Lee, Piensa, Decide y Aprende. Libro de Matemáticas para el Maestro, Tercera Fase
- 1. Lee, piensa, decide y aprende Matemáticas Tercera fase Guía del maestro Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo Programa Escuelas de Tiempo Completo Programa Escuelas de Calidad
- 2. Lee, piensa, decide y aprende Matemáticas Tercera fase Guía del maestro
- 3. Lee, piensa, decide y aprende. Matemáticas. Tercera fase. Guía del maestro es una publicación de la Dirección General de Desarrollo de la Contenido Gestión e Innovación Educativa de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública, a través de los Programas Escuelas de Tiempo Completo y Escuelas de Calidad, en coordinación con el Programa para la Mejora del Logro Educativo. Secretaría de Educación Pública José Ángel Córdova Villalobos Subsecretaría de Educación Básica Francisco Ciscomani Freaner Dirección General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa Juan Martín Martínez Becerra Coordinación General de Innovación Ernesto Ponce Rodríguez Introducción 3 Coordinación Nacional para el Fortalecimiento del Logro Educativo Lilia Dalila López Salmorán Coordinación Nacional del Programa Tema 1. Operaciones con Escuelas de Tiempo Completo Marcela Ramírez Jordán números naturales 4 Coordinación Nacional del Programa Escuelas de Calidad Daniel Hernández Ruiz Tema 2. Fracciones 8 Tema 3. Proporcionalidad 15 Coordinación Académica Araceli Castillo Macías Autora Ana Laura Barriendos Rodríguez Tema 4. Geometría 21 Revisión Técnico-Pedagógica Araceli Castillo Macías y Equipo Técnico del Programa para la Mejora del Logro Educativo Coordinación de Producción Editorial y Difusión Marco Antonio Cervantes González Diseño Sociedad para el Desarrollo Educativo Prospectiva, SA de CV Jorge Isaac Guerrero Reyes Ilustraciones Rocío Padilla Medina Cuidado editorial Esteban Manteca Aguirre Tonatiuh Arroyo Cerezo Araceli Sánchez Villaseñor aprobados por la Cámara de Diputados del H. Congreso partidistas, electorales o de promoción personal de los funcionarios”: Ley Federal de Transparencia y Acceso a la Información Pública Gubernamental. Segunda edición: 2012 ISBN: 978-607-8017-86-7 DR © Secretaría de Educación Pública, 2012 Argentina 28, Colonia Centro Histórico, CP 06020;; México, DF Impreso en México Distribución gratuita (prohibida su venta)
- 4. Introducción Con Lee, piensa, decide y aprende. Tercera Acepta el reto es el primer momento, fase. Guía del maestro se pretende apoyar a y se propone para que el alumno lea el los alumnos en su tránsito a la secundaria, me- problema, lo comprenda y busque infor- diante el fortalecimiento de algunos temas que mación en otras fuentes para recordar estudiaron en la primaria. Se han elegido cua- aquello que considere necesario. Usted tro temas, considerados de gran importancia puede apoyar, tanto para que no queden en la asignatura de Matemáticas y cuyo estudio dudas respecto a la comprensión del pro- continuará en la secundaria cada vez con más blema como en la búsqueda de conceptos profundidad: las operaciones básicas, las frac- y en los repasos que realice el alumno. ciones, la proporcionalidad y la geometría. Resuelve es el momento en que cada Para el estudio de cada tema se presenta una estudiante debe explorar el problema y situación en la que cuatro amigos se plantean plantear una estrategia de solución. Es un problema relacionado con las matemáticas. importante que usted dé tiempo para ello Se pide, entonces, a los alumnos que exploren y permita que cada uno proponga sus posibles soluciones para dicho problema, y procedimientos, incluso si son erróneos. cuando ya tienen al menos una, correcta o no, Más adelante tendrán tiempo de revisarlos se les muestran distintas maneras de resolverlo. y corregirlos, cuando sea necesario. Con esto se busca que los alumnos conozcan Desarrolla