LEYES DE EXPONENTES SEMANA 1 CESAR VALLEJO.pdf
- 2. Semana : 01 Tema: Leyes de exponentes Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca ÁLGEBRA
- 3. Objetivos: Conocer la definición de las operaciones de potenciación y radicación. Conocer las propiedades de las operaciones de potenciación y radicación. Aplicar la definición y las propiedades en la resolución de problemas.
- 4. Introducción: Las memorias USB, laptop, celular o memoria externa, se caracterizan por su capacidad de almacenamiento, las unidades que se utilizan son los Gigabyte o Terabyte. Nombre Símbolo Múltiplo 1 byte 1B 8 bits 1 kilobyte 1kB 210 byte 1 Megabyte 1MB 220 byte 1 Gigabyte 1GB 230 byte 1 Terabyte 1TB 240 byte Memoria externa 1 Terabyte Laptop Memoria RAM 8 GB USB 16 GB Celular Memoria interna 32 GB 1 carácter <> 1 byte <> 8 bits 1 073 741 824 byte 1 Gigabyte <> 230 Mil setenta y tres millones setecientos cuarenta y un mil ochocientos veinticuatro Las leyes que rigen los exponentes ayudan a simplificar la notación de los múltiplos de los “byte”. Es una letra, símbolo o espacio dentro de un documento. ¿ A cuánto equivaleun Gigabyte ?
- 5. Potenciación Es una operación matemática en donde a partir de dos elementos “𝑎” y “𝑛” vamos a obtener un tercer elemento “𝑏”. Notación: 𝒂 𝒏 = 𝒃 Donde: : Base : Exponente : Potencia 𝑎 𝑛 𝑏 Exponenteenteropositivo: 𝒂𝒏 𝒂. 𝒂. 𝒂. … 𝒂 “𝑛” veces • 34 3.3.3.3 • 53 5.5.5 • 72 7.7 • 41 4 • 05 0.0.0.0.0 Exponentecero: 𝒂𝟎 = 𝟏 𝑎 ≠ 0 • 60 = 1 • −3 0 = 1 5 4 0 = 1 • 2 0 = 1 00 : No definido 1 4 + 3 2 − 7 4 0 7 4 − 7 4 0 No definido = 81 = 125 = 49 = 0 (𝑎 ∈ ℝ) (𝑛 ∈ ℤ) (𝑏 ∈ ℝ) • (−3)2 (−3)(−3) = 9 Ejemplo 𝑛 ∈ ℤ+ Ejemplo Nota • 3 5 3 5 3 5 = = 27 125 = 00 (−𝑎)2𝑛 −𝑎2𝑛−1 = (−𝑎)2𝑛−1 = 𝑎2𝑛 Vamos a estudiar tres casos para el exponente: ℤ = … ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … ℤ+ ℤ− cero Ejemplo = = = = = = = = • −50 = − 1 7 4 3 5 3 • Nota • (−2)4 24 = 16 = • (−10)5 −105 = −100 000 =
- 6. Exponenteenteronegativo: 𝒂−𝒏 𝟏 𝒂𝒏 • 5−3 1 53 = 1 125 • (−2)−4 𝑎 ≠ 0 1 (−2)4 = 1 16 • −2−4 = 1 24 − = − 1 16 𝒂 𝒃 −𝒏 𝒃 𝒂 𝒏 = 2 3 −4 3 2 4 = = 3 2 3 2 3 2 3 2 = 81 16 Ejemplo −𝑛 ∈ ℤ− Ejemplo 𝑎 ≠ 0 𝑏 ≠ 0 = = = Teoremas: 𝒂𝒏. 𝒂𝒎 𝒂𝒏+𝒎 = 𝒂𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎 (𝒂𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏𝒃𝒏 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏 𝒃𝒏 𝒂𝒏 𝒎 = 𝒂𝒏𝒎 = 𝑥2+5+6 𝑥4+3 = 𝑥13−7 𝑥6 • 𝑥8𝑥4𝑥−9 = 𝑥8+4−9 𝑥3 = = = • 3𝑥𝑦 2 = 32𝑥2𝑦2 9𝑥2𝑦2 = 2𝑥 4 𝑦4 = 24𝑥4 𝑦4 = 16𝑥4 𝑦4 = • 𝑥3 5 = 𝑥3.5 = 𝑥15 • 𝑥2 4 3 = 𝑏 ≠ 0 𝑎 ≠ 0 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 𝑥2𝑥5𝑥6 𝑥4𝑥3 2𝑥 𝑦 4 𝑥13 𝑥7 𝑥2.4.3 = 𝑥24 •
