Las Matemáticas no son lo que Parecen
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El documento explora el uso de las matemáticas más allá de los números, destacando su aplicación en el cifrado de mensajes, como se ilustra con el disco de Alberti. Demuestra cómo se pueden ocultar mensajes utilizando un método de desplazamiento de letras, que es fundamental en criptografía. Además, resalta la importancia de la aritmética modular y cómo las computadoras han simplificado estas técnicas en la actualidad.
Las Matemáticas no son lo que Parecen
- 1. Las Matemáticas no son lo matemática ha trabajado con toda clase de entes que no necesariamente son cifras o que parecen cantidades. Justo por esta razón es que, en la José Enrique Alvarez Estrada* actualidad, se la describe como “la ciencia que Siempre que oímos hablar de matemáticas, estudia los patrones”. inmediatamente pensamos en números. Hace -¿Los patrones? O sea, ¿las personas que algún tiempo, un amigo matemático me platicó contratan empleados? De seguro eso hubiera una anécdota al respecto: en su juventud, pensado el abarrotero vecino de mi amigo. cuando recién iniciaba la carrera, en cierta Pero no, no se trata de ese tipo de patrones ocasión acudió a una tienda de abarrotes de precisamente... los alrededores de su casa a hacer el Pongamos un ejemplo: ¿se pudiera hacer mandado; el abarrotero le preguntó: matemáticas con las letras? Y de ser así, -Muchacho, ¿es cierto que estás estudiando ¿para qué serviría eso? matemáticas? A lo que mi amigo le respondió Imaginemos que, en uno de esos días de muy orgulloso: -Sí, en la Facultad. Para su tedio y aburrimiento típicos de las vacaciones, sorpresa, el abarrotero prosiguió: -Entonces, se nos ocurre dividir una circunferencia en 26 ¡dime cuanto es 127,288,394 dividido entre rebanadas o “gajos”, y que en cada una de 123,289! ellas escribimos una letra del alfabeto (claro En realidad, la definición más conocida de las está, falta la “Ñ”, pero la vamos a obviar por el matemáticas es “la ciencia que estudia los momento). A una letra cualquiera, por ejemplo números”, pero casi desde sus orígenes la la “K”, le ponemos una flechita que la señale claramente. Como la tarde está gris y el cielo * José Enrique Alvarez gusta definirse a sí mismo, en plomizo, tenemos tiempo de sobra, así que palabras de Cliff Stoll, “no como un técnico ni un artesano, sino como un artista que se expresa a dibujamos un segundo círculo más grande través de la invisible urdimbre de los hilos que el anterior, también lo dividimos en 26 electrónicos”. Puede contactársele vía e-mail en [email protected]
- 2. rebanadas, y nuevamente escribimos las 26 hubiera pensado nuestro amigo abarrotero. letras, una en cada rebanada, olvidándonos Pero en realidad no lo es tanto: criptos es una nuevamente de la molesta “Ñ”. El resultado palabra de origen griego que significa “oculto”. sería algo como lo que muestra la Ilustración Y eso es exactamente lo que nuestro Disco de 1. Alberti hace: ¡ocultar un mensaje para que sólo pueda leerlo aquél que conozca el método secreto! Pongamos un ejemplo: supongamos que queremos encriptar el mensaje “LAS MATEMÁTICAS SON DIVERTIDAS”. Para ello, lo único que necesitamos es hacer girar el disco pequeño hasta que coincida la letra “K” (recordemos que dicha letra está marcada por una flecha, para distinguirla) con cualquier letra del disco grande que nosotros queramos: yo voy a alinearla con la letra “W”, a modo de Ilustración 1Los dos discos de papel terminados. ejemplo. Ahora, comencemos a encriptar nuestro A continuación, tomamos unas tijeras y mensaje. En