transformada de Laplace y su inversa por lo general no son estrictamente aplicables en el análisis no lineal de sistemas con elementos tanto lineales como no lineales. De manera alterna, cuando se utiliza el método de las funciones descriptoras (sección 19.5), una técnica aproximada de respuesta de frecuencia, a menudo escribimos + elementos no lineales a) 1 Gi(jw)= jw{jw+.1) elementos lineales Figura 19-1 e /(e) e b) El bloque no lineal N tiene la característica de transferenciaf(e) definida en la figura 19-lb). Tales no linealidades se llaman (lineal por tramos) funciones de saturación que se describen en la siguiente sección. EJEMPLO 19.2. Si se supone que la tierra es esférica y que todas las fuerzas externas diferentes de la gravedad son imperceptibles, entonces ~¡ movimiento de un satélite terrestre se encuentra en un plano llamado plano de la órbita. Este movimiento se define mediante el siguiente conjunto de ecuaciones dife- renciales no lineales (véase el problema 3.3): d2 8 dr d8 r-+2--=0 dt2 dt dt (ecuación de la fuerza transversal) d2 r _ ,( d8)2 dt2 dt = - pr2 (ecuación de la fuerza radial) El satélite, junto con cualquier controlador diseñado para modificar su movimiento, constituye un sistema de control no lineal. A continuación se resumen varios métodos populares para el análisis no lineal. 19.2 Aproximaciones linealizadas y linealizadas por tramos de sistemas no lineales Los términos no lineales en las ecuaciones diferenciales o en las de diferencia algunas veces pueden aproximarse mediante términos lineales o términos de orden cero (constantes), sobre ran- gos limitados de la respuesta del sistema o la función que fuerza el sistema. En cualquiercaso, una o más ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencia lineales, pueden obtenerse como apro- ximaciones del sistema no lineal, válidas sobre los mismos rangos de operación limitados.
- 592. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 583 EJEMPLO 19.3. Considere el sistema masa-resorte de la figura 19-2, en donde la fuerza del resorte!s(x) es una función no lineal del desplazamiento x medido desde su posición de reposo, como se muestra en la figura 19-3. La ecuación de movimiento de la masa es M(d2 x!dt2) +f,(x) = O. Sin embargo, si la magnitud absoluta del desplazamiento no excede x0 , entoncesf,(x) = kx, en donde k es una constante. En este caso, la ecuación de movimiento es una ecuación lineal con coeficientes constantes dada por M(d2 x!dt2) + kx = O, válida para lxl :'.S x0 . 1/, X Figura 19-2 Figura 19-3 EJEMPLO 19.4. Consideremos de nuevo el sistema del ejemplo 19.3, pero ahora el desplazamiento x excede ax0 . Para tratar este problema, hagamos que la curva de fuerza del resorte sea aproximada por las tres líneas rectas que se muestran en la figura 19-4, una aproximación lineal por tramos de f,(x). El sistema se aproxima entonces mediante un sistema lineal por tramos; es decir, el sistema se describe mediante la ecuación lineal M(d1 x!dt1 ) + kx = Ocuando lxl :'.S x 1, y mediante las ecuaciones M(d1 x!dt2 ) ± F1 cuando lxl > x 1 • Se usa el signo + si x > x 1 , y el signo - si x < -x1 • Algunas veces los términos no lineales en la ecuación de un sistema se conocen de tal modo que puede expandirse fácilmente en una serie, por ejemplo una serie de Taylor o una de Maclau- rin. De esta manera, un término no lineal puede aproximarse mediante los primeros términos de la serie, excluyendo los términos superiores al primer grado. fs(x) / -x¡ X -F1 Figura 19-4 Figura 19-5 EJEMPLO 19.5. Considere la ecuación no lineal que describe el movimiento de un péndulo (véase la figura 19-5): d2 8 g -+-~en8=0 dt2 I
- 593. 584 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACJON Y SISTEMAS DE CONTROL en donde les la longitud de la cuerda del péndulo y ges la aceleración de la gravedad. Si nos interesan los pequeños movimientos del péndulo alrededor del "punto de operación", 0 = O,entonces la ecuación del movimiento puede linealizarse alrededor de este punto de operación. Esto se logra con la expansión en serie de Taylor del término no lineal (g//)sen 0 alrededor del punto 0 = O y la retención de los términos de primer grado únicamente. La ecuación no lineal es d2(J g d2(J g 00 (Jk ( dk 1 ) - + - sen(}= - + - " - -(sen 9) dt2 [ dt2 [ 1.., k I d(Jk k=O · o-o = d2(J + ! [(J - ~ + ... ] = o dt2 l 3! La ecuación lineal es d2 0idt2 + (gll)0 = O, válida para variaciones pequeñas de 0. Es instructivo expresar más formalmente el proceso de linealización de las aplicaciones de la serie de Taylor, para establecer mejor su aplicabilidad y sus iimitaciones. Serie de Taylor La expansión en serie infinita de una función no lineal generalflx) puede ser muy útil en el análisis de sistemas no lineales. La funciónflx) puede escribirse como la siguiente serie infinita, expandida alrededor del punto x: (19.J) en donde (dkf/d:J<)lx=.r es el valor de la k-ésima derivada defcon respecto ax evaluada en el punto x = x. Obviamente, esta expansión existe (es posible) sólo si existen todas las derivadas reque- ridas. Si la suma de los términos de segundo grado y de grado superior en (x - .x) de la ecuación (19./) son insignificantes comparados con la suma de los dos primeros términos, podemos escribir f(x) =f(x) + df 1 (x - x) dx x=x (19.2) A menudo esta aproximación es adecuada si x es "suficientemente cercana" a .x, o, lo que es equivalente, si x - xes "suficientemente pequeño", en cuyo caso los términos de orden superior son relativamente pequeños. La ecuación (19.2) puede escribirse de nuevo como f(x)-f(x)= :~,x=/x-x) (19.3)
- 594. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES Entonces, si definimos Ax=x-x AJ= J(x) - J(x) La ecuación (19.3) se convierte en Af=dfl Ax dx x=x 585 (19.4) (19.5) (19.6) Si x = x(t) es una función de tiempo t, o de cualquier otra variable independiente, entonces t puede tratarse como un parámetro fijo para la mayor parte de las aplicaciones cuando se realizan los cálculos de linealización anteriores, y Ax= Ax(t) = x(t) - x(t), etc. EJEMPLO 19.6. Suponga que y(t) = j[u(t)] representa un sistema no lineal con entrada_ u(t) y salida y(¡), en donde t 2". t0 para algún t0 , y df!du existe para todo u. Si las condiciones normales de operación de este sistema están definidas por la entrada u = ü y la salida y = _v, entonces los cambios pequeños dy(t) = y(t) - f(t) en la operación de salida en respuesta a cambios pequeños du(t) = u(t) - ü(t) en la entrada pueden expresarse mediante la relación lineal aproximada df¡ dy(t);;;; - du(t) du u=ü(I) (19.7) para t 2". to. Serie de Taylor para procesos vectoriales Las ecuaciones (/9. l) a (/9.7) se generalizan fácilmente para funciones no lineales m- vectoriales de argumentos n-vectoriales, f(x), en donde y m y n son arbitrarios. En este caso, Lix =x - x, M =f(x) - f(x) y la ecuación (19.6) se hace Af=- Ax df I dx _ x=x (19.8) en donde df!dx es la matriz definida como a11 a/1 df axl ax2 dx a¡m a¡m (19.9) axl ax2
- 595. 586 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL EJEMPLO 19.7. Para m = 1 y n = 2, la ecuación (/9.9) se reduce a y la ecuación (/9.8) es (19.10) La ecuación (19.10) representa el caso común en donde una función escalar no lineal! de dos variables, digamos x1 = x y x2 = y se linealizan alrededor del punto {x, y} en el plano. Linealización de ecuaciones diferenciales no lineales Para linealizar ecuaciones diferenciales seguimos el mismo procedimiento empleado para linealizar funciones f(x). Considere un sistema diferencial no lineal escrito en forma de variables de estado: dx dt =f[x(t),u(t)] (19.11) en donde el vector den variables de estado x(t) y el vector de r entradas u(t) se definen como en el Capítulo 3, en las ecuaciones (3 .24) y (3 .25), y t ~ t0 . En la ecuación (J9. 11), fes un vector de n funciones no lineales de x(t) y u(t). De manera similar, las ecuaciones de salida no lineales pueden escribirse en la forma vecto- rial: y(t) = g[x(t)] (19.12) en donde y(t) es un vector de m salidas y g es un vector de m funciones no lineales de x(t). EJEMPLO 19.8. Un ejemplo de un sistema diferencial ESSS no lineal de la forma de las ecuaciones (/9.l/) y (19.12) es Las versiones linea/izadas de las ecuaciones (19.11) y (19.12) se representan por d(ax) a, 1 a, 1 --""- ax+- &i dt - ax x=!(I) au x=!(I) u=u(t) u=u(t) (19.13) ag 1 ay(1);;;- ax ax x=x(I) (19.14)
- 596. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 587 en donde las matrices de derivadas parciales en estas ecuaciones se definen como en las ecuacio- nes (/9.9) y (19.10), cada una evaluada en el "punto" {x, ü}. Los pares x = x(t) y ü = ñ(t) realmente son funciones de tiempo. pero se tratan como "puntos" en los cálculos indicados. Las ecuaciones linealizadas (19.13) y (19.14) a menudo se interpretan como sigue. Si la entrada se distorsiona o se desvía de un "punto de operación" ü(t) en una cantidad suficientemente pequeña Liu(t), generando perturbaciones Lix(t) suficientemente pequeñas en el estado y perturba- ciones Liy(t) suficientemente pequeñas en la salida alrededor de sus puntos de operación, entonces las ecuaciones lineales (/ 9. J3) y (/ 9. J4) son ecuaciones aproximadas razonables para los estados distorsionados Lix(t) y las salidas distorsionadas .:ly(t ). Las ecuaciones Iinealizadas (19.13) y (19.14) a menudo se llaman ecuaciones de perturba- ción (pequeña) en el sistema diferencial no lineal. Son lineales en Lix y (Liu) porque las matrices de coeficientes: :: lx=!(t) u=u(t) :: lx=!(I) u=u(t) que se han evaluado en x(t) y/o ii(t) no son funciones de Lix(t) [o de Liu(t)]. Las ecuaciones linealizadas (19.13) y(/9. J4) también son invariables en el tiempo si ii(t) = ii = constante y x(t) = x= constante. En este caso, todos los métodos desarrollados en este libro pueden aplicarse para ecuaciones diferenciales ordinarias invariables en el tiempo. Sin embargo, los resultados deben interpretarse juiciosamente porque, de nuevo, el modelo linealizado es una aproximación, válida sólo para perturbaciones "suficientemente pequeñas" alrededor de un punto de operación y, hablando de modo general, las perturbaciones "suficientemente pequeñas" no siempre son fáciles de descubrir. EJEMPLO 19.9. Las ecuaciones linealizadas (de perturbación) del sistema dado en el ejemplo 19.8 se determinan como sigue, a partir de las ecuaciones (19.13) y (/9./4). Por conveniencia, primero definimos etc., para simplificar la notación. Entonces De manera similar, a¡I aj ax x=~(t) = ax u=u(t) y la ecuación de la perturbación de la salida es
