Matemática 5º básico - Guía didáctica del docente tomo 1.pdf

Dr Fong Ho Kheong
Gan Kee Soon
Chelvi Ramakrishnan
Guía didáctica del docente - T
omo 1

Guía didáctica del docente
Tomo 1
Matemática °
Básico
5
AUTORÍA
Dr Fong Ho Kheong
PhD in Mathematics Education
University of London, Reino Unido
Gan Kee Soon
Master of Education
University of Pittsburg, Estados Unidos
Chelvi Ramakrishnan
Bachelor of Science, Mathematics
Open University, Reino Unido

PEFC/29-31-75
La Guía didáctica del docente de Matemática 5° Básico, es una obra adaptada por el Equipo Editorial
de Marshall Cavendish Education y el Departamento de Investigaciones Educativas de Santillana del
Pacífico S.A., bajo la dirección editorial de:
Phooi Qwan Leong
Rodolfo Hidalgo Caprile
© 2016 Marshall Cavendish Education Pte Ltd
Publicado por Marshall Cavendish Education
Times Centre, 1 New Industrial Road, Singapore 536196 Customer Service Hotline: (65) 6213 9444
Sitio web: www.mceducation.com E-mail: tmesales@mceducation.com
Primera publicación 2016
Adaptado del título original Math in Focus Teacher’s Edition (2015).
Distribuido en Chile por Santillana del Pacífico S.A.S. Av. Andrés Bello 2299, Providencia, Santiago (Chile).
Sitio web: www.santillana.cl
Todos los derechos reservados.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o
por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito
a los titulares del Copyright.
Marshall Cavendish es Marca registrada de Times Publishing Limited.
Matemática Guía Didáctica del Docente 5° Básico
ISBN Obra Completa: 978-956-15-3030-0 ISBN Tomo 1: 978-956-15-3031-7
Inscripción N°: 273.632
Impreso en Chile por RR Donnelley Chile
Se terminó de imprimir esta 1a edición de 9.200 ejemplares en el mes de enero del año 2017.
Subdirección editorial:
Marisol Flores Prado
Macarena Ortúzar Vergara
Coordinación Área Matemática:
Cristian Gúmera Valenzuela
Viviana López Fuster
Edición:
Melissa Silva Pastén
Autoría:
Dr Fong Ho Kheong
Gan Kee Soon
Chelvi Ramakrishnan
Colaboradores para esta adaptación:
Florencia Darrigrandi Navarro
Mirtha Seguel Riquelme
Andrea Olivares Aising
Elizabeth Sánchez Escobar
Corrección de estilo:
Carolina Ardiles Bonavía
Documentación:
Cristian Bustos Chavarría
Subdirección de diseño:
María Verónica Román Soto
Diseño y diagramación:
Mariela Pineda Gálvez
Ilustraciones:
Archivo editorial
Cubierta:
Miguel Bendito López
Producción:
Rosana Padilla Cencever

3
¿Por qué aprender matemática?
¿Por qué aprender matemática?
Comprender las matemáticas y ser capaz de aplicar sus conceptos y procedimientos
a la resolución de problemas reales es fundamental para los ciudadanos en el mundo
moderno. Para resolver e interpretar problemas y situaciones de la vida diaria, en
contextos profesionales, personales, laborales, sociales y científicos, se requiere de
un cierto nivel de comprensión de las matemáticas, de razonamiento matemático y
del uso de herramientas matemáticas.
La matemática es una herramienta fundamental que explica la mayoría de los avances
de nuestra sociedad y les sirve de soporte científico. Los aportes de la matemática
están en la base de la innovación en tecnología, ciencia, transporte y comunicaciones,
y se aplican en otras áreas, como las artes, la geografía y la economía.
Aprender matemática influye en el concepto que niños, niñas y jóvenes construyen
sobre sí mismos y sus capacidades, porque faculta para confiar en el propio
razonamiento y para usar de forma efectiva diversas estrategias para resolver
problemas significativos relacionados con su vida.
La formación matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes
abstractos y con las relaciones entre ellos, preparando a los estudiantes para
comprender el medio en que se desenvuelven, un medio en que la cultura, la tecnología
y las ciencias se están redefiniendo y haciendo más complejas permanentemente.
Esto queda de manifiesto en la cantidad de información, que contiene datos e ideas
abstractas acerca de temas económicos, técnicos y científicos, entre otros.
Fuente: Ministerio de Educación (2012). Bases Curriculares para la Educación Básica. Matemática. Santiago:
Unidad de Currículum y Evaluación.

Índice tomo 1
Texto del estudiante
› Inicio de la Guía
Los pilares de la propuesta didáctica..............................................................8
Articulación de la propuesta editorial............................................................13
Visión global del año...............................................................................................16
Propósito de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Énfasis de los OAT y actitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Desarrollo y articulación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Planificación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Orientaciones didácticas para el inicio de unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Orientaciones didácticas
Lección 1: Grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Orientaciones didácticas para la Lección 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Números hasta 100 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Números hasta 1 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Números hasta 10 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Números hasta 100 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Números hasta 1 000 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Valor posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Comparación de números hasta 1 000 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Redondeo y estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Lección 2: Multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Orientaciones didácticas para la Lección 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Multiplicación por decenas, centenas y unidades de mil . . . . . . . . . . 42
Estrategias de cálculo mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Estimación de productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Multiplicación entre números de dos cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
División por números de una cifra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Lección 3: Estrategias de cálculo y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Uso de la calculadora y el computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Otras situaciones problema con las cuatro operaciones . . . . . . . . . . 53
Lección 4: Patrones y secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Patrón de formación y secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Orientaciones didácticas para el cierre de unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Material fotocopiable
Solucionario actividades complementarias de la Unidad 1 . . . . . . . . . . . . 60
Actividades complementarias de la Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Recortable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Evaluación complementaria de la Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Solucionario evaluación complementaria de la Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . 67
Información curricular de la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Unidad 1
Guía Didáctica del Docente
Números naturales, operaciones
y patrones............................................20
Números naturales,
operaciones y patrones
1
Unidad
Activo conocimientos previos.....................................12
¿Cuánto recuerdo? Evaluación inicial..........................13
Lección 1 Grandes números....................... 15
Repaso...........................................................................................15
• Números hasta 100000...................................................16
• Números hasta 1000000...............................................20
• Números hasta 10000000.............................................24
• Números hasta 100000000..........................................29
• Números hasta 1000000000......................................33
• Valor posicional ....................................................................37
• Comparación de números
hasta 1000000000............................................................41
• Redondeo y estimación.................................................44
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 1............................48
Lección 2 Multiplicación y división............ 49
Repaso..........................................................................................49
• Multiplicación por decenas, centenas
y unidades de mil................................................................50
• Estrategias de cálculo mental......................................58
• Estimación de productos...............................................61
• Multiplicación entre números
de dos cifras............................................................................63
• División por números de una cifra...........................67
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 2.............................74
Lección 3 Estrategias de
cálculo y problemas .................................. 75
Repaso.....................................................................................75
• Operaciones combinadas..............................................76
• Uso de la calculadora y el computador................79
• Otras situaciones problema
con las cuatro operaciones...........................................81
Lección 4 Patrones y secuencias..............86
Repaso.....................................................................................86
• Patrón de formación y secuencias...........................87
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 4............................ 90
Para finalizar.............................................................................91
¿Qué aprendí? Evaluación final........................................92
Página 10
2
Unidad
Activo co
¿Cuánto
Lección 1
de longit
Repaso....
• Medició
• Transfor
de med
• Problem
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Lección 2
Repaso....
• Líneas r
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• Líneas r
• Caras y
• Lados p
¿Cómo vo
Lección 3
Repaso....
• Figuras
¿Cómo vo
Lección 4
Repaso....
• Áreas de
• Estimac
• Rectáng
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• Área de
• Área de
y de un
• Área de
¿Cómo vo
Lección 5
Repaso....
• Puntos
• Puntos
¿Cómo vo
Para final
¿Qué apr
4 Matemática • 5° Básico

Geometría y medición...................70
Propósito de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Énfasis de los OAT y actitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Desarrollo y articulación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Planificación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Orientaciones didácticas para el inicio de unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lección 1: Unidades de medida de longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Orientaciones didácticas para la Lección 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Medición de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Transformación entre unidades de medida de longitud . . . . . . . . . . . 78
Problemas de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Lección 2: Figuras 2D y 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Líneas rectas que se intersecan y que son perpendiculares . . . . . . . . 82
Líneas rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Caras y aristas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Lados paralelos o perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Lección 3: Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Figuras congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Lección 4: Área y perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Áreas de rectángulos y cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Estimación de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Rectángulos y cuadrados a partir de su área o perímetro . . . . . . . . . 96
Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Área de un paralelogramo y de un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Área de figuras compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lección 5: Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Orientaciones didácticas para la Lección 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Puntos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Puntos y figuras en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Orientaciones didácticas para el cierre de unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Solucionario actividades complementarias de la Unidad 2 . . . . . . . . . . . 106
Actividades complementarias de la Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Evaluación complementaria de la Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Solucionario evaluación complementaria de la Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . 111
Información curricular de la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Unidad 2
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Solucionario tomo 1.....................................................325
Glosario.................................................................................359
Bibliografía..........................................................................360
Números naturales,
1
Unidad
¿Cuánto recuerdo? Evaluación inicial..........................13
Lección 1 Grandes números....................... 15
Repaso...........................................................................................15
• Números hasta 100000...................................................16
• Números hasta 1000000...............................................20
• Números hasta 10000000.............................................24
• Números hasta 100000000..........................................29
• Números hasta 1000000000......................................33
• Valor posicional ....................................................................37
• Comparación de números
hasta 1000000000............................................................41
• Redondeo y estimación.................................................44
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 1............................48
Lección 2 Multiplicación y división............ 49
Repaso..........................................................................................49
• Multiplicación por decenas, centenas
y unidades de mil................................................................50
• Estrategias de cálculo mental......................................58
• Estimación de productos...............................................61
• Multiplicación entre números
de dos cifras............................................................................63
• División por números de una cifra...........................67
Lección 3 Estrategias de
cálculo y problemas .................................. 75
Repaso.....................................................................................75
• Operaciones combinadas..............................................76
• Uso de la calculadora y el computador................79
• Otras situaciones problema
con las cuatro operaciones...........................................81
Lección 4 Patrones y secuencias..............86
Repaso.....................................................................................86
• Patrón de formación y secuencias...........................87
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 4............................ 90
Para finalizar.............................................................................91
¿Qué aprendí? Evaluación final........................................92
Página 10
Geometría
y medición
2
Unidad
¿Cuánto recuerdo? Evaluación inicial......................... 99
Lección 1 Unidades de medida
de longitud................................................101
Repaso.........................................................................................101
• Medición de longitudes...............................................102
• Transformación entre unidades
de medida de longitud................................................105
• Problemas de medición...............................................109
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 1...........................113
Lección 2 Figuras 2D y 3D.......................114
Repaso.........................................................................................114
• Líneas rectas que se intersecan
y que son perpendiculares..........................................115
• Líneas rectas paralelas....................................................118
• Caras y aristas paralelas o perpendiculares......122
• Lados paralelos o perpendiculares.......................125
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 2..........................126
Lección 3 Congruencia ............................127
Repaso........................................................................................127
• Figuras congruentes.......................................................128
Lección 4 Área y perímetro.....................134
Repaso........................................................................................134
• Áreas de rectángulos y cuadrados........................135
• Estimación de áreas........................................................139
• Rectángulos y cuadrados a partir
de su área o perímetro.................................................. 141
• Área de un triángulo......................................................146
• Área de un paralelogramo
y de un trapecio................................................................150
• Área de figuras compuestas......................................153
Lección 5 Plano cartesiano......................158
Repaso........................................................................................158
• Puntos en el plano cartesiano..................................159
• Puntos y figuras en el plano cartesiano.............162
Para finalizar ..................................................................165
¿Qué aprendí? Evaluación final.....................................166
Página 96
Matemática • 5° Básico
5
Índice

Fracciones, números
decimales y álgebra
3
Unidad
Activo conocimientos previos..................................172
¿Cuánto recuerdo? Evaluación inicial.......................173
Lección 1 Fracciones y números mixtos.....175
Repaso........................................................................................175
• Fracciones propias........................................................... 176
• Fracciones equivalentes...............................................179
• Comparación de fracciones propias....................184
• Comparación de fracciones con igual
denominador y distinto denominador...............186
• Números mixtos................................................................192
• Fracciones impropias y números mixtos...........194
Lección 2 Adición y sustracción
de fracciones..........................................200
Repaso.......................................................................................200
• Adición y sustracción de fracciones
propias con igual denominador.............................201
propias con distinto denominador.......................203
• Problemas con adición
y sustracción de fracciones........................................208
Lección 3 Números decimales .................212
Repaso........................................................................................212
• Décimos................................................................................. 213
• Centésimos...........................................................................219
• Milésimos...............................................................................224
• Comparación de números decimales.................229
• Fracciones y números decimales...........................233
• Redondeo de números decimales........................236
• Adición y sustracción
de números decimales.................................................240
• Problemas con números decimales.....................250
Lección 4 Ecuaciones e inecuaciones..........253
Repaso.......................................................................................253
• Expresiones algebraicas...............................................254
• Reducir expresiones algebraicas............................258
• Ecuaciones e inecuaciones........................................261
Para finalizar..........................................................................269
Página 170
4
Unidad
Activo
¿Cuánt
Lección
Repaso
• Const
• Uso d
• Gráfic
• Lectu
de gr
• Gráfic
¿Cómo
Lección
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Repaso
• Comp
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¿Cómo
Lección
Repaso
• Const
diagra
¿Cómo
Lección
Repaso
• Result
• Comp
¿Cómo
Para fin
¿Qué a
Solucio
Glosario
Bibliogr
› Inicio de la Guía
Planificación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Orientaciones didácticas para el inicio de unidad . . . . . . . . . . . . . 118
Lección 1: Fracciones y números mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Fracciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Comparación de fracciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Comparación de fracciones con igual denominador
y distinto denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Números mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Fracciones impropias y números mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Lección 2: Adición y sustracción de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Adición y sustracción de fracciones propias
con igual denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Adición y sustracción de fracciones propias
con distinto denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Problemas con adición y sustracción de fracciones . . . . . . . . . . . . . . 133
Lección 3: Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Décimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Centésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Milésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Comparación de números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Fracciones y números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Redondeo de números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Adición y sustracción de números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Problemas con números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Lección 4: Ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Reducir expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Solucionario evaluación complementaria de la Unidad 3 . . . . . . . . . . . . . 164
Información curricular de la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Unidad 3
Fracciones, números decimales
y álgebra..............................................114
Los pilares de la propuesta didáctica..........8 Articulación de la propuesta editorial.........13 Visión global del año...........................................16
Índice tomo 2
6 Matemática • 5° Básico

Fracciones, números
decimales y álgebra
3
Unidad
Lección 1 Fracciones y números mixtos.....175
Repaso........................................................................................175
• Fracciones propias........................................................... 176
• Fracciones equivalentes...............................................179
• Comparación de fracciones propias....................184
• Comparación de fracciones con igual
denominador y distinto denominador...............186
• Números mixtos................................................................192
• Fracciones impropias y números mixtos...........194
Lección 2 Adición y sustracción
de fracciones..........................................200
Repaso.......................................................................................200
propias con igual denominador.............................201
propias con distinto denominador.......................203
• Problemas con adición
y sustracción de fracciones........................................208
Lección 3 Números decimales .................212
Repaso........................................................................................212
• Décimos................................................................................. 213
• Centésimos...........................................................................219
• Milésimos...............................................................................224
• Comparación de números decimales.................229
• Fracciones y números decimales...........................233
• Redondeo de números decimales........................236
• Adición y sustracción
de números decimales.................................................240
• Problemas con números decimales.....................250
Lección 4 Ecuaciones e inecuaciones..........253
Repaso.......................................................................................253
• Expresiones algebraicas...............................................254
• Reducir expresiones algebraicas............................258
• Ecuaciones e inecuaciones........................................261
Para finalizar..........................................................................269
Página 170
Datos y
probabilidades
4
Unidad
Lección 1 Tablas y gráficos.....................279
Repaso.......................................................................................279
• Construcción e interpretación de tablas...........280
• Uso de tablas.......................................................................282
• Gráficos de barras.............................................................285
• Lectura e interpretación
de gráficos de barras......................................................288
• Gráficos de líneas..............................................................291
Lección 2 Promedio
o media aritmética ..................................298
Repaso......................................................................................298
• Comprensión e interpretación
del promedio......................................................................299
Lección 3 Diagrama de tallo y hojas..........306
Repaso......................................................................................306
• Construcción y uso del
diagrama de tallo y hojas............................................307
Lección 4 Probabilidades .........................312
Repaso........................................................................................312
• Resultados posibles........................................................ 313
• Comparación de probabilidades............................316
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 4.......................... 319
Para finalizar..........................................................................320
Página 274
Solucionario....................................................................325
Glosario.............................................................................359
Bibliografía......................................................................360
Datos y probabilidades.................168
Planificación de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Orientaciones didácticas para el inicio de unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Lección 1: Tablas y gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Construcción e interpretación de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Uso de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Gráficos de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Lectura e interpretación de gráficos de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Gráficos de líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Lección 2: Promedio o media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Comprensión e interpretación del promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Lección 3: Diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Construcción y uso del diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . 186
Lección 4: Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Resultados posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Comparación de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Solucionario evaluación complementaria de la Unidad 4 . . . . . . . . . . . . . 199
Información curricular de la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Unidad 4
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Solucionario tomo 2....................................................344
Glosario.................................................................................359
Bibliografía..........................................................................360
7
Índice

Los pilares de la propuesta didáctica
La propuesta didáctica Matemática 5° básico, que
consta de Texto del Estudiante, Guía Didáctica del
Docente, Cuaderno de Ejercicios y Recursos Digitales
Complementarios, aborda en su conjunto los Objeti‑
vos de Aprendizaje (OA) exigidos por las Bases Curri‑
culares 2012 para este nivel escolar. Dichos OA están
orientados al aprendizaje no solo de contenidos, sino
también de las habilidades y actitudes necesarias
para el nivel. Esta propuesta también contempla los
Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT) que son
transversales a todas las asignaturas y para todos los
niveles de enseñanza básica.
Las Bases Curriculares de Matemática, Educación Bá‑
sica, 2012 explicitan los siguientes focos para la en‑
señanza de la asignatura: avanzar progresivamente
de lo concreto a lo pictórico para finalmente llegar a
un pensamiento simbólico; explorar y trabajar prime‑
ramente en ámbitos numéricos pequeños; estimular
la resolución de problemas; utilizar las herramientas
tecnológicas de informática y comunicación (TIC),
y desarrollar destrezas de cálculo. También, definen
Objetivos de Aprendizaje para la enseñanza de la
Matemática de 1° a 6° básico, los cuales se distribu‑
yen en cinco ejes temáticos: Números y operaciones,
Patrones y álgebra, Medición, Geometría y Datos y
probabilidades.
La propuesta Matemática 5° se centra en el desarrollo
del pensamiento matemático y pone fuerte énfasis en
la comprensión conceptual y en la resolución de pro‑
blemas. La secuencia de los Objetivos de Aprendizaje
que se propone en el Texto del Estudiante considera
una progresión en espiral. Asimismo, las y los estu‑
diantes van progresando de lo concreto a lo pictórico
y luego a las representaciones simbólicas (abstractas),
lo cual los ayuda a adquirir una comprensión profun‑
da de los conceptos matemáticos.
En este marco, esta Guía Didáctica del Docente tiene
por objetivo:
• Poner al servicio del docente orientaciones didácticas
para trabajar los recursos del estudiante y los recursos
digitales.
• Colaborar en el uso flexible de los recursos del estu‑
diante y del docente, de manera de trabajar en dis‑
tintos contextos y de acuerdo a diferentes ritmos
de aprendizaje.
• Hacer explícita la propuesta didáctica en la que se
basa el Texto del Estudiante.
• Proveer actividades complementarias.
• Evidenciar los Objetivos de Aprendizaje abordados
en cada unidad y subunidad del Texto, además de
sus respectivos Indicadores de Evaluación.
8 Guía didáctica del docente

Teorías del aprendizaje en las que se basa la propuesta Matemática 5° básico
LapropuestaMatemática5°básicosefundamentaenelMétodoSingapur,queasuvezseinspiraprincipalmente
en las ideas propuestas por los siguientes autores.
Jerome Bruner
• El enfoque Concreto–Pictórico–Simbólico (abs-
tracto): para el desarrollo de los conceptos, el pro‑
yectoMatemática5°básicoproponeunaprendizaje
que avanza desde el trabajo con objetos concretos
pasando por imágenes y llegando a los símbolos
abstractos. Esto se basa en el trabajo de Jerome
Bruner sobre representaciones enactivas, icónicas y
simbólicas. El refuerzo se logra volviendo y siguien‑
do hacia delante entre las representaciones.
• El enfoque en espiral: en el desarrollo de los
conceptos, además se considera que las y los
estudiantes trabajen con ideas núcleo a medida
que profundizan la comprensión de estas. Bruner
explica sobre el enfoque en espiral:“El concepto de
los números primos parece ser comprendido más
rápido cuando el niño, a través de la construcción,
descubre que ciertos puñados de porotos no se
pueden poner en filas y columnas completas. Estas
cantidades o bien se ponen en una sola fila o en
un diseño incompleto de filas y columnas donde
siempre sobra uno o falta uno para completar
el patrón. Estos patrones que aprende el niño se
llaman primos. Es fácil entonces que el niño pase
de este paso al reconocimiento de que una tabla
múltiple, como se le llama, es una hoja de registro
de cantidades en filas y columnas múltiples
completas. Aquí tenemos la factorización,
multiplicación y los primos en una construcción
que se puede visualizar”(Bruner, 1973).
Zoltan Dienes
• Variación sistemática: a lo largo del material para
el estudiante se presenta una variedad de tareas
de manera sistemática. Esto se basa en las ideas de
Zoltan Dienes (Dienes,1960).
• Variabilidad perceptual: en nuestra propuesta
se les presentan diferentes formas de percibir un
concepto, aunque el concepto matemático es
el mismo. La idea de la incorporación múltiple es
utilizar diferentes formas para representar el mismo
concepto.
Richard Skemp
• Skemp distingue entre la capacidad de realizar
una operación (por ejemplo, una división larga)
y la capacidad para explicar el procedimiento
(por ejemplo, explicar la razón para “invertir y
multiplicar” al dividir una fracción propia por otra
fracción propia). Él se refiere a lo primero como
una comprensión instrumental (o comprensión
procedimental u operativa) y a la segunda como
una comprensión relacional (comprensión
conceptual).
En nuestra propuesta se espera que la comprensión
instrumental vaya acompañada de la comprensión
relacional,porqueseconsideraquenotienesentido
aprender un procedimiento u operación sin tener
una comprensión conceptual. En este sentido, se
considera que debe existir un doble énfasis sobre
el dominio de las habilidades de procedimiento y
la comprensión conceptual.
9

Resolución de problemas como centro del aprendizaje de la Matemática
1
Matemática 5° básico ayuda a las y los estudiantes a lograr una comprensión
conceptual sólida mediante el enfoque en la resolución de problemas. Esta se‑
cuencia de temas estratégicamente articulada se va desarrollando en profundi‑
dad para lograr el dominio del marco de referencia de resolución de problemas
de matemática de acuerdo a las Bases Curriculares, apoyado en el enfoque COPI‑
SI, que distingue, asimismo, al método Singapur. Las y los estudiantes aprenden
los “porqué” y los “cómo” a través de la enseñanza, las actividades con material
concreto y la resolución de problemas que está integrada en el desarrollo de
cada lección.
De acuerdo a lo señalado en las Bases Curriculares para Matemática:“La resolución
de problemas es el foco de la enseñanza de la Matemática. Se busca promover el
desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los estudiantes
procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión
acerca de ella y de los conceptos aprendidos”(Bases Curriculares, 2012).
Por su parte, el currículum de Singapur para Matemática establece:“La resolución
de problemas matemáticos es fundamental para el aprendizaje de matemática.
Implica adquirir y aplicar conceptos y habilidades de matemática en un rango
amplio de situaciones que incluyen problemas no rutinarios, de final abierto y de
la vida real”(Mathematics Syllabus: Primary, 2006).
Razonamiento, comunicación
y asociación, destrezas de
razonamiento y heurística,
aplicaciones y representaciones
Metacognición
Actitudes
H
a
b
i
l
i
d
a
d
e
s
P
r
o
c
e
s
o
s
Resolución de
problemas de
matemática
Conceptos
Creencias, interés, apreciación,
confianza, perseverancia
Cálculo numérico, manipulación
algebraica, visualización espacial,
análisis de datos, mediciones,
uso de herramientas matemáticas,
estimación
Numéricos, algebraicos, geométricos,
estadísticos, probabilísticos y analíticos
Análisis del razonamiento propio,
autorregulación del aprendizaje
En este marco, un problema es una tarea que no
tiene un procedimiento listo para completarlo, y
que a veces puede ser nuevo o complejo. Una ta‑
rea puede ser un problema para algunas personas
y para otras no y, también, lo que es un problema
hoy puede ser un ejercicio mañana. Basado en el
Procedimiento de Newman en los problemas se
consideran seis obstáculos potenciales:
• Lectura
• Comprensión
• Conocimiento de estrategias
• Transformar, representar la situación matemáticamente
• Calcular
• Codificar, usar el resultado de los cálculos para resolver
el problema.
Fuente: www.compasstech.com.au/ARNOLD/PAGES/newman.htm

11
Para la resolución de problemas, George Polya describió algunas heurísticas (maneras de resolver problemas) que se conside‑
raron en la elaboración de nuestra propuesta. Algunas heurísticas son concretas (por ejemplo, actuación), otras son pictóricas
(por ejemplo, dibujar un modelo) y otras son más abstractas (por ejemplo, usar álgebra). Algunas heurísticas son utilizadas
para comprender un problema y formular un método para resolverlo.
Herramientas pictóricas y uso de modelos
A lo largo de Matemática 5° básico, se emplea una pro‑
gresión de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo
simbólico. Las herramientas visuales claras y atractivas que
se usan para presentar conceptos y representar soluciones
permiten que todos los estudiantes logren una compren‑
sión sólida de los conceptos.
Las Bases Curriculares señalan que la construcción de un
significado propio de la matemática:“se logra de mejor ma‑
nera cuando los estudiantes exploran y trabajan primero
manipulando una variedad de materiales concretos y di‑
dácticos. La formación de conceptos abstractos comienza
a partir de las experiencias y acciones concretas con obje‑
tos. [...] El tránsito hacia la representación simbólica es más
sólido si luego se permite una etapa en que lo concreto se
representa icónicamente, con imágenes y representaciones pictóricas, para más tarde avanzar progresivamente hacia un
pensamiento simbólico‑abstracto”(Bases Curriculares, Matemática, 2012).
Aprendizaje y práctica frecuentes
El Texto del Estudiante y el Cuaderno de Ejercicios de Matemática 5° Básico están basados en el siguiente esquema
didáctico:
• aprender conceptos y habilidades a través de lecciones visuales y de la enseñanza del docente.
• consolidar conceptos y habilidades a través de la práctica, las actividades y la metacognición.
• aplicar conceptos y habilidades a través de prácticas y desafíos para la resolución de problemas.
Metacognición
2
Buscando la motivación y la concientización de los estudiantes por su propio apren-
dizaje, el Texto del estudiante, junto con la Guía didáctica del docente, promueve la
reflexión y el cuestionamiento de cada desempeño que niños y niñas van logrando a
medida que trabajan las actividades propuestas. Además, cada sección de autoeva-
luación planteada en las evaluaciones del Texto apunta a que los estudiantes visuali-
cen sus dificultades y se vuelvan críticos respecto de sus resultados. De esta manera,
la discusión en torno a los errores y los preconceptos se vuelve una oportunidad para
aprender mejor. “El proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas apunta
al uso de una lógica dialéctica, en la que intervienen no solo los conocimientos y ha-
bilidades, sino la movilización de actitudes de descubrimiento y diálogo interno que
construyen un espíritu crítico, un análisis reflexivo y un pensamiento creativo. Para
el desarrollo de competencias metacognitivas, tan importantes son los contenidos
matemáticos como la forma en que se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje
de los mismos, al mostrar aplicaciones dentro de la disciplina en la que se inscribe
el proceso y la reflexión sobre ello” (*).
*Peñalva, L. (2010). Las matemáticas en el desarrollo de la metacognición. Política y cultura, 33, 135-151.
1
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8

En términos generales, se considera que el trabajo colaborativo es una metodología
de enseñanza basada en la creencia de que el aprendizaje y el desempeño se incre-
mentan cuando se desarrollan destrezas cooperativas para aprender, dar solución a
un problema o elaborar un plan de acción que permite enfrentar una tarea. En otras
palabras: “El aprendizaje colaborativo (cooperativo) es el uso instruccional de peque-
ños grupos, de tal forma que los estudiantes trabajen juntos para maximizar su propio
aprendizaje y el de los demás. Este tipo de aprendizaje no se opone al trabajo indivi-
dual, ya que puede observarse como una estrategia de aprendizaje complementaria
que fortalece el desarrollo global del alumno” (*). Algunas de las habilidades que los
estudiantes deben poner en práctica en estas instancias son las siguientes: apertura
al trabajo en equipo, capacidad de tener empatía con otros, valorar la diversidad y
respetar las diferencias individuales y comprometerse con la tarea y el aprendizaje.
En el Texto del estudiante se ofrecen diversas instancias de trabajo colaborativo
tendientes a poner en práctica estas habilidades.
*Collazos, C. A., Guerrero, L. y Vergara, A. (2001).
Aprendizaje colaborativo: un cambio en el rol del profesor.
Proceedings of the 3rd Workshop on Education on Computing, Punta Arenas, Chile.
Trabajo colaborativo
3
Recursos Digitales Complementarios
4
Cada actividad digital diseñada para esta propuesta didáctica está basada en los
Objetivos de Aprendizaje propios del nivel y la asignatura. Esto promueve la relación
entre el mundo impreso y el mundo digital formando un ambiente de aprendizaje
híbrido que combina un ambiente lúdico y de libre exploración para que los estudian-
tes puedan lograr aprendizajes basados en experiencias estratégicas y de juego. “Los
ambientes híbridos de aprendizaje combinan instrucción cara a cara con instrucción
mediada por las tecnologías de información y la comunicación. Detrás de esta de-
finición existe una intención de combinar y aproximar dos modelos de enseñanza-
aprendizaje: el sistema tradicional de aprendizaje cara a cara y el sistema e-learning,
con el propósito de no renunciar a las posibilidades que ofrecen ambos” (*).
*Osorio, L. (2010). Características de los ambientes híbridos de aprendizaje.
Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento, vol. 7, 1, 1-9.

Articulación de la propuesta editorial
13
Texto del estudiante Guía Didáctica del Docente
Activo conocimientos previos
Lee y comenta la siguiente información.
Los niños que conversaban en las páginas anteriores encontraron en un diario
viejo una noticia que decía que la escuela Boyeco en Temuco recibiría $1500000
para construir 8 nuevas salas de clase, incluyendo una de computación.
Esta noticia los motivó para presentar en su colegio un proyecto para remodelar
la sala de computación.
Fuente: Radio Bío Bío. En www.biobiochile.cl/noticias/2013/03/20/anuncian-proyecto-para-
remodelar-escuela-boyeco-en-temuco.shtml (fragmento y adaptación). Consultado en junio 2016.
A partir de la información anterior, responde.
• Si quieren partir por pintar la sala, ¿qué datos deben saber para calcular la cantidad de pintura que necesitan
comprar? ¿Cómo podrían obtener esta información?
• Si quieren cambiar el piso de la sala, ¿qué mediciones necesitan realizar y qué necesitan calcular para saber
la cantidad de materiales que necesitan? ¿Qué instrumentos podrían utilizar para hacer estas mediciones?
• Lee los aprendizajes de la página 96, ¿cuáles de ellos les servirán para desarrollar este proyecto?
Mis metas, estrategias y procesos
• En cursos anteriores trabajaste con medición en metros y centímetros, conociste triángulos, cuadrados,
rectángulos, círculos y líneas de simetría, y localizaste objetos. Para entender la línea de simetría, María se
imaginó que era como un espejo. ¿Qué estrategia te sirvió a ti? ¿Qué otras estrategias te ayudaron para los otros
aprendizajes? ¿Piensas que alguna de ellas te puede servir para lograr los aprendizajes de esta unidad? Comenta.
Vuelve a observar la imagen de las páginas anteriores, la situación presentada en esta página y tus respuestas.
Luego, reflexiona y responde.
• ¿Qué metas te propones al terminar esta unidad? Escríbelas y coméntalas con algún compañero o compañera.
• ¿Qué estrategias utilizarías en esta unidad para cumplir tus metas? Escribe al menos dos.
Recuerda que puedes cambiar o agregar nuevas estrategias en cualquier momento en la unidad.
Unidad 2 · Geometría y medición
98
99
Datos y probabilidades
Unidad
4
Unidad
4
Propósito de la unidad
En esta unidad se profundiza lo estudiado en
cursos anteriores respecto de los datos y la pro-
babilidad. Se trabaja con la lectura y la interpre-
tación de tablas y gráficos, además del tránsito
entre una tabla de conteo o de frecuencias y un
gráfico de barras. Asimismo, se amplía la lectura
e interpretación de los gráficos de barras sim-
ples, tanto verticales como horizontales. A par-
tir de esta interpretación, las y los estudiantes
responden preguntas y resuelven problemas.
También se introduce el gráfico de líneas para
representar el comportamiento de una variable
a lo largo de una unidad determinada de tiem-
po. Se espera que al finalizar la lección, las y
los estudiantes sepan elegir la representación
gráfica más adecuada para representar un con-
junto de datos.
Se introduce el concepto de promedio o media
aritmética. Así, las y los estudiantes calculan el
promedio de un conjunto de datos y lo utilizan
en la resolución de problemas. Por último, se
introduce el diagrama de tallo y hojas como una
representación gráfica que permite conocer la
distribución de datos, identificar la observación
mínimaylamáxima,yreconocerentornoalvalor
o los valores que están la mayoría de los datos.
Paralelamente, se inicia el trabajo con pro-
babilidades con la enumeración de los resul-
tados posibles de un experimento aleatorio.
Posteriormente se trabaja con la determinación
y comparación de la probabilidad de un evento.
De esta forma, las y los estudiantes predicen y
conjeturan acerca de la posibilidad de ocurren-
cia de un evento.
Énfasis de los OAT
y actitudes
Durante el desarrollo de la unidad es importante
promover que las y los estudiantes escuchen
las opiniones de los otros y las valoren como un
aporte al aprendizaje, que busquen diferentes
estrategias que les permitan lograr un buen des-
empeño, destacar sus fortalezas y remitirse en
positivo a sus debilidades, de modo de ayudar
en su autoestima respecto de la asignatura.
Es relevante acercar los contenidos con ejem-
plos cotidianos que sean cercanos para las y
los estudiantes, de modo de potenciar en ellos
el interés y la curiosidad por el aprendizaje de
la Matemática, así como también permitir que
busquen otras formas de resolver un problema
determinado.
Desarrollo y articulación de
la unidad
Esta unidad se inicia con el trabajo de tablas y
gráficos. En años anteriores las y los estudian-
tes han realizado encuestas y analizado sus
resultados usando tablas, gráficos de barras
simples o pictogramas. La lección 1 pretende
fomentar el paso de la construcción de tablas
de conteo a tablas de frecuencias y gráficos de
barras verticales u horizontales. También se
estudia la relación entre un pictograma y un
gráfico de barras. Se introducen los gráficos
de líneas como una representación gráfica
adecuada para registrar datos que varían en
el tiempo. Es importante hacer énfasis en la
interpretación de las representaciones y la
obtención de información a partir de ellas para
responder distintas preguntas.
La unidad continúa con la introducción del con-
cepto de promedio o media aritmética. Se les
propone a las y los estudiantes dos estrategias
para calcular el promedio. Además, se utiliza
este concepto para resolver problemas en los
cuales se necesita determinar la suma total de
los datos y/o alguna observación puntual.
El tema de datos termina con la construcción
e interpretación de los diagramas de tallo y
hojas. Este tipo de representación gráfica les
permitirá resolver problemas a través del aná-
lisis de una distribución de datos.
Durante el desarrollo de la unidad se da im-
portancia a la resolución de problemas y se
plantean desafíos para aplicar los conceptos
trabajados.
168
4
Unidad
Planificación de la unidad
Lecciones /
Tiempo estimado
Objetivos
de Aprendizaje (OA)
Indicadores de evaluación
Lección 1:
Tablas y gráficos
12 horas
pedagógicas
Leer, interpretar y completar
tablas, gráficos de barra simple
y gráficos de línea y comunicar
sus conclusiones.
Leen en tablas de doble entrada datos obtenidos de estudios
estadísticos realizados.
Leen e interpretan información dada en tablas.
Leen e interpretan información dada en gráficos de línea y responden
preguntas relativas a la información que entrega.
Comparan información extraída de gráficos de línea.
Completan información dada en tablas.
Resuelven problemas que impliquen interpretar información presentada
en gráficos.
Responden preguntas a partir de la información extraída de gráficos
de barra simple.
Lección 2:
Promedio o media
aritmética
6 horas
pedagógicas
Calcular el promedio de datos
e interpretarlo en su contexto.
Explican la información que entrega el promedio de un conjunto de datos.
Determinan el promedio de un conjunto de datos.
Proporcionan un contexto en el que el promedio de un conjunto de datos
es la medida más apropiada para comunicar una situación.
Comparan resultados de conjuntos de datos, utilizando el promedio de
un conjunto de datos.
Obtienen conclusiones a partir de la información que entrega el promedio
de un conjunto de datos en un contexto determinado.
Resuelven un problema, utilizando promedios de datos.
Lección 3:
Diagrama de tallo
y hojas
6 horas
pedagógicas
Utilizar diagramas de tallo y
hojas para representar datos
provenientes de muestras
aleatorias.
Explican, en el contexto de datos dados, cómo se hace un diagrama de tallo
y hojas.
Obtienen muestras aleatorias y las representan en diagramas de tallo y hojas.
Completan diagramas de tallo y hojas en que están representados datos
correspondientes a muestras aleatorias.
Lección 4:
Probabilidades
10 horas
pedagógicas
Describir la posibilidad de
ocurrencia de un evento,
empleando los términos
seguro - posible - poco
posible - imposible.
Comparar probabilidades
de distintos eventos sin
calcularlas.
Describen eventos posibles en el resultado de un juego de azar; por
ejemplo: al lanzar un dado, indican los resultados posibles incluidos
en el evento “que salga un número par”.
Se refieren a la posibilidad de ocurrencia de un evento, mediante
expresiones simples como seguro, posible, poco posible o imposible.
Dan ejemplos de eventos cuya posibilidad de ocurrencia es segura,
posible, poco posible o imposible.
Dan ejemplos de eventos cuya probabilidad de ocurrencia es mayor
que la de otros eventos, sin calcularla.
Juegan a lanzar dados o monedas y, frente a eventos relacionados con
estos lanzamientos, dicen, sin calcular, cuál es más probable que ocurra.
Hacen apuestas entre alumnos y dicen, sin calcular, quién tiene más
probabilidad de ganar.
169
2
Unidad
1
Lección
Unidades de medida de longitud
Repaso
Recuerda lo que sabes y desarrolla las siguientes actividades.
1 Observa y completa las afirmaciones.
a. El perro mide
metro de altura.
b. El árbol mide
metros de altura.
2 Encierra el objeto para el que la unidad de medida propuesta es más adecuada. Justifica tu elección.
a. Metro
b. Centímetro
3 Escribe el nombre de 2 objetos de tu entorno cuyo largo corresponda a las medidas propuestas.
a. Aproximadamente un metro.
b. Más de un metro.
c. Menos de un centímetro.
A continuación, se presentan algunos de los conceptos clave para esta lección.
• Unidades de medida
• Longitud
• Metro (m)
• Centímetro (cm)
• Milímetro (mm)
• Kilómetro (km)
4 Encierra los conceptos que se relacionan con los que utilizaste en las actividades del repaso.
5 Explica a un compañero o una compañera lo que sabes de estos conceptos.
Conceptos clave
• ¿Qué estrategias utilizaste para resolver las actividades?
• Pide a un compañero o compañera que te explique cómo las resolvió.
• ¿Crees que te servirán estas estrategias para desarrollar esta lección?, ¿por qué?
Reflexiono
0
1
m
2
m
3
m
4
m
100
101
Lección 1 · Unidades de medida de longitud
Al inicio de cada unidad,
el docente encontrará una
introducción que explicita
el propósito de la unidad,
el modo en que esta
se desarrolla y articula,
además de los OAT y
actitudes que se enfatizan
durante la unidad.
También se presenta la
planificación de la unidad.
A continuación de esto, se
presentan orientaciones
didácticas que
corresponden a las páginas
de inicio de la unidad.
Asimismo, encontrará información acerca de las instancias de evaluación
y trabajo colaborativo presentes en cada unidad.
La Guía Didáctica del Docente para 5° Básico está estrechamente vinculada con el Texto del Estudiante, el Cua‑
derno de Ejercicios y los Recursos Digitales Complementarios. En este sentido, los recursos y las orientaciones
didácticas allí presentes sirven de apoyo para que el docente haga el mejor uso de los materiales del estudiante
y de la propuesta didáctica.
Inicio de unidad
En esta unidad podrás medir y analizar la longitud de diferentes elementos de
tu entorno, calcular el área de algunas figuras utilizando las transformaciones
isométricas para comprender los procedimientos aplicados y representar figuras
en el plano cartesiano.
¡Anímate a iniciar este recorrido por nuevos contenidos manifestando interés
y curiosidad!
Estudiarás… Para que puedas… En las páginas…
Unidades de
medida de longitud
Medir longitudes y realizar transformaciones entre unidades de
medidas de longitud para aplicarlo en la resolución de problemas. 101 - 113
Figuras 2D y 3D
Describir y reconocer aristas y caras en figuras 3D o lados en figuras
2D que sean paralelos o se intersequen y sean perpendiculares. 114 - 126
Congruencia
Comprender el concepto de congruencia, usando la traslación, la
reflexión y la rotación. 127 - 133
Área y perímetro
Construir diferentes rectángulos a partir de su perímetro o área.
Calcular y estimar áreas de figuras utilizando diferentes estrategias. 134 - 157
Plano cartesiano Ubicar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano. 158 - 164
• ¿Por qué es importante lograr estos aprendizajes? ¿Qué puedes hacer para lograrlos?
Ubicar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Mis motivaciones
96 97
Geometría y medición
2
Unidad
Los lados de
esta ventana son
perpendiculares.
¿Cuánto medirá el
ángulo formado
por ellos?
En esta escuadra
también se forma
un ángulo recto.
Punto de partida
Observa la imagen y responde.
• ¿Con qué contenidos de años
anteriores puedes relacionar los
términos destacados?
• ¿Puedes responder las preguntas
planteadas por y ?
¿Cómo lo harías?
• ¿A qué figuras que conoces se
asemejan el calendario y una de las
baldosas del piso de la sala de clases?
• ¿Para qué te puede servir conocer los
ángulos rectos?
• ¿Conoces algún oficio o profesión en
el que se utilicen estos conocimientos?,
¿cuál o cuáles?
96 97
Estas líneas rojas
no se cruzan. ¿Tendrá un
nombre especial este tipo
de líneas?
El lado de esta
baldosa mide
casi 8 cm.
170
Habilidades Resolver problemas
• Comprender y evaluar estrategias de resolución de otros.
Representar
• Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática.
• Extraer información del entorno y representarla matemáticamente en tablas, interpretando los
datos extraídos.
Argumentar y comunicar
• Formular respuestas frente a información presentada.
• Comprobar reglas y propiedades.
• Formular preguntas y posibles respuestas frente a suposiciones y reglas matemáticas.
• Comunicar de manera verbal razonamientos matemáticos.
• Documentar el procedimiento para resolver problemas, registrándolo en forma estructurada y comprensible.
Actitudes • Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.
• Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.
• Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.
• Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.
• Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.
Oportunidades de evaluación en la unidad
Nombre de la sección Páginas Recurso Tipo de evaluación
¿Cuánto recuerdo? 277 y 278 Texto del estudiante Inicial: Datos y probabilidades
Repaso 279 Texto del estudiante Inicial: Tablas y gráficos
¿Cómo voy? 297 Texto del estudiante De proceso: Tablas y gráficos
Repaso 298 Texto del estudiante Inicial: Promedio o media aritmética
¿Cómo voy? 305 Texto del estudiante De proceso: Promedio o media aritmética
Repaso 306 Texto del estudiante Inicial: Diagrama de tallo y hojas
¿Cómo voy? 311 Texto del estudiante De proceso: Diagrama de tallo y hojas
Repaso 312 Texto del estudiante Inicial: Probabilidades
¿Cómo voy? 319 Texto del estudiante De proceso: Probabilidades
¿Qué aprendí? 321 a 324 Texto del estudiante Final: Datos y probabilidades
Actividades complementarias 194 a 196
Guía didáctica del
docente
De proceso
Evaluación Unidad 4 197 a 199
Guía didáctica del
docente
Evaluación final unidad (fotocopiable)
171
4
Unidad
Oportunidades de trabajo colaborativo en la unidad: Manos a la obra
Páginas Recurso Objetivo de la actividad
281 Texto del estudiante Construir e interpretar una tabla.
287 Texto del estudiante Hacer una encuesta y usar los datos recopilados para hacer un gráfico de barras.
294 Texto del estudiante Reunir datos y hacer un gráfico de líneas.
300 Texto del estudiante Calcular el promedio de un conjunto de datos utilizando dos estrategias.
304 Texto del estudiante Hacer una tabla a partir de los datos de una encuesta y calcular la media
o promedio.
309 Texto del estudiante Construir un diagrama de tallo y hojas.
315 Texto del estudiante Predecir el resultado de un experimento aleatorio.
318 Texto del estudiante Construir una ruleta de acuerdo a ciertos requisitos.
179 Guía didáctica del docente Construir un gráfico de barras en una planilla de cálculo.
187 Guía didáctica del docente Construir diagramas de tallo y hojas para comparar dos grupos de datos.
192 Guía didáctica del docente Analizar los posibles resultados del juego piedra, papel o tijera.
Prerrequisitos
Tablas simples, gráficos, interpretación y cálculo de fracciones y decimales, comparación de cantidades.
Notas
Inicio de unidad
Páginas 274 a 276
En esta sección se presenta una situación que puede
ocurrir en el living de cualquier hogar.
Pídales que observen la imagen y haga preguntas como:
• ¿Qué creen que la niña y el niño de la imagen están
haciendo? ¿Por qué?
Lea en voz alta las conversaciones de la niña y el niño.
Coménteles qué tienen en común respecto a lo que plan-
tean y pregúnteles si reconocen las representaciones
gráficas que aparecen en “El nacional” y qué se puede
concluir a partir de ellas.
En la sección Punto de partida se espera que las y los
estudiantes respondan respecto de la información y la
imagen presentada.
Solicite un voluntario o una voluntaria para que lea la
tabla con lo que estudiarán en esta unidad. Después pre-
gúnteles qué saben sobre cada tema.
A partir de lo anterior, solicíteles que registren en la
sección Mis motivaciones sus motivaciones personales
respecto de los aprendizajes a ser desarrollados.
En la página 276 se retoma una parte de la imagen ini-
cial, y se les entrega información adicional. A partir de
esta se plantean preguntas que les permitirán reconocer
y registrar sus aprendizajes previos, lo cual los hace ser
conscientes de lo que saben.
Las preguntas de esta sección buscan que las y los estu-
diantes recuerden las estrategias y procedimientos que
utilizaron en temas que son prerrequisitos y a partir de
ellos puedan fijar metas personales, anticipar dificultades y
establecer estrategias tendientes al logro de dichas metas.
Permítales que conversen sobre esto y recuérdeles que en
el transcurso de la unidad pueden evaluar sus estrategias y
agregar o cambiar algunas si lo consideran necesario.
¿Cuánto recuerdo?
Evaluación inicial Texto del estudiante
Páginas 277 y 278
El objetivo de esta evaluación es identificar los cono-
cimientos previos de las y los estudiantes. Además, se
podría considerar como un diagnóstico de lo que saben
o recuerdan de contenidos que serán necesarios en esta
unidad. Le será útil observar cómo se desenvuelven frente
a las actividades propuestas, ya que esto le proporcio-
nará el punto de partida en cada una de las lecciones, de
modo de introducir cada una de ellas con los recordato-
rios más pertinentes.
Los conocimientos y habilidades evaluados en esta sec-
ción son:
Ítems
Conocimientos
Habilidades
1, 2 y 3
Lectura e interpretación de
pictogramas, tablas y gráficos de
barras simples con escala.
Representar,
resolver
problemas.
4
Resultados de experimentos
aleatorios lúdicos y cotidianos;
representación de experimentos
mediante gráficos.
Argumentar
y comunicar.
5
Análisis de datos y comparación
con los resultados de muestras
aleatorias, usando tablas y gráficos.
Resolver
problemas.
Invite a las y los estudiantes a verificar sus respuestas en
el solucionario y utilice la tabla para ayudarlos a revisar
su desempeño.
Finalmente, dé el tiempo necesario para que respondan
las preguntas de metacognición planteadas en la sección
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas.
172
Orientaciones didácticas para el inicio de unidad
Unidad
4

2
Unidad
3
Lección
Congruencia
Repaso
1 Encierra el o los grupos de figuras que te permiten formar el siguiente trapecio.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
2 Imagina que mueves o rotas los siguientes triángulos para formar dos figuras distintas. Escribe el
nombre de cada figura y la cantidad de triángulos que usaste.
a. Nombre:
Cantidad de :
b. Nombre:
Cantidad de :
3 En un curso deben dividir el diario mural de forma rectangular en partes iguales para exponer
diferentes temas. Aún no saben cuántos temas serán. ¿Cómo propondrías dividirlo? Explica tu
decisión, luego escribe el nombre y la cantidad de figuras en la que lo dividirías.
• Trasladar
• Reflejar
• Rotar
• Congruencia
• Eje de simetría
• Centro de rotación
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con las de un compañero o una compañera. ¿Tuvieron respuestas distintas?,
¿cuáles? ¿Son las respuestas de ambos correctas? Explica.
• ¿Cuál de estas estrategias te servirá para lograr los aprendizajes de esta lección?, ¿por qué?
Reflexiono
126
127
Lección 3 · Congruencia
Medición de longitudes
En años anteriores mediste la longitud de algunos objetos en metros y centímetros. Ahora utilizarás estas
unidades de medida y las relacionarás con otras como el milímetro y el kilómetro.
Objetivo: Usar metros y centímetros para medir longitudes.
Los estudiantes de 5° básico decorarán su sala de clases. Para medir el largo de algunos adornos utilizarán
una huincha de medir.
1 m = 100 cm
Aprendo
1 m
70 80 90 100
1 metro equivale a
100 centímetros.
El metro (m) y el
centímetro (cm) son
unidades de medida
de longitud.
100 cm
Practico
1 Observa la imagen y luego completa.
a. La mesa mide cm de largo.
b. La medida del largo de la mesa es m
y cm.
2 Mide los siguientes objetos de tu sala de clases en metros (m) y centímetros (cm).
a. El largo de la ventana.
b. El ancho de la ventana.
c. El largo de la puerta.
d. El ancho de la puerta.
3 Analiza y responde.
a. Felipe dice que el largo de la puerta de su sala mide más de 2 m y 10 cm, y que su ancho mide menos
de 90 cm. ¿Puede ocurrir esto?, ¿por qué?
b. Las mediciones que realizaste en la actividad 2, ¿son exactas? ¿Por qué?
130 140 150 160
20
0
30
10
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160
150 170
130 140 150 160
160
160
160
20
0
30
10
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160
150 170
102
103
Lección 1 • Unidades de medida de longitud
2
Unidad
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades Habilidades
Construcción e
interpretación
de tablas
(págs. 280 y 281)
2 horas
pedagógicas
Leer, interpretar y
completar tablas
y comunicar sus
conclusiones.
• Completan informa-
ción dada en tablas.
Usar tablas
para organizar y
representar datos.
Completan y
construyen tablas de
conteo y tablas.
Interpretan y extraen
información desde
tablas.
Argumentar
y comunicar.
Uso de tablas
(págs. 282 a 284)
2 horas
pedagógicas
• Leen en tablas de
doble entrada datos
obtenidos de estudios
estadísticos realizados.
Organizar datos en
una tabla.
Interpretan y extraen
información desde
tablas de doble
entrada.
Utilizan la adición,
sustracción y
multiplicación para
responder preguntas
relacionadas con la
información presentada.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Gráficos de
barras
(págs. 285 a 287)
3 horas
pedagógicas
Leer, interpretar
y completar
gráficos de
barras simples y
comunicar sus
conclusiones.
• Resuelvenproblemas
que impliquen inter-
pretar información pre-
sentada en gráficos.
• Responden preguntas a
partir de la información
extraída de gráficos de
barra simple.
Usar los datos de
un pictograma para
construir un gráfico
de barras.
Completan los datos
de un gráfico de
barras simples con la
información dada en
una tabla.
Construyen un
gráfico de barras
simples a partir de la
información dada en
una tabla.
Argumentar
y comunicar.
Representar.
Lectura e
interpretación de
gráficos de barras
(págs. 288 a 290)
2 horas
pedagógicas
Leer e interpretar
un gráfico de
barras.
Responden preguntas
a partir de la
información extraída
de gráficos de barra
simple. Utilizan la
adición, sustracción
y multiplicación para
responder preguntas
relacionadas con la
información presentada.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Representar.
173
Unidad
4 Tablas y gráficos (páginas 279 a 297) 4
Unidad
Lección
1
Propósito de la lección
En esta lección se espera que utilicen tablas para organizar y representar datos, y que puedan interpretar la información
que está registrada en ellas. Aprenderán a construir gráficos de barras verticales y horizontales a partir de información
registrada en un pictograma, para que en una segunda etapa lean e interpreten dichas representaciones gráficas. Por
último, las y los estudiantes conocerán el gráfico de líneas como una representación gráfica adecuada para representar
el comportamiento de datos que varían con el transcurso del tiempo. Al final de la lección serán capaces de elegir cuál
es la representación gráfica más adecuada según la naturaleza de los datos.
Planificación y articulación de la lección
A continuación, se presenta la articulación entre los contenidos, habilidades, Objetivos de Aprendizaje (OA) e indica-
dores de evaluación de la lección. Además se señala el tiempo estimado y la secuencia didáctica de los aprendizajes y
actividades de esta.
Al comenzar cada lección se
explicita el propósito de la misma,
además de una tabla que muestra:
los Objetivos de Aprendizaje que
se abordarán, los Indicadores de
Evaluación correspondientes,
cómo se articulan los principales
contenidos con las actividades
asociadas a cada contenido y el
tiempo sugerido para cada uno.
También se explicitan las actitudes
por desarrollar, los Objetivos de
Aprendizaje Transversales que se
enfatizan a lo largo de la lección
y los recursos necesarios para
llevarla a cabo y los conceptos
clave de la misma.
Se presentan orientaciones didácticas para cada sección del Texto. Además
de sugerencias para la gestión de la clase, en estas orientaciones se proponen
actividades tanto para estudiantes con dificultades como para aquellos
estudiantes que logran la comprensión de los conceptos de forma más rápida.
Se señala el trabajo con el
Cuaderno de Ejercicios en los
momentos de la lección que
se consideran más apropiados
según la propuesta pedagógica.
En la sección Errores frecuentes se dan alertas
que ayudan a los docentes a identificar y corregir
posibles conceptos erróneos o dificultades, y
sugiere acciones que permiten subsanarlos.
En la sección Buenas
prácticas encontrará algunos
consejos para la enseñanza de
los contenidos que mejorarán
la gestión de la clase.
Inicio de lección
Páginas de aprendizaje y práctica
2
Unidad
Área de un paralelogramo y de un trapecio
1. Resuelve los siguientes problemas.
a. ABCD es un rectángulo de área igual a 48 cm2
. La medida
de CD es 3 veces mayor que la medida de DF . Además,
BC mide 4 cm.
• ¿Cuál es la medida de DF ?
• ¿Cuál es el área del triángulo pintado?
b. ABCD es un rectángulo de 12 cm de largo y 5 cm de ancho. La medida de BE es 4 cm. ¿Cuál es el área
de la región pintada ABED?
c. ABCD es un rectángulo de área igual a 72 cm2
. La medida de AD es 3 veces mayor que la medida de
AE . La medida de BF es 8 cm.
• ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo ABCD?
• ¿Cuál es el área de la región pintada EBFD?
d. ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 20 cm. Además, AX = XB , BY = YC, CZ = ZD , AW = WD .
WY y XZ son líneas rectas. ¿Cuál es el área total de las partes pintadas?
A E B
D F C
A
D
E
F
B
C
A
B E
D
C
A
B
D
E
F C
A
B
E
F
D
C
A
X
Z
W D
B Y C
A
B
W
Y
D
C
Z
X
71
Lección 4 • Área y perímetro
176
Orientaciones didácticas para la Lección 1
Manos a la obra Construir e interpretar una tabla
de frecuencia. (Página 281)
Esta actividad les ayudará a establecer una técnica para
representar datos en una tabla.
Forme parejas y pida a las y los estudiantes que recopilen
datos reales acerca de cómo llegan sus compañeras y
compañeros al colegio, y que registren la información re-
copilada en la tabla de conteo y posteriormente en la tabla.
Las y los estudiantes escriben a continuación preguntas que
se puedan responder a partir de la información de la tabla.
Buenas prácticas
Para fomentar el trabajo colaborativo y complementar el
desarrollo de estos contenidos, pueden usar un procesador
de texto que tenga herramientas de diseño que les permita
dibujar una tabla con 2 columnas y 5 filas. En ella podrán
registrarsusdatosyutilizarelprocesadortextoparaescribir
las cinco preguntas e imprimirlas junto con la tabla, y así
intercambiarlas con sus compañeras y compañeros.
Uso de tablas
Páginas 282 a 284
Estas páginas tienen como objetivos centrales que las y
los estudiantes conozcan el uso de las tablas en distintos
contextos y aprendan a interpretar la información repre-
sentada en ellas.
Aprendo: Organizar datos en una tabla. (Página 282)
Pídales que visualicen la tabla propuesta en esta sección.
Luego, junto a ellos lea los títulos de las columnas e indí-
queles qué representan el título, la primera columna con
los destinos y la segunda, que corresponde a la cantidad
de vuelos correspondiente.
Practico (Páginas 283 y 284)
Las actividades propuestas en esta sección permiten la
ejercitación asociada a la lectura y la interpretación de
tablas con más de una columna (categoría). Pregúnteles
por qué esta tabla es diferente a las tablas que usaron
antes (Hay más de dos columnas). Ayúdelos a identificar
la información que necesitan; por ejemplo, cuántas me-
dallas de plata ganó Estados Unidos.
Lea los títulos de las columnas a las y los estudiantes.
Indíqueles que la primera columna representa el país y que
deben avanzar horizontalmente a lo largo de la fila para sa-
ber cuántas medallas de oro, plata y bronce ganó cada uno.
Mientras desarrollan la actividad 2, leales la cápsula
Habilidad y coménteles que al explicar por qué las afir-
maciones son verdaderas o falsas están desarrollando la
habilidad de argumentar y comunicar.
Destaque que en las actividades 3 y 4 tienen que usar la
adición, la sustracción y la multiplicación para completar
las tablas y las afirmaciones. Además pídales que re-
marquen las palabras menor y mayor, ya que esto podrá
apoyar la resolución de las actividades propuestas.
Cuaderno Recomiende a sus estudiantes resolver
las actividades de las páginas 132 y
133 del Cuaderno de ejercicios.
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas y
que comparen las dificultades que enfrentaron al desa-
rrollar las actividades.
Gráficos de barras
Páginas 285 a 287
los estudiantes aprendan a construir a partir de una tabla
u otra representación un gráfico de barras.
Aprendo: Usar datos de un pictograma para construir
un gráfico de barras. (Páginas 285 y 286)
Observe en conjunto con las y los estudiantes el picto-
grama propuesto en la página 285. Recuerde las caracte-
rísticas de los pictogramas y su interpretación. Además,
puede plantear preguntas como: ¿Cuántos árboles nativos
observó Karen? (8 árboles) ¿Quién fue el qué más árboles
observó? (Jaime)
En los pictogramas, un elemento importante son los di-
bujos o símbolos que se utilizan, en este ejemplo, cada
símbolo representa un árbol. Sin embargo, el uso de es-
tos símbolos dependerá de la cantidad de datos que se
quieran representar. Por esta razón, en ocasiones es útil
escoger una escala adecuada, o tener en cuenta otro tipo
de representación para registrar la información. En este
caso, un gráfico de barras podría ser útil para el registro
de estos datos. En la página 285, se propone una repre-
sentación similar. En ella cada casilla representa dos ár-
boles y los estudiantes podrán determinar la cantidad de
árboles nativos que visualizó cada niña y niño.
Complementando lo anterior, otra manera de representar
datos es a través de un gráfico de barras verticales u hori-
zontales. En este tipo de gráficos, las escalas están regis-
tradas en los ejes verticales u horizontales. Destaque que
el largo de cada barra dependerá de la escala escogida y
será proporcional a la frecuencia de la categoría. Utilice la
cápsula Atención para recordar que un gráfico siempre
debe tener un título y que en sus ejes debe indicarse la
variable representada.
4
Unidad
191
Para que sea imposible conseguir el color azul, no tiene
que haber ninguna parte azul en la ruleta.
Si el tiempo lo permite, invite a los y las estudiantes a re-
flexionar y a entender los conceptos estudiados median-
te otro ejemplo. Pídales que piensen en otro conjunto de
ruletas y que lo usen para describir resultados diferentes.
Errores frecuentes
Las y los estudiantes, al momento de asignar posibi-
lidad de ocurrencia de un evento, suelen confundir la
cantidad de resultados posibles con la posibilidad de
ocurrencia de un evento. Por ejemplo, si en una urna
hay 6 fichas, donde una es roja, dos son azules y tres
sonverdes,alpreguntarporcuálcolortienemayorposi-
bilidad de salir, si se extrae una ficha al azar, es probable
que contesten que todos tienen la misma posibilidad ya
que no tienen en cuenta la cantidad de fichas de colores
que hay. Para remediar esto insista que la posibilidad
no está dada solo por los posibles resultados del expe-
rimento sino además por la cantidad de elementos que
hay correspondientes a cada resultado.
Practico (Página 315)
Las actividades 3 y 4 tienen por objetivo que sus estu-
diantes refuercen los conceptos de más posible, menos
posible, igualmente posible, seguro e imposible.
Cuaderno
Recomiende a sus estudiantes resolver
las actividades de las páginas 151 y
Manos a la obra Predicción del resultado.
(Página 315)
Esta actividad tiene por objetivo que las y los estudiantes
prueben de manera empírica las conjeturas que realicen
acerca de los distintos resultados posibles de un experimen-
to. Organícelos en parejas. Dé a cada dupla una bolsa trans-
parente, cartulina roja, amarilla y azul y tijeras. Indíqueles
que recorten 15 círculos de cada color y los echen a la bolsa.
Solicitealasduplasqueantesdeextraeruncírculodelabolsa
indiquencuálcreenqueseráelposibleresultadodeesteexpe-
rimento y qué ocurrirá si lo repiten 10 veces. Posteriormente
dígale a las duplas, que, por turnos, cada uno extraiga, sin
mirar, un círculo de la bolsa, registren el color observado, y lo
devuelvan a la bolsa. Deben repetir este proceso 20 veces y
registrar sus resultados en la tabla de la página 315. Pregunte
a sus estudiantes si lo observado avala las conjeturas que
realizaroninicialmente.Pregunteyfomenteladiscusiónentre
ellos acerca de qué ocurriría si se repite la actividad.
Comparación de
probabilidades Texto del estudiante
Páginas 316 a 318
Estas páginas tienen como objetivo central que sus es-
tudiantes comparen la probabilidad de ocurrencia de
distintos eventos utilizando los conceptos más probable,
igualmente probable y menos probable.
Aprendo: Comparar la probabilidad de algunos eventos
de un experimento aleatorio. (Página 316)
Observe en conjunto con sus estudiantes la ruleta de la
página 316 y guíelos a responder las siguientes preguntas:
• ¿En qué color es más probable que se detenga la flecha?
(Amarillo)
• ¿Hay colores igualmente probables de obtener?
¿Cuáles son? (Sí, rojo y verde)
• ¿Cuál o cuáles son los colores menos probables de
obtener? (Celeste)
Repita las preguntas anteriores con la nueva configuración
de la ruleta. En cada caso solicite a sus estudiantes que
justifiquen sus respuestas y piensen qué debería ocurrir
para que su respuesta fuera diferente. Por ejemplo, si la
respuestaes“másprobable”,¿cuándoseríamenosprobable?
Las actividades propuestas en este re-
curso digital consideran la aplicación de lo
trabajado con relación a probabilidades en contextos
de juegos de azar.
Mediante la resolución de las actividades propuestas
se pretende fomentar el interés de los estudiantes al
involucrarlos en el uso del blog de los estudiantes de
5° básico. Para ello, Francisca, personaje anfitrión de
la unidad, los invita a jugar en los pasatiempos dispo-
nibles en los que aplicarán sus conocimientos sobre
probabilidades.
Recurso Digital Complementario 12
RDC 12
Practico (Páginas 316 a 318)
Las actividades de esta sección tienen por objetivo que
sus estudiantes refuercen los conceptos de más proba-
ble, menos probable e igualmente probable al comparar
los resultados de un experimento aleatorio.
La actividad 4 muestra al diagrama de tallo y hojas como
una herramienta donde se observa la cantidad de veces
que ocurre un determinado evento y por tanto nos per-
mite determinar la probabilidad de ocurrencia de este.
Cuaderno de ejercicios
14

3. Resuelve los siguientes problemas. Muestra tu desarrollo.
a. María quiere participar en la próxima competencia de natación en la prueba de 50
metros libres. Para ello, su tiempo promedio en las 5 últimas competencias debe
ser inferior a los 35 segundos. Si sus últimos tiempos fueron: 41 s, 45 s, 35 s, 30 s y
29 s. ¿Podrá María participar? Justifica tu respuesta.
b. El promedio de las 5 calificaciones de Matemática de Ana es 5, afortunadamente
para ella su profesor eliminó la nota más baja y su promedio subió a 6. ¿Cuál era la
nota más baja de Ana?
4. Observa los siguientes datos.
Cantidad de horas que dedican a estudiar los alumnos de 5º básico durante un mes
20 20 30 22 15 20 25 34 16 37 30
25 35 23 18 25 20 26 36 28 32 26
a. Construye un diagrama de tallo y hojas para representar los datos.
b. Crea dos preguntas que se puedan responder a partir del diagrama que construiste.
5. Analiza y responde.
Inés y Sergio están jugando un juego en la kermese del colegio. Este consiste en girar
una ruleta con números del 1 al 8 y gana el jugador que obtenga el número más alto.
Un tercer jugador gira la ruleta y esta muestra un 6.
a. ¿Qué número o números le deben salir a Inés para que sea imposible que ella gane?
b. ¿Qué número o números le deben salir a Inés y Sergio para que sea igualmente
posible que ambos ganen?
c. Si Inés no ha hecho girar la ruleta, ¿qué número o números le deben salir a Sergio
para que sea posible que él gane?
d. Si, Inés gira la ruleta y le sale un 5, ¿qué número o números le deben salir a Sergio
para que sea seguro que él gane?
e. Si ningún jugador ha hecho girar la ruleta.
• ¿Qué debe ocurrir para que sea imposible que gane Sergio y sea posible que
Inés gane?
• ¿Qué debe ocurrir para que sea igualmente posible que gane Sergio e Inés?
6. Pedro tiene una bolsa con 4 dulces rojos, 5 verdes y 3 amarillos. Si saca un dulce al
azar, responde las preguntas. Justifica en cada caso.
a. ¿Es posible que saque un dulce anaranjado?
b. ¿Es más posible que saque un dulce verde o un dulce amarillo?
c. ¿Es seguro que sacará un dulce rojo?
d. ¿Cuál es el color de dulce que tiene mayor probabilidad de salir? ¿Y el que tiene
menos probabilidad de salir?
e. ¿Hay dos colores de dulces que tengan la misma probabilidad de salir?
198
M
a
t
erialfotoco
p
i
a
b
l
e
Evaluación complementaria de la Unidad 4
2
Unidad
Solucionario Evaluación complementaria de la Unidad 4
199
1.
Cantidad de rifas vendidas
Estudiante Cantidad de rifas
María
30
Santiago
40
Carla
30
Norma
20
Andrés
50
Andrés
0 10 20 30 40 50 60
María
Carla
Santiago
Norma
Estudian
te Cantidad de rifas
a. Andrés vendió más rifas.
b. Norma vendió menos rifas.
c. Norma vendió la mitad de rifas que Santiago.
d. Andrés vendió 20 rifas más que María.
e. Juntaron $ 17 000 en total.
2. a. La temperatura es 8 °C.
b. La temperatura máxima fue 14 °C.
c. La temperatura mínima fue 2 °C a las 21 horas.
d. Entre las 10 y las 11 horas.
e. La diferencia es 12 °C.
3. a. No podrá participar, ya que su tiempo promedio
es 36 segundos.
b. La nota más baja de Ana es un 1.
4. a.
Tallo
Hojas
1 5 6 8
2 0 0 0 0 2 3 5 5 5 6 6 8
3 0 0 2 4 5 6 7
Cantidad de horas que dedican a estudiar
los alumnos de 5º básico durante un mes
b. Respuesta variada, a continuación, se presentan
2 ejemplos:
Ejemplo 1: ¿Cuántos alumnos estudian menos de
20 horas en el mes?
¿Cuántos alumnos estudian 30 horas en el mes?
Ejemplo 2: ¿Cuántos alumnos estudian más de 30 horas
en el mes?
¿Cuál es el tiempo máximo que dedican los alumnos a
estudiar en el mes?
5. a. Un número menor que 6.
b. Un 8.
c. Un 7 o un 8.
d. Un 7 o un 8.
e. Sergio debe obtener un 8 e Inés un 7.
f. Que ambos obtengan un 7 o un 8.
6. a. No es posible, ya que en la bolsa no hay dulces de ese
color.
b. Un verde, ya que en la bolsa hay 5 dulces verdes y solo
3 amarillos.
c. No, ya que también hay dulces amarillos y verdes en la
bolsa.
d. Los dulces verdes tienen mayor posibilidad de ser
extraídos, ya que hay una mayor cantidad de estos dulces
en la bolsa.
Los dulces amarillos tienen menor posibilidad de ser
extraídos, ya que hay una menor cantidad de estos dulces
en la bolsa.
e. No, ya que de los tres colores de dulces hay distintas
cantidades en la bolsa.
Actividades complementarias fotocopiables para los distintos contenidos
permitirán fomentar el trabajo colaborativo y con material concreto.
Oportunidades de medir formalmente los aprendizajes de los estudiantes.
Estos instrumentos se acompañan de un protocolo de corrección que
entregará información sobre los contenidos y habilidades que mide cada
ítem. Asimismo, se entrega una rúbrica para la corrección de las preguntas
de respuesta abierta.
Actividades grupales y de evaluación
El triángulo PQR es acutángulo, donde QR es la base y PX es la altura.
Recuerda que en un triángulo acutángulo sus tres ángulos interiores
son agudos.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera dibujen el
triángulo PQR en la hoja de papel cuadriculado. Luego,
dibujen el rectángulo AQRD.
Paso 2 Dividan el triángulo PQR en triángulos más pequeños.
Luego, recórtenlos y formen el rectángulo EQRF.
Comenten y respondan.
• ¿Cuál es el área del rectángulo EQRF?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de los rectángulos EQRF
y AQRD?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del triángulo PQR y la del rectángulo EQRF?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo AQRD y la del triángulo PQR?
El triángulo MNP es obtusángulo, NP es la base y MF es la altura. Recuerda que en un triángulo
obtusángulo uno de los ángulos interiores es obtuso.
triángulo MNP en la hoja de papel cuadriculado.
Luego, dibujen el rectángulo ANPD.
Paso 2 Dividan el triángulo MNP en triángulos más pequeños.
Luego, recórtenlos y formen el cuadrado ENPG.
• ¿Cuál es el área del cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo ANPD
y la del cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del triángulo MNP y la del
cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo ANPD y la del triángulo MNP?
Manos a la obra Materiales
Tijeras.
Papel cuadriculado.
P
X
D
R
A
Q
P
X
D
R
A
E
F
Q
N P F
M
D
A
N P F
M
D
A
E G
146
147
Lección 4 · Área y perímetro
2
Unidad
Activa tus conocimientos previos y desarrolla en tu cuaderno las siguientes actividades de evaluación.
1 Utiliza una regla para medir el largo del lápiz y completa la afirmación. (2 puntos)
El lápiz mide cm de largo.
2 Escribe el nombre de un objeto que medirías según la unidad indicada. (1 punto cada una)
a. En metros.
b. En centímetros.
3 Tecnología Marta y Juan quieren construir una repisa y para comenzar su trabajo deben medir el
largo de una tabla. Marta la mide y dice: ¡100 centímetros! Juan hace lo mismo y afirma: ¡1 metro!
¿Están ambos en lo correcto? Argumenta tu respuesta. (1 punto por la respuesta y 3 puntos por
la argumentación)
4 Identifica la figura geométrica descrita en cada caso, escribe su nombre y luego dibújala.
(1 punto cada una)
a. Tengo 3 lados y 3 vértices.
b. Tengo 4 lados y 4 vértices.
5 Encierra las figuras que sean simétricas y explica tu decisión. (2 puntos por identificarlas y 2 puntos
por la explicación)
6 Si unes dos en uno de sus lados, ¿cuál de las siguientes figuras podrías formar? (2 puntos)
C
A
B
7 Calcula el área (A) y el perímetro (P) de cada figura y completa. Considera que cada mide 1 unidad
cuadrada. (2 puntos cada una)
a.
A = · = unidades cuadradas.
P = + + + = unidades.
98
99
¿Cuánto recuerdo? Evaluación inicial
2
Unidad
Desarrolla en tu cuaderno las siguientes actividades de evaluación que te permitirán reconocer tu
desempeño en esta lección.
1 Elige la palabra más adecuada y completa cada enunciado. (1 punto cada uno)
kilómetros largo
metros
milímetros medida centímetros
a. Ariel tiene dos pedazos de tela. El
total de los dos pedazos es 5 m y 92 cm.
b. Carla tiene que viajar varios
en tren para visitar a sus abuelos.
c. Juan quiere medir el largo de una mosca, esta medición debería expresarla en
.
2 Completa las siguientes equivalencias. (2 puntos cada una)
a. 7 m y 69 cm =
cm
b. 8905 m =
km y
m
3 Resuelve los siguientes problemas. (1 punto por la respuesta y 2 puntos por la explicación)
a. Ciencias Naturales Ana midió el largo de una hormiga y de una
mantis religiosa. Sabe que las medidas fueron 5 cm y 5 mm,
pero no recuerda cuál es la medida de cada una. ¿Quién crees
que midió 5 cm? Explica tu decisión.
b. La familia González se va de campamento. Quieren ubicar dos sacos de dormir de manera horizontal,
uno a continuación del otro unidos por su largo. Uno de los sacos de dormir mide 43 cm de ancho y
el otro, 47 cm. ¿Cuánto debe medir como mínimo el ancho de la carpa? Explica.
Verifica tus respuestas en el solucionario y con ayuda de tu profesor o profesora revisa tu desempeño.
Ítems
Conocimientos
Habilidades
Tu desempeño
1 y 3 Medición de longitudes en milímetros,
centímetros, metros y kilómetros.
Argumentar y
comunicar, resolver
problemas.
Logrado: 10 puntos o más.
Medianamente logrado:
8 a 9 puntos.
Por lograr: 7 puntos
o menos.
2 Transformación entre unidades de
medida de longitud. Representar.
• ¿Tuviste errores? ¿Para qué crees que te serviría corregirlos?
• ¿Crees que lograste los aprendizajes propuestos para esta lección en la página 96? Explica.
• ¿Tienes dudas sobre algún contenido? ¿Qué estrategias podrías utilizar para aclararlas?
• ¿Cuál o cuáles de las estrategias que planteaste al inicio de la lección facilitaron tu aprendizaje?
¿Cuáles mantendrías para la próxima lección y cuáles agregarías?, ¿por qué?
Reflexiono
Mantis religiosa Hormiga
Hormiga
112
113
¿Cómo voy?
2
Unidad
Evaluación de proceso 1
¿Cómo voy?
1 Escribe una V si la afirmación es verdadera o una F si es falsa. Justifica en cada caso. (1 punto por
verificar y 1 punto por cada justificación)
a. Las rectas perpendiculares no se intersecan en ningún punto.
b. Un ángulo recto se forma cuando dos rectas se intersecan en un punto.
c. Dos rectas son paralelas si no se intersecan y la distancia entre ellas es siempre la misma.
2 Observa cada figura y remarca lo pedido. (3 puntos cada una)
a. Con azul los pares de lados perpendiculares.
A
B
C
D
E
b. Con rojo los pares de lados paralelos.
A
B
C
D
E
F
3 Tecnología Ema construyó un mueble que tiene cuatro caras rectangulares y dos cuadradas.
Las caras opuestas son paralelas y las caras que tienen una arista en común son perpendiculares.
a. Dibuja una figura 3D que se asemeje al mueble que construyó Ema. (1 punto)
b. Nombra sus vértices y escribe dos pares de caras perpendiculares, dos pares de aristas paralelas y dos
pares de aristas perpendiculares. (1 punto por cada par)
Ítems Conocimientos Habilidades
Tu desempeño
1 y 2
Lados de figuras 2D que son
paralelos, que se intersecan o que
son perpendiculares.
Argumentar y comunicar,
representar.
10 a 11 puntos.
o menos.
3
Aristas y caras de figuras 3D que son
paralelas, que se intersecan o que
Representar, modelar.
• ¿Tienes dudas en algún contenido? Intenta aclararlas con algún compañero o compañera.
• ¿Crees que has logrado las metas que te propusiste al iniciar la unidad? Explica.
• ¿Pudiste expresar tus ideas y escuchar las de otros en forma respetuosa? ¿Cómo te puede ayudar esta
actitud para tu aprendizaje?
• ¿Recuerdas las estrategias que te propusiste para esta lección? ¿Cambiarías o agregarías alguna para la
próxima lección? Explica.
Reflexiono
126
127
Desarrolla en tu cuaderno las siguientes actividades de evaluación que te permitirán reconocer tus
aprendizajes en esta unidad.
1 Observa la imagen y luego remarca tu respuesta. (1 punto)
¿Cuál puede ser la altura del clóset?
180 mm
180 cm
180 m
2 Utiliza una regla para medir el lápiz. Luego, completa. (2 puntos)
El lápiz mide
.
3 Resuelve los siguientes problemas. (2 puntos cada uno)
a. Laura quiere cortar trozos de cinta de 30 cm y otros de 1 m y 5 cm de largo. Tiene una regla de 30 cm.
¿Cómo puede usar la regla para medir la longitud de la cinta que quiere cortar?
b. El largo de un libro es 270 mm y su ancho 210 mm. ¿Cómo expresarías estas medidas en centímetros?
c. Historia, Geografía y Ciencias Sociales La altura del volcán Ojos del Salado, ubicado en el norte de
Chile, es de aproximadamente 6890 metros. ¿Cómo expresarías esta medida en kilómetros y metros?
4 Explica si las caras destacadas en cada representación de una figura 3D son paralelas,
perpendiculares o se intersecan. (1 punto cada una)
a.
b.
c.
166
167
¿Qué aprendí? Evaluación final
2 m
1 m
132 cm
Recursos
Digitales
Complementarios
Al inicio de cada Unidad se describen los RDC que la componen
y cómo se relacionan entre sí en un ambiente digital.
Se presentan, por ejemplo, actividades con múltiples soluciones
que permitirán complementar el aprendizaje matemático.
197
Actividades complementarias de la Unidad 4
M
a
t
e
r
ialfotocopi
a
b
l
e
1. Analiza la siguiente información.
La tabla y el gráfico de barras representan la cantidad de rifas que los estudiantes
de un curso vendieron para un sorteo que realizarán durante la kermesse. Completa
con los datos que faltan en cada representación y responde.
María
30
Santiago
40
Carla
Norma
20
Andrés
50
Andrés
0 10
20
30
40
50
60
María
Carla
a. ¿Quién vendió más rifas?
b. ¿Quién vendió menos rifas?
c. ¿Quién vendió la mitad de rifas que Santiago?
d. ¿Quién vendió 20 rifas más que María?
e. Si cada rifa cuesta $ 100, ¿cuánto juntaron en total?
2. Observa el gráfico de líneas y responde.
El gráfico muestra la temperatura, en °C, por hora entre las 10 de la mañana y 9 de la
noche de un día de septiembre.
16
Temperatura en un día de septiembre
14
12
10
8
6
4
2
0 10 h Hora
T
(ºC)
11 h 12 h 13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h
a. ¿Cuál es la temperatura a las 18 h?
b. ¿Cuál fue la máxima temperatura registrada?
c. ¿Cuál fue la mínima temperatura registrada? ¿A qué hora se registró?
d. ¿En qué intervalo de una hora se registró el mayor aumento de temperatura?
e. ¿Cuál es la diferencia entra la temperatura máxima y la mínima registrada?
196
M
a
t
er
ialfotocop
i
a
b
l
e
Actividad 3
Usen los datos del gráfico de líneas y respondan.
En el gráfico de líneas se muestra la altura de un globo desde el suelo entre las 13:00 horas
y las 18:00 horas del lunes.
13:00
O
14:00 15:00 16:00 17:00 18:00
40
45
50
55
60
Cambio de altura del globo
Altura
del
globo
(m)
Hora
a. ¿Cuál era la altura del globo a las 13:00 horas? ¿Y a las 17:00 horas?
b. ¿Cuál fue la mayor altura que alcanzó el globo? ¿A qué hora alcanzó esta altura?
c. ¿En qué intervalo de 1 hora se produjo la mayor disminución en la altura?
d. ¿Cuál fue la diferencia entre la mayor altura que alcanzó el globo y la menor?
Actividad 4
Realiza la siguiente actividad con tus compañeros o compañeras. Necesitarán estos
materiales:
• 3 tiras de cintas, cada una de 30 cm de longitud. Nómbrelas con las letras A, B y C.
Paso 1. Corten la cinta A en 5 pedazos de diferentes largos. Midan las longitudes de los
5 pedazos y luego, calculen el promedio de su longitud.
Paso 2. Repitan el paso 1 con la cinta B, pero corten 5 pedazos con longitudes diferentes
a las anteriores. Luego, calculen la media de la longitud.
Paso 3. Corten la cinta C en 5 pedazos iguales. Calculen la media de la longitud.
Comparen los promedios de las longitudes de cada uno de los pasos anteriores. ¿Son
diferentes? Comenten su respuesta.
197
M
a
t
er
ialfotocop
i
a
b
l
e
1. Analiza la siguiente información.
La tabla y el gráfico de barras representan la cantidad de rifas que los estudiantes
de un curso vendieron para un sorteo que realizarán durante la kermesse. Completa
con los datos que faltan en cada representación y responde.
María 30
Santiago 40
Carla
Norma 20
Andrés 50
Andrés
0 10 20 30 40 50 60
María
Carla
a. ¿Quién vendió más rifas?
b. ¿Quién vendió menos rifas?
c. ¿Quién vendió la mitad de rifas que Santiago?
d. ¿Quién vendió 20 rifas más que María?
e. Si cada rifa cuesta $ 100, ¿cuánto juntaron en total?
2. Observa el gráfico de líneas y responde.
El gráfico muestra la temperatura, en °C, por hora entre las 10 de la mañana y 9 de la
noche de un día de septiembre.
16
Temperatura en un día de septiembre
14
12
10
8
6
4
2
0
10 h
Hora
T
(ºC)
11 h 12 h 13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h
a. ¿Cuál es la temperatura a las 18 h?
b. ¿Cuál fue la máxima temperatura registrada?
c. ¿Cuál fue la mínima temperatura registrada? ¿A qué hora se registró?
d. ¿En qué intervalo de una hora se registró el mayor aumento de temperatura?
e. ¿Cuál es la diferencia entra la temperatura máxima y la mínima registrada?
15

Unidad 1 Números naturales, operaciones y patrones Unidad 2 Geometría y medición
Objetivos de Aprendizaje
Lección
1
Grandes números
OA 1: Representar y describir números naturales de hasta más de 6
dígitos y menores que 1 000 millones
• identificando el valor posicional de los dígitos
• componiendo y descomponiendo números naturales en forma
estándar y expandida
• aproximando cantidades
• comparando y ordenando números en este ámbito numérico
• dando ejemplos de estos números en contextos reales.
OA 19: Medir longitudes con unidades
estandarizadas (m, cm, mm) en el contexto
de la resolución de problemas.
OA 20: Realizar transformaciones entre
unidades de medidas de longitud: km a m,
m a cm, cm a mm y viceversa, de manera
manual y/o usando software educativo.
Lección
2
Multiplicación y división
OA 2: Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación
• anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10
• doblar y dividir por 2 en forma repetida
• usando las propiedades: conmutativa, asociativa, distributiva
OA 3: Demostrar que comprenden la multiplicación de números
naturales de dos dígitos por números de dos dígitos
• estimando productos
• aplicando estrategias de cálculo mental
• resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando el
algoritmo
OA 4: Demostrar que comprenden la división con dividendos de tres
dígitos y divisores de un dígito
• interpretando el resto
• resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que impliquen
divisiones
Figuras 2D y 3D
OA 17: Describir y dar ejemplos de aristas y
caras de figuras 3D, y lados de figuras 2D:
• que son paralelos
• que se intersecan
• que son perpendiculares
Lección
3
Estrategias de cálculo y problemas
OA 5: Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones, aplicando
las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y
división por sobre la adición y sustracción cuando corresponda:
• usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la
suma
• aplicando el algoritmo de la multiplicación
• resolviendo problemas rutinarios
OA 6: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las
cuatro operaciones y combinaciones de ellas:
• que incluyan situaciones con dinero
• usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos
superiores al 10 000
Congruencia
OA 18: Demostrar que comprenden el
concepto de congruencia, usando la
traslación, la reflexión y la rotación en
cuadrículas y mediante software geométrico.
Lección
4
Patrones y secuencias
OA 14: Descubrir alguna regla que explique una sucesión dada, y que
permita hacer predicciones.
Área y perímetro
OA 21: Diseñar y construir diferentes
rectángulos, dados el perímetro o área, o
ambos, y sacar conclusiones.
OA 22: Calcular áreas de triángulos, de
paralelogramos y de trapecios, y estimar
áreas de figuras irregulares aplicando las
siguientes estrategias:
• conteo de cuadrículas
• comparación con el área de un rectángulo
• completar figuras por traslación
Lección
5
Plano cartesiano
OA 16: Identificar y dibujar puntos en el
primer cuadrante del plano cartesiano dadas
sus coordenadas en números naturales.
16
Visión global del año

Unidad 3 Fracciones, números decimales y álgebra Unidad 4 Datos y probabilidades
Objetivos de Aprendizaje
Fracciones y números mixtos
OA 7: Demostrar que comprenden las fracciones propias:
• representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica
• creando grupos de fracciones equivalentes –simplificando y amplificando– de manera
concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con software educativo
• comparando fracciones propias con igual y distinto denominador de manera concreta,
pictórica y simbólica
OA 8: Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de
denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados:
• usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o con
software educativo
• identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos
• representando estas fracciones y estos números mixtos en la recta numérica
Tablas y gráficos
OA 26: Leer, interpretar y completar
tablas, gráficos de barra simple y
gráficos de línea y comunicar sus
conclusiones.
Adición y sustracción de fracciones
OA 9: Resolver adiciones y sustracciones con fracciones propias con denominadores
menores o iguales a 12:
• de manera pictórica y simbólica
• amplificando o simplificando
OA 13: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios aplicando adiciones y sustracciones de
fracciones propias […].
Promedio o media aritmética
OA 23: Calcular el promedio de datos
e interpretarlo en su contexto.
Números decimales
OA 10: Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10.
OA 11: Comparar y ordenar decimales hasta la milésima.
OA 12: Resolver adiciones y sustracciones de decimales empleando el valor posicional
hasta la milésima.
OA 13: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios aplicando adiciones y sustracciones de
fracciones propias o decimales hasta la milésima.
Diagrama de tallo y hojas
OA 27: Utilizar diagramas de tallo
y hojas para representar datos
provenientes de muestras aleatorias.
Ecuaciones e inecuaciones
OA 15: Resolver problemas, usando ecuaciones e inecuaciones de un paso, que involucren
adiciones y sustracciones, en forma pictórica y simbólica.
Probabilidades
OA 24: Describir la posibilidad de
ocurrencia de un evento, empleando
los términos seguro - posible - poco
posible - imposible.
OA 25: Comparar probabilidades de
distintos eventos sin calcularlas.
17

Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT)
Dimensión cognitiva
• exponer ideas, opiniones, convicciones, sentimientos y
experiencias de manera coherente y fundamentada, haciendo
uso de diversas y variadas formas de expresión
• resolver problemas de manera reflexiva en el ámbito escolar,
familiar y social, tanto utilizando modelos y rutinas como
aplicando de manera creativa conceptos y criterios.
Dimensión moral
• valorar el carácter único de cada ser humano y, por lo tanto, la
diversidad que se manifiesta entre las personas, y desarrollar la
capacidad de empatía con los otros.
Proactividad y trabajo
• demostrar interés por conocer la realidad y utilizar el
conocimiento.
• practicar la iniciativa personal, la creatividad y el espíritu
emprendedor en los ámbitos personal, escolar y comunitario
• trabajar en equipo de manera responsable, construyendo
relaciones basadas en la confianza mutua
• comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el
cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la originalidad,
la aceptación de consejos y críticas y el asumir riesgos, por
el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y la
consumación exitosa de tareas y trabajos.
familiar y social, tanto utilizando modelos y rutinas como
conocimiento
emprendedor en los ámbitos personal, escolar y comunitario
consumación exitosa de tareas y trabajos
• reconocer la importancia del trabajo -manual e intelectual-
como forma de desarrollo personal, familiar, social y de
contribución al bien común, valorando la dignidad esencial de
todo trabajo y el valor eminente de la persona que lo realiza.
Tiempo estimado 62 a 72 horas pedagógicas 44 a 48 horas pedagógicas
Unidad 1 Números, operaciones y patrones Unidad 2 Geometría y medición
18

Objetivos de Aprendizaje Transversales
familiar y social utilizando tanto modelos y rutinas como
• demostrar interés por conocer la realidad y utilizar
el conocimiento
• trabajar en equipo, de manera responsable, construyendo
consumación exitosa de tareas y trabajos.
uso de diversas y variadas formas
de expresión
familiar y social utilizando tanto modelos y rutinas como
aplicando de manera creativa conceptos y criterios
• organizar, clasificar, analizar, interpretar y sintetizar la
información y establecer relaciones entre las distintas
asignaturas del aprendizaje.
conocimiento
• trabajar en equipo, de manera responsable, construyendo
consumación exitosa de tareas y trabajos
el conocimiento
emprendedor en los ámbitos personal, escolar
y comunitario
relaciones basadas en la confianza mutua.
70 a 76 horas pedagógicas 34 a 38 horas pedagógicas
Unidad 3 Fracciones, números decimales y álgebra Unidad 4 Datos y probabilidades
19

¿Cómo es tu libro?
Podrás reconocer tu
desempeño en cada
actividad de evaluación.
Reflexiono
Aquí podrás analizar tu
trabajo y la actitud al
enfrentar este primer
acercamiento a la unidad.
Recordarás algunos conceptos, habilidades
y actitudes que facilitarán tu aprendizaje en
la unidad.
¿Cuánto recuerdo?
Estaevaluaciónteayudaráa
sabercuánpreparadoestás
paracomenzarlaunidad.
Atravésdelasactividades
queteproponemos,podrás
determinarquénecesitas
recordarorepasarparacumplir
lasmetasdelaunidad.
Título de la unidad
Se relaciona con el eje temático
que trabajarás en la unidad.
Propósito
de la unidad
Aliniciarlaunidad,
reconoceráslarelaciónque
hayentrelosconocimientos
matemáticosytuentorno,
lasactividadesque
desarrollarásylaactitudcon
laquedebesenfrentarlas.
Punto de partida
En esta sección iniciarás
tu trabajo respondiendo
preguntas relacionadas
con la información y la
imagen presentada.
Mis motivaciones
Podrás registrar tus
motivaciones personales
respecto de los aprendizajes
que desarrollarás.
Lecciones de la unidad
Podrás ver lo que estudiarás en la
unidad, para qué y dónde.
Mis metas, estrategias
y procesos
Te invitamos a que escribas tus
propias metas y estrategias, que
podrás desarrollar a lo largo de
la unidad.
Matemática 5º Básico
4
Inicio de unidad
Evaluación inicial
Te invitamos a conocer la estructura de tu libro para que entiendas para qué te servirá cada sección y cómo
utilizarlo fácilmente.