y comprueba es la diversos procedimientos de solución y amplíen sección más amplia en la Guía. En ella se sus herramientas para resolver problemas. presentan distintas maneras de resolver el El desarrollo de cada tema se estructura con problema inicial. Es necesario que usted los siguientes iconos: que se presenta y que aclare dudas cuando así lo considere. Es importante que lleguen a esta parte después de que cada alumno Acepta haya planteado una posible solución. el reto Analiza lo aprendido aquí, usted puede enfatizar el hecho de que con Resuelve diferentes procedimientos propuestos se puede llegar a las mismas respuestas, aun- que no necesariamente todos son igual de Desarrolla económicos ni permiten obtener exacta- y comprueba mente la misma información. Es también momento para que los alumnos escriban Analiza qué fue lo que aprendieron y vuelvan a su lo aprendido solución inicial. 5
- 5. Tema 1 Operaciones con números naturales Aprendizajes esperados Utiliza distintos métodos para abordar problemas que involucran opera- ciones con números naturales. La situación planteada a los alumnos En este problema se plantea una situación en la que los alumnos deberán emplear conocimientos adquiridos a lo largo de la educación primaria sobre operaciones básicas. Además, se presentan varias formas de resolución que pretenden enriquecer sus herramientas para cuando deban en- frentarse a situaciones similares. Sugerencias para abordar el problema Permita que los alumnos lean el planteamiento del problema y luego pregúnteles si lo han comprendido. Aclare dudas si es necesario, pero no adelante respuestas ni procedimientos de resolución. En este problema, un aspecto que puede generar confusión es la ventaja que Daniela da a Oc- tavio, pues es claro que si Daniela y Octavio empiezan el recorrido al mismo tiempo desde la línea de salida, ella llegará antes porque avanza 500 metros en un minuto, mientras Octavio avanza 400 metros en un minuto;; sin embargo, cuando Lucas y Pamela se preguntan si Daniela seguiría siendo la ganadora dándole una ventaja a Octavio de 300 metros, la decisión de marcar la ventaja en tiempo o en distancia puede complejizar la estrategia. 6
- 6. cero, pero Octavio lo hace desde la línea de 300 metros y Daniela desde la línea de salida (o cero sí mismos. Se espera que cada alumno desarrolle una estrategia personal (correcta o no) para resolver la situación. Permita que cada uno de los alumnos avance a su propio ritmo y que colaboren entre ellos;; si se lo solicitan, intervenga para aclarar dudas. Una vez que hayan planteado una primera versión de su respuesta, pueden seguir resolviendo. Conforme avancen, verán que en la Guía se presentan varias maneras de resolver el proble- ma. Es muy probable que cada alumno encuentre ahí la estrategia que empleó;; con las demás distintos métodos. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la guía Lo primero que se propone a los alumnos es utilizar una recta para solucionar el problema, y problema. Octavio SALIDA META 300m 1000m 2000m 3000m Daniela Puede apoyar el trabajo con la recta pidiéndoles que busquen la manera de diferenciar el avance de Daniela del de Octavio. Es importante que acompañe a los estudiantes en la recuperación del procedimiento que siguie- ron para dar solución al problema utilizando la recta. Es importante dedicar un poco de tiempo para leer y corregir sus escritos, de manera que se den cuenta si sus escritos son claros y si dicen lo que ellos querían. Enseguida se plantea otra manera de resolver el problema: Dos tablas de proporcionalidad direc- ta. En la primera columna están los minutos y en la segunda los metros que recorren. Al comple- Después se pide a los alumnos elegir una operación para determinar el avance en un tiempo es- que expliquen por qué eligieron esa operación. 7
