Matemáticas 1 bach cn anaya. Solucionario

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El número áureo
Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los si-
guientes pasos:
a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes.
Recordamos los ángulos de un pentágono:
1º. α = = 72°; β = = 54°; 2β = 108°
2º. γ = = 36°
3º.
^
B = 108° – 2 · 36° = 36°
^
E =
^
D = = 72°
Sabíamos que γ = 36°.
El triángulo BEC es idéntico al BED:
^
C =
^
E =
^
D = 72° ⇒
^
F = 72°
Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.
180° – 36°
2
180° – 108°
2
180° – 72°
2
360°
5
Unidad 1. Números reales 1
NÚMEROS REALES1
C
B
D
E
A
F
2β
α
β
β
108°
γ
γ
γ
γ
36°
36°
B
B
E D
F C
γ

b)Llamando l = = = y tomando como unidad el
lado del pentágono, = = = = 1, a partir de
la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación:
=
Despejando l obtendrás su valor.
Por ser semejantes (apartado a)) ⇒ = , es decir: = .
Despejamos l:
l (l – 1) = 1 ⇒ l2 – l – 1 = 0 ⇒ l = =
Como l es una longitud, la solución válida es la positiva:
l = . Este es el número áureo, Φ
Página 27
El rectángulo áureo
El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que
si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que
queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial
ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso,
el rectángulo es áureo, es decir:
= Φ (número de oro)
Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: = = 1, y llamamos
x = = . Así:
Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: =
Despejamos x:
x (1 + x) = 1 ⇒ x2 + x – 1 = 0 → x = =
–1 ± √5
2
–1 ± √1 + 4
2
1
x
1 + x
1
NCMB
BCAD
AB
AD
1 + √5
2
1 ± √5
2
1 ± √1 + 4
2
1
l – 1
l
1
—
ED
—
FC
—
BD
—
BC
1
l – 1
l
1
EFEDBFBC
ECBDBE
B
C
D
E
1
F
A
A M B
D N C
1A Bx
x
D CN
M
1
1 1 1

Como x es una longitud, la solución válida es la positiva:
x =
Hallamos la razón entre los lados del rectángulo:
= = 1 + x = 1 + = = = Φ
Obtenemos el número de oro.
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1. Halla gráficamente y .
2. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal.
Por ejemplo: 2,01001000100001 …
3,122333444455555 …
3. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO ÁUREO, justifica
que si = = 1, entonces = Φ.
• Si = 1, entonces = = = .
• Si = y = 1, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
= =
• Por tanto: = + = + = = Φ
Página 31
1. Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1) b) [4, + ∞) c) (3, 9] d) (–∞, 0)
1 + √5
2
√5
2
1
2
OBODBD
√5
2
1
√1 + —
4
OB
AB1
2
OA
1
2
ODOCOAAC
BDACAB
√13√6
1 + √5
2
2 – 1 + √5
2
–1 + √5
2
1 + x
1
—
AB
—
AD
–1 + √5
2
√
—
6
√
—
5
√
—
13
2
2
1
1
3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–1 0
0 96
0
0
4

2. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x/–2 ≤ x < 5} b) [–2, 5) U (5, 7]
c) (–∞, 0) U (3, +∞) d) (–∞, 1) U (1, + ∞)
Página 32
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11| b) |π| c) |– |
d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |
g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c)
d) 0 e) π – 3 f) |3 – | = 3 –
g) |1 – | = – 1 h) | – | = – i) |7 – | = – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) |x| ≤ 5 c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| ≤ 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) U (6, +∞) f) x < – 9 o x > 1; (–∞, –9) U (1, +∞)
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1. Simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = b) = c) = y2
d) = = e) = = = f) = =
2. ¿Cuál es mayor, o ?
Reducimos a índice común:
= ; =
Por tanto, es mayor .
4
√31
12
√28561
3
√13
12
√29791
4
√31
3
√13
4
√31
√3
8
√348
√81
3
√4
3
√229
√269
√64√2
6
√236
√8
5
√y103
√x2
12
√x84
√x3
12
√x9
8
√81
9
√64
6
√8
5
√y1012
√x812
√x9
√50√50√2√3√3√2√2√2
√2√2
√5
√50√3√2√2
√2
√5
a)
c)
b)
d)
0 1
0 5–2 –2 0 5 7
0 3

3. Reduce a índice común:
a) y b) y
a) = ; = b) = ;
4. Simplifica:
a) (√
—
√
—
)8
b)
5
√
—3
√
—
c)
3
√
—
( )6
a) ( )8
= k b) = c) = x
Página 34
5. Reduce:
a) · b) · c) · ·
a) · = b) · = c) · · =
6. Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b)
6
=
c)
6
=
6
= d)
4
=
4
=
4
7. Reduce:
a) b) c) d)
a)
6
= b)
6
= =
c)
10
= = d)
4
= = 3
8. Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2 b) + –
c) + – – d) – + + e) – √18a√50a√8√12√50√27√8√2√50√18
√2√25 · 2√9 · 2√x√x√x
4
√34
√ 36
32
10
√8
10
√23
√ 28
25
3
√326
√34
√ 36
32
6
√3
√ 34
33
4
√729
√3
5
√16
√2
√
–
9
3
√
–
3
3
√32
√3
√ a
b c
1
c√ a
b c5√ a3 b5 c
a2 b6 c6
6
√a–1
√1
a√a3
a4
6
√a b
√a3 b3
a2 b2√x–2
√ 1
x2√ x3
x5
4
√a3 · b5 · c
√a · b3 · c3
6
√a3
3
√a2
√a · b
3
√a · b
5
√x
3
√x
8
√278
√2
8
√228
√246
√356
√3
6
√34
15
√2815
√2315
√25
8
√2
4
√2√2
6
√3
3
√9
5
√2
3
√2
6
√x63
√x2
15
√x108
√k
√xx10
√k
9
√132650
9
√132651
3
√51
36
√a1418
√a736
√a1512
√a5
9
√132 650
3
√51
18
√a712
√a5

a) 10
b) 3 + 5 – = 7
c) + – – = + – – =
= 3 + 5 – – 2 = 5
d) – + + = 3 –5 + 2 + 2 = 5 – 3
e) – = 5 – 3 = 2
Página 35
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i ) j )
a) = b) = = c) = =
d) = = e) = = =
f) = = = = g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = =
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g) + + h) + 1
√
–
x + √
–
y
1
√
–
x – √
–
y
1
√
–
2 + 1
1
√
–
2 – 1
1
√
–
2
3√
–
2 + 2√
–
3
3√
–
2 – 2√
–
3
1
2√
–
3 – √
–
5
√
–
x + √
–
y
√
–
x – √
–
y
a – 1
√
–
a – 1
x + y
√
–
x + √
–
y
1
√
–
2 + 1
3
√10
5
2
3
√10
10
2
3
√2 · 5
2 · 5
2
3
√22 · 52
2
3
√100
3
√6
2
3
3
√6
6
3
3
√2 · 3
2 · 3
3
3
√22 · 32
3
3
√36
3
√25
10
3
√52
10
1
2
3
√5
2
3
√23 · 5
1
3
√40
2
3
√5
5
2
3
√52
2
3
√25
2√2
3
4√2
6
4
3√2
4
√2 · 32
4
√18
3√2
10
3
5√2
3
√2 · 52
3
√50
√a
a2
1
a √a
1
√a3
√21
3
√7
√3√7
3
3
3
√2
2
3
3
√22
3
3
√4
5√7
7
5
√7
2
3
√
—
100
3
3
√
—
36
1
3
√
—
40
2
3
√
—
25
4
√18
3
√50
1
√a3√7
3
3
3
√
—
4
5
√7
√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a
√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33
√2√2√2√2√2
√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18
√2√2√2√2
√x

a) = = – 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
Página 37
1. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
a) (800000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = [(8 · 105) : (2 · 10–4)] · (5 · 1011) =
= (4 · 109) · (5 · 1011) = 20 · 1020 = 2 · 1021
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 4860 · 10 –9 + 93 · 10–9 – 600 · 10–9 =
= (4860 + 93 – 600) · 10–9 = 4353 · 10–9 = 4,353 · 10–6
2. Opera con la calculadora:
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9
a) 3,87 15 5,96 9 3,941 6
Es decir: 5,85 · 1012
b) 8,93 10 7,64 10 1,42 9
Es decir: 2,37 · 10–10
2√
—
x
x – y
√
—
x + √
—
y + √
—
x – √
—
y
x – y
5√
—
3
2
√2
√2
2
√
—
2 – 1
1
√
—
2 + 1
1
√2
2
√6
30 + 12 √
—
6
6
18 + 12 + 12 √
—
6
6
(3√
—
2 + 2√
—
3 )
2
18 – 12
2√
—
3 + √
—
5
7
2√
—
3 + √
—
5
12 – 5
2√
—
3 + √
—
5
(2√
—
3 – √
—
5 ) (2√
—
3 + √
—
5 )
x + y + 2 √
—
x y
x – y
(√
—
x + √
—
y) (√
—
x + √
—
y)
(√
—
x – √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√a
(a – 1) (√
—
a + 1)
(a – 1)
(a – 1) (√
—
a + 1)
(√
—
a – 1) (√
—
a + 1)
x √
—
x – x √
—
y + y √
—
x – y √
—
y
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
(√
—
x + √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√2
√
—
2 – 1
2 – 1
√
—
2 – 1
(√
—
2 + 1) (√
—
2 – 1)

1. Halla:
a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1 e) log4 64
f) log7 49 g) ln e4 h) ln e –1/4 i ) log5 0,04 j ) log6 ( )
a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2 c) log9 1 = 0
d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1 e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 72 = 2
g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –
i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2 j) log6 ( )= log6 6–3 = –3
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000
d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log2 60 < 6 → log2 60 = 5, …
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log5 700 < 5 → log5 700 = 4, …
c) 104 = 10000 ; 105 = 100000 ; 10000 < 43000 < 100000
4 < log10 43000 < 5 → log10 43000 = 4, …
d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
–2 < log10 0,084 < –1 → log10 0,084 = –1, …
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log9 60 < 2 → log9 60 = 1, …
f) ln e = 1
3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la
calculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200 c) log100 200 d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.
a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200
log 200
log 5
log 1500
log 2
1
216
1
4
1
216

c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40
4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:
a) log5
3
b) log5
a) log5
3
= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ȃ –0,27
b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1
5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
ln y = 2x – ln 5 → ln y = ln e2x – ln 5
ln y = ln → y =
Página 44
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Números racionales e irracionales
1 Expresa como fracción cada decimal y opera:
0,
)
12 – 5,
)
6 – 0,23
)
+ 3,1
☛ Recuerda que 5,6
)
= ; 0,23
)
= .
– – + = – = –2,6
)
78
2 Demuestra que el producto 4,0
)
9 · 1,3
)
9 es un decimal exacto.
☛ Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.
4,0
)
9 = = = 4,1 1,3
)
9 = = = 1,4
4,0
)
9 · 1,3
)
9 = 4,1 · 1,4 = 5,74
126
90
139 – 13
90
369
90
409 – 40
90
442
165
31
10
21
90
51
99
12
99
23 – 2
90
56 – 5
9
e2x
5
e2x
5
3
2
3
2
5√A3
B2
–0,8
3
1
3
1
3√A2
25B
5√A3
B2√A2
25B
log 40
log 100
log 200
log 100

3 Calcula: a) b)
a) = = 1,
)
3 b) = = 0,
)
4
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) y b) 0,52
)
6 y 0,
)
526 c) 4,
)
89 y 2 d) –2,098 y –2,1
a) b) 0,52
)
6 c) 4,
)
89 d) –2,098
5 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales:
En el triángulo OAB, = 1, = 1 y = = .
Por tanto, el punto D representa a .
¿Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta.
F representa , pues = = = ( )2 + 12 =
H representa , pues = = ( )2 + 12 =
6 ¿Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico?
a =
b =
c =
d = –
Potencias
7 Halla sin calculadora: ( – )–2
( – )–1
+ 4
( )
–2
· (– )
–1
+ 4 = ( )
2
· (– )+ 4 = –4 + 4 = 0
9
4
4
3
4
9
3
4
7
9
1
3
3
4
3
2
1
7
5
7
4
7
2
7
√6√5OGOH√6
√3√2√ —
OD2 +
—
DC 2OCOF√3
√2
√2√12 + 12OAABOB
√2
√6√2
140
99
2
3
4
9
4
3√16
9
√1,3
)
3
√1,
)
7
0 1 D
B
H
GECA
F 2 3
1
2
a b c
d
m es un segmento
cualquiera
m
m
m
m
m
m
m
m
1
0

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b) c) d)
☛ Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el n-º 2 c).
a) = b) = =
c) = = 2–8 = d) =
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-
nario y simplifica:
a) · b) c)
a) a2/5 · a1/2 = a9/10 = b) = x1/6 = c) a–3/4 =
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c) d) e) f)
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f) = 0,1
11 Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (–32)1/5 c) ( )4
a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 · (– )3
b) (– )4
· ( )–1
·
c) d)
a) 22 · · = = b) · · = =
c) = = =
d) = – =
–3
400
3
52 · 24
32 · 52
–2 · 3 · 5 · 23 · 53
18
125
2 · 32
53
53 · 29 · 34
32 · 52 · 28 · 54
(–5)3 · (–23)3 · (–32)2
32 · 52 · (22 · 5)4
9
256
32
28
1
23
32
2
1
24
–9
2
–32
2
(–3)3
23
1
3
(–30)–1 · 152
103
(–5)3 (–8)3 (–9)2
152 · 204
1
8
2
9
1
2
3
2
1
3
8
√2
1
√2
3
√0,133
√2121
2√1
4
4
√543
√735
√25
3
√0,001
3
√84√0,25
4
√625
3
√343
5
√32
4
√a–36
√x
x2/3
x1/2
10
√a9
1
4
√a3
3
√x2
√x
√a
5
√a2
a2 c8
b6
c7 a5 c
a3 b4 b2
1
256
1
28
32 · 52 · 2–3
23 · 33 · 22 · 52
80
27
24 · 5
33
34 · 24 · 3–2
5–1 · 35
5
2
36 · 25 · 52
36 · 26 · 5
a–3 b–4 c7
a–5 b2 c–1
152 · 8–1
63 · 102
34 · 16 · 9–1
5–1 · 35
36 · 25 · 52
93 · 43 · 5

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a)
b) 161/4 ·
3
·
a) = a–7/4 =
b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a) = 1 b) (3–2)–3
( )
2
= 1
c) = d) ( )–2
– (–3)–2 =
a) Falsa. =
b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )
2
= 36 · ( )
2
= 36 · = = 1
c) Verdadera. = = =
= + =
d) Verdadera. ( )
–2
– (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = =
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 2–1 b) (0,25)–1/2 = 2
a) (0,125)1/3 = ( )
1/3
= ( )
1/3
= ( )
1/3
= = 2–1
b) (0,25)–1/2 = ( )
–1/2
= ( )
–1/2
= ( )
–1/2
= (22)1/2 = 21
22
1
4
25
100
1
2
1
23
1
8
125
1000
80
9
81 – 1
9
1
9
1
32
1
(–3)2
1
3
8
15
1
5
1
3
(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)
(1/3 – 1/5)
(1/32) – (1/52)
1/3 – 1/5
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
36
36
1
36
1
33
1
27
a4
b4
a2 · b–2
a–2 · b2
80
9
1
3
8
15
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
1
27
a2 · b–2
a–2 · b2
1
4
√7
a3/4 · a–1
a · a1/2
1
6
√4√1
4
4
√a3 · a–1
a √a

Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raíz:
a) 2 b) 4
3
c)
d)
3
e) 2 f)
a) = b)
3
= = =
c) = d)
3
=
3
e) = = = f)
3
=
3
=
3
17 Saca de la raíz el factor que puedas:
a) b) 4 c)
d) e) f )
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2a e) = f) =
g) h) = 2 i) =
18 Simplifica:
a) b) c)
4
a)
6
=
6
=
6
= ( )
3/6
= ( )
1/2
=
b)
8
=
8
=
8
= ( )
4/8
= ( )
1/2
=
c)
4
=
4
= ( )
2/4
= ( )
1/2
= =
√5
2
√5
√4
5
4
5
4√52
42√25
16
√1
5
1
5
1
5√(2
)4
10√ 24
104√ 16
10000
√ 3
10
3
10
3
10√(3
)3
10√ 33
103√ 27
1000
√1 +
9
16
8
√0,0016
6
√0,027
5√a
12√ 25a
16 · 9
√a2 + 1√4(a2 + 1)
√1
a
4
a
√13
1
6√13
36√5
b
5a
4√53 · a2
24 · b
3
√a23
√23 · a5
√10√23 · 53√2√2√233
√2
3
√24
a a
√— + —
9 16
√4a2 + 4
√16
a3
1 1
√— + —
4 9√125a2
16b
3
√8a5
√1 000√8
3
√16
√ 3
25√ 3
52√3 · 5
53√8√234
√264
√24 · 22
√3
5√33 · 52
53 · 32√ 3
2x√22 · 3x
x2 · 23
3
√16
3
√243
√42
√43
4
3
√24
3
√3 · 23
3
√151
5
4
√4
√25
9
3
5
√ 3x
8
2
x√ 1
4
3
√3

19 Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c)
d) e)
4
f ) :
a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3
d) = = · = ·
e)
4
= = =
f) : = : = 1
20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:
a) , , b) , c) , d) , ,
a) , , ; = <
b) , ; <
c) , ; <
d) , , ; < <
21 Realiza la operación y simplifica si es posible:
a) 4 · 5 b) 2 · c)
d) ( )2
e) ( )3
f ) :
a) 20 = 20 = 20 = 180
b) 2 = 2 = 6
c) = =
d) ( )2
= = 2 = 2
e) ( )3
= = = 22 = 4
f) : = 2 : = 2
3
√3
3
√3
3
√3
3
√23 · 3
√2√2√256
√2156
√25
3
√18
3
√2 · 323
√24 · 323
√22 · 3
1
2√1
4√2
8
√1
2√9
2√4 · 27
3 · 8
√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6
3
√3
3
√24
6
√32
3
√12
√1
8
√2
√27
8√4
3
√6√27
4
√72
6
√100
3
√9
12
√10000
12
√6 561
12
√373 248
5
√10
4
√6
20
√10000
20
√7 776
√6
3
√4
6
√16
6
√216
3
√3√2
4
√4
12
√64
12
√81
12
√64
6
√100
3
√9
4
√72
5
√10
4
√6
3
√4√6√2
3
√3
4
√4
√5√5
4
√528
√54
3√2
4
3
2√2
3
√23√34
26
4
√y√2
4
√y
4
√224
√22 · y
12
√26 · y3
3
√223
√33 · 22√3
6
√333
√3
3
√23 · 3
4
√25
8
√625
√81
64
12
√64 y3
3
√–108
6
√27
3
√24

22 Efectúa y simplifica, si es posible:
a) · b) ·
3
c) ( )
3
d) :
☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respec-
tivamente.
a) =
b) · · =
c) (6
)
3
= (6
)
3
=
6
= =
d) : = : =
23 Expresa con solo una raíz:
a)
4
√
—3
√
—
b)
3
√
—
2
4
√
—
c) ( · ) :
a)
b) = =
c)
20
= = a
24 Racionaliza los denominadores y simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = = =
b) =
c) =
d) = = =
e) = = = 8
8 √8
√8
3√8 + 6√

8 – √

8
√8
√23 · 32 + 3√

25 – √

23
√23
3 – √3
2
3 (3 – √3)
2 · 3
9 – 3 √3
6
3 (3 – √3)
9 – 3
2 – √2
2
(√2 – 1) √

2
2
3
√4
2
3
√4
2
√6
3
2√6
3 · 2
2√3
3√2
2√3
√2 · 32
√72 + 3 √

32 – √

8
√

8
3
3 + √
–
3
√2 – 1
√2
2
3
√2
2√3
√18
20
√a
20
√a21
√a15 · a16
a10
12
√128
12
√2712
√24 · 23
12
√4
√a
5
√a44
√a3
84
6
√3
6
√226
√22 · 3√
3
√

22
3
√√

22 · 3
1
4
1
22√ 1
212√ 1
24√25
29
√a√a
1
3
√a
3
√a
6
√108
6
√22 · 33
√3
√

4
3
√2 √

3
6
√32
√8
√a
√1
a
3
√a√3
3
√2

25 Calcula y simplifica:
a) 5 + 6 – 7 + b) + 2 – –
c) + – – d) ( + ) ( – 1)
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20
c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2
26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 +
c) 7 – 2 +
a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + =
c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)
27 Efectúa y simplifica:
a) ( + )2
– ( – )2
b) ( + ) 2
c) ( – ) ( + ) d) (2 – 3 )2
e) ( – 1) ( + 1)
a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –1
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) = √3√3
√10√10
√10√3√10√12
√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3
√3√2√2
√2√5√6√5√6√5
√2√5√6√2√3√2√3
3
√3a
106
5
3
√3a
5
3
√3a
3
√3a
3
√3a
5
3
√3a43
√34 · a
√2
5
–53
45√2
5
2
9√2
5
12
5√2
5√ 23
32 · 5
1
3√2 · 32
53√2
5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2 · 333
√2 · 533
√24
3
√
–
3a
5
3
√3a43
√81a
√ 8
45
1
3√ 18
125√ 2
5
3
√2
3
√54
3
√250
3
√16
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
√6√5√6√5√6√5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
√5√5√5√5√5
√6√3√2√24√45√54√125
3
√250
21
5
3
√54
3
√2
3
√16√80
3
2
√20√45√125

28 Racionaliza y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = = =
= =
b) = = = = 1 +
c) = = = –
d) = = 3( + 2) = 3 + 6
e) = = = 2 – 3
f) = = =
= = =
29 Racionaliza y efectúa:
a) – b) –
a) = = + 5
b) = =
= = –2 √35
2√
—
7 (–2√
—
5 )
2
(√
—
7 – √
—
5 + √
—
7 – √
—
5 )(√
—
7 – √
—
5 – √
—
7 – √
—
5 )
7 – 5
(√
—
7 – √
—
5 )2
– (√
—
7 + √
—
5 )2
(√
—
7 + √
—
5 )(√
—
7 – √
—
5 )
√2√3
3√
—
3 + 3√
—
2 – 2√
—
3 + 2√
—
2
3 – 2
3 (√
—
3 + √
—
2 ) – 2(√
—
3 – √
—
2 )
(√
—
3 – √
—
2 )(√
—
3 + √
—
2 )
√
–
7 + √
–
5
√
–
7 – √
–
5
√
–
7 – √
–
5
√
–
7 + √
–
5
2
√
–
3 + √
–
2
3
√
–
3 – √
–
2
√2
23√2
23
27√
—
2 – 4 √
—
2
23
9√
—
2 · 32 – 4√
—
2
23
9√
—
18 – 6 √
—
6 + 6 √
—
6 – 4 √
—
2
27 – 4
(3 √
—
6 + 2√
—
2)(3 √
—
3 – 2)
(3√
—
3 + 2)(3√
—
3 – 2)
√5
11(2√
—
5 – 3)
11
11(2√
—
5 – 3)
20 – 9
11(2√
—
5 – 3)
(2√
—
5 + 3)(2√
—
5 – 3)
√5√5
3(√5 + 2)
5 – 4
3(√5 + 2)
(√5 – 2)(√
—
5 + 2)
√3 + √
—
5
4
√3 + √
—
5
–4
√3 + √
—
5
2(3 – 5)
(√3 + √
—
5 )
2(√3 – √
—
5 )(√
—
3 + √
—
5 )
√6
6
6 + √6
6
(2√3 + √
—
2 )√
—
3
2√3 · √
—
3
2√3 + √
—
2
2√3
2√3 + √
—
2
√22 · 3
√6 – 1
3
2(√6 – 1)
3 · 2
2√6 – 2
3 · 2
(2√3 – √
—
2 )√
—
2
3√2 · √
—
2
2√3 – √
—
2
3√2
2√3 – √
—
2
√2 · 32
3 √
–
6 + 2 √
–
2
3 √
–
3 + 2
11
2 √
–
5 + 3
3
√
–
5 – 2
1
2 (√
–
3 – √
–
5 )
2 √
–
3 + √
–
2
√
–
12
2 √
–
3 – √
–
2
√
–
18

30 Opera y simplifica: +
+ = 1 + + 1 – = 2
Notación científica
31 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas:
a)
b)
c)
a) 1,41 · 102 b) –1,58 · 105 c) –2,65 · 106
32 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a
notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011
b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013
b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9
33 Efectúa:
–7,268 · 10–12
34 Expresa en notación científica y calcula:
= 150
35 Considera los números: A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105.
Calcula .
0,00793125 = 7,93125 · 10–3
B + C
A
(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4
104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5
60 0003 · 0,000024
1002 · 72 000 000 · 0,00025
2 · 10–7 – 3 · 10–5
4 · 106 + 105
5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102
8,2 · 10–3 – 2 · 10–4
(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)
9,2 · 106
(3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108
4,32 · 103
√3√3
1
1 – √
—
3 + √
—
3
1 – √
—
3
1
1 + √
—
3 – √
—
3
1 + √
—
3
1
1 +
√
—
3
1 – √
—
3
1
1 –
√
—
3
1 + √
—
3

36 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula ( + C )· D.
2 749 882,353 ≈ 2,7499 · 10
Intervalos y valor absoluto
37 Expresa como desigualdad y como intervalo y represéntalos:
a) x es menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x está comprendido entre –5 y 1.
d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.
a) x < –5; (–∞, –5)
b) 3 ≤ x; [3, +∞)
c) –5 < x < 1; (–5, 1)
d) –2 ≤ x ≤ 0; [–2, 0]
38 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2
d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) –3 ≤ x
a) [–3, 2] b) (5, +∞)
c) [–2, +∞) d) [–2, )
e) (4; 4,1) f) [–3, +∞)
39 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-
tervalos:
a) [–2, 7] b) [13, + ∞) c) (–∞, 0)
d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (–∞, + ∞)
a) –2 ≤ x ≤ 7 b) x ≥ 13 c) x < 0
d) –3 < x ≤ 0 e) ≤ x < 6 f) –∞ < x < +∞
40 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A I B)
e (I I J):
a) A = [–3, 2]; B = [0, 5] b) I = [2, ∞); J = (0, 10)
a) [0, 2] b) [2, 10]
3
2
3
2
A
B
–5 0
0 3
–5 0 1
–2 0
–3 20
0
4 4,1 5
–2
–3
5
–2 0
0
3/2

41 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:
a) x < 3 y x ≥ 5 b) x > 0 y x < 4
c) x ≤ –1 y x > 1 d) x < 3 y x ≤ –2
☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-
cribe: (– ∞, 3) U [5, + ∞)
a) (–∞, 3) U [5, ∞) b) (0, 4)
c) (–∞, –1] U (1, ∞) d) (–∞, –2]
42 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas
expresiones:
a) |x| < 7 b) |x| ≥ 5 c) |2x| < 8
d) |x – 1| ≤ 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| ≥ 1
a) (–7, 7) b) [–∞, –5] U [5, +∞] c) (–4, 4)
d) [–5, 7] e) (–11, 7) f) (–∞, 4] U [6, +∞)
43 Averigua qué valores de x cumplen:
a) |x – 2| = 5 b) |x – 4| ≤ 7 c) |x + 3| ≥ 6
a) 7 y –3
b) –3 ≤ x ≤ 11; [–3, 11]
c) x ≤ –9 y x ≥ 3; (–∞, –9) U [3, ∞)
44 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se
pueda calcular la raíz en cada caso:
a) b) c)
d) e) f)
a) x – 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4; [4, +∞)
b) 2x + 1 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ –1 ⇒ x ≥ – ; [– , +∞)
c) –x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0; (–∞, 0]
d) 3 – 2x ≥ 0 ⇒ 3 ≥ 2x ⇒ x ≤ ; (–∞, ]
e) –x – 1 ≥ 0 ⇒ –1 ≥ x; (–∞, –1]
f) 1 + ≥ 0 ⇒ 2 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ –2; [–2, +∞)
x
2
3
2
3
2
1
2
1
2
√1 +
x
2
√–x – 1√3 – 2x
√–x√2x + 1√x – 4

45 Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3 b) 5 y 11 c) –3 y –9 d) –3 y 4
a) |7 – 3| = 4 b) |11 – 5| = 6
c) |–9 – (–3)| = |–9 +3| = |– 6| = 6
d) |4 – (–3)| = 7
46 Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] U [2, 5) b) [–1, 3) U (0, 3] c) (1, 6] I [2, 7) d) [–1, 3) I (0, 4)
a) (1, 6] U [2, 5) = (1, 6] b) [–1, 3) U (0, 3] = [–1, 3]
c) (1, 6] I [2, 7) = [2, 6] d) [–1, 3) I (0, 4) = (0, 3)
Página 47
47 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) Centro –1 y radio 2 b) Centro 2,5 y radio 2,01
c) Centro 2 y radio 1/3
a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1) b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)
c) (2 – , 2 + )= ( , )
48 Describe como entornos los siguientes intervalos:
a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)
a) C = = ; R = 2 – =
Entorno de centro y radio .
b) C = = 2,1 ; R = 2,9 – 2,1 = 0,8
Entorno de centro 2,1 y radio 0,8
c) C = = –1 ; R = 0,2 – (–1) = 1,2
Entorno de centro –1 y radio 1,2.
d) C = = –3,4 ; R = –2,8 – (–3,4) = 0,6
Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.
–4 + (–2,8)
2
–2,2 + 0,2
2
1,3 + 2,9
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
–1 + 2
2
7
3
5
3
1
3
1
3

49 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:
a) |a| < b equivale a –b < a < b b) |–a| = –|a|
c) |a + b| = |a| + |b| d) |a · b| = |a| · |b|
a) Verdadera (siempre que b > 0).
b) Falsa; pues –|a| ≥ 0 y –|a| ≤ 0.
(Solo sería cierta para a = 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.
En general, |a + b| ≤ |a| + |b|.
d) Verdadera.
Logaritmos
50 Calcula:
a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2 d) log 3
e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) logπ 1
a) log2 210 = 10 b) log 10–3 = –3 c) log2 2–6 = –6
d) log
√
—
3
( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =
g) log1/2 ( )
1/2
= h) 0
51 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2 b) log2 + log3 – log2 1
a) 6 – 2 – 2 – =
b) –5 – 3 – 0 = –8
52 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx 125 = 3 b) logx = –2
a) x3 = 125; x = 5
b) x–2 = ; x = 3
1
9
1
9
3
2
1
2
1
27
1
32
√2
1
4
1
2
1
2
3
2
1
2
√3
1
√2
√8√3
√3
1
64

53 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log 3x = 2 b) log x2 = –2 c) 7x = 115 d) 5–x = 3
a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x =
c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683
54 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.
a) log b) log 2,3 · 1011 c) log 7,2 · 10–5
d) log3 42,9 e) log5 1,95 f) log2 0,034
a) 1,085 b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 → e26,161 ≈ 2,3 · 1011
c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 → e–9,54 ≈ 7,2 · 10–5 d) 3,42
e) 0,41 f) –4,88
55 Calcula la base de cada caso:
a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2 c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2
☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despe-
jar x.
En c) , x –2 = 0,04 ⇔ = .
a) x2 = → x = b) x1/2 = 2 → x = 4
c) x–2 = 0,04 → x = 5 d) x–1/2 = 4 → x =
56 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos:
a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9
c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6
e) ln x = 4 ln 2 – ln 25
☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
a) ln x = ln (17 · 13) ⇒ x = 17 · 13 = 221
b) log x = log ⇒ x = = 4
c) ln x = ln 53 ⇒ x = 53 = 125
d) log x = log ⇒ x =
25
3
12 · 25
62
36
9
36
9
1
2
1
16
1
2
1
4
4
100
1
x2
√148
log 3
log 5
log 115
log 7
1
10
2
log 3

e) ln x = ln 24 – ln
ln x = ln 16 – ln 5
ln x = ln ⇒ x =
57 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;
0,3; 0,03; 0,003.
log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477
log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477
log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477
log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523
log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523
log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523
58 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log 0,1 k2 c) log
3
d) (log k)1/2
a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4
b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8
c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8
d) (14,4)1/2 = = 3,79
59 Sabiendo que ln k = 0,45, calcula el valor de:
a) ln b) ln c) ln
a) ln = ln k – ln e = 0,45 – 1 = –0,55
b) ln = ln k = · 0,45 = 0,15
c) ln = 2 ln e – ln k = 2 – 0,45 = 1,55
60 Calcula x para que se cumpla:
a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172
a) log x2,7 = log 19 ⇒ 2,7 log x = log 19 ⇒ log x = = 0,47
x = 100,47 = 2,98
log 19
2,7
e2
k
1
3
1
3
3
√k
k
e
e2
k
3
√k
k
e
√14,4
1
3
1
3
√1
k
k
100
16
5
16
5
√25

b) 70,5 = 3x ⇒ x = = 0,88
c) log 32 + x = log 172 ⇒ (2 + x) log 3 = log 172 ⇒ 2 + x =
x = – 2 = 2,685
61 Si log k = x, escribe en función de x:
a) log k2 b) log c) log
a) 2 log k = 2x b) log k – log 100 = x – 2 c) log 10k = (1 + x)
62 Comprueba que = – (siendo a ≠ 1).
= = –
Ha de ser a ≠ 1 para que log a ≠ 0 y podamos simplificar.
Página 48
PARA RESOLVER
63 En 18 g de agua hay 6,02 · 1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la ma-
sa, en gramos, de una molécula de agua?
18 : (6,02 · 1023) = 2,99 · 10–23 gramos
64 Tenemos un hilo de cobre de 3 mm de diámetro. ¿Qué longitud debemos to-
mar para que la resistencia sea de 20 omhios?
Resistividad del cobre: ρ = 1,7 · 10–8 Ω · m
☛ La resistencia viene dada por la fórmula R = , donde l es la longitud y s la
sección del hilo.
l = = = 8315,98 metros
65 La velocidad mínima que debe llevar un cuerpo para que escape del campo
gravitatorio terrestre es v = en la que G es la constante de gravita-
ción universal, M la masa de la Tierra y R el radio de la Tierra. Calcula v,
sabiendo que:
G = 6,67 · 10–11 N m2/kg2, M = 5,98 · 1024 kg y R = 6,37 · 106 m.
2 GM
R
20 · π · (0,0015)2
1,7 · 10–8
R · s
ρ
ρl
s
1
6
–1/2 log a
3 log a
–log a + 1/2 log a
3 log a
1
6
log (1/a) + log √
—
a
log a3
1
2
1
2
√10k
k
100
log 172
log 3
log 172
log 3
70,5
3

v = = 11 190,74 m/s
66 Comprueba que √
—
6 + √
—
27 · √
—
6 – √
—
27 es un número entero.
√
—
6 + √
—
27 · √
—
6 – √
—
27 = (6 + ) (6 – ) =
= 62 – ( )2
= = = 3
67 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – 2a + 3a – b) · 30
c) ( + ) ( – 1)
a) a – 2a + 3a – a =
b) · 30 = = 30
c) – + – = 2 – + 3 – = + 2
68 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – b) – +
c) + –
a) = = 2
b) – + = – – + 2 + =
= 3 + – – + 2 + = 5
c) + – = + – =
= – – = = =
= –
2√6
3
√2
2
3√
—
2 – 4√
—
6
6
5√
—
6 – √
—
6 + 3√
—
2 – 8√
—
6
6
4√6
3
(√
—
6 – 3√
—
2)
6
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
–12
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
6 – 18
5√6
6
√3√2√3√2
√3√2√3
7(3 + √
—
2)
7
2 + √
—
3
4 – 3
√
—
3 + √
—
2
3 – 2
7(3 + √
—
2)
9 – 2
√
—
2 + 1 – √
—
2 + 1
2 – 1
(√
—
2 + 1) – (√
—
2 – 1)
(√
—
2 – 1) (√
—
2 + 1)
4 √
–
2
√
–
3
2
√
–
6 + 3√
–
2
5
√
–
6
1
2 – √
–
3
1
√
–
3 – √
–
2
7
3 – √
–
2
1
√
–
2 + 1
1
√
–
2 – 1
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
4√
—
2 · 30 √
—
3
4 √
—
2 √
—
3
√3
7√
—
2 – 3 √
—
2
√25 · 3
√a√a√a√a√a
√6√3√2
√3
√
–
98 – √
–
18
√
–
96
8
√a126
√a34
√a2√a3
√9√36 – 27√27
√27√27
√2 · 6,67 · 10–11 · 5,98 · 1024
6,37 · 106

CUESTIONES TEÓRICAS
69 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo número entero es racional.
b) Hay números irracionales que son enteros.
c) Todo número irracional es real.
d) Algunos números enteros son naturales.
e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
f) Todos los números decimales son racionales.
g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero.
h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.
i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.
j) Los números racionales llenan la recta.
a) V b) F c) V d) V e) V
f) F g) F h) V i) V j) F
70 Si x ∈ Á, explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:
a) x2 es siempre positivo o nulo.
b) x3 es siempre positivo o nulo.
c) solo existe si x ≥ 0.
d) x–1 es negativo si lo es x.
e) –x2 es siempre negativo.
a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo)
71 ¿Cuál es la respuesta correcta?
a) (–27) b) 4
–
a) –3 b) 2–1
72 ¿Entre qué números enteros está el logaritmo decimal de 348?
☛ 102 < 348 < 103. Toma logaritmos.
Entre 2 y 3.
73 Si log x = a , ¿cuál será el valor de log ?
log 1 – log x = –log x = –a
1
x
1
2
3
–3
–9
1
3
3
√x
1/
2–1
–2
√2

74 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:
a) log m + log n = log (m + n)
b) log m + log n = log (m · n)
c) log m – log n =
d) log m – log n = log
e) log x2 = log x + log x
f ) log (a2 – b2) = log (a + b) + log (a – b)
a) Falso. log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n)
b) Verdadero. Es una propiedad de los logaritmos.
c) Falso. log m – log n = log ( )≠
d) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.
e) Verdadero. log x2 = log (x · x) = log x + log x
f) Verdadero. log (a2 – b2) = log [(a + b) · (a – b)] = log (a + b) + log (a – b)
Página 49
PARA PROFUNDIZAR
75 Si n ≠ 0 es natural, determina para qué valores de n estos números perte-
necen a Z:
a) b) c) n – 5 d) n + e)
a) n par.
b) n = 1 o n = 3.
c) n cualquier natural.
d) Ninguno.
e) n cuadrado perfecto.
76 Si log a = 1 + log b, ¿qué relación hay entre a y b?
log a – log b = 1 → log = 1 → = 10 → a = 10b
77 Si log a + log b = 0, ¿qué relación existe entre a y b?
log (ab) = 0 → ab = 1 → a =
1
b
a
b
a
b
√n
1
2
3
n
n
2
log m
log n
m
n
m
n
log m
log n

78 Sean m y n dos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de m y
n en cada uno de estos casos?
a) m · n > 0 y m + n > 0 b) m · n > 0 y m + n < 0
c) m · n < 0 y m – n > 0 d) m · n < 0 y m – n < 0
a) m > 0, n > 0 b) m < 0, n < 0
c) m > 0, n < 0 d) m < 0, n > 0
79 Demuestra que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logarit-
mos de los factores.
☛ Para demostrar que loga (P · Q) = loga P + loga Q, hacemos:
loga P = p → P = aP
⇒ P · Q = ap + q
loga Q = q → Q = aq
Toma logaritmos de base a en esta igualdad y sustituye p y q.
loga PQ = loga a p + q → loga PQ = p + q → loga PQ = loga P + loga Q
80 Demuestra que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividen-
do menos el logaritmo del divisor. (Repite el procedimiento anterior divi-
diendo las igualdades).
Tenemos que demostrar que loga ( )= loga P – loga Q. Hacemos:
loga P = p → P = ap Dividiendo → = ap – q
loga Q = q → Q = aq loga = loga ap – q → loga = p – q
loga = loga P – loga Q
81 Demuestra que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multipli-
cado por el logaritmo de la base.
☛ Hay que demostrar que loga Pn = n · loga P. Haz loga P = p → ap = P, eleva a
n los dos miembros de la igualdad y toma loga .
Tenemos que demostrar que loga Pn = n loga P. Hacemos:
loga P = p → ap = P
Elevando a n:
anp = Pn → loga anp = loga Pn
np = loga Pn → n loga P = loga Pn → loga Pn = n loga P
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
por definición
de logaritmo
multiplica
estas
igualdades












82 Demuestra que el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido por el índice de la raíz.
☛ Recuerda que = p1/n y repite el proceso del ejercicio anterior.
Tenemos que probar que log = . Hacemos:
log = log P1/n
(*)
= log P =
(*) Ver ejercicio anterior.
83 Demuestra que loga P = log P / log a.
☛ Haz loga P = p → ap = P. Toma logaritmos decimales y luego despeja p.
ap = P → log ap = log P → p log a = log P
Así, loga P = .
84 Si x ∈ N y x > 1, ordena estos números:
x –
– < < < < x
85 Ordena de menor a mayor los números a, a2, 1/a y en estos dos casos:
I) Si a > 1 II) Si 0 < a < 1
I) < < a < a2 II) a2 < a < <
PARA PENSAR UN POCO MÁS
86 Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cada
uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.
I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es 1 m2,
calcula las dimensiones de una hoja A4 (que es la de uso más frecuente)
redondeando hasta los milímetros. Comprueba el resultado midiendo una
hoja A4 que tengas a mano.
1
a
√a√a
1
a
√a
1
x
1
x + 1
–1
x + 1
1
x
1
–x – 1
1
x
1
x
1
x + 1
log P
log a
log P
n
1
n
n
√P
log P
n
n
√P
n
√p
A0
A2
A3
A4
A5
A1

II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:
Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene MNPQ tiene la
peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-
lo MRSQ semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).
I)
La superficie de A0 es 1 m2, es decir:
x y = 1 m2 ⇒ y =
Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:
= ⇒ = x2 ⇒ y2 = 2x2
( )
2
= 2x2 ⇒ = 2x2 ⇒ 1 = 2x4 ⇒ = x4
x =
4
= , y =
Las dimensiones de A0 son:
largo = m, ancho = m
1
4
√2
4
√2
4
√2
1
4
√2√1
2
1
2
1
x2
1
x
y2
2
x
y/2
y
x
1
x
A1
A0
x
y/2
y
M N
PQ
M R
SQ
A3
A4
A0
x
x/4
y/4
y
A4 x/4
y/4

Las dimensiones de A4 serán:
largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm
II)
La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = = ( )2
=
(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).
La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:
= = = + 1
Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:
= + 1
Veámoslo:
= = = = = + 1
Como queríamos probar.
87 Para numerar las páginas de un libro un tipógrafo ha empleado 2 993 dígi-
tos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? (El 0, el 1, el 2… son dígitos. El número
525 se escribe con tres dígitos).
Las 9 primeras páginas → 9 dígitos
De la 10 a la 99 → 90 · 2 = 180 dígitos
De la 100 a la 999 → 900 · 3 = 2 700 dígitos
Llevamos: 9 + 180 + 2 700 = 2 889 dígitos
Nos faltan: 2 993 – 2 889 = 104 dígitos, que pertenecen a números de cuatro cifras.
Luego: 104 : 4 = 26 páginas más.
Así: 999 + 26 = 1025 páginas tiene el libro.
√2
√2 + 1
2 – 1
√2 + 1
(√2 – 1) (√
—
2 + 1)
1
√2 – 1
x/x
y/x – x/x
x
y – x
√2
—
MQ
—
MR
√2
√2 + 1
1
y/x + x/x
x/x
y + x
x
√2
4
√2
4
√2
1/
4
√2
y
x
1
4
4
√2
4
√2
4
x
x
xxy – x
Q S P
M R N
y

¿Cuántas parejas de conejos?
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pa-
reja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a
su vez desde el segundo mes?
Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras
143 nuevas).
La sucesión de Fibonacci y el número Φ
Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtene-
mos:
1 1 2 3 5 8 13 21
1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,619
Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es
el número áureo.
= 1,61764…; = 1,61818…; = 1,61797…
Se aproximan al número áureo φ = = 1,61803…
Página 51
Una representación gráfica
¿Cuál es el lado del 8-º? ¿Y del 9-º?
Observa también los rectángulos
que se forman sucesivamente:
Compruébalo para los cuatro si-
guientes rectángulos:
13 : 8, 21 : 13, 34 : 21, 55 : 34
1 + √5
2
144
89
89
55
55
34
21
13
13
8
8
5
5
3
3
2
2
1
1
1
Unidad 2. Sucesiones 1
SUCESIONES2
8 : 5
5 : 32 : 1 3 : 2

El lado del 8º cuadrado es 21 y el lado del 9º cuadrado es 34.
= 1,625; = 1,615; = 1,619…; = 1,617…
Se aproximan al número áureo φ = = 1,61803…
Página 52
1. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos térmi-
nos a cada una:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … d) 8; 4; 2; 1; 0,5; …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33.
b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 = 343.
c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior:
c6 = 100000, c7 = 1000000.
d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2)
el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125.
e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29,
e8 = 47.
f) Cada término, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f7 = 16,
f8 = –25.
g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y nega-
tivo si es par: g7 = 7, g8 = –8.
h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h6 = –15,
h7 = –22.
Página 53
2. Forma una sucesión recurrente, an, con estos datos:
a1 = 2, a2 = 3, an = an–2 + an–1.
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como térmi-
no general:
an = 3 + 5(n – 1) bn = 3 · ( )
n–1
cn = (–1)n 2n
dn = (n – 1)(n – 2) en = n2 + (–1)n n2
1
2
1
2
1 + √5
2
55
34
34
21
21
13
13
8

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18 b1 = 3, b2 = , b3 = , b4 =
c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16 d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6
e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32
4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an–1 + n.
Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedaría: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6,
a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, …
5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … d) 8, 4, 2, 1, …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) an = 3 + (n – 1) · 5 b) bn = n3
c) cn = 10n – 1 d) dn = 8 · ( )
n – 1
e) Es recurrente f) Es recurrente
g) gn = (–1)n – 1 · n h) hn = 20 – 7 · (n – 1)
Página 54
1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas? En cada
una de ellas di su diferencia y añade dos términos más:
a) 3, 7, 11, 15, 19, … b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, …
c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, … d) 10, 7, 4, 1, –2, …
e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; … f) –18; –3,1; 11,8; 26,7; 41,6; …
a) Es una progresión aritmética con d = 4; a6 = 23, a7 = 27.
b) No es una progresión aritmética.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d = –3; d6 = –5, d7 = –8.
e) Es una progresión aritmética con d = 1,6; e6 = 9,4; e7 = 7,8.
f) Es una progresión aritmética con d = 14,9; f6 = 56,5; f7 = 71,4.
1
2
3
8
3
4
3
2

2. En la sucesión 1a), halla el término a20 y la suma de los 20 primeros térmi-
nos.
a20 = a1 + 19 · d = 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79
S20 = = = 820
3. En la sucesión 1d), halla el término d40 y la suma de los 40 primeros términos.
d40 = d1 + 39 · (–3) = 10 – 117 = –107
S40 = = = –1940
4. En la sucesión 1e), halla el término e100 y la suma de los 100 primeros térmi-
nos.
e100 = e1 + 99 · (–1,6) = 17,4 – 158,4 = –141
S100 = = = –6180
5. En la sucesión 1f), halla los términos f8 , f17 y la suma f8 + f9 + … + f16 + f17.
f8 = f1 + 7 · 14,9 = –18 + 104,3 = 86,3
f17 = f1 + 16 · 14,9 = –18 + 238,4 = 220,4
En la suma pedida hay 10 sumandos.
S = = = 1533,5
Página 55
6. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas? En cada
una de ellas di su razón y añade dos términos más:
a) 1, 3, 9, 27, 81, … b) 100; 50; 25; 12,5; …
c) 12, 12, 12, 12, 12, … d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, …
e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, …
a) Es una progresión geométrica con r = 3; a6 = 243, a7 = 729.
b) Es una progresión geométrica con r = ; b5 = 6,25, b6 = 3,125.
c) Es una progresión geométrica con r = 1; c6 = 12, c7 = 12.
d) Es una progresión geométrica con r = –1; d7 = 5, d8 = –5.
e) Es una progresión geométrica con r = – ; e6 = – , e7 = .
10
81
10
27
1
3
1
2
(86,3 + 220,4) · 10
2
(f1 + f17) · 10
2
(17,4 – 141) · 100
2
(e1 + e100) · 100
2
(10 – 107) · 40
2
(d1 + d40) · 40
2
(3 + 79) · 20
2
(a1 + a20) · 20
2

7. Calcula la suma de los 10 primeros términos de cada una de las progresiones
geométricas del ejercicio anterior.
a) a10 = a1 · r9 = 1 · 39 = 19683
S10 = = = 29524
b) b10 = b1 · r9 = 100 · ( )
9
= =
S10 = = ȃ 199,805
c) c10 = 12; S10 = 12 · 10 = 120
d) d10 = –5
S10 = 0
e) e10 = e1 · r9 = 90 · (– )
9
= =
S10 = = ȃ 67,499
8. ¿En cuáles de las progresiones geométricas del ejercicio anterior puedes calcu-
lar la suma de sus infinitos términos? Hállala.
Podemos calcular la suma de sus infinitos términos en las progresiones geométricas
con |r|< 1:
b) S∞ = = = = 200
e) S∞ = = = = 67,5
Página 56
9. Calcula: 12 + 22 + … + 302
= = 9455
30 · 31 · 61
6
30 · (30 + 1) · (60 + 1)
6
90
4
—
3
90
1
1 – (– —)3
e1
1 – r
100
1
—
2
100
1
1 – —
2
b1
1 – r
10
— – 90
6561
1
– — – 1
3
e10 · r – e1
r – 1
–10
2187
–90
19683
1
3
25 1
— · — – 100
128 2
1
— – 1
2
b10 · r – b1
r – 1
25
128
100
512
1
2
19683 · 3 – 1
3 – 1
a10 · r – a1
r – 1

10. Calcula: 502 + 512 + … + 602
(12 + … + 602) – (12 + … + 492) = – =
= 73810 – 40425 = 33385
11. Calcula: 13 + 23 + 33 + … + 153
= 14400
12. Calcula: 23 + 43 + 63 + … + 203
23 + 43 + 63 + … + 203 = (2 · 1)3 + (2 · 2)3 + (2 · 3)3 + … + (2 · 10)3 =
= 23 · 13 + 23 · 23 + 23 · 33 + … + 23 · 103 =
= 23 (13 + 23 + 33 + … + 103) =
= 8 · = 8 · 3025 = 24200
Página 57
1. Representa la sucesión an = y asígnale un valor a su límite.
a1 = 14, a2 = 6, a3 = 4,4; a4 ȃ 3,71;
a5 ȃ 3,33, …, a10 ȃ 2,63, …;
a100 ȃ 2,06; …; a1000 ȃ 2,006, …
lím an = 2
2. Representa la sucesión bn = – 2n + 3 y asigna un valor a su límite.
b1 = 1,25; b2 = 0; b3 = –0,75; b4 = –1; b5 = –0,75;
b6 = 0; b7 = 1,25; b8 = 3; b9 = 5,25; b10 = 8, …,
b100 = 2303, …
lím bn = +∞
n2
4
4n + 10
2n – 1
102 · 112
4
152 · 162
4
49 · 50 · 99
6
60 · 61 · 121
6
5
2
10 15
4
6
8
10
12
14
5
2
10
–2
4
6
8

3. Estudia el comportamiento de estas sucesiones para términos muy avanzados e
indica sus límites:
a) an = b) bn = c) cn = 3 – 2n d) dn = 5 –
a) a10 ȃ 2,83; a100 ȃ 32,83; a1 000 ȃ 332,83, … lím an = +∞
b) b10 ȃ 1,133; b100 ȃ 1,876; b1 000 ȃ 1,987, … lím bn = 2
c) c10 = –1021; c100 ȃ –1,27 · 103, … lím cn = –∞
d) d10 = 4,999; d100 = 4,999999, … lím dn = 5
4. Di, razonadamente, cuáles de las siguientes sucesiones tienen límite:
a) an = – b) bn = (–1)n c) cn = (–1)n n d) dn = (–1)n
a) a10 = –0,02; a100 = –0,0002; a1 000 = –0,000002, … lím an = 0.
b) b10 ȃ 0,714; b11 ȃ –0,733; b100 ȃ 0,962; b101 ȃ –0,962, …
Los términos pares son positivos y tienden a 1; los términos impares son negativos
y tienden a –1. La sucesión no tiene límite.
c) c1 = –1, c2 = 2, c3 = –3, … c1 000 = 1000, c1001 = –1001, …
Los términos impares son negativos y tienden a –∞; los términos pares son positi-
vos y tienden a +∞. La sucesión no tiene límite.
d) d1 = –2; d2 = 0,5; …; d100 = 0,0002; d101 = –0,000196, … lím dn = 0.
Página 61
1. Obtén los ocho primeros valores de an (términos de la sucesión) y de Sn (su-
mas parciales) en cada una de las progresiones siguientes. Calcula en cada una
el lím Sn:
a) 125, 50, 20, … b) 125, –50, 20, … c) 17, –17, 17, …
d) 17, 17, 17, … e) 10; 12; 14,4; … f) 10; –12; 14,4; …
a) a1 = 125, a2 = 50, a3 = 20, a4 = 8, a5 = = 3,2; a6 = = 1,28; a7 = = 0,512;
a8 = = 0,2048.
S1 = 125; S2 = 175; S3 = 195; S4 = 203; S5 = 206,2; S6 = 207,48; S7 = 207,992;
S8 = 208,1968.
Como r = = 0,4 < 1; lím Sn = = = = 208,
∧
3
625
3
125
2
1 – —
5
a1
1 – r
2
5
128
625
64
125
32
25
16
5
2
n2
n
n + 4
2
n2
1
n3
2n – 3
n + 5
2n – 3
6

b) b1 = 125; b2 = –50; b3 = 20; b4 = –8; b5 = 3,2; b6 = –1,28; b7 = 0,512; b8 = –0,2048.
S1 = 125; S2 = 75; S3 = 95; S4 = 87; S5 = 90,2; S6 = 88,92; S7 = 89,432; S8 = 89,2272.
Como r = – = –0,4 < 1; lím Sn = = = ȃ 89,286
c) c1 = 17; c2 = –17; c3 = 17; c4 = –17; c5 = 17; c6 = –17; c7 = 17; c8 = –17.
S1 = 17; S2 = 0; S3 = 17; S4 = 0; S5 = 17; S6 = 0; S7 = 17; S8 = 0.
Sn no tiene límite.
d) d1 = 17; d2 = 17; d3 = 17; d4 = 17; d5 = 17; d6 = 17; d7 = 17; d8 = 17.
S1 = 17; S2 = 34; S3 = 51; S4 = 68; S5 = 85; S6 = 102; S7 = 119; S8 = 136.
lím Sn = +∞.
e) e1 = 10; e2 = 12; e3 = 14,4; e4 = 17,28; e5 = 20,736; e6 = 24,8832; e7 = 29,85984;
e8 = 35,831808.
S1 = 10; S2 = 22; S3 = 36,4; S4 = 53,68; S5 = 74,416; S6 = 99,2992; S7 = 129,15904;
S8 = 164,99084.
Como r = 1,2 > 1; lím Sn = +∞.
f) f1 = 10; f2 = –12; f3 = 14,4; f4 = –17,28; f5 = 20,736; f6 = –24,8832; f7 = 29,85984;
f8 = –35,831808.
S1 = 10; S2 = –2; S3 = 12,4; S4 = –4,88; S5 = 15,856; S6 = –9,0272; S7 = 20,83264;
S8 = –14,999168.
Sn no tiene límite.
Página 64
PARA PRACTICAR
1 Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y añade tres tér-
minos a cada una:
a) 1, , , , , … b) 1, , , 2, , …
c) 2, 5, 10, 17, 26, … d) 0, 3, 8, 15, 24, …
e) 1, 3, 6, 10, 15, …
√5√3√21
5
1
4
1
3
1
2
625
7
125
2
1 + —
5
b1
1 – r
2
5

a) Cada término lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el término:
a6 = , a7 = , a8 =
b) Cada término es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a6 = , a7 = , a8 =
c) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa más 1 unidad: a6 = 37, a7 = 50,
a8 = 65
d) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a6 = 35,
a7 = 48, a8 = 63
e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole al lugar que ocupa el
término anterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36
2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos gene-
rales son estos:
a) an = 3 + b) bn = c) cn =
d) dn = 2–n e) en = 1 · 2 · 3 · … · n f ) fn =
a) a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002; a5 = 3,00002
b) b1 = 0; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 =
c) c1 = 1; c2 = ; c3=2; c4 = ; c5 =
d) d1 = ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 =
e) e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120
f) f1 = –1; f2 = 0; f3 = –3; f4 = 0; f5 = –5
3 Escribe el término general de estas sucesiones:
a) , , , , … b) 1, , , , …
c) 0, , , , , … d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; …
a) an = b) bn = ( )
n – 1
c) cn = d) dn = 5 +
4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes:
a) a1 = 0 a2 = 2 an =
b) a1 = 1 a2 = 2 an =
an –1 · an –2
2
an –1 + an –2
2
1
10n
n2 – 1
n2 + 1
1
3
n
n – 1
24
26
15
17
8
10
3
5
1
27
1
9
1
3
4
5
3
4
2
3
1
2
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
7
3
11
5
5
3
24
5
15
4
8
3
3
2
(–1)n n – n
2
3n – 1
n + 1
n2 – 1
n
2
10n
√8√7√6
1
8
1
7
1
6

a) 0, 2, 1, , , , , , b) 1, 2, 1, 1, , , , , …
5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:
a) 4, 7, 3, –4, –7, … b) 2, 3, , , , …
a) a1 = 4, a2 = 7, an = an – 1 – an – 2 para n > 2
b) b1 = 2, b2 = 3, bn = para n > 2
6 De las siguientes sucesiones, di cuáles son progresiones aritméticas y escribe su
término general:
a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; … b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4; …
c) 1, 2, 4, 7, 11, … d) 14, 13, 11, 8, 4, …
a) Es una progresión aritmética con a1 = 1,2 y d = 1,2.
an = 1,2 + (n – 1) · 1,2 = 1,2n.
b) Es una progresión aritmética con b1 = 5 y d = –0,4.
bn = 5 + (n – 1) · (–0,4) = –0,4n + 5,4.
c) y d) no son progresiones aritméticas.
7 De las sucesiones siguientes, indica cuáles son progresiones aritméticas:
a) an = 3n b) bn = 5n – 4
c) cn = d) dn =
e) en = 5 + f) fn = n2 – 1
a) an – an – 1 = 3n – 3(n – 1) = 3n – 3n + 3 = 3
Es una progresión aritmética con d = 3.
b) bn – bn – 1 = 5n – 4 – [5(n – 1) – 4)] = 5n – 4 – 5n + 5 + 4 = 5
Es una progresión aritmética con d = 5.
c) c1 = 1, c2 = , c3 = , c4 = , …
c2 – c1 = ≠ c3 – c2 = . No es una progresión aritmética.
1
6
–1
2
1
4
1
3
1
2
n
2
8 – 3n
4
1
n
bn – 1
bn – 2
1
3
1
2
3
2
1
128
1
16
1
4
1
2
43
32
21
16
11
8
5
4
3
2

d) dn – dn – 1 = – = =
Es una progresión aritmética con d = .
e) en – en – 1 = 5 + – (5 + )= 5 + – 5 – + = .
Es una progresión aritmética con d = .
f) f1 = 0, f2 = 3, f3 = 8, f4 = 15, …
f2 – f1 = 3 ≠ f3 – f2 = 5. No es una progresión aritmética.
8 Calcula los términos a10 y a100 de las siguientes progresiones aritméticas:
a) –4, –2, 0, 2, 4, … b) 2, –3, –8, –13, –18, … c) , 1, , , , …
a) a10 = a1 + 9d = –4 + 9 · 2 = –4 + 18 = 14
a100 = a1 + 99d = –4 + 99 · 2 = –4 + 198 = 194
b) a10 = a1 + 9d = 2 – 9 · 5 = 2 – 45 = –43
a100 = a1 + 99d = 2 – 99 · 5 = 2 – 495 = –493
c) a10 = a1 + 9d = + 9 · = = 3
a100 = a1 + 99d = + 99 · = =
9 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
aritméticas:
a) 3, 6, 9, 12, 15, … b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6; …
c) cn = 4n – 2 d) dn =
a) a1 = 3; a25 = a1 + 24d = 3 + 24 · 3 = 75
S25 = = = 975
b) b1 = 5; b25 = b1 + 24d = 5 – 24 · 0,1 = 2,6
S25 = = = 95
c) c1 = 2; c25 = 98
S25 = = = 1250
(2 + 98) · 25
2
(c1 + c25) · 25
2
(5 + 2,6) · 25
2
(b1 + b25) · 25
2
(3 + 75) · 25
2
(a1 + a25) · 25
2
1 – 2n
2
51
2
102
4
1
4
3
4
12
4
1
4
3
4
7
4
3
2
5
4
3
4
1
2
1
2
1
2
n
2
n
2
n – 1
2
n
2
–3
4
–3
4
8 – 3n – 8 + 3n – 3
4
8 – 3(n – 1)
4
8 – 3n
4

d) d1 = ; d25 =
S25 = = = = –312,5
10 De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas? Escribe
tres términos más en cada una y también su término general.
a) 32, 16, 8, 4, 2, … b) 1; 0,1; 0,01; 0,001; …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) , 2, 2 , 4, 4 , …
a) Es una progresión geométrica con a1 = 32 y r = .
a6 = 1, a7 = , a8 = ; an = 32 · ( )
n – 1
= = 26 – n
b) No es una progresión geométrica; b6 = 36, b7 = 49, b8 = 64, bn = n2.
c) Es una progresión geométrica con c1 = 1 y r = 0,1.
c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001; cn = 1 · 0,1n – 1 = 0,1n – 1
d) Es una progresión geométrica con d1 = y r = .
d6 = 8; d7 = 8 ; d8 = 16; dn = · ( )n – 1
= ( )n
.
11 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
geométricas y halla la suma de los infinitos términos en los casos que sea
posible:
a) a1 = 32, r = b) a1 = 10, r = c) a1 = 2–10, r = 2
S25 = =
a) S25 = = 63,99999809 ȃ 64 S∞ = = = = 64
b) S25 = = 11,1 = S∞ = = = = 11,1
c) S25 = = 32767,99902 ȃ 32768
S∞ = +∞
2–10 · 225 – 2–10
2 – 1
100
9
10
1
1 – —
10
a1
1 – r
100
9
1
10 · (—)25
– 10
10
1
— – 1
10
32
1
—
2
32
1
1 – —
2
a1
1 – r
1
32 · (—)25
– 32
2
1
— – 1
2
a1 · r 25 – a1
r – 1
a25 · r – a1
r – 1
1
10
1
2
√2√2√2√2
√2√2
25
2n – 1
1
2
1
4
1
2
1
2
√2√2√2
–625
2
1 49
(– — – —)· 25
2 2
2
(d1 + d25) · 25
2
–49
2
–1
2

12 Calcula los términos a10, a100 y a1 000, en cada sucesión e indica cuál es su
límite:
a) an = b) an = 1 + c) an =
d) an = e) an = – 1 f) an = 3 – 7n
a) a10 = 0,
)
1; a100 = 0,
)
01; a1000 = 0,
)
001
lím an = 0
b) a10 = 1,1; a100 = 1,001; a1000 = 1,00001
lím an = 1
c) a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1000 = 2,005
lím an = 2
d) a10 = 45; a100 = 4995; a1 000 = 499995
lím an = +∞
e) a10 = –0,5; a100 = –0,95; a1000 = –0,995
lím an = –1
f) a10 = –6,7; a100 = –697; a1 000 = –6997
lím an = –∞
Página 65
13 Halla algunos términos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indica
cuál es su límite:
a) an = 5n – 10 b) bn = 100 – n
c) cn = d) dn =
a) a10 = 40; a100 = 490; a1 000 = 4990
lím an = +∞
b) b10 = 90; b100 = 0; b1 000 = –900
lím bn = –∞
c) c10 = 0,63; c100 ȃ 0,9603; c1 000 ȃ 0,996
lím cn = 1
d) d10 ȃ 0,476; d100 ȃ 0,498; d1 000 ȃ 0,4998
lím dn = 0,5 =
1
2
n
2n + 1
n – 3
n + 1
5
n
n2 – 10
2
2n + 5
n
10
n2
1
n – 1

PARA RESOLVER
14 Calcula el 15-º término en la siguiente progresión: 3; 2,7; 2,4; 2,1; …
Es una progresión aritmética con a1 = 3 y d = –0,3.
Por tanto, a15 = a1 + 14d = 3 – 0,3 · 14 = 3 – 4,2 = –1,2.
15 Halla el cuarto término de una progresión aritmética en la que d = 3 y
a20 = 100.
a20 = a4 + 16d → a4 = a20 – 16d = 100 – 16 · 3 = 52
16 Calcula la suma de todos los números impares de tres cifras.
Es la suma de los términos de una progresión aritmética en la que el primer térmi-
no es 101, el último es 999, y hay 450 sumandos:
S = = 247500
17 ¿Cuánto vale la suma de los 100 primeros múltiplos de 7?
Queremos calcular la suma de los 100 primeros términos de una progresión aritmé-
tica en la que a1 = 7 y d = 7.
S100 = = = 35350
18 En una progresión aritmética sabemos que d = 3, an = 34 y Sn = 133. Calcula
n y a1.
34 = a1 + 3n – 3 → a1 = 37 – 3n
133 = → 266 = (71 – 3n)n
266 = 71n – 3n2 → 3n2 – 71n + 266 = 0
n = = =
= =
a1 = 37 – 3 · 19 = 37 – 57 = –20 → a1 = –20
19 Los lados de un hexágono están en progresión aritmética. Calcúlalos sabien-
do que el mayor mide 13 cm y que el perímetro vale 48 cm.
Llamamos a los lados a1, a2, a3, a4, a5 y a6.
n = 14/3 (no vale)
n = 19
71 ± 43
6
71 ± √1849
6
71 ± √5041 – 3192
6
(37 – 3n + 34) · n
2





an = a1 + (n – 1) · d → 34 = a1 + (n – 1) · 3
(a1 + an) · n (a1 + 34) · n
Sn = ——— → 133 = ———
2 2
(7 + 700) · 100
2
(a1 + a100) · 100
2
(101 + 999) · 450
2

Sabemos que a6 = 13 cm y que S6 = 48. Por tanto:
48 = 78 – 15d → 15d = 30 → d = = 2 → d = 2
a1 = 13 – 5 · 2 = 13 – 10 = 3 → a1 = 3
Los lados del hexágono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.
20 En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 m de la pantalla y la séptima
fila está a 16 m. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la
pantalla a una distancia de 28 m?
a7 = 16 → a7 = a2 + 5d = 10 + 5d = 16 → d = 1,2
(La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros).
Buscamos n para que an = 28 m:
an = a1 + (n – 1) · d = 8,8 + (n – 1) · 1,2 = 28 → 8,8 + 1,2n – 1,2 = 28
1,2n = 20,4 → n = 17
La fila 17 está a 28 metros.
21 Escribe los términos intermedios de una progresión aritmética de la que co-
nocemos a1 = –3 y a10 = 18.
a10 = a1 + 9d = –3 + 9d = 18 → d = =
Los términos son: a1 = –3, a2 = – , a3 = , a4 = 4, a5 = , a6 = , a7 = 11,
a8 = , a9 = , a10 = 18.
22 Halla los dos términos centrales de una progresión aritmética de 8 términos
sabiendo que S8 = 100 y que a1 + 2a8 = 48.
Tenemos que calcular a4 y a5. Sabemos que:
Restando a la 2-a
ecuación la 1-a
, queda:
a8 = 23 → a1 = 25 – a8 = 25 – 23 = 2 → a1 = 2
a8 = a1 + 7d = 2 + 7d = 23 → d = 3
Por tanto:
a4 = 11
a5 = 14



a4 = a1 + 3d = 2 + 9 = 11
a5 = a4 + d = 11 + 3 = 14



(a1 + a8) · 8
S8 = ——— = (a1 + a8) · 4 = 100 → a1 + a8 = 25
2
a1 + 2a8 = 48





47
3
40
3
26
3
19
3
5
3
2
3
7
3
21
9
30
15
a6 = a1 + 5d → 13 = a1 + 5d → a1 = 13 – 5d
(a1 + a6) · 6
S6 = ——— → 48 = (13 – 5d + 13) · 3 → 48 = (26 – 5d) · 3
2






23 En una progresión geométrica, a1 = 8 y a3 = 0,5. Calcula a5 y la expresión
de an.
a3 = a1 · r2 = 8r2 = 0,5 → r2 = 0,0625 → r = ± 0,25 = ±
1er
caso: r = 0,25 =
a5 = a1 · r4 = 8 · ( )4
= = 0,03125
an = a1 · rn – 1 = 8 · ( )
n – 1
= =
2o
caso: r = –0,25 = –
a5 = a1 · r4 = = 0,03125
an = 8 · ( )
n – 1
24 En una progresión geométrica de razón r = 3 conocemos S6 = 1 456. Cal-
cula a1 y a4.
S6 = = = = =
= 364a1 = 1456 → a1 = 4
a4 = a1 · r3 = 4 · 27 = 108
25 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es igual a 4
y a2 = 1. Calcula a1 y la razón.
4r2 – 4r + 1 = 0 → r = = = → r = → a1 = 2
26 La maquinaria de una fábrica pierde cada año un 20% de su valor. Si costó 4
millones de euros, ¿en cuánto se valorará después de 10 años de funciona-
miento?
– Al cabo de 1 año valdrá → (4 · 106) · 0,8 €
– Al cabo de 2 años valdrá → (4 · 106) · 0,82 €
…
– Al cabo de 10 años valdrá → (4 · 106) · 0,810 ȃ 429496,73 €
1
2
1
2
4
8
4 ± √16 – 16
8
1
a2 = a1 · r = 1 → a1 = —
r
a1 1/r 1
S∞ = — = — = — = 4 → 1 = 4r – 4r2
1 – r 1 – r r – r2







728a1
2
a1 · 729 – a1
2
a1 · r 6 – a1
r – 1
a6 · r – a1
r – 1
1
4
1
32
1
4
1
22n – 5
23
22n – 2
1
4
1
32
1
4
1
4
1
4

27 El 1 de enero depositamos 5 000 € en una cuenta bancaria a un interés anual
del 6% con pago mensual de intereses. ¿Cuál será el valor de nuestro dinero
un año después?
☛ Un 6% anual corresponde a mensual. Cada mes el dinero se multiplica por
1,005.
– Al cabo de 1 mes tendremos → 5000 · 1,005 €
– Al cabo de 2 meses tendremos → 5000 · 1,0052 €
…
– Al cabo de 12 meses tendremos → 5000 · 1,00512 ȃ 5308,39 €
28 Durante 5 años depositamos en un banco 2000 € al 4% con pago anual de in-
tereses.
a) ¿En cuánto se convierte cada depósito al final del quinto año?
b)¿Qué cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 años?
a) Al final del 5º año:
– Los primeros 2000 € se convierten en 2000 · 1,045 € ȃ 2433,31 €
– Los segundos 2000 € se convierten en 2000 · 1,044 € ȃ 2339,72 €
– Los terceros 2000 € se convierten en 2000 · 1,043 € ȃ 2249,73 €
– Los cuartos 2000 € se convierten en 2000 · 1,042 € = 2163,2 €
– Los quintos 2000 € se convierten en 2000 · 1,04 € = 2080 €
b) Sumamos las cantidades anteriores:
2000 · 1,045 + 2000 · 1,044 + 2000 · 1,043 + 2000 · 1,042 + 2000 · 1,04 =
= 2000(1,045 + 1,044 + 1,043 + 1,042 + 1,04) =
(*)
= 2000 · = 11265,95 €
(*) Suma de una progresión geométrica con a1 = 1,04 y r = 1,04.
29 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy
avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
a) an = 3n2 – 10 b) bn = 3n – n2 c) cn = 10 – 5n + n2
d) dn = (1 – 2n)2 e) en = (4 – n)3 f) fn = 1 – (n + 2)2
a) a10 = 290; a100 = 29990; a1 000 = 2999990
lím an = +∞
b) b10 = –70; b100 = –9700; b1 000 = –997000
lím bn = –∞
1,046 – 1,04
1,04 – 1
6
1 200

c) c10 = 60; c100 = 9510; c1 000 = 995010
lím cn = +∞
d) d10 = 361; d100 = 39601; d1 000 = 3996001
lím dn = +∞
e) e10 = –216; e100 = –884736; e1000 = –988047936
lím en = –∞
f) f10 = –143; f100 = –10403; f1 000 = –1004003
lím fn = –∞
30 Representa gráficamente los 10 primeros términos de las siguientes sucesio-
nes, comprueba que tienden a un número y di cuál es:
a) an = b) bn = 3 + c) cn = – 2 d) dn =
a)
lím an = 2
b)
lím bn = 3
n + 1
2n2
1
n2
(–1)n
n
2n – 1
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1 1,5 1,6
)
1,75 1,8 1,83
)
1,86 1,875 1,8
)
1,9
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
bn 2 3,5 2,6
)
3,25 2,8 3,16
)
2,86 3,125 2,8
)
3,1
2 4 6 8 10 n
an
1
2
2
1
4 6 8 10 n
bn
2
3
4

c)
lím cn = –2
d)
lím dn = 0
a) an = b) bn = c) cn = d) dn =
a) a10 = 0,15625; a100 = 0,01656; a1000 = 0,00167
lím an = 0
b) b10 = 0,297; b100 = 0,029997; b1000 = 0,002999997
lím bn = 0
c) c10 = –1; c100 = –0,01; c1 000 = –0,0001
lím cn = 0
d) d10 = 0,0909; d100 = 0,0099; d1000 = 0,000999; d1 001 = –0,000999
lím dn = 0
(–1)n
n + 1
–100
n2
3n
n2 + 1
5
3n + 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cn –1 –1,75 –1,8
)
–1,94 –1,96 –1,97 –1,98 –1,98 –1,99 –1,99
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dn 1 0,5 0,22 0,16 0,12 0,10 0,08 0,07 0,06 0,06
2 4 6 8 10 n
cn
–2
–1
2 4 6 8 10 n
dn
1
2

32 Comprueba, dando a n valores grandes, que las siguientes sucesiones tien-
den a un número y di cuál es ese número:
a) an = b) bn =
c) cn = 1 + d) dn =
a) a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1000 = 2,497
lím an = 2,5 =
b) b10 = –1,970; b100 = –1,9997; b1000 = –1,999997
lím bn = –2
c) c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954
lím cn = 1
d) d10 = 0,195; d100 = 0,019995; d1000 = 0,001999995
lím dn = 0
33 Calcula el límite de las siguientes sucesiones:
a) an = b) bn = c) cn =
d) dn = e) en = f ) fn =
a) a10 = 0,7864; a100 = 0,9798; a1000 = 0,9980
lím an = 1
b) b10 = 0,5025; b100 = 0,500025; b1000 = 0,50000025
lím bn = 0,5 =
c) c10 = 9,80; c100 = 30,1; c1000 = 94,90
lím cn = +∞
d) d10 = 1,756; d100 = 1,973; d1000 = 1,997
lím dn = 2
e) e10 = 20,797; e100 = 107,278; e1 000 = 1007,027
lím en = +∞
f) f10 = 0,760; f100 = 0,909; f1000 = 0,969
lím fn = 1
1
2
√n
1 + √n
(1 + n)3
(n – 2)2√4n – 3
n + 2
3n + 1
√n
√n2 + 1
2n
(n – 1)2
n2 + 3
5
2
2n2 – 5
n3
1
2n
1 – 2n2
n2 + 1
5n – 3
2n + 1

34 Comprueba si tienen límite las siguientes sucesiones:
a) an = (–1)n b) bn = 1 + (–1)n
c) cn = d) dn =
a) a100 = 2,01; a101 = –2,0099; a1000 = 2,001; a1 001 = –2,000999
Los términos pares tienden a 2 y los impares a –2.
an no tiene límite.
b) b1 = 0; b2 = 2; b3 = 0; b4 = 2, …
Los términos impares son 0 y los pares son 2.
bn no tiene límite.
c) c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0; c4 = 0,5; …; c100 = 0,02
Los términos impares son cero y los pares tienden a cero.
lím cn = 0.
d) d1 = 0; d2 = 1,5; d3 = 0,67; d4 = 1,25; …; d100 = 1,01; d101 = 0,99
lím dn = 1.
35 Dadas las sucesiones an = n2 y bn = , estudia el límite de:
a) an + bn b) an · bn c)
a) An = an + bn = n2 +
A10 = 100,0099; A100 = 10000,0001
lím (an + bn) = +∞
b) Bn = an · bn = n2 · =
B10 = 0,9901; B100 = 0,9999
lím (an · bn) = 1
c) Cn = = = n2(n2 + 1) = n4 + n2
C10 = 10100; C100 = 100010000
lím ( )= +∞
an
bn
n2
1(n2 + 1)
an
bn
n2
n2 + 1
1
n2 + 1
1
n2 + 1
an
bn
1
n2 + 1
n + (–1)n
n
1 + (–1)n
n
2n + 1
n

a) an = (1 + )2n
b) bn = (1 + )n +3
c) cn = (1 + )n2
d) dn = (1 – )–n
a) a10 = 2,6533; a100 = 2,7115; a1000 = 2,7176; a1 000000 = 2,71828; …; lím an = e
b) b10 = 2,6206; b100 = 2,7052; b1000 = 2,7169; b1 000000 = 2,71828; …; lím bn = e
c) c10 = 2,7048; c100 = 2,7181; c1000 = 2,71828; …; lím cn = e
d) d10 = 2,8680; d100 = 2,7320; d1000 = 2,7196; d1 000000 = 2,71828; …; lím dn = e
37 Determina, dando valores grandes a n, cuál es el límite de las siguientes su-
cesiones:
a) an = (2 + )n
b) bn = ( )n
c) cn = (1 + )n2
d) dn = (1 + )n
a) a10 = 1667,988; a100 = 2,987 · 1030
lím an = +∞
b) b10 = 0,00605; b100 = 5,72 · 10–30
lím bn = 0
c) c10 = 13780,61; c100 = 1,64 · 1043
lím cn = +∞
d) d10 = 1,1046; d100 = 1,01005; d1000 = 1,0010005
lím dn = 1
38 Halla el término general de la sucesión: 2, , , , , … y estudia su lí-
mite.
an = = 21/n
a1 = 2; a2 = ȃ 1,4142; a3 = ȃ 1,2599; a4 = ȃ 1,1892; …; a10 ȃ 1,0718
a100 ȃ 1,00696; lím an = 1
39 Dadas las sucesiones an = n + 3 y bn = 2 – n, calcula los siguientes límites:
a) lím (an + bn) b) lím (an – bn) c) lím (an · bn) d) lím
a) An = an + bn = n + 3 + 2 – n = 5
lím (an + bn) = 5
b) Bn = an – bn = n + 3 – (2 – n) = n + 3 – 2 + n = 2n + 1
B10 = 21; B100 = 201; B1 000 = 2001
lím (an – bn) = +∞
an
bn
4
√2
3
√2√2
n
√2
5
√2
4
√2
3
√2√2
1
n2
1
n
n + 2
2n
1
n
1
n
1
n2
1
n + 3
1
2n

c) Cn = an · bn = (n + 3) (2 – n) = 2n – n2 + 6 – 3n = –n2 – n + 6
C10 = –104; C100 = –10094; C1 000 = –1000994
lím (an · bn) = –∞
d) Dn = =
D10 = –1,625; D100 = –1,051; D1000 = –1,005
lím = –1
40 Sea an una progresión aritmética con d > 0. ¿Cuál es su límite?
Si d > 0, la sucesión se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lím an = +∞.
41 La sucesión 3, 3, 3, 3, …, ¿es una progresión aritmética? ¿Y geométrica?
– Es una progresión aritmética con d = 0.
– También es una progresión geométrica con r = 1.
42 Si an es una progresión geométrica con r = , ¿cuál es su límite?
Al ir multiplicando por sucesivamente, los términos se van aproximando a cero.
Es decir, lím an = 0.
43 En una progresión geométrica cualquiera, a, ar, ar2, ar3, …, comprueba
que: a1 · a6 = a2 · a5 = a3 · a4. ¿Se verifica también a3 · a7 = a4 · a6?
Enuncia una propiedad que exprese los resultados anteriores.
Son iguales
Son iguales
Propiedad: Si an es una progresión geométrica, se verifica que ap · aq = am · an
siempre que p + q = m + n.
44 El número 3,9
)
podemos considerarlo como la suma de los infinitos térmi-
nos de la sucesión: 3, , , , …
Calcula la suma y halla su límite.
3 + + + + … = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + … = 3,
)
9
9
1000
9
100
9
10
9
1 000
9
100
9
10



a3 · a7 = (a · r2) · (a · r6) = a2 · r8
a4 · a6 = (a · r3) · (a · r5) = a2 · r8





a1 · a6 = a · (a · r5) = a2 · r5
a2 · a5 = (a · r) · (a · r4) = a2 · r5
a3 · a4 = (a · r2) · (a · r3)= a2 · r5
1
3
1
3
an
bn
n + 3
2 – n
an
bn