primer lugar, escribiremos la letra recortamos ambos círculos, y después los “W” como “prefijo” (es decir, la primera letra) unimos mediante un eje que hacemos pasar de nuestro mensaje codificado. Después, por sus dos centros. ¿Qué es lo que tenemos recorreremos una por una las letras del aquí? Una máquina matemática conocida mensaje “LAS MATEMÁTICAS SON como el Disco de Alberti, que puede servir DIVERTIDAS” en el disco pequeño, anotando para encriptar un mensaje. la que aparece alineada con ella en el disco -Encriptar, ¡qué palabra tan rebuscada!,
- 3. grande. Así obtendremos: interior. LAS MATEMATICAS SON DIVERTIDAS 4. Añade los espacios faltantes. WXME YMFQYMFUOME EAZ PUHQDFUPME Pero, ¿qué rayos tiene que ver todo esto con Si suprimimos todos los espacios en blanco las matemáticas? ¡Esto suena demasiado (una costumbre que todos los buenos divertido para ser matemáticas!, ¿o no? Pues criptógrafos siguen), el galimatías resultante bien, no sólo se trata de matemáticas, sino será: que además son matemáticas de altos vuelos. WXMEYMFQYMFUOMEEAZPUHQDFUPME. Pensemos lo siguiente: ¿qué estamos Ciertamente, ¡imposible de entender si no se haciendo, desde el punto de vista matemático, sabe el procedimiento mencionado! El cuando alineamos la letra “K” con la letra “W”? resultado que hemos obtenido se conoce En realidad, estamos desplazando las letras como mensaje cifrado, mientras que el un total de 12 lugares hacia la derecha, ya mensaje original que dió pie a éste, se llama que son 12 letras las que separan a la “K” de texto plano o texto llano. la “W”. Ahora bien, suponiendo que tengamos algún A= B= C= D= E=5 F=6 G= amigo que comparte nuestros momentos de 1 2 3 4 7 ocio, y si éste ha fabricado el mismo disco de H= I=9 J= K= L= M= N= Alberti que nosotros, fácilmente puede 8 10 11 12 13 14 O= P= Q= R= S= T= U= desencriptar el mensaje, de la siguiente forma: 15 16 17 18 19 20 21 1. Lee la primera letra del mensaje cifrado. V= W= X= Y= Z= 2. Alinea la “K” de su disco pequeño con dicha 22 23 24 25 26 letra. Tabla 1Los códigos numéricos que representan a cada 3. Busca, una por una, las letras del mensaje letra del alfabeto. cifrado en el disco exterior, Por lo tanto, si suponemos que la letra “A” es reemplazándolas por sus vecinas del disco la número 1, la “B” la número 2, y así
- 4. consecutivamente -tal como nos muestra la elegante para el residuo de una división Tabla 1 para cada letra del alfabeto- entera: se trata del mismo concepto de tendremos que: residuo que todos aprendimos a calcular en la L A S M A T E M A primaria. Veamos qué pasa si aplicamos dicha T I C A S ... 12 1 19 13 1 20 5 13 1 operación: 20 9 3 1 19 19 + 12 = 31, pero 31 mod 26 = 5 (la letra “E”) Si ahora le sumamos 12 (la distancia que hay 20 + 12 = 32, pero 32 mod 26 = 6 (la letra “F”) de la “K” a la “W”) a todos estos números, La palabra “mod” que aparece arriba, indica la resulta: operación matemática de obtener el residuo 12 + 12 = 24 (la letra “X”) de la división, desechando el cociente que nos 1 + 12 = 13 (la letra “M”) haya quedado. Si comparamos los resultados 19 + 12 = 31 (¿qué pasó aquí?) obtenidos -el número 5 que representa a la 13 + 12 = 25 (la letra “Y”) letra “E” y el número 6 que representa a la “F”- 1 + 12 = 13 (la letra “M”) veremos que coinciden perfectamente con lo 20 + 12 = 32 (¿qué pasó aquí?) que nos arrojó nuestro Disco de Alberti 5 + 12 = 17 (la letra “Q”) anteriormente. 