Practico
Podrásponerapruebatu
aprendizajeenestasección,
dondeteinvitamos,además,
areflexionarsobrelasmejores
estrategiaspararesolverlas
actividades,loqueteparece
másdifícilyloqueno,entre
otrosaspectosrelacionadoscon
tuaprendizaje.
Aprendo
Esta sección introduce los nuevos
conceptos de una manera atractiva y
sencilla, que te permite comprender
y probar nuevas ideas matemáticas.
Reflexiono
Autoevaluación con la que
podrás analizar el progreso
de tus aprendizajes y tus
actitudes durante el desarrollo
de la unidad.
Cuaderno
Páginas del Cuaderno
de ejercicios en las
que podrás seguir
ejercitando lo que
has estudiado.
Esteíconoseñalalas
actividadesparatrabajaren
equipo,yaqueelaprendizaje
noesunprocesosolitario.
Repaso
Enestasecciónrepasarásconceptos
matemáticosqueyaconocesyquete
serviránparalalección.
Reflexiono
Estaspreguntastepermitiránexplicar
lasestrategiasutilizadaseneldesarrollo
delasactividadesycompararlascon
lasdetuscompañerosocompañeras,
establecertusmetasyanalizarqué
puedeshacerparamejorar.
Conceptos clave
Aquíconoceráslosconceptosclavede
lalecciónylospodrásrelacionarconlas
actividadesdelRepaso.
RDC
Cuando veas este ícono,
podrás trabajar con tu curso
los contenidos que están
aprendiendo, a partir de
diversos recursos digitales
complementarios.
RDC 5
5
Inicio de lección
Páginas de desarrollo de contenidos

¿Cómo voy?
Al final de cada lección encontrarás
una evaluación intermedia, que
te ayudará a medir cómo avanzas
en tu aprendizaje y a replantear
estrategias y metas hacia adelante.
¿Qué aprendí?
Es una evaluación más profunda y
global para que puedas saber cuál
es tu nivel de logro en la unidad.
Reflexiono
Aquí analizarás el nivel del logro
de tus metas, evaluarás tus
estrategias y la actitud que has
tenido durante el desarrollo de
la lección.
Reviso mis aprendizajes
Cierre de la unidad en el que podrás
organizar y sintetizar tu trabajo.
Reflexiono
Aquí tendrás la oportunidad de
establecer tus propias metas y de
analizar por ti mismo cómo avanzas
en tu aprendizaje y qué puedes
hacer para mejorar.
6
Evaluación de proceso
Evaluación final

Para finalizar
Al final de la unidad, antes de realizar la
evaluación, tendrás la oportunidad de sintetizar
lo aprendido y de evaluar las estrategias y
metas que te habías propuesto al comienzo.
Cápsulas
Páginas webs en las
que podrás realizar
actividades usando un
software educativo.
Uso de software
Informaciónrelacionadacon
la importancia que tienen
ciertasactitudesparaellogro
detusaprendizajesymetas.
Actitud
Se destaca alguna
habilidad matemática
que estás desarrollando.
Habilidad
Información que
complementa y
profundiza los contenidos
que estés trabajando.
Atención
Practico
1 Estima el área (A) de cada figura. Para ello, cuenta los y considera lo siguiente:
A = 1 unidad cuadrada
A = media unidad cuadrada
Área mayor que media unidad cuadrada
y menor que 1 unidad cuadrada.
Área menor que media unidad cuadrada.
a.
b.
c.
d.
2 Dibuja en una cuadrícula una figura que tenga un área igual a 14 unidades cuadradas
aproximadamente. Explica por qué cumple con la condición dada.
¿Sabes cuál es el área de la palma de tu mano?
Paso 1 Ubica la palma de tu mano sobre el
papel cuadriculado y traza su contorno.
Paso 2 Cuenta los para estimar el área de
la palma de tu mano.
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
• ¿Tuviste dificultades al realizar las actividades?, ¿cómo las superaste?
Reflexiono
Sigue practicando en el cuaderno de ejercicios, páginas 65.
140 141
Manos a la obra
En esta sección podrás realizar entretenidas actividades con
material concreto y de manera colaborativa para comprender
mejor los conceptos y procedimientos que estás aprendiendo.
¡Desafía tu mente!
Te desafía a resolver problemas no rutinarios, para que pongas
en juego tus conocimientos, los procedimientos aprendidos y tus
habilidades de pensamiento.
b. Natalia salió a trotar el lunes y el martes. El lunes trotó 4,55 km y el martes trotó 1,78 km más que el
lunes. ¿Qué distancia recorrió en ambos días?
Lunes
Martes
km
1,78 km
4,55 km
2 Resuelve los siguientes problemas. Muestra tu desarrollo.
a. Un frasco contiene 72,85 mL de un jarabe. Otro frasco contiene 15,2 mL más de jarabe que el primer
frasco. ¿Cuánto jarabe contiene el segundo frasco?
b. Una sandía tiene una masa de 3,6 kg. La masa de un zapallo tiene 0,95 kg menos que la sandía.
¿Cuál es el la masa total del zapallo y la sandía?
c. En la cuarta parte de la distancia entre dos ciudades hay un servicentro, y entre este y la mitad del
camino hay 30,5 km. ¿A qué distancia se encuentran ambas ciudades?
d. Ester ayuda a su vecino a enrollar una cuerda. Esta mide 50,25 m. Ester ha enrollado 14,38 m y su
vecino, 23,95 m. ¿Cuántos metros han enrollado entre los dos? ¿Cuántos metros les falta por enrollar?
e. Ciencias Naturales El ser humano adulto tiene aproximadamente 206 huesos. Entonces, 20,6 huesos
corresponden a un décimo del total de huesos de nuestro cuerpo. ¿Qué significa la operación 206 – 20,6?
¿Cuál es la fracción que representa el resultado de la pregunta anterior?
Ordena estos números en los círculos y en el cuadrado de modo que la suma de los tres números
sobre cada línea sea 4,5.
1,8 1,6
1,4
1,2 1,5
Razonamiento crítico
• Revisa tus respuestas y corrige si es necesario. ¿Para qué te sirve corregir los errores?
• ¿Crees que la estrategia aplicada en la resolución de problemas te servirá para los contenidos de la
próxima lección?
• ¿Demostraste interés o curiosidad ante los desafíos propuestos en este contenido?, ¿por qué?
Reflexiono
Sigue practicando en el cuaderno de ejercicios, páginas 112 a la 121.
251
Lección 3 · Números decimales
3
Unidad
Actividades interdisciplinarias
Oportunidad para relacionar temas, procesos y contenidos con los de
otras asignaturas o ejes de la Matemática.
5 Encierra el número que se representó con palabras.
a. Ochocientos millones siete mil setenta.
800007070 807000070 800070070 807070007
b. Ciento un millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.
111999999 110999999 101999999 100999999
c. Seiscientos trece millones cuatrocientos diez mil cincuenta.
613401005 613401050 613410500 613410050
6 Ciencias Naturales Lee la información y destaca los números representados. Luego, escríbelos con
cifras o con palabras, según corresponda.
¿Sabías que en diez años tu corazón latirá aproximadamente 400000000 veces y que cuando llegues a
los 70 años habrás respirado por lo menos seiscientos millones de veces?
7 Para que el número 3210456 aparezca en la pantalla de tu calculadora, presiona 3 , 2 , 1 ,
0 , 4 , 5 , 6 en orden. Para borrar un número presiona C . Junto con un compañero o
una compañera túrnense para digitar un número de 6 o 7 cifras en la calculadora y pídele que
lea tu número. Recuerda presionar C antes de digitar un nuevo número.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera, por turnos formen
un número de 6 cifras usando las tarjetas con los dígitos 5, 2 y 0.
Comiencen con el dígito 2 o con el 5, por ejemplo 500200.
Paso 2 Luego, digan el dígito utilizado en la primera posición de izquierda
a derecha y traten de adivinar el número de su pareja, escribiéndolo con cifras y con palabras.
Obtiene un punto el que adivina el número de su pareja en tres o menos intentos.
Manos a la obra
Materiales
Ocho tarjetas con el dígito 0,
dos tarjetas con el dígito 5
y dos con el dígito 2.
• ¿Qué actividades te resultaron difíciles de desarrollar?, ¿qué hiciste para poder realizarlas?
• ¿Cómo enfrentaste tus errores?, ¿los corregiste?
• Como pudiste notar, has resuelto problemas relacionados con otras asignaturas, ¿en qué otras áreas
puedes usar Matemática?
• Un estudiante comentó que usar material concreto en la actividad del Manos a la obra le ayudó a resolver
los problemas de manera más creativa. ¿Para qué te ayudó a ti?
Reflexiono
Unidad 1 · Números naturales, operaciones y patrones
36
Lección 1 • Grandes números
Ícono de la calculadora
Cuando veas este ícono, significa que te recomendamos trabajar esa
actividad con calculadora.
Practico
2 Resuelve el siguiente problema. Muestra, paso a paso, tu desarrollo.
Julia tiene 172 estampillas y las quiere pegar en un álbum. En cada página del álbum caben 25 estampillas.
¿Cuántas páginas del álbum necesitará Julia para pegar todas sus estampillas?
Aprendo
Objetivo: Reconocer que algunos problemas se deben resolver en dos pasos.
En el colegio de Roberto quieren construir una cancha
de fútbol. Si el costo del pasto por metro cuadrado (m2
)
es de $990, ¿cuál es el costo de poner pasto en el terreno?
El área (A) del terreno se obtiene como:
A = 110 • 75 = 8250 m2
Luego, calcula el costo del pasto.
El área del terreno
Costo 8250 • 990 = 8167500.
Costo por m2
Respuesta: El costo por poner pasto en el terreno es de $8167500.
E
Practico
3 Completa la resolución del siguiente problema.
Rocío llena el estanque de su automóvil con 45 L de combustible a $710 por litro. ¿Cuánto dinero necesita
para llenar 9 veces el estanque de su automóvil?
Cantidad total de combustible 9 • 45 = L
Costo del combustible • 710 = $
Respuesta: Rocío necesita para llenar 9 veces el estanque de su automóvil.
82
Lección 3 • Estrategias de cálculo y problemas
110 m
75 m
7
Cierre de la unidad
Secciones especiales

Números naturales, operaciones y patrones
Unidad
1
Unidad
1 Propósito de la unidad
La unidad de Números naturales, operaciones y
patrones tiene como objetivo que las y los estu-
diantes amplíen su conocimiento de los núme-
ros, progresando en el ámbito numérico hasta
los millones e integrando los aprendizajes ma-
temáticos adquiridos en los cursos anteriores.
En esta unidad, a través de diversos contextos,
las y los estudiantes representarán números, los
describirán, compararán y aproximarán. Luego,
trabajarán con la multiplicación y la división,
demostrando la comprensión de estas opera-
ciones, su relación y las estrategias de cálculo
mental y escrito, para, por último, integrar lo
aprendido en la resolución de operaciones
combinadas. En el eje Patrones y álgebra, las y
los estudiantes descubrirán reglas para formar
secuencias que les permitan hacer predicciones.
El hilo conductor de esta unidad son los ejes
temáticos de Números y operaciones y
Patrones y álgebra propuestos en el Programa
de Estudios. Esta unidad pretende desarrollar
conciencia numérica en las y los estudiantes a la
vez que desarrollan destrezas de cálculo mental
y escrito para las cuatro operaciones básicas
con números menores que mil millones.
Énfasis de los OAT
y actitudes
De los Objetivos de Aprendizaje Transversales
(OAT) se derivan las actitudes que promueve
la Matemática, las cuales buscan desarrollar
en las y los estudiantes la creatividad y flexi-
bilidad para la búsqueda de soluciones a los
problemas, que exploren diversas estrategias,
escuchen el razonamiento de los demás, que
realicen un trabajo ordenado y metódico, que
demuestren esfuerzo y perseverancia para en-
frentar los desafíos matemáticos, que miren sus
capacidades de forma positiva y que sientan cu-
riosidad por aprender más en esta disciplina. En
esta unidad, a través de sus diversas lecciones
se abordan cada una de estas actitudes.
la unidad
Se amplía el ámbito numérico partiendo por el
conteo de números hasta 10 000 que vieron en
4º básico, utilizando distintas estrategias para
representar, escribir con cifras y con palabras
los números y leerlos usando períodos, esto se
trabaja en forma de espiral retomando siempre
el último ámbito numérico trabajado. Luego, se
utiliza la tabla de valor posicional nuevamente,
pero focalizando la atención en el valor que re-
presenta cada dígito, según la posición en que
se ubique en un número. Continúan el trabajo
de comparar y ordenar números, ya estudiado
en niveles anteriores, pero se extiende al nuevo
ámbito numérico, ubican números en la recta
numérica y lo utilizan como una estrategia para
comparar y ordenar números. La estimación
se trabaja utilizando el valor posicional para
realizar los redondeos a diferentes niveles de
aproximación y se utiliza como apoyo para su
comprensión la ubicación de los números que
se desean aproximar en la recta numérica.
El trabajo con la multiplicación se comienza
con la aplicación de estrategias de cálculo
mental para esta operación, como el anexar
ceros cuando se multiplica por un múltiplo de
10, doblar y dividir por 2 en forma repetida,
usar las propiedades: conmutativa, asociativa,
distributiva. Luego, se trabaja la estimación
de productos, redondeando los factores a la
decena, centena o unidad de mil más cercana,
para llegar al cálculo de multiplicaciones entre
números de dos cifras usando el algoritmo tra-
dicional. La división por números de una cifra
se introduce con la representación de material
concreto para comprender el algoritmo tra-
dicional y se relaciona con la multiplicación
para comprobar los cocientes obtenidos. Se
trabaja la estimación de cocientes y la resolu-
ción de problemas que involucran los cálculos
aprendidos.
Se amplían las estrategias de cálculo para la re-
solución de operaciones combinadas, luego se
enseña el uso de la calculadora para realizar las
cuatro operaciones, de manera que las y los es-
tudiantes puedan utilizarlas con números más
grandes, lo mismo se hace con el computador
a través del uso de una planilla de cálculo. Todo
esto enfocado a la resolución de problemas con
las cuatro operaciones.
En las secuencias, se parte con la identificación
de un patrón de formación en una secuencia
dada, para después trabajar la completación de
secuencias utilizando un patrón, consideran-
do que este puede ser más de uno. Se trabaja
también la descripción de relaciones entre dos
grupos de números.
20

1
Unidad
Lecciones /
Tiempo estimado
Objetivos de Aprendizaje (OA) Indicadores de evaluación
Lección 1:
Grandes números
26 horas
pedagógicas
Representar y describir números
naturales de hasta más de 6 cifras
y menores que 1 000 millones
• identificando el valor posicional
de los dígitos
• componiendo y descompo-
niendo números naturales en
forma estándar y expandida
• aproximando cantidades
• comparando y ordenando nú-
meros en este ámbito numérico
• dando ejemplos de estos
números en contextos reales.
Describen el significado de cada cifra de un número determinado.
Dan ejemplos de números grandes utilizados en medios impresos o
electrónicos.
Aproximan números, usando el valor posicional.
Expresan un número dado en notación expandida.
Escriben en notación estándar el numeral representado en notación
expandida.
Explican y muestran el significado de las cifras en números cuyas cifras
se repiten.
Explican, por medio de ejemplos, estrategias para comparar números.
Ordenan números de manera creciente y decreciente.
Explican el orden de números, empleando el valor posicional.
Dividen en partes iguales tramos de la recta numérica.
Identifican el primer, segundo, tercer,… término en secuencias ordenadas.
Intercalan números entre números en la recta numérica.
Lección 2:
Multiplicación
y división
18 horas
pedagógicas
Aplicar estrategias de cálculo
mental para la multiplicación
• anexar ceros cuando se multi-
plica por un múltiplo de 10
• doblar y dividir por 2 en forma
repetida
• usando las propiedades:
conmutativa, asociativa,
distributiva.
Determinan productos cuando uno de los factores es múltiplo de 10,
100 o 1 000.
Calculan multiplicaciones, aplicando mitades y dobles.
Calculan multiplicaciones, aplicando repetidamente dobles y mitades.
Aplican la propiedad distributiva en multiplicaciones, descomponiendo
en múltiplos de 10.
Doblan multiplicaciones dadas para realizar multiplicaciones.
Usan las propiedades conmutativa y asociativa para multiplicar números.
Demostrar que comprenden
la multiplicación de números
naturales de dos cifras por
números de dos cifras
• estimando productos
• aplicando estrategias de
cálculo mental
• resolviendo problemas rutina-
rios y no rutinarios, aplicando
el algoritmo.
Aplican redondeo para estimar productos y emplean la calculadora
para comprobar la estimación dada.
Aplican la propiedad distributiva para multiplicar números.
Usan propiedades del cálculo mental, como las propiedades
conmutativa y asociativa, para multiplicar números.
Muestran los pasos que se debe dar para multiplicar números de dos
dígitos por 11, 12, … 19, usando bloques de base diez, y registran el
proceso simbólicamente.
Resuelven multiplicaciones en el contexto de problemas rutinarios y
no rutinarios, usando el algoritmo de la multiplicación.
Demostrar que comprenden la
división con dividendos de tres
cifras y divisores de una cifra
• interpretando el resto
• resolviendo problemas
rutinarios y no rutinarios
que impliquen divisiones.
Modelan la división como el proceso de reparto equitativo, usando
bloques de base diez, y registran los resultados de manera simbólica.
Explicanelrestodeunadivisiónentérminosdelcontexto.
Ignoran el resto de divisiones en el contexto de situaciones. Por ejemplo:
determinan que 5 equipos de 4 personas cada uno se pueden formar
con 22 personas.
Redondeancocientes.
Expresan restos como fracciones.
Expresan restos como decimales.
Resuelven un problema no rutinario de división en contexto, usando el
algoritmo y registrando el proceso.
21

Lecciones /
Tiempo estimado
Lección 3:
Estrategias
de cálculo y
problemas
12 horas
pedagógicas
Realizar cálculos que involucren
las cuatro operaciones, aplicando
las reglas relativas a paréntesis y
la prevalencia de la multiplicación
y división por sobre la adición y
sustracción cuando corresponda:
• usando la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de
la suma
• aplicando el algoritmo de la
multiplicación
• resolviendo problemas rutinarios.
Realizan operaciones combinadas de sumas y restas.
Realizan operaciones combinadas de sumas y restas que
involucran paréntesis.
Calculan expresiones desconocidas en igualdades en que
intervienen sumas y restas.
Resuelven sumas y/o restas de multiplicaciones y/o divisiones.
Aplican reglas de paréntesis en la operatoria con expresiones numéricas.
Resolver problemas rutinarios y no
rutinarios que involucren las cuatro
operaciones y combinaciones de ellas:
• que incluyan situaciones con dinero
• usando la calculadora y el com-
putador en ámbitos numéricos
superiores al 10 000.
Seleccionan y usan una estrategia para estimar la solución de un
problema dado.
Demuestran que la solución aproximada a un problema no
rutinario dado, no requiere de una respuesta exacta.
Determinan respuestas aproximadas.
Estiman la solución de un problema dado y lo resuelven.
Resuelven problemas matemáticos relativos a cálculos de
números, usando la calculadora.
Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema
dado y lo resuelven.
Determinan lo razonable de una respuesta a un problema no rutinario.
Evalúan la solución de un problema en su enunciado.
Explican la estrategia utilizada para resolver un problema.
Lección 4:
Patrones y
secuencias
6 horas
pedagógicas
Descubrir alguna regla que explique
una sucesión dada, y que permita
hacer predicciones
Extienden un patrón numérico con y sin materiales concretos, y
explican cómo cada elemento difiere de los anteriores.
Muestran que una sucesión dada puede tener más de un patrón
que la genere. Por ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, … puede tener
como patrón los números pares consecutivos, o podría ser
continuada como 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7,… y en este caso podría tener
un patrón de cuatro números pares consecutivos y cuatro números
impares consecutivos.
Dan ejemplos de distintos patrones para una sucesión dada y
explican la regla de cada uno de ellos.
Dan una regla para un patrón en una sucesión y completan los
elementos que siguen en ella, usando esa regla.
Describen, oralmente o de manera escrita, un patrón dado, usando
lenguaje matemático, como uno más, uno menos, cinco más.
Describen relaciones en una tabla o un gráfico de manera verbal.
Habilidades Representar
• Usar representaciones para comprender mejor problemas e información matemática.
• Extraer información y representarla matemáticamente en tablas, interpretando los datos extraídos.
• Formular preguntas y posibles respuestas frente a suposiciones y reglas matemáticas.
• Comunicar razonamientos matemáticos describiéndolos procedimientos utilizados.
• Identificar un error y corregirlo.
• Documentar el procedimiento para resolver problemas.
22

Modelar
• Traducir expresiones de lenguaje cotidiano a lenguaje matemático y viceversa.
• Modelar situaciones cotidianas identificando regularidades.
Resolver problemas
• Reconocer e identificar los datos esenciales de un problema matemático.
• Resolver problemas, aplicando una variedad de estrategias, como la estrategia de los cuatro pasos.
• Evaluar estrategias de resolución de problemas de otros.
¿Cuánto recuerdo? 13 y 14 Texto del estudiante Inicial: Números naturales, operaciones y patrones
Repaso 15 Texto del estudiante Inicial: Grandes números
¿Cómo voy? 48 Texto del estudiante De proceso: Grandes números
Repaso 49 Texto del estudiante Inicial: Multiplicación y división
¿Cómo voy? 74 Texto del estudiante De proceso: Multiplicación y división
Repaso 75 Texto del estudiante Inicial: Estrategias de cálculo y problemas
¿Cómo voy? 85 Texto del estudiante De proceso: Estrategias de cálculo y problemas
Repaso 86 Texto del estudiante Inicial: Patrones y secuencias
¿Cómo voy? 90 Texto del estudiante De proceso: Patrones y secuencias
¿Qué aprendí? 92 a 95 Texto del estudiante Final: Números naturales, operaciones y patrones
Actividades complementarias 60 a 62 Guía didáctica del docente De proceso
Evaluación Unidad 1 65 a 67 Guía didáctica del docente Evaluación final unidad (fotocopiable)
19 Texto del estudiante Representar cantidades con billetes y monedas del sistema monetario nacional.
36 Texto del estudiante Formar números con tarjetas con dígitos.
43 Texto del estudiante Construirunarectanuméricaparaubicarycompararnúmerosentre10 000 000y20 000 000.
78 Texto del estudiante Crear operaciones combinadas con tarjetas con dígitos y símbolos, y resolverlas.
80 Texto del estudiante Resolver operaciones combinadas utilizando la planilla de cálculo de un computador.
89 Texto del estudiante
Continuar una secuencia de figuras conociendo la regla o patrón de formación e
identificar la relación que hay entre dos conjuntos de números.
32 Guía didáctica del docente Buscar números mayores usando Internet.
Prerrequisitos
Conteo, lectura y escritura de números naturales hasta el 10 000, representar y describir números hasta el 10 000, com-
parar y ordenar números hasta el 10 000, estimar productos de 3 dígitos por 2 dígitos y cocientes de hasta 4 dígitos por
1 dígito, resolver problemas aplicando las cuatro operaciones.
23
1
Unidad

Inicio de unidad
Páginas 10 a 12
Comience trabajando el inicio de unidad a partir de la
imagen y los diálogos de los niños y niñas que ahí apare-
cen. A partir de los comentarios de las y los estudiantes,
guíe la conversación hacia los temas que se verán en esta
unidad: números hasta mil millones, multiplicación y divi-
sión, operaciones combinadas y problemas, patrones y se-
cuencias. Luego, pídales que lean la tabla de la página 10
para enfatizar qué aprenderán en la unidad y la utilidad
de estos aprendizajes para comprender los contenidos
que se les irán presentando.
A partir de lo anterior, solicíteles que registren en la
sección Mis motivaciones sus motivaciones personales
respecto de los aprendizajes a ser desarrollados.
Oriente el trabajo de la sección Punto de partida para
obtener evidencia acerca de los conocimientos previos,
las expectativas y las fortalezas y debilidades con que los
niños y niñas consideran que se enfrentan a la unidad.
En la página 12 se retoma una parte de la imagen inicial,
y se entrega a las y los estudiantes información adicional.
A partir de esta información se plantean preguntas que
les permitirán reconocer y registrar sus aprendizajes
previos, lo cual los hace ser conscientes de lo que saben.
utilizaron en temas que son prerrequisitos y a partir de
ellos puedan fijar metas personales, anticipar dificultades y
establecer estrategias tendientes al logro de dichas metas.
Permítales que conversen sobre esto y recuérdeles que en
el transcurso de la unidad pueden evaluar sus estrategias y
agregar o cambiar algunas si lo consideran necesario.
¿Cuánto recuerdo?
Evaluación inicial
Páginas 13 y 14
Use esta sección como instrumento diagnóstico para
evaluar el nivel de conocimientos de las y los estudiantes.
Asegúrese también de que ellos sepan las fortalezas y debi-
lidades con que comienza cada uno, de manera que puedan
proponerse remediales y metas específicas.
En este instrumento se evalúa la representación y des-
cripción de números, el cálculo escrito de multiplicaciones
y divisiones y la identificación y descripción de patrones
numéricos en tablas. Para asegurar la comprensión de
las y los estudiantes puede realizar preguntas como: ¿qué
estrategias utilizaron para leer los números?, ¿cómo resolvieron
las multiplicaciones?, ¿qué relación hay entre la multiplica-
ción y la división?, ¿qué relación hay entre los datos de la tabla?
ción son:
1
Representación, comparación y
estimación de números hasta
el 10 000.
Argumentar
y comunicar,
representar.
2 y 3
Resolución de multiplicaciones
de números de tres cifras por
números de una cifra y resolución
de divisiones de números de dos
cifras en números de una cifra.
Resolver
problemas,
argumentar y
comunicar.
4
Descripción y aplicación de un
patrón de una secuencia.
Representar.
su desempeño.
Para estudiantes con dificultades
En la actividad 2, entrégueles una hoja cuadriculada
para que puedan escribir los números y desarrollar su
cálculo de una manera más ordenada. Para la resolución
de las actividades 3 y 4 puede darles material concreto
como fichas para representar las situaciones propuestas.
Para estudiantes avanzados
Puede motivarlos a crear ejercicios similares a los reali-
zados y proponerles intercambiarlos con un compañero
o una compañera para su desarrollo.
24
Unidad
1

2
Unidad
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Números hasta
100 000
(págs. 16 a 19)
3 horas
pedagógicas
Representar y
describir números
naturales de hasta
más de 6 cifras y
menores que
1 000 millones
• identificando el
valor posicional
de los dígitos
• componiendo
y descompo-
niendo números
naturales en
forma estándar
y expandida
• aproximando
cantidades
• comparando
y ordenando
números en este
ámbito numérico
• dando ejemplos
de estos núme-
ros en contextos
reales.
• Describen el significa-
do de cada dígito de un
número determinado.
• Danejemplosdenúme-
ros grandes utilizados
en medios impresos o
electrónicos.
• Expresan un número
dado en notación
expandida.
• Escriben en notación
estándar el numeral
representado en nota-
ción expandida.
• Explican y muestran el
significado de las cifras
en números cuyas
cifras se repiten.
Contar hasta el
diez mil.
Cuentan de diez mil en
diez mil.
Relacionan los
números obtenidos.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Escribir con cifras
y con palabras un
número representado
en la tabla de valor
posicional.
Completan tablas
de valor posicional y
escriben números con
cifras y con palabras.
Leer números hasta
100 000 usando
períodos y escribirlos
con palabras.
Leen números y
escriben con palabras
números escritos con
cifras y viceversa.
Representan
cantidades usando
monedas y billetes del
sistema monetario
nacional.
Números hasta
1 000 000
(págs. 20 a 23)
3 horas
pedagógicas
Contar decenas
de mil.
Cuentan de cien mil en
cien mil.
Relacionan los
números obtenidos.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Escribir con cifras
y con palabras un
posicional.
Escriben números con
Analizan información
que contiene
números en el ámbito
numérico trabajado
hasta el momento.
Leer números hasta
1 000 000 usando
con palabras.
Leen números y
escriben con palabras
números escritos con
cifras y viceversa.
25
Esta lección se organiza en torno a los Objetivos de Aprendizaje (OA) del Eje Números y operaciones. El propósito
principal de esta lección es que al término de ella las y los estudiantes sean capaces de contar, leer, representar y
escribir números hasta 1 000 millones, además de comparar, redondear y estimar estos números. Para conseguir este
objetivo, la mayoría de las actividades de esta lección apuntan a que las y los estudiantes, usando diversos contextos,
puedan desarrollar su sentido numérico, comprender los números y usarlos de manera adecuada.
Grandes números (páginas 15 a 48) 1
Unidad
Lección
1

Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Números hasta
10 000 000
(págs. 24 a 28)
3 horas
pedagógicas
Representar y
describir números
naturales de hasta
más de 6 cifras y
menores que 1 000
millones
valor posicional
de los dígitos
• componiendo y
descomponiendo
números natu-
rales en forma
estándar
y expandida
• aproximando
cantidades
• comparando y or-
denando números
en este ámbito
numérico
• dando ejemplos de
estos números en
contextos reales.
• Describen el
significado de
cada dígito de un
número determi-
nado.
• Danejemplosde
números grandes
utilizados en
medios impresos
o electrónicos.
• Expresan un
número dado en
notación expan-
dida.
• Escriben en
notación están-
dar el numeral
representado en
notación expan-
dida.
• Explican y mues-
tran el significado
de las cifras en
números cuyas
cifras se repiten.
Contar decenas
de mil.
Cuentan de un millón en
un millón.
Analiza el proceso
de conteo.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Escribir con cifras
y con palabras un
posicional.
Leer números
hasta 10 000 000
agrupándolos en
con palabras.
Leen y escriben con
palabras números
escritos con cifras
y viceversa.
Escriben números de
siete cifras.
Escriben números a partir
de condiciones dadas.
Resuelven y crean
problemas.
Números hasta
100 000 000
(págs. 29 a 32)
3 horas
pedagógicas
Contar unidades
de millón.
Cuentan de diez millones
en diez millones.
Verbalizan una estrategia
de conteo y la relacionan
con el conteo de otros
números.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Leer números
hasta 100 000 000
agrupándolos en
con palabras.
Leen números y los
escriben con cifras y
con palabras.
Buscan información
que contiene números y
responden preguntas.
Resuelven problemas.
Números hasta
1 000 000 000
(págs. 33 a 36)
3 horas
pedagógicas
Contar las decenas
de millón.
Cuentan de cien millones
en cien millones.
Relacionan los números
obtenidos.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Escribir con cifras
y con palabras un
posicional.
Leer los números
hasta 1 000 000 000
usando períodos
y escribirlos con
palabras.
Leen números y los
escriben con cifras y con
palabras.
Forman números de
6 cifras y juegan a
adivinarlos.
26

Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de Apren-
dizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Valor
posicional
(págs. 37 a 40)
4 horas
pedagógicas
Representar y
describir números
naturales de hasta
más de 6 cifras y
menores que
1 000 millones
valor posicional
de los dígitos
• componiendo
y descompo-
niendo números
naturales en
forma estándar y
expandida
• aproximando
cantidades
• comparando
y ordenando
números en este
ámbito numérico
• dando ejemplos
de estos núme-
ros en contextos
reales.
• Aproximan núme-
ros, usando el valor
posicional.
• Explican, por
medio de ejem-
plos, estrategias
para comparar
números.
• Ordenan números
de manera cre-
ciente y decre-
ciente.
• Explican el orden
de números,
empleando el valor
posicional.
• Dividen en partes
iguales tramos de
la recta numérica.
• Identifican el
primer, segundo,
tercer,… término
en secuencias
ordenadas.
• Intercalan números
entre números en la
recta numérica
Identificar el
valor que tiene
cada dígito según
la posición que
ocupe en el
número.
Identifican el valor
posicional de un dígito
en un número.
Identifican un dígito según
su posición en un número.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Escribir un número
en forma estándar
y en forma
expandida.
Identifican en un número,
uno de los dígitos que lo
forman, según su posición,
indican el valor que
representa ese dígito en
dicho número e identifican
la posición dado otro dígito
del número.
Descomponen números en
forma estándar y expandida.
Componen números a
partir de su forma estándar
o expandida.
Analizan información en
contexto que involucra
valor posicional.
Comparación
de números
hasta
1 000 000 000
(págs. 41 a 43)
3 horas
pedagógicas
Comparar
números usando
la tabla de valor
posicional.
Comparan números
utilizando los términos
mayor que, menor que
y los símbolos > y <.
Verbalizan la estrategia
que utilizan para
comparar números.
Ordenanungrupodenúmeros.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Ubicar números
en la recta
numérica y
compararlos.
Construyen una recta
numérica y ubican números
en ella.
Redondeo y
estimación
(págs. 44 a 47)
3 horas
pedagógicas
Redondear
números a la
unidad de mil
mayor.
Redondean números a
la unidad de mil mayor
utilizando una recta numérica.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Redondear
números a la
centena de mil
mayor.
Redondean números a
la centena de mil mayor
utilizando una recta numérica.
Redondear
números
a la centena de
mil menor.
Redondean números
a distintos niveles de
aproximación.
Usar el redondeo
para estimar
sumas
y diferencias.
Estiman sumas y diferencias
redondeando los términos
de cada operación.
27
1
Unidad

28
OAT
• exponer ideas, opiniones, convicciones, sentimientos
y experiencias de manera coherente y fundamenta-
da, haciendo uso de diversas y variadas formas de
expresión.
• resolver problemas de manera reflexiva en el ámbito
escolar, familiar y social, tanto utilizando modelos y
rutinas como aplicando de manera creativa conceptos
y criterios.
Dimensión moral
• valorar el carácter único de cada ser humano y,
por lo tanto, la diversidad que se manifiesta entre las
personas, y desarrollar la capacidad de empatía
con los otros.
el conocimiento.
• practicar la iniciativa personal, la creatividad y el
espíritu emprendedor en los ámbitos personal, escolar
y comunitario.
• trabajar en equipo de manera responsable, constru-
yendo relaciones basadas en la confianza mutua.
• comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cum-
plimiento, por un lado, y la flexibilidad, la originalidad, la
aceptación de consejos y críticas y el asumir riesgos, por
el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y
la consumación exitosa de tareas y trabajos.
Recursos
Billetes y monedas, diarios, revistas o algún dispositivo con
Internet,tarjetascondígitos,reglayhojadepapelcuadriculado.
Conceptos clave
Decena de mil, centena de mil, unidad de millón, centena
de millón, decena de millón, descomposición aditiva, valor
posicional, redondear, estimar.
Preguntas relevantes en la clase de Matemática
SegúnDonnaL.Knoell,algunaspreguntasquesepueden
formular durante la clase para asegurar la comprensión
de las y los estudiantes son:
• ¿Qué te hace pensar eso?
• ¿De qué otras maneras podemos intentar hacer esto?
• ¿Puedes pensar en otras cosas que hayamos apren-
dido en Matemática y que se parezcan a esto?
• ¿Cómo más puede hacerse esto?
• ¿Cómo más podemos resolver esto?
Ventana de profundización:
• ¿Hay otras formas en que podamos intentar resol-
ver esto?
• ¿Crees que obtendremos un resultado diferente si...?
• ¿Qué fue lo que pasó en este caso?¿Hay algo que
podamos hacer o usar para mostrar esto?
• ¿Qué de lo que estás viendo o pensando te hace
decir eso?
• ¿Existen herramientas matemáticas u otras maneras
para mostrar nuestras ideas?
• ¿Puedes dibujar algo que nos ayude a entender
tu reflexión?
• ¿Puedes pensar en un ejemplo del uso de este
concepto matemático en la vida cotidiana?
Traducido de: L. Knoell, D (2015). “Employing Effective
Questioning Strategies and Mathematical Discourse to
Increase Achievement”. NCTM Annual Conference.
April 15-18, 2015.
Repaso
Página 15
Puede utilizar esta sección para activar los conocimientos
previos o como una herramienta de diagnóstico para reco-
nocer el nivel de las y los estudiantes respecto de los co-
nocimientos previos que le serán útiles para esta lección.
En el ítem 1 se evalúa la escritura de números con palabras,
con cifras y en forma desarrollada. Mientras que en el ítem
2, se evalúa la identificación del valor que representa un dígi-
to según su posición y la relación con el valor que representa
en otra posición. En el ítem 3 se evalúa la comparación de
números y en el ítem 4 la estimación de sumas y diferencias
obtenidas de adiciones y sustracciones con números de tres
cifras, redondeando a la centena más cercana. Recuerde a
sus estudiantes, que, al redondear a la centena más cercana,
debenfijarseeneldígitoqueocupaellugardelasdecenas.Si
este es 0, 1, 2, 3 o 4 deben redondear a la centena menor. Si
es mayor o igual que 5, deben redondear a la centena mayor.
Si nota que algunos de sus estudiantes tienen dificultades
para activar sus conocimientos previos y resolver correcta-
mente estos ejercicios, se sugiere que:
• Usen tablas de valor posicional si lo considera necesario.
• Escriba 11 111 en el pizarrón. Pídales que identifiquen
el valor posicional de cada dígito escribiéndolos
en una tabla de valor posicional, recuérdeles que 1
decena equivale a 10 unidades, 1 centena equivale a
10 decenas, y así sucesivamente. Luego, pídales que
escriban los números 10 000 y 9 999 en la tabla de
valor posicional. Recuérdeles que una decena de mil

1
Unidad
29
equivale a 10 mil unidades. Explíqueles, que al com-
parar las unidades de mil de los dos números, pueden
ver que 10 mil unidades es mayor que 9 mil unidades.
Entonces, 10 000 es mayor que 9 999. Ofrezca otros
ejemplos de refuerzo. También puede ser útil mostrar
la comparación de dos números de 4 cifras.
• Repase los dos métodos de estimación. Resalte la
diferencia entre ambos y pregunte: ¿cuál método da
una estimación más cercana? ¿Cuál es más fácil de hacer?
¿Cómo lo saben? ¿Por qué?
Corrija las actividades en conjunto y asegúrese de aclarar
las dudas que surjan, dando ejemplos cuando sea necesario.
Pídales que respondan la sección Conceptos clave. Esto le
permitirá conocer los preconceptos asociados a esta lección.
Para complementar esta actividad, puede solicitar a sus
estudiantes que elaboren un diagrama con los conceptos
principales, el cual, posteriormente pueden confeccionar en
cartulina para dejar pegado en el muro de la sala de clases.
Finalmente, dé el tiempo necesario para que las y los
estudiantes respondan las preguntas de metacognición
planteadas en la sección Reflexiono. Permítales que com-
partan sus respuestas, destacando la importancia de es-
cuchar en forma respetuosa las respuestas de los demás.
Números hasta 100 000
Páginas 16 a 19
Estas páginas tienen como objetivos centrales que las y los
estudiantes escriban los números hasta el 100 000 con
cifras, con palabras y en forma desarrollada.
Aprendo: Contar hasta el diez mil. (Página 16)
Active los conocimientos de sus estudiantes preguntando
qué parques conocen. Realice juegos de imaginería sobre
cómo dimensionan una hectárea. Pídales que expliquen
con sus palabras qué entienden por aproximadamente.
Ayude a que las y los estudiantes establezcan la relación
entre el dígito de la unidad de mil y la lectura del número.
Para empezar, sus estudiantes comienzan contando de mil
en mil, que es un tema estudiando en 4º básico. Muestre
el número 9 000 en la tabla de valor posicional. Luego,
indique que 9 000 + 1 000 es diez mil y muéstrelo en la
tabla de valor posicional.
Escriba con cifras y con palabras el número 10 000 en
la pizarra. Pregunte: si cuentas de 1 en 1, ¿qué número está
justo antes del 10 000? (9 999). ¿Y cuál viene justo después
de 10 000? (10 001).
Repase el conteo de las decenas de mil mientras ubica las
fichas de valor posicional, una por una, en la posición de
las decenas de mil en la tabla de valor posicional. Pida a sus
estudiantes leer el contenido de la cápsula Atención para
guiarlosenlalecturadelosnúmerosdelconteo.Pregúnteles
qué número continúa después del 90 000. Explique que, en
vez de ubicar 10 fichas en la posición de las decenas de mil,
pueden ubicar una sola ficha en el lugar de las centenas de
mil porque 1 centena de mil equivale a 10 decenas de mil.
Guíe a las y los estudiantes para que relacionen el conteo
de 1 000 en 1 000 y el de 10 000 en 10 000 con el conteo
de números de 1 en 1 o de 10 en 10, a través de compara-
ciones entre ellos.
Resalte en sus estudiantes la confianza en sus capacidades
y la valoración de sus logros tal como muestra la cápsula
Actitud. Anímelos a contar experiencias en las que esta
actitud la hayan puesto en práctica.
Aprendo: Escribir con cifras y con palabras un número
representado en la tabla de valor posicional. (Página 17)
Pida a sus estudiantes que digan el valor posicional de
cada dígito con palabras, por ejemplo: diez mil, cinco mil.
Luego, guíelos a ver que estos se pueden juntar para leerse
como: quince mil.
Señale que el cero no se expresa al escribir el número con pa-
labras o al leerlo. Realice ejemplos en el pizarrón como 9 044;
2 203,entreotrosparaquesusestudianteslosescribanylean.
Destaque la ortografía al escribir los números con palabras,
especialmente de aquellas palabras fáciles de escribir con
error, como, por ejemplo, doce, diez, doscientos, trescien-
tos, así como también, recuerde a sus estudiantes que los
números mayores que treinta se escriben usando el conec-
tor “y”, en cambio los menores a este, en una sola palabra.
Como actividad de extensión puede jugar con secuen-
cias rítmicas contando de 1 000 en 1 000 o de 10 000 en
10 000 en voz alta.
Aprendo: Leer números hasta 100 000 usando períodos
y escribirlos con palabras. (Página 18)
Guíe a sus estudiantes a comprender que pueden leer un
número de cinco cifras, si saben leer números de tres ci-
fras. Explique que, deben leer las dos primeras cifras como
un número de dos cifras y la palabra mil, y luego leen las
tres últimas cifras. El número 42 571 se lee como cuarenta
y dos mil quinientos setenta y uno.
Invite a sus estudiantes a demostrar la comprensión de la
lectura de números con otros ejemplos. Resalte la palabra
mil que se incluye en el primer período.

30
Proponga a sus estudiantes representar en la tabla de valor
posicional los números propuestos en las actividades 7 y 8.
De este modo, se facilitará la identificación y la lectura de
los períodos presentes en estos números. En la actividad
9 pregunte a sus estudiantes qué estrategia utilizaron para
continuar el conteo. Para las actividades 10 y 11 pida a sus
estudiantes comparar sus respuestas y corregir los errores
cometidos. Destaque en la actividad 12 el vínculo con la asig-
natura de Ciencias Naturales y proponga otros ejemplos.
Cuaderno
las actividades de la página 6 del
Cuaderno de ejercicios.
que comparen las estrategias utilizadas para representar
números hasta el 100 000. Puede escribir estas respuestas
enunacartulinaypegarlasenelmurodelasaladeclases,de
modo que sus estudiantes, cuando lo requieran recuerden
cómo describir y representar números hasta el 100 000.
Manos a la obra Representar cantidades con
billetes y monedas. (Página 19)
Antesdeiniciarestaactividad,resaltelaimportanciadeltra-
bajo en equipo, el dividirse los roles para un trabajo eficiente,
el escucharse con respeto para tomar acuerdos. También,
con anticipación solicite a sus estudiantes que recorten el
material recortable del sistema monetario para la actividad.
Para finalizar la sección, puede solicitar a los grupos que ex-
pliquen las estrategias que usaron para representar la canti-
dad dada, los errores cometidos y que señalen sugerencias
para enfrentar este tipo de ejercicios.
Representación con diversos lenguajes
La manera de expresar nuestras ideas influye en cómo
las personas pueden comprender y usar dichas ideas.
Por ejemplo, es diferente la comprensión que tenemos
de los números naturales cuando los representa-
mos mediante dígitos o mediante la recta numérica.
Algunos autores como Wittgenstein piensan incluso,
que sin el lenguaje no hay tales ideas, ya que estas no
son otra cosa que reglas gramaticales de los lenguajes
que usamos para describir nuestro mundo.
Ejemplo: sin la palabra “triángulo” (u otra que tenga los
mismos usos) no existiría la idea de triángulo. Esta idea
no es más que una regla para describir un cierto tipo
de objetos (con tres vértices, con tres lados, suma de
ángulos igual a 180 grados, etc.).
El lenguaje matemático tiene además una doble función:
• representacional: nos permite designar objetos
abstractos que no podemos percibir;
• instrumental: como herramienta para hacer el
trabajo matemático. El valor instrumental pue-
de ser muy diferente según se trate de palabras,
símbolos, o gráficas. En consecuencia, el estudio
de los diversos sistemas de representación para un
mismo contenido matemático es necesario para la
comprensión global del mismo.
El lenguaje es esencial para:
• comunicar las interpretaciones y soluciones de los
problemas a los compañeros o el profesor;
• reconocerlasconexionesentreconceptosrelacionados;
• aplicar las matemáticas a problemas de la vida real
mediante la modelización.
• para utilizar los nuevos recursos tecnológicos que
se pueden usar en el trabajo matemático.
Fuente: Godino, J.; Batanero, C.; Font, V.
Fundamentos de la Enseñanza y el Aprendizaje de las
Matemáticas para Maestros
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros/
Números hasta 1 000 000
Páginas 20 a 23
los estudiantes escriban números hasta 1 000 000 con
Aprendo: Contar decenas de mil. (Página 20)
Luego de contar de 10 000 en 10 000, ayude a sus estu-
diantes a establecer la relación entre el dígito de la decena
de mil y la lectura del número. Para las y los estudiantes
más concretos, utilice una tabla de valor posicional para
contar las decenas de mil hasta cien mil.
Para comprender lo qué significa 1 centena de mil, ubique
fichas, una por una, en la tabla de valor posicional, en la
posición de las decenas de mil y pida a sus estudiantes que
cuenten las decenas de mil hasta 9 decenas de mil. Señale
que 1 decena de mil es igual a 10 000 y que 2 decenas de
mil es igual a 20 000 y así sucesivamente. Luego, agre-
gue otra ficha y pregunte: ¿Qué obtienen cuando suman
1 decena de mil y 9 decenas de mil? (10 decenas de mil)
Guíe a sus estudiantes para que noten que 1 decena de

1
Unidad
31
mil + 9 decenas de mil equivalen a 1 centena de mil, es
decir, 100 000. Finalmente pregunte: ¿A cuánto equivalen
10 decenas de mil? (Equivalen a 100 000).
Escriba 100 000 y las palabras una centena de mil en el
pizarrón. Demuestre que 10 fichas en la posición de las
decenas de mil se pueden remplazar con una ficha en la
posición de las centenas de mil. Resalte que 10 decenas de
mil equivalen a 1 centena de mil. Registre lo anterior en una
cartulina y péguela en el muro de la sala de clases.
Después de comentar la actividad de la sección Aprendo,
pida a varios estudiantes que formulen preguntas sobre
lo que aprendieron y elija a otros estudiantes para que las
respondan.
Usando el ejemplo, guíelos a ver que, en la escritura con ci-
fras, los dígitos se anotan de izquierda a derecha comenzan-
do con el dígito ubicado en la posición de las centenas de mil.
Muestre regularidades como las siguientes:
500 quinientos y 500 000 quinientos mil.
Pida a sus estudiantes que comparen con un compañero
o una compañera sus respuestas a las actividades 2 y 3.
Explíqueles que al justificar sus respuestas están desarro-
llando la habilidad de argumentar y comunicar tal como
muestra la cápsula Habilidad. Enfatice que esta habilidad
les permite validar lo aprendido, darse cuenta de lo que
saben y expresarse en lenguaje matemático.
Pida a sus estudiantes que digan el valor posicional de cada
dígito con palabras, por ejemplo: seiscientos mil, cincuenta
mil. Luego, guíelos a ver que estos se pueden juntar para
leerse como: seiscientos cincuenta y tres mil ciento cuatro.
Señale que el cero no se expresa al escribir el número con
palabras o al leerlo, tal como se muestra en la cápsula
Atención. Realice ejemplos en el pizarrón como 456 098;
340 521, entre otros para que sus estudiantes los escriban
con palabras y luego los lean.
En la actividad 4, guíe a sus estudiantes para que identifi-
quen el valor posicional de cada dígito, mirando la cantidad
de fichas en cada posición de la tabla de valor posicional.
Anímelos a escribir el dígito en cada posición tanto con
cifras como con palabras antes de combinar o juntar los
valores y las palabras para escribir el número en ambas
formas. Sus estudiantes pueden trabajar de manera indivi-
dual y luego comparar con un compañero o una compañera
la escritura del número con cifras y con palabras. En los
casos en que uno de los dígitos es 0, fíjese que sus es-
tudiantes sepan manejar este dígito cuando escriben el
número de ambas formas.
Invite a sus estudiantes a investigar sobre metales o ali-
mentos para crear problemas como los que aparecen en
la actividad 5.
Incentive en sus estudiantes el abordar de manera crea-
tiva la búsqueda de soluciones a problemas tal como
muestra la cápsula Actitud, animándolos a dibujar, reali-
zar esquemas o usar material concreto.
Actividad sugerida
Puede pedir a sus estudiantes que se organicen en pare-
jas y se turnen para participar de un juego de números. El
estudiante A forma un número de 6 cifras con los dígitos
5, 2 y 0 (por ejemplo 50 200) y le dice a su pareja el pri-
mer dígito del número. El estudiante B tiene tres intentos
para adivinar el número, el cual, debe escribir con cifras y
con palabras (50 200 / Cincuenta mil doscientos). Antes
de adivinar, el estudiante B puede hacer preguntas que se
respondan de manera afirmativa o negativa.
Aprendo: Leer números hasta 1 000 000 usando períodos
y escribirlos con palabras. (Página 23)
número de seis cifras, si saben leer números de tres cifras.
Explique que, para leer un número de seis cifras, se leen
las tres primeras cifras como un número de tres cifras
más la palabra mil, y luego se leen las tres últimas cifras.
El número 497 000 se lee como cuatrocientos noventa y
siete mil, y el número 832 se lee como ochocientos treinta
y dos. Luego, 497 832 se lee como cuatrocientos noventa
y siete mil ochocientos treinta y dos.
Invite a sus estudiantes a demostrar la comprensión de
la lectura de números con el segundo ejemplo. Resalte la
palabra mil que se incluye en el primer período.
Recuerde a sus estudiantes que pueden usar períodos
como ayuda al leer y escribir con palabras los números
de la actividad 6. Para desarrollar la actividad 7 pida a sus
estudiantes destacar la palabra mil y luego identificar los
períodos en cada número.
Como actividad de extensión puede entregar a sus es-
tudiantes revistas de productos y pedirles que lean los
precios o que los recorten, peguen en sus cuadernos y
escriban sus precios con palabras.

32
Para aquellos estudiantes más concretos, use tablas de
valor posicional para representar los números.
Cuaderno
la pregunta de metacognición planteada en la sección
comenten acerca de la utilidad de la lectura y escritura con
palabras de un número.
Páginas 24 a 28
los estudiantes escriban números hasta 10 000 000 con
Aprendo: Contar centenas de mil. (Página 24)
Para la comprensión de 1 millón, ubique fichas, una por
una, en la tabla de valor posicional en la posición de las
centenas de mil y pida a sus estudiantes que cuenten las
centenas de mil hasta 9 centenas de mil. Señale que 1
centena de mil es igual a 100 000, 2 centenas de mil es
igual a 200 000, y así sucesivamente. Agregue otra ficha
y pregunte: ¿Qué obtienes cuando sumas 1 centena de mil y
9 centenas de mil? (10 centenas de mil, es decir 1 000 000)
Escriba en el pizarrón con cifras y con palabras 1 millón.
Demuestre que 10 fichas en la posición de las centenas de
mil se pueden remplazar con una ficha en la posición de
los millones. Resalte que 10 centenas de mil equivalen a 1
millón. Registre lo anterior en una cartulina y péguela en el
muro de la sala de clases.
En la actividad 1 sus estudiantes cuentan millones hasta
10 millones. Pídales que expresen los números que faltan
con cifras y con palabras. Señale la ubicación correcta de
los espacios entre los períodos. Puede apoyar su explica-
ción con el contenido de la cápsula Atención.
Explique que, en la escritura con cifras de un número, los
dígitos se escriben de izquierda a derecha comenzando
con el dígito en la posición de los millones.
En la actividad 2 pregunte a sus estudiantes qué estrategia
utilizaron para continuar los conteos.
Actividad sugerida
Esta actividad refuerza la comprensión de los millones y su
relación con la vida cotidiana. También estimula la comu-
nicación matemática cuando sus estudiantes presentan
sus resultados.
Pídales que trabajen en grupos de cuatro o cinco inte-
grantes. Solicite a los grupos que realicen una investi-
gación y preparen una presentación. Se le puede dar a
cada estudiante la tarea de hallar uno o dos ejemplos (no
repetidos) de cantidades que ocurren en millones.
Si sus estudiantes tienen dificultad, sugiera que busquen
la población de algunos países, las distancias entre al-
gunos planetas, la superficie de los océanos, entre otros
temas. Pídales que hagan una búsqueda con la palabra
millones en Internet para ver qué resultados obtienen.
Anímelos a presentar sus resultados.
Explique a sus estudiantes que, para leer un número de
7 cifras, se lee el primer dígito, luego la palabra millón o
millones, después se leen los tres dígitos siguientes como
un número de 3 cifras más la palabra mil, y finalmente se
leen los tres últimos dígitos. El número 5 824 428 se lee
como cinco millones, 824 se lee como ochocientos vein-
ticuatro mil, y 428 se lee como cuatrocientos veintiocho.
Refuerce este patrón con el segundo ejemplo.
En la actividad 3 sus estudiantes practican la lectura y escri-
tura de números de 7 cifras hasta 10 000 000. Recuérdeles
que pueden usar períodos como ayuda al leer y escribir
números con palabras.
Errores frecuentes
Es posible que algunos estudiantes no sepan cuándo
escribir ceros al traducir los números escritos con
palabras a su escritura con cifras. Como remedial se
sugiere que sus estudiantes usen la tabla de valor po-
sicional y fichas para escribir cada dígito, incluidos los
ceros, en la posición correcta. Esto les ayuda escribir
correctamente cada número con cifras.
Aprendo: Leer números hasta 10 000 000 agrupándolos
en períodos y escribirlos con palabras. (Página 27)
número de siete cifras, si saben leer números de tres cifras.
Explique que, para leer un número de siete cifras, se lee la
primera cifra seguida de la palabra millón o millones y luego
se leen las tres cifras más la palabra mil. Finalmente, se leen
las tres últimas cifras. El número 5 000 000 se lee como

1
Unidad
33
cinco millones, el número 824 000 se lee como ochocientos
veinticuatro mil y el número 428 se lee como cuatrocientos
veintiocho. Luego, 5 824 428 se lee como cinco millones
ochocientos veinticuatro mil cuatrocientos veintiocho.
Invite a sus estudiantes a demostrar la comprensión de
la lectura de números con el segundo ejemplo. Resalte
las palabras millones y mil que se incluyen en el primer y
segundo período respectivamente.
En la actividad 4 puede sugerirles a sus estudiantes utilizar
la tabla de valor posicional para representar los números e
identificar los períodos. Luego de desarrollar las actividades
5 y 6 pida a sus estudiantes que comparen sus respuestas y
fomente la discusión acerca de por qué no son únicas.
En la actividad 7b, anime a sus estudiantes a buscar
información en el INE sobre la población de diversas ciu-
dades de Chile para luego, registrarlas con cifras y con
palabras en sus cuadernos. Destaque el vínculo de esta
actividad con otras asignaturas.
Cuaderno
las actividades de las páginas 8 y 9 del
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas
y que comparen las dificultades que enfrentaron al de-
sarrollar las actividades. Puede pedir que escriban las
respuestas en el cuaderno como bitácora, incentivando
a sus estudiantes, de vez en cuando, a releerlas para que
hagan consciente su forma de pensar.
Números hasta
100 000 000
Páginas 29 a 32
Estas páginas tiene como objetivos centrales que las y
los estudiantes escriban números hasta 100 000 000
con cifras, con palabras y en forma desarrollada.
Aprendo: Contar unidades de millón. (Página 29)
Realice una relación entre el dígito de la unidad de millón
y los primeros números naturales. Repase el conteo de los
númerosysuescritura.Desafíeasusestudiantesaempezar
una secuencia desde los 8 millones o a contar de manera
descendente desde los 10 millones. Pídales que comenten
las estrategias que usan en los conteos de números.
Construya una tabla de valor posicional en cartulina y pé-
guelaenelmurodelasaladeclases.Paraaquellosestudian-
tesmásconcretos,entréguelesunatabladevalorposicional
y fichas para representar los números hasta 100 000 000.
Para desarrollar la actividad 1 repase la escritura de las
decenas y relaciónelas con la escritura de las decenas
de millón. Relacione los seis ceros de los números con la
palabra millón.
Pídale a sus estudiantes que creen números de ocho
cifras en hojas y luego, las intercambien con sus com-
pañeros o compañeras para que ellos las escriban con
palabras; y viceversa.
Para complementar la actividad, entregue tarjetas con
dígitos para que los combinen y formen nuevos números
de ocho cifras.
En las actividades 2 y 3 pregunte a sus estudiantes qué
estrategia utilizaron para continuar los conteos y para
representar el número 10 000 000.
Aprendo: Leer números hasta 100 000 000 usando
períodos y escribirlos con palabras. (Página 30)
número de ocho cifras, si saben leer números de tres y
de seis cifras. Explique que deben leer las dos primeras
cifras como un número de dos cifras más la palabra mi-
llón o millones, y luego se leen los tres números siguientes
como si fuera un número de tres cifras, pero agregando
la palabra mil, finalmente, se leen las tres últimas cifras.
lectura de números con el segundo ejemplo.
En las actividades 4 y 5 puede sugerir a sus estudiantes
utilizar la tabla de valor posicional. De este modo, podrán
identificar los períodos y escribir con palabras los núme-
ros propuestos.
En la actividad 6 lea la noticia de la imagen e invite a sus
estudiantes a imaginar esa cantidad de números de te-
léfonos móviles, apoye con preguntas como: ¿qué lugar
podríamos llenar con esa cantidad de números de teléfonos
móviles?, ¿los chilenos necesitaremos esa cantidad de núme-
ros de teléfonos móviles?, ¿qué podemos hacer con los telé-
fonos móviles que se desechan?, ¿qué costos en las cuentas
básicas tienen en sus casas?, ¿cómo podemos ayudar a bajar
dichos montos?
Motive a sus estudiantes a buscar en diarios y revistas
noticias con grandes números. Realice un diario mural
con las noticias traídas. Como actividad de extensión
puede solicitar a sus estudiantes que creen nuevas no-
ticias con grandes números modificando los datos de
las noticias que trajeron. Invítelos a buscar información
sobre las medidas de las superficies de otros continentes
o de ciudades de Chile como en la actividad 7. Destaque
el vínculo de estas actividades con otras asignaturas.

34
Con respecto a la actividad 8 anime a sus estudiantes a
crear situaciones similares a las presentadas por Manuel
e Isidora en tarjetas de cartulina y guárdelas en una caja
que mantenga en la sala como actividad de extensión.
Para apoyar la creación de adivinanzas en la actividad 9
provéales de ejemplos que les permitan descubrir estra-
tegias para su confección, como, por ejemplo:
• Un número de 8 cifras, en el que los dígitos de las uni-
dades de mil, decenas de mil y centenas de mil sean la
mitad de cuatro.
• Un número de 8 cifras, en el que los dígitos de las uni-
dades de millón y de las decenas de millón sumen 6.
Cuaderno
Finalmente, dé el tiempo necesario para que respondan las
preguntas de metacognición planteadas en la sección
Reflexiono. Permítales que compartan sus respues-
tas y que comparen las dificultades que enfrentaron al
desarrollar las actividades. Para fomentar el trabajo en
equipo, pida a sus estudiantes que elaboren afiches pu-
blicitarios que motiven la confianza entre los compañeros y
las compañeras.
Números hasta
1 000 000 000
Páginas 33 a 36
estudiantes escriban números menores que 1 000 000 000
con cifras, con palabras y en forma desarrollada.
Aprendo: Contar las decenas de millón. (Página 33)
Repase la escritura de las decenas y relaciónelas con la
escritura de las decenas de millón. Relacione los seis ce-
ros con la palabra millón.
Pídales a sus estudiantes que creen números de ocho
cifras en hojas y luego, las intercambien con sus com-
pañeros o compañeras para que ellos los escriban con
palabras; y viceversa.
En la actividad 1 realice una relación entre el dígito de
la centena de millón y los números naturales. Repase el
conteo de los números y su escritura. Desafíe a sus estu-
diantes a empezar una secuencia descendente desde los
100 millones. Pídales que comenten las estrategias que
usan para contar grandes números.
En la actividad 2 pregunte a sus estudiantes qué estrate-
gia utilizaron para continuar el conteo.
Pida a sus estudiantes que digan el valor posicional de
cada dígito en palabras. Señale que el cero no se expresa
al escribir el número con palabras o al leerlo. Invítelos
a crear fichas con números siguiendo el ejemplo de la
sección Aprendo.
Pida a sus estudiantes que se organicen en parejas y
creen ejercicios similares al de la actividad 3. Incentívelos
a realizar competencias por grupos, en las que deben es-
cribir con cifras y con palabras números representados
en la tabla de valor posicional.
Registre en el pizarrón las palabras que frecuentemente
escriben con error sus estudiantes para reforzar la co-
rrecta escritura de los números.
Aprendo: Leer números hasta 1 000 000 000 usando
períodos y escribirlos con palabras. (Página 35)
número de nueve cifras, si saben leer números de ocho
cifras. Explique que, para leer un número de nueve cifras,
se leen las tres primeras cifras como un número de tres
cifras más la palabra millón o millones, luego se leen las
tres cifras siguientes como si fuera un número de tres
cifras, pero agregando la palabra mil, finalmente, se leen
las tres últimas cifras.
lectura de números con el segundo ejemplo.
Para facilitar el desarrollo de las actividades 4 y 5 pida a
sus estudiantes que representen los números propues-
tos en la tabla de valor posicional, así podrán identificar
los períodos para escribirlos con palabras.
Luego de realizar la actividad 6, motive a sus estudiantes
a buscar en su texto de Ciencias Naturales, el uso de
grandes números.
En la actividad 7, recuerde que el uso de la calculadora en
clases de Matemática no solo es para encontrar resultados,
sino que también como una herramienta para comprobar-
los. Invítelos a crear ejercicios similares a los presentados.
Cuaderno
las actividades de las páginas 11 y 12
del Cuaderno de ejercicios.
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas y que

1
Unidad
35
comenten acerca de la importancia de corregir los errores
cometidos. Pida a sus estudiantes que escriban en la bitá-
cora las respuestas y que las comparen con las respuestas
anteriores. Reflexione con sus estudiantes sobre cómo
han enfrentado las actividades de la lección y sus errores.
Manos a la obra Formar números con tarjetas.
(Página 36)
Antesdeiniciarestaactividad,resaltelaimportanciadeltra-
bajoenequipo,eldividirselosrolesparauntrabajoeficiente,
el escucharse con respeto para tomar acuerdos. También,
con anticipación prepare los materiales de las 8 tarjetas con
los dígitos 0, 5 y 2. Para finalizar la sección, puede solicitar
a los grupos que expliquen las estrategias que usaron para
adivinar los números, los errores cometidos y que señalen
sugerencias para enfrentar este tipo de ejercicios.
Valor posicional
Páginas 37 a 40
los estudiantes identifiquen el valor posicional de cual-
quier dígito de los números menores que 1 000 000 000
y que escriban estos números en forma estándar y en
forma expandida.
Actividad sugerida
Para comenzar muestre a sus estudiantes un número de
tres cifras usando fichas y una tabla de valor posicional.
Pregúnteles qué representa cada dígito, cual es su valor
posicional y la posición en la que se ubica. Repita esto
con un número de cuatro cifras y con uno de cinco cifras.
Esto sirve de repaso y les ayuda a hacer una transición a
la identificación de la posición y el valor posicional de los
dígitos de números de seis y siete cifras.
Aprendo: Identificar el valor que tiene cada digito
según la posición que ocupe en el número. (Página 37)
Puede usar fichas y la tabla de valor posicional hasta el
lugar de las centenas de mil para repasar el valor posicional
y la posición de un dígito en un número. Por ejemplo, pida
a sus estudiantes que identifiquen el valor posicional y la
posición de cada dígito en el número 127 543.
Apoye la realización de las actividades 1 y 2 con material
concreto (como tarjetas con números escritos en ellas)
para que sus estudiantes formen los números y visuali-
cen el valor posicional de cada dígito.
En la actividad 3 pida a sus estudiantes que compartan
y comparen sus respuestas para que comprendan los di-
ferentes razonamientos efectuados por sus compañeros
o compañeras.
Aprendo: Escribir un número en forma estándar y en
forma expandida. (Página 38)
Explique a sus estudiantes que escribir un número en
forma estándar consiste en representarlo como la suma
del valor posicional de cada dígito. Para ayudar a sus estu-
diantes a identificar y escribir el valor posicional de un dígito
en un número, señale que pueden escribir el dígito y luego
escribir ceros para cada posición a la derecha del dígito.
Pida a sus estudiantes identificar una regularidad en la forma
expandidadeunnúmero.Planteemásejemplosparaquesus
estudiantes puedan escribir números de estas dos formas.
Realice juegos de números y pídales a sus estudiantes
que señalen el valor posicional de cada dígito en el nú-
mero, por ejemplo, 31 y 13, 124 y 421.
Compare las dos descomposiciones del número 381 492
para que sus estudiantes realicen la conexión entre el valor
de cada dígito que forma el número.
En la actividad 4 las y los estudiantes deben escribir el núme-
ro o palabra correcta en cada enunciado. Esto les ayuda a
comprender el lenguaje y el uso de los términos relacionados
con el valor posicional.
En la actividad 5 sus estudiantes deben completar la
forma estándar o la forma expandida de cada número
identificando los valores desconocidos en cada caso.
Pueden trabajar de derecha a izquierda en cada uno de
los dígitos de los números, comenzando con las unida-
des, las decenas, y así sucesivamente. Recuérdeles que
los dígitos cero se omiten al escribir la forma estándar o
la forma expandida de un número. Apoye su explicación
con el contenido de la cápsula Atención.
Para estudiantes con dificultades, en la actividad 5, aníme-
los a escribir cada número de derecha a izquierda en una
tabla de valor posicional.
Pida a sus estudiantes leer el contenido de la cápsula
Atención para comprender la composición de números
que deben desarrollar en la actividad 6.
En la actividad 7 pida a sus estudiantes que expliquen cómo
determinaron el valor posicional de los dígitos destacados.
Guíeasusestudiantesaverque,sieldígito2estáenlaposición
de las unidades de millón, entonces su valor es 2 000 000 o
2 · 1 000 000. Esto facilitará la descomposición de los núme-
rosenformaestándaryenformaexpandidaenlaactividad8.
Motive a las y los estudiantes a crear problemas similares
a los presentados en la actividad 9. Pídales que los anoten
en una hoja y ocúpelos para activar los conocimientos pre-
vios de la clase siguiente.

36
Cuaderno
que comparen sus estrategias para descomponer núme-
ros. Motive a sus estudiantes a dar ejemplos para com-
plementar sus explicaciones. Se sugiere que los ejemplos
los peguen en el diario mural de la sala de clases.
Con este recurso aplicarán lo estudiado
en relación con la composición y com-
paración de números. Las actividades pro-
puestas se enmarcan en el contexto del cuidado del
medioambiente, y en ellas se fomenta su motivación
al involucrarlos en la organización de la que son parte
Camila y Felipe (personajes). Los personajes infor-
marán sobre las campañas que deben realizar en las
diferentes regiones de nuestro país y plantean la ne-
cesidad de identificar en cuál de ellas se necesita con
urgencia proteger el medioambiente. En este contex-
to, se incentiva a los estudiantes a desarrollar distin-
tas tareas en las que aplicarán los conocimientos con
el objetivo de analizar la cantidad de residuos que
generan las diferentes regiones en Chile y así poder
determinar las regiones que están en estado crítico.
RDC 1
Comparación de números
hasta 1 000 000 000
Páginas 41 a 43
Estas páginas tienen como objetivos centrales que las
y los estudiantes comparen y ordenen números hasta
1 000 000 000 utilizando diversas estrategias.
Actividad sugerida
Repase cómo comparar números de cinco cifras, com-
parando los valores de los dígitos a partir de la izquierda.
Luego, diga a sus estudiantes que cuenten hacia adelante
desde 100 000, de centena en centena. Pídales que es-
criban un patrón para este conteo y solicíteles que escri-
ban el cambio entre un número y el siguiente, así como
el número mayor y el número menor en este patrón.
Esta actividad prepara a sus estudiantes para comparar
números de seis y siete cifras y también les ayuda a com-
pletar patrones numéricos.
Aprendo: Comparar números usando la tabla de valor
posicional. (Página 41)
En esta sección sus estudiantes identifican si un número
es mayor o menor que otro. Además, utilizan los símbolos
> o <. Repase la comparación de números de cinco cifras.
Recuerde a sus estudiantes que primero deben alinear
los números según la posición de sus dígitos y, luego,
comparar los valores de los dígitos de izquierda a derecha
hasta que sean diferentes.
Con el ejemplo, explique que se emplea el mismo método
para comparar números de seis cifras. Guíe a sus estu-
diantes a notar que 2 centenas de mil es menos que 5 cen-
tenas de mil, y entonces 200 000 es menor que 500 000.
Esto se puede escribir como 200 000 < 500 000.
Enfatice a sus estudiantes que al usar los símbolos < o >
para comparar números están desarrollando la habilidad
de representar tal como muestra la cápsula Habilidad.
Apoye las ideas usando fichas y tarjetas con los símbolos
de mayor o menor.
En la actividad 1 las y los estudiantes comparan números
que tienen la misma cantidad de cifras y cuyos primeros
cuatro dígitos son iguales. Guíelos para que comparen de
izquierda a derecha hasta que los valores de los dígitos
sean diferentes. Apoye su explicación con el contenido
de la cápsula Atención.
Anime a sus estudiantes a alinear los dígitos según su
posición para compararlos.
En las actividades 2 y 3 explique a sus estudiantes que una
estrategia para comparar números con diferente cantidad
de cifras, es fijarse en el número con mayor cantidad de
cifras, ya que este siempre será mayor. Por ejemplo, 1 002
es mayor que 903.
Sugiera en la actividad 4 utilizar la tabla de valor posicional
para comparar los dígitos ubicados en la misma posición
desde izquierda a derecha.
Aprendo: Ubicar los números en la recta numérica y
compararlos. (Página 43)
Antes de comenzar, pregunte a sus estudiantes qué es una
recta numérica y para qué sirve. Pídales que construyan
una recta numérica en su cuaderno del 100 al 200, de 10
en 10. Luego, pídales que ubiquen el 130 y 160 y pregúnte-
les cuál de los dos números es mayor y cómo lo supieron.
Solicíteles que ubiquen el 195 y el 105 y nuevamente pre-
gúnteles cuál de los dos números es mayor. Pídales que
expliquen cómo comparar números en la recta numérica,
se espera que digan que, si el número está ubicado a la
izquierda de otro, el número será menor que este y si está
ubicado a la derecha será mayor que ese número.

1
Unidad
37
Cuaderno
que comparen las estrategias utilizadas para comparar
números y las dificultades que enfrentaron en el desarro-
llo de las actividades.
Manos a la obra Construir una recta numérica.
(Página 43)
Antes de iniciar esta actividad, resalte la importancia del
trabajo en equipo, el dividirse los roles para un trabajo
eficiente, el escucharse con respeto para tomar acuer-
dos. También, con anticipación solicite los materiales a
sus estudiantes: regla y hoja de papel cuadriculado. Para
finalizar la sección, construya una recta en cartulina y
pídales a los grupos que ubiquen un número y expliquen
las estrategias que usaron, además de señalar sugeren-
cias para enfrentar este tipo de ejercicios.
Buenas prácticas
Para las y los estudiantes que estén confundidos al usar
los símbolos de desigualdad (< o >), pida que se concen-
tren en el extremo izquierdo y derecho de cada símbolo.
El extremo más amplio (>) siempre debe apuntar al nú-
mero mayor y el extremo cerrado (<) al número menor.
Redondeo y estimación
Páginas 44 a 47
estudiantes aproximen números usando el valor posicional
de sus dígitos.
Actividad sugerida
Repase el redondeo de números a la centena más cerca-
na con el número 345. Pregunte a sus estudiantes entre
qué centenas se encuentra el número, en este caso, 300
y 400. Guíelos a notar que 350 está en medio de 300 y
400. Pídales que determinen si 345 está más cerca de
300 o 400. Puede utilizar la recta numérica para mos-
trarlo. Luego, pregunte a sus estudiantes por qué 3 271
redondeado a la centena más cercana es 3 300.
Aprendo: Redondear números a la unidad de mil mayor.
(Página 44)
Con el procedimiento que se aplicó en la actividad anterior
y el uso de la recta numérica, explique cómo redondear
un número a la unidad de mil mayor, pidiéndoles a sus
estudiantes que nombren los dos múltiplos de mil que
se encuentran antes y después de 1 206 541. Guíelos a
notar que las marcas a la derecha de 1 206 000 repre-
sentan 1 206 100, 1 206 200 y así sucesivamente. Puede
apoyar su explicación con el contenido de la cápsula
Atención. Pídales que copien la recta numérica y mar-
quen la posición de 1 206 250 y 1 206 780. Luego, dígales
que redondeen cada número observando a qué unidad
de mil se encuentran más cercanos. Pregunte: ¿qué nú-
mero está en el punto medio entre 1 206 000 y 1 207 000?
(1 206 500). Vuelva a preguntar: ¿1 206 541 es mayor o
menor que 1 206 500? (Mayor). Dirija a sus estudiantes a
la conclusión de que 1 206 541 es mayor que 1 206 500, y
entonces es más cercano a 1 207 000.
Cuando comprendan el redondeo a la unidad de mil más
cercana, señale que un método más fácil es simplemente
mirar los dígitos en los lugares de la unidad de mil y las
centenas. Por ejemplo, al redondear 2 765 417 a la uni-
dad de mil más cercana, el dígito 5 está en la posición
de la unidad de mil, entonces la respuesta es 2 765 000
o 2 766 000. Luego, pida a sus estudiantes que miren el
dígito en la posición de las centenas. Como 4 es menor
que 5, se redondea el número la unidad de mil que sea
menor: 2 765 000. Explique que si el dígito es 5 o más, se
redondea el número a la unidad de mil mayor.
Pida a sus estudiantes que ubiquen números en la recta
numérica como ayuda para redondearlos.
En la actividad 1 use la recta numérica para explicar lo que
se debe hacer cuando el número que se debe redondear
está ubicado exactamente en el punto medio entre dos
múltiplos de mil. Guíe a sus estudiantes a notar que
2 348 500 está en el punto medio entre 2 348 000 y
2 349 000. Explique que, en tales casos, el número se
redondea la unidad de mil mayor, esto es, 2 349 000.
En la actividad 2 pídales redondear a diferentes cifras el
número que representa la cantidad de visitantes al zooló-
gico. Luego, invítelos a explicar las diferencias entre cada
redondeo realizado.
Aprendo: Redondear números a la centena de mil
mayor. (Página 45)
Explique cómo redondear un número a la centena de mil
mayor, pidiéndoles a sus estudiantes que nombren los
dos múltiplos de cien mil que se encuentran antes y des-
pués de 32 950 000. Pregunte: ¿qué número está en el pun-
to medio entre 32 900 000 y 33 000 000? (32 950 000).
Explique que, en tales casos, el número se redondea a la
centena de mil mayor, en este caso, 33 000 000.

38
Vuelva a mencionar que, si el dígito es 5 o más, se redondea
el número a la centena de mil mayor.
Pida a sus estudiantes que ubiquen números en la recta
numérica como ayuda para redondearlos.
Guíe a sus estudiantes a notar que el número 42 750 000
está ubicado en el punto medio entre 42 700 000 y
42 800 000. Dé el tiempo necesario para que comenten
sus respuestas y corrijan sus errores.
Aprendo: Redondear números a la centena de mil
menor. (Página 45)
Utilice el contenido de la cápsula Atención para facilitar la
ubicación de los números en la recta numérica.
Con el ejemplo y la recta numérica, puede explicar cómo
redondear un número de siete cifras a la centena de mil
menor. Pregunte: ¿Qué número está en el punto medio entre
6 800 000 y 6 900 000? (6 850000), ¿6 840 210 se acerca
a 6 800 000 o a 6 900 000? (Como está ubicado a la iz-
quierda de 6 850 000 en la recta numérica, entonces este
número se acerca a 6 800 000). Explique que 6 840 210
es más cercano a 6 800 000 y se redondea a la centena
de mil menor, es decir, 6 800 000.
Enlaactividad4pregunteasusestudiantesacercadelagra-
duación de la recta numérica presentada y pídales explicar
paso a paso cómo redondearon los números propuestos.
En las actividades de la 5 a la 8 pida a sus estudiantes que
redondeen números sin usar la recta numérica. Diríjalos
para que vean que se puede observar la cifra a la derecha
de la que se quiere redondear y si es mayor o igual a 5,
se agrega una unidad al dígito que se encuentra en dicha
posición y se remplazan por cero las cifras que se en-
cuentran a su derecha. Si es menor que 5, se conserva la
cifra y se remplazan por cero las que están a su derecha,
y las que están a la izquierda se dejan igual.
Aprendo: Usar el redondeo para estimar sumas y
diferencias. (Página 46)
Haga ver que la estimación de una suma o diferencia es
una aproximación razonable a la suma o diferencia real.
Recalque que, en la vida cotidiana, este tipo de estima-
ción puede ser muy útil y eficiente porque da una canti-
dad rápida y aproximada que ayuda en la planificación.
Informe a sus estudiantes que en la vida cotidiana se
puede estimar redondeando a una cifra ubicada en
cualquier posición siempre y cuando dé una estimación
razonable y se pueda hallar la respuesta rápidamente.
Puede estimular el razonamiento crítico preguntando y
comentando: ¿Se obtiene el mismo resultado si se redon-
dean los números del ejemplo a la centena más cercana?
¿Cómo pueden decidir a qué cifra redondear los números en
una situación real?
Pida a sus estudiantes que comenten y exploren las es-
timaciones que obtienen si no se redondean ambos nú-
meros a la misma posición. Por ejemplo, 6 521 – 5 079 se
puede estimar como 6 500 – 5 000.
En las actividades 9 y 10 recuerde a sus estudiantes que
deben redondear los números a la unidad de mil más cer-
cana y luego resolver las operaciones propuestas.
En la actividad 11 sugiera a sus estudiantes que dibujen
una recta numérica si tienen dificultad con las estimacio-
nes y destaque el vínculo con otras asignaturas.
Pida a sus estudiantes intercambiar las situaciones proble-
macreadasenlaactividad12conuncompañeroounacom-
pañera y solicíteles resolverlas estimando sus respuestas.
Para la actividad 13 propicie la discusión entre sus estu-
diantes acerca de si las respuestas a las preguntas son
únicas. Para ello, pídales comparar sus respuestas.
Cuaderno
que comparen las estrategias utilizadas en el desarrollo de
las actividades. Releve la utilidad de redondear cantidades
en la vida diaria y de participar activamente en clases.
¡Desafía tu mente! (Página 47)
En esta actividad realice una lluvia de ideas con las es-
trategias para comprender lo leído. Para finalizar la sec-
ción, solicite a algunos que expliquen sus respuestas y
procedimientos.