Si consideramos la progresión geométrica , , , … y sumamos todos
sus términos, queda:
S∞ = = = = 1
Por tanto: 3 + ( + + + …)= 3 + 1 = 4
45 Inventa dos sucesiones cuyo límite sea infinito y que al dividirlas, la sucesión
que resulte tienda a 2.
Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1
lím an = +∞; lím bn = +∞
lím = lím = 2
46 Inventa dos sucesiones cuyo límite sea 0 y que al dividirlas, la sucesión que ob-
tengas no tienda a 0.
Por ejemplo: an = ; bn =
lím an = 0; lím bn = 0
lím = lím = ≠ 0
PARA PROFUNDIZAR
47 El término central de una progresión aritmética de 17 términos es igual a
11. Calcula la suma de los 17 términos.
El término central es a9. Como a1 + a17 = a2 + a16 = a3 + a15 = … = a9 + a9, enton-
ces:
S17 = = = = = 187
48 La sucesión x2 – x + 1; x2 + 1; x2 + x + 1, ¿es una progresión aritmética?
Si lo fuese, calcula el quinto término y la suma de los cinco primeros térmi-
nos.
Llamamos a1 = x2 – x + 1; a2 = x2 + 1; a3 = x2 + x + 1.
Veamos si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:
a2 – a1 = x2 + 1 – (x2 – x + 1) = x2 + 1 – x2 + x – 1 = x
a3 – a2 = x2 + x + 1 – (x2 + 1) = x2 + x + 1 – x2 – 1 = x
Por tanto, sí es una progresión aritmética con a1 = x2 – x + 1 y diferencia d = x.
22 · 17
2
(11 + 11) · 17
2
(a9 + a9) · 17
2
(a1 + a17) · 17
2
1
2
1
2
an
bn
2
n
1
n
2n
n + 1
an
bn
9
1000
9
100
9
10
9
—
10
9
—
10
9
—
10
1
1 – —
10
a1
1 – r
9
1000
9
100
9
10

Así, tenemos que:
a5 = a1 + 4 · d = x2 – x + 1 + 4x = x2 + 3x + 1
S5 = = =
= (x2 + x + 1) · 5 = 5x2 + 5x + 5
Página 67
49 Dibuja un cuadrado de lado cm y sobre cada lado un triángulo rectángulo
isósceles; después dos, luego cuatro, como indican las figuras:
a) Forma la sucesión de los perímetros de las figuras obtenidas. ¿Cuál es su
límite?
b)Forma también la sucesión de las áreas. ¿Cuál es su límite?
1er
paso: 2º paso: 3er
paso:
Perímetro = 8 cm Perímetro = 8 cm Perímetro = 8 cm
Área = 2 + 2 = 4 cm2 Área = 2 + 1 = 3 cm2 Área = 2 + = cm2
… Paso n-ésimo:
a) 8, 8, 8, 8, …; Pn = 8; lím Pn = 8
b) 4, 3, , …; An = 2 + 2 · ( )
n – 1
; lím An = 2
(que es el área del cuadrado de lado ).√2
1
2
5
2
Perímetro = 8 cm
1
Área = 2 + 2 · (—)n – 1
cm2
2





5
2
1
2
√2
(2x2 + 2x + 2) · 5
2
(x2 – x + 1 + x2 + 3x + 1) · 5
2
(a1 + a5) · 5
2
11
1 1
1/2 1/2 1/4
1/41/2
1/2
11
1 1
√
—
2
√
—
2

50 Los términos de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15 se llaman números triangulares
porque se pueden representar así:
Calcula a10 y an.
a1 = 1; a2 = 1 + 2 = 3; a3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
a10 = 1 + 2 + 3 + … + 10 = = = 55
an = 1 + 2 + 3 + … + n =
51 Los términos de la sucesión 1, 5, 12, 22, 35 se llaman números pentagonales
porque se pueden representar así:
Calcula a6, a10 y an.
☛ Esos números se pueden escribir así: 1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10
+ 13
a1 = 1; a2 = 1 + 4 = 5; a3 = 1 + 4 + 7 = 12; a4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22
Observamos que vamos obteniendo las sumas de los términos de una progresión
aritmética con a1 = 1 y d = 3. En el paso n-ésimo tendremos:
an = 1 + 4 + 7 + … + (1 + (n – 1) · 3) = 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =
= = =
Por tanto:
a6 = = 17 · 3 = 51; a10 = = 145
29 · 10
2
17 · 6
2
(3n – 1) · n
2
(1 + 3n – 2) · n
2
(1 + (3n – 2)) · n
2
(1 + n) · n
2
11 · 10
2
(1 + 10) · 10
2
221251

52 Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresión del
término general y calcular el límite de las siguientes sucesiones:
a) an = + + + … + b) bn = 2n
( + + + … +
)
a) an = (1 + 2 + 3 + … + n) =
( )= ·
( )=
Hallamos el límite: a10 = 0,55; a100 = 0,505; a1000 = 0,5005; lím an = 0,5 =
b) bn = (1 + 2 + 3 + … + n) =
( )= ·
( )= =
= = = n + 1
b10 = 11; b100 = 101; b1 000 = 1001; lím bn = +∞
53 La sucesión de Fibonacci se puede obtener a partir de una fórmula muy
complicada:
an =
[( )
n
–
( )
n
]
Con ayuda de la calculadora podemos obtener cualquiera de sus términos.
Por ejemplo, sabemos que a6 = 8. Obtengámoslo con la fórmula:
1 5 2 6 1 5 2 6 5
s Calcula de este modo a8 = 21.
s Observa que el sustraendo
( )
n
toma valores muy próximos a 0 pa-
ra n un poco grande.
Esto nos permite obtener un valor muy aproximado de an mediante
( )
n
. Por ejemplo, a7 ≈ 12,98 ≈ 13.
Calcula, así, a10 y a20.
• Para calcular a8 escribimos en la calculadora:
1 5 2 8 1 5 2 8 5
Obtenemos a8 = 21.
1 + √
—
5
2
1
√5
1 – √
—
5
2
1 – √
—
5
2
1 + √
—
5
2
1
√5
2n2(n + 1)
2n2
2n3 + 2n2
2n2
2n2 + 2n3
2n3
n + n2
2
2n
n3
(1 + n) · n
2
2n
n3
2n
n3
1
2
n2 + n
2n2
n + n2
2
1
n2
(1 + n) · n
2
1
n2
1
n2
n
n3
3
n3
2
n3
1
n3
n
n2
3
n2
2
n2
1
n2

• Obtenemos de forma aproximada a10 y a20:
a10 ȃ 55,0036 → a10 = 55
a20 ȃ 6765,00003 → a20 = 6765
54 Dos sucesiones emparejadas
Observa las siguientes sucesiones:
l1 = 1 d1 = 1
l2 = 1 + 1 = 2 d2 = 2 + 1 = 3
l3 = 2 + 3 = 5 d3 = 2 · 2 + 3 = 7
…… ……
ln = ln –1 + dn –1 dn = 2ln –1 + dn –1
s Calcula los diez primeros términos de cada una de estas sucesiones.
s Comprueba que el cociente dn/ln se parece cada vez más a .
Este par de sucesiones fueron construidas por los pitagóricos. Tienen la par-
ticularidad de que no solo son recurrentes sino que cada una ha de recurrir
a la otra.
El límite de dn/ln es , igual que el cociente entre la diagonal, d, y el la-
do, l, de un cuadrado.
• Calculamos los diez primeros términos de cada sucesión:
COCIENTES
l1 = 1 d1 = 1 d1/l1 = 1
l2 = 1 + 1 = 2 d2 = 2 + 1 = 3 d2/l2 = 1,5
l3 = 2 + 3 = 5 d3 = 2 · 2 + 3 = 7 d3/l3 = 1,4
l4 = 12 d4 = 17 d4/l4 ȃ 1,41666…
l5 = 29 d5 = 41 d5/l5 ȃ 1,4137931…
l6 = 70 d6 = 99 d6/l6 ȃ 1,4142857…
l7 = 169 d7 = 239 d7/l7 ȃ 1,4142011…
l8 = 408 d8 = 577 d8/l8 ȃ 1,4142156…
l9 = 985 d9 = 1393 d9/l9 ȃ 1,4142131…
l10 = 2378 d10 = 3363 d10/l10 ȃ 1,4142136…
Los cocientes se aproximan a: ȃ 1,4142135…√2
√2
√2

Problema 1
1. Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis,
a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:
—Coged las que queráis.
Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada
vez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9
veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Ade-
más, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.
Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.
• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?
• ¿Y el de Juan?
• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?
• 2-º caso: 15 × 3
(x + y) (x – y) = 45
Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almen-
dras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).
• 3er caso: 45 × 1
(x + y) (x – y) = 45
Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo,
22 puñados de 22 almendras (484 almendras).
Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2
puñados.
Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo 7
puñados.
Sumando: 2x = 46 → x = 23
Restando: 2y = 44 → y = 22



x + y = 45
x – y = 1
Sumando: 2x = 18 → x = 9
Restando: 2y = 12 → y = 6



x + y = 15
x – y = 3
Unidad 3. Álgebra 1
ÁLGEBRA3

Por tanto:
• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1183 almendras
Página 69
Problema 2
2. Un galgo persigue a una liebre.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-
tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. ¿Cuán-
tos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?
Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.
Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.
… …
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:
2 · 90 = 180 saltos el galgo
3 · 90 = 270 saltos la liebre
De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.
Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.
Página 71
1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x
c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x3 – 9x2 + 24x – 20)
x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3(x – 2)2 (x – 5)
1 –9 24 –20
2 2 –14 20
1 –7 10 0
2 2 –10
1 –5 0

b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x5 – 3x4 – 3x3 – 5x2 + 2x + 8)
x2 + x + 2 = 0 → x =
no tiene solución
x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x +2)
c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
x2 + 1 = 0 → x2 = –1 → no tiene solución
Así, x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 = (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.
a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).
b) Hacemos la división:
x4 + 4x3 + 8x2 +7x + 4 x2 + x + 1
–x4 – x3 – x2 x2 + 3x + 4
3x3 + 7x2 + 7x + 4
–3x3 – 3x2 – 3x
4x2 + 4x + 4
–4x2 – 4x – 4
0
Los polinomios x2 + x + 1 y x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuaciones
x2 + x + 1 = 0 y x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto:
x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 = (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4)
1 6 9 0 –1 –6 –9
–1 –1 –5 –4 4 –3 9
1 5 4 –4 3 –9 0
–3 –3 –6 6 –6 9
1 2 –2 2 –3 0
–3 –3 3 –3 3
1 –1 1 –1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
–1 ± √1 – 8
2
1 –3 –3 –5 2 8
1 1 –2 –5 –10 –8
1 –2 –5 –10 –8 0
–1 –1 3 2 8
1 –3 –2 –8 0
4 4 4 8
1 1 2 0

3. Intenta factorizar 6x4 + 7x3 + 6x2 – 1. Hazlo ahora sabiendo que – y son
raíces del polinomio.
El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Por tanto:
6x4 + 7x3 + 6x2 – 1 = (x + )(x – )6(x2 + x + 1) = (2x + 1) (3x – 1) (x2 + x + 1)
Página 73
1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguien-
tes, y súmalas: ; ; –
m · c · m = x(x + 1)
Reducimos a común denominador:
= =
=
– = – = – = –
Las sumamos:
+ – = + + =
= =
2. Efectúa: + –
+ – = + – =
= + – =
= = = x2 – 3x + 1
x2 – 1
1 + 2x2 – 2x – x2 – x
x2 – 1
1 + 2x(x –1) – x(x + 1)
(x – 1) (x + 1)
x(x + 1)
(x – 1) (x + 1)
2x(x –1)
(x – 1) (x + 1)
1
(x – 1) (x + 1)
x
x – 1
2x
x + 1
1
(x – 1) (x + 1)
x
x – 1
2x
x + 1
1
x2 – 1
x
x – 1
2x
x + 1
1
x2 – 1
–x2 + 8x + 5
x2 + x
x2 + 8x + 7 + x –2 –2x2 –x
x2 + x
–2x2 – x
x(x + 1)
x – 2
x(x + 1)
x2 + 8x + 7
x(x + 1)
2x + 1
x + 1
x – 2
x2 + x
x + 7
x
2x2 – x
x(x + 1)
2x2 + x
x(x + 1)
(2x + 1)x
x(x + 1)
2x + 1
x + 1
x – 2
x(x + 1)
x – 2
x2 + x
x2 + 8x + 7
x(x + 1)
(x + 7) (x + 1)
x(x + 1)
x + 7
x





x = x
x2 + x = x(x + 1)
x + 1 = x + 1
2x + 1
x + 1
x – 2
x2 + x
x + 7
x
1
3
1
2
6 7 6 0 –1 6x2 + 6x + 6 = 0
–1/2 –3 –2 –2 1 6(x2 + x + 1) = 0
6 4 4 –2 0
–1 ±√1 – 4
____
1/3 2 2 2 x = __________ no tiene solución
6 6 6 0
2
1
3
1
2

3. Efectúa estas operaciones:
a) · b) :
a) · = =
= =
b) : = · = =
= =
4. Calcula:
a) : ( · ) b) ·
a) : ( · )= : = · =
= = =
=
b) · = = = =
= = = x2 – 1
Página 75
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x4 – 8x2 – 9 = 0
a) x2 = = 2 y –2
b) x2 = = 3 y –3
9 → x = ±3
–1 → (no vale)
8 ± 10
2
8 ± √64 + 36
2
4 → x = ±2
–3 → (no vale)
1 ± 7
2
1 ± √1 + 48
2
(x2 + 1) (x2 – 1)
x2 + 1
x4 – 1
x2 + 1
x4(x4 – 1)
x4(x2 + 1)
x8 – x4
x6 + x4
(x4 – x2) (x4 + x2)
(x2 + 1)x4
x4 + x2
x4
x4 – x2
x2 + 1
6x2 + 15x + 6
x3 – x2
3(2x2 + 4x + x + 2)
x3 – x2
3(2x + 1) (x + 2)
x2(x – 1)
3(2x + 1)
(x – 1)x
x + 2
x
(x – 1)x
3(2x + 1)
x + 2
x
x
2x + 1
x – 1
3
x + 2
x
x4 + x2
x4
x4 – x2
x2 + 1
x
2x + 1
x – 1
3
x + 2
x
x3 + 3x2 – 7x + 15
2x2 – x – 6
x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 15
2x2 + 3x – 4x – 6
(x2 – 2x + 3) (x + 5)
(x – 2) (2x + 3)
x + 5
2x + 3
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x3 – x2 + 9
x2 + 3x – 10
2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9
x2 + 5x – 2x – 10
(x2 – 2x + 3) (2x +3)
(x – 2) (x + 5)
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2

2. Resuelve:
a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 – x2 – 2 = 0
a) x2 = =
No tiene solución.
b) x4 – x2 – 2 = 0 y2 – y – 2 = 0
y = = =
Hay dos soluciones: x1 = – ; x2 =
Página 76
1. Resuelve:
a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x
d) 2 – = x e) – 1 =
a) 1 – x =
1 + x2 – 2x = 2x – 3; x2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale)
No tiene solución.
b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8
x – 26 = 8
x2 + 676 – 52x = 64(x + 7)
x2 + 676 – 52x = 64x + 448
x2 – 116x + 228 = 0; x =
x = 114
c) = x – 2; x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4
x = =
x = 4
d) 2 – x = ; 4 + x2 – 4x = x; x2 – 5x + 4 = 0
x =
x = 1
4 → (no vale)
1
√x
4
1 → (no vale)
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2
√x
114
2 → (no vale)
116 ± 112
2
√x + 7
√x + 7
√2x – 3
√8 + 2x√3x + 3√x
√x√x + 7√2x – 3√2x – 3
√2√2
y = –1 → x2 = –1 → No vale
y = 2 → x2 = 2 → x = ± √2
––1 ± 3
2
1 ± √9
2
1 ± √1 + 8
2
x2 = y
→
–1 → (no vale)
–9 → (no vale)
–10 ± 8
2
–10 ± √100 – 36
2

e) – 1 =
3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2
5x – 6 = 2
25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x)
25x2 – 52x + 4 = 0
x =
Así, x = 2.
2. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h
en línea recta hasta P , y hemos caminado a 5
km/h de P a C. Hemos tardado, en total, 99 mi-
nutos (99/60 horas).
¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?
—
AP2 = x2 + 9 = t
—
PC = 6 – x = ( – t)
t =
t = – +
+ =
15 + 12(6 – x) = 99
15 + 72 – 12x = 99
15 = 12x + 27
225(x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x
225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x
81x2 – 648x + 1 296 = 0
x2 – 8x + 16 = 0
x = = 4
Así, la distancia de B a P es de 4 km.
8
2
√x2 + 9
√x2 + 9
√x2 + 9
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
x = 2
x = 0,08 → no vale
52 ± 48
50
√8 – 2x
√8 – 2x
√8 – 2x√3x + 3
3 km
6 km
x
A
P
B
ARENA
MAR
C



















= – +
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + = b) + = 4 c) + =
a) 10(x + 3) + 10x = 3x (x + 3)
10x + 30 + 10x = 3x2 + 9x
0 = 3x2 – 11x – 30
x = =
x1 = 5,489; x2 = –1,822
b) 12(x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2)
12x – 24 + 2x2 + 2x = 12x2 – 24x
0 = 10x2 – 38x + 24
0 = 5x2 – 19x + 12; x = =
x1 = 3; x2 =
c) 4x + 4 = 3x2; 0 = 3x2 – 4x – 4
x = =
x1 = 2; x2 =
2. Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) – =
a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3(x2 – 1)
x2 + x + 2x2 – 2x = 3x2 – 3
x = 3
b) 10(x + 3) + 2x (x + 2) = 3(x2 + 5x + 6)
10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18
0 = x2 + x – 12
x = = =
x1 = 3; x2 = –4
3
–4
–1 ± 7
2
–1 ± √1 + 48
2
26
35
x2 + 1
x2 – 1
x + 3
x – 1
3
2
x
x + 3
5
x + 2
2x
x + 1
x
x – 1
–2
3
2
–2/3
4 ± 8
6
4
5
3
4/5
19 ± 11
10
5,489
–1,822
11 ± 21,93
6
3
4
1
x2
1
x
2(x + 1)
3(x – 2)
4
x
3
10
1
x + 3
1
x

c) 35(x + 3) (x + 1) – 35(x2 + 1) = 26 (x2 – 1)
35(x2 + 4x + 3) – 35(x2 + 1) = 26(x2 – 1)
35x2 + 140x + 105 – 35x2 – 35 = 26x2 – 26
26x2 – 140x – 96 = 0
x = = =
x1 = 6; x2 =
Página 79
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x2
=
c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801
a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =
b) 34 – x2
= 3–2; 4 – x2 = –2; x2 = 6; x = ±
x1 = ; x2 = –
c) = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186
log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186
x = 4 + = 11,54
d) 7x + 2 = 78; x = 6
2. Resuelve:
a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x –1 =
c) 2log x – log(x + 6) = 3log 2 d) 4log2 (x2 + 1) = log2 625
a) 3x + 3x · 9 = 30
3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1
b) 5 · 5x + 5x + =
5x · = ; x = 0
31
5
31
5
31
5
5x
5
31
5
log 186
log 2
22x – 2
2x + 2
√6√6
√6
–1
3
4x – 1
2x + 2
1
9
–8
13
6
–8/13
70 ± 86
26
70 ± √702 – 4 · 13 · (–48)
26

c) log = log 8
x2 = 8x + 48; x2 – 8x – 48 = 0; x = =
x = 12
d) log2 (x2 + 1)4 = log2 54; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x = ±2
x1 = 2; x2 = –2
Página 81
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x2 – 9 = 2x – 1; x2 – 2x – 8 = 0
x = = =
x1 = 4; y1 = 7
x2 = –2; y2 = –5
b)
y = 5 – x
x (5 – x) = 6; 5x – x2 = 6; x2 – 5x + 6 = 0
x1 = 2; y1 = 3
x2 = 3; y2 = 2
c) x = 2y + 1
– = 2; = 2 +
3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 ; 2y – 4 = 4 ; y – 2 = 2
y2 + 4 – 4y = 4y + 4; y2 – 8y = 0
y = 8 → x = 17
y = 0 (no vale)
x = 17; y = 8
√y + 1√y + 1√y + 1
√y + 1√3y + 1√y + 1√3y + 1
x = 2
x = 3



y + x = xy – 1
xy = 6
4
–2
2 ± 6
2
2 ± √4 + 32
2



y = 2x – 1
y = x2 – 9
x = 2y + 1
√
—
x + y – √
—
x – y = 2



1 1 1
— + — = 1 – —
x y xy
xy = 6





2x – y – 1 = 0
x2 – 7 = y + 2



12
–4 (no vale)
8 ± 16
2
x2
x + 6

2. Resuelve:
a) b) c)
a) y = 1 – x; x2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21
x2 + x – x2 + 1 + x2 – 2x = 21; x2 – x – 20 = 0
x = = =
x1 = –4; y1 = 5
x2 = 5; y2 = –4
b) x = 27 + y
log = 1
10y = 27 + y; 9y = 27; y = 3
= 10; x = 10y; x = 30
x = 30; y = 3
c) log = 1
5x + 1 = 52y + 2
x = 2y + 1
4y2 + 1 + 4y + y = 20y + 10 – 20y
4y2 + 5y – 9 = 0
y = = =
x1 = 3; y1 = 1
x2 = ; y2 =
Página 82
1. Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
3x + 4y = 0
2y = –6
5x + y – z = 17





x = 7
2x – 3y = 8
3x + y – z = 12





–9
4
–7
2
–9/4 → x = –7/2
1 → x = 3
–5 ± 13
8
–5 ± √25 + 144
8



x2 + y = 10x – 20y
x + 1 = 2y + 2
x2 + y
x – 2y
x
y
x
y
5 → y = –4
–4 → y = 5
1 ± 9
2
1 ± √1 + 80
2
log (x2 + y) – log (x – 2y) = 1
5x + 1 = 25 y + 1



x – y = 27
log x – 1 = log y



x2 + x y + y2 = 21
x + y = 1














c) d)
2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) b)
c) d)
x = –1
y = –2
z = –2







y =
–10
= –2
5
x =
–5 –y
= –1
3
z = x + 2y + 3 = –2





x + 2y – z = –3
3x + y = –5
5y = –10
b)
x = 1
y = –5
z = 4





y = –5
z = 4
x = 1





y = –5
2z = 8
3x = 3
a)
4x + y – z = 7
2y = 8
3x = 9





x – 5y + 3z = 8
3y – z = 5
4z = 4





x + 2y – z = –3
3x + y = –5
5y = –10





y = –5
2z = 8
3x = 3





x = 8
y = 4
z = –3





y = 4
z = y – 7 = 4 – 7 = –3
x = 11 + z = 11 – 3 = 8





y = 4
x – z = 11
y – z = 7
d)
x = –1
y = 4
z = 4





x = –1
y = 4
z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4





3x = –3
5y = 20
2x + y – z = –2
c)
x = 4
y = –3
z = 0







–6
y = — – 3
2
–4y
x = — = 4
3
z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0





3x + 4y = 0
2y = –6
5x + y – z = 17
b)
x = 7
y = 2
z = 11







x = 7
y =
2x – 8
= 2
3
z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11





x = 7
2x – 3y = 8
3x + y – z = 12
a)
y = 4
x – z = 11
y – z = 7





3x = –3
5y = 20
2x + y – z = –2






3. Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
4. Resuelve:
a) b)
2 · 1-ª + 3-ª
2-ª
3-ª : 2





13x – 5z = 13
2x + y – 2z = 1
–2x + 10z = –2
1-ª + 4 · 2-ª
2-ª
3-ª – 3 · 2-ª





5x – 4y + 3z = 9
2x + y – 2z = 1
4x + 3y + 4z = 1
a)
2x – 5y + 4z = –1
4x – 5y + 4z = 3
5x – 3z = 13





5x – 4y + 3z = 9
2x + y – 2z = 1
4x + 3y + 4z = 1





x = 4
y = 2
z = –3







x =
20
= 4
5
y =
14 – 2x
= 2
3
z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
5x = 20
1-ª
2-ª
3-ª + 1-ª





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
3x – 3y = 6
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9
b)
x = 1
y = –2
z = 3





x = 1
z = 4 – x = 3
y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2





x + y + z = 2
x + z = 4
x = 1





x + y + z = 2
2x + 2z = 8
2x = 2
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1-ª





x + y + z = 2
x – y + z = 6
x – y – z = 0
a)
2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9





x + y + z = 2
x – y + z = 6
x – y – z = 0





x = 3
y = 4
z = 9







x =
9
= 3
3
y =
8
= 4
2
z = 4x + y – 7 = 9





4x + y – z = 7
2y = 8
3x = 9
d)
x = 15
y = 2
z = 1







z = 1
y =
5 + z
= 2
3
x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15





x – 5y + 3z = 8
3y – z = 5
4z = 4
c)

1. Resuelve estas inecuaciones:
a) 3x + 2 ≤ 10 b) x – 5 > 1
a) 3x + 2 ≤ 10 → 3x ≤ 8 → x ≤
Soluciones: x / x ≤ = (–∞,
]
b) x – 5 > 1 → x > 6
Soluciones: {x / x > 6} = (6, +∞)
2. Resuelve:
a) b)
a)
No tiene solución
b)
No tiene solución
Página 85
3. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 ≥ 0
c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 ≤ 0



2x ≥ 11 → x ≥ 11/2
3x ≤ 14 → x ≤ 14/3



3x ≤ 8 → x ≤ 8/3
x > 6
2x – 5 ≥ 6
3x + 1 ≤ 15



3x + 2 ≤ 10
x – 5 > 1



8
3



8
3



8
3
x = 2
y =
1
5
z = –1







x = 2
5x – 13
z = ––––––––– = –1
3
2x + 4z + 1 1
y = ––––––––––– = —
5 5





2x – 5y + 4z = –1
2x = 4
5x – 3z = 13
1-ª
2-ª – 1-ª
3-ª





2x – 5y + 4z = –1
4x – 5y + 4z = 3
5x – 3z = 13
b)
x = 1
y = –1
z = 0







x = 1
z =
–1 + x
= 0
5
y = 1 – 2x + 2z = –1





24x = 24
2x + y – 2z = 1
–x + 5z = –1

a) x2 – 3x – 4 < 0 → intervalo (–1, 4)
b) x2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
c) x2 + 7 < 0 → No tiene solución
d) x2 – 4 ≤ 0
La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje x en el intervalo (–2, 2); y cor-
ta al eje x en x = –2 y en x = 2.
Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].
4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
a) 2x – 7 > 5 → 2x > 12 → x > 6 → (6, +∞)
x2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
Solución: (6, +∞)
• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Ver
apartado d) del ejercicio anterior).



x2 – 4 ≤ 0
x – 4 > 1
b)
x2 – 4 ≤ 0
x – 4 > 1



x2 – 3x – 4 ≥ 0
2x – 7 > 5



y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4
–2
–2
Y
X
y = x2 + 7
4
8
2 4
12
–2
Y
X
y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4
–2
–2
Y
X

• Las soluciones de la segunda inecuación son:
x – 4 > 1 → x > 5 → (5, +∞)
• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por
tanto, el sistema no tiene solución.
Página 90
PARA PRACTICAR
Ecuaciones
1 Resuelve:
a) 7 – + = –
b) (3x – )· (3x + )– 4 = (3x – 5)2 +
c) + = – 1
a) 189 – 9x – 36 + 9x = 5x + 8 – 15x – 165
10x = –310 ⇒ x = –31
b) 9x2 – – 4 = 9x2 + 25 – 30x +
30x = 30 ⇒ x = 1
c) – x + x – = 2 + x –
x = – ; x = – ⇒ x = –
2 Entre estas seis ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solu-
ción, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única.
Identifica cada caso y resuelve las que sea posible:
a) = x – b) x + – 1 = x
c) – = –
d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2
e) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x(x – 1)
f ) – = –
(x – 2)2
2
x – 2
2
(x + 1) (x – 2)
2
2x + 1
7
2 + x
4
(x – 1)2
16
1 + x
2
(x + 1)2
16
2
3
3 – x
3
2x + 3
4
x + 1
2
√15
3
√5
√3
√5√3
√15√5√15√5√5√3√15
5
9
4
9
2√
–
3 + x
√
–
3
x – 1
√3
√
–
5 – x
√
–
5
5
9
2
3
2
3
5(x + 11)
9
5x + 8
27
x
3
x + 4
3

a) 2x + 2 = 4x – 2x – 3; 5 = 0
No tiene solución.
b) 3x + 3 – x – 3 = 2x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
c) – = –
2x – 8 – 8x = –2x – 8 – 4x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x2 + 1 – 2x) = 1,25x – (0,25x2 + 4 + 2x)
0,2x + 0,6 – 0,25x2 – 0,25 + 0,5x = 1,25x – 0,25x2 – 4 – 2x
1,45x = –4,35
x = –3
e) 25x2 + 9 – 30x – 20x2 + 25x = 5x2 – 5x; 9 = 0
No tiene solución.
f) 4x + 2 – 7(x2 – x – 2) = 7x – 14 – 7(x2 + 4 – 4x)
4x + 2 – 7x2 + 7x + 14 = 7x – 14 – 7x2 – 28 + 28x
58 = 24x
x =
3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + (x – 2)2 = b) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x
c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9 d) ( – 2)2
– = –
e) x2 – 2x + 2 – 3 = 0 f ) x2 – x – 2 – = 0
g) + = + 1 h) 0,3
)
x2 – x – 1,3
)
= 0
☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones
enteras.
a) 2x2 – 2 + 6(x2 + 4 – 4x) = 3x2 + 6
2x2 – 2 + 6x2 + 24 – 24x = 3x2 + 6
5x2 – 24x + 16 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
4
5
4
4/5
24 ± 16
10
(3x – 2)2
8
x(x + 2)
4
x(x – 3)
2
√2√3
x – 1
4
1
8
x + 1
8
x
2
3
2
x2 + 2
2
x2 – 1
3
29
12
8 + 4x
16
x2 + 1 – 2x
16
8 + 8x
16
x2 + 1 + 2x
16

b) 0,5(x2 + 1 – 2x) – 0,25(x2 + 1 + 2x) = 4 – x
0,5x2 + 0,5 – x – 0,25x2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x
0,25x2 – 0,5x – 3,75 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
x = =
x1 = –3; x2 = 5
c) 0,25x2 – 1 = x2 + 1 + 2x – 9
0 = 0,75x2 + 2x – 7
x = =
x1 = 2; x2 = –
d) ( + 4 – 2x)– = –
3x2 + 48 – 24x – x – 1 = 1 – 2x + 2; 3x2 – 23x + 44 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
e) x = = = = 1 ± =
=
x1 = 1 + *= ; x2 = 1 – *= 2 –
* Esta igualdad se podría probar viendo que: ( – 1)2
= 4 – 2
f ) x = = = =
=
1 ± √9 + 4 √
—
2
2
1 ± √1 + 8 + 4√
—
2
2
1 ± √1 – 4 (–2 – √
—
2 )
2
√3√3
√3√4 – 2√

3√3√4 – 2√

3
√4 – 2√

3
2 ± 2√4 – 2√
—
3
2
2 ± √16 – 8√
—
3
2
2 ± √4 – 8 √
—
3 + 12
2
11
3
4
11/3
23 ± 1
6
2x – 2
8
1
8
x + 1
8
x2
4
3
2
14
3
2
–70/15 = –14/3
–2 ± 5
1,5
5
–3
2 ± 8
2
1 + *=
1 – *= 2 – √3√4 – 2√

3
√3√4 – 2√

3
*= 1 +
*= – √2
1 – √9 + 4 √
—
2
2
√2
1 + √9 + 4 √
—
2
2

x1 = *= 1 + ; x2 = *= –
* Esta igualdad se podría probar viendo que: (1 + 2 )2
= 9 + 4
g) 4x (x – 3) + 2x (x + 2) = 9x2 + 4 – 12x + 8
4x2 – 12x + 2x2 + 4x = 9x2 + 4 – 12x + 8
0 = 3x2 – 4x + 12 → No tiene solución.
h) – – = 0 → x2 – 3x – 4 = 0
x = = =
x1 = 4, x2 = –1
4 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-
mula general:
☛ Recuerda que: ax2 + c = 0 se resuelve despejando x. ax2 + bx = 0 se resuelve
sacando factor común e igualando a cero cada factor.
a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20
b) – =
c) – = –
d) + [x2 – 2 – x]=
e) (x – a)2 + x(x + b) = 8b2 – x(2a – b) + a2
f ) + = +
a) x2 + 1 + 2x – x2 – 4 + 4x = x2 + 9 + 6x + x2 – 20
0 = 2x2 – 8; x2 = 4
x1 = –2; x2 = 2
b) 6x2 – 12x + 30 – 3x2 – 9x = 2x2 – 8x + 30
x2 – 13x = 0
x1 = 0; x2 = 13
c) 6x + 2 – 15x2 – 9 = 3x2 – 3 – 2x – 4
0 = 18x2 – 8x; 2x (9x – 4) = 0
x1 = 0; x2 =
4
9
x + 1
6
x – 3
2
x – 4
3
x(x – 2)
4
x2 – 5
4
1
2
1
2
3x2 – 1
4
x + 2
3
x2 – 1
2
5x2 + 3
2
3x + 1
3
x2 – 4x + 15
6
x2 + 3x
4
x2 – 2x + 5
2
4
–1
3 ± 5
2
3 ± √9 + 16
2
4
3
3x
3
x2
3
√2√2
√2
1 – √9 + 4 √
—
2
2
√2
1 + √9 + 4 √
—
2
2

d) 3x2 – 1 + 2x2 – 4 – x = x2 – 5
4x2 – x = 0
x1 = 0; x2 =
e) x2 + a2 – 2ax + x2 + bx = 8b2 – 2ax + bx + a2
2x2 = 8b2; x2 = 4b2; x = ±2b
x1 = 2b; x2 = –2b
f) 3x2 – 6x + 4x – 16 = 6x – 18 + 2x + 2
3x2 – 10x = 0; x (3x – 10) = 0
x1 = 0; x2 =
5 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas:
a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b) x4 + 3x2 – 4 = 0
c) x4 + 3x2 + 2 = 0 d) x4 – 9x2 + 8 = 0
a) x2 = = =
x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1
b) x2 = = =
x1 = 1; x2 = –1
c) x2 = = = → No tiene solución
d) x2 = = =
x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 ; x4 = –2
a) = 3 + 2x b) x + = 1
c) + x = 0 d) + = 0
e) + = 4 f ) =
5x – 7
6√7x + 1
4
√5x – 6√2x
√x – 5√2x + 3√3√2 – 5x
√7 – 3x√5x + 6
√2√2
8
1
9 ± 7
2
9 ± √81 – 32
2
–1
–2
–3 ± 1
2
–3 ± √9 – 8
2
1
–4 (no vale)
–3 ± 5
2
–3 ± √9 + 16
2
4
1
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2
10
3
1
4

a) 5x + 6 = 9 + 4x2 + 12x; 0 = 4x2 + 7x + 3
x = = =
x1 = –1; x2 = –
b) 7 – 3x = 1 + x2 – 2x; 0 = x2 + x – 6
x = = =
x = –3
c) 2 – 5x = 3x2; 0 = 3x2 + 5x – 2
x = = =
x = –2
d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale)
No tiene solución.
e) 5x – 6 = 16 + 2x – 8
3x – 22 = –8
9x2 + 484 – 132x = 64 · 2x; 9x2 – 260x + 484 = 0
x = =
x = 2
f) =
63x + 9 = 25x2 + 49 – 70x; 0 = 25x2 – 133x + 40
x = =
x = 5
Factorización
7 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:
a) x3 – 2x2 – x + 2 b) x4 – 5x2 + 4
c) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 d) x5 – 7x4 + 10x3 – x2 + 7x – 10
e) 6x4 – 5x3 – 23x2 + 20x – 4 f ) x5 – 16x
g) 4x2 – 25 h) 4x2 + 4x + 1
5
8/25 (no vale)
133 ± 117
50
25x2 + 49 – 70x
36
7x + 1
4
484/18 = 242/9 (no vale)
2
260 ± 224
18
√2x
√2x
1/3 (no vale)
–2
–5 ± 7
6
–5 ± √25 + 24
6
2 (no vale)
–3
–1 ± 5
2
–1 ± √1 + 24
2
3
4
–1
–3/4
–7 ± 1
8
–7 ± √49 – 48
8

a) (x + 1) (x – 1) (x – 2) → Raíces: –1, 1, 2
b) (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) → Raíces: 1, –1, 2, –2
c) (x – 1) (x + 2) (4x – 10) → Raíces: 1, –2,
d) (x – 1) (x – 2) (x – 5) (x2 + x + 1) → Raíces: 1, 2, 5
e) (x + 2) (x – 2) (2x – 1) (3x – 1) → Raíces: –2, 2, ,
f) x (x – 2) (x + 2) (x2 + 4) → Raíces: 0, 2, –2
g) (2x + 5) (2x –5) → Raíces: , –
h) (2x + 1)2 → Raíz: –
Página 91
8 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el M.C.D. [A(x), B(x)] y el m.c.m.
[A(x), B(x)]:
a) A(x) = x2 + x – 12; B(x) = x3 – 9x
b) A(x) = x3 + x2 – x – 1; B(x) = x3 – x
c) A(x) = x6 – x2; B(x) = x3 – x2 + x – 1
a) A (x) = (x – 3) (x + 4); B(x) = x (x – 3) (x + 3)
M.C.D. = (x – 3)
m.c.m. = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)
b) A (x) = (x – 1) (x + 1)2; B(x) = x (x – 1) (x + 1)
M.C.D. = (x – 1) (x + 1)
m.c.m. = x (x – 1) (x + 1)2
c) A(x) = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1); B(x) = (x – 1) (x2 + 1)
M.C.D. = (x – 1) (x2 + 1)
m.c.m. = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
9 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente:
a) x3 – 7x – 6 = 0 b) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 = 0
c) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 d) 3x3 – 10x2 + 9x – 2 = 0
e) x5 – 16x = 0 f ) x3 – 3x2 + 2x = 0
g) x3 – x2 + 4x – 4 = 0
1
2
5
2
5
2
1
3
1
2
10
4

a) x1 = –1; x2 = –2; x3 = 3
b) x1 = 1; x2 = –2; x3 =
c) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 3
d) x1 = 1; x2 = 2; x3 =
e) x (x4 – 16) = 0; x (x2 – 4) (x2 + 4) = 0
x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2
f) x (x2 – 3x + 2) = 0; x (x – 1) (x – 2) = 0
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2
g) x = 1
1
3
5
2
1 0 –7 –6
–1 –1 1 6
1 –1 –6 0
–2 –2 6
1 –3 0
3 3
1 0
2 –3 –9 10
1 2 –1 –10
2 –1 –10 0
–2 –4 10
2 –5 0
1 –5 5 5 –6
1 1 –4 1 6
1 –4 1 6 0
–1 –1 5 –6
1 –5 6 0
2 2 –6
1 –3 0
3 3
1 0
3 –10 9 –2
1 3 –7 2
3 –7 2 0
2 6 –2
3 –1 0
1 –1 4 –4
1 1 0 4
1 0 4 0

Fracciones algebraicas
10 Simplifica las fracciones:
a) b)
a) =
b) =
11 Opera y simplifica el resultado:
a) : b) ·
c) – – d) ( – ): (1 + )
e) (1 – · ):
a) =
b) =
c) = = 0
d) : = · =
= =
e) · (x + 2) =
12 Demuestra las siguientes identidades:
a) ( + )( – 1)= b) : = 1
a2 + 2a + 1
a2 – a – 2
a2 – 1
a2 – 3a + 2
1
x
1
x
2x
1 – x2
1
1 + x
1
x + 2
x2 + 4 + 4x – x2 – 4x – 3
(x + 2)2
3x + 2
2x (x + 1)
3x + 2
x (2x + 2)
x + 2
2x + 2
3x + 2
x (x + 2)
x + 2 + x
x + 2
(x + 1) (x + 2) – x2
x (x + 2)
x2 – x – x2 + 2x – x
(x – 2) (x – 1)
x (x – 1) – x (x – 2) – x
(x – 2) (x – 1)
x + 3
(x – 2) (x + 1)
(x + 3) (x – 1) (x – 2)2
(x – 2)3 (x + 1) (x – 1)
1
4
3(a + 1) (a + 1) (a – 1)
12(a – 1) (a + 1)2
1
x + 2
x + 3
x + 2
x + 1
x + 2
x
x + 2
x
x + 2
x + 1
x
x
x2 – 3x + 2
x
x – 1
x
x – 2
(x – 2)2
x2 – 1
x2 + 2x – 3
(x – 2)3
(a + 1)2
a2 – 1
3a + 3
12a – 12
3x2 + 4x + 1
x2 + 2x
(x – 2) (x + 1) (3x + 1)
x (x – 2) (x + 2)
–(3 + x)
x
(3 – x) (3 + x)
x (x – 3)
3x3 – 2x2 – 7x – 2
x3 – 4x
9 – x2
x2 – 3x
3 –2 –7 –2
2 6 8 2
3 4 1 0
–1 –3 –1
3 1 0

c) ( – ): ( – )= 2x – 5
a) ( )· ( )= ( )· ( )= ( )· =
b) : = = 1
c) ( ): ( )=
= : =
= : = = 2x – 5
13 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:
a) + 3x = b) + = 1
c) = – d) – = +
☛ Ten en cuenta que 2 – x = – (x – 2).
e) + = 1 + f ) + = x
a) 2x + 4 + 6x2 = 5x2 + 6x
x2 – 4x + 4 = 0; x = 2
b) 8 (x – 6) + (12 – x) (x + 6) = x2 – 36
8x – 48 + 12x + 72 – x2 – 6x = x2 – 36
0 = 2x2 – 14x – 60
0 = x2 – 7x – 30
x = =
x1 = 10; x2 = –3
c) (x – 2)2 = x2 + (x – 1)2
x2 + 4 – 4x = x2 + x2 + 1 – 2x
0 = x2 + 2x – 3
x = =
x = –3
1 (no vale)
–3
–2 ± 4
2
–2 ± √4 + 12
2
10
–3
7 ± 13
2
√2
√2
x
x
√2
2x + 3
x2
x + 1
x
3x + 1
x3
x + 6
6 – x
x
6
1
2
x
x – 6
x – 1
2 – x
x2
(x – 1) (x – 2)
x – 2
x – 1
12 – x
x – 6
8
x + 6
5x + 6
2
x + 2
x
(2x – 5) (x – 3) (x – 2)
(x – 3) (x – 2)
1
(x – 3) (x – 2)
(2x – 5)
(x – 3) (x – 2)
x – 2 – x + 3
(x – 3) (x – 2)
(x – 2 + x – 3) (x – 2 – x + 3)
(x – 3) (x – 2)
(x – 2) – (x – 3)
(x – 3) (x – 2)
(x – 2)2 – (x – 3)2
(x – 3) (x – 2)
(a + 1) (a – 2)
(a – 2) (a + 1)
(a + 1)2
(a – 2) (a + 1)
(a + 1) (a – 1)
(a – 2) (a – 1)
1
x
1 – x
x
1
1 – x
1 – x
x
1 + x
(1 – x) (1 + x)
1 – x
x
1 – x + 2x
1 – x2
1
x – 2
1
x – 3
x – 3
x – 2
x – 2
x – 3

d) 6x – 3(x – 6) = x (x – 6) – 6 (x + 6)
6x – 3x + 18 = x2 – 6x – 6x – 36
0 = x2 – 15x – 54
x = =
x1 = –3; x2 = 18
e) 3x + 1 + x2 (x + 1) = x3 + 2x2 + 3x
3x + 1 + x3 + x2 = x3 + 2x2 + 3x
0 = x2 – 1
x1 = 1; x2 = –1
f) x2 + 2 = 2x2; 2 = x2
x1 = ; x2 = –
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
14 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 3x =
☛ Expresa como potencia de base 3.
b) 2x · 2x + 1 = 8
☛ Multiplica el primer miembro.
c) 5 · 7–x = 35
☛ Divide los dos miembros por 5.
d) (0,5)x = 16
☛ 0,5 es una potencia de base 2.
e) =
f ) 21/x = 16
g) = 81
h) ( )x
=
i ) 2x · 5x = 0,1
☛ Recuerda que 2x · 5x = (2 · 5)x.
a) 3x = 32/3 ⇒ x = b) 22x + 1 = 23 ⇒ x = 1
2
3
8
125
2
5
33x – 2
3x + 3
1
49
√7x
3
√9
3
√9
√2√2
18
–3
15 ± 21
2

c) 7–x = 7 ⇒ x = –1 d) 2–x = 24 ⇒ x = –4
e) 7x/2 = 7–2 ⇒ x = –4 f) 21/x = 24 ⇒ x =
g) 33x – 2 – x – 3 = 34 ⇒ x = h) ( )
x
= ( )
3
⇒ x = 3
i) 10x = 10–1 ⇒ x = –1
Página 92
15 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:
a) = 27 b) ex – 9 = c) 2x · 3x = 81 d) = 1
a) = 27 → = ex → ln = ln ex
x = ln = ln 1 – ln 27 = 0 – ln 27 → x ȃ 3,296
b) ex–9 = → ln ex–9 = ln
x – 9 = ln 73 → x = 9 + → x ȃ 11,145
c) 6x = 81; x log 6 = log 81
x = ≈ 2,453
d) = 1; ( )x
= 3; x log = log 3
x = ≈ –2,710
16 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:
a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 = c) 81 + x + 23x – 1 =
d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0 e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0
a) 2x + = 3
z = 2x → z + = 3; z2 + 2 = 3z
z2 – 3z + 2 = 0; z = = =
x1 = 2; x2 = 1
2
1
3 ± 1
2
3 ± √9 – 8
2
2
z
2
2x
17
16
5
2
log 3
log 2 – log 3
2
3
2
3
2x
3x · 3
log 81
log 6
ln 73
2
1
2
√73√73
1
27
1
27
1
27
1
ex
2x
3x + 1
√73
1
e x
2
5
2
5
9
2
1
4

b) 2 · 2x + = ; 4 · 2x + 2x = 5; 2x = 1
x = 0
c) 23 + 3x + 23x – 1 =
8 · (2x)3 + =
(128 + 8) (2x)3 = 17; (2x )3 = =
x = –1
d) (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
2x = = =
x1 = 0; x2 = 2
e) (3x)2 – 3x – 6 = 0; 3x = = =
x = 1
f) 7 · (7x)2 – 50 · 7x + 7 = 0; 7x = =
x1 = –1; x2 = 1
17 Resuelve las ecuaciones:
a) log (x2 + 1) – log (x2 – 1) = log
b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)
c) 2ln (x – 3) = ln x – ln 4
d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1
a) log = log
12x2 + 12 = 13x2 – 13; 25 = x2
x1 = –5; x2 = 5
b) ln (x2 – 2x – 3) = ln (3x – 3)
x2 – 2x – 3 = 3x – 3; x2 – 5x = 0
x = 5 (x = 0 no vale)
13
12
x2 + 1
x2 – 1
13
12
7
1/7
50 ± 48
14
3
–2 (no vale)
1 ± 5
2
1 ± √1 + 24
2
4
1
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2
1
8
17
136
17
16
(2x)3
2
17
16
5
2
2x
2

c) ln (x – 3)2 = ln
x2 + 9 – 6x =
4x2 + 36 – 24x = x; 4x2 – 25x + 36 = 0
x = =
x = 4
d) log = 1
x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x
x = 7
a) log (x + 9) = 2 + log x b) log + log = 1
c) 2(log x)2 + 7log x – 9 = 0 d) log (x2 – 7x + 110) = 2
☛ Haz log x = y.
e) log (x2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
a) log = 2
x + 9 = 100x; 9 = 99x; x = =
x =
b) = 1; 3x2 + 5x – 100 = 0
x = =
x = 5
c) log x = = =
d) x2 – 7x + 110 = 100; x2 – 7x + 10 = 0
x = = =
x1 = 2; x2 = 5
e) log = 1
x2 + 3x + 36 = 10x + 30; x2 – 7x + 6 = 0
x2 + 3x + 36
x + 3
5
2
7 ± 3
2
7 ± √49 – 40
2
1; x1 = 10
–18/4 = –9/2; x2 = 10–9/2
–7 ± 11
4
–7 ± √49 + 72
4
5
–40/6 (no vale)
–5 ± 35
6
log (x (3x + 5))
2
1
11
1
11
9
99
x + 9
x
√x√3x + 5
x + 3
x – 6
4
9/4 (no vale)
25 ± 7
8
x
4
x
4

x = = =
x1 = 1; x2 = 6
f) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
ln(x · 2x · 4x) = 3
ln(8x3) = 3 → 8x3 = e3 → x3 =
x =
3
= = → x =
Sistemas de ecuaciones
19 Resuelve:
a) b)
c) d)
a) 6y + 6x = 5xy 4 – 4x + 6x =
y = 6x + 12 = 10x – 10x2
10x2 – 4x + 12 = 0
5x2 – 2x + 6 = 0
No tiene solución.
b) x =
= 15; y2 = 9
x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3
c) 2x2 – 10x + 12 = 0; x2 – 5x + 6 = 0
x = = =
x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0
–x2 + y2 + 5x – 5y – 2 = 0
2y2 – 10y + 8 = 0
3
2
5 ± 1
2
5 ± √25 – 24
2
y = 3 → x = 5
y = –3 → x = –5
5y2
3
5y
3
2 – 2x
3
5x (2 – 2x)
3
(x + y) (x – y) = 7
3x – 4y = 0



x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0
x2 – y2 – 5x + 5y + 2 = 0



e
2
e
2√ e3
8
e3
8
6
1
7 ± 5
2
7 ± √49 – 24
2
+ =
2x + 3y = 2
5
6
1
y
1
x
x · y = 15
=
5
3
x
y
















y2 – 5y + 4 = 0
y = = =
x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1
d) x =
· = 7
y2 = 9; y = ±3
x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3
20 Resuelve:
a)
y2 – 2y + 1 = x
b)
2 = y + 1
+ y = 5 2x – 3y = 1
c)
+ x = 12
d)
+ 2 = x + 1
2x – y = 6 2x – y = 5
a) x = (5 – y)2
y2 – 2y + 1 = 25 + y2 – 10y
8y = 24; y = 3; x = 4
x = 4; y = 3
b) 4x + 4 = y2 + 1 + 2y; x =
x = =
y2 + 2y – 3 = 2 + 6y
y2 – 4y – 5 = 0
y = = =
x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5
c) y = 2x – 6
= 12 – x
9x – 18 = 144 + x2 – 24x
0 = x2 – 33x + 162
x = =
x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)
27 → y = 48 (no vale)
6 → y = 6
33 ± 21
2
√3 (3x – 6)
5 → x = 8
–1 → x = –1
4 ± 6
2
4 ± √16 + 20
2
2 + 6y
4
1 + 3y
2
y2 + 2y – 3
4
√x + y√3 (x + y)
√x
√x + 1
y
3
7y
3
4y
3
4
1
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2













d) y = 2x – 5
= x – 1
3x – 5 = x2 + 1 – 2x
0 = x2 – 5x + 6
x = = =
x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1
21 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
3x2 – 5y2 = 7
b)
2 = 3 + y
2x2 = 11y2 – 3
+ = 3
a) 3x2 – 5y2 = 7 6x2 – 10y2 = 14
2x2 – 11y2 = –3 –6x2 + 33y2 = 9
23y2 = 23; y = ±1
33x2 – 55y2 = 77
–10x2 + 55y2 = 15
23x2 = 92
x2 = 4; x = –2
x1 = 2, y1 = 1; x2 = 2, y2 = –1; x3 = –2, y3 = 1; x4 = –2, y4 = –1
b) 4x = 9 + y2 + 6y
y2 + 6y + 4x – 36 = 27y
y2 + 6y + 9 + y2 + 6y – 36 = 27y
2y2 – 15y – 27 = 0
y = =
x1 = 36, y1 = 9; x2 = , y2 =
22 Resuelve:
a) b)
c) d)
e) f )
ln x – ln y = 2
ln x + ln y = 4



x – y = 25
log y = log x – 1



x2 – y2 = 11
log x – log y = 1



log (x2y) = 2
log x = 6 + log y2



log x + log y = 3
log x – log y = –1



–3
2
9
16
9 → x = 36
–3/2 → x = 9/16
15 ± 21
4
4 (x – 9)
9y
y + 6
9
√x
3 → y = 1
2 → y = –1
5 ± 1
2
5 ± √25 – 24
2
√3x – 5






log2 x + 3log2 y = 5
log2 = 3
x2
y











a) 2 log x = 2
x = 10; y = 100
b) log2 x + 3 log2 y = 5 log2 x + 3 log2 y = 5
2 log2 x – log2 y = 3 6 log2 x – 3 log2 y = 9
7 log2 x = 14
x = 4; y = 2
c) 2 log x + log y = 2 4 log x + 2 log y = 4
log x – 2 log y = 6 log x – 2 log y = 6
5 log x = 10 → log x = 2
x = 100
y =
d) log = 1; = 10; x = 10y
100y2 – y2 = 11; 99y2 = 11; y2 = → y = ±
x = ; y =
(y = – no vale)
e) x = 25 + y y = 0,1x
log = –1 0,9x = 25
x = ; y =
Restando a la 2ª- ecuación la 1ª-, queda:
2 ln y = 2 → ln y = 1 → y = e
Solución: x = e3; y = e
23 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-
nados:
a) b)
– y + z = –5
– 7z = 14
x + y + z = 2





13x – 2y = 9
7x = 3



Sumando las dos ecuaciones, queda:
2 ln x = 6 → ln x = 3 → x = e3



ln x – ln y = 2
ln x + ln y = 4
f)
25
9
250
9
y
x
1
3
1
3
10
3
1
3
1
9
x
y
x
y
1
100

















24 Transforma los siguientes sistemas en escalonados y resuélvelos:
a) b)
☛ b) Sustituye la 3-ª ecuación por (3-ª) + (2-ª).
y =
x = = Solución: x = , y =
25 Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
–17
x = ––––
6
20
y = ––––
3
1
z = ––––
2









–17
x = —
6
20
y = 1 – 2x = —
3
1
z = x – y + 10 = —
2





x – y – z = –10
2x + y = 1
7x = –16
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 2-ª





x – y – z = –10
2x + y = 1
3x – 2y = –18
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1ª





x – y – z = –10
x + 2y + z = 11
2x – y + z = –8
a)
x + y + z = 3
2x – y + z = 2
x – y + z = 1





x – y – z = –10
x + 2y + z = 11
2x – y + z = –8





x = 1
z = 3 – x = 2
y = 2x + z – 7 = –3





x + z = 3
2x – y + z = 7
2x = 2
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª





x + z = 3
2x – y + z = 7
y – z = –5
b)
28
23
35
23
35
23
5y
4
28
23



23y = 28
4x – 5y = 0
1-ª · 4 – 2ª- · 3
2-ª



3x + 2y = 7
4x – 5y = 0
a)
x + z = 3
2x – y + z = 7
y – z = –5





3x + 2y = 7
4x – 5y = 0



x = 1
y = 3
z = –2







14
x = ––– = –2
–7
y = z + 5 = –2 + 5 = 3
x = 2 – y – z = 2 – 3 + 2 = 1





– y + z = –5
– 7z = 14
x + y + z = 2
b)
3
x = —
7
–12
y = ––––
7







3
x = —
7
13x – 9 –12
y = –––––– = ––––
2 7



13x – 2y = 9
7x = 3
a)

26 Aplica el método de Gauss para resolver los sistemas siguientes:
a) b)
a) b)
1-ª
2-ª
3-ª – 2-ª





x + y – 2z = 9
3x + 2z = 13
3x + 4z = 8
1-ª
2-ª + 1ª
3-ª + 1ª





x + y – 2z = 9
2x – y + 4z = 4
2x – y + 6z = –1
a)
2x – 3y + z = 0
3x + 6y – 2z = 0
4x + y – z = 0





x + y – 2z = 9
2x – y + 4z = 4
2x – y + 6z = –1





x = 1
y = –2
z = 3







69
z = ––– = 3
23
y = 7 – 3z = 7 – 9 = –2
x = 2 – y – z = 2 + 2 – 3 = 1





x + y + z = 2
y + 3z = 7
23z = 69
1-ª
2-ª
3-ª + 6 · 2ª-





x + y + z = 2
y + 3z = 7
– 6y + 5z = 27
1-ª
2-ª – 2 · 1ª-
3-ª – 1ª-





x + y + z = 2
2x + 3y + 5z = 11
x – 5y + 6z = 29
b)
x = 9
y = 6
z = 3





x = 9
z = x – 6 = 3
y = 18 – x – z = 6





x + y + z =18
x – z = 6
2x =18
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª





x + y + z = 18
x – z = 6
x + z = 12
1-ª
2-ª
3-ª : 3





x + y + z =18
x – z = 6
3x + 3z =36
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 1ª





x + y + z =18
x – z = 6
x – 2y + z = 0
a)
x + y + z = 2
2x + 3y + 5z = 11
x – 5y + 6z = 29





x + y + z = 18
x – z = 6
x – 2y + z = 0





x = 1
y = 1
z = 1







x = 1
5 – 3x
z = ——— = 1
2
y = 3 – x – z = 1





x + y + z = 3
3x + 2z = 5
–x = –1
1-ª
2-ª
3-ª – 2-ª





x + y + z = 3
3x +2z = 5
2x +2z = 4
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1ª





x + y + z = 3
2x – y + z = 2
x – y + z = 1
b)

a) b)
Solución: x = 2, y = , z =
Inecuaciones
29 Resuelve estas inecuaciones:
a) 5(2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0
d) 9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 ≥ 0 f ) x2 – 2x – 15 ≤ 0
a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1
(–1, +∞)
b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x
(–∞, 1)
x – 1
2
3
2
1
2







x = 2
5x – 9 1
y = ———– = —
2 2
3
z = 2x – y – 2 = —
2





2x – y – z = 2
–x = –2
5x – 2y = 9
1-ª
2-ª – 2 · 1ª-
3-ª + 5 · 1ª-





2x – y – z = 2
3x – 2y – 2z = 2
–5x + 3y + 5z = –1
b)
x = 2
y = 1
z = 3





y = 1
x = 1 + y = 2
z = x + y = 3





x – y = 1
– y = –1
x + y – z = 0
1-ª
2-ª + 3 · 1-ª
3ª-





x – y = 1
–3x + y = –4
x + y – z = 0
1-ª
2-ª – 5 · 3ª-
3-ª





x – y = 1
2x + 6y – 5z = –4
x + y – z = 0
a)
2x – y – z = 2
3x – 2y – 2z = 2
–5x + 3y + 5z = –1





x – y = 1
2x + 6y – 5z = –4
x + y – z = 0





x = 0
y = 0
z = 0





2x – 3y + z = 0
7x = 0
6x – 2y = 0
1-ª
2-ª + 2 · 1ª
3-ª + 1ª





2x – 3y + z = 0
3x + 6y – 2z = 0
4x + y – z = 0
b)
x = 6
y = –2
–5
z = ––––
2







–5
z = ——
2
13 – 2z
x = ———— = 6
3
y = 9 – x + 2z = 9 – 6 – 5 = –2





x + y – 2z = 9
3x + 2z = 13
2z = –5

c) x (x + 5) < 0
(–5, 0)
d) (–∞, – )U ( , +∞)
e) = =
(–∞, –4] U [–2, +∞)
f) = =
[–3, 5]
30 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
c) d)
☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemas
no tiene solución.
a)
(–4, 1)
b)
(4, +∞)
c)
(17, +∞)
d)
No tiene solución
31 Resuelve:
a) x2 – 7x + 6 ≤ 0 b) x2 – 7x + 6 > 0
c) (x + 1) x2 (x – 3) > 0 d) x(x2 + 3) < 0
a) = =
[1, 6]
b) (–∞, 1) U (6, +∞)
6
1
7 ± 5
2
7 ± √49 – 24
2







3
x > —
2
1
x < – —
5





x > 17
19
x > —
5





5
x > –—
3
x > 4



x < 1
x > –4
2x – 3 > 0
5x + 1 < 0



5 – x < –12
16 – 2x < 3x – 3



3x – 2 > –7
5 – x < 1



4x – 3 < 1
x + 6 > 2



5
–3
2 ± 8
2
2 ± √4 + 60
2
–2
–4
–6 ± 2
2
–6 ± √36 – 32
2
2
3
2
3

c)
(3, +∞)
(–∞, –1) U (3, +∞)
(–∞, –1)
d) (–∞, 0)
32 Resuelve estas inecuaciones:
a) > 0 b) ≥ 0
c) < 0 d) < 0
a) x – 3 > 0 → (3, +∞)
b) 3x + 5 ≥ 0; x ≥ – → [– , +∞)
c) x + 4 < 0; x < –4 → (–∞, –4)
d)
→ Ø
→ (–2, 3)
PARA RESOLVER
33 Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al 8%
y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente
200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?
x al 8% 0,08x
(28000 – x) al 6% 0,06 (28000 – x)
0,08x = 0,06(28 000 – x) + 200; 0,08x = 1 680 – 0,06x + 200 → x = 13428,57 €
Colocó 13428,57 € al 8% y 14571,43 € al 6%.
34 Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos.
Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo.
¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?
Entre los dos → 1500 l en 1,2 horas
+ = (en 1 hora)
=
t (t + 1)
1,2t (t + 1)
1,2(t + t + 1)
1,2t (t + 1)
1
1,2
1
t
1
t + 1



1-º → t + 1
2-º → t
1 año
→
1 año
→



x < 3
x > –2



x – 3 < 0
x + 2 > 0



x > 3
x < –2



x – 3 > 0
x + 2 < 0
5
3
5
3
x – 3
x + 2
x2
x + 4
3x + 5
x2 + 1
2
x – 3



x < –1
x < 3



x + 1 < 0
x – 3 < 0



x > –1
x > 3



x + 1 > 0
x – 3 > 0










2,4t + 1,2 = t2 + t
t2 – 1,4t – 1,2 = 0
t = =
El primero tardaría 3 horas y el segundo, 2 horas.
35 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino al mer-
cado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta
en 0,45 € el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?
☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las que
quedan.
Tenía x docenas → €/docena
Le quedan x – 4 docenas → ( + 0,45)€/docena
( + 0,45)(x – 4) = 36
(36 + 0,45x) (x – 4) = 36x
36x – 144 + 0,45x2 – 1,8x = 36x
0,45x2 – 1,8x – 144 = 0
x = 20 (x = –16 no vale) ⇒ Tenía 20 docenas.
36 Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Dese-
cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo so-
bre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilogramos compró?
☛ Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de coste de
las que quedan.
Compró x kg → €/kg
Vende (x – 20) kg → ( + 0,40)€/kg
( + 0,40)(x – 20) = 147
(125 + 0,40x) (x – 20) = 147x
125x – 2 500 + 0,40x2 – 8x = 147x
0,40x2 – 30x – 2 500 = 0
x = 125 (x = –50 no vale)
Compró 125 kg.
125
x
125
x
125
x
36
x
36
x
36
x
2
–0,6 ¡Imposible!
1,4 ± 2,6
2

37 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por el
total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invi-
tan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos
son?
Número de amigos → x → €/consumición
(x – 2) ( + 0,80)= 6
(x – 2) (6 + 0,80x) = 6x
6x + 0,80x2 – 12 – 1,6x = 6x
0,80x2 – 1,6x – 12 = 0
x = 5 (x = –3 no vale)
Son 5 amigos.
Página 94
38 El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las di-
mensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.
4x = 40; x = 10 m
39 El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se in-
crementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo su-
frió un descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes de
enero superó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la ex-
posición en enero?
Enero Febrero Marzo
x 1,12x 0,88 · 1,12x = 0,9856x
x = 0,9856x + 36 ⇒ x = 2 500 personas
–12%
→
+12%
→
Base: 18 m
Altura: 6 m





10b2 – 60b = 0
b (10b – 60) = 0
b = 0, b = 6



b2 + (3b – 102) = 102
b2 + 9b2 + 100 – 60b = 100
6
x
6
x
3b – 10
3b
b
10

40 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m2. Calcula el lado.
h2 + ( )2
= l2
h2 = l2 – = ; h =
Área = = 50
l2 = → l = = 10,75 m
41 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos de
baldosas:
Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera el
tipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación?
Superficie: 12x = 10 (x + 40)
12x = 10x + 400
2x = 400
x = 200 baldosas
200 · 12 = 2 400 dm2 = 24 m
42 En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si se
invierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor.
Calcula el número inicial.
· → 30x + x = 31x
· → 10x + 3x = 13x
El número es el 93.
43 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafete-
ría de la esquina?
—No sé, nunca me he fijado.
—Pero hombre…, lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos herma-
nas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado?
—Algo más de 14 euros.
3x
U
x
D
x
U
3x
D



n-º baldosas A → x
n-º baldosas B → x + 40
√200
√√
—
3
200
√3
√3l2
4
√3l
2
3l 2
4
l 2
4
l
2
l l
l
h
3dm
4 dm 5 dm
2dmA
B
31x = 13x + 54
18x = 54
x = 3






—El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos
míos. ¿Cuánto pagaste?
—Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.
¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?
6x > 14 → x > 2,
)
3
8x < 20 → x < 2,5
Entre 2,34 y 2,50 €.
44 Resuelve:
a) 3x4 – 75x2 = 0 b) x4 – 9x2 + 20 = 0
c) = x + 2 d) + 2 = x
e) – = 2 f) + = 9
g) + = h) x – =
i ) x · (x + 1) · (x – 2) · (x – )= 0 j) (x2 – 9) ( + 3) = 0
k) ( – x + 2)x = 0
a) 3x2(x2 – 25) = 0
x1 = 0; x2 = 5; x3 = –5
b) x2 = = =
x1 = 2; x2 = –2; x3 = ; x4 = –
c) 4x + 5 = x2 + 4 + 4x; 1 = x2
x1 = 1; x2 = –1
d) x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4 = 0
x = =
x1 = 4; x2 = 1 (no vale)
x = 4
e) 2x – 3 = 4 + x – 5 + 4
x – 2 = 4
x2 + 4 – 4x = 16(x – 5)
√x – 5
√x – 5
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2
x = 1
x = –1
√5√5
5
4
9 ± 1
2
9 ± √81 – 80
2
√x
√x
1
2
4
3
4
3x
3
10
x
5 (x + 3)
1
x + 2
6x
x + 1
3x
x – 1
√x – 5√2x – 3
√x√4x + 5

x2 + 4 – 4x = 16x – 80
x2 – 20x + 84 = 0
x = =
x1 = 6; x2 = 14
f) 3x (x + 1) + 6x (x – 1) = 9 (x2 – 1)
3x2 + 3x + 6x2 – 6x = 9x2 – 9
–3x = –9; x = 3
g) =
10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18
0 = x2 + x – 12
x = =
x1 = 3; x2 = –4
h) 3x2 – 4 = 4x; 3x2 – 4x – 4 = 0
x = = =
x1 = 2; x2 = –
i) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 =
j) x1 = 3; x2 = –3
k) x = 0
= x – 2
x1 = 0; x2 = 4 (x = 1 no vale)
45 Resuelve:
a)
 = 4 b) x2 – 1 = 3
x1 = 2
x2 = –2



x2 – 1 = 3 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
x2 – 1 = –3 ⇒ x2 = –2 (no vale)
b)
x1 = 11
x2 = –5







x – 3
–––––– = 4 ⇒ x – 3 = 8 ⇒ x = 11
2
x – 3
–––––– = –4 ⇒ x – 3 = –8 ⇒ x = –5
2
a)
x – 3
2
√x
1
2
2
3
2
–2/3
4 ± 8
6
4 ± √16 + 48
6
3
–4
–1 ± 7
2
3 (x2 + 5x + 6)
10 (x + 2) (x + 3)
10 (x + 3) + 2x (x + 2)
10 (x + 2) (x + 3)
14
6
20 ± 8
2

46 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despe-
jar la incógnita:
a) + = 0 b) – = 0
c) – = 0 d) – = 0
e) – – = 0
a) = 0 ⇒ x = –
3
= ⇒ x =
b) = 0 ⇒ x4 = = ⇒ x1 = ; x2 =
c) x3 – 2 = 0 ⇒ x =
d) 4 – 25x4 = 0 ⇒ x4 =
x = ±
4
= ± = ±
x1 = ; x2 =
e) (x + 1) (x + 1) – x · x2 – 1 = 0
x2 + 2x + 1 – x3 – 1 = 0
–x3 + x2 + 2x = 0
–x (x2 – x – 2) = 0
x1 = 0, x2 = –1, x3 = 2
47 Resuelve:
a) b)
c)
a) y = 8 – x
– =
= –
2x – 8 = 8 + 2x – 2
2 = 16√16x
√16x
√2x√8√2x – 8
√2x√2x – 8√8
(x + 3) (y – 5) = 0
(x – 2) (y – 1) = 0



√
—
4y + 2x = √
—
3y + x – 1
y + x = –5



√
—
x + y – √
—
x – y = √
__
2x
x + y = 8



–√10
5
√10
5
√10
5√2
5√ 4
25
4
25
3
√2
–2
3
2
3
24
34
16
81
81x4 – 16
8 · 81x3
–5
3
–5
3√125
27
27x3 + 125
45x2
1
x3 + x2
x
x + 1
x + 1
x2
5x3
2
2
5x
1
x2
x
2
2
81x3
x
8
25
9x2
3x
5

8 = 16
= 2
x = 4; y = 4
b) x = –5 – y
= – 1
= – 1
2y – 10 = 2y – 5 + 1 – 2
2 = 6
= 3
2y – 5 = 9
x = –12; y = 7
c) x1 = –3, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 5
a) x – 5 = 3x – 1 b) x + 2 = x – 6
c) x2 – 3x + 1 = 1 d) x2 – x = 1 – x2
a) x – 5 = 3x – 1 ⇒ –2x = 4; x = –2 (no vale)
5 – x = 3x – 1 ⇒ 6 = 4x; x =
x =
b) x + 2 = x – 6 ⇒ Imposible
x + 2 = 6 – x ⇒ 2x = 4
x = 2
c) x2 – 3x + 1 = 1 ⇒ x2 – 3x = 0 ⇒ x (x – 3) = 0
x2 – 3x + 1 = –1 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0
x = = =
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3
d) x2 – x = 1 – x2 ⇒ 2x2 – x – 1 = 0
x2 – x = x2 – 1 ⇒ x = 1
x = = =
x1 = ; x2 = 1
–1
2
1
–1/2
1 ± 3
4
1 ± √1 + 8
4
2
1
3 ± 1
2
3 ± √9 – 8
2
3
2
3
2
√2y – 5
√2y – 5
√2y – 5
√2y – 5√2y – 10
√3y – 5 – y√4y – 10 – 2y
√x
√x

49 Resuelve por tanteo:
a) 2x = x3 b) ln x = x
a) 2x = x3; x ≈ 1,37 b) No tiene solución
50 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una solu-
ción en el intervalo indicado:
a) x3 – x – 2 = 0 en [1, 2] b) 3x3 + x2 – 3 = 0 en [0, 1]
a) x ≈ 1,52 b) x ≈ 0,90
51 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre tres
personas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la ter-
cera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos. ¿Cómo lo hacemos?
Llamamos x a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, y z
a los que recibe3 la tercera. Así, tenemos que:
Solución: x = 120 € recibe la 1ª-; y = 100 € recibe la 2ª-; z = 110 € recibe la 3ª-
52 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas
es una unidad mayor que la suma de las otras dos.
Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades.
¿Cuál es ese número?
Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las uni-
dades. Así, el número es:
x y z → 100x + 10y + z
Tenemos que:





x + y + z = 7
x + z = 3
x – z = –1
1-ª
2-ª : 2
3-ª





x + y + z = 7
2x + 2z = 6
x – z = –1
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª





x + y + z = 7
x – y + z = –1
x – z = –1





x + y + z = 7
x – y + z = –1
99x – 99z = –99





x + y + z = 7
y = x + z + 1
100z + 10y + x = 100x + 10y + z + 99





x = 120
y = x – 20 = 100
z = 330 – x – y = 110





x + y + z = 330
x – y = 20
2x = 240
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª





x + y + z = 330
x – y = 20
x + y = 220
1-ª
2-ª
3-ª : 3





x + y + z = 330
x – y = 20
3x + 3y = 660
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 1ª





x + y + z = 330
x – y = 20
x + y –2z = 0







x + y + z = 330
x = y + 20
x + y
z = –––––––
2

Solución: El número es el 142.
53 ¿Qué valores ha de tomar k para que x2 – 6x + k = 0 no tenga soluciones
reales?
36 – 4k < 0; 36 < 4k; 9 < k; k > 9
54 Escribe un polinomio cuyas raíces sean 1, 4, – 4 y 0.
(x – 1) (x – 4) (x + 4) x = x4 – x3 – 16x2 + 16x
55 Halla el valor de m para que el polinomio 5x4 + mx3 + 2x – 3 sea divisible
por x + 1.
m = 0
56 Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x6 + 4x5 – 2x + 3 para x = –2.
¿Es divisible P(x) entre x + 2?
P(–2) = –57. No es divisible entre x + 2.
57 Halla m para que al dividir el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 – 6x + m entre
x + 4, el resto sea igual a 12.
m – 8 = 12 ⇒ m = 20
58 Escribe un polinomio de grado 4 que sólo tenga por raíces 0 y 1.
Por ejemplo: P (x) = x3 (x – 1); Q (x) = x2 (x – 1)
59 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución:
La primera y la tercera ecuación son contradictorias.
x + y – z = 3
2x – y + z = 5
x + y – z = 2





x = 1
y = 4
z = 2





x = 1
z = 3 – x = 2
y = 7 – x – z = 7 – 1 – 2 = 4





x + y + z = 7
x + z = 3
2x = 2
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª
5 m 0 2 –3
–1 –5 5 – m m – 5 3 – m
5 m – 5 5 – m m – 3 –m = 0
1 4 0 0 0 –2 3
–2 –2 –4 8 –16 32 –60
1 2 –4 8 –16 30 –57
2 9 2 –6 m
–4 –8 –4 8 –8
2 1 –2 2 m – 8

60 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores:
a) 3; –3; y – b) 5; 0,3 y –2
a) (x – 3) (x + 3) (x – ) (x + ) = (x2 – 9) (x2 – 7) = x4 – 16x2 + 63
b) (x – 5) (x – 0,3) (x + 2) = x3 – 3,3x2 – 9,1x + 3
PARA PROFUNDIZAR
61 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x:
a) abx2 – (a + b) x + 1 = 0
☛ Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado per-
fecto: a2 + b2 – 2ab = (a – b)2
b) (x – a)2 – 2x (x + a) – 4a2 = 0
c) ax2 + bx + b – a = 0
d) (a + b) x2 + bx – a = 0
a) x = = =
= =
x1 = ; x2 =
b) x2 + a2 – 2ax – 2x2 – 2ax – 4a2 = 0
x2 + 4ax + 3a2 = 0
x = = = =
=
x1 = –a; x2 = –3a
c) x = = =
= =
x1 = –1; x2 =
a – b
a
–b + 2a – b 2a – 2b a – b
—––––––––– = ––––––– = –––––
2a 2a a
–b – 2a + b
—––––––––– = –1
2a
–b ± √(2a – b)2
2a
–b ± √b2 – 4ab + 4a2
2a
–b ± √b2 – 4a (b – a)
2a
–4a + 2a –2a
—––––––– = ––––– = –a
2 2
–4a – 2a –6a
—––––––– = ––––– = –3a
2 2
–4a ± 2a
2
–4a ± √4a2
2
–4a ± √16a2 – 12a2
2
1
b
1
a
a + b + a – b 2a 1
—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab b
a + b – a + b 2b 1
—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab a
a + b ± (a – b)
2ab
a + b ± √a2 + b2 + 2ab – 4ab
2ab
a + b ± √(a + b)2 – 4ab
2ab
√7√7
√7√7

d) x = = = =
=
x1 = –1; x2 =
62 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x4 – 4x2 < 0 b) x3 – x2 – 6x < 0
c) > 0 d) < 0
a) x2(x2 – 4) < 0 ⇒ x2 – 4 < 0 b) x (x2 – x – 6) < 0
x ≠ 0 x (x – 3) (x + 2) < 0
(–2, 0) U (0, 2) (–∞, –2) U (0, 3)
c)
(–2, 2) d) x ≠ 1; (1, +∞)
63 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a
7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de
cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción
alcohol-agua sea de 3 a 5?
alcohol alcohol alcohol
La proporción de alcohol es:
x + (12 – x) · = · 12
+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3
Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.
9
2
24 – 2x
5
3x
10
3
8
2
5
3
10
3
8
2
5
3
10



x ≠ 3
4 – x2 > 0
–2
(x – 1)3
4 – x2
(x – 3)2
a
a + b
–b + 2a + b a
—––––––––– = –––––––
2(a + b) a + b
–b – 2a – b –(2a + 2b)
—––––––––– = —––––––––– = –1
2(a + b) 2(a + b)
–b ± (2a + b)
2(a + b)
–b ± √b2 + 4a2 + 4ab
2(a + b)
–b ± √b2 + 4a (a + b)
2(a + b)
3 alcohol
7 agua
x cazos
V1
2 alcohol
3 agua
(12 – x) cazos
V2
3 alcohol
5 agua
12 cazos

