![Propiedad 4. Si MA[ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ] = p
i) 𝑀𝐴 (𝑎1+𝑘 ; (𝑎2+𝑘); (𝑎3+𝑘); … ; 𝑎𝑛 + 𝑘 ] = p + 𝑘
ii) 𝑀𝐴 (𝑎1𝑘 ; (𝑎2𝑘); (𝑎3𝑘); … ; 𝑎𝑛𝑘 ] = p𝑘
Demostración: Si
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
= p
i)
(𝑎1+𝑘) + 𝑎2 + 𝑘 + 𝑎3 + 𝑘 + ⋯ + (𝑎𝑛+𝑘)
𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑛𝑘
𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
+ 𝑘
p + 𝑘 ∎
ii)
𝑎1𝑘 + 𝑎2𝑘 + 𝑎3𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑘
𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑘
𝑛
p𝑘 ∎](https://image.slidesharecdn.com/intro1-promedios1-250114132818-263b467c/85/INTRO1-PROMEDIOS-AREA-DE-ARITMETICA-MATEMATICA-17-320.jpg)
![Propiedad 5. Si los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 forman una progresión aritmética,
su promedio aritmético es:
𝑀𝐴 =
𝑎1+𝑎𝑛
2
r r
Demostración:
Sea S = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛. Usando la propiedad 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑟 se tienen
S = 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑟 + 𝑎1 + 2𝑟 + ⋯ + [𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑟]
S = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 − 𝑟 + 𝑎𝑛 − 2𝑟 + ⋯ + [𝑎𝑛 − 𝑛 − 1 𝑟]
+
2S = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + 𝑎1 + 𝑎𝑛 + 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎𝑛
2S = 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑛
𝑆
𝑛
=
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
→ 𝑀𝐴 =
𝑎1+𝑎𝑛
2
∎](https://image.slidesharecdn.com/intro1-promedios1-250114132818-263b467c/85/INTRO1-PROMEDIOS-AREA-DE-ARITMETICA-MATEMATICA-19-320.jpg)
![Propiedades
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻
Desigualdad de medias
Para dos números a y b 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐻 = 𝑀𝐺2
𝑀𝐴2
− 𝑀𝐺2
=
(a − b)2
4
Para 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 en progresión aritmética
𝑀𝐴 [ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ] =
𝑎1+𝑎𝑛
2
Promedio de velocidades, para distancias iguales
Vm =
n
1
v1
+
1
v2
+
1
v3
+⋯+
1
vn](https://image.slidesharecdn.com/intro1-promedios1-250114132818-263b467c/85/INTRO1-PROMEDIOS-AREA-DE-ARITMETICA-MATEMATICA-24-320.jpg)
INTRO1-PROMEDIOS ÁREA DE ARITMETICA MATEMATICA
- 2. Concepto de promedio El promedio de un conjunto de números es un único número el cual puede sustituir a cada elemento del conjunto sin alterar alguna característica de este. Estudiaremos tres tipos de promedio (aritmético, geométrico y armónico) y observaremos que para cada uno existe alguna característica del conjunto (su suma, su producto o su suma de inversas) la cual no se altera. Ejemplo Si las notas de un alumno en cierto curso fueron 12, 08, 15 y 13. Su puntaje promedio será aquel que pueda sustituir a las cuatro notas anteriores y producir el mismo puntaje total. Ya que 12 + 08 + 15 + 13 = 48, el puntaje promedio será aquel número que sumado 4 veces resulte igual a 48. Es decir Puntaje promedio = 12 + 08 + 15 + 13 4 = 48 4 = 12 A este promedio se le conoce como promedio aritmético.
