Matemática docente 2° medio

medio
2
Guía didáctica del docente
Matemática
Lorna Jiménez Martínez
Profesora de Matemática
Licenciada en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
Pedro Rupin Gutiérrez
Profesor de Matemática
Licenciado en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
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Matemática 2.° MEDIO GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE
Dirección editorial
Felipe Muñoz Gómez
Coordinación editorial
Daniela Cienfuegos Fernández
Edición
Autoría
Lorna Jiménez Martínez
Corrección de estilo
Ana Saavedra Segura
Coordinación de diseño
Gabriela de la Fuente Garfias
Diseño y diagramación
Anghela Badiola Sanhueza
Diseño de portada
Anghela Badiola Sanhueza
Producción
Andrea Carrasco Zavala
Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo
N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.
©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia
ISBN: 978-956-349-543-0 / Depósito legal: 235591
Se terminó de imprimir esta edición de 4800 ejemplares en el mes de enero del año 2014.
Impreso por xxxxxxxxxxxxx
Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático,
y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
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Índice
Presentación de la unidad........................................... 11
Marco curricular............................................................... 12
Planificación de la unidad............................................ 13
Sugerencias metodológicas........................................ 17
Información complementaria.................................... 38
Actividades complementarias fotocopiables...... 39
Evaluación fotocopiable............................................... 42
Solucionario....................................................................... 47
Banco de preguntas....................................................... 50
Bibliografía ......................................................................... 52
NúmerosNúmeros1
Presentación de la unidad........................................... 97
Sugerencias metodológicas......................................103
Información complementaria..................................129
Actividades complementarias fotocopiables....130
Evaluación fotocopiable.............................................133
Solucionario.....................................................................139
Banco de preguntas.....................................................142
Bibliografía .......................................................................144
ÁlgebraÁlgebra3
Presentación de la unidad...........................................53
Sugerencias metodológicas........................................ 58
Información complementaria.................................... 75
Actividades complementarias fotocopiables...... 76
Evaluación fotocopiable............................................... 79
Solucionario....................................................................... 84
Banco de preguntas....................................................... 87
Bibliografía ......................................................................... 89
GeometríaGeometría2
Presentación de la unidad........................................145
Marco curricular.............................................................146
Planificación de la unidad..........................................147
Sugerencias metodológicas......................................150
Información complementaria..................................169
Actividades complementarias fotocopiables....170
Evaluación fotocopiable.............................................173
Solucionario.....................................................................178
Banco de preguntas.....................................................181
Bibliografía .......................................................................183
Datos y AzarDatos y Azar4
Fundamentación del diseño instruccional...........................................................................................................................................4
Estructura del Texto del estudiante..........................................................................................................................................................6
Estructura de la Guía didáctica del docente........................................................................................................................................8
Índice temático...........................................................................................................................................................................................190
Bibliografía.....................................................................................................................................................................................................192
Mini ensayo PSU......................................................................90 Mini ensayo PSU....................................................................162
3ÍNDICE

4
Fundamentacióndel diseño instruccional
El texto Matemática 2.º Medio es una propuesta didáctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos
fundamentales:
Organización de contenidos
El texto recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de Estudio proponiendo una unidad
por eje de contenido. Cada unidad se divide en secciones que la organizan y potencian la importancia
de los diferentes objetivos que abordan.
Evaluación permanente
Una característica distintiva del texto es asumir la evaluación como un proceso continuo y al servicio
del aprendizaje. Matemática 2.º Medio recoge este enfoque y lo potencia con páginas destinadas a
la evaluación inicial, integradora y final. Se incluyen, además, instancias de evaluación tipo PSU con el
fin de preparar a los estudiantes en este tipo de procedimientos evaluativos.
Aprendizaje significativo
Las nuevas tendencias didácticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significati-
vos. Matemática 2.º Medio asume este postulado explicitando los conceptos que están detrás de esas
actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretención, conocimiento
de su entorno y contenidos de la disciplina.
Desarrollo de habilidades
El enfoque didáctico de Matemática 2.º Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los con-
tenidos. Es por ello que se incluyen páginas especiales, destinadas a profundizar el trabajo de las
habilidades con un enfoque de enseñanza explícito y ligado a los contenidos conceptuales; junto con
el trabajo continuo en cada una de las lecciones.
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Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto
Matemática 2.º Medio se componen de:
§§ Páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad
a estudiar por medio de una imagen. Además, se proponen
preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de
los estudiantes. Cada sección incluye además una página
De esto se trata, para presentar los contenidos a los estudiantes
y relacionarlos con contextos significativos, y ¿Qué debes
saber?, para diagnosticar sus conocimientos previos.
§§ Lecciones que presentan y trabajan los
contenidos y actividades propios del nivel
educacional. Cada lección estimula a los
estudiantes a verificar su propio aprendizaje por
medio de preguntas y actividades de reflexión,
personal y grupal.
§§ Dos páginas de evaluación integradora que
se insertan entre las secciones. En ellas se invita al
estudiante a realizar variadas actividades que evalúan el grado de
comprensión de los contenidos tratados hasta el momento.
§§ Cada sección incluye una página de Resolución de problemas
desarrollados paso a paso, y una página
Para no cometer errores, que permite a los
estudiantes detectarlos y corregirlos.
§§ Dos páginas de Diario Mural, que relacionan
el contenido de la unidad con la historia de la
disciplina o con otras áreas del conocimiento.
§§ Dos páginas de Síntesis, para fortalecer
y sintetizar los aprendizajes, y recoger lo
presentado en las páginas de inicio.
§§ Tres páginas de Refuerzo y una de Profundización,
destinadas a los estudiantes con distintas necesidades.
§§ Cuatro páginas de Evaluación final, para evaluar en forma global
los contenidos tratados en la unidad.
Fundamentación
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Estructura del Texto
El Texto Matemática 2.º Medio se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar.
Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.
Estructura de las unidades
1. Inicio de unidad
En estas páginas podrás activar tus ideas previas,
conocer las palabras claves de la unidad, y recordar lo
que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su
objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos
que se estudiarán.
2. Diario Mural
Al final de cada unidad encontrarás una
interesante aplicación de lo estudiado,
en diversos contextos.
3. Para sintetizar
Aquí podrás organizar y resumir los contenidos
abordados. Además, retomaremos la situación
presentada en el inicio y podrás relacionarla con
tus aprendizajes.
4. Reforzar y profundizar
Estas páginas te permitirán
reforzar los contenidos antes de
la evaluación, como también
profundizar tus aprendizajes.
5. Evalúo mis aprendizajes
Te proponemos una evaluación
de alternativas, en la que podrás
medir tus logros en la unidad.
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6. De esto se trata y ¿Qué debes saber?
Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la
importancia de los contenidos y el propósito de la
sección, a partir de una situación real. Además, podrás
evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que
necesites con la ayuda de Internet.
7. Lección
Estas son las páginas de contenido en las que
recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás
tus habilidades. Te proponemos actividades para que
razones, comentes y reflexiones con tus compañeros,
y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.
8. Resolución de problemas y
Para no cometer errores
Podrás analizar estrategias de
resolución de problemas, y analizar
errores para no cometerlos.
9. Integrando lo aprendido
Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y
analizar si has logrado el propósito de ella.
Estructura de las secciones
Páginas finales
10. Solucionario, Índice temático
y Bibliografía
Aquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un
Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía
del Texto, además de material que te sugerimos para
profundizar tus conocimientos.
Estructura del Texto
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Estructurade la Guía didáctica del docente
Una Presentación de la Unidad, en la que se explicita:
• el Propósito de la misma brindando una mirada global del
proceso que han seguido los estudiantes.
• los Conocimientos Previos necesarios para ella.
• las Palabras Clave de los contenidos que se abordarán.
• los Contenidos específicos, determinados por el Marco curricular.
• las Habilidades y Actitudes a desarrollar.
La Guía Didáctica del Docente del texto Matemática 2.º Medio está organizada siguiendo las unidades del texto.
Para ello, presenta los siguientes elementos:
Una Planificación de cada sección, que el docente podrá utilizar
como referencia para relacionar los Objetivos Fundamentales
Transversales, los Contenidos Mínimos Obligatorios y los Apren-
dizajes Esperados, relacionados con cada lección específica de
la sección. Se explicitan además las páginas de evaluación corres-
pondientes y una sugerencia de tiempo estimado, tanto para cada
sección como para las actividades finales de cada Unidad.
Sugerencias metodológicas
Para cada sección de la unidad, el docente podrá encontrar orienta-
ciones para trabajar la página de inicio De esto se trata, y sugerencias
para cada indicador de la evaluación inicial Esto debes saber. Dentro
de las lecciones correspondientes, se presenta al docente:
• El título y Propósito de cada lección.
• Las palabras clave del contenido a abordar.
• Los prerrequisitos específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial de
la sección.
• Sugerencias para la Activación de ideas previas de los estudiantes, por medio de actividades, preguntas,
presentación de situaciones, etc.
• Orientaciones didácticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por
medio de sugerencias de actividades, cuidados específicos relacionados con actividades del texto, tips
orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo
que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.
• Algunos Errores frecuentes específicos del contenido de la lección, con sugerencias para prevenirlos
y corregirlos.
• Actividades complementarias, que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas
necesidades, ya sea de mayor refuerzo o profundización.
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Al final de cada sección, podrá encontrar sugerencias para el trabajo con las páginas Resolución de problemas
y Para no cometer errores, además de una tabla correspondiente a la Evaluación Integrando lo aprendido, que
presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado.
Sugerencias para el trabajo con las páginas Diario Mural, para estimular en los estudiantes el establecimiento
de conexiones entre el contenido estudiado y algún contexto de la vida cotidiana; y Síntesis, para establecerlas
entre los conceptos estudiados en cada sección.
Una Tabla de especificaciones de la evaluación de la Unidad, que establece los indicadores de cada pregunta
y remediales para cada caso.
Información
complementaria sobre
algún aspecto interesante
para el docente que le
permitirá profundizar
en contenidos de la Unidad.
Una Evaluación fotocopiable
con preguntas de alternativas y
desarrollo, y su respectiva rúbrica.
Bibliografía de la
Unidad, que le permitirán
profundizar y actualizarse
en temas de matemática y
didáctica de la matemática.
Cada dos Unidades podrá encontrar dos
Mini Ensayos PSU, adecuados a los contenidos
específicos de las Unidades correspondientes.
Tres Actividades
complementarias para
los estudiantes, que
les permitirán reforzar
o profundizar un
contenido relacionado
con cada sección.
Para finalizar, encontrará un Índice temático de los contenidos trabajados en la guía, y Bibliografía de
consulta general.
Un Banco de preguntas para el docente,
organizadas por contenido.
Estructura de la Guía 9
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unidad
1
Propósito
Números
En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números racionales
y sus propiedades, para introducir ahora los números irracionales y posteriormente los reales. Se
espera que comprendan las características y propiedades de los nuevos números y sean capaces de
ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica, aproximarlos y operar con ellos.
En esta unidad se incorporan, además, las potencias de exponente racional y el estudio de sus
propiedades, las raíces enésimas y los logaritmos. Será importante que los estudiantes realicen
conjeturas sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anteriormente en la
resolución de problemas.
¿Qué sé?
•• Realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre números racionales.
•• Identificar propiedades de la operatoria entre números racionales.
•• Calcular y aplicar propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.
¿Qué aprenderé?
•• Identificar números irracionales y sus propiedades.
•• Comprender el conjunto de los números reales, sus propiedades y operaciones.
•• Relacionar potencias de exponente racional y raíces enésimas.
•• Aplicar propiedades de las potencias de exponente racional y las raíces enésimas.
•• Comprender el concepto de logaritmo y su relación con raíces y potencias.
•• Aplicar propiedades de logaritmos.
•• Resolver problemas que involucran raíces enésimas y logaritmos.
¿Para qué?
•• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran distintos tipos de números.
•• Para conjeturar y demostrar propiedad es de los números y sus operaciones.
Ruta de aprendizaje
11Unidad 1 • Números
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Marcocurricular
Conocimientos previos Habilidades
•• Operaciones de números racionales.
•• Potencias de base racional y exponente entero.
•• Propiedades de las potencias de base racional
y exponente entero.
•• Reconocer si un problema puede o no tener soluciones en los
números racionales.
•• Identificar los números irracionales como aquellos que tienen
un desarrollo infinito no periódico y que no se pueden
escribir como fracción.
•• Aproximar números irracionales mediante algún método.
•• Ubicar raíces en la recta numérica, usando alguna estrategia.
•• Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, restar,
multiplicar o dividir dos números racionales.
•• Resolver situaciones en las que es necesario operar con
números reales.
•• Demostrar propiedades de las raíces enésimas a partir de las
propiedades de las potencias de exponente racional.
•• Transformar raíces enésimas a notación de potencias y
viceversa.
•• Demostrar propiedades de los logaritmos a partir de las
propiedades de las potencias.
•• Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos.
•• Resolver situaciones en las que es necesario operar con raíces
enésimas y logaritmos.
Palabras clave
Números irracionales, números reales, potencias
de exponente racional, raíces enésimas,
logaritmos.
Contenidos
•• Números irracionales y propiedades.
•• Números reales y propiedades.
•• Operaciones aritméticas con números reales.
•• Potencias de exponente racional.
•• Propiedades de las potencias de exponente
racional.
•• Raíces enésimas.
•• Propiedades de las raíces enésimas.
•• Logaritmos.
•• Propiedades de los logaritmos.
Actitudes
•• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de
problemas en contextos diversos.
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3 41 2
Sección 1: Números reales
OF CMO AE Lecciones Evaluaciones
Comprender que los
números irracionales
constituyen un
conjunto numérico
en el que es posible
resolver problemas
que no tienen
solución en los
números racionales,
y los números reales
como aquellos
que corresponden
a la unión de los
números racionales e
irracionales.
Utilizar los números
reales en la resolución
de problemas,
ubicarlos en la recta
numérica, demostrar
algunas de sus
propiedades y realizar
aproximaciones.
Identificación de
situaciones que
muestran la necesidad
de ampliar los números
racionales a los números
reales; reconocimiento
de algunas de las
propiedades de los
números y de las
operaciones y su uso
para resolver diversos
problemas.
Comprender que los
permiten resolver
problemas que no
tienen solución en los
números racionales.
Lección 1: Números
irracionales
y problemas
geométricos.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 9.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 28 y 29.
2 horas.
Aproximación del
valor de un número
irracional por defecto,
exceso y por redondeo.
Aproximar números
irracionales por defecto,
por exceso y por
redondeo.
Lección 2:
Aproximación y
construcción de
números irracionales.
4 horas.
Ubicación de algunas
raíces en la recta
numérica; exploración
de situaciones
geométricas en
que ellas están
presentes; y análisis
de la demostración
de la irracionalidad
de algunas raíces
cuadradas.
Ordenar números
irracionales y
representarlos en la
recta numérica.
irracionales en la recta
numérica y orden.
4 horas.
Conjeturar y verificar
propiedades de los
números irracionales.
reales.
4 horas.
Comprender que
los números reales
corresponden a la
unión de los números
racionales e irracionales.
Demostrar algunas
propiedades de los
números reales.
Resolver problemas
en contextos diversos
relativos a números
reales, raíces y logaritmos.
Páginas finales
Actividad Páginas Tiempo estimado
Resolución de problemas 26 1 hora
Para no cometer errores 27 1 hora
Tiempo estimado: 26 horas pedagógicas
Planificaciónde la unidad
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Sección 2: Raíces
Establecer relaciones
entre potencias,
logaritmos y raíces
en el contexto de
los números reales,
demostrar algunas
de sus propiedades
y aplicarlas en
la resolución de
problemas.
Análisis de la existencia
de la raíz enésima
en el conjunto de
su relación con
las potencias de
exponente racional
y demostración
de algunas de sus
propiedades.
Analizar la existencia
de las raíces en el
conjunto de los
números reales.
Lección 5: Raíz
enésima.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 31.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 54 y 55.
2 horas.
Utilizar relaciones
entre las potencias y
raíces para demostrar
propiedades de las
raíces.
Lección 6: Raíces y
operaciones.
4 horas.
Lección 7: Potencias
de exponente racional.
4 horas.
Resolver problemas
reales, raíces y
logaritmos.
Lección 8:
Racionalización.
4 horas.
Lección 9: Raíces
enésimas, problemas y
ecuaciones.
4 horas.
Páginas finales
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Sección 3: Logaritmos
entre potencias,
logaritmos y raíces
en el contexto de
demostrar algunas
de sus propiedades
y aplicarlas en
la resolución de
problemas.
Interpretación de
logaritmos, su relación
con potencias y
raíces, deducción
de sus propiedades
y aplicaciones del
cálculo de logaritmos
a la resolución
de problemas en
diversas áreas del
conocimiento.
entre los logaritmos,
potencias y raíces.
Lección 10:
Logaritmos.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 57.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 72 y 73.
2 horas.
Deducir propiedades
de los logaritmos.
Lección 11:
Propiedades de los
logaritmos.
4 horas.
Resolver problemas
reales, raíces y
logaritmos.
Lección 12:
Aplicaciones de
logaritmos.
4 horas.
Páginas finales
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Páginas finales
Actividad Página Tiempo estimado
Diario mural. 74 y 75 1 hora
Para sintetizar. 76 y 77 1 hora
Reforzar antes de evaluar – Para profundizar. 78 – 81 4 horas
Evaluación de la unidad. 82 – 85 2 horas
Tiempo total estimado para la unidad: 80 horas pedagógicas
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3 41 2
Sección 1
Números reales
De esto se trata
Es complejo para los estudiantes comprender que un
número decimal periódico no es una aproximación. Para
ellos, la idea de que un número se repita infinitamente sin
acabar jamás no calza con la noción de“precisión”que de-
biera dar un número.
Por lo mismo, la existencia de números irracionales pue-
de ser aun más compleja de comprender, y más todavía
considerando que se trata de números exactos, precisos,
no de aproximaciones.
Es interesante que puedan vislumbrar, desde el princi-
pio de esta sección, que muchas cosas en matemática se
desprenden de la realidad tangible para teorizar, y luego no
necesariamente se corresponden con la realidad y pueden
no representar situaciones de ella. El mismo uso de aparatos
tecnológicos no puede responder a cabalidad a la teoriza-
ción matemática de los números reales, y esto es un buen
punto de partida para que los estudiantes puedan reflexio-
nar respecto de la naturaleza del estudio matemático, en
ocasiones por pura satisfacción intelectual.
¿Qué debes saber?
Identificar y realizar operaciones
entre números racionales
Para este indicador, recuerde a los estudiantes los tipos
de números decimales (finitos, infinitos periódicos e infini-
tos semiperiódicos) y como transformarlos en fracción, así
como el procedimiento de división para transformar una
fracción en número decimal.
Refuerce a los estudiantes las prioridades de las ope-
raciones en los números racionales presentando distintos
casos y los diferentes resultados que se pueden obtener si
estas prioridades no se respetan.
Aproximar, ordenar y ubicar
números racionales en la recta numérica
Para este indicador, recuerde las posiciones decimales
y sus nombres; también los métodos de aproximación por
redondeo y truncamiento.
Para ordenar números decimales, puede presentar di-
versos listados de números racionales de distinto tipo y
que en conjunto encuentren estrategias para ordenarlos,
por ejemplo expresar todos los números como fracción o
como decimal. Pueden discutir además sobre la efectividad
de las técnicas utilizadas en cada caso.
Para ubicar números racionales en la recta numérica se
recomienda enfatizar la necesidad de graduarla adecuada-
mente según los números que están involucrados, consi-
derando todos los números que se ubicarán y analizando
cuidadosamente los denominadores antes de comenzar a
ubicar los números, a fin de evitar problemas posteriores.
Para números decimales periódicos o semiperiódicos es
imprescindible expresarlos como fracción; primero observe
la forma en que proceden los estudiantes para luego corre-
gir en el caso que hayan intentado ubicar directamente los
números en forma de número decimal periódico. De esta
manera, el aprendizaje puede ser más significativo.
Recuerde también a los estudiantes que el conjunto
de los números racionales es un conjunto denso, es decir,
siempre entre dos números racionales podemos encontrar
otro racional, es más, se pueden encontrar infinitos números
racionales. Puede mostrarles cómo intercalar varios números
racionales entre dos números racionales dados, partiendo
por intercalar solo uno utilizando el promedio entre los
extremos.
Conviene finalmente aclarar que la densidad no se pre-
senta en los números naturales ni en los números enteros.
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Números irracionales y
problemas geométricos
Págs. 10 a 13
Propósito
Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar
con ellos en problemas geométricos.
Palabras clave
Números racionales, irracionales, reales, conjuntos nu-
méricos, números infinitos, cifras decimales, fracciones,
propiedades, operaciones, problemas geométricos, área,
perímetro
Prerrequisitos
§§ Orden en los números racionales.
§§ Cálculos que involucran números racionales.
§§ Identificación y aplicación de propiedades de las ope-
raciones con números racionales.
§§ Cálculo de áreas y perímetros de diversas figuras planas.
Activación de ideas previas
Para el trabajo de esta lección es importante que los alum-
nos trabajen correctamente con los números racionales
y de esta forma se puedan aproximar de buena forma al
estudio de los números irracionales.
Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes,
plantee las siguientes preguntas.
• ¿Qué es un número racional? ¿Cuáles son sus carac-
terísticas? Da algunos ejemplos de ellos.
• ¿Todo número se puede escribir como fracción? Da
un ejemplo.
• ¿Cuáles no se pueden escribir como fracción? ¿Cómo
se llaman? Ejemplifica.
• ¿Qué conjuntos numéricos conoces? ¿Qué caracterís-
ticas tienen estos conjuntos? ¿Habrá otros conjuntos?
¿Qué números incluirían estos conjuntos? ¿Tienen
elementos en común estos conjuntos?
Orientaciones didácticas
En esta lección se introduce el estudio de los números irra-
cionales a partir de problemas geométricos que no tienen
solución en el conjunto de los números racionales. Los estu-
diantes han debido aplicar en cursos anteriores el teorema
de Pitágoras con resultados que no son“raíces exactas”, pero
hasta el momento no se les ha precisado que los números
de este tipo inducen a la necesidad de ampliar el conjunto
numérico utilizado hasta el momento.
Explicite la relación entre los números irracionales y la no-
ción de medida como comparación, como se presenta en
la lección. En este sentido, puede recalcar que un número
irracional es aquel para el cual no es posible determinar una
unidad con la cual pueda ser comparado dividiendo dicha
unidad una cantidad finita de veces.
La demostración de la irracionalidad de 2 por reducción al
absurdo es clásica en matemáticas, pero el argumento utili-
zado es difícil de comprender en principio por los estudian-
tes. Para una mejor comprensión, precise a los estudiantes
que en matemáticas no se permiten contradicciones, por
lo tanto, si una afirmación las genera, esta necesariamente
debe ser falsa.
Demostración de la irracionalidad de 2
Supongamos que 2 no es irracional. Si no es irracional
debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual
a una fracción:
2
p
q
=
Podemos suponer que el máximo común divisor de p y q
es 1, es decir son primos relativos. Elevamos al cuadrado y
operando queda:
2
p
q
2q p
2
2
2 2
= = =
Por tanto p² debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p
también es un múltiplo de 2. Es decir,
p 2k, k N= ∈
Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y sim-
plificamos un 2 de esa igualdad:
2q (2k) q 2k2 2 2 2
= → =
Esta expresión asegura que q² es múltiplo de 2, y por tanto
también lo es q. Aquí está el absurdo, habíamos supuesto
que p y q no tenían factores comunes y hemos llegado a
que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2
como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2.
Esa es la contradicción que buscábamos.
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3 41 2
Es posible que los estudiantes apliquen de manera incorrecta
el teorema de Pitágoras, ya sea en el planteamiento de este
(identificar erróneamente catetos e hipotenusa) o en el desa-
rrollo del mismo para encontrar un valor requerido. En este
sentido, se sugiere explicitar las siguientes relaciones:
( )
+ ≠ +
+ ≠ +
x y x y
a b a b
2 2 2
Errores frecuentes
Actividades complementarias
Presente una figura compuesta como la siguiente y pida que
la completen con las medidas de los lados, de manera tal
que el perímetro y el área de ella sea un número irracional.
Puede pedir que calculen el área y el perímetro resultan-
te y que expongan sus respuestas al curso. De este modo
podrán ver que existen infinitas opciones.
Puede además combinar algunas posibilidades, por ejemplo:
• una figura con algunos lados de medida racional y otros
de medida irracional, pero cuya área sea irracional.
• una figura cuya área sea irracional y el perímetro, racional.
En cada caso, se puede estimular el análisis de los resultados
posibles de obtener, aunque esto se realizará de manera
más detallada en la lección 4.
2
Aproximación y construcción de
Págs. 14 a 17
Propósito
Aproximar números irracionales.
Palabras clave
Aproximación, redondeo, truncamiento, exceso, defecto,
diferencia, error relativo, error absoluto
Prerrequisitos
§§ Aproximación de números racionales por redondeo y
truncamiento.
Por contenidos vistos en años anteriores, se espera que los
estudiantes comprendan que una aproximación es un valor
parecido al real y que sean capaces de determinar algunas.
Para confirmar esto, plantee las siguientes preguntas:
• ¿Qué es aproximar un número?
• ¿Cuál es la diferencia entre redondear y truncar?
• El número racional 3,1456 se puede aproximar a 3,15,
¿esta aproximación fue por truncamiento o redondeo?
Comience esta lección reiterando que, en situaciones co-
tidianas, no es posible trabajar con números irracionales.
Por ello, es preciso contar con mecanismos que permitan
obtener aproximaciones adecuadas para cada situación. El
cálculo del error permite juzgar el grado de exactitud de las
aproximaciones; dependiendo del contexto, será aceptable
un error determinado. Asimismo, el uso del error absoluto
o relativo debe analizarse específicamente según lo que se
quiera obtener.
Es interesante también plantear a los estudiantes que, por
más poderosos que sean un computador o una calculadora
nunca pueden dar un valor exacto de un número irracional,
ya que necesitarían en la práctica una memoria infinita.
Conviene recalcar, en el análisis de la aproximación del
número π, que las raíces no contemplan todos los números
irracionales, es decir, que los números reales no se forman
solo“agregando”las raíces no enteras a los números reales.
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En este sentido, precise que los números irracionales no
solo se relacionan con problemas geométricos, aunque ese
haya sido el punto de partida para su estudio.
Plantee a los estudiantes la siguiente actividad para profun-
dizar en la aproximación de números irracionales:
a) Calculen separadamente en la calculadora 10 y 12
y aproximen por redondeo cada raíz a la centésima.
Luego, con estas aproximaciones estimen el valor de
10 + 12.
b) Calculen en la calculadora 10 + 12. Aproximen el
resultado por redondeo a la centésima.
¿Cuál de los métodos para aproximar esta suma es me-
jor? ¿Cuál entregará un menor error? Justifica.
Respuesta:
En el primer caso obtendrán 6,62, mientras que en el
segundo se obtiene 6,63. La actividad les puede permi-
tir constatar que, en general, se debe aproximar como
último paso.
c) Una empresa de productos en conserva debe etique-
tar 70 000 tarros cilíndricos para un nuevo producto
que lanzará al mercado. La etiqueta debe quedar a
0,3 cm de las bases del tarro, como se muestra en la
figura. Si el radio de la base del tarro mide 5 cm y el
alto del tarro es 13 cm, ¿qué dimensiones deben tener
las etiquetas?
R: 10 π x 12,4 cm
3
Números irracionales en la recta
numérica y orden
Págs. 18 a 21
Propósito
Ordenar y ubicar números irracionales.
Palabras clave
Orden, ubicación, raíces cuadradas, cantidades subradi-
cales, recta numérica, teorema de Pitágoras.
Prerrequisitos
§§ Orden de números racionales y ubicación en la recta
numérica.
§§ Aplicación del teorema de Pitágoras.
Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correc-
ta de construir una recta numérica. Puede poner especial
énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que ge-
neralmente suelen usar unidades distintas durante toda la
recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la
recta se invalida.
Además, es necesario que les recuerde cómo comparar
números racionales para luego poder ordenarlos y represen-
tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y
respuestas, se les puede consultar respecto de los números
naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos,
con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada
y raíz cúbica.
Para comparar y ordenar raíces y números racionales, pida a
los estudiantes que expresen números racionales como raí-
ces, o las raíces como números racionales elevando al cua-
drado, y así comparar números del mismo tipo. Por ejemplo,
para comparar 8 y 3 se puede usar 8 y 9 , por lo tanto
8 < 9. Del mismo modo para comparar 2 y 3 se puede
elevar al cuadrado cada número obteniendo 4 y 3, y deducir
que 2 > 3 pues 4 > 3.
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3 41 2
En cursos anteriores, los estudiantes han realizado cons-
trucciones geométricas con regla y compás, y es posible
que se hayan preguntado, por ejemplo, qué sentido tiene
construir geométricamente una bisectriz de un ángulo si
es posible medirlo con transportador y con él dividir su
medida en dos. Este contenido da una buena posibilidad
de apreciar que este tipo de construcciones son necesarias
pues son las únicas matemáticamente correctas; hacerlo de
otra manera nos obliga a trabajar solo con aproximaciones.
Analice con los estudiantes formas de ubicar raíces en la
recta numérica sin necesidad de construir siempre toda la
espiral. Para ello, es importante que los desafíe a ubicar raí-
ces de números grandes, estimulándolos a que encuentren
valores adecuados que permitan construir menos triángulos
y obtener resultados más rápidamente.
Los alumnos pueden presentar dificultades al ordenar números
irracionales del tipo a + b, interpretando en forma inco-
rrecta que a + b a+b
2
( ) = . Supervise cuidadosamente
un correcto manejo de la operatoria.
Errores frecuentes
Pida a los estudiantes que determinen el valor de las si-
guientes raíces utilizando una calculadora.
0,1, 0,4, 0,16, 0,25
Luego, solicíteles que las ubiquen en la recta numérica y
analicen en busca de alguna regularidad. Puede inducirles
a que constaten que, en el caso de las raíces de números
menores que 1, el valor de la raíz es mayor que el de la can-
tidad subradical.
4 Números reales
Págs. 22 a 25
Propósito
Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.
Palabras clave
Conjuntos numéricos, subconjuntos, elementos, perte-
nencia, números reales, racionales e irracionales
Prerrequisitos
§§ Identificación y aplicación de propiedades de la opera-
toria con números racionales.
§§ Identificación de números irracionales.
Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de
construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis
en el segmento unidad que utilizarán, ya que generalmente
suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede
hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.
Además, es necesario que les recuerde cómo comparar
números racionales para luego poder ordenarlos y represen-
tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y
respuestas, se les puede consultar respecto de los números
naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos,
con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada
y raíz cúbica.
En esta lección se analizan las operaciones entre números
racionales e irracionales y la naturaleza de los resultados
obtenidos. Para que los estudiantes comprendan esto es
importante ejemplificar cada uno de los casos con elemen-
tos sencillos que permitan ilustrar fácilmente lo que sucede.
Es fundamental enfatizar que, a diferencia de lo que ocurre
entre los naturales y los enteros, y los enteros y los racio-
nales, entre los números racionales e irracionales no hay
elementos en común, sino que son conjuntos disjuntos.
Además, el conjunto de los números irracionales es distinto
de los conjuntos antes estudiados porque no posee estruc-
tura de grupo, es decir, no de definen en él las operaciones
usuales de adición y multiplicación pues no contienen ni al
0 ni al 1 (neutros para ambas operaciones).
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Es posible que los estudiantes generalicen erróneamente
algunas propiedades o no consideren los casos particu-
lares al hacer generalizaciones. Por ejemplo, si se les pide
que juzguen veracidad de la afirmación: “si a es un núme-
ro racional y b es irracional, entonces ab es irracional”, es
probable que digan que es cierta sin considerar el caso
a = 0. Insista a los estudiantes en la necesidad de analizar
los casos posibles y verificarlos, antes de emitir juicios sobre
afirmaciones como esta.
Errores frecuentes
Para determinar la antigüedad de una roca, la ciencia ac-
tualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la
concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto
menos antigua es la roca, mayor concentración de material
radiactivo se encontrará. La fórmula que se utiliza es:
C(t) = k ∙ 3 –t
, donde C representa la concentración del ma-
terial radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos
de años y k la concentración del elemento en el momento
de formarse la roca.
Si k = 4500:
a) ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que
hallemos una concentración de 1500?
R: 100 años
b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de
dos siglos?
R: 500 concentración
c) ¿En qué tiempo se acabaría este material?
R: El material no se acabará nunca, pues en este caso
la concentración debiera ser cero y la función no
está definida para 0.
Luego, solicite a sus estudiantes que escriban una explica-
ción, si así lo amerita, sobre los errores que han cometido.
Resolución de problemas
Página 26
Las estrategias de resolución de problemas permiten tra-
bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento
y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad,
rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos
y validar formas distintas de realizar las tareas.
Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-
cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto,
puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-
teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir
en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.
Para el problema propuesto en esta sección, pida a los es-
tudiantes que resuelvan el problema asignando valores
numéricos para a y b según corresponda, y de esta forma
podrán verificar de forma más sencilla, cuáles de las expre-
siones serán siempre números irracionales.
A continuación, para promover el análisis matemático, pída-
les que analicen cada una de las expresiones sin asignarles
valores para a y b, y que lleguen a las mismas conclusiones
obtenidas numéricamente.
Página 27
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-
ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente
estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos
constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y au-
tocrítica respecto de los errores cometidos.
Es importante hacer notar a los alumnos que hacer una
aproximación a un número ya aproximado generará un
error adicional, por eso siempre es importante aproximar
el número original. Aproveche de mencionar que cuando
se realiza una secuencia de operaciones siempre se debe
trabajar con los valores exactos, sin aproximar los resultados
obtenidos en medio del proceso; si es necesario, se aproxi-
ma el resultado final, y de esta forma el error de aproxima-
ción será menor.
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3 41 2
Integrando lo aprendido
Págs. 28 y 29
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Identificar números irracionales y sus
propiedades, y operar con ellos en
problemas geométricos.
1, 2 y 3 Los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar conceptos
geométricos y calcular en forma incorrecta los perímetros y áreas,
lo que puede llevar a errores en sus respuestas que no permitan
detectar si operan correctamente con los números dados. De ser
necesario, repase las fórmulas involucradas con los estudiantes y
que luego analicen los errores que hayan cometido.
Aproximar números irracionales. 4, 5 y 6 Los errores más frecuentes se deben a una confusión entre
los conceptos de redondeo y truncamiento o una incorrecta
identificación de la cifra a la que se desea aproximar. Refuerce la
asociación entre los conceptos de "truncar" y "cortar"·, utilizando
otros contextos en que se utilizan estas palabras. Para identificar las
cifras, supervise que los estudiantes con más dificultades empleen
siempre procedimientos escritos, ordenados y metódicos.
Ordenar y ubicar números irracionales. 7, 8, 9, 10 y 11 Los errores más frecuentes provienen de la operatoria de raíces,
por lo que es importante que permita a los estudiantes rehacer
los ejercicios en los que hayan cometido errores las veces que
sea necesario, a fin de que la práctica permita ir evitándolos
paulatinamente.
Identificar y caracterizar el conjunto de los
números reales.
12, 13 y 14 Para completar el esquema de los conjuntos numéricos es
posible que los estudiantes no recuerden los nombres o las letras
asociadas a cada conjunto. Para evitarlo puede hacer un breve
resumen para aclarar dudas previas.
Es posible que los estudiantes presenten dificultades para
determinar si las expresiones dadas son números racionales e
irracionales pues no tienen el manejo necesario con operatoria con
raíces. Para no perder el sentido del ítem, que es identificar qué
tipo de número es, permítales usar calculadora en los casos que
sea necesario. Recuérdeles además los conceptos de producto y
cociente para que puedan realizar correctamente el ítem.
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Sección 2
Raíces
De esto se trata
En esta sección se generaliza el concepto de raíz cuadra-
da para introducir el de raíz enésima, ampliando la pregunta
relacionada con la raíz cuadrada (“¿qué número elevado a 2
da como resultado…?”) al caso general (“¿qué número ele-
vando a n da como resultado…?”)
Una de las aplicaciones comunes de las raíces enési-
mas se relaciona con situaciones modeladas por la función
exponencial, presentes en diversos ámbitos y de manera
especial en las comunicaciones. Se presenta a los estudian-
tes la posibilidad de reflexionar respecto del crecimiento
de estas funciones de maneras insospechadas, incluso con
bases pequeñas, lo que hace fundamental tener un gran
cuidado en el uso, por ejemplo, de las redes sociales.
¿Qué debes saber?
Calcular potencias de base racional
y exponente entero
Para este indicador, recuerde a los estudiantes cada una
de las propiedades de las potencias y trabaje diversos ejem-
plos relacionados. Si han olvidado las propiedades, una ma-
nera efectiva de recordarlas es deducirlas nuevamente o
justificarlas, lo que les permite comprender el porqué de ellas.
Para reforzar el aprendizaje y la capacidad de análisis,
muestre algunos ejercicios resueltos donde las propiedades
estén aplicadas incorrectamente, y pida a los estudiantes
que identifiquen el error y corrijan.
Resolver operaciones que involucran potencias
Para este indicador, se sugiere recordar a los estudiantes
las prioridades de las operaciones, ahora incluyendo el lugar
que ocupan las potencias en ellas.
Muestre ejemplos que presenten algún error en el pro-
cedimiento, y pida a los estudiantes que lo identifiquen y
corrijan. Puede además presentar secuencias de operacio-
nes y solicitarles que ubiquen paréntesis entre ellas, para
que la expresión tenga un valor determinado.
5 Raíz enésima
Págs. 32 a 35
Propósito
Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.
Palabras clave
Raíz, potencia, exponente, base, subradical, racional
Prerrequisitos
§§ Operaciones con números racionales.
§§ Concepto de potencia en la notación de expresiones
numéricas.
§§ Cálculo de potencias de base racional y exponente
entero.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de po-
tencias
Para comenzar, presente situaciones aritméticas en las que
sea posible apreciar operaciones inversas entre sí como la
resolución de ecuaciones, donde para despejar la incógnita
se utiliza la operación inversa a la que se está aplicando en ella
(si está siendo multiplicada por 5, por ejemplo, se multiplica
por
1
5
; lo que es equivalente a dividir por 5). Es importante
activar en los estudiantes este pensamiento relacional que
permite responder preguntas en distintos sentidos.
El estudio de esta lección comienza presentando los pro-
blemas insolubles de la geometría clásica, entre ellos la
duplicación del cubo que involucra la construcción de la
raíz cúbica de 2. Para los estudiantes puede resultar curioso
que, siendo posible construir 2, no sea posible hacer lo
mismo con 23
. Puede pedir a los estudiantes que intenten
hacerlo para experimentar.
Para el estudio de las raíces enésimas es importante siempre
ver la equivalencia con potencias hasta que estén absoluta-
mente familiarizados con esto. Si es preciso, se recomienda
insistir en que escriban siempre la potencia equivalente a
una raíz dada, hasta que realicen el proceso con soltura.
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3 41 2
Para el análisis de los signos de la cantidad subradical insista
sistemáticamente en la relación con potencias, solicitando
a los estudiantes que cada vez que analicen, escriban la
potencia equivalente a la raíz y a partir de ello se pregunten
por la existencia del valor y su signo. Se recomienda realizar
variados ejercicios de este tipo para consolidar este impor-
tante contenido, hasta que se consolide.
Esta lección es fundamental para los siguientes temas que
serán trabajados; dedique el tiempo que sea necesario para
verificar la correcta comprensión de los estudiantes.
Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen re-
lación con el deseo de los estudiantes de resolver los ejercicios
rápidamente, y muchas veces en forma mental. Por lo mismo,
la corrección de dichos errores pasa por el trabajo sistemático
y escrito que se mencionó anteriormente.
Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aque-
llos ejercicios combinados que implican varias operaciones y
cálculo de raíces. Muestre a los estudiantes la forma de resolver
este tipo de ejercicios y enfatice en la importancia del orden
en la resolución.
Existe una posibilidad de confusión al utilizar la expresión
“multiplicar por sí mismo”: si decimos que x3
corresponde a
“x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x2
corresponde
a“x multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x1
necesariamente
corresponde a“x multiplicado por sí mismo una vez”, es decir
x • x. Por lo mismo, se recomienda aclarar este punto y utilizar
de preferencia la expresión“elevado a”en lugar de“multiplicado
por sí mismo”, tal como se hace en esta lección.
Errores frecuentes
6 Raices y operaciones
Págs. 36 a 39
Propósito
Realizar operaciones con raíces.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, términos se-
mejantes, propiedades
Prerrequisitos
§§ Operaciones con expresiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de las potencias.
§§ Cálculo de raíces enésimas por definición.
Las ideas previas más directas para este contenido tienen
relación con las propiedades de potencias, por lo que no
está de más recordarlas aquí pese a haberlo hecho en la
lección anterior.
Es importante también retomar la idea vista en la sección
anterior respecto de que los números irracionales —particu-
larmente las raíces— solo pueden ser expresadas en forma
exacta como raíces, por ejemplo 2. Esto es fundamental
para comprender que luego, al realizar operaciones, las
raíces de igual índice y cantidad subradical pueden consi-
derarse como términos semejantes, y con ello se pueden
sumar y restar.
En esta lección, algunas de las propiedades de las opera-
ciones con raíces se demuestran y otras sencillamente se
enuncian; es recomendable de todas formas que estimule
a los estudiantes a demostrarlas o verificarlas, buscando
comprender en cada caso lo que están haciendo. Si bien el
objetivo principal es que sean capaces de realizar cálculos
con soltura, la comprensión por parte de los estudiantes
de lo que está realizando suele ser una gran ayuda para
recordar las propiedades, además de entregar herramientas
de análisis en otro tipo de ejercicios.
El uso de raíces en la operatoria puede resultar complejo y
algunos estudiantes presentan una tendencia a expresarlas
con decimales, para poder considerarlas como“números”.
Puede sugerirles como estrategia que, en estos casos,
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reemplacen las raíces por letras y realicen la reducción
de términos semejantes como ya han hecho en cursos
anteriores. Por ejemplo, para el caso:
5 –2 2 +7 5 + 3 3 + 5 23 3 3
Se puede asignar las constantes a 53
= , b 2= , c 33
= .
De esta manera, se tiene que:
5 –2 2 +7 5 + 3 3 + 5 2
a–2b +7a+ 3c + 5b
8a+ 3b + 3c
3 3 3
=
=
Remplazando a, b y c por sus valores originales, se obtiene
la expresión reducida.
Para fomentar y desarrollar el uso del lenguaje natural y el
lenguaje matemático, puede solicitar a los estudiantes que
expresen en lenguaje matemático los siguientes enunciados:
• la raíz enésima de un producto es igual a las raíces
enésimas de cada uno de los factores. ( ab = a bn n n
)
• la raíz enésima de un cociente es igual al cociente
entre la raíz enésima del dividendo y la raíz enésima
del divisor. (
a
b
= a : bn n n
)
Puede, asimismo, plantear la pregunta inversa, enunciando
la propiedad descrita en lenguaje algebraico, por ejemplo:
a b a bnn n
=
En este caso, preste especial atención a la forma en que los
estudiantes se refieren a cada término involucrado, si utilizan
las palabras precisas tanto para las operaciones como para
las relaciones entre los términos.
7 Potencias de exponente racional
Págs. 40 a 43
Propósito
Interpretar las raíces como potencias de exponente racio-
nal y deducir propiedades de ellas.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente,
racional, propiedades
Prerrequisitos
§§ Aplicación de propiedades de potencias.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.
Como se plantea en la lección, es conveniente introducir
la interpretación de las potencias de exponente racional
relacionándolas con otras situaciones que los estudiantes
hayan visto en las que es necesario ampliar definiciones“na-
turales”, es decir, fácilmente interpretables desde lo intuitivo.
Este contenido brinda una interesante posibilidad de estructu-
rar una forma de trabajo en matemática que es característica
de la disciplina: extender una definición, verificar su coheren-
cia y extender posteriormente las propiedades que habían
sido deducidas. Esto se puede observar especialmente en el
Paso 1 de la página 40, donde se utiliza la división de poten-
cias de igual base —sin aplicar la propiedad, sino la definición
de potencia— para interpretar el exponente negativo. En el
estudio de las raíces enésimas, la extensión de las potencias
de exponente entero a exponente racional se realiza justifi-
cando su coherencia, y su uso permite deducir propiedades
de la operatoria de raíces que, de otra manera, resultarían
más difíciles y menos directas.
Por lo anterior, incentive a los estudiantes a que sean siste-
máticos en la verificación de las propiedades que se enun-
cian en la página 41, mediante los siguientes pasos:
• Escribir las raíces como potencias.
• Escribir las raíces como potencias de base racional.
• Aplicar propiedades de potencias.
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3 41 2
Para que los estudiantes comprendan bien los contenidos
de esta lección es imprescindible presentarles ejemplos va-
riados que permitan integrar y fijar lo aprendido, por medio
de la observación y la ejercitación.
Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen
propiedades específicas que permiten una reducción de los
términos involucrados y cuáles operaciones no las tienen. En
particular, es necesario mencionar que no existen fórmulas
para la suma o resta de raíces ni de cantidades subradicales:
5 + 7 5+73 3 3≠
5–7 5 – 73 3 3
≠
Es conveniente además presentar intencionadamente ejemplos
de este tipo y, cuando se produzcan errores, repetir que no todas
las operaciones tienen fórmulas asociadas, registrando esta
insistencia en forma verbal y simbólica (algebraica).
Errores frecuentes
8 Racionalización
Págs. 44 a 47
Propósito
Racionalizar expresiones fraccionarias.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar,
exponente, racionalizar, expresiones
Prerrequisitos
§§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-
presiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces
enésimas.
Conviene recordar con los estudiantes situaciones en las
que se privilegian ciertas formas de presentar resultados en
matemáticas frente a otras que, aun siendo correctas, no
son las preferidas. Para esto se pueden explicitar los criterios
utilizados, por ejemplo:
• las fracciones se presentan simplificadas, hasta su for-
ma irreductible: 6
8
3
4
→ .
• los polinomios se ordenan según su grado, en ge-
neral en forma descendente respecto a una letra:
ab + a b –2–a b a b –a b + ab –23 2 2 7 3 2 2 7
→
En el caso de la simplificación de fracciones puede ser más
directo para los estudiantes comprender por qué (es más
sencillo trabajar con números más pequeños); respecto del
orden de los polinomios este tiene como objetivo identificar
más fácilmente las regularidades que pueda haber además
de definir de manera más estandarizada algunas fórmulas
(al ordenarlos de acuerdo a alguna convención, es posible
hablar de“el segundo término”, por ejemplo).
Elprocesoderacionalizaciónes,engeneral,complejoyrequiere
deuncuidadosoanálisisencadacasoparanocometererrores.
Esnormalquealosestudianteslesresultecomplicadoraciona-
lizar raíces con índices más altos, para lo cual puede sugerirles
que las expresen primero como potencias de exponente frac-
cionario. De esta forma les será más fácil ver la potencia por la
cual conviene amplificar, pues deben conseguir que ambas
fracciones sumen 1. En el ejercicio presentado en la página44,
el cuadro de ayuda explica este punto: al resolver racionaliza-
ciones de este tipo sugiera a los estudiantes volver a él y aplicar
lo que se plantea.
Si lo considera necesario y pertinente para el nivel del curso,
puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de
racionalizar una expresión, es decir, por qué es necesario
hacerlo. Si bien no existe una respuesta única al respecto,
puede mostrar que si se considera una fracción como una
división, el algoritmo de la división que conocemos solo
considera el caso en que el divisor sea un número entero
(cuando realizamos una división por un número decimal,
amplificamos por potencias de 10 para que no lo sea o bien
se expresa como fracción, si es un decimal periódico). Así, la
racionalización permite encontrar una división equivalente
a la dada, que tenga un número entero en el denominador.
Errores frecuentes
Es común que los estudiantes se queden con el primer pro-
cedimiento de racionalización y posteriormente empleen
siempre raíces cuadradas, sin importar el índice de la raíz
presente en el denominador. Para evitar esto, es preciso que
se enfrenten a ejercicios variados y alternando su tipo, de ma-
nera que en cada caso deban analizar la situación y aplicar la
estrategia más adecuada. En la resolución de estos ejercicios
es fundamental que supervise el trabajo de los estudiantes
hasta que adquieran la soltura necesaria.
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Cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el
denominador los estudiantes suelen amplificar por la misma
expresión que está en el denominador y no por la“conjuga-
da”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al
numerador. Una constante ejercitación y revisión de errores
permitirá paulatinamente ir corrigiéndolos.
Puede plantear a los estudiantes, a modo de desafío, casos
de racionalización como los siguientes:
•
a
b + c + d
•
a
b + c + d
En cada caso, se puede discutir si es posible llegar a una fór-
mula general, y juzgar si el enunciado de esta es lo suficien-
temente sencillo como para que valga la pena aprenderla.
9
Raíces enésimas, problemas
y ecuaciones
Págs. 48 a 51
Propósito
Resolver problemas que involucran raíces.
Palabras clave
Ecuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, solu-
ciones, verificar
Prerrequisitos
§§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-
presiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces
enésimas.
§§ Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de
sus soluciones.
Los estudiantes, hasta el momento, no se han enfrentado a
ecuaciones en las que se deban verificar condiciones que
validen la solución encontrada, pero sí han podido analizar
la pertinencia de ellas en la resolución de problemas. Se
sugiere retomar esta idea para introducir el estudio de las
ecuaciones radicales, especialmente por la necesidad que
se presentará de comprobar las soluciones.
La resolución de ecuaciones radicales se basa, esencialmen-
te, en “sacar”la incógnita de las cantidades subradicales
elevando a una potencia adecuada. Es pertinente, por lo
mismo, recordar a los estudiantes que de manera general la
resolución de ecuaciones se basa en la aplicación de opera-
ciones inversas, y en este caso incluiremos a las ya utilizadas
anteriormente, la elevación a exponentes determinados.
Las ecuaciones radicales suelen presentar dificultades para
los estudiantes por la operatoria que está involucrada en
ellas y el análisis de la existencia de una solución. Por esto
es fundamental que recalque la importancia de verificar las
soluciones en la ecuación planteada o según el contexto
del problema dado.
Recuerde a los estudiantes que para verificar la solución
de una ecuación deben reemplazar el valor obtenido en la
misma: en este tipo de ecuaciones no basta con que estén
seguros de haber realizado bien cada paso de la resolución.
Es fundamental abordar en conjunto los casos 1 y 3 para que
los estudiantes puedan constatar este hecho. En el caso 1 la
solución encontrada no es válida por las restricciones de la
raíz y en el caso 3 por restricciones de una fracción. Puede
retomar este ejemplo en la unidad 3, cuando se analicen
restricciones de fracciones algebraicas.
Para facilitar la resolución de las ecuaciones, plantee a los
estudiantes situaciones en las que sea conveniente reali-
zar algún manejo algebraico de los términos para que la
operatoria sea más sencilla, como se hace en el caso 2 de
la lección. Por ejemplo, en la ecuación
x +1– x + 2 + x –5 x –7=
si se eleva al cuadrado directamente, en uno de los miem-
bros de la ecuación tendremos un trinomio al cuadrado; en
cambio, si se utiliza la ecuación equivalente
x +1 x + 2 x –7 – x –5− =
al elevar al cuadrado se obtienen dos cuadrados de bino-
mio, cuyo desarrollo ya es conocido.
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3 41 2
Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada
en una ecuación radical o simplemente evitarla. En ocasiones,
también, no realizan la verificación en la ecuación original sino
en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber
eliminado restricciones (como se observará en la página Para
no cometer errores). Supervise, hasta que los estudiantes la
hayan incorporado plenamente, la realización de todos los
pasos de resolución de las ecuaciones radicales.
Errores frecuentes
Si el volumen (V) de una esfera es 864 cm3 y π = 3, ¿cuál
es la medida del radio (r) de la esfera? Recuerda que el
volumen (V) de una esfera de radio (r) se puede calcular
utilizando V
4
3
r3
= π .
Respuesta:
Plantea, a partir de la fórmula entregada, la ecuación que
permite calcular el radio (r) de la esfera conociendo el vo-
lumen (V) de esta. Es decir:
864 cm =
4
3
• 3 •r3 3
Luego, despeja correctamente la incógnita r, con lo que
calcula el radio pedido: r = 6 cm.
Página 52
puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-
teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir
en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
Para el problema propuesto en esta sección, se pide encon-
trar una expresión equivalente a la dada pero más simple,
es decir, con una sola raíz.
Para simplificar esta expresión se procede desde adentro
hacia afuera, introduciendo términos a una raíz o simplifi-
cando exponentes o índices, según corresponda, y luego
se continúa con las raíces y términos más exteriores hasta
dejar todo expresado en una sola raíz.
Para promover el trabajo matemático proponga a sus alum-
nos resolver el mismo problema pero de manera inversa,
de afuera hacia adentro. ¿Qué método de resolución les
resulta más fácil?
En el texto se propone verificar con una calculadora lo ob-
tenido asignando diversos valores a x en la expresión resul-
tante. Pida a los estudiantes que realicen esta actividad con
una calculadora científica, pues muchas calculadoras básicas
no disponen de las funciones necesarias para trabajar con
una expresión como la planteada en el problema.
Página 53
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta,
detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los
estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente
y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
de los errores cometidos.
En la primera situación se pide encontrar el valor de una
expresión radical cuando a = 3. El error presentado es muy
frecuente, pues los alumnos suelen aplicar propiedades o
evaluar sin verificar si es posible hacerlo. En este caso al
reemplazar se obtienen raíces cuadradas y cuartas de núme-
ros negativos, lo cual no está definido en los números reales.
Algo similar se presenta en la segunda situación, donde
se resuelve una ecuación radical siguiendo los procesos
matemáticos correspondientes y se obtiene una respuesta
numérica. Sin embargo, no se consideró que en una parte
del desarrollo de esta resolución se presenta una raíz cua-
drada igualada a un número negativo, lo que por definición
indica, que no existe solución, ya que esta se define como
un valor positivo o nulo.
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Págs. 54 y 55
Indicador Preguntas asociadas Remedial
Definir raíces y calcularlas aplicando
su definición.
1, 2 y 3 Es posible que los estudiantes presenten dificultades para
determinar las restricciones de a, para que la raíz dada sea
un número real. Para evitar este inconveniente recuerde a
los estudiantes que las cantidades subradicales deben ser
mayores o iguales a cero, mediante ejemplos. Con esto en cada
caso forman una sencilla inecuación y encuentran los valores
buscados.
Realizar operaciones con raíces. 4, 5, 6 y 7 Algunos estudiantes pueden presentar problemas para
operar con raíces, ya que no manejan bien las propiedades
involucradas. Para evitar este tipo de posibles inconvenientes,
revise detalladamente los procesos que realizan para resolver
los ejercicios, cómo aplican las propiedades, cómo reducen, etc.
Si es preciso, pídales resolver ejercicios personalmente frente
a usted. De este modo podrán corregir a tiempo y estarán
preparados para aprender otras propiedades más complejas.
Interpretar las raíces como potencias
de exponente racional y deducir
propiedades de ellas.
8, 9, 10 y 11 Se pueden presentar dificultades relacionadas exclusivamente
con la aplicación de propiedades de las raíces vistas en la
sección. Para ayudar a los estudiantes con estos inconvenientes
puede realizar un repaso y cuadro resumen junto a todo
el curso, empleando ejemplos sencillos que ilustren cada
propiedad.
Racionalizar expresiones
fraccionarias.
12 y 13 Como se mencionó en la lección correspondiente, algunos
alumnos pueden presentar problemas al determinar el índice
y exponente apropiados de la raíz y la cantidad subradical por
la que se debe amplificar, o bien cuando deben racionalizar
expresiones con binomios en el denominador amplifican por
la misma expresión que está en él y no por la“conjugada”. A
los estudiantes que cometan estos errores, solicíteles repetir
los ejercicios de la lección, utilizando los ejemplos dados en
ella como guía. Luego, pídales que identifiquen los errores
cometidos y los expliquen con sus palabras.
Resolver problemas que involucran
raíces.
14 y 15 Nuevamente, los errores cometidos por los estudiantes pueden
deberse a falta de sistematicidad en los procedimientos
aprendidos, tanto en la resolución como en la verificación de
sus soluciones. Pídales repasar el contenido, detectar sus errores
y corregirlos.
Conviene además que supervise un correcto manejo de
la calculadora en la última pregunta, ya que puede haber
estudiantes que realicen bien los procedimientos pero fallen en
este paso.
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3 41 2
Sección 3
Logaritmos
De esto se trata
El desarrollo de las ciencias, desde la Antigüedad hasta
nuestros días, ha requerido de herramientas que permitan
simplificar tanto la manipulación de los objetos de estudio
(los números y operaciones, en el caso de la matemática)
como la forma de presentar los resultados. En la medida en
que se puede trabajar con expresiones más manipulables,
números más pequeños y relaciones más intuitivas, es posi-
ble que este desarrollo se produzca de manera más efectiva.
Uno de los ejemplos más notables de esto en la historia
es la creación de los logaritmos, que permitieron abordar la
multiplicación de números muy grandes como una suma
de números pequeños, además de utilizar escalas logarít-
micas para representar cantidades difícilmente manejables.
Es interesante transmitir a los estudiantes las necesidades
de los científicos en el contexto de cada época, para que
puedan valorar los aportes realizados con las herramientas
que tenían a disposición.
¿Qué debes saber?
Relacionar raíces y potencias
Previo al inicio de esta unidad es primordial que los
estudiantes manejen con soltura las raíces y potencias, es-
tableciendo las relaciones entre el valor de la potencia (o
de la raíz), la base (o cantidad subradical) y el exponente (o
índice). Por motivos de organización, los ejercicios se pre-
sentan por separado pero conviene también que, a partir
de una misma expresión, puedan representar la relación de
distintas maneras. Por ejemplo:
27
= 128
• 128 es la séptima potencia de 2.
• 2 es la raíz séptima de 128.
• 7 es el exponente al que se debe elevar 2 para ob-
tener 128.
• 128 elevado a un séptimo es igual a 2.
Calcular raíces y potencias aplicando propiedades
Para complementar este indicador, presente a los es-
tudiantes diversos ejercicios resueltos donde se aplican
las propiedades de las potencias y raíces, y pida que re-
visen si están correctamente aplicadas y corrijan cuando
sea necesario.
10 Logaritmos
Págs. 58 a 61
Propósito
Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.
Palabras clave
Potencia, raíz, base, exponente, logaritmo, argumento,
propiedades
Prerrequisitos
§§ Relación entre potencias y raíces.
§§ Cálculo de potencias y aplicación de propiedades.
§§ Cálculo de raíces y aplicación de propiedades.
Pregunte a los estudiantes si conocen las siguientes palabras
y su significado:
• algoritmo.
• guarismo.
• logos.
Consulte además si han visto la tecla“log”en la calculadora.
Puede pedirles que realicen algunos cálculos al azar, lo que
les permitirá ver que en ocasiones se advierte un error.
Como una forma de motivar a los estudiantes, comience el
estudio de esta lección conversando con ellos sobre la im-
portancia que han tenido históricamente los logaritmos en
distintas áreas. Puede consultar para esto en http://catedu.
es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm
Puede además mencionar el uso de las tablas de logarit-
mos para contextualizar y realzar la importancia histórica
de ellos, y que pueden haber oído mencionar de sus padres
o abuelos.
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Esta lección es la base para las siguientes, pues aquí se pre-
senta el concepto de logaritmo. Por esto es importante que
comprendan y expresen correctamente un logaritmo como
una ecuación exponencial, y viceversa. Para ello, presente a
los estudiantes diversas situaciones en las que deban calcu-
lar la base, el argumento y el valor de un logaritmo, hasta
que adquieran soltura en la aplicación de su definición.
En un comienzo, asociar un logaritmo con una ecuación
exponencial permitirá a los estudiantes calcular más direc-
tamente los valores pedidos. Por esto es importante que,
para comenzar, les exija que realicen el procedimiento co-
rrespondiente para integrar adecuadamente el concepto.
En las siguientes lecciones, cuando adquieran más práctica,
este proceso puede ser omitido.
Es fundamental que cuando los estudiantes trabajen con
expresiones más complejas sean ordenados y rigurosos en
sus desarrollos, para evitar así los errores. Supervise cuida-
dosamente este aspecto.
Es imprescindible enfatizar que los logaritmos están defini-
dos solo para valores positivos del argumento y de la base.
Mientras antes comprendan los estudiantes la necesidad
de establecer restricciones y definir correctamente, menor
posibilidad tendrán de cometer errores a futuro relaciona-
dos con esto.
En operaciones combinadas con logaritmos, es posible que
los estudiantes no sepan cómo abordar las expresiones plan-
teadas. Pídales que calculen los logaritmos por separado y
que luego los reemplacen en los ejercicios dados. De esta
forma podrán ver con mayor facilidad las operaciones que
deben realizar, según las prioridades de las operaciones que
ellos ya conocen.
Errores frecuentes
Pida a los estudiantes que investiguen sobre el logaritmo
natural (logaritmo en base e) y sus aplicaciones.
Entregue a los estudiantes un listado de ejercicios resueltos
y solicite que identifiquen las propiedades utilizadas. Pre-
gunte si es posible resolverlos utilizando otras propiedades,
ínstelos a que los resuelvan aplicando otra estrategia (pro-
piedad) si es posible.
11 Propiedades de los logaritmos
Págs. 62 a 65
Propósito
Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.
Palabras clave
Logaritmo, propiedades, potencias,
ecuaciones exponenciales
Prerrequisitos
§§ Propiedades de las potencias.
§§ Relación entre potencias y logaritmos.
§§ Resolución de ecuaciones exponenciales.
§§ Cálculo de logaritmos.
Para activar las ideas previas de los estudiantes, puede reto-
mar la idea vista en la sección anterior: luego de definir las
raíces enésimas e interpretarlas como potencias, se deducen
las propiedades. Se puede recordar la relación entre poten-
cias y raíces y mostrar nuevamente algunas propiedades de
raíces, a partir de las de las potencias. Algo similar se hará
en esta lección con los logaritmos.
Para que los estudiantes comprendan mejor las propiedades
de los logaritmos, es conveniente que muestre cada una de
estas propiedades con ejemplos numéricos sencillos y lue-
go formalice cada una de ellas matemáticamente. Esto les
permitirá trabajar desde lo particular a lo general, y ayudará
a desarrollar su intuición. Por ejemplo, para el logaritmo de
una potencia puede mostrar que
= → =
=
=
=
log2 x 10 2
10 2
log2 3x
log2 3log2
x
3x 3
3
3
Es importante recalcar que, aplicando un par de propiedades
y conociendo el valor de los logaritmos de los números pri-
mos, es posible obtener los logaritmos de todos los números
racionales pues se realizan descomposiciones en factores
primos. Esta es la gran“maravilla”de los logaritmos que se
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3 41 2
menciona en el texto, ya que es lo que permitió elaborar las
tablas y con ellas simplificar los cálculos. En el mismo sentido,
se puede plantear la propiedad de cambio de base.
Hoy parecen inútiles estos cálculos y los procedimientos
asociados, pero permiten estimular habilidades de pensa-
miento en los estudiantes.
Puede encontrar ejemplos de aplicaciones, históricas y actuales,
en http://sapimates.blogspot.com/2008/04/logaritmos.html
Es posible que los alumnos tengan dificultades para operar
con el logaritmo de una raíz. Sugiérales expresar la raíz en
potencia y de este modo aplicar la propiedad del logaritmo
de una potencia.
Tal como se planteó en la sección de raíces, puede ocurrir que
los estudiantes asuman y apliquen propiedades inexistentes,
por ejemplo, logaritmos de adiciones y sustracciones. Para evi-
tarlo, pida permanentemente a los estudiantes que enuncien
las propiedades, y que al resolver ejercicios declaren siempre
la propiedad que están utilizando.
Pueden además presentar problemas para descomponer lo-
garitmos, especialmente con expresiones más complejas que
contienen multiplicaciones y divisiones, por lo cual suelen
tener errores de signos. Como ha sido la tónica en toda la
unidad, exija a los estudiantes orden y sistematicidad en sus
desarrollos, sin permitir que salten pasos o los abrevien hasta
que esté completamente seguro que dominan el contenido.
Cuando se pide escribir como un solo logaritmo una expre-
sión que incluye adiciones y sustracciones, los estudiantes
podrían tener dificultades para determinar cuáles términos se
están multiplicando y cuales se están dividiendo. Para evitar
este inconveniente se recomienda agrupar todos los términos
positivos y por otro lado todos los términos negativos.
Errores frecuentes
Plantee la siguiente pregunta:
¿Existen valores de a y b que hagan cumplir las siguientes
igualdades?
• log (a • b) = log a • log b
• log (a + b) = log a + log b
• log (a : b) = log a : log b
• log (a – b) = log a – log b
Es importante observar que se pregunta por posibles valo-
res, por lo que es válido que los estudiantes prueben con
ellos. En caso de no encontrarlos, puede analizar con ellos
por qué no hay, o si no hay más que algunos casos triviales
(por ejemplo, en el primer caso, a = b = 1. Verifique además
si los valores determinados cumplen las restricciones de
los logaritmos.
12 Aplicaciones de logaritmos
Págs. 66 a 69
Propósito
Resolver problemas aplicando logaritmos.
Palabras clave
Logaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones
logarítmicas, aplicaciones, problemas
Prerrequisitos
§§ Cálculo de logaritmos.
§§ Aplicación de propiedades de logaritmos.
Puede retomar lo visto al inicio de la sección —y de la uni-
dad— para motivar a los estudiantes, ya que se analizarán
aplicaciones de los logaritmos. Tal como se presenta en el
inicio de la unidad, puede ser muy cercano para los estu-
diantes el tema de la música y el sonido, por lo que esto
sería una buena introducción. Pregunte a los estudiantes,
por ejemplo:
• ¿qué es el sonido?, ¿cómo se mide?
• ¿cómo se clasifican los sonidos?
De la misma manera que al resolver ecuaciones radica-
les, conviene insistir a los estudiantes en la aplicación de
procedimientos inversos y la definición, en este caso, de
logaritmo. Asimismo, es importante que las soluciones en-
contradas siempre sean verificadas en la ecuación original.
No basta con que se cumpla la igualdad, se debe revisar
el contexto del problema y si consideran las restricciones
del logaritmo.
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Se recomienda especialmente que, a partir de la situación
expuesta en la lección, aborde con los estudiantes el uso de
dispositivos de sonido, y el cuidado que debe tenerse con
ellos. Si existe la posibilidad, se puede realizar una actividad
en conjunto con la clase de física para medir la intensidad en
audífonos, parlantes o incluso el ruido ambiental, para tomar
conciencia de los riesgos que corren día a día y reflexionar
respecto de los cuidados necesarios.
Es fundamental recalcar que para aplicar las propiedades
se debe asegurar que los logaritmos están bien definidos,
y no se estén obviando sus restricciones. En los ejercicios
planteados en la lección anterior esto no se establece, ya
que solo se trabaja con términos numéricos, pero en la re-
solución de ecuaciones se debe cuidar que no se supriman
eventuales restricciones al aplicar las propiedades.
Igual que como sucede con las ecuaciones radicales, puede
ocurrir que los estudiantes no verifiquen la solución obtenida
o no lo hagan en la ecuación original, sino en otra donde
ya han aplicado propiedades y eliminado restricciones. Para
evitar este tipo de inconvenientes, supervise el trabajo de los
estudiantes y solicíteles que, de ser necesario, declaren por
escrito cada uno de los pasos que realizan, hasta que lo hagan
correctamente.
También podría ocurrir que los alumnos se equivoquen en los
procedimientos y soluciones debido a que no son ordenados
y además omiten pasos. Para evitar estos problemas, revise
cuidadosamente la forma de resolver los ejercicios e impida
que resuman los procedimientos, pues el nivel de complejidad
de estas ecuaciones requiere de procesos claramente escritos.
Errores frecuentes
Puede proponer situaciones que se resuelvan por medio
del cálculo de logaritmos, como por ejemplo:
La fórmula de la magnitud para la escala de Richter es:
M
2
3
log
E
E0
=