64 Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-
ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde. Entonces acelera el paso y recorre
el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes de
que salga el tren. ¿Qué distancia tenía que recorrer?
t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h
Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos)
Luego:
3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas
x = 17,5 km
Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).
Página 98
RESUELVE TÚ
En unas elecciones hay 20 000 votantes y se reparten 10 escaños. Concurren 5
partidos, A, B, C, D, E, que obtienen los números de votos que figuran en la pri-
mera columna.
a) Comprueba la validez de los resultados de las restantes columnas y di el repar-
to de escaños según el método D’Hondt.
b) Haz el reparto de escaños aplicando el método del mayor resto.
c) Suponiendo que el número de escaños a repartir fuera 8, haz nuevamente el
reparto por ambos métodos.
a) Método D’Hondt:
Los escaños se reparten sucesivamente así: A B A C B A A B A C
Por tanto, se asignan así: A – 5, B – 3, C – 2, D – 0, E – 0
b) Método del mayor resto:
El “precio” del escaño es 20 000 votos/10 escaños = 2 000 votos cada escaño.



x = 3,5t
x = 5(t – 1,5)
1 h
tren
x3,5 km
8 435 (1) 4 217 (3) 2 812 (6) 2 109 (7) 1 687 (9)
6 043 (2) 3 021 (5) 2 014 (8) 1 511
3 251 (4) 1 625 (10)
1 150
1 121
A
B
C
D
E
1 2 3 4 5

Por tanto:
Si se aplicara el método del mayor resto, el partido D le quitaría un escaño al
partido A.
c) Para la asignación de los 8 escaños sirve la misma tabla de arriba, obteniéndose:
A B A C B A A B
Es decir, A – 4, B – 3, C – 1, D – 0, E – 0
Para aplicar el método del mayor resto tenemos en cuenta que, ahora, el “precio” del
escaño es 20 000 : 8 = 2 500 votos cada escaño.
8 435 2 500
935 3
El partido A “compra” 3 escaños y le sobran (tiene un resto de 935) votos.
Ahora son los dos partidos pequeños los que les quitarían sendos escaños a los dos
grandes.
8 435 4 435 4
6 043 3 43 3
3 251 1 1 251 1 + 1 = 2
1 150 0 1 150 0 + 1 = 1
1 121 0 1 121 0
8
A
B
C
D
E
VOTOS
ESCAÑOS DE
RESTO TOTAL ESCAÑOS
ASIGNACIÓN DIRECTA
SEGÚN MÉTODO D’HONDT
5
3
2
0
0
8 435 3 935 3
6 043 2 1 043 2
3 251 1 751 1
1 150 0 1 150 0 + 1 = 1
1 121 0 1 121 0 + 1 = 1
6
A
B
C
D
E
VOTOS
ESCAÑOS DE
RESTO TOTAL ESCAÑOS
ASIGNACIÓN DIRECTA
SEGÚN MÉTODO D’HONDT
4
3
1
0
0

Problema 1
Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utili-
zó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar
su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida.
Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que:
— la vara mide 124 cm,
— la sombra de la vara mide 37 cm,
— la sombra del árbol mide 258 cm.
Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos.
=
x = = 864,65 cm
La altura del árbol es de 864,65 cm.
Problema 2
Bernardo conoce la distancia AB
––
a la que está del árbol y los ángulos CBA y
BAC ; y quiere calcular la distancia BC
—
a la que está de Carmen.
Datos: AB
—
= 63 m
CBA = 42o
BAC = 83o
—
BC = 42 mm
Deshaciendo la escala:
—
BC = 42 m
258 · 124
37
37
258
124
x
Unidad 4. Resolución de triángulos 1
RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS
4
x
124 cm
258 cm
37 cm
A
CB
63 m
42°
83°

Problema 3
Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos
lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la dis-
tancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ángulo CBA.
Datos: BC
—
= 1 200 m; BA
—
= 700 m; CBA = 108o.
100 m → 1 cm
1 200 m → 12 cm
700 m → 7 cm
—
CA = 14,7 cm ⇒
—
CA = 1 470 m
Problema 4
Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras:
a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.
b) La altura de un triángulo equilátero de lado 1.
Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes solu-
ciones:
x = , y =
√3
2
√2
2
A
B C
1200 m → 12 cm
700 m → 7 cm
108°
NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.
1
y
2
1
x
x
1

a) b) 12 = y2 + ( )
2
y2 = 1 – =
y =
Página 104
1. Considera este triángulo:
a) Calcula la proyección de MN sobre MP.
b) Halla la altura correspondiente a la base MP.
c) Calcula el área del triángulo.
a) cos 52° = = ⇒
—
MN' = 5 cos 52° = 3,08 cm
b) sen 52° = ⇒ h = 5 · sen 52° = 3,94 cm
c) A = = = · 7 · 5 · sen 52° = 13,79 cm2
Página 105
1. Halla tg 76o y cos 38o 15' 43''.
tg 76° = 4,0107809
cos 38° 15' 43" = 0,7851878
2. Pasa a grados, minutos y segundos ( ) el ángulo 39,87132o.
39,87132° = 38° 52' 16,7"
3. Halla α y β sabiendo que cos α = 0,83 y tg β = 2,5.
cos α = 0,83 → α ≈ 33,901262° = 33° 54' 4,54"
tg β = 2,5 → β ≈ 68,198591° = 68° 11' 54,9"
4. Sabiendo que tg β = 0,6924, halla cos β.
tg β = 0,6924 → β ≈ 34,698729° → cos β ≈ 0,8222
1
2
b ·
—
MN · sen 52°
2
b · h
2
h
5
—
MN'
5
—
MN'
MN
√3
2
3
4
1
4
1
2
12 = x2 + x2
1 = 2x2
x2 =
x = =
√2
2
1
√2
1
2
7 cm
5 cm
52°
M P
N
5 cm
52°
M P
N
h
N'

1. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y he-
mos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal,
obteniendo un valor de 40o. ¿Cuánto mide el poste?
tg 40° = → a = 7 tg 40° = 5,87 m
Página 108
1. Razonando sobre el triángulo sombreado de arriba, y teniendo en cuenta que su
hipotenusa es = 1, justifica que los segmentos y corresponden, efec-
tivamente, a las razones trigonométricas cos α, sen α.
cos α = = =
—
OA' sen α = = =
—
A'A
2. Aplicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo, jus-
tifica que:
(sen β)2 + (cos β)2 = 1
(Ten en cuenta que (–x) 2 = x2).
(sen β)2 + (cos β)2 = (
—
B'B)2 + (
—
OB' )2 (*)
= (
—
OB)2 = 12 = 1
(*) Teorema de Pitágoras.
Si consideramos una circunferencia no goniométrica (r ≠ 1):
(sen β)2 + (cos β)2 = ( )
2
+ ( )
2
=
(*)
= = 1
3. Di el valor de sen α y cos α para ángulos de 0o, 90o, 180o, 270o y 360o.
sen 0° = 0 sen 90° = 1 sen 180° = 0 sen 270° = –1 sen 360° = 0
cos 0° = 1 cos 90° = 0 cos 180° = –1 cos 270° = 0 cos 360° = 1
4. En este círculo se da el signo de sen φ según el cuadrante en el que se
halle situado el ángulo φ. Comprueba que es correcto y haz algo simi-
lar para cos φ.
(
—
OB)2
(
—
OB)2
(
—
B'B)2 + (
—
OB')2
(
—
OB)2
—
OB'
—
OB
—
B'B
—
OB
—
A'A
1
—
A'A
—
OA
—
OA'
1
—
OA'
—
OA
A'AOA'OA
a
7
A
B
b = 7 cm
40°
C
c a
++
––
+
−
+
+
+
−
−
+−
−
−
+
sen φ cos φ

5. Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A
y OUT, y que OU
—
= 1, demuestra que:
tg α =
tg α = = =
6. Construye una circunferencia de 10 cm de radio sobre papel milimetrado. (Las ho-
jas de este papel suelen tener 19 cm de ancho. Corta de arriba una tira de 1 cm y
pégala en el lateral; así podrás dibujar la circunferencia completa).
Señala ángulos diversos: 27o, 71o, 113o, 162o, 180o, 211o, 270o, 280o, 341o con el
transportador.
Lee sobre la cuadrícula el seno y el coseno de cada uno, cuidando de dar correcta-
mente el signo.
sen 27° = 0,45 = ( ) sen 211° = –0,52
cos 27° = 0,89 = ( ) cos 211° = –0,86
sen 71° = 0,95 sen 270° = –1
cos 71° = 0,33 cos 270° = 0
sen 113° = 0,92 sen 280° = –0,98
cos 113° = –0,39 cos 280° = 0,17
sen 162° = 0,31 sen 341° = –0,33
cos 162° = –0,95 cos 341° = 0,95
sen 180° = 0
cos 180° = –1
Página 111
1. Calcula las razones trigonométricas de 55o, 125o, 145o, 215o, 235o, 305o y 325o
a partir de las razones trigonométricas de 35o:
sen 35o = 0,57; cos 35o = 0,82; tg 35o = 0,70
• 55° = 90° – 35° ⇒ 55° y 35° son complementarios
tg 55° = = = 1,43
(También tg 55° = = ≈ 1,43)1
0,70
1
tg 35°
0,82
0,57
sen 55°
cos 55°



sen 55° = cos 35° = 0,82
cos 55° = sen 55° = 0,57
8,9 cm
10 cm
4,5 cm
10 cm
sen α
cos α
—
A'A
—
OA'
—
TU
—
OU
sen α
cos α
O A' U
T
A
tg αsen α
cos αα

• 125° = 90° + 35°
sen 125° = cos 35° = 0,82
cos 125° = –sen 35° = –0,57
tg 125° = = = –1,43
• 145° = 180° – 35° ⇒ 145° y 35° son suplementarios
sen 145° = sen 35° = 0,57
cos 145° = –cos 35° = –0,82
tg 145° = –tg 35° = –0,70
• 215° = 180° + 35°
sen 215° = –sen 35° = –0,57
cos 215° = –cos 35° = –0,82
tg 215° = tg 35° = 0,70
• 235° = 270° – 35°
sen 235° = –cos 35° = –0,82
cos 235° = –sen 35° = –0,57
tg 235° = = = = = 1,43
• 305° = 270° + 35°
sen 305° = –cos 35° = –0,82
cos 305° = sen 35° = 0,57
tg 305° = = = – = – 1,43
• 325° = 360° – 35° (= –35°)
sen 325° = –sen 35° = –0,57
cos 325° = cos 35° = 0,82
tg 325° = = = –tg 35° = –0,70
2. Averigua las razones trigonométricas de 718o, 516o y 342o, utilizando la calcu-
ladora solo para hallar razones trigonométricas de ángulos comprendidos
entre 0o y 90o.
• 718° = 360° + 358° ⇒ Las razones trigonométricas de 718° serán las mismas que las
de 358°. Calculemos estas:
358° = 360° – 2°
–sen 35°
cos 35°
sen 325°
cos 325°
1
tg 35°
–cos 35°
sen 35°
sen 305°
cos 305°
1
0,70
1
tg 35°
–cos 35°
–sen 35°
sen 235°
cos 235°
–1
0,70
–1
tg 35°
125°
35°
35°
145°
215°
35°
235°
35°
305°
35°
325°
35°

sen 718° = sen 358° = –sen 2° = –0,0349
cos 718° = cos 358° = cos 2° = 0,9994
tg 718° = tg 358°
(*)
= –tg 2° = –0,03492
(*) tg 358° = = = –tg 2°
• 516° = 360° + 156° (razonando como en el caso anterior):
156° = 180° – 24°
sen 516° = sen 156° = sen 24° = 0,4067
cos 516° = cos 156° = –cos 24° = –0,9135
tg 516° = –tg 24° = –0,4452
OTRA FORMA DE RESOLVERLO:
516° = 360° + 156°
156° = 90° + 66°
sen 516° = sen 156° = cos 66° = 0,4067
cos 516° = cos 156° = –sen 66° = –0,9135
tg 516° = tg 156° = = = –0,4452
• 342° = 360° – 18°
sen 342° = –sen 18° = –0,3090
cos 342° = cos 18° = 0,9511
tg 342° = –tg 18° = –0,3249
3. Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las si-
guientes condiciones y estima, en cada caso, el valor de las restantes razones
trigonométricas:
a) sen α = – , tg α > 0 b) cos α = , α > 90º
c) tg β = –1, cos β < 0 d) tg α = 2, cos α < 0
a)
→ cos α < 0 → α ∈3er
cuadrante
tg α ≈ 0,58
b) → α ∈4er
cuadrante
tg α ≈ –0,88



sen α ≈ –0,66
cos α = 3/4



cos α = 3/4
α > 90º



sen α = –1/2
cos α ≈ –0,86



sen α = –1/2 < 0
tg α > 0
3
4
1
2
–1
2,2460
–1
tg 66°
–sen 2°
cos 2°
sen 358°
cos 358°

c)
→ sen β > 0 → β ∈2-º cuadrante
tg β = –1
d)
→ sen α < 0 → α ∈3-º cuadrante
tg α = 2
Página 112
1. Repite la demostración anterior en el caso de que B
^
sea
obtuso. Ten en cuenta que:
sen (180o – B
^
) = sen B
^
sen
^
A = → h = b sen
^
A
sen
^
B = sen (180 –
^
B) = → h = a sen
^
B
b sen
^
A = a sen
^
B → =
2. Demuestra, detalladamente, basándote en la demostración anterior, la siguien-
te relación:
= .
Lo demostramos para
^
C ángulo agudo. (Si fuese un ángulo obtuso razonaríamos
como en el ejercicio anterior).
Trazamos la altura h desde el vértice B. Así, los triángulos obtenidos AHB y CHB
son rectángulos.
c
sen C
^
a
sen A
^
b
sen
^
B
a
sen
^
A
h
a
h
b



sen α ≈ –0,9
cos α ≈ –0,45



tg α = 2 > 0
cos α < 0



sen β ≈ 0,7
cos β ≈ –0,7



tg β = –1 < 0
cos β < 0
A B H
C
(180° – B)
^
b
c
a
B
C
H
h
A

Por tanto, tenemos: sen
^
A = → h = c sen
^
A
sen
^
C = → h = a sen
^
C
c sen
^
A = a sen
^
C
=
Página 113
3. Resuelve el mismo problema anterior (a = 4 cm, B
^
= 30o) tomando para b los
siguientes valores: b = 1,5 cm, b = 2 cm, b = 3 cm, b = 4 cm. Justifica gráfica-
mente por qué se obtienen, según los casos, ninguna solución, una solución o
dos soluciones.
• b = 1,5 cm
= → = → sen
^
A = = 1,
)
3
¡Imposible, pues sen
^
A ∈[–1, 1] siempre!
No tiene solución. Con esta medida, b = 1,5 cm, el lado b nunca podría tocar al
lado c.
4 · 0,5
1,5
1,5
sen 30°
4
sen
^
A
b
sen
^
B
a
sen
^
A
c
sen
^
C
a
sen
^
A
h
a
h
c
b
c
a
B
C
H
h
A
a = 4 cm
b = 1,5 cm
30°
B

• b = 2 cm
= → = → sen
^
A = = 1 → A = 90°
Se obtiene una única solución.
• b = 3 cm
= → sen
^
A = = 0,
)
6 →
Las dos soluciones son válidas, pues en ningún caso ocurre que
^
A +
^
B > 180°.
• b = 4 cm
= → sen
^
A = = 0,5 →
→
La solución
^
A2 = 150° no es válida, pues, en tal caso, sería
^
A +
^
B = 180°. ¡Imposible!
^
A1 = 30° → Una solución válida
^
A2 = 150°



4 · 0,5
4
4
sen 30°
4
sen
^
A
^
A1 = 41° 48' 37,1"
^
A2 = 138° 11' 22,9"



4 · 0,5
3
3
sen 30°
4
sen
^
A
4 · 0,5
2
2
sen 30°
4
sen
^
A
b
sen
^
B
a
sen
^
A
a = 4 cm
b = 2 cm
30°
B
a = 4 cm
b = 3 cm
b = 3 cm
30°
B
a = 4 cm
b = 4 cm
30°
B

4. Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 12 cm; b = 16 cm; c = 10 cm
b) b = 22 cm; a = 7 cm; C
^
= 40o
c) a = 8 m; b = 6 m; c = 5 m
d) b = 4 cm; c = 3 cm; A
^
= 105o
e) a = 4 m; B
^
= 45o y C
^
= 60o
f) b = 5 m; A
^
= C
^
= 35
a) • a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A
122 = 162 + 102 – 2 · 16 · 10 cos
^
A
144 = 256 + 100 – 320 cos
^
A
cos
^
A = = 0,6625
A = 48° 30' 33"
• b2 = a2 + c2 – 2ac cos
^
B
256 = 144 + 100 – 2 · 12 · 10 cos
^
B
cos
^
B = = –0,05
B = 92° 51' 57,5"
•
^
A +
^
B +
^
C = 180° →
^
C = 180 –
^
A –
^
B
^
C = 38° 37' 29,5"
b) • c2 = a2 + b2 – 2ab cos
^
C
c2 = 72 + 222 – 2 · 7 · 22 cos 40° =
= 49 + 484 – 235,94 = 297,06
c = 17,24 cm
• = → =
sen
^
A = = 0,26
A =
(La solución A2 no es válida, pues
^
A2 +
^
C > 180°).
•
^
B = 180° – (
^
A +
^
C ) = 124° 52' 15,7"
^
A1 = 15° 7' 44,3"
^
A2 = 164° 52' 15,7" → No válida



7 sen 40°
17,24
17,24
sen 40°
7
sen
^
A
c
sen
^
C
a
sen
^
A
144 + 100 – 256
240
256 + 100 – 144
320
C
B
A
12 cm
16 cm
10 cm
C
B
A
22 cm
40°
7 cm

c) • a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A
64 = 36 + 25 – 2 · 6 · 5 cos
^
A
cos
^
A = = –0,05
^
A = 92° 51' 57,5"
• b2 = a2 + c2 – 2ac cos
^
B
36 = 64 + 25 – 2 · 8 · 5 cos
^
B
cos
^
B = = 0,6625
^
B = 48° 30' 33"
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B) = 38° 37' 29,5"
(NOTA: Compárese con el apartado a). Son triángulos semejantes).
d) • a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A =
= 16 + 9 – 2 · 4 · 3 cos 105° = 31,21
a = 5,59 m
• =
=
sen
^
B = = 0,6912
^
B =
(La solución
^
B2 no es válida, pues
^
A2 +
^
B2 > 180°).
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B) = 31° 16' 34,7"
e) •
^
A = 180 – (
^
B +
^
C ) = 75°
• =
=
b = = 2,93 m
• = → =
c = = 3,59 m
4 · sen 60°
sen 75°
c
sen 60°
4
sen 75°
c
sen
^
C
a
sen
^
A
4 · sen 45°
sen 75°
b
sen 45°
4
sen 75°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
^
B1 = 43° 43' 25,3"
^
B2 = 136° 16' 34,7" → No válida



4 · sen 105°
5,59
4
sen
^
B
5,59
sen 105°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
64 + 25 – 36
80
36 + 25 – 64
60
C
B
A
6 cm
5 cm
8 cm
C
B
A
3 cm
105° 4 cm

f) •
^
B = 180 – (
^
A +
^
C ) = 110°
• = → =
a = = 3,05 m
• Como
^
A =
^
C → a = c → c = 3,05 m
5. Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 7 cm. El án-
gulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos
es de 32o. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio.
• Los triángulos APB y DPC son semejantes,
luego:
= → 17x = 10 (x + 7) → x = 10
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo
APB tenemos:
—
AB2 = x2 + y2 – 2xy cos 32°
102 = 102 + y2 – 2 · 10y · cos 32°
0 = y2 – 16,96y
De nuevo, por semejanza de triángulos, tenemos:
= → = → 10(z + 16,96) = 17 · 16,96
10z = 118,72 → z = 11,872 cm mide el otro lado,
—
AD, del trapecio.
• Como PDC es un triángulo isósceles donde
—
DC =
—
CP = 17 cm, entonces:
^
D = 32° → sen 32° = ⇒ h = z · sen 32° = 11,872 · sen 32° ≈ 6,291
Así:
ÁreaABCD = · h = · 6,291 = 84,93 cm2
6. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio,
A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes
ángulos: BAC = 46o y BCA = 53o. ¿A qué distancia de cada estación se encuen-
tra el barco?
^
B = 180° – 46° – 53° = 81°
17 + 10
2
B + b
2
h
z
17
z + 16,96
10
16,96
—
DC
—
DP
—
AB
—
AP
y = 0 → No válido
y = 16,96 cm



x + 7
17
x
10
5 · sen 35°
sen 110°
a
sen 35°
5
sen 110°
a
sen
^
A
b
sen
^
B
P
10cm
17cm
7 cm
32°
x
z
y
A
D
B
C

• = → a = = = 36,4 km
• = → c = = = 40,4 km
7. Para hallar la altura de un globo, realizamos las medi-
ciones indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo
del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está
el globo?
A
∧
GB = 180° – 72° – 63° = 45°
• = → b = = 25,2 m
• = → a = = 26,9 m
• sen 75° = = → x = 25,2 · sen 75° = 24,3 m
x
25,2
x
b
20 · sen 72°
sen 45°
20
sen 45°
a
sen 72°
20 · sen 63°
sen 45°
20
sen 45°
b
sen 63°
50 · sen 53°
sen 81°
b sen
^
C
sen
^
B
b
sen
^
B
c
sen
^
C
50 · sen 46°
sen 81°
b sen
^
A
sen
^
B
b
sen
^
B
a
sen
^
A
50 km
46°
A C
B
53 °
B90°
75°
72° 63°
20 m
x
a
G
b
A
H

PARA PRACTICAR
1 Sabiendo que el ángulo α es obtuso, completa la siguiente tabla:
a) sen2 α + cos2 α = 1 → 0,922 + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 – 0,922
cos2 α = 0,1536 → cos α = –0,39
↑
α obtuso → cos α < 0
tg α = = –2,36
(Se podrían calcular directamente con la calculadora α = sen–1 0,92, teniendo
en cuenta que el ángulo está en el segundo cuadrante).
b) = 1 + tg2 α → = 1 + 0,5625 → cos2 α = 0,64 → cos α = –0,8
tg α = → sen α = tg α · cos α = (–0,75) · (–0,8) = 0,6
c) sen2 α = 1 – cos2 α = 1 – 0,0144 = 0,9856 → sen α = 0,99
tg α = = = –8,25
d) sen2 α = 1 – cos2 α = 1 – 0,64 = 0,36 → sen α = 0,6
tg α = = = 0,75
(NOTA: es el mismo ángulo que el del apartado b)).
e) cos2 α = 1 – sen2 α = 1 – 0,25 = 0,75 → cos α = –0,87
tg α = = = –0,57
f) = 1 + tg2 α = 1 + 16 → cos2 α = 0,059 → cos α = –0,24
sen α = tg α · cos α = (–4) · (–0,24) = 0,96
1
cos2 α
0,5
–0,87
sen α
cos α
0,6
–0,8
sen α
cos α
0,99
–0,12
sen α
cos α
sen α
cos α
1
cos2 α
1
cos2 α
sen α
cos α
sen α 0,92 0,5
cos α – 0,12 – 0,8
tg α –0,75 –4
sen α 0,92 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96
cos α –0,39 –0,8 –0,12 –0,8 –0,87 –0,24
tg α –2,36 –0,75 –8,25 –0,75 –0,57 –4
a) b) c) d) e) f)

2 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (C
^
= 90o) hallando la medida
de todos los elementos desconocidos:
a) a = 5 cm, b = 12 cm. Halla c, A
^
, B
^
.
b) a = 43 m, A
^
= 37o. Halla b, c, B
^
.
c) a = 7 m, B
^
= 58o. Halla b, c, A
^
.
d) c = 5,8 km, A
^
= 71o. Halla a, b, B
^
.
e) c = 5 cm, B
^
= 43o. Halla a, b, A
^
.
a) c2 = a2 + b2 → c2 = 52 + 122 = 169 → c = 13 cm
tg
^
A = = 0,416 → A = 22° 37' 11,5°
^
B = 90° –
^
A = 67° 22' 48,5"
b)
^
B = 90° – 37° = 53°
sen
^
A = → c = = 71,45 m
tg
^
A = → b = = 57,06 m
c)
^
A = 90° – 58° = 32°
cos
^
B = → c = = 13,2 m
tg
^
B = → b = 7 · tg 58° = 11,2 m
d)
^
B = 90° – 71° = 19°
sen
^
A = → a = 5,8 · sen 71° = 5,48 km
cos
^
A = → b = 5,8 · cos 71° = 1,89 km
b
5,8
a
5,8
b
7
7
cos 58°
7
c
43
tg 37°
43
b
43
sen 37°
43
c
5
12
12 cm
5 cm
A
c
BC
b
37°
a = 43 m
A
c
BC
b
58°
a = 7 m
A
c
BC
b 71°
a
A
c = 5,8 km
BC

e)
^
A = 90° – 43° = 47°
cos
^
B = → a = 5 · cos 43° = 3,66 cm
sen
^
B = → b = 5 · sen 43° = 3,41 cm
3 Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta
una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?
sen
^
A = = 0,6 →
^
A = 36° 52' 11,6"
4 Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm, y en ese
momento un árbol da una sombra de 2,3 m.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal?
b)¿Cuál es la altura del árbol?
a) tg
^
B = = 2,
)
69 →
→ B = 69° 39' 21,2"
b)
^
B' =
^
B, luego:
tg
^
B' = →
→ x = 2,3 · tg
^
B' = 6,2
)
03 m
(NOTA: Se podría resolver con el teorema de Tales).
5 Calcula los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado desi-
gual mide 24 cm y el ángulo opuesto a la base mide 40o.
x
2,3
178
66
15
25
b
5
a
5
b
43°
a
A
c = 5 cm
BC
A
25 m
15 m
B
C
A
A'
C'
x
B'2,3 m 66 cm
1,78 m
BC
A
CB
c b b
h
h
24 cm 12 cm
40° 20°

8 cm
x
y
19°
38°
45°
30°
20 m
45°
C
B A
a b
h
x
30°
20 – x







→







→
sen 20° = →
^
b = ≈ 35,1 cm = c
tg 20° = →
^
h = ≈ 33 cm →
^
A = = = 396 cm
6 El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38o.
¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
sen 19° = →
^
y = 8 · sen 19° = 2,6 cm →
^
d = 5,2 cm
cos 38° = →
^
x = 8 · cos 19° = 7,6 cm →
^
D = 15,2 cm
7 Hemos colocado un cable sobre un mástil que
lo sujeta como muestra la figura.
¿Cuánto miden el mástil y el cable?
tg 45° = →
^
x = = = h
tg 30° =
→
^
tg 30° = →
^
(20 – h) tg 30° = h →
^
20 tg 30° – h tg 30° = h
→
^
20 tg 30° = h + h tg 30° →
^
h = = 7,32 m (mástil)
sen 45° = →
^
a = = = 10,35 m
sen 30° = →
^
b = = = 14,64 m
→
^
a + b = 24,99 m (cable)
7,32
sen 30°
h
sen 30°
h
b
7,32
sen 45°
h
sen 45°
h
a
20 tg 30°
1 + tg 30°
h
20 – h
h
20 – x
h
1
h
tg 45°
h
x
x
8
y
8
24 · 33
2
b · h
2
12
tg 20°
12
h
12
sen 20°
12
b

8 Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 100 m B
^
= 47o C
^
= 63o
b) b = 17 m A
^
= 70o C
^
= 35o
c) a = 70 m b = 55 m C
^
= 73o
d) a = 122 m c = 200 m B
^
= 120o
e) a = 25 m b = 30 m c = 40 m
f) a = 100 m b = 185 m c = 150 m
g) a = 15 m b = 9 m A
^
= 130o
h) b = 6 m c = 8 m C
^
= 57o
a) •
^
A = 180° – (
^
B +
^
C ) = 70°
• = →
→ = →
→ b = = 77,83 m
• = → c = = 94,82 m
b) •
^
B = 180° – (
^
A +
^
B ) = 75°
• = → a = = 16,54 m
• = → c = = 10,09 m
c) • c2 = 702 + 552 – 2 · 70 · 55 · cos 73° = 5 673,74 → c = 75,3 m
• 702 = 552 + 75,32 – 2 · 55 · 75,3 · cos
^
A →
→ cos
^
A = = 0,4582 → A = 62° 43' 49,4"
•
^
B = 180° – (
^
A +
^
C ) = 44° 16' 10,6"
d) • b2 = 1222 + 2002 – 2 · 122 · 200 · cos 120° = 79 284 → b = 281,6 m
• a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A → cos
^
A = →
→ cos
^
A = = 0,92698 → A = 22° 1' 54,45"
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B ) = 37° 58' 55,5"
281,62 + 2002 – 1222
2 · 281,6 · 200
b2 + c2 – a2
2bc
552 + 75,32 – 702
2 · 55 · 75,3
17 · sen 35°
sen 75°
c
sen 35°
17
sen 75°
17 · sen 70°
sen 75°
a
sen 70°
17
sen 75°
100 · sen 63°
sen 70°
c
sen 63°
100
sen 70°
100 · sen 47°
sen 70°
b
sen 47°
100
sen 70°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
A
B
C
a
b
c

e) • a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A →
→ cos
^
A = = = 0,7812 → A = 38° 37' 29,4"
• cos
^
B = = = 0,6625 → B = 48° 30' 33"
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B ) = 92° 51' 57,6"
f) • cos
^
A = = = 0,84189 → A = 32° 39' 34,4"
• cos
^
B = = = –0,0575 → B = 93° 17' 46,7"
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B ) = 54° 2' 38,9"
g) • = → sen
^
B = = 0,4596 → puede ser:
→
La solución
^
B2 no es válida, pues
^
A +
^
B2 > 180°.
•
^
C = 180° – (
^
A +
^
B ) = 22° 38' 13,2"
• = → c = = 7,54 m
h) • = → sen
^
B = = 0,6290 →
→
La solución B2 no es válida, pues
^
C +
^
B2 > 180°.
•
^
A = 180° – (
^
B +
^
C ) = 84° 1' 24,3"
• = → a = = 9,5 m
9 Al recorrer 3 km por una carretera, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo
forma la carretera con la horizontal?
sen
^
A = = 0,09
)
3 →
→ A = 5° 21' 19,44"
280
3 000
8 · sen
^
A
sen 57°
a
sen
^
A
8
sen 57°
^
B1 = 38° 58' 35,7"
^
B2 = 141° 1' 24,3"



6 · sen 57°
8
6
sen
^
B
8
sen 57°
15 · sen
^
C
sen 130°
c
sen
^
C
15
sen 130°
^
B1 = 27° 21' 46,8"
^
B2 = 152° 38' 13,2"



9 · sen 130°
15
9
sen
^
B
15
sen 130°
1002 + 1502 – 1852
2 · 100 · 150
a2 + c2 – b2
2ac
1852 + 1502 – 1002
2 · 185 · 150
b2 + c2 – a2
2bc
252 + 402 – 302
2 · 25 · 40
a2 + c2 – b2
2ac
302 + 402 – 252
2 · 30 · 40
b2 + c2 – a2
2bc
A B
C
3 km
280 m

10 Halla con la calculadora el ángulo α:
a) sen α = –0,75, α < 270o
b) cos α = –0,37, α > 180o
c) tg α = 1,38, sen α < 0
d) cos α = 0,23, sen α < 0
a) Con la calculadora → α = –48° 35' 25" ∈ 4-º cuadrante
Como debe ser → α ∈ 3er cuadrante
Luego α = 180° + 48° 35' 25" = 228° 35' 25"
b) Con la calculadora: 111° 42' 56,3"
→ α ∈ 3er cuadrante
→
α = 360° – 111° 42' 56,3"
→ α = 248° 17' 3,7"
c)
cos < 0 → α ∈ 3er cuadrante
Con la calculadora: tg–1 1,38 = 54° 4' 17,39"
α = 180° + 54° 4' 17,39" = 234° 4' 17,4"
d)
→ α ∈ 4-º cuadrante
Con la calculadora: cos–1 0,23 = 76° 42' 10,5"
α = –76° 42' 10,5" = 283° 17' 49,6"
11 Halla las restantes razones trigonométricas de α:
a) sen α = –4/5 α < 270o
b) cos α = 2/3 tg α < 0
c) tg α = –3 α < 180o



cos α = 0,23 > 0
sen α < 0



tg α = 1,38 > 0
sen α < 0



cos α < 0
α > 180°



sen α < 0
α < 270°







a)
→ α ∈ 3er cuadrante →
• cos2 α = 1 – sen2 α = 1 – = → cos α = –
• tg α = = =
b)
→ sen α < 0 → α ∈ 4-º cuadrante
• sen2 α = 1 – cos2 α = 1 – = → sen α = –
• tg α = = –
c)
→ α ∈ 2-º cuadrante →
• = tg2 α + 1 = 9 + 1 = 10 → cos2 α = → cos α = –
• tg α = → sen α = tg α · cos α = (–3) (– )=
12 Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 150o b) cos 135o c) tg 210o
d) cos 225o e) sen 315o f ) tg 120o
g) tg 340o h) cos 200o i) sen 290o
a) 150° = 180° – 30° → sen 150° = sen 30°
b) 135° = 180 – 45° → cos 135° = –cos 45°
c) 210° = 180° + 30° → tg 210° = = = tg 30°
d) 255° = 270° – 15° → cos 255° = –sen 15°
e) 315° = 360° – 45° → sen 315° = –sen 45°
f) 120° = 180° – 60° → tg 120° = = = –tg 60°
(También 120° = 90° + 30° → tg 120° = = = – )
g) 340° = 360° – 20° → tg 340° = = = –tg 20°
–sen 20°
cos 20°
sen 340°
cos 340°
1
tg 30
–cos 30°
sen 30°
sen 120°
cos 120°
sen 60°
–cos 60°
sen 120°
cos 120°
–sen 30°
–cos 30°
sen 210°
cos 210°
3√10
10
√10
10
sen α
cos α
√10
10
1
10
1
cos2 α
sen α > 0
cos α < 0






tg α < 0
α < 180°
√5
2
sen α
cos α
√5
3
5
9
4
9



cos α > 0
tg α < 0
4
3
–4/5
–3/5
sen α
cos α
3
5
9
25
16
25
sen α < 0
cos α < 0
tg α > 0








sen α < 0
α < 270°

h) 200° = 180° + 20° → cos 200° = –cos 20°
i) 290° = 270° + 20° → sen 290° = –cos 20°
(También 290° = 360° – 70° → sen 290° = –sen 70°)
13 Si sen α = 0,35 y α < 90o, halla:
a) sen (180o – α) b) sen (α + 90o)
c) sen (180o + α) d) sen (360o – α)
e) sen (90o – α) f) sen (360o + α)
a) sen (180° – α) = sen α = 0,35
b)
→
→ sen (α + 90°) = cos α = 0,94
c) sen (180° + α) = –sen α = –0,35
d) sen (360° – α) = –sen α = –0,35
e) sen (90° – α) = cos α = 0,94 (calculado en el apartado b))
f) sen (360° + α) = sen α = 0,35
14 Busca un ángulo del primer cuadrante cuyas razones trigonométricas coin-
cidan, en valor absoluto, con el ángulo dado:
a) 124o b) 214o c) 318o d) 100o
e) 190o 50' f) 295o g) 140o h) 258o
a) 124° = 180° – 56° → 56° b) 214° = 180° + 34° → 34°
c) 318° = 360° – 42° → 42° d) 100° = 180° – 80° → 80°
e) 190° 50' – 180° = 10° 50' f) 360° – 295 = 65°
g) 180° – 140° = 40° h) 258° – 180° = 78°
15 Si tg α = 2/3 y 0 < α < 90o, halla:
a) sen α b) cos α
c) tg (90o – α) d) sen (180o – α)
e) cos (180o + α) f) tg (360o – α)
a) tg α = → sen α = tg α · cos α
= tg2 α + 1 → = + 1 = →
→ cos α = = =
sen α = tg α · cos α = · =
2√13
13
3√13
13
2
3
3√13
13
3
√13√ 9
13
13
9
4
9
1
cos2 α
1
cos2 α
sen α
cos α



sen (α + 90°) = cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 – 0,352 = 0,8775 ⇒ cos α ≈ 0,94

b) Calculado en el apartado anterior: cos α =
c) tg (90° – α) = = =
d) sen (180° – α) = sen α =
e) cos (180° + α) = –cos α =
f) tg (360° – α) = = = –tg α = –
Página 121
PARA RESOLVER
16 Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del
suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15o y la estatua bajo un ángulo de
40o. Calcula la altura del pedestal.
tg 15° = → y =
tg 55° = → y =
→ x tg 55° = 2,5 tg 15° + x tg 15° →
→ x = = 0,58 m (el pedestal)
17 Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales
desde el avión a A y a B forman ángulos de 29o y 43o con la horizontal,
respectivamente. ¿A qué altura está el avión?
2,5 · tg 15°
tg 55° – tg 15°
2,5 + x
tg 55°
2,5 + x
y
x
tg 15°
x
y
2
3
–sen α
cos α
sen (360° – α)
cos (360° – α)
–3√13
13
2√13
13
3
2
cos α
sen α
sen (90° – α)
cos (90° – α)
3√13
13
40°
2,5 m
x
y
15°







→ = →
2,5 + x
tg 55°
x
tg 15°
80 km
43°29°
V (avión)
h
x
A B

tg 29° = → x =
tg 43° = → x =
→ = → h tg 43° = 80 tg 43° tg 29° – h tg 29° →
→ h = = 27,8 km
18 De un triángulo rectángulo se sabe que su área vale 864 cm2 y un cateto
mide 48 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.
→ A = ⇒ 864 = → c = 36 cm
b2 = a2 + c2 = 482 + 362 = 3 600 → b = 60 cm
sen
^
A = = = sen
^
B = sen 90° = 1 sen
^
C = =
cos
^
A = = = cos
^
B = cos 90° = 0 cos
^
C = =
tg
^
A = tg
^
C =
19 Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC.
☛ En el triángulo rectángulo ABD, halla AB
—
y
BD
—
. En BDC, halla C
^
y DC
—
. Para hallar B
^
, sabes
que A
^
+ B
^
+ C
^
= 180o.
• En ABD:
cos 50° = →
—
AB = = 4,7 cm
tg 50° = → BD = 3 tg 50° = 3,6 cm
• En BDC:
sen
^
C = = ≈ 0,5143 → C = 30° 56' 59"
cos
^
C = →
—
DC = 7 · cos
^
C ≈ 6 cm
• Así, ya tenemos:
^
A = 50° a = 7 cm
^
B = 180° – (
^
A +
^
C ) = 99° 3' 1" b =
—
AD +
—
DC = 9 cm
^
C = 30° 56' 59" c = 4,7 cm
—
DC
7
3,6
7
—
BD
7
—
BD
3
3
cos 50°
3
—
AB
3
4
4
3
4
5
48
60
3
5
36
60
c
b
3
5
36
60
4
5
48
60
a
b
48 · c
2
a · c
2



Área = 864 cm2
a = 48 cm
80 tg 43° tg 29°
tg 43° + tg 29°
80 tg 43° – h
tg 43°
h
tg 29°
80 tg 43° – h
tg 43°
h
80 – x
h
tg 29°
h
x
a
c
A
B C
b
A D C
B
3 cm
50°
7 cm

20 En una circunferencia de radio 6 trazamos una
cuerda AB a 3 cm del centro. Halla el ángulo AOB.
☛ Los triángulos AOP y BOP son iguales. En ambos
conoces un cateto y la hipotenusa. Halla el ángulo AOP,
que es la mitad de AOB.
—
OP = 3 cm
—
OB = 6 cm
OPB = 90°
→ AOB = 2 · POB = 2 · 60° = 120°
21 Halla el ángulo que forma la diagonal de la cara de
un cubo y la diagonal del cubo.
☛ Llama l a la arista del cubo y expresa, en función de l
la diagonal AD. Calcula sen α en el triángulo ADC.
• La diagonal
—
AC divide la base en dos triángulos rec-
tángulos isósceles iguales, donde
—
AC es la hipotenusa.
Así:
—
AC 2 = l2 + l2 = 2l2 (por el teorema de Pitágoras)
• ACD es un triángulo rectángulo, donde
—
AD es la hipotenusa. Así:
—
AD2 = l2 +
—
AC2 = l2 + 2l2 = 3l2 →
—
AD = l
• En ACD, sen α = = = = → α = 35° 15' 51,8"
22 Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan
entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora.
Estas direcciones forman con AB ángulos de 40o y 65o. ¿A qué distancia de
A y B se encuentra la emisora?
√3
3
1
√3
l
√3l
l
—
AD
√3
BA
O
P
P
6 cm
3 cm
B
O
D
A
C
l
α







→ cos POB = = → POB = 60° →
1
2
3
6
E
A
ab
B
10 km
65°40°

^
E = 180° – (
^
A +
^
B) = 75°
Aplicando el teorema de los senos:
= → a = = 6,65 km dista de B
= → b = = 9,38 km dista de A
23 En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m
y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo
qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
Aplicando el teorema del coseno:
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos
^
B →
→ cos
^
B = = = 0,5 → B = 60
24 Calcula el área y las longitudes de los lados y de
la otra diagonal:
☛ BAC = ACD = 50 o. Calcula los lados del triángulo
ACD y su área. Para hallar la otra diagonal, conside-
ra el triángulo ABD.
• Los dos triángulos en que la diagonal divide
al paralelogramo son iguales.
Luego bastará resolver uno de ellos para cal-
cular los lados:
^
B = 180° – (
^
A +
^
C ) = 110°
= → a = = 14,7 m
= → c = = 6,6 m
Así:
—
AB =
—
CD = c = 6,6 m
—
BC =
—
AD = a = 14,7 m
18 · sen 20°
sen 110°
18
sen 110°
c
sen 20°
18 · sen 50°
sen 110°
18
sen 110°
a
sen 50°
82 + 52 – 72
2 · 8 · 5
a2 + c2 – b2
2ac
10 · sen 65°
sen 75°
10
sen 75°
b
sen 65°
10 · sen 40°
sen 75°
10
sen 75°
a
sen 40°
A C
B (balón)
b = 7 m
a = 8 m
c = 5 m
(portería)
18 m
20°
50°
A
B
D
C
B a
c
A
C
h
18 m
20°
50°

Para calcular el área del triángulo ABC:
sen 50° = → h = c · sen 50° →
→ ÁreaABC = = = = 45,5 m2
El área del paralelogramo será:
ÁreaABCD = 2 · ÁreaABC = 2 · 45,5 = 91 m2
• Para calcular la otra diagonal consideremos el triángulo ABD:
^
A = 50° + 20° = 70°
Aplicando el teorema del coseno:
—
BD2 = 6,62 + 14,72 – 2 · 6,6 · 14,7 · cos 70° ≈
≈ 193,28 → BD = 13,9 m
25 Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes
comunes forman un ángulo de 30o. Calcula la distancia entre los centros.
Los triángulos AMP y BNP son rectángulos.
La recta que une los centros (A y B) es la bisectriz del ángulo 30°:
BPN = APM = 15°
Así:
sen 15° = →
—
BP = = 38,6 cm
sen 15° = →
—
AP = = 50,2 cm
Y, por tanto:
—
AB =
—
AP –
—
BP = 50,2 – 38,6 = 11,6 cm
13
sen 15°
13
—
AP
10
sen 15°
10
—
BP
18 · 6,6 · sen 50°
2
18 · c · sen 50°
2
18 · h
2
h
c
6,6 m
70°
14,7 m
A D
B
13 cm
A
M
N
P
B
30°
10 cm

26 Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo
de 127o. El primero sale a las 10 h de la mañana con una velocidad de 17 nu-
dos, y el segundo sale a las 11 h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el
alcance de sus equipos de radio es de 150 km, ¿podrán ponerse en contacto
a las 3 de la tarde?
(Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m)
La distancia que recorre cada uno en ese tiempo es:
Barco A →
—
PA = 17 · 1 850 m/h · 5 h = 157250 m
Barco B →
—
PB = 26 · 1850 m/h · 3,5 h = 168350 m
Necesariamente,
—
AB >
—
PA y
—
AB >
—
PB, luego:
—
AB > 168350 m
Como el alcance de sus equipos de radio es 150000 m, no podrán ponerse en con-
tacto.
(NOTA: Puede calcularse
—
AB con el teorema del coseno →
—
AB = 291432,7 m).
27 Halla el perímetro del cuadrilátero ABCD inscrito en
una circunferencia de 6 cm de radio.
☛ Ten en cuenta que los triángulos AOB, BOC, COD
y DOA son isósceles.
Como el radio es 6 cm, los lados iguales a cada uno
de esos triángulos isósceles miden 6 cm.
Así, para cada triángulo, conocidos dos lados y el
ángulo comprendido, podemos hallar el tercer lado
con el teorema del coseno.
• En AOB:
—
AB2 = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 60° = 36 →
—
AB = 6 cm
(Como era de esperar por ser un triángulo equilátero).
• En BOC:
—
BC2 = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 80° = 59,5 →
—
BC = 7,7 cm
• En COD:
—
CD2 = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 100° = 84,5 →
—
CD = 9,2 cm
• En DOA:
—
DA2 = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 120° = 108 →
—
DA = 10,4 cm
• Por tanto, Perímetro = 6 + 7,7 + 6,6 + 6,9 = 33,3 cm
127°
A
B
P
A
D
O
C
B
60°
80°
100°

28 En un rectángulo ABCD de lados 8 y 12 cm, se traza desde B una perpendicu-
lar a la diagonal AC, y desde D, otra perpendicular a la misma diagonal. Sean
M y N los puntos donde esas perpendiculares cortan a la diagonal. Halla la lon-
gitud del segmento
—
MN.
☛ En el triángulo ABC, halla C
^
. En el triángulo BMC, halla MC
—
. Ten en cuenta que:
M N
—
= AC
—
– 2 MC
—
Los triángulos AND y BMC son iguales, luego
—
AN =
—
MC
Como
—
MN =
—
AC –
—
AN –
—
MC, entonces:
—
MN =
—
AC – 2
—
MC
Por tanto, basta con calcular
—
AC en el triángulo ABC y
—
MC en el triángulo BMC.
• En ABC:
—
AC 2 = 82 + 122 = 208 (por el teorema de Pitágoras) →
—
AC = 14,4 cm
Calculamos C (en ABC):
tg
^
C = = 1,5 → C = 56° 18' 35,8"
• En BMC:
cos
^
C = →
—
MC = 8 · cos (56° 18' 35,8") = 4,4 cm
Por último:
—
MN =
—
AC – 2
—
MC = 14,4 – 2 · 4,4 = 5,6 cm
29 Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9 m y
4 m, respectivamente. Halla el ángulo 2α que forman sus tangentes comunes.
☛ Los radios forman con las tangentes dos triángulos rectángulos. Como OP
—
= 4 + x,
se tiene:
sen α = y sen α =
Calcula x y después α.
9
17 + x
4
4 + x
—
MC
8
12
8
BA
CD
N
M
12 cm
8 cm
9
4 α
P
x
O' O

—
OP = 4 + x → sen α =
—
O'P = 9 + 4 + 4 + x = 17 + x → sen α =
→ = → 4(17 + x) = 9(4 + x) →
→ 68 – 36 = 9x – 4x → 32 = 5x → x = 6,4 m
Sustituyendo x por su valor:
sen α = = = = 0,3846 → α = 22° 37' 11,5"
Así: 2α = 45° 14' 23"
30 Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y
más bajo que el punto de observación, con los datos
de la figura.
Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos
partes en que queda dividida la torre según la figura
dada; y llamemos z a la distancia de P a la torre.
tg 48° = → x = z · tg 48°
tg 30° = → x = (z + 50) tg 30°
→ z · tg 48° = (z + 50) tg 30° →
→ z · tg 48° = z · tg 30° + 50 · tg 30° → z = = 54,13 m
Sustituyendo en x = z · tg 48° = 54,13 · tg 48° = 60,12 m = x
Para calcular y: tg 20° = → y = z · tg 20° = 54,13 · tg 20° = 19,7 m
Luego:
—
QR = x + y = 79,82 m mide la altura de la torre.
31 Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y
más alto que el punto donde se encuentra el obser-
vador, con los datos de la figura.
Llamemos x a la distancia del punto más alto a la
línea horizontal del observador; y a la distancia
de la base de la torre a la misma línea; y z a la
distancia
—
R'P, como se indica en la figura.
y
z
50 tg 30°
tg 48° – tg 30°
x
z + 50
x
z
4
10,4
4
4 + 6,4
4
4 + x
9
17 + x
4
4 + x
9
17 + x
4
4 + x







→
P P'
48° 30°
20°
Q
R
50 m
P P'
48° 30°
20°
Q
x
z
y
R
50 m
P'
32°
22°
P
Q
R
18°
50 m







→

tg (18° + 22°) = tg 40° = → x = z · tg 40°
tg 32° = → x = (z + 50) tg 32°
→ z · tg 40° = (z + 50) tg 32° → z = = 145,84
Sustituyendo en x = z · tg 40° = 145,84 · tg 40° = 122,37 m
Para calcular y:
tg 18° = → y = z · tg 18° = 145,84 · tg 18° = 47,4 m
Por tanto:
—
QR = x – y = 74,97 m mide la altura de la torre
32 La longitud del lado de un octógono regular es 8 cm. Halla los radios de las cir-
cunferencias inscrita y circunscrita al octógono.
Consideremos el triángulo isósceles formado por el centro del
polígono y uno de sus lados:
^
C = = 45°
• El radio de la circunferencia inscrita será la altura h de ese
triángulo:
tg = tg 22,5° = → h = = 9,66 cm
• El de la circunferencia circunscrita será el lado l del triángulo:
sen = sen 22,5° = → l = = 10,45 cm
33 Explica si las siguientes igualdades referidas al triángulo ABC
son verdaderas o falsas:
1) a = 2) c = a cos B
^
3) c = 4) b = a sen C
^
5) tg B
^
· tg C
^
= 1 6) c tg B
^
= b
7) sen B
^
– cos C
^
= 0 8) a = b
cos C
^
b
tg C
^
b
sen B
^
4
sen 22,5°
4
l
45°
2
4
tg 22,5°
4
h
45°
2
360°
8
y
z
50 tg 32°
tg 40° – tg 32°
x
z + 50
x
z







→
P'
32°
22°
P
Q
R
R'
18°
50 m
x
y
z
8 cm
C
l
h
B
ab
c
C
A

9) b = 10) =
11) sen B
^
· cos C
^
= 1 12) = 1
1) Verdadera, pues sen
^
B = → a =
2) Verdadera, pues cos
^
B = → a · cos
^
B = c
3) Falsa, pues tg
^
C = → c = b · tg
^
C
4) Falsa, pues sen
^
C = → a · sen
^
C = c ≠ b
5) Verdadera, pues tg
^
B · tg
^
C = · = 1
6) Verdadera, pues tg
^
B = → b = c · tg
^
B
7) Verdadera, pues sen
^
B – cos
^
C = – = 0
8) Verdadera, pues cos
^
C = → a =
9) Falsa, pues tg
^
B = → b = c · tg
^
B
10) Verdadera, pues sen2 ^
B + cos2 ^
B = 1 → cos
^
B =
Como cos
^
B = → =
11) Falsa, pues sen
^
B · cos
^
C = · = ≠ 1 (porque b ≠ a)
12) Verdadera, pues = = 1
34 Prueba que en un triángulo cualquiera se verifica:
= = = 2R
R es el radio de la circunferencia circunscrita.
☛ Traza el diámetro desde uno de los vértices del
triángulo ABC. Aplica el teorema de los senos en los
triángulos ABC y A'BC.
c
sen C
^
b
sen B
^
a
sen A
^
b/a
b/a
sen
^
B
cos
^
C
b2
a2
b
a
b
a
c
a
√1 – sen2 ^
B
c
a
√1 – sen2 ^
B
b
c
b
sen
^
C
b
a
b
a
b
a
b
c
c
b
b
c
c
a
c
b
c
a
b
sen
^
B
b
a
sen B
^
cos C
^
c
a
√1 – sen2 B
^
c
tg B
^
B
A
A'
C
O

Aplicamos el teorema de los senos en los triángulos ABC y A'BC:
• En ABC → = =
• En A'BC → =
Sucede que:
—
BC = a
^
A' =
^
A (ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco)
—
A'C = 2R
A'BC = 90° (medida de ángulos inscritos en una circunferencia)
La igualdad queda: = → = = 2R
• Por último, sustituyendo en la primera expresión, se obtiene el resultado:
2R = = =
35 Prueba que solo existe un triángulo con estos datos: b = m, a = 1,5 m, A
^
= 60°
¿Existe algún triángulo con estos datos?
C
^
= 135°, b = 3 cm, c = 3 cm
• a2 = b2 + c2 – 2bc cos
^
A
1,52 = ( )2
+ c2 – 2 c cos 60°
2,25 = 3 + c2 – 2 c ·
c2 – c + 0,75 = 0
c = = m
La ecuación de segundo grado solo tiene una raíz. Solo hay una solución.
(NOTA: También se pueden estudiar las dos soluciones que salen para B con el
teorema del seno y ver que una de ellas no es válida, pues quedaría
^
A +
^
B > 180°).
• Podemos resolverlo con el teorema del coseno, como antes, o con el teorema
del seno. Resolvemos este apartado con el segundo método mencionado:
= → = →
→ sen
^
B = = sen 135° = 1 →
^
B = 90°
Pero:
^
C +
^
B = 135° + 90° > 180° ¡Imposible!
Luego la solución no es válida y, por tanto, concluimos que no hay ningún
triángulo con esos datos.
√2
3√2 sen 135°
3
3
sen 135°
3√2
sen
^
B
c
sen
^
C
b
sen
^
B
√3
2
√
—
3 ± √3 – 3
2
√3
1
2
√3
√3√3
√2
√3
c
sen
^
C
b
sen
^
B
a
sen
^
A
2R
1
a
sen
^
A
2R
sen 90°
a
sen
^
A
—
A'C
sen A'BC
—
BC
sen
^
A'
c
sen
^
C
b
sen
^
B
a
sen
^
A
a = 1,5 m
b = √
—
3 m
60°
C
B
A

PARA PROFUNDIZAR
36 Dos vías de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un
ángulo de corte es de 40°, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?
sen 40° = → l = = 2,18 m
37 En un tetraedro regular, halla el ángulo que forman dos caras contiguas.
(Observa que es el ángulo que forman las alturas concurrentes de esas dos
caras).
En un tetraedro regular, cada cara es un triángulo equiláte-
ro de altura h, donde:
l2 = h2 + ( )
2
→ h2 = l2 – = l2 → h = l
El triángulo formado por las alturas concurrentes de dos
caras y una arista es isósceles.
Aplicamos el teorema del coseno:
l2 = h2 + h2 – 2h h cos α → cos α = = =
= 1 – = 1 – = 1 – = 1 – =
α = 70° 31' 43,6"
38 Queremos calcular la distancia entre dos puntos
inaccesibles, A y B. Desde C y D tomamos los
datos: CD
—
= 300 m, ADB = 25o, ACB = 32o, ACD =
46o, BDC = 40o. Calcula AB
—
.
Si conociésemos
—
AC y
—
BC, podríamos hallar
—
AB
con el teorema del coseno en ABC.
Calculemos, pues,
—
AC y
—
BC:
• En el triángulo ADC:
^
A = 180° – 65° – 46° = 69°
Por el teorema del seno:
= →
→
—
AC = = 291,24 m
300 · sen 65°
sen 69°
—
AC
sen 65°
300
sen 69°
1
3
2
3
1
3/2
l2
2 · (3/4)l2
l2
2h2
2h2 – l2
2h2
h2 + h2 – l2
2h h
√3
2
3
4
l 2
4
l
2
1,4
sen 40°
1,4
l
40°
40°
1,4 m
l
l
α
l
h
C
A
25°
40° 46°
32°
B
D
300 m
300 m
65° 46°
A
CD

• En el triángulo BCD:
^
B = 180° – 40° – 78° = 62°
Por el teorema del seno:
= →
→
—
BC = = 218,40 m
• Podemos centrarnos ya en el triángulo ABC, y aplicar el
teorema del coseno:
—
AB2 = 291,242 + 218,402 – 2 · 291,24 · 218,40 · cos 32° =
= 24 636,019
—
AB = 156,96 m
39 En un círculo de 15 cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda
de 20 cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.
Podemos dividir la zona sombreada en tres, de forma
que:
I = III → sectores circulares de ángulo α desconocido.
II → triángulo isósceles de lados iguales 15 cm y de
lado desigual 20 cm.
• En II:
Calculemos la altura h desde C:
152 = h2 + 102 → h = = 11,18 cm
Así: ÁreaII = = = 111,8 cm2
Calculemos el ángulo β (el ángulo desigual) aplicando el teorema del coseno:
202 = 152 + 152 – 2 · 15 · 15 · cos β
cos β = = 0,
)
1 → β = 83° 37' 14,3"
• En I:
Conocido β podemos calcular α fácilmente:
α = = 48° 11' 22,9"
180° – β
2
152 + 152 – 202
2 · 15 · 15
20 · 11,18
2
base × altura
2
√152 – 102
300 · sen 40°
sen 62°
—
BC
sen 40°
300
sen 62°
300 m
40° 78°
B
CD
291,24 m
218,40m
32°
B
C
A
20 cm
α α
β
15 cm
I
II
III
C

Y, con esto, el área:
ÁreaI = · α = · α = 94,62 cm2
• Por último, el área pedida será:
AT = ÁreaII + 2 · ÁreaI = 111,8 + 2 · 94,62 → AT = 301,04 cm2
40 Para medir la altura de una montaña AB
—
nos
hemos situado en los puntos C y D distantes
entre sí 250 m, y hemos tomado las siguien-
tes medidas:
ACB = 60o BCD = 65o BDC = 80o
Calcula la altura de la montaña.
Para poder calcular la altura
—
AB en el triángulo BAC necesitamos
—
BC, que lo
podemos obtener aplicando el teorema del seno en el triángulo BCD:
CBD = 180° – 80° – 65° = 35°
= →
—
BC = = 429,24
En BAC:
sen 60° = →
—
AB =
—
BC sen 60° = 429,24 · sen 60°
—
AB = 371,73 m
41 Calcula el ángulo que forma la tangente a las
circunferencias de la figura con la línea que
une sus centros. Los radios miden 4 y 9 cm, y
la distancia entre sus centros es de 16 cm.
En AMP → sen α =
4
—
AP
—
AB
—
BC
250 · sen 80°
sen 35°
—
BC
sen 80°
250
sen 35°
π · 152
360°
π r 2
360°
t
9 cm
4 cm
A P
N
M
B
t
α

En BNP → sen α =
4 (16 –
—
AP) = 9
—
AP → 64 – 4
—
AP = 9
—
AP → 64 = 13
—
AP →
—
AP =
Sustituyendo en la primera ecuación:
sen α = = = 0,8125 → α = 54° 20' 27,3"
42 Las razones trigonométricas sen, cos y tg se amplían con estas otras:
secante: sec α =
cosecante: cosec α =
cotangente: cotg α =
Demuestra mediante semejanza de triángulos que estas razones trigonométricas
se representan sobre la circunferencia goniométrica del siguiente modo:
sec α = OT
—
, cosec α = OQ
—
, cotg α = PQ
—
• Como OCS ~ ORT → = ; además,
—
OR = 1 (radio)
Así: sec α = = = = = =
—
OT
• Como OCS ~ QPO → = ; además,
—
OP = 1
Así: cosec α = = = = = =
—
QO
• Como ORT ~ QPO → = ; además,
—
OP = 1
Así: cotg α = = = = = =
—
PQ
43 En un triángulo cualquiera cada bisectriz interior divide al lado opuesto en dos
segmentos proporcionales a los otros dos lados. Es decir:
=
Demuestra esta igualdad y expresa las igualdades correspondientes a las otras
dos bisectrices, AA' y CC'.
BA
—
BC
—
B'A
—
B'C
—
—
PQ
1
—
PQ
—
OP
—
OR
—
TR
1
—
TR
1
tg α
—
PQ
—
OP
—
OR
—
TR
—
QO
1
—
QO
—
OP
—
OS
—
SC
1
—
SC
1
sen α
—
QO
—
OP
—
OS
—
SC
—
OT
1
—
OT
—
OR
—
OS
—
OC
1
—
OC
1
cos α
—
OT
—
OR
—
OS
—
OC
1
tg α
1
sen α
1
cos α
52
64
4
64/13
64
13
9
16 –
—
AP
1
P
O Cc R
ts
TS
Q
A
βα
B
B' C
2
B
^
2
B
^

• En ABB' → = → sen =
• En CBB' → = → sen =
=
Como α + β = 180° → sen α = sen β
=
Las igualdades correspondientes a las otras dos bisectrices son:
= y =
44 Demuestra que en un triángulo de lados a, b, c el valor de
la mediana, ma , sobre el lado a es:
ma =
(Aplica el teorema del coseno en los triángulos
ABMa y ABC utilizando, en ambos casos, la ex-
presión en la que figura cos B
^
).
En ABC → b2 = a2 + c2 – 2ac cos
^
B
En ABMa → ma
2 = ( )
2
+ c2 – 2 c cos
^
B
Despejamos cos
^
B en la primera ecuación y después sustituimos en la segunda:
cos
^
B =
ma
2 = + c2 – ac cos
^
B
ma
2 = + c2 – ac · = + c2 – =
= =
= = (2b2 + 2c2 – a2)
Luego:
ma = (2b2 + 2c2 – a2) → ma = √2b2 + 2c2 – a21
2
1
4
1
4
–a2 + 2c2 + 2b2
4
a2 + 4c2 – (2a2 + 2c2 – 2b2)
4
a2 + c2 – b2
2
a2
4
a2 + c2 – b2
2ac
a2
4
a2
4
a2 + c2 – b2
2ac
a
2
a
2
√2b2 + 2c2 – a21
2
—
C'B
—
CB
—
C'A
—
CA
—
A'C
—
AC
—
A'B
—
AB
—
B'C
—
BC
—
B'A
—
BA
—
B'C sen β
—
BC
—
B'A sen α
—
BA
—
B'C sen β
—
BC
^
B
2
—
BC
sen β
—
B'C
sen
^
B/2
—
B'A sen α
—
BA
^
B
2
—
BA
sen α
—
B'A
sen
^
B/2
B
c b
A
C
2
a
2
aMa
ma
√

1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la
página siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270º?
a) 2π b) = 57° 17' 44,8"
c) · = 90° d) · 2π = 3
Página 128
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30° b) 72° c) 90° d) 127° e) 200° f ) 300°
Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:
30° = 30 · rad = rad ≈ 0,52 rad
a) · 30° = rad ≈ 0,52 rad
b) · 72° = rad ≈ 1,26 rad
c) · 90° = rad ≈ 1,57 rad
d) · 127° ≈ 2,22 rad
e) · 200° = rad ≈ 3,49 rad
f) · 300° = rad ≈ 5,24 rad
5π
3
2π
360°
10π
9
2π
360°
2π
360°
π
2
2π
360°
2π
5
2π
360°
π
6
2π
360°
π
6
π
180
π
2
270°
360°
π
2
360°
2π
360°
2π
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 1
FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
5

3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad
a) · 2 = 114° 35' 29,6"
b) · 0,83 = 47° 33' 19,8"
c) · = 36°
d) · = 150°
e) · 3,5 = 200° 32' 6,8"
4. Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, cose-
no y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo aparta-
do:
La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.
Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.
Página 133
1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β) = cos (α + (–β)) = cos α cos (–β) – sen α sen (–β) =
= cos α cos β – sen α (–sen β) =
= cos α cos β + sen α sen β
2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:
tg (α – β) =
tg (α – β) = tg (α + (–β)) =
(*)
= =
=
(*) Como → tg (–α) = –tg α



sen (–α) = –sen α
cos (–α) = cos α
tg α – tg β
1 + tg α tg β
tg α + (–tg β)
1 – tg α (–tg β)
tg α + tg (–β)
1 – tg α tg (–β)
tg α + tg β
1 – tg α tg β
360°
2π
5π
6
360°
2π
π
5
360°
2π
360°
2π
360°
2π
5π
6
π
5
GRADOS 0 30 60 90 135 150 210 225 270 330 360
RADIANES π π π π π7
4
5
3
4
3
2
3
π
4

3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las fórmulas:
sen (α – β) = sen α cos β – cos α – sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α – sen β
tg (α – β) = =
(*)
=
= =
(*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.
Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,
utilizando las fórmulas (I) y (II).
• sen 12° = 0,2
cos 12° = = = 0,98
tg 12° = = 0,2
• sen 37° = 0,6
cos 37° = = = 0,8
tg 37° = = 0,75
• 49° = 12° + 37°, luego:
sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
tg 49° = tg (12° + 37°) = = = 1,12
(Podría calcularse tg 49° = ).
• 25° = 37° – 12°, luego:
sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° =
= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428
cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° =
= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904
tg 25° = tg (37° – 12°) = = = 0,478
0,75 – 0,2
1 + 0,75 · 0,2
tg 37° – tg 12°
1 + tg 37° tg 12°
sen 49°
cos 49°
0,2 + 0,75
1 – 0,2 · 0,75
tg 12° + tg 37°
1 – tg 12° tg 37°
0,6
0,8
√1 – 0,36√1 – sen2 37°
0,2
0,98
√1 – 0,04√1 – sen2 12°
tg α – tg β
1 + tg α tg β
sen α cos β cos α sen β
—————— – ——————
cos α cos β cos α cos β
cos α cos β sen α sen β
—————— + ——————
sen α cos β – cos α sen β
cos α cos β + sen α sen β
sen (α – β)
cos (α – β)

5. Demuestra la siguiente igualdad:
=
= =
= = =
6. Demuestra las tres fórmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo α = β en las fór-
mulas (I).
sen 2α = sen (α + α) = sen α cos α + cos α sen α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α – sen α sen α = cos2 α – sen2 α
tg 2α = tg (α + α) = =
7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.
sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = 2 · · =
cos 60° = cos (2 · 30°) = cos2 30° – sen2 30° = ( )
2
– ( )
2
= – = =
tg 60° = tg (2 · 30°) = = = = =
8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.
sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = 2 · · = 1
cos 90° = cos (2 · 45°) = cos2 45° – sen2 45° = ( )
2
– ( )
2
= 0
tg 90° = tg (2 · 45°) = = → No existe.
9. Demuestra que = .
= = =
Página 134
10. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmu-
las IV.1, IV.2 y IV.3.
• cos α = cos (2 · )= cos2 – sen2 α
2
α
2
α
2
1 – cos α
1 + cos α
2 sen α (1 – cos α)
2 sen α (1 + cos α)
2 sen α – 2 sen α cos α
2 sen α + 2 sen α cos α
2 sen α – sen 2α
2 sen α + sen 2α
1 – cos α
1 + cos α
2 sen α + sen 2α
2 · 1
1 – 1
2 tg 45°
1 – tg2 45°
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√3
2 · √
—
3/3
2/3
2 · √
—
3/3
1 – 3/9
2 · √
—
3/3
1 – (√
—
3/3)2
2 tg 30°
1 – tg2 30°
1
2
2
4
1
4
3
4
1
2
√3
2
√3
2
√3
2
1
2
2 tg α
1 – tg2 α
tg α + tg α
1 – tg α tg α
1
tg a
cos a
sen a
2 cos a cos b
2 sen a cos b
cos a cos b – sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b
sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b – cos a sen b
cos (a + b) + cos (a – b)
sen (a + b) + sen (a – b)
1
tg a
cos (a + b) + cos (a – b)
sen (a + b) + sen (a – b)

Como por la igualdad fundamental:
cos2 + sen2 = 1 → 1 = cos2 + sen2
De aquí:
a) Sumando ambas igualdades:
1 + cos α = 2 cos2 → cos2 = → cos = ±
b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):
1 – cos α = 2 sen2 → sen2 = → sen = ±
• Por último:
tg = = =
11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones
trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
• cos 78° = 0,2
sen 78° = = = 0,98
tg 78° = = 4,9
• sen 39° = sen = = = 0,63
cos 39° = cos = = = 0,77
tg 39° = tg = = = 0,82
12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.
• cos 60° = 0,5
• sen 30° = sen = = 0,5
cos 30° = cos = = 0,866
tg 30° = tg = = 0,577
√1 – 0,5
1 + 0,5
60°
2
√1 + 0,5
2
60°
2
√1 – 0,5
2
60°
2
√1 – 0,2
1 + 0,2√1 – cos 78°
1 + cos 78°
78°
2
√1 + 0,2
2√1 + cos 78°
2
78°
2
√1 – 0,2
2√1 – cos 78°
2
78°
2
0,98
0,2
√1 – 0,22√1 – cos2 78°
√1 – cos α
1 + cos α
±
√1 – cos α
2
±
√1 + cos α
2
sen α/2
cos α/2
α
2
√1 – cos α
2
α
2
1 – cos α
2
α
2
α
2
√1 + cos α
2
α
2
1 + cos α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
α
2

13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.
• cos 90° = 0
• sen 45° = sen = = =
cos 45° = cos = =
tg 45° = tg = = = 1
14. Demuestra que 2tg α · sen2 + sen α = tg α.
2 tg α · sen2 + sen α = 2 tg α · + sen α =
= (1 – cos α) + sen α = sen α ( + 1)=
= sen α ( )= sen α · =
= = tg α
15. Demuestra que = tg2 .
= =
= = = tg2
Página 135
16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:
• Expresa en función de α y β:
cos (α + β) = … cos (α – β) = …
• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.
• Sustituye en las expresiones anteriores:
α + β = A
α – β = B
• cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
Sumando → cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (1)
Restando → cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sen α sen β (2)
α
2
1 – cos α
1 + cos α
2 sen α + sen 2α
α
2
2sen α – sen 2α
2sen α + sen 2α
sen α
cos α
1
cos α
1 – cos α + cos α
cos α
1 – cos α
cos α
sen α
cos α
1 – cos α
2
α
2
α
2
√1
√1 – 0
1 + 0
90°
2
√2
2√1 + 0
2
90°
2
√2
2√1
2√1 – 0
2
90°
2

• Llamando → α = , β = (al resolver el sistema)
• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:
(1) → cos A + cos B = 2 cos cos
(2) → cos A – cos B = –2 sen sen
17. Transforma en producto y calcula:
a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°
a) sen 75° – sen 15° = 2 cos sen =
= 2 cos 45° sen 30° = 2 · · =
b) cos 75° + cos 15° = 2 cos cos =
= 2 cos 45° cos 30° = 2 · · =
c) cos 75° – cos 15° = –2 sen sen =
= –2 sen 45° cos 30° = –2 · · = –
18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-
ción y simplifica el resultado:
= = = tg 3a
Página 137
1. Resuelve estas ecuaciones:
a) 2cos2 x + cos x – 1 = 0 b) 2sen2 x – 1 = 0
c) tg2 x – tg x = 0 d) 2sen2 x + 3cos x = 3
a) cos x = = =
Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).
1/2 → x1 = 60°, x2 = 300°
–1 → x3 = 180°
–1 ± 3
4
–1 ± √1 + 8
4
2 sen 3a
2 cos 3a
4a + 2a 4a – 2a
2 sen ——–—— cos —–———
2 2
4a + 2a 4a – 2a
2 cos ——–—— cos —–———
2 2
sen 4a + sen 2a
cos 4a + cos 2a
sen 4a + sen 2a
cos 4a + cos 2a
√6
2
√3
2
√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
√6
2
√3
2
√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
√2
2
1
2
√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
A – B
2
A + B
2
A – B
2
A + B
2
A – B
2
A + B
2



α + β = A
α – β = B

b) 2 sen2 x – 1 = 0 → sen2 x = → sen x = ± = ±
• Si sen x = → x1 = 45°, x2 = 135°
• Si sen x = – → x3 = –45° = 315°, x4 = 225°
Todas las soluciones son válidas.
c) tg2 x – tg x = 0 → tg x (tg x – 1) = 0 →
→
tg x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
tg x = 1 → x3 = 45°, x4 = 225°
Todas las soluciones son válidas.
d) 2 sen2 x + 3 cos x = 3
(*)
→2 (1 – cos2 x) + 3 cos x = 3
(*) Como sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 – cos2 x
2 – 2 cos2 x + 3 cos x = 3 → 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0
cos x = = =
Entonces: • Si cos x = 1 → x1 = 0°
• Si cos x = → x2 = 60°, x3 = –60° = 300°
Las tres soluciones son válidas.
2. Resuelve:
a) 4cos 2x + 3 cos x = 1 b) tg 2x + 2cos x = 0
c) cos (x/2) – cos x = 1 d) 2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0
a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 → 4 (cos2 x – sen2 x) + 3 cos x = 1 →
→ 4 (cos2 x – (1 – cos2 x)) + 3 cos x = 1 → 4 (2 cos2 x – 1) + 3 cos x = 1 →
→ 8 cos2 x – 4 + 3 cos x = 1 ⇒ 8 cos2 x + 3 cos x – 5 = 0 →
→ cos x = = =
• Si cos x = 0,625 → x1 = 51° 19' 4,13", x2 = –51° 19' 4,13"
• Si cos x = –1 → x3 = 180°
Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.
b) tg 2x + 2 cos x = 0 → + 2 cos x = 0 →
→ + cos x = 0 → + cos x = 0 →
sen x/cos x
1 – (sen2 x/cos2 x)
tg x
1 – tg2 x
2 tg x
1 – tg2 x
10/16 = 5/8 = 0,625
–1
–3 ± 13
16
–3 ± √9 + 160
16
√2
1
2
1
1/2
3 ± 1
4
3 ± √9 – 8
4
√2
2
√2
2
√2
2
1
√2
1
2

→ + cos x = 0 → sen x cos x + cos x (cos2 x – sen2 x) = 0 →
→ cos x (sen x + cos2 x – sen2 x) = 0 → cos x (sen x + 1 – sen2 x – sen2 x) →
→ cos x (1 + sen x – 2 sen2 x) = 0 →
→
cos x = 0
1 + sen x – 2 sen2 x = 0 → sen x = =
• Si cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
• Si sen x = – → x3 = 210°, x4 = 330° = –30°
• Si sen x = 1 → x5 = 90° = x1
Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.
c) cos – cos x = 1 → – cos x = 1 →
→ – cos x = 1 → = 1 + cos x →
→ 1 + cos x = 1 + cos2 x + 2 cos x → cos2 x + cos x = 0 → cos x (cos x + 1) = 0
• Si cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
• Si cos x = –1 → x3 = 180°
Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son:
x1 = 90° y x3 = 180°
d) 2 sen x cos2 x – 6 sen3 x = 0 → 2 sen x (cos2 x – 3 sen2 x) = 0 →
→ 2 sen x (cos2 x + sen2 x – 4 sen2 x) = 0 → 2 sen x (1 – 4 sen2 x) = 0
• Si sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
• Si sen2 x = → sen x = ± ⇒ x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°
Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.
3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuación
sen 3x – sen x = 0.
sen 3x – sen x = 0 → 2 cos sen = 0 → 2 cos 2x sen x = 0 →
→
• Si cos 2x = 0 →
• Si sen x = 0 ⇒ x5 = 0°, x6 = 180°
Comprobamos que las seis soluciones son válidas.
2x = 90° → x1 = 45°
2x = 270° → x2 = 135°
2x = 90° + 360° → x3 = 225°
2x = 270° + 360° → x4 = 315°







cos 2x = 0
sen x = 0



3x – x
2
3x + x
2
1
2
1
4
√1 – cos x√1 + cos x
√1 + cos x
2
√2
x
2
√2
1
2
–1/2
1
–1 ± √1 + 8
–4
sen x cos x
cos2 x – sen2 x




4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen (π – x) = cos ( – x)+ cos π
b) sen ( – x)+ sen x = 0
a) sen (π – x) = sen x
cos ( – x)= –sen x Entonces, la ecuación queda:
cos π = –1
sen x = –sen x – 1 → 2 sen x = –1 → sen x =
Si sen x = → x1 = rad, x2 = rad
Al comprobar vemos:
x1 = → sen (π – x) = sen (π – )= sen =
cos ( – x)= cos ( – )= cos = cos =
Luego la solución es válida, pues:
sen (π – x) = = cos ( – x)+ cos π = + (–1)
x2 = → sen (π – x) = sen (π – )= sen ( )= –
cos ( – x)= cos ( – )= cos ( )= cos ( )=
Luego también es válida esta solución, pues:
sen (π – x) = = cos ( – x)+ cos π = + (–1)
Por tanto, las dos soluciones son válidas: x1 = rad y x2 = rad
b) sen ( – x)= sen cos x – cos sen x = cos x – sen x
Luego la ecuación queda:
cos x – sen x + sen x = 0 → cos x + sen x = 0 →
cos x + sen x = 0 → cos x = –sen x → x1 = rad, x2 = rad
Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.
7π
4
3π
4
√2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
π
4
π
4
π
4
11π
6
7π
6
1
2
3π
2
–1
2
1
2
–π
3
–2π
6
11π
6
3π
2
3π
2
1
2
–5π
6
11π
6
11π
6
1
2
3π
2
–1
2
1
2
π
3
2π
6
7π
6
3π
2
3π
2
–1
2
–π
6
7π
6
7π
6
11π
6
7π
6
–1
2
–1
2
3π
2
√2
π
4
3π
2








5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
a) tg x = – b) sen x = cos x
c) sen2 x = 1 d) sen x = tg x
a) x = 120° + k · 360° o bien x = 300° + k · 360°
Las dos soluciones quedan recogidas en:
x = 120° + k · 180° = + k π rad = x con k ∈Z
b) x = + k π rad con k ∈Z
c) Si sen x = 1 → x = + 2k π rad
Si sen x = –1 → x = + 2k π rad
d) En ese caso debe ocurrir que:
O bien sen x = 0 → x = k π rad
O bien cos x = 1 → x = 2k π rad
Página 142
PARA PRACTICAR
Grados y radianes
1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) b) c) d) e)
☛ Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que π radianes = 180°.
a) 120° b) 240° c) 225° d) 210° e) 810°
2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) 1,5 b) 3,2
c) 5 d) 2,75
a) · 1,5 = 85° 56' 37" b) · 3,2 = 183° 20' 47"
c) · 5 = 286° 28' 44" d) · 2,75 = 157° 33' 48"
360°
2π
360°
2π
360°
2π
360°
2π
9π
2
7π
6
5π
4
4π
3
2π
3
3π
2
π
2
π
4
2π
3
√3







