Libro de algebra de preparatoria preuniversitaria

AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMAS DE LA ADICIÓN
AXIOMAS DE LA
MULTIPLICACIÓN
AXIOMAS DE LEY
DISTRIBUTIVA RESPECTO
A LA ADICIÓN
AXIOMAS DE ORDEN
AXIOMAS DE NUMEROS REALES
TEORIA DE EXPONENTES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES EXPONENCIALES
El sistema de los números reales es un
conjunto no vacío denotado por  con
dos operaciones internas llamadas:
1) Adición (+) :  (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) :  (a,b) = a.b
y una relación de orden “<”
(<, se lee “menor que”); el cual
satisface los siguientes axiomas.
I.
A1: Ley de clausura
 a, b    a + b  
A2: Ley conmutativa
 a, b    a + b = b+a
A3: Ley Asociativa
 a, b, c   
( a + b ) + c = a + ( b + c )
A4: Existencia y unicidad del
elemento neutro aditivo
Existe un valor único  ,
denotado por “0” (0, se lee cero)
tal que
 a  : a + 0 = a = 0 + a
A5: Existencia y unicidad del
elemento inverso aditivo
 a  , existe un valor único
denotado por -a tal que:
 a  :
a + (-a) = 0 = (-a) + a
II.
M1: Ley de clausura
 a, b    a.b  
M2: Ley conmutativa
 a, b    a.b = b.a
M3: Ley Asociativa:  a, b, c   
( a . b ) . c = a . ( b . c )
M4: Existencia y unicidad del
elemento neutro multiplicativo
Existe un valor único  ,
denotado por “1”
( 1, se lee uno ) tal que
 a  : a.1 = a = 1.a
M5: Existencia y unicidad del
elemento inverso multiplicativo
 a   / a  0; existe un valor
único denotado por a - 1
tal que
a. a - 1
= 1 = a - 1
. a
III.
 a, b, c  
D1: Distributividad por la izquierda
a ( b + c ) = a b + a c
D2: Distributividad por la derecha
( a + b ) c = ac + bc
IV.
O1 = Ley de Tricotomía
Dados a y b  ; se cumple una
y solamente una de las siguiente
relaciones:
a < b a = b b < a
O2 = Ley Transitiva,  a, b, c  ,
se cumple Si; a < b  b < c
 a < c
O3 = Ley de la Monotonía
i)  a, b, c  ;
si a < b  a + c < b + c
ii) Si a < b  0 < c  ac < bc
iii) Si a < b  c < 0  bc < ac
1.1

AXIOMAS DE LA
RELACIÓN DE IGUALDAD
DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMAS DEL SUPREMO
V.
 a, b, c  , se cumple
1) Dicotomía: a = b  a  b
2) Reflexividad: a = a
3) Simetría: a = b  b = a
4) Transitividad:
Si : a = b  b = c  a = c
5) Unicidad de la adición
Si: a = b  a+c = b+c
6) Unicidad de la multiplicación
Si: a = b  a.c = b.c
VI.
Todo conjunto A de números reales (A
 0: no vacío) acotado superiormente,
tiene una menor cota superior,
llamado supremo de A.
RECTA REAL (INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA)
La recta real es una recta geométrica
de infinitos puntos donde cada uno de
los puntos establece una
correspondencia biunívoca con los
números reales, esto nos permite
visualizar una relación de orden <
(menor que) entre dos o más
cantidades, como ilustra la gráfica
adjunta.
Intervalo cerradoIntervalo abierto
#s negativos #s positivos
A B
a 0 c db-
8
+
8
La relación a < b al graficarla en la
recta real nos indica que la cantidad
“a” se encuentra a la izquierda de la
cantidad “b”.
Con respecto a la recta geométrica
debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. “0” (cero), es el origen de la recta
real, no tiene signo.
2. Los números negativos son
menores que cero.
3. El cero es menor que cualquier
número positivo.
4. El conjunto A denotado por
A =  x / a < x < b 
Se denomina “intervalo abierto”
sobre el eje real y tiene dos
representaciones matemáticas
X  < a; b > ó x  ] a ; b [
Se lee: “ x pertenece al intervalo
abierto “a” coma “b”
5. El conjunto B, denotado por
B =  x / c  x  d 
Donde los extremos c y d están
incluidos, se llama “intervalo
cerrado” sobre el eje real y se lee:
“x pertenece al intervalo cerrado “c”
coma “d” ”, se denota como:
x  [ a ; d ]
6. El valor absoluto de un número real
“a” denotado por |a| satisface la
siguiente regla de correspondencia.
|a| =







0asi;a
0asi;a
7. La distancia entre dos puntos “a” y
“b” sobre el eje real es:
|a - b|
TEOREMAS IMPORTANTES EN
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
1. Ecuación de primer grado en una
variable
 a, b, x  ;
con a  0. Si ax + b = 0,
entonces se cumple que:
a
b
x 
2. Ecuación de segundo grado en una
variable
 a, b, c, x  ;
con a  0 / ax2
+ bx + c = 0
se cumple que:
a2
ac4bb
x
2


o también:
a2
b
x


al símbolo  = b2
– 4 ac, se llama
discriminante de la ecuación de
segundo grado.
1.2
1.3

OPERACIONES BÁSICAS EN
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS
REALES
3. Ecuaciones simultáneas lineales con
dos incógnitas
 a1, b1, c1, a2, b2, c2  
con; a1 b2  a2 b1, donde:






).(..........cybxa
).(..........cybxa
222
111
se cumple que:
1
2
21
1221
22
11
22
11
baba
bcbc
ba
ba
bc
bc
x



1221
1221
22
11
22
11
baba
caca
ba
ba
ca
ca
y



4.  a, b   / a.b=0  a = 0  b=0
Adición.- Es la operación matemática,
que por medio del signo (+) dos o más
cantidades llamadas sumandos se
reducen en una sola, denominada
suma. La suma de dos números reales
está sujeta a las siguientes reglas.
Regla 1.- La suma de dos números
reales con el mismo signo está
determinada por la suma de sus
valores absolutos y el resultado o suma
total está afectado por el signo de los
sumandos.
Ejemplo:
a) –3–4 = -7 c) 12 + 30 = 42
b) 5+6 = 11 d) – 12 - 30 = - 42
Regla 2.- La suma de dos números
reales de signos diferentes está
determinada por la diferencia de sus
valores absolutos (El mayor menos el
menor) y el resultado o suma total se
encuentra afectado por el signo del
sumando que tenga mayor valor
absoluto.
Ejemplo:
a) – 10 + 5 = - 5 d) – 3 + 8 = 5
b) – 12 + 2 = - 10 e) 17 – 20 = - 3
c) 12 - 3 = 9 f) – 14 + 6= - 8
NOTA.- En la adición de varias
cantidades reales con diferentes signos,
se agrupan las cantidades positivas y
negativas entre sí y luego se procede a
la reducción de acuerdo a las reglas
dadas.
Ejemplo:
a) –6+5-4-3+2-9=(-6-4-3-9)+5+2)
= -22+7
= -15
b) –12+3-9-5+4 = (-12-9-5)+(3+4)
= -26+7
= -19
SUSTRACCIÓN.- Es la operación
matemática que por medio del signo
menos (-) obtenemos la diferencia de
dos números (minuendo menos
sustraendo)
Ejemplo:
a) Restar –12 de 5:







17)12(5:diferencia
12:sustraendo
5:uendomin
b) Restar 8 de –8:







16)8(8:diferencia
8:sustraendo
8:uendomin
MULTIPLICACIÓN.- Es una adición
abreviada, cuya operación matemática
por medio del signo por (.) ó (x) nos
permite obtener el producto de las
cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador. Esta operación está
1.4

OBSERVACIONES
FUNDAMENTALES EN LAS
OPERACIONES CON FRACCIONES
sujeta a dos reglas respecto a los
signos.
Regla 1.- La multiplicación de dos
cantidades no nulas del mismo signo
es una cantidad positiva Ejm.
a) ( - 3 ) ( - 4 )=12
b) ( 12 ) ( 3 ) = 36
c) ( - 8 ) ( - 2 ) = 16
Regla 2.- la multiplicación de dos
cantidades no nulas de signos
diferentes es una cantidad negativa
Ejemplo:
a) ( - 3 ) (4 )= -12
b) ( 12 ) (-3 ) = -36
Respecto a la ley de signos, vemos
que:
i) Multiplicación de signos iguales es
positivo: (+) (+)=+  (-)(-) = +
ii) Multiplicación de signos diferentes
es negativo: (-) (+) = -  (+)(-) = -
DIVISIÓN.- Es la operación
matemática que consiste en determinar
cuantas veces un número está
contenido en otro por medio del signo
operacional entre (), al resultado
obtenido se le llama cociente. El
número que se divide se llama
dividendo y el que divide se llama
divisor. Esta operación está sujeta a
dos reglas respecto a los signos.
Regla 1.- La división de dos cantidades
no nulas del mismo signo es una
cantidad positiva (mayor que cero)
Ejemplo:
a) 8
2
16



c) 2
9
18



b) 4
2
8
 d) 3
8
24



Regla 2.- La división de dos cantidades
no nulas de signo diferente es una
cantidad negativa (menor que cero).
Ejemplo:
a) 4
3
12


c) 3
5
15


b) 9
2
18


d) 9
3
27


Respecto a ley de los signos, en la
división de dos cantidades reales no
nulas, se observa que:
i) División de signos iguales, es
positivo: 


 


ii) División de signos diferentes, es
negativo: 


 


1) Adición de fracciones homogéneas
b
edca
b
e
b
d
b
c
b
a 

2) Adición de fracciones heterogéneas
bdf
ebdcbfadf
f
e
d
c
b
a 

3) Multiplicación de fracciones.- Se
multiplican los numeradores y
denominadores entre sí:
bdfh
aceg
h
g
f
e
d
c
b
a

4) División de fracciones.- Se invierte
la segunda fracción y se multiplican
los numeradores y denominadores
entre sí:
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a

5) Fracción de fracción.- Se obtiene
una fracción equivalente cuyo
numerador es el producto de los
extremos y el denominador es el
producto de los medios.








)extremos(da
)medios(cb
bc
ad
d
c
b
a
1.5

PRINCIPALES CONJUNTOS
NUMÉRICOS

(#s reales)
6) Posición relativa de un signo en una
fracción
b
a
b
a
b
a
b
a







POTENCIACIÓN.- Es la multiplicación
repetida de una cantidad en un número
finito de veces; el resultado final se le
llama potencia. Está sujeta a las
siguientes reglas respecto a las
cantidades negativas.
Regla 1.- Toda cantidad negativa
afectada por un exponente par (bajo
un paréntesis) es positivo
Ejemplo:
a) (-2)
4
= (-2)(-2)(-2)(-2) = 16
b) (-7)
2
= (-7)(-7) = 49
c) (-8)
2
= (-8)(-8) = 64
d) (-3)
6
= 729
Regla 2.- Toda Cantidad negativa
afectada por un exponente impar bajo
un paréntesis o sin paréntesis siempre
es negativo.
Ejemplo:
a) (-6)3
= (-6)(-6)(-6) = -216
b) –63
= - (6)(6)(6) = -216
c) (-4)3
= (-4)(-4)(-4) = -64
d) –43
= - (4)(4)(4) = -64
En resumen, respecto a los signos en
potenciación debemos considerar
a) (-)PAR
= +
b) (-)IMPAR
= -
RADICACIÓN.- Es la operación
inversa a la potenciación que nos
permite encontrar un número llamado
raíz, tal que elevado al índice del
radical reproduce el radicando o
cantidad subradical.
arra nn

Ejemplo:
a) 8)2(28 33

b) 2
)4(416  = 16
c) 16)4(416 2

d) 8)2(28 33

Respecto a los números reales
podemos hacer la siguiente
clasificación:
A.- El conjunto de los Números
naturales, denotado por N, donde:
N = 1, 2, 3, ........
B.-El conjunto de los Números
enteros, denotado por Z, donde:
Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
C.-El conjunto de los Números
racionales, denotado por Q,
donde:
Q = x/x=
q
p
, p y q son enteros
(q  0)
D.-El conjunto de los Números
irracionales, denotado por I,
donde:
I = x/x tiene representación
decimal infinita no
periódica
E.- El conjunto de los Números
Reales, denotados por , donde:
 = x/x es racional ó irracional
 +
(Reales
positivos)
+
(Reales
negativos)
Racionales ( Q+
)
 Enteros ( Z+
)
 Fraccionarios ( F+
)
Irracionales ( I+
)
Racionales ( Q-
)
 Enteros ( Z-
)
 Fraccionarios ( F-
)
Irracionales ( I-
)
0 (cero real)
1.6

TEORIA DE EXPONENTES
am
. an
= am+n
am
.bm
= (a.b)m
F.- El conjunto de los Números
Complejos, denotado por C,
donde:
C =  x / x = a + b i ; a  b   
i es la unidad imaginaria donde:
i = 1 ; tal que: i2
= -1
G.-El conjunto de los Números
enteros positivos denotados por
Z+
, donde:
Z+
=  1 , 2 , 3 , ............ 
H.-El conjunto de los Números
Enteros positivos incluido el
cero, denotado por
Z0
+
=  0, 1, 2, 3, 4, 5, ........ 
Asimismo ampliando se tendrían los
siguientes conjuntos:
Q+
, +
, Q
-
, 
-
, 0
+
, 0
-
, Q0
-
, etc.
Es un conjunto de fórmulas que
relaciona a los exponentes de las
expresiones algebraicas de un solo
término, cuando entre estas
expresiones algebraicas se realizan
operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación en un número
limitado de veces. Sus principales leyes
sobre el campo de los números reales
son:
I. MULTIPLICACIÓN DE BASES
IGUALES
; m, n  
II. MULTIPLICACIÓN DE BASES
DIFERENTES CON IGUAL
EXPONENTE
; m  
III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
nm
n
m
a
a
a 
 a  0  m  
IV. DIVISIÓN DE BASES
DIFERENTES CON IGUAL
EXPONENTE
m
m
m
b
a
b
a






 b  0  m  
V. POTENCIA DE POTENCIA
  n.mnm
aa  ; m, n  
NOTA: n.mm
aa
n
 ó nmm
)a(a
n

VI. EXPONENTE NEGATIVO
;
a
b
b
a
mm













a  0  b  0
NOTA: a
- m
= m
a
1
VII. EXPONENTE CERO (a  0)
a0
= 1
NOTA.- 00
es indeterminado
VIII. RAIZ DE UNA POTENCIA
;aa n
m
n m
 m, n  / n  0
i) n
q
n
p
n
m
n qpm
cbacba 
ii)
nn
1
aa 
IX. MULTIPLICACIÓN DE
RADICALES HOMOGENEOS
nnn
abba  ; n  / n  0
1.7

X. DIVISIÓN DE RADICALES
HOMOGENEOS
n
n
n
b
a
b
a
 n  / n  0
XI. POTENCIACIÓN DE UN
RADICAL
  n mppn m
aa  ;
m, n, p,  /n  0
XII. RADICAL DE RADICAL
mnpm n p
aa  ; m, n, p,  
XIII. TEOREMA FUNDAMENTAL DE
LOS RADICALES
mk Knm n
)a(a  ;
m, n, k,  /mk  0
EJERC.1. Simplificar:
E = 42
63212
)a(
)a()a(


Solución:
Como, (a m
) n
= a mn
 E = 8
1824
a
a.a


De las fórmulas (I) y (II):
E = a24-18-(-8)
; con lo cual
E = a 14
(Rpta).
EJERC. 2: Efectuar:
S =
 
 
2
32
3
3223
abab
abba












Solución:
Teniendo en cuenta la fórmula
( ( ( am
) n
ap
) q
ar
) s
= a ( ( mn+ p ) q+r)s
obtenemos:
S =
148
2121
2)13x2(2)13x1(
3)32x2(3)12x3(
ba
ba
ba
ba



S = a21-8
b21-14
 S = a13
b7
(Rpta.)
EJERC. 3.- Dar el valor simplificado de
E =
3 3 1616
radicales........xx
Solución:
Escribiendo un radical más, se tendría
E =
  
E
3 3 1616
radicales........xx
E = 3 16
Ex
Elevando el cubo, los dos miembros de
la igualdad:
E3
= 





3
3 16
Ex E3
= x16
E
Simplificando
16
3
x
E
E
  E2
= x16
 E = x8
(Rpta)
EJERC. 4.- Simplificar la expresión
1b b
bb
1b bb2 3
24
2 3
aK 

 







Solución:
Transformando a un solo radical y a un
solo exponente:
)1b(b)1b( )bb)(bb(
232 243
aK
 

expresando convenientemente
)1b(b)1b( )1b(b)1b(b232 222
aK
 

siendo el exponente igual al índice del
radical K = a (Rpta)
EJERCICIOS1.8

La ecuación lineal de primer grado en
una variable es aquella que adopta la
forma canónica:
 a, b  :
ax + b = 0 / a  0
y cuya solución es:
a
b
x 
DISCUSIÓN:
Respecto a la solución de la ecuación,
se debe tener en cuenta lo siguiente:
1º La ecuación es compatible
determinada, (finitas soluciones)
Si: a  0  b  
2º La ecuación es compatible
indeterminada, (infinitas soluciones)
Si: a = 0  b = 0
3º La ecuación es incompatible,
inconsistente (ecuación absurda)
Si: a = 0  b   / b  0
01. Resolver:
4x
1x
2x
3x





Solución:
Aplicando las siguientes
identidades
1. 
d
c
b
a
ad = bc
2. ( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd
obtenemos:
( x+3 ) ( x–4 ) = ( x-2 ) ( x+1 )
x2
- 4x + 3x – 12 = x2
+ x - 2x - 2
Simplificando:
- x – 12 = - x - 2
0x = 10
Como el coeficiente de #x” es cero la
ecuación es:
Ecuación Incompatible (Rpta)
02. Que valor de “x” satisface a
la ecuación:
6
7x2
3
1x5
4
2x3 




Solución:
Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se
obtiene:
3 ( 3x-2 ) – 4 ( 5x–1 ) = 2 ( 2x-7 )
9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14
Simplificando:
-11x-2 = 4x-14
-15x = -12
de donde:
15
12
x   x =
5
4
(Rpta)
03. Resolver la ecuación literal
b
a
b
b2x
a
a2x
a
bx
b
ax







Solución:
En las fracciones, siendo el mcm (b,
a, a, b) = ab; se tendría
b
a
)b2x(a)a2x(b
)bx(b)ax(a



operando y reduciendo:
b
a
ab2axab2bx
abxaax 22



obtenemos
b
a
x)ba(
)ba)(ba(x)ba(
b
a
x)ba(
)ba(x)ba( 22







Cancelando: (a-b)
axb)ba(bx
b
a
x
)ba(x





(b-a)x=ab+b2

ab
bab
x
2


 (Rpta)
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER
GRADO EN LOS REALES
EJERCICIOS
1.9
1.10

04. Qué valor de “x” satisface a
la ecuación:
x5
2x
1
4
3
2
5
3x
1x
1
4
3
2
5











Solución:
Debe tenerse en cuenta que los
términos que son iguales en los dos
miembros de la ecuación se pueden
cancelar directamente; es decir: 5 con
5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con
1; quedando:
x5
2x
3x
1x





o lo que es lo mismo:
5x
2x
3x
1x





Por proporciones
X2
5x-x+5=x2
-2x-3x+6
Simplificando:
-x+5=6  x = -1 (Rpta)
05. Resolver:
2
3
ax5ax5
ax5ax5



Solución:
Haciendo el cambio de variable:






nax5
max5
la ecuación se transforma en:
n3m3n2m2
2
3
nm
nm



5n = m
volviendo a la variable original
ax5ax55 
elevando al cuadrado; se obtiene
25(5x-a) = 5x+a
125x-25a = 5x+a
120 x = 26a
de donde: x=
60
a13
(Rpta)
06. Calcular “x” en la ecuación:
2
2
2
7x
3x
10x6x
50x14x












Solución:
Transformando el exponente
negativo en positivo y desarrollando
el cuadrado del binomio obtenemos:
9x6x
49x14x
10x6x
50x14x
2
2
2
2





haciendo el cambio de variable
x2
-14x+49 = a  x2
+6x+9=b
tendríamos:



b
a
1b
1a
ab+b=ab+a
de donde: b = a
ó: x2
+6x+9 = x2
-14x+49
20x=40
 X = 2 (Rpta)
Son todas aquellas ecuaciones que se
caracterizan por que la incógnita se
encuentra en el exponente.
Ejemplo:
a) 27 - x+3
= 9 x-1
b) 2 x+2
– 2 x - 3
+ 2 x - 1
= 35
c)
3x 6x2x 3x
55   

d)
1x1x
39
273


Los criterios de solución respecto a
la solución de ecuaciones
exponenciales son:
1º A bases iguales, los exponentes
deben ser iguales, es decir
am
= an
 m = n ; a  0  a  1
2º En toda ecuación exponencial si las
estructuras algebraicas en ambos
miembros son iguales, entonces el
valor de la incógnitas se obtiene por
comparación.
ECUACIONES EXPONENCIALES1.11

Ejemplo:
a) Si: 5x5x
2552xx


b) 6x6x 63 46x3 4x
   
En este tipo de ecuaciones
exponenciales, el problema consiste
en hacer transformaciones en uno
de sus miembros (ó en ambos) de
forma que se halle una equivalencia
estructural; el valor de la incógnita
se obtiene por comparación.
01. Calcular “x”, sí:
27 2x 
= 9 1x 
Solución:
Expresando en base “3”; tendríamos
(33
) –x - 2
= (3 2
) x+1
3 -3x - 6
= 3 2 x + 2
igualando los exponentes
-3x-6 = 2x+2
-5x = 8
 x =
5
8
 (Rpta)
02. Hallar el valor de “x” en la
ecuación
3x 2x1x 2x
77   

Solución:
Transformando los radicales en
exponentes fraccionarios, se
obtiene:
3x
2x
1x
2x
77 




igualando los exponentes:
3x
2x
1x
2x





 (x+2)(x-3) = (x-1)(x-2)
operando:
x2
-x-6=x2
-3x+2
2x=3
 x = 4 (Rpta).
04. Resolver:
2x51x32x
27
8
4
9
3
2



















Solución:
Expresando en la base 





3
2
; se
tendría
2x5
3
1x3
22x
3
2
3
2
.
3
2





































6x152x62x
3
2
3
2
.
3
2



















Igualando los exponentes:
-5x = -15x+6
10x = 6
 x =
5
3
(Rpta)
05. Que valor de “x” resuelve la
ecuación:
3x2274a9
5125


Solución:
Expresando en base “5”
 
3x2
27
4x93
55


3x2274x9.3
55


Igualando los exponentes
3.9-x+4
=272x-3
Colocando en base “3”
3.(32
)
4X 
= (33
)
3X2 
3.3-2x+8
=36x-9
3-2x+9
=36x-9
Igualando los exponentes; obtenemos:
-2x+9=6x-9
-8x=-18

4
9
x  (Rpta)
EJERCICIOS1.12

MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOS
NOTACION DE POLINOMIOS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE
1ER GRADO
INTRODUCCIÓN.-
La unidad
fundamental de la
estructura
algebraica es el
“término algebraico”
TÉRMINO
ALGEBRAICO.- Es
el conjunto de letras
y números ligados
por las operaciones
matemáticas de
multiplicación,
división,
potenciación y
radicación en un
número limitado de
veces.
Ejemplos:
a) 2x3
y2
d)
4
3
x y2
z1/3
b) x y3
e) –6 ab2
x y z6
c) -
y
x
f) -x
Globalmente está constituido por una
parte numérica y una parte literal, como
se muestra a continuación:
a) -3 x
6
b) 2 xy
3
parte numérica
En cada una de estas partes se especifican:
signos
exponentes
a) - 3 x
6
b) 2 x y
3
bases
Es muy importante presentar a los
términos algebraicos bajo una notación
de forma que nos permita diferenciar las
constantes de las variables.
Ejemplo: Para el término algebraico de
notación T (x , y) se observa que:
(Notación) (exponentes)
T (x, y) = -2 x
9
y
1/3
z
Debemos tener en cuenta:
a) T (x,y).- Es la notación que nos indica
que las únicas variables son las letras
“x” e “y”.
b) Signo.- Indica si el término es mayor
o menor que cero.
c) Coeficiente.- Es la cantidad que
afecta a la parte literal; en el caso de
que el coeficiente sea un número
entero y positivo, nos indica el número
de veces que se repite la parte literal
como sumando.
MONOMIOS – POLINOMIOS -
GRADOS
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO
ALGEBRAICO
(Parámetro)
(bases)
(coeficiente)
parte literal
coeficientes
2.1
2.2

Ejemplo:
a) + 6 x2
= x2
+ x2
+ x2
+ x2
+ x2
+ x2
(6 veces)
b) 3x y z = x y z + x y z + x y z
(3 veces)
Con respecto a la siguiente secuencia:
1 a = a (a se suma 1 vez)
2 a = a + a (a se suma 2 veces)
3 a = a + a + a (a se suma 3 veces)
na = a + a + a +.... + a (a se suma n veces)
n veces
De la propiedad de simetría
a + a + a +.... + a = na n  z
+
n veces
Ejemplos
a) a + a + a +.... + a = 80 a
80 veces
b) x y
2
+ x y
2
+ .......+ x y
2
= 33 x y
2
33 veces
c) x200
veces100
x2.........x2x2


d) )yx(72
veces72
)yx(.....)yx()yx( 2
222


d) Exponente.- Es el número que se
escribe en la parte superior derecha de
una “base”; si el exponente es un
número entero y positivo nos indica el
número de veces que se está
multiplicando la base
Ejemplos:
a) x
5
= x  x  x  x  x
5 veces
b) (x
3
)
4
= x
3
 x
3
 x
3
 x
3
4 veces
Con referencia a la siguiente secuencia:
a
1
= a (a se multiplica 1 vez)
a
2
= a  a (a se multiplica 2 veces)
2 veces
a
3
= a  a  a (a se multiplica 3 veces)
3 veces
a
n
= a  a  a ....  a (a se multiplica n veces)
n veces
Por la propiedad de simetría:
a  a  a …...  a = a
n
n  Z
+
n veces
Ejemplos:
a) x  x  x .......... x = x
60
60 veces
n
2
b) 6  6  6 .......6 = 6
n
2
veces
c) (x-y
2
) (x – y
2
) ....... (x – y
2
) = (x-y
2
)
29
29 veces
d) z  z  z ,,,,,,,,,,,z = z
n-2
(n – 2) veces
Es la expresión algebraica racional entera
que consta de un solo término, en el cual
los exponentes de sus variables son
cantidades enteras no negativas. Ejm:
a) M (x, y) = -2 x7
y3
b) R (x, y) =–6 x9
y5
z6
a) Grado absoluto (G.A.).- Está
determinado por la suma de los
exponentes de sus variables.
Ejemplo:
Respecto a los monomios
a) M(x,y) = - 9 x
4
y
6
 G.A. = 4 + 6 = 10
b) R(x,y) = - 6 x
4
y
6
z
3
 G.A. = 4 + 6 = 10
b) Grado Relativo (G.R.).- Con
respecto a una de sus variables, es el
exponente que tiene dicha variable,
es decir:
Respecto al monomio:
M (x, y) = - 5 x6
y4
z8
Vemos que:
COEFICIENTE NATURAL
EXP0NENTE NATURAL
MONOMIO.-
GRADOS DE UN MONOMIO.-
2.3

G.R. (x) = 6
G.R. (y) = 4
G.R. (z) = 8
Ejercicio 1.- Dado el monomio
M (x, y) = (((x3
y2
)3
x2
y)2
x y2
)2
Hallar su grado absoluto
Solución
Simplificando, obtenemos:
M (x, y) = x ((3x 3 + 2) 2 + 1) 2
y32
M (x, y) = x46
y32
, de donde
G.A. = 46 + 32 = 78 Rpta.
Ejercicio 2.- Hallar el valor de “n” en
el monomio
M (x) =
6 1n
3n3 2n
x
xx


Sabiendo que es de primer grado.
Solución
Reduciendo a una sola base y a un solo
exponente:
M (x) =
6
1n
2
3n
3
2n
x
xx



M (x) = 6
1n
--
2
3n
3
2n
x



Siendo M (x) de primer grado, se
cumple que:
1
6
1n
2
3n
3
2n






; mcm = 6
Resolviendo
2 (n – 2) + 3(n-3) – 1 (n-1) = 6(1)
2 n – 4 + 3 n – 9 – n + 1 = 6
4 n = 18
Obtenemos: n =
2
9 Rpta.
Ejercicio 3.- Dado el monomio:
M (x) = 4
5n2
3 1n23n2
x
xx


Para que el valor de “n”; M(x) es
constante.
Solución
Dado que: n
m
aan m
 ; se tendría :
M(x) =
8
5n2
12
1n2
4
3n2
X
XX



Reduciendo a una sola base:
M(x) = X 8
5n2
12
1n2
4
3n2 




Como M(x), es una cantidad
constante se cumple que:
24mcm; 





0
8
5n2
12
1n2
4
3n2
Con lo cual:
6(2n – 3) + 2 (2n – 1) - 3 (2n – 5)
= 0
12n –18 + 4 - 2 - 6n + 15 = 0
10 n = 5
De donde:
n = 0,5 Rpta.
Ejercicio 4.- En el monomio:
M(x,y)= x3(2a+3b)
y4(5a-2b)
Se cumple que:
G.A. = 83 y G.R (Y) = 20
Determine : (a + b)
Solución
Dado que:
63)x.(R.G
y
20)y.(R.G


Lo cual a su vez implica que:
2a + 3b = 21 ................... (1)
5a - 2b = 5 .................. (2)
Resolviendo por determinantes:
a = 3
154
1542
25
32
25
321






b = 5
154
10510
25
32
55
212





 a + b = 8 Rpta
EJERCICIOS
G.A. = 83

Es la expresión algebraica que consta
de dos o más términos, en el cual los
exponentes de sus variables son
números enteros no negativos. Son
ejemplos de polinomios:
a) P(x) = 2x – 3 (binomio)
b) Q(x) = x
3
+ x
2
y + y
2
(trinomio)
c) P(x,y) = x
2
+ 2x y + 3y
2
(trinomio)
a) Grado absoluto (G.A.).- Está
determinado por el mayor grado
absoluto que tiene uno de sus
términos.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
P (x,y) = x
6
y
4
- 2 x
7
y
8
+ x
6
y
16
10º 13º 22º
vemos que: G.A. =22
b) Grado Relativo (G.R.).- Con
respecto a una de sus variables es
el mayor exponente que tiene dicha
variable en el polinomio dado.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
P(x,y) = x
6
y
3
– 2x
9
y
7
– x
4
y
8
Vemos que:
G.R.(x) = 9
G.R.(y) = 8
01.- Dado el polinomio
P (x , y) = 5 x n – 4
y n-3
+ x n-6
y n-2
Hallar “n” si su grado absoluto es 9
Solución
Sumando los exponentes de cada
término, obtenemos:
P (x , y) = 5 x
n – 4
y
n - 3
+ x
n - 6
y
n - 2
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente: 2n – 7 = 9
n = 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio
P (x, y, z) = x m + n
+ y3n
+ z m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar mn
Solución
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
con lo cual:
de : m + n = m + 2  n = 2
de : m + n = 3 n
m + 2 = 6  m = 4
 mn
= 42
= 16 Rpta.
Polinomio Ordenado: Un polinomio
está ordenado con respecto a una letra
llamada ordenatriz, si sus exponentes
aumentan (ascendentes); ó disminuyen
(descendentes).
Ejemplo:
a) P(x) = 7 - x
3
+ 2 x
6
– x
15
(ascendente)
b) P(x) = x
9
– 2 x
7
– x
3
- 1 (descendente)
Polinomio Completo: Un polinomio
es completo con respecto a una letra
llamada ordenatriz si sus potencias
aumentan o disminuyen desde el
mayor exponente hasta el exponente
cero en forma consecutiva
a) P(x) = 2x4
+ x3
+ 6x2
– 7x – 6 (D)
b) P(x)= -5 + 2x – 3x2
+ x3
(A)
c) P (x,y) = 3x2
– 5 xy + 3 y2
(D) y (A)
Descendente respecto a “x”
Ascendente respeto a “y”
Propiedades
1. El número de términos es igual al
grado absoluto más uno
2. Si el polinomio es completo y
ordenado la diferencia de los grados
POLINOMIO
GRADOS DE UN POLINOMIO.-
EJERCICIOS
CLASIFICACIÓN DE LOS
POLINOMIOS
#t = G. A + 1
2.4
2.5

relativos de dos términos consecutivos
es igual a la unidad.
Polinomio Homogéneo: Este polinomio
se caracteriza por que todos sus términos
tienen el mismo grado absoluto.
Ejm: Para el Polinomio:
P(x,y) = x
9
+ 2 x
4
y
5
+ y
9
9º 9º 9º
G.A. = 9º
Polinomio Entero “x”: En este
polinomio sus exponentes son enteros
y positivos
a) P(x) = -5 x + 7
b) P(x) = 2x2
– 3x – 2
Polinomios Idénticos: Estos
polinomios se caracterizan por que los
coeficientes de sus términos
semejantes en ambos miembros son
iguales, en efecto:
Si:
a x
2
+ b x + c  d x
2
+ ex + f
Se cumple que:
a = d
b = e
c = f
Polinomios Idénticamente Nulos:
Estos polinomios se caracterizan por
que sus coeficientes valen cero:
Ejemplo: dado
P(x) = a x2
+ b x + c  0
Se cumple que:
a = 0
b = 0
c = 0
01.- Si:
A (x – 3) + B (x – 2)  3x – 12
Calcular : E = BBA 
Solución
Dado que la identidad se cumple para
cualquier valor de x, asignamos un
valor de x para que una de las
incógnitas “A” o “B” se cancelen, es
decir:
A (x – 3) + B (x – 2)  3x – 12
0 0
1º) x – 3 = 0  x = 3, de donde:
A (3 – 3) + B (3 – 2) = 3(3) - 12
2º) x – 2 = 0  x = 2
A (2 – 3) + B (2 – 2) = 3(2) - 12
-A = -6
Reemplazando en “E”
E = 66 333)3(6 
 E = 0 Rpta.
02.- Si el polinomio:
P (x) = (a– 2) x2
+ (b + 3) x + 9 x2
– 5 x
Es nulo, hallar (a + b)
Solución
Si el polinomio es nulo, cada
coeficiente vale cero, es decir:
P (x) = (a – 2 +9) x
2
+ (b + 3 – 5) x  0
0 0
1º) a – 2 + 9 = 0  a = -7
2º) b + 3 - 5 = 0  b = 2
 a + b = -7 + 2 = – 5 Rpta.
03.- Dado el polinomio homogéneo
P(x, y) = xa+b-1
y b
– xy6
- 3y2a + 3b - 6
Determine:
E = (ab
+ ba
– ab)2
Solución
Por ser homogéneo, se cumple:
EJERCICIOS
B = -3
A = 6

a + b – 1 + b = 1 + 6 = 2a + 3b – 6
( I ) ( II ) ( III )
De (I) y (II), se obtiene:
a + 2 b = 8
De (II) y (III)
2 a + 3b = 13
Resolviendo el sistema:
a + 2 b = 8 .......... (1)
2 a + 3b = 13 .......... (2)
2
1
2
43
2624
32
21
313
28
a 






3
1
3
43
1613
32
21
132
81
b 






Por consiguiente el valor de “E” es:
E = [ 2
3
+ 3
2
– (2) (3) ]
2
 E = 121 Rpta.
04.- Tres términos consecutivos
de un polinomio ordenado y
completo en forma descendente
están representados por:
P(x)= .... + x a+b+1
– x2a - 1
+ 3bx3b-1
-....
Calcular el valor de “a”
Solución
En este caso se cumple que la
diferencia de dos exponentes
consecutivos es igual a la unidad, es
decir:
a + b + 1 - (2a – 1) = 1 ......... ()
2 a – 1 - (3 b – 1) = 1 ......... (ß)
Simplificando:
- a + b = -1 ..................... ()
2a - 3b = 1 ………………. (ß)
Resolviendo para “a”
32
11
31
11
a