- 7. En las tablas podrán ver, además, que cuando Daniela completa los 4000 metros, Octavio apenas lleva 3200 metros recorridos, así que, cuando han transcurrido 8 minutos desde el inicio puede apoyarlos, pidiéndoles que realicen una tabla de los avances como la de abajo. Metros Minutos Daniela Octavio 0 0 0 1 500 400 2 1000 800 3 1500 1200 4 2000 1600 5 2500 2000 6 3000 2400 7 3500 2800 8 4000 3200 9 3600 10 4000 Una vez hecho esto, se plantea la resolución del problema original: quién ganaría la carrera si a Octavio se le dan 300 metros de ventaja. En una tabla1 quedaría así: Metros Minutos Daniela Octavio 0 0 300 1 500 700 2 1000 1100 3 1500 1500 4 2000 1900 5 2500 2300 6 3000 2700 7 3500 3100 8 4000 3500 9 3900 10 4300 1 Esta tabla es de variación, pero ya no de proporcionalidad;; la ventaja de 300 metros que le dan a Octavio 8
- 8. Como puede observarse, de todas formas Daniela completaría primero el recorrido. Quizás al- gunos estudiantes intenten saber en qué fracción de minuto llega Octavio a la meta: como avanza 400 m en un minuto, después del minuto 9 recorre los últimos 100 m en la cuarta parte de un minuto, o bien en 15 segundos. Permita que los alumnos llenen el último renglón de acuerdo con su propio razonamiento. Como una tercera forma para resolver el problema, se les plantea que la situación puede resolverse a través de operaciones aritméticas. Primero se les pide buscar una operación para cal- cular el tiempo que tardaría Daniela en recorrer los 4000 metros, permita que ellos prueben con las operaciones que consideren y de ser necesario apoyarlos con aproximaciones, por ejemplo, cómo podemos calcular el tiempo tarda Daniela en recorrer 1000 m, 1500 m, 2000 m, etcétera. procedimiento que sigan, la distancia por recorrer y la velocidad se conservan por lo que el tiempo de recorrido no puede variar. Ya que los estudiantes entienden por qué la solución al problema es la misma sin importar la estrategia utilizada, es importante que les apoye en el análisis de cada una de las operaciones que utilicen. Nuevamente es necesario que se dedique un poco de tiempo a la revisión de los escritos de los estudiantes para apoyarlos en la elaboración de los mismos. Cierre de la actividad Haga énfasis en que si utilizan operaciones, una tabla o la recta se obtienen los mismos resulta- dos;; sin embargo, con la tabla y con la recta es posible tener más información;; por ejemplo, en qué punto del recorrido estaban cuando habían transcurrido 6 minutos. Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primera idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 9
- 9. Tema 2 Fracciones Aprendizajes esperados Resuelve problemas a las fracciones como números que se repre- sentan y se ubican en la recta;; asimismo, que con ellos se pueden realizar operaciones. La situación planteada a los alumnos Para resolver este problema, los alumnos necesitarán comparar y sumar fracciones que tienen distinto denominador. La recta numérica se presenta como un recurso que permite ubicar las fracciones para compararlas. Sugerencias para abordar el problema Permita que los alumnos lean el problema y, si tienen dudas, traten de aclararlas entre todos. Una vez que lo hayan comprendido, dé tiempo para que puedan trabajar buscando una solución. Cada alumno desarrollará una estrategia personal de resolución, correcta o no, para comparar y sumar las fracciones. Es posible que hagan sombreados de área, ubicación en la recta numérica o que las conviertan en números decimales. Permita que cada uno utilice la estrategia que le re- sulte mejor, y cuando hayan propuesto al menos una, sigan avanzando. 10