- 3. 1. Promedio aritmético o media aritmética (MA) Dado un conjunto de números, se llama promedio aritmético a aquel número que puede sustituir a todos los elementos del conjunto sin alterar su suma. Ejemplo Los pesos de tres paquetes de arroz son 9, 5 y 10 kg. Halle el promedio aritmético de dichos pesos Dado los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 𝑀𝐴 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛 MA = Observación Si el peso de todos los paquetes fuera igual al promedio (8 kg), el peso total de los tres paquetes sería el mismo (24 kg). 9 + 5 + 10 3 = 24 3 = 8 kg
- 4. APLICACIÓN 1 La MA de 51 números consecutivos es 75. Calcule los dos números consecutivos que se deben quitar para que la MA de los números restantes sea 74 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 𝑀𝐴 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎51 51 = 75 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎51 = 3825 Dato: si quitamos los números consecutivos x e y 𝑀𝐴 = 3825 − x − y 49 = 74 3825 − x − y = 3626 x + y = 199 Ya que x e y son consecutivos x = 99 ; y = 100 ∎
- 5. Promedio aritmético ponderado Se utiliza para calcular el promedio cuando cada uno de los datos tiene un “peso” distinto. Ejemplo Un estudiante obtiene las siguientes notas en el curso de Cálculo I Si los datos 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 tienen los pesos 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛 respectivamente 12(2) + 16(5) + 8(3) 2 + 5 + 3 Nota Peso Examen parcial 12 2 Promedio de prácticas 16 5 Examen final 08 3 𝑀𝐴 = 𝑎1𝑝1 + 𝑎2𝑝3 + 𝑎2𝑝3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑝𝑛 𝑝1 +𝑝2 +𝑝3 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 128 10 = 12,8 MA =
- 6. APLICACIÓN 2 Un alumno del curso de estadística ha sacado nota 09 en su examen parcial y su promedio de prácticas es 14. Si la nota mínima aprobatoria es 11, ¿cuál es la mínima nota que debe obtener en el examen final para aprobar el curso, sabiendo que las prácticas representan el 40% del promedio final y los exámenes 30% cada uno? 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Nota Peso Examen parcial 09 30% Promedio de prácticas 14 40% Examen final x 30% 9(30) + 14(40) + x(30) 100 = 11 830 + 30x = 1100 30x = 270 x = 9 MA =
- 7. 2. Promedio geométrico o media geométrica (MG) Dado un conjunto de números positivos, se llama promedio geométrico a aquel número que puede sustituir a cada elemento del conjunto sin alterar su producto. Ejemplo Las dimensiones de una zanja son 8, 3 y 9 m. Halle el promedio geométrico de dichas longitudes Dado los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 𝑀𝐺 = 𝑛 𝑎1𝑎2𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛 MG = Observación Si la longitud de todas las dimensiones fuera iguale al promedio (6 m), el producto de dichas dimensiones, es decir el volumen de la zanja sería el mismo (216 m3). 3 8 × 3 × 9 = 3 216 = 6 m
- 8. APLICACIÓN 3 La MG de 4 números pares y distintos entre sí es 6 3. Halle la MA de dichos números. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 𝑀𝐺 = 4 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 6 3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 6 3 4 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 64 ∙ 32 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 24 ∙ 34 ∙ 32 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = (2 ∙ 30) ∙ (2 ∙ 31) ∙ (2 ∙ 32) ∙ (2 ∙ 33) 𝑎 = 2 𝑏 = 6 𝑐 = 18 𝑑 = 54 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 24 ∙ 36 Luego: 𝑀𝐴 = 2 + 6 + 18 + 54 4 = 80 4 𝑀𝐴 = 20