 =
1
2
23
13


  a = 2 Rpta.
La notación de polinomios nos permite
diferenciar las constantes de las
variables; en efecto, para los
polinomios.
A) P (x) = x3
+ ax2
– b2
c
La única variable es “x” y las constantes
literales llamadas también parámetros
son “a”, “b” y “c”.
B) P (x, y) = x4
– x3
y2
+ 5 a x + 6
Las variables son las letras “x” e “y”
y las constantes son “5”, “a” y 6.
Este tipo de notación se hace
extensible a cualquier tipo de
expresión algebraica.
Ejm:
a) P (x) =
dc x
bxa


b) P (x) = cxbxa 2

c) P (x,y) = 32
32
yx
yx


+ x y – 9
01.- Sabiendo que:
P(x) =
5x9
3x5


Calcular : P (P (x))
Solución
Reemplazando, x por P(x)
P (P(x)) =
5)x(P9
3)x(P5


Como P(x), es conocido
P(P(x)) =
5
5-9x
3-5x
9
3
5-9x
3-5x
5












Efectuando las operaciones indicadas:
P (P(x)) =
25x45-27-x45
15x27-15-x25


P (P(x)) =
2
x2


 P (P(x)) = X Rpta.
02.- Si; F 1xxx
5x
2x 23








NOTACIÓN DE POLINOMIOS
EJERCICIOS
2.6

Calcular: E = F(4)
Solución
Para calcular F(4), hacemos:
4
5x
2x



 x – 2 = 4 x – 20
18 = 3x
x = 6
Con la cual:
F (4) = (6)3
– (6)2
+ (6) – 1
F (4) = 185 Rpta.
03.- Si; f(x) = ax – b
y : g(x) = bx – a
Hallar; h(x) = f(g (x)) - g (f (x))
Solución
Operando por partes, tendríamos:
1º) f (g (x)) = a g(x) –b
f (g (x)) = a (bx-a) –b
f (g (x)) = abx –a2
– b
2º) g (f(x)) = b f(x) – a
g (f(x)) = b (ax - b) – a
g (f(x)) = abx – b2
- a
De donde:
h (x) = abx – a2
– b –ab x + b2
+ a
h (x) = b2
– a2
+ a – b Rpta.
04.- Si; P (P(P(x))) = 216x – 215
Calcular: P (x + 2)
Solución
Como en la condición el segundo
miembro es una expresión de primer
grado, entonces P(x) también es de
primer grado, es decir:
P (x) = a x + b
Operando por partes, tendríamos:
1) P (P(x)) = a P(x) + b
P (P(x)) = a (ax + b) + b
P (P(x)) = a2
x + ab + b
2) P(P(P(x))) = a+b(a2
z + ab+b) + b
P(P(P(x))) = a3
x + a2
b + ab + b
Teniendo en cuenta la condición:
a
3
x + a
2
b + ab + b  216 x – 215
Al comparar:
i) a3
= 216  a = 3
216  a = 6
ii) a2
b + ab + b = -215
36 b + 6b + b = -215
43 b = -215
b = -5
Por consiguiente:
P (x) = a x + b = 6 x – 5
y : P (x+2) = 6(x+2) - 5 = 6x+7 Rpta.
Determinante de orden 2.- Es el
desarrollo de una matriz cuadrada que
presenta dos filas y dos columnas y
cuya representación matemática y
desarrollo es:
Ds : Diagonal Secundaria
21
21
2
bb
aa
A  = a1 b2 – a2 b1
Dp : Diagonal principal
Ejemplo: El desarrollo de:
 2 =
53
45

, es :
2 = Dp – Ds = 5(-5) – (-3)(4)
2 = -25 + 12 = -13  2 = -13
Determinante de orden de tres.- Es el
desarrollo de una matriz cuadrada de 3
filas y 3 columnas; su representación
matemática es:
3 =
cba
cba
cba
333
222
111
Y su desarrollo por menores
complementarios; es:
3 = a1
33
22
cb
cb
- b1
33
22
ca
ca
+ c1
33
22
ba
ba
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER GRADO.
2.7

ó también
3 = a1 (b2 c3 – b3 c2)-b1 (a2 c3 – a3 c2)+
+ c1 (a2b3 - a3b2)
Ejemplo: Calcular:
135
214
132



3
Desarrollando
 3 = 2
13
21


+ 3
15
24


+ 1
3
4
5
1
 3 = 2 (1 + 6) + 3 (-4 + 10) + 1 (12 + 5)
 3 = 14 + 18 + 17   3 = 49
Dado el sistema lineal:
a1 x + b1 y = c1 .............. ()
a2 x + b2 y = c2 .............. (ß)
Su resolución por la regla de Kramer
teniendo en cuenta que:(a1 b2 – a2 b1  0)
es:
;
baba
bcbc
ba
ba
bc
bc
x
2221
1221
22
11
22
11
s
x






1221
1221
22
11
22
11
s
y
baba
caca
ba
ba
ca
ca
y






Donde:
x = Determinante de x
y = Determinante de y
s = Determinante del sistema
Ejemplo 1.- Calcular “x” en el sistema:
5x – 3y = 11 .............. ()
4x - 5y = 1 ..............(ß)
Solución:
De acuerdo a la teoría:
13
52
1225
355
54
35
51
311
x











 x = 4 Rpta.
Ejemplo 2.- Calcular “y” en el sistema:
-7 x + 5y = -45 ................. ()
4x - 3y = 26 ................. (ß)
Solución
Para el cálculo de “y” tenemos:
1
2
2021
180182
3-4
57-
264
457
y







 y = -2 Rpta.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN
1. Si: x, y  R y s  0 el sistema es
compatible determinado, y hay una
solución única.
2. Si: x = 0; y = 0 y s = 0, el sistema
es compatible indeterminado y tiene
infinitas soluciones.
3. Si x  0; y  0 y s = 0, el sistema es
incompatible, no tiene solución.
Ejemplo: Dado el sistema
2x + ky = 5 k ........... ()
5x – 4 y = -27 ……….. (ß)
para que valor de “K”; es incompatible
Solución
Calculando “x”, vemos que:
8K5
K7
K58
K27k20
45
k2
427
kk5
x








Para que no exista solución debe cumplirse
que:
-5 k – 8 = 0  k =
5
8
Rpta.
Dado el sistema lineal:
a1 x + b1 y + c1 z = d1 .............. ()
a2 x + b2 y + c2 z = d2 .............. (ß)
a3 x + b3 y + c3 z = d3 .............. ()
Su resolución por la regla de KRAMER,
(donde s 0) es:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON TRES INCÓGNITAS
2.8
2.9

s
x
x



333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
cbd
cbd
cbd
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
cda
cda
cda
y =
s
y


333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
dba
dba
dba
z  =
s
z


Ejemplo 1: Calcular el valor de “y” en el
sistema:
5 x – 2y + 3 z = 6 .............. (1)
7x + 3y – 4 z = 6 .............. (2)
-2 x + 4y + 3 z = 5 .............. (3)
Solución
Por determinantes, se tendría:
)34(3)13(2)25(5
)47(3)13(6)38(5
342
437
325
352
467
365
y









y =
253
253
10226125
14178190



 y =1 Rpta.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN:
1. Si: x, y, z  R y s  0, el sistema
es compatible determinado.
2. Si x = 0 ; y = 0; z = 0 y s = 0, el
sistema es compatible indeterminado y
tiene infinitas soluciones.
3. Si x  0; y  0, y s  0, el sistema
es incompatible, no tiene solución:
Ejemplo: Dado el sistema:
-2k x – 3 y + (k + 5) z = 13 .......... (1)
x + y - z = 0 ........... (2)
3 x – 2 y + 2 z = 10 ........... (3)
¿Para que valor de “k”; el sistema es
compatible indeterminado?
Solución
Calculando “x” vemos que:
223
111
5k32k
2210
110
5k313
x







De donde:
5)(5)(k(5)3(0)k2
10)(5)(k(10)3(0)13
x



x =
10-5k-
20-10k-
25-k5-15
50-k1030


Para que sea compatible indeterminado:
X =
0
0
1) –10 k – 20 = 0  K = -2
2) –5 k - 10 = 0  K = -2
 k = -2 Rpta.

Los productos notables son fórmulas
que permiten efectuar multiplicaciones
indicadas, sin aplicar los criterios
generales de la multiplicación
algebraica, y deben satisfacer las
siguientes propiedades:
El grado del producto es
igual a la suma de los grados de los
factores, en efecto:
Ejemplo. 1: Hallar el grado de P(x)
Si: P(x)=(x4
+ 3) (x6
–2x–3) (x3
– 4)
Solución:
Observemos que el grado en cada
paréntesis es:
P(x) = (x4
+ 3) (x6
– 2x – 3) (x3
– 4)
Gº = 4 Gº = 6 Gº = 3
 Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13
Ejemplo 2: Hallar el grado de R(x)
Si: R(x) = (x2
+ 5)3
(x4
– 1)6
Solución:
Para este caso, el grado
correspondiente en cada paréntesis es:
R(x) = (x2
+ 5) 3
(x4
– 1) 6
6 24
 Gº [R (x)] = 6 + 24 = 30
El término independiente del producto
es igual al producto de los términos
independientesde los factores, es decir:
Ejemplo 1: Hallar el término
independiente de P(x) en:
P(x) = (x3
– x + 2) (x4
– x – 6) (x7
– 3)
Solución
El término independiente en cada
paréntesis es:
P(x) = (x3
– x + 2) (x4
– x –6) (x7
– 3)
T.I = 2 T.I = -6 T.I = -3
 T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36
Ejemplo 2: Hallar el término
independiente de P(x) en:
P(x) = (x2
– 1)5
(x4
– x3
– 2)3
.
Solución:
En este caso, el término independiente
en cada paréntesis es:
P(x) = (x2
– 1)5
(x4
– x3
– 2)3
T.I= (-1)5
T.I. = (-2)3
 T.I. [ P(x)] = (-1)5
(-2)3
= (-1) (-8) = 8
Debemos tener en cuenta las siguientes
potenciaciones, respecto a los radicales
monómicos.
1) ( 2 )2
= 2 2 = 4 = 2
2) ( 2 )2
= 2
3) (2 2 )2
= 22
2 2
= 4 (2) = 8
4) (3 2 )2
= 32
2 2
= 9 (2) = 18
5) ( 2 )3
= 2 2 2 = 4 2 = 2 2
6) (2 2 )3
= 23
. 2 3
= 8(2 2 ) = 16 2
7) ( 3 )3
= 3 3 3 = 3 3
8) (3 3 )3
= 33
.
3
3 = 27 (3 3 ) = 81 3
Para un entendimiento coherente
respecto a los productos notables y las
identidades, los observaremos por
grupos:
I. Cuadrado del Binomio
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
PRODUCTOS NOTABLES
PROP. 1
Gºproducto =  Gºfactores
PROP. 2
T.I.producto =  (T.I.factores)
OBSERVACIONES
GRUPO: I
3.1
3.2
PRODUCTOS NOTABLES-
IDENTIDADES

II. Cubo del Binomio
* (a + b)3
= a3
+ 3a2
b +3 ab2
+ b3
* (a - b)3
= a3
- 3a2
b +3 ab2
- b3
Estas mismas fórmulas se pueden
expresar bajo las formas:
* (a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab (a + b)
* (a - b)3
= a3
- b3
- 3ab (a - b)
III. Diferencia de cuadrados (suma por
diferencia)
* (a + b) (a – b) = a2
– b2
IV. Suma y Diferencia de cubos
* (a + b) (a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
* (a - b) (a2
+ ab + b2
) = a3
- b3
01. Efectuar
R = (x+a) (x-a) (x2
+ a2
) (x4
+ a4
) + a8
Solución
Teniendo en cuenta que:
Entonces:
* (x + a) (x – a) = x2
– a2
* (x2
- a2
) x2
+ a2
) = x4
– a4
* (x4
– a4
) (x4
+ a4
) = x8
– a8
Por consiguiente:
R = x8
– a8
+ a8
 R = x8
02. Simplificar:
S = .. nn 3232 
Solución
Dado que:
 a  0  b  0
S = 3-22n 2
n )32()32( 
n 3-4S   n 1S = 1 Rpta.
03. Calcular: R = ( 12  )5
Solución:
Expresando convenientemente, se
tendría:
R = [( 2 - 1)2
]2
( 2 - 1)
Operando por partes:
[( 2 -1)2
]2
= (2 – 2 2 +1)2
= (3-2 2 )2
= 9 - 12 2 + 8
= 17 – 12 2
Con lo cual, se tendría:
R = (17 – 12 2 ) ( 2 -1)
R = 17 2 - 17 – 24 + 12 2
R = 29 2 - 41 Rpta.
04. Si: x – x-1
= 6
Calcular x3
+ x-3
Solución
Elevando la condición al cubo, se
obtiene:
(x + x-1
)3
= ( 6 )3
x3
+ x-3
+ 3x . x-1
(x + x-1
) = 6 6
Dado que: x + x-1
= 6
x3
+ x-3
+ 3 6 = 6 6
 x3
+ x-3
= 3 6 Rpta.
EJERCICIOS
(a +b) (a –b) = a2
– b2
ab. nnn ba
3.3

V. Multiplicación de binomios con
un término en común.
*) (x +a ) (x + b) = x2
+ (a +b) x + ab
**) (x + a) (x + b) (x + c) = x3
+ (a + b
+ c) x2
+ (ab + ac + bc) x + abc
VI. Cuadrado del trinomio
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab +
+ 2ac + 2bc
VII. Cubo del trinomio
Forma 1:
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+
+ 3 (a + b) (a + c) (b + c)
Forma 2:
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+
+ 3a2
b + 3a2
c + 3b2
a + 3 b2
c +
+ 3c2
a + 3c2
b + 6 abc
01. Simplificar
S = (a + b + c)2
+ (a + b – c)2
+
+ (a – b + c)2
+ (- a + b + c)2
Solución
Desarrollando cada término, se tendría:
S = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
a2
+ b2
+ c2
+ 2ab - 2ac - 2bc
a2
+ b2
+ c2
- 2ab + 2ac - 2bc
a2
+ b2
+ c2
- 2ab - 2ac + 2bc
--------------------------------------------
S = 4a2
+ 4b2
+ 4c2
Factorizando “4”: S = 4(a2
+ b2
+c2
) Rpta
02. Simplificar:
S = (a + b + c)3
- (a + b - c)3
–
- (a-b+ c)3
- (-a + b + c)3
Solución:
Haciendo el cambio a + b = x
de variables: a - b = y
se tendría en S.
S = (x + c)3
– (x – c)3
–(c + y)3
– (c-y)3
Desarrollando cada término
S = x3
+ 3x2
c + 3xc2
+ c3
-x3
+ 3x2
c – 3xc2
+ c3
-c3
- 3c2
y – 3cy2
- y3
-c3
+ 3c2
y2
– 3cy2
+ y3
----------------------------------
S = 6x2
c - 6c2
y2
S = 6 c [ x2
– y2
]
Volviendo a las variables originales:
S = 6c [ (a + b)2
– (a –b)2
]
S = 6c [ a2
+2ab + b2
–a2
+ 2ab –b2
]
S = 6c [4ab]  S = 24 abc Rpta.
03. Sabiendo que:
F = 1962)(x1)-(x6)(x5)-(x 
Hallar : G = 2516,F 
Solución:
Observemos que:
F = 1962)(x1)-(x6)(x5)-(x 
Se transforma en:
F = 1962)-x(x30)-x(x 22

Haciendo : x2
+ x = a
F = 196)2a()30a( 
F = 256a32-a2

Como la cantidad subradical es un
cuadrado perfecto.
F = 2
)16a(   F = a – 16
ó : F = x2
+ x – 16
Reemplazando en G:
G = 2516,16-xx2

G =
4
1
x 2
x
GRUPO: II
EJERCICIOS
3.4
3.5

Siendo la cantidad sub-radical, un
cuadrado perfecto
G = 2
)
2
1
(x   G = x +
2
1
ó lo que es lo mismo
G =
2
1x2 
Rpta.
IDENTIDADES
Son expresiones algebraicas que nos
permite efectuar operaciones por
simple inspección, entre las de mayor
importancia, tenemos:
VIII. Identidades de Legendre
1º) (a+b)2
+ (a – b)2
= 2 (a2
+ b2
)
2º) (a+b)2
- (a – b)2
= 4 ab
IX. Identidades de Lagrange
1º) (ax + by)2
+ (ay – bx)2
= (a2
+ b2
)
(x2
+ y2
)
2º) (ax + by + cz)2
+ (ay – bx)2
+
+ (az – cx)2
+ (bz - cy)2
=(a2
+b2
+ c2
)
(x2
+ y2
+z2
)
X. Identidades de Gauss:
1º) (a + b + c) (a2
+ b2
+ c2
-ab-ac-bc) =
= a3
+ b3
+ c3
– 3abc
2º)
2
1
(a + b + c) [(a-b)2
+ (a-c)2
+
+ (b-c)2
] = a3
+ b3
+ c3
– 3abc
XI. Identidades de Argand
1º) (x2
+ xy +y2
) (x2
– xy + y2
) =
= x4
+ x2
y2
+ y4
2º) (x2
+ x + 1 ) (x2
– x + 1)
= x4
+ x2
+ 1
A) Si : a + b + c = 0; se verifica que:
1.) a2
+ b2
+ c2
= - 2 (ab + ac + bc)
2.) a2
b2
+ a2
c2
+ b2
c2
= (ab+ ac + bc)2
3.) a3
+ b3
+ c3
= 3abc
4.)







 
2
222
cba







 
3
333
cba =
5
555
cba 
5.)







 
2
222
cba







 
5
555
cba =
7
777
cba 
B) Si: a2
+ b2
+ c2
= ab + ac + b
 a = b = c
C) Si :
yx
4
y
1
x
1

  x = y
01.- Sabiendo que; 7
a
x
x
a 9
9
Calcular: 4
9
4
9 a
x
x
a

Solución
Sea E : 4
9
4
9 a
x
x
a

Elevando el cuadrado, se obtiene:
E2
= 2
x
a
9
 4
9
4
9 a
x
x
a
 +
a
x9
E2
-2 =
a
x
x
a 9
9

Nuevamente elevando el cuadrado
obtenemos:
(E2
–2 )2
=
a
x
x
a 9
9
 + 2
GRUPO: III
IGUALDADES CONDICIONALES
EJERCICIOS
3.6
3.7
3.8

Reemplazando el valor de la condición:
E2
– 2 = 327 
De donde:
E2
= 5  E = 5 Rpta.
02.- Si:
yx
4
y
1
x
1


Calcular:
R =
y
x


yx2
yx 22
Solución
Operando en la condición:
yxyx
yx


 4
Por proporciones:
(x + y)2
= 4xy
Desarrollando y simplificando, vemos
que:
x2
+ 2 x y + y2
= 4x y
x2
– 2xy + y2
= 0
(x – y)2
= 0  x = y
Reemplazando “x” por “y” en R; se
obtiene:
R = 1-1
y2
yy
2
22


y
y
 R = 0 Rpta.
Son aquellas ecuaciones que pueden
reducirse a la forma:
(a  0)
donde:
ax2
= Término cuadrático
bx = Término Lineal
c = Término independiente
a, b y c son los coeficientes respectivos
de sus términos.
I. Por factorización.- Si el discriminante
de la ecuación:
( = b2
– 4 ac) es un cuadrado
perfecto, es decir:
  0, 1, 4, 9, 16, 25, ........
Para su solución aplicamos aspa simple
Ejemplo: Resolver
10 x2
+ 11 x – 6 = 0
Solución
Para esta ecuación: a = 10, b=11 y c = -6;
el discriminante es:
 = (11)2
– 4 (10) (-6) = 361
como, 361 es un cuadrado perfecto la
ecuación se puede factorizar.
10 x2
+ 11 x – 6 = 0
2 x 3  15 x
5x -2 
x11
x4
Con lo cual:
(2x + 3) (5 x – 2) = 0
Recordemos que:
Si: a. b = 0  a = 0  b = 0
en nuestro caso : x =
2
3
 x =
5
2
II. Por fórmula.- Se aplica la fórmula
cuando la factorización no es
inmediata
Deducción:
Sea la ecuación:
ax2
+ bx + c  0
dividiendo entre “a”
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
EN UNA VARIABLE
a x2
+ b x + c = 0
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO
3.9
3.10

x2
+ 0
a
c
x
a
b

adicionando :
2
2





 xdeeCoeficient
a los dos miembros de la igualdad:
2
2
2
2
2
2
2
4a
b
a
c
4a
b
x
4a
b
x 
dado que los tres primeros términos
forman un trinomio cuadrado perfecto,
se tendría:
a
c
4a
b
2
2







2
a2
b
x
extrayendo raíz cuadrada
a2
c4a-b
2a
b
x
2

x =
a2
ac4-bb- 2

Las dos soluciones o raíces son:
x1 =
a2
ac4-b-b- 2
x2 =
a2
ac4-bb- 2

De otro lado, siendo:  = b2
– 4 ac
x1 =
a2
-b- 
x2 =
a2
b- 
Ejemplo: Resolver : x2
– x – 1 = 0
Solución
a = 1; b = -1: c = -1
En este caso:  = (-1)2
– 4(1) (-1)
 = 5
Con lo cual:
2
5-1
x1  ;
2
51
x2


En la ecuación de segundo grado:
ax2
+ bx + c = 0 (a  0); se cumple
que:
x1 =
a2
-b- 
x2 =
a2
b- 
Las raíces de la ecuación de segundo
grado, depende de la cantidad
subradical.
 = b2
– 4 a c ( Discriminante)
De acuerdo a esto:
1º.- Si:  = b2
– 4 a c  0; las dos
raíces son reales y diferentes.
2º.- Si:  = b2
– 4 a c = 0; las dos
raíces son reales e iguales.
3º.- Si:  = b2
– 4 a c  0; las dos
raíces son números complejos y
conjugados.
Ejemplo: Hallar los valores de “k”
en la ecuación:
(k + 1) x2
– (5 k – 3) x + 9 = 0
Sabiendo que sus raíces son iguales
Solución
Desde que las raíces son iguales
entonces:  = b2
– 4ac = 0, es decir:
[-(5 k – 3)]2
– 4 (k + 1) (9) = 0
desarrollando, obtenemos la ecuación:
25 k2
– 66 k –27 = 0
25 k 9  9k
k -3 
k66
k75


NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE
LA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
3.11

de donde:
k = 3
(25 k + 9) (k-3) = 0  
k =
25
9
Siendo la ecuación del Segundo grado:
ax2
+ b x + c = 0 ; a  0
Sus raíces son:
x1 =
a2
ac4bb-
x;
2
2



a2
ac4bb 2
de donde se cumple:
1º) Suma de las raíces:
x1 + x2 =
a
b

2º) Producto de las raíces:
x1 + x2 =
a
c
3º) Diferencia de las raíces:
x1 + x2 = ;
a

(x,  x2)
Ejemplo: ¿Qué relación guardan los
coeficientes de la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0; a  0
Si una de sus raíces es el triple de
la otra?.
Solución
De acuerdo a los datos, se tiene:
x1 + x2 = -
a
b
........ (1)
x1  x2 =
a
c
........ (2)
x1= 3x2 ........ (3)
reemplazando, (3) en (1):
3x2 + x2 = -
a
b
 x2 = -
a4
b
Asimismo: x1 = -
a4
b3
Reemplazando en (2), tendríamos:
ca163b
a
c 2





 





 
a4
b
a4
b3
I. Conociendo : “x1” y “x2”, raíces de
la ecuación de segundo grado, se
cumple que:
(x – x1) (x – x2) = 0
llevando a la forma canónica, se
tendría la fórmula:
II. Conociendo la suma de las raíces :
S = x1 + x2 y el producto de ellas
mismas P = x1 . x2, la fórmula a
utilizar es:
Ejemplo: Formar una ecuación de
segundo grado de coeficientes
reales, si una de sus raíces es:
2 + 6 .
Solución
Como las raíces irracionales se
presentan por pares conjugados,
entonces:
x1 = 2 + 6  x2 = 2 - 6
con lo cual:
i) x1 + x2 = 2 + 6 + 2 - 6 = 4
ii) x1 + x2 = (2+ 6 ) (2- 6 ) = 4-6=-2
Reemplazando en la fórmula,
obtenemos la ecuación:
PROPIEDADES DE LAS
RAÍCES DE LA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO
CONOCIENDO SUS RAÍCES
x2
– (x1 + x2) x + x1 x2 = 0
x2
– Sx + P = 0
3.12
3.13

x2
– 4x – 2 = 0 (Rpta.)
Ejemplo: Formar una ecuación de
segundo grado de coeficientes reales, si
una de sus raíces es:
3 + 2i; i = 1 tal que: i2
=-1
“i” es la unidad imaginaria.
Solución
Siendo: x1= 3 + 2i  x2 = 3 – 2i
Ya que las raíces complejas se
presentan por pares conjugados se
tiene que:
i) x1 + x2 = 3 + 2i + 3 – 2i = 6
ii) x1 x2 = (3+2i) (3– 2i) = 9 –4i2
= 13
reemplazando en la fórmula, se
obtiene:
x2
– 6x + 13 = 0 Rpta.
Las ecuaciones:
ax2
+ bx + c = 0; (a 0) …. (1)
dx2
+ ex + f = 0; (d 0) …. (2)
Tienen las mismas raíces, si:
f
c
d
a

e
b
Ejm: Calcular “a” y “b” en las
ecuaciones:
(a - 3)x2
– (a - 4) x + 3 = 0; …. (1)
(b +1)x2
– (2b-4) x + 6 = 0; …. (2)
Sabiendo que tienen las mismas raíces:
Solución
Ya que las raíces son las mismas, se
cumple que:
2
1
6
3
42b
4a
1b
3a






de donde obtenemos, el sistema:
2a - b = 7 ........ ()
a – b = 2 ........ (ß)
resolviendo () y (ß), obtenemos:
a = 5  b = 3
Las ecuaciones:
ax2
+ bx + c = 0 …….. (1)
dx2
+ ex + f = 0 ....... (2)
tienen una raíz común; se elimina “x2
”
y se obtiene la raíz común; es decir:
adx2
+ bdx + cd = 0 …… ()
adx2
+ aex + af = 0 …… (ß)
restando () – (ß); se obtiene:
x (bd – ae) + (cd – af) = 0
 x =
ea-db
dc-fa
01. En la ecuación de segundo grado:
ax2
+ bx + c = 0 ; a  0
Las raíces son numéricamente
iguales y de signo contrario.
Si : b = 0
02. En la ecuación de segundo grado:
ax2
+ bx + c = 0; a  0
Las raíces, son recíprocas.
Si : a=c
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO QUE TIENEN LAS
MISMAS RAÍCES
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
QUE TIENEN UNA RAÍZ COMÚN
OBSERVACIONES
3.14
3.15

Es la operación inversa a la
multiplicación que tiene por objeto
hallar una expresión algebraica llamado
cociente; obtenida de otras dos
expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor, de tal forma que el
valor numérico del cociente sea igual al
cociente de los valores numéricos del
dividendo y divisor, para cualquier
sistema de valores atribuidos a sus
letras.
Dividendo .............. : D
Divisor .............. : d
Cociente ............. : Q
Resto o residuo ............. : R
A) Cociente exacto (R  0).- El resto
de la división es un polinomio
idénticamente nulo.
D = d Q ó
d
D
= Q
B) Cociente inexacto (R  0).- El
resto de la división es un polinomio no
nulo.
D = d Q + R ó
d
D
= Q +
d
R
1. En toda división algebraica el
grado del cociente es igual al
grado del dividendo menos el
grado del divisor.
Qº = Dº - dº
grado del residuo máximo es una
unidad menos que el grado del
divisor.
Rº max = dº - 1
término independiente del
dividendo es igual al producto de
los términos independientes del
divisor por el cociente más el
termino independiente del
residuo.
T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR
4. Cuando se dividen polinomios
homogéneos, el cociente y
residuo, también son homogéneos,
pero el grado absoluto del
residuo es igual al grado absoluto
del dividendo.
G.A. (R) = G.A. (D)
I.- Para el caso de dos monomios
i) Se dividen los signos de acuerdo a
la regla de los signos


= +


= -


= +


= -
ii) Se dividen los coeficientes
iii) Se dividen las letras aplicando las
leyes de exponentes
a) nm
n
m
a
a
a 
 b)
m
m
m
b
a
b
a









DIVISIÓN ALGEBRAICA
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
PROPIEDADES GENERALES DE
LA DIVISIÓN ALGEBRAICA
CASOS DE LA DIVISIÓN
4.1 4.2
4.3
DIVISION ALGEBRAICA
TEOREMA DEL RESTO

II.- Para el caso de dos polinomios
Podemos utilizar cualquiera de los
siguientes métodos:
a) Método general o normal
b) Método de los coeficientes
indeterminados.
c) Método de Horner
d) Regla de Ruffini
.- En la división de dos
polinomios estos deben ser completos
y ordenados en forma descendente, con
respecto a una letra llamada
ordenatriz; si faltase alguna variable,
ya sea en el dividendo o en el divisor,
se completarán con ceros.
Este método es aplicable para
polinomios completos y ordenados en
forma descendente, con respecto a una
de sus letras, llamada ordenatriz. Así
tenemos:
ESQUEMA DE HORNER
d D I V I D E N D O
i
v
i
s
o
R
COCIENTE RESTO
Ejemplo.- Efectuar por Horner:
2x3x4
7x8x20x17x12
2
234


Solución
Observemos que:
Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2
Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1
Como los polinomios son completos y
ordenados; de acuerdo al esquema de
Horner se disponen los términos de la
siguiente forma:
4 12 - 17 + 20 - 8 + 7
3
2
A continuación aplicamos los siguientes
pasos:
1. Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del
divisor, obteniendo el primer término
del cociente.
2. El primer término del cociente
multiplica a los términos con signo
cambiado del divisor y el producto se
escribe en la segunda fila debajo de
los términos de dividendo corriendo
un lugar a la derecha.
3. Se reduce la siguiente columna y el
resultado se divide entre el primer
término del divisor obteniendo el
segundo término del cociente el cual
multiplica a los términos cambiados
del divisor. El producto resultante se
escribe en la tercera fila, debajo de
los términos del dividendo corriendo
un lugar a la derecha.
4. Se continua este procedimiento hasta
obtener un término debajo del último
término del dividendo.
5. Los coeficientes del resto o residuo,
se obtienen directamente de cada
una de las columnas que le
pertenecen.
Respecto al ejemplo dado, tendríamos:
12 -8 20
 4 12 - 17 + 20 - 8 + 7
3 9 + 6
- 6 - 4
15 + 10
2
3 - 2 + 5 3 + 17
x2
x T.I. x T.I.
Observación
DIVISIÓN POR HORNER
t = dº
Con signo
cambiado
(#t)
El 1º con propio
signo
4.4

de donde:
Q (x) = 3x2
– 2x + 5 (cociente)
R (x) = 3 x + 17 (Resto)
Ejemplo: Efectuar por Horner
22
432234
b7ab5a4
b20ab30ba51ba23a12


Solución
De acuerdo a las propiedades
observamos (respecto a la letra “a”)
Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2
Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1
Además:
G.A. (Dº) = G.A. (Rº) = 4
Por Horner, se tendría:
12 -8 20
 4 12 - 23 + 51 - 30 + 20
5 15 - 21
- 10 + 14
25 - 35
-7
3 - 2 + 5 9 - 15
Por consiguiente:
Q (a , b) = 3a2
– 2ab + 5b2
R (a , b) = 9ab3
– 15 b4
En la solución de estos problemas
debemos tener en cuenta las siguientes
reglas:
Regla Nº 1.- Dos polinomios son
divisibles, o uno de ellos es múltiplo de
otro, o nos dicen que la división entre
ellos es exacta; cuando el resto o
residuo de la división es un polinomio
nulo.
Regla Nº 2.- Si en una división nos
dan como dato el resto, entonces el
resto obtenido por Horner y el resto
que es dato son polinomios idénticos.
Regla Nº 3.- En toda división exacta
los coeficientes del dividendo y del
divisor se pueden escribir en sentido
contrario y al efectuar la división esta
sigue siendo exacta.
Ejemplo 1.- Calcular “a” y “b” en la
división exacta:
2xx
baxxx2
2
34


Solución:
Por Horner tendríamos:
2 1 5
 1 2 - 1 + 0 + a - b
1 2 + 4
1 + 2
2 5 + 10
2 + 1 + 5 0 + 0
Aquí vemos que:
i) a + 2 + 5 = 0  a = -7 Rpta.
ii) –b + 10 = 0  b = 10 Rpta.
división:
1xx
baxx2xx3
2
234


Sabiendo que su resto es 4 x – 3
Solución:
Aplicando el método de Horner:
3 2 1
 1 3 - 1 + 2 - a - b
1 3 - 3
2 - 2
-1 1 - 1
3 + 2 + 1 4 - 3
De las columnas del resto
CÁLCULO DE COEFICIENTES
EN EL DIVIDENDO O EN EL
DIVISOR
4.5

Vemos que:
i) -a - 2 + 1 = 4  a = -5 Rpta.
ii) –b – 1 = -3  b = 2 Rpta.
división exacta (Horner inverso)
1xx
2xxbxax
2
234


Solución:
Escribiendo los coeficientes en sentido
contrario, se tendría el siguiente
esquema de Horner:
-2 1 -4
- 1 -2 - 1 - 1 - b + a
1 2 - 2
-1 + 1
-1 4 - 4
2 - 1 + 4 0 + 0
De donde:
i) -b + 1 + 4 = 0  b = 5 Rpta.
ii) a – 4 = 0  a = 4 Rpta.
divisores, binomios o transformables a
binomios; es un caso particular de la
división por Horner. Se presentan dos
casos:
I.- Primer caso : P(x)  x  b
Dividendo : P(x)
Divisor : x  b
Esquema de Ruffini:
El primer elemento del dividendo se
baja y corresponde al primer elemento
del cociente, se procede como en la
división por Horner y el resultado de
reducir la última columna es el resto de
la división.
Ejemplo # 1 : Efectuar:
2x
2x3xx2 24


Solución
Del esquema de Ruffini, tendríamos:
2 + 0 – 1 + 3 - 2
- 4 + 8 – 14 + 22
2 - 4 + 7 - 11
Con lo cual:
Q(x) = 2x3
– 4x2
+ 7x – 11 (cociente)
Rpta.
R(x) = 20 (Resto)
Ejm. # 2 : Hallar “k” en la división:
2x 
 kxkx2x-x 234
Sabiendo que es exacta.
Solución
Como la división es exacta, el resto es un
polinomio nulo, es decir:
DIVISIÓN POR RUFFINI
COCIENTE RESTO
P (x)
x =  b
Divisor = 0
x  b = 0
+20
x = -2
x + 2 = 0
x3
x2
x T.I.
4.6

X +2 = 0 1 – 2 + k +1 +k
X = -2 - 2 + 8 - 2k-16 4k +30
1 - 4 +(k+8) +(-2k-15) 0
Observemos que:
K + 4 k + 30 = 0  k = -6 Rpta.
II.- Segundo caso : P(x)  ax  b
Dividendo : P (x)
Divisor : a x  b
Esquema de Ruffini
P(x)
En este caso:
Q (x) = COCIENTE
a
R (x) = Resto
Ejemplo # 1: Efectuar:
2x
6x114x-x15 23


5
Solución:
Por Ruffini, se tendría:
5X +2 = 0 15 - 4 + 11 + 6
X =-2/5 - 6 + 4 - 6
15 -10 + 15 0
5
Q (x) = 3x2
– 2x + 3
R (x) = 0
Ejemplo 2: Determinar “k” en la
división:
12x
2k5x-4xx10x 234


sabiendo que el resto es: 3k – 2
Solución
Aplicando Ruffini, tendríamos:
2X +1 = 0 10 + 1 + 4 – 5 + 2k
X =-1/2 -5 + 2 - 3 + 4
10 - 4 + 6 - 8 3 k - 2
De la condición:
2k + 4 = 3 k – 2  k = 6 Rpta.
01. Efectuar:
3x
7x5x2x3
4
41216


