matematicas123.pdf

ADAPTACIÓN CURRICULAR
1
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Matemáticas
J. Colera, I. Gaztelu

Esta serie de Matemáticas responde a un proyecto pedagógico creado y desarrollado
por Anaya Educación para la ESO. En su elaboración han participado:
Autores: José Colera e Ignacio Gaztelu
Coordinación editorial: Mercedes García-Prieto
Edición: Carlos Vallejo
Diseño de cubiertas e interiores: Miguel Ángel Pacheco y Javier Serrano
Tratamiento infográfico del diseño: Javier Cuéllar, Patricia Gómez y Teresa Miguel
Equipo técnico: Aurora Martín e Isabel Pérez
Corrección: Sergio Borbolla
Ilustraciones: Jesús Aguado y Tatio Viana
Edición gráfica: Nuria González y Mar Merino
Fotografías: Age Fotostock; Archivo Anaya: Candel, C.; Cosano, P.; Leiva, Á. de;
López-Archilla, A.; Martin, J.; Martín, J.A.; Padura, S.; Ramón Ortega, P. – Fototeca
de España; Rivera Jove. V.; 6 x 6 Producción Fotográfica; Valls, R.; 123 RF ;
Cordon Press/Corbis; Getty Images; NASA; Prisma.
Las normas ortográficas seguidas son las establecidas por la Real Academia Española en
su última edición de la Ortografía, del año 1999.

3
Índice
Contenidos Competencias
Unidad
1. Origen y evolución de los números ............. 8
2. Aproximación de números naturales por
redondeo .................................................... 10
3. Operaciones con números naturales ............ 11
1. Potencias .................................................... 20
2. Potencias de base 10. Aplicaciones .............. 22
3. Raíz cuadrada ............................................. 24
Ejercicios y problemas ........... 17
Consolida lo aprendido
utilizando tus competencias
Autoevaluación ...................... 18
Autoevaluación ...................... 26

1
Losnúmeros
naturales

2
Potenciasyraíces
Página 7
Página 19
1. La relación de divisibilidad ......................... 28
2. Múltiplos de un número ............................. 30
3. Divisores de un número .............................. 31
4. Criterios de divisibilidad ............................. 32
5. Números primos y compuestos .................. 33
6. Mínimo común múltiplo de dos números .. 34
7. Máximo común divisor de dos números ..... 36
Autoevaluación ...................... 39

3

Divisibilidad
Página 27

Unidad
1. Números positivos y negativos .................... 42
2. El conjunto de los números enteros ............ 44
3. Sumas y restas de números enteros .............. 45
4. Sumas y restas con paréntesis ...................... 47
5. Multiplicación y división de números enteros . 50
1. Los órdenes de unidades decimales ............. 56
2. Operaciones con números decimales ........... 60
3. División de números decimales ................... 62
Autoevaluación ...................... 53
Autoevaluación ...................... 65

4
Losnúmeros
enteros

5
Losnúmeros
decimales
Página 41
Página 55
1. Las magnitudes y su medida........................ 68
2. El Sistema Métrico Decimal ....................... 69
3. Medida de la longitud ................................ 70
4. Medida de la capacidad .............................. 72
5. Medida del peso ......................................... 73
6. Medida de la superficie ............................... 74
1. El significado de las fracciones .................... 80
2. Fracciones equivalentes ............................... 83
3. Algunos problemas con fracciones .............. 85
Autoevaluación ...................... 77
Autoevaluación ...................... 87

6

ElSistemaMétrico
Decimal
Página 67

7
Lasfracciones
Página 79

1. Reducción a común denominador .............. 90
2. Suma y resta de fracciones .......................... 91
3. Multiplicación y división de fracciones ....... 93
4. Algunos problemas con fracciones .............. 94
Autoevaluación ...................... 96

8
Operaciones
confracciones
Página 89
1. Letras en vez de números ............................ 110
2. Expresiones algebraicas ............................... 112
3. Ecuaciones .................................................. 114
4. Primeras técnicas para la resolución
de ecuaciones .............................................. 115
5. Resolución de ecuaciones de primer grado
con una incógnita ....................................... 117
6. Resolución de problemas con ayuda de
las ecuaciones .............................................. 119
Autoevaluación ...................... 121
Página 109

10
Álgebra
1. Relación de proporcionalidad entre
magnitudes ................................................. 98
2. Problemas de proporcionalidad directa ....... 100
3. Porcentajes ................................................. 102
4. Aumentos y disminuciones porcentuales ..... 106
Autoevaluación ...................... 108

9
Proporcionalidad
yporcentajes
Página 97
1. Mediatriz y bisectriz .................................... 124
2. Simetrías en las figuras planas ..................... 125
3. Relaciones angulares ................................... 126
4. Medida de ángulos ..................................... 127
5. Ángulos en los polígonos ............................ 129
Autoevaluación ...................... 132

11

Rectas
yángulos
Página 123
Unidad

Unidad
1. Triángulos .................................................. 134
2. Cuadriláteros .............................................. 136
3. Polígonos regulares ..................................... 138
4. Circunferencia ............................................ 139
5. Cuerpos geométricos .................................. 140
6. Poliedros ..................................................... 141
7. Cuerpos de revolución................................. 142
1. Medidas en los cuadriláteros ....................... 146
2. Área de un triángulo ................................... 148
3. Medidas en los polígonos ........................... 149
4. Medidas en el círculo .................................. 150
1. Coordenadas cartesianas ............................. 154
2. Información mediante puntos .................... 155
3. Interpretación de gráficas ............................ 156
4. Distribuciones estadísticas........................... 157
5. Parámetros estadísticos................................ 158
6. Gráficos estadísticos .................................... 159
Autoevaluación ...................... 144
Autoevaluación ...................... 152
Autoevaluación ...................... 162
Página 145

13
Áreas
yperímetros

12
Figuras
geométricas
Página 133

14

Tablas
ygráficas
Página 153

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de nu-
meración. Estos han pasado de unos pueblos a otros
y han evolucionado a lo largo del tiempo.
Desde la prehistoria hasta nuestros días, egipcios,
babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes,
mayas… han manejado sistemas muy diversos, con
similitudes y diferencias.
Los sistemas de numeración sirven para escribir nú-
meros y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben
servir, también, para operar con ellos. Piensa en el
sistema de numeración romano (que ya conoces) e
imagina cómo se las apañarían para efectuar sumas.
Por ejemplo MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Segu-
ramente los agruparían en unidades, decenas, cen-
tenas…
M CCC XL VI
DCCC XXX IV
M MC LXX X → MMCLXXX
No parece fácil. Pues imaginemos lo complicado que
tendría que ser multiplicar.
El sistema de numeración egipcio es tan difícil de
manejar como el romano. Para multiplicar dos nú-
meros, diseñaron un curioso procedimiento basado
en duplicaciones sucesivas. En la página siguiente
podrás ver en qué consiste.
1Los números
naturales
DEBERÁS RECORDAR
■ El sistema de numeración decimal.
■ Cómo se operan números naturales.
©
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ANAYA,
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Matemáticas
1.°
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autorizado.
7

8
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Matemáticas
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8
Los números surgen de la necesidad de contar.
Podemos imaginar al hombre primitivo haciendo muescas en su cayado o ensar-
tando semillas en un collar para llevar la cuenta de las cabras de su rebaño.
Cuando la sociedad evoluciona (intercambios, comercio…) se hace necesa-
rio expresar números más grandes. Para eso hubo que inventar símbolos. Por
ejemplo:
→ 5 → 20 (los 20 dedos de una persona)
Los símbolos utilizados por una cultura y sus normas de uso forman un sistema
de numeración.
▼ ejemplo
Observa cómo se escribiría con los símbolos anteriores el número 47:
El sistema de numeración egipcio:
un sistema aditivo
Los egipcios usaban estos símbolos:
uno diez cien mil
Se trata de un sistema aditivo, porque, para escribir un número, se van aña-
diendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada.
El sistema de numeración romano
Los romanos, como ya sabes, utilizaban algunas letras a las que daban valores
numéricos:
I V X L C D M
uno cinco diez cincuenta
cincuenta
cincuent cien quinientos
quinientos
q mil
Estos símbolos se utilizaban también de forma aditiva, excepto para escribir 4, 9,
40, 90…; en estos casos se resta el signo menor colocado a la izquierda.
Por ejemplo:
xiv xc cx mcclxxx
{
{
{
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨
14 90 110 1280
Origen y evolución de los números
1
7
1435
1435

9
UNIDAD
1
9
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El sistema de numeración decimal:
un sistema posicional
Nosotros usamos el sistema de numeración decimal, que nació en la India en el
siglo vii y llegó a Europa por medio de los árabes.
Como sabes, utiliza solo diez símbolos o cifras:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los diferentes órdenes o
categorías de unidades.
En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del or-
den inmediato superior. Así, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa.
Por eso decimos que es un sistema posicional.
1 Escribe los números 14, 25, 28 y 52 en un sistema de
numeración aditivo que utiliza estos símbolos:
= 1 = 5 = 20
2 ¿Qué números representan estos grabados egipcios?:
3 Escribe en números romanos las siguientes cantidades:
a) 42 b) 159 c) 2185
4 ¿Qué número se ha escrito en cada recuadro?:
a) XLIX b) CCLX c) MCCCVI
5 Observa y contesta:
a)¿Cuántos millares hay en 40 centenas?
b)¿Cuántas decenas son tres unidades de millar?
c)¿Cuántos millares hay en dos millones?
d)¿Cuántas unidades de millar forman medio millón?
Actividades
DM UM C D U
3 0 0 0 0
5 0 0 0
3 0 0
1 0
8
3 5 3 1 8
M CM DM UM C D U
4 0
3 0 0
2 0 0 0
5 0 0
UNIDADES
DE MILLÓN
CENTENAS
DE MILLAR
DECENAS
DE MILLAR
UNIDADES
DE MILLAR
CENTENAS DECENAS UNIDADES
3 5 3 1 8
10
1
10
1
30000 unidades
300 unidades

10
10
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Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para
operar. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima-
do, terminado en ceros.
▼ ejemplos
268251 → 270000 6035192 → 6000000
La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.
Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
redondear un número a un determinado orden de unidades:
redondear
• Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una uni-
dad a la cifra anterior.
▼ ejemplos
Aproximaciones del número 293 518:
• A las centenas de millar ⎯→ 2 93 518 → 300 000
• A las decenas de millar ⎯→ 29 3 518 → 290 000
• A los millares ⎯⎯⎯⎯⎯→ 293 518 → 294 000
1 Redondea a las decenas los siguientes números:
a) 96 b) 299
c) 458 d) 553
e) 3087 f ) 4906
g) 6837 h) 9060
2 Redondea a las centenas estas cantidades:
a) 3502 b) 1696
c) 2724 d) 3310
e) 6193 f ) 5924
g) 6508 h) 9538
3 Redondea a los millares estos números:
a) 24 963 b) 7 280
c) 15 800 d) 59 300
e) 40 274 f) 55 555
g) 39 785 h) 99 399
4 Redondea a los millones las cantidades siguientes:
a) 4 356000 b) 36 905000
c) 1 584390 d) 15 326999
e) 74 825048 f) 13 457000
g) 89 245321 h) 55 571000
Actividades
La casa cuesta
270000 €.
La ciudad tiene
6 millones
de habitantes.
+1
+1
268251 €
6 035 192
habitantes
Aproximación de números naturales por redondeo
2

11
UNIDAD
1
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Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un
rápido repaso de algunos conceptos y propiedades.
La suma
Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir.
Por ejemplo, el equipo de ciclista que ves al margen cuesta, en total:
583 + 162 + 45 + 38 = 828 euros
La resta
Recuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es
decir, calcular la diferencia.
Por ejemplo, si disponemos de 693 €, para poder comprar el equipo de ciclista
todavía nos faltan:
828 – 693 = 135 euros
Uso del paréntesis
Observa dos expresiones formadas por los mismos números y las mismas
operaciones, pero con resultados diferentes:
Como ves, en las expresiones con operaciones combinadas, los paréntesis
empaquetan resultados parciales, modificando el orden en que han de hacerse
las operaciones.
Algunas propiedades de la suma
• Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los
sumandos.
a + b = b + a
• Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la for-
ma en que se agrupen los sumandos.
(a + b) + c = a + (b + c)
Operaciones con números naturales
3
9 – 1 + 3
8 + 3
11
9 – (1 + 3)
9 – 4
5
162 €
38 €
45 €
583 €
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Propiedad conmutativa
8 + 6 = 6 + 8
14 14
Propiedad asociativa
(3 + 2) + 6 = 3 + (2 + 6)
5 + 6 3 + 8
11 11

12
12
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1 Opera mentalmente.
a) 20 + 6 b) 120 + 6
c) 68 + 10 d) 168 + 10
e) 64 + 54 f) 164 + 54
g) 73 + 71 h) 137 + 71
i) 37 + 20 j) 237 + 20
k) 61 + 16 l) 261 + 16
m) 48 + 7 n)348 + 7
ñ) 98 + 29 o) 298 + 24
2 Calcula mentalmente.
a) 27 – 5 b) 27 + 10
c) 15 – 2 d) 15 – 10
e) 57 – 53 f) 57 – 53 – 3
g) 66 – 56 h) 66 – 56 – 5
i) 34 – 25 j) 34 – 25 – 5
k) 26 – 12 l) 26 – 12 – 7
m) 54 – 31 n)54 – 31 – 10
ñ) 71 – 38 o) 71 – 38 – 10
3 Calcula.
a) 15 + 8 + 10 b) 15 + 8 + 20
c) 13 – 11 + 7 d) 13 – 11 + 17
e) 59 + 21 + 30 f) 59 + 21 + 40
g) 48 + 12 – 25 h) 48 + 12 – 35
i) 68 – 24 – 12 j) 68 – 24 – 22
k) 150 – 45 – 15 l) 150 – 45 – 5
m) 240 + 60 – 70 n)240 + 60 – 60
ñ) 315 – 30 – 85 o) 315 – 30 – 75
4 Calcula con lápiz y papel.
a) 254 + 78 + 136
b) 1 480 + 237 + 48
c) 340 + 255 – 429
d) 1 526 – 831 + 63
e) 782 – 346 – 274
f ) 1 350 – 1 107 – 58
5 Opera y compara los resultados en cada caso:
a) 13 – 9 + 3 b) 13 + 3 – 9
13 – (9 + 3) (13 + 3) – 9
c) 15 – 8 + 4 d) 15 + 4 – 8
15 – (8 + 4) (15 + 4) – 8
e) 18 – 16 + 2 f) 18 + 2 – 16
18 – (16 + 2) (18 + 2) – 16
g) 11 – 5 – 3 h) 11 – 3 – 5
11 – (5 – 3) (11 – 3) – 5
i) 23 – 15 + 6 j) 23 + 6 – 15
23 – (15 + 6) (23 + 6) – 15
k) 35 – 20 – 5 l) 35 – 5 – 20
35 – (20 – 5) (35 – 5) – 20
6 Jorge compra una camisa de 54 € y unos pantalones
de 79 €. En la camisa le rebajan 6 €, y en los panta-
lones, 15 €.
¿Cuánto gasta?
7 ¿Cuánto pesa el elefante pequeño?
8 Teresa gana 1670 € al mes. Paga una letra de 384 €
y, además, tiene unos gastos de 950 €.
¿Cuánto ahorra cada mes?
9 Para comprar un sofá de 1458 € y un sillón de
324 €, la familia Antúnez entrega 750 € en efectivo
y deja el resto aplazado.
¿A cuánto asciende la deuda contraída?
Actividades
1588 kg ? 845 kg 1107 kg

13
UNIDAD
1
13
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La multiplicación
Recuerda que
Recuerda que
R multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repe
multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repe
multiplicar tida
de sumandos iguales.
Por ejemplo, si una entrada para el circo cuesta 38 €, cinco entradas cuestan:
38 + 38 + 38 + 38 + 38 = 38 · 5 = 190 €
Propiedades de la multiplicación
• Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los
factores.
a · b = b · a
• Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente
de la forma en que se agrupen los factores.
(a · b) · c = a · (b · c)
▼ ejemplos
Propiedad conmutativa: Propiedad asociativa:
• Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta)
es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.
a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c
Un fontanero trabaja cuatro horas por la mañana y tres por la tarde. Si
cobra 15 euros la hora, ¿cuánto gana en el día?
Podemos resolver el problema de dos formas:
mañana tarde mañana tarde
15 · (4 + 3) 15 · 4 + 15 · 3
15 · 7 60 + 45
105 € 105 €
Como ves, ambas expresiones coinciden, confirmando la propiedad distri-
butiva.
15 · (4 + 3) = 15 · 4 + 15 · 3
Problema resuelto
(3 · 5) · 4 = 3 · (5 · 4)
15 · 4 3 · 20
60 60
15 · 4 = 4 · 15
60 60
Cálculo mental
Cálculo mental
22 × 45
11 × 2 × 9 × 5
99 × 10
990
La propiedad asociativa nos permite
reagrupar los términos, y la conmu-
tativa, cambiarlos de orden.

14
14
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10 Expresa los productos siguientes como sumas de su-
mandos repetidos:
a)4 · 6 b) 10 · 4
c)32 · 3 d) 28 · 1
e)150 · 2 f) 1 000 · 3
11 Opera mentalmente.
a) 8 · 7 b) 8 · 7 · 10
c) 36 · 3 d) 36 · 3 · 10
e) 70 · 7 f) 70 · 7 · 10
g) 34 · 4 h) 34 · 4 · 10
i) 60 · 2 j) 60 · 2 · 10
k) 16 · 5 l) 16 · 5 · 10
m) 15 · 3 n)15 · 3 · 10
ñ) 87 · 8 o) 87 · 8 · 10
12 Copia y completa estas multiplicaciones:
13 Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se hace
en los ejemplos.
• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207
• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253
a)12 · 9 b) 12 · 11
c)15 · 9 d) 15 · 11
e)18 · 9 f) 18 · 11
g)25 · 9 h) 25 · 11
i) 27 · 9 j) 27 · 11
k)33 · 9 l) 33 · 11
14 Calcula y recuerda que para multiplicar por 10, 100,
1000, … se añaden uno, dos, tres, … ceros.
a)19 · 10 b) 12 · 100
c)15 · 1 000 d) 35 · 10
e)41 · 100 f) 57 · 1 000
g)140 · 10 h) 230 · 100
i) 460 · 1 000
15 Copia, completa y comprueba que los resultados co-
inciden.
15 · (6 – 2) 15 · 6 – 15 · 2
-
15 · –
16 Resuelve mentalmente.
a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos li-
tros hay en 20 bidones?
b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta
una bolsa de 5 kilos?
c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuán-
tas botellas hay en 10 cajas?
d) ¿Cuánto cuesta cambiar las cubiertas de las cuatro
ruedas de un coche a razón de 150 € cada una?
17 Un barco pesquero captura 240 kilos de merluza que
se vende a 11 € el kilo. ¿Cuál es el valor total de la
captura?
18 Un edificio tiene 27 plantas. En cada planta hay 12
viviendas, y en cada vivienda, 7 ventanas. ¿Cuántas
ventanas hay en el edificio?
19 En una granja hay 38 vacas y 15 caballos. ¿Cuántas
patas suman en total?
Actividades
1 8
× 2
9
4
1 7
× 4 5
7 8 6 5
5
× 2
9 0
1 2 6 0
9 8
×
2 8 7 4
6 9 9 3 4

15
UNIDAD
1
15
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GRUPO
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S.A.
Matemáticas
1.°
ESO.
Material
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La división
Recuerda:
• Dividir es repartir en partes iguales. ¿Cuánto vale cada parte?
Se distribuyen 150 bombones en 6 cajas iguales. ¿Cuántos bombones irán en cada
caja?
150 6
30 25 ←→
←→
←→ 150 : 6 = 25 bombones por caja
0
• Dividir es partir un todo en partes de un tamaño determinado. ¿Cuántas par-
tes se obtienen?
¿Cuántas cajas de 25 bombones se llenan con 150 bombones?
150 25
00 6 ←→
←→
←→ 150 : 25 = 6 cajas
Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto:
• División exacta (el resto es cero).
División exacta (el resto es cero).
División exacta
D d → El dividendo es igual al divisor por el cociente.
0 c
c
c D =
D =
D d ·
d ·
d c
• División entera (el resto es distinto de cero).
División entera (el resto es distinto de cero).
División entera
D d → El dividendo es igual al divisor por el cociente más
r c
c
c el resto.
D =
D =
D d ·
d ·
d c +
c +
c r
Orden en que han de hacerse las operaciones
Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las
normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión
tenga un significado y una solución únicos.
▼ ejemplos
Estas dos expresiones tienen distinto significado a pesar de estar formadas por
los mismos números y operaciones.
En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:
• Primero, a los paréntesis.
• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.
• Por último, a las sumas y a las restas.
6 + 2 · 4
6 + 8
14
(6 + 2) · 4
8 · 4
32
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
División exacta:
40 8
0 5 ←→ 40 = 8 · 5
División entera:
43 8
3 5 ←→ 43 = 8 · 5 + 3
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
a) 2 + 3 · 7 – 4 = 2 + 21 – 4 =
= 23 – 4 = 19
b) 2 + 3 · (7 – 4) = 2 + 3 · 3 =
= 2 + 9 = 11
c) (2 + 3) · 7 – 4 = 5 · 7 – 4 =
= 35 – 4 = 31

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20 Divide mentalmente:
a)46 : 46 b) 62 : 31
c)280 : 40 d) 640 : 80
e)360 : 40 f) 476 : 68
d)168 : 56 e) 138 : 69
21 Averigua el cociente y el resto en cada división:
a)96 : 13 b) 713 : 31
c)5 309 : 7 d) 7029 : 26
e)49 896 : 162 f) 80391 : 629
22 Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que dividir
entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después, mul-
tiplicar por 2.
•
a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5
d) 140 : 5 e) 170 : 5 f) 200 : 5
g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 5
23 Completa los ejemplos y, después, calcula.
(80 : 20) : 4 80 : (20 : 4)
: : X
X
a) (50 : 10) : 5 b) 50 : (10 : 5)
c) (36 : 6) : 2 d) 36 : (6 : 2)
e) (30 : 5) · 2 f) 30 : (5 · 2)
g) (36 : 6) · 3 h) 36 : (6 · 3)
a) ¿Cuántas docenas salen de una bandeja de 60 pas-
teles?
b) Un grupo de 120 excursionistas se reparte en tres
autobuses. ¿Cuántos suben a cada autobús?
c) ¿Cuántas horas son 240 minutos?
d) Cincuenta caramelos pesan 450 gramos. ¿Cuánto
pesa cada caramelo?
25 Un camión transporta 14 caballos que suponen una
carga de 4 830 kilos. ¿Cuánto pesa, por término me-
dio, cada caballo?
26 Cinco amigos ganan un premio de 13285 € en las
quinielas. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
27 Calcula como en el ejemplo.
• 12 – 2 · 4
12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
12 – 8
4
a)8 + 5 · 2 b) 13 – 4 · 3
c)5 + 6 : 3 d) 15 – 10 : 5
e)4 · 2 + 7 f) 4 · 6 – 13
g)15 : 3 + 10 h) 5 · 6 – 18
28 Opera como en el ejemplo.
• (17 – 5) : 3
(17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
12 : 3
4
a) (7 + 2) : 3 b) (8 – 5) · 2
c) (8 + 2) · 4 d) (13 – 5) : 4
e) 5 · (7 + 5) f) 3 · (15 – 10)
g) 36 : (2 + 7) h) 15 : (18 – 13)
29 Calcula mentalmente y compara los resultados.
a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4
b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3
c) 15 – 4 · 3 (15 – 4) · 3
d) 5 · 2 + 4 5 · (2 + 4)
e) 2 · 15 – 10 2 · (15 – 10)
30 Resuelve siguiendo los pasos del ejemplo.
• 4 · 5 – 3 · 4 – 2
20 – 12 – 2 4 · 5 – 3 · 4 – 2 =
= 20 – 12 – 2 =
8 – 2 = 8 – 2 = 6
6
a) 4 · 6 + 3 · 6 – 25 b) 3 · 5 – 12 + 3 · 6
c) 6 · 3 – 4 – 7 d) 28 – 4 · 5 + 3
e) 6 · 5 – 10 + 8 : 4 f) 19 + 10 : 2 – 8 · 3
g) 15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4 h) 4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5
Actividades
:5
90 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→18
:10 · 2
9

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UNIDAD
1
UNIDAD
1
■Sistemas de numeración
1 Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno
de esos números:
a) 48 b)235 c) 2 130
2 Traduce, al sistema decimal, estos números
romanos:
a) xiv b)lxxiii c) lxix
d)ccxvii e) dcxc f) mcmlvi
■Utilidades de los números
3 Una familia tiene dos coches cuyas matrículas
son:
a) ¿Cuál de los dos coches es más antiguo?
b)Escribe la matricula siguiente en cada caso (es de-
cir, la del coche que se matriculó inmediatamen-
te después).
c) Escribe dos matriculas consecutivas de manera
que ninguna de las cifras de una y otra coincidan.
d)Escribe dos matriculas consecutivas que tengan
diferentes las tres letras.
4 Estos son los números de varias habitaciones
en un hotel de playa.
401 235
724 231
a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es?
b)Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene?
c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?
5 Lees, en un anuncio, que una vivienda se ven-
de por 293528 €. Unos días después lo comentas
con un amigo, pero no te acuerdas exactamente del
precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías
para transmitir la información? (Explica por qué.)
— Cuesta casi trescientos mil euros.
— Cuesta doscientos y pico mil.
— Cuesta doscientos noventa mil.
■Operaciones
Sumas y restas
6 Calcula.
a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6
c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5
e) 12 + 13 + 8 – 23 f) 40 – 18 – 12 – 6
Multiplicación y división
7 Multiplica.
a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10
d)17 · 100 e) 85 · 100 f ) 120 · 100
g) 22 · 1000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000
8 Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) 2647 : 8 b)1345 : 29
c) 9045 : 45 d)7482 : 174
e) 7971 : 2657 f) 27178 : 254
Operaciones combinadas
9 Opera:
a) 2 · (4 + 6) b)2 · 4 + 6
c) 8 : (7 – 5) d)5 · 7 – 5
e) (5 + 6) · 4 f) 5 + 6 : 3
g) (19 – 7) : 2 h)18 – 7 · 2
■Interpreta, describe, exprésate
10 Escribe una única expresión aritmética que
lleve a la solución de este problema:
Problema
Un hortelano lleva
lleva
llev al mercado
mercado
mer 85 kg de tomates y
35 kg de frambuesas.
frambuesas.
fr Si
Si
S vende los tomates a 2 €/kg
€/kg
€
y las frambuesas
frambuesas
fr a 3 €/kg,
€/kg,
€ ¿cuánto obtendrá
obtendrá
obtendr por la
venta de la mercancía?
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
Ejercicios y problemas
A
A B
B

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■Resuelve problemas
1 La oca mediana pesa 850 g más que la pequeña
y 1 155 g menos que la grande. ¿Cuánto pesan entre
las tres?
2 Un camión de reparto transporta 15 cajas de re
Un camión de reparto transporta 15 cajas de re
U -
frescos de naranja y 12 cajas de limón. ¿Cuántas botellas
lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?
3 Un pueblo tiene dos mil habitantes, pero se es-
pera que en los próximos diez años aumente su po-
blación en un 50%. ¿Qué población se espera para
dentro de diez años?
4 Un mayorista de alimentación compra 150 sa-
cos de patatas de 30 kg por 2 000 €.
Después, al seleccionar la mercancía, desecha 300 kg
y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 €
la bolsa.
¿Qué ganancia obtiene?
5 Un apicultor tiene 187 colmenas con una pro-
ducción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de
miel por colmena en cada cosecha.
La miel se envasa en tarros de medio kilo y se co-
mercializa en cajas de seis tarros que se venden a 18
euros la caja.
¿Qué beneficio anual produce el colmenar?
6 Observa la gráfica correspondiente a la distribu-
ción, por sectores económicos, de los habitantes de
una ciudad de 48000 habitantes:
¿Cuántos habitantes de la ciudad pertenecen al sec-
tor servicios?
AGRIC. GANAD. IND. SERV.
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Aquí tienes una cantidad escrita en distintos sistemas de
numeración:
3290 ↔ MMMCCXC ↔
a) ¿Qué sistemas son?
b) Di sin son aditivos o posicionales.
2 Escribe las siguientes cantidades con letras o con cifras,
según corresponda.
a) Ochocientos cuarenta y tres mil.
b) Trece millones doscientos ochenta mil.
c) 1500000
d) 350000000
3 Una ciudad tiene 839000 habitantes. Expresa esa can-
tidad:
a) Redondeando a las centenas de millar.
b) Redondeando a las decenas de millar.
4 Calcula los términos que faltan en cada caso:
a) 143 + = 237
= 237 b) – 133 = 85
c) 25 · = 175 d) : 15 = 13
5 Coloca los paréntesis para que las siguientes igualdades
sean ciertas:
a) 8 – 5 · 3 = 9 b) 8 · 4 – 5 = 12
c) 6 · 3 – 1 + 2 = 24 d) 6 · 3 – 1 + 2 = 14
6 Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10
céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar
un euro? Justifica tu respuesta.
7 Un hortelano tiene dos campos con 160 y 213 manza-
nos, respectivamente. Espera cosechar, por término me-
dio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la cosecha,
la envasará en cajas de 10 kg.
a) ¿Cuántos kilos de manzanas espera recoger?
b) ¿Cuántas cajas de 10 kilos llenará?

19
Las matemáticas siempre fueron una herramienta
para resolver problemas cotidianos. ¿Cuánto mide
este terreno? ¿Cómo hemos de repartirnos la cose-
cha? ¿Cómo utilizar las estrellas para orientarnos?
En el siglo vi a.C., apareció el primer gran teórico de
las matemáticas: Pitágoras. Este griego, gran viajero,
acabó asentándose en el sur de Italia, donde fundó
una secta místico-científica que rendía culto a la as-
tronomía.
Los pitagóricos, en el tratamiento de los números,
distinguían entre aritmética y
aritmética y
aritmética logística. La primera es-
tudiaba las propiedades teóricas de los números. La
segunda no estudiaba nada, solo se dedicaba a calcu-
lar. Como consideraban la logística una tarea infe-
rior, solo se ocuparon de la aritmética. Relacionaron
los números con la geometría. A ellos les debemos
las palabras cuadrado y cubo referidas a los números.
Tres siglos después aparece en escena otro griego:
Arquímedes. Además de gran matemático, fue un
extraordinario calculista. Y gracias a esto, ideó un sis-
tema para describir números enormes. Estaba basado
en las potencias de base 10, que estudiarás en esta
unidad.
2Potencias
y raíces
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se multiplica un número por la unidad
seguida de ceros.
■ Cómo se aproxima un número.
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20
20
Potencias
1
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:
a ·
a ·
a a ·
a ·
a a ·
a ·
a a ·
a ·
a a =
a =
a a5
En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se
repite, exponente.
▼ ejemplos
• Expresar en forma de potencia:
3 · 3 · 3 · 3 = 34 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
• Calcular:
53 = 5 · 5 · 5 = 125 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
El cuadrado de un número
El cuadrado de un número es la potencia de exponente 2.
▼ ejemplo
El cuadrado de 5 es:
52 = 5 · 5 = 25
(25 cuadraditos)
El cubo de un número
El cubo de un número es la potencia de exponente 3.
▼ ejemplo
El cubo de 5 es:
53 = 5 · 5 · 5 = 125
(125 cubitos)
a5 Se lee
8
↑
exponente
base
a elevado a cinco.
a elevado a cinco.
a
o
a elevado a la quinta.
a elevado a la quinta.
a
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨
5
5
5
5
5
No lo olvides
No lo olvides
La potencia de exponente 0 de un
número es igual a 1. Por ejemplo:
50 = 1 10 = 1 1340 = 1
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21
UNIDAD
2
21
1 Expresa con una potencia.
a) 6 · 6 b) 6 · 6 · 6
c) 7 · 7 d) 5 · 5
e) 10 · 10 · 10 f) 4 · 4 · 4 · 4
g) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 h) 10 · 10 · 10 · 10 · 10
2 Expresa las potencias siguientes como producto de
factores repetidos:
a) 34 b) 27 c) 93 d) 152 e) 106 f) 204
3 Copia y completa.
a) m · m · m = m b) x ·
x ·
x x =
x =
x x
c) a ·
a ·
a a ·
a ·
a a ·
a ·
a a =
a =
a 4 d) y ·
y ·
y y =
y =
y 2
e) .................... = b3 f) .................... = n5
4 Completa la tabla.
a) 23 b) 52
c) 43 d) 203
e) 104 f ) 112
a) 28 b) 35
c) 94 d) 152
e) 123 f ) 304
g) 205 h) 852
i) 1003 j) 3242
k) 153 l) 95
7 Obtén el valor de estas potencias con ayuda de la cal-
culadora:
a) 115 b) 374
c) 623 d) 1363
e) 1014 f ) 1404
g) 375 h) 147
i) 266 j) 333
Actividades
POTENCIA BASE EXPONENTE
26
5 3
a4
m 5
Las potencias en la calculadora
Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados núme-
ros grandes.
▼ ejemplo
85 = 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 64 · 8 · 8 · 8 = 512 · 8 · 8 = 4096 · 8 = 32768
Como ves, los cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que se suelen
hacer con una calculadora:
• En una calculadora científica utilizaremos la tecla ‰:
85 ÄÄ8 8 ‰ 5 = ÄÄ8 {∫∫∫«“|°}
• En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas * e = :
85 ÄÄ8 8 * * = = = =
82 ÄÄ8 {∫∫∫∫∫∫¢}
83 ÄÄ8 {∫∫∫∫∫∞‘“}
84 ÄÄ8 {∫∫∫∫¢≠£}
85 ÄÄ8 {∫∫∫«“|°}
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22
22
⎧
⎪
⎧
⎪
⎧
⎨
⎪
⎨
⎪
⎪
⎨
⎪
⎨
⎩
⎪
⎩
⎪
Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Teniendo esto en
Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Teniendo esto en
Y
cuenta, el cálculo de las potencias de base 10 resulta sencillo y has de ser capaz
de realizarlo mentalmente:
102 = 10 · 10 = ............................................................... 100
103 = 10 · 10 · 10 = ..................................................... 1000
104 = 10 · 10 · 10 . 10 = ............................................ 10 000
105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = ................................... 100 000
109 = ............................................................ 1000000000
9 ceros
Observa que el número de ceros del resultado coincide con el exponente de la
potencia.
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
indica el exponente.
7 ceros
107 = 10000000
Como puedes comprobar, escribir e interpretar números grandes utilizando
potencias de base 10 es mucho más cómodo, pues su orden de magnitud ya nos
viene dado por el exponente y no es necesario contar los ceros:
1000000000000
1012
Potencias de base 10. Aplicaciones
2
⇔
1 Expresa con todas sus cifras.
a) 101 b) 106
c) 108 d) 109
e) 1010 f) 1011
g) 1013 h) 1014
i) 1015 j) 1017
k) 1018 l) 1020
2 Escribe como potencias de base 10.
a) Una decena.
b) Una centena.
c) Un millar.
d) Un millón.
e) Mil millones.
f) Un billón.
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23
UNIDAD
2
23
En un gramo de plata hay
5600000000000000000000
átomos.
5600000000000000000000
20 cifras
En un gramo
de plata hay
56 · 1020
átomos.
⎧
⎪
⎧
⎪
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎨
⎪
⎪
⎨
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎩
⎪
Expresión abreviada de números grandes
Ya has observado que el tamaño de un número con muchos ceros se percibe me
Ya has observado que el tamaño de un número con muchos ceros se percibe me
Y -
jor si se expresa con una potencia de base 10:
100000000000000 = 1014
Ahora vamos a aprovechar este recurso para facilitar la expresión y la comprensión
de números muy grandes.
▼ ejemplo
Un año luz equivale, aproximadamente, a 9500000000000 kilómetros.
Observa las transformaciones que proponemos para hacer esa cantidad más
manejable:
9500000000000
↓
95 · 100000000000
↓
95 · 1011
Diremos, entonces, que un año luz equivale a 95 · 1011 kilómetros.
Como ves, se trata de una cantidad más fácil de leer, de escribir y de recordar.
• Descomposición en producto
por la unidad seguida de ceros.
por la unidad seguida de ceros.
• Transformación del segundo
factor en potencia de base 10.
3 Transforma como en el ejemplo:
• 240000 = 24 · 104
a) 9000 b) 72000
c) 460000 b) 24000000
a) 4 · 105 b) 7 · 107
c) 15 · 109 d) 18 · 1012
e) 86 · 1014 f) 91 · 1018
5 El número de glóbulos rojos que un ser huma-
no tiene en la sangre es veinticinco mil millones
(25000000000).
Expresa esa cantidad en forma abreviada.
6 Elnúmerodemoléculaselementalesenunlitrodeagua
es330000000000000000000000,aproximadamente.
Expresa esa cantidad en forma abreviada.
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24
Raíz cuadrada
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Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.
b2 = a
a
a 5 √a = b
▼ ejemplos
• 42 = 16 8 √16 = 4
La raíz cuadrada de 16 es 4.
• 152 = 225 8 √225 = 15
La raíz cuadrada de 225 es 15.
= b
b
b Ä8 Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a
a es igual a
a b.
Raíces exactas
Los números cuya raíz es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo,
son cuadrados perfectos 36, 100 ó 400.
√36 = 6 √100 = 10 √400 = 20
5
5
5
62 = 36 102 = 100 202 = 400
Raíces enteras
Para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de
unidades enteras.
Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40:
Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz
entera.
√40 ≈ 6 8 La raíz entera de 40 es 6.
La raíz cuadrada de 40 es un
número comprendido entre 6 y 7.
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨
62 = 36 40
72 = 49 40 8 6 7
√40
7
40
7
No lo olvides
No lo olvides
TE CONVIENE MEMORIZAR
LOS PRIMEROS CUADRADOS
PERFECTOS
12 = 1 102 = 100
22 = 4 112 = 121
32 = 9 122 = 144
42 = 16 132 = 169
52 = 25 142 = 196
62 = 36 152 = 225
72 = 49 162 = 256
82 = 64 172 = …
92 = 81 182 = …
√a =
a =
raíz
radicando

25
UNIDAD
2
25
1 Copia y completa como en el ejemplo.
• √25 = 5 8 La raíz de 25 es igual a 5.
a) √49 = 7 8 …
b) √64 = … 8 …
c) √81 = … 8 …
a) √4 b) √9
c) √36 d) √400
e) √900 f) √3600
g) √4900 h) √6400
i) √8100 j) √10000
3 Calcula la raíz entera en cada caso:
a) √5 b) √10
c) √24 d) √32
e) √39 f) √50
g) √68 h) √92
i) √105 j) √110
4 Escribe los cuadrados perfectos comprendidos entre
200 y 900.
152 162 172 182 … 302
225 256 289 324 … 900
5 Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejerci-
cio anterior.
a) √289 b) √361
c) √484 d) √576
e) √676 f ) √841
6 Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es
exacta o entera.
502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704
532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025
a) √2550 b) √2601
c) √2725 d) √2815
e) √2916 f) √2929
Actividades
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1. Calcular mentalmente √900 .
x2 = 900 8 302 = 900 8 √900 = 30 8 Raíz exacta
2. Teniendo en cuenta los datos del cuadro,
Teniendo en cuenta los datos del cuadro,
T
calcular √1440 , √1444 y √1580 .
≈ 37 8 Raíz entera
= 38 8 Raíz exacta
≈ 39 8 Raíz entera
Ejercicios resueltos
√1440
√1444 = 38
1444 = 38
√1580
1580
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600

