Limites de-una-funcion-2015
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Este documento introduce el concepto de límite de una función matemática y cómo se aplica a la medicina. Explica que el límite de una función cuando x tiende a x0 es el número real L tal que, para cualquier ε>0, existe un δ>0 que cumple que si 0<|x-x0|<δ, se verifica que |f(x)-L|<ε. Además, presenta teoremas sobre límites, ejemplos de cálculo de límites laterales e infinitos, formas indeterminadas y continuidad de funciones.
![LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios de Aplicación:
1. Hallar el
Solución
= 4 = 4
= 4 [-2]³
= 4. (-8)
= - 32](https://image.slidesharecdn.com/limites-de-una-funcion-2015-150530001948-lva1-app6891/85/Limites-de-una-funcion-2015-8-320.jpg)
![LIMITE DE UNA FUNCIÓN
2. Hallar el
Solución
=
=
= 3[3]³ - 5.3
= 81 – 15
= 66](https://image.slidesharecdn.com/limites-de-una-funcion-2015-150530001948-lva1-app6891/85/Limites-de-una-funcion-2015-9-320.jpg)
![LIMITE DE UNA FUNCIÓN
4. Hallar el limh→0
2+h 3−8
h
Solución
limh→0
2+h 3−23
h
limh→0
2 + ℎ − 2 2 + ℎ 2
+ 2 ℎ + 2 + 22
h
limh→0
h 2+ℎ 2+2 ℎ+2 +4
h
limh→0[ 2 + ℎ 2+2 2 + ℎ +4]= 12](https://image.slidesharecdn.com/limites-de-una-funcion-2015-150530001948-lva1-app6891/85/Limites-de-una-funcion-2015-11-320.jpg)
![LIMITE INDETERMINADOS
FORMAS INDETERMINADAS
Forma: ; para levantar esta indeterminación
tendremos en cuenta lo siguiente:
a) Si: [f₍x₎]°< [g₍x₎]° = 0
b) Si: [f₍x₎]°= [g₍x₎]° =
c) Si: [f₍x₎]° > [g₍x₎]° = ∞](https://image.slidesharecdn.com/limites-de-una-funcion-2015-150530001948-lva1-app6891/85/Limites-de-una-funcion-2015-25-320.jpg)
![LIMITE INDETERMINADOS
Ejemplo:
Calcular:
Solución
[f₍x₎]°< [g₍x₎]°
= 0](https://image.slidesharecdn.com/limites-de-una-funcion-2015-150530001948-lva1-app6891/85/Limites-de-una-funcion-2015-26-320.jpg)
Limites de-una-funcion-2015
- 1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE MEDICINA HUMANA LIMITE DE UNA FUNCION MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA 2015
- 2. IDEA DEL LIMITE DE UNA FUNCION Ejemplo 1: Veamos el comportamiento de la función f poniendo en una tabla algunos de sus valores. 𝑓 𝑥 = 1 + 1 𝑥 𝑥 > 0 Observamos que a medida que el valor de x crece, el valor f(x) disminuye y al parecer se acerca al valor 1. Con una calculadora, evaluemos f(x) para valores muy grandes de x, y notaremos que el valor será prácticamente 1. x f(x) 1 2 2 1,5 3 1,33…. 4 1,250 5 1,2 10 1,1 15 1,06…. 20 1,05 30 1,033.. 50 1, 02
- 3. LIMITE DE UNA FUNCION El limite de una función (f) cuando x tiende a x₀ es el numero real L, y se representa por : = L , si para cada ε > 0, existe un δ > 0, Si se cumple que x є Df se cumple: 0 <|x-x₀|< δ y se verifica: |f(x)- L|< ε L + ε L L – ε x₀- δ x₀ x₀+δ 𝛿𝛿 𝜀 𝜀