, donde E es la energía liberada por el
terremoto (en joule) y E0
= 104 joule es la energía liberada
por un terremoto pequeño de referencia, empleado como
un estándar de medición. El terremoto de 1906 en San Fran-
cisco liberó aproximadamente 5 •1016 joule de energía,
¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter?
R: 2
3
(0,7 12) 8,5+ = . La magnitud en escala Richter es 8,5.
Página 70
En esta parte de la sección, los alumnos tienen la oportunidad
de aplicar los contenidos aprendidos. Para eso se presenta
un problema resuelto donde se requiere calcular y aplicar las
propiedades de los logaritmos. Esta situación permite mostrar
a los estudiantes un contenido matemático diferente: el de las
progresiones geométricas.
Puede profundizar respecto de este contenido planteando
también la existencia de progresiones aritméticas. Gracias a
los logaritmos, una progresión geométrica se puede trabajar
como una aritmética, lo que fue también en su momento
uno de los grandes aportes de los logaritmos a la ciencia.
Página 71
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-
ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente
estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos
constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y
autocrítica respecto de los errores cometidos.
En la primera situación, se aplican incorrectamente las pro-
piedades de los logaritmos, asumiendo que el logaritmo
de una diferencia es equivalente a la diferencia de los lo-
garitmos. Para desarrollar este tipo de expresiones se debe
expresar la diferencia de cuadrados como una suma por
diferencia y ahí aplicar la propiedad del logaritmo de un
producto. Recalque a los estudiantes que no existe propie-
dad para la adición y sustracción de logaritmos.
En la segunda parte se observa una ecuación logarítmica
correctamente resuelta en relación a los procedimientos
realizados, pero el error está en verificar la solución encon-
trada en otra ecuación y no en la original, pues esto nos
lleva a conclusiones erróneas. Este error es muy frecuente,
debido a que los alumnos suelen verificar el resultado en
la ecuación que les parece más fácil.
Se debe recordar que si las expresiones no están definidas
no se les puede aplicar propiedades de los logaritmos. En-
fatice que la solución de una ecuación logarítmica se debe
verificar en la ecuación original.
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3 41 2
Págs. 72 y 73
Identificar logaritmos y relacionarlos
con raíces y potencias.
1, 2 y 3 Las dificultades que se pueden presentar tienen directa relación
con una comprensión inadecuada del concepto de logaritmo, o
falta de sistematicidad en el desarrollo de los ejercicios.
Para corregir estos errores, conviene que los resuelvan
nuevamente utilizando una pauta con los pasos necesarios.
Para la pregunta 1, por ejemplo, pueden establecer que primero
se identifica la base, el argumento y el valor del logaritmo.
Luego se expresa en palabras qué es un logaritmo y finalmente
se escribe la expresión pedida. Puede realizar algo similar para
las preguntas 2 y 3.
Deducir y aplicar propiedades de
logaritmos.
4, 5 y 6 Los estudiantes pueden presentar dificultades al reducir o
desarrollar las expresiones logarítmicas. Para evitar esto, repase
con ellos las propiedades de los logaritmos, y en la resolución
de los ejercicios pídales que identifiquen la situación (“hay dos
logaritmos que se están sumando”) para luego identificar la
propiedad que se debe utilizar.
Para manejar expresiones más complejas, como las que se
proponen en la pregunta 6, los estudiantes pueden presentar
dificultades fruto de las notaciones y la longitud de las
expresiones. Si necesitan corregir los ejercicios, sugiérales
utilizar paréntesis en cada caso; aunque no parezcan necesarios
para la operatoria, sí lo pueden ser para facilitar el orden.
Resolver problemas aplicando
logaritmos.
7, 8 y 9 En la pregunta 7, algunos errores se pueden deber a la
aplicación incorrecta de propiedades en expresiones que
no estén definidas (logaritmos con argumentos negativos).
Recuerde a los estudiantes que deben verificar sus respuestas
en la ecuación original.
En la pregunta 8, nuevamente el uso de la calculadora puede
provocar errores. Es conveniente que realice una corrección
grupal de estos problemas para que los estudiantes puedan
constatar si sus errores obedecen a un planteamiento incorrecto
o son de cálculo.
La pregunta 9 presenta una dificultad especial pues no se
pide la solución, sino que se solicitan los valores de a para los
que la ecuación tiene solución o no. Puede ser un problema
interesante para revisar en conjunto y verificar los métodos
utilizados por los estudiantes.
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Diariomural
Págs. 74 y 75
Se presentan aquí herramientas tecnológicas comunes para
todos en la actualidad, como los computadores y las calcu-
ladoras, los cuales han manifestado importantes cambios
a través de la historia.
Es importante señalar a los estudiantes que, si bien existen
aparatos que simplifican los cálculos, en el fondo todos
ellos se basan en operaciones elementales, es decir, apli-
can estas propiedades. Las personas que programan estos
aparatos deben darles instrucciones precisas para que pue-
dan realizar los cálculos, considerando que un computador
solo obedece instrucciones simples. El proceso de contar
con máquinas que realizan cálculos mecánicamente es
un gran testimonio del ingenio humano y la dedicación;
es fundamental un profundo análisis para determinar las
regularidades en las operaciones, lo que permite que luego
las realice un mecanismo sin intervención humana.
Es importante tener presente el valor de los descubrimien-
tos que han hecho la humanidad al cálculo y a la ciencia,
pues gracias a ellos todo ha evolucionado y contamos con
dispositivos cada vez más completos que nos simplifican
la vida en muchos ámbitos.
Parasintetizar
Págs. 76 y 77
Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los
elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes
puedan apreciar los contenidos como conjunto, conside-
rando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora
de la disciplina.
Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la ela-
boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo
individual, grupal y con todo el curso, dando también la
posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-
dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada
comprensión de los conceptos.
En estas páginas se retoma, además, el tema presentado
en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan
analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos
adquiridos. Si hay estudiantes interesados especialmente en
la música, solicite la ayuda de ellos para abordar este tema.
Puede pedirles incluso que interpreten las notas musicales
en diferentes instrumentos, para que todos puedan apreciar
las diferencias entre ellas y cómo se forman.
Reforzaryprofundizar
Págs. 78 a 81
Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente
prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los
procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios
y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de
garantizar la comprensión de los conceptos involucrados.
Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto
con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan
algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus
compañeros. Mediante esto se pretende que puedan re-
troalimentarse mutuamente de manera más significativa,
al provenir de sus propios pares.
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3 41 2
Evalúomisaprendizajes
Págs. 82 a 85
Sección Indicador Preguntas asociadas Remedial
1
Identificar números
irracionales y sus propiedades,
y operar con ellos en
problemas geométricos.
1, 2, 3 y 10 Verifique que los estudiantes apliquen
correctamente las fórmulas de cálculos
geométricos (áreas y perímetros) y el teorema
de Pitágoras, para evitar errores. Conviene
además repasar la aproximación de números
racionales y las construcciones geométricas.
Para la caracterización de los números reales,
permita que los estudiantes primero utilicen
sistemas de ayuda-memoria para realizar
los ejercicios, hasta que puedan aplicar las
propiedades sin necesidad de ello.
Aproximar números
irracionales.
4 y 5
Ordenar y ubicar números
irracionales.
9, 11 y 12
Identificar y caracterizar el
conjunto de los números
reales.
6, 7 y 8
2
Definir raíces y calcularlas
aplicando su definición.
14 y 15 Repase con los estudiantes las propiedades de
las potencias de exponente entero y justifique
nuevamente la interpretación de la potencia
de exponente racional. Luego, pida a los
estudiantes que resuelvan nuevamente los
ejercicios transfiriendo estas propiedades a las
raíces.
Para la racionalización y la resolución de
problemas, es conveniente que realicen
nuevamente las actividades de las lecciones
correspondientes.
Realizar operaciones con
raíces.
16, 18, 19 y 20
Interpretar las raíces como
potencias de exponente
racional y deducir
propiedades de ellas.
13 y 22
Racionalizar expresiones
fraccionarias.
17 y 21
Resolver problemas que
involucran raíces.
23
3
Identificar logaritmos y
relacionarlos con raíces y
potencias.
24 y 25 Pida a los estudiantes que presenten
dificultades que resuelvan nuevamente los
ejercicios indicando en cada caso:
•• Situación presentada (¿qué se quiere
obtener?)
•• Propiedades involucradas (suma de
logaritmos, logaritmo de un producto, etc).
•• Justificación de cada paso.
Deducir y aplicar propiedades
de logaritmos.
26, 27, 28, 29, 30, 31 y 32
Resolver problemas aplicando
logaritmos.
33, 34, 35, 36, 37 y 38
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Informacióncomplementaria
Hipaso de Metaponto
Hipaso de Metaponto fue un filósofo presocrático, miembro de la escuela pitagórica. Como muchos de su época,
no dejó ningún escrito. Nació en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en
el Golfo de Tarento, al sur de lo que actualmente es Italia.
Sobre él se han dicho muchas cosas, por ejemplo, se le acredita la construcción de un dodecaedro como aproxima-
ción a una esfera y el descubrimiento de la inconmensurabilidad.
Se cree también que Hipaso de Metaponto fue también maestro de Heráclito de Efeso, y como este, pensaba
que el“arché”o principio de todas las cosas, era el fuego, metáfora del cambio, a diferencia de los pitagóricos, que
situaban ese principio de todo en los números. Además de los trabajos sobre matemáticas, que incluyen el descu-
brimiento de la irracionalidad de 2, hizo estudios sobre acústica y resonancia. Pocos de sus trabajos originales han
llegado hasta nuestros días, aunque se tiene constancia de experimentos suyos con discos de bronce del mismo
diámetro, pero de diferente grosor (el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media
mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados sonaban con cierta armonía.
Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento en el que los pitagóricos
pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría
roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando en el mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría
hecho que estos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él
estaba muerto.
Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un naufragio de circuns-
tancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó, inflingiéndose un autocastigo, liberando de este modo a su alma
para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros dicen que un grupo de pitagóricos lo mató, e incluso se dice
que Pitágoras en persona lo condenó a muerte. Otras versiones apuntan a que precisamente habría sido la rivalidad
entre Hipaso y Pitágoras la que finalmente le costó la vida al primero, que en algunos aspectos habría superado a
su maestro. Incluso, se cree que él podría haber sido verdaderamente quien demostró el“teorema de Pitágoras”.
Más allá de sus descubrimientos, si algo nos dejó Hipaso es un gusto amargo: la idea de que Pitágoras seguramente
estaba muy equivocado y que la mayoría de nuestras creencias se encuentran basadas en esas equivocaciones;
poco y nada sabemos de los muchos Hipasos que habrán existido y que seguramente tuvieron una tumba con su
nombre antes de su muerte.
Fuente: http://interesante-saber.lacoctelera.net/post/2011/09/17/hipaso-metaponto
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Materialfotocopiable
Actividad complementaria Nº1 / Raíces irracionales
Nombre: Curso: Fecha:
Lee atentamente y realiza las siguientes actividades.
1. Considera los siguientes números naturales y su descomposición en factores primos:
36 = 22
• 32
100 = 22
• 52
144 = 24
• 32
400 = 24
• 52
a) Calcula la raíz cuadrada de cada número y escribe su descomposición en factores primos. Compárala con la
descomposición de los números anteriores. ¿Qué similitudes observas? ¿Qué diferencias?
b) La descomposición de un número en factores primos es x = p4
q6
r2
, donde p, q y r son números primos. Determi-
na x . ¿Cómo lo calculaste? ¿Es x un número natural? Justifica.
c) La descomposición de un número en factores primos es y = p5
q4
r8
, donde p, q y r son números primos. Determi-
na y . ¿Puede ser y un número natural? Justifica.
2. Utiliza lo anterior para discutir la siguiente afirmación: la raíz de todo número primo es un número irracional.
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Actividad complementaria Nº 2 / Propiedades de la combinatoria
Actividad complementaria Nº 2 / Aproximación de raíces enésimas
Otra forma de aproximar raíces cuadradas es mediante la fórmula
n
x 6nx n
4x x n
4 2 2
2
( )
≈
+ +
+
Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.
1. Para aproximar raíces cúbicas, podemos utilizar la fórmula
n
n
n x
2x
2
n x
2x
3
3
2
3
3
2
2
≈
+
+



+



Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.
Verifica esta fórmula para 103
y 153
. Comprueba con calculadora los resultados obtenidos.
2. A partir de esta fórmula, ¿podrías deducir una para aproximar raíces cuartas? Justifica y compruébala para 1204
.
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41
Unidad 1 • Números
Actividad complementaria Nº 3 / Progresiones geométricas
Se llama progresión geométrica (PG) a una secuencia de números, de manera tal que un término cualquiera de ella
se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante llamado razón. Por ejemplo, en la progresión geométrica:
2, 6, 18, 54, 162…
el primer término es a1
= 2, y la razón es r = 3.
1. Determina una expresión algebraica que permita, dado el primer término a1 y su razón r, encontrar el término
que se encuentra en la posición n.
2. Considerando la fórmula encontrada anteriormente, realiza las siguientes actividades:
a) En una PG, su primer término es 5 y su razón es 2. Si un término de ella es an
= 20 480, ¿cuál es el valor de n?
b) Determina una fórmula para determinar, en general, el valor de n de la actividad anterior.
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Evaluación de la unidad
Nombre: Curso:
I. Marca en cada caso la alternativa correcta.
Analizar y resolver situaciones que involucran
números reales
1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A. 64
B. 9
C. 16
D. 27
E. 0,25
2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)
irracional(es)?
I. 3 • 12
II. 2 + 2 2
III. 5
125
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. II y III
3. Sea A =
2
8
, B =
3
6
y C =
5
10
. ¿Cuál de las siguientes
alternativaspresentaestosnúmerosdemenoramayor?
A. A, B, C
B. B, C, A
C. A, C, B
D. C, A, B
E. B, A, C
4. Si 2 y 3 redondeados a la centésima son 1,73 y
2,23 respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. 2 + 3 + 3, redondeado a la unidad es 16
II. 2 – 3 redondeado a la unidad es 0
III. 6 aproximado a la centésima es 3,86
A. Solo I
B. Solo III
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
5. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo de lado a2
?
A. a 32
B. a 33
C. a 34
D. a 4a +14
E. a 4a +16
6. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. siempre el producto entre dos números
irracionales es otro número irracional.
II. La suma de dos números irracionales es
siempre otro número irracional.
III. El cociente entre dos números irracionales
siempre es otro número irracional.
A. Solo I
B. Solo II
C. I y III
D. Todas
E. Ninguna
7. A y B son dos números reales. Se puede determinar
que A : B es irracional si se sabe que:
(1) A es racional. (2) B es irracional.
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
8. Si b es un número real positivo, entonces x2
– 2ax + b
representa un número real no negativo si se sabe que:
(1) x = 5 (2) a = b
C. Juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
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43
3 41 2
9. Se puede determinar si los elementos del conjunto








a, 2a, ab, 2b,
ab
2
son mayores o iguales que a y menores o iguales
que b si se sabe que:
(1) a = b – 2 y b = 5
(2) b = a + 2 y a = 3
C. Juntas, (1) y (2).
10. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Se puede afirmar que los
números r y s son racionales si se sabe que:
(1) x es un número irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de 2.
C. Juntas, (1) y (2).
Realizar operaciones con raíces
11. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un
número real?
I. 2 5 –5
II. 4 3 –3 5
III. 9– 4 5
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. Todas ellas.
12. La expresión 5– x corresponde a un número real para:
I. Cualquier valor de x.
II. x = 5
III. x < 5
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. Ninguna de las anteriores.
13. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al
reducir 2
6
4
+ 24 – 54?
A. 0
B. 1
C. –1
D. 6 + 2 – 3
E. 6 + 2 –3 5
reducir 16 + 54
250
3 3
3
?
A. O
B. 1
C. 6
25
3
3
D. 2
5
3
3
E. 7
25
3
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente
a 2 434
?
A. 242
B. 2
C. 2
D. 2
5
7
E. 2
5
12
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16. Dado el número N = a 2 –b 3, con a y b enteros
positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I. N es real si a es múltiplo de b.
II. N es real si a es primo y b = 1
III. N es real si a = 3 y b = 2.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. I, II y III
17. Dada la ecuación
x n–1+ 5=n+ 2x, siendo x la incógnita, ¿cuál de
las siguientes opciones es siempre verdadera?
A. Si n = 5, la ecuación tiene solución.
B. Si n = 1, la ecuación no tiene solución.
C. Si n ≠ 5, la ecuación tiene infinitas soluciones.
D. Si n = 2, la ecuación tiene como solución un
número irracional.
E. Si n = 10, la ecuación tiene una solución negativa.
18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es
equivalente a 7 + 5
7 – 5
?
A. 6 + 35
B. 6– 35
C. 2
D. –2
E. 1
equivalente a ( ) ( )2 –2 + 3 –3
2 2
A. 2 + 3 –5
B. 2 – 3 –1
C. 3 – 2 +1
D. 5– 2 – 3
E. 5– 5
20. Si a y b son enteros positivos, ¿cuál de las siguientes
expresiones es equivalente a b
a+b – b
?
A. ( )a+b + a b
b + 2a
B. b + 2a
C. b + a
a+b
D. b
E.
( )a+b + b b
a
21. ¿Cuál es el(los) valor(es) de x en la ecuación
irracional 2x + 5 –1= x?
A. 1
B. –1
C. 2
D. 2 y –2
E. 4
Aplicar propiedades de logaritmos
22. ¿Qué valor(es) puede tomar x en la ecuación loga-
rítmica log x = log 2 – log (x + 1)?
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 1; x = –2.
D. x = –2
E. x = –1; x = 2
23. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
log5
125 = 3
A. =3 1255
B. =5 125
1
3
C. =5 1253
D. =125 3
1
3
E. =−
125
1
5
3
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45
3 41 2
con log
m +m
m+1
m
2
?
A. 2m
B. m + 1
C. m
D. 1
E. 0
25. Si 4log a = 1, ¿cuál es el valor de log a?
A. 1
16
B. 1
8
C. 1
4
D. 1
2
E. 2
26. Si log m–log n= 52 2 , ¿cuál es el valor de m
n
?
A. 10
B. 25
C. 32
D. 64
E. 128
equivalente a log 24?
A. ( )( )log 12 log 2
B. log 20 + log 4
C. 2log 12
D. ( )( )( )log 2 log 3 log 4
E. log 8 + log 3
equivalente a
log 16–log
1
27
log 36
2 3
6
?
A. 7
2
B. 7
6
C. 17
6
D. 11
2
E. 1
2
equivalente a ( )log 16• 41
4
3
?
A. 7
3
B. –
7
3
C. 1
3
D. –
1
3
E. 2
3
30. Si log
1
16
= 2x , ¿cuál es el valor de x?
A. 1
32
B. –
1
32
C. 1
4
D. –
1
4
E. 162
31. Se tiene que log a + log b = c – log b. Entonces, ¿cuál
de las siguientes expresiones es equivalente a a?
A. 10
2b
c
B. 2b•10c
C. 10
b
c
2
D. b •102 c
E. 2•10
b
c
32. Se puede determinar el valor numérico de la expre-
sión log a log c
bd
b d
si se sabe que:
(1) a = 1 y bd ≠ 0
(2) b = 100 y d = 1000
C. Juntas, (1) y (2).
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33. Se puede determinar el valor numérico de la expre-
sión
log a
logb
=
3
2
log c si se sabe que:
(1) a = 1000, b = 100 y c = 10
(2) b = 10b y b = 10c
A. (1) por sí sola
B. (2) por sí sola
C. Ambas juntas, (1) y (2)
D. Cada una por sí sola, (1) o (2)
E. Se requiere información adicional
II. Resuelve los siguientes problemas.
34. Un padre reparte entre sus dos hijos un terreno
de la siguiente manera: al primero le entrega un
terreno de forma rectangular cuyo largo es 18m
y cuyo ancho es 12m, mientras que al segundo le
regala un terreno cuyas dimensiones son 15m de
largo y 6m de ancho. ¿Cuál es el área de cada uno
de los terrenos que reciben sus hijos? Aproxima por
defecto los resultados a la milésima.
35. Los lados de un rectángulo miden 3 3 cm y 4 3 cm.
¿Cuánto mide su diagonal?
36. Las soluciones de diferentes compuestos pueden
clasificarse, según el valor del pH, en ácidas,
básicas o neutras. El pH de una sustancia se calcula
mediante la expresión pH = –log (H+), donde (H+)
es su concentración de protones.
• Si pH < 7 la solución es ácida.
• Si pH = 7 la solución es neutra.
• Si pH > 7 la solución es básica.
¿Cuáles deben ser las concentraciones de protones
para que una sustancia sea ácida, neutra y básica?
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47Unidad 1 • Números 47Unidad 1 • Números
3 41 2
Solucionario
Actividad complementaria Nº1
Raíces irracionales
1. a) 36 = 6 = 2•3
100 =10 = 2•5
144 =12= 2 •3
400 = 20 = 2 •5
2
2
Se puede observar que la descomposición prima de
la raíz tiene los mismos factores que la del número
original, pero los exponentes se han dividido por 2.
b) x =p q r2 3
. Para calcularlo, se divide por 2 cada
exponente de la descomposición prima de x. El
número obtenido es un número natural, ya que es
producto de números naturales.
c) No puede ser un número natural pues no todos
sus factores primos tienen exponentes pares.
2. La raíz de un número primo p no puede ser un
número natural, pues esto implicaría que tiene
factores distintos de 1 y de sí mismo. Por lo tanto,
si es racional debe ser de la forma p =
x
y
, con




x
y
=
x
y
=p
2 2
2
, x e y sin factores comunes entre sí.
Con ello, x2
= py2
• p está en la descomposición prima
de x2
, por lo tanto debe estar en la de x. Luego x = pq,
para algún valor q.
Luego,
x2
= p2
q2
= py2
→ pq2
= y2
Por lo tanto p está en la descomposición prima de y2
,
y debe estar en la de y también, lo que contradice la
suposición de que x e y no tienen factores comunes.
Aproximación de raíces enésimas
1. Con fórmula, 10 ≈ 2,1133
.
Con calculadora, 10 ≈ 2,1543
Con fórmula, 15 ≈ 2,3453
.
Con calculadora, 15 ≈ 2,4663
2. La fórmula es