Solución:
Haciendo la transformación: x4
= y
Tendríamos:
3y 
 7-y5y2-y3 34
Por Ruffini:
3 - 2 + 0 + 5 - 7
- 9 + 33 – 99 + 282
3 - 11 + 33 - 94
Obtenemos:
Q (y) = 3y3
– 11 y2
+ 33 y – 94
R (y) = 275
Como : y = x4
; en función de “x”
Q (x) = 3x12
– 11 x8
+ 33 x4
– 94
R (x) = 275
Resto
x = 
a
b
ax  b = 0
C O C I E N T E
a
+275
Y = -3
Y + 3 = 0
y3
y2
y T.I.
CASOS ESPECIALES4.7

Este teorema es importante por que
nos permite encontrar el resto de la
división, sin efectuarla.
Enunciado.- El resto de dividir un
polinomio racional P(x) entre un divisor
binomio de la forma (a x  b) o
cualquier otro divisor transformable a
binomio; se obtiene al calcular el valor
numérico de P ( 
a
b
)
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA:
En concordancia con los elementos de
la división, tenemos:
Dividendo : P(x)
Divisor : a x  b
Cociente : Q (x)
Resto : R (x) (incógnita)
De la identidad fundamental:
D  d Q + R
Se tiene:
P (x) = (a x  b) Q (x) + R (x)
Evaluando P(x) para X = 
a
b
Se obtiene:
P ( 
a
b
) = [a ( 
a
b
)  b ] Q ( 
a
b
) + R(x)
P ( 
a
b
) = [ 
a
b

a
b
] Q ( 
a
b
) + R (x)
Como vemos 
a
b

a
b
= 0; con lo cual:
Resto = R (x) = P ( 
a
b
) L.q.q.d.
Primer Caso:
bax
)x(P

Reglas para determinar el Resto:
1º .- Divisor igual a cero : a x  b = 0
2º .- Hallamos el valor de x: x = 
a
b
3º .- Reemplazamos el valor de “x” en
el polinomio dividendo y el valor
obtenido es el resto de la división
Ejemplo # 1:
Hallar el resto de la división:
1x
6x7x5x3x2 459


Solución
Aplicando las reglas tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 1 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -1
3º.- Reemplazando en el dividendo;
x = -1, obtenemos:
Resto = 2(-1)9
– 3(-1)5
+ 5(-1)4
– 7(-1) + 6
teniendo en cuenta que :
(-)
Par
= +  (-)
Impar
= -
Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6
Resto = 19 Rpta.
Ejemplo # 2.- Determine el valor de
“k” en la división exacta.
2x 
 k6x-x2)-k(3-x2 23
Solución
Como la división es exacta, el resto, es
igual a cero y de acuerdo a las reglas
del teorema del resto tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 2 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -2
3º.- Resto = 0
2 (-2)3
– (3k – 2) (-2)2
– (-2) + 6k = 0
-16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0
-6 k = 6
 k = –1 Rpta.
Segundo caso:
bax
)x(P
n

; (n  2)
Reglas para determinar el resto:
1º.- Divisor = 0  axn
 b = 0
2º.- Cálculo de xn
 xn
=
a
b

3º.- Reemplazamos el valor de xn
en el
polinomio dividendo y el valor obtenido
es el resto de la división:
TEOREMA DEL RESTO
CASOS QUE SE PRESENTAN
4.8
4.9

Ejemplo # 1:
2x
2x3x5x2x
2
235


Solución:
Expresando el dividendo en función de
“x2
” se tendría:
2x
2x3)x(5x)x(2x)x(
2
2222


Aplicando las reglas:
1º.- x2
+ 2 = 0  x2
= -2
2º.- Por consiguiente:
R(x) = (-2)2
x + 2 (-2) x – 5 (-2) + 3 x -2
R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2
 R (x) = 3 x + 8 Rpta.
Ejemplo # 2:
Si el resto de la división:
1x
5bxx3ax
2
257


es: x – 6. Hallar (a + b)
Solución
Expresando el dividendo en función de
x2
, se tendría:
1x
5)x(bx)x(3x)x(a
2
2222


Del teorema del resto:
1º.- x2
+ 1 = 0  x2
= -1
2º.- R(x) = a (-1)3
x + 3 (-1)2
x + b (-1) – 5
R (x) = (-a + 3) x – b – 5
Como: R(x)  x - 6
Se cumple que:
(-a + 3) x – b – 5  x – 6
Comparando los coeficientes:
i) -a + 3 = 1  a = 2
ii) –b – 5 = - 6  b = 1
 a + b = 3 Rpta.
Ejemplo # 3:
1xx
3xx2
2
523


Solución
Siendo el divisor un trinomio hay que
transformarlo a binomio, mediante la
identidad
(x2
+ x + 1) ( x – 1) = x3
– 1
Con la cual, se tendría :
)1x()1xx(
)1x()3xx2(
2
523


1x
3x3xxx2x2
3
562324


Expresando el dividendo en función de x3
:
1x
3x3x)x()x(x)x(2)x(2
3
232327383


Recordemos que: si al dividendo y al
divisor se multiplican por una misma
cantidad, el cociente no se altera pero el
resto queda afectado por la cantidad
que se está multiplicando; en
consecuencia:
Por el Teorema del resto:
1º.- x3
– 1 = 0  x3
= 1
2º.- Con lo cual:
(x - 1) R(x) = 2(1)8
– 2(1)7
x2
– (1)2
+
+ (1) x2
+ 3x – 3
(x - 1) R (x) = - x2
+ 3 x – 2
-x2
+ 3 x – 2
R (x) = -----------------
x - 1
Por la regla de Ruffini:
-1 + 3 - 2
x = 1 - 1 + 2
-1 + 2 0
Obtenemos:
Resto: R(x) = -x + 2 Rpta

Son cocientes cuya forma general es:
ba
ba nn


; n  z+
El desarrollo de estos cocientes se
pueden efectuar directamente sin aplicar
los criterios generales de la división
algebraica
Todo cociente notable debe satisfacer los
siguientes principios:
1º El resto de la división debe ser
igual a cero.
2º Las bases deben ser iguales
3º Los exponentes deben ser iguales.
Nota.- CoNo = Cociente Notable
b-a
b-a nn
n : Puede ser par o impar; siempre será
Co no ya que su resto es cero. El
desarrollo obtenido por la regla de
Ruffini es:
1-n2-n1-n
nn
b...........baa
b-a
b-a

Ejemplo:
b-a
b-a 44
= a3
+ a2
b + ab2
+ b3
Segundo caso:
ba
ba nn


n : En este caso debe ser impar
necesariamente; para que el resto sea
cero y el cociente sea notable.
El desarrollo obtenido por la regla de
Ruffini es:
1-n2-n1-n
nn
b-,...........-baa
ba
ba



,
Ejemplo:
ba
ba 55


= a4
– a3
b + a2
b2
– ab3
+ b4
Tercer caso:
ba
b-a nn

n : Para este caso debe ser un número
par necesariamente, lo cual nos da un
resto cero y por consiguiente el cociente
es notable.
El desarrollo obtenido por la regla de
Ruffini es:
1-n2-n1-n
nn
b-,.........baa
ba
b-a


,
Ejemplo:
ba
b-a 44

= a3
– a2
b + ab2
– b3
Cuarto caso:
b-a
ba nn 
n : Ya sea par o impar, el resto no será
cero, por consiguiente este tipo de
cociente nunca será cociente notable.
Respecto al CoNo cuya forma general es:
ba
ba nn


COCIENTES NOTABLES
LOS COCIENTES NOTABLES
Primer caso:
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACION

Se satisfacen las siguientes propiedades:
1º El resto de la división debe ser
igual a cero.
2º El número de términos que tiene
en su desarrollo es igual al
exponente del dividendo del
cociente notable.
3º El desarrollo de un CoNo es un
polinomio homogéneo cuyo grado
es igual al exponente del
dividendo del CoNo menos uno.
4º En el desarrollo de un CoNo los
exponentes de la primera y
segunda base varían consecuti-
vamente en forma descendente y
ascendente desde el mayor
exponente, hasta el exponente
cero.
5º Respecto a los signos de los
términos del desarrollo de un
CoNo, debemos considerar lo
siguiente:
i)


= +, +, + ..... + (n: Par ó Impar)
ii)


= +, -, +, …....-, + (n: Impar)
iii)


= +, -, +, ……,+, - (n: par)
En la expansión del CoNo:
ba
ba nn


= an-1
 an-2
b + a n-3
b2
 ….  bn-1
T1 T2 T3 TK Tn
Vemos que el término de lugar “k”
adopta la forma matemática:
TK =  (a)n – k
(b) k – 1
; 1  k  n
Debemos tener en cuenta que:
“a” : Primera base del CoNo
“b” : Segunda base del CoNo
“n” : Número de términos de CoNo
“k” : Lugar que ocupa el término
que queremos determinar
Además:
i) TK, es (+)  k, es impar
ii) TK, es (-)  k, es par, pero solo para
CoNo de la forma :


ó


iii) TK siempre es positivo para una CoNo
de la forma

-
Ejemplo#1:
Dado el CoNo :
ba
ba 3131


hallar el T27
Solución:
Dado que 27 es un número impar:
TK = + (a)n- k
(b) k – 1
Donde :
“a” = a
“b” = b
“n” = 31
“k” = 27
Remplazando:
T27 = (a) 31-27
(b) 27-1
T27 = a4
b26
Rpta.
# 2: Dado el CoNo :
ba
ba 4343


hallar el G.A: del T32
Solución:
Como el CoNo es de la forma


,
todos los términos son positivos, por
consiguiente:
TK = + (a) n – k
(b) k – 1
FORMULA PARA CALCULAR EL
TÉRMINO DE LUGAR “K” EN EL
DESARROLLO DE UN CONO

Donde:
“a” = a
“b” = b
“n” = 43
“k” = 32
Remplazando:
T32 = + (a)43 – 32
(b) 32 – 1
T32 = a11
b31
 G.A: = 11 + 31 = 42 Rpta.
Este tipo de división será transformable
a cociente notable, cuando satisfaga las
siguientes condiciones
1.- El resto de la división debe ser
igual a cero.
2.- Las bases deben ser iguales
3.- Los exponentes del dividendo con
respecto al divisor deben ser
proporcionales y pertenecer al
campo de los números enteros
positivos, es decir:
q
n
p
m
 ;  z+
4.- Respecto a los casos que se
presentan en los CoNo, deben
tenerse en cuenta lo siguiente:
a) Forma :


q
n
p
m
 = # par o impar
b) Forma :


q
n
p
m
 = # impar
c) Forma :
-

q
n
p
m
 = # par
d) Forma :


(no es CoNo)
5.- Un término cualquiera del
desarrollo del CoNo
qp
nm
ba
ba


está formulado por:
TK =  (a) m – k p
(b) (k-1) q
; 1 k 
p
m
Ejemplo # 1:
Calcular “n” en el cociente:
yx
y-x
1-n2-n
2-8n4-7n

Sabiendo que es notable.
Solución:
Por ser cociente notable, se cumple que:
1-n
2-n8
2-n
4-n7

Por proporciones:
(7 n – 4) (n –1) = (n – 2) (8n – 2)
7n2
– 11 n + 4 = 8 n2
– 18 n + 4
- n2
+ 7n = 0
Factorizando:
n = 0
n (n – 7) = 0  ó
n = 7 Rpta.
Ejemplo # 2:
Calcular (m+n) en el cociente
notables:
n3
70m
yx
y-x

Si su desarrollo tiene 14 términos:
Solución:
Por ser cociente notable, se cumple que:
DIVISIÓN DE LA FORMA
qp
nm
ba
ba



5n14
n
70
42m14
3
m
14
n
70
3
m



)ii
)i
 m + n = 47 Rpta.
Ejemplo 3:
Dado el CoNo :
43
12493
ba
ba


hallar el grado absoluto del T22.
Solución:
Como 22 es un número par, aplicamos
la fórmula:
TK = - (a) n - k
(b) k – 1
Donde:
“a” : Primera base = a3
“b” : Segunda base = b4
“n” : Número de términos = 31
4
124
3
93

“k” : lugar que ocupa el término = 22
Reemplazando:
T22 = -(a3
) 31 – 22
(b4
) 22 – 1
T22 = -a 27
b 84
 G.A. 111 Rpta.
Dado el CoNo :
ba
ba nn


Podemos notar que:
1.- “n” representa el número de
términos
2.- Si “n” es un número impar existe
un término central al cual
denotaremos por tc y ocupa el
lugar.
2
1nct  t
3.- Si “n” es un número par existen
dos términos centrales y ocupan
los lugares.
1
2
nc1
2
nc1 tttt


4.- Si “k” es el lugar que ocupa el
término del desarrollo de un CoNo
y “ k’ ” su término equidistante
(término contado a partir del
extremo final); se cumple.
a) k + k’ = n + 1
b) TK =  (a) n – k
(b) k - 1
c) TK’ = tn+1 - k =  (a) k – 1
(b) n - k
d) TK y TK’ son de igual signos en los
CoNo de la forma :




y
e) TK y TK’ tienen signos diferentes
para CoNo de la forma:


Para reconstruir un cociente notable a
partir de los términos de su
desarrollo, debemos tener en cuenta
las siguientes reglas:
1º Ley de signos
a) +, +, +, .............. + 


b) +, -, + ................-,+ 


c) +, -, +, .............+, - 


2º Ley de variables.- En el
dividendo y en el divisor se
escriben como bases del CoNo
las bases de los términos
extremos del desarrollo.
OBSERVACIONES IMPORTANTES
RECONSTRUCCIÓN DE UN COCIENTE
NOTABLE A PARTIR DE LOS
TÉRMINOS DE SU DESARROLLO

3º Variación de exponentes.-
Nos determina los exponentes
que deben colocarse en las
bases del divisor; la variación
descendente es para la primera
base y la variación ascendente
es para la segunda base.
4º formación del Cociente
Notable.- Obtenidos los
exponentes del divisor, estos
se suman con los exponentes
de los términos extremos del
desarrollo del cociente notable y
obtenemos los exponentes del
dividendo, formándose el
cociente notable.
Ejemplo:
Dado el desarrollo
x145
+ x140
y8
+ .......+ y232
formar el CoNo
Solución
De acuerdo a las reglas, tenemos:
1º.- Ley de Signos :


2º.- Ley de variables:
y-x
y-x
3º.- Variación de exponentes:
85 y-x
y-x
4º.- Formación del CoNo:
85
yx 
240150 y-x
Ejercicio Nº 1.- Dado el cociente
notable
3-2n1n
63n4213n2
yx
)(y-)(x


determine el número de términos que
tiene su desarrollo.
Solución
Por ser un cociente notable los
exponentes deben ser proporcionales, es
decir:
#t =
3-n2
6)n(34
1n
21)n(32 



operando, se tiene:
(6n + 42) (2n – 3) = (12n + 24) (n + 1)
12 n2
– 18 n + 84 n – 126 = 12 n2
+ 12 n
+ 24 n + 24
Simplificando:
66 n – 126 = 36 n + 24
30 n = 150
n = 5
remplazando:
#t =
 
15
21(5)32


 # t = 12
Ejercicio Nº 2.- Al efectuar el desarrollo
del CoNo:
23
xx 

-3045
x-x
Hallar el número de términos
fraccionarios.
Solución:
Un término genérico del desarrollo de
este CoNo es:
TK = (a) n - k
(b) k – 1

kk
15n
xb
xa
2-
3




Remplazando:
TK = (x3
)15 – k
( x -2
) k – 1
TK = x 45 – 3 k
x – 2k + 2
TK = x 47 –5 k
; 1  K = 15
Los términos serán fraccionarios;
Cuando: 47 – 5 k  0
- 5 k  -47
k 
5
47
k  9,4
Dado que: k  15 ; entonces:
K = 10, 11, 12, 13, 14, 15
el número de término fraccionarios es
6.
EJERCICIOS

La factorización es un proceso
contrario a la multiplicación, el cual no
está sujeta a reglas específicas; su
operación depende de la práctica
adquirida. En esencia es la
transformación de un polinomio en un
producto indicado de factores primos,
dentro de un determinado campo
numérico.
Un polinomio está definido sobre un
campo numérico, cuando los
coeficientes de dichos polinomios
pertenecen al conjunto numérico
asociado a dicho campo. Hay tres
campos de importancia:
Racional : Q ; Real : R; Complejo : C
Ejemplo:
i) P (x) = 2 x2
– 7x + 3 , está
definido en Q , R y C
ii) Q (x) = 2 x5
+ 3 x - 3 , está
definido en R y C, pero no en Q.
iii) R (x) = x3
– i x + 2 i – 3; esta
definición solo en C .... (i = 1 )
Factor ó Divisor.- Es un polinomio de
grado distinto de cero que divide
exactamente a otro.
Factor Primo.- Es un polinomio sobre
un campo numérico el cual no se puede
transformar en el producto de dos
polinomios sobre el mismo campo
numérico.
Ejemplo #1 .- P (x) = x2
– 25
No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya
que se puede expresar como
P (x) = (x + 5) (x – 5).
Ejemplo # 2.- Z(x) = x2
– 7
Es primo en Q, pero no en R ni en C,
dado que Z (x) = (x + 7 ) (x - 7 )
Ejemplo # 3 .- R(x) = x2
+ 16
Es primo en Q y en R pero no es primo
en C, ya que
R(x) = (x + 4i) (x – 4 i)
Número de factores primos.- Es la
cantidad de factores no repetidos que
tiene el polinomio, dependiendo sobre
que campo numérico se factorice.
Ejemplo
a) P(x) = x4
– 36  (x2
+ 6) (x2
–6)
 P (x) tiene 2 factores primos en Q
b) P(x)=x4
– 36  (x2
+ 6) (x + 6 )
(x - 6 )
 P (x) tiene 3 factores primos en R
c) P(x)=x4
– 36  (x + i 6 ) ((x - i 6 )
(x+ 6 ) (x - 6 )
 P (x) tiene 4 factores primos en C
I. Método del Factor Común.- El
factor común está contenido en
todos los términos de la expresión
algebraica a factorizar, con el menor
exponente; puede ser monómico o
polinómico.
Ejemplo # 1: Factorizar:
f = 2x4
y3
+ 2x4
z2
+ 2x4
Solución:
El factor común es: 2x4
; de donde
f = 2x4
(y3
+ z2
+ 1) Rpta.
Ejemplo # 2: Factorizar:
f = (a2
+ b) x + (a2
+ b) y + (a2
+ b) z
Solución:
El factor común en este caso es: (a2
+ b);
de donde
f = (a2
+ b) (x + y + z) Rpta.
II. Factorización por agrupación
de términos
Consiste en agrupar convenientemente
de forma que se tenga factor comunes
polinómicos.
Ejemplo # 1: Factorizar
f = (a x + by) 2
+ (ay – bx) 2
Solución:
Desarrollando por productos notables.
f = a2
x2
+ 2ab x y + b2
y2
+ a2
y2
–
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN EN Q

- 2 ab xy + b2
x2
Simplificando:
f = a2
x2
+ b2
y2
+ a2
y2
+ b2
x2
agrupando el primero con el tercero y
el segundo con el cuarto, se tiene:
f = (a2
x2
+ a2
y2
) + (b2
y2
+ b2
x2
)
f = a2
(x2
+ y2
) + b2
(x2
+ y2
)
f = (a2
+ b2
) (x2
+ y2
) Rpta.
III. Método de las Identidades
A. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Para factorizar se extrae la raíz
cuadrada de los cuadrados
perfectos y se forman un producto
de la suma de las raíces,
multiplicadas por la diferencia de
las mismas. En general.
f = a2m
– b2n
= (am
+ bn
) (am
– bn
)
am
bn
B. TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO.- Su forma general es:
f = a2m
 2 am
bn
+ b 2n
am
bn
 am
bn
am
bn
 am
bn
2am
bn
 f = ( a m
 b n
) 2
C. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.-
En este caso recordamos los productos
notables.
a
3m
+ b
3n
= (a
m
+ b
n
) (a
2m
– a
m
b
n
+ b
2n
)
a
3m
– b
3n
= (a
m
– b
n
) (a
2m
+ a
m
b
n
+ b
2n
)
f = x8
– 81 y8
Solución
Extrayendo a los términos, se
obtiene:
f = x8
– 81 y8
x4
9y4
X2
3y2
De donde:
f = (x4
+ 9y4
) (x2
+ 3 y2
) (x2
– 3y2
)
Ejemplo # 2.- Factorizar
f = (a + b)7
+ c3
(a + b)4
– c4
(a + b)3
– c7
Solución:
Haciendo: (a + b) = x; se tendría:
f = x7
+ c3
x4
– c4
x3
– c7
factorizando de 2 en 2
f = x4
(x3
+ c3
) – c4
(x3
+ c3
)
siendo el factor común : x3
+ c3
f = (x3
+ c3
) (x4
– c4
)
factorizando la suma de cubos y la
diferencia de cuadrados, obtenemos
finalmente:
f = (x + c) (x2
– xc + c2
) (x2
+ c2
)
(x + c) (x – c)
Ejemplo # 3.- Factorizar:
f = 3 ab (a + b) + 3(a + b)2
c + 3(a + b) c2
Solución
Factorizando : 3 (a + b); se tiene
f = 3 (a + b) [ ab + c (a + b) + c2
]
f = 3 (a + b) [ab + ac + bc + c2
]
factorizando en el corchete “2” a “2”
f = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)]
siendo: (b + c) el factor común, se
tendría como factores:
f = 3 (a + b) (a + c) (b + c) Rpta.
Aspa Simple.- Se aplica en
expresiones trinomias de la forma.
f = ax2m
+ bxm
yn
+ c y 2n
Se descomponen en factores los
extremos y la suma de los productos en
aspa debe ser igual al término central.
Es decir, dado :
(Iguales)
MÉTODO DE LAS ASPAS
suma
suma x Dif

f = ax 2m
+ bxm
yn
+ c y2n
a1 xm
c1 yn
 a2 c1
a2 xm
c2 yn

b
ca 21
Los factores se toman horizontalmente
 f = (a1 xm
+ c1 yn
) (a2 xm
+ c2 yn
)
Ejemplo # 1: factorizar
f = 64 a12
b3
– 68 a8
b7
+ 4 a4
b11
Solución:
Siendo el factor común : 4 a4
b3
Se obtiene:
f = 4 a4
b3
[16 a8
– 17 a4
b4
+ b8
]
Aplicando aspa simple al corchete
16 a4
-b4
 a4
b4
a4
-b4
 16 a4
b4
17 a4
b4
f = 4a4
b3
( 16 a4
– b4
) (a4
- b4
)
factorizando las diferencias de
cuadrados; obtenemos:
f = 4 a4
b3
(4 a2
+ b2
) (2 a + b) (2 a – b)
(a2
+ b2
) (a + b) (a – b)
Factorizar:
1) f = x4
+ y4
+ 2x y (x2
+ y2
) + 3x y2
Rpta. f = (x2
+ xy + y2
)2
2) g = x6
+ 2x5
– 3x4
+ 4x2
– 1
Rpta. g = (x3
+ 3x2
– 1) (x3
– x2
+ 1)
3) f = (a2
+ b2
– c2
– d2
)2
– 4 (ab + cd)2
Rpta. f = (a +b + c – d) (a + b– c + d)
(a – b + c + d) (a – b– c – d)
g = (x + y)3
+ 3xy (1 – x – y) – 1
Rpta. g = (x2
+ y2
+ 1 – xy + x + y)
4) f = (z2
– y2
)2
(x2
– a2
) + 4 x2
y2
z2
Rpta. f = (z2
x + xy2
+ az2
– ay2
)
(z2
x + xy2
– az2
+ ay2
)
5) Un factor de: a (a – 1) + a3
– 1 es:
Rpta. (a – 1) ( a + 1)2
6) Descomponer en factores: x5
+ x + 1
Rpta. (x2
+ x + 1) ( x3
– x2
+ 1)
7) Cuando se factoriza x9
– x hasta donde
sea posible en polinomios y monomios
con coeficientes enteros, el número de
factores primos es:
Rpta. 5
8) La expresión
x2
– y2
– z2
+ 2yz + x + y – z
Rpta. (x + y –z) (x – y + z + 1)
9) Hallar la suma de los factores primos
de: a (a2
+ ab - 1) – b (b2
+ ab – 1)
Rpta. 3 a + b
10) Factorizar la expresión:
x4
+ 2x3
– 2x – 1, indicar la suma de los
factores primos:
Rpta. 2x
EJERCICIOS

polinomios de la forma:
f = a x2m
+ bxm
yn
+ c y2m
+ dxm
+
+ e yn
+ f
El polinomio debe presentar cierto
orden para poder factorizarlo.
1º. Debe tener 6 términos, si falta
alguno de ellos, se reemplaza
por ceros.
2º. Con respecto al primer trinomio
los exponentes centrales deben
ser la mitad de los extremos, y
en el cuarto y quinto término se
repiten los exponentes
centrales.
1. Estando ordenado los términos
del polinomio, se trazan dos
aspas de la siguiente forma:
f = (ax2m
+ bxm
yn
+ cy2n
+ dxm
+ eyn
+ f
2. Descomponemos en factores los
coeficientes de los términos
extremos. Multiplicados en aspa y
sumados deben verificar al
“cuarto término”.
f = ax2m
+ bxm
yn
+ cy2n
+ dxm
+ eyn
+ f
a1 f1
a2 f2
Deben cumplirse que: a1 f2
a2 f1
d
3. A continuación descomponemos en
factores el coeficiente del tercer
término. La primera aspa debe
verificar al coeficiente del segundo
término y la segunda aspa debe
verificar el coeficiente del quinto
término.
4. Los factores se obtienen tomando
los términos de las aspas en forma
horizontal.
En conclusión:
f = ax2m
+ bxm
yn
+ cy2n
+ dxm
+ eyn
+f
a1xm
c1 yn
f1  a2 f1
a2xm
c2 yn
f2  a1 f2
d

f = (a1 xm
+ c1 yn
+ f1) (a2 xm
+ c2 yn
+ f2)
f = 20 x4
– 21 y6
+ 13 x2
y3
– 2x2
+
+ 23 y3
– 6
Solución
Ordenando el polinomio de acuerdo a
las reglas dadas, se tiene:
f = 20x4
+ 13x2
y3
– 21y6
– 2x2
+ 23y3
– 6
4x2
2  10
5x2
3  -12
-2
Dado que está verificado el cuarto
término, descomponemos en factores
el “tercer término”
f = 20x4
+ 13x2
y3
– 21y6
– 2x2
+ 23y3
– 6
4x2
-3 y3
2  10
5x2
7 y3
- 3  -12
FACTORIZACIÓN POR
DOBLE ASPA
FORMA DE FACTORIZAR
a1c2
a2c1
b
c1f2
c2f1
e
28
-15
13
9
14
23
FACTORIZACION – MCM / MCD
FRACCIONES ALGEBRAICAS

- 2
Como se han verificado todos los
términos, los factores son:
f = (4x2
– 3y2
+ 2) (5x2
+ 7y3
– 3)
Ejemplo # 2.- Factorizar
f =12a2
–4b2
–12c2
– 2ab + 7ac + 14 bc
Solución:
Ordenando convenientemente, se
tendría:
f = 12a2
- 2ab – 4 b2
+ 7ac + 14 bc – 12 c3
3a 4c  16
4a -3c  -9
7
Dado que el cuarto término está
verificado, descomponemos en
factores el tercer término.
f = 12a2
– 2ab – 4b2
+ 7ac + 14 bc –12 c2
3a -2b 4c  16 ac
4a 2b -3c  -9 ac
Como todos los términos están
verificados, entonces:
f = (3a - 2b +4c) (4a + 2b –3c)
El polinomio a factorizar debe tener
cinco términos o en su defecto debe
completarse con ceros, su forma
canónica es:
f = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e
El problema central consiste en
descomponer cx2
en dos términos,
dispuestos en la siguiente forma:
c1 x2
c2 x2
tal que : c1 + c2 = c
1. Se decompone en factores los
coeficientes de los términos
extremos del polinomio de cuarto
grado, de forma que :
a = a1 . a2 y e = e1 . e2
multiplicando en aspa y sumando
los productos respectivos,
obtenemos “c1”, es decir:
f = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e
c2 c1
a1 e1 = a2 e1
a2 e2 = a1 e2
c1
Nota: “c2” se obtiene por diferencia
c2 = c – c1
2. “c2” se descompone en factores
c2 = c’2 . c”2 , donde la primera
aspa verifica a “b” y la segunda
aspa verifica a “d”
f = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e
c2 c1
a1 x2
c’2x e1  a2
e1
a2 x2
c”2x e2  a1 e2
c1
3. Los factores, se toman
horizontalmente
f = (a1x2
+ c’2x + e1) (a2x2
+ c”2 x + e2)
f (x)= 20x4
+ 2x3
– 11x2
+ 19 x – 15
Solución:
Descomponiendo en factores los
términos extremos, para determinar
“c1” se tendría:
6
- 8
- 2
6
8
14 7ac
DOBLE ASPA: “CASO ESPECIAL”
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
FORMA DE FACTORIZAR
a1c”2
a2c’2
b
c’2 e2
c”2 e1
d

f (x) = 20 x4
+ 2x3
- 11x2
+ 19x -15
-6x2
-5x2
4x2
3 = 15x2
5x2
-5 =- 20x2
-
5x2
Descomponiendo en factores:
c2= - 6x2
se tendría:
f = 20x4
+ 2x3
- 11x2
+ 19x -15
-6x2
-5x2
4x2
-2x 3 = 15x2
5x2
3x -5= - 20x2
- 5x2
 f(x) = (4x2
– 2x + 3) (5x2
+3x – 5)
1. No todos los polinomios de 4to.
Grado se pueden factorizar por
doble aspa.
2. Si el polinomio de 4to. Grado es
factorizable por doble aspa, debe
observarse si cada factor
cuadrático es factorizable.
3. El trinomio : ax2
+ bx + c = 0 se
puede factorizar, si su
discriminante ( = b2
–4ac) es
un cuadrado perfecto.
Factorizar:
1. f = 30a2
– 6b2
– 14c2
– 28ab –
- 23ac + 25 bc
Rpta. f = (5a - 3b + 2c) (6a + 2b – 7c)
2. g = 21x2
– 37 xy2
+ 12y4
+ 48x
–
- 26 y2
+ 12
Rpta. g = (3x – 4y2
+ 6) (7x- 3y2
+2)
3. f = 20x2
+ 12y2
– 31xy + 2y – 2x
- 4
Rpta. f = (5x – 4y + 2) (4x – 3y
– 2)
4. g = 28a2
+ 6b2
– 12c2
– 29ab-10ac + 14
bc
Rpta. g = (4a - 3b + 2c) (7a - 2b – 6c)
5. f = 12x2
- 29xy + 15y2
+ 24 x –
40y
Rpta. f = (4x – 3y + 8) (3x – 5y)
6. g = 20x4
+ 9x3
- 20x2
+ 21 x - 6
Rpta. g = (4x2
– 3x + 2) (5x2
+ 6x – 3)
7. f = 20x4
+ 7x3
– 29x2
+ 23 x – 21
Rpta. f = (5x2
– 2x + 3) (4x2
+ 3x – 7)
8. g = 6x4
- 35x3
+ 62x2
- 35 x + 6
Rpta. g = (3x – 1) (x – 3) (2x – 1) (x- 2)
9. f = 20 x4n
+ 7x3n
– 19 x2n
+ 19xn
– 15
Rpta. f = (5x2n
– 2xn
+ 3) (4x2n
+ 3xn
–
5)
10. g = 120x4n
– 242x3n
+ 27x2n
+
+ 135 xn
– 54
Rpta. g = (3xn
– 2) (4xn
+ 3) (5xn
–
3)
(2xn
– 3)
OBSERVACIONES
EJERCICIOS

Este método se basa en el criterio
del teorema del resto:
i) Si: P (x) es divisible entre (x –
a) entonces P(a) = 0
ii) Si: P(x) es divisible entre (x +
b) entonces P (-b)= 0
Observando en forma inversa
i) Si: p (a)= 0; entonces un
factor es (x –a)
ii) Si: p(-b) = 0; entonces un
factor es (x + b)
El polinomio mónico se caracteriza
porque el coeficiente de su máxima
potencia es igual a la unidad.
1. Se hallan todos los divisores del
término independiente del
polinomio P(x) a factorizar; los
divisores se consideran con el
signo más y menos.
2. Cada divisor con signo (+) o
signo (-) se evalúa en P(x), si
alguna de las evaluaciones vale
cero, hemos encontrado un factor
lineal.
3. Se recomienda encontrar una
cantidad de ceros igual al grado
del polinomio P(x) menos dos.
4. Los demás factores se
encuentran aplicando la regla de
Ruffini.
Ejemplo # 1
Factorizar :
f(x) = x4
– 2x3
– 16 x2
+ 2x + 15
Solución:
Nótese que el polinomio es de cuarto
grado, entonces:
1. La cantidad de ceros a
encontrar por evaluación es: 4º - 2º
= 2
2. Los divisores del término
independiente “15” son  (1, 3, 5,
15)
3. Evaluando:
a) f(1) = 1 – 2 – 16 + 2 + 15 = 0
entonces, un factor es : (x – 1)
b) f (-1) = (-1)4
–2(-1)3
– 16 (-
1)2
+ 2 (-1) + 15
f (-1) = 0; entonces, otro factor
lineal es: (x + 1)
4. Por la regla de Ruffini:
1 – 2 – 16 + 2 + 15
1 – 1 - 17 - 15
1 – 1 – 17 - 15 0
- 1 + 2 + 15
1 – 2 – 15 0
 P (x) = (x – 1) (x + 1) (x2
– 2x –
15)
El factor cuadrático es más fácil de
factorizar, obteniéndose:
P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 5) (x +
3)
Sea, P(x) el polinomio a factorizar:
1º Se hallan los divisores
correspondientes al término
independiente de P (x) y los
divisores correspondientes al
coeficiente de la máxima potencia.
2º Los divisores a evaluar son los
divisores del término independiente
FACTORIZACIÓN POR DIVISORES
BINOMIOS
CASO DE POLINOMIOS MÓNICOS
x + 1 = 0
X = -1
x – 1 = 0
X = 1
CASO DE POLINOMIOS NO MONICOS

más las fracciones que se obtienen
al dividir los divisores del término
independiente entre los divisores del
coeficiente de la máxima potencia.
Ejemplo: Factorizar:
f (x) = 6x5
+ 13x4
–29 x3
–43 x2
– x
+ 6
Solución
Como el polinomio es de grado 5 a
lo más debemos encontrar “3”
ceros.
Los divisores del primer coeficiente y
del término independiente son:
f (x) = 6x5
+ 13x4
– 29x3
– 43x2
–
x+6
 (1, 2, 3, 6)  (1, 2, 3,
6)
 los divisores a evaluar son:
 (1, 2, 3, 6,
2
1
,
3
1
,
6
1
,
2
3
,
3
2
)
Evaluando:
1) f (-1) = 6 (-1)5
+ 13(-1)4
–29 (-1)3
– 43 (-1)2
– (-1) + 6
f (-1) = 0  Un factor es: (x + 1)
2) f (
2
1
 ) = 6 (
2
1
 )5
+ 13 (
2
1
 )4
– 29
(
2
1
 )3
– 43 (
2
1
 )2
– (
2
1
 ) + 6
f (
2
1
 ) = 0  otro factor es: )
2
1
(x 
3) f (
3
1
) = 6 (
3
1
)5
+ 13 (
3
1
)4
– 29 (
3
1
)3
- 43 (
3
1
)2
- (
3
1
) + 6
f (
3
1
) = 0  otro factor es (x -
3
1
)
Aplicando Ruffini, se tendría:
6 + 13 - 29 - 43 - 1 + 6
x = -1 - 6 - 7 + 36 + 7 - 6
6 7 - 36 - 7 + 6 0
x =
2
1
 - 3 - 2 + 19 - 6
6 + 4 - 38 + 12 0
+ + 2 + 2 - 12
6 + 6 - 36 0
 f (x) = (x + 1) (x +
2
1
) (x -
3
1
)
(6x2
+ 6 x – 36)
Simplificando y factorizando el
término cuadrático, se obtiene:
f (x) = (x + 1) (2x + 1) (3x – 1)
(x + 3) (x – 2)
Factorizar:
01.
F (x) = x3
– 6x2
+ 11 x – 6
02.
G (x) = x4
–10x3
+ 35x2
– 50 x + 24
03.
F (x)=72 x4
–90 x3
–5 x2
+40 x – 12
04.
G (x)=x5
–x4
–13 x3
+13x2
+36x –36
05.
F (x)= 6 x5
+ 7x4
– 15 x3
– 5x2
+ 9 x – 2
Las expresiones recíprocas se
caracterizan por que los términos de
los términos equidistantes de los
extremos son iguales. Debemos
tener en cuenta lo siguiente:
EJERCICIOS
FACTORIZACIÓN DE
EXPRESIONES RECÍPROCAS
3
1
x 
2
1
x 