1
Unidad
39
¿Cómo voy?
Página 48
Esta sección tiene por objetivo evaluar los contenidos y ha-
bilidades desarrolladas en la Lección 1: Grandes números.
En el ítem 1 se evalúa la representación y descripción de
números hasta 1 000 000 000. Si algunos estudiantes
presentan dificultades en el desarrollo de la actividad,
déjelos que usen tablas de valor posicional y fichas, si
lo considera necesario. En el ítem 2 se evalúa la identifi-
cación del valor posicional de los dígitos de un número.
Para facilitar la comprensión de la actividad pida a sus
estudiantes que subrayen los dígitos destacados y que
escriban debajo de cada dígito la posición que ocupan en
cada número.
En los ítems 3 y 4 se evalúa la comparación y el orden
de números menores que 1 000 000 000. Si lo consi-
dera pertinente, recuérdeles que el símbolo “<” significa
menor que y que el símbolo “>”, significa mayor que y
pídales que expliquen qué estrategias se pueden usar
para ordenar los números.
En el ítem 5 se evalúa el redondeo de números para esti-
mar sumas y diferencias. Si es necesario puede sugerir que
antes de resolver cada operación, cambien los números a
25 y 15 para que activen las estrategias de estimación.
su desempeño. En los ítems que hayan presentado un
puntaje inferior al logrado, solicíteles que vuelvan a leer
y ejercitar las páginas de la lección correspondientes al
indicador. Finalmente, dé el tiempo necesario para que
respondan las preguntas de metacognición planteadas
en la sección Reflexiono. Permítales que compartan
sus respuestas.
Notas

40
Lección Multiplicación y división (páginas 49 a 74)
2
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de
las secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Multiplicación
por decenas,
centenas y
unidades de mil
(págs. 50 a 57)
5 horas
pedagógicas
Aplicar estrategias de
cálculo mental para la
multiplicación
• anexar ceros
cuando se
multiplica por un
múltiplo de 10
• doblar y dividir
por 2 en forma
repetida
• usando las propie-
dades: conmuta-
tiva, asociativa,
distributiva.
• Determinan produc-
tos cuando uno de los
factores es múltiplo de
10, 100 o 1 000.
• Calculan multiplicacio-
nes, aplicando mitades
y dobles.
• Calculan multipli-
caciones, aplicando
repetidamente dobles y
mitades.
• Aplican la propiedad
distributiva en multi-
plicaciones, descom-
poniendo en múltiplos
de 10.
• Doblan multiplicacio-
nes dadas para realizar
multiplicaciones.
• Usan las propiedades
conmutativa y asocia-
tiva para multiplicar
números.
Encontrar
un patrón al
multiplicar por 10.
Calculan el producto
en multiplicaciones
en las que 10 es un
factor.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Descomponer
un número para
multiplicar por
decenas.
descomponiendo.
Encontrar
regularidades en
multiplicaciones
en las que 100 o
1 000 es un factor.
Resuelven
multiplicaciones en
las que 100 o 1 000
es un factor.
Descomponer
un número para
multiplicar por
centenas o miles.
descomponiendo.
Estrategias de
cálculo mental
(págs. 58 a 60)
3 horas
pedagógicas
Calcular productos
multiplicando y
dividiendo por 2.
Resuelven
multiplicaciones
aplicando la
estrategia de doblar
y dividir por 2.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Aplicar la propiedad
conmutativa
y asociativa
para multiplicar
mentalmente.
Resuelven
multiplicaciones
aplicando la
propiedad
conmutativa y
asociativa.
Aplicar la
propiedad
distributiva
para multiplicar
mentalmente.
Resuelven
multiplicaciones
aplicando la
propiedad
distributiva.
En esta lección se espera que sus estudiantes sean capaces de multiplicar y dividir números y aplicar estrategias de
cálculo mental.
Para esto, se proponen actividades que apuntan a que los y las estudiantes, usando diversos contextos, puedan aplicar
las operaciones y estrategias aprendidas en la resolución de problemas.
dores de evaluación de la lección. Además, se señala el tiempo estimado y la secuencia didáctica de los aprendizajes
y actividades de esta.

Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de
las secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Estimación de
productos
(págs. 61 a 62)
2 horas
pedagógicas
Demostrar que
comprenden la
multiplicación de
números naturales
de dos dígitos por
números de dos
dígitos
• estimando
productos
• aplicando estra-
tegias de cálculo
mental
• resolviendo pro-
blemas rutinarios
y no rutinarios,
aplicando el
algoritmo.
• Aplican redondeo para
estimar productos y
emplean la calculadora
para comprobar la
estimación dada.
• Aplican la propiedad
distributiva para
multiplicar números.
• Usan propiedades del
cálculo mental, como
las propiedades conmu-
tativa y asociativa, para
multiplicar números.
• Muestran los pasos que
se debe dar para multi-
plicar números de dos
dígitos por 11, 12, … 19,
usando bloques de base
diez, y registran el pro-
ceso simbólicamente.
• Resuelven multiplica-
ciones en el contexto
de problemas rutinarios
y no rutinarios, usando
el algoritmo de la
multiplicación.
Estimar productos
redondeando los
factores a la decena
o a la centena más
cercana.
Estiman productos
en la resolución de
un problema.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Estimar productos
redondeando
los factores a
la decena o a la
unidad de mil más
cercana.
Estiman productos
en la resolución de
un problema.
Multiplicación
entre números
de dos cifras
(págs. 63 a 66)
4 horas
pedagógicas
Multiplicar
unidades, decenas
y centenas con
reagrupación.
Resuelven
multiplicaciones de
números de 2 cifras
por números de 2
cifras reagrupando y
usando el algoritmo.
Explican cuál es el
error cometido en
multiplicaciones.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Multiplicar
números de 2 cifras
por números de
2 cifras.
Resolver problemas
aplicando el
algoritmo de la
multiplicación.
Resuelven y
crean problemas
relacionados con una
multiplicación.
División por
números de
una cifra
(págs. 67 a 73)
4 horas
pedagógicas
Demostrar que
comprenden
la división con
dividendos de tres
dígitos y divisores de
un dígito
• interpretando el
resto
blemas rutinarios
y no rutinarios
que impliquen
divisiones.
• Modelan la división
como el proceso de
reparto equitativo,
usando bloques de
base diez, y registran
los resultados de ma-
nera simbólica.
• Explican el resto de una
división en términos del
contexto.
• Ignoran el resto de di-
visiones en el contexto
de situaciones.
• Redondean cocientes.
• Resuelven un problema
no rutinario de división
en contexto, usando el
algoritmo y registrando
el proceso.
Dividir
reagrupando
centenas, decenas
y unidades.
Completan la
resolución de
un problema y
comprueban.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Estimar el cociente
de una división.
Estiman el cociente
de una división y lo
calculan.
Resuelven
problemas
relacionados con
una división.
Resolver
problemas
interpretando
el resto de una
división.
41
1
Unidad

42
OAT
experiencias de manera coherente y fundamentada, ha-
ciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.
escolar, familiar y social utilizando tanto modelos y rutinas
como aplicando de manera creativa conceptos y criterios.
conocimiento.
y comunitario.
el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo
y la consumación exitosa de tareas y trabajos.
• reconocer la importancia del trabajo -manual e inte-
lectual- como forma de desarrollo personal, familiar,
social y de contribución al bien común, valorando la
dignidad esencial de todo trabajo y el valor eminente de
la persona que lo realiza.
Recursos
Fichas, tableros, tablas, hojas cuadriculadas, revistas, en-
vases de productos y bloques de base 10.
Conceptos
Factor, producto, propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva, estimar, dividendo, divisor, cociente.
Repaso
Página 49
previos o como una herramienta de diagnóstico para re-
conocer el nivel de las y los estudiantes respecto de los
conocimientos que le serán útiles para esta lección. En
los ítems 1 y 2, se evalúa la capacidad de aplicar estra-
tegias de cálculo mental como usar el doble del doble y
por descomposición. Si lo considera pertinente, deje que
las y los estudiantes realicen las multiplicaciones usando
el cálculo mental o escrito. Pídales recordar las tablas de
multiplicar. En los ítems 3 y 4, se evalúa la comprensión
de la multiplicación de números de tres cifras por números
de un dígito y la división con dividendos de dos cifras y di-
visores de un dígito. Si lo considera adecuado, deje que las
y los estudiantes usen tablas de valor posicional y bloques
de base diez. En el ítem 5 se evalúa si las y los estudiantes
pueden estimar productos y cocientes y la capacidad de
explicar la estrategia utilizada. En el ítem 6 se evalúa si las y
los estudiantes pueden resolver un problema multiplicativo.
Pídales que trabajen la sección Conceptos clave. Esto le
permitirá conocer los preconceptos que tienen sobre lo
que se trabajará en la lección.
Para complementar esta actividad, puede solicitar a los y
las estudiantes que elaboren un organizador gráfico con los
conceptos, el cual, posteriormente pueden confeccionar en
cartulina para dejar pegado en el muro de la sala de clases.
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas, des-
tacando la importancia de escuchar en forma respetuosa
las respuestas de los demás.
Multiplicación por
decenas, centenas
y unidades de mil
Páginas 50 a 57
los estudiantes encuentren patrones y regularidades, y
descompongan un número para multiplicar por decenas,
centenas o miles.
Actividad sugerida
Para activar los conocimientos previos, repase con las y
los estudiantes la tabla de multiplicar del 10 hasta 12 · 10.
Pregunte: ¿Cuál es el dígito de las unidades del producto en
este caso? (0)
Aprendo: Encontrar un patrón al multiplicar por 10.
(Páginas 50 y 51)
Dirija la atención de las y los estudiantes a la tabla de
valor posicional de la página 51. Muestre cómo cada uno
de los dígitos de un número se mueve un lugar hacia la
izquierda al multiplicarlo por 10. Use la tabla de valor
posicional para mostrar el patrón cuando los números se
multiplican por 10. Represente lo anterior usando fichas
de valor posicional y las tablas de valor posicional.
Pregunte a las y los estudiantes si quedarán unidades
después de multiplicar el número por 10. Pida que ob-
serven que, puesto que no hay unidades, se escribe cero
en el lugar de las unidades. Explique que al multiplicar un
número por 10, el patrón consiste en mover cada dígito
un lugar hacia la izquierda en la tabla de valor posicional
y agregar cero después del número.
Utilice tablas de valor posicional para apoyar la represen-
tación de la multiplicación. Enfatice que al multiplicar un

1
Unidad
43
número por 10, la estrategia para encontrar el producto es
mover cada dígito un lugar hacia la izquierda en la tabla de
valor posicional y agregar cero en la posición de las unidades.
En la actividad 4 dé énfasis en la relación entre el cero del
número del producto y el factor 10 faltante. Pídales a las y
los estudiantes que creen ejercicios similares.
Aprendo: Descomponer un número para multiplicar por
decenas. (Página 52)
Muestre que multiplicar un número por 20 es equivalente a
multiplicar el número por 2 y luego por 10. Señale que esto
es posible por la propiedad asociativa de la multiplicación;
los números que se multiplican se pueden agrupar en cual-
quier orden, es decir, 6 · (2 · 10) es equivalente a (6 · 2) · 10.
Use el modelo propuesto para mostrar que 6 grupos de
20 equivalen a 12 grupos de 10.
Repase la multiplicación de números por 1 dígito mos-
trando cómo hallar 27 · 3. Pida a las y los estudiantes que
multipliquen el producto por 10 para hallar 27 · 30.
Las actividades de esta sección tienen por objetivo que los y
las estudiantes refuercen la descomposición de un número
paramultiplicarpordecenasutilizandodistintas estrategias.
Aprendo: Encontrar regularidades en multiplicaciones
en las que 100 o 1 000 es un factor. (Páginas 53 y 54)
Las y los estudiantes multiplican números por 100 y
1 000. Explique que 500 significa 5 grupos de 1 centena,
entonces 5 centenas es igual a 500. De manera similar,
5 000 000 significa 5 grupos de 1 millón, entonces 5
millones es igual a 5 000 000. Dirija la atención hacia la
tabla de valor posicional de la página 54. La tabla mues-
tra cómo cada uno de los dígitos de un número se mueve
cuando se multiplica por 100 y por 1 000.
Use la tabla de valor posicional para mostrar el patrón al
multiplicar por 100 y por 1 000. Represente esto usando
fichas de valor posicional y tablas de valor posicional.
Oriente a las y los estudiantes para que observen que,
cuando un número se multiplica por 100, cada dígito se
mueve dos lugares hacia la izquierda en la tabla de valor
posicional. Señale que, puesto que no hay decenas ni uni-
dades, deben escribir ceros en estos lugares.
De modo parecido, cuando se multiplica un número por
1 000,cadadígitosemuevetreslugareshacialaizquierdaenla
tabladevalorposicional.Señaleque,puestoquenohaycente-
nas,decenasniunidades,debenescribircerosenestoslugares.
En la actividad 8 pida a las y los estudiantes que comple-
ten la tabla moviendo cada dígito dos lugares a la izquier-
da al multiplicar los números por 100, y tres lugares a la
izquierda al multiplicar los números por 1 000.
Pídalesqueobservenquesepuedeusarunareglaparamulti-
plicar un número natural por 100 o por 1 000, es decir, escri-
biendo “00” o “000” respectivamente después del número.
Aprendo: Descomponer un número para multiplicar por
centenas o miles. (Página 56)
Las y los estudiantes multiplican números por centenas
y por miles con base en sus conocimientos previos de
multiplicación de un número por 100 y 1 000.
Muestre que multiplicar un número por 200 equivale a
multiplicar el número por 2 y luego por 100. Señale que
esto es posible por la propiedad asociativa de la multipli-
cación, es decir, 7 · (2 · 100) es equivalente a (7 · 2) · 100.
Use el modelo del Texto para mostrar que 7 grupos de
200 equivalen a 14 grupos de 100.
Muestre que multiplicar un número por 5 000 equivale a
multiplicar el número por 5 y luego por 1 000.
Complete la actividad 1 con las y los estudiantes. Trabaje
paso a paso la descomposición de un número para fa-
cilitar la multiplicación por decenas, centenas o miles.
Recuerde a las y los estudiantes que multiplicar un nú-
mero por 60 equivale a multiplicar el número por 6 y
luego por 10. Después, pídales trabajar individualmente
en el resto de las actividades.
Cuaderno
las actividades de las páginas 18 a la
que comparen las dificultades que enfrentaron al desarro-
llar las actividades.
Pida a las y los estudiantes que estimen el número de
veces que su corazón late en un año. Ayúdelos a tomarse
el pulso y contar la cantidad de veces que su corazón late
en un minuto. Luego, pida que usen una calculadora para
multiplicar ese número por 60, luego por 24 y finalmente
por 365 para hallar el número de veces que su corazón
late en una hora, en un día y en un año.
Estrategias de cálculo
mental
Páginas 58 a 60
Estas páginas tienen como objetivo central que las y los
estudiantes sean capaces de calcular productos usando
distintas estrategias.

44
Propiedad distributiva
Pushparani Manoselvam propone la siguiente estrategia
para trabajar la propiedad distributiva, que puede ser
adaptada de dólares a pesos chilenos.
“Aliente a los estudiantes a hacer los cálculos en térmi-
nos de dinero, ya que están acostumbrados desde pe-
queñosasumaryrestardineroparahacercompras.Usar
dólares y centavos hace el problema más manejable".
Ejemplos:
24 • 99 = 24 • 100 – 24 [$ y centavos]
= 2 400 – 24 [$ 24 – 24c]
= 2 376
39 • 998 =39 • 1000 – 2 • 39
= 39 000 – 78 [$ 390 – 78c]
= 38 922
Manoselvam, Pushparani. 2003. Super Mind Games.
A Handbook for Mathematics Teachers in Secondary School.
Marshall Cavendish Education/Teachers´Network: Singapur.
Estrategia del “100”
100 es un número muy útil para el cálculo mental.
Recordar que la mitad de 100 es 50 y la mitad de 50
es 25 ayuda a los cálculos.
Ejemplos:
24 • 52 [52 está cerca de 50]
= 24 • 50 + 24 • 2
= 1 200 + 48 [24 • 100 = 2 400; 24 • 50 = 1 200]
= 1 248
34 • 55 [55 está cerca de 50]
= 34 • 50 + 34 • 5 [34 • 100 = 3 400; 34 • 50 = 1 700]
=1 700 + 170 [34 • 10 = 340; 34 • 5 = 170]
=1 870
Manoselvam, Pushparani. 2003. Super Mind Games. A
Handbook for Mathematics Teachers in Secondary School.
Marshall Cavendish Education/Teachers´Network: Singapur.
Aprendo: Calcular productos multiplicando y dividiendo
por 2. (Página 58)
Recuerde el concepto de dobles y practique el encontrar
dobles de 2, 3, 4, 5.
Recuerde el concepto de mitades y practique encontrando
mitades de números pares.
Practique la estrategia de doblar y dividir por 2 con núme-
ros de 1 dígito, por ejemplo, 2 · 8. Poco a poco aumente el
ámbito numérico a números de 2 cifras.
Practique las mitades de números 100, 50, 30.
Sugiérales la estrategia de doblar dígito por dígito un nú-
mero de 2 cifras cuando estos son pares, por ejemplo, a
partir del número 24 se tiene que el doble de 2 es 4 y el
doble de 4 es 8, por lo tanto, el doble de 24 es 48.
Aprendo: Aplicar la propiedad conmutativa y asociativa
para multiplicar mentalmente. (Página 59)
Lea y destaque lo expuesto en la sección Atención, practi-
que las propiedades conmutativa y asociativa con núme-
ros de 1 dígito. Pídales a las y los estudiantes que creen
nuevos ejemplos para demostrar su comprensión de las
propiedades. Analice a través de pregunta como las si-
guientes: ¿estas propiedades se cumplen en la adición? ¿Cómo
podríamos demostrar estas propiedades para la adición?
Pida a las y los estudiantes que expliquen cómo usaron
cada propiedad en la resolución de los ejercicios y luego
que les otorguen contextos para crear problemas.
Aprendo: Aplicar la propiedad distributiva para
multiplicar mentalmente. (Página 60)
Recuerde la descomposición estándar de números de 2 y
3 cifras. Lea y destaque lo expuesto en la sección Atención
respecto de la propiedad distributiva. Pídales a las y los
estudiantes que creen nuevos ejemplos para demostrar
su comprensión de la propiedad. Enfatice el significado
de distribuir el segundo factor en la descomposición del
primer factor.
Pida a sus estudiantes explicar a un compañero o una
compañera cómo aplicaron la propiedad distributiva en
cada caso.
Cuaderno

1
Unidad
45
Estimación de productos
Páginas 61 y 62
estudiantes sean capaces de estimar productos redon-
deando los factores a la decena, a la centena o a la unidad
de mil más cercana.
Aprendo: Estimar productos redondeando los factores
a la decena o a la centena más cercana. (Página 61)
Las y los estudiantes redondean para estimar el produc-
to de un número de 3 cifras por un número de 2 cifras.
Muestre que para estimar el producto de un número de
3 cifras por un número de 2 cifras, pueden redondear los
números a la centena y decena más cercanas, respectiva-
mente, y luego, multiplicar los números redondeados.
Señale que los números redondeados se pueden multipli-
car fácilmente multiplicando los dígitos distintos de cero y
posteriormente, agregar ceros según corresponda.
Pida a las y los estudiantes que estimen cada producto
redondeando. Complete la actividad 1 en conjunto y lue-
go pídales que trabajen individualmente.
Aprendo: Estimar productos redondeando los factores a
la decena o a la unidad de mil más cercana. (Página 62)
Lasylosestudiantesredondeanparaestimarelproductode
un número de 4 cifras por un número de 2 cifras. Muestre
que para estimar el producto de un número de 4 cifras por
un número de 2 cifras, pueden redondear los números a la
unidad de mil y a la decena más cercana, respectivamente,
y luego multiplicar los números redondeados.
Señale que los números redondeados se pueden multi-
plicar fácilmente multiplicando los dígitos distintos de
cero y posteriormente, agregar ceros según corresponda.
Explique que multiplicar un número de 4 cifras por dece-
nas es similar a multiplicar un número de 2 o 3 cifras por
decenas. Las y los estudiantes no tendrán dificultad con
esto si las bases para multiplicar números de 2 y 3 cifras
por decenas son sólidas.
Pida a las y los estudiantes que estimen cada producto
y que redondeen cada número para estimar el producto.
Complete la actividad 4 con las y los estudiantes y des-
pués pídales que trabajen individualmente.
Cuaderno
Multiplicación entre
números de dos cifras
Páginas 63 a 66
estudiantes sean capaces de resolver problemas aplican-
do el algoritmo de la multiplicación y reagrupando.
Material concreto en factores y múltiplos
El concepto de número primo parece ser más fácil-
mente adquirido cuando el niño, mediante la cons-
trucción, descubre que ciertos puñados de porotos no
pueden ser dispuestos en filas y columnas completas.
Dichas cantidades tienen que ser dispuestas en una
fila única o en un diseño de columna-fila incompleto
donde siempre hay una extra o hay muy pocas para
llenar el patrón. Estos patrones, que aprende el niño,
pasan a ser llamados “primo”. Es fácil para que el niño
pase de este paso al reconocimiento de que una tabla
múltiple, así llamada, es una planilla de cantidades
en filas y columnas múltiples completas. Aquí está
la factorización, la multiplicación y los primos en una
construcción que puede ser visualizada.
Bruner (1973) citado en Matemática de Singapur para
profesionales de la enseñanza. Enseñanza de números
enteros. Marshall Cavendish Institute.
Aprendo: Multiplicar unidades, decenas y centenas con
reagrupación. (Páginas 63 y 64)
Las y los estudiantes repasan la multiplicación de nú-
meros de 2 cifras. Se presenta aquí el algoritmo por
reagrupación. Use 12 · 20 para repasar la multiplicación,
descomponiendo los factores múltiplos de 10.
En la estrategia 1 muestre a las y los estudiantes que 20
grupos de 12 lápices se pueden reagrupar en 10 grupos
de “2 grupos de 12 lápices”. Entonces, multiplicar 12 por
20 equivale a multiplicar 12 por 2 y, luego, por 10 para
obtener un producto de 240.
Enlaestrategia2sepresentaelalgoritmoestándar.Muestre
a las y los estudiantes que multiplicar 12 por 20 equivale a
multiplicar 12 por 2 para luego mover los dígitos un lugar
hacia la izquierda y escribir cero en el lugar de las unidades.

46
Compare las estrategias y asegúrese de que vean las
similitudes y las diferencias en las estrategias.
Aprendo: Multiplicar números de 2 cifras por números
de 2 cifras. (Página 64)
Explique el procedimiento para multiplicar un número de
2 cifras por un número de 2 cifras usando el algoritmo
estándar, es decir, se multiplica el 68 por 8 unidades,
luego el 63 por 2 decenas y finalmente se suman estos
resultados para obtener el producto.
Muestre a las y los estudiantes cómo deben revisar sus
respuestas redondeando para estimar el producto. Repase
la destreza de redondeo que aprendieron anteriormente.
Errores frecuentes
Al multiplicar números de varias cifras, las y los estu-
diantes podrían olvidar que deben sumar los números
reagrupados a medida que multiplican cada lugar.
Sugiera que encierren cada número que escriben
arriba del número original al reagrupar. Luego, los
pueden tachar después de haberlos sumado.
Pida a las y los estudiantes que estimen antes de calcular.
Recuerde las estrategias estudiadas y enfatice el segui-
miento de los pasos para resolver en cada caso. Sugiérales
realizar las multiplicaciones en su cuaderno.
Aprendo: Resolver problemas aplicando el algoritmo de
la multiplicación. (Página 65)
Para la explicación del algoritmo estándar, pídales a las y
los estudiantes que marquen con color el cero cuando se
multiplica por la decena. También, puede sugerirles usar
otro símbolo como – o X para que recuerden mover los
dígitos un lugar hacia la izquierda.
Buenas prácticas
A lo largo de esta lección, las y los estudiantes aprenden
a multiplicar números de varias cifras y a usar la estima-
ción para comprobar que sus respuestas sean razona-
bles. En algunos cálculos, pida a las y los estudiantes que
primero hagan una estimación para que tengan una idea
de cómo podría ser la respuesta.
Sugiérales a las y los estudiantes que aún no dominan el
método estándar, que apliquen el método de descomposi-
ción. También, pueden usar las tablas de valor posicional
para realizar las multiplicaciones.
Cuaderno
Muestre la conexión entre la propiedad distributiva de la
multiplicación y el multiplicar por números de 2 cifras.
Este problema requiere que las y los estudiantes encuentren
y reformulen el problema simplificando una expresión nu-
mérica sin usar la tecla 9 en la calculadora. Ellos pue-
den aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación,
aplicar el orden de las operaciones y luego, valorar esta
expresión numérica en sus calculadoras.
División por números
de una cifra
Páginas 67 a 73
los estudiantes sean capaces de calcular divisiones rea-
grupando, estimar el cociente de una división y resolver
problemas interpretando el resto de una división.
Aprendo: Dividir reagrupando centenas, decenas y
unidades. (Páginas 67 a la 69)
Asocie el concepto de división a reparto equitativo o por
medida. Entregue material concreto a las y los estudian-
tes como fichas, tapitas de botellas o bolitas y proponga
ejercicios como 13 : 3, asociándolo a un contexto. Por
ejemplo, “tengo 13 caramelos y los quiero repartir entre
3 niños, ¿cuántos caramelos recibirá cada uno?” Cambie
las situaciones a “tengo 13 caramelos y los quiero repar-
tir en 3 cajas, ¿cuántos caramelos tendrá cada caja?”
Pídales que señalen situaciones similares.
Con bloques de base 10 represente 13. Realice los canjes
respectivos y reparta las unidades en 3 grupos. Muestre
este ejemplo de división. Luego, entrégueles el material y
pídales que representen distintas situaciones. Enfatice la
necesidad de hacer canjes para repartir.

1
Unidad
47
Practico (Páginas 69 a 71)
Sugiera a las y los estudiantes usar bloques de base
10 para realizar las divisiones. Relacione el 735 con su
descomposición según valor posicional, para que vean
700 : 3, 30 : 3 y 5 : 3. Para aquellos estudiantes que lo
necesiten, sugiérales realizar las divisiones por separado.
Enfatice la necesidad de comprobar las divisiones cal-
culando el producto del divisor con el cociente, y luego,
sumándoles el residuo. También, pídales a las y los estu-
diantes observar que el residuo siempre sea menor que
el divisor.
Aprendo: Estimar el cociente de una división. (Página 71)
Muestre que para estimar el cociente entre un número
de 3 cifras y uno de 1 dígito, pueden redondear el dividen-
do y luego dividir ese número por el divisor. Señale que
el cociente encontrado corresponde a una aproximación
del cociente exacto. Realice más ejercicios como ejemplo
para que las y los estudiantes incorporen la estrategia
para dividir.
Aprendo: Resolver problemas interpretando el resto de
una división. (Página 71)
Recuerde el algoritmo de la división. Analice la división
del problema asociando el dividendo 126 como el total
de árboles, el divisor 4 como la cantidad de avenidas y el
cociente como la cantidad de árboles que se plantarán en
cada calle. Guíe a las y los estudiantes para interpretar el
residuo 2 de la división como lo sobrante del total, por lo
tanto, en este caso, 2 corresponde a 2 árboles.
Recuerde el algoritmo de la división y la estrategia para
estimar cocientes. Pídales a los y las estudiantes que
comprueben cada división. Para aquellos estudiantes que
manejan el algoritmo, sugiérales usar calculadora para
comprobar sus resultados. Para aquellos estudiantes que
aún muestran dificultades en la comprensión del algoritmo,
pídales que usen bloques de base 10.
Cuaderno
Reflexiono.Permítalesquecompartansusrespuestasy que
comparen las dificultades que enfrentaron al desarrollar
las actividades.
¿Cómo voy?
Página 74
Esta sección tiene por objetivo evaluar los contenidos y
habilidades desarrolladas en la Lección 2: Multiplicación
y división.
En el ítem 1 se evalúa si las y los estudiantes pueden
identificar estrategias de cálculo mental y escrito para
resolver multiplicaciones. En el ítem 2 se evalúa la capa-
cidad de resolver multiplicaciones y estimar productos.
Recuérdeles la diferencia entre un producto exacto y uno
estimado. Pídales que mencionen estrategias de cálculo
para cada uno. En el ítem 3 se evalúa la capacidad de
resolver divisiones y estimar cocientes. Pida a las y los
estudiantes que desarrollen los ejercicios en su cuader-
no, de manera que tengan espacio suficiente. Recuerde
la reversibilidad de la multiplicación y la división y en el
ítem 4 se evalúa si las y los estudiantes pueden resolver
problemas que involucran multiplicaciones y divisiones.
Recuerde los pasos de resolución de problemas y la iden-
tificación de las palabras claves.
su desempeño.

48
Estrategias de cálculo y problemas (páginas 75 a 85)
Lección
3
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Operaciones
combinadas
(págs. 76 a 78)
4 horas
pedagógicas
Realizar cálculos
que involucren las
cuatro operaciones,
aplicando las reglas
relativas a paréntesis
y la prevalencia de
la multiplicación y
división por sobre la
adición y sustracción
cuando corresponda:
• usando la propie-
dad distributiva de
la multiplicación
respecto de la
suma
• aplicando el
algoritmo de la
multiplicación
blemas rutinarios.
• Realizan operaciones com-
binadas de sumas y restas.
• Realizan operaciones com-
binadas de sumas y restas
que involucran paréntesis.
• Calculan expresiones
desconocidas en igualdades
en que intervienen sumas y
restas.
• Resuelven sumas y/o restas
de multiplicaciones y/o
divisiones.
• Aplican reglas de paréntesis
en la operatoria con expre-
siones numéricas.
Resolver
operaciones
combinadas
que involucran
adiciones y
sustracciones.
Resuelven
operaciones
combinadas
que involucran
adiciones y
sustracciones.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
operaciones
combinadas
que involucran
multiplicaciones
y divisiones.
Resuelven
operaciones
combinadas
que involucran
multiplicaciones
y divisiones.
Resolver
operaciones
combinadas
que involucran
adiciones o
sustracciones y
multiplicaciones
o divisiones.
Resuelven
operaciones
combinadas
que involucran
las cuatro
operaciones (+,
–, ·, :).
Resolver
operaciones
combinadas con
paréntesis.
Resuelven
operaciones
combinadas
con paréntesis
y aplican la
prioridad de las
operaciones.
Esta lección se organiza en torno a los Objetivos de Aprendizaje (OA) del Eje Números y operaciones. Su propósito
principal es que las y los estudiantes apliquen de manera correcta los algoritmos, además de las estrategias de
cálculo mental y escrito para la resolución de problemas.
Para conseguir este objetivo, la mayoría de las actividades de esta lección apuntan a que los y las estudiantes, usan-
do diversos contextos, puedan aplicar las operaciones y estrategias aprendidas para buscar soluciones a problemas.
dores de evaluación de la lección. Además, se señala el tiempo estimado y la secuencia didáctica de los aprendizajes
y actividades de esta.

49
1
Unidad
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Uso de la
calculadora y el
computador
(págs. 79 y 80)
4 horas
pedagógicas
Resolver problemas
rutinarios y no
rutinarios que
involucren las
cuatro operaciones
y combinaciones de
ellas:
• que incluyan situa-
ciones con dinero
• usando la calcula-
dora y el computa-
dor en ámbitos nu-
méricos superiores
al 10 000.
• Seleccionan y usan una
estrategia para estimar
la solución de un pro-
blema dado.
• Demuestran que la so-
lución aproximada a un
problema no rutinario
dado, no requiere de
una respuesta exacta.
• Determinan respuestas
aproximadas.
• Estiman la solución de
un problema dado y lo
resuelven.
• Resuelven problemas
matemáticos relativos
a cálculos de números,
usando la calculadora.
• Identifican qué opera-
ción es necesaria para
resolver un problema
dado y lo resuelven.
• Determinan lo razona-
ble de una respuesta
a un problema no
rutinario.
• Evalúan la solución
de un problema en su
enunciado.
• Explican la estrategia
utilizada para resolver
un problema.
Usar la calculadora
para resolver
problemas
de adición y
sustracción.
Usan la calculadora y
el computador para
resolver problemas
de adición, de
sustracción, de
multiplicación y de
división.
Resolver
problemas.
Usar la calculadora
para resolver
problemas de
multiplicación.
Usar la calculadora
para resolver
problemas de
división.
Otras
situaciones
problema con
las cuatro
operaciones
(págs. 81 a 84)
4 horas
pedagógicas
Reconocer que
el resto de una
división puede
ser parte de una
respuesta.
Resuelven
problemas
que implican
interpretar el resto
de una división
en el contexto
de la situación
presentada.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Aumentar el
cociente cuando se
incluye al resto de
una división.
Resuelven
problemas que
implican interpretar
el resto y el cociente
de una división
en el contexto
de la situación
presentada.
Reconocer que
algunos problemas
se deben resolver
en dos pasos.
Resuelven
problemas en
dos pasos.
Reconocer que
algunos problemas
se deben resolver
en más de dos
pasos.
Resuelven
problemas en más
de dos pasos.

50
OAT
y criterios.
Dimensión moral
• valorar el carácter único de cada ser humano y, por lo
tanto, la diversidad que se manifiesta entre las personas,
y desarrollar la capacidad de empatía con los otros.
el conocimiento.
cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la origina-
lidad, la aceptación de consejos y críticas y el asumir
riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales
en el desarrollo y la consumación exitosa de tareas
y trabajos.
Recursos
Dados de operaciones, naipes, tarjetas con números,
fichas, calculadora y computador.
Conceptos clave
Adición,sustracción,multiplicación,división,operacióncom-
binada, uso de paréntesis, prioridad de las operaciones.
Repaso
Página 75
previos o como una herramienta de diagnóstico para reco-
nocer el nivel de las y los estudiantes respecto de los co-
nocimientos previos que le serán útiles para esta lección.
Permítales desarrollar la actividad del ítem 1 en parejas
y explíqueles que en esta lección resolverán problemas
rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro
operaciones y combinaciones de ellas. Recuerde la estra-
tegia de los 4 pasos para resolver problemas. Pídales que
subrayen los datos del enunciado y las palabras clave en
cada pregunta. Invítelos a argumentar por qué sus cálcu-
los responden adecuadamente las preguntas.
Luego, corrija las actividades en conjunto y asegúrese
de aclarar las dudas que surjan, dando ejemplos cuando
sea necesario.
Pídales que respondan la sección Conceptos clave. Esto
le permitirá conocer los preconceptos asociados a esta
lección. Para complementar esta actividad, puede solicitar
a sus estudiantes que elaboren un organizador gráfico con
los conceptos principales, el cual, posteriormente pueden
confeccionar en cartulina para dejar pegado en el muro de
la sala de clases.
Finalmente, dé el tiempo necesario para que las y los es-
tudiantes respondan las preguntas de metacognición plan-
teadas en la sección Reflexiono. Permítales que compartan
sus respuestas, destacando la importancia de escuchar en
forma respetuosa las respuestas de los demás.
Operaciones combinadas
Páginas 76 a 78
estudiantes resuelvan problemas en los que tendrán que
expresarmásdeunaoperaciónparadeterminarsusolución.
Aprendo: Resolver operaciones combinadas que
involucran adiciones y sustracciones. (Página 76)
Luego de leer el problema, pídales a sus estudiantes que
expliquen con sus palabras de qué se trata. Sugiérales
que destaquen con colores diferentes las operaciones,
puede utilizar el contenido de la cápsula Atención para
definir una operación combinada. Pregúnteles qué signi-
fica cada número para que lo puedan asociar a los datos
del problema, por ejemplo, 96 es la cantidad de pasaje-
ros, 26 la cantidad de pasajeros que bajan en la estación
y 48, la cantidad de pasajeros que suben al tren.
Puede invitar a un voluntario o voluntaria a describir cómo
puede resolver el problema.
Sus estudiantes podrían dar la siguiente solución:
Paso 1 96 – 26 = 70
Paso 2 70 + 48 = 118
Explíqueles que esos dos pasos pueden escribirse como
una sola expresión numérica:
96 – 26 + 48
Enfatice que para simplificar una expresión numérica
deben seguir un orden al resolver las operaciones. Use el
ejemplo para mostrar que cuando solo hay una adición y
una sustracción, las operaciones se resuelven de izquier-
da a derecha. Puede cambiar el orden de la resolución
y preguntarles ¿qué información obtendrán? Para que sus
estudiantes puedan entender la lógica de la prioridad de
las operaciones.
Escriba un par de otros ejemplos en el pizarrón. Pregunte:
¿Qué operación se resuelve primero? (La operación que
aparece primero al mirar desde la izquierda).
Guíe a sus estudiantes para que vean qué pasa cuando
no se sigue el orden de las operaciones. Por ejemplo:
15 – 4 + 2 = 11 + 2 = 13 (correcto)
15 – 4 + 2 = 15 – 6 = 9 (incorrecto)

51
1
Unidad
Haga que sus estudiantes discutan sobre cómo pueden
resolver 12 + 16 – 8 + 3. Recuérdeles que cuando solo hay
adiciones y sustracciones, deben resolverlas de izquierda
a derecha.
Pida a sus estudiantes que resuelvan las operaciones
combinadas en sus cuadernos y que realicen sus cálculos
en una hoja aparte. Enfatice que cuando en este tipo de
operaciones solo hay adiciones y sustracciones, el crite-
rio para resolver es por orden de aparición, de izquierda
a derecha.
Enseñe la estrategia de estimar las cantidades de la ope-
ración combinada como un método para comprobar si el
resultado obtenido es el correcto. Por ejemplo, para el
ejercicio 37 + 8 – 25, pueden estimar las cantidades como
40 + 10 – 30, obteniendo 20 como resultado final, por
lo que al resolver, el resultado debería estar cercano a
este rango.
involucran multiplicaciones y divisiones. (Página 76)
Pida a sus estudiantes que observen cuál es la prioridad
cuando en la operación combinada hay multiplicaciones
y divisiones. Resalte que cuando solo hay multiplicacio-
nes y divisiones, el criterio para resolver es por orden de
aparición, de izquierda a derecha. Sugiérales la estrategia
de estimar para comprobar sus resultados. También,
puede pedirles a sus estudiantes que usen la calculadora
para chequear los resultados obtenidos.
Solicite a sus estudiantes que resuelvan las operaciones
combinadas en sus cuadernos y que realicen sus cálculos
en una hoja aparte. Luego, pídales que intercambien sus
cuadernos para revisar la resolución de un compañero
o una compañera. Para hacer más rápida esta revisión,
sugiérales usar la calculadora.
Realice una puesta en común de los errores encontrados en
larevisiónysolicítelesqueexpliquencómodebencorregirlos.
involucran adiciones o sustracciones y multiplicaciones
o divisiones. (Páginas 77 y 78)
Lea el problema en voz alta y pida a sus estudiantes que
piensen en la expresión numérica. Escriba 28 + 56 : 4
en el pizarrón y pregunte: ¿cuáles operaciones hay en esta
expresión? (Adición y división).
Explique que cuando hay expresiones numéricas que
combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divi-
siones, deben trabajar de izquierda a derecha, resolviendo
las multiplicaciones o divisiones primero (de izquierda
a derecha) y luego las adiciones o sustracciones (de
izquierda a derecha). Puede guiar la resolución de las
operaciones combinadas con los cálculos presentados
en las cápsulas Atención.
Recuerde a sus estudiantes la prioridad de las operacio-
nes y solicíteles resolver la actividad en sus cuadernos,
pídales realizar sus cálculos en una hoja aparte.
Al momento de comparar los resultados, pida a sus estu-
diantes explicar paso a paso cómo resolvieron las opera-
ciones. De este modo, será posible identificar con mayor
facilidad si los posibles errores cometidos corresponden
a la aplicación de la prioridad de las operaciones o a los
cálculos realizados.
Aprendo: Resolver operaciones combinadas con
paréntesis. (Páginas 77 y 78)
En esta sección se incorpora el uso del paréntesis en las
operaciones combinadas. Lea los problemas y pregúnte-
les qué operaciones deben resolver para responder las
preguntas. Guíelos para que relacionen el orden de los
datos en los problema con el uso del paréntesis.
Sugiera a sus estudiantes escribir la prioridad de las
operaciones con símbolos, por ejemplo: (), · o :, + o –, I
a D; en su cuaderno. Realice el mismo esquema en una
cartulina y péguela en el muro de la sala de clases.
Sugiérales que destaquen con colores diferentes las ope-
raciones, asociando un color para el paréntesis y para cada
operación. Luego, pídales escribir el orden en que resolve-
rán las operaciones en cada ejercicio y solicíteles com-
pararlo con un compañero o una compañera. Una vez
que hayan corregido los posibles errores cometidos en
el orden de resolución pídales que resuelvan las opera-
ciones en su cuaderno y que realicen sus cálculos en una
hoja aparte. Finalmente, revise la actividad en conjunto
con sus estudiantes.
Cuaderno
que muestren ejemplos en los que esta actitud les ayudó
en el desarrollo de las actividades.

52
Manos a la obra Crear operaciones combinadas
con tarjetas. (Página 78)
Antes de iniciar esta actividad, resalte la importancia del
trabajo en equipo, el dividirse los roles para un trabajo
eficiente, el escucharse con respeto para tomar acuer-
dos. También, con anticipación prepare los materiales.
Determine el tiempo para la confección del material por
parte de los grupos y para la ejecución de la actividad.
Para finalizar, puede solicitar a los grupos que expliquen
las estrategias que usaron para resolver las operaciones
combinadas, los errores cometidos y que señalen suge-
rencias para enfrentar este tipo de operaciones.
Pida a sus estudiantes que ejemplifiquen con acciones
cuando demostraron la actitud de esfuerzo y perseverancia.
Pueden realizar breves dramatizaciones de cómo se tra-
baja en equipo.
Actividad sugerida
Si lo considera apropiado, puede profundizar el tema
del orden en las operaciones cuando se trabajan con
distintos paréntesis.
Explique a sus estudiantes que primero deben resolver las
operaciones entre paréntesis (), luego entre corchetes [] y
después entre llaves {}. Cuando hay más de una operación
entre paréntesis, corchetes y/o llaves, se sigue la regla pre-
via: resolver de izquierda a derecha, las multiplicaciones y
divisiones primero, luego las adiciones y sustracciones.
Resuelve la siguiente operación combinada
72 : {36 : [(4 + 2) · 3]}.
Paso 1 72 : {36 : [(4 + 2) · 3]} Primero, resuelve la
operación entre ().
Paso 2 72 : {36 : [6 · 3]} Luego, resuelve la
operación entre [].
Paso 3 72 : {36 : 18} Después, resuelve la
operación entre {}.
Paso 4 72 : 2 Finalmente, divide.
36
Entonces, 72 : {36 : [(4 + 2) · 3]} = 36.
Resuelve.
a. 108 : {36 : [12 : (3 · 2)]}
b. 420 : {[15 – (8 – 3)] · 2}
c. {60 : [7 + (2 · 4)]} · 22
d. 95 – {48 + [36 : (2 · 3)]}
Respuestas: a. 6 b. 21 c. 88 d. 41
Uso de la calculadora
y el computador
Páginas 79 y 80
los estudiantes utilicen la calculadora y exploren el uso
del computador para resolver problemas que incluyan
operaciones combinadas.
Aprendo: Usar la calculadora para resolver problemas
de adición y sustracción. (Página 79)
Muestre cómo usar una calculadora para sumar dos nú-
meros naturales. A continuación, haga que cada estudian-
te presione las teclas correspondientes en su calculadora y
utilice el contenido de la cápsula Atención para enseñarles
a borrar la pantalla. Pida que verifiquen sus respuestas
usando papel y lápiz.
Señale que una calculadora solo muestra el resultado de
la operación, por lo tanto deben escribir de manera com-
pleta la respuesta al problema.
Repita lo anterior pero para la sustracción y comente que
en ocasiones es más rápido utilizar la calculadora, pero
en otras es mejor usar las estrategias de cálculo mental
que ya conocen.
de multiplicación. (Página 79)
Muestre a sus estudiantes cómo usar una calculadora
para multiplicar dos números naturales. Revise la expre-
sión que permite calcular el área de un rectángulo. Para
ello, puede leer el contenido de la cápsula Atención.
de división. (Página 80)
Muestre a sus estudiantes cómo usar la calculadora para
dividir dos números naturales.
Se sugiere que les muestre cómo corregir un error al in-
troducir un número. Para ello, use la tecla de función C
que se encuentra en la mayoría de las calculadoras. Esta
tecla le permite cambiar el último número introducido
sin tener que digitarlos todos nuevamente.
Para comprobar que no se han cometido errores al in-
gresar las operaciones en las calculadoras, haga que sus
estudiantes estimen si su respuesta será mayor o menor
que el primer número que ingresan. Para los problemas
de adición y multiplicación, la respuesta será mayor;
para los problemas de sustracción y división, la res-
puesta será menor.

53
1
Unidad
Cuaderno
que muestren ejemplos en los que esta actitud les ayudó
en el desarrollo de las actividades.
Manos a la obra Resolver ejercicios combinados
en un computador usando una planilla de cálculo.
(Página 80)
Guíe a sus estudiantes para que sigan paso a paso las in-
dicaciones del Texto. Pídales que verifiquen sus resulta-
dos realizando los cálculos con lápiz y papel. Recuérdeles
dar una respuesta completa al problema.
Pídales que creen un problema similar y que utilicen la
planilla de cálculo para resolverlo. Luego, pregunte por
los pasos que siguieron en su resolución, si cambiaron
o se mantuvieron respecto de la actividad propuesta en
esta sección. Si tiene el tiempo, cambie el problema de
manera que tengan que ingresar alguna división y pre-
gunte cómo lo hicieron.
Otras situaciones
problema con las
cuatro operaciones
Páginas 81 a 84
estudiantes utilicen la prioridad de las operaciones para re-
solver problemas que incluyan operaciones combinadas.
Aprendo: Reconocer que el resto de una división puede
ser parte de una respuesta. (Página 81)
En cada problema, los términos de la división están aso-
ciados a datos del problema, por eso, es fundamental,
que constantemente se haga mención a la interpretación
de cada número en el contexto que se trabaja.
Recuerde a sus estudiantes que cuando se divide, se está
repartiendo en igual cantidad de elementos y que el res-
to, es lo que queda sin repartir, para luego, asociarlo al
contexto del problema.
Entregue cartulinas u hojas de block para que cada estu-
diante realice su estrategia. Pegue todas las cartulinas en
los muros de la sala de clases y pídales a sus estudiantes
que las recorran, observando las estrategias y escribiendo
comentarios para cada una. Realice una puesta en común
de lo que les llamó la atención. También, puede entregar
otro problema y solicitarles que lo resuelvan usando la
estrategia de algún compañero o compañera.
Aprendo: Aumentar el cociente cuando se incluye al
resto de una división. (Página 81)
Asegúrese que sus estudiantes comprenden el proble-
ma. Muestre utilizando el algoritmo convencional de la
división que se traduce en 13 furgones con capacidad
para 120 estudiantes, dejando un resto de 3 estudiantes
sin furgón. Explique que estos estudiantes también van a
la excursión por lo que se necesita un furgón más.
Pida a sus estudiantes identificar los datos del problema
y explicar qué es lo que se pregunta en él. Luego, solicíte-
les planificar la estrategia que utilizarán para responder
la pregunta. Puede guiarlos preguntándoles qué opera-
ción deben resolver, cómo lo saben, entre otras.
Una vez que escriben y resuelven la división, pídales inter-
pretar en el contexto del problema cada término de ella.
Finalmente,revisequeescribancorrectamentelarespuesta.
Aprendo: Reconocer que algunos problemas se deben
resolver en dos pasos. (Página 82)
Para resolver problemas de dos pasos, sugiera a sus estu-
diantes subrayar la pregunta para encontrar las palabras
claves. Recuerde la reversibilidad entre las operaciones:
adición con sustracción y multiplicación con división, así
como también, las palabras claves asociadas a cada opera-
ción: adición (total, suma, juntar, agregar, todo), sustracción
(gasté, vuelto, perdí, separar), multiplicación (total, combi-
né, agrupé en cantidades iguales) y división (repartí en
grupos de igual cantidad, distribuí).
Enseñe a sus estudiantes a realizarse preguntas para
generar los datos faltantes. Para ello, invítelos a leer por
partes el problema y en cada una, inventar una pregunta.
Cambie los datos del problema dado para que sus es-
tudiantes repitan los pasos. Puede pedirles que inventen
nuevos datos para el mismo problema. Es importante
que reitere la relación entre el número y lo que significa
en el contexto, por ejemplo, 45 es la cantidad de litros del
estanque del automóvil.
Aprendo: Reconocer que algunos problemas se deben
resolver en más de dos pasos. (Página 83)
En ocasiones, los problemas de más de dos pasos son
difíciles para las y los estudiantes debido a que implican
realizar preguntas implícitas para generar los nuevos datos.

54
Una estrategia para su resolución es separar por frases
el problema, es decir, crear subproblemas a partir del
problema original.
En el ejemplo dado, la primera frase es “Un grupo de vo-
luntarios compra 32 cajas con 40 manzanas”, entonces
podemos crear la pregunta ¿cuántas manzanas compran
en total? Obteniendo 1 280 como respuesta. La segun-
da frase dice “Los voluntarios guardan las manzanas
en bolsas de 5 unidades”, por lo que podemos crear la
pregunta ¿cuántas bolsas de 5 unidades tengo con mi total de
manzanas?, generando el nuevo dato de 256 bolsas. Con
esta nueva información podemos responder la pregunta
del problema original, ¿cuánto dinero recaudan después de
vender todas las manzanas?, multiplicando la cantidad de
bolsas por el precio de cada una, es decir, 256 · 600, en-
contrando la respuesta al problema que es “Los voluntarios
recaudaron $ 153 600”.
En la actividad 1 pida a sus estudiantes que expliquen con
sus palabras lo que entendieron de cada situación des-
crita. Luego, recuerde las estrategias vistas en la lección
para plantear las preguntas.
Recuérdeles que las imágenes que acompañan al problema
de la actividad 5 y al de la actividad 6c entregan infor-
mación relevante para su resolución. Luego de revisar las
actividades, invite a sus estudiantes a modificar los pro-
blemas propuestos en las actividades 6a y 6b, agregando
imágenes con información.
En la actividad 6 puede resaltar el uso de la calculadora
como un medio para comprobar resultados o realizar
cálculos más rápidos. Reflexione con las y los estudiantes
entorno a la pregunta ¿la calculadora por sí misma me re-
suelve los problemas matemáticos de manera correcta?, ¿qué
es necesario saber para usar la calculadora?
Una actividad de extensión a la actividad 7 puede ser, en-
tregar tarjetas con ejercicios combinados, y que en grupos,
ellos creen problemas que se puedan resolver a través de
esos planteamientos numéricos.
Con este RDC, se fomenta la resolución
de problemas, en donde se utilizarán ope-
raciones combinadas en situaciones relacio-
nadas con el cuidado del medioambiente.
Los personajes motivarán a los y las estudiantes a for-
mar parte del equipo de trabajo en la Feria de recicla-
je. Además, podrán informarse sobre la importancia
del reciclaje con la reproducción de un video. De esta
forma se motivará a los estudiantes en la labor en-
comendada con la que podrán resolver operaciones.
RDC 2
Cuaderno
que comparen las estrategias utilizadas en el desarrollo
de las actividades.
¿Cómo voy?
Página 85
habilidades desarrolladas en la Lección 3: Estrategias de
cálculo y problemas.
En el ítem 1 se evalúa la comprensión de la prioridad de
las operaciones en los ejercicios combinados. Mientras
que en el ítem 2 se evalúa la resolución de operaciones
combinadas.
Finalmente, en el ítem 3 se evalúa la resolución de pro-
blemas que involucran las cuatro operaciones.
su desempeño. En aquellos indicadores de evaluación
que obtengan un puntaje inferior al logrado, solicíteles
que vuelvan a leer y ejercitar las páginas de la lección
correspondientes al indicador. Finalmente, dé el tiempo
necesario para que respondan la pregunta de metacogni-
ción planteada en la sección Reflexiono. Permítales que
compartan sus respuestas para que comparen las estra-
tegias utilizadas y determinen cuáles son más eficientes
o pertinentes en cada caso.

55
Patrones y secuencias (páginas 86 a 89) 1
Unidad
Lección
4
En esta lección se espera que sus estudiantes sean capaces de encontrar regularidades en secuencias de objetos,
imágenes o números para representarlos de manera concreta, pictórica y simbólica o viceversa.
Para esto, se proponen actividades que apuntan a que los y las estudiantes, usando diversos contextos, puedan predecir y
fundamentar su razonamiento al momento de resolver problemas.
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Patrón de
formación y
secuencias
(págs. 87 a 89)
6 horas
pedagógicas
Descubrir alguna
regla que explique
una sucesión dada,
y que permita hacer
predicciones.
• Extienden un patrón
numérico con y sin
materiales concretos,
y explican cómo cada
elemento difiere de los
anteriores.
• Muestran que una
sucesión dada puede
tener más de un patrón
que la genere. Por
ejemplo: la sucesión 2,
4, 6, 8, … puede tener
como patrón los núme-
ros pares consecutivos,
o podría ser continuada
como 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5,
7,… y en este caso po-
dría tener un patrón de
cuatro números pares
consecutivos y cuatro
números impares con-
secutivos.
• Dan ejemplos de
distintos patrones para
una sucesión dada y
explican la regla de
cada uno de ellos.
• Dan una regla para un
patrón en una sucesión
y completan los ele-
mentos que siguen en
ella, usando esa regla.
• Describen, oralmente o
de manera escrita, un
patrón dado, usando
lenguaje matemático,
como uno más, uno
menos, cinco más.
• Describen relaciones
en una tabla o un gráfi-
co de manera verbal.
Hallar un patrón
para completar
una secuencia.
Identifican un
patrón en una
secuencia.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Resolver
problemas.
Modelar.
Identificar y
desarrollar
una secuencia
numérica.
Identificar la
relación entre
dos grupos de
números.
Determinan
términos en
una secuencia.

56
OAT
experiencias de manera coherente y fundamentada,
haciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.
escolar, familiar y social utilizando tanto modelos y
y criterios.
conocimiento.
y comunitario.
Recursos
Calendarios, fichas, cubitos, palos de fósforo y papel lustre.
Conceptos clave
Secuencia numérica, patrón de formación, término de
una secuencia, predicción de términos.
Repaso
Página 86
previos o como una herramienta de diagnóstico para re-
conocer el nivel de las y los estudiantes respecto de los
conocimientos que le serán útiles para esta lección. En el
ítem 1 se evalúa la capacidad de identificar y describir pa-
trones numéricos en tablas que involucren una operación,
de manera manual. Proyecte la imagen de los árboles y las
distancias entre uno y otro. Puede apoyar la imagen con
una recta numérica para que los estudiantes asocien cada
árbol a un número. Guíe a través de preguntas como, ¿qué
relación existe entre los números de la tabla?, ¿cómo obtengo
la distancia conociendo el número del árbol? Permita que va-
rios estudiantes expliquen sus razonamientos.
Pídales que trabajen la sección Conceptos clave. Esto le
permitirá conocer los preconceptos que tienen sobre lo
que se trabajará en la lección.
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas,
destacando la importancia de escuchar en forma respe-
tuosa las respuestas de los demás.
Patrón de formación
y secuencias
Páginas 87 a 89
Estas páginas tienen como objetivo central que las y
los estudiantes sean capaces de hallar un patrón para
completar una secuencia e identificar términos en una
secuencia numérica.
Transposición didáctica
Cuando queremos enseñar un cierto contenido mate-
mático, tal como las secuencias numéricas, hay que
adaptarlo a la edad y conocimientos de los alumnos,
con lo cual hay que simplificarlo, buscar ejemplos ase-
quibles a los alumnos, restringir algunas propiedades,
usar un lenguaje y símbolos más sencillos que los
habitualmente usados por el matemático profesional.
La expresión "transposición didáctica” hace referencia
al cambio que el conocimiento matemático sufre para
ser adaptado como objeto de enseñanza. Como con-
secuencia, se producen diferencias en el significado
de los objetos matemáticos entre la "institución ma-
temática" y las instituciones escolares. Por ejemplo,
los usos y propiedades de las nociones matemáticas
tratadas en la enseñanza son necesariamente restrin-
gidos. El problema didáctico se presenta cuando, en
forma innecesaria, se muestra un significado sesgado
o incorrecto.
Adaptación: Godino, J.; Batanero, C.; Font, V.
Aprendo: Hallar un patrón para completar una secuencia.
(Página 87)
Muestre cómo identificar una regla en una secuencia
de números dada. Pida a las y los estudiantes que es-
criban los dos primeros números de la secuencia y que
se pregunten ¿qué operación se aplicó al primer número
para obtener el segundo? Luego de obtener la respuesta,
el paso siguiente es chequear si esta es válida para los
números que continúan en la secuencia. Si es afirmativo,
han descubierto un patrón de formación de la secuencia.
Aprendo: Identificar y desarrollar una secuencia
numérica. (Página 87)
Pida a las y los estudiantes observar el primer ejemplo
propuesto en el Texto. Guíelos a ver que cada término se
obtiene multiplicando el término anterior por 3.
Pregunte: ¿Cuál es el séptimo término? (243 • 3 = 729)

1
Unidad
57
Pida a las y los estudiantes que observen que el segundo
término se obtiene al sumar 2 al primer término, el ter-
cer término se obtiene al sumar 3 al segundo término, y
así sucesivamente. Pregunte: ¿Cuál es el octavo término?
(28 + 8 = 36).
Pida a las y los estudiantes que completen lo solicitado,
esto los guiará a encontrar un patrón entre los números
de las secuencias dadas. Luego, pídales que creen una
secuencia y que describan el patrón utilizado, pregunte si
se puede formar esa secuencia con otro patrón.
Aprendo: Identificar la relación entre dos grupos de
números. (Página 88)
Guíelos para que, en cada tabla, establezcan una relación
entre los datos.
Esta práctica refuerza la comparación y ordenamiento de
números así como la identificación de una regla en un
patrón de números.
Recuerde el concepto de perímetro y las características
de un cuadrado. Pídales a las y los estudiantes que dibu-
jen cuadrados de lado 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm y que
calculen sus respectivos perímetros. Escriba la secuencia
formada con los perímetros de estos cuadrados: 4, 8, 12,
16, 20. Guie a las y los estudiantes para que encuentren
un patrón de la secuencia. Luego, pídales que observen
el ejemplo para generalizar la fórmula de perímetro de
cuadrados usando el patrón descubierto.
Recuerde a las y los estudiantes que una estrategia para
encontrar un patrón de una secuencia, es analizar dos nú-
meros consecutivos, realizando la pregunta ¿qué operación
se le aplicó al primer número para obtener el segundo? Si es
necesario, entregue material discontinuo como fichas o
tapas o que apoyen su cálculo usando la calculadora.
Cuaderno
Manos a la obra Determinar términos en una
secuencia numérica (Página 89)
Esta actividad permitirá a sus alumnos y alumnas identi-
ficar términos en una secuencia numérica.
Solicite a sus estudiantes que se reúnan con un compa-
ñero o una compañera y guíelos a través de los pasos en
el Texto del estudiante. Terminada la actividad solicite a
los grupos que comenten sus conclusiones.
En las actividades propuestas para este
recurso digital, los estudiantes podrán apli-
car los contenidos relacionados con patrones,
en contextos sobre el cuidado del medioambiente.
Mediante su desarrollo, se pretende fomentar el in-
terés de los y las estudiantes al hacerlos parte de las
labores que se llevan a cabo en la organización y que
tienen por objetivo cuidar el medioambiente. Para ello,
los personajes los invitarán a ayudarlos en la organiza-
ción de las campañas que realizarán en las diferentes
regiones del país.
RDC 3
La comunicación en la matemática
La comunicación de nuestras ideas a otros es una
parte esencial de las matemáticas y, por tanto, de su
estudio. Por medio de la formulación, sea esta oral o
escrita, y la comunicación, las ideas pasan a ser ob-
jetos de reflexión, discusión, revisión y perfecciona-
miento. El proceso de comunicación ayuda a construir
significado y permanencia para las ideas y permite
hacerlas públicas.
Cuando pedimos a los estudiantes que piensen y razo-
nen sobre las matemáticas y que comuniquen los resul-
tados de su pensamiento a otras personas, de manera
oral o escrita, aprenden a ser claros y convincentes.
Cuando los estudiantes escuchan las explicaciones
de otros compañeros tienen oportunidades de de-
sarrollar sus propias interpretaciones. Los diálogos
mediante los que las ideas matemáticas se exploran
desde distintas perspectivas ayudan a los participan-
tes a ajustar su pensamiento y hacer conexiones.

58
Cuando los alumnos participan en discusiones en las
que tienen que justificar sus soluciones –especialmen-
te cuando hay desacuerdos– mejoran su comprensión
matemática a medida que tienen que convencer a sus
compañeros de puntos de vista diferentes. Esa activi-
dad también ayuda a los estudiantes a desarrollar un
lenguaje para expresar ideas matemáticas y les hace
conscientes de la necesidad de usar un lenguaje pre-
ciso. Los alumnos que tienen oportunidades, estímulo
y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las
clases de matemáticas reciben un doble beneficio:
mejoran su aprendizaje matemático al tiempo que
aprenden a comunicarse de manera matemática.
Adaptación: Godino, J.; Batanero, C.; Font, V.
Errores frecuentes
En las actividades 2 y 3 de las páginas 88 y 89, es
posible que los estudiantes hallen la diferencia entre
cualquiera de los números que forman la secuencia
y que utilicen esta como la regla. Por lo anterior, es
importante que señale que se debe hallar la diferen-
cia entre dos números consecutivos. Por ejemplo, en
la secuencia 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70 … se debe
analizar 100 y 95 o 95 y 90 o 90 y 85 o 85 y 80 o 80
y 75 o 75 y 70; para identificar la regla, que en este
caso, es restar 5.
¿Cómo voy?
Página 90
Esta sección tiene por objetivo evaluar los contenidos
y habilidades desarrolladas en la Lección 4: Patrones y
secuencias.
En el ítem 1 se evalúa si las y los estudiantes pueden des-
cribir e identificar un patrón de una secuencia de figuras.
Si algunos estudiantes presentan dificultades, puede
entregar palitos de fósforos o palitos de helado para que
representen la secuencia. Sugiérales que comprueben su
patrón formando la figura 4 o traspasando a una secuen-
cia numérica.
En el ítem 2 se evalúa la capacidad de identificar un
patrón de una secuencia numérica. Si lo considera ne-
cesario, apoye la representación de la secuencia con
fichas. Recuerde a las y los estudiantes que observen los
números consecutivos y que identifiquen si la secuencia
aumenta o disminuye.
En el ítem 3 se evalúa si las y los estudiantes pueden
resolver problemas utilizando patrones. Recuerde los
pasos para resolver problemas, así como también, que
busquen las palabras claves en el enunciado o en las pre-
guntas del problema. Puede entregar material concreto
para que las y los estudiantes representen la secuencia
implicada en el problema.
su desempeño.
Reflexiono y permítales que compartan sus respuestas.
Notas

Orientaciones didácticas para el cierre de unidad
59
1
Unidad
Para finalizar
Página 91
Sintetizo mis aprendizajes
En esta sección se presentan actividades de cierre que
permitirán a sus alumnos y alumnas realizar una síntesis
de los aprendizajes de la unidad, considerando las habili-
dades, conocimientos y actitudes trabajadas. Pídales que
completen de forma individual la tabla y luego que co-
menten y compartan con sus compañeras y compañeros
sus respuestas a las preguntas planteadas.
Solicíteles que copien la tabla en una hoja y que le agreguen
una columna con las dudas o dificultades que aún tienen
para que las aclaren antes de realizar la evaluación final.
Reflexiono sobre mis procesos, metas y estrategias
El objetivo de esta sección es que las y los estudiantes
evalúen el cumplimiento de sus metas, las estrategias
utilizadas y sus procesos. Dé el tiempo para que compar-
tan y comenten sobre sus resultados.
¿Qué aprendí?
Evaluación final
Páginas 92 a 95
El objetivo de esta sección es evaluar los contenidos y
habilidades desarrollados en la unidad.
En las actividades propuestas en los ítems del 1 al 6 se
evalúa la capacidad de las y los estudiantes para repre-
sentar números menores que 1 000 000 000, identificar
el valor posicional de los dígitos de un número natural,
comparar, ordenar y aproximar números naturales y es-
timar sumas y restas.
En los ítems del 7 al 10 se evalúa la capacidad para aplicar
estrategias de cálculo mental, multiplicar y dividir núme-
ros naturales.
En los ítems del 11 al 12 se evalúa la capacidad para resolver
operaciones combinadas y problemas que involucran las
4 operaciones.
En los ítems del 13 al 15 se evalúa la capacidad de las y los
estudiantes para identificar la regla o patrón que explica
una sucesión dada.
el solucionario y utilice la tabla para ayudarlos a revisar su
desempeño. Dé el tiempo necesario para que respondan
evalúen las actitudes que tuvieron en el desarrollo de la
unidad. Luego, otorgue el tiempo necesario para que corri-
jan sus errores y completen la sección Reviso mis apren-
dizajes relacionando brevemente pero de manera explíci-
ta lo que sabían con lo que aprendieron. Finalmente, pida
que respondan y comenten la última pregunta. Oriente
la conversación a que propongan acciones que permitan
mejorar sus desempeños.
Notas

Solucionario actividades complementarias de la Unidad 1
60
Actividad 1
Esta actividad tiene variadas respuestas, ya que depende de las fichas que elija el jugador 1 para colocar en la tabla de valor
posicional. Se sugiere evaluar esta actividad, utilizando la siguiente rúbrica.
Logrado Medianamente logrado Por lograr
Los tres jugadores participan en la
actividad con entusiasmo respetando
las opiniones de sus compañeros.
Dos de los tres jugadores participan
en la actividad compartiendo las
opiniones de sus compañeros.
Un jugador participa activamente para
desarrollar correctamente la actividad.
Actividad 2
a. Respuesta variada. Se espera que los estudiantes se den cuenta que los números se obtienen sumando 1 000 al número de
la izquierda para determinar el número de la derecha.
b. Respuesta variada. Se espera que los estudiantes se den cuenta que se obtienen sumando 10 000 al número de arriba para
determinar el de abajo.
c. Respuesta variada. Se espera que los estudiantes se den cuenta que entre los números 30 432 y 21 432, y entre los números
19 432 y 10 432 hay una diferencia de 9 000 unidades.
Actividad 3
a. 6 • 52
Método 1: 52 se aproxima a 50. Entonces, 6 • 52 queda expresado como 6 • 50 = 300.
Método 3: 6 se aproxima a 5 y 52 se aproxima a 50. Entonces 6 • 52 queda expresado como 5 • 50 = 250.
b. 8 • 48
Método 3: 8 se aproxima a 10 y 48 se aproxima a 50. Entonces 8 • 48 queda expresado como 10 • 50 = 500.
c. 658 : 8
Método 1: 658 se aproxima a 640. Entonces, 658 : 8 queda expresado como 640 : 8, de donde se obtiene 80.
Método 2: 8 • 8 = 64, 8 • 80 = 640, 8 • 90 = 720; ya que 8 • 80 es un resultado más próximo a 658, el cociente estimado
es 80.
d. 239 : 4
Método 1: 239 se aproxima a 240. Entonces, 239 : 4 queda expresado como 240 : 4, de donde se obtiene 60.
Método 2: 4 • 59 = 236, 4 • 60 = 240, 4 • 61 = 244; ya que 4 • 60 es un resultado más próximo a 239, el cociente estimado
es 240.
Actividad 4
En estos problemas considere que para obtener las respuestas los estudiantes pueden usar variadas estrategias, como ensayo
y error, o representación.
a. Como el número es mayor que 23 y menor que 32, los números que cumplen esta condición y que se pueden dividir exac-
tamente por 3 son: 24, 27 y 30. De estos, el único número que al sumar 3 se puede dividir exactamente por 5 es el 27. Por lo
tanto, el número buscado es el 27.
b. Los valores que se pueden pagar exactamente con billetes de 20 000 menores que 100 000 son $ 20 000, $ 40 000,
$ 60 000 u $ 80 000. Estos mismos valores se pueden pagar exactamente con billetes de 5 000. Por lo tanto, los precios
probables del repuesto que se compró son $ 20 000, $ 40 000, $ 60 000 u $ 80 000.
Actividad 5
a. En ambos casos se obtiene 60.
b.
Enunciado numérico Respuestas del integrante A Respuestas del integrante B
48 : 4 • 2 24 24
36 : 6 – 3 3 3
14 + 4 • 2 36 22
50 – 8 : 2 21 46
Los resultados son iguales cuando el orden de las operaciones coincide con resolver las operaciones de izquierda a derecha;
cuando no, los resultados son distintos, y en estos casos el resultado correcto es el que mantiene el orden de las operaciones.

61
1
Unidad
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
Actividad 1
Realiza la siguiente actividad con tus compañeros. En ella participan 3 jugadores y
necesitas los siguientes materiales:
•
• 20 fichas
•
• tabla de valor posicional para completarla
Paso 1. El jugador 1 coloca las fichas en la tabla de valor posicional para representar un
número con 9 cifras. Los jugadores pueden utilizar todas las fichas o no usarlas.
Por ejemplo:
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de mil
Decena
de mil
Unidad
de mil
Centena Decena Unidad
Paso 2. El jugador 2 descompone el número según su valor posicional.
Por ejemplo: anteriormente se representó en la tabla posicional el número 123 413 201
y la descomposición por realizar es:
100 000 000
20 000 000
3 000 000
400 000
10 000
3 000
200
1
1 2 3 4 1 3 2 0 1
Paso 3. El jugador 3 comprueba la respuesta. El jugador 2 gana 1 punto por cada dígito
que haya escrito correctamente.
Paso 4. Intercambien papeles y jueguen otra vez.
La actividad se realiza 3 veces y el jugador con el mayor puntaje es el ganador.
Actividad 2
Observa los números de la tabla y luego responde.
40 432
30 432
18 432 19 432 20 432 21 432 22 432
10 432
432
a. ¿Qué características tienen los números de la fila donde se encuentra 18 432?
b. ¿Qué características tienen los números de la columna donde se encuentra 40 432?
c. Pinta de un color en la tabla las casillas con los números 30 432 y 21 432. Luego,
pinta de otro color las casillas con los números 19 432 y 10 432. ¿Qué característica
común tienen?

62
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
Actividad 3
Usa los métodos que se muestran a continuación para estimar productos y cocientes.
Ejemplo 1: Estima el producto de 9 • 26.
•
• Método 1: 9 se aproxima a 10. Entonces, 9 • 26 queda expresado como 10 • 26 = 260.
•
• Método 2: 26 se aproxima a 25. Entonces, 9 • 26 queda expresado como 9 • 25 = 225.
•
• Método 3: 9 se aproxima a 10 y 26 se aproxima a 25. Entonces, 9 • 26 queda expresado
como 10 • 25 = 250.
Ejemplo 2: Estima el cociente de 73 : 8.
•
• Método 1: 73 se aproxima a 72. Entonces, 73 : 8 queda expresado como 72 : 8, de
donde se obtiene 9.
•
• Método 2: 8 • 8 = 64, 8 • 9 = 72, 8 • 10 = 80, ya que 8 • 9 = 72 es un resultado más
próximo a 73 y el cociente estimado es 9.
Resuelve:
a. 6 • 52 b. 8 • 48 c. 658 : 8 d. 239 : 4
Actividad 4
Resuelve los siguientes problemas.
a. La profesora escribió un número en una tarjeta sin mostrárselo a sus estudiantes.
Luego, les dio las siguientes pistas:
•
• El número se puede dividir exactamente entre 3.
•
• Si al número le sumo 3, se puede dividir exactamente entre 5.
•
• El número es menor que 32 pero mayor que 23.
¿Cuál es el número?
b. En una fábrica compraron un repuesto de una máquina que costó menos de
$ 100 000. Se pagó con el dinero que había en caja, pero solo pagando con billetes de
$ 20 000 o billetes de $ 5 000 podían hacer el pago exacto. ¿Cuáles son los precios
probables del repuesto que se compró?
Actividad 5
Realiza la siguiente actividad con tus compañeros.
a. Para saber el valor de 12 • 20 : 4, primero calculen 12 • 20. Luego, dividan el resultado
por 4. A continuación, calculen 20 : 4. Luego, multipliquen el resultado por 12. ¿Qué
característica observan? Expliquen. Prueben esta actividad con números y opera-
ciones diferentes.
b. Miren las cinco expresiones de la siguiente tabla. Un integrante resuelve cada ex-
presión de izquierda a derecha. El otro resuelve la expresión usando el orden de las
operaciones. Copien esta tabla para anotar sus respuestas. Comenten sus resultados.
Enunciado numérico Respuestas del integrante A Respuestas del integrante B
48 : 4 • 2
36 : 6 – 3
14 + 4 • 2
50 – 8 : 2

63
Recortable
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
Sistema monetario Chileno

M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
65
1. Observa el número representado en la tabla de valor posicional. Luego, completa.
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
Centenas Decenas Unidades
4 5 1 6 2 0 0 7 0
a. Número escrito con palabras: .
b. Número escrito en forma estándar:
c. El dígito 4 representa .
d. El valor posicional del dígito 2 es .
e. El dígito 7 está en la posición de las .
2. Compara los números. Escribe > o < en cada .
a. 31 527 583 31 527 672 b. 436 209 439 346 209 439
3. Redondea cada número a la centena de mil más cercana.
a. 25 641 719 b. 37 345 128
4. Estima cada suma o diferencia.
a. 45 632 + 67 165 + 69 487 b. 155 000 – 152 432
5. Completa la siguiente igualdad con los números que faltan.
43 • 50 = 43 • • 5 = • 5 =
6. Crea un problema para cada operación. Luego, resuelve y estima para comprobar
si tus respuestas son razonables.
a. 57 • 14
b. 280 : 4
c. 48 • 27
d. 6 930 : 3
7. Analiza y responde.
Fernanda jugaba con sus amigos y obtuvo 66 puntos, pero cometió unos errores
y le descontaron la mitad de 16 puntos. Para saber el puntaje que obtuvo Fernanda,
¿cuál de las siguientes expresiones deberías resolver? Explica tu decisión.
(66 – 16) : 2 66 – (16 : 2)
8. Encuentra un patrón o regla para la secuencia. Aplícala para completar la secuencia.
2 390 000 3 400 000 4 410 000 6 430 000

M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
66
9. Descubre un patrón. Aplícalo para completar los tres términos que siguen en
la secuencia.
92, 87, 82, 77, , ,
10. Resuelve los problemas. Muestra tu desarrollo.
a. En un recinto hay 27 barrilles llenos de agua. Cada barril contiene 32 L de agua.
¿Qué cantidad total de agua hay en los barriles?
b. Una agencia de turismo espera a 83 turistas para la próxima semana. Cada uno
de los vehículos de la agencia puede llevar a 7 pasajeros. ¿Cuántos vehículos se
necesitarán para transportar a todos los turistas?
c. Una fábrica produce 9 236 computadores. Vende 5 630 computadores. Los
que quedan están dañados o se donaron para obras benéficas. La cantidad de
computadores donados es el doble de la cantidad de computadores dañados.
¿Cuántos computadores se donaron para obras benéficas?
11. Usa la tabla para responder las preguntas.
Área terrestre de algunos países
País Área terrestre (km2
)
Canadá 9 976 140
Chile 756 950
México 1 984 375
Costa Rica 511 000
Paraguay 406 752
a. Escribe en palabras el área terrestre de Canadá.
b. De los países de la tabla, ¿cuál tiene la menor área terrestre?
c. Ordena los países comenzando con el de menor área terrestre.
d. ¿Cuáles de los países de la tabla tienen un área terrestre mayor que 1 000 000 km2
?
e. ¿Qué país tiene mayor área terrestre, Chile o Paraguay?
f. ¿Qué país tiene un área terrestre de 2 000 000 km2
después de redondearse a la
unidad de millón más cercana?
12. Completa la tabla y responde.
Un florista compró 12 docenas de claveles.
a. ¿De qué maneras puede hacer ramos con igual cantidad de claveles si usa las
144 flores? Completa.
Cantidad de claveles en el ramo 2 3 4 6 8 9 12 16 18
Cantidad de ramos 72 48 36 24 18
b. ¿Cuáles podrían ser otros tres ramos que puede hacer el florista?
c. ¿Por qué no puede hacer ramos de 10 claveles?

Evaluación complementaria de la Unidad 1 2
Unidad
Solucionario Evaluación complementaria de la Unidad 1 1
Unidad
67
67
1. a. Cuatrocientos cincuenta y un millones seiscientos veinte
mil setenta
b. 400 000 000 + 50 000 000 + 1 000 000 + 600 000 +
20 000 + 70
c. 4 centenas de millón
d. 20 000
e. decenas
2. a. < b. >
3. a. 25 600 000 b. 37 300 000
4. Respuesta variada, a continuación, se muestran 2 ejemplos:
Ejemplo 1: Redondeando los números a la unidad de mil
más cercana.
a. 46 000 + 67 000 + 69 000 = 182 000
b. 155 000 – 152 000 = 3 000
Ejemplo 2: Redondeando los números a la decena de mil
más cercana.
a. 50 000 + 70 000 + 70 000 = 190 000
b. 160 000 – 150 000 = 10 000
5. 10; 430; 2 150
6. Respuesta variada, a continuación, se muestran 2 ejemplos:
a. Ejemplo 1: En un teatro hay 57 filas de asientos con
14 asientos cada una. ¿Cuántos asientos tiene el teatro?
Resolución 57 • 14 = 798 Estimación 60 • 10 = 600
Respuesta: En el teatro hay 798 asientos.
Ejemplo 2: Mario tiene 57 sobres con 14 láminas cada
uno. ¿Cuántas láminas tiene en total?
Resolución 57 • 14 = 798 Estimación 60 • 10 = 600
Respuesta: Mario tiene 798 láminas en total.
b. Ejemplo 1: En un supermercado hay 280 cajas de jugo y
se quieren formar packs de 4 unidades. ¿Cuántos packs se
pueden formar?
Resolución 280 : 4 = 70 Estimación 300 : 4 = 75
Respuesta: Se pueden formar 70 packs.
Ejemplo 2: Hay 280 estudiantes inscritos en los talleres
deportivos. Si se quiere dividir a la cantidad de inscritos
en 4 listas con igual cantidad de estudiantes, ¿cuántos
inscritos habrá en cada lista?
Respuesta: Cada lista contará con 70 inscritos.
c. Ejemplo 1: Para la venta de entradas de un concierto
se han dispuesto 27 boleterías. Si en cada una hay 48
personas esperando para comprar su entrada, ¿cuántas
personas hay comprando entradas en ese momento?
Resolución 27 • 48 = 1 296 Estimación 30 • 50 = 1 500
Respuesta: Hay 1 296 personas comprando entradas.
Ejemplo 2: En una ferretería hay 27 cajas con 48 bolsas
de clavos cada una. ¿Cuántos clavos hay en total?
Resolución 27 • 48 = 1 296 Estimación 30 • 50 = 1 500
Respuesta: Hay 1 296 clavos en total.
d. Ejemplo 1: Carmen recorre en su automóvil 693 km en
tres días. Si cada día recorrió la misma distancia, ¿cuántos
kilómetros recorrió cada día?
Respuesta: Carmen recorrió 231 km cada día.
Ejemplo 2: Por la compra de 3 lápices iguales Agustín
gastó $ 693. ¿Cuánto costó cada lápiz?
Respuesta: Cada lápiz costó $ 231.
7. Debería resolver la expresión 66 – (16 : 2), ya que en la otra
expresión se calcula la mitad de su puntaje menos los
16 puntos.
8. El patrón es sumar 1 010 000. Los números que faltan son
5 420 000 y 7 440 000.
9. El patrón es restar 5. Los números que faltan son 72, 67 y 62.
10. a. Hay 864 L de agua en los barriles.
b. Se necesitarán 12 vehículos.
c. Se donaron 2 404 computadores.
11. a. Nueve millones novecientos setenta y seis mil ciento
cuarenta kilómetros cuadrados.
b. Paraguay.
c. Paraguay, Costa Rica, Chile, México y Canadá.
d. México y Canadá.
e. Chile.
f. México.
12. a. 16; 12; 9; 8
b. Puede hacer 4 ramos con 36 claveles cada uno, 2 ramos
con 72 claveles cada uno o un ramo con 144 claveles.
c. Porque no utilizará los 144 claveles, le sobrarán 4 claveles.

68
Información curricular de la evaluación
68
Indicadores de evaluación Habilidades Ítems
• Describen el significado de cada dígito de un número determinado.
• Expresan un número dado en notación expandida.
Representar.
1
(1 pto cada una)
• Explican, por medio de ejemplos, estrategias para comparar números. Representar.
2
(1 pto cada una)
• Aproximan números, usando el valor posicional. Por ejemplo: aproximan
43 950 a la unidad de mil más cercana.
Representar.
3y4
(1ptocada una)
• Calculan multiplicaciones, aplicando mitades y dobles. Resolver problemas.
5
(1 pto)
• Muestran los pasos que se debe dar para multiplicar números de dos
dígitos por 11, 12, … 19, usando bloques de base diez, y registran el
proceso simbólicamente.
• Resuelven multiplicaciones en el contexto de problemas rutinarios y no
rutinarios, usando el algoritmo de la multiplicación.
Resolver problemas.
6a y 6c
(Ver rúbrica)
• Resuelven un problema no rutinario de división en contexto, usando el
Argumentar y
comunicar.
6b y 6d
(Ver rúbrica)
• Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado
y lo resuelven.
Resolver problemas.
7
(2 ptos)
• Dan una regla para un patrón en una sucesión y completan los
elementos que siguen en ella, usando esa regla.
Argumentar y
comunicar.
8 (2 ptos)
9 (3 ptos)
Resolver problemas. 10a (3 ptos)
• Explican el resto de una división en términos del contexto.
Resolver problemas. 10b (3 ptos)
• Seleccionan y usan una estrategia para estimar la solución de un
problema dado.
• Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado
y lo resuelven.
Resolver problemas. 10c (3 ptos)
• Ordenan números de manera creciente y decreciente.
• Aproximan números, usando el valor posicional. Por ejemplo: aproximan
43 950 a la unidad de mil más cercana.
Argumentar y
comunicar.
11 (1 pto cada una)
• Explican el resto de una división en términos del contexto.
Resolver problemas. 12 (1 pto cada una)

69
1
Unidad
69
Rúbrica del ítem 6
Para este ítem considere 2 puntos por cada problema, 1 punto por el cálculo de cada multiplicación
o división y 1 punto por cada estimación.
Ítems % de logro Solución
6a
80 % a 100 %
Las y los estudiantes plantean un problema que se resuelve haciendo la
multiplicación de 57 • 14.
La multiplicación de 57 • 14 la resuelven utilizando la estrategia
57 • 2 • 7 = 114 • 7 = 798.
51 % a 79 % de
logro
Las y los estudiantes resuelven la multiplicación de 57 • 14 utilizando la estrategia
57 • 2 • 7 = 114 • 7 = 798, pero no plantean un problema que se resuelva
realizando dicha operación.
0 % a 50 % de
logro.
Las y los estudiantes solo son capaces de resolver 57 • 14, pero sin usar una
estrategia en particular.
6c
80 % a 100 %
multiplicación de 48 • 27.
La multiplicación de 48 • 27 la resuelven utilizando la estrategia
48 • 3 • 9 = 144 • 9 = 1 296.
51 % a 79 % de
logro
Las y los estudiantes resuelven la multiplicación de 48 • 27 utilizando la estrategia
48 • 3 • 9 = 144 • 9 = 1 296, pero no plantean un problema que se resuelva
realizando dicha operación.
0 % a 50 % de logro
Las y los estudiantes solo son capaces de resolver 48 • 27, pero sin usar una
estrategia en particular.
6b
80 % a 100 %
división de 280 : 4.
Resuelven la división de 280 : 4 = 70.
Estiman la división haciendo 300 : 4 = 75, por lo que el resultado anterior
es razonable.
51 % a 79 % de
logro
Resuelven la división de 280 : 4 = 70.
Estiman la división haciendo 300 : 4 = 75, por lo que el resultado anterior
es razonable.
0 % a 50 % de logro Resuelven la división de 280 : 4 = 70.
6d
80 % a 100 %
división de 6 930 : 3.
Resuelven la división de 6 930 : 3 = 2 310.
Estiman la división haciendo 7 000 : 3 ≈ 2 300, por lo que el resultado anterior
es razonable.
51 % a 79 %
de logro
Resuelven la división de 6 930 : 3 = 2 310.
Estiman el cociente haciendo 7 000 : 3 ≈ 2 300, por lo que el resultado
anterior es razonable.
0 % a 50 % de logro Resuelven la división de 6 930 : 3 = 2 310.