n ≈
n+
n+ x
2x
2
n+ x
2x
4
4
3
4
4
3
3 .
Para 1204
se obtiene aproximadamente 3,025
Progresiones geométricas
1. a = a rn 1
n-1
2. a) n = 13
b) n =
log a –log a
logr
+ 1n 1
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Evaluación de la unidad (Pág. 42)
I. Preguntas de alternativas
Indicador Pregunta Clave
Analizar y resolver situaciones que
involucran números reales.
1 D
2 B
3 A
4 D
5 A
6 E
7 C
8 E
9 D
10 E
Realizar operaciones con raíces. 11 C
12 D
13 A
14 B
15 E
16 D
17 E
18 A
19 A
20 E
21 C
Aplicar propiedades de logaritmos. 22 B
23 C
24 D
25 D
26 C
27 E
28 A
29 B
30 C
31 C
32 A
33 D
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3 41 2
II. Preguntas de desarrollo
Problema 34 Problema 35 Problema 36
Correcta
Interpreta correctamente los valores y
los multiplica, reduce las expresiones
y finalmente las aproxima. Obtiene
6 6 ≈ 14,697 y3 10 ≈ 9,489.
Correcta
Interpreta correctamente los datos y
plantea correctamente la relación
( ) ( )d= 3 3 + 4 3
= 27 + 48
= 75
= 5 3
2 2
Correcta
Determina los valores pedidos, planteando
la ecuación e interpretándolos
pH = 7 = –log(H+) → 10–7
= H+
Luego, para concentraciones menores que
10–7
la solución es ácida, y para mayores
es básica.
Parcialmente correcta
Interpreta correctamente los datos pero
aproxima las raíces antes de multiplicar.
Plantea la relación correctamente,
pero reduce las raíces antes de elevar
al cuadrado, o al elevarlas lo hace
incorrectamente.
Plantea la ecuación pero no despeja H+,
o interpreta incorrectamente los valores
obtenidos.
Incorrecta
No interpreta correctamente los datos, o
multiplica en forma incorrecta.
Incorrecta
No plantea la relación indicada por el
teorema de Pitágoras.
Incorrecta
No logra interpretar correctamente la
información.
Banco de preguntas (Pág. 50)
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Clave B E C E C D D D D A D
12. 3
2
13. ( )log a–b
14. log
a
bc2
15. x = 2
16. 18,35 minutos aproximadamente
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Analizar y resolver situaciones que involucran nú-
meros reales
1. Analizar y resolver situaciones que involucran
números reales¿Cuál(es) de los siguientes números
es(son) irracional(es)?
I. 18 • 2
II. 2 5 + 3 5
III. 60
6 • 10
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. II y III
2. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A. La suma entre un racional y un irracional siempre
es irracional.
B. El producto de dos irracionales puede ser irracional.
C. El inverso aditivo de un irracional es irracional.
D. La suma de dos irracionales puede ser racional.
E. El producto de un racional por un irracional siem-
pre es irracional.
3. ¿A qué conjunto(s) numérico(s) pertenece el
número 0,2468101214161820...?
I. Racionales
II. Irracionales
III. Reales
A. Solo III
B. I y II
C. II y III
D. I y III
E. I, II y III
Realizar operaciones con raíces
reducir al máximo la expresión 4 5 + 45 – 20?
A. 4 30
B. –4 70
C. 9 5
D. – 5
E. 5 5
con a a23
?
A. a36
B. a35
C. a56
D. a a6
E. a
6. Sean n= 2
1
2
y m= 7. ¿Cuál de las siguientes
expresiones es equivalente con (n + m)(n – m)?
A. 2– 7
B. 2 72
C. 14
D. –5
E. 5
Bancode preguntas
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3 41 2
7. ¿Cuál es la solución de la ecuación 5x –3 = 3x +1?
A. –2
B. 0
C. 1
D. 2
E. 4
Aplicar propiedades de logaritmos
con log4
32 – log8
16?
A. –1
B. 1
2
C. 1
6
D. 7
6
E. 6
9. Se sabe que log2
(x + 2) =3. Entonces, ¿cuál de las
siguientes expresiones es equivalente con log x?
A. 1
B. log 5
C. log 7
D. 2log 2
E. log 2 + log 3
10. Se sabe que
1+ a
b
=1. Entonces, cuál de las siguientes
expresiones es equivalente con log (b – a)?
A. 0
B. 1
C. 10
D. log b
E. log 2b
11. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2 +log x
2log x
= 2 ?
A. 10
B. 100
C. 10
D. 1003
E. 23
12. Si a y b son números reales positivos, ¿cuál es el
valor de log a –log ba
2
b ?
13. Si (a > b > 0), determina una expresión equivalente
a log (a2
– b2
) – log (a + b).
14. Enuncia en un solo logaritmo la expresión
log a – log b – 2 log c.
15. Resuelve la ecuación log (3x – 2) – log (2x) = 0.
16. En un cultivo de bacterias, inicialmente había tres
y por cada minuto que transcurre se duplican.
¿Cuántos minutos hay que esperar para que haya
un millón de bacterias?
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Bibliografía
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• Stewart, I. (1998). De aquí al infinito. Madrid: Drakontos.
Sitios web
• Ejercicios de aproximaciones:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros7.htm
• Ejemplos de racionalización
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm
• Ejemplos y ejercicios de concepto y propiedades de los logaritmos
http://www.vitutor.com/al/log/log.html
http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5
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unidad
2
Propósito
Geometría
En esta unidad, los estudiantes conocerán la semejanza de figuras planas, retomarán el teorema
de Pitágoras y estudiarán los teoremas de Thales y Euclides. Además, aplicarán la semejanza en la
construcción de modelos a escala.
Por otro lado, identificarán los ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia y los
teoremas relacionados con ellos.
¿Qué sé?
•• Identificar y calcular ángulos en polígonos.
•• Calcular áreas y perímetros de figuras planas.
•• Aplicar criterios de congruencia de triángulos.
•• Resolver problemas utilizando propiedades de proporciones.
•• Aplicar el teorema de Pitágoras.
•• Identificar elementos de la circunferencia y sus propiedades.
¿Qué aprenderé?
•• Aplicar criterios de semejanza de triángulos en el análisis de figuras planas.
•• Identificar y construir trazos proporcionales.
•• Identificar y analizar propiedades de los modelos a escala.
•• Aplicar el teorema de Thales.
•• Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.
•• Demostrar el teorema de Pitágoras y su recíproco.
•• Verificar y aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.
¿Para qué?
•• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran segmentos proporcionales, figuras de
igual forma, segmentos y ángulos en la circunferencia.
Ruta de aprendizaje
53Unidad 2 • Geometría
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Marcocurricular
•• Ángulos en polígonos.
•• Área de polígonos.
•• Perímetro de polígonos.
•• Congruencia de figuras planas.
•• Criterios de congruencia.
•• Proporciones.
•• Teorema de Pitágoras.
•• Circunferencia.
•• Construir modelos a escala.
•• Resolver problemas, aplicando semejanza de
figuras planas.
•• Demostrar el teorema de Pitágoras.
•• Demostrar el teorema de Euclides.
•• Aplicar el teorema de Thales.
•• Aplicar el teorema que relaciona las medidas
de los ángulos del centro y de los ángulos
inscritos en una circunferencia.
Palabras clave
Semejanza, criterios de semejanza, proporcionalidad de trazos,
modelos a escala, teorema de Thales, teorema de Euclides,
ángulo del centro, ángulo inscrito.
Contenidos
•• Semejanza de figuras planas.
•• Criterios de semejanza de figuras planas.
•• Trazos proporcionales.
•• Propiedades invariantes en modelos a escala.
•• Teorema de Pitágoras.
•• Teorema de Thales.
•• Teorema de Euclides.
•• Ángulo del centro en la circunferencia.
•• Ángulo inscrito en una circunferencia.
Actitudes
•• Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad
al resolver problemas matemáticos.
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3 421
Sección 1: Semejanza de figuras planas
Comprender
conceptos,
propiedades,
identificar invariantes
y criterios asociados
al estudio de la
semejanza de
figuras planas y sus
aplicaciones a los
modelos a escala.
Exploración de diversas
situaciones que
involucran el concepto
de semejanza y su
relación con formas
presentes en el
entorno.
Comprender el
concepto de semejanza
de figuras planas.
Lección 13: Semejanza
y figuras a escala.
6 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 89.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 106 y 107.
2 horas.
Identificación y
utilización de criterios
de semejanza de
triángulos para
el análisis de la
semejanza en
diferentes figuras
planas.
Identificar los criterios
de semejanza de
triángulos.
Lección 14: Criterios
de semejanza de
triángulos.
4 horas.
Aplicación de la
noción de semejanza
a la demostración
de relaciones entre
segmentos en cuerdas
y secantes en una
circunferencia y a la
homotecia de figuras
planas.
Utilizar los criterios de
semejanza de triángulos
para el análisis de la
semejanza de figuras
planas.
Lección 15:
Homotecia y
semejanza.
4 horas.
Demostrar teoremas
relativos a la homotecia
de figuras planas.
Páginas finales
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Sección 2: Teoremas de semejanza
Comprender
conceptos,
propiedades,
identificar invariantes
y criterios asociados
al estudio de la
semejanza de
figuras planas y sus
aplicaciones a los
modelos a escala.
Aplicación del teorema
de Thales sobre
trazos proporcionales.
División interior
de un trazo en una
razón dada y uso
de un procesador
geométrico para
verificar relaciones en
casos particulares.
Comprender el
teorema de Thales
sobre trazos
proporcionales y
aplicarlo en el análisis
y la demostración de
teoremas relativos a
trazos.
Lección 16: Teorema
de Thales.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 109.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 130 y 131.
2 horas.
Resolver problemas
relativos a:
a. el teorema de
Thales sobre trazos
proporcionales
b. la división interior
de un trazo
c. teoremas de
Euclides relativos a
proporcionalidad
de trazos
Lección 17: División
de trazos.
2 horas.
Demostración de
los teoremas de
la proporcionalidad
de trazos en el
triángulo rectángulo;
demostración del
teorema de Pitágoras y
del teorema recíproco
de Pitágoras.
Demostrar los
teoremas de
proporcionalidad de
trazos.
de Euclides.
4 horas.
Demostrar el teorema
de Pitágoras y el
teorema recíproco de
Pitágoras.
de Pitágoras y
recíproco.
2 horas.
Páginas finales
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3 421
Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunsferencia
Identificar ángulos
inscritos y del centro
en una circunferencia,
y relacionar las
medidas de dichos
ángulos.
Identificación de
ángulos del centro y
ángulos inscritos en
una circunferencia;
demostración del
teorema que relaciona
la medida del ángulo
del centro con la
del correspondiente
ángulo inscrito.
Identificar ángulos
inscritos y del centro
en una circunferencia y
relacionar las medidas
de dichos ángulos.
Lección 20: Ángulo
inscrito y del centro en
una circunferencia.
6 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 133.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 146 y 147.
2 horas.
Aplicación de la
noción de semejanza
a la demostración
de relaciones entre
segmentos en cuerdas
y secantes en una
circunferencia y a la
homotecia de figuras
planas.
Demostrar relaciones
que se establecen
entre trazos
determinados por
cuerdas y secantes de
una circunferencia.
Lección 21: Cuerdas
y secantes en la
circunferencia.
4 horas.
Páginas finales
Páginas finales
Evaluación de la unidad. 156 - 159 2 horas
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Sección 1
Semejanza de figuras planas
De esto se trata
La semejanza de figuras planas está presente en la vida
cotidiana y, de manera especial, en las artes plásticas. Si bien
la reproducción de figuras en un cuadro depende mucho
del talento y la habilidad personal de los artistas, es claro
que hay elementos matemáticos presentes en las técnicas
utilizadas, aunque no se empleen de manera tan intencio-
nada o consciente.
Es importante estimular a los alumnos desde estos con-
textos cercanos que les permitan reflexionar, a medida que se
avance en la unidad y se vayan incorporando nuevos conteni-
dos, respecto de la forma en que realizan este tipo de tareas.
Para complementar este inicio de sección, muestre a
los estudiantes distintos dibujos, pinturas o fotografías que
incluyan elementos desproporcionados, tales como figuras
humanas, objetos de uso cotidiano, etc. De esta manera,
los estudiantes podrán introducirse de manera paulatina
en contenidos fundamentales de la unidad.
¿Qué debes saber?
Plantear razones y resolver ecuaciones
con proporciones
Plantee en forma oral algunos problemas que involucren
las ecuaciones planteadas, del tipo“para preparar tres tortas
necesitamos ocho huevos, ¿cuántos huevos se necesitan
para seis tortas?”Puede hacer énfasis en las cantidades para
que los estudiantes comprendan que, para el doble de tor-
tas, es natural que se necesite el doble de huevos. A partir
de ello, puede resultar más inmediato deducir y luego la
propiedad fundamental de las proporciones.
Calcular medidas de ángulos y segmentos
en polígonos
Realice con los estudiantes un cuadro resumen con las
características y propiedades de las figuras planas: triángu-
los, cuadriláteros —y en especial, paralelogramos—. Luego,
los estudiantes que hayan presentado mayores dificulta-
des pueden realizar nuevamente los ejercicios utilizando
el cuadro realizado.
Identificar y aplicar congruencia de figuras planas
Proponga a los estudiantes actividades que les permi-
tan deducir nuevamente los criterios de congruencia de
triángulos, juzgando qué elementos son necesarios para
determinar un único triángulo. Es crucial que se asegure del
dominio de estos criterios por parte de los estudiantes, dada
la estrecha relación entre ellos y los criterios de semejanza
que se abordarán en la sección.
13 Semejanza y figuras a escala
Págs. 90 a 95
Propósito
Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos
contextos.
Palabras clave
Semejanza, proporción, escala, forma, correspondencia,
razón, homólogo
Prerrequisitos
§§ Planteamiento y cálculo de proporciones en contextos
diversos.
§§ Identificación y caracterización de figuras planas.
§§ Cálculo de medidas de lados y ángulos de figuras pla-
nas, a partir de sus propiedades.
§§ Aplicación de criterios de congruencia de triángulos.
Como se ha mencionado para la sección ¿Qué debes saber?
puede activar las ideas previas de los estudiantes presen-
tando diferentes reproducciones de figuras, y analizando
junto a ellos sus similitudes y diferencias.
El uso de escalas puede haber sido abordado en otras asigna-
turas, en especial en ciencias sociales para la lectura de mapas.
Puedeserinteresanteparaellosanalizarelusodeltérmino“esca-
la”en otros ámbitos, por ejemplo las escalas de notas, el diseño
de un programa“a escala humana”, etc. Posteriormente, podrán
comparar estos usos con el que se le dará en esta lección.
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3 421
La lección presenta la actividad de construcción de la ban-
dera de Nepal, que presenta una forma distinta a otras ban-
deras del mundo. Esto permite un análisis más interesante
de las diferentes formas y dimensiones que pueden tomar
las figuras. Inste a los estudiantes a que realicen la actividad
y puedan comparar sus resultados para experimentar, con
material concreto, las diferencias que se pueden producir.
Así, los estudiantes pueden comprobar que no basta utilizar
triángulos rectángulos en la construcción, sino que estos
deben cumplir condiciones determinadas relativas a las
medidas de sus lados y sus ángulos.
Recalque que la escritura de la semejanza de dos figuras
considerando el orden de los vértices permite referirse con
mayor comodidad a los elementos de las figuras, pero en sí
mismo no define la relación de semejanza. Es decir, que dos
figuras sean semejantes no depende del orden en que se
escriban sus vértices, sino que se trata de una convención
que facilita las tareas.
Puede profundizar en el análisis de las relaciones entre las
figuras planas explicando los conceptos de equivalencia,
semejanza y congruencia, a saber:
• dos figuras son equivalentes si sus áreas son iguales,
sin importar su forma ni si se trata del mismo tipo de
figuras. Así, se puede determinar el cuadrado cuya
área es igual a la de un triángulo dado (lo que llama-
mos“cuadrar”el triángulo), y se obtiene un cuadrado
equivalente al triángulo.
• dos figuras son semejantes si sus“formas”son iguales.
En el caso de los polígonos, esto se refleja en que sus
lados son proporcionales y sus ángulos son congruen-
tes. Es importante destacar que no solo los polígonos
pueden ser semejantes, sino también figuras formadas
por líneas curvas, como las circunferencias.
• dos figuras son congruentes si son, simultáneamente,
equivalentes y semejantes.
Las precisiones anteriores permiten aclarar uno de los erro-
res frecuentes detallados a continuación.
Dado que no se abordan en forma conjunta los conceptos de
congruencia y semejanza, puede ocurrir que los estudiantes
no los integren de manera adecuada, y piensen que si dos
figuras son congruentes no pueden ser semejantes. Es impor-
tante que refuerce la idea de que dos figuras congruentes son
semejantes con razón de semejanza igual a 1.
En ocasiones resulta confuso para los estudiantes determinar
la razón de semejanza entre dos figuras ya que, en rigor, puede
hablarse de dos razones dependiendo de cuál de las figuras
se considera primero. Así, por ejemplo, si una figura A está en
razón 2 : 1 con otra figura B, la figura B está en razón 1 : 2 con
la A. Es importante que, en cada caso precise el orden que se
utilizará para calcular la razón, y acuerde con sus estudiantes
la forma de hacerlo.
Errores frecuentes
Puede pedir a los estudiantes que, utilizando solo una huin-
cha de medir (de no más de un metro y medio), una vara
y la colaboración entre ellos, midan la altura del techo del
colegio (sin subir), o del hasta de una bandera, etc. Para
aprovechar adecuadamente esta actividad, es necesario
que luego presenten su estrategia y puedan discutirla con
sus compañeros.
14
Criterios de semejanza
de triángulos
Págs. 96 a 99
Propósito
Comprender y aplicar los criterios de semejanza de trián-
gulos.
Palabras clave
Criterio, semejanza, correspondencia, homólogo, razón,
demostración
Prerrequisitos
§§ Concepto de semejanza de figuras planas.
§§ Aplicación de criterios de congruencia de triángulos.
§§ Aplicación del teorema de los ángulos interiores de un
triángulo (la suma de sus medidas es 180°).
§§ Aplicación de propiedades de proporciones.
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La referencia más directa para los estudiantes para esta
lección son los criterios de congruencia de triángulos. Es
importante que los manejen con soltura y sean capaces de
identificarlos y aplicarlos. Además, conviene recordar con
ellos que un triángulo es el polígono más pequeño (de me-
nos lados) que se puede construir, y todo polígono puede
descomponerse en triángulos trazando sus diagonales.
Propicie las condiciones para que los estudiantes deduz-
can los criterios, por medio de las actividades sugeridas.
Es importante darles la posibilidad de analizar por qué no
son necesarios todos los elementos, y a partir de ellos ser
capaces de deducir cuáles sí lo son, para que de esta manera
los conceptos se fijen de manera más sólida.
Además, relacione permanentemente los criterios de con-
gruencia y los de semejanza, señalando sus similitudes y
diferencias.
Es posible que los estudiantes, al relacionar los criterios de
semejanza y los de congruencia, terminen por confundirlos y
utilizarlos de manera indistinta. La deducción de los criterios
de semejanza puede hacer que la integración y diferenciación
de los mismos se realice de manera adecuada, pero debe estar
atento a que este tipo de errores no se produzca.
Es preciso aclarar a los estudiantes, además, que los criterios de
semejanza de triángulos no son extrapolables en forma directa
a otro tipo de figuras. Por ejemplo, es fácil verificar que dos
cuadriláteros cuyos lados son congruentes entre sí pueden ser
uno un cuadrado y otro un rombo, por lo que no son seme-
jantes y no cabe hablar de criterio“lado – lado – lado – lado."
Errores frecuentes
a) Para realizar dos construcciones que están separadas
por 25 m, se instalan dos pilares de manera perpen-
dicular al suelo. La altura de uno de ellos es de 3,5 m,
mientras que la del otro es de 7 m. Si en cada uno de
sus extremos se ata una lienza, las que a su vez son
fijadas en el suelo en un punto común, y los ángulos
de inclinación de la lienza con los pilares son iguales,
¿cuáles son las distancias entre el punto en que la lien-
za fue fijada al piso y los pilares? Utiliza un dibujo si
es necesario.
Respuesta:
Verifica que los triángulos del problema son semejan-
tes, luego realiza correctamente los cálculos obtenien-
do las distancias en forma correcta, las cuales son:
25
3
m y
25
3
m.
BA
7 m
3,5m
b) Un criterio de congruencia —y de semejanza— que
muchas veces se omite es el lado – lado – ángulo (LLA),
que establece que dos triángulos son congruentes (o
semejantes) si poseen dos pares de lados respectiva-
mente congruentes (o proporcionales), y los respec-
tivos ángulos opuestos a los lados de mayor medida
son congruentes.
Puede abordar con los estudiantes este criterio
(primero como criterio de congruencia) mostrando
que, si se conocen las medidas de dos lados de un
triángulo y la medida del ángulo opuesto al menor de
ellos, en realidad es posible construir dos triángulos.
Es útil realizar esta actividad con un procesador
geométrico, que permita cambiar las medidas de los
lados y del ángulo para analizar lo que sucede.
15 Homotecia y semejanza
Págs. 100 a 103
Propósito
Analizar y construir homotecias.
Palabras clave
Semejanza, razón, factor, escala, paralelo, proporcional
Prerrequisitos
§§ Concepto de semejanza de figuras planas.
§§ Identificación y caracterización de ángulos entre rectas
paralelas.
Motive el análisis de la homotecia de las figuras planas uti-
lizando conceptos que los estudiantes puedan haber estu-
diado en la asignatura de física, respecto de lentes y espejos.
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3 421
La formación de una imagen a través de un lente es un
ejemplo de homotecia, ya que este genera una imagen
homotética a la original que puede ser una ampliación o
una reducción. Si se aleja el lente hasta superar la distancia
focal la imagen se invierte, lo que permite comprender el
concepto de homotecia inversa.
No es posible analizar detalladamente la construcción
de homotecias sin estudiar antes el teorema de Thales,
pero el uso de un procesador geométrico permite a los
estudiantes observar las regularidades que se presentan,
respecto de las relaciones entre las medidas de los seg-
mentos como el paralelismo entre los lados de la figura
original y la homotética.
Es recomendable que los estudiantes puedan realizar las
actividades sugeridas en forma individual o en parejas. Sin
embargo, si por falta de computadores disponibles esto no
fuera posible, puede realizar la actividad con la ayuda de
un proyector y estimular la participación de los estudian-
tes, procurando que en lo posible todos puedan modificar
las figuras, las razones de homotecia y los centros. No se
recomienda realizar trabajos en grupos muy numerosos,
para evitar la distracción de los estudiantes que quedan
sin actividad cuando otro utiliza el procesador.
Analice con los estudiantes la construcción de homotecias
en forma manual, es decir, con regla y compás. Esto en
principio no será fácil de hacer ya que los estudiantes aun
no conocen la división de trazos en una razón dada, pero
pueden realizar homotecias considerando razones corres-
pondientes a números enteros.
Un error muy frecuente en la construcción de homotecias es la
interpretación incorrecta de la razón a partir de las longitudes
de los segmentos que se determinan en ella. Por ejemplo, en
la homotecia que se presenta a continuación
A
O
A′
suele ocurrir que los estudiantes consideran que la razón
entre la figura original y la homotética corresponde a OA : AA’,
Errores frecuentes
cuando en realidad es OA : OA’. Para poder fundamentar a los
estudiantes la forma correcta de calcular la razón es preciso
utilizar el teorema de Thales, que se abordará en la siguiente
sección.
Es posible además que los estudiantes cometan errores al inter-
pretar una razón de homotecia negativa, ya sea considerando
que es errónea —por su estrecha relación con la razón de se-
mejanza, donde no parece natural un valor negativo— , o bien
que la consideren necesariamente como una reducción de la
figura original. Para esto, recuerde a los estudiantes que existen
muchos ámbitos en los que el uso de números negativos no
es signo de una menor magnitud, sino de una magnitud en
un sentido distinto a un punto o valor de referencia.
a) Para complementar el trabajo realizado en las páginas,
puede proponer a sus estudiantes que determinen el
centro y la razón de homotecia para cada una de las
siguientes figuras:
Una vez realizadas las actividades, revise con sus alum-
nos y alumnas los resultados obtenidos, de manera que
todos puedan verificar que lo realizado fue correcto.
b) Aprovechando el uso del procesador geométrico,
analice con los estudiantes la manera de determinar
las coordenadas de la figura que resulta al aplicar una
homotecia a un polígono cuyas coordenadas de los
vértices son conocidas. A partir de ello, los estudian-
tes podrán relacionar con lo aprendido en primer año
medio respecto de las transformaciones isométricas
en el plano cartesiano. Podrán verificar así que, al apli-
car una homotecia de razón k, la imagen del punto
(a, b) es (ka, kb).
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Página 104
Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar
activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede
solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema
planteado sin mirar la resolución propuesta, luego discutan
en grupos, analicen la forma planteada en el libro y realicen
Para el problema propuesto en esta sección, se recomienda
especialmente que explicite que la semejanza de figuras
planas es utilizada en diversas disciplinas como la topogra-
fía, la agrimensura y, en general, cada vez que es necesario
realizar mediciones de objetos grandes, largas distancias o
longitudes que atraviesen lugares inaccesibles.
Página 105
y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
El primero de los errores planteados es común cuando los es-
tudiantes intentan resolver los problemas rápidamente, inten-
tando evitar pasos o realizar un análisis detenido. La segunda
situación ha sido abordada en la lección correspondiente, por
lo que se espera que los estudiantes ya estarán prevenidos.
Págs. 106 y 107
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Identificar y
caracterizar
polígonos
semejantes en
diversos contextos.
1, 2 y 3 Las dificultades en estas preguntas pueden corresponder a errores tanto en la medición
(pregunta 1) como en la comprensión del concepto de semejanza. Se recomienda
que los estudiantes que presenten estas dificultades describan paso a paso sus
procedimientos para que así pueda detectar cuáles son los errores específicos que
están cometiendo.
Comprender y
aplicar los criterios
de semejanza de
triángulos.
4, 5 y 6 Las dificultades en estas preguntas pueden deberse tanto a falencias en los contenidos
previos como en la aplicación de los criterios de semejanza estudiados en la lección 14.
Para lo primero, se recomienda que los estudiantes realicen nuevamente la evaluación
inicial ¿Qué debes saber? y realicen un cuadro resumen. Lo mismo se recomienda
respecto de los criterios de semejanza; en este caso se recomienda que además de
resumirlos, los ejemplifiquen. Con estas herramientas pueden realizar nuevamente los
ejercicios de la lección y, cuando consideren que ya están suficientemente preparados,
vuelvan a los ejercicios de esta evaluación.
Analizar y construir
homotecias.
7 y 8 Las dificultades en estas preguntas pueden deberse a no haber comprendido
correctamente la relación de homotecia entre dos figuras, especialmente respecto de
la razón de homotecia. Se sugiere que los estudiantes que hayan obtenido un mejor
rendimiento puedan acompañar como tutores a quienes presentan problemas, explicando
los métodos que utilizan para asociar y recordar correctamente estas relaciones.
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3 421
Sección 2
Teoremas de semejanza
De esto se trata
Cuando observamos rectas paralelas en nuestro entor-
no, es fácil comprobar que parecen concurrir en un punto,
pese a que sabemos que esto en realidad no ocurre. Basta
mirar a lo lejos en una calle para apreciar cómo las aceras
aparentemente se juntan, pese a que si avanzamos por la
calle podemos confirmar que mantienen su separación.
Lo que ocurre con las aceras es que, en realidad, cuando
miramos a gran distancia las cosas nos parecen de menor
tamaño, manteniendo sus proporciones. Esta información
es interpretada por nuestro cerebro y luego es transferida
a otras situaciones, provocando ilusiones ópticas como las
que se presentan. Observándolas, los estudiantes podrán
constatar que el teorema de Thales —que se analizará en
esta sección— está muy presente en nuestra vida cotidiana.
¿Qué debes saber?
Identificar y calcular ángulos entre paralelas
cortadas por una transversal
Para este indicador, se sugiere analizar las rectas con los
estudiantes y utilizar su intuición para identificar los ángulos
congruentes que se forman. Para ello, puede apoyarse en
relaciones de paralelismo que se dan en la misma sala de
clase (el piso y el techo, líneas de baldosas en el piso, etc).
Respecto de los nombres de estos ángulos, es convenien-
te resaltar que las dos rectas paralelas definen un espacio
“interior”y otro“exterior”, mientras que es natural que los
ángulos ubicados a distintos lados de la transversal se de-
nominen“alternos”.
Aplicar el teorema de Pitágoras
Para este indicador, se sugiere recordar especialmente
que la suma de los cuadrados de las medidas los catetos
no es igual al cuadrado de la suma de ellas. Es importante
también que los estudiantes identifiquen correctamente
los catetos y la hipotenusa, asociando esta última al lado
de mayor medida.
Aplicar propiedades de proporciones
Invite a los estudiantes a justificar las propiedades apli-
cadas, que ya deben haber sido estudiadas en años ante-
riores. Se sugiere recalcar la necesidad de ser cuidadosos y
ordenados al aplicarlas, para no cometer errores producto
de distracciones
16 Teorema de Thales
Págs. 110 a 115
Propósito
Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos
proporcionales.
Palabras clave
Proporcionalidad, paralelas, transversal, recíproco, corres-
pondiente
Prerrequisitos
§§ Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos.
§§ Identificación y caracterización de las propiedades de
las rectas paralelas.
Es fácil observar, en la vida cotidiana, situaciones en que
tres o más líneas o superficies paralelas son cortadas por
una transversal: las repisas de un mueble, los escalones de
una escalera, cables de electricidad, etc. Podrá incluso en-
contrar material audiovisual en internet (por ejemplo, en
http://catedu.es/matematicas_mundo/FOTOGRAFIAS/
fotografia.htm) al respecto.
Puede comenzar esta lección haciendo una analogía con la
situación planteada de la montaña, pensando en escaleras
que llegan a un mismo piso, pero con escalones de distintos
tamaños. Así, una de las escaleras tendrá menos peldaños
que la otra, pero si subimos la mitad de ellos, por ejemplo,
es lógico que nos encontraremos a la misma altura.
Luego plantee a sus estudiantes la siguiente actividad:
La figura muestra un trapecio en el cual se ha trazado una
recta paralela a la base de tal forma que divide al segmen-
to AB y al segmento DC en la razón 2 : 3. ¿Cómo podrías
calcular la longitud de EF?
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B
A
C
D
F
6cm
14 cm
5cm5cm
Dé tiempo para que los estudiantes exploren y establezcan
sus propias conjeturas y estrategias para resolver el proble-
ma. Si en el desarrollo de la actividad no surge de manera
natural el teorema de Thales, puede pedirles (a modo de
devolución) que prolonguen los lados del trapecio y apli-
quen semejanza de triángulos para resolver el problema.
El estudio del teorema de Thales permite desarrollar inte-
resantes aspectos matemáticos. Si bien en la lección no se
aborda la demostración del teorema (que se presenta en
la sección Para profundizar, al final de la unidad), se puede
hacer énfasis en los siguientes puntos:
La formulación de un teorema puede presentar casos par-
ticulares, que deben ser consistentes con el caso general.
Para el teorema de Thales, se plantean tres rectas paralelas
que son cortadas por dos transversales. Los casos particu-
lares, aunque se vean distintos, en rigor son situaciones
producidas por la posición relativa entre las rectas paralelas,
es decir, siempre puede decirse que en el teorema de Tha-
les hay tres rectas paralelas involucradas, pero en los casos
particulares una de ellas pasa por el punto de intersección
de las transversales, como se muestra:
Es interesante abordar con los estudiantes el concepto de
recíproco, y de manera más general, analizar que dada una
proposición condicional (“si a entonces b”) existe asociada
a ella su recíproco y su contra recíproco:
Recíproco: si b, entonces a.
Contrarrecíproco: si no b, entonces no a.
Es interesante que los alumnos puedan constatar que el
contrarrecíproco es equivalente a la proposición original,
mientras que el recíproco no lo es y, más aun, no necesa-
riamente tiene el mismo valor de verdad.
Conviene considerar que, en rigor, es el teorema de Thales
el que fundamenta los criterios de semejanza y no estos
los que permiten demostrar aquél. Si bien a los estudiantes
se les puede solicitar que verifiquen el teorema de Thales
utilizando semejanza, conviene aclararles este punto para
que en el futuro no incurran en errores conceptuales.
Es común que los estudiantes confundan las rectas paralelas o
asuman que siempre se presentan horizontalmente. Presente
a los estudiantes situaciones diversas en las que se deba iden-
tificar las rectas paralelas involucradas y los segmentos que
determinan sobre las transversales. Además, es importante
recalcar que no deben asumir el paralelismo de dos o más
rectas en un problema si no está declarado en forma explícita
en el enunciado de este.
Errores frecuentes
a) Dos edificios se encuentran separados por una distan-
cia de 25 m, en forma perpendicular al suelo, el edificio
de menor tamaño tiene 28 m de altura. Si una persona
a 14 metros de distancia observa el edificio de menor
tamaño y detrás de este al otro edificio, ¿cuál es la altu-
ra del edificio de mayor tamaño?
Respuesta:

28 m
25 m 14 m
x m
Realiza un acertado dibujo de la situación, utilizando
correctamente los datos entregados.
Infiere que los edificios se encuentran en posición pa-
ralela, aplica el teorema de Thales y calcula la altura del
edificio, que es 78 m.
b) Como se mencionó, al final de la unidad se encuen-
tra la demostración formal de teorema de Thales, que
puede ser analizada en este momento. Si parece muy
compleja de seguir formalmente, puede apoyarse en
recursos visuales que puede encontrar en internet, ya
que la complejidad viene dada más por la escritura de
los pasos que por la demostración en sí misma.
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3 421
17 División de trazos
Págs. 116 a 119
Propósito
Dividir trazos en una razón dada.
Palabras clave
División, razón, segmento
Prerrequisitos
§§ Aplicación del teorema de Thales para el cálculo de
medidas de segmentos.
En la lección se plantea la situación de un carpintero que
debe dividir una viga para instalar escalones, y necesita reali-
zarlo en forma exacta. Conviene relacionar con lo estudiado
en la unidad 1 respecto de la ubicación de raíces en la recta
numérica para volver a la discusión sobre la exactitud de los
cálculos y procedimientos en matemática, especialmente
cuando tienen aplicaciones en la vida cotidiana.
Destine un tiempo de la clase a que los estudiantes se fa-
miliaricen con el uso de la regla y el compás, y supervise el
correcto uso de estos instrumentos.
Es posible que los estudiantes confundan los conceptos de
razón y de fracción, y por lo mismo realicen cálculos equi-
vocados de la razón de división de un segmento. Conviene
aclararles este punto estableciendo claramente que fracción
corresponde a una comparación entre un número (parte) y lo
que consideramos como el todo, mientras que razón corres-
ponde siempre a una comparación entre partes.
Errores frecuentes
La división en media y extrema razón o división áurea
Analice con los estudiantes la relación áurea o divina, que
corresponde al número de oro φ (phi). Se le llama también
“división en media y extrema razón”, dado que en un trazo
AB, si el punto C lo divide en razón áurea se cumple que
AC
CB
=
AB
AC
=
1+ 5
2
= φ
La definición del número phi está dada a partir de la media
y extrema razón, pero para calcular este valor es necesario
utilizar la ecuación de segundo grado. De todos modos, co-
nocido el valor puede pedir a los estudiantes que investiguen
maneras de dividir un trazo en razón áurea utilizando regla
y compás, y sus principales usos en obras de arte y cons-
trucciones clásicas, además de su presencia en la naturaleza.
División de segmentos en el plano cartesiano
La división de segmentos en el plano cartesiano puede anali-
zarse junto a los estudiantes, empleando el teorema deThales.
Para ello, se considera un segmento cuyos extremos son los
puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). El problema consiste en determinar
las coordenadas (x, y) del punto C que lo divide en razón p : q.
A(x1, y1)
C(x, y)
B(x2, y2)
Para determinarlas, se trazan rectas horizontales por los
puntos A y C, y una recta vertical por el punto B, que de-
terminan los puntos D y E.
A(x1, y1)
C(x, y)
B(x2, y2)
D(x2, y)
E(x2, y1)
Se puede observar que:
ED = y – y1 DB = y2 – y
Ya que las rectas AE y CD son paralelas, por teorema de
Thales se tiene que:
AC
CB
=
ED
DB
=
p
q
Por lo tanto:
ED
DB
=
y – y
y – y
=
p
q
q y – y =p y – y
qy –qy =py –py
y p + q =py + qy
y =
py + qy
p + q
1
2
1 2
1 2
2 1
2 1
( ) ( )
( )
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De manera análoga, trazando una recta vertical por el punto
C, se puede deducir que
x =
px + qx
p + q
2 1
Por lo tanto, las coordenadas del punto C son
px + qx
p + q
,
py + qy
p + q
2 1 2 1