- 597. 588 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Linealización de ecuaciones discretas en el tiempo no lineales El procedimiento de linealización en serie de Taylor puede aplicarse a muchos problemas de sistemas discretos en el tiempo, pero debe tenerse suficiente cuidado al justificar la existencia de la serie. A menudo la aplicación se justifica si las ecuaciones discretas en el tiempo representan procesos no lineales que se comportan razonablemente bien, tales como las representaciones discretas en el tiempo de sistemas continuos con variables de estado expresadas sólo en instantes de tiempo discretos. EJEMPLO 19.1O. El sistema discreto e invariable en el tiempo representado por la ecuación de diferencia no lineal x(k + 1) = ar (k), con a< Oy x(O) * O, se linealiza fácilmente porque el término no lineal axk) es una función uniforme de x. Entonces tenemos x(k+ 1) =ax2 (k) =f(x) !J./= f(x) -f(x) ª1 1 =2ax ax x-x x(k) = x(k) + !J.x(k) x(k + 1) = ax2 (k) La sustitución de estas ecuaciones en la ecuación (19.16) y el reordenamiento de términos produce !J.x( k + 1);;; 2ax( k) !J.x( k) que es lineal en LU, pero en general variable en el tiempo. 19.3 Métodos del plano de fase En las secciones 3.15 y 4.6 se trató la forma de variables de estado de las ecuaciones diferen- ciales lineales y se demostró que es una herramienta útil para el análisis de sistemas lineales. En la sección 19.2 esta representación se aplicó a los sistemas no lineales mediante el concepto de linealización. En esta sección, los métodos de plano de fase se desarrollan para analizar ecuacio- nes diferenciales no lineales en forma de variables de estado, sin necesidad de linealizarlas. Una ecuación diferencial de segundo orden de la forma: d 2 x ( dx) dt2 = f x, dt (19.15) puede escribirse de nuevo é"omo un par de ecuaciones diferenciales de primer orden, como se hizo en la sección 3.15, al hacer el cambio de variables x = x, y dx!dt = x2 , y producir dx1 -=x dt 2 (19.16) dx2 dt = f(x¡, X2) (19.17)
- 598. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 589 La dupla o par de variables de estado (x1, x2) puede considerarse como un punto en el plano. Puesto quex1 y x2 son funciones de tiempo, entonces a medida que t aumenta, (x1(t), xi(t)) descri- be una línea o trayectoria en el plano. Este plano se llama plano de fase, y la trayectoria es una gráfica paramétrica de x2 respecto de x1, parametrizada por t. Si eliminamos el tiempo como variable independiente en las ecuaciones (19.16) y (19.17), obtenemos la ecuación diferencial de primer orden dx1 x2 (19.18) La solución de la ecuación (19.18) parax1 en términos dex2 (o viceversa) define una trayectoria en el plano de fase. Al resolver esta ecuación para varias condiciones iniciales de x1 y x2 y examinar las trayectorias resultantes en el plano de fase, podemos determinar el comportamiento del siste- ma de segundo orden. EJEMPLO 19.11. La ecuación diferencial d2 x (dx)2 -+ - =O dt2 dt con las condiciones iniciales x(O) = O y (dx!dt)l,~o = 1, puede remplazarse por las dos ecuaciones de primer orden X¡(O)=O en donde .r = .r1 y d.r!dt = .r2. Al eliminar el tiempo como variable independiente, obtenemos entonces o La integración <le esta ecuación para las condiciones iniciales dadas produce o En la figura 19-6 se presenta la trayectoria del plano de fase definida por esta ecuación. 1.0 0.5 0+---~---r-----,....----,,...----,---~ o 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Figura 19-6
- 599. 590 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Su dirección en el plano de fase se determina al tener en cuenta que dx2/dt = - x < Opara todo x2 :I= O. En consecuencia x2 siempre disminuye y obtenemos la trayectoria que se muestra Sistemas de control enciende - apaga (On-Off) Una aplicación particularmente útil de los métodos de plano de fase es el diseño de controla- dores enciende-apaga on-off (definición 2.25), para la clase especial de sistemas de control con retroalimentación con plantas de segundo orden continuas en el tiempo, como las de la figura 19-7 y la ecuación (19.19). d 2 e de -+a-=u dt2 dt ª~º ( 19.19) Las condiciones iniciales c(O) y (dc!dt)l,=o de la ecuación (19.19) son arbitrarias. El controlador enciende-apaga (on-off) con entrada e = r - c genera la señal de control u, la cual sólo puede tenerdos valores, u = ± 1. r + e Figura 19-7 Especificaciones de diseño del controlador enciende-apaga (on-ofl) Si la entrada de referencia res una función paso unitario aplicada en el tiempo cero, las especi- ficaciones de diseño típicas para el sistema de la figura 19-7 son las siguientes. La entrada de control u a la planta debe conducir la salida de la planta c(t) a c(t') = 1 y su derivada dc!dt a (dc!dt I,=,· = O, simultáneamente, y en el menor tiempo posible t'. El error en estado estaciona- rio se hace cero en t' y permanece en cero si la señal de control se apaga (u = O). Puesto que se requiere que t' sea mínimo, éste es un problema de control óptimo (véase la sección 20.5). Puede demostrarse que t' se hace mínimo sólo si la señal de control u conmuta los valores de +I a -1 o de -1 a + 1, a lo sumo una vez durante el intervalo de tiempo O s t s t'. Diseño del controlador enciende-apaga on-off Al resolver este problema de diseño, es conveniente utilizare! error e= r - c, en donde r = l(t), en lugar de la salida controlada c, porque e = Oy deldt = Ocuando c = I y dc!dt = O. Por tanto, pedir que el error e y su derivada se hagan cero en el tiempo mínimo es equivalente a nuestro problema original. Para resolver el problema, primero generamos una ecuación diferencial para e: de d de dt = d/r-e)= - dt d 2 e d 2 e de de - = --=a--u= -a--u dt2 dt 2 dt dt (19.20)
- 600. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 591 con las condiciones iniciales e(O) = 1 - c(O) y (de/dt)l 1 =o = -(dc!dt)l1=o· Luego remplazamos la ecuación (/ 9.20) por dos ecuaciones diferenciales de primer orden, haciendo e =x I y deldt =x2: dx¡ -=x dt 2 dx2 --=-ax-u dt 2 (19.21) (19.22) con las condiciones iniciales x1(0) = e(O) = 1 - c(O) y xi(O) = (de/dt)l,=o = -(dc!dt)l1 =o· Al eliminar el tiempo como variable independiente, obtenemos entonces - - = - - - - o (19.23) Esta ecuación más las condiciones iniciales en x 1(0) y xi(O) definen una trayectoria en el plano de fase. Puesto que la señal de control u no conmuta (de + 1 a -1 o de -1 a+ 1) más de una vez, podemos separar la trayectoria en dos partes, la primera, antes del tiempo de conmutación, y la segunda, después de la conmutación. Consideremos primero la segunda parte, ya que ésta termina en el origen del plano de fase, x1 = x2 = O. Hacemos u = ± 1 en la ecuación (19.23) y luego integramos entre un conjunto general de condiciones iniciales x1(t) y xi(t) y las condiciones termi- nales x 1 = x2 = O. Para efectuar la integración, consideramos cuatro conjuntos diferentes de condi- ciones iniciales, cada una correspondiente a uno de los cuadrantes del plano de fase. En el primercuadrante,x1 > Oy x2 >O.Nótese quedx1/dt = x2 >O.De este modox1 aumenta cuando x2 está en el primer cuadrante, y cuando x2 tiende a cero, x1 no puede ser cero. Por tanto, las trayectorias que comienzan en el primer cuadrante no pueden terminar en el origen del plano de fase si u no conmuta. Cuando las condiciones iniciales están en el tercer cuadrante tenemos argumentos idénticos, es decir, si x1 < Oy x2 < O, la trayectoria no puede terminar en el origen si u no conmuta. En el segundo cuadrante, x1 < Oy x2 >O.Puesto que dx¡ldt = x2 > O, x1 aumentará mientras x2 > O. Puesto que a > O, entonces -ax2 < Oy así dx2/dt < Opara u = + 1, dondequiera que x2 > O. La integración de la ecuación (19.23) con u = + 1, condiciones iniciales en el segundo cuadrante y condiciones terminales x 1 = x2 = O, produce JO Jº X2dX2 dx1 = -xi(t} = - x1(1) x2(1J ax2 + l 1 iº x 2 (t} 1 ó x1(t} = -dax2 + 1- ln(ax2 + 1}] = - - - + 2 In [axi(t} + 1] a x2(1) a a (19.24) en dondex1(t) :SO, xi(t) 2 O. Esta ecuación define una curva en el segundo cuadrante del plano de fase, tal que, para cualquier punto sobre esta curva, la trayectoria termina en el origen si u = + 1. Esto es, la señal de control u = + 1 conduce a x1 y a x2 simultáneamente a cero. Mediante argumentos idénticos, existe una curva en el cuarto cuadrante definida mediante x2 ( t) 1 x1(t) = - -a- - ª2 ln[-ax2 (t) + 1] (19.25)
- 601. 592 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL en donde x1(t) 2: O; xi(t) :5 Otales que, para cualquier (x1(t), xi(t)) sobre esta curva, la señal de control u = -1 conduce a x1 y a x2 simultáneamente a cero. Las curvas definidas por las ecuaciones (19.24) y (19.25) se unen en x1 = x2 = Oy juntas definen la curva de conmutación del controlador enciende-apaga (on-ojj). La curva de conmuta- ción divide todo el plano de fase en dos regiones, como se indica en la figura 19-8. La parte de cualquier trayectoria después de la conmutación siempre comienza sobre esta curva, se mueve a lo largo de ella, y termina en x1 = x2 = O. Figura 19-8 Consideremos ahora la parte de la trayectoria antes de la conmutación. Primero, exploremos una propiedad monótona de la curva de conmutación. En el segundo cuadrante, en donde u= + 1, x2 > Oy la pendiente de la curva es negativa: dx2=-(a+~)<o dx1 X2 En el cuarto cuadrante, en donde u = -1, x2 < O y dx 2 =-(a-~)<O dx1 X2 Por tanto la pendiente de toda la curva de conmutación es negativa para todo (x1, x2) sobre la curva, es decir, la curva de conmutación disminuye monótonamente. De este modo, existe uno y sólo un valor de x2 correspondiente con cualquier valor específico de x1• Debido a la propiedad monótona de la curva de conmutación, la región por encima de la curva es igual a la región de la derecha de la curva de conmutación, es decir, consta del conjunto de puntos (x1, x2) tales que X2 1 x >--+-ln(ax +1) 1 a ª2 2 (19.26) cuando x2 2: Oy X2 1 x1 > - - - - ln(- ax + 1) a ª2 2 (19.27) cuando x2 :5 O.