En esta unidad podrás representar y resolver operaciones
con grandes números y predecir los términos de una
secuencia. Además, encontrarás actividades en las que
explorarás diferentes estrategias y desarrollarás tu
creatividad en la búsqueda de las soluciones.
Grandes números
Representar, describir, comparar y estimar números naturales
menores que 1 000 millones. 15 - 48
Multiplicación
y división
Comprender la multiplicación y la división, utilizar estrategias
de cálculo mental y escrito y aplicarlas en la resolución
de problemas.
49 - 74
y problemas
Usar la prioridad de las operaciones para reducir o simplificar
expresiones numéricas y resolver problemas. 75 - 85
Descubrir reglas o patrones que generen o formen una
secuencia dada y que permitan hacer predicciones. 86 - 90
Mis motivaciones
10 Unidad 1 · Números naturales, operaciones y patrones
Números naturales,
1
Unidad
¿Sabías que los científicos han
descrito aproximadamente
un millón de especies de
insectos en el mundo?

Punto de partida
• ¿Con qué contenidos de años anteriores puedes relacionar los términos destacados?
• ¿Qué entiendes de lo que conversan los niños?
• ¿Cuándo se utiliza la palabra “aproximadamente”?
• ¿Cuánto es un millón?
• ¿Con qué operación relacionarías “cuántas veces”?
• ¿Qué es un patrón? Explícalo con un ejemplo.
11
¿Cuántas veces habrá en el
mundo la cantidad de insectos
que hay en Chile?
¡Mira! Hay 1, 3, 5 hormigas, si
siguen el patrón sumar 2, debiera
continuar un grupo de 7 hormigas
y después otro de 9 hormigas.

En los bosques de Chile, se encuentra una gran diversidad de insectos. Sus
principales características son que tienen tres pares de patas, cuerpo conforma-
do por 3 regiones corporales (cabeza, tórax y abdomen) y una cubierta externa
y rígida. Tienen una alta capacidad de adaptación a diferentes hábitats y, por esto, los
insectos son los animales más abundantes de la Tierra. En Chile hay aproximadamente
10 000 especies de las cuales se conocen sus características, mientras que en el
mundo hay más de 750 000.
Fuente: Corporación Chilena de la Madera. En: www.corma.cl/_file/
material/insectos_chile_2012.pdf (Consultado en junio de 2016).
• ¿Cuántas especies a las que se le conocen sus características existen Chile?, ¿y en el mundo? ¿Esto podría
responder la pregunta de en la página anterior? Comenta.
• ¿Conoces los números destacados? ¿Crees que es importante conocerlos para comprender la información
entregada?, ¿por qué?
• Vuelve a las páginas anteriores y lee lo que aprenderás en la unidad. ¿Para qué crees tú que te servirán
estos aprendizajes?
• En cursos anteriores también trabajaste con números, operaciones y patrones numéricos, ¿qué estrategias
te ayudaron para estos aprendizajes? Comenta en tu curso.
Vuelve a observar la imagen de las páginas anteriores, la situación presentada en esta página y tus
respuestas. Luego, reflexiona y responde.
Mientras avances en la unidad te recomendamos que vayas evaluando si estas estrategias están ayudando a
cumplir tus metas. Recuerda que puedes cambiarlas o agregar nuevas estrategias en cualquier momento.
12

1 Ciencias Naturales Lee la siguiente noticia y destaca la información numérica que en ella aparece.
Luego, realiza las actividades.
Especies nativas en Chile
Las especies nativas son aquellas originarias del lugar en donde habitan, que
en el caso de Chile se elevan a poco más de treinta mil. El grupo con mayor
cantidad de especies son los insectos, con unas 10 000 especies aproximadamente.
Lesiguenlasplantas,conmásde7 000especiesyloshongoscontresmiltrescientas
especies. Para el grupo de los líquenes se han descrito 1 074 especies, para el de
los moluscos 1 187 y para el de los peces marinos 1 184. Sin embargo, las
cifras son muy conservadoras debido a que muchos de ellos no han sido
contabilizados o son escasamente conocidos.
Fuente: Ministerio del Medio Ambiente.
En: http://especies.mma.gob.cl/CNMWeb/Web/WebCiudadana/pagina.aspx?id=88&pagId=85
(Consultado en julio 2016)
a. Marca con un si la afirmación es correcta; de lo contrario, marca con una . Justifica en cada
caso. (1 punto cada una)
En Chile, es posible identificar más de siete mil especies de plantas nativas.
En nuestro país hay 3 030 especies de hongos nativos.
El grupo de los insectos cuenta con diez mil especies nativas en Chile.
b. Remarca con rojo el grupo con mayor cantidad de especies nativas y con azul el que tiene la menor
cantidad. (1 punto por el grupo con mayor cantidad de especies y 1 punto por el grupo con
menor cantidad de especies)
Moluscos Líquenes Peces marinos
c. Completa la siguiente afirmación. Para ello, aplica el redondeo a la centena más cercana.
(1 punto cada una)
Se estima que el grupo de los hongos alcanza especies y el grupo
de los líquenes especies, aproximadamente.
2 Resuelve las siguientes operaciones. Explica cómo lo hiciste en cada caso. (1 punto cada una)
a. 101 • 5 =
b. 98 : 7 =
c. 910 • 7 =
d. 56 : 4 =
13
1
Unidad

3 Ciencias Naturales Lee la siguiente información y completa la tabla. (1 punto cada una)
¿Sabías que las latas se pueden reciclar para producir elementos con aluminio reciclado?
Se estima que con 5 latas recicladas se puede fabricar el envase de un aerosol.
Envases de aerosol que se pueden fabricar con latas recicladas
Cantidad de envases 1 6 27
Cantidad de latas 5 15 75
4 Identifica un patrón que siguen los números de la tabla y complétala. (1 punto cada una)
Fila 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fila 2 2 4 6 8
Patrón:
Ítems Conocimientos Habilidades Tu desempeño
1
Representación, comparación y estimación
de números hasta el 10 000.
Argumentar y
comunicar, representar. Logrado: 14 puntos
o más.
11 a 13 puntos.
o menos.
2 y 3
Resolución de multiplicaciones de números
de tres cifras por números de una cifra y
resolución de divisiones de números de
dos cifras en números de una cifra.
Resolver problemas,
argumentar y
comunicar.
4
Descripción y aplicación del patrón
de una secuencia.
Representar.
• Explica a un compañero o compañera la estrategia que utilizaste para comparar los números
representados en la actividad 1 y compárala con su estrategia. ¿En qué se diferencian? Explica.
• ¿Por qué se utiliza la palabra “aproximadamente” cuando se estima un número? Explica.
• ¿Cuál es la relación que encontraste entre los números de la tabla en la actividad 4?, ¿cómo la
identificaste?
• ¿Te esforzaste al realizar las actividades? Escribe alguna actitud que podrías mejorar en el desarrollo
de la unidad.
Reflexiono
14

Repaso
1 Completa la tabla con la representación de los números según corresponda.
Con cifras Con palabras Descomposición
3 000 + 400 + 90 + 6
9 517
Ocho mil doscientos trece.
2 Completa cada igualdad.
a. 3 centenas = decenas b. 7 unidades de mil = centenas
3 Responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál de estos números es mayor, 2 034 o 2 134?, ¿cómo lo supiste?
b. ¿Cuál de estos números es menor, 10 000 o 9 999? ¿Utilizaste la misma estrategia que en la pregunta
anterior para averiguarlo?, ¿por qué?
4 Redondea a la centena más cercana y luego estima el resultado.
a. 936 + 465 b. 853 – 217 c. 705+364+181
• Decena de mil
• Centena de mil
• Unidad de millón
• Decena de millón
• Centena de millón
• Descomposición aditiva
• Valor posicional
• Redondear
• Estimar
Conceptos clave
• ¿Cuáles de las estrategias que utilizaste te sirvieron? ¿Cuáles de ellas crees que te servirán en el desarrollo
de la lección?
• A partir de lo que recordaste, ¿agregarías algo a tus metas para esta unidad?
Reflexiono
15
Lección 1 · Grandes números
1
Unidad
1
Lección
Grandes números

En años anteriores trabajaste con números hasta el 10 000. Ahora te invitamos a utilizar lo que ya sabes para
trabajar con números más grandes que podrás usar en distintas situaciones.
Objetivo: Contar hasta el diez mil.
¿Sabías que la medida aproximada de la superficie de este parque es
10 000 hectáreas? ¿Conoces el número 10 000?
1 unidad de mil 1 000 6 unidades de mil 6 000
2 unidades de mil 2 000 7 unidades de mil 7 000
5 unidades de mil 5 000 ?
Puedes sumar 1 unidad de mil a 9 unidades de mil para obtener 10 unidades de mil.
10 unidades de mil representan 1 decena de mil y con cifras se escribe 10 000.
10 unidades de mil = 1 decena de mil = 10 000
9 000
Decenas
de mil
Unidades
de mil

9 000 + 1 000
Decenas
de mil
Unidades
de mil

10 000
Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 0 0 0
representa
0 decenas
o 0
representa
0 unidades
o 0
representa
0 centenas
o 0
representa
0 unidades de
mil o 0
representa
1 decena de mil
o 10 000
Aprendo
Parque Nacional
Bosque Fray Jorge
10 000 hectáreas
?
16

Practico
1 Cuenta las decenas de mil y completa.
Diez mil 10 000 60 000
Veinte mil 20 000 70 000
Treinta mil 30 000 Ochenta mil
Cuarenta mil 90 000
Cincuenta mil
2 Reflexiona y comenta.
Cuenta de mil en mil comenzando del 1 000, y luego cuenta de diez mil en
diez mil partiendo del 10 000.
a. ¿En qué se parecen los números que obtienes en cada conteo?
b. ¿En qué se diferencian?
3 Ahora que ya conoces el número 10 000, ¿cómo puedes representarlo? Explica.
Aprendo
Objetivo: Escribir con cifras y con palabras un número representado en la tabla de valor posicional.
Decenas
de mil
Unidades
de mil

1 5 0 0 0
Con cifras: 15 000
Con palabras: quince mil.
Decenas
de mil
Unidades
de mil

7 3 4 8 6
Con cifras: 73 486
Con palabras: setenta y tres mil cuatrocientos ochenta y seis.
Al realizar las actividades
recuerda confiar en tus
capacidades y valorar
tus logros.
Actitud
Te has dado cuenta de que
en los números hay una
separación entre la cifra de
las unidades de mil y la de
las centenas. Estoindicael
períododelosmilesyfacilita
lalecturadelnúmero.
10 000

Atención
Lección 1 · Grandes números 17
1
Unidad

Practico
4 Escribe los nombres que faltan en la tabla de valor posicional.

1 2 0 5 9
Con cifras: 12 059
Con palabras: doce mil cincuenta y nueve.
5 Escribe con palabras el número representado.
Decenas de mil Unidades de mil Centenas Decenas Unidades
5 6 8 1 7
Con cifras: 56 817
Con palabras:
6 Representa en la tabla posicional el número escrito con palabras. Luego, escríbelo con cifras.
Con palabras: diez mil doscientos setenta y tres.
Con cifras:
Aprendo
Objetivo: Leer números hasta 100 000 usando períodos y escribirlos con palabras.
Puedes leer números hasta 100 000 agrupándolos en períodos.
4 2 5 7 1
Primero, lee el período de
los miles: cuarenta y dos mil.
Luego, lees el período restante:
quinientos setenta y uno.
Practico
7 Escribe con palabras los siguientes números.
a. 47 048 b. 90 015 c. 86 300 d. 70 005
8 Escribe con cifras los siguientes números.
a. Diez mil setecientos treinta y dos. b. Cincuenta y dos mil cien.
18

9 Cuenta de diez mil en diez mil y completa.
10 000 30 000 50 000 70 000 90 000
20 000 40 000 60 000 80 000
10 Representa y compara tres números distintos de cinco cifras con los dígitos 0, 1 y 5. Considera que
puedes repetir los dígitos.
11 Completa las tres representaciones del mismo número.
Con cifras 8 7 Con palabras Cincuenta y seis mil
12 Ciencias Naturales Representa en una tabla de valor posicional los números que corresponden a la
medida de la superficie de cada parque. Luego, escríbelos con palabras.
a. b.
Paso 1 Pídele a tu profesor o profesora el recortable de billetes y monedas de
nuestro país. Luego, representa $ 37 590 utilizando la menor cantidad de
billetes de $ 10 000, de $ 1 000, monedas de $ 100, de $ 10 y de $ 1.
Paso 2 Muéstrale tu representación a un compañero o una compañera.
Pídele escribir con cifras y con palabras la cantidad representada.
Paso 3 Revisa y corrige sus respuestas, explicándole qué errores cometió.
Manos a la obra
Materiales
Recortable de billetes
y monedas:
Cinco billetes de $ 10 000
Diez billetes de $ 1 000
Seis monedas de $ 100
Diez monedas de $ 10
• ¿Pudiste representar números hasta el 100 000? Muestra un ejemplo.
• ¿Qué pasos seguiste para escribir con palabras un número representado con cifras? Explícale a un
compañero o una compañera.
• Los números hasta 10 000 que conociste en años anteriores, ¿cómo se relacionan con los números
hasta 100 000?
Reflexiono
Parque Nacional Pan de Azúcar
43 754 hectáreas
Parque Nacional Conguillío
60 832 hectáreas
1
Unidad
Sigue practicando en el cuaderno de ejercicios, página 6.

Ya conociste los números hasta el 100 000. Ahora utilizarás y relacionarás lo que aprendiste para avanzar en el
estudio con números mayores que 100 000.
Objetivo: Contar decenas de mil.
¿Cómo explicarías qué es 100 000?
1 decena de mil 10 000 6 decenas de mil 60 000
2 decenas de mil 20 000 7 decenas de mil 70 000
5 decenas de mil 50 000 ?
Puedes sumar 1 decena de mil a 9 decenas de mil para obtener 10 decenas de mil.
10 decenas de mil es equivalente a 1 centena de mil y con cifras se escribe 100 000.
10 decenas de mil = 1 centena de mil = 100 000
90 000 + 10 000
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

100 000
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 0 0 0 0
representa
0 decenas de
mil o 0
representa
1 centena de
mil o 100 000
representa
0 unidades de
mil o 0
representa
0 centenas
o 0
representa
0 decenas
o 0
representa
0 unidades
o 0
Aprendo
Más de 100 000
automóviles salieron
de la ciudad durante
las vacaciones
?
20

Practico
1 Cuenta las centenas de mil y completa.
Cien mil 100 000 600 000
Doscientos mil 200 000 700 000
Trescientos mil 300 000 Ochocientos mil
Cuatrocientos mil 900 000
Quinientos mil
a. Cuando cuentas de diez mil en diez mil comenzando en 10 000,
¿qué cambia y qué se mantiene en los números del conteo?
b. ¿Ocurre lo mismo cuando cuentas de cien mil en cien mil partiendo
en 100 000? Explica.
3 Ahora, ¿cómo explicarías qué significa 100 000?
Aprendo
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

representa
5 decenas
de mil
representa
6 centenas
de mil
representa
3 unidades
de mil
representa
1 centena
representa
0 decenas
representa
4 unidades
Con cifras Con palabras
6 centenas de mil 600 000 Seiscientos mil
5 decenas de mil 50 000 Cincuenta mil
3 unidades de mil 3 000 Tres mil
1 centena 100 Cien
0 decena 0 (Cero)
4 unidades 4 Cuatro
Con cifras: 653 104
Con palabras: seiscientos cincuenta y tres mil ciento cuatro.
Cuando lees o escribes con
palabras un número que
tiene el dígito cero en alguna
posición, no debes leer o
escribir la palabra “cero”.
Atención
Cuando justificas y explicas
tus razonamientos
estás desarrollando la
habilidad de argumentar
y comunicar.
Habilidad
1
Unidad

Practico
4 Escribe con cifras y con palabras el número representado en cada tabla de valor posicional.
a.
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

representa
5 decenas
de mil
representa
5 centenas
de mil
representa
7 unidades
de mil
representa
6 centenas
representa
7 decenas
representa
6 unidades
centenas de mil
decenas de mil
unidades de mil
centenas
decenas
unidades
Con cifras:
Con palabras:
b.
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

Con cifras:
Con palabras:
5 Lee la información y luego responde.
a. Sabías que el mercurio de una pila puede contaminar 600 000 L de agua.
¿Cómo puedes escribir este número con palabras?
b. Un litro de aceite puede contaminar 1 000 L de agua. Entonces, ¿es correcto
decir que 10 L de aceite pueden contaminar 100 000 L de agua? Explica.
Cuando resuelves
problemas recuerda
abordar de manera
creativa la búsqueda
de sus soluciones.
Actitud
22

Aprendo
Objetivo: Leer números hasta 1 000 000 usando períodos y escribirlos con palabras.
Puedes leer un número agrupándolo en períodos. Observa.
Primero, lees el período de las
unidades de mil: cuatrocientos
noventa y siete mil.
Luego, lees el período restante:
ochocientos treinta y dos.
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
4 9 7 8 3 2
El número 497 832 se lee cuatrocientos noventa y siete mil ochocientos treinta y dos.
• ¿Cómo se lee el número 767 707?
El número 767 707 se lee setecientos sesenta y siete mil setecientos siete.
Practico
6 Escribe con palabras cada número.
a. 438 834
b. 906 096
c. 680 806
d. 700 007
e. 585 858
f. 999 999
7 Escribe con cifras cada número.
a. Ochocientos mil catorce. b. Ciento cuarenta mil cincuenta y dos.
8 Observa la imagen y responde.
a. ¿Es correcta la lectura del precio que
realiza la niña?, ¿por qué?
b. ¿Cómo comunicarías cada uno de
estos precios?
• Explica para qué sirve leer y escribir con palabras los números.
Reflexiono
$ 269 990
$ 299 990
$ 149 990
$ 159 990
El precio de la tablet es
ciento cuarenta y nueve,
nueve noventa.
1
Unidad

Ya trabajaste con números hasta el millón. Esto te ayudará en el aprendizaje de números hasta 10 000 000.
Objetivo: Contar centenas de mil.
¿Conoces el número 1 000 000?
1 centena de mil 100 000 6 centenas de mil 600 000
2 centenas de mil 200 000 7 centenas de mil 700 000
5 centenas de mil 500 000 ?
Puedes sumar 1 centena de mil a 9 centenas de mil para obtener 10 centenas de mil.
10 centenas de mil representan 1 unidad de millón y con cifras se escribe 1 000 000.
10 centenas de mil = 1 unidad de millón = 1 000 000
900 000 + 100 000
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

1 000 000
representa
0 unidades
o 0
representa
0 decenas
de mil o 0
representa
0 centenas
de mil o 0
representa
1 unidad
de millón o
1 000 000
representa
0 unidades
de mil o 0
representa
0 centenas
o 0
representa
0 decenas
o 0
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 0 0 0 0 0
Aprendo Con mi apoyo, esta
campaña tendrá más de
un millón de seguidores.
?
24

Practico
1 Cuenta los millones y completa.
Un millón 1 000 000 Seis millones 6 000 000
Dos millones 2 000 000 Siete millones 7 000 000
Tres millones 3 000 000 8 000 000
4 000 000 Nueve millones
Cinco millones 5 000 000
a. Cuenta de cien mil en cien mil comenzando del 100 000. ¿En qué te fijas
para realizar el conteo?
b. Cuando cuentas de un millón en un millón partiendo en 1 000 000, ¿centras
tu atención en los mismos elementos que en el conteo anterior? Explica.
Aprendo
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

representa
6 decenas
de mil
representa
5 centenas
de mil
representa
3 unidades
de millón
representa
7 unidades
de mil
representa
0 centenas
representa
4 decenas
representa
5 unidades
3 unidades de millón 3 000 000 Tres millones
5 centenas de mil 500 000 Quinientos mil
6 decenas de mil 60 000 Sesenta mil
7 unidades de mil 7 000 Siete mil
0 centena 0 (Cero)
4 decenas 40 Cuarenta
5 unidades 5 Cinco
Con cifras: 3 567 045
Con palabras: tres millones quinientos sesenta y siete mil cuarenta y cinco.
Al escribir números de más de
6 cifras, hay dos separaciones,
una que ya conoces entre
las unidades de mil y las
centenas, que indica el
período de los miles. Y otra
entre las unidades de millón y
las centenas de mil, que indica
el período de los millones.
Atención
1
Unidad

Practico
3 Escribe con cifras y con palabras los números representados en cada tabla de valor posicional.
a.
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

representa
0 decenas
de mil
representa
6 centenas
de mil
representa
4 unidades
de millón
representa
5 unidades
de mil
representa
3 centenas
representa
7 decenas
representa
9 unidades
unidades de millón
centenas de mil
decenas de mil
unidades de mil
centenas
decenas
unidades
Con cifras:
Con palabras:
b.
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

Con cifras:
Con palabras:
26

c.
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

Con cifras:
Con palabras:
Aprendo
Objetivo: Leer números hasta 10 000 000 agrupándolos en períodos y escribirlos con palabras.
Luego, lees el período de las
unidades de mil: ochocientos
veinticuatro mil.
Primero, lees
el período de
los millones:
cinco millones.
Finalmente, lees el período restante:
cuatrocientos veintiocho.
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
5 8 2 4 4 2 8
El número 5 824 428 se lee cinco millones ochocientos veinticuatro mil cuatrocientos veintiocho.
• ¿Cómo se lee el número 6 035 350?
El número 6 035 350 se lee seis millones treinta y cinco mil trescientos cincuenta.
Practico
4 Completa la tabla con la escritura con palabras de cada número.
1 234 567
8 888 888
4 404 044
2 653 356
9 990 099
5 Combina los dígitos 0, 5 y 9, y forma cinco números de siete cifras. Luego, explica por qué estos
números son distintos, aunque tengan los mismos dígitos. Considera que puedes repetir los dígitos.
1
Unidad

6 Escribe con cifras y con palabras un número de siete cifras que cumpla cada condición.
a. El dígito de las unidades de millón que sea menor que 5 y el de las centenas de mil, mayor que 3.
b. Los dígitos del número suman 36.
c. El dígito de las unidades de millón está entre 5 y 8 y el resto de los dígitos son números pares.
7 Resuelve los siguientes problemas.
a. Francisca compró una casa para vivir con su familia. ¿Cómo debe estar escrita con palabras en el
contrato de compra-venta la cantidad que se debe pagar por ella?
Por su parte, manifiesta la compradora que acepta la
venta del inmueble que se le hace pagando
($ 9 986 700) con crédito hipotecario del Banco M&S
b. Historia, Geografía y Ciencias Sociales El número que representa la población estimada para la
región de Valparaíso en el año 2020 tiene siete cifras, y solo el dígito 1 en la posición de las unidades
de millón y el 9 en la de las centenas de mil. Si el resto de sus cifras son cero, ¿cuál es su escritura con
cifras y con palabras?
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas.
En: www.ine.cl/archivos/files/pdf/Catalogo/Catalogo2013.pdf (Consultado en marzo de 2016).
8 Junto con un compañero o una compañera analicen la siguiente situación y luego respondan.
Matías leyó perfectamente un número de siete cifras y no mencionó la palabra “mil”.
¿Es posible que ese número tenga solo dos ceros? Argumenten con cinco ejemplos.
9 Crea una situación en la que se utilicen números hasta 10 000 000.
• ¿Cuál de las actividades te produjo mayor dificultad?, ¿por qué?
• En la actividad 8, ¿cómo se organizaron para trabajar en pareja?, ¿crees que les funcionó?
• ¿Cuál de las actividades podrías explicar a un compañero o una compañera? ¿Cómo lo explicarías?
Reflexiono
28

Ahora que ya trabajaste los números hasta 10 000 000, utilizarás lo aprendido en situaciones en las que
encontrarás números mayores a los que ya has estudiado.
Aprendo
Objetivo: Contar unidades de millón.
¿Qué significa el número 10 000 000?
1 unidad de millón 1 000 000 6 unidades de millón 6 000 000
2 unidades de millón 2 000 000 7 unidades de millón 7 000 000
5 unidades de millón 5 000 000 ?
A 9 unidades de millón le puedes sumar 1 unidad de millón para obtener 10 unidades de millón.
10 unidades de millón forman 10 millones y este número con cifras se escribe 10 000 000.
10 unidades de millón = 10 millones = 10 000 000
9 000 000+1 000 000
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

10 000 000
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 0 0 0 0 0 0
representa
0 unidades
representa
0 decenas
de mil
representa
0 centenas
de mil
representa
0 unidades
de millón
representa
1 decena
de millón
representa
0 unidades
de mil
representa
0 centenas
representa
0 decenas
¿Sabías que hace
10 millones de años
abundaban los pingüinos
en las costas de África?
?
1
Unidad

Practico
1 Cuenta las decenas de millón y completa.
Diez millones 10 000 000
Veinte millones 20 000 000
Treinta millones 30 000 000
Cuarenta millones
Cincuenta millones
60 000 000
70 000 000
Ochenta millones
90 000 000
a. Si cuentas de un millón en un millón comenzando de 1 000 000, ¿qué estrategia puedes aplicar para
obtener los números del conteo?
b. Si ahora cuentas de diez millones en diez millones partiendo de 10 000 000, ¿puedes aplicar la misma
estrategia?, ¿por qué?
3 Ahora, ¿cómo explicarías qué significa el número 10 000 000?
Aprendo
Objetivo: Leer números hasta 100 000 000 usando períodos y escribirlos con palabras.
Recuerda que puedes leer los números hasta 100 000 000 agrupándolos en períodos.
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
4 6 3 2 4 0 7 6
Primero, lee el período
de los millones: cuarenta
y seis millones.
Luego, lees el período de las
unidades de mil: trescientos
veinticuatro mil.
Finalmente, lees el período
restante: setenta y seis.
El número 46 324 076 se lee cuarenta seis millones trescientos veinticuatro mil setenta y seis.
El número 64 027 072 se lee sesenta y cuatro millones veintisiete mil setenta y dos.
30

Practico
a. 11 321 765
b. 32 198 876
c. 54 456 123
d. 77 777 777
5 Encierra con rojo el error cometido en cada escritura con palabras. Luego, corrígela.
a. 85 580 850 Ochenta y cinco millones quinientos ochenta mil ochenta y cinco.
b. 99 900 099 Noventa y nueve millones noventa mil noventa y nueve.
c. 7 508 201 Setenta y cinco millones ocho mil doscientos uno.
d. 60 040 404 Sesenta millones cuatro mil cuatrocientos cuatro.
6 Observa las siguientes situaciones. Luego, responde las preguntas.
a.
• ¿Cómo leerías el titular de la noticia?
• Busca noticias en las que se comunique información numérica.
• Inventa una noticia y escribe su titular utilizando un número
de ocho cifras. Luego, comunícale este titular a un compañero
o compañera.
b.
• ¿Cómo registrarías con cifras el saldo
de la cuenta?
• Busca en diarios, revistas o medios
electrónicos situaciones en las que se
utilicen números de ocho cifras.
• Luego, muéstraselas a un compañero o
compañera y comunícale la información
que en ellas aparecen.
7 Resuelve el siguiente problema.
Historia, Geografía y Ciencias Sociales El número que representa la medida aproximada de la superficie
de América, en kilómetros cuadrados, tiene solo el dígito 4 en la posición de las decenas de millón y el 3
en la de las unidades de millón. Si el resto de sus cifras son cero, ¿cómo registrarías la medida aproximada
de esta superficie en un mapa? ¿Y cómo la comunicarías con palabras?
En nuestro país
hay 25 898 843
números de
telefonía móvil.
BANCO M&S
Titular:
Cuenta corriente N°:
Saldo disponibles: $
El saldo de la cuenta
de la empresa es treinta y
cinco millones seiscientos
treinta y ocho mil
setenta pesos.
1
Unidad

8 Manuel e Isidora representan números de ocho cifras con los dígitos de las tarjetas.
0 3 7
2 5 9
Deben escribir un número en el que el dígito de las decenas de millón coincide con el de las decenas
y el dígito de las unidades de mil es igual al de las unidades.
Cincuenta y nueve
millones trescientos doce
mil cincuenta y dos.
93 093 527
¿Quién está en lo correcto? Justifica.
9 Escribe en cinco tarjetas adivinanzas con su respuesta. Guíate por el ejemplo.
Un número de ocho cifras iguales, en el que los dígitos del
grupo de los millones suman 16.
Respuesta: 88 888 888
Ubica tus tarjetas volteadas hacia abajo y pídele a un compañero o una compañera que escoja
una de ellas. Léele la adivinanza y solicítale encontrar el número. Si acierta obtiene un punto.
Luego, intercambia roles y adivina los números de las tarjetas de tu compañero o compañera.
Gana quien obtiene más puntos.
• ¿En qué situaciones te podría servir escribir con palabras números hasta 100 000 000?
• Al trabajar en equipo responsablemente, construyes relaciones basadas en la confianza.
¿Crees que es necesario confiar en tus compañeros y compañeras?, ¿por qué?
• ¿Qué dudas te surgieron al desarrollar las actividades? ¿Las preguntaste en clases?, ¿por qué?
Reflexiono
32

Números hasta 1 000 000 000
Conociste los números de ocho cifras, aprendiste a leerlos y escribirlos. Ahora, utilizarás estos conocimientos
para conocer números más grandes.
Aprendo
Objetivo: Contar las decenas de millón.
¿Conoces el número 500 000 000?
1 decena de millón 10 000 000 6 decenas de millón 60 000 000
2 decenas de millón 20 000 000 7 decenas de millón 70 000 000
5 decenas de millón 50 000 000 ?
A 9 decenas de millón le puedes sumar 1 decena de millón para obtener 10 decenas de millón.
10 decenas de millón forman 100 millones y este número con cifras se escribe 100 000 000.
10 decenas de millón = 100 millones = 100 000 000
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 0 0 0 0 0 0 0
representa
0 unidades
representa
0 decenas
de mil
representa
0 centenas
de mil
representa
0 unidades
de millón
representa
0 decenas
de millón
representa
1 centena
de millón
representa
0 unidades
de mil
representa
0 centenas
representa
0 decenas
Obra:
Plaza saludable
Presupuesto:
$ 500 000 000
?
1
Unidad

Practico
1 Cuenta las centenas de millón.
Cien millones 100 000 000 600 000 000
Doscientos millones 200 000 000 700 000 000
Trescientos millones 300 000 000 Ochocientos millones
Cuatrocientos millones 900 000 000
Quinientos millones
Si cuentas de cien millones en cien millones partiendo de 100 000 000, ¿qué tienen en común los números
obtenidos? Explica.
Aprendo
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

4 0 6 5 0 5 2 3 7
representa
7 unidades
representa
0 decenas
de mil
representa
5 centenas
de mil
representa
6 unidades
de millón
representa
0 decenas
de millón
representa
4 centenas de
millón
representa
5 unidades
de mil
representa
2 centenas
representa
3 decenas
4 centenas de millón 400 000 000 Cuatrocientos millones
0 decenas de millón 0 (Cero)
6 unidades de millón 6 000 000 Seis millones
5 centenas de mil 500 000 Quinientos mil
0 decenas de mil 0 (Cero)
5 unidades de mil 5 000 Cinco mil
2 centenas 200 Doscientos
3 decenas 30 Treinta
7 unidades 7 Siete
Con cifras: 406 505 237
Con palabras: cuatrocientos seis millones quinientos cinco mil doscientos treinta y siete.
34

Practico
3 Escribe con cifras y con palabras el número representado en la tabla de valor posicional.
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
3 4 0 3 4 1 5 6 7
representa
representa
representa
representa
representa
4 decenas de
millón o
representa
3 centenas
de millón o
300 000 000
representa representa representa
Con cifras:
Con palabras:
Aprendo
Objetivo: Leer números hasta 1 000 000 000 usando períodos y escribirlos con palabras.
También puedes leer los números hasta 1 000 000 000 agrupándolos en períodos.
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
8 6 1 4 1 0 4 6 8
Primero, lee el período de
los millones: ochocientos
sesenta y un millones.
Luego, lees el período
de las unidades de mil:
cuatrocientos diez mil.
Finalmente, lees el período
restante: cuatrocientos
sesenta y ocho.
El número 861 410 468 se lee ochocientos sesenta y un millones cuatrocientos diez mil cuatrocientos sesenta
y ocho.
El número 516 420 024 se lee quinientos dieciséis millones cuatrocientos veinte mil veinticuatro.
Practico
a. 111 111 111
b. 340 089 220
c. 404 404 404
d. 365 100 055
e. 800 007 070
f. 101 999 999
1
Unidad

5 Encierra el número que se representó con palabras.
a. Ochocientos millones siete mil setenta.
800 007 070 807 000 070 800 070 070 807 070 007
b. Ciento un millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.
111 999 999 110 999 999 101 999 999 100 999 999
c. Seiscientos trece millones cuatrocientos diez mil cincuenta.
613 401 005 613 401 050 613 410 500 613 410 050
6 Ciencias Naturales Lee la información y destaca los números representados. Luego, escríbelos con
cifras o con palabras, según corresponda.
¿Sabías que en diez años tu corazón latirá aproximadamente 400 000 000 veces y que cuando llegues a
los 70 años habrás respirado por lo menos seiscientos millones de veces?
7 Para que el número 3 210 456 aparezca en la pantalla de tu calculadora, presiona 3 , 2 , 1 ,
0 , 4 , 5 , 6 en orden. Para borrar un número presiona C . Junto con un compañero o
una compañera túrnense para digitar un número de 6 o 7 cifras en la calculadora y pídele que
lea tu número. Recuerda presionar C antes de digitar un nuevo número.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera, por turnos formen
un número de 6 cifras usando las tarjetas con los dígitos 5, 2 y 0.
Comiencen con el dígito 2 o con el 5, por ejemplo 500 200.
Paso 2 Luego, digan el dígito utilizado en la primera posición de izquierda
a derecha y traten de adivinar el número de su pareja, escribiéndolo con cifras y con palabras.
Obtiene un punto el que adivina el número de su pareja en tres o menos intentos.
Manos a la obra
Materiales
Ocho tarjetas con el dígito 0,
dos tarjetas con el dígito 5
y dos con el dígito 2.
• ¿Qué actividades te resultaron difíciles de desarrollar?, ¿qué hiciste para poder realizarlas?
• ¿Cómo enfrentaste tus errores?, ¿los corregiste?
• Como pudiste notar, has resuelto problemas relacionados con otras asignaturas, ¿en qué otras áreas
puedes usar Matemática?
• Un estudiante comentó que usar material concreto en la actividad del Manos a la obra le ayudó a resolver
los problemas de manera más creativa. ¿Para qué te ayudó a ti?
Reflexiono
36

Valor posicional
Ya representaste, leíste y escribiste con cifras o con palabras números hasta 1 000 000 000. Ahora relacionarás
estos conocimientos para identificar el valor posicional de los dígitos de un número.
Objetivo: Identificar el valor que tiene cada dígito
según la posición que ocupe en el número.
Gabriela quiere ayudar a reforestar la Patagonia
y así enfrentar el impacto de los incendios
forestales que han arrasado con más de tres
millones de hectáreas en Aysén y Magallanes.
Fuente: Reforestemos Patagonia.
En: https://www.reforestemospatagonia.cl/es/el-
proyecto/ (Consultado en marzo de 2016).
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
3 2 1 4 5 6
6 unidades
o 6
Su valor
posicional
es 6.
2 decenas de
mil o 20 000
Su valor
posicional
es 20 000.
3 centenas
de mil o
300 000
Su valor
posicional es
300 000.
1 unidad de
mil o
1 000
Su valor
posicional
es 1 000.
4 centenas
o 400
Su valor
posicional
es 400.
5 decenas
o 50
Su valor
posicional
es 50.
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
3 1 2 6 4 5
5 unidades
o 5
Su valor
posicional
es 5.
1 decena
de mil o
10 000
Su valor
posicional es
10 000.
3 centenas
de mil o
300 000
Su valor
posicional es
300 000.
2 unidades
de mil o
2 000
Su valor
posicional
es 2 000.
6 centenas
o 600
Su valor
posicional
es 600.
4 decenas
o 40
Su valor
posicional
es 40.
321 456 312 645
Aprendo
1
Unidad

Practico
1 Completa cada afirmación.
a. En el número 670 932, el valor posicional del dígito 6 es .
b. En el número 937 016, el dígito está en la posición de las centenas.
2 Escribe la posición en la que está el dígito 2 en cada número. Luego, escribe su valor posicional.
a. 812 679 b. 260 153 c. 827 919
a. Los números 321 456 y 312 645 están formados por los mismos dígitos. ¿El valor posicional de los
dígitos que están en la misma posición coinciden?, ¿por qué?
b. Considera la situación presentada en la página anterior. ¿En las regiones de Aysén y Magallanes se
donará la misma cantidad de árboles? Explica.
Aprendo
Objetivo: Escribir un número en forma estándar y en forma expandida.
Puedes determinar el valor posicional de cada dígito en un número y descomponerlo de forma estándar.
381 492 = 300 000 + 80 000 + 1 000 + 400 + 90 + 2
3 8 1 4 9 2
300 000
80 000
1 000
400
90
2
También puedes descomponerlo de forma expandida.
381 492 = 3 • 100 000 + 8 • 10 000 + 1 • 1 000 + 4 • 100 + 9 • 10 + 2
3 8 1 4 9 2
3 • 100 000
8 • 10 000
1 • 1 000
4 • 100
9 • 10
2
38

Practico
a. En el número 7 296 000 el dígito está en la posición de las unidades de millón,
el dígito 2 representa y el dígito 9 está
en la posición de las .
b. En el número 387 142 500 el dígito está en la posición de las centenas de millón,
el dígito 7 representa y el dígito 5 está
en la posición de las .
5 Completa la forma estándar o la forma expandida de cada número.
a. 751 902 = 700 000 + + 1 000 + 900 + 2
b. 124 003 = • + 2 • 10 000 + 4 • 1 000 + 3
c. 900 356 = 900 000 + 300 + + 6
d. 7 200 000 = 7 • 1 000 000 + •
e. 6 235 000 = + 200 000 + 30 000 + 5 000
f. 24 459 000 = 2 • 10 000 000 + 4 • 1 000 000 + • + 5 • 10 000 + 9 • 1 000
6 Compón cada número según corresponda.
a. 30 000 000 + 7 000 000 + 200 000 + 30 000 + 1 000 + 50 =
b. 4 • 10 000 000 + 5 • 1 000 000 + 6 • 100 000 + 4 • 10 000 =
c. 100 000 000 + 20 000 000 + 200 000 + 1 000 + 100 + 2 =
d. 7 • 100 000 000 + 7 • 10 000 000 + 7 • 1 000 000 + 7 • 10 + 7 =
e. 900 000 000 + 90 000 000 + 9 000 000 + 90 000 + 900 + 9 =
Cuando uno de los dígitos
de un número es cero, en
su descomposición no es
necesario que escribas el
sumando correspondiente
a su valor posicional.
Atención
También puedes componer
un número a partir de su
representación en forma estándar
o expandida. Por ejemplo:
• 200 000 + 30 000 + 400
= 230 400
• 5 • 10 000 + 2 • 1 000 + 7 • 10
= 52 070
Atención
RDC 1
1
Unidad

7 Escribe el valor posicional del dígito destacado en cada número.
a. 64 051
b. 907 155
c. 613 158
d. 3 696 000
e. 47 074 002
f. 94 223 892
g. 7 885 033
h. 635 217 451
8 Completa la tabla con el número o la descomposición que corresponda.
Número Forma estándar Forma expandida
2 480 119
800 000 + 4 000 + 80 + 5
3 • 10 000 000 + 7 • 10 000 + 60
904 236 155
5 • 100 000 000 + 9 • 1 000 + 2
40 000 000 + 70 000 + 30 + 8
870 087 708
2 • 100 000 000 + 5 • 1 000 000 + 3 • 10 000
9 Analiza cada información y responde.
a. Martín afirma que en un número dos de sus dígitos pueden tener el mismo valor posicional.
¿Está en lo correcto?, ¿por qué?
b. El Estadio Nacional Julio Martínez Prádanos tiene capacidad para 65 127 personas, mientras que en el
Estadio Regional de Antofagasta hay capacidad para 26 339. ¿Es correcto afirmar que el dígito 6 tiene
el mismo valor posicional en la capacidad de ambos estadios? Explica.
c. En el número 125 768 245 se aumenta en 3 unidades el dígito ubicado en las decenas y decenas
de millón. Además, se disminuyen a la mitad los dígitos que se ubican en la unidad de mil y en las
centenas. En el número resultante, ¿cuáles son los valores posicionales de los dígitos ubicados en la
posición de los dígitos destacados en el número original?
• ¿Pudiste descomponer números?, ¿cómo lo hiciste?
• ¿Qué pasos seguiste para encontrar el número correspondiente a una descomposición? Explícale a un
• ¿Cuál fue tu actitud frente a tus capacidades y tu entorno?
Reflexiono
40

Comparación de números hasta 1 000 000 000
En años anteriores pudiste comparar y ordenar números utilizando el valor posicional de sus dígitos.
Ahora, utilizarás esos conocimientos para comparar los números que has estudiado en esta lección.
Aprendo
Objetivo: Comparar números usando la tabla de valor posicional.
El quinto año básico de un colegio está cotizando el servicio de un transporte que los traslade hasta los
senderos de un parque a realizar una excursión.
Cuando comparas números naturales, debes comparar los dígitos que ocupan
la misma posición de izquierda a derecha. Recuerda que el símbolo “>” significa
mayor que y el símbolo “<” significa menor que.
¿Cuál número es menor, 237 981 o 273 981?
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
2 3 7 9 8 1
2 7 3 9 8 1
Comparas los dígitos empezando por la izquierda: en las centenas de mil se tiene el dígito 2 en ambos números.
Luego, como los dígitos de las centenas de mil son iguales, comparas los de las decenas de mil, en este caso 3 es
menor que 7 (3 < 7). Finalmente, 237 981 es menor que 273 981. Simbólicamente, 237 981 < 273 981.
¿Cuál de los siguientes números es menor, 493 506 017 o 485 306 007?
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
4 9 3 5 0 6 0 1 7
4 8 5 3 0 6 0 0 7
Comparas los dígitos empezando por la izquierda: 4 centenas de millón es igual a 4 centenas de millón
(4 = 4). Luego, tienes que 9 decenas de millón es mayor que 8 decenas de millón. Entonces, 493 506 017 es
mayor que 485 306 007. Simbólicamente, 493 506 017 > 485 306 007.
Cotización 1
$ 237 981
Cotización 2
$ 273 981
Cuando utilizas los
símbolos < o > para
comparar números estás
desarrollando la habilidad
de representar.
Habilidad
1
Unidad

Practico
1 Analiza cada información y luego completa.
a. ¿Cuál de los siguientes números es mayor, 47 129 352 o 47 128 460?
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
4 7 1 2 9 3 5 2
4 7 1 2 8 4 6 0
Puedes observar que los dígitos en la posición de las unidades de mil son distintos.
Al comparar los dígitos que están en la posición de las unidades
de mil, tienes que:
unidades de mil es mayor que unidades de mil.
Entonces, 47 129 352 es que 47 128 460.
Simbólicamente, 47 129 352 47 128 460.
b. ¿Cuál de los siguientes números es mayor, 4 730 589 o 4 703 985?
4 730 589
Puedes observar que los dígitos en la posición de las decenas de mil son
diferentes. Al comparar los dígitos que están en la posición de las decenas
de mil, tienes lo siguiente:
decenas de mil es mayor que decenas de mil.
Entonces, es mayor que .
Simbólicamente, > .
4 703 985
2 Si comparas dos números con distinta cantidad de cifras, ¿cuál es mayor y cuál es menor?
Explica tu estrategia.
3 Compara los siguientes números. Para ello, escribe < o > en cada caso.
a. 345 932 435 990
b. 100 400 99 900
c. 5 245 721 524 572
d. 3 143 820 4 134 820
Recuerda que debes comparar
los dígitos empezando por la
izquierda. Si son iguales,
comparas los dígitos
de la posición siguiente.
Continúa hasta que los
dígitos sean distintos.
Atención
42

4 Ordena de menor a mayor cada grupo de números.
a. 324 688, 32 468, 3 246 880
b. 1 600 456, 1 604 654, 1 064 645
c. 901 736, 714 800, 199 981
d. 645 321, 654 987, 645 231
Aprendo
Objetivo: Ubicar los números en la recta numérica y compararlos.
16 560 000 16 580 000 16 510 000
En este caso, puedes construir una recta numérica partiendo desde 16 500 000 hasta 16 600 000 y dividirla en
10 partes iguales, en la que cada una de ellas representa 10 000 unidades.
16 500 000
16 510 000 16 560 000 16 580 000
16 550 000 16 600 000
Si un número está a la izquierda de otro en la recta numérica, será menor que este; mientras que si está a
la derecha será mayor.
Junto con un compañero o una compañera construyan una recta numérica.
Paso 1 Copien la recta numérica en una hoja de papel cuadriculado.
10 000 000 20 000 000
Paso 2 Dividan la recta numérica en 10 partes iguales y escriban los números correspondientes.
Paso 3 Ubiquen con un los números 16 500 000, 19 750 000 y 12 000 000 en la recta numérica.
Paso 4 Comparen los números que ubicaron en la recta numérica. Discutan acerca de cuál es el número
mayor y cuál es el menor. Expliquen cómo lo supieron.
Manos a la obra
Materiales
Regla.
Hoja de papel
cuadriculado.
• ¿Pudiste comparar y ordenar números? ¿Cuál de las estrategias te resultó más efectiva? Justifica.
• Cuando tuviste dudas, ¿las pudiste aclarar?, ¿por qué?
• ¿Tuviste alguna dificultad al explicar tus procedimientos? ¿Escuchaste el razonamiento de tus compañeros
o compañeras?
Reflexiono
1
Unidad

Ahora que sabes ubicar números en la recta numérica y compararlos, estudiarás la aproximación de números
aplicando el redondeo y utilizarás la recta numérica para facilitar su comprensión.
Aprendo
Objetivo: Redondear números a la unidad de mil mayor.
¿Cuántas personas han visitado el zoológico aproximadamente?
• ¿Qué resulta al redondear 1 206 541 a la unidad de mil
más cercana?
1 206 000 1 206 500
1 206 541
1 207 000
El número 1 206 541 está ubicado entre 1 206 000 y 1 207 000; sin embargo, es posible visualizar en la
recta numérica que está más cerca de 1 207 000 que de 1 206 000. Por lo tanto, el número 1 206 542
redondeado a la unidad de mil más cercana es 1 207 000.
Practico
1 Completa cada afirmación. Para ello, utiliza la recta numérica.
2 348 000 2 348 500
2 348 276
2 349 000
a. El número 2 348 276 está entre 2 348 000 y .
b. En la recta numérica, 2 348 276 está más cerca de que de .
c. El número 2 348 276 redondeado a la unidad de mil menor es .
a. Según la situación inicial, ¿cuántas personas han visitado el zoológico aproximadamente?,
¿cómo lo sabes?
b. ¿Por qué se utiliza la palabra “aproximadamente”?
Esta recta numérica está
graduada de 100 en 100.
Atención
44

Aprendo
Objetivo: Redondear números a la centena de mil mayor.
• ¿Cuánto es 32 950 000 redondeado a la centena de mil más cercana?
32 900 000 32 950 000
32 950 000
33 000 000
32 950 000 está exactamente a igual distancia de 32 900 000 y de 33 000 000.
32 950 000 redondeado a la centena de mil más cercana es 33 000 000.
Practico
3 Usa la recta numérica para responder.
42 700 000 42 750 000 42 800 000
42 750 000
42 709 500 42 760 300
a. ¿Cuánto es 42 709 500 redondeado a la centena de mil más cercana?
b. ¿Cuánto es 42 750 000 redondeado a la centena de mil más cercana?
c. ¿Cuánto es 42 760 300 redondeado a la centena de mil más cercana?
Aprendo
Objetivo: Redondear números a la centena de mil menor.
• ¿Qué resulta al redondear 21 852 100 a la centena de mil más cercana?
21 850 000 21 855 000
21 852 100
21 860 000
El número 21 852 100 está ubicado entre 21 850 000 y 21 860 000; sin embargo, es posible visualizar en la
recta numérica que está más cerca de 21 850 000 que de 21 860 000. Por lo tanto, el número 21 852 100
redondeado a la centena de mil más cercana es 21 850 000.
Al redondear un número puedes observar la cifra de la derecha a la que se quiere aproximar y tener
presente lo siguiente:
• Si es mayor o igual a 5, agrega una unidad al dígito que se encuentra en dicha posición y remplaza
por cero las cifras que se encuentran a su derecha.
• Si es menor que 5, conserva la cifra y remplaza por cero las que están a su derecha, y las que están a
la izquierda déjalas igual.
La recta numérica
está graduada de
1 000 en 1 000.
Atención
1
Unidad

Practico
4 Ubica con un en la recta numérica los números 125 231 y 125 780. Luego, redondea estos números
a la unidad de mil más cercana.
125 000 125 500 126 000
5 Redondea los siguientes números a la decena de mil más cercana.
a. 63 210
b. 98 730
c. 69 950
d. 120 510
e. 655 000
f. 897 730
g. 3 256 990
h. 16 090 590
6 Redondea los siguientes números a la unidad de mil más cercana.
a. 40 003 b. 800 003 c. 2 500 001 d. 16 000 020
7 Redondea los siguientes números a la decena de millón más cercana.
a. 704 503 003 b. 564 003 003 c. 648 420 000 d. 808 880 088
8 Completa la tabla con el redondeo del número según el nivel de aproximación indicado.
Número Nivel de aproximación Redondeo
3 256 990 Unidad de millón
897 930 Decena de mil
16 090 590 Decena de millón
564 003 003 Unidad de millón
58 235 127 Centena de mil
Aprendo
Objetivo: Usar el redondeo para estimar sumas y diferencias.
El número 346 521 se redondea a la unidad de mil mayor y se obtiene 347 000, y 345 079 se redondea a la
unidad de mil menor y se obtiene 345 000. Luego, puedes estimar la suma 346 521 + 345 079 y la diferencia
346 521 – 345 079.
346 521 + 345 079 347 000 + 345 000 = 692 000 Suma estimada
346 521 – 345 079 347 000 – 345 000 = 2 000 Diferencia estimada
Practico
9 Redondea cada número a la unidad de mil más cercana. Luego, estima cada suma o cada diferencia.
a. 2 371 920 + 2 316 420
b. 5 701 400 – 3 214 600
c. 2 516 290 + 2 515 500 + 2 513 719
d. 3 429 810 + 3 421 600 + 3 427 391
46

10 Redondea cada número a la centena de mil más cercana. Luego, estima cada suma o cada diferencia.
a. 1 769 183 + 1 101 345 b. 13 352 830 – 13 325 830
11 Historia, Geografía y Ciencias Sociales Observa la información de la tabla. Luego, redondea a la
unidad de millón la población de cada país y responde.
Población aproximada de algunos países de América del Sur
País Chile Perú Brasil Argentina Colombia
Cantidad de
habitantes
17 762 647 30 973 148 206 077 898 42 980 026 47 791 393
Fuente: Banco Mundial. En: datos.bancomundial.org/indicador/SP.POP.TOTL (Consultado en marzo de 2016).
a. ¿Cuál es el total de habitantes de estos cinco países aproximadamente?
b. ¿Cuál es la diferencia, aproximada, entre el país con más habitantes y el que tiene menos habitantes?
12 Crea una situación problema en la que sea necesario estimar las siguientes sumas y diferencias.
a. 25 600 + 32 200 + 27 500
b. 237 400 + 143 800 + 225 000
c. 78 500 – 34 000
d. 2 549 000 – 2 325 400
13 Utiliza la recta numérica para responder las preguntas.
a. ¿Qué número se puede redondear a la decena de mil y obtener 60 000?
b. ¿Qué número se puede redondear a la centena de mil y obtener 600 000?
Tres tarjetas tienen registrados números diferentes. Cada número, redondeado a la decena, resulta 30.
¿Cuáles pueden ser estos tres números?
Sin sumar los números 99, calcula de una manera más rápida el valor de:
99 + 99 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99
• ¿Cuál es el dígito que está en la posición de las unidades en cada caso?
• ¿Cuál es la menor cantidad de números 99 que deben sumarse para obtener un 1 en la
posición de las unidades?
• ¿Cuál estrategia utilizaste para redondear números? Explica.
• ¿Para qué crees que te servirá estimar sumas o restas? Da un ejemplo.
• ¿De qué modo participaste durante el desarrollo de la clase? Descríbelo.
Reflexiono
1
Unidad

¿Cómo voy?
1 Observa el número representado en la tabla de valor posicional y luego escríbelo según lo pedido.
(1 punto cada uno)
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil

a. Con cifras. b. Con palabras. c. En forma
estándar.
d. En forma
expandida.
2 Determina el valor posicional de los dígitos destacados en los siguientes números. (1 punto cada uno)
a. 67 231 b. 578 966 c. 2 690 407 d. 370 223 490
3 Compara los siguientes números. Para ello, escribe < o > según corresponda. (1 punto cada una)
a. 604 059 604 509 b. 8 417 855 8 445 625
4 Ordena de menor a mayor cada grupo de números. (1 punto cada uno)
a. 258 147 258 174 258 417 b. 2 089 036 2 098 063 2 089 063
5 Estima de dos formas distintas la suma y la diferencia entre 25 863 y 15 043. Explica cómo lo hiciste en
cada caso. (1 punto por cada estimación)
1
Representación de números menores que
1 000 000 000, composición y descomposición
de números naturales.
Representar.
Logrado: 10 puntos
o más.
Medianamente
logrado: 8 a 9 puntos.
o menos.
2
Identificación del valor posicional de los dígitos
de un número natural.
Representar.
3 y 4 Comparación y orden de números naturales. Representar.
5
Aproximación de números naturales y estimación
de sumas y restas.
Argumentar y
comunicar.
• ¿Qué estrategias utilizaste en esta lección? ¿Cuáles te ayudaron a comprender los contenidos?
• ¿Qué te propones mejorar respecto de tu actitud en las siguientes clases?
Reflexiono
48

Repaso
1 Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando como estrategia el doble del doble o doblar y
dividir por 2.
a. 4 • 15 = b. 25 • 6 = c. 8 • 12 = d. 16 • 5 =
2 Resuelve las siguientes operaciones aplicando la estrategia por descomposición.
a. 573 • 3 = b. 625 • 4 = c. 72 : 2 = d. 84 : 7 =
3 Resuelve las siguientes operaciones aplicando el algoritmo de la multiplicación o de la división,
según corresponda.
a. 213 • 8 = b. 99 : 3 = c. 777 • 5 = d. 78 : 6 =
4 Calcula el término desconocido en las siguientes operaciones.
a. • 678 = 0 b. : 1 = 35 c. 789 • = 789
5 Estima el resultado de las siguientes operaciones. Explica tu procedimiento.
a. 197 • 5 b. 33 : 4 c. 305 • 9 d. 99 : 5
Un centro comercial tiene 3 pisos. En cada uno de ellos hay 22 tiendas de ropa, 6 lugares para comer
y 5 tiendas de juguetes. ¿Cuántos locales hay en total?
• Factor
• Producto
• Propiedad conmutativa
• Propiedad asociativa
• Propiedad distributiva
• Estimar
• Dividendo
• Divisor
• Cociente
Conceptos clave
• ¿Fuiste ordenado y metódico para resolver los ejercicios? ¿Cómo te puede ayudar esta actitud a tener un
buen desempeño?
• ¿Cuáles de las estrategias que utilizaste te sirvieron? Explica.
Reflexiono
49
Lección 2 · Multiplicación y división
1
Unidad
2
Lección

Multiplicación por decenas, centenas y unidades de mil
En años anteriores utilizaste estrategias de cálculo mental y escrito para resolver multiplicaciones.
Ahora aplicarás la estrategia de anexar ceros en el cálculo de ciertos productos.
Aprendo
Objetivo: Encontrar un patrón al multiplicar por 10.
Sergio y Andrea están jugando a lanzar argollas. Cada acierto en un cono equivale a 10 puntos.
¿Cuántos puntos han obtenido en cada cono?
10 10 10 10 10 10 10
7 • 10 = 70
10 10 10 10 10 10 10 10 10
9 • 10 = 90
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 • 10 = 100
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
12 • 10 = 120
7 • 10 = 7 decenas
= 70
9 • 10 = 9 decenas
= 90
10 • 10 = 10 decenas
= 100
12 • 10 = 12 decenas
= 120
Atención
50
Lección 2 • Multiplicación y división

Observa la tabla de valor posicional.
7

7 • 10

9

9 • 10

10
10 • 10
12
12 • 10
7 7
7 • 10 7 0
9 9
9 • 10 9 0
10 1 0
10 • 10 1 0 0
12 1 2
12 • 10 1 2 0
Cada dígito del número se “movió” una posición a la izquierda al multiplicar por 10.
Si multiplicas un número por 10 puedes agregar un cero a la derecha de este y así obtendrás el producto.
7 · 10 = 70
9 · 10 = 90
10 · 10 = 100
12 · 10 = 120
51
1
Unidad

Practico
a. En la situación presentada en la página 50. ¿Puedes calcular el puntaje obtenido para cada cono?,
¿cómo lo calculaste?
b. Si se obtienen 250 puntos, ¿cuántas argollas acertaron en los conos?
2 Completa la tabla de valor posicional y luego calcula cada producto. Guíate por el ejemplo.
Ejemplo
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
231 2 3 1
231 • 10 2 3 1 0
2 345 2 3 4 5
2 345 • 10
a. 231 • 10 b. 2 345 • 10
3 Calcula el producto en cada multiplicación.
a. 60 • 10
b. 135 • 10
c. 503 • 10
d. 2 876 • 10
e. 6 082 • 10
f. 6 010 • 10
4 Completa con el factor que falta en cada multiplicación.
a. 8 • = 80 b. 22 • = 220 c. • 10 = 5 280
Aprendo
Objetivo: Descomponer un número para multiplicar por decenas.
6 • 20
20 20 20 20 20 20
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
6 • 20 6 veces 2 decenas (6 • 2) • 10 = 12 • 10 = 120
Cuando multiplicas un
númeropor20esequivalente
a que lo multipliques por 2 y
luego por 10.
Atención
52

Practico
5 Completa con el producto de la multiplicación de cada número por 6 y por 60.
• 6 • 60
42
65
Completa cada multiplicación.
a. 42 • 60 = (42 • 6) • b. 65 • 60 = (65 • ) •
6 Completa cada resolución.
a. 62 • 40 = (62 • 4) • 10
= • 10
=
b. 307 • 80 = (307 • ) • 10
= • 10
=
7 Multiplica y explica la estrategia que utilizaste.
a. 244 • 50 b. 1 970 • 90 c. 8 145 • 40
Aprendo
Objetivo: Encontrar regularidades en multiplicaciones en las que 100 o 1 000 es un factor.
100 100 100 100 100
5 • 100 = 500
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
11 • 100 = 1 100
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
5 • 1 000 = 5 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
11 • 1 000 = 11 000
5 • 100 = 5 centenas
= 500
11 • 100 = 11 centenas
= 1 100
5 • 1 000 = 5 mil
= 5 000
11 • 1 000 = 11 mil
= 11 000
Atención
53
1
Unidad

Decenas
de mil
Unidades
de mil
5
5 • 100
11
11 • 100
5
5 • 1 000
11
11 • 1 000
Decenas
de mil
Unidades
de mil
5 5
5 • 100 5 0 0
11 1 1
11 • 100 1 1 0 0
5 5
5 • 1 000 5 0 0 0
11 1 1
11 • 1 000 1 1 0 0 0
Cada dígito del número se “movió” dos posiciones a la izquierda al multiplicar por 100. Del mismo modo,
cada uno de sus dígitos se “movió” tres posiciones a la izquierda al multiplicar por 1 000.
5 · 100 = 500
11 · 100 = 1 100
5 · 1 000 = 5 000
11 · 1 000 = 11 000
54

Practico
8 Completa la tabla de valor posicional y luego calcula cada producto. Guíate por el ejemplo.
Ejemplo
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
174 1 7 4
174 • 100 1 7 4 0 0
174 • 1 000 1 7 4 0 0 0
3 298 3 2 9 8
3 298 • 100
3 298 • 1 000
a. 174 • 100 b. 174 • 1 000 c. 3 298 • 100 d. 3 298 • 1 000
9 ¿Cómo puedes obtener de manera rápida el producto por 100?, ¿y por 1 000? Explica a un compañero
o una compañera.
10 Calcula el producto en cada multiplicación.
a. 27 • 100
b. 615 • 100
c. 9 670 • 100
d. 18 • 1 000
e. 487 • 1 000
f. 5 346 • 1 000
11 Completa con el factor que falta en cada multiplicación.
a. 26 • = 2 600
b. 195 • = 195 000
c. • 100 = 49 000
d. • 1 000 = 168 000
12 Completa según la condición solicitada.
Multiplicar por 100 Multiplicar por 10 Multiplicar por 1 000
a. 23
Multiplicar por 10 Multiplicar por 1 000 Multiplicar por 100
b. 698
Multiplicar por 1 000 Multiplicar por 10 Multiplicar por 100
c. 284
55
1
Unidad

Aprendo
Objetivo: Descomponer un número para multiplicar por centenas o por miles.
7 • 200
200 200 200 200 200 200 200
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
7 • 200 = 7 • 2 centenas
= (7 • 2) • 100
= 14 • 100
= 1 400
• ¿Cuál es el producto de 67 • 5 000?
67 • 5 000 = 67 • 5 mil
= (67 • 5) • 1 000
= 335 • 1 000
= 335 000
• Cuando multiplicas un número
por 200 es equivalente a que
lo multipliques por 2 y luego
por 100.
• Cuando multiplicas un número
por 5 000 es equivalente a que
lo multipliques por 5 y luego
por 1 000.
Atención
Practico
13 Completa con el producto de la multiplicación de cada número por 7, por 700 y por 7 000.
• 7 • 700 • 7 000
78
113
Completa cada multiplicación.
a. 78 • 700 = (78 • 7) •
b. 113 • 700 = (113 • ) •
c. 78 • 7 000 = (78 • 7) •
d. 113 • 7 000 = (113 • ) •
14 Completa la resolución de cada multiplicación.
a. 123 • 700 = (123 • ) •
= • 100
=
b. 18 • 6 000 = (18 • ) •
= • 1 000
=
56

15 Calcula cada producto.
a. 81 • 500
b. 932 • 800
c. 645 • 900
d. 607 • 800
e. 58 • 600
f. 321 • 400
g. 850 • 200
h. 73 • 4 000
i. 905 • 8 000
j. 654 • 3 000
k. 807 • 9 000
l. 324 • 6 000
m. 250 • 5 000
n. 110 • 2 000
a. Si 5 kg de pan cuestan $ 4 750, ¿cuánto se pagaría por 50 kg de pan?
b. El curso de Ignacia compró 200 helados para venderlos. Si los vendieron
todos al precio que se muestra en la imagen, ¿cuánto dinero reunió el
curso con la venta de helados?
c. Emilia compró estos cuadernos en $ 1 675. Si hubiera comprado
300 de estos cuadernos, ¿cuánto habría pagado?
17 Junto con un compañero o una compañera respondan las siguientes preguntas.
a. El número 3 200 se multiplicó sucesivamente por 10 y se obtuvo como
producto 320 000 000. ¿Cuántas veces se multiplicó por 10? Expliquen.
b. ¿Cuántas veces se debe multiplicar 2 por 100 para obtener 200 000 000? Justifiquen.
c. El número 115 se multiplicó 3 veces por el mismo número y se obtuvo como
producto 115 000 000. ¿Por cuál número se multiplicó sucesivamente?
• ¿Qué estrategias aplicaste para multiplicar por 10, por 100 o por 1 000?
• ¿Para qué te sirve utilizar estrategias de cálculo mental?
• ¿De qué forma participaste en clases? ¿Te ayudó a aclarar dudas?, ¿por qué?
• ¿Qué pasos seguiste para resolver los problemas? Compáralos con los de un compañero o una compañera.
Reflexiono
$ 300
Cuando identificas los datos
en una situación problema
y aplicas una estrategia
para darle solución estás
de resolver problemas.
Habilidad
57
1
Unidad

Estrategias de cálculo mental
Ya has estudiado estrategias de cálculo mental como doblar y dividir por 2, o usar el doble del doble. Ahora,
utilizarás estos conocimientos para conocer nuevas estrategias que te servirán para resolver multiplicaciones.
Aprendo
Objetivo: Calcular productos multiplicando y dividiendo por 2.
Valentina y Benjamín realizarán una presentación acerca
del cuidado del medioambiente. Para ello, ordenaron las
sillas de la audiencia. ¿Cuántas sillas ordenaron?
Para calcular el producto, puedes utilizar la estrategia de doblar y dividir por 2.
12 • 5
Divide por 2
(la mitad del número)
Multiplica por 2
(el doble del número)
6 • 10
5
12
10
6
12 • 5 = 6 • 10 = 60
Respuesta: Ordenaron 60 sillas.
• ¿Cuál es el producto de 36 • 15?
36 • 15
Divide por 2
Multiplica por 2
18 • 30
Divide por 2
Multiplica por 2
9 • 60
36 • 15 = 18 • 30 = 9 • 60 = 540
El producto de 12 • 5
es equivalente al de
6 • 10.
Atención
Puedes doblar y
dividir por 2 en
forma sucesiva.
Atención
58

Practico
Si en la situación descrita en la página anterior aumenta la cantidad de público y tienen que ubicar 15 filas
con 12 sillas cada una, ¿cuántas sillas hay en total?
2 Completa la resolución de las siguientes multiplicaciones.
a. 18 • 15
: 2

• 2
•
18 • 15 = • =
b. 72 • 25
: 2

• 2
•
: 2

• 2
•
72•25= • = • =
3 Resuelve mentalmente cada multiplicación aplicando la estrategia de doblar y dividir por 2.
a. 72 • 5 b. 28 • 5 c. 24 • 15 d. 92 • 25
Aprendo
Objetivo: Aplicar la propiedad conmutativa y asociativa para multiplicar mentalmente.
• ¿Cuál es el producto de 25 • 5 • 4?
25 • 5 • 4 = 25 • 4 • 5 Usa la propiedad conmutativa.
= (25 • 4) • 5 Usa la propiedad asociativa.
= 100 • 5
= 500
• ¿Cuál es el producto de 30 • 6 • 5?
30 • 6 • 5 = 30 • 5 • 6 Usa la propiedad conmutativa.
= 150 • 6
= 150 • (2 • 3)
= 300 • 3
= 900
• Propiedad conmutativa: si cambias el
orden de los factores, el producto sigue
siendo el mismo. Por ejemplo:
5 • 4 = 4 • 5
• Propiedad asociativa: si asocias los
factores de diferentes maneras,
se obtiene el mismo producto.
Por ejemplo:
25 • (4 • 5) = (25 • 4) • 5
• Para comprobar tu resultado puedes
usar las propiedades conmutativa y
asociativa de otra manera.
30 • 5 • 6 = 30 • (5 • 6)
= 30 • 30
= 900
Atención
59
1
Unidad

Practico
4 Completa la resolución de cada multiplicación usando la propiedad conmutativa y, luego, la asociativa.
a. 38 • 7 • 4 = • •
= ( • ) •
= •
=
b. 20 • 3 • 5 = • •
= ( • ) •
= •
=
5 Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones usando las propiedades conmutativa y
asociativa. Recuerda comprobar tu resultado.
a. 50 • 14 • 4 b. 45 • 9 • 6 c. 67 • 8 • 5
Aprendo
Objetivo: Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar mentalmente.
35 • 7 = (30 + 5) • 7 Usa la propiedad distributiva.
= (30 • 7) + (5 • 7)
= 210 + 35
= 245
325 • 4 = (300 + 25) • 4 Usa la propiedad distributiva.
= (300 • 4) + (25 • 4)
= 1 200 + 100
= 1 300
Propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la
adición: el factor se distribuye
multiplicando cada término de la
adición. Por ejemplo:
(30 + 5) • 7 = (30 • 7) + (5 • 7)
Atención
Practico
6 Completa la resolución de la siguiente multiplicación.
425 • 4 = ( + 25) • = ( • 4) + ( • 4) = 1 600 + =
7 Resuelve mentalmente cada multiplicación utilizando la propiedad distributiva.
a. 208 • 5 b. 415 • 3 c. 525 • 8
• ¿Qué estrategias aplicaste para multiplicar mentalmente? Explícale a un compañero o una compañera.
Reflexiono
60

En la lección anterior estudiaste el redondeo de números para estimar sumas y diferencias. A continuación,
aplicarás estos procedimientos para estimar productos.
Aprendo
Objetivo: Estimar productos redondeando los factores
a la decena o a la centena más cercana.
¿Cuánto se debe pagar, aproximadamente, por 26 llaveros?
Estima el producto entre 632 y 26.
Puedes redondear 632 a la centena más cercana y 26 a la
decena más cercana.
Redondeo a la centena. Redondeo a la decena.

632 600

26 30
600 • 30 = (600 • 3) • 10
= 1 800 • 10
= 18 000
El producto es aproximadamente 18 000.
Respuesta: Por 26 llaveros se pagarán, aproximadamente, $ 18 000.
Una estrategia para estimar un producto
consisteenredondearunootodoslosfactores
a un determinado nivel de aproximación.
El resultado obtenido en la estimación de un
producto corresponde a una aproximación
del producto real.
Atención
Practico
En la situación inicial, para calcular cuánto se debe pagar por 26 llaveros, estimaste el producto entre 26 y
632. ¿Qué producto debes estimar para calcular cuánto se debe pagar por 43 imanes aproximadamente?
2 Completa la estimación del siguiente producto.
123 • 56
El número 123 se puede redondear a la centena más cercana y 56 a la decena más cercana.
El número 123 se redondea a 100, y 56 se redondea a .
100 • = (100 • ) • = • =
3 Estima el producto de cada multiplicación.
a. 99 • 38 b. 67 • 439 c. 928 • 32 d. 206 • 41
$ 632 $ 95 $ 990
61
1
Unidad

Aprendo
Objetivo: Estimar productos redondeando los factores a la decena o a la
unidad de mil más cercana.
En la tienda de regalos de un museo se vendieron 1 215 cajas con modelos
de dinosaurios, como la que se muestra en la imagen. ¿Cuántos modelos de
dinosaurios se vendieron, aproximadamente?
Puedes redondear 1 215 a la unidad de mil más cercana y 26 a la decena más cercana.
Redondeo a la unidad de mil. Redondeo a la decena.
1 215 1 000 26 30
1 000 • 30 = (1 000 • 3) • 10
= 3 000 • 10
= 30 000
Respuesta: La tienda vendió, aproximadamente, 30 000 modelos de dinosaurios.
Practico
4 Completa la estimación del siguiente producto.
1 228 • 57
El número 1 228 se puede redondear a la unidad de mil más cercana y 57 a la decena más cercana.
El número 1 228 se redondea a , y 57 se redondea a .
• 60 = ( • 6) • 10 = • 10 =
5 Estima el producto de cada multiplicación.
a. 1 702 • 15
b. 27 • 4 364
c. 38 • 2 246
d. 8 510 • 19
e. 5 511 • 62
f. 35 • 6 424
6 Escribe cinco multiplicaciones diferentes cuyo producto estimado sea 2 000.
7 En una fábrica embotelladora, una máquina llena 102 botellas en una hora.
a. ¿Cuántas botellas, aproximadamente, llenará la máquina en un día?
b. ¿Cuántas botellas, aproximadamente, llenará la máquina en 27 días?
• ¿Para qué crees que te puede servir estimar el producto en una multiplicación?, ¿por qué?
Reflexiono
62

Multiplicación entre números de dos cifras
En cursos anteriores aprendiste a multiplicar números de tres cifras por números de una cifra y en esta lección
has resuelto multiplicaciones aplicando estrategias de cálculo mental. Ahora, utilizarás estos conocimientos
para resolver multiplicaciones entre números de dos cifras.
Objetivo: Multiplicar unidades, decenas y centenas con reagrupación.
Antonia ayuda a guardar manzanas en cajas como la que se muestra en la imagen:
Si cada caja tiene la misma cantidad de manzanas, ¿cuántas habrá en 20 cajas?
El total de manzanas lo puedes calcular como 12 • 20.
12 • 20 = ?
Estrategia 1
12 • 20 = (12 • 2) • 10
= 24 • 10
= 240
.
12 • 2 = 24 24 24 24 24
24 24 24 24 24
Recuerda que 20 = 2 • 10.
Atención
Aprendo
63
1
Unidad

Estrategia 2
12 • 20
240 Multiplica 12 por 2 decenas.
Respuesta: Hay 240 manzanas en total.
• Multiplica 60 por 20.
Estrategia 1 Estrategia 2
60 • 20 = (60 • 2) • 10 60 • 20
= 120 • 10 1 200
= 1 200
12 • 20
24
Atención
Aprendo
Objetivo: Multiplicar números de 2 cifras por números de 2 cifras.
63 • 28
63 • 28
504 Multiplica 63 por 8 unidades.
+ 1 260 Multiplica 63 por 2 decenas.
1 764 Suma de los productos.
Si estimas el producto 63 • 28 como
60 • 30, obtienes 1 800, que es una
aproximación cercana de 1 764.
Atención
Practico
1 Completa la resolución de la siguiente multiplicación.
97 • 53
+
Multiplica 97 por unidades.
Multiplica 97 por decenas.
Suma de los productos.
2 Estima el producto anterior y comprueba si tu resultado es cercano al producto real.
3 Resuelve cada multiplicación.
a. 72 • 90
b. 25 • 40
c. 34 • 70
d. 19 • 12
e. 65 • 44
f. 38 • 72
g. 99 • 95
h. 91 • 85
60 • 20 = 60 • 2 decenas
= 120 decenas
= 120 • 10
= 1 200
Atención
Multiplica 12 por 2.
64

4 Explica cuál es el error cometido en cada multiplicación y corrígelo.
a. 35 • 40
1 200
b. 73 • 46
292
+ 4 380
4 672
c. 52 • 48
416
+ 208
624
5 Escribe dos multiplicaciones de dos factores que cumplan las condiciones dadas en cada caso.
a. Los factores son números de dos cifras y su producto es 1 200.
b. Los factores son números de dos cifras que al multiplicarlos se obtiene 2 600.
Aprendo
Objetivo: Resolver problemas aplicando el algoritmo de la multiplicación.
En un edificio de 26 pisos se usan 16 ampolletas en cada piso, para iluminar los pasillos. ¿Cuántas ampolletas
hay en total en los pasillos del edificio?
Total de ampolletas 26 • 16 = ?
26 • 16

156 Multiplica 26 por 6 unidades.
+ 260 Multiplica 26 por 1 decena.

416 Suma de los productos.
Respuesta: En total hay 416 ampolletas en los pasillos del edificio.
Practico
a. Pedro observa una planta y un árbol que están en la plaza de
su barrio. Él estima que la altura del árbol es 32 veces más alta
que la altura de la planta. ¿Cuántos centímetros mide el árbol,
aproximadamente?
b. La dueña de un almacén compró 36 bandejas de 12 huevos para venderlas. ¿Cuántos huevos tiene a la
venta con estas bandejas que compró? Si vende cada huevo en $ 90, ¿cuánto dinero recibirá?
c. Educación Física y Salud Victoria corre semanalmente 23 km, ¿cuántos kilómetros correrá en un año
si mantiene este entrenamiento? Considera que todos los meses tienen 4 semanas.
d. Tecnología Francisco quiere instalar baldosas en su patio. Calculó que necesita 25 baldosas a lo largo
y 18 a lo ancho. ¿Cuántas baldosas necesitará Francisco?
27 cm
Algoritmo de la multiplicación
Cuando multiplicas dos números de dos cifras, comienza
multiplicando la cifra que corresponde a las unidades de
uno de ellos por el otro número (factor). Luego, continúa
con la cifra de las decenas y al producto resultante
agrégale un cero. Finalmente, suma ambos productos.
65
1
Unidad

7 Identifica qué es lo que se calcula con la operación en cada caso.
a. En una tienda venden cajas con lápices de colores. Cada una contiene 6 lápices. 12 • 32
En la bodega de la tienda guardan las cajas en grupos de 12 y tienen 32 grupos de cajas.
b. En 2 estantes idénticos se guardan 34 libros en cada una de sus 15 repisas. 2 • 15 • 34
8 Crea un problema que se pueda resolver con cada una de las siguientes multiplicaciones.
a. 48 • 62 b. 55 • 11 c. 82 • 96 d. 42 • 24
9 Determina la información que falta para resolver cada problema.
a. Una familia consume 36 L de leche en un mes. ¿Cuánto dinero gasta en el consumo de leche durante
un año?
b. Una florería vende en un día normal 12 ramos de claveles, 21 de rosas y algunos de margaritas.
¿Cuántas flores vende en total en una semana?
10 Reúnete con un compañero o una compañera y, por turnos, completen el cuadro con los
productos que faltan. Usa la calculadora para comprobar la respuesta de tu compañero o compañera.
• 32 25 62 74
15
28
40
La tecla 9 de la calculadora no funciona. Explica cómo puedes todavía usar la calculadora
para resolver 34 • 79 de dos formas.
–1 +1
79
Puedo reescribir 79 como – 1 o + 1
34 · 79 = (34 · ) –
34 ·
34 34 34
79 grupos
34 · 79 = (34 · ) +
grupos
34 34 34
34 · 79
• Al trabajar en grupo, ¿necesitaste de la colaboración de tu compañero o compañera para realizar tus
cálculos?, ¿cómo lo sabes?
Reflexiono
66

División por números de una cifra
Ya has resuelto divisiones entre números de dos cifras y un número de una cifra aplicando el algoritmo de la
división. Ahora, ampliarás este aprendizaje para resolver divisiones con números de tres cifras.
Aprendo
Objetivo: Dividir reagrupando centenas, decenas y unidades.
Juan plantará algunas semillas de lechugas en los siguientes cajones.
¿Cuántas semillas plantará en cada cajón?
La cantidad de semillas que se plantarán en cada cajón la puedes calcular como 525 : 3.
525 : 3 = ?
Tengo 525 semillas y las
repartiré en igual cantidad
en estos cajones.
Primero divide las centenas en 3.
5´25 : 3 = 1
– 3
2
Al dividir 5 centenas en 3 grupos,
cada uno de ellos tendrá 1 centena
y sobrarán 2 centenas.
67
1
Unidad

Reagrupa el resto de las centenas:
2 centenas 20 decenas
Al sumar las decenas obtienes
22 decenas.
5´2´5 : 3 = 1
– 3
22
Luego, divide las decenas en 3.
5´25 : 3 = 17
– 3
–
22
21
1
Al dividir 22 decenas en 3 grupos,
cada uno de ellos tendrá 7 decenas
y sobrará 1 decena.
Reagrupa el resto de las decenas:
1 decena 10 unidades
Al sumar las unidades obtienes
15 unidades.
5´2´5´ : 3 = 17
– 3
–
22
21
15
68

Centenas Decenas Unidades Por último, divide las unidades en 3.
5´2’5´ : 3 = 175
– 3
–
22
21
15
15
–
0
Por lo tanto, 525 : 3 = 175 Cociente

Dividendo Divisor
Respuesta: Juan plantará 175 semillas en cada cajón.
Puedes usar multiplicaciones relacionadas para comprobar si el cociente obtenido es cercano al real.
3 • 100 = 300 3 • 200 = 600
525 es más cercano a 600 que a 300. Entonces, 525 : 3 se aproxima a 600 : 3.
600 : 3 = 200 El cociente estimado es 200 y es cercano al resultado.
Practico
1 Completa, paso a paso, la resolución del siguiente problema.
Matilde vendió su cosecha de 735 zanahorias a tres restaurantes. Si todos los restaurantes reciben la
misma cantidad de zanahorias, ¿cuántas le corresponde a cada uno?
La cantidad de zanahorias que recibirá cada restaurante la puedes calcular como: 735 : 3.