26
26
■Cálculo de potencias
a) 24 b)63 c) 35 d)204 e) 300
a) 55 b)95 c) 110 d)153 e) 164
3 Obtén con la calculadora.
a) 412 b)510 c) 453 d)674 e) 993
■Potencias de base 10. Expresión
abreviada de números grandes
4 Escribe con todas sus crifras.
a) 102 b)106 c) 1010 d)1012 e) 1016
a) 13 · 107 b) 34 · 109 c) 62 · 1011
6 Transforma como en el ejemplo.
• 180000 = 18 · 104
a) 5000 b) 1 700000 c) 4000000000
■Raíz cuadrada
7 Copia y completa como en el ejemplo.
• 82 = 64 5 √64 = 8
a)
2
= 36 5 √36 =
b)
2
= 256 5 √256 =
8 Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera.
a) √90 b)√121 c) √1785
9 Para cubrir el suelo de una habitación cuadra-
da, se han colocado 22 filas de 22 baldosas cada
una. ¿Cuántas baldosas se han utilizado?
10 Marta ha construido un
cubo grande, de 10 centímetros
de arista juntando cubitos pe-
queños de madera, de 1 cm de
arista. ¿Cuántos cubitos ha em-
pleado?
11 Una finca cuadrada tiene una superficie de 900
Una finca cuadrada tiene una superficie de 900
U
metros cuadrados. ¿Cuántos metros lineales de alam-
brada habría que comprar para cercarla?
12 Observa el cubo de la ilustración formado por
5 × 5 × 5 cubitos unitarios.
a) Supón que lo pintamos de rojo. ¿Cuántos cubi-
tos unitarios habrían quedado parcialmente pin-
tados?
b) Supón que lo queremos hacer más grande, re-
cubriéndolo completamente con una capa de
cubitos verdes. ¿Cuántos cubitos verdes necesi-
taríamos?
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1 Calcula:
a) 72 b) 104
2 Completa:
a) 2 = 8 b)
2
= 36
3 Calcula:
a) 103 b) 107
4 Escribe en la notación abreviada el número 45000000.
5 Completa:
a) √36 = … b) √400 = … c)√10000 = …
d) √… = 3 e) √… = 8 f) √… = 30
6 ¿Cuántos cuadros de moqueta, de un metro de lado,
necesitas para cubrir el suelo de una nave cuadrada de
30 metros de lado? (Haz un dibujo antes de resolverlo.)
7 Héctor quiere dibujar una cuadrícula, igual de ancha
que de alta, que contenga 225 cuadros. ¿Cuántas filas y
cuántas columnas debe poner?
Autoevaluación

27
Alejandría, fundada por Alejandro Magno en el si-
glo iv a.C., pasó a ser el centro cultural (científico,
artístico) de la civilización griega.
Euclides, sabio griego del siglo iii a.C., vivió en Ale-
jandría, donde fundó una gran escuela de matemá-
ticas. Recopiló y sistematizó todo el conocimiento
matemático de su época. Pero no se limitó a esto:
fue, además, un gran investigador que contribuyó
con numerosas aportaciones.
Euclides plasmó su obra en una colección de tre-
ce libros que se denominaron Elementos. La mayor
parte de estos libros estaban dedicados a la geome-
tría, y solo cuatro de ellos, a la aritmética. En estos
desarrolló, entre otras cosas, la teoría de la divisi-
bilidad: números primos y compuestos, divisores,
múltiplos, etc.
Los Elementos de Euclides han sido estudiados y ad-
mirados en todas las épocas.
3Divisibilidad
DEBERÁS RECORDAR
■ La división exacta y la división entera.
■ Algunas técnicas de cálculo mental para
multiplicar y dividir.
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Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando
relación de divisibilidad cuando
relación de divisibilidad
uno cabe en el otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando su cocien-
te es exacto.
Observa los ejemplos siguientes:
• En una estantería de 80 cm caben, exactamente, cuatro cazuelas de 20 cm.
80 20 8 20 cabe un número 8 80 es divisible entre 20.
0 4
4 exacto de veces en 80.
• Sin embargo, en una estantería de 80 cm no encaja una cantidad exacta de
embargo, en una estantería de 80 cm no encaja una cantidad exacta de
fuentes de 25 cm.
fuentes de 25 cm.
80 25 8 25 no cabe en 80 un 8 80 no es divisible entre 25.
5 3 número exacto de veces.
Múltiplos y divisores
Cuando dos números están emparentados por la relación de divisibilidad, deci-
mos que:
• El mayor es múltiplo del menor.
• El menor es divisor del mayor.
divisor del mayor.
divisor
▼ ejemplo
40 8 40 es múltiplo de 8.
0 5
8 40 = 8 · 5
40 = 8 · 5 8
8 es divisor de 40.
división exacta
40
8 8 8 8 8
• a es múltiplo de b
o lo que es igual si la división a : b es exacta.
• b es divisor de a
La relación de divisibilidad
1
°
¢
£
Ten en cuenta
Ten en cuenta
Cada divisor de un número lleva otro
emparejado.
40 8 40 5
68
0 5 0 8
8 es divisor de 40.
5 es divisor de 40.
Relación de divisibilidad
Relación de divisibilidad
división exacta.
a es divisible entre b.
a es múltiplo de b.
b es divisor de a.
a b
0 c

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1 Copia y completa.
• 40 8
8 40 es divisible entre 5.
0 5
a) 35 8
8 35 no es…
3 4
b) 42 6
8 …
c) 100 25
8 …
d) 108 18
8 …
2 Di en cada caso si a es d
a es d
a ivisible entre b y justifica tu
b y justifica tu
b
respuesta, como en el ejemplo:
• a = 78
a = 78
a 78 6 8 78 es divisible entre 6,
b
b = 6
b = 6
b
Ø
∞
± 18 13 porque su cociente es
• 0 exacto.
a) °
¢
£
a = 90
a = 90
a
b = 30
b = 30
b
b) °
¢
£
a = 185
a = 185
a
b = 15
b = 15
b
c) °
¢
£
a = 182
a = 182
a
b = 14
b = 14
b
d) °
¢
£
a = 2030
a = 2030
a
b = 10
b = 10
b
3 Di si los números de cada pareja están emparentados
por la relación de divisibilidad:
a) 224 y 16 b) 420 y 35
c) 613 y 13 d) 513 y 19
e) 688 y 44 f) 2 070 y 46
4 Encuentra, al menos, cuatro parejas de números em-
parentados por la relación de divisibilidad.

5 ¿Verdadero o falso?
a) 15 está contenido exactamente 4 veces en 60.
b) 75 está contenido exactamente 3 veces en 225.
c) 42 es divisible entre 7.
d) 54 es divisible entre 8.
e) 65 contiene a 13 un número exacto de veces.
6 Copia y completa, como en el ejemplo.
• 18 3 18 es múltiplo de 6.
8
8 °
¢
£
• 0 6 6 es divisor de 18.
a) 18 9 18 es … de 2.
8
8 °
¢
£
• 0 2 2 es … de 18.
b) 20 5 …
8
8 °
¢
£
• 0 4
0 4 …
c)104 13 …
8
8 °
¢
£
• 00 8 …
7 Explica con claridad por qué 518 es múltiplo de 37.
8 ¿Es 23 divisor de 345? Razona tu respuesta.
9 Busca:
a) Tres números que sean divisores de 40.
b) Tres números que sean múltiplos de 7.
c) Tres números que sean divisores de 770.
d) Tres números que sean múltiplos de 50.
10 Busca entre estos números:
5 10 15 20 30
35 45 60 75 90
a) Todos los que sean divisores de 90.
b) Todos los que sean múltiplos de 3.
11 Considera estos números:
8 10 20 24 30
45 60 75 95 120
a) ¿Cuáles son múltiplos de 4?
b) ¿Cuáles son múltipos de 10?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 15?
Actividades
420 13
70
90 11
9
18
156
6
21

30
30
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Los múltiplos de un número son otros números, de igual o mayor tamaño, que
lo contienen una cantidad exacta de veces. Por ejemplo, observa la longitud
recorrida por la rana en sucesivos saltos de 20 centímetros:
Los números 20, 40, 60, 80, … contienen a 20 una cantidad exacta de veces; es
decir, todos ellos son múltiplos de 20.
Observa, también, que se obtienen multiplicando 20 por un número natural, y
que la serie puede continuar indefinidamente.
20 · 5 20 · 6 20 · 7 20 · 8 …
9 9 9 9
100 120 140 160 …
• Los múltiplos de un número natural, a, se obtienen al multiplicar a por
a por
a
cualquier otro número natural k: a ·
a ·
a k
k
k 8 múltiplo de a
• Todo número natural, a, es múltiplo a · 1 =
a · 1 =
a a
de sí mismo y de la unidad.
• Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos.
1 Escribe.
a) Tres múltiplos de 5.
b) Tres múltiplos de 12.
c) Tres múltiplos de 19.
d) Tres múltiplos de 30.
2 Añade cuatro términos a cada una de estas series:
a) Múltiplos de 6 8 6, 12, 18, 24, …
b) Múltiplos de 15 8 15, 30, 45, 60, …
c) Múltiplos de 53 8 53, 106, 159, 212, …
3 Busca, entre estos números, los que sean múltiplos
de 6:
10 12 16 30 42 54 60 76 90 148 174
4 Escribe los diez primeros múltiplos de 25.
5 Escribe los veinte primeros múltiplos de 5. Fíjate en
la última cifra. ¿Qué observas? ¿Cómo sabes, de un
vistazo, si un número es múltiplo de 5?
Actividades
Múltiplos de 20
Múltiplos de 20
Múltiplos de 20
20 · 1 = 20
20 · 2 = 40
20 · 3 = 60
20 · 4 = 80
9
20 · k
Notación
Notación
Cuando nos referimos a un múltiplo
de un número, podemos escribirlo
con un punto encima, así:
7
•
8 múltiplo de 7
a
•
8 múltiplo de a
18 = 3
•
8 18 es múltiplo de 3.
Múltiplos de un número
2
°
¢
£

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UNIDAD
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Divisores de un número
3
Los divisores de un número son otros números, de igual o menor tamaño, que
están contenidos en él una cantidad exacta de veces.
Observa, por ejemplo, las distintas formas de dividir un grupo de 20 chicos y
chicas en equipos iguales:
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 está contenido en 20 una cantidad
exacta de veces. Por tanto, todos ellos son divisores de 20.
Como puedes comprobar, forman parejas cuyo producto es 20:
1 · 20 2 · 10 4 · 5
• Para obtener todos los divisores de un número, a, buscamos las divisio-
nes exactas:
• Todo número es divisor de sí mismo. 8 a :
a :
a a = 1
a = 1
a
• El 1 es divisor de cualquier número. 8 a : 1 =
a : 1 =
a a
a :
a :
a b =
b =
b c
c
c
a :
a :
a c =
c =
c b
b
b
8 a =
a =
a b ·
b ·
b c
c
c 8 Entonces b y
b y
b c son
c son
c divisores de a.
Ø
∞
±
20 equipos de 1 10 equipos de 2 5 equipos de 4
1 equipo de 20 2 equipos de 10 4 equipos de 5
1 Encuentra todos los divisores de cada uno de los nú-
meros siguientes:
a) 8 b) 12
c) 15 d) 28
e) 36 f ) 55
g) 60 h) 80
2 Encuentra todos los divisores de:
a) 7 b) 13 c) 17 d) 29
¿Qué observas?
3 ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en
equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una cla-
se? ¿Cuántos equipos salen en cada caso? (Por ejem-
plo, 3 equipos de 8 alumnos).
Actividades
Divisores de 20
Divisores de 20
20 : 1 = 20
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
20 : 10 = 2
20 : 20 = 1
Divisores de 30
Divisores de 30
Búsqueda de los divisores de 30:
: 1 = 30 8 SÍ
: 2 = 15 8 SÍ
30 : 3 = 10 8 SÍ
: 4 8 NO
: 5 = 6 8 SÍ
Los divisores de 30 son:
1 2 3 5
7 7 7 7
9
7
9
7
9
7
9
7
9
7
9
7
9
7
9
7
30 15 10 6

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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
• 37 8 8 cifra par
378 es múltiplo de 2.
• 45 1 8 cifra impar
451 no es múltiplo de 2.
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
• 28 0 8 es múltiplo de 5.
• 55 7 8 no es múltiplo de 5.
Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que sirven para descubrir si un
número es divisible por 2, 3, 5 u otros números sencillos.
cómo averiguar si un número es múltiplo de 2
Observa que todos los múltiplos de 2, y solo ellos, terminan en cifra par:
2 4 6 8 1 0
1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
2 2 2 4 2 6 2 8 3 0
… … … … …
Un número es múltiplo de 2 si
termina en cifra par:
0 - 2 - 4 - 6 - 8
Toma cualquier múltiplo de 3 y suma sus cifras. Verás que la suma es un
múltiplo de 3.

3 · 11 = 33 8 3 + 3 = 6 8 3
• Un número es múltiplo de 3 si
la suma de sus cifras es múlti-
plo de 3.
3 · 24 = 72 8 7 + 2 = 9 8 3
•
3 ·136 = 408 8 4 + 0 + 8 = 12 8 3
•
Contempla, ahora, los múltiplos de 5 y fíjate en que todos, y solo ellos,
terminan en 0 o en 5:
5 1 0
Un número es múltiplo de 5
si su última cifra es un cero o
un cinco.
1 5 2 0
2 5 3 0
3 5 4 0
… …
Criterios de divisibilidad
4
1 Copia y rodea los múltiplos de 2.
57 66 71 90 99
111 162 228 483 805
2 De los números siguientes, ¿cuáles son múltiplos de 3?
Justifica tu respuesta.
173 186 390 510 555 679 754 1023
3 Copia y rodea los múltiplos de 5.
328 155 207 735
420 553 815
4 Escribe la sucesión de los veinte primeros múltiplos
de 10. Obsérvalos. ¿Cómo sabes, de un vistazo, si un
número es múltiplo de 10?
10 - 20 - 30 - 40 - …
Actividades
Suma de las cifras
Múltiplo de 3
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
• 359 8 3 + 5 + 9 = 17 ? 3
•
359 no es múltiplo de 3.
• 252 8 2 + 5 + 2 = 9 = 3
•
252 es múltiplo de 3.

33
UNIDAD
3
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Números primos y compuestos
5
Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto.
▼ ejemplo
18 = 2 · 9
18 8
divisores

divisores

(1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18)

8 18 = 3 · 6
18 = 2 · 3 · 3
Los números, como 18, que se pueden descomponer en factores más sencillos
se llaman números compuestos.
Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la
unidad), lo cual impide su descomposición.
▼ ejemplo
13 8
divisores
( 1 - 13 ) 8 13 = 13 · 1
Los números, como 13, que no se pueden descomponer en factores más
sencillos se llaman números primos.
Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo.
En la tabla se han marcado:
— los múltiplos de 2, •, excepto el 2.
—
… y así, sucesivamente, con los múltiplos de
7, Ñ; de 11, *; de 13, ▲; …
Los números que han quedado sin marcar son los
primos menores que 30. Comprueba que ninguno
de ellos se puede descomponer en factores.
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
18
⎩
18
⎨
⎩
⎨
Descomposiciones de 18
8 18 = 2 · 9
8 18 = 3 · 6
8 18 = 2 · 3 · 3
El 13 no se puede descomponer
13 = 13 · 1
1 2 3 4
•
5 6
••
7 8
•
9
•
10
••
11 12
••
13 14
•Ñ
15
••
16
•
17 18
••
19 20
••
21
•Ñ
22
•*
23 24
••
25
•
26
•▲
27
•
28
•Ñ
29 30
•••
1 Clasifica en primos y compuestos.
5 8 11 15 21
28 31 33 45 49
2 Entre estos números hay dos primos. Búscalos.
47 57 Expresa cada uno de los
67 compuestos como un
77 87 producto de dos factores.
3 Descompón en tres factores.
a) 16 b) 18 c) 40 d) 66
e) 72 f) 222 g) 500 h) 1060
4 Descompón el número 100.
a) En dos factores.
b) En tres factores.
c) En el máximo número de factores que sea posible.
Actividades

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La resolución de ciertos problemas exige el manejo de los múltiplos comunes de
varios números. Veamos un ejemplo:
▼ ejemplo
Doña Rosita toma una píldora para el reuma cada 4 días y una cápsula para el
corazón cada 6 días.
¿Cada cuánto tiempo coinciden ambas tomas en el mismo día?
Ambas tomas coinciden en los días que son múltiplos comunes de 4 y 6, y se
repiten cada 12 días.
12
+12
24
+12
36
+12
48
+12
…
El menor de estos múltiplos comunes es 12 y recibe el nombre de mínimo
común múltiplo de 4 y 6.
El menor de los múltiplos comunes de dos o más números, a, b, c, … se
llama mínimo común múltiplo, y se expresa así:
mín.c.m. (a, b, c, …)
Cálculo del mínimo común múltiplo
(método artesanal)
Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números:
• Escribimos los múltiplos de cada uno.
• Entresacamos los comunes.
• Tomamos el menor.
▼ ejemplo
Vamos a comprobar, siguiendo el método descrito, que el mínimo común
múltiplo de 4 y 6 es, efectivamente, 12.
Mínimo común múltiplo de dos números
6
múltiplos
de 4
8 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24
múltiplos
de 6
8 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36
múltiplos
comunes
8 12 - 24 - 36 - 48
mín.c.m. (4, 6) = 12
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨

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UNIDAD
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Ejercicio resuelto
Múltiplos de 10 8 10 20 30 40 50 60 70 …
Múltiplos de 15 8 15 30 45 60 75 90 105 …
Múltiplos comunes 8 30 - 60 - 90 …
El menor de los múltiplos
comunes de 10 y 15 es 30.
Ø
∞
±
8 mín.c.m. (10, 15) = 30
1 Copia, observa y contesta.
12
•
12
12 8 12 24 36 48 60 72
72
7 84 96 108 …
18
•
18
18 8 18 36 54 72
72
7 90 108 126 …
a) Escribe los cuatro primeros múltiplos comunes de
12 y 18.
b) Escribe el mínimo común múltiplo de 12 y 18.
2 Copia, observa y completa a simple vista.
a) 6
•
8 6 12 18 24 30 36 42 48 54 …
8
•
8 8 16 24 32 40 48 56 …
mín.c.m. (6, 8) =
b) 9
•
8 9 18 27 36 45 54 63 72 …
72 …
7
12
•
12
12 8 12 24 36 48 60 72
72
7 84 …
mín.c.m. (9, 12) =
c) 15
•
15
15 8 15 30 45 60 75 90 105 …
25
•
25
25 8 25 50 75 100 125 150 …
mín.c.m. (15, 25) =
3 Calcula por el método artesanal, igual que se ha hecho
en el ejercicio anterior.
a) mín.c.m. (5, 8)
b) mín.c.m. (8, 12)
c) mín.c.m. (12, 24)
d) mín.c.m. (30, 40)
e) mín.c.m. (50, 75)
f) mín.c.m. (200, 300)
a) mín.c.m. (2, 3)
b) mín.c.m. (4, 5)
c) mín.c.m. (6, 9)
d) mín.c.m. (6, 12)
e) mín.c.m. (5, 10)
f) mín.c.m. (15, 20)
5 Una fábrica envía mercancía a Valencia cada 6 días y a
Sevilla cada 8 días. Hoy han coincidido ambos envíos.
¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a coincidir?
6 Se han construido dos columnas de igual altura: la pri-
mera apilando cubos de 40 cm de arista, y la segunda,
con cubos de 30 cm de arista. ¿Qué altura alcanzarán sa-
biendo que superan los dos metros, pero no llegan a tres?
3 m
2 m
1 m
7 El autobús de la línea roja pasa por la parada, frente a
mi casa, cada 20 minutos, y el de la línea verde, cada
30 minutos. Si ambos pasan juntos a las dos de la tar-
de, ¿a qué hora vuelven a coincidir?
Actividades

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Máximo común divisor de dos números
7
También encontrarás problemas que exigen el manejo de los divisores comunes
a varios números. Veamos un ejemplo:
▼ ejemplo
Una sociedad protectora de animales ha recogido 8 gatos y 12 perros que se han de
transportar en jaulas iguales, lo más grandes que sea posible, y de forma que en todas
quepa el mismo número de individuos. ¿Cuántos animales irán en cada jaula?
Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones:
• Primera solución: jaulas con un inquilino.
G G G G G G G G P P P P P P P P P P P P
8 Ò 1 12 Ò 1
• Segunda solución: jaulas con dos inquilinos.
4 Ò 2 6 Ò 2
• Tercera solución: jaulas con cuatro inquilinos.
2 Ò 4 3 Ò 4
Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:
1 - 2 - 4
El mayor de estos divisores comunes es 4 y recibe el nombre de máximo
común divisor de 8 y 12.
El mayor de los divisores comunes a dos o más números, a, b, c, … se
llama máximo común divisor, y se expresa así:
máx.c.d. (a, b, c, …)
Cálculo del máximo común divisor
(método artesanal)
Para obtener el máximo común divisor de dos números:
• Escribimos los divisores de cada uno.
• Entresacamos los comunes.
• Tomamos el mayor.
▼ ejemplo
Vamos a comprobar, siguiendo el método descrito, que el máximo común
divisor de 8 y 12 es, efectivamente, 4.
divisores
de 8
8 1 - 2 - 4 - 8
divisores
de 12
8 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12
divisores
comunes
8 1 - 2 - 4
máx.c.d. (8, 12) = 4
Ø
∞
Ø
∞
Ø
±
∞
±
∞

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UNIDAD
3
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Ejercicio resuelto
Calcular máx.c.d. (20, 30).
Divisores de 20 8 1 2 4 5 10 20
Divisores de 30 8 1 2 3 5 6 10 15 30
Divisores comunes 8 1 - 2 - 5 - 10
El mayor de los divisores
comunes de 20 y 30 es 10.
Ø
∞
±
8 máx.c.d. (20, 30) = 10
1 Copia, observa y contesta.
Div. de 12 8 1 2 3 4 6 12
Div. de 18 8 1 2 3 6 9 18
a) Escribe los divisores comunes de 12 y 18.
b) Escribe el máximo común divisor de 12 y 18.
2 Copia, observa y completa a simple vista.
a) Div. de 12 8 1 2 3 4 6 12
Div. de 16 8 1 2 4 8 16
máx.c.d. (12, 16) =
b) Div. de 15 8 1 3 5 15
Div. de 20 8 1 2 4 5 10 20
máx.c.d. (15, 20) =
c) Div. de 24 8 1 2 3 4 6 8 12 24
Div. de 30 8 1 2 3 5 6 10 15 30
máx.c.d. (24, 30) =
3 Calcula por el método artesanal, igual que se ha hecho
en el ejercicio anterior.
a) máx.c.d. (6, 8)
b) máx.c.d. (8, 20)
c) máx.c.d. (10, 15)
d) máx.c.d. (12, 24)
e) máx.c.d. (18, 24)
f) máx.c.d. (40, 50)
a) máx.c.d. (2, 3)
b) máx.c.d. (4, 5)
c) máx.c.d. (3, 9)
d) máx.c.d. (6, 9)
e) máx.c.d. (30, 40)
f ) máx.c.d. (50, 75)
5 Rosa ha sacado de la hucha un montón de monedas,
todas iguales, y ha comprado un bolígrafo. Después, ha
vuelto a la tienda y ha comprado un rotulador.
¿Cuánto puede valer cada moneda? (Busca todas las
soluciones posibles).
6 Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm,
respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo
más largos que sea posible, y sin desperdiciar madera.
¿Cuánto debe medir cada trozo?
Actividades
70 cent.
80 cent.

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38
■La relación de divisibilidad
1 Reflexiona, contesta “Sí” o “No” y justifica
tus respuestas:
a) ¿Se pueden guardar 300 litros de aceite en bido-
nes de 15 litros sin que sobre nada?
b)Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empa-
quetas por docenas, ¿queda alguna suelta?
c) ¿Se puede cortar un listón de 1,80 m en un nú-
mero exacto de trozos de 20 cm?
d)¿Hacen 100 minutos un número exacto de cuar-
tos de hora?
2 Razona si existe relación de divisibilidad entre:
a) 20 y 300 b)13 y 195 c) 38 y 138
d)15 y 75 e) 23 y 203 f ) 117 y 702
■Múltiplos y divisores
a) Tres números contenidos una cantidad exacta de
veces en 180.
b)Tres números que contengan a 15 una cantidad
exacta de veces.
c) Tres divisores de 180.
d)Tres múltiplos de 15.
4 Escribe.
a) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.
b)Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.
5 Escribe.
a) Todos los pares de números cuyo producto es 80.
b)Todos los divisores de 80.
6 ¿Cuáles de estas cantidades de dinero puedes
obtener juntando billetes de cinco euros?:
¿Y juntando billetes de 10 euros?
7 Busca todos los divisores de:
a) 10 b)18 c) 20 d)24
e) 30 f ) 39 g) 45 h)50
8 Describe todas las formas que hay de dividir
una clase de 30 chicos y chicas en equipos iguales.
Por ejemplo: 5 equipos de 6.
9 Busca todas las formas posibles de hacer mon-
tones iguales con 72 terrones de azúcar.
■Criterios de divisibilidad
10 Sustituye cada letra por una cifra, para que el
número resultante sea divisible entre 3.
A51 2B8 31C 52D 1E8
11 Busca, en cada caso, todos los valores posibles
de a para que el número resultante sea, a la vez,
a para que el número resultante sea, a la vez,
a
múltiplo de 2 y de 3:
4 a 3 2 a 2 4 a
■Números primos y compuestos
12 Separa los números primos de los compuestos.
14 17 28 29 47 53
57 63 71 79 91 99
13 Busca el primer número, mayor que 90, que
no se pueda expresar como el producto de dos fac-
tores diferentes de él mismo y de la unidad.
14 Averigua si el número 113 es primo o com-
puesto. Justifica tu respuesta.
■Máximo común divisor y mínimo
común múltiplo
15 Calcula.
a) mín.c.m. (4, 8) b)máx.c.d. (4, 8)
c) mín.c.m. (10, 20) d)máx.c.d. (10, 20)
e) mín.c.m. (20, 30) f) máx.c.d. (20, 40)
16 El mínimo común múltiplo de dos números
es 15. ¿Cuáles pueden ser esos números?
15 € 22 € 37 € 45 € 80 € 94 € 120 € 1000 €

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UNIDAD
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Autoevaluación
Autoevaluación
1 Busca pares de números emparentados por la relación
de divisibilidad:
6 10 30 80
2 Contesta sí o no y justifica tu respuesta.
a) ¿Es 60 divisible entre 15?
b) ¿Es 5 múltiplo de 15?
c) ¿Es 6 divisor de 30?
d) ¿Es 162 múltiplo de 8?
3 Escribe.
a) Los cinco primeros múltiplos de 6 comprendidos
entre 50 y 70.
b) Todos los divisores de 30.
4 Completa.
a) Un número es múltiplo de 3 cuando …
b) Un número es divisible entre 5 cuando …
5 Separa los primos de los compuestos:
14 - 23 - 65 - 67 - 87 - 97 - 101 - 111
6 Calcula.
a) mín.c.m. (10, 15)
b) máx.c.d. (10, 15)
c) mín.c.m. (30, 40)
d) máx.c.d. (30, 40)
7 ¿De cuántas formas distintas se puede dividir una clase
de 28 alumnos, en equipos con el mismo número de
miembros, sin que sobre ninguno?
8 En un edificio de oficinas, el vigilante nocturno com-
pleta su ronda cada 30 minutos, y su compañero, que
vigila el parque exterior, cada 40 minutos. Ambos ini-
cian su jornada a las diez de la noche. ¿A qué hora vol-
verán a coincidir en el punto de partida?
17 Antonio tiene entre 40 y 50 años, justo el tri-
ple que su hijo Julio, que tiene menos de 15. ¿Cuán-
tos años tiene cada uno?
18 Ricardo puede ordenar su colección de cro-
mos por parejas, por tríos y en grupos de cinco.
¿Cuántos cromos tiene Ricardo, sabiendo que son
más de 80 y menos de 100?
19 Raquel ha envasado 64 mantecados en cajas
iguales. ¿Cuántas cajas ha llenado? (Escribe todas
las soluciones posibles).
20 En un almacén de maderas se han apilado
tablones de pino, de un grosor de 35 mm, hasta
alcanzar la misma altura que otra pila de tablones
de roble, de 20 mm de gruesos. ¿Cuál será la altura
de ambas pilas? (Busca, al menos, tres soluciones).
21 Un vaso pesa 75 gramos, y una taza, 60 gra-
mos. ¿Cuántos vasos hay que colocar en uno de los
platillos de una balanza, y cuántas tazas en el otro,
para que la balanza quede equilibrada?
22 Un comerciante, en un mercadillo, intercam-
bia con un compañero un lote de camisetas de 24 €
la unidad por un lote de zapatillas de 30 € la uni-
dad. ¿Cuántas camisetas entrega y cuántas zapatillas
recibe?
23 Un grupo de 60 niños, acompañados de 36
padres, acuden a un campamento en la montaña.
Para dormir, acuerdan ocupar cada cabaña con el
mismo número de personas. Además, cuantas me-
nos cabañas ocupen menos pagan. Por otro lado, ni
los padres quieren dormir con niños ni los niños
con padres. ¿Cuántos entrarán en cada cabaña?
☞ Utiliza el máximo común divisor.

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“Si a 9 le añadimos 6 y restamos 7, obtenemos 8”.
Esta afirmación la podemos escribir así: 9 + 6 – 7 = 8.
Para llegar a una expresión tan sencilla, las matemáti
cas han tenido que recorrer un largo camino.
En el siglo iii a.C., los chinos trabajaron con canti
dades negativas. Para ello, utilizaban dos conjuntos
de varillas, unas rojas para las positivas y otras ne
gras para las negativas. Con ellas efectuaban cálcu
los con extraordinaria destreza. Aunque los números
negativos no representaban ninguna dificultad para
los chinos, no consideraban válida la solución de un
problema si esta era negativa. ¡Qué curioso!
Tuvieron que pasar todavía unos mil años, hasta que
en el siglo vii, en India, se sistematizara el uso de
los números negativos, del cero y de la regla de los
signos.
De India, y gracias a los árabes, estos conceptos llega
ron a Europa hacia el siglo ix. Sin embargo, hasta el
siglo xv no aparecieron los signos + y –; primero, para
xv no aparecieron los signos + y –; primero, para
xv
designar cantidades positivas y negativas, y después,
para las operaciones de suma y resta. El signo = se
inventó en 1560.
Ya ves, lo que tú puedes escribir en unos segundos, a
la matemática le costó miles de años.
4Los números
enteros
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo ordenar los números naturales en la recta
numérica.
■ Cómo hacer sumas y restas combinadas de
números naturales.
■ El significado de los paréntesis y el orden de
prioridad de las operaciones.
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Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud
de situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las
situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los
números negativos.
Por ejemplo:
• Estamos a ocho grados centígrados. Ä8 +8 8 N.º natural
Estamos a ocho bajo cero. ÄÄÄÄÄ8 –8 8 N.º negativo
• Julián gana 20 euros. ÄÄÄÄÄÄÄ8 +20 8 N.º natural
Julián gasta 20 euros. ÄÄÄÄÄÄÄ8 –20 8 N.º negativo
• Llamamos números negativos a los que están por debajo del cero.
•
Los números negativos se escriben precedidos del signo menos:
–1, –2, –3, –4, –5, …
•
Cuando un número no lleva signo, entendemos que es positivo:
3 = +3 +15 = 15
•
Cuando se plantean operaciones con números negativos, estos se suelen
escribir entre paréntesis:
5 + (–2) 8 El número positivo 5 se suma con el negativo –2.
(–4) · (–3) 8 El número negativo –4 se multiplica por el negativo –3.
Utilidad de los números positivos y negativos
Los números positivos y los números negativos sirven para expresar cantida
des o posiciones fijas.
▼ ejemplos
• En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un
sótano:
Sexto piso Ä8 +6
Segundo sótano Ä8 –2
• Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en
números rojos (negativo):
Rosa tiene ciento cincuenta euros. Ä8 +150
Francisco debe ochenta y cinco euros. Ä8 –85
Números positivos y negativos
1
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
5

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UNIDAD
4
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Los números positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de
cantidad.
▼ ejemplos
• Con el ascensor del edificio puedes subir o bajar a otra planta:
Subes del segundo al quinto (tres plantas). Ä8 +3
Bajas del tercer piso al segundo sótano (cinco plantas). Ä8 –5
• La temperatura que marca el termómetro sufre variaciones:
Hace más calor. El termómetro ha subido dos grados. Ä8 +2
Está refrescando. El termómetro ha bajado dos grados. Ä8 –2
1 Describe tres situaciones en las que se hace necesario el
uso de números negativos.
Por ejemplo, para expresar las lecturas del termóme
tro de ambiente.
2 Escribe tres elementos más en cada una de las siguien
tes series numéricas:
a) 0, 1, –1, 2, –2, …
b) 6, 4, 2, 0, –2, …
c) 20, 15, 10, 5, 0, …
d) –21, –20, –18, –15, –11, …
e) 8, 7, 5, 2, –2, …
3 Asocia un número positivo o negativo a cada uno de
los enunciados siguientes:
a) Mercedes tiene en el banco 2500 euros.
b) Miguel debe 150 euros.
c) Vivo en el séptimo piso.
d) Tengo el coche aparcado en el segundo sótano.
e) El termómetro marca 18 °C.
f) El termómetro marca tres grados bajo cero.
g) Tengo un billete de 10 €.
h) Debo 2 € a un amigo.
4 Expresa numéricamente cada enunciado:
a) He ganado 60 € con una quiniela.
b) He pagado una factura de 60 €.
c) El termómetro ha subido cinco grados.
d) El termómetro ha bajado cinco grados.
e) El ascensor ha subido cuatro plantas.
f ) El ascensor ha bajado cuatro plantas.
g) He perdido una moneda de 2 €.
5 Expresa con un número los saltos en cada escalera:
6 Escribe un número para cada movimiento en la recta:
7 Asocia un número a cada enunciado:
a) La temperatura ha bajado de 21 °C a 18 °C.
b) He subido del segundo sótano al segundo piso.
c) La semana pasada tenía 37 € en la hucha y ahora
solo tengo 34 €.
d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora, a
mediodía, tenemos 3 °C.
Actividades
garaje
calderas
gimnasio
tienda
restaurante
peluquería
academia
vivienda
vivienda
trastero
5
0 10
B
A
15

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El conjunto de los números enteros
2
Orden en la recta
Orden en la recta
Si un número, a, es menor que otro,
b, entonces a esta a la izquierda de
b en la recta.
–4 –1 +3
0 +3
–1
–4
El conjunto Z
Si al conjunto N de los números naturales le añadimos los correspondientes nú
meros negativos, obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemáticas
como conjunto de los números enteros y se designa por la letra Z.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa
del cero en la recta numérica. Se expresa escribiéndolo entre barras:
El valor absoluto de –7 es 7 8 |–7| = 7
El valor absoluto de +4 es 4 8 |+4| = 4
–7 = 7
–7 = 7
4 = 4
4 = 4
–7
0
+4
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al
quitarle el signo.
|a| Ä8 valor absoluto de a
Comparación de números enteros
• Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo: +20 +8.
• Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que
cualquier negativo. Por ejemplo: +8 0 –8.
• Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por
ejemplo: –8 –20
1 Escribe el valor absoluto de:
a) –5 b) +8 c) –3
d) +4 e) –7 f) +1
2 Completa.
a) |–6| = … b) |+6| = … c) |–2| = …
d) |+9| = … e) |–11| = … f) |+10| = …
3 Escribe dos números distintos que tengan el mismo
valor absoluto.
4 Representa en la recta y ordena de menor a mayor.
–7, +4, –1, +7, +6, –4, –5, +3, –11
5 Copia y coloca el signo o el signo según corres
ponda.
a) (+8) … (+3) b) (–8) … (+3) c) (+8) … (–3)
d) (–2) … (–5) e) (+2) … (–5) f) (–2) … (+5)
6 Ordena de menor a mayor.
a) +5, –3, –7, 0, +1, +6, –12, –5
b) –6, –3, –9, 0, –1, –5, –12, –4
Actividades
naturales
enteros
negativos

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4
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Sumas y restas de números enteros
3
Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones más sencillas, que son las que
no tienen paréntesis.
Sumas y restas de dos números
los dos números llevan el mismo signo
• Si me dan 4 y me dan 3, gano 7. Ä8 4 + 3 = +7
• Si me quitan 3 y me quitan 8, pierdo 11. Ä8 –3 – 8 = –11
Cuando los dos números llevan el mismo signo:
•
Se suman los valores absolutos.
•
Se pone el mismo signo que tenían los números.
los dos números tienen distinto signo
• Si me quitan 2 y me dan 8, gano 6. Ä8 –2 + 8 = +6
• Si me dan 4 y me quitan 9, pierdo 5. Ä8 +4 – 9 = –5
Cuando los dos números llevan distinto signo:
•
Se restan los valores absolutos.
•
Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Sumas y restas de más de dos números
Para resolver estas expresiones, puedes actuar de dos formas diferentes.
Ten en cuenta
Ten en cuenta
El orden no cuenta mientras cada
número conserve su signo:
+2 – 5 = –5 + 2 = –3
–3 0
–5
+2
–3 0
–5
+2
–5 + 2 = –3
+2 – 5 = –3
Calcular: 3 – 8 + 6 – 4
Ejercicio resuelto
1.er método: Puedes ir operando, paso a paso, en el orden en que aparecen
los números.
3 – 8 + 6 – 4
–5 + 6 – 4
1 – 4
–3
Se expresa así:
3 – 8 + 6 – 4 = –5 + 6 – 4 = 1 – 4 = –3