- 10. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía El problema de los carritos podría pensarse así: Carrito de Primer impulso Segundo impulso Llegó a 4 1 Daniela 10 2 3 2 Pamela 6 5 3 11 Lucas 8 12 3 1 Octavio 5 3 11 Con los dos impulsos, el carrito de Lucas llegó a 12 porque la información dice que quedó a 1 1 11 12 de la meta, y 1 – 12 = 12 . Lo primero que se propone a los alumnos es averiguar en qué orden quedaron los carritos tras 4 3 3 3 2 el primer impulso. Para ello, deberán comparar 10 , 6 , 8 y 5 (el carrito de Octavio quedó a 5 3 de la meta, es decir, avanzó de cero a 5 ). Una estrategia para hacerlo sería la siguiente: Tres de estas fracciones tienen como numerador el 3, así que pueden compararse más fácilmente: 3 3 3 8 < 6 < 5 porque 1 1 1 8 < 6 < 5 También es cierto que: 4 1 10 < 2 3 1 6 = 2 3 1 8 < 2 3 1 5 > 2 Así que se tiene: 4 3 3 10 < 6 < 5 Y también: 3 3 3 8 < 6 < 5 Pero sigue faltando conocer en qué orden van las dos fracciones que son menores que 1 3 4 2 , es decir, 8 y 10 . Una manera de hacerlo es ésta: 4 1 1 10 + 10 = 2 3 1 1 8 + 8 = 2 11
- 11. 1 1 4 3 Como 10 < 8 , entonces 10 > 8 Ahora sí, ya se pueden ordenar todas: 3 4 3 3 8 < 10 < 6 < 5 3 El carrito que llegó más lejos es el de Octavio ( 5 ) y el que avanzó menos fue el de 3 Lucas ( 8 ). El procedimiento sugerido a los alumnos es la ubicación de fracciones en la recta numérica;; sólo se muestran el inicio (0) y la meta (3). Ellos tendrán que hallar la manera para dividirla en octavos, décimos, sextos y quintos. Una forma sería con regla, midiendo todo el segmento y dividiéndolo por el denominador de- seado. A los alumnos se les propone que usen una hoja rayada. Si lo considera necesario, revisen la lección que se sugiere en la Guía y recuerde este procedimiento en grupo. La posición de los carritos tras el primer impulso queda así en la recta numérica: 4 3 10 5 Salida META 3 3 8 6 Los alumnos verán que es necesario hacer subdivisiones en décimos, sextos y octavos en la misma recta (los quintos quedarán sobre las marcas de los décimos). Una estrategia para facilitar la ubicación y la interpretación es utilizar varias rectas en vez de una;; sin embargo, es importante que los alumnos sepan que si se ubican las fracciones en rectas numéricas distintas, éstas deben estar alineadas a la izquierda para que sea factible hacer la comparación. Las que aparecen en el inciso a) no están alineadas y resulta muy complicado compararlas. Pida a los alumnos que comenten sus ideas al respecto. 4 10 Daniela META 3 6 Pamela META 3 8 Lucas META 3 5 Octavio META Puede ser difícil para los alumnos marcar en las rectas el lugar al que llegaron los carritos con el segundo impulso. Esta tarea implica que haya un denominador común para las dos fracciones (la que representa lo que avanzó un carrito con el primer impulso y la que representa lo que avanzó con el segundo impulso). 12
- 12. Para llevar a cabo este procedimiento, se sugiere proponer a los alumnos la búsqueda de frac- ciones equivalentes, por ejemplo: Carrito de Daniela 4 Primer impulso: 10 1 Segundo impulso: 2 1 La fracción 2 puede escribirse con el denominador 10: 1 5 2 = 10 4 En la recta quedaría así: partiendo de 10 (lo que avanzó el carrito con el primer impulso) 5 tendría que avanzar 10 más (lo que avanzó el carrito con el segundo impulso) y llegaría 9 a 10 . Eso fue lo que avanzó en total el carrito de Daniela. Con los otros carritos podría ser de la siguiente forma: Carrito de Pamela 3 Primer impulso: 6 2 Segundo impulso: 5 El denominador común más pequeño sería 30. La recta tendría que dividirse en treinta- vos y las fracciones quedarían así: 3 15 6 = 30 2 12 5 = 30 27 En total, el carrito de Pamela avanzó 30 Carrito de Lucas 3 Primer impulso: 8 11 Con los dos impulsos llegó a 12 El denominador común más pequeño sería 24. La recta tendría que dividirse en veinti- cuatroavos y las fracciones quedarían así: 3 9 8 = 24 11 22 12 = 24 13 Así, se puede saber que con el segundo impulso el carrito de Lucas avanzó 24 (porque 22 9 13 24 – 12 = 24 ). Carrito de Octavio 3 Primer impulso: 5 1 Segundo impulso: 3 El denominador común más pequeño sería 15. La recta tendría que dividirse en quin- ceavos y las fracciones quedarían así: 3 9 5 = 15 1 5 3 = 15 14 En total, el carrito de Pamela avanzó 15 13
