Lógica proposicional si

LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL
20132013
1Aprendizaje Esperado:Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas de
lógica proposicional con eficiencia y creatividad.

PROBLEMA MOTIVADOR
Resuelve el siguiente caso haciendo uso de tus propias
estrategias:
“Si voy a la biblioteca, entonces sacaré un libro de
historia. Pero resulta que no pude sacar un libro de
historia. De ahí que:
a)Fui a la biblioteca
b)Saque un libro de historia
c)No pude ir a la biblioteca
d)No hubo libros de historia
e)No hay libros

3
ORGANIZADOR VISUALORGANIZADOR VISUAL

4
MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO
Proposición
Es una expresión donde se afirma o se niega algo. Una
proposición puede ser calificada sin ambigüedades como
verdadera (V) o falsa (F). V ó F también recibe el nombre de
valor de verdad. Ejemplos:
p : Arequipa es la capital del Perú. F
q : 12 + 4 = 16 V

5
......
Clasificación de las proposiciones
Proposición simple o atómica.
Son aquellas que carecen de enlaces lógicos
Predicativas. Es aquella que no se relaciona con otra. Tiene un sujeto y un
predicado.
“S” es “P” . Ejemplos:
p : 24 es un número par.
q : La papa es una planta oriunda del Perú.
Relacionales. Aquellas que establecen un nexo entre dos o más sujetos.
“A” relación “B”. Ejemplos:
Yo estoy al lado tuyo
relación por ubicación
Miguel y Flor se aman
relación por afinidad
Mi abuelo fue tu contemporáneo
relación de grado

6
......
Proposición compuesta o molecular.
Combinación de dos o más proposiciones simples enlazadas por
conectivos lógicos.
Ejemplos:
Marco está en Lima y está estudiando.
p q
Tengo sueño de día entonces estoy cansado o me faltan vitaminas.
p q r

Práctica sobre proposiciones
 Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente lo que
acabamos de comentar sobre lo que es y no es un enunciado o
proposición.
"El sol no es un astro“
 es una proposición con valor de verdad V
 es una proposición con valor de verdad F
 no es una proposición
"El lago de los cisnes“
"2+2=4“

Resolución
"El sol no es un astro“
"El lago de los cisnes“
"2+2=4“

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:
•En las dos primeras columnas aparecen todas las
posibles combinaciones de valores de verdad de los
enunciados p y q
•p verdadero y q verdadero,
•p verdadero y q falso,
•p falso y q verdadero, y,
•por último, p falso y q falso.
Estos son todos los posibles "estados de cosas" o
"interpretaciones".
•En la columna tercera aparecen los valores de verdad
de la conjunción de p y q para todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de p y de q.
•Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso
de que p sea verdadero y q sea también verdadero, la
seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p
sea verdadero y q falso, etc.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
∧

10
PENSAMIENTOPENSAMIENTO
La lógica es una incertidumbre cierta entre laLa lógica es una incertidumbre cierta entre la
verdad o falsedad.verdad o falsedad.

Ejemplo 1
Sean los cuatro enunciados siguientes:
a)París esta en Francia y 2 + 2 = 4
b)París esta en Francia y 2 + 2 = 5
c) París esta en Inglaterra y 2 + 2 = 4
d)París esta en Inglaterra y 2 + 2 = 5
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es
verdadero, en otro caso p ^ q es falso

Ejemplo 2
Para comprender la operación lógica de la
disyunción, utilizaremos un contexto de una
persona que habla francés:
p: El estudió francés en la universidad
q: El vivió en francia
p v q : El estudio francés en la universidad o el vivió
en Francia.

∧∧

FÓRMULAS LÓGICAS.- Están
conformadas por proposiciones simples,
conectivos lógicos y signos de agrupación.

Al evaluar una fórmula
se confecciona su
TABLA DE VERDAD Si en esta tabla todos los valores de
verdad son V, es una TAUTOLOGÍA.
Si todos son F, es una CONTRADICCIÓN
Si algunos valores de verdad son V y otros
son F, tal fórmula es una
CONTINGENCIA
Ejemplos:

 Evaluar la siguiente fórmula:
Esta fórmula lógica corresponde a una TAUTOLOGÍA.