→ x = + k π rad con k ∈Z
π
2



→ x = k π rad con k ∈Z

3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados.
Exprésalos en función de π:
a) 40° b) 108° c) 135°
d) 240° e) 270° f) 126°
☛ Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14…
a) =
a) · 40° = b) · 108° =
c) · 135° = d) · 240° =
e) · 270° = f) · 126° =
4 Halla, sin utilizar la calculadora:
a) 5 cos – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π
b) 5 tg π + 3 cos – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π
a) 5 · 0 – 1 + 2 · (–1) – 0 + 1 = –2
b) 5 · 0 + 3 · 0 – 2 · 0 + (–1) – 2 · 0 = –1
5 Prueba que:
a) 4 sen + cos + cos π = 2
b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 3
a) 4 sen + cos + cos π = 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2
b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3
6 Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:
a) A = sen + sen + sen π
b) A = sen + sen – sen 2π
c) A = cos π – cos 0 + cos – cos
3π
2
π
2
4π
3
2π
3
π
2
π
4
1
2
√3
2
√3
π
2
π
6
2π
3
√3
√2
2
√2
1
2
π
4
√2
π
6
π
2
π
6
2π
3
√3
π
4
√2
π
6
3π
2
π
2
3π
2
π
2
7π
10
2π
360°
3π
2
2π
360°
4π
3
2π
360°
3π
4
2π
360°
3π
5
2π
360°
2π
9
2π
360°
2π
9
40π
180

a) A = + 1 + 0 = + 1
b) A = + (– )– 0 = 0
c) A = –1 – 1 + 0 – 0 = –2
7 Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 1 215° b) cos (–100°) c) tg (–50°)
d) cos 930° e) tg 580° f ) sen (–280°)
a)
→ sen 1215° = sen 135° = sen 45°
b) 100° = 180° – 80° → cos (–100°) = cos 100° = –cos 80°
c) tg (–50°) = = = –tg 50°
d) cos 930°
(*)
= cos 210° = cos (180° + 30°) = –cos 30°
(*) 930° = 2 · 360° + 210°
e) tg 580°
(**)
= tg 220° = tg (180° + 40°) = = = tg 40°
(**) 580° = 360° + 220°
f) sen (–280°) = sen (–280° + 360°) = sen 80°
8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360°, cuyas razones
trigonométricas coincidan con el ángulo dado:
a) 3 720° b) 1 935° c) 2 040°
d) 3 150° e) –200° f) –820°
a) 3720° = 10 · 360° + 120° → 120°
b) 1935° = 5 · 360° + 135° → 135°
c) 2040° = 5 · 360° + 240° → 240°
d) 3150° = 8 · 360° + 270° → 270°
e) –200° + 360° = 160° → 160°
f) –820° + 3 · 360° = 260° → 260°
9 Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α = 0,72 y cos α < 0.
α ∈2-º cuadrante → α ≈ 0,8 rad



sen α = 0,72 > 0
cos α < 0
–sen 40°
–cos 40°
sen (180° + 40°)
cos (180° + 40°)
–sen 50°
cos 50°
sen (–50°)
cos (–50°)



1215° = 3 · 360° + 135°
135° = 180° – 45°
√3
2
√3
2
√2
2
√2
2

10 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes
ángulos:
a) 2 rad b) 3,5 rad c) 5 rad
☛ Ten en cuenta que:
≈ 1,57; π ≈ 3,14; ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28
a) 2-º cuadrante b) 3er cuadrante c) 4-º cuadrante
Fórmulas trigonométricas
11 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que
75° = 30° + 45°.
sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° =
= · + · =
cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° =
= · – · =
tg 75° = tg (30° + 45°) = = = =
= = = =
= = 2 +
NOTA: También podemos resolverlo como sigue:
tg 75° = = = = =
= = 2 +
12 Sabiendo que sen x = y que < x < π, calcula, sin hallar previamente
el valor de x:
a) sen 2x b) tg c) sen (x + )
d) cos (x – ) e) cos f ) tg (x + )
☛ Tienes que calcular cos x = – 1 – ( )2
= – y tg x = – , y aplicar las fór-
mulas.
3
4
4
5
3
5
π
4
x
2
π
3
π
6
x
2
π
2
3
5
√3
8 + 4√
—
3
4
2 + 6 + 2√
—
12
4
(√
—
2 + √
—
6 )2
6 – 2
√
—
2 + √
—
6
√
—
6 – √
—
2
sen 75°
cos 75°
√3
12 + 6√
—
3
6
9 + 3 + 6√
—
3
6
(3 + √
—
3 )2
9 – 3
3 + √
—
3
3 – √
—
3
(√
—
3 + 3)/3
(√
—
3 – 3)/3
√
—
3/3 + 1
1 – √
—
3/3
tg 30° + tg 45°
1 – tg 30° tg 45°
√
—
6 – √
—
2
4
√2
2
1
2
√2
2
√3
2
√
—
2 + √
—
6
4
√2
2
√3
2
√2
2
1
2
3π
2
π
2
√

cos x = – = – 1 – = – (Negativo, por ser del 2-º cuadrante).
tg x = = –
a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · (– )= –
b) tg = = = = 3
Signo positivo, pues si x ∈2-º cuadrante, entonces ∈1er cuadrante.
c) sen (x + ) = sen x cos + cos x sen =
= · + (– )· =
d) cos (x – ) = cos x cos + sen x sen =
= (– )· + · =
e) cos
(*)
= = = = =
(*) Signo positivo, porque ∈1er cuadrante.
f) tg (x + )= = = =
13 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-
rando:
a) 15° = 45° – 30° b) 15° =
a) sen 15° = sen (45° – 30°) = sen 45° cos 30° – cos 45° sen 30° =
= · – · = = 0,258819
cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =
= · + · = = 0,965926
tg 15° = = = =
= = 2 – = 0,267949√3
8 – 4 √
—
3
4
6 + 2 – 2√
—
12
6 – 2
√
—
6 – √
—
2
√
—
6 + √
—
2
sen 15°
cos 15°
√
—
6 + √
—
2
4
1
2
√2
2
√3
2
√2
2
√
—
6 – √
—
2
4
1
2
√2
2
√3
2
√2
2
30°
2
1
7
1 – 3/4
1 + 3/4
–3/4 + 1
1 – (–3/4) · 1
tg x + tg π/4
1 – tg x tg π/4
π
4
x
2
√10
10√ 1
10√ 1/5
2√1 – 4/5
2√1 + cos x
2
x
2
3√
—
3 – 4
10
√3
2
3
5
1
2
4
5
π
3
π
3
π
3
3√
—
3 – 4
10
1
2
4
5
√3
2
3
5
π
6
π
6
π
6
x
2
√ 9/5
1/5√ 1 – (–4/5)
1 + (–4/5)√1 – cos x
1 + cos x
x
2
24
25
4
5
3
5
3
4
sen x
cos x
4
5
9
25
√1 – sen2 x
√

b) sen 15° = sen = = = =
= = 0,258819
cos 15° = cos = = = = 0,9659258
tg 15° = = = 0,2679491
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0
b) sen2 x – sen x = 0
☛ Saca factor común e iguala a cero cada factor.
c) 2 cos2 x – cos x = 0
d) sen2 x – cos2 x = 1
e) cos2 x – sen2 x = 0
f ) 2 cos2 x + sen x = 1
g) 3 tg2 x – tg x = 0
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0
cos2 x
cos2 x = 0 → cos x = 0 →
Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
Lo que podemos expresar como:
x = 90° + k · 180° = + k π con k ∈Z
b) sen x (sen x – 1) = 0 →
→
sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
sen x = 1 → x3 = 90°
Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:
π
2
3π
2
π
2
x1 = 90°
x2 = 270°



√3
√3
0,258819
0,9659258
√2 – √
—
3
√2 + √
—
3
√2 + √
—
3
4√1 + √
—
3/2
2√ 1 + cos 30°
2
30°
2
√2 – √
—
3
2
√2 – √
—
3
4√ 1 – √
—
3/2
2√ 1 – cos 30°
2
30°
2










→ 2 cos2 x – cos2 x = 0







con k ∈Z

x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 90° + k · 360° = + 2k π
O, de otra forma:
x1 = k π = k · 180°
x3 = + 2k π = 90° + k · 360°
(x1 así incluye las soluciones x1 y x2 anteriores)
c) cos x (2 cos x – ) = 0 →
→
cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = → x3 = 30°, x4 = 330°
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π
NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una
sola de la siguiente forma:
x = 90° + k · 180° = + k π
d) (1 – cos2 x) – cos2 x = 1 → 1 – 2 cos2 x = 1 → cos2 x = 0 →
→ cos x = 0 →
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
O, lo que es lo mismo:
x = 90° + k · 180° = + k π con k ∈Z
π
2
3π
2
π
2
x1 = 90°
x2 = 270°



π
2
11π
6
π
6
3π
2
π
2
√3
2
√3
π
2
π
2







con k ∈Z





con k ∈Z















con k ∈Z







con k ∈Z






e) (1 – sen2 x) – sen2 x = 0 → 1 – 2 sen2 x = 0 →
→ sen2 x = → sen x = ±
• Si sen x = → x1 = 45°, x2 = 135°
• Si sen x = – → x3 = 225°, x4 = 315°
Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:
x1 = 45° + k · 360° = + 2k π
x2 = 135° + k · 360° = + 2k π
x3 = 225° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
x = 45° + k · 90° = + k · con k ∈Z
f) 2 (1 – sen2 x) + sen x = 1 → 2 – 2 sen2 x + sen x = 1 →
→ 2 sen2 x – sen x – 1 = 0 →
→ sen x = = =
Las tres soluciones son válidas, es decir:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π
x3 = 330° + k · 360° = + 2k π
g) tg x (3 tg x – ) = 0 →
→
tg x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
tgx x = → x3 = 30°, x4 = 210°
Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las
cuatro son válidas.
√3
3
√3
11π
6
7π
6
π
2
1 → x1 = 90°
–1/2 → x2 = 210°, x3 = 330°
1 ± 3
4
1 ± √1 + 8
4
π
2
π
4
7π
4
5π
4
3π
4
π
4
√2
2
√2
2
√2
2
1
2















con k ∈Z











con k ∈Z






Entonces:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π
x4 = 210° + k · 360° = + 2k π
Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro an-
teriores:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 30° + k · 180° = + k π con k ∈Z
Página 143
15 Halla el valor exacto de estas expresiones:
a) sen + cos – sen
b) cos + tg – tg
c) cos + sen – cos – 2 sen
a) – + (– )– (– )= –
b) + – = =
c) · + – · – 2 · = + – 1 – 3 = –2
16 Sabiendo que sen x = y que x es un ángulo del primer cuadrante,
calcula:
a) sen 2x b) tg c) cos (30° – x)
sen x = cos x, tg x > 0
x ∈1er cuadrante
→
∈1er cuadrante →
sen x/2 > 0
cos x/2 > 0
tg x/2 > 0





x
2
2
3
x
2
2
3
1
2
3
2
√3
2
√3
√2
2
√2
1
2
√3
2
√3
3 + 4√
—
3
6
3 + 6√
—
3 – 2√
—
3
6
√3
3
√3
1
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
π
3
√3
π
4
√2
π
6
π
6
√3
7π
6
4π
3
5π
3
7π
4
3π
4
5π
4
π
6
7π
6
π
6











con k ∈Z



















• cos x = = 1 – =
• tg x = =
a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · =
b) tg = = = =
= = =
c) cos (30° – x) = cos 30° cos x + sen 30° sen x = · + · =
= + =
17 Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula:
a) sen ( – α) b) cos (180° – ) c) tg (900° + α)
90° < α < 180° →
Además, ∈1er cuadrante
• tg α = –
• = tg2 α + 1 = + 1 = → cos2 α = → cos α = –
• sen α = = 1 – = =
a) sen ( – α)= sen cos α – cos sen α = 1 · (– )– 0 · = –
b) cos (180° – ) = cos 180° cos + sen 180° sen = –cos =
= – = – = – =
= – = – = –
c) tg (900° + α) = tg (2 · 360° + 180° + α) = tg (180° + α) =
= = = –
4
3
0 + (–4/3)
1 – 0 · (–4/3)
tg 180° + tg α
1 – tg 180° tg α
√5
5√1
5√ 2
10
√ 5 – 3
10√ 1 + (–3/5)
2√1 + cos α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
3
5
4
5
3
5
π
2
π
2
π
2
4
5√ 16
25
9
25
√1 – cos2 α
3
5
9
25
25
9
16
9
1
cos2 α
4
3
α
2
sen α > 0
cos α < 0



α
2
π
2
3√15 + 5
15
1
3
√15
5
2
3
1
2
2√5
5
√3
2
√9 – 4 √

5
√45 – 20√
—
5
5√25 + 4 · 5 – 20√
—
5
25 – 4 · 5
√5 – 2√
—
5
5 + 2√
—
5√ 1 – 2√
—
5/5
1 + 2√
—
5/5√1 – cos x
1 + cos x
x
2
4√5
9
√5
3
2
3
2√5
5
2/3
√5/3
√5
3
4
9
√1 – sen2 x
√

18 Sabemos que cos x = – y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:
a) sen x b) cos (π + x) c) cos 2x
d) tg e) sen ( – x) f ) cos (π – )
→ x ∈3er cuadrante ⇒ ∈2-º cuadrante
a) sen x = – = – 1 – = – = –
b) cos (π + x) = cos π cos x – sen π sen x = –cos x =
c) cos 2x = cos2 x – sen2 x = – = =
d) tg = – = – = =
e) sen ( – x)= sen cos x – cos sen x = cos x = –
f) cos (π – ) = cos π cos + sen π sen = –cos =
= – (– )= = =
19 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.
41° = 78° – 37°
• sen 78° = = = 0,98
• cos 37° = = = 0,8
Ahora ya podemos calcular:
• sen 41° = sen (78° – 37°) = sen 78° cos 37° – cos 78° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
• cos 41° = cos (78° – 37°) = cos 78° cos 37° + sen 78° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
• tg 41° = = = 0,8877
0,664
0,748
sen 41°
cos 41°
√1 – 0,62√1 – sen2 37°
√1 – 0,22√1 – cos2 78°
√8
8√1
8√1 – 3/4
2√1 + cos x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
3
4
π
2
π
2
π
2
√7
√7
1√1 + 3/4
1 – 3/4√1 – cos x
1 + cos x
x
2
1
8
2
16
7
16
9
16
3
4
√7
4√ 7
16
9
16
√1 – cos2 x
x
2



cos x = –3/4
sen x < 0
x
2
π
2
x
2
3
4
√

20 Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β.
tg (α + β) = → 4 = →
→ 4 + 8 tg β = –2 + tg β → 7 tg β = –6 → tg β = –
Luego:
tg 2β = = = = = –
PARA RESOLVER
21 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángu-
lo central en grados y en radianes.
☛ Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitu-
des de los arcos y la medida de los ángulos.
Como la circunferencia completa (α = 100,53 cm) son
2π rad, entonces:
= → α = = 1,25 rad
α = · 1,25 = 71° 37' 11"
22 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2π tal que sus razones
trigonométricas coincidan con las de .
0 < α < 2π
= → = 2π + ⇒ α =
23 Demuestra que = .
☛ Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α – β). Divide tanto el numerador co-
mo el denominador entre cos α cos β y simplifica.
=
(*)
=
= =
(*) Dividimos numerador y denominador entre cos α cos β.
tg α + tg β
tg α – tg β
——––––—— + —–—–––——
——––––—— – —–—–––——
sen α cos β + cos α sen β
sen α cos β – cos α sen β
sen (α + β)
sen (α – β)
tg α + tg β
tg α – tg β
sen (α + β)
sen (α – β)
3π
4
3π
4
11π
4
8π + 3π
4
11π
4
11π
4
360°
2π
20 · 2π
100,53
2π
α
100,53
20
84
13
–12 · 49
7 · 13
–12/7
13/49
2 · (–6/7)
1 – 36/49
2 tg β
1 – tg2 β
6
7
–2 + tg β
1 + 2 tg β
tg α + tg β
1 – tg α tg β
16 cm
2
0
cm
α

24 Prueba que 2 tg x cos2 – sen x = tg x.
☛ Sustituye cos2 = .
Como cos = ± → cos2 =
Y sustituyendo en la expresión:
2 tg x cos2 – sen x = 2 · – sen x =
=
(*)
=
= = = tg x
(*) Sacando factor común.
25 Demuestra que cos (x + )– cos (x + )= cos x.
☛ Desarrolla y sustituye las razones de y .
cos (x + )– cos (x + )=
= [cos x cos – sen x sen ]– [cos x cos – sen x sen ]=
= [(cos x) – (sen x) ]– [(cos x) (– )– (sen x) ]=
= cos x – sen x + cos x + sen x = cos x
26 Demuestra que cos α cos (α – β) + sen α sen (α – β) = cos β.
☛ Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.
cos α cos (α – β) + sen α sen (α – β) =
= cos α (cos α cos β + sen α sen β) + sen α (sen α cos β – cos α sen β) =
= cos2 α cos β + cos α sen α sen β + sen2 α cos β – sen α cos α sen β =
= cos2 α cos β + sen2 α cos β
(*)
= cos β (cos2 α + sen2 α) = cos β · 1 = cos β
(*) Extraemos factor común.
27 Prueba que = tg2 .
= = =
= = tg2 α
2
1 – cos α
1 + cos α
2 sen α + sen 2α
α
2
2 sen α + sen 2α
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
2π
3
2π
3
π
3
π
3
2π
3
π
3
2π
3
π
3
2π
3
π
3
sen x
cos x
sen x [1 + cos x – cos x]
cos x
sen x (1 + cos x) – sen x cos x
cos x
1 + cos x
2
sen x
cos x
x
2
1 + cos x
2
x
2√1 + cos x
2
x
2
1 + cos x
2
x
2
x
2

28 Simplifica:
☛ Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados.
=
= =
= =
= = =
= = 1
29 Demuestra: =
=
(*)
=
= =
30 Simplifica la expresión y calcula su valor para α = 90°.
= =
Por tanto, si α = 90° ⇒ = = = 0
a) sen ( + x)– sen x = 0
b) sen ( – x)+ cos ( – x)=
c) sen 2x – 2 cos2 x = 0
☛ Desarrolla sen 2x y saca factor común.
d) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0
☛ Desarrolla cos 2x y sustituye cos2 x = 1 – sen2 x
1
2
π
3
π
6
√2
π
4
2 · 0
1
2 cos α
sen α
sen 2α
1 – cos2 α
2 cos α
sen α
2 sen α cos α
sen2 α
sen 2α
1 – cos2 α
sen 2α
1 – cos2 α
1 + tg α tg β
1 – tg α tg β
——––––—— + —–—–––——
——––––—— – —–—–––——
cos α cos β + sen α sen β
cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β)
cos (α + β)
1 + tg α tg β
1 – tg α tg β
cos (α – β)
cos (α + β)
cos2 α – sen2 α
cos2 α – sen2 α
2 · 1/2 cos2 α – 2 · 1/2 sen2 α
cos2 α – sen2 α
2 · [(√
—
2/2)2
cos2 α – (√
—
2/2)2
sen2 α]
cos2 α – sen2 α
2 (cos2 45° cos2 α – sen2 45° sen2 α)
cos2 α – sen2 α
2 (cos 45° cos α – sen 45° sen α) (cos 45° cos α + sen 45° sen α)
cos2 α – sen2 α
2 cos (45° + α) cos (45° – α)
cos 2α
2cos (45° + α) cos (45° – α)
cos 2α
(*) Dividimos numerador y
denominador entre:
cos α cos β

a) sen cos x + cos sen x – sen x = 0
cos x + sen x – sen x = 0
cos x – sen x = 0 → cos x – sen x = 0 →
→ cos x = sen x → x1 = , x2 =
Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego:
x1 = + 2k π = 45° + k · 360°
x2 = + 2k π = 225° + k · 360°
Podemos agrupar las dos soluciones en:
x = + k π = 45° + k · 180° con k ∈Z
b) sen cos x – cos sen x + cos cox x + sen sen x =
cos x – sen x + cos x + sen x =
cos x + cos x = → cos x =
Comprobamos y vemos que:
x1 → sen ( – )+ cos ( – )= sen (– )+ cos 0 = + 1 =
x2 → sen ( – )+ cos ( – )= sen (– )+ cos (– )= 1 – =
Son válidas las dos soluciones. Luego:
x1 = + 2k π = 60° + k · 360°
x2 = + 2k π = 300° + k · 360°
c) 2 sen x cos x – 2 cos2 x = 0 → 2 cos x (sen x – cos x) = 0 →
→
Comprobamos las soluciones. Todas son válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
3π
2
π
2
cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
sen x = cos x → x3 = 45°, x4 = 225°



5π
3
π
3
1
2
1
2
4π
3
3π
3
5π
3
π
3
5π
3
π
6
1
2
–1
2
π
6
π
3
π
3
π
3
π
6
x1 = π/3
x2 = 5π/3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
1
2
π
3
π
3
π
6
π
6
π
4
5π
4
π
4
5π
4
π
4
√2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
π
4
π
4







con k ∈Z







con k ∈Z

x3 = 45° + k · 360° = + 2k π
x4 = 225° + k · 360° = + 2k π
También podríamos expresar como:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 45° + k · 180° = + k π
d) cos2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 → 1 – sen2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 →
→ 1 – 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 → 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 →
→ sen x = = =
Comprobamos que las dos soluciones son válidas.
Luego:
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π
Página 144
32 Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
☛ Al hacer sen2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada.
Haz cos2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.
b) 4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0
☛ Divide por cos2 x y obtendrás una ecuación con tg x.
c) cos2 + cos x – = 0
d) tg2 + 1 = cos x
e) 2 sen2 + cos 2x = 0
a) 4(1 – cos2 x) cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
4 cos2 x – 4 cos4 x + 2 cos2 x – 2 = 0
4 cos4 x – 6 cos2 x + 2 = 0 → 2 cos4 x – 3 cos2 x + 1 = 0
x
2
x
2
1
2
x
2
5π
6
π
6
1/2 → x1 = 30°, x2 = 150°
–2 → ¡Imposible¡, pues sen x ≤ 1
–3 ± 5
4
–3 ± √9 + 16
4
π
4
π
2
5π
4
π
4







con k ∈Z







con k ∈Z

Sea cos2 x = z → cos4 x = z2
Así:
2z2 – 3z + 1 = 0 → z = =
z1 = 1 → cos x = ±1
z2 = → cos x = ±
Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
x5 = 135° + k · 360° = + 2k π
x6 = 225° + k · 360° = + 2k π
O, agrupando las soluciones:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 45° + k · 90° = + k
b) Dividiendo por cos2 x:
+ – = 0 →
→ 4 tg2 x + tg x – 3 = 0 →
→ tg x = = =
–1 ± 7
8
–1 ± √1 + 48
8
3 cos2 x
cos2 x
sen x cos x
cos2 x
4 sen2 x
cos2 x
π
2
π
4
7π
4
3π
4
5π
4
π
4
x3 = 45°, x4 = 315°
x5 = 135°, x6 = 225°
√2
2
1
2
x1 = 0°
x2 = 180°
3 ± 1
4
3 ± √9 – 8
4























con k ∈Z





con k ∈Z
→
–1 →
x3 = 135°
x4 = 315°



x1 = 36° 52' 11,6"
x2 = 216° 52' 11,6"



3
4










Las cuatro soluciones son válidas:
x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π
x2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π
x3 = 135° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
x1 = 36° 52' 11,6" + k · 180° ≈ + k π
x2 = 135° + k · 180° = + k π
c) + cos x – = 0 → 1 + cos x + 2 cos x – 1 = 0 →
→ 3 cos x = 0 → cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
Agrupando las soluciones:
x = 90° + k · 180° = + k π con k ∈Z
d) + 1 = cos x → 1 – cos x + 1 + cos x = cos x + cos2 x →
→ 2 = cos x + cos2 x → cos2 x + cos x – 2 = 0 →
→ cos x = =
Luego:
x = k · 360° = 2k π con k ∈Z
e) 2 · + cos2 x – sen2 x = 0 →
→ 1 – cos x + cos2 x – (1 – cos2 x) = 0 → 1 – cos x + cos2 x – 1 + cos2 x = 0 →
→ 2 cos2 x – cos x = 0 → cos x (2 cos x – 1) = 0 →
→
cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = 1/2 → x3 = 60°, x4 = 300°



1 – cos x
2
1 → x = 0°
–2 → ¡Imposible!, pues cos x ≤ 1
–1 ± 3
2
–1 ± √1 + 8
2
1 – cos x
1 + cos x
π
2
3π
2
π
2
1
2
1 + cos x
2
3π
4
π
5
7π
5
3π
5
6π
5
π
5















con k ∈Z







con k ∈Z







con k ∈Z

Se comprueba que son válidas todas. Por tanto:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 60° + k · 360° = + 2k π
x4 = 300° + k · 360° = + 2k π
Agrupando las soluciones quedaría:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 60° + k · 360° = + 2k π
x3 = 300° + k · 360° = + 2k π
a) cos 2x + 3 sen x = 2
b) tg 2x · tg x = 1
c) cos x cos 2x + 2 cos2 x = 0
d) 2 sen x = tg 2x
e) sen + cos x – 1 = 0
f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x
g) tg ( – x)+ tg x = 1
a) cos2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 → 1 – sen2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 →
→ 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 →
→ sen x = =
Las tres soluciones son válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 30° + k · 360° = + 2k π
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π
5π
6
π
6
π
2
1 → x1 = 90°
1/2 → x1 = 30°, x2 = 150°
3 ± 1
4
3 ± √9 – 8
4
π
4
x
2
√3
5π
3
π
3
π
2
5π
3
π
3
3π
2
π
2















con k ∈Z











con k ∈Z











con k ∈Z

b) · tg x = 1 → 2 tg2 x = 1 – tg2 x → tg2 x = →
→ tg x = ± →
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π
Agrupando:
x1 = 30° + k · 180° = + k π
x2 = 150° + k · 180° = + k π
c) cos x (cos2 x – sen2 x) + 2 cos2 x = 0 →
→ cos x (cos2 x – 1 + cos2 x) + 2 cos2 x = 0 →
→ 2 cos3 x – cos x + 2 cos2 x = 0 → cos x (2 cos2 x + 2 cos x – 1) = 0 →
→ cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = = =
= ≈
Las soluciones son todas válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π
x4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π
3π
2
π
2
–1,366 → ¡Imposible!, pues cos x ≤ –1
0,366 → x3 = 68° 31' 51,1", x4 = 291° 28' 8,9"
–1 ± √
—
3
2
–2 ± 2√
—
3
4
–2 ± √4 + 8
4
5π
6
π
6
11π
6
5π
6
7π
6
π
6
x1 = 30°, x2 = 210°
x3 = 150°, x4 = 330°



√3
3
1
3
2 tg x
1 – tg2 x















con k ∈Z







con k ∈Z













con k ∈Z

Agrupadas, serían:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π
x3 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π
d) 2 sen x = → 2 sen x – 2 sen x tg2 x = 2 tg x →
→ sen x – sen x = →
→ sen x cos2 x – sen x sen2 x = sen x cos x →
→ sen x (cos2 x – sen2 x – cos x) = 0 →
→ sen x (cos2 x – 1 + cos2 x – cos x) = 0 →
→
sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
2 cos2 x – cos x – 1 = 0° → cos x = =
=
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x4 = 240° + k · 360° = + 2k π
x5 = 120° + k · 360° = + 2k π
Que, agrupando soluciones, quedaría:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π
e) + cos x – 1 = 0 → = (1 – cos x)2 →
→ 3 – 3 cos x = 2 (1 + cos2 x – 2 cos x) → 2 cos2 x – cos x – 1 = 0 →
→ cos x = = =
1 → x1 = 0°
–1/2 → x2 = 120°, x3 = 240°
1 ± 3
4
1 ± √1 + 8
4
3 – 3 cos x
2√1 – cos x
2
√3
4π
3
2π
3
2π
3
4π
3
1 → x3 = 0° = x1
–1/2 → x4 = 240°, x5 = 120°
1 ± √1 + 8
4
sen x
cos x
sen2 x
cos2 x
2 tg x
1 – tg2 x
π
2







con k ∈Z













con k ∈Z














con k ∈Z

Al comprobar vemos que las tres soluciones son válidas:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π
f) 2 sen x cos x cos x = 6 sen3 x → 2 sen cos2 x = 6 sen3 x →
→ 2 sen x (1 – sen2 x) = 6 sen3 x → 2 sen x – 2 sen3 x = 6 sen3 x →
→ sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
sen2 x = → sen x = ± →
Comprobamos que todas las soluciones son válidas.
Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 30° + k · 90° = + k ·
g) + tg x = 1 → + tg x = 1 →
→ 1 + tg x + tg x – tg2 x = 1 – tg x → tg2 x – 3 tg x = 0 →
→ tg x (tg x – 3) = 0 →
→
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π
x4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π
x1 = k · 180° = k π
x2 = 71° 33' 54,2" + k · 180° ≈ + k π
2π
5
7π
5
2π
5
tg x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
tg x = 3 → x3 = 71° 33' 54,2", x4 = 251° 33' 54,2"



1 + tg x
1 – tg x
tg (π/4) + tg x
1 – tg (π/4) tg x
π
2
π
6
x3 = 30°, x4 = 150°
x5 = 210°, x6 = 330°
1
2
1
4
4π
3
2π
3









con k ∈Z





con k ∈Z











con k ∈Z





con k ∈Z

a) sen 3x – sen x = cos 2x b) = 1
c) = d) sen 3x – cos 3x = sen x – cos x
☛ Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.
a) 2 cos sen = cos 2x
2 cos 2x sen x = cos 2x → 2 sen x = 1 →
→ sen x = → x1 = 30°, x2 = 150°
Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π
b) = 1 → = 1 → = 1 →
→ = 1 → 2 sen 2x = 1 → sen 2x = →
2x = 30° → x1 = 15° + k · 360° = + 2k π
→
2x = 150° → x2 = 75° + k · 360° = + 2k π
2x = 390° → x3 = 195° + k · 360° = + 2k π
2x = 510° → x4 = 255° + k · 360° = + 2k π
Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas.
c) = = – = → tg x = – →
Ambas soluciones son válidas. Luego:
x1 = 150° + k · 360° = + 2k π
x2 = 330° + k · 360° = + 2k π
d) sen 3x – sen x = cos 3x – cos x →
→ 2 cos 2x sen x = –2 sen 2x sen x → (dividimos entre 2 sen x)
→ cos 2x = –sen 2x → = –1 → tg 2x = –1 →
sen 2x
cos 2x
11π
6
5π
6
x1 = 150°
x2 = 330°



√3
3
√3
1
tg x
cos x
–sen x
2 sen 2x cos x
–2 sen 2x sen x
17π
12
13π
12
5π
12
π
12
1
2
2 sen 2x cos 2x
cos 2x
sen (2 · 2x)
cos 2x
sen 4x
cos 2x
2 sen 4x cos x
2 cos 2x cos x
5π
6
π
6
1
2
3x – x
2
3x + x
2
√3
sen 3x + sen x
cos 3x – cos x
sen 5x + sen 3x
cos x + cos 3x







con k ∈Z






























con k ∈Z







con k ∈Z

2x = 315° → x1 = 157,5° + k · 360°
→
2x = 135° → x2 = 67,5° + k · 360°
2x = 675° → x3 = 337,5° + k · 360°
2x = 495° → x4 = 247,5° + k · 360°
Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas:
x = 67,5° + k · 90° con k ∈Z
35 a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x.
b) Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.
☛ a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultado
anterior.
a) sen 3x = sen (2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x =
= 2 sen x cos x cos x + (cos2 x – sen2 x) sen x =
= 2 sen x cos2 x + sen x cos2 x – sen3 x = 3 sen x cos2 x – sen3 x
b) sen 3x – 2 sen x = 0 → por el resultado del apartado anterior:
3 sen x cos2 x – sen3 x – 2 sen x = 0 → 3 sen x (1 – sen2 x) – sen3 x – 2 sen x = 0 →
→ 3 sen x – 3 sen3 x – sen3 x – 2 sen x = 0 →
→ 4 sen3 x – sen x = 0 → sen x (4 sen2 x – 1) = 0 →
→
sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 150°
sen x = ±1/2 → x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°
Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k π
x3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π
36 Resuelve:
a) sen 3x – sen x cos 2x = 0
b) cos 3x – 2 cos (π – x) = 0
c) cos 3x + sen 2x – cos x = 0
☛ b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (2x + x).
a) Por el ejercicio 35, a): sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x.
Luego:
3 sen x cos2 x – sen3 x – sen x (cos2 x – sen2 x) = 0 →
→ 3 sen x cos2 x – sen3 x – sen x cos2 x – sen3 x = 0 →
→ 2 sen3 x – 2 sen x cos2 x = 0 → sen x (sen2 x – cos2 x) = 0 →


















con k ∈Z







con k ∈Z




→
sen x = 0 → x1 = 0°, x2 = 180°
sen2 x – cos2 x = –cos 2x = 0 →
Las soluciones (todas válidas) se pueden expresar como:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 45° + k · 90° = + k ·
donde x1 engloba las dos primeras soluciones obtenidas y x2 las cuatro restantes.
b) cos (π – x) = –cos x
cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x cos x – sen 2x sen x =
= (cos2 x – sen2 x) cos x – 2 sen x cos x sen x =
= cos x (cos2 x – sen2 x – 2 sen2 x) =
= cos x (cos2 x – 3 sen2 x) = cos x (1 – 4 sen2 x)
Así, sustituyendo en la ecuación:
cos x (1 – 4 sen2 x) – 2 (–cos x) = 0 →
→ cos x (1 – 4 sen2 x) + 2 cos x = 0 → cos x (1 – 4 sen2 x + 2) = 0 →
→ cos x (3 – 4 cos x) = 0 →
→
cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
sen2 x = → sen x = ± → x3 = 60°, x4 = 120°, x5 = 240°, x6 = 300°
Todas las soluciones son válidas y las podemos agrupar, expresándolas como:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 60° + k · 180° = + k π
x3 = 120° + k · 180° = + k π
c) Utilizando los resultados obtenidos en el ejercicio 36 b), para cos 3x y sustitu-
yendo en la ecuación, se obtiene:
cos x (1 – 4 sen2 x) + 2 sen x cos x – cos x = 0 →
→ cos x (1 – 4 sen2 x + 2 sen x – 1) = 0 →
→ cos x (–4 sen2 x + 2 sen x) = 0 →
2π
3
π
3
π
2
√3
2
3
4
π
2
π
4
2x = 90° → x3 = 45°
2x = 270° → x4 = 135°
2x = 450° → x5 = 225°
2x = 630° → x6 = 315°












con k ∈Z

























con k ∈Z

→
cos x = 0 → x1 = 90°, x2 = 270°
2 sen2 x – sen x = sen x (2 sen x – 1) = 0 →
sen x = 0 →
sen x = →
Las soluciones quedan, pues, como:
x1 = k · = k · 90°
x2 = + 2k · π = 30° + k · 360°
x3 = + 2k · π = 150° + k · 360°
donde x1 engloba las cuatro primeras soluciones.
37 Demuestra las siguientes igualdades:
a) cos (α + β) · cos (α – β) = cos2 α – sen2 β
b) sen2
( )– sen2
( )= sen α · sen β
c) cos2
( )– cos2
( )= sen α · sen β
a) cos (α + β) cos (α – β) = (cos α cos β – sen α sen β) (cos α cos β + sen α sen β) =
= cos2 α cos2 β – sen2 α sen2 β =
= cos2 α (1 – sen2 β) – (1 – cos2 α) · sen2 β =
= cos2 α – cos2 α sen2 β – sen2 β + cos2 α sen2 β =
= cos2 α – sen2 β
b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego pode-
mos factorizarlo como una suma por una diferencia:
[sen ( )+ sen ( )]· [sen ( )– sen ( )](*)
=
= [2 sen cos ]· [2 cos sen ]=
= 4 · · · =
= =
= = = sen α sen β√sen2 α · sen2 β√(1 – cos2 α) (1 – cos2 β)
√(1 – cos α) (1 + cos β) (1 + cos α) (1 – cos β)
√1 – cos β
2√1 + cos α
2√1 + cos β
2√1 – cos α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α + β
2
α – β
2
α – β
2
α + β
2
5π
6
π
6
π
2
x5 = 30°
x6 = 150°



1
2
x3 = 0°
x4 = 180°






























con k ∈Z

(*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que:
+ = α y – = β
c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora:
+ = α y – = –β
cos2
( )– cos2
( )=
= [cos ( )+ cos ( )]· [cos ( )– cos ( )]=
= [2 cos cos ]· [–2 sen sen ]= [2 cos cos ]· [2 sen sen ]=
= 4 · · · =
= = = sen α sen β
NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como
sigue:
cos2
( )– cos2
( )= 1 – sen2
( )– 1 + sen2
( )=
= sen2
( )– sen2
( )(*)
= sen α sen β
(*) Por el apartado b).
38 Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.
• sen 4α = sen (2 · 2α) = 2 sen α cos 2α =
= 2 · 2 sen α cos α · (cos2 α – sen2 α) =
= 4 (sen α cos3 α – sen3 α cos α)
• cos 4α = cos (2 · 2α) = cos2 2α – sen2 2α =
= (cos2 α – sen2 α)2 – (2 sen α cos α)2 =
= cos4 α + sen4 α – 2 cos2 α sen2 α – 4 sen2 α cos2 α =
= cos4 α + sen4 α – 6 sen2 α cos2 α
39 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
a) b)
☛ Haz cos2 y = 1 – sen2 y y cos2 x = 1 – sen2 x.
c)
sen x + cos y = 1
x + y = 90°



sen2 x + cos2 y = 1
cos2 x – sen2 y = 1



x + y = 120º
sen x – sen y = 1/2



α – β
2
α + β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
√sen2 α · sen2 β√(1 – cos2 α) (1 – cos2 β)
√1 – cos β
2√1 – cos α
2√1 + cos β
2√1 + cos α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
−β
2
α
2
−β
2
α
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2

a) De la segunda ecuación:
2 cos sen =
Como:
x + y = 120° → 2 cos 60° sen = →
→ 2 · sen = → sen = →
→ = 30° → x – y = 60°
Así: x + y = 120°
x – y = 60°
2x = 180° → x = 90° → y = 30°
Luego la solución es: (90°, 30°)
b) Como
El sistema queda:
→
(Sumando ambas igualdades) → –2 sen2 y = 0 → sen y = 0 → y = 0°
Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene:
cos2 x – 0 = 1 → cos2 x = 1 =
c) x + y = 90° → complementarios → sen x = cos y
Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:
cos y + cos y = 1 → 2 cos y = 1 → cos y = → y = 60° →
→ x = 90° – y = 90° – 60° = 30°
40 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica:
sen α + cos α = cos ( – α)π
4
√2
1
2
cos x = 1 → x = 0°
cos x = – 1 → x = 180° ∈2-º cuadrante






sen2 x – sen2 y = 0
–sen2 x – sen2 y = 0



sen2 x + 1 – sen2 y = 1
1 – sen2 x – sen2 y = 1



cos2 y = 1 – sen2 y
cos2 x = 1 – sen2 x
x – y
2
1
2
x – y
2
1
2
x – y
2
1
2
1
2
x – y
2
1
2
x – y
2
x + y
2

Desarrollamos la segunda parte de la igualdad:
· cos ( – α)= (cos cos α + sen sen α)=
= ( cos α + sen α)=
= · (cos α + sen α) = (cos α + sen α) =
= cos α + sen α
41 Demuestra que – = 2 tg 2x.
– = =
= =
=
(*)
= = =
= = 2 · = 2 · tg 2x
(*) Dividimos numerador y denominador entre cos2 x.
42 Simplifica la expresión 2 tg x cos2 – sen x.
2 tg x cos2 – sen x = 2 · ( )– sen x =
= – sen x = sen x ( – 1)=
= sen x ( )= sen x · ( )= tg x
Página 145
43 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que
miden y radianes?
+ = = π → son suplementarios, luego:
sen = sen (π – )= sen
4π
5
4π
5
π
5
5π
5
4π
5
π
5
4π
5
π
5
1
cos x
1 + cos x – cos x
cos x
1 + cos x
cos x
sen x (1 + cos x)
cos x
1 + cos x
2
sen x
cos x
x
2
x
2
2 tg x
1 – tg2 x
4 · tg x
1 – tg2 x
4 · (sen x/cos x)
1 – (sen2 x/cos2 x)
4 · (sen x cos x/cos2 x)
cos2 x – sen2 x/cos2 x
4 sen x cos x
cos2 x – sen2 x
cos2 x + sen2 x + 2 sen x cos x – cos2 x – sen2 x + 2 sen x cos x
cos2 x – sen2 x
(cos x + sen x)2 – (cos x – sen x)2
(cos x – sen x)2 – (cos x + sen x)2
cos x – sen x
cos x + sen x
cos x + sen x
cos x – sen x
cos x – sen x
cos x + sen x
cos x + sen x
cos x – sen x
2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
π
4
π
4
√2
π
4
√2

cos = –cos ; tg = –tg
44 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α:
a) sen (π – α); cos (π – α); tg (π – α)
b)sen (π + α); cos (π + α); tg (π + α)
c) sen (2π – α); cos (2π – α); tg (2π – α)
a) → tg (π – α) = –tg α
b) → tg (π + α) = tg α
c) → tg (2π – α) = –tg α
45 Expresa A(x) en función de sen x y cos x:
a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)
b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)
c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)
a) A (x) = sen (–x) – sen (π – x) = –sen x – sen x = –2 sen x
b) A (x) = cos (–x) + cos (π + x) = cos x + (–cos x) = 0
c) A (x) = sen (π + x) + cos (2π – x) = –sen x + cos x
46 Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica:
a) sen (α + β) – sen γ = 0
b) cos (α + β) + cos γ = 0
c) tg (α + β) + tg γ = 0
☛ Ten en cuenta que α + β = 180° – γ y las relaciones que existen entre las razo-
nes trigonométricas de los ángulos suplementarios.
Como en un triángulo α + β + γ = 180° → α + β = 180° – γ, entonces:
a) sen (α + β) = sen (180° – γ) = sen γ → sen (α + β) – sen γ = 0
b) cos (α + β) = cos (180° – γ) = –cos γ → cos (α + β) + cos γ = 0
c) tg (α + β) = tg (180° – γ) = –tg γ → tg (α + β) + tg γ = 0
47 Demuestra que si α + β + γ = 180°, se verifica:
tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ
☛ Haz α + β = 180° – γ y desarrolla tg (α + β) = tg (180º – γ).
sen (2π – α) = –sen α
cos (2π – α) = cos α



sen (π + α) = –sen α
cos (π + α) = –cos α



sen (π – α) = sen α
cos (π – α) = –cos α



4π
5
π
5
4π
5
π
5

Si α + β + γ = 180° → α + β = 180° – γ →
→ tg (α + β) = tg (180° – γ) = –tg γ ⇒ tg γ = –tg (α + β)
Así, sustituyendo:
tg α + tg β + tg γ
(*)
= tg α + tg β – tg (α + β) =
= tg α + tg β – =
= =
= = (sacando factor común)
= = –tg α · tg β · tg (α + β) =
= tg α · tg β [–tg (α + β)]
(*)
= tg α · tg β · tg γ
(*) tg γ = –tg (α + β)
48 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x, dan-
do a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráfica-
mente.
49 Representa las funciones:
a) y = cos (x + ) b) y = sen (x + ) c) y = cos ( – x)π
2
π
2
π
2
–tg α tg β (tg α + tg β)
1 – tg α tg β
–tg2 α tg β – tg α tg2 β
1 – tg α tg β
(tg α – tg2 α tg β) + (tg β – tg α tg2 β) – (tg α + tg β)
1 – tg α tg β
tg α + tg β
1 – tg α tg β
x 0
y = cos 2x 1 0 – – – –1 – – – 1
2
√2
2
√3
2
√3
2
√2
2
1
2
√2
2
√3
2
2π
3
5π
8
7π
12
π
2
5π
12
3π
8
π
3
π
4
π
8
π
12
π 2π
0 1 –1 0 0
√3
2
√2
2
7π
8
5π
4
11π
12
7π
8
3π
4
1
0
–1
π —
π
2
— 2π3π
2
1
–1
π 2π
π 2π
π 2π
a) 1
–1
c)1
–1
b)
—
3π
2
—
3π
2
—
π
2
—
3π
2
—
π
2
—
π
2

PARA PROFUNDIZAR
50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
a)
sen x + sen y =
cos x + cos y = 1
b)
sen2 x + cos2 y = 3/4
cos2 x – sen2 y = 1/4
c)
cos (x + y) = 1/2
sen (x – y) = 1/2
a) Despejando en la segunda ecuación:
cos x = 1 – cos y (*)
Como sen x =
sen x = = =
Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:
sen x + sen y = → + sen y = →
→ sen y = –
Elevamos al cuadrado:
sen2 y = 3 + (2 cos y – cos2 y) – 2
sen2 y + cos2 y – 2 cos y – 3 = –2
1 – 2 cos y – 3 = –2
–2 (1 + cos y) = –2
Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado:
(1 + cos y)2 = 3 (2 cos y – cos2 y) →
→ 1 + cos2 y + 2 cos y = 6 cos y – 3 cos2 y →
→ 4 cos2 y – 4 cos y + 1 = 0 → cos y = = → y = 60°
Sustituyendo en (*), se tiene:
cos x = 1 – = → x = 60°
1
2
1
2
1
2
4 ± √16 – 16
8
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√2 cos y – cos2 y√3
√3√2 cos y – cos2 y√3
√2 cos y – cos2 y√1 – 1 – cos2 y + 2 cos y√1 – (1 – cos y)2
√1 – cos2 x
√3














entonces:

b) sen2 x + cos2 y =
cos2 x – sen2 y =
sen2 x + cos2 x + cos2 y – sen2 y = 1 →
→ 1 + cos2 y – sen2 y = 1 →
→ 2 cos2 y = 1 → cos2 y = → cos y = → y = 45°
(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante).
Sustituyendo en la primera ecuación:
sen2 x + cos2 y = → sen2 x + = →
→ sen2 x = – → sen2 x = → sen x = ±
Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así:
sen x = → x = 30°
c)
→
Teniendo esto en cuenta:
cos (x + y) = → x + y = 60°
sen (x – y) = → x – y = 30° (Sumamos ambas ecuaciones)
2x = 90° → x = 45°
Sustituyendo en la primera ecuación y despejando:
y = 60° – x = 60° – 45° = 15°
La solución es, por tanto: (45°, 15°)
51 Demuestra que:
a) sen x =
b) cos x =
c) tg x =
2 tg x/2
1 – tg2 x/2
1 – tg2 x/2
1 + tg2 x/2
2 tg x/2
1 + tg2 x/2
1
2
1
2
x + y ∈1er cuadrante
x – y ∈1er cuadrante








Como x, y ∈1er cuadrante
y además cos (x + y) > 0
sen (x – y) > 0
1
2
1
2
1
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
√2
2
1
2
1
4
3
4







Sumando:

a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:
= = =
= = (1 + cos x) =
= (1 + cos x)2 = =
= = = sen x
b) = = = = cos x
c) = = =
= = =
= · (1 + cos x)2 · =
= =
= · = · sen x = tg x
52 Demuestra que, en la siguiente figura, α = β + γ.
1
cos x
√sen2 x
1
cos x
√(1 – cos2 x
1
cos x
√(1 + cos x) (1 – cos x)
1
cos x
1 – cos x
1 + cos x
1
cos x
√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x
cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
2 cos x
1 + cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x – 1 + cos x
1 + cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
1 –
1 – cos x
1 + cos x
2 tg (x/2)
1 – tg2 (x/2)
2 cos x
2
1 + cos x – 1 + cos x
—–––––––––––––————
1 + cos x
1 + cos x + 1 – cos x
—–––––––––––––————
1 + cos x
1 – cos x
1 – —————
1 + cos x
1 – cos x
1 + —————
1 + cos x
1 – tg2 (x/2)
1 + tg2 (x/2)
√sen2 x√1 – cos2 x
√(1 + cos x) (1 – cos x)
1 – cos x
1 + cos x
√1 – cos x
1 + cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
2
1 + cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x + 1 – cos x
1 + cos x
2
√1 – cos x
1 + cos x
1 +
1 – cos x
1 + cos x
2 tg (x/2)
1 + tg2 (x/2)
√
γ β α

a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente
de una suma.
b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior,
reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura:
a) tg (β + γ) = = = = = 1
tg α = 1
Así, vemos que tg (β + γ) = tg α
Como α, β, γ ∈1er cuadrante
b) α = BOD. Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángu-
lo rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.
β = COD, por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos cate-
tos miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos
de dos y una unidad.
γ = AOC, pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unida-
des, se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades
(OA y AC, respectivamente).
Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que α = β + γ, pues:
BOD = AOD = AOC + COD
53 Obtén la fórmula siguiente:
sen α + cos α = cos (α – 45°)
☛ Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspon-
diente.
cos α = sen (90° – α)
Sustituyendo en el primer miembro de la igualdad y desarrollando (transformare-
mos en producto):
√2
5/6
5/6
5/6
1 – 1/6
1/2 + 1/3
1 – 1/2 · 1/3
tg β + tg γ
1 – tg β tg γ










β + γ = α
A
B
C
DO

sen α + cos α = sen α + sen (90° – α) =
= 2 sen cos =
= 2 sen cos =
= 2 sen 45° cos (α – 45°) =
= 2 (cos α – 45°) = cos (α – 45°)√2
√2
2
2α – 90°
2
90°
2
α – (90° – α)
2
α + (90° – α)
2

El paso de Z a Q
I Imaginemos que solo se conocieran los números enteros, Z.
Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x = 15 b) –2x = 18
c) 11x = –341 d) 4x = 34
I a) x = 5 b) x = –9
c) x = –31 d) No se puede.
I Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es
necesario el conjunto de los números enteros, Q.
a) –5x = 60 b) –7x = 22
c) 2x + 1 = 15 d) 6x – 2 = 10
e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6
I a) x = –12 b) x = –
c) x = 7 d) x = 2
e) x = – f) x = 1
Para b) y e) necesitamos Q.
Página 147
El paso de Q a Á
I Intenta resolver, sin salir de Q, las siguientes ecuaciones:
a) 3x2 – 12 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0
c) 2x2 + x – 1 = 0 d) x2 – 2 = 0
I a) x1 = –2, x2 = 2 b) x1 = 2, x2 = 4
c) x1 = –1, x2 = d) x2 = 2 → No se puede.
1
2
4
3
22
7
Unidad 6. Números complejos 1
NÚMEROS COMPLEJOS6

I Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones:
a) x2 – 9 = 0 b) 5x2 – 15 = 0
c) x2 – 3x – 4 = 0 d) 2x2 – 5x + 1 = 0
e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0
¿Qué ecuaciones se pueden resolver en Q?
¿Para qué ecuaciones es necesario el conjunto de los números reales, Á?
I a) x1 = –3, x2 = 3 b) x1 = – , x2 =
c) x1 = –1, x2 = 4 d) x1 = , x2 =
e) x1 = 0, x2 = 1 f) x1 = – , x2 = 0
Para b) y d), necesitamos Á.
Á aún no es suficiente
I Intenta resolver en Á las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 2 = 0 b) 2x2 – 5x + 1 = 0
c) 5x2 – x – 2 = 0 d) x2 + 1 = 0
e) x2 – 2x + 5 = 0 f ) 5x2 + 10 = 0
I a) x1 = – , x2 = b) x1 = , x2 =
c) x1 = , x2 = d) x2 = –1 → No se puede.
e) x = → No se puede. f) x2 = –2 → No se puede.
I Resuelve las tres últimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones
números reales y la expresión .
I d) x = ± , x1 = – , x2 =
e) x1 = 1 – 2 , x2 = 1 + 2
f) x1 = – , x2 =
Página 149
1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son
reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i√35
4
1
2
√–1√2√–1√2
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1
2 ± √–16
2
1 + √41
10
1 – √41
10
5 + √17
4
5 – √17
4
√2√2
3
2
5 + √17
4
5 – √17
4
√3√3

• Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
• Representación:
2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 6x + 10 = 0 c) 3x2 + 27 = 0 d) 3x2 – 27 = 0
a) x = = = ±2i;
x1 = 2i, x2 = –2i
b) x = = =
= = –3 ± i; x1 = –3 – i, x2 = –3 + i
c) x2 = –9 → x = ± = ±3i
x1 = –3i, x2 = 3i
√–9
–6 ± 2i
2
–6 ± √–4
2
–6 ± √36 – 40
2
± 4i
2
± √–16
2
√3
√3
5
4
1
2
i
— + — i1
2
5
4
5 – 3i
4i
–5i
7–7
–1 – i
√
—
3i
1
–3 + i
–3 – i
3i
–3i
2i
–2i

d) x2 = 9 → x = ±3
x1 = –3, x2 = 3
3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i b) 5 + 2i
c) –1 – 2i d) –2 + 3i
e) 5 f) 0
g) 2i h) –5i
a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
–3 3
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i

d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
5–5
0
2i
–2i
5i
–5i

4. Sabemos que i2 = –1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criterio
para simplificar potencias de i de exponente natural.
i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1
i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:
in = i4c + r = i4c · ir = (i4)
c
· ir = 1c · ir = 1 · ir = ir
Por tanto, in = ir, donde r es el resto de dividir n entre 4.
Página 151
1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)
c) (3 + 2i) (4 – 2i) d) (2 + 3i) (5 – 6i)
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) f )
g) h)
i) j)
k) l) 6 – 3(5 + i)
m)
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i – 5 – 4i + 3 – 2i = –9i
c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i
d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i + 15i – 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i + 2i2 + 3 – 2i) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =
= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i – 5i – 15i2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i
f) = = = = = i
g) = = = = =
= – i
13
10
–1
10
–1 – 13i
10
3 – 13i – 4
9 + 1
3 – i – 12i + 4i2
9 – i2
(1 – 4i) (3 – i)
(3 + i) (3 – i)
1 – 4i
3 + i
20i
20
20i
16 + 4
8 + 4i + 16i + 8i2
16 – 4i2
(2 + 4i) (4 + 2i)
(4 – 2i) (4 + 2i)
2 + 4i
4 – 2i
1
2
(–3i)2 (1 – 2i)
2 + 2i
2
5
4 – 2i
i
1 + 5i
3 + 4i
5 + i
–2 – i
4 + 4i
–3 + 5i
1 – 4i
3 + i
2 + 4i
4 – 2i
1
2

h) = = = =
= = – i = – i
i) = = = = =
= + i
j) = = = =
= = + i
k) = = = –4i – 2 = –2 – 4i
l) 6 – 3 (5 + i)= 6 – 15 + i = –9 + i
m) = = = =
= = = =
= = + i = + i
2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:
a) 2 + i y 2 – i
b) –3i y 3i
c) 1 + 2i y 3 – 4i
(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).
a) [x – (2 + i)] [x – (2 – i)] =
= [(x – 2) – i] [(x – 2) + i] = (x – 2)2 – ( i)2
=
= x2 – 4x + 4 – 3i2 = x2 – 4x + 4 + 3 = x2 – 4x + 7
b) [x – (–3i)] [x – 3i] = [x + 3i] [x – 3i] = x2 – 9i2 = x2 + 9
c) [x – (1 + 2i)] [x – (3 – 4i)] = [(x – 1) – 2i] [(x – 3) + 4i] =
= (x – 1) (x – 3) + 4(x – 1)i – 2(x – 3)i – 8i2 =
= x2 – 4x + 3 + (4x – 4 – 2x + 6)i + 8 = x2 – 4x + 11 + (2x + 2)i =
= x2 – 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (–4 + 2i)x + (11 + 2i)
√3√3√3
√3√3
√3√3
27
4
9
4
54
8
18
8
18 + 54i
8
–18 + 54i + 36
4 + 4
–18 + 18i + 36i – 36i2
4 – 4i2
(–9 + 18i) (2 – 2i)
(2 + 2i) (2 – 2i)
–9 + 18i
(2 + 2i)
–9(1 – 2i)
(2 + 2i)
9i2 (1 – 2i)
(2 + 2i)
(–3i)2 (1 – 2i)
(2 + 2i)
6
5
6
5
2
5
–4i + 2i2
1
(4 – 2i) (–i)
i (–i)
4 – 2i
i
11
25
23
25
23 + 11i
25
3 + 11i + 20
9 + 16
3 – 4i + 15i – 20i2
9 – 16i2
(1 + 5i) (3 – 4i)
(3 + 4i) (3 – 4i)
1 + 5i
3 + 4i
3
5
–11
5
–11 + 3i
5
–10 + 3i – 1
5
–10 + 5i – 2i + i2
4 + 1
(5 + i) (–2 + i)
(–2 – i) (–2 + i)
5 + i
–2 – i
16
17
4
17
32
34
8
34
8 – 32i
34
–12 – 32i + 20
9 + 25
–12 – 20i – 12i – 20i2
9 – 25i2
(4 + 4i) (–3 – 5i)
(–3 + 5i) (–3 – 5i)
4 + 4i
–3 + 5i

3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea imaginario puro?
(25 – xi)2 = 625 + x2i2 – 50xi = (625 – x2) – 50xi
Para que sea imaginario puro:
625 – x2 = 0 → x2 = 625 → x = ± = ±25
Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25
4. Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que
z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.
z1 + z2 = 5 + 7i
Página 153
1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) 1 + i b) + i c) –1 + i
d) 5 – 12i e) 3i f) –5
a) 1 + i = 260° b) + i = 230° c) –1 + i = 135°
d) 5 – 12i = 13292° 37' e) 3i = 390° f) –5 = 5
2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5(π/6) rad b) 2135º c) 2495º
d) 3240º e) 5180º f) 490º
a) 5(π/6) = 5(cos + i sen )= 5 ( + i )= + i
b) 2135° = 2(cos 135° + i sen 135°) = 2(– + i )= – + i√2√2
√2
2
√2
2
5
2
5√3
2
1
2
√3
2
π
6
π
6
√2√3√3
√3√3
√625
7i
i
5i
z1 + z2
z1
z2
1 2 3 4 5

c) 2495° = 2135° = – + i
d) 3240° = 3(cos 240° + i sen 240°) = 3(– – i )= – – i
e) 5180° = –5
f) 490° = 4i
3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z = rα.
Opuesto: –z = r180° + α
Conjugado: –z = r360° – α
4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo:
z = 8 (cos 30º + i sen 30º)
z = 830° = 8(cos 30° + i sen 30°) = 8( + i )= + i = 4 + 4i
5. Sean los números complejos z1 = 460º y z2 = 3210º.
a) Expresa z1 y z2 en forma binómica.
b)Halla z1 · z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.
c) Compara los módulos y los argumentos de z1 · z2 y z2/z1 con los de z1 y
z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.
a) z1 = 460° = 4(cos 60° + i sen 60°) = 4( + i )= 2 + 2 i
z2 = 3210° = 3(cos 210° + i sen 210°) = 3(– – i )= – – i
b) z1 · z2 = (2 + 2 i) (– – i)=
= –3 – 3i – 9i – 3 i2 = –3 – 12i + 3 = –12i = 12270°
= = =
= = = = ( )150°
c) z1 · z2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270°
= = ( )210° – 60°
= ( )1
3
4
3
4
3210°
460°
z2
z1
3
4
–6√
—
3 + 6i
16
–3√
—
3 + 6i – 3√
—
3
4 + 12
–3√
—
3 – 3i + 9i + 3 √
—
3i2
4 – 12i2
3√
—
3 3
(–—–— – —i)(2 – 2√
—
3i)2 2
(2 + 2√
—
3i)(2 – 2√
—
3i)
3√
—
3 3
(–—–— – —i)2 2
(2 + 2√
—
3i)
z2
z1
√3√3√3√3
3
2
3√3
2
√3
3
2
3√3
2
1
2
√3
2
√3
√3
2
1
2
√3
8
2
8√3
2
1
2
√3
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
√2√2

1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
a) 1150º · 530º b) 645º : 315º c) 210º · 140º · 370º
d) 5(2π/3)rad : 160º e) (1 – i)5
f) (3 + 2i) + (–3 + 2i)
a) 1150° · 530° = 5180° = –5
b) 645° : 315° = 230° = 2(cos 30° + i sen 30°) = 2( + i )= + i
c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6(cos 120° + i sen 120°) = 6 (– + i )= –3 + 3 i
d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5(cos 60° + i sen 60°) =
= 5( + i )= + i
e) (1 – i)5
= (2300°)5 = 321 500° = 3260° = 32(cos 60° + i sen 60°) =
= 32 ( + i )= 16 + 16 i
f) 4i = 490º
2. Compara los resultados en cada caso:
a) (230º)3, (2150º)3, (2270º)3
b)(260º)4, (2150º)4, (2270º)4, (2330º)4
a) (230º)3 = 23
3· 30º = 890º
(2150º)3 = 23
3· 150º = 8450º = 890º
(2270º)3 = 83· 270º = 8810º = 890º
b) (260º)4 = 24
4· 60º = 16240º
(2150º)4 = 16600º = 16240º
(2270º)4 = 161080º = 160º
(2330º)4 = 161320º = 16240º
3. Dados los complejos z = 545º , w = 215º , t = 4i, obtén en forma polar:
a) z · t b) c) d)
z = 545° w = 215° t = 4i = 490°
z · w3
t
z3
w · t2
z
w2
√3
√3
2
1
2
√3
5√3
2
5
2
√3
2
1
2
√3
√3
2
1
2
√3
1
2
√3
2
√3

a) z · w = 1060°
b) = = = ( )15°
c) = = ( )–60°
= ( )300°
d) = = 100° = 10
4. Expresa cos 3α y sen 3α en función de sen α y cos α utilizando la fórmula
de Moivre. Ten en cuenta que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
(1α)3 = 1(cos α + i sen α)3 =
= cos3 α + i 3 cos2 α sen α + 3i2 cos α sen2 α + i3 sen3 α =
= cos3 α + 3 cos2 α sen α i – 3 cos α sen2 α – i sen3 α =
= (cos3 α – 3 cos α sen2 α) + (3 cos2 α sen α – sen3 α)i
Por otra parte: (1α)3 = 13α = cos 3α + i sen 3α
Por tanto: cos 3α = cos3 α – 3 cos α sen2 α
sen 3α = 3 cos2 α sen α – sen3 α
Página 157
1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
= = 1(360° · k)/6 = 160° · k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
10° = 1 160° = + i 1120° = – + i
1180° = –1 1240° = – – i 1300° = – i
Representación:
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
6
√10°
6
√1
545° · 845°
490°
z · w3
t
125
32
125
32
125135°
215° · 16180°
z3
w · t2
5
4
545°
430°
z
430º
z
w2
1

2. Resuelve la ecuación z3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.
z3 + 27 = 0 → z = = = 3(180° + 360° n)/3 = 360° + 120° n; n = 0, 1, 2
z1 = 360° = 3(cos 60° + i sen 60°) = 3( + i )= + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3240° = 3(cos 240° + i sen 240°) = 3(– – i )= – – i
3. Calcula:
a) b)
4
√
——
–8 + 8 i c) d)
3
a) = = 1(270° + 360° k)/3; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i 1210° = – – i 1330° = + i
b) = = 2(120° + 360° k)/4 = 230° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
230° = 2( + i )= + i
2120° = 2 (– + i )= –1 + i
2210° = 2 (– – i )= –1 – i
2300° = 2 ( – i )= – i√3
1
2
√3
2
√3
√3
2
1
2
√3
√3
2
1
2
√3
1
2
√3
2
4
√16120°
4
√–8 + 8√
—
3i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3
√1270°
3
√–i
–2 + 2i
1 + √
–
3i
√–25√3
3
√–i
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3
√27180°
3
√–27
z1
z2
z3
–3

c) = = 5(180° + 360° k)/2 = 590° + 180° k; k = 0, 1
Las dos raíces son: 590° = 5i; 5270° = –5i
d)
3
=
3
= = (75° + 360° k)/3 = 25° + 120° k; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°
4. Resuelve las ecuaciones:
a) x4 + 1 = 0
b) x6 + 64 = 0
a) x4 + 1 = 0 → x = = = 1(180° + 360° k)/2 = 145° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
145° = + i; 1135° = – + i; 1225° = – – i; 1315° = – i
b) x6 + 64 = 0 → x = = = 2(180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
230° = 2( + i )= + 1 290° = 2i
2150° = 2 (– + i )= – + i 2210° = 2(– – i )= – – i
2270° = –2i 2330° = 2( – i )= – i
5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son
los resultados de las siguientes operaciones:
z · w, z/w, z2, z3
z y w raíces sextas de 1 → z6 = 1, w6 = 1
(z · w)6 = z6 · w6 = 1 · 1 = 1 → z · w es raíz sexta de 1
( )6
= = = 1 → es raíz sexta de 1
z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1 → z2 es raíz sexta de 1
z3 = (z3)6 = z18 = z16 · z2 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1 → z3 es raíz sexta de 1
z
w
1
1
z6
w6
z
w
√3
1
2
√3
2
√3
1
2
√3
2
√3
1
2
√3
2
√3
1
2
√3
2
6
√64180°
6
√–64
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
4
√1180°
4
√–1
6
√2
6
√2
6
√2
6
√2
6
√2
3
√√

275°√
√
—
8135°
260°√ –2 + 2i
1 + √
—
3 i
√25180°√–25

6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las
otras tres raíces cuartas de z.
4 + 3i = 536° 52'
Las otras tres raíces cuartas de z serán:
536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i
536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i
536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i
7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
a) b) c) d)
3
e)
5
– f)
a) = = 3(180° + 360° k)/2 = 390° + 180° k; k = 0, 1
Las dos raíces son:
390° = 3i; 3270° = –3i
b) = = 3(180° + 360° k)/3 = 360° + 120° k; k = 0, 1, 2
z1 = 360° = 3(cos 60° + i sen 60°) = 3( + i )= + i i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3300° = 3(cos 300° + i sen 300°) = 3( – i )= – i
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3
√27180°
3
√–27
√9180°√–9
3
√8i
32
i
1 – i
1 + i
3
√2 – 2i
3
√–27√–9
–3i
3i
z1
z2
z3
–3
√ √

c) = = (315° + 360° k)/3 = 105° + 120° k; k = 0, 1, 2
z1 = 105° = –0,37 + 1,37i
z2 = 225° = (– – i)= –1 – i
z3 = 345° = 1,37 – 0,37i
d)
3
=
3
= = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k; k = 0, 1, 2
190° = i; 1210° = – – i; 1330° = – i
e)
5
=
5
= = = 2(90° + 360° k)/5 = 218° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
z1 = 218° = 1,9 + 0,6i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i
z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i
z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i
f) = = 2(90º + 360º k)/3 = 230º + 120º k; k = 0, 1, 2
Las tres son:
z1 = 230º
z2 = 2150º
z3 = 2270º
3
√890°
3
√8i
5
√3290°
5
√32i
√– 32 (–i)
i (–i)√–32
i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3
√1270°√
√
—
2315°
√
—
245°√1 – i
1 + i
√2
√2
2
√2
2
√2√2
√2
√2√2
3
√√

8315°
3
√2 – 2i
z1
z2
i
–i
z3
–1
1
1210° 1330°
i
z1
z2
z3
z4 z5
z1z2
z3

PARA PRACTICAR
Números complejos en forma binómica
1 Calcula:
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i)
c) –2i – (4 – i)5i d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i2 – 2 + 3i + 2i – 3i2 =
= 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i
b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i + 2i2 – 5 + 4i = 3 – 2i – 2 – 5 + 4i = –4 + 2i
c) –2i – (4 – i)5i = –2i – 20i + 5i2 = –22i – 5 = –5 – 22i
d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 = 16 – (3i)2 – 16 – 9i2 + 24i =
= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i
2 Calcula en forma binómica:
a) b)
c) (1 – i) d) +
a) = = = =
= = = 3 + 6i
b) = = = =
= = = = – i
c) (1 – i) = = = =
= = = + i
d) + = + =
= + = + =
= = = + i
13
10
–7
10
–7 + 13i
10
2 + 6i – 9 + 7i
10
–9 + 7i
10
1 + 3i
5
–3 + 9i – 2i – 6
1 + 9
2 + i + 2i – 1
4 + 1
(–3 – 2i) (1 – 3i)
(1 + 3i) (1 – 3i)
(1 + i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
23
13
15
13
15 + 23i
13
21 + 14i + 9i – 6
9 + 4
(7 + 3i) (3 + 2i)
(3 – 2i) (3 + 2i)
7 + 3i
3 – 2i
2 – 2i + 5i + 5
3 – 2i
2 + 5i
3 – 2i
7
20
9
20
9 – 7i
20
18 – 14i
40
12 + 4i – 18i + 6
36 + 4
(–2 + 3i) (–6 – 2i)
(–6 + 2i) (–6 – 2i)
–2 + 3i
–6 + 2i
–2 + 3i
–4 + 4i – 2i – 2
–2 + 3i
(4 + 2i) (–1 + i)
24 + 48i
8
36 + 36i + 12i – 12
4 + 4
(18 + 6i) (2 + 2i)
(2 – 2i) (2 + 2i)
18 + 6i
2 – 2i
12 – 6i + 12i – 6i2
2 – 2i
(3 + 3i) (4 – 2i)
2 – 2i
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
2 + 5i
3 – 2i
–2 + 3i
(4 + 2i) (–1 + i)
(3 + 3i) (4 – 2i)
2 – 2i

3 Estos números complejos son los resultados de las operaciones que los
siguen. Opera y di cuál corresponde a cuál:
2i, 20, – i, –2, – i
a) (1 – i) (4 – 2i) (1 + 3i) b) (2 + i) + (2 – i)
c) – ( ) d)
e) +
a) (1 – i) (4 – 2i) (1 + 3i) = (4 – 2i – 4i – 2) (1 + 3i) =
= (2 – 6i) (1 + 3i) = 2 + 6i – 6i + 18 = 20
b) (2 + i) + (2 – i) = + =
= =
= =
= = =
= = –2
c) – ( )= – [ ]=
= – [ ]= – ( )= – =
= = = = – i
d) = = = =
= = = = 2i
e) + = + =
= + = + =
= = = – i
17
5
1
5
1 – 17i
5
–10 – 10i + 11 – 7i
5
11 – 7i
5
–2 – 2i
1
6 + 3i – 10i + 5
4 + 1
–2i – 2
1
(3 – 5i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)
(2 – 2i) (–i)
i (–i)
3 – 5i
2 – i
2 – 2i
i
26i
13
12 + 18i + 8i – 12
4 + 9
(6 + 4i) (2 + 3i)
(2 – 3i) (2 + 3i)
6 + 4i
2 – 3i
3 + 2i
(2 – 3i)/2
4 – 1 + 4i + 1 – 1 – 2i
(2 – 3i)/2
(2 + i)2 + (1 – i)2
1 – (3/2)i
1
5
1
5
1 – i
5
2 – 2i
10
7 – i – 5 – i
10
5 + i
10
7 – i
10
25 + 5i
10
1
5
7 – i
10
1 – 3i + 8i + 24
1 + 9
1
5
6 + 2i – 3i + 1
9 + 1
(1 + 8i) (1 – 3i)
(1 + 3i) (1 – 3i)
1
5
(2 – i) (3 + i)
(3 – i) (3 + i)
1 + 8i
1 + 3i
1
5
2 – i
3 – i
–10
5
3 + 4i + 6i – 8 + 3 – 4i – 6i – 8
5
(1 + 2i) (3 + 4i) + (1 – 2i) (3 – 4i)
5
(1 + 2i) (4 – 1 + 4i) + (1 – 2i) (4 – 1 – 4i)
4 + 1
(1 + 2i) (2 + i)2 + (1 – 2i) (2 – i)2
(2 – i) (2 + i)
(1 – 2i) (2 – i)
(2 + i)
(1 + 2i) (2 + i)
(2 – i)
1 – 2i
2 + i
1 + 2i
2 – i
3 – 5i
2 – i
2 – 2i
i
(2 + i)2 + (1 – i)2
1 – (3/2)i
1 + 8i
1 + 3i
1
5
2 – i
3 – i
1 – 2i
2 + i
1 + 2i
2 – i
17
5
1
5
1
5
1
5

4 Calcula:
a) i 37 b) i 126 c) i 87
d) i 64 e) i –216
a) i37 = i1 = i
b) i126 = i2 = –1
c) i87 = i3 = –i
d) i64 = i0 = 1
e) i–216 = = = = 1
5 Dado el número complejo z = – + i, prueba que:
a) 1 + z + z2 = 0 b) = z2
a) z2 = (– + i)
2
= + i 2 – i = – – i =
= – – i = – – i
1 + z + z2 = 1 + (– + i)+ (– – i)= 1 – + i – – i = 0
b) = = = = =
= = = = – – i
z2 = – – i (lo habíamos calculado en a)
Por tanto: = z2
6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad:
(2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i
(2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i
(2 + n) + (m + 5)i = 7 – 2i →
n = 5
m = –7



2 + n = 7
m + 5 = –2



1
z
√3
2
1
2
√3
2
1
2
–1 – √3i
2
2(–1 – √3i)
4
2(–1 – √3i)
1 + 3
2(–1 – √3i)
(–1 + √
—
3i) (–1 – √
—
3i)
2
–1 + √
—
3i
1
–1 + √
—
3i
———–—
2
1
1 √
—
3
–— + —i
2 2
1
z
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
2
4
√3
2
3
4
1
4
√3
2
3
4
1
4
√3
2
1
2
1
z
√3
2
1
2
1
1
1
i0
1
i216

7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i.
= = = =
= ( )+ ( )i = 2 – i →
Por tanto, k = 3.
8 Calcula a y b de modo que se verifique (a + bi)2 = 3 + 4i.
☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.
(a + bi)2 = 3 + 4i
a2 + bi2 + 2abi = 3 + 4i
a2 – b2 + 2abi = 3 + 4i →
b = =
a2 – ( )2
= 3 → a2 – = 3 → a4 – 4 = 3a2 → a4 – 3a2 – 4 = 0
a2 = =
a = –2 → b = –1
a = 2 → b = 1
9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto sea
igual a 8 + 4i.
(2 – ai) (3 – bi) = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai + abi2 = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai – ab = 8 + 4i
(6 – ab) + (–2b – 3a)i = 8 + 4i
b =
4 + 3a
–2
6 – ab = 8
–2b – 3a = 4



a2 = 4 → a = ±2
a2 = –1 (no vale)
3 ± 5
2
3 ± √9 + 16
2
4
a2
2
a
2
a
4
2a
a2 – b2 = 3
2ab = 4



1 – k
2
k + 1
2
(k + 1) + (1 – k)i
2
k – ki + i + 1
1 + 1
(k + i) (1 – i)
(1 + i) (1 – i)
k + i
1 + i
k + i
1 + i







= 2 → k = 3
= –1 → k = 3
1 – k
2
k + 1
2

6 – a ( )= 8 → 6 + = 8
= 2 → 4a + 3a2 = 4 → 3a2 + 4a – 4 = 0
a = =
10 Calcula el valor de a y b para que se verifique a – 3i = .
a – 3i =
(a – 3i) (5 – 3i) = 2 + bi
5a – 3ai – 15i – 9 = 2 + bi
(5a – 9) + (–3a – 15)i = 2 + bi
11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea:
a) Un número imaginario puro.
b) Un número real.
(3 – 6i) (4 + bi) = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24)i
a) 12 + 6b = 0 → b = –2
b) 3b – 24 = 0 → b = 8
12 Determina a para que (a – 2i)2 sea un número imaginario puro.
(a – 2i)2 = a2 + 4i2 – 4ai = (a2 – 4) – 4ai
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
a2 – 4 = 0 → a = ±2 → a1 = –2, a2 = 2
13 Calcula x para que el resultado del producto (x + 2 + ix) (x – i) sea un nú-
mero real.
☛ Efectúa el producto. Iguala la parte imaginaria a 0 y resuelve la ecuación.
(x + 2 + ix) (x – i) = x2 – xi + 2x – 2i + x2i – xi2 =
= x2 – xi + 2x – 2i + ix2 + x = (x2 + 3x) + (x2 – x – 2)i
Para que sea real, ha de ser:
x2 – x – 2 = 0 → x = = =
x1 = –1
x2 = 2
1 ± 3
2
1 ± √1 + 8
2
a = 11/5
b = –108/5



5a – 9 = 2
–3a – 15 = b
2 + bi
5 – 3i
2 + bi
5 – 3i
–4 ± 8
6
–4 ± √16 + 48
6
4a + 3a2
2
4a + 3a2
2
4 + 3a
–2
a = = → b = –3
a = = –2 → b = 1
–12
6
2
3
4
6

Números complejos en forma polar
14 Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjuga-
dos, y exprésalos en forma polar:
a) 1 – i b) –1 + i c) + i d) – – i
e) – 4 f) 2i g) – i h) 2 + 2 i
a) 1 – i = 315°
Opuesto: –1 + i = 135°
Conjugado: 1 + i = 45°
b) –1 + i = 135°
Opuesto: 1 – i = 315°
Conjugado: –1 – i = 225°
c) + i = 230°
Opuesto: – – i = 2210°
Conjugado: – i = 2330°
d) – – i = 2210°
Opuesto: + i = 230°
Conjugado: – + i = 2150°
e) –4 = 4180°
Opuesto: 4 = 40°
Conjugado: –4 = 4
f) 2i = 290°
Opuesto: –2i = 2270°
Conjugado: –2i = 22
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√3
3
4
√3√3
1 – i
–1 + i 1 + i
–1 – i
–1 + i
1 – i
√
—
3 – i
√
—
3 + i
–√
—
3 – i
–√
—
3 + i √
—
3 + i
–√
—
3 – i
4–4
2i
–2i

g) – i = ( )270°
Opuesto: i = ( )90°
Conjugado: i = ( )90°
h) 2 + 2 i = 60°
Opuesto: –2 – 2 i = 240°
Conjugado: 2 – 2 i = 300°
15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 245º b) 3(π/6) c) 180º d) 170º
e) 1(π/2) f) 5270º g) 1150º h) 4100º
a) 245° = 2(cos 45° + i sen 45°) = 2( + i )= + i
b) 3(π/6) = 3(cos + i sen )= 3 ( + i )= + i
c) 180° = (cos 180° + i sen 180°) = (–1 + i · 0) = –
d) 170° = 17
e) 1(π/2) = cos + i sen = i
f) 5270° = –5i
g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = – + i = – + i
h) 4100° = 4(cos 100° + i sen 100°) = 4(–0,17 + i · 0,98) = –0,69 + 3,94i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
π
2
π
2
√2√2√2√2
3
2
3√3
2
1
2
√3
2
π
6
π
6
√2√2
√2
2
√2
2
√2
√14√3
√14√3
√14√3
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3i/4
–3i/4
2 + 2√
—
3i
–2 – 2√
—
3i 2 – 2√
—
3i