- 9. 3. Promedio armónico o media armónica (MH) Dado un conjunto de números no nulos, se llama promedio armónico a aquel número que puede sustituir a todos los elementos del conjunto sin alterar la suma de sus inversas. Ejemplo tres obreros tardan 4, 3 y 6 horas en realizar un mismo trabajo. Halle el promedio armónico de estos tiempos Dado los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 𝑀𝐻 = 𝑛 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + 1 𝑎3 + ⋯ + 1 𝑎𝑛 𝑀𝐻 = Observación Si el tiempo que tardan los tres obreros fuera igual al promedio (4), la suma de sus inversas sería la misma (3/4). 3 1 4 + 1 3 + 1 6 = 3 3 4 = 4 h
- 10. Solución: Descomponiendo cada número como el producto de dos factores consecutivos. 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; ⋯ ; 99 100 𝑀𝐻 = 98 1 2(3) + 1 3(4) + 1 4(5) + 1 5(6) + ⋯ + 1 99(100) 𝑀𝐻 = 98 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + 1 4 − 1 5 + 1 5 − 1 6 + ⋯ + 1 99 − 1 100 𝑀𝐻 = 98 1 2 − 1 100 = 98 98 2(100) = 2 100 APLICACIÓN 4 Halle la MH de los números 6; 12; 20; 30; … ; 9900. → 𝑀𝐻 = 200
- 11. 𝑀𝐺 = 𝑛 𝑎1𝑎2𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛 Para los números 𝑎1. 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛 Promedios Promedio aritmético Promedio geométrico 𝑀𝐴 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛 𝑀𝐻 = 𝑛 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + 1 𝑎3 + ⋯ + 1 𝑎𝑛 Promedio armónico 𝑀𝐺 = 𝑎𝑏 𝑀𝐴 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑀𝐻 = 2 1 𝑎 + 1 𝑏 = 2𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏
- 12. APLICACIÓN 5 Para dos números naturales se cumple que su MA y su MH están en la relación de 16 a 15. Si la diferencia de los cuadrados de dichos números naturales es 144, halle su MG. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Sean a y b los números tales que: MA MH = 16 15 MA = 16k MH = 15k • a + b 2 = 16k → a + b = 32k • 2ab a + b = 15k → ab = 240k2 Luego: a = 20k ; b = 12k Dato: a2 − b2 = 144 400 k2 − 144 k2 = 144 256 k2 = 144 k2 = 9 16 k = 3 4 Luego: a = 20 3 4 = 15 b = 12 3 4 = 9 Piden: 𝑀𝐺 = 𝑎𝑏 = 9 × 15 = 3 15
- 13. Propiedades Propiedad 1. Dadas la MA, MG y MH de un conjunto de números positivos 𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻 Demostración Demostraremos la propiedad para el caso de dos números. Dados los números a y b reales positivos ( a − b)2 ≥ 0 a − 2 ab + b ≥ 0 a + b ≥ 2 ab a + b 2 ≥ ab 𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 Luego: a + b 2 ≥ ab a + b 2 ≥ ab ab ab ≥ 2ab a + b 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻 Se cumple:
- 14. APLICACIÓN 6 Para tres números naturales se cumple que su MA es 7, su MH es 36/7 y su MG es igual a uno de los números. Halle el mayor de dichos números. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Sean a, b y c dichos números • MG = 3 abc = a • MA = a + b + c 3 = 7 • MH = 3 1 a + 1 b + 1 c = 36 7 Se sabe: 𝑀𝐻 < 𝑀𝐺 < 𝑀𝐴 5, 14 < a < 7 a = 6 Luego: • 6 + b + c 3 = 7 • 3 6bc = 6 → b + c = 15 → bc = 36 Donde: b = 12 ; c = 3 Piden: El mayor de los números b = 12