TRADUCIR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
A LENGUAJE MATEMÁTICO.
Si la tormenta continúa o anochese, nos
quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a
cenar o a dormir no iremos mañana al concierto;
pero si iremos mañana al concierto. Así pues la
tormenta no continua.
p: la tormenta continúa
q: anochese
r: nos quedamos a cenar
s: nos quedamos a dormir
t : ir mañana al concierto

(p v q)  (r V s)
(r v s)  ¬ t
t .
¬ p
RESOLUCIÓN

1. En una fórmula condicional si se afirma el
antecedente en la conclusión:
a)Se niega el consecuente.
b)Se niega el antecedente.
c)Se afirma el consecuente.
d)Se afirma el antecedente y consecuente.
e)Se niega antecedente y consecuente.
Resolver los ejercicios siguientes:

2. “Si voy a la biblioteca, entonces sacaré un libro
de historia. Pero resulta que no pude sacar un libro
de historia. De ahí que:
a)Fui a la biblioteca
b)Saque un libro de historia
c)No pude ir a la biblioteca
d)No hubo libros de historia
e)No hay libros

3. “Me voy al cine o al parque, sin embargo llamo a
Juan por teléfono. Por lo tanto…”
a)Voy al cine y al parque
b)Voy al cine y no al parque.
c)No voy al cine o no voy al parque.
d)No llamo por teléfono a Juan.
e)Voy al cine o al parque.

4. “Raúl es médico. Raúl es sociólogo”. Por lo tanto,
Raúl:
a)No es medico per sociólogo.
b)Es sociólogo y no es médico.
c)No es cierto que sea médico y sociólogo.
d)Es médico y sociólogo.
e)Es un gran filósofo.

5. Si canta y baila, María es artista; sin embargo no es
artista. Por lo tanto,…….
a)Ni canta ni baila.
b)No es el caso que canta y baila.
c)Canta si baila.
d)No canta o baila.
e)Ya que baila, canta.

1. De los siguientes enunciados indicar
cuales son proposiciones
5+8
¡Bravo!
7<11
a. VFV b. VVF c. FVV
d. FVF e. VVV

2. De los siguientes enunciados indicar cuales son
proposiciones
x+5=9
x-3< 10
3+4 = 6
a. VVF b. FFF c. VVV
d. FFV e. FVF

3. Determinar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. ( ) ( )3 5 8 5 3 4+ = ∨ − =
II. ( ) ( )3 8 11 7 3 1+ = ∨ − >
III. ( ) ( )5 3 8 1 7 6− = ⇒ − =

5. Cuantos V y F tiene la matriz principal de:
( )p q q ⇒ ∧ ∼
a. 2 y 2 b. 3 y 1 c. 1 y 3
d. 4V e. 4F

6. Determine la matriz principal de la
proposición de:
( ) ( )p q p q∨ ⇔ ∧∼ ∼ ∼
a. VVFF b. FFVV c. VVVV
d. FFFF e. VFVF

7. Halle la tabla de verdad de:
( ) ( )p q p q∨ ⇔ ∨∼ ∼
a. FFFF b. VVVV c. FFVV
d. VVFF e. VFVF

( )p r q∨ →
( )p r q→ ∧ ∼
( )p q r→ ∧
8. Las siguientes proposiciones son
verdaderas:
II.
III.
Señale el valor de verdad de: p,q y r
I.

( ) ( )3 5 8 5 3 4+ = ∨ − =
( ) ( )5 3 8 1 7 6− = → − =
( ) ( )3 8 11 7 4 > 6+ = ∧ −
( ) ( )4 6 9 5 2 4+ = ↔ − =
9. Determinar los valores de verdad de las
siguientes proposiciones
b.
c.
d.
a. VVVF
b. VFVF
c. VVVV
d. FFFF
e. VFVV
a.

10. Sean:
p: Juan Estudia Ingles
q: Pedro esta en casa
Expresar oralmente la proposición:
( )M ~ ~ p ~ q p q = ∧ → ∨ 

Verdades y mentiras
El tema de verdades y mentiras es la parte importante de la lógica
matemática que permite descifrar acertijos sobre veraces y
mentirosos, es decir, identificar a los personajes hipotéticos que
dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus
afirmaciones o de terceros. Para identificar a los personajes
hipotéticos, utilizaremos los razonamientos por casos, por
suposición, por analogía, por contradicción y otros. Estos
razonamientos nos permiten descartar un cierto número de
posibilidad consistente.
Recuerda que, de dos proposiciones contradictorias una tiene
que ser verdadera y la otra falsa.

PROBLEMA
1. Marco, Luís, Ignacio, Leonardo son acusados de cometer un delito, por lo
cual son sometidos a un interrogatorio y el acta policial consigna la
siguiente manifestación:
Marco : “Fue Luis”
Leonardo: “Luís miente”
Ignacio: “Yo no fui, soy inocente.”
Luís : “El delito lo cometió Leonardo.”
Si se sabe que sólo uno de ellos miente, ¿quién cometió el delito?
A). Leonardo: b). Ignacio: c). Luís d). Marco e). Falta información
RESOLUCION:
*Del enunciado sabemos que solo uno de ellos miente.
Marco: “Fue Luis” (V)
Leonardo: “Luis miente” contradicción
Ignacio: “Yo no fui, soy Inocente.” (V)
Luís: “El delito lo cometió Leonardo.” contradicción
Observamos que las afirmaciones de Leonardo y Luís se contradicen, por
tanto, una de ellas debe ser falsa. De allí las afirmaciones de Marco e Ignacio
son verdaderas.
Marco dice fue Luis (V), entonces el culpable es Luís.