- 13. Si lo considera necesario, para apoyar esta tarea, revisen en grupo las lecciones que se sugie- ren en Lee, piensa, decide y aprende. Matemáticas. Tercera fase. Guía del alumno. 4 9 10 10 Daniela META 15 27 30 30 Pamela META 9 22 24 24 Lucas META 9 14 15 15 Octavio META A partir de este momento los alumnos sabrán en qué orden quedaron los carritos tras los dos impulsos: Octavio quedó en primer lugar, Lucas quedó en segundo lugar, y Daniela y Pamela quedaron empatadas en último lugar. Los alumnos ahora se enfrentarán con que deben averiguar a cuántos metros corresponde cada fracción en la pista (cuya longitud es de 3 metros). Para saberlo, deben considerar las fracciones en relación con lo que mide la pista. Hay varios procedimientos que pueden ser útiles, como poner los datos en una tabla o aproximar la medida ubicando el punto en una recta numérica. Fracción Metros Un entero mide 3 metros. 1 1 3 2 (que es la mitad de un entero) mide 1.5 m (que es la mitad de 3). 1 2 1.5 1 mide 1 m (que es la tercera parte 3 1 de 3). 3 1 1 5 0.6 1 10 (que es la décima parte de 1) mide 1 8 0.375 0.3 m (que es la décima parte de 3). 1 1 0.3 5 mide 0.6 m. 10 1 1 1 15 (que es la tercera parte de 5 ) mide 0.2 15 0.2 m (que es la tercera parte de 0.6). 1 1 24 0.125 30 mide 0.3 m. 1 30 0.1 1 8 mide 0.375 m. 1 1 ¿Cómo pueden los alumnos saber qué 24 (que es la tercera parte de 8 ) mide 0.125 m (que es la tercera parte de en las relaciones verticales, por ejemplo: 0.375). 14
- 14. Así, para hallar cuántos metros recorrió en total cada carrito, pueden sumar las medidas frac- cionarias tantas veces como sea necesario: 1 1 1 El carrito de Daniela recorrió 10 + 10 + 10 … (nueve veces), es decir: 0.3 + 0.3 + 0.3… (nueve veces) = 2.7 metros. 1 1 1 El carrito de Pamela recorrió 30 + 30 + 30 … (veintisiete veces), es decir: 0.1 + 0.1 + 0.1… (veintisiete veces) = 2.7 metros. 1 1 1 El carrito de Lucas recorrió 24 + 24 + 24 … (veintidós veces), es decir, 0.125 + 0.125 + 0.125… (veintidós veces) = 2.75 metros. 1 1 1 El carrito de Octavio recorrió 15 + 15 + 15 … (catorce veces), es decir, 0.2 + 0.2 + 0.2… (catorce veces) = 2.8 metros. Rectas Para saber, utilizando la recta, cuántos metros avanzó el carrito de Daniela, hay que dividir el total de la pista en décimos, ya que cada décimo corresponde a 0.3 metros (porque 3 ÷ 10 = 0.3). 1.2 2.7 Daniela META 1m 2m 3m Daniela llegó con el primer impulso a 1.2 metros, y con los dos impulsos a 2.7 metros. Para el carrito de Pamela hay que dividir el total de la pista en treintavos, y tomar en cuenta que cada treintavo corresponde a 0.1 metros (porque 3 ÷ 30 = 0.1). 1.5 2.7 Pamela META 1m 2m 3m Pamela llegó con el primer impulso a 1.5 metros y con los dos impulsos a 2.7 metros. Para el carrito de Lucas hay que dividir el total de la pista en veinticuatroavos, y recordar que cada veinticuatroavo corresponde a 0.125 metros (porque 3 ÷ 24 = 0.125). 1.125 2.75 Lucas META 1m 2m 3m Lucas llegó con el primer impulso a 1.125 metros y con los dos impulsos a 2.75 metros. 15
- 15. Para el carrito de Octavio hay que dividir el total de la pista en quinceavos, y considerar que cada quinceavo corresponde a 0.2 metros (porque 3 ÷ 15 = 0.2). 1.8 2.8 Octavio META 1m 2m 3m Octavio llegó con el primer impulso a 1.8 metros y con los dos impulsos a 2.8 metros. También se propone a los alumnos resolver sumas de fracciones (la que corresponde al primer impulso más la del segundo impulso). Para sumar fracciones con distinto denominador, los alum- nos deben seguir el principio de hallar un denominador común encontrando fracciones equiva- 4 1 5 lentes. No obstante, es frecuente que los alumnos cometan algunos errores, como 10 + 2 = 12 . Si detecta alguno, aproveche este momento para aclararlo. Una forma en que podrían quedar las sumas es la siguiente: Carrito de Daniela 4 1 10 + 2 = 4 5 9 10 + 10 = 10 Carrito de Pamela 3 2 6 + 5 = 15 12 27 30 + 30 = 30 Carrito de Lucas 3 11 8 + __ = 12 9 22 24 + __ = 24 9 13 22 24 + 24 = 24 Carrito de Octavio 3 1 5 + 3 = 9 5 14 15 + 15 = 15 Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su idea inicial para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 16