- 4. LIMITE DE UNA FUNCIÓN Observaciones 1. El lımite limx→xo f(x) puede o no existir. Si el lımite existe, esto es, L es finito se dice que f(x) converge a L, si no existe, se dice que f(x) diverge cuando x tiende a 𝑥 𝑜. 2. El hecho que limx→xo f(x) = L , significa que f(x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L siempre que x este suficientemente cerca de 𝑥 𝑜. 3. Es conveniente tener en cuenta que se ha dicho que x esta cercano a 𝑥 𝑜, pero no es igual a 𝑥 𝑜, de hecho, no necesariamente 𝑥 𝑜 pertenece al dominio de la función f. (Matematica en la Salud - Veronica Poblete Oviedo)
- 5. LIMITE DE UNA FUNCIÓN 1) Calcular el limite de f(х)= 2x² - 3x +1,cuando x tiende a 2. Solución = 2(2)² -3(2)+1 = 8 – 6 + 1 = 3
- 6. LIMITE DE UNA FUNCIÓN TEOREMAS PRINCIPALES DE LIMITES: Sean “n” un numero positivo, “K” una constante, y f y g funciones con limites en “c”. Entonces: a) b) c) d) e)
- 7. LIMITE DE UNA FUNCIÓN f) g) h) i) ;
- 8. LIMITE DE UNA FUNCIÓN Ejercicios de Aplicación: 1. Hallar el Solución = 4 = 4 = 4 [-2]³ = 4. (-8) = - 32
- 9. LIMITE DE UNA FUNCIÓN 2. Hallar el Solución = = = 3[3]³ - 5.3 = 81 – 15 = 66
- 10. LIMITE DE UNA FUNCIÓN 3. Hallar el Solución = = = =
- 11. LIMITE DE UNA FUNCIÓN 4. Hallar el limh→0 2+h 3−8 h Solución limh→0 2+h 3−23 h limh→0 2 + ℎ − 2 2 + ℎ 2 + 2 ℎ + 2 + 22 h limh→0 h 2+ℎ 2+2 ℎ+2 +4 h limh→0[ 2 + ℎ 2+2 2 + ℎ +4]= 12
- 12. LIMITES LATERALES LIMITES LATERALES Como se hizo notar en la observación un lımite puede o no existir. En esta sección estudiaremos un importante criterio que nos permite concluir al respecto. Para introducir el tema, veamos el siguiente Consideremos la función f(x) = 𝑥 𝑥 , x ≠ 0. Nos preguntamos . ¿Existe limx→0f 𝑥 ? Como |x| = x para x ≥ 0 y |x| = −x para x ≤ 0 , La siguiente figura muestra la grafica de f, 𝑓 𝑥 = −1, 𝑥 < 0 1, 𝑥 > 0 1 - 1
- 13. LIMITE LATERAL DERECHO Sea f : A ⊂ R → R una función y 𝑥 𝑜 ∈ R. Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende a 𝑥 𝑜 por la derecha es L, si para todo ε > 0 existe δ > 0, tal que para x ∈ A con 0 < x− 𝑥 𝑜 < δ se tiene que |f(x) − L| < ε. Notación: limx→xo+ f(x) = L, se lee el lımite de f(x) cuando x tiende a 𝑥 𝑜 por la derecha es L. L 𝑥 𝑜
- 14. LIMITE LATERAL IZQUIERDO Sea f : A ⊂ R → R una función y 𝑥0 ∈ R. Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende a 𝑥0 por la izquierda es M, si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para x ∈ A con 0 < c − x < δ se tiene que :|f(x) −M| < ε. Notacion: limx→xo− f(x) = M, se lee el lımite de f(x) cuando x tiende a 𝑥0 por la izquierda es M. xo M
- 15. LIMITE DE UNA FUNCIÓN Dados estos conceptos, podemos establecer el siguiente criterio de convergencia de lımites. Existe limx→xo f(x) si y solo si existen limx→x 𝑜+ f(x) = limx→x 𝑜− f(x) L=M 𝑥 𝑜
- 16. LIMITES INFINITOS Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende a 𝑥 𝑜, y escribimos: lim 𝑥→𝑥 𝑜 𝑓 𝑋 = ±∞ si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜 , pero sin que x llegue a ser igual a 𝑥 𝑜. 𝑥 𝑜 asíntota