1. Si la expresión es recíproca de
grado impar, uno de sus factores es
(x + 1) y este factor estará
multiplicado por una expresión
recíproca de grado par.
2. Si la expresión es recíproca de
grado par los coeficientes
equidistantes de los extremos son
iguales y el último término es
positivo.
Ejm: P(x)= ax4
 bx3
 cx2
 bx + a
1. Se factoriza la variable que se
encuentra elevado a un exponente
igual a la mitad del grado de la
expresión dada.
2. Se agrupan los términos
equidistantes de los extremos
quedando en cada grupo un término
en “x” y su recíproco.
3. Se reemplaza el grupo de
menor potencia por una letra
diferente de “x” y las otras potencias
se encuentran en función de esta
letra.
Ejemplo: factorizar
F (x) = 6 x4
+ 35 x3
+ 62 x2
+ 35 x
+ 6
Solución
Dado que el grado de F(x) es 4,
factorizamos: ”x2
”; obteniendo:
F (x) = x2
[6 x2
+35 x + 62 +
x
35
+
2
x
6
]
Agrupando los términos
equidistantes de los extremos:
F(x)= x2
[ 6 (x2
+
2
x
1
) + 35 (x +
x
1
) + 62 ]
Haciendo : x +
x
1
= a  x2
+
2
x
1
= a2
– 2
Con lo cual:
F (x) = x2
[ 6 (a2
– 2) + 35 (a) + 62
]
F (x) = x2
[ 6 a2
+ 35 a + 50 ]
Por aspa:
3a 10  20 a
2a 5  15 a
35 a
F (x) = x2
[3 a + 10 ] [ 2 a + 5 ]
Como: x +
x
1
= a; se tendría:
F(x) = x2
[3 (x +
x
1
) + 10] [2 (x+
x
1
) + 5 ]
F (x) = (3x2
+ 10 x + 3) (2 x2
+ 5 x + 2)
Nuevamente por aspa simple:
F (x) = (3x + 1) (x + 3) (2x + 1) ( x + 2)
Factorizar:
01. F (x) = 4x4
– 12 x3
+ 17 x2
– 12 x + 4
02. G(x) =x6
– 3x5
+ 6x4
– 7x3
+ 6x2
– 3x + 1
03. F(x) = 8x6
– 36 x5
+ 78 x4
– 99 x3
+ 78 x2
– 36 x + 8
04. G (x) = 6x4
+ 5x3
+ 8 x2
+ 5 x + 6
05. F(x) = 27 x6
– 54 x5
+ 117 x4
–
- 116 x3
+ 117x2
– 54 x + 27
06. G (x) = 3 x4
+ 5 x3
– 4x2
– 5x + 3
07. F(x) = 12x5
–8 x4
– 45 x3
+ 45 x2
+ 8 x – 12
MCD.- El máximo común divisor de
dos o más expresiones algebraicas
es otra expresión algebraica entera
de mayor coeficiente numérico y
mayor grado que divide
exactamente a cada una de ellas.
Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24
FORMA DE FACTORIZAR
EJERCICIOS
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Solución
Divisores de 36 Divisores de 24
1 2 3 4 6 12 18 36 1 2 3 4 6 8 12 24
MCD = 12
 MCD (36, 24) = 12
MCM.- De dos o más expresiones
Algebraicas es otra expresión
algebraica entera de menor
coeficiente numérico y de menor
grado que es divisible exactamente
entre cada una de las expresiones
dada.
Ejemplo
Múltiplos de 5:
5 10 15 20 25 30 60 120
Múltiplos de 6:
6 12 18 24 30 60 120
 MCM (5, 6) = 30
1. Si dos o más expresiones son
primos entre sí, es MCD es la
unidad y su MCM el producto de
ellas.
2. Dada dos expresiones algebraicas
A y B, su M.C.D. por su M.C.M. es
igual al producto de A por B.
3.
M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B
Para determinar el M.C.D. ó M.C.M.
de dos o más expresiones
algebraicas se aplican las
siguientes reglas:
1. Se descomponen en sus
factores primos cada una de las
expresiones dadas.
2. El M.C.D está determinado por
el producto de los factores
comunes con sus menores
exponentes.
3. El M.C.M. está determinado por
el producto de los factores
comunes y no comunes con sus
mayores exponentes.
Ejemplo: Hallar el M.C.D. y M.C.M.
para las siguientes expresiones
algebraicas:
A = (x2
– y2
)2
; B = x4
– y4
; C= (x2
+
y2
)2
Solución
Factorizando cada una de las
expresiones algebraicas
A = (x + y)2
(x – y)2
B = (x2
+ y2
) (x + y) (x – y)
C = (x2
+ y2
)2
M.C.D.= 1
M.C.M = (x2
+ y2
)2
(x + y)2
(x –
y)2
01. Hallar el M.C.D. de los
polinomios
A = x4
– 3x3
– 10 x2
+ 7 x – 1
B = x4
– 8x3
+ 17 x2
– 8x + 1
C = x3
– 6x2
+ 6 x – 1
Rpta. M.C.D. = x2
– 5X + 1
02. Hallar el M.C.M. de:
A = x3
+ 5x2
+ 8 x + 4
B = x3
+ 3x2
– 4
C = x3
+ 6x2
+ 12 x + 8
Rpta. M.C.M. = (x + 2)3
(x + 1) (x –
1)
Las fracciones algebraicas, son todas
aquellas donde por lo menos hay
una letra en el denominador.
Ejemplo: a)
x
1
b)
yx
1

c)
22
yx
yx


Signos de una fracción.- son tres,
el signo del numerador, el signo del
denominador, el signo de la fracción
propiamente dicha. Así tenemos:
PROPIEDADES
M.C.D. y M.C.M. POR
FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS
FRACCIONES ALGEBRAICAS

i)
b
a
b
a
b
a












b
a
b
a
ii)
b








 a
b.
a
b
a
b
a
A . Fracciones propias.- Se llama
así cuando el grado del numerador
es menor que el grado del
denominador (Nº  Dº). Ejemplos:
a)
1xx
2x
3


b)
3xx
2xx
7
2


B. Fracciones impropias.- En
este caso el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
(Nº  Dº). Ejemplos:
a)
1xx
2xx
3
5

 b)
3-x
2x-x2 
C. Fracciones homogéneas.-
Son aquellas fracciones que tienen
iguales denominadores.
Ejemplos:
a)
1x
2
2

;
1x
x
2


;
1x
3x2
2


1. Cuando se trata de una sola
fracción, se factorizan los miembros
de la fracción y se cancelan los
factores comunes.
Ejm: Simplificar
F =
ba
ba 22


 F =
)ba(
)ba)(ba(


 F = a- b
2.
Cuando es una suma o resta de
fracciones; primero se simplifican las
fracciones y luego hallamos el
M.C.M. Se efectúan las operaciones
indicadas y se simplifica la fracción
obtenida.
En multiplicación de fracciones se
factorizan los miembros de las
fracciones y luego se multiplican
entre sí.
Para el caso de división de
fracciones, se invierte la fracción
que actúa como divisor y se procede
como en el caso de la multiplicación.
Ejemplo # 1:
Simplificar la fracción:
2
2x


 2x
2
2x


 2x
Solución:
Observamos que el M.C.M. es (x –
2) con lo cual la expresión quedaría
de la siguiente forma:
E =
4x22x
4x22x


Simplificando:
E =
6x
2x3


Rpta.
01. Si :
c
z
b
y
a
x
 ; calcular
E =
czbyax
zyx
cba
222
222 



 czbyxa
Rpta. E = 0
02.Simplificar:
48)6x)(16x)(2x(
27)5x)(9x)(1x(
E
2
2



Rpta. E =
20x2x
6x2x
2
2


03.Simplificar:
E =
2223
2223
abx)ab2b(x)b2a(x
bax)ab2a(x)ba2(x


CLASES DE FRACCIONES
SIMPLIFICACIÓN DE
FRACCIONES
EJERCICIOS
E =

Rpta. E = bx
ax


04.Si:
a + b + c = 0; calcular:
cba9
cb3a-cba
E
333999 

Rpta. (b2
+ bc + c2
)3
05. Si el numerador y el
denominador de la fracción
reductible:
b1)x(a5x3x
62)x(a2x3x
23
23


Admite un divisor común de la forma:
(x2
+ mx – 6). Indicar su equivalente
irreductible.
Rpta.
2x3
1x3



Las cantidades imaginarias se originan al
extraer raíces indicadas de índice par a
números negativos.
Ejm: 16 ; 4 25 ; 2n N
Son cantidades imaginarias.
Unidad Imaginaria.- Está
representada por la letra i, el cual
matemáticamente nos representa a
1 ; es decir:
i = 1 ; tal que i2
= -1
Nota.- Si queremos efectuar:
E = 3  12 , debemos hacerlo con
bastante cuidado. Es decir::
E = 3  1  12 1
E = 3 i 12 i
E = 36 i2
Como: 36 = 6  i2
= -1, se tendría
 E = - 6 Rpta.
Dado que: i = 1-
i2
= -1
i3
= i2
. i = - i
i4
= i2
. i2
= 1
i5
= i
i6
= - 1
i7
= - i
i8
= 1
Vemos que las potencies de la unidad
imaginaria, se repiten en período de 4 en
4 y cuyos valores son i ; -1; - i; 1 
Siendo; 4K: múltiplo de cuatro vemos que:
a) i4k
= 1
b) i4k + 1
= i4k
 i = i
c) i4k + 2
= i4k
 i2
= -1
d) i4k + 3
= i4k
 i3
= - i
Regla.- La unidad imaginaria elevado a
un exponente múltiplo de cuatro; su
resultado es igual a la unidad.
Siendo; 4k: múltiplo de cuatro se observa
que:
a) i –4k
= 1
b) i - (4 k – 1)
= i – 4 k
 i = i
c) i - (4 k – 2)
= i – 4 k
 i2
= -1
d) i - (4 k – 3)
= i – 4 k
 i3
= - i
Regla.- Cuando “i” está elevada a una
potencia negativa, si el exponente es múltiplo
de cuatro, el resultado es igual a la unidad.
Es importante recordar lo siguiente:
Desde que: 4k = múltiplo de 4
1. (4k) n
= 4k
2. (4k + 1)n
= 4k + 1 ; (n = par o
impar)
3. (4k + 2)n
= 4k ; (para n  2)
4. (4k + 3)n
= 4k + 1 ; (para n  2)
CANTIDADES IMAGINARIAS
POTENCIAS DE LA UNIDAD
IMAGINARIA
POTENCIAS POSITIVAS DE
LA UNIDAD IMAGINARIA
POTENCIAS NEGATIVAS DE
LA UNIDAD IMAGINARIA
7.3
7.1
7.2
7.4
CANTIDADES IMAGINARIAS
NUMEROS COMPLEJOS

01. Hallar: i 26
Solución:
Recordemos que un número es múltiplo
de cuatro, cuando sus dos últimas
cifras son ceros o forman un múltiplo
de cuatro, es decir:
De donde:
i26
= i24+2
= i2
= -1 (Rpta.)
02. Determinar : i264239
Solución:
Considerando las dos últimas cifra,
vemos que:
i264239
= i 39
= i 36+ 3
= i 3
= - i
03. Calcular: E = i –793
Solución:
Observando solo las dos últimas
cifras:
i-793
= i-93
= i-96 + 3
= i 3
= - i
04. Hallar : E = i-2937722649
Solución:
Considerando solo las dos últimas cifras
E = i-49
=i-52 + 3
= i3
= - i
05. Simplificar
93-72-
49637593
ii
iiii
R



Solución:
Efectuando las potencies indicadas
3
33
i
iiii
E



1
De donde:
0


i-1
ii-i-i
E
06. Hallar el valor simplificado de:
29252321
iE 
Solución:
En este tipo de problemas se
trabaja con las dos primeras
potencias.
2321iE  ; donde:
Impar#23
k421

 1
Con lo cual:
E = 1k4Impar1)k(4 ii  
 E = i Rpta.
07. Calcular : S =
61453898
i
Solución
Trabajando con los dos primeros
exponentes:
3898iE  ; donde:
par#38
k498

 2
De donde:
S = k4Par2)k(4 ii 
 S = 1 Rpta.
08. Determinar el valor de la
sumatoria
S = i2
+ 2i4
+ 3i6
+ 4i8
+ ………….. +
+ (2 n – 1) i 4n – 2
+ 2 n i 4n
Solución:
Se observa que hay “2n” términos,
la cual está señalada por los
coeficientes. Determinando las
potencias de “i”:
S= (-1)+ 2(1)+ 3(-1) + 4(1) + ..... +
+ (2 n – 1)(-1) + (2n) (1)
Agrupando de “2” en “2”, donde cada
grupo vale 1; se tiene:
S = 1 + 1 + 1 ................... + 1
n veces
S = n Rpta.
EJERCICIOS RESUELTOS
00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28
32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92
96.
7.5

01. Calcular el valor de:
219
3
2
i
E 



























Rpta. 1
02. Hallar el valor de:
444555666
777888999
iii
iii
S


 Rpta. i
03. El valor de:
i2
+ 3i4
+ 5i6
+ 7i8
+…. + (2 n – 1) i 2n
es : n Rpta.
04. El valor de:
E = i -6349
+ i -2715
– i-1693
es : Rpta. – i
393-261-522-
-964-217-932
i-i-i-
i-i-i
R 
es : Rpta. 0,5
5,0
27232222 i............iiiR 






es : Rpta. 5
07. Hallar el valor de:
63423126-
iE 
es : Rpta. 1
Los números complejos son expresiones
matemáticas formadas por una parte real
y una parte imaginaria. El complejo se
representa por:
Z = a + b i
Donde i; es la unidad de los números
imaginarios y se tiene que:
Parte real : Re  Z  = a
Parte imaginaria : Im  Z  = b
Esto nos indica que el complejo Z está
formado por “a” unidades reales y “b”
unidades imaginarias.
Con respecto al número complejo.
Z = a + b i
a) Si; a = 0  Z = bi (# imaginario puro)
b) Si; b = 0  Z = a (# real )
c) Si; a = 0  b = 0  Z = 0 (Complejo nulo)
A. Complejos conjugados.- Dos
números complejos son conjugados
cuando tienen igual parte real y en la
parte imaginaria solo se diferencian en
el signo.
Así tenemos; El complejo de:
a) Z1 = 7 – 2 i es: Z2 = 7 + 2 i
b) Z1 = - 5 – 3 i es: Z2 = -5 + 3 i
c) Z1 = 8 – i3 es: Z2 = 8 + 3 i
En general, el complejo de:
Z1 = a + b i es : Z2 = a – b i
a. Complejo Iguales.- Dos números
complejos son iguales, si tienen igual
EJERCICIOS PROPUESTOS
NÚMEROS COMPLEJOS
CLASES DE COMPLEJOS
7.6
7.8
7.7

parte real e igual parte imaginaria. Es
decir:
Z1 = a + b i es igual a Z2 = c + d i
 a = c  b = d
B. Complejos Nulos.- Son aquellos
números complejos que tienen parte
real nula y parte imaginaria nula, es
decir:
Z = a + bi = 0  a = 0  b = 0
C. Complejos opuestos.- Son
aquellos números complejos que se
diferencian solo en los signos, tanto
para la parte real, como para la parte
imaginaria, es decir:
Z1 = a + b i es opuesto a Z2 = c + d i
 a = - c  b = - d
01. Si los complejos:
Z1 = a + 2i y Z2 = (2a – 1) + (3 b + 2) i
Son conjugados. Hallar el valor de
(a2
+ b2
)
Solución
Dado que son complejos conjugados; sus
partes reales son iguales, es decir:
a = 2 a – 1  a = 1
De otro lado, sus partes imaginarias, solo
se diferencian en el signo:
2 = - (3 b + 2)  4 = - 3b
 b =
3
4

reemplazando en :
E = a2
+ b2
 E = (1)2
+ (
3
4
 )2
 E =
9
25
Rpta. D
02. Cuál es el valor de : b c
+ c - b
si
los complejos:
Z1 = ( b – 3) – (c + 2) i
y
Z2 = 6 –( b – 1) i
Son opuestos
Solución:
Como los números complejos son opuestos,
estos se diferencian en el signo, tanto para la
parte real, como para la parte imaginaria, es
decir:
a) b – 3 = - 6  b = -3
b) – (c + 2) = b – 1  - c – 2 = - 3 – 1
c = 2
 bc
+ c – b
= (-3)2
+ (2)3
= 17
bc
+ c – b
= 17 Rpta.
03. Calcular (a + b), si
a – bi = (2 – 3 i)2
Solución
Desarrollando el segundo miembro de la
igualdad por productos notables.
a – b i = 4 – 12 i + 9 i2
dado que: i2
= -1 ; entonces:
a – bi = -5 - 12 i 
12b
5-a


 (a + b) = - 5 + 12 = 7 Rpta.
Forma Geométrica o Cartesiana.- Todo
número complejo de la forma :
Z = a + bi se puede representan en el plano
cartesiano. Debe tenerse en cuenta que:
Z = a + bi 
b(z)Im
a(z)Re


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
7.9
7.10

Esto quiere decir que en el eje de las
abscisas, tenemos: “a” unidades reales y
en el eje de las ordenadas, tenemos “b”
unidades imaginarias.
En efecto; la gráfica de:
Z = a + bi ; es:
Coana
Afijo de un complejo.- Es un punto del
plano complejo, el cual está determinado
por un par ordenado (a, b)
a = Re (z) : nos representa la parte real
b = Im (z) : nos representa la parte
imaginaria
Ejemplos:
# Complejo Afijo del # complejo
Z1 = 3 + 5 i (3; 5)
Z2 = -2 – 2 i (-2; -2)
Z3 = - 6 + 8 i (-6; 8)
Z4 = 7 - 2 i (7; - 2 )
Forma Polar.- Este sistema determina el
afijo de un número complejo mediante dos
coordenadas polares, una de las
coordenadas es el radio vector “r” que es la
distancia del afijo (r, ) al polo y la otra
coordenada es el argumento “”, llamado
también ángulo polar, que está determinado
por el eje polar y el radio vector, como
muestra la gráfica adjunta.
Haciendo coincidir el polo del eje polar con el
origen de coordenadas, obtenemos la gráfica
del complejo.
Z = a + bi (En la forma cartesiana)
Z = r (En la forma polar)
Para hacer las transformaciones entre
coordenadas, consideramos:
I.- Transformación de la forma cartesiana a la
forma polar.
Dato : Z = a + b i
Incog: Z = r  = r (cos  + i sen )
En el plano Gaussiano por Pitágoras:
Y en el R OAB, observamos que:
r2
= a2
+ b2
 r = 22
ba 
r = z es el módulo del # complejo
asimismo:
Tg  =
a
b
  = arc tg
a
b
; -180º   180º
 : es el argumento del # complejo.
II. Transformación de la forma polar a la
forma cartesiana
Dato : Z = r  = r cos  + i sen 
Incog: Z = a + b i
Radio vector
(r, ) afijo
polo r
Eje polar
RELACIÓN ENTRE LAS
COORDENADAS CARTESIANAS Y
LAS COORDENADAS POLARES

x (Re)
1 a0
b
i
a (a, b) afijo del
complejo
y (Im)
COORDENADAS CARTESIANAS
o

COORDENADAS POLARES
B
Y (Im)
b
r

b
0 a A
X (Re)
PLANO GAUSSIANO
7.11

Con referencia al plano Gaussiano
“a” es la proyección de “r” sobre el eje de las
abscisas:
a = r cos 
“b” es la proyección de “r” sobre el eje de las
ordenadas
b = r sen 
Ejemplo # 1: Representar el complejo
Z = -1 + i en la forma polar
Solución:
Representando z = -1 + i en el plano
complejo:
Vemos que:
r = 2(1)(-1) 22 
 = 180º -  ; donde tg  =
1
1
= 1
 = 45º
 = 180º - 45º = 135º
Con lo cual :
z =- 1 + i = 2 135º Rpta.
Ejemplo. # 2. Represente el número
complejo
Z =
2
1
i-
2
3
 en la forma polar.
Solución:
Graficando Z =
2
1
i-
2
3
 en el plano
complejo, con la finalidad de ubicar la
posición del argumento.
Vemos que:
r = 1
2
1-
2
3-
2














 2
Asimismo:
 = 270º -  ; donde  = arctg
2/1
2/3
 = 60º
 = 270º - 60º = 210º
 z = 1
2
1
i- 
2
3
210º Rpta.
Ejemplo # 3. Exprese en la forma cartesiana
el número complejo
Z = 2 120º
Solución:
Z = r  = r cos  + i r sen 
Se tendría:
Z = 2 cos 120º + i 2 sen 120º
Reduciendo al primer cuadrante
Z = - 2 cos 60º + i 2 sen 60º
Z = -2 





2
1
+ i 2 







2
3
Z = -1 + i 3
 z = 2 120º = - 1 + i 3 Rpta.
A) Representar en la forma polar los
siguientes números complejos:
a) z =
2
1
- i
2
3
Rpta: z = 1 300º
b) z = 1 – i Rpta: z = 2 - 45º
c) z = -1 + i 3 Rpta: z = 2 120º
d) z = -5 3 - i 5 Rpta: z = 10 210º
e) z = 3 2 - i 3 2 Rpta: z = 6 315º
y (Im)
EJERCICI
OS
 
1
X (Re)
-1
(-1,1)
y (Im)
x (Re)
2
1

2
3
o


7.12

B) Representar en la forma cartesiana
los siguientes números complejos:
a) z = 10 –60º Rpta. z = 5 – i 5 3
b) z = 6 -135º Rpta. z = -3 2 - i 3 2
c) z = 2 120º Rpta. z = -1 + i 3
d) z= 50 315º Rpta. z = -25 2 -i 25 2
e) z =12 -120º Rpta. z = -6 – i 6 3
El número complejo z = a + bi se puede
representar en las siguientes formas:
1. Forma Cartesiana
Z = a + b i
2. Forma trigonométrica
Z = r cos  + i r sen 
3. Forma polar
Z = r  = r (cos  + i sen )
4. Forma exponencial
Z = r e i 
= r (cos  + i sen  )
5. Forma sintética
Z = r Cis () = r (cos  + i sen  )
Considerar que para todas las formas:
r= Zba 22
 :módulo del complejo
 = arc tg
a
b
: Argumento del complejo.
-180º    180º
1. SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar o
restar complejos, se suman o restan las
partes reales y las partes imaginarias
entre sí. En efecto:
Si; Z1 = a + b i y Z2 = c + d i
Entonces:
a) Z1 + Z2 = a + bi + c + d i
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d) i
b) Z1 - Z2 = a + b i – ( c + d i )
Z1 - Z2 = (a – c) + ( b – d ) i
2. MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.
a) En la forma cartesiana se procede
como si fuera el producto de dos
binomios; es decir:
Si; Z1 = a + bi y Z2 = c + d i
 Z1 Z2 = (a + b i ) (c + d i )
Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc) i
b) En la forma polar; primero se hace
la transformación de la forma cartesiana
a polar; es decir, dados:
i) Z1 = a + b i = r1 1 , donde
r1 = ba 22   1 = arc tg
a
b
ii) Z2 = c + d i = r2 2 , donde
r2 = c 22 d  2 = arc tg
c
d
vemos que :
Z1 Z2 = (r1 1 ) (r2 2 ) = r1 r2 1+ 2
Observaciones:
1. El módulo del producto es igual al
producto de los módulos de los
factores:
2. El argumento del producto es igual a
la suma de los argumentos de los
factores.
3. DIVISIÓN DE COMPLEJOS.-
a) En la forma cartesiana; para dividir
dos complejos, se multiplica y
divide por la conjugada del divisor.
Es decir:
Dados; Z1 = a + bi y Z2 = c + d i
Se tiene:
22
dc 
















iad)-(bcbd)(ac
di-c
id-c
idc
iba
Z
Z
2
1
OTRAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN
DE UN NÚMERO COMPLETO
OPERACIONES CON NÚMEROS
COMPLEJOS
7.14
7.13

En una división de complejos, se debe tener
en cuenta lo siguiente:
i) Z =
idc
iba


; es un número real, si:
d
b
c
a

ii) Z =
idc
iba


; es imaginario puro, si:
c
b
d
a

b) En la forma polar.- Primero se hace
la transformación de cartesiano a
polar; es decir:
Z1 = a + b i = r1 1
Z2 = c + d i = r2 2
Entonces:
21
2
1
22
11
2
1 -
r
r
r
r
z
z 



OBSERVACIONES
1. El modulo del cociente, es igual al
cociente de los módulos del dividendo y
divisor.
2. El argumento del cociente, es igual a la
diferencia del argumento del dividendo
y divisor.
4. POTENCIACIÓN DE UN COMPLEJO.-
Para el caso de la potencia de un
complejo se puede utilizar el binomio
de Newton o la fórmula de DE MOIVRE,
la cual veremos a continuación:
Dado; z = a + b i ; al transformar a
polar se obtiene:
z = r 
Donde r = z = 22
ba  “Módulo”
 = arc tg
a
b
; -180º    180º (arg.)
z
n
= ( r  ) n
= r n
n 
z
n
= r n
[ cos n  + i sen n  ]
OBSERVACIONES
1. El módulo de la potencia es igual al
módulo de la base a la potencia deseada.
2. El argumento de la potencia es igual al
argumento de la base por el exponente
de la potencia.
5. RADICACIÓN DE UN COMPLEJO.-
Para extraer la raíz de un complejo se
utiliza la fórmula de DE MOIVRE.
Dado : Z = a + bi = r , se tiene para
la raíz n-ésima
/nrrz  nnn 
cuya expresión genérica es:
zn = rn











 





  k360º
Seni
k360º
Cos
nn

donde: k = 0, 1, 2, 3 .........., ( n – 1)
Tener en cuenta:
1 = Cos 0º + i sen 0
i = Cos 90º + i sen 90º
-1 = Cos 180º + i sen 180º
- i = Cos 270º + i sen 270º
-1 1
0 360º180º
i
- i270º
90º

Resolver: x3
: 1
Solución
Como; 1 = Cos 0º + i Sen , entonces
X = 13 = ( Cos 0º + i Sen 0º ) 1/3
Por De Moivre; se tiene:
X = 13 =
Cos
k360º0º
seni
k360º0º





 





 
33
Donde : k = 0, 1, 2
Para k = 0
X1 = Cos 0º + i sen 0º  x1 = 1
Para k = 1  x2 = cos 120º + i sen 120º
X2 = - cos 60º + i sen 60º
X2 =
2
3
i
2
1
Para k = 2  x3= cos 240º + i sen 240º
X3= - cos 60º + i sen 60º
X3 =
2
3
i-
2
1

1. Una de las raíces complejas de la raíz
cúbica de la unidad es el cuadrado de la
otra.
2. La suma de las tres raíces cúbicas de la
unidad es igual a cero
3. El producto de las raíces compleja de la
raíz cúbica de la unidad es igual a 1
En conclusión:
w
w
1
1
2
3
RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD PROPIEDADES DE LA RAÍCES CÚBICAS
DE LA UNIDAD
Prop. a) 1 + w + w2
= 0
b) w . w2
= w3
= 1
c) w 3k
= 1
7.15

Igualdad.- Es la relación que nos indica
que dos expresiones tienen el mismo
valor en un cierto orden de ideas.
Ejm.: Si A y B tienen el mismo valor,
entonces decimos que:
A: Primer miembro
A = B donde: de la igualdad
B: Segundo Miembro
de la igualdad
CLASES DE IGUALDADES
A.- Igualdad Absoluta:
Formalmente son identidades que se
verifican para cualquier valor numérico
de sus letras, en la cual están definidos.
Ejemplo:
a) (x + 2)3
= x3
+ 6x2
+ 12 x + 8
b) (x + a) (x – a) = x2
– a2
c) (x + y)2
+ (x – y)2
= 2 (x2
+ y2
)
B.- Igualdad relativa o ecuación
Se llaman también igualdades
condicionales y se verifican para
algunos valores de sus variables.
Ejemplos:
a) 3x– 2 = x+2; se verifica para x = 2
b) x3
–6x2
+ 11 x – 6 = 0; se verifica para:
x = 1  x = 2  x = 3
c) x2
– 1 = 0; se verifica para x = 1
d) x4
- 16 = 0; se verifica para x = -2
e) x5
+ 1 = 0; se verifica para x = -1
f) x7
+ x6
–2 = 0; se verifica para x = 1
g) 3x2x  = 5; se verifica para
x = 6.
Existen varias formas de clasificar a una
ecuación:
A) Atendiendo al grado.- Las
ecuaciones pueden ser, de primer
grado, de segundo grado, de tercer
grado, etc. Ejemplos:
a) 5 x + 3 = 0 ................... (1º)
b) 3x2
– 11 x- 5 = 0 ........... (2º)
c) 9x3
– x – 2 = 0 ………………. (3º)
B) Por el número de incógnitas, las
ecuaciones pueden ser, de una
incógnita, de dos incógnitas, de tres
incógnitas, etc. Ejemplos:
a) De una incógnita:
5x4
– x2
+ 3 = 0
b) De dos incógnitas
3x – 5 y = - 2 ............. (1)
4x – 3 y = 7 ............. (2)
C) Atendiendo a sus coeficientes,
las ecuaciones pueden ser
numéricas o literales. Ejemplos:
a) Numérica: 2x2
– 6x – 7 = 0
b) Literal : ax4
– bx3
+ c = 0
D) Atendiendo a su solución, las
ecuaciones pueden ser compatibles
o incompatibles
a) Ecuaciones compatibles, son
aquellas que admiten soluciones
y a su vez pueden ser:
a.1) Compatibles determinadas.-
Estas ecuaciones presentan un
número finito de soluciones.
DEFINICIONES BÁSICAS
CLASIFICACIÓN DE LAS
ECUACIONES
8.1
8.2
TEORIA DE ECUACIONES

a.2) Compatibles Indeterminadas
Estas ecuaciones admiten infinitas
soluciones.
b) Incompatibles o absurdas.
Llamadas también incosistentes, se
caracterizan por que no tienen
solución.
E) Atendiendo a su estructura
algebraica, las ecuaciones pueden
ser:
a) Ecuaciones polinomiales
2x4
– x3
+ 3x2
– x – 3 = 0
b) Ecuaciones fraccionarias
0
3x
5
-
1-x
2x
42


c) Ecuaciones irracionales
03-x21-x3

d) Ecuaciones trascendentes
i) 2x-3
+ 2 x – 4
= 12
ii) Log x
(x - 2) – 5 x + 3 = 0
ECUACIONES EQUIVALENTES.-
Son todas aquellas ecuaciones que
presentan las mismas soluciones.
Ejemplo:
La ecuación: 5x – 3 = 2 x + 6
Es equivalente a:
La ecuación: x + 2 = 5
Ya que la solución común es:
X = 3
ECUACIONES PARCIALMENTE
EQUIVALENTES
Son aquellas ecuaciones que por lo
menos presentan una solución común.
Ejemplo:
La ecuación : x2
– 5x + 6 = 0
Es parcialmente equivalente con la
ecuación 02x  ; ya que se verifica para
x = 2 .
I. Si a los dos miembros de una ecuación,
se suma o resta una misma expresión
entera, o en forma particular un número,
la ecuación resultante es equivalente a la
ecuación propuesta. Es decir:
Si: A = B  A  m = B  m
II. Si a los dos miembros de una ecuación
se multiplica o divide por una expresión
algebraica independiente de cualquier
variable (diferente de cero y/o diferente
de infinito) Se obtiene una nueva
ecuación equivalente a la ecuación
propuesta. Es decir:
Si : A = B 
m
B
m
A
m.Bm.A


m  0  m  
III. Si a los dos miembros de una
ecuación se potencian o se extraen
radicales de un mismo grado, la ecuación
resultante es parcialmente equivalente a
la ecuación propuesta.
Dada la ecuación P(x) = 0, la solución de
la ecuación es el valor que toma la
incógnita, de forma que al remplazar este
valor en la ecuación, esta se transforma
en una igualdad numérica verdadera.
Ejemplo: La ecuación:
2x2
– 5x = 7 x – 10
es verdadera para x = 5, ya que:
2 (5)2
– 5 (5) = 7 (5) – 10
 x = 5 es solución de la ecuación.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
EN TRANSFORMACIÓN DE
ECUACIONES
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
8.4
8.5

i1
El conjunto solución (C.S.) de una
ecuación es el conjunto que está
formado por la reunión de todas las
soluciones.
Ejemplo # 1.- Las soluciones de la
ecuación:
(x – 3) (x + 4) (x – 1) = 0, son:
x = 3; x = - 4 ; x = 1
Por consiguiente el conjunto solución es
C.S. =  - 4, 1, 3
Ejemplo # 2.- El conjunto solución de la
ecuación : (x – 2)3
(x + 1)2
= 0
es: C.S. =  2, -1,, el cual se obtiene
cuando cada factor se iguala a cero. No
olvidar que la ecuación propuesta tiene
por raíces: 2, 2, 2, -1, -1.
Observación :
A. B = 0  A = 0  B = 0
Es aquella ecuación cuya forma canónica
o general adopta la forma:
P(x) = a0 xn
+ a1 xn - 1
+ a2 x n-2
....
… + a n-1 x + a n = 0
Esta ecuación es de grado “n” si y solo
si: ao  0 de otro lado ao, a1, a2 ....., an
son coeficientes de la ecuación de grado
“n”.
Raíz de un Polinomio P(x).- Es el
valor que al ser reemplazado en P(x),
este toma el valor cero.
Ejemplo:
Dado el polinomio: P(x)= x3
+ 1 una de
sus raíces es x = -1
Ya que : P (-1) = (-1)3
+1 = 0
TEOREMA DEL FACTOR.- Si un
polinomio P(x) se anula para x = a,
entonces (x – a) es un factor de P(x) y
por consiguiente “a” es una raíz de dicho
polinomio.
Dicho de otra forma:
Dado P(x) = 0, tal que P(a) = 0 entonces
(x – a) es un factor de P(x).
Se cumple que P (x)  (x –a) Q (x)
1. Cuántas raíces tienen las siguientes
ecuaciones:
a) P (x) = x5
– x + 2 = 0
Rpta. 5 raíces.
b) P(x) = (x + 3) (x – 2) (x – 4) + x6
Rpta. 6 raíces
c) P(x) = (x – 4)3
(x + 6)2
(x – 7)3
+ 1 = 0
Rpta. 8 raíces
2. Hallar el conjunto solución en las
siguientes ecuaciones:
a) P(x) = (x-3) (x + 2) (x – 3) (x + 2) = 0
Rpta. C.S. =  -2, 3 
b) P(x) = (x + 1)3
(x – 2)2
(x + 6)3
= 0
Rpta. C.S. =  -1: 2; -6 
c) P(x) = (x +1) (x + 2) (x + 3)… (x + n)
Rpta. C.S. =  -1; -2; -3; ...... ; -n 
3. Determinar las raíces de las
siguientes ecuaciones: P(x) = 0
a) P (x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x – 5)
Rpta. x1 = 1; x2 = -2; x3 = 3; x4 =5
b) P (x) = (x – 1)3
(x + 6)2
(x – 3)
Rpta. x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1; x4 =-6
x5 = -6; x6 = 3
c) P (x)= x3
– 1
Rpta. x1 = 1; x2 =-
2
i31
x3 =
2
i31
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
La ecuación polinomial.
P(x) = ao xn
+ a1 x n-1
+ …. + an-1 x+ an =
0
Con coeficiente ao  0, y grado n  1 con
cualquier tipo de coeficientes numéricos
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA
ECUACIÓN
ECUACIÓN POLINOMIAL CON
UNA INCÓGNITA
Observación: Toda ecuación
polinomial de grado “n” tiene “n”
raíces
8.6
8.7
8.8

tiene por lo menos una raíz ya sea real o
compleja.
Ejemplo # 1.- La ecuación: P(x)= 0
P(x) = x4
– 1; tiene una raíz igual a:
i = 1 , ya que:
P(i) = i4
– 1 = 1 – 1 = 0
Ejemplo # 2.- La ecuación: P(x)=0
P(x) = x2
– 2; tiene una raíz igual a : -
2 , ya que :
P (- 2 ) = (- 2 )2
- 2 = 2 – 2 = 0
Dada la ecuación polinomial de grado
“n” y coeficiente principal diferente de
cero (ao  0)
aoxn
+ a1 xn- 1
+ a2 xn –2
+ ... + an
= 0
que también puede ser representada
por:
ao [xn
+
0
1
a
a
xn – 1
+
0
2
a
a
xn – 2
+ ..+
0
n
a
a
]= 0
cuyas raíces son x1, x2, x3 ………,xn
el cual nos representa la ecuación
ao (x – x1) (x – x2) (x – x3) .... (x – xn) = 0
cuyo desarrollo en productos notables
es:
ao [xn
– (x1 + x2 + x3 + …. xn) x n – 1
+
+ (x1 x2 + x1 x3 + …… xn – 1 xn) x n – 2
-
- (x1 x2 x3 + x1 x2 x4+ …… xn – 2 x n – 1
xn) x n – 3
+ ...... + (-1)n
(x1 x2 x3
+ …… xn ) ] = 0
Al identificar los coeficientes, vemos las
relaciones correspondientes entre
coeficientes y raíces, así tenemos:
A1.- Suma de raíces
x1 + x2 + x3 + …. + xn = -
oa
a1
A2.- Suma de los productos de las
raíces tomadas de dos en dos o suma
de productos binarios.
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 +….+xn-1 xn = +
oa
a2
A3.- Suma de los productos de las
raíces tomadas de tres en tres o suma
de productos ternarios.
x1 x2 x3+ x1 x2 x4 +….+xn-1 xn = -
o
3
a
a
Así sucesivamente:
An.- Producto de todas las raíces.
x1 x2 x3 …... xn-1 xn = (-1)n
o
n
a
a
Ejercicio #1.- Dada la ecuación
5 x4
– 3 x3 + 2 x – 3 = 0
Hallar la suma de sus raíces y su producto
correspondiente.
Solución:
Teniendo en cuenta que la suma de
las raíces de una ecuación de grado
“n” es igual al coeficiente de xn-1
entre
el coeficiente de xn
, con signo
cambiado; se tendría:
Coef. de x4
= 5
5x4
– 3x3
+ 2x – 3 = 0
Coef. de x3
= -3
suma de raíces:
x1 + x2 + x3 + x4 =
5
3
5
3



