Lógica proposicional

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN
ESCUELA PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA
Matemática y Lógica
Lógica proposicional
Melecio Paragua Morales
paraguamorales@gmail.com

Lógica proposicional
Es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones, sus
posibles valores de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.
Enunciado: Es toda frase u oración.
Ejemplos:
Lima es la capital del Perú.
El doble de 3 es 5.
¿Qué hora es?
¡Auxilio!
x + 2 = 7
(x)(x) + 2

Enunciado abierto
Es aquel que presenta variables y que en sí mismo no es ni verdadero ni falso,
pero que al asignarle un valor a aquellas, resulta ser verdadero o falso, pero no ambos.
Se abrevia por E.A.
Un enunciado será verdadero (o falso) si lo que afirma coincide (o no) con la realidad.
Ejemplos:
Él se fue a Lima
Es un E.A pues no se indica quién es él. Aquí, el pronombre “Él” actúa como variable.
Ejemplo, si “Él” se refiera a Luis, el enunciado sería “Luis se fue a Lima”, el enunciado
será verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no.
x + 2y = 7
Es un E.A pues si x = 2 y, y = 3 el enunciado se convierte en la proposición: 2 + 2(3) = 7 la
cual es, en los números reales, falsa.

Enunciado cerrado
Es toda definición.
Por ello, su valor de verdad es siempre verdadero, pues así se ha convenido. También
son enunciados cerrados aquellos cuya verdad se aceptan sin demostración.
 Ejemplo
El seno de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Es un enunciado cerrado.
 El triángulo no es un polígono de tres lados.
No es un enunciado cerrado por dos razones: No es una definición y no es una
proposición simple.
El triángulo es un polígono de tres lados
Es un enunciado cerrado. Se trata de la definición de triángulo.

Proposiciones lógicas
Son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas
como verdaderas o como falsas, sin ambigüedades. Son denotadas
con letras minúsculas: p, q, r, s, t, etc.
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor
de verdad.

Ejemplos de proposición lógicas
 Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambas.
 Ejemplo
 Todos los peruanos son demócratas
 Es una proposición universal (artículo: todos) y afirmativa (verbo está afirmado).
 Algunos osos comen carne
 Es una proposición particular (artículo algunos) y afirmativa (el oso panda es herbívoro).
 Miguel Grau murió en el combate de Abtao
 Es una proposición singular (Miguel Grau es nombre propio) y afirmativa.
 Ío es un satélite de Júpiter
 Es una proposición singular y afirmativa.
 La Luna no es un planeta
 Proposición singular (la es artículo singular) y negativa.

Más proposiciones y no proposiciones
p: Lima es la capital del Perú Verdadero (V)
q: 17 – 6 = 10 Falso (F)
La UNHEVAL es una universidad privada. Falso (F)
Expresiones que no son proposiciones lógicas.
Buenos días. No posee valor de verdad/No está definido.
No faltes. No posee valor de verdad/No está definido.
¿Quién llamó por teléfono? No posee valor de verdad/No está definido.
¡Ingresa a la universidad! No posee valor de verdad/No está definido

Términos de enlace o conectores
Son aquellos términos que sirven para enlazar una o más
proposiciones y así formar otras más complejas. Son los
siguientes:
 La negación “no” “¬“
El conjuntivo “y” “ʌ“
El disyuntivo “o” “V“
La implicancia “si…entonces…” “→”
La bicondicional “si y sólo si ….” “↔”

CLASES DE PROPOSICIONES
Simples o atómicas
Son aquellas que se pueden representar por una sola variable; es
decir, por una sola letra.
p: Mariella tiene 20 años.
q: 5 x 5 = 25
r: El gato es negro.
s: Es de raza persa.

Proposiciones compuestas o moleculares
Son aquella que se pueden representar por lo menos por una variable y
algún o algunos de los símbolos que representan a las palabras siguientes:
No (¬)
Implica (→)
O (V)
Y (Ʌ)
Si y sólo si (↔)
O bien p o bien q (Δ)
Ejemplo: No aprobé el curso de matemática. (¬ p)
Hoy es sábado y mañana domingo (p Ʌ q)

La negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra
proposición denotada por ¬ p, y que le asigna el valor de verdad
opuesto al de p.
¬ p se lee: “no p”; “no es cierto que p”
p
¬
¬p
V F
F V

Ejemplos: afirmación y negación
Valor de
verdadExpresión
simbólica
Lenguaje natural
p: 3 x 4 = 12 V
q: Visual Basic 6.0 no es un lenguaje de programación F
¬ p: No es cierto que 3 x 4 = 12 F
¬ q Visual Basic 6.0 es un lenguaje de programación V