18 Teorema de Euclides
Págs. 120 a 123
Propósito
Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a
proporcionalidad de trazos.
Palabras clave
Teorema, semejanza, proyección, altura, segmentos, hipo-
tenusa, catetos, triángulo rectángulo
Prerrequisitos
§§ Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos.
§§ Identificación de triángulos semejantes y sus elemen-
tos correspondientes.
Conviene recordar con los estudiantes qué es un triángulo
rectángulo, y sus principales características. Deben ser ca-
paces de observar y/o deducir que la hipotenusa siempre es
el lado de mayor medida, que los ángulos agudos siempre
son complementarios y que los catetos también son alturas
del triángulo. Además, y como parte de la nomenclatura de
cualquier tipo de triángulos, sus lados se nombran utilizando
la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto.
La deducción de este teorema es relativamente sencilla
y brinda resultados interesantes que permiten una gran
cantidad de aplicaciones.
Presente a los estudiantes distintas formulaciones de este
teorema, con triángulos rectángulos en distintos vértices, de
manera que no siempre los catetos sean a y b sino también
a y c, y b y c. Se pueden modificar también los nombres de
las proyecciones sobre la hipotenusa, de manera que los
estudiantes puedan identificar los elementos y plantear las
relaciones no solo de memoria, sino que analizando en cada
caso las figuras y los valores dados. No se debe perder de
vista que en matemática, si bien suelen reservarse algunos
nombres, esto es solo una convención, y lo importante es
la relación que muestra el teorema más que los símbolos
utilizados para describir los elementos involucrados.
Como se mencionó, es posible que los estudiantes piensen erró-
neamente que las relaciones dadas por el teorema de Euclides
siempre corresponden a los elementos dados por las letras a,
b, c, p y q, sin analizar que dichas letras están cumpliendo un
papel, en tanto c es la hipotenusa del triángulo.
Errores frecuentes
19 Teorema de Pitágoras y recíproco
Págs. 124 a 127
Propósito
Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.
Palabras clave
Teorema, recíproco, hipotenusa, catetos, triángulo rec-
tángulo
Prerrequisitos
§§ Comprensión y aplicación del teorema de Euclides.
El teorema de Pitágoras es conocido por los estudiantes
desde cursos anteriores, por lo que su uso es ya habitual
para ellos.
Lo que es menos conocido es su recíproco, que se de-
muestra en esta lección. Sin embargo, esto era utilizado
por los egipcios hace miles de años para construir ángu-
los rectos. Para esto, utilizaban una cuerda con 12 nudos
equidistantes, con la que se forma un triángulo con lados
de 3, 4 y 5 nudos. Al tensar la cuerda, los lados más cortos
forman un ángulo recto. Esta técnica, utilizada en cons-
trucción y división de terrenos, aun está vigente y permite
presentar a los estudiantes un contexto interesante para
abordar este tema.
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3 421
Existen distintas formas de demostrar el teorema de Pitá-
goras; en el texto se presenta una, pero puede investigar
en Internet y observar otras que le puedan parecer más
adecuadas para sus estudiantes.
Puede ser difícil para los estudiantes pensar en demostrar
el teorema de Pitágoras considerando que siempre les ha
sido presentado como un resultado dado, por lo que en la
demostración del mismo puede que tiendan a utilizar pre-
cisamente lo que quieren demostrar. La demostración de
este teorema —y su recíproco— da una buena oportunidad
para formar en los estudiantes el pensamiento matemático
distinguiendo hipótesis y tesis.
De la misma manera en que el uso de las letras habituales
puede prestarse para confusiones y errores, en el caso del
teorema de Pitágoras la formulación usual de a2
+ b2
= c2
es,
en ocasiones, mecanizada por los estudiantes que la aplican
sin reparar en que esta es correcta solo si la hipotenusa es c.
Plantee a los estudiantes distintas situaciones con diferentes
nombres para los vértices y los lados, y de esta manera propicie
la comprensión correcta del teorema.
Errores frecuentes
Página 128
Las estrategias de resolución de problemas no se limitan
solo a una serie de pasos estandarizados que luego son me-
canizados por los estudiantes —lo que es, esencialmente,
todo lo contrario a un problema—, sino que deben pre-
sentar a los estudiantes nuevas situaciones, desafiantes y
novedosas. Se busca en esta sección que los estudiantes
puedan aplicar el teorema de Thales en el plegado de una
hoja, procedimiento muy ligado a las artes plásticas a través
del origami o papiroflexia. Estimule de manera especial a los
estudiantes en la realización de esta actividad, que puede
resultar de gran interés para ellos.
Página 129
y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
En los casos presentados en esta sección, los errores co-
metidos ya han sido abordados en las sugerencias corres-
pondientes a las respectivas lecciones, pero es interesante
observar si los estudiantes incurren en ellos (o los mantie-
nen). Esto podría revelar apresuramiento en la resolución o
un deseo de resolver las cosas sin analizar detalladamente,
lo que puede constituir una práctica habitual en ellos a la
que debe estar atento para corregir.
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Págs. 130 y 131
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Comprender y aplicar el
teorema de Thales sobre
1, 2 y 3 Los errores más frecuentes en la aplicación del teorema de Thales
tienen que ver con la incorrecta identificación de los segmentos
proporcionales, en ocasiones confundiendo los casos. Los estudiantes
que han obtenido mejores resultados puedan ayudar a los que
presentan dificultades, para transmitirles de manera más cercana las
estrategias que utilizan para evitar errores.
Dividir trazos en una razón
dada.
4 y 5 Verifique si los errores cometidos corresponden a la interpretación
incorrecta de la razón de división de un segmento, o bien se deben a
errores de procedimiento tanto geométrico como aritmético (en los
cálculos de la pregunta 5). Para los errores conceptuales, se recomienda
que los estudiantes puedan repasar y resolver nuevamente los ejercicios
de la lección. En el caso de los errores procedimentales, se sugiere que
el estudiante analice y detecte sus errores, los explique y luego realice
nuevamente las actividades.
Demostrar y aplicar los
teoremas de Euclides relativos
a proporcionalidad de trazos.
6, 7 y 8 Los errores más típicos en la aplicación de los teoremas de Euclides
y Pitágoras tienen que ver con una incorrecta identificación de los
segmentos involucrados. Se sugiere que el estudiante se enfrente a
ejercicios de este tipo en los que los elementos estén nombrados de
distintas maneras, y el estudiante describa los pasos que sigue en su
resolución, partiendo por la identificación de los datos y de lo que se
quiere averiguar.
Demostrar y aplicar el teorema
de Pitágoras y su recíproco.
9, 10 y 11
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3 421
Sección 3
Ángulos y segmentos en
la circunferencia
De esto se trata
El estudio de la circunferencia ofrece interesantes po-
sibilidades de análisis y aplicaciones en diversos ámbitos,
como se muestra en el inicio de esta sección respecto de la
formación del arcoíris. Los diversos tipos de ángulos que se
forman cuando un rayo de luz ingresa a una gota de agua
(y por extensión, el comportamiento de la luz con diversos
tipos de lentes) pueden ser analizados y conectados con la
asignatura de física, dando a los estudiantes una interesante
oportunidad de integrar sus conocimientos.
¿Qué debes saber?
Identificar los elementos lineales
de la circunferencia
Solicite a los estudiantes que expliquen las similitudes y
diferencias entre los respectivos elementos. Para ello, les puede
plantear preguntas del tipo:
• ¿Cuál es la diferencia entre un arco y una cuerda?
• ¿En qué se parecen una secante y una tangente? ¿En
qué se diferencian?
• ¿Cuál es la diferencia entre una cuerda y una secante?
Calcular ángulos en triángulos
Solicite a los estudiantes justificar los resultados obte-
nidos, para verificar que aplican correctamente las propie-
dades de las figuras que se presentan. Es importante que
los estudiantes sean capaces de elaborar razonamientos
del tipo“dos lados del triángulo son radios de una circunfe-
rencia, por lo que sus medidas necesariamente son iguales.
Entonces, se trata de un triángulo isósceles y sus ángulos
basales tienen igual medida”. Esto es crucial, ya que en la
sección deberán realizar demostraciones, que requieren
fundamentar adecuadamente cada paso.
20
Ángulo inscrito y del centro
en una circunferencia
Págs. 134 a 139
Propósito
Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro
en una circunferencia.
Palabras clave
Ángulo, arco, centro, circunferencia, medida, grado
Prerrequisitos
§§ Identificación de elementos de la circunferencia y sus
propiedades.
§§ Cálculo de ángulos en triángulos.
§§ Identificación y medición de ángulos.
Analice junto a los estudiantes la forma en que se miden los
ángulos, y por qué no se utilizan medidas lineales para ello.
Ya que en las lecciones anteriores han discutido acerca de
la semejanza entre las circunferencias, es posible mostrarles
que utilizar una circunferencia para medir los ángulos garan-
tiza que, sin importar las medidas de los lados del ángulo,
siempre se obtiene la misma medida angular.
Los estudiantes han analizado demostraciones de teoremas
y propiedades relacionadas con la congruencia de triángu-
los en primer año de Enseñanza Media, por lo que se sugiere
repasar con ellos lo que se entiende por demostración en
matemática, como secuencia de argumentos conectados
lógicamente que permiten llegar a una conclusión (tesis) a
partir de la información que se tiene (hipótesis).
La demostración del teorema del ángulo inscrito requiere,
además, analizar la existencia de múltiples casos que con-
forman, en conjunto, el enunciado general. Enfatice este as-
pecto, ya que en ocasiones una de las labores más complejas
en la disciplina es identificar adecuadamente los casos que
componen una situación determinada. No hacerlo puede
inducir a pensar, erróneamente, que un teorema está de-
mostrado cuando en realidad solo se ha confirmado con
un caso particular.
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Pese a que no forma parte de los contenidos mínimos,
puede abordar la deducción de los teoremas del ángu-
lo semiinscrito, del ángulo exterior y del ángulo interior,
puesto que se desprenden directamente del teorema del
ángulo interior y los estudiantes ya cuentan con todas las
herramientas para demostrarlos.
Puede ocurrir que los estudiantes se confundan con la idea
de que si dos ángulos subtienden un mismo arco entonces
tienen la misma medida, y consideren que, por ejemplo, los
ángulos α y β de la figura son congruentes:
α
β
En este sentido, es importante que enfatice en la necesidad
de identificar el tipo de ángulo que se está analizando, y a
partir de ello aplicar las relaciones entre su medida y el o los
arcos que subtiende.
Errores frecuentes
Analice junto a los estudiantes la demostración de que la
tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que
se interseca con ella en el punto de tangencia. Para hacerlo,
se puede proceder por reducción al absurdo o proceder de
manera más intuitiva analizando la siguiente figura:
α
A
B
B'
B''
O
A partir de ella, considerando que la recta trazada es tan-
gente a la circunferencia en el punto A, puede observar con
los estudiantes que, para un ángulo α, el triángulo AOB es
isósceles, y por ende sus ángulos basales son congruentes.
Luego, se puede apreciar que si la medida de α disminuye
cada vez más, estos ángulos basales se aproximan cada
vez más a un ángulo recto, hasta serlo en el caso que los
puntos A y B coinciden.
21
Cuerdas y secantes en la
circunferencia
Págs. 140 a 143
Propósito
Determinar relaciones entre trazos y secantes de una
circunferencia.
Palabras clave
Circunferencia, segmento, recta, cuerda, tangente, secante,
proporción
Prerrequisitos
§§ Identificación y relación entre ángulos inscritos y del
centro en una circunferencia.
§§ Aplicación de criterios de semejanza de triángulos.
§§ Relación entre medidas de elementos de triángulos
semejantes.
En esta sección se aplican muchos de los contenidos que
se han estudiado en las secciones anteriores, por lo que es
fundamental verificar que los estudiantes los recuerden y
sean capaces de aplicarlos adecuadamente.
Como se mencionó, la deducción de los teoremas de las
cuerdas y de las secantes permite aplicar los contenidos
estudiados en toda la unidad, por lo que conviene explicitar
estas relaciones al revisar las deducciones con los estudian-
tes. Esto les permitirá repasar los contenidos abordados y
constatar las relaciones entre ellos, lo que es de gran im-
portancia en la construcción y desarrollo del pensamiento
matemático.
Es esencial que los estudiantes sean capaces de decir, por
ejemplo, que“el producto de las medidas de los segmentos
que se generan al cortarse dos cuerdas es igual para cada
una de las cuerdas”. El objetivo de esto es que el estudiante
tome consciencia de lo que está realizando, lo que permite
evitar confusiones posteriores.
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3 421
Como ha sido en toda la unidad, muchos errores cometidos por
los estudiantes pueden deberse a una incorrecta identificación
de los elementos relacionados, y por ello se los utiliza en forma
errónea. Para evitar esto, plantee a los estudiantes problemas
diversos en que se den los datos y/o se pregunte por la medida
de distintos elementos (cuerdas, segmentos, secantes, etc.),
verificando que los estudiantes analicen cada situación antes
de aplicar los teoremas vistos y las reglas de cálculo asociadas.
Errores frecuentes
En una circunferencia, la cuerda MP se prolonga más allá
de P, hasta intersectar un segmento tangente TA, en
el punto A. Sabiendo que T es el punto de tangencia,
PA = 4 cm y TA = 8 cm, ¿cuál es la longitud de MP? Realiza
un dibujo si es necesario.
Respuesta:
A
T
P
M
O
Utiliza la relación AT AM PA
2
( ) = ⋅ , reemplazando con los
datos dados y obteniendo como resultado MP = 12 cm.
Página 144
puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver
el problema planteado sin mirar la resolución propuesta,
para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada
en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla
o perfeccionarla.
La actividad presentada en esta sección permite integrar
contenidos de la sección 2 (el teorema de Euclides) y la
ubicación de raíces en la recta numérica, estudiada en la
Unidad 1. Enfatice que en matemática los conocimientos
no se encuentran aislados, y que en ocasiones un cambio
en el enfoque acostumbrado para la resolución de un pro-
blema puede darnos soluciones igualmente correctas, pero
en menos pasos.
Página 145
detectarlos y corregirlos. Estimule a los estudiantes a analizar
sus procedimientos constantemente y desarrollar la capaci-
dad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.
Los errores planteados en esta sección apuntan tanto al
uso incorrecto de las propiedades por haberlas aprendido
mal (Ej.: asignar la misma medida al ángulo del centro y al
inscrito) como a una asignación errónea de los segmentos
involucrados en el teorema de las secantes. Para ambos
casos, verifique si los estudiantes que cometen estos errores
resuelven los ejercicios con el orden necesario y verifican,
paso a paso, si sus procedimientos son correctos. Los errores
en este tipo de ejercicios suelen suceder por apresuramien-
to en la determinación del resultado, que una ejercitación
consciente y reiterada debiera ser capaz de corregir.
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Págs. 146 y 147
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Identificar y relacionar los ángulos
inscritos y del centro en una
circunferencia.
1, 2 y 3 Los errores más frecuentes para estos indicadores tienen relación con
la incorrecta identificación de los elementos involucrados (ángulos y
segmentos) en cada caso, y de las relaciones que se establecen entre
ellos. Permita a los estudiantes que han presentado dificultades que
elaboren cuadros resumen que apoyen la resolución de ejercicios. Se
sugiere, además, preguntar permanentemente a los estudiantes:
¿Qué ángulos hay en la figura?
¿De qué tipo son?
¿Qué datos tenemos?
¿Cómo se relacionan estos datos?
Refuerce la necesidad de referirse a los elementos involucrados en
forma correcta, utilizando la nomenclatura adecuada.
Determinar relaciones entre trazos y
secantes de una circunferencia.
4, 5 y 6
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3 421
Diariomural
Págs. 148 y 149
En estas páginas se pretende mostrar un tema relacionado
con la unidad de manera amena y original, considerando
aspectos sociales, artísticos o históricos de la disciplina.
La observación de los astros por motivos religiosos, la me-
dición del tiempo para determinar las estaciones y una
simple admiración por la naturaleza fue el motor para mu-
chas construcciones formidables de la Antigüedad. En este
sentido, Stonehenge es un testimonio de la búsqueda de
los seres humanos por conocer y ampliar su mirada del
mundo que los rodea.
En ocasiones, el desarrollo de las ciencias por parte de las
civilizaciones antiguas es sobredimensionado o mal inter-
pretado. Por esta razón, conviene aclarar a los estudiantes
que muchas de las teorías que se elaboran respecto de
ello son tentativas y difícilmente comprobables. Puede ser
interesante complementar el análisis de la infografía con la
asignatura de ciencias sociales, lo que permitirá enriquecer
la cultura de los estudiantes.
Parasintetizar
Págs. 150 y 151
de la disciplina.
Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la ela-
en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan
adquiridos en ella. Si es posible, resultaría muy interesante
la realización de un proyecto conjunto con la asignatura de
Artes visuales, aplicando y/o investigando más en profun-
didad la técnica estudiada.
Págs. 152 a 155
procedimientos empleados en la resolución de los ejerci-
cios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo
de garantizar su comprensión de los conceptos involucra-
dos. Por la misma razón, se sugiere al docente revisarlos
en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes
resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración
de sus compañeros. Mediante este sistema se pretende
que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más
significativa, al provenir de sus propios pares.
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Matemática 2.º Medio - Guía Didáctica del Docente74
Págs. 156 a 159
1
Identificar y caracterizar
polígonos semejantes en
diversos contextos.
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 9 Verifique que los estudiantes identifican
correctamente las figuras involucradas en el
análisis, las nombran correctamente y emplean
luego la información dada.
Analizar y construir
homotecias.
7 y 8
2
A comprender y aplicar el
teorema de Thales sobre
10, 11, 12, 13 y 21 Permita a los estudiantes que presenten
dificultades que corrijan sus errores utilizando
un cuadro-resumen o esquema —puede ser
el elaborado en la síntesis de la unidad—,
para verificar que comprenden los teoremas
y procedimientos involucrados y los aplican
correctamente.
A dividir trazos en una razón
dada.
14 y 15
A demostrar y aplicar los
teoremas de Euclides relativos
a proporcionalidad de trazos.
16, 17 y 18 Supervise a los estudiantes que presenten
dificultades especialmente en la identificación
de los datos de cada pregunta, de modo
que asocien correctamente los segmentos
involucrados con las relaciones que plantea
cada teorema y así puedan resolver en forma
correcta.
A demostrar y aplicar el
teorema de Pitágoras y su
recíproco.
19 y 20
3
Identificar y relacionar los
ángulos inscritos y del centro
en una circunferencia.
22, 26, 27, 28, 29, 30 y 31 Solicite a los estudiantes que presenten
dificultades que expongan la forma en que
resuelven cada problema, explicitando los
elementos involucrados (cuerdas, secantes,
ángulos, arcos) y las relaciones entre ellos. Así
podrá detectar en forma precisa los errores
cometidos y tomar las acciones necesarias para
enmendarlos.
Determinar relaciones entre
trazos y secantes de una
circunferencia.
23, 24, 25, 32 y 33
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La cámara oscura
Una contextualización inmediata para el análisis de la semejanza de figuras es la fotografía. Por lo mismo, es intere-
sante conocer algo de la historia de ella y, en general, de las formas que han existido en la historia para reproducir
imágenes semejantes a las que observamos a nuestro alrededor. El antecedente más preciso es la cámara oscura.
Posiblemente nunca se sabrá con precisión quién y cuándo se descubrió la cámara oscura.
Fue en la Antigua Grecia donde surgió la preocupación por encontrar una explicación del fenómeno lumínico, que
condujo a los filósofos a observar los efectos de la luz en todas sus manifestaciones. Aristóteles sostuvo que los ele-
mentos que constituían la luz se trasladaban de los objetos al ojo del observador con un movimiento ondulatorio.
Para comprobar su teoría, construyó la primera cámara oscura de la que se tiene noticia en la historia.
Una de las paradojas de la historia de la fotografía tuvo lugar en el siglo VI d. C., cuando el alquimista árabe Abd-el-
Kamir descubrió una emulsión fotosensible, aunque nunca la aplicó a la cámara oscura —que ya existía— porque
no tenía conocimiento de ella. Por su parte, el mago Merlín (539 d.C.) justamente en la misma época utilizaba la
cámara oscura con fines estratégicos y de observación en la guerra que sostuvo el rey Arturo contra los sajones. En
sus escritos se habla de la necesidad de utilizar el“cuerno de unicornio”para hacer el orificio de entrada de luz en ella.
En el tiempo en que se difundió el uso de este aparato, la magia era una práctica que se mezclaba con el estudio de
los fenómenos naturales, por lo que el hecho de relacionar al unicornio con la cámara oscura ocasionó que durante
siglos esta recibiera el nombre de“caja mágica”. Pero no fue sino hasta la segunda mitad del siglo XV cuando se volvió
a tener noticia de la cámara oscura a través de Leonardo da Vinci, quien redescubrió su funcionamiento y le adjudicó
una utilidad práctica, motivo por el cual se le ha otorgado el crédito de su descubrimiento.
Da Vinci y el alemán Alberto Durero emplearon la cámara oscura para dibujar objetos que en ella se reflejaban. A partir
de ese momento se utilizó como herramienta auxiliar del dibujo y la pintura, extendiéndose rápidamente en Europa.
La cámara oscura renacentista tenía las dimensiones de una habitación, para que el pintor pudiera introducirse en
ella y dibujar desde su interior lo que se reflejaba Para lograrlo, colocaba un papel translúcido en la parte posterior,
justo enfrente del orificio por el que pasaba la luz. Es importante recordar que la formación de la imagen es invertida,
por lo que el dibujante debía ser muy hábil para hacer las correcciones necesarias al copiar la imagen sobre el papel.
Para conseguir que la imagen se formara era necesario que el orificio fuera muy pequeño, de lo contrario la calidad
de la imagen no podía ser muy nítida ni detallada. En el siglo XVI un físico napolitano, Giovanni Battista Della Porta,
antepuso al orificio una lente biconvexa (lupa) y con ella obtuvo mayor nitidez y luminosidad en la imagen. A partir
de este avance, varios científicos se dedicaron a perfeccionarla. Esta aportación fue fundamental para el desarrollo
de la fotografía, ya que marcó el principio de lo que hoy conocemos como el objetivo de la cámara, el cual permite
la captura de imágenes a diferentes distancias y ángulos obteniendo como resultado imágenes nítidas y luminosas.
Fuente:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/luces_de_la_ciudad/Memorias/fotografia/camaraos.htm
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Actividad complementaria Nº 1 / El pantógrafo
Un pantógrafo es una herramienta que permite dibujar figuras homotéticas en forma mecánica, es decir, punto por punto.
Para utilizarlo, el punto A se fija mediante un clavo o alfiler en un punto, y con un lápiz en el punto B se recorre el dibujo
del cual se quiere construir la homotecia. Un lápiz ubicado en el punto C dibuja la figura homotética al moverse.
F
ED
A B C
Para su funcionamiento, es necesario que se cumplan las siguientes relaciones:
AF = CF DB = FE BE = DF
1. Construye un pantógrafo con las instrucciones dadas. Utiliza una medida de AF = 30 cm, y traza diferentes
homotecias variando la medida de AD.
a) ¿Cuáles son las razones de homotecia de las figuras obtenidas, en los siguientes casos?
AD = 10 cm AD = 15 cm AD = 20 cm
b) ¿Qué relación existe entre las medidas de AD, AF y la razón de homotecia? Explica.
2. En un pantógrafo, es posible intercambiar el punto fijo (A), el lápiz que recorre la figura original (B) y el lápiz que
traza la figura homotética (C). Si AD = 15 cm y AF = 30 cm, determina el tipo de homotecia que se obtiene si:
a) se utiliza B como punto fijo y la figura se recorre con el punto C.
b) se utiliza C como punto fijo y la figura se recorre con el punto B.
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77
Unidad 2 • Geometría
Actividad complementaria Nº 2 / Rectas perpendiculares
En cursos anteriores has aprendido a calcular y analizar la pendiente de una recta. Ahora, analizaremos la relación entre
las pendientes de dos rectas perpendiculares entre sí.
En la figura, las rectas L1 y L2 son perpendiculares y se intersecan en el punto A. Por este punto se traza una recta vertical
L3, y además se traza otra recta horizontal L4.
L3
L4
L2 L1
A
CDB
1. Considerando que el triángulo ABC es rectángulo en A, ¿qué relación hay entre las medidas de los segmentos
BD, DC y AD? Escribe una fórmula que los relacione.
2. La recta L1 tiene pendiente positiva, mientras que la de L2 es negativa. Determina la pendiente de cada una con-
siderando las medidas de los segmentos BD, DC y AD.
3. ¿Qué relación se cumple entre las pendientes de dos rectas perpendiculares? Justifica utilizando los resultados
anteriores.
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Actividad complementaria Nº 3 / El arco capaz
En la sección has visto que dos o más ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son congruentes entre sí. Anali-
zaremos ahora el problema opuesto a partir de una cuerda, es decir, dado un segmento construiremos la circunferencia
que pasa por sus extremos, de manera que los ángulos inscritos que se construyan subtendiendo dicha cuerda tengan
una medida dada.
Consideraremos para esto el segmento AB, y el ángulo α.
α
A B
Copia el segmento AB, y sobre él el ángulo BAC, de medida α.
α
A
C
B
Construye el rayo AD, perpendicular a AC.
α
A
C
B
D
Traza la simetral del segmento AB, que se interseca con el rayo AD en el punto O. Este punto es centro de la circunferencia
que pasa por A y B.
α
D
BA
C
O
1. Construye ángulos inscritos en esta circunferencia, de manera que subtiendan los ángulos AB y BA. ¿Cuáles de
ellos tienen medida igual a α?
2. Justifica la construcción del arco capaz, es decir, el que contiene a los vértices de los ángulos inscritos de medi-
da igual a α .
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79
3 421
Identificar y caracterizar polígonos semejantes
1. ¿Cuáles de los siguientes tipos de figuras son siem-
pre semejantes entre sí?
A. Triángulos isósceles.
B. Rectángulos.
C. Circunferencias.
D. Pentágonos.
E. Trapecios.
2. En la figura hay dos triángulos semejantes. ¿Cuál es
el perímetro del triángulo de menor tamaño?
E
D F
15cm
C
A B
24cm
8 cm
6 cm
A. 5 cm
B. 14 cm
C. 19 cm
D. 39 cm
E. 57 cm
3. Un plano está construido en la razón 1 : 50 y las
medidas de una ventana son 4 x 2 cm. ¿Cuáles son
las medidas de la ventana en la realidad?
A. 4 x 2 m
B. 40 x 20 cm
C. 2 x 1 m
D. 20 x 10 cm
E. 8 x 4 m
4. Si el perímetro de un triángulo de menor tamaño
semejante a otro es de 15 cm y la razón entre sus
alturas es 7 : 21, ¿cuál es el perímetro del triángulo
de mayor tamaño?
A. 90 cm
B. 75 cm
C. 60 cm
D. 45 cm
E. 30 cm
5. Si la razón entre la medida de los lados de dos triángu-
los semejantes es 2 : 5, ¿cuál es la razón entre sus áreas?
A. 2 : 7
B. 5 : 2
C. 2 : 5
D. 25 : 4
E. 4 : 25
6. La medida de los lados de un triángulo de vértices
ABC son 4, 5 y 6 cm respectivamente. ¿Cuál es la
medida del lado FG si el perímetro del triángulo EFG
es 60 cm y ∆ABC ~ ∆EFG?
A. 4 cm
B. 16 cm
C. 20 cm
D. 24 cm
E. 60 cm
7. De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones
siguientes es(son) verdadera(s)?
D
A
B C
F
E
I. ∆BDC ~ ∆BEA
II. ∆DCB ~ ∆EFC
III. ∆EFC ~ ∆DAF
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. I, II y III
8. Si a un polígono se le aplica una homotecia de razón
3 : 4 y uno de sus lados mide 8 cm, ¿cuál es la medida
de este lado luego de aplicada la homotecia?
A. 2 cm
B. 6 cm
C. 12 cm
D. 24 cm
E. 32 cm
Lee y luego responde las preguntas 9, 10 y 11.
A un cuadrado de área 25 cm2
se le aplica una ho-
motecia de razón 3 : 5.
9. ¿Cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?
A. 9 cm
B. 12 cm
C. 15 cm
D. 18 cm
E. 21 cm
Nombre: Curso:
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10. ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?
A. 3 cm2
B. 9 cm2
C. 25 cm2
D. 64 cm2
E. 75 cm2
11. ¿Cuál es la medida del doble de la diagonal del
nuevo cuadrado?
A. 12
B. 2 12
C. 24
D. 2 18
E. 36
Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.
12. Si AB//ED , BC = 5 cm, AC = 3 cm, CD = 20 cm y
EC = 2k + 6, ¿cuál es la medida de AE?
A
D
C
B
E
A. 3 cm
B. 6 cm
C. 9 cm
D. 12 cm
E. 15 cm
Considera la siguiente figura para responder las
preguntas 13, 14 y 15.
AB //CD // EF, AC = 2x – 10, CE = 6 + x, FB : DB = 2 : 1
A
D
F
C
B
E
13. ¿Cuál es la medida de AC?
A. 11 cm
B. 22 cm
C. 33 cm
D. 44 cm
E. 46 cm
14. ¿Cuál es la medida de CE?
A. 11 cm
B. 22 cm
C. 33 cm
D. 44 cm
E. 46 cm
15. ¿Cuál es la medida de AE?
A. 11 cm
B. 22 cm
C. 33 cm
D. 44 cm
E. 46 cm
16. En la figura, AD = 20 cm, CD = 12 cm y BE = 9 cm,
¿cuál es el doble de la medida de BC?
D
A B C
E
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 4 cm
D. 8 cm
E. 12 cm
17. En la siguiente figura, L1 // L2 // L3.¿Cuál(es) de las
siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?
ML1
L2
L3
T
X
Q
P
W
I. MQ : QW = XT : TP
II. MQ : TQ = QW : PT
III. MQ : PT = QW : TX
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II, y III
E. I, II y III
18. Un trazo AB de 24 cm es dividido interiormente por
el punto Q en la razón 5 : 7. ¿Cuál es el doble de la
medida de AQ?
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 20 cm
D. 40 cm
E. 48 cm
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81
3 421
19. Un trazo de 27 cm se divide interiormente en la
razón 1 : 3 : 5. ¿Cuál es la suma de las medidas de los
trazos mayor y menor que se forman?
A. 3 cm
B. 9 cm
C. 18 cm
D. 27 cm
E. 36 cm
20. Si un trazo se divide en la razón 5 : 4 y el segmento
de menor medida que se forma es de 16 cm, ¿cuál
es la medida del trazo original?
A. 9 cm
B. 16 cm
C. 20 cm
D. 25 cm
E. 36 cm
Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la
circunferencia.
21. En la circunferencia, PT es una tangente en P.
¿Qué tipo de ángulo es β?
Q β
O
A
P
T
A. del centro.
B. interior.
C. exterior.
D. inscrito.
E. semi-inscrito.
22. En la figura, si el ángulo MPN mide 40º, ¿cuál es el
valor de α?
O
P
M
N
A. 280º
B. 160º
C. 100º
D. 80°
E. 40°
23. En la circunferencia los arcos BA, AC y CB están en
la razón 3 : 7 : 2. ¿Cuál es la medida del ángulo BCA?
A
B
C
A. 120º
B. 90º
C. 60º
D. 45°
E. 30°
24. Si en la circunferencia BA es tangente en B y el arco
CD mide un tercio de la circunferencia, ¿cuál es la
medida del ángulo ABC?
B
O
70º
A
D
C
A. 120º
B. 100º
C. 60º
D. 50°
E. 25°
25. En la circunferencia se ha inscrito el triángulo equilá-
tero ABC. Si BD es tangente en B, ¿cuál es la suma de
las medidas de los ángulos AOB y ABD?
B
O
A
D
C
A. 360º
B. 240º
C. 180º
D. 120°
E. 60°
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26. En la figura, DF es tangente, el ángulo CAB = 40º y el
ángulo EDF = 45º. ¿Cuál es la medida del arco CB?
B
O
A
D
F
E
C
A. 95º
B. 80º
C. 45º
D. 40°
E. 10°
Observa la figura. Luego, responde las preguntas
27 y 28.
En la circunferencia, las cuerdas PM y AH se cortan
en el punto L, HL = 15 cm, LA = 6 cm y LM = 9 cm.
M
H
O
AP
L
27. ¿Cuál es la medida de PM?
A. 5 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 15 cm
E. 19 cm
28. ¿Cuál es la mitad de la medida de PL?
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 15 cm
D. 20 cm
E. 25 cm
29 y 30.
En la figura, PT es diámetro, MT mide el triple que el
radio, BA = 22 cm y MB = 27 cm.
B
O
A
M
T
P
29. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?
A. 27 cm
B. 18 cm
C. 9 cm
D. 6 cm
E. 3 cm
30. ¿Cuál es la medida de MA?
A. 18 cm
B. 9 cm
C. 6 cm
D. 5 cm
E. 3 cm
31 y 32.
En la figura, BD = 10 cm, AC = 2 cm y BC : CD = 2 : 3.
D
O
AB
C
31. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?
A. 24 cm
B. 20 cm
C. 14 cm
D. 10 cm
E. 7 cm
32. ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia?
A. 14 cm
B. 12 cm
C. 10 cm
D. 7 cm
E. 5 cm
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83
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33 y 34.
En la figura, PW = 6 cm, WZ = 5 cm y ZY = 5 cm.
O
Y
Z
X
W
P
33. ¿Cuál es la medida de XZ?
A. 30 cm
B. 11 cm
C. 6 cm
D. 5 cm
E. 1 cm
34. ¿Cuál es la medida de XY?
A. 30 cm
B. 11 cm
C. 6 cm
D. 5 cm
E. 1 cm
35. Si la razón entre las áreas de dos triángulos seme-
jantes es 50 : 32 y el perímetro del triángulo de ma-
yor área es 15 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo
de menor área?
36. En la figura, AX // RY //CZ. AB = 3m – 1, BC = 3m + 1,
XY = 10 cm y XZ = 2 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de
la medida de AC?
A
C
B
X Y Z
37. En la figura, los arcos ZX, WY y ZY miden 130º, 180º y
50º, respectivamente. ¿Cuál es la medida de α + β?
Y Z
X
W
O
β
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Solucionario
El pantógrafo
1. a) 1 : 4, 1 : 2 y 2 : 3
b) La razón de homotecia es
AD
AF
.
2. a) Homotecia de razón –1.
b) Homotecia de razón 1 : 2.
Rectas perpendiculares
1. AD2
= BD • CD
2. L :m =
AD
BD
1 1 , L :m = –
AD
CD
2 2
3. =
=−
=−
=−
m •m
AD
BD
• –
AD
CD
AD • AD
BD • CD
AD
BD • CD
1
1 2
2
El arco capaz
1. Los ángulos pedidos son los que subtienden el arco BA.
2. La respuesta depende de cada estudiante. Al trazar
la perpendicular AD, cualquier punto sobre AD que
sea centro de la circunferencia buscada y pase por
A tendrá a AC como tangente. El centro de la cir-
cunferencia debe ser equidistante de A y de B, por
lo que se construye la simetral del segmento.
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Identificar y caracterizar polígonos
semejantes.
1 C
2 C
3 C
4 D
5 E
6 C
7 D
8 B
9 B
10 B
11 D
Aplicar los teoremas de Thales,
Euclides y Pitágoras.
12 E
13 B
14 B
15 D
16 B
17 C
18 C
19 C
20 E
Aplicar relaciones entre ángulos y
segmentos en la circunferencia.
21 E
22 A
23 D
24 D
24 C
25 E
26 E
27 E
28 B
29 D
30 D
31 C
32 D
33 B
34 C
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Problema 35 Problema 36 Problema 37
Correcta
Deduce correctamente que la razón entre
los perímetros debe ser 50
32
=
25
16
=
5
4
Aplica luego la proporción y determina que
→
5
4
=
15
x
x =12.
Correcta
Plantea la proporción correctamente y verifica que
el valor obtenido para m es negativo, por lo que la
solución no es pertinente.
Correcta
Determina correctamente
las medidas de los ángulos
y concluye que el valor
buscado es 105º.
Interpreta incorrectamente la relación entre las
áreas como razón de semejanza, o la interpreta
correctamente pero no como relación entre los
perímetros.
Plantea la proporción, calcula que
m = –2, y con ello que
AC = 3(–2) – 1 + 3(–2) + 1
= –6 – 1 – 6 + 1
= –12
Deduce así que el valor pedido es –3, pero no
interpreta que no es pertinente.
Interpreta incorrectamente
la información, asociando las
medidas de los arcos con los
ángulos.
Incorrecta
No logra relacionar la expresión entregada en el
enunciado del problema.
Incorrecta
No plantea la proporción, o lo hace en forma
incorrecta.
Incorrecta
No logra interpretar
correctamente la
información.
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Clave A C E E A D C D E A A D
13.
a) 24 cm
b) 2 cm
c) 6,4 cm
d) 4 cm
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3 421
Identificar y caracterizar polígonos semejantes
1. Un rectángulo de lados 6 x 3 cm se amplía en razón
3 : 4. ¿Cuál es el área del rectángulo ampliado?
A. 32 cm2
B. 18 cm2
C. 16 cm2
D. 12 cm2
E. 9 cm2
2. En un mapa, dos ciudades están separadas por
3 cm. Si su escala es de 1 : 200 000, ¿cuántos metros
separan a ambas ciudades en la realidad?
A. 60 m
B. 600 m
C. 6 000 m
D. 60 000 m
E. 600 000 m
3. En la siguiente figura donde AB // HK. ¿Cuál es la
pareja de triángulos semejantes?
A
H
B
K
M
A. ∆AMH ~ ∆BMK
B. ∆ABH ~ ∆BAK
C. ∆ABM ~ ∆AMH
D. ∆BKM ~ ∆MKH
E. ∆ABM ~ ∆KHM
4. Si al aplicar una homotecia a un cuadrilátero la nue-
va figura se sitúa dentro del cuadrilátero original,
¿qué valor toma la razón de homotecia?
A. Menor que –1
B. Cero
C. Mayor que 1
D. 1
E. Entre 0 y 1
Aplicar los teoremas deThales, Euclides y Pitágoras
5. En la figura L1 // L2, BD = 5 cm, DE = 3 cm y CD = 4 cm.
¿Cuál es la cuarta parte de la medida de AB?
L1
A
C
E
B
DL2
A. 2,6 cm
B. 6 cm
C. 10,6 cm
D. 12 cm
E. 15 cm
6. En la figura, las rectas AB, CD y EF son paralelas.
¿Cuánto mide el segmento BD?
A CE
B
F
2x
5 3
2x – 4
D
A. 4
B. 6
C. 10
D. 16
E. 20
Bancode preguntas
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7. De los siguientes triángulos, ¿cuál(es) es(son)
rectángulo(s)?
82
8
16
4
12
36
4
I. II. III.
10
A. Solo I
B. I y II
C. II y III
D. I y III
E. I, II y III
Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en
la circunferencia
8. El ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus
lados son dos cuerdas se denomina ángulo:
A. del centro.
B. interior.
C. exterior.
D. inscrito
E. semi-inscrito.
9. Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuál es el
valor del ángulo x?
A. 30º
B. 30,5º
C. 37,5º
D. 45º
E. 60º
10. En la circunferencia de centro O, se han dibujado
tres diámetros. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
A. 20º
B. 35º
C. 70
D. 75º
E. 110º
11. La medida angular del arco DA es igual a la
medida angular del arco CD, el arco BC mide 2x y
el arco AB mide (3x + 10). ¿Cuál es el valor de x e y
respectivamente?
A. x = 50º e y = 55º
B. x = 55 e y = 50
C. x = 110º e y = 55º
D. x = 55º e y = 110º
E. x = 50º e y = 110º
12. Si PT es tangente a la circunferencia en P,
PA = 16 cm y =AB
PA
4
, ¿cuál es la medida del
segmento PT?
A. 8 cm
B. 4 3 cm
C. 8 2 cm
D. 8 3 cm
E. 4 48 cm
13. En la figura, AD es diámetro, la tangente AB mide 6 cm
y CB = 3,6 cm.
D
B
O
A
C
Calcula:
a) el perímetro del triángulo ABD.
b) el área del triángulo ABD.
c) la medida de DC.
d) el radio de la circunferencia.
30°
60°
xO
C
B
D
E
A
20°
35°
x
O
E D
B
C
A
A
D
C
B
E
O
y
x
PT
B
A
O
12 cm
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3 421
Bibliografía
• Alsina Catalá, C.; Fortuny Aymeni, J. M.; Burgués Flamerich, C. Invitación a la didáctica de la geometría.
Madrid: Ed. Síntesis.
• Araya, R, Matus, C. (2008). Buscando un orden para el azar. Proyecto Enlaces Matemática. 2ª ed. Ed. Centro
Comenius. Santiago: Universidad Católica de Chile
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1994). Retorno a la geometría. Libro de consulta. Madrid: Ed. Euler.
• Oteíza, F; Zamorano A, L; Baeza, O. (2008). La circunferencia y un par de rectas en el plano. Ángulos en el plano.
Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile
• Oteíza, F; Zamorano A, L; Baeza, O. (2008). La geometría de los modelos a escala. Semejanza de figuras planas.
Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile.
• Rich, B. Geometría. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.
• Spiegel, M. Análisis Vectorial. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.
• Villanueva, F.; Masjuan, G.; Arenas, F. (1993). Geometría elemental. Santiago: Universidad
Sitios web
• Figuras semejantes:
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1224
• Ejemplos y actividades de homotecia:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm
• Teorema de Euclides
http://www.geometriadinamica.cl/guias/ejemplo.php?mode=count&c=1&id=35
• Representaciones y demostración de teorema de Pitágoras:
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm
• Elementos de la circunferencia y el círculo:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm
• Ángulos en la circunferencia:
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/inscrito.htm
• Relaciones métricas en la circunferencia:
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm
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Mini ensayo PSU
Marca en cada caso la alternativa correcta.
1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados
representa(n) un número racional?
I. El perímetro de una circunferencia de radio
1
π
cm.
II. La longitud de la diagonal de un cuadrado de
lado 2 cm.
III. El área de un rectángulo cuyos lados miden
6 cm y 2 6 cm.
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
2. Si las medidas de un rectángulo son log3 27 cm
y– –643
cm, su perímetro y su área son
respectivamente:
A. 12 cm y 14 cm
B. 12 cm y 14 cm2
C. 14 cm y 12 cm
D. 14 cm y 12 cm2
E. E. 14 cm2
y 12 cm2
3. ¿Cuál es el resultado al escribir la expresión 2 2 23
como una sola raíz?
A. 24
B. 234
C. 237
D. 257
E. 2512
a 1
2– 2
?
A. 2
B. 1+ 2
C. 2+ 2
2
D. 2– 2
2
E. 2 –2
2
5. Si log3 (2a – 3) = 1, ¿cuál es el valor de log3 (a3
)?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 27
E. 81
6. ¿En qué caso se muestran los números ordenados
de menor a mayor?
A. 2 3, 13,3 2
B. 13,2 3,3 2
C. 3 2, 13,2 3
D. 2 3,3 2, 13
E. 3 2, 13,2 3
7. ¿Qué se obtiene al reducir términos semejantes en
la expresión 18 + 2 12 + 2 –2 3 + 75?
A. 11 6
B. 4 2 + 3 3
C. 7 3 + 4 2
D. 4 3 +7 2
E. 4 2 –3 3
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
( )2 –2 3
2
?
A. –46
B. 14 + 4 6
C. 14 – 4 6
D. 14 –2 6
E. 4 6 –14
9. ¿Cuál de los siguientes logaritmos es equivalente a
la expresión log6 3 + log6 4 – log6 2?
A. log6 5
B. log 10
C. log 100
D. log6 50
E. log6 0,5
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91Mini Ensayo PSU
10. Al resolver la ecuación log (log (2x – 1)) = 0, ¿cuál es
el valor del doble de x?
A. 11
B. 11
2
C. 22
D. 101
E. 101
2
11. Respecto de la siguiente figura, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A
B
C E G
F
I
H
D
I. AB = AE
II. Todos los triángulos rectángulos dibujados son
semejantes por el criterio AA.
III. La razón entre los catetos del triángulo ABC es
igual a la de los lados homólogos de cada uno
de los otros triángulos.
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
12. Si L1 // L2, AE = 10 cm, CE = (3x + 4) cm, ED = (x + 1) cm
y EB = 3 cm, ¿cuál es el valor de x?
A
D
L1
L2
C
B
E
A. 2
B. – 2
C. 27
41
D. 41
27
E. –
27
41
13. Respecto del triángulo ABC, ¿cuál(es) de las siguien-
tes afirmaciones es(son) falsa(s)?
D
A B
C
a
c
b
h
q p
I. a2
= p2
+ pq
II. h2
= p(c • p)
III. (p + q)2
– a2
= b2
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I, II y III
E. Ninguna es falsa.
14. En la figura, L1 // L2. ¿Cuál(es) de las siguientes afir-
maciones es (son) verdadera(s)?
L2
L1
A
D
C
B
E
I. CB = DA
II. EAD = EBC
III. AD = kBC, k∈ .
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. I, II y III

Mini ensayo PSU
15. En la figura, BD // CE , AB = 5 cm, BC = 10 cm y
CE = 8 cm. ¿Cuánto mide BD?
A
B
C
E
D
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 3
8
cm
E. 8
3
cm
16. ¿Cuál de las siguientes series de números no forma
un trío pitagórico?
A. 3, 4 y 5
B. 5, 12 y 13
C. 8, 15 y 17
D. 7, 24 y 25
E. 13, 35 y 37
17. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
25 cm y la proyección de uno de sus catetos 49
25
cm.
¿Cuánto miden sus catetos?
A. 7 cm y 24 cm
B. 8 cm y 15 cm
C. 6 cm y 23 cm
D. 13 cm y 35 cm
E. 15 cm y 20 cm
18. Una recta AB forma un triángulo rectángulo AOB
con el origen (O) del plano cartesiano, cuyos catetos
son segmentos contenidos en los ejes. ¿Cuáles son
las coordenadas de sus vértices?
(1) A(0, 3).
(2) Su hipotenusa mide 5 cm.
C. Juntas, (1) y (2).
19. ¿Cuál es la medida del área de la región encerrada
por los gráficos de las rectas y = x, y = 4 y el eje Y
del plano cartesiano?
A. 2 unidades2
B. 4 unidades2
C. 8 unidades2
D. 16 unidades2
E. Faltan datos.
20. Enlafigura,DBCesisóscelesconbaseCD.SiBC=4cm
y AD=
4
3
CD, ¿cuál es el área del triángulo ABD?
D
A
BC
A. 2 2
3
cm
B. 4 2
3
cm
C. 8 2
3
cm
D. 16 2
3
cm
E. 32 2
3
cm

93Mini Ensayo PSU
21. En la circunferencia de centro O se ha inscrito un
cuadrilátero. ¿Cuál es el valor de x?
O
110º
x
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 110°
E. 220°
22. En la circunferencia de centro O,
m(<BDC) + m(<BOC) + m(<BAC) = 240°. ¿Cuál es la
medida del arco BC?
O
A
B C
D
A. 30º
B. 60º
C. 80º
D. 120º
E. 240º
23. En la figura, L1 es tangente a la circunferencia de
centro O en el punto T. ¿Cuál es el valor de α?
O
26º
T
L1
A. 64°
B. 116°
C. 132°
D. 142°
E. 154°
24. En la circunferencia que se muestra a continuación,
la medida del arco AB es el doble de la del arco CD,
y el ángulo AEB mide 15°. ¿Cuánto mide el ángulo
CPD?
P
D
E
A
B
C
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 75°
25. En la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?
50º
D
A
BC
(1) DC = CB
(2) DC es diámetro.
C. Juntas, (1) y (2).

Mini ensayo PSU
26. Si en la circunferencia con centro en O que se
muestra a continuación AB y BC son cuerdas y
m(<BAO) = 18°, ¿cuál es el valor de α?
O
A
B
C
A. 18°
B. 24°
C. 36°
D. 144°
E. No se puede calcular.
27. En la figura, la recta L1 es tangente a la circunferen-
cia de centro O y m(<CBA) = 65°. Si B es el punto de
tangencia, ¿cuál es la medida del ángulo ABP?
O
35º
B
C
A
P
L1
A. 35°
B. 45°
C. 80°
D. 100°
E. 135°
28. En la semicircunferencia de centro O, DC // AB.
¿Cuál es la medida del ángulo ADC?
C
O
BA
D
50º
A. 40°
B. 90°
C. 110°
D. 130º
E. 140º
29. En la circunferencia de centro en O, los segmentos AB
y CD son cuerdas, m(<AOC) = 52° y m(<BOD) = 48°.
¿Cuál es la medida del ángulo BED?
O
C
D
E
A
B
A. 25°
B. 50°
C. 75°
D. 100º
E. 125º
30. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero circunscrito a
la circunferencia de centro O?
2 cm
7 cm 3 cm
3 cm
O
B
C
D
A
A. 15 cm
B. 20 cm
C. 27 cm
D. 30 cm
E. 33 cm

95Mini Ensayo PSU
Tabla de especificaciones
Pregunta Eje Contenido Habilidad Respuesta correcta
1 Números Números reales Analizar E
2 Números Raíces y logaritmos Aplicar D
3 Números Raíces Aplicar B
4 Números Raíces Aplicar C
5 Números Logaritmos Aplicar A
6 Números Raíces Comprender A
7 Números Raíces Aplicar C
8 Números Raíces Comprender C
9 Números Logaritmos Aplicar B
10 Números Logaritmos Aplicar A
11 Geometría Semejanza Evaluar B
12 Geometría Semejanza Aplicar A
13 Geometría Teorema de Euclides Evaluar E
21 Geometría Semejanza de triángulos Evaluar D
22 Geometría Semejanza de triángulos Analizar E
23 Geometría Tríos pitagóricos Comprender E
24 Geometría Teorema de Euclides Aplicar A
25 Geometría Teorema de Pitágoras Evaluar C
14 Geometría Área de figuras geométricas Analizar C
15 Geometría Área de figuras geométricas Aplicar E
16 Geometría Circunferencia y ángulos Aplicar D
19 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar C
20 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar E
28 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar D
29 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar B
30 Geometría Circunferencia y ángulos Evaluar D

41 2 3
unidad
3
Propósito
Álgebra
Los estudiantes han estudiado en años anteriores el concepto de función y, en particular, la función lineal
y afín. En esta unidad se introducen las funciones exponencial, logaritmo y raíz cuadrada en diversos
contextos y las respectivas representaciones gráficas con la ayuda de herramientas tecnológicas.
Por otra parte, se enseña la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
estrechamente ligada a la resolución de problemas. Además, se puede apoyar la representación gráfica
de estos sistemas con herramientas tecnológicas.
Con respecto a las expresiones algebraicas, los estudiantes generalizarán las estrategias que usaban
en las operaciones de números fraccionarios para operar con expresiones algebraicas fraccionarias e
identificarán los valores para los cuales se indefine una fracción algebraica.
¿Qué sé?
•• Realizar operaciones con fracciones y aplicar propiedades de la operatoria entre números racionales.
•• Resolver ecuaciones de primer grado.
•• Realizar operaciones con expresiones algebraicas.
•• Realizar operaciones y aplicar propiedades de raíces, potencias y logaritmos.
¿Qué aprenderé?
•• Realizar operaciones con fracciones algebraicas.
•• Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.
•• Resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
¿Para qué?
•• Para resolver problemas en distintos contextos.
•• Para analizar y aplicar propiedades en distintos contextos matemáticos.
Ruta de aprendizaje
97Unidad 3 • Álgebra
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Marcocurricular
•• Función.
•• Dominio.
•• Recorrido.
•• Función lineal.
•• Función afín.
•• Ecuación de primer grado con una incógnita.
•• Expresiones algebraicas.
•• Operaciones de fracciones.
•• Identificar las funciones exponenciales, logarítmicas y
raíz cuadrada en contextos diversos.
•• Modelar situaciones diversas a través de las funciones
exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
•• Representar gráficamente las funciones exponenciales,
logarítmicas y raíz cuadrada.
•• Argumentar respecto de las variaciones que se
producen en la representación gráfica de las funciones
exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, al modificar
los parámetros.
•• Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
•• Representar gráficamente un sistema de ecuaciones
•• Resolver problemas que involucren expresiones
algebraicas fraccionarias.
•• Relacionar las operaciones de fracciones con las
operaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.
•• Argumentar respecto de los valores permitidos del
denominador de una expresión algebraica fraccionaria.
Palabras clave
Función exponencial, función logarítmica, función raíz cua-
drada, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
expresiones algebraicas fraccionarias.
Contenidos
•• Función exponencial y representación gráfica.
•• Función logarítmica y representación gráfica.
•• Función raíz cuadrada y representación gráfica.
•• Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
•• Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones
•• Gráfica de un sistema de ecuaciones.
•• Expresiones algebraicas fraccionarias.
•• Operaciones de expresiones algebraicas
fraccionarias.
Actitudes
•• La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y la originalidad
al resolver problemas matemáticos.
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41 2 3
Sección 1: Fracciones algebraicas
Interpretar la
operatoria con
expresiones
algebraicas
fraccionarias como
una generalización
de la operatoria con
fracciones numéricas,
establecer estrategias
para operar con este
tipo de expresiones
y comprender que
estas operaciones
tienen sentido solo en
aquellos casos en que
estas están definidas.
Establecimiento
de estrategias para
simplificar, sumar,
restar, multiplicar
y dividir fracciones
algebraicas simples,
con binomios tanto en
el numerador como
en el denominador
y determinación
de aquellos valores
que indefinen una
expresión algebraica
fraccionaria.
Analizar la validez
de una expresión
algebraica fraccionaria.
Lección 22: Fracción
algebraica.
2 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 163.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 194 y 195.
2 horas.
Lección 23: Fracciones
algebraicas y fórmulas.
4 horas.
Lección 24: Mcd y
mcm de expresiones
algebraicas.
4 horas.
Lección 25:
Amplificación y
simplificación de
fracciones algebraicas.
2 horas.
Establecer estrategias
para operar fracciones
algebraicas simples,
con binomios en
el numerador y en
el denominador, y
determinar los valores
que indefinen estas
expresiones.
Lección 26:
Multiplicación y
división de fracciones
algebraicas.
2 horas.
Lección 27: Adición
y sustracción de
4 horas.
Lección 28:
Resolución de
problemas que
involucran ecuaciones
fraccionarias.
4 horas.
Páginas finales
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Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz
Utilizar las funciones
exponenciales,
logarítmicas y
raíz cuadrada
como modelos
de situaciones o
fenómenos en
contextos significativos
y representarlas
gráficamente en
forma manual o
usando herramientas
tecnológicas.
Uso de un software
gráfico en la
interpretación
de funciones
exponenciales,
logarítmicas y raíz
cuadrada; análisis de
las situaciones que
modela y estudio de
las variaciones que
se producen por la
modificación de sus
parámetros.
Analizar gráficamente
la función exponencial
en forma manual y
con herramientas
tecnológicas.
Lección 29: Funciones,
tablas y gráficos.
2 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 197.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 216 y 217.
2 horas.
la función logarítmica,
en forma manual y
con herramientas
tecnológicas.
Lección 30: Función
raíz cuadrada.
4 horas.
la función raíz
cuadrada, en
forma manual y
con herramientas
tecnológicas.
exponencial.
4 horas.
Modelar y aplicar la
función exponencial,
raíz cuadrada y
logarítmica en
la resolución de
problemas, y resolver
problemas que
involucren sistemas
de ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
logarítmica.
4 horas.
Páginas finales
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41 2 3
Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales
OF CMO Indicadores Lecciones Evaluaciones
Modelar situaciones
o fenómenos cuyos
modelos resultantes
sean sistemas de
ecuaciones lineales
Reconocimiento de
sistemas de ecuaciones
lineales como modelos
que surgen de
diversas situaciones o
fenómenos.
Resolver sistemas
de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas, gráfica y
algebraicamente.
Lección 33: Sistemas
2 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 219.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 244 y 245.
2 horas.
Lección 34: Sistemas
y gráficos.
4 horas.
Resolución de
problemas asociados
a sistemas de
ecuaciones lineales
con dos incógnitas,
en contextos variados;
representación en
el plano cartesiano
usando un software
gráfico y discusión
de la existencia y
pertinencia de las
soluciones.
Lección 35: Métodos
de resolución
de sistemas de
ecuaciones lineales.
4 horas.
Lección 36: Existencia
de soluciones de un
sistema de ecuaciones
lineales.
4 horas.
Lección 37:
Resolución de
problemas que
involucran sistemas de
6 horas.
Páginas finales
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Páginas finales
Evaluación de la unidad. 254 – 257 2 horas
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41 2 3
Sección 1
Fracciones algebraicas
De esto se trata
Una de las primeras dificultades conceptuales de los
estudiantes al comenzar a trabajar con números racionales
es la tendencia a pensar que una fracción no representa,
propiamente, un número racional, sino que debe expresarse
en forma decimal. Así, si se les pregunta por el número“tres
cuartos”es menos común que lo identifiquen como tal; en
cambio sí identificarán 0,75.
La manipulación y análisis de fracciones permite esta-
blecer restricciones y estudiar el comportamiento de sus
valores cuando se modifican su numerador o denomina-
dor. El problema planteado en el inicio de esta sección
se puede plantear con otras cantidades —como se pide
hacer a los estudiantes—, lo que requiere estudiar con
detención cuáles son las condiciones que hacen que el
problema “funcione”.
Plantee el problema a los estudiantes como motivación,
y pídales si es necesario verificar la solución utilizando ma-
terial concreto —y con este buscar también otras posibles
fracciones o cantidades de camellos que permitan obtener
un problema similar—. Por lo sorprendente del resultado,
puede resultar una interesante motivación para ellos.
¿Qué debes saber?
Identificar y operar expresiones algebraicas
Para este indicador, realice con los estudiantes los ejer-
cicios y pídales que expliciten en cada caso la forma de
llegar a la respuesta. Para las dos primeras preguntas, dé la
importancia necesaria al uso correcto de los términos invo-
lucrados, ya que en la unidad será necesario formalizar pro-
cesos que requieren un adecuado vocabulario matemático.
Calcular productos notables y factorizaciones
Permita que los estudiantes realicen los ejercicios y luego
comparen la forma que utilizó cada uno para desarrollarlos.
Es posible que algunos estudiantes, por desconocimiento o
por inseguridad, calculen los productos término a término.
La factorización suele ser un contenido complejo para
los estudiantes, por lo que conviene repasar el concepto
mismo —es decir, aclarar qué es lo que se quiere obtener:
las expresiones que fueron multiplicadas para obtener el
resultado dado— como también los productos notables
que permiten identificar cada caso.
Realizar operaciones y ordenar fracciones
Para este indicador, verifique que los estudiantes manejen
con soltura la operatoria de fracciones, no solo logrando llegar
a los resultados pedidos sino también empleando los métodos
máseficientesencadacaso.Esposiblequealgunosestudiantes
no simplifiquen las fracciones o no determinen el mcm de los
denominadores; si bien los ejercicios propuestos no llevan a
números tan grandes, es fundamental que aproveche esta
oportunidad para enfatizar que, si bien los resultados obteni-
dos pueden ser correctos, en la medida que las expresiones
se complejicen será necesario simplificar las tareas.
22 Fracción algebraica
Págs. 164 a 165
Propósito
Definir una fracción algebraica y sus restricciones.
Palabras clave
Fracción, expresión algebraica, denominador, letras, frac-
ción algebraica
Prerrequisitos
§§ Concepto de fracción.
§§ Concepto de término y expresión algebraica.
Para activar los conocimientos previos de los estudiantes,
pregúnteles por definiciones algebraicas realizadas en cur-
sos anteriores, por ejemplo:
• término algebraico.
• expresión algebraica.
• monomio.
• polinomio.
• grado.
• coeficiente.
Pida a los estudiantes que definan cada uno de ellos y ex-
pliciten las diferencias y similitudes. Es importante que, al
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iniciar esta lección, los estudiantes sean capaces de com-
prender que en ocasiones las definiciones en matemática no
son taxativas sino que sirven para organizar el estudio. Por
ello, por ejemplo, es posible decir que un monomio es un
polinomio de un término, aunque generalmente utilizamos
nombres distintos en cada caso.
Plantee a los estudiantes el trabajo propuesto en el taller
para que ellos mismos vayan estableciendo sus propias
conclusiones, aunque para finalizar se hace necesaria una
puesta en común que les aclare los conceptos involucrados.
Enrigor,unaexpresiónalgebraicacomo16+x
3
tieneunnume-
rador y un denominador, por lo que se la podría considerar en
propiedadunafracciónalgebraica.Sinembargo,noscentramos
enelestudiodelasexpresionesquecontienenexpresioneslite-
rales en el denominador pues estas presentan particularidades
no analizadas hasta ahora, como las restricciones.
En ocasiones, los estudiantes confunden las situaciones en las
que el numerador o el denominador de la fracción algebraica
se anula. Para corregir estos errores, pida a los estudiantes que
cada vez que los cometan apelen a las primeras definiciones
de fracciones que conocen:
El denominador de una fracción no puede ser igual a 0,
pues no es posible dividir por 0.
Si el numerador de una fracción es igual a 0 y su denominador
es distinto de 0, el valor de la fracción es 0. Así, por ejemplo,
puede ejemplificar con“cero cuartos”,“cero quintos”, etc.
Una fracción cuyo numerador es distinto de cero, no puede
ser igual a cero.
Es importante también que explicite el caso 0
0
: así como la
fracción a
0
, con a ≠ 0 no está definida, la fracción 0
0
podría
ser cualquier número real, ya que si = → = → =
0
0
x 0 0x 0 0, lo
cual siempre es cierto. Sin embargo, exigimos que cada frac-
ción represente un único número real, por lo que tampoco
se permite este caso.
Errores frecuentes
a) Pida a los estudiantes que den 4 ejemplos de fraccio-
nes algebraicas y 4 ejemplos de expresiones literales
que no sean fracciones algebraicas en el sentido defi-
nido en esta lección.
b) Invite a los estudiantes a determinar las restricciones
de las siguientes expresiones algebraicas.