735 : 3 = ?
Primero, divide las centenas en 3.
7’35 : 3 = 2
– 6
1
7 centenas divididas en 3 son
centenas con resto centena.
69
1
Unidad


Reagrupa el resto de las centenas:
centena = decenas
Suma las decenas:
decenas más decenas
son decenas.
7’3’5 : 3 = 2
– 6
13

decenas divididas en 3 son
decenas con resto decena.
7’3’5’ : 3 = 24
– 6
13
– 12
1

Reagrupa el resto de las decenas:
decena = unidades
Suma las unidades:
unidades más
unidades son unidades.
7’3’5’ : 3 = 245
– 6
13
– 12
15
– 15
0
Entonces, 735 : 3 = 245 Cociente
Dividendo Divisor
Respuesta: Por lo tanto, a cada restaurante le corresponden zanahorias.
70

2 Utiliza multiplicaciones relacionadas para comprobar si el cociente obtenido en la actividad anterior
es correcto.
Aprendo
Objetivo: Estimar el cociente de una división.
• ¿Cuánto es aproximadamente 172 : 4 ?
Puedes elegir un número cercano al dividendo que se pueda dividir exactamente entre 4.
El número 172 está entre 160 y 200, sin embargo es más cercano a 160 que a 200.
El cociente de 172 : 4 lo puedes estimar como 160 : 4 y al resolver obtienes 40. Por lo tanto, el cociente
entre 172 y 4 es 40, aproximadamente.
Objetivo: Resolver problemas interpretando el resto de una división.
La municipalidad de una ciudad dispone de 126 árboles para plantar en las siguientes calles:
Los girasoles
Las
rosas
Los claveles
Los
olivos
Si se plantará la mayor cantidad posible de árboles de manera que quede la misma cantidad en cada calle,
¿cuántos árboles no se plantarán?
La cantidad de árboles que se plantarán en cada calle se puede calcular como:
12’6’ : 4 = 31
– 12
06
– 4
2
Cociente
Resto
Cada calle tendrá 31 árboles nuevos y sobrarán 2 del total de árboles que disponía la municipalidad.
Respuesta: Por lo tanto, 2 árboles del total no se plantarán en las calles.
71
1
Unidad

Practico
3 Resuelve las siguientes divisiones. Luego, clasifícalas como exactas o no exactas.
Justifica tu elección.
a. 338 : 2
b. 656 : 4
c. 647 : 5
d. 138 : 3
4 Estima cada cociente.
a. 569 : 5
b. 417 : 2
c. 322 : 6
d. 126 : 4
5 Calcula el factor desconocido en cada caso. Explica tu estrategia.
a. 8 • = 120 b. • 5 = 325 c. 4 • = 604
6 Analiza y responde. Luego, justifica con ejemplos.
a. Si un número es dividido por 2, ¿cuáles son los posibles restos?
b. Si un número es dividido por 3, ¿cuáles son los posibles restos?
7 Determina el menor número en el que debes aumentar el dividendo, de modo que el resto de la
nueva división sea 3. Guíate por el ejemplo.
Ejemplo: 13’2’ : 6 = 22
– 12
12
– 12
0
El resto de la división es 0. Por lo tanto, para que sea igual a 3 debes sumar 3 al dividendo.

a. 420 : 5 b. 436 : 7 c. 472 : 3
8 Determina el menor número en el que se debe aumentar el dividendo, de modo que la nueva
división sea exacta.
a. 141 : 4 b. 813 : 2 c. 356 : 9 d. 538 : 3
9 Escribe dos divisiones que cumplan con las condiciones dadas en cada caso.
a. El dividendo tiene 3 centenas y 2 unidades, el divisor es un dígito, y el resto es 5.
b. El cociente es 16, el resto es 3.
c. El resto es 0 y el divisor es 4.
En los números naturales,
una división es exacta
cuando el resto es igual a
cero; en caso contrario la
división es no exacta.
Atención
72

a. Mariana, Benjamín, Carolina y Daniel estimaron el cociente de 468 : 5. Estas son sus respuestas:
Nombre Respuesta
Mariana 2 500
Benjamín 450
Carolina 90
Daniel 9
Explícale a un compañero o compañera cuál de las respuestas es más cercana al cociente real.
b. Una agencia de turismo espera a 135 turistas para la próxima semana. Cada uno de los vehículos
de la agencia puede llevar a 7 pasajeros. ¿Cuántos vehículos se necesitarán para transportar a
todos los turistas?
c. Lorena quiere cortar la siguiente cinta en trozos de igual medida y que correspondan a un
número natural.
910 cm
¿Es posible cortar la cinta en 4 trozos de igual longitud?, ¿por qué?
d. En un jardín hay 9 barriles llenos con agua lluvia. Si en total hay 288 L de agua y cada barril
contiene la misma cantidad, ¿cuántos litros de agua tiene cada barril?
• ¿En cuál actividad tuviste dificultad para desarrollarla?, ¿cómo la superaste?
• ¿Cómo participaste en clases? ¿Crees que te ayudó a comprender los contenidos?
• Al corregir tus actividades, ¿cuál fue tu actitud? ¿Qué puedes mejorar?
• ¿Cómo crees que fue tu participación en la actividad grupal?, ¿por qué?
Reflexiono
73
1
Unidad

¿Cómo voy?
1 Observa la resolución de las siguientes multiplicaciones. Explica las estrategias de cálculo mental
utilizadas. (2 puntos cada una)
a. 26 • 5 = 13 • 10 = 130
b. 30 • 6 • 5 = 30 • 5 • 6 = (30 • 5) • 6 = 150 • 6 = 300 • 3 = 900
c. 12 • 25 = 12 • (20 + 5) = 12 • 20 + 12 • 5 = 240 + 60 = 300
2 Completa la tabla con la estimación del producto y con el resultado de cada multiplicación.
(1 punto cada una)
Multiplicación Estimación del producto Producto
38 • 71
88 • 29
3 Encierra con rojo las divisiones cuyo cociente sea igual a 112 y con azul aquellas cuyo cociente
estimado sea igual a 60. (1 punto cada una)
a. 560 : 5 b. 355 : 6 c. 224 : 2 d. 472 : 8 e. 336 : 3 f. 330 : 6
4 Camilo quiere resolver la multiplicación 17 • 158 utilizando la calculadora; sin embargo, nota que
las teclas correspondientes a los números 1 y 8 no funcionan. Josefina le propone que aplique la
estrategia de multiplicar y dividir por 2 los factores y que luego utilice la propiedad distributiva.
Si Camilo aplica la estrategia de Josefina, ¿cuál es el producto? (2 puntos)
1 y 4
Estrategias de cálculo mental para la
multiplicación.
resolver problemas.
Logrado: 13 puntos
o más.
Medianamente
logrado: 10 a 12
puntos.
o menos.
2
Estimación de productos y multiplicación
entre números naturales de dos cifras.
Representar.
3
División con dividendos de tres cifras
y divisores de una cifra.
Representar.
• ¿Qué estrategias utilizaste en esta lección? ¿Coinciden con las de la lección anterior?
Reflexiono
74

Repaso
1 Analiza la información y responde.
Distancia La Serena - Valparaíso
440 km
Distancia Valparaíso - Chillán
510 km
Responde las preguntas que están a continuación completando el siguiente esquema. Luego, compara tus
estrategias con la de tus compañeros o compañeras.
Datos Estrategia Operación
Respuesta:
a. ¿Cuánto más lejos está Chillán que La Serena de Valparaíso?
b. ¿Cuántos kilómetros recorres al realizar un viaje a La Serena de ida y vuelta desde Valparaíso?
c. Un conductor viaja de La Serena a Chillán y decide hacer una parada en la mitad del recorrido.
¿A qué distancia de ambas ciudades se detuvo?
• Adición
• Sustracción
• Multiplicación
• División
• Operación combinada
• Uso de paréntesis
• Prioridad de las
operaciones
Conceptos clave
• ¿Manifestaste interés o curiosidad al realizar las actividades?, ¿por qué?
• ¿Cuáles estrategias utilizaste para responder las preguntas? Explícalas paso a paso.
Reflexiono
Fuente: Mapas de Chile. En: http://www.mapasdechile.cl/distancias-ciudades-chilenas
(Consultado en julio 2016)
75
1
Unidad
Lección 3 · Estrategias de cálculo y problemas
3
Lección
Estrategias de cálculo y problemas

Ya has trabajado con las cuatro operaciones ( +, –, •, : ). Ahora, resolverás problemas en los que tendrás que
utilizar más de una operación para determinar su solución.
Aprendo
Objetivo: Resolver operaciones combinadas
que involucran adiciones y sustracciones.
Observa la imagen. ¿Cuántos pasajeros hay ahora
en el tren?
Resuelve de izquierda a derecha las adiciones y sustracciones.
Primera expresión 96 – 26 + 48
70 + 48
118
Segunda expresión
Respuesta: Ahora hay 118 pasajeros en el tren.
Una operación combinada es una
expresión numérica que contiene más de
una operación matemática (+, –, • o :)
con o sin paréntesis.
Atención
Practico
1 El ejercicio anterior, ¿puedes resolverlo de otra manera?, ¿por qué?
2 Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a. 37 + 8 – 25 b. 67 – 21 + 20 c. 32 – 12 + 26 – 15 d. 50 + 27 – 19 – 35
Aprendo
Objetivo: Resolver operaciones combinadas que involucran multiplicaciones y divisiones.
Resuelve de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.
Primera expresión 40 • 24 : 6
960 : 6
160
Segunda expresión
Bajan: 26 pasajeros
Suben: 48 pasajeros
Llegué a la estación
con 96 pasajeros.
76

Practico
3 Utilizando las propiedades que conoces, ¿puedes resolver el ejercicio anterior de otra manera?, ¿cómo?
a. 12 • 20 : 6 b. 63 : 9 • 12 c. 28 • 5 : 4 : 7 d. 48 : 8 • 60 : 3
Aprendo
Objetivo: Resolver operaciones combinadas que involucran adiciones o sustracciones y multiplicaciones
o divisiones.
En un parque hay 28 niños y 56 hombres. La cantidad de hombres es 4 veces la de mujeres.
¿Cuántos niños y mujeres hay en el parque?
Primera expresión 28 + 56 : 4
28 + 14
42
Primero divide.
Segunda expresión Luego, suma.
Entre niños y mujeres hay 42 personas en el parque.
Sara tiene 900 estampillas en su colección. Ella ubica 25 en cada página de un álbum.
Si este tiene 30 páginas, ¿cuántas estampillas le sobran?
Primera expresión 900 – 30 • 25
900 – 750
150
Primero multiplica.
Segunda expresión Luego, resta.
Respuesta: Le sobran 150 estampillas.
56 : 4 = 14
Hay 14 mujeres.
Atención
30 • 25 = 750
Sara ubicó
750 estampillas
en el álbum.
Atención
Practico
5 Los ejercicios anteriores, ¿puedes resolverlos de otra manera?, ¿por qué?
6 Resuelve las siguientes operaciones. Compara tus resultados en tu curso y si tuviste algún error, corrígelo.
a. 13 + 20 • 7 b. 15 + 18 • 5 : 9 c. 33 + 210 : 3 – 25
Aprendo
Objetivo: Resolver operaciones combinadas con paréntesis.
Hay 67 niños y 53 niñas en un campeonato de atletismo. Cada estudiante puede participar solo en una
actividad. Si en cada actividad participan 4 estudiantes, ¿cuántas actividades hay?
Primera expresión (67 + 53) : 4
120 : 4
30
Primero, realiza la operación dentro de los paréntesis.
Segunda expresión Luego, divide.
Respuesta: Hay 30 actividades.
77
1
Unidad

Gonzalo tiene 60 kg de nueces y 64 kg de almendras. Los mezcla y los guarda en bolsas de 9 kg.
Si regala 8 bolsas, ¿cuántos kilogramos de frutos secos le quedan?
Primera expresión (60 + 64) – 8 • 9
124 – 8 • 9
124 – 72
52
Primero, resuelve la operación dentro de los paréntesis.
Segunda expresión Luego, multiplica.
Por último, resta.
Respuesta: Le quedan 52 kg de frutos secos.
Para resolver una operación combinada debes tener presente la prioridad en las operaciones:
1° Paréntesis, si los hay, desde el interior al exterior, de izquierda a derecha.
2º Multiplicación o división, de izquierda a derecha.
3º Adición o sustracción, de izquierda a derecha.
Practico
7 Utilizando las propiedades que conoces, ¿puedes resolver el ejercicio anterior de otra manera?, ¿cómo?
a. 17 – (38 – 29)
b. (44 – 33) • 7
c. 25 • 11 + 29 – 15
d. 153 • 3 – 85 : 5
e. 45 : 15 + 123 • 9
f. 65 • 3 + 15 • 4
g. 107 + (44 – 33) • 7
h. 80 • (40 : 5) : 4
i. 12 • 12 – 12 – 12
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera copien las siguientes tarjetas en una
cartulina y recórtenlas.
Paso 2 Luego, por turnos, cada uno forma una operación combinada y le pide al otro que la resuelva.
Paso 3 Revisen y corrijan los errores cometidos.
Manos a la obra
Materiales
Cartulina.
Tijeras.
Lápiz.
Cuaderno.
• Al resolver operaciones combinadas, ¿crees que es necesario ser ordenado y metódico?, ¿por qué?
Reflexiono
78

Uso de la calculadora y el computador
Ya sabes resolver problemas en diversos contextos, seleccionando y utilizando la operación apropiada.
Ahora, aprenderás a utilizar la calculadora y explorarás el uso del computador para resolver problemas que
incluyan operaciones combinadas.
Aprendo
Objetivo: Usar la calculadora para resolver problemas de adición y sustracción.
La tienda Puros Hilos vendió 482 355 rollos de tela el año pasado y 896 764 este año. ¿Cuántos rollos de tela
vendió la tienda en los dos años?
896 764 + 482 355 = ?
Pulsa Pantalla
6
8
6
3
9
4
7
2
4
5 5
8
+
=
C 0
896 764
482 355
1 379 119
Respuesta: Se vendieron 1 379 119 rollos de tela en los dos años.
• ¿Cuántos rollos de tela más vendió Puros Hilos en este año que el año pasado?
896 764 – 482 355 = ?
Pulsa Pantalla
6
8
6
3
9
4
7
2
4
5 5
8
–
=
C 0
896 764
482 355
414 409
Respuesta: La tienda Puros Hilos vendió 414 409 rollos de tela más este año que el año pasado.
Aprendo
Objetivo: Usar la calculadora para resolver problemas de multiplicación.
Un terreno rectangular tiene un largo de 2 253 m y un ancho de 1 127 m. ¿Cuál es el área del terreno?
2 253 · 1 127 = ?
Pulsa Pantalla
5
1 7
2
1
3
2
2
x
=
C 0
2 253
1 127
2 539 131
Respuesta: El terreno tiene un área igual a 2 539 131 m2
.
El área de un rectángulo
es igual al producto entre
las medidas de su largo y
de su ancho.
Atención
Para borrar la pantalla
de la calculadora
pulsa C .
Atención
79
1
Unidad

Aprendo
Objetivo: Usar la calculadora para resolver problemas de división.
En una compañía constructora compran 14 580 sacos de cemento. Si cada día utilizan 36 sacos, ¿en cuántos
días habrán utilizado todos los sacos que se compraron?
14 580 : 36 = ?
Pulsa Pantalla
5
6
4
3
8 0
1
÷
=
C 0
14 580
36
405
Respuesta: En 405 días habrán utilizado todos los sacos de cemento.
Practico
1 Resuelve los siguientes problemas utilizando la calculadora.
a. En la siguiente tabla se registra la longitud de la
costa de algunos países de América. ¿Cuántos
kilómetros más de costa tiene Estados Unidos
que Chile, Argentina y Brasil juntos?
b. En un colegio quieren promover una colación saludable durante los recreos. Para ello, repartirán
4 trozos de fruta a cada uno de los 249 estudiantes. Los trozos de fruta vienen en cajas de 12 unidades.
• ¿Cuántas cajas deberán comprar?
• ¿Qué otra pregunta podrías responder utilizando operaciones combinadas a partir
de la información de este problema?
En una campaña solidaria Camilo recaudó $ 12 549 en un curso, $ 13 500 en otro curso
y $ 15 300 en cada uno de los otros dos cursos. Si gastó $ 1 200 en transporte, ¿cuánto
pudo entregar?
Paso 1 Abre una planilla de cálculo y escribe en A1 “Recaudaciones”. En A2, escribe 12549; en A3,
13500; en A4, =15300*2 (esto dará el total de los dos cursos que aportaron la misma cantidad
de dinero); y en A5, 1200.
Paso 2 Ubícate en A6 y digita =A2+A3+A4-A5. ¿Cómo puedes interpretar el resultado obtenido?
Manos a la obra
Materiales
Computador con una
planilla de cálculo.
• ¿Te esforzaste y fuiste perseverante al desarrollar las actividades?, ¿por qué?
Reflexiono
Longitud de costa de algunos países de América
País Chile Argentina Brasil
Estados
Unidos
Longitud (km) 6 435 4 989 7 491 19 924
80

Otras situaciones problema con las cuatro operaciones
Ya aprendiste a resolver operaciones combinadas respetando la prioridad de las operaciones. A continuación,
utilizarás estas operaciones para resolver otros tipos de problemas.
Aprendo
Objetivo: Reconocer que el resto de una división puede ser parte de una respuesta.
Romina tiene un rollo de cinta de 250 cm de largo y corta trozos de iguales
medidas. ¿Cuántos trozos cortó? ¿Cuál es el largo de la cinta restante?
Largo de la cinta: 250 cm Largo de cada trozo: 8 cm
La cantidad de trozos que cortó puedes calcularla como 250 : 8.
25´0´ : 8 = 31 Cantidad de trozos.
– 24
10
– 8
2 Largo de la cinta restante.
Respuesta: Romina corta la cinta en 31 trozos de 8 cm y el largo de la cinta restante es 2 cm.
Practico
Un contenedor tiene 100 kg de papas. Estas se guardan en sacos de 15 kg cada uno. ¿Cuántos sacos de
papas hay? ¿Cuántos kilogramos quedan?
Aprendo
Objetivo: Aumentar el cociente cuando se incluye el resto de una división.
En un colegio los 5° básicos saldrán de excursión. Para ello, contratarán furgones con capacidad para
9 personas. Si en total son 120 estudiantes en 5° básico y se quiere contar con la menor cantidad de
furgones, ¿cuántos de estos se necesitan?
Cantidad de estudiantes en 5° básico: 120 Capacidad de cada furgón: 9 personas
12´0´ : 9 = 13 Cantidad de furgones con 9 estudiantes.
– 9
30
– 27
3 Estudiantes que faltan por subir a un furgón.
Los 3 estudiantes restantes necesitan un furgón más, entonces puedes sumar a los 13 furgones un furgón más.
Respuesta: Por lo tanto, se necesitan 14 furgones.
8 cm
81
1
Unidad

Practico
Julia tiene 172 estampillas y las quiere pegar en un álbum. En cada página del álbum caben 25 estampillas.
¿Cuántas páginas del álbum necesitará Julia para pegar todas sus estampillas?
Aprendo
Objetivo: Reconocer que algunos problemas se deben resolver en dos pasos.
En el colegio de Roberto quieren construir una cancha
de fútbol. Si el costo del pasto por metro cuadrado (m2
)
es de $ 990, ¿cuál es el costo de poner pasto en el terreno?
El área (A) del terreno se obtiene como:
A = 110 • 75 = 8 250 m2
Luego, calcula el costo del pasto.

El área del terreno
Costo 8 250 • 990 = 8 167 500.

Costo por m2
Respuesta: El costo por poner pasto en el terreno es de $ 8 167 500.
Practico
Rocío llena el estanque de su automóvil con 45 L de combustible a $ 710 por litro. ¿Cuánto dinero necesita
para llenar 9 veces el estanque de su automóvil?
Cantidad total de combustible 9 • 45 = L
Costo del combustible • 710 = $
Respuesta: Rocío necesita para llenar 9 veces el estanque de su automóvil.
82
110 m
75 m

Aprendo
Objetivo: Reconocer que algunos problemas se deben resolver en más de dos pasos.
Un grupo de voluntarios compra 32 cajas con 40 manzanas. Los voluntarios guardan las manzanas
en bolsas con 5 unidades y venden cada bolsa a $ 600 para recaudar fondos para una campaña solidaria.
¿Cuánto dinero recaudan después de vender todas las manzanas?
Primero, calculas la cantidad total de manzanas.
Cantidad total de manzanas 32 • 40 = 1 280
Hay 1 280 manzanas.
A continuación, calculas la cantidad de bolsas.
Cantidad de bolsas 1 280 : 5 = 256
Hay 256 bolsas de manzanas.
Luego, calculas la cantidad de dinero recaudado.
Dinero recaudado 256 • 600 = 153 600
Respuesta: Los voluntarios recaudaron $ 153 600.
Practico
4 Lee las siguientes situaciones y crea una pregunta que se pueda responder con la información dada.
a. En un contenedor hay 100 kg de almendras y se distribuyen en sacos de 15 kg cada uno.
b. La señora Hernández compra un refrigerador y lo paga en cuotas iguales de $ 17 800.
Después de 15 cuotas, todavía debe $ 44 340.
5 Observa la situación y determina si la operación representada permite responder la pregunta.
Si es así, resuélvela y responde; de lo contario, corrígela, resuélvela y responde.
¿Cuál es el monto de la compra? 3 • 990 + 300
83
1
Unidad

a. Las tarifas de un estacionamiento se muestran en la siguiente tabla.
Tarifas de un estacionamiento
Primera hora Segunda hora Después de la segunda hora
$ 700 $ 500 $ 300 por hora
Si se estaciona un automóvil desde las 9 de la mañana hasta las 2 de la tarde del mismo día,
¿cuánto pagará?
b. Un tanque de agua contiene 350 L. El agua se usa para llenar unos bidones de 3 L. ¿Cuántos bidones
se pueden llenar completamente y cuánta agua queda en el tanque?
c. Elena compró los siguientes globos para las fiestas patrias.
Si regaló 1 000 globos y el resto los guardó en cajitas de 8 unidades cada una, ¿cuántas cajitas de
globos reunió?
7 Crea un problema que se pueda resolver con la siguiente operación combinada.
120 · (48 : 8) + 20
• ¿Qué entiendes por estrategia para resolver un problema?
• ¿Cuáles estrategias aplicaste en esta lección? ¿Cuál te costó más comprender?, ¿por qué?
• Explícale a un compañero o una compañera los pasos que utilizas en la resolución de un problema.
Reflexiono
RDC 2
84

85
1
Unidad
¿Cómo voy? Evaluación de proceso 3
1 Identifica el orden en el que se deben resolver las operaciones en cada caso. (2 puntos cada una)
a. 750 : 5 + 85 • 19 – 25 b. 11 • (77 – 35) + 64 + 30 c. (54 + 42) • (24 – 36 : 3)
1° 1° 1°
2° 2° 2°
3° 3° 3°
4° 4° 4°
2 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. (1 punto cada una)
a. 123 – 14 • 4
b. 23 • 23 + 651 : 3
c. 12 + 13 • (43 + 31)
d. 900 + 87 • 50 – 120
e. (850 – 640) : ( 62 – 55)
f. (150 – 85) + 132 : 3
a. Rebeca se quiere comprar una bicicleta que cuesta $ 136 000. Ella ahorra mensualmente $ 24 000.
¿Cuánto tendrá ahorrado en tres meses? ¿Cuánto dinero le falta para ahorrar?
b. Sebastián compró en una liquidación 15 poleras a $ 3 500 cada una y 18 pares de calcetines a $ 360 cada
uno. ¿Cuánto pagó en total por su compra? Si llevaba $ 100 000, ¿cuánto le sobró?
c. En un terreno de 350 m2
se plantarán 8 lechugas en 1 m2
. ¿Cuántas lechugas se pueden plantar en
el terreno?
1 y 2
Resolución de operaciones
combinadas y aplicación de la
prioridad de las operaciones.
representar.
12 a 14 puntos.
o menos.
3
Resolución de problemas que
involucran las 4 operaciones.
Resolver problemas.
• ¿Qué estrategias utilizaste en esta lección? ¿Crees que te servirán para la siguiente lección?, ¿por qué?
Reflexiono

Repaso
1 Analiza la información y responde.
A un lado de un camino se plantarán y numerarán árboles, como se muestra a continuación.
El árbol 1 está a 4 m del inicio del camino.
6 m
1 2 3 4 5
6 m 6 m 6 m
a. Completa la tabla con la información que falta.
Distancia de cada árbol al inicio del camino
Árbol 1 2 3 4 5
Distancia (m) 4 10
b. ¿Existe algún patrón numérico en la distancia de cada árbol al inicio del camino? Explica.
c. ¿A qué distancia del inicio del camino se sembrará el árbol número 10?, ¿cómo lo supiste?
• Secuencia numérica
• Patrón de formación
• Término de una secuencia
• Predicción de términos
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con un compañero o una compañera. Revisen en qué actividades respondieron
algo distinto. ¿Cuáles son las diferencias?
• Explícale por qué respondiste así y escucha atentamente su explicación.
Reflexiono
86
4
Lección

Patrón de formación y secuencias
En años anteriores describiste una regla que permitía formar una secuencia y pudiste calcular o predecir
algunos de sus términos. Ahora, ampliarás lo que estudiaste y podrás relacionar secuencias con algunas
situaciones de tu entorno.
Aprendo
Objetivo: Hallar un patrón para completar una secuencia.
• Si se sigue un patrón, ¿cuál es el número que continúa en la secuencia?
231 590 331 590 431 590 531 590
Para obtener el número que continúa en la secuencia, una posibilidad es sumar 100 000 al número anterior.
231 590 331 590 431 590 531 590

+ 100 000 + 100 000 + 100 000
331 590 = 231 590 + 100 000
431 590 = 331 590 + 100 000
531 590 = 431 590 + 100 000
531 590 + 100 000 = 631 590
El número que continúa la secuencia es 631 590.
Objetivo: Identificar y desarrollar una secuencia numérica.
• Observa la secuencia numérica: 1, 3, 9, 27, …
El primer término es 1.
El segundo término es 3 = 1 · 3.
El tercer término es 9 = 3 · 3.
El cuarto término es 27 = 9 · 3.
El quinto término será 27 · 3 = 81.
El sexto término será 81 · 3 = 243
En esta secuencia, un patrón es multiplicar cada término por 3 para obtener el término siguiente.
• Observa esta otra secuencia numérica: 1, 3, 6, 10, 15, ...
El primer término es 1.
El segundo término es 3 = 1 + 2.
El tercer término es 6 = (1 + 2) + 3.
El cuarto término es 10 = (1 + 2 + 3) + 4.
El quinto término es 15 = (1 + 2 + 3 + 4) + 5.
El sexto término será 21 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6.
El séptimo término será 28 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 7.
Para obtener el octavo término, una posibilidad
es sumarle 8 al séptimo término y para obtener el
duodécimo término, puedes sumarle 12 al undécimo término.
Una secuencia numérica puede tener más de
un patrón. Por ejemplo, en la secuencia 3, 6, 9,
12, el siguiente término no es necesariamente
el número 15, ya que el patrón de formación
puede ser: “+ 3 en los primeros cuatro términos”
y luego “+ 5 en los siguientes términos”. Por lo
tanto, la secuencia podría ser la siguiente:
3, 6, 9, 12, 5, 10, 15, 20, …
Atención
87
1
Unidad
Lección 4 · Patrones y secuencias
1
Unidad

Practico
1 Identifica un patrón para cada secuencia. Luego, aplícalo y completa.
a. 1 345 024 3 345 024 5 345 024 …
3 345 024 es más que 1 345 024
5 345 024 es más que 3 345 024
más que 5 345 024 es .
El número que continúa la secuencia
es .
b. 820 346 810 346 800 346 …
810 346 es menos que 820 346
800 346 es menos que 810 346
menos que 800 346 es .
El número que continúa la secuencia
es .
Aprendo
Objetivo: Identificar la relación entre dos grupos de números.
• Observa la tabla.
Edad de Juan (años) 11 12 13 14 15
Edad de Marta (años) 8 9 10 11 12
En la tabla se muestra que Marta es 3 años menor que Juan. Para obtener la
edad de Marta, resta 3 a la edad de Juan.
• Observa la tabla.
Medida del lado de un cuadrado (cm) 1 2 3 4 5
Perímetro del cuadrado (cm) 4 8 12 16 20
En la tabla se muestra que el perímetro de un cuadrado es 4 veces la medida de uno de sus lados.
Para obtener el perímetro, se multiplica la medida del lado del cuadrado por 4.
Practico
2 Usa las tablas de la sección Aprendo para responder las preguntas.
a. ¿Cuántos años tendrá Marta cuando Juan cumpla 23 años?
b. ¿Cuántos años tendrá Juan cuando Marta cumpla 27 años?
c. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 17 cm?
d. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un cuadrado cuyo perímetro es 52 cm?
Cuando identificas una
regularidad en una
situación cotidiana y la
puedes representar por una
secuencia estás desarrollando
la habilidad de modelar.
Habilidad
88
Lección 4 • Patrones y secuencias

3 Identifica un patrón para cada secuencia.
a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, … b. 100, 95, 90, 94, 98, 102, 106, …
4 Escribe los siguientes 3 términos que continúan en cada secuencia siguiendo un patrón.
a. 18, 27, 36, 45, … b. 20, 60, 180, 540, … c. 512, 256, 128, 64, …
5 Escribe los 5 primeros términos de cada secuencia considerando la información dada.
a. El primer término es 45 y el patrón de formación es multiplicar por 10.
b. El primer término es 729 y el patrón de formación es dividir por 3.
6 Analiza cada información y luego responde.
a. En la secuencia 34, 47, 60, 73, …, ¿cuál podría ser el décimo término? ¿Cómo lo calculaste?
b. Si el quinto término de una secuencia es 33 y el patrón es sumar 5, ¿cuál es la suma entre
el segundo y el noveno término?
Junto con un compañero o una compañera dibujen las siguientes dos figuras. En cada una se aumenta
en 1 la cantidad de filas y de columnas.

Columna

Fila
Figura 1 Figura 2
¿Cuáles son los primeros 5 términos de esta secuencia?
Un automóvil viaja a rapidez constante. Tú y tu compañero o compañera deben elegir cada uno una
rapidez diferente para el automóvil. Luego, copien y completen la siguiente tabla.
Tiempo (horas) 1 2 3 4 5
Distancia recorrida (km)
Basándote en la tabla, haz dos preguntas a tu compañero o compañera.
Manos a la obra
• ¿Pudiste identificar patrones y valores desconocidos en tablas?, ¿cómo lo sabes?
• Explícale a un compañero la estrategia que aplicaste para identificar un patrón.
• ¿Te esforzaste al realizar las actividades? ¿Por qué crees que es importante demostrar dedicación para
lograr comprender ciertos contenidos?
Reflexiono
RDC 3
89
Lección 4 · Patrones y secuencias
1
Unidad

¿Cómo voy?
1 Analiza la siguiente secuencia de figuras y luego responde.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a. Identifica un patrón de formación entre las figuras. (1 punto)
b. Completa la tabla. (1 punto cada una)
Figura 4 5 6 7 8 9 10 11
Cantidad de fósforos
2 Analiza la siguiente secuencia numérica y luego responde. (1 punto por la respuesta y 3 puntos
por la justificación)
5, 9, 13, 17, …
Nicolás afirma que el término en la posición 15 de la secuencia es 65, y justifica su respuesta con los
siguientes cálculos:
5 + 15 • 4 = 65 Adición entre el primer término y 15 veces el patrón de formación.
¿Es correcto el procedimiento que hizo Nicolás? Justifica.
3 Un recorrido de transporte público define la frecuencia de sus buses cada 15 minutos.
a. ¿Cuántos minutos transcurren entre el primer y el quinto bus? (2 puntos)
b. Si la frecuencia cambia a 20 minutos, ¿cuántos minutos transcurren entre el primer y el décimo bus?
(2 puntos)
Ítems Conocimientos Habilidades Nivel de desempeño
1 y 2
Identificación de una regla o patrón
que explica una sucesión dada y que
permite hacer predicciones.
Modelar, argumentar y
comunicar, representar.
10 a 11 puntos.
o menos.
3
Resolución de problemas utilizando
una regla o patrón de una sucesión.
Resolver problemas,
modelar.
• ¿Qué dificultades tuviste en el desarrollo de esta lección? ¿Qué estrategias utilizaste?
Reflexiono
90

Para finalizar
1 Escribe los principales conceptos o ideas que trabajaste en cada lección.
a. En una hoja, haz un esquema con los conceptos que escribiste.
b. Piensa en cómo se relacionan estos conceptos y coméntalo con un compañero o compañera.
2 Completa el cuadro con las dudas o dificultades que aún tienes en cada lección. Consúltalas con tu
profesor o profesora, o con algún compañero o compañera, y explícalo con tus palabras.
Lección Dificultades Explicación
Grandes números
y problemas
• Vuelve a la página 10 y revisa los aprendizajes para esta unidad. ¿Crees que los lograste? Explica qué facilitó
o dificultó su logro.
• De las metas que te propusiste, ¿cuáles cumpliste y cuáles te faltaron? ¿Por qué?
• ¿Fuiste evaluando tus estrategias en el transcurso de la unidad? ¿Tuviste que cambiar alguna de las
estrategias propuestas o agregar otra? ¿Esto facilitó el logro de tus metas? Explica por qué.
• ¿Qué es lo que más te costó comprender o aprender?, ¿cuál crees que fue el motivo?
• ¿Qué fue fácil de aprender para ti?, ¿cuál crees que fue el motivo?
91
1
Unidad

1 Escribe con cifras y con palabras los números de los titulares de los diarios. (1 punto cada uno)
a.
500 millones
de pérdidas por
baja del cobre
b.
Más de
114 millones
de televidentes
vibraron con la
final del torneo
c.
La distancia de
la Tierra al
Sol es de
150 millones
de kilómetros
2 Historia, Geografía y Ciencias Sociales La medida aproximada de la superficie de Chile, en
kilómetros cuadrados, tiene más de siete centenas de mil, cinco decenas de mil y seis unidades
de mil. (1 punto cada una)
a. Escribe la medida aproximada de la superficie de Chile con cifras y con palabras.
b. Si le agregas 2 centenas de mil, ¿qué número resulta?
3 Analiza las siguientes situaciones y luego responde. (2 puntos cada una)
a. Ignacio afirma que el número 555 555 está formado solo con el dígito 5, entonces, el valor posicional
también es siempre el mismo y el mayor de todos. ¿Está en lo correcto?, ¿por qué?
b. Ana asegura que 2 000 000 se expresa igual en notación expandida y en notación estándar.
¿Qué piensas de lo que asegura Ana? ¿Existe algún número que se exprese igual en notación
expandida que en notación estándar?
4 Une cada letra con el número que representa en la recta numérica. (1 punto cada una)
18 300 000 14 998 875 22 500 000 8 100 000
1 100 000 4 859 875
D
F E A
B C
0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000
Fuente: Biblioteca nacional de Chile.
En: http://www.memoriachilena.cl/602/w3-article-94271.html (Consultado en julio 2016)

5 Un estudio concluyó que en Chile cada habitante consume aproximadamente 803 000 L de agua;
en Argentina, 1 404 000 L y en China, 703 000 L. (1 punto cada una)
a. ¿En qué país se consumen más litros de agua por habitante?
b. Ordena en forma creciente estas cantidades.
6 Ciencias Naturales La etiqueta de un paquete de papas fritas
contiene la siguiente información nutricional. (1 punto cada una)
a. Estima a la decena de mil cuántos carbohidratos más que
grasas contiene.
b. Estima a la decena de mil cuántas proteínas y grasas
contienen aproximadamente.
7 Resuelve las siguientes multiplicaciones. Escribe las estrategias de cálculo mental utilizadas.
(1 punto cada una)
a. 35 • 20 b. 36 • 10 • 9 c. 48 • 15 d. 80 • 25 • 5
8 En un cuadrado mágico multiplicativo, el producto de los números que forman sus filas ( ),
sus columnas ( ) y sus diagonales principales ( ) es el mismo. Completa los siguientes cuadrados
mágicos multiplicativos. (4 puntos cada uno)
a.
18 3
6
12
b.
50
1 10
20 2
c.
7
1 14 196
2
9 Completa la tabla con la información que falta. (1 punto cada una)
Dividendo Divisor Cociente Resto
530 3
983 7
2 216 1
a. Un grupo de 135 jóvenes quiere hacer 8 equipos para una competencia de alianzas. Si cada equipo
tiene la misma cantidad de integrantes, ¿cuántos jóvenes faltarán para completar la alianza con
menos integrantes?
b. Dos cajas de televisores tienen una masa de 18 kg cada una. Si en un camión se cargan 18 cajas,
¿cuánta carga lleva el camión aproximadamente?
c. Para recaudar fondos para mi curso, debo vender una rifa con 20 números. Si somos 35 estudiantes,
¿cuántos números de rifa se venderán en total?
Información nutricional
Por cada 1 000 000 mg
Carbohidratos 448 000 mg
Proteínas 54 000 mg
Grasas 256 000 mg
Sodio 806 mg
93
1
Unidad

11 Busca el camino para llegar al resultado final pasando solo una vez por cada recuadro de la
ruta escogida. Se puede pasar de un recuadro al otro solo si el resultado del segundo casillero es
exactamente una unidad más que el primero. Puedes moverte hacia arriba, hacia abajo, hacia los
lados o diagonalmente sobre la ruta indicada. (7 puntos)
76 : 4 – 19
9 • 4 – 72 : 3
Final
Comienzo
9 + 1 • 5 8 : 8 + 1 46 – 9 • 5
8 : 4 + 66 : 33 57 – 9 – 45 33 : 3 – 2
24 : 3 – 18 : 6 2 • 22 – 38 19 – 144 : 12
37 – 5 • 7 27 : 9 + 6 36 : 6 + 2
144 : 12 – 1 4 • 3 – 2 • 1 3 + 5 • 2 + 1
12 Claudia ocupa el computador todos los días durante 2 horas, y el televisor, 4 horas en la tarde.
Si el consumo de un computador es 150 Watts por hora y el de un televisor, 50 Watts por hora,
¿cuál es el consumo total, de ambos artefactos, en un día? (2 puntos)
13 Observa la siguiente secuencia de figuras.
Figura 3
Figura 2
Figura 1
a. Completa la tabla que relaciona cada figura con la cantidad de ladrillos correspondiente.
(1 punto cada una)
Figura 1 2 3 4 5 6
Cantidad de ladrillos
b. Identifica un patrón de formación para la secuencia obtenida. Explica cómo lo encontraste. (1 punto
por la respuesta y 1 punto por la explicación)
14 Escribe los 5 primeros términos de la secuencia que se pide en cada caso. (1 punto cada una)
a. Comienza con el número 65 y el patrón es restar 15.
b. Comienza con el número 240 y hasta el tercer término el patrón es sumar 5. Luego, a partir del cuarto
término el patrón es restar 10.
15 En un plan telefónico se cobra $ 158 por el primer minuto utilizado, luego $ 20 por cada segundo.
Escribe la secuencia que representa el consumo, entre 60 segundos y 75 segundos. (2 puntos)

1, 2,
3, 4, 5
y 6
Representación de números menores que
1 000 000 000, identificación del valor posicional
de los dígitos de un número natural, comparación
y orden de números naturales, aproximación de
números naturales y estimación de sumas y restas.
Representar, argumentar
y comunicar, resolver
problemas. Logrado:
44 puntos o más.
Medianamente
logrado: 37 a
43 puntos.
Por lograr:
36 puntos
o menos.
7, 8, 9
y 10
Estrategias de cálculo mental, multiplicación entre
números naturales de dos cifras y división con
dividendos de tres cifras y divisor de una cifra.
Argumentar y
comunicar, representar,
resolver problemas.
11 y
12
Resolución de operaciones combinadas, aplicación
de la prioridad de las operaciones y resolución de
problemas que involucran las 4 operaciones.
Modelar, resolver
problemas.
13, 14
y 15
Identificación de la regla o patrón que explica una
sucesión dada y permite hacer predicciones.
Modelar, representar,
argumentar y comunicar.
• ¿Por qué crees que corregir tus errores te ayuda a lograr tus aprendizajes?
• ¿Por qué estas actitudes te ayudan a tener un buen desempeño?
Reflexiono
A partir de tu trabajo y de los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad, elabora una síntesis de tus
aprendizajes. Para ello, completa los recuadros. Guíate por el ejemplo.
Lo que sabía Lo que aprendí
Grandes
números
Multiplicación
y división
Patrones
y secuencias
Estrategias
de cálculo y
problemas
Lo que me produjo
mayor dificultad
Lo que más me gustó
Representar
números naturales
de hasta 5 cifras.
Representar números
naturales hasta
1 000 000 000.
• ¿Crees que cumpliste la meta que te propusiste al inicio de la unidad?, ¿por qué? ¿Qué contenidos
necesitas reforzar?
95
1
Unidad

Unidad
2
Unidad
2 Propósito de la unidad
En esta unidad, las y los estudiantes trabajarán
con los contenidos de los ejes temáticos de
Geometría y Medición. El hilo conductor de
esta sección son las unidades de medida de
longitud, las figuras 2D y 3D. Los conceptos de
congruencia, área y perímetro y el plano carte-
siano. Comenzarán su trabajo realizando medi-
ciones de diferentes objetos y transformando
unidades de medida de longitud. Continuarán
reconociendo elementos de figuras 2D y 3D
que sean paralelos o perpendiculares. Además,
utilizarán la traslación, rotación y reflexión
para comprender el concepto de congruencia.
Luego, construirán diferentes rectángulos a
partir de su área o perímetro. También esti-
marán y calcularán áreas de diferentes figuras,
utilizando diversas estrategias. Finalmente,
identificarán y ubicarán puntos en el primer
cuadrante del plano cartesiano.
Énfasis de los OAT
y actitudes
Durante el desarrollo de la unidad es importan-
te promover que sus estudiantes escuchen las
opiniones de los demás y las valoren como un
aporte al aprendizaje, que busquen diferentes
estrategias que les permitan lograr un buen
desempeño, destacar sus fortalezas y remitirse
en positivo a sus debilidades, de modo de ayu-
dar en su autoestima respecto de la asignatura.
Es importante acercar los contenidos con ejem-
plos cotidianos y de la realidad cercana a sus
estudiantes, de modo de potenciar en ellas y
ellos el interés y la curiosidad por el aprendizaje
de la Matemática, así como también permitir que
busquen otras maneras de resolver un problema
determinado.
la unidad
La medición de objetos se inicia utilizando
unidades estandarizadas conocidas por las y
los estudiantes, que trabajaron en cursos ante-
riores y de objetos cercanos, determinando las
unidades que consideran más adecuadas para
realizar diferentes mediciones, para luego incluir
la medición exacta de objetos y distancias con
unidades de longitud tales como el milímetro,
centímetro, metro y kilómetro. Se continúa con
la transformación de unidades, de modo que las
y los estudiantes observen la relación que existe
entre las diferentes unidades de medida y sus
respectivas equivalencias.
En años anteriores han trabajado con figuras
2D y 3D, reconociendo sus características y los
elementos que las forman, así como también
identificando ángulos, en especial los de 90º.
En esta unidad observarán lados de figuras 2D
y aristas y caras en figuras 3D que se interse-
can, encontrando algunas con una caracterís-
tica particular, que es que forman ángulos de
90º para trabajar el concepto de perpendicula-
ridad. También reconocen caras, aristas y lados
que no se intersecan y a través de mediciones
podrán determinar que mantienen siempre la
misma distancia, incluyendo de este modo el
concepto de líneas rectas paralelas.
En 3º básico las y los estudiantes reconocen en
el entorno figuras que están rotadas, reflejadas
o trasladadas y en 4º básico realizan estas
transformaciones. Ahora incorporan el con-
cepto de congruencia al observar que este tipo
de transformaciones isométricas trasladan, ro-
tan o reflejan una figura manteniendo su forma
y su tamaño.
Como ya han calculado el perímetro de algu-
nas figuras y han trabajado el área como un
conteo de unidades cuadradas. En esta unidad,
amplían estos conceptos, estimando áreas de
figuras que no cubren en forma exacta todas
las unidades cuadradas y deducirán, a partir de
áreas conocidas y transformaciones isométri-
cas, cómo se calcula el área de paralelogramos,
trapecios y triángulos con una expresión mate-
mática. Relacionarán estos cálculos para poder
calcular el área de figuras compuestas simples.
Para finalizar, ubicarán y reconocerán puntos
en el primer cuadrante del plano cartesiano. En
años anteriores han trabajado con la cuadrícula;
este año se introducen los conceptos de ejes,
pares ordenados, coordenadas, primer cua-
drante y otros términos que se habían trabajado
intuitivamente.
Durante el desarrollo de la unidad se da im-
portancia a la resolución de problemas y se les
plantean desafíos a las y los estudiantes para
que vayan aplicando los conceptos trabajados.
70

2
Unidad
Lecciones /
Tiempo estimado
Lección 1: Unidades
de medida de
longitud
8 horas
pedagógicas
Medir longitudes con unidades
estandarizadas (m, cm, mm) en
el contexto de la resolución de
problemas.
Realizar transformaciones entre
unidades de medidas de longitud:
km a m, m a cm, cm a mm y
viceversa, de manera manual y/o
usando software educativo.
Seleccionan objetos del entorno cuya medida se pueda expresar en
metros, otros que se puedan expresar en centímetros y otros que se
puedan expresar en milímetros.
Realizan mediciones para resolver problemas en contextos cotidianos.
Explican cómo se transforman kilómetros a metros, metros a
centímetros y centímetros a milímetros.
Resuelven problemas que involucran transformaciones de kilómetros a
metros, metros a centímetros y centímetros a milímetros.
Lección 2:
Figuras 2D y 3D
10 horas
pedagógicas
Describir y dar ejemplos de
aristas y caras de figuras 3D,
y lados de figuras 2D:
• que son paralelos
• que son perpendiculares.
Identifican aristas y caras paralelas, perpendiculares e intersecciones
entre ellas en figuras 3D del entorno.
Identifican aristas paralelas, perpendiculares e intersecciones entre
ellas en figuras 2D del entorno.
Muestran líneas paralelas, perpendiculares, además de intersecciones
entre ellas, en figuras 2D del entorno.
Identifican aristas y caras que son paralelas, perpendiculares e
intersecciones entre ellas, en figuras 2D y 3D.
Dibujan figuras 2D o figuras 3D que tienen aristas y caras que son
paralelas o perpendiculares.
Describen las caras y aristas de figuras 3D, y lados de figuras 2D,
usando términos como paralelas, perpendiculares, intersecciones.
Lección 3:
Congruencia
6 horas
pedagógicas
Demostrar que comprenden
el concepto de congruencia,
usando la traslación, la reflexión
y la rotación en cuadrículas.
Demuestran, por medio de ejemplos, que una figura trasladada, rotada
o reflejada no experimenta transformaciones en las medidas de sus
ángulos, ni en la de sus lados.
Explican el concepto de congruencia por medio de ejemplos.
Identifican en el entorno figuras 2D que no son congruentes.
Dibujanfigurascongruentesyjustificanlacongruenciaensudibujo.
Lección 4:
Área y perímetro
14 horas
pedagógicas
Diseñar y construir diferentes
rectángulos, dados el perímetro
o el área o ambos, y sacar
conclusiones.
Calcular áreas de triángulos,
de paralelogramos y de trapecios,
y estimar áreas de figuras
irregulares aplicando
las estrategias:
• comparación con el área
de un rectángulo
• completando figuras
por traslación.
Dibujan dos o más rectángulos de igual perímetro y/o área.
Dibujan rectángulos cuya área se conoce.
Comprueban que, entre los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado
es el que tiene mayor área.
Forman figuras en el plano, trasladando figuras.
Forman figuras del plano a partir de reflexiones.
Transforman figuras del plano en otras de igual área, aplicando
transformaciones isométricas.
Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos rectángulos a
partir del área de un rectángulo.
Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos acutángulos,
usando áreas de triángulos rectángulos.
Calculan áreas de triángulos acutángulos, aplicando
estrategias elaboradas.
71

Lecciones /
Tiempo estimado
Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos obtusángulos a
partir de paralelogramos.
Explican la estrategia usada en la resolución de un problema relativo
a cálculos de áreas de rectángulos.
Evalúan la solución de problemas relativos a áreas en función del
Estiman áreas pedidas en un problema y cotejan esta estimación con
la solución obtenida.
Lección 5:
Plano cartesiano
6 horas
pedagógicas
Identificar y dibujar puntos
en el primer cuadrante del
plano cartesiano, dadas sus
coordenadas en números
naturales.
Identifican coordenadas de puntos del primer cuadrante del
plano cartesiano.
Identifican los puntos extremos de trazos dibujados en el primer
Identifican coordenadas de vértices de triángulos y cuadriláteros
dibujados en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Dibujan triángulos y cuadriláteros en el primer cuadrante del plano
cartesiano, conociendo las coordenadas de sus vértices.
Habilidades Representar
• Extraer información del entorno y representarla matemáticamente en diagramas, tablas y gráficos.
• Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática.
• Comprender y evaluar estrategias de resolución de problemas de otros.
• Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos.
• Documentar el procedimiento para resolver problemas, registrándolo en forma estructurada
y comprensible.
• Formular respuestas frente a suposiciones matemáticas o reglas.
Resolver problemas
• Reconocer e identificar los datos esenciales de un problema matemático.
• Resolver problemas aplicando una variedad de estrategias, como la estrategia de los 4 pasos: entender,
planificar, hacer y comprobar.
¿Cuánto recuerdo? 99 y 100 Texto del estudiante Inicial: Geometría y medición
Repaso 101 Texto del estudiante Inicial: Unidades de medida de longitud
¿Cómo voy? 113 Texto del estudiante De proceso: Unidades de medida de longitud
Repaso 114 Texto del estudiante Inicial: Figuras 2D y 3D
¿Cómo voy? 126 Texto del estudiante De proceso: Figuras 2D y 3D
72

Repaso 127 Texto del estudiante Inicial: Congruencia
¿Cómo voy? 133 Texto del estudiante De proceso: Congruencia
Repaso 134 Texto del estudiante Inicial: Área y perímetro
¿Cómo voy? 157 Texto del estudiante De proceso: Área y perímetro
Repaso 158 Texto del estudiante Inicial: Plano cartesiano
¿Cómo voy? 164 Texto del estudiante De proceso: Plano cartesiano
¿Qué aprendí? 166 a 169 Texto del estudiante Final: Geometría y medición
Actividades complementarias 106 a 108 Guía didáctica del docente De proceso
Evaluación Unidad 2 109 a 111 Guía didáctica del docente Evaluación final de la unidad (fotocopiable)
103 Texto del estudiante Estimar y luego medir la distancia a la que cae una pelota de papel.
105 Texto del estudiante Medir la estatura de las y los estudiantes del curso.
117 Texto del estudiante Encontrar líneas rectas perpendiculares en objetos del entorno.
121 Texto del estudiante Encontrar líneas rectas paralelas en objetos del entorno.
124 Texto del estudiante Identificar caras paralelas y perpendiculares, y bordes paralelos y perpendiculares,
en objetos 3D.
132 Texto del estudiante Utilizar el geoplano para construir figuras congruentes.
138 Texto del estudiante Utilizar el geoplano para construir rectángulos y luego calcular su área.
138 Texto del estudiante Construir rectángulos de distintas áreas y perímetros dadas las medidas de sus lados.
140 Texto del estudiante Estimar el área de la palma de la mano.
145 Texto del estudiante Investigar la relación entre el área y el perímetro de un rectángulo.
147 Texto del estudiante Comprobar que la expresión para calcular el área de un triángulo es aplicable a todo
tipo de triángulos.
154 Texto del estudiante Construir figuras compuestas utilizando rectángulos de papel y posteriormente
calcular su área y su perímetro.
156 Texto del estudiante Estudiar la relación entre el área y el perímetro de un rectángulo.
163 Texto del estudiante Dibujar figuras 2D en el primer cuadrante del plano cartesiano.
85 Guía didáctica del docente Dibujar líneas rectas paralelas.
90 Guía didáctica del docente Identificar figuras congruentes.
Prerrequisitos
Trayectoria y posiciones de objetos, concepto de área como cantidad de cuadrados, trabajo con transformaciones
isométricas, descripción de triángulos y cuadriláteros, medición de longitudes (centímetros y metros).
73
2
Unidad

Inicio de unidad
Páginas 96 a 98
Estas páginas presentan una imagen como una sala de
clases, de modo que sea algo reconocible para las y los es-
tudiantes y que con solo observar a su alrededor puedan
encontrar situaciones similares a las ilustradas. Lo común
de la imagen permite que reconozcan la Geometría como
algo más cercano de lo que muchas veces imaginan.
Pida que observen la imagen y la comenten. Haga preguntas
como las siguientes: ¿Creen que las niñas y niños de la imagen
están en una clase? ¿Por qué? ¿En cuál clase podrían estar?
Lea en voz alta las conversaciones de las niñas y niños y
reformule las preguntas que aparecen para ver si las y los
estudiantes tienen respuestas a las interrogantes.
En la sección Punto de partida se espera que las y los
estudiantes respondan respecto de la información y la
imagen presentada.
Solicite un voluntario o una voluntaria para que lea la tabla
con lo que estudiarán en esta unidad. Después pregunte a
las y los estudiantes qué saben sobre cada tema.
A partir de lo anterior, solicíteles que registren sus moti-
vaciones en la sección Mis motivaciones respecto de los
aprendizajes a ser desarrollados.
En la página 98 se retoma una parte de la imagen inicial,
y se les proporciona información adicional que, en este
caso, se integra con el conocimiento que adquirieron en
la unidad anterior sobre los grandes números y con lo
que aprendieron en niveles anteriores. A partir de esta
información se proponen preguntas que permiten a las
y los estudiantes reconocer y registrar sus aprendizajes
previos, lo cual los hace ser conscientes de lo que saben.
utilizaron en niveles anteriores para aprender los conteni-
dos que son prerrequisitos y a partir de ellos puedan fijar
metas personales, anticipar dificultades y establecer estra-
tegias tendientes al logro de dichas metas. Permítales que
conversen sobre esto y recuérdeles que en el transcurso
de la unidad pueden evaluar sus estrategias y agregar o
cambiar algunas si lo consideran necesario.
¿Cuánto recuerdo?
Evaluación inicial
Páginas 99 y 100
El objetivo de esta evaluación es realizar un diagnóstico
de lo que saben o recuerdan de contenidos que serán
necesarios en el trabajo de esta unidad. Le será de mu-
cha utilidad observar cómo se desenvuelven frente a las
actividades propuestas, ya que esto le puede proporcio-
nar el punto de partida en cada una de las lecciones, de
modo de introducir cada una de ellas con los recordatorios
más pertinentes.
ción son:
1, 2 y 3
Medición de longitudes en metros
y centímetros, y transformación
entre estas unidades.
Argumentar
y comunicar,
representar.
4, 5 y 6
Figuras 2D, eje de simetría, figuras
simétricas y composición de figuras.
Representar,
argumentar y
comunicar.
7
Perímetro de figuras y área de un
cuadrado y de un rectángulo.
Modelar,
representar.
8 Localización de un objeto.
Representar,
argumentar y
comunicar.
su desempeño.
En ocasiones, la Geometría presenta una gran dificultad
porque sus estudiantes no tienen un buen desarrollo de
la imaginación espacial, por lo que es importante que
antes de comenzar haga la mayor cantidad de actividades
que le sea posible con material concreto. El poder visua-
lizar, tocar, medir directamente, realizar movimientos es
siempre más efectivo que solo observar dibujos e imaginar
diversas situaciones. El trabajo con material concreto tam-
bién les abrirá otras visiones a aquellos estudiantes con
más habilidades.
74
Unidad
2

2
Unidad
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Medición de
longitudes
(págs. 102 a 104)
2 horas
pedagógicas
Medir longitudes
con unidades
estandarizadas
(m, cm, mm) en
el contexto de
la resolución de
problemas.
• Seleccionan objetos
del entorno cuya
medida se pueda
expresar en metros,
otros que se puedan
expresar en centíme-
tros y otros que se
puedan expresar en
milímetros.
• Realizan mediciones
para resolver pro-
blemas en contextos
cotidianos.
Usar metros y
centímetros para
medir longitudes.
Realizan mediciones
para resolver
problemas en
contextos cotidianos.
Seleccionan objetos
del entorno cuya
medida se pueda
expresar en metros,
otros que se
puedan expresar
en centímetros o
milímetros.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Usar centímetros y
milímetros para medir
longitudes.
Usar kilómetros para
medir longitudes.
Transformación
entre unidades
de medida de
longitud
(págs. 105 a 108)
3 horas
pedagógicas
Realizar
transformaciones
entre unidades
de medidas de
longitud: km a
m, m a cm, cm a
mm y viceversa,
de manera
manual y/o
usando software
educativo.
• Explican la utilidad
que tiene la transfor-
mación de kilómetros
a metros, de metros a
centímetros y de cen-
tímetros a milímetros.
• Explican cómo se
transforman kilóme-
tros a metros, metros
a centímetros y centí-
metros a milímetros.
Transformar metros
y centímetros en
centímetros, y
viceversa.
Explican cómo se
transforman metros
y centímetros
en centímetros y
viceversa.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Transformar
centímetros y
milímetros en
milímetros, y
viceversa.
Explican cómo
se transforman
centímetrosy
milímetros en
milímetros, y
viceversa.
Transformar
kilómetros y metros
en metros, y
viceversa.
Explican cómo
se transforman
kilómetros y metros
en metros, y
viceversa.
Problemas de
medición
(págs. 109 a 112)
3 horas
pedagógicas
Realizar
transformaciones
entre unidades
de medida de
longitud: km a
m, m a cm, cm a
mm y viceversa,
de manera
manual y/o
usando software
educativo.
• Resuelven proble-
mas que involucran
transformaciones de
kilómetros a metros,
metros a centímetros
y centímetros
a milímetros.
Usar la adición o
la sustracción para
resolver problemas de
medición.
Resuelven
situaciones problema
de medición
utilizando distintas
operaciones.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Representar.
Usar la multiplicación
o la división para
resolver problemas de
medición.
Usar dos operaciones
pararesolverproblemas
de medición.
75
Se espera que, en esta lección, las y los estudiantes conozcan otras unidades estandarizadas de longitud, que realicen
mediciones y estimaciones con las unidades que ya conocían e incorporen estas que recién conocen. Además, se
espera que trabajen la transformación de unidades de longitud en el contexto de la resolución de problemas.
Unidades de medida de longitud (páginas 101 a 113) 2
Unidad
Lección
1

76
OAT
y criterios.
el conocimiento.
Recursos
Huincha de medir, regla, pelota de papel y tiza.
Conceptos clave
Unidades de medida, longitud, metro (m), centímetro (cm),
milímetro (mm), kilómetro (km).
Repaso
Página 101
previos o como una herramienta de diagnóstico para eva-
luar el nivel de las y los estudiantes antes de que desarro-
llen esta lección.
En el ítem 1 se evalúa la capacidad de leer un instrumento
de medición de longitud y en el ítem 2 se evalúa la capa-
cidad de seleccionar la unidad de longitud más adecuada
según el contexto. En el ítem 3 se evalúa la capacidad de
identificar objetos a partir de la estimación de su medida
de longitud.
Pida que luego trabajen la sección Conceptos clave. Esto
le permitirá conocer los preconceptos que tienen sus es-
tudiantes sobre lo que se trabajará en la lección.
destaque la importancia de escuchar en forma respetuosa
las respuestas de sus compañeros y compañeras.
Páginas 102 a 104
los estudiantes usen metros y centímetros como unida-
des de medida de longitud, y estimen y midan longitudes.
El sistema métrico decimal
Nuestro sistema métrico y el de todo el mundo, a ex-
cepción de los países anglosajones que se encuentran
en proceso de cambio, es el sistema métrico decimal,
en el cual las conversiones se realizan de 10 en 10 en
las magnitudes lineales, y según potencias de 10 en
las otras magnitudes.
Era lógico que fuese ese el sistema escogido, pues
nuestro sistema de numeración es de base 10, lo que
facilita enormemente los cálculos que haya que realizar.
La relación entre las magnitudes, su unidad y su sím-
bolo se presentan en la tabla siguiente:
Magnitud Unidad Símbolo
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de corriente
eléctrica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Temperatura termodinámica
metro
kilogramo
segundo
amperio
mol
candela
Kelvin
m
kg
s
A
mol
cd
K
Didácticamenteesaconsejablequeelestudianteconstru-
ya los múltiplos y submúltiplos solo hasta lo razonable,
de forma que se pongan de manifiesto las relaciones
entre ellos y no aparezcan a posteriori de forma ficticia.
Trabajar para dar escrituras correctas e interpretarlas
parece aconsejable, así como fabricar instrumentos
graduados de medida. Si un niño utiliza una cinta gra-
duada uno, dos o tres anchos de su dedo índice, déjelo
reflexionar sobre la dificultad de graduar medidas in-
termedias, pues este sistema de anchos de dedos será
tan dificultoso como el sistema métrico decimal.
Adaptado de: Chamorro, Carmen; Belmonte, Juan.
El problema de la medida.
Didáctica de las magnitudes lineales. (1994).
Madrid: Editorial Síntesis.
Aprendo: Usar metros y centímetros para medir
longitudes. (Página 102)
Muestre a sus estudiantes una cinta métrica. Extiéndala
hasta la marca de los 100 cm. Explíqueles que 100 cm
es igual a 1 m. Luego, pida que cuenten las marcas de
0 a 10 cm y pregunte, ¿qué significa cada marca? (Cada
marca es 1 cm).

2
Unidad
77
Buenas prácticas
Puede tener estudiantes que no estén familiarizados con
los sistemas de medición. Introduzca la lección con una
práctica de medidas de longitud. Proporcione reglas divi-
didas en centímetros (y metros o cintas métricas si están
disponibles). Muéstreles cómo ubicar correctamente la
regla o la cinta métrica con el objeto que se va a medir.
Haga que cada estudiante mida la longitud del mismo
objeto, por ejemplo, el largo de su Texto de Matemática
y luego comparen los resultados.
Las actividades de esta sección buscan que sus estu-
diantes puedan medir diferentes objetos. Preocúpese de
disponer de cintas métricas y en caso que no sea posible
aproveche que los y las estudiantes encuentren una so-
lución utilizando reglas.
Aprendo: Usar centímetros y milímetros para medir
longitudes. (Página 103)
En esta sección sus estudiantes reconocerán una unidad
de medición menor que el centímetro, que sirve para me-
dir objetos más pequeños. Explique que 10 mm forman
un centímetro. Pregunte a las y los estudiantes cuántos
milímetros habrá en 1 m, ya que saben que 100 cm son
equivalentes a 1 m.
En la actividad 4 sus estudiantes deben expresar en centí-
metros y milímetros la medición de los objetos ilustrados.
Guíelos para que observen que las líneas que marcan
los centímetros son de mayor longitud que las de los
milímetros. Eso les ayudará a una mejor lectura de las
mediciones que realicen con la regla.
En la actividad 5 asegúrese que utilicen la regla de manera
correcta al realizar sus mediciones y que expresen sus
resultados en centímetros y milímetros.
Errores frecuentes
Algunos estudiantes no entienden cómo usar la re-
gla de manera correcta para realizar mediciones y es
habitual que comiencen a medir desde el uno en vez
de hacerlo desde el cero. Para subsanar este error,
insista desde el principio que al medir deben ubicar el
cero donde necesiten comenzar la medición.
Manos a la obra Estimar y medir distancias.
(Página 103)
Esta actividad ayuda a sus estudiantes a consolidar sus
habilidades para calcular y medir en metros y centímetros.
Forme parejas y entrégueles una cinta métrica, una pelota
de papel (esta la pueden hacer ellos mismos con papel
reciclado) y dos hojas a cada grupo para registrar sus
estimaciones y mediciones.
Asegúrese de que cada estudiante tenga al menos dos o
tres oportunidades de leer, anotar y hacer comparaciones y
que escriban sus cálculos y medidas en la hoja de registro.
Anímelos a comparar las distancias obtenidas entre los
integrantes de su grupo y con los otros grupos.
Diversión con la Matemática a través
de la naturaleza
A pesar de que se requiere mucha planificación, las y
los estudiantes disfrutan las actividades cuando están
vinculadas con la naturaleza. Por ejemplo, cuando se
les pide que midan distancias entre las grandes ramas
y las pequeñas ramas de los árboles, hacen la tarea
con mucho entusiasmo, a pesar de que sea primera
vez que lo hagan.
Muchos estudiantes enfrentan dificultades cuando se
les pide medir objetos tridimensionales como frutas.
No están seguros de dónde deben comenzar y termi-
nar sus mediciones, y no confían en sus propios resul-
tados, que son aproximados; sin embargo, manejan
los objetos cada vez con mayor seguridad y pueden
medir de manera más adecuada.
Sobre todo, disfrutan el hacer actividades que se alejan
de la norma. También reconocen el esfuerzo adicional
de conseguir los materiales, las fichas de trabajo, entre
otras que implica para la o el docente.
Traducido y adaptado de: Phyllis, J. (2003). Fun with
Mathematics through Nature. A Handbook for Teachers
in Secondary School. Marshall Cavendish Education -
Teachers’ Network. Singapur.
Aprendo: Usar kilómetros para medir longitudes.
(Página 104)
Señale que se pueden usar kilómetros para medir dis-
tancias más largas. Muestre a sus estudiantes la longitud
de un metro en una cinta métrica. Pídales que imaginen
1 000 m de extremo a extremo en línea recta, y explíque-
les que esa longitud es igual a 1 km. Señale que la notación
para kilómetro es km.
Solicite que expresen otros ejemplos de objetos o distancias
que crean que miden alrededor de 1 km.
Observe junto a ellos la imagen del Texto y pregúnteles:
¿Cuál es la longitud del camino entre la casa de Pamela y el co-
legio? (5 km). ¿Cuál es la longitud del camino entre su casa y el
zoológico? (8 km). ¿Qué está más lejos de su casa, el colegio o
el zoológico? (El zoológico).

78
Buenas prácticas
A las y los estudiantes les puede resultar difícil imaginar
la dimensión de un kilómetro. Proporcione una referencia
local como la distancia entre el colegio y un lugar conoci-
do o el largo de 10 canchas de fútbol. Si es posible, puede
perdiles que caminen un kilómetro, también puede suge-
rir que esta actividad la lleven a cabo con su profesor o
profesora de Educación Física.
Las actividades de esta sección apuntan a reforzar que sus
estudiantes puedan dimensionar cada uno de los submúlti-
plos y múltiplos del metro estudiados y los relacionen con la
medición de elementos comunes y conocidos.
Cuaderno
que comparen sus explicaciones respecto de las activi-
dades que más les gustaron.
Transformación entre
unidades de medida
de longitud
Páginas 105 a 108
los estudiantes realicen conversiones entre unidades de
medida de longitud.
Aprendo: Transformar metros y centímetros
en centímetros, y viceversa. (Página 105)
Para la transformación, utilice los pasos propuestos y en-
fatice que 1 m = 100 cm. Señale cómo se usa la nomen-
clatura para dividir una medida con el objetivo de que
transformen medidas compuestas expresadas en metros
y centímetros en centímetros, y viceversa.
Manos a la obra Medir la estatura de las
y los estudiantes del curso. (Página 105)
Esta actividad permite que sus estudiantes realicen me-
diciones, reforzando así la transformación de medidas
con la medición de sus estaturas.
Tome en cuenta que al realizar esta actividad puede
tener estudiantes cuya estatura sea un tema relevante
para ellos, ya sea porque son muy bajos o muy altos en
relación al resto. No los obligue a medirse y asígneles la
tarea de registrar los datos.
Las actividades de esta sección apuntan a la práctica de
la transformación de metros y centímetros. Vuelva a re-
cordar que 1 m es equivalente a 100 cm. Anímelos a leer
la cápsula Atención para convertir centímetros a metros
y viceversa.
Aprendo: Transformar centímetros y milímetros en
milímetros, y viceversa. (Página 106)
Explique que un centímetro es equivalente a 10 milímetros,
por lo que la medición dada en centímetros se puede mul-
tiplicar por 10 para obtener la equivalencia en milímetros.
Para convertir medidas expresadas en milímetros a cen-
tímetros y milímetros, se puede dividir por 10. El cociente
de la división corresponde a la cantidad de centímetros y
el resto a los milímetros.
En las actividades de la 5 a la 7 sus estudiantes ejercitan
las transformaciones a milímetros y a centímetros y milí-
metros. Para esto deben recordar que 1 cm es equivalente
a 10 mm y que pueden dividir o multiplicar por 10, según
corresponda. Apoye su explicación con el esquema pre-
sentado en la cápsula Atención.
Aprendo: Transformar kilómetros y metros en metros,
y viceversa. (Página 107)
Use la imagen del Texto para introducir el término “distan-
cia” como medida de longitud entre lugares. Después expli-
que los pasos de conversión. Enfatice que 1 km = 1 000 m.
Pida que trabajen en parejas o en grupos. Propóngales
que dibujen un mapa sencillo que muestre la ruta desde
sus casas al colegio. Haga que estimen estas distancias
en kilómetros y metros. Si sus estudiantes no están se-
guros, oriéntelos con una idea referencial, un lugar, que
conozcan y que esté aproximadamente a 1 km del cole-
gio. Pida que describan la forma en que estimaron la dis-
tancia. Invite a voluntarios y voluntarias a que presenten
sus mapas.
En las actividades de la 9 a la 12, guíelos para que trans-
formen kilómetros y metros en metros y viceversa, si-
guiendo la estrategia que acaban de estudiar.
En la actividad 13, pídales que lean la cápsula Atención
para que observen cuándo pueden multiplicar o dividir
por 1 000.
En las actividades 14 y 15, sus estudiantes comprenden
el uso de kilómetros y metros para medir distancias y las
expresan de diferentes formas.

2
Unidad
79
Invítelos a visitar la página propuesta en la cápsula Uso
de software. De este modo podrán realizar transforma-
ciones entre unidades de medida de longitud utilizando
un software geométrico.
Cuaderno
Finalmente,déeltiemponecesarioparaquerespondanlapre-
gunta de metacognición planteada en la sección Reflexiono.
Permítales que compartan sus respuestas y ejemplos.
Errores frecuentes
Las y los estudiantes pueden confundir la relación
metro-kilómetro con la relación metro-centímetro.
Para subsanar este error ayúdelos a relacionar el pre-
fijo “centi” con 100 y el prefijo “kilo” con 1 000.
Problemas de medición
Páginas 109 a 112
estudiantes resuelvan problemas de medición representán-
dolos con un diagrama o un modelo de barras, junto con la
elección correcta de la operación matemática involucrada.
Aprendo: Usar la adición o la sustracción para resolver
problemas de medición. (Página 109)
Lea el problema en voz alta a sus estudiantes. Reformule
el problema para verbalizar el proceso de razonamiento
hasta llegar a la solución. Explique que José comienza usan-
do una cuerda que mide 75 cm de largo, después usa otra
de 255 cm. ¿Cuál es la longitud total de las dos cuerdas?
Mientras reformula el problema, señale el modelo que se
está usando para representar la situación.
Explique que los dos trozos de cuerda son parte de un
todo y el todo es la longitud total de las dos cuerdas.
Recuérdeles que siempre deben releer el problema y
comprobar sus respuestas.
Señale que la suma de 330 cm no es la respuesta, ya que
es necesario transformarla en metros y centímetros. Pídales
que utilicen la cápsula Atención para escribir su respuesta.
Sus estudiantes interpretarán los modelos por compara-
ción para entender el concepto de la sustracción. Lea el
problema en voz alta. Pida que expliquen su razonamien-
to para comprender el problema. Pregunte, ¿qué tan lejos
está el pueblo A del B? (420 km). ¿Qué tan lejos está el
pueblo A del C? (450 km).
Muestre cómo solucionar el problema razonando en voz
alta. Verbalice sus pensamientos y así sus estudiantes po-
drán seguir su explicación. Indique que hay 420 km del pue-
blo A al pueblo B, que del pueblo A al C hay 450 km y que
es necesario encontrar la diferencia entre estas distancias.
Muestre cómo solucionar el problema razonando en voz
alta. Pregunte: ¿Cómo encontramos la diferencia? (Restando
las dos distancias).
Expliquequesolosenecesitarestar420de450.Muestrelos
pasos para realizar la resta usando el modelo vertical. Pídales
que utilicen la cápsula Atención para escribir su respuesta.
Es importante destacar que, si se requiere sumar o restar
medidas de longitud, estas deben estar expresadas en la
misma unidad, por lo que se necesita transformar una de
ellas antes de realizar la suma o resta.
En las actividades 1 y 2 se proponen problemas que permi-
ten aplicar la estrategia vista anteriormente, en la cual
se requiere sumar o restar medidas de longitud y luego
expresar el resultado en la unidad solicitada. Anime a
sus estudiantes a leer qué es lo que se pregunta antes
de responder.
Invítelos a leer la cápsula Habilidad para que puedan
identificar la habilidad disciplinar que desarrollarán en
estas actividades.
Aprendo: Usar la multiplicación o la división para
resolver problemas de medición. (Página 110)
Existen otras situaciones problema que requieren de la
multiplicación o división para su resolución.
Lea en voz alta los problemas, pregunte a sus estudiantes
qué se debe averiguar.
Use los dibujos de las barras del Texto, los puede replicar
en la pizarra para que sus estudiantes puedan determinar
qué deben hacer en cada caso.
El objetivo de las actividades 3 y 4 es reforzar la resolu-
ción utilizando la multiplicación o división. Además, en
algunas deben transformar las unidades de medida para
responder, por lo que se recomienda recordar las equiva-
lencias entre ellas.
Los problemas planteados en las actividades 5 y 6 requie-
ren sumar las medidas para calcular los perímetros solici-
tados. Anime a sus estudiantes a dibujar las situaciones
planteadas cuando hay distintos datos a considerar.
Invítelos a leer la cápsula Habilidad para que puedan identi-
ficar la habilidad disciplinar que desarrollarán al realizar las
actividades.

80
Aprendo: Usar dos operaciones para resolver problemas
de medición. (Página 112)
Guíe a sus estudiantes para que verbalicen su proceso de
razonamiento con el fin de que comprendan el problema.
Diga, Roberto corta una cuerda en 5 trozos. Cada pieza
mide 28 cm. Después de cortar la cuerda le sobra una
pieza de 9 cm.
En este problema hay dos partes. Primero, se debe ave-
riguar la longitud total de las cinco piezas de la cuerda.
Segundo, se debe averiguar el largo de la cuerda antes de
que Roberto la cortara.
Para solucionar la primera parte, dibuje un modelo de ba-
rra de multiplicación. La barra muestra 5 grupos y cada
grupo es de 28 cm. Diga, para averiguar la longitud total
de las 5 piezas, se puede sumar 28 más 28 más 28 más
28 más 28. Pregunte: ¿Cuál es la manera más rápida de
resolver esta operación? (Multiplicar 5 por 28). Muestre
los pasos para multiplicar utilizando la forma vertical.
Para solucionar la segunda parte, dibuje un modelo. La
primera parte muestra cuánto se usa y la segunda parte
muestra cuánto sobra. Pregunte: ¿Cómo pueden encon-
trar la longitud de la cuerda que Roberto tenía al principio?
(Sumar 140 más 9). Resuelva la adición y convierta la
respuesta a metros y centímetros.
Esta práctica proporciona refuerzo para resolver proble-
mas cotidianos de medidas, que requieren de más de una
operación para su resolución. Insista en la necesidad de
leer bien cada situación y de comprender qué es lo que se
pregunta. Anime a sus estudiantes a dibujar un modelo
de barra para resolver los problemas.
Cuaderno
Buenas prácticas
Pida a sus estudiantes que corten tiras de cartulina de
muchos tamaños diferentes. Se pueden construir mode-
los de barras con ellas y colocarlos en piezas de papel.
Luego, etiquetan el papel con la información necesaria
para resolver los problemas.
Errores frecuentes
Algunos estudiantes pueden tener dificultades para
determinar la operación a utilizar en los problemas
cotidianos. Guíelos para que estudien el lenguaje y
la estructura de estos problemas, así los ayudará a
elegir la operación. Además, al resolver problemas
cotidianos de dos pasos, pídales que tomen nota de
la respuesta que obtienen en el primer paso. Sugiera
que plieguen una hoja de papel por la mitad y etique-
ten las columnas de los pasos 1 y 2. Sugiérales que
anoten sus soluciones en la columna correspondiente
al resolver el problema.
Actividad sugerida
Los siguientes problemas le permitirán evaluar el grado de
comprensión de sus estudiantes respecto de la transforma-
ción entre unidades de medida de longitud y además los
pasos y estrategias que utilizan para resolver problemas.
1. En un mapa, 1 cm representa 30 000 cm en la
realidad. Si el largo de un camino en el mapa mide
5 cm, ¿cómo expresarías, en metros, su largo real?
2. 35 bloques de construcción iguales se apilan uno
encima del otro para formar una torre. El alto de
cada bloque es 23 mm. ¿Cómo expresarías, en
centímetros y milímetros, la altura de la torre?
3. Anita corrió 8 vueltas alrededor de la pista de
entrenamiento. En cada vuelta corrió 400 m.
¿Cuántos kilómetros y metros corrió Anita?
Respuestas: 1. 1 500 m 2. 80 cm y 5 mm 3. 3 km y 200 m
¿Cómo voy?
Página 113
habilidades desarrolladas en la Lección 1: Unidades de
medida de longitud.
En el ítem 1 se evalúa la comprensión de las unidades
de medida de longitud y en el ítem 2 se evalúa la trans-
formación de unidades de medida de longitud. Mientras
que en el ítem 3 se evalúa la resolución de problemas.
Luego, invite a las y los estudiantes a verificar sus res-
puestas en el solucionario y utilice la tabla para ayudarlos
a revisar su desempeño.

Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de
las secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Líneas rectas
que se
intersecan
y que son
perpendiculares
(págs. 115 a 117)
3 horas
pedagógicas
Describir y dar
ejemplos de
aristas y caras de
figuras 3D, y lados
de figuras 2D:
• que son
paralelos
• que son
perpendiculares.
• Identificar líneas rectas
que se intersecan y que son
perpendiculares.
• Identificar líneas rectas que
son paralelas.
Identificar líneas
rectas que
se intersecan
y que son
perpendiculares.
Identifican rectas
perpendiculares
reconociendo
y midiendo
ángulos rectos.
Utilizan
instrumentos para
medir ángulos
rectos.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Líneas rectas
paralelas
(págs. 118 a 121)
3 horas
pedagógicas
Identificar líneas
rectas paralelas.
Trazan rectas
paralelas.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Caras y aristas
paralelas o
perpendiculares
(págs. 122
a 124)
2 horas
pedagógicas
• Identifican aristas y caras
paralelas, perpendiculares e
intersecciones entre ellas en
figuras 3D del entorno.
• Dibujan figuras 3D que tienen
aristas y caras que son para-
lelas o perpendiculares.
• Describen las caras y aristas de
figuras 3D, usando términos
como paralelas, perpendicula-
res, intersecciones.
Identificar caras y
aristas paralelas y
que se intersecan
en objetos del
entorno.
Identificar caras y
aristas paralelas o
que se intersecan
y son perpendicu-
lares en un parale-
lepípedo recto.
Reconocen
aristas y vértices
en objetos del
entorno.
Reconocen
caras y aristas
paralelas.
Miden ángulos
en caras y
aristas.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Lados
paralelos o
perpendiculares
(pág. 125)
2 horas
pedagógicas
• Identifican lados paralelos,
perpendiculares e intersec-
ciones entre ellos en figuras
2D del entorno.
• Muestran líneas paralelas,
perpendiculares, además de
intersecciones entre ellas, en
figuras 2D del entorno.
• Dibujan figuras 2D que tienen
lados que son paralelos o
perpendiculares.
• Describen lados de figuras
2D, usando términos como
paralelos, perpendiculares,
intersecciones.
Identificar
lados paralelos,
perpendiculares y
que se intersecan
en figuras 2D.
Representan
figuras 2D, en las
que reconocen
lados paralelos,
que se intersecan
y que son
perpendiculares.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
81
Figuras 2D y 3D (páginas 114 a 126)
Lección
2 2
Unidad
Se espera que, en esta lección, las y los estudiantes retomen el concepto de líneas rectas que vieron en niveles anteriores y
determinen cómo se relacionan dos líneas rectas en un mismo plano, caracterizándolas como paralelas o perpendiculares.

82
OAT
y experiencias de manera coherente y fundamenta-
da, haciendo uso de diversas y variadas formas de
expresión.
y criterios.
el conocimiento.
y comunitario.
• reconocer la importancia del trabajo -manual e inte-
lectual- como forma de desarrollo personal, familiar,
social y de contribución al bien común, valorando la
dignidad esencial de todo trabajo y el valor eminente
de la persona que lo realiza.
Recursos
Escuadra, transportador, hoja de papel de forma rectan-
gular, cajas y destacadores.
Conceptos
Ángulo recto, líneas rectas perpendiculares, líneas rectas
paralelas, caras, aristas.
Repaso
Página 114
Puede utilizar esta sección para activar los conocimien-
tos previos o como una herramienta de diagnóstico para
evaluar el nivel de sus estudiantes antes de que desarro-
llen esta lección. Si lo considera pertinente, repase con
ellos el concepto de ángulo recto. Puede pedirles que
observen a su alrededor y que identifiquen dónde hay
ángulos rectos en el entorno.
Enlosítems1y3seevalúalacapacidaddeidentificarángulos
rectos y ángulos mayores o menores que un ángulo recto.
En el ítem 2 se evalúa la capacidad de identificar los la-
dos y los ángulos interiores en una figura 2D.
le permitirá conocer los preconceptos que tienen sobre
lo que se trabajará en la lección.
destaque la importancia de escuchar en forma respetuo-
sa las respuestas de sus compañeros y compañeras.
Líneas rectas que se
intersecan y que son
perpendiculares
Páginas 115 a 117
los estudiantes definan e identifiquen líneas rectas que
se intersecan y que son perpendiculares y que reconozcan
estas últimas en su entorno.
Aprendo: Identificar líneas rectas que se intersecan
y que son perpendiculares. (Páginas 115 y 116)
Haga que comprueben si un ángulo es recto utilizando
una escuadra, un transportador o la esquina de un papel
de forma cuadrada o rectangular.
Destaque que las líneas rectas perpendiculares se inter-
secan formando ángulos rectos.
Guíelos a identificar el ángulo recto y las rectas perpendi-
culares. Utilice el ejemplo de la página 115 cuando no son
rectas perpendiculares.
Luego pida a sus estudiantes que usen la escuadra, el
transportador o el papel para comprobar si el ángulo for-
mado por las rectas L 1
y L2
es recto. Explique que como
al intersecarse L 1
con L2
forman un ángulo recto, la recta
L 1
es perpendicular a la recta L2
.
Pregunte: ¿Es la recta L3
perpendicular a la recta L4
? (No).
¿Por qué? (Las rectas se intersecan, pero no forman ángu-
los rectos, por lo tanto, no son perpendiculares). Pídales
que comprueben con la escuadra esta conclusión. Lea la
cápsula Atención para familiarizar a sus estudiantes con la
simbología matemática relacionada con este contenido.
Luego, incentive en sus estudiantes la curiosidad e inte-
rés por estos nuevos aprendizajes. Para ello, pídales que
lean la cápsula Actitud y que evalúen su actuar frente al
desarrollo de este nuevo contenido.
Practico (Páginas 116 y117)
Las actividades de la 1 a la 6 sirven para reforzar la identi-
ficación de ángulos rectos y verificar de distintas formas
si diferentes pares de líneas rectas son perpendiculares.
Algunos estudiantes pueden presentar dificultades en el
uso de la escuadra o del transportador. Puede aprove-
char estas actividades para explicar el correcto uso de
ambos instrumentos geométricos.

2
Unidad
83
Lea la cápsula Actitud e invítelos a ser respetuosos con
sus compañeros y compañeras al momento de comparar
sus respuestas.
Cuaderno
que comparen sus estrategias.
Manos a la obra Encontrar líneas rectas
perpendiculares en objetos del entorno. (Página 117)
Esta actividad proporciona oportunidades para identifi-
car líneas rectas perpendiculares en objetos del entorno.
Pídales que trabajen en grupos de 4 integrantes. Anímelos
a utilizar la herramienta que tenga a mano y les sea útil
para comprobar si dos líneas rectas son perpendiculares.
Finalmente, pídales que tomen nota de sus hallazgos en
una hoja de registro e invítelos a que los compartan.
Errores frecuentes
Sus estudiantes pueden presentar dificultades para
determinar si las líneas rectas diagonales en las cua-
drículas forman ángulos rectos. Sugiera que no solo
se basen en lo visual, sino que usen la escuadra, el
transportador o la esquina de un papel para verificar
que los ángulos son rectos.
Líneas rectas paralelas
Páginas 118 a 121
los estudiantes definan e identifiquen líneas rectas para-
lelas y que las reconozcan en su entorno.
Aprendo: Identificar líneas rectas paralelas.
(Páginas 118 a 120)
Destaque que las líneas rectas paralelas son dos líneas que
no se intersecan. La distancia entre ellas es siempre la mis-
ma.ExplíquelesquelasrectasL
1
yL2
sonunparderectaspa-
ralelas, ya que nunca se intersecan. Pídales que observen los
dos pares de rectas dibujadas en las cuadrículas de la página
118. Dígales que tienen diferente orientación; sin embargo,
ambos pares de rectas son paralelas. Invite a sus estudian-
tes a comprobar que la distancia entre ellas es siempre la
misma. Recuérdeles que deben ubicar la regla en forma per-
pendicular a las rectas dibujadas para medir las distancias.
Antes de comenzar el trabajo en la página 119, guíelos
para que dibujen líneas paralelas en un papel cuadricula-
do (preferentemente de 5 mm para que puedan trabajar
con centímetros).
Pídales que observen la página 119, y respecto del primer
par de rectas dibujado pregunte: ¿Cuántos cuadrados hay
entre las rectas L 1
y L2
? (2 cuadrados).
Comente lo siguiente: Como las rectas L 1
y L2
están siem-
pre a 2 unidades de distancia, nunca se intersecarán. Por
lo tanto, las rectas L 1
y L2
son paralelas.
Respecto del segundo par de rectas L 1
y L2
de la página
119, pídales que observen las imágenes y lean la informa-
ción dada. Luego, guíelos para que dibujen líneas vertica-
les paralelas sobre papel cuadriculado.
Señale que hay dos maneras de saber si dos rectas son
paralelas. Una forma de hacerlo es medir la distancia entre
ellas. La otra es prolongarlas (o imaginarse la prolongación
de ambas) y ver si la distancia entre ellas cambia o si coin-
ciden en algún punto.
A partir de las rectas L3
y L4
, pregunte qué observan res-
pecto de la distancia entre ellas (que no es la misma) y
qué sucede al extender ambas rectas (se intersecan). Lea
la cápsula Atención para familiarizarlos con la simbología
matemática relacionada con este contenido.
Invite a las y los estudiantes a leer la cápsula Habilidad
para que puedan identificar la habilidad disciplinar que
están desarrollando.
La actividad 1 requiere que identifiquen rectas paralelas.
Anímelos a verificar utilizando alguna de las estrategias
estudiadas.
En la actividad 2 se espera que sus estudiantes identifi-
quen lados paralelos en figuras 2D.
La actividad 3 requiere que sus estudiantes identifiquen
líneas rectas paralelas en los dibujos de objetos de su en-
torno. Dé el tiempo para que compartan sus resultados e
indiquen cómo pueden asegurar que las líneas rectas son
paralelas.
Cuaderno
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas y que
comparen sus estrategias.

84
Errores frecuentes
Sus estudiantes pueden determinar incorrectamente
que las rectas en el ejercicio 1b de la página 120 son
paralelas, ya que no se cruzan en la representación de la
página. Sugiera que utilicen tiras de papel o reglas para
prolongarlas más allá de las líneas de la cuadrícula y
poder observar que estas en algún punto se intersecan.
Manos a la obra Encontrar líneas rectas paralelas
en objetos del entorno. (Página 121)
Pídales que trabajen en grupos de 4 integrantes y que lean
atentamente los pasos propuestos.
Anímelos a identificar líneas rectas paralelas y a que verifi-
quen que lo son y expliquen cómo hicieron esta verificación.
Pídales que registren sus resultados en una hoja e inví-
telos a que los compartan con otros grupos.
Buenas prácticas
Para hacer la actividad más atractiva, divida la clase en
cuatro grupos diferentes. Organícelos para que cada gru-
po observe un área diferente del colegio.
Pida autorización para utilizar lugares como la oficina, la
enfermería, la sala de profesores o la oficina del director
o directora.
Los problemas propuestos en esta sección son no rutina-
rios. Por lo tanto, es posible que sus estudiantes presen-
ten dificultades en su resolución. Para evitar esto, lea la
cápsula Actitud e invite a sus estudiantes a confiar en sus
capacidades.
Estas actividades de resolución de problemas requieren
que identifiquen líneas rectas perpendiculares y parale-
las en un diagrama, y como destrezas del razonamiento
desarrollan la visualización espacial, la identificación de
patrones y relaciones.
Se sugiere que trabajen en parejas. Como estrategias de
resolución de problemas pueden utilizar el hallar patrones
o hacer una representación.
Al terminar, invítelos a que compartan sus respuestas.
Caras y aristas paralelas
o perpendiculares
Páginas 122 a 124
estudiantes apliquen lo estudiado en la lección para descri-
bir, identificar y dar ejemplos de aristas y caras paralelas,
perpendiculares e intersecciones entre ellas en figuras 3D
del entorno y dibujar figuras 3D que tienen aristas y caras
que son paralelas o perpendiculares.
Observaciones sobre lenguaje y símbolos
Uno de los procesos paradigmáticos del conocimien-
to geométrico es el de la visualización. El proceso de
visualización lo podemos entender como el de dar
“forma” mental o física a ciertos conceptos y procesos
matemáticos no necesariamente figurados.
En Geometría la formación de conceptos y la cons-
trucción de sistemas conceptuales tienen su funda-
mento en la observación de objetos y situaciones reales
y no puede completarse sin el uso de símbolos para
designarlos y transmitirlos.
Los objetos reales pueden ser edificios, obras de arte,
paisajes, seres, caminos, automóviles, etc., cualquier
forma o movimiento observable en nuestro entorno
puede considerarse un objeto real “geometrizable”.
Los conceptos (recta, paralelismo,…), que en defi-
nitiva tienen una categoría mental, precisan para su
asimilación, manipulación y transmisión el uso de
sonidos, imágenes, etiquetas lingüísticas, es decir,
símbolos con los cuales referenciar o expresar la idea
fundamental. En Geometría, juegan un papel esencial
los símbolos visuales al estar estos estrechamente re-
lacionados con los objetos y conceptos que designan.
Fuente: Alsina, Claudi. Burgués, Carme. Fortuny, Josep.
Invitación a la Didáctica de la geometría. (1997). España,
Editorial Síntesis.
Aprendo: Identificar caras y aristas paralelas y que se
intersecan en objetos del entorno. (Página 122)
Observe con sus estudiantes la imagen que aparece en
el Texto. Si puede, lleve una caja a la sala de clases y
márquela con las mismas letras de la imagen. Recuerde
los nombres de los elementos de una figura 3D (aristas,
caras y vértices). Pídales que nombren las caras que se
intersecan, es decir, que tienen una arista en común.
Luego, que mencionen otras que no se intersecan. Señale
que hay aristas que también se intersecan, es decir, que
tienen un vértice en común.
Buenas prácticas
Para trabajar el tema de paralelismo, intersección y per-
pendicularidad, puede solicitarles que lleven cajas de
cartón para que sea más atractiva la actividad y les sea
más sencillo visualizar las distintas relaciones. Solicite
que las cajas sean de un tamaño mediano, para evitar
grandes diferencias de tamaño.