De otro lado el producto de todas las
raíces de una ecuación de grado “n”
es igual a su término independiente
dividido entre el coeficiente de xn
y
multiplicado por (-1)n
. Es decir
para:
RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
COEFICIENTES DE UNA
ECUACIÓN POLINOMIAL
(TEOREMA DE CARDANO VIETA)
8.9
8.10

Coef. de x4
= 5
5x4
– 3x3
+ 2x – 3 = 0
Termino
Indepediente. = -3
De donde:
Producto de raíces:
x1 . x2 . x3 . x4 = (-1)4
(-
5
3
) = -
5
3
Ejercicio # 2.- Resolver:
x3
– x2
– x – 2 = 0
Sabiendo que dos de sus raíces
suman menos uno.
Solución:
Sean las raíces: x1, x2, x3
Por condición: x1 + x2 = -1 ..... (1)
Del Teorema de Cardano – Vieta
x1 + x2 + x3 = -
1
1
= 1 ....... (2)
Reemplazando (1) en (2):
-1 + x3 = 1  x3 = 2
Siendo x3 = 2, una de las raíces de
la ecuación, esta contiene al factor
(x – 2), obteniéndose el otro factor,
por la regla de Ruffini:
1 – 1 – 1 - 2
2 2 + 2
1 + 1 1 0
De donde, tendríamos:
(x –2) (x2
+ x + 1) = 0
Igualando cada factor a cero:
a) x – 2 = 0  x = 2
b) x2
+ x + 1 = 0 
x =
)1(2
)1)(1(411 
x =
2
i31
 Las raíces de la ecuación dada son:
2x;
2
i31-
x;
2
i3-1-
x 321 


1) En las siguientes ecuaciones
determinar la suma de las raíces y el
producto correspondiente.
a) 2x7
+ 3x5
– 5x2
– 7 = 0
Rpta: Suma = 0 ; Producto =
2
7
b) 3x9
- 2x8
+ 7x6
– 5x = 0
Rpta: Suma =
3
2
; Producto = 0
c) 4x8
- 5x3
– 2x = 0
Rpta: Suma = 0 ; Producto = 0
d) 7x6
- 2x5
+ 5x4
– 3x3
- 6x2
– 8x + 3 = 0
Rpta: Suma =
7
2
; Producto =
7
3

2) Resolver: 2x3
- x2
- 7x - 3 = 0,
sabiendo que dos de sus raíces suman
la unidad.
Rpta:
2
131
1

x ;
2
131
2

x ;
2
1
3 x
3) Resolver: 36x3
– 12x2
– 5x + 1 = 0,
sabiendo que una de las raíces es
igual a la suma de las otras dos:
Rpta:
6
1
1 x ;
2
1
2 x ;
3
1
3 x
4) Resolver: x4
– 12x – 5 = 0, sabiendo
que admiten dos raíces que suman 2.
Rpta: 211 x ; 212 x ; ix 213 
ix 214 
Con respecto a las ecuaciones de
grado superior a 2; se efectúa en
forma general:
x – 2 = 0
X = 2
RESOLUCION DE ECUACIONES DE
GRADO SUPERIOR
8.11
8.12

(a) Factorizando la ecuación
propuesta e igualando a cero cada
factor.
(b) Por artificios, damos forma de
ecuaciones conocidas, por
ejemplo las cuadráticas y otras
que se estudiaran.
Debe tenerse en cuenta los siguientes
principios: P(x)=0
1. Toda ecuación polinomial de grado
“n”, tiene “n” raíces.
2. En toda ecuación con coeficientes
racionales, las raíces complejas se
presentan por pares conjugados.
3. En toda ecuación con coeficientes
racionales, las raíces irracionales, se
presentan por pares conjugados.
Ejemplo # 1.- Una raíz de la
ecuación. P(x) = 0, donde:
P(x) = x4
– 7x3
+ 14x²-2x-12
Es : 1- 3 , hallar las otras raíces
Solución:
Dado que : x1 = 1- 3 , otra de sus
raíces será la conjugada :
x2 = 1 + 3 ; del teorema del factor.
P(x) = [x-(1- 3 )][x-(1+ 3 )]Q(x)
P(x) = [(x-1)²-( 3 )²] Q(x)
P(x) = (x²-2x-2) Q(x)
Por división : Q(x) = x² -5x + 6
ó : Q(x) = (x-2) (x-3)
Con lo cual:
P(x) = (x²-2x-2) (x-2)(x-3)=0
Se divide las raíces por:
x1 =1- 3 ; x2 = 1+ 3 ; x3=2;x4=3
Plantean una ecuación es la traducción de
un problema del lenguaje materno al
lenguaje matemático.
Problema 1.- ¿Qué día y hora del mes
de abril se verifica que la fracción
transcurrida del mes es igual a la fracción
transcurrida del año? (El año es bisiesto).
Solución:
Debe entenderse que:
Días Transcurridas
1. Fracción del Mes :--------------------------
De Abril 30 días
Días transcurridas
2. Fracción del año: ---------------------------
366 días
Analizando:
i. Para el mes de Abril
Supongamos que hace transcurrido
“x” días, entonces su fracción será:
30
x
ii. Para el año bisiesto (366 días). Se
observa que han transcurrido.
E + F + M + X = 91 + x
31 días 29 días 31 días días
Con lo cual su fracción será :
366
91 x
Dado que las fracciones son iguales,
se cumple:
díasx
xx
8
65
366
91
30



ó: x = 8
8
1
días
como el día tiene 24 horas  x= 8
días y 3 horas. Han transcurrido 8
días, más 3 horas.
El día pedido será el 9 de
Abril a las 3 a.m. Rpta.
PLANTEO DE ECUACIONES8.13

Problema 2.- Un padre tiene 32 años y
su hijo 5 ¿Al cabo de cuántos años, la
edad del padre será diez veces mayor
que la de su hijo?
Solución:
Sea “x” la cantidad de años que se
necesitan para que se cumpla la
condición:
Luego el padre tendrá : 32 +x
y el hijo: 5 + x
 Se cumple :
32 + x = 10 (5+x)
Resolviendo :
32 + x = 50+10x
-18 = 9x  x =-2
El signo menos indica que la condición se
cumplió:
Hace dos años : Rpta.
Problema 3.- Dispongo de 800 soles y
gasto los
5
3
de lo que no gasto ¿Cuánto
no gasto?.
Solución:
De acuerdo al enunciado
No gasto : x
Gasto : 800 – x
De donde la ecuación resultante es:
800 – x =
5
3
x
4000 – 5x = 3x  x = 500
 No gasto 500 soles Rpta.
Problema 4.- ¿Qué día del año marcará
la hoja de un almanaque creando el
número de horas arrancadas excede en 8
a los
47
4
del número de hojas que
quedan?
Solución:
Sea “x” el número de hojas arrancadas.
Entonces:
(365 – x) es el número de hojas que
faltan por arrancar.
Luego la ecuación resultante es:
x -
47
4
(365 – x) = 8
de donde : x = 36
Como enero tiene 31 días, quiere
decir que se han arrancado 5 hojas
del mes de febrero por consiguiente,
el día del año que marca el
almanaque es el 6 de febrero. Rpta.
01. Determinar “k” en la ecuación de
segundo grado:
(k – 2) x2
– 2k x + 9 = 0
sabiendo que sus raíces son iguales.
Solución
Dado que las raíces son iguales,
el discriminante vale cero, es
decir:
 = 0  b2
– 4 ac = 0
Remplazando:
(-2 k)2
– 4(k – 2) 9 = 0
4 k2
– 4 (9k – 18) = 0
Simplificando:
k2
– 9 k + 18 = 0
Factorizando:
k = 6
(k – 6) (k – 3) = 0  ó
k = 3
02. La suma de tres números pares
consecutivos es 66. Hallar el
menor de los números .
Solución:
De acuerdo a los datos:
El # menor : x
El # del medio : x + 2
El # mayor : x + 4
Por consiguiente la ecuación
resultante es:
x + x + 2 + x + 4 = 66
3 x = 60
x = 20 Rpta.
PROBLEMAS DE REPASO8.14

03. Un padre tiene 30 años y su hijo
3.
Dentro de cuantos años la edad
del padre es el cuádruple de la
de su hijo.
Solución:
Actualmente :
Edad del padre : 30
Edad del hijo : 3
Dentro de “x” años
Edad del padre : 30 + x
Edad del hijo : 3 + x
Ecuación resultante:
30 + x = 4 (3 + x)
Resolviendo:
30 + x = 12 + 4 x
18 = 3 x
de donde:
x = 6 años
 Dentro de 6 años la edad del
padre será el cuádruple de la de su
hijo. Rpta.
1. Un individuo va en un tren que lleva
una velocidad de 30 km/hr. y ve
pasar en 3 segundos otro tren que
marcha en sentido contrario;
sabiendo que el segundo tren tiene
una longitud de 60 mts, su velocidad
es:
a) 35 km/hr b) 38 km/hr
c) 40 km/hr d) 42 km/hr.
e) 44 km/hr
2. La cantidad que debe restarse a los
dos términos de la fracción
b
a
para
que llegue a ser igual a su cuadrado
es:
a)
ab
ab 
b)
ba
ab

c)
ba
ab

d)
ab
ba 
e)
22
22
ba
ba

04. Calcular en que instante del
viernes, la fracción de día
transcurrido es igual a la
fracción transcurrida de la
semana.
a) 2 p.m. b) 3 p.m. c) 4 p.m.
d) 8 p.m. e) 9 p.m.
05. Guillermo tiene hoy cuatro
veces los años que tenía Walter
cuando el tenía 13 años; Walter
tiene hoy 22 años. Hallar la
edad de Guillermo.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
06. Un niño robó flores en un jardín,
y después de andar 80 pasos
empezó a perseguirle el
jardinero. El niño da cuatro
pasos mientras que el jardinero
da tres; pero cinco pasos de
éste equivalen a siete de aquel.
El número de pasos que dio el
jardinero para alcanzar al niño y
el número de estos que dio el
niño mientras duró la
persecución, fueron
respectivamente:
a) 600 y 800 pasos
b) 900 y 1200 pasos
c) 1200 y 1600 pasos
d) 1500 y 2000 pasos
e) 1800 y 2400 pasos
EJERCICIOS8.15

Son aquellas ecuaciones que al hacer un
cambio de variable en su estructuración
algebraica se transforma en una ecuación
de la forma:
ax2
+ b x + c= 0 ; a  0
A continuación mostraremos diversos
ejemplos sobre transformación
de ecuaciones a ecuaciones
cuadráticas.
Ejem. 1: Resolver
43 





2x3
5x2
5x2
2x3
Solución:
Haciendo la transformación:
z
1






23
52
52
23
x
x
z
x
x
donde z  0; la ecuación dada se
transforma en:
Z + 4
3

Z
 z2
– 4z + 3 = 0
Factorizando; (z –3) (z – 1) = 0
Vemos que: z = 3  z = 1
Para: z = 3 
52
23


X
x
= 3
52
23


x
x
= 9
resolviendo:
15
43
x
Para : z = 1 
52
23


x
x
= 1
Resolviendo: x = -3
el conjunto solución es: C.S.






3-;
15
43
Ejem. # 2: Resolver la ecuación:
2x2
+ 4x – 7 10x2x2
 = -5
Solución
Expresando la ecuación en la siguiente
forma:
2(x2
+ 2x + 10 – 10) – 7 10x2x2
 = -5
De otro lado; haciendo : 10x2x2
 = a
tal que (a  0); se tiene:
2 (a2
– 10) – 7 a = -5
2 a2
– 7a - 15 = 0
Factorizando por aspa simple:
2a 3 3 a
a -5 -10 a
- 7 a
a = 5 : Si
(2a + 3) (a – 5) = 0  v
a = -
2
3
: No
volviendo a la variable original:
10x2x2
 = 5  x2
+ 2x – 15 = 0
Factorizando:
x2
+ 2x – 15 = 0
x 5  5 x
x -3  -3 x
2 x
(x +5) (x – 3) = 0  C.S. =  -5, 3 
ECUACIONES REDUCIBLES
A CUADRÁTICAS
SISTEMA DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
INTERPRETACION GRAFICA
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS
ECUACION BICUADRADA

Ejm. # 3.- Resolver
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0
Solución:
Multiplicando los factores “2” a “2” de
forma que la suma de los términos
independientes sean iguales.
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0
obtenemos:
(x2
–5x+ 6) (x2
– 5 x + 4) – 120 = 0
Haciendo la transformación; x2
– 5x = a
se tendría, la ecuación:
(a + 6) (a + 4) – 120 = 0
a2
+ 10 a – 96 = 0
Factorizando:
a = 6
(a + 16) (a – 6) = 0  ó
a = -16
volviendo a la variable original
Para: a = 6
x = 6
x2
– 5 x – 6 = 0  (x –6) (x+1 ) = 0 ó
x = -1
Para : a = -16
x2
– 5 x + 16 = 0  x =
2
64255 
x =
2
i395 
C.S. = -1;6;
2
i39-5
;
2
i395 

Ejm. # 4: Resolver:
8-x5x2x3-x n
2
n
2
2x3x8x5x 22 




= 2
Solución:
Haciendo la transformación:
8-x5x
:a
2x3-x n
2
n
2
2x3x8x5x 22 




=
a
1
la ecuación dada, se transforma en:
a +
a
1
= 2  a2
– 2 a + 1 = 0
(a – 1)2
= 0
 a = 1
volviendo a la variable original:
1
8x5x2


n
2
2x3-x
 x2
– 3x + 2 = x2
+ 5x – 8
- 8 x = -10
 x =
4
5
Rpta.
Determine un valor de “x”, para la
siguientes ecuaciones:
01).
5x2
7x3


+ 7x3
5x2


= 2
Rpta. x = 2
02). (x –3) (x – 4) (x –5) (x –6) –24= 0
Rpta. x = 7
03). 2x2
– 3x – 2 7x3x2 2  = 1
Rpta. x = 3
04).
6
3-x2xx6x-xx n
34
n
34





xxx3x2xx 3434
=2
Rpta: x = 3
05). x (x + 1) (x + 2) ( x + 3) – 120 = 0
Rpta. x = 2
06). 6x2
– 4x – 9 9x2x3 2  = 17
Rpta. x = 4
07). 6
40-24x





3x25x3
3x2
Rpta. x = 1,7
08) ( x +
x
1
- 2) (x +
x
1
+ 2) =
9
64
Rpta. x = 3
PROBLEMAS PROPUESTOS

Es la ecuación polinomial de cuarto
grado que contiene solamente
potencias pares de la incógnita, su
forma canónica o general es:
ax4
+ bx2
+ c = 0 ; ( a  0)
“a” ; “b” y “c” son los coeficientes;
“x” es la incógnita.
La ecuación bicuadrada:
ax4
+ bx2
+ c = 0 ; a  0
presenta cuatro raíces, que se obtienen
haciendo el cambio de variable:
x2
= y  a y2
+ b y + c = 0 ; (a  0)
Las raíces correspondientes a esta última
ecuación están dadas por:
a2
ca4-bb-
y
2


Dado que:
x2
= y  x =  y ; con lo cual:
x = 
a2
ca4-bb 2
en consecuencia, las raíces
correspondientes de la ecuación
bicuadrada son:
a2
ca4-bb-
x
2
1

 = m
a2
ca4-bb-
-x
2
2

 = - m
a2
ca4-b-b-
x
2
3  = n
a2
ca4-b-b-
-x
2
4  = - n
La ecuación bicuadrada:
ax4
+ bx2
+ c = 0; se puede resolver por
factorización (Aspa simple).
Si: b2
- 4 a c; es un cuadrado perfecto.
Ejem. # 1: Resolver
9 x4
– 13 x2
+ 4 = 0
Solución
Dado que: a = 9 ; b = -13 ; c = 4
b2
- 4 a c = (-13)2
– 4(9) (4) = 25 ; es un
cuadrado perfecto, la ecuación es
factorizable; en efecto los factores de:
9 x4
– 13 x2
+ 4 = 0
9 x2
- 4  - 4 x2
x2
- 1  - 9 x2
-13 x2
Son: (9x2
– 4) (x2
– 1) = 0
Asimismo, cada paréntesis se puede
factorizar aplicando diferencia de
cuadrados, es decir:
(3x + 2) (3x – 2) (x + 1) (x – 1) = 0
Igualando cada factor a cero las raíces
correspondientes son:
x1 =
3
2
 ; x2 =
3
2
; x3 = -1 ; x4 = 1
Ejm. # 2: Resolver:
x4
- 15 x2
– 16 = 0
Solución
Como: b2
– 4ac = (-15)2
– 4(1)(-16) = 289
es un cuadrado perfecto, los factores
serían:
(x2
– 16) (x2
+ 1) = 0
igualando cada factor a cero:
x1 = 4
1º) x2
– 16 = 0  x2
= 16 ó
x2 = -4
x3 = i
2º) x2
+ 1 = 0  x2
= -1 ó
x4 = - i
Ejm. # 3 : Resolver:
4224
224
aaxx
axx


=
91
90
ECUACIÓN BICUADRADA
RAÍCES DE LA ECUACIÓN
BICUADRADA
OBSERVACIÓN:

Solución:
De la propiedad de proporciones, se
obtiene:
91x4
+ 91x2
a2
= 90x4
+ 90 x2
a2
+ 90
a4
x4
+ a2
x2
– 90 a4
= 0
Factorizando; se tendría:
(x2
+ 10 a2
) (x2
– 9 a2
) = 0
Igualando cada factor a cero; las raíces de
la ecuación son:
x1 = 10 a i
i) x2
= -10 a2
v
x2 = - 10 a i
x3 = 3 a
ii) x2
= 9 a2
v
x4 = -3 a
Resolver:
01) x4
+ 5 x2
+ 6 = 0
x1 = 2 i; x2 = - 2 i;
x3 = 3 i; x4 = - 3 i
02) x4
– 68 x2
+ 256 = 0
x1 = 2; x2 = -2 ; x3 = 8 : x4 = -8
03) x4
– 50 x2
+ 49 = 0
x1 = 7; x2 = -7 ; x3 = 1 ; x4 = -1
04) x2
(x2
+ 32) = 144
x1 = 6 i; x2 = -6 i ; x3 = 2 ; x4 = -2
05) (1 + x)4
+ (1 – x)4
= 34
x1 = 2 ; x2 = - 2 ; x3 = 2 2 i
x4 = -2 2 i.
06)
2x
1

4
22
a
a-x12
x1 =
3
3a
; x2 = -
3
3a
x3 =
2
a
i
x4 = -
2
a
i
07) 4 (a2
– b2
)x2
= (a2
– b2
+ x2
) 2
x1 = 22
b-a ; x2 = - 22
b-a
x3 = 22
b-a ; x4 = - 22
b-a
Respecto a la ecuación:
ax4
+ b x2
+ c = 0 ; (a  0)
de raíces: x1, x2; x3; x4; se cumple:
de acuerdo con el Teorema de Cardano –
Vieta.
I. SUMA DE LAS RAÍCES
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
II. SUMA DEL PRODUCTO DE LAS
RAÍCES TOMADAS DE DOS EN DOS.
x1 . x2 + x3 . x4 =
a
b
III. PRODUCTO DE LAS RAÍCES
x1 . x2 . x3 . x4 =
a
c
Conociendo las 4 raíces de la ecuación
bicuadrada: x1; x2; x3 y x4. La ecuación a
formar adopta la forma:
(x – x1) (x – x2) (x – x3) ( x –x4) = 0
efectuando las operaciones indicadas,
tendríamos:
x4
+ (x1 x2 + x3 x4) x2
+ x1 x2 x3 x4 = 0
01.) Una de las soluciones de una
ecuación bicuadrada es 5.
Reconstruir la ecuación; si:
x1 x2 x3 x4 = 225
Solución:
Si una de las raíces es x1 = 5 ; la otra
raíz es: x2 = -5
Reemplazando en el dato:
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
DE LA ECUACIÓN BICUADRADA
RECONSTRUCCIÓN DE LA
ECUACIÓN BICUADRADA
EJERCICIOS

(5) (-5) x3 x4 = 225  x3 x4 = -9
como x3 = - x4  (-x4) (x4) = - 9
x2
4 = 9
Con lo cual : x4 = 3 y x3 = -3
Reemplazando en la fórmula:
X4
+(x1 x2 + x3 x4) x2
+ x1 x2 x3 x4 = 0
Obtenemos:
X4
+ (-25 – 9) x2
+ (5) (-5) (-3) (3) = 0
 la ecuación será:
x4
- 34 x2
+ 225 = 0 Rpta.
02.) Calcular “m” para que las cuatro
raíces de la ecuación bicuadrada:
X4
– (3m + 10) x2
+ (m + 2)2
= 0,
formen una progresión aritmética.
Solución:
Sean las raíces de la ecuación
bicuadrada en progresión aritmética.
 x1 . x2 . x3 . x4
ó también:
 (a – 3 r) . (a – r) . (a + r) . (a + 3r)
de razón “ 2 r”
de las propiedades de las raíces se tiene:
1º.- x1 + x2 + x3 + x4 = 0
a – 3 r + a – r + a + r + a + 3r = 0
vemos que: a = 0, con lo cual
x1 = - 3 r ; x2 = - r ; x3 = r ; x4 = 3r
2º.- x1 . x4 + x2 . x3 =
a
b
(- 3 r) (3 r) + (-r) ( r )= -
1
)10m3( 
10r2
= 3 m + 10 ..………… ()
3.º.- x1 . x2 . x3 . x4 =
a
c
(-3 r) (- r) ( r) (3 r) =
1
)2m( 2

9 r4
= (m + 2)2
 3r2
= m + 2 ….… (ß)
Dividendo ()  (ß), obtenemos:
2
2
r3
r10
=
2m
10m3


 10 m + 20 = 9 m + 30
 m = 10 Rpta.
1. Calcular “m” para que las raíces de
las ecuaciones bicuadradas estén en
P.A.
a) x4
– (4 m + 10) x2
+ (m + 7)2
= 0
Rpta. m = 20
b) x4
– (4 m + 2) x2
+ (2 m - 5)2
= 0
Rpta. m = 7
c) x4
– 2 (m + 7) x2
+ (2m – 21)2
= 0
Rpta. m = 18
2. Formar las ecuaciones bicuadradas,
conociendo sus raíces:
a) x1 = - 3 ; x3 = 6
Rpta. x4
– 9x2
+ 18 = 0
b) x1 = 2 3 ; x3 = - 3 3
Rpta. x4
+ 39x2
+ 324 =
0
3. Una de las raíces de una ecuación
bicuadrada es 7. Reconstruir la
ecuación; si:
x1 x2 x3 x4 = -441
Rpta. x4
– 58 x2
–441 =
0
Es un conjunto de ecuaciones que se
verifican para los mismos valores de sus
incógnitas. Se presentan diversos casos:
EJERCICIOS
SISTEMA DE ECUACIONES DE
ORDEN SUPERIOR

01.- Calcular “x” en el sistema:
x + y = 2 .................... ()
x y = -1 ................... ()
Solución:
De () : y = 2 – x
Reemplazando en ():
X (2 - x) = - 1  x2
– 2x – 1 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática
x = 1 + 2 ó x = 1 - 2
02.- .- Resolver
x + y = 1 .................... (1)
x2
+ y2
= 25 ................. (2)
Solución:
De (1) : y = 1 – x; remplazando en (2):
x2
+ (1 – x )2
= 25
x2
+ 1 + x2
– 2x = 25
Simplificando, obtenemos:
x2
– x - 12 = 0
Factorizando (x – 4) (x + 3) = 0
Igualando cada factor a cero:
Para: x = 4  y = - 3
Para: x = -3  y = 4
03.- Resolver:
x2
– 2 x y + 3 y2
= 19 ...... (1)
2x2
– xy + 4 y2
= 38 ...... (2)
Solución:
Haciendo la transformación: y = k x en
(1) y (2); se tendría:
x2
– 2 x . kx+ 3 k2
x2
= 19 ....... ()
2x2
– x . kx + 4 k2
x2
= 38 ....... ()
Dividiendo ()  ()
38
19



)k4k-(2x
)k3k2-(1x
22
22
Por proporciones:
38 – 76 k + 114 k2
= 38 – 19 k + 76 k2
k = 0 (No)
38 k2
– 57 k = 0 ó
k =
2
3
(Si)
Dado que : y =
2
3
x ; en ............. ()
x2
– 2x .
2
3
x + 3 .
4
9
x2
= 19
x2
– 3x2
+
4
x27 2
= 19  x2
= 4
x =  2
De donde:
Para: x = 2  y = 3
Para: x = -2  y = -3
4. Resolver:
2
3-yx
3
6-yx2
1




............
()
1
3-yx
5
-
6-yx2
7


............
(ß)
Solución:
Aplicando determinantes, tendríamos:
a)
6yx2
1

=
5-
3
7
1
5-
3
1
2
=
26
13


=
2
1
De donde: 2 x + y = 8 ......... (1)
b)
3yx
1

=
5-
3
7
1
1
2
7
1
=
26
13


=
2
1
De donde: x + y = 5 ......... (2)
Resolviendo (1) y (2):
2 x + y = 8 ................... (1)
x + y = 5 .................. (2)
por determinantes.
3
1-2
5-8
1
1
1
2
1
1
5
8
x 
x = 3
2
1-2
8-10
1
1
1
2
5
8
1
2
y 

y = 2
5. Resolver el sistema:
(x2
– y2
) ( x – y) = 5 ........ (1)
(x2
+ y2
) (x + y) = 65 ..... (2)
Solución
Haciendo ; x = my ; se obtiene:
(m2
– 1) y2
(m – 1) y = 5 ....
()
(m2
+ 1) y2
(m + 1) y = 65 ....
()
Dividiendo ()  ():
1
13
5
65
1)(m1)m(1)(m
1)m(1)(m2



Por proporciones:
m2
+ 1 = 13 m2
– 26 m + 13
simplificando:
6 m2
– 13 m + 6 = 0
Factorizando:
2 m -3  - 9 m
3 m - 2  - 4 m
-13 m
m =
2
3
(2 m – 3) ( 3m – 2) = 0 ó
m =
3
2
Para : m =
2
3
En ... () : 











 1-
2
3
1
4
9
y3
= 5
5 (1) y3
= 5 (8)
y = 2
Como x = my  x =
2
3
(2)
X = 3
Para :
3
2
m   x = 2  y = 3
La Recta.- Su gráfica está dada por la
función lineal cuya regla de
correspondencia es:
L : y = m x + b ; m , b, x  R
x 0 -b/m
y b 0
Al coeficiente “m” se le llama pendiente
de la recta y es tal que: m = tg 
La Parábola.- Su gráfica está dada
por la función cuadrática cuya regla de
correspondencia es:
y = a x2
+ b x + c ; a, b, c, x  R; a 
0
con relación al discriminante
 = b2
–4 ac, tendríamos los siguientes
gráficos de la parábola.
(:) Si, a  0 la parábola es cóncavo
hacia arriba y dependiendo del
discriminante, tendríamos:
a)   0
donde:
V (h, k) = V 




 

a4a2
b
-;
b)  = 0
GRÁFICAS DE INTERÉS
L : y = m+ b
x
y
-
m
b
0

b
y
X
y
c
a  0
X
0
h
c
x2x1
V (h; k)

c)   0
II) Si, a  0, la parábola es cóncavo
hacia abajo y dependiendo del
discriminante tendríamos:
a)   0





 

a4a2
b
-;
b)  = 0
c)   0
La circunferencia.- Su ecuación
general es:
(x – h)2
+ (y – k)2
= r2
Centro ; (h ; k)
Radio : r
Asimismo tenemos:
La Elipse.- La ecuación general es:
1
b
)ky(
a
)hx(
22
2




La Hipérbola.- Su ecuación general
es:
1
b
)ky(
a
)hx(
2
2
2
2




Las ecuaciones de grado superior que
se pueden presentar es:
(I) Recta y Circunferencia
x + y = C1
x2
+ y2
= r2
A los más hay 2 soluciones
reales.
(II) Elipse y Hipérbole
1
b
)ky(
a
)hx(
2
2
2
2




1
n
)ky(
m
)hx(
2
2
2
2




A lo más hay 4 soluciones reales.
Entre otras combinaciones.
0 V (h; o)
X
y
c
0
a  0
y
0 x
y
c
x
c
x1
V (h, k)
k
x2
h0
y
x
c
0
x1 = x2
C(h,k)
r
x
y
0
V (h, k) = V 