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1 Copia y completa.
• Si me dan 6 y me dan 7, gano 13. 8 +6 + 7 = …
• Si me dan 3 y me quitan 8, pierdo … 8 +3 – 8 = …
• Si me quitan 4 y me dan 6, … 8 –4 + 6 = …
• Si me quitan 5 y me quitan 4, … 8 –5 – 4 = …
2 Calcula, teniendo en cuenta que ambos números tie
nen el mismo signo.
a) 6 + 5 b) +4 + 8 c) +10 + 7
d) –6 – 2 e) –4 – 6 f) –5 – 9
g) +8 + 7 h) –8 – 7 i) –12 – 4
3 Opera, teniendo en cuenta que los dos números lle
van signos diferentes.
a) +9 – 5 b) +3 – 7 c) +6 – 10
d) –2 + 7 e) –15 + 5 f) –11 + 8
g) 7 – 12 h) 11 – 4 i) –18 + 10
4 Calcula.
a) +6 – 7 b) –8 + 7 c) –5 – 1
d) +8 + 2 e) +10 – 12 f) –16 + 20
g) +11 + 21 h) –13 – 12 i) –18 + 11
5 Ejercicio resuelto
Ejercicio resuelto
Resolver, operando en el orden en que apare-
Resolver, operando en el orden en que apare-
R
cen las operaciones: 12 – 4 – 6
12 – 4 – 6
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
2
6 Opera, siguiendo los pasos del ejercicio resuelto an
terior.
a) 10 – 3 – 5 b) 15 – 9 – 6 c) 5 – 8 + 4
d) 9 – 3 + 5 e) –2 + 2 + 7 f) –10 + 8 + 6
g) –10 – 3 + 8 h) –4 – 3 – 2 i) –1 – 5 – 7
Ejercicio resuelto
Resolver, sumando primero los números del
Resolver, sumando primero los números del
R
mismo signo: 6 – 15 + 4
6 – 15 + 4
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
–5
8 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
a) 9 – 2 – 3 b) 12 – 4 – 6 c) 3 – 7 + 4
d) 5 – 9 + 8 e) –13 + 6 + 4 f) –2 + 10 – 15
g) –11 – 4 + 8 h) –5 – 3 – 4 i) –8 + 5 + 6
9 Resuelve juntando los positivos por un lado y los ne
gativos por otro, como en el ejemplo.
• – 4 + 6 – 8 + 7 = 6 + 7 – 4 – 8 = 13 – 12 = 1
a) 5 + 7 – 2 – 4
b) 2 – 6 + 4 – 9
c) 9 – 6 – 7 + 2
d) –4 – 5 + 3 + 8
e) –8 + 2 – 7 + 6
f) –1 + 5 + 6 – 7
Actividades
Ø
§
Ø
§
Ø
§
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
§
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
§
§
§
∞
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
∞
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
§
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
∞
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
§
8 – 6 12 – 4 – 6 = 8 – 6 = 2
§
∞
§
∞
§
§
§
§
±
§
±
§
Ø
§
Ø
§
Ø
§
§
§
§
∞
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
∞
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
§
∞
§
§
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
§
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
∞
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
§
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
∞
10 – 15 6 – 15 + 4 = 10 – 15 = – 5
§
§
§
§
±
§
±
§
2.° método: Puedes sumar los positivos por un lado y los negativos por otro.
Después, se restan los resultados.
3 – 8 + 6 – 4
3 + 6 – 8 – 4
9 – 12
–3
Se expresa así:
3 – 8 + 6 – 4 = 3 + 6 – 8 – 4 = 9 – 12 = –3

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Sumas y restas con paréntesis
4
(–3) + (+5) =
= –3 + 5 = +2
(+5)
(–5)
(+2) + (–5) =
= 2 – 5 = –3
Los números enteros, en las operaciones, se suelen presentar entre paréntesis.
Ahora vas a aprender a suprimir esos paréntesis en las expresiones con sumas y
restas. Así, se reducen a lo que ya sabes. Se presentan cuatro casos.
Para sumar un número entero, se quita el paréntesis y se deja el signo
propio del número:
+ (+a) = +a + (–a) = –a
Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se le pone al número
el signo contrario al que tenía:
– (+a) = –a – (–a) = +a
8 + (–2) = 8 – 2 = 6
sumar un número positivo sumar un número negativo
8 + (+5) = 8 + 5 = 13
+ (+5) = +5
7 7
añadir ganancia
Ingresar una ganancia
es aumentar (ganar).
+ (–2) = –2
7 7
añadir deuda
Ingresar una deuda
es disminuir (perder).
8 – (+5) = 8 – 5 = 3 8 – (–2) = 8 + 2 = 10
restar un número positivo restar un número negativo
– (+5) = –5
7 7
extraer ganancia
Suprimir una ganancia
es disminuir (perder).
– (–2) = +2
7 7
extraer deuda
Suprimir una deuda es
aumentar (ganar).
Calcular:
• (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8 • (+5) – (+8) = 5 – 8 = –3
• (+10) + (–3) = 10 – 3 = 7 • (+2) – (–6) = 2 + 6 = 8
• (–8) + (–4) = –8 – 4 = –12 • (–5) – (+6) = –5 – 6 = –11
• (–6) + (+3) = –6 + 3 = –3 • (–7) – (–3) = –7 + 3 = –4
Ejercicio resuelto

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Operar la expresión siguiente:
12 – [8 – (7 – 10) + (2 – 6)]
Podemos resolverla de dos formas diferentes:
a) Operar dentro de cada paréntesis, empezando por los más pequeños.
12 – [8 – (7 – 10) + (2 – 6)] = 12 – [8 – (–3) + (–4)] =
= 12 – [8 + 3 – 4] =
= 12 – [+7] =
= 12 – 7 = 5
b) Quitar paréntesis, empezando por los más pequeños, y después operar.
12 – [8 – (7 – 10) + (2 – 6)] = 12 – [8 – 7 + 10 + 2 – 6] =
= 12 – 8 + 7 – 10 – 2 + 6 =
= (12 + 7 + 6) – (8 + 10 + 2) =
= 25 – 20 = 5
Ejercicio resuelto
Sumas y restas dentro de un paréntesis
El paréntesis empaqueta, en un solo bloque, todo lo que va en él. Por eso, el signo
que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior.
Se dan dos casos.
paréntesis precedido de signo positivo
+(+3 – 6 + 5)
Los signos finales son los mismos que tenían los sumandos dentro del paréntesis.
paréntesis precedido de signo negativo
–(+8 – 6 – 5)
Los signos finales son los contrarios a los que había dentro del paréntesis.
• Al quitar un paréntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos
(restandos) interiores quedan como estaban.
• Al quitar un paréntesis precedido del signo –, cada uno de los signos de los
sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto.
Me la quita.
¡Estupendo!
–[(–8) + (–10) + (–3)] =
= –[–8 – 10 – 3] = 8 + 10 + 3 = +21
Me dan (+3)
Me dan (–6) 8 +(+3) + (–6) + (+5) = 3 – 6 + 5
Me dan (+5)
Me dan
Ø
Me dan (+3)Ø
Me dan (+3)
§
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)
Ø
§
Ø
∞
Me dan (–6)∞
Me dan (–6)
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)∞
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)
Me dan (–6)∞
Me dan (–6)
§
Me dan (–6)∞
Me dan (–6)
±
§
±
§
Ø
§
Ø
§
Ø
∞
§
∞
§
§
∞
§
∞
±
§
±
§
Me quitan (+8)
Me quitan (–6) 8 –(+8) – (–6) – (–5) = –8 + 6 + 5
Me quitan (–5)
Me quitan
Ø
Me quitan (+8)Ø
Me quitan (+8)
§
Me quitan (+8)
§
Me quitan (+8)
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)
Me quitan (+8)Ø
Me quitan (+8)
§
Me quitan (+8)Ø
Me quitan (+8)
Me quitan (–6)∞
Me quitan (–6)
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)∞
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)
Me quitan (–6)∞
Me quitan (–6)
§
Me quitan (–6)∞
Me quitan (–6)
±
§
±
§
Ø
§
Ø
§
Ø
∞
§
∞
§
§
∞
§
∞
±
§
±
§

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1 Quita paréntesis.
Quita paréntesis.
Q
a) +(–1) b) –(+4)
c) +(+8) d) –(+7)
e) +(–10) f) –(–6)
g) +(–11) h) –(–13)
i) +(–15) j) –(+16)
k) +(–9) l) –(–7)
2 Quita los paréntesis
Quita los paréntesis
Q .
a) +(+2) b) +(–8)
c) +(–4) d) –(–9)
e) –(+5) f) +(–12)
g) +(–14) h) +(+15)
i) –(+25) j) –(–2)
3 Opera y comprueba los resultados de las siguientes
sumas y restas:
a) +(+8) – (+5) b) –(+6) – (–2)
c) +(–2) + (–6) d) +(+7) – (–3)
e) +(–9) – (+2) f) –(+6) + (+4)
a) +3; b) –4; c) –8; d) +10; e) –11; f) –2
f) –2
f
4 Quita paréntesis, calcula, y co
Quita paréntesis, calcula, y co
Q mprueba el resultado de
cada operación:
a) +(5 + 3) b) +(–6 – 3)
c) –(8 + 15) d) –(–2 – 4)
e) +(9 – 7 – 2) f) +(1 – 8 + 3)
g) –(–6 + 5 – 7) h) –(7 – 5 + 4)
i) +(–3 – 1 – 4) j) –(–2 –3 + 8)
a) +8; b) –9; c) –23; d) +6; e) 0;
f) –4; g) +8; h) –6; i) –8; j) –3
5 Quita el paréntesis y calcula igual que se ha hecho en
el ejemplo.
• 16 – (–5) = 16 + 5 = 21
a) 12 + (+4) b) 8 + (+3)
c) 10 – (+8) d) 15 – (–6)
e) 13 – (+9) f) 9 + (–1)
g) 2 – (+8) h) 3 – (–5)
i) 4 + (–10) j) 10 – (+16)
k) 15 – (+25) l) 30 – (–12)
6 Suprime los paréntesis y, después, opera, como en el
ejemplo.
• –(+14) – (–12) = –14 + 12 = –2
a) +(+7) + (+6) b) +(–5) + (–3)
c) +(–6) – (+8) d) –(–7) + (–10)
e) –(–3) – (–5) f) –(–2) – (+6)
g) +(–7) – (–3) h) –(–5) + (+4)
i) +(–12) + (+10) j) –(+6) – (+8)
7 Calcula.
a) 18 + (+12) b) 22 – (+15)
c) 35 – (–15) d) 30 + (–18)
e) –24 – (–20) f) –15 – (+15)
g) –(+22) – 16 h) –(–27) – 30
i) +(–25) – 24 j) –(+36) + 26
k) –(+12) – (+13) l) +(–16) + (–14)
8 Quita primero el paréntesis, como en el ejemplo, y
después calcula.
• 15 – (+3 – 8) = 15 – 3 + 8 = 23 – 3 = 20
a) 12 + (+3 – 5) b) 14 + (+12 – 10)
c) 6 – (9 – 7) d) 15 – (2 – 9)
e) 11 – (–6 + 3) f) 10 – (–7 – 5)
g) 13 + (–8 + 2) h) 17 + (–5 – 9)
i) 8 + (–8 + 8) j) 9 – (–3 – 10)
9 Repite los ejercicios de la actividad anterior, operando
en primer lugar dentro del paréntesis, como se hace
en el ejemplo.
• 15 – (+3 – 8) = 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
Comprueba que obtienes los mismos resultados que
eliminando primero los paréntesis.
10 Calcula quitando primero los paréntesis, como en el
ejemplo.
• (5 – 12) – (8 – 6) = 5 – 12 – 8 + 6 = 11 – 20 = –9
a) (7 – 4) + (9 – 5) b) (2 + 6) + (5 – 8)
c) (5 – 9) + (2 – 12) d) (7 + 3) – (5 + 4)
e) (8 – 12) – (2 – 5) f) (10 – 7) – (–2 – 6)
g) –(8 + 4) + (5 – 9) h) –(6 – 2) – (7 – 9)
Actividades

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Ten en cuenta
Ten en cuenta
Para multiplicar tres enteros:
(–2) · (–3) · (–5) = (+6) · (–5) =
= –30
o bien:
(–2) · (–3) · (–5) = (–2) · (+15) =
= –30
La multiplicación de enteros cumple
la propiedad asociativa.
ingreso
+5 € ingreso
+5 € ingreso
+5 €
factura
–5 € factura
–5 € factura
–5 €
ingreso
+5 € ingreso
+5 € ingreso
+5 €
a
a
an+5
n+5
n+5
n+5
nu
+5
u
+5
ul
+5
l
+5
la
ingreso
a
ingreso
a
la
l
la
l d
ingreso
d
ingreso
do
ingresoo
ingresoo
a
a
an+5
n+5
n+5
n+5
nu
+5
u
+5
ul
+5
l
+5
la
ingreso
a
ingreso
a
la
l
la
l d
ingreso
d
ingreso
do
ingresoo
ingresoo
o
a
a
an+5
n+5
n+5
n+5
nu
+5
u
+5
ul
+5
l
+5
la
ingreso
a
ingreso
a
la
l
la
l d
ingreso
d
ingreso
do
ingresoo
ingresoo
o
factura
–5 € factura
–5 € factura
–5 €
a
an–5
n–5
n–5
n–5
nu
–5
u
–5
ul
–5l
–5la
factura
a
factura
a
la
l
la
l d
factura
d
factura
do
facturao
facturao
a
an–5
n–5
n–5
n–5
nu
–5
u
–5
ul
–5l
–5la
factura
a
factura
a
la
l
la
l d
factura
d
factura
do
facturao
facturao
o
a
an–5
n–5
n–5
n–5
nu
–5
u
–5
ul
–5l
–5la
factura
a
factura
a
la
l
la
l d
factura
d
factura
do
facturao
facturao
o
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros, actuaremos igual que para multiplicar núme
ros naturales, pero ahora, además, hemos de preocuparnos del signo.
producto de dos números positivos
Si obtengo 3 ingresos de 5 €, gano 15 €.
+(+5) + (+5) + (+5) = 5 + 5 + 5 = +15
(+3) · (+5) = +15
producto de un número positivo por otro negativo
Si me llegan 3 facturas de 5 €, pierdo 15 €.
+(–5) + (–5) + (–5) = –5 – 5 – 5 = –15
(+3) · (–5) = –15
producto de un número negativo por otro positivo
Si me anulan 3 ingresos de 5 €, pierdo 15 €.
–(+5) – (+5) – (+5) = –5 – 5 – 5 = –15
(–3) · (+5) = –15
producto de dos números negativos
Si me anulan 3 facturas de 5 €, gano 15 €.
–(–5) – (–5) – (–5) = +5 + 5 + 5 = +15
(–3) · (–5) = +15
Para automatizar la multiplicación de enteros, aplica la siguiente regla que te
permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar.
REGLA DE LOS SIGNOS
Al multiplicar dos números enteros:
• Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado
final es positivo.
• Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado
final es negativo.
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨
⎧
⎨
⎧
⎨
⎧
⎩
⎨
⎩
⎨
(+) · (+) = +
(–) · (–) = +
(+) · (–) = –
(–) · (+) = –
Multiplicación y división de números enteros
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División de números enteros
Igual que en la multiplicación, lo único nuevo que necesitas aprender para divi
dir enteros es la forma de calcular el signo del cociente. Con lo que ya sabes del
producto, es fácil averiguar ese signo:
▼ ejemplos
(–12) : (+4) = –3 (+30) : (–5) = –6 (+18) : (+9) = +2 (–15) : (–3) = +5
En las expresiones con números enteros hemos de atender:
• Primero, a los paréntesis.
• Después, a la multiplicación y a la división.
• Por último, a la suma y a la resta.
▼ ejemplo
(+4) · (+5) = +20 8 (+20) : (+4) = +5 8 Más entre más, más.
(–4) · (–5) = +20 8 (+20) : (–4) = –5 8 Más entre menos, menos.
(+4) · (–5) = –20
8 (–20) : (+4) = –5 8 Menos entre más, menos.
8 (–20) : (–5) = +4 8 Menos entre menos, más.
La regla de los signos para la división
coincide con la del producto.
signos (+) : (+)= +
iguales (–) : (–)= +
signos (+) : (–)= –
diferentes (–) : (+)= –
Ø
§
Ø
§
Ø
§
§
§
§
∞
§
∞
§
§
∞
§
∞
§
§
§
§
±
§
±
§ Ø
∞
Ø
∞
Ø
±
∞
±
∞
Ø
∞
Ø
∞
Ø
±
∞
±
∞
15 – 3 · [6 – (–12) : (+4)]
15 – 3 · [6 – (–3)]
15 – 3 · [+9]
15 – 27
–12
15 – 3 · [6 – (–12) : (+4)] = 15 – 3 · [6 – (–3)] =
= 15 – 3 · [6 + 3] =
= 15 – 3 · [+9] = 15 – 27 = –12
No es lo mismo…
[(–60) : (+6)] : (–2)
[–10] : (–2)
+5
que…
(–60) : [(+6) : (–2)]
[–60] : (–3)
+20
La división de enteros no es asocia-
tiva.
Ten en cuenta
1 Calcula estos productos:
a) 3 · (–2) b) 4 · (+5) c) 8 · (–6)
d) –5 · (+3) e) –2 · (–4) f) –6 · (+3)
g) (–4) · (+7) h) (+2) · (+6) i) (–5) · (–7)
j) (+3) · (–8) k) (–9) · (–3) l) (–6) · (+4)
2 Calcula el cociente entero, si existe.
a) (–8) : (+2) b) (+20) : (–10) c) (–12) : (–4)
d) (–4) : (+3) e) (+20) : (–7) f) (–1) : (+6)
g) (–15) : (–3) h) (+32) : (+8) i) (–36) : (+9)
j) (+42) : (–7) k) (–48) : (–8) l) (+54) : (+6)
Actividades

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■El conjunto Z.
1 Expresa con la notación de los números ente
ros, como se hace en el ejemplo:
• Antonio gana 15 € buzoneando propaganda.
+(+15) = +15
a) A Rosa le llega una factura de teléfono de 57 €.
b) Por no hacer la tarea, pierdo los dos positivos
que tenía en Matemáticas.
c) He resuelto un problema complicado. El profe
sor me quita los dos negativos que tenía.
a) +6, +2, 0, +4, –7, +3
b) –7, –2, 0, –1, –5, –9
c) –4, 0, +6, –8, +3, –5
3 Escribe un número entero para cada movi
miento en la recta:
■Suma y resta
4 Calcula.
a) 13 – 9 + 5 – 7
b) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6
c) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4
d) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18
5 Quita paréntesis y opera.
a) (+3) – (+8)
b) (–9) + (–6)
c) (–7) – (–7) – (+7)
d) (–11) + (+8) – (–6)
e) (+15) – (–12) – (+11) + (–16)
Ejercicio resuelto
Calcular: 11 – (5 – 8 – 6 + 3)
Podemos operar antes o después de quitar los
paréntesis:
• 11 – (5 – 8 – 6 + 3) = 11 – (5 + 3 – 8 – 6) =
= 11 – (8 – 14) = 11 – (–6) = 11 + 6 = 17
• 11 – (5 – 8 – 6 + 3) = 11 – 5 + 8 + 6 – 3 =
= 11 + 8 + 6 – 5 – 3 = 25 – 8 = 17
7 Calcula.
a) (4 + 8) – (3 – 9)
b) 10 + (8 – 15 + 2 – 6)
c) 12 – (7 + 11 – 14 – 8)
d) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5)
Ejercicio resuelto
[(+2) + (–12)] – [(3 – 7) – (7 – 2)] =
= [(+2) + (–12)] – [(–4) – (+5)] =
= [2 – 12] – [–4 – 5] = [–10] – [ – 9] =
= –10 + 9 = –1
9 Calcula.
a) (5 – 7) – [(–3) + (–6)]
b) (–8) + [(+7) – (–4) + (–5)]
c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)]
d) [(+6) – (–8)] – [(–4) – (–10)]
e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(–9 + 6) – (–5 + 7)]
■Multiplicación y división
Ejercicio resuelto
A
C
K
N
M
B
(+48) : [(–6) · (+4)]
(+48) : (–24)
–2
(+48) : [(–6) · (+4)] =
= (+48) : [–24] = –2
[(+48) : (–6)] · (+4)
(–8) · (+4)
–32
[(+48) : (–6)] · (+4) =
= [–8] · (+4) = –32

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11 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
a) (–18) : [(+6) · (–3)] b) [(–18) : (+6)] · (–3)
c) (+54) : [(–6) : (+3)] d) [(+54) : (–6)] : (+3)
13 Opera estas expresiones:
a) 35 + 7 · (6 – 11)
b) 60 : (8 – 14) + 12
c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4)
d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6)
e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)]
14 Calcula.
a) (–3) · [(–9) – (–7)]
b) 28 : [(–4) + (–3)]
c) [(–9) – (+6)] : (–5)
d) (–11) – (–2) · [15 – (+11)]
e) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)]
f) (–4) · [(–6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)]
g) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)]
■Los números negativos
en la calculadora
Ejercicio resuelto
Escribir el número –13 en la pantalla de una
calculadora.
• Por medio de una resta:
7 - 20 = 8 {∫∫–‘«}
• Con las teclas de memoria:
13 µ Ñ 8 {∫∫–‘«}
16 Utilizando los mismos procedimientos que en
el ejercicio anterior, escribe en tu calculadora:
a) –3 b) –12 c) –328 d) –1000
UNIDAD
4
Calcular: (–3) · (–4) – (+2) · (–9) – ( – 7) · (–5)
(–3) · (–4) – (+2) · (–9) – (–7) · (–5)
(+12) – (–18) – (+35)
12 + 18 – 35
30 – 35
–5
(–3) · (–4) – (+2) · (–9) – (–7) · (–5) =
= (+12) – (–18) – (+35) = 12 + 18 – 35 =
= 30 – 35 = –5
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Escribe un número entero que exprese el significado de
cada enunciado:
a) Jorge ha gastado 35 euros en el supermercado.
b) Adela ha recibido 6 euros de paga.
c) Hace frío. Estamos a dos grados bajo cero.
d) Mi casa está en la cuarta planta.
2 Dibuja una recta numérica y representa sobre ella los
números siguientes:
(+3), (–4), (+1), (–6), (–1), (+5), (–5)
3 Ordena de menor a mayor:
(+4), (–3), (+5), (–5), (+1), (–6), (+2), (–1)
4 Calcula:
a) 4 – 9 b) 3 – 8 + 1 c) –5 – 7 + 4 + 2
5 Calcula:
a) (–7) + (+4) b) (+2) – (–3) + (–5)
c) (–8) – (5 – 9) d) 20 – [(15 – 9) – (7 + 3)]
6 Resuelve:
a) 5 · (–2) b) (–3) · (–4) c) (–1) · (+3) · (–5)
d) 15 : (–3) e) (–18) : (–6) f) (–20) : [(+12) · (–3)]
7 Resuelve:
a) 3 · 4 – 2 · 7 b) 4 · 5 – 2 · 8
c) 3 · (5 – 7) d) (–2) · (6 – 8)

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La mayor parte de los sistemas de numeración de las
antiguas civilizaciones son de base decimal: egipcios,
griegos, romanos, chinos, indios, árabes... El uso de
la base decimal proviene, sin duda, de contar con los
dedos de las manos.
Los indios, en el siglo vii, añadieron a la base decimal
una notación posicional. Para llegar a este grandio-
so avance, un paso importantísimo fue la invención
del cero, pues con él se señalan las posiciones en las
que no hay cantidad: esto que ahora nos resulta tan
sencillo y natural, como poner 907 para indicar 9
centenas y 7 unidades, necesitó de muchísimos años
para consolidarse.
El sistema de numeración decimal-posicional se usó
en Europa solo para designar números enteros. Fue
en el siglo xvi cuando se hizo extensivo, también,
para cuantificar partes de la unidad.
Los símbolos para escribir los diez dígitos han varia-
do a lo largo del tiempo, cambiando de pueblo en
pueblo, de cultura en cultura. Aun ahora los árabes
tienen otra forma de expresarlos. Observa:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
5Los números
decimales
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DEBERÁS RECORDAR
■ La estructura del sistema de numeración decimal.
■ Cómo se aproxima un número a un determinado
orden de unidades.
■ Cómo se multiplica y se divide por números
naturales y por la unidad seguida de ceros.

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El termómetro
marca 37 °C
y ocho décimas.
¡Tengo fiebre!
Cuesto dos euros
y cincuenta y
cuatro céntimos.
Peso 2 kg
y 375 g.
(Dos kilos
y trescientas
setenta y cinco
milésimas).
No tarda ni una
millonésima
de segundo.
0,000001 segundos
56
Cuesto dos euros
y cincuenta y
cuatro céntimos.
Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad, utilizamos las cifras
decimales.
• Al dividir la unidad en diez partes iguales, cada parte es una décima.
2,5
2 3
2,7
2,7 8 Dos unidades y siete décimas
• Al dividir la décima en diez partes iguales, cada parte es una centésima.
2,74
2,5 3
2,8
2,7
2,74 8 Dos unidades y setenta y cuatro centésimas
• Al dividir la centésima en diez partes iguales, cada parte es una milésima.
2,745 2,75
2,74
2,745 8 Dos unidades y setecientas cuarenta y cinco milésimas
• En el sistema de numeración decimal, una unidad de cualquier orden se
divide en diez unidades del orden inmediato inferior.
10 U = 10 d = 100 c = 1 000 m = …
• Para leer un número decimal:
— Se nombra la parte entera expresada en unidades.
— Se nombra la parte decimal expresada en el orden de unidades de la
cifra decimal que queda a la derecha.
Los órdenes de unidades decimales
1
decenas
unidades
millonésimas
cienmilésimas
diezmilésimas
milésimas
centésimas
décimas
Trece unidades y quinientas setenta
y cuatro diezmilésimas
… D U, d c m dm cm mm …
1 3, 0 5 7 4
Ø
§
Ø
§
Ø
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
∞
§
∞
§
§
∞
§
∞
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
±
§
±
§

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UNIDAD
5
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U, d c m
2, 8 9 5
3, 1 0 0
U, d c m
5, 0 4
5, 4 0
Orden en los números decimales
Los números decimales quedan ordenados en la recta numérica.
0,7
–0,3
–1,5 1,8 3
3
2
1
0
–1
–2
–1,5 –0,3 0,7 1,8 3,0
Pero también puedes comparar números, sin acudir a la representación en la
recta, observando las cifras y el lugar que ocupan:
• Para comparar dos números decimales, se compara la parte entera.
Por ejemplo:
2,895 3,1 ÄÄ8 porque 2 U 3 U
(dos “y pico” es menos que “tres y pico”)
• Si los números tienen la misma parte entera, se iguala el número de cifras
decimales poniendo ceros a la derecha y se compara la parte decimal.
Por ejemplo:
5,04 5,4 ÄÄ8 porque 4 c 40 c
Entre dos decimales siempre hay otros decimales
• Elijamos dos números cualesquiera; por ejemplo 5,1 y 5,4. Es evidente que
entre ellos hay otros decimales:
5,1 5,2 5,3 5,4
• Busquemos, ahora, un número decimal comprendido entre 5,2 y 5,3. Estos
dos números se diferencian en una décima, y esa décima se puede dividir en
diez centésimas.
5,23
5,2 5,3
5,25 5,28
Añadiendo alguna de esas centésimas a 5,2, obtenemos decimales comprendi-
dos entre 5,2 y 5,3.
5,2 = 5,20 5,23 5,25 5,28 5,30 = 5,3
El proceso puede continuar indefinidamente o repetirse para cualquier otro par
de números.
• Los decimales se representan, ordenados, en la recta numérica.
• Entre dos decimales cualesquiera, siempre se pueden encontrar otros nú-
meros decimales.
Ten en cuenta
Ten en cuenta
Los ceros a la derecha de un núme-
ro decimal no modifican el valor del
número.
2,5 = 2,50 = 2,500
Fíjate
Fíjate
Fíjate
U, d c m
2, 5
2, 5 0
2, 5 0 0
U, d c
5, 2 0
5, 2 3
5, 2 5
5, 2 8
5, 3 0

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Aproximación por redondeo
En algunas ocasiones se nos presentan números con demasiadas cifras decimales
y preferimos, o nos vemos obligados, a sustituirlos por otros más manejables de
valor aproximado.
Para aproximar un número a un determinado orden de unidades:
• Se suprimen todas las cifras a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra suprimida es igual o mayor que cinco, se suma uno a la
cifra anterior.
Ten en cuenta
Ten en cuenta
Las cantidades de dinero, en el co-
mercio, se redondean a las centési-
mas (céntimos de euro).
7,586 €
ô
7,59 €
Los siete miembros de un equipo de atletismo deciden regalar a su entre-
nador un cronómetro que cuesta 30 €. ¿Cuánto debe aportar cada uno?
Para resolver el problema, divide con tu calculadora 30 : 7.
30 / 7 = 8 {∫¢…“°∞|‘¢“}
Como no tiene sentido dar como solución 4,2857… €, recurrimos a las
aproximaciones:
Como ves, en cada caso se toma la unidad, la décima o la centésima más
cercana al número original.
Problema resuelto
• Aproximación a las unidades 8 4
• Aproximación a las décimas 8 4,3
• Aproximación a las centésimas 8 4,29
aproximaciones
del número
A = 4,2857…
Ø
§
Ø
§
Ø
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
∞
§
∞
§
§
∞
§
∞
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
±
§
±
§
5
A
4
4,2
A
4,3
4,28
A
4,29
1. Redondear a las décimas los números siguientes:
Redondear a las décimas los números siguientes:
R
a) 13,8271
b) 24,1532
a) 13,8 13,8
Observa que la primera cifra suprimida es 2 5.
Por tanto, en la aproximación la cifra de las décimas no varía.
b) 24,1 24,2
Observa que la primera cifra suprimida es 5 ≥ 5.
Por tanto, sumamos una unidad a las décimas (1 + 1 = 2 ).
a) 13,8 13,8
271
a) 13,8 13,8
aproximación
a) 13,8 13,8
aproximación
a) 13,8 13,8
a) 13,8 13,8
ÄÄÄÄÄÄÄ8
a) 13,8 13,8
a) 13,8 13,8
aproximación
a) 13,8 13,8
ÄÄÄÄÄÄÄ8
a) 13,8 13,8
aproximación
a) 13,8 13,8
532
532 aproximación 24,2
aproximación 24,2
ÄÄÄÄÄÄÄ8
ÄÄÄÄÄÄÄ8 24,2
aproximación
ÄÄÄÄÄÄÄ8
aproximación 24,2
aproximación 24,2
aproximación 24,2
30 euros
entre 7…
Tocamos
a poco más
de 4 €.
Casi a
4,30 €.
Para ser más
exactos,
a 4,29 €.

59
UNIDAD
5
59
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1 Escribe cómo se leen.
a) 0,7 b) 0,05 c) 0,002
d) 1,2 e) 12,56 f) 5,184
g) 1,06 h) 5,004 i) 2,018
2 Escribe con cifras.
a) Ocho décimas.
b) Dos centésimas.
c) Tres milésimas.
d) Trece milésimas.
e) Tres unidades y cuatro décimas.
f ) Doce unidades y veinticinco centésimas.
g) Seis unidades y ocho centésimas.
h) Una unidad y trescientas once milésimas.
i) Cinco unidades y catorce milésimas.
a) 0,0007 b) 0,0042 c) 0,0583
d) 0,00008 e) 0,00046 f) 0,00853
g) 0,000001 h) 0,000055 i) 0,000856
a) Quince diezmilésimas.
b) Ciento ochenta y tres cienmilésimas.
c) Cincuenta y ocho millonésimas.
5 Indica el valor que representa cada letra:
6 Dibuja una recta numérica y representa estos valores:
A = 3
A = 3
A B = 3,4 C = 3,75 D = 4
a) 5,83 5,51 5,09 5,511 5,47
b) 0,1 0,09 0,099 0,12 0,029
c) 0,5 –0,8 –0,2 1,03 –1,1
8 Copia y escribe un número en cada casilla.
2,6 2,8 7 8
0,3 0,5 0,4 0,5
1,25 1,27 3,42 3,43
9 Aproxima a las unidades.
a) 5,18 b) 3,65 c) 9,95
d) 0,75 e) 1,099 f) 3,901
10 Aproxima a las centésimas.
a) 0,574 b) 1,278 c) 5,099
d) 3,0051 e) 8,0417 f ) 2,999
Actividades
Z
3
6,2 6,4
A
4 B
P
N
M
X
C D
Q
1,56 1,57
T
Y
2. Redondear a las centésimas los números siguientes:
Redondear a las centésimas los números siguientes:
R
a) 13,8271
b) 24,1532
a) 13,82 13,83
Por tanto, sumamos una unidad a las centésimas (2 + 1 = 3).
b) 24,15 24,15
Por tanto, en la aproximación la cifra de las centésimas no varía.
a) 13,82 13,83
71
a) 13,82 13,83
aproximación
a) 13,82 13,83
aproximación
a) 13,82 13,83
a) 13,82 13,83
ÄÄÄÄÄÄÄ8
a) 13,82 13,83
a) 13,82 13,83
aproximación
a) 13,82 13,83
ÄÄÄÄÄÄÄ8
a) 13,82 13,83
aproximación
a) 13,82 13,83
32
32 aproximación 24,15
aproximación 24,15
ÄÄÄÄÄÄÄ8
aproximación
ÄÄÄÄÄÄÄ8
aproximación 24,15
aproximación 24,15
aproximación 24,15

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Suma y resta
Ya conoces la suma y la resta de decimales. Por eso, nos limitaremos a repasarlas
Ya conoces la suma y la resta de decimales. Por eso, nos limitaremos a repasarlas
Y
incorporando el manejo de los números negativos.
Ya conoces la suma, la resta y la multiplicación de decimales. Por eso, nos
Para sumar o restar números decimales:
•

Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.
•

Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, etc.
Todo lo que se dijo sobre los números negativos en las operaciones con
enteros sirve también para las operaciones con decimales.
Operaciones con números decimales
2
En la hucha de Iván había 134,56 €, pero ha tenido dos ingresos de
5,06 € y 13,70 €, respectivamente, y ha sufrido dos extracciones, una
de 5,75 € y otra de 12,80 €. ¿Cuál es su saldo actual?
(134,56 + 13,70 + 5,06) – (12,80 + 5,75) = 153,32 – 18,55 = 134,77
Solución: El saldo actual de Iván es de 134,77 €.
Problema resuelto
C D U, d c
1 3 4, 5 6
1 3, 7 0
+ 5, 0 6
1 5 3, 3 2
C D U, d c
1 5 3, 3 2
– 1 8, 5 5
1 3 4, 7 7
D U, d c
1 2, 8 0
+ 5, 7 5
1 8, 5 5
5,06 €
13,70 €
5,75 €
12,80 €
134,56 €
a) 0,8 + 0,4 b) 1 – 0,3
c) 1,2 + 1,8 d) 2,4 – 0,6
e) 3,25 + 1,75 f) 2,5 – 0,75
g) 4,08 + 0,12 h) 3 – 0,15
a) 6,12 + 0,87 + 1,342
b) 124,75 + 86,287 + 5,3408
c) 132 – 26,53
d) 12,8 – 1,937
e) 175,4 – 86,9207
3 Añade tres términos a estas series:
a) 3,25 – 4 – 4,75 – 5,5 – …
b) 8,65 – 8,5 – 8,35 – 8,2 – …
c) 1,5 – 1,62 – 1,74 – 1,86 – …
4 Recuerda las operaciones con números positivos y ne-
gativos y calcula.
a) 0,5 – 0,75 b) 1,2 – 1,5
c) 0,25 – 1 d) 2 – 1,95
e) 0,4 + 0,8 – 1,6 f) 2,7 – 0,95 – 1,04
5 Roberto mide 1,66 m; Macarena, 0,38 m más, y Miguel,
0,23 m menos que Macarena. ¿Cuánto mide Miguel?
Actividades

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UNIDAD
5
61
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Multiplicación
También conoces la multiplicación de decimales. Por eso, al igual que en la
suma y en la resta, solo la repasaremos.
Para multiplicar números decimales:
•

Se multiplican como si fueran enteros.
•
Se coloca la coma en el producto, apartando tantas cifras decimales como
las que reúnan entre todos los factores.
Recuerda también que para multiplicar por 10, por 100, por 1000, …, se
desplaza la coma hacia la derecha uno, dos, tres, … lugares.
▼ ejemplos
2,45 · 10 = 24,5 2,45 · 100 = 245
2,45 · 1000 = 2450 2,45 · 10000 = 24500
6 Copia y completa (no te olvides de las comas).
7 Calcula.
a) 8 · 0,3 b) 5 · 0,5
c) 0,4 · 0,3 d) 0,75 · 2
e) 0,25 · 4 f ) 0,25 · 5
g) (–0,1) · (+6) h) 0,2 · (–0,4)
i) (–0,1) · (–0,2) j) (–0,2) · (–0,2)
8 Multiplica.
a) 3,26 · 100 b) 35,29 · 10 c) 4,7 · 1 000
d) 9,48 · 1 000 e) –6,24 · 100 f) 0,475 · (–10)
a) 3,25 · 16 b) 2,6 · 5,8 c) 27,5 · 10,4
d) 3,70 · 1,20 e) 4,03 · 2,7 f) 5,14 · 0,08
10 Opera como en el ejemplo.
• 5,6 – 2,1 · (0,5 – 1,2) = 5,6 – 2,1 · (–0,7) =
= 5,6 + 1,47 = 7,07
a) 8,3 + 0,5 · (3 – 4,2) b) 3,5 – 0,2 · (2,6 – 1,8)
c) (5,2 – 6,8) · (3,6 – 4,1) d) (1,5 – 2,25)·(3,6 – 2,8)
11 Si el aceite está a 3,15 € el litro, ¿cuánto costará
una botella de aceite de 0,75 litros?
Actividades
¿Cuánto paga Marta por una pieza de 3,5 m de tela que se vende a 12,85 €
el metro?
Solución: 44,975 € 44,98 €. Marta paga 44,98 €.
Problema resuelto
1 2, 8 5
Ò 3, 5
6 4 2 5
3 8 5 5
4 4, 9 7 5
2 cifras decimales
1 cifra decimal
2 + 1 = 3 cifras decimales
Ä8
ÄÄ8
Ä8
Ä8
redondeo
€ redondeo
€ 44,98
redondeo
44,98
ÄÄÄ8
€ ÄÄÄ8
€ 44,98
ÄÄÄ8 44,98
redondeo
ÄÄÄ8
redondeo
€ redondeo
€ ÄÄÄ8
€ redondeo
€ 44,98
redondeo
44,98
ÄÄÄ8 44,98
redondeo
44,98
3, 7 5
× ,
3 3 7 5
7 5 0
, 6
× 1,
1 4 4
3

62
62
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Divisor entero. Aproximación del cociente
Vamos a repasar la forma de obtener las cifras decimales del cociente hasta con-
seguir la aproximación deseada.
Para obtener el cociente decimal:
• Al bajar la cifra de las décimas del dividendo, se pone la coma decimal en
el cociente y se continúa la división.
• Si no hay suficientes cifras decimales en el dividendo, se añaden los ceros
necesarios para lograr la aproximación deseada.
División de números decimales
3
Problemas resueltos
1. Cuatro hermanos quieren repartir la paga de 35 € que les ha dado su
abuelo. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?
35 4 8 El cociente entero deja un resto de 3 unidades.
3 8
9
35,0 4 8 Para seguir dividiendo, transformamos las 3 unidades
3 0 8, del resto en 30 décimas.
9
35,0 4 8 Ahora repartimos 30 décimas entre 4. Por eso, ponemos
Ahora repartimos 30 décimas entre 4. Por eso, ponemos
A
3 0 8,7 la coma decimal en el cociente. Sobran 2 décimas.
2
9
35,00 4 8 Para seguir dividiendo, se transforman las 2 décimas
3 0 8,75 en 20 centésimas.
20
0 Solución: A cada hermano le corresponden 8,75 €.
2. Con una pieza de tela de 7,3 m de longitud, se han confeccionado tres
vestidos iguales. ¿Qué longitud de tela se ha empleado en cada uno?
7,3 3 8 7,3 3 8 7,300… 3
1 2 1 3 2, 1 3 2,433…
10
10
1…
La división no termina nunca. El cociente es periódico.
Solución: En cada vestido se han empleado 2,43 m de tela.

