Lecciones ecuaciones (6)
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Este documento presenta la resolución de dos ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En el primer ejercicio, se determina que una ecuación dada no es exacta y se encuentra su factor integrante y solución general implícita. En el segundo ejercicio, se multiplica la ecuación por una función para hacerla exacta y así hallar su solución general explícita.
Lecciones ecuaciones (6)
- 1. 4644390-317526035-172720ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL<br />INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS (ICM)<br />MATERIA: Ecuaciones Diferenciales PARALELO: Profesor: <br />LECCION #1: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1ER ORDEN. FECHA: <br />Nombre: <br /> <br />Corrección de la lección<br />Verificar que la siguiente ecuación diferencial : no es exacta, luego halle su factor integrante y su solución general implícita. <br />Resolución:<br />2xylnydx+x2+y2y2+1dy=0<br />M(x,y)= 2xylny<br />N(x,y)= x2+y2y2+1<br />Comprobamos si es exacta:<br />∂M∂y=2xlny+y.1y=2xlny+2x<br />∂N∂x=2x<br />->No es exacta.<br />Sacamos el factor integrante R(y):<br />Ry=e2x-(2xlny+2x)2xyln(y) dy<br />Ry=e2x-2xlny-2x2xyln(y) dy<br />Ry=e-2xln(y)2xyln(y) dy<br />Ry=e-1y dy<br />Ry=e-ln(y)<br />Ry=eln(y)-1<br />Ry=1y<br />Multiplicamos por 1y a la ecuacion diferencial inicial:<br />1yx2+y2y2+1dy+2xylnydx=01y<br />x2+y2y2+1ydy+2xylnyydx=0<br />x2y+y2y2+1ydy+2xylnyydx=0<br />x2y+yy2+1dy+2xylnydx=0<br />Comprobamos si es exacta:<br />M1(x,y)= 2xylnydx<br />N1(x,y)= x2y+yy2+1<br />∂M1∂y=2xy<br />∂N1∂y=2xy<br />->Si es exacta.<br />Hallamos la solución U(x,y)=C:<br />∂U∂x=2xln(y)<br />∂U=2xln(y)∂x<br />U(x,y)=x2lny+h(y)<br />Hallamos h(y):<br />∂U(x,y)∂y=x2y+h'(y)<br /> x2y+h'y=N1x,y<br />x2y+h'y=x2y+yy2+1<br />h'y=yy2+1<br />hy=yy2+1dy<br />p= y2+1<br />dp=2ydy<br />dp2=ydy<br />hy=p2dp<br />hy=12y2+13223<br />hy=y2+1323<br />Entonces la solución queda de la siguiente forma:<br />Ux,y=x2lny+y2+1323=C<br />Halle la solución general explícita de la ecuación: <br />Resolución:<br />Multiplicamos por1tan(x):<br />1tan(x)tanxdydx+1cos2xy-πcot(x)y3=01tan(x)<br />tanxdydx+1cos2xy-πcot(x)y3tan(x)=0<br />tanxtan(x)dydx+1cos2x tan(x)y-πcotxtan(x)y3=0<br />dydx+sec2xtan(x)y=πy3<br />dydx+sec2xtan(x)y=πy3<br />Multiplicamos por (y-3):<br />(y-3)dydx+sec2xtan(x)y=(y-3)πy3<br />(y-3)dydx+sec2xtan(x)y-2=π<br />Hacemos un cambio de variable:<br />v=y-2<br />dvdx=-2y-3dydx<br />-12dvdx=y-3dydx<br />Sustituyendo:<br />-12dvdx+sec2xtan(x)v=π<br />Multiplicando por (-2):<br />(-2)-12dvdx+sec2xtan(x)v=(-2):π<br />dvdx+-2sec2xtan(x)v=-2π<br />Hallamos el factor integrante:<br />f.i=e-2sec2x tan(x)dx<br />f.i=e-2sec2x tan(x)dx<br />u= tan(x)<br />du= sec2(x)dx<br />f.i=e-2du u<br />f.i=e-2ln(u)<br />f.i=e-2ln(tan(x))<br />f.i=eln(tan(x))-2<br />f.i=1tan2x<br />Multiplico por el f.i:<br />1tan2xdvdx+-2sec2xtan(x)v=1tan2x-2π<br />1tan2xdvdx+1tan2x-2sec2xtan(x)v=-2π cot2x<br />ddx1tan2xv=-2π cot2x<br />d1tan2xv=-2π cot2xdx<br />1tan2xv=-2π cot2xdx<br />1tan2xv=-2π(csc2x-1)dx<br />1tan2xv=-2π-cotx-x+c<br />1tan2xv=2πcotx+2πx+c<br />v=2πcotx+2πx+ctan2x<br />y-2=2πcotx+2πx+ctan2x<br />y-2-12=2πcotx+2πx+ctan2x-12<br />Entonces la solución es:<br />y=±12πcotx+2πx+ctan2x<br />