- 602. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 593 Consideramos la parte de la trayectoria antes de la conmutación, cuando las condiciones (x1(0), xz(O)) se encuentran por encima de la curva de conmutación. Para este caso, u= + 1, y la primera parte de la trayectoria se obtiene mediante la integración de la ecuación (19.23) con u= + 1 entre las condiciones iniciales (x1(0), x2(0)) y un par de puntos arbitrarios (x 1(t), x2(t)) que satisfacen las desigualdades (19.26) y (19.27). Obtenemos la trayectoria al integrar la ecuación (19.23), la cual produce (19.28) Nótese que esta parte de la trayectoria tiene la misma forma que la de la ecuación (19.24), pero ésta se encuentra desplazada a la derecha. Así que, cuando x2(t) = O, x1(t) ,= x1(0) + (1/a) [xz(O) - (1/a)ln(axi(O) + I)], que es mayor que O debido a la desigualdad (19.26). Así, cuando (x 1(0), x2(0)) se encuentra por encima de la curva de conmutación, el controlador de encendido-apagado (on-ojf) desarrolla una señal de control u= + 1, y la trayectoria resultante (x 1(t), xz(t)) se define mediante la ecuación (19.28). Cuando esta trayectoria interseca la curva de conmutación, es decir, cuando (x1(t), x2(t)) satisface las ecuaciones (19.25) y (19.28) simultánea- mente, el controlador de encendido-apagado (on-ojf) conmuta la señal a u= -1, y la trayectoria continúa a lo largo de la curva de conmutación hasta el origen del plano de fase. Por razonamiento idéntico, si las condiciones iniciales se encuentran.por debajo de la curva de conmutación, es decir, cuando x2(0) 2: O, o x2 (0) 1 x1(0) < - - - - 2 1n[ -ax2(0) + 1] a a cuando xz(O) :S O, entonces el controlador de encendido-apagado (on-ojf) genera una señal de control u = -1 y la trayectoria (x1(t), x2(t)) satisface (19.29) Cuando esta trayectoria interseca la curva de conmutación, es decir, cuando (x1(t), x2(t)) satisface las ecuaciones (19.24) y (19.29) simultáneamente, el controlador de encendido-apagado (on-ojf) conmuta la señal de control a u = + 1y la trayectoria se mueve a lo largo de la curva de conmuta- ción en el segundo cuadrante y termina en el origen del plano de fase. Recordando que x1 =e y x2 =é, la lógica de conmutación del controlador de encendido- apagado (on-ojf) es como sigue: é l a) Cuando é>O y e+ - - 2 ln(aé+l)>O, entonces u= +l a a
- 603. 594 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL e 1 b) Cuando e<O y e+ - + 2 ln(-ae + 1) > O, entonces u= +1 a a e 1 e) Cuando e>O y e+ - - 2 ln(ae+l)<O, entonces u= -1 a a e 1 d) Cuando e<O y e + - + 2 ln( - ae + 1) < O, entonces u = - 1 a a EJEMPLO 19.12. Para el sistema de control con retroalimentación descrito en la figura 19-7 y la planta definida por la ecuación (/9./9) con parámetro a= 1, la curva de conmutación está definida por e"" -é+ln(é+l) para é>O e=-é-ln(-é+l) para é<O Yen la tabla 19. 1 se presenta la lógica de conmutación para el controlador de encendido-apagado (on-ojf) Tabla 19.1 é>O / 1(e)=e+é-ln(é+l)>O / 2 (e) =e+ é + ln(-é + 1) > O u No No No -1 No No Sí +l No Sí No -1 No Sí Sí +l Sí No No -1 Sí No Sí -1 Sí Sí No +l Sí Sí Sí +l Generalización Los métodos del plano de fase se aplican a sistemas de segundo orden. La técnica se ha generalizado a sistemas de tercer orden y de orden superior, pero normalmente el análisis es mucho más complejo. Por ejemplo, para diseñar controladores de encendido-apagado (on-ojj) de esta manera en sistemas de tercer orden, las curvas de conmutación se remplazan por superficies de conmutación, y la lógica de conmutación se hace mucho más extensa que la presentada en la tabla 19.1 en sistemas de segundo orden. 19.4 Criterio de estabilidad de Lyapunov Los criterios de estabilidad presentados en el Capítulo 5 en general no pueden aplicarse a sistemas no lineales, aunque pueden ser aplicables si el sistema se linealiza como en la sección 19.2, si las perturbaciones Lix son lo suficientemente pequeñas, y si ü(t) yx(t) son constantes, es decir, si las ecuaciones linealizadas son invariables en el tiempo. La teoría de Lyapunov propor- ciona un método más general, para explorar la estabilidad de los sistemas, los estados x(t) y las salidas y(t) en el dominio del tiempo, para perturbaciones Lix(t) de cualquier tamaño. Puede utili- zarse para sistemas, lineales o no lineales, descritos por conjuntos de ecuaciones simultáneas
- 604. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 595 ordinarias de primer orden, diferenciales o de diferencia, que escribimos aquí de manera concisa en forma de variables de estado: i = f{x,u) o x{k+ 1) =f[x{k),u{k)] (19.30) {19.31) Las siguientes definiciones de estabilidad son para sistemas no forzados, es decir, para u= O, y por simplicidad escribimos i = f(x) o x(k + 1) = f[x(k)]. Un punto Xs para el cual f(xs)= Ose llama punto singular. Se dice que un punto singularx. es estable si, para cualquier región hiperesférica SR (por ejemplo, un círculo en dos dimensiones) de radio R centrado en X5 , existe una región hiperesférica S,. de radio r :SR también centrada en Xs en la cual cualquier movimiento x(t) del sistema comenzando en S,. permanece en SR siempre. Un punto x. para el cual f(x.) = Ose llama punto singular. Se dice que un punto singular x. es mientos) x(t) tienden hacia x. a medida que el tiempo tiende a infinito. El criterio de estabilidad de Lyapunov determina que, si el origen es un punto singular~ es estable si puede encontrarse una función de Lyapunov V(x) con las siguientes propiedades: a) V(x) > O para todos los valores de x =f= O (19.32) h) dV/dt :SO para todo x, en sistemas continuos, o LiV[x(k)] =V[x(k + ])] - V[x(k)] :SO, para todo x, en sistemas discretos (19.33) Además. si dV!dt (o LiV) nunca es cero excepto en el origen, este último es estable asintóticamente. EJEMPLO 19.13. Un sistema continuo no lineal representado por d 2 x dx ( dx) 3 -, +-+ - +x=O dt· dt dt o. de modo equivalente, el par de ecuaciones en donde .r1=.r. tiene un punto singular en x 1 = x2= O. La función V= x~ + x1 es positiva para todo Xi y x2, excepto x1 = .r2 = O en donde V = O. La derivada nunca es positiva. En consecuencia el origen es estable. EJEMPLO 19.14. En la figura 19-9 se muestra el sistema no lineal representado por las ecuaciones diferenciales [con x1U) = -c(t)]:
- 605. 596 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL -x1 = e Figura 19-9 También,flO) = Opara este elemento no lineal particular. Sir es constante, podemos hacer los cambios de variables x{ =x1 + r, xí =x2 + r, y las ecuaciones de estado se convierten en ií = -f(xí) El origen x{ = xí = O es un punto singular puesto que .xí = ií = O en el origen. La función de Lyapunov está definida por V= 2f0 'Í/(e) de+ xí2 > O para todo x{, xí,;. O, si xíf(xí) > O para todo x{ ,;. O. Derivando V, V= 2/(xí)ií + 2xíxí = 2/(xí)( -x{ + xí) - 2xíf(x{) = -2xíf(x{) Así, si nos restringimos a xíf(xí) > Opara mantener V > O, V:s O para x{ ,;. O. En consecuencia el sistema es estable para cualquier elemento no lineal que satisfaga las condiciones /(O)= O xíf( x{) > O para x{ ,;. O Nótese que este resultado es muy general, y sólo se requieren las condiciones anteriores para asegurar la estabilidad. Sir no es constante, la solución i:1rax1(t) y para x2(t) correspondiente a r(t), en general no es constante. Pero, si se conociera la solución, la estabilidad de la solución podría analizarse de modo similar. EJEMPLO 19.15. Para el sistema discreto en el tiempo X¡(k + 1) = X2(k) X2 ( k + 1) = - / [X¡ ( k)] en dondeflx1) es la no linealidad de saturación de la figura 19-lb), el origen es un punto singular porque x1(k) = x2(k) = O implica que x 1(k + 1) = xi(k + 1) = O. Haciendo V = xf + Xl , que es mayor que cero para todo x 1, x2 =ft O, entonces ~V= xf( k + 1) + Xi( k + 1) - xl( k) - Xi( k) = xi( k) +/ 2 [ x1( k)] - xl{ k) - xi{ k) = -xl(k) +/ 2 [x1(k)] Puesto que/2 (x1) :s Xf para todo x 1, aV :s Opara todo x 1, x2 , y en consecuencia el origen es estable. Elección de las funciones de Lyapunov Para muchos problemas, una elección conveniente de la función de Lyapunov V(x) es la fun- ción de forma escalar cuadrática V(x) = xTPx, en donde xTes la traspuesta del vector columna x, y
- 606. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 597 Pes una matriz simétrica real. Para producir V> O, la matriz P debe ser claramente posi~iva. A partir del teorema de Sylvester [7], Pes claramente positiva si y sólo si todos sus discriminantes son positivos, es decir Pu>O 'Pu P21 P121 > O P22 Pu Pin >O pnl pnn En sistemas continuos x = f(x), la derivada de V(x) = xTPx está dada por JÍ(x) = xTPx + xTPx = fT(x)Px + xTPl(x) En sistemas discretos, x(k + 1) = f(x(k)] y ~V( k) = V{k + 1) - V( k) = xT(k + 1)Px(k + 1) - xT(k) Px( k) = fT[x(k)] Pf[x(k )] - xT(k)Px(k) (19.34) EJEMPLO 19.16. En el sistema representado por x= Ax con A = [ -~ _ ~], hacemos V= xTpx con P = [ ~ ~] . Entonces 2] + [-2 -3 2 · r[-4 V=x 3 en donde Puesto queP es claramente positiva, V> Opara todo x *O.Los discriminantes de Qson 4 y (24 - 9) = 15. En consecuencia Q es claramente positiva y -Q es claramente negativa, lo cual garantiza que V< Opara todo x * O. En este sistema, el origen es estable asintóticamente. 19.5 Métodos de respu~sta de frecuencia Funciones descriptoras Las funciones descriptoras son funciones de respuesta de frecuencia aproximadas para los elementos no lineales de un sistema, las cuales pueden utilizarse para analizar todo el sistema utilizando las técnicas de respuesta de frecuencia desarrolladas en los capítulos anteriores. Una función descriptora se desarrolla para un elemento no lineal, al analizar su respuesta a una entrada sinusoidal A sen wt, la cual puede escribir como una serie de Fourier:
- 607. 598 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 00 L Bn sen( n<üt +'Pn) (19.35) n=l La función descriptora es la relación de los coeficientes complejos de·Fourier B1ej<h de la fre- cuencia fundamental de esta salida, a la amplitud A de la entrada. Es decir, lafunción descriptora es la función compleja dew, ( B1/ A )ej<luna función de respuesta de frecuencia de una aproxima- ción del elemento no lineal. La función descriptora representa así la ganancia efectiva del eleme·n- to no lineal a la frecuencia de la sinusoide de entrada. En general, B1 y </J1 son funciones tanto de la frecuencia de entrada w = 2'1T'IT como de la amplitud de entrada A. En consecuencia podemos escribir B1 = B1(A, w), <p1 = <p1(A, w), y la función descriptora como - B1 ej<l>i B1 (A, w)ej<h(A,.,) N(A w)=--=----- (19.36) ' A A Para aplicar el método, remplazamos las no linealidades del sistema por las funciones descrip- toras y luego aplicamos las técnicas del dominio de la frecuencia de los Capítulos 11, 12 y 15 hasta el 18, con algunas modificaciones para tener en cuenta la dependencia de B 1 y <p1 en A. EJEMPLO 19.17. La salida de la función no linealf(e) = e3 en respuesta a una entrada e= A sen wt es A3 /(e)= A3 sen3 wt = -(3senwt -sen3 wt) 4 A partir de la ecuación (19.36), la función descriptora parafle) es _ 3A2 N(A)= 4 Nótese que esta no linealidad no produce desplazamiento de fase; así que ef>1(A, w) = O. Histéresis En la figura 19-IO se presenta un tipo común de no linealidad llamada histéresis o zona muerta. En sistemas eléctricos puede ocurrir debido a las propiedades electromagnéticas no lineales, y en sistemas mecánicos puede resultar de la zona muerta en los trenes de engranaje o uniones mecánicas. Para otro ejemplo, véase el problema 2.16. salida Figura 19-10 0.9 0.8 0.7 0.6 IN(A)I 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Figura 19-11 -90º -80° -70° -60º -50° l/>1(A) -40º -30º -20° -10º