Disyunción
Se denota “p V q” y se lee “p o q”.
Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas
por la palabra “o”.
Está definida como: “La proposición p V q es FALSA únicamente en el caso en
que p y q son ambas falsas; en cualquier otro caso es verdadera”
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F

Ejemplo
Valor de
verdad
Expresión
simbólica
Lenguaje natural
p: 8 es menor que 5 F
q: 6 es mayor que 5 V
p V q 8 es menor que 5 o 6 es mayor que 5 V

Conjunción
 Se denota “p ʌ q” y se lee “p y q”.
 Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas por la palabra “y”.
 Está definida como: “La proposición p ʌ q es VERDAERA únicamente en el caso en que p y q son
ambas verdaderas; en cualquier otro caso es falsa”
p q p ʌ q
V V V
V F F
F V F
F F F

Ejemplo
Valor de
verdad
Expresión
simbólica
Lenguaje natural
p: 9 es múltiplo de 3 V
q: 10 + 7 = 12 F
p ˄ q 9 es múltiplo de 3 y 10 + 7 = 12 F

Condicional
 Se denota “p → q” y se lee “Si p entonces q”.
 Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas por la palabra
“Si…entonces…”.
 Definición: “La proposición p → q es FALSA únicamente en el caso en que la proposición p es
verdadera y q es falsa; en cualquier otro caso es falsa”
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V

Ejemplo
Valor de
verdad
Expresión
simbólica
Lenguaje natural
p → q 2 + 3 = 8 → 5 < 6 V
p → q 3 – 1 = 4 → 2 < 1 V
p → q Si 5 es primo, entonces 15 es un número par F

Bicondicional
 Se denota “p ↔ q” y se lee “p si y solo si q”.
 “Es una proposición que es VERDADERA en los casos en que ambas tengan valores de verdad
iguales (ambas verdaderas o ambas falsas); es FALSA en los casos que p y q tengan valores de
verdad opuestos”
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

Ejemplo
Valor de
verdad
Expresión
simbólica
Lenguaje natural
p 2 < 4 V
q 2 + 6 < 4 + 6 V
p ↔ q 2 < 4 si y solo si 2 + 6 < 4 + 6 V

Disyunción exclusiva
Se denota “p Δ q” y se lee “O bien p o bien q”.
“Es una proposición que es VERDADERA en los casos en que ambas
proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos, y es falsa si ambas tienen
idénticos valores de verdad”
p q p Δ q
V V F
V F V
F V V
F F F

Ejemplo
Valor de
verdad
Expresión
simbólica
Lenguaje natural
p Vamos a Arequipa V / F
q Vamos a Tacna F / V
p Δ q O vamos a Arequipa o vamos a Tacna V

Proposiciones compuestas: Ejemplo con uso de los conectivos lógicos
p q r ¬ p (¬ p) V q r ʌ q [(¬ p) V q] → (r ʌ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F

Tautología
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre verdadero para
cualquier combinación de sus valores de verdad de sus componentes, se le
llama tautología y se le denota siempre por V.
p q ¬ p ¬ q (¬ p) V q [((¬ p) V q) ʌ ¬ q] → ¬ p
V V F F V F V F
V F F V F F V F
F V V F V F V F
F F V V V V V F

Contradicción
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre falso para todas las
combinaciones de los valores de verdad de sus componentes, se le llama contradicción y
se le denota siempre por F.
p q ¬ q p ʌ q (p ʌ q) V q [(p ʌ q) V q] → ¬ p
V V F V V F
V F V F F F
F V F F V F
F F V F F F

Contingencia: Una proposición simple o compuesta cuya tabla de verdad contiene al
menos un V y al menos un F recibe el nombre de contingencia.
p q r ¬ p ¬ p V q r ʌ p (¬ p V q) → (r ʌ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F

Proposiciones lógicamente equivalentes: Dos proposiciones p y q se llaman
equivalentes, si sus tablas de verdad son idénticas.
En cuyo caso se simboliza: p ≡ q. Ejemplo:
p q ¬ p ¬ q p → q ¬ q → ¬ p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V

Ejercicios
1. El teclado es un dispositivo de entrada. (p)
2. El curso de Física es teórico y práctico.
3. Ana y Pedro estudian en la UNHEVAL, entonces son parte de la comunidad universitaria.
4. Construya proposiciones compuestas con: p: 8 es un número par; q: 8 es el producto de dos enteros.
5. Traducir en símbolos cada una de las siguientes proposiciones:
 8 es un número para o es un producto de dos enteros.
 8 es impar y es un producto de dos enteros.
 8 es par y un producto de dos enteros o es un número impar y no un producto de dos enteros.
6. Sean p, q y r tres proposiciones tales que p es verdadera, q es falsa y r es falsa. Indica cuáles de las
siguientes proposiciones son verdaderas:
 a) (p V q) V r b) ¬ p V (q ʌ r)

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