2
Unidad
85
Las actividades de esta sección les permiten sus estu-
diantes reforzar lo visto en la sección Aprendo. Pueden
guiarse por la imagen o si tiene una o más cajas les ser-
virán a aquellos estudiantes que requieren de material
concreto para lograr la comprensión de los conceptos.
Aprendo: Identificar caras y aristas paralelas o que se
intersecan y son perpendiculares en un paralelepípedo
recto. (Página 123)
Observe con sus estudiantes la imagen del Texto. Si llevó
una caja a clases puede pedirles que, por turnos, midan la
distancia entre las caras opuestas y anoten las medidas
en la pizarra. Señale que siempre es la misma distancia y
que las caras son paralelas.
Con una escuadra mida los ángulos que forman las aris-
tas que se intersecan. Repita la medición con varias aris-
tas, para señalar que aquellas que se intersecan forman
un ángulo recto y son perpendiculares.
Las actividades 4 y 5 sirven para reforzar la identificación
de caras paralelas y aristas y caras perpendiculares en
un paralelepípedo.
Luego de realizar estas actividades, solicíteles que inter-
cambien verbalmente con un compañero o una compa-
ñera las respuestas obtenidas y, si no coinciden en alguna,
que logren determinar cuál es la respuesta correcta.
Cuaderno
que comparen sus estrategias.
Manos a la obra Identificar caras paralelas y
perpendiculares y bordes paralelos y perpendiculares
en objetos 3D. (Página 124)
Solicite que trabajen en parejas. Pídales que lean paso a
paso la actividad.
Sugiérales marcar en una caja lo indicado en los pasos 1 y
3 y en otra lo que se pide en los pasos 2 y 4.
Lados paralelos
o perpendiculares
Página 125
los estudiantes apliquen lo visto en la lección para descri-
bir, identificar y dar ejemplos de lados paralelos, perpendi-
culares e intersecciones entre ellos en figuras 2D del entor-
no, dibujar figuras 2D que tienen lados que son paralelos o
perpendiculares y describir los lados de figuras 2D, usando
términos como paralelos, perpendiculares, intersecciones.
Aprendo: Identificar lados paralelos, perpendiculares y
que se intersecan en figuras 2D. (Página 125)
Observe con sus estudiantes las figuras que aparecen di-
bujadas por la niña y el niño.
Recuérdeles el concepto de perpendicularidad. Señale que
cuando 2 o más líneas rectas se intersecan formando
ángulos rectos, son perpendiculares. Pregúnteles: ¿Qué
tipo de triángulo tendrá siempre un ángulo recto? (Triángulo
rectángulo) ¿Qué cuadriláteros tendrán siempre ángulos
rectos? (Cuadrado, rectángulo o el trapecio rectángulo).
Pídales que mencionen cuadriláteros que tengan lados
paralelos (todos los paralelogramos: rombo, romboide,
cuadrado, rectángulo y los trapecios).
Actividad sugerida
La siguiente actividad, resuelta paso a paso, permitirá a
sus estudiantes conocer otra estrategia para dibujar lí-
neas rectas paralelas, lo que facilitará el desarrollo de la
actividad 1 de la sección Practico.
Paso 1 Dibuja con una regla una línea recta. Escribe en
sus extremos los puntos P y Q.
Paso 2 Apoya la escuadra sobre PQ y luego ubica una
regla en la base de la escuadra, como se observa
en las imágenes.
P P
Q
Q
O
Paso 3 Desliza la escuadra a lo largo de la regla, sin que esta
se mueva. Traza una línea recta usando el borde
de la escuadra. Escribe en sus extremos M y N,
como se muestra en las imágenes.

86
P
P Q
Q
N
N
M
M
O
Luego, PQ y MN son paralelos.
Las actividades de esta sección permiten reforzar la
construcción de cuadriláteros que cumplen con la ca-
racterística de tener al menos un par de lados paralelos
en el caso del trapecio y ambos pares de lados paralelos
en el cuadrado. Este último tiene además cuatro ángulos
rectos, por lo que sus 4 lados son perpendiculares. En el
caso del trapecio dependerá del tipo que dibuje. Solo si
dibuja un trapecio rectángulo tendrá lados perpendicula-
res. Puede sugerir que lo realicen en el cuaderno, donde
les será más fácil la construcción.
Cuaderno
Reflexiono. Permítales que compartan sus respuestas
y ayuden a sus compañeros y compañeras a aclarar
sus dudas.
¿Cómo voy?
Página 126
habilidades desarrolladas en la Lección 2: Figuras 2D y 3D.
En el ítem 1 se evalúa la comprensión de los conceptos
de paralelismo y perpendicularidad. Mientras que en el
ítem 2 se evalúa la identificación de lados paralelos y
lados perpendiculares en figuras 2D. Finalmente, en el
ítem 3 se evalúa la aplicación correcta de los conceptos de
caras y aristas perpendiculares y paralelas en la resolución
de un problema.
Luego, invítelos a verificar sus respuestas en el soluciona-
rio y utilice la tabla para ayudarlos a revisar su desempeño.
Notas

87
Congruencia (páginas 127 a 133) 2
Unidad
Lección
3
Lección
3
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Figuras
congruentes
(págs. 128
a 132)
6 horas
pedagógicas
Demostrar que
comprenden
el concepto de
congruencia, usando
la traslación, la
reflexión y la rotación
en cuadrículas y
mediante software
geométrico.
• Demuestran, por medio
de ejemplos, que una figura
trasladada, rotada o reflejada
no experimenta transforma-
ciones en las medidas
de sus ángulos.
• Demuestran, por medio de
ejemplos, que una figura
trasladada, rotada o refleja-
da no experimenta transfor-
maciones en las medidas de
sus lados.
• Explican el concepto de
congruencia por medio
de ejemplos.
• Identifican en el entorno
figuras 2D que no
son congruentes.
• Dibujan figuras congruentes
y justifican la congruencia
en su dibujo.
Trasladar, reflejar
y rotar figuras
planas.
Calcan y recortan
figuras para
comprobar y
realizan distintas
transformaciones
isométricas.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Identificar
pares de figuras
congruentes.
Se espera que, en esta lección, las y los estudiantes profundicen el trabajo con transformaciones isométricas.
El foco de la lección está puesto en la comprensión del concepto de congruencia a partir de la aplicación de transfor-
maciones isométricas.
Notas

88
OAT
el conocimiento.
• practicar la iniciativa personal, la creatividad
y el espíritu emprendedor en los ámbitos personal,
escolar y comunitario.
Recursos
Papel para calcar o papel blanco, tijeras, papel cuadricu-
lado, regla, geoplano y elásticos.
Conceptos clave
Traslación, reflexión, rotación, eje de simetría o reflexión,
centro de rotación, congruencia.
Repaso
Página 127
previos o como una herramienta de diagnóstico para
evaluar el nivel de sus estudiantes antes de que desarro-
llen esta lección.
En los ítem 1 y 2 se evalúa si pueden utilizar la visualiza-
ción espacial para combinar y descomponer figuras planas
para formar otras. Mientras que en el ítem 3 se evalúa
la capacidad para resolver problemas que involucran la
descomposición de figuras.
Pídales que luego trabajen la sección Conceptos clave.
Esto le permitirá conocer los preconceptos que tienen
sus estudiantes sobre lo que se trabajará en la lección.
tuosa las respuestas de sus compañeros y compañeras.
A algunos estudiantes les cuesta imaginar la composición
o descomposición de figuras, por lo que se recomienda
que construyan un modelo de las figuras utilizadas en los
ejercicios 1 y 2, con la utilización de material concreto.
Luego, pídales que dibujen lo obtenido marcando el con-
torno de cada figura.
Figuras congruentes
Páginas 128 a 132
Estas páginas tienen como objetivos centrales que las
y los estudiantes trasladen, reflejen y roten figuras para
obtener figuras congruentes y puedan identificar cuándo
dos figuras planas son congruentes.
Aprendo: Trasladar, reflejar y rotar figuras planas.
(Páginas 128 y 129)
Comente que las figuras pueden moverse de diferentes
maneras.
Respecto de la imagen del perro en la página 128 del
Texto, explíqueles que se trasladó de izquierda a derecha.
Coménteles que trasladar una figura es moverla en línea
recta en cualquier dirección.
Luego, observe con sus estudiantes la imagen de la letra
D y explíqueles que se reflejó respecto de un eje. Explique
que reflejar una figura es invertirla respecto de un eje (esto
por ejemplo no se visualiza en la reflexión vertical).
Pídales observar la imagen de las ovejas y señale que la
imagen se rotó. Digales que rotar una figura es girarla
respecto de un punto, que en este caso es el punto O.
Pregúnteles: ¿Cambia la forma de la figura? (No). ¿Cambia
el tamaño de la figura? (No).
Ayude a sus estudiantes a concluir que al trasladar, rotar
o reflejar una figura solo cambia la posición de esta, ya
que mantiene su forma y su tamaño y que cuando esto
sucede se dice que las figuras son congruentes.
Pídales que expliquen con sus palabras el concepto de
congruencia. Guíelos a concluir que dos figuras que tie-
nen la misma forma y el mismo tamaño son congruentes.
Buenas prácticas
Muchas de las actividades propuestas en esta lección re-
quieren que sus estudiantes dibujen las figuras del Texto.
Si tiene papel mantequilla o papel diamante disponible,
anímelos a trazar sus figuras lo más próximas unas de
otras para aprovechar al máximo el papel. Si no, puede
usar hojas blancas. El papel debiera ser lo suficientemen-
te transparente para que puedan visualizar los contornos
de las figuras.

89
2
Unidad
Reflexión
La reflexión es el movimiento rígido del plano que se
produce fijando una recta L del plano y hallando para
cada punto P otro punto P’, de tal manera que la recta
L es mediatriz de PP’ . Esto quiere decir que L es per-
pendicular a PP’ y que pasa por su punto medio.
Se puede observar que una simetría invierte la orien-
tación de las figuras: los puntos que están a la derecha
del eje de simetría pasan a estar a la izquierda después
de la transformación, y los que están a la izquierda
pasan a la derecha.
L
P P'
Fuente: Godino, Juan. Ruiz, Francisco. (2002). Didáctica de
la Geometría para Maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_
Geometria.pdf
(Consultado en 15 de junio de 2016).
En cada uno de los casos presentados en la actividad 1,
guíe a las y los estudiantes para que calquen una de las
dos figuras. Posteriormente, pídales que decidan qué par
de figuras son congruentes y representan una traslación,
una reflexión y una rotación, respectivamente.
Las actividades 2 y 3 refuerzan la comprensión de las
transformaciones isométricas que se aplican a una figura
plana. Además, se espera que concluyan que al aplicar una
traslación o rotación, la figura imagen que se obtiene tiene
la misma forma y el mismo tamaño que la figura original.
Aprendo: Identificar pares de figuras congruentes.
(Página 130)
Vuelva a destacar que dos figuras son congruentes si tienen
la misma forma y el mismo tamaño.
Pídales que observen las tablas de figuras congruentes y
que determinen lo que tienen en común, guiándolos res-
pecto a sus formas y tamaños.
Pregunte: ¿Cómo puedo comprobar que dos figuras son con-
gruentes? Invítelos a calcar una de las figuras y que la pongan
sobre la otra para que puedan realizar la comprobación.
Coménteles qué sucede si dos figuras de igual tamaño
y forma se encuentran en distintas posiciones, ¿son con-
gruentes? Escuche los comentarios de sus estudiantes.
Refiérase ahora a la segunda tabla que se encuentra al final
de la página y señale el primer par de figuras. Pregunte:
¿Son congruentes estas figuras? (No, porque no son del mis-
mo tamaño). Repita lo anterior con los otros dos pares
de figuras.
Errores frecuentes
Puede que algunos estudiantes identifiquen la figura C de
los ejercicios a. y b. de la página 130 como una reflexión.
Señale que la línea entre las dos figuras es un eje
de simetría.
En cadaactividad,guíeasusestudiantesparaquecomprue-
ben si las figuras son congruentes. Para ello tendrán que
dibujar, cortar y poner una figura sobre la otra para compro-
bar que al superponerse coinciden exactamente. Permita
que sus estudiantes decidan, en algunos casos, en forma
intuitiva, si hay pares de figuras que no son congruentes.
Este recurso brinda la posibilidad de que
los y las estudiantes apliquen las transfor-
maciones isométricas y las relacionen con el
concepto de congruencia, todo a través de activida-
des contextualizadas en la celebración del aniversario
del colegio.
En el desarrollo de las actividades propuestas para
este recurso se fomentará su motivación al invo-
lucrarlos en la organización de la que está a cargo
Constanza, Martín y Antonia (personajes). En este
contexto, se incentivará la realización de distintas
actividades en las que aplicarán transformaciones
isométricas a figuras planas con el objetivo de crear
un diseño para la decoración del frontis del colegio.
RDC 4
La actividad 6 requiere que comprueben la congruencia
calcando y recortando la figura A para posteriormente
ponerla encima de la figura B. Mediante este procedi-
miento determinarán la veracidad de cada una de las
afirmaciones que se presentan a continuación y aplica-
rán sus conocimientos de transformaciones isométricas
y de congruencia.
La actividad 7 busca que apliquen sus conocimientos de
polígonos y congruencia para decidir si dos figuras son con-
gruentes. Pídales que expliquen el razonamiento a través
del cual decidieron que dos figuras no son congruentes.

90
En la actividad 8 se pretende que sus estudiantes sean ca-
paces de trasladar una figura siguiendo las instrucciones
respecto a la cantidad de cuadrados que los deben mover
tanto hacia la derecha como hacia arriba, y que luego pue-
dan concluir la congruencia de ambas figuras.
Enlaactividad9puedendibujarcualquierfigura.Incentívelos
a que no hagan los polígonos tradicionales (triángulos, cua-
drados o rectángulos). Como sugerencia, cuando tengan
que rotar la figura la pueden fijar un punto, para facilitar
la rotación de esta.
Cuaderno
que comparen sus estrategias y las dificultades que tu-
vieron en el desarrollo de las actividades.
Manos a la obra Utilizar el geoplano para construir
figuras congruentes. (Página 132)
Esta actividad busca que sus estudiantes comprendan
la congruencia de figuras mediante la utilización del
geoplano en una actividad práctica. Además, es una ins-
tancia para que verbalicen lo que han estudiado en esta
lección.
Actividad sugerida
Este juego busca que sus estudiantes identifiquen rápi-
damente si dos figuras son congruentes o no. Esto les
desafía a visualizar las transformaciones isométricas:
reflexión, rotación y traslación, con el fin de decidir si las
figuras son o no congruentes. Trabajarán en grupos de
cuatro integrantes. Cada grupo recibe 20 tarjetas de fi-
guras congruentes. Recuérdeles que dos figuras son con-
gruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Paso 1 Usa estas 20 tarjetas.
Paso 2 Mezcla las tarjetas y ordénalas ubicándolas hacia
abajo en 5 columnas y 4 filas.
Paso 3 El jugador 1 da vuelta dos tarjetas. Si son congruen-
tes, el jugador se queda con las tarjetas y levanta
otras dos. Si las tarjetas no son congruentes, deja
las tarjetas en la posición anterior. El turno pasa al
siguiente jugador.
Paso 4 Repite el paso 3 hasta emparejar todas las tarjetas.
¿Cómo voy?
Página 133
habilidades desarrolladas en la Lección 3: Congruencia.
En el ítem 1 se evalúa la comprensión de los conceptos
trabajados. Mientras que en los ítems 2 y 3 se evalúan
la capacidad de reconocer, por una parte, cada una de las
transformaciones isométricas y, por otra, las características
que deben tener dos figuras para que sean congruentes.
Finalmente, en el ítem 4 se evalúa la capacidad de expli-
car una estrategia que sirva para verificar si las figuras del
diseño son congruentes. Considere válida toda estrategia
que le permita lograr el objetivo.

91
Área y perímetro (páginas 134 a 157) 2
Unidad
Lección
4
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Áreas de
rectángulos y
cuadrados
(págs. 135
a 138)
2 horas
pedagógicas
Calcular áreas
de triángulos, de
paralelogramos y de
trapecios, y estimar
áreas de figuras
irregulares aplicando las
siguientes estrategias:
• comparación con el
área de un rectángulo
• completar figuras
por traslación.
• Explican la estrategia
usada en la resolución
de un problema relativo
a cálculos de áreas de
rectángulos.
• Evalúan la solución de
problemas relativos a
áreas en función del
Calcular el área
de un rectángulo
contando unidades
cuadradas y
utilizando
una expresión
matemática.
Cuentan
unidades
cuadradas dentro
de rectángulos.
Asocian el conteo
a una expresión
matemática.
Representar.
Resolver
problemas.
Estimación
de áreas
(págs. 139
y 140)
2 horas
pedagógicas
• Estiman áreas pedidas
en un problema y cote-
jan esta estimación con
la solución obtenida
del problema.
Estimar el área de
una figura.
Estiman áreas
de figuras a
través del conteo
de unidades
cuadradas que
no siempre
representan la
unidad completa.
Determinan la
equivalencia
de unidades
cuadradas que
no representan
un entero.
Representar.
Rectángulos
y cuadrados
a partir de
su área o
perímetro
(págs. 141
a 145)
3 horas
pedagógicas
Diseñar y construir
diferentes rectángulos,
dados el perímetro
o área, o ambos,
y sacar conclusiones.
• Dibujan dos o más
rectángulos de
igual perímetro.
• Dibujan dos o más rec-
tángulos de igual área.
• Dibujan rectángulos
cuya área se conoce.
Por ejemplo, dibujan dos
rectángulos que tengan
área 36 cm2
.
• Comprueban que, entre
los rectángulos de igual
perímetro, el cuadrado es
el que tiene mayor área.
Calcular el
perímetro de un
rectángulo.
Calcular la me-
dida de uno de
los lados de un
rectángulo a partir
de su perímetro y
la medida del
otro lado.
Calculan el
perímetro de
rectángulos.
Representar.
Resolver
problemas.
Se espera que, en esta lección, las y los estudiantes profundicen el trabajo con áreas. Específicamente, se trabaja en el
cálculo de áreas de triángulos y cuadriláteros, y en ellos se aplica lo estudiado en la lección 2 sobre transformaciones
isométricas, como herramientas para demostrar la comprensión de los procedimientos involucrados en estos cálculos.
El énfasis de la lección está puesto, por una parte, en la construcción de diferentes rectángulos, dados el perímetro o
el área y a partir de la observación de regularidades, sacar conclusiones, y por otra, el cálculo de áreas con el propósito
de internalizar este concepto.

92
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Rectángulos
y cuadrados
a partir de
su área o
perímetro
(págs. 141
a 145)
3 horas
pedagógicas
Diseñar y construir
diferentes rectángulos,
dados el perímetro
o área, o ambos, y
sacar conclusiones.
• Dibujan dos o más
rectángulos de
igual perímetro.
• Dibujan dos o más rec-
tángulos de igual área.
• Dibujan rectángulos
cuya área se conoce.
Por ejemplo, dibujan dos
rectángulos que tengan
área 36 cm2
.
• Comprueban que, entre
los rectángulos de igual
perímetro, el cuadrado es
el que tiene mayor área.
Calcular la medida
del lado de un
cuadrado a partir de
su perímetro.
Diseñan estrategias
para calcular la
medida del lado de
un cuadrado dado
su perímetro.
Representar.
Resolver
problemas.
Calcular la medida
del lado de un
rectángulo a partir
de su área y la
medida del
otro lado.
para calcular la
medida del lado de
un rectángulo dada
su área y la medida
de otro lado.
Calcular la medida
del lado de un
cuadrado y su
perímetro a partir
de su área.
para calcular la
medida del lado
de un cuadrado
y su perímetro a
partir de un área
conocida.
Área de un
triángulo
(págs. 146
a 149)
2 horas
pedagógicas
Calcular áreas
de triángulos, de
paralelogramos y de
áreas de figuras
las siguientes
estrategias:
• conteo de
cuadrículas
• comparación
con el área de un
rectángulo
por traslación.
Elaboran estrategias para
calcular áreas de triángulos
rectángulos a partir del
área de un rectángulo.
• Elaboran estrategias
para calcular áreas de
triángulos acutángulos,
usando áreas de trián-
gulos rectángulos.
• Calculan áreas de
triángulos acutángulos,
aplicando estrategias
elaboradas.
• Elaboran estrategias
para calcular áreas de
triángulos obtusángulos
apartirdeparalelogramos.
Deducir una
expresión
matemática para
el cálculo del área
de un triángulo.
Forman triángulos
rectángulos a partir
de rectángulos.
Determinan
una expresión
matemática para el
cálculo de área de
un triángulo.
Calculan áreas
de distintos tipos
de triángulos.
Representar.
Resolver
problemas.
Área de un
paralelogramo y
de un trapecio
(págs. 150
a 152)
2 horas
pedagógicas
• Forman figuras en el
plano, trasladando
figuras. Por ejemplo: tras-
ladan dos triángulos para
unirlos a un rectángulo y
forman un trapecio.
• Forman figuras del
plano a partir de re-
flexiones. Por ejemplo:
reflejan un triángulo
equilátero respecto de
uno de sus lados para
formar un rombo.
Deducir una
expresión
matemática para el
cálculo del área de
un paralelogramo.
Forman rectángulos
a partir de otros
paralelogramos.
Determinan
una expresión
matemática para
calcular el área de
un paralelogramo.
Representar.
Resolver
problemas.

93
2
Unidad
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de las
secciones Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Área de un
paralelogramo y
de un trapecio
(págs. 150
a 152)
2 horas
pedagógicas
Calcular áreas
de triángulos, de
paralelogramos y de
áreas de figuras
las siguientes
estrategias:
• conteo de
cuadrículas
• comparación
con el área de un
rectángulo
por traslación.
• Transforman figuras
del plano en otras de
igual área, aplicando
transformaciones iso-
métricas. Por ejemplo:
aplican traslaciones
para transformar para-
lelogramos en rectán-
gulos de igual área.
Deducir una
expresión
matemática para
el cálculo del área
de un trapecio.
Forman triángulos
en trapecios
para determinar
una expresión
matemática que
permite calcular el
área de un trapecio.
Representar.
Resolver
problemas.
Área de figuras
compuestas
(págs. 153
a 156)
3 horas
pedagógicas
Calcular áreas
de triángulos, de
paralelogramos y de
áreas de figuras
las siguientes
estrategias:
• conteo de
cuadrículas
• comparación
con el área de un
rectángulo
por traslación.
• Evalúan la solución de
problemas relativos a
áreas en función del
Calcular el área
de una figura
compuesta
sumando las áreas
de las figuras que
la componen.
Dividen figuras
compuestas en
rectángulos.
Calculan el área
de rectángulos y
los suman para
obtener el área
de una figura
compuesta.
Representar.
Resolver
problemas.
Argumentar
y comunicar.
Calcular el área
de una figura
compuesta
restando las áreas
de las figuras que
la componen.
Completan figuras,
de modo de formar
rectángulos.
Calculan las
diferentes áreas
y las restan para
obtener el área
de una figura
compuesta.
2
Unidad
Notas

94
OAT
y experiencias de manera coherente y fundamentada,
y criterios.
conocimiento.
y comunitario.
cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la origina-
lidad, la aceptación de consejos y críticas y el asumir
riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales en
el desarrollo y la consumación exitosa de tareas
y trabajos.
Recursos
Geoplano, elásticos, papel cuadriculado, regla, papel pun-
teado y tijeras.
Conceptos clave
Perímetro (P), área (A), largo, ancho, base, altura, trián-
gulo, paralelogramo.
Repaso
Página 134
previos o como una herramienta de diagnóstico para
evaluar el nivel de las y los estudiantes antes de que desa-
rrollen esta lección.
En el ítem 1 se evalúa el conocimiento del modelo de área.
Mientras que el ítem 2 se evalúa la capacidad de identi-
ficar el perímetro de figuras. Finalmente, en el ítem 3 se
evalúa la resolución de problemas calculando el área de
una figura contando cuadrados.
le permitirá conocer los preconceptos que tienen sus estu-
diantes sobre lo que se trabajará en la lección.
destaque la importancia de escuchar en forma respe-
tuosa a sus compañeros y compañeras.
Áreas de rectángulos
y cuadrados
Páginas 135 a 138
los estudiantes calculen el área de un rectángulo contan-
do los cuadrados de una cuadrícula y calculen el área de
un rectángulo usando una expresión matemática.
Aprendizaje basado en actividades
Este enfoque está basado en “aprender haciendo”.
Es particularmente efectivo para enseñar conceptos
y habilidades matemáticas en primaria y los prime-
ros cursos de secundaria, aunque sigue siendo útil
en otros niveles. Las y los estudiantes se involucran
en actividades para explorar y desarrollar conceptos
y habilidades de manera grupal o individualmente.
Pueden usar material concreto u otros recursos para
construir significados.
Por ejemplo, para desarrollar habilidades de resolu-
ción de problemas, las y los estudiantes pueden inves-
tigar si rectángulos con el mismo perímetro pueden
tener diferentes áreas. Puede entregar hojas con una
cuadrícula de 1 cm cada cuadrado para que dibujen y
corten diferentes rectángulos con un perímetro dado.
Pueden registrar la medida del largo, del ancho y el
área de cada rectángulo que han recortado.
Haga preguntas a los estudiantes durante la actividad:
¿Cómo dedujeron la medida del largo y del ancho del
rectángulo considerando su perímetro? ¿Qué pueden de-
ducir de la relación entre las medidas del largo y del ancho
del rectángulo? Las y los estudiantes exploran estrategias
y explican por qué funcionan o por qué no funcionan.
Durante la discusión se invita a las y los estudiantes a
emplear los términos matemáticos apropiadamente.
Fuente: Traducido y adaptado de: Ministry of Education,
Singapore. (2012). Mathematics Syllabus. Primary 1 to 4.
Curriculum Planning and Development Division.
Aprendo: Calcular el área de un rectángulo contando
y utilizando una expresión numérica. (Página 135)
Revise el concepto de área haciendo que sus estudiantes
identifiquen el área de alguna figura.
Para calcular el área de un rectángulo, las y los estudiantes,
en forma intuitiva, tienden a contar las unidades cuadra-
das que lo componen.

2
Unidad
95
Pregunte qué operación matemática pueden asociar a
dicho conteo. Utilice la cápsula Atención para apoyar
su explicación. Ayúdelos a recordar que el área de un
rectángulo se relaciona con las medidas de su largo y su
ancho, de modo que puedan concluir que la expresión
que representa el área del rectángulo corresponde a la
multiplicación de la medida de su largo por la del ancho.
Enfatice el hecho de que la unidad de medición del área
de cualquier figura es en unidades cuadradas y que esta
siempre se debe especificar.
Las actividades de la 1 a la 3 apuntan a iniciar el cálculo del
área con el conteo de unidades cuadradas en filas y co-
lumnas, para luego asociar este conteo a la multiplicación
de las medidas de los lados. Antes de desarrollar estas
actividades pídales leer la cápsula Atención. En los rec-
tángulos y cuadrados que están cuadriculados insista en
que completen toda la información y no solo el resultado
final, para evitar que solo cuenten las unidades cuadradas
que hay en el interior de cada figura.
En la actividad 4 se plantean dos estrategias para calcu-
lar el área de la mitad de un cuadrado. Al terminar esta
actividad es importante que sus estudiantes comenten
qué sucedió en ambos casos. ¿Llegaron al mismo resulta-
do? Ayúdelos a concluir que si dividen primero la medida
del lado y después lo multiplican por la medida inicial les
dará lo mismo que si multiplican la medida inicial por si
misma y luego dicho producto lo dividan por dos.
En la actividad 5 pueden elegir la estrategia que quieran.
Permítales explicar por qué la seleccionaron.
Es importante señalarles que al seleccionar una estrate-
gia analicen cuál de ellas es más conveniente, ya que en
la primera tanto la división como la multiplicación serán
siempre por un número menor.
Cuaderno
que comparen y expliquen las estrategias utilizadas.
Manos a la obra Utilizar el geoplano para construir
rectángulos y luego calcular su área. (Página 138)
En la primera actividad se sugiere la utilización del geoplano
para que formen 4 rectángulos diferentes y luego calculen
el área de cada uno de ellos. Si no cuenta con geoplanos
y tiene acceso a una sala de computación puede utilizar
un geoplano interactivo, que encontrará en el siguiente
link: http://sallita.net/geoplano-interactivo/. También los
puede elaborar junto a sus estudiantes con materiales
sencillos como cartón corrugado y tachuelas. Para esto
puede incluso desarrollar una clase colaborativa con la
asignatura de Tecnología.
Manos a la obra Construir rectángulos de distintas
áreas y perímetros dadas las medidas de sus lados.
(Página 138)
En esta actividad sus estudiantes deben construir rectán-
gulos utilizando las medidas dadas. Pueden hacer las com-
binaciones que ellos quieran con las 6 medidas para luego
calcular el área y el perímetro de estos. Puede ampliar esta
actividad desafiando a sus estudiantes a que formen todos
los rectángulos posibles con estas 6 medidas.
Lo principal de esta actividad es que después de construir
un cuadrado y calcular su área, formen distintos rectángu-
los cuyo perímetro sea 36 cm, de modo que puedan con-
cluir que a mayor diferencia en la medida de los lados el
área es menor. Si observa mucha dificultad en llegar a esta
conclusión puede realizar la actividad en conjunto con sus
estudiantes, solicitándoles que definan distintas medidas
para el largo y el ancho, las cuales puede ir registrando en
la pizarra y calculando el área de cada rectángulo.
Errores frecuentes
Un error frecuente se observa en el cálculo del perí-
metro de los rectángulos, y a pesar que es un conteni-
do visto en cursos anteriores, se utiliza en este nivel y
en niveles posteriores, por lo que es importante sub-
sanarlo. Es usual que al asignar la medida del largo y
ancho realicen la suma solo de los datos registrados,
por lo que se sugiere que al comenzar con el cálculo
de perímetro recuerde en forma visual u oral que los
lados paralelos también tienen la misma medida.
Estimación de áreas
Páginas 139 y 140
estudiantes estimen el área de figuras contando los cua-
drados de una cuadrícula.
Aprendo: Estimar el área de una figura. (Página 139)
Puede comenzar este contenido comentando con sus
estudiantes qué recuerdan por “realizar una estimación”.
Luego, puede relacionarlo con las fracciones comunes

96
que vieron en años anteriores, de modo que cuando algu-
na parte de la figura ocupe más de la mitad de la unidad
cuadrada lo puedan aproximar a un entero. Aquellas que
sean la mitad en forma exacta las puede sumar comple-
tando así una unidad cuadrada para hacer la estimación.
Enlaactividad1puedenmarcarbienlaslíneasdelacuadrícula
que hay dentro de la figura para que les resulte más sencillo
poder contar las unidades cuadradas.
Cuaderno
comparen las dificultades que enfrentaron en el desarro-
llo de las actividades y las estrategias que llevaron a cabo
para superarlas.
Manos a la obra Estimar el área de la palma
de la mano. (Página 140)
Esta actividad los ayudará a consolidar su comprensión del
concepto de estimación de áreas de figuras.
Asegúrese que cada estudiante tenga una hoja de papel
cuadriculado. Para ello, pueden trazar el contorno de la
palma de su mano. A continuación, pídales que estimen
el área de su palma contando la cantidad de cuadrados
totales y parciales dentro de ella.
Puede repetir esta actividad marcando algún otro obje-
to que tenga un contorno irregular o bien sus estudiantes
pueden dibujar y recortar una figura a mano alzada para
marcar y estimar el área.
Rectángulos y cuadrados
a partir de su área
o perímetro
Páginas 141 a 145
Estas páginas tienen como objetivos centrales que apli-
quen lo estudiado sobre áreas y recuerden el cálculo del
perímetro de rectángulos y cuadrados para resolver pro-
blemas relacionados con el área y el perímetro de cuadra-
dos y rectángulos.
Aprendo: Calcular el perímetro de un rectángulo.
(Página 141)
Revise el concepto de perímetro (P), considerando que
corresponde a la suma de las medidas de sus lados.
Revise en conjunto con las y los estudiantes el ejemplo
que se presenta en el Texto. Muéstreles que el
P = (a + b) + (a + b), donde a y b representan las me-
didas del largo y del ancho del rectángulo, respectivamente,
y que a + b = P
2
o a + b = P : 2. Insista en que recordar esto
último les servirá cuando necesiten calcular la medida de
uno de los lados conociendo la medida del otro y del pe-
rímetro. Apoye su explicación con la cápsula Atención.
Observación: hay más de una manera de calcular el perí-
metro de un rectángulo.
P = 2a + 2b P = 2(a + b)
El uso de este RDC permite complementar
eltrabajorealizadoentornoaldesarrollodel
OA 21, ya que les permitirá aplicar lo estudia-
do respecto del perímetro y el área de rectángulos.
El personaje los invita a que participen en la organi-
zación de los estands para el aniversario del colegio.
El ambiente al que pertenece este recurso pretende
entregar a los estudiantes contextos cercanos y de
esta manera incentivarlos a realizar distintas tareas
en las que aplicarán la construcción de rectángulos
considerando su perímetro y área, teniendo en cuenta
el objetivo de asignar espacios adecuados para los
diferentes estands.
RDC 5
Las actividades de la 1 a la 3 apuntan al cálculo de la me-
dida de uno de los lados del rectángulo conociendo el
perímetro y la medida del otro lado. Recuérdeles que el
perímetro del rectángulo representa 2 veces la suma de
las medidas del largo y del ancho.
En las actividades de la 4 a la 6 se refuerza la idea de que
rectángulos con diferentes medidas pueden tener el mis-
mo perímetro.
Puede desafiar a sus estudiantes preguntando si el perí-
metro de un rectángulo puede ser un número impar y
que justifiquen sus opiniones.
Aprendo: Calcular la medida del lado de un cuadrado a
partir de su perímetro. (Página 142)
Recuerde en conjunto con las y los estudiantes qué ca-
racterística tienen los lados de un cuadrado y qué ope-
ración matemática les permite calcular en forma más
rápida su perímetro. Puede utilizar la cápsula Atención
para reforzar las características de un cuadrado. A partir
de esto pídales comentar cómo podrían saber las medi-
das de los lados de un cuadrado si conocen su perímetro.

2
Unidad
97
Si es necesario, utilice el siguiente ejemplo para explicar
cómo hallar las medidas de los lados:
El perímetro de un cuadrado de lado a es 64 cm. Como
el perímetro (P) de un cuadrado es 4 veces la medida de
uno de sus lados, entonces la medida de a es igual a P : 4.
La actividad 7 presenta 3 problemas que permiten apli-
car los conocimientos adquiridos respecto al perímetro
de un cuadrado, ya sea el cálculo de este, como el de la
medida de los lados conociendo el perímetro. Comente
que es importante que recuerden que un cuadrado tiene
sus 4 lados de igual medida.
Aprendo: Calcular la medida del lado de un rectángulo
a partir de su área y la medida del otro lado. (Página 143)
Recuerde cómo se calcula el área (A) de un rectángulo.
A = a · b
a: medida del largo. b: medida del ancho.
Utilice el ejemplo del Texto para remplazar
los datos conocidos:
63 = 9 · a
Ayude a sus estudiantes a recordar cómo se encuentra
el valor de un factor desconocido en una multiplicación.
Es importante observar que para algunos estudiantes resulta
más sencillo en este tipo de ejemplos utilizar la estrategia de
buscar el otro factor a partir de la pregunta “¿9 por cuánto
resulta 63?”. Haga notar que si bien es una estrategia co-
rrecta se hace poco eficaz con números más grandes. Puede
plantearles algún ejemplo, como “el área de un rectángulo es
216 cm2
y la medida de uno de sus lados es 8 cm. ¿Cuál es la
medida del otro lado? En el ejemplo podrán ver que es más
conveniente dividir el área por la medida del lado conocido.
Las actividades 8 y 9 apuntan a la ejercitación de lo
aprendido en el punto anterior. Permita que sus estu-
diantes utilicen la estrategia que más les acomode.
En la actividad 10 podrá observar si las y los estudiantes
comprenden la situación a partir de la elaboración de la
pregunta necesaria para calcular el dato faltante.
Las actividades 11, 12 y 13 apuntan a que sus estudiantes
observen que puede haber rectángulos con diferentes
medidas e igual área. En estos ejercicios puede apro-
vechar de recordar los factores de un número, para que
vean todas las posibles medidas de largo y ancho de rec-
tángulos con igual área.
Aprendo: Calcular la medida del lado de un cuadrado y
su perímetro a partir de su área. (Página 144)
Ayude a sus estudiantes a recordar que el área (A) de un
cuadrado de lado a es A = a · a. Pregunte, ¿cuál es el área
de un cuadrado de lado 3 cm? A continuación, escriba lo
siguiente en la pizarra: A = 3 · 3 = 9 cm2
.
Motive a sus estudiantes a que calculen las áreas de los
cuadrados cuyos lados miden 4 cm, 6 cm, 7 cm, y así suce-
sivamente. Escriba las expresiones para el área en la pizarra:
A = 4 · 4 = 16 cm2
, A = 6 · 6 = 36 cm2
, A = 7 · 7 = 49 cm2
.
Guíelos a descubrir que el área de un cuadrado es siempre
el producto de la medida de dos de sus lados.
Explique que si el área de un cuadrado es 25 cm2
, la me-
dida del lado es un número que multiplicado por sí mismo
da 25. Es decir, 25 = 5 · 5, por lo tanto la medida del lado
es 5 cm. Haga que sus estudiantes calculen la medida del
lado de un cuadrado con un área de 81 cm2
. Pregunte, ¿qué
número multiplicado por sí mismo resulta 81?
Para la actividad 14, haga que las y los estudiantes trabajen
en parejas y sigan los pasos para hallar la medida del lado
de un cuadrado. Pídales leer la cápsula Atención y luego
solicíteles que calculen el perímetro.
En la actividad 15, continúe con el trabajo en parejas y
anime a sus estudiantes a que busquen diferentes ejem-
plos que les permitan validar o negar las afirmaciones
entregadas en cada caso.
Si observa que tienen dificultad para resolver los ítems b
y c, ayúdelos señalando que es más sencillo partir con un
cuadrado y luego buscar distintas medidas de los lados
de los rectángulos.
Cuaderno
de las actividades. Además puede invitarlos a evaluar su
actitud al trabajar en grupo y cómo esta interfirió en el
desarrollo de la actividad.
Errores frecuentes
Algunos estudiantes pueden tener dificultades para
completar el cálculo. Para ayudarlos, pídales que de-
terminen el orden de las operaciones necesarias para
resolver cada problema. Anímelos a dibujar la forma
y a etiquetar todos los lados para ayudar a resolver
el problema.

98
Manos a la obra Investigar la relación entre el área
y el perímetro de un rectángulo. (Página 145)
Esta actividad permite a las y los estudiantes investigar si
existe alguna relación entre el área y el perímetro de un
rectángulo, y ver cómo el área de este cambia cuando la
medida de su largo o de su ancho varía.
Organícelos en grupos de 4 integrantes. Dé a cada grupo
un geoplano, 10 elásticos, papel punteado y una hoja
para que hagan la tabla solicitada.
Guíe a sus estudiantes a que identifiquen que el cuadrado
es el que tiene el área mayor.
Área de un triángulo
Páginas 146 a 149
los estudiantes comprendan cómo calcular el área de un
triángulo y elaboren distintas estrategias que permitan
calcular el área de cualquier triángulo.
Aprendo: Deducir una expresión matemática para el
cálculo del área de un triángulo. (Página 146)
Recuerde a sus estudiantes la expresión que permite cal-
cular el área (A) de un rectángulo.
A = a · b
a: medida del largo. b: medida del ancho.
Dibuje el rectángulo que aparece en el Texto y pregunte:
¿Cómo puedo dividir el rectángulo en dos triángulos congruen-
tes? (Se traza una diagonal que atraviese el rectángulo).
Explique que la diagonal divide el rectángulo en dos
triángulos congruentes.
Pregunte, ¿qué lado del triángulo es su base? (Cualquier
lado). Explique que la distancia perpendicular desde la
base al vértice opuesto del triángulo es la altura de este.
Mencione que el largo del rectángulo representa la base
del triángulo y que el ancho representa la altura del trián-
gulo. Si b representa la medida de la base y h la de la
altura, puede escribir la siguiente expresión para calcular
el área (A) del triángulo:
A = b · h
2
Pregunte: ¿Con esta expresión se podrá calcular el área de
un triángulo rectángulo?
Explique que sí, porque cualquier triángulo rectángulo
puede combinarse con una copia de sí mismo para for-
mar un rectángulo. El largo del rectángulo será la base
del triángulo y el ancho del rectángulo será la altura
del triángulo.
Manos a la obra Comprobar que la expresión para
calcular el área de un triángulo es aplicable a todo tipo de
triángulos. (Página 147)
Esta actividad permite a sus estudiantes comprobar si la
expresión A = b · h
2
para calcular el área (A) de un trián-
gulo de base b y altura h puede ser aplicada en cualquier
triángulo. Guíelos para que concluyan que esta expresión se
aplica a todos los triángulos (agudo, obtuso y rectángulo).
Recuérdeles también que:
Enuntriánguloagudotodoslosángulosmidenmenosde90°.
En un triángulo obtuso uno de sus ángulos mide más de 90°.
Observación: Como la base del triángulo MNP se extiende
por la línea discontinua para señalar la perpendicular de
la altura, algunos estudiantes pueden identificar de forma
errónea que la medida de la base es 6 unidades, es decir,
la medida de la base más su extensión. Explique que la
base del triángulo es siempre un lado de este. Por lo tan-
to, la medida de la base del triángulo es igual a la medida
de su lado respectivo.
En la actividad 1 sus estudiantes deben identificar la base
y la altura de los triángulos usando el cuadriculado como
guía. Explique que la base del triángulo no siempre es el
lado del triángulo que aparece de forma horizontal y que
la altura no es siempre una distancia vertical.
En la actividad 2, explique a sus estudiantes que para que
las estrategias sean válidas se debe obtener la misma
área con cada una de ellas.
La actividad 3 les permitirá concluir que independiente
del tipo de triángulo, si estos tienen la misma medida de la
base y de la altura, tendrán la misma área. Realice con sus
estudiantes la clasificación de los 4 triángulos del ejercicio.
La actividad 4 presenta problemas de aplicación del cálculo
del área de un triángulo. El último tiene un grado de compleji-
dad mayor y es probable que algunos estudiantes partan por
calcularlamedidadelladodelcuadradoqueformaelespacio
en el suelo, sin considerar que es un dato innecesario.
Cuaderno
las preguntas de metacognición planteada en la sección
que comparen las estrategias utilizadas en el desarro-
llo de las actividades y que evalúen su actitud frente a
estos nuevos aprendizajes.

2
Unidad
99
Este problema es una aplicación del concepto de que los
triángulos que tienen la misma medida de la base y de la
altura (altura común en este caso) tendrán áreas iguales.
Haga que sus estudiantes dibujen o copien el rectángulo
ABCD y, luego, dibujen un segmento perpendicular des-
de A hasta un punto en BD. Oriéntelos para deducir que
los triángulos ABE y ADE tienen áreas iguales, el área del
triángulo ABD es la mitad del área del rectángulo ABCD,
así que el área del triángulo ABE es igual a la mitad del
área del triángulo ADE.
Área de un paralelogramo
y de un trapecio
Páginas 150 a 152
los estudiantes elaboren estrategias para calcular el área
de un paralelogramo y de un trapecio a partir del área de
figuras conocidas.
cálculo del área de un paralelogramo. (Página 150)
Use la imagen del Texto para demostrar cómo calcular
el área de un paralelogramo y pida a sus estudiantes leer
la cápsula Atención para recordar las características
de un paralelogramo. Pregunte, ¿qué triángulo se forma
cuando AX va desde A hasta la base del paralelogramo?
(El triángulo ABX). ¿Qué figura se forma cuando movemos
el triángulo ABX de tal forma que AB se sitúa contra DC ?
(El rectángulo AXYD). Como el área del paralelogramo
es igual al área del rectángulo, ¿cómo podrías calcularlo?
(Multiplicando las medidas de AX y de XY).
Explique que XY tiene la misma medida que la base BC
del paralelogramo. AX es el ancho del rectángulo y ade-
más la altura del paralelogramo.
Pregunte, si b es la medida de la base, y h es la medida
de la altura, ¿qué expresión puedes usar para calcular el área
(A) del paralelogramo? (A = b · h)
Algunos estudiantes pueden identificar como base del
paralelogramo uno de sus lados que no lleve a la solución.
Guíeles para que comprueben si uno de los lados tiene
alguna correspondencia con la altura que puedan usar. Si
al lado seleccionado como base no da una perpendicular
entonces habrá que elegir otra base.
Buenas prácticas
Se podrían revisar las propiedades de los paralelogramos
antes de trabajar con ellos. Un paralelogramo es un cua-
drilátero que: tiene dos pares de lados paralelos con-
gruentes, tiene ángulos opuestos congruentes, y tiene
dos diagonales, cada una de las cuales divide la figura en
dos triángulos congruentes.
cálculo del área de un trapecio. (Página 151)
Dibuje en la pizarra el trapecio del ejemplo. Comience por
extender mediante una línea punteada el lado AE for-
mando un ángulo recto con la unión del vértice B para
obtener la altura del trapecio. Luego, trace una diagonal
desde el vértice B al vértice E para formar 2 triángulos.
Pregúnteles qué pueden decir de la altura de estos dos
triángulos (tienen la misma altura).
Pregunte cómo podrían calcular el área del trapecio (su-
mando el área de los triángulos ABE y EBD).
Identifique las bases de los triángulos y comente que coin-
ciden con las bases del trapecio.
Escriba la expresión que le permite calcular el área de cada
uno de los triángulos para deducir la expresión que per-
mite calcular el área de un trapecio.
Se sugiere que realice los cálculos con las medidas, prime-
ro que calculen el área de los dos triángulos y las sumen
y que luego apliquen la expresión reducida, sumando las
medidas de las bases y multiplicando el total por la altura,
para luego dividir por 2 el resultado.
Buenas prácticas
Se puede revisar lo que son los trapecios antes de trabajar
con ellos. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos ba-
ses paralelas no congruentes. Los otros dos lados pueden
ser o no congruentes, y pueden ser o no dos ángulos rectos.
En la actividad 2, haga que sus estudiantes noten que
las bases de un trapecio corresponden al par de lados
paralelos, para que no se confunda con la posición en que
puedan estar dibujados.
La actividad 3 permitirá a las y los estudiantes concluir
que diferentes trapecios pueden tener la misma área.
Comente con ellos qué se debe cumplir para que esto
suceda (que tengan la misma altura y que la suma de sus
bases sea la misma).
Para realizar la actividad 4 es importante que sus estu-
diantes recuerden la equivalencia entre las unidades de
medida de longitud (centímetros y metros). Si observa
dificultad en resolver el ejercicio oriéntelos para que
determinen cuántas cerámicas requieren para un metro
cuadrado.
están desarrollando en este contenido.

100
Cuaderno
de las actividades y que evalúen su actitud en aquellas en
las que tuvieron dificultades.
Errores frecuentes
Debido al trabajo anterior de encontrar las áreas de
otros polígonos, algunos estudiantes pueden creer
erróneamente que cualquiera de los lados de un trape-
cio puede ser una base. Señale a los y las estudiantes
que las bases de un trapecio son siempre los dos lados
paralelos. Los trapecios no son como los triángulos y
los paralelogramos, en los que cualquiera de sus lados
puede considerarse una base.
Área de figuras
compuestas
Páginas 153 a 156
estudiantes elaboren estrategias para calcular el área de
figuras compuestas a partir del área de figuras conocidas.
Aprendo: Calcular el área de una figura compuesta
sumando las áreas de las figuras que la componen.
(Página 153)
Copie la figura del Texto en la pizarra. Explique que la
figura compuesta se puede dividir en dos rectángulos. A
continuación, pida que muestren cómo dividir la figura en
dos rectángulos (A y B).
Muestre los pasos para calcular el área. En primer lugar,
se calcula el área del rectángulo A. Después el área del
rectángulo B. Por último, se suman para obtener el área
de la figura compuesta.
Buenas prácticas
No sería incorrecto que sus estudiantes dividieran la fi-
gura en tres o cuatro rectángulos. Solo significaría más
pasos en la solución y la probabilidad de que se produzca
un error de cálculo es mayor. Anímelos a dividir figuras
compuestas en la menor cantidad posible de rectángulos.
En las actividades 1 y 2, guíe a las y los estudiantes paso a
paso para dividir la figura en un cuadrado y un rectángulo
y para calcular el área. En la actividad 1 pídales verificar
si al dividir la figura como propone la cápsula Atención
se obtiene la misma área. Pregunte qué creen que deben
hacer si falta la medida de alguno de los lados (calcular lo
que falta para tener la misma medida que el lado paralelo).
Errores frecuentes
Algunos estudiantes pueden olvidarse de determinar
las medidas que faltan. Sugiérales que copien la figura
en papel y luego escriban todas las dimensiones en el
lugar adecuado.
Manos a la obra Construir figuras compuestas
utilizando rectángulos de papel y posteriormente
calcular su área y su perímetro. (Página 154)
Esta actividad refuerza la comprensión de sus estu-
diantes de figuras compuestas al tener que crearlas
con cuadrados y rectángulos. Pídales que trabajen en
parejas. Solicite por cada pareja 4 hojas de papel cua-
driculado y tijeras.
Pídales que calculen el perímetro y el área de cada figura
compuesta formada.
Errores frecuentes
Al calcular el perímetro de figuras compuestas algunos
estudiantes siguen la estrategia del cálculo del área y
tienden a sumar los perímetros. Haga notar que el perí-
metro es la medida del contorno de la figura, por lo que
hay medidas de algunos lados que no se deben sumar.
Buenas prácticas
Podría sugerir que sus estudiantes utilicen un computa-
dor para dibujar y combinar cuadrados y rectángulos.
Aprendo: Calcular el área de una figura compuesta
restando las áreas de las figuras que la componen.
(Página 154)
Dibuje en la pizarra la figura pintada y represente los án-
gulos rectos formados en ella. Luego extienda los lados
AB y ED hasta que se intersequen formando el vértice C.
Pregunte a sus estudiantes qué nuevas figuras se forman
(el rectángulo AFEC y el rectángulo BGDC).
Pregunte cómo podrán calcular el área de la figura sin divi-
dir la figura inicial en rectángulos o cuadrados (calculando
las áreas de los 2 nuevos rectángulos que se formaron
y restándolas).

2
Unidad
101
En las actividades de la 3 a la 5 guíe a las y los estudiantes
para que escojan la estrategia recién estudiada de calcular
el área del rectángulo de mayores medidas y restar el área
del rectángulo no pintado.
Cuaderno
de las actividades y que expliquen cómo corrigieron los
errores cometidos en ellas.
Manos a la obra Estudiar la relación entre el área
y el perímetro de un rectángulo. (Página 156)
Esta actividad ofrece una oportunidad para que sus estu-
diantes exploren cómo el área de un rectángulo cambia
cuando la medida de su largo o su ancho varía.
Pida que trabajen en parejas y que tengan una hoja de pa-
pel cuadriculado de 5 mm.
Pida a sus estudiantes que hagan una lista con las medi-
das de los lados de los cuadrados y sus áreas. Pregunte,
¿por qué la lista de las medidas de los lados de los cuadrados
llega hasta 10 cm? (El área de un cuadrado cuyos lados
miden 10 cm es 100 cm2
. Así, los cuadrados cuyos lados
miden más de 10 cm tendrán áreas mayores a 100 cm2
.
El área total de la figura es 89 cm2
. Por lo tanto, no hay
necesidad de continuar con medidas superiores a 10 cm).
En la fila de la tabla correspondiente al área, pida a las y los
estudiantes que encuentren un par que sume a 89 cm2
.
Pregúnteles cómo pueden hacer esto mediante el uso del
razonamiento lógico.
La medida de los lados que se verán son 1 cm, 4 cm, 5 cm,
6 cm y 9 cm (10 cm no será considerado porque 100 cm2
es mayor que 89 cm2
). Para llegar a 89, la suma de los
dígitos de las unidades debe terminar en 9. Por lo tanto,
el único par que cumple esta condición es 25 y 64, ya
que 25 + 64 = 89.
Lasáreasdelosdoscuadradosson25cm2
y64cm2
,porloque
las medidas de los lados son 5 cm y 8 cm, respectivamente.
¿Cómo voy?
Página 157
Esta sección tiene por objetivo evaluar los contenidos y ha-
bilidades desarrolladas en la Lección 4: Área y perímetro.
En el ítem 1 se evalúa la estimación de áreas, en la que
es importante que la o el estudiante recuerde cómo con-
tabilizar aquellos espacios que no representan la unidad
completa. Mientras que en los ítems 2 y 3 se evalúan la
comprensión del cálculo de área de las figuras trabajadas
y le permiten observar las estrategias utilizadas por sus
estudiantes, de modo de poder orientarlos en los casos
que estas no sean las más eficaces.
Finalmente, en el ítem 4 se evalúa si las y los estudiantes
comprendieron las estrategias necesarias para calcular el
área y el perímetro de una figura compuesta.
Notas

102
Plano cartesiano (páginas 158 a 164)
Lección
5
Contenidos /
Tiempo estimado
Objetivos de
Aprendizaje (OA)
Indicadores de
evaluación
Objetivos de
las secciones
Aprendo
Principales
actividades
Habilidades
Puntos en
el plano
cartesiano
(págs. 159
a 161)
2 horas
pedagógicas
Identificar y dibujar
puntos en el primer
cuadrante del plano
cartesiano dadas
sus coordenadas en
números naturales.
• Identifican coordenadas
de puntos del primer
cuadrante del plano
cartesiano.
• Identifican los puntos
extremos de trazos
dibujados en el primer
cuadrante del
plano cartesiano.
Ubicar puntos
en el plano
cartesiano.
Reconocen los
ejes de un plano
cartesiano.
Determinan las
coordenadas de
distintos puntos en
el plano cartesiano.
Nombran
correctamente las
coordenadas de
distintos puntos en
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Modelar.
Puntos y
figuras en
el plano
cartesiano
(págs. 162
y 163)
4 horas
pedagógicas
• Identifican coordenadas
de vértices de trián-
gulos y cuadriláteros
dibujados en el primer
cuadrante del plano
cartesiano.
• Dibujan triángulos y
cuadriláteros en el pri-
mer cuadrante del plano
cartesiano, conociendo
las coordenadas de
sus vértices.
Identificar y
dibujar figuras
2D en el plano
cartesiano.
Dibujan figuras en el
plano cartesiano.
Ubican los puntos
que representan
los vértices de las
diferentes figuras.
Trasladan figuras
siguiendo
indicaciones de
movimientos
respecto a los ejes.
Representar.
Argumentar
y comunicar.
Modelar.
Se espera que, en esta lección, las y los estudiantes inicien el trabajo con el primer cuadrante del plano cartesiano, con
el propósito de hacer representaciones de figuras 2D por medio de las coordenadas de sus vértices.
Notas

103
2
Unidad
OAT
y experiencias de manera coherente y fundamentada,
• resolver problemas de manera reflexiva en el ámbito es-
colar, familiar y social, tanto utilizando modelos y rutinas
como aplicando de manera creativa conceptos y criterios.
conocimiento.
• practicar la iniciativa personal, la creatividad
y el espíritu emprendedor en los ámbitos personal,
escolar y comunitario.
Recursos
Regla y papel cuadriculado.
Conceptos
Plano cartesiano, eje X o de las abscisas, eje Y o de las
ordenadas, primer cuadrante, coordenada, par ordenado,
origen (O).
Repaso
Página 158
previos o como una herramienta de diagnóstico para eva-
luar el nivel de las y los estudiantes antes de que desarro-
llen esta lección.
En el ítem 1 se evalúa la capacidad de nombrar la ubicación
de un objeto en una cuadrícula y describir esta ubicación
respecto de un punto de referencia.
Señale la ubicación de la cascada y pídales que continúen
señalando las ubicaciones de las otras figuras, tal como
lo señala el Texto. Al comentar los Conceptos clave pida
voluntarios o voluntarias para que expliquen lo que saben
de los distintos conceptos.
tuosa las respuestas de sus compañeros y compañeras.
Puntos en el plano
cartesiano
Páginas 159 a 161
estudiantes identifiquen y dibujen puntos en el primer
cuadrante del plano cartesiano dadas sus coordenadas
en números naturales.
Localización de puntos en el plano
“En Matemática se emplean dos rectas perpendiculares
numeradas para elaborar un método de localización de
puntos en el plano. El punto de intersección de las rectas
se llama origen. Un par de números llamados coordenadas
indican la ubicación de cada punto. En general, un punto se
representaporunparordenadodepuntos,lascoordenadas
(x, y). La notación P(x, y) se usa para referirse a un punto
cualquiera, x es la abscisa del punto e y la ordenada. Este
método de determinación de puntos se llama sistema de
coordenadas cartesianas. Una variante de sistema de refe-
rencia de puntos y regiones en el plano es el usado en los
planos y mapas, combinando el uso de números para las
abscisasyletrasparalasordenadasoviceversa.”
Fuente: Godino, Juan. Ruiz, Francisco. (2002). Didáctica de
la Geometría para Maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_
Geometria.pdf (Consultado en 15 de junio de 2016).
Aprendo: Ubicar puntos en el plano cartesiano.
(Páginas 159 y 160)
Muestre en la pizarra un plano cartesiano. Explique que
un plano cartesiano se puede utilizar para localizar pun-
tos en un plano. Señale las rectas numéricas que forman
el plano. Escriba los nombres para cada una de estas; la
recta horizontal identifíquela con el eje X o de las absci-
sas y la recta vertical como el eje Y o de las ordenadas.
Indique que solo se trabajará el primer cuadrante.
Ubique un punto en la cuadrícula y llámelo P. Explique que
el punto P también se puede nombrar usando dos núme-
ros llamados coordenadas.
Mencione que cada par de coordenadas se llama par orde-
nado. La coordenada x indica la distancia entre 0 y la ubica-
ción del punto hacia la derecha. La coordenada y indica la
distancia entre 0 y la ubicación del punto hacia arriba.
Marque otros puntos en la cuadrícula para que las y los
estudiantes nombren las coordenadas de cada punto.
En las actividades 1 y 2, reconocen la ubicación de pun-
tos marcados en el plano y ubican otros en él. Pídales
que lean la cápsula Atención para que puedan identificar
aquellos puntos que están sobre el eje X o sobre el eje Y.

104
están desarrollando en este contenido.
Para la actividad 4 y 5, recuerde el concepto de traslación
y pida que muevan los puntos según las instrucciones
señaladas. En la actividad 6 chequean la ubicación de
los puntos ya marcados, determinan aquellos que fueron
ubicados en forma incorrecta y los ubican en la posición
solicitada. Puede aprovechar esta actividad para comen-
tar con las y los estudiantes qué opinan de los errores
cometidos y por qué creen que se dan esos errores.
Cuaderno
Finalmente,déeltiemponecesarioparaquerespondanlapre-
gunta de metacognición planteada en la sección Reflexiono.
Permítales que compartan sus respuestas y que comparen
las estrategias utilizadas en el desarrollo de las actividades.
Con este recurso los y las estudiantes
podrán aplicar lo que han estudiado en re-
lación con la ubicación de puntos en el plano
cartesiano, a través del desarrollo de actividades en el
contexto de la celebración del aniversario de un cole-
gio. Estas actividades fomentarán su motivación al or-
ganizar el aniversario del colegio. Uno de los persona-
jes, Antonia, les solicitará ayuda en la búsqueda de una
ubicación adecuada para las alianzas. En este contexto,
los y las estudiantes realizarán distintas tareas en las
que utilizarán las coordenadas en un plano cartesiano
para ubicar adecuadamente las alianzas que participa-
rán en las competencias del aniversario del colegio.
RDC 6
Puntos y figuras en
el plano cartesiano
Páginas 162 y 163
estudiantes identifiquen y dibujen puntos en el primer
cuadrante del plano cartesiano, e identifiquen las coorde-
nadas de los vértices de triángulos y cuadriláteros dibuja-
dos en él. Además, dibujan triángulos y cuadriláteros en el
primer cuadrante del plano cartesiano.
Aprendo: Identificar y dibujar figuras 2D en el plano
cartesiano. (Página 162)
Utilice la ilustración de la página para observar cómo se
pueden formar diferentes figuras en el plano cartesiano.
Pregunte qué elemento de la figura representan los puntos
(losvértices),quétienenencomúnlasfigurasdibujadas(son
cuadriláteros) y si se podrán dibujar otro tipo de figuras 2D
(todas las que se quiera).
En la actividad 2, las y los estudiantes deben ubicar pun-
tos en el plano cartesiano, unirlos para formar diferen-
tes figuras y escribir el nombre de cada figura formada.
Pregúnteles si antes de dibujar la figura podrían saber
qué tipo de figura 2D se formará, cómo podrían saberlo
(la cantidad de puntos indica la cantidad de vértices de
la figura, con lo que se puede saber la cantidad de lados).
En la actividad 6, las y los estudiantes requieren recordar el
concepto de perímetro recién visto para ubicar los vértices
de un cuadrado del mismo perímetro que el rectángulo dado.
Les puede solicitar mantener algún vértice del rectángulo.
Cuaderno
de las actividades y que expliquen las dudas que tuvieron
en ellas y cómo las aclararon.
Manos a la obra Dibujar figuras 2D en el primer
cuadrante del plano cartesiano. (Página 163)
Esta actividad busca reforzar que las y los estudiantes co-
nozcan las características de los diferentes cuadriláteros,
que sean capaces de dibujarlos en el plano cartesiano y
nombrar correctamente las coordenadas de cada vértice.
¿Cómo voy?
Página 164
El objetivo de esta sección es evaluar los contenidos y ha-
bilidades desarrolladas en la Lección 5: Plano cartesiano.
En los ítems 1 y 2 se evalúan si son capaces de ubicar e
identificar las coordenadas de puntos en el plano carte-
siano. Observe que respeten el orden de las coordenadas.
Mientras que en los ítems 3 y 4 se evalúan la capacidad
de representar figuras con vértices dados y de completar
figuras solicitadas a partir de la ubicación de algunos vérti-
ces y de las características de las figuras que se requieren.
las preguntas de metacgnición planteadas en la sección

105
2
Unidad
Para finalizar
Página 165
En esta sección se presentan actividades de cierre que
permiten a las y los estudiantes realizar una síntesis de los
aprendizajes de la unidad, considerando las habilidades,
los conocimientos y las actitudes trabajadas. Pídales que
completen de forma individual la tabla y luego que comen-
ten y compartan con sus compañeras y compañeros las
preguntas que se plantean a continuación.
En la actividad 2, pídales que copien la tabla en una hoja y
que le agreguen una columna con las dudas o dificultades
que aún tienen para que las aclaren entre ellos o con usted,
antes de realizar la evaluación final.
El objetivo de esta sección es que las y los estudiantes
evalúen el cumplimiento de sus metas, las estrategias uti-
lizadas y sus procesos. Dé el tiempo para que compartan
y comenten sobre sus resultados.
¿Qué aprendí?
Evaluación final
Páginas 166 a 169
El objetivo de esta sección es evaluar los contenidos y habi-
lidades desarrollados en toda la unidad.
En los ítems del 1 al 3 se evalúan la estimación de una me-
dida, la correcta utilización de los instrumentos de medición
y la transformación entre unidades de medida de longitud.
Enlosítemsdel4al6seevalúanquelaoelestudianteseaca-
paz de reconocer caras o lados paralelos y perpendiculares.
En los ítems 7 y 8 se evalúan la aplicación del concepto
de congruencia a través de diferentes transformaciones
isométricas.
En los ítems del 9 al 12 se evalúan la estimación y el cálculo
de áreas y el análisis de la relación entre áreas y perímetros.
En los ítems del 13 y 14 se evalúan ubicar y reconocer la
ubicación de puntos en el plano cartesiano. Se requiere
además el conocimiento de las características de algunos
cuadriláteros.
el solucionario y utilice la tabla para ayudarlos a revisar su
desempeño. Dé el tiempo necesario para que respondan
evalúen las actitudes que tuvieron en el desarrollo de la uni-
dad. Luego, otorgue el tiempo necesario para que corrijan
sus errores y completen la sección Reviso mis aprendi-
zajes relacionando brevemente pero de manera explícita
lo que sabían con lo que aprendieron. Finalmente, pida que
respondan y comenten la última pregunta. Oriente la con-
versación a que propongan acciones que permitan mejorar
sus desempeños.
Notas

Solucionario actividades complementarias de la Unidad 2
106
Actividad 1
a. 700 cm
b. 3 000 mm
c. 2 500 cm
d. 15 000 mm
e. 12 000 m
f. 0,5 cm
g. 700 000 cm
h. 200 cm
i. 10 cm
j. 1 500 cm
k. 8 000 m
l. 9 000 mm
Actividad 2
a. Hay variadas respuestas; dos posibles construcciones son:
b. Hay variadas respuestas; dos posibles construcciones son:
c. Hay variadas respuestas; dos posibles construcciones son:
Si solo se mira el contorno, dos pares de líneas paralelas.
Si solo se mira el contorno, dos pares de líneas paralelas.
Actividad 3
a. 2,4 cm
b. Si AD se aproxima a 24 mm, en los tres casos el área del triángulo es 600 mm2
, lo que equivale a 6 cm2
.
Actividad 4
Esta actividad tiene variadas respuestas, ya que dependerá de la figura que dibuje cada estudiante. Para esta actividad se sugiere
que se revisen los pasos que siguen para estimar la figura. Una posible estimación del área de la figura dada es 20 cm2
.
Actividad 5
a. A(1, 1)
b. B(1, 5)
c. C(2, 3)
d. D(3, 2)
e. E(4, 4)
f. F(5, 5)
g. G(5, 2)
h. H(3, 5)

107
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
Actividad 1
Usa la tabla de medidas métricas para convertir las mediciones.
Medidas métricas equivalentes
100 centímetros = 1 metro 1 000 milímetros = 1 metro 1 000 metros = 1 kilómetro
a. 7 m = cm
b. 3 m = mm
c. 25 m = cm
d. 15 m = mm
e. 12 km = m
f. 5 mm = cm
g. 7 km = cm
h. 2 m = cm
i. 100 mm = cm
j. 15 m = cm
k. 8 km = m
l. 9 m = mm
Actividad 2
Copia el tangrama en tu cuaderno y luego recorta sus piezas.
1
2
La figura dibujada abajo está compuesta por dos piezas del tangrama. Esta figura tiene
un par de lados paralelos y un par de lados perpendiculares.
1
2
Forma dos figuras más que posean lados paralelos o perpendiculares. Para hacerlo,
considera lo siguiente:
a. Que tenga tres piezas del tangrama.
b. Que esté formado por cuatro piezas del tangrama.
c. Que tenga seis piezas del tangrama. ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene? ¿Y
cuántos pares de lados perpendiculares tiene?

108
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
Actividad 3
Analiza el triángulo ABC y luego realiza lo siguiente:
a. Mide la altura AD en centímetros, al décimo más cercano.
b. Usando cada una de las medidas de los lados AB, AC y BC como base, calcula el área
del triángulo. ¿Es igual la respuesta en los tres casos? Explica.
5 cm
4 cm
3 cm
A
C
D
B
Actividad 4
Utilizando un papel cuadriculado dibuja lo que se muestra a continuación.
1 cm
1 cm
Responde:
a. Estima: ¿cuánto es el área de la figura?
b. Traza un rectángulo por fuera de la figura que dibujaste. ¿Cuánto es el área
del rectángulo?
c. Traza un rectángulo por dentro de la figura que dibujaste. ¿Cuánto es el área
del rectángulo?
d. Estima nuevamente el área de la figura. Explica si concuerda con el valor estimado
en a.
Actividad 5
Escribe las coordenadas de cada punto ubicado en el plano cartesiano.
a. A( , )
b. B( , )
c. C( , )
d. D( , )
e. E( , )
f. F( , )
g. G( , )
h. H( , )
1
1
3
2
4
5
3
2 4 5 X
Y
B H F
E
A
D G
C
O

109
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
1. Observa el dibujo de la regla en centímetros y escribe la medida del largo de
cada línea en centímetros y milímetros.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a.
b.
c.
d.
2. Transforma las medidas de longitud y completa.
a. 641 cm = m y cm
b. 3 km y 509 m = m
3. Observa la figura y responde.
a. ¿Hay triángulos congruentes?
b. Si es así, ¿cuántos grupos de triángulos congruentes hay?
4. Calcula el área (A) de cada figura sin usar una expresión matemática.
a.
1 unidad
1 unidad
b.
1 unidad
1 unidad

110
M
a
t
e
rialfotocop
i
a
b
l
e
5. Calcula el área (A) de cada figura. Luego, responde.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
1 unidad
1 unidad
a. ¿Cuál de las figuras tiene mayor área?
b. ¿Cuáles son las dos figuras que tienen menor área?
c. Explica cómo cambiarías las figuras 3 y 4 para que tuviesen igual área.
6. Dibuja en la cuadrícula dos cuadriláteros que cumplan las condiciones dadas.
a. Solo un par de lados perpendiculares.
b. Dos pares de lados paralelos.
7. Observa la figura y responde.
25 m
12 m
¿Cómo podrías calcular el área de la figura?
Explica tu razonamiento.
8. Resuelve el problema. Muestra tu desarrollo.
Un terreno de forma rectangular destinado a plantar lechugas mide 9 m de largo y 5 m de
ancho. Se cerca con tres corridas de alambre.
a. ¿Cuánto debe medir el alambre como mínimo para que alcance a cercar el terreno?
b. Si esa misma cantidad de alambre alcanza exactamente para cercar con tres
vueltas de alambre un terreno de forma cuadrada, ¿cuál de los dos terrenos tiene
mayor área? ¿Cómo lo sabes?
9. Francisco quiere dibujar en un plano cartesiano un triángulo rectángulo y marcó
los puntos P y Q. Observa y responde.
1
1
3
2
4
5
3
2 4 5 X
Y
P
Q
O
a. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos
P y Q?
b. ¿Qué coordenadas podría tener el tercer
vértice? Explica el procedimiento que utilizaste.

Y
X
2
1 3 4 6
5
3
2
1
4
5
6
O
P
Q
2
Unidad
111
Solucionario Evaluación complementaria de la Unidad 2
111
2
Unidad
1. a. 9 cm y 7 mm
b. 8 cm y 2 mm
c. 11 cm y 1 mm
d. 9 cm y 5 mm
2. a. 6 m y 41 cm
b. 3 509 m
3. a. Sí.
b. Hay 3 grupos de triángulos congruentes.
Grupo 1: Los 8 triángulos marcados son congruentes.
1
5
4 8
3 7
2
6
Grupo 2: Los 4 triángulos marcados son congruentes.
4
2
1
3
Grupo 3: Hay 2 triángulos congruentes.
1 2
4. a. A = 16 unidades cuadradas
b. A = 24 unidades cuadradas
Se completaron unidades cuadradas en cada figura y
luego se contabilizaron.
5. Figura 1: A = 14 unidades cuadradas
Figura 2: A = 8 unidades cuadradas
a. La figura 1.
b. La figura 2 y la figura 4.
c. Respuesta variada, a continuación, se muestran
2 ejemplos:
Ejemplo 1:
1 unidad
1 unidad
Figura 3 Figura 4
Ejemplo 2:
1 unidad
1 unidad
Figura 3 Figura 4
6. a.
b.
7. Respuesta variada, a continuación, se muestran
2 ejemplos:
Ejemplo 1: Sumando las áreas de las siguientes figuras.
25 m
12 m
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Ejemplo 2:
25 m
12 m
Figura 1
Figura 2
Figura 3
8. a. Debe medir 84 m o más.
b. El terreno de forma cuadrada tiene mayor área, ya que
esta mide 49 m2
y la del terreno rectangular es 45 m2
.
9. a. P(1, 5) y Q(4, 2).
b. Pueden ser (1, 2) o (4, 5), ya que si se unen los vértices P y
Q con uno de estos vértices se forma un ángulo recto.

112
Información curricular de la evaluación
112
Indicadores de evaluación Habilidades Ítems
• Realizan mediciones para resolver problemas en contextos cotidianos. Resolver problemas.
1
(1 pto cada una)
• Explican cómo se transforman kilómetros a metros, metros a centíme-
tros y centímetros a milímetros.
Argumentar y
comunicar.
2
(1 pto cada una)
• Explican el concepto de congruencia por medio de ejemplos. Resolver problemas.
3
(1 pto cada una)
• Estiman áreas pedidas en un problema y cotejan esta estimación con la
solución obtenida del problema.
Resolver problemas.
Modelar
4 (Ver rúbrica)
5 (1 pto cada una)
• Muestran líneas paralelas, perpendiculares, además de intersecciones
entre ellas, en figuras 2D del entorno.
Representar. 6 (Ver rúbrica)
• Explican la estrategia usada en la resolución de un problema relativo a
cálculos de áreas de rectángulos.
Modelar.
Resolver problemas.
7 (Ver rúbrica)
8 (1 pto cada una)
• Identifican coordenadas de puntos del primer cuadrante del plano
cartesiano.
• Dibujan triángulos y cuadriláteros en el primer cuadrante del plano
cartesiano, conociendo las coordenadas de sus vértices.
Representar.
Modelar.
Argumentar y
comunicar.
9a (2 ptos)
9b (Ver rúbrica)
Notas

113
2
Unidad
113
Rúbrica del ítems 4, 6, 7 y 9b
Ítems % de logro Solución
4
(1 pto por el cálculo
del área y 2 ptos por
la explicación de la
estrategia)
80 a 100%
Las y los estudiantes calculan el área de la figuras sin usar fórmula y explican la
estrategia utilizada.
51 a 79% de logro
Las y los estudiantes calculan el área de la figura sin usar fórmula pero no explican
la estrategia utilizada.
0 a 50% de logro Las y los estudiantes calculan el área de la figura usando fórmula.
6a
(1 pto)
80 a 100% Las y los estudiantes dibujan una figura con solo un par de lados perpendiculares
51 a 79% de logro Las y los estudiantes dibujan una figura con dos pares de lados perpendiculares.
0 a 50% de logro Las y los estudiantes dibujan una figura que no tiene lados perpendiculares.
6b
(1 pto)
80 a 100% Las y los estudiantes dibujan una figura con solo un par de lados paralelos.
(1 pto) Las y los estudiantes dibujan una figura con dos pares de lados paralelos.
0 a 50% de logro Las y los estudiantes dibujan una figura que no tiene lados paralelos.
7
(1 pto)
80 a 100%
Las y los estudiantes descomponen la figura en rectángulos y cuadrados, calcula
el área de cada una de estas figuras y suma las áreas obtenidas. Además explica
por qué la descompuso en otras figuras y por qué suma las áreas obtenidas en
forma adecuada.
51 a 79% de logro
Las y los estudiantes descomponen la figura en rectángulos y cuadrados, calcula
el área de cada una de estas figuras, pero olvida sumar las áreas obtenidas o
no logra explicar su razonamiento. O bien, cometen errores en alguno de los
cálculos de las área de estas figuras, pero las suman y explican correctamente el
razonamiento.
0 a 50% de logro
Las y los estudiantes descomponen la figura en rectángulos y cuadrados, cometen
errores en el cálculo del área de estas figuras, olvida sumar las áreas obtenidas o
no logra explicar su razonamiento. O bien confunde área con perímetro.
9b
(1 pto por las
coordenadas
y 2 ptos por la
explicación)
80 a 100%
Las y los estudiantes identifican correctamente los dos puntos: (1,2) y (4,5) que
forman un triángulo rectángulo en conjunto con los puntos P y Q.
51 a 79% de logro
Las y los estudiantes identifican correctamente solo uno de los puntos que forman
un triángulo rectángulo en conjunto con los puntos P y Q.
0 a 50% de logro
Las y los estudiantes identifican puntos que forman un triángulo, pero no
rectángulo, con los puntos P y Q o definitivamente no identifican ningún punto.
Notas

En esta unidad podrás medir y analizar la longitud de diferentes elementos de
tu entorno, calcular el área de algunas figuras utilizando las transformaciones
isométricas para comprender los procedimientos aplicados y representar figuras
¡Anímate a iniciar este recorrido por nuevos contenidos manifestando interés
y curiosidad!
Unidades de
medida de longitud
Medir longitudes y realizar transformaciones entre unidades de
medidas de longitud para aplicarlo en la resolución de problemas. 101 - 113
Figuras 2D y 3D
Describir y reconocer aristas y caras en figuras 3D o lados en figuras
2D que sean paralelos o se intersequen y sean perpendiculares. 114 - 126
Congruencia
Comprender el concepto de congruencia, usando la traslación, la
reflexión y la rotación. 127 - 133
Área y perímetro
Construir diferentes rectángulos a partir de su perímetro o área.
Calcular y estimar áreas de figuras utilizando diferentes estrategias. 134 - 157
Plano cartesiano Ubicar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano. 158 - 164
Mis motivaciones
96 Unidad 2 · Geometría y medición
2
Unidad
Los lados de
esta ventana son
perpendiculares.
¿Cuánto medirá el
ángulo formado
por ellos?
En esta escuadra
también se forma
un ángulo recto.

Punto de partida
• ¿Con qué contenidos de años
anteriores puedes relacionar los
términos destacados?
• ¿Puedes responder las preguntas
planteadas por y ?
¿Cómo lo harías?
• ¿A qué figuras que conoces se
asemejan el calendario y una de las
baldosas del piso de la sala de clases?
• ¿Para qué te puede servir conocer los
ángulos rectos?
• ¿Conoces algún oficio o profesión en
el que se utilicen estos conocimientos?,
¿cuál o cuáles?
97
Estas líneas rojas
no se cruzan. ¿Tendrá un
nombre especial este tipo
de líneas?
El lado de esta
baldosa mide
casi 8 cm.