13 + 12 = 25 (la letra “Y”) ¿Nos resulta conocido este concepto de Si somos observadores notaremos que las “módulo”? ¡Claro! Lo utilizamos todos los días letras “S” y “T” nos están causando para leer la hora en los relojes analógicos o problemas: al sumar 12 a sus respectivas “de carátula”. Estos relojes trabajan sus posiciones, dan valores mayores de 26, ¡pero minutos y sus segundos con “aritmética sólo tenemos 26 letras en el alfabeto! ¿Cómo módulo 60”, y por tanto cuando pasamos del lo solucionamos? minuto 59, no llegamos al 60, sino que El secreto está en una propiedad matemática regresamos al minuto 0, avanzando 1 hora. llamada aritmética módulo 26. La palabra Por cierto, que la primera persona conocida “módulo” no es otra cosa que un nombre
- 5. por utilizar nuestro método de encripción no Tabla 2 te muestro un pequeño programa, fue León Battista Alberti -matemático creado en el lenguaje de programación renacentista, llamado el Padre de la Blassic (un dialecto de Basic), que simula el Criptografía-, sino Julio César, el Emperador Disco de Alberti. ¡Te invito a que descargues de Roma: el buen Cesarín acostumbraba a el intérprete de Blassic en tu computadora y lo enviar mensajes a sus generales en el frente, pruebes! Blassic es un software gratuito, desplazando las letras 7 posiciones. Debido a disponible en esta razón, este método se conoce también http://www.arrakis.es/~ninsesabe/blassic/ como “Clave Cesárea”. De hecho, este pequeño programa funcionará Podemos imaginar que, hasta hace pocos con ninguna o muy pocas modificaciones en años, máquinas de cifrado como el Disco de cualquier otro dialecto de Basic. Con un poco Alberti eran la única forma de lidiar con los de imaginación, ¡podrás extenderlo para que grandes volúmenes de mensajes que la también desencripte los mensajes en texto milicia, la diplomacia, los organismos llano! financieros y un largo etcétera de aplicaciones 10 ' Programa que simula el Disco de Alberti 20 ' (c) 2005, Jose Enrique Alvarez Estrada más tenían; se requerían verdaderos ejércitos 30 ' Este programa se distribuye bajo Licencia Publica General GNU (GPL) de cifradores y decriptadores, que gastaban 40 INPUT "LETRA ALINEADA CON LA 'K': "; Letra$ 50 Cifrado$ = Letra$ sus vidas en esta actividad, por demás 60 Distancia = ASC(Letra$) - ASC("K") 70 INPUT "Texto llano: "; Llano$ propensa a errores. 80 FOR i=1 TO LEN(Llano$) 90 Caracter$ = UPPER$ ( MID$(Llano$, i, 1) ) 100 IF Caracter$ >= "A" AND Caracter$ <= "Z" THEN Pero la llegada de la computadora trastocó Cifrado$ = Cifrado$ + CHR$( (ASC( Caracter$) - 65 + Distancia ) MOD 26 + 65) completamente todo esto. En la actualidad, 110 NEXT i 120 PRINT Cifrado$ resulta extremadamente fácil programar una 130 END de estas máquinas para que realice, sin error Tabla 2 Listado en Blassic del Simulador del Disco de alguno, cualquier cantidad de operaciones de Alberti. cifrado y decriptación para nosotros. En la
- 6. Conclusiones Es evidente, a partir de esta pequeña demostración, que las matemáticas no son lo que parecen; o sea, que el león no es como lo pintan. La capacidad ilimitada de esta ciencia maravillosa para generar “reglas del juego” (o sea, operaciones) sobre conjuntos de objetos (que a veces son números, y a veces -como en esta ocasión- pueden ser letras), hace que resulte muy divertido, a la vez de muy práctico, usarla para aplicaciones que tienen repercusiones importantes en el mundo real. En artículos posteriores, explicaré cómo y por qué se inventó la “estadística” (o sea, la ciencia “del Estado”), en respuesta a la necesidad de desarrollar técnicas para leer los mensajes secretos (es decir, “criptoanalizar” dichos mensajes). Y por supuesto, ¡crearemos una máquina capaz de romper los sistemas de cifrado de nuestros enemigos imaginarios!