16+4x
4x –16

16+4x
2x+5 3x –7( )( )

16+4x
3x –27
Respuesta:
En cada caso, verifique que los estudiantes planteen
primero las condiciones para las que cada fracción se
indefine, y luego las características propias de cada
condición. En el primer caso basta con resolver una
ecuación de primer grado. En el segundo, deben ob-
servar que cada uno de los factores debe ser cero, por
lo que hay dos soluciones. Para la tercera fracción, es
preciso que la cantidad subradical no sea cero y tam-
poco negativa, lo que puede no ser observado en prin-
cipio por los estudiantes.
c) El IMC (índice de masa corporal) de una persona se
calcula mediante la fórmula IMC
m
h2
= , donde m es la
masa y h la estatura. ¿Cuál es el IMC de una persona de
72 kg y 1,65 m de estatura?,
R: 26,45, aproximadamente.
23 Fracciones algebraicas y fórmulas
Págs. 166 a 169
Propósito
Analizar una fracción algebraica.
Palabras clave
Fracción algebraica, variable, valor, fórmulas
Prerrequisitos
§§ Distinguir fracciones algebraicas.
§§ Evaluación de expresiones algebraicas.
Para activar las ideas previas de sus estudiantes, pregún-
teles qué fórmulas conocen en diferentes ámbitos (puede
pedirles que se refieran a contenidos que estén abordando
actualmente en física, por ejemplo). Escríbalas en el piza-
rrón y distinga aquellas que tienen fracciones algebraicas
y cuáles no. En estas últimas, muéstreles que escritas de
otra forma (despejando otra variable) en algunos casos es
posible obtener fórmulas con fracciones algebraicas. Por
ejemplo muestre la fórmula del volumen de un cilindro o
cono y pida que encuentren una expresión para la altura.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 104 09-01-14 16:32

41 2 3
En esta lección se trabaja con aplicaciones de fracciones al-
gebraicas, es decir, con fórmulas que provienen de diversos
contextos. Por ello es fundamental recordar a los estudiantes
que siempre deben verificar si la solución encontrada es
coherente con la situación problemática involucrada.
Recuerde a sus estudiantes la regla de los signos para la
división, pues será necesaria para determinar la naturaleza
positiva o negativa de una fracción algebraica.
SI los estudiantes presentaran dificultades en este con-
tenido, puede pedirles que comiencen comparando los
siguientes grupos de fracciones. En cada caso, pídales que
calculen su valor:
d)
1
10
,
2
10
,
3
10
,
4
10
,
5
10
e)
2
3
,
2
4
,
2
5
,
2
6
,
2
7
Luego, pídales establecer conclusiones respecto del com-
portamiento de una fracción según las variaciones del nu-
merador y el denominador.
a) Pida a los estudiantes que investiguen respecto de
alguna otra fórmula que utilice fracciones algebraicas
(que no hayan visto en clases), y expongan al curso de
qué se trata, cuáles son las variables involucradas y pre-
senten algunos ejemplos.
b) Resolver los siguientes problemas:
• La altura de un cilindro, de radio r y volumen V está
dada por la siguiente formula:
π
h=
V
r2
. Determi-
na la altura h de un cilindro de volumen 54 cm³ y
radio 3 cm.
R: 6
π




• La altura de un cono recto, de radio r y volumen V
está dada por siguiente fórmula:
π
h=
3V
r2
. Determina
la altura h de un cono recto de volumen 100 cm³ y
radio 5 cm.
R: 12
π




24
Mcd y mcm de expresiones
algebraicas
Págs. 170 a 173
Propósito
Calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.
Palabras clave
Múltiplo, divisor, factores, potencia, base, exponente
Prerrequisitos
§§ Factorización prima.
§§ Cálculo de mínimo común múltiplo.
§§ Cálculo de máximo común divisor.
Para activar las ideas previas de los estudiantes, puede re-
pasar con ellos las técnicas que hayan empleado para de-
terminar la factorización prima de un número, y a partir de
ello la forma en que pueden calcularse todos sus divisores.
Es importante que los estudiantes recuerden los métodos
de cálculo del mcm y el mcd entre números naturales, pues
permanentemente se hará analogía con ellos.
En la lección se plantea el cálculo del mcm y el mcd de ex-
presiones algebraicas utilizando analogías con los métodos
empleados para números naturales. Plantee permanente-
mente esta relación a los estudiantes, para poder realizar
adecuadamente el tránsito desde lo numérico a lo algebraico.
Para los estudiantes puede resultar confuso distinguir en
qué casos cabe hablar de una“expresión prima”en álgebra.
Dado que no corresponde a un contenido del curso, no es
posible plantearles el análisis de trinomios de segundo grado
para determinar si pueden factorizarse o no en binomios con
coeficientes reales. Por lo mismo, verifique siempre que si hay
trinomios de segundo grado involucrados, estos siempre
sean factorizables, o declárelo en el caso de que no lo sean.
Es posible que los estudiantes no factoricen completamente
las expresiones, ya que en ocasiones es necesario aplicar más
de un método de factorización. Explicite permanentemen-
te este error y solicíteles realizar los ejercicios tantas veces
como sea necesario para garantizar la correcta aplicación de
los procedimientos.
Errores frecuentes
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 105 09-01-14 16:32

Para las siguientes actividades, verifique que los estudian-
tes analicen el enunciado de cada caso y, a partir de ello,
determinen lo que deben realizar, evitando que se use el
ensayo y error.
Resuelve los siguientes problemas:
a) Tres cables que miden 30ac, 50bc y 70 ab metros se di-
viden en el menor número de trozos de igual longitud.
¿Cuál es la longitud de cada trozo?
R: 10
b) Un maestro debe colocar cerámicas cuadradas en
un piso cuyas dimensiones son 15x2
y3
cm y 25x2
y3
cm.
¿Cuántas cerámicas enteras se ocuparán si deben ser
del mayor tamaño posible?
R: 5a²y³
c) Un ganadero tiene entre 6000p2
q3
y 8000p2
q3
anima-
les. Se pueden agrupar de 15pq en 15pq, de 18pq3
en 18pq3
y de 24p2
q en 24p2
q sin que sobre ninguno,
¿cuántos animales tiene el ganadero?
R: 360p2
q3
25
Amplificación y simplificación de
fracciones algebraicas
Págs. 174 a 177
Propósito
Amplificar y simplificar fracciones algebraicas.
Palabras clave
Amplificar, simplificar, multiplicar, dividir, fracciones equi-
valentes, fracciones irreductibles
Prerrequisitos
§§ Amplificación y simplificación de fracciones numéricas.
§§ Cálculo de mcm y mcd de expresiones algebraicas.
La actividad propuesta en el inicio de la lección está espe-
cialmente diseñada para la activación de los conocimientos
previos de los estudiantes, por lo que conviene que la realice
con ellos, analizando detalladamente cada paso. Puede
enfatizar en el hecho de que, en general, no se determina
el mcd de los términos de la fracción antes de simplificarla,
sino que se la va simplificando sucesivamente por distintos
factores hasta obtener la fracción irreductible.
Muestre a los estudiantes que se puede verificar si la am-
plificación o simplificación es correcta si se revisa que los
productos cruzados entre la fracción algebraica original y
la amplificada o simplificada son equivalentes.
El análisis de las restricciones es fundamental en la simpli-
ficación de fracciones algebraicas, para no dividir por cero.
De la misma manera, cada vez que se amplifica por una
expresión es necesario declarar que esta debe ser distinta
de cero. Es posible que para los estudiantes esto no resulte
relevante en principio, pero será de gran importancia en la
resolución de problemas y ecuaciones, por lo que deben
adquirir esta costumbre desde el principio.
Dedique el tiempo que sea necesario al análisis del tercer
caso de simplificación, que involucra los signos de las expre-
siones algebraicas. Antes de analizar el ejemplo planteado,
puede proponer a los estudiantes los siguientes ejemplos
de fracciones equivalentes:
–
a
b
–a
b
a
–b
–a
–b
= = =−
En general, es posible suprimir o añadir signos negativos en
cantidad par, sin que se altere con ello el valor de la fracción.
Los estudiantes suelen simplificar fracciones algebraicas de ma-
nera errónea al eliminar términos iguales que se encuentren en el
numerador y el denominador sin fijarse que estos términos están
separados por adiciones o sustracciones y no están expresados
comoproductos.Paraevidenciarloerróneodeestosprocedimien-
tos, puede mostrar los siguientes ejemplos numéricos:
• = =
3
2
1+2
2
2 • = =
7
12
5+2
7+5
2
7
Errores frecuentes
a) Analiza las igualdades y determina la expresión por
la que se amplificó la expresión de la izquierda para
obtener la de la derecha.
•
2xy
4x
x y
2x y
2
5
2 3
6
= R: 1
2
xy
•
q 1
p
pq q p q
p p q2
2
3 2
+
=
− + −
−
R: p – q
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 106 09-01-14 16:32

41 2 3
• 4(x y)
4x 4y
(x y)
2 2
− =
−
+
R: x + y
b) Para reforzar la necesidad de establecer las restriccio-
nes al amplificar o simplificar una fracción algebraica,
plantee a los estudiantes las siguientes expresiones:

x –1
x –1
2
x+1
• Solicite evaluarlas para distintos valores de x. ¿Puede
decirse que las expresiones son equivalentes?
• Pídales que factoricen la primera expresión y com-
paren. ¿Son equivalentes?
Es importante que los estudiantes observen que la primera
expresión tiene una restricción mientras que la segunda no,
por lo que en rigor no son equivalentes.
26
Multiplicación y división de
Págs. 178 a 181
Propósito
Multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
Palabras clave
Fracciones algebraicas, multiplicar, dividir, factorizar,
simplificar
Prerrequisitos
§§ Multiplicación y división de fracciones numéricas.
§§ Factorización de expresiones algebraicas.
§§ Simplificación de fracciones algebraicas.
Los estudiantes suelen mecanizar el procedimiento para
multiplicar y dividir fracciones, aunque la mayoría de las
veces lo hacen sin comprenderlo completamente. En el
inicio de la lección, se presenta el cálculo del área de un
rectángulo cuyos lados tienen medidas fraccionarias para
justificar la multiplicación; puede comenzar planteando esta
discusión y buscar que ellos justifiquen por qué, al dividir
por una fracción, se la invierte.
Una vez que haya trabajado la aplicación de la multiplica-
ción en el cálculo del área de una parte del rectángulo, se
sugiere trabajar la multiplicación de fracciones algebraicas
con monomios y luego el caso propuesto en el texto con
binomios y trinomios.
Por ejemplo = =
7w y
10ab
•
20a
21w
7w y
10ab
•
20a
21w
2y
3b
3
3
3
3
Enfatice la simplificación previa a la multiplicación ya que
facilita el cálculo.
Los mismo se sugiere para el caso de la división.
Por ejemplo = =
5f
4b
:
f
8b
5f
4b
•
8b
f
10b2 3 2
3
Establezca permanentemente la relación entre la multi-
plicación y división de fracciones algebraicas y numéricas,
presentando ambos casos paralelamente para mayor cla-
ridad de los estudiantes.
Tal como se planteó en la simplificación de fracciones, es
imprescindible declarar las restricciones que estas presenten
ya que en la operatoria suelen“perderse”. En el caso de la
división, enfatice —como se plantea en el texto— que tanto
el numerador como el denominador de la fracción divisor
deben ser distintos de cero: en el desarrollo del ejemplo se
simplifica por a – 1 y, por ello, no se observa esta restricción
en el resultado final, pese a que es una condición para que
efectivamente la operación pueda realizarse.
Mencione que siempre es mejor entregar como resultado
una fracción algebraica simplificada hasta obtener su frac-
ción irreductible equivalente, pues esta es su forma más
simple y además, eventualmente, les será más fácil si es
que nuevamente hay que operar con ellas.
Los estudiantes suelen factorizar de forma incorrecta, por lo
cual las simplificaciones y posteriores operaciones resultan
erróneas. Para evitar esto, repase nuevamente cada uno de los
métodos de factorización, especialmente el de trinomio con
factor común, cuadrado de binomio y suma por diferencia.
Como se mencionó, algunos errores provienen de no haber
establecido claramente las restricciones de las fracciones an-
tes de operar. Solicite a los estudiantes que analicen siempre
y declaren por escrito las restricciones, y que contrasten los
resultados obtenidos con ellas.
Errores frecuentes
Trabaje los siguientes problemas que permiten aplicar
las operaciones de multiplicación y división de fracciones
algebraicas.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 107 09-01-14 16:32

a) Si los lados de un rectángulo miden h 2
2h 6
+
+
cm y
2
h 42
−
cm, ¿cuál es su área?
R: 1
h h-62
+
cm²
b) Si la altura y la base de un triángulo son
2x 4
x 1
−
−
cm
y x 1
x 2
2
−
−
cm respectivamente, ¿cuál es su área?
R: (x + 1) cm²
c) ¿Qué fracción algebraica al ser dividida por x 2
x 2
−
+resulta x 42
( )− ?
R: x 6x 8
x 2
2
− +
+
27
Adición y sustracción de
Págs. 182 a 185
Propósito
Sumar y restar fracciones algebraicas.
Palabras clave
Fracciones algebraicas, sumar, restar, mínimo común múl-
tiplo, simplificar, amplificar
Prerrequisitos
§§ Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.
§§ Amplificación de fracciones algebraicas.
§§ Simplificación de fracciones algebraicas.
§§ Adición y sustracción de fracciones numéricas.
Presente a los estudiantes ejemplos numéricos de adición y
sustracción de fracciones de distinto denominador, en los que
deban aplicar el método de igualación de denominadores.
Puede ser conveniente además analizar algunos procedi-
mientos erróneos y justificar por qué lo son, por ejemplo:
•
a
b
+
c
d
a+c
b+d
= •
a
b
+
c
d
ab+cd
bd
=
En los casos anteriores, puede reemplazar a, b, c y d por
valores numéricos.
En la lección se plantean las expresiones mixtas, es decir,
adiciones o sustracciones de expresiones algebraicas no
fraccionarias con otras que sí lo son. Recuerde a los estu-
diantes la interpretación de un número mixto, y la expresión
de un número mixto como fracción impropia y viceversa.
Antes de trabajar los casos propuestos en el texto para frac-
ciones algebraicas con binomios y trinomios, se sugiere
comenzar con monomios.
Por ejemplo, + =
5
6wm
m
2wm2
mcm = 6wm²
Igualamos denominadores y luego sumamos,
+
= =
5m 3m
6wm
8m
6mw
4
3wm2 2
Es posible que los estudiantes quieran utilizar el méto-
do de multiplicar cruzado para sumar o restar fracciones
algebraicas, pues es una forma más mecánica y menos
engorrosa que el método del mínimo común múltiplo.
Muestre que este método, si bien, es fácil tiene la desven-
taja de que puede entregar fracciones con numeradores y
denominadores muy amplificados, por lo cual la respuesta
final siempre debería ser simplificada, lo cual en ocasiones
resulta más complicado pues las expresiones a factorizar
no son tan sencillas.
En la sustracción de fracciones algebraicas, explicite que
la línea de fracción actúa como signo de agrupación (pa-
réntesis), por lo que deben cambiarse todos los signos del
numerador cuando se resta. Este es un error muy frecuente,
por lo que es imprescindible que lo recalque cada vez que
se resuelvan ejercicios de este tipo.
Para sumar o restar fracciones, en ocasiones los estudiantes su-
man o restan numeradores con numeradores y denominadores
con denominadores. Como este error está arraigado desde la
suma y resta de fracciones numéricas, ahora este error se podría
presentar con mayor frecuencia. Para evitarlo, revise constante-
mente los procedimientos realizados por los estudiantes.
Como se mencionó anteriormente, los estudiantes suelen
cometer errores con los signos negativos cuando preceden
a una fracción algebraica. Es esperable que una ejercitación
constante y posterior revisión de los resultados permita sub-
sanar estas equivocaciones..
Errores frecuentes
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 108 09-01-14 16:32

41 2 3
Plantee las siguientes situaciones a sus estudiantes.
a) Al restar dos fracciones algebraicas se obtiene
a 2a 1
a 1
2
2
− −
−
. Si el minuendo es a 1
a 1
−
+
, ¿cuál es el
sustraendo?
R: 3 2n p
4np
2 3
5
−
b) La suma de dos expresiones algebraicas es a 2
a
3
2
+ . Si
uno de los sumandos es 2
a2
, ¿cuál es el otro?
R: 1 a
a
2
+
28
Resolución de problemas que
involucranecuacionesfraccionarias
Págs. 186 a 191
Propósito
Resolver problemas que involucran ecuaciones algebraicas.
Palabras clave
Ecuación fraccionaria, expresión, fracción algebraica, igual-
dad, soluciones
Prerrequisitos
§§ Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.
§§ Cálculo de mínimo común múltiplo de expresiones
algebraicas.
§§ Factorización de expresiones algebraicas.
§§ Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas.
§§ Adición y sustracción de fracciones algebraicas.
Si ha trabajado con los estudiantes en cursos anteriores, o
para contenidos anteriores, pasos determinados para la re-
solución de problemas, recuérdelos al inicio de esta lección,
con el fin de enfatizar que existen mecanismos que nos
permiten verificar la corrección de los métodos empleados,
más allá de la obtención de la respuesta. Puede preguntar
a los propios estudiantes qué pasos siguen ellos en cada
caso, y discutir respecto de la conveniencia de aplicar pro-
cedimientos sistemáticos en la resolución de problemas.
En la lección se presenta un método paso a paso para la
resolución de problemas que involucran fracciones alge-
braicas. Es importante que los estudiantes sistematicen sus
procedimientos como una forma de trabajar ordenadamente
y que les garantice la obtención de una solución correcta y
pertinente. Sin embargo, es conveniente que no imponga
un único método de resolución. Permita que los estudiantes
utilicen distintos procedimientos para resolver una ecuación
fraccionaria y problemas asociados a ella, pues de esta forma
los estudiantes podrán aplicar y desarrollar sus conocimientos
adquiridos y también podrán descubrir nuevas relaciones y
formas de resolver según las características particulares de
cada ecuación. Al finalizar, sintetice los pasos y converse con
ellos respecto a la validez de los métodos empleados.
Es fundamental que enfatice que un problema puede estar
bien planteado y, aun así, presentar soluciones que no son
pertinentes. Plantee a los estudiantes que una ecuación se
resuelve matemáticamente con independencia de la situa-
ción que esté modelando, y a partir de ello puede analizarse
si tiene solución o no. Esto es distinto a que el problema
tenga solución o no, lo que puede estar determinado por
las condiciones específicas de este.
Es posible que los estudiantes tengan dificultades para traducir
un enunciado verbal a una ecuación fraccionaria, problema
que puede ser arrastrado desde años anteriores o remitirse
específicamente a enunciados que involucran fracciones. Para
ayudarlos puede recordar con ellos algunos términos como
aumento, disminución, sucesor, inverso, opuesto, producto,
cociente, etc. Además, puede pedirles que lean en voz alta
algunos enunciados y en conjunto con el curso descubrir la
ecuación correspondiente. Con esta ayuda les puede resultar
más fácil plantear este tipo de ecuaciones.
Errores frecuentes
a) Discuta con los estudiantes la segunda pregunta
planteada en la sección Razona y comenta: ¿Por qué
es importante restringir la solución en una ecuación
fraccionaria? ¿Por qué no se realiza lo mismo en
las ecuaciones lineales de primer grado? ¿Cuál es
la diferencia? Puede resultar interesante para los
estudiantes verificar que una ecuación de primer
grado no tendrá restricciones, aunque sí puede ocurrir
que la solución obtenida no sea pertinente. Al incluir
las ecuaciones fraccionarias —y posteriormente las de
segundo grado— el análisis deberá realizarse tanto a
partir de las restricciones como de la pertinencia.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 109 09-01-14 16:32

b) Para profundizar puede plantear los siguientes
problemas con incógnita.
• Una llave llena un estanque en 2 horas y otra lo hace
en 5 horas. ¿Cuántos minutos demoran estas dos llaves
juntas en llenar el estanque?
R: 1 hora 26 minutos aproximadamente.
• El denominador de una fracción es mayor en 4 unida-
des que su numerador. Si el numerador de la fracción
se multiplica por 2 y el denominador se aumenta en
una unidad, resulta el neutro multiplicativo en los nú-
meros enteros. ¿Cuál es la fracción?
R: 5
9
• Si el doble de un número aumentado en 3 unidades
se divide por el mismo número aumentado en 2 uni-
dades, resulta el cociente entre el doble del número
y su antecesor. ¿Cuál es la mitad del número original?
R: 1
2
−
Página 192
Para el problema propuesto en esta sección, se recomienda
que el docente enfatice a los estudiantes que deben buscar
una expresión equivalente a la dada, pero más sencilla, pues
con una fracción algebraica más simple se facilita la búsqueda
de condiciones para que esta expresión sea positiva. La forma
propuesta por el libro consiste en desarrollar las sustracciones
de fracciones algebraicas presentes en el numerador y en
el denominador de la fracción dada. Con ello se obtienen
expresiones idénticas que pueden ser simplificadas, redu-
ciendo notablemente la complejidad de la fracción original. A
continuación es posible determinar la condición para que la
expresión b/a sea un número positivo. El cociente será positi-
vo si tanto numerador como denominador tienen igual signo.
Tal como se propone en el texto, es importante que los
estudiantes verifiquen la conclusión obtenida asignando
diversos valores que cumplan la condición encontrada, así
como también valores que hagan que la expresión alge-
braica sea negativa.
Para complementar la actividad del texto, proponga a los
estudiantes nuevas expresiones algebraicas y que determi-
nen condiciones para que, por ejemplo, la expresión sea un
número negativo. Recuérdeles verificar sus conclusiones
asignando valores a las letras involucradas.
Página 193
En la primera situación presentada en esta página, el signo ne-
gativo previo a una expresión algebraica altera todos los signos
deella.Losestudiantessuelencambiarsoloelprimeroymante-
nerlosdemás,obteniendoconestoresultadosfinaleserróneos.
Para evitar este tipo de errores, recomiende a sus estudiantes
utilizarparéntesis,puesdeestaformalesserámásfácilvisualizar
y posteriormente hacer el cambio de signos correctamente.
En la segunda situación se requiere cambiar el signo de una
expresión para poder simplificar, pero es posible que los es-
tudiantes no noten que una expresión al cuadrado equivale
al producto de dos expresiones, por lo que hay dos signos
involucrados en ella. Para evitar este tipo de dificultades
sugiérales descomponer el cuadrado como un producto
para que sea más fácil visualizar dichas expresiones y los
signos correspondientes.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 110 09-01-14 16:32

41 2 3
Analiza la siguiente resolución e identifica el o los errores
que se cometen. Luego, escribe la solución correcta.
2
ax 1
a 1
ax 1
1
a x 1
/ (ax 1)(ax 1)
2(ax 1) (a 1)(ax 1) 1
2ax 2 a x a ax 1 1
3ax a x a 1 1 / 1 a
3ax a x a
x(3a a ) a / : (3a a )
x
a
(3a a
x 3 a
2 2
2
2
2
2 2
2)

−
−
+
+
=
−
− +
+ − + − =
+ − − + − =
− − + = − +
− =
− = −
=
−
= −
Respuesta:
En el segundo paso se omite el paréntesis que agrupa a los
términos de la expresión (a²x – a + ax – 1). Además en el
último paso se comete el error de dejar como numerador
la expresión 3 – a, siendo denominador de la fracción con
numerador 1.
El cálculo correcto es: 2
ax 1
a 1
ax 1
1
a x 1
2(ax 1) (a 1)(ax 1) 1
2ax 2 (a x a ax 1) 1
2ax 2 a x a ax 1 1
ax a x a 2
x(a a ) 2 a
x
2 a
a(1 a)
2 2
2
2
2
2
−
−
+
+
=
−
+ − + − =
+ − − + − =
+ − + − + =
− + =−
− =− −
=
− −
−
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 111 09-01-14 16:32

Págs. 194 y 195
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Definir una fracción algebraica y sus
restricciones.
1 y 2 Si los estudiantes presentan problemas para determinar las restricciones
de una fracción algebraica, establezca junto e ellos los pasos necesarios
para determinarlo, asegurándose que comprenden este concepto. Puede
plantearles para ello las siguientes preguntas:
•• ¿Qué NO puede ocurrir nunca en una fracción?
•• En esta fracción, ¿cómo se puede determinar cuando el denominador
es igual a cero?
Respecto de la segunda pregunta de este indicador, puede remplazar
las letras por valores numéricos y pedir a los estudiantes que resuelvan.
Cuando lo hayan hecho, pueden volver a las expresiones algebraicas y
responder nuevamente, siguiendo el ejemplo de su respuesta anterior.
Analizar una fracción algebraica. 3, 4 y 5 Las principales dificultades de los estudiantes pueden deberse a que no
han acabado de comprender el papel que cumplen los términos de una
fracción algebraica. Para ello, puede repasar las actividades planteadas en
la lección correspondiente utilizando los ejemplos numéricos planteados,
a fin de que observen el comportamiento de una fracción numérica
cuando cambian sus términos, o en qué casos es positiva o negativa.
Para el cálculo del valor numérico de las fracciones planteadas, los errores
pueden deberse a un manejo poco cuidadoso de las expresiones y a no
respetar las prioridades de las operaciones, lo que puede solucionarse con
una permanente ejercitación.
Calcular mcd y mcm de expresiones
algebraicas.
6 y 7 Para evitar que los estudiantes confundan los procedimientos para calcular
el mcm y mcd de las expresiones dadas, plantee la relación con los
métodos utilizados en números naturales, para ayudar a su comprensión.
En la resolución de problemas, los estudiantes pueden confundir cuál de los
dos cálculos deben hacer para encontrar la solución al problema planteado.
Puede pedirles que remplacen las letras por valores numéricos e intenten
resolver el problema, para así deducir cuál es el cálculo adecuado.
Amplificar y simplificar fracciones
algebraicas.
8, 9, 10 y 11 Las dificultades respecto de estos indicadores son comunes, y pueden
deberse tanto a un desorden o descuido en la operatoria como a una
incorrecta comprensión de los conceptos involucrados.
Para lo primero, revise los procedimientos que hayan seguido los estudiantes
para detectar así sus errores específicos; si es necesario solicíteles que
expliquen cada uno de los pasos. Para lo segundo, pídales que vuelvan a los
ejemplos propuestos en las lecciones correspondientes y los reproduzcan en
su cuaderno, para propiciar la comprensión de cada paso.
Multiplicar y dividir fracciones
algebraicas.
12, 13 y 14
Sumar y restar fracciones algebraicas. 15, 16 y 17
Resolver problemas que involucran
ecuaciones fraccionarias.
18 y 19 Es posible que los estudiantes tengan inconvenientes al plantear
la ecuación correspondiente a los problemas dados. Evite estas
posibles dificultades haciendo un listado de enunciados verbales y sus
correspondientes representaciones algebraicas.
Recuérdeles además que deben verificar las respuestas obtenidas según el
contexto del problema dado.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 112 09-01-14 16:32

41 2 3
Sección 2
Función exponencial,
logarítmica y raíz
De esto se trata
En ocasiones, el desarrollo de la matemática se ha visto
impulsado por formas novedosas de enfrentar los proble-
mas, de maneras que hasta el momento no habían sido
exploradas.
Para los estudiantes ha sido natural, desde cursos an-
teriores, relacionar funciones con su gráfica. Lo han hecho
con la función afín, identificándola con una línea recta y
analizando sus variaciones según cambien los parámetros
involucrados en ella. Sin embargo, esta forma de trabajar
es reciente históricamente hablando, y se debe al aporte
de René Descartes.
Los griegos habían estudiado algunas curvas en la anti-
güedad, y lograron determinar muchas de sus características
esenciales. Sin embargo, no fue sino hasta Descartes que se
comenzó a asociar una curva a una ecuación, que descri-
biera la relación entre el incremento horizontal (variable x)
y el vertical (variable y). La fusión de dos miradas (analítica
y geométrica) significó el avance que hoy nos permite mo-
delar situaciones diversas y predecir comportamientos de
fenómenos de manera mucho más intuitiva y clara.
¿Qué debes saber?
Caracterizar funciones y calcular valores con ellas
Para este indicador, conviene que repase con los estu-
diantes el concepto de función explicitando los nombres
de los elementos involucrados (dominio, recorrido, imagen,
etc.). Puede apoyarse en ejemplos y preguntas sencillas para
reforzar, por ejemplo:
A cada alumno del curso se le asigna un número entre
1 y 36 (o el número de estudiantes del curso). ¿Es una fun-
ción? ¿Cuál es su dominio y su recorrido? ¿Cuál es la imagen
de Martínez (u otro estudiante)?
Se consideran los números del 0 al 120, y se asigna a
cada uno los habitantes de una ciudad, según si tienen esa
edad en años. ¿Es una función? ¿Por qué?
Analizar y graficar funciones
Para este indicador, verifique que los estudiantes distin-
guen las funciones lineal y afín. Supervise además que, para
una función dada, son capaces de identificar su variable
independiente, dependiente y sus parámetros. Además,
deben ser capaces de construir adecuadamente una tabla
de valores y representarlos en un gráfico.
Es conveniente que realice con ellos alguno de los ejer-
cicios y, observando el proceso de construcción de un grá-
fico, analicen una función a partir del gráfico,“deshaciendo”
mentalmente el trabajo realizado. Dedique el tiempo que
estime necesario para garantizar un correcto manejo de
estos procedimientos por parte de los estudiantes, ya que
serán fundamentales en esta sección.
29 Funciones, tablas y gráficos
Págs. 198 a 201
Propósito
Analizar gráficas de funciones y sus variaciones.
Palabras clave
Relación, función, dominio, recorrido, tabla de valores, grá-
ficos, evaluación, traslación vertical, traslación horizontal,
ejes coordenados
Prerrequisitos
§§ Concepto de función.
§§ Dominio y recorrido de una función.
Para activar las ideas previas de los estudiantes puede recor-
darles el concepto de función, con los ejemplos utilizados
en la sección Qué debes saber. A continuación, presénteles
una función afín y construya su tabla de valores, su gráfica
e identifique sus parámetros, recordando la función que
cumple cada uno. Procure hacer preguntas a los estudiantes,
para que sean ellos mismos quienes aporten las respuestas
y recuerden este contenido.
Recalque a los estudiantes que deben ser cuidadosos y
ordenados al confeccionar una tabla de valores, pues suelen
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cometer errores al evaluar funciones especialmente cuando
hay involucrados signos negativos.
Los estudiantes deben saber que para graficar rectas solo
se requieren dos puntos, por lo que les puede parecer in-
necesario realizar una tabla de valores. Mencione que es
preciso hacerlo, ya que en esta sección se deberá analizar
el comportamiento de otras funciones, de las que aun no
se conocen sus características.
Por otro lado, enfatice que las transformaciones al gráfico
de una función f(x) (traslaciones verticales y horizontales)
son válidas para cualquier función.
Una dificultad frecuente para los estudiantes es que la
traslación vertical sigue un comportamiento esperable (si
se suma un valor positivo, se desplaza hacia los positivos),
mientras que para la traslación horizontal opera de manera
inversa, es decir, si se suma un valor positivo la traslación se
da hacia los negativos. Para que comprendan mejor este
punto, puede plantear el siguiente ejemplo:
Considere la función f(x), y supongamos que
f(a) = b.
Si tomamos ahora la función f(x + p), con p > 0, el valor de
x para el cual f(x + p) = b es a – p, pues:
f((a – p) + p) = f(a + p – p) = f(a) = b
a – p es un valor menor que a, es decir, la función toma
el valor b“antes”. Si es necesario, puede utilizar este ejem-
plo asignando valores numéricos a a, b y p, por ejemplo
a = 1, b = 2 , p = 3.
Es posible que los estudiantes cometan errores en las tablas
de valores, ya que no respetan las prioridades de las opera-
ciones. Para evitar este inconveniente, corrija en el momento
estas equivocaciones, y enfatice en la necesidad de un trabajo
ordenado y metódico.
En ocasiones, los estudiantes confunden el eje respecto del
cual se realiza la reflexión; al comparar las funciones f(x) y f(–x),
puede ser que al ver el signo negativo junto a la x asuman
que la reflexión correspondiente es respecto del eje X. Para
evitarlo, procure que hagan el razonamiento análogo al que
se explicó para las traslaciones, es decir, si para f(x), f(a) = b,
entonces para f(–x), f(–a) = b pues:
f(–(–a)) = f(a) = b
–a es el valor simétrico de a respecto del eje Y, por lo que la
reflexión de la gráfica es respecto del eje Y.
Errores frecuentes
Es posible que los estudiantes cometan errores en las tabl
30 Función raíz cuadrada
Págs. 202 a 203
Propósito
Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.
Palabras clave
Raíz cuadrada, cantidad subradical, gráfica, números reales,
dominio, recorrido, contracción, dilatación
Prerrequisitos
§§ Concepto y cálculo de raíz cuadrada.
§§ Dominio y recorrido de una función.
§§ Resolución de ecuaciones radicales.
Para activar los conocimientos previos de los estudiantes,
plantéeles las siguientes actividades:
• Calcular el valor de las siguientes raíces cuadradas:
16 125 4a b2 6
36a b8
• Dadas las siguientes expresiones, ¿qué condiciones debe
cumplir x para que correspondan a un número real?
x x –2 x+5 7x –3
El marco curricular establece en forma explícita el uso de
software para el análisis de funciones, por lo que conviene
que, en la medida de lo posible, se privilegie el uso de esta
herramienta tecnológica y se permita a los estudiantes fami-
liarizarse con el programa escogido, destinando un tiempo
prudente a verificar que lo utilizan adecuadamente.
Considerando la función f(x) a x –b= , es importante que
los estudiantes comprendan que, contrario a lo que podría
decir su intuición, un valor absoluto de a entre 0 y 1 produce
una dilatación (se abre con respecto al eje Y), en cambio un
valor absoluto de a mayor que 1 produce una contracción
(se cierra con respecto al eje Y) de la función f(x) x –b= .
Además, tal como aprendieron en la lección anterior, para
un valor de b mayor que 0 la función f(x) a x –b= corres-
ponde a una traslación horizontal hacia los positivos de
f(x) a x= , y lo contrario ocurre si el valor de b es negativo.
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41 2 3
Cuando a los estudiantes se les pide determinar el punto de
intersección con los ejes les cuesta deducir qué deben hacer
para determinarlo. Muéstreles gráficamente por qué para en-
contrar la intersección con el eje X igualamos la función a 0, y
por qué para encontrar la intersección con el eje Y reemplaza-
mos x por 0; al observar el sistema cartesiano es inmediato que
el eje X corresponde a los puntos para los cuales la ordenada
es igual a 0, mientras que el eje Y se compone de aquellos
que tienen abscisa nula. Enfatice además que la respuesta es
un punto y no solo un valor.
Errores frecuentes
a) Puede mostrar a los estudiantes que, al analizar
la función f(x) a x –b= , implícitamente se está
analizando la función g(x) cx –b= , ya que pueden
expresarse en forma equivalente:
g(x) cx –b
cx –c
b
c
c x –
b
c
=
=
=
Es decir, la función g(x) puede manipularse
algebraicamente de manera que consista en una
constante c multiplicando a la raíz, de la variable
más o menos una constante b
c
. Por esta razón, solo
analizamos una de las funciones.
Puede plantear también los siguientes problemas.
b) Si el perímetro de un cuadrado mide 16a2
cm, ¿cuál
es la medida de su diagonal?
R: 4 2a cm2
c) En el triángulo rectángulo de la figura, el cateto AC
mide 6 cm. Si el cateto BC aumenta su tamaño, ¿cuál
es la función que relaciona la medida x del cateto BC
con la medida correspondiente a su hipotenusa?
A
C B B B
R: h(x) 36 x2
= +
31 Función exponencial
Págs. 206 a 209
Propósito
Analizar la gráfica de la función exponencial.
Palabras clave
Potencia, crecimiento, decrecimiento, gráfica, dilatación,
contracción, traslación, asíntota, dominio, recorrido
Prerrequisitos
§§ Concepto de potencia, propiedades y operatoria.
§§ Determinación del dominio y recorrido de una función.
Para dar inicio a esta lección y poder activar los conocimien-
tos previos de los estudiantes, puede retomar las aplicacio-
nes de logaritmos vistas en la unidad 1. Como se vio allí, la
energía liberada por un temblor (en ergios, E) y su magnitud
en grados Richter se relacionan mediante la fórmula
log E = 1,5R + 11,8
Esta relación se puede expresar en forma exponencial
log E = (1,5R + 11,8)
10log E
= 10(1,5R + 11,8)
E = 1011,8
• (101,5
)R
Así expresada, puede recordar con los estudiantes que un
aumento de 1 grado Richter equivale a multiplicar la ener-
gía liberada por 101,5
, es decir, un aumento enorme. Puede
comenzar con esto para mostrar a los estudiantes que las
funciones exponenciales modelan situaciones en que el
crecimiento o decrecimiento de una variable es muy rápido.
En el problema inicial presentado en el texto, es importante
que los estudiantes noten que en el primer cultivo la po-
blación se triplica cada minuto, en cambio en el segundo
cultivo se reduce cada minuto a la tercera parte. Conside-
rando estos aspectos haga notar a los estudiantes que si
el proceso continúa sucesivamente en el primer cultivo
puede haber, teóricamente, tantas bacterias como se quiera,
en cambio en el segundo cultivo no se podrían extinguir
las bacterias. Explíqueles que las funciones utilizadas para
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modelar situaciones tienen a veces estas limitaciones a la
hora de representar lo que ocurre en casos límite, por lo
que requieren de una adecuada interpretación según el
contexto en el que se esté trabajando.
Después de analizar la situación presentada en el texto,
puede preguntar a los estudiantes cuáles serían las fun-
ciones asociadas si ahora el experimento se realiza con dos
poblaciones iniciales de 5000 bacterias cada una, y una de
ellas se duplica cada un minuto mientras la otra disminuye
a la mitad.
En esta lección los estudiantes se enfrentan por primera
vez al concepto de asíntota. Para reforzar la idea de que
una curva se acerca cada vez más a la asíntota pero sin
intersecarse nunca con ella, puede plantear otros ejemplos
vistos anteriormente en el texto, por ejemplo:
• En la fracción 5
x
, si el valor de x aumenta el valor de
la fracción se acerca cada vez más a 0, pero nunca es
igual a 0.
• Para 2 podemos tener aproximaciones con cientos
de miles de decimales… pero podríamos seguir“has-
ta el infinito”sin tener una expresión decimal exacta
para 2.
Es muy importante que, si no utiliza el software sugerido
en el texto, utilice otro que incluya herramientas como el
deslizador, que permite variar los parámetros de manera
sencilla y con ello visualizar fácilmente las modificaciones
de la gráfica.
Dependiendo del software que se utilice, es posible que los
gráficos presenten errores aparentes, especialmente por la
asíntota de la función que puede aparecer cortada por la curva.
Aclare a los estudiantes que los posibilidades del software son
limitadas y sirven solo para hacernos una idea del compor-
tamiento de la función y facilitar su estudio, pero es preciso
interpretar los resultados que nos entrega y contrastarlos con
el análisis teórico.
Errores frecuentes
a) Inventa una situación problemática que se pueda
modelar a través de una función exponencial. Define
cada uno de los parámetros y expón al curso.
b) Grafica las siguientes funciones, determina su dominio,
recorrido e intersección con los ejes.
• f(x) 3 –2x
=
• f(x) –2 +5x
=
• f(x) 4 –1x–3
=
En el primer caso, puede permitir que los estudiantes in-
vestiguen primero respecto de situaciones que involucran
la función exponencial, y a partir de ello identifiquen el rol
de los parámetros en ella y su relación con la situación.
Para los gráficos, supervise la construcción de ellos si-
guiendo los pasos analizados en la lección, y luego si
desean pueden verificar con un procesador geométrico.
32 Función logarítmica
Págs. 210 a 213
Propósito
Analizar la gráfica de la función logarítmica.
Palabras clave
Potencia, crecimiento, decrecimiento, gráfica, dilatación,
contracción, traslación, asíntota, dominio, recorrido
Prerrequisitos
§§ Concepto de logaritmo, propiedades, operatoria y su
relación con las potencias.
Si bien los estudiantes no han realizado un análisis algebrai-
co de las funciones inversas —ni es parte de los contenidos
de este curso— puede ser muy útil para relacionar las fun-
ciones exponencial y logarítmica establecer las relaciones
entre ellas. Especialmente, repase el cálculo de logaritmos
por definición y las restricciones de ellos. Es imprescindible,
para esta lección, que los estudiantes se hayan familiarizado
adecuadamente con estos procedimientos.
En el texto, el análisis de las tres funciones se realiza a partir
de un taller, para propiciar la experimentación de los estu-
diantes y que de esta manera puedan obtener conclusiones
por sí mismos. La utilización de una misma estructura de
trabajo puede permitir a los estudiantes captar más fácil-
mente las similitudes y diferencias en cada caso, por lo que
es recomendable que al trabajar en esta lección retome
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41 2 3
los pasos que se siguieron en el análisis de las funciones
anteriores, y los aplique nuevamente aquí.
Muchos errores de los estudiantes pueden provenir de una
incorrecta aplicación de las propiedades de los logaritmos, tal
como se vio en la unidad 1. Repase con ellos estas propiedades
y, si es necesario, repita algunos ejercicios de dicha unidad
antes de abordar esta lección.
Errores frecuentes
a) Grafique, en un mismo sistema, las funciones f(x) = 10x
y g(x) = log x. Utilizando el deslizador, establezca un
mismo valor para la base de la potencia y del logaritmo,
y modifíquelos. Al hacerlo, analice con los estudiantes
las similitudes y diferencias entre las gráficas obtenidas.
b) Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa, para
ello escribe V o F según corresponda.
• La función f(x) = loga
x es decreciente si a < 0.
R: Falso
• Los gráficos de las funciones de la forma f(x) = loga
x
intersectan al eje X en el punto (1, 0).
R: Verdadero
• Los gráficos de la funciones de la forma f(x) = ax
son
siempre crecientes.
R: Falso
• El recorrido de la función f(x) = ax
+ 1 con a > 1 corres-
ponde al conjunto ]1, +∞ [.
R: Verdadero
Página 214
puede solicitarles que en primer lugar intenten resolver el
problema planteado sin mirar la resolución propuesta, luego
discutan en grupos, analizando la forma planteada en el
libro y realizando aportes finales que puedan optimizarla
o perfeccionarla.
El problema propuesto en el texto es una aplicación de la
función exponencial en el ámbito de las ciencias biológicas.
Para la resolución de este problema es fundamental que los
estudiantes comprendan el enunciado, los datos que tienen,
lo que necesitan encontrar así como la función que modelaría
esta situación. Además es importante que comprendan cada
uno de los pasos en el procedimiento propuesto para poder
responder la pregunta planteada. En la unidad 1 han resuelto
problemas de este tipo, pero tienen ahora la posibilidad de
integrar en el análisis la gráfica e la función.
Para complementar la actividad del texto, proponga a sus
alumnos inventar nuevas situaciones similares que puedan
ser resueltas a través de una función exponencial, luego
que intercambien sus problemas con otros compañeros y
los resuelvan siguiendo los pasos propuestos en el texto.
Página 215
La primera situación planteada le permitirá detectar si los
estudiantes comprendieron adecuadamente la traslación
horizontal de una función. En caso de ser necesario, so-
licíteles que vuelvan a la lección 29 y repasen este pro-
cedimiento. En la segunda situación, el error es un poco
más difícil de detectar, pero tiene que ver con la correcta
interpretación de cuál es el argumento de una función.
En este sentido, la variable x cumple este rol y es a ella a
la que se le debe sumar o restar el valor respectivo, para
posteriormente considerar el signo o los coeficientes que
puedan acompañarla. Para reforzar esto, puede plantear a
los estudiantes los siguientes ejemplos:
Sea f(x) = –3x + 2
f(x – 1) = –3(x – 1) + 2 = –3x + 3 + 2 = –3x + 5
f(–2x + 1) = -3(–2x + 1) + 2 = 6x – 3 + 2 = 6x – 1
Para complementar la actividad del texto, plantee a los es-
tudiantes nuevas funciones a graficar y dónde deban aplicar
transformaciones similares a las presentadas. Con esto, ellos
podrán aplicar lo aprendido y usted podrá observar cómo
las grafican, y según esto podría realizar un repaso si aun
presentan dificultades o siguen cometiendo los mismos
tipos de errores.
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Págs. 216 y 217
Analizar gráficas de funciones y sus
variaciones.
1 y 2 Para este indicador, permita a los estudiantes que presenten
dificultades que realicen los ejercicios con ayuda de la lección
correspondiente, para poder identificar las variaciones que se
producen en la gráfica. En la medida que verifique un mayor
dominio por parte de los estudiantes, estimúlelos a realizar
nuevamente los ejercicios de la lección sin ayuda.
Analizar la gráfica de la función raíz
cuadrada.
3 y 4 Para los estudiantes que presenten mayores dificultades, realice
un repaso de raíces, potencias y logaritmos, estableciendo en
cada caso sus propiedades y restricciones. Puede ser útil para
esto que vuelvan a las secciones 2 y 3 de la unidad 1, y realicen
nuevamente los ejercicios propuestos que tienen que ver con
propiedades.
Es conveniente que repase con los estudiantes la manera
de determinar las intersecciones con los ejes y el dominio y
recorrido de una función. Refuerce los conceptos involucrados,
para evitar que los estudiantes apliquen procedimientos
mecánicos sin pensar en lo que están haciendo. De esta
manera, sus conocimientos se fijarán de manera más sólida.
Si es necesario, además, ínstelos a construir los gráficos
propuestos en los ejercicios de las lecciones en forma manual,
considerando las características de cada función.
Analizar la gráfica de la función
exponencial.
5, 6, 7 y 8
logarítmica.
9, 10, 11 y 12
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41 2 3
Sección 3
Sistemas de
ecuaciones lineales
De esto se trata
La resolución de problemas en matemática supone,
muchas veces, una abstracción de la vida real que “aísla”
las situaciones, sin considerar las interacciones entre las
múltiples variables que intervienen en un fenómeno. Así,
cuando planteamos una ecuación, estamos representando
solo una relación (o quizás dos, a lo más) entre las variables
involucradas.
Sin embargo, muchas veces es necesario satisfacer simul-
táneamente un gran número de condiciones en un proble-
ma, lo que obliga a encontrar métodos para determinar la
respuesta y verificar que cumple con los requisitos. A esto
apuntan los ejemplos planteados aquí, como el horario es-
colar o la distribución de fechas de un campeonato depor-
tivo. Si consideramos una sola condición tenemos muchas
opciones (en ocasiones, infinitas), pero en la medida que
se integran más, la discusión ya puede centrarse respecto
de la más conveniente de las soluciones, o incluso respecto
de la existencia de una solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen un
primer paso en la resolución de este tipo de problemas, y
se puede motivar su estudio a partir de estas situaciones.
Dedique un tiempo a la motivación de este contenido a
partir de sus interesantes aplicaciones.
¿Qué debes saber?
Plantear y resolver problemas con ecuaciones de
primer grado
Se espera que los estudiantes no tengan problemas en
la resolución de ecuaciones de primer grado, aunque no
siempre sean capaces de explicar formalmente los meca-
nismos utilizados para resolverlas. Verifique que manejan
el vocabulario adecuado y aplican los procedimientos co-
rrectos, evitando descripciones coloquiales, ya que en esta
sección deberán formalizar procedimientos.
Es importante también que verifique que los estudian-
tes manejan adecuadamente el lenguaje algebraico y son
capaces de representar proposiciones simbólicamente.
Revise con el curso estos ejercicios enfatizando la relación
entre expresiones y operaciones de uso común (la mitad y
dividir por 2, el triple y multiplicar por 3, etc.)
Identificar, graficar y analizar funciones afines
Para este indicador, recuerde a los estudiantes cómo
se grafican rectas utilizando los conceptos de pendiente y
punto de intersección con el eje Y. Enfatice también, espe-
cialmente, que un punto pertenece a una recta determinada
si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta; y a
la inversa se puede afirmar que si satisfacen la ecuación
entonces pertenecen a la recta.
33
Sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Págs. 220 a 221
Propósito
Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.
Palabras clave
Sistemas de ecuaciones, incógnitas, variables, coeficientes,
términos libres, soluciones, tablas de valores
Prerrequisitos
§§ Resolución de ecuaciones de primer grado.
§§ Traducción de lenguaje natural a lenguaje algebraico.
§§ Resolución de problemas con ecuaciones de primer
grado.
Para activar las ideas previas, presente a los estudiantes una
ecuación de primer grado con dos incógnitas, por ejemplo
2x + 3y = 5, y pídales que asignen valores a x e y que cum-
plan la igualdad. La idea es que descubran que este tipo de
ecuaciones tiene infinitas soluciones, pero se podrían acotar si
se plantea un contexto específico. Pregunte a los estudiantes
otras situaciones que ellos plantean y resuelven por tanteo.
Inicie esta lección conversando sobre el concepto de ecua-
ción lineal con dos incógnitas a partir de la situación presen-
tada en el texto. Para los estudiantes puede parecer extraño,
en principio, llamarla ecuación si no es posible determinar
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 119 09-01-14 16:32