- 15. Propiedad 2. Dados dos números positivos a y b se cumple que: 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐻 = 𝑀𝐺2 Demostración: Propiedad 3. Dados dos números positivos a y b se cumple que: 𝑀𝐴2 − 𝑀𝐺2 = (a − b)2 4 𝑀𝐴2 − 𝑀𝐺2 = 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐻 = a + b 2 ∙ 2ab a + b = ab = ab 2 = 𝑀𝐺2 Demostración: a + b 2 2 − ab 2 = a2 + 2ab + b2 4 − ab = a2 − 2ab + b2 4 = a − b 2 4
- 16. APLICACIÓN 7 Para dos números naturales se cumple que el producto de sus tres promedios es 1728. Si un de dichos promedios es 11,52, halle la suma de los números. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Sean a y b los números tales que: 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐻 ∙ 𝑀𝐺 = 1728 𝑀𝐺2 ∙ 𝑀𝐺 = 1728 𝑀𝐺3 = 1728 𝑀𝐺 = 12 Luego: Ya que MH < 𝑀𝐺 𝑀𝐻 = 11,52 Luego: • ab = 12 • 2ab a + b = 11,52 → ab = 144 → 2(144) a + b = 1152 100 → a + b = 25
- 17. Propiedad 4. Si MA[ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ] = p i) 𝑀𝐴 (𝑎1+𝑘 ; (𝑎2+𝑘); (𝑎3+𝑘); … ; 𝑎𝑛 + 𝑘 ] = p + 𝑘 ii) 𝑀𝐴 (𝑎1𝑘 ; (𝑎2𝑘); (𝑎3𝑘); … ; 𝑎𝑛𝑘 ] = p𝑘 Demostración: Si 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛 = p i) (𝑎1+𝑘) + 𝑎2 + 𝑘 + 𝑎3 + 𝑘 + ⋯ + (𝑎𝑛+𝑘) 𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑛𝑘 𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑘 p + 𝑘 ∎ ii) 𝑎1𝑘 + 𝑎2𝑘 + 𝑎3𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑘 𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑘 𝑛 p𝑘 ∎
- 18. APLICACIÓN 8 En una empresa el sueldo promedio de todos los empleados es igual a 4000 soles. Si hay un aumento general de 500 soles pero luego a todos se les hace un descuento del 10%. ¿Cuál será el sueldo promedio final? 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Promedio inicial de los sueldos 𝑀𝐴1 = 4000 Si a todos se les aumenta 500 𝑀𝐴2 = 4000+500 = 4500 Si luego a cada uno se le descuenta 10% 𝑀𝐴3 = 4500∙ 90 100 = 4050 ∎
- 19. Propiedad 5. Si los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 forman una progresión aritmética, su promedio aritmético es: 𝑀𝐴 = 𝑎1+𝑎𝑛 2 r r Demostración: Sea S = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛. Usando la propiedad 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑟 se tienen S = 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑟 + 𝑎1 + 2𝑟 + ⋯ + [𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑟] S = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 − 𝑟 + 𝑎𝑛 − 2𝑟 + ⋯ + [𝑎𝑛 − 𝑛 − 1 𝑟] + 2S = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + 𝑎1 + 𝑎𝑛 + 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎𝑛 2S = 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 2 → 𝑀𝐴 = 𝑎1+𝑎𝑛 2 ∎
- 20. APLICACIÓN 9 El promedio de 13 números consecutivos es 21 y el promedio de otros 24 números pares consecutivos es 41. Encuentre el promedio del mayor de los números del primer grupo y el menor del segundo grupo. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Sean los 13 números consecutivos a; a + 1 ; a + 2 ; ⋯ ; (a + 12) MA = a + (a + 12) 2 = 21 a + 6 = 21 a = 15 Sean los 24 números pares consecutivos (b + 2); b + 4 ; b + 6 ; ⋯ ; (b + 48) MA = (b + 2) + (b + 48) 2 = 41 b + 25 = 41 b = 6 Piden: (a + 12) + (b + 2) 2 = 27 + 8 2 = 17,5 ∎
- 21. Promedio de velocidades o velocidad media (Vm) Si un móvil recorre las distancias d1, d2 , d3 , ⋯ , dn utilizando los tiempo t1, t2 , t3 , ⋯ , tn respectivamente, entonces su velocidad media es Vm = d1+d2+d3+⋯+dn t1+t2+t3+⋯+tn Ejemplo. Un auto recorre 100 km a una velocidad de 50 km/h y otros 120 km a 40km/h. Halle su velocidad promedio en todo el trayecto. 100 km 120 km 50 km/h 40 km/h t1 = 2 h t2 = 3 h Vm = 100 + 120 2 + 3 = 220 5 = 44 km/h