Los niños que conversaban en las páginas anteriores encontraron en un diario
viejo una noticia que decía que la escuela Boyeco en Temuco recibiría $ 1 500 000
para construir 8 nuevas salas de clase, incluyendo una de computación.
Esta noticia los motivó para presentar en su colegio un proyecto para remodelar
• Si quieren partir por pintar la sala, ¿qué datos deben saber para calcular la cantidad de pintura que necesitan
comprar? ¿Cómo podrían obtener esta información?
• Si quieren cambiar el piso de la sala, ¿qué mediciones necesitan realizar y qué necesitan calcular para saber
la cantidad de materiales que necesitan? ¿Qué instrumentos podrían utilizar para hacer estas mediciones?
• Lee los aprendizajes de la página 96, ¿cuáles de ellos les servirán para desarrollar este proyecto?
• En cursos anteriores trabajaste con medición en metros y centímetros, conociste triángulos, cuadrados,
rectángulos, círculos y líneas de simetría, y localizaste objetos. Para entender la línea de simetría, María se
imaginó que era como un espejo. ¿Qué estrategia te sirvió a ti? ¿Qué otras estrategias te ayudaron para los otros
aprendizajes? ¿Piensas que alguna de ellas te puede servir para lograr los aprendizajes de esta unidad? Comenta.
Vuelve a observar la imagen de las páginas anteriores, la situación presentada en esta página y tus respuestas.
Luego, reflexiona y responde.
Recuerda que puedes cambiar o agregar nuevas estrategias en cualquier momento en la unidad.
98

1 Utiliza una regla para medir el largo del lápiz y completa la afirmación. (2 puntos)
El lápiz mide cm de largo.
2 Escribe el nombre de un objeto que medirías según la unidad indicada. (1 punto cada una)
a. En metros. b. En centímetros.
3 Tecnología Marta y Juan quieren construir una repisa y para comenzar su trabajo deben medir el
largo de una tabla. Marta la mide y dice: ¡100 centímetros! Juan hace lo mismo y afirma: ¡1 metro!
¿Están ambos en lo correcto? Argumenta tu respuesta. (1 punto por la respuesta y 3 puntos por
la argumentación)
4 Identifica la figura geométrica descrita en cada caso, escribe su nombre y luego dibújala.
(1 punto cada una)
a. Tengo 3 lados y 3 vértices. b. Tengo 4 lados y 4 vértices.
5 Encierra las figuras que sean simétricas y explica tu decisión. (2 puntos por identificarlas y 2 puntos
por la explicación)
6 Si unes dos en uno de sus lados, ¿cuál de las siguientes figuras podrías formar? (2 puntos)
C
A B
7 Calcula el área (A) y el perímetro (P) de cada figura y completa. Considera que cada mide 1 unidad
cuadrada. (2 puntos cada una)
a.
99
2
Unidad

b.
8 Observa la siguiente cuadrícula y responde. (2 puntos cada una)
a. ¿Cuál es la ubicación de y de la ?
b. Explica cómo ir desde donde está hacia el
y luego a la .
1, 2 y 3
Medición de longitudes en metros y
centímetros, y transformación entre
estas unidades.
representar. Logrado: 15 puntos
o más.
Medianamente
logrado: 12 a 14
puntos.
o menos.
4, 5 y 6
Figuras 2D, eje de simetría, figuras
simétricas y composición de figuras.
y comunicar.
7
Perímetro de figuras y área de un
cuadrado y de un rectángulo.
Modelar, representar.
8 Localización de un objeto.
y comunicar.
• Al desarrollar las actividades, ¿fuiste ordenado y metódico? ¿Cómo te puede ayudar esta actitud a
tener un buen desempeño?
• ¿Cuáles de las estrategias que mencionaste crees que te servirán en el desarrollo de la unidad?
• A partir de lo que recordaste, ¿agregarías algo a tus metas para esta unidad?
Reflexiono
5
4
3
2
1
A B C D E
100

2
Unidad
1
Lección
Repaso
1 Observa y completa las afirmaciones.
a. El perro mide metro de altura.
b. El árbol mide metros de altura.
2 Encierra el objeto para el que la unidad de medida propuesta es más adecuada. Justifica tu elección.
a. Metro
b. Centímetro
3 Escribe el nombre de 2 objetos de tu entorno cuyo largo corresponda a las medidas propuestas.
a. Aproximadamente un metro.
b. Más de un metro.
c. Menos de un centímetro.
• Unidades de medida
• Longitud
• Metro (m)
• Centímetro (cm)
• Milímetro (mm)
• Kilómetro (km)
Conceptos clave
• Pide a un compañero o compañera que te explique cómo las resolvió.
• ¿Crees que te servirán estas estrategias para desarrollar esta lección?, ¿por qué?
Reflexiono
0
1
m
2
m
3
m
4
m
101

En años anteriores mediste la longitud de algunos objetos en metros y centímetros. Ahora utilizarás estas
unidades de medida y las relacionarás con otras como el milímetro y el kilómetro.
Objetivo: Usar metros y centímetros para medir longitudes.
Los estudiantes de 5° básico decorarán su sala de clases. Para medir el largo de algunos adornos utilizarán
una huincha de medir.
1 m = 100 cm
Aprendo
1 m
70 80 90 100
1 metro equivale a
100 centímetros.
El metro (m) y el
centímetro (cm) son
unidades de medida
de longitud.
100 cm
Practico
1 Observa la imagen y luego completa.
a. La mesa mide cm de largo.
b. La medida del largo de la mesa es m
y cm.
2 Mide los siguientes objetos de tu sala de clases en metros (m) y centímetros (cm).
a. El largo de la ventana.
b. El ancho de la ventana.
c. El largo de la puerta.
d. El ancho de la puerta.
a. Felipe dice que el largo de la puerta de su sala mide más de 2 m y 10 cm, y que su ancho mide menos
de 90 cm. ¿Puede ocurrir esto?, ¿por qué?
b. Las mediciones que realizaste en la actividad 2, ¿son exactas? ¿Por qué?
130 140 150 160
20
0 30
10 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160
150 170
102

Objetivo: Usar centímetros y milímetros para medir longitudes.
La medida del largo del lápiz es más cercana a 12 cm que a 11 cm.
El largo del lápiz mide 11 cm y 9 mm. Entonces, su largo es aproximadamente 12 cm.
Puedes usar el milímetro para medir longitudes menores que un centímetro.
Aprendo
La distancia entre
las marcas más
pequeñas representa
un milímetro
(1 mm).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 cm = 10 mm
Practico
4 Observa y completa cada afirmación.
a.
El largo del lápiz es cm
y mm.
b.
El largo del pinche es cm
y mm.
5 Mide con una regla en centímetros (cm) y milímetros (mm).
a. El largo de tu estuche. b. El ancho de tu libro. c. El largo de tu libro.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera marquen una línea de partida en el
suelo. Luego, ubíquense de pie detrás de ella y arrojen una pelota de papel.
Paso 2 Estimen en metros y centímetros a qué distancia está su pelota de la línea
de partida.
Paso 3 Midan la distancia con la huincha de medir en metros (m), centímetros (cm) y milímetros (mm).
Paso 4 Registren y comparen sus estimaciones con las medidas registradas.
Manos a la obra
Materiales
Huincha de medir.
Pelota de papel.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
13 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
13 15
8 9 8 9
11 12
Lección 1 · Unidades de medida de longitud 103
2
Unidad

Objetivo: Usar kilómetros para medir longitudes.
Observa la distancia entre los diferentes lugares.
Colegio
Zoológico
Casa de Pamela
5 km
8 km
Aprendo
El kilómetro (km)
también es una
unidad de medida
de longitud.
El largo del tren
mide aproximadamente
1 000 metros. Es decir,
mide 1 kilómetro.
El colegio está a 5 km de
la casa de Pamela.
El zoológico está a 8 km
de la casa de Pamela.
Practico
6 ¿Cuál de las siguientes longitudes la expresarías en kilómetros (km)? Justifica tu respuesta.
• La altura máxima de un túnel. • La distancia entre Calama y Rancagua.
7 Indica en qué unidades de medida expresarías cada longitud. Explica tu decisión en cada caso.
a. El largo de una hormiga. b. La distancia entre tu casa y el colegio.
8 Francisco camina 3 cuadras iguales para llegar a la casa de su prima. Esta distancia, ¿podría ser
de 3 km? Explica.
9 Historia, Geografía y Ciencias Sociales Investiga cuánto mide el largo de Chile continental.
¿Crees que sea adecuado utilizar otra unidad de medida para expresar esta longitud?, ¿por qué?
10 Generalmente en el control médico de un niño se suele medir su estatura.
¿En qué otras situaciones es necesario medir? Describe 2 ejemplos.
• ¿Qué fue lo que más te gustó de las actividades que realizaste? ¿Por qué?
Reflexiono
1 km = 1 000 m
104

Transformación entre unidades de medida de longitud
Ya puedes medir utilizando milímetros, centímetros, metros y kilómetros. Ahora realizarás transformaciones entre
estas unidades de medida.
Objetivo: Transformar metros y centímetros en centímetros, y viceversa.
En la clase de Ciencias Naturales se midió la estatura de los estudiantes.
¿Cómo expresarías la estatura de Josefina en centímetros?
1 m y 38 cm
1 m = 100 cm
38 cm
1 m y 38 cm 100 cm + 38 cm = 138 cm
Respuesta: La estatura de Josefina es 138 cm.
Luego, durante la clase de Educación Física los estudiantes practicaron salto largo. ¿Cuántos metros
y centímetros saltó desde la línea de la partida?
125 cm
100 cm = 1 m
25 cm
125 cm = 100 cm + 25 cm 1 m y 25 cm
Respuesta: con su salto avanzó 1 m y 25 cm.
Aprendo Josefina, mides
1 metro y
38 centímetros.
125 cm
Paso 1 Junto con dos compañeros o compañeras midan sus estaturas. Cada uno se
para apoyando su espalda en una pared, otro apoya la tiza sobre la cabeza y
hace una marca en la pared.
Paso 2 Midan con la huincha la distancia, expresada en centímetros, desde la marca al suelo.
Paso 3 Registren sus mediciones en una tabla. Luego, transfórmenlas a metros y centímetros.
Manos a la obra
Materiales
Huincha de medir.
Tiza.
2
Unidad

Practico
1 El largo de un camión mide 4 m y 56 cm. ¿Cómo expresarías esta medida
en centímetros?
2 Transforma las siguientes medidas de longitud en centímetros (cm).
a. 7 m b. 5 m y 92 cm c. 2 m y 40 cm d. 3 m y 8 cm
3 Transforma las siguientes medidas de longitud en metros (m) y centímetros (cm).
a. 800 cm b. 156 cm c. 380 cm d. 909 cm
4 Completa las siguientes equivalencias entre metros (m) y centímetros (cm).
a. 50 m = cm b. 8 600 cm = m
Objetivo: Transformar centímetros y milímetros en milímetros, y viceversa.
¿Cómo expresarías el largo del lápiz en centímetros?
13 cm y 5 mm
13 cm = 130 mm
5 mm
13 cm y 5 mm 130 mm + 5 mm = 135 mm
Respuesta: El largo del lápiz es 135 mm.
¿Cómo expresarías el largo del clip en centímetros y milímetros?
31 mm
30 mm = 3 cm
1 mm
31 mm = 30 mm + 1 mm 3 cm y 1 mm
Respuesta: El largo del clip es 3 cm y 1 mm.
Aprendo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
13 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
13 15
Practico
5 El largo de una corchetera es 16 cm y 7 mm. ¿Cómo expresarías esta longitud en milímetros? Muestra
paso a paso tu resolución.
Para transformar
centímetros en metros
puedes dividir en 100,
mientras que para
transformar metros en
centímetros puedes
multiplicar por 100.
m cm
· 100
: 100
Atención
12 13 14
2 3 4
106

6 Expresa las siguientes medidas en milímetros (mm).
a. El largo de una goma de borrar mide 4 cm y 3 mm. mm
b. El largo de un auto de juguete mide 7 cm y 8 mm. mm
7 Completa las siguientes equivalencias entre centímetros (cm) y milímetros (mm).
a. 900 mm = cm b. 53 cm = mm
8 ¿Qué medirías en milímetros? Da tres ejemplos y explica tu elección.
2 790 m
Objetivo: Transformar kilómetros y metros en metros, y viceversa.
Raúl registró la distancia desde su casa a algunos lugares de su barrio.
Casa de Raúl
1 km y 470 m
2 km y 320 m
¿Cuál es la distancia entre la casa de Raúl y la biblioteca expresada en metros?
1 km y 470 m
1 km = 1 000 m
470 m
1 km y 470 m 1 000 m + 470 m = 1 470 m
Respuesta: La distancia entre la casa de Raúl y la biblioteca es 1 470 m.
¿Cómo expresarías la altura a la que está el avión sobre el nivel del suelo en kilómetros y metros?
2 790 m
2 000 m = 2 km
790 m
2 790 m = 2 000 m + 790 m 2 km y 790 m
Respuesta: El avión está a 2 km y 790 m sobre el nivel del suelo.
Aprendo
Paratransformarmilímetros
en centímetros puedes
dividir en 10, mientras
que para transformar
centímetros en milímetros
puedes multiplicar por 10.
cm mm
· 10
: 10
Atención
Nivel del suelo
2
Unidad

Practico
9 Utiliza la imagen del barrio de Raúl para completar cada afirmación.
a. La comisaría está a km y m de la casa de Raúl.
b. La distancia entre la comisaría y la casa de Raúl es m.
10 Completa la siguiente equivalencia entre medidas de longitud.
4 km y 235 m
km = m
m
4 km y 235 m m + m = m
11 Transforma en metros (m) las siguientes medidas de longitud.
a. 4 km b. 2 km y 49 m c. 3 km y 7 m
12 Transforma en kilómetros (km) y metros (m) las siguientes medidas de longitud.
a. 1 465 m b. 9 009 m c. 7 550 m
13 Completa las siguientes equivalencias entre metros (m) y kilómetros (km).
a. 9 000 m = km b. 13 km = m
14 La distancia entre la casa de Sofía y su colegio es de 5 275 m. Todas las mañanas,
Sofía va a su colegio en bicicleta. ¿Cómo expresarías, en kilómetros y metros,
la distancia que recorre de ida y de vuelta diariamente Sofía para ir al colegio?
15 Observa la imagen y responde.
a. ¿Cómo expresarías, en kilómetros y metros, la
distancia entre el lago Cristal y el campamento?
b. ¿Cómo expresarías, en kilómetros y metros, la
distancia entre el comienzo del sendero y el
lago Cristal?
c. ¿Cómo expresarías la distancia entre el
campamento y el puesto de observación?
• ¿Por qué crees que mantener un estilo de trabajo ordenado y metódico es importante cuando trabajas la
medición? Da dos ejemplos.
Reflexiono
Para transformar metros
en kilómetros puedes
dividir en 1 000,
mientras que para
transformar kilómetros
en metros puedes
multiplicar por 1 000.
km m
· 1 000
: 1 000
Atención
Campamento
9 700 m
5 600 m
3 800 m
5

6
0
0
m
Lago Cristal
Comienzo
del sendero
Puesto de
observación
Ingresa a
http://roble.pntic.mec.es/
arum0010/#matematicas y podrás
realizar transformaciones entre
unidades de medida de longitud
utilizando un software educativo.
Uso de software
108

Anteriormente estudiaste algunas unidades de medida de longitud estandarizadas y realizaste transformaciones
entre ellas. Ahora utilizarás este contenido para resolver problemas.
Objetivo: Usar la adición o la sustracción para resolver
problemas de medición.
José utilizará ambas cuerdas para amarrar un paquete.
¿Cómo expresarías, en metros y centímetros, el largo
total de las dos cuerdas?
75 cm 255 cm
?
75 + 255 = 330
1 1
7 5
+ 2 5 5
3 3 0
330 cm = 300 cm + 30 cm 3 m y 30 cm
Respuesta: El largo total de las dos cuerdas es de 3 m y 30 cm.
La distancia entre el pueblo A y el pueblo C es 450 km. ¿Cómo expresarías, en metros, la distancia entre
el pueblo B y el pueblo C?
?
420 km
Pueblo A Pueblo B Pueblo C
Distancia entre el pueblo A y el C
450 km
Distancia entre el pueblo B y el C
450 – 420 = 30
420 km ?
Respuesta: La distancia entre el pueblo B y el C es 30 000 m.
Aprendo
100 cm = 1 m
300 cm = 3 m
330 cm = 3 m y 30 cm
Atención
255 cm 75 cm
30 km = 30 000 m
Atención
4 5 0
– 4 2 0
3 0
2
Unidad

Practico
a. Maite amarra una caja de regalo con una cinta que mide 56 cm.
Después amarra otra caja con una cinta que mide 184 cm. ¿Cómo
expresarías, en metros y centímetros, el largo total de las cintas
que usó Maite?
b. Felipe camina en línea recta hasta la casa de su amiga. Al volver
a casa, toma el otro camino. ¿Cómo expresarías, en kilómetros y
metros, la distancia total que caminó Felipe?
2 Utiliza un diagrama para representar los siguientes problemas.
Luego, resuélvelos y expresa tu respuesta en metros y centímetros.
a. La estatura de Paulina es 197 cm y mide 23 cm más que su hermano.
¿Cuánto mide el hermano de Paulina?
b. El lunes, Javier compró 675 cm de una tela. El martes, compró
750 cm de la misma tela. ¿Cuánta tela compró en total Javier
en ambos días?
Objetivo: Usar la multiplicación o la división para resolver problemas de medición.
Julia tiene 4 trozos de alambre de 178 cm de largo cada uno. ¿Cómo expresarías, en metros y centímetros,
el largo total del alambre que tiene Julia?

178 cm
?
3 3
1 7 8 · 4
7 1 2
178 · 4 = 712
712 cm = 700 cm + 12 cm 7 m y 12 cm
Respuesta: El largo total del alambre es 7 m y 12 cm.
Para cercar un terreno se utilizan 96 m de alambre. Si en la cerca se utilizarán tres vueltas de alambre,
¿cuántos metros de alambre se utilizarán en cada vuelta?

96 m
?
9’ 6’ : 3 = 32
– 9
0 6
– 6
0
96 : 3 = 32
Respuesta: En cada vuelta se utilizarán 32 m de alambre.
Aprendo
56 cm 184 cm
?
Cuando aplicas una variedad de
estrategias para encontrar la solución
a un problema estás desarrollando la
habilidad de resolver problemas.
Habilidad
Casa de Felipe Casa de la amiga
650 m
740 m
110

Practico
3 Completa la resolución de cada problema.
a. Un carpintero corta un trozo de madera en 5 partes de igual medida. Cada parte mide 75 mm
de largo. ¿Cómo expresarías, en centímetros y milímetros, el largo inicial del trozo de madera?
?
=
mm = cm mm
El largo inicial del trozo de madera es cm y mm.
b. Daniela corta una cinta de 90 cm de largo en 5 partes iguales. ¿Cómo expresarías, en milímetros,
el largo de cada parte de la cinta?
=
cm = mm
?
Cada parte de la cinta mide mm.
4 Resuelve los siguientes problemas. Muestra tu desarrollo en cada caso.
a. Carolina tiene sus juguetes guardados en las tres
cajas iguales que se muestran en la imagen.
¿Cómo expresarías el largo de cada caja en
milímetros?, ¿y en centímetros?
b. Marcos compró 81 m de tela para hacer uniformes y los cortó equitativamente en 9 trozos.
¿Cuántos metros de largo tiene cada trozo?
c. El mástil de la bandera de un colegio mide aproximadamente 6 m de altura. Un edificio ubicado
detrás del mástil mide 65 veces más que el mástil. ¿Cuál es la altura aproximada del edificio?
5 Educación Física y Salud Una cancha oficial de vóleibol debe tener un terreno de juego rectangular
de 18 m de largo y 9 m de ancho. Alrededor del terreno de juego debe haber un espacio mínimo de
2 m en pista cubierta y 3 m en pistas al aire libre.
a. ¿Cuál es el perímetro de la pista cubierta?
b. ¿Cuál es el perímetro de la pista al aire libre?
6 Mide el patio de tu colegio. ¿Qué unidad de medida utilizaste?, ¿por qué? ¿Cuál es el perímetro de ese
patio? Explica cómo lo calculaste.
Cuando utilizas diagramas
para relacionar los datos
de un problema estás
de representar.
Habilidad
870 mm
2
Unidad

Objetivo: Usar dos operaciones para resolver problemas de medición.
Roberto corta una cuerda en 5 trozos y le sobran 9 cm. Si cada uno mide 28 cm de largo,
¿cuál es el largo total de los 5 trozos de cuerda?

?
28 cm
4
2 8 · 5
1 4 0
28 · 5 = 140
140 cm = 100 cm + 40 cm 1 m y 40 cm
Respuesta: El largo total de los 5 trozos de cuerda es 1 m y 40 cm.
¿Cuánto medía la cuerda antes de que Roberto la cortara?

?
140 cm 9 cm
1 4 0
+ 9
1 4 9
140 + 9 = 149
149 cm = 100 cm + 49 cm 1 m y 49 cm
Respuesta: Antes de que Roberto cortara la cuerda, esta medía 1 m y 49 cm.
Aprendo
Practico
a. Camila y Juan participan en una carrera. Ambos deben ir desde un punto A hasta un punto B y volver.
La distancia entre el punto A y el punto B es 54 m. Cuando Camila completa la carrera, Juan solo ha
recorrido 36 m. ¿Qué distancia le falta a Juan para completar la carrera?
b. Mateo tiene una cuerda de 95 cm. Primero corta 14 cm, luego corta el resto en 3 partes iguales.
¿Cuál será el largo de cada parte?
c. Una cinta verde mide 4 m de largo. Una cinta roja mide 6 veces más que la verde. Martín corta la cinta
roja en 3 partes iguales. ¿Cuál es el largo de cada pedazo de la cinta roja?
d. Ana se está preparando para una carrera de resistencia. Corre 685 m, nada 490 m y recorre 900 m en
bicicleta. ¿Cómo expresarías, en kilómetros y metros, el recorrido total de Ana?
8 Crea un problema que puedas resolver con el siguiente diagrama.
• ¿Crees que la estrategia de representar la información en un diagrama te servirá para resolver otros
problemas?, ¿por qué?
Reflexiono
? Sigue practicando en el cuaderno de ejercicios, páginas 45 a la 50.
112

1 Elige la palabra más adecuada y completa cada enunciado. (1 punto cada uno)
kilómetros largo metros milímetros medida centímetros
a. Ariel tiene dos pedazos de tela. El total de los dos pedazos es 5 m y 92 cm.
b. Carla tiene que viajar varios en tren para visitar a sus abuelos.
c. Juan quiere medir el largo de una mosca, esta medición debería expresarla en .
2 Completa las siguientes equivalencias. (2 puntos cada una)
a. 7 m y 69 cm = cm b. 8 905 m = km y m
3 Resuelve los siguientes problemas. (1 punto por la respuesta y 2 puntos por la explicación)
a. Ciencias Naturales Ana midió el largo de una hormiga y de una
mantis religiosa. Sabe que las medidas fueron 5 cm y 5 mm,
pero no recuerda cuál es la medida de cada una. ¿Quién crees
que midió 5 cm? Explica tu decisión.
b. La familia González se va de campamento. Quieren ubicar dos sacos de dormir de manera horizontal,
uno a continuación del otro unidos por su largo. Uno de los sacos de dormir mide 43 cm de ancho y
el otro, 47 cm. ¿Cuánto debe medir como mínimo el ancho de la carpa? Explica.
1 y 3
Medición de longitudes en milímetros,
centímetros, metros y kilómetros.
Argumentar y
comunicar, resolver
problemas.
8 a 9 puntos.
o menos.
2
Transformación entre unidades de
medida de longitud.
Representar.
• ¿Tuviste errores? ¿Para qué crees que te serviría corregirlos?
• ¿Crees que lograste los aprendizajes propuestos para esta lección en la página 96? Explica.
• ¿Tienes dudas sobre algún contenido? ¿Qué estrategias podrías utilizar para aclararlas?
• ¿Cuál o cuáles de las estrategias que planteaste al inicio de la lección facilitaron tu aprendizaje?
¿Cuáles mantendrías para la próxima lección y cuáles agregarías?, ¿por qué?
Reflexiono
Mantis religiosa Hormiga
¿Cómo voy? 2
Unidad

Repaso
1 Escribe si el ángulo marcado en cada objeto es mayor, igual o menor que un ángulo recto (90°).
a. b. c.
2 Marca con rojo los lados de cada figura y con azul sus ángulos interiores.
a. b. c.
3 Identifica los ángulos rectos que tiene cada figura. Utiliza un o una . Márcalos con rojo.
a. b. c.
• Ángulo recto
• Líneas rectas perpendiculares
• Líneas rectas paralelas
• Líneas rectas que se intersecan
• Caras
• Aristas
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con las de un compañero o una compañera. Revisen en qué actividades
respondieron algo distinto. ¿Cuáles son las diferencias?
• Explícale la estrategia que aplicaste y escucha atentamente la explicación de su estrategia.
• Comenten acerca de cuál de sus estrategias puede ser la más adecuada.
Reflexiono
114
2
Lección
Figuras 2D y 3D
2
Lección

Líneas rectas que se intersecan
y que son perpendiculares
En años anteriores estudiaste líneas rectas y curvas. Ahora utilizarás estos contenidos para identificar líneas
rectas que se intersecan y que son perpendiculares.
Aprendo
Objetivo: Identificar líneas rectas que se intersecan y que son perpendiculares.
Joaquín marcó líneas perpendiculares en los siguientes dibujos.
• ¿Cómo son las líneas perpendiculares?
Las líneas perpendiculares se pueden representar por líneas rectas que al intersecarse forman
ángulos rectos.
Estas dos líneas rectas no son
perpendiculares, ya que al intersecarse
no forman ángulos rectos.
Ángulos rectos
Estas dos líneas rectas son
perpendiculares, ya que al
intersecarse forman ángulos rectos.
Estas rectas al intersecarse no forman
ángulos rectos. Luego, la recta L3
no
es perpendicular a L4
.
L3
L4
La recta L1
y la recta L2
al intersecarse forman
ángulos rectos. Luego, L1
es perpendicular
a L2
. Simbólicamente, L1
9 L2
.
L1
L2
• ¿Cómo puedes comprobar si dos rectas son perpendiculares?
Puedes utilizar una escuadra como muestra la imagen.
Recuerda manifestar
curiosidad e interés por
los nuevos aprendizajes.
Actitud
El símbolo 9
significaperpendicular.
Atención
115
Lección 2 · Figuras 2D y 3D
2
Unidad

También puedes utilizar un papel con forma cuadrada o rectangular, o un transportador.or.
Apoyas una de las esquinas del papel sobre
las rectas como se muestra. El ángulo recto
del papel coincide con el ángulo formado
por ambas rectas. Por lo tanto, L1
es
perpendicular a L2
.
L1
L2
Ubicas el origen del transportador en la
intersección de ambas rectas y mides el ángulo
formado por ellas. Este mide 90°, por lo tanto, L1
es perpendicular a L2
.
90
80
70
60
50
4
0
3
0
2
0
1
0
0
100 110 120 130
1
4
0
1
5
0
1
6
0
1
7
0
180
80 70
60
50
4
0
3
0
2
0
1
0
0
100
110
120
130
1
4
0
1
5
0
1
6
0
1
7
0
180
L1
L2
Practico
1 Utiliza una escuadra, un papel rectangular o un transportador para determinar si cada par de rectas
a. L1
L2
b. L1
L2
2 Observa las siguientes rectas e identifica cuáles de ellas son perpendiculares. Luego, completa.
L2
L1 L3
L4
La recta es
perpendicular a la recta .
Simbólicamente, 9 .
3 Remarca con rojo los pares de lados que son perpendiculares en cada figura.
a.
A
C
B
b.
X Y
Z
W c.
P
Q
R
S
116
Lección 2 • Figuras 2D y 3D

a. Francisca dibujó un cuadrado y un trapecio. Luego, marcó del mismo color algunos lados perpendiculares.
¿Está en lo correcto?, ¿por qué?
Cuadrado
Trapecio
b. Miguel afirma que el trapecio que dibujó tiene lados perpendiculares. ¿Cuáles son? Verifica tu
respuesta y márcalos con rojo.
5 Observa las líneas perpendiculares marcadas en el dibujo.
Remarca otras líneas perpendiculares que puedes hallar en él.
6 Remarca dos líneas perpendiculares en los siguientes dibujos.
Justifica tu elección.
a. b. c.
7 Dibuja rectas perpendiculares y no perpendiculares. Pídele a un compañero o una compañera que
las identifique. Revisa sus respuestas y corrígelas si es necesario.
Paso 1 Junto con dos compañeros o compañeras observen su sala de clases y su colegio.
Hallen objetos en los que se vean líneas que se intersecan.
Paso 2 Sepárenlos en objetos con líneas perpendiculares y objetos sin
líneas perpendiculares.
Paso 3 Usen la hoja de papel, la escuadra o el transportador para comprobar si son o no perpendiculares.
Paso 4 Dibujen solo los objetos con líneas perpendiculares. Destaquen estas líneas.
Paso 5 Comparen sus objetos con los que hallaron otros grupos.
Manos a la obra
Materiales
Hoja de papel
rectangular.
Escuadra.
Transportador.
• ¿Cuál de las estrategias que utilizaste crees que es más conveniente para identificar rectas perpendiculares?,
¿por qué?
Reflexiono
Recuerda expresar tus
ideas y escuchar las de tus
compañeros y compañeras
de manera respetuosa.
Actitud
117
2
Unidad

Como ya pudiste representar e identificar líneas rectas perpendiculares, ahora estudiarás las características de
las líneas rectas paralelas.
Aprendo
Objetivo: Identificar líneas rectas paralelas.
Los estudiantes de 5° básico reconocieron algunas líneas paralelas en su entorno.
• ¿Cómo son las líneas paralelas?
Las líneas paralelas se pueden representar por líneas rectas que no se intersecan y que la distancia entre
ellas es siempre la misma.
10 cm 10 cm
Las rectas L1
y L2
son paralelas. También son rectas paralelas L3
y L4
.
L1
L2
L3
L4
Simbólicamente, lo puedes representar como: L1
// L2
y L3
// L4
.
Cuando extraes información
de tu entorno y la expresas
matemáticamente estás
de representar.
Habilidad
El símbolo //
significa paralelo.
Atención
118

Observa las rectas representadas en la cuadrícula.
L1
L2
2
Las rectas L1
y L2
son paralelas (L1
// L2
). Para dibujarlas
puedes usar una regla y trazarlas como se muestra en la
imagen. No olvides representar en ambos extremos una
punta de flecha.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
13 15
• ¿Cuál es la distancia que hay entre las rectas L1
y L2
?
Para saberlo, puedes contar la cantidad de que hay entre ambas rectas.
2
L1
L2
La recta L1
siempre está a 2 de la recta L2
. Por lo tanto,
la recta L1
es paralela a la recta L2
(L1
// L2
). Para dibujarlas
puedes usar una regla y trazarlas como se muestra en la
imagen. Recuerda dibujar una punta de flecha en
ambos extremos.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
13
15
• ¿Las rectas L3
y L4
están siempre a la misma distancia?
1
4
L4
L3
Las rectas L3
y L4
no están a la misma distancia. Hay puntos
de ambas rectas que están a 4 de distancia y otros que
están a 1 de distancia.
119
2
Unidad

• ¿Las rectas L3
y L4
son paralelas??r.
Si proyectas las rectas L3
y L4
con una línea segmentada
podrás notar que ambas rectas se intersecan en el punto X.
Por lo tanto, L3
y L4
no son paralelas, ya que la distancia no es
siempre la misma.
L4
L3
X
Practico
1 Remarca el si las rectas son paralelas; de lo contrario remarca la . Justifica tu elección.
a. L1
L2
b. L3
L4
c. L5
L6

2 Identifica los pares de lados paralelos en cada figura y márcalos con rojo.
R
S
U
T
K
J O
N
M
L
X
Y W
Z V
E
F
G
H
I
A
B
D
C
3 Marca un par de líneas paralelas que identifiques en cada dibujo.
a. b. c.
120

4 Dibuja rectas paralelas y no paralelas. Pídele a un compañero o una compañera que
las identifique. Revisa sus respuestas y corrígelas si es necesario.
Paso 1 Junto a dos compañeros o compañeras observen su sala de clases y su colegio.
Hallen objetos en los que sea posible identificar líneas paralelas y no paralelas.
Paso 2 Usen una regla para comprobar si las líneas son paralelas.
Paso 3 Registren los objetos que encontraron en una tabla.
Paso 4 Comparen sus objetos con los que hallaron otros grupos.
Manos a la obra
Materiales
Regla.
Observa la siguiente figura.
A
L
K
J
I H G
F
E
D
C
M
X
N
B
O
• Identifica tres pares de líneas perpendiculares.
• Si estás parado en el punto X y quieres ir hacia el punto A, ¿cuál es el camino más corto para
llegar al punto A desde el punto X?
• ¿Hay alguna línea perpendicular al camino más corto? Menciona dos.
• Halla tres caminos desde el punto X al punto A que estén dentro del área pintada. Cada camino
debe estar formado por uno o más pares de líneas perpendiculares.
Usa cinco líneas rectas para formar una figura que tenga cuatro pares de líneas paralelas y cuatro
pares de líneas perpendiculares. ¿Qué figura obtienes?
• ¿Cuál de las estrategias que utilizaste crees que es más conveniente para identificar líneas paralelas?, ¿por qué?
Reflexiono
Recuerda manifestar una
actitud positiva frente a ti
mismo y tus capacidades.
Esto significa que debes
confiar en tus propias
ideas y habilidades.
Actitud
121
2
Unidad

Caras y aristas paralelas o perpendiculares
Como ya identificaste y representaste líneas paralelas y perpendiculares, ahora lo utilizarás para reconocer caras
y aristas en figuras 3D que son paralelas, que se intersecan o que son perpendiculares.
Objetivo: Identificar caras y aristas paralelas y que se intersecan en objetos del entorno.
Para la clase de Tecnología los estudiantes deben construir un robot con cajas de cartón.
La caja tiene forma de un paralelepípedo recto. En ella hay caras
que tienen una arista en común. Por ejemplo:
La cara ABCD se interseca con la cara ADEF en la arista AD.
Si llamas G al vértice de la caja que no se ve, las caras ABCD y
EFGH no se intersecan.
También puedes observar que hay aristas que tienen un vértice
común. Por ejemplo:
La arista AB se interseca con la arista AF en el vértice A.
La arista AB no se interseca con la arista DC.
Aprendo
F
A
E
D
B
H
C
Practico
Utiliza la imagen de la caja de cartón para desarrollar las siguientes actividades.
1 Escribe todas las caras que se intersecan con las siguientes caras.
a. AFED b. BGHC c. EFGH d. DCHE
2 Escribe todas las aristas que se intersecan con las siguientes aristas.
a. AD b. FE c. GH d. EH
3 Responde.
a. Si mides la distancia entre las caras de la caja que no se intersecan, en distintos puntos,
¿qué crees que ocurrirá? Argumenta.
b. ¿Ocurrirá lo mismo con las aristas? Justifica tu respuesta.
c. ¿Qué ángulo forman al intersecarse las aristas AB con BC ? ¿Ocurrirá lo mismo con las otras aristas
que se intersecan?, ¿por qué?
d. ¿Qué ángulo forman las caras que se intersecan?
122

Objetivo: Identificar caras y aristas paralelas o que se intersecan y son perpendiculares en un
paralelepípedo recto.
A
D
C
G
F
E
H
B
La cara ABCD del paralelepípedo no se interseca con la cara EFGH
y la distancia entre ellas es siempre la misma. Por lo tanto, estas
caras son paralelas.
La cara ABCD se interseca con la cara ADHE en la arista AD
formando un ángulo recto, luego estas caras son perpendiculares.
Las aristas AB y DC del paralelepípedo no se intersecan y la
distancia entre ellas es siempre la misma. Luego, estas aristas
son paralelas.
La arista AB se interseca con la arista AD, formando un ángulo
recto. Luego, estas aristas son perpendiculares.
Aprendo
Practico
Utiliza el paralelepípedo dibujado en la sección Aprendo para desarrollar las siguientes actividades.
a. La cara AEFB es paralela a la cara .
b. La cara ADHE es perpendicular a la cara .
a. ¿Qué caras son perpendiculares a la cara AEFB? Explica.
b. ¿Cuántas caras perpendiculares a cada cara del paralelepípedo hay?, ¿cómo lo determinaste?
c. ¿Cuántas caras paralelas a cada cara del paralelepípedo hay?, ¿cómo lo determinaste?
d. Las caras ABCD y ADHE se intersecan. ¿A qué elemento del paralelepípedo corresponde su
intersección? ¿Ocurrirá siempre lo mismo cuando se intersecan dos caras? Explica y da ejemplos.
e. Las aristas AB y AD se intersecan. ¿A qué elemento del paralelepípedo corresponde su intersección?
¿Ocurrirá siempre lo mismo cuando se intersecan dos aristas? Explica y da ejemplos.
f. Las aristas DH y AE, ¿son paralelas? ¿Por qué?
g. ¿Cuáles aristas son perpendiculares entre sí?, ¿cómo lo sabes?
123
2
Unidad

6 Observa las siguientes representaciones de figuras 3D. Encierra aquellas que tengan caras o aristas
paralelas y perpendiculares. Luego, dibuja 3 de ellas.
7 Escoge un objeto de tu entorno y pídele a un compañero o compañera que identifique si tiene caras
y bordes paralelos o perpendiculares. Revisa sus respuestas y corrígelas si es necesario.
8 Observa tu sala y selecciona objetos que puedan representarse con figuras 3D. Identifica en ellas las
caras y aristas que son paralelas o perpendiculares.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera observen las cajas vacías
e identifiquen en ellas caras paralelas y márquenlas con un color.
Verifiquen que son paralelas.
Paso 2 Identifiquen en las cajas sus caras perpendiculares y márquenlas con
otro color. Verifiquen que son perpendiculares.
Paso 3 Identifiquen los bordes paralelos de las cajas y márquenlos con un color. Verifiquen que
son paralelos.
Paso 4 Identifiquen los bordes perpendiculares de las cajas y márquenlos con otro color. Verifiquen que
Paso 5 Comparen su trabajo con otras parejas y comenten cómo verificaron que las caras y los bordes
son paralelos o perpendiculares.
Manos a la obra
Materiales
Cajas de
medicamentos vacías.
Marcadores.
• ¿Qué estrategia aplicas para reconocer caras paralelas o perpendiculares en tu entorno? Escríbela.
Reflexiono
124

Lados paralelos o perpendiculares
Anteriormente pudiste identificar caras y aristas paralelas y perpendiculares en figuras 3D. Ahora reconocerás
lados paralelos o perpendiculares en figuras 2D.
Objetivo: Identificar lados paralelos, perpendiculares y que se intersecan en figuras 2D.
Mónica y Fabián construyen algunos triángulos y cuadriláteros.
• ¿En qué se asemejan y en qué se diferencian estos triángulos?
Los lados de los triángulos se intersecan. Por lo tanto, los triángulos no tienen lados paralelos.
El triángulo construido por Mónica es
un triángulo rectángulo. Tiene un par
de lados perpendiculares.
El triángulo construido por Fabián
no tiene lados perpendiculares.
• ¿En qué se asemejan y en qué se
diferencian estos cuadriláteros?
Los lados de ambas figuras se
intersecan y los lados opuestos son
paralelos. Solo el rectángulo tiene
lados perpendiculares.
Aprendo
Practico
1 Dibuja cada figura y marca con rojo sus lados paralelos y con azul sus lados perpendiculares.
a. Cuadrado b. Trapecio c. Hexágono
2 Observa las figuras y responde.
a. Escribe una descripción para cada figura, indicando la cantidad de lados paralelos y perpendiculares
que tienen.
b. Elige dos descripciones y pídele a un compañero o una compañera que descubra qué figuras son.
c. Revisa si tus descripciones son correctas o necesitas corregirlas.
• ¿Qué dudas te surgieron al desarrollar las actividades? ¿Las preguntaste en clases?, ¿por qué?
Reflexiono
125
2
Unidad

¿Cómo voy?
1 Escribe una V si la afirmación es verdadera o una F si es falsa. Justifica en cada caso. (1 punto por
verificar y 1 punto por cada justificación)
a. Las rectas perpendiculares no se intersecan en ningún punto.
b. Un ángulo recto se forma cuando dos rectas se intersecan en un punto.
c. Dos rectas son paralelas si no se intersecan y la distancia entre ellas es siempre la misma.
2 Observa cada figura y remarca lo pedido. (3 puntos cada una)
a. Con azul los pares de lados perpendiculares.
A
B
C
D
E
b. Con rojo los pares de lados paralelos.
A
B
C
D
E F
3 Tecnología Ema construyó un mueble que tiene cuatro caras rectangulares y dos cuadradas.
Las caras opuestas son paralelas y las caras que tienen una arista en común son perpendiculares.
a. Dibuja una figura 3D que se asemeje al mueble que construyó Ema. (1 punto)
b. Nombra sus vértices y escribe dos pares de caras perpendiculares, dos pares de aristas paralelas y dos
pares de aristas perpendiculares. (1 punto por cada par)
1 y 2
Lados de figuras 2D que son
paralelos, que se intersecan o que
representar.
10 a 11 puntos.
o menos.
3
Aristas y caras de figuras 3D que son
paralelas, que se intersecan o que
Representar, modelar.
• ¿Tienes dudas en algún contenido? Intenta aclararlas con algún compañero o compañera.
• ¿Crees que has logrado las metas que te propusiste al iniciar la unidad? Explica.
• ¿Pudiste expresar tus ideas y escuchar las de otros en forma respetuosa? ¿Cómo te puede ayudar esta
actitud para tu aprendizaje?
Reflexiono
126

2
Unidad
3
Lección
Congruencia
Repaso
1 Encierra el o los grupos de figuras que te permiten formar el siguiente trapecio.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
2 Imagina que mueves o rotas los siguientes triángulos para formar dos figuras distintas. Escribe el
nombre de cada figura y la cantidad de triángulos que usaste.
a. Nombre:
Cantidad de :
b. Nombre:
Cantidad de :
3 En un curso deben dividir el diario mural de forma rectangular en partes iguales para exponer
diferentes temas. Aún no saben cuántos temas serán. ¿Cómo propondrías dividirlo? Explica tu
decisión, luego escribe el nombre y la cantidad de figuras en la que lo dividirías.
• Trasladar
• Reflejar
• Rotar
• Congruencia
• Eje de simetría
• Centro de rotación
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con las de un compañero o una compañera. ¿Tuvieron respuestas distintas?,
¿cuáles? ¿Son las respuestas de ambos correctas? Explica.
• ¿Cuál de estas estrategias te servirá para lograr los aprendizajes de esta lección?, ¿por qué?
Reflexiono
127

Figuras congruentes
En años anteriores aplicaste traslaciones, rotaciones y reflexiones a figuras 2D. Ahora utilizarás estas transformaciones
para comprender la congruencia entre figuras planas.
Objetivo: Trasladar, reflejar y rotar figuras planas.
Daniela diseña servilletas moviendo algunas figuras de diferentes maneras.
Por ejemplo, si traslada de izquierda a derecha el desde la posición 1 hasta
la posición 2.
Puedes trasladar una figura moviéndola en cualquier dirección.
Daniela también quiere crear diseños con letras. Por ejemplo, si refleja la letra D respecto del eje L, obtiene
lo siguiente:
D D
Figura original
L
Figura imagen
A’
A
D
D
Figura imagen
L
B
B’
Figura original
En la reflexión respecto del eje L, a cada punto A de la figura original le corresponde un punto A’ de la
figura imagen. La distancia de cada uno de estos puntos al eje L es la misma y este es perpendicular al
segmento AA’.
En este diseño a la se le realizó medio giro respecto del punto O.
O
Rotar
Rotar
Figura original Figura imagen
Una rotación es la transformación de cualquier punto o figura en el plano en otro punto o figura según un
centro de rotación O y un ángulo.
Aprendo
Posición 1 Posición 2
128
Lección 3 • Congruencia

Una traslación, una reflexión y una rotación son movimientos llamados transformaciones isométricas.
Estos cambian la posición o ubicación de una figura pero mantienen su forma y su tamaño.
Diremos que si dos figuras tienen la misma forma y tamaño, son congruentes.
Practico
1 Observa las figuras y remarca el si las figuras representan la transformación
indicada en cada caso. De lo contrario, remarca la .
a. Traslación.
b. Reflexión respecto del eje L.
c. Rotación respecto del punto O.
• Verifica tus respuestas, calcando, en cada caso una de las dos figuras, recortándola y poniéndola
encima de la otra.
Calcar una figura
consiste en copiar con
exactitud su contorno
sobre un papel.
Atención
L
L L
O
O
O
129
2
Unidad

2 Observa cada caso y responde.
D
A B C
a. ¿En qué caso se representó una traslación? ¿Cómo es la figura resultante respecto de la figura inicial?
¿Ocurrirá esto siempre que se traslada una figura?
b. ¿En qué caso se representó una rotación? ¿Cómo es la figura resultante respecto de la figura inicial?
¿Ocurrirá esto siempre que se rota una figura?
3 El siguiente diseño se obtuvo aplicando una transformación isométrica al triángulo inicial.
Triángulo inicial
C
A B
C
C C
B
B B
A
A
A
Remarca la transformación isométrica aplicada y justifica tu elección.
Traslación Reflexión Rotación respecto de A
Objetivo: Identificar pares de figuras congruentes.
• ¿Cómo puedes saber que estas figuras son congruentes?
Figuras congruentes
Puedes poner una figura sobre la otra y observar si coinciden exactamente. Es decir, si sus lados y ángulos
correspondientes miden lo mismo.
Dos figuras pueden estar en posiciones diferentes y ser congruentes solo si tienen igual forma y tamaño.
Figuras no congruentes
Igual forma pero
distinto tamaño.
Diferente forma y
diferente tamaño
Diferente forma.
Aprendo
O
130
Recuerda que las figuras
congruentes tienen el
mismo tamaño y la
misma forma.
Atención

Practico
4 Calca una de las dos figuras. Luego, recórtala y ponla encima de la otra figura.
Decide si los siguientes pares de figuras son congruentes.
a.
b.
c.
d.
5 Utiliza papel cuadriculado para realizar el dibujo en cada caso.
a. Dos hexágonos congruentes y un tercer hexágono que no sea congruente.
b. Dos figuras congruentes. Luego, dibuja una tercera figura que tenga la misma
forma pero que no sea congruente.
c. Dos paralelogramos congruentes. Luego, dibuja un tercer paralelogramo que
no sea congruente.
6 Calca la figura A, luego recórtala y ponla sobre la figura B.
Rectángulo A Rectángulo B
S R
Q
P S
R Q
P
Utiliza estos rectángulos para evaluar cada afirmación. Escribe una V si la afirmación
es verdadera o una F si es falsa. Justifica en cada caso.
a. Los dos rectángulos son congruentes.
b. El rectángulo A se reflejó para obtener el rectángulo B.
c. El rectángulo A se trasladó para obtener el rectángulo B.
d. El rectángulo A se rotó respecto de P para obtener el rectángulo B.
RDC 4
131
2
Unidad
• Un hexágono es
una figura 2D de seis
lados. Por ejemplo:
• Un paralelogramo es
una figura 2D cuyos
lados opuestos
son paralelos.
Por ejemplo:
Atención
Recuerda realizar las
actividades de manera
ordenada y metódica.
De esta forma facilitarás el
logro de tus aprendizajes.
Actitud

7 Analiza cada situación y responde.
a. Raquel dibujó un pentágono cuyos lados miden 5 cm. Tomás dibujó un octágono cuyos lados
miden 5 cm. Tomás afirma que su figura es congruente con la de Raquel. ¿Está en lo correcto
Tomás?, ¿por qué?
b. Pedro y Javiera dibujaron un trapecio cada uno. Javiera dice que su figura es congruente con la de
Pedro. Explica cómo puedes comprobar si las dos figuras son congruentes.
8 Traslada el triángulo ABC, 8 a la derecha y 1 hacia arriba. Nombra como triángulo A’B’C’ el
triángulo resultante.
B
A
C
a. ¿Qué cambia en el triángulo A’B’C’ respecto del triángulo ABC? ¿Y qué se mantiene? Comenta con un
b. Mide los lados de cada triángulo y registra las medidas en la siguiente tabla.
Medida de los lados de los triángulos ABC y A’B’C’
Lado del triángulo AB A’B’ BC B’C’ CA C’A’
Medida (mm)
c. Compara las medidas obtenidas. ¿Son congruentes los triángulos? Justifica tu respuesta.
9 Utiliza papel cuadriculado y comprueba la congruencia de las siguientes figuras.
a. Dibuja una figura, nombra sus vértices. Luego, refléjala respecto de un eje y nombra los vértices de
la figura resultante. Compara la medida de sus lados y ángulos correspondientes. ¿Son congruentes
las figuras?
b. Repite la actividad anterior, pero en vez de reflejar la figura, rótala en torno a un punto.
¿Son congruentes las figuras obtenidas? ¿Ocurrirá esto siempre al trasladar, reflejar
o rotar una figura? Argumenta.
Paso 1 Utiliza el geoplano y los elásticos para formar dos figuras congruentes. Explícale a
un compañero o una compañera por qué son congruentes.
Paso 2 Ahora forma dos figuras que no sean congruentes. Explícale a un compañero o
una compañera por qué no lo son.
Manos a la obra
Materiales
Geoplano.
Elásticos.
• ¿Qué estrategias puedes aplicar para determinar si dos figuras son congruentes?
• ¿En qué actividades tuviste dificultades?, ¿pudiste superarlas? Explica.
Reflexiono
132

1 Completa cada afirmación. (1 punto cada una)
traslación reflexión rotación congruente
a. La de una figura consiste en girarla alrededor de un punto.
b. Al aplicar una de una figura respecto de un eje, la figura resultante
mantiene su tamaño y su forma.
c. Un triángulo se traslada seis unidades a la izquierda y dos hacia abajo. El triángulo inicial
es con el que resultó al aplicar la traslación.
2 Escribe la transformación isométrica aplicada a la figura inicial en cada caso. (1 punto cada una)
a.
Figura
inicial L b.
Figura
inicial
O
c.
Figura
inicial
3 ¿Cuál de los siguientes pares de figuras son congruentes? Enciérralos y justifica tu elección. (1 punto
por identificarla y 1 punto por la justificación)
4 Artes Visuales Javier realizó el siguiente diseño utilizando solo reflexiones sobre una cuadrícula.
¿Cómo puedes verificar si son o no congruentes las
figuras? Explica dos estrategias. (4 puntos)
1 y 2
Aplicación de transformaciones
isométricas a figuras 2D.
Argumentar y
comunicar, representar.
7 a 8 puntos.
o menos.
3 y 4
Concepto de congruencia a partir de
traslaciones, reflexiones y rotaciones.
Argumentar y
comunicar.
• ¿Tuviste errores?, ¿cómo los corregiste?
• ¿Para qué te puede servir abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas?
Reflexiono
133
¿Cómo voy? 2
Unidad

Repaso
1 Observa y luego completa.
Hay 3 cajas con 5 lápices cada una. ¿Cuántos lápices hay en total?
5 lápices en una caja
3 cajas
cajas con lápices.
+ +
3 · 5 =
Hay lápices en total.
2 Calcula el perímetro (P) de cada figura.
a.
4 cm
2 cm
P =
b.
12 cm
7 cm
5
c
m
3 cm
3 cm
P =
El siguiente diagrama representa el piso de una cocina.
a. ¿Cómo puedes calcular, sin contar, el total de que forman el piso de
la cocina? Explica tu estrategia.
b. Tomás quiere alternar baldosas blancas y azules para cubrir el piso de su
cocina. ¿Cuántas baldosas de cada color deberá comprar?
• Perímetro (P)
• Área (A)
• Largo
• Ancho
• Base
• Altura
• Triángulo
• Paralelogramo
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con las de un compañero o una compañera. Revísenlas y si cometieron errores,
intenten corregirlos.
• ¿Cuál de estas estrategias crees que te servirá para aprender los conceptos de esta lección?, ¿por qué?
Reflexiono
134
4 Área y perímetro
Lección

Áreas de rectángulos y cuadrados
Hasta ahora has calculado el área de un rectángulo y de un cuadrado como la cantidad de que lo componen.
Ahora utilizarás estos contenidos para aplicar otras estrategias que permitan calcular el área de un rectángulo y
de un cuadrado.
Objetivo: Calcular el área de un rectángulo contando y utilizando una expresión matemática.
Para el aniversario del colegio los estudiantes de 5° básico realizarán un mural en el patio. Para ello, dibujan
un rectángulo en el muro y lo dividen de la siguiente manera:
La región que deben pintar tiene forma rectangular y el área de cada es 1 m2
.
Para calcular su área (A) puedes contar la cantidad de de 1 m de lado que cubren
el rectángulo.
Hay 3 filas de y cada una tiene 5 . Por lo tanto, hay 15 de 1 m de lado
cubriendo el rectángulo. Entonces, el área (A) del rectángulo será 15 metros
cuadrados (m2
). Es decir: A = 15 m2
.
En un rectángulo el lado de mayor longitud se llama largo y el de menor longitud se llama ancho.
Largo
5 m
Ancho
3 m
El área (A) de un rectángulo es igual al producto de la medida de su largo por la medida de su ancho.
Por ejemplo:
A = a · b
A = (5 · 3) m2
= 15 m2
largo
ancho
Aprendo
3 · 5 = 15
Atención
¿Cuál es el área que
debemos pintar?
Los lados de cada uno
de estos cuadrados
miden 1 m.
135
2
Unidad

Practico
1 Completa el cálculo del área (A) de cada rectángulo.
a.
1 cm
1 cm
Hay filas de de lado 1 cm y cada una tiene
. Por lo tanto, hay de lado 1 cm
cubriendo el rectángulo. Entonces, A = cm2
.
b.
2 cm
8 cm
A = · = cm2
2 Calcula el área (A) del cuadrado utilizando dos estrategias diferentes.
Estrategia 1
Hay filas de de lado 1 m y cada una tiene
. Por lo tanto, hay de lado 1 m
cubriendo el cuadrado. Entonces, A = m2
.
Estrategia 2
A = · = m2
Medidas de cada
lado del cuadrado
1 m
1 m
3 Calcula el área (A) de los siguientes rectángulos y cuadrados.
a.
1 cm
1 cm
A = · = cm2
Medidas del largo
y del ancho
b.
3 cm
7 cm
A = · = cm2
c.
1 mm
1 mm
A = · = mm2
Medidas del largo
y del ancho
d.
4 m
4 m
A = · = m2
Recuerda que puedes calcular
el área de un rectángulo
contando los que lo
componen o utilizando una
expresión matemática.
Atención
136

En el jardín de forma cuadrada que se muestra en la imagen, la mitad se usó para
cultivar verduras. ¿Cuál es el área del jardín que se usó para cultivar verduras?
Estrategia 1
Calcula el área (A) del jardín.
A = · 8 = m2
Calcula la mitad del área del jardín.
: 2 = m2
Respuesta: El área del jardín que se usó para cultivar verduras es m2
.
Estrategia 2
Calcula la mitad de la medida de cada lado del jardín.
: 2 = m
Calcula el área (A) del jardín que se usó para cultivar verduras.
A = · = m2
Respuesta: El área del jardín que se usó para cultivar verduras es m2
.
m
8 m
5 Resuelve el siguiente problema aplicando dos estrategias diferentes.
La mitad de la ventana de forma cuadrada está cubierta. ¿Qué área de la ventana está cubierta?
50 cm
• ¿Crees que las estrategias estudiadas te servirán para el desarrollo de otro contenido?, ¿agregarías otra? Explica.
Reflexiono
8 m
137
2
Unidad

Paso 1 Junto con un compañero o una compañera utilicen el geoplano y los elásticos
para formar cuatro rectángulos de diferentes medidas. Cada uno de sus lados
debe ser paralelo al borde del geoplano.
Paso 2 Consideren que cada uno de los cuadrados formados por los clavos del
geoplano corresponderá a una unidad cuadrada.
Paso 3 En cada rectángulo cuenten la cantidad de filas de unidades cuadradas y
la cantidad de unidades cuadradas que tiene cada fila. Luego, calculen el
área de cada rectángulo.
Manos a la obra
Materiales
Geoplano.
Elásticos.
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera usen estos segmentos rectos para
construir tres rectángulos de diferente tamaño en el papel cuadriculado.
Guíense por el ejemplo.
4 cm
7 cm
2 cm
3 cm 6 cm
5 cm
Ejemplo
4 cm
2 cm
Paso 2 Calculen el perímetro (P) y el área (A) de cada rectángulo construido.
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
Regla.
Javier dobló todo este alambre para hacer un marco de fotos.
• Si el marco es cuadrado, ¿cuál es el área del interior del marco?
• Si el marco de fotos fuera rectangular, ¿el área del interior del marco de
fotos sería la misma que la del marco cuadrado? Justifica tu respuesta.
• ¿Existe solo un área interior si el marco fuera rectangular? ¿Por qué crees
que ocurre esto? Coméntalo con un compañero o una compañera.
Longitud: 36 cm
138

Estimación de áreas
Anteriormente calculaste el área de un rectángulo y de un cuadrado. Ahora estimarás el área de diferentes
figuras utilizando una cuadrícula.
Objetivo: Estimar el área de una figura.
Leonor y Andrés dibujan algunas figuras en una cuadrícula.
¿Cuál es el área (A) de las figuras dibujadas?
Considera lo siguiente:
A = Media unidad cuadrada
Su área (A) es mayor que media unidad cuadrada y menor
que 1 unidad cuadrada.
Su área (A) es menor que media unidad cuadrada.
Puedes contar los que forman el triángulo y el círculo.
14 15
1 2
13 3 4 5 6 16
7 8 9 10 11 12
El área del triángulo es 16 unidades cuadradas. El área del círculo es 14 unidades
cuadradas, aproximadamente.
Aprendo
5 6
12 1 2 7
11 3 4 8
10 9
14
13
139
2
Unidad

Practico
1 Estima el área (A) de cada figura. Para ello, cuenta los y considera lo siguiente:
A = media unidad cuadrada
Área mayor que media unidad cuadrada
y menor que 1 unidad cuadrada.
Área menor que media unidad cuadrada.
a.
b.
c.
d.
2 Dibuja en una cuadrícula una figura que tenga un área igual a 14 unidades cuadradas
aproximadamente. Explica por qué cumple con la condición dada.
¿Sabes cuál es el área de la palma de tu mano?
Paso 1 Ubica la palma de tu mano sobre el
papel cuadriculado y traza su contorno.
Paso 2 Cuenta los para estimar el área de
la palma de tu mano.
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
• ¿Tuviste dificultades al realizar las actividades?, ¿cómo las superaste?
Reflexiono
Sigue practicando en el cuaderno de ejercicios, páginas 65.
140

Rectángulos y cuadrados a partir de su área
o perímetro
Ya puedes calcular el área de un rectángulo y de un cuadrado, y en años anteriores aprendiste a calcular su
perímetro. Aplicando estos conocimientos podrás construir rectángulos y cuadrados que cumplan ciertas
condiciones y descubrir algunas relaciones.
Objetivo: Calcular el perímetro de
un rectángulo.
Para el campeonato escolar de fútbol
acordonarán el borde de la cancha
para evitar que ingresen al campo
de juego.
¿Cuántos metros de cuerda se necesitan para acordonar la cancha?
La cantidad de cuerda necesaria corresponde a la suma de las medidas del contorno de la cancha.
Como tiene forma rectangular, para determinar la cantidad de cuerda puedes calcular el perímetro (P)
del rectángulo.
42 m
25 m
P = 42 + 25 + 42 + 25 = 134 m
Respuesta: Se necesitan 134 m de cuerda para acordonar la cancha.
El perímetro (P) de un rectángulo es igual a la suma de las medidas de sus lados.
Objetivo: Calcular la medida de uno de los lados de un rectángulo a partir de su perímetro y la medida
del otro lado.
Si el perímetro de la fotografía es 54 cm, ¿cuál es la medida de su ancho?
Calcula la mitad del perímetro. 54 : 2 = 27 cm
La medida del largo del rectángulo más la del ancho es 27 cm.
La medida del ancho es igual a la diferencia entre 27 cm
y 15 cm.
27 – 15 = 12
Respuesta: La medida del ancho de la fotografía es 12 cm.
Aprendo
42 m
25 m
15 cm
La suma de las medidas
del ancho y del largo de un
rectángulo equivale a la
mitad de su perímetro.
Atención
RDC 5
141
2
Unidad

Practico
1 Observa las imágenes y responde.
a. Si al dar una vuelta completa alrededor del terreno rectangular
que bordea la plaza se recorren 28 m, ¿cuál es la medida de
su ancho?
b. Si se utilizarán 18 m de cinta blanca en el borde de la piscina,
¿cuánto mide su ancho?
2 Utiliza una regla y papel cuadriculado para construir cada rectángulo.
a. Rectángulo de perímetro 36 cm y largo igual a 14 cm.
b. Rectángulo de perímetro 42 cm y ancho igual a 9 cm.
3 Representa las siguientes situaciones con un dibujo. Luego, escribe la pregunta que permite obtener
la medida que falta en cada caso.
a. El perímetro de un marco rectangular es 128 mm y su largo mide 35 mm.
b. Fernando dio una vuelta alrededor de un campo rectangular recorriendo una distancia total de 480 m.
La medida del largo del campo es 160 m.
4 Francisca y Pablo dibujaron rectángulos de perímetro 22 cm. Uno de los lados del rectángulo que
dibujó Francisca mide 5 cm y en el que dibujó Pablo mide 4 cm. ¿Es esto posible? ¿Son iguales ambos
rectángulos? Justifica tu respuesta.
5 Utiliza una regla y papel cuadriculado para construir dos rectángulos diferentes cuyo perímetro sea
30 cm. Luego, compáralos con los que dibujaron tus compañeros y compañeras.
a. ¿Todos dibujaron los mismos rectángulos? ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes ver entre todos
los que dibujaron?
b. ¿Se podrá dibujar otro diferente?, ¿por qué?
6 ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir de perímetro 12 cm, y en los que las medidas de
sus lados, en centímetros, sean números naturales? Justifica tu respuesta.
Objetivo: Calcular la medida del lado de un cuadrado a partir de su perímetro.
Si el perímetro (P) de un cuadrado es 64 cm, ¿cuál es la medida de sus lados?
Calcula la medida de los lados del cuadrado.
P : 4 = 64 : 4 = 16 cm
Respuesta: Cada lado del cuadrado mide 16 cm.
Aprendo
Recuerda que en un
cuadrado sus cuatro lados
tienen igual medida.
Atención
8 m
5 m
142

Practico
a. Laura tiene 132 cm de cinta para decorar el borde de un marco de forma cuadrada. Si quiere utilizar
toda la cinta, ¿cuál debe ser la medida de cada lado del marco?
b. ¿Cuántos cuadrados diferentes puedes construir de perímetro
48 cm, sabiendo que la medida de sus lados son números
naturales? Justifica tu respuesta.
c. Si el terreno de la imagen tiene forma cuadrada,
¿cuántos metros camina cada persona?
Objetivo: Calcular la medida del lado de un rectángulo a partir de su área y la medida del otro lado.
Si el área (A) de la alfombra es 63 m2
, ¿cuál es su perímetro?
Calcula la medida del ancho a de la alfombra.
9 · a = A
9 · a = 63
a = 63 : 9
a = 7 m
P = 9 m + 9 m + 7 m + 7 m = 32 m
Respuesta: El perímetro de la alfombra es 32 m.
Aprendo
9 m
a
Practico
8 Observa la imagen y luego calcula la medida pedida.
Si el área del terreno del colegio es 96 m2
,
¿cuánto mide el largo del terreno?
9 Utiliza una regla y papel cuadriculado para construir los siguientes rectángulos.
a. Rectángulo de área 32 cm2
y ancho igual a 4 cm.
b. Rectángulo de área 72 cm2
y largo igual a 9 cm.
Desde una esquina a la
otra, entre los cuatro hemos
caminado 36 m.
8 m
143
2
Unidad

10 Representa las siguientes situaciones con un dibujo. Luego, escribe la pregunta que permite obtener
la medida que falta en cada caso.
a. El área de un mantel de forma rectangular es 9 000 cm2
y su ancho mide 90 cm.
b. Catalina puso pasto en un terreno rectangular. El área de este terreno es 12 m2
y su largo mide 6 m.
11 Sofía y Andrés dibujaron rectángulos de área 60 cm2
cada uno. Uno de los lados del rectángulo que
dibujó Sofía mide 5 cm. El lado del que dibujó Andrés mide 6 cm. ¿Es esto posible? ¿Son iguales
ambos rectángulos? Justifica tu respuesta.
12 Utiliza una regla y papel cuadriculado para construir dos rectángulos diferentes cuya área sea 36 cm2
.
Luego, compáralos con los que dibujaron tus compañeros y compañeras.
a. ¿Todos dibujaron los mismos rectángulos? ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes ver entre todos los
que dibujaron?
b. ¿Se podrá dibujar otro diferente?, ¿por qué?
13 Utiliza una regla y papel cuadriculado para construir rectángulos de área 16 cm2
y cuya medida de
sus lados sean números naturales.
a. ¿Dibujaste todos los rectángulos posibles?, ¿cómo lo sabes?
b. ¿Cuál tiene mayor perímetro?
c. ¿Existirá alguno con un perímetro mayor? Comenta con tus compañeros o compañeras.
Objetivo: Calcular la medida del lado de un cuadrado y su perímetro a partir de su área.
Si se quiere cambiar el vidrio del marco de forma cuadrada, ¿cuáles deben ser sus medidas?
Calcula la medida del lado a del vidrio
a partir de su área (A).
A = a · a
25 = 5 · 5
La medida de los lados del vidrio es 5 m.
Calcula el perímetro (P) del vidrio a partir
de la medida (a) obtenida.
P = 4 · a
= 4 · 5
= 20 m
Respuesta: El perímetro del vidrio es 20 m.
Aprendo
El área del vidrio
es 25 m2
.
Recuerda que el perímetro de un cuadrado es
igual a cuatro veces la medida de su lado.
Atención
144

Practico
14 A partir del área (A) del siguiente cuadrado, calcula la medida de sus lados (a) y su perímetro (P).
Para ello, completa con las medidas solicitadas.
A = 49 cm2
a = cm
P = · = cm
15 Analiza cada situación y luego responde.
a. ¿Cuántos cuadrados de área 64 cm2
puedes construir? Explica por qué.
b. Sergio construyó algunos rectángulos y cuadrados de igual área. ¿Es posible afirmar que sus perímetros
son iguales? Justifica con ejemplos.
c. Camila construyó algunos rectángulos y un cuadrado de igual perímetro. ¿Es posible afirmar
que sus áreas son iguales? Justifica con ejemplos.
Paso 1 Junto a un compañero o una compañera utilicen el geoplano y formen tantos
rectángulos y cuadrados como sea posible.
Paso 2 Asegúrense de que todos los rectángulos y cuadrados tengan el mismo perímetro.
Usen papel punteado para registrar sus figuras.
Paso 3 Representen las medidas de sus figuras en una tabla y luego respondan. Guíense por el ejemplo.
Figura Largo Ancho Perímetro Área
Cuadrado A 3 cm 3 cm 12 cm 9 cm2
Rectángulo A 4 cm 2 cm 12 cm 8 cm2
Rectángulo B 5 cm 1 cm 12 cm 5 cm2
¿Qué figura tiene mayor área? ¿Ocurrirá esto siempre? Argumenten.
Manos a la obra
Materiales
Geoplano.
Elásticos.
Papel punteado.
• ¿Qué estrategias aplicaste para construir rectángulos o cuadrados a partir de su perímetro o área?
• ¿Fuiste respetuoso al escuchar las opiniones de tus compañeros o compañeras? ¿Por qué crees que esto es
importante al trabajar en grupo?
Reflexiono
cm
Puedes utilizar el cálculo
mental para hallar un número
que al multiplicarse por sí
mismo resulte 49.
Atención
145
2
Unidad

Anteriormente aprendiste a calcular el área de rectángulos. Ahora, utilizarás estos conocimientos para deducir
una expresión matemática que permita calcular el área de un triángulo.
Objetivo: Deducir una expresión matemática para el cálculo del área de un triángulo.
Dibuja un rectángulo en una cuadrícula y traza una de sus diagonales. Luego, pinta de diferente color los
dos triángulos formados en él.
Recorta los triángulos y pon uno sobre el otro para verificar que coinciden exactamente.
El área de cada triángulo obtenido será la mitad del área del rectángulo original. Es decir, si l representa el
largo del rectángulo y b su ancho, tienes lo siguiente :
ATriángulo
=
ARectángulo
2
=
l · b
2
Puedes llamar base (b) a cualquiera de los lados del triángulo.
La distancia perpendicular de la base al vértice opuesto del
triángulo es la altura (h). Entonces, la expresión que permite
calcular el área (A) de un triángulo es:
A =
b · h
2
h
b
Aprendo
Diagonal
146

El triángulo PQR es acutángulo, donde QR es la base y PX es la altura.
Recuerda que en un triángulo acutángulo sus tres ángulos interiores
son agudos.
triángulo PQR en la hoja de papel cuadriculado. Luego,
dibujen el rectángulo AQRD.
Paso 2 Dividan el triángulo PQR en triángulos más pequeños.
Luego, recórtenlos y formen el rectángulo EQRF.
• ¿Cuál es el área del rectángulo EQRF?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de los rectángulos EQRF
y AQRD?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del triángulo PQR y la del rectángulo EQRF?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo AQRD y la del triángulo PQR?
El triángulo MNP es obtusángulo, NP es la base y MF es la altura. Recuerda que en un triángulo
obtusángulo uno de los ángulos interiores es obtuso.
triángulo MNP en la hoja de papel cuadriculado.
Luego, dibujen el rectángulo ANPD.
Paso 2 Dividan el triángulo MNP en triángulos más pequeños.
Luego, recórtenlos y formen el cuadrado ENPG.
• ¿Cuál es el área del cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo ANPD
y la del cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del triángulo MNP y la del
cuadrado ENPG?
• ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del rectángulo ANPD y la del triángulo MNP?
Manos a la obra
Materiales
Tijeras.
Papel cuadriculado.
P
X
D
R
A
Q
P
X
D
R
A
E F
Q
N P F
M
D
A
N P F
M
D
A
E G
147
2
Unidad

Practico
1 Calcula el área (A) de los triángulos pintados.
a. 1 cm
1 cm
A = cm2
b.
1 cm
1 cm
A = cm2
2 Utiliza dos estrategias para calcular el área (A) de los triángulos pintados. Explica cada una de ellas.
a.
1 cm
1 cm
b.
1 cm
1 cm
3 Calcula el área de los siguientes triángulos y luego completa la afirmación.
1 cm
1 cm
Base
Base
Base Base
A
B
C
D
Los triángulos que tienen igual base e igual tienen la misma .
148

a. En una parcela hay un terreno triangular representado por el
triángulo LMN. En él se quiere poner pasto. ¿Cuál es el área de
este terreno?
b. El triángulo STU representa la superficie de una mesa de forma
triangular. Si se quiere cubrir con un mantel de manera exacta,
¿cuánto género se necesita?
c. Eduardo quiere ubicar el siguiente mueble
en un espacio cuadrado en el suelo cuya
área es 225 cm2
y del suelo al techo mide 210 cm.
¿Podrá ubicar el mueble en ese espacio?
Justifica tu respuesta.
ABCD es un rectángulo y BE = ED. Explica cómo calcular el área (A) del triángulo ABE.
A
B
E
D
C
8 cm
11 cm
• ¿Crees que saber calcular el área de un triángulo te servirá para calcular el área de otras figuras?, ¿por qué?
• ¿Manifestaste interés o curiosidad por este contenido?, ¿por qué?
• ¿Cómo le explicarías a un compañero o compañera que no asistió a clases cómo calcular el área de
un triángulo?
Reflexiono
T
S
U
64 cm
50 cm
L
O N M
18 m
14 m
180 cm
30 cm
25 cm
149
2
Unidad

Ya sabes calcular el área de un rectángulo y de un triángulo. Ahora, utilizarás estos conocimientos para deducir
expresiones matemáticas que te permitirán calcular el área de un paralelogramo y de un trapecio.
Aprendo
Objetivo: Deducir una expresión matemática para el cálculo del área de un paralelogramo.
Dibuja el paralelogramo ABCD, de base BC y altura AX.
A
B X C
D
Recorta el triángulo ABX y lo trasladas de modo que AB se junte con DC y se forme el rectángulo AXYD.
A
B X C
D
Y
El área del paralelogramo ABCD es igual al área del rectángulo AXYD. La base XY del rectángulo tiene la
misma longitud que la base BC del paralelogramo. El ancho AX del rectángulo coincide con la altura del
paralelogramo. Por lo tanto, para calcular el área (A) puedes multiplicar la medida de la base por la medida
de la altura.
Puedes llamar base (b) a cualquiera de los lados del paralelogramo. La distancia perpendicular de la base
al vértice opuesto del paralelogramo es la altura (h).
b
h
A = b · h
altura
base
Los lados opuestos
de un paralelogramo
son paralelos.
Atención
150

Practico
1 Calcula el área (A) de los siguientes paralelogramos.
a. 1 cm
1 cm
A = cm2
b. 1 cm
1 cm
A = cm2
c.
1 cm
1 cm
A = cm2
Aprendo
Objetivo: Deducir una expresión matemática para el cálculo del área de un trapecio.
En el trapecio ABDE sus bases son AE y BD, y su altura es EC .
A
B C D
E
La diagonal BE divide el trapecio en dos triángulos de igual altura. Por lo tanto, el área del trapecio la
puedes calcular como:
ATrapecio
= A + A
Los lados paralelos de un trapecio son las bases. Por lo general, se denominan b1
y b2
.
La distancia perpendicular entre las bases es la altura del trapecio y la puedes llamar h.
A
B C D
E
b1
b2
h
Entonces, el área del trapecio la puedes expresar como:
A Trapecio
= A + A =
b1
· h
2
+
b2
· h
2
=
h · (b1
+ b2
)
2
151
2
Unidad

Practico
2 Calcula el área (A) de los siguientes trapecios.
a. 1 cm
1 cm
A = cm2
b. 1 cm
1 cm
A = cm2
c.
1 cm
1 cm
A = cm2
3 Francisca afirma que los siguientes trapecios tienen la misma área.
1 cm
1 cm
a. ¿Qué información se tiene acerca del problema?
b. ¿Es correcto lo que dice Francisca?, ¿por qué?
c. Explica la estrategia que utilizaste para comparar las áreas.
4 A Javier lo contrataron para poner cerámica en los pisos de los baños de un colegio. Solo le queda
un baño que tiene la forma representada por la figura y le quedan 140 cerámicas cuadradas de
lado 25 cm.
3 m
5 m
2 m
a. ¿Le alcanzarán las cerámicas para este último baño?, ¿por qué?
b. Explica la estrategia que utilizaste para comparar las áreas.
c. Si trabajando se le quiebra una cerámica, ¿le alcanzan? Explica.
• ¿Qué estrategias utilizaste para calcular el área de un paralelogramo y de un trapecio? ¿Qué tienen en común?
• ¿Te esforzaste en aquellas actividades en que tuviste dificultades?, ¿cómo?
Reflexiono
Cuando identificas los datos
de una situación problema
y aplicas una estrategia
para darle solución estás
de resolver problemas.
Habilidad
152

Área de figuras compuestas
Utilizarás los contenidos anteriores para aplicar estrategias que te permitan calcular el área de algunas
figuras compuestas.
Aprendo
Objetivo: Calcular el área de una figura compuesta sumando las áreas de las figuras que la componen.
En un colegio quieren alfombrar un salón de Artes.
A
4 m
8 m
10 m
3 m
B
¿Cuántos metros cuadrados de alfombra se necesitan?
La figura que representa el salón es una figura compuesta porque está formada por dos rectángulos.
Para calcular su área (A) puedes determinar el área de cada rectángulo y luego sumarlas.
A = ARectángulo A
+ ARectángulo B
= 8 · 4 + 10 · 3 = 32 + 30 = 62 m2
Respuesta: Se necesitan 62 m2
de alfombra para el salón.
Practico
1 Calcula el área (A) de la siguiente figura formada por un cuadrado (B) y un rectángulo (C).
12 cm
4 cm
3 cm
8 cm
C
B
También puedes dividir la figura
en dos rectángulos.
X
Y
Atención
153
2
Unidad

2 Calcula el área (A) de las siguientes figuras compuestas.
a.
3 cm
10 cm
5 cm
4 cm
2 cm
A = cm2
b.
5 m 6 m
4 m
6 m
12 m
A = m2
Paso 1 Junto con un compañero o una compañera dibujen en el papel
cuadriculado los siguientes grupos de figuras y luego recórtenlas.
– Grupo 1: dos rectángulos.
– Grupo 2: un rectángulo y un cuadrado.
– Grupo 3: dos rectángulos y un cuadrado.
Paso 2 Formen tantas figuras compuestas como sea posible con cada grupo. Guíense por el ejemplo.
Grupo 3
Grupo 2
Grupo 1
Paso 3 Calculen el perímetro (P) y el área (A) de cada figura formada.
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
Tijeras.
Aprendo
Objetivo: Calcular el área de una figura compuesta restando las áreas de las figuras que la componen.
¿Cuál es el área de la parte pintada?
En la figura, el rectángulo AFEC es de mayor tamaño que el rectángulo BGDC. Por lo tanto, el área (A)
pintada equivale a la diferencia entre las áreas del rectángulo AFEC y del rectángulo BGDC.
A = ARectángulo AFEC
– ARectángulo BGDC A C
D
E
F
B
5 cm 4 cm
3 cm
2 cm
G
= (5 + 4) · (3 + 2) – 4 · 3
= 9 · 5 – 4 · 3
= 45 – 12
= 33 cm2
Respuesta: El área pintada es 33 cm2
.
154

Practico
3 Calcula el área (A) de la parte pintada.
D
E
F
A
B C
3 m
2 m 2 m
6 m
4 m
H G
4 Ricardo tiene una hoja de papel de forma rectangular
y recorta un rectángulo en una de sus esquinas.
a. ¿Cuál es el perímetro (P) del papel que queda?
b. ¿Cuál es el área (A) del papel que queda?
5 Hay un camino de 3 m de ancho alrededor de un terreno
de forma rectangular.
a. ¿Cuál es el perímetro (P) del camino?
b. ¿Cuál es el área (A) del camino?
6 Se ha doblado un papel de forma rectangular en una de
sus esquinas de forma que el lado BC queda a lo largo
del lado CD .
10 cm
A
D C
B
6 cm
D B C
E
A
a. Calcula el área del papel antes de doblarlo.
b. Calcula el área de la figura después de doblar el papel.
7 Se da el área de un cuadrado. Alicia dice que, para hallar la longitud de un lado, puede dividir el área
entre 4. ¿Tiene razón Alicia? Si no la tiene, explícale cómo hallar la longitud
de un lado del cuadrado.
• Explícale a un compañero o una compañera las estrategias que aplicaste para calcular el área de una
figura compuesta.
• ¿En qué actividades cometiste errores?, ¿cómo los corregiste?
Reflexiono
3 m 3 m
3 m
3 m
24 m
16 m Terreno
13 cm
8 cm
5 cm
6 cm
Papel
155
2
Unidad

Paso 1 Dibuja en el papel cuadriculado un rectángulo de largo 8 cm y ancho 6 cm.
Luego, calcula su área.
Paso 2 Recorta el rectángulo y dóblalo para formar un rectángulo de tamaño diferente.
Mide el largo y el ancho de esta nueva figura. Luego, calcula su área. Guíate por el ejemplo.
8 cm
6 cm
Rectángulo A
3 cm
8 cm
Rectángulo B
Paso 3 Desdobla el rectángulo que hiciste en el paso anterior. Dóblalo para hacer otra figura rectangular.
Esta vez, toma una sola medida: mide el lado que cambia al doblarse.
Luego, calcula el área del rectángulo doblado.
Paso 4 Comprueba tu respuesta midiendo el largo y el ancho del rectángulo doblado.
Paso 5 Haz dos rectángulos más con el recorte. Toma una sola medida para cada rectángulo, como en el
Paso 3. Luego, calcula su área. ¿Funciona para estos rectángulos tu método de usar una medida
para hallar el área?
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
Violeta construyó la siguiente figura compuesta con dos cuadrados.
Si el área de la figura es 89 cm2
y la medida de los lados de los cuadrados es un número natural,
¿cuál es la medida del lado de cada cuadrado?
Completa la tabla y utilízala para hallar las áreas de dos cuadrados que suman 89 cm2
.
Medida del lado (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Área (cm2
) 1 4 9
156

1 Estima el área (A) de cada figura. (2 puntos cada una)
a.
1 cm
1 cm
b. 1 cm
1 cm
2 Analiza cada situación y luego responde.
a. El área del rectángulo ABCD es 32 cm2
. ¿Cuál es el área del triángulo
morado? Explica la estrategia que utilizaste. (2 puntos)
b. ¿Cuánto puede medir el lado de un cuadrado si su perímetro
y su área miden lo mismo? (2 puntos)
3 Paula dice que para calcular el área de un paralelogramo, ella identifica
un triángulo, y lo traslada para formar un rectángulo. Luego, calcula el
área del rectángulo, que es la misma que la del paralelogramo.
(1 punto cada una)
a. Muestra paso a paso la estrategia que utiliza Paula.
b. ¿Por qué puede decir que el área del rectángulo formado es la misma que la del paralelogramo?
c. ¿Es correcta su estrategia? Justifica tu respuesta.
4 Por una parcela de forma rectangular pasa un camino.
a. ¿Cuánto terreno está cubierto de hierba? (2 puntos)
b. ¿Cuánta cerca es necesaria para rodear el terreno cubierto
de hierba? (2 puntos)
1 Estimación de áreas Representar.
7 a 8 puntos.
o menos.
2 Área de un triángulo y de un rectángulo.
Argumentar y
comunicar.
3 Área de un paralelogramo.
Argumentar y
comunicar.
4 Área de figuras compuestas.
Resolver problemas,
modelar.
• ¿Tuviste errores? ¿Cómo los corregiste?
• ¿Cuáles de las estrategias que te propusiste para esta lección facilitaron tu aprendizaje?, ¿por qué?
Reflexiono
E F
G
H
A B
C
D
21 m 2 m
25 m
Hierba
Hierba
157
¿Cómo voy? 2
Unidad

4
Lección
Plano cartesiano
Repaso
1 Observa la siguiente imagen y luego responde.
6
5
4
3
2
1
A B C D E F G H I
a. Si la ubicación de es A4, ¿cuál es la ubicación del y del ?
b. ¿Cuál es la ubicación de ?
c. Escribe las indicaciones que debe seguir para llegar desde donde está hacia el .
• Plano cartesiano
• Eje X o de las abscisas
• Eje Y o de las ordenadas
• Primer cuadrante
• Coordenada
• Par ordenado
• Origen (O)
Conceptos clave
• Compara tus respuestas con las de un compañero o una compañera. Explícale cada una de tus respuestas
y escucha atentamente sus explicaciones.
• Comenten acerca de cuál de las estrategias aplicadas puede servirles para lograr los aprendizajes de
esta lección.
Reflexiono
158
5
Lección

Puntos en el plano cartesiano
En años anteriores describiste la ubicación de objetos en cuadrículas o mapas con coordenadas. Ahora a
partir de estos contenidos podrás representar e identificar la ubicación de un punto en el plano cartesiano.
Aprendo
Objetivo: Ubicar puntos en el plano cartesiano.
¿Alguna vez has usado el plano de una ciudad?
Estos resultan muy útiles cuando desconoces la
ubicación exacta de un lugar.
En este plano de un sector de la ciudad de La
Serena se usa un sistema de coordenadas, con
letras y números, como ayuda para ubicar las calles
y los lugares fácilmente.
Por ejemplo, puedes encontrar la Plaza de Armas en
B4, donde B indica la columna del plano en la que está ubicada la Plaza y 4 corresponde a la fila en la que
está ubicada. Por lo tanto, B4 corresponderá a la ubicación de la plaza en el plano.
Similar a estos planos, es el plano cartesiano. Este plano está formado por un eje horizontal (eje de las
abscisas o eje X) y un eje vertical (eje de las ordenadas o eje Y). En él puedes ubicar puntos utilizando
coordenadas. Los ejes del plano cartesiano son rectas numéricas, por lo tanto están marcadas con
números. Cuando estos números son solo números naturales, este corresponde al primer cuadrante
del plano cartesiano.
Las coordenadas de los puntos son A(2, 5) y B(4, 3). La primera
coordenada es el número ubicado en el eje X y la segunda
coordenada es el número ubicado en el eje Y.
Siempre al escribir o nombrar las coordenadas de un punto
debes considerar primero la coordenada en el eje X y luego
la coordenada en el eje Y.
Para ubicar el punto A(2, 5) cuentas 2 unidades a la derecha del
eje Y y 5 unidades hacia arriba del eje X y ubicas el punto. Del
mismo modo, para ubicar el punto B(4, 3), cuentas 4 unidades
a la derecha del eje Y y 3 unidades hacia arriba del eje X.
6
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6
B(4, 3)
A(2, 5)
Y
X
A B C D E
1
2
3
4
Plaza de
Armas
Av.
José
Manu
el
Balma
ceda
Av.
Libert
ador
Berna
rdo
O’Hig
gins
Cristóbal Colón
Brasil
Arturo Prat
Gregorio Cordovez
159
2
Unidad
Lección 5 · Plano cartesiano

Un punto A(x, y) significa que el punto A está ubicado a x unidades del eje Y y a y unidades hacia arriba
del eje X.
Practico
1 Completa con las coordenadas del punto rojo que muestra la ubicación de cada lugar en
6
7
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
Casa
de Juan
Casa
de Ana
Colegio
Biblioteca
Parque
Hospital
a. ( , )
b. ( , )
c. ( , )
d. ( , )
e. ( , )
f. ( , )
2 La oficina de correos se ubica en el punto P(3, 6).
a. Representa su ubicación en el plano cartesiano de la actividad anterior.
b. Describe su ubicación respecto a la ubicación de la biblioteca.
• El eje X y el eje Y se
intersecan en un punto
O(0, 0) llamado origen.
• Los puntos (0, y) están
sobre el eje Y.
• Los puntos (x, 0) están
sobre el eje X.
Atención
Cuando seleccionas, modificas y
evalúas la ubicación de un punto en el
plano cartesiano estás desarrollando
la habilidad de modelar.
Habilidad
RDC 6
160
Lección 5 • Plano cartesiano

3 Utiliza el plano cartesiano para responder las preguntas.
a. ¿Cuál es la ubicación de los puntos P(3, 6)
y Q(4, 5) en el plano cartesiano? Dibújalos.
b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos M y N?
c. ¿Cómo determinaste la ubicación de los puntos
M y N? Explica paso a paso.
d. Claudio afirma que las coordenadas del punto
Q también se pueden representar como (5, 4).
Antonia dice que serían dos puntos distintos.
¿Qué piensas tú? Ubica el punto (5, 4) en el plano
cartesiano y verifica tu respuesta.
4 Ubica el punto A(1, 6) en el plano cartesiano
y luego sigue las indicaciones.
a. Traslada el punto A, 3 unidades a la derecha
y 2 unidades hacia abajo.
b. Escribe las coordenadas del punto trasladado.
5 Un punto se traslada 6 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo quedando en el punto Q(1, 1).
¿Cuáles son las coordenadas del punto inicial?
6 Analiza la siguiente situación.
Manuel ubicó los siguientes puntos en
A (5, 3) F (3, 1)
B (2, 6) G (4, 4)
C (4, 2) H (1, 2)
D (3, 0) I (6, 3)
E (0, 7) J (7, 0)
¿Cuáles de los puntos están incorrectamente
ubicados en el plano cartesiano? Enciérralos y
luego ubícalos correctamente.
• Explica a un compañero o una compañera cómo representar un punto en el primer cuadrante del
plano cartesiano.
Reflexiono
6
7
8
5
4
3
2
1
O
1 3
2 4 5 6
Y
X
M
N
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7
Y
X
B
D
H F C
A
G
I
E
J
161
2
Unidad

Puntos y figuras en el plano cartesiano
Ya puedes representar e identificar la ubicación de un punto en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Ahora utilizarás este contenido para representar diversas figuras en el plano cartesiano.
Aprendo
Objetivo: Identificar y dibujar figuras 2D en el plano cartesiano.
Sofía ubicó algunos puntos en el plano cartesiano. Vicente señala que al unir los puntos del mismo color
se obtienen figuras con algunas características en común.
Cuando unes los puntos A(6, 9), B(5, 6), C(9, 6) y D(10, 9) se forma un paralelogramo, al unir los puntos
P(9, 4), Q(7, 5), R(7, 0) y S(9, 1) obtienes un trapecio y si unes los puntos T(2, 9), U(0, 5), V(2, 1) y W(4, 5)
formas un rombo.
Practico
1 Identifica las coordenadas de los vértices del triángulo
dibujado en el plano cartesiano y completa.
A ( , )
B ( , )
C ( , )
5
6
7
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7
Y
X
A
C
B
5
6
7
8
9
10
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8 9 10
Y
X
V
W
T A D
B C
Q
P
S
R
U
162
Lección 5 • Plano cartesiano

2 Ubica los siguientes puntos en un plano cartesiano. Luego, únelos en orden con líneas rectas para
formar una figura cerrada. Escribe el nombre de la figura formada en cada caso. Recuerda que puedes
usar una hoja de papel cuadriculado.
a. A(0, 0), B(2, 1) y C(1, 4)
b. D(5, 4), E(5, 0) y F(8, 2)
c. G(4, 3), H(6, 1), I(8, 3) y J(6, 5)
d. K(3, 10), L(3, 6), M(5, 6) y N(5, 10)
e. O(7, 9), P(6, 6), Q(9, 6) y R(10, 9)
f. S(7, 3), T(6, 0), U(10, 0) y V(9, 3)
3 Ubica los puntos A(3, 4), C(8, 5) y D(6, 7) en un plano cartesiano y luego responde las preguntas.
a. Si la figura ABCD representa un rectángulo, ¿cuáles son las coordenadas del vértice B?
b. La figura ACDE representa un paralelogramo, ¿cuáles son las coordenadas del vértice E?
4 Ubica los puntos A(4, 6) y B(4, 3) en el plano cartesiano y únelos en orden con líneas rectas.
El segmento AB representa el lado del cuadrado ABCD. ¿Cuáles pueden ser las coordenadas
de los vértices C y D? Nombra dos respuestas posibles.
5 En un rectángulo, uno de sus vértices es A(2, 3), mientras que su largo
mide 7 unidades y su ancho mide 5 unidades. ¿Cuáles pueden ser las
coordenadas de sus otros vértices?
6 Ubica los puntos P(3, 5), Q(3, 2), R(8, 2) y S(8, 5) en un plano cartesiano.
Luego, únelos en orden con líneas rectas.
a. ¿Qué figura obtienes?
b. Transforma esta figura en un cuadrado que tenga el mismo perímetro.
c. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? Explica el procedimiento que utilizaste.
Paso 1 Ubica cuatro puntos en el plano cartesiano y únelos para formar un
cuadrilátero como un paralelogramo, un rectángulo, un rombo, entre otros.
No muestres esta figura a tu compañero o compañera.
Paso 2 Indica a tu compañero o compañera tres de las cuatro coordenadas de los vértices de la figura
que representaste en el paso anterior. Además, dile el tipo de cuadrilátero que formaste y pídele
que escriba las coordenadas del cuarto vértice.
Manos a la obra
Materiales
Papel cuadriculado.
• Si conoces tres vértices de un cuadrado, ¿qué estrategia puedes aplicar para determinar las coordenadas
del cuarto vértice? Explícasela a un compañero o una compañera y compárala con la suya.
• ¿En qué actividades tuviste dudas?, ¿pudiste aclararlas? Explica.
Reflexiono
Cuando justificas y explicas
tus razonamientos estás
desarrollando la habilidad de
argumentar y comunicar.
Habilidad
En las actividades de las páginas
80 y 81 del Cuaderno de
ejercicios utilizarás un software
paraconstruirfigurascongruentes
Uso de software
163
2
Unidad