- 7. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 → 𝑛 = 𝑚 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑚 𝑛 𝑎𝑛 𝑚 ≠ 𝑎𝑛𝑚 Además • 𝑥4 3 = 𝑥3 4 • 𝑥2 5 • 𝑥25 𝑥2.5 = = = 𝑥10 𝑥 𝑎 ≠ 1; 0; −1 Aplicación • 𝑦350 = 𝑦 𝑦 = Determine el valor de "𝑥" si se cumple: 95𝑥 = 272𝑥+4 Resolución = 32 3 1 3 9 5𝑥 27 2𝑥+4 32 5𝑥 = 33 2𝑥 + 4 3 10𝑥 = 3 6𝑥 + 12 10𝑥 = 6𝑥 + 12 4𝑥 = 12 𝑥 = 3 Aplicación Determine el exponente final de "𝑥“ en la siguiente expresión: 𝑥2 3 𝑥−23 𝑥24 𝑥(−3)2 𝑥−52 Trabajando por partes • 𝑥2 3 = 𝑥2.3 = 𝑥6 • 𝑥−23 = 𝑥−8 • 𝑥24 = 𝑥16 • 𝑥(−3)2 = 𝑥9 • 𝑥−52 = 𝑥−25 Luego 𝑥6 𝑥−8 𝑥16 𝑥9 𝑥−25 = 𝑥14 𝑥−16 = 𝑥30 𝑥6−8+16 𝑥9−25 = Exponente final de 𝑥 : 30
- 8. Radicación en los reales Es una operación matemática en donde a partir de dos elementos “𝑎” y “𝑛” vamos a obtener un tercer elemento “𝑏”. Notación: (+) 𝒏 𝒃 Donde: : Radicando : Índice : Raíz 𝑎 𝑛 𝑏 • 4 ↔ 𝒃 𝒏 𝒂 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝒂 = • 5 −32 • 3 64 −2 = = ↔ ↔ ↔ (−2) 5 = −32 4 3 = 64 2 2 = 4 Además: En los reales la raíz “b” es único Exponentefraccionario: 𝒂 𝒎 𝒏 = 𝒏 𝒂𝒎 • 3 2 5 = 5 32 • − 5 1 4 = 4 51 − 5 9 = 4 5 − = Teoremas: 𝒏 𝒂𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒃 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 = 𝒏 𝒎 𝒂 = 𝒏𝒎 𝒂 Ejemplo Ejemplo ( 𝑛 = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … ) Nota: • −2 : no es un número real (es un número imaginario) Ejemplo = 16 𝑥 • 16𝑥 4 = 𝑥 • 3 𝑦 27 = 3 27 3 𝑦 = 3 3 𝑦 Ejemplo • 3 4 𝑥 • 9 1 2 = 91 = 9 = 3 = 3.4 𝑥 12 𝑥 = Ejemplo (𝑎 ∈ ℝ) (𝑏 ∈ ℝ) = = (+) (−) 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = (−) (+) 𝑝𝑎𝑟 = (+) = 4 2 𝑏 ≠ 0
- 9. Además 𝑛𝑘 𝑎𝑚𝑘 𝑛 𝑎𝑚 = • 10 32 5.2 25 = = 2 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 • 3 5 3 = 5 • 6 7 6 = 7 Aplicación Reduzca la siguiente expresión: 3 𝑥 8 + 12 + 16 18 + 27 + 36 3 𝑥 Resolución • 8 = 4.2 = 4 2 = 2 2 • 12 = 4.3 = 4 3 = 2 3 • 16 = 4 • 18 = 9.2 = 9 2 = 3 2 • 27 = 9.3 = 9 3 = 3 3 • 36 = 6 • 3 𝑥 = 6 𝑥 • 3 𝑥 = 6 𝑥 Luego + + + + 6 𝑥 2 2 2 3 2 × 2 3 2 3 3 3 × 2 6 𝑥 2 2 + 3 + 2 3 2 + 3 + 2 2 3 3 𝑥 8 + 12 + 16 18 + 27 + 36 3 𝑥 = = = =
- 10. w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e