- 22. Propiedad 6. Si d1 = d2= d3= ⋯ = dn y las velocidades utilizadas en cada tramo son v1, v2 , v3 , ⋯ , vn entonces la velocidad media es igual a la MH de dichas velocidades Vm = n 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 +⋯+ 1 vn Demostración: = d1 + d2 + d3 + ⋯ dn d1 v1 + d2 v2 + d3 v3 + ⋯ + dn vn = d + d + d + ⋯ + d d v1 + d v2 + d v3 + ⋯ + d vn = dn d 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 + ⋯ + 1 vn = n 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 +⋯+ 1 vn d1+d2+d3+⋯+dn t1+t2+t3+⋯+tn Vm =
- 23. APLICACIÓN 10 Un ciclista recorre un cuadrado. El primer tramo lo hace a razón de 42 km/h, el segundo a razón de 30 km/h, el tercero a razón de 20 km/h y el último a razón de x km/h. ¿Cuál es su velocidad en el último tramo, si la velocidad promedio para todo su recorrido es de 21 km/h? 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Vm = Ya que el circuito es un cuadrado, las distancias recorridas son iguales y por tanto la velocidad promedio será la MH de las velocidades utilizadas en cada tramo 4 1 42 + 1 30 + 1 20 + 1 x = 21 4 21 = 1 42 + 1 30 + 1 20 + 1 x 80 420 = 10 420 + 14 420 + 21 420 + 1 x 80 420 = 45 420 + 1 x 𝑀𝐶𝑀 21; 42; 30; 20 = 420 35 420 = 1 x x = 12
- 24. Propiedades 𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻 Desigualdad de medias Para dos números a y b 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐻 = 𝑀𝐺2 𝑀𝐴2 − 𝑀𝐺2 = (a − b)2 4 Para 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 en progresión aritmética 𝑀𝐴 [ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ] = 𝑎1+𝑎𝑛 2 Promedio de velocidades, para distancias iguales Vm = n 1 v1 + 1 v2 + 1 v3 +⋯+ 1 vn
- 25. FOTO FOTO Es la reunión o agregación de 2 o más ingredientes o sustancias homogéneas en cantidades arbitrarias entre las cuales no hay interacción química. MEZCLA En nuestro caso estudiaremos dos clases de mezcla: la de sustancias con precios unitarios y mezclas que contengan alcohol y agua (mezclas alcohólicas).
- 26. Cantidad Precio Unitario C1 P1 C2 P2 C3 P3 Volumen Grado V1 G1 V2 G2 V3 G3 REGLA DE MEZCLA MEZCLA Es la reunión o agregación de 2 o más ingredientes o sustancias. MEZCLA DE SUSTANCIAS CON PRECIOS UNITARIOS MEZCLAS ALCOHÓLICAS Pm = Costo total Cantidad total G = Vol. alcohol Vol. total x100% (𝐶1)(𝑃1) + (𝐶2)(𝑃2) + (𝐶3)(𝑃3) = (𝐶𝑇)(𝑃𝑚) Grado Precio medio Si hay varios ingredientes Si hay varios ingredientes Puede ser (𝑉1)(𝐺1) + (𝑉2)(𝐺2) + (𝑉3)(𝐺3) = (𝑉𝑇)(𝐺𝑚) TOTAL 𝑪𝑻 𝑷𝒎 TOTAL 𝑽𝑻 𝑮𝒎
- 27. Es el precio de costo de una unidad de medida de mezcla. Se obtiene dividiendo el costo total de los ingredientes entre la cantidad total de unidades de medida de mezcla. OBSERVACIÓN: • Al precio de una mezcla también se le llama precio medio o de equilibrio. • 𝐌𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 < 𝐏𝐦 < 𝐌𝐚𝐲𝐨𝐫 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 PRECIO MEDIO DE UNA MEZCLA (𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶): Cantidad Precio unitario 𝐂𝟏 𝐏𝟏 𝐂𝟐 𝐏𝟐 𝐂𝟑 𝐏𝟑 ⋮ ⋮ 𝐂𝒏 𝐏𝒏 𝑪𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 + 𝑪𝟑 + … … … + 𝑪𝒏 = 𝑪𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑪𝟏 𝒙 𝑷𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙 𝑷𝟐 + 𝑪𝟑 𝒙 𝑷𝟑 + … … … + 𝑪𝒏 𝒙 𝑷𝒏 = 𝑪𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝒙 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶
- 28. APLICACIÓN 11 Se mezclan 5; 7 y 8 kg de café de 20; 12 y 10 soles el kg respectivamente. ¿Cuál es el precio al que deberá venderse cada kg de café para no ganar ni perder? ∴ 𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒆𝒔 𝑺/𝟏𝟑, 𝟐𝟎 De los datos tenemos lo siguiente: CANTIDAD (Kg) PRECIO (S/.) CAFÉ A 5 20 CAFÉ B 7 12 CAFÉ C 8 10 TOTAL 𝟐𝟎 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟓 𝟐𝟎 + 𝟕 𝟏𝟐 + 𝟖 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟏𝟎𝟎 + 𝟖𝟒 + 𝟖𝟎 = 𝟐𝟎 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟐𝟔𝟒 = 𝟐𝟎 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑷𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝟏𝟑, 𝟐
- 29. FOTO APLICACIÓN 12 Vanesa tiene 60kg de avena por valor de S/. 480, sabiendo que dicha avena es la mezcla de dos tipos de avena cuyos precios son S/. 5 y S/. 9 el kilo. ¿Qué cantidad de cada uno se utilizó? Resolución: ∴ 𝑺𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛ó 𝟏𝟓 𝒌𝒈 𝒚 𝟒𝟓 𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒗𝒆𝒏𝒂. CANTIDAD (Kg) PRECIO (S/.) AVENA A 5 AVENA B 9 TOTAL 60 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑼𝑵𝑰𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑪𝑨𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑼𝑵𝑰𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝟒𝟖𝟎 𝟔𝟎 = 𝟖 𝟖 𝒙 𝟔𝟎 − 𝒙 𝒙 𝟓 + 𝟔𝟎 − 𝒙 𝟗 = 𝟔𝟎 𝟖 𝟓𝒙 + 𝟓𝟒𝟎 − 𝟗𝒙 = 𝟒𝟖𝟎 𝟔𝟎 = 𝟒𝒙 𝒙 = 𝟏𝟓 𝟔𝟎 − 𝒙 = 𝟒𝟓 Otra forma ganancia =perdida: Kg S/. AVENA A 5 AVENA B 9 TOTAL 60 8
- 30. FOTO APLICACIÓN 13 Si los precios de las sustancias de una mezcla cuyo precio medio es S/.12 son S/.9 y S/.10 y S/.15 respectivamente. Si se utilizan 24kg de la sustancia de mayor precio ¿Cuántos kilos tendrá la mezcla si la cantidad del primero es a la del segundo como 2 es a 3? ∴ 𝑳𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟓𝟒 𝒌𝒈. Resolución: CANTIDAD (Kg) PRECIO (S/.) SUSTANCIA A 9 SUSTANCIA B 10 SUSTANCIA C 24 15 TOTAL 12 𝑺𝑼𝑺𝑻𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑨 𝑺𝑼𝑺𝑻𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑩 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑼𝑺𝑻𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑨 = 𝟐𝒌 𝑺𝑼𝑺𝑻𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑩 = 𝟑𝒌 𝟐𝒌 𝟑𝒌
- 31. FOTO APLICACIÓN 14 Un comerciante mezcla dos clases de avena, uno le cuesta S/.18 el kg y el otro S/.24 el kg. Si vende 60kg de esta mezcla a S/.1449 ganando el 15%. ¿Qué cantidad de avena de cada tipo se mezclo? Resolución: CANTIDAD (Kg) PRECIO (S/.) AVENA A 18 AVENA B 24 TOTAL 60 𝑷𝑽 = 𝑷𝑪 + 𝑮𝑨𝑵𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝟏𝟒𝟒𝟗 = 𝑷𝑪 + 𝟏𝟓%𝑷𝑪 𝟏𝟒𝟒𝟗 = 𝟏𝟏𝟓%𝑷𝑪 𝟏𝟒𝟒𝟗 = 𝟏𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝑷𝑪 𝑷𝑪 = 𝟏𝟐𝟔𝟎 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑼𝑵𝑰𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑪𝑨𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶 𝑼𝑵𝑰𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝟏𝟐𝟔𝟎 𝟔𝟎 = 𝟐𝟏 𝟐𝟏 𝒙 𝟔𝟎 − 𝒙 𝒙 𝟏𝟖 + 𝟔𝟎 − 𝒙 𝟐𝟒 = 𝟔𝟎 𝟐𝟏 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟒𝟒𝟎 − 𝟐𝟒𝒙 = 𝟏𝟐𝟔𝟎 𝟏𝟖𝟎 = 𝟔𝒙 𝒙 = 𝟑𝟎 𝟔𝟎 − 𝒙 = 𝟑𝟎 ∴ 𝑺𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛ó 𝟑𝟎 𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒗𝒆𝒏𝒂.