 

a4a2
b
-;
2

Son relaciones de comparación entre dos o
más cantidades reales de diferente valor.
Ejemplo; si:
La edad de Juan es: 20 años
La edad de Pedro es :30 años
La edad de Luis es: 50 años
Se tendrá las siguientes relaciones
1º.- La edad de Juan es menor que la
edad de Pedro.
2º.- La edad de Luis, es mayor que la
edad de Pedro.
3º.- La edad de Juan es menor que la
edad de Luis.
Intuitivamente estamos comparando
magnitudes reales de una misma especie.
Las desigualdades solo se verifican en el
campo de los números reales que asociado
a la recta real podemos observar:
Que para cada número real le corresponde
un único punto de la recta real y
recíprocamente para cada punto de la
recta real, le corresponde un único
número real.
La correspondencia bionívoca entre
números reales y puntos de una recta real
nos ayuda a dar una interpretación
geométrica de la relación de orden entre
los números reales. Para la gráfica
adjunta.
La relación a  b (se lee: a menor que b)
significa que al punto A le corresponde el
número real “a” y se encuentra a la
izquierda del punto B al cual le
corresponde el número real “b”.
01: Orden de Tricotomia.-  a, b 
R se cumple una y solo una de
las siguientes posibilidades.
a  b  a = b  b  a
Ejm:
Dado los números reales: -6; 3; -3 y
4; se cumple que:
a) – 6  -3 b) 3  4 c) – 6  4
d) – 3  4
02 : Orden Transitivo.-  a, b, c  R
Si : a  b  b  c  a  c
Ejm: En la recta real:
-12  - 2  - 2  8  -12  8
03 : Orden de la Monotonía.-
 a, b, c  R
i) Ley aditiva
Si : a  b  a + c  b + c
DESIGUALDADES
AXIOMAS DE RELACIÓN
DE ORDEN
RECTA NUMÉRICA REAL
-1 -3 -1 0 1 2 3- + 
2- 2- 
origen unidad
#s (-) : R-
#s (-) : R+
- +a b
A Bo
-
+-12 -2 0 6 8
DESIGUALDADES
INECUACIONES DE 1° y 2° GRADO
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

ii) Ley Multiplicativa
Si : c  R+
 a  b  a c  b c
Si : c  R-
 a  b  b c  a c
1.- “a” es menor que “b” (a  b)
a  b  a – b  0
2.- “a” es mayor que “b” (a  b)
a  b  a – b  0
3.- “a” es mayor o igual que “b” (a 
b)
a  b  a  b  a = b
4.- “a” es menor o igual que “b” (a 
b)
a  b  a  b  a = b
De acuerdo a su estructuración
matemática, estas pueden ser:
A.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.-
Son aquellas que se verifican en el
campo de los números reales y a su vez
pueden ser numéricas o literales.
Ejemplos:
i) Numéricas ii) Literales
a) 7  0 a) x2
 -2
b) 9  2 b) –5  (x – 2)4
c) -
3
2
 0 c) x6
+ y6
 0
B.- DESIGUALDADES RELATIVAS.-
Estas desigualdades se conocen también
con el nombre de inecuaciones y se
caracterizan por que se verifican para un
conjunto de valores denominados
conjunto solución y su representación se
visualiza en la recta real.
Ejemplos:
a) La inecuación: 4 x – 3  5
Se verifica para todo valor de x
mayor que dos (x  2)
Su representación gráfica en la recta
real sería de la siguiente forma:
b) La inecuación: x2
– 25  0 se verifica
para todo x, tal que:
X  -5  x  5
Su representación gráfica en la recta
real, seria de la siguiente forma:
Más adelante analizaremos la solución
explícita de los diferentes tipos de
inecuaciones que se presentan.
El conjunto solución de una inecuación
se expresa mediante intervalos.
INTERVALO.- Es el conjunto de valores
x pertenecientes a la recta real, limitado
en sus extremos por los elementos a y
b, tal que a  b; a y b pueden o no
pertenecer al conjunto de valores x.
Intervalo abierto:
i.  a ; b  =  x/a  x  b ; a  b 
ii. ] a ; b [ =  x/a  x  b ; a  b 
Su representación gráfica es:
el cual expresa: x   a ; b 
Intervalo cerrado:
[ a , b ] =  x / a  x  b ; a  b 
su representación gráfica es:
RELACIONES MATEMÁTICAS QUE
EXPRESAN DESIGUALDADES
CLASES DE DESIGUALDADES
CLASES DE INTERVALO
- +0 2
-5 5 +0-
+0 a b-
+0a b-
a  x  b
x  -5  x  5
a  x  b

con lo cual: x  [ a ; b]
Intervalos Mixtos
a) a ; b ] =  x / a  x  b ; a  b)
Con lo cual : x   a ; b ]
b) [a ; b  =  x / a  x  b ; a  b 
De donde : x  [a ; b 
c) -  ; a ] =  x /-  x  a ; -  a
De donde : x   -  ; a ]
d) [a ;   =  x / a  x   ; a  )
De donde: x  [a ;  
1. Si a los dos miembros de una
desigualdad, se suma o resta
una misma cantidad, el signo de
la desigualdad no se altera.
Si : a  b  a  c  b  c
desigualdad se multiplica o
divide por una cantidad positiva
el signo de la desigualdad no se
altera
Si:
i) a c  b c
a  b  c  0  
ii)
c
a

c
b
desigualdad se multiplica o
divide por una cantidad
negativa, el signo de la
desigualdad se invierte.
Si:
i) a c  b c
a  b  c  0  
ii)
c
a

c
b
4. Dos desigualdades de signo
contrario se pueden restar
miembro a miembro y el signo
de la desigualdad resultante es
el mismo que hace las veces de
minuendo, es decir:
Dado el sistema:
a  b ......................... (  )
c  d ......................... (  )
Se cumple que:
a – c  b – d  c – a  d – b
5. Dos o más desigualdades del
mismo sentido se pueden
multiplicar o dividir miembro a
miembro y el sentido de la
desigualdad no se altera,
siempre y cuando los miembros
de las desigualdades sean
cantidades positivas.
 a, b, c, d,  R+
a  b ......................... (1)
Si : 
c  d ......................... (2)
Se cumple:
a c  bd 
c
a

c
b
6. Dos desigualdades de signo
contrario y miembros positivos
se pueden dividir miembro a
miembro; el signo de la
LAS DESIGUALDADES
+0a b
+0a b
+0 a
+a 0
-
a  x  b
a  x  b
-   x  a
a  x  

desigualdad resultante es el
mismo que el signo de la
desigualdad que hace las veces
de dividendo.
Es decir:
 a, b, c, d,  R+
a  b ......................... (1)
Si : 
c  d ......................... (2)
Se cumple:
c
a

c
b
 a
a
c

b
d
desigualdad se eleva a una
potencia impar o se extrae raíces
de índice impar, el sentido de la
desigualdad no se altera. Es
decir:
Si:
i) a2 n + 1
 b 2n+1
a  b  
ii) a1n2   b1n2 
nz+
desigualdad de términos
negativos se eleva a un
exponente par, el signo de la
desigualdad se invierte, es
decir:
 a, b  R-
i) Si a  b  a2n
 b 2n
ii) Si a  b  a2n
 b 2n
9. Si: a  R, tal que:
a  0  a2
 0
10. a, b  R y son del mismo signo,
entonces:
a  b 
a
1

b
1
a  b 
a
1

b
1
a  b ............ (1)
01) Siendo: a  0 ............ (2)
b  0 ............ (3)
demostrar que : a3
+ b3
 a2
b + a
b2
De (1) : a  b  a – b  0
Entonces : (a – b)2
 0
Desarrollando, se obtiene:
a2
– 2 a b + b2
 0
ó a2
– a b + b2
 ab …….. ( )
De (2) y (3): a + b  0 ......... ()
Multiplicando los dos miembros de
() por (a + b), se tendría:
(a2
– a b + b2
) (a + b)  ab (a + b)
 a3
+ b3
 a2
b + ab2
(L.q.q.q)
02) Si : a y b son diferentes y
positivos, demostrar que:
2
ba 

ba
ab2

Dado que : a  b ; se cumple que:
(a – b)2
 0
Desarrollando: a2
– 2 ab + b2
 0
Sumando; 4 ab a los dos miembros
de la desigualdad, se tendría:
a2
+ 2 a b + b2
 4 a b
(a + b)2
 4 a b
Como; 2 (a + b)  0, entonces se
tendría al dividir:
DEMOSTRACIONES SOBRE
DESIGUALDADES
DEMOSTRACIÓN
DEMOSTRACIÓN

b)(a2
b)(a 2



b)(a2
ba4

2
ba 

b)(a
ba

2
(L.q.q.q)
01.- Si; a, b  R+
; a  b; demostrar
que:
a
b
b
a
22
 
b
1
a
1

02.- Si: a, b, c  R+
, demostrar que :
(a + b+ c)2
 a2
+ b2
+ c2
03.- Si; a, b, c  R+
; a  b  c
demostrar que:
a2
+ b2
+ c2
 ab + ac + bc
04.- Si; a  b  c   R+
demostrar que:
(a + b + c)2
 3 (a2
+ b2
+ c2
)
05.- Si; a  b   R+
, demostrar que:
(a3
+ b3
) (a + b)  (a2
+ b2
)2
Son todas aquellas inecuaciones que al
reducirse adoptan las formas:
X; es la incógnita y a, b  R / a  0
01. Resolver : a x + b  0; a, b  R+
Solución
Resolver una inecuación de
este tipo es similar a resolver
una ecuación de primer grado,
solo hay que tener en cuenta
las propiedades generales de
las desigualdades, en efecto:
Transponiendo b al segundo
miembro:
a x  - b
Dado que a  R+
, es decir: a  0
x  -
a
b
graficando en la recta real:
vemos que : x  [ -
a
b
;  
02. Resolver:
3
3-x5
-
2
2-x3

12
1-x
Solución:
Siendo el m.c.m. (2, 3, 12) = 12; un número
positivo, el signo de la desigualdad no se
altera al efectuar las operaciones indicadas.
6 (3 x – 2) – 4 (5 x – 3)  x – 1
18 x – 12 – 20 x + 12  x – 1
- 2 x  x - 1
- 3 x  -1
multiplicando por (-1) , obtenemos :
3 x  1
 x 
3
1
 x  
3
1
;  
a x + b  0  a x + b  0
a x + b  0  a x + b  0
EJERCICIOS
INECUACIONES DE PRIMER
GRADO CON UNA INCÓGNITA
- +-
a
b 0

03. Resolver:
(x+1)2
+(x–1)2
+(x–2)2
 3(x+1)(x–1)
Solución:
Efectuando las operaciones indicadas
obtenemos:
x2
+ 2x + 1 + x2
– 2x + 1 + x2
– 4 x +
+ 4  3 x2
– 3
Simplificando:
3x2
– 4x + 6  3 x2
– 3
- 4 x  - 9
multiplicando por (-1)
4 x  9  x 
4
9
Gráficamente:
 x  [
4
9
;   Rpta.
Resolver:
a) (2x – 1)2
+ (x + 2)2
 5 (x – 3)
(x + 2)
Rpta. ……………
b) (x + 1)2
+ (x + 2)2
+ (x + 3)2
 3 (x + 4)2
Rpta. ...........
c) (x + 1)3
– (x – 1)3
 (2 x + 3)
(3 x + 2)
Rpta.............
d)
4
3x2 
-
3
2x3 

5
1x4 
Rpta.- ............
e) (2x + 1)3
– (2 x – 1)3

 (x + 1) ( x – 1)
Rpta.- ............
f) (5 x + 3) (3 x – 1) + (x + 2)2

 (4 x – 3)2
Rpta.- .............
g)
2
1-x5
-
5
2-x3
-
4
3-x2
 1
Rpta.-..............
04. Resolver el sistema
2
1-x3
-
4
3-x2
 1 ….... ()
4
1-x8
-
3
3-5x
 -1 ….... (ß)
Solución:
Resolviendo cada inecuación:
De (): m.c.m. (4, 2, 1) = 4
2 x – 3 – 2 (3 x – 1)  4
2 x – 3 – 6 x + 2  4
- 4 x  5
 x  -
4
5
De (ß): m.c.m. (3, 4, 1) = 12
4 (5 x – 3) – 3 (8 x – 1)  -12
20 x – 12 – 24 x + 3  -12
- 4 x  -3
4 x  3
 x 
4
3
En la recta real:
Como no hay intersección de las
soluciones de () y ()  x  
Resolver los sistemas:
a) (3x –1)2
 (2x + 3)2
+ 5 (x2
-1) .........… (1)
(2x –1)2
+ (3x - 9)  13 (x2
+ 2x - 3)... (2)
Rpta.- ..............
b) (x+2)3
 (x+1) (x+2) (x+3) ….()
(x-3)3
 (x-3) (x-2) (x-4) ….()
Rpta.- ...............
c)
6
2-x
-
4
1-x3
-
2
3-x5
1 …….. ()
12
2-3x
-
4
5-x2
-
3
3-x4
1 …….(ß)
Rpta.-................
EJERCICIOS
- +4
90
EJERCICIOS
+ -
4
5
4
30

En la resolución de inecuaciones
simultáneas con dos incógnitas podemos
aplicar cualquiera de las siguientes
reglas.
1º.- Se toman dos inecuaciones de
sentido contrario despejando en cada
una de ellas la misma incógnita, luego
esta incógnita se elimina aplicando el
principio de transitividad.
2º.- Se puede eliminar una incógnita
restando dos inecuaciones de sentido
contrario, habiendo homogenizado
previamente los coeficientes de la
incógnita que se quiere eliminar.
Ejemplo.- Si “x” e “y” son cantidades
enteras y positivas, calcular: (x2
+ y2
),
al resolver el sistema.
5 x – 3 y  2 .............. (1)
2 x + y  11 .............. (2)
y  3 .............. (3)
Solución
Multiplicando la inecuación (1) por 2 y la
inecuación (2) por 5, obtenemos:
10 x – 6 y  4 ............. ()
10 x + 5 y  55 ............ (ß)
restando miembro a miembro () y ()
10 x – 6 y – 10 x – 5 y  4 – 55
-11 y  - 51
y 
11
51
Dado que : 3  y 
11
51
= 4,63  y = 4
Reemplazando y = 4, en el sistema:
5 x – 3 y  2 x  2, 8

2x + y  11 x  3, 5
Aquí observamos que: x = 3
 x2
+ y2
= 32
+ 42
= 25 Rpta.
Son todas aquellas inecuaciones que al
reducirse adopta la forma canónica
a x2
+ bx + c  0  ax2
+ bx + c  0
a x2
+ bx + c  0  ax2
+ bx + c  0
Donde x, es la incógnita y ;
a, b, c  R / a  0
Solución
Método del discriminante :
 = b2
– 4 a c
a  0
Caso I Caso II
  0 X  x1 ; x2 X  -, x1  x2 , 
 = 0 X   X  R - x1 = x2
  0 X   X  R  X  -, 
X1 =
a2
b 
; X2 =
a2
b 
( x1  x2)
a  0
Caso III Caso IV
  0 X  [x1 ; x2] X  -, x1  x2 , 
 = 0 X = x1 = x2 X  R
  0 X   X  R
X1 =
a2
b 
; X2 =
a2
b 
( x1  x2)
INECUACIONES SIMULTÁNEAS
DEL PRIMER GRADO
INECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
ax2
+ bx + c  0 ax2
+ bx + c  0
 = b2
– 4 ac
ax2
+ bx + c  0 ax2
+ bx + c  0
 = b2
– 4 ac
INECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO

01.- Resolver:
(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 12 x 
 (x – 1) (x – 2) (x – 3)
Solución:
Teniendo en cuenta la identidad:
(x+ a) (x+ b) (x + c) = x3
+ (a + b + c)x2
+ (a b + ac + bc) x + abc
La inecuación dada, se transforma en :
X3
+ 6x2
+ 11 x + 6 + 12 x  x3
– 6x2
+
+ 11 x – 6
Simplificando; obtenemos:
12 x2
+ 12 x + 12  0
ó a = 1
x2
+ x + 1  0 b = 1
c = 1
De aquí vemos que:
 = (1)2
– 4 (1) (1)   = - 3
Como :   0  x  R (Caso II)
Son aquellas inecuaciones que al ser
reducidas adoptan cualquiera de las
siguientes formas:
ao xn
+ a1 xn – 1
+ ..............+ an  0
ao xn
+ a1 xn – 1
+ ..............+ an  0
ao xn
+ a1 xn – 1
+ ..............+ an  0
ao xn
+ a1 xn – 1
+ ..............+ an  0
Donde: x, es la incógnita y n  N / n  3
Además: ao; a1; a2 .... ; an  R / a0  0
Pasos que deben efectuarse:
1º) Verificar que a0  0
2º) Todos los términos de la inecuación deben
estar en el primer miembro.
3º) Se factoriza la expresión del primer
miembro.
4º) Cada factor se iguala a cero,
obteniendo los puntos de ente, que
son los valores que asume la
incógnita.
5º) Se llevan los puntos de corte en
forma ordenada a la recta numérica
6º) Cada zona determinada por dos
puntos de corte consecutivos, se
señalan alternadamente de derecha
a izquierda con signos (+)  (-). Se
inicia siempre con el signo más.
7º) Si la inecuación es de la forma:
P(x)  0  P (x)  0 , con el
coeficiente principal positivo, el
intervalo solución está representado
por las zonas (+).
8º) Si la inecuación es de la forma:
P(x)  0  P (x) 0, con el
coeficiente principal positivo, el
intervalo solución está representado
por las zonas (-).
Nota. Este método también es aplicable
para inecuaciones de segundo grado.
EJERCICIO
Resolver:
x3
– 6x2
+ 11 x – 6  0
Solución
Factorizando por divisores binomios. Se
obtiene:
x = 1
(x – 1) (x – 2) (x – 3)  0 x = 2
x = 3
llevando los puntos de corte (P.C.)
a la recta real; tendríamos que:
el conjunto solución es:
x  [1, 2]  [ 3,  
EJERCICIOS
INECUACIONES DE GRADO
SUPERIOR
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE
LOS PUNTOS DE CORTE
P.C.

El valor absoluto de un número real x,
es el número no negativo denotado por
 x  y definido por:
X ; si x  0
 x  = 0 ; si x = 0
-X ; si x  0
Ejemplos:
a)  5  = 5 d)  -2  = 2
b)  -5  = -(-5) = 5 e)  -3  = 3
c)  0  = 0 f)  3 - 3=3- 3
De los ejemplos podemos observar que:
1.-  x  R ;  x   0
2.-  x  = 0  x = 0
3.-  x  =  - x 
 x, y  R ; se cumple:
a) - x  =  x 
b)  x y  =  x  y 
c)  x 2
= x2
 x2
 = x2
d) 2
x = x
e) x + y = x + y  x y  0
f) x - y = x + y  x y  0
g)
y
x
y
x
 ; y  0
h) x + y  2  yx
En resolución de ecuaciones con valor
absoluto, debemos tener en cuenta lo
siguiente:
1.- Si x  R, entonces x es el número
real no – negativo definido por:
x ; si x  0
x =
-x ; si x  0
2.- x = 0  x = 0
3.- x = b  x = b ó x = - b
4.- x = b  b  0

[ x = b ó x = - b ]
01. Hallar el conjunto solución en
la inecuación:
x + 2 (x4
– 1) = 0
Solución:
Factorizando, se tendría:
x + 2 (x2
+ 1) (x + 1) (x - 1)= 0
igualando cada factor a cero.
a) x + 2 = 0 x = - 2
b) x2
+ 1 = 0 x = i  x = - i
c) x + 1 = 0 x = - 1
d) x – 1 = 0 x = 1
Nota.- i = 1 ; tal que: i2
= -1
Como x  R; i  -i no son parte de la
solución:
 C. S. =  -2, 1, -1 
02. Resolver:
x2
– x - 3 = x - 3
Solución:
Para este caso, se cumple la propiedad:
x = b  x = b ó x = - b
VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
EJERCICIOS
INECUACIONES EXPONENCIALES
INECUACIONES IRRACIONALES

Para nuestro caso:
X2
– x – 3 = x – 3 ............ ()
X2
– x – 3 = - (x –3) ........ (ß)
De ........... ()
x2
– x – 3 = x –3  x2
– 2 x = 0
x (x – 2) = 0
 x = 0  x = 2
De .......... (ß)
X2
– x – 3 = - x + 3  x2
= 6
 x = 6  x = - 6
 C. S. =  0, 2, 6 ; - 6 
03. Hallar el conjunto solución en
la inecuación:
 2 x - 1 = x + 2
Solución:
Desde que:
x = b  b  0  [ x = b  x = - b]
Se tendría:
1º.- Universo de solución
x + 2  0  x  -2
x  [ -2 ;  
2º.- Con lo cual:
2 x – 1 = x + 2  2 x – 1 = - x – 2
x = 3  U  x = -
3
1
 universo
 C. S. =  -
3
1
, 3 
04. Resolver:
x - 3 - 2  = 3
Solución:
1.- Haciendo ; x - 3 = a ........ ()
donde a  0; se tendría:
a - 2 = 3  a – 2 = 3  a – 2 = -3
a = 5  a = - 1 (No)
2.- En (), dado que: a  0
x - 3 = 5  x – 3 = 5  x – 3 = - 5
x = 8  x = - 2
 C.S. =  8 ; -2 
05. Resolver:
-x - 1 + 2x + 3 = 5
Solución:
Igualando cada valor absoluto a cero
determinamos los puntos de corte en la
recta real:
Respecto a los signos de los valores
absolutos en cada intervalo se tendría:
a)  -  ; -
2
3
] : ( - ) ( - )
b)  -
2
3
; 1 ] : ( + ) ( - )
c)  1;   : ( + ) ( + )
Analizando en cada intervalo:
a) x   -  ; -
2
3
] : - 2x + 3+x-1 = 5
-2x – 3 + x-1 = 5
x = -9
Como ; -9   -  ; -
2
3
]  x = - 9 ; es
Solución.
b) x   -
2
3
; 1 ] : 2x + 3+x-1 = 5
2x + 3 + x-1 = 5
3 x = 3
Como ; 1  -
2
3
; 1]  x = 1
es solución.
c) x  1 ;   : 2x +3-x-1= 5
2x +3- x+1 = 5
Como ; 1  1 ;   x = 1
no es solución, para este intervalo.
De (a) y (b) C.S. =  -9 ; 1 
RESOLVER:
01) [5 X – 3] = 7 Rpta: 2 ; -
5
4

02) 2x2
– x - 8 = 7 Rpta. 3 ; -
2
5

03) x2
– 1 = 0 Rpta. -1 ; 1
04) 3x -2 = 2x+3 Rpta. 5 ; -
5
1

05) x-2-1= x-2 Rpta. 
2
3
;
2
5

06) 2x2
– x - 3=3
07) 3x + 5 = 2x -3
- -2 +
-  + 10-
2
3
U
2x+3= 0 -x-1= 0

08)
3x
2-x

= x
09)
1-x
2-x-x2
= 3
10) x +6 + x-2 = 8
11) x-3 + x-1 + x = 4
12) 5x - 3 = -2x + 4
13) 3x - 2 = x + 6
14) x2
– x- 3 = x2
- 6
Las inecuaciones con valor absoluto se
resuelven teniendo en cuenta las
siguientes propiedades:
 x ; a  R; se cumple.
I.- x  a  ( x + a) (x – a)  0
x  a  ( x + a) (x – a)  0
II.- x  a  ( x + a) (x – a)  0
x  a  ( x + a) (x – a)  0
III.- x  a  a  0  [-a  x  a ]
x  a  a  0  [-a  x  a ]
IV.- x  a  x  - a  x  a
x  a  x  - a  x  a
01. Resolver:
3 x - 2  2x - 1
Solución:
Dado que :
a  b  (a + b) (a – b)  0
para la inecuación dada, se tendría:
(3x – 2 + 2x – 1) (3x– 2 – 2 x + 1)  0
x =
5
3
(5x – 3) (x – 1)  0 
x = 1
de la recta real:
Vemos que: x  
5
3
; 1  (Rpta)
02. Resolver:
x2
– x  x – 1
Solución:
Desde que :
a  b  a < -b  a  b
La inecuación dada se transforma en:
x2
– x < - (x – 1)  x2
– x  x –1
Resolviendo cada una de las
inecuaciones:
1º.- x2
– x  -x + 1
x2
– 1  0
x =-1
(x + 1) (x-1)  0 
x = 1
en la recta real:
Vemos que: x   -1 ; 1  ..... ()
2º.- x2
- x  x – 1
x = 1
(x - 1)2
 0
x = 1
En la recta real:
Vemos que x   - ;1 U 1,  ... ()
Dado que la solución es () U ():
x  -  ; 1  U  1;   ó x  R - 1
03. Resolver:
3 x- 2  5
Solución:
De acuerdo a las propiedades establecidas
como: 5  0; entonces:
- 5  3 x – 2  5
sumando “2” a todos los miembros
-5 + 2  3 x – 2 + 2  5+ 2
-3  3x  7
dividiendo entre 3:
-1  x 
3
7
 x  -1 ;
3
7

INECUACIONES CON
VALOR ABSOLUTO
EJERCICIOS
P.C.
P.C.
+
- +o
5
3 1
o o
+ +-
- o 1
o
+
+ +
P.C.
- +o-1
+ +-
1

04. Resolver:
2 x + 5  5 x - 2
Solución:
Como: a  b  (a + b) (a – b)  0
en la inecuación dada se tendría:
(2x + 5 + 5x – 2) (2x+ 5 – 5x + 2)  0
(7 x + 3) (-3 x + 7)  0
cambiando el signo de x
x = -
7
3
(7x +3) (3x – 7)  0
x =
3
7
en la recta
Vemos que: x   ; 
05. Resolver:
 x - 2 - 2x - 1  2
Solución:
Igualando cada valor absoluto a cero
para determinar los puntos de corte en
la recta real; vemos que:
La inecuación a analizar es:
- 2 x - 1+  x - 2  2
a) Para el intervalo:  - ;
2
1
]; los
signos de los valores absolutos son:
(- , -) de donde:
2x – 1 – x + 2  2
x  1
x   -  ;
2
1
] ........................ (  )
b) Para el intervalo 
2
1
; 2 ] , lls signos
de los valores absolutos son (+ , - );
de donde:
- 2 x + 1 – x + 2  2
- 3 x  -1
x 
3
1
x  
2
1
; 2 ] ................. ( ß )
c) Para el intervalo : 2;  : los signos
de los valores absolutos son (+ , +)
de donde:
-2 x + 1 + x – 2  2
- x  3
x  -3
x   2 ;  ] ................. (  )
La solución de la inecuación propuesta
estará dado por () U () U ()
- ; -
2
1
] U 
2
1
, 2 ] U 2 ;  = - ;  
 x  R Rpta.
Resolver:
a)  2 x - 7  2
b)  3 x – 1  5
c)  4 x - 3  2 x - 5
d)  7 x -3  5x - 4
e) 3 x - 2  x – 2
f) x + 2 - x - 3  1
g) x + 2  - x - 3  1
h)
1x
x

 1
i) x2
- 1  x + 2
j)
2x3
1x2



1x2
2x3


Son aquellas inecuaciones cuya
incógnita se encuentra en el exponente
y sus criterios de solución son:
P.C.
- +20
2
1
2x -1 x -2
- + 1
2
1o
- + 2
2
1
o
2
1
3
1
- + 2o-3
EJERCICIOS
INECUACIONES EXPONENCIALES
- +
o
-3
7
+ +-
7
3
-3
7
7
3

I. En toda desigualdad, si las bases
son iguales y mayor que la unidad,
al comparar los exponentes, el
signo de la desigualdad no se
invierte, es decir:
Si la base es mayor que la unidad
(a  1) ; se cumple:
1º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
2º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
3º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
4º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
01. Resolver
5 2x – 3
– 25 – x + 2
 0
Solución:
Expresando la inecuación
convenientemente, se tendría:
5 2x – 3
 25 –x + 2
5 2x – 3
 25 –2x + 4
como; la base es mayor que la unidad,
se cumple que:
2 x – 3  - 2 x + 4
4 x  7
x 
4
7
 x  [
4
7
;  ]
02. En que intervalo se satisface la
desigualdad.
1x
2
1








12
x
2

Solución:
Expresando en base 2
2
-  x - 1
 2
1
4
x
2

como la base es mayor que la unidad:
- x - 1 
2
1
4
x

ó: x - 1 
4
x
2
1

recordando:
a  b  b  0  [ -b  a  b ]
se tendría:
1º.- Universo de solución
4
x
2
1
  0  -
4
x
 -
2
1
x  2
2º.- De otro lado:
-
2
1
+
4
x
 x – 1 
2
1
-
4
x
- 2 + x  4 x – 4  2 - x
resolviendo por partes:
i) 4 x – 4  x – 2 ii) 4 x – 4  2 - x
3 x  2 5 x  6
x 
3
2
x 
5
6
x  
3
2
;
5
6

interceptando con el universo:
Rpta. C.S.; x 
3
2
;
5
6

II. En toda desigualdad si las bases son
iguales y su valor está comprendido
entre cero y uno (0  base  1) al
comparar los exponentes el signo de
la desigualdad se invierte, es decir:
Si la base está comprendida entre
cero y la unidad (0  a  1); se
cumple.
1º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
2º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
3º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
4º aP(x)
 a Q(x)
 P (x)  Q (x)
01. Resolver
3x
2
1








8
1
EJERCICIOS
- 
4
7o + 
EJERCICIOS
+-  o
3
2
5
6 2
+-  o
3
2
5
6

solución:
Colocando en base 





2
1
, se tendría:
3x
2
1








3
2
1






Como la base está comprendida entre
cero y la unidad.
 x - 3  3
recordemos que :
a  b  a  - b  a  b
con lo cual:
x – 3  - 3  x – 3  3
x  0  x  6
Gráficamente:
Rpta: x   -  , o  U  6 ;  
02. Resolver
6x 6-x6-x 6x (0,5)(0,5)  
Solución:
Transformando los radicales a
exponentes fraccionarios, se tiene:
6x
6x
6x
6x
)5,0()5,0( 




como la base está comprendido entre
cero y la unidad, al comparar los
exponentes, el signo de la desigualdad
varía, es decir:
6x
6-x




6x
6x
como el segundo miembro debe ser
cero:
0
6x
6-x
- 


6x
6x
efectuando las operaciones indicadas, se
obtiene:
N x = 0
0
6)-(x6)(x
x


P.C
D x = 6
x = -6
Graficando en la recta real:
Rpta. x   -6 ;0  U  6 ;  
Son aquellas inecuaciones cuyas
incógnitas se encuentran afectadas por
radicales o exponentes fraccionarios.
De otro lado como las inecuaciones solo
se verifican en el campo de los números
reales, se cumple el siguiente principio
fundamental.
Principio fundamental.- En toda
inecuación irracional de índice par, las
cantidades subradicales deben ser
mayores o iguales a cero y esto nos
determina el universo dentro del cual se
resuelve la inecuación dada.
Ejemplo.- Dada la inecuación
(x)gf(x) 12nn2   0
n  z+
entonces la inecuación se resuelve para
valores que estén comprendidas dentro
de las soluciones de : f(x)  0
Existen diversos casos de inecuaciones
irracionales presentaremos algunos de
ellos y su forma de resolverlos.
01. Resolver
x-83-x   0
Solución
El conjunto solución a esta inecuación
está determinado por la intersección de
los universos de cada radical, es decir;
U1 : X – 3  0  x  3
U2 : 8 – x  0  x  8
Conjunto solución U1  U2
+-  O 6
- +6- 6 0
INECUACIONES IRRACIONALES
+-  0 3 8

Rpta: x  [ 3 ; 8 ]
02. Resolver:
52-x  3x
Solución
1º.- Determinación del universo
x + 3  0  x – 2  0
x  -3  x  2
Universo x  [ 2 ,  
2º- Pasando un radical al segundo
miembro.
2-x-5 3x
3º.- Elevando al cuadrado los dos
miembros de la inecuación.
X + 3  25 – 10 2x  + x – 2
10 2x   20
2x   2
4º.- Elevando al cuadrado
x – 2  4
x  6
5º.- Interceptando con el universo
Rpta. x  [ 2, 6 ]
Algunas inecuaciones irracionales de
índice par se transforman en sistemas,
como las que mostramos a continuación:
a) Si : f(x)n2  g(x)n2 , entonces:
f (x)  0 ................... ()

f (x)  g (x) ............... ()
b) Si : f(x)n2  g(x)n2 , entonces:
f (x)  0 ................... ()

f (x)  g (x) ............... ()
c) Si : f(x)n2  g(x)n2 , entonces:
g (x)  0 ................... ()

f (x)  g (x) ............... ()
d) Si : f(x)n2  g(x)n2 , entonces:
f (x)  0 ................... ()

f (x)  g (x) ............... ()
Ejemplo: Resolver:
x-16
x
1
-16
2

Solución
Para este caso, se cumple:
16 – x  0 ..................... (1)
16 -
2x
1
 16 – x ........... (2)
De ....... (1)
16 – x  0  x  16
x   -  ; 16 ] .................... ()
De ......... (2)
16 -
2x
1
 16 – x 
2
3
x
1x 
 0
factorizando el numerador:
N: x = 1
0
1)x(x1)-(x 2


2x
D: x = 0
Graficando en la recta real:
x  [ 1 ;   ........... (ß)
+-  -3 0 2
+-  o 2 6
OBSERVACIÓN
P.C
.
- +10

Interceptando () y () obtenemos la
solución final
Rpta. x  [ 1 ; 16 ]
+- 0 1 16

PAR ORDENADO.- Es un ente
matemático formado por dos elementos,
denotado por (a ; b), donde “a” es la
primera componente y “b” es la segunda
componente. En términos de conjunto de
el par ordenado (a ; b) se define como:
(a; b) =  a ; a ; b 
Igualdad de pares ordenados.- Dos
pares ordenados son iguales si y solo si
sus primeras y segundas componentes
son iguales respectivamente, es decir:
(a; b) = (c ; d)  a = c  b = d
Ejemplo.-1.- Si los pares ordenadas (2x
+ 3y; 7x - 2y), (13;8) son iguales,
hallar el valor de (x-y)
Solución :
Ya que los pares ordenados son iguales,
por definición se cumple.
2x + 3y = 13 ................... (1)
7x – 2y = 8 ..................... (2)
Resolviendo el sistema por
determinantes.
2
214
2426
27
32
28
313
X 






3
214
9116
27
32
87
132
Y 





1. Calcular : (x + y) si los pares
ordenados.
((a + b) x – (a-b) y; 2a2
2b²) y
(4 ab; (a-b)x + (a + b)y) son iguales.
Rpta. 2a.
2. Si los pares ordenados










 32
1
1
3
32
5
1
4
yxyxyxyx
;
y 






5
7
2
5
; son iguales, determine el
valor numérico de :
xy
yx 
Rpta. 17
Dado dos conjuntos A y B no
vacíos, se define el producto
cartesiano A x B como el
conjunto de pares ordenados (a,
b) tal que a A  b  B; es decir:
A x B = {(a;b) / a A  b  B}
En el conjunto de pares ordenados
(a,b), las primeras componentes se
encuentran en el conjunto A y las
segundas componentes en el
conjunto B.
DEFINICIONES BÁSICAS
EJERCICIOS
PRODUCTO CARTESIANO
FUNCIONES DOMINIOS
FUNCIONES ESPECIALES
GRAFICAS DE FUNCIONES

Ejemplo 2.- Dado los conjuntos
A = {1, 2} y B = {a, b}
Determine a) A x B
b) B x A
SOLUCIÓN
a. Mediante el “Diagrama de árbol”
A B A x B
a (1; a)
1
b (1; b)
a (2; a)
2
b (2; b)
A x B = {(1;a), (1;b), (2;a), (2;b)}
b. De otro lado
B A B x A
1 (a;1)
a
2 (a;2)
1 (b;1)
b
2 (b;2)
B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)}
En este ejemplo vemos que :
A x B  B x A
OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano
se puede extender a tres o más
conjuntos no vacíos, es decir:
AxBxC={(a,b,c)/ a A  bB  c C}
Donde (a, b, c) es un terma ordenada
definida en términos de conjuntos.
(a, b ,c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c}}
1. Si n(A) es el número de
elementos del conjunto A y n(B)
es el número de elementos del
conjunto B, entonces n (A x B) =
n(A).n(B) es el número de
elementos del producto cartesiano
A x B.
2. El producto cartesiano en general
no es conmutativo , es decir
A x B  B x A, a menos que A = B.
3. A x B = ; si A es vacío o B es
vacío.
4. N (A x B x C) = n(A) . n(B). n(C)
A = {X  Z/ 6 < x – 2 < 12}
B ={X  Z/ -4  x + 3 < 9}
¿Cuántos elementos tiene, A x B?
Solución :
Para el conjunto A, se cumple:
6 < x – 2 < 12
Sumando 2 a todos los miembros de la
desigualdad, se obtiene.
8 < x < 14
A = {9,10,11,12,13}  n(A) = 5
Para el conjunto B, se cumple:
-4  X + 3 < 9
Adicionando –3 a todos los miembros de
la desigualdad, se obtiene:
-7  x < 6
B = { -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;-1;-2;
-3;-4;-5}
Con lo cual n(B) = 13
 n (A x B) = n (A).n (B)= (5) (13)= 65
A B
PROPIEDADES GENERALES
DEL PRODUCTO CARTESIANO
a
e
1
2
3

Determine gráficamente :
i) A x B ii) B x A
Solución
i) Gráfica de : A x B
ii) Gráfica de B x A
de i) y ii) vemos que : A x B  B x A
1. Dado los conjuntos
A = {X  N / X2
-2 < 23}
B = {X  Z+
0 / X2
- 3 < 6}
C = {X  Z / 3 < X –6  12}
¿Cuántos elementos tiene : A x B x C?
Rpta. : 108
Definición.- Dadas dos conjuntos A y B
no vacíos, se llama una relación R de A
en B a un subconjunto cualquiera de A x
B.
R es una relación de A en B  R  A x B
Nota.- Una relación de A en B se llama
también relación binaria.
Definición.- Un conjunto R es una
relación en A si y solo sí R  A x A
Ejemplo 5.- Dado el conjunto
A = {1, 3, 5} y una relación R en
A definida por :
(x , y) R y = x + 2
Cuantos elementos tiene R.
Solución :
Notemos que el conjunto A x A es :
A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1)
(3;3),(3;5),(5,1);(5;3);(5,5)}
Luego una relación R en A de elementos
(x, y) tal que y = x + 2 es:
R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relación
R tiene 2 elementos.
Ejemplo 6.- Sea el conjunto
A = {2, 4 ,6 ,8}. Donde las relaciones
R1 y R2 en A están dadas por :
R1 = {(x , y}/ x + y = 10}
R2= {(x , y) / y = x}
Hallar : n (R1) y n (R2)
Solución :
Teniendo en cuenta que :
R1 = {(x, y}/ x + y = 10} entonces
R1 = {(2;8), (4;6),(8;2),(6;4)}
De otro lado
R2= {(x, y)/y =x} entonces
R2= {(2;2); (4;4);(6;6);(8;8)}
 n(R1) = 4 y n(R2) = 4
EJERCICIO
RELACIONES
B
a b
A
3
2
1
0
1 2 3
B
A
b
a
0

A. Relaciones reflexivas.- Dado un
conjunto R de pares ordenados R es
una relación reflexiva” en A
Si :  a  A ; (a ; a) R
B. Relaciones Simétricas.- Dado un
conjunto R de pares ordenados R es
una “relación simétrica” en A.
Si : (a;b)  R  (b; a)  R
C. Relaciones transitivas.- Dado un
conjunto R de pares ordenados la
relación R en un conjunto A es una
“relación transitiva” en A.
Si : (a;b) R (b;c) R  (a;c)  R
D. Relaciones de equivalencia.- Una
relación R en un conjunto no vacío A
es una “relación de equivalencia” en
A, si en forma simultanea satisface
las siguientes condiciones:
i. R es reflexiva :
 a  A ; ( a ; a )  R
ii. R es simétrica :
(a ; b )  R  (b; a)  R
iii. R es transitiva.
[(a;b) R (b;c) R]  (a;c)  R
R es una relación de A en B si
R  A x B ; donde :
A x B = {(x,y) / x  A  y  B)
Dominio de la relación R .- Es el
conjunto de todas las primeras
componentes de los pares ordenados de
R, es decir:
Dom (R) = x/ (x, y)  R C. A.
Rango de la relación R.- Es el conjunto
de todas las segundas componentes de
los pares ordenados de R, es decir:
Rang (R) = y /(x,y)  R  B
Ejemplo.- Dado los conjuntos
Donde R es una relación de A definida
por:
R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7)
Determine : Dom (R) y Rang (R)
Solución:
CLASES DE RELACIONES DOMINIO Y RANGO DE
UNA RELACIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
BA
R
BA
R
x y
Dom (R) Rang (R)(x,y)  R