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1 Divide mentalmente.
a) 1 : 2 b) 5 : 2
c) 7 : 2 d) 1 : 4
e) 2 : 4 f) 5 : 4
g) 1,2 : 2 h) 1,2 : 3
i) 1,2 : 4 j) 0,6 : 3
k) 0,8 : 4 l) 0,9 : 9
2 Copia y completa.
3 2 4 7 1 4, 3 4 6
46, 2,
3 Calcula el cociente exacto.
a) 28 : 5 b) 53 : 4
c) 35 : 8 d) 7,5 : 3
e) 6,2 : 5 f) 12,5 : 4
4 Calcula el cociente sacando, como máximo, dos cifras
decimales.
a) 47 : 3 b) 9 : 7
c) 169 : 11 d) 7,7 : 6
e) 14,3 : 9 f) 96,7 : 2
5 Calcula el cociente sacando, como máximo, dos cifras
decimales.
a) 526 : 23 b) 6321 : 145
c) 82,93 : 36 d) 1245,4 : 263
6 Divide.
a) 5 : 10 b) 8 : 100
c) 2 : 1000 d) 3,6 : 10
e) 5,7 : 100 f) 2,8 : 1000
g) 2,54 : 10 h) 57,25 : 100
i) 0,3 : 1000 j) 1,2 : 10000
7 Observa el ejemplo y calcula el cociente con dos cifras
decimales.
a) 1 : 4 b) 3 : 5
c) 30 : 8 d) 2 : 9
e) 6 : 11 f) 5 : 234
8 Observa el ejemplo y calcula el cociente con dos cifras
decimales.
a) 0,9 : 5 b) 0,5 : 4
c) 0,3 : 9 d) 1,2 : 7
e) 0,08 : 2 f) 0,02 : 5
9 Arancha ha gastado 51,60 € en los diez días que ha
estado de vacaciones en la playa.
¿Cuánto ha gastado, por término medio, al día?
10 Los seis botes iguales de refresco que hemos comprado
pesan, en total, 2,07 kg.
¿Cuánto pesa cada bote?
Actividades
• 5 : 9 8 5
X 9 8 5,0 9 8 5,00 9
0 5 0,5 50 0,55
5
X
X
X
X
• 0,8 : 6 8 0
X,8 6 8 0,8 6 8 0,80 6
0 2 0,1 20 0,13
2
Recuerda también que para dividir por 10, por 100, por 1000, …, se desplaza la
coma hacia la izquierda uno, dos, tres, … lugares.
▼ ejemplos
15,3 : 10 = 1,53 15,3 : 100 = 0,153
15,3 : 1000 = 0,0153 15,3 : 10000 = 0,00153

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■El sistema de numeración decimal
a) 13,4 b) 0,23 c) 0,145
d) 0,0017 e) 0,0006 f) 0,000148
a) Treinta y siete unidades y dos décimas.
b)Ocho centésimas.
c) Cinco unidades y cuarenta y dos milésimas.
d)Ciento veinte cienmilésimas.
a) Media unidad. b)Media décima.
c) Media centésima. d)Un cuarto de unidad.
■Orden. Representación. Redondeo
4 Ordena de menor a mayor en cada caso:
a) 1,4 1,390 1,39
)
1,399 1,41
b)–0,6 0,9 –0,8 2,07 –1,03
5 Asocia a cada letra un número:
Ejercicio resuelto
Aproximar 4,7998 a las…
Décimas 8 4,8 Centésimas 8 4,80
Milésimas 8 4,800
7 Aproxima, en cada caso, a las unidades, a las
décimas y a las centésimas:
a) 2,499 b)1,992 c) 0,999
■Operaciones
Sumas y restas
a) ¿Cuánto le falta a 4,7 para valer 5?
b)¿Cuánto le falta a 1,95 para valer 2?
c) ¿Cuánto le falta a 7,999 para llegar a 8?
9 Realiza estas operaciones:
a) 13,04 + 6,528
b)2,75 + 6,028 + 0,157
c) 4,32 + 0,185 – 1,03
d)6 – 2,48 – 1,263
10 Multiplica.
a) 0,6 · 0,4 b)0,03 · 0,005
c) 1,3 · 0,08 d)15 · 0,007
e) 2,65 · 1,24 f) 0,25 · 0,16
11 Multiplica y divide mentalmente.
a) 0,12 · 10 b)0,12 : 10
c) 0,002 · 100 d)0,002 : 100
e) 0,125 · 1 000 f) 0,125 : 1 000
12 Multiplica, fíjate en los resultados y reflexiona.
a) 6 · 0,5 b) 10 · 0,5
c) 22 · 0,5 d) 0,8 · 0,5
e) 1,4 · 0,5 f ) 4,2 · 0,5
¿Qué observas?
■Interpreta y exprésate
13 Un mayorista de frutas compra a pie de huerta
una carga de 12800 kg de peras a 0,45 €/kg.
Una vez en el almacén, al seleccionar la mercancía
aparta 300 kg de piezas defectuosas y envasa el resto,
distribuyéndolo en el mercado minorista a 0,90 €/kg.
Los gastos de envasado y comercialización ascien-
den a 1300 €.
a) ¿Cuál de las siguientes expresiones utilizarías pa-
ra calcular la ganancia obtenida?
I. (12 800 – 300) · 0,90 – 12800 · 0,45 – 1300
II. (12800 – 300) · (0,9 – 0,45) – 1300
III. 12 800 · (0,90 – 0,45) – 1300 – 300
b)¿Cuál será la expresión de dicha ganancia si la
fruta apartada se vende a un fabricante de mer-
meladas a 0,20 €/kg?
R T U V
S
5,28 5,29
A 6,5
6 D
B C E
M N
2,3 2,4
O P Q

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Autoevaluación
Autoevaluación
a) Veintiocho milésimas.
b) Dos unidades y siete centésimas.
c) Ciento treinta y dos diezmilésimas.
d) Nueve millonésimas.
2 Ordena de menor a mayor y representa en la recta.
2,07 – 0,27 – 2,71 – 2,7 – 2,17
3 Completa con un número decimal en cada caso:
a) 2 … 3 b) 4,5 … 4,6 c) 0,1 … 0,11
4 Redondea a las décimas y a las centésimas.
a) 2,726 b) 5,6
)
5 Calcula.
a) 2,8 – 3,75 + 1,245
b) 2,8 · 3,75
c) 3 · 2,6 – 1,75 · 4,2
6 Calcula con dos cifras decimales.
a) 7 : 13
b) 54,5 : 12
7 El melón se vende a 1,75 €/kg. ¿Cuánto costará un me-
lón de 2,800 kilos?
14 Patricia colecciona monedas de 10 y de 20
céntimos. Tiene 87 de las primeras y 52 de las se-
gundas. ¿Cuál es el valor de su colección?
15 Con una cinta de 20 metros se han confeccio-
nado 25 lazos iguales.
¿Cuánto mide el trozo de cinta que lleva un lazo?
16 ¿Cuántos litros de perfume se necesitan para
llenar 1000 frascos de 33 mililitros?
17 Diez canicas de cristal pesan 88 gramos, y
nueve canicas de cerámica, 80 gramos.
¿Qué pesa más, una canica de cristal o una de cerá-
mica?
18 El Atlético de Villarrobles C.F. lleva jugados
cinco partidos con los siguientes resultados:
a) ¿Cuál es la media de goles conseguidos?
b)¿Cuál es la media de goles recibidos?
19 Raquel ha hecho este trimestre tres exámenes
de matemáticas. En el primero ha sacado un 5,5; en
el segundo, un 7, y en el tercero, un 2,40. ¿Cuál es
su nota media?
20 Rosa y Javier compran en el supermercado:
— Cinco cajas de leche a 1,05 � la caja.
— Una bolsa de bacalao de 0,920 kg a 13,25 �/kg.
— Un paquete de galletas que cuesta 2,85 �.
— Un cuarto de kilo de jamón a 38,40 �/kg.
¿Cuánto pagan en caja por la compra?
21 Martina tiene dos teléfonos móviles contrata-
dos en dos compañías diferentes, A y B. La compa-
ñía telefónica A cobra 30 céntimos por estableci-
miento de llamada y 20 céntimos al minuto. La
compañía B no cobra establecimiento de llamada,
pero cobra 25 céntimos por minuto.
a) ¿Cuánto cuesta una llamada de 10 minutos en
cada teléfono?
b)¿Cuántos minutos dura una llamada que tiene el
mismo coste en ambas compañías?
c) Explica brevemente qué teléfono le conviene
usar a Martina, dependiendo del tiempo previs-
to para la llamada.
1.º 2.º 3.º 4.º 5.º
goles a favor 3 2 2 0 1
goles en contra 1 2 1 1 1

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El intercambio de mercancías, el comercio, obliga
a disponer de un sistema de medidas que sirva de
referencia. Desde siempre, cualquier grupo humano
de cierto nivel de civilización tuvo un sistema de me-
didas.
Los antiguos egipcios utilizaban medidas anatómi-
cas: pies, brazos… El codo era la longitud del ante-
brazo del comerciante. Pero está claro que esa lon-
gitud es variable (depende del comerciante), por lo
que se acabó imponiendo una unidad de longitud
concreta e invariable a la que se llamó codo real. Esta
es la unidad de longitud más antigua que se conoce.
Los griegos y los romanos imitaron a los egipcios y
tomaron el codo como unidad de medida, aunque
las longitudes de los codos egipcio, griego y romano
eran distintas. Esto pasó con frecuencia a lo largo de
la historia: unidades de medida con el mismo nom-
bre resultaban tener distinto tamaño.
Al proliferar el negocio entre países se hizo necesario
crear un sistema de medidas universal. El Sistema Mé-
Sistema Mé-
Sistema Mé
trico Decimal se creó en Francia a finales del siglo
trico Decimal se creó en Francia a finales del siglo
trico Decimal xviii
y fue pronto adoptado por la mayoría de los países.
Actualmente, el 95% de la población mundial se rige
por él.
6El Sistema
Métrico Decimal
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DEBERÁS RECORDAR
■ Las equivalencias entre los distintos órdenes de
unidades del sistema de numeración decimal.
■ Cómo se multiplica y se divide por la unidad
seguida de ceros.
■ Cómo se aproximan cantidades por redondeo.

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1 Copia y completa con un par de unidades de medida
en cada caso:
2 Mide el largo y el ancho de tu mesa, tomando como
unidad de medida:
a) El palmo. b) Tu lapicero.
3 ¿Qué magnitudes se miden con estas unidades?:
a) Segundo b) Bit c) Grado centígrado
d) Gramo e) Voltio f ) Metro cuadrado
Actividades
MAGNITUD longitud capacidad peso dinero
UNIDADES
DE MEDIDA
metro
centímetro
68
Para recopilar y transmitir información relativa a los objetos, nos fijamos en sus
cualidades y propiedades características.
Algunas de esas cualidades se pueden medir y cuantificar de forma numérica.
Son las magnitudes.
Ejemplos de magnitudes: peso, longitud, superficie, capacidad, temperatura…
Qué es medir una magnitud
Medir una cantidad de una magnitud es compararla con otra cantidad fija y pre-
determinada llamada unidad de medida.
Una magnitud se puede medir en distintas unidades. Para que la información
que aporta una medida sea significativa, la unidad utilizada ha de ser conocida
y aceptada por toda la comunidad. Es decir, debe ser convencional y estanda-
rizada.
Las magnitudes y su medida
1
materia
Hierro
color
Gris metálico
peso
15,7 g
forma
Prisma
materia
Orgánica
color
Anaranjado
peso
187 g
forma
Esfera
8 8
°
§
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
§
£
°
§
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
§
£
7,25 cm 8
8
cantidad que
se va a medir
unidad
de medida
la jarra tiene una capacidad
igual a 5 vasos.
°
§
¢
§
£
°
¢
£
Mi jarra
tiene 5 vasos.
Ya, pero…
¿con qué vaso
has medido?

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UNIDAD
6
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1 Nombra:
a) Los múltiplos del metro.
b) Los múltiplos del gramo.
c) Los submúltiplos del litro.
d) Los submúltiplos del gramo.
e) Los múltiplos del litro.
f) Los submúltiplos del metro.
2 Recuerda y contesta.
a) ¿Cuántos metros hay en un hectómetro?
b) ¿Cuántos litros hay en un decalitro?
c) ¿Cuántos gramos hay en un kilogramo?
d) ¿Cuántos decilitros hay en un litro?
e) ¿Cuántos centímetros hay en un metro?
f) ¿Cuántos miligramos hay en un gramo?
Actividades
A lo largo de la historia, cada región, cada país, cada grupo cultural ha adoptado
sus propias unidades de medida, diferentes en cada caso.
La diversidad de unidades dificultaba la comunicación entre las distintas
comunidades. Así surgió la necesidad de crear un sistema de medidas que fuera
conocido y adoptado por todos los países. A finales del siglo xviii (en 1792), la
Academia de Ciencias de París propuso para tal fin el Sistema Métrico Decimal.
El Sistema Métrico Decimal
2
El Sistema Métrico Decimal (S.M.D.) es un conjunto de unidades de
medida relacionadas por las magnitudes fundamentales:
magnitud unidad
longitud 8 el metro 8 Es la diezmillonésima parte de un
cuadrante del meridiano terrestre.
capacidad 8 el litro 8 Es la capacidad de un cubo de un
decímetro de arista.
peso 8 el gramo 8 Es el peso de un centímetro cúbico
de agua.
Además, cada unidad posee un juego de múltiplos y submúltiplos que se
designan con los prefijos siguientes:
kilo
1000 U
hecto
100 U
deca
10 U 1 U
unidad
múltiplos
6 8 deci
0,1 U
centi
0,01 U
mili
0,001 U
submúltiplos
Micampotiene
40yugadas.
¿Y eso,
cuántas
robadas son?
Si hablaran
en fanegas,
los entendería.
1
0
0
0
0
000 m
F
F
F
F
F
F
F
F
meridiano terrestre = 40000 km
1 dm
1 dm
agua 1kg
1 l

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Como sabes, la unidad fundamental en el S.M.D. para medir longitudes es el
metro. Recuerda sus múltiplos y submúltiplos:
Observa que diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden
inmediato superior. Por eso, decimos que las unidades de longitud van de diez en
diez.
Cambios de unidad
Para cambiar de unidad cantidades de longitud, conviene que te organices
utilizando una tabla de múltiplos y submúltiplos. Así, el cambio de unidad se
reduce a un movimiento de la coma decimal.
▼ ejemplos
Cantidades complejas e incomplejas
Cuando una cantidad de longitud viene expresada en varias unidades, decimos
que está en forma compleja.
Cuando viene en una sola unidad, decimos que está en forma incompleja.
forma compleja forma incompleja forma incompleja
2 m 5 dm 68 2,5 m 68 250 cm
Observa cómo transformamos cantidades de longitud de una forma a la otra.
Medida de la longitud
3
10 10 10 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
1000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
15 km 8 8 15000 m
0,062 dam 8 8 6,2 dm
1,28 m 8 8 1280 mm
243 cm 8 8 2,43 m
8 8
8 8
8 8
8 8
1 5,
/ 0 0 0,
0,
/ 0 6, 2
1,
/ 2 8 0,
2, 4 3,
/
= =
2 m 5 dm 2,5 m 250 cm
a) Pasar a forma compleja: 12,06 hm
b) Pasar a metros: 3 dam 8 m 7 cm
Ejercicio resuelto
1 2, 0 6
3 8, 0 7
12,06 hm 8
8 8
8 1 km 2 hm 6 m
3 dam 8 m 7 cm 8
8 8
8 38,07 m

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Unidades para medir longitudes muy pequeñas
Hay unidades de longitud más pequeñas que el milímetro:
• La micra
micra
micra 8 1 µm = 0,001 mm (milésima de milímetro)
Se utiliza para medir microorganismos (microbios, bacterias, etc.).
• El nanómetro 8 1 nm = 0,000001 mm (millonésima de milímetro)
• El ángstrom 8 1Å = 0,000000001 mm
Se usa para medir distancias atómicas.
Unidades para medir longitudes muy grandes
Hay otras unidades, superiores al kilómetro, que sirven para medir distancias
entre los astros:
• La unidad astronómica
unidad astronómica
unidad astronómica 8 1 UA ≈ 150 millones de kilómetros 8 Es la
distancia media de la Tierra al Sol y se usa para medir distancias entre planetas.
• El año luz
año luz
año luz 8 1 año luz ≈ 9,5 billones de kilómetros 8 Es la distancia que
recorre la luz en un año. Se usa para medir distancias entre galaxias.
1 Copia la tabla y coloca en ella estas cantidades:
a) 6,4 km b) 146,5 m
c) 0,82 hm d) 38,92 dm
e) 27 dam f) 636 mm
2 Expresa en metros:
a) 18 km b) 16 dm
c) 0,4 hm d) 500 cm
e) 5,6 dam f ) 2340 mm
3 Expresa en centímetros.
a) 0,06 hm b) 0,8 dm
c) 1,2 m d) 40 mm
e) 25 dm f ) 39 mm
4 Copia y completa.
a) 2 462 m = ... km b) 1,6 km = ... dam
c) 4,2 dam = ... hm d) 0,52 hm = ... m
e) 256 cm = ... m f) 5,4 m = ... cm
g) 400 mm = ... dm h) 1 año luz = ... UA
5 Expresa en forma compleja.
a) 2 368 m b) 15,46 m
c) 0,0465 dam d) 52,6 hm
e) 12,83 dm f) 3 064 mm
6 Expresa en metros.
a) 6 km 4 hm 8 dam
b) 5 hm 3 m 6 dm
c) 5 m 4 dm 7 cm
d) 3 dam 7 cm 1 mm
Actividades
Algas diatomeas al microscópico óptico.
Centro de la Vía Láctea.
1 4 6, 5 8 146,5 m

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La unidad fundamental del S.M.D. para medir capacidades es el litro, que
coincide con la capacidad de un recipiente de un decímetro de arista.
Recuerda los múltiplos y los submúltiplos del litro:
Igual que en las unidades de longitud, cada unidad de capacidad equivale a diez
unidades del orden inmediato inferior. Es decir, las unidades de capacidad van
de diez en diez.
Cambios de unidad
Para pasar una cantidad de capacidad de una unidad a otra, utilizaremos la tabla
que ya conocemos.
▼ ejemplos
Observa que actuamos de la misma forma que lo hacíamos con las unidades de
longitud, y que la coma decimal se desplaza tantos lugares como saltos hay en la
tabla entre la unidad inicial y la final.
Paso de forma compleja a incompleja, y viceversa
Medida de la capacidad
4
1 Indica la unidad más apropiada
para expresar la capacidad de los
recipientes siguientes:
a) El depósito de agua de una
población.
b) Un camión cisterna.
c) Una garrafa de agua.
d) Un frasco de champú.
e) Un frasquito de perfume.
2 Reproduce la tabla y coloca en
ella estas cantidades:
a) 0,046 kl b) 0,07 l
c) 2,75 hl d) 15,28 dl
3 Expresa en litros.
a) 2,75 kl b) 42,6 dl
c) 74,86 hl d) 350 cl
e) 1,46 dal f) 3800 ml
4 Expresa en litros.
a) 1 kl 6
kl 6
kl hl 7
hl 7
hl dal
b) 6 hl 5
hl 5
hl l 6 dl
c) 2 dl 7
dl 7
dl cl 8
cl 8
cl ml
d) 3 hl 5
hl 5
hl dl 9
dl 9
dl ml
2,73 kl 8 8 2730 l
560 l 8 8 5,6 hl
0,0268 l 8 8 26,8 ml
60 cl 8 8 0,6 l
8 8
8 8
8 8
8 8
kl hl dal l dl cl ml
2,
/ 7 3 0,
5, 6 0,
/
0,
/ 0 2 6, 8
0, 6 0,
/
a) Pasar a litros 3
a) Pasar a litros 3
a kl 2
kl 2
kl dal 6
dal 6
dal l 5
l 5
l dl.
dl.
dl
b) Pasar a forma compleja 807,4 litros.
3 0 2 6, 5
8 0 7, 4
3 kl 2
kl 2
kl dal 6
dal 6
dal l 5
l 5
l dl 8
8 8 3026,5 l
807,4 l 8
8 8 8 hl 7
hl 7
hl l 4
l 4
l dl
10 10 10 10 10 10
1000 l 100 l 10 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Entrénate

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Entrénate
1 Indica la unidad más apropiada
para expresar el peso de los si-
guientes objetos:
a) La carga de un camión.
b) Una cabra.
c) Una manzana.
d) Una lenteja.
e) Los componentes de un me-
dicamento.
2 Expresa en gramos.
a) 4,08 kg b) 0,7 hg
c) 25 dag d) 58 dg
e) 2 cg f) 5300 mg
a) 6 kg 5 hg 8 dag
b) 2 kg 4 dag 9 g
c) 8 dag 5 g 6 dg
d) 3 g 5 dg 7 cg
4 Un perro pesaba 4 kg 50 g. Se
le ha cortado el pelo y ahora pesa
3985 g. ¿Cuánto pesa el pelo
cortado?
Medida del peso
5
La unidad principal del S.M.D. para medir pesos es el gramo, que coincide con
el peso del agua que cabe en un cubo de un centímetro de arista. Como es una
unidad muy pequeña, en la práctica se utiliza fundamentalmente el kilogramo.
Igual que en las unidades de longitud y de capacidad, los múltiplos y los
submúltiplos del gramo aumentan y disminuyen de diez en diez
aumentan y disminuyen de diez en diez
aumentan y disminuyen de diez en die .
Para medir pesos grandes, se añaden dos múltiplos del kilogramo:
• El quintal métrico (q) 8 1 q = 100 kg
• La tonelada métrica (t)
tonelada métrica (t)
tonelada métrica 8 1 t = 1000 kg
Cambios de unidad
Actuaremos como en la longitud y la capacidad.
Paso de forma compleja a incompleja, y viceversa
Transformar estas cantidades en la unidad indicada:
Transformar estas cantidades en la unidad indicada:
T
a) 0,0583 kg, a gramos; b) 630 cg, a gramos; c) 13 500 kg, a toneladas
a)
b)
c) 13 500 kg = 13500 : 1000 = 13,500,
/ t
tres saltos
0,0583 kg = 0,0583 · 1 000 = 0,
/058,3 g
630 cg = 630 : 100 = 6,30,
/ g
kg hg dag g dg
0,
/ 0 5 8, 3
a) Pasar a gramos 8 hg 6 g 7 dg 5 cg.
b) Pasar a forma compleja 1206 gramos.
8 hg 6 g 7 dg 5 cg 8 8 806,75 g
1206 g 8 8 1 kg 2 hg 6 g
b) Pasar a forma compleja 206 gramos.
8
8
kg hg dag g dg cg
8 0 6, 7 5
1 2 0 6
10 10 10 10 10 10
kg hg dag g dg cg mg
1000 g 100 g 10 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

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74
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Medida directa de superficies
Para medir superficies, tomaremos como unidad una cantidad de superficie con
forma de cuadrado (unidad cuadrada). Así, medir una superficie será averiguar
cuántas unidades cuadradas contiene.
▼ ejemplos
Medida de la superficie
6
UNIDAD CUADRADA 1 u.c.
SC
SC
S = 23 u.c.
C
= 23 u.c.
C
A C
C
C
B
B
B D
SB
SB
S = 7,5 u.c.
B
= 7,5 u.c.
B
SA
SA
S = 15 u.c. SD
SD
S = 22,5 u.c.
D
= 22,5 u.c.
D
Unidades de superficie del Sistema Métrico Decimal
La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado, que se com-
plementa con sus correspondientes múltiplos y submúltiplos.
Para comprender las equivalencias entre estas unidades, observa la figura siguiente,
que representa un metro cuadrado y su descomposición en decímetros cuadrados:
1 dm
1
dm
1
m
1 m
• El metro cuadrado se divide en 10 filas de
10 decímetros cuadrados.
• Por tanto:
• 1 m2 = 10 Ò 10 dm2 = 100 dm2
• Lo mismo pasa con cada unidad respecto de la siguiente. Por eso decimos que
las unidades de superficie aumentan y disminuyen de cien en cien.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1000000 m2 10000 m2 100 m2
0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
ha a ca
100 100 100 100 100 100
La Península Ibérica tiene una super-
ficie aproximada de 600000 km2 =
= 60000000 ha.
Unidades agrarias
Unidades agrarias
Unidades agrarias
Se utilizan para medir campos (agro =
= campo).
• Hectárea (ha)
1 ha = 10000 m2 = 1 hm2
• Área (a)
1 a = 100 m2 = 1 dam2
• Centiárea (ca)
1 ca = 1 m2

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UNIDAD
6
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1 Calcula la superficie de estas figuras tomando como
unidad el cuadrado de la cuadrícula:
2 ¿Cuántas pulgadas cuadradas tiene un cua-
drado que mide 3 pulgadas de lado?
3 Indica la unidad más apropiada para expresar las su-
perficies siguientes:
a) La extensión de Portugal.
b) La extensión de un pantano.
c) La superficie de una vivienda.
d) La superficie de una hoja de papel.
4 Expresa en metros cuadrados.
a) 0,006 km2 b) 5,2 hm2
c) 38 dam2 d) 70 dm2
e) 12 800 cm2 f ) 8 530000 mm2
5 Expresa en centímetros cuadrados.
a) 0,06 dam2 b) 5,2 m2
c) 0,47 dm2 d) 8 mm2
6 Copia y completa.
a) 5,1 km2 = ... hm2 b) 825 hm2 = ... km2
c) 0,03 hm2 = ... m2 d) 53 000 m2 = ... dam2
e) 420 cm2 = ... mm2 f ) 52 800 mm2 = ... dm2
7 Expresa en metros cuadrados.
a) 5 km2 48 hm2 25 dam2
b) 6 dam2 58 m2 46 dm2
c) 5 m2 4 dm2 7 cm2
8 Pasa a forma compleja.
a) 587,24 hm2 b) 587209,5 m2 c) 7 042,674 dm2
Actividades
A
B
C
C
D
D
Cambios de unidad
Para pasar cantidades de superficie de una unidad a otra, tendremos en cuenta
que las unidades de superficie aumentan y disminuyen de cien en cien.
Pasar estas medidas a las unidades indicadas:
a) 47 200 m2 = … hm2 b) 6,2 dm2 = … cm2
c) 1,25 a = … m2 d) 252800 m2 = … ha
Ejercicio resuelto
47200 m2 8 8 4,72 hm2
6,2 dm2 8 8 620 cm2
1,25 a 8 8 125 m2
252800 m2 8 8 25,28 ha
Observa que por cada salto de unidad en la tabla, la coma decimal se desplaza
dos lugares.
km2 hm2
ha
dam2
a
m2
ca
dm2 cm2 mm2
4, 7 2 0 0,
/
6,
/ 2 0,
1,
/ 2 5,
2 5, 2 8 0 0,
/
Observa
Observa
hm2 dam2 m2
4, 72 00,
47200 m2 = 47200 : 10000 =
= 4,72 hm2
dos saltos
cuatro lugares

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76
■Unidades de longitud
1 Indica en cada longitud la unidad adecuada
para expresarla:
a) Longitud de un lapicero.
b)Radio de un átomo.
c) Altura de una casa.
d)Distancia entre dos estrellas.
2 Expresa en metros, en decímetros y en centí-
metros la longitud del listón.
3 Copia y completa.
a) 2,7 hm = ... km = ... dam = ... dm
b)2380 m = ... km = ... hm = ... cm
c) 47 m = ... dam = ... dm = ... hm
d)382 cm = ... m = ... dm = ... mm
4 Expresa en metros.
a) 3 km 8 hm 5 dam
b)8 dam 5 m 7 cm
c) 1 m 4 dm 6 cm 7 mm
5 Expresa en centímetros.
a) 5 dam 6 m 3 dm 4 cm
b)3 m 8 dm 7 cm 9 mm
c) 2 m 5 cm 4 mm
■Unidades de peso
6 Nombra la unidad adecuada para expresar el
peso de:
a) La carga de un barco. b)Un elefante.
c) Un bolígrafo. d)Un grano de arroz.
7 Expresa en kilos y en gramos el peso de cada
fruta:
8 Pasa a gramos.
a) 1,37 kg b)0,7 kg
c) 0,57 hg d)1,8 dag
e) 0,63 dag f) 5 dg
g) 18,9 dg h)480 cg
i) 2500 mg j) 385 cg
9 Expresa en toneladas.
a) 15000 kg b)8200 kg
c) 400 kg d)1 kg
10 Copia y completa.
a) 5,4 t = ... kg = ... hg = ... dag
b) 0,005 kg = ... g = ... mg = ... dag
c) 7 hg = ... dag = ... g = ... dg
d)42 g = ... dag = ... cg = ... mg
a) 4 kg 5 hg 2 dag 3 g
b) 9 hg 8 dag 5 g 4 dg
c) 6 dag 8 g 6 dg 8 cg
d)7 dg 6 mg
12 Pasa a forma compleja.
a) 4,225 kg b)38,7 g
c) 1230 cg d)4623 mg
■Unidades de capacidad
13 Nombra la unidad adecuada para medir la ca-
pacidad de:
a) Un dedal.
b)Un cántaro.
c) Un bote de refresco.
d)Un camión cisterna.
14 Expresa en centilitros la cantidad de agua que
hay en la jarra, y en mililitros, la cantidad de aceite
que hay en la probeta.
7,5 cm

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77
15 Expresa en decilitros la capacidad de la botella,
y con una fracción de litro, la capacidad del vaso.
a) 1 kl = ...
kl = ...
kl l b)1 hl = ...
hl = ...
hl l
c) 1 dal = ...
dal = ...
dal l d)1 dl = ...
dl = ...
dl l
e) 1 cl = ...
cl = ...
cl l f) 1 ml = ...
ml = ...
ml l
17 Expresa en centilitros.
a) 0,15 hl b) 0,86 dal c) 0,7 l
d)1,3 l e) 26 dl f) 580 ml
a) 4,52 kl = ...
kl = ...
kl hl b)0,57 hl = ...
hl = ...
hl dal
c) 15 dal = ...
dal = ...
dal l d)0,6 l = ...
l = ...
l cl
e) 850 ml = ...
ml = ...
ml dl f) 1200 cl = ...
cl = ...
cl l
g) 2000 ml = ...
ml = ...
ml dl h)380 dal = ...
dal = ...
dal kl
19 Traduce a litros.
a) 8 kl 6
kl 6
kl hl 3
hl 3
hl l
b)5 hl 2
hl 2
hl dal 7
dal 7
dal l 2
l 2
l dl
c) 1 dal 9
dal 9
dal l 6
l 6
l dl 3
dl 3
dl cl
d)4 l 2
l 2
l dl 5
dl 5
dl cl 7
cl 7
cl ml
■Unidades de superficie
20 Asocia cada superficie con la unidad adecuada
para expresar su medida:
a) Una hoja de papel. km2
b)El suelo de una vivienda. cm2
c) El ala de una abeja. m2
d)La Península Ibérica. mm2
a) 1 km2 = ... m2 b)1 m2 = ... dm2
c) 1 hm2 = ... m2 d)1 m2 = ... cm2
e) 1 dam2 = ... m2 f) 1 m2 = ... mm2
a) 4 km2 = ... dam2 b)54,7 hm2 = ... m2
c) 0,005 dam2 = ... dm2 d)0,7 dm2 = ... mm2
e) 5400 m2 = ... hm2 f ) 174 cm2 = ... dm2
23 Pasa a decímetros cuadrados.
a) 0,146 dam2 b) 1,4 m2 c) 0,36 m2
d)1800 cm2 e) 544 cm2 f) 65000 mm2
24 Expresa en forma compleja.
a) 248750 dam2 b) 67 425 m2
c) 83545 cm2 d) 2745600 mm2
25 Expresa en hectáreas.
a) 572800 a b) 50700 m2
c) 25,87 hm2 d) 6,42 km2
UNIDAD
6
25 cl
3
4
l
Autoevaluación
Autoevaluación
1 ¿Dónde y cuándo nació el S.M.D.?
2 Indica la unidad adecuada, en cada caso, para medir:
a) La anchura de un campo de fútbol.
b) El grosor de un folio.
c) La capacidad de un frasco de perfume.
d) El peso de la carga de un camión.
3 Completa.
a) 5,2 km = … m b) 7 hm = … m
c) 13 dm = … m d) 250 cm = … m
4 Completa.
a) 3 hm 8 dam 4 m 5 dm = … m
b) 5 l 6
l 6
l dl 7
dl 7
dl cl = … l
c) 5 kg 3 hg 7 dag 8 g = ... g
5 Pasa a metros cuadrados.
a) 5 hm2 = … m2
b) 13 dam2 = … m2
c) 4800 cm2 = … m2
d) 79000000 dm2 = ... m2

79
Los egipcios, en el siglo xvii a.C., manejaban las frac-
ciones de forma muy curiosa: solo admitían aquellas
cuyo numerador es 1 (fracciones unitarias):
1
2
, 1
3
, 1
4
, 1
5
, ...
Esto significa que, al repartir 4 panes entre 7 perso-
nas, en lugar de expresar el resultado como 4
7
, debían
ponerlo así: 1
2
+ 1
14
, o bien así: 1
3
+ 1
6
+ 1
14
.
Este método hacía que el manejo de las fracciones
fuera una tarea complicadísima, por lo que tenían
que ayudarse de unas largas y engorrosas tablas.
Esta forma de tratar las fracciones, que nos puede
parecer antiquísima, no solo fue imitada por los grie-
gos, sino que incluso llegó a la Europa del siglo xiii,
tres mil años más tarde, donde la simultanearon con
el uso de las fracciones ordinarias.
7Las fracciones
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DEBERÁS RECORDAR
■ El significado de una fracción como parte de la
unidad.
■ Cuándo una fracción es menor, igual o mayor que
la unidad.
■ Cómo se comparan fracciones de igual
denominador o de igual numerador.
■ Cómo se obtiene el cociente decimal de dos
números enteros.

