Masas. centro de gravedad.
- 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO MECÁNICA ESTÁTICA Masas. Centro de Gravedad. Estudiante: Luis Cardozo C.I.: 21125770 Julio de 2017
- 2. MASA Masa es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter físico que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Dentro del Sistema Internacional, su unidad es el kilogramo (kg.). Esta noción, que tiene su origen en el término latino massa, también se aprovecha para hacer referencia a la mezcla que surge al incorporar un líquido a una materia que ha sido previamente desmenuzada, cuyo resultado es una sustancia espesa, blanda y consistente. En relación a la magnitud física, hay que decir que la noción de masa tiene su origen a raíz de la combinación de dos leyes: la ley de gravitación universal y el segundo principio de Newton. De acuerdo a la gravitación universal, la atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos constantes (definidas como masa gravitatoria), razón por la cual puede decirse que la masa gravitatoria constituye una propiedad de la materia gracias a la cual dos cuerpos consiguen atraerse entre sí. En base al segundo principio de Newton, hay que recordar que la fuerza que se aplica sobre un cuerpo es proporcional de forma directa a la aceleración que experimenta. Según los criterios de la Organización Internacional de Metrología Legal, la masa convencional de un cuerpo es idéntica a la masa que posee un patrón de densidad igual a 8000 kg/m3, la cual consigue equilibrar en el aire a ese cuerpo bajo condiciones escogidas por convención (temperatura del aire equivalente a 20 ºC y la densidad del aire estimada en 0,0012 g/cm3). CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad (C.G.) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actuán sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos es válido utilizar estos términos de manera intercambiable.
- 3. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masas, el objeto tiene que tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masas y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE GRAVEDAD Y MASA Conceptualmente son dos puntos distintos: El centro de masa es el punto donde debe aplicarse una fuerza para el el cuerpo adquiera un movimiento de traslación pura, es decir, sin rotaciones. El centro de gravedad es el punto donde está aplicado el peso de un cuerpo. En un lugar del universo que no exista gravedad, no existe centro de gravedad, pero sí centro de masa. El centro de gravedad y centro de masa con coinciden en un campo gravitatorio no uniforme (donde la aceleración de la gravedad no es constante) En la práctica de todas las experiencias que hacemos en laboratorios de física, no hay forma de medir las diferencias entre estos centros. Por lo tanto coinciden. Imaginemos un prisma homogéneo regular de gran altura (varios cientos de kilómetros). El centro de masa es el centro geomético del cuerpo. Pero el centro de gravedad no. Estaría ubicado más abajo que el centro de masa. Es así porque una partícula del prisma ubicada en la base del cuerpo pesaría más que una partícula de igual masa ubicada en la parte superior de prisma. Entonces su centro de masa está más cerca de la más baja, ya que esta pesaría más. DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE PESO Y MASA
- 4. CIRCULO DE MOHR Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones. CÍRCULO DE MORH PARA LA TRACCIÓN SIMPLE El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y
- 5. calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma: Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura. Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de morh. Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles: – El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad. – El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. – El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.
- 6. INERCIA La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”. MOMENTO un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dara el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza. Teniendo estas 2 definiciones podemos adentrarnos a la definición misma de: MOMENTO DE INERCIA
- 7. El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia, dependiendo de dónde se considere el eje de rotación. Mientras más masa está más alejada del eje de rotación, mayor esel momento de inercia. El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4 , pulg4. MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES Tenemos que calcular la cantidad donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de Un extremo De la segunda masa Del centro de masa
- 8. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es IA=1·02 +1·0.252 +1·0.52 +1·0.752 +1·12 =1.875 kgm2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es IB=1·0.252 +1·02 +1·0.252 +1·0.52 +1·0.752 =0.9 375 kgm2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es IC=1·0.52 +1·0.252 +1·02 +1·0.252 +1·0.52 =0.62 5 kgm2 En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA eIB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m. La fórmula que tenemos que aplicar es I=IC+Md2 IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos. IA=IC+5·0.52 =0.625+1.25=1.875 kgm2 . IB=IC+5·0.252 =0.625+0.3125=0.9375 kgm2 . MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
- 9. dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido MOMENTO DE INERCIA: LA ROTACION EN LA INERCIA Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta „‟la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro‟‟. El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en linea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES
- 10. El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo. TEOREMA DE STEINER Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría. El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.
- 11. Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D Procedemos ahora la demostración del Teorema: Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y') Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:
- 12. Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas: La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:
- 13. IMPORTANCIA PARA LA INGENIERIA El centro de masa es importantísimo en análisis de choques, construcciones de compuertas, de presas, en fin, cualquier construcción, pues si sabemos la localización del centroide como es afectada nuestra estructura por ciertas fuerzas aplicadas sobre ella. Para tratar de comprender y calcular el movimiento de un objeto, suele resultar más sencillo fijar la atención en el centro de masa. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire, ésta se mueve de forma compleja. La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempo tiende a girar. Si se siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla, su trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el movimiento del centro de masa de la varilla, se comprueba que su trayectoria es una parábola que puede describirse matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del extremo de la varilla puede describirse como una combinación de su rotación en torno al centro de masa y del movimiento parabólico de éste. El centro de masa también puede ser un concepto útil cuando se estudia el movimiento de sistemas complicados que están formados por muchos
- 14. El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. En cuanto a la inercia, esta es muy importante en el área de las estructuras, en el diseño estructural, la inercia es con lo que diseñas, la inercia depende de la geometría del material. Por ejemplo si se quiere diseñar una columna de acero, pues la longitud de la misma no se puede cambiar, el material tampoco porque es acero, pero lo que si se puede diseñar es la geometría de esta, y lo mismo pasa con un cable, con una viga, con una armadura, etc.