una solución única, ya que a eso están acostumbrados.
Enfatice que se puede restringir el conjunto de soluciones
dependiendo del contexto de un problema determinado.
Es importante aclarar a los estudiantes que en una ecuación
de dos incógnitas y en un sistema de ecuaciones la solución
es un par ordenado de valores, pero no es que se trate de
dos soluciones.
Explique también que, si bien suelen seguirse algunas con-
venciones tales como el orden alfabético, no siempre es
evidente el orden escogido para expresar el par ordenado.
Por ejemplo, si se tiene un sistema como
3x –2y 4
y+4x 9
=
=
es necesario explicitar que la solución se escribirá en la for-
ma (x, y), es decir, primero el valor de x. Para evitar confu-
siones, puede pedir a los estudiantes que expliciten siempre
cada incógnita de la que están dando el valor; en el caso
anterior, que escriban la solución como x = 2, y = 1.
En esta lección se pide utilizar el método de tabla de va-
lores para resolver un sistema de ecuaciones lineales con
dos incógnitas. No es necesario que hagan una tabla para
cada ecuación, sino que es suficiente que formen una y que
verifiquen qué valores de esa tabla satisfacen la segunda
ecuación del sistema de ecuaciones
a) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones,
utilizando el procedimiento visto en la lección.
•
3x –2y 1
2x+4y 6
=
=
•
–x+3y 9
3x – y 5
=
=
R: 1,1 R: 3,4
b) Plantea y resuelve los siguientes sistemas de ecuacio-
nes, utilizando el procedimiento visto en la lección.
• El promedio de dos números es 150 y su diferencia es
50. ¿Cuáles son los números?
R: 175 y 125
• El doble de la diferencia entre dos números es 44. Si
el triple de uno de los números es el cuádruple del
otro. ¿Cuáles son los números?
R: 352 y 264
34
Sistemas de ecuaciones lineales y
gráficos
Págs. 222 a 225
Propósito
Interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.
Palabras clave
Función afín, sistemas de ecuaciones, pendiente, coeficien-
te de posición, puntos, gráfica, tabla de valores, intersec-
ción, variable, solución, rectas secantes, rectas paralelas,
rectas coincidentes, compatible, incompatible, determi-
nado, indeterminado
Prerrequisitos
§§ Identificar la pendiente y el coeficiente de posición de
rectas.
§§ Calcular la pendiente de una recta.
§§ Construir gráficos de rectas a partir de su ecuación.
§§ Identificar funciones afines y sus gráficos.
§§ Resolver sistemas de ecuaciones con tablas de valores.
En la historia de la matemática abundan ejemplos en los
que, ante un problema determinado, se ha buscado ince-
santemente la solución hasta que alguien se pregunta si,
efectivamente, el problema puede tener solución o no. La
búsqueda de la resolvente de la ecuación de quinto grado
es un ejemplo de ello, cuando los matemáticos buscaban
una fórmula para ella y Galois se dedicó a demostrar (y lo
consiguió) que era imposible encontrarla.
La determinación de las características de la eventual solución
de un problema (incluso antes de encontrarla) ha sido una
forma clásica de trabajo en matemática. Para los sistemas
de ecuaciones, asociar sus ecuaciones a rectas nos permitirá
saber si efectivamente existe una solución, y si esta es única.
Los estudiantes ya han construido gráficos de rectas en
el plano cartesiano y, además, cuentan con la experiencia
necesaria en el uso de software desde la sección anterior,
por lo que no deberían producirse mayores dificultades
a este respecto. Lo que nos interesa ante todo es analizar
un sistema de ecuaciones por medio de un gráfico, más
que construirlo o utilizarlo para resolver (que puede ser un
método muy engorroso y hasta poco eficiente).
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41 2 3
Es importante mencionar a los estudiantes que no todos los
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas están
formados por funciones afines; en muchos casos estarán
formados por funciones lineales del tipo y = ax o por ecua-
ciones de la forma x = a o y = b. Enfatice que aunque no
sean funciones afines es posible graficarlas y determinar la
solución de un sistema de ecuaciones compuesto por alguna
de estas rectas. Muestre a los estudiantes las características
de este tipo de rectas, es decir, cuáles rectas que pasan por
el origen, cuáles son verticales o cuáles son horizontales.
Es importante señalar a los estudiantes que, al tratarse de dos
rectas, no pueden darse casos de intersección en, por ejemplo,
dos puntos: las soluciones o son infinitas, o es única o inexis-
tente. Recalque esto para reforzar la utilidad del análisis gráfico.
En esta lección los estudiantes podrían tener problemas para
graficar, si es que interpretan de forma errónea las pendientes
y coeficientes de posición de las ecuaciones que forman un
sistema de ecuaciones. Para evitar estas dificultades pida a los
estudiantes que expresen cada ecuación en su forma principal,
y luego determinen los valores de los parámetros involucrados.
Respecto de lo anterior, conviene de todos modos explicar a
los estudiantes que en una función se distingue una variable
dependiente y otra independiente, pero en el caso de una
ecuación con dos incógnitas, no hay una que pueda consi-
derarse dependiente de la otra por derecho propio, es decir,
cada una podría considerarse en propiedad como variable
independiente.
Errores frecuentes
a) Sin resolver los siguientes sistemas, determina si cada
uno de ellos es compatible determinado, compatible
indeterminado o incompatible.
•
–2x –5y 10
4x+10y –10
=
=
•
–2(x+y) 30
x+y
3
–5
=
=
R: Incompatible R: Compatible
indeterminado
Verifique que los estudiantes escriban cada sistema de
una forma conveniente para observar los coeficientes
y analizarlos.
b) Inventa 3 sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas: uno compatible determinado, uno com-
patible indeterminado y uno incompatible.
35
Métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales
Págs. 226 a 231
Propósito
Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones
lineales.
Palabras clave
Sistemas de ecuaciones, despejar, remplazar, sustitución,
incógnita, variable, igualación, reducción, solución
Prerrequisitos
§§ Resolver ecuaciones de primer grado.
§§ Reducción de términos semejantes y eliminación de
paréntesis en expresiones algebraicas.
Para iniciar el estudio de esta lección, mencione a los
estudiantes que resolver un sistema de ecuaciones a
través de tablas de valores o gráficos es un método vá-
lido para cualquier sistema de ecuaciones, pero podría
resultar un procedimiento largo y engorroso en algunos
casos. Para que los alumnos comprendan con mayor fa-
cilidad esta idea, presénteles un ejemplo de un sistema
de ecuaciones cuyos coeficientes sean valores altos o
números decimales, y resuelva utilizando tabla de valores
y gráficos, y muéstreles que ambos procesos resultaron
largos y poco eficientes.
En esta lección los alumnos deben aprender tres métodos
de resolución algebraica y ser capaces de decidir cuál de
ellos es más apropiado para un sistema determinado, de-
pendiendo de las características que tiene cada ecuación
que lo compone. De todos modos, es importante destacar
a los estudiantes que todo sistema de ecuaciones puede ser
resuelto con cualquiera de los métodos algebraicos apren-
didos, y que cualquier método utilizado correctamente,
permite obtener la misma solución del sistema.
Procure que los estudiantes lean detalladamente la descrip-
ción de cada método ya que en ella se encuentra contenida
también la descripción del tipo de sistema en el que es más
adecuado utilizarlo.
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Es importante mencionar que en algunos casos será con-
veniente amplificar o simplificar las ecuaciones de un sis-
tema para poder operar mejor con ellas y encontrar con
mayor facilidad las soluciones. Al amplificar o simplificar
se obtienen ecuaciones equivalentes a las originales, por
lo cual cuando queremos verificar una solución podemos
reemplazar los valores de las incógnitas en alguna de las
ecuaciones del sistema original o del sistema modificado.
En los ejercicios propuestos, el ejercicio 10 presenta el
método de Cramer. Realícelo en conjunto con el curso y
muestre la utilidad que tiene para resolver sistemas cuyos
coeficientes pueden ser incluso números irracionales. El
método de Cramer es, además, de gran importancia pues
constituye la forma más general de resolución aplicable a
sistemas de n ecuaciones y n incógnitas
Plantee a sus estudiantes las siguientes actividades de de-
tección de errores en el uso de métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones.
Detecta el método utilizado, el error cometido y luego en-
trega la respuesta correcta al sistema.
a) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
(1) x 2y 5
(2) x 3y 20
− =
+ =
• Despejando la incógnita x en ambas ecuaciones, se
tiene que: (1) x 5 2y
(2) x 10–3y
= +
=
• Igualando ambas expresiones, se obtiene:
5 + 2 = 10 + 3y
5 – 10 = 3y –2y
–5 = y
• Reemplazando y = –5 en la ecuación (1), resulta:
x – 2 (–5) = 5
x – 10 = 5
x = 15
Respuestas:
Se pueden observar 3 errores en los cálculos propuestos:
• Al despejar la incógnita x en las ecuaciones el resul-
tado de la segunda ecuación debe ser x = 20 – 3y.
• Al igualar las expresiones que representan el valor
de x debe resultar 5 + 2y = 10 – 3y.
• Al remplazar el valor calculado para y se debe obte-
ner la expresión x + 10 = 5.
La solución del sistema es x = 11 e y = 3.
b) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
(1) x 2y 10
(2) 3x 4y 20
+ =
+ =
• Al despejar x de la ecuación (1), resulta:
x + 2y = 10 x = 10 + 2y.
• Luego, reemplazando x = 10 + 2y en la ecuación (2)
y despejando y, se obtiene:
(2) 3x 4y 20
3(10 2y) 4y 20
30 2y 4y 20
30 6y 20
6y 10 y
10
6
5
3
+ =
+ + =
+ + =
+ =
=− =− =−
• Finalmente, reemplazando y
5
3
=− en la ecuación
(1), resulta:
x 2
5
3
10
x 10
10
3
20
3
+ − =
= − =
Respuestas:
Se pueden observar 3 errores en los cálculos propuestos:
• Al despejar x de la ecuación (1), resulta:
x = 10 – 2y
• Al aplicar la propiedad de distribución sobre la
expresión 3(10 + 2y) + 4y = 20 resulta
30 + 6y + 4y = 20.
• Al despejar el valor de x de la expresión
x 2 –
5
3
10+ = resulta x
40
3
= .
La solución del sistema es x = 0 e y = 5.
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41 2 3
36
Existencia de soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales
Págs. 232 a 235
Propósito
Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de
un sistema de ecuaciones lineales.
Palabras clave
Sistema de ecuaciones, compatible, incompatible, consis-
tente, inconsistente, solución, variables, incógnitas, deter-
minado, indeterminado
Prerrequisitos
§§ Identificación de tipos de sistema de ecuaciones: com-
patible determinado, compatible indeterminado e
incompatible.
§§ Representación gráfica de sistemas de ecuaciones.
§§ Identificación de pendiente y coeficiente de posición
en funciones afines.
Para activar las ideas previas de los estudiantes, plantéeles
que en la primera lección se definió lo que es un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas y se resolvió mediante
tabla de valores, método que se revela rápidamente como
poco eficiente y motiva a encontrar métodos de resolución
algebraicos. La representación gráfica del sistema ayuda a
determinar a priori si el sistema tiene solución única, infinitas
o ninguna, pero nuevamente nos topamos con algunas di-
ficultades propias al construir el gráfico; además, dos rectas
dibujadas pueden parecer paralelas a simple vista pero no
serlo realmente. Esto motiva a analizar algebraicamente la
naturaleza de los sistemas.
Lea junto a los estudiantes la situación planteada para que
ellos mismos puedan descubrir las características algebrai-
cas de un sistema compatible determinado, compatible
indeterminado o incompatible. La situación enlaza además
con el lenguaje natural, de manera que el análisis puede
realizarse en forma contextualizada.
En el sentido anterior, los estudiantes saben que una ecua-
ción se puede multiplicar a ambos lados por un mismo
número sin que la igualdad se altere, pero no es tan in-
mediato deducir que, en el fondo, la ecuación obtenida
es esencialmente la misma que la original, es decir, que
entrega la misma información. En la actividad propuesta en
la lección esto se hace evidente; recalque a los estudiantes
que en ocasiones el análisis algebraico se puede apoyar en
el lenguaje natural.
Para el caso de los sistemas incompatibles, también es fá-
cil ver que las informaciones dadas son contradictorias. Al
seguir este ejercicio se construye un sistema sabiendo que
no tendrá solución ya que no es razonable que la tenga;
luego es posible verificarlo algebraicamente.
Puede pedir a los estudiantes que diseñen técnicas para
memorizar y asociar correctamente los coeficientes a ana-
lizar para determinar la naturaleza de un sistema de ecua-
ciones. De todos modos, mientras no adquieran la soltura
necesaria, verifique que analicen lo que están realizando
permanentemente.
Puede asimismo mostrar los resultados obtenidos al aplicar
alguno de los métodos de resolución a un sistema compa-
tible indeterminado o a uno incompatible. Para ello, pídales
que apliquen estos métodos a los sistemas obtenidos en
los pasos 2 y 3.
Es importante hacer la distinción de que, en el primer caso,
se obtiene una información verdadera pero imprecisa, es
decir, algo que se cumple siempre, independiente de las
condiciones del problema. Esto no quiere decir que, para
ese sistema, cualquier par de valores sea solución, sino que
tiene infinitas soluciones. En el caso del sistema incompati-
ble, la aplicación de un método de resolución llevará a algo
que no puede ocurrir, es decir, un absurdo.
Plantee a sus estudiantes las siguientes preguntas:
a) ¿Es posible resolver un sistema de ecuaciones con
tres incógnitas y dos ecuaciones? Da un ejemplo que
justifique tu respuesta.
b) ¿Es posible resolver un sistema de ecuaciones con
dos incógnitas y tres ecuaciones? Da un ejemplo que
justifique tu respuesta.
Esta actividad puede permitirle analizar con los estudiantes
que, si hay más incógnitas que ecuaciones, no es posible
determinar el valor de cada una de ellas, mientras que si
hay más ecuaciones que incógnitas necesariamente las
ecuaciones adicionales aportan la misma información que
las dos iniciales (y la naturaleza del sistema no cambia), o
bien hacen incompatible el sistema.
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37
que involucran sistemas de
ecuaciones lineales
Págs. 236 a 241
Propósito
Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de
Palabras clave
Problemas, sistema de ecuaciones, contexto, resolución,
solución, incógnitas, variables, pertinencia.
Prerrequisitos
§§ Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de pri-
mer grado.
§§ Planteamiento de problemas que involucran ecuacio-
nes de primer grado con dos incógnitas.
Para activar las ideas previas de sus estudiantes, converse
con ellos nuevamente sobre la aplicabilidad que tienen los
sistemas de ecuaciones en distintos contextos reales. Men-
cione que es una herramienta que ofrece variadas formas
de resolución, que nos llevarán siempre a la misma solución.
Ahora ellos están capacitados para decidir cuál método
es el más apropiado según el contexto del problema y las
ecuaciones que estén involucradas en el sistema.
Para plantear problemas utilizando sistemas de ecuaciones,
los pasos a seguir son esencialmente los mismos que han
seguido en otras ocasiones, e incluso es probable que los
estudiantes ya lo hayan hecho en otras asignaturas. De cual-
quier manera, sea sistemático en la aplicación de los pasos
propuestos, especialmente en la verificación de la existencia
de una solución al problema como en la pertinencia de la
solución obtenida. Insista a los estudiantes que primero
determinen la naturaleza del sistema y luego resuelvan, para
tener así garantía de que efectivamente la solución existe.
Es importante que, si va a utilizar ejercicios que provengan de
otras fuentes, declare en qué casos la solución obtenida se
considerará pertinente. Puede ser que para los estudiantes,
cuando se habla, por ejemplo, de edad, solo sean admisibles
valores enteros, aunque también pueden ser racionales.
En la resolución de problemas, el principal error radica en que
los estudiantes no verifican la pertinencia de las soluciones
encontradas. Enfatice que esta parte es fundamental en cual-
quier tipo de problemas, más allá del tema de sistemas de
ecuaciones vistos en esta sección.
Errores frecuentes
a) Si la suma de dos números es 17 y la diferencia entre
triple del primero y la mitad del segundo es 23, ¿cuáles
son los números?
R: Los números son 9 y 8.
b) Si en un corral hay conejos y gallinas, que en conjunto
suman 36 ojos y 110 patas, ¿cuántos animales hay?
R: El problema está mal planteado. El problema
original considera 36 orejas y 110 patas y como las
gallinas no tienen orejas, hay 18 conejos y
19 gallinas.
c) Al sumar los dígitos que componen un número de dos
cifras resulta 12. Si se invierten los dígitos del número,
este aumenta en 54 unidades. ¿Cuál es la unidad
del número?
R: La unidad del número es 9.
d) Amanda compró en una tienda 5 lápices y 2 cuadernos
por $ 2 900. Javiera compró en la misma tienda 6
lápices y 3 cuadernos por $ 4 050. ¿Cuánto valen los
lápices y los cuadernos en la tienda?
R: Los lápices valen $ 200 y los cuadernos
$950 cada uno.
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41 2 3
Página 242
o perfeccionarla.
El problema propuesto en esta sección vincula la mate-
mática con la física, pues trabaja con la rapidez, tiempo
y distancia recorrida por un automóvil y un ciclista. Aquí
es importante conocer la fórmula que conecta estos tres
conceptos físicos. En el texto se sugiere hacer un dibujo de
la situación, lo cual es muy apropiado pues clarifica bastante
y permite obtener con mayor facilidad las ecuaciones del
sistema. Con la información entregada en el texto, los es-
tudiantes deben definir las variables involucradas, formar
las ecuaciones y el sistema correspondiente. Cada ecuación
se forma con la información del ciclista y del automovilista,
acompañada de la fórmula v =
d
t
. Una vez formado el siste-
ma, se debe resolver por alguno de los métodos aprendidos
en la unidad. El texto no muestra el proceso de resolución,
solo las soluciones. Pregunte a los estudiantes cuál método
sería más conveniente para resolver este sistema, y pida que
lo resuelvan por el método elegido.
Página 243
detectarlos y corregirlos. Estimule a los estudiantes a ana-
lizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la
capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores
cometidos.
En la primera situación presentada, cuando utilizan el mé-
todo de reducción despejan una de las variables de una de
las ecuaciones del sistema pero la reemplazan en la misma
ecuación, por lo cual llegan erróneamente a una igualdad
del tipo 0 = 0, por lo cual el sistema tendría infinitas solu-
ciones (compatible indeterminado). Para evitar este tipo de
errores, recuerde a los estudiantes que si despeja una varia-
ble de la primera ecuación, esta variable debe reemplazarla
en la segunda ecuación, para poder resolver correctamente
el sistema. En caso contrario, se estaría utilizando solo una
ecuación, que necesariamente tiene infinitas soluciones.
En la segunda situación, se muestra que probar determi-
nados valores para ver si satisfacen ambas ecuaciones no
es suficiente, pues no se está analizando la naturaleza del
sistema. Muestre a los estudiantes con este ejemplo la
necesidad de determinar esto en forma algebraica, para
garantizar una resolución correcta.
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Págs. 244 y 245
Identificar y plantear un sistema de
1 y 2 Los estudiantes podrían presentar dificultades al trabajar con
tablas de valores, ya que cometen errores al reemplazar, no
aplican bien las prioridades de las operaciones o cometen
errores de signos. Supervise que realicen un trabajo metódico y
ordenado para evitar estos errores.
Interpretar gráficamente un sistema
de ecuaciones lineales.
3 y 4 Las dificultades relativas a este indicador pueden deberse a una
inadecuada comprensión de la función afín y sus parámetros.
Repase este contenido instando a los estudiantes a deducir el
rol que cumple cada parámetro, observando la tabla de valores
y el gráfico respectivo.
Resolver algebraicamente un
sistema de ecuaciones lineales.
5, 6 y 7 Para el ejercicio 5, verifique que los estudiantes son capaces
de seleccionar adecuadamente el método más conveniente
de resolución, y aplicarlo. Si bien depende de ellos la elección,
sugiérales utilizar los más eficientes en cada caso para evitar
operaciones algebraicas más complejas que los puedan llevar a
errores.
Para los ejercicios 6 y 7, pueden presentarse complicaciones
derivadas de la operatoria algebraica, al realizar cambios de
variable. Verifique que realizan un trabajo ordenado anotando
el cambio realizado, y que luego comprueban la validez de la
solución obtenida.
Analizar algebraicamente la
existencia de soluciones de un
8, 9 y 10 Para este indicador, verifique que los estudiantes sean capaces
de analizar qué se les está preguntando, y a partir de ello
plantear la estrategia para responder.
Si no han comprendido bien, solicíteles que repasen la lección
correspondiente y analicen en ella los ejemplos propuestos.
Plantear y resolver problemas que
involucran sistemas de ecuaciones
lineales.
11 y 12 Es posible que los estudiantes presenten problemas al plantear
las situaciones por escaso dominio del lenguaje algebraico.
Verifique este punto y, si es necesario, solicíteles que ejerciten
este aspecto representando algebraicamente distintos
enunciados.
Supervise que verifiquen la solución obtenida, comprobando
primero que el sistema planteado tiene solución, y que la
solución obtenida es pertinente al contexto del problema.
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41 2 3
Diariomural
Págs. 246 y 247
En estas páginas se describe parte del desarrollo del álgebra,
específicamente el lenguaje algebraico y sus símbolos, a lo
largo de la historia.
Siempre es sorprendente para los estudiantes constatar que
la matemática ha tenido una evolución como disciplina tan-
to en sus objetos de estudio como en las herramientas para
abordarlos, específicamente los símbolos. Los estudiantes
han aprendido desde sus primeros cursos a trabajar con
símbolos, por lo que puede resultarles difícil comprender
que sea posible estudiar matemática sin ellos.
Este tema ofrece una buena oportunidad para reflexionar
con los estudiantes respecto de la evolución de las ciencias,
y como en ocasiones su desarrollo depende tanto de sus
objetos de estudio como de la obtención de herramientas
adecuadas para abordar dicho estudio.
Parasintetizar
Págs. 248 y 249
de la disciplina.
Por lo anterior, se sugiere prestar especial atención a la ela-
En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en
el inicio de la Unidad, con el objetivo de que puedan anali-
zarlo nuevamente incorporando los nuevos conocimientos
que ahora tienen. Si es posible, resultaría muy interesante
investigar en internet respecto de la ocurrencia de los fenó-
menos astronómicos descritos, su frecuencia y los métodos
actuales de investigación respecto de ellos.
Págs. 250 a 253
garantizar su comprensión de los conceptos involucrados.
Se sugiere al docente revisarlos en conjunto con el cur-
so, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de
ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros.
Mediante esto, se pretende que puedan retroalimentarse
mutuamente de manera más significativa, al provenir de
sus propios pares.
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Págs. 254 a 257
Sección Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
1
Definir una fracción algebraica y
sus restricciones.
1 y 2 Solicite a los estudiantes, en cada caso, explicitar
verbalmente el procedimiento empleado para
responder, y a partir de ello, verifique si existen
errores conceptuales involucrados. Una vez
solucionados, plantee nuevamente los ejercicios.
Analizar una fracción algebraica. 3 y 4
Calcular mcd y mcm de
expresiones algebraicas.
5 y 6 Permita a los estudiantes revisar los ejercicios
utilizando la tabla resumen realizada en la síntesis
de la unidad. La colaboración de los pares puede
ser significativa en estos indicadores, compartiendo
sus métodos de resolución y las formas de
comprenderlos y aplicarlos.
Amplificar y simplificar
7 y 8
Multiplicar y dividir fracciones
algebraicas.
9, 10, 11 y 12
Sumar y restar fracciones
algebraicas.
13
Resolver problemas que
involucran ecuaciones
fraccionarias.
14 y 15
2
Analizar gráficas de funciones y
sus variaciones.
16 Permita que los estudiantes resuelvan nuevamente
los ejercicios apoyándose en el cuadro resumen
realizado en la síntesis de la unidad.
raíz cuadrada.
17 y 18 Solicite a los estudiantes realizar nuevamente o
revisar el desarrollo de los ejercicios 5, 7 y 9 de las
páginas 216 y 217. Luego, que realicen nuevamente
los ejercicios de esta evaluación.
Analizar la grafica de la función
exponencial.
19, 20 y 21
logarítmica.
22 y 23
3
Identificar y plantear un sistema
de ecuaciones lineales.
24 Solicite a los estudiantes que expliquen
detalladamente sus procedimientos frente a usted,
a fin de identificar sus errores. Luego, ínstelos a
corregirlos guiándose con las lecciones respectivas.
Interpretar gráficamente un
25 y 26
Resolver algebraicamente un
27 y 28 Permita que los estudiantes pongan en común sus
procedimientos con sus compañeros, solicitando
a aquellos que hayan obtenido mejores resultados
que expliquen cómo lo lograron, y sus estrategias
en cada caso para recordar los procedimientos
y plantear los problemas. Solicite finalmente a
los estudiantes con mayores dificultades realizar
nuevamente los ejercicios con el apoyo de sus
compañeros.
Analizar algebraicamente la
existencia de soluciones de un
29
Plantear y resolver problemas
que involucran sistemas de
30 y 31
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129Unidad 1 • Números 129Unidad 3 • Álgebra
41 2 3
41 2 3
El álgebra en la antigua Babilonia
La principal fuente de información sobre la civilización y la matemática babilónica procede de textos grabados con
inscripciones cuneiformes en tablillas de arcilla. Los textos se escribían sobre las tablillas cuando la arcilla estaba aún
fresca. Después podían borrarse y usarse otra vez o también cocerse en hornos o simplemente se endurecían al sol.
Las tablillas más antiguas que se conservan son del 2000 a.C. Varios miles de tablillas esperan todavía ser descifradas.
Estas tablillas han proporcionado abundante información sobre el sistema numérico y los métodos de cálculo que
usaban. También las hay con textos que contienen problemas algebraicos y geométricos. Los babilonios disponían
de fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas. No conocían los números negativos, por lo que no se tenían en
cuenta las raíces negativas de las ecuaciones. Su sistema de numeración era de base 60 y ha llegado hasta nosotros
en la medida del tiempo y de los ángulos. Llegaron a resolver problemas concretos que conducían a sistemas de
cinco ecuaciones con cinco incógnitas e incluso se conoce un problema astronómico que conduce a un sistema de
diez ecuaciones con diez incógnitas. Tampoco conocían el cero, lo que lleva a problemas de interpretación de las
cantidades. Para evitar el problema, reducían el tamaño de las cifras adyacentes.
A partir del siglo VI a.C., sin embargo, fue utilizado un signo de omisión interior, es decir una especie de cero. Por
supuesto, en esta fase el álgebra es retórica, es decir no se usan símbolos especiales. Sí aparecen palabras como
por ejemplo us (longitud) usadas como incógnitas, posiblemente porque muchos problemas algebraicos surgen
de situaciones geométricas y esto hizo que esa terminología se impusiera. También usaban antiguos pictogramas
sumerios para designar las incógnitas de una ecuación.
Un ejemplo de la manera en que aparecen formulados los problemas podría ser:“He multiplicado la longitud por
la anchura y el área es 10. He multiplicado la longitud por ella misma y he obtenido un área. El exceso de longitud
sobre la anchura lo he multiplicado por sí mismo y el resultado por 9. Y este área es el área obtenida multiplicando
la longitud por ella misma. ¿Cuáles son la longitud y la anchura?”
Hoy traduciríamos este problema a lenguaje algebraico así:
xy = 10
9(x– y)² = x²
Resolver esto lleva a una ecuación bicuadrada.
Fuente: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departamentos/departamento_de_
matemat/recursos/apuntes/histalg.pdf
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Actividad complementaria Nº 1 / Fracciones egipcias
Para los egipcios, las fracciones no representaban números propiamente tales, sino repartos por realizar. Las únicas frac-
ciones que admitían eran las de numerador igual a 1, por lo que otro tipo de fracciones las descomponían en sumas de
fracciones unitarias de distinto denominador utilizando algoritmos. Algunos de ellos se encuentran resumidos en tablas,
en el llamado Papiro Ahmes (s. XVI a.C.)
Un método para transformar fracciones comunes a fracciones egipcias es el algoritmo de Sylvester, que se describe a
continuación, para fracciones a
b
con a < b.
• La primera fracción es




p =
1
1+
b
a
, donde 



b
a
corresponde a la parte entera de la división b : a.
• Se calcula q=
a
b
–p. Si q es una fracción unitaria, el proceso ha concluido. Si no, se le aplica el mismo procedimiento
anterior.
1. Utiliza el algoritmo de Sylvester para escribir las siguientes fracciones como fracciones egipcias:
a) 13
19
b) 11
20
c) 8
15
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131
Unidad 3 • Álgebra
Actividad complementaria Nº 2 / Función racional
Se llama función racional a aquella que está definida por una fracción algebraica, del tipo:
( )f x =
ax+b
cx+d
1. Considera la función racional ( )f x =
5x – 4
3x+2
y determina su dominio, recorrido, asíntotas, intersecciones con los
ejes y esboza un gráfico.
2. Considera la función ( )f x =
ax+b
cx+d
.
a) Demuestra que su dominio es x ≠
d
c
, y su recorrido es y ≠
a
c
.
b) Justifica que x =
a
c
es asíntota de la función. ¿Qué ocurre cuando x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto?
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Actividad complementaria Nº 3 / Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
En los ejercicios propuestos de la lección 35 se presenta la resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas,
que puede hacerse utilizando el método de reducción.
1. Utiliza el procedimiento visto para resolver los siguientes sistemas.
2x – y+3x 1
x+2y – z 4
5x+y+z 8
=
=
=
2x – y+3x 1
x+2y – z 4
x –3y+4z –3
=
=
=
2x – y+3x 1
x+2y – z 4
4x+3y+z 5
=
=
=
2. Responde
a) ¿De qué tipo es cada uno de los sistemas? Justifica.
b) ¿Qué debe ocurrir para que un sistema de este tipo sea compatible indeterminado o incompatible? Justifica.
c) Construye un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas que sea compatible indeterminado, y otro que sea incompatible.
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133
41 2 3
Realizar operaciones con fracciones algebraicas.
1. Durante un entrenamiento, un ciclista debe reco-
rrer A km, de los cuales B son de ascenso y C son de
descenso. Su entrenador, que lleva un registro de sus
tiempos, sabe que su rapidez en zona de ascenso es
de m km/h y en zona de descenso n km/h. ¿Cuánto
tiempo tomará el entrenamiento del ciclista?
A. nB+mC
mn
B. B+C
nB+mC
C. A –B– C
mn
D. mn
A+B+C
E. (m+n)(B+C)
m+n
2. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es) es(son)
factor(es) de a2
b – a2
– b + 1?
I. a + 1
II. b – 1
III. a2
– 1
A. Solo I
B. I y II
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la
factorización de a2
– b2
– (a + b)2
?
A. (a + b)(a – b)
B. (a + b)(a + b)
C. (a – b)(a – b)
D. 2b(a + b)
E. –2b(a + b)
4. ¿Cuál es el máximo común divisor entre
x2
– 2x + 1 y x2
+ 2x – 3?
A. x – 1
B. x2
+ 2x – 3
C. (x – 1)(x + 3)
D. (x – 1)2
(x + 3)
E. (x2
-2x + 1)(x2
+ 2x – 3)
5. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2
– 8x + 12;
x2
– 6x + 8 y x2
– 10x + 24?
A. (x – 2)(x – 4)
B. (x – 2)(x – 6)
C. (x – 4)(x – 6)
D. (x – 2)(x – 4)(x – 6)
E. (x – 2)2
(x – 4)2
(x – 6)2
6. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 5m2
nr y
25mn3
?
A. 5mn
B. 25mn
C. 25mnr
D. 25m2
nr
E. 25m2
n3
r
7. En una sala hay m + n personas. El promedio de
puntos obtenidos por las m personas fue a y el pro-
medio de puntos obtenidos por las n personas fue
b. ¿Cuál fue el promedio de puntos obtenidos por
las m + n personas?
A. ma+nb
m+n
B. m+a+n+b
m+n
C. a+b
m+n
D. a + b
E. a+b
2
Nombre: Curso:
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 133 09-01-14 16:33

reducir la fracción x +x y – xy – y
x+y
x – y
3 2 2 3
?
A. x + y
B. (x + y)(x – y)2
C. (x + y)2
(x – y)2
D. x y
x y
−
+
E. (x – y)
x+y
2
9. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
siempre igual(es) a mc+m+b
c
?
I. m+
m+b
c
( )
II. 2m+b
III. m+
b
c
+
m
c




A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. I, II y III
simplificar la fracción
( )
( )a – x +ax a– x
4 a – x
3 3
2 2
?
A. a+x
4
B. a– x
4
C. x –a
4
D. a+x
a– x
E. a– x
a+x
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones(son)
verdadera(s) para la expresión A =
1
x
+
1
y
?
I. –A =
–x – y
xy
II. A – 1 = x + y
III. A • A – 1 = 2
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. II y III
a x +x –2
x –1
2
2
?
A. x + 2
B. x – 2
C. x+2
x+1
D. x –2
x –1
E. x –2
x+1
13. ¿Cuánto mide el largo de un rectángulo si su ancho
está dado por (k + 2) y su área por (k2
+ 7k + 10)?
A. (k + 8)
B. (k + 7)
C. (k + 6)
D. (k + 5)
E. (k + 4)
14. Al restar c de a
b
se obtiene b
a+2
. Entonces ¿cuál es
de las siguientes expresiones es equivalente a c?
A. a–b
b
2
B. a +2a–b
b(a+2)
2 2
C. a +2a–b
b(a–2)
2 2
D. a +2a+b
b(a+2)
2 2
E. (a–b)
b(a+2)
2
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135
41 2 3
reducir la fracción 1
1–
1
1–
1
2
?
A. 1
B. 1
2
C. 0
D. –
1
2
E. – 1
16. Se sabe que x =
1
3a
, y =
1
4a
, z =
1
6a
. ¿Cuál de las siguien-
tes expresiones es equivalente con
xy
z
?
A. 1
2a
B. 1
4a
C. 1
8a
D. 1
12a
E. 1
72a
con x +x
4x +4
3
2
?
A. x
4
B. x
4
2
C. x
8
D. x
8
2
E. x(x 1)
4
2
+
18. Se puede afirmar que la fracción x
y
es negativa si se
sabe que:
(1) x > 0
(2) x – y > 0
C. Juntas, (1) y (2).
D. Cada una por si sola, (1) ó (2).
Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, ex-
ponencial y logarítmica.
19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al
gráfico de f(x)= x+1?
A.
1
2
3
4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6
X
Y
B.
1
2
3
4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6
X
Y
C.
1
2
3
4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6
X
Y
D.
1
2
3
4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6
X
Y
E. Ninguno de los anteriores.
U3_GD_MAT_2M_ok.indd 135 09-01-14 16:33

20. Respecto de la función



f(x)=
1
3
x
se cumple que:
I. Su dominio es .
II. Es creciente.
III. Se interseca con el eje de las ordenadas en el
punto (0,1).
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. I y III
21. De la función f(x)= x –5 se puede afirmar que:
I. Está definida para todos los números reales.
II. f(6) = 1
III. El punto de coordenadas (8, 3) pertenece al
gráfico de f(x).
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. I, II y III
22. Respecto de la función f(x) =4 – log (x – 5), ¿cuál de
las siguientes afirmaciones es falsa?
A. Su gráfica es simétrica respecto del eje X a la de la
función g(x) = 4 + log (x – 5).
B. Su gráfica es simétrica respecto del eje Y a la de la
función h(x) = 4 + log (–x – 5).
C. Su gráfica está desplazada horizontalmente 5
unidades hacia los negativos respecto de la gráfica
de la función j(x) = 4 + log (x).
D. Su gráfica está desplazada verticalmente 4 unida-
des hacia los positivos respecto de la gráfica de la
función k(x) = log (x – 5).
E. Su gráfica es idéntica a la de la función
l(x) = log (4x – 20).
23. ¿Cuál es la función correspondiente a la siguiente
gráfica?
1
− 1
− 2
− 3
1 2 3 4 5− 1
X
Y
A. f(x)= x –1–2
B. f(x)= x+1+2
C. f(x)= x –1+2
D. f(x)= x+2 –1
E. f(x)= x+1–2
24. Respecto de la función f(x) = 2(0,5)x
¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. f(1) = 1
II. Se interseca con el eje X en el punto (2, 0).
III. f es decreciente.
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. I, II y III
Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuaciones
lineales.
25. Si (x,y) es solución del sistema
3x – y =1
x+2y = 5
, ¿cuál es el
valor de x + y?
A. 1
B. 2
C. 3
D. –1
E. 2
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137
41 2 3
26. ¿Con qué sistema de ecuaciones se representa el
gráfico de la figura?
1
2
3
4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4− 1− 2− 3− 4
X
Y
A. x+y 1
x+y –2
=
=
B. 2x –2y –1
2x+y –2
=
=
C. x – y –1
x – y –2
=
=
D. 4x –2y –1
4x+2y –2
=
=
E. x – y –1
2x+y –2
=
=
27. Dado el sistema
x+2y =m+n
x –2y =m–n
, ¿cuál es el valor de y?
A. n
4
B. n
2
C. n
D. –
n
2
E. –
n
4
28. Si (x, y) es solución del sistema
x+2y = 8
2x – y =1
, ¿cuál es el
valor de x – y?
A. 1
B. 2
C. 3
D. –1
E. –3
29. Se puede afirmar que el sistema 2x – y = 8
4x –2y = 4
tiene:
A. dos soluciones.
B. una única solución.
C. infinitas soluciones.
D. ninguna solución.
E. no se puede determinar el tipo de soluciones.
30. Pablo tiene 3 años más que Javier (J) y en tres años
más las edades estarán en la razón 5 : 4. ¿Con cuáles
ecuaciones se pueden determinar las edades de
Pablo y Javier?
A. P–3 J
4P 5J
=
=
B. P 3 J
4P 5J
+ =
=
C. P–3 J
4J 5P
=
=
D. P 3 J
5P 15 4J 12
+ =
+ = +
E. P–3 J
4P 12 5J 15
=
+ = +
31. Un estudiante compró en el casino del colegio una
bebida y dos hot dog en $2100, y al otro día compró
un hot dog y dos bebidas del mismo tipo en $1800.
¿Cuánto debe pagar por 3 hot dog?
A. $ 500
B. $ 800
C. $ 1500
D. $ 2400
E. $ 3900
32. Se compraron 50 dulces; unos de $70 y el resto de
$40 cada uno. Si en total se pagó $2150. ¿Cuántos
dulces de $70 se compraron?
A. 5
B. 6
C. 44
D. 45
E. No se puede determinar.
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MATEMÁTICA 2.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE138
33.La cantidad total de manzanas en dos cajas es de
36. Si de una de ellas se sacan 5 manzanas y se
colocan en la otra, ambas quedan con la misma
cantidad. ¿Cuántas manzanas tenía inicialmente la
caja de mayor cantidad?
A. 23
B. 25
C. 30
D. 32
34.Se puede determinar el valor de un MP3 si se sabe que:
(1) 2 MP3 + 1 MP4 = $ 71 980
(2) 5 MP3 - 1 MP4 = $ 74 950
A. (1) por si sola.
B. (2) por si sola.
C. Juntas, (1) y (2).
35.Se puede afirmar que el sistema
x+ky =1
kx+y =1
tiene una
única solución si se sabe que:
(1) k = 1 (2) k = –1
C. Juntas, (1) y (2).
II. Analiza el enunciado y evalúa si las siguientes
proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello,
escribe V o F según corresponda.
f : {0} {0}, g : y
h : , con f(x) x, g(x) x 1
y h(x) x
» ∪ » ∪ » »
» »
→ →
→ = = +
=
+ + + +
A. la función g es creciente.
B. los puntos (4,2) y (4,-2) pertenecen al
gráfico de f.
C. Si x ∈+
, entonces ∀x se tiene que
g(x) > f(x).
D. Si w(x) = f(x) –2, entonces
Dom(w) ⊆Dom(f).
E. Para cualquier x ∈, se tiene que
f (x2) < h(x).
III. Resuelve los siguientes problemas.
36.La suma de las edades de Andrea y Alex es 29 años.
Alex es 3 años mayor que Andrea. ¿Qué edades
tienen Alex y Andrea, respectivamente?
37. Tres amigos establecen un negocio aportando
respectivamente $ a, $ b y $ c. Al término de un año
ganan $ g y deciden invertir $ h, y el resto retirarlo
proporcionalmente según sus aportes. ¿Cuánto
retiró la persona que aportó $ a?

139Unidad 1 • Números 139Unidad 3 • Álgebra
41 2 3
Solucionario
Fracciones egipcias
1. a) 13
19
=
1
2
+
1
6
+
1
57
b) 11
20
=
1
2
+
1
20
c) 8
15
=
1
2
+
1
30
Función racional
1. Domf =R – –
2
3






,Rec f =R -
5
3






,Asíntotas: x = –
2
3
,
y =
5
3
.IntersecciónejeX: 5
3
,0



.IntersecciónejeY:(0,–2).
X
Y
− 2
− 2
2
4
6
8
−
−
−
6 82 4− 4− 6− 8
4
6
8
2. a) Para determinar el dominio, se analizan las restriccio-
nes de la fracción:
ax+b
cx+d
cx+d≠ 0 x ≠ –
d
c
→ →
Para determinar el recorrido, se despeja la variable x:

y =
ax+b
cx+d
cxy+dy = ax+b
cxy –ax = b–dy
x cy –a = b–dy
x =
b–dy
cy –a
( )
→
→
→
→
Luego, para que la fracción no se indefina debe
ocurrir que y ≠
a
c
.
b) Cuando x toma valores cada vez más grandes en
valor absoluto, ax y cx son mucho mayores que b
y que d, por lo que el valor de la fracción ax+b
cx+d
se
va haciendo cada vez más cercano a ax
cx
=
a
c
, pero
sin ser nunca igual a dicho valor.
Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
1. En el primer sistema, x = 5, y = -6, z = -11. El segun-
do sistema tiene infinitas soluciones, mientras que
el tercero no tiene solución.
2. a) El primer sistema es compatible determinado, el
segundo es compatible indeterminado y el terce-
ro es incompatible.
b) Para que sea compatible indeterminado, se debe
llegar a una igualdad del tipo 0 = 0. Para que sea
incompatible, se debe llegar a un absurdo.
c) La respuesta depende de cada estudiante.
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Realizar operaciones con
1 A
2 D
3 E
4 A
5 D
6 E
7 A
8 B
9 D
10 A
11 A
12 C
13 D
14 B
15 E
16 A
17 A
18 E
Analizar gráficamente las funciones raíz
cuadrada, exponencial y logarítmica.
19 A
20 E
21 B
22 C
23 E
24 D
Plantear, resolver y analizar sistemas de
25 C
26 E
27 B
28 D
29 D
30 A
31 D
32 A
33 A
34 C
35 E
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141UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
41 2 3
A. V
B. F
C. V
D. V
E. F
III. Preguntas de desarrollo
Problema 36 Problema 37
Correcta
Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y
obtiene que Alex tiene 16 años y Andrea 13.
Correcta
Interpreta correctamente la información y la traduce en
una fracción, obteniendo a +ab+ac+ag–ah
a+b+c
2
Plantea el sistema pero lo resuelve en forma
incorrecta, no responde la pregunta o la responde
en forma incorrecta por no interpretar las variables
correctamente.
Plantea la fracción en forma incorrecta, obteniendo
expresiones como a +ab+ac
a+b+c
+g–h
2
Incorrecta
No logra interpretar correctamente la información.
Incorrecta
No logra relacionar la expresión entregada en el
enunciado del problema.
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Clave E C E C B D C D A
10.168
11. 5a
2a+5
12. x+y 850
1200x+2900y 1649 000
=
=

Realizar operaciones con fracciones algebraicas
1. Si c > a > b, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones representa(n) un número negativo?
I. c –a
c –b
II. a–b
b–c
III. b–c
c –a
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. II y III
con b +b
b +b
4 5
2
?
A. b2
B. b +b
3b
4 3
C. b
b
7
4
D. b11
E. 2b2
simplificar la fracción x – 6x+8
x – 4
2
2
?
A. x – 4
B. –6x – 2
C. x+4
x+2
D. x – 4
x –2
E. x – 4
x+2
realizar la operación x
x+1
+
x
x –1
, suponiendo que
x ≠ 1?
A. x
x –1
2
B. 2x
x –12
C. 2x
x –1
2
2
D. x –2
x –12
E. 2x +2x
x –1
2
2
5. Se tiene que p = x + xy, q = 2x. ¿Cuál de las siguien-
tes expresiones es equivalente con p
q
?
A. 1+xy
2
B. 1+y
2
C. 1+y
x
D. 1+xy
x
Analizar gráficamente las funciones raíz cuadra-
da, exponencial y logarítmica
6. Respecto de la función f(x) = log2
(x+2), ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Si x = –2, f(x) = 1
II. Si x = 0, f(x) = 1
III. Si f(x) = 2, x = 2
A. Solo II
B. Solo III
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
Bancode preguntas
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41 2 3
7. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde
al gráfico?
1
− 1
1 2 3 4 5 6
X
Y
A. log (x – 2) – 1
B. log (x + 2) – 1
C. log (x – 2) + 1
D. log (x – 1) – 2
E. log (x – 2) – 1
Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuacio-
nes lineales
8. José y Ana compraron en el mismo lugar. José
compró 1 kg de paltas y 1 kg de plátanos por $1200
y Ana compró 2 kg de paltas, que le costaron lo
mismo que 3 kg de plátanos. ¿Cuánto cuesta 1 kg
de paltas y 1 kg de plátanos, respectivamente?
A. $ 300 y $ 900
B. $ 400 y $ 800
C. $ 480 y $ 720
D. $ 720 y $ 480
E. $ 800 y $ 400
9. Si (x, y) es solución del sistema
3x – y –1= 0
x+2y –5= 0
, enton-
ces ¿cuál es el valor de (x, y)?
A. (1, 2)
B. (2, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 2)
E. (0, 1)
Resolver problemas
10. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4.
¿Cuál es el triple del número menor más el cuadrado
del mayor?
11. ¿Por qué fracción se debe multiplicar 1
2a–5
, para
que el resultado sea equivalente a 5a
4a –252
?
12. Una librería ofrece la siguiente oferta:
- Libros infantiles a $ 1200.
- Novelas a $ 2900
Durante el mes se venden 850 de estos libros, re-
caudando un total de $ 1 649 000. Si x representa la
cantidad de libros infantiles e y el de novelas, ¿cuál
es el sistema que representa la situación?
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Bibliografía
• Carreño, X. (2008). Álgebra. Capítulo I, II y III. Santiago de Chile, Editorial Arrayán.
• Miranda, H, Moya, M. (2008). Álgebra. El poder generalizador de los símbolos. Santiago: Centro Comenius, Univer-
sidad de Santiago de Chile.
• Rodríguez, G. y escalante, M. (2008). Unidad función cuadrática y raíz cuadrada. Santiago: Centro Comenius,
Universidad de Santiago de Chile.
• Spiegel, M.; Moyer, R. E. (2006). Álgebra Superior. Schwam. Mc Graw Hill
Sitios web
• Análisis de funciones exponenciales.
http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionexponencial.htm
• Actividades y ejemplos relacionados con la función logarítmica y su representación gráfica.
Información complementaria acerca de la historia de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html
• Ejemplos y actividades de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.
• Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con solución única, con infinitas soluciones y sin solución,
asociados a la relación entre las rectas que representan las ecuaciones.
http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/materiales_didacticos/Resolucion_grafica_sistemas_
ecuaciones/Resolucion_grafica_sistemas.htm
• Archivo con los pasos en detalle de cómo utilizar las hojas de cálculo para resolver ecuaciones o sistemas
de ecuaciones.
http://www.eduteka.org/HojaCalculo1.php
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unidad
4
Propósito
DatosyAzar
Uno de los objetivos de esta unidad es que los estudiantes comprendan que, para analizar la
dispersión de datos, es razonable considerar las desviaciones respecto de la media, y se introduce el
concepto de desviación estándar como herramienta para realizar ese análisis. Es conveniente que los
estudiantes utilicen las medidas de tendencia central y las de posición para resumir bien la información,
especialmente cuando hay un conjunto numeroso de datos.
Se incorpora el concepto de variable aleatoria y los alumnos la identifican como una herramienta
fundamental para entender resultados de probabilidad y de estadística, y aplicar dichos resultados. Es el
caso de la ley de los grandes números, en la cual se basa gran parte de la probabilidad y de la estadística
y que los estudiantes trabajan de manera central.
También se busca que los alumnos caractericen eventos independientes, utilizando la medida de
probabilidad, generen resultados donde intervienen este tipo de eventos y los apliquen para resolver
problemas asociados al cálculo de probabilidades.
¿Qué sé?
•• Los conceptos de población, muestra y experimento aleatorio.
•• El concepto de equiprobabilidad de eventos.
•• El principio multiplicativo y su uso para determinar el espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio y la probabilidad teórica de un evento.
•• Calcular y determinar medidas de tendencia central y de posición.
¿Qué aprenderé?
•• Calcular medidas de dispersión de un conjunto de datos.
•• Comparar muestras de datos usando medidas de dispersión y de posición.
•• Definir y aplicar variables aleatorias.
•• Calcular medias muestrales, inferir sobre la población y relacionar con la Ley de los grandes números.
•• Identificar eventos mutuamente excluyentes o independientes.
•• Calcular probabilidades de eventos independientes o mutuamente excluyentes.
¿Para qué?
•• Para juzgar respecto a la representatividad del promedio de un conjunto de datos, y comparar dos o
más de ellos entre sí.
•• Para escoger muestras al azar de una población, que permitan realizar inferencias sobre ella.
•• Para distinguir tipos de sucesos asociados a un experimento, y mediante ello calcular su probabilidad.
•• Para resolver problemas que involucran conjuntos de datos y experimentos.
Ruta de aprendizaje
145Unidad 4 • Datos y Azar
U4_GD_MAT_2M_javy.indd 145 09-01-14 15:32

Marcocurricular
•• Población y muestra.
•• Experimento aleatorio.
•• Muestreo aleatorio simple.
•• Equiprobabilidad de eventos.
•• Principio multiplicativo.
•• Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
•• Probabilidad teórica de un evento.
•• Medidas de tendencia central.
•• Medidas de posición: cuartiles y percentiles.
•• Analizar información, utilizando la
desviación estándar.
•• Organizar datos, usando cuartiles y
percentiles.
•• Caracterizar variables aleatorias.
•• Determinar medias maestrales.
•• Conjeturar acerca de la relación entre
la media muestral y la media de
una variable aleatoria y verificar las
conjeturas formuladas.
•• Resolver problemas acerca de
las probabilidades de sucesos
independientes o mutuamente
excluyentes.
Palabras clave
Rango, varianza, desviación estándar, medidas de posición, medidas de dis-
persión, medidas de tendencia central, muestreo aleatorio, variable aleatoria,
media muestral, media de la población, probabilidad.
Contenidos
•• Medidas de dispersión: desviación estándar.
•• Variables aleatorias.
•• Media muestral.
•• Ley de los grandes números.
•• Pruebas independientes.
•• Eventos independientes.
•• Eventos mutuamente excluyentes.
•• Cálculo de probabilidades de eventos independientes y mutuamente
excluyentes.
Actitudes
•• Interés por conocer la realidad al
trabajar con información cuantitativa
de diversos contextos.