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1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada
en cada figura:
a) b)
d)
f)
2 Representa las fracciones siguientes:
Representa las fracciones siguientes:
R
a)
3
5
b)
1
3
c)
3
4
d)
5
8
3 Escribe una fracción para indicar la cantidad de pizza
que ha comprado cada uno:
4 Indica, para cada fracción, si es menor, igual o mayor
que la unidad:
a)
2
7
b)
3
2
c)
6
6
d)
8
5
e)
3
3
f)
5
6
Actividades
80
Una fracción se puede contemplar como una parte de la unidad, como
un operador o como una división. Ahora vamos a profundizar en esos tres
significados de las fracciones.
Las fracciones expresan partes de la unidad
Un todo se toma como unidad y se divide en porciones iguales. Una fracción
indica una determinada cantidad de esas porciones.
2
9
1
4
El significado de las fracciones
1
2
5
de bidón
2
5
1
7
5
de bidón
7
5
1
5
5
de bidón
5
5
= 1
°
§
¢
§
£
Términos de una fracción:
• El numerador indica el número de porciones que se toman.
• El denominador indica el número total de porciones en que se ha dividido
la unidad.
6Ä
6Ä
6Ä numerador
6Ä
6Ä
6Ä denominador
a
a
b
b
c)
e)

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UNIDAD
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a)
1
4
de 8 b)
1
3
de 12 c)
1
5
de 20
3
4
de 8
2
3
de 12
3
5
de 20
d)
1
6
de 18 e)
1
7
de 14 f)
1
8
de 40
5
6
de 18
2
7
de 14
5
8
de 40
6 Calcula.
a)
2
5
de 15 b)
3
4
de 12 c)
3
7
de 21
d)
2
3
de 30 e)
4
5
de 30 f)
3
8
de 24
g)
3
4
de 48 h)
2
3
de 72 i)
3
5
de 85
7 Opera.
a)
1
4
de 384 b)
3
5
de 715 c)
5
7
de 483
8 De una caja de 24 bombones se ha consumido 1/6.
¿Cuántos bombones se
han consumido? ¿Cuán-
tos quedan?
9 En mi clase, entre chicos y chicas, somos 27. Las chi-
cas representan los 4/9 del total. ¿Cuántos chicos y
cuántas chicas hay en clase?
10 En un campamento internacional de verano hay 280
campistas, de los que 3/7 son españoles. ¿Cuántos es-
pañoles hay en el campamento?
11 De las 40 bolas que hay en un frasco, 3/10 son rojas.
¿Cuántas bolas rojas hay?
12 ¿Cuánto cuesta 1/4 kg de boquerones? ¿Y 3/4 kg de
merluza?
Actividades
Las fracciones son operadores
Una fracción es un número que opera a una cantidad y la transforma.
Por ejemplo, si el bidón tiene una capacidad de 20 litros:
20 l
l 8 Aquí hay de 20 litros
2
5
1
5
2
5
de 20 = 20 : 5 = 4
de 20 = 4 · 2 = 8
°
§
¢
§
£
de 20 litros = (20 : 5) · 2 = 8 litros
2
5
Para calcular la fracción de un número, se divide el número entre el deno-
minador, y el resultado se multiplica por el numerador.
Boquerón
5,4 �/kilo
Merluza
13 �/kilo
4
4
4
4
4
12
8
20
2
5
de 20 = 8
3
5
de 20 = 12

82
82
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Las fracciones son divisiones indicadas
Una fracción equivale al cociente del numerador entre el denominador. Por
tanto, una fracción se puede expresar con un número decimal.
Observa, por ejemplo, que 2
5
de unidad equivalen al valor decimal 0,4:
0 1
0,4
2
5
= 2 : 5 = 0,4
2,0 5
0 0,4
Paso de fracción a decimal
Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador
entre el denominador.
Algunas fracciones generan decimales periódicos.
Por ejemplo, observa que 1
3
= 0,333… = 0,3:
0 1
0,333…
1
3
= 1 : 3 = 0,3333…
En estos casos, la fracción resulta más exacta y precisa que la expresión en forma
de número decimal.
2
5
4
10
2
5
= 4
10
= 0,4
7
(cuatro décimas)
13 Expresa en forma de fracción y en forma decimal el
número representado en cada caso:
a)
0 1
b)
0 0,2 0,3 1
c)
0 0,7 0,8 1
d)
0 1
14 Copia y completa con un número decimal.
a)
1
8
= 1 : 8 = ... b)
7
9
= 7 : 9 = ...
c)
3
10
= 3 : 10 = ... d)
5
12
= 5 : 12 = ...
15 Divide y expresa en forma decimal.
a)
1
2
b)
2
2
c)
3
2
d)
4
2
e)
1
5
f )
2
5
g)
3
5
h)
4
5
16 Pasa a forma decimal.
a)
3
8
b)
5
4
c)
7
10
d)
5
2
e)
2
3
f )
1
6
g)
5
6
h)
4
9
Actividades

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UNIDAD
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Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes
2
Fracciones diferentes con el mismo valor
Observa:
Las fracciones 1
4
y 3
12
son equivalentes.
Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma
porción de unidad; es decir, cuando tienen el mismo valor numérico.
Cómo obtener fracciones equivalentes
Observa que al multiplicar o al dividir los dos términos de una fracción por el
mismo número, la porción de unidad representada no varía.
Propiedad fundamental de las fracciones
Si se multiplican, o se dividen, los dos términos de una fracción por el
mismo número, se obtiene otra fracción equivalente a la primitiva. Es decir,
el valor de la fracción no varía.
▼ ejemplos
• 3
4
= 3 · 5
4 · 5
= 15
20
• 12
18
= 12 : 6
18 : 6
= 2
3
3
4
es equivalente a 15
20
. 12
18
es equivalente a 2
3
.
°
§
§
¢
§
§
£
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
1
4
= 3
12
Como ves, las tres fracciones de la
ilustración son equivalentes.
Ø
∞
±
1
2
3
6
6
12
= =
= =
3 : 3
6 : 3
= 1
2
1
2
= 1 : 2 = 0,5
3
6
3
6
= 3 : 6 = 0,5
3 · 2
6 · 2
= 6
12
6
12
= 6 : 12 = 0,5
1
4
3
12
1
4
= 1 : 4 = 0,25 3
12
= 3 : 12 = 0,25
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
1
3
2
6
1
3
= 1 : 3 = 0,333…
2
6
= 2 : 6 = 0,333…
1
3
= 2
6
°
§
¢
§
£
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
1
3
2
6
1 · 2
3 · 2
2 : 2
6 : 2

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Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con los términos más
sencillos. Esto se consigue dividiendo los dos términos por el mismo número.
▼ ejemplo
12
30
= 12 : 2
30 : 2
= 6
15
= 6 : 3
15 : 3
= 2
5
6
Observa que hemos dividido dos veces por divisores comunes de 12 y 30.
•
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador
por el mismo número.
•
Una fracción que no se puede simplificar se dice que es irreducible.
Fracción
irreducible
1 Busca, entre estas, tres pares de fracciones equivalentes.
1
2
2
3
6
8
4
6
3
4
3
6
2 Di si son equivalentes las fracciones de cada pareja
hallando su valor numérico:
a)
3
5
y
6
10
b)
1
4
y
3
8
c)
4
6
y
6
9
d)
2
3
y
4
9
3 Busca tres pares de fracciones equivalentes.
2
5
1
3
5
9
6
8
5
15
9
12
5
7
10
18
4 Copia y completa para obtener fracciones equivalentes.
a)
1
5
=
1 · 2
5 ·
=
b)
1
5
=
1 ·
5 · 3
=
c)
18
30
=
18 · 2
30 ·
=
d)
18
30
=
18 :
30 : 3
=
5 Escribe, en cada caso, dos fracciones equivalentes:
a)
1
4
b)
2
3
c)
15
20
d)
18
24
6 Simplifica.
a) 15
20
8 dividiendo entre 5.
b) 20
30
8 dividiendo entre 2 y, después, entre 5.
7 Simplifica cada una de estas fracciones:
a)
6
8
b)
3
6
c)
5
10
d)
9
12
e)
10
18
f)
21
28
g)
33
22
h)
13
26
Actividades
12
30
6
15
2
5

85
UNIDAD
7
85
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ANAYA,
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Matemáticas
1.°
ESO.
Material
fotocopiable
autorizado.
Estudia detenidamente los procesos seguidos en los problemas que vienen a
continuación. Te servirán para resolver otros muchos problemas similares con
fracciones.
cálculo de la fracción
De los 1575 volúmenes que tiene la biblioteca del colegio, en este momento están
575 volúmenes que tiene la biblioteca del colegio, en este momento están
575
prestados 630.
¿Qué fracción de libros está prestada?
Simplificando entre 3, 3, 5 y 7:
630
1575
= 630 : 3
1575 : 3
= 210
525
= 210 : 3
525 : 3
= 70
175
= 70 : 5
175 : 5
= 14
35
= 14 : 7
35 : 7
= 2
5
Solución: Están en préstamo 2
5
de los libros.
fracción de un número: problema directo
En la biblioteca del colegio hay 1575 volúmenes, de los que están en préstamo dos
quintas partes.
¿Cuántos libros hay prestados?
Solución: Hay prestados 630 libros.
En la práctica, este problema se resolvería así:
2
5
de 1575 = (1575 : 5) · 2 = 315 · 2 = 630
Algunos problemas con fracciones
3
1 De los 1800 € que gana un empleado al mes, dedica
540 € a pagar la hipoteca del piso. ¿Qué fracción de
lo que gana al mes utiliza para abonar la hipoteca?
2 Un empleado gana 1800 € al mes y dedica tres déci-
mas partes a pagar la hipoteca del piso. ¿Cuánto paga
mensualmente de hipoteca?
Actividades
Prestados Ä8 630
Total ÄÄ8 1 575
Ø
∞
±
Fracción prestada
Fracción prestada
Fracción prestada Ä8 630
1575
ò ò
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
1575 8 1575 : 5 = 315 315 · 2 = 630
°
¢
£
°
¢
£
de 1575 = 1575 : 5 = 315 8
1
5
de 1575 = 315 · 2 = 630
2
5
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
1575
630
°
§
¢
§
£

86
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ANAYA,
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Matemáticas
1.°
ESO.
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fotocopiable
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86
■La fracción: parte de la unidad
1 Observa la distribución de la huerta de Adrián:
a) ¿Qué fracción de la superficie de la huerta está
plantada de tomates?
b)¿Qué fracción está sembrada de pimientos?
c) ¿Qué fracción no está sembrada de pimientos?
2 Colorea en cada triángulo la fracción indicada.
3 ¿Qué fracción de semana ocupan los días há-
biles? ¿Qué fracción ocupa el fin de semana?
L - M - X - J - V - S - D
■La fracción de un número
a) 2
3
de 9 b) 4
5
de 20
c) 3
4
de 80 d) 2
7
de 14
e) 5
6
de 60 f) 5
8
de 400
5 Calcula.
a) 2
3
de 192 b) 4
5
de 375
c) 3
7
de 749 d) 3
4
de 332
e) 5
8
de 1096 f) 4
9
de 153
■Fracciones y números decimales
6 Transforma cada fracción en número decimal.
a) 1
10
b) 9
10
c) 17
10
d) 7
2
e) 5
4
f) 5
8
7 Asocia las cantidades correspondientes.
■Fracciones equivalentes
8 Busca pares de fracciones equivalentes.
1
4
12
15
4
5
3
12
3
4
12
28
3
7
15
20
9 Simplifica.
a) 2
4
b) 10
14
c) 5
15
d)18
22
e) 5
25
f) 6
27
g) 21
28
h)22
33
10 Obtén la fracción irreducible.
a) 30
45
b) 20
60
c) 56
80
d)165
330
11 Estas son las notas de los 25 estudiantes de
una clase en un control de Ciencias Sociales:
a) ¿Qué fracción de la clase ha aprobado?
b) ¿Qué fracción ha suspendido?
12 Expresa, en cada caso, como una fracción de
Expresa, en cada caso, como una fracción de
Expresa, en cada caso, como una
hora:
a) 15 minutos. b)30 minutos.
c) 10 minutos. d)6 minutos.
TOMATES
PIMIENTOS
COLES
1
2
1
3
1
4
La cuarta parte de un euro
Tres cuartos de euro
La quinta parte de un euro
Un veinteavo de euro
Un céntimo de euro
0,75 �
0,25 �
0,05 �
0,01 �
0,20 �
6,25 5 8 7,50 5,25
5 1,75 6,75 4,50 5,5
5,50 6 6,25 8,25 3,75
3,25 9,75 6,75 6 5
7,75 8,25 10 4,25 6,25

87
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Matemáticas
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87
13 Con un bidón de 20 litros se llenan 200 frascos
de agua de colonia.
¿Qué fracción de litro entra en cada frasco?
14 Francisco y Carmen compran una tableta de
chocolate cada uno. Francisco come 1/4, y Car-
men, 2/8.
¿Cuál de los dos ha comido un trozo más grande? Jus-
tifica tu respuesta.
15 De un pilón de riego de 45000 litros, se han
consumido siete octavas partes.
¿Cuántos litros quedan en el depósito?
16 Julia compró un queso de 2 kilos y 800 gramos,
pero ya ha consumido dos quintos.
¿Cuánto pesa el trozo que queda?
17 En este bidón hay 8 litros de agua.
¿Cuántos litros caben en total en el bidón?
18 He comprado 2/5 de una empanada que han
pesado 300 gramos. ¿Cuánto pesaba la empanada
completa?
19 Se han sembrado de alfalfa los 4/5 de la superfi-
cie de una finca, y aún quedan 600 metros cuadrados
sin sembrar.
¿Cuál es la superficie total de la finca?
20 Rosario ha sacado 3/5 del dinero que tenía en la
Rosario ha sacado 3/5 del dinero que tenía en la
R
hucha y aún le quedan 14 euros.
¿Cuánto tenía antes de abrirla?
UNIDAD
7
Autoevaluación
Autoevaluación
1 ¿Qué fracción de hora son 12 minutos?
2 Representa en un gráfico la fracción 8/9.
3 En un concurso oposición aprueban 15 candidatos y sus-
penden 35. ¿Qué fracción de los opositores ha aprobado?
4 Calcula.
a) Tres cuartos de 240 b)
2
5
de 80
5 Expresa en forma decimal.
a)
3
10
b)
2
5
c)
1
8
6 Empareja fracciones equivalentes.
12
18
1
5
5
25
4
14
8
12
6
21
7 Simplifica.
a)
9
21
b)
20
30
c)
36
48
8 En una de las estanterías de la biblioteca hay 300 li-
bros. Las cinco sextas partes son novelas.
¿Cuántas novelas hay en la estantería?

89
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1.°
ESO.
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autorizado.
Los griegos tomaron de los egipcios el uso de las frac-
ciones unitarias. Hacia el siglo iv a.C. empezaron a
iv a.C. empezaron a
iv
utilizar fracciones ordinarias, aunque el resultado de
sus operaciones lo expresaban mediante fracciones
unitarias.
En el siglo i, Herón de Alejandría manejaba habitual-
mente las fracciones ordinarias, pero cuando escribía
“para el hombre práctico” lo hacía, asombrosamente,
con las unitarias.
Este uso mixto de los dos tipos de fracciones se man-
tuvo hasta el siglo xiii. El italiano Fibonacci manejó
con soltura las ordinarias, pero en sus libros seguía
dedicando tiempo y esfuerzo al manejo de las unita-
rias, porque sus lectores las preferían.
El verdadero nombre de Fibonacci era Leonardo de
Pisa. Su padre Bonaccio (Fi-bonacci, hijo de Bonac-
cio) fue mercader y viajó mucho por el norte de Áfri-
ca. Fibonacci tuvo maestros musulmanes y de ellos
aprendió, con gran provecho, la matemática árabe,
que ayudó a introducir en Europa.
8Operaciones
con fracciones
©
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DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se suman y se restan fracciones de igual
denominador.
■ Cómo se obtienen fracciones equivalentes.
■ Cómo se simplifican fracciones.
■ El significado de la multiplicación y de la
división, y las relaciones que ligan ambas
operaciones.

90
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Ejercicio resuelto
Reducir a común denominador 1
4
y
y 1
6
, po-
niendo de denominador común 12.
12 : 4 = 3 8 1
4
=
= 1 · 3
4 · 3
=
= 3
12
12 : 6 = 2 8 1
6
=
= 1 · 2
6 · 2
=
= 2
12
2 Reduce al denominador común que se indica.
a) 1
2
y 1
3
(denominador común 6)
b) 1
3
y 1
6
c) 1
2
y 3
5
d) 3
4
y 5
6
e) 1
2
, 1
3
y 1
4
f) 1
2
, 3
4
y 5
8
3 Reduce a denominador común.
a) 1
2
y 3
5
b) 5
6
y 4
9
c) 3
4
, 2
3
y 5
6
d) 2
5
, 3
10
y 7
20
Actividades
90
Algunas operaciones con fracciones (comparar, sumar…) resultan más sencillas
cuando las fracciones tienen denominadores iguales. Por ejemplo:
— Ordenar 2
7
, 1
7
y 5
7
es obvio 8 1
7
2
7
5
7
— Sin embargo, ordenar 2
3
, 4
9
y 5
6
no es tan sencillo a simple vista. Se hace
necesario reducir a común denominador.
Método para reducir fracciones a común
denominador
Fíjate en el ejemplo del margen mientras sigues el proceso que se expone a con-
tinuación.
Reducción a común denominador
1
Reducir fracciones a común denominador es sustituirlas por otras equivalentes
con el mismo denominador.
Para reducir fracciones a común denominador
• Calcula el mínimo común múltiplo, m, de los denominadores.
• Transforma cada fracción en otra equivalente que tenga por denominador m.
Para ello, se multiplican los dos miembros de cada fracción por el número
que resulta de dividir m entre el denominador.
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Vamos a reducir a común denomi-
nador 5
8
, 3
4
y 7
12
.
mín.c.m. (8, 4, 12) = 24
5
8
3
4
7
12
9 9 9
24 : 8 = 3 24 : 4 = 6 24 : 12 = 2
9 9 9
5 · 3
8 · 3
3 · 6
4 · 6
7 · 2
12 · 2
9 9 9
15
24
18
24
14
24

91
UNIDAD
8
91
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ANAYA,
S.A.
Matemáticas
1.°
ESO.
Material
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autorizado.
Suma y resta de fracciones
2
Vamos a recordar los distintos casos que pueden presentarse al sumar o al restar
fracciones.
Con igual denominador
Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o se restan los
numeradores, dejando el mismo denominador.
▼ ejemplo
5
9
+ 8
9
– 7
9
= 5 + 8 – 7
9
= 6
9
= 2
3
Con distinto denominador
Cuando las fracciones tienen denominadores diferentes, las reduciremos, prime-
ro, a común denominador.
▼ ejemplo
1
4
+ 3
5
– 1
10
=
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
mín.c.m. (4, 5, 10) = 20
Tomaremos 20 como denominador común.
= 1 · 5
4 · 5
+ 3 · 4
5 · 4
– 1 · 2
10 · 2
= 5
20
+ 12
20
– 2
20
=
= 5 + 12 – 2
20
= 15
20
= 3
4
Suma de fracciones con números enteros
Si alguno de los sumandos es un número entero, se le trata como una fracción
con denominador la unidad.
▼ ejemplo
2 – 7
3
+ 5
6
= (Cambiamos 2 por la fracción 2
1).
= 2
1
– 7
3
+ 5
6
=
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
mín.c.m. (1, 3, 6) = 6
Tomaremos 6 como denominador común.
= 2 · 6
1 · 6
– 7 · 2
3 · 2
+ 5
6
= 12
6
– 14
6
+ 5
6
=
= 12 – 14 + 5
6
= 3
6
= 1
2
Observa que en las operaciones con fracciones, se deben simplificar siempre los
resultados, entregando una fracción irreducible.
2
9
+ 5
9
= 7
9
3
8
+ 1
4
= 5
8
1 – 1
4
= 3
4

92
92
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GRUPO
ANAYA,
S.A.
Matemáticas
1.°
ESO.
Material
fotocopiable
autorizado.
1 Observa y calcula mentalmente.
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
1 1
— + —
2 4
1 1
— – —
2 4
1 1
— + —
2 3
1 1
— – —
3 6
2 Calcula, reduciendo primero a común denominador.
a) 1
2
+ 1
5
b) 5
6
– 3
4
c) 5
3
+ 1
6
d) 1
2
– 2
5
e) 1
6
+ 7
8
f) 3
4
– 1
3
g) 3
10
+ 2
15
h) 3
8
– 1
6
3 Transforma cada entero en una fracción de denomi-
nador la unidad y opera:
a) 1 + 1
5
b) 1 – 3
5
c) 2 + 2
7
d) 2 – 5
3
4 Opera y simplifica los resultados.
a) 2
9
+ 5
18
b) 1
4
– 1
12
c) 3
10
+ 8
15
d) 3
5
– 1
10
e) 2
5
+ 7
20
f) 5
6
– 3
10
g) 1
10
+ 1
6
h) 13
18
– 1
6
i) 5
8
+ 1
24
j) 13
15
– 7
10
5 Calcula.
a) 1
2
+ 1
4
+ 1
8
b) 1
4
+ 1
5
+ 1
10
c) 1 – 1
2
– 1
5
d) 2
3
+ 3
5
– 1
e) 7
4
– 5
8
– 2
3
f) 4
3
+ 3
2
– 2
g) 1
4
+ 1
9
+ 1
6
h) 3
5
– 5
8
+ 7
20
6 Calcula y simplifica los resultados.
a) 1
2
+ 1
3
+ 1
6
b) 1
2
– 5
6
+ 4
5
c) 2
3
+ 5
6
– 3
5
d) 1
4
+ 3
10
– 1
20
e) 1 – 3
10
– 8
15
f) 1 – 4
15
– 2
5
g) 5
2
– 2 + 1
10
h) 1
4
+ 3
10
– 1
20
i) 5
6
+ 3
4
– 7
12
j) 1
4
+ 1
9
+ 1
12
7 Nuria ha gastado 3/4 del dinero que tenía en un libro
y 1/5 en un refresco. ¿Qué parte del dinero ha gasta-
do? ¿Qué parte le queda?
8 Marta ha comprado tres cuartos de kilo de queso y le
da a su vecina un tercio de kilo. ¿Qué fracción de kilo
le queda?
9 En un crucero de recreo, 2/5 de los pasajeros son euro-
peos; 1/6, africanos, y 1/15, asiáticos. El resto son ame-
ricanos. ¿Qué fracción de los viajeros son americanos?
10 Con una botella que contiene dos litros de agua, se lle-
nan dos vasos de cuarto de litro y un botellín de un ter-
cio de litro. ¿Qué fracción de litro queda en la botella?
Actividades

93
UNIDAD
8
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GRUPO
ANAYA,
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1.°
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Multiplicación y división de fracciones
3
Para multiplicar fracciones
• Se multiplican los numeradores Ä8
• Se multiplican los denominadores 8
a
b
· c
d
= a · c
b · d
— · — = —
—
—
·
·
Actividades
Para dividir dos fracciones, se multipli-
can los términos cruzados.
8
a
b
:
c
d
= a · d
b · c
°
¢
°
¢
°
£
£
¢
£
¢
— : — = —
—
—
·
·
1 Calcula y, si es posible, simplifica.
a) 5 · 2
3
b) 1
4
· 3
c) 3
4
· 2 d) (–5) · 3
10
e) 6 · 1
8
f ) 3
4
· (–4)
2 Multiplica y, si es posible, simplifica.
a) 1
2
· 1
3
b) 2
3
· 1
5
c) 2
5
· 3
4
d) 5
3
· 6
11
e) 3
4
· 10
15
f) 3
2
· 4
9
g) 5
7
· 7
5
h) 10
3
· 3
5
i) 12
5
· 5
18
j) 15
8
· 2
3
3 Expresa con una fracción.
a) El triple de dos séptimos.
b) La mitad de la mitad.
c) La mitad de un cuarto.
d) La cuarta parte de un tercio.
e) Un tercio de tres cuartos.
93
4 Luis avanza 3
4
de metro con cada paso. ¿Cuántos me-
tros avanza con mil pasos?
5 Un bote de refresco de naranja contiene un tercio de
litro.
¿Cuántos litros se necesitan para llenar 60 botes?
6 Divide y, si es posible, simplifica.
a) 5 : 1
2
b) 1
2
: 5 c) 3
2
: 6
d) 7 : 14
3
e) 2
5
: 3 f) 5 : 10
3
7 Divide.
a) 1
2
: 1
5
b) 1
5
: 1
2
c) 2
7
: 3
4
d) 3
7
: 5
2
e) 2
11
: 1
5
f ) 7
4
: 5
3
8 Un clavo penetra 3/4 de centímetro con cada marti-
llazo. ¿Cuántos golpes de martillo se necesitan para
que penetre 6 centímetros?
9 Con 3/4 de kilo de café se han llenado 5 bolsas. ¿Qué
fracción de kilo contiene cada una?

94
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Matemáticas
1.°
ESO.
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94
Analiza los problemas siguientes, observa sus diferencias y reflexiona sobre los
procesos seguidos en su resolución. Te ayudarán en muchos problemas con
fracciones.
Suma de fracciones
problema 1
problema 1
problema
Manuel gasta la mitad de su dinero en el cine y la tercera parte en una hamburguesa.
¿Qué fracción del dinero que tenía ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
CINE HAMBURGUESA LE QUEDA
+ ò
gasta 8 1
2
+ 1
3
= 3
6
+ 2
6
= 5
6
8 le queda 8 1
6
Solución: Manuel ha gastado 5
6
de su dinero y le queda 1
6
.
Fracción de otra fracción
problema 2
problema 2
problema
Marta gasta la mitad de su dinero en un concierto y la tercera parte “de lo que le que-
daba” en una revista. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
CONCIERTO REVISTA
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
concierto: Gasta 8 1
2
. Queda 8 1
2
.
revista: Gasta 8 1
3
de 1
2
= 1
3
· 1
2
= 1
6
. Quedan 8 2
3
de 1
2
= 2
3
· 1
2
= 2
6
.
Solución: Ha gastado 4
6
de su dinero y le quedan 2
6
(simplifica estos resultados).
(simplifica estos resultados).
4
Ten en cuenta
Ten en cuenta
Para calcular la fracción de otra frac-
ción, se multiplican ambas fracciones.
Por ejemplo:
3
4
de 2
5
ò
2
5
ÄÄÄÄ8 3
4
de 2
5
= 6
20
3
4
de 2
5
= 3
4
· 2
5
= 6
20
1 Andrea ha gastado 2/3 de su dinero en un vestido y
1/5 en un pañuelo. ¿Qué fracción del dinero le queda?
2 Si a Andrea le quedan 20 E, ¿cuánto tenía al princi-
pio?
3 Iván ha gastado 2/3 de su dinero en una camisa y 1/5
de lo que le quedaba en una corbata. ¿Qué fracción
del dinero le queda?
4 Si a Iván le quedan 20 E, ¿cuánto tenía al principio?
Actividades
2
3
del total. 1
5
del total.
2
3
del total.
1
5
de lo que
quedaba.

95
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UNIDAD
8
95
UNIDAD
8
■Operaciones con fracciones
Suma y resta
a) 1 – 1
2
b)1 – 1
4
c) 1 – 3
4
d) 1
2
+ 1
2
e) 3
4
– 1
2
f) 1
4
– 1
8
2 Opera.
a) 1
2
– 1
4
+ 3
8
b) 1
3
+ 8
9
– 25
27
c) 2 – 3
2
+ 1
6
d) 3
4
– 7
5
+ 3
10
e) 2
5
+ 7
10
– 11
15
f) 8
5
– 1 + 13
15
g) 1
6
+ 3
4
– 5
8
h) 5
9
+ 1
4
– 5
6
+ 7
12
Ejercicio resuelto
Calcular: (2
5
+
+ 1
3)– (1
2
–
– 1
5)=
a) Podemos operar, primero, en los paréntesis.
= 6 + 5
15
– 5 – 2
10
= 11
15
– 3
10
= 22 – 9
30
=
= 13
30
b)O podemos quitar, primero, los paréntesis.
= 2
5
+
+ 1
3
–
– 1
2
+
+ 1
5
=
= 12 + 10 – 15 + 6
30
=
= 13
30
4 Multiplica y reduce.
a) 2
5
· 5
6
b) 1
3
· 6
5
c) 4
15
· 5
8
d) 8
9
· 9
8
e) 12
5
· 7
12
f) 10
7
· 7
15
g) 7
15
· 5
14
h) 2
7
· 21
16
5 Divide y simplifica.
a) 2
5
: 2
5
b) 1
3
: 2
6
c) 1
3
: 1
7
d) 3
4
: 1
2
e) 1
2
: 4
5
f) 15
12
: 3
10
g) 5
3
: 1
6
h) 2
7
: 6
14
6 Opera como en el ejemplo y compara los re-
sultados de cada apartado.
• 2
5
: (3
5
· 1
2)= 2
5
: 3
10
= 20
15
= 4
3
a) 3
4
: (1
2
· 3
5) (3
4
: 1
2)· 3
5
b) 2
5
: (3
5
: 1
2) (2
5
: 3
5): 1
2
Ejercicio resuelto
Calcular: 5
11
·
· (3
2
–
– 2
5)=
= 5
11
· 15 – 4
10
=
= 5
11
· 11
10
=
= 5 · 11
11 · 10
=
= 1
2
8 Calcula.
a) 1
5
· (1
2
+ 1
3) b) 1
4
: (1
2
– 1
4)
c) 2 · (4
3
– 5
6) d) 1
10
: (2
3
– 3
5)
e) 3
4
· (1
3
– 1
9) f) 7
9
: (1
6
+ 2
9)
■Reflexiona, decide y aplica
9 Una bolsa contiene canicas. La cuarta parte
son rojas; la tercera parte, verdes, y el resto, blancas.
a) Representa los colores en el gráfico.
Representa los colores en el gráfico.
R
b)¿Qué fracción de las canicas de la bolsa son blancas?
c) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones res-
ponden a la pregunta anterior?:
I. 1 – 1
4
+ 1
3
II. 1 – (1
4
+ 1
3)
III. 1 – 1
4
– 1
3
IV.
IV.
IV (1 – 1
4)– 1
3

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96
10 Rosa ha comprado un
queso de tres cuartos de kilo y
le ha dado a su hija medio kilo.
¿Cuánto pesa el trozo que se ha
quedado ella?
11 Hoy ha sido la fiesta
de cumpleaños de Marta.
Su madre había comprado
una tarta muy grande de la
que se ha consumido la mitad. Después, han apar-
tado una cuarta parte para los abuelos, que no han
podido venir. El resto nos lo comeremos mañana.
¿Qué parte de la tarta ha quedado para mañana?
12 La mitad de los habitantes de una aldea viven
de la agricultura; la tercera parte, de la ganadería, y
el resto, de los servicios.
¿Qué fracción de la población vive de los servicios?
13 Un peregrino recorre 1/6 del camino en la
primera semana, 1/3 en la segunda semana y 2/9 en
la tercera. ¿Qué fracción del camino le queda por
recorrer al principio de la cuarta semana?
14 Una furgoneta de reparto carga 40 cajas de
vino. Cada caja contiene 12 botellas de tres cuartos
de litro.
¿Cuántos litros de vino van en la furgoneta?
15 ¿Cuántos litros de perfume se necesitan para
llenar 100 frasquitos de 3/20 de litro?
16 Marta ha gastado la mitad del dinero que lle-
vaba en una camiseta; la tercera parte, en el merca-
do, y aún le quedan 10 euros.
a) Representa la situación sobre el gráfico.
Representa la situación sobre el gráfico.
R
b)¿Cuánto dinero llevaba?
17 De un listón de madera, cortamos la tercera
parte para hacer una banderola. Después, cortamos
la mitad de lo que queda para arreglar la valla del
jardín. El trozo que sobra mide 40 centímetros.
¿Cuánto medía el listón antes de cortarlo?
1 kg
Camiseta
Mercado
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Reduce a común denominador:
3
4
,
5
6
,
7
12
2 Ordena de menor a mayor las tres fracciones del ejerci-
cio anterior.
3 Calcula.
a)
3
4
–
7
12
b) 1 +
3
4
–
5
6
4 Calcula y simplifica.
a)
2
5
·
3
4
b)
4
15
:
2
3
5 En casa de Raquel compran una tarta. Al mediodía con-
sumen la mitad de la tarta, y en la cena, la tercera parte.
¿Qué porción de tarta han consumido?
¿Qué porción queda?
6 Julián avanza 4/5 de metro en cada paso.
¿Cuánto avanza en 10 pasos?
7 Un botellín de agua contiene 1/3 de litro.
¿Cuántos botellines se llenan con 30 litros?

97
Los matemáticos de los pueblos primitivos se ocupa-
ron, entre otras cosas, de resolver problemas de pro-
porcionalidad (repartos, herencias…). Así fue en el
antiguo Egipto y en Babilonia.
Sin embargo, los griegos fueron más allá, prestando
atención a lo que llamaron la teoría de las proporcio-
nes, con un enfoque más teórico que práctico.
Los pitagóricos, además del tratamiento aritmético y
geométrico de las proporciones, las relacionaron con
la música. Como sabes, la escala musical consta de
siete notas: do, re, mi, fa, sol, la y
do, re, mi, fa, sol, la y
do, re, mi, fa, sol, la si. La octava nota
vuelve a ser un do, repitiéndose la serie anterior. Por
eso, al intervalo musical entre dos notas con el mis-
mo nombre se le llama octava.
Pues bien, los pitagóricos apreciaron que si dos cuer-
das tensas cuyas longitudes están en relación 1:2 se
hacen vibrar, sus sonidos marcan una octava. Y que si
sus longitudes están en una proporción sencilla (2:3,
3:4, 5:6…), sus sonidos son armoniosos, suenan bien.
Su gran imaginación los llevó a extrapolar los soni-
dos de las cuerdas a los que, supuestamente, emitían
los cuerpos celestes. Lo llamaron “armonía de las es-
feras”.
9Proporcionali-
dad y porcentajes
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DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se resuelven algunos problemas básicos de
aritmética.
■ Cómo se obtienen fracciones equivalentes a una
dada.
■ La relación entre los términos de dos fracciones
equivalentes.
■ Cómo se multiplica y se divide por 100.

98
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1 Lola ha comprado cinco cromos por cuarenta cénti-
mos. Completa la tabla, sabiendo que todos los cro-
mos de la colección tienen el mismo precio.
2 Dos paquetes de galletas pesan 0,5 kg. Completa la ta-
bla que relaciona el número de paquetes con su peso.
3 Di cuáles de los siguientes pares de magnitudes son
directamente proporcionales:
a) El peso de una sandía y su precio.
b) La edad de una persona y su altura.
c) El tiempo que caminas a velocidad constante y la
distancia que recorres.
d) La talla de un pantalón y su precio.
e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la can-
tidad de agua que arroja.
f) El precio de un libro y su número de páginas.
Actividades
98
Llamamos magnitud a cualquier cualidad de los objetos que se pueda medir. Así,
la longitud, el peso o el precio son magnitudes. A veces, entre las magnitudes se
dan relaciones muy útiles para la resolución de problemas, como la relación de
proporcionalidad que vas a estudiar ahora en sus dos modalidades: directa e inversa.
Relación de proporcionalidad directa
Observa la ilustración y calcula mentalmente los datos que faltan.
5 �€ 10 € ? 25 �€
Aquí aparecen dos magnitudes, el número de balones y el coste (euros), y
podemos construir una tabla con los valores correspondientes:
Es evidente que existe una relación entre ambas magnitudes, lo que nos permite
completar la tabla. Diremos que esa relación es de proporcionalidad directa.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
•
Al multiplicar una (doble, triple, …), la otra se multiplica de la misma
manera (doble, triple, …).
•
Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se divide de la misma forma (mi-
tad, tercio, …).
Relación de proporcionalidad entre magnitudes
1
mos de la colección tienen el mismo precio.
n.º de cromos 1 2 3 4 5 6 10 15 20
coste (euros) 0,40
bla que relaciona el número de paquetes con su peso.
n.º de paquetes 1 2 3 4
peso (kg) 0,500 2
n.º de balones 1 2 3 4 ? … 8
coste (euros) 5 10 15 20 25 … ?
?

99
UNIDAD
9
99
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4 Di cuáles de las magnitudes siguientes son inversa-
mente proporcionales:
a) El número de operarios que desacargan un camión
y el tiempo que tardan.
b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en
cubrir la distancia entre dos ciudades.
c) El precio de las manzanas y los kilos que puedo
comprar con el dinero que llevo.
d) La capacidad de un vaso y el número de vasos ne-
cesarios para llenar una determinada jarra.
5 Una cuadrilla de cinco operarios municipales limpia
el polideportivo en 6 horas.
Completa la tabla siguiente con los tiempos que tar-
darían en hacer el mismo trabajo otras cuadrillas con
distinto número de trabajadores:
¿Qué relación existe entre las dos magnitudes consi-
deradas? Justifica tu respuesta.
Actividades
Relación de proporcionalidad inversa
Reflexiona, ahora, sobre la relación que existe entre el número de caballos que
tiene un granjero y los días que le dura una carga de heno.
Observa que cuantos más caballos hay en la granja
más caballos hay en la granja
más menos dura la carga de heno;
menos dura la carga de heno;
menos
y cuantos menos sean los caballos
menos sean los caballos
menos más dura la carga de heno.
más dura la carga de heno.
más
La relación existente entre las dos magnitudes (el número de caballos y el número
de días que dura el heno) nos permite completar los valores de la tabla siguiente:
Diremos que esta relación es de proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
•
Al multiplicar una (doble, triple, …), se divide la otra (mitad, tercio, …).
•
Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se multiplica (doble, triple, …).
distinto número de trabajadores:
n.º de operarios 1 2 3 5 6 10
tiempo (horas) 30 6
n.º de caballos 4 2 1 3 6
n.º de días 15 30 60 20 ?
4 caballos
15 días
6 caballos
? días
3 caballos
? días
2 caballos
30 días
1 caballo
? días

100
100
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De las relaciones de proporcionalidad se derivan herramientas que facilitan
la resolución de algunos tipos de problemas aritméticos. Esas herramientas se
concretan en dos métodos de resolución: la reducción a la unidad y la regla de
tres.
Método de reducción a la unidad
▼ ejemplo
Tres chocolatinas pesan 60 gramos. ¿Cuánto pesan cuatro chocolatinas?
magnitudes
n.º de chocolatinas peso (
peso (g
g)
)
3 60
reducción
a la unidad
1 ? 60 : 3 = 20 g
4 ? 20 · 4 = 80 g
Solución: Cuatro chocolatinas pesan 80 gramos.
Método de reducción a la unidad
Consiste en calcular, primero, el valor asociado a la unidad.
Conociendo ese valor, es fácil completar cualquier par de valores correspon-
dientes.
Fracciones equivalentes en las tablas de valores
directamente proporcionales
Tomemos la tabla de valores del ejemplo anterior, que relaciona el número de
chocolatinas con su peso.
Observa que con dos pares de valores correspon-
dientes se construyen dos fracciones equivalentes:
1
2
= 20
40
ï =
3
4
= 60
80
ï =
Comprueba que ocurre lo mismo con nuevos valores de la tabla.
Nos apoyaremos en esta propiedad para justificar un nuevo método para la
resolución de problemas de proporcionalidad: la regla de tres.
Problemas de proporcionalidad directa
2
ÄÄÄÄÄ8
ÄÄÄÄÄ8 60 : 3 = 20 g
ÄÄÄÄ8 60 : 3 = 20 g
20 · 4 = 80 g
ÄÄÄÄ8 20 · 4 = 80 g
ÄÄÄÄÄ8
n.º de
chocolatinas
peso
(gramos)
1 20
2 40
3 60
4 80
3 60
4 80
1 20
2 40
reducción a la unidad
reducción a la unidad
Problema resuelto
Problema resuelto
Un manantial arroja un caudal de
6 litros por minuto. ¿Cuánto tardará
en llenar una garrafa de 20 litros?
cantidad (l) tiempo (s)
6 8 60
1 8 ? 8 60 : 6 = 10 s
20 8 ? 8 10 · 20 = 200 s =
= 3 min 20 s
Solución: Se tardan 3 min y 20 s en
llenar una garrafa de 20 litros.
4 · 60
240
°
¢
£
3 · 80
240
°
¢
£
2 · 20
40
°
¢
£
1 · 40
40
°
¢
£

101
UNIDAD
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Regla de tres directa
Hemos visto que dos pares de valores correspondientes forman dos fracciones
equivalentes. Esto nos permite calcular uno de los cuatro valores si se conocen
los otros tres.
▼ ejemplo
Tres chocolatinas pesan 60 gramos. ¿Cuánto pesan ocho chocolatinas?
magnitudes
n.º de chocolatinas peso (
peso (g
g)
)
3 ÄÄÄÄÄ8 60
8 ÄÄÄÄÄ8 x
3
8
=
60
x
8 3 · x = 60 · 8
x = 60 · 8
x 8 x =
x =
x
60 · 8
3
= 160 g
Solución: Ocho chocolatinas pesan 160 gramos.
Con estos dos pares de valores formamos
dos fracciones equivalentes:
°
¢
£
Consiste en formar una pareja de
fracciones equivalentes con los tres
datos y la incógnita.
magnitud 1 magnitud 2
a ÄÄ8 m
b ÄÄ8 x
a · x = b · m 8 x =
b · m
a
=
°
¢
£
a
b
m
x
1 Resuelve por reducción a la unidad: Tres kilos de
manzanas cuestan 3,75 e. ¿Cuánto cuestan 4 kilos?
kilos euros
3 ÄÄÄÄÄ8 3,75
1 ÄÄÄÄÄ8 ?
4 ÄÄÄÄÄ8 ?
2 Dos kilos de peras cuestan 1,80 e.
a) ¿Cuánto cuesta un kilo?
b) ¿Cuánto cuestan tres kilos?
3 Resuelve por reducción a la unidad.
a) Dos kilos de patatas cuestan 0,80 e. ¿Cuánto cues-
tan cinco kilos?
b) Un canguro avanza 12 metros en cuatro saltos.
¿Cuánto avanza en 10 saltos?
c) Tres barras de pan pesan 600 gramos. ¿Cuánto pe-
san dos barras?
d) Por el alquiler de una bicicleta durante dos horas
pago 3 e. ¿Cuánto pagaré si la alquilo durante sie-
te horas?
e) Un grifo abierto durante cinco minutos hace
que el nivel de un depósito suba 20 centímetros.
¿Cuánto subirá el nivel en siete minutos?
f) Por un gasto de 20 e te dan 3 cupones-descuento.
¿Cuántos cupones te darán por un gasto de 140 e?
4 Calcula x en cada caso, como en el ejemplo:
x en cada caso, como en el ejemplo:
x
• 4
6
= 14
x
8 x =
x =
x
6 · 14
4
= 21
a)
1
3
=
5
x
b)
6
9
=
10
x
c)
2
6
=
5
x
d)
5
6
=
7
x
e)
10
12
=
4
x
f )
5
3
=
1
x
g)
1,2
3
=
0,6
x
h)
1,6
0,8
=
1
x
i)
0,5
0,6
=
7,5
x
j)
0,4
1,8
=
3,2
x
5 Resuelve con una regla de tres: Si 100 g de salmón
ahumado cuestan 2,40 e, ¿cuánto costarán 260 g?
gramos euros
100 Ä8 2,40
260 Ä8 x
6 Un trozo de queso de 400 gramos cuesta 4,60 e.
¿Cuánto costará otro pedazo del mismo queso de 320
gramos?
7 Un motorista que transita por una autopista ha recorrido
4,8 km en los últimos 3 minutos. Si no varía la velocidad,
¿qué distancia recorrerá en los próximos 10 minutos?
Actividades

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102
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Seguramente, habrás escuchado frases como “hay un ochenta por ciento de
posibilidades”, “me han hecho una rebaja del diez por ciento” o “el banco cobra
un cuatro y medio por ciento”. Son expresiones muy usadas en el lenguaje
corriente y, sobre todo, en el lenguaje comercial.
Concepto de tanto por ciento
Tomar un determinado tanto por ciento de un total equivale a partir el total en
porciones de cien unidades y tomar de cada porción el tanto indicado.
▼ ejemplo
En un aparcamiento hay 300 coches. El 20% son rojos. ¿Cuántos coches rojos hay?
Porcentajes
3
100 100 100
300
Para calcular el 20%, partimos el total
en paquetes de 100 y tomamos 20 de
cada paquete.
300 : 100 = 3 8 3 · 20 = 60
°
§
¢
§
£
20 + 20 + 20 = 60
°
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
£
°
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
£
°
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
£
•
El símbolo % se lee por ciento: 20% 8 veinte por ciento.
•
Para calcular un determinado tanto por ciento de una cantidad, dividimos
la cantidad entre 100 y multiplicamos por el tanto.
Ten en cuenta
Ten en cuenta
a% de N = (N : 100) · a
Ejemplo:
35% de 240 = (240 : 100) · 35 =
= 2,4 · 35 = 84
▼ ejemplo
Vamos a calcular el 65% de 540:
65% de 540 = (540 : 100) · 65 =
= 5,4 · 65 =
= 351