16 Calcula en forma polar:
a) (–1 – i)5 b)
4
√
—
1 – i c)
d) e) (–2 + 2i)6
f ) (3 – 4i)3
a) (–1 – i)5 = ( 225°
)5
= 4 1125° = 4 45° = 4 ( + i)= 4 + 4i
b) = = (300° + 360° n)/4 = 75° + 90° n; n = 0, 1, 2, 3
75° 165° 255° 345°
c) = = (360° k)/4 = 2 90° k; k = 0, 1, 2, 3
2 0° = 2 2 90° = 2 i 2 180° = –2 2 270° = –2 i
d) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k; k = 0, 1, 2
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
e) (–2 + 2i)6
= (4150°)6 = 4 096900° = 4096180° = –4 096
f) (3 – 4i)3 = (5306° 52')3 = 125920° 36' = 125200° 36'
Página 163
17 Calcula y representa gráficamente el resultado:
a) b) ( )
3
c)
3
a) = = = =
= = = –1
–2
2
–1 – 1
2
i2 – 1
2
i14 – i
2i8
i7 – 1/i7
2i
i7 – i–7
2i
√1 + i
2 – i
1 – i
√3 + i
i7 – i–7
2i
√3
√3√3
3
√890°
3
√8i
√2√2√2√2√2√2√2√2
√2
4
√264
√640°
4
√64
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2300°
4
√1 – √

3i
√2
2
√2
2
√2√2√2√2
√33
√8i
6
√64√3
–1

b)
( )
3
= ( )
3
= (( )285°
)
3
= ( )855°
= ( )135°
=
= (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i )= + i
c)
3
=
3
=
3
=
3
+ i =
=
3
( )71° 34'
= ( )(71° 34' + 360° k)/3
=
6
23° 51' + 120 k
; k = 0, 1, 2
6
23° 51'
= 0,785 + 0,347i
6
143° 51'
= –0,693 + 0,56i
6
263° 51'
= –0,092 – 0,853i
18 Calcula y representa las soluciones:
a)
3
√
——
4 – 4 i b) c)
a)
3
√
——
4 – 4 i = = 2(300° + 360° k)/3 = 2100° + 120° k; k = 0, 1, 2
2100° = –0,35 + 1,97i
2220° = –1,53 – 1,26i
2340° = 1,88 – 0,68i
b) = = 2(180° + 360° k)/4 = 245° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i√2√2√2√2
√2√2√2√2
4
√16180°
4
√–16
3
√8300°
√3
3
√8i
4
√–16√3
√2
5
√2
5
√2
5
√2
5
6
√10
3
√5
√10
5
3
5
1
5√1 + 3i
5√(1 + i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)√1 + i
2 – i
1
4
–1
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
2
√2315°
230°
1 – i
√3 + i
–1
–— + —i
1
4
1
4
1
i
2
2 2
2 2
2 2

c) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k; k = 0, 1, 2
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
19 Calcula pasando a forma polar:
a) (1 + i )5
b) (–1 – i )6
( – i )
c)
4
√
——
– 2 + 2 i d)
e) f)
g) h)
a) (1 + i )5 = (260°)5 = 32300° = 32(cos 300° + i sen 300°) =
= 32 ( – i)= 16 – 16 i
b) (–1 – i )6
( – i) = (2240°)6 (2330°) = (641 440°) (2330°) =
= (640°) (2330°) = 128330° = 128(cos 330° + i sen 330°) =
= 128 ( + i )= 64 – 64i
c) = = (120° + 360° k)/4 = 30° + 90° k =
= 30° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
30° = + i 120° = – + i
210° = – – i 300° = – i
d) = = = =
( )–135°
=
( )225°
=
= 225° = (cos 225° + i sen 225°) = (– – i)= –1 – i
√2
2
√2
2
√2√2√2
2
√2
8
4√2
80°
4√
—
2135°
80°
4√
—
21 575°
80°
(√
—
2315°
)5
8
(1 – i)5
√6
2
√2
2
√2
√2
2
√6
2
√2
√6
2
√2
2
√2
√2
2
√6
2
√2
√2
4
√224
√4
4
√4120°
4
√–2 + 2√

3i
√3
–1
2
√3
2
√3√3
√3
√3
2
1
2
√3
2 – 2i
–3 + 3i
3
√–i
√–1 – i6
√–64
8
(1 – i)5
√3
√3√3√3
√3√3
3
√890°
3
√8i
2 2
2

e) = = (180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i
2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i
f) = = (225° + 360° k)/2 = 112° 30' + 180° k; k = 0, 1
112° 30' = –0,46 + 1,1i 292° 30' = 0,46 – 1,1i
g) = = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k; k = 0, 1, 2
190° = i 1210° = – – i 1330° = – i
h) = = ( )180°
= ( )(180° + 360° k)/2
=
= ( )90° + 180° k
; k = 0, 1
( )90°
= i ( )270°
= – i
20 Calcula m para que el número complejo 3 – mi tenga el mismo módulo
que 2 + i.
3 – mi = = 5 → 9 + m2 = 25 → m2 = 16
2 + i = 5 m = ±4
Hay dos posibilidades: m = –4 y m = 4
21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado
–
z en cada uno
de estos casos:
a) z = 1 – i b) z = –2 – 2i c) z = –2 + 2i
a) z = 1 – i = 2300°; –z = –1 + i = 2210°; –z = 1 + i = 260°
b) z = –2 – 2i = 2 225°; –z = 2 + 2i = 2 45°; –z = –2 + 2i = 2 135°
c) z = –2 + 2i = 4150°; –z = 2 – 2i = 4330°; –z = –2 – 2i = 4210°√3√3√3
√2√2√2
√3√3√3
√3√3
√5√5
√9 + m2√9 + m2
√5√5
√2
3√2
3√2
3√2
3
√2
3
√2
3
2
3√
2√
—
2315°
3√
—
2135°
√ 2 – 2i
–3 + 3i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3
√1270°
3
√–i
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2√√

2225°√–1 – i
√3√3
√3√3
6
√266
√64180°
6
√–64






22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-
guientes raíces:
a) b) c)
4
√
——
2 + 2i
a) = = 1(90° + 360° k)/5 = 118° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4
118° 190° 1162° 1234° 1306°
Representación del polígono (pentágono):
b) = = 1(180° + 360° k)/6 = 130° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
130° 190° 1150° 1210° 1270° 1330°
Representación del polígono (hexágono):
c) = = (30° + 360° k)/4 = 7° 30' + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
7° 30' 97° 30' 187° 30' 277° 30'√2√2√2√2
√2
4
√224
√430°
4
√2√

3 + 2i
6
√1180°
6
√–1
5
√190°
5
√i
√36
√–1
5
√i
1
1

Representación del polígono (cuadrado):
PARA RESOLVER
23 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus
argumentos , y la suma de sus módulos 8.
☛ Llámalos rα y sβ y escribe las ecuaciones que los relacionan:
= 30º (0º es el argumento del cociente, α – β = 0º); r + s = 8 y α + β = .
= 3
r + s = 8
α + β =
α – β = 0°
Hallamos sus módulos:
= 3
r + s = 8
Hallamos sus argumentos:
α + β =
α – β = 0
Los números serán: 6π/6 y 2π
24 El producto de dos números complejos es 2i y el cubo de uno de ellos divi-
dido por el otro es 1/2. Hállalos.
z · w = 2i
=
1
2
z3
w
π
3
r
s
π
3
r
s
π
3
rα
sβ
π
3
√
—
2





r = 3s
3s + s = 8; 4s = 8; s = 2; r = 6





α = β; 2β = ; β = ; α =
π
6
π
6
π
3





2z3 = w; z · 2z3 = 2i; 2z4 = 2i; z4 = i

z = = = 1(90° + 360° k)/4 = 122° 30' + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
Hay cuatro soluciones:
z1 = 122° 30' → w1 = 2z1
3 = 2 · 167° 30' = 267° 30'
z2 = 1112° 30' → w2 = 2337° 30'
z3 = 1202° 30' → w3 = 2607° 30' = 2247° 30'
z4 = 1292° 30' → w4 = 2877° 30' = 2157° 30'
25 El producto de dos números complejos es –8 y uno de ellos es el cuadrado
del otro. Calcúlalos.
w3 = –8
w = = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k; k = 0, 1, 2
Hay tres soluciones:
w1 = 260° → z1 = 4120°
w2 = 2180° → z2 = 40° = 4
w3 = 2300° → z3 = 4600° = 4240°
26 De dos números complejos sabemos que:
• Tienen el mismo módulo.
• Sus argumentos suman 17π/6.
• El primero es conjugado del cuadrado del segundo.
¿Cuáles son esos números?
Llamamos a los números: z = rα y w = sβ
Tenemos que:
r = s
α + β =
rα =
—
(sβ)2
rα =
—
s2
2β = s2
2π – 2β = r2
2π – 2β →
r = 1
2π – 2β + β = ; β = – = rad → α = rad
Por tanto, los números son:
111π/3 y 1–5π/6 = 17π/6
11π
3
7π
6
5π
6
17π
6
17π
6
3
√8180°
3
√–8



z · w = –8
z = w2
4
√190°
4
√i












α = 2π – 2β
r = r2 →
r = 0 (no vale)
r = 1

27 Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 130º · 145º.
130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75°
130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = ( + i)( + i)=
= + i + i – = + i
Por tanto:
cos 75° = sen 75° =
28 Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de
30º mediante el cociente 145º : 130º.
145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15°
= = = =
= = = + i
Por tanto:
cos 15° = sen 15° =
29 ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente ?
= = =
= = + i
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
= 0 → x2 + 3x = 0 → x (x + 3) = 0
30 Halla, en función de x, el módulo de z = .
Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.
z =
 = = 1
1 + xi
1 – xi
1 + xi
1 – xi
x = 0
x = –3
x2 + 3x
x2 + 1
x2 – x – 2
x2 + 1
x2 + 3x
x2 + 1
(x2 + 3x) + (x2 – x – 2)i
x2 + 1
x2 – ix + 2x – 2i + x2i + x
x2 + 1
(x + 2 + xi) (x – i)
(x + i) (x – i)
x + 2 + xi
x + i
x + 2 + xi
x + i
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2i + √
—
6i + √
—
2
3 + 1
(√
—
2 + i √
—
2 )(√
—
3 – i )
(√
—
3 + i )(√
—
3 – i )
√
—
2 + i √
—
2
√
—
3 + i
√
—
2/2 + i (√
—
2/2)
√
—
3/2 + i (1/2)
cos 45° + i sen 45°
cos 30° + i sen 30°
145°
130°
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√2
4
√2
4
√6
4
√6
4
√2
2
√2
2
1
2
√3
2
√1 + x2
√1 + x2

O bien:
z = = = = + i
z = ( )2
+ ( )2
= = =
= = = 1
31 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir
esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.
☛ El número complejo a + bi se representa como el punto (a, b), su afijo. Para
que esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b.
= = = + i
Ha de ser:
= → 4x – 6 = 3x + 8 ⇒ x = 14
32 La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus mó-
dulos es 10. ¿Cuáles son esos números?
Como z = –z ⇒ z = 5
Si llamamos:
z = a + bi → –z = a – bi
z + –z = a + bi + a – bi = 2a = 8 → a = 4
z=–z = = = 5 → 16 + b2 = 25 →
→ b2 = 9 → b = ± = ±3
Hay dos soluciones:
z1 = 4 + 3i → –z1 = 4 – 3i
z2 = 4 – 3i → –z2 = 4 + 3i
33 La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2,
y el cociente de este entre el segundo es un número real. Hállalos.
Llamamos z = a + bi y w = c + di
Tenemos que:
a + c = 3
b + d = 1 → b = 1 – d



z + w = 3 + i
a = 2 → c = 1



√9
√16 + b2√a2 + b2



z + –z = 8
z + –z = 10
3x + 8
25
4x – 6
25
3x + 8
25
4x – 6
25
4x + 3xi + 8i – 6
16 + 9
(x + 2i) (4 + 3i)
(4 – 3i) (4 + 3i)
x + 2i
4 – 3i
x + 2i
4 – 3i
√1
√(1 + x2)2
(1 + x2)2
√x4 + 2x2 + 1
(1 + x2)2√1 + x4 – 2x2 + 4x2
(1 + x2)2
2x
1 + x2
1 – x2
1 + x2
2x
1 + x2
1 – x2
1 + x2
1 – x2 + 2xi
1 + x2
(1 + xi) + (1 + xi)
(1 – xi) (1 + xi)
1 + xi
1 – xi
√

= = = = + i
Para que sea un número real, ha de ser:
= 0 → –2d + b = 0 → b = 2d
2d = 1 – d → 3d = 1 → d = , b =
Por tanto, los números son:
z = 2 + i y w = 1 + i
34 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar y
calcula el lado del triángulo formado al unir esos tres puntos.
= = (225° + 360° k)/3 = 75° + 120° k
z1 = 75° z2 = 195° z3 = 315°
Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:
l2 = ( )2
+ ( )2
– 2 · · cos 120° = 2 + 2 – 4(– )= 4 + 2 = 6
l =
35 Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equilá-
tero. Compruébalo.
¿Determinan el mismo triángulo los afijos de , o ?
Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido.
• = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k; k = 0, 1, 2
3
√890°
3
√8i
3
√–8
3
√8
3
√–8i
√6
1
2
√2√2√2√2
√2√2√2
√2√2
3
√√

8225°
3
√–2 – 2i
3
√–2 – 2i
1
3
2
3
2
3
1
3
–2d + b
1 + d 2
z
w
–2d + b
1 + d 2
2 + bd
1 + d 2
2 – 2di + bi + bd
1 + d 2
(2 + bi) (1 – di)
(1 + di) (1 – di)
2 + bi
1 + di
z
w
√
—
2
120°
z1
l
z2
z3

z1 = 230° z2 = 2150° z3 = 2270°
Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triángulo
que determinan es equilátero.
• = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k; k = 0, 1, 2
z1 = 290° z2 = 2210° z3 = 2330°
• = = 2360° k/3 = 2120° k; k = 0, 1, 2
z1 = 20° z2 = 2120° z3 = 2240°
• = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k; k = 0, 1, 2
z1 = 260° z2 = 2180° z3 = 2300°
• Representación:
Página 164
36 ¿Pueden ser z1 = 2 + i, z2 = –2 + i, z3 = –1 – 2i y z4 = 1 – 2i, las raíces de un
número complejo? Justifica tu respuesta.
No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número com-
plejo, formarían entre ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera
forman el mismo ángulo, como vemos en la representación
gráfica:
37 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexá-
gonos:
3
√–8
3
√8
3
√–8i
3
√8i
3
√8180°
3
√–8
3
√80°
3
√8
3
√8270°
3
√–8i
z1z2
z3
z1
z2
z3
z1
z2
z3
z1
z2
z3
1
i
22

1er hexágono:
z1 = 20° = 2 z2 = 260° = 1 + i z3 = 2120° = –1 + i
z4 = 2180° = –2 z5 = 2240° = –1 – i z6 = 2300° = 1 – i
2-º hexágono:
z1 = 230° = + i z2 = 290° = 2i z3 = 2150° = – + i
z4 = 2210° = – – i z5 = 2270° = –2i z6 = 2330° = – i
38 ¿Pueden ser las raíces de un número complejo z, los números 228º, 2100º,
2172º, 2244º y 2316º?
☛ Como todos tienen el mismo módulo, sólo tienes que comprobar que los ángulos
entre cada dos de ellas son = 72º. Para hallar z, eleva una de ellas a la quin-
ta potencia.
28° + 72° = 100° 100° + 72° = 172°
172° + 72° = 244° 244° + 72° = 316°
Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta
cualquiera de ellas:
z = (228°)5 = 32140°
39 El complejo 340º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices
y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices.
☛ Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 172º .
Los otros vértices serán:
3112° 3184° 3256° 3328°
El número será:
z = (340°)5 = 243
40 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y las
otras raíces cúbicas.
☛ Ten en cuenta que si = 1 + i → z = (1 + i)3.
1 + i = 45°
Las otras raíces cúbicas son:
45° + 120° = 165° 165° + 120° = 285°
Hallamos z:
z = (1 + i)3 = ( 45°)3 = 135° = (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i )= –2 + 2i
√2
2
√2
2
√8
√8√8√2
√2√2√2√2
√2
3
√z
360º
5
√3√3
√3√3
√3√3
√3√3

Ecuaciones en Ç
41 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-
mica:
a) x2 + 4 = 0 b) x2 + x + 4 = 0
c) x2 + 3x + 7 = 0 d) x2 – x + 1 = 0
a) x2 + 4 = 0 → x2 = –4 → x = ± = ±2i
x1 = –2i, x2 = 2i
b) x2 + x + 4 = 0 → x = = =
x1 = – – i, x2 = – + i
c) x2 + 3x + 7 = 0 → x = = =
x1 = – – i, x2 = – + i
d) x2 – x + 1 = 0 → x = = =
x1 = – i, x2 = + i
a) x5 + 32 = 0 b) ix3 – 27 = 0
a) x5 + 32 = 0 → x5 = –32
x = = = 2(180° + 360° k)/5 = 236° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4
236° 2108° 2180° 2252° 2324°
b) ix3 – 27 = 0 → x3 + 27i = 0 → x3 = –27i
x = = = 3(270° + 360° k)/3 = 390° + 120° k; k = 0, 1, 2
390° 3210° 3330°
43 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç:
a) z2 + 4 = 0 b) z2 – 2z + 5 = 0 c) 2z2 + 10 = 0
a) z2 + 4 = 0 → z2 = –4 → z = ± = ±2i
z1 = –2i, z2 = 2i
√–4
3
√27270°
3
√–27i
5
√32180°
5
√–32
√3
2
1
2
√3
2
1
2
1 ± √3i
2
1 ± √–3
2
1 ± √1 – 4
2
√19
2
3
2
√19
2
3
2
–3 ± √19i
2
–3 ± √–19
2
–3 ± √9 – 28
2
√15
2
1
2
√15
2
1
2
–1 ± √15i
2
–1 ± √–15
2
–1 ± √1 – 16
2
√–4

b) z2 – 2z + 5 = 0 → z = = = = 1 ± 2i
z1 = 1 – 2i, z2 = 1 + 2i
c) 2z2 + 10 = 0 → 2z2 = –10 → z2 = –5 → z = ± i
z1 = – i, z2 = i
44 Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) z4 – 1 = 0 b) z4 + 16 = 0 c) z4 – 8z = 0
☛ En a) y b) despeja z y halla las cuatro raíces. En c) haz z(z3 – 8) = 0 e
iguala a 0 cada factor.
a) z4 – 1 = 0 → z4 = 1 → z = = = 1360° k/4 = 190° k; k = 0, 1, 2, 3
10° = 1 190° = i 1180° = –1 1270° = –i
b) z4 + 16 = 0 → z4 = –16 → z = = = 2(180° + 360° k)/4 =
= 245° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i
c) z4 – 8z = 0 → z (z3 – 8) = 0
= = 2(360° k)/3 = 2120° k; k = 0, 1, 2
Las soluciones de la ecuación son:
0 20° = 2 2120° = –1 + i 2240° = –1 – i
45 Resuelve estas ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica:
a) z3 + 8i = 0 b) iz4 + 4 = 0
a) z3 + 8i = 0 → z = = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k; k = 0, 1, 2
290° = 2i 2210° = – – i 2330° = – i
b) iz4 + 4 = 0 → z4 – 4i = 0 → z4 = 4i
z = = = (90° + 360° k)/4 = 22° 30' + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
22° 30' = 1,3 + 0,5i 112° 30' = –0,5 + 1,3i
202° 30' = –1,3 – 0,5i 292° 30' = 0,5 – 1,3i√2√2
√2√2
√2√2
4
√490°
4
√4i
√3√3
3
√8270°
3
√–8i
√3√3
3
√80°
3
√8
z = 0
z =
3
√
—
8
√2√2√2√2
√2√2√2√2
4
√16180°
4
√–16
4
√10°
4
√1
√5√5
√5
2 ± 4i
2
2 ± √–16
2
2 ± √4 – 20
2

46 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
1 + i y 2 – 3i
☛ Ten en cuenta que si z1 y z2 son soluciones de una ecuación de segundo grado,
esta será de la forma (z – z1) (z – z2) = 0.
La ecuación pedida será [z – (1 + i)] [z – (2 – 3i)] = 0. Multiplica y exprésala en for-
ma polinómica.
[z – (1 + i)] [z – (2 – 3i)] = z2 – (2 – 3i)z – (1 + i)z + (1 + i) (2 – 3i) =
= z2 – (2 – 3i + 1 + i)z + (2 – 3i + 2i – 3i2) =
= z2 – (3 – 2i)z + (5 – i) = 0
47 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 2 – 3i y 2 + 3i.
[z – (2 – 3i)] [z – (2 + 3i)] = [(z – 2) + 3i] [(z – 2) – 3i] =
= (z – 2)2 – (3i2) = z2 – 4z + 4 – 9i2 =
= z2 – 4z + 13 = 0
Interpolación gráfica de igualdades entre complejos
48 Representa los números complejos z tales que z +
–
z = –3.
☛ Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición
que obtienes.
Llamamos z = x + iy
Entonces: –z = x – iy
Así:
z + –z = x + iy + x – iy = 2x = –3 → x = –
Representación:
49 Representa los números complejos que verifican:
a)
–
z = –z b) |z +
–
z| = 3 c) |z –
–
z| = 4
a) z = x + iy → –z = x – iy
–z = –z → x – iy = –x – iy → 2x = 0 → x = 0 (es el eje imaginario)
3
2
1–1–2
x = – —3
2

Representación:
b) z + –z = x + iy + x – iy = 2x
z + –z = 2x = 3
Representación:
c) z – –z = x + iy – z + iy = 2yi
z – –z = 2yi = 2y = 4
Representación:
50 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya re-
presentación gráfica es la siguiente:
2y = 4 → y = 2
2y = –4 → y = –2
2x = 3 → x = 3/2
2x = –3 → x = –3/2
1–1
x = 0
1 2–1–2
x = —
3
2x = – —
3
2
2
–2
–3 1
1
3
1
2
–1 1
1
2
2–3
3
–2
a)
d)
b)
e)
c)
f)

☛ En a), b) y f) es una igualdad.
En c) y d), una desigualdad.
En e), dos desigualdades.
a) Re z = –3 b) Im z = 2
c) –1 ≤ Re z ≤ 1 d) 0 ≤ Im z < 2
e) f) z = 3
Página 165
51 ¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0?
No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos).
52 Prueba que |z| =
Si z = x + iy, entonces –z = x – iy.
Así:
z · –z = (x + iy) (x – iy) = x2 – (iy)2 = x2 – i2 y2 = x2 + y2
Por tanto:
= = z
53 Si z = rα , ¿qué relación tienen con z los números rα + 180º y r360º – α ?
rα + 180° = –z (opuesto de z)
r360° – α = –z (conjugado de z)
54 Comprueba que:
a) –—–
z + w =
–
z +
–
w b)
–—–
z · w =
–
z ·
–
w c)
—
kz = k
–
z, con k ∈ Á
z = a + bi = rα → –z = a – bi = r360° – α
w = c + di = r'β → –w = c – di = r'360° – β
a) z + w = (a + c) + (b + d )i → —z + w = (a + c) – (b + d)i
–z + –w = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d)i = —z + w
b) x · w = (r · r')α + β → —z · w = (r · r')360° – (α + β)
–z · –w = (r · r')360° – α + 360° – β = (r · r')360° – (α + β) = —z · w
c) kz = ka + kbi →
—
kz = ka – kbi
k –z = ka – kbi =
—
kz
√x2 + y2√z · –z
√z ·
–
z
–3 < Re z < 2
–2 < Im z < 3




55 Demuestra que | |= .
= = ( )–α
= ( )360° – α
→
 = =
56 El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real? Aclára-
lo con un ejemplo.
Sí. Por ejemplo:
z = i, w = i
z · w = i · i = i2 = –1 ∈Á
57 Representa el número complejo z = 4 – 3i. Multiplícalo por i y comprueba
que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de 90º.
iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i
58 Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i
mediante un giro de 30º con centro en el origen.
2 + 3i = 56° 18'
z = 56° 18' · 130° = 86° 18' = 0,23 + 3,60i
59 ¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto?
Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es α, el de su opuesto es:
180° + α
60 ¿Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que
–
z = ?
☛ Halla , e iguala a a – bi.
= = = = a – bia – bi
a2 + b2
a – bi
(a + bi) (a – bi)
1
a + bi
1
z
1
z
1
z
√13√13
√13
1
z
1
r
1
z
1
r
1
r
10°
rα
1
z
1
|z|
1
z
90°
4 – 3i
3 + 4i

= a = a2 + b2 → a2 + b2 = 1 (módulo 1)
= –b Ha de tener módulo 1
PARA PROFUNDIZAR
61 La suma de dos números complejos, z = a + bi, w = c + di, dividida por su
diferencia, es un número imaginario puro.
Prueba que los dos números z y w han de tener el mismo módulo.
☛ Haz , calcula la parte real de ese cociente e iguala a 0.
= = =
= =
=
Para que sea imaginario puro, su parte real ha de ser 0:
= 0 → a2 – c2 + b2 – d 2 = 0
a2 + b2 = c2 + d 2 → = → z = w
62 Sea z ≠ 0 un complejo y w = – + i. Prueba que los afijos de z, zw y
zw2 son los vértices de un triángulo equilátero.
☛ Expresa w en forma polar y recuerda el significado de la multiplicación por 1α
z = rα, w = 1120°
z · w = rα · 1120° = rα + 120°
z · w2 = rα · (1120°)2 = rα · 1240° = rα + 240°
Como los tres tienen el mismo módulo y forman entre sí 120°, sus afijos son los
vértices de un triángulo equilátero.
63 Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de
sus vértices en el punto ( , ).
Halla los otros vértices y la longitud de su lado.
√2√2
√3
2
1
2
√c2 + d 2√a2 + b2
a2 – c2 + b2 – d 2
(a – c)2 + (b – d )2
(a2 – c2 + b2 – d 2) + [(a + c) (b – d ) + (b + d ) (a – c)]i
(a – c)2 + (b – d )2
(a2 – c2) + (a + c) + (b – d )i + (b + d) + (a – c)i – (b2 – d 2)i2
(a – c)2 + (b – d )2
[(a + c) + (b + d )i] [(a – c) – (b – d )i]
[(a – c) + (b – d )i] [(a – c) – (b – d )i]
(a + c) + (b + d )i
(a – c) + (b – d )i
z + w
z – w
z + w = (a + c) + (b + d )i
z – w = (a – c) + (b – d)i



z = a + bi
w = c + di
(a + c) + (b + d )i
(a – c) + (b – d )i
–b
a2 + b2
a
a
a
a2 + b2








El punto ( , ) corresponde al afijo del número complejo z = + i = 245°.
Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°:
z2 = 2117° = –0,91 + 1,78i z3 = 2189° = –1,97 – 0,31i
z4 = 2261° –0,31 – 1,97i z5 = 2333° = 1,78 – 0,91i
Los otros tres vértices serán:
(–0,91; 1,78) (–1,97; –0,31) (–0,31; –1,97) (1,78; –0,91)
Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:
l2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72°
l2 = 4 + 4 – 4 · 0,31
l2 = 8 – 1,24
l2 = 6,76
l = 2,6 unidades
64 Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de uno
de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo y el
argumento de cada uno?
rα · r'β = (r · r')α + β = 8180° →
= = ( )3α – β
= 20° →
Así:
α + 3α = 180° → 4α = 180° →
Por tanto: z = 245°, w = 4135°
65 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráfica-
mente el resultado:
a) 3π/3 b) 2i c) –1 + i
¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número comple-
jo y de su inverso?
α = 45°
β = 135°






α + β = 180°
3α = β
r = 2
r' = 4






r · r' = 8
r3 = 2r'
r3
r'
r 3
3α
r'β
(rα)3
r'β
r · r' = 8
α + β = 180°










z = rα
w = r'β
–8 = 8180°
2 = 20°
√2√2√2√2
2
2
l
72°





= 2
3α – β = 0°
r3
r'







r' =
r' = r3
2
8
r
= → 16 = r4 →r3
2
8
r

a) = = ( )–π/3
= ( )
b) = = i
c) –1 + i = 135°
= =
( )–135°
=
( )225°
= – – i
Si z = rα, entonces = ( )360° – α
66 Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determina
en cada caso?
a) |z – (1 + i)| = 5 b) |z – (5 + 2i)| = 3
a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
1
r
1
z
1
2
1
2
1
√2
1
√2
10°
√2135°
1
–1 + i
√2
–1
2
–i
2
1
2i
1
3
1
3
10°
3π/3
1
3π/3
π/3
3π/3
(1/3–π/3) –π/3
2i
–1/2i
–1 + i
1
–1 + i
———
1 (1, 1)
1
5

b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
67 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afijos
estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.
z – (1 + i) = 3
68 Demuestra, utilizando números complejos, que en
un paralelogramo cualquiera la suma de los cuadra-
dos de las diagonales es igual al doble de la suma de
los cuadrados de los lados.
☛ Al formar un paralelogramo cuyos lados contiguos
sean dos números complejos, z y w, observa qué rela-
ción tienen con estos las diagonales.
Y recuerda (ejercicio 52) que el cuadrado del módulo de un complejo, |z|2, es
igual al producto de z por su conjugado –z. Es decir |z|2 = z ·
–
z (*)
Para demostrar la igualdad propuesta, exprésala utilizando los cuadrados de los
módulos de los complejos correspondientes, desarróllala utilizando la propiedad
(*), opera y simplifica.
Suma de los cuadrados de los lados: z2 + w2
Suma de los cuadrados de las diagonales: z + w2 + z – w2
Operamos:
z + w2 + z – w2 = (z + w) (–z + –w) + (z – w) (–z – –w) =
= z –z + z –w + zw + w –w + z –z – z –w – zw + w –w =
= z –z + z –z + w –w + w –w = 2z · –z + 2w · –w = 2(z –z + w –w) =
= 2(z2 + w2)
2
5
(5, 2)
3
z – w
z + w
z
w

RESUELVE TÚ
Aparte de la Luna y el Sol, los objetos celestes que se nos presentan con más bri-
llo son planetas: Venus, Marte y Júpiter. Después de ellos, el astro más brillante
es la estrella Sirio. Observándola con seis meses de diferencia, presenta una pa-
ralaje de 0,72". ¿A qué distancia se encuentra?
Como hemos visto:
d =
Si α = 0,72", quedaría:
d = = 8,6 · 1013 km ≈ 9 años-luz
150 000 000
sen (0,72"/2)
150 000 000
sen (α/2)

Multiplica vectores por números
I Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores:
Representa:
a) 2
→
a b) 5
→
b c)
→
c
Expresa el vector
→
d como producto de uno de los vectores
→
a,
→
b o
→
c por un
número.
Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo:
→
a (2, 3).
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
I •
→
d = –2,5
→
b =
→
b
•
→
a(2, 3)
→
b(–2, –2)
→
c(3, 0)
→
d(5, 5)
• 2
→
a = 2(2, 3) = (4, 6)
5
→
b = 5(–2, –2) = (–10, –10)
→
c = (3, 0) = (1, 0)
1
3
1
3
–5
2
1
3
Unidad 7. Vectores 1
VECTORES7
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;→
a
→
c
→
d
→
b
2a
1/3 c
→
→
d = –5/2 b
→ →
5b
→

Suma de vectores
I Efectúa gráficamente:
a)
→
a +
→
c b)
→
b +
→
c c)
→
b +
→
a d)
→
a +
→
b +
→
c
siendo
→
a,
→
b y
→
c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números. Por ejemplo:
→
a +
→
c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
I a)
→
a +
→
c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b)
→
b +
→
c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c)
→
b +
→
a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
d)
→
a +
→
b +
→
c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
Combina operaciones
I
Con los vectores
→
u,
→
v y
→
w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
a) 2
→
u + 3
→
v b) –
→
v + 5
→
w c) 2
→
u + 3
→
v – 4
→
w
¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
I a) 2
→
u + 3
→
v = 2(3, 1) + 3(2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b) –
→
v + 5
→
w = –(2, –2) + 5(3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
c) 2
→
u + 3
→
v – 4
→
w = 2(3, 1) + 3(2, –2) – 4(3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
Vector nulo:
→
0
a + c
a
→
→
a
→ a
→
c
→
c
→
c
→
b
→
b
→
b
→→
b + c
→ →
b + a
→ →
a + b + c
→ →→
a) b) c) d)
→
u
→
v
→
w

1. Si
→
u(–2, 5) y
→
v(1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una
base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
a) 2
→
u +
→
v b)
→
u –
→
v c) 3
→
u +
→
v d) – →
u – 2
→
v
a) 2
→
u +
→
v = 2(–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6)
b)
→
u –
→
v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
c) 3
→
u +
→
v = 3(–2, 5) + (1, –4) = (–6, 15) + ( , )= ( , )
d) –
→
u – 2
→
v = – (–2, 5) – 2(1, –4) = (1, )+ (–2, 8) = (–1, )
Página 178
1. Demuestra las propiedades 1, 3, 5 y 8.
• Propiedad 1: Si
→
u =
→
0 ⇒
→
u ·
→
v = →
u →
v cos (
→
u,
→
v ) =
= 
→
0 →
v cos (
→
u,
→
v ) =
= 0 · →
v cos (
→
u,
→
v ) = 0
Si
→
v =
→
0 ⇒ se demuestra de forma análoga
• Propiedad 3: Si
→
u ·
→
v = 0 ⇒ →
u →
v cos (
→
u,
→
v ) = 0
Como:
→
u ≠
→
0 ⇒ →
u ≠ 0
→
v ≠
→
0 ⇒ →
v ≠ 0
Tiene que ser cos (
→
u,
→
v) = 0 ⇒
→
u,
→
v = 90° ⇒
→
v ⊥
→
u
11
2
–5
2
1
2
1
2
41
3
–17
3
–4
3
1
3
1
3
1
3
1
2
1
3
2u
→
2u + 3v
→ →
3v
→ –v
→
5w
→
–v + 5w
→ →
a) b)
2u
→
3v
→
–4w
→
c)








• Propiedad 5:
→
u ·
→
v = →
u →
v cos (
→
u,
→
v )
(*)
= →
v →
ucos (
→
v,
→
u) =
→
v ·
→
u
(*) pues cos α = cos (–α)
• Propiedad 8: Si B (
→
x,
→
y) es una base ortonormal →
→
→
x ⊥
→
y → por la propiedad 2:
→
x ·
→
y = 0 →
→ por la propiedad 5:
→
x ·
→
y =
→
y ·
→
x = 0
Además:
→
x ·
→
x = 
→
x 
→
x cos 0° = 
→
x 
→
x · 1 = 1
→
y ·
→
y = 
→
y 
→
y cos 0° = 
→
y 
→
y · 1 = 1
pues en una base ortogonal 
→
x = 1, 
→
y = 1.
2. Reflexiona sobre lo que significan las propiedades 6 y 7. Pon ejemplos y justi-
fícalos.
• Propiedad 6: λ (
→
u ·
→
v) = λ [
→
u 
→
v cos (
→
u,
→
v)] =
= λ [
→
u · proy
→
v sobre
→
u]
(λ
→
u) ·
→
v = λ
→
u 
→
v cos (
→
u,
→
v) =
= (λ 
→
u) 
→
v cos (
→
u,
→
v) =
= (λ 
→
u) proy
→
v sobre
→
u
En ambos casos, a la proyección de
→
v sobre
→
u la multiplicamos por λ y por 
→
u
(ambas escalares). Luego se trata de la longitud de un segmento proporcional al
segmento OP (proyección de
→
v sobre
→
u).
Ejemplo: supongamos λ = 2, 
→
u = 3, 
→
v = 1
O'P" = (λ
→
u) ·
→
v
• Propiedad 7:
→
u · (
→
v +
→
w) = 
→
u · proy. de (
→
v +
→
w) sobre
→
u
→
u ·
→
v +
→
u ·
→
w = 
→
u · proy. de
→
v sobre
→
u + 
→
u · proy. de
→
w sobre
→
u =
= 
→
u (proy. de
→
v sobre
→
u + proy. de
→
w sobre
→
u)
Luego en ambos casos hay que multiplicar por 
→
u. Solo vemos que la proyección
de (
→
v +
→
w) sobre
→
u es igual que la suma de las proyecciones de ambos vectores
por separado.
O'P' =
→
u ·
→
v
O'P" = λ(
→
u ·
→
v)



λv = 2v
→ →
v
→
→
O' P'
PO
P" O' P' P"
u
→
PO
u

Veamos un ejemplo:
→
—
OR =
—
OQ +
—
QR =
→
OQ +
→
OP
y ya se tiene el resulado.
3. A partir de la propiedad 4, demuestra que si
→
v ≠ 0, entonces:
(proyección de
→
u sobre
→
v ) =
Por la propiedad 5:
→
u ·
→
v =
→
v ·
→
u
Y aplicando ahora la propiedad 4:
→
u ·
→
v =
→
v ·
→
u = 
→
v · (proyección de
→
u sobre
→
v)
Entonces, si 
→
v ≠ 0, se tiene:
(proyección de
→
u sobre
→
v) =
Página 184
PARA PRACTICAR
Los vectores y sus operaciones
1 La figura ABCD es un rombo.
Compara el módulo, la dirección y el sentido
de los siguientes pares de vectores:
a)
→
AB y
→
BC b)
→
AQ y
→
BC
c)
→
BM y
→
PD d)
→
OC y
→
OD
→
u ·
→
v

→
v
→
u ·
→
v

→
v





—
OP = proy de
→
v sobre
→
u
—
OQ = proy de
→
w sobre
→
u
Como
—
OP =
—
QR
v
→
u
→
w
→
v + w
→→
O P Q R
B
C
A
M
N
Q
P
DO

a) 
→
AB = 
→
BC
Tienen distinta dirección.
b) 
→
AQ = 
→
BC
→
→
AQ =
→
BC
c) Los dos vectores tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo senti-
do, luego:
→
BM =
→
PD
d) 
→
OC < 
→
OD
Sus direcciones son perpendiculares →
→
OC ⊥
→
OD
2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a
→
NC y otros tres igua-
les a
→
MQ.
→
NC =
→
BN =
→
AQ =
→
QD
→
MQ =
→
NP =
→
BO =
→
OD
3 Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igual-
dades sean verdaderas para el rombo del ejercicio 1:
a)
→
CD = 2
→
CP b)
→
MN = …
→
AC
c)
→
OC = …
→
OA d)
→
NB = …
→
BC
a)
→
CD = 2
→
CP b)
→
MN =
→
AC
c)
→
OC = –
→
OA d)
→
NB = –
→
BC
4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el
rombo del ejercicio 1, sean verdaderas:
a)
→
AM +
→
MN =
→
AN b)
→
MN +
→
…C =
→
MC
c)
→
M… +
→
OP =
→
OD d)
→
AM +
→
A… =
→
AO
a)
→
AM +
→
MN =
→
AN b)
→
MN +
→
NC =
→
MC
c)
→
MA +
→
OP =
→
OD d)
→
AM +
→
AQ =
→
AO
1
2
1
2
1
2





Dirección de
→
AQ = dirección de
→
BC
Sentido de
→
AQ = sentido de
→
BC
1
2

5 Observa el rombo de la figura y calcula:
a)
→
AB +
→
BC b)
→
OB +
→
OC
c)
→
OA +
→
OD d)
→
AB +
→
CD
e)
→
AB +
→
AD f )
→
DB –
→
CA
Expresa los resultados utilizando los vértices del
rombo.
a)
→
AC b)
→
AB =
→
DC
c)
→
BA =
→
CD d)
→
AA =
→
0
e)
→
AC f) 2
→
DC
6 Considera el vector
→
w:
Dibuja en cada uno de estos casos un vector
→
v que sumado con
→
u dé como
resultado
→
w:
a) b)
c) d)
7 Los vectores
→
a,
→
b y
→
c los he-
mos obtenido operando con
los vectores
→
x,
→
y,
→
z.
¿Qué operaciones hemos he-
cho en cada caso?
→
b =
→
x +
→
y –
→
z
→
c =
→
x –
→
y +
→
z
B
O C
A
D
→
w
→
u
→
u
→
u
→
u
u
→
u
→
u
→
u
→
v
→
v
→
v
→ v
→
w
→
w
→
w
→
w
→
a)
d)
b) c)
→
z→
x
→
y –
→
z
→
a
→
c
→
a =
→
y –
→
z –
→
x
–→
x →
y
→
b

8 Al dibujar los vectores
→
x + 2
→
y;
→
y +
→
z +
→
x;
→
y –
→
z;
→
z –
→
x – 2
→
y, siendo
→
x,
→
y y
→
z
los vectores del ejercicio anterior, hemos obtenido:
Asocia cada expresión a su resultado.
→
u =
→
y +
→
z +
→
x
→
w =
→
z –
→
x – 2
→
y
→
t =
→
y –
→
z
9 Expresa el vector
→
z como combinación lineal de
→
x e
→
y. Hazlo después con
el vector
→
u.
☛ Dibuja
→
x,
→
y,
→
z con el mismo origen. Prolonga los vectores
→
x,
→
y en los dos
sentidos. Desde el extremo de
→
z, traza paralelas a
→
x e
→
y hasta formar un
paralelogramo del que
→
z sea una diagonal.
→
z = 3,5
→
x –
→
y
→
u = –4
→
x + 2
→
y
Con coordenadas, sería:
→
z = a
→
x + b
→
y = a (0, 2) + b (4, 3) = (–4, 4) → →
→ →
→
z =
→
x –
→
y
→
u = a (0, 2) + b (4, 3) = (8, –2) → →
→ →
→
u = –4
→
x + 2
→
y
Página 185
Bases y coordenadas
10 A la vista de la figura, dibuja los vectores:
–
→
u +
→
v,
→
u –
→
v,
→
u +
→
v, –
→
u –
→
v
–
→
u + 2
→
v,
→
u – 2
→
v
Si tomamos como base (
→
u,
→
v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores
que has dibujado?



b = 2
2a + 3 · 2 = –2 → a = –4






0a + 4b = 8
2a + 3b = –2



7
2



b = –1
2a + 3(–1) = 4 → a = 7/2






0a + 4b = –4
2a + 3b = 4



→
t
→
u
→
v =
→
x + 2
→
y
→
w
→
u
→
z→
x
→
y
→
v
→
u

–
→
u +
→
v = (–1, 1)
→
u –
→
v = (1, –1)
→
u +
→
v = (1, 1)
–
→
u –
→
v = (–1, –1) –
→
u + 2
→
v = (–1, 2)
→
u – 2
→
v = (1, –2)
11 Expresa gráficamente el vector
→
y de la forma:
→
y = m
→
x + n
→
z.
¿Qué signo tendrán m y n? ¿Cómo serán, mayores o meno-
res que 1?
m, n > 0
m > 1, n < 1
12 Escribe los vectores
→
u,
→
v,
→
w como combinación lineal de
→
x e
→
y.
¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B(
→
x,
→
y )?
→
u = –
→
x +
→
y, luego
→
u = (– , ) respecto de B (
→
x,
→
y).
→
v =
→
x +
→
y, luego
→
v = ( , 1) respecto de B (
→
x,
→
y).
→
w =
→
x +
→
y, luego
→
w = ( , 1) respecto de B (
→
x,
→
y).
3
2
3
2
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
u
→
–u
→
–u
→
–u
→
–v
→
–v
→
–2v
→
2v
→
–u + v
→ →
–u – v
→ →
u – v
→ →
u – 2v
→ →
–u + 2v
→ →
u + v
→ →
v
→
v
→
u
→
u
→
v
→
u
→
→
x →
y
→
z
x
→
z
→
y
→
mx
→
nz
→
→
v
→
u
→
y
→
x
→
w

13 Escribe las coordenadas de los vectores
→
a,
→
b,
→
c,
→
d,
→
e con respecto a la ba-
se B(
→
x,
→
y ).
→
a (–1, –1)
→
b (3, 3)
→
c (–2, –3)
→
d (4, –1)
→
e (–4, 0)
14 Si las coordenadas de los vectores
→
u y
→
v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las
coordenadas de:
a) –2
→
u +
→
v b) –
→
u – →
v c) (
→
u +
→
v ) – (
→
u –
→
v )
a) –2 (3, –5) + (–2, 1) = (–6, 10) + (–1, )= (–7, )
b) –(3, –5) – (–2, 1) = (–3, 15) + ( , )= ( , )
c) [(3, –5) + (–2, 1)] – [(3, –5) – (–2, 1)] = (1, –4) – (5, –6) =
= ( , –2)+ ( , 4)= ( , 2)
15 Halla el vector
→
b tal que
→
c = 3
→
a –
→
b, siendo
→
a(–1, 3) y
→
c(7, –2).
(7, –2) = 3(–1, 3) – (b1, b2) →
→
b (–20, 22)
16 Halla las coordenadas de un vector
→
v tal que
→
a = 3
→
u – 2
→
v, siendo
→
a (1, –7)
y
→
u ( ,
).
(1, –7) = 3( , )–2(v1, v2) →
→
v ( , )9
2
3
4



1 = 5/2 – 2v1 → v1 = 3/4
–7 = 2 – 2v2 → v2 = 9/2



2
3
5
6
2
3
5
6



7 = –3 – 1/2b1 → b1 = –20
–2 = 9 – 1/2b2 → b2 = 22



1
2
1
2
–17
6
–10
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
72
5
–9
5
–3
5
6
5
3
5
11
2
1
2
1
2
2
3
1
2
3
5
1
2
→
c
→
e
→
y
→
x
→
a
→
b
→
d

17 Dados los vectores
→
a (3, –2),
→
b(–1, 2) y
→
c(0, –5), calcula m y n de modo
que:
→
c = m
→
a + n
→
b.
(0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) →
Resolvemos el sistema:
Despejando en la primera ecuación n = 3m y sustituyendo en la segunda:
–5 = –2m + 6m → –5 = 4m → m = → n =
18 Expresa el vector
→
a(1, 5) como combinación lineal de
→
b(3, –2) y
→
c (4, – ).
☛ Calcula m y n tales que
→
a = m
→
b + n
→
c .
(1, 5) = m (3, –2) + n (4, – ) →
Resuelvo el sistema por reducción (por ejemplo).
Para ello, multiplico la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumo
miembro a miembro las dos:
1 = 3m + 4n
40 = –16m – 4n
41 = –13m → m =
Sustituyo en una de las dos ecuaciones y despejo n:
1 = 3m + 4n → 1 = 3( )+ 4n → 1 = + 4n → = 4n
→ n = =
Así, podemos decir:
→
a = –
→
b –
→
c
19 ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?
a)
→
u(3, –1),
→
v(–3, 1)
b)
→
u(2, 6),
→
v ( , 2)
c)
→
u(5, –4),
→
v(5, 4)
a) No, pues tienen la misma dirección (
→
u = –
→
v).
b) No, por la misma razón (
→
u = 3
→
v).
c) Sí, tienen distinta dirección (
→
u ≠ k
→
v para cualquier k). Basta con representarlos
gráficamente para comprobarlo.
2
3
36
13
41
13
36
13
136
52
–123
13
136
13
–41
13
41
–13
1 = 3m + 4n
5 = –2m – 1/2n



1
2
1
2
–15
4
–5
4
0 = 3m – n
–5 = –2m + 2n




Producto escalar
20 Dados
→
u(2, 3),
→
v(–3, 1) y
→
w(5, 2), calcula:
a) (3
→
u + 2
→
v ) ·
→
w b)
→
u ·
→
w –
→
v ·
→
w
c) (
→
u ·
→
v )
→
w d)
→
u(
→
v ·
→
v )
☛ a) Halla primero las coordenadas de 3
→
u + 2
→
v.
c) Efectúa
→
u ·
→
v. Multiplica el resultado (un número) por el vector
→
w. Obtendrás un
vector.
En b) obtendrás un número y en d), un vector.
a) 3
→
u + 2
→
v = 3(2, 3) + 2(–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11)
(3
→
u + 2
→
v) ·
→
w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22
b)
→
u ·
→
w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16
→
v ·
→
w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13
→
→
u ·
→
w –
→
v ·
→
w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29
c)
→
u ·
→
v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3
(
→
u ·
→
v)
→
w = –3(5, 2) = (–15, –6)
d)
→
v ·
→
v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10
→
u (
→
v ·
→
v) = (2, 3) · 10 = (20, 30)
21 Calcula x, de modo que el producto escalar de
→
a(3, –5) y
→
b(x, 2) sea igual
a 7.
(3, –5) · (x, 2) = 7 → 3x – 10 = 7 → x =
22 Dado el vector
→
u(–5, k) calcula k de modo que:
a)
→
u sea ortogonal a
→
v(4, –2).
b) El módulo de
→
u sea igual a .
a)
→
u ⊥
→
v ⇒
→
u ·
→
v = 0 → (–5, k) · (4, –2) = 0 → –20 – 2k = 0 → k = –10
b) 
→
u = = = → 25 + k2 = 34 → k2 = 9 → k = ±3
Hay, pues, dos soluciones.
23 Halla las coordenadas de un vector
→
v(x, y), ortogonal a
→
u(3, 4) y que mida
el doble que
→
u.
→
u ⊥
→
v →
→
u ·
→
v = 0 → 3x + 4y = 0

→
v = 2 
→
u → = 2 = 2 = 10 → x2 + y2 = 100√25√9 + 16√x2 + y2
√34√25 + k2√(–5)2 + k2
√34
17
3



→






Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
x = y → ( y)2
+ y2 = 100 → y2 + y2 = 100 → y2 = 100 → y = ±6
Si y1 = 6 → x1 = · 6 = –8 →
→
v1 (–8, 6)
Si y2 = –6 → x2 = · (–6) = 8 →
→
v2 (8,
–6)
El problema tiene dos posibles soluciones,
tales que:
→
v1 = –
→
v2
24 Dados
→
a(2, 1) y
→
b(6, 2), halla un vector
→
v tal que
→
v ·
→
a = 1 y
→
v ⊥
→
b.
Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miem-
bro a miembro:
–2x – 2y = –1
6x + 2y = 0
4x = –1 → x =
Sustituimos en una ecuación; por ejemplo en la segunda y despejamos la otra in-
cógnita:
6x + 2y = 0 → 6 · ( )+ 2y = 0 → 2y = = → y =
Así, nuestro vector será:
→
v ( , )
25 Siendo
→
u(5, –b) y
→
v(a, 2), halla a y b, sabiendo que
→
u y
→
v son ortogo-
nales y que 
→
v= .
Si
→
u ⊥
→
v, entonces
→
u ·
→
v = 0 → (5, –b) · (a, 2) = 0 → 5a – 2b = 0
Si 
→
v = , entonces = → a2 + 4 = 13√13√a2 + 22√13
√13
3
4
–1
4
3
4
3
2
6
4
–1
4
–1
4



(x, y) · (2, 1) = 1 → 2x + 2y = 1
(x, y) · (6, 2) = 0 → 6x + 2y = 0
–4
3
–4
3
25
9
16
9
–4
3
–4
3
v1
→
v2
→
u
→

a2 + 4 = 13 → a = ±3
Entonces: Si a = 3 → b = =
Si a = –3 → b = =
Luego hay dos posibles soluciones:
→
u (5, ),
→
v (3, 2)
O bien:
→
u (5, ),
→
v (–3, 2)
26 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
a)
→
u(3, 2),
→
v(1, –5) b)
→
m(4, 6),
→
n(3, –2) c)
→
a(1, 6),
→
b(– , –3)
a) Utilizamos las dos expresiones para calcular
→
u ·
→
v:
→
u ·
→
v = 3 · 1 + 2(–5) = –7
→
u ·
→
v = 
→
u · 
→
v· cos (
→
u,
→
v) = · · cos (
→
u,
→
v)
Igualando las dos expresiones, se tiene:
–7 = · · cos (
→
u,
→
v) → cos (
→
u,
→
v) = = –0,38
Luego: (
→
u,
→
v) = 112° 22' 48"
b) Despejando directamente en la definición:
→
m ·
→
n = 
→
m · 
→
n · cos (
→
m,
→
n) →
→ cos (
→
m,
→
n) = = = = 0
de donde: (
→
m,
→
n) = 90° (basta con ver que
→
m ·
→
n = 0)
c) cos (
→
a,
→
b) = = = = = –
Luego: (
→
a,
→
b) = 135°
Página 186
27 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexágo-
no de vértices A, B, C, D, E, F.
√2
2
–1
√2
–37/2
(37√
—
2 )/2
–1/2 – 18
√
—
37 · √
—
37/2
→
a ·
→
b

→
a·
→
b
0
√
—
52 · √
—
13
4 · 3 + 6 · (–2)
√
—
52 · √
—
13
→
m ·
→
n

→
m·
→
n
–7
√
—
13 · √
—
26
√26√13
√26√13
1
2
15
2
–15
2
–15
2
5a
2
15
2
5a
2

Calcula los productos:
a)
→
OA ·
→
OB b)
→
OA ·
→
OC
c)
→
AB ·
→
ED d)
→
BC ·
→
EF
a)
→
OA ·
→
OB = 
→
OA· 
→
OB cos (
→
OA,
→
OB)
= 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 · = 2
b)
→
OA ·
→
OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · (– )= –2
c)
→
AB ·
→
ED
(*)
= 2 · 2 · cos 0°
(*)
= 2 · 2 · 1 = 4
(*) OAB es un triángulo equilátero, luego:

→
AB = 
→
OA = 2
Razonamos igual para 
→
ED.
d)
→
BC = –
→
EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto)
Luego:
→
BC ·
→
EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4
28 Dado el vector
→
u(6, –8), determina:
a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que
→
u.
b)Los vectores ortogonales a
→
u que tengan el mismo módulo que
→
u.
c) Los vectores unitarios y ortogonales a
→
u.
a) Si
→
v tiene la misma dirección que
→
u, entonces:
O bien (
→
u,
→
v1) = 0°
O bien (
→
u,
→
v2) = 180°
• En el primer caso, si el ángulo que foman es 0°, entonces:
→
u ·
→
v1 = 6x – 8y = 
→
u · 
→
v1 · cos 0° →
→ 6x – 8y = 10 · 1 · 1 = 10 → 6x – 8y = 10
• Por otro lado, como 
→
v1 = 1 → = 1 → x2 + y2 = 1
x = =
que, sustituyendo en la segunda ecuación, queda:
5 + 4y
3
10 + 8y
6
√x2 + y2
1
2
1
2
A
B
C
D
E
O
F 60°

x2 + y2 = 1 → + y2 = 1 →
→ 25 + 16y2 + 40y + 9y2 = 9 → 25y2 + 40y + 16 = 0
y = =
Calculemos ahora x:
x = = =
Así:
→
v1 = ( , )
• En el segundo caso, es decir, si (
→
u,
→
v2) = 180°, entonces debe ocurrir que
→
v2
y
→
v1 formen 180°, es decir, que sean opuestos.
Luego:
→
v2 ( , )
b)
→
v ⊥
→
u → (x, y) · (6, –8) = 0 → 6x – 8y = 0 → x = = y

→
v = 
→
u → = 10 → x2 + y2 = 100
( y)2
+ y2 = 100 → y2 + y2 = 100 → y2 = 100 → y2 = 36 → y = ±6
• Si y1 = 6 → x1 = 6 = 8 →
→
v1 (8, 6)
• Si y2 = –6 → x2 = –8 →
→
v2 (–8, –6)
c) 
→
v = 1 → = 1 → x2 + y2 = 1
→
u ⊥
→
v → 6x – 8y = 0 → x = =
→ ( )2
+ y2 = 1 → y2 + y2 = 1 → y2 = 1 → y2 = → y = ±
• Si y1 = → x1 = · =
• Si y2 = → x2 = · ( )=
Así,
→
v1 = ( , ),
→
v2 ( , )
PARA RESOLVER
→
a = 2
→
u –
→
v y
→
b = –3
→
u + k
→
v, siendo
→
u = (2, 3) y
→
v = (–3, 0),
halla k de modo que (
→
a +
→
b ) sea ortogonal a (
→
a –
→
b ).
–3
5
–4
5
3
5
4
5
–4
5
–3
5
4
3
–3
5
4
5
3
5
4
3
3
5
3
5
25
9
25
9
16
9
4y
3
4y
3
8y
6
√x2 + y2
4
3
25
9
16
9
4
3
√x2 + y2
4
3
8y
6
4
5
–3
5
–4
5
3
5
3
5
5 + 4 · (–4/5)
3
5 + 4y
3
–4
5
–40 ± √1600 – 1600
50
25 + 16y2 + 40y
9





→

☛ Escribe las coordenadas de (
→
a +
→
b ) y (
→
a –
→
b ).
Si (
→
a +
→
b ) ⊥ (
→
a –
→
b ), entonces (
→
a +
→
b ) · (
→
a –
→
b ) = 0. Obtendrás una ecuación cuya
incógnita es k.
→
Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales:
(1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 → (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0
13 + 3k – 39k – 9k2 – 45 = 0 → 9k2 + 36k + 32 = 0
k = = =
= =
30 Halla el valor que debe tener k para que los vectores
→
x = k
→
a +
→
b e
→
y = k
→
a –
→
b sean perpendiculares, siendo
→
a(1, –3) y
→
b(2, 5).
→
x = k (1, –3) + (2, 5) = (k + 2, –3k + 5)
→
y = k (1, –3) – (2, 5) = (k – 2, –3k – 5)
Como queremos
→
x ⊥
→
y ⇒
→
x ·
→
y = 0
(k + 2, –3k + 5) · (k – 2, –3k – 5) = 0
(k + 2) (k – 2) + (–3k + 5) (–3k – 5) = 0
k2 – 4 + 9k2 – 25 = 0 → 10k2 = 29 → k = ± (dos soluciones)
31 Tomando como base B(
→
x,
→
y ), representa los vectores
→
u(1, 1),
→
v(1, –2) y
→
w(– ,
).
3
2
1
2
√29
10
–24/18 = –4/3 = k1
–48/18 = –8/3 = k2
–36 ± 12
18
–36 ± √144
18
–36 ± √1 296 – 1 152
18
→
a +
→
b = (1 – 3k, –3)
→
a –
→
b = (13 + 3k, 15)






→
a = 2(2, 3) – (–3, 0) = (7, 6)
→
b = –3(2, 3) + k (–3, 0) = (–6 – 3k, –9)







Entonces:
→
y
→
x
u
→
v
→
1x
→
1x
→
1y
→
–2y
→
(3/2)y
→
(–1/2)x
→
w
→

32 Expresa los vectores
→
a,
→
b y
→
c como combinación lineal de
→
x e
→
y.
→
a = –
→
x + 2
→
y
→
b =
→
x + 2
→
y
→
c =
→
x –
→
y
33 De los vectores
→
a y
→
b sabemos que 
→
a = 3 y 
→
b = 5 y que forman un
ángulo de 120°. Calcula 
→
a –
→
b.
☛ Mira el problema resuelto n
o
8.
Como:
→
v ·
→
v = 
→
v 
→
v cos 0° = 
→
v
2
· 1 = 
→
v
2
entonces podemos decir que:

→
a –
→
b
2
= (
→
a –
→
b) · (
→
a –
→
b) =
→
a ·
→
a – 2
→
a ·
→
b +
→
b ·
→
b =
= 
→
a
2
– 2 
→
a 
→
b cos (
→
a,
→
b) + 
→
b
2
=
= 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · (– )+ 25 = 49
Luego: 
→
a –
→
b = 7
34 Si 
→
u = 3 y (
→
u +
→
v ) · (
→
u –
→
v ) = –11, halla 
→
v.
☛ (
→
u +
→
v ) · (
→
u –
→
v ) =
→
u ·
→
u –
→
v ·
→
v = –11. Como
→
u ·
→
u = 
→
u2
= 9, calcula 
→
v.
(
→
u +
→
v) · (
→
u –
→
v) =
→
u ·
→
u –
→
v ·
→
v = 
→
u
2
– 
→
v
2
= –11
Como 
→
u = 3, se tiene que:
32 – 
→
v
2
= –11 → 
→
v
2
= 20 → 
→
v =
35 Sabiendo que 
→
u = 3, 
→
v = 5 y
→
u ⊥
→
v , halla 
→
u +
→
v  y 
→
u –
→
v .

→
u +
→
v
2
= (
→
u +
→
v) · (
→
u +
→
v) =
→
u ·
→
u + 2
→
u ·
→
v +
→
v ·
→
v =
=
(*)

→
u
2
+ 
→
v
2
= 32 + 52 = 34 → 
→
u +
→
v =
(*) →
u ⊥
→
v →
→
u ·
→
v = 0

→
u –
→
v
2
= (
→
u –
→
v) · (
→
u –
→
v) =
→
u ·
→
u – 2
→
u ·
→
v +
→
v ·
→
v =
= 
→
u
2
+ 
→
v
2
= 32 + 52 = 34 → 
→
u –
→
v = √34
√34
√20
1
2
1
2
1
2
1
2
→
a
→
c
→
y
→
b
→
x

36 Si 
→
u = 7, 
→
v = 5 y 
→
u +
→
v  = 10, ¿qué ángulo forman
→
u y
→
v ?
Razonando como en el problema resuelto número 8, llegamos a:

→
u +
→
v
2
= 
→
u
2
+ 2 
→
u 
→
v cos (
→
u,
→
v) + 
→
v
2
Sustituyendo los valores conocidos:
102 = 72 + 2 · 7 · 5 · cos (
→
u,
→
v) + 52
100 = 49 + 70 cos (
→
u,
→
v) + 25
cos (
→
u,
→
v) = = 0,37143 → (
→
u,
→
v) = 68° 11' 46,5"
37 Se sabe que
→
c =
→
a + 2
→
b y
→
d = 5
→
a – 4
→
b son perpendiculares y que
→
a y
→
b son
unitarios.
¿Cuál es el ángulo que forman
→
a y
→
b?
☛ Si
→
c ·
→
d = 0 → (
→
a + 2
→
b ) · (5
→
a – 4
→
b ) = 0.
Si
→
c ⊥
→
d →
→
c ·
→
d = 0 → (
→
a + 2
→
b) · (5
→
a – 4
→
b) = 0
5
→
a ·
→
a – 4
→
a ·
→
b + 10
→
b ·
→
a – 8
→
b ·
→
b = 0
Como
→
a y
→
b son unitarios → 
→
a = 1 = 
→
b
5 
→
a
2
+ 6
→
a ·
→
b – 8 
→
b
2
= 5 + 6
→
a ·
→
b – 8 = 0
→
a ·
→
b = = → 
→
a 
→
b cos (
→
a,
→
b) = cos (
→
a,
→
b) = → (
→
a,
→
b) = 120°
38 Calcula x para que los vectores
→
a(7, 1) y
→
b(1, x) formen un ángulo de 45°.
→
a ·
→
b = 7 + x = 
→
a 
→
b cos 45° →
7 + x = · · →
14 + 2x = → = →
= → = 1 + x2 →
49 + x2 + 14x = 25 + 25x2 → 24x2 – 14x – 24 = 0 →
12x2 – 7x – 12 = 0 → x =
x1 = 4/3
x2 = –3/4
7 ± √49 + 576
24
49 + x2 + 14x
25
√1 + x27 + x
5
√1 + x214 + 2x
10
√100(1 + x2)
√2
2
√1 + x2√50
–1
2
–1
2
–3
6
100 – 49 – 25
70

39 Calcula x para que
→
a(3, x) y
→
b(5, 2) formen un ángulo de 60°.
→
a ·
→
b = 
→
a 
→
b cos 60°
15 + 2x = · · → 30 + 4x = →
900 + 16x2 + 240x = 29(9 + x2) → 13x2 + 240x – 639 = 0
x = = =
40 Halla las coordenadas de cierto vector
→
x, sabiendo que forma un ángulo de
60° con
→
a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales.

→
a = = 
→
x
Sea
→
x(m, n)
2m + 4n = · · → 2m + 4n = 10
= → m2 + n2 = 20
m = = 5 – 2n
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(5 – 2n)2 + n2 = 20 → 25 + 4n2 – 20n + n2 = 20 → n2 – 4n + 1 = 0
n = =
• Si n1 = 0,27 → m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 →
→
x1 = (4,46; 0,27)
• Si n2 = 3,73 → m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 →
→
x2 = (–2,46; 3,73)
41 Determina un vector
→
a que forme con
→
b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que

→
a = 
→
b.
Sea
→
a(x, y) →
–x – 2y = 
→
a 
→
b cos 30°
→
= ·
→
–x – 2y = ( · ) · · ( ) →
–x – 2y =
x2 + y2 = 15 x2 + y2 = 15
x = –2y –
15
2
15
2
√3
2
√5√5√3
√5√3√x2 + y2
√3
n1 = 0,27
n2 = 3,73
4 ± 2√3
2
4 ± √16 – 4
2
10 – 4n
2
√20√m2 + n2
1
2
√20√20
√20
x1 = –2,36
x2 = 20,82
–240 ± 301,4
26
–240 ± √90828
26
–240 ± √57600 + 33228
26
√29(9 + x2)
1
2
√29√9 + x2





→
→
a ·
→
x = 
→
a 
→
x cos 60° →




















→

(4y2 + + 30y)+ y2 = 15 → 5y2 + 30y + = 0
20y2 + 120y + 165 = 0 → 4y2 + 24y + 33 = 0
y = = = –3 ±
Así:
→
a ( – , –3 + ) o
→
a = ( + , –3 – )
→
u(1, 3) y
→
v(6, 4), halla la proyección de
→
v sobre
→
u.
☛ Sabes que
→
u ·
→
v = 
→
u · proy. de
→
v sobre
→
u.
→
u ·
→
v = 
→
u · (proy. de
→
v sobre
→
u)
(proy. de
→
v sobre
→
u) = = = = =
→
a(5, 2) y
→
b(4, –3), calcula la proyección de
→
a sobre
→
b
y la de
→
b sobre
→
a.
→
a ·
→
b = 
→
a · (proy. de
→
b sobre
→
a)
→
a ·
→
b = 
→
b · (proy. de
→
a sobre
→
b)
proy. de
→
b sobre
→
a = = = =
proy. de
→
a sobre
→
b = = =
44 Demuestra que el vector (
→
b ·
→
c )
→
a – (
→
a ·
→
c )
→
b es perpendicular al vector
→
c.
☛ Debes probar que [(
→
b ·
→
c )
→
a – (
→
a ·
→
c )
→
b ] ·
→
c = 0.
Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.
• Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector:
(
→
b ·
→
c)
→
a – (
→
a ·
→
c)
→
b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =
= ((b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2) – ((a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2) =
= (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) =
= (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) =
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1)
14
5
20 – 6
√25
→
a ·
→
b

→
b
14√29
29
14
√29
20 – 6
√29
→
a ·
→
b

→
a
9√10
5
18√10
10
18
√10
6 + 12
√10
→
u ·
→
v

→
u
√3
2
√3
–3
2
√3
2
√3
–3
2
√3
2
–24 ± 4√3
8
–24 ± √576 – 528
8
165
4
225
4







→





→

• Calculamos ahora:
[(
→
b ·
→
c)
→
a – (
→
a ·
→
c)
→
b] ·
→
c =
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) =
= (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 =
= a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0
45 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector:
a) 2
→
a ·
→
b b) (
→
a ·
→
b )
→
c
c) (3
→
a – 2
→
b ) ·
→
c d) (
→
a +
→
b ) · (
→
a –
→
b )
a) Número b) Vector
c) Número d) Número
Página 187
46 Si B(
→
a,
→
b ) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los si-
guientes pares de vectores pueden ser otra base:
a) (3
→
a, –2
→
b ) b) (–
→
a –
→
b,
→
a +
→
b )
c) (
→
a –
→
b,
→
a +
→
b ) d) (
→
a –
→
b ,
→
b –
→
a )
a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3
→
a tiene la dirección de
→
a y –2
→
b
tiene la dirección de
→
b (que, por ser B (
→
a,
→
b) base, no es la misma).
b) No, pues –
→
a –
→
b = –1(
→
a +
→
b), luego los dos vectores tienen la misma dirección
(y sentidos opuestos).
c) Sí, pues tienen distinta dirección.
d) No, pues tienen la misma dirección al ser
→
a –
→
b = –1(
→
b –
→
a).
47 Sean
→
a y
→
b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los si-
guientes casos:
a)
→
a ·
→
b = 
→
a 
→
b b)
→
a ·
→
b = 0
c)
→
a ·
→
b = –
→
a 
→
b d)
→
a ·
→
b = 0,5 
→
a 
→
b
a
→
b
→a – b
→ →
a + b
→ →

a) cos (
→
a,
→
b) = 1 → (
→
a,
→
b) = 0°
b)
→
a ⊥
→
b → (
→
a,
→
b) = 90°
c) cos (
→
a,
→
b) = –1 → (
→
a,
→
b) = 180°
d) cos (
→
a,
→
b) = 0,5 → (
→
a,
→
b) = 60°
48 ¿Es cierto que
→
a ·
→
u =
→
a ·
→
v =
→
a ·
→
w? Justifica la respuesta.
☛ →
a ·
→
u = →
a · proy. de
→
u sobre
→
a. Observa las proyecciones
de
→
u,
→
v y
→
w sobre
→
a.
→
a ·
→
u = 
→
a · (proy. de
→
u sobre
→
a)
→
a ·
→
v = 
→
a · (proy. de
→
v sobre
→
a)
→
a ·
→
w = 
→
a · (proy. de
→
w sobre
→
a)
Como las proyecciones de
→
u, de
→
v y de
→
w sobre
→
a son iguales, entonces se ve-
rifica que:
→
a ·
→
u =
→
a ·
→
v =
→
a ·
→
w
49 Busca un contraejemplo para demostrar que si
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c, no se deduce que
→
b =
→
c.
Fijándonos en el ejercicio anterior, podemos encontrar
fácilmente un ejemplo en el que
→
b ≠
→
c siendo:
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c
→
a ·
→
b = 
→
a · proy. de
→
b sobre
→
a
→
a ·
→
c = 
→
a · proy. de
→
c sobre
→
a
Como ambas proyecciones coinciden:
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c
Y, sin embargo:
→
b ≠
→
c
50 Prueba que si
→
a ⊥
→
b y
→
a ⊥
→
c, entonces:
→
a ⊥ (m
→
b + n
→
c ), m,
n ∈ Á.
Hay que probar que
→
a · (m
→
b + n
→
c) = 0. Veamos:
→
a · (m
→
b + n
→
c)
(*)
= m (
→
a ·
→
b) + n (
→
a ·
→
c)
(*) Propiedades 6 y 7 del producto escalar.
Como:
→
a ⊥
→
b →
→
a ·
→
b = 0
→
a ⊥
→
c →
→
a ·
→
c = 0
→
a
→
w
→
v
→
u
a
→
c
→
b
→









→
→
a · (m
→
b + n
→
c) = m · 0 + n · 0

51 Prueba que si
→
a ⊥
→
b y
→
a ⊥ (
→
b +
→
c ) →
→
a ⊥
→
c .
Si
→
a ⊥
→
b →
→
a ·
→
b = 0
Si
→
a ⊥ (
→
b +
→
c) →
→
a · (
→
b +
→
c ) =
→
a ·
→
b +
→
a ·
→
c = 0
52 Justifica por qué 
→
a ·
→
b ≤ 
→
a
→
b.
☛ Ten en cuenta que –1 ≤ cos α ≤ 1.

→
a ·
→
b = 
→
a 
→
b cos (
→
a,
→
b) = 
→
a 
→
b cos (
→
a,
→
b)
(*)
≤ 
→
a 
→
b
(*) Como para cualquier ángulo α se da que –1 ≤ cos α ≤ 1 → cos α ≤ 1.
53 Comprueba que el módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que
la suma de los módulos de dichos vectores.
¿Cómo tienen que ser los vectores para que el módulo de su suma sea igual a
la suma de sus módulos?

→
a +
→
b
2
= (
→
a +
→
b) · (
→
a +
→
b) =
→
a ·
→
a +
→
b ·
→
b + 2
→
a ·
→
b =
= 
→
a
2
+ 
→
b
2
+ 2
→
a 
→
b cos (
→
a,
→
b)
(*)
≤ 
→
a
2
+ 
→
b
2
+ 2
→
a 
→
b =
= (
→
a + 
→
b)2
(*) –1 ≤ cos α ≤ 1
Hemos obtenido, por tanto, que:

→
a +
→
b
2
≤ (
→
a + 
→
b)2
Entonces, puesto que siempre 
→
v ≥ 0, podemos decir que:

→
a +
→
b ≤ 
→
a + 
→
b
La igualdad 
→
a +
→
b = 
→
a + 
→
b se dará cuando:
cos (
→
a,
→
b) = 1 → (
→
a,
→
b) = 0°
PARA PROFUNDIZAR
→
a(2, 6) y
→
b(5, 1), calcula:
a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que
→
b.
b)Un vector de la misma dirección que
→
b y cuyo módulo sea igual a la pro-
yección de
→
a sobre
→
b. (Vector proyección de
→
a sobre
→
b).