32 41
Sección 1: Dispersión y comparación de datos
Comprender
el concepto de
dispersión y comparar
características de
dos o más conjuntos
de datos, utilizando
indicadores de
tendencia central,
de posición y de
dispersión.
Determinación del
rango, varianza y
desviación estándar,
aplicando criterios
referidos al tipo de
datos que se están
utilizando, en forma
manual y mediante el
uso de herramientas
tecnológicas.
Determinar el rango, la
varianza y la desviación
estándar de conjuntos
de datos.
Lección 38: Medidas
de dispersión de datos.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 261.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido, págs.
272 y 273.
2 horas.
Análisis de las
características de
dos o más muestras
de datos, haciendo
uso de indicadores
de tendencia central,
posición y dispersión.
Comparar
características de
dos o más conjuntos
de datos, utilizando
medidas de tendencia
central, de posición y
de dispersión.
Lección 39:
Comparación de
conjuntos de datos.
4 horas.
Páginas finales

Sección 2: Muestreo y variable aleatorios
Comprender el
concepto de variable
aleatoria y aplicarlo en
diversas situaciones
que involucran
experimentos
aleatorios.
Comprender que
la media muestral
de pruebas
independientes de un
experimento aleatorio
se aproxima a la media
de la población a
medida que el número
de pruebas crece.
Empleo de elementos
básicos del muestreo
aleatorio simple, en
diversos experimentos,
para inferir sobre
la media de una
población finita a partir
de muestras extraídas.
Emplear elementos
del muestreo aleatorio
simple para inferir
sobre la media de una
población.
Lección 40: Muestreo
aleatorio simple.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 275.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 290 y 291.
2 horas.
Aplicación del
aleatoria en diferentes
situaciones que
involucran azar e
identificación de esta
como una función.
Comprender el
aleatoria y aplicarlo en
diversas situaciones
que involucran
experimentos
aleatorios.
Lección 41: Variable
aleatoria.
4 horas.
Calcular medias
muestrales.
Exploración de la
ley de los grandes
números, a partir
de la repetición
de experimentos
aleatorios, con apoyo
de herramientas
tecnológicas y
su aplicación a
la asignaciónde
probabilidades.
Verificar que, a medida
que el número de
pruebas crece, la
media muestral se
aproxima a la media de
la población.
Lección 42: Medias
muestrales.
4 horas.
Páginas finales

32 41
Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades
Aplicar propiedades
de la suma y producto
de probabilidades, en
diversos contextos, a
partir de la resolución
de problemas que
involucren el cálculo
de probabilidades.
Resolución de
problemas de cálculo
de probabilidades
aplicando las
técnicas del cálculo
combinatorio,
diagramas de árbol,
lenguaje conjuntista,
operatoria básica
con conjuntos,
propiedades de la
suma y producto de
probabilidades.
Resolver problemas
en contextos
diversos, aplicando
las propiedades de la
suma y el producto de
probabilidades.
Lección 43: Conjuntos
y probabilidades.
2 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 293.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 310 y 311.
2 horas.
Lección 44:
Producto y suma de
probabilidades.
4 horas.
Lección 45: Eventos
independientes.
2 horas.
Lección 46:
Combinatoria y
probabilidades.
4 horas.
Páginas finales
Páginas finales
Evaluación de la unidad. 320 - 323 2 horas

Sección 1
Dispersión y comparación
de datos
De esto se trata
Los estudiantes han trabajado en cursos anteriores, y
en situaciones cotidianas de su vida, con indicadores de
conjuntos de datos, de los que se busca“tener una idea”.
Sus promedios de notas, particularmente, son una forma
de resumir un proceso que puede tener altos y bajos, pero
que se sintetiza en una sola nota que lo representa.
En otros ámbitos, como en la economía y las ciencias
sociales en general, se trabaja también con promedios, pero
se sabe que no siempre son suficientes por su sensibilidad
frente a valores extremos. Esto hace que, como se muestra
en el ejemplo planteado, algunos valores mucho más altos
que los demás distorsionen el promedio, alejándolo de“la
mitad”que se esperaría generalmente.
El tema planteado como inicio es actual y contingente
en nuestro país, y puede dar pie a una interesante discusión
con los estudiantes que pueden aportar e investigar. La es-
tadística se considera una disciplina en un punto intermedio
entre la matemática y las ciencias sociales, lo que puede ser
una oportunidad interesante para motivar a los estudiantes
que suelen tener más interés en ellas.
¿Qué debes saber?
Calcular y determinar medidas de tendencia central
Verifique que los estudiantes aplican correctamente
las fórmulas (para el cálculo del promedio y la mediana)
y comprendan el concepto de moda, para poder deter-
minarlo. Si es necesario, repase sobre todo la mediana,
considerando los casos en que la cantidad de datos es
par o impar.
Calcular y determinar medidas de posición
Recuerde a los estudiantes el significado de cada indica-
dor de posición y su notación, y relaciónelos con la mediana
(que es un caso particular de cuartil). Haga especial énfasis
en la necesidad de proceder ordenadamente, escribiendo
primero los datos de menor a mayor y luego determinando
los indicadores. Si es preciso, pida a los estudiantes que
trabajen en una hoja aparte y verifique que, al traspasar
cada dato a la hoja, lo tachan en el libro para no repetirlo
en el conteo.
38 Medidas de dispersión de datos
Págs. 262 a 265
Propósito
Determinar indicadores de dispersión de un conjunto
de datos.
Palabras clave
Promedio, dispersión, rango, máximo, mínimo, homogé-
neo, heterogéneo
Prerrequisitos
§§ Cálculo de promedio e indicadores de tendencia central.
§§ Operatoria con raíces, fracciones y valor absoluto.
En el texto se presenta una situación de análisis del rendi-
miento académico durante un semestre, lo que es bastante
cotidiano para los estudiantes. Puede pedirles que consi-
deren las calificaciones obtenidas en alguna asignatura du-
rante el semestre anterior y que a partir de ellas respondan
preguntas como las siguientes:
• ¿Cuál fue mi promedio?
• ¿Hay pruebas en las que me fue muy bien y otras en
las que me fue muy mal? ¿Me fue siempre bien? ¿Me
fue siempre mal?
• ¿Cómo comencé el semestre? ¿Cómo lo terminé?
• ¿Hay una nota en especial que me subió o bajó el
promedio?
A partir de ello, pueden ir comprendiendo que el promedio
da una información, pero que también oculta otras que
pueden ser interesantes para realizar la evaluación de una
situación o de un proceso.

32 41
En esta lección se presenta paso a paso la forma de cal-
cular el rango, la varianza y la desviación estándar, pero es
necesario que los estudiantes no solo calculen sino que
comprendan lo que están haciendo.
Lo anterior es complejo en el caso de la desviación están-
dar, ya que sin poder realizar aun una comparación entre
conjuntos de datos (que se abordará en la lección siguiente)
no es posible para los estudiantes comprender qué quiere
decir exactamente el valor de la desviación estándar, ni
juzgar si es alto o bajo. Para ello, puede resumir el proceso
presentado en la lección al final de ella, pero presentándolo
en el siguiente orden:
• Se plantea que la dispersión indica“qué tan lejanos
o distintos”son los valores al promedio. Para ello, lo
natural es fijarnos en la diferencia entre cada dato y
el promedio.
• Se calcula el promedio de las diferencias de los datos
al promedio. Como este valor será igual a 0, no sir-
ve como indicador, por lo que se debería considerar
el valor absoluto. Esto justifica el cálculo de la desvia-
ción media.
• Otra forma de asegurarnos de que la diferencia siem-
pre sea positiva es elevarla al cuadrado. Así obtenemos
la varianza.
• Si los valores se elevan al cuadrado, sus unidades tam-
bién. Por lo mismo, se extrae la raíz para obtener la
desviación estándar.
Algunos errores de los estudiantes pueden provenir de un
manejo inadecuado de la operatoria de raíces y fracciones
algebraicas, pese a que han sido abordadas en unidades ante-
riores. Se recomienda, de cualquier manera, presentar algunas
fórmulas de repaso y verificar su aplicación por parte de los
estudiantes.
Un error frecuente es asumir que los indicadores estadísticos
tienen un valor en sí mismos, es decir, que se puede hablar
de un promedio o desviación estándar “alto”o “bajo”por sí
solos. Para evitarlo, comente los ejercicios una vez realizados
y compare los diversos contextos en los que se presentan.
Errores frecuentes
.
Puede encontrar información complementaria respecto de la
desviación estándar en http://www.cca.org.mx/cca/cursos/
estadistica/html/m11/desviacion_estandar.htm. La distri-
bución normal no es contenido del curso y requiere más he-
rramientas de análisis, pero pueden abordarse intuitivamente
algunos aspectos como la distribución de la población en
forma cercana al promedio, con presencia de menos casos
al alejarse de este valor tanto por exceso como por defecto.
39
Comparación de conjuntos
de datos
Págs. 266 a 269
Propósito
Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando dis-
tintos indicadores.
Palabras clave
Comparación, indicador, homogéneo, heterogéneo, dis-
perso, posición
Prerrequisitos
§§ Cálculo de indicadores de posición y de dispersión.
La lección presenta una situación relacionada con el deporte
que puede ser cercana para los estudiantes, ya que el uso
de indicadores estadísticos es común para analizar rendi-
mientos de deportistas individuales o de equipos.
Puede analizar junto con los estudiantes el rendimiento
deportivo reciente de algún equipo o deportista, compa-
rándolo a través del tiempo en distintas etapas. Utilizando
los indicadores calculados en la lección anterior, los estu-
diantes pueden determinar si ha sido variable o constante,
sus altos y bajos, etc.
La comparación de conjuntos de datos es lo que da sentido
al cálculo de indicadores de dispersión, como se mencionó
en la lección anterior, por lo que es fundamental que los
estudiantes sean ahora capaces de aplicar lo aprendido
y comprendan el valor de estos indicadores y su utilidad.

Es fundamental que integre el uso de indicadores estadís-
ticos en el análisis y comparación de conjuntos de datos,
sin utilizarlos por separado. Enfatice que, para comparar los
datos de ambas jugadoras, no tiene sentido solo fijarse en el
rango o en el promedio, sino lo que ambos indicadores nos
muestran y, podemos seguir complementando el análisis
con los indicadores de posición.
Verifique que los estudiantes comprenden el concepto de
cuartil y lo aplican correctamente. Para ello, cada vez que
se mencione por ejemplo, el primer cuartil, señale que un
25% de los datos es menor o igual que dicho valor.
La lección presenta la necesidad de escoger a una jugadora
u otra. Es importante que plantee la pregunta a los estu-
diantes y ellos puedan dar sus opiniones, lo que permitirá
dar mayor sentido a la conclusión: la decisión final de la DT
dependerá de lo que se esté buscando.
El punto anterior es importante de destacar pues en esta-
dística rara vez las respuestas a preguntas de este tipo son
únicas, sino que hay muchos elementos en el contexto que
las determinan. Recalque esto para mostrar la profunda re-
lación entre la estadística y las ciencias sociales, presentada
en el inicio de esta sección.
Entre los ejercicios propuestos se presenta el cálculo del
coeficiente de variación (CV), que se utiliza para comparar
la dispersión entre conjuntos de datos que no utilizan las
mismas unidades de medida o que se encuentran en rangos
muy distintos. Es importante que presente a los estudiantes,
en todo caso, sus limitaciones, especialmente cuando el
promedio es cercano a 0 y distorsiona la división.
Algunos errores cometidos por los estudiantes pueden de-
berse a un manejo incorrecto de fracciones algebraicas y de
raíces. Repase la operatoria en estos casos para corregirlos.
Un error frecuente es la utilización de un indicador de dis-
persión para comparar dos conjuntos de datos, por ejemplo,
considerar solo que el rango es suficiente para juzgar el grado
de dispersión. En los ejercicios propuestos para esta lección
y la anterior se presentan casos en los que se pide a los es-
tudiantes construir un conjunto de datos con indicadores de
dispersión determinados; utilícelos para mostrar que puede
haber muchos conjuntos y por lo tanto, en general, siempre
es necesario considerar los indicadores más ampliamente.
Errores frecuentes
a) Para reforzar el uso del CV, presente a los estudiantes la
siguiente situación:
• Pablo estudia en Chile, y sus notas en un semestre son
2 – 3,4 – 4,7 – 4,9 – 5,3 – 6 - 6
• Isabel estudia en Argentina, donde las notas van de
0 a 10. Sus calificaciones han sido las siguientes:
3,3 – 4 – 4,2 – 6,1 – 6,5 – 8,7 – 9,2
¿Quién tiene un rendimiento más heterogéneo?
Puede presentar la situación anterior antes del ejercicio
propuesto, para que los estudiantes la analicen y lleguen
a la conclusión de que es necesario definir indicadores
para estos casos.
b) En cierto aeropuerto, se ha generado un serio conflicto
debido a los tiempos (en minutos) que los aviones de-
moran en despegar los días de alto tráfico. La siguiente
tabla registra el tiempo de duración del despegue de
los vuelos en las dos últimas semanas.
Tiempo de duración, en minutos, del despegue de vuelos en las
últimas dos semanas
Semana1 Semana2
Lunes 4 6,9
Martes 4,6 7,9
Miércoles 8 11,8
Jueves 10 8,1
Viernes 5,9 9,7
Sábado 6,8 8,4
Domingo 9,9 8,7
• ¿Cuál es el rango de los tiempos de duración del
despegue de los vuelos en cada semana?
R: Semana 1: 6 minutos; semana 2: 4,82 minutos.
• ¿En qué semana los tiempos del despegue fueron
más homogéneos? Justifica.
R: En la semana 2, ya que su coeficiente de
variación es menor. Además, el rango es
menor que en la semana 1.

32 41
Página 270
planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discu-
tir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
El problema planteado para esta sección involucra e integra
los contenidos abordados, y se presenta en forma distinta a
otros al pedir que se evalúe la afirmación realizada. Puede
utilizar esta actividad para reforzar en los estudiantes la idea
de que lo homogéneo o heterogéneo de un conjunto de
datos se analiza a partir de su dispersión.
Página 271
estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y
así desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
El primer error presentado tiene que ver con un incorrecto
aprendizaje de fórmulas; puede servir para detectar si los
estudiantes las han integrado adecuadamente y las aplican.
Si observa que muchos estudiantes cometen este tipo de
errores, permítales usar un formulario hasta que adquieran
la costumbre y resuelvan sin él, ya que habrán memorizado
adecuadamente.
El segundo error fue mencionado anteriormente: considerar
solo un indicador (el rango) para comparar la dispersión de
dos conjuntos. Puede analizar este error volviendo al tema
inicial de la sección, mostrando que en ocasiones los valores
extremos distorsionan los datos y nos pueden conducir a
conclusiones erradas.
Págs. 272 y 273
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Determinar indicadores de
dispersión de un conjunto de
datos.
1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9
Repase con los estudiantes la definición de cada indicador, verificando si los
distinguen y conocen los mecanismos y/o fórmulas para calcularlos.
Considere que algunas preguntas incluyen análisis y comprensión de los
conceptos involucrados para, por ejemplo, crear un conjunto de datos que
cumplan condiciones determinadas. Es muy conveniente que ponga en
común con los estudiantes los métodos empleados y analice junto a ellos su
pertinencia, efectividad y corrección.
Comparar dos o más
conjuntos de datos utilizando
distintos indicadores.
10, 11 y 12 Este indicador está directamente ligado con el anterior, por lo que incluso
puede pedir a los estudiantes que realicen la evaluación en forma separada,
primero el cálculo de los indicadores y luego la comparación de datos, con el
fin de verificar que cuentan con las herramientas necesarias para analizar y las
aplican correctamente.
Inste a los estudiantes que hayan tenido buen desempeño que expliquen a los
estudiantes que presenten dificultades, las técnicas empleadas, ya que en este
contenido el apoyo de los pares puede ser más significativo y eficiente.

Sección 2
Muestreo y variable
aleatorios
De esto se trata
Los estudiantes han visto en cursos anteriores la dife-
rencia entre población y muestra, y probablemente han
reflexionado también en su vida cotidiana respecto de la
imposibilidad de conocer los datos de un conjunto total de
personas, y por ende la conveniencia de escoger un grupo
de estudio que conocemos como muestra.
Sin embargo, uno de los principales problemas en la
estadística es precisamente la selección correcta de una
muestra, o dicho con mayor precisión, de una muestra que
permita efectivamente extrapolar lo observado en ella a
toda la población. Es claro que si la muestra solo responde
a algunas características de la población, extender lo ob-
servado en ella puede no ser correcto.
Para graficar en lo que consiste el muestreo, suele utili-
zarse la analogía de la olla de sopa: la persona que cocina
la revuelve, prueba una cucharada y con ello puede saber
si, por ejemplo, está bien de sal. Pero en el caso de una po-
blación, nunca estamos completamente seguros de hasta
qué punto hemos logrado“revolverla”, y por lo mismo de
si la“cucharada”extraída es la más representativa. Esto es
lo que, finalmente, confiamos al azar: se espera que si no
hay intencionalidad en la extracción de la muestra, esta
realmente será representativa. Por supuesto, esto requiere
de algunas hipótesis sobre cómo se distribuye la población,
pero el análisis al respecto está fuera de las posibilidades
de este curso.
¿Qué debes saber?
Definir población y muestras, y extraerlas
Es preciso que aclare a los estudiantes que una misma
población puede tener diversas muestras, y que una situa-
ción de estudio determina una población (sobre quienes
nos interesa saber algo) y a partir de ella, una muestra.
Para la pregunta 2, puede ser necesario repasar el cálculo
del tamaño de la muestra (combinación de elementos), e
insistir a los estudiantes en que primero calculen la cantidad
de muestras y luego las determinen, para poder verificar
que efectivamente las han encontrado todas.
Definir espacios muestrales, eventos, y calcular
probabilidades
Puede ser necesario, en este caso, recordar el concepto
de espacio muestral y la regla de Laplace para el cálculo
de probabilidades. Es también la ocasión de enfatizar en
la necesidad de seguir procedimientos sistemáticos para
el cálculo, como se presenta en la pregunta 5: determinar
la cardinalidad del espacio muestral, los casos favorables y
luego aplicar la regla.
40 Muestreo aleatorio simple
Págs. 276 a 279
Propósito
Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.
Palabras clave
Muestra, población, aleatorio, escoger, azar
Prerrequisitos
§§ Definición de población y muestra.
§§ Definición de experimento aleatorio.
Consulte a los estudiantes por diversas situaciones que re-
quieran extraer una muestra, y plantee las preguntas ¿cómo
garantizar que la muestra se extrae realmente al azar?, ¿qué
podemos hacer para que efectivamente lo sea?
Considere las ideas que planteen los estudiantes y estimule
el debate. La conversación puede apuntarse especialmente
a la imposibilidad de considerar a las personas como“fichas”
o“bolitas”, y por lo mismo también puede asociarse el pro-
blema de la identificación de cada persona.
En la lección se plantea la diferencia entre media muestral
y poblacional. A pesar de que la diferencia entre ambas es
evidente (conceptualmente), es importante que en cada
ocasión insista a los estudiantes que identifiquen siempre de
cuál de ellas se está hablando, para evitar confundirse y caer
en interpretaciones incorrectas (sobre todo, si se interpreta
la media muestral como poblacional).

32 41
En el trabajo con calculadora, es ideal que se pueda contar
con un modelo similar de ellas para cada estudiante, y que
puedan trabajar individualmente. Si no es posible, verifique
los distintos modelos y si es necesario permítales explorar
un momento, utilizando la calculadora para distintas opera-
ciones hasta asegurarse de que la emplean adecuadamente.
Si va a usar planilla de cálculo, las distintas versiones de
software pueden presentar complicaciones. Por ello, aun-
que es conveniente que la utilicen ellos mismos, realice un
resumen final buscando abarcar todas las formas posibles,
recalcando que los procedimientos en cada caso pueden
ser diferentes.
Considere las preguntas planteadas en la sección Razona y
comenta, y permita que los estudiantes las discutan. Pueden
quedarse con la idea de que lo único que se debe conside-
rar en un muestreo es que sea aleatorio, siendo que —como
en muchas cosas relacionadas con la estadística— es la
necesidad particular y la situación que se estudia lo que
determina qué es más adecuado.
En ocasiones, los estudiantes utilizan métodos para escoger
números aleatorios que, en realidad, no son aleatorios. Por
ejemplo, si deciden elegir un número al azar y a partir de él
contar, por ejemplo, de tres en tres, este procedimiento puede
parecer aleatorio ya que el número inicial lo es, pero el proce-
dimiento posterior es sistemático.
Errores frecuentes
a) Para los alumnos con mayor dificultad trabaje la si-
guiente actividad.
Interpreta cada situación. Luego, marca con una X en
cada caso dependiendo si se describe una población
o una muestra.
Enunciado Muestra Población
Estaturadetodoslosestudiantesdeuncolegio X
Lascalificacionesde5estudiantesdeuncursoconun
total30.
X
Edadesdeloshijosdelostrabajadoresdeunaempresa. X
Deportefavoritode40estudiantesdeloscolegiosde
unacomuna.
X
Enfermedadescrónicasdeungrupodepacientesde
unconsultorio.
X
Salariopromediodeloshabitantesdeunaciudad. X
Númerodellamadasdiariasrealizadasporlosclientes
deunacompañíadetelefoníamóvil.
X
b) Dentro de los ejercicios propuestos, y a final de la uni-
dad (en la sección de profundización) se presentan
otros tipos de muestreo.
Plantee a los estudiantes la discusión, ¿será siempre lo
más adecuado extraer la muestra completamente al
azar?, si no, ¿en qué casos no lo será?
En los casos en que lo conveniente no es extraer la mues-
tra en forma aleatoria, se puede discutir con los estudian-
tes respecto de los criterios para establecer la forma de
extraerla, y si estos criterios no son efectivamente un
sesgo. Por ejemplo, puede plantear la situación de una
empresa que realizará una encuesta y debe decidir si
realizarla por medio de alguna red social o por teléfono.
Si escoge hacerla por teléfono, puede abarcar a más
personas —los más adultos, por ejemplo, es más proba-
ble que utilicen el teléfono a las redes sociales—, pero
responder una encuesta telefónica no permite elegir el
momento de hacerlo, lo que puede constituir un sesgo.
Si se hace por medio de las redes sociales se llegará a
un público más joven, acostumbrado a dar su opinión
por este medio.
Puede pedir a los estudiantes que investiguen respecto
de la forma en que se extraen las muestras de encuestas
nacionales, y comparen su confiabilidad.
Otro aspecto interesante del muestreo aleatorio es la
posibilidad de repetición. Al escoger los números al
azar, existe la posibilidad de escoger un número deter-
minado más de una vez, lo que implica que un mismo
valor se cuenta dos veces y nos hace tener una visión
distorsionada de la población.
Frente a esto, es preciso aclarar que si la población se
considera muy grande (en términos prácticos, infinita), la
posibilidad de repetición se torna cada vez menor, y en
caso de ocurrir genera una distorsión casi despreciable,
por lo que no vale la pena preocuparse. En caso de que
la población sea muy pequeña, conviene resguardarse
de esto, para obtener resultados más confiables.

41 Variable aleatoria
Págs. 280 a 283
Propósito
Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un ex-
perimento.
Palabras clave
Experimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad,
función, dominio, recorrido
Prerrequisitos
§§ Determinación de espacio muestral de un experimen-
to aleatorio.
§§ Cálculo de probabilidad de un suceso.
§§ Determinación de una función, su dominio y recorrido.
El contenido que se aborda en esta lección es nuevo para
los estudiantes, por lo que la activación de ideas previas
puede realizarse a partir del concepto de función.
Puede preguntar a los estudiantes por situaciones que se
han modelado en cursos anteriores por medio de funciones.
A partir de ello, señale que a varios elementos del dominio
se les puede asignar un mismo valor del recorrido. Por ejem-
plo, si considera la función que asigna a cada estudiante
del curso el número de hermanos que tiene habrá algunos
de ellos a los que les corresponde el valor 0 (no tienen
hermanos), a otros les corresponderá el 1, etc. En el estudio
de las variables aleatorias se enfrentarán, especialmente, a
este tipo de funciones.
Una variable aleatoria es una función que nos permite ana-
lizar la probabilidad de sucesos compuestos. En particular,
define un valor numérico asociado a ciertos casos del es-
pacio muestral, de los cuales se calcula su probabilidad.
Para explicar este contenido, utilice la representación con-
juntista de función que se presenta; el apoyo gráfico suele
ser de gran utilidad para los estudiantes.
Desde un principio, recalque a los estudiantes que, al rea-
lizar un experimento, podemos observar distintos tipos de
resultados. En el caso de los dados, podría considerarse la
diferencia entre los valores obtenidos, la diferencia en valor
absoluto, el producto, o cuántos dados indican el 5, por
ejemplo. Esto induce a otras variables aleatorias, con dis-
tinto dominio y recorrido, que se pueden analizar. Si desea,
a partir del mismo ejemplo presentado puede analizar los
descritos anteriormente.
a) Analiza cada situación. Luego, define la variable aleatoria
correspondiente y represéntala en un diagrama sagital.
• Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive,
y se cuenta el número de letras que tiene al escribirlo
con palabras.
• Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia
entre el número de puntos obtenidos y el número 6.
b) Se elige al azar una de las letras de la palabra
MURCIÉLAGO y se observa si esta es vocal o consonan-
te. Plantea una variable aleatoria y escribe la función de
probabilidad asociada.
c) Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un núme-
ro natural nde tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la
cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de
probabilidad asociada.
Respuestas:
a)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
b) Se asigna 0 a una vocal. Se asigna 1 a una
consonante.
M
U
R
C
I
E
L
A
G
O
0
1
f (0) =
1
2
f (1) =
1
2

32 41
c)
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
4
5
6
f (2) =
4
9
f (4) =
2
9
f (5) =
1
9
f (6) =
2
9
Como se mencionó, algunos errores de los estudiantes pueden
provenir de una inadecuada comprensión del concepto de
función. Repase cuidadosamente antes de abordar esta unidad.
Puede ser confuso para los estudiantes llamar“variable”a una
función; si bien se presta efectivamente para errores señáleles
que el valor de la variable independiente es el resultado de un
experimento aleatorio, por eso se utiliza ese nombre.
Errores frecuentes
42 Medias muestrales
Págs. 284 a 287
Propósito
Calcular y analizar el comportamiento de las medias
muestrales.
Palabras clave
Variable aleatoria, muestra, población, Ley de los grandes
números, probabilidad
Prerrequisitos
§§ Determinación de una variable aleatoria asociada a un
experimento aleatorio.
§§ Estimación de resultados a partir de la ley de los gran-
des números.
§§ Cálculo de probabilidades teóricas y experimentales
utilizando regla de Laplace.
Los estudiantes han analizado y explorado en cursos ante-
riores la ley de los grandes números en distintos casos y para
distintos tipos de experimentos aleatorios, por lo que ya de-
ben estar interiorizados en esto. No está de más recordarles
la naturaleza experimental de la ley de los grandes números,
es decir, reiterar que describe una tendencia esperable en
los resultados y no garantiza que deba cumplirse en cada
caso en particular.
Como se mencionó, los estudiantes han visto en cursos
anteriores la ley de los grandes números en distintos casos,
pero siempre asociada directamente al resultado directo o
individual de un experimento (“a la larga, un sexto de las
tiradas de un dado serán un 6”). Un aspecto central de esta
lección es que esta ley puede analizarse también a partir
de los medios muestrales.
La formulación de la ley de los grandes números conoci-
da por los estudiantes plantea que, por ejemplo, luego de
muchos lanzamientos de una moneda, la mitad de ellos
aproximadamente serán "cara". Existe también la formu-
lación estadística, que afirma que la media de las medias
muestrales se aproxima a la media poblacional. Se busca
aquí enlazar ambas formulaciones estimando que los re-
sultados posibles de un experimento pueden considerarse
una población infinita, de manera que cada conjunto de
resultados constituye una muestra. Recalque estos aspectos
en el análisis de la situación presentada.
Profundice y conecte con otras áreas por medio de la si-
guiente actividad.
Si tomamos un texto cualquiera, se puede definir la variable
aleatoria“frecuencia de cada letra”. Cada texto puede ser
considerado una muestra de la población correspondiente
a todos los textos escritos en castellano.
a) Averigua la frecuencia de cada letra, en un texto cual-
quiera en castellano.
b) Calcula la frecuencia de cada letra en un texto que
consigas (de preferencia de algún libro) de más de 300
palabras. Puedes utilizar un procesador de texto. ¿Coin-
ciden tus valores obtenidos con los teóricos? Explica.
c) En el cuento“El escarabajo de oro”, de Edgar Allan Poe,
un investigador descifra un mensaje encriptado utili-
zando la frecuencia de cada letra en un texto.
Si se considera un texto cualquiera en castellano (lo su-
ficientemente extenso), las letras en él suelen tener las
siguientes frecuencias aproximadas:

Letra frec Letra frec Letra frec
A 12,53 J 0,44 R 6,87
B 1,42 K 0,01 S 7,98
C 4,68 L 4,97 T 4,63
D 5,86 M 3,15 U 3,93
E 13,68 N 6,71 V 0,90
F 0,69 Ñ 0,31 W 0,02
G 1,01 O 8,68 X 0,22
H 0,70 P 2,51 Y 0,90
I 6,25 Q 0,88 Z 0,52
Un texto en castellano constituye una muestra de la“pobla-
ción infinita”que constituyen todos los textos en castellano
existentes o por existir.
En el texto encriptado del cuento de Allan Poe, cada letra
había sido remplazada por otra cualquiera (por ejemplo,
se remplaza la A por la F, la B por la Q, la C por la N, etc). Sa-
biendo esto, se puede contar la frecuencia de las letras en el
texto encriptado y compararlas con las de la tabla anterior;
probablemente la letra que más se repite corresponderá a
la E, la segunda con mayor frecuencia, a la A, y así para cada
letra (aunque en el texto original, Allan Poe lo realiza en
inglés, el razonamiento es el mismo). Otras letras pueden,
además, deducirse mediante razonamientos lógicos
Puede acceder a este relato completo en:
http://es.wikisource.org/wiki/El_escarabajo_de_oro_
(Versi%C3%B3n_para_imprimir)
Página 288
planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discu-
tir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
El problema presentado en esta sección tiene como obje-
tivo modelar situaciones que involucran variable aleatoria,
aunque en este caso puntual podría resolverse sin ella. Con-
viene que ejerciten con problemas de este tipo ya que la
verificación de la solución obtenida es sencilla, lo que les
permite adquirir mayor seguridad. De todos modos, ínste-
los a poner en común las estrategias que hayan seguido y
valorar las de cada uno en cuanto apunten correctamente
a la resolución del problema.
Página 289
y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
El primer caso que se aborda se relaciona con la correcta
identificación de los casos favorables y los casos totales, es-
pecialmente cuando deben diferenciarse o no los casos. Esta
confusión es común entre los estudiantes, especialmente
porque hacerlo no depende de una regla matemática sino
de una adecuada comprensión del problema.
El segundo caso constituye un error conceptual, como es
asumir que la media muestral es igual, necesariamente, a la
poblacional. Es necesario que insista en este punto siempre,
al abordar los contenidos y en el análisis de este tipo de
problemas, ya que al constatar el error puede quedar más
clara la diferencia entre ambas.

32 41
Págs. 290 y 291
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Utilizar métodos de muestreo
aleatorio simple.
1, 2 y 3 Las dificultades asociadas a este indicador provienen esencialmente
de una incorrecta comprensión del muestreo aleatorio simple y,
especialmente, de las condiciones necesarias que deben cumplirse para
que lo sea. Al revisar los resultados con los estudiantes, enfatice que
en el muestreo aleatorio los elementos escogidos en la muestra deben
haber sido seleccionados con un método homologable al lanzamiento
de un dado, sin condiciones iniciales ni nada que limite su posibilidad
de elección.
Definir y aplicar una variable
aleatoria asociada a un
experimento.
4, 5, 6 y 7 Para este indicador conviene que repase el proceso de definición
de una variable aleatoria, desde la observación de un experimento,
la determinación de su espacio muestral, la asignación de valores
numéricos a los resultados y sus probabilidades.
Enfatice en el tratamiento gráfico de la variable aleatoria, utilizando
la representación mediante un diagrama sagital. Facilitará mucho la
comprensión de los estudiantes.
Calcular y analizar el
comportamiento de las
medias muestrales.
8, 9 y 10 Verifique que los estudiantes no confundan la media muestral y la
poblacional, y distingan que su similitud es probabilística en la medida
que el número de repeticiones del experimento aumenta.
Para las preguntas 9 y 10, supervise la correcta determinación de la
variable aleatoria involucrada, repasando si es preciso las preguntas del
indicador anterior.

Sección 3
Eventosexcluyentes,
independientesyprobabilidades
De esto se trata
En muchas situaciones de nuestra vida cotidiana, utiliza-
mos las probabilidades pero sin la regla de Laplace, sino a
partir de la observación de ciertas regularidades. Así, lo que
no nos ocurre frecuentemente (encontrar a una persona
a la que no vemos hace mucho tiempo, por ejemplo), lo
consideramos algo poco probable, mientras que estimamos
el tiempo empleado en desplazarnos desde nuestra casa a
nuestro lugar de estudio en forma probabilística, según lo
que nos solemos demorar. Por lo mismo, suponemos que
si alguien tarda más de lo esperado puede haber tenido
algún inconveniente.
Un segundo paso es establecer relaciones entre los su-
cesos que observamos y sus probabilidades. Este procedi-
miento fue, en la historia de la humanidad, el primer paso
en el uso del método científico, al intentar establecer causas
y efectos. El ser humano en las cavernas poco a poco fue
asociando el aspecto del cielo y su color, la velocidad del
viento y la temperatura con las lluvias, por ejemplo, lo que
le permitió preverlas. Día a día hacemos estas asociaciones,
pero muchas veces que dos sucesos ocurran a la vez no im-
plica, necesariamente, que estén directamente relacionados
o que uno influya en la probabilidad del otro. Nuestro afán
de anticiparnos a los hechos para prever sus consecuencias
muchas veces nos puede llevar a conclusiones equivocadas
producto de un análisis apresurado, o de una incorrecta
interpretación de las probabilidades involucradas.
¿Qué debes saber?
Definir casos, eventos y calcular probabilidades
Para este indicador, se sugiere repasar los conceptos
de caso y evento —considerando que ya dominan los de
experimento aleatorio y espacio muestral—. Es importante
que aclare a los estudiantes que, en general, se utiliza“caso”
para determinar un resultado individual y“evento”o“suceso”
para señalar un conjunto de casos. Debe aclararse que dicho
conjunto puede tener un solo elemento (por lo que en rigor
un caso también es un evento), ser igual al espacio muestral
o ser el conjunto vacío. Puede apoyarse con el ejemplo del
lanzamiento de un dado, estableciendo que:
• los casos de este experimento (es decir, los posibles
resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
• el evento“sale un número par”es el conjunto {2, 4, 6}
• el evento“sale un número primo par”es {2}.
Utilizar el principio multiplicativo para calcular
probabilidades
Para este indicador, se sugiere utilizar apoyos gráficos
en la resolución de los ejercicios, que les permitan a los
estudiantes visualizar este principio y con ello recordarlo y
aplicarlo. Una forma sencilla de hacerlo es mediante tablas
de doble entrada, que permiten observar fácilmente que la
operación involucrada es una multiplicación. Así, por ejem-
plo, para el ejercicio 4, puede mostrar que:
Dado
1 2 3 4 5 6
Moneda
C (1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C)
S (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)
Donde ya es fácil ver que hay 6 • 2 = 12 casos
43 Conjuntos y probabilidades
Págs. 294 a 297
Propósito
Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de proba-
bilidades.
Palabras clave
Conjunto, unión, intersección, complemento, espacio
muestral, disjunto
Prerrequisitos
§§ Aplicación de la regla de Laplace para el cálculo de
probabilidades.

32 41
Es posible que los estudiantes no hayan visto la repre-
sentación y la operatoria de conjuntos de manera formal
en cursos anteriores, pero sí cabe esperar que tengan un
conocimiento intuitivo de ellos. Plantee especialmente
situaciones como las siguientes, para que comiencen a di-
ferenciar algunas expresiones relacionadas con la operatoria
de conjuntos:
• En un curso, los alumnos practican básquetbol o vo-
leibol (unión).
• En el curso, hay alumnos que practican básquetbol y
voleibol (intersección).
• En el curso, hay alumnos que practican básquetbol
pero no voleibol (diferencia).
Analice la situación planteada junto a los estudiantes, si-
guiendo cada uno de los pasos. Si es necesario, copie el
esquema en la pizarra y complételo junto con ellos, ha-
ciendo énfasis en la zona respectiva con la que se identifica
cada proposición.
Es fundamental que los estudiantes sean capaces de re-
lacionar proposiciones en lenguaje de conjuntos con su
representación en diagramas de Venn. Por lo tanto, presente
a los estudiantes ejercicios en los que deban representar en
un dibujo una situación planteada, y ejercicios en los que a
partir de la representación en el diagrama deban escribir-
la en lenguaje de conjuntos. En los ejercicios propuestos
(ejercicio 5) se le pide representar gráficamente; puede com-
plementar esta actividad utilizando las representaciones
realizadas por los estudiantes y preguntarles qué situación
está dibujada en cada caso.
Puede ocurrir que los estudiantes, en primera instancia, asu-
man que la disyunción“o”es excluyente, pues así suele ser en
el lenguaje natural. Así, pueden pensar que si decimos que
una persona tiene corderos o vacas significa que solo tiene
un tipo de animal, no ambos.
Conviene aclarar este punto con ellos y mostrarles que la
disyunción puede ser incluyente y de hecho lo es en ma-
temática. Existen casos en que la disyunción es excluyente
por la naturaleza de la situación (por ejemplo, si hablamos de
hombres o mujeres no habrá personas que sean“hombre y
mujer”), pero esta no es la norma en el lenguaje matemático.
Errores frecuentes
a) Analiza la información entregada en la tabla y luego
responde.
Detalle de los estudiantes asistentes al ensayo PSU
Cursos 3ºA 3ºB 4ºA 4ºB Total
Mujeres 16 20 21 21 78
Hombres 20 18 17 19 74
Total 36 38 38 40 152
• ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a
la de un estudiante de tercero medio?
• ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a
la de una mujer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que de un estudiante
que cursa cuarto medio?
• ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estu-
diante del 3° B?
• ¿Cuáleslaprobabilidaddequenoseadeunestudiante?
R: 74
152
; 78
152
; 78
152
; 114
152
; 0; 57
98
b) Puede extender las propiedades de la operatoria de
conjuntos y probabilidades a casos con más conjuntos
involucrados y deducir por ejemplo que:
P AUBUCUD P A +P A +P A +P A
–P A B –P A C –P A D
–P B C –P B D –P C D
+P A B C +P A B D
+P A C D +P B C D
–P A B C D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩
Para este caso, puede apoyarse con transparencias que
se superpongan, lo que permitirá una mejor compren-
sión. Se puede observar que las sumas y restas se van
alternando en cada caso, lo que se conoce como prin-
cipio de inclusión y exclusión.

44
Producto y suma
de probabilidades
Págs. 298 a 301
Propósito
Resolver problemas utilizando suma y producto de pro-
babilidades.
Palabras clave
Principio multiplicativo, árbol, probabilidad, secuencia
Prerrequisitos
§§ Aplicación del principio multiplicativo para el cálculo
de probabilidades.
§§ Identificación de elementos en conjuntos.
Pese a que se utiliza ahora como método para representar
situaciones relacionadas con probabilidades, es posible que
los estudiantes hayan utilizado antes diagramas de árbol.
Puede comenzar de una manera intuitiva pidiéndoles que
representen situaciones en las que, en cada paso, puedan
distinguirse diferentes alternativas o resultados. La opción
más natural resulta ser un árbol, que muestra una suerte
de camino con diferentes bifurcaciones.
Si bien la representación de la situación por medio de un
árbol es bastante natural, como se mencionó, en el tercer
punto del taller se da un paso importante de abstracción
al dejar de representar gráficamente todo el árbol para
comenzar a asignar probabilidades a las distintas ramas.
Reitere este proceso tantas veces como sea preciso, hasta
que pueda verificar que los estudiantes comprenden qué
están haciendo y cómo se determina cada una de dichas
probabilidades.
Realice una puesta en común del taller propuesto escuchan-
do los procedimientos de los estudiantes, especialmente
para repasar el quinto punto del taller donde se llega al
resultado buscado: la utilización del “árbol resumido”su-
mando o multiplicando las probabilidades según corres-
ponda. Es esencial modelar en los estudiantes el uso de esta
herramienta, por lo que conviene exigirles que apliquen
los siguientes pasos en la resolución de un problema de
este tipo:
• construir el árbol asociado a la situación.
• asignar la probabilidad de cada rama.
• identificar los casos favorables.
• calcular la probabilidad de los casos favorables, multi-
plicando las probabilidades involucradas desde la raíz
del árbol hasta la“hoja”(el caso señalado).
Se espera que los estudiantes adquieran cada vez mayor
soltura, pero hasta entonces es imprescindible un desarrollo
sistemático.
La mayoría de los errores al utilizar un diagrama de árbol tienen
relación con la complejidad que este adquiere cuando tiene
muchos casos y por ende muchas ramas que representar. Para
evitarlos, pida a los estudiantes que, en cada paso de su cons-
trucción, expliciten en qué caso están, y lleven un registro de
ellos para asegurarse que los están considerando todos, sin
excluir ni repetir alguno.
Errores frecuentes
Analiza la siguiente tabla, complétala y luego calcula las
probabilidades.
Detalle de los estudiantes de ingeniería asistentes a un exámen
de cáculo
Especialidad Informática Electricidad Construcción Total
Mujeres 25 17 54
Hombres 15
Total 36 110
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y de inge-
niería eléctrica?
R: 5
22
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, pero no
de ingeniería en informática?
R: 41
110
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o de inge-
niería en construcción?
R: 73
110

32 41
45 Eventos independientes
Págs. 302 a 303
Propósito
Identificar sucesos independientes en experimentos
aleatorios.
Palabras clave
Evento, probabilidad, árbol, disjunto
Prerrequisitos
§§ Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de pro-
babilidades.
§§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el
cálculo de probabilidades.
Puede retomar el tema con el que se inicia esta sección,
analizando la relación entre dos o más sucesos, y si la ob-
servación simultánea o secuencial de ellos permite supo-
ner que están relacionados o no. Puede comenzar la clase
comentando la actividad relacionada en dicha ocasión.
Para enlazar más directamente con el contenido de esta
lección, plantee a los estudiantes preguntas sencillas rela-
cionadas con la independencia de sucesos, asociadas a la
repetición de un experimento. Por ejemplo:
• Si se lanza un dado y sale 6, ¿cuál es la probabilidad
de que en el segundo lanzamiento salga un 6?
• Si se lanza una moneda 5 veces y se obtiene "cara"
en todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un
"sello" en el siguiente lanzamiento?
Es posible conversar con los estudiantes respecto de algunas
creencias erróneas sobre los juegos de azar, pero que suelen
considerarse ya sea por ignorancia o superstición. Por ejem-
plo, si en un juego de azar se gana al acertar a 6 números es-
cogidos de entre 36, puede plantear las siguientes preguntas:
• Si se apuesta a la combinación 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6,
¿es más o menos probable ganar que con cualquier
otra combinación?
• Jorgeapuestaalacombinación6–12–18–24–30–36,
mientras que Elisa apuesta a 10 – 11 – 20 – 21 – 30 – 31.
¿Cuál de los dos tiene mayor probabilidad de ganar?
Aclare que en cada caso las probabilidades son las mismas,
ya que las bolitas numeradas del sorteo no“saben”lo que
ocurre en este.
En rigor, lo que se plantea en esta lección no puede ser
considerado realmente como independencia entre sucesos,
pues se trata esencialmente de experimentos distintos. Pero
sí nos permite aproximarnos a este concepto.
Si se extrae una bolita en el experimento descrito y esta no
se repone, la extracción de la segunda bolita es en realidad
otro experimento. Ahora, si la bolita es repuesta sí se trata
del mismo experimento por lo que se puede afirmar que
existe independencia.
En este sentido, es conveniente centrarse en el concepto de
independencia (que es más evidente) y dejar aparte el de
dependencia (solo mencionándolo como opuesto), ya que
entrar en él puede provocar problemas y ambigüedades en
las definiciones, además de que se requiere de otro tipo de
herramientas matemáticas para abordarlo.
Al final de la unidad, en la sección Diario Mural (página
312), se presenta el caso de Sally Clark, víctima de un juicio
erróneo a causa de una incorrecta interpretación de las
probabilidades y, específicamente, de la independencia
de sucesos. Puede aprovechar esta lección para abordar el
tema, leer el texto y realizar las actividades sugeridas.
46 Combinatoria y probabilidades
Págs. 304 a 307
Propósito
Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de
probabilidades.
Palabras clave
Orden, permutación, combinación, variación
Prerrequisitos
§§ Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de pro-
babilidades.
§§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el
cálculo de probabilidades.