103
UNIDAD
9
103
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1. Calcular:
a) 12% de 380 b) 40% de 65
a) 12% de 380 = (380 : 100) · 12 = 3,8 · 12 = 45,6
b) 40% de 65 = (65 : 100) · 40 = 0,65 · 40 = 26
2. Una tienda vende el 45% de los 800 balones de su almacén. ¿Cuántos
ha vendido?
45% de 800 = (800 : 100) · 45 = 8 · 45 = 360
Solución: Ha vendido 360 balones.
1 Calcula mentalmente en el orden en que aparecen:
a) 30% de 100 b) 8% de 100
30% de 200 8% de 200
30% de 300 8% de 300
c) 15% de 200 d) 5% de 200
15% de 300 5% de 400
15% de 400 5% de 600
a) 12% de 400 b) 7% de 300
c) 25% de 300 d) 6% de 800
e) 40% de 200 f) 10% de 500
a) 4% de 175 b) 9% de 1200
c) 10% de 820 d) 12% de 425
e) 17% de 560 f) 25% de 1480
g) 32% de 625 h) 44% de 10000
i) 63% de 830 j) 90% de 451
4 Calcula.
a) 10% de 30 b) 10% de 82
c) 15% de 40 d) 15% de 68
e) 20% de 50 f) 20% de 34
g) 35% de 80 h) 35% de 48
i) 50% de 24 j) 50% de 31
5 Reflexiona y contesta.
a) El 80% de los frutales de una huerta son manza-
nos, y el resto, perales. ¿Cuál es el porcentaje de
perales?
b) El 92% de los alumnos han aprobado un examen.
¿Qué porcentaje no ha aprobado?
c) El 10% de los empleados de una empresa están de
vacaciones. ¿Qué porcentaje está trabajando?
d) Si al comprar un jersey me rebajan el 15%, ¿qué
porcentaje pago?
6 El 90% de los 430 empleados de una fábrica trabajan
en turno de día. ¿Cuántos trabajan de día?
7 En una clase de 30 alumnos, el 80% votaron a la ac-
tual delegada. ¿Cuántos votos recibió la delegada?
8 El 30% de los 560 árboles que hay en un parque se
plantaron el invierno pasado.
¿Cuántos árboles se plantaron el último invierno?
9 En el estante de los zumos de un supermercado hay
900 botellas. Un 25% son de zumo de tomate; un
45%, de naranja; un 20%, de pera, y el resto, de me-
locotón.
¿Cuántas botellas hay de cada sabor?
10 Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 e
pagando el 30% al contado y el resto en 6 plazos men-
suales sin recargo.
¿Cuál es el importe de cada plazo?
Actividades

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Un porcentaje es una fracción
Recuerda que para calcular el 20% de una cantidad, tomábamos 20 unidades de
Recuerda que para calcular el 20% de una cantidad, tomábamos 20 unidades de
R
cada 100. Pero obtenemos el mismo resultado si dividimos el total en 100 partes
iguales y tomamos 20 de esas partes; esto es, si tomamos 20/100 de la cantidad.
dividimos 300 en 100 partes
Como ves, calcular un tanto por ciento es calcular una fracción del total.
▼ ejemplo
Vamos a calcular el 15% de 80:
15% de 80 = 15
100
de 80 = (80 : 100)· 15 = 0,8 · 0,15 = 12
Ejercicio resuelto
Calcular los porcentajes siguientes:
a) 65% de 590
b) 8% de 475
a) 65% de 590 = 65
100
de 590 = (590 : 100) · 65 =
= 5,9 · 65 = 383,5
b) 8% de 475 = 8
100
de 475 = (475 : 100) · 8 =
= 4,75 · 8 = 38
°
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
£
20% de 300 =
de 300 =
20
100
(300 : 100) · 20 = 3 · 20 = 60
°
¢
£
20
partes
Un tanto por ciento equivale a una fracción que tiene
por numerador el tanto y por denominador 100.
a% 68
a
100
°
¢
£
Recuerda
Recuerda
a% de N = a
100
de N
Ejemplo:
15% de 240 =
15
100
de 240 =
= (240 : 100) · 15 = 2,4 · 15 = 36

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Algunos porcentajes especiales
Con un poco de ingenio, y basándote en la simplificación de fracciones, el cálculo
de algunos porcentajes te resultará muy sencillo.
Veamos algunos ejemplos.
el 50%
el 50%
el
50% de 80 = 50
100
de 80 = 1
2
de 80 = 80 : 2 = 40
El 50% es la mitad. Para hallar el 50%, se divide entre 2.
el 25%
el 25%
el
25% de 60 = 25
100
de 60 = 1
4
de 60 = 60 : 4 = 15
El 25% es la cuarta parte. Para hallar el 25%, se divide entre 4.
el 20%
el 20%
el
20% de 40 =
20
100
de 40 = 1
5
de 40 = 40 : 5 = 8
El 20% es la quinta parte. Para calcular el 20%, se divide entre 5.
el 10%
el 10%
el
10% de 70 =
10
100
de 70 = 1
10
de 70 = 70 : 10 = 7
El 10% es la décima parte. Para calcular el 10%, se divide entre 10.
Porcentajes con calculadora
Para calcular porcentajes con la cal-
culadora, puedes utilizar la tecla %.
15% de 240
ô
240 * 15 % 8 {∫∫∫∫∫∫«}
11 Calcula menta
Calcula menta
Calcula lmente.
a) 50% de 18
b) 50% de 84
c) 25% de 20
d) 25% de 48
e) 20% de 35
f ) 20% de 55
g) 10% de 190
h) 10% de 240
12 Reflexiona y justifica los cálculos realizados en cada caso:
a) 10% de 260 = 260 : 10 = 26
b) 5% de 260 = 26 : 2 = 13
c) 20% de 55 = 55 : 5 = 11
d) 40% de 55 = 11 · 2 = 22
e) 25% de 84 = 84 : 4 = 21
f ) 75% de 84 = 21 · 3 = 63
g) 50% de 348 = 348 : 2 = 174
h) 5% de 348 = 174 : 10 = 17,4
Actividades

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Veamos dos tipos de problemas que encontrarás con frecuencia en el mundo real.
Analízalos con detenimiento y aprende los métodos de resolución.
Aumentos porcentuales
Un billete de avión a París costaba, el verano pasado, 460 e, pero desde entonces ha
subido un 20%.
¿Cuál es el precio actual del billete?
• Resolución
Precio antiguo ÄÄ8 460 e
Aumento ÄÄÄÄ8 20% de 460 =
20 · 460
100
= 92 e
precio
nuevo =
precio
antiguo + aumento 8 460 + 92 = 552 e
Por tanto, el precio actual del billete asciende a 552 e.
Disminuciones porcentuales
Una tienda de electrodomésticos saca en oferta, con una rebaja del 15%, un televisor
que antes costaba 900 €.
€.
€
¿Cuánto cuesta, ahora, el televisor?
• Resolución
Precio antiguo ÄÄ8 900 €
Rebaja ÄÄÄÄ8 15% de 900 =
15 · 900
100
= 135 €
precio
final =
precio
antiguo – rebaja 8 900 – 135 = 765 e
Por tanto, ahora el televisor cuesta 765 e.
Aumentos y disminuciones porcentuales
4
1 Rosa pide un préstamo de 4000
Rosa pide un préstamo de 4000
R e para devolverlo al
cabo de un año.
¿Qué cantidad deberá devolver si el banco le cobra un
interés del 5%?
2 Una aldea tenía, tras el último censo, 250 habitantes,
pero desde entonces su población ha disminuido un
8%.
¿Cuál es la población actual?
Actividades
subida billete
aéreo a parís
20%
rebajas
15%

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■Las relaciones de proporcionalidad
1 Indica los pares de magnitudes que son direc-
tamente proporcionales (D), los que son inversa-
mente proporcionales (I) y los que no guardan pro-
porcionalidad (X).
a) El tiempo que está encendida una farola y la
cantidad de energía que gasta.
b)El número de páginas de un periódico y su pre-
cio.
c) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en
ir de Córdoba a Badajoz.
d)El peso de un queso y su coste.
e) El caudal de una fuente y el tiempo que tarda en
llenar un cántaro.
f ) El número de asas de un jarro y su capacidad.
2 Calcula en cada caso el término desconocido:
a) 6
10
= 30
x
b) 21
24
= 28
x
c) 17
24
= 51
x
d) 14
21
= x
69
e) x
63
= 65
91
f) 39
x
= 13
17
g) x
18
= 18
81
h) 5
9
= 1
x
i) 3
2,4
= 35
x
j) 0,63
0,56
= 2,7
x
■Problemas de proporcionalidad
a) Dos cajas de galletas cuestan 4 e. ¿Cuánto costa-
rán tres cajas?
b)Doscientos gramos de mortadela cuestan 1,80 €.
¿Cuánto cuestan 300 gramos?
c) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas.
¿Cuánto tardaría uno solo? ¿Y tres jardineros?
d)Un ciclista, a 20 km/h, tarda 30 minutos en cu-
brir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará una moto a
60 km/h?
4 Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 kg. ¿Cuánto
pesarán cinco cajas iguales a las anteriores?
5 Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 mi-
nutos. ¿Cuántos litros arrojará en 15 minutos?
6 Un empleado recibió la semana pasada 60 e
por 5 horas extraordinarias de trabajo. ¿Cuánto re-
cibirá esta semana por solo 3 horas?
7 Las grosellas se venden a 2,30 euros el cuarto.
¿Cuánto cuesta cuarto y mitad?
8 Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha
costado 14,40 e. ¿Cuánto costará otro besugo de
ochocientos gramos?
9 Un grifo, con un caudal de 12 litros por minu-
to, ha tardado tres cuartos de hora en llenar un depó-
sito.
¿Cuál deberá ser el caudal para llenar el mismo depó-
sito en 20 minutos?
10 Un mayorista de frutos secos compra una pro-
ducción de nueces y las envasa, ya sin cáscara, en
1500 bolsas de cuarto de kilo.
¿Cuántas bolsas habría llenado si hubiera puesto
300 gramos por bolsa?
11 Un club de montañismo tiene 280 socios. Por
cada cinco hombres, hay tres mujeres. ¿Cuántos
hombres y cuántas mujeres tiene el club?
■Porcentajes
12 Observa una forma rápida de calcular los tantos
por ciento, y completa las casillas vacías de la tabla.
20% de 350 = 350 · 20
100
= 70 350 · 0,20 = 70
13% de 200 = 200 · 13
100
= 26 200 · 0,13 = 26
85% de 420 = 420 · 85
100
= 357
6% de 500 = 500 · 6
100
= 30
35% de 400 = 400 · 35
100
= 140
8% de 350 = 350 · 8
100
= 28

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13 Completa cada casilla con un número deci-
mal y, después, calcula el resultado:
a) 20% de 560 = · 560 = …
b)16% de 1 250 = · 1250 = …
c) 72% de 925 = · 925 = …
d)9% de 700 = · 700 = …
e) 2% de 650 = · 650 = …
14 Observa la tabla y comprueba los valores con
la calculadora.
Copia y completa:
a) Para calcular el 10% de una cantidad, se divide
entre …
b)Para calcular el 5%, se divide primero entre … y
después entre …
15 El 50% de algo es su mitad, es decir, 1/2.
a) ¿Qué fracción es el 10%?
b)¿Qué fracción es el 30%?
Razona tus respuestas.
16 Completa con el porcentaje adecuado en cada
caso:
a) % de 70 = 35
b) % de 230 = 115
c) % de 800 = 200
d) % de 370 = 37
e) % de 56 = 5,6
f) % de 30 = 6
a) El 50% de un número es 16. ¿Cuál es el número?
b)El 25% de un número es 9. ¿Cuál es el número?
c) El 75% de un número es 15. ¿Cuál es el número?
d)El 20% de un número es 7. ¿Cuál es el número?
■Problemas de porcentajes
18 El camión de reparto deja en el supermerca-
do 580 cajas de leche. El 15% son de leche desna-
tada. ¿Cuántas cajas de leche desnatada se han re-
cibido?
19 El banco me hace esta oferta: si deposito 4000
euros durante un año, me dan un 4,5% de intere-
ses. ¿Qué beneficio obtendría en la operación?
40 45 70 200 280 426
10% 4 4,5 7 20 28 42,6
5% 2 2,25 3,5 10 14 21,3
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Indica si hay relación de proporcionalidad directa o in-
versa en los siguientes pares de magnitudes:
a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en
llegar a su destino.
b) El peso de un libro y su precio.
c) El número de horas trabajadas y el pago recibido.
2 Completa esta tabla de proporcionalidad:
3 Resuelve por reducción a la unidad:
Una fuente arroja 22 litros de agua en 4 minutos.
¿Cuántos litros arrojará en 5 minutos?
4 Resuelve con ayuda de la regla de tres:
Un trozo de queso de 375 gramos ha costado 4,50 €.
¿Cuánto costará otro trozo de 200 gramos?
5 Completa:
a) Para calcular el 50%, se divide entre…
b) Para calcular el …%, se divide entre 4.
6 Calcula.
a) 10% de 48 b) 30% de 350 c) 65% de 520
7 Un colegio tiene 585 estudiantes. El 60% se queda al
comedor. ¿Cuántos estudiantes usan ese servicio?
8 Marta ha comprado una blusa que costaba 35 €, pero
estaba rebajada un 20%. ¿Cuánto ha pagado finalmente
por la blusa?
proporcionalidad directa
1 2 3 4
30

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¿Cuánto vale el montón si el montón y un séptimo del
montón es igual a 24? Este es un problema algebraico
montón es igual a 24? Este es un problema algebraico
montón es igual a 24?
que se encuentra planteado y resuelto en un papiro
egipcio del año 1650 a.C. Los egipcios llamaban a la
incógnita “el montón”, y para resolver este tipo de
problemas seguían un proceso muy laborioso.
Ahora, simplemente, ponemos x +
x +
x
x
7
= 24.
Y lo resolvemos por un método muy sencillo, como
veremos en esta unidad. Pero hasta llegar aquí, el ca-
mino ha sido largo.
En las épocas antiguas, egipcios, babilonios, griegos,
chinos, indios…, se plantearon problemas algebrai-
cos más o menos complicados, pero carecían de un
método sistemático de resolución.
La palabra “álgebra” es de origen árabe. Ellos apren-
dieron de todos sus predecesores e hicieron progresar
esta disciplina. En los siglos viii y ix desarrollaron
ix desarrollaron
ix
un “álgebra retórica”: las ecuaciones las describían
mediante unos enunciados complejos en los que a la
incógnita se la llamaba “la cosa”, algo parecido a lo
de “el montón” egipcio. Y elaboraron métodos siste-
máticos de resolución.
Unos siglos después, los europeos aprendieron el ál-
gebra de los árabes y la mejoraron, pero seguían lla-
mando “la cosa” a la incógnita, y al álgebra, “el arte
de la cosa”.
10Álgebra
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DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se opera con números positivos y
negativos.
■ Cómo se reducen expresiones con paréntesis y
operaciones combinadas.
■ Cómo se simplifican fracciones.
■ Cómo se operan números enteros y fraccionarios.

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En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor
desconocido o indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras
y se operan con las mismas leyes y propiedades que en las expresiones numéricas.
Veamos algunos casos.
Representar números en clave
Generalizar relaciones
La máquina de la ilustración asocia a cada número su doble más tres unidades.
Vamos a comprobar algunos casos:
· 2 + 3
3 ÄÄ8 6 ÄÄ8 9
· 2 + 3
5 ÄÄ8 10 ÄÄ8 13
Para expresar de forma general esta corresponden-
cia, llamamos n a un número cualquiera:
n ÄÄ8 2n + 3
Expresar propiedades numéricas
• El orden de los sumandos no altera la suma (propiedad conmutativa).
a +
a +
a b =
b =
b b +
b +
b a
• Un múltiplo de un número, a, se obtiene al multiplicar a por cualquier nú
a por cualquier nú
a -
mero n.
a ·
a ·
a n Ä8 múltiplo de a
• Multiplicar un número por una suma equivale a multiplicar por cada sumando
y sumar los productos parciales (propiedad distributiva).
a · (
a · (
a b +
b +
b c) =
c) =
c a ·
a ·
a b +
b +
b a ·
a ·
a c
Letras en vez de números
1
a 8 20
b 8 5
c 8 1
clave
a +
a +
a a +
a +
a a ÄÄÄÄÄ8 60
a +
a +
a b +
b +
b b ÄÄÄÄÄ8 30
a +
a +
a a +
a +
a b +
b +
b c +
c +
c c ÄÄ8 47
71 céntimos
a + a + a + b + b + c = 71
Otro ejemplo
Otro ejemplo
Otro ejemplo
n Ä8 n – 1
4
9 Ä8 2
17 Ä8 4
21 Ä8 ?

111
UNIDAD
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111
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1 Calcula el valor de a en la suma, y de
a en la suma, y de
a b, en la resta.
2 a 7 b
+ 3 a – b 4,
a 2, b 9,
2 Completa, teniendo en cuenta que a = 5.
3 Copia y completa la tabla siguiente:
4 Escribe una expresión para cada enunciado.
a) El doble de x.
b) El anterior de x.
c) El siguiente de x.
d) El doble del siguiente de x.
e) La mitad de x.
f ) La mitad de x, más seis unidades.
Actividades
Expresar y operar números desconocidos
Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no
conocemos, operar con él y relacionarlo con otros números.
• La edad de Juan ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x
• La edad que tendrá dentro de 15 años ÄÄÄÄÄÄ8 x + 15
• El doble de la edad que tenía el año pasado ÄÄÄÄ8 2 · (x – 1)
Codificar matemáticamente un problema y facilitar
su resolución
•
Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a
las operaciones y sus propiedades.
•
La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de
las expresiones con letras y números se denomina álgebra.
Problema resuelto
La edad de Juan dentro de 15 años será igual al doble de la que tenía el
año pasado. ¿Cuál es su edad actual?
edad dentro de 15 años = 2 · edad que tenía el año pasado
ô
x + 15 = 2 · (
x + 15 = 2 · (
x x – 1)
x – 1)
x ò x = 17
Solución: Juan tiene 17 años.
1 2 3 4 5 10 … n
1 4 9 16 …
10 · a + 7
Ä8
16
16 Ä8
2 · a – 3
Ä8
2 · a + 3
13
13 Ä8
4 + 2x = x + 10
4
4
4
4 4
2
2
2
x
x x x
x
x x
2x = x + 6
x = 6
B
B

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112
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Las expresiones algebraicas surgen al traducir a lenguaje matemático situaciones en
las que aparecen datos desconocidos o indeterminados que se representan por letras.
Son expresiones algebraicas:
3x – 5
x – 5
x x2 + 1 (a + 1) ·
a + 1) ·
a b
5
(t + 1)
t + 1)
t 2
3
a +
a +
a b
a
Las operaciones, al incluir valores que no se conocen, quedan necesariamente
indicadas.
Monomios
Las expresiones algebraicas más simples, formadas por productos de letras y
números, se llaman monomios.
Un monomio consiste en el producto de un número conocido (coeficiente)
por una o varias letras (parte literal).
Por ejemplo:
–4 · x
COEFICIENTE PARTE LITERAL
2
— · a2 · b
3
Expresiones algebraicas
2
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
• Un número ÄÄÄ8 x
• Su siguiente ÄÄÄ8 x + 1
• El doble de su
siguiente ÄÄÄÄ8 2 · (x + 1)
• El cociente entre
el número y el doble
de su siguiente ÄÄ8
ÄÄ8
Ä x
2 · (x + 1)
x + 1)
x
Ten en cuenta
Ten en cuenta
En un monomio no se suelen incluir
los signos de producto.
5 · x · y3
ô
5xy3
Cuando encontramos un número se-
guido de una o varias letras, entende-
mos que están multiplicados.
Suma y resta de monomios
Los monomios solo se pueden sumar (o restar) cuando son semejantes, es
decir, cuando tienen la misma parte literal.
Cuando no son semejantes, la operación se deja indicada.
Observa los distintos casos que se presentan en los ejemplos siguientes:
Como puedes ver, las expresiones algebraicas se operan con las mismas leyes y
propiedades que las expresiones numéricas.
ejemplo 1
a + a + a = 3a
ejemplo 2
4x + 2x = 6x
ejemplo 3
5x – 3x = 2x
ejemplo 4
a2 + a2 = 2a2
ejemplo 5
3a + 2b ò queda indicada
ejemplo 6
x2 + x ò queda indicada
ejemplo 7
7x – (2x + x) = 7x – 3x = 4x
ejemplo 8
5a – (a – 4a) = 5a – (–3a) = 5a + 3a = 8a
coeficiente coeficiente
parte literal parte literal
+
+
a
3a + 2a = 5a
a a
+ = 3
+ = 3 a
+
+ = 5
3a 2b
+
queda indicado
°
§
°
§
°
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
¢
§
¢
§
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¢
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¢
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¢
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§
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§
§
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°
°
§
°
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°
°
§
°
§
°
¢
§
¢
§
§
¢
§
¢
£
£
§
£
§

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113
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1 Reduce las expresiones siguientes:
a) x +
x +
x x b) a +
a +
a a +
a +
a a +
a +
a a
c) m + m – m d) k +
k +
k k +
k +
k k –
k –
k k
e) a +
a +
a a +
a +
a b +
b +
b b f) x +
x +
x x +
x +
x y +
y +
y y +
y +
y y
2 Opera.
a)2x + 5
x + 5
x x b) 7a – 3
a – 3
a a
c)4a + 3
a + 3
a a d) 9x – 5
x – 5
x x
e)2x + 3
x + 3
x x + 4
x + 4
x x f) 6a + 2
a + 2
a a – 5
a – 5
a a
g)4a – 3
a – 3
a a +
a +
a a h) 10x – 3
x – 3
x x –
x –
x x
3 Iguala cada expresión con su reducida:
x +
x +
x x + 1
x + 1
x
x2 + x2 + x
3x2 – 2x2 + 5
x2 + x2 + x +
x +
x x
2x2 + 4x – 2
x – 2
x x + 3
x + 3
x
9x2 – 5x2 + 3 + x + 1
x + 1
x
4 Reduce.
a)x2 + x2 b) 4a2 – 2a2
c)5a2 + 2a2 d) 7x2 – 5x2
e)4x2 + 3x2 – 2x2 f ) 8a2 – 3a2 – a2
5 Reduce.
a)3x – (4
x – (4
x x – 3
x – 3
x x)
x)
x b) 5x – (2
x – (2
x x + 1)
x + 1)
x
c)8x – (3
x – (3
x x + 2
x + 2
x x)
x)
x d) 2x – (4 –
x – (4 –
x x)
x)
x
e)(x + 4
x + 4
x x) – (5
x) – (5
x x – 3
x – 3
x x)
x)
x f ) (6x – 4) – (2
x – 4) – (2
x x – 1)
x – 1)
x
6 Multiplica el número por el monomio.
a) 3 · 2x b) 5 · 3a c) 2 · 4m
d) (–3) · 5x e) 2 · (–2a) f ) (–3) · (–4m)
g) 1
2
· 6x h) 4 · 1
6
a i) (–2) · 6
8
m
7 Multiplica los monomios siguientes:
a) x · 2
x · 2
x x b) 5a · a c) m · 2m2
d) 2x · 5
x · 5
x x e) 3a · 4
a · 4
a a2 f ) 2m2 · 5m2
g) 3x2 · 2x3 h) 4a · 2
a · 2
a a4 i) 2m2 · 2m4
j) x3 · (–2x)
x)
x k) (–5a2) · 3a3 l) 2m3 · (–4m3)
Actividades
x2 + 5
2x2 + 2x + 3
4x2 + x + 4
2x2 + 2x
2x2
+ x
2x + 1
Multiplicación de monomios
Un monomio es un producto. Por tanto, al multiplicar dos monomios obtendrás
otro producto con más factores; es decir, otro monomio.
▼ ejemplos
• (2x) · (4
x) · (4
x y
) · (4y
) · (4 ) = 2 ·
y) = 2 ·
y x · 4 ·
x · 4 ·
x y = 2 · 4 ·
y = 2 · 4 ·
y x ·
x ·
x y = 8
y = 8
y xy
xy
x
• (–2a) · 5a = (–2) ·
a = (–2) ·
a a · 5 ·
a · 5 ·
a a = (–2) · 5 ·
a = (–2) · 5 ·
a a ·
a ·
a a = –10
a = –10
a a2
• (1
3
x)
x)
x · (6xy
xy
x ) =
y) =
y 1
3
· x · 6 ·
x · 6 ·
x x ·
x ·
x y =
y =
y 1
3
· 6 · x ·
x ·
x x ·
x ·
x y =
y =
y 6
3
x2y
2y
2 = 2
y = 2
y x2y
2y
2
El producto de dos monomios es siempre otro monomio.
Multiplicación de un monomio por una suma
Cuando uno de los factores es una suma, aplicamos la propiedad distributiva; es
decir, multiplicamos por cada sumando.
▼ ejemplos
• 5 · (2a + 3
a + 3
a b) = 5 · 2a + 5 · 3
a + 5 · 3
a b = 10
b = 10
b a + 15
a + 15
a b
• 2x · (
x · (
x x2 + 2y
+ 2y
+ 2 2) = 2x ·
x ·
x x2 + 2x · 2
x · 2
x y
· 2y
· 2 2 = 2x3 + 4xy2
No lo olvides
No lo olvides
Para multiplicar dos potencias de la
misma base, se suman los exponen-
tes. Por ejemplo:
x3 · x2 = x3 + 2 = x5

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Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas. Sin embargo, no to-
das las igualdades algebraicas son ecuaciones, como verás a continuación.
Igualdades algebraicas: ecuaciones e identidades
Observa la diferencia entre las igualdades siguientes:
3x – 4 = 8
x – 4 = 8
x 6x – 4
x – 4
x x = 2
x = 2
x x
ô ô
La igualdad se cumple
solamente para x = 4.
x = 4.
x
(Es una ecuación).
La igualdad se cumple para
cualquier valor de x.
(Es una identidad).
• Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple
solamente para ciertos valores de las letras.
• Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple siempre, indepen-
dientemente de los valores que tomen las letras.
Elementos de una ecuación
Para poder manejar las ecuaciones, es necesario que sepas nombrar sus elemen-
tos:
• Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo de igualdad.
• Términos: son los sumandos que forman los miembros.
4x – 5 = 2
x – 5 = 2
x x + 1
x + 1
x
• Incógnitas: son las letras que aparecen en los términos.
• Soluciones: son los valores que han de tomar las letras para que se cumpla la
igualdad.
4x – 5 = 2
x – 5 = 2
x x +
x +
x 1
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
ecuación de primer grado con una incógnita
solución: x = 3, ya que 4 · 3 – 5 = 2 · 3 +
x = 3, ya que 4 · 3 – 5 = 2 · 3 +
x 1
Ecuaciones
3
1 Busca, por tanteo, una solución para cada ecuación:
a) 5x – 8 = 7
x – 8 = 7
x b) 2x + 3 = 5
x + 3 = 5
x x – 3
x – 3
x c) 2(x – 1) = 8
x – 1) = 8
x d) 10 – (x – 3) = 6
x – 3) = 6
x e) 3 – x
2
= 1 f ) 5 + x
6
= 2
g) x – 1
x – 1
x
4
= 5 h) x + 2
x + 2
x
3
= 1 i) x
2
+ x
3
= 5 j) x
2
+ x
4
+ x
8
= 7 k) x +
x +
x x2 + x3 = 3 l) √
√x +
x +
x 5 = 3
Actividades
primer miembro segundo miembro
términos

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Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones
Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones
4
Ahora vas a estudiar los procedimientos básicos para resolver ecuaciones. Aunque
los ejemplos son muy sencillos y la solución salta a la vista, sigue las técnicas que
se exponen, pues te servirán para resolver casos más complejos.
Resolución de la ecuación x + a = b
▼ ejemplo: x + 4 = 7
x + 4 = 7
x
x +
x +
x 4 = 7
9
x +
x +
x 4 – 4 = 7 – 4
9
x = 3
x = 3
x
Para resolver la ecuación x + a = b, restamos a en ambos miembros.
x + a = b 8 x + a – a = b – a 8 x = b – a
Resolución de la ecuación x – a = b
▼ ejemplo: x – 2 = 6
x – 2 = 6
x
x – 2 = 6
x – 2 = 6
x
9
x – 2 +
x – 2 +
x 2 = 6 + 2
9
x = 8
x = 8
x
Para resolver la ecuación x – a = b, sumamos a en ambos miembros.
x – a = b 8 x – a + a = b + a 8 x = b + a
x x
• Restando 4 a los dos miembros, se obtiene
una ecuación equivalente.
• La solución es x = 3.
x = 3.
x
x x x
• Sumando 2 a los dos miembros, se obtiene
una ecuación equivalente.
x = 8.
x
1 Resuelve aplicando las técnicas recién aprendidas.
a) x +
x +
x 3 = 4 b) x – 1 = 8
x – 1 = 8
x c) x +
x +
x 5 = 11
d) x – 7 = 3
x – 7 = 3
x e) x +
x +
x 4 = 1 f) x – 2 = –6
x – 2 = –6
x
g) 9 = x + 5
x + 5
x h) 5 = x – 4
x – 4
x i) 2 = x +
x +
x 6
2 Resuelve aplicando las técnicas anteriores.
a) x + 6 = 9
x + 6 = 9
x b) x – 4 = 5
x – 4 = 5
x c) 2 – x = 4
x = 4
x
d) 5 + x = 4
x = 4
x e) 3 + x = 3
x = 3
x f) 6 = x +
x +
x 8
g) 0 = x +
x +
x 6 h) 1 = 9 – x i) 4 = x – 8
x – 8
x
Actividades
En la práctica
En la práctica
En la práctica
regla
Lo que está sumando en uno de los
miembros, pasa restando al otro.
ejemplos
a) x + 4 = 7
9
x = 7 – 4
9
x = 3
b) x + 5 = 1
9
x = 1 – 5
9
x = –4
En la práctica
En la práctica
En la práctica
regla
Lo que está restando en uno de los
miembros, pasa sumando al otro.
ejemplos
a) x – 2 = 6
9
x = 6 + 2
9
x = 8
b) 5 – x = 2
9
5 – 2 = x
9
x = 3

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Resolución de la ecuación a · x = b
▼ ejemplo: 3x = 15
x = 15
x
3x = 15
x = 15
x
9
3x 15
— = —
3 3
9
x = 5
x = 5
x
Resolución de la ecuación x/a = b
▼ ejemplo: x
4
= 3
En la práctica
En la práctica
En la práctica
regla: Lo que está multiplicando a
un miembro (a todo él) pasa divi-
diendo al otro.
ejemplos
a) 3x = 15 8 x = 15
3
8 x = 5
b) 7x = 2 8 x = 2
7
Casos especiales
Casos especiales
Casos especiales
• La ecuación 0 · x = 6 no tiene solu
x = 6 no tiene solu
x -
ción. No hay ningún número que
multiplicado por cero dé seis.
• La ecuación 0 · x = 0 tiene infini
x = 0 tiene infini
x -
tas soluciones. Cualquier número
multiplicado por cero da cero.
En la práctica
En la práctica
En la práctica
regla: Lo que está dividiendo a un
miembro (a todo él) pasa multipli-
cando al otro.
ejemplos
a) x
4
= 3 8 x = 3 · 4 8 x = 12
b) x
2
= 7
10
8 x = 7
10
· 2 8 x = 7
5
Para resolver la ecuación ax = b,
dividimos ambos miembros por a.
x
x x x x x x
ax = b 8 ax
ax
a
a
= b
a
8 x = b
a
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
• Dividiendo por 3 los dos miembros, se
obtiene una ecuación equivalente.
x = 5.
x
x x
4
• Multiplicando por 4 los dos miembros, se
obtiene una ecuación equivalente.
x = 12.
x
x
— = 3
4
9
x
— · 4 = 3 · 4
4
9
x = 12
x = 12
x
Para resolver la ecuación x
a
= b, mul-
tiplicamos ambos miembros por a.
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
x
a
= b 8 x
a
a
· a = b · a 8 x = b · a
3 Resuelve con las técnicas que acabas de aprender.
a) 4x = 20
x = 20
x b) x
2
= 1 c) 3x = 12
x = 12
x
d) x
5
= 2 e) 8 = 4x f) 4 = x
2
4 Resuelve combinando las técnicas anteriores.
a) 3x – 2 = 0
x – 2 = 0
x b) 4x +
x +
x 5 = 13 c) 2x – 5 = 9
x – 5 = 9
x
d) 8 – 3x = 2
x = 2
x e) x
2
+ 4 = 7 f ) x
3
– 2 = 3
Actividades

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x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
7x – 2x + 4 = 8 + 3x + 2
x = 3
B
B
B
B
B
Resolución de ecuaciones de primer grado
con una incógnita
Resolución de ecuaciones de primer grado
con una incógnita
5
Para resolver una ecuación, la iremos transformando, mediante sucesivos pasos,
en otras equivalentes cada vez más sencillas, hasta despejar la incógnita; es decir,
hasta que quede sola en un miembro y en el otro un número conocido.
Para transformar una ecuación en otra equivalente, utilizaremos dos recursos:
• Reducir sus miembros.
• Transponer sus términos, de un miembro al otro.
▼ ejemplo
V
Vamos a resolver la ecuación: 7x – 2
x – 2
x x + 4 = 8 + 3
x + 4 = 8 + 3
x x + 2
x + 2
x
7x – 2
x – 2
x x +
x +
x 4 = 8 + 3x +
x +
x 2
reducir
5x +
x +
x 4 = 10 + 3x
transponer
(Restamos 3x en ambos miembros).
x en ambos miembros).
x 5x +
x +
x 4 – 3x = 10
x = 10
x
reducir
2x + 4 = 10
x + 4 = 10
x
transponer
(Restamos 4 en ambos miembros). 2x = 10 – 4
x = 10 – 4
x
reducir
2x = 6
x = 6
x
transponer
(Dividimos a ambos miembros por 2). x =
x =
x
6
2
reducir
x = 3
x = 3
x
Comprobación: Sustituimos x por 3 en la ecuación primitiva y comprobamos
x por 3 en la ecuación primitiva y comprobamos
x
que la igualdad se cumple.
x = 3
9
7x – 2
x – 2
x x +
x +
x 4 8 7 · 3 – 2 · 3 + 4 = 21 – 6 + 4 = 19
8 + 3x + 2
x + 2
x 8 8 + 3 · 3 + 2 = 8 + 9 + 2 = 19
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢
9
7 · 3 – 2 · 3 + 4 = 8 + 3 · 3 + 2
1442443 1442443
19 19

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Práctica en la resolución de ecuaciones
Los ejercicios que siguen te ayudarán a tomar confianza en la resolución de ecua-
ciones. Abórdalos en el orden en que aparecen y aplicando las técnicas que has
aprendido: reducir los miembros-transponer los términos.
Para que puedas evaluar tu trabajo, encontrarás las soluciones al final de la página.
1 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x +
x +
x 1 = 6 b) x +
x +
x 8 = 3
c) 7 = x +
x +
x 3 d) 5 = 11 + x
e) x +
x +
x 1 = –2 f) x +
x +
x 5 = –2
g) 5 + x = 7
x = 7
x h) 4 + x = 4
x = 4
x
i) 8 + x = 1
x = 1
x j) –3 = 2 + x
2 Resuelve estas ecuaciones:
a) x – 2 = 4
x – 2 = 4
x b) x – 6 = 7
x – 6 = 7
x
c) 2 = x – 2
x – 2
x d) 5 = x – 1
x – 1
x
e) x – 4 = –1
x – 4 = –1
x f) x – 5 = –3
x – 5 = –3
x
g) –4 = x – 2
x – 2
x h) –8 = x – 1
x – 1
x
i) 4 – x = 1
x = 1
x j) 5 – x = 6
x = 6
x
k) 8 = 13 – x l) 15 = 6 – x
a) 5x – 4
x – 4
x x = 9
x = 9
x b) 7x – 2
x – 2
x x = 15
x = 15
x
c) x – 2
x – 2
x x = 7
x = 7
x d) 2x – 6
x – 6
x x = 12
x = 12
x
e) 2x – 5
x – 5
x x = –3
x = –3
x f) 4x – 6
x – 6
x x = –8
x = –8
x
g) 6x – 4
x – 4
x x = 1
x = 1
x h) 11x – 5
x – 5
x x = 2
x = 2
x
i) 2x – 7
x – 7
x x = 4
x = 4
x j) 3x – x = – 8
a) 8x – 5
x – 5
x x =
x =
x x +
x +
x 8
b) 3x +
x +
x 6 = 2x +
x +
x 13
c) 5x – 7 = 2 – 4
x – 7 = 2 – 4
x x
d) 3x +
x +
x x +
x +
x 4 = 2x +
x +
x 10
e) 4x +
x +
x 7 – x = 5 +
x = 5 +
x 2x
f) 8 – x = 3
x = 3
x x +
x +
x 2x +
x +
x 5
Actividades
Ejercicio resuelto
Resolver esta ecuación:
5 – 4x
5 – 4x
5 – 4 = 7 +
x = 7 +
x 8x – 6
x – 6
x
5 – 4x = 7 +
x = 7 +
x 8x – 6
x – 6
x 5 = 1 + 8x +
x +
x 4x 5 – 1 = 12x 4
12
= x
5 – 4x = 1 +
x = 1 +
x 8x 5 = 1 + 12x 4 = 12x x =
x =
x 1
3
9 9 9 9
1. a) 5
b) –5
c) 4
d) –6
e) –3
f) –7
g) 2
h) 0
i) –7
j) –5
2. a) 6
b) 13
c) 4
d) 6
e) 3
f) 2
g) –2
h) –7
i) 3
j) –1
k) 5
l) –9
3. a) 9
b) 3
c) –7
d) –3
e) 1
f) 4
g) 1/2
h) 1/3
i) – 4/5
j) –4
4. a) 4
b) 7
c) 1
d) 3
e) –2
f ) 1/2
soluciones