→
→
a ·
→
c = 0 →
→
a ⊥
→
c

a) Habrá dos soluciones (
→
v y –
→
v)
• Si
→
v es vector unitario → 
→
v = 1
• Si
→
v es de la misma dirección que
→
b →
→
v = k
→
b = (k5, k)
= 1 → k = ± = ±
Luego las soluciones son:
→
v = ( , ) y –
→
v = ( , – )
b) proy. de
→
a sobre
→
b = = = = =
Luego, 
→
v =
y
→
v = k
→
b = (5k, k)
Así:
→
v ( , ), –
→
v ( , )
55 Dados
→
a(1, 2) y
→
b(3, 5), expresa el vector
→
b como suma de dos vectores:
uno de la misma dirección que
→
a y otro ortogonal a
→
a.
→
b =
→
x +
→
y, donde:
•
→
x tenga la dirección de
→
a →
→
x = k
→
a = (k, 2k)
•
→
y ⊥
→
a →
→
y ·
→
a = (m, n) · (1, 2) = 0 → m + 2n = 0
→
→
b =
→
x +
→
y → (3, 5) = (k, 2k) + (m, n)
Además, debe ocurrir: m + 2n = 0
→
→ (3 – k) + 2(5 – 2k) = 0 →
m + 2n = 0
m = 3 – =
n = 5 – 2 · =
Por tanto,
→
b =
→
x +
→
y, donde:
→
x = ( , ) →
y = ( , )–1
5
2
5
26
5
13
5
–1
5
13
5
2
5
13
5



3 = k + m → m = 3 – k
5 = 2k + n → n = 5 – 2k



–8
13
–40
13
8
13
40
13
8√26
13
8√26
13
16√26
26
16
√26
10 + 6
√26
→
a ·
→
b

→
b
√26
26
–5√26
26
√26
26
5√26
26
√26
26
1
√26
√25k2 + k2




























→







→ = → k = ±
8
13
8√26
13
√26k2
→ 3 – k + 10 – 4k = 0 → k = →
13
5

56 Sean
→
a y
→
b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de
uno de sus vértices (cada vector define un par de lados paralelos):
a) Expresa las diagonales del rombo en función de
→
a y
→
b.
b)Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendicu-
lares.
a)
→
AC =
→
a +
→
b
→
BD =
→
b –
→
a = –
→
a +
→
b
b) Hay que probar que
→
AC ·
→
BD = 0. Veámoslo:
→
AC ·
→
BD = (
→
a +
→
b) · (
→
b –
→
a) =
→
b ·
→
b –
→
a ·
→
a = 
→
b
2
– 
→
a
2
Como 
→
b = 
→
a por ser la medida de los lados, se cumple que:
→
AC ·
→
BD = 0
57 Sean
→
a y
→
b dos vectores y sea OC
—
la proyección de
→
a sobre
→
b y OD
—
la
proyección de
→
b sobre
→
a.
Comprueba, por semejanza de triángulos, que se verifica 
→
b·
—
OC = 
→
a·
—
OD.
Los triángulos OCA y ODB son semejantes (por ser triángulos rectángulos con un
ángulo en común). Luego se verifica:
=
Como
—
OA = 
→
a y
—
OB = 
→
b:
= → 
→
b ·
—
OC = 
→
a ·
—
OD
Es decir:

→
b · (proy. de
→
a sobre
→
b) = 
→
a · (proy. de
→
b sobre
→
a)

→
a

→
b
—
OC
—
OD
—
OA
—
OB
—
OC
—
OD
a
→
b
→
b
→
a
→
A C
B
D
→
a
A
D
O C B
→
b

58 Calcula la medida de los ángulos del triángulo
MPC.
☛ Las coordenadas de
→
MC son (4, 2).
Escribe las coordenadas de
→
MD y halla CMD.
Halla el ángulo MCA con
→
CM y
→
CA.
• CMP = CMD = (
→
MC,
→
MD)
→
MC (4, 2)
→
MD (4, –2)
→ cos CMP = = = 0,6
Luego: CMP = 53° 7' 48,37"
• MCP = MCA = (
→
CM,
→
CA)
→
CM (–4, –2)
→
CA (–4, –4)
→ cos MCP = = = 0,94868
Luego: MCP = 18° 26' 5,82"
• Por último, MPC = 180° – (CMP + MCP) = 108° 26' 5,81"
59 a) Comprueba que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vérti-
ces A(–2, 5), B(4, 11), C(10, 1), D(0, –1) son los vértices de un paralelo-
gramo.
(¡Recuerda! Una condición que caracteriza a los paralelogramos es que
sus lados opuestos son iguales y paralelos).
b) Demuestra que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cual-
quiera son los vértices de un paralelogramo.
☛ Llama A(a, a' ), B(b, b' ), C(c, c' ), D(d, d' ) a los vértices del cuadrilátero inicial,
halla sus puntos medios P, Q, R, S, y comprueba, vectorialmente, que se cumple el
criterio dado en el apartado a).
16 + 8
√
—
20 · √
—
32
→
CM ·
→
CA

→
CM 
→
CA
16 – 4
√
—
20 · √
—
20
→
MC ·
→
MD

→
MC 
→
MD
→
x
→
y
A
M
B C
D
P
→
x
→
y
A
M
B C
D
P









→









→

a)
Sean P, Q, R y S los puntos medios de los lados del cuadrilátero, como se in-
dica en la figura.
•
→
PQ =
→
AB +
→
BC = (6, 6) + (6, –10) = (3, 3) + (3, –5) = (6, –2)
→
SR =
→
AD +
→
DC = (2, –6) + (10, 2) = (1, –3) + (5, 1) = (6, –2)
Luego:
→
PQ =
→
SR (misma dirección, mismo módulo)
Por tanto, los lados
—
PQ y
—
SR son iguales y paralelos.
•
→
SP =
→
DA +
→
AB = (–2, 6) + (6, 6) = (–1, 3) + (3, 3) = (2, 6)
→
RQ =
→
DC +
→
CB = (10, 2) + (–6, 10) = (5, 1) + (–3, 5) = (2, 6)
Así,
→
SP =
→
RQ ⇒ los lados opuestos
—
SP y
—
RQ son iguales y paralelos.
• Podemos concluir, por tanto, que PQRS es un paralelogramo.
b) Probaremos que la propiedad del apartado anterior se verifica para cualquier
cuadrilátero de vértices A (a, a'), B (b, b'), C(c, c'), D(d, d').
Supongamos P, Q, R y S los puntos medios de los lados (como antes). Entonces:
•
→
PQ =
→
AB +
→
BC = (b – a, b' – a') + (c – b, c' – b') =
= ( + , + )= ( , )
→
SR =
→
AD +
→
DC = (d – a, d' – a') + (c – d, c' – d') =
= ( + , + )= ( , )
Luego:
→→
PQ =
→
SR
c' – a'
2
c – a
2
c' – d'
2
d' – a'
2
c – d
2
d – a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
c' – a'
2
c – a
2
c' – b'
2
b' – a'
2
c – b
2
b – a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
A
P
Y
X
B
Q
C
R
D
S

• Análogamente, se puede probar
→
SP =
→
RQ.
Veamos, sin embargo, otra forma de hacerlo sin necesidad de usar las coorde-
nadas:
→
SP =
→
DA +
→
AB = (
→
DA +
→
AB) =
→
DB
→
RQ =
→
DC +
→
CB = (
→
DC +
→
CB) =
→
DB
• Podemos concluir, por tanto, que PQRS es un paralelogramo.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2







→
→
SP =
→
RQ

Punto medio de un segmento
Toma los puntos P(2, 5),
Q(10, 3) y represéntalos
en el plano:
I Localiza gráficamente el punto medio M del segmento PQ y da sus coordenadas.
¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?
I Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7) b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
I Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las
coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
I M(6, 4)
M ( , )
I a) M' (7, 4)
b) M" (5, 3)
I Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) los extremos de un segmento.
El punto medio de AB será M ( , ).
a2 + b2
2
a1 + b1
2
3 + 5
2
10 + 2
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA.
PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
8
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;P (2, 5)
Q (10, 3)
P (2, 5)
Q (10, 3)
Q'
Q"
P"
P'
M" M'
M

Ecuaciones de la recta
Observa las siguientes ecuaciones:
I Comprueba que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que es-
tán todos sobre una recta.
I Comprueba que las ecuaciones corresponden también a una recta,
hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores –2, –1, 0, 1, 2, 3 y repre-
senta los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la mis-
ma recta).
I Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
–– Despeja t en la primera ecuación.
–– Sustituye su valor en la segunda.
–– Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
I
I t =
t = 4 – y
→ y = x +
14
3
–1
3
x – 2
3
x = 2 + 3t
y = 4 – t



x = –3 + 3t
y = 2t



t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1)
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
Y
X
r





→ = 4 – y → x – 2 = 12 – 3y → y = →
–x + 14
3
x – 2
3

Distancias en el plano
I Halla la distancia de P y de Q a cada una de las rectas r y s.
I Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del Teorema de Pitágoras).
I Halla, también, la distancia entre:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0) b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)
I d (P, r) = 1; d (P, s) = 8; d (Q, r) = 5 = d (Q, s)
I d (P, Q) =
—
PQ →
—
PQ2 = 32 + 42 = 25 →
—
PQ = 5
I a) d (P', Q') =
—
P'Q' →
—
P'Q' 2 = 52 + 122 = 169 →
—
P'Q' = 13
b) d (P", Q") =
—
P"Q" →
—
P"Q" 2 + 42 + 32 = 25 →
—
P"Q" = 5
I d (A, B) = , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
d (A, B) = 
→
AB
Página 191
1. Halla las coordenadas de
→
MN y
→
NM, siendo M (7, –5) y N (–2, –11).
→
MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
→
NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).
→ = → A, B y C están alineados.
–14
28
–3
6





→
PQ = (–3, –14)
→
QR = (6, 28)
√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)2
P (3, 2)
Q (5, 7)
s
r

3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7), B (–3, 4),
C (k, 5) estén alineados.
→ = → –4 = –3k – 9 → 3k = –5 → k =
Página 192
4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
d) Obtén un punto A de PQ tal que
—
PA/
—
AQ = 2/3.
e) Obtén un punto B de PQ tal que
—
PB/
—
PQ = 1/5.
a) M ( , )= ( , 4)
→ P' (13, –11)
c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Q' (–2, 19)
d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
→
PA = AQ
→
→ (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
A (5, 5)
e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
→
PB = PQ
→
→ (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
B (4, 7)



x – 3 = 1 → x = 4
y – 9 = –2 → y = 7
1
5
1
5







2
x – 3 = —(8 – x) → x = 5
3
2
y – 9 = —(–1 – y) → y = 5
3
2
3
2
3







x' + 8
—––––– = 3 → x' = –2
2
y' + (–1)
—–––––––– = 9 → y' = 19
2
Así:







3 + x
—––––– = 8 → x = 13
2
9 + y
—––––– = –1 → y = –11
2
b)
11
2
9 + ( –1)
2
3 + 8
2
–5
3
–3
1
–4
k + 3





→
AB = (–4, –3)
→
BC = (k + 3, 1)
P' (x, y)
Q (8, 1)
P (3, 9)
Q
P
Q'

1. Escribe las ecuaciones paramétricas de las rectas:
a) Que pasa por A (–3, 7) y tiene una dirección paralela al vector
→
d (4, –7).
b)Que pasa por M (5, 2) y es paralela a
→
d '(2, 2).
En ambos casos, dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la
recta.
a)
→
OX =
→
OA + t
→
d → (x, y) = (a1, a2) + t (d1, d2) →
→ →
b)
→
OX =
→
OM + t
→
d' → (x, y) = (m1, m2) + t (d'1, d'2) →
→ →
2. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P (5, –2) y Q (0, 4) b) M (3, 7) y N (3, 0)
c) A (0, 0) y B (7, 0) d) R (1, 1) y S (3, 3)
a) El vector dirección es:
→
PQ = (–5, 6) →
b)
→
d =
→
MN = (0, –7) →
c)
→
d =
→
AB = (7, 0) →
d)
→
d =
→
RS = (2, 2) →
3. Halla k para que S (–5, k) pertenezca a r:
→ k = 2 – 4(–2) = 10



–5 = 1 + 3t → t = –6/3 = –2
k = 2 – 4t



x = 1 + 3t
y = 2 – 4t



x = 1 + 2t
y = 1 + 2t



x = 7t
y = 0



x = 3
y = 7 – 7t



x = 5 – 5t
y = –2 + 6t



x = 5 + 2t
y = 2 + 2t



x = m1 + td'1
y = m2 + td'2



x = –3 + 4t
y = 7 – 7t



x = a1 + td1
y = a2 + td2



t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (–11, 21) (–7, 14) (–3, 7) (1, 0) (5, –7) (9, –14)
t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (1, –2) (3, 0) (5, 2) (7, 4) (9, 6) (11, 8)

1. Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
r1: r2:
Los vectores directores de r1 y r2 son, respectivamente,
→
d1 (–2, 1) y
→
d2 (–4, 3).
cos α = = = = ≈ 0,984 → α = 10° 18' 17,4"
2. Obtén para las rectas del ejercicio anterior:
a) La paralela a r1 que pase por el punto (5, 7).
b) Una perpendicular a r2 que pase por (0, 0).
a)
→ → r:
b) → r' :
Página 196
1. Considera las siguientes rectas:
r1: r2: r3: r4:
Halla la posición relativa de r1 y r2, r2 y r3, r3 y r4.
• Posición relativa de r1 y r2
Por 2 la 1-ª ecuación y se suman:
10t – 2s = –10
–3t + 2s = 3
7t = –7 → t = –1 → de la 1-ª ecuación: s = 5 + 5(–1) = 0
Como tiene solución única, entonces r1 y r2 se cortan en el punto P (2, 1) (que
se obtiene sustituyendo t = –1 en r1 o s = 0 en r2).
Las dos ecuaciones son equivalentes.
Luego el sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, r2 = r3 (son la misma recta).



s – 3t = 3
–2s + 6t = –6



2 + s = 5 + 3t
1 – 2s = –5 – 6t



5t – s = –5
–3t + 2s = 3



7 + 5t = 2 + s
–2 – 3t = 1 – 2s
x = 5 – 2t
y = –12 + 4t



x = 5 + 3t
y = –5 – 6t



x = 2 + t
y = 1 – 2t



x = 7 + 5t
y = –2 – 3t



x = 3t
y = 4t






r' ⊥ r2 →
→
d' ⊥
→
d2 →
→
d' = (3, 4)
P (0, 0)
x = 5 – 2t
y = 7 + t






→
d =
→
d1
P ∈r



r // r1
P (5, 7) ∈r
11√5
25
11
5√5
8 + 3
√
—
5 · √
—
25

→
d1 ·
→
d2

→
d1 
→
d2
x = 1 – 4t
y = 4 + 3t



x = 3 – 2t
y = 7 + t




→ No tienen solución.
Luego no tienen ningún punto en común. Por tanto, son paralelas.
Es decir, r3 // r4.
Página 197
1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene por ecuación:
5x – 3y + 8 = 0
Sea x = t → 5t – 3y + 8 = 0 →
NOTA – 2-º MÉTODO
El vector (5, –3) es perpendicular a r. Por tanto, el vector (3, 5) es paralelo a r. Po-
demos tomarlo como vector dirección:
→
d = (3, 5)
Si x = 0 → y = . Luego (0, )∈r
Así, las ecuaciones paramétricas son:
r:
(equivalente a la obtenida por el otro método).
2. Halla la ecuación implícita de la recta:
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:
2x = 10 – 6t
3y = –3 + 6t
2x + 3y = 7 → r: 2x + 3y – 7 = 0
NOTA – 2-º MÉTODO: x = 5 – 3t → t =
y = –1 + 2t → t =
2x – 10 = –3y – 3
r: 2x + 3y – 7 = 0
y + 1
2
x – 5
–3
x = 5 – 3t
y = –1 + 2t



x = 3t
y = 8/3 + 5t



8
3
8
3
x = t
y = 8/3 + (5/3)t






3t + 2s = 0
–6t – 4s = –7



5 + 3t = 5 – 2s
–5 – 6t = –12 + 4s







=
y + 1
2
x – 5
–3

1. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3 y cuya ordenada en el origen es –5.
→ r: y = –5 + 3(x – 0) →
→ r: y = 3x – 5 → ECUACIÓN EXPLÍCITA
→ r: 3x – y – 5 = 0 → ECUACIÓN IMPLÍCITA
2. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:
a) (–7, 11), (1, 7) b) (3, –2), (1, 4)
c) (6, 1), (11, 1) d) (–2, 5), (–2, 8)
a) m = = = = y – 7 = (x – 1)
Tomando el punto (1, 7) x + 2y – 15 = 0
b) m = = = –3 y – 4 = –3(x – 1)
Tomando el punto (1, 4) 3x + y – 7 = 0
c) m = = 0
y – 1 = 0 → y = 1
Tomando el punto (6, 1)
d) m = ¡Imposible! Entonces, no tiene pendiente.
No se puede poner de forma explícita. Es la recta x = –2, paralela al eje Y.
3. Halla dos puntos de la recta y = –3x + 4. Calcula a partir de ellos su pendiente,
y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.
Si x = 0 → y = 4 → A(0, 4) ∈r
Si x = 1 → y = 1 → B (1, 1) ∈r
m = = = –3
Efectivamente, es la de la recta y = –3x + 4.
4. Escribe las ecuaciones de las rectas representadas.
s: → Como s: y = mx + n → s: y = x + 3
–1
2
ms = –1/2
Ps (0, 3)



–3
1
1 – 4
1 – 0
8 – 5
–2 + 2
1 – 1
11 – 6
6
–2
4 + 2
1 – 3
–1
2
–1
2
–4
8
7 – 11
1 – (–7)
y1 – y0
x1 – x0



m = 3
P (0, –5) ∈r















;;;
;;;
;;;s r
t

r: → r: y = x + 2; t: → t: y = 1
Página 201
1. Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) b)
Se puede resolver el sistema o bien observar los coeficientes y el término indepen-
diente de ambas ecuaciones:
a) = = = = =
Es decir: = = → Son la misma recta.
b) ≠ → ≠ → Las rectas se cortan en un punto.
Para calcular el punto de corte, bastará con resolver el sistema.
Despejando en la primera ecuación: y = –3 – 5x
x – 2(–3 – 5x) + 16 = 0 → x + 6 + 10x + 16 = 0 → 11x = –22 → x = –2
Con lo que:
y = –3 – 5(–2) = 7 → (x, y) = (–2, 7) → Punto de corte
2. ¿Cuál es la posición relativa de estos dos pares de rectas?
a) b)
a) = ≠ → = ≠ → Son paralelas.
Son dos rectas que se cortan en el punto (4/3, 4/3)
Página 202
1. Obtén la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a) (3, –5), (1, 4) b) (0, 7), (–5, 7) c) (–2, 5), (–3, –7) d) (8, 14), (3, 2)
a) dist (P, Q) = 
→
PQ = = = √85√4 + 81√(1 – 3)2 + (4 + 5)2
3x = 4 → x = 4/3
y = 4/3



2x + x – 4 = 0
x = y



2x + y – 4 = 0
x – y = 0
b)
C
C'
B
B'
A
A'
–8
4
5
10
3
6
2x + y – 4 = 0
x – y = 0



3x + 5y – 8 = 0
6x + 10y + 4 = 0



B
B'
A
A'
1
–2
5
1
C
C'
B
B'
A
A'
C
C'
4
–12
B
B'
3
–9
–1
3
A
A'
5x + y + 3 = 0
x – 2y + 16 = 0



–x + 3y + 4 = 0
3x – 9y – 12 = 0



mt = 0
Pt (0, 1)



2
3
ms = 2/3
Pr (0, 2)




b) dist (P, Q) = 
→
PQ = = = 5
c) dist (P, Q) = 
→
PQ = =
d) dist (P, Q) = 
→
PQ = = = 13
2. Halla la distancia de Q (–3, 4) a las siguientes rectas:
a) 2x + 3y = 4 b) = c) d) + = 1
a) 2x + 3y – 4 = 0
dist (Q, r) = = = ≈ 0,55
b) = → 5x – 5 = 2y – 8 → 5x – 2y + 3 = 0
dist (Q, r) = = = ≈ 3,71
c) t =
t =
dist (Q, r) = = = = ≈ 4,11
d) 3x + 2y = 6 → 3x + 2y – 6 = 0
dist (Q, r) = = = ≈ 1,94
Página 207
PARA PRACTICAR
Ecuaciones de la recta
1 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(–3, 7) y
tiene una dirección paralela al vector
→
d (4, –1). Dando valores al parámetro,
obtén otros cinco puntos de la recta.
x = –3 + 4t
y = 7 – t



7√13
13
–9 + 8 – 6
√13
3 · (–3) + 2 · 4 – 6
√32 + 22
13√10
10
13
√10
–9 – 4
√10
3 · (–3) – 4
√9 + 1
y – 3
–6
x – 1
–2
20√29
29
–15 – 8 + 3
√29
5 · (–3) – 2 · 4 + 3
√52 + (–2)2
y – 4
5
x – 1
2
2√13
13
–6 + 12 – 4
√13
2 · (–3) + 3 · 4 – 4
√22 + 32
y
3
x
2
x = 1 – 2t
y = 3 – 6t



y – 4
5
x – 1
2
√169√(3 – 8)2 + (2 – 14)2
√145√(–3 + 2)2 + (–7 – 5)2
√25 + 0√(–5 – 0)2 + (7 – 7)2







= → –6x + 6 = –2y + 6 → 6x – 2y = 0 → 3x – y = 0
y – 3
–6
x – 1
–2
t –2 –1 1 2 3
(x, y) (–11, 9) (–7, 8) (1, 6) (5, 5) (9, 4)

2 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P(6, –2) y Q(0, 5) b) M(3, 2) y N(3, 6) c) A(0, 0) y Q(8, 0)
Halla, en todos los casos, la ecuación implícita.
a)
→
PQ = (–6, 7) → r: ≡ r: →
(Usando el punto P) (Usando Q)
→ t =
t =
→ 7x = –6y + 30 → r: 7x + 6y – 30 = 0
b)
→
MN = (0, 4) → r:  x = 3 → recta paralela al eje Y
c)
→
AQ = (8, 0) → r: → r: y = 0 → eje X
3 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0 c) 3y – 6 = 0 d) x + 3y = 0
a) Si x = t → 2t – y = 0 → y = 2t → r:
b) c) d)
4 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los
vectores de la base.
Eje X: → Eje X: → y = 0
Eje Y: → Eje Y: → x = 0
5 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es –2.
☛ La recta pasa por el punto (0, –2).
r: 2x – 3y = 0
→ → y = x – 2 → 2x – 3y – 6 = 0
ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA
2
3
ms = mr = 2/3
P (0, –2) ∈s






s // r → pendiente de s ha de ser igual a la de r
P(0, –2) ∈s
x = 0
y = t



O(0, 0) ∈ eje Y
→
dY = (0, 1)



x = t
y = 0



O(0, 0) ∈ eje X
→
dX = (1, 0)



x = –3t
y = t



x = t
y = 6/3 = 2



x = 7
y = t



x = t
y = 2t



x = 8t
y = 0



x = 3
y = 2 + 4t



y – 5
7
x
–6
x = –6t
y = 5 + 7t



x = 6 – 6t
y = –2 + 7t










→ =
y – 5
7
x
–6

6 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.
☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.
• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-
denadas.
r: → 4 – 0 + 3y – 6 = 0 → 3y = 6 → y = 2
Luego P (0, 2) ∈r y también debe ser P (0, 2) ∈s, donde s ⊥ r.
• Como s ⊥ r → sus pendientes deben cumplir:
ms · mr = –1 → ms = = =
• Como P (0, 2) ∈s y ms = → y = x + 2 → 3x – 4y + 8 = 0
7 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Su vector de posición es
→
a (–3, 1) y su vector de dirección
→
v (2, 0).
b) Pasa por A(5, –2) y es paralela a:
c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.
d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) y
Q(–6, 0), en su punto medio.
a) La ecuación vectorial será:
→
OX =
→
a + t
→
v → (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) →
b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de
la recta (pues debe ser paralela a ella).
Luego:
→
d (–1, 2)
Como debe pasar por A(5, –2) →
c) La pendiente de la recta r: 2x – 3y + 6 = 0 es:
mr = → ms = (pues mr · ms = –1 por ser r ⊥ s)
Un vector director puede ser
→
s = (2, –3).
Además, A (1, 3) ∈s.
Por tanto, s:
x = 1 + 2t
y = 3 – 3t



–3
2
2
3
x = 5 – t
y = –2 + 2t



x = 1 – t
y = 2t



x = –3 + 2t
y = 1



x = 1 – t
y = 2t



3
4
3
4
3
4
–1
–4/3
–1
mr
4x + 3y – 6 = 0
Eje Y: x = 0




d) El punto medio de PQ es m ( , )= (–3, 2)
→
PQ = (–6, –4)
→
Luego, s:
Coordenadas de puntos
8 El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, y conocemos
A(2, 3). Halla B.
☛ Si B = (x, y), ( , )= (5, –2)
→ ( , )= (5, –2) →
→ → B = (8, –7)
9 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H(3, 0).
☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.
Si P'(x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) →
→ H es el punto medio de PP' →
→ ( , )= (3, 0) → → P' (5, 2)
10 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo
que A(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).
Sea D (x, y).
Debe cumplirse:
→
AB =
→
DC
(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) →
→ → → D (2, 6)
11 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos
A(3, 4) y B (0, –2) en dos partes tales que
→
BP = 2
→
PA.
Sea P (x, y).
Sustituimos en la condición que nos imponen:
x = 2
y = 6



4 = 6 – x
–3 = 3 – y






x + 1 = 6 → x = 5
y – 2 = 0 → y = 2



y – 2
2
x + 1
2



x + 2 = 10 → x = 8
y + 3 = –4 → y = –7



y + 3
2
x + 2
2



Si B = (x, y)
Como P es punto medio de AB
y + 3
2
x + 2
2
x = –3 + 4t
y = 2 – 6t



m (–3, 2) ∈s
→
d (4, –6) es un vector director de s, pues
→
d ⊥
→
PQ



4
2
–6
2
A (1, 2)
B (5, –1)
C (6, 3)
D (x, y)

→
BP = 2
→
PA → (x – 0, y – (–2)) = 2(3 – x, 4 – y) →
→ → → →
→ → P (2, 2)
12 Determina k para que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-
ados.
Debe ocurrir que
→
AB y
→
BC sean proporcionales.
→ = → 5k – 5 = –16 → k =
Distancias
13 Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:
a) b) y = c) 2x + 5 = 0
a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:
→ = –y → x + 2y = 0
Entonces:
dist (P, r) = = = =
b) y = → y – = 0
Por tanto:
dist (P, r) = = =
c) dist (P, r) = =
14 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0
c) x = 3 d) 3x – 2y = 0
a) dist (0, r) = =
12
5
3 · 0 – 4 · 0 + 12
√32 + (–4)2
9
2
2 · 2 + 5
√22 + 0
21
4
–3 – 9/4
√1
1(–3) – 9/4
√02 + 12
9
4
9
4
4√5
5
4
√5
2 – 6
√5
1 · 2 + 2(–3)
√12 + 22
x
2
t = x/2
t = –y



9
4
x = 2t
y = –t



–11
5
–4
k – 1
5
4





→
AB = (5, –4)
→
BC = (4, k – 1)
x = 2
y = 2



3x = 6
3y = 6



x = 6 – 2x
y + 2 = 8 – 2y



x = 2(3 – x)
y + 2 = 2(4 – y)




b) dist (0, r) = =
c) dist (0, r) = = = 3
d) dist (0, r) = = = 0
(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).
15 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 al cor-
tar a los ejes de coordenadas.
Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de
coordenadas.
Calculamos primero dichos puntos:
• → –2y + 5 = 0 → y = →
→ A (0, ) es el punto de corte con el eje Y
• → x + 5 = 0 → x = 5 →
→ B (5, 0) es el punto de corte con el eje X
• Luego
—
AB = dist (A, B) = (5 – 0)2 + (0 – )2
=
= 25 + = =
16 Halla la distancia entre las rectas r: x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.
☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-
cia a r'.
Sus pendientes son mr = = mr' → Son paralelas.
Entonces, la distancia entre r y r' será:
dist (P, r') donde P ∈r
Sea x = 0.
Sustituyendo en r → y = = 4 → P (0, 4) ∈r
Así:
dist (r, r') = dist (P, r') = = = =
9√5
10
9
2√5
16 – 7
√20
–2 · 0 + 4 · 4 – 7
√(–2)2 + 42
–8
–2
1
2
√5
5
2√125
4
25
4
5
2
x – 2y + 5 = 0
y = 0



5
2
5
2
x – 2y + 5 = 0
x = 0



0
√13
3 · 0 – 2 · 0
√32 + 22
3
1
0 – 3
√12 + 02
9
2
2 · 0 – 9
√02 + 22

17 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)
sea de unidades. (Hay dos soluciones).
dist (P, r) = = = =
Hay dos soluciones:
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
18 Calcula el valor de a para que la distancia del punto P (1, 2) a la recta
ax + 2y – 2 = 0 sea igual a .
dist (P, r) = → = →
= → a + 2 =
= – → a + 2 = –
Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación en ambos casos.
→ (a + 2)2 = 2(a2 + 4) → a2 + 4a + 4 = 2a2 + 8 →
→ a2 – 4a + 4 = 0 → a = = 2
Página 208
Ángulos
19 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) b)
c) c)
a)
→ sus pendientes son:
tg α =
 =
 =
 = 1 → α = 45°
5
–5
2 – (–3)
1 + 2(–3)
mr – ms
1 + mr ms
mr = 2
ms = –3






r: y = 2x + 5
s: y = –3x + 1
2x – y = 0
2y + 3 = 0



x = –1 – 3t
y = 4 + t



x = 3 – t
y = 2t



3x – 5y + 7 = 0
10x + 6y – 3 = 0



y = 2x + 5
y = –3x + 1



4 ± √16 – 16
2
√2(a2 + 4)√2
a + 2
√a2 + 4
√2(a2 + 4)√2
a + 2
√a2 + 4
√2a · 1 + 2 · 2 – 2
√a2 + 4
√2
√2
√10c
√10
6 – 6 + c
√10
1 · 6 – 3 · 2 + c
√1 + 9
√10
= → c1 = 10
= – → c2 = –10√10c
√10
√10c
√10






 x – 3y + 10 = 0
x – 3y – 10 = 0
P







⇒

b)
→ α ≡ r1 r2 =
→
v,
→
w →
→ cos α = = = 0 → α = 90°
c) Los vectores directores de esas rectas son:
→
d1 = (–1, 2) y
→
d2 = (–3, 1)
Entonces:
cos α = = = = = → α = 45°
d)
→ α ≡ r1 r2 =
→
a1,
→
a2 →
→ cos α = = = = = =
≈ 0,4472 → α = 63° 26' 5,82"
20 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la
tangente del ángulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ángulo con la pen-
diente de r.
La pendiente de r es mr = .
La pendiente de r es, además, tg α:
mr = tg α → tg α = → α = 56° 18' 35,8"
3
2
3
2
√5
5
1
√5
2
√5 · 2
0 – 2
√
—
5 · √
—
4

→
a1 ·
→
a2

→
a1 
→
a2





→
a1 = (2, –1) ⊥ r1
→
a2 = (0, 2) ⊥ r2
√2
2
1
√2
5
5√2
3 + 2
√
—
5 · √
—
10

→
d1 ·
→
d2

→
d1 
→
d2
30 – 30

→
v  
→
w 

→
v ·
→
w 

→
v  
→
w 





→
v = (3, –5) ⊥ r1
→
w = (10, 6) ⊥ r2
Y
r
α
X

21 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?
☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje
de abscisas.
El ángulo pedido, α, es complementario de β → tg β =
Por otro lado, tg β = mr = 2:
tg α = = → α = 26° 33' 54,2"
22 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° con
el OX.
tg 60° =
mr = –
Como tg 60° = mr, se tiene que:
= – → n = = = –
PARA RESOLVER
23 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:
r: mx – 2y + 5 = 0 s: nx + 6y – 8 = 0
sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por el punto P (1, 4).
☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre
sa la perpendicularidad con vectores o con pendientes y halla n.
• P (1, 4) ∈r → m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 → m = 3
• (m, –2) ⊥ r
(n, 6) ⊥ s → (m, –2) ⊥ (n, 6) →
Como deben ser r ⊥ s
→ (m, –2) · (n, 6) = 0 → m · n + (–2) · 6 = 0 →
→ 3n – 12 = 0 → n = 4
√3
–3√3
3
–3
√3
3
n
√3
3
n
√3
1
2
1
tg β
1
tg α
Y r
β
α
X
Y
r
60°
X













NOTA: Usando las pendientes mr = y ms = , para que r ⊥ s debe ser
mr · ms = –1, es decir:
· ( )= –1 → –mn = –12 → –3n = –12 → n = 4
24 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.
• p: Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).
Así, su pendiente es:
m = =
Por tanto:
p: y = 1 + (x – 4) → 7x – 4y + 9 = 0
• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto (0, ).
Por tanto:
r : y = –
• s: Su vector director es (0, 1) y pasa por (2, 0).
Por tanto:
s:
• t: Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).
Así, su pendiente es:
m = = = –
Por tanto:
t: y = – (x – 1) → x + 2y – 1 = 0
1
2
1
2
2
–4
2 – 0
–3 – 1
x = 2
y = t



3
2
–3
2
7
4
7
4
4 – (–3)
1 – (–3)
–n
6
m
2
–n
6
m
2
;;;
;;;
;;;Y
Xp
s
30°
r
tY
r
α
X
180° – β
s
t
r
p
30°
30°
β

25 Dada la recta r: halla k de modo que r sea paralela a la
bisectriz del segundo cuadrante.
• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y → (en paramétricas).
Su vector director es
→
d = (–1, 1).
• El vector director de r es
→
r = (3, k).
• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores
directores deben ser proporcionales:
= → k = –3
26 En el triángulo de vértices A(–2, 3), B (5, 1), C (3, –4), halla las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b) La mediana que parte de B.
c) La mediatriz del lado CA.
a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa por el
punto B:
hB ⊥ AC (5, –7) → el vector director de hB es
→
hB (7, 5)
→
B (5, 1) ∈hB
→ hB: → → = →
→ hB: 5x – 7y – 18 = 0
b) mB (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC:
m ( , )= ( , – )∈mB
B (5, 1) ∈mB
→
→
mB (5 – , 1 + )= ( , ) es vector director de mB.
Luego:
mB:
3
2
9
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3 – 4
2
–2 + 3
2
y – 1
5
x – 5
7
x = 5 + 7t
y = 1 + 5t



1
k
–1
3
x = –t
y = t



x = –1 + 3t
y = 2 + kt



t =
t =
y – 1
5
x – 5
7












x = 5 + t
y = 1 + t
3
2
9
2












→
→ →
2x = 10 + 9t
t =
2y – 2
3






→ → = → mB: 6x – 18y – 12 = 0
c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado,
m'. Así:
→
CA = (–5, 7) ⊥ z → vector director de z:
→
z (7, 5)
m' ( , )= ( , – )∈z
→ z: → → = →
→ z: 20x – 28y – 24 = 0 → z: 5x – 7y – 6 = 0
27 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un
segmento AB.
Halla la ecuación de la mediatriz de AB.
☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y
opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.
• A = r I eje Y: → 3y – 6 = 0 → y = 2 → A (0, 2)
• B = r I eje X: → 2x – 6 = 0 → x = 3 → B (3, 0)
•
→
AB = (3, –2) ⊥ mAB (mediatriz de AB) →
→
mAB = (2, 3)
mAB ( , )= ( , 1) (punto medio de AB) ∈mediatriz
→ y – 1 = (x – ) → y = x – → mAB: 6x – 4y – 5 = 0
5
4
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2x + 3y – 6 = 0
y = 0



2x + 3y – 6 = 0
x = 0



2y + 1
10
2x – 1
14
1
2
1
2
–4 + 3
2
3 – 2
2
2y – 2
3
2x – 10
9
t =
t =
2y – 2
3
2x – 10
9












→
x = + 7t
y = – + 5t
1
2
1
2







t =
t =
2y + 1
10
2x – 1
14







Y
A
B
X





→

28 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(–2, 1), B(5, 4), en tres
partes iguales.
☛ Si P y Q son esos puntos,
→
AP =
→
AB.
Escribe las coordenadas de
→
AP y de
→
AB y obtén P. Q es el punto medio de
—
PB
•
→
AP =
→
AB → (x + 2, y – 1) = (7, 3) →
→ → P ( , 2)
• Q es un punto medio de PB → Q ( , )→ Q ( , 3)
29 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3
→
PQ – 2
→
QR = 0,
siendo Q(3, 2) y R(–1, 5)?
3
→
PQ = 2
→
QR → 3(3 – x, 2 – y) = 2(–4, 3) →
→ → → P ( , 0)
30 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un parale-
logramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6)
P ( , )= (4, 5)
Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)
→
PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4)
→
SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)
→
SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2)
→
RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)
8 + 2
2
5 + 3
2
17
3
9 – 3x = –8
6 – 3y = 6



8
3
2 + 4
2
1/3 + 5
2
1
3
1
3
1
3
1
3
A
P
Q
B
x + 2 = → x = – 2 =
y – 1 = → y = 1 + 1 = 2
3
3
1
3
7
3
7
3







x =
y = 0
17
3










→
PQ =
→
SR
A
B
P
Q
S
R
C
D





→
SP =
→
RQ

31 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, –2) a la recta
r: x – 2y + 4 = 0.
☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.
Sea s la recta perpendicular a r desde P y
→
r = (2, 1) vector director de r.
Así,
→
PP' ⊥
→
r ⇒ el vector director de s,
→
s, también es perpendicular a
→
r (
→
s ⊥
→
r ),
luego podemos tomar
→
s (1, –2). Como P (1, –2) ∈s:
s: → x – 1 = → –2x + 2 = y + 2 →
→ s: 2x + y = 0
El punto P' (x, y) es tal que:
P' = s I r
x – 2(–2x) + 4 = 0 → x + 4x + 4 = 0 →
→ x = → y = –2( )=
Luego: P' ( , )
32 Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son AB: x + 2y – 4 = 0,
AC: x – 2y = 0, BC: x + y = 0. Halla:
a) Los vértices del triángulo.
b)El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es
paralelo a
→
BC.
☛ b) Las coordenadas de
→
BC deben ser proporcionales a las del vector que has ha-
llado.
8
5
–4
5
8
5
–4
5
–4
5
s: 2x + y = 0 → y = –2x
r: x – 2y + 4 = 0



y + 2
–2
P (1, –2)
P' (x, y)
r : x – 2y + 4 = 0
s
x = 1 + t → t = x – 1
y = –2 – 2t → t =
y + 2
–2






a) A = AB I AC
B = AB I BC
C = AC I BC
• A:
AB: x + 2y – 4 = 0
AC: x – 2y = 0 Sumamos las ecuaciones:
2x – 4 = 0 → x = 2
Sustituyendo en AC: 2 – 2y = 0 → y = 1
Luego: A (2, 1)
• B:
AB: x + 2y – 4 = 0
BC: x + y = 0 → x = –y
→
→ –y + 2y – 4 = 0 → y = 4 → x = –4
Luego: B (–4, 4)
• C:
AC: x – 2y = 0
BC: x + y = 0 → x = –y
→
→ –y – 2y = 0 → y = 0 → x = 0
Luego: C (0, 0)
b) El punto medio de AB es MAB (–1, ).
El punto medio de AC es MAC (1, ).
MAB
→
MAC = (2, –2)
→
BC = (4, –4)
33 Halla el área del cuadrilátero de vértices:
A(–4, 3), B(0, 5), C(4, –2) y D(–3, –2)
☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.
1
2
5
2
A
B C




















Así, MAB
→
MAC //
→
BC, pues: MAB
→
MAC =
→
BC
1
2

• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya
medida es:

→
AC  = (8, –5) =
• Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base:
hB = dist (B, r) y hD = dist (D, r)
donde r es la recta que contiene el segmento
→
AC.
Tomando como vector director de r el vector
→
AC, la ecuación de dicha recta es:
–20 + 24 + k = 0 ⇒ k = –4 ⇒ r: 5x + 8y – 4 = 0
Luego:
hB = dist (B, r) = =
hD = dist (D, r) = =
• Así:
AABCD = AABC + AADC = + = (hB + hD) =
= ( + )=
34 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r: x = 3 s: 2x + 3y – 6 = 0 t: x – y – 7 = 0
71
2
35
√89
36
√89
√89
2
b
2
b · hD
2
b · hB
2
35
√89
5(–3) + 8(–2) – 4
√89
36
√89
5 · 0 + 8 · 5 – 4
√89



5x + 8y + k = 0
Como (–4, 3) ∈r
√89
B (0, 5)
A (–4, 3)
D (–3, –2) C (4, –2)
A
B
s
t
r
C

• A = r I s → 6 + 3y – 6 = 0 → y = 0
Luego: A (3, 0)
• B = r I t → 3 – y – 7 = 0 → y = –4
Luego: B (3, –4)
• C = s I t →
→ 2(y + 7) + 3y – 6 = 0 →
→ 2y + 14 + 3y – 6 = 0 → 5y + 8 = 0 ⇒ y = →
→ x = + 7 =
Luego: C ( , )
• Consideramos el segmento AB como base:

→
AB = (0, –4) = = 4
• La altura desde C es hC = dist (C, r) = =
• Así:
Área = = =
Página 209
35 Traza, por el punto B(0, 5), una recta de pendiente 1/3. Por el punto
C(5, 0), traza una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto
A. Halla el área de triángulo ABC.
• Sea r la recta por A y B. Su pendiente es mr = → r: y = x + 5
1
3
1
3
46
5
4 · 23/5
2

→
AB · hC
2
23
5
(–8/5) – 3
√12 + 02
√16
–8
5
27
5
27
5
–8
5
–8
5
2x + 3y – 6 = 0
x – y – 7 = 0 → x = y + 7



x = 3
x – y – 7 = 0



x = 3
2x + 3y – 6 = 0



B (0, 5)
C (5, 0)
A (3, 6)
r
r

• Sea s la recta por A y C. Su pendiente es ms = –3 (pues r ⊥ s):
s: y – 0 = –3(x – 5) → s: y = –3x + 15
• A = r I s → x + 5 = –3x + 15 →
→ x = 10 → x = 3 → y = · 3 + 5 = 6
Luego: A (3, 6)
• La base del triángulo es: 
→
AB = (–3, –1) =
La altura es: 
→
AC = (2, –6) = = 2
El área es: AABC = = = 10
36 En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), halla las longitudes
de la mediana y de la altura que parten de B.
• Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC.
M ( , 0) →
→
BM = ( – 2, 0 – 4)= (– , –4)
La longitud de la mediana es: 
→
BM  = =
• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B.
→
AC = (5, 2) ⇒ la recta que contiene ese segmento es:
r: → = → 2x – 5y – 3 = 0
→
v = (–2, 5) ⊥
→
AC ⇒ la recta s ⊥ r que pasa por B:
s: → = → 5x + 2y – 18 = 0
P = r I s →
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:
4x – 10y – 6 = 0
25x + 10y – 90 = 0
29x – 96 = 0 → x = →
96
29
r: 2x – 5y – 3 = 0
s: 5x + 2y – 18 = 0



y – 4
5
x – 2
–2
x = 2 – 2t
y = 4 + 5t



y + 1
2
x + 1
5
x = –1 + 5t
y = –1 + 2t



√65
2
√1/4 + 16
1
2
3
2
3
2
√
—
10 · 2√
—
10
2

→
AB
→
AC
2
√10√40
√10
1
3
10
3
1
3
y = (1/3)x + 5
y = –3x + 15




→ 2 · – 5y – 3 = 0 → 5y = – 3 = →
→ y = : 5 =
Luego: P ( , )
Así: hB = 
→
BP =
( , – )= ≈ ≈ 3,528
37 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A(–6, 0) y B(0, –6).
P (x, y) debe verificar dos condiciones:
1. P (x, y) ∈r ⇒ 3x – 4y + 8 = 0
2. dist (A, P) = dist (B, P) ⇒ =
→ → →
→ 3x – 4x + 8 = 0 → x = 8 = y → P (8, 8)
38 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta
3x – y + 8 = 0.
→
→ → = 3 → = 3 →
→ dos posibilidades:
x + 8
√10
3x – 2x + 8
√10
P (x, y) ∈r: y = 2x
dist (P, r') = 3, donde r': 3x – y + 8 = 0



3x – 4y + 8 = 0
x = y



3x – 4y + 8 = 0
x2 + 12x + 36 + y2 = x2 + y2 + 12y + 36



√x2 + (y + 6)2√(x + 6)2 + y2
√10 469
29√10 469
292
95
29
38
29
21
29
96
29
21
29
105
29
105
29
192
29
96
29
r
P
A (–6, 0)
B (0, –6)
y = 2x
= 33x – y + 8
√10










x + 8 = 3 → x1 = 3 – 8 →
x + 8 = –3 → x2 = –3 – 8 →√10√10
√10√10

→ y1 = 6 – 16 P1 (3 – 8, 6 – 16)
→ y2 = –6 – 16
→
P2 (–3 – 8, –6 – 16)
39 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0
y 4x – 2y + 1 = 0.
Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente.
Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan:
=
→
→ = →
→ –x – 1 = → →
→ → → →
→ →
40 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0
sea igual a 3.
Sea P ∈r1 donde x0 = 0 → y0 = 2 → P (0, 2) ∈r1
Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) = = 3 →
→ = 3 →
6 + c = 15 → c1 = 9
6 + c = –15 → c2 = –21



6 + c
5
4 · 0 + 3 · 2 + c
√16 + 9
x1 = 1/8
x2 = 5/4



8x = 1
4x = 5



–2x – 2 = 6x – 3, o bien
–2x – 2 = –6x + 3



6x – 3
2
4x – 2(–x + 2) + 1
2√5
x + 2(–x + 2) – 5
√5
4x – 2y + 1
√20
x + 2y – 5
√5
P ∈r1 ⇒ y = –x + 2
dist (P, r2) = dist (P, r3) →



√10√10√10
√10√10√10
r
r'
P1
P2










–x – 1 = , o bien
–x – 1 =
–6x + 3
2
6x – 3
2







y1 = – + 2 =
y2 = – + 2 =
3
4
5
4
15
8
1
8







P1 ( , )
P2 ( , )3
4
5
4
15
8
1
8








41 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, –2) y
B(4, 3).
El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0.
Halla las coordenadas de C y el área del triángulo.
• La recta del lado desigual (base) tiene como vector director
→
AB = (3, 5):
r: → = → r: 5x – 3y – 11 = 0
• La recta que contiene la altura tiene por vector director
→
a = (–5, 3) ⊥
→
AB y pasa
por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por m ( , ):
hc: → = →
→ hc: 12x + 20y – 40 = 0 → hc: 6x + 10y – 20 = 0
• C = s I hc donde s: 3x – y + 8 = 0
→
12y – 36 = 0 → y = = 3 →
→ 3x – 3 + 8 = 0 → 3x + 5 = 0 → x =
Luego: C ( , 3)
• Área = =
(*)
= ≈ 14,17
→
AB = (3, 5) → 
→
AB =
→
Cm ( , ) → 
→
Cm =
42 Dos casas están situadas en los puntos A(4, 0) y B(0, 3). Se quiere construir un
pozo que esté a la misma distancia de A y de B, y a 8 m de una tubería que une
A y B. ¿Cuál es el lugar adecuado?
La recta que une A y B tiene por vector director:
→
AB = (–4, 3) → r: → = → r: 3x + 4y – 12 = 0
El pozo debe estar en un punto P (x, y) tal que:
y
3
x – 4
–4
x = 4 – 4t
y = 3t



√850
6
–5
2
–25
6
√34
√
—
34 · (√
—
850/6)
2

→
AB
→
Cm
2
base × altura
2
–5
3
–5
3
36
12
–6x + 2y – 16 = 0
6x + 10y – 20 = 0



3x – y + 8 = 0
6x + 10y – 20 = 0



2y – 1
6
2x – 5
–10
x = 5/2 – 5t
y = 1/2 + 3t



1
2
5
2
y + 2
5
x – 1
3
x = 1 + 3t
y = –2 + 5t










(*)

→
→ →
→ →
→
3 · + 4y – 12
= 40 → 18y + 21 + 32y – 96 = 320 →
→ 50y – 75 = 320 → →
→
Luego: P1 ( , ), P2 ( , )
(Son dos puntos de la mediatriz del segmento AB).
43 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0.
r: 3x – y – 9 = 0 s: x – 3 = 0
P = r I s: → 9 – y – 9 = 0 → y = 0
Luego: P (3, 0)
3x – y – 9 = 0
x – 3 = 0



–49
10
–14
5
79
10
34
5
50y – 75 = 320
50y – 75 = –320



6y + 7
8
dist (P, r) = 8
dist (P, A) = dist (P, B)



= = 8
= → x2 – 8x + 16 + y2 = x2 + y2 – 6y + 9√x2 + (y – 3)2√(x – 4)2 + y2
3x + 4y – 12
5
3x + 4y – 12
√9 + 16







3x + 4y – 12 = 40
–8x + 16 = –6y + 9 → x =
6y + 7
8





y1 = = → x1 = = =
y2 = = → x2 = =
–14
5
6 · (–49/10) + 7
8
–49
10
–320 + 75
50
34
5
(474 + 70)/10
8
6 · (79/10) + 7
8
79
10
320 + 75
50







P1
P2
A
B

Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si sus
pendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica:
tg 45° =
  → 1 =
  →
→ 1 =
  →
→ →
→
Hay dos posibles soluciones: t1: y – 0 = (x – 3) → t1: y = x +
t2: y – 0 = (x – 3) → t2: y = x –
44 Dadas las rectas:
r: 2x – 5y – 17 = 0 s: 3x – ky – 8 = 0
Calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60°.
☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Ten en cuenta que obtendrás
dos soluciones.
Las pendientes de r y s son, respectivamente:
mr = y ms =
Entonces:
tg 60° =
  → =
  → dos casos:
(5k + 6) = 2k – 15 → 5 k + 6 = 2k – 15
– (5k + 6) = 2k – 15 → –5 k – 6 = 2k – 15
→ k1 = , k2 =
–15 + 6√3
–5√3 – 2
–15 – 6√3
5√3 – 2
√3√3√3
√3√3√3
2k – 15
5k + 6
√3
2/5 – 3/k
1 + 2/5 · 3/k
3
k
2
5
6
3
2
3
4
6
9
2
–3
2
–6
4
4m1 = –6 → m1 = –6/4
6m1 = 4 → m1 = 4/6



5 – m1 = –1 – 5m1, o bien
–(5 – m1) = –1 – 5m1



–1 – 5 · m1
5 – m1
(–1/5) – m1
1 + (–1/5) · m1
m2 – m1
1 + m2 · m1





→





→

45 Las rectas r: 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los
lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.
mr =
ms = –2;
mt =
tg (r, s) =
 = =
Luego: (r, s) = 60° 15' 18,4"
tg (r, t) =
 =
 =
Luego: (r, t) = 34° 30' 30,7"
Por último, (s, t) = 180° – (r, s) – (r, t) = 85° 14' 11"
46 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(–3, 2), B(8, –1) y C(3, –4).
☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.
→
AB = (11, –3);
→
BA (–11, 3)
→
AC = (6, –6);
→
CA (–6, 6)
→
BC = (–5, –3);
→
CB (5, 3)
cos
^
A = = ≈ 0,868
Luego:
^
A = 29° 44' 41,6"
cos
^
B = = ≈ 0,692
Luego:
^
B = 46° 13' 7,9"
Así,
^
C = 180° – (
^
A +
^
B) = 104° 2' 10,5"
55 – 9
√
—
130 √
—
34
→
BA ·
→
BC

→
BA 
→
BC
66 + 18
√
—
130 √
—
72
→
AB ·
→
AC

→
AB 
→
AC
11
16
15 – 4
10 + 6
3/2 – 2/5
1 + 3/2 · 2/5
7
4
7/2
2
3/2 – (–2)
1 + 3/2 · (–2)
2
5
3
2
Y
X
t r s
Y
X
A (–3, 2)
C (3, –4)
B (8, –1)

47 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y forma un ángulo
de 30° con la recta x = 3.
☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje
OX.
Su pendiente es:
m1 = tg 60° = , o bien
m2 = tg 120° = –
Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las
posibles soluciones son:
r1: y = x + 2
r2: y = – x + 2
48 La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es (– , 1).
Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.
Las pendientes de las tres rectas son:
mb = –2, mr , mr'
tg 45° =
  → 1 =
  →
→ →
→
r: y – 1 = 3 (x + ) → y = 3x +
r': y – 1 = (x + ) → y = x +
5
6
–1
3
1
2
–1
3
5
2
1
2
1 – 2mr = –2 – mr → mr = 3
–1 + 2mr' = –2 – mr' → mr' = –1/3



–2 – mr
1 – 2mr
mb – mr
1 + mb mr
1
2
√3
√3
√3
√3
Y
X
r1
r2
x = 3
(0, 2)
30°
60°
120°





45°
45°
b: 2x + y = 0
r
r'
V (– —, 1)1
2








49 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de
coordenadas.
→ →
→
= → dos casos:
x – 2y – 6 = 0
→ →
50 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(–2, 2) y forman un án-
gulo de 60° con la recta x = y.
b: x = y → su pendiente es mb = 1
tg 60° =
  → =
  →
→
+ m = 1 – m → m1 =
– – m = 1 – m → m2 =
Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2):
r1: y – 2 = (x + 2)
r2: y – 2 = (x + 2)
ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE
1 + √3
–√3 + 1
1 – √3
√3 + 1
1 + √3
–√3 + 1
√3√3
1 – √3
√3 + 1
√3√3
1 – m
1 + m
√3
1 – m
1 + 1 · m
P1 (–6, –6)
P2 (2, –2)



y – 2y – 6 = 0 → y1 = –6 → x1 = –6
–y – 2y – 6 = 0 → y2 = –2 → x2 = 2



x = y
x = –y →



x
√02 + 12
y
√02 + 12
dist (P, eje X) = dist (P, eje Y )
x – 2y – 6 = 0








Eje X: y = 0
Eje Y: x = 0
P (x, y) ∈r
Y
X
r
P1
P2








51 Un rayo luminoso parte del punto P(2, 4) y se refleja
sobre el eje de las abscisas en el punto Q(5, 0). Halla
la ecuación del rayo reflejado.
• Sea β el ángulo que forma PQ con el eje X.
Como
→
PQ = (3, –4):
tg β =
• Por otra parte, α = 180° – β → tg α = tg (180° – β) = –tg β
tg α =
• Como la pendiente de r es mr = tg α = y esa recta, r, pasa por Q (5, 0):
r: y – 0 = (x – 5) → r: y = x –
52 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A(2, 3) y B (5, 6) y halla la
ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distan-
cia entre A y B.
• r: → r: →
→ = → 3x – 3y + 3 = 0 → r: x – y + 1 = 0
• s // r → ms = mr = 1 → y = x + c → s: x – y + c = 0
dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) →
→ = 
→
AB →
→ = →
→ s1: x – y + 7 = 0
s2: x – 5 = 0
53 Halla el punto simétrico de P(1, 1) respecto a la recta x – 2y – 4 = 0.
•
→
PP' ⊥
→
v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y
→
v es el vector di-
rector de la misma.
→
PP' ·
→
v = 0 → (x – 1, y – 1) · (2, 1) = 0 →
→ 2(x – 1) + (y – 1) = 0 → 2x + y – 3 = 0
–1 + c = 6 ⇒ c1 = 6 + 1 = 7
–1 + c = –6 ⇒ c2 = –6 + 1 = –5



√18
1 + c
√2
2 – 3 + c
√12 + (–1)2
y – 3
3
x – 2
3
x = 2 + 3t
y = 3 + 3t



vector director
→
AB = (3, 3)
pasa por A (2, 3)



20
3
4
3
4
3
4
3
4
3
–4
3
;;;
;;;
;;;Y
Q X
αα
rP

• Además, el punto medio de PP', m, debe pertenecer a la recta. Luego:
m ( , )∈r → – 2 – 4 = 0 →
→ x + 1 – 2y – 2 – 8 = 0 →
→ x – 2y – 9 = 0
• Así, teniendo en cuenta las dos condiciones:
→
→ 2(9 + 2y) + y – 3 = 0  18 + 4y + y – 3 = 0 → y = = –3
→ x = 9 + 2(–3) = 9 – 6 = 3
Luego: P' = (3, –3)
54 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vérti-
ces opuestos son B(3, 1) y D(–5, –3).
Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo.
Sea A ∈ eje Y → A = (0, y1) y sea el punto C = (x2, y2).
Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en
su punto medio, M.
Además, AC ⊥ BD.
• M ( , )= (–1, –1) es el punto medio de BD (y de AC).
• Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC):
→
BD = (–8, –4) →
→
d = (4, –8) es vector director de d →
M (–1, –1) ∈d
→
La pendiente de d es md = = –2
→
M (–1, –1) ∈d
→ d : y + 1 = –2(x + 1) → y = –2x – 3
• Así:
A = d I eje Y: → y = –3 → A (0, –3)



y = –2x – 3
x = 0



–8
4
1 – 3
2
3 – 5
2
–15
5



2x + y – 3 = 0
x – 2y – 9 = 0 → x = 9 + 2y



y + 1
2
x + 1
2
y + 1
2
x + 1
2
XM
C
A
B (3, 1)
D (–5, –3)
Y









• M es punto medio de AC → (–1, –1) = ( , ) →
→
–1 = → x2 = –2
–1 = → y2 = 1
• Área =

→
AC = (–2, 4) = = 2

→
BD = (–8, –4) = = 4
55 En el triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 3) y C(4, 1), halla el ortocentro y
el circuncentro.
☛ El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el pun-
to de intersección de las mediatrices.
ORTOCENTRO: R = hA I hB I hC donde hA, hB y hC son las tres alturas (desde A,
B y C, respectivamente).
• hA → hA: →
→ = → hA: 3x – 2y + 13 = 0
• hB → hB: →
→ x – 1 = → hB: 7x – y – 4 = 0
• hC → hC: →
→ x – 4 = → hC: 4x + y – 17 = 0
Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección:
hB I hC:
Sumando:
11x – 21 = 0 → x =
y = 7x – 4 = 7 · – 4 = =
103
11
147 – 44
11
21
11
21
11
7x – y – 4 = 0
4x + y – 17 = 0



y – 1
–4
x = 4 + t
y = 1 – 4t



→
c ⊥
→
AB = ((4, 1) →
→
c = (1, –4)
C ∈hC



y – 3
7
x = 1 + t
y = 3 + 7t



→
b ⊥
→
AC = (7, –1) →
→
b = (1, 7)
B ∈hB



y – 2
3
x + 3
2
x = –3 + 2t
y = 2 + 3t



→
a ⊥
→
BC = (3, –2) →
→
a = (2, 3)
A ∈hA



√5√8
√5√20

→
AC
→
BD
2
–3 + y2
2
x2
2
–3 + y2
2
0 + x2
2





→ Área = = 202√
—
5 · 4√
—
5
2







→ C (–2, 1)














R ( , )103
11
21
11

NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en hA. Basta con
sustituir en su ecuación.
CIRCUNCENTRO: S = mA I mB I mC, donde mA, mB y mC son las tres mediatrices
(desde A, B y C, respectivamente).
• mA →
→ y – 2 = (x – ) → y = x –
• mC →
→ y – = –4 (x + 1) → y = –4x –
Así:
S = mA I mC : → x – = –4x – →
→ 6x – 7 = –16x – 6 → 22x = 1 → x = →
→ y = –4 · – = =
Así, S ( , ).
NOTA: Se podría calcular mB y comprobar que S ∈mB.
56 La recta 2x + y – 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo
en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo.
–37
22
1
22
–37
22
–4 – 33
22
3
2
1
22
1
22
3
2
7
4
3
2
3
2
5
2
7
4
3
2
5
2
3
2





→
a ⊥
→
BC →
→
a = (2, 3)
Punto medio de BC: m ( , 2)∈mA
5
2





→
c ⊥
→
AB = (4, 1) →
→
c = (1, –4)
Punto medio de AB: m' (–1, )∈mC
5
2
O (0, 0) A (x, y)
r: 2x + y – 4 = 0







y = x –
y = –4x –
3
2
7
4
3
2

Un vector director de la recta es el
→
v = (1, –2).
• Debe verificarse que:
→
v ⊥
→
OA =
→
v ·
→
OA = 0
(1, –2) · (x, y) = 0 → x – 2y = 0 → x = 2y
• Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta:
M ( , )∈r → 2 · + – 4 = 0 →
→ 2 · + – 4 = 0 → 4y + y – 8 = 0 →
→ y = → x = 2 · =
Luego: A ( , )
Página 210
57 Los puntos P(–2, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogra-
mo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:
a) Los otros dos vértices.
b) Los ángulos del paralelogramo.
a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que
es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices:
R (2, –4), S (–6, 0)
b)
→
PQ =
→
SR = (8, –4) →
→
QP =
→
RS = (–8, 4)
→
PS =
→
QR = (–4, –4) →
→
SP =
→
RQ = (4, 4)
cos
^
P = = = –0,31623 →
^
P = 108° 26' 5,8" =
^
R
–32 + 16
√
—
32 · √
—
80
→
PS ·
→
PQ

→
PS 
→
PQ
8
5
16
5
16
5
8
5
8
5
y
2
2y
2
y
2
x
2
y
2
x
2
X
OS
R
P (–2, 4)
Q (6, 0)
Y

^
S = = 71° 33' 54" =
^
Q
NOTA: Podríamos haber calculado
^
S con los vectores:
cos
^
S = = = 0,31623 →
^
S = 71° 33' 54"
58 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y – 2 = 0 y
x – 2y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices.
• Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice:
→
3y – 6 = 0 → y = 2 →
→ x + 2 – 2 = 0 → x = 0
Luego un vértice es A (0, 2).
• El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores
(pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustitu-
yendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C
no es consecutivo de A.
Sean s1 //r1 una recta que pasa por C y s2 //r2 una recta que pasa por C.
Se trata de las rectas sobre
las que están los otros la-
dos.
Así, los otros vértices, B y
D, serán los puntos de cor-
te de:
r1 I s2 = B r2 I s1 = D
s1: → s1: x + y – 6 = 0
s2: → s2: x – 2y – 6 = 0
• B = r1 I s2:
Resolviendo el sistema:
De la primera ecuación → x = 2 – y → en la segunda → 2 – y – 2y – 6 = 0 →
→ y = → x = → B ( , )–4
3
10
3
10
3
–4
3
x + y – 2 = 0
x – 2y – 6 = 0



x – 2y + b = 0
C ∈s2 → 6 – 0 + b = 0 → b = –6



x + y + a = 0
C ∈s1 → 6 + 0 + a = 0  a = –6



x + y – 2 = 0
–x + 2y – 4 = 0



x + y – 2 = 0
x – 2y + 4 = 0



r1:
r2:
32 – 16
√
—
32 · √
—
80
→
SP ·
→
SR

→
SP 
→
SR
360° – (
^
P +
^
R)
2
r1
r2
s1
s2
D C
A
B

• D = r2 I s1: → 6 – y – 2y + 4 = 0 →
→ y = → x = → D ( , )
59 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y + 6 = 0
y 3x + 4y – 9 = 0.
P (x, 0) debe verificar dist (P, r) = dist (P, s):
= →
→ → P1 (–15, 0), P2 ( , 0)
60 Dada la recta r: x – 2y – 4 = 0 y el punto P(1, 1), halla los vértices de un
cuadrado que tiene en P uno de sus vértices y un lado sobre r.
☛ Traza la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte, Q. Halla la pa-
ralela a r que pasa por P y las paralelas a PQ a una distancia igual a PQ. Hay
dos cuadrados.
• Un segundo vértice estaría en el punto de corte de r con la perpendicular a r
por P, s (de vector director (1, –2)).
→ 2 + 1 + C = 0 → C = –3 → s: 2x + y – 3 = 0
Así: Q = s I r
Resolvemos el sistema y obtenemos Q (2, –1).
• Un tercer vértice estará en una recta t, t //r, que pase por P (1, 1).
Entonces:
→ 1 – 2 + k = 0 → k = 1 → t: x – 2y + 1 = 0
Así, el tercer y cuarto vértices serán los puntos de corte de la recta paralela (hay dos
soluciones) a s a una distancia igual a PQ, con t y con r, respectivamente.
Sea m //s → 2x + y + M = 0, con:
dist (P, m) = dist (P, Q) → = →
→ = → 3 + M = 5 →
→
3 + M = 5 → M1 = 2 → m1: 2x + y + 2 = 0
3 + M = –5 → M2 = –8 → m2: 2x + y – 8 = 0



√53 + M
√5
√12 + (–2)22 · 1 + 1 + M
√5



t: x – 2y + k = 0
P (1, 1) ∈t
x – 2y – 4 = 0
2x + y – 3 = 0






s: 2x + y + C = 0
P (1, 1) ∈s
3
7
4x + 6 = 3x – 9 → x1 = –15
4x + 6 = –(3x – 9) → x2 = 3/7



3x + 4 · 0 – 9
√25
4x + 3 · 0 + 6
√25
10
3
8
3
8
3
10
3



x + 2y + 4 = 0
x + y – 6 = 0 → x = 6 – y




Calculemos, por último, los vértices R y S (habrá dos soluciones para cada
uno):
R1 = m1 I r →
→ 2(4 + 2y) + y + 2 = 0 → 5y = –10 → y = –2 → x = 0
Luego: R1 (0, –2)
R2 = m2 I r →
→ 2(4 + 2y) + y – 8 = 0 → 5y = 0 → y = 0 → x = 4
Luego: R2 (4, 0)
S1 = m1 I t →
→ 2(2y – 1) + y + 2 = 0 → 5y = 0 → y = 0 → x = –1
Luego: S1 (–1, 0)
S2 = m2 I t →
→ 2(2y – 1) + y – 8 = 0 → 5y = 10 → y = 2 → x = 3
Luego: S2 (3, 2)
• Por tanto, hay dos cuadrados: PQR1S1 y PQR2S2
NOTA: Podríamos haber calculado S1 y S2 teniendo en cuenta que el punto me-
dio de las dos diagonales coincide.
61 Halla el punto de la recta 2x – 4y – 1 = 0 que con el origen de coordenadas
y el punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6.
☛ Si tomamos como base 
→
PO  = 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que
buscamos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.
Los vértices son O (0, 0), P (–4, 0), Q (x, y).
Si tomamos como base OP, entonces:
Área = → 6 = → h = 3
El punto Q (x, y) ∈r → 2x – 4y – 1 = 0 y debe verificar que d (Q, OP) = 3.
La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector director
→
OP (–4, 0) y pasa
por (0, 0). Luego es el eje X: y = 0.
4 · h
2

→
OP· h
2



2x + y – 8 = 0
x – 2y + 1 = 0 → x = 2y – 1






2x + y + 2 = 0
x – 2y + 1 = 0 → x = 2y – 1






2x + y – 8 = 0
x – 2y – 4 = 0 → x = 4 + 2y






2x + y + 2 = 0
x – 2y – 4 = 0 → x = 4 + 2y




Así:
2x – 4y – 1 = 0
= 3 → →
→
2x – 4 · 3 – 1 = 0 → x1 =
2x – 4(–3) – 1 = 0 → x2 =
Luego hay dos triángulos, OPQ1 y OPQ2, donde:
Q1 ( , 3) y Q2( , –3)
62 Dados los puntos A(–2, –1) y B(4, 0), determina un punto C tal que
→
AC = 2
→
BC.
Halla la recta que pasa por C y tiene pendiente igual a 2. Llama D al punto
de corte de esa recta con el eje de ordenadas.
Demuestra que el área del triángulo ACD es el doble de la del triángulo
BCD.
•
→
AC = 2
→
BC → (x + 2, y + 1) = 2(x – 4, y – 0) →
→ → C (10, 1)
• r: y – 1 = 2(x – 10) → y = 2x – 19
• D = r I eje Y → D (0, –19)
• ÁreaACD =
ÁreaBCD =
Pero como C es tal que
→
AC = 2
→
BC, entonces:
A, B y C están alineados → hD = h'D

→
AC = 2 
→
BC → = 2
Luego:
ÁreaACD = = = 2 ÁreaBCD
2
→
BC· h'D
2

→
AC· hD
2
√37√148

→
BC· h'D
2

→
AC· hD
2
x + 2 = 2x – 8 → x = 10
y + 1 = 2y → y = 1



–11
2
13
2
–11
2
13
2
y1 = 3
y2 = –3



y
√02 + 12













63 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x – 2y + 2 = 0 y 2x – y – 2 = 0
con los ejes de coordenadas.
Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles y halla su área.
Sean: A = r I eje OX: → x = –2 ⇒ A (–2, 0)
B = r I eje OY: → y = 1 ⇒ B (0, 1)
C = s I eje OX: → x = 1 ⇒ C (1, 0)
D = s I eje OY: → y = –2 ⇒ D (0, –2)
Calculamos los vectores dirección de los lados:
→
AB = (2, 1)
→
BC = (1, –1)
→
CD = (–1, –2)
→
DA = (–2, 2)
Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA.
Para calcular el área necesitamos la altura:
Como → y = –x – 2 → AD: x + y + 2 = 0,
h = dist (B, AD) = = =
Así:
Área = · = · = =
64 La recta x + y – 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5)
determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla
su área.
→ 0 + 5 + k = 0 → k = –5
Luego s: x + y – 5 = 0



s//r: x + y – 2 = 0 ⇒ x + y + k = 0
P (0, 5) ∈s
9
2
9 · 2
4
3√2
2
√
—
2 + 2 √
—
2
2
3√2
2

→
BC+
→
DA
2
3√2
2
3
√2
0 + 1 + 2
√2



→
AD (2, –2)
D (0, –2)
2x – y – 2 = 0
x = 0



2x – y – 2 = 0
y = 0



x – 2y + 2 = 0
x = 0



x – 2y + 2 = 0
y = 0



→
















→
DA = –2
→
BC →
→
BC //
→
DA

→
AB = = 
→
CD√5

• Sean: A = r I eje X: → x = 2 ⇒ A (2, 0)
B = r I eje Y: → y = 2 ⇒ B (0, 2)
C = s I eje X: → x = 5 ⇒ C (5, 0)
D = s I eje Y: → y = 5 ⇒ D (0, 5)
•
→
AB = (–2, 2);
→
CD = (–5, 5)
Área = · h = · dist (A, s) =
= · = · = · =
65 Los puntos A(1, –2) y B (2, 3) son vértices de un triángulo de área 8. El vér-
tice C está sobre la recta 2x + y – 2 = 0. Hállalo.
• Área = → 8 = → 8 = → h =
• h = dist (C, AB)
→ AB: y + 2 = 5(x – 1) →
→ AB: y = 5x – 7 → AB: 5x – y – 7 = 0
h = dist (C, AB) → = →
→ → hay dos soluciones:
C1: →
→ 5x – 2 + 2x – 7 = 16 → 7x = 25 → x = →
→ y = 2 – 2 · = → C1 ( , )
C2: →
→ 5x – 2 + 2x – 7 = –16 → 7x = –7 → x = –1 →
→ y = 4 → C2 (–1, 4)
5x – y – 7 = –16
r: 2x + y – 2 = 0 → y = 2 – 2x



–36
7
25
7
–36
7
25
7
25
7
5x – y – 7 = 16
r: 2x + y – 2 = 0 → y = 2 – 2x



5x – y – 7 = 16
5x – y – 7 = –16



5x – y – 7
√26
16
√26





→
AB = (1, 5) → pendiente m = 5
A (1, –2) ∈AB
16
√26
√26 · h
2
(1, 5) · h
2

→
AB· h
2
21
2
3
√2
7√2
2
3
√2
2√
—
2 + 5√
—
2
2
2 + 0 – 5
√12 + 12
√
—
8 + √
—
50
2

→
AB+
→
CD
2

→
AB+
→
CD
2
x + y – 5 = 0
x = 0



x + y – 5 = 0
y = 0



x + y – 2 = 0
x = 0



x + y – 2 = 0
y = 0




66 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(3, 4) y B(–5, 6), dista el
doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coordena-
das de P?
• d (P, OX ) = 2d (P, OY ) → y = 2x →
• 
→
AP = 
→
PB → = →
→ x2 + 9 – 6x + y2 + 16 – 8y = x2 + 25 + 10x + y2 + 36 – 12y →
→ –6x – 8y + 25 = 10x – 12y + 61 → 16x – 4y + 36 = 0 → 4x – y + 9 = 0
• Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones:
P1: → 4x – 2x + 9 = 0 → x = → y = –9
Luego: P1( , –9)
P2: → 4x + 2x + 9 = 0 → x = = → y = 3
Luego: P2( , 3)
67 De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de
aquella cuya distancia al origen es 1.
☛ La ecuación y = 2 + m(x – 1) representa a todas esas rectas. Pásala a forma ge-
neral y aplica la condición d(O, r) = 1.
• Esas rectas tienen por ecuación:
y = 2 + m (x – 1) → mx – y + (2 – m) = 0
• d (0, r) = 1 → = 1 → →
→ (2 – m)2 = m2 + 1 → 4 + m2 – 4m = m2 + 1 →
→ 4 – 4m = 1 → m =
68 Dado el triángulo de vértices A (–4, –2), B (–1, 5) y
C (5, 1), halla las ecuaciones de las rectas r y s que
parten de B y que cortan a AC, dividiendo al trián-
gulo en tres triángulos de igual área.
• La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de
B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tie-
nen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P
y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales:
3
4
2 – m
√m2 + 1
–3
2
–3
2
–9
6
y = –2x
4x – y + 9 = 0



–9
2
–9
2
y = 2x
4x – y + 9 = 0



√(–5 – x)2 + (6 – y)2√(x – 3)2 + (y – 4)2
y = 2x
y = –2x



2 – m =
2 – m = – √m2 + 1
√m2 + 1




B
C
A
Y
X
11
r
s

OP
→
= = (– , –1);
→
OQ = = ( , 0)
• La recta r es la que pasa por B y por P:
m = = = –18
y = 5 – 18(x + 1) → r: 18x + y + 13 = 0
• La recta s es la que pasa por B y por Q:
m = = = –
y = 5 – (x + 1) → 11y = 55 – 15x – 15 → s: 15x + 11y – 40 = 0
69 Dada la recta r: 2x – 3y + 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r,
respecto al eje OX.
• Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo:
A (2, 3) y B (5, 5)
• Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A'(2, –3) y B'(5, –5)
• La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B':
m = = =
La recta r' es:
y = –3 – (x – 2) → 3y = –9 – 2x + 4 → 2x + 3y + 5 = 0
• De otra forma:
Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respecto
al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje
OX, será:
2x – 3(–y) + 5 = 0 → 2x + 3y + 5 = 0
Página 211
70 Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendicu-
lares, se verifica que aa' + bb' = 0.
• El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0.
• El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a'x + b'y + c' = 0.
• Si las dos rectas son perpendiculares, entonces:
(a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0.
2
3
–2
3
–5 + 3
3
–5 – (–3)
5 – 2
15
11
15
11
–5
(–11/3)
5 – 0
(–1) – (8/3)
–6
(1/3)
–1 – 5
(–2/3) – (–1)
8
3
OC
→
+ 2O
→
C
3
2
3
2O
→
A + O
→
C
3

71 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector v
→
= (a, b) es ortogonal a
cualquier vector determinado por dos puntos de la recta.
☛ Llama A (x1, y1) y B (x1, y1) y haz v
→
· AB
→
. Ten en cuenta que A y B verifican
la ecuación de la recta.
• Si A(x1, y1) pertenece a la recta, entonces ax1 + by1 + c = 0
• Si B(x2, y2) pertenece a la recta, entonces ax2 + by2 + c = 0
• Restando las dos igualdades: a(x1 – x2) + b(y1 – y2) = 0
Esta última igualdad significa que:
(a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al vec-
tor AB
→
, siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta.
72 a) ¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el térmi-
no independiente?
b) ¿Y si falta el término en x?
c) ¿Y si falta el término en y?
a) La recta pasa por (0, 0).
b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).
c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).
73 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x1, y1) y
Q(x2, y2) puede escribirse de la forma:
=
Un vector director de la recta es
→
PQ = (x2 – x1, y2 – y1) y un punto de la recta es
P (x1, y1).
Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán:
x = x1 + (x2 – x1) t → t =
y = y1 + (y2 – y1) t → t =
→ = → =
o, lo que es lo mismo:
=
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1
y – y1
x – x1
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1







→

74 Demuestra que si una recta corta a los ejes en los puntos (a, 0) y (0, b), su
ecuación es:
+ = 1
Como A (a, 0) y B (0, b) son dos puntos de la recta, podemos tratar como vector
director
→
AB = (–a, b).
La pendiente de la recta será:
m = –
Luego su ecuación es:
y = – x + b (ecuación implícita)
bx + ay = ab
Dividimos entre a · b los dos miembros de la ecuación:
+ = → + = 1
75 Dada la recta r: Ax + By + C = 0 y un punto (x0, y0) que no pertenece a r,
estudia la posición de estas rectas con respecto a r:
s: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 t: B(x – x0) – A(y – y0) = 0
• s: A (x – x0) + B (y – y0) = 0 → Ax + By – Ax0 – By0 = 0
Como = = 1:
— Si = 1 → coinciden r y s
— Si ≠ 1 → son paralelas r // s
Es decir:
— Si Ax0 + By0 + C = 0 → coinciden; pero esto significará que (x0, y0) ∈r, lo
cual es falso. Por tanto, r ≠ s.
— Si Ax0 + By0 ≠ –C → r // s. Ahora bien, como
(x0, y0) ∉r → Ax0 + By0 + C ≠ 0 → Ax0 + By0 ≠ –C
Por tanto, r // s.
• t: B (x – x0) – A (y – y0) = 0 → Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0
El vector director de t es
→
t = (A, B) y el de r es
→
r = (B, –A).
Luego t ⊥ r (pues
→
t ·
→
r = 0).
Además, (x0, y0) ∈t, pues verifica su ecuación.
Por tanto, t es la recta perpendicular a r que pasa por el punto (x0, y0).
C
–Ax0 – By0
C
–Ax0 – By0
B
B
A
A
y
b
x
a
ab
ab
ay
ab
bx
ab
b
a
b
a
y
b
x
a

76 ¿Cómo varía la pendiente de la recta Ax + By + C = 0 si se duplica A? ¿Y si
se duplica B? ¿Y si se duplica C ?
• t: 2Ax + By + C = 0 → mt =
r: Ax + By + C = 0 → mr =
• s: Ax + 2By + C = 0 → ms = → ms = (la pendiente se reduce a la mitad)
• n: Ax + By + 2C = 0 → mn = = mr (la pendiente no varía)
77 Demuestra que las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices
A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3) son:
G ( , )
☛ 2
→
GM =
→
BG; M es el punto medio de AC.
El baricentro (punto donde se cortan las medianas) verifica, para cualquier triángu-
lo de vértices A, B, C que
→
BG = 2
→
GM, donde G es el baricentro, G (x, y), y M
es el punto medio de AC.
Así:
(x – x2, y – y2) = 2( – x, – y) →
x – x2 = 2 · → x – x2 = x1 + x3 – 2x
y – y2 = 2 · → y – y2 = y1 + y3 – 2y
3x = x1 + x2 + x3 → x =
3y = y1 + y2 + y3 → y =
Luego:
G (x, y) = ( , )
PARA PROFUNDIZAR
78 Un rombo tiene un vértice en el punto (6, 1) y una diagonal que mide 2
sobre la recta 2x + y – 3 = 0. Halla los otros tres vértices.
• A (6, 1) ∉r: 2x + y – 3 = 0, pues no verifica la ecuación.
√5
y1 + y2 + y3
3
x1 + x2 + x3
3
y1 + y2 + y3
3
x1 + x2 + x3
3
y1 + y2 – 2y
2
x1 + x3 – 2x
2
y1 + y3
2
x1 + x3
2
y1 + y2 + y3
3
x1 + x2 + x3
3
–A
B
mr
2
–A
2B
–A
B
–2A
B







mt = 2mr (la pendiente se duplica)

Entonces, la diagonal que está en r y que mide 2 será BD (llamando ABCD
al rombo), pues es la que no contiene al punto A.
Así, 
→
BD = 2
• La otra diagonal, AC, es perpendicular a r y pasa por A.
Sea s la recta que contiene dicha diagonal.
Será:
→ 6 – 2 + G = 0 → G = –4 →
→ s: x – 2y – 4 = 0
• El punto de corte de ambas rectas será el punto medio de las diagonales, y punto
donde se cortan:
M = r I s → 8 + 4y + y – 3 = 0 → y = –1 →
→ x = 2 → M (2, –1)
• Además, M es el punto medio de ambas diagonales. Luego M es punto medio
de AC:
(2, –1) = ( , ) →
Luego: C (–2, –3)
• B y D están en las rectas que equidistan de AC. Dichas rectas son todos los
puntos P (x, y) tales que:
d (P, s) = = = → = →
→
x – 2y – 4 = 5 → t1: x – 2y – 9 = 0
x – 2y – 4 = –5 → t2: x – 2y + 1 = 0



√5
x – 2y – 4
√5
√5
2√5
2
—
BD
2
1 + C2
2
6 + C1
2



2x + y – 3 = 0
x – 2y – 4 = 0 → x = 4 + 2y



s: x – 2y + G = 0
Como A (6, 1) ∈s



√5
√5
X
C
B
D
st2
t1
M
A(6, 1)
r: 2x + y – 3 = 0
Y
2 = → C1 = –2
–1 = → C2 = –3
1 + C2
2
6 + C1
2








Así:
B = t1 I r: →
→ 2(9 + 2y) + y – 3 = 0 → 18 + 4y + y – 3 = 0 → 5y + 15 = 0
→ y = –3 → x = 9 + 2(–3) = 3 → B (3, –3)
D = t2 I r: →
→ 2(–1 + 2y) + y – 3 = 0 → –2 + 4y + y – 3 = 0 → 5y – 5 = 0
→ y = 1 → x = –1 + 2 = 1 → D (1, 1)
79 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y – 6 = 0 y uno de sus
vértices es A(–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal.
• Se comprueba que A ∉s
• Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r ⊥ s:
→ –10 + 1 + G = 0 → G = 9 → r: 5x – y + 9 = 0
• M = r I s será el punto medio de las dos diagonales:
→ 5(6 – 5y) – y + 9 = 0 →
→ 30 – 25y – y + 9 = 0 → y = = → x = 6 – 5 · =
Luego: M ( , )
• M es el punto medio de AC → ( , )= ( , ) →
→ → C (–1, 4)



–3 = –2 + C1 → C1 = –1
3 = –1 + C2 → C2 = 4



–1 + C2
2
–2 + C1
2
3
2
–3
2
3
2
–3
2
–3
2
3
2
3
2
39
26



5x – y + 9 = 0
x + 5y – 6 = 0 → x = 6 – 5y






5x – y + G = 0
Como A ∈r
x – 2y + 1 = 0 → x = –1 + 2y
2x + y – 3 = 0



x – 2y – 9 = 0
2x + y – 3 = 0



X
C
B
D
r
t2 t1
M
A(–2, –1)
s: x + 5y – 6 = 0
Y

• B y D están en las rectas que equidistan de AC.
Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que:
d (P, r) = =
pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir:
d (P, r) = = = →
→ = → →
→
Así:
B = t1 I s: →
→ 30 – 25y – y – 4 = 0 → y = 1 → x = 1 ⇒ B (1, 1)
D = t2 I s: →
→ 30 – 25y – y + 22 = 0 → y = 2 → x = –4 ⇒ D (–4, 2)
• La longitud de la diagonal será:

→
AC = 
→
BD =
80 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3, 1) y B(4, 5). Calcula
los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay?
C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distancias
a B y A, respectivamente, son 
→
AB:
• → 4 + 20 + k = 0 ⇒ k = –24 →
→ s: x + 4y – 24 = 0



→
AB = (1, 4) → s: x + 4y + k = 0
Como B ∈s
√26



5x – y + 22 = 0
x + 5y – 6 = 0 → x = 6 – 5y






5x – y – 4 = 0
x + 5y – 6 = 0 → x = 6 – 5y



t1: 5x – y – 4 = 0
t2: 5x – y + 22 = 0



5x – y + 9 = 26/2
5x – y + 9 = –26/2



√26
2
5x – y + 9
√26
√26
2
(1, 5)
2
—
AC
2
—
AC
2
—
BD
2
D2 D1A
t
r
sBC2 C1

• → 3 + 4 + k' = 0 → k' = – 7 →
→ r: x + 4y – 7 = 0
• → 12 – 1 + k" = 0 → k" = –11 →
→ t: 4x – y – 11 = 0
• C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es 
→
AB = .
Sean P (x, y) tales que:
d (P, t) = =
Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así:
C1 = t1 I s →
→ 96 – 16y – y – 28 = 0 → y = 4 → x = 8 → C1 (8, 4)
C2 = t2 I s →
→ 96 – 16y – y + 6 = 0 → y = 6 → x = 0 → C2(0, 6)
D1 = t1 I r →
→ 28 – 16y – y – 28 = 0 → y = 0 → x = 7 → D1 (7, 0)
D2 = t2 I r →
→ 28 – 16y – y + 6 = 0 → y = 2 → x = –1 → D2(–1, 2)
4x – y + 6 = 0
x + 4y – 7 = 0 → x = 7 – 4y