- 608. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 599 En la figura 19-11 se presenta la función característica descriptora de la histéresis, normaliza- da al )1arámetro de zona muerta d = 1y pendiente K = 1. El atraso de fase </>1(A) de esta función descriptora es función de la amplitud de entrada A, pero es independiente de la frecuencia de entrada w. La técnica de la función descriptora es particularmente muy apropiada en el análisis de siste- mas continuos o discretos que contienen un elemento no lineal sencillo, como se ilustra en la figura 19-12, con función de transferencia en malla abierta GH = N(A, w)G(w). El análisis de respuesta de frecuencia de tales sistemas normalmente conlleva primero determinar si existen valores de A y w que satisfagan la ecuación característica, 1 + N(A, w)G(w) = O, o 1 G( w) = - -=N(_A_, w-) e Figura 19-12 es decir, valores de A y w que permitan oscilaciones. Los diagramas de Nyquist, de Bode o de Nichols de G y de -1/N pueden utilizarse por separado para resolver este problema, porque las gráficas deben cortarse si existen tales A y w. La estabilidad relativa también puede evaluarse a partir de tales diagramas, al determinar la ganancia adicional (margen de ganancia) y/o el despla- zamiento de fase (margen de fase) requerido para que las curvas se corten. Debe tenerse presente que la función descriptora es sólo una aproximación de la no linealidad. La exactitud de los métodos de la función descriptora, que utilizan el análisis de respuesta de frecuencia basados en los métodos de sistemas lineales, dependen del filtraje efectivo de la planta G(w) de los armónicos de orden superior al primero (despreciados) producidos por la no lineali- dad. Puesto que la mayor parte de las plantas tienen más polos que ceros, a menudo esta es una aproximación razonable. EJEMPLO 19.18. Considere el sistema de la figura 19-12 con G(w) = 8/jw(jw + 2)2 y la no linealidad de saturación del problema 19. 17. En la figura 19-13 se presentan los diagramas polares de G(w) y -1/N(A). lm 1 - N(A) A= 2 ------------,irl"'---'.._----.Re -2 Figura 19-13
- 609. 600 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL No hay valores de A y de w para los cuales se corten las dos gráficas, indicando que el sistema es estable y no son posibles las oscilaciones sostenidas de amplitud constante. Sin embargo, si se incrementara la ganancia de la malla directa en un factor de 2, de 8 a 16, las gráficas se cortarían en (-1, O) para w = 2 y O< A < 1, y serían posibles las oscilaciones sostenidas. De este modo un margen de ganancia aproximado de este sistema es 2 (6 dB). Criterio de estabilidad de Popov Este criterio se desarrolló para sistemas retroalimentados no lineales con un elemento no lineal sencillo en la malla, por ejemplo, como se muestra en la figura 19-12. Tales sistemas son estables si el elemento lineal Ges estable, Re G(w) > - 1/K, y el elemento no lineal fie) satisface las condiciones:fiO) = Oy O<f(e)le < K para e* O. Nótese que este criterio no conlleva ninguna aproximación. El análisis de Nyquist es particularmente apropiado en esta aplicación. EJEMPLO 19.19. En la figura 19-14 se presenta el diagrama polar del sistema de la figura 19. 12, con G = ll(jw + 1)3 • Para todo w, Re G 2:: -1/4. En consecuencia el sistema no lineal es estable siK < 4, /(O) =O, y O<f(e)/e< K para eef=O. ImG j0,5 - 1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1.0 ReG w=l Figura 19-14 EJEMPLO 19.20. En el sistema no lineal de la figura 19-12, con una planta estable discreta en el tiempo G = llz, G( ei"'T) = e·-JwT = cos wT- j senwT En la figura 19-15 se presenta el diagrama polar circular de G, y -1 ReG(ei"'T) > - K para K<l Así el sistema es estable si fiO) = Oy O < fie)le < K < l para e * O. ImG j -j Figura 19-15
- 610. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 601 Problemas resueltos Sistemas de control no lineales 19.1. En las definiciones 2.25 a 2.29 se presentaron varios tipos de leyes de control o de algorit~ mos de control. ¿Cuáies de ellos son no lineales y cuáles son lineales, desde el punto de vista de sus características de entrada-salida? El controlader<lé encendido-apagado (binario) de la definición 2.25, claramente es no lineal, su salida es una función discontinua de su entrada. Los demás controladores, es decir, el proporcio- nal (P), el derivativo (D), el integral (l) y los PD, PI, DI y PID que se dieron en las definiciones 2.26 a la 2.29, son todos lineales. Cada una de sus salidas está definida por operaciones lineales, o combinaciones lineales de operaciones lineales, en cada una de sus entradas. 19.2. ¿Por qué el sistema de calefacción controlado termostáticamente, descrito en el problema 2.16, es no lineal? El controlador por termostato en este sistema es un dispositivo binario no lineal, con una histéresis característica de entrada-salida, como se describió en el problema 2. 16. Este controlador regula la salida de la temperatura del recinto de este sistema de control de una manera oscilatoria entre los límites superior e inferior que encierran el ajuste de la temperatura deseada. Este tipo de comportamiento es característico de muchos sistemas de control no lineales. Aproximaciones de sistemas linealizados y linealizados por tramos 19.3. La ecuación diferencial de cierto sistema físico está dada por d3y d2y - +4- +/(y) =0 dt 3 dt2 La funciónfiy) es no lineal, pero puede aproximarse mediante la gráfica lineal por tramos que se ilustra en la figura 19-16. Determine una aproximación lineal por tramos para la ecuación diferencial del sistema no lineal. /(y) -3 3 y Figura 19-16 El sistema no lineal puede aproximarse mediante el siguiente conjunto de cinco ecua- ciones lineales en los rangos indicados de y:
- 611. 602 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL y< -2 -2sy< -1 -lsysl d3y d2y -+4--y+2=0 dt3 dt2 l<ys2 2<y 19.4. Una solución de la ecuación diferencial no lineal d2y dt 2 + y cos y = U con entrada u = O, es y = O. Linealice la ecuación diferencial alrededor de esta entrada y esta salida utilizando una expansión en serie de Taylor de la función d2 y!dt2 + y cos y - u alrededor del punto- u = y = O. La expansión en serie de Taylor de cos y alrededor de y = O es 00 yk [ d" 1 l 1 o cosy= ~ k! -¡;¡:(cosy). = 1- 2 !r + ··· k-0 !) 1 -0 En consecuencia d2y dly ( y2 ) -+ycosy-u=-+y 1--+ ··· -u dt2 dt2 2! Al conservar sólo los términos de primer orden, la ecuación linealizada es d2y!dt2 + y = u. Esta ecuación sólo es válida para desviaciones pequeñas (perturbaciones) alrededor del punto de opera- ción u = y = O. 19.5. Escriba las ecuaciones de perturbación determinadas en el ejemplo 19.9 en la forma de vectores y matrices. ¿Por qué son lineales? ¿Bajo qué condiciones serían invariables en el tiempo?
- 612. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 603 Estas ecuaciones son lineales porque las matrices que previamente multiplican a .:ix y du son independientes de .:ix y de du. Serían invariables en el tiempo si los parámetros c1, c2 , ... , c5 fueran constantes y el "'punto de operación" del sistema, para u= u(t) y x = x(t), también fueran constantes. Este sería el caso si u = constante. 19.6. Deduzca las ecuaciones Iinealizadas (19.13) y (19.14) en el sistema diferencial no lineal dado por (/9.//) y (/9./2). Consideramos los cambios .:ix en x como resultado de los cambios du en u, cada uno de ellos alrededor de los puntos de operación xy ü, respectivamente, es decir, x( t) = x( t) + .:ix( t) u( t) = ü( t) + Áu( t) En estas ecuaciones, t se considera un parámetro, que se mantiene constante en la derivación. Luego suprimimos t por conveniencia. La sustitución de x+ dx por x y de ii + .:iu por u en (/9. / /) produce dx dx d( .:ix) - = - +-- =f(x+.:ix,ü+.:iu) dt dt dt Ahora expandimos esta ecuación en una serie de Taylor alrededor de {x, ü}, reteniendo sólo los términos de primer orden: dx d( .:ix) - - df ' ar ' dt +-----;¡¡- == f(x, u) + ax x-~(t) dx + au x-~(I) Áu u-u(I) u-u(t) Entonces, puesto que dx.!dt = .f(x, ü), la ecuación (/9. //)se obtiene inmediatamente después de restar estos términos correspondientes de ambos lados de las ecuaciones anteriores. De manera similar. para y= g(x) y= y+ .:iy = g(x + .:ix) == g(x) + ~1 .:ix =y+~ 1 .:ix ax x-x ax x-x Restando y a ambos lados de la ecuación finalmente se produce 19.7. Las ecuaciones que describen el movimiento de un satélite terrestre en el plano de la órbita son d 2 0 dr d0 r-+2--=0 dt 2 dt dt d2r -r(d0)2 dt 2 dt = - pr2 (Para más detalles véanse el problema 3.3 y el ejemplo 19.2). Un satélite está en una órbita casi circular determinada por r y d0!dt = w. Una órbita exactamente circular se define mediante r = r0 = constante w = w0 = constante
- 613. 604 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Puesto que drofdt = Oy dw0/dt = O, se elimina la primera ecuación diferencial para una órbita circular. La segunda ecuación se reduce a r0w5 = k 2 /pr{ Encuentre un conjunto de ecuaciones lineales que describa de manera aproximada las diferencias i>r = r- r0 8w = w-w0 En las ecuaciones del movimiento hacemos las sustituciones r = r0 + 8r w=w0 + 8w y obtenemos las ecuaciones Hacemos notar que d( r0 + 8r) dt d( w0 + 8w) d( r0 + 8r) (r0 +8r)---- +2---(w0 +8w) =O dt dt d 2 (r0 +8r) 2 k 2 - ( r0 + 8r)( WcJ + 8w) = - )2 dt p(r0 +8r d( 8r) dt dt2 d( w0 + 8w) dt puesto que r0 y w0 son constantes. La primera ecuación diferencial se convierte en d(Bw) d(Bw) d(Br) d(Br) r0 --;¡¡- + ( 8r)--;¡¡- + 2w0 -;¡;- + 2-;¡¡-Bw = O d(Bw) dt Puesto que las diferencias 8r, 8w y sus derivadas son pequeñas, los términos de segundo orden (8r)(d(8w)!dt) y 2(d(8r)!dt)8w pueden suponerse insignificantes y eliminarse. La ecuación lineal resultante es d(Bw) d(Br) r.---+2w --=O o dt o dt la cual es una de las dos ecuaciones deseadas. La segunda ecuación diferencial puede escribirse de nuevo como d 2 ( 8r) 2 2 - - 2 - - r0wl - 2r0w08w - ro( 8w) - wl8r - 2w0 ( 8r)( 8w) - ( 8w) 8r dt k 2k8r = - - 2 - - - 3 - + términos de orden superior en 8r y 8w P'o 'o en donde el lado derecho de la ecuación es la expansión en serie de Taylor de -k pr2 alrededor de r0 . Todos los términos en 8r y 8w de orden 2 o mayor que 2 de nuevo pueden suponerse insignifican- tes y eliminarse, dejando la ecuación lineal di( 8r) k 2k8r - d 12 - r0wl - 2r0w08w - wlBw - w58r = - 2 - -- 3 · pro P'o En el enunciado del problema vemos que r0wl == k/prl Por tanto la ecuación final es d2 (8r) 2k8r --- - 2r. w 8w - w2 8r = - -- dt2 o o o prJ que es la segunda de las ecuaciones linealizadas deseadas.