- 16. Tema 3 Proporcionalidad Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican identi- existe entre cantidades proporcionales. La situación planteada a los alumnos En este problema se plantea una situación de proporcionalidad en la que deben hallarse ciertos datos. Los alumnos ya tienen experiencia resolviendo este tipo de situaciones y ahora, además, tendrán la oportunidad de emplear distintos procedimientos para hacerlo. Sugerencias para abordar el problema La situación de calcular los ingredientes de una receta es conocida por los alumnos;; seguramente, ellos habrán desarrollado anteriormente estrategias para resolver este tipo de problemas. Permita que expresen sus ideas y que resuelvan el problema como crean conveniente, pero no deberán avanzar más hasta que cada uno tenga una propuesta de solución. Dé tiempo para que cada alumno desarrolle una estrategia personal, aunque no sea correcta. Una estrategia errónea que se explora al inicio es sumar cierta cantidad a todos los ingredientes (el procedimiento que propone Daniela). Si algunos alumnos la eligieron, permítales seguir avan- zando, conforme resuelvan los siguientes incisos podrán darse cuenta de que no se obtienen las cantidades correctas. 17
- 17. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía El procedimiento que sugiere Lucas es erróneo. Es cierto que debe emplearse una mayor cantidad de cada ingrediente, pero para que se conserve el sabor original de las galletas, dicho aumento debe ser proporcional. La idea de Daniela no se concreta en una estrategia correcta: sumando 20 gramos, mililitros, etcétera, a cada ingrediente no se mantendrán las proporciones correctas en la receta. El proce- dimiento que sugiere Octavio es correcto, se basa en la idea de al doble le toca el doble, al triple el triple, etcétera. Empleando este procedimiento, lo que necesitarán para obtener la respuesta al problema es pasar de los ingredientes para 80 galletas a los ingredientes para 100 galletas;; es decir, aumentar a todos los ingredientes una cuarta parte (porque 80 + 20 = 100, y 20 es la cuarta parte de 80). Propuesta de Lucas Como puede verse, en esta propuesta la cantidad de galletas va aumentando de 80 en 80 y se llega hasta 400 galletas, para que el cálculo de 100 galletas sea más sencillo (los ingredientes para 400 galletas ÷ 4 = los ingredientes para 100 galletas). Cantidad de Yemas de Latas de leche galletas huevo 80 4 1 160 8 2 240 12 3 320 16 4 400 20 5 5 1 100 5 4 o1 4 Propuesta de Pamela Pamela desea saber cuántos gramos de nuez y cuántas cucharadas de vainilla se necesitan para preparar 20 galletas, pues si suma dichas cantidades a los ingredientes que se emplean para pre- parar 80 galletas obtendrá cuánto necesita para 100 galletas. Cantidad de nuez Cantidad de vainilla Una cucharada 80 galletas 200 g de nuez 80 galletas de vainilla 1 40 galletas 100 g de nuez 40 galletas 2 cucharada de vainilla 1 20 galletas 50 g de nuez 20 galletas 4 de cucharada de vainilla 18