4x – y – 28 = 0
x + 4y – 7 = 0 → x = 7 – 4y



4x – y + 6 = 0
x + 4y – 24 = 0 → x = 24 – 4y



4x – y – 28 = 0
x + 4y – 24 = 0 → x = 24 – 4y



t1: 4x – y – 28 = 0
t2: 4x – y + 6 = 0



4x – y – 11 = 17 →
4x – y – 11 = –17 →



√17
4x – y – 11
√17
√17



→
AB = (1, 4) → t: 4x – y + k" = 0
Como A ∈t



→
AB = (1, 4) → r: x + 4y + k' = 0
Como A ∈r
X
C2
D2
C1
D1
B
A
Y

81 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por
extremos los puntos A(–3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y el
perímetro del rombo.
•
→
AC = (4, 4) → 
→
AC = = 4
Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será:
Perímetro = 4 
→
AC = 16
• Los otros dos vértices están en la perpendicular a
→
AC por ser su punto medio
M (–1, 0).
→
→ –3 + 2 + k = 0 → k = 1 → AC: x – y + 1 = 0
La recta s perpendicular a AC será:
→ –1 + k' = 0 → k' = 1 → s: x + y + 1 = 0
Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vértice A
sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 .
(x, y) ∈s → x + y + 1 = 0 → x = –1 – y
= 4 → (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32
→ (2 – y)2 + (y + 2)2 = 32 → 4 + y2 – 4y + y2 + 4 + 4y = 32 → 2y2 = 24 →
→ y2 = 12 →
Luego, los vértices B y C son:
(–1 – 2 , 2 ) y (–1 + 2 , –2 )√3√3√3√3
√2√(x + 3)2 + (y + 2)2
√2



s: x + y + k' = 0
Como M (–1, 0) ∈s



La recta AC tiene por vector director (1, 1) → x – y + k = 0
Como, además, A (–3, –2) ∈recta AC
√2
√2√32
X
B
D
A(–3, –2)
C(1, 2)
Y
y1 = 2 → x1 = –1 – 2
y2 = –2 → x2 = –1 + 2 √3√3
√3√3





82 Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3, 1) y forma con la
parte positiva de los ejes de coordenadas un triángulo de área 6.
• Las rectas que pasan por P (3, 1), tienen de ecuación: y – 1 = m (x – 3)
• Los vértices A y B serán los puntos de corte de la recta con los ejes:
x = 0 → y – 1 = –3m → y = 1 – 3m
y = 0 → 0 – 1 = mx – 3m → x =
Luego: A (0, 1 – 3m) y B ( , 0)
• Como Área =
Tomando como base OA y altura OB:
6 = → (1 – 3m) ( )= 12 →
→ = 12 → –9m2 – 1 + 6m = 12m →
→ 9m2 + 6m + 1 = 0 → m = = –3
Luego la recta es:
r: y – 1 = –3(x – 3) → r: y = –3x + 10
83 Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejes
un triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay?
• Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación:
y = –2x + k
• Los puntos de corte con los ejes, A y B, son:
Si x = 0 → y = k → A (0, k)
–6 ± √36 – 36
2
–9m2 – 1 + 6m
m
3m – 1
m
3m – 1
(1 – 3m) (————)m
2
base × altura
2
3m – 1
m
3m – 1
m
Y
X
P(3, 1)
O B
A
r

Si y = 0 → x = → B ( , 0)
• Así:
Área = = 81 → k2 = 324 →
Dos soluciones:
r1: y = –2x + 18 y r2: y = –2x – 18
84 Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A(1, 1) y B(5, 1) y sa-
bemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x + 1. Calcula los otros
dos vértices. (Hay dos soluciones.)
Podemos comprobar que A, B ∉r.
Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en r y, por tanto, A y B
son vértices consecutivos.
Además, un vector director de r es
→
r = (1, 1), que no es proporcional a
→
AB= (4, 0).
Por tanto,
→
r //
→
AB → los lados AB y CD no son paralelos, luego no son las ba-
ses del trapecio.
Podemos construir dos trapecios:
a) ABC1D1, donde AB es la altura del trapecio:
C1 y D1 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a AB
que pasan por B y A, respectivamente.
• t ⊥
→
AB → 4x + k = 0
Como A (1, 1) ∈t
Así: D1 = t I r → y = 2 → D1(1, 2)
• s ⊥
→
AB → 4x + k = 0
Como B (5, 1) ∈s
Así: C1 = s I r: → y = 6 → C1 (5, 6)
x = 5
y = x + 1



x = 1
y = x + 1



k1 = 18
k2 = –18



k/2 · k
2
k
2
k
2
A
B
r1r2





4 + k = 0 → k = –4 → t: 4x – 4 = 0 → t: x = 1





4 · 5 + k = 0 → k = –20 → s: 4x – 20 = 0 → s: x = 5

b) ABC2D2, donde C2D2 es la altura del trapecio:
C2 y D2 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a r que
pasan por B y C, respectivamente (es decir, C2 y D2 son los pies de dichas
perpendiculares).
•
→ 1 = –1 + k → k = 2 → t: y = –x + 2
Así: D2 = t I r: → –x + 2 = x + 1 → 1 = 2x →
→ x = → y = →
→ D2 ( , )
•
→ 1 = –5 + k → k = 6 → s: y = –x + 6
Así: C2 = s I r: → –x + 6 = x + 1 → 5 = 2x →
→ x = → y = → C2( , )7
2
5
2
7
2
5
2
y = –x + 6
y = x + 1






s ⊥ r → y = –x + k
Como B ∈s
3
2
1
2
3
2
1
2
y = –x + 2
y = x + 1






t ⊥ r → y = –x + k
Como A ∈t
X
B
t
s r
A
D1
C1
Y
X
B
t s
r
A
D2
Y
C2

85 Las rectas x + y – 2 = 0 y 9x – 3y – 4 = 0 son dos alturas del triángulo ABC
de vértice A(2, 2). Halla las ecuaciones de los lados del triángulo.
☛ Halla las pendientes de los lados AB y AC que son perpendiculares a las alturas.
Obtén los puntos B y C como intersección de la altura y el lado correspondiente.
Comprobamos que A ∉r: x + y – 2 = 0
A ∉s: 9x – 3y – 4 = 0
Pendientes: mr = –1, ms = 3
Luego r y s son las alturas correspondientes a los puntos B y C.
•
→
AC ⊥ r → la ecuación de AC será:
AC: x – y + k = 0 (pues la pendiente mAC = 1 por AC ⊥ r)
Como A ∈ AC, entonces:
2 – 2 + k = 0 → k = 0 → AC: x – y = 0
•
→ 6 + 18 + k = 0 →
→ k = –24 → AB: 3x + 9y – 24 = 0 →
→ AB: x + 3y – 8 = 0
• B = r I AB: →
2y – 6 = 0 →
→ y = 3 → x = 2 – y = –1 → B (–1, 3)
C = s I AC: → 9y – 3y – 4 = 0 →
→ y = = → x = → C( , )2
3
2
3
2
3
2
3
4
6
9x – 3y – 4 = 0
x – y = 0 → x = y



–x – y + 2 = 0
x + 3y – 8 = 0



x + y – 2 = 0
x + 3y – 8 = 0






→
AB ⊥ s → AB: 3x + 9y + k = 0
Como A(2, 2) ∈AB
B
s
r
A(2, 2)
C

Así:
→
BC = ( , ) → la pendiente es mBC = =
Como B ∈BC:
BC: y – 3 = (x + 1) → BC: y = x + → BC: 7x + 5y – 8 = 0
86 Supongamos que la recta r: x + 2y – 4 = 0 es un espejo sobre el que se refle-
ja un rayo luminoso que parte de A(1, 5) y llega a B (6, 2). ¿En qué punto de
la recta incidió el rayo?
• Hallamos el punto A' simétrico de A respecto a la recta r:
→
→ 2 – 5 + k = 0 → k = 3 → AA': 2x – y + 3 = 0
C' = r I AA': →
→ 2(4 – 2y) – y + 3 = 0 → 8 – 4y – y + 3 = 0 →
→ 5y = 11 ⇒ y = → x = → C' ( , )
C' es el punto medio de AA' →
→ ( , )= ( , ) → →
→ → → A' ( , )–3
5
–9
5
x = –9/5
y = –3/5



–4 = 5x + 5
22 = 5y + 25



y + 5
2
x + 1
2
11
5
–2
5
11
5
–2
5
–2
5
11
5
x + 2y – 4 = 0 → x = 4 – 2y
2x – y + 3 = 0



Como AA' ⊥ r → AA': 2x – y + k = 0
Como A ∈ AA'



8
5
–7
5
–7
5
–7
5
–7/3
5/3
–7
3
5
3
r: x + 2y – 4 = 0
A(1, 5)
B(6, 2)
A'
C'
C α
α
=
=
y + 5
2
11
5
x + 1
2
–2
5








•
→
A'B = (6 + , 2 + )= ( , ) → la pendiente es: mA'B = =
Además, B ∈ A'B.
A'B: y – 2 = (x – 6) → A'B: x – 3y = 0
• Por último, el punto C en el que incidió el rayo será el punto de corte de r con
A'B:
C = r I A'B: →
→ (4 – 2y) – 3y = 0 → 4 – 5y = 0 →
→ y = → x = 4 – 2 · = → C ( , )
87 El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P (x0, y0) se llama
haz de rectas de centro P y su expresión analítica es:
x a(x – x0) + b(y – y0) = 0 o bien
y y = y0 + m (x – x0)
Dando valores a a y b en x se obtie-
ne una recta del haz, excepto en el caso
a = 0 y b = 0.
Dando valores a m en y se obtiene una recta del haz, excepto la paralela al
eje OY.
a) Escribe la ecuación del haz de rectas de centro (3, –2).
b) Halla la ecuación de la recta de ese haz, que pasa por el punto (–1, 5).
c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0?
d) Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.
a) a(x – 3) + b(y + 2) = 0; o bien y = –2 + m(x – 3)
b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m(x – 3), obtenemos:
5 = –2 + m(–1 – 3) → 7 = –4m → m = – ; es decir:
y = –2 – (x – 3) → 4y = –8 –7x + 21 → 7x + 4y – 13 = 0
c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2;
por tanto, será:
y = –2 – 2(x – 3) → y = –2 – 2x + 6 → 2x + y – 4 = 0
7
4
7
4
4
5
12
5
12
5
4
5
4
5
x + 2y – 4 = 0 → x = 4 – 2y
x – 3y = 0



1
3
1
3
13
39
13
5
39
5
3
5
9
5
P (x0, y0)

d) Una recta del haz tiene por ecuación:
y = –2 + m(x – 3) → y = –2 + mx – 3m → mx – y –3m – 2 = 0
Su distancia al origen ha de ser igual a 3:
= 3; es decir:
|–3m – 2| = 3 . Elevamoso al cuadrado y operamos:
9m2 + 12m + 4 = 9(m2 + 1)
9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9
12m = 5 → m =
Por tanto, será:
x – y – – 2 = 0 → 5x – 12y – 39 = 0
88 Determina el centro del haz de rectas de ecuación 3kx + 2y – 3k + 4 = 0.
Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan de
la forma a(x – x0) + b(y – y0) = 0:
3kx + 2y – 3k + 4 = 0 → 3k(x – x0) + 2(y – y0) = 0
3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0
3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0
Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:
–3kx0 = –3k → x0 = 1
–2y0 = 4 → y0 = –2
El centro del haz es el punto (1, –2).
15
12
5
12
5
12
√m2 + 1
|–3m – 2|
√m2 + 1

Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
I Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatri-
ces con el eje, e, de la cónica y β es el ángulo del plano π con e.
Página 215
1. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B(7, 1). Comprueba que es
una recta perpendicular al segmento en su punto medio.
b)Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el
origen de coordenadas.
c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
r1: 5x + y + 3 = 0
r2: x – 2y + 16 = 0
Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan
en el mismo punto que r1 y r2.
a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X, A) = dist (X, B):
=
Elevamos al cuadrado y desarrollamos:
x2 + 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x2 – 14x + 49 + y2 – 2y + 1
10x + 14x + 6y + 2y + 34 – 50 = 0 → 24x + 8y – 16 = 0
3x + y – 2 = 0 → y = –3x + 2
√(x – 7)2 + (y – 1)2√(x + 5)2 + (y + 3)2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 1
LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS
9
punto punto recta
circunferencia elipse hipérbolaparábola
dos rectas que
se cortan en V
V
β = 90° β > α β = α β < α
π PASA POR
EL VÉRTICE
π NO PASA
POR EL
VÉRTICE

• El punto medio de AB es M(1, –1) que, efectivamente, está en la recta (pues
verifica la ecuación).
• La pendiente de la recta es mr = –3, y la del segmento es:
mAB = = =
Cumplen que mr · mAB = (–3) ( )= –1 → AB ⊥ r
b) Los puntos X(x, y) son tales que:
dist (X, C ) = 5 → = 5 → x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 25 →
→ x2 + y2 + 3x – 8y + 25 = 25 → x2 + y2 + 3x – 8y = 0
c) Son los puntos X (x, y):
dist (X, r1) = dist (X, r2) → =
Se dan dos casos: (5x + y + 3) = (x – 2y + 16)
(5x + y + 3) = – (x – 2y + 16)
Son dos rectas: b1: (5 – )x + ( + 2 )y + 3 – 16 = 0
b2: (5 + )x + ( – 2 )y + 3 + 16 = 0
• Sus pendientes son: m1 =
m2 =
→ m1 · m2 = = = –1 → b1 ⊥ b2
• Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está tam-
bién en ambas bisectrices:
→
→ x – 2(–5x – 3) + 16 = 0 → x + 10x + 6 + 16 = 0 →
→ 11x = –22 → x = –2
Luego: y = –5(–2) – 3 = 7
El punto de corte es (–2, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b1
y b2 sustituyendo en sus ecuaciones respectivas:
b1: (5 – ) · (–2) + ( + 2 ) · 7 + 3 – 16 =
= –10 + 2 + 7 + 14 + 3 – 16 = 0√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5



r1: 5x + y + 3 = 0 → y = –5x – 3
r2: x – 2y + 16 = 0
99
–99
25 · 5 – 26
5 – 4 · 26
–(5√
—
5 + √
—
26 )
√
—
5 – 2√
—
26
–(5√
—
5 – √
—
26 )
√
—
5 + 2√
—
26
√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5
√26√5
√26√5
x – 2y + 16
√5
5x + y + 3
√26
√(x + 3)2 + (y – 4)2
1
3
1
3
4
12
1 – (–3)
7 – (–5)









→

b2: (5 + ) · (–2) + ( – 2 ) · 7 + 3 + 16 =
= –10 – 2 + 7 – 14 + 3 + 16 = 0
• Por tanto, b1 y b2 son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo
punto que r1 y r2.
Página 217
1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba
que pasa por el punto (0, 0).
(x + 5)2 + (y – 12)2 = 169 → x2 + y2 + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferen-
cia pasa por (0, 0).
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias
a los puntos M (6, 0) y N (–2, 0) es 3 (es decir,
—
PM/
—
PN = 3)?
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces:
= 3 → = 3
(x – 6)2 + y2 = 9 [(x + 2)2 + y2]
x2 – 12x + 36 + y2 = 9 [x2 + 4x + 4 + y2]
x2 – 12x + 36 + y2 = 9x2 + 36x + 36 + 9y2
8x2 + 8y2 + 48x = 0
x2 + y2 + 6x = 0
Es una circunferencia de centro (–3, 0) y radio 3.
Página 219
3. En el ejercicio resuelto anterior, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar
el punto de tangencia de la recta s1 y la circunferencia C.
y =
x2 + ( )2
– 6x – 4 ( )– 12 = 0
x2 + – 6x – 3x + 26 – 12 = 0
16x2 + 9x2 – 156x + 676 – 96x – 48x + 416 – 192 = 0
25x2 – 300x + 900 = 0 → x2 – 12x + 36 = 0
(x – 6)2 = 0 → x = 6 → y = –2
El punto de tangencia es (6, –2).
9x2 – 156x + 676
16
3x – 26
4
3x – 26
4
3x – 26
4



x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
3x – 4y – 26 = 0
√(x – 6)2 + y2
√(x + 2)2 + y2
—
PM
—
PN
√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5

4. ¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a x2 + y2 = 9?
El centro de la circunferencia es C (0, 0) y el radio es r = 3. La distancia de C a la
recta s: x – y + b = 0 ha de ser igual al radio:
dist (C, s) = = = 3 → |b|= 3
Luego las rectas y = x + 3 e y = x – 3 son tangentes a la circunferencia dada.
5. Halla la posición relativa de la circunferencia C: x2 + y2 – 6x + 8y = 0 respecto
a las rectas: s1: x + y = 10, s2: 4x + 3y + 20 = 0 y s3: 3x – 4y = 0.
El centro de la circunferencia es Oc(3, –4) y su radio es r = = = 5.
Hallamos la distancia de Oc a cada una de las rectas:
d1 = dist (Oc, s1) = = ≈ 7,78
d2 = dist (Oc, s2) = = = 2
d3 = dist (Oc, s3) = = = 5
d1 > r → La recta s1 es exterior a la circunferencia.
d2 < r → La recta s2 y la circunferencia son secantes.
d3 = r → La recta s3 es tangente a la circunferencia.
Página 221
1. Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0), F2(–4, 0) y cuya constante es 10.
Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al
cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a
elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x2 + 25y2 = 225.
Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10
+ = 10
= 10 –
Elevamos al cuadrado: (x – 4)2 + y2 = 100 + (x + 4)2 + y2 – 20
Operamos: x2 – 8x + 16 + y2 = 100 + x2 + 8x + 16 + y2 – 20
20 = 16x + 100
5 = 4x + 25
Elevamos al cuadrado: 25(x2 + 8x + 16 + y2) = 16x2 + 200x + 625
Simplificamos:
25x2 + 200x + 400 + 25y2 = 16x2 + 200x + 625 → 9x2 + 25y2 = 225
√(x + 4)2 + y2
√(x + 4)2 + y2
√(x + 4)2 + y2
√(x + 4)2 + y2
√(x + 4)2 + y2√(x – 4)2 + y2
√(x + 4)2 + y2√(x – 4)2 + y2
25
5
|9 + 16|
√9 + 16
10
5
|12 – 12 + 10|
√16 + 9
11
√2
|3 – 4 – 10|
√2
√25√9 + 16
√2√2
b = 3√2
b = –3√2
√2
|b|
√2
|b|
√1 + 1

2. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0), F2(–5, 0) y cuya constante
es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión
16x2 – 9y2 = 144.
Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces:
|dist (P , F1) – dist (P , F2)| = 6
dist (P , F1) – dist (P , F2) = ±6
– = ±6
= ±6 +
Elevamos al cuadrado:
x2 – 10x + 25 + y2 = 36 + x2 + 10x + 25 + y2 ± 12
±12 = 20x + 36
±3 = 5x + 9
Elevamos al cuadrado: 9(x2 + 10x + 25 + y2) = 25x2 + 90x + 81
9x2 + 90x + 225 + 9y2 = 25x2 + 90x + 81
16x2 – 9y2 = 144
3. Halla la ecuación de la parábola de foco F (–1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifi-
ca hasta llegar a la expresión y2 = –4x.
Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces:
dist (P , F) = dist (P , r)
= |x – 1|
Elevamos al cuadrado: x2 + 2x + 1 + y2 = x2 – 2x + 1
Simplificamos: y2 = –4x
Página 223
1. Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es k
= 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
• Semieje mayor: k = 26 → 2a = 26 → a = 13
• Semidistancia focal:
—
FF' = 10 → 2c = 10 → c = 5
• Semieje menor: b2 = a2 – c2 = =
= = 12 → b = 12
• Excentricidad: = ≈ 0,38 →
→ exc ≈ 0,38
• Ecuación reducida: + = 1y2
144
x2
169
5
13
c
a
√144
√169 – 25
√(x + 1)2 + y2
√(x + 5)2 + y2
√(x + 5)2 + y2
√(x + 5)2 + y2
√(x + 5)2 + y2√(x – 5)2 + y2
√(x + 5)2 + y2√(x – 5)2 + y2
F' F
–12
–13 13
12

2. Representa y di su excentricidad:
+ = 1
c = =
exc = ≈ 0,87
3. Representa y di su excentricidad:
+ = 1
c = =
exc = ≈ 0,87
Página 226
1. Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) y F2 (–5, 0) y su cons-
tante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Re-
preséntala.
• Semieje: k = 2a = 6 → a = 3
• Semidistancia focal:
—
F1F2 = 10 → c = 5
• Cálculo de b: b2 = c2 – a2 →
→ b = = = 4 → b = 4
• Excentricidad: exc = = ≈ 1,67
• Asíntotas: y = x; y = – x
• Ecuación reducida: – = 1
y2
16
x2
9
4
3
4
3
5
3
c
a
√16√25 – 9
√48
8
√48√64 – 16
(y – 7)2
64
(x – 3)2
16
√12
4
√12√16 – 4
(y – 2)2
4
(x + 5)2
16
–5
2
7
3
4
–4
3–3F1 F2

2. Representa:
– = 1
3. Representa:
– = 1
Página 228
1. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (1,5; 0) y directriz x = –1,5.
Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la di-
rectriz y F el foco.
= |x + 1,5|
x2 – 3x + 2,25 + y2 = x2 + 3x + 2,25 → y2 = 6x
• De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p = 3
Ecuación reducida: y2 = 6x
2. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (0, 2) y directriz y = –2.
Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la direc-
triz y F el foco.
= |y + 2|
x2 + y2 – 4y + 4 = y2 + 4y + 4 → x2 = 8y
• De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p = 4
Ecuación reducida: x2 = 8y.
√x2 + (y – 2)2
√(x – 1,5)2 + y2
(x – 3)2
16
(y – 7)2
64
(y – 2)2
4
(x + 5)2
16
2
–5
7
3

PARA PRACTICAR
Circunferencia
1 Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferen-
cias y, en ellas, halla su centro y su radio:
a) x2 + y2 – 8x + 2y + 10 = 0
b)x2 – y2 + 2x + 3y – 5 = 0
c) x2 + y2 + xy – x + 4y – 8 = 0
d)2x2 + 2y2 – 16x + 24 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 10y = –30
a) Los coeficientes de x2 e y2 son 1. No hay término en xy.
( )2
+ ( )2
– C = 16 + 1 – 10 = 7 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, –1) y radio .
b) Los coeficientes de x2 e y2 no son iguales. No es una circunferencia.
c) Hay un término xy. No es una circunferencia.
d) Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término en xy. Dividimos
entre 2 la igualdad: x2 + y2 – 8x + 12 = 0.
( )2
+ ( )2
– C = 16 + 0 – 12 = 4 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, 0) y radio = 2.
e) Los coeficientes de x2 e y2 son 1. No hay término en xy.
( )2
+ ( )2
– C = 9 + 25 – 30 = 4 > 0
Es una circunferencia de centro (–3, –5) y radio 2.
2 Los puntos A (1, 2) y B (3, 6) son los extremos de un diámetro de una cir-
cunferencia C. Halla su ecuación.
El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento AB:
P = Centro = ( , )= (2, 4)
El radio es la distancia del centro a uno de los puntos:
r = dist (P, A) = |
→
PA|= |(–1, –2)|= =
Por tanto, la ecuación es: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 → x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0
√5√1 + 4
2 + 6
2
1 + 3
2
B
2
A
2
√4
B
2
A
2
√7
B
2
A
2

3 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
que distan 5 unidades del punto P (–3, 2)?
Represéntalo gráficamente y halla su ecua-
ción.
Es una circunferencia de centro P(–3, 2) y ra-
dio 5.
Ecuación: (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25
x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0
4 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C (–2, 1) y que pasa por
P (0, –4).
El radio de la circunferencia es la distancia de P a C:
r = |
→
PC|= |(–2, 5)|= =
La ecuación es: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 29, o bien, x2 + y2 + 4x – 2y – 24 = 0
5 Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia:
x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0.
El centro de la circunferencia es C (–3, –1) y su radio es r = = = 2.
Hallamos la distancia de C a la recta s: x + y = 0:
d = dist (C, s) = = = = 2 ≈ 2,83 > 2 = r
La recta es exterior a la circunferencia.
6 ¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia
x2 + y2 = 1?
El centro de la circunferencia es C (0, 0) y su radio es r = 1.
Hallamos la distancia de C a la recta s: x – y + b = 0: d = dist (C, s) =
Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir:
= 1 → |b|=
7 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su
posición relativa:
a) b)
a)
Las circunferencias se cortan en el punto (–2, 0).
4 – 6x – 16 = 0 → –6x = 12 → x = –2
4 + y2 = 4 → y2 = 0 → y = 0



x2 + y2 – 6x – 16 = 0
x2 + y2 = 4
x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0
x2 + y2 – 6x + 2y + 9 = 0



x2 + y2 – 6x – 16 = 0
x2 + y2 = 4



b = √2
b = –√2
√2
|b|
√2
|b|
√2
√2
4√2
2
4
√2
|–3 – 1|
√2
√4√9 + 1 – 6
√29√4 + 25
(–3, 2)

La primera circunferencia tiene centro en (3, 0) y radio 5; la segunda tiene centro
en (0, 0) y radio 2. La distancia entre sus centros es d = 3. Como la diferencia
entre sus radios es 5 – 2 = 3 = d, las circunferencias son tangentes interiores.
b)
x2 – 6x + 9 = 0 → (x – 3)2 = 0 → x = 3
Las circunferencias se cortan en el punto (3, 0).
La primera circunferencia tiene su centro en (3, 2) y radio 2; la segunda tiene su
centro en (3, –1) y radio 1. La distancia entre sus centros es d = 3, igual que la
suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores.
8 Halla la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones:
x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 y x2 + y2 – 4 = 0.
Hallamos los puntos de corte:
x1 = = = → y1 =
x2 = – = = → y2 =
Las dos circunferencias se cortan en P ( , ) y en Q ( , ).
La longitud de la cuerda común es igual a la distancia entre P y Q:
dist (P, Q) = |
→
QP|= ( )2
+ ( )2
= ( )2
+ ( )2
=
= + = = 4
9 Calcula la distancia del centro de la circunferencia x2 + y2 – 2y – 1 = 0 a la rec-
ta r: 2x – y + 3 = 0. ¿Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia?
El centro de la circunferencia es C (0, 1) y su radio es R = . La distancia de C
a r es:
dist (C, r) = = ≈ 0,89 < ≈ 1,41
Luego la circunferencia y la recta son secantes.
√2
2
√5
|–1 + 3|
√5
√2
√1664
5
16
5
8
√5
4
√5
8√5
5
4√5
5
–4√5
5
–2√5
5
4√5
5
2√5
5
–4√5
5
–2√5
5
–2
√5√4
5
4√5
5
2√5
5
2
√5√4
5
–4x + 2y = 0 → y = 2x
x2 + 4x2 – 4 = 0 → 5x2 = 4



x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
x2 + y2 – 4 = 0
Restando a la 2-a ecuación la 1-a:
6y = 0 → y = 0



x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0
x2 + y2 – 6x + 2y + 9 = 0
x2 =
4
5

Elipse
10 Halla los vértices, los focos, los puntos en los ejes, las excentricidades, y re-
presenta las elipses dadas por sus ecuaciones:
a) + = 1i b) + = 1
c) 9x2 + 25y2 = 25 d) 9x2 + 4y2 = 1
a) Vértices: (10, 0); (–10, 0); (0, 6) y (0, –6).
Focos: c = = 8
F (8, 0) y F' (–8, 0)
Excentricidad: exc = = 0,8
b) Vértices: (8, 0); (–8, 0); (0, 10) y (0, –10).
Focos: c = = = 6
F (0, 6) y F' (0, –6)
Excentricidad: exc = = 0,6
c) 9x2 + 25y2 = 25 → + = 1
Vértices: ( , 0); (– , 0); (0, 1) y (0, –1).
Focos: c = = =
F ( , 0) y F' (– , 0)
Excentricidad: exc = = = 0,8
4
5
4/3
5/3
4
3
4
3
4
3√16
9√25
– 1
9
5
3
5
3
y2
1
x2
25/9
6
10
√36√100 – 64
8
10
√100 – 36
y2
100
x2
64
y2
36
x2
100
6
–6
–10 10FF'
10
–10
–8 8
F
F'
1
–1
5—
3
–5—
3
FF'

d) 9x2 + 4y2 = 1 → + = 1
Vértices: ( , 0); (– , 0); (0, ) y (0, – ).
Focos: c = – = =
F (0, ) y F' (0, – )
11 Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (–2, 0), (2, 0). Longitud del eje mayor, 10.
b) F (–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5.
c) Eje mayor sobre el eje X, 10. Pasa por el punto (3, 3).
d) Eje mayor sobre el eje Y, 2. Excentricidad, 1/2.
a) c = 2; 2a = 10 → a = 5; b = = =
Ecuación: + = 1
b) c = 3; exc = = 0,5 → a = = = 6
b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 27
Ecuación: + = 1
c) 2a = 10 → a = 5; + = 1
Como pasa por (3, 3) → + = 1 → 9b2 + 225 = 25b2 →
→ 16b2 = 225 → b2 =
Ecuación: + = 1, o bien, + = 1
d) exc = = → c = (a = 1, pues 2a = 2)
b2 = a2 – c2 = 1 – =
Ecuación: + = 1, o bien, + y2 = 1
4x2
3
y2
1
x2
3/4
3
4
1
4
1
2
1
2
c
1
16y2
225
x2
25
y2
225/16
x2
25
225
16
9
b2
9
25
y2
b2
x2
25
y2
27
x2
36
3
0,5
c
0,5
c
a
y2
21
x2
25
√21√25 – 4√a2 – c2
√5
6
√5
6
√5
6√ 5
36
1
9
1
4
1
2
1
2
1
3
1
3
y2
1/4
x2
1/9
F
F'
1—
3
–1—
3
1—
2
–1—
2

12 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distan-
cias a P (–4, 0) y Q (4, 0) es 10.
Es una elipse de focos P(–4, 0) y Q(4, 0), y constante k = 10, es decir, 2a = 10
y c = 4.
Así: a = 5; b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9
La ecuación será: + = 1
13 Halla los puntos de intersección de la elipse + = 1 con la circunfe-
rencia cuyo centro es el origen y pasa por los focos.
Los focos de la elipse son:
c2 = a2 – b2 → c2 = 25 – 9 = 16 → c = 4
F(4, 0) y F'(–4, 0)
Luego la circunferencia tiene su centro en
(0, 0) y radio 4.
La ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 = 16.
Hallamos los puntos de intersección de la cir-
cunferencia con la elipse:
9x2 + 400 – 25x2 = 225 → 175 = 16x2 → x2 =
x = → y = ±
x = → y = ±
Hay cuatro puntos: ( , ); ( , – ); ( , ) y ( , – )
14 Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x2 + 3y2 = 28 y la rec-
ta 5x + 3y = 14.
Hallamos los puntos de corte de la recta y la
elipse:
x =
14 – 3y
5



5x + 3y = 14
x2 + 3y2 = 28
9
4
–5√7
4
9
4
–5√7
4
9
4
5√7
4
9
4
5√7
4
9
4
–5√7
4
9
4
5√7
4
175
16
y2 = 16 – x2
9x2 + 25y2 = 225 → 9x2 + 25(16 – x2) = 225





x2 + y2 = 16
x2 y2
— + — = 1
25 9
y2
9
x2
25
y2
9
x2
25
–5 5–4
–4
4
–3
3
40
x = ± =
±5√7
4√175
16

( )2
+ 3y2 = 28 → + 3y2 = 28
196 – 84y + 9y2 + 75y2 = 700 → 84y2 – 84y – 504 = 0
y2 – y – 6 = 0 → y = =
Se cortan en los puntos P(1, 3) y Q(4, –2).
La longitud de la cuerda es la distancia entre P y Q:
|
→
PQ|= |(3, –5)|= = ≈ 5,83
15 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y
focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (8, –3) y que
su eje mayor es igual al doble del menor.
El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = 2b. Además, pasa por el
punto P(8, –3). Luego:
+ = 1 → + = 1 → + = 1 → = 1 →
→ 25 = b2; a2 = 4b2 = 100
La ecuación es: + = 1
16 Escribe la ecuación de la elipse de focos F(1, 1) y F' (1, –1) y cuya constan-
te es igual a 4.
Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist (P, F ) + dist (P, F' ) = 2a, es decir:
+ = 4
Operamos para simplificar:
= 4 –
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 16 + (x – 1)2 + (y + 1)2 – 8
x2 + 1 – 2x + y2 + 1 – 2y = 16 + x2 + 1 – 2x + y2 + 1 + 2y – 8
–4y – 16 = –8
(4y + 16)2 = 64 [(x – 1)2 + (y + 1)2]
16y2 + 256 + 128y = 64 [x2 + 1 – 2x + y2 + 1 + 2y]
16y2 + 256 + 128y = 64x2 + 64 – 128x + 64y2 + 64 + 128y
√(x – 1)2 + (y + 1)2
√(x – 1)2 + (y + 1)2
√(x – 1)2 + (y + 1)2
√(x – 1)2 + (y + 1)2√(x – 1)2 + (y – 1)2
√(x – 1)2 + (y + 1)2√(x – 1)2 + (y – 1)2
y2
25
x2
100
25
b2
9
b2
16
b2
9
b2
64
4b2
y2
b2
x2
a2
√34√9 + 25
y = 3 → x = 1
y = –2 → x = 4
1 ± 5
2
1 ± √1 + 24
2
196 – 84y + 9y2
25
14 – 3y
5

128 = 64x2 – 128x + 48y2
8 = 4x2 – 8x + 3y2
12 = 4x2 – 8x + 4 + 3y2
12 = (2x – 2)2 + 3y2
12 = 4(x – 1)2 + 3y2
1 = +
+ = 1
• De otra forma:
El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une F con F', es decir:
( , )= (1, 0)
Por otra parte:
2c = dist (F, F') = |
→
F'F|= |(0, 2)|= 2 → c = 1
2a = 4 → a = 2 → a2 = 4
b2 = a2 – c2 = 4 – 1 = 3
Por tanto, la ecuación es: + = 1
Página 234
Hipérbola
17 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las
hipérbolas dadas por las ecuaciones:
a) – = 1 b) – y2 = 1
c) x2 – 4y2 = 1 d) x2 – 4y2 = 4
e) – = 1 f) y2 – 16x2 = 16
g) 9x2 – 4y2 = 36 h) 4x2 – y2 + 16 = 0
a) a = 10, b = 6, c = = = 2 , exc = ≈ 1,17
Vértices: (10, 0) y (–10, 0). Focos: F (2 , 0) y F'(–2 , 0)
Asíntotas: y = x; y = – x
3
5
3
5
√34√34
2√34
10
√34√136√a2 + b2
x2
36
y2
4
9x2
16
y2
36
x2
100
y2
4
(x – 1)2
3
1 – 1
2
1 + 1
2
y2
4
(x – 1)2
3
3y2
12
4(x – 1)2
12

b) – y2 = 1 → – = 1
a = , b = 1, c = = , exc = = = 1,25
Vértices: ( , 0) y (– , 0). Focos: F ( , 0) y F' (– , 0)
c) x2 – 4y2 = 1 → – = 1
a = 1, b = , c = = , exc = = ≈ 1,12
Vértices: (1, 0) y (–1, 0). Focos: F ( , 0) y F' (– , 0)
1
2
1
2
√5
2
√5
2
√5
2
√5/2
1
√5
2√1 +
1
4
1
2
y2
1/4
x2
1
3
4
3
4
5
3
5
3
4
3
4
3
5
4
5/3
4/3
5
3√16
+ 1
9
4
3
y2
1
x2
16/9
9x2
16
6
–10 10 FF'
–6
1
FF'
–1
4—
3
–4—
3
1–1 FF'
1—
2
–1—
2

d) x2 – 4y2 = 4 → – = 1
a = 2, b = 1, c = = , exc = ≈ 1,12
Vértices: (2, 0) y (–2, 0). Focos: F( , 0) y F'(– , 0)
e) Vértices: (0, 2) y (0, –2). Focos: F(0, ) y F'(0, – )
exc = ≈ 3,16. Asíntotas: y = x; y = – x
f) y2 – 16x2 = 16 → – = 1
Vértices: (0, 4) y (0, –4)
Focos: F(0, ) y F'(0, – )
exc = ≈ 1,03
Asíntotas: y = 4x; y = –4x
√17
4
√17√17
x2
1
y2
16
1
3
1
3
√40
2
√40√40
1
2
1
2
√5√5
√5
2
√5√4 + 1
y2
1
x2
4
6–6
–2
2
F
F'
2
1
–1
–2 FF'
1–1
–4
4
F
F'

g) 9x2 – 4y2 = 36 → – = 1
Vértices: (2, 0) y (–2, 0)
Focos: F ( , 0) y F'(– , 0)
exc = ≈ 1,80
h) 4x2 – y2 + 16 = 0 → y2 – 4x2 = 16 →
→ – = 1
Vértices: (0, 4) y (0, –4)
Focos: F ( , 0) y F'(– , 0)
exc = ≈ 1,12
Asíntotas: y = 2x; y = –2x
18 Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (–4, 0), (4, 0). Distancia entre los vértices, 4.
b) Asíntotas, y = ± x. Vértice, (2, 0).
c) Asíntotas, y = ± 3x. Pasa por el punto (2, 1).
d) Focos (–3, 0), (3, 0). Excentricidad, 3.
a) c = 4; 2a = 4 → a = 2; b = = =
La ecuación es: – = 1
b) a = 2; = → = → b =
Ecuación: – = 1, o bien, – = 1
c) = 3 → b = 3a → – = 1
Como pasa por (2, 1) → – = 1 → 36 – 1 = 9a21
9a2
4
a2
y2
9a2
x2
a2
b
a
25y2
4
x2
4
y2
4/25
x2
4
2
5
1
5
b
2
1
5
b
a
y2
12
x2
4
√12√16 – 4√c2 – a2
1
5
√20
4
√20√20
x2
4
y2
16
3
2
3
2
√13
2
√13√13
y2
9
x2
4
2–2
–3
3
FF'
2–2
–4
4
F
F'

35 = 9a2 → a2 = → b2 = 9a2 = 35
Ecuación: – = 1, o bien, – = 1
d) c = 3, = = 3 → a = 1
b2 = c2 – a2 = 9 – 1 = 8
Ecuación: – = 1
19 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de dis-
tancias a F' (–4, 0) y F (4, 0) es 6.
Es una hipérbola de focos F y F' y constante 2a = 6. Por tanto, a = 3, c = 4,
b2 = c2 – a2 = 16 – 9 = 7.
La ecuación es: – = 1
20 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coorde-
nadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto
P ( , 1) y que una de sus asíntotas es la recta y = 2x.
La pendiente de la asíntota es = 2 → b = 2a
Luego – = 1 es la ecuación.
Como pasa por el punto P( , 1), entonces:
– = 1 → 10 – 1 = 4a2 → 9 = 4a2 → a2 = → b2 = 4a2 = 9
La ecuación será: – = 1, es decir: – = 1
Parábola
21 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y re-
preséntalas:
a) y2 = 6x b) y2 = –6x
c) y = x2 d) y =
e) y2 = 4 (x – 1) f) (y – 2)2 = 8x
g) x2 = 4 (y + 1) h) (x – 2)2 = –6y
x2
4
y2
9
4x2
9
y2
9
x2
9/4
9
4
1
4a2
5/2
a2
√5/2
y2
4a2
x2
a2
b
a
√5/2
y2
7
x2
9
y2
8
x2
1
3
a
c
a
y2
35
9x2
35
y2
35
x2
35/9
35
9

a) 2p = 6 → p = 3 → =
Vértice: (0, 0)
Foco: ( , 0)
Directriz: x = –
b) Vértice: (0, 0)
Foco: (– , 0)
Directriz: x =
c) Vértice: (0, 0)
Foco: (0, )
Directriz: y = –
d) Vértice: (0, 0)
Foco: (0, 1)
Directriz: y = –1
e) Vértice: (1, 0)
Foco: (2, 0)
Directriz: x = 0
1
4
1
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
p
2



y2 = 2px
y2 = 6x
1
1
F
1
1
F
1
1
F
1
1F
1
1
F

f) Vértice: (0, 2)
Foco: (2, 2)
Directriz: x = –2
g) Vértice: (0, –1)
Foco: (0, 0)
Directriz: y = –2
h) Vértice: (2, 0)
Foco: (2, – )
Directriz: y =
22 Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos:
a) Directriz, x = –5. Foco, (5, 0).
b) Directriz, y = 3. Vértice, (0, 0).
c) Vértice (0, 0) y pasa por (2, 3). (2 soluciones).
a) = 5 → p = 10 → 2p = 20. Ecuación: y2 = 20x
b) El foco será F(0, –3). Si P(x, y) es un punto de la parábola y d: y – 3 = 0 es
la directriz, entonces:
dist (P, F) = dist (P, d) → = |y – 3| →
→ x2 + y2 + 6y + 9 = y2 – 6y + 9 → x2 = –12y
c) Hay dos posibilidades:
I) Eje horizontal: y2 = 2px. Como pasa por (2, 3), entonces:
9 = 4p → p = → y2 = x
II) Eje vertical: x2 = 2py. Como pasa por (2, 3), entonces:
4 = 6p → p = = → x2 = y
4
3
2
3
4
6
9
2
9
4
√x2 + (y + 3)2
p
2
3
2
3
2
2
2 F
–1
F
2
F
3—
2
–3—
2

23 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de
la recta y = –3.
Es una parábola cuyo foco es F(3, 0) y cuya directriz es d: y + 3 = 0. Si P(x, y)
es un punto de la parábola, entonces:
dist (P, F ) = dist (P, d) → = |y + 3| →
→ x2 – 6x + 9 + y2 = y2 + 6y + 9 → y = – x
O bien: (x – 3)2 = 6(y + )
24 Escribe la ecuación de la parábola de foco F (2, 1) y directriz y + 3 = 0.
Si P(x, y) es un punto de la parábola, F(2, 1) el foco, y d: y + 3 = 0 la directriz,
entonces:
dist (P, F ) = dist (P, d) → = |y + 3| →
→ (x – 2)2 + (y – 1)2 = (y + 3)2 →
→ (x – 2)2 + y2 – 2y + 1 = y2 + 6y + 9 →
→ (x – 2)2 = 8y + 8 → (x – 2)2 = 8(y + 1)
Lugares geométricos
25 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que 
→
AP  = 3,
siendo A (2, 1). Represéntala.

→
AP = 3 → = 3 →
→ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
Es una circunferencia de centro (2, 1) y radio 3.
26 Halla la ecuación que cumplen todos los puntos cuya distancia al origen de
coordenadas es 5. Represéntala.
P (x, y) cumple que dist (P, 0) = 5 → = 5 →
→ x2 + y2 = 25
Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.
27 Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya diferencia de cuadra-
dos de distancias a los puntos A(0, 0) y B(6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes?.
[dist (P, A)]2 – [dist (P, B)]2 = 15
x2 + y2 – [(x – 6)2 + (y – 3)2] = 15
√x2 + y2
√(x – 2)2 + (y – 1)2
√(x – 2)2 + (y – 1)2
3
2
x2
6
√(x – 3)2 + y2
1
2
5
5

Desarrollamos y simplificamos:
x2 + y2 – x2 – 36 + 12x – y2 – 9 + 6y = 15 →
→ 12x + 6y – 60 = 0 → r: 2x + y – 10 = 0
Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB:
→
AB = (6, 3) → pendiente: mAB = =
La pendiente de r es mr = –2.
mAB · mr = (–2) = –1 →
→
AB ⊥ r
Veamos ahora en qué punto se cortan la recta obtenida, r, y el segmento AB.
Para ello, escribamos primero la ecuación de la recta AB:
AB → y = x
Así:
Q = r I AB → 2x + x – 10 = 0 →
→ 4x + x – 20 = 0 → x = = 4 → y = 2
Luego: Q (4, 2) = AB I r
28 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0
es 6.
☛ El valor absoluto dará lugar a dos rectas.
P (x, y) cumple que dist (P, r) = 6 → = 6 →
→ 4x – 3y + 11 = 30 → →
→
Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada.
29 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas:
r: 3x – 5y + 11 = 0 y s: 3x – 5y + 3 = 0
Interpreta las líneas obtenidas.
P (x, y) donde d (P, r) = d (P, s) → = →
→
3x – 5y + 11 = 3x – 5y + 3 → 11 = 3 ¡¡Imposible!!
3x – 5y + 11 = –3x + 5y – 3 → 6x – 10y + 14 = 0 → r: 3x – 5y + 7 = 0



3x – 5y + 3
√34
3x – 5y + 11
√34
r1: 4x – 3y – 19 = 0
r2: 4x – 3y + 41 = 0



4x – 3y + 11 = 30
4x – 3y + 11 = –30



4x – 3y + 11
√16 + 9
20
5
1
2
2x + y – 10 = 0
y = (1/2)x



1
2
mAB = 1/2
A (0, 0) ∈AB



1
2
1
2
3
6

Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí,
como puede verse por sus coeficientes, pues:
= = 1 ≠ =
30 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r
y s:
r: 4x – 3y + 8 = 0 y s: 12x + 5y – 7 = 0
Son todos los puntos P (x, y) tales que d (P, r) = d (P, s):
= → = →
→ →
→ →
→
Luego hay dos soluciones, bisectrices
de los ángulos cóncavo y convexo
que forman las rectas r y s.
Ambas bisectrices se cortan en el
punto de corte de las rectas r y s, y
son perpendiculares.
31 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la rec-
ta y = 3 es igual al valor absoluto de la suma de sus coordenadas.
Buscamos los puntos P (x, y) tales que d (P, r) = x + y donde r es la recta
dada, r: y = 3. Es decir:
= x + y → y – 3 = x + y →
→
Luego los puntos P (x, y) que verifican esa con-
dición son los de las dos rectas:
r1: x = –3 y r2: x + 2y – 3 = 0
NOTA: Se puede comprobar resolviendo los siste-
mas que r1 I r2 I r = Q (–3, 3)
x = –3
x + 2y – 3 = 0



y – 3 = x + y →
y – 3 = –x – y →



0 + y – 3
√1
8x + 64y – 139 = 0
112x – 14y + 69 = 0



52x – 39y + 104 = 60x + 25y – 35
52x – 39y + 104 = –60x – 25y + 35



13(4x – 3y + 8) = 5(12x + 5y – 7)
13(4x – 3y + 8) = –5(12x + 5y – 7)



12x + 5y – 7
13
4x – 3y + 8
5
12x + 5y – 7
√169
4x – 3y + 8
√25
11
3
C
C'
B
B'
A
A'
r
s
1
1
–1–3 3 X
Yr1
r2
3
5

PARA RESOLVER
32 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y di-
bújalas:
a) 4x2 + 9y2 = 36 b) 16x2 – 9y2 = 144
c) 9x2 + 9y2 = 25 d) x2 – 4y2 = 16
e) y2 = 14x f ) 25x2 + 144y2 = 900
a) 4x2 + 9y2 = 36 → + = 1
Es una elipse → a = 3, b = 2, c =
exc = ≈ 0,75
b) 16x2 – 9y2 = 144 → – = 1
Es una hipérbola →
5
a = 3, b = 4, c = 5; exc = — ≈ 1,67
3
4 4
Asíntotas: y = — x ; y = –— x
3 3







y2
16
x2
9
√5
3
√5
y2
4
x2
9
2
–2
–3 3FF'
3–3
–4
4
FF'

c) 9x2 + 9y2 = 25 → x2 + y2 =
Es una circunferencia de centro (0, 0)
y radio .
d) x2 – 4y2 = 16 → – = 1
Es una hipérbola →
e) Es una parábola.
Vértice: (0, 0)
Foco: ( , 0)
Directriz: x = –
7
2
7
2
2√
—
5 √
—
5
a = 4, b = 2, c = 2√
—
5; exc = —— = —— ≈ 1,12
4 2
1 1
Asíntotas: y = — x ; y = – — x
2 2







y2
4
x2
16
5
3
25
9
4
2
–2
–4 FF'
5/3
–5/3
–5/3 5/3
1
1
F

f) 25x2 + 144y2 = 900 → – = 1
Es una elipse → a = 6, b = , c =
exc = ≈ 0,91
33 Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
a) Centro (3, 5) y es tangente a la recta: 4x + 3y – 2 = 0
b) Pasa por A (0, 1) y B (–1, 0) y su radio es .
c) Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A (4, 0) y B (0, 3).
d) Tiene su centro en la recta x – 3y = 0 y pasa por los puntos (–1, 4) y (3, 6).
a) El radio de la circunferencia es la distancia del centro C (3, 5) a la recta
s: 4x + 3y – 2 = 0:
r = dist (C, s) = = = 5
La ecuación es: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25, o bien, x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento AB:
— Pendiente de la recta que pasa por A y B → m = = 1
La mediatriz tiene pendiente = = –1.
— El punto medio de AB es ( , ).
— La ecuación de la mediatriz es:
y = – 1 (x + ) → y = – x – → y = –x
— Un punto de la mediatriz es de la forma P(x, –x).
Buscamos P tal que dist (P, A) = dist (P, B) = , es decir:
= → x2 + x2 + 1 + 2x = 5 → 2x2 + 2x – 4 = 0 →
→ x2 + x – 2 = 0 → x = =
x = 1 → y = –1
x = –2 → y = 2
–1 ± 3
2
–1 ± √1 + 8
2
√5√x2 + (–x – 1)2
√5
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
–1
2
–1
1
–1
m
0 – 1
–1 – 0
25
5
|12 + 15 – 2|
√16 + 9
√5
√119
12
√119
12
5
2
y2
25/4
x2
36
5/2
6–6
–5/2
FF'

Hay dos soluciones:
• Centro (1, –1) → (x – 1)2 + (y + 1)2 = 5 → x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0
• Centro (–2, 2) → (x + 2)2 + (y – 2)2 = 5 → x2 + y2 + 4x – 4y + 3 = 0
c) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y A(4, 0), es
decir, pertenece a la recta x = 2.
También pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y B(0, 3), es
decir, pertenece a la recta y = .
Por tanto, el centro de la circunferencia es C (2, ).
El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos:
r = dist (C, O) = |
→
OC|= = =
La ecuación es: (x – 2)2 + (y – )2
= , o bien, x2 + y2 – 4x – 3y = 0
d) Si el centro está sobre la recta x – 3y = 0, es de la forma C(3y, y).
El centro está a igual distancia de A(–1, 4) que de B(3, 6). Además, esta dis-
tancia es el radio, r, de la circunferencia:
r = dist (A, C ) = dist (B, C ) → |
→
AC|= |
→
BC| →
→ =
9y2 + 1 + 6y + y2 + 16 – 8y = 9y2 + 9 – 18y + y2 + 36 – 12y
28y = 28 → y = 1 → x = 3y = 3
Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (3, 1), y su radio es:
r = |
→
AC| = = = 5
La ecuación es: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 25, o bien, x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0
34 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos
en (4, 0) y (–4, 0).
La ecuación es: + = 1
• Como pasa por (3, 1) → + = 1
• Como a2 = b2 + c2 y sabemos que c = 4 → a2 = b2 + 16
1
b2
9
a2
y2
b2
x2
a2
√25√16 + 9
√(3y – 3)2 + (y – 6)2√(3y + 1)2 + (y – 4)2
25
4
3
2
5
2√25
4√4 +
9
4
3
2
3
2

Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores:
+ = 1 → 9b2 + b2 + 16 = b4 + 16b2 → b4 + 6b2 – 16 = 0
b2 = = =
Así: a2 = 2 + 16 = 18
Por tanto, la ecuación de la elipse será: + = 1
35 Se llama hipérbola equilátera a aquella en que a = b. Halla la ecuación de la
hipérbola equilátera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).
La ecuación será: – = 1
Como c2 = a2 + b2, y sabemos que c = 5 y que a2 = b2, entonces:
25 = 2a2 → a2 =
Por tanto, la ecuación es: – = 1, o bien, x2 – y2 =
36 Halla la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y = ± x y
los focos (2, 0) y (–2, 0).
• Si los focos son (2, 0) y (–2, 0), entonces c = 2.
• Si las asíntotas son y = ± x, entonces: =
• Como c2 = a2 + b2, tenemos que a2 + b2 = 4.
• Teniendo en cuenta los dos últimos resultados:
• Por tanto, la ecuación será: – = 1, o bien, – = 1
37 Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el
centro sobre la recta x + 2y = 3. Halla su centro y su radio.
• Si el centro está sobre la recta x + 2y = 3 → x = 3 – 2y; entonces es de la for-
ma C (3 – 2y, y).
• La distancia del centro a los dos puntos dados, A(1, 3) y B(3, 5) es la misma.
Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia:
17y2
18
17x2
50
y2
18/17
x2
50/17
9 34a2
a2 + — a2 = 4 → —— = 4 → 34a2 = 100
25 25
100 50 18
a2 = —— = — → b2 = 4 – a2 = —
34 17 17





3
b = — a
5
a2 + b2 = 4
3
5
b
a
3
5
3
5
25
2
y2
25/2
x2
25/2
25
2
y2
a2
x2
a2
y2
2
x2
18
b2 = 2
b2 = –8
–6 ± 10
2
–6 ± √100
2
–6 ± √36 + 64
2
1
b2
9
b2 + 16

r = dist (C, A) = dist (C, B) → |
→
AC|= |
→
BC| →
→ |(2 – 2y, y – 3)|= |(–2y, y – 5)| →
→ =
4 + 4y2 – 8y + y2 + 9 – 6y = 4y2 + y2 + 25 – 10y
–4y = 12 → y = –3 → x = 3 – 2y = 9
• El centro de la circunferencia es C (9, –3).
• El radio es: r = |
→
AC|= = = 10 = r
38 Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:
a) Foco (0, 0); directriz y = –2.
b) Foco (2, 0); directriz x = –1.
c) Foco (1, 1); vértice (1, ).
a) Si P(x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist (P, F) = dist (P, d);
donde F es el foco y d la directriz.
= |y + 2| → x2 + y2 = y2 + 4y + 4 → x2 = 4(y + 1)
b) Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d); siendo F el fo-
co y d la directriz.
= |x + 1| → x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + 2x + 1
y2 = 6x – 3 → y2 = 6 (x – )
c) Si el foco es F(1, 1) y el vértice es (1, ), la directriz tiene que ser la recta
d: y = 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del
vértice a la directriz. Así, si P(x, y) es un punto de la parábola:
dist (P, F) = dist (P, d)
= |y| → (x – 1)2 + y2 – 2y + 1 = y2
(x – 1)2 = 2y – 1 → (x – 1)2 = 2 (y – )
39 a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (–1, 1) y es tan-
gente a la recta 3x – 4y – 3 = 0.
b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra
las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior.
a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C (–1, 1) a la recta
s: 3x – 4y – 3 = 0; es decir:
1
2
√(x – 1)2 + (y – 1)2
1
2
1
2
√(x – 2)2 + y2
√x2 + y2
1
2
√100√64 + 36
√(–2y)2 + (y – 5)2√(2 – 2y)2 + (y – 3)2

r = dist (C, s) = = = 2
La ecuación será: (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4, o bien, x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k,
es decir, t: x – y + k = 0. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la
distancia del centro de la circunferencia, C (–1, 1), a la recta es igual al radio, 2.
Es decir:
dist (C, t) = = 2 → = 2 →
→ |k – 2|= 2
Hay dos rectas:
40 Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (3, 2) y una
de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación: 4x – 3y – 5 = 0
Determina si el punto X (3, 3) es interior, es exterior o está en la circunfe-
rencia.
• El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C (3, 2), a la
recta s: 4x – 3y – 5 = 0; es decir:
r = dist (C, s) = =
La ecuación es: (x – 3)2 + (y – 2)2 = , o bien, x2 + y2 – 6x – 4y – = 0 →
→ 25x2 + 25y2 – 150x – 100y – 324 = 0
• Veamos si X(3, 3) es interior, exterior o está en la circunferencia:
dist (C, X) = |
→
CX| = |(0, 1)|= 1 > radio =
Luego el punto es exterior a la circunferencia.
41 a) Determina la ecuación que define el lugar geométrico de los puntos del
plano que son centro de las circunferencias que pasan por los puntos
P (2, 0) y Q (0, 1).
b) Una circunferencia de longitud 3π, que contiene al origen de coordena-
das, está centrada en uno de los puntos del lugar definido en a). Halla su
centro.
1
5
324
25
1
25
1
5
|12 – 6 – 5|
√16 + 9
y = x + 2 + 2√2
y = x + 2 – 2√2



k = 2 + 2√2
k = 2 – 2√2
k – 2 = 2√2 →
k – 2 = –2√2 →
√2
|k – 2|
√2
|–1 – 1 + k|
√2
10
5
|–3 – 4 – 3|
√9 + 16

a) Si C (x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de C a P y a Q ha
de ser la misma, es decir:
dist (C, P) = dist (C, Q) → |
→
PC|= |
→
QC|
=
x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 – 2y + 1 → 4x – 2y –
3 = 0
Obtenemos una recta, que es la mediatriz del seg-
mento PQ.
b) Longitud = 2πr = 3π → radio = r =
Su centro está en un punto de la recta 4x – 2y – 3 = 0 y pasa por el punto P(0, 0).
El centro es de la forma C (x, ):
r = dist (P, C) = |
→
PC| = x2 + ( )2
=
x2 + = → 4x2 + 16x2 + 9 – 24x = 9 →
→ 20x2 – 24x = 0 → x(20x – 24) = 0
Hay dos soluciones: C1(0, – ) y C2 ( , )
42 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F (–3, 0) y
F' (3, 0) y que pasa por el punto P (8, 5 ).
• Hallamos la constante de la hipérbola: |dist (P, F ) – dist (P, F' )|= 2a
||
→
FP| – |
→
F'P|| = 2a → ||(11, 5 )| – |(5, 5 )|| = 2a
– = 2a → 14 – 10 = 2a → 4 = 2a → a = 2
• Como a = 2 y c = 3, entonces b2 = c2 – a2 = 9 – 4 = 5.
• La ecuación es: – = 1
43 Calcula la ecuación de la elipse cuyo focos son los puntos F (–1, 2) y F' (3, 2)
y cuya excentricidad es igual a 1/3.
• El centro de la elipse es el punto medio entre los focos:
( , )= (1, 2)
2 + 2
2
–1 + 3
2
y2
5
x2
4
√25 + 75√121 + 75
√3√3
√3
9
10
6
5
3
2
3
x = 0 → y = – —
2
6 9
x = — → y = —
5 10
9
4
16x2 – 24x + 9
4
3
2
4x – 3
2
4x – 3
2
3
2
√x2 + (y – 1)2√(x – 2)2 + y2
1
1 P
Q
x
y

• La semidistancia focal es c = 2.
• La excentricidad es exc = = = → a = 6
• Obtenemos b2 → b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32
• La ecuación es: + = 1
44 La parábola y2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su
directriz.
y2 – 4y = 6x + 5 → y2 – 4y + 4 = 6x + 9 →
→ (y – 2)2 = 6 (x + )
El vértice de la parábola es V (– , 2).
Como el foco es F(0, 2), entonces la directriz es x = –3.
45 Un segmento de longitud 3 apoya sus extremos sobre los ejes de coordena-
das tomando todas las posiciones posibles.
a) Determina la ecuación del lugar geométrico del punto del segmento que
está situado a distancia 1 del extremo que se apoya sobre el eje OY.
b)Identifica la cónica resultante.
a) Llamamos α al ángulo que forma el segmento
con el eje X, como indica la figura. Así, tene-
mos que:
x2 + = cos2α + sen2 α = 1 → x2 + = 1
b) Es una elipse con centro en el origen y focos en el eje OY. Sus elementos son
a = 2, b = 1, c = = .
Focos (0, ) y (0, – ). Excentricidad: exc = = ≈ 0,87
46 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su dis-
tancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1. Comprueba
que dicho lugar geométrico es una cónica y halla sus focos.
Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P al punto
Q(4, 0) ha de ser el doble que la distancia de P a la recta s: x – 1 = 0; es decir:
dist(P, Q) = 2dist(P, s) → = 2|x – 1|√(x – 4)2 + y2
√3
2
c
a
√3√3
√3√4 – 1
y2
4
y2
4



x2 = cos2 α
y2 = 4sen2 α



x = 1cos α
y = 2senα
3
2
3
2
(y – 2)2
32
(x – 1)2
36
1
3
2
a
c
a
1–1 3
F F'
2
F
V 2
–3 –3—
2
P(x, y)
x
y
X
Y
2
1
α
α

(x – 4)2 + y2 = 4(x – 1)2 → x2 – 8x + 16 + y2 = 4(x2 – 2x + 1)
x2 – 8x + 16 + y2 = 4x2 – 8x + 4 → 3x2 – y2 = 12 → – = 1
Es una hipérbola, centrada en (0, 0).
a2 = 4; b2 = 12 → c2 = a2 + b2 = 16 → c = 4
Por tanto, los focos son F (4, 0) y F (–4, 0).
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47 Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x + 3y – 8 = 0
es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x – 6)2 + (y – 3)2 = 25.
Razona tu respuesta.
I Primer método:
• Hallamos la distancia del centro de la circunferencia C (6, 3) a la recta dada
s: 4x + 3y – 8 = 0:
d = dist (C, s) = = = 5
• Como esta distancia es igual al radio de la circunferencia, d = r = 5, enton-
ces, la recta es tangente a la circunferencia.
I Segundo método:
• Obtenemos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, resol-
viendo el sistema de ecuaciones:
x2 – 12x + 36 + ( )2
– 6 ( )+ 9 = 25
x2 – 12x + 36 + – 16 + 8x + 9 = 25
9x2 – 108x + 324 + 64 – 64x + 16x2 – 144 + 72x + 81 = 225
25x2 – 100x + 100 = 0 → x2 – 4x + 4 = 0 → (x – 2)2 = 0
x = 2 → y = = 0 → Se cortan en (2, 0).
Como solo se cortan en un punto, la recta es tangente a la circunferencia.
48 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta: x – 16 = 0. Representa la
curva que obtienes.
Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P a (4, 0) ha
de ser igual a la mitad de la distancia de P a la recta x – 16 = 0; es decir:
8 – 4x
3
64 – 64x + 16x2
9
8 – 4x
3
8 – 4x
3
8 – 4x
y = ————
3
x2 – 12x + 36 + y2 – 6y + 9 = 25





4x + 3y – 8 = 0
(x – 6)2 + (y – 3)2 = 25
25
5
|24 + 9 – 8|
√16 + 9
y2
12
x2
4

= |x – 16|
(x – 4)2 + y2 = (x – 16)2
x2 – 8x + 16 + y2 = (x2 – 32x + 256)
4x2 – 32x + 64 + 4y2 = x2 – 32x + 256
3x2 + 4y2 = 192 → + = 1
Es una elipse, en la que a = 8 y b = ≈ 6,93.
La representamos:
Los focos están en F(4, 0) y F '(–4, 0).
La excentricidad es: exc = = = = 0,5
49 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que el producto de las
pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (–2, 1) y B (2, –1)
sea igual a 1. ¿Qué figura obtienes? Represéntala.
• La pendiente de la recta que une P con A es:
• La pendiente de la recta que une P con B es:
• El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir:
( )· ( )= 1 → = 1 → y2 – 1 = x2 – 4
x2 – y2 = 3 → – = 1
Es una hipérbola, en la que a = b = y c = .
Los focos son F ( , 0) y F (– , 0).
Las asíntotas son: y = x e y = – x
La excentricidad es: exc = = = ≈ 1,41
50 Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas.
a) + = 1 b) + = 1
c) – = 1 d) – = 1
(x – 3)2
16
(y + 2)2
4
(y + 2)2
4
(x – 3)2
16
(y + 2)2
25
(x – 3)2
9
(y + 2)2
9
(x – 3)2
25
√2
√6
√3
c
a
√6√6
√6√3
y2
3
x2
3
y2 – 1
x2 – 4
y + 1
x – 2
y – 1
x + 2
y + 1
x – 2
y – 1
x + 2
1
2
4
8
c
a
√48
y2
48
x2
64
1
4
1
4
1
2
√(x – 4)2 + y2
–8 8FF'
√
—
48
–√
—
48
FF'
√
—
3
√
—
3
–√
—
3
–√
—
3

a) Es una elipse de centro P(3, –2).
a = 5, b = 3,
c = = = = 4.
Los focos son F(7, –2) y F' (–1, –2).
La excentricidad es: exc = = 0,8
b) Es una elipse de centro P(3, –2).
a = 5, b = 3, c = 4.
Los focos son F(3, 2) y F' (3, –6).
La excentricidad es: exc = = 0,8
c) Es una hipérbola de centro P(3, –2).
a = 4, b = 2, c = = = 2 .
Los focos son:
F(3 + 2 , –2) y F' (3 – 2 , –2)
La excentricidad es: exc = = ≈ 1,12
Las asíntotas son:
y + 2 = (x – 3); y + 2 = – (x – 3)
d) Es una hipérbola de centro P(3, –2).
b = 2, a = 4, c = = 2 .
Los focos son:
F(3, –2 + 2 ) y F' (3, –2 – 2 )
La excentricidad es: exc = =
Las asíntotas son:
y + 2 = (x – 3); y + 2 = – (x – 3)
51 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan
a continuación:
a) + = 1 b) x2 + = 1 c) + = 1 d) + y = 1
x
4
y2
4
x2
4
y2
4
y2
9
x2
4
1
2
1
2
√5
2√5
2
√5√5
√5√20
1
2
1
2
√5
2
2√5
4
√5√5
√5√20√16 + 4
4
5
4
5
√16√25 – 9√a2 – b2
–1
1 3 5
FPF'
–2
1 3
F
P
F'
F
3
–2F'
F
3
–2
F'

e) + y = 1 f ) – = 1 g) y2 – = 1 h) + y2 = 0
i ) – y2 = 0 j ) – y = 0 k) x2 – y2 = 1 l ) xy = 1
a) VI b) V c) IV d) I e) VIII f) XI
g) XII h) III i) II j) VII k) IX l) X
PARA PROFUNDIZAR
52 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados:
y = 0 3x – 4y = 0 4x + 3y – 50 = 0
Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, entonces:
• dist (P, r1) = dist (P, r3) → = |y| → 5|y|= |3x – 4y|
5y = 3x – 4y → 9y = 3x → x = 3y
5y = –3x + 4y → y = –3x ← No vale; la bisectriz que buscamos es la
otra.
|3x – 4y|
5
x2
4
x2
4
x2
4
x2
4
y2
9
x2
4
x2
4
UNA RECTA
DOS RECTAS
UN PUNTO
(0, 0)
y = —
x
2
y = –—
x
2
I
IX X XI
IV V VIII III
XII
VIII
VII
(0, 0)
(8, 6)
P(x, y)
(12,5; 0)
4x + 3y – 50 = 0 ← r2
y = 0 ← r3
3x – 4y = 0 ← r1

• dist (P, r2) = dist (P, r3) → = |y| → 5|y|= |4x + 3y – 50|
El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la cir-
cunferencia inscrita en el triángulo.
El centro es P ( , ).
El radio es dist (P, r3) = y = = radio
La ecuación es: (x – )2
+ (y – )2
= ; o bien:
x2 – 15x + + y2 – 5y + =
x2 + y2 – 15x – 5y + = 0 → 4x2 + 4y2 – 60x – 20y + 225 = 0
53 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (–3, 2) y (4, 1) y es tan-
gente al eje OX.
Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A(–3, 2) y
B(4, 1); la distancia de P a los dos puntos y al eje OX ha de ser la misma. Ade-
más, esta distancia es igual al radio de la circunferencia.
dist [P, eje OX] = |y|
dist (P, A) = han de ser iguales.
dist (P, B) =
=
x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = x2 – 8x + 16 + y2 – 2y + 1
14x – 2y – 4 = 0 → 7x – y – 2 = 0 → y = 7x – 2
= |y|
x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = y2
x2 + 6x – 4(7x – 2) + 13 = 0
x2 + 6x – 28x + 8 + 13 = 0 → x2 – 22x + 21 = 0
√(x + 3)2 + (y – 2)2
√(x – 4)2 + (y – 1)2√(x + 3)2 + (y – 2)2
√(x – 4)2 + (y – 1)2
√(x + 3)2 + (y – 2)2
225
4
25
4
25
4
225
4
25
4
5
2
15
2
5
2
5
2
15
2
25 5
6y + 4y = 25 → 10y = 25 → y = —— = —
10 2
15
x = 3y = —
2







x = 3y
2x + 4y = 25
5y = 4x + 3y – 50 → y = 2x – 25 ← No vale; es la otra bisectriz.
5y = –4x – 3y + 50 → 2x + 4y = 25
|4x + 3y – 50|
5






x = = =
Hay dos soluciones:
1-a) Centro (21, 145) y radio 145:
(x – 21)2 + (y – 145)2 = 21025; o bien: x2 + y2 – 42x – 290y + 441 = 0
2-a) Centro (1, 5) y radio 5:
(x – 1)2 + (y – 5)2 = 25; o bien: x2 + y2 – 2x – 10y + 1 = 0
54 Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto
(7, 2), es tangente a la recta 3x – 4y – 13 = 0.
El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, 2).
— Una recta perpendicular a 3x – 4y – 13 = 0 es de la forma 4x + 3y + k = 0. Co-
mo (7, 2) pertenece a la recta: 28 + 6 + k = 0 → k = –34. El centro pertene-
ce a la recta:
4x + 3y – 34 = 0 → y =
— El centro es C (x, ). La distancia de C al punto (7, 2) es igual al ra-
dio, que es 10, es decir:
(x – 7)2 + ( – 2)2
= 10
(x – 7)2 + ( )2
= 100
x2 – 14x + 49 + = 100
9x2 – 126x + 441 + 16x2 – 224x + 784 = 900
25x2 – 350x + 325 = 0 → x2 – 14x + 13 = 0
x = = =
Hay dos soluciones:
1-a) Centro (13, –6) y radio 10:
(x – 13)2 + (y + 6)2 = 100 → x2 + y2 – 26x + 12y + 105 = 0
2-a) Centro (1, 10) y radio 10:
(x – 1)2 + (y – 10)2 = 100 → x2 + y2 – 2x – 20y + 1 = 0
x = 13 → y = –6
x = 1 → y = 10
14 ± 12
2
14 ± √144
2
14 ± √196 – 52
2
16x2 – 224x + 784
9
–4x + 34
3
–4x + 34
3
–4x + 34
3
–4x + 34
3
x = 21 → y = 145
x = 1 → y = 5
22 ± 20
2
22 ± √400
2
22 ± √484 – 84
2
√

55 Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (2, 3) y que pasa por
el punto (4, 5).
Hay dos posibilidades:
1) (y – 3)2 = 2p (x – 2)
Como pasa por (4, 5) → 4 = 4p → p = 1
(y – 3)2 = 2(x – 2)
2) (x – 2)2 = 2p'(y – 3)
Como pasa por (4, 5) → 4 = 4p' → p' = 1
(x – 2)2 = 2(y – 3)
56 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las cónicas siguientes:
a) 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 36 = 0
b) x2 – 4y2 – 2x – 3 = 0
c) x2 + 9y2 – 36y + 27 = 0
a) 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 36 = 0
9x2 – 36x + 36 + 16y2 + 96y + 144 – 36 – 144 + 36 = 0
(3x – 6)2 + (4y + 12)2 – 144 = 0
[3(x – 2)]2 + [4(y + 3)]2 = 144
9(x – 2)2 + 16(y + 3)2 = 144
+ = 1
Es una elipse de centro (2, –3).
a = 4, b = 3, c = =
Vértices: (6, –3); (–2, –3); (2, 0) y (2, –6)
Focos: (2 + , –3) y (2 – , –3)
Excentricidad: exc = = ≈ 0,66
b) x2 – 4y2 – 2x – 3 = 0
x2 – 2x + 1 – 4y2 – 1 – 3 = 0
(x – 1)2 – 4y2 = 4
– y2 = 1
Es una hipérbola de centro (1, 0).
a = 2, b = 1, c = =
Vértices: (3, 0) y (–1, 0)
Focos: ( + 1, 0) y (– + 1, 0)
Excentricidad: exc = ≈ 1,12
√5
2
√5√5
√5√4 + 1
(x – 1)2
4
√7
4
c
a
√7√7
√7√a2 – b2
(y + 3)2
9
(x – 2)2
16
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5 1
2

c) x2 + 9y2 + 36x + 27 = 0
x2 + 9(y2 + 4y) + 27 = 0
x2 + 9(y + 2)2 – 36 + 27 = 0
x2 + 9(y + 2)2 = 9
+ = 1
Es una elipse con a = 3, b = 1, c = .
Vértices: (–3, 0), (3, 0), (0, –1), (0, 1)
Focos: (– , 0), ( , 0)
Excentricidad: exc = = ≈ 0,94
57 Un segmento PQ de 3 cm de longitud se mueve apoyándose tangencial-
mente sobre la circunferencia x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0.
Si el extremo P es el punto de tangencia, ¿cuál es el lugar geométrico que
describe el otro extremo Q?
La circunferencia dada tiene su centro en (2, –3) y su radio es = 2.
Como la tangente es perpendicular al radio, la distan-
cia de Q al centro será siempre la misma:
x = =
Por tanto, Q describe una circunferencia con el mis-
mo centro que la dada y radio .
Su ecuación será: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 13; o bien
x2 + y2 – 4x + 6y = 0
58 Pon la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidistan
del punto F (6, –1) y de la recta r: 3x – 4y – 2 = 0.
(Encontrarás una ecuación complicada. No te molestes en simplificarla).
¿De qué figura se trata? Para responder a esta pregunta, fíjate en cómo se ha
definido y no en cuál es su ecuación.
Representa r y F. ¿Cómo habrá que situar unos nuevos ejes coordenados
para que la ecuación de esa curva sea y2 = kx ?
¿Cuánto vale k ?
Ecuación: =
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una rec-
ta (directriz) es una parábola.
|3x – 4y – 2|
5
√(x – 6)2 + (y + 1)2
√13
√13√9 + 4
√4 + 9 – 9
√8
3
c
a
√10√10
√8
(y + 2)2
1
x2
9
3
2
P Q
x

La ecuación de la parábola respecto a
los nuevos ejes es y2 = 2px, donde p
es la distancia del foco a la directriz:
dist (F, r) = = = 4
Si p = 4, entonces k = 8.
La ecuación es y2 = 8x respecto a los
nuevos ejes.
59 Demuestra que el lugar geométrico de los puntos P, cuyo cociente de dis-
tancias a un punto fijo F y a una recta fija d es igual a k, es una cónica de
excentricidad k.
☛ Toma como foco (c, 0), como recta x = y como constante k = , y estudia
los casos k < 1, k > 1 y k = 1. ¿Qué cónica se obtiene en cada caso?
F(c, 0)
d: x – = 0 = → dist (P, F) = · dist (P, d)
P(x, y)
k =
= ·
x –

(x – c)2 + y2 = (x – )2
x2 – 2cx + c2 + y2 = (x2 – x + )
x2 – 2cx + c2 +y2 = x2 – 2cx + a2
a2x2 + a2c2 + a2y2 = c2x2 + a4
(a2 – c2) x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
+ = 1
• Si k < 1, es decir, si < 1 → c < a → c2 < a2 → a2 – c2 > 0
(c y a son positivos, pues k era un cociente de distancias).
En este caso, la ecuación corresponde a una elipse.
La excentricidad es , es decir, k.
c
a
c
a
y2
(a2 – c2)
x2
a2
c2
a2
a4
c2
2a2
c
c2
a2
a2
c
c2
a2
a2
c
c
a
√(x – c)2 + y2
c
a
c
a
c
a
dist (P, F)
dist (P, d)
a2
c
c
a
a2
c
20
5
|18 + 4 – 2|
√9 + 16
–1 F
r
NUEVO
EJE Y
NUEVO
EJE X












• Si k > 1, es decir, si > 1 → c > a → c2 > a2 → a2 – c2 < 0
En este caso, la ecuación corresponde a una hipérbola.
La excentricidad es , es decir, k.
• Si k = 1, la distancia al punto es igual a la distancia a la recta, es decir, obtene-
mos una parábola.
60 Dado un segmento AB de longitud 4, halla la ecuación del lugar geométrico
de los puntos P del plano que verifican: 2
—
AP2 +
—
BP2 = 18
☛ Toma como eje X la recta que contiene al segmento y como eje Y la mediatriz de
AB.
Tomamos como eje X la recta que contiene al segmento AB, y como eje Y, la
mediatriz de AB.
Así, las coordenadas de A y B serían: A(–2, 0) y
B(2, 0).
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, debe
cumplir: 2
—
AP2 +
—
BP2 = 18; es decir:
2[(x + 2)2 + y2] + [(x – 2)2 + y2] = 18
2[x2 + 4x + 4 + y2] + [x2 – 4x + 4 + y2] = 18
2x2 + 8x + 8 + 2y2 + x2 – 4x + 4 + y2 = 18
3x2 + 3y2 + 4x – 6 = 0
Esta ecuación corresponde a una circunferencia de centro (– , 0) y radio .
61 Sea r una recta y F un punto cuya distancia a r es 1. Llamemos H a la
proyección de un punto cualquiera, P, sobre r. Halla el L. G. de los puntos
que verifican:
—
PH +
—
PF = 3
☛ Toma los ejes de modo que las coordenadas de F sean (0, 1).
Tomamos los ejes de forma que el eje X coin-
cida con la recta r, y el eje Y pase por F.
Así, la recta r es y = 0 y F(0, 1):
Si P(x, y), entonces H(x, 0).
Así,
—
PH +
—
PF = 3 queda:
|y| + = 3
Operamos: = 3 – |y|
x2 + (y – 1)2 = 9 + y2 – 6|y|
x2 + y2 – 2y + 1 = 9 + y2 – 6|y|
x2 – 2y + 1 – 9 = –6|y|
√x2 + (y – 1)2
√x2 + (y – 1)2
√22
3
2
3
c
a
c
a
A
(–2, 0)
B
(2, 0)
X
Y
P(x, y)
H(x, 0)
F(0, 1)1
r
y

6|y|= 2y + 8 – x2
Obtenemos dos parábolas.
62 a) Halla el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano cuya su-
ma de cuadrados de distancias a los puntos A(–3, 0) y B(3, 0) es 68. Pue-
des comprobar que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0).
¿Cuál es su radio?
b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de cuadrados de distancias a A(–a, 0) y B(a, 0) es k (constante), y com-
prueba que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). Di el valor
de su radio en función de a y de k. ¿Qué relación deben cumplir a y k
para que realmente sea una circunferencia?
a) [dist (A, P)]2 + [dist (B, P)]2 = 68 → (x + 3)2 + y2 + (x – 3)2 + y2 = 68 →
→ x2 + 6x + 9 + y2 + x2 – 6x + 9 + y2 = 68 →
→ 2x2 + 2y2 = 68 – 18 → 2x2 + 2y2 = 50 →
→ x2 + y2 = 25, que es la ecuación de una circunferencia de centro P (0, 0) y
radio r = 5.
Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia.
Despejamos y → y = → P (x, y) = (x, )
Debe verificarse que:
dist (O, P) = r
Es decir, que:
= 5 → = 5 → = 5
Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa
circunferencia.
b) [dist (A, P)]2 + [dist (B, P)]2 = k → (x + a)2 + y2 + (x – a)2 + y2 = k →
→ x2 + 2ax + a2 + y2 + x2 – 2ax + a2 + y2 = k →
→ 2x2 + 2y2 = k – 2a2 → x2 + y2 = – a2
que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio:
r = – a2
Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r > 0. Por tanto,
debe verificarse:
– a2 > 0 → k > 2a
k
2
k
2
k
2
√25√x2 + (25 – x2)√x2 + y2
√25 – x2√25 – x2
x2
6y = 2y + 8 – x2 → 4y = 8 – x2 → y = 2 – —
4
x2
–6y = 2y + 8 – x2 → –8y = 8 – x2 → y = — – 1
8
√

