![Integrales indefinidas
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x),
busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro
modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas
ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una
conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.
La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama
la variable de integración.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.](https://image.slidesharecdn.com/integrales-190322022419/85/Integrales-4-320.jpg)
Integrales
- 1. República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Sede Barcelona Integrales Bachiller: Elimar Perdomo C.I.: 27.929.844 Fecha, Marzo de 2019
- 2. Introducción Llamaremos primitiva de una función respecto de la variable , a una función que cumpla que Es el proceso inverso a obtener la función derivada: Derivada: a partir de una función obtenemos su función derivada Primitiva: a partir de la función derivada obtenemos la función primitiva de la que procede Si tenemos la función podemos comprobar que una primitiva sería (al derivar 5x obtenemos 5). Pero también serían primitivas las funciones , , , etc. (al derivar cualquiera de ellas obtendríamos 5). Tendríamos infinitas primitivas de la forma (siendo C una constante que podría representar cualquier número) Llamaremos integral indefinida de f(x) al conjunto de todas las primitivas de dicha función y lo representaremos por: En la expresión anterior tenemos (de izquierda a derecha): : símbolo de integral : integrando (la función que queremos integrar)
- 3. : diferencial de x (x es la variable respecto de la que queremos integrar) : primitiva : constante de integración Integración: podemos llamar integración al proceso mediante el cual obtenemos la integral indefinida de una función. Para ello existen varios métodos: Integrales Inmediatas. Consiste en aplicar fórmulas de manera semejante al cálculo de derivadas. Integración por partes Integración por cambio de variable (o sustitución) Integración de funciones racionales etc.
- 4. Integrales indefinidas Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
- 5. Integrales inmediatas. Se llaman integrales inmediatas aquellas que están en la tabla de integrales, su solución es inmediata pues se trata sólo de poner el resultado que aparece en la tabla (desgraciadamente a los profesores no nos gusta mucho ponerlas como ejercicios del exámen ). Ejemplo 1: Hallemos la integral: Solución: Sin más que consultar la tabla de integrales: En ocasiones una integral es inmediata, aunque a algunos no les parezca en principio así, como en el caso siguiente: Ejemplo 2: Hallemos la integral:
- 6. Solución: Hay que tener en cuenta que el integrando no es más que , por lo tanto tenemos: También suele llamarse "inmediata" a una integral a la que ha de hacerse un cambio de variable simple tal como x + a = t, como en el ejemplo siguiente: Ejemplo 3: Hallemos la integral: Solución: Hacemos (x + 5) = t , y diferenciando los dos miembros de la igualdad: dx=dt. A continuación sustituimos: * Integración por descomposición. Se trata de aprovechar la propiedad de linealidad: De esta manera, siempre que podamos descomponer una integral en varios sumandos lo haremos así. Ejemplo 5: Hallemos la integral, Solución: Esta integral puede ser descompuesta en sumandos más simples,
- 7. Métodos de Integración Integrales por cambio de variables. Método de sustitución El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral: 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos: 3º Se vuelve a la variable inical: Ejemplo
- 8. Integracion por partes El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u. Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'. Caso 1 En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.
- 9. Caso 2 Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces. Caso 3 Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
- 10. Caso 4 Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación. Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.
- 11. Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13. Sacamos factor común e3x. Integrales trigonométricas. Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, para este caso hay una cambio siempre válido, es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales. CAMBIO GENERAL: Según esto para expresar el seno y el coseno como funciones de t, podemos considerar: expresiones que se obtienen de: sen 2A = 2 sen A cos A; cos 2A = cos²A - sen²A, haciendo 2A = x. Con lo cual, podemos poner: Ejemplo 1: Hallemos la integral,
- 12. Solución: Haciendo el cambio general, tan x/2 = t, no tenemos más que sustituir directamente, para transformarla en racional: Finalmente debemos sustituir el valor de t: El alumno puede practicar con este método general haciendo los siguientes ejercicios: Las integrales trigonométricas que estamos viendo suelen ser expresadas en los libros como: , donde por R nos referimos a una expresión racional. Ahora vamos a ver que ciertas integrales de la forma: , en las que aparece sen x ó cos x multiplicando a dx aunque pueden ser hechas por el método general, suele ser más fácil realizarla por una simple sustitución: sen x = t ó cos x = t. Como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 2: Hallemos la integral, Solución: Realizamos el cambio indicado,
- 13. con lo que nos queda: una integral racional cuyo resultado es: El alumno puede practicar (utilizando el cambio general o éste visto aquí) las integrales: * * * CAMBIO ALTERNATIVO: En ocasiones nos aparecen integrales en las que (1) aparece la función tangente y/o (2) aparecen las funciones seno y coseno elevadas a potencias pares, en estos casos conviene realizar un cambio que llamaremos "trigonométrico alternativo": Apoyándonos en una circunferencia trigonométrica, cuyo radio es 1, hacemos el cambio: Por la gráfica, observamos un triángulo rectángulo cuyos catétos miden 1 y t (el segmento rojo es la tangente de x), entonces la hipotenusa es la raiz de estos valores al cuadrado. Entonces podemos poner:
- 14. con este cambio las integrales trigonométricas se convierten a racionales, pero se exige que en ellas el seno y al coseno estén elevados a potencias pares para que al sustituir desaparezcan los radicales del denominador. Ejemplo 3: Hallemos la integral, Solución: Como aparece sólo la función tangente hacemos este cambio alternativo: tg x = t finalmente en t sustituimos tg x. Ejemplo 4: Hallemos la integral, Solución: En esta integral aparece tg x y la función sen x elevada a una potencia par, por tanto puede ser adecuado este cambio, tg x = t, x = arc tg t: sustituyendo la convertimos en racional: finalmente sustituimos la t por tg x. Otras integrales para que el alumno practique:
- 15. * Integrales de la forma: , donde P es una expresión polinómica en senos y cosenos. Siempre podremos desarrollarla en sumas de integrales de la forma: en la que dependiendo de cuál sean m y n hay dos posibilidades: i) m ó n impares o ambos impares. Sea por ejemplo m impar, es decir m = 2p+1, entonces la integral queda: que puede expresarse en la forma: y ahora hacerse por sustitución: sen x = t, -> cos x dx = dt, y la integral se convierte en inmediata. Ejemplo 32: Hallemos la integral, Solución: la función coseno está elevada a una potencia impar, por lo tanto podemos expresar la integral en la forma: y ahora con la sustitución sen x = t, tenemos: ii) m y n son ambos pares. En este caso la integral tendrá la forma:
- 16. entonces podemos expresar por ejemplo: , y por tanto al desarrollarla en sumandos nos aparecen varias integrales de la forma: . En definitiva, todo se reduce a realizar integrales de la forma: a) Cuando el exponete es par se pueden hacer por partes, como ya hemos visto para el caso de sen²x, y de cos²x. Ejemplo 5: Hallemos la integral, Solución: Esta integral podemos expresarla: que hacemos por partes: entonces tenemos, por lo tanto, La integral del seno al cuadrado ya la conocemos (recordarla): Y pr lo tanto podemos concluir:
- 18. 3 4 5 6 7
- 19. 8 9
- 20. 10 11 12 13 14
- 21. 15 16 Integrales racionales En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría. Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales: Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples La fracción puede escribirse así: Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
- 22. Ejemplo Se efectúa la suma: Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales: Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador. Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples La fracción puede escribirse así:
- 23. Ejemplo Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más. Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples La fracción puede escribirse así:
- 24. Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente. Ejemplo Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes: Integrales irracionales. Son aquella integrales que contienen funciones irracionales (raíces), la cantidad subradical lineal repetida o no. El artificio consiste en realizar un cambio de variable que permita simplificar las raíces presentes, esto se logra elevando la nueva variable al índice de la raíz o el m cm de las raíces presentes. (siempre que sean de la misma cantidad subradical). Ejemplo:
- 25. Integrales binómicas Se trata de integrales de la forma: que incluye integrales de raíces cuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3), etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos: Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero con a=b=n=1. Toda integral binómica tipo general debe ser transformada a binómica tipo I para ser integrada. En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el cambio: b xn = a t Esto lo vamos a ver con un ejemplo, tranformemos a tipo I la integral:
- 26. para ello hacemos el cambio: ahora despejamos x y hallamos dx: y sustituimos en la integral: donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I. * Forma de integrar una integral binómica tipo I. Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo a los tres casos: i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton, y se desarrolla en integrales inmediatas. ii) b=p/q (no entero), a: entero. En este caso se utiliza el cambio: siendo el exponente de z el denominador del cociente p/q. iii) b=p/q (no entero), a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica y divide a la integral por , entonces ésta puede ser expresada: y a continuación se realiza el cambio: siendo el exponente de z, al igual que ántes, el denominador del cociente p/q. Veamos algunos ejemplos:
- 27. Ejemplo 26: Hallemos la integral indefinida: Solución: Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que como hemos dicho, con el cambio , queda transformada en integral tipo I: Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (no entero), a=2 (entero), por lo tanto el cambio indicado es: 1 + t = z² es decir, , con lo que la integral se convierte en inmediata: finalmente sustituiremos el valor de z, y en éste el valor de t: Ejemplo 27: Hallemos la integral indefinida: Solución: Se trata de una integral que podemos expresar en la forma en la que claramente se ve que es binómica tipo general, con m=-4, n=½, p=-½. Para transformarla en tipo I hacemos el cambio: lo que conduce a:
- 28. integral binómica tipo I, en la que tanto a como b son no enteros pero a + b es -3, entero (el signo es indeferente), y por tanto la podemos hacer según el caso (iii): como b=-1/2, lo primero que hacemos es multiplicar y dividir al integrando por t-1/2, es decir: ahora realizamos el cambio: con lo que la integral resultante es: finalmente debemos sustituir el valor de z y el correspondiente a t, y el resultado es: * * * Algunos ejercicios que puede realizar el alumno:
- 29. Conclusión En conclusión vemos como el calculo nos enseña muchas cosas pero no solo en números si no también en la vida diaria los integrales o derivabas es un tema muy extenso que nos ayuda a resolver problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media.