- 614. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 605 Métodos del plano de fase 19.8. Demuestre que la ecuación d2 x/dt2 = j(x, dxldt) puede describirse de modo equivalente mediante un par de ecuaciones diferenciales de primer orden. Definimos un nuevo conjunto de variables: x1 =x y x2 =dx1/dt = dx/dt. En consecuencia las dos ecuaciones deseadas son 19.9. Demuestre que la trayectoria del plano de fase de la solución de la ecuación diferencial d 2 x -+x=O dt 2 con las condiciones iniciales x(O) = Oy (dxldt)l,=o = 1 es un círculo de radio unitario centrado en· el origen. Haciendo x =x1 y x1 =dx1/dt, obtenemos el par de ecuaciones dx¡ dt =x2 X¡(O) = o dx2 dt = -xi xi{O) = 1 Eliminamos el tiempo como variable independiente al escribir dx¡ X2 -=-- dx2 X¡ o Al integrar esta ecuación para las condiciones iniciales dadas, obtenemos 1Xl 1X2 X ' dx' + x' dx' - l.x2 + l.x2 - l. - O 1 1 2 2-2 1 2 2 2- 0 1 o xf + x? = 1 que es la ecuación de un círculo de radio unitario centrada en el origen. 19.10. Determine la ecuación de la trayectoria del plano de fase de la ecuación d 2 x dx -+-=O dt 2 dt con las condiciones iniciales x(O) = O y (dx/dt)l,-o = l. Con x1 =x y x2 =dx1/dt obtenemos el par de ecuaciones de primer orden dx¡ dt=x2 dx2 dt == -x2 X¡(O)==O
- 615. 606 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Eliminamos el tiempo como variable independiente al escribir dx¡ X2 - = - - = -1 o dx1 + dx2 = O dx2 X2 Entonces o que es la ecuación de una línea recta, como se muestra en la figura 19-17. La dirección del movi- miento en el plano de fase se indica por la flecha y se determina al tener en cuenta que, inicialmente, xiO) = 1; por tanto dx1/dt > Oy x 1 aumenta y dx2/dt < Oy x2 disminuye. La trayectoria termina en el punto (x1, x2) = (1, 0), en donde dx1/dt dx2/dt = O, aun termina el movimiento. Figura 19-17 19.11. Diseñe un controlador de encendido-apagado (on-ojj) para el sistema dado por la ecuación (/9./9) y la figura 19-7, con a= O. , Para a = O en la ecuación (/9./9), la ecuación (19.23) se convierte en X2dX2 dx1 = - - u La curva de conmutación se genera al integrar esta ecuación en el segundo cuadrante con 11 = + 1y terminar en el origen, lo cual produce xHt) X¡(t) = - - 2 - ó é2 e= -- 2 y al integrar en el cuarto cuadrante con 11 = -1 y terminar en el origen, se produce xHt) X¡(t) = - 2 - ó é2 e=- 2 En la figura 19-18 se presenta la curva de conmutación. En la tabla 19.2 se presenta la lógica de conmutación de este controlador de encendido-apagado. Xz = e X¡= e Figura 19-18
- 616. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 607 Tabla 19.2 e> o e+ e2 /2 >O e- e2 /2> O u No No No -1 No No Sí +1 No Sí No -1 No Sí Sí +1 Sí No No -1 Sí No Sí -1 Sí Sí No +1 Sí Sí Sí +1 Criterio de estabilidad de Lyapunov 19.12. Encuentre los puntos singulares para el par de ecuaciones dx1 dx2 --=senx2 -d =x1 +x2 dt t Los puntos singulares se encuentran al hacer sen x2 = Oy x1 + x1 = O. La primera ecuación se satisface cuandox2 = ±n1r, n = 0,1,2, ... La segunda se satisface cuandox1 = -x2• Por tanto los puntos singulares se definen mediante x1 = +n'TT, x2 = ±n'TT n=0,1,2, ... 19.13. El origen es un punto singular para el par de ecuaciones dx1 - =ax1 +bx2 dt Utilizando la teoría de Lyapunov, encuentre las condiciones suficientes en a, b, e y d tales que el origen sea asintóticamente estable. Escogemos una función V=x¡ + Xi la cual es positiva para todo x1, x2, excepto x1 = x2 = O. La derivada de V con respecto al tiempo es dV dx1 dx2 2 2 -d = 2x1- + 2x2 - = 2ax1 + 2bx1x2 + 2cx1x2 + 2dx2 t dt dt •· Para hacer dV!dt negativa para todo x1, x2 , podríamos escoger a< O, d < Oy b = -c. En este caso, dV dt = 2axf + 2dxi < O excepto cuandox1 = x2 =O.De donde se concluye que un conjunto suficiente de condiciones para la estabilidad asintótica es a < O, d < O y b = -c. Hay otras soluciones posibles a este problema. 19.14. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del origen del sistema discreto no lineal descrito por X¡(k + 1) = x1(k) - f [x1(k )]
- 617. 608 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Hagamos V[x(k)] = [x1(k)]2, que es mayor que O para todo x + O. Entonces ~V= xf(k + 1) - xf(k) = (x1(k) - /[x1(k)]) 2 - xf(k) = - X¡ ( k) / [X¡ ( k)] (2 - / [X~~k) 1) Por tanto las condiciones suficientes para que .:iV :5 Oy de esta manera la estabilidad del sistema son x¡f(x1) ~ O /( x1) .::;; 2 para todo x1 X¡ 19.15. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema i=Ax+b/(x1) endonde A=[-~ =~],b=n] Hagamos V= xTPx y p = [ ~ n. Entonces -xT[ -4a -a-4c -a - 4c] _ 2c- 4 x+2(a+2c)x¡/(x1) +2(c+2)xzf(x1) Para eliminar los términos del producto cruz x2/(x1), hacemos e= -2. Entonces JÍ= -xTQx+2(a-4)x¡/(x1) En donde Q= [a~8 ª ~ 8 ]. Para Q ;:,;,; O, a= 8. La Í' resultante es . ( /(xi)) V=-32xf+8x¡f(x1 )=-8xf 4-~ Entonces JÍ.::;; O y el sistema es estable si flx 1)/x1 :5 4 para todo x 1 * O. 19.16. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema discreto en el tiempo no lineal x(k+ 1) =Ax(k) + b/[x1(k)] en donde A=[¿ -U y b=[-~1- Hagamos V= XTPx,en donde p = [; r]. Entonces ~V= V[x(k + 1)] - V[x(k)] = x(k+ lfPx(k + 1) -x(k)'l"Px(k) == [ /[ x1( k))bT + x( k)TAT] P[ Ax( k) + b/[x1( k))] - x( k)TPx( k)
- 618. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES en donde a- 2c] a-2c 609 y 1-c] Ahora, para A7PA - P :e; O, hacemos a = 2c y, para eliminar el término del producto cruz xifl:x1), hacemos e= l. Entonces ATPA - P = O y 2 ( /(x1)) .iV= [/(x1)] - 2xif(x1) = -xif(x1) 2- ~ Entonces las condiciones suficientes para que ~V :e; Oy de esta manera la estabilidad en el origen son y para todo x1• Métodos de respuesta de frecuencia 19.17. Demuestre que la función descriptora del elemento de saturación lineal por tramos en el ejemplo I9. I está dada por Bi ei+i = ~ [sen- 1 2.. + 2._ cos sen-1 2._] A .,, A A A A partir de la figura I9-lb), vemos que, cuando la magnitud de la entrada es menor que 1.0, la salida se iguala a la entrada. Cuando la entrada excede a 1.0, entonces la salida se iguala a 1.0. Utilizando la notación del ejemplo 19. 1, si e(1) =Asenwl A> 1 entonces fil) es como se muestra en la figura 19-19 y puede escribirse como A !(1) == Asenwl 1 -1 ----, /V A sen wt / '< I ' 1,0 -- f(t) ,' ,.__, Figura 19-19 11 .:5: 1 .:5: 12 13 .:5: 1 .:5: 14 2,,.