Como el dominio está determinado por
las primeras componentes.
Dom (R) = 1, 2, 3
De otro lado como el rango está
determinado por las segundas
componentes :
Rang (R) = 5, 8, 7
1) Dado los conjuntos:
A = 1, 4, 9  B = 2, 8, 9
R1 y R2 son relaciones de A en B tal que:
R1 = (a, b)  A x B / a  b 
R2 = (a, b)  A x B / a + b  6 
Determine : n (R1) + n (R2)
Rpta. 9
2) Dado el conjunto
A = 1, 2, 3, 4, 6, 8  y la relación R en
A : R = (x,y) /5 es divisor de x + y,
hallar la suma de todos los elementos del
dominio de R.
Rpta. ______
3) Dada la relación R definida en los
números reales:
R = (x, y) / x-y  6
el valor veritativo de :
I. R es simétrica
II. R es reflexiva
III. R es transitiva
IV. R no es de equivalencia
es: Rpta. V V F V
Dado dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y
una relación f  A x B, se define:
“f es una función de A en B si y
solamente si para cada x  A existe a lo
más un elemento y  B , tal que el par
ordenado (x, y)  f “.
Observación.- Dos pares ordenados
distintos no pueden tener la misma
primera componente; para la función f.
(x; y)  f  (x; z)  f  y = z
Siendo A = Conjunto de partida
Y B = Conjunto de llegada
i) Son funciones:
ii) No son funciones
Dominio de f: Dom (f)
Se llama también pre-imagen y es el
conjunto de los primeros elementos de la
correspondencia que pertenecen al
conjunto de partida A. (Dom (f)  A)
Rango de f = Rang (f)
EJERCICIOS
FUNCIONES
f2
1
2
3
DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN
1
2
3
4
5
BA
f4
2
3
BA
f5
8
7
6
1
2
3
4
BA
5
4
5
BA
f1
a
b
c
d
e
f
BA
f3

Llamado también imagen, recorrido o
contradominio, es el conjunto de los
segundos elementos de la
correspondencia que pertenecen al
conjunto de llegada B (Rang. (f)  B)
Ejemplo.- Dada la relación representada
por el diagrama sagital.
Hallar Dom (f)  Rang (f)
Solución:
Vemos que la función está dada por:
f= (a; f) , (b ; e) , (c; f) , (d;h), (i;g)
luego por definición:
Dom (f) = a; b; c; d; i 
Rang (f) = f ; e; h; g 
La función f se denomina aplicación de A
en B si y solamente si todo elemento x 
A sin excepción, tiene asignado un
elemento y  B y solamente uno, en tal
caso se denota de la siguiente forma:
f : A B  A B
Para este caso
Dom (f) = A  Rang (f)  B
Si los conjuntos A y B, de partida y llegada
respectivamente de una función f son
conjuntos de números reales, entonces f es
una función real de variable real y por ello f
tendrá una representación gráfica en el plano
R2
. Existe una relación unívoca entre la
variable independiente x y su imagen la
variable dependiente y; es decir:
f = (x; y)  R x R/ x  Dom(f)  y = f(x) 
Propiedades Geométrica.- Una relación f
 R x R es una función real, si y solo sí,
toda recta vertical o paralela al eje “y”
corta a la gráfica f a lo más en un punto.
Respecto a las gráficas:
Función constante.- Se simboliza por C y
su regla de correspondencia está dada
por C (x) = f(x) = k
i) Don (f) R ii) Rang (f) = K
Función Identidad.- Se simboliza por I, y su
regla de correspondencia es: I (x) =
f (x) = x
APLICACIÓN
f
FUNCIÓN REAL DE VARIANTE
REAL
FUNCIONES ESPECIALES
a
b
j c
k d
i
i
BA
f1
e
f
g l
h m
0
k f
x
y
x
y L
0
f1
0
L
y
x
f2
f1 es función
L corta en un punto
f2 no es función
L corta en dos puntos

Función Valor Absoluto.- Su regla de
correspondencia está dada por:
x ; x  0
y = f(x) = x 0 ; x = 0
-x ; x  0
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [0;  
Función Signo.- Se simboliza por
“sgn” su regla de correspondencia
está dada por:
-1 ; x  0
y = f(x) = sgn (x) 0 ; x = 0
1 ; x  0
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = -1, 0, 1
Función raíz cuadrada.- Se simboliza por
el signo radical y su regla de
correspondencia es:
y = f(x) = x
1
i) Dom(f) =[0;   ii) Rang (f) = [0;  
Función cúbica.- Está determinada por la
regla de correspondencia.
y = f(x) = x3
Función Escalón Unitario.- Está denotado
por U y su regla de correspondencia
es:
0 ; x  0
y = f(x) = U (x) =
1 ; x  1
i) Dom (f) = [0;   ii) Rang (f) = 1
Función Cuadrática.- La regla de
correspondencia de esta función está
dada por:
y = f(x) = ax2
+ bx + c ; a  0
Se presentan dos casos
y
y
f
0
45º
i) Dom (f) = R
ii) Rang (f) = R
f(x) =x 
x
y
0 1 2
8
1
f(x) = x3
I) Dom (f) = R
II) Rang (f) = R
0
1
x
U(x)
f(x)= U(x)
f(x)=ax2
+bx+c
0
y
x
x
y
-1
0
1
0
x
1
F(x)= xy

1. a  0
V(h; k) = V









2a
4ac-b
-;
2
a2
b
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [-k;  
2. a  0
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = - , k 
Función Inverso multiplicativo
Es aquella función cuya regla de
correspondencia es:
y = f(x) =
x
1
; donde x  0
i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = R -0
Función máximo entero.- Es aquella
función definida por:
f(x) = [x] ; Si n  x  n + 1 ; n  z
Dando valores a n
-2 ; Si –2  x  -1
-1 ; Si –1  x  0
f(x) = [x] 0 ; Si 0  x  1
1 ; Si 1  x  2
2 ; Si 2  x  3
i) Don (f) = R ii) Rang (f) = Z
1. Hallar el dominio y rango de la
función:
f (x) =
x
xx 
; x  0
Solución
x ; x  0
Dado que x =
- x ; x  0
la regla de la correspondencia de la
función f(x), donde x  0; es :
2
x
xx


; x  0
f (x)
0
x
x-x
 ; x  0
Graficando:
i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) =
0, 2
EJERCICIOS
x
X2X1
c
h
Vértice = v (h,k)
k
h
Vértice = V(h,k)
x2x1
k
c
x
y
f(x) =
x
1
x
x
y
1
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-2
2
f(x) =
x
xx 
V(h; k) = V









2a
4ac-b
-;
2
a2
b
y
x

Una sucesión es un conjunto de
números que presenta un cierto orden
de acuerdo a una ley de formación.
En términos de conjunto las sucesiones
se expresan como :
S = {a1, a2, a3, ....., an, ....}
Toda sucesión debe ser determinado a
través de su término e-nésimo (an), es
decir:
Para n = 1  a1
Para n = 2  a2
Para n = 3  a3
. . .
. . .
. . .
En general un término cualquiera de la
sucesión tal como ak, se obtiene a
través de an cuando n = k. Son
ejemplos de sucesiones :
a. P = { 3,5,7,9,....., (2n+1),...}
b. Q = {1,4,9,16,....., n²,.........}
c. R = {1,1,2,6,24,....,(n-1)!,.....}
Atendiendo al número de términos las
sucesiones pueden ser :
a. Sucesiones finitas.- Son aquellas
que tienen un número limitado de
términos.
Ejemplo:
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
b. Sucesiones infinitas.- Estas
sucesiones se caracterizan porque
sus términos son ilimitados.
Ejemplo:
P = {-1, 2, 7, 14, ....., (n²-2),....}
SERIES.- Se llama serie a la suma
indicada de los elementos de una
sucesión, es decir dada la sucesión.
S = {a1, a2, a3, .........., an, .......}
La serie está representada por
........... 


n
n
n aaaaa 321
1
Dependiendo de que la sucesión sea
finita e infinita, las series serán finitas e
infinitas.
Entre los de interés tenemos :
a. Las Progresiones.
- Progresión aritmética.
- Progresión geométrica.
- Progresión Armónica.
b. Series de potencia de los números
enteros positivos.
c. Series numéricas relacionadas con los
números enteros positivos.
d. Series que involucran combinatorias.
e. Series recurrentes.
SUCESIONES
TIPOS DE SERIESCLASIFICACION DE LAS
SUCESIONES
SUCESIONES
PROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES GEOMETRICAS

Son Sucesiones numéricas cuya ley de
formación se establece a través de una
suma o multiplicación constante.
Definición.- Las progresiones
aritméticas o diferenciales son
sucesiones de números donde un
término cualquiera después del
primero es igual al anterior más una
cantidad constante (distinta de cero)
llamada razón o diferencia de la
progresión.
Símbolos de una progresión aritmética.
P.A. : Significa progresión aritmética.
÷ : Inicio de una P.A.
a1 : Primer término de la P.A.
an : último término de la P.A.
n : número de términos de la P.A.
r : Razón o diferencia constante.
Sn : Suma de los n primeros términos
de una P.A.
m : Medios de una P.A.
Representación general de una P.A.
Las sucesiones aritméticas finitas de
razón “r” y “n” términos se representan
bajo la forma.
Extremos de la P.A.
÷ a1. a2 ................................. an-1; an
m = n – 2 (medios)
Aritméticos
Medios : ó
Diferenciales
r  0
Razón : r = a2 – a1 ..... = an – an-1
Ejemplos de P.A.
a). ÷ 6.9.12.15.18 
b). ÷ 9.7.5.3.1.-1 
De los ejemplos vistos las progresiones
aritméticas pueden ser :
a). P.A. creciente (razón > 0)
b). P.A. Decreciente (razón < 0)
Propiedad 1.- En toda P.A. de “n”
términos y razón “r” el último término
es igual al primero más (n-1) veces la
razón, es decir :
an = a1 + (n – 1) r
DEMOSTRACION
Sea la progresión aritmética
÷ a1 . a2 . a3 ......... an-2 . an-1 . an
Por definición sabemos que :
ak = ak-1 + r K = 2, 3,4,....n
Expandiendo :
a1 = a1
a2 = a1 +r
a3 = a2 +r
a4 = a3 +r
. (n-1) veces
.
an-2 = an-3+r
an-1 = an-2+r
an = an-1+r
an = a1 + r + r+......+r
 an = a1 + ( n – 1) r
PROGRESIONES
PROGRESION ARITMETICA
Primer
Término
Último
Término
a1 : 6
an : 18
r : 9-6=3
n : 5
m : 3
a1 : 9
an : -1
r : 7-9=2
n : 6
m : 6-2=4
PROPIEDADES GENERALES DE LAS
PROGRESIONES ARITMETICAS
(n – 1) veces

Propiedad 2.- En toda P.A. de razón
“r” y “n” términos:
÷ a1 . a2...... ap......aq.....an-1.an
el término de lugar “q” en función del
término de lugar “p” está formulada
por:
aq = ap + (q – p) r
términos y razón “r”, un término
cualquiera que ocupe el lugar K-ésimo
contado a partir del extremo final es
igual al último término menos (k-1)
veces la razón, es decir:
ak = an – (k – 1) r
términos y razón “r”, la suma de los
términos equidistantes de los extremos
es una cantidad constante e igual a la
suma de los extremos, es decir :
÷ a1, a2...... ap...........aq.....an-1.an
“p” términos “p” términos
Se cumple que
ap + aq = a1 + an
DEMOSTRACION
Dado que “ap” y “aq” equidistan de los
extremos.
ap = a1 + (p-1) r .............. ()
aq = an - (p-1) r .............. (ß)
Sumando miembro a miembro () y (ß)
obtenemos :
ap + aq = a1 + an l.q.q.d.
Ejemplo : En la P.A.
÷ 7. 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.
Se observa que :
÷ 7 . 12 . 17. 22. 27. 32. 37. 42
a1 + an = 12+37= 17+32 = 22+27=49
Propiedad 5.- En toda P.A. de un
número impar de términos, el término
central “ac” es igual a la semisuma de
los términos equidistantes de los
extremos e igual a la semisuma de los
extremos.
En la P.A. de “n” términos y razón “r”,
cuyo esquema es
÷ a1 ___ ap ___ ax.ac.ay ___ aq ___ an
ac = término central
Se cumple que :
22
1 qpn
c
aaaa
a




Ejemplo : En la P.A.
÷ 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32
ac = 20
Se cumple que :
20
2
2416
2
2812
2
328






ca
Propiedad 6.- En toda P.A. de tres
términos, el término central es la media
aritmética de los extremos.
En la P.A.
÷ x. y. z
Se cumple que :
2
zx
y


Propiedad 7.- La suma de los “n”
primeros términos de una P.A. de razón
“r”.
÷ a1 . a2 ……............…... an-1 . an
“p” términos “k” términos “k” términos “p” términos

es igual a la semisuma de los extremos
multiplicado por el número de términos,
es decir:
n
aa
S n
n 




 

2
1
DEMOSTRACIÓN
En la progresión aritmética.
÷ a1. a2 …………………............ an-1 . an
La suma de los “n” primeros términos es
:
Sn = a1+a2 ..........+ an-1+an ......... ()
ó
Sn = an+an-1 ........ +a2 +a1 .......... (ß)
Sumando miembro a miembro
osmintér"n"
)aa(.......)aa()aa(
S2 1n1n2n1
n

 
Como la suma de los términos
equidistantes es una cantidad constante
e igual a la suma de los extremos.
osmintér"n"
)aa(.......)aa()aa(S2 n1n1n1n 
n
2
aa
S n1
n 




 
 L.q.q.d.
De otro lado, como :
an = a1 + (n-1)r
n
rna
Sn 




 

2
12 1 )(
Propiedad 8.- En toda P.A. de un
número impar de términos y término
central “ac”, la suma de sus “n” términos
está dado por :
Sn = ac . n ; n (#impar)
Interpolar “m” medios diferenciales
entre los extremos “a1” y “an” de una
progresión aritmética, es formar la
progresión. En efecto para la P.A.
÷ a1 .............................. an
“m” medios
Los datos conocidos son :
Primer término : a1
Último término : an
Número de términos : n = m + 2
El elemento a calcular es la razón : r
De la fórmula : an = a1 + (n –1) r
Como : n = m + 2  an = a1 + (m+1)r
Obtenemos:
1
1



m
aa
r n
Conocida la razón ya es posible
interpolar o formar la P.A.
En la resolución de problemas sobre P.A.
es necesario expresar los términos de la
progresión bajo las siguientes formas :
i. Si el número de términos es
impar, la razón a considerar es
“r”.
Ejm: Para 3 términos; se tendría :
÷ (a – r) . a. (a + r)
ii. Si el número de términos es par,
la razón a considerar es “2r”.
Ejm: Para 4 términos; se tendría:
÷ (a – 2r) . (a - r). (a + r) . (a + 2r)
OBSERVACION
INTERPOLACION

01. En la P.A.
÷ -16 . –13 . -10 ................
Hallar el término de lugar 19.
Solución :
En toda P.A. un término
cualquiera se determina por la
fórmula :
an = a1 + (n – 1) r
a1 = -16
donde: n = 19
r = 3
Reemplazando valores
a19 = - 16+ (19 - 1) (3)
a19 = 38 Rpta.
02. En la progresión aritmética.
÷ a ............... 46 ...............b
“m” medios “m” medios
Determine el valor de m si la
suma de sus términos es 782.
Solución :
En la P.A. se observa que el
término central: ac = 46
Número de términos : n = 2m+3
Suma de términos : Sn = 782
Dado que :
Sn = ac . n  782 = 46 (2m+3)
2m + 3 = 17
De donde : m = 7
03. En la progresión aritmética.
÷ 4.................16..............46
El número de términos
comprendidos entre 16 y 46 es el
triple de los comprendidos entre 4
y 16. Hallar la suma de todos los
términos de la P.A.
Solución :
De acuerdo con el enunciado
tenemos :
÷ 4 ................. 16 ............. 46
“x” term. “3x” term.
a1 = 4
Entre 4 y 16 an = 16
n = x +2
De la fórmula : an = a1 + (n-1)r
16 = 4 + (x +1)r
1
12
x
= r .......... ()
a1 = 16
Entre 16 y 46 an = 46
n = 3x+2
De la fórmula : an = a1 + (n-1)r
46 = 16 + (3x+1)r
13
30
x
= r ......... (ß)
Igualando () y (ß)
1
12
x
=
13
30
x
 36x +12 = 30x+30
6x = 18
x = 3
Reemplazando el valor de x = 3
en ()
r =
13
12

 r = 3
Luego en la P.A.
÷ 4............... 16..................46
3 term. 9 term.
EJERCICIOS

Tenemos los datos :
a1 = 4
an = 46  n
aa
S n
n 




 

2
1
n = 15
De donde : 15
2
464
15 




 
S
S15 = 375
04. Cuantos términos de la P.A.
÷ 32 . 26 . 20 .......................
Se deben tomar para que su
suma sea 72. Rpta. 9.
05. Si, Sn = 3n (2n – 1) es la suma de
los “n” términos de una P.A.
Hallar el término de lugar “p” que
ocupa dicha progresión aritmética.
Rpta: 3 (4 p - 3)
Definición.- La progresión geométrica o
por cociente es una sucesión de
números, donde cada término después
del primero es igual al anterior,
multiplicado por una cantidad constante
(diferente de cero y de la unidad),
llamada razón de la progresión
geométrica.
Símbolos de una progresión geométrica.
P.G. : Progresión geométrica

 : Inicio de la P.G.
t1 : Primer término
tn : último término
q : razón de la P.G.
n : Número de términos
s : Suma de los términos de la P.G.
p : Producto de los términos de la
P.G.
S : Suma límite de los infinitos
términos de una P.G. decreciente
infinita.
Toda progresión geométrica de “n”
términos y razón “q” se representa de la
siguiente forma :
Extremos

 t1 : t2 : ....................... : tn-1: tn
Geométricos
* Medios
Proporcionales
* q  0  q  1 (razón)
Primer Termino último término
La razón de la P.G. está determinada
por la división de dos términos
consecutivos de la progresión :
12
3
1
2


n
n
t
t
t
t
t
t
q ......................
Debemos tener en cuenta lo siguiente :
i. Si : q > 1, la P.G. es creciente :
Ejemplo:
q = 12
2
4


 2 : 4 : 8 : 16 : 32 La P.G. es
creciente
ii. Si; 0 <q <1, la P.G. es decreciente.
Ejemplo:
q =
3
1
27
9


 243 : 81: 27: 9 0 
3
1
 1
La P.G. es decreciente
iii. Si : q < 0 la P.G. es oscilante.
Ejemplo:
PROGRESION GEOMETRICA
REPRESENTACION GENERAL DE
UNA P.G.

q =
2
1
64
32



 64:-32:16:-8 0
2
1

La P.G. es oscilante
Propiedad 1.-
En toda P.G. un término cualquiera es
igual al primer término multiplicado por
la razón, donde la razón se encuentra
elevado al número de términos menos
uno.
1
1

 n
n qtt
DEMOSTRACION
Sea la P.G.

 t1: t1 q: t1 q²: ..................... : tn
en el cual observamos.
t1 = t1 = t1 q1-1
t2 = t1 q1
= t1 q2-1
t3 = t1 q2
= t1 q3-1
t4 = t1 q3
= t1 q4-1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
tn = t1 qn-1
 tn = t1 qn-1
L.q.q.d.
Propiedad 2.- En toda P.G. el producto
de dos términos equidistantes es una
cantidad constante e igual al producto
de los extremos, es decir en la P.G.

 t1: ...........: a:x: ............:y:b:..............:tn
(k+1) términos (k+1) términos.
xy = t1 . tn
Ejemplo : En la P.G.

 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486
Veces que :
6 (162) = 18(54) = 2(486) = 972
Propiedad 3.- En toda P.G. de un
número impar de términos, el término
central es igual a la raíz cuadrada del
producto de los extremos.
Sea la P.G.

 t1: .............: a:x:b ......................:tn
(k+1) términos (k+1) términos
Se cumple :
nttx .1
Ejemplo:
En la P.G.

 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 : 192
Término central
Vemos que :
576192324  )(
Propiedad 4.- En toda P.G. finita el
producto de sus términos es igual a la
raíz cuadrada del producto de sus
términos extremos, elevado al número
de términos de la progresión
geométrica, es decir:
 n
nttP .1
DEMOSTRACIÓN
Sea la progresión geométrica.

 t1 : t2 : ............... tn-1 : tn
El producto de sus términos es:
P = t1 . t2 . ............... tn-1 . tn
ó : P = tn . tn-1 . ............... t2 . t1
multiplicando miembro a miembro.
“n” paréntesis
PROPIEDADES

P
²
= (t1. tn) (t2
. tn-1) ................ (tn. t1)
Dado que el producto de dos términos
equidistantes es igual al producto de los
extremos.
P
²
= (t1 . tn)
 nttP .1 L.q.q.d.
Propiedad 5.- La suma de los términos
de una P.G. finita es igual al último
término por la razón menos el primer
término; todo esto dividido entre la
diferencia de la razón y la unidad.
1q
tq.t
S 1n



Dado que: tn = t1 q n-1
1q
)1q(t
S
n
1



Propiedad 6.- El valor límite de la
suma de los infinitos términos de una
P.G. infinita decreciente es igual al
primer término dividido entre la
diferencia de la unidad y la razón,
donde necesariamente el valor absoluto
de la razón debe ser menor que la
unidad.
q1
t
S 1

 ; q 1
Interpolar medios geométricos entre dos
números dados es formar una
progresión geométrica donde los
extremos son los números dados.
Sea la progresión geométrica:

 t1 : t2 : ............... tn-1 : tn
“m” medios geométricos
la razón que determina la interpolación
está dada por:
1m
1
n
t
t
q 
Ejemplo # 1.- Calcular el valor limite
de la suma:
 ...............
16
4
8
3
4
2
2
1
S
Solución:
Obsérvese que:
a)
4
1
4
1
4
2

b)
8
1
8
1
8
1
8
3

c)
16
1
16
1
16
1
16
1
16
4

Con lo cual “S” se puede agrupar de la
siguiente forma:
S = 





 ..............
16
1
8
1
4
1
2
1
+
+ ...........
16
1
8
1
......
16
1
8
1
4
1













Cada paréntesis representa la suma de
infinitos términos de una progresión
geométrica infinita de razón q =
2
1
, por
consiguiente:






 ........
2
1
1
8
1
2
1
1
4
1
2
1
1
2
1
S
 .............
4
1
2
1
1S
esta última serie, también es una
progresión geométrica infinita
decreciente de razón q =
2
1
; entonces:
2
1
1
1
S

  S = 2 Rpta.
INTERPOLACIÓN

El logaritmo de un número “N” real y
positivo (N  0), en una base “b” mayor
que cero y diferente de la unidad (b  0 
b  1) es el exponente real “a” tal que
elevado a la base “b” se obtiene una
potencia (ba
) igual al número (N).
En efecto observemos los siguientes
ejemplos:
5 es el logaritmo
1. 25
= 32 
de 32 en base 2
-2 es el logaritmo
2. 3-2
=
9
1

de
9
1
en base 3
6 es el logaritmo
3.
6
2 = 8 
de 8 en base 2
en general tendríamos que:
“a” es el logaritmo
Si : b
a
= N 
de “N” en base “b”
Expresando matemáticamente:
Vemos que: Logaritmo y exponente
significa lo mismo siendo la única
diferencia las notaciones matemáticas en
la cual están representados, así tenemos
las formas logarítmicas y exponencial
respectivamente, donde una de ellas está
ligada a la otra.
Es decir:
1.
a
b aNLog:Si
b
= N
2. Si: Nb
a
 aNLog
b

Debemos familiarizarnos con estas
fórmulas a través de los siguientes
ejemplos:
i) Paso de la forma exponencial
logarítmica
1. Si: 24
= 16  Log 2 16 = 4
2. Si : 5 –3
=
125
1
 Log 5
125
1
= -3
3. Si:
4
3 = 9  Log
3
9 = 4
DEFINICION
Log N = a
b
b
a
= N
Forma
Logarítmica
Forma
Exponencial
Número
Logaritmo
Exponente
Número
BaseBase
LOGARITMOS
ECUACIONES LOGARITMICAS

ii) Paso de la forma logarítmica a
la forma exponencial
1. Si: Log
5
625 = 4  5 4
= 625
2. Si: Log
7 343
1
= -3  7-3
=
343
1
3. Si Log
6
216 = 6 
6
6 = 216
Ejercicios:
a. Transforme de la forma exponencial
a la forma logarítmica o viceversa
según convenga:
1) 27
= 128 2) Log
2
8 = 3
3) 4-4
=
256
1
4) Log
3 3
9 = 6
5) 53
= 125 6) Log
7
49 = 2
7) 35
= 243 8) Log
2
1 = 0
9) 161/4
= 2 10) Log 22
22 = 1
b. Aplicando la definición de logaritmo
determine “x” en las siguientes
ecuaciones:
11. Log
81
729 = x 20. Log
39
33 =x
12. Log
17
x = 1 21. Log
22
x = 4
13. Log
x
8 =
7
3
22. Log
x
3 = 2
14. Log
64
32 = x 23. Log
2
(x-1) = 3
15. Log
x
125 =
2
3
24. Log
2x
5 = 1
16. Log
7
2401= x 25. Log
32
29
= x
17. Log
33
1 = x 26. Log
3
33 = x
18. Log
66
x = 1 27.Log
32
(x-2)= 0
19. Log
9
27 = x 28.Log
32
(x-2)= 1
Por definición sabemos que:
NN baLog a
b

Donde:
i) N, es el “número”: N  0
ii) b, es la “base”: b  0  b  1
iii) a, es el “exponente” ó logaritmo:
a  R
Nota.- Para hallar el logaritmo de un
número debemos tener en cuenta la
siguiente relación:
Número(Base)aNLog Logaritmo
b

Prob. # 1.- Calcular el logaritmo de
55 en base 3
525
Solución:
Igualando a “x” el logaritmo pedido, se
tendría:
555(25xLog 3
3 525

X
)5
El problema ahora se reduce a resolver la
ecuación exponencial para lo cual se
expresa todo en base “5”, es decir:
EXISTENCIA DE LOS
LOGARITMOS EN R
N   0;  
+ 0
b   0; 1 u  1 ;  
+ 0 1
-  + 0
a  R ó a   - ;  
EJERCICIOS

2
1
3
1
2
5.5









X
55
como : aa.a nmnm 
 , entonces
Tendríamos:
2
1
1
x
3
1
2
55










2
3
3
7x
2
3
555
3
7








X
5
siendo las bases iguales, igualamos los
exponentes, es decir:
14
9
x
2
3
3
7x
 Rpta.
Estas identidades nos permite efectuar
cálculos rápidos en logaritmos, tan es así
que los problemas anteriores pueden
efectuarse por simple inspección.
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 1
Si el número y la base de un logaritmo
se pueden expresar en una base común,
el logaritmo está determinado por el
cociente de los exponentes de las bases
comunes; es decir:
n
m
am
na
Log : (a  0  a  1)
Demostración:
Por identidad sabemos que mm
aa 
Expresando convenientemente el segundo
miembro tendríamos:
n
m
nm
aa 






Luego por definición de logaritmo como
exponente; obtenemos:
n
m
am
na
Log L.q.q.d.
Prob. # 2.- Calcular el valor de:
3
25
3
24
55Log22LogE 
Solución:
Expresando en base “2” y base “5” los
logaritmos respectivos, tendríamos:
3
25
3
222
55Log22LogE 
3
4
2
5
3
4
2
5
2
5Log2LogE 
Como :
n
m
am
na
Log
entonces:
3
2
15
8
-E 
1
2
3
4
2
5
3
4
; mcm = 15
15
2
-E
15
10-8
E 
Si el logaritmo de un número se
encuentra como exponente de su propia
base, entonces está expresión es
equivalente al número, es decir:
N
NbLog
b
Demostración:
Por definición sabemos que:
NbaNLog
a
b

De donde:
a
b = N ............. (3)
(2).......Loga
b
N
Reemplazando ...(2) en ...(1) obtenemos:
N
N
b
Log
b L.q.q.d.
Si al número y a la base de un logaritmo se
potencian o se extraen radicales de un
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
DE LOS LOGARITMOS
Logaritmo
baseNúmero

mismo índice, el logaritmo no se altera, es
decir:
n bmb
LogLogLog nm
b
aaa 
Demostración:
Sabemos por la identidad Nº 2 que:
a = (1)............
abLog
b
Elevando a la potencia “m” los dos
miembros de la igualdad, se obtiene.
a
b
Log
mm
ba




Por definición de logaritmo como
exponente, tenemos que:
m
b
aa
mb
LogLog  .......... ()
de otro lado en ... (1) extraemos la n a
los dos miembros de la igualdad,
obteniendo:
 
a
n
b
Log
n
ba 
exponente, vemos que:
n
b
aLogLog nb
a  .......... (ß)
De ... () y .. () concluimos que:
m
b
aa
mb
LogLog  n
b
aLog n
 L.q.q.d.
Ejemplo.- Para que valor de “x” se
cumple la igualdad:
9xLogLog 3
4
x
3 2
Solución
En estos casos las bases de los
logaritmos deben ser iguales y para eso
hacemos lo siguiente:
1. En el primer logaritmo el número y la
base lo elevamos al exponente 3.
2. En el segundo logaritmo al número y
a la base le extraemos
Obteniendo:
9xLogLog 3

2
3
2
x
Como una suma de logaritmos de igual
base es igual al logaritmo de un
producto, entonces:
9333
2xx9xLog 3
2
x
9
2
9
2x 
de donde al simplificar obtenemos:
2x
2
1
  x = 4
Si el logaritmo de un número “a” en base
“b” se encuentra como exponente de una
base c (c  o); el número “a” y la base
“c” se pueden permutar, es decir:
cbLogabLog
ac
Demostración:
Por identidad sabemos que:
aLogcLogcLogaLog bbbb  
Por la fórmula:
b
cc
aLogaLog b
Se tendría:
c
b
Log
b
a
b
Log
b
alogclog 
Cancelando los logaritmos en base “b”
obtenemos:
cbLogabLog
ac L.q.q.d
Si el producto del número y la base de
un logaritmo es igual a la unidad,
entonces su logaritmo es igual a – 1; es
decir:
Si : N.b = 1 1NLog b

Demostración:
baseNúmero
Exponente
o logaritmo
Exponente o logaritmo
baseNúmero

Siendo Nb = 1 
b
1
N 
ó . N = b-1
con lo cual : 1
bb
bLogNLog 

Aplicando la primera identidad
obtenemos:
1NLogb
L.q.q.d.
Si; “b” es un número real positivo
diferente de “1” (b  0  b  1) entonces
la función “f” se llama exponencial de
base “b” si y sólo si:
f =  (x, y) / y = b
x
. (b  0  b  1) 
Representación gráfica de: y = b
x
i) Primer caso.- Cuando la base está
comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso Particular :
x
3
1
y 






Tabulando, obtenemos los siguientes
pares de valores:
Df X - .... -2 -1 0 1 2 ... +
Rf Y + .... 9 3 1 1/3 1/9 ... 0
Gráfica : Propiedades de:
y = bx
: 0  b  1
1. D1  R
2. Rf   0 ;  
3. y = bx
  x  R
4. Si; x = 0  y = bx
= 1
5. Si, x  0  y = bx
 1
6. Si, x -   y = bx

7. Si, x  0  y = bx
 1
8. Si, x    y = bx
 0
ii) Segundo caso.- Cuando la base es
mayor a la unidad (b  1)
Caso particular; y = 3x
Tabulando : obtenemos los valores:
Df X - ... -2 -1 0 1 2 ... +
Rf Y + ... 1/9 1/3 1 3 9 ... +
y = bx
: ( b  1)
1. D1  -;  
2. Rf   0;  
3. y = bx
 0  x  R
4. Si; x = 0  y = bx
= 1
5. Si, x  0  y = bx
 1
6. Si, x -   y = bx
 0
7. Si, x  0  y = bx
 1
8. Si, x    y = bx
 
Función Logarítmica
Si “b” es un número real positivo
diferente de la unidad entonces una
función “f” será logarítmica si y solo si:
f = (x, y)/ y = xLog
b
; (b  0  b  1) 
al cual llamaremos  función logaritmo
de base b”
Observación:
Función Exponencial Función Logarítmica
y = f(x) = bx
y = f(x) = Log x
b
Df   - ;  
Rf   0 ;  
Df   0 ;  
Rf   -  ;  
Nótese que:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
-2 -1 0 1 2
y = bx
3
1
y =
x
)
3
1
(
-2 -1 0 1 2
y = bx
y=3x
9
3
1
x
1

 b  R+
- 1
y = bx
 xyLog b

Función Directa
Permutando “x” por “y”
Y = xLog b
Función Inversa
Representación gráfica de:
y= xLog b
i) Primer caso: Cuando la base está
comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso particular: y = xLog
3
1
Tabulando; obtenemos los valores
Df X 0 ... 1/9 1/3 1 3 9 ... +
Rf Y  ... 2 1 0 -1 -2 ... -
y = xLog b
; (0 b 1)
1. Df  -0;  
2. Rf   -;  
3. Si, x 0 xLog b
 en R
4. 1bLog b

5. 01Log b

6. Si x  1  xLog b
 0
7. Si: x   xLog b
-
8. Si: x  1  xLog b
 1
9. Si : x  0 xLog b
 
ii) Segundo caso: Cuando la base es
mayor que la unidad (b  1)
Caso particular:
y = xLog3
Tabulando, obtenemos los valores:
Df X 0 ... 1/9 1/3 1 3 9 ... +
Rf Y - ... -2 -1 0 1 2 ... +
Gráfica: Propiedades de:
y = b
Log x (b  1) y = b
Log x; ( b  1)
1. D1   0 ;  
2. Rf   -;  
3. Si, x 0 xLog b
 en R
4. 1bLog b

5. 01Log b

6. Si x  1  xLog b
 0
7. Si: x    xLog b
 
8. Si: x  1  xLog b
 0
9. Si: x  0  xLog b
 -
Teniendo en cuenta las gráficas de la
función logaritmo: y= xLog
b
(b  0  b 1)
Deducimos las siguientes propiedades:
0
-1
-2
-1
1 3 9
x
1/3
Logy 
1/3
xLogy
b

PROPIEDADES GENERALES
DE LOS LOGARITMOS
y = xLog
b
y = xLog
b
0  b  1
x
1
0
y
b  1
x
1 3 9
y =
b
Log x (b  1)
0
2
1