1 Ubica los puntos P(1, 4) y Q(4, 1) en un plano cartesiano. Francisco afirma que P y Q representan
el mismo punto. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué? (1 punto por ubicar los puntos en un plano
cartesiano y 2 puntos por la respuesta)
2 Marca los puntos A(2, 2) y B(2, 7) en un plano cartesiano. La figura ACB representa un triángulo
rectángulo isósceles. ¿Cuáles podrían ser las coordenadas del vértice C? (1 punto por ubicar los
puntos y 2 puntos por la respuesta)
3 Ubica los puntos A(0, 4), B(4, 0) y C(4, 4) en el plano cartesiano y luego responde.
a. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo ABC? (2 puntos)
b. Si la figura ADBC es un cuadrado, ¿cuáles son las coordenadas del vértice D? (2 puntos)
4 Ubica los puntos A(5, 6) y B(5, 4) en el plano cartesiano y únelos con un segmento. El segmento AB
representa el ancho del rectángulo ABCD. Si el largo del rectángulo es el doble que su ancho,
¿cuáles pueden ser las coordenadas de los vértices C y D? Nombra dos respuestas posibles. (4 puntos)
5 En el plano cartesiano se muestra el plano de un terreno. La longitud
del lado de cada cuadrado de la cuadrícula representa 10 m.
Usa el plano cartesiano y responde. (2 puntos cada una)
a. Las cuatro esquinas del terreno son los puntos A, B, C y D.
¿Cuáles son las coordenadas de cada una de esas esquinas?
¿Cuál es la medida, en metros, del contorno del terreno?
b. Manteniendo los puntos A y B, dibuja un terreno rectangular
cuyo contorno sea igual al doble del contorno del terreno
cuadrado dibujado en el plano cartesiano.
1, 2 y 3
Ubicación de puntos en el primer
y comunicar.
11 a 12 puntos.
Por lograr: 10 puntos o menos.
4 y 5
Figuras 2D en el primer cuadrante
del plano cartesiano.
Representar, resolver
problemas.
• ¿Tuviste errores? ¿Cómo los corregiste?
• ¿Crees que has logrado los aprendizajes propuestos para esta lección? Revisa la página 96 y explica
tu respuesta.
• ¿Cuáles de las estrategias que aplicaste en esta lección facilitaron tu aprendizaje?, ¿por qué?
Reflexiono
6
5
4
3
2
1
O
A
B
C
D
Y
X
1 2 3 4 5 6
164

Para finalizar
1 Haz un listado de los principales conceptos que trabajaste en cada una de las lecciones de la unidad.
Lección Principales conceptos
Unidades de medida
de longitud
Figuras 2D y 3D
Congruencia
Área y perímetro
Plano cartesiano
a. Explica brevemente cada concepto que escribiste y agrega al menos un ejemplo en cada explicación.
b. Comparte y compara tus explicaciones con las de un compañero o una compañera. ¿Son similares?
¿Son correctas? ¿Los ejemplos son correctos?
c. Vuelve a leer tus explicaciones y complétalas o corrígelas, si es necesario.
2 Completa el cuadro con las dudas o dificultades que aún tienes en cada lección. Consúltalas con tu
profesor o profesora o con algún compañero o compañera y explícalo con tus palabras.
• A partir de la actividad anterior, ¿crees que lograste todos los aprendizajes para esta unidad? ¿Qué estrategias o
qué actitudes te ayudaron a lograrlos?
• ¿Cuáles de las metas que te propusiste cumpliste?, ¿qué te ayudó a cumplirlas?
• ¿Hay alguna meta que te faltó cumplir?, ¿qué podrías hacer para cumplirla?
• A Jaime le costó entender por qué las figuras que se obtienen al aplicar una traslación, rotación o
reflexión a una misma figura son congruentes entre sí. ¿Tú lo entendiste?, ¿cómo? Explícaselo a Jaime.
• Paulina dice que para ubicar el punto A(2, 5) en el plano cartesiano cuenta desde el cero, en el eje X,
dos y marca el punto. Luego, cuenta desde el cero, en el eje Y, cinco y marca el punto. ¿Es correcta la
explicación de Paulina?, ¿cómo lo explicarías tú?
165
2
Unidad

1 Observa la imagen y luego remarca tu respuesta. (1 punto)
¿Cuál puede ser la altura del clóset?
180 mm 180 cm 180 m
2 Utiliza una regla para medir el lápiz. Luego, completa. (2 puntos)
El lápiz mide .
a. Laura quiere cortar trozos de cinta de 30 cm y otros de 1 m y 5 cm de largo. Tiene una regla de 30 cm.
¿Cómo puede usar la regla para medir la longitud de la cinta que quiere cortar?
b. El largo de un libro es 270 mm y su ancho 210 mm. ¿Cómo expresarías estas medidas en centímetros?
c. Historia, Geografía y Ciencias Sociales La altura del volcán Ojos del Salado, ubicado en el norte de
Chile, es de aproximadamente 6 890 metros. ¿Cómo expresarías esta medida en kilómetros y metros?
4 Explica si las caras destacadas en cada representación de una figura 3D son paralelas,
perpendiculares o se intersecan. (1 punto cada una)
a. b. c.
2 m
1 m
132 cm

1 cm
1 cm
5 Observa las siguientes figuras y marca con rojo los lados paralelos y con azul los lados
perpendiculares. Luego, justifica por qué los lados que marcaste son paralelos o perpendiculares.
(4 puntos por marcar correctamente los lados paralelos y perpendiculares, y 2 puntos por
la justificación)
6 Dibuja las siguientes representaciones de figuras 3D. ¿Cuántos pares de caras paralelas y cuántas
perpendiculares tiene cada una? (1 punto por cada dibujo y 2 puntos por la respuesta)
a. b.
7 Calca la primera figura, luego recórtala
y ubícala sobre las otras. ¿Cuál de ellas
es congruente con la figura inicial?
¿Por qué? (2 puntos)
8 Resuelve los siguientes problemas. (1 punto por la respuesta y 2 puntos por la explicación en
cada uno)
a. ¿La figura congruente que elegiste en la actividad anterior se puede obtener aplicando una traslación,
una reflexión o una rotación a la figura inicial? Explica.
b. Magdalena dibuja un triángulo isósceles, luego mueve sus vértices obteniendo un triángulo
escaleno. ¿Son congruentes ambos triángulos? Explica.
9 Martín derramó pintura sobre un papel cuadriculado, como se muestra
en la imagen. Estima el área cubierta por la pintura. (2 puntos)
10 ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado si su perímetro
y su área tienen el mismo valor? (3 puntos)
1 cm
1 cm
D B B
C
A
D
D
C
B
B
A
A
D
C
C
A
167
2
Unidad

11 Calcula el área (A) del triángulo pintado. Explica tu estrategia.
(2 puntos por el cálculo del área y 2 puntos por la explicación)
12 Un rectángulo y un cuadrado tienen igual área. Elena asegura que el
cuadrado tiene menor perímetro. ¿Es correcto lo que dice Elena? Justifica tu
respuesta. (1 punto por la respuesta y 2 puntos por la justificación)
13 Ubica los puntos A(2, 6), B(4, 3) y C(2, 0) en un plano cartesiano.
a. Identifica y escribe las coordenadas del punto D de manera que ABCD sea un rombo. (2 puntos)
b. Cambia las coordenadas de dos vértices para transformar el rombo en un cuadrado. (2 puntos)
c. Cambia las coordenadas de dos vértices del cuadrado para transformarlo en un rectángulo. (2 puntos)
d. ¿De cuántos vértices, como mínimo, debes cambiar las coordenadas para transformar el rectángulo
en un trapecio? Justifica tu respuesta. (1 punto por la respuesta y 2 puntos por la justificación)
14 En el plano cartesiano se representó el plano de un living comedor. Considera que el lado de cada
mide 1 m y responde.
a. Las ocho esquinas del living comedor son
los puntos marcados de A a H. ¿Cuáles
son las coordenadas de cada una de esas
esquinas? (4 puntos)
b. La entrada del living comedor está ubicada
en AH. ¿Cuál es la menor distancia posible,
en metros, entre la entrada y DE? (2 puntos)
c. Diana cruza la habitación desde el punto
B hasta el punto G y, luego, camina desde
el punto G hasta el punto H. ¿Cuál es la
distancia total, en metros, que caminó?
(2 puntos)
d. ¿Cuál es el área del piso del living comedor?
(2 puntos)
1 cm
1 cm
6
7
8
5
4
3
2
1
O
1 3
2 4 5 6 7
Y
X
B
D
H
F
C
A
G
E

1, 2, 3,
14b y
14c
Medición de longitudes en kilómetros,
metros, centímetros, milímetros y
transformación entre estas unidades.
Representar, resolver
problemas.
Logrado: 42 puntos
o más.
Medianamente
logrado: 36 a 41
puntos.
Por lograr: 35
puntos o menos.
4, 5 y 6
Aristas y caras de figuras 3D, y lados de
figuras 2D que son paralelas, que se
intersecan o que son perpendiculares.
representar.
7 y 8
Concepto de congruencia a partir de
traslaciones, reflexiones y rotaciones.
Argumentar y
comunicar, resolver
problemas.
9, 10, 11,
12 y 14d
Construcción de rectángulos a partir de su
perímetro, área o ambos, cálculo de áreas de
triángulos, de paralelogramos y de trapecios,
y estimación de áreas de figuras irregulares.
resolver problemas.
13 y 14a
Identificación de puntos en el primer
y comunicar.
• ¿Al resolver los ejercicios fuiste ordenado y buscaste de manera creativa su solución?
• ¿Por qué estas actitudes te ayudan a tener un buen desempeño?
Reflexiono
A partir de tu trabajo y de los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad, elabora una síntesis de tus
aprendizajes. Para ello, completa los recuadros. Guíate por el ejemplo.
Lo que aprendí
Unidades de
medida de
longitud
Lo que me produjo
mayor dificultad
Lo que más me gustó
Lo que sabía
Figuras 2D y 3D
Área y
perímetro
Plano cartesiano
Congruencia
Medir longitudes
en metros (m) y
centímetros (cm).
Realizar transformaciones
entreunidadesdemedidade
longitud(mm, cm, m y km).
• ¿Crees que cumpliste la meta que te propusiste al inicio de la unidad? Justifica tu respuesta.
169
2
Unidad

Solucionario Texto del estudiante

Solucionario
Unidad 1 Números naturales,
Página 12
• En Chile existen 10 000 especies de las cuales se conocen
sus características y en el mundo hay más de 750 000. Sí se
podría responder la pregunta de la niña, ya que se puede
realizar una división para calcular cuántas veces hay en el
mundo la cantidad de insectos que existen en Chile, lo que
corresponde a 75 veces, aproximadamente.
• Respuesta variada.
Es importante conocerlos para comprender la información
entregada, ya que se deben comparar para relacionar
las cantidades.
Páginas 13 y 14
1. a. Hay 7 000 especies de plantas.
Hay 3 300 especies de hongos nativos.
Este grupo cuenta con 10 000 especies.
b. Moluscos: mayor cantidad de especies.
Líquenes: menor cantidad de especies.
c. 3 300; 1 100
2. a. 505 b. 14 c. 6 370 d. 14
Respuesta variada, a continuación, se muestran 2 ejemplos:
Ejemplo 1: Apliqué el algoritmo de la multiplicación o la división.
Ejemplo 2: Usé la propiedad distributiva.
3. 3; 30; 15; 135
4. 10; 12; 14; 16; 18; 20
Multiplicar por 2 los números de la fila 1.
Página 15
Lección 1: Grandes números
Repaso
1.
Con cifras Con palabras Descomposición
3 496
Tres mil cuatrocientos
noventa y seis.
3 000 + 400 + 90 + 6
9 517
Nueve mil quinientos
diecisiete.
9 000 + 500 + 10 + 7
8 213 Ocho mil doscientos trece. 8 000 + 200 + 10 + 3
2. a. 30 b. 70
3. a. 2 134 es mayor, ya que la cifra de las centenas es mayor.
b. 9 999 es menor, ya que 10 000 tiene una cifra en la
decena de mil, en cambio 9 999 no.
4. a. 900 + 500 = 1 400
b. 900 – 200 = 700
c. 700 + 400 + 200 = 1 300
Página 17
Practico
1. 40 000; 50 000; Sesenta mil; Setenta mil; 80 000; Noventa mil.
2. a. En que se va sumando 1 a la cifra con mayor
valor posicional.
b. En la cifra con mayor valor posicional.
3. 10 000 significa diez veces mil.
Página 18
Practico
4. Decenas de mil; Unidades de mil; Centenas; Decenas; Unidades.
5. Cincuenta y seis mil ochocientos diecisiete.
6. Decenas
de mil
Unidades
de mil
1 0 2 7 3
10 273
7. a. Cuarenta y siete mil cuarenta y ocho.
b. Noventa mil quince.
c. Ochenta y seis mil trescientos.
d. Setenta mil cinco.
8. a. 10 732 b. 52 100
Página 19
9. 100 000
10. Respuesta variada. A continuación, se muestran
2 ejemplos:
Ejemplo 1: Ordenados de menor a mayor 15 000 - 15 100
- 51 000
Ejemplo 2: Ordenados de menor a mayor 10 510 - 11 510
- 11 550
11. Decenas
de mil
Unidades
de mil

Con cifras: 56 817 Con palabras: Cincuenta y seis mil
ochocientos diecisiete.
12. a. Decenas
de mil
Unidades
de mil
4 3 7 5 4
Con palabras: cuarenta y tres mil setecientos cincuenta
y cuatro.
b. Decenas
de mil
Unidades
de mil
6 0 8 3 2
Con palabras: Sesenta mil ochocientos treinta y dos.
Manos a la obra
• Representación: 3 billetes de $ 10 000, 7 billetes de $ 1 000,
5 monedas de $ 100 y nueve monedas de $ 10.
• Con cifras: 37 590. Con palabras: Treinta y siete mil
quinientos noventa.
Página 21
Practico
1. 400 000; 500 000; Seiscientos mil; Setecientos mil; 800 000;
Novecientos mil.
2. a. Cambia la cifra de las decenas de mil y se mantienen las
otras cifras.
b. No, ya que cambia la cifra de las centenas de mil.
3. 100 000 significa 100 veces 1 000.
Solucionario 325

Solucionario
Página 22
Practico
4. a. 5; 500 000; Quinientos mil
5; 50 000; Cincuenta mil
7; 7 000; Siete mil
6; 600; Seicientos
7; 70; Setenta
6; 6; seis
b. Con cifras: 686 044
Con palabras: Seiscientos ochenta y seis mil cuarenta
y cuatro.
5. a. Seiscientos mil.
b. No, ya que contamina 10 000 L de agua.
Página 23
Practico
6. a. Cuatrocientos treinta y ocho mil ochocientos treinta
y cuatro.
b. Novecientos seis mil noventa y seis.
c. Seiscientos ochenta mil ochocientos seis.
d. Setecientos mil siete.
e. Quinientos ochenta y cinco mil ochocientos cincuenta
y ocho.
f. Novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa
y nueve.
7. a. 800 014 b. 140 052
8. a. No es correcto, ya que el precio es ciento cuarenta y
nueve mil novecientos noventa pesos.
b. TV: Doscientos noventa y nueve mil novecientos
noventa pesos.
Notebook: Doscientos sesenta y nueve mil novecientos
noventa pesos.
Teléfono móvil: Ciento cincuenta y nueve mil novecientos
noventa pesos.
Página 25
Practico
1. Cuatro millones; Ocho millones; 9 000 000.
2. a. En la cifra de las centenas de mil.
b. No, ahora será en la cifra de las unidades de millón.
Página 26
Practico
3. a. 4; 4 000 000; Cuatro millones
6; 600 000; Seiscientos mil
0; 0; (Cero)
5; 5 000; Cinco mil
3; 300; Trescientos
7; 70; Setenta
9; 9; Nieve
b. Con cifras: 6 340 581
Con palabras: Seis millones trescientos cuarenta mil
quinientos ochenta y uno.
Con cifras: 557 676
Con palabras: Quinientos
cincuenta y siete mil
seiscientos setenta y seis.
Con cifras: 4 605 379
Con palabras: Cuatro
millones seiscientos
cinco mil trescientos
setenta y nueve.
Página 27
c. Con cifras: 4 236 463
Con palabras: Cuatro millones doscientos treinta y seis
mil cuatrocientos sesenta y tres.
4. Un millón doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta
y siete.
Ocho millones ochocientos ochenta y ocho mil ochocientos
ochenta y ocho.
Cuatro millones cuatrocientos cuatro mil cuarenta y cuatro.
Dos millones seiscientos cincuenta y tres mil trescientos
cincuenta y seis.
Nueve millones novecientos noventa mil noventa y nueve.
5. Respuesta variada. A continuación, se muestran 5 ejemplos:
5 000 009 5 000 090 9 000 005
9 000 050 5 900 000
Son distintos ya que varía el valor posicional de los dígitos.
Página 28
6. Respuesta variada. A continuación, se muestran 2 ejemplos
en cada caso:
a. Ejemplo 1: 4 605 100 Cuatro millones seiscientos cinco
mil cien.
Ejemplo 2: 3 500 000 Tres millones quinientos mil.
b. Ejemplo 1: 4 457 088 Cuatro millones cuatrocientos
cincuenta y siete mil ochenta y ocho.
Ejemplo 2: 1 129 995 Un millón ciento veintinueve mil
novecientos noventa y cinco.
c. Ejemplo 1: 7 246 862 Siete millones doscientos
cuarenta y seis mil ochocientos sesenta y dos.
Ejemplo 2: 7 246 684 Siete millones doscientos
cuarenta y seis mil seiscientos ochenta y cuatro.
7. a. Debe estar escrito: Nueve millones novecientos ochenta
y seis mil setecientos.
b. El número es 1 900 000 y se lee: un millón novecientos mil.
8. No es posible, por ejemplo 4 001 743, 4 300 765, 4 100 473,
4 010 542 y 4 030 657. En todos se menciona la palabra mil.
9. Respuesta variada. A continuación, se muestran 2 ejemplos.
Ejemplo 1: En un mes los gastos de una empresa fueron
$ 5 512 140 y los ingresos de $ 8 701 200. Escribe con palabras
los ingresos y los gastos de la empresa.
Ejemplo2:La distancia entre dos ciudades es de
2 538 000 m aproximadamente. Escribe con palabras
la cantidad de metros que hay entre las ciudades.
Página 30
Practico
1. 40 000 000; 50 000 000; Sesenta millones; Setenta millones;
80 000 000; Noventa millones.
2. a. Se puede sumar 1 a la cifra de las unidades de millón.
b. Se puede, pero sumando ahora 1 a las decenas de millón.
3. Significa 10 veces 1 millón.
Página 31
Practico
4. a. Once millones trescientos veintiún mil setecientos
sesenta y cinco.
326

b. Treinta y dos millones ciento noventa y ocho mil
ochocientos setenta y seis.
c. Cincuenta y cuatro millones cuatrocientos cincuenta y
seis mil ciento veintitrés.
d. Setenta y siete millones setecientos setenta y siete mil
setecientos setenta y siete.
5. a. Ochenta y cinco millones quinientos ochenta mil
ochenta y cinco.
Corrección: Debe decir ochocientos cincuenta.
b. Noventa y nueve millones noventa mil noventa y nueve.
Corrección: Debe decir novecientos.
c. Setenta y cinco millones ocho mil doscientos uno.
Corrección: Debe decir siete millones quinientos ocho.
d. Sesenta millones cuatro mil cuatrocientos cuatro.
Corrección: Debe decir cuarenta.
6. a.
• En nuestro país hay veinticinco millones ochocientos
noventa y ocho mil ochocientos cuarenta y tres números
de telefonía móvil.
• Respuesta a cargo del estudiante.
• Respuesta variada. A continuación, se muestran 2 ejemplos.
Ejemplo 1: El banco central dice que hay más de
$ 89 989 000 sin retirar en cuentas olvidadas.
Ejemplo 2: Facebook tiene en Chile más de 15 890 000
usuarios registrados.
b.
• Se escribe con cifras: 35 638 070.
• Respuesta a cargo del estudiante.
• Respuesta variada. A continuación, se muestran 2 ejemplos.
Ejemplo 1: Durante su vida, una persona flexiona las
articulaciones de sus dedos aproximadamente unas
25 000 000 de veces.
Ejemplo 2: Durante un año, el corazón late más de
30 000 000 de veces.
7. La medida aproximada de la superficie es de 43 000 000 km2
y con palabras equivale a cuarenta y tres millones de
kilómetros cuadrados.
Página 32
8. La niña está en lo correcto, ya que el número 59 312 052
cumple con lo indicado. Sin embargo en el número del niño
los dígitos de las decena de millón y el de las decenas no
coinciden (9 y 2).
9. Respuesta variada. A continuación, se muestran ejemplos
de tarjetas:
• Tarjeta 1: El dígito de las decenas de millón es el doble
que el de las unidades, y la suma de todos los dígitos es
12. ¿Cuál es el número si el dígito de las unidades es 4?
R: 80 000 004
• Tarjeta 2: Sus dígitos son números consecutivos
comenzando en 2 y de manera creciente. R: 23 456 789
• Tarjeta 3: Sus dígitos comienzan desde el 8 de manera
descendente. R: 8 765 432
Página 34
Números hasta 1 000 000 000
Practico
1. 400 000 000; 500 000 000; Seiscientos millones;
Setecientos millones; 800 000 000; Novecientos millones.
2. Tienen9cifrasomásyvavariandolacifradelascentenasdemillón.
Página 35
Practico
3.
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
3 4 0 3 4 1 5 6 7
3
centenas
demillóno
300000 000
4
decenas
demillóno
40 000 000
0
unidades
de millón
o 0
3
centenas
de mil o
300000
4
decenas
de mil o
40000
1
unidad
de mil o
1000
5
centenas
o 500
6
decenas
o 60
7
unidades
o 7
Con cifras: 340 341 567
Con palabras: Trescientos cuarenta millones trescientos
cuarenta y un mil quinientos sesenta y siete.
Practico
4. a. Ciento once millones ciento once mil ciento once.
b. Trescientos cuarenta millones ochenta y nueve mil
doscientos veinte.
c. Cuatrocientos cuatro millones cuatrocientos cuatro mil
cuatrocientos cuatro.
d. Trescientos sesenta y cinco millones cien mil cincuenta
y cinco.
e. Ochocientos millones siete mil setenta.
f. Ciento un millones novecientos noventa y nueve mil
novecientos noventa y nueve.
Página 36
5. a. 800 007 070 b. 101 999 999 c. 613 410 050
6.
Sabías que en diez años tu corazón latirá aproximadamente
400 000 000 veces y que cuando llegues a los 70 años, habrás
respirado por lo menos seiscientos millones de veces.
10; Cuatrocientos millones; Setenta; 600 000 000.
Ejemplo 1: 1 254 200 Un millón doscientos cincuenta y
cuatro mil doscientos.
Ejemplo 2: 840 009 Ochocientos cuarenta mil nueve.
Manos a la obra
Respuesta variada. A continuación, se muestran 2 ejemplos:
Ejemplo 1: 500 220 Quinientos mil doscientos veinte.
Ejemplo 2: 250 005 Doscientos cincuenta mil cinco.
Página 38
Valor posicional
Practico
1. a. 600 000 b. 0
2. a. Unidades de mil; 2 000
b. Centenas de mil; 200 000
c. Decenas de mil; 20 000
3. a. No todos los valores posicionales coinciden, ya que no
son los mismos números.
b. No, ya que 321 456 y 312 645 son números distintos,
a pesar de estar formados por los mismos dígitos.
Solucionario 327

Solucionario
Página 39
Practico
4. a. 7; 2 centenas de mil; decenas de mil.
b. 3; 7 unidades de millón; centenas.
5. a. 50 000
b. 1; 100 000
c. 50
d. 2; 100 000
e. 6 000 000
f. 4; 100 000
6. a. 37 231 050
b. 45 640 000
c. 120 201 102 d. 777 000 077
e. 999 090 909
Página 40
7. a. 0
b. 7 000
c. 600 000
d. 90 000
e. 7 000 000
f. 4 000 000
g. 800 000
h. 600 000 000
8.
2 000 000 + 400 000 + 80 000 + 100 + 10 + 9; 2 • 1 000 000
+ 4 • 100 000 + 8 • 10 000 + 1 • 100 + 1 • 10 + 9
804 085; 8 • 100 000 + 4 • 1 000 + 8 • 10 + 5
30 070 060; 30 000 000 + 70 000 + 60
900 000 000 + 4 000 000 + 200 000 + 30 000 + 6 000 + 100 + 50
+ 5; 9 • 100 000 000 + 4 • 1 000 000 + 2 • 100 000 + 3 • 10 000
+ 6 • 1 000 + 1 • 100 + 5 • 10 + 5
500 009 002; 500 000 000 + 9 000 + 2
40 070 038; 4 • 10 000 000 + 7 • 10 000 + 3 • 10 + 8
800 000 000 + 70 000 000 + 80 000 + 7 000 + 700 + 8;
8•100 000 000+7•10 000 000+8•10 000+7•1 000+7•100+8
205 030 000; 2 • 100 000 000 + 5 • 1 000 000 + 3 • 10 000
9. a. No, Los valores posicionales son únicos.
b. No, en una de las cantidades el valor posicional es 60 000
y en la otra es 6 000.
c. El nuevo número será 155 764 175. El valor posicional de
los dígitos es: 50 000 000; 4 000; 100 y 70.
Página 42
Comparación de números hasta 1 000 000
Practico
1. a. 9; 8; mayor; >
b. 3; 0; 4 730 589; 4 703 985; 4 730 589; 4 703 985
2. Siempre el número que tenga menor cantidad de cifras
será menor.
3. a. <
b. >
c. >
d. <
Página 43
4. a. 32 468 < 324 688 < 3 246 880
b. 1 064 645 < 1 600 456 < 1 604 654
c. 199 981 < 714 800 < 901 736
d. 645 231 < 645 321 < 654 987
Manos a la obra
11 000 000 13 000 000 15 000 000 17 000 000 19 000 000
10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000
Al ordenar los números de menor a mayor:
12 000 000 < 16 500 000 < 19 750 000.
Página 44
Practico
1. a. 2 349 000
b. 2 348 000; 2 349 000
c. 2 348 000
2. a. 1 207 000 personas visitaron el zoológico. Se redondea a
la unidad de mil más cercana.
b. Porque lo que se calcula no es el valor exacto.
Página 45
Practico
3. a. 42 700 000 b. 42 800 000 c. 42 800 000
Página 46
Practico
4.
125 000 125 231 125 500 125 780 126 000
Al redondear se obtiene: 125 000 y 126 000.
5. a. 60 000
b. 100 000
c. 70 000
d. 120 000
e. 660 000
f. 900 000
g. 3 260 000
h. 16 090 000
6. a. 40 000
b. 800 000
c. 2 500 000
d. 16 000 000
7. a. 700 000 000
b. 560 000 000
c. 650 000 000
d. 810 000 000
8. 3 000 000; 900 000; 20 000 000; 564 000 000; 58 200 000
Practico
9. a. 2 372 000 + 2 316 000 = 4 688 000
b. 5 701 000 – 3 215 000 = 2 486 000
c. 2 516 000 + 2 516 000 + 2 514 000 = 7 546 000
d. 3 430 000 + 3 422 000 + 3 427 000 = 10 279 000
Página 47
10. a. 1 800 000 + 1 100 000 = 2 900 000
b. 13 400 000 – 13 300 000 = 100 000
11. a. 346 000 000 de habitantes aproximadamente.
b. La diferencia es de 188 000 000 de habitantes
aproximadamente.
en cada caso.
a. Ejemplo 1: Un camión anduvo 25 600 km en enero,
32 200 km en febrero y 27 500 km en marzo. ¿Cuántos
kilómetros ha recorrido en total durante esos meses?
Ejemplo 2: Una polera cuesta $ 25 600, una chaqueta
$ 32 200 y un pantalón $ 27 500. ¿Cuánto se debe pagar
por las tres prendas?
b. Ejemplo 1: Un contenedor tiene 327 400 kg de plátanos,
143 800 kg de manzanas y 225 000 kg de naranjas.
¿Cuántos kilogramos de fruta hay en el contenedor?
Ejemplo 2: En un centro deportivo hay 3 piscinas. Una de
ellas tiene 237 400 L de agua, otra, 143 800 L y la otra piscina,
225 000 L. ¿Cuántos litros hay entre las tres piscinas?
328

c. Ejemplo 1: La cantidad de estudiantes de una universidad
es 78 500. Si hay 34 000 hombres, ¿cuántas mujeres hay?
Ejemplo 2: Marcela vende un producto en $ 78 500.
Si la ganancia es de $ 34 000, ¿a cuánto equivale el costo?
d. Ejemplo 1: Una empresa tiene como capital $ 2 549 000 y
gasta $ 2 325 400. ¿Cuánto dinero le queda?
Ejemplo 2: Una carrera tiene 2 549 000 m. Si un automóvil
la recorrido 2 325 400 m, ¿cuántos metros le faltan para
llegar a la meta?
en cada caso:
a. 59 995; 60 950; 59 500.
b. 599 995; 601 000; 612 521
Respuesta variada. A continuación, se muestran ejemplos:
31; 32; 33; 34.
Se pueden redondear a la decena: 200; 600.
• En ambos casos el 0 está en la posición de las unidades.
• Se deben sumar 9 veces.
Página 48
1. a. 502 674 546
b. Quinientos dos millones seiscientos setenta y cuatro mil
quinientos cuarenta y seis.
c. 500 000 000 + 2 000 000 + 600 000 + 70 000 + 4 000
+ 500 + 40 + 6
d. 5 • 100 000 000 + 2 • 1 000 000 + 6 • 100 000 + 7 • 10 000
+ 4 • 1 000 + 5 • 100 + 4 • 10 + 6
2. a. 7 000
b. 500 000
c. 2 000 000
d. 300 000 000
3. a. <
b. <
4. a. 258 147 < 258 174 < 258 417
b. 2 089 036 < 2 089 063 < 2 098 063
5. Aproximando a la decena más cercana.
25 860 + 15 040 = 40 900 25 860 – 15 040 = 10 820
Aproximando a la unidad de mil más cercana.
26 000 + 15 000 = 41 000 26 000 – 15 000 = 11 000
Página 49
Lección 2: Multiplicación y división
Repaso
1. a. 60 b. 150 c. 96 d. 80
2. a. 1 719 b. 2 500 c. 36 d. 12
3. a. 1 704 b. 33 c. 3 885 d. 13
4. a. 0 b. 35 c. 1
5. a. 1 000 b. 8 c. 2 700 d. 20
En cada caso se realizaron aproximaciones por redondeo.
6. En total hay 99 locales.
Página 52
Multiplicación por decenas, centenas y unidades de mil
Practico
1. a. Los puntajes son 70, 90 y 100. Para calcularlos se puede
contar el total de argollas y multiplicar por 10.
b. Se acertaron 25 argollas.
2.
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
231 2 3 1
231 • 10 2 3 1 0
2 345 2 3 4 5
2 345 • 10 2 3 4 5 0
a. 2 310 b. 23 450
3. a. 600
b. 1 350
c. 5 030
d. 28 760
e. 60 820
f. 60 100
4. a. 10 b. 10 c. 528
Página 53
Practico
5. 252; 2 520
390; 3 900
a. 10 b. 6; 10
6. a. 248
2 480
b. 8
2 456
24 560
7. a. 12 200 b. 177 300 c. 325 800
Página 55
Practico
8.
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
174 1 7 4
174 • 100 1 7 4 0 0
174 • 1 000 1 7 4 0 0 0
3 298 3 2 9 8
3 298 • 100 3 2 9 8 0 0
3 298 • 1 000 3 2 9 8 0 0 0
a. 17 400
b. 174 000
c. 329 800
d. 3 298 000
9. Para obtener el producto por 100 se pueden agregar dos
ceros a la derecha del número y para obtener el producto por
1 000 se pueden agregar tres ceros a la derecha del número.
10. a. 2 700
b. 61 500
c. 967 000
d. 18 000
e. 487 000
f. 5 346 000
11. a. 100 b. 1 000 c. 490 d. 168
12. a. 2 300; 23 000; 23 000 000
b. 6 980; 6 980 000; 698 000 000
c. 284 000; 2 840 000; 284 000 000
Solucionario 329

Solucionario
Página 56
Practico
13. • 7 • 700 • 7 000
78 546 54 600 546 000
113 791 79 100 791 000
a. 100 b. 7; 100 c. 1 000 d. 7; 1 000
14. a. 7; 100
861
86 100
b. 6; 1 000
108
108 000
Página 57
15. a. 40 500
b. 745 600
c. 580 500
d. 485 600
e. 34 800
f. 128 400
g. 170 000
h. 292 000
i. 7 240 000
j. 1 962 000
k. 7 263 000
l. 1 944 000
m. 1 250 000
n. 220 000
16. a. 50 kg de pan cuestan $ 47 500.
b. Se reunió $ 60 000 con la venta de helados.
c. Habría pagado $ 167 500 por los 300 cuadernos.
17. a. Se multiplicó 5 veces por 10, ya que al multiplicar 3 200
por 100 000, resulta 320 000 000.
b. Se debe multiplicar por 1 000 000 de veces, ya que 100
veces un millón por 2 es 200 000 000.
c. Se multiplicó sucesivamente por 100.
Página 59
Estrategias de cálculo mental
Practico
1. En total hay 180 sillas.
2. a. 9 • 30
9 • 30 = 270
b. 36 • 50
18 • 100
36 • 50 = 18 • 100 = 1 800
3. a. 36 • 10 = 360
b. 14 • 10 = 140
c. 12 • 30 = 360
d. 46 • 50 = 23 • 100 = 2 300
Página 60
Practico
4. a. 38 • 4 • 7
(38 • 4) • 7
152 • 7
1 064
b. 20 • 5 • 3
(20 • 5) • 3
100 • 3
300
5. a. 2 800 b. 2 430 c. 2 680
Practico
6. 400; 4; 400; 25; 100; 1 700
7. a. (200 + 8) • 5 = (200 • 5) + (8 • 5) = 1 000 + 40 = 1 040
b. (400 + 15) • 3 = (400 • 3) + (15 • 3) = 1 200 + 45 = 1 245
c. (500 + 25) • 8 = (500 • 8) + (25 • 8) = 4 000 + 200 = 4 200
Página 61
Practico
1. Se debe estimar 40 • 100, lo que resulta 4 000.
2. 60
60; 6; 10; 600; 10; 6 000
3. a. 4 000 b. 28 000 c. 27 000 d. 8 000
Página 62
Practico
4. 1 000; 60; 1 000; 1 000; 6 000; 60 000.
5. a. 40 000
b. 120 000
c. 80 000
d. 180 000
e. 360 000
f. 240 000
19 • 99; 17 • 95; 10 • 185; 11 • 176; 12 • 201
7. a. Llena aproximadamente 2 000 botellas en un día.
b. Llena aproximadamente 60 000 botellas en 27 días.
Página 64
Multiplicación entre números de dos cifras
Practico
1. 97 • 53
291
+
4 850
5 141
Multiplicas 97 por 3 unidades.
Multiplicas 97 por 5 decenas.
Sumas ambos productos.
2. Se puede estimar el producto 97 • 53 como 100 • 50. Luego,
se obtiene 5 000, que es una aproximación cercana de 5 141.
3. a. 6 480
b. 1 000
c. 2 380
d. 228
e. 2 860
f. 2 736
g. 9 405
h. 7 735
Página 65
4. a. No se sumó la reserva, el resultado correcto es 1 400.
b. Se multiplicó primero la decena y no la unidad.
El resultado correcto es 3 358.
c. Al multiplicar la decena se consideró 4 y no 40.
El resultado correcto es 2 496.
en cada caso:
a. 30 • 40; 20 • 60; 15 • 80. b. 52 • 50; 40 • 65.
Practico
6. a. El árbol mide 864 cm, aproximadamente.
b. Tiene 432 huevos a la venta y recibirá $ 38 880.
c. Victoria recorrerá 1 104 km.
d. Francisco necesitará 450 baldosas.
Página 66
7. a. Se está calculando el total de cajas.
b. Se está calculando el total de libros.
en cada caso:
a. Ejemplo 1: Cada bolsa de chocolates tiene 48 barras
y cada caja contiene 62 bolsas. ¿Cuántas barras de
chocolates hay en total?
Ejemplo 2: En una biblioteca hay 48 estantes con 62 libros
cada uno. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
b. Ejemplo 1: Un bus puede transportar hasta 55 personas.
SI hay 11 buses iguales, ¿cuántas personas se pueden
transportar como máximo?
Ejemplo 2: En cada caja se guardan 55 cuadernos.
Si hay 11 cajas, ¿cuántos cuadernos hay?
330

c. Ejemplo 1: Si las dimensiones de un terreno con forma
rectangular son 82 m por 96 m, ¿cuál es el área del terreno?
Ejemplo 2: El piso de la recepción de un hotel tiene
96 cerámicas de largo y 82 de ancho. ¿Cuántas cerámicas
conforman el piso?
d. Ejemplo 1: En un colegio hay 24 cursos y en cada uno
hay 42 estudiantes. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
Ejemplo 2: Una máquina produce 42 copias en 1 hora.
¿Cuántas copias realizará en 24 horas?
9. a. El dinero que se gasta en el consumo de leche en
un mes.
b. Falta conocer la cantidad de margaritas vendidas.
10. • 32 25 62 74
15 480 375 930 1 110
28 896 700 1 736 2 072
40 1 280 1 000 2 480 2 960
–1 +1
79
78 80
Puedo reescribir 79 como 80 – 1 o 78 + 1
34 · 79 = (34 · 80 ) – 34
34 · 80
34 34 34
79 grupos
34 · 79 = (34 · 78 ) + 34
78 grupos
34 34 34
34 · 79
Páginas 69 y 70
Divisón por números de una cifras
Practico
1. 2; 1
1; 10; 10; 3; 13
13; 4; 1
1; 10; 10; 5; 15
245
Página 71
2. 245 • 3 = 735
3 • 245 = 735
Los productos obtenidos corresponden a la cantidad de
zanahorias de Matilde.
Página 72
Practico
3. a. 169; exacta.
b. 164; exacta.
c. 129 con resto 2; no exacta.
d. 46; exacta.
4. a. 114 b. 209 c. 50 d. 31
5. a. 15 b. 65 c. 151
6. a. Los posibles restos son 0 y 1.
Ejemplos:
25 : 2 cociente 12 y resto 1.
b. Los posibles restos son 0, 1 y 2.
Ejemplos:
7. a. Sumar 3.
b. Sumar 1.
c. Nunca el resto será 3, ya que el divisor es 3.
8. a. Sumar 3.
b. Sumar 1.
c. Sumar 4.
d. Sumar 2.
en cada caso:
a. 302 : 9; 362 : 7
b. 131 : 8; 115 : 7
c. 180 : 4; 92 : 4
Página 73
10. a. La respuesta más razonable es 90, ya que es la que está
más cerca del resultado.
b. Necesitarán 20 vehículos.
c. No, ya que la división 910 : 4 no es exacta.
d. Cada barril tiene 32 L.
Página 74
1. a. Doblar y dividir por dos.
b. Propiedades asociativa y conmutativa. Doblar y dividr
por dos.
c. Propiedad distributiva.
2. 2 800; 2 698 2 700; 2 552
3. a. 560 : 5
b. 355 : 6
c. 224 : 2
d. 472: 8
e. 336 : 3
4. El producto es 2 686, ya que al aplicar la estrategia de
Josefina se obtiene:
17 • 158 = 34 • 79 = (30 + 4) • 79 = (30 • 79) + (4 • 79)
= 2 370 + 316 = 2 686
Página 75
Lección 3: Estrategias de cálculos y problemas
Repaso
1. a. Está 70 km más lejos.
b. Se recorren en total 880 km en el viaje ida y vuelta.
c. Se detuvo a 475 km de cada ciudad.
Página 76
Practico
1. Sí, podría utilizar la propiedad asociativa: 96 – 26 + 48 =
(96 – 26) + 48 = 70 + 48 = 118.
2. a. 20 b. 66 c. 31 d. 23
Página 77
Practico
3. Sí, podría resolverlo de la siguiente forma:
40 • 24 : 6 = (40 • 24) : 6 = 960 : 6 = 160.
4. a. 40 b. 84 c. 5 d. 120
28 + 56 : 4 = 28 + (56 : 4) = 28 + 14 = 42
900 – 30 • 25 = 900 – (30 • 25) = 900 – 750 = 150
6. a. 153
b. 25
c. 78
Solucionario 331

Solucionario
Página 78
Practico
(60 + 64) – 8 • 9 = (60 + 64) – (8 • 9) = 124 – 72 = 52
8. a. 8
b. 77
c. 289
d. 442
e. 1 110
f. 255
g. 184
h. 160
i. 120
Manos a la obra
Ejemplo 1: (342 – 68) · 9 = 2 466
Ejemplo 2: 268 – 79 + 31 = 220
Página 80
Uso de la calculadora y el computador
Practico
1. a. Estados unidos tiene 1 009 km más de costa que Chile,
Argentina y Brasil.
b. • Deberán comprar 83 cajas.
• Respuesta variada. A continuación, se muestran
2 ejemplos:
Ejemplo 1: Si se repartieran 3 trozos de fruta a cada
estudiante, ¿para cuántos alcanzaría?
Ejemplo 2: En otro lugar venden los trozos de fruta en
cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas deberán comprar?
Manos a la obra
Paso 1 Paso 2
El resultado obtenido equivale a la cantidad de dinero que pudo
entregar Camilo en la campaña solidaria.
Página 81
Otras situaciones problema con las cuatro operaciones
Practico
1. 100: 15
100 : 15 = 6
– 90
10

Hay 6 sacos de papas y quedan 10 kg de papas.
Página 82
Practico
2. Necesitará 7 páginas.
3. 405
450; $ 287 550
$ 287 550
Página 83
Practico
en cada caso:
a. Ejemplo 1: ¿Cuántos sacos se deben ocupar?
Ejemplo 2: ¿Cuántos kilogramos de almendras sobrarán?
b. Ejemplo 1: ¿Cuánto es el pago total por el refrigerador?
Ejemplo 2: Si lo que aún debe la señora Hernández lo pagará
en 15 cuotas iguales, ¿cuál será el monto de cada cuota?
5. La operación es correcta y el monto total es de $ 3 270.
Página 84
6. a. Deberá pagar por estacionamiento $ 2 100.
b. Se llenarán por completo 116 bidones y sobrarán 2 L.
c. Reunió 100 bolsas.
Ejemplo 1: En un laboratorio, un recipiente químico tiene
48 cc de una solución y se quiere repartir en tubos de
ensayo de 8 cc cada uno. Si hay 120 recipientes como este
y en el laboratorio hay 20 tubos más con dicha solución,
¿cuántos tubos hay en total?
Ejemplo 2: En una caja hay 48 dulces que se quieren repartir
en bolsas con 8 unidades. Si hay 120 cajas y además se
agregan 20 bolsas como estas, ¿cuántas bolsas hay en total?
Página 85
1. a. 1° División
2° Multiplicación
3° Adición
4° Sustracción
b. 1° Paréntesis
(sustracción)
2° Multiplicación
3° Adición
4° Adición
c. 1° Paréntesis (adición)
2° Paréntesis (división)
3° Paréntesis (sustracción)
4° Multiplicación
2. a. 67
b. 746
c. 974
d. 5 130
e. 30
f. 109
3. a. Tendrá ahorrado $ 72 000 y le falta por ahorrar $ 64 000.
b. Pagó en total $ 58 980 y le sobró $ 41 020.
c. Se pueden plantar 2 800 lechugas.
Página 86
Lección 4: Patrones y secuencias
Repaso
1. a. 16; 22; 28
b. Sí, ya que cada vez se suma 6 m.
c. Se sembrará a 58 m. Para determinarlo se utiliza el
patrón numérico.
332

3. a. No, ya que cada cifra tendrá un valor posicional distinto.
b. No es lo mismo, ya que en forma expandida se expresa
2 · 1 000 000 y en notación estándar, 2 000 000.
Las potencias de 10 se expresarán igual en
ambas notaciones.
4. A: 22 500 000
B: 8 100 000
C: 18 300 000
D: 1 100 000
E: 14 998 875
F: 4 859 875
Página 93
5. a. El país que se consume más litros de agua por habitante
es Argentina.
b. 703 000 < 803 000 < 1 404 000
6. a. Contiene 190 000 mg de carbohidratos más que grasas,
aproximadamente.
b. En total hay 310 000 mg, aproxidamente.
7. a. 700 b. 3 240 c. 720 d. 10 000
8. a.
18 4 3
1 6 36
12 9 2
b.
50 4 5
1 10 100
20 25 2
c.
98 4 7
1 14 196
28 49 2
9. 176; 2 140; 3 433
10. a. Falta 1 joven para completar la alianza con
menos integrantes.
b. Lleva aproximadamente 400 kg.
c. Se venderán en total 700 números.
Página 94
11.
76 : 4 – 19
9 • 4 – 72 : 3
Final
Comienzo
9 + 1 • 5 8 : 8 + 1 46 – 9 • 5
8 : 4 + 66 : 33 57 – 9 – 45 33 : 3 – 2
24 : 3 – 18 : 6 2 • 22 – 38 19 – 144 : 12
37 – 5 • 7 27 : 9 + 6 36 : 6 + 2
144 : 12 – 1 4 • 3 – 2 • 1 3 + 5 • 2 + 1
14
0
1
9
7
8
14
2
3
6
9
10
12
4
5
2
11
12. El consumo total es de 500 Watts.
13. a. 1; 4; 9; 16; 25; 36
b. Se multiplica por sí mismo el número de la figura.
14. a. 65, 50, 35, 20, 5
b. 240, 245, 250, 240, 230
15. a. 158, 178, 198, 218, 238, 258, 278, 298, 318, 338, 358, 378,
398, 418, 438, 458
Página 88
Patrón de formación y secuencias
Practico
1. a. 2 000 000; 2 000 000; 2 000 000; 7 345 024; 7 345 024
b. 10 000; 10 000; 10 000; 790 346; 790 346
2. a. Marta tendrá 20 años.
b. Juan tendrá 30 años.
c. El perímetro es 68 cm.
d. La medida de uno de los lados del cuadrado es 13 cm.
Página 89
3. a. Multiplicar por 3.
b. En los tres primeros términos el patrón es restar 5 y en los
4 términos siguientes es sumar 4.
4. a. 54, 63, 72
b. 1 620, 4 860, 14 580
c. 32, 16, 8
5. a. 45, 450, 4 500, 45 000, 450 000
b. 729, 243, 81, 27, 9
6. a. El décimo término podría ser 151, se obtiene sumando 13
a cada término.
b. La suma entre el segundo y el noveno término es 71.
Manos a la obra
Ejemplo 1
100; 200; 300; 400; 500
• ¿Cuántos kilómetros recorrerá el automóvil en 7 horas?
• ¿En cuántas horas recorrerá 900 km?
Ejemplo 2
80; 160; 240; 320; 400
• ¿Cuántos kilómetros avanza el automóvil en cada hora?
• ¿Cuántas horas deberá andar el automóvil para recorrer 640 km?
Página 90
1. a. El patrón de formación es agregar 5 palos de fósforos.
b. 21; 26; 31, 36; 41; 46; 51; 56
2. No es correcto, ya que se debe sumar al primer término
14 veces 4.
3. a. Transcurren 60 minutos entre el primer y el quinto bus.
b. Si la frecuencia varía a 20 minutos, el tiempo entre el
primer y el décimo bus es de 180 minutos.
Página 92
¿Qué aprendí? Evaluación Final
1. a. 500 000 000 Quinientos millones.
b. 114 000 000 Ciento catorce millones.
c. 150 000 000 Ciento cincuenta millones.
2. a. 756 000 km2
: Setecientos cincuenta y seis mil
kilómetros cuadrados.
b. Resulta el número 956 000.
Solucionario 333

Solucionario
Unidad 2 Geometría y medición
Página 98
Activo mis conocimientos
• Deben conocer las dimensiones de la sala, por lo que
pueden medir las paredes que pintarán.
• Deben medir el largo y el ancho del piso, lo que pueden
hacer usando una huincha. Para saber la cantidad de
materiales que necesitan deben calcular el área del piso.
Páginas 99 y 100
1. 10
en cada caso:
a. Ejemplo 1: Cancha de fútbol.
Ejemplo 2: Automóvil.
b. Ejemplo 1: Zapato.
Ejemplo 2: Estuche.
3. Ambos están en lo correcto, ya que 100 cm equivalen a 1 m.
4. a. Triángulo. b. Cuadrilátero.
5.
Son simétricas, ya que al reflejarse se obtiene la misma figura.
6. La figura B.
7. a. A = 5 • 5 = 25 unidades cuadradas.
P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 unidades.
b. A = 6 • 4 = 24 unidades cuadradas.
P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20 unidades.
8. a. 1A y 2D, respectivamente.
b. 2 cuadros a la derecha, 3 hacia arriba, 1 a la derecha
y 2 hacia abajo.
Página 101
Lección 1: Unidades de medida de longitud
Repaso
1. a. 1 b. 4
2. a. b.
en cada caso:
a. Una guitarra, un escobillón, una ventana, una mesa.
b. Una puerta, una cama, una pizarra, un clóset.
c. Un grano de arroz, una lenteja, una pastilla, un chip.
Página 102
Practico
1. a. 150 b. 1; 50
en cada caso:
a. 1 m y 20 cm; 1 m 5 cm.
b. 80 cm; 1 m y 10 cm.
c. 2 m y 30 cm; 2 m y 15 cm.
d. 1 m y 10 cm; 95 cm.
3. a. Sí, ya que una puerta debe medir lo necesario para que
pase una persona.
b. No, ya que al medir manualmente puede variar la medida.
Página 103
Practico
4. a. 8; 2. b. 8; 4.
en cada caso:
a. Ejemplo 1: 20 cm y 2 mm Ejemplo 2: 25 cm y 3 mm
b. Ejemplo 1: 27 cm y 1 mm Ejemplo 2: 32 cm y 7 mm
c. Ejemplo 1: 33 cm y 5 mm Ejemplo 2: 34 cm y 2 mm
Página 104
Practico
6. La distancia entre Calama y Rancagua, ya que es una
distancia mayor a 1 000 m.
7. a. Milímetros, ya que es una medida pequeña, menor a 1 cm.
b. Kilómetros, ya que posiblemente son más de 1 000 m.
8. No, ya que una cuadra no equivale necesariamente a 1 km.
9. Chile continental mide 4 329 km de largo. Es adecuado
utilizar kilómetros para expresar esta medida de longitud,
porque corresponde a una longitud mayor que los
centímetros y milímetros.
Fuente: Universidad de Chile. En http://www.uchile.cl/portal/presentacion/la-u-
y-chile/acerca-de-chile/8035/presentacion-territorial. Consultado en junio 2016.
Ejemplo 1: Al construir una casa se realizan distintas mediciones.
Ejemplo 2: Para confeccionar ropa es necesario medir.
Ejemplo 3: Los tornillos y clavos se miden para clasificarlos.
Ejemplo 4: Las tallas de calzado se pueden identificar al
medir el pie.
Página 105
Transformación entre unidades de medida de longitud
Manos a la obra
Actividad a cargo del estudiante.
Página 106
Practico
1. El largo del camión es 456 cm.
2. a. 700 cm b. 592 cm c. 240 cm d. 308 cm
3. a. 8 m
b. 1 m y 56 cm
c. 3 m y 80 cm
d. 9 m y 9 cm
4. a. 5 000 cm b. 86 m
5. El largo de la corchetera es 167 mm.
Página 107
6. a. 43 b. 78
7. a. 90 b. 530
botón, aro, dulce, semilla, mosca, pestaña.
334

Practico
9. a. 2; 320. b. 2 320
10. 4; 4 000
235
4 000; 235; 4 235
11. a. 4 000 m b. 2 049 m c. 3 007 m
12. a. 1 km y 465 m.
b. 9 km y 9 m.
c. 7 km y 550 m.
13. a. 9 b. 13 000
14. La distancia equivale a 10 km y 550 m.
15. a. La distancia es de 5 km y 600 m.
b. La distancia es de 3 km y 800 m.
c. La distancia es 9 km y 700 m.
Página 110
Practico
1. a. El largo total de las cintas es 2 m y 40 cm.
b. Felipe caminó 1 km y 390 m.
2. a. El hermano de Paulina mide 1 m y 74 cm.
b. Javier compró 14 m y 25 cm de tela.
Página 111
Practico
3. a. 75 mm
75; 5; 375
375; 37; 5
37; 5
b. 90
90; 5; 18
18; 180
180
4. a. El largo de cada caja es 290 mm o 29 cm.
b. El largo de cada trozo es 9 m.
c. La altura es 390 m, aproximadamente.
5. a. El perímetro de la pista cubierta es 124 m.
b. El perímetro de la pista al aire libre es 164 m.
6. Se espera que el estudiante utilice como unidad de medida
el metro, ya que el kilómetro es una unidad de longitud
mayor y los centímetros y milímetros son unidades de
longitud menores. El perímetro debe calcularlo sumando las
medidas del contorno del patio.
Página 112
Practico
7. a. A Juan le faltan 72 m para completar la carrera.
b. El largo de cada una de las tres partes es 27 cm.
c. El largo de cada pedazo es 8 m.
d. Ana recorre en total 2 km y 75 m.
Ejemplo 1: Marcela tiene una cinta de 352 cm de largo y
la quiere cortar en 4 trozos de igual longitud. ¿Cuántos
centímetros medirá cada trozo de cinta?
Ejemplo 2: En una pared que mide 143 cm y 2 mm de
largo se construirá un mueble del mismo largo y el cual
estará dividido en 4 compartimentos iguales. ¿Cuántos
centímetros y milímetros medirá cada compartimento?
Página 113
1. a. largo b. kilómetros c. milímetros
2. a. 769 b. 8; 905.
3. a. La Mantis religiosa, ya que es de mayor tamaño que
una hormiga.
b. Debe medir como mínimo 90 cm.
Página 114
Lección 2: Figuras 2D y 3D
Repaso
1. a. Mayor b. Igual c. Menor
2. a. b. c.
3. a. b. c.
Página 116
Líneas rectas que se intersecan y que son perpendiculares
Practico
1. a. Sí, ya que forman ángulos de 90°.
b. No, ya que el ángulo formado no es de 90°.
2. La recta L 1
es perpendicular a la recta L2
.
Simbólicamente, L 1
9 L2
.
3. a.
A
C
B
b.
X Y
Z
W
X Y
Z
W
c.
P
Q
R
S
P
Q
R
S
P
Q
R
S
P
Q
R
S
Página 117
4. a. Solo está correcto en el caso del cuadrado.
b.
5. Respuesta variada. A continuación,
se muestran 2 ejemplos:
Solucionario 335

Solucionario
6. Respuesta variada. A continuación, se muestran ejemplos:
a. b. c.
en cada caso:
Rectas perpendiculares
Rectas no perpendiculares
Manos a la obra
Respuesta variada. Podrían elegir la pizarra, la puerta, alguna
ventana, las sillas, entre otras.
Página 120
Practico
1. a. Son paralelas, ya que las rectas nunca se intersecan y
están siempre a la misma distancia.
b. Las rectas no están siempre a la misma distancia, por lo
que no son paralelas.
c. Son paralelas, ya que las rectas nunca se intersecan y
están siempre a la misma distancia.
2.
A
B
D
C
A
B
D
C
R
S
U
T
R
S
U
T
X
Y W
Z V
E
F
G
H
I
K
J O
N
M
L
K
J O
N
M
L
K
J O
N
M
L
a. b. c.
Página 121
en cada caso:
Rectas paralelas
Rectas no paralelas
Manos a la obra
Respuesta variada. Podrían elegir la pizarra, la puerta, alguna
ventana, las sillas, entre otras.
• AC9BI, KC9AX, JK9JI, CH9LE, IX 9XG.
• AX
• KC, XE , IX.
• XC - CA, XK - KA, XN - NL - LA.
Se obtiene un octágono.
Página 122
Caras y aristas paralelas o perpendiculares
Practico
1. a. ABCD; ABGF; FEHG; DEHC
b. ABGF; ABCD; DEHC; FEHG
c. ABGF; AFED; DEHC; BCHG
d. ABCD; FEHG; AFED; BCHG
2. a. AB , DC, AF , DE
b. AF , DE , EH, FG
c. GF , GB , HC, HE
d. DE , EF, HG, HC
3. a. La distancia será la misma.
b. Ocurre lo mismo con las aristas. Hay aristas que no se
intersecan y los planos que las contienen están a la
misma distancia.
c. Forman un ángulo de 90°. Ocurre lo mismo con las
otras aristas que se intersecan, ya que las caras de un
paralelepípedo corresponden a rectángulos.
d. Forman un ángulo de 90°.
Página 123
Practico
4. a. DHGC
b. Respuesta variada. A continuación, se muestran todas
las opciones:
ABCD; DHGC; AEFB; EFGH
5. a. Las caras perpendiculares son ABCD, BFGC, EHDA,
EFGH, ya que forman un ángulo de 90°.
b. Hay 4 caras perpendiculares. Corresponden a las caras
que se intersecan.
c. Hay 1 cara paralela a cada cara, ya que es la única con la
que no se interseca.
d. Corresponde a una arista. Si dos caras se intersecan,
su intersección siempre corresponde a una arista
del paralelepípedo.
e. Corresponde a un vértice. Si dos aristas se intersecan,
su intersección siempre corresponde a un vértice
del paralelepípedo.
f. Sí, ya que no se intersecan y están a la misma distancia.
g. Algunos ejemplos de aristas perpendiculares son: BC y
BF; AB y BC ; AB y BF ; EH y HG. Son perpendiculares
ya que forman un ángulo de 90°.
336

7. Puede elegir un libro, una puerta, una ventana, la pizarra,
entre otros objetos.
8. Puede elegir una caja, un libro, un estuche, entre
otros objetos.
Manos a la obra
Caras paralelas
Caras perpendiculares
Aristas paralelas
Aristas perpendiculares
Página 125
Lados paralelos o perpendiculares
Practico
1. a.
b.
c.
2. a.

2 pares de lados paralelos. No tiene lados
perpendiculares.

No tiene lados paralelos ni lados
perpendiculares.

perpendiculares.

perpendiculares.
b. Las figuras son paralelogramos, pentágono, hexágono
y octágono.
c. A cargo del estudiante.
Página 126
1. a. F. Se intersecan en un punto y forman ángulos de 90°.
b. F. Las rectas deben ser perpendiculares.
c. V. Es la definición de rectas paralelas.
2. a.
A
B
C
D
E
b. A
B
C
D
E F
3. a.
A B
C
D
F
E
H G
b. Respuesta variada, se muestran algunos ejemplos.
Caras perpendiculares: EFGH y ABFE; BCGF con HGCD.
Aristas paralelas: EA y FB; DC y HG.
Aristas perpendiculares: HE y EF; EA y AD.
Página 127
Lección 3: Congruencia
Repaso
1. Grupo 1 y grupo 3.
2. a.
Triángulo, 4 triángulos.
b.
Paralelogramo,
5 triángulos.
Se dividirá en 4 rectángulos iguales. Algunas opciones son:
Página 129
Figuras congruentes
Practico
1. a.
b.
c.
Solucionario 337

Solucionario
Página 130
2. a. La figura D. Tiene la misma forma y tamaño y siempre
ocurre esto en una traslación.
b. La figura B. Tiene la misma forma y tamaño y siempre
ocurre esto en una rotación.
3. Rotación respecto de A, ya que el triángulo ABC se rotó
respecto a este vértice en cierto ángulo.
Página 131
Practico
4. a. Sí, ya que tienen la misma forma y tamaño.
b. Sí, ya que tienen la misma forma y tamaño.
c. No, ya que tienen la misma forma pero diferente tamaño.
d. Sí, ya que tienen la misma forma y tamaño.
a.
b.
c.
6. a. V. Tienen igual forma y tamaño.
b. F. Fue rotado.
c. F. Fue rotado.
d. V. Se rotó en 90°.
Página 132
7. a. No, porque no tienen la misma forma.
b. Se puede comprobar verificando que sus lados y ángulos
correspondientes midan lo mismo. Para ello, se puede poner
una figura sobre la otra y observar si coinciden exactamente.
8. a. Cambia la posición y se mantiene la forma y tamaño.
b. 36; 36; 27; 27; 17; 17
c. Las medidas son las mismas y como la forma no cambia
los triángulos son congruentes.
9. a. Sí, ya que al reflejar las figuras mantienen la forma
y el tamaño.
b. Sí, al trasladar, reflejar o rotar una figura se obtienen
figuras congruentes.
Manos a la obra
Se espera que justifiquen que ambas figuras son congruentes
porque tienen la misma forma y tamaño.
Se espera que representen dos figuras cuya forma y/o tamaño
no coincidan.
Página 133
1. a. rotación b. reflexión c. congruente
2. a. Reflexión b. Rotación c. Traslación
3.
Son congruentes ya que tienen igual
forma y tamaño.
4. Se puede verificar midiendo los lados y ángulos de las
figuras o recortando la figura y superponiéndola.
Página 134
Lección 4: Área y perímetro
Repaso
1. 3; 5
5; 5; 5
15
15
2. a. 12 cm b. 30 cm
3. a. Multiplicar la cantidad de cuadrados del largo por la
del ancho.
b. 20 blancas y 20 azules.
Página 136
Áreas de rectángulos y cuadrados
Practico
1. a. 3
5; 15
15
b. 2; 8; 16
2. Estrategia 1
3
3; 9
9
Estrategia 2
3; 3; 9
3. a. A = 3 • 2 = 6 cm2
b. A = 7 • 3 = 21 cm2
c. A = 3 • 4 = 12 mm2
d. A = 4 • 4 = 16 m2
Página 137
4. Estrategia 1
8; 64
64; 32
32
Estrategia 2
8; 4
8; 4; 32
32
5. Estrategia 1
A = 50 • 50 = 2 500 cm2
2 500 : 2 = 1 250 cm2
Estrategia 2
50 : 2 = 25 cm
A = 50 • 25 = 1 250 cm2
El área de la ventana que está cubierta es 1 250 cm2
.
Página 138
Manos a la obra
Rectángulo 1 Largo: 3 unidades cuadradas.
Ancho: 2 unidades cuadradas. A = 6 unidades cuadradas.
Ancho: 1 unidad cuadrada. A = 5 unidades cuadradas.
338

Manos a la obra
Rectángulo 1 Largo: 7 cm. Ancho: 3 cm.
P = 20 cm. A = 21 cm2
P = 18 cm. A = 18 cm2
P = 24 cm. A = 35 cm2
P = 14 cm. A = 12 cm2
P = 14 cm. A = 10 cm2
• El área es 81 cm2
.
• No, ya que no por tener igual perímetro tendrán igual área.
• No, depende de las medidas del rectángulo. Esto ocurre ya
que hay distintas combinaciones de números que sumen 36.
Página 140
Rectángulos y cuadrados a partir de su área o perímetro
Practico
1. a. 8 unidades cuadradas.
b. 14 unidades cuadradas, aproximadamente.
c. 22 y media unidades cuadradas.
d. 16 unidades cuadradas, aproximadamente.
Manos a la obra
A cargo del estudiante.
Página 142
Rectángulos y cuadrados a partir de su área o perímetro
Practico
1. a. La medida es 6 m. b. Mide 4 m.
2. a. 14 cm de largo y 4 cm de ancho.
1 cm
1 cm
b. 12 cm de largo y 9 cm de ancho.
1 cm
1 cm
3. a. ¿Cuál es el ancho del marco?
35 mm
El ancho mide 29 mm.
b. ¿Cuál es el ancho del campo?
160 m
El ancho del campo es 80 m.
4. Es posible que los rectángulos tengan igual perímetro pero
que no sean iguales. Los lados del rectángulo de Francisca
miden 5 cm y 6 cm y en el de Pablo miden 4 cm y 7 cm.
Medidas de algunos rectángulos de perímetro 30 cm:
10 cm y 5 cm; 12 cm y 3 cm; 7 cm y 8 cm; 1 cm y 14 cm.
a. Respuesta a cargo del estudiante.
b. Sí, a continuación, se muestran dos ejemplos:
Ejemplo 1: 8,5 cm y 6,5 cm. Ejemplo 2: 10,3 cm y 4,7 cm.
6. Se pueden construir 3, ya que hay 3 combinaciones de sumas
de números naturales que resulten 6. Las posibilidades son
largo 4 cm y ancho 2 cm; largo 5 cm y ancho 1 cm: largo y
ancho 3 cm.
Página 143
Practico
7. a. Cada lado debe medir 33 cm.
b. Solo 1, ya que 12 es el único número que sumado con sí
mismo 4 veces resulta 48.
c. Cada persona camina 9 m.
8. El largo del terreno mide 12 m.
9. a. Largo 8 cm y ancho 4 cm.
1 cm
1 cm
b. Largo 9 cm y ancho 8 cm.
1 cm
1 cm
Página 144
10. a. ¿Cuánto mide el largo del mantel?
90 mm
El largo mide 100 cm.
b. ¿Cuál es el ancho del terreno?
6 m
El ancho mide 2 m.
11. Es posible que los rectángulos tengan igual área pero que
no sean iguales. Los lados del rectángulo de Sofía miden
5 cm y 12 cm y en el de Andrés miden 6 cm y 10 cm.
Solucionario 339

Solucionario
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
a. Se pueden dibujar 4 rectángulos con diferentes medidas.
Las medidas de los rectángulos son las siguientes:
36 cm de largo y 1 cm de ancho; 18 cm de largo y 2 cm
de ancho; 12 cm de largo y 3 cm de ancho; 9 cm de largo
y 4 cm de ancho.
b. Solo se pueden dibujar los 4 rectángulos nombrados en a.
13. Respuesta variada. A continuación, se muestran todas
las opciones:
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
a. Hay tres rectángulos cuya área es 16 cm2
.
b. El rectángulo de mayor perímetro es el de 16 cm de
largo y 1 cm de ancho.
c. Sí, pero sus medidas no son números naturales. Por
ejemplo, un rectángulo cuyo largo mida 32 cm y su
ancho mida medio centímetro o un rectángulo cuyo
largo mida 64 cm y su ancho un cuarto de centímetro.
Página 145
Practico
14. 7 cm
A = 49 cm2
a = 7 cm
P = 4 · 7 = 28 cm
15. a. Solo 1, ya que solo 8 multiplicado por sí mismo resulta 64.
b. No, por ejemplo si el área considerada es 36 cm2
, un
rectángulo pueden tener largo 18 cm y ancho 2 cm;
y en un cuadrado su lado mide 6 cm, por lo que sus
perímetros serán 40 cm y 24 cm, respectivamente.
c. No, por ejemplo si el perímetro considerado es 20 cm,
un rectángulo pueden tener largo 8 cm y ancho 2 cm; y
en un cuadrado su lado mide 5 cm, por lo que sus áreas
serán 16 cm2
y 25 cm2
, respectivamente.
Manos a la obra
La figura que tendrá mayor área será el cuadrado de lado mayor.
Página 147
Manos a la obra
• 16 unidades cuadradas.
• La diferencia es 16 unidades cuadradas. El área del
rectángulo AQRD es el doble que la del rectángulo EQRF.
rectángulo es el doble que la del triángulo.
rectángulo es el doble que la del cuadrado.
rectángulo es el doble que la del triángulo.
Página 148
Practico
1. a. 20
b. 6
2. a. Calcular el área del rectángulo y dividir por 2 o calcular el
área del triángulo utilizando la expresión. El área es 21 cm2
.
b. Calcular el área del rectángulo y dividir por 2 o calcular el
área del triángulo utilizando la expresión. El área es 20 cm2
.
3. El área de todos los triángulos es 6 cm2
.
Los triángulos que tienen igual base e igual altura tienen la
misma área.
Página 149
4. a. El área del terreno es 126 m2
.
b. Se necesita 1 600 cm2
de género.
c. No, porque el área de la base es 375 cm2
y la del
cuadrado es 225 cm2
.
El área del rectángulo ABCD es 88 cm2
y la del triángulo ABD es
44 cm2
. Luego, como BE = ED , se pueden hacer divisiones en
el rectángulo de manera de identificar triángulos congruentes
o bien, recortar y superponer los triángulos. Se obtiene que el
área del triángulo ABE es 22 cm2
.
A
B
E
D
C
8 cm
11 cm A
B
E
D
C
8 cm
11 cm
Página 151
Practico
1. a. 12
b. 15
c. 28
Página 152
Practico
2. a. 15 b. 8 c. 28
340

3. a. Las figuras y sus medidas.
b. Sí, ya que el área de ambos es 16 cm2
.
c. La suma de las bases es la misma en ambos trapecios y
la altura es igual, por lo que al calcular el área resultará el
mismo valor.
4. a. Sí, ya que necesita cubrir 80 000 cm2
y tiene 87 500 cm2
.
b. Hacer la conversión de metros a centímetros y luego
calcular las áreas y compararlas.
c. Sí, ya que tendría para cubrir 86 875 cm2
.
Página 153
Área de figuras compuestas
Practico
1. El área es 88 cm2
.
Página 154
2. a. 85 b. 54
Manos a la obra
Grupo 1
P = 20 cm
A = 16 cm2
Grupo 2
P = 22 cm
A = 21 cm2
Grupo 3
P = 16 cm
A= 9 cm2
Página 155
Practico
3. El área es 36 m2
.
4. a. P = 42 cm b. A = 74 cm2
5. a. P = 136 m b. A = 204 m2
6. a. Antes de doblar el papel el área es 60 cm2
.
b. Después de doblar el papel el área es 42 cm2
.
7. No tiene razón. Para determinar la longitud de un lado se
puede hallar un número que al multiplicarse por sí mismo
resulte el valor del área.
Página 156
Manos a la obra
• El área del rectángulo de largo 8 cm y ancho 6 cm es 48
cm2
.
• El área del rectángulo de largo 8 cm y ancho 3 cm es 24 cm2
.
• Si su ancho mide 4 cm y la medida del largo del rectángulo
coincide con la del original, el área del rectángulo es 32 cm2
.
• Si al doblar el rectángulo A solo cambia la medida de su
ancho o de su largo, puedes calcular su área midiendo este
nuevo lado y multiplicando este valor por la medida que
no cambia.
2 cm
4 cm
4 cm
4 cm
2 cm
2 cm
6 cm
2 cm
3 cm 3 cm
3 cm
2 cm
1 cm
1 cm
2 cm
1 cm
3 cm
3 cm 2 cm
16; 25; 36; 49; 64; 81; 100
La medida del lado de uno de los cuadrados es 5 cm y la del
otro es 8 cm.
Página 157
1. a. 5 cm2
, aproximadamente.
b. 8 cm2
, aproximadamente.
2. a. El área es 16 cm2
. Se divide el área del rectángulo por 2.
b. Puede medir 4 cm.
3. a. Se identifica el triángulo rectángulo y se traslada formando
un rectángulo.
E F
G
H
E F
G
H
E F
G
H
b. Porque solo se traslada una parte de la figura conservando
el área original.
c. Sí, ya que el área de una figura se puede calcular
sumando las áreas de las figuras que la componen.
4. a. 475 m2
están cubiertos de hierba.
b. Son necesarios 138 m de cerca.
Página 158
Lección 5: Plano cartesiano
Repaso
1. a. E5 y H2, respectivamente.
b. C1
c. Trasladarse 2 cuadrados a la derecha y 4 hacia arriba.
Página 160
Puntos en el plano cartesiano
Practico
1. a. (2, 2)
b. (7, 6)
c. (0, 3)
d. (4, 0)
e. (5, 4)
f. (7, 3)
2. a.
6
7
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
Casa
de Juan
Casa
de Ana
Colegio
Biblioteca
Parque
Hospital
Oficina de
correos
b. La oficina de correos se encuentra a 3 unidades a la
derecha y 3 unidades hacia arriba de la biblioteca.
Solucionario 341

Solucionario
Página 161
3. a.
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6
Y
X
M
P
Q
N
b. M(1, 4) y N(5, 7).
c. Para determinar la ubicación de M y N se identifica la
primera coordenada que es el número ubicado en el eje
X y la segunda coordenada que es el número ubicado
en el eje Y.
d. Son 2 puntos distintos, ya que las coordenadas de los
puntos son diferentes.
4. a.
A
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6
Y
X
b. (4, 4)
5. (7, 4)
6. Los puntos mal
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7
Y
X
B
D
H C
A
G
I
E
F
F
J
J
D
ubicados son D, F y J.
Página 162
Puntos y figuras en el plano cartesiano
Practico
1. A(5, 5); B(3, 0); C(7, 2)
Página 163
2.
C
B
6
7
8
9
10
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8 9 10 11
Y
X
A
J
G
D
L M P
N
O R
Q
K
E
F
T U
H
I
S V
a. Triángulo
b. Triángulo
c. Cuadrado
d. Rectángulo
e. Paralelogramo
f. Trapecio
3.
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
E
A
B
C
D
a. B(5, 2)
b. E(1, 6)
4.
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
A
B
C C
D D
5. Los otros vértices pueden ser B(9, 3), C(9, 8) y D(2, 8).
6.
6
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
S
R
Q
P
a. Se obtiene un rectángulo.
b. Respuesta variada. A continuación, se muestra un ejemplo:
6
7
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7
Y
X
C
B
A
D
c. Los vértices del cuadrado son A(2, 2), B(6, 2), C(6, 6) y
D(2, 6). Para determinar el cuadrado, se considera que el
perímetro del rectángulo PQRS es 16 unidades, por lo
que se divide por 4 este valor y se obtiene que el lado
del cuadrado debe medir 4 unidades.
Manos a la obra
Respuesta variada. A continuación, se muestran ejemplos
de cuadriláteros:
6
7
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6
Y
X
Las coordenadas de los vértices
pueden ser C(7, 3) y D(7, 6) o
C(1, 3) y D(1, 6).
342

1. No, porque la primera coordenada corresponde al número
ubicado en el eje X y la segunda coordenada al número
ubicado en el eje Y.
2.
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
A
B
3.
6
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
B
C
A
a. Triángulo rectángulo.
b. D(0, 0)
4. 6
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
A
B
D
C C
D
9
5. a. Las coordenadas son A(2, 3); B(2, 1); C(4, 3); D(4, 1).
La medida del contorno del terreno es 80 m.
b.
6
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8
Y
X
A
B
C
D
Página 166
1. 180 cm
2. 13 cm
3. a. Para medir los trozos de 30 cm debe utilizar la regla
y marcar exactamente esa longitud 1 vez. Para medir
los trozos de 1 m y 5 cm debe utilizar la regla y marcar
esa longitud 3 veces y luego medir 15 cm más, los que
corresponden a la mitad de la longitud de la regla.
b. El largo es 27 cm y el ancho 21 cm.
c. La altura es de 6 km y 890 m.
4. a. Son paralelas.
b. Se intersecan.
c. Son perpendiculares.
Las coordenadas del vértice C
podrían ser (7, 2) o (7, 7).
Las coordenadas pueden
ser C(9, 4) y D(9, 6) o
C(1, 4) y D(1, 6).
Página 167
5.
Son paralelos, porque están a la misma distancia y no se
intersecan. Son perpendiculares, porque forman un ángulo
de 90°.
6.
a. 3 pares de caras paralelas y 12 pares de caras perpendiculares.
b. 3 pares de caras paralelas y 12 pares de caras perpendiculares.
7. Solo la tercera figura es congruente con la inicial, ya que
tienen igual forma y tamaño.
8. a. La tercera figura se puede obtener aplicando una
rotación respecto de A.
b. No, para ser congruente debe tener la misma forma
y el mismo tamaño.
9. El área es 12 cm2
, aproximadamente.
10. La longitud del lado debe ser 4 unidades.
Página 168
11. A = 16 cm2
. Se puede calcular utilizando la expresión para el
área de un triángulo.
12. Sí, por ejemplo un cuadrado de lado 6 cm y un rectángulo
de lados 12 cm y 3 cm tienen igual área, sin embargo el
perímetro del cuadrado es 24 cm, mientras que la del
rectángulo es 30 cm.
13. a. D(0, 3)
b.
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8 9
Y
X
A
C
B
D
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8 9
Y
X
A
C D
B
6
7
8
5
4
3
2
1
O 1 3
2 4 5 6 7 8 9
Y
X
A
C D
B
d. Se debe cambiar
1 vértice. De esta forma
se obtiene un trapecio
rectángulo.
c.
Solucionario 343

Solucionario
14. a. A(3, 6); B(3, 4); C(2, 4); D(2, 2); E(6, 2); F(6, 4); G(5, 4); H(5, 6).
b. La menor distancia posible es 4 m.
c. Caminó 4 m.
d. El área es 12 m2
.
344

Glosario
A
Área: Cantidad de superficie cubierta; por lo general se
mideenunidadescuadradas,porejemplo,encentímetros
cuadrados (cm2
).
C
Cociente: Resultado de una división.
D
Desigualdad:Enunciadoqueafirmaquedosexpresiones
nosoniguales.Porejemplo:82,612sondesigualdades.
Dividendo: Número que se divide en una división.
Divisor: Número entre el cual se divide el dividendo.
E
Ecuación:Enunciadoqueafirmaquedosexpresionesen
las que hay al menos un valor desconocido son iguales.
Estimación: Es hallar el valor aproximado de un número
o del resultado de una operación.
Expresiónalgebraica:Expresiónquecontienealmenos
una variable o valor desconocido.
F
Factor: 2 · 9 = 18. 2 y 9 son factores de 18.
Forma desarrollada: Descomposición aditiva de
un número.
Fracción impropia: Fracción cuyo numerador es mayor
que su denominador. Su valor es mayor que 1.
Fracción propia: Fracción cuyo numerador es menor
que su denominador. Su valor es menor que 1.
Fracción unitaria: Fracción con numerador 1.
Fracciones equivalentes: Fracciones que tienen el
mismo valor.
I
Igualdad: Enunciado que afirma que dos expresiones
numéricas son iguales.
Inecuación: Enunciado que afirma que dos expresiones
en las que hay al menos un valor desconocido no
son iguales.
L
Lado: Uno de los segmentos que forman un polígono.
Líneasperpendiculares:Líneasqueformanángulosrectos.
N
Número mixto: Número compuesto por un número
entero y una fracción.
O
Ordendelasoperaciones:Conjuntodereglasqueindican
el orden en el que se deben resolver las operaciones,
“+”, “–”, “•” y “:”
P
Período (de un número): Grupo de tres lugares que
generalmenteseusaparaleernúmerosigualesomayores
que 1 000.
Producto: Resultado de una multiplicación.
Propiedadasociativa: Cuando se suman (o multiplican)
tresnúmerosomás,puedessumar(omultiplicar)primero
cualquiera de los dos y el resultado no cambia.
Propiedadconmutativa:Dosnúmerossepuedensumar
omultiplicarencualquierordenyelresultadonocambia.
Propiedad distributiva: Propiedad de los números que
relaciona la adición con la multiplicación. El producto
de un número y una suma es igual a la suma de los
productos del número y los dos sumandos.
R
Redondear:Aproximarunnúmeroaladecena,centena,
unidad de mil, etc., más cercanos.
Resto (en división de números naturales): Número
que sobra cuando un divisor no divide el dividendo de
manera exacta.
S
Secuencia numérica: Lista ordenada de números que
generalmente siguen una regla.
V
Valor posicional: Valor de un dígito según la posición
que ocupe en un número.
359
Glosario

Bibliografía
Bibliografía
• Bruner, J. On Knowing: Essays for the Left Hand. Cambridge. MA: Harvard University Press, 1966.
• Bruner, J. The Process of Education. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1960.
• Bruner, J. S. Beyond the Information Given: Studies in the Psychology of Knowing, pp. 218–238. New York: W. W.
Norton Co Inc., 1973.
• Bruner, J. Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Belknap Press of the Harvard University Press, 2004.
• Dienes, Z. P. Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational Ltd., 1960.
• Gardner, H. Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences. New York: Basic Books, 1993.
• Gardner, H. Intelligences Reframed: Multiple Intelligences for the 21st Century. New York: Basic Books, 1999.
• Post, T. Some Notes on the Nature of Mathematics Learning. Teaching Mathematics in Grades K-8: Research Based
Methods, pp. 1–19. Boston: Allyn Bacon, 1988. http://www.cehd.umn.edu/rationalnumberproject/88_9.html
• Skemp, R. R. “Relational and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching,” 77, pp. 20–26, (1976).
http://www.grahamtall.co.uk/skemp/pdfs/instrumentalrelational.pdf.
• Skemp, R. R. The Psychology of Learning Mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1987.
• Slavin, Robert. Educational Psychology: Theory and Practice. ISBN 0205373402
• Yeap, Ban Har. Bar Modeling - A Problem-Solving Tool: From Research to Practice. Singapore: Marshall Cavendish
Education, 2010.
360

202
Bibliografía
202
• Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica en educación
matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México,
1995, 1ª ed.
• Bruner, J. S. (1973). Beyond the information given: Studies in
the psychology of knowing, pp. 218-238. New York:
W. W. Norton Co Inc.
• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra.
Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1997. 1ª ed. [r. 1996]
• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas.
El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori,
Barcelona, 1997.
• Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. London:
Hutchinson Educational Ltd.
• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números.
Ediciones Siruela, España, 1998.
• Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”. Cuadernos de
Pedagogía, Nº 302, España, 2001.
• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números.
Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.
• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como
disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica
de Valparaíso, Chile, 2002.
• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide,
España, 1995, 2ª ed.
• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones
Robinbook, Barcelona, 2000.
• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma,
Bogotá, 2002.
• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos
Aires, 2001.
• Miguel de Guzmán y otros. Matemáticas Bachillerato 3.
Editorial Anaya, Madrid, 1991.
• Ministry of Education of Singapore. (2006). Mathematics
Syllabus (Primary). Singapore: Curriculum Planning
and Development Division. http://www.moe.gov.sg/
education/syllabuses/sciences/files/maths-primary-
2007.pdf
• Moise, E. Geometría Elemental desde un punto
de vista Avanzado. Compañía Editorial Continental, S.A.,
México, 1980.
• National Council of Teachers of Mathematics. Principios
y Estándares para la Educación Matemática. Sociedad
Andaluza, Sevilla, 2003.
• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial zancea,
2ª edición, España, 1993.
• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo
del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997, 1ª ed.
• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo
Editorial Iberoamericano, México, 1994.
• Post, T. (1988). Some notes on the nature of mathematics
learning. Teaching Mathematics in Grades K-8: Research
Based Methods, pp. 1-19. Boston: Allyn Bacon. http://
www.cehd.umn.edu/rationalnumberproject/88_9.html
• R. David Gustafson . Álgebra Intermedia. International
Thomson Editores, México, 1997.
• Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un
modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello,
Santiago, 2002.
• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático.
International Thompson Editores, México, 1997, 1ª ed.
• Skemp, R. R. (1976). Relational and instrumental
understanding. Mathematics Teaching, 77, pp. 20-26.
http://www.grahamtall.co.uk/skemp/pdfs/instrumental-
relational.pdf
• Slavin, R.E. (2002). Educational Psychology: Theory and
Practice. Boston, MA: Allyn and Bacon.
• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas.
Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed.
• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos
superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995.
• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para
implementar los Objetivos Fundamentales Transversales.
Lom Ediciones, 2001.
• Yeap, B.H. (2010). Bar Modelling-A Problem-Solving Tool:
From Research to Practice. Singapur: Marshall Cavendish
Education.

203
203
• Currículum en línea. Ministerio de Educación de Chile.
Actividades complementarias, animaciones y actividades
interactivas entre otros recursos para docentes.
http://www.curriculumenlineamineduc.cl
• El Paraíso de las Matemáticas.
http://www.matematicas.net
• Entretenimiento, recursos y enlaces. Software, libros,
Escher, Fibonacci: el Número de Oro. Problemas: taller
de matemáticas. IRC: canal sobre educación.
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4
• La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofrece
en este web una gran cantidad de información
sobre matemática.
http://www.emis.de
• Ministerio de Educación de Chile.
http://www.mineduc.cl
• Página que explica con imágenes y lenguaje didáctico
diversos conceptos matemáticos.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/
• Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación
e Investigaciones Pedagógicas.
http://www.cpeip.cl
• Recursos matemáticos Redemat.
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html
• Red Social de Maestros.
http://www.redmagisterial.com/med/
• REDUC: Red Latinoamericana de información y
documentación en educación. Contiene base de
datos sobre investigaciones, textos completos,
recortes de prensa.
http://www.reduc.cl
• Sitio de la Sociedad Chilena de Matemática.
http://www.sochiem.cl/
Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e
información de todas las áreas. Incluye buscador. http://
www.educarchile.cl/home/escritorio_docente
• Sitio web de Zoltan Dienes.
http://www.zoltandienes.com/academic-articles/
zoltan-dienes-six-stage-theory-of-learning-mathematics/
• Sitio web the The Rational Number Project. Sitio de
una investigación en desarrollo acerca del aprendizaje
y la enseñanza.
http://www.cehd.umn.edu/ci/rationalnumberproject/
Webgrafía

Guía didáctica del docente - T
omo 1
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