- 32. APLICACIÓN 15 Se mezclan 1; 2; 3; ... kg de un mismo producto donde sus precios por kg son 2; 3; 4; ... respectivamente ¿Cuántas calidades se utilizaron, si al vender la mezcla de S/. 11 se gana el 10% Resolución: ∴ 𝑺𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓𝒐𝒏 𝟏𝟑 𝒄𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔. CANTIDAD (Kg) PRECIO (S/.) CALIDAD 1 1 2 CALIDAD 2 2 3 CALIDAD 3 3 4 ⋮ ⋮ ⋮ CALIDAD n n TOTAL 𝒏 + 𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝟏𝟎 𝑷𝑽 = 𝑷𝑪 + 𝑮𝑨𝑵𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 𝟏𝟏 = 𝑷𝑪 + 𝟏𝟎%𝑷𝑪 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟎%𝑷𝑪 𝑷𝑪 = 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟒 + … … + 𝒏 𝒏 + 𝟏 = ( 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 )(𝟏𝟎) 𝟐 + 𝟔 + 𝟏𝟐 + … … + 𝒏 𝒏 + 𝟏 = 𝟓 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐) 𝟑 = 𝟓 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝒏 = 𝟏𝟑
- 33. FOTO APLICACIÓN 16 Se mezclan 45 litros de vino de S/.40 el litro con vino de 24 y 36 soles el litro, resultando un precio medio de 34 soles el litro. Hallar la cantidad total de la mezcla, sabiendo que por cada 5 litros del segundo, hay 7 litros del tercero. Resolución: CANTIDAD (litros) PRECIO (S/.) VINO A 45 40 VINO B 24 VINO C 36 TOTAL 34 𝑽𝑰𝑵𝑶 𝑩 𝑽𝑰𝑵𝑶 𝑪 = 𝟓 𝟕 𝑽𝑰𝑵𝑶 𝑩 = 𝟓𝒌 𝑽𝑰𝑵𝑶 𝑪 = 𝟕𝒌 𝟓𝒌 𝟕𝒌 𝟏𝟐𝒌 + 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝟒𝟎 + 𝟓𝒌 𝟐𝟒 + 𝟕𝒌 𝟑𝟔 = 𝟏𝟐𝒌 + 𝟒𝟓 𝟑𝟒 𝟏𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟎𝒌 + 𝟐𝟓𝟐𝒌 = 𝟒𝟎𝟖𝒌 + 𝟏𝟓𝟑𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 + 𝟑𝟕𝟐𝒌 = 𝟒𝟎𝟖𝒌 + 𝟏𝟓𝟑𝟎 𝟐𝟕𝟎 = 𝟑𝟔𝒌 𝒌 = 𝟕, 𝟓 𝟏𝟐𝒌 + 𝟒𝟓 = 𝟏𝟑𝟓 ∴ 𝑳𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟏𝟑𝟓 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔.