- 18. Propuesta de Daniela En este punto se plantea a los alumnos otro procedimiento: hallar la cantidad de mantequilla necesaria para una galleta dividiendo 400 entre 80, multiplicar el resultado por 100 y obtener así el número buscado. Al procedimiento que consiste en hallar qué número corresponde al 1 se le llama valor unitario. En este caso, al dividir entre 80 las cantidades de cada ingrediente se puede saber qué cantidad se necesita de cada uno para hornear una galleta. 400 g de mantequilla ÷ 80 = 5 g de mantequilla. Se necesitan 5 g de mantequilla para preparar una galleta. 5 g de mantequilla × 100 = 500 g de mantequilla. Se necesitan 500 g de mantequilla para preparar 100 galletas. Para la harina se sugiere hacer operaciones con números decimales. Se espera que escribir 1 1 3 2 como decimal no sea problemático para los alumnos, ya que la fracción 2 es fácilmente Una vez escrita la cantidad de harina como 3.5 tazas, hay que dividirla entre 80 para hallar el valor unitario. 3.5 tazas de harina ÷ 80 = 0.04375 de taza de harina. Se necesita 0.04375 de taza de harina para preparar una galleta. 0.04375 de taza de harina × 100 = 4.375 tazas de harina. Se necesitan 4.375 tazas de harina para preparar 100 galletas. Aproveche estos cálculos para repasar las operaciones con decimales. Una forma de resolver la división 3.5 ÷ 80 es la siguiente: 3.5 ÷ 10 = 0.35 Si ese resultado (0.35) se divide entre 2, equivale a dividir la cantidad original (3.5) entre 20. 0.35 ÷ 2 = 0.175 Si se vuelve a dividir entre 2, es como si se dividiera la cantidad original entre 40. 0.175 ÷ 2 = 0.0875 Dividirla nuevamente entre 2 equivale a dividir la cantidad original entre 80. 0.0875 ÷ 2 = 0.04375 Usando la operación que los alumnos conocen, hay que “quitar” el punto decimal del dividen- do, es decir, hay que encontrar una operación equivalente en la que no haya punto decimal: 80 3.5 = 800 35 Como el dividendo es menor que el divisor, habrá que realizar otros pasos: 0. 800 350 19
- 19. Aún no “cabe” 800 en 350, así que se añaden más ceros. 0.0 800 3500 A partir de este punto ya se puede dividir 3500 entre 800. 7 También se les plantea la posibilidad de dividir la fracción 2 entre 80 sin tener que escribirla como un número decimal. Los alumnos ya han hecho divisiones de fracciones entre números naturales, así que dé tiempo para que exploren una respuesta. Una manera de hacerlo es dividir la fracción entre 10 y el resultado dividirlo entre 8: 7 7 1 1 2 ÷ 10 = 20 (porque 20 es diez veces más chico que 2 ). 7 7 Los alumnos pueden comprobar esta operación sumando 20 + 20 … (diez veces) = 70 7 20 = 2 . 7 7 1 1 Después dividen 20 ÷ 8 = 160 (porque 160 es ocho veces menor que 20 ). 7 7 56 7 Se puede comprobar sumando 160 + 160… (ocho veces) = 160 = 20 . Las divisiones pueden escribirse en una tabla para ir encontrando las relaciones con mayor facilidad. Por ejemplo: Galletas Harina (tazas) 7 80 2 7 40 4 7 20 8 7 10 16 7 1 160 El principio que está detrás de la división de una fracción entre un número natural es que el denominador debe hacerse tantas veces más pequeño como sea el número natural entre el que se está dividiendo. 1 1 2 ÷2= 4 1 1 5 ÷ 3 = 15 2 2 6 ÷ 20 = 120 7 7 2 ÷ 80 = 160 Esta idea puede ser difícil de entender para los alumnos en este grado;; proponga algunos ejemplos sencillos para que puedan darle sentido a estas divisiones, como: “Una tabla que mide 1/3 de metro va a dividirse en 4 partes, ¿cuánto medirá cada parte?”. 20
- 20. Propuesta de Octavio Esta propuesta emplea el modelo de áreas para representar fracciones;; pero, al igual que en las dos propuestas anteriores, la idea es buscar qué cantidad de ingredientes se necesita para prepa- rar 20 galletas y sumarla a la necesaria para preparar 80 galletas. 1 Para 80 galletas se necesita 2 taza de azúcar. 80 galletas Una taza de azúcar 1 Para 20 galletas se necesita la cuarta parte de esa 2 taza, porque 80 ÷ 4 = 20. 1 El rectángulo de color representa la cuarta parte de 2 . 1 Para los alumnos puede ser confuso entender esto: la cuarta parte de 2 no es igual a la cuarta parte de un entero. Haga hincapié en que el rectángulo completo es un entero y pregunte: 1 2 ? 1 2 ? Se espera así que reconozcan lo siguiente: 80 galletas ÷ 4 = 20 galletas. 1 1 2 taza de azúcar ÷ 4 = 8 de taza de azúcar. 80 galletas + 20 galletas = 100 galletas. 1 1 5 2 taza de azúcar + 8 taza de azúcar = 8 de taza de azúcar. 1 1 Para sumar 2 + 8 pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien pregunte: 1 1 “¿Con cuántos octavos se puede cubrir 2 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 8 . 21