63 Sean las rectas: r: y = x, s: y = – x. Tomamos un segmento de longitud
4, uno de cuyos extremos esté en r y el otro en s. Queremos hallar el lugar
geométrico de los puntos medios de dichos segmentos. Para ello:
a) Expresa r y s en coordenadas paramétricas, usa un parámetro distinto
para cada una.
b)Expresa un punto R de r y un punto S de s.
c) Obtén, mediante dos parámetros, la expresión del punto medio del seg-
mento RS.
d)Expresa analíticamente dist (R, S) = 4.
e) Relacionando las expresiones obtenidas en c) y en d), obtendrás la ecua-
ción implícita del L. G. buscado: x2 + 16y2 = 16
f ) Identifica el tipo de curva de que se trata.
a) r: s:
b) R(2λ, λ) ∈ r; S (–2µ, µ) ∈ s
c) Punto medio del segmento RS:
M = ( , )= (λ – µ, ), es decir:
λ = x + y – = y + → λ = y + ; µ = y –
d) dist (R, S) = 4 → |
→
SR|= 4
→
SR (2λ + 2µ, µ – λ)
= 4
4λ2 + 4µ2 + 8λµ + µ2 + λ2 – 2λµ = 16
5λ2 + 5µ2 + 6λµ = 16
√(2λ + 2µ)2 + (µ – λ)2
x
2
x
2
x
2
x
2
x = λ – µ → λ = x + µ
λ + µ 2y – x x
y = ——— → 2y = x + µ + µ → 2y = x + 2µ → µ = ——— = y – —
2 2 2





λ + µ
2
λ + µ
2
2λ – 2µ
2
x = –2µ
y = µ



x = 2λ
y = λ



1
2
1
2

e) Utilizando lo obtenido en c) y d), tenemos que:
5(y + )2
+ 5 (y – )2
+ 6 (y + )(y – )= 16
5(y2 + + xy)+ 5(y2 + – xy)+ 6(y2 – )= 16
5y2 + + 5xy + 5y2 + – 5xy + 6y2 – = 16
x2 + 16y2 = 16
f) x2 + 16y2 = 16 → + y2 = 1.
Es una elipse, en la que a = 4, b = 1 y c = .
Focos: ( , 0) y (– , 0). Excentricidad = ≈ 0,97
Página 240
RESUELVE TÚ
1. A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona
oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a
su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el an-
dén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a
qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica.
La persona que habla está situada sobre uno de los focos de la elipse y la persona que
escucha está en el otro lado.
2. Lewis Caroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se cons-
truyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un fo-
co, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y
así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué.
Llamamos P al punto en el que rebota la bola que ha
pasado por F. Hemos visto que si t es tangente a la
elipse en P, entonces t es la bisectriz exterior de los
radios rectores PF y PF'. Llamamos r a la otra bisec-
triz. Tenemos que el ángulo formado por r y PF'
coincide con el ángulo formado por r y PF'. Por tan-
to, la bola que pase por F, necesariamente pasará por
el otro foco, F', al rebotar.
√15
4
√15√15
√15
x2
16
3x2
2
5x2
4
5x2
4
x2
4
x2
4
x2
4
x
2
x
2
x
2
x
2
P
FF'
r
tαα

3. Halla la ecuación de la tangente a la elipse + = 1 en los puntos de abs-
cisa 3.
☛ Utiliza el hecho de que la recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman los
radios vectores. De las dos bisectrices, tendrás que elegir la adecuada.
Los focos de la elipse son F (3, 0) y F'(–3, 0).
Hallamos los puntos de abscisa x = 3:
+ = 1 → y = ±
Hay dos puntos: P (3, ) y P' (3, – ).
• Para P (3, ): Obtenemos las bisectrices de los ángulos formados por las rectas que
pasan por PF y por PF':
— recta, r1, que pasa por PF → x = 3 → x – 3 = 0
— recta, r2, que pasa por PF' → m = → y = (x + 3) → 8x – 15y + 24 = 0
Bisectrices: dist ((x, y), r1) = dist ((x, y), r2)
|x – 3| =
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente negativa; es decir: 3x + 5y – 25 = 0
• Para P' (3, – ), tendríamos:
— recta, r3, que pasa por P'F → x = 3 → x – 3 = 0
— recta, r4, que pasa por P'F' → m' = – → y = – (x + 3) →
→ 8x + 15y + 24 = 0
|x – 3| =
La tangente en este caso es la que tiene pendiente positiva; es decir: 3x – 5y – 25 = 0
17x – 51 = 8x + 15y + 24 → 3x – 5y – 25 = 0
17x – 51 = –8x – 15y – 24 → 25x + 15y – 27 = 0
|8x + 15y + 24|
17
8
15
8
15
16
5
17x – 51 = 8x – 15y + 24 → 3x + 5y – 25 = 0
17x – 51 = –8x + 15y – 24 → 25x – 15y – 27 = 0
|8x – 15y + 24|
17
8
15
8
15
16
5
16
5
16
5
16
5
y2
16
9
25
y2
16
x2
25
P
(3, —
)16
5
P'
(3, –—
)16
5
FF'
4
–4
–5 (–3, 0) (3, 0) 5

4. Halla la tangente a la hipérbola – = 1 en el punto de abscisa 5.
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los radios vectores y elige la
adecuada.
Hallamos los puntos de abscisa x = 5:
– = 1 → y2 = → y = ±
Hay dos puntos: P (5, ) y P' (5, – ).
• Para P (5, )
— recta, r1, que pasa por PF → x – 5 = 0
— recta, r2, que pasa por PF':
m = = → y = (x + 5) → 9x – 40y + 45 = 0
|x – 5| =
La recta que buscamos tiene pendiente positiva; por tanto, es 5x – 4y – 16 = 0.
• Para P' (5, )
— recta, r3, que pasa por P'F → x – 5 = 0
— recta, r4, que pasa por P'F':
m' = = → y = (x + 5) → 9x + 40y + 45 = 0
|x – 5| =
La recta que buscamos tiene pendiente negativa; por tanto, es 5x + 4y – 16 = 0.
41x – 205 = 9x + 40y + 45 → 16x – 20y – 125 = 0
41x – 205 = –9x – 40y – 45 → 5x + 4y – 16 = 0
|9x + 40y + 45|
41
–9
40
–9
40
–9/4
10
–9
4
41x – 205 = 9x – 40y + 45 → 16x + 20y – 125 = 0
41x – 205 = –9x + 40y – 45 → 5x – 4y – 16 = 0
|9x – 40y + 45|
41
9
40
9
40
9/4
10
9
4
9
4
9
4
9
4
81
16
y2
9
25
16
y2
9
x2
16
P
(5, —
)9
4
P'(5, –—)9
4
F(5, 0)
t
t'
F'(–5, 0)
3
–3
4–4

5. Halla la tangente a la parábola y2 = 12x en el punto de P (3, 6).
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por el radio
vector PF y la recta perpendicular por P a la directriz.
• Hallamos el foco y la directriz de la parábola:
F (3, 0); d: x = –3
— recta, r1, que pasa por P y por F:
x = 3 → x – 3 = 0
— recta, r2, que pasa por P y es perpen-
dicular a d:
y = 6 → y – 6 = 0
Bisectriz del ángulo formado por r1 y r2: dist ((x, y), r1) = dist ((x, y), r2)
|x – 3| = |y – 6|
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente positiva, es decir, x – y + 3 = 0.
x – 3 = y – 6 → x – y + 3 = 0
x – 3 = –y + 6 → x + y – 9 = 0
F
(3, 0)
P(3, 6)
t
d
6
4
2
1 2–3 –2 –1

Problema 1
Las siguientes gráficas co-
rresponden a funciones, al-
gunas de las cuales conoces
y otras no. En cualquier
caso, vas a trabajar con
ellas.
I Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son:
a) y = b) y = c) y = d) y = x2 – 6x + 11
Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de:
• el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas;
• la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos;
• y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de
sus puntos.
a) ⇔ III b) ⇔ II c) ⇔ IV d) ⇔ I
Página 245
Problema 2
I Teniendo en cuenta los pasos descritos antes, representa gráficamente las si-
guientes funciones:
a) y = b) y = c) y =
x + 5 si x ≤ 0
2x si x > 0



3 si x < –2
2 – x si x ≥ –2



x + 3 si x < 1
5 – x si x ≥ 1



3
x
√x + 1
4
x2
Unidad 10. Funciones elementales 1
FUNCIONES ELEMENTALES10
I
III
II
IV

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y = 1/
g) y = 1/ h) y = 1/ i) y = 1/
j) y = 1/ k) y = x3 – 2x + 3 l) y =
m) y = n) y = ñ) y =
o) y =
p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l2.
a) Á b) [1, ∞) c) (–∞. 1]
d) [–2, 2] e) (–∞, –2] U [2, ∞) f) (–∞, –1) U (1, ∞)
g) (1, ∞) h) (–∞, 1) i) (–2, 2)
j) (–∞, –2) U (2, ∞) k) Á l) Á – {0}
m) Á – {0} n) Á – {–2, 2} ñ) Á
o) Á – {–1} p) l > 0
Página 248
1. Representa la siguiente función: y = –2x + 7, x ∈(1, 4].
1
x3 + 1
1
x2 + 4
1
x2 – 4
1
x2
1
x
√x2 – 4
√4 – x2√1 – x√x – 1
√x2 – 1√x2 – 4√4 – x2
√1 – x√x – 1√x2 + 1
1 2 3 4
1
2
3
4a) c)b)
–2
0
1
1
Y
X

2. Una función lineal f cumple: f (3) = 5, f (7) = –4, D ( f ) = [0, 10]. ¿Cuál es su
expresión analítica? Represéntala.
m = = –
y = 5 – (x – 3) = – x + , x ∈[0, 10]
Página 249
1. Representa las parábolas:
a) y = x2 – 2x + 3 b) y = –x2 – 2x – 3 c) y = x2 – 6x + 5
d) y = 2x2 – 10x + 8 e) y = x2 – x + 3 f ) y = x2 + x – 2
2. Representa las funciones:
a) y = x2 – 6x + 1, x ∈[2, 5)
b) y = –x2 + 3x, x ∈[0, 4]
c) y = x2 – 4, x ∈(–∞, –2) ∪ (2, –∞)
1
4
1
3
47
4
9
4
9
4
9
4
–4 – 5
7 – 3
4
8
12
–12
–8
–4
2 4 6 8 10
Y
X
a)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
c)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
b)
–2 2
2
–2
4
4
–4
–6
d)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
f)
2
–4
4
–6–10
–8
8
12e)
–2 2
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X

1. Representa y = x2. A partir de ella, representa:
a) y = x2 + 5 b) y = x2 – 2
2. Teniendo en cuenta el ejercicio anteior, representa:
a) y = – x2 b) y = – x2 + 2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
2 4
a) c)
6
–2
–4
–6
–8
XY
1
b)
1
X
Y
2–2
2
4
6
8
X
Y
–2 2
2
4
4–4
–2 2
2
4
6
4–4
8
10
y = — x21
4
a) b)
–2 2
2
–2
4
6
4–4
–4
Y
X
Y Y
X
X
a) b)
–2 2
2
–2
4–4
–4
–6
X
Y
–2 2
2
–2
4–4
–4
–6
–8
X
Y

1. Representa y = f (x) = x2 para x ≥ 1.
A partir de ella, representa:
a) y = f (x – 5) b) y = f (x + 1)
c) y = f (–x) d) y = f (–x + 2)
Página 252
1. Representa:
a) y = b) y = –
c) y = d) y = + 2
4
x – 3
4
x – 3
4
x
4
x
1
4
1 3 5 7
1
3
5
7
1 3 5 7 9
1
3
5
7
a)
–1–3–5
1
3
5
7
c)
1 3
1
3
5
7
b)
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
–1–3–5–7
1
3
5
7
d) Y
X

2. Representa estas funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
Página 253
1. Representa las siguientes funciones:
a) y = 3 + b) y =
c) y = d) y = + 2
3
√–x
3
√–x
√2 – x√x – 4
x – 1
x + 1
x + 1
x – 1
4x + 3
x + 1
3x + 2
x + 1
a)
2 4–4 –2
2
–2
–4
d)
2 4 6–2
2
–2
–4
c)
2 4 6–2
2
–2
–4
b)
2–4 –2
2
–2
–4
Y
X
Y
X
4
Y
X
Y
X
a) b)
2 4–2–4
2
4
–2
2 4–2–4
4
–2
Y
X
Y
X
2
c) d)
2 4–2–4
2
4
–2
–4
2–2–4
4
–2
Y
X
Y
X
2

2. Representa:
a) y = + 1 b) y =
c) y = d) y = –
Página 254
1. Representa esta función:
f (x) =
x + 1 x ∈[–3, 0)
x2 – 2x + 1 x ∈[0, 3]
4 x ∈(3, 7)





√4 – x
3
√–x + 1
3
√x + 1
3
√x
a)
4 8 12
4
8
14
c)
b)
–2–4 2 4
2
–4
–2
Y
X
Y
X–8 –6 –4 –2
2
4
6
Y
X
d)
–2–4 2 4
2
–4
–2
Y
X
a)
c)
b)
d)
1–1–4 4
1
–1
2
Y
X
2–4 –2 4
1
–1
–2
Y
X
1–1–4 4
1
–1
–2
2
Y
X
–2–4 2 4
2
–4
–2
Y
X
4
2
2 6–2–4
–4
–2
Y
X

2. Haz la representación gráfica de la siguiente función:
b) g(x) =
Página 255
1. Representa: y = –x2 + 4x + 5
2. Representa gráficamente: y =
 – 3

Página 256
1. Si f (x) = x2 – 5x + 3 y g (x) = x2, obtén las expresiones de f [g(x)] y g [f (x)].
Halla f [g(4)] y g [f (4)].
f [g(x)] = f [x2] = x4 – 5x2 + 3
g [f (x)] = g [x2 – 5x + 3] = (x2 – 5x + 3)2
f [g(4)] = 179; g [f (4)] = 1
x
2
2x + 1 x < 1
x2 – 1 x ≥ 1



4
2
2–2–4–6
–4
–2
Y
X
4
2
4
2 6–2
6
8
Y
X
4
2
4
Y
X
2 6 8 10
6

2. Si f (x) = sen x, g (x) = x2 + 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g.
Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = 2.
f ° g (x) = sen (x2 + 5); f ° g(0) = –0,96; f ° g(2) = 0,41
g ° f (x) = sen2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83
f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79
g ° g (x) = (x2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86
Página 257
1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.
2. Comprueba que hay que descomponer y = x2 – 1 en dos ramas para hallar sus
inversas respecto de la recta y = x. Averigua cuáles son.
a) y = x2 – 1 si x ≥ 0 b) y = x2 – 1 si x < 0
y–1 = y–1 = –
3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x)
funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f
y que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g.
Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y = x.
√x + 1√x + 1
y = 2x
y = x
y = x/2
Y
X
y = x2 – 1
y = √x + 1
y = x
y = x
Y
X
y = x2 – 1
y = –√x + 1
Y
X

f [g(x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x
Son funciones inversas.
Página 266
PARA PRACTICAR
1 ¿Cuáles de estas gráficas son funciones?
Son funciones a), b) y d).
2 Indica si los valores de x: 0; –2; 3,5; ; –0,25 pertenecen al dominio de es-
tas funciones:
a) y = b) y =
c) y = x – d) y =
e) y = f) y =
a) 3,5; b) Todos salvo –2
c) Todos d) Todos
e) 3,5 f) Todos
√2
√7 – 2x√x – 3
√x2 + 4√2
x
x2 – 4
1
√x
√2
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
a) b) c)
d) e) f)
Y Y Y
YYY
X
X
X
X
X
X

3 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) Á – {–1, 0} b) Á – {2}
c) Á – {–1/2} d) Á
e) Á – {0, 5} f) Á – {– , }
4 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) (–∞, 3] b) [1/2, +∞)
c) (–∞, –2] d) (–∞, 0]
a) y = b) =
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
g) y = h) y =
a) x2 – 9 ≥ 0 → (x + 3) (x – 3) ≥ 0 → Dominio = (+∞, –3] U [3, +∞)
b) x2 + 3x + 4 ≥ 0 → Dominio = Á
c) 12x – 2x2 ≥ 0 → 2x (6 – x) ≥ 0 → Dominio = [0, 6]
d) x2 – 4x – 5 ≥ 0 → (x + 1) (x – 5) ≥ 0 → Dominio = (–∞, –1] U [5, +∞)
e) 4 – x > 0 → 4 > x → Dominio = (–∞, 4)
f) x2 – 3x > 0 → x (x – 3) > 0 → Dominio = (–∞, 0) U (3, +∞)
g) x3 – x2 = 0 → x2(x – 1) = 0 → x1 = 0, x2 = 1 → Dominio = Á – {0, 1}
h) x4 – 1 = 0 → x4 = 1 → x = ± = ±1 → Dominio = Á – {–1, 1}4
√1
2x
x4 – 1
–1
x3 – x2
1
√x2 – 3x
1
√4 – x
√x2 – 4x – 5√12x – 2x2
√x2 + 3x + 4√x2 – 9
√–3x√–x – 2
√2x – 1√3 – x
√2√2
1
x2 – 2
2
5x – x2
1
x2 + 2x + 3
x – 1
2x + 1
x
(x – 2)2
3
x2 + x

6 Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación:
a) y = x + b) y = – x + 8
c) y = 0,025x – 0,05 d) y = 12x – 30
7 Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones:
a) y = x2 – 2 b) y = –0,25x2
c) y = (x + 3)2 d) y = –2x2
a) II b) I c) IV d) III
8 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte
con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice:
a) y = 0,5x2 – 3 b) y = –x2 + 3
c) y = 2x2 – 4 d) y = –
a)
Vértice: (0, –3). Corte con los ejes: (– , 0), ( , 0), (0, –3)√6√6
3x2
2
1
5
10
3
5
3
15
5
1 2 3
60
30
5 15
a) b) c) d)
4
15
5
10 30
0,2
0,1
2 6
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
–2
–4
–6
I
–8
2–2
4
IV
–4 –2–6
II
2–2
2
III
2–2 –2
–4
–6
–8
2
6
Y
Y Y
Y
X
X
X
X
2
–4
–2
2 4–4 –2
Y
X

b)
Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, 3)
c)
Vértice: (0, –4). Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, –4)
d)
Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0)
9 Representa las siguientes funciones:
a) y = x2 + 2x + 1 b) y = + 3x + 1
c) y = –x2 + 3x – 5 d) y = + 3x + 6
x2
3
x2
2
√2√2
√3√3
2
–4
–2
2 4–4 –2
Y
X
2
–4
–2
2 4–4 –2
Y
X
–4
–6
–8
–2
2 4–4 –2
Y
X
2
2 4–4 –2
a)
4
2
2–4 –2
b)
–4
–6
–2
c)
2 4–4 –2
–4
–6
–2
d)
2
4
6
–4–6–8 –2
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X

10 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de
ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda
del vértice y represéntalas gráficamente:
a) y = 4 (x2 + x + 1) b) y = 5 (x + 2)2 + 1
c) y = –x2 – 2 d) y = – (x2 + 2)
a) b)
Vértice: (– , 3) Vértice: (–2, 1)
c) d)
Vértice: (0, –2) Vértice: (0, – )
11 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de defi-
nición y su recorrido:
Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (–∞, 2) U (2, +∞) y [–1, +∞).
Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +∞) y [0, +∞).
12 Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntaria-
mente su dominio:
a) y = x2 – 4, si x ∈[–2, 3] b) y = 5 – , si x ∈[2, +∞)
x
2
3
2
1
2
3
4
2 2 2–2 –1
Y Y Y
X
X
X
2
2 4–4 –2
4
Y
X
2
2 4–4 –2
4
Y
X
–2
–4
–6
2 4–4 –2
Y
X
–2
–4
–6
2 4–4 –2
Y
X
a) b)
–2
–6
2
6
2 6 14 18 2210
–2
–2
–4
2 4
–4 –2
Y
X
Y
X

13 De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esqui-
nas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales
miden x.
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
a) A (x) = 16 – 2x2
b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)
14 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y
2x cm.
a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volumen.
¿Cuál es su recorrido?
a) V (x) = x3
b) Domini: (0, 10). Recorrido: (0, 1000)
15 Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = b) y =
16 Representa f (x) = 4 – x2 y, a partir de ella, representa:
a) g(x) = f (x) – 3 b) h(x) = f (x + 2)
–2x – 1 si x < 1
(3x – 15)/2 si x ≥ 1



–2 si x < 0
x – 2 si 0 ≤ x < 4
2 si x ≥ 4





4
x
x
b)a)
2
2 4
–4
–2
–4 –2
2 4
–4
–2
–6
–4 –2
Y Y
X
X
a)
2
f (x) = 4 – x2
2 4
4
–4
–2
–4 –2
2
2
4
–4
–2
–6
–4 –2
b)
2
2
4
–4
–2
–4 –2
Y Y
X
X

a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) (–∞, 0] U [2, +∞) b) Á
c) [– , ] d) (–∞, 1] U [2, +∞)
18 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
a) y = + 2 b) y = c) y = – 3 d) y =
a) II b) III c) IV d) I
19 Esta es la gráfica de la función y = f (x):
Representa, a partir de ella, las funciones:
a) y = f (x) b) y = f (x – 1) c) y = f (x) + 2
1
x – 4
1
x
1
x + 3
1
x
√5√5
√x2 – 3x + 2√5 – x2
√x2 + 3√x2 – 2x
4
2
–2
I
–4
62 4
II
2
–2
2 4
III IV
2
4
–2
–4
2–4 –2
2
–2
–4
2 4–4 –2
–6
Y Y
YY
X X
X
X
2
2
Y
X

20 Haz una tabla de valores de la función y = 3x. A partir de ella, representa la
función y = log3 x.
☛ Si el punto (2, 9) pertenece a y = 3x, el punto (9, 2) pertenecerá a y = log3 x.
21 Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = ( )
x
y represéntala gráficamente.
3
5
2
2
4
4–4 –2
Y
X
a) c)
2
2
4
–4 –2
Y
X
b)
4
2
2
4
–4 –2
Y
X
x –2 –1 0 1 2
3x
1/9 1/3 1 3 9
2
4
2
(1, 0)
(0, 1)
y = 3x
y = log3 x
Y
X–4 –2
–2
6
8
4
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 4,63 2,78 1,67 1 0,6 0,36 0,22
1
2
2
y = (—)x3
5
Y
X–2
3
4
1 3 4–1–3–4
x 1/9 1/3 1 3 9
log3 x –2 –1 0 1 2

22 Representa la función y = ( )
x
. ¿Es creciente o decreciente?
Es una función creciente en todo Á.
23 Considera las funciones f y g definidas por las expresiones f (x) = x2 + 1
y g(x) = .
Calcula:
a) (f ° g) (2) b) (g ° f ) (–3)
c) (g ° g) (x) d) (f ° g) (x)
a) b)
c) g (g(x)) = x d) f (g(x)) =
24 Dadas las funciones f (x) = cos x y g(x) = , halla:
a) (f ° g) (x) b) (g ° f ) (x) c) (g ° g) (x)
a) f [g(x)] = cos
b) g[ f (x)] =
c) g[g(x)] =
25 Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3x
b) y = x + 7
c) y = 3x – 2
a) x = 3y → y = → f –1(x) =
b) x = y + 7 → y = x – 7 → f –1(x) = x – 7
c) x = 3y – 2 → y = → f –1(x) =
x + 2
3
x + 2
3
x
3
x
3
4
√x
√cos x
√x
√x
1 + x2
x2
1
10
5
4
1
x
6
5
1
2
2
f(x) = (—)
x
6
5
Y
X
–2
3
1 3–1–3

26 Representa la gráfica de y = log1/3 x a partir de la gráfica de y = ( )
x
.
27 Comprueba que las gráficas de y = 3x e y = ( )
x
son simétricas respecto al
eje OY.
☛ Represéntalas en los mismos ejes.
PARA RESOLVER
28 Representa: a) y = b) y =
(2x + 2)/3 si x < 2
–2x + 6 si x ≥ 2



x/2 + 2 si x ≤ 2
x – 3/2 si x > 2



1
3
1
3
y = log1/3
x
1
2
2
y = (—)
x
1
3
Y
X
–1
3
4
1 3 4 5–1–2
2
4
4
Y
X
6
8
2–2–4
(0, 1)
y = 3xy = (—)
x
1
3
a) b)
2
2 4
–2
–4 –2
2 4
–4
–2
–4 –2
Y
X
Y
X

29 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
30 Representa:
a) y = b) y =
31 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa:
a) g(x) = f (x) – 2
b) h(x) = f (x – 3)
c) i(x) = –f (x)
d) j(x) = f (x)
(–x2/2) + 2 si x < 1
x – 3 si x ≥ 1



–x – 1 si x ≤ –1
2x2 – 2 si –1 < x < 1
x – 1 si x ≥ 1





–x2 si x < 0
x2 si x ≥ 0



–x2 – 4x – 2 si x < –1
x2 si x ≥ –1



x2 – 2x si x ≤ 2
3 si x > 2



x2 si x ≤ 1
(2x – 1)/3 si x > 1



a) b)
c) d)
2
4
2 4
–2
–4 –2
2
4
2 4
–2
–4 –2
2
2 4
–2
–4
–4 –2
2
42
–4
–2
–4 –2
Y
Y Y
Y
X
X X
X
a) b)
2
2 4
–2
–4 –2
2
42
–2
–4 –2
Y Y
X X

32 Representa la función f (x) = y dibuja, a partir de ella:
a) g(x) =
b) h(x) = – 3√x
√x + 1
√x
a) b)
c) d)
g(x)
i (x)
j(x)
h(x)
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
5
–10
–5
10–5–10 X
a)
g(x) f (x)
0,2
0,4
Y
X
0,5
0,6
0,8
1
1–0,5–1
b)
h(x)
f (x)1
Y
X
0,4
–1
–2
–3
0,8 10,2 0,6

33 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido 24,82 euros por
12 m3, y en octubre, 43,81 por 42 m3.
a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumi-
dos y represéntala.
b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?
a) y = 24,82 + 0,633(x – 12)
y (28) = 34,94 euros
b) y = 24,82 + 0,633(x – 12) = 0,633x + 17,22
34 El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros re-
corridos. Por 57 km he pagado 2,85 euros y por 168 km, 13,4 euros. Calcula
el precio de un billete para una distancia de 100 km. ¿Cuál es la función que
nos indica el precio según los kilómetros recorridos?
y = 2,85 + 0,095(x – 57)
y (100) = 6,94 euros
La función es: y = 2,85 + 0,095(x – 57) = 0,095x – 2,565
Página 269
35 La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente,
hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad
de medicamento y halla su expresión analítica.
y = 0,25x hasta un máximo de 15 g: 0,25x = 15 → x = 60 kg
y =
0,25x 0 < x < 60
15 x ≥ 60



10
20
10 20
30
40
50
30 40 50
IMPORTE (euros)
CONSUMO (m3)
DOSIS (g)
PESO (kg)
5
10
20 40
15
60 80 100

36 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televiso-
res son G = 3 000 + 25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son
I = 50x – 0,02x2, también en miles de euros.
¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos
gastos) sea máximo?
La función Beneficio viene dada por la expresión:
B = I – G = 50x – 0,02x2 – 3000 – 25x = –0,02x2 + 25x – 3000
Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo.
El máximo de la función se encuentra en el vértice:
x0 = = = 625
El beneficio máximo se obtendrá para 625 televisores.
37 Midiendo la temperaura a diferentes alturas, se ha observado que por cada
180 m de ascenso el termómetro baja 1 °C.
Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 10 °C, ¿cuál será la tem-
peratura en la cima?
Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su expre-
sión analítica.
☛ Haz una tabla de valores y represéntala.
T (h) = 10 – ; T (800) = 5,56 °C
38 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio.
La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t2 (t en se-
gundos y h en metros).
a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5].
b) Halla la altura del edificio.
c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?
h
180
–25
–0,04
–b
2a
6
8
10
4
2
200 400 600 800 1000 ALTURA (m)
TEMPERATURA (°C)

a)
b) 80 metros.
c) 2 segundos.
39 El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x
(x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros).
a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obte-
nidos?
b) Representa la función Nº de artículos-Ingresos.
c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?
a) Si se venden 500 artículos, su precio será:
12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros → Ingresos = 350 000 €
b)
c) Deben fabricar 600 artículos para obtener los ingresos máximos (360000 euros).
40 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada
uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos
menos.
a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?
b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos
mensuales.
c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?
60
80
100
40
20
1 2 3 4 5 TIEMPO (s)
ALTURA (m)
120
140
1000
2000
3000
4000
100 600
Nº DE
ARTÍCULOS
INGRESOS
1200
I(x) = p · x = 12x – 0,01x2

a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los in-
gresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros.
b) I (x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x2 + 200x + 40 000
(x = decenas de euros)
c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola:
x = = = 5 → 50 euros
41 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x2 +
+ 35x + 25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 – x/4 euros.
a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unida-
des producidas.
b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio
sea máximo.
☛ Los ingresos por la venta de x unidades son x (50 – x/4) euros.
a) B (x) = 50x – – ( x2 + 35x + 25)= – + 15x – 25
b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x = = 15
Deben venderse 15 unidades.
42 Busca la expresión analítica de estas funciones:
a) f (x) = b) f (x) =
43 Representa la función y = x – 5 y comprueba que su expresión analítica
en intervalos es:
y =
–x + 5 si x < 5
x – 5 si x ≥ 5



x2 si x ≤ 2
4 si x > 2



–x – 1 si x ≤ 3
2 si x > 3



–15
–1
x2
2
1
4
x2
4
–200
–40
–b
2a
–4 –2
–2
2
4
6
–4
2 4 6
–4 –2
–2
2
4
6
2 4 6
a)
2
4
2 4 6
6
8 10 12

44 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos:
a) y = 4 – x b) y = x – 3
a) y =
b) y =
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) y = b) y = –
c) y = 2 + d) y = 1 – √x√x
√x + 3√x – 1
–1
x – 3
–1
x
1
x – 1
1
x + 1
–x + 3 si x < 3
x – 3 si x ≥ 3



4 – x si x < 4
–4 + x si x ≥ 4



2
4
2 4 6
6
8 10 12
2
4
2 4 6
6
8 10 12
a)
2
4
2 4
–4
–2
–2–4
b)
2
4
2 4
–4
–2
–2–4
c)
2
2 4
d)
–4
–2
–2–4
4
2
4
2
–4
–2
–2–4

47 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que
está a 1 km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta em-
plea el mismo tiempo que en el de ida.
a) Representa la función tiempo-distancia.
b) Busca su expresión analítica.
b) f (x) =
Página 270
48 Representa y define como funciones “a trozos”:
a) y =
  b) y = 3x + 6
c) y =
  d) y = –x – 1
☛ Mira el ejercicio resuelto número 6.
2x – 1
3
x – 3
2
(1/20)x si 0 ≤ x ≤ 20
1 si 20 < x ≤ 50
–1/20(x – 70) si 50 < x ≤ 70





a) b)
c) d)
2
4
2 4
6
6 8
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4
–2
6
–2
–6
–4
2 4
–2
6
a) DISTANCIA A SU CASA (km)
TIEMPO (min)20
1
50 70

a)
y =
– si x < 3 b) y =
si x ≥ 3
c)
y =
si x < d) y =
si x ≥
49 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir
la función y = de esta forma:
y = 2 +
Comprueba que su gráfica coincide con la de y = 1/x trasladada 1 unidad
hacia la izquierda y 2 hacia arriba.
y =
1
x
1
x + 1
2x + 3
x + 1
resto
divisor
Dividendo
divisor
1
2
2x – 1
3
–x – 1 si x < –1
x + 1 si x ≥ –1



1
2
–2x + 1
3
x – 3
2
–3x – 6 si x < –2
3x + 6 si x ≥ –2



x – 3
2
a) b)
2
4
2 4
6
6–4–8
2
4
2
6
–2–4–6
c) d)
2
4
2
6
–2–4–6
2
4
2
6
4–2–4
1
1
2
–3
–2
–1
2 3–2 –1–3–4
Y
X















y = 2 +
50 Representa las funciones y = , y = utilizando el procedimiento
del problema anterior.
y = = 3 +
y = = 1 +
2
x – 4
x – 2
x – 4
3
x – 1
3x
x – 1
x – 2
x – 4
3x
x – 1
1
x + 1
3
1
Y
X
2
2
–2
–4
–6
4
6
8
–2–4 4 6 8 10
Y
X
1
1
2
3
4
–1
2–2 –1–3–4–5
Y
X

51 Con las funciones f (x) = x – 5, g(x) = , h(x) = , hemos obtenido,
por composición, estas otras:
p (x) = q(x) = – 5 r(x) =
Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r.
p = g ° f q = f ° g r = h ° g
52 Representa las funciones:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 3
☛ Utiliza la gráfica de y = 2 x.
a) y = 2x – 1 b) y = ( )
x + 3
c) y = 1 – 2x d) y = 2–x
1
2
1
√x + 2
√x√x – 5
1
x + 2
√x
b)a)
y = 1
y = 2x
y = 2x + 1
2
4
4
Y
X
6
8
10
62–2–4
–2
y = –3
y = 2x
y = 2x – 3
Y
2
4
4
X
6
8
10
62–2–4
–2
(0, —)1
8
b)
1
2
4
Y
X
3
4
62–2–4
(0, —)1
2 2
4
4
Y
X
6
8
10
12
14
16
2–2–4
a)

54 De la función exponencial f (x) = kax conocemos f (0) = 5 y f (3) = 40.
¿Cuánto valen k y a?
f (0) = 5 → 5 = k
f (3) = 40 → 40 = 5 · a3 → a = 2
La función es f (x) = 5 · 2x
55 Halla la función inversa de las siguientes funciones:
a) y = 3 · 2x – 1 b) y = 1 + 3x
a) x = 3 · 2y – 1; = 2y – 1; log2 = y – 1
y = 1 + log2 → f –1 (x) = 1 + log2
b) x = 1 + 3y
; x – 1 = 3y
; log3 (x – 1) = y → f –1 (x) = log3 (x – 1)
56 Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = ax, y = loga x.
Identifícalas e indica, en cada caso, si es a > 1 o 0 < a < 1.
x
3
x
3
x
3
x
3
4
Y
X
6
8
10
12
14
2–2–4 4
2
c) d)
y = 1
4
Y
X
–5
–6
–4
–3
–2
–1
1
2–2–4
(0, 1)
1) Y
X
2) Y
X
3) Y
X
4) Y
X

1) y = loga x, 0 < a < 1 2) y = ax, 0 < a < 1
3) y = loga x, a > 1 4) y = ax, a > 1
57 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x:
a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1)
☛ En b), el dominio es (1, +∞).
a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
58 ¿Cuál es el dominio de esta función?: y = log2 (2 – x). Represéntala.
Dominio: (–∞, 2)
(—, 0)1
2
y = 1 + log2
x
y = log2
x
1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
2
Y
X
–2
–4
3 4 5 61 2
x = 1 y = log2
x
y = log2
(x – 1)
x = 2
1
6
Y
X
1
2
3
4
2
3
42–2–4–6

59 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k ax pasa por los puntos
(0; 0,5) y (1; 1,7).
a) Calcula k y a.
b) Representa la función.
a) →
La función es y = 0,5 · (3,4)x
b)
60 Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo
que costó 100 euros al cabo de un año cuesta 106 euros, la inflación ha sido
del 6%.
Suponiendo que la inflación se mantiene constante en el 6% anual, ¿cuánto
costará dentro de 7 años un terreno que hoy cuesta cinco mil euros?
Para un capital C y una inflación del 6% durante x años, el valor de ese capital
será:
C' = C · (1,06)x
Para x = 7 años y C = 5000 euros:
C' = 5000 · (1,06)7 = 7518 euros
Página 271
61 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 6%
anual.
a) Si empieza ganando 10 000 euros anuales, ¿cuánto ganará dentro de 10
años?
b) Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo.
a) 10 000 · (1,06)10 ≈ 17 908,48 euros
b) 1,06x = 2 → x ≈ 12 años tardará en duplicarse.
k = 0,5
a = 3,4
0,5 = k
1,7 = k · a



0,5 = k · a0
1,7 = k · a 1
2
4
42–4 –2

62 Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una
de estas expresiones:
a) y = arc sen 0,8 b) y = arc sen (–0,9)
c) y = arc cos 0,36 d) y = arc cos (–0,75)
e) y = arc tg 3,5 f ) y = arc tg (–7)
a) 0,93 rad → 53° 7' 48" b) –1,12 rad → –64° 9' 29"
c) 1,20 rad → 68° 53' 59" d) 2,42 rad → 138° 35' 25"
e) 1,29 rad → 74° 3' 17" f) –1,43 rad → –81° 52' 11"
63 Obtén el valor de estas expresiones en grados, sin usar la calculadora:
a) y = arc sen b) y = arc cos
c) y = arc tg 1 d) y = arc sen (–1)
e) y = arc cos (– ) f ) y = arc tg
a) 60° b) 60°
c) 45° d) –90°
e) 120° f) 60°
64 Calcula x en las siguientes expresiones:
a) arc sen x = 45° b) arc cos x = 30°
c) arc tg x = –72° d) arc sen x = 75°
e) arc cos x = rad f ) arc tg x = 1,5 rad
a) b)
c) –3,078 d) 0,966
e) f) 14,101
65 Si f (x) = 2x y g(x) = log2 x, ¿cuál es la función (f ° g) (x)? ¿Y (g ° f ) (x)?
( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x
1
2
√3
2
√2
2
π
3
√3
1
2
1
2
√3
2

66 Dada la función f (x) = 1 + , halla f –1(x). Representa las dos funciones
y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del 1_er cuadrante.
f –1(x) = (x – 1)2, x ≥ 1
67 Dada la función y = ax, contesta:
a) ¿Puede ser negativa la y? ¿Y la x?
b) ¿Para qué valores de a es creciente?
c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = ax ?
d) ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax < 1 siendo a > 1?
a) La y no puede ser negativa, la x sí.
b) a > 1
c) (0, 1)
d) Para x < 0.
68 Una parábola corta al eje de abscisas en x = 1 y en x = 3. La ordenada del
vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?
y = k (x – 1) (x – 3) = k (x2 – 4x + 3)
Vértice → x = = 2 → y (2) = –k = –4 → k = 4
La ecuación es: y = 4(x2 – 4x + 3) = 4x2 – 16x + 12
PARA PROFUNDIZAR
69 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
√x – 9
x√x + 3
x – 2
4
2
√x
y = (x – 1)2, x ≥ 1Y
X
y = 1 + √x
y = x
2
4
6
8
2 4 6 8

a) ≥ 0 Dominio = (–∞, –3] U (2, +∞)
b) ≥ 0 Dominio = (–∞, 0) U [9, +∞)
70 Representa y define como funciones “a trozos”:
a) y = x2 – 4 b) y = x2 – 2x – 4
c) y =
– + 2
 d) y = x2 + 2x – 2
a) y = b) y =
c) y = d) y =
x2 + 2x – 2 si x < –2,7
–x2 – 2x + 2 si –2,7 ≤ x ≤ 0,7
x2 + 2x – 2 si x > 0,7





(x2/2) – 2 si x < –2
(–x2/2) + 2 si –2 ≤ x ≤ 2
(x2/2) – 2 si x > 2





x2 – 2x – 4 si x < –1,2
–x2 + 2x + 4 si –1,2 ≤ x ≤ 3,2
x2 – 2x – 4 si x > 3,2





x2 – 4 si x < –2
–x2 + 4 si –2 ≤ x ≤ 2
x2 – 4 si x > 2





x2
2
x – 9
x
x + 3
x – 2
x > 2
x ≤ –3



x + 3 ≤ 0
x – 2 < 0






x + 3 ≥ 0
x – 2 > 0



x ≥ 9
x < 0



x – 9 ≤ 0
x < 0






x – 9 ≥ 0
x > 0



a) b)
2
4
2
6
4–2–4
Y
X
Y
X
2
4
2
6
4–2–4
c) d)
2
4
2
6
4–2–4
Y
X X
2
4
2
6
4–2–4
Y

71 Representa estas funciones y exprésalas en intervalos:
a) y = 1 – x
b) y = x – 1 – x
a) y = b) y =
72 Las tarifas de una empresa de transportes son:
• 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t.
• Si la carga es mayor que 20 t, se restará, de los 40 euros, tantos euros como
toneladas sobrepasen las 20.
a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte
(carga máxima: 30 t).
b) Obtén la expresión analítica.
a)
b) f (x) =
Es decir:
f (x) =
40x si 0 ≤ x ≤ 20
60x – x2 si 20 < x ≤ 30



40x si 0 ≤ x ≤ 20
[40 – (x – 20)]x si 20 < x ≤ 30



1 si x ≤ 0
1 – 2x si 0 < x < 1
–1 si x ≥ 1





1 – x si x ≥ 0
1 + x si x < 0



10
200
400
600
800
1000
INGRESOS
CARGA (t)
20 30
2
2
–2
4 6–2–4–6
1
–1
1 2 3–1–2–3

73 En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza to-
mando impulso y elevándose 1 m antes de empezar a caer. El nadador al-
canza el agua a 8 m del borde del trampolín.
a) Si tomamos como origen de coordenadas la proyección del extremo del
trampolín sobre el agua y el vértice de la parábola es (a, b), ¿cuánto va-
le b ?
b) La ecuación del movimiento es y = k (x – α)2 + 9. Justifícala y halla k
y α.
a) b = 8 + 1 = 9
b) El vértice es (α, 9), por eso la ecuación es y = k (x – α)2 + 9.
– = → (8 – α)2 = 9α2 → 8α2 + 16α – 64 = 0
α2 + 2α – 8 = 0 → α =
La ecuación será, por tanto:
y = – (x – 2)2 + 9
1
4
2 → k = –1/4
–4 (vemos por la gráfica que no vale)
–9
(8 – α)2
1
α2
k = –1/α2
k = –9/(8 – α)2



Como y (0) = 8 → 8 = k α2 + 9
Como y (8) = 0 → 0 = k (8 – α)2 + 9
Y
X
8 m
8m

El valor de la función f (x) = para x = 5 no se puede obtener directa-
mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones
sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; …
I Comprueba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995
I Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …
I ¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x)
se aproxima a 7? Lo expresamos así: f (x) = 7
I Si f(x) = , entonces:
f(4,999) = 6,9995; f(4,9999) = 6,99995; f(4,99999) = 6,999995
f(x) = 7
I Calcula, análogamente, .
I f(2) = 5,5; f(2,9) = 5,95; f(2,99) = 5,995; f(2,999) = 5,9995; f(2,9999) = 5,99995
f(x) = 6
Problema 1
Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si
es continua o discontinua:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
x2 x < 0
2x 0 ≤ x < 3
x + 2 x ≥ 3





√
—
x + 3 x < 1
2/x x ≥ 1



4 x < 0
4 – x 0 ≤ x ≤ 5
2x – 11 x > 5





x2 + 3 x < 1
5 – x2 x ≥ 1



lím
x → 3
x2 + 6x – 27
2x – 6
lím
x → 3
lím
x → 5
x2 + 4x – 45
2x - 10
lím
x → 5
x2 + 4x – 45
2x – 10
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1
LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
11

Las tres primeras son continuas y d) es discontinua.
Página 273
Problema 2
Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) = se
aproxima a la recta de ecuación y = x – 2.
I Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f (x)
para los siguientes valores de x:
5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11
x2 – 3x + 1
x – 1
2
4
2–2
–2
6
a) b)
2
4
2 4–4 –2
–2
6
6 8
c)
2
4
2 4–4 –2
–2
6
–4
6
d)
2
4
2 4–2
6
8
6

Comprueba para valores muy grandes de x que la diferencia entre curva y
recta llega a ser muy pequeña.
De este modo se comprueba que la recta y = x – 2 es asintota de la función
y =
I Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función
y = tiene por asíntota a la recta de ecuación y = x + 2.
I
I Para y = f (x) =
Página 275
1. Explica por qué la función y = x2 – 5 es continua en todo Á.
Porque es polinómica.
2. Explica por qué la función y = es continua en (–∞, 5].
Porque (–∞, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico.
√5 – x
x3
x2 – 2x
x3
x2 – 2x
x2 – 3x + 1
x – 1
x 50 100 1 000
y = f (x)
y = x – 2
DIFERENCIA
x 50 100 1000
y = f (x) 47,98 97,99 997,999
y = x – 2 48 98 998
DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001
x 50 100 1000
y = f (x) 52,08 102,04 1002,004
y = x + 2 52 102 1002
DIFERENCIA 0,08 0,04 0,004
x 5 6 7 8 9 10 11
f (x) 2,75 3,8 4,83 5,86 6,88 7,89 8,9
2
4
2 4–2
–2
6
8
10
6 8 10
2
4
2 4–2
–2
6
8
10
6 8

3. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es con-
tinua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
e) Salto en x = 3.
f) Salto en x = 4.
Página 278
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
a) b) (cos x – 1)
a) – b) –2
2. Calcula estos límites:
a) b) log10 x
a) b) –1
Página 279
3. Calcula k para que y = sea continua en Á.
(x3 – 2x + k) = 21 + k
21 + k = 7 → k = –14
f (3) = 7
Página 281
4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del
punto. Representa gráficamente los resultados.
a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = en 2, 0 y 3
c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3
x4
x3 + 3x2
x2 – 2x + 1
x2 + 2x – 3
4x – 12
(x – 2)2
x3
x2 – 4
lím
x → 3
x3 – 2x + k si x ≠ 3
7 si x = 3



√3
lím
x → 0,1
√x2 – 3x + 5lím
x → 2
3
2
lím
x → 0
3
x – 2
lím
x → 0
3 si x ≠ 4
1 si x = 4



3x – 4, x < 3
x + 1, x ≥ 3



1
x2
x2 – 3
x
x2 – 3x
x
x + 2
x – 3






a) f (x) =
f (x) = –∞
f (x) = +∞
f (x) = 0
f (x) = –∞
f (x) = +∞
b) f (x) =
f (x) = –∞
f (x) = –3
f (x) = 0
c) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = +∞
f (x) = –∞
d) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = –∞
f (x) = +∞lím
x → –3+
lím
x → –3–
lím
x → 0
x4
x2 (x + 3)
lím
x → –3+
lím
x → –3–
lím
x → 1
(x – 1)2
(x – 1) (x + 3)
lím
x → 3
lím
x → 0
lím
x → 2
4(x – 3)
(x – 2)2
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 0
lím
x → –2+
lím
x → –2–
x3
(x + 2) (x – 2)










No existe f (x)lím
x → –2
No existe f (x)lím
x → 2





No existe f (x)lím
x → –3





No existe f (x)lím
x → –3
2–2 3
–3
2 3
–3 1
–3

1. Di el límite cuando x → + ∞ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:
f1(x) = –∞ f2(x) = –3
f3(x) = +∞ f4(x) no existe
Página 283
1. Di el valor del límite cuando x → +∞ de las siguientes funciones:
a) f (x) = –x2 + 3x + 5 b) f (x) = 5x3 + 7x c) f (x) = x – 3x4
d) f (x) = e) f (x) = – f) f (x) =
a) –∞ b) +∞ c) –∞
d) 0 e) 0 f) –∞
2. Como (x3 – 200x2) = +∞, halla un valor de x para el cual x3 – 200x2
sea mayor que 1 000 000.
Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 800 000 000.
3. Como = 0, halla un valor de x para el cual sea
menor que 0,0001.
Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 0,00000101.
Página 284
4. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5
1
x2
3
x
1
3x
lím
x → +∞
1
x2 – 10x
1
x2 – 10x
lím
x → +∞
lím
x → +∞
x3 – 1
–5
1
x2
1
3x
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
y = f1(x)
y = f2(x)
y = f3(x)
y = f4(x)

a) 0
c) 0
b) 0
d) +∞
a) –∞ b) 0
c) +∞ d ) –1
–1





x = –1 es asíntota vertical





x = –1 es asíntota vertical
–1
–1
–1
–1
5. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
Página 285
1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y = b) y =
a) f (x) = –∞
f (x) = +∞
b) f (x) = +∞
f (x) = –∞lím
x → –1+
lím
x → –1–
lím
x → –1+
lím
x → –1–
x2 + 3x
x + 1
x2 + 3x + 11
x + 1
1 – x3
1 + x3
x3
x2 – 3
x2 – 3
x3
x3 – 1
–5
lím
x → +∞

2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y = b) y =
a) f (x) = +∞
f (x) = –∞
f (x) = –∞
f (x) = +∞
b) f (x) = +∞
f (x) = +∞
Página 287
3. Halla las ramas infinitas, cuando x → +∞, de estas funciones. Sitúa la curva
respecto a su asíntota:
a) y = b) y =
a) f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal.
b) y = x + → y = x es asíntota oblicua.
4. Halla las ramas infinitas, x → +∞, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a
sus asíntotas, si las hay:
a) y = b) y = 2x3 – 3x2 + 7
x
x2 + 2
x2 – 2x
–x
1 + x2
lím
x → +∞
x3
1 + x2
x
1 + x2
lím
x → 1+
lím
x → 1–
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 0+
lím
x → 0–
x2 + 2
x2 – 2x + 1
x2 + 2
x2 – 2x





x = 2 es asíntota vertical










2
1
1
1

b) grado de P – grado de Q ≥ 2
f (x) = +∞ → rama parabólica hacia arriba.
Página 288
1. Halla f (x) y representa la rama correspondiente:
f (x) = –2x3 + 7x4 – 3
f (x) = 7x4 = +∞
2. Halla f(x) y traza las ramas correspondientes:
a) f (x) = (x2 + 3)/(–x3) b) f (x) = –x3/(x2 + 3)
a) f (x) = = = 0
b) f (x) = = –x = +∞
Página 289
3. Halla las ramas infinitas, x → –∞ de estas funciones y sitúa la curva respecto a
las asíntotas:
a) y = b) y = c) y = d) y =
x3
1 + x2
x2
1 + x2
x
1 + x2
1
x2 + 1
lím
x → –∞
–x3
x2
lím
x → –∞
lím
x → –∞
1
–x
lím
x → –∞
x2
–x3
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
1

b) f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal.
c) f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal.
d) y = x + → y = x es asíntota oblicua.
4. Halla las ramas infinitas, cuando x → –∞, y si tienen asíntotas, sitúa la curva
respecto a ellas:
a) y = b) y = c) y = d) y =
a) grado P – grado Q ≥ 2
f (x) = +∞ → rama parabólica.
b) f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal.
c) y = x + 2 + → y = x + 2 es asíntota oblicua.
d) f (x) = (2x2 – 3x) = +∞lím
x → –∞
lím
x → –∞
–2
x + 1
lím
x → –∞
lím
x → –∞
2x3 – 3x2
x
x2 + 3x
x + 1
x2 + 2
x2 – 2x
x4
x2 + 1
–x
1 + x2
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
1
1
1
–2
2
1

PARA PRACTICAR
1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?
b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.
a) Solo la a).
b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 2.
e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f (x) = 2.
f) No está definida en x = 2.
2 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) 0 y –1 b) 2
c) – d) Continua
e) 0 y 5 f) y – √2√2
1
2
1
x2 – 2
2
5x – x2
1
x2 + 2x + 3
x – 1
2x + 1
x
(x – 2)2
3
x2 + x
lím
x → 1
a) b) c)
d) e) f)
2
2
–2 2
2
–2
4
–2 2
2
–2
–2 2
–22
2
4
4–2 2
2
4
4–2

3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.
b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.
c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.
d) Continua en x = 0 y en x = –2.
4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones:
a) y = 5 – b) y =
c) y = d) y =
a) Á b) [3, +∞)
c) (–∞, 0] d) (–∞, ]
5 Calcula los siguientes límites:
a) (5 – ) b) (x3 – x)
c) d) 2x
e) f) log2 x
g) cos x h) ex
a) 5 b) 0
c) –2 d)
e) 4 f) 2
g) 1 h) e2
6 Calcula el límite cuando x → +∞ de cada una de las siguientes funciones.
Representa el resultado que obtengas.
a) f (x) = x3 – 10x b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) = x2 – 2x
–3
3 – x
2
√x2 – 4
√2
lím
x → 2
lím
x → 0
lím
x → 4
√10 + x – x2lím
x → –2
lím
x → 0,5
1 – x
x – 2
lím
x → 3
lím
x → –1
x
2
lím
x → 0
5
2
√5 – 2x√–3x
√x – 3
x
2
√7 – 2x√x2 – 4
x
x2 – 4
1
√x

☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.
a) f (x) = +∞ b) f (x) = +∞
c) f (x) = –∞ d) f (x) = –∞
7 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → –∞ y
representa la información que obtengas.
a) f (x) = –∞ b) f (x) = +∞
c) f (x) = +∞ d) f (x) = –∞
8 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a
0 cuando x → +∞.
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) =
Representa gráficamente su posición sobre el eje OX o bajo el eje OX.
a) f (x) = 0 b) f (x) = 0
c) f (x) = 0 d) f (x) = 0lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
2
10x2 – x3
–7
√x
100
3x2
1
x2 – 10
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞

9 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) (7 + x – x3) b)
c) (– + – 17) d) (7 – x)2
10 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → –∞ y
representa la información que obtengas.
Resolución de los ejercicios 9 y 10:
a) (7 + x – x3) = –∞; (7 + x – x3) = +∞
b) = +∞
c) ( + – 17)= –∞
d) (7 – x)2 = +∞
Página 298
11 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
12 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x → –∞.
Resolución de los ejercicios 11 y 12:
3 – 2x
5 – 2x
lím
x → +∞
2 – 3x
x + 3
lím
x → +∞
x2 + 5
1 – x
lím
x → +∞
2x – 1
x + 2
lím
x → +∞
1
(2 – x)3
lím
x → +∞
–1
x2 – 1
lím
x → +∞
–2x2
3 – x
lím
x → +∞
3
(x – 1)2
lím
x → +∞
lím
x → ±∞
x
2
–x4
3
lím
x → ±∞
x2 – 10x – 32
5
lím
x → ±∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
x
2
x4
3
lím
x → +∞
x2 – 10x – 32
5
lím
x → +∞
lím
x → +∞

a) = 0; = 0
b) = +∞; = –∞
c) = 0; = 0
d) = 0; = 0
e) = 2; = 2
f) = –∞; = +∞
g) = –3; = –3
h) = 1; = 1
3 – 2x
5 – 2x
lím
x → –∞
3 – 2x
5 – 2x
lím
x → +∞
2 – 3x
x + 3
lím
x → –∞
2 – 3x
x + 3
lím
x → +∞
x2 + 5
1 – x
lím
x → –∞
x2 + 5
1 – x
lím
x → +∞
2x – 1
x + 2
lím
x → –∞
2x – 1
x + 2
lím
x → +∞
1
(2 – x)3
lím
x → –∞
1
(2 – x)3
lím
x → +∞
–1
x2 – 1
lím
x → –∞
–1
x2 – 1
lím
x → +∞
–2x2
3 – x
lím
x → –∞
–2x2
3 – x
lím
x → +∞
3
(x – 1)2
lím
x → –∞
3
(x – 1)2
lím
x → +∞
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4

13 Dada la función y = , halla:
a) b)
c) d)
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
a) +∞
b) –∞
c) –2
d) –2
14
Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:
f1(x) = y f2(x) =
¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x → –2?
☛ Observa la función cuando x → –2 por la izquierda y por la derecha.
f1(x) = +∞
f1(x) = +∞
f2(x) = +∞
f2(x) = –∞
15 Sobre la gráfica de la función f (x), halla:
a) f (x) b) f (x)
c) f (x) d) f (x)lím
x → –∞
lím
x → 0
lím
x → –3+
lím
x → –3–
lím
x → –2+
lím
x → –2
–
lím
x → –2+
lím
x → –2
–
–1
x + 2
1
(x + 2)2
2x
1 – x
lím
x → –∞
2x
1 – x
lím
x → +∞
2x
1 – x
lím
x → 1+
2x
1 – x
lím
x → 1–
2x
1 – x
1
–2
f1(x)
–2
f2(x)
–2
–3 2





f1(x) = +∞lím
x → –2





No existe f2(x)lím
x → –2

e) f (x) f) f (x)
g) f (x) h) f (x)
a) +∞ b) –∞
c) 2 d) 0
e) 0 f) 3
g) +∞ h) 0
16 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión
analítica y di si son continuas o discontinuas en x = 1.
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Continua
b) Discontinua
c) Discontinua
17 Dada la función f (x) = , halla:
a) f (x) b) f (x) c) f (x)
☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites
laterales.
a) 5
b) 4
c) f (x) = f (x) = f (x) = 1lím
x → 0
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 0
lím
x → 3
lím
x → –2
x2 + 1 si x < 0
x + 1 si x ≥ 0



x2 si x ≠ 1
–1 si x = 1



x + 2 si x < 1
3 si x > 1



1 – x2 si x ≤ 1
x – 1 si x > 1



lím
x → –2
lím
x → +∞
lím
x → 2+
lím
x → 2–
2
2
–2
2
2
–2
2
2
–2

18 Comprueba si la función f (x) = es continua en x = 0.
☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que
f (x) = f (0).
f (x) = f (x) = f (x) = –1 = f (0)
Es continua en x = 0.
Página 299
19 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se
indican:
a) f (x) = en x = –1
b) f (x) = en x = 2
c) f (x) = en x = 1
a) No, pues no existe f (–1).
b) f (x) = f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.
c) f (x) = 3 ≠ f (x) = 4. No es continua en x = 1.
PARA RESOLVER
a) b)
c) d)
☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.
a) = –2 b) = 3
c) = 0 d) = –
7
4
h (h – 7)
4h
lím
h → 0
h2(3h – 2)
h
lím
h → 0
x (2x + 3)
x
lím
x → 0
4x
x (x – 2)
lím
x → 0
h2 – 7h
4h
lím
h → 0
3h3 – 2h2
h
lím
h → 0
2x2 + 3x
x
lím
x → 0
4x
x2 – 2x
lím
x → 0
lím
x → 1+
lím
x → 1–
lím
x → 2+
lím
x → 2–
3x si x ≤ 1
x + 3 si x > 1



2 – x2 si x < 2
(x/2) – 3 si x ≥ 2



(3 – x)/2 si x < –1
2x + 4 si x > –1



lím
x → 0
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 0
x2 – 1 si x < 0
x – 1 si x ≥ 0




21 Resuelve los siguientes límites:
a) b)
c) d)
e) f)
a) = 2
b) = = = –3
c) = – d) = 3
e) = – f) = 2
22 Resuelve los siguientes límites:
a) b) 1 – (x – 2)2
c) d)
a) 3 b) –∞ c) 0 d) +∞
23 Calcula el límite cuando x → +∞ y cuando x → –∞ de las siguientes fun-
ciones y representa las ramas que obtengas:
a) f (x) = b) f (x) = 10x – x3
c) f (x) = d) f (x) =
a) f (x) = 0; f (x) = 0
b) f (x) = –∞; f (x) = +∞
c) f (x) = +∞; f (x) = –∞
d) f (x) = –4; f (x) = –4lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
1 – 12x2
3x2
x2
x – 1
–1
x2
x3 + 1
5x
lím
x → –∞
1 – x
(2x + 1)2
lím
x → +∞
lím
x → –∞
3x2
(x – 1)2
lím
x → +∞
(x – 1) (x3 + x2 + x + 1)
(x – 1) (x + 1)
lím
x → 1
1
2
(x + 3)
(x + 3) (x + 1)
lím
x → –3
(x + 1) (x – 2)
(x – 2)
lím
x → 2
1
4
(x + 2)
(x + 2) (x – 2)
lím
x → –2
3
–1
(x + 1) (x2 – x + 1)
x (x + 1)
lím
x → –1
x3 + 1
x2 + x
lím
x → –1
(x + 1) (x – 1)
(x – 1)
lím
x → 1
x4 – 1
x2 – 1
lím
x → 1
x + 3
x2 + 4x + 3
lím
x → –3
x2 – x – 2
x – 2
lím
x → 2
x + 2
x2 – 4
lím
x → –2
x3 + 1
x2 + x
lím
x → –1
x2 – 1
x – 1
lím
x → 1
–4

24 Calcula el límite de la función f (x) = en x = 3, x = 0 y x = –1.
f (x) = f (x) = 0
f (x) = +∞ f (x) = –∞
25 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
denominador:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (t) =
a) f (x) = +∞; f (x) = –∞
b) f (x) =
f (x) = –∞; f (x) = +∞; f (x) = –∞; f (x) = +∞
c) f (x) =
f (x) = = ; f (x) = +∞; f (x) = –∞
d) f (t) = ; f (t ) = –2
26 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) =
e) f (x) = f) f (x) =
a) Asíntota vertical: x = 3
Asíntota horizontal: y = 2
–1
(x + 2)2
3x
x2 – 1
1
x2 + 9
1
2 – x
x – 1
x + 3
2x
x – 3
lím
t → 0
t2 (t – 2)
t2
lím
x → –2+
lím
x → –2–
1
2
2
4
lím
x → 2
x (x – 2)
(x – 2) (x + 2)
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 0+
lím
x → 0–
x – 1
x (x – 2)
lím
x → –2+
lím
x → –2–
t3 – 2t2
t2
x2 – 2x
x2 – 4
x – 1
x2 – 2x
3x
2x + 4
lím
x → –1+
lím
x → –1–
lím
x → 0
3
4
lím
x → 3
x2
x2 + x
3
2

b) Asíntota vertical: x = –3
c) Asíntota vertical: x = 2
d) Asíntota vertical: y = 0
No tiene más asíntotas.
e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1
f) Asíntota vertical: x = –2
27 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua.
Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) =
e) f (x) = f) f (x) = –2x2 + 3
2x – 2
2x3 – 3
x2 – 2
x2 + x – 2
x – 3
4x2 – 3
2x
3 + x – x2
x
3x2
x + 1
–3
1
2
1–1
–2

a) = 3x – 3 +
Asíntota oblicua: y = 3x – 3
b) = –x + 1 +
Asíntota oblicua: y = –x + 1
c) = 2x –
Asíntota oblicua: y = 2x
d) = x + 4 +
Asíntota oblicua: y = x + 4
e) = 2x +
Asíntota oblicua: y = 2x
f) = –x – 1 +
Asíntota oblicua: y = –x – 1
28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ca-
da una de ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y = 3x2
x + 2
x3
x2 – 4
x2
x2 + x + 1
x + 2
x2 – 1
5x – 2
2x – 7
(3 – x)2
2x + 1
1
2x – 2
–2x2 + 3
2x – 2
4x – 3
x2 – 2
2x3 – 3
x2 – 2
10
x – 3
x2 + x – 2
x – 3
3
2x
4x2 – 3
2x
3
x
3 + x – x2
x
3
x + 1
3x2
x + 1
1
–3
1
1
1
1
1
1
–4
4
–1
–1

a) y = x – +
Asíntotas: x = – ; y = x –
b) Asíntotas: y = ; x =
c) Asíntotas: y = 0; x = ±1
d) Asíntotas: y = 1
e) y = x +
Asíntotas: y = x; x = –2, x = 2
f) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6
4x
(x + 2) (x – 2)
7
2
5
2
13
4
1
2
1
2
49/4
2x + 1
13
4
1
2
2–2 4 6 8
–2
–4
2
X
Y
2–2–4–6 4 6
–2
–4
2
4
X
Y
2–2–4–6 4 6
–2
–4
2
4
X
Y
2–2–4–6 4 6
–2
2
4
X
Y
–4
2–2–4–6 4 6
–2
2
4
X
Y
–4
1–1–2–3 2 3
–1
–3
1
2
X
Y
–2

29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa
la curva:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) f (x) = +∞; f (x) = +∞
Asíntota vertical: x = 0
c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3
d) Asíntota horizontal: y =
e) Asíntota vertical: x = –3
Asíntota oblicua: y = 2x – 6
f) f (x) = +∞; f (x) = +∞
Asíntota vertical: x =
5
2
lím
x → –∞
lím
x → +∞
1
2
lím
x → –∞
lím
x → +∞
x3
2x – 5
2x2
x + 3
x2 – 1
2x2 + 1
1
9 – x2
(x + 3)2
(x + 1)2
x4 – 1
x2
–3 3
321
–1
1
1
–4 4
–6

30 Prueba que la función f (x) = solo tiene una asíntota vertical y otra
horizontal.
☛ Al hallar f (x) verás que no es ∞.
f (x) = 2; f (x) = –∞; f (x) = +∞; f (x) = 1
31 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que
obtengas:
a)
b)
a) = =
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= +∞; = –∞
No existe
32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
c)
d)
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x → 2
x4 – 1
x – 1
lím
x → 1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x → –1
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x → 0
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x → 1
x – 2
x – 1
lím
x → 1–
x – 2
x – 1
lím
x → 1–
x – 2
x – 1
lím
x → 1
(x – 2) (x – 1)
(x – 1)2lím
x → 1
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x → 1
5
3
(x – 3) (x + 2)
x (x – 3)
lím
x → 3
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x → 3
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x → 1
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x → 3
lím
x → ±∞
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 2
lím
x → 2
x2 – 4
x2 – 2x
1
1 2 3
1
2
3

a) = =
= +∞; = –∞
b) = =
= –∞; = +∞
c) = = 4
d) = =
= –∞; = +∞
33 Halla las asíntotas de las funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y = x + 1 +
a) y = x + b) Asíntota vertical: x = 0
Asíntotas verticales: x = –1, x = 1
Asíntota oblicua: y = x
c) Asíntota horizontal: y = 2 d) Asíntota horizontal: y = 0
Asíntotas verticales: x = ±1
e) x = 5, y = x f) Asíntota vertical: x = 0
x
(x – 1) (x + 1)
5
x
x2 – 5x + 4
x – 5
x2 + 1
(x2 – 1)2
2x2 + 5
x2 – 4x + 5
x3 + 1
x
x3
x2 – 1
2(x + 2)
x – 2
lím
x → 2+
2(x + 2)
x – 2
lím
x → 2–
2(x + 2)
x – 2
lím
x → 2
2(x – 2) (x + 2)
(x – 2)2lím
x → 2
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x → 2
(x – 1) (x3 + x2 + x + 1)
x – 1
lím
x → 1
x4 – 1
x – 1
lím
x → 1
x2
x + 1
lím
x → –1+
x2
x + 1
lím
x → –1–
x2
x + 1
lím
x → –1
x2(x + 1)
(x + 1)2
lím
x → –1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x → –1
x – 2
x (x + 1)
lím
x → 0+
x – 2
x (x + 1)
lím
x → 0–
x – 2
x (x + 1)
lím
x → 0
x (x – 2)
x2(x + 1)
lím
x → 0
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x → 0
–1
2
1
4

34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno
de sus puntos:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Discontinua en x = 3.
b) Función continua.
c) Discontinua en x = 2.
35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5.
b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x → +∞ y cuando x → –∞.
a) f (x) = –7; f (x) = 0; f (x) = –∞; f (x) = –∞
b) f (x) = 1; f (x) = 26; f (x) = +∞; f (x) = 1
c) f (x) = 7; f (x) = 5; f (x) = +∞; f (x) = +∞lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → 5
lím
x → –3
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → 5
lím
x → –3
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → 5
lím
x → –3
x2 – 2 si x < 2
x si x > 2



1 si x ≤ 0
x2 + 1 si x > 0



2x – 1 si x < 3
5 – x si x ≥ 3



–2
1 2 3 4 5
2
4
Y
X
6
2–2–4 4 6 8
2
4
6
8
Y
X
–2
1–1
2 3 4 5
2
4
Y
X

36 Calcula los límites cuando x → +∞ y cuando x → –∞ de las siguientes fun-
ciones:
a) f (x) = 2x – 1 b) f (x) = 0,75x
c) f (x) = 1 + ex d) f (x) = 1/ex
a) f (x) = +∞; f (x) = 0
b) f (x) = 0; f (x) = +∞
c) f (x) = +∞; f (x) = 1
d) f (x) = 0; f (x) = +∞
37 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
a) y = 2x + 3 b) y = 1,5x – 1
c) y = 2 + ex d) y = e–x
a) f (x) = +∞; f (x) = 0
Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 0
b) f (x) = +∞; f (x) = –1
Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = –1
c) f (x) = +∞; f (x) = 2
d) f (x) = 0; f (x) = +∞
38 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua
en todo Á.
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) = (x2 + x)/x si x ≠ 0
k si x = 0



6 – (x/2) si x < 2
x2 + kx si x ≥ 2



x2 – 4 si x ≤ 3
x + k si x > 3



lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞

a) f (x) = 5 = f (3)
f (x) = 3 + k
b) f (x) = 5
f (x) = 4 + 2k = f (2)
c) f (x) = = 1 → k = 1
39 Estudia la continuidad de estas funciones:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) f (x) = f (x) = f (1) = 1 → Continua en x = 1
x ≠ 1 → Continua
Es continua en Á.
b) f (x) = f (x) = f (–1) = 0 → Continua en x = 1
f (x) = f (x) = f (1) = 0 → Continua en x = 1
x ≠ 1 y x ≠ –1 → Continua
Es continua en Á.
c) f (x) = 1 ≠ f (x) = 2 → Discontinua en x = 0
Si x ≠ 0, es continua.
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 1+
lím
x → 1–
lím
x → –1+
lím
x → –1–
lím
x → 1+
lím
x → 1–
1 – x2 si x ≤ 0
2x + 1 si x > 0



–x – 1 si –1 ≥ x
1 – x2 si – 1 < x < 1
x – 1 si x ≥ 1





2 – x si x < 1
1/x si x ≥ 1



x (x + 1)
x
lím
x → 0
lím
x → 0
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 3+
lím
x → 3–





5 = 3 + k → k = 2





5 = 4 + 2k → k = 1/2

40 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) = 2 = f (1)
f (x) = 4 – a
b) f (x) = = 2
f (1) = a
41 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes reali-
zados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-
miento según la función M(t) = (t en días).
a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?
b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un
mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrena-
miento?
a) M (1) = 6 montajes el primer día.
M (10) = 21,43 → 21 montajes el décimo día.
b)
c) Se aproxima a 30 (pues = 30).
Página 301
42 El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así:
g (x) =
0,6x + 200 si 0 ≤ x ≤ 1 000
1 000x/(x + 250) si x > 1 000



30t
t + 4
lím
t → +∞
30t
t + 4
(x – 1) (x + 1)
(x – 1)
lím
x → 1
lím
x → 1
lím
x → 1+
lím
x → 1–
(x2 – 1)/(x – 1) si x ≠ 1
a si x = 1



x + 1 si x ≤ 1
4 – ax2 si x > 1








2 = 4 – a → a = 2





a = 2
5
10
5 10
15
20
25
15 20 25 30

donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
a) Representa g (x) y di si es función continua.
b) Calcula el límite de g (x) cuando x → +∞ y explica su significado.
a)
Es continua.
b) g (x) = 1000.
Como máximo gastan 1000 € al mes en alimentación.
43 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función
no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?
Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.
44 ¿Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, pon
un ejemplo.
Sí. Por ejemplo, f (x) = tiene x = 0 y x = 1 como asíntotas verticales.
45 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Existe necesaria-
mente una asíntota vertical en x = a? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, f (x) = en x = 0; puesto que:
f (x) = = 1
46 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales?
Sí.
47 Representa una función que cumpla estas condiciones:
f (x) = +∞, f (x) = 2, f (x) = 0
¿Es discontinua en algún punto?
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → 3
x (3x + 1)
x
lím
x → 0
lím
x → 0
3x2 + x
x
1
x – x2
lím
x → +∞
200
400
1000
600
800
1000
2000 3000 4000

Sí, es discontinua al menos en x = 3.
48 Representa una función que verifique estas condiciones:
f (x) = 2
f (x) = 0
f (x) = +∞
f (x) = –∞
49 Si f (x) = 5, ¿podemos afirmar que f es continua en x = 2?
No. Para que fuera continua debería ser, además, f (2) = 5.
50 ¿Existe algún valor de k para el cual la función f (x) = sea
continua en x = 0? Justifica tu respuesta.
No, puesto que no existe f (x).
PARA PROFUNDIZAR
a) b)
c) d)
3x – 1
√x2 + 4
lím
x → +∞
√x2 + 1
x
lím
x → –∞
√x + 1
x
lím
x → +∞√x + 3
x – 2
lím
x → +∞
lím
x → 0
1/x si x ≠ 0
k si x = 0



lím
x → 2
lím
x → 1+
lím
x → 1–
lím
x → +∞
lím
x → –∞
2–2–4 4
2
4
Y
X
2–2–4 4
2
–2
–4
4
Y
X

a) = = = = 1
b) = = = 0
c) = = = –1
d) = = = 3
52 Puesto que (x2 – 3x) = +∞ halla un valor de x para el cual x2 – 3x
sea mayor que 5 000.
Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700.
53 Halla un valor de x para el cual f (x) = sea menor que 0,001.
Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 0,00033.
54 Halla los siguientes límites:
a) ( – x) b) (2x – x3)
c) d) 0,75x – x
a) –∞ b) +∞
c) 0 d) +∞
55 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite
cuando x → +∞:
a) y = log2(x – 3)
b) y = ln(x + 2)
a) Asíntota vertical: x = 3
f (x) = +∞
f (x) = +∞lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
x
exlím
x → +∞
lím
x → +∞
√xlím
x → +∞
1
3x – 5
lím
x → +∞
3x
x
lím
x → +∞
3x
√x2
lím
x → +∞
3x – 1
√x2 + 4
lím
x → +∞
x
x
lím
x → –∞
√x2
x
lím
x → –∞
√x2 + 1
x
lím
x → –∞
1
√x
lím
x → +∞
√x
x
lím
x → +∞
√x + 1
x
lím
x → +∞
√1√1lím
x → +∞√x
x
lím
x → +∞√x + 3
x – 2
lím
x → +∞

56 Raquel quiere subir en bicicleta al mirador de la montaña y luego bajar, de
modo que la velocidad media con la que realice el recorrido de ida y vuelta
sea de 40 km/h. Ya ha subido y lo ha hecho a 20 km/h. Se pregunta a qué ve-
locidad deberá bajar para conseguir su objetivo.
a) Halla la velocidad media final para velocidades de bajada de 60, 80, 100 y
200 km/h.
b) Halla la expresión de la velocidad media final, V, para una velocidad de
bajada de x km/h.
c) Comprueba que la velocidad media deseada, 40 km/h, es el límite V.
¿Qué significa esto?
d) Vuelve sobre el enunciado razonando del siguiente modo: si la velocidad
media en la subida es la mitad de la deseada es porque el tiempo emplea-
do ha sido el doble, es decir, el tiempo que tardó en subir es tanto como
tenía para subir y bajar. Se ha quedado sin tiempo. ¡Ha de bajar a veloci-
dad infinita!
a)
b) Llamamos d = distancia que tiene que recorrer en la subida. Por tanto, entre la
subida y la bajada recorre 2d.
Recordamos que: velocidad =
El tiempo que tarda en total será el que tarda en subir (a 20 km/h) más el que
tarda en bajar (a x km/h):
+ = d ( + )= d ( )
La velocidad media final será entonces:
V = = = = → V (x) =
c) Por tanto: V (x) = 40
Significa que, por muy rápido que baje, su velocidad media total no superará los
40 km/h.
lím
x → +∞
40x
x + 20
40x
x + 20
2 · 20x
x + 20
2d
d [(x + 20)/20x]
2d
t
x + 20
20x
1
x
1
20
d
x
d
20
espacio
tiempo
lím
x → +∞
VELOCIDAD DE BAJADA 60 80 100 200
VELOCIDAD MEDIA FINAL 30 32 33,33 36,36

Tomar un autobús en marcha
En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús
que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
x y y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el auto-
bús en marcha.
a) Al viajero y lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci-
dad a la que corre.
b)¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el
pasajero y? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 6 s
después, 50 m más allá.
Corrió, por tanto, a = 8,33 m/s. Es decir: 8,33 · 3,6 = 30 km/h
b) En el instante 15 s está a 43 m de la parada. En el instante 17 s está a 59 m de la
parada.
Velocidad media = = 8 m/s = 28,8 km
Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el mo-
mento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.
Página 303
¿Es preferible esperar o correr tras el autobús?
Los viajeros z y {, en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de
la parada. El z decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.
El { tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?
16 m
2 s
50
6
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 1
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE
DERIVADAS. APLICACIONES
12
5s
50m
10s 15s 20s
1
2

a) Describe el movimiento del pasajero {.
b)Explica por qué el comportamiento del pasajero { es mucho más sensato que
el del z, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él
suavemente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximada-
mente); sin embargo, el 3 no.
Carrera de relevos
La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo,
durante una carrera de relevos:
a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 × 100 m cada relevista echa a correr antes
de que llegue su compañero?
b)¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?
c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son
sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?
a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.
b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.
5s
50m
10s 15s 20s
4
3
100m
2-º relevista
1-er
relevista

1. Dibuja una función y señala dos puntos en ella (a , f (a)) y (b, f (b)) tales que
a < b y f (b) < f (a). Observa en ella que la T.V.M. es negativa.
Vemos que la T.V.M. es negativa,
puesto que T.V.M. = ,
siendo en este caso f (b) – f (a) < 0
y b – a > 0.
2. Dibuja una función en la que puedas señalar dos puntos (c, f (c)) y (d, f (d)) ta-
les que c < d y f (c) < f (d). ¿Cómo es T.V.M. [c, d]?
T.V.M. [c, d] = →
→ positiva, ya que f (d) – f (c) > 0
y d – c > 0.
Página 305
3. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los intervalos [1, 2], [1, 3],
[1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8].
T.V.M. [1, 2] = = = –5
T.V.M. [1, 3] = = = –4
T.V.M. [1, 4] = = = –3
T.V.M. [1, 5] = = = –2
T.V.M. [1, 6] = = = –1
T.V.M. [1, 7] = = = 0
T.V.M. [1, 8] = = = 1
12 – 5
7
f (8) – f (1)
8 – 1
5 – 5
6
f (7) – f (1)
7 – 1
0 – 5
5
f (6) – f (1)
6 – 1
–3 – 5
4
f (5) – f (1)
5 – 1
–4 – 5
3
f (4) – f (1)
4 – 1
–3 – 5
3
f (3) – f (1)
3 – 1
0 – 5
1
f (2) – f (1)
2 – 1
f (d) – f (c)
d – c
f (b) – f (a)
b – a
f (a)
f (b)
ba
f (d)
f (c)
dc

4. Halla la T.V.M. de y = x2 – 8x + 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Com-
prueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del
ejercicio anterior.
T.V.M. [1, 1 + h] = = =
= = = h – 6
Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio
anterior.
Página 308
1. Halla la derivada de y = 5x – x2 en los puntos de abscisas 4 y 5.
f'(4) = = =
= = = =
= (–h – 3) = –3
f'(5) = = =
= = (–5 – h) = –5
2. Halla la derivada de y = en los puntos de abscisas 1, –1 y 5.
f'(1) = = =