2. Cuatro hermanas son interrogadas por su
madre, pues una de ellas usó sus joyas en una
fiesta sin su permiso.
Katia dice : “Liliana fue”.
Liliana dice : “Maribel fue”.
Maribel dice: “Liliana miente al decir que fui yo”
Zulema dice: “Yo no fui”.
Si la madre sabe que solo una de ellas dice la
verdad, ¿Quién es la culpable?
UTILIZA TUS PROPIAS ESTRATEGIAS PARA
RESOLVER EL PROBLEMA

PROBLEMAS PROPUESTOS
3. Cuatro “Hackers” son sospechosos de haber
introducido un ultravirus en la Internet y al ser
interrogados por la policía contestaron:
Felipe : “Hernán participó”
Hernán : “Víctor participó”
Víctor : “Hernán miente.”
Jesús : “Yo no participé.”
Si el único inocente es el único que dice la verdad ¿quién
es?
a). Felipe: b). Hernán c). Víctor d). Jesús e). No se
puede determinar

4. Un juez estaba convencido que tres de los cuatro:
Lenin, Rony, Peter y Daga, eran los asesinos de
“Nemesio”. Cada delincuente hizo una afirmación, pero
sólo una de las cuatro afirmaciones es verdadera:
Lenin dijo : “Yo no lo maté”
Rony : “Lenin miente”
Peter : “Rony miente.”
Daga : “Rony lo mató.”
¿Quién no es el asesino?
a). Lenin b). Rony c). Peter d). Daga e). No se
puede determinar

5. Un individuo miente siempre los martes, jueves y
sábados y es completamente veraz los demás días.
Cierto día mantiene el siguiente diálogo con una dama:
- Pregunta la dama : ¿Qué día es hoy?
-
Responde el individuo: Sábado
- Pregunta la dama : ¿Qué día será mañana?
-
Responde el individuo: Miércoles
¿De que día de la semana se trata?
a). Martes b). Miércoles c). Jueves d). Viernes e).
Domingo

1) Sea p “Samuel es rico” y sea q “Samuel es felíz”.
Escriba cada una de las siguientes frases en sus formas
simbólicas ( Asuma que “Samuel es pobre” significa “Samuel
no es rico”, es decir ¬p)
a) Samuel es pobre pero feliz
b) Samuel no es ni rico ni feliz
c) Samuel no es ni rico ni infeliz
d) Samuel es pobre o es rico e infeliz

2) Con las siguientes asignación de significados para las
variables proposicionales:
p : Necesita un doctor q: Necesita un abogado r: Tiene un accidente
s: Está enfermo u: Es injuriado
Expresar en español las siguientes sentencias:
a) ( s → p ) ( r →q )∧
b) p →( s u )∨
c) ( p q ) → r∧
d) ( p q ) ↔ ( s u )∧ ∧
e) ¬ ( s u ) →¬ p∨

3) Sean p, q, r las proposiciones siguientes
p “Está lloviendo” q “El sol está brillando” r “ hay nubes en el cielo”
Traduzca lo siguiente a notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos
a) Está lloviendo y el sol está brillando
b) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo
c) Si no está lloviendo, entonces el sol no está brillando y hay nubes en el cielo
d) El sol está brillando si y sólo si no está lloviendo
e) Si no hay nubes en el cielo, entonces el sol está brillando

TABLAS DE VERDAD
Por ejemplo construir la siguiente tabla de verdad : ( p → q ) → ( p q)∧
p q ( p q )→ ( p q)∧ ( p q ) ( p q)→ → ∧
Nota: cuando se tienen dos variables p y q se tienen 4 filas
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V

EJERCICIOS
Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
p q ¬ p ( q p )→ ¬ p ( q p )→ →
a) ¬ p → ( q → p )
V
V
F
F
V
F
F
V

50
BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
Lipschutz, Seymour (1996). Teoría de conjuntos y temas
afines. México: Mc Graw Hill.
Cabrera, Alan (2006) Razonamiento Matemático
Superior. Lima. Ed. UNI.
Dienes, Z.P. (1970). Las seis etapas del aprendizaje en
Matemática Barcelona, Teide.
Flores, P. (2001). Aprendizaje y evaluación en
matemáticas. Matemáticas y su Didáctica para la
formación inicial de maestros de primaria. Madrid,
Síntesis.

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