- 21. Con el chocolate se procede igual. Se necesita Para 20 galletas se necesita la cuarta parte por- ¼ taza para 80 galletas. que 80 ÷ 4 = 20. El rectángulo de color representa la cuarta 1 parte de 4 . Para ayudar a comprender esto, enfatice que el rectángulo completo es un entero y pregunte: 1 4 ? 1 4 , ¿qué fracción del total del rectángulo representa? Se espera así que reconozcan lo siguiente: 80 galletas ÷ 4 = 20 galletas. 1 1 4 taza de chocolate ÷ 4 = 16 de taza de chocolate. 80 galletas + 20 galletas = 100 galletas. 1 1 5 4 taza de chocolate + 16 taza de chocolate = 16 taza de chocolate. 1 1 Para sumar 4 + 16 también pueden seguir empleando el modelo de áreas, o bien cabe pregun- 1 1 tarles: “¿Con cuántos dieciseisavos se puede cubrir 4 ?”. A esa cantidad hay que sumarle 16 . Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su primera idea para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 22
- 22. Tema 4 Geometría Aprendizajes esperados para resolver problemas que implican calcular La situación planteada a los alumnos lados curvos. Ellos ya han estudiado cómo calcular áreas y perímetros de círculos, ahora se espera que utilicen esos conocimientos para resolver este problema. Sugerencias para abordar el problema - tada por las líneas rojas. Puede pedirles que tracen los cuadrados y luego los arcos y que iluminen C D E B A F 23
- 23. Dé tiempo para que cada alumno explore una solución, no importa si ésta es correcta o no. Cuando terminen, pueden seguir resolviendo. Un error que suelen cometer es confundir el área con el perímetro. Esto se explora en el ma- terial para los alumnos. Comente esa información para que todos recuerden cuál es el perímetro y cuál es el área. Análisis de las estrategias de resolución planteadas en la Guía áreas no sombreadas, de modo que obtiene primero el área del círculo completo y la del cuadrado que representa un mosaico. C D E 20 cm B 20 cm A F Área del cuadrado: 20 × 20 = 400 cm2 Área del círculo: π × r2 = 1256.64 cm2 parte del área del círculo completo. 1256.64 cm2 ÷ 4 = 314.16 cm2 del cuadrado menos el área de la cuarta parte del círculo completo. 400 cm2 2 = 85.84 cm2 2 + 85.84 cm2 = 400 cm2 24
- 24. por los vértices BAD es igual al área delimitada por los vértices DEF. C D E B A F - cionadas y las pongan una encima de la otra para que comprueben que tienen la misma área. por lado) = 400 cm2. El procedimiento de Octavio pretende demostrar que los “gajos” que se forman al trazar las Como la base del rectángulo es 40 cm y la altura 20 cm, se tiene que: 40 × 20 = 400 2 2 . completa. Perímetro de la circunferencia: 2r × π = 125.66 cm Perímetro de la cuarta parte de la circunferencia: 125.66 cm ÷ 4 = 31.42 cm la circunferencia + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia: 40 cm + 31.42 cm + 31.42 cm = 102.84 cm Cierre de la actividad Cuando los alumnos hayan terminado de resolver estas actividades, pídales que regresen a su solución original y que comenten con sus compañeros su estrategia. Después, dígales que hagan un registro de lo que aprendieron, que anoten cuál fue su idea inicial para resolver el problema y registren si cometieron errores, si lograron aclarar sus dudas, etcétera. 25
- 25. Lee, piensa, decide y aprende Matemáticas Tercera fase Guía del maestro Se imprimió por encargo de la Subsecretaría de Educación Básica, en... con dirección en... El tiraje fue de... ejemplares.