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Resolución de problemas con ayuda de las ecuaciones
Resolución de problemas con ayuda de las ecuaciones
6
Problemas resueltos
1. Si a un número le sumas 7, obtienes el triple que si le restas 5. ¿De qué
número se trata?
a) Deja claro lo que conoces y da nombre a lo que no conoces.
• El número ÄÄÄÄÄÄ8 x
• El número más 7 ÄÄÄ8 x +
x +
x 7
• El número menos 5 ÄÄ8 x – 5
x – 5
x
b)Relaciona, con una igualdad, los elementos conocidos y los desconocidos.
Relaciona, con una igualdad, los elementos conocidos y los desconocidos.
R
el número
más 7
= el triple de el número
menos 5
x +
x +
x 7 = 3 · (x – 5)
x – 5)
x
c) Resuelve la ecuación: x +
x +
x 7 = 3x – 15
x – 15
x 8 22 = 2x
x
x 8 x = 11
x = 11
x
d)Expresa la solución en el contexto del problema y compruébala.
solución: El número buscado es 11.
comprobación: 11 + 7 = 3 · (11 – 5)
2. Una parcela rectangular es 15 metros más larga que ancha. La valla que
la rodea tiene una longitud de 150 metros. ¿Cuáles son las dimensiones
de la parcela?
a) Los datos:
ancho ÄÄÄÄÄÄ8 x
largo ÄÄÄÄÄÄ8 x +
x +
x 15
perímetro ÄÄÄÄÄ8 150
b)La ecuación: x +
x +
x (x +
x +
x 15) + x +
x +
x (x +
x +
x 15) = 150
c) Resuelve la ecuación: 4x +
x +
x 30 = 150 8 4x = 120
x = 120
x 8 x = 30
x = 30
x
d)solución: La parcela mide 30 m de ancho y 30 + 15 = 45 m de largo.
comprobación: 30 + 45 + 30 + 45 = 150
x + 15
x + 15
x
x + 15
x + 15
x
x x
x + 7 =
°
§
°
§
°
§
§
§
§
§
§
§
§
¢
§
¢
§
§
¢
§
¢
§
§
§
§
§
§
§
§
£
§
£
§
x – 5
x – 5
x – 5
+
+
a
a
b b
perímetro = a + b + a + b
1 Un número y su siguiente suman 53. ¿Qué números son?
el número 8 x
su siguiente 8 x +
x +
x 1
el número + su siguiente = 53
2 ¿Cuántas vacas tiene un granjero sabiendo que entre
cuernos y patas contamos 222?
vacas 8 x
cuernos 8 2x
patas 8 4x
°
¢
°
¢
°
£
¢
£
¢ cuernos + patas = 222
Actividades

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■Lenguaje algebraico
1 Haz corresponder cada enunciado con su ex-
presión algebraica:
a) La distancia recorrida en x horas por un camión
que va a 60 km/h.
b)El coste de x kilos de peras que están a 0,80
x kilos de peras que están a 0,80
x €/kg.
c) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x
metros.
d)La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que
x la de su abuelo, que
x
tenía 60 años cuando nació Pedro.
0,8x 60x x – 60
0,8 · x
—
2
2 Copia y completa la tabla, atendiendo a los
siguientes enunciados:
• Cristina tiene x años.
x años.
x
• Alberto, su esposo, tiene 3 años más.
• Javier, su padre, le dobla la edad.
• Marta, su madre, tiene 5 años menos que su pa-
dre.
• Loli y Mar son sus hijas gemelas. Las tuvo con 26
años.
• Javi, el pequeño, tiene la
mitad de años que las ge-
melas.
3 Siguiendo la lógica de cada tabla, completa las
casillas vacías:
■Monomios y operaciones
4 Opera.
a) 3x +
x +
x 2x +
x +
x x b)10x – 6
x – 6
x x + 2
x + 2
x x
c) 5a – 7
a – 7
a a +
a +
a 3a d)a – 5
a – 5
a a +
a +
a 2a
e) –2x +
x +
x 9x –
x –
x x f) –5x – 2
x – 2
x x +
x +
x 4x
5 Suprime los paréntesis y reduce.
a) 3x – (
x – (
x x +
x +
x 1) b)x +
x +
x (2 – 5x)
x)
x
c) 4a – (3
a – (3
a a – 2)
a – 2)
a d)2a +
a +
a (1 – 3a)
e) (x – 4)
x – 4)
x + (3x – 1)
x – 1)
x f) (6x – 3)
x – 3)
x – (2x – 7)
x – 7)
x
6 Divide.
a) (6x)
x)
x : 3 b) (–8) : (2a) c) (–15a) : (–3)
d) (2x)
x)
x : (2x)
x)
x e) (6a) : (–3a) f) (–2x)
x)
x : (–4x)
x)
x
g) (15a2) : (3a) h) (–8x)
x)
x : (4x2) i) (10a) : (5a3)
7 Quita paréntesis.
a) 5 · (1 + x)
x)
x b)(–4) · (2 – 3a)
c) 3a ·
a ·
a (1 + 2a) d)x2 · (2x – 3)
x – 3)
x
e) x2 · (x +
x +
x x2) f) 2a ·
a ·
a (a2 – a)
8 Quita paréntesis y reduce.
a) x +
x +
x 2(x +
x +
x 3) b)7x – 3(2
x – 3(2
x x – 1)
x – 1)
x
c) 4 · (a +
a +
a 2) – 8 d)3 · (2a – 1) – 5a
e) 2(x +
x +
x 1) + 3(x – 1)
x – 1)
x f) 5(2x – 3)
x – 3)
x – 4(x – 4)
x – 4)
x
■Ecuaciones
9 Resuelve.
a) 2x +
x +
x 5 – 3x =
x =
x x + 19
x + 19
x
b)7x – 2
x – 2
x x = 2
x = 2
x x + 1 +
x + 1 +
x 3x
c) 11 + 2x = 6
x = 6
x x – 3 +
x – 3 +
x 3x
d)7 + 5x – 2 =
x – 2 =
x x – 3 + 2
x – 3 + 2
x x
e) x – 1 – 4
x – 1 – 4
x x = 5 – 3
x = 5 – 3
x x – 6
x – 6
x
f) 5x = 4 – 3
x = 4 – 3
x x +
x +
x 5 – x
10 ¿Cuál es el número que sumado con su ante-
rior y su siguiente da 117?
edad
cristina x
alberto
javier
marta
loli y mar
javi
1 2 3 5 8 10 15 20 25 30 a x
3 5 7 11 17 51
1 2 3 5 8 10 15 20 25 30 a x
0 5 10 20 35 120
el anterior el número el posterior
x – 1 x x + 1

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11 La suma de tres números consecutivos es 84.
¿Qué números son?
12 Si a este cántaro le añadieras 13 litros de agua,
tendría el triple que si le sacaras dos. ¿Cuántos litros
de agua hay en el cántaro?
13 En mi colegio, entre alumnos y alumnas so-
mos 624. El número de chicas supera en 36 al de
chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas?
chicos Ä8 x chicas Ä8 x + 36
x + 36
x
chicos + chicas = 624
14 Sabiendo que un yogur de frutas es 5 cénti-
mos más caro que uno natural, y que seis de frutas
y cuatro naturales me han costado 4,80 €, ¿cuánto
cuesta un yogur natural? ¿Y uno de frutas?
natural
natural
natural Ä8 x € frutas Ä8 (x +
x +
x 0,05)€
15 Roberta tiene un año menos que su hermana
Marta, y ya tenía cinco cuando nació Antonio, el
más pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabien-
do que entre los tres, ahora, suman 35 años?
roberta 8 x
x
x marta 8 x +
x +
x 1 antonio 8 x – 5
x – 5
x
16 Un kilo de chirimoyas cuesta el doble que
uno de naranjas. Por tres kilos de chirimoyas y cua-
tro de naranjas se han pagado 11 €. ¿A cómo están
las unas y las otras?
UNIDAD
10
x x x
– 2
+ 13
= 3 ·
= 4,80 €
Autoevaluación
Autoevaluación
1 En una granja hay vacas (V ) y avestruces (A
) y avestruces (A
) y avestruces ( ).
a) ¿Cuál de las siguientes expresiones indica el número
de cabezas?
b) ¿Y el número de alas?
c) ¿Y el número de patas?
2 Completa la tabla siguiente:
3 Reduce.
a) 2x +
x +
x x
x
x b) 3a + 5
a + 5
a a
a
a
c) x + 5 + 2
x + 5 + 2
x x d) 2a + 3 + 4
a + 3 + 4
a a – 1
a – 1
a
4 Resuelve estas ecuaciones:
a) x
x + 2 = 8 b) x – 4 = 3
c) 3x = 12
x = 12
x d)
x
5
= 2
5 Resuelve:
a) 3x – 5 = 4
x – 5 = 4
x b) 6x – 1 = 5
x – 1 = 5
x x
x
x
c) 3x – 5 + 2x =
x =
x x + 3
6 ¿Cuántas vacas tiene un granjero sabiendo que entre
cuernos y patas contamos 120?
Vacas Ä8 x
Cuernos Ä8 2x
Patas Ä8 4x
cuernos + patas = 120
7 Por tres kilos de naranjas y dos de peras, he pagado 6,40 €.
¿A cómo está el kilo de cada una de esas frutas, si el de peras
es veinte céntimos más caro que el de naranjas?
Precio del kilo de naranjas Ä8 x
Precio del kilo de peras Ä8 x + 0,20
coste
3 kg
naranjas
+
coste
2 kg
peras
= 6,40
2V +
V +
V A 4V + 2
V + 2
V A
+ 2A
+ 2 V +
V +
V A 2A
2A
2 V – 2
V – 2
V A
– 2A
– 2
n 1 2 3 5 10 15
n2 + 3 28

123
Los historiadores griegos antiguos atribuyeron a los
egipcios la invención de la geometría. Es muy cono-
cido el hecho de que cada año, debido a las creci-
das del río Nilo, las lindes de los campos de cultivo
se borraban y debían ser restauradas al retirarse las
aguas. Los funcionarios del faraón se encargaban de
esta tarea.
Esta actividad, repetida año tras año en miles de par-
celas, propició grandes avances en la práctica de la
geometría y de la agrimensura. Estos y otros progre-
sos de tipo utilitario, mantenidos e incrementados
durante siglos, dieron lugar a un nivel muy alto de la
geometría práctica.
Mientras los egipcios atendían la tierra, los babilo-
nios miraban al cielo. Estos progresaron menos que
aquellos en geometría pero fueron magníficos astró-
nomos. La observación del firmamento trajo como
consecuencia un gran dominio de la medición de
ángulos, imprescindible para controlar las estrellas y
sus movimientos.
Nuestro actual sistema de medidas de ángulos está
basado en el que diseñaron los babilonios hace más
de tres mil años.
1
1Rectas
y ángulos
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DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se usan los instrumentos de dibujo: regla,
escuadra, compás.
■ Los distintos tipos de ángulos.
■ Algunas relaciones angulares.

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Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su
punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan (están a igual distancia)
de los extremos del segmento:
PA
—
= PB
—
QA
—
= QB
—
PA es el segmento cuyos extremos son P y
P y
P A.
PA
—
es la longitud de ese segmento.
Observa cómo se construye la mediatriz con regla y compás:
m
M
A B A
B A B A
B A B
B
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en otros
dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan (están a igual dis-
tancia) de los lados del ángulo:
PR
—
= PS
—
QR'
—
= QS'
—
Observa cómo se traza la bisectriz con regla y compás:
b
P P
P
Mediatriz y bisectriz
1
m
A
Q
B
P
R'
R
P
S
b
Q
S'
s
r
R'
A B
M
Trazado de la mediatriz con regla y es-
cuadra.
1 Dibuja dos segmentos conca-
tenados, AB y
AB y
AB BC. Traza
BC. Traza
BC
sus mediatrices y llama P al
P al
P
punto en que se cortan.
— Comprueba que
PA
—
= PB
—
= PC
—
.
— Razona por qué P está a la
P está a la
P
misma distancia (equidista) de A, de B y de
B y de
B C.
C.
C
2 Dibuja en tu cuaderno dos ángulos rs
ì y st
ì como se
ve en la figura.
— Traza sus bisectrices, b y b',
que se cortan en un punto P.
— Razona que las distancias del
punto P a las rectas r, s y t
coinciden.
Actividades
A
B
C
P
P
b
b'
r
t
P
s
A
B
B
B

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Simetrías en las figuras planas
2
En la naturaleza, en la tecnología, en el arte, en nuestro mundo cotidiano,
estamos rodeados de figuras simétricas. Su estudio es interesante.
Eje de simetría de una figura
Una figura plana es simétrica respecto a un eje (una recta) si al doblarla por ella
las dos mitades coinciden.
En una simetría respecto a un eje o simetría
axial:
• La recta e se llama eje de simetría.
• A y A' son simétricos respecto a e, porque
e es la mediatriz del segmento AA'. Lo mismo
ocurre con B y B'.
• Cada punto del eje es simétrico de sí mismo:
C = C'.
La simetría de las figuras planas se aprecia a simple vista, y su eje de simetría suele
ser sencillo de identificar. No obstante, puede ser de gran ayuda valerse de un
espejo para comprobar si una cierta recta es o no eje de simetría de una figura.
Las siguientes figuras tienen dos, tres y cinco ejes de simetría, respectivamente:
Si una figura tiene n ejes de simetría, estos se cortan en un punto, y cada
dos ejes contiguos forman un ángulo de
180°
n
.
A A'
A A'
A A'
A A'
B B'
C =
C =
C C'
e
90°
60°
36°
1 Di cuáles de las siguientes figuras son simétricas respecto a algún eje. Dibuja el eje de sime-
tría y, si tienes un pequeño espejo a mano, comprueba que lo es.
Actividades
a) b) c) d) e) f) g) h)
Pliega una hoja de papel.
Recorta cualquier motivo.
Al desplegar, obtendrás una figura
simétrica.

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Relaciones angulares
3
1 Dos ángulos de lados
perpendiculares pueden
ser iguales, pero tam-
bién pueden ser suple-
mentarios. Justifícalo
con un dibujo
con un dibujo
con un dibu .
2 De estos ángulos di dos que sean iguales por ser:
A
ì
B
ì
C
ì
ì
D
ì E
ì
F
ì
G
ì
ì
H
ì
a) Opuestos por el vértice. b) Correspondientes.
c) Alternos internos. d) Alternos externos.
Actividades
Ángulos de lados paralelos
Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
Ángulos que se forman cuando una recta corta
a otras dos rectas paralelas entre sí
Si dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, se forman ocho ángulos,
muchos de los cuales son iguales entre sí por tener sus lados paralelos.
• 1
ì
= 3
ì
por ser opuestos por el vértice.
Por lo mismo: 2
ì
= 4
ì
5
ì
= 7
ì
6
ì
= 8
ì
• 1
ì
= 5
ì
Los ángulos 1
ì
y 5
ì
se llaman correspondientes porque están en la mis-
ma posición respecto a r1 y a r2.
También son correspondientes 2
ì
y 6
ì
, 3
ì
y 7
ì
, 4
ì
y 8
ì
.
• 1
ì
= 7
ì
Los ángulos 1
ì
y 7
ì
son alternos externos porque están a distintos lados de
la recta s (alternos) y en la zona exterior de las dos paralelas (externos).
También son alternos externos 4
ì
y 6
ì
.
• 3
ì
= 5
ì
Los ángulos 3
ì
y 5
ì
son alternos internos porque están a distintos lados
de s y en la zona interior de las paralelas.
También son alternos internos 2
ì
y 8
ì
.
r2
r2
r
r1
s
1
5
r1
r2
r2
r
r1
r2
r2
r
s
1
4
7 6
s
3 2
5
8
s
s
r2
r2
r
r1
1
4
3 2
5
7
8
6
6
Recuerda
Recuerda
Dos ángulos suplementarios suman
180°.

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UNIDAD
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Medida de ángulos
4
Recuerda que un ángulo recto tiene 90°. Por tanto, los ángulos llano y completo
tienen 180° y 360°, respectivamente.
90°
Ángulo
completo
Ángulo recto Ángulo llano
180° 360°
El grado (1/90 de ángulo recto) es la unidad de medida de ángulos.
Para afinar en la medida de ángulos, se utilizan los submúltiplos del grado:
minuto Ä8 1' = 1
60
de grado. Es decir, 1° = 60'.
segundo Ä8 1 = 1
60
de minuto. Es decir, 1' = 60.
A estos grados se les llama sexagesimales por la forma de dividirse, de 60 en
60. El sistema de numeración sexagesimal, antiquísimo, tiene su origen, posi-
blemente, en una forma de contar basada en los cinco dedos de una mano y en
las doce falanges de los dedos índice, corazón, anular y meñique de la otra mano
(5 · 12 = 60).
Instrumentos de medidas de ángulos
Para medir ángulos dibujados sobre el papel, se utiliza el transportador.
90 80 70 60
50
4
0
3
0
2
0
10
180
17
0
1
6
0
1
5
0
1
4
0
130
120 110100
0
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
47°
90
80
70
60 50 40 30
20 10
1
8
0
1
7
0
1
6
0
1
5
0
140
130
1
2
0
1
1
0
1
0
0
0
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
136°
Para medidas angulares sobre el terreno existen otros instrumentos mucho más
precisos, como el sextante, el goniómetro y el teodolito.
Expresión de un ángulo en grados y minutos
¿Qué significa un ángulo de 37° 40'? Es un ángulo mayor que 37° y menor que
38°. En concreto, mide 37 grados más 40/60 de grado.
¿Tiene sentido un ángulo de 24° 256'? No es una forma correcta de expresar un
ángulo, pues 256' es más que un grado. Veámoslo:
Es decir, 256' = 4 · 60' + 16'= 4° 16'
Por tanto, 24° 256' = 24° + 4° 16' = 28° 16'.
Etimología
Etimología
Etimología
Minutus, en latín, significa menudo,
diminuto, y así se le llamó a este pe-
queño angulillo de 1/60 de grado.
Al tomar otro menor aún, se le llamó
segundo trozo menudo, es decir, por
segunda vez pequeño, más pequeño
todavía. Es el segundo, 1/60 de mi-
nuto = 1/3600 de grado.
Nota
Nota
Este curso vamos a trabajar solo con
ángulos en grados y minutos.
Al expresar un ángulo en grados y
minutos, el número de minutos ha
de ser menor que 60.
sextante: instrumento para medir ángu-
los.
256 60
16 4

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Suma de ángulos
Para sumar dos ángulos expresados en grados y minutos, se suman por separado
los grados y los minutos. Después, si el número de minutos es mayor que 60, se
pasan a grados.
Resta de ángulos
Suponemos que el minuendo es mayor que el sustraendo. Si el número de mi-
nutos del minuendo es mayor que el del sustraendo, la operación se realiza de
inmediato. Si no, se procede como en el siguiente ejemplo:
Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural, se efectúan los productos
de los minutos y de los grados por ese número. Después, si el resultado de los
minutos es mayor que 60, se pasan a grados los que corresponda.
División de un ángulo entre un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural, se dividen los grados y el resto se
pasa a minutos, que se añaden a los que había. Después, se dividen los minutos.
1 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 47° 25' + 56° 11' + 17° 49' b) 37° 53' – 29° 49'
c) 68° 42' + 11° 3' + 43° 39' d) 52° 41' – 36° 55'
2 Realiza estas operaciones:
a) (38° 43') Ò 8 b) (24° 55') Ò 10 c) (27° 42') Ò 5
d) (76° 39') : 5 e) (89° 21') : 2 f) (115° 44') : 7
Actividades
97° 15' 7
27° 13° 53' 8
6° 8 360'
375'
25'
4' ÄÄÄÄÄ8
El cociente es 13° 53'.
El resto es 4'.
(97° 15') : 7
36° 45'
+ 82° 56'
118° 101' = 118° + 1° 41' = 119° 41'
101 60
41 1
101' = 1° 41'
55° 91'
– 32° 43'
23° 48'
56° 31'
– 32° 43' ➡
6 (Hemos convertido 1° en 60').
8 224° 329' = 224° + 5° 29' = 229° 29'
(32° 47') Ò 7 ➡
➡
32°
Ò 7
224°
47'
Ò 7
329'
329 60 329' = 5° 29'
29 5
Cálculo mental
Cálculo mental
Efectúa.
a) 23° 35' + 48° 22'
b) 31° 40' + 23° 20'
c) 31° 42' + 23° 25'
Cálculo mental
Cálculo mental
Efectúa.
a) 87° 58' – 36° 25'
b) 87° – 36° 20'
c) 87° 10' – 36° 20'
Cálculo mental
Cálculo mental
Efectúa.
a) (20° 10') Ò 3
b) (20° 20') Ò 3
c) (20° 25') Ò 3
Cálculo mental
Cálculo mental
Efectúa.
a) (42° 36') : 3
b) 91° : 3
c) (91° 30') : 3

129
UNIDAD
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Ángulos en los polígonos
5
Suma de los ángulos en un triángulo
Para hallar la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera, trazamos por uno
de sus vértices la paralela al lado opuesto y razonamos del siguiente modo:
a b
c
a b
c
Los ángulos morados son iguales por ser alternos internos al cortar las paralelas por
la recta a. Lo mismo les ocurre a los azules con la recta b. Ahora, es claro que
entre los tres completan un ángulo llano; es decir, suman 180°.
La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo vale 180°.
Suma de los ángulos de un cuadrilátero
Mediante una diagonal, el cuadrilátero
se parte en dos triángulos.
La suma de los ángulos de cada triángulo
es 180°.
Los ángulos de los dos triángulos suman
180° · 2 = 360°.
La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360°.
Como los cuadrados y los rectángulos tienen los cuatro ángulos iguales, cada
uno de ellos mide 360° : 4 = 90°, como ya sabíamos.
Observa
Observa
C
B
A
D
Ángulos de un triángulo
Recorta un triángulo cualquiera y
colorea cada vértice de un color por
ambas caras. Señala los puntos me-
dios de dos de los lados.
Pliega por la línea que une los pun-
tos medios.
Pliega los otros dos vértices.
Al coincidir los tres ángulos, se apre-
cia que suman 180°.
1 En un triángulo rectángulo, A
ì
A
ì
A
mide 42° 20'. ¿Cuánto mide
C
ì
ì
?
2 Si un ángulo de un rombo
mide 39°, ¿cuánto miden los
demás?
3 ¿Cuánto miden los ángu-
los iguales de una cometa
con esta forma?
4 ¿Es posible construir un cuadrilátero con un solo án-
gulo recto? ¿Y con solo dos? ¿Y con solo tres?
Actividades
A
B C 40°
100°

130
130
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Suma de los ángulos de un pentágono
Mediante diagonales, descomponemos el pentágono en tres triángulos.
Los ángulos de cada uno de ellos suman 180°. Entre los tres, los ángulos suman
3 · 180° = 540°. Por tanto, los ángulos de todos los pentágonos suman 540°.
Los cinco ángulos de cualquier pentágono suman 540°.
Por tanto, cada ángulo de un pentágono regular (todos sus ángulos son
iguales) mide 540° : 5 = 108°.
Ángulos de un polígono cualquiera
Como el pentágono, el hexágono se puede descomponer, mediante diagonales,
en 4 triángulos. Sus ángulos sumarán, por tanto, 4 ⋅ 180° = 720°.
Así, en un hexágono regular, cada ángulo medirá 720° : 6 = 120°.
Lo que hemos hecho con cuadriláteros, pentágonos y hexágonos, lo podemos
generalizar para polígonos de n lados como vemos a continuación.
Un polígono de n lados se puede descomponer en
n – 2 triángulos. La suma de todos sus ángulos es de
(n – 2) · 180°.
Cada ángulo de un polígono regular de n lados
mide:
(n – 2) · 180°
n
5 Averi
Averi
A gua cuánto suman todos los ángulos de un de-
cágono cualquiera y cuánto mide cada ángulo de un
decágono regular. Hazlo de dos formas:
a) Volviendo a hacer todo el razonamiento: ‘‘Un decá-
gono regular se puede descomponer en ocho trián-
gulos…”.
b) Aplicando las fórmulas anteriores.
6 Justifica que el ángulo así construido mide 60°.
7 Los ángulos señalados en rojo se llaman ángulos ex-
teriores o externos del polígono.
1
2
3
2
3
4 5
1
4
5
Copia esta figura en un papel, recorta los ángulos exter-
nos, júntalos como ves en la figura de la derecha y com-
prueba que suman 360°.
8 Justifica que la suma de los ángulos exteriores de cual-
quier polígono es 360°.
Actividades

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■Operaciones con ángulos
1 Efectúa las siguientes sumas:
a) 15° 13' + 35° 23'
b) 18° 50' + 22° 15'
c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54'
2 Resuelve estas restas:
a) 181° 19' – 121° 52'
b) 143° 12' – 97° 24'
3 Haz los productos siguientes:
a) (58° 14') · 3
b) (37° 43') · 5
c) (62° 12') · 7
d) (5° 58') · 2
4 Resuelve estas divisiones:
a) (277° 34') : 11 b) (201° 52') : 8
c) (127° 55') : 5 d) (174° 30') : 6
5 Halla el complementario de:
a) 45° 13' b) 70° 52'
6 Halla el suplementario de:
a) 93° 15' b) 15° 02'
7 Halla en grados y minutos el ángulo interior de
un heptágono regular.
■Relaciones angulares
8 Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que
se piden en cada figura:
9 Calcula el valor de los ángulos desconocidos.
10 Piensa y contesta:
a) ¿Cuánto mide un ángulo equivalente a un cuar-
to de vuelta?
b)¿Qué ángulo giras si das media vuelta?
c) Estas frente a la playa y a tu espalda está la mon-
taña. ¿Qué verás si giras 360°?
d)¿Cuántos ángulos de 45° equivalen a media vuelta?
■Simetrías
11 Señala, cuando existan, todos los ejes de sime-
tría en estas figuras, y cuando haya más de dos, halla
el ángulo que forman dos de los ejes contiguos:
12 Completa cada figura para que sea simétrica
respecto del eje señalado:
UNIDAD
11
a) b)
c) d)
132°
37°
26°
37°
A
^
A
^
B
^
C
^
N
^
P
^
Q
^
M
^
26°
a) b)
c) d)
120° 120°
71°
A
^
A
^
N
^
P
^
N
71°
71°
26° 35°
P
^
M
^
B
^ C
^
^
e) f)
A
^
B
^
N
^
M
^
N
N
N
N
N
N
^
A
G
E
D
F
C
H
B

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13 Observa las letras del abecedario:
Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles
tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos
(hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.
Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando
los ejes que tenga.
14 Completa la
siguiente figura
para que tenga los
dos ejes de sime-
tría que se indi-
can:
e1
e2
e2
e
15 Vamos a obtener figuras
mirando un trozo de esta figura F
con un espejo:
Por ejemplo, para obtener la figu-
ra Z hemos de situar el espejo así:
Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para
visualizar cada una de las siguientes figuras:
F
F
Z
A B C D E
M N
P
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Observa los siguientes ángulos:
a) Identifica un ángulo recto, uno agudo y uno obtuso.
b) Escribe dos ángulos complementarios y dos suple-
mentarios.
c) Indica dos ángulos opuestos por el vértice, dos corres-
pondientes, dos alternos externos y dos alternos internos.
d) Sabiendo que A
ì
= 30°, halla el resto de los ángulos.
2 Halla los valores de los ángulos indicados:
3 Realiza las siguientes operaciones con ángulos:
a) 13° 24' + 23° 38' b) 26° 15' – 12° 32'
c) (32° 42') · 3 d) (23° 44') : 4
4 Calcula el valor de los ángulos indicados.
5 Traza los ejes de simetría de estas figuras. Calcula, cuan-
do haya más de un eje de simetría, el valor del ángulo
formado por dos ejes contiguos:
A
ì
ì
B
ì
C
L
ì
K
ì
J
ì
I
ì
ì
D
ì
M
ì
N
ì
O
ì
P
ì
E
ì
F
ì
G
ì
H
I
ì
ì
ì
C
ì
O
A
ì
ì
B
ì
C
70°
60°
a) b)
A
ì
ì
B
ì
C
39°
42°
ì
42°
42°
b) c)
a)
38°
A
ì
A
ì
ì
C
60°
60°
99°
99° 99°
60°
ì
B
66°
A
B
C D E

133
La geometría de los egipcios y de los babilonios fue,
sobre todo, práctica. Sin embargo, la actitud de los
griegos fue muy distinta: desligaron el estudio de las
figuras geométricas y de sus propiedades de cualquier
provecho práctico que pudiera obtenerse de ellas.
Tales de Mileto vivió entre los siglos vii y vi a.C. De
joven pasó varios años en Egipto, donde aprendió
la geometría egipcia, a la que supo dar un gran im-
pulso, ampliando sus contenidos e imponiendo que
cada fórmula y cada procedimiento fuera consecuen-
cia de un razonamiento lógico. Además de matemá-
tico, Tales fue astrónomo (entre otras cosas, predijo
eclipses de Sol) y el primero de los grandes filósofos
griegos. Ejerció gran influencia sobre los pensadores
posteriores.
Casi tres siglos después, Euclides culminó el proce-
so deductivo en la matemática griega. Sus obras de
geometría tuvieron una enorme importancia hasta el
siglo xix. Incluso hoy en día, a la geometría que se
estudia más a menudo se la llama euclídea.
12Figuras
geométricas
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DEBERÁS RECORDAR
■ Qué son los polígonos y cómo se clasifican.
■ Cómo se designan los elementos de un triángulo.
■ Cuáles son los elementos relacionados con la cir-
cunferencia.

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Clasificación
Con seguridad, dos de los ángulos de
un triángulo son agudos. Según como
sea el otro ángulo, el triángulo es acu-
tángulo, rectángulo u obtusángulo.
Un triángulo con los tres lados iguales se llama equilátero. Si tiene dos lados
iguales, se llama isósceles. Y si los tres lados son distintos, se llama escaleno.
Relaciones entre los ángulos y los lados
Los triángulos equiláteros también tienen los ángulos iguales.
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son también
iguales. Y, en general, si un lado es mayor que otro, entonces sus ángulos opues-
tos siguen la misma relación (si a
a
a b entonces
b entonces
b A
ì
B
ì
).
a b
c A
A
A
B
C
a b
c A
A
A
B
C
A = B
a = b
ì ì ì
A B C
ì ì
a b c
Construcción de triángulos
Para construir un triángulo, es suficiente conocer solo algunos de sus elementos.
Pueden darse distintos casos. Veamos aquí la construcción a partir de los tres
lados. En www.anayadigital.com puedes encontrar los demás.
Triángulos
1
1 Construye con regla y compás un triángulo cuyos la-
dos midan 7 cm, 5 cm y 8 cm, respectivamente.
2 Di cómo es, según sus ángulos y según sus lados, cada
triángulo de la derecha.
3 Dibuja un triángulo escaleno obtusángulo y un trián-
gulo isósceles acutángulo.
Actividades
datos construcción resultado
a
b
c
a a
A
b
b
c
c
A
ì
B
ì
C
ì
ì
ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO
equilátero y equiángulo
a)
e) f)
d)
b) c)
b) c)
b) c)
b) c)

135
UNIDAD
12
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4 Dibuja el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 10 cm y
12 cm. Observa que es acutángulo.
Traza sus tres alturas y señala su ortocentro.
5 Dibuja el triángulo cuyos lados 6 cm, 8 cm y 12 cm.
Observa que es obtusángulo.
Traza sus medianas y señala su baricentro.
6 Dibuja el triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y
10 cm. Observa que es rectángulo.
Localiza su ortocentro y su baricentro.
7 Dibuja el triángulo equilátero cuyos lados miden
6 cm.
Localiza su ortocentro y su baricentro.
Actividades
Medianas de un triángulo. Baricentro
Se llama mediana de un triángulo a un segmento que va de un vértice al
punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.
Alturas de un triángulo. Ortocentro
La altura de un triángulo es un segmento que va, perpendicularmente, desde
un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Equilibrio
Equilibrio
Equilibrio
Un triángulo de cartulina, chapa o
madera se mantiene en equilibrio si
lo sostenemos en el baricentro.
bari-centro: centro de gravedad.
Ortocentro
C
C
Mediana
A
B
'
B'
C' Baricentro
A'
C
A
B
'
Altura
Todo triángulo tiene tres alturas, que se cortan en un punto llamado ortocentro.

136
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Cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
Recuerda que sus cuatro ángulos suman 360°.
Tienen dos diagonales.
Clasificación de los cuadriláteros
Paralelogramos. Diagonales. Ejes de simetría
Se llama paralelogramos a los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.
Las diagonales de un paralelogramo cualquiera se cortan en sus puntos medios.
En el cuadrado y el rombo, las diagonales son perpendiculares. En el cuadrado y
el rectángulo, las diagonales son iguales.
El romboide no tiene ejes de simetría.
El rectángulo y el rombo tienen dos ejes
de simetría.
El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.
Cuadriláteros
2
Atención
Atención
Los cuadrados son rectángulos, por-
que tienen los cuatro ángulos rectos.
Y también son rombos, porque tienen
los cuatro lados iguales.
RECTÁNGULOS
PARALELOGRAMOS
(lados opuestos
paralelos)
NO
PARALELOGRAMOS
(ángulos rectos)
CUADRADOS
ROMBOS
(lados iguales)
ROMBOIDES
TRAPECIOS
(solo dos lados
paralelos)
OTROS CUADRILÁTEROS
(TRAPEZOIDES)

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UNIDAD
12
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Trapecios
Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados pa-
ralelos y otros dos no paralelos.
Los lados paralelos se llaman bases, y la distancia
entre ellos, altura.
• Un trapecio con dos ángulos rectos se llama trapecio rectángulo.
• Un trapecio con los dos lados no paralelos iguales se llama isósceles. El trapecio
isósceles tiene los ángulos iguales dos a dos. Pero, ¡atención!, los ángulos iguales
son contiguos, no opuestos.
Los trapecios isósceles tienen un eje de simetría.
Trapezoides
Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos se llaman tra-
pezoides.
Hay trapezoides con formas muy variadas. Algunos de ellos son interesantes.
▼ ejemplos
• Este, con forma de cometa, tiene los lados
iguales dos a dos, pero los lados iguales son
contiguos, no opuestos (si fueran iguales los
lados opuestos, sería paralelogramo).
Además, sus diagonales son perpendiculares, como las del rombo, pero no se
cortan en sus puntos medios. Solo tiene un eje de simetría, su diagonal mayor.
• Este también tiene los lados iguales dos a dos. Sus diagona-
les, aunque tienen direcciones perpendiculares, no se cortan,
pues una de ellas está fuera del polígono.
Estos cuadriláteros, en los que una diagonal queda fuera,
se llaman cóncavos.
1 Observa los cuadriláteros de la derecha.
a) ¿Cuálessonparalelogramos,cuálestrapeciosycuáles
trapezoides?
b) Ponle un nombre adecuado a cada uno. Por ejem-
plo, cuadrado, trapezoide…
c) Di cuántos ejes de simetría tiene cada figura.
d) ¿Cuáles de estas figuras tienen las diagonales per-
pendiculares?
Actividades
Base
Altura
Base
e
TRAPECIO
RECTÁNGULO
TRAPECIO
ISÓSCELES
I
V
IX X XI XII
VI VII VIII
II III IV

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Un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos
iguales.
Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita.
l
O
a
r
O
a
r
l
l O
a
r
l
O
a
r
Se llaman centro, O, y radio, r, de un polígono regular al centro y al radio de
la circunferencia circunscrita.
Apotema, a, es el segmento perpendicular desde el centro, O, al lado, l. La
apotema siempre corta al lado en su punto medio.
En todos los polígonos regulares, r, a y l /2 son los lados de un triángulo rec-
tángulo.
Ejes de simetría
Polígonos regulares
3
1 Calca en tu cuaderno las figuras siguientes:
Dibuja en rojo todos sus ejes de simetría.
2 Calca las figuras del ejercicio anterior en hojas aparte
y recórtalas. Señala, mediante pliegues, todos sus ejes
de simetría.
Observa que en el cuadrado puedes realizarlo median-
te tres pliegues, y en el octógono, mediante cuatro.
Actividades
Todos los polígonos regulares tienen
tantos ejes de simetría como lados.

139
UNIDAD
12
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La circunferencia es la línea que rodea al círculo.
El círculo es la figura plana más perfecta:
• Cualquiera de sus diámetros es eje de simetría. Por tanto, tiene infinitos ejes de
simetría.
• Su área es la mayor posible entre todas las figuras que tienen su mismo períme-
tro. Es decir, si con una cuerda queremos delimitar un terreno cuya superficie
sea la mayor posible, deberemos construir una circunferencia.
Posiciones relativas de recta y circunferencia
O
r
d
O
r
d
d r
EXTERIORES TANGENTES SECANTES
d = r d r
O
r
d
Posiciones relativas de dos circunferencias
TANGENTES INTERIORES INTERIORES CONCÉNTRICAS
EXTERIORES TANGENTES EXTERIORES SECANTES
d d d
d
Circunferencia
4
Ten en cuenta
Ten en cuenta
d es la distancia de O a la recta.
r es el radio de la circunferencia.
1 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y tres rectas
que pasen a 3 cm, 5 cm y 8 cm, respectivamente, del
centro de la circunferencia.
2 Dibuja en tu cuaderno:
a) Dos circunferencias secantes.
b) Dos circunferencias interiores.
Mide, en ambos casos, la distancia entre sus centros y
compárala con sus radios.
3 Si trazaras dos circunferencias de radios 7 cm y 4 cm
con sus centros situados a 10 cm de distancia, ¿en qué
posición relativa quedarían? Trázalas y comprueba tu
respuesta.
4 Traza dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm tan-
gentes exteriores. ¿A qué distancia están sus centros?
Traza dos circunferencias de 5 cm y 3 cm de radio,
que sean tangentes interiores. ¿A qué distancia están
sus centros?
Actividades

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140
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Los cuerpos geométricos son, como sabes, figuras de tres dimensiones, es decir,
figuras que ocupan una porción de espacio.
Todas estas figuras recuerdan diferentes objetos de nuestro entorno. Son cuerpos
geométricos. Entre ellos, distinguiremos dos grandes tipos:
• Poliedros: Están limitados por caras planas poligonales. De los de arriba, son
poliedros, entre otros, el 2 y el 3.
• Cuerpos de revolución: Son el resultado del giro de una figura plana en torno
a un eje. Por ejemplo, el 1 y el 6 de arriba.
Cuerpos geométricos
5
1 Señala, entre los cuerpos de arriba, dos poliedros
(aparte del 2 y el 3).
2 Entre los cuerpos de arriba, señala dos cuerpos de re-
volución (aparte del 1 y el 6).
Actividades
2
10
10
1
3
4 5
6
7
8
9
Atención
Atención
Las figuras 4 y 10 no son poliedros,
pues sus caras no son polígonos, ni
cuerpos de revolución, pues no se
pueden obtener al hacer girar una fi-
gura plana.
Geometría y civilización
Un grupo de personas tuvieron un
naufragio. Se salvaron y llegaron a
una playa de una isla desconocida.
Iban exhaustos y atemorizados.
Observaron que en la arena había
dibujadas unas figuras geométricas.
Uno de los náufragos, discípulo de
Platón, al verlas exclamó con alegría:
“¡Ánimo! Aquí viven personas civili-
zadas”.