- 17. LIMITES INFINITOS POR LA IZQUIERDA Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende a 𝑥 𝑜 , y escribimos: lim 𝑥→𝑥 𝑜− 𝑓 𝑥 = ±∞ si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜, siendo x menor que 𝑥 𝑜. 𝑥 𝑜
- 18. LIMITES INFINITOS POR LA DERECHA Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende a 𝑥0 , y escribimos: lim 𝑥→𝑥 𝑜 + 𝑓 𝑥 = ±∞ si podemos 𝑥 incrementar (o disminuir) indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜, siendo x mayor que 𝑥 𝑜 . 𝑥 𝑜
- 19. LIMITES INFINITOS Hallar el: a) lim 𝑥→3− 𝑓 𝑥 b) lim 𝑥→3+ 𝑓 𝑥 3
- 20. LIMITES INFINITOS Hallar los siguientes limites: a) lim 𝑥→3− 2 𝑥−3 b) lim 𝑥→3+ 2 𝑥−3 Solución Evaluamos a Evaluamos b 3 x f(x) 2 -2 1 -1 0 -0,66 -1 -0,5 -2 -0,25 x f (x) 4 2 5 1 6 0,66.. 9 0,33.. 10 0,285
- 21. LIMITE AL INFINITO POR LA IZQUIERDA Definición: Sea f una función definida en un intervalo −∞; 𝑎 Entonces: lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, disminuyendo los valores de x indefinidamente. L a
- 22. LÍMITE AL INFINITO POR LA DERECHA: Definición Sea f una función definida en un intervalo 𝑎; ∞ . Entonces: lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, aumentando los valores de x indefinidamente. L a
- 23. LIMITE DE UNA FUNCIÓN Hallar el Solución: = Hallar el: lim 𝑥→−∞ 3𝑥−10 𝑥−4 Solución: lim 𝑥→−∞ 3𝑥−10 𝑥 −4 = lim 𝑥→−∞ 3𝑥 𝑥 − 10 𝑥 𝑥 𝑥 − 4 𝑥 = lim 𝑥→−∞ 3− 10 ∞ 1− 4 ∞ lim 𝑥→−∞ 3−0 1−0 = 3
- 24. LIMITE AL INFINITO Problema de aplicación: El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función 𝑓 𝑡 = 250 1+℮−2𝑡 que representa la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en un tiempo t medido en semanas. ¿Cuantas personas están contagiadas al comienzo de la epidemia? ¿Que nos indica el valor limx→∞f t ?
- 25. LIMITE INDETERMINADOS FORMAS INDETERMINADAS Forma: ; para levantar esta indeterminación tendremos en cuenta lo siguiente: a) Si: [f₍x₎]°< [g₍x₎]° = 0 b) Si: [f₍x₎]°= [g₍x₎]° = c) Si: [f₍x₎]° > [g₍x₎]° = ∞
- 27. LIMITE INDETERMINADOS Forma: ; esta forma de indeterminación se levanta factorizando numerador y denominador para poder cancelar los factores que generan la indeterminación. Calcular: Solución: = 3
- 28. LIMITE INDETERMINADOS Forma: (∞ - ∞) o ( 0 x∞); para levantar este tipo de indeterminación se procede a efectuar las operaciones indicadas lo cual nos lleva a las formas ya estudiadas y aplicamos las reglas correspondientes en cada caso. Hallar el Solución = ∞ - ∞
- 30. LIMITE DE UNA FUNCIÓN Ejercicios : Hallar los limites de los siguientes ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5.
- 31. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION Definición: Una función f es continua en a si: lim 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂 Esta definición se describe más propiamente con estas tres condiciones: 1) Que f(a) esté definida. 2) Que exista lim 𝑥→ 𝑎 𝑓 𝑥 3) Que se cumpla lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
- 32. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION Es continua la función en 2: 2 2