Ley de los senos y cosenos
- 1. LEY DE LOS SENOSLEY DE LOS SENOS LEY DE LOS COSENOSLEY DE LOS COSENOS DOCENTE: ING. HÉCTOR GUERRA S. SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO 2014 - 2015
- 2. Objetivo Específico: Aplicar el teorema del seno y el teorema del coseno para resolver problemas que involucren triángulos en situaciones de la vida cotidiana Preguntas Esenciales: ¿Por qué el Teorema de Pitágoras no aplica a todos los triángulos? ¿Cómo averiguamos los lados y ángulos que faltan de un triángulo si ya conocemos dos lados y un ángulo? ¿Cómo averiguamos los ángulos de un triángulo si ya conocemos todos sus lados?
- 3. Actividad de Partida Estas visitando a tu primo, Luis, en Nueva York. Luis está planificando construirle un techo nuevo a su garaje. Decide inclinar los lados del tejado a un ángulo de 28°; el diámetro del garaje es de 30 pies. Halla la longitud de los lados del techo a la décima de pie más próxima.
- 4. Analicen la siguiente situación: Un arquitecto necesita construir una rampa como se muestra en la siguiente figura: ¿Con los datos que se muestran en la figura, podrá el arquitecto calcular cuánto vale la longitud de esta rampa? Justifiquen su respuesta y discutan los resultados junto con sus compañeros.
- 5. LEY DE LOS SENOS. “Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” Se aplica: Conocidos dos ángulos y un lado. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. senC c senB b senA a ==
- 6. LEY DE LOS COSENOS. “El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido” Se aplica: Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dos lados y el ángulo que forman. Conocidos los tres lados. Abccba cos2222 −+= Baccab cos2222 −+= Cabbac cos2222 −+=
- 7. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LOS SENOS Dibujar un triangulo ABC. Trazar una altura. Determinar el seno de los ángulos opuestos a la altura. Despejar la altura de cada expresión. Igualar las alturas y nos queda una de las proporciones de dicha ley. NOTA: Para demostrar la otras proporciones se repite el mismo proceso pero con otra altura. senC c senB b senA a ==
- 8. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LOS COSENOS Dibujar un triangulo ABC. Trazar una altura. Asignar con una variable la distancia de un vértice a la proyección de la altura. Aplicar el teorema de Pitágoras en cada triangulo rectángulo formado por el trazo de la altura. Despejar e igualar las alturas. Reemplazar la variable asignada, para ello determinar su valor en el triangulo. NOTA: Para demostrar la otras leyes se repite el mismo proceso pero con otra altura. Abccba cos2222 −+=
- 9. Ejemplos: Resolver los triángulos propuestos bajo las condiciones dadas: a = 4 cm. b = 5 cm. B = 30º a = 6 m. B = 45º C = 105º a = 10 m. b = 7 m. C = 30º A = 60º a = 8 pies b = 4 cm. a = 15 pulg. b = 22 pulg. c = 17 pulg.
- 10. APLICACIONES En una esquina de un campo triangular el ángulo interior mide 52º, los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 150 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado? Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 metros; desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Hallen la distancia entre A y B.
- 11. En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo; el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h. Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º; después de media hora de competencia, el segundo sufre un calambre. ¿Que distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la nueva dirección de este?
- 12. ACTIVIDAD DE CIERRE (GRUPAL) Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud de sus diagonales si el ángulo de uno de sus vértices es de 65º. Dos observadores colocados a 110 metros de separación en A y en B, en la orilla de un río, están mirando una torre en la orilla opuesta en el punto C. Midieron los ángulos <CAB y <CBA, que fueron de 43º y 57º respectivamente. ¿A qué distancia está el primer observador de la torre?
- 13. Dos corredores A y C parten del mismo punto B a las 12:00 del día. Uno de ellos se dirige hacia el norte a 36 km por hora, y el otro, a 68º al noreste a 38 km por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las 3:00 de la tarde?
- 14. Luego de un choque muy fuerte con un tractor, el poste de la red eléctrica de la estancia de don Evaristo no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5,5 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 68º, con respecto a la horizontal. Calculen la variación del ángulo de inclinación entre el poste y el suelo, si antes del choque proyectaba una sombra de 5 m a la misma hora.