141
UNIDAD
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Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se
llaman poliedros.
• Caras del poliedro son los polígonos que lo forman.
• Aristas son los lados de las caras. En cada arista se
juntan dos caras.
• Vértices del poliedro son los vértices de las caras. En
cada vértice concurren tres o más caras.
prismas
Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, lla
prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, lla
prisma -
mados bases, y varios paralelogramos llamados caras laterales.
Si las bases son polígonos regulares y las caras laterales son rectángulos, el
prisma se llama
prisma se llama
prisma regular.
Los prismas cuyas caras son todas rectángulos se llaman ortoedros.
pirámides
Una pirámide es un poliedro que tiene
por base un polígono cualquiera y por
caras laterales triángulos con un vértice
común, que se denomina vértice de la
pirámide.
Una pirámide es regular cuando la base
regular cuando la base
regular
es un polígono regular y el vértice se
proyecta sobre el centro de ese polígono.
poliedros regulares
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y
regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y
regular
en cada vértice concurren el mismo número de caras.
Poliedros
6
No te confundas
No te confundas
Este poliedro no es regular, porque
en unos vértices concurren tres trián-
gulos, y en otros, cuatro.
PRISMA
PENTAGONAL
REGULAR
ORTOEDRO
PIRÁMIDE
CUADRANGULAR
REGULAR
TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO
1 Describe los poliedros siguientes:
nombre, cómo son sus caras y
cuántas tienen, número de aristas,
de vértices…
Actividades
A B C

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altura
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
altura generatriz
BASE
VÉRTICE
142
Los cuerpos de revolución se originan haciendo girar una figura plana alrededor
de un eje.
cilindros
Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por un rectángulo que gira
alrededor de uno de sus lados.
conos
Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo
que gira alrededor de uno de los catetos.
esferas
Una esfera es un cuerpo
esfera es un cuerpo
esfera
de revolución generado
por una circunferencia
que gira alrededor de cual-
quiera de sus diámetros.
Cuerpos de revolución
7
1 Utilizando las pala-
bras cilindro, cono
y esfera, describe
los siguientes cuer-
pos geométricos:
Actividades
A B C D E

143
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143
■Polígonos y circunferencia
1 Di cuáles de estos triángulos son:
a) Acutángulos.
b)Rectángulos.
c) Obtusángulos isósceles.
A
B
E
D
F
G
C
H
2 Di cómo son, según sus lados y según sus án-
gulos, los triángulos siguientes:
A B
D
C
3 Ponle nombre a cada uno de los cuadriláteros
que aparecen a continuación:
A
E
F
G
H
I
B
D
C
4 Clasifica los polígonos siguientes en regulares
y no regulares:
E
F
G
A B
D
C
5 Dibuja un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y
6 cm, y traza sus alturas. ¿Cómo se llama el punto
donde se cortan? Traza también sus medianas.
6 Si dibujas dos segmentos que sean perpendi-
culares en sus puntos medios y unes sus extremos,
obtienes un cuadrilátero. ¿De qué tipo es?
Hazlo en tu cuaderno:
a) Para dos segmentos de distinta longitud.
b)Para dos segmentos de igual longitud.
7 Dibuja dos segmentos que se corten en sus
puntos medios y no sean perpendiculares. Une sus
extremos y di qué tipo de cuadrilátero se obtiene:
a) Si los dos segmentos son de igual longitud.
b)Si los dos segmentos son de distinta longitud.
8 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y
un triángulo cuyos lados sean: uno secante a la cir-
cunferencia, otro tangente y otro exterior.
9 Uniendo listones de madera, mediante torni-
llos y palomillas, podemos construir distintos polí-
gonos. Observa que el triángulo (Fig. A) es rígido,
es decir, indeformable:
Sin embargo, el rombo (Fig. B) se puede deformar.
Pero si le añadimos un listón (Fig. C), coincidiendo
con una diagonal, se hace rígido. Es decir, lo hemos
fijado:
a) ¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma-
ble cada una de estas figuras?
b)¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma-
ble un polígono de n lados?
UNIDAD
12
Fig. A
A B C D
Fig. C
Figura B

144
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144
■Cuerpos geométricos
10 Observa estos cuerpos:
1 2
3
4
5
6
7
8
9
a) ¿Cuáles son poliedros?
De ellos, nombra los prismas y la pirámide.
b)¿Hay alguno que no sea prisma ni pirámide?
c) ¿Cuáles son cuerpos de revolución?
Nómbralos.
d)¿Hay alguno que no sea poliedro ni cuerpo de
revolución?
11 ¿Cuáles de las figuras siguientes son cuerpos
de revolución? ¿De cuáles conoces el nombre?
12 Al girar cada una de las figuras siguientes en
torno al eje que se indica se genera una figura de las
del ejercicio anterior. Identifícala.
A B C D E
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Identifica y nombra los cuadriláteros que:
a) Tienen todos los ángulos iguales.
b) Tienen los lados opuestos paralelos.
c) No tienen los lados opuestos paralelos.
d) Tienen los cuatro lados iguales.
e) Tienen solo dos lados paralelos.
2 Di qué polígonos son regulares y escribe sus nombres:
3 a) Dibuja dos circunferencias tangentes interiores.
b) Dibuja una recta tangente a las dos circunferencias.
c) Dibuja otra recta tangente a una circunferencia y se-
cante a la otra.
4 De los siguientes cuerpos geométricos, determina cuáles
son poliedros; cuáles, cuerpos de revolución, y cuáles,
ninguno de los dos.
Pon nombre a los que conozcas.
A
C
D
E G
H
B F
F
A
B
C E G
D H
I
J
K
L
H
A
D
G
E
I
M
F
O
N
C
K
J
B

145
Egipcios y babilonios demostraron una cierta des-
treza calculando áreas de polígonos y volúmenes de
algunos cuerpos (a esto lo llamaban cubatura de mon-
tones). Para hallar las áreas de polígonos regulares, a
tones). Para hallar las áreas de polígonos regulares, a
tones
partir de las longitudes de sus lados, utilizaban fór-
mulas obtenidas experimentalmente. Por ejemplo,
los babilonios calculaban el área de un pentágono
regular mulitplicando el cuadrado de su lado por
1 + 43/60, que es una buena aproximación.
Los griegos, sin embargo, obtuvieron fórmulas para
el cálculo de áreas y volúmenes mediante un proceso
deductivo. La culminación llegó con Arquímedes,
que supo obtener áreas y volúmenes de figuras curvas
mediante un método muy sofisticado.
Es interesante cómo fue variando el valor asignado
a π (la relación entre la longitud de una circun-
ferencia y su diámetro): los egipcios estimaron
para π el valor 3,16; los babilonios, 3 + 1/8 = 3,125;
y Arquímedes lo situó entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70,
es decir, aproximadamente 3,141.
¿Por qué se le llamó así, π, a este número? Viene de
la palabra perifereia que, por ser griega, empieza por la
perifereia que, por ser griega, empieza por la
perifereia
letra π (la correspondiente a nuestra P). Esta palabra
significa circunferencia (la periferia de un círculo).
Pero el nombre π no se lo dieron los griegos, sino que
se empezó a usar a comienzos del siglo xviii.
13Áreas
y perímetros
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DEBERÁS RECORDAR
■ Qué son mediciones directas e indirectas.
■ No existe relación entre el perímetro y el área de
una figura.

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Rectángulo
Tanto el área como el perí-
metro de un rectángulo son
muy conocidos.
Cuadrado
Un cuadrado es un rectángulo con todos
los lados iguales. Por tanto:
Paralelogramo cualquiera
Al suprimir en el paralelogramo
el triángulo de la izquierda y
ponerlo a la derecha, se obtiene
un rectángulo de dimensiones
a Ò b.
El perímetro, P = 2b + 2c, no guarda relación con el área. Hay muchos parale-
logramos con el mismo perímetro, pero con distinta área:
4 cm
5
c
m
7 cm 7 cm 7 cm
1 cm
5 cm
3 cm
5
c
m
Medidas en los cuadriláteros
1
1 Calcula el perímetro y el área de una habitación rec-
tangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.
2 Mide las dimensiones de una página de este libro.
¿Cuántos metros cuadrados de papel se necesitan para
hacer el libro completo, sin contar las tapas?
3 ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de
área?
4 Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superfi-
cie y 4 m de base.
5 Halla el área y el perímetro de
estos dos paralelogramos. Obser-
va que, aunque el segundo es un
rombo, su área se puede calcu-
lar como la de un paralelogramo
cualquiera.
Actividades
b
a
c a
b
a
b
área A = a · b
perímetro P = 2a + 2b
l
área A = l2
perímetro P = 4l
paralelogramo de
lados b y c y altura a
c a
b
área A = a · b
perímetro P = 2b + 2c
Cálculo mental
Cálculo mental
Halla el área de este paralelogramo:
3,2 cm
4 cm
10 cm
Y ahora, ya que conoces el área, ¿sa-
brías calcular la otra altura? Es decir,
la distancia entre los otros dos lados.
a
4 cm
10 cm
Cálculo mental
Cálculo mental
Di el área de este
rectángulo:
4 cm
2,5 cm
Cálculo mental
Cálculo mental
¿Cuál es el lado de este
cuadrado cuya área co-
nocemos?
81 cm2
l ?
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
6 m
6 m
6 m
6 m
6 m
6 m
6 m
6 m
6 m
5 m
5 m
5 m

147
UNIDAD
13
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6 Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:
a) b)
c) d)
24 m
5 m
11 m 13 m
13 m
25 m
20 m
23 m
13 m
28 m
43 m
37 m
14,4 m
16
m
24 m
24 m
7 Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de
longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos
lados paralelos es 45 m.
¿Cuál es la superficie de la parcela?
8 Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm.
Halla su área.
9 La diagonal de un cuadrado mide 15 cm.
Halla su área.
Actividades
Rombo
Puesto que el rombo es un paralelogramo, su área se puede calcular como se ha
descrito en el apartado anterior:
A = l · a (a es la distancia entre dos lados opuestos).
También se puede calcular conociendo sus diagonales.
Área del rectángulo morado: Arectángulo = d · d'
Área del rombo: Arombo =
Arectángulo
2
Trapecio
A los lados paralelos de un trapecio se les
llama bases (b base mayor, b' base me-
nor). A la distancia entre las bases se le llama
altura, a.
Si a un trapecio le adosamos otro igual,
se obtiene un paralelogramo de base
b + b' y altura a.
rombo de lado l
y diagonales d y d'
d
l
d'
d · d'
área A = —
2
perímetro P = 4l
l a
l a
l a
l a
l
d
d'
a
b
b'
b + b'
Atrapecio =
Aparalelogramo
2
= (b +
b +
b b') · a
2
Cálculo mental
Cálculo mental
• Las diagonales de un rombo miden
6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?
• La diagonal de un cuadrado mide
4 dm. ¿Cuál es su área?
Cálculo mental
Cálculo mental
Las bases de un trapecio miden 13 cm
y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su
área?

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Observa: si a un triángulo le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo.
Por tanto, el área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo.
b
a
Si el triángulo es rectángulo, los dos catetos son perpendiculares. Tomando uno
de ellos como base, el otro es la altura. Por tanto, el área se puede calcular de dos
maneras:
a
c
c'
h
A = h · a
2
c
c' h
A = c ·
c ·
c c'
2
Área de un triángulo
2
Cálculo mental
Cálculo mental
Halla el área de este triángulo:
5 m
6 m
Notación
Notación
c y c' son los catetos.
h es la hipotenusa.
a es la altura sobre la hipotenusa.
Atriángulo =
Aparalelogramo
2
= b ·
b ·
b a
2
1 Halla el área de una parcela
triangular de la que conoce-
mos un lado, 20 m, y su altura,
13 m.
2 Halla el área de este
triángulo:
3 Halla el área de un triángulo equilátero de 40 m de
lado y 34,64 m de altura.
4 De un triángulo rectángulo conocemos los tres lados:
c = 18 cm,
c = 18 cm,
c c' = 24 cm y h = 30 cm.
c' = 24 cm y h = 30 cm.
c'
a) Calcula su área.
b) ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?
Actividades
13 m
20 m
240 m
50 m
1. Los dos catetos son los lados menores.
El área es, pues: A = c ·
c ·
c c'
2
= 15 · 20
2
= 150 cm2
El área también se puede calcular así:
A = 25 · a
2
Como A = 150 8 25 · a
2
= 150 8 25 · a = 300
a = 300
a 8 a =
a =
a 300
25
= 12 cm
La altura sobre la hipotenusa mide 12 cm.
2.
A = 10 · 8,66
2
= 43,3 cm2
El área es 43,3 cm2.
1. Calcular el área del triángu-
lo rectángulo de lados 15 cm,
20 cm y 25 cm. Calcular la al-
tura sobre la hipotenusa.
2. Hallar el área de un triángu-
lo equilátero de lado 10 cm y
8,66 cm de altura.
25 cm
20 cm
15
cm
20 cm
a
25 cm
1
5
c
m
10 cm
8,66
cm

149
UNIDAD
13
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Para hallar el área de un polígono cualquiera, se descompone en triángulos y se
calcula el área de cada uno de los triángulos.
Sin embargo, para los polígonos regulares se puede proceder de forma más sen-
cilla.
Área y perímetro de un polígono regular
Si el polígono es regular, se puede descomponer en tantos
triángulos iguales como lados tiene el polígono.
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
Cálculo mental
Cálculo mental
Halla el área y el perímetro de este
cuadrilátero irregular:
4 m
3 m
13 m
1
2
m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
Notación
Notación
a es la apotema del polígono regular.
Cálculo mental
Cálculo mental
Halla el área y el perímetro de este
cuadrilátero irregular:
Medidas en los polígonos
3
área del polígono =
= Suma de las áreas de
los triángulos
a
l
A = n veces l · a
2
= Perímetro · a
2
n es el número de lados y, por tanto, n · l = Perímetro.
1 Copia este polígono, continúa descomponiéndolo en
triángulos y toma en ellos las medidas necesarias para
calcular sus áreas. Halla, así, el área total.
1,7 cm
4 cm
1,4 cm
1,4 cm
2,7 cm
2 El lado de un octógono regular mide 15 cm, y su apo-
tema, 18 cm. Halla su área.
3 Recuerda que en el hexágono regular la longitud del
lado es igual a la longitud del radio de la circunferen-
cia circunscrita.
Dibuja un hexágono regular cuyo lado tenga una
longitud l = 4 cm.
Comprueba que su apotema mide, aproximadamente,
3,5 cm.
Calcula su área.
4 Calcula el área de la siguiente figura:
60 m
20
m
12
m
Actividades

150
150
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l = πd = 2πr
El número π (pi) vale, aproximada-
mente, 3,14 ó 3,1416.
d
Perímetro del círculo
El perímetro de un círculo es la longitud de su circunferencia. Sabemos que la
longitud de una circunferencia es algo más de tres veces su diámetro.
l
d d d
Longitud de la circunferencia = 3,14 veces su diámetro 8 l = πd = 2πr
Área del círculo
Descomponemos el círculo en muchos triángulos, como si
fuera un polígono regular de muchos lados.
Perímetro = 2πr
r
Si los sectores son muy finos, son prácticamente triángulos. Su altura es r.
La suma de todas sus bases es el perímetro
del círculo, 2πr. Por tanto, su área es:
l
El número π
mente, 3,14 ó 3,1416.
Medidas en el círculo
4
1 Halla la superficie y el perímetro
del recinto marrón:
2 Calcula el perímetro y el área de
esta figura:
Actividades
A = 2πr ·
r ·
r r
2
= πr2
Ejercicio resuelto
I. Estas dos circunferencias se llaman concéntricas, porque tienen el mismo
centro. La región comprendida entre ellas se llama corona circular. Su área
es la diferencia de las áreas de los dos círculos.
A = π · 52 – π · 32 = 16π = 50,26 cm2
El perímetro del recinto es la suma de las longitudes de las dos circunferen-
cias: P = 2π · 5 + 2π · 3 = 16π = 50,26 cm
Curiosamente, su área en centímetros cuadrados coincide con su perímetro
en centímetros. Es, simplemente, una casualidad.
II. Aunque la forma sea distinta, tanto su área como su perímetro coinciden
con los del recinto anterior.
Hallar el área y el perímetro de
los recintos coloreados.
3 cm
5
c
m
3 cm
I II
5
c
m
5
c
m
5
c
m
20 m
20 m
40
m
40 m

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■Áreas y perímetros de figuras
sencillas
Halla el área y el perímetro de cada una de las figu-
ras coloreadas en los siguientes ejercicios:
1 a) b)
2 a) b)
3 a) b)
4 a) b)
5 a) b)
6 a) b)
7 a) b)
8 Averigua cuánto mide la altura de un rectán-
gulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.
9 Halla el área de un trapecio cuyas bases miden
12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.
10 Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm
y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm.
Calcula el perímetro y el área de la figura.
11 Los lados de un triángulo rectángulo miden
15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura
sobre la hipotenusa.
12 Calcula el área y el perímetro de un hexágono
regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.
■Medir y calcular áreas y perímetros
En cada una de las siguientes figuras coloreadas ha-
lla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que me-
dir algún elemento (lado, diagonal, radio…).
13 a) b)
14 a) b)
15 a) b)
5 dm
5 cm
4 cm
8 cm
2 cm
8 m
17 m
15 m
5 m
5 dm
11 dm
7
dm
5
mm
9,2 dm
10 mm
15 hm
28 hm
6 cm
18 cm
9,5 cm
5,4 hm
5,4 hm
30 mm
57 mm
3
0
,4
m
m
47 mm
2,1
cm
3
c
m
4 dam
6 km
5
d
a
m
9 dam
7
,
2
c
m
6 cm 12 cm
20 cm
1
5
c
m
36 cm
43 cm
UNIDAD
13

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■Áreas y perímetros menos sencillos
16 Calcula el área y el perímetro de las figuras
coloreadas.
Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas
en los siguientes ejercicios:
17 a) b)
18 a) b)
19 a) b)
c) 5 m
2
,
5
m
7 cm
b)
54 m
40 m
a)
49 m
31 m
35 m
37 m
15
m
15
m
15
m
8 m
7 mm
120°
3 km
9,9 km
8 mm
4 km
1 m
0,5 m 5 hm 7 hm
8,6 hm
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Calcula el área y el perímetro de cada una de las siguien-
tes figuras:
2 Halla el área de este campo:
3 Halla el área y el perímetro de cada una de las cuatro
parcelas de este jardín circular de 16 m de diámetro:
a)
5
cm
7
c
m
1
2
,
5
c
m
10 cm
b) 17 cm
12
cm
20,5 cm
c)
1
5
c
m
22 cm
28 cm
12
cm
12
cm
12
cm
d)
56
m
106 m
90 m
e) 5 cm
6
cm
4 cm
f)
16 m
11
m
g)
16 cm
10 cm
120°
60 m
6
5
m
420m
425 m
2
5
m
Ten en cuenta que 120° es la tercera
parte de 360°.

153
Seguramente, todos hemos jugado a los barquitos.
Los barcos se colocan en un tablero cuadriculado y a
cada cuadrito se le designa por la fila y la columna en
que se encuentra.
En el ajedrez, las jugadas se anotan del mismo modo:
primero, la pieza que se mueve y, después, la casilla
a la que se dirige. Y esa casilla se designa mediante la
fila y la columna que ocupa.
Un método parecido ha sido una de las grandes ideas
matemáticas de la historia. En el siglo xvii, el filóso-
fo y matemático francés Descartes decidió designar
cada punto del plano mediante dos números:
Esta idea, que parece tan sencilla, permitió tratar la
geometría con herramientas de la aritmética y del ál-
gebra, lo que simplificó mucho las cosas a los mate-
máticos.
Los dos números que describen cada punto se llaman
sus coordenadas cartesianas. En aquella época los cien-
tíficos escribían en latín, por lo que Descartes firmaba
Cartesius. De este modo, todo lo relativo a Descartes
se denomina cartesiano.
14Tablas y
gráficas
4
2 (4, 2)
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se representan puntos en la recta
numérica.
■ En qué consiste el proceso estadístico.
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Ejercicio resuelto
154
En un sistema de ejes cartesianos:
• El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
• El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
• El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Cada punto del plano se designa por sus dos coordenadas:
• La primera coordenada se llama “x del punto” o abscisa.
• La segunda coordenada se llama “y del punto” u ordenada.
Coordenadas cartesianas
1
1 Representa el punto P(3, 5) y otro punto Q cuyas
Q cuyas
Q
abscisa y ordenada sean las mismas de P pero cam
P pero cam
P -
biadas de orden.
2 Da las coordenadas de los siguientes puntos:
C
C B
A
D
E
G
F
H
3 Representa estos puntos. Une cada uno de ellos con el
siguiente y el último con el primero.
A(3, 1), B(9, 1), C(9, 5), D(11, 5), E(8, 7),
F(4, 7), G(1, 5), H(3, 5).
A
A(3, 1)
(3, 1)
Dibújale a la casa una puerta rectangular y escribe las
coordenadas de sus vértices.
Actividades
Y
Y
EJE DE
ORDENADAS
EJE DE
ABSCISAS
X
P(x, y)
y)
y
y
x
O
O
Los puntos que están en el eje Y tienen su abscisa igual a 0:
A(0, 3)
Los que están a la derecha del eje Y tienen su abscisa positiva, B(3, 2), y los
que están a la izquierda tienen su abscisa negativa, C(–3, 2).
La ordenada de los puntos que están en el eje X es 0:
D(–2, 0), E(3, 0)
Los que están por encima del eje X tienen su ordenada positiva, B(3, 2),
C(–3, 2), y los que están bajo el eje X tienen su ordenada negativa:
F(–2, –4), G(4, –2)
Determinar la abscisa y la orde-
nada de los siguientes puntos:
C
C
D
D
F
F
A
X
Y
B
B
O
E
E
G
G

155
UNIDAD
14
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Información mediante puntos
2
Observa a los miembros de esta familia:
En el diagrama cartesiano que hay en el margen, cada uno de ellos está representado
mediante un punto. Sus coordenadas son la edad y la estatura.
Como el hijo mayor, Bernardo, es el más alto, el punto que lo representa, el B,
es el que tiene mayor ordenada. Su edad, sin embargo, es la tercera (solo supera
a D 8 David y, un poco, a C 8 Cristina).
Cristina y Flora tienen la misma estatura: los puntos C y F tienen la misma orde-
nada. Sin embargo, la edad de F (abscisa) es mucho mayor que la de C.
David, el hijo pequeño, es el menor tanto en estatura como en edad. Por eso, su
punto, el D, es el que está más cerca de los dos ejes.
Para interpretar los puntos de un diagrama cartesiano en el que se refleja una
situación real, es fundamental atender al significado de cada uno de los dos
ejes coordenados.
1 Asigna una edad (en años) y una estatura (en centíme-
tros), aproximadamente, a cada uno de los seis miem-
bros de la familia anterior. Di cuáles son las coordena-
das de los puntos A, B, C,
C,
C D, E y
E y
E F.
F.
F
2 Realiza una gráfica de las mismas características, edad
en el eje X y estatura en el eje Y, con los miembros
de alguna familia que conozcas.
3 Asigna un punto (M
signa un punto (M
signa un punto ( ,
M,
M N,
N,
N P o Q) a cada uno de los
Q) a cada uno de los
Q
vehículos siguientes:
Actividades
Antonio Bernardo Cristina David Edelmira Flora
A
B
C
D
F
E
ESTATURA
EDAD
M
N
Q
P
VELOCIDAD
PRECIO
I
III
II
IV

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Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama “variable x”
o “variable independiente”. La que se representa en el eje vertical, “variable
y” o “variable dependiente”.
La variable y es función de la variable x.
Para interpretar una gráfica, hemos de mirarla de izquierda a derecha, ob-
servando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable
independiente, x.
Interpretación de gráficas
3
1 Estos son los recorridos de Marta y María para ir de sus casas al colegio:
Actividades
VARIABLE
DEPENDIENTE (y
(y
( )
y)
y
VARIABLE
INDEPENDIENTE (x)
x)
x
FUNCIÓN
1. La variable independiente, x, nos da el tiempo en minutos de cada llamada.
Cada 2 cuadritos es 1 minuto.
La variable dependiente, y, es el coste en euros de cada llamada. Cada 5
cuadritos es 1 €. Por tanto, 1 cuadrito equivale a 20 céntimos.
La cuota de establecimiento de llamada es de 40 céntimos (dos cuadritos en
el eje Y ), pues aunque la llamada no dure nada, eso (40 céntimos) es lo que
Y ), pues aunque la llamada no dure nada, eso (40 céntimos) es lo que
Y
hay que pagar.
Cada minuto de conexión, la llamada cuesta 20 céntimos más.
2. La variable x da la edad en años de Ramón. Cada 2 cuadritos son 1 año.
x da la edad en años de Ramón. Cada 2 cuadritos son 1 año.
x
La variable y da su peso en kilogramos. Cada 2 cuadritos son 10 kg.
y da su peso en kilogramos. Cada 2 cuadritos son 10 kg.
y
Ramón ha ido ganando peso con la edad.
A los 7 años, pesaba algo más de 25 kg. Estuvo algo desmejorado y perdió
peso, pero se recuperó en menos de 1 año.
Su peso se estabilizó entre los 10 y los 11 años y medio (35 kg). Pero ahí dio
el estirón. Creció mucho y aumentó su peso.
Ahora, con 14 años, pesa 60 kg.
1. El coste de las llamadas tele-
fónicas viene dado por la si-
guiente gráfica. Descríbela.
1
1 min
1 min
20 céntimos
20 céntimos
2 3 4 5 6
1
TIEMPO
TIEMPO (min)
(min)
COSTE (€)
2. La siguiente gráfica muestra
el peso de Ramón desde que
nació hasta ahora. Describirla
con palabras:
10
20
30
40
50
60
70
PESO (kg)
EDAD
EDAD (años)
(años)
5 10
TIEMPO (min)
DISTANCIA (m)
5
100
600
500
300
400
200
MARTA
MARTA
TIEMPO (min)
DISTANCIA (m)
5 10 15
100
600
500
300
400
200
MARÍA
MARÍA
Describe cada uno de los dos des-
plazamientos. Di cuáles son las va-
riables, a qué distancia del colegio
se encuentra la casa de cada una de
ellas y cuánto tarda cada una desde
su casa al colegio.

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Distribuciones estadísticas
4
n.º de hermanos frecuencia
0 4
1 16
2 9
3 6
4 1
5 0
estación
cumpleaños
frecuencia
primavera 8
verano 6
otoño 9
invierno 13
Se ha realizado una encuesta a un grupo de 9 amigos.
1.a PREGUNTA: ¿Cuántos hermanos o hermanas tienes?
RESPUESTAS: 1, 3, 2, 0, 1, 3, 4, 2, 3
2.a PREGUNTA: ¿En qué estación del año es tu cumpleaños?
(PRIMAVERA, P; VERANO, V; OTOÑO, O; INVIERNO, I).
RESPUESTAS: P, V, V, I, V, P, O, I, O
El número de hermanos es una variable estadística cuantitativa, pues toma
valores numéricos: 0, 1, 2, 3, 4 ó 5.
La estación en que es el cumpleaños es una variable estadística cualitativa, pues
los valores que toma son no numéricos: PRIMAVERA, VERANO, OTOÑO e INVIERNO.
Una variable estadística se llama cuantitativa cuando toma valores numéri-
cos, y cualitativa, cuando toma valores no numéricos.
Las respuestas a cada una de las dos preguntas forman una distribución estadís-
tica. La primera es una distribución con variable cuantitativa, y la segunda, con
variable cualitativa.
Tablas de frecuencias
Las dos preguntas anteriores se les han hecho a los 36 alumnos de una clase.
Resultados:
Estas formas de dar los datos se llaman tablas de frecuencias. En la primera de
ellas, la frecuencia de “3 hermanos” es 6. Lo expresamos así: f (3) = 6. Se lee así:
“frecuencia del 3 es 6”. Análogamente, f (4) = 1.
Y en la segunda tabla, f (primavera) = 8.
• El número de veces que se repite cada valor de la variable se llama frecuencia
de ese valor. También se llama su frecuencia absoluta.
• La proporción de veces de cada valor se llama su frecuencia relativa. Es el
cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos.
1 Di la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de los
6 valores de la variable de la primera tabla.
2 Di la frecuencia absoluta y la relativa de los cuatro
valores de la variable (P, V, O, I) de la segunda tabla.
Actividades
Tipos de variables
Tipos de variables
Tipos de variables
Di si es cualitativa o cuantitativa cada
una de las variables siguientes:
— Deporte preferido.
— Número de calzado.
— Estatura.
— Estudios que quieres seguir.
— Nota de matemáticas en el último
examen.
Frecuencias absoluta y relativa
Hay 4 chicos que son hijos únicos,
pues la frecuencia de 0 es 4.
La frecuencia de 1 es 16. Significa
que 16 chicos de la clase solo tienen
un hermano o hermana.
f(0) = 4; f(1) = 16
Las correspondientes frecuencias re-
lativas son:
fr(0) = 4
36
; fr(1) = 16
36

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Parámetros estadísticos
5
media
Para resumir los resultados de la distribución estadística siguiente,
número de hermanos: 1, 3, 2, 0, 1, 3, 4, 2, 3
utilizamos la media o promedio: se halla sumando los datos y dividiéndolos
media o promedio: se halla sumando los datos y dividiéndolos
media
por el número de ellos.
media =
media =
media 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 4 + 2 + 3
9
= 19
9
= 2,11
La media de esas 9 cantidades es 2,11.
mediana
Para hallar la mediana de la distribución anterior, ordenamos los datos de
mediana de la distribución anterior, ordenamos los datos de
mediana
menor a mayor, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4. La mediana es la de en medio:
mediana = 2
mediana = 2
mediana
moda
En una distribución estadística, se llama moda al dato que aparece más veces;
moda al dato que aparece más veces;
moda
es decir, el que tiene mayor frecuencia. En la distribución anterior, moda = 3.
moda = 3.
moda
Se puede obtener la moda de una variable sea esta cualitativa o cuantitativa.
Por ejemplo, en la distribución siguiente,
estación del cumpleaños: P, V, V, I, V, P, O, I, O
la moda es V, porque está 3 veces y las demás están menos de 3 veces.
1 Estos son los resultados al tirar 10 veces un dado:
1, 5, 3, 1, 2, 6, 4, 1, 4, 3
a) La variable, ¿es cualitativa o cuantitativa?
b) Halla la media, la mediana y la moda.
2 Estos son los deportes preferidos por 10 alumnos
(F: fútbol, BC: baloncesto, T: tenis, BM: balonmano):
BC, F, F, F, BM, F, BC, T, T, F
a) La variable, ¿es cualitativa o cuantitativa?
b) Di cuál es la moda.
Actividades
1. Hallar la media, la mediana y
la moda de la siguiente distri-
bución:
4, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 10
2. Hallar la media, la mediana y
la moda de esta distribución:
I, V, P, O, V, O, P, P, I, V, P
Media
Media
La media de varias cantidades es la
suma de todos los valores dividida
por el número de ellos que hay.
Mediana
Mediana
Se llama mediana de un conjunto de
datos numéricos ordenados al que
ocupa el valor central. Si hay un nú-
mero par de datos, es el promedio de
los dos centrales.
Moda
Moda
La moda es el dato con mayor fre-
cuencia.
1. • media =
media =
media 4 + 6 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 10
8
= 8,125
• Los valores están ordenados. Los dos datos centrales son 8 y 9. Por tanto,
la mediana es el promedio de ellos: mediana = 8,5.
mediana = 8,5.
mediana
• El valor que está más veces es el 10: moda = 10.
moda = 10.
moda
2. Cuando la variable es cualitativa, no se pueden hallar ni la media ni la me-
diana. La moda es P.
moda =
moda =
moda P (primavera)

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Gráficos estadísticos
6
Las representaciones gráficas sirven para captar, de un solo golpe de vista, las
características más sobresalientes de una distribución de datos.
Hay muchos tipos de representaciones gráficas. Vamos a ver las de uso más fre-
cuente.
Diagrama de barras
1 2 3 4 5 6 MERCEDES AUDI SEAT OPEL RENAULT FORD
N.° DE VECES QUE SE ECHA
GASOLINA, EN UN MES, A 50 COCHES.
MARCA DE LOS PRIMEROS
50 COCHES VISTOS UN CIERTO DÍA.
El diagrama de barras está formado por barras finas. Sirve para representar
tablas de frecuencias de variables cualitativas, o bien cuantitativas que tomen
pocos valores. Las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias
correspondientes.
Histograma
El histograma está formado por rectángulos anchos que se adosan unos
a otros. Sirve para representar variables cuantitativas que tomen muchos va-
lores diferentes. Las áreas de las barras son proporcionales a las frecuencias
correspondientes.
Impotante
Impotante
Impotante
Las tablas de datos estadísticos y las
representaciones gráficas son lengua-
jes, formas de dar información suma-
mente eficaces, pues lo que se dice
mediante ellas “entra por los ojos”.
Procura mirar con atención las grá-
ficas y las tablas para captar todo lo
que te “dicen”.
155 160 165 170 175 185
180 0 5 10 15 20 25 30
ESTATURAS DE LAS ALUMNAS
Y LOS ALUMNOS DE UNA CLASE.
NÚMERO DE FALTAS DE ORTOGRAFÍA
COMETIDAS POR LAS ALUMNAS
Y LOS ALUMNOS EN UN DICTADO.
155 160
Todos los alumnos
cuyas alturas estén
comprendidas entre
155 cm y 160 cm.

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Polígono de frecuencias
El polígono de frecuencias se utiliza para representar variables cuantitati-
vas. Se construye uniendo los extremos de las barras o los puntos medios de
los rectángulos de un histograma.
Diagrama de sectores
Las notas de los alumnos y las alumnas de un curso, en una cierta asignatura,
durante las tres evaluaciones del año, han sido:
El diagrama de sectores sirve para representar variables de cualquier tipo.
Cada sector representa un valor de la variable. El ángulo de cada sector es
proporcional a la frecuencia correspondiente.
INSUF.
INSUF.
INSUF.
SUFIC. SUFIC. SUFIC.
BIEN
BIEN
BIEN
NOTABLE NOTABLE
NOTABLE
PRIMERA EVALUACIÓN SEGUNDA EVALUACIÓN TERCERA EVALUACIÓN
SOBRES.
SOBRES.
SOBRES.
SOBRES.
N.° DE VECES QUE SE ECHA
GASOLINA, EN UN MES, A 50 COCHES.
ESTATURAS DE LAS ALUMNAS
Y LOS ALUMNOS DE UNA CLASE.
1 2 3 4 5 6 155 160 165 170 175 180 185
Utilidad
Utilidad
Los diagramas de sectores son muy
útiles para ver la evolución de una
misma variable.
Por ejemplo, podemos ver que en la
asignatura a la que se refieren los grá-
ficos de la derecha se ha ido progre-
sando a lo largo del curso.
1 Los deportes preferidos por 40 chicas y chicos entre-
vistados son:
Para representar estos datos en un diagrama de secto-
res, repartimos los 360° del círculo entre 40.
A cada individuo le corresponden 9°.
Halla el ángulo del sector que corresponde a cada de-
porte y realiza el diagrama completo.
2 Representa en un diagrama de barras la distribución
del número de asignaturas suspendidas por los alum-
nos y las alumnas de un curso:
Complétalo con un polígono de frecuencias.
Actividades
deporte frecuencia
Baloncesto 10
Balonvolea 1
Fútbol 20
Tenis 5
Ajedrez 4
n.º de suspensos frecuencia
0 6
1 12
2 8
3 5
4 3
5 1
6 1

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■Representación de puntos
1 Representa los siguientes puntos:
a) A(3, 2), B(5, 1), C(0, 2), D(5, 5), E(3, 0).
b)A(–3, 5), B(0, –6), C(–1, –3), D(3, 4).
c) A(3; 0,5), B(2; –2,5), C(0; 3,5), D(–3,5; –4,5).
2 Une cada punto con el siguiente:
A(2, 1), B(2, 3), C(3, 3), D(3, 5), E(6, 5),
F(6, 3), G(7, 3), H(7, 1), I(5, 1), J(5, 2),
K(4,5; 3), L(4, 2), M(4, 1), A(2, 1)
3 Escribe las coordenadas de estos puntos:
E
E
D
D
C
B
B
A
A
J
J
I
I
F
G
G H
H
L
L
X
X
Y
Y
K
K
Y
■Información mediante puntos
4 Los puntos P y
P y
P Q representan dos coches;
Q representan dos coches;
Q
uno de Antonio y otro de Bárbara. Di cuál es de
cada uno sabiendo que el coche de Antonio es más
caro que el de Bárbara, pero el de esta corre más.
VELOCIDAD
MÁXIMA
PRECIO
P
Q
Sitúa sobre el diagrama un punto, C, que repre
C, que repre
C -
sente el coche de Carlos, más barato y menos veloz
que el de Antonio y Bárbara. Y otro punto, D, para
el de Damián, el más veloz de todos y casi tan caro
como el de Antonio.
5 Determina cuál de los puntos de esta gráfica
corresponde al galgo y cuál al elefante:
PESO
A
B
VELOCIDAD
■Interpretación de gráficas de funciones
6 Observa el siguiente viaje
serva el siguiente viaje
serva el siguiente via en coche:
DISTANCIA (km)
TIEMPO (h)
90
60
30
1 2 3 4 5
a) ¿Cuántos kilómetros recorre en la primera media
hora?
b)¿Cuánto tiempo permanece parado en total?
c) ¿A qué distancia del punto de partida se encuen-
tra el lugar de la primera parada?
¿Y el de la segunda parada?
d)Describe paso a paso el viaje.
7 Observa este otro viaje en coche al mismo lu-
gar que el del ejercicio anterior:
DISTANCIA (km)
TIEMPO (h)
90
60
30
1 2 3 4 5
a) ¿A qué distancia da la vuelta en la primera hora?
b)¿En qué lugar se para? ¿Cuánto dura la parada?
c) ¿Cuánto tiempo estuvo el coche en marcha?
d)¿Qué le ocurrió en la primera media hora?
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■Estadística
8 Di si cada una de las siguientes variables esta-
dísticas es cuantitativa o cualitativa:
a) Deporte preferido.
b)Número de calzado.
c) Estudios que se desean realizar.
d)Nota de Matemáticas en el último examen.
e) Cantidad de libros leídos en el último mes por los
alumnos de tu clase.
9 A los estudiantes de un curso se les pregunta
por el tipo de carrera que van a estudiar. Estas son
las respuestas:
a) Representa estos datos en un diagrama de barras.
b)¿Cuál es la moda?
c) ¿Por qué esta distribución no tiene ni media ni
mediana?
10 Calcula la media, la mediana y la moda de
cada uno de estos conjuntos de datos:
a) 2, 4, 4, 41, 17, 13, 24
b)1, 3, 5, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6
c) 1, 3, 8, 9, 4, 1, 1, 7, 10, 10
11 El peso de los alumnos de una clase viene re-
flejado en el siguiente histograma:
40 PESO (kg)
45 50 55 60 65 70 75
Hay un solo alumno que pesa más de 70 kg.
a) ¿De qué color es la barra donde se ubica un alum-
no de 57 kg?
b)¿Cuántos alumnos pesan entre 60 kg y 65 kg?
c) ¿Cuántos alumnos pesan más de 50 kg?
d)¿Cuántos alumnos hay en clase?
Ingeniería 6
Medicina 4
Ciencias 6
Derecho 3
Letras 8
Informática 6
Otras 7
Autoevaluación
Autoevaluación
1 Representa los puntos A(0,5; –2), B(–3, 1), C(1/2, 2)
y D(–2, –2), en unos ejes coordenados.
2 Íker va al colegio. La siguiente gráfica describe su reco-
rrido. Explica con palabras una posible interpretación
de lo que le ha ocurrido durante el trayecto:
3 El número de tíos y tías que tienen los componentes de
un grupo de montaña son los siguientes:
3 2 0 1 3 2 4
0 5 1 3 5 3 5
2 4 7 6 1 2 3
a) Construye una tabla de frecuencias.
b) ¿Cuántas personas componen el grupo?
c) Construye un polígono de frecuencias.
4 El número de preguntas falladas en el examen teórico
de conducir de un grupo de 20 personas es:
0 2 3 1 0 1 1 2 3 2
3 2 4 0 2 2 0 2 1 1
Halla la media, la mediana y la moda.
5
A
A
B
C
D
D
E
E
10 15
100
200
300
400
500
600
TIEMPO
TIEMPO (min)
(min)
DISTANCIA (m)
C
D
E
E

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