- 34. Es el tanto por ciento de alcohol puro presente en la mezcla. Se obtiene utilizando la siguiente expresión: GRADO ALCOHÓLICO O GRADO DE PUREZA(G): OBSERVACIÓN: El grado alcohólico también se puede expresar en grados, es decir: 80% ≡ 800 𝐆 = 𝐕𝐨𝐥. 𝐚𝐥𝐜𝐨𝐡𝐨𝐥 𝐕𝐨𝐥. 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐱𝟏𝟎𝟎% Aplicando lo antes explicado: Si en un recipiente se mezclan 72L de alcohol puro y 18L de agua. ¿Cuál será la concentración o pureza alcohólica de la mezcla? Tenemos: G = 72 90 x100% = 80% Alcohol: 72L Agua: 18L ∴ La pureza alcohólica es de 80%. Alcohol Agua
- 35. GRADO MEDIO DE UNA MEZCLA ALCOHÓLICA (𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶): OBSERVACIÓN: • De manera similar, se verifican las propiedades relacionadas al precio medio de mezclas. • El grado de pureza del alcohol puro es 100%. • El grado de pureza del agua es 0%. VOLUMEN (Lt) GRADO (°) ALCOHOL A 𝑽𝑨 𝑮𝑨 ALCOHOL B 𝑽𝑩 𝑮𝑩 ALCOHOL C 𝑽𝑪 𝑮𝑪 TOTAL 𝑽𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑽𝑨 + 𝑽𝑩 + 𝑽𝑪 = 𝑽𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑽𝑨 𝒙 𝑮𝑨 + 𝑽𝑩 𝒙 𝑮𝑩 + 𝑽𝑪 𝒙 𝑮𝑪 = 𝑽𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝒙 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶
- 36. FOTO FOTO APLICACIÓN 17 Si en un recipiente se echaron 20 litros de alcohol de 82°, 30 litros de alcohol de 75°, 10 litros de alcohol puro y 15 litros de agua; ¿Cuál será el grado de la mezcla? Resolución: ∴ 𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒆𝒔 𝟔𝟐, 𝟓° CANTIDAD (LT) GRADO (°) ALCOHOL A 20 82 ALCOHOL B 30 75 ALCOHOL PURO 10 AGUA 15 TOTAL 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟕𝟓 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟐𝟎 𝟖𝟐 + 𝟑𝟎 𝟕𝟓 + 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟓 𝟎 = 𝟕𝟓 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟏𝟔𝟒𝟎 + 𝟐𝟐𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟎 = 𝟕𝟓 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝟒𝟖𝟗𝟎 = 𝟕𝟓 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑮𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝟔𝟐, 𝟓
- 37. APLICACIÓN 18 ¿Cuál debería ser la pureza de alcohol que se deberá añadir a 80 litros de alcohol de 96° de pureza para obtener un hectolitro de alcohol de 90° de pureza? Resolución: ∴ 𝑳𝒂 𝒑𝒖𝒓𝒆𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒆𝒔 𝟔𝟔°. CANTIDAD (LT) GRADO (°) ALCOHOL A 80 96 ALCOHOL B TOTAL 90 𝟒 𝟗𝟔 + 𝟏 𝒙 = 𝟓 𝟗𝟎 𝟑𝟖𝟒 + 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 𝒙 = 𝟔𝟔 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎 𝒙 𝟒 𝟏 𝟓
- 38. APLICACIÓN 19 Se tienen 5 litros de alcohol al 80%. ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 25%? Resolución: ∴ 𝑺𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒂𝒈𝒓𝒆𝒈𝒂𝒓 𝟏𝟏 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂. CANTIDAD (LT) CONCENTRACIÓN (%) ALCOHOL A 5 80 AGUA TOTAL 25 𝟓 𝟖𝟎 + 𝒙 𝟎 = 𝟓 + 𝒙 𝟐𝟓 𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟓 + 𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟕𝟓 = 𝟐𝟓𝒙 𝒙 = 𝟏𝟏 𝟎 𝒙 𝟓 + 𝒙
- 39. 39 20 25 “Sin Sacrificio, no hay victoria”