I. Existen infinitos sistemas, donde cada
valor de b (b  0  b 1) es un sistema
de logaritmos.
II. No existen logaritmos de números
negativos en el campo de los números
reales, pero si en el campo de los
números complejos.
III. El logaritmo de “1” en cualquier base
vale “0” y el logaritmo de la base es
igual a “1”, en efecto:
i) 1b01 0

b
Log
ii) bb1b 1

b
Log
IV. El logaritmo de un producto indicado es
igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
baab
XXX
LogLogLog 
Demostración:
Nb
N
b
Log

a =
alog
x
x
........... (1)
a =
blog
x
x
........... (2)
Multiplicando ... (1) y ... (2) m.a.m.
obtenemos:
xab
b
x
Loga
b
Log 

exponente, se obtiene:
baab
XXX
LogLogLog  L.q.q.d.
V. El logaritmo de un cociente indicado es
igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor, es decir:
ba
b
a
XXX
LogLogLog 
Demostración:
a =
alog
x
x
........... (1)
a =
blog
x
x
........... (2)
Dividiendo m.a.m. (1).. (2) obtenemos:
bLogaLog
b
a
xx

x
Log L.q.q.d.
VI. El logaritmo de una potencia es igual al
exponente por el logaritmo de la base,
es decir:
bLogLog
xx
aa
b
 L.q.q.d.
Demostración:
En la identidad fundamental:
xa
a
x
Log
 ............. (1)
Elevando al exponente “b” m.a.m.
obtenemos:
xa
a
x
Logb
b

por definición de logaritmo como exponente,
se obtiene:
aba
b
XX
LogLog  L.q.q.d.
VII. El logaritmo de una raíz es igual a la
inversa del índice del radical por el
logaritmo de la cantidad subradical, es
decir:
a
b
1
ab
XX
LogLog 
Demostración:
Teniendo en cuenta la identidad:
a =
a
X
Log
x ........... (1)
Al elevar a la potencia
b
1 obtenemos:
aLog
b
1
b
1
xa x

a
x
Log
b
1
b
xa 
Por definición de logaritmos como exponente,
se obtiene:
 vemos que:

aLog
b
1
aLog
x
b
x
 L.q.q.d
VIII. El producto de dos logaritmos
recíprocos es igual a la “unidad”, es decir:
1bba 
ax
LogLog L.q.q.d
COLOGARITMO.- El cologaritmo de un
número en una base “b” es igual al
logaritmo de la inversa del número en la
misma base.
Colog
b
N = Log
b N
1
Ejemplo:
a) colog
9
27 = - Log
9
27=-
2
3
b) –colog
3 2aa
32
aa = Log
3
5
a
3
7
a =
5
7
ANTILOGARITMO
El antilogaritmo en una base dada es el
número que dá origen al logaritmo,
matemáticamente:
Antilog
a
x = a
x
Propiedades:
Antilog
b
Log
b
N = N
Log
b
Antilog
b
N = N
Ejemplos:
a) Antilog
2
3 = 2
3
= 8
b) Antilog
4
-1/2 = 4
-1/2
=
2
1
CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x”
En general todo cambio de base implica
un cociente de logaritmos, es decir:
Log
b
N =
NLog
NLog
b
x
Caso particular: Log
b
N =
bLog
NLog
REGLA DE LA CADENA
Si en un producto de logaritmos un
número cualquiera y una base cualquiera
son iguales entonces estos se cancelan
incluso el símbolo logarítmico
Log
b
a . Log
c
b . Log
d
c . Log
x
d = Log
x
a
SISTEMAS DE ECUACIONES
LOGARÍTMICAS
Los sistemas de ecuaciones logarítmicas
se caracterizan por que tienen las
mismas soluciones para cada ecuación
que se presenta dentro del sistema.
La solución a un sistema depende en
gran parte de la habilidad del operador,
sustentado en las propiedades
logarítmicas.
RELACIONES ESPECIALES EN
LOGARITMOS

Un capital se impone a interés compuesto
cuando en cada unidad de tiempo
(generalmente cada año), los intereses
producidos se adicionarán al capital, de tal
modo que en la siguiente unidad de tiempo, el
nuevo capital también produce intereses.
Debemos tener en cuenta la siguiente
notación:
M : Monto = Capital + intereses
C : Capital impuesto
R : tanto por ciento anual; es el interés
Producido por 100 soles en 1 año
r : tanto por uno ( r =
100
R
, es el interés
producido por un 1 sol en un año)
t : tiempo que se impone el capital,
generalmente en años
Dado un capital C que se impone al interés
compuesto al “r” por uno anual, durante un
determinado tiempo de “t” años. Calcular el
monto “M” que se obtiene al final de este
tiempo.
Deducción:
Sabemos que el monto al final del año es
igual al capital más el interés, es decir:
Capital + Interés = Monto
Por consiguiente:
En el primer año:
C + Cr = C (1 + r)
En el segundo año:
C (1 + r) + C (1 + r) r = C (1 + r)2
En el tercer año:
C (1 + r)2
+ C (1 + r)2
r = C (1 + r)3
En el “t” año
C (1 + r)t-1
+ C (1 + r) t – 1
r = C (1 + r) t
Vemos que el monto obtenido por un capital
“C” al “r” por uno de interés compuesto
durante “t” años, es:
M = C (1 + r ) t
De esta formula podemos despejar:
a) El capital: “C”:
t
)r1(
M
C


b) El tanto por uno: “r”
1
C
M
r t 
c) El tiempo: “t”
)r1(Log
LogCLogM
t



01. Hallar el monto que se obtiene al imponer
un capital de 7 500 soles al 5% de interés
compuesto, durante 8 años.
Dato: (1,05)8
= 1,477455
INTERÉS COMPUESTO
DEDUCCIÓN DEL MONTO
EJERCICIOS
INTERES COMPUESTO
ANUALIDADES
BINOMIO DE NEWTON

Solución:
Del enunciado, tenemos:
C = 7 500
R = 5%
05,0
100
5
r 
t = 8 años
M = C (1 + r)t
Obtenemos:
M = 7 500 (1 + 0,05)8
M = 7 500 (1,05)8
Considerando el dato, el monto será:
M = 7 500 (1,477455)
M = 11 080 92 soles (Rpta).
02. Un cierto tipo de bacterias se reproduce
en forma muy rápida de modo que en
una hora aumenta su volumen en un
75%. Cuántas horas serán necesarias
para que su volumen sea 70 veces su
volumen original?
Datos: Log 7 = 0,845098
Log 1,75 = 0,243038
Solución :
Consideremos un volumen “V” como si fuera
el capital depositado a interés compuesto, 70
“V” será el volumen final
Donde: R = 75% 
100
R
r  = 0,75.
Reemplazando en la fórmula de monto:
C = V
M = C (1 + r)t
M = 70 V
r = 0,75
Se tendría:
70 V = V (1 + 0,75)
t
70 = (1,075)t
tomando logaritmos en ambos miembros,
obtenemos:
1,75Log
70Log
t
1,75Log
10Log7Log 
t
0,243038
1845098,0
t


De donde:
t = 7,59 horas Rpta.
Observación: En la fórmula del monto :
M = C (1 + r)
t
; el exponente “t” y el tanto
por uno “r” siempre van expresados en la
misma unidad, según sea el período al fin
del cual se capitalizan los intereses, es
decir:
capitalización Tiempo Tanto por uno
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Diaria
t (en años)
2 t
4 t
12 t
300 t
r (anual)
r/2
r/4
r/12
r/360
03. En cuanto se convertirá 50 000.00 soles,
impuesto al 5% anual, durante 6 años,
capitalizándose los intereses cada
trimestre?
Dato: (1,0125)24
= 1,347
Solución:
De acuerdo con el enunciado del
problema:
C = 50 000.00 soles
R = 5% anual

r =
100
5
= 0,05 (anual)
r =
4
05,0
= 0,0125 (trimestral)
t = 6 años = 6(4) = 24 trimestres
Reemplazando en la fórmula del monto
M = C (1 + r)t
Se tendría:
M = 50 000 (1 + 0,0125)24
M = 50 000 (1,0125)24
Utilizando el dato:
M = 50 000 (1,347)
el monto será:
M = 67 350,00 soles (Rpta).
Definición.- Se llama anualidad a la
cantidad fija que se impone todos los
años para formar un capital o en su
defecto amortizar una deuda.
Anualidad de capitalización.- Se
denota por “Ac” y es la cantidad fija que
se impone al principio de cada año al “r”
por uno de interés compuesto para
formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
Siendo “t” el tiempo en el cual se desea
formar el capital “C”, colocando las
anualidades al principio de cada año.,
vemos que:
La primera “Ac”durante “t” años nos dá
un monto de Ac (1 + r)t
La segunda “Ac” durante (t – 1) años
nos da un monto de Ac (1 + r)t-1
La última anualidad Ac, durante 1 año,
su monto será: Ac (1 + r)
Sumando todos los montos producidos
por las anualidades, formamos el capital
“C”.
C = Ac(1+r)t
+ Ac(1+r)t-1
+ .... + Ac(1 + r)
C = Ac[(1+r)t
+(1+r)t-1
+ .... + (1 + r)]
Factorizando : (1 + r)
C = Ac(1+r) [(1+r)t-1
+ (1 + r)t-2
+ … + 1]
Como los sumados del corchete representan
el desarrollo de un cociente notable,
obtenemos:









1)r1(
1)r1(
)r1(AC
t
c
Despejando la anualidad de capitalización:
 1)r1()r1(
rC
A
t
c

 
Anualidad de Amortización.- Es la
cantidad fija que se impone al final de cada
año al “r” por uno de intereses compuesto
para amortizar una deuda “C” y los intereses
que produce, a interés compuesto, en un
tiempo “t”.
Siendo “t” el tiempo en el cual se debe
pagar el capital prestado “C” más sus
intereses, colocando las anualidades al final
de cada año, se observa que:
La primera anualidad impuesta durante
(t – 1) años, nos da un monto de :
Aa (1 + r) t-1
La segunda anualidad impuesta durante
(t-2) años, nos da un
monto de : Aa (1 + r) t-2
La última anualidad impuesta durante el
último año es Aa.
La suma de los montos producidos por
las anualidades equivalen al capital
prestado más los intereses producidos,
es decir: C (1 + r) t
; con lo cual se
tendría la ecuación:
ANUALIDADES

C(1+r)
t
= Aa (1+r)
t – 1
+ Aa (1+r)
t – 2
... + Aa
Factorizando “Aa” en el 2do. Miembro:
C (1+r)
t
=



  1...2-tr)(11-tr)(1
a
A
Por cocientes notables (reconstrucción)
C (1+r)
t
=










1)r1(aA
1-tr)(1
Por consiguiente:
La anualidad de amortización “Aa” para
pagar el capital prestado “C” está
formulado por:
1)r1( ta
A



r)r(1C. t
Ejemplo:
Se acordó la compra de un terreno en
150 000 soles, cuya cantidad se tomó a
préstamos al 4% amortizable en 15
años. ¿Qué cantidad fija se debe
imponer a final de cada año para
cancelar el préstamo más sus intereses?
Dato: (1,04)15
= 1,8
Solución: Del anunciado tenemos que:
C = 150 000 soles
R = 4%
r =
100
4
= 0,04
Reemplazando:
1-0,04)(1
0,04)(1(0,04)000)(150
15
15


aA
1-,04)(1
1,04)((0,04)000)(150
15
15
aA
Factorial de un número natural.- Es el
producto de todos los números enteros
positivos y consecutivos desde el número 1
hasta n inclusive; su notación es:
n ! ó n ; se lee “factorial del número “n”
Así tenemos:
a) 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 = 6!
b) 3 = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
c) 4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
En general:
n ! = n = 1 x 2 x 3 x ....... x (n – 1) x n
Observemos que:
-3 = No existe
2
5
= No existe
- 3 = -1 x 2 x 3 = -6
2
5
= 60
2x1
5x4x3x2x1

1. El factorial de un número se puede
descomponer como el producto del
factorial de un número menor, multiplicado
por todos los consecutivos hasta el
número de consideración, es decir
12 = 9 x 10 x 11 x 2
26 = 16 x 17 x 18 ............ x 25 x 26
En general:
n = n – k (n – k + 1) (n – k + 2) ..... (n –1) n
Aa = 13491,2 soles
BINOMIO DE NEWTON
PROPIEDADES

donde : k  n
Simplificar :
17x6
18x5
E 
Solución:
Descomponiendo los factoriales:
6
18
17x6x5
18x17x5
E 
 E = 3 Rpta.
2. Si el factorial del número A es igual
al factorial del número B, entonces A
y B son iguales, es decir:
A = B  A = B (A  0  B 0)
Ejemplo:Calcular los valores de “n”
Si:
( n )2
- 8 n + 12 = 0
Solución:
Factorizando; tendríamos:
( n -2 ) ( n - 6 ) = 0
igualando cada factor a cero:
a) n = 2 = 2  n = 2
a) n = 6 = 3  n = 3
 C.S. = 2, 3 Rpta.
Observación: El factorial de cero
es igual a la unidad, es decir:
 0 ! = 0 = 1 ; Demostración :
Dado que; n = n – 1 x n
para : n = 1  1 = 0 x 1
 0 ! = 0 = 1
3. Si el factorial de un número “n” es
igual a uno, entonces el valor de “n”
puede ser cero o la unidad
n = 1  n = 0  n = 1
Ejemplo: Hallar “n”, si:
(n – 2) ! = 1
Solución:
i) n – 2 = 0  n = 2
(n – 2) ! = 1 
ii) n – 2 = 1  n = 3
 C.S. = 2 ; 3  Rpta.
1. ¿Qué valor de n” verifica la siguiente
igualdad:
1024 n – 1 [1 x 3 x 5 ... x (2n – 3)] = 2 (n – 1)
Solución:
Dado que:
1 x 3 x 5 ... x (2n –3) =
=
)2n2(x.......x6x4x2
)2n2)(3n2(x...5x4x3x2x1


1 x 3 x 5 ... x (2 n –3) =
1n2
22n
1n



la igualdad se transforma en:
1024 n–1 x
1n2
22n
1n



= 2n - 2
cancelando los factores comunes
obtenemos:
2n – 1
= 1024  2n-1
= 210
 n – 1 = 10
 n = 11 Rpta.
2. Si se cumple la relación:
1 1 + 2 2 + 3 + 3 + ... + n n = 2069
Hallar el valor de n.
EJERCICIOS

Solución
Cada coeficiente de los términos el
primer miembro, se puede expresar de
la siguiente forma:
(2–1) 1 + (3-1) 2 + (4-1) 3 + ......
............+ (n+1 –1) n = 5039
de donde el operar, obtenemos:
2 - 1 + 3 - 2 + 4 - 3 + .......
......... + (n +1 - n = 5039
al cancelar, los términos semejantes, se
tendría:
- 1 + n + 1 = 5039
n + 1 = 5040
n +1 = 7
 n + 1 = 7  n = 6 Rpta.
Permutaciones.- Permutaciones de “n” elementos
tomados en grupos de “n” son los diferentes grupos que
se forman en el cual participando “n” elementos en cada
grupo, estos se diferencian por el orden de colocación;
matemáticamente:
Pn = n ! = n
Ejemplo: Permutar “a”, “b” y “c”
Solución:
La permutación de “a , b” y “c” es:
Pabc = abc; acb; bac; bca; cab; cba
P3 = 3 ! = 6 grupos; en cada grupo hay
3 elementos, que se diferencian por el
orden de colocación.
Variaciones.- Variaciones de “n” elementos
tomados en grupos de “k” en “k” son los
diferentes grupos que se forman en el cual
participando “k” elementos en cada grupo
estos se diferencian al menos por un
elemento o por el orden de colocación;
matemáticamente:
kn
n
Vn
k 

factoresk
1)k-(n2)........(n1)(n(n)
Vn
k


Ejm: Variar “a”, “b” y “c” de 2 en 2.
 cbca,bc,ba,ac,ab,V cb,a,
2

6
1
3x2x1
1
3
2-3
3
V3
2

Combinaciones.- Combinatoria de “n”
elementos, tomados en grupo de “k” en
“k” son los diferentes grupos que se
forman, en el cual participando “k”
elementos en cada grupo estos se
diferencian al menos por un elemento,
matemáticamente :
k-nk
n
Cn
k
 ; k  n
kx............x3x2x1
1)k-(n.......2)-(n1)-(nn
Cn
k


Ejm.: Combinar, “a”, “b” y “c” de 2 en 2
Solución
 bcac,ab,cb,a,
2
C
1x2x1
1x2x3
12
3
C3
2 
3
2
C 3; grupos en el cual un grupo es
diferente del otro por el orden de
colocación.
ANÁLISIS COMBINATORIO

Propiedades:
1)
n
k-n
n
k CC 
2)
1n
k
n
1-k
n
k CCC 

3)
n
k
1n
1k CC
1k
1n


 
4)
n
k
1-n
1-k CC
n
k
5)
ba
nm
CC n
b
m
a




nmba
nm
CC n
b
m
a




6) n n
1
n
0 CC
Es una fórmula que nos permite encontrar
el desarrollo de un binomio elevado a
cualquier exponente.
Deducción del binomio para exponente
entero y positivo.
1. (a+b)1
= a+b
2. (a+b)² = a² + 2ab +b²
3. (a+b)3
= a3
+3a²b+3ab²+b3
4. (a+b)4
= a4
+ 4a3
b +6a²b²+4ab3
+b4
De estos desarrollos observamos :
1. El desarrollo es un polinomio
homogéneo, cuyo grado es igual al
exponente del binomio.
2. El número de términos que tiene el
desarrollo es igual al exponente del
binomio más uno.
3. Los exponentes en el desarrollo varían
consecutivamente desde el exponente
del binomio hasta el expediente cero
en forma descendente y ascendente
con respecto a “a” y “b”.
4. Los coeficientes de los términos
equidistantes de los extremos en el
desarrollo son iguales.
5. En el desarrollo, cada coeficiente es
igual al coeficiente anterior
multiplicado por el exponente de “a” y
dividido entre el exponente de “b” más
uno.
6. La suma de los coeficientes del
desarrollo es igual al número 2
elevado al exponente del binomio.
7. Si en el binomio, su signo central es
negativo, los signos en el desarrollo,
son alternados.
De acuerdo a estas observaciones
tendríamos la siguiente forma
genérica.
(a+b)n
= an
+ nan-1
b +
2x1
1)n(n
an-2
b²+
+
3x2x1
2)1)(nn(n 
an-3
b3
+ .........+bn
Coeficientes Binomiales.- Son los
coeficientes de los términos del
desarrollo de (a+b)n
, donde n puede
ser entero, fraccionario, positivo y/o
negativo.
i. En el binomio de newton si n es
entero y positivo, su coeficiente
binomial es:
!k
)1n(n
Cn
k
1)k-(n..........2)-(n 

ii. Si n es fraccionario, su coeficiente
binomial es :
k!
1)k(n.........2)(n1)(nn
k
n 






De acuerdo a esto, se tendría.
BINOMIO DE NEWTON

(a+b)n
= cn
0 an
+ cn
, an – 1
b + ..... cn
n nb
Es un triángulo en el cual, un coeficiente
cualquiera es igual a la suma de los dos
que van sobre el en la línea anterior. Es
práctico cuando los exponentes del
binomio son pequeños.
Ejemplos : Para hallar los coeficientes de
(a+b)6
; su triángulo de Pascal sería:
(a + b)0
= 1
(a + b)1
= 1 1
(a + b)2
= 1 2 2
(a + b)3
= 1 3 3 1
(a + b)4
= 1 4 6 4 1
(a + b)5
= 1 5 10 10 5 1
(a + b)6
= 1 6 15 20 15 6 1
Dado el binomio:
(a + b)n
= cn
o an
+ cn
1 an-1
b + …. + C n
n bn
Tn+1
t1 t2
TK+1
en su desarrollo vemos que:
Kknn
k1k )b()a(CT 
 
Ejm. # 1.- Hallar el G.A. del T25 en el
desarrollo de (x2
– y3
)26
Solución:
a = x2
Datos : b = -y3
n = 26
k+1 = 25  k = 24
Kknn
k1k )b()a(CT 
  ; 0  k  26
Obtenemos:
2432426226
24124 )y()x(CT 


72426
2425 yxCT 
 Grado absoluto = G.A. = 76 Rpta.
1. Determinar “k” en el binomio
(x+1)36
, si los términos de lugares
(k – 4) y k2
son iguales en sus
coeficientes.
Rpta. K = 6
2. Cuántos términos racionales hay
en el desarrollo del binomio.
50
5
xy
1
xy









Rpta. = 6
3. Simplificar:
100
15
100
100
85
5
95
80
100
5
CC
CCC
S



4. Hallar el G.A. del término central en
el desarrollo del binomio:
(x3
+ y4
)22
TRIANGULO DE PASCAL
FORMULA PARA DETERMINAR UN
TÉRMINO CUALQUIERA DEL
DESARROLLO DEL BINOMIO DE
NEWTON
EJERCICIOS

Definición.- Es la operación inversa a
la potenciación que consiste en hallar
una cantidad algebraica “b” llamada raíz
de forma que al ser elevada a un cierto
índice reproduce una cantidad “a”
llamado radicando o cantidad subradical.
Matemáticamente:
a(b)ba n
n
Elemento de la radicación:
ba n
Ejm.:
a) 813)(381 44 
b) 125)5(5125 33 
c) 32-2)(-2-32- 55 
d) 16-161)i4(i416- 22

Nota.- i; en la unidad de los números
imaginarios, tal que:
1-i1-i 2

Signos de las raíces:
a)
par
 =  (Real)
b)
par
- =  (Imaginario)
c)
impar
 = + (Real)
d)
impar
- = - (Real)
Debemos tener en cuenta las siguientes
propiedades en cuanto a radicación:
I. Raíz de una potencia
n
m
n m
aa 
II. Raíz de una multiplicación de
varios factores
cbacba nnnn

III. Raíz de una división
n
n
n
b
a
b
a
 b  0
IV. Raíz de raíz
aa nmm n 
Para extraer la raíz cuadrada de un
polinomio, su máximo exponente
(grado) debe ser par y se aplica las
siguientes reglas:
1º.- Se ordena y completa el
polinomio respecto a una letra –
ordenatriz, luego se agrupan los
términos de “dos en dos”
comenzando por la última cifra.
2º.- Se halla la raíz cuadrada del
primer término y obtenemos el
primer término de la raíz
cuadrada del polinomio. Esta raíz
se eleva al cuadrado, se cambia
de signo y se suma al polinomio
dado, eliminando así la primera
columna.
3º.- Se bajan los dos términos que
forman el siguiente grupo, se
duplica la raíz y se divide el
primer término de los bajados
entre el duplo del primer término
de la raíz. El cociente obtenido es
el seguido término de la raíz.
Este segundo término de la raíz
con su propio signo se escribe al
RADICACIÓN
Signo radical
Radicando o cantidad
el subradical
Índice Raíz
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
RACIONALIZACION
FORMAS INDETERMINADAS

lado del duplo del primer término
de la raíz formándose un binomio;
el binomio formado lo
multiplicamos por el segundo
término con signo cambiado, el
producto se suma a los dos
términos que se habían bajado.
4º.- Se baja el siguiente grupo y se
repite el paso 3 y se continua el
procedimiento hasta obtener un
resto cuyo grado sea una unidad
menor que el grado de la raíz o
un polinomio de resto nulo.
Ejm.: Hallar la raíz cuadrada del
polinomio
P (x) = x4
– 4x3
+ 6x2
– 4x + 1
Solución:
En este problema tenemos como datos:
Pº : Grado de polinomio = 4
n : Índice de la raíz = 2
rº :
n
Pº
: Grado de la raíz =
2
4
= 2
Rº : Grado del resto
El grado del resto es siempre menor que
el grado de la raíz y su máximo grado,
uno menos que el grado de la raíz
multiplicada por (n – 1)
Rº = (n – 1) rº - 1
En nuestro caso:
Rº = (2 – 1) 3º - 1  Rº - 2º
Distribuyendo en términos tendríamos:
14x-6x4x-x 234

x2
– 2 x + 1
-x4
(x2
) (-x2
) = -x4
0 2x2
-4 x3
+ 6x2
-4x3
 2x2
= -2x
4 x3
- 4x2
(2x2
– 2x) (2x)
2x2
– 4x + 1 2x2
 2x2
= 1
-2x2
+ 4x - 1 (2x2
– 4x + 1) (-1)
0
 Vemos que:
1x2-x1x4-6x4x-x(x)P 2234

Hallar la raíz cuadrada de los siguientes
polinomios:
a) P (x) = x4
+ x3
+ x2
+ x + 1
b) P (x) = 2x6
- 3x5
+ 4x3
- 6x + 1
c) P (x) = 2x8
- x7
+ 6x6
- x4
– x2
- 2
d) P (x) = 2x4
- x3
- 3x2
+ 6x – 3
e) P (x) = x10
+ 2x5
+ x2
+ 2x + 1
Las radicales dobles son expresiones
algebraicas que adoptan la siguiente
forma:
BA 
Ejemplos:
a) 223  b) 24-5
c) 102-7 d) 132-14
Las radicales dobles se pueden
descomponer en la suma o diferencia de
dos radicales simples.
Deducción de la fórmula.
Sabemos que:
)(................yxBA 
De aquí obtenemos el sistema cuyas
incógnitas son “x” e “y”
BAyx  ................. (1)
B-Ay-x  ................. (2)
Resolviendo el sistema:
i) Cálculo de “x” :
2
B-ABA
x

 ;
elevando al cuadrado
2
B-AA
x
2


EJERCICIOS
RADICALES DOBLES
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLES A RADICALES SIMPLES

haciendo : C = B-A2
2
CA
x

 ......................... (3)
ii) Cálculo de “y”
2
B-ABA
y

 ;
elevando al cuadrado
2
B-A-A
y
2

2
C-A
y  ......................... (4)
Sustituyendo los valores de “x” e “y” en
... (1) y ... (2), obtenemos las fórmulas
de transformación de radicales dobles
en radicales simples; sintetizando:
2
C-A
2
CA
BA 


Donde: C = B-A2
y A2
– B es un
cuadrado perfecto.
Ejemplo # 1:
Descomponer en radicales simples:
56215E 
Solución:
Pasando 2 al radical interno (pasa como 4)
A = 15
42215E  
B = 224
2
C15
2
C15
E



 ........... ()
Calculo de C:
1224-225224-15B-AC 22

luego en ..... (1)
78
2
115
2
115
E 




 E = 72256215  Rpta.
Si el radical doble se puede expresar en
la forma: B2A  ; su transformación a
radicales simples se obtiene por
inspección:
rrB2A 21 
en esta transformación debe tenerse en
cuenta que:
1º.- r1  r2
2º.- r1 + r2 = A
3º.- r1 . r2 = B
Ejemplo # 2:
Descomponer en radicales simples:
212-10R 
Solución
Buscamos dos números “r1” y “r2” cuya
suma sea 10 y producto sea 21.
Estos números son 7 y 3, es decir r1 = 7 y
r2 = 3, con lo cual se tendría:
3-7212-10R 
01.- Calcular el valor de:
302-11288-14012S  -
62-7-
02.- Hallar el valor de:
223212.......12121 
03.- Hallar la raíz cuadrada de:
3x11x624x5S 2

04. Qué radical doble dio origen a
los radicales simples
2x3-3x5 
Transformación en radicales simples
para radicales de la forma
DCBA  ....................... (I)
DCBA  ....................... (II)
Solución:
Si (I) y (II) se puede expresar en las
formas:
zy2zx2x y2A 
zy2zx2x y2A 
FORMA PRACTICA
EJERCICIOS

donde: A = x + y + z
entonces se tendría que:
zyxDCBA 
z-y-xDCBA 
Ejemplo # 1: Expresar en radicales
simples:
140846015S 
Solución:
Como: 60 = 4 x 15
84 = 4 x 21
140 = 4 x 35
35221215215S 
ó también:
5(7)23(7)23(5)215S 
donde: 3 + 5 + 7 = 15, entonces la
transformación a radicales simples es:
140846015S  = 753 
Rpta.
Descomposición en radicales
simples para radicales de la forma
3
BA 
La transformación se puede expresar en
las formas:
3
BA  = x + y ............. (1)
3
B-A = x - y ............. (2)
Para determinar “x” e “y” utilizamos las
relaciones
C = 3 2
B-A ................... ()
A = 4x3
– 3x C .............. (ß)
y = x2
– C ................ ()
C, se obtiene directamente en () y se
reemplaza en (ß)
En (ß) se forma la ecuación cúbica en
“x”, la cual se resuelve por tanteos,
luego el valor de “x” se reemplaza en
() y se obtiene el valor de “y”.
Ejemplo: Hablar la raíz cúbica de:
10 + 6 3
Solución
Expresando bajo el radical cúbico, se
tendría:
33
108103610S  = yx 
A = 10 y B = 108  C = 108102

C = -2
Reemplazando en:
A = 4x3
– 3x c  10 = 4x3
– 3x (-2)
Tenemos la ecuación:
2x3
+ 3x – 5 = 0: por inspección vemos
que x = 1
Luego en : y = x2
– c
y = 1 – (-2)
y = 3
 313610
3

Es la operación que consiste en
transformar una expresión algebraica
irracional en otra parcialmente racional.
Fracción irracional.- Se llama así a una
fracción, cuando el denominador
necesariamente es irracional.
Factor racionalizante.- Es una
expresión irracional que multiplicado por
la parte irracional de la fracción irracional
la transforma en racional.
I. Cuando el denominador irracional
es un monomio.
m n
a
N
f  ; m  n
En este caso el factor racionalizante
multiplica al numerador y denominador
y esta dado por:
fr = m nm
a 
Entonces:
m nm
m nm
m n
a
a
a
N
f



m nmn
m nm
a
aN
f



a
aN
f
m nm 

Ejemplo: Racionalizar:
F =
8 235
cba
5
Solución:
El factor racionalizante es:
RACIONALIZACIÓN

fr = 8 653
cba
con lo cual:
F =
8 235
8 235
8 235
cba
cba
cba
5

F =
cba
cba5
8 235
II. Cuando el denominador presenta
radicales de índice dos, de las
siguientes formas:
ba
N
F1


ba
N
F2


cba
N
F3


En este caso los factores racionalizantes
respectivos son:
f1 = ba 
f2 = ba 
f3 = c)ba( 
Recordemos que:
( ba  ) ( ba  ) = a – b
Ejm. Racionalizar
321
4
R


Solución:
Multiplicando por el factor racionalizante:




















3-21
3-21
321
4
R
obtenemos:
22
)3(-)2(1
)3-21(4
R



22
)3-21(4
R


Racionalizando nuevamente:
2
2
22
)3-21(4
R 


R = 6-22  Rpta.
III. Cuando el denominador irracional
es un binomio o trinomio con
radicales cúbicos de las siguientes
formas:
F1 = 33 ba
N

F2 =
3 233 2
baba
N

En este caso los factores racionalizantes
son:
f1 = 3 233 2
baba 
f2 = 33 ba 
Debe tenerse en cuenta que:
ba)baba()ba(
3 233 233
 
Ejemplo: Racionalizar:
12
1
f
.3


Solución
Multiplicando por el factor racionalizante
el numerador y denominador, se tendría:




















122
122
12
1
f
33 2
33 2
3
f =
1)2(
124
3 3
34


f = 124 33
 Rpta.
IV. Cuando el denominador es un
binomio o polinomio de las formas:
a) ba nn 
b) n 1n-n 2n-n 1n-
b..........baa  
Debemos recordar:
1) Para todo valor de n :
b-a)b......baa()ba(
n 1n-n 2n-n 1n-nn 
2) Para n impar:
ba)b......baa()ba(
n 1n-n 2n-n 1n-nn 
3) Para n par:
b-a)b-......baa()ba(
n 1n-n 2n-n 1n-nn 
Uno de los factores es el factor
racionalizante del otro.
Ejm.: Racionalizar F =
12
1
5

Solución
Multiplicando el numerador, denominador
por el factor racionalizante, obtenemos:





















12222
12222
12
1
F
55 25 35 4
55 25 35 4
5
F = 124816 5555

Si en una fracción el numerador y
denominador, o ambos se hacen cero o
infinito, se obtienen las siguientes
formas determinadas.
0
;
0
;
a
;
a
;
a
0
;
0
a 



matemáticamente se expresan de la
siguiente forma:
1) 0
x
a
a
Lim


4)
x
a
a
Lim

2)
a
x
0a
Lim


5) 0
x
a
0x
a
Lim



3) 0
a
x
a
Lim


6)
x
a
0x
a
Lim



Nota.- La expresión:
x
a
0a
Lim


; se lee: Límite de la
fracción
x
a
cuando “x” tiende a cero es
igual a infinito ().
Formas Indeterminadas.- Son
aquellas expresiones que adoptan las
formas:
0
0;1;x0;-;;
0
0 



Verdadero valor.- Es el valor que
toma la forma indeterminada después
de levantar la indeterminación:
Dada la fracción
Q(x)
P(x)
; tal que
0
0
Q(x)
P(x)
ax
Lim


. Esto nos indica que el
numerados y denominador de la fracción
contienen el factor (x – a) que causa la
indeterminación.
Para encontrar el factor (x –a) podemos
aplicar cualquiera de los siguientes
criterios, según convengan:
1. Factorización por aspa simple:
Si P (x) y Q(x) son expresiones
racionales de segundo grado.
2. Regla se Ruffini:
Si P(x) y Q(x) son expresiones
racionales de grado mayor o igual
que tres.
3. Cocientes notables:
racionales binomias.
4. Racionalización
irracionales.
5. Derivación (Regla de L’Hospital)
Se deriva P(x) y Q(x) en forma
independiente.
Ejemplo # 1.- Hallar el verdadero
valor de:
15 2
3
54
x
x-x
x-x
E









cuando x = 1 ó
E
1x
Lim

Solución:
Cuando x  1  E =
0
0
(Ind.)
Para determinar su verdadero valor,
levantamos la indeterminación.
1º.- mcm (4, 5, 15, 2, 3) = 60 (índices)


















60 8
60 2060 30
60 1260 15
x
xx
xx
1x
Lim
E
Haciendo el cambio de variable:
60
x = t  x = t60
:
x  1  t  1; se tendría:
t-t
t)t-t(
1x
Lim
E
2030
81215


)1t(t
1)-t(t
1x
Lim
E
1020
320


Cuando t = 1
E =
0
0
(Indeterminado)
Por cocientes notables:
FORMAS DETERMINADAS E
INDETERMINADAS
FORMA INDETERMINADA:
0
0

1)t........tt(t1)-(t
1)t(t)1t(
1t
Lim
E
789
2




Cuando t = 1
10
3
E
11.....111
111
E
789
2





10
3
xx
x)xx(
1x
Lim
E
3
15 254





Desde que



 (x)Q
(x)P
x
Lim
(Ind.)
Para levantar la indeterminación
factorizamos en el numerador y
denominador “x” al máximo exponente;
después de simplificar, calculamos el
límite cuando “x” tiende al infinito.
En forma práctica debemos considerar
los siguientes aspectos, respecto a los
grados absolutos de P8x) y Q(x).
1º.- Si : Pº (x)  Qº (x)
 
 Q(x)
P(x)
x
Lim
2º.- Si : Pº (x) = Qº (x)

 
 PotenciaMax.Coef
PotenciaMax.Coef
Q(x)
P(x)
x
Lim


3º.- Si : Pº (x)  Qº (x)
 0
Q(x)
P(x)
x
Lim


Ejemplo.- calcular
8-x3x4x
5-7xx5
x
lim
E
234
34




Solución:
Tomando el límite (x  )
(Ind.)
8-
5-
E






Levantando la indeterminación, factorizando
x con su mayor exponente.
)
x
8
x
1
x
3
(4x
)
x
5
-
x
7
(5x
x
lim
E
42
4
4
4




Cuando : x  
4
5
E  Rpta.
Debemos considerar dos casos:
1º.- Si E(x) es una expresión
algebraica irracional que toma la
forma de ( - ) cuando x tiende al
infinito ().
E(x) se multiplica y divide por su
factor racionalizante y se lleva a la
forma 







.
Luego de aquí podemos aplicar
cualquiera de las reglas prácticas
vistas anteriormente.
2º.- Si E(x) es racional y toma la forma
indeterminada ( - ) cuando xa
Para levantar la indeterminación se
efectúa las operaciones indicadas y
después de simplificar hallamos
Lim E(x)
xa
Ejemplo.- calcular
 bcxxxbx 

 22
aax
x
LimE
Solución:
Cuando x    E =  -  (Ind.)
Para levantar la indeterminación
multiplicación el numerador y
denominador que vale 1 por factor
racionalizante, obtenido:


x
Lim
E
bcxaxcbxax
b`cxaxcbxax
22
22




x
Lim
E
bcxaxcbxax
)cb(x)cb(
22


Cuando: x    E =


(Ind.)
Factorizando “x” en el numerador y
denominador:


x
Lim
E














 

22
x
b
x
ca
x
c
x
b
ax
x
cb
cbx
Cuando: x  
a2
cb
aa
cb
E





FORMA INDETERMINADA:


FORMA INDETERMINADA:  - 

racionalizando, obtenemos el límite


E
x
Lim
a2
a)cb( 
Rpta.

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