Recuerde con los estudiantes algunos problemas de pro-
babilidades que hayan resuelto en casos anteriores (por
ejemplo, el ejercicio 3 de la página 300), y verifique con ellos
si contaban con métodos sistemáticos para el conteo de
casos totales. A partir de ello, puede plantear las preguntas:
• ¿Cómo estar seguros de que se han contabilizado
todos los casos?
• ¿Qué cuidados se debe tener respecto del orden?
Los estudiantes plantearán formas de calcular que, en oca-
siones, pueden parecer útiles pero muy difíciles de utilizar
cuando se requiere trabajar con números más grandes.
Esto constituye un buen punto de partida para abordar el
contenido.
La situación presentada en la lección muestra una secuencia
de razonamiento que permite a los estudiantes comenzar
desde el orden de elementos en fila hasta la deducción de la
fórmula de un número combinatorio. Conviene seguir estos
pasos junto a los estudiantes para aclarar en conjunto las
dudas que puedan surgir, además de escuchar sugerencias
y métodos empleados por los propios estudiantes.
Puede presentar a los estudiantes la siguiente secuencia a
modo de resumen:
• 7 elementos pueden ordenarse de7•6•5•4 •3•2•1=7!
formas.
• Si solo escogemos 4 de esos 7 y los ordenamos, hay
7•6•5• 4 =
7•6•5• 4 •3•2•1
3•2•1
=
7!
3!
=
7!
7– 4 !( )
formas de
hacerlo.
• Esos 4 elementos pueden ordenarse de 4! formas, por
lo que si el orden no es relevante cada uno de esos
casos ordenados corresponde en realidad a solo un
caso. Por lo tanto, la expresión anterior se divide por 4!:
7!
7– 4 !
4!
=
7!
7– 4 !• 4!
( )
( )
Si a algunos de ellos les resultara más difícil de seguir el
razonamiento, puede realizarlo con números algo más
pequeños y apoyándose en un diagrama de árbol (que
de cualquier manera será grande). Mediante él, puede ser
más sencillo que observen las ramas que son iguales si no
se considera el orden, y con ello comprender la necesidad
de dividir por n! la cantidad de variaciones para obtener la
de permutaciones.
Para el cálculo de variaciones y combinaciones es conve-
niente que los estudiantes busquen siempre utilizar núme-
ros más pequeños. Por ello, muéstreles que al desarrollar
uno de estos números conviene realizar primero todas las
simplificaciones posibles, en lugar de calcular el numera-
dor y el denominador y luego simplificar. Por ejemplo, para
calcular 



18
5
, se tiene que:
( )




18
5
=
18!
18–5 !•5!
=
18!
13!•5!
=
13! •14 •15•16•17•18
13! •5!
=
14 •15•16•17•18
1•2•3• 4 •5
Esta es la simplificación más sencilla. Las demás dependen
de los factores involucrados. En este caso, se puede des-
componer así:




18
5
=
14 •15•16•17•18
1•2•3• 4 •5
=
2 •7• 3 • 5 • 4 • 4 •17•18
1• 2 • 3 • 4 • 5
=7• 4 •17•18
= 8 568
Es frecuente que los estudiantes confundan los casos en los
que el orden debe considerarse y en los que no, lo que produ-
cirá errores en sus cálculos. En la resolución de problemas, haga
que los estudiantes expliciten sus razonamientos en cada caso,
para lo cual puede plantearles preguntas como las siguientes:
• ¿es lo mismo escoger como compañeros de trabajo a
Isabel y Emilio, que a Emilio e Isabel?
• ¿es lo mismo usan pantalón café y polera negra que
pantalón negro y polera café?
Puede ocurrir también que los estudiantes, por la premura
de resolver rápidamente los ejercicios, confundan la fórmula
de variación y de combinación. Para ello, permítales calcular
ambas y constatar que, si el orden no es relevante, es evidente
que habrá menos casos en que sí lo es. Por lo mismo, la fór-
mula para la combinación es la misma que para la variación,
pero dividida por n!, pues necesariamente son menos casos.
Errores frecuentes

32 41
a) ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, que co-
miencen con la letra Zse pueden formar al reordenar
las letras de la palabra CALABAZA?
R: Si se consideran solo las palabras de 8 letras se
podrían formar 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1260 palabras.
b) Se dispone en una mesa redonda a 4 amigos, ¿de
cuántas formas distintas se pueden ordenar si se fija a
una de ellas en un puesto?
R: 3! = 6 formas
1
4
2
3
1
3
2
4
1
2
3
4
1
4
3
2
1
3
4
2
1
2
4
3
c) De un grupo de 8 profesores y 20 estudiantes, se
constituirá un equipo de 2 profesores y 7 estudiantes.
¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir?
R: 21 705 600
d) La clave de un maletín de seguridad está compuesto
por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo
sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es
la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, su
dueño acierte con la clave al primer intento?
R: 1
4000
Página 308
o perfeccionarla.
El problema que se presenta en esta sección busca desa-
rrollar la capacidad de análisis en los estudiantes, pues para
responder la pregunta se debe razonar e interpretar qué
es lo que se está pidiendo; no se trata de una respuesta
directa. Por lo mismo, puede pedir a los estudiantes que,
antes de analizar la resolución propuesta, experimenten con
la situación y elaboren sus propias estrategias.
Es esencial que los estudiantes comprendan que no todas
las situaciones serán directas, es decir, no siempre tendrán
datos para calcular una probabilidad sino que en ocasiones
a partir de probabilidades será necesario determinar datos.
Considerando este ejercicio, puede reforzar esto pidiéndoles
que inventen situaciones similares y las presenten a sus
compañeros.
Página 309
El análisis de errores es una potente herramienta de apren-
dizaje, ya que permite analizar procesos y reconocer en ellos
posibles equivocaciones y las formas de abordarlos para
corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a
analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar
la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores
cometidos.
La primera situación apunta a la confusión producida al
no considerar que los sucesos presentados no son exclu-
yentes, por lo que debe considerarse la probabilidad de su
intersección. Aproveche esta oportunidad para recordar
este hecho y verificar si los estudiantes cometen este error.
En la segunda situación, el error se produce por una inco-
rrecta interpretación en la operatoria de conjuntos. Si los
estudiantes la cometen, repase esto mediante diagramas,
pidiendo a los estudiantes que representen gráficamente
la situación y puedan así constatar el error.

Págs. 310 y 311
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Utilizar conjuntos y su operatoria
en el cálculo de probabilidades.
1, 2, 3, 4, y 5 Verifique que en cada caso los estudiantes leen y comprenden
correctamente las situaciones, y aplican correctamente el cálculo de
probabilidades.
Solicite a los estudiantes que representen las situaciones gráficamente,
dibujando los conjuntos e identificando las zonas asociadas a cada
probabilidad.
Resolver problemas utilizando
suma y producto de
probabilidades.
6, 7 y 8 La representación gráfica es, nuevamente, muy útil para este indicador.
Procure que especialmente los estudiantes con más dificultades la
utilicen, sin perjuicio que para todos la utilización de diagramas de
árbol es imprescindible en ocasiones.
Repase nuevamente, si es necesario, la interpretación de la conjunción
(“y”) y de la disyunción (“o”) en situaciones de probabilidades. Si revisa
los ejercicios con el curso, pregunte siempre lo que implica cada una
antes de decirlo usted directamente, para fijar la capacidad de los
estudiantes de distinguir ambos casos.
Identificar sucesos independientes
en experimentos aleatorios.
9, 10 y 11 Repase la definición de sucesos independientes con los estudiantes,
y pídales dar ejemplos de ello con distintos experimentos. Luego,
pida a los estudiantes que hayan presentado dificultades que realicen
nuevamente loes ejercicios.
Utilizar herramientas de
combinatoria en el cálculo de
probabilidades.
12, 13 y 14 Verifique si las dificultades de los estudiantes se deben a una incorrecta
comprensión de los problemas y/o de los conceptos de permutación,
combinación y variación, o bien si se debe a problemas de operatoria.
En el primer caso, solicíteles repasar la lección 46 y realizar paso a paso
el ejemplo dado. Si se trata de problemas de operatoria, verifique
que dominan las técnicas de cálculo planteadas en las orientaciones
didácticas de dicha lección.

32 41
Diariomural
Págs. 312 y 313
En esta sección, se presenta un caso judicial en el que el
análisis de probabilidades tuvo vital importancia, primero
porque condenó a la cárcel a la madre de dos niños y luego
porque fue un académico de matemáticas quien reveló los
fallos en el caso.
Puede analizar esta situación al trabajar la lección 45, como
se sugirió, o bien al final de la unidad, a modo de reflexión
sobre los contenidos. Esta actividad presenta interesantes
conexiones con otras disciplinas como el Derecho —por la
necesidad de apelar a las probabilidades para establecer la
culpabilidad o inocencia de alguien— y la Filosofía —por el
análisis de argumentos y la refutación de los mismos por
constituir falacias—.
En este sentido, puede plantear a los estudiantes que la
matemática está presente en muchas áreas, en ocasiones
insospechadas, no solo para realizar cálculos sino como
forma de pensamiento analítico, y en ocasiones con mucha
menor rigidez que otras disciplinas.
Parasintetizar
Págs. 314 y 315
de la disciplina.
Por lo mismo se sugiere prestar especial atención a la ela-
en el inicio de la Unidad, con el objetivo de que puedan
adquiridos.
El tema específico de esta unidad —los experimentos de
Mendel— es estudiado en ciencias naturales, por lo que los
estudiantes pueden tener ideas previas o bien lo aprendido
en esta unidad les puede permitir comprenderlo mejor
posteriormente. Si es posible, verifique con el docente res-
pectivo si ya lo han estudiado o no.
Págs. 316 a 319
garantizar su comprensión de los conceptos involucrados.
Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto
con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan
algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus
compañeros. Mediante esto se pretende que puedan re-
troalimentarse mutuamente de manera más significativa,
al provenir de sus propios pares.

Matemática 2.º Medio - Guía Didáctica del Docente168
Págs. 320 a 323
1
Determinar indicadores de
dispersión de un conjunto de
datos.
1, 2, 3, 4, 5, 6. Permita a los estudiantes con mayores
dificultades utilizar formularios para realizar
los cálculos, y rehacer los ejercicios en los que
hayan tenido errores con esta ayuda.
Comparar dos o más
conjuntos de datos utilizando
distintos indicadores.
7, 8 y 9
2
Utilizar métodos de muestreo
aleatorio simple.
11 Solicite a los estudiantes que presenten errores
el desarrollo de sus respuestas, para identificar
la naturaleza de ellos y encontrar estrategias
para remediarlos.
Verifique, de todos modos, que utilicen las
representaciones gráficas para analizar una
variable aleatoria, y que comprendan los
conceptos de muestreo aleatorio y media
muestral. Para ello, puede solicitarles realizar
un resumen de las lecciones 41, 42 y 43, y que
luego resuelvan los ejercicios nuevamente.
Definir y aplicar una variable
aleatoria asociada a un
experimento.
10, 12, 13, 14
Calcular y analizar el
comportamiento de las
medias muestrales.
15 y 16
3
Utilizar conjuntos y su
operatoria en el cálculo de
probabilidades.
17, 18, 19, 20, 21, 22, Pida a los estudiantes que presenten
dificultades que resuelvan nuevamente los
ejercicios y los expliquen detalladamente, paso
a paso. De esta manera podrá detectar cuáles
son los errores cometidos.
Verifique que los estudiantes hayan realizado a
conciencia el cuadro resumen presentado en la
página 315, y permítales utilizarlo para resolver
nuevamente los ejercicios.
Resolver problemas utilizando
suma y producto de
probabilidades.
23, 24, 25
Identificar sucesos
independientes en
experimentos aleatorios.
26 y 27
Utilizar herramientas de
combinatoria en el cálculo de
probabilidades.
28 y 29

Historia de las encuestas en Chile
Las primeras encuestas de opinión pública realizadas en nuestro país estuvieron encabezadas por el sociólogo de la
Universidad de Chile, Eduardo Hamuy.
Él, junto a Raúl Samuel, preguntó en 1957 a los chilenos qué les parecía el Sputnik, primer satélite ruso en órbita, y por
cierto, en 1958, año de elecciones presidenciales, les consultó por las posibilidades de los candidatos a la presidencia
Salvador Allende, Eduardo Frei Montalva, Luis Bossay y Jorge Alessandri.
Casi un mes antes del proceso eleccionario, Hamuy vaticinó que el ganador sería Alessandri, quien obtuvo la victoria
con el 31,6 % de los votos. Claro que entonces sus encuestas fueron conocidas solo por unos cuantos académicos
e investigadores.
Así, Hamuy dio inicio a un programa de encuestas de opinión pública que se extendió hasta 1973 con más de 40
sondeos referidos al ámbito político, la movilidad social, el comportamiento electoral y percepciones sobre la con-
tingencia nacional.
En 1970 Gallup-Chile, el Centro de Estudios Socioeconómicos (CESOC) y el Centro de Opinión Pública (CEDOP) fueron
los principales institutos que midieron las intenciones de voto de los chilenos. La Gallup chilena predijo un amplio
triunfo para el comando alessandrista. Hamuy, que dirigía entonces el CEDOP fue el único que adelantó el triunfo
de Allende, quien obtuvo el 36,3% de los votos. Alessandri alcanzó un 34,9% y Tomic un 27,8%.
Tras el golpe de Estado, las encuestas tuvieron un receso hasta mediados de los años ochenta. Entonces, comenza-
ron a realizarse los primeros intentos por fotografiar la realidad política y social a través de sondeos que pretendían
dilucidar las preferencias electorales frente al plebiscito de 1988, en que los chilenos debieron manifestarse frente a
la continuidad del general Augusto Pinochet en el poder.
Las primeras instituciones dedicadas a analizar la realidad chilena de entonces, mediante las encuestas, fueron la
Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales (FLACSO), el Centro de Estudios Públicos (CEP) y el Centro de Estudios
de la Realidad Contemporánea (CERC).
A comienzos de 1990, las encuestas se tornaron una poderosa herramienta para la política. En la actualidad, en Chile
se realizan un promedio de 20 encuestas por mes a cargo de diversas empresas y universidades.
Fuente: http://www.fundacionfuturo.cl/index.php?Itemid=54

El box-plot es un tipo de gráfico que permite representar la dispersión de un conjunto de datos. En él se indican los valores
máximo y mínimo además de la mediana y los cuartiles, como se muestra:
0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065
Min Max
Q1 Med Q3
1. Construye un box-plot para cada uno de los siguientes conjuntos de datos.
A 5 10 10 15 20 20 30 35 35 40 40 55
B 10 10 10 15 20 20 25 25 30 30 40 60
2. Observa los gráficos anteriores:
a) ¿Cuál de los dos conjuntos es más homogéneo? ¿Por qué?
b) En general, si comparas los box-plot de dos conjuntos, ¿cómo puedes determinar cuál de ellos es más homogéneo?
Explica.
Actividad complementaria Nº 1 / Comparación de datos y box-plot

Para realizar un muestreo aleatorio simple que permita estimar la media de una población, es importante determinar el
tamaño adecuado de la muestra, según la precisión que se desee obtener. Para ello, se utilizan algunas suposiciones y
valores establecidos:
• Se supone que la población se distribuye en forma simétrica respecto de la media.
• Se estima la varianza S2
de la población, o se la supone igual a 0,5.
• Se asigna un coeficiente de confianza K a la muestra, que se establece a partir de la probabilidad de que los datos
de la muestra se ajusten a los valores de la población. Estos coeficientes se encuentran estandarizados en tablas, y
algunos de ellos son:
Nivel de confianza Coeficiente (K)
99% 2,576
95% 1,96
90% 1,645
• Se asigna un margen de error e permitido.
A partir de ello, se calcula el tamaño n adecuado de la muestra que se debe tomar de una población de tamaño N, me-
diante la fórmula
n=
K NS
Ne +K S
2 2
2 2 2
Por ejemplo, si se desea estimar la media de la edad de una población de 1 000 habitantes, con un margen de error de 0,5
años, y un nivel de confianza del 95%, el tamaño adecuado de la muestra es (se supone S2 = 0,5):
n=
1,96 •1000•0,5
1000•0,5 +1,96 •0,5
=
1920,8
250+1,9208
=
1920,8
251,9208
≈ 7,6
2
2 2
Este valor se redondea al entero superior (8). Por lo tanto, si se extrae una muestra de tamaño 8 y se calcula su media x( )
podrá asegurarse con un 95% de certeza que la media poblacional es x ± 0,5.
1. Si se supone una población fija de 5 000 personas, y los valores de S2
, e y K varían, ¿en qué casos el tamaño de la
muestra aumenta? ¿En cuáles disminuye? Ejemplifica.
Actividad complementaria Nº 2 / Tamaño de una muestra

Sabemos que si se tiene un conjunto de m elementos, y se quieren escoger n de ellos sin importar el orden, existen
( )




m
n
=
m!
m–n !n!
maneras de hacerlo.
1. Pamela debe escoger, de entre sus 30 compañeros de curso, a 22 de ellos para invitarlos a su cumpleaños y de-
sea saber de cuántas formas puede hacerlo. Su mamá le dice que cuente la cantidad de formas en que puede
descartar a los 8 que no invitará.
a) ¿Son equivalentes las maneras de calcular? Explica.
b) Demuestra que en general, de un conjunto de m elementos, la cantidad de maneras de escoger n de ellos sin
importar el orden es igual a la cantidad de maneras de escoger m – n elementos.
2. Explica con palabras —y mediante un ejemplo— la siguiente igualdad, y demuéstrala












m+1
n
=
m
n
+
m
n–1

32 41
Nombre: Curso:
Calcular e interpretar medidas de dispersión de
conjuntos de datos.
1. ¿Cuál es el valor de la varianza de los datos 2, 5, 3, 6,
4 y 3? Redondea a la milésima.
A. 1,806
B. 2,173
C. 2,474
D. 4,709
E. 6,101
2. ¿Cuál es el rango de la siguiente distribución de
datos?
2 – 7 – 9 – 5 – 4 – 10 – 5 – 7
A. 2
B. 5
C. 7
D. 8
E. 10
3. La varianza de un conjunto de datos es 49 m2
. ¿Cuál
es su desviación estándar?
A. 2 401 m4
B. 49 m2
C. 7 m
D. 7 m2
E. 7 m
4. Un técnico computacional compara el rendimien-
to de dos equipos para ejecutar ciertos grupos de
instrucciones. El tiempo promedio que demoraron
los equipos fue el mismo, sin embargo, el primer
equipo tuvo una desviación estándar menor que el
segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacio-
nes son correctas?
I. En promedio, el primer equipo fue mejor que
el segundo.
II. El desempeño del primer equipo fue más ho-
mogéneo que el del segundo.
III. El segundo equipo realizó las algunas tareas
más rápido y otras más lento que el primero.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. II y III
Para responder las preguntas 6, 7 y 8 considera las
siguientes tablas que representan las ventas de
dos empresas en un período de 5 meses.
Empresa 1
Meses Ventas
1 7
2 18
3 4
4 9
5 26
6 25
Empresa 2
Meses Ventas
1 13
2 23
3 29
4 12
5 19
6 39
5. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 1?
A. 39 %
B. 43 %
C. 45,6 %
D. 54,6 %
6. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 2?
A. 29 %
B. 41,67 %
C. 69,3 %
D. 71 %

7. ¿Cuál presenta mayor dispersión?
A. La empresa 1.
B. La empresa 2.
C. No hay información.
D. Ambas presentan la misma dispersión.
Comprender y aplicar elementos del muestreo
aleatorio simple y variable aleatoria.
8. ¿Cuál es el valor de k para que la tabla represente
una función de probabilidad?
X 0 1 2
P(X = x) 1
3
2
5
k
A. 4
15
B. 26
15
C. 0,3
D. 0,4
(DEMRE, 6/6/2013)
9. En el experimento de lanzar tres monedas, se define
una variable aleatoria como el número de caras
que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la
variable aleatoria tome el valor 0 y q es la proba-
bilidad de que la variable aleatoria tome el valor 2,
entonces (p + q) es
A. 3
8
B. 3
4
C. 1
2
D. 2
3
E. Ninguno de los valores anteriores.
DEMRE 28/10/2010
10. Una urna contiene cinco fichas rojas y tres negras,
todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se
anota su color y se devuelve a la urna. Este experi-
mento se repite diez veces. Si la variable aleatoria X
asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, enton-
ces los valores que puede tener X son:
A. 1, 2, 3, 4 y 5
B. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
C. 0, 1, 2, 3, 4 y 5
D. solo el 5
E. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
11. Respecto del experimento aleatorio“elegir un nú-
mero entre los 8 primeros números naturales pares”,
se define la variable aleatoria X: número de divisores.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) falsa(s)?
I. P(6) =
3
8
II. P(impar) =
3
8
III. P(X = 12) =
3
4
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
12. Considera la siguiente variable aleatoria discreta
con función de probabilidad f(x):
f x P X x
x
15
,x 1,2,3,4,5
0, en otro caso
( ) ( )= = =
=





¿Cuál es el valor de ( )P x ≤3 ?
A. 6
15
B. 4
5
C. 3
15
D. 2
5

32 41
Modelar sucesos asociados a experimentos
utilizando conjuntos, operaciones y herramientas
de combinatoria.
13. La tabla muestra las respuestas de 200 alumnos(as)
de cuarto medio de distintos colegios ante la pre-
gunta "¿Fumas?"
Fuman No fuman
Hombres 68 32
Mujeres 74 26
Con esta información se puede afirmar que:
I. El 32% de los hombres encuestados fuman.
II. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad
de que fume es 0,71.
III. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad
de que fume sabiendo que es mujer es 0,37.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. II y III
E. I, II y III
14. Un club de adultos mayores está compuesto por
hombres y mujeres, de los cuales algunos(as) están
jubilados(as). Si se sabe que 20 de los hombres
están jubilados, 10 de las mujeres aún no jubilan y
que el grupo está compuesto de 100 personas de
las cuales 45 son hombres, ¿cuál es la probabilidad
de que al elegir una persona al azar de este grupo
esta sea mujer y que esté jubilada?
A. 9
11
B. 9
13
C. 13
20
D. 11
20
E. 9
20
15. Si se escoge una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la
probabilidad de escoger un corazón o un diamante?
A. 0,3
B. 0,4
C. 0,5
D. 0,75
E. 0,8
16. En una habitación se encuentran 20 personas
adultas y 12 adolescentes. De los adultos, 1 es mujer
y de los adolescentes 4 son hombres. Si se escoge
una persona al azar, ¿cuál(es) de las afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I. La probabilidad de que esta persona sea un
adulto es 5
8
.
II. La probabilidad de que esta persona sea un
hombre es 5
16
.
III. La probabilidad de que esta persona sea una
mujer adolescente es 2
3
.
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
17. De una tómbola se saca una de 30 bolitas numera-
das del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el
número de la bolita extraída sea múltiplo de 4?
A. 23
30
B. 4
30
C. 7
30
D. 30
7
E. 30
23
18. ¿Cuántos números naturales menores que 1 000 se
pueden formar con los dígitos menores que 6?
A. 90
B. 100
C. 120
D. 180
E. 215
19. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener al menos un "sello"?
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
E. 3
4

20. Se lanzan dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de sus resultados sea
mayor que 10?
A. 1
4
B. 1
18
C. 1
12
D. 3
12
E. 1
36
21. En una bolsa hay 12 bolitas cafés, 20 bolitas ama-
rillas y 30 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al
azar, sin reposición, primero una ficha café, luego
una amarilla y luego una roja?
A. 1
62
+
1
61
+
1
60
B. 12
62
+
20
61
+
30
60
C. 1
62
•
1
61
•
1
60
D. 1
12
•
1
20
•
1
30
E. 12
62
•
20
61
•
30
60
22. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par
y mayor que 6?
A. 1
5
B. 3
20
C. 1
2
D. 3
10
E. 0
23. Al lanzar 4 veces una moneda ¿Cuál es la probabili-
dad de obtener al menos una cara?
A. 1
16
B. 1
2
C. 4
16
D. 1
4
E. 15
16
24. Se ha lanzado 10 veces un dado y en 7 de ellas ha
salido el número 5, ¿cuál es la probabilidad de que al
lanzar el dado nuevamente se obtenga un 5?
A. 5
6
B. 5
7
C. 7
10
D. 5
10
E. 1
6
25. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la proba-
bilidad de que ambos sean números primos?
A. 5
36
B. 1
4
C. 1
2
D. 5
9
E. 7
12
26. En una caja hay 3 poleras, una de color verde, una
roja y una amarilla y 3 pantalones, uno de color café,
otro negro y uno blanco. Si se saca un pantalón y una
polera, ¿cuál es la probabilidad de que la combina-
ción sea polera amarilla, pantalón negro?
A. 6
B. 9
C. 1
6
D. 1
9
E. 6
9
27. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál
es la probabilidad de que al extraer una de ellas se
obtenga un número par o menor que 3?
A. 1
2
B. 1
5
C. 3
5
D. 7
10
E. 3
10
28. Se lanza un dado y se obtiene 3. ¿Qué probabilidad
hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el
primer resultado un número menor que 8?
A. 1
9
B. 2
3
C. 5
6
D. 7
36
E. 4
9

32 41
29. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que
son médicos en un país si se sabe que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos
C. Juntas, (1) y (2).
30. Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio
donde P(A) = 0,3 y P(B) = 0,2. ¿Cuál es la probabili-
dad de P(A U B)?
(1) #(A U B) = 3
(2) P(A ∩ B) = 0,1
C. Juntas, (1) y (2).
31. Los sucesos A y B son excluyentes si se sabe que:
(1) P(A) + P(B) = 1
(2) P(A) = P(B)
C. Juntas, (1) y (2).
32. ¿Cuál es la desviación estándar de los datos repre-
sentados en la siguiente tabla?
Asistencia de 40 personas a tratamiento médico
al mes
Asistencia 0 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 4 9 7 6 8 4 2
33. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar
con los dígitos 3, 4, 5 y 6 sin que estos se repitan?

Solucionario
Comparación de datos y box-plot
1.
0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065
Min Max
Q1 Med Q3
0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065
Min Max
Q1 Med Q3
A
B
2. a) El conjunto B es más homogéneo, pese a que
presenta un dato extremo (60).
b) Los box-plot con una caja más pequeña corres-
ponden a conjuntos de datos menos dispersos.
Tamaño de una muestra
1. Si S2
aumenta, el tamaño de la muestra aumenta.
Si K aumenta, el tamaño de la muestra disminuye.
Propiedades de la combinatoria
1. a) Son equivalentes, pues al escogerlos separa dos
grupos disjuntos, por lo que escoger un grupo
de compañeros que asistirán al cumpleaños
hace que haya otro grupo de los que no irán.
b)
( )( ) ( )( )








m
n
=
m!
m-n !•n!
=
m!
m–n !• m– m–n !
=
m
m–n
c) Si de un grupo de 6 personas (m + 1 = 6) que-
remos escoger a 4 de ellas (n = 4), tenemos dos
formas de hacerlo:
• de entre las cinco primeras, escoger a 4 (hay




5
4
maneras de hacerlo), y no escoger a la
última persona.
• de entre las cinco primeras, escoger a 3 (hay




5
3
maneras de hacerlo), y escoger a la última
persona.
Algebraicamente:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )







 =
=
=
−
+
⋅
=
+
+
=
+ +
=
=
= =




m
n
+
m
n–1
m!
n! m–n !
+
m!
n–1 ! m– n–1 !
m!
n! m–n !
+
m!
n–1 ! m–n+1 !
m–n+1 m!
n! m–n+1 m n !
n m!
n• n–1 ! m–n+1 !
m–n 1 m!
n! m–n+1 !
n•m!
n! m–n+1 !
m•m!–n•m! m! n•m!
n! m–n+1 !
m•m!+m!
n! m–n+1 !
m! m+1
n! m+1 –n !
m+1 !
n! m+1 –n !
m+1
n

32 41
Calcular e interpretar medidas de dispersión
de conjuntos de datos.
1 A
2 D
3 C
4 E
5 E
6 B
7 A
Comprender y aplicar elementos de muestreo
aleatorio simple y variable aleatoria.
8 A
9 C
10 B
11 E
12 A
Modelar sucesos asociados a experimentos
utilizando conjuntos, operaciones y
herramientas de combinatoria.
13 D
14 E
15 C
16 A
17 C
18 E
19 E
20 C
21 E
22 A
23 E
24 E
25 B
26 D
27 C
28 B
29 E
30 B
31 E

Problema 32 Problema 33
Correcta
Interpreta correctamente los datos de la tabla, comprendiendo
que se muestra su frecuencia. Calcula con ello da desviación
estándar, y obtiene s ≈ 2,43
Correcta
Plantea el problema interpretando que se trata de un problema de
variaciones, obteniendo como resultado 12.
Calcula sin considerar la frecuencia de los datos, calcula la varianza
o comete errores de operatoria.
Interpreta correctamente el problema, pero comete errores de
operatoria.
Incorrecta
No logra relacionar la expresión entregada en el enunciado del
problema.
Incorrecta
No considera el orden de los números y calcula utilizando una
combinación, obteniendo como resultado 6.
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Clave A B D D C D D D B A
11. 2
12. 18

32 41
Calcular e interpretar medidas de dispersión de
conjuntos de datos
1. El percentil 25 es equivalente al:
I. primer cuartil.
II. segundo quintil.
III. tercer decil.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. I y III
2. Dadas las edades de 8 personas: 25 años, 22 años,
24 años, 23 años, 24 años, 25 años, 22 años y 24
años. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. La moda es 25 años.
II. La mediana es menor que el promedio.
III. La mediana es 24.
A. Solo II
B. Solo III
C. I y II
D. I y III
E. II y III
3. Para el conjunto de datos:
21 39 35 24 25 35
39 43 29 37 43
¿Cuáles son, respectivamente, su varianza y su des-
viación estándar?
A. 50,23 y 8,56
B. 48,19 y 10,15
C. 54,23 y 12,76
D. 54,23 y 7,36
E. 15,67 y 7,36
Comprender y aplicar elementos de muestreo
aleatorio simple y variable aleatoria
4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
I. En un muestreo aleatorio simple, cada elemen-
to de la población tiene igual probabilidad de
ser escogido en la muestra.
II. Al calcular el promedio de una muestra, se
obtiene el promedio de la población.
III. Para escoger una muestra con muestreo alea-
torio simple, pueden numerarse los elementos
de la población y escogerlos utilizando núme-
ros aleatorios.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. II y III
5. Se realiza el experimento“Lanzar dos dados”y se de-
fine la variable aleatoria X = diferencia positiva entre
los números obtenidos. Si se considera la función
de probabilidad asociada a esta variable, ¿cuál es el
valor de f(X = 2)?
A. 6
36
B. 10
36
C. 8
36
D. 4
36
E. 2
36
Bancode preguntas

Modelar sucesos asociados a experimentos uti-
lizando conjuntos, operaciones y herramientas
de combinatoria
6. Pablo tiene 2 libros de lenguaje y 3 de matemá-
tica, los cuales ordena en una biblioteca. Si los
ordena en una misma fila ¿Cuál es la probabilidad
de que los libros de lenguaje queden juntos?
A. 2
48
B. 24
48
C. 2
120
D. 24
120
E. 48
120
7. De un grupo de 6 cartas numeradas del 1 al 6 se
saca una y luego sin, reponer la carta extraída, se
saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de ambas cartas
sean un número impar?
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
E. 1
6
8. En un proceso de control de calidad de cierto
producto, se sabe que el 90% de ellos no tiene
ningún tipo de falla. ¿Cuál es la probabilidad de
que, al sacar sucesivamente tres productos, sean
los tres defectuosos?
A. 0,1
B. 0,9
C. 0,01
D. 0,001
E. 0,729
9. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pue-
den formar con los dígitos menores que 8?
A. 1024
B. 1792
C. 2240
D. 2560
E. 2048
10. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de
obtener suma menor o igual a 10?
A. 11
12
B. 5
6
C. 3
4
D. 5
18
E. Otro valor.
Resolver problemas
11. Determina una expresión para la varianza de 5
números naturales consecutivos.
12. Se lanzan dos dados y se define la variable alea-
toria X: producto entre los números obtenidos.
¿Cuántos elementos tiene el recorrido de X?

32 41
Bibliografía
• Govinden Portus, L. (1998). Introducción a la estadística. Mc Graw Hill
• Saavedra, E. (2005). Contenidos básicos de estadística y probabilidad. Colección ciencias.
Santiago: Universidad de Santiago.
• Spiegel, M. (2006). Estadística. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.
Sitios web
• Documento que explica los distintos tipos de muestreo
http://minnie.uab.es/~veteri/21216/TiposMuestreo1.pdf
• Ejemplos y ejercicios de probabilidad
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
• La relación entre la probabilidad, el juego y otros contextos reales
http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/index.html

Mini ensayo PSU
Marca en cada caso la alternativa correcta.
1. ¿Para qué números reales la fracción algebraica
2
a – a3
no es indefinida?
A. a – 0 { }∈
B. a – 1 { }∈
C. a – –1 { }∈
D. a – 1,–1 { }∈
E. a – –1,0,1 { }∈
con (x2
– 2xy + y2
– z2
)?
A. (x – y + z)(x + y + z)
B. (x – y + z)(x + y – z)
C. (x + y + z)(x – y – z)
D. (x – y + z)(x – y – z)
E. (x – y – z)(x – y – z)
a
1–p
p –14
?
A. 1
p +1
B. –
1
p +13
C. 1
p +1 p +12
( )( )
D. –
1
p +1 p +12
( )( )
E. –
1
p +1 p –12
( )( )
con
1
p
–
p
4
p–2
p
?
A. p + 2
4
B. 4
2–p
C. p–2
4
D. –p–2
4
E. 4
– p + 2( )
con
2x y
6x y
2 –3
–3
?
A. 1
3
x y5 4
B. 1
3
x y–1 –4
C. 1
3
x y5 –2
D. 1
3
x y5 –4
E. 1
3
x y–1 –2
6. Si el área de un rectángulo está dada por la expre-
sión (2x2
– 5x – 3) cm2
y uno de sus lados mide
(x – 3) cm, ¿cuál de las siguientes expresiones repre-
senta su perímetro?
A. (x – 3) cm
B. (2x + 1) cm
C. (3x – 2) cm
D. (6x – 2) cm
E. (6x – 4) cm
con1–
1
1–
a
1–
1
a
?
A. a
a –a+1
2
2
B. a
–a + a–1
2
2
C. –a + a+1
a
2
2
D. a –a+1
a
2
2
E. a
a –a+12
8. En la ecuación
2
1– x
=
1
x
–
2
x –1
, ¿cuál es el valor de x?
A. –2
B. –1
C. 1
D. 2
E. La proposición es
falsa.

185Mini Ensayo PSU
9. Si una llave llena un estanque en 8 horas y otra lo
hace en 5 horas, ¿cuánto tiempo se demorarían
juntas en llenarlo?
A. 13
40
horas.
B. 15
40
horas.
C. 16
40
horas.
D. 40
13
horas.
E. 40
16
horas.
10. Sea f(x) = 2a + x
, donde el punto A(2, 8) pertenece a
su gráfico. ¿Cuál es el valor de a?
A. – 1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
11. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos corresponde(n)
a una función logarítmica?
I.
1
2
3
− 1
− 2
− 3
1 2 3 4 5 6− 1
X
Y
II.
1
2
3
− 1
− 2
− 3
1 2 3 4 5 6− 1
X
Y
III.
1
2
3
− 1
− 2
− 3
1 2 3 4 5 6− 1
X
Y
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. II y III
E. I, II y III
12. ¿En qué punto del plano cartesiano el gráfico de la
función ( ) 


f x =
1
2
+ 3
x
se interseca con el eje Y?
A. (0, 3)
B. (0, 4)
C. (3, 0)
D. (4, 0)
E. En ningún punto.
13. ¿Cuál es el dominio de la función ( )f x = 1–2x ?
A. –
1
2







B. – –
1
2







C. x / x
1
2
∈ =






D. x / x
1
2
∈ >






E. x / x
1
2
∈ ≤






14. Sean f(x) = x y ( )g x = x, ¿cuál(es) de los siguientes
puntos es(son) intersecciones entre sus gráficas?
I. (0, 0)
II. (1, 0)
III. (1, 1)
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. II y III
185Mini Ensayo PSU

Mini ensayo PSU
15. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de valores es (son)
soluciones de la ecuación lineal con dos incógnitas
1
2
x –2y = 5 ?
I. x = 1 e y = -2
II. x = 2,5 e y = 0
III. x = 0 e y = -2,5
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
E. I, II y III
16. ¿Qué valor debe tener k para que las coordenadas
del punto A(–2, –1) sean solución de la ecuación
lineal con dos incógnitas
1
2
xk + 3y = 0?
A. 3
B. 6
C. –3
D. –6
E. 1,5
17. La diferencia de las edades de Roberto y su hija es
29 años. Si en 5 años más el doble de la edad de su
hija será igual a la edad que tendrá Roberto dismi-
nuida en 3 años, ¿cuáles son sus edades?
A. 18 y 47 años.
B. 19 y 48 años.
C. 20 y 49 años.
D. 21 y 50 años.
E. 22 y 51 años.
18. ¿Cuál de los siguientes puntos es intersección de las
rectas del sistema 1
2
x –2y = –4
3y – x = 5
?
A. (3, 4)
B. (4, 3)
C. (–3, 4)
D. (–4, 3)
E. (–4, –3)
19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el siste-
ma de ecuaciones
2x + 3y = –9
x – y = –2
?
A.
1
2
3
4
5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5
X
Y
B.
1
2
3
4
5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5
X
Y
C.
1
2
3
4
5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5
X
Y
D.
1
2
3
4
5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5
X
Y

187Mini Ensayo PSU
E.
1
2
3
4
5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5
X
Y
20. ¿Para qué valor de k el sistema
2x –ky =1
y –3x = 4
no tiene
solución?
A. –
3
2
B. –
2
3
C. –
1
3
D. 2
3
E. 3
2
21. Valeria tiene $ 1450 entre monedas de $ 50 y de
$ 100. Si en total tiene 17 monedas, ¿cuántas tiene
de cada valor?
A. 5 de $ 50 y 12 de $ 100.
B. 7 de $ 50 y 10 de $ 100.
C. 10 de $ 50 y 7 de $ 100.
D. 12 de $ 50 y 5 de $ 100.
E. 14 de $ 50 y 3 de $ 100.
22. Respecto del experimento aleatorio“lanzar un dado
de 6 caras”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I. Un suceso seguro es obtener 6 puntos en su
cara superior.
II. Un suceso posible es obtener un número par
de puntos en su cara superior.
III. Un suceso posible es obtener un número de pun-
tos en su cara superior que sea divisible por 15.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. II y III
23. La siguiente tabla muestra el tiempo que demoran
dos modelos de automóviles en alcanzar los 100 km/h.
¿Cuál es la desviación estándar (S) para cada caso?
Redondea a la milésima.
Tiempo que demora el modelo A y B en alcanzar
los 100 km/h
Nº de prueba
Tiempo
Modelo A Modelo B
1 7 5
2 6 9
3 8 9
4 9 8
5 7 6
A. SA = 1,3 y SB = 3,3
B. SA = 1,02 y SB = 1,625
C. SA = 1,625 y SB = 1,02
D. SA = 1,14 y SB = 2,64
E. SA = 1,299 y SB = 1,817
24. Respecto de los tiempos logrados por el modelo A
de la pregunta anterior, ¿cuál es su coeficiente de
variación? Redondea a la décima.
A. 0,2%
B. 1,38%
C. 13,8%
D. 138,01%
E. No se puede calcular.

Mini ensayo PSU
25. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden
formar con los dígitos menores que 8?
A. 1024
B. 1792
C. 2240
D. 2560
E. 2048
26. Se lanza un dado 30 veces, obteniéndose los si-
guientes puntajes:
2, 3, 4, 3, 3, 2, 1, 6, 5, 5, 6, 1, 2, 5,
6, 4, 3, 3, 4, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 2, 1, 1.
¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A: obtener
un número de puntos mayor que 3?
A. 0,5
B. 0,6
C. 0,43
D. 0,46
E. 0,63
27. Si se lanza 100 veces una moneda no cargada, obte-
niéndose cara en los últimos 5 lanzamientos, ¿cuál
es la probabilidad de que en el siguiente lanzamien-
to se obtenga cara?
A. 0
B. 0,2
C. 0,5
D. 0,8
E. 1
28. Si dado un experimento aleatorio los sucesos A y B
son mutuamente excluyentes, ¿cuál(es) de las siguien-
tes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. A ∩ B = 0
II. #A + #B = #(A ∪ B)
III. #A – #B = #(A ∩ B)
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. I, II y III
29. Se confeccionará una bandera con tres franjas hori-
zontales de colores. Si estos serán elegidos entre 5
colores sin que se repita ninguno, ¿cuántas bande-
ras distintas se pueden confeccionar?
A. 10
B. 30
C. 60
D. 100
E. 120
30. Si la probabilidad de que ocurra el suceso A es 0,4 y
la probabilidad de que ocurra el suceso B, indepen-
diente de A, es 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que
ocurran ambos sucesos simultáneamente?
A. 0,1
B. 0,5
C. 0,6
D. 0,9
E. 0,12

189Mini Ensayo PSU
Tabla de especificaciones
Pregunta Eje Contenido Habilidad Respuesta correcta
1 Álgebra Expresiones algebraicas Analizar E
2 Álgebra Factorización Aplicar B
3 Álgebra Fracciones algebraicas Comprender D
4 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar D
5 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar A
6 Álgebra Fracciones algebraicas Comprender E
7 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar A
8 Álgebra Ecuaciones racionales Analizar E
9 Álgebra Ecuaciones racionales Aplicar D
10 Álgebra Funciones Analizar C
11 Álgebra Funciones Recordar D
12 Álgebra Funciones Aplicar B
13 Álgebra Funciones Analizar E
14 Álgebra Funciones Analizar D
15 Álgebra Ecuaciones lineales con dos incógnitas Evaluar C
16 Álgebra Ecuaciones lineales con dos incógnitas Analizar C
17 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar D
18 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar B
19 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Comprender D
20 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Analizar D
21 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar A
22 Datos y azar Probabilidad Evaluar B
23 Datos y azar Desviación estándar Aplicar D
24 Datos y azar Coeficiente de variación Aplicar C
25 Datos y azar Combinatoria Analizar B
26 Datos y azar Frecuencia relativa Comprender D
27 Datos y azar Probabilidad Comprender C
28 Datos y azar Probabilidad Evaluar D
29 Datos y azar Combinatoria Aplicar C
30 Datos y azar Probabilidad Comprender E

A
Amplificación 105, 106, 108, 109
Ángulo del centro 69, 71
Ángulo inscrito 69
Aproximación 17, 19, 20, 22, 40
Argumento 30, 31, 69, 117
Asíntota 115, 116, 131
C
Cantidad subradical 21, 25, 31, 114
Circunferencia 69, 70, 79
Coeficiente 117, 119, 120, 121, 123
Combinatoria 163, 172
Compatible 120, 123
Congruencia 58, 59, 60, 69
Conjuntos numéricos 18, 21
Contracción 114, 115, 116
Crecimiento 115, 116
Cuerdas 69, 70, 71
D
Decrecimiento 115, 116
Defecto 19
Determinado 120, 121, 123, 125
Diagrama de árbol 162, 164
Dilatación 114, 115, 116
Dispersión 150, 151, 152, 153
División de trazos 61, 65
Dominio 112, 113, 114, 116, 156
E
Ecuaciones exponenciales 32, 115
Ecuaciones lineales 119, 120, 121, 123, 124
Ecuaciones logarítmicas 33
Ecuaciones radicales 28, 34, 114
Error absoluto 19
Escala 58, 60
Espacio muestral 154, 156, 160
Evento 160, 163
Exceso 19
Experimento aleatorio 154, 156, 157
Exponente 24, 26, 27, 105
Expresión algebraica 103, 110
F
Fracción algebraica 103, 104, 106, 107, 108, 109
Función afín 112, 120
Función exponencial 24, 112, 115, 117
Función logarítmica 116
Función racional 131
Función raíz cuadrada 114
H
Heterogéneo 150, 151, 153
Homogéneo 150, 151, 153
I
Incompatible 120, 123
Indeterminado 120, 121, 123, 125
L
Ley de los grandes números 157
Logaritmo 31, 32, 33, 34, 116
M
Máximo 150
Máximo común divisor 105
Medias muestrales 157
Medidas de dispersión 150
Método de igualación 121
Método de reducción 121, 123
Contenido Página Contenido Página
Indice temático
Finales_mat_2M_tex_javy.indd 190 09-01-14 15:33

191
Contenido Página Contenido Página
Método de sustitución 121, 123
Mínimo 150
Mínimo común múltiplo 105
N
Números irracionales 17, 18, 19, 20
Números racionales 17, 18, 20, 32
Números reales 17, 21, 114
P
Pantógrafo 76
Paralelas 60, 63, 120
Pendiente 119, 120
Permutación 163
Población 154, 157
Potencia 24, 25, 26, 27, 31, 32, 115, 116
Principio multiplicativo 160, 162
Probabilidad 154, 156, 157, 160, 162, 163
Problemas geométricos 18
Progresión geométrica 34, 41
Promedio 150, 151
Propiedades de las potencias 24, 25, 27, 31, 32
Propiedades de los logaritmos 32
Proporción 58, 63, 70
R
Racionalizar 27
Raíz cuadrada 24, 29, 114
Raíz enésima 24, 27
Rango 150, 152
Razón 58, 59, 60, 65
Recorrido 112, 113, 114, 115, 116, 156
Recta numérica 17, 20
Redondeo 17, 19
S
Secantes 70, 71, 120
Semejanza de triángulos 58, 59, 60, 63, 66 75
Simplificación 106, 164
Sistema de ecuaciones lineales 119, 120, 121, 123
Suceso 160, 163, 163
T
Teorema de Euclides 66
Teorema de Pitágoras 63, 66
Teorema deThales 63, 65, 67
Teoremas de semejanza 63, 65, 67
Términos semejantes 25
Transversal 63
Truncamiento 17, 19
V
Variable aleatoria 156, 157
Variación 163
Varianza 151
Índice temático

• ARAYA, R. (2000). Inteligencia Matemática. Santiago de Chile. Editorial Universitaria.
• ARTIGUE, M. ET AL. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México, Grupo Editorial Iberoamericana.
• BROUSSEAU, G. (1993). Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Traducción realizada por Dilma
Fregona (FAMAF), Universidad de
• CANTORAL, R. ET AL. (2003). Desarrollo del pensamiento matemático. México, D.F, México, Trillas.
• CHEVALLARD, Y. (1991). La transposición didáctica del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires, Aique.
Córdoba y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados. Argentina. UNC,
• GODINO, J. (2002) Didáctica de las Matemáticas para Maestros. Granada, España. Proyecto Edumat-Maestros, Gami.
• GUEDJ, D. (2002). El teorema del loro. Barcelona, Editorial Anagrama.
• Ma, l. (2010) Conocimiento y enseñanza de las matemáticas elementales. Santiago de Chile, Academia Chilena de Ciencias.
• STEWART, I. (2005). De aquí al infinito. Barcelona, Editorial Crítica.
• Matemática Programa de Estudios, Primer año Medio. Ministerio de Educación, República de Chile. Santiago de
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• Texto de didáctica del álgebra de Juan Godino. Se trabaja en temas de sistemas de ecuaciones y funciones. Pág. 793-806
Unidad 1. Números
• ÁLVAREZ, R. (2013) Conjuntos numéricos y aritmética.
Colombia, Universidad de Medellín.
• BAKER, A. (1986) Breve introducción a la teoría de números.
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• CHUAQUI, R. (1980). ¿Qué son los números? Santiago de
Chile, Editorial Universitaria.
• LIPSCHUTZ, S. Teoría de conjuntos y temas afines.
Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.
Unidad 2. Geometría
• ALSINA CATALÁ, C., FORTUNY AYMENI, J. M., BURGUÉS
FLAMERICH, C. Invitación a la didáctica de la geometría.
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• ARAYA, R, MATUS, C. (2008) Buscando un orden para el
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• COXETER, H. S. M., GREITZER, S. L. (1994). Retorno a la
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• OTEÍZA, F, ZAMORANO A, L, BAEZA, O. (2008). La
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• RICH,B.Geometría.ColecciónShawm.EditorialMcGrawHill.
• SPIEGEL, M. Análisis Vectorial. Colección Shawm. Editorial
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• VILLANUEVA, F., MASJUAN, G., ARENAS, F. (1993).
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Unidad 3. Álgebra
• CARREÑO, X. (2008) Álgebra. Capítulo I, II y III. Santiago
de Chile, Editorial Arrayán.
• MIRANDA, H, MOYA, M. (2008). Álgebra. El poder
generalizador de los símbolos. Santiago: Centro
Comenius, Universidad de Santiago de Chile.
• RODRÍGUEZ, G. y ESCALANTE, M. (2008). Unidad función
cuadrática y raíz cuadrada. Santiago: Centro Comenius,
Universidad de Santiago de Chile.
• SPIEGEL, M., MOYER, R. E. (2006). Álgebra Superior.
Schwam. Mc Graw Hill
Unidad 4. Datos y azar
• GOVINDEN PORTUS, L. (1998). Introducción a la
estadística. Mc Graw Hill
• SAAVEDRA, E. (2005). Contenidos básicos de estadística y
probabilidad. Colección ciencias. Santiago: Universidad
de Santiago.
• SPIEGEL, M. (2006) Estadística. Colección Shawm.
Editorial McGraw Hill.
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