- 619. 610 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL El tiempo t1 se obtiene al tener en cuenta que Asenw11 = 1 or 1 1 11 =-sen- 1 - w A De manera similar, .,, l 1 12 = - - - sen- 1 - w w A .,, 1 1 13 = - + - sen- 1 - w w A 2.,, 1 1 14 =- --sen- 1 - w w A La magnitud de B I y el ángulo de fase </>1 de la función descriptora se determinan a partir de la expresión del primer coeficiente de Fourier: W 12w/w B1 = - f(1)senw1d1 .,, o Puesto quefit) es una función impar, el ángulo de fase </> 1 es cero. La integral que define B1 puede escribirse de nuevo como "'1'1 2 "'J'i B1 = - Asen w1d1 + - senw1d1 '1T O '1T 11 W !'3 2 W !'4 W ¡2w/w + - Asen wld1 - - senwtdt + - Asen2 w1d1 .,, '2 .,, 13 .,, 14 Pero 111 2 ¡2w/w 2 1 !'3 2 Asen wtdt = Asen wtd1 = - Asen wtdt O 14 2 12 y !~ ¡~ f"'~"' senwtd1 = - senw1dt = 2 senw1dt 11 13 t1 Podemos escribir B I como 4w 1'1 4w f"'/2w 2 [ A ] B1 = - Asen2 wtd1 + - senwtdt = - Aw11 - -sen2 w11 + 2cos w11 .,, o .,, ~ .,, 2 Al sustituir t1 = (l/w)sen- 1 (1/A) y simplificar, obtenemos 2 [ 1 1 ] B1 = - Asen- 1 - + cos sen· 1 - .,, A A Finalmente, la función descriptora es B¡ = !:_ [sen - 1 2_ + 2_cos sen -1 _Al ] A .,, A A 19.18. Determine la amplitud A y la frecuencia w para las cuales podrían·mantenerse las oscila- ciones en el sistema del ejemplo 19. 18, aumentando la ganancia de la malla directa desde 8 hasta 32. En la figura 19-20 se presentan los diagramas polares de
- 620. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 32 G(w)----- - jw(jw+2)2 611 y de -1/Ñ(A). Los dos lugares se cortan en A = 2.5 y w = 2, que son las condiciones de oscilación. Im 1 - N(A) A= 2.5 Figura 19-20 19.19. Detennine la amplitud y la frecuencia de las posibles oscilaciones del sistema de la figura 19-12, conf(e) = e3 y 1 G(w)---- - (jw + 1)3 A partir del ejemplo 19.17, la función descriptora de esta no linealidad es _ 3A2 N(A)=- . 4 y De los diagramas polares que se presentan en la figura 19-21, G(w) y -1/Ñ se cortan en w = l.732 y A = 3.27, las cuales son las condiciones de oscilación. A= 1 -1 1 N(A) Im A= 2 A= 3.27 -0.5 G(w) Figura 19-21
- 621. 612 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 19.20. Determine la amplitud y la frecuencia de las posibles oscilaciones del sistema de la figura 19-12, con la no linealidad de histéresis que se muestra en la figura 19-22, y G(w) = 2/jw(jw + 1). El diagrama de bloques del sistema puede manipularse como se muestra en la figura 19-23, de tal modo que el elemento de histéresis se normalice, con una zona muerta de I y una pendiente de 1. La figura 19-11 puede utilizarse para construir el diagrama polar de - IN, el cual se muestra en la figura 19-24 con el diagrama polar de 2G(w), en lugar de G(w), porque la función de transferencia de la malla que excluye la no linealidad es 4G(w)/2 = 2G(w). salida Figura 19-22 e Figura 19-23 Im -1 Figura 19-24
- 622. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES 613 Las dos curvas se cortan en w = 1.2 rad/s y A = 1.7, que son las condiciones de oscilación del sistema. Nótese que A es la amplitud de la entrada a la no linealidad normalizada. Por tanto, en términos de e, la amplitud para las oscilaciones es 3.4. Problemas suplementarios 19.21. Determine la trayectoria del plano de fase de la solución de la ecuación diferencial d 2 x dx -+2-+4x=O dt2 dt 19.22. Utilizando la teoría de Lyapunov, encuentre las condiciones suficientes en a, y aoque g'lranticen que el punto x = O, dxldt = O sea estable para la ecuación d 2 x dx --+a-+ax=O dt2 l dt O
- 623. Capítulo 20 Introducción a temas avanzados en análisis y diseño de sistemas de control 20.l Introducción Este capítulo final es una introducción a temas avanzados en la ciencia de los sistemas de control. Cada tema se trata aquí sólo de manera breve para familiarizar al lector con la terminolo-. gía y el nivel matemático de metodologías avanzadas. También se espera que produzca cierta motivación para estudios avanzados. Las técnicas de variables de estado en el dominio del tiem- po, que presentadas en los Capítulos 3 y 4 y utilizadas de manera extensa en el Capítulo 19, predominan en los desarrollos metodológicos avanzados, principalmente porque proporcionan la base para resolver muchas clases de problemas de sistemas de control, inclusive problemas mucho más complejos.de los que pueden tratarse con los métodos del dominio de la frecuencia. 20.2 Controlabilidad y observabilidad Gran parte de la teoría moderna de control se desarrolla en el dominio del tiempo, en lugar del dominio de la frecuencia, y al modelo básico de la planta (proceso controlado) lineal e invariable en el tie_!ll_lli2 se le da típicamente una descripción de variables de estado (Capítulo 3), la ecuación (3 .25b): dx(t)ldt = Ax(t) + Bu(t) para plantas de sistemas continuos, o la ecuación (3 .36): x(k + l) = Ax(k) + B0 (k) para plantas de sistemas discretos. Para cualquier tipo de modelo, la ecuación de salida puede escribirse como y= Cx, en la cual y= y(t) o y(k), x = x(t) o x(k), y Ces una matriz de dimensión compatible. De paso mencionamos que esta forma de modelo básico a menudo se usa para representar sistemas lineales que varían con el tiempo, con los elementos que varían en el tiempo en las matrices A, B o C, y (menos frecuente) sistemas no lineales, en los que A, B o C contienen elementos que son funciones del vector de estados x. El concepto de controlabilidad formula la pregunta de si es posible controlar o guiar el vector de estados x desde la entrada u. De manera específica, ¿existe una entrada u físicamente factible que pueda aplicarse a la planta durante un periodo finito de tiempo y que guíe el vector de estados x completo (todos y cada uno de los n componentes de x) desde cualquier punto x0 en el espacio de estados a cualquier otro punto x1? Si la respuesta es sí, la planta es controlable: si es no, es incontrolable. El concepto de observabilidad es complementario al de controlabilidad. Este formula la pre- gunta de si es posible determinar todos los n componentes del vector de estados x -mediante la medida de la salida y durante un periodo finito de tiempo. Si la respuesta es sí, el sistema es observable; si es no, es inobservable. Obviamente, si y = x, es decir, si se miden todas las variables de estado, el sistema es observable. Sin embargo, si y* x y C no es una matriz cuadrada, la planta aún puede ser observable. Las propiedades de controlabilidad y observabilidad de la planta tienen importantes conse- cuencias prácticas en el análisis y, aún más importantes, en el diseño de sistemas de control retroalimentados modernos. Intuitivamente, las plantas incontrolables no pueden guiarse de ma- nera arbitraria; y es imposible conocer todas las variables de estado de las plantas inobservables. Estos problemas están claramente relacionados porque juntos significan que los estados (o varia-
- 624. INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 615 bles de estado) inobservables no pueden controlarse de manera individual si se requiere que la variable de control u sea una función de x, esto es, si se necesita un control retroalimentado. Los modelos de plantas lineales invariables en el tiempo, en forma de variables de estado [ecuaciones (3 .25b) o (3 .36)] son controlables si y sólo si la siguiente matriz de controlabilidad tiene rango n (n columnas linealmente independientes), en donde n es el número de variables de estado en el vector de estados x: ( 20.1) De modo similar, el modelo de planta es observable si y sólo si la siguiente matriz de laobserva- bilidad tiene rango n (n filas linealmente independientes): e CA CA2 (20.2) EJEMPLO 20.1. Considere el siguiente modelo de planta de entrada sencilla salida sencilla (ESSS) con x -= [xX¡2] y cada uno de los a 11 , a12 , a22 diferentes de cero: dx = [ª11 dt o ª12] [11 x+ 0 u ª22 y=Cx=[l O]x Para probar si este sistema es controlable, primero evaluamos la matriz dada por la ecuación (20.1): Mediante la definición 3. 11, las dos columnas [ ~] y [ ª~1 ] serían linealmente independientes si las únicas constantes ex y f3 para las cuales fucnin ex =/3 =O. Claramente este no es el caso, porque ex= 1 y /3 = -1/a11 satisfacen esta ecuación. Por tanto las dos columnas de [B AB] son linealmente dependientes, el rango de [B AB] = 1 =! 2 = n, y esta planta entonces es incontrolable. De modo similar, a partir de la ecuación (20.2),
- 625. 616 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Para esta matriz, los únicos a Y/3 para los cuales a[l O] + f3[a 11 a 12] = [O O] son a • /3 *O, porque a 12 * O. En consecuencia el rango de[ ZA] es n = 2, y la planta es observable. 20.3 Diseño en el dominio del tiempo de sistemas con retroalimentación (retroalimentación de estados) El diseño de muchos sistemas de control retroalimentados puede lograrse al utilizar represen- taciones en el dominio del tiempo y los conceptos de controlabilidad y observabilidad tratados antes. Como se anotó en capítulos anteriores, particularmente en el Capítulo 14, Diseño utilizan- do el análisis del lugar de las raíces, el diseño de sistemas de control lineales a menudo se efectúa al manipular las localizaciones de los polos de la función de transferencia en malla cerrada (las raíces de fa ecuación característica), utilizando compensadores apropiados en la trayectoria de alimentación directa o en la de retroalimentación con el fin de cumplir con las especificaciones de desempeño. Este acercamiento es satisfactorio en muchas circunstancias, pero tiene ciertas limi- taciones que pueden salvarse utilizando una filosofía de diseño diferente, llamado diseño con retroalimentación de estados, el cual permite la colocación arbitraria de polos y, en consecuen- cia, suministra de manera sustancial más flexibilidad en el diseño. La idea básica que rige el diseño de sistemas de control con retroalimentación de estados es como sigue para plantas continuas de entrada sencilla dx/dt = Ax + Bu. El procedimiento es el mismo para sistemas discretos en el tiempo. Con referencia a la figura 2-1, buscamos un control con retroalimentación de estados: u= -Gx+r (20.3) en donde Ges una matriz de retroalimentación 1 x n de ganancias constantes (que va a diseñarse) y res la entrada de referencia. Al combinar estas ecuaciones, el sistema en malla cerrada resulta dx dt = (A - BG)x + Br (20.4) Si la planta es controlable la matriz G existe y puede producir cualquier conjunto (arbitrario) de raíces deseadas para la ecuación característica de este sistema en malla cerrada, representado por l>J-A+BGI = O, en donde las .A soluciones de este determinante son las raíces de la ecuación. Este es el resultado básico. EJEMPLO 20.2. En la figura 20-1 se presenta un diagrama de bloques del sistema con retroalimentación de estados definido en las ecuaciones (203) y (20.4). planta matriz de retroalimentación de ganancia constante Figura 20-1 X
- 626. INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 617 Para implementar un diseño con retroalimentación de estados, de alguna manera debe dispo- nerse de todo el vector de estados x como x exactamente o como alguna aproximación adecuada, representada como x. Si la salida es y = x, como se muestra en la figura 20-1, obviamente no hay problema. Pero, si no todos los estados están disponibles como salidas, lo que es más común, entonces se necesita la observabilidadde las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones de salida del modelo de la planta (dx!dt = Ax + Bu y y = Cx) para obtener el estado estimado necesario u observador x. Las ecuaciones de un sistema observador de estados típico son dx - = (A-LC)x+Ly +Bu dt (20.5) en donde A, By C son las matrices de los sistemas de medida de la planta y de la salida, y Les una matriz de diseño del observador que se determina para un problema particular. EJEMPLO 20.3. En la figura 20-2 se presenta un diagrama de bloques detallado del sistema observador de estados definido por la ecuación (20.5), junto con el diagrama de bloques de la planta y el sistema de medida (parte superior) para generar las señales de entrada necesarias del sistema observador (parte in- ferior). u y planta i observador Figura 20-2 EJEMPLO 20.4. Bajo condiciones apropiadas, las cuales incluyen controlabilidad y observabilidad de la planta que se va a controlar, se aplica un principio de separación y la parte de retroalimentación de estados (matriz G) y la parte observadora (matriz L) de un sistema de control con retroalimentación de estados (con y '* x) pue4en diseñarse independientemente. La figura 20-3 presenta un diagrama de bloques de los sistemas combinados. r + y Figura 20-3
- 627. 618 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL Hemos omitido muchos detalles en este material introductorio y a menudo los sistemas de control con retroalimentación de estados son más complejos que lo descrito antes. 20.4 Sistemas de control con entradas aleatorias Los estímulos del sistema a menudo presentan componentes aleatorios o de cualquier forma "desconocidos". Esto significa que las funciones de entrada algunas veces pueden definirse más apropiadamente de manera probabilística que determinística. Tales excitaciones se llaman proce- sos aleatorios. Las perturbaciones n del sistema (definición 2. 21), estudiadas en varios capítulos anteriores, algunas veces se representan mediante modelos de procesos aleatorios en la teoría y en la práctica de controles modernos. Un proceso aleatorio puede considerarse como una función de dos variables, t y r¡, en donde t representa el tiempo y r¡ un evento aleatorio. El valor de r¡ se determina al azar. EJEMPLO 20.5. Un proceso aleatorio particular se designa como x(t,T/). El evento aleatorio T/ es el resulta- do de lanzar al aire una moneda no cargada; las caras y los sellos aparecen con igual probabilidad. Defi- nimos ( _ { una función paso unitario si T/ = cara x t' 11) = una función rampa unitaria si T/ = sello De este modo x(t, 71) consta de dos func"iones simples, pero es un proceso aleatorio porque el azar decide qué función ocurre. En la práctica, los procesos aleatorios constan de una infinidad de funciones de tiempo posi- bles, llamadas realizaciones, y a menudo no podemos describirlas tan explícitamente como la del ejemplo 20.5. En lugar de ello, debemos describirlas en un sentido estadístico, mediante prome- dios sobre todas las funciones de tiempo posibles. Los criterios de desempeño estudiados antes se han relacionado todos con entradas específicas (por ejemplo, KP se define para una entrada paso unitario, MP y <fJMF, para ondas sinusoidales). Pero la satisfacción de las especificaciones de desempeño definidas para una señal de entrada, no necesariamente garantiza la satisfacción de las otras. En consecuencia, para una entrada aleatoria, no puede diseñarse para una señal particular, tal como una función paso, sino para el promedio estadístico de señales de entrada aleatorias. EJEMPLO 20.6. El sistema con retroalimentación unitaria de la figura 20-4 se excita mediante una entra- da de proceso aleatorio r que tiene infinitas posibilidades. Queremos determinar la compensación de tal manera que el error e no sea excesivo. Hay posibilidades infinitas parar y, por tanto, también para e. En consecuencia no podemos pedir que cada error posible satisfaga los criterios de desempeño d~os, sino que el promedio de errores sea pequeño. Por ejemplo, podríamos esperar que GI sea escogida del conjunto de todos los sistemas causales, tal que, a medida que el tiempo tiende a infinito, el promedio estadístico de e 2 (t) no exceda alguna constante o sea mínimo. e Figura 20-4
- 628. INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 619 El estudio de los procesos aleatorios en sistemas de control, a menudo llamado teoría de control estocástico, es un tema de nivel avanzado en matemáticas aplicadas. 20.5 Sistemas de control óptimo Los problemas de control estudiados ~n los capítulos anteriores son, en un sentido ele- mental, problemas de control óptimo. Las medidas clásicas de desempeño del sistem<1, tales como error en estado estacionario, margen de ganancia y margen de fase, son esencialmente criterios de optimización, y los compensadores de sistemas de control se diseñan para cum- plir estos requerimientos. En problemas de control óptimo más generales, la medida de de- sempeño del sistema, o índice de desempeño, no se fija de antemano. En lugar de ello, se elige la compensación de tal modo que el índice de desempeño se hace máximo o se hace mínimo. El valor del índice de desempeño no se conoce hasta que se complete el proceso de optimización. En muchos problemas, el índice de desempeño es una medida o función del error e(t) entre las respuestas real e ideal. Se formula en términos de los parámetros de diseño elegidos, con el fin de optimizar el índice de desempeño, sujeto a las limitaciones físicas existentes. EJEMPLO 20.7. En el sistema ilustrado en la figura 20-5, queremos encontrar un K 2:: Otal que la integral del cuadrado del error e sea mínima cuando la entrada sea una función paso unitario. Puesto que e =e(t) no es constante, sino una función de tiempo, podemos formular este problema como sigue: escoger K 2:: Otal que /0 "" e2 (t)dt sea mínima, y en donde [ s+2 ] {E e(t) =!t'- 1 2 = - - e-'sen(JK-1 t + tan- 1 JK- l) s + 2s+ K K-1 e Figura 20-5 La solución puede obtenerse para K > 1 utilizando las técnicas convencionales del cálculo integral para hallar mínimos, como se muestra a continuación: La integración produce fºe 2( 1 ) dt =(-K ~-l )(-e~_ 2 ' )[- l _ _ co_s(_2-/_K_-_1_,_+_2t_an_-_ 1 ..¡.....,,~=· -_1_-_t_an_-_ 1 (_-_JK_-_1)_) ] [ = K [ + cos(2tan- 1 v'K'=! - tan- 1 (-v'K'=l))] 4{K-1) l K
- 629. 620 Pero TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL cos(2 tan- 1 y'K-1 - ian- 1 ( -v'K-1 )) == -cos3v'K-1 .. 3co&/K-1 -4cos3 v'K-1 3K-4 = K{K En consecuencia oo K ( 3K - 4) K ( K -1)( K + 4) K + 4 l e2(1)dt- 4(K-1) 1+----¡i- = 4(K-1) K2 = 4K La primera derivada de Jg" e2 (t)dt con respecto a K es d(K+4) 1 dK 4K = - K2 En apariencia, /0 00 e2 ( t) dt disminuye monótonamente a medida que K aumenta. Por tanto el valor óptimo de K es K = oo, que por supuesto es irrealizable. Para este valor de K, lim 100 e2 (t)dt= lim (K+ 4 )=~ K-+oo O K-+oo 4K 4 Nótese que también la frecuencia natural wn del sistema óptimo es wn = VK = oo, y la relación de amortiguación { = 1/wn = O, haciéndolo marginalmente estable. Por tanto sólo puede realizarse de manera práctica un sistema subóptimo (menos que el óptimo) y su diseño depende de la aplicación específica. Los problemas de control óptimo comunes son sin embargo mucho más complejos que este simple ejemplo y requieren técnicas matemáticas más sofisticadas para su solución. Hacemos aquí poco más que mencionar su existencia. 20.6 Sistemas de control adaptable En algunos sistemas de control, ciertos parámetros son o no constantes, o varían de un modo desconocido. En el Capítulo 9 estudiamos una manera de minimizar los efectos de tales contin- gencias mediante el diseño para mínima sensitividad. Sin embargo, si las variaciones del paráme- tro son grandes o muy rápidas, puede ser conveniente diseñar para lograr la capacida~ medirlos continuamente y cambiar la compensación de tal modo que los criterios de desempeño del sistema siempre se satisfagan. Este se llama diseño de control adaptable. EJEMPLO 20.8. La figura 20-6 presenta un bosquejo de un diagrama de bloques de un sistema de control adaptable. Se sabe que los parámetros A y B de la planta varían con el tiempo. El bloque marcado "identifi- cación y ajuste de parámetros" mide continuamente la entrada u(t) y la salida c(t) de la planta para identificar (cuantificar) los parámetros A y B. De esta manera, a y b del compensador por adelanto se modifican de acuerdo con la salida de este elemento para satisfacer las especificaciones del sistema. El diseño del bloque de identificación y ajuste de parámetros es el principal problema del control adaptable, otro tema que requiere el conocimiento avanzado de matemáticas aplicadas.
- 630. INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN ANALIS'IS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL .,,.,. compensación por adelanto Figura 20-6 621 e
- 631. Apéndice A Algunos pares de transformadas de Laplace útiles para el análisis de sistemas de control F(s) f(t) t> o 1 B(t) impulso unitario e-Ts B(t- T) impulso retardado 1 - e-at s+a 1 1 tn-le-at n = 1,2,3, ... (s + a)" (n-1)! 1 1 (s+a)(s+b) -(e-at _ e-h1) b-a s 1 (s+a)(s+b) -(ae-at - be-ht) a-b S + z1 1 (s+a)(s+b) -b-[(z1 - a)e-ª1- (z1 - b)e-h1] -a 1 e~at e-ht e·-ct (s+a)(s+b)(s+c) + + (b-a}(c-a) (c-b)(a-b) (a-c}(b-c) S + z1 (z1-a)e-ª1 (z1 - b)e-h' (z1- c)e-'' (s + a)(s + b}(s + e) + + '411 (b-a)(c-a) (c-b)(a-b) (a-c}(b-c) w - - sen wt s2 + w2 s - - coswt s2 + w2 ---,. .
- 632. ALGUNOS PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILES PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL 623 S + Z¡ fI!7 q, = tan- 1 (w/z1) s2 + w2 sen(wt + q,) s sen q> + w cos q> s2 + w2 sen (wt + q,) 1 1 (~+a}2+w2 -e-u1,senwt w F(s) f(t) t> o 1 1 Wd= wn/1 - r2 s 2+ 2rw,,s + w;. -e-fwn1 senwdt wd s+a ( )2 J e-ar coswt s+a +w- S + Z¡ ( z1 - a)2 + w2 e-a, sen( wt + q>) q>= tan- 1 (-w ) (s + a ) 2 + w2 w2 Z¡ -a 1 - l(t) paso unitario s l -Ts -e l(t- T) paso retardado s 1 pulso rectangular -(1- e-Ts) l(t) - l(t - T) s 1 1 s(s + a) -(1 - e-ªt) a 1 1 ( be-ª' ae-b 1 ) - 1---+-- s(s+a)(s+b) ab b-a b-a ... S + Z¡ 1 ( b(z1 -a)e-ª1 a(z1 -b)e-bt) s( s +a)( s + b) - z - + ~ 1 b-a b-a 1 1 s(s 2 +w2) 2 (1- coswt) w S + Z¡ Z¡ V zf + w2 q> = tan- 1 (w/z1) s(s2+w2) - - - - cos(wt+q,) w2 w4
- 633. 624 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 1 1 2 - --e-r"'•' sen( wdt +<f,) s( s2 + 2fw,,s + w~) w,, w,,wd wd =w,,Vl - f2 </J =cos-1 f 1 1 s(s + a)2 -(1- e-a, - ate-ª1 ) ª2 s+z1 1 s(s+a) 2 2 [z1 -z1e-ª1 + a(a-z1)te-ª1 ] a 1 - t rampa unitaria si 1 1 1 s2 (s + a) -(at-1 + e-ª1 ) ª2 ' 1 t"-1 - n = 1,2,3, ... O!= 1 s" (n-1)!
- 634. Apéndice B Algunos pares de transformadas z útiles para el análisis de sistemas de control F(z) k-ésimo término de la secuencia de tiempo / (k), k = O, 1, 2, .. z " 1 en k, O en cualquier otra parte (secuencia delta de Kronecker) z aT e-akT z-e Te aTZ ' (z-e ar)1 kTe-akT T1e- aTz( z + e- aT) (kT)2e-akT ( z - e ar/ z" (k+l)(k+2) ···(k+n-l) Ak (z-A)" (n-1)! (A es cualquier número complejo) z - - 1 (secuencia de paso unitario) z-1 Tz (z- 1)2 kT (secuencia de rampa unitaria) T 1z(z+l) (kT)2 ( z - 1)3 z" (k+l)(k+2) ···(k+n-l) (z-1)" (n-1)! ._ z senwT senwkT z1-2zcoswT+l z(z - coswT) coswkT z1- 2zcoswT+ 1 ze-- aT senwT e-akT senwkT z2 - 2ze-"7 coswT+ e-laT z(z-e-ªrcoswT) e-akT COS wkT z2 - 2ze-- ar coswT+ e-laT 625
- 635. 626 TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL 1 O para k = O 1 (z-a)(z-b) --(ak-1 _ bk-1) parak>O a-b z 1 (z-a)(z-b) --(ak - bk) a-b z(l - a) 1- ak (z-l)(z-a) -~
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- 637. Indice Acelerómetro, 185 Aleatorio(os, as): entradas, 618 evento, 618 procesos, 618 Amortiguación: coeficiente de, 59 razón (relación) de, 59,122,341,424,440 Analógico: computador, 263 sistema de control, 6 Ancho de banda, 5, 300, 312, 388, 392, 394, 403,408,486,563 Angulos: de llegada, 417, 433 de partida, 416, 433 Aproximaciones: por polo-cero dominante, 449, 458, 463 por serie de Taylor, 584, 602 Asíntotas (lugar de las raíces), 417, 433 Asintóticos(as): aproximaciones, 476, 491 errores, 478 Atraso: compensación por, 391, 445 compensador por, 165, 170, 505, 562 continuo, 165 digital, 170, 404 Auto-malla, 234 Barrorreceptores, 188 Bilineal: _:i., ecuación, 50 transformación, 151, 305, 487, 509 Bloque, 18 Bode: análisis de, 471 análisis y diseño de sistemas discretos en el tiempo, 487, 509 diagrama de ángulo de fase de, 472 diagrama de magnitud de, 472 629 diagramas de, 471, 489, 499 diseño utilizando el análisis de, 499 forma de, 472, 489 ganancia de, 472, 489, 499 sensitividad de, 269 e.e.: entrada de, 166 ganancia en, 166, 169 motor de, 184 Calibrar, 4 Canónico(a): forma, de un sistema de control con retroalimentación, 200, 211 sistema, control con retroalimentación, 200,211 Carta de Nichols, 537, 538, 548 diagrama de la, 539 diseño de sistemas discretos en el tiemp utilizando el análisis de la, 568 diseño utilizando el análisis de la, 556 Causa y efecto, 5 Causalidad, 71, 91 Centro de asíntotas, 415 Círculo unitario, 150, 329, 438 Círculos M, 339, 373, 386 Círculos N, 339, 373 Clasificación de los sistemas de control, 277,290 Cofactor, 67 Compensación: activa, 305 de fase, 445, 461, 573 de magnitud, 446, 462 del factor de ganancia, 384, 386, 398, 44:: 458,499,556,557,569 en cascada, 304 pasiva, 305 por adelanto, 387,400,445,501,515, 55; por atraso, 391, 445, 505, 519, 562 por atraso-adelanto, 393, 400, 507, 521,564
- 638. 630 por cancelación, 444, 459 por retroalimentación, 304, 456, 467, 526 tacométrica, 402 Compensador por adelanto, 165, 169, 445, 501,558 continuo, 165 digital, 169, 405 Compensador por atraso-adelanto, 165, 393,507,564 Compensadores, análogo y digital: derivada (D), 402 integral (/), 26 PID, 26,166,395 por adelanto, 165, 169, 176, 272, 501, 558 por atraso, 165, 170, 177, 178, 404, 505,561 por atraso-adelanto, 165, 177, 507, 564 proporcional (P), 26 Complejo(a): convolución, 95, 128 forma, 324 función, 319 plano, 118 traslación, 95 Componente, 18 Conjunto fundamental, 52, 65, 78, 91 Constante de tiempo dominante, 303, 392, 394,563 Constantes de error, 282, 292 de aceleración, 280, 294 de paso, 282, 294 de posición, 278, 294 de rampa, 279, 282, 294 de velocidad, 279, 294 parabólico, 283, 294 Continua a tramos, 23 Continuo(a, os) en el tiempo (datos): señal, 5 sistema de control, 6 Contorno cerrado, 320 Control, 1 acción de, 3, 11 algoritmos (leyes) de, 26, 601 modelos de sistemas de, 8 problema de la ingeniería del sistema de, 7 relación de, 212 señal de, 20 sistema de, 1 subsistema de, 2 Control de: calefacción, 3, 7 refrigeración, 16 temperatura del horno, 16, 42 un avión, 4 Gontrolabilidad, 614 matriz de, 615 Controlable, 614 Controlado(a): salida, 20 sistema, 20 variable, 4 Controlador: INDICE de encendido-apagado (on-off), 26, 40, 590 derivativo, 26 I, 26 integral, 26 P,26 PD, 26 PI, 26 PID, 26,166,395 proporcional, 26 Controladores, 26 (véase también, Compensadores; Compensación) Convertidor A/D, 23, 46 Convertidor analógico a digital (A/D), 23 Convertidor D/A, 23, 46 Convertidor digital a analógico, 23, 46 Convolución: integral de, 55, 70, 90, 95 suma de, 66, 89, 107 Corte: frecuencia de, 300 tasa de, 301 Criterio de estabilidad: de fracciones continuas, 148, 157 -~ de Hurwitz, 147, 155 de Lyapunov, 594, 607, 61~._ de Popov, 600 ·· de Routh, 146, 154 Criterio del ángulo de fase, 413, 426 Curva de conmutación, 592 Datos discretos en el tiempo (digitales): señal de, 5 sistema de control de, 6 Datos experimentales de respuesta de frecuencia, 318, 324, 356
- 639. r INDICE Decibel, 300 Delta de Kronecker: respuesta, 66, 168, 182 secuencia, 66, 111 Detector por fotocelda, 14 Determinante, 66 Diagrama polar, 324, 354, 375 propiedades del, 325, 355 Diagramas de bloques, 18, 28, 198 reducción de, 206, 210, 219, 242, 257 transformaciones de, 201, 213 Diagramas de magnitud en dB-ángulo de fase, 529, 542 Digital(es): compensador, por adelanto, 169,405,406 compensador, por atraso, 170, 404, 449 datos, 5 filtro, 23 señal (datos), 5, 21 Dipolo, 446 Dirección, 3 de potencia, 27 de potencia de automóviles, 27 Directa: función de transferencia, 201 trayectoria, 20, 234 Discretización de ecuaciones diferenciales, 69 Diseño: lugar de las raíces, 443 métodos de, 305 objetivos del, 298 por análisis, 7, 305 por síntesis, 7, 305 puntual, 454, 464 utilizando el análisis de Bode, 499, 509 utiliilando el análisis de Nichols, 556, 568 utilizando el análisis de Nyquist, 384 Diseño ayud-w,o por computador (DAC), 305 Diseño algebraico (síntesis) de sistemas digitales, 308 Distorsión (perturbación), 25, 618 Distorsiones externas, 5 Divisor de voltaje, 11 Dominio del tiempo: diseño en el, 616 especificaciones en el, 302 respuesta en el, 63, 113, 131, 420, 438 63 Ecuación auxiliar, 147 Ecuación característica, 51, 64, 78, 201, 238,411 raíces diferentes de la, 52 raíces repetidas de la, 53 Ecuación de difusión, 47 Ecuación diferencial: homogénea, 52, 54 ordinaria, 48 Ecuaciones de diferencia, 47, 63, 67, 86 Ecuaciones de perturbación, 587, 602 Ecuaciones del péndulo, 583 Ecuaciones del satélite, 72, 582, 603 Ecuaciones del sistema masa-resorte, 58: Ecuaciones diferenciales, 47 invariables en el tiempo, 49, 77, 587 lineales, 49, 71, 77 no lineales, 49, 77, 586 ordinarias, 48 soluciones de las, 53, 63, 81, 112, 131 variables en el tiempo (variantes en el tiempo), 49, 76 Ecuaciones invariables en el tiempo, 49, fü Ecuaciones variables en el tiempo (variantes con el tiempo), 49 Ecualizadores, 304 Efectos de carga, 34, 200, 211, 242, 255 Elemento(s), 18 anticipativos, 20 Encerrados, 321, 353 Entrada, 2 nodo de, 234 Entrada de prueba, 25 Entrada de referencia, 21 Entradas múltiples, 204, 215 Error: detector de, 25 relación de, 212 señal de, 21, 619 Escalas logarítmicas, 471 Especificaciones de desempeño, 298, 619 en el dominio de la frecuencia, 298 en el dominio del tiempo, 302 en estado estacionario, 302 transitorio, 302, 619 Especificaciones en el dominio de la frecuencia, 298 métodos para sistemas no lineales, 598,608
- 640. 632 Espejo, 1 Estabilidad, 145, 595 asintótica, 595 condicional, 386 criterios de, 146, 594 de fracciones continuas, 148, 157 de Hurwitz, 147, 155 de Lyapunov, 594, 613 de Popov, 600 deRouth, 146,154,161 marginal, 145 prueba de Jury, 150, 159 relativa, 145, 338, 372, 484, 495, 535 Estable: asintóticamente, 595 marginalmente, 145 Estado estacionario: errores en, 292, 295 respuesta en, 57, 67 Estado: diseño de control con retroalimentación de,616 espacios de; 614 estimado, 617 observador, 617 representaciones por variables de (modelos), 60, 67, 68, 86, 586, 595, 614 soluciones del vector de, 63, 68 · vector de, 62, 68 Estímulo, 25 Avaluación gráfica de residuos, 120 Exactitud, 5 Factibilidad física, 71 Factor de ganancia, 164 compensación del, 384, 398, 443, 499, 514, 556,557,569 Fase: ángulo de, 324 compensación de, 445 frecuencia de cruce de, 299, 339, 536 margen ~e, 299, 312, 339, 423, 439, 484, 498,536,546 mínima, 165 plano de, 588, 589 Forma: de Euler, 324 polar, 324 rectangular, 320 INDICE Fórmula de ganancia entrada-salida, 237 Fórmula general de ganancia •. ,, entrada-salida, 237, 250 Frecuencia: a escala de, 94, 96 de corte, 300, 476 de cruce de fase, 299, 339, 536 de cruce de ganancia, 299, 339, 536 natural amortiguada, 59, 122 natural no amortiguada, 59, 122 Función: de Lyapunov, 595 de saturación, 582 de transferencia de pulso, 188 de transferencia general, 324 de transferencia sinusoidal, 318, 324 matricial exponencial, 63, 87 multivaluada, 349 nominal de transferencia, 268 unificada de respuesta de frecuencia en malla abierta, 298, 324 Funciones completas, 343 Funciones de singularidad, 57, 84 Funciones de transferencia, 163 continuas en el tiempo, 163, 173, 174 de malla, 201 de malla abierta, 201 de retroalimentación, 201 derivadas de las, 319 directa, 201 discretas en el tiempo, 169 Funciones descriptoras, 597, 609 Funciones racionales (algebraicas), 101, 103,110,118,119,345 Ganancia, 167, 170, 171, 235 frecuencia de cruce de, 299, 339, ~36 margen de, 299, 312, 339, 422, 439, 484, 498,536,546 • Ganancia de malla, 235 Generador (eléctrico), 9 Giróscopo, 186 Grado de un polinomio, 345 Grafo de flujo de señales, 231, 244 Histéresis, 40, 598, 612 Horno, 3 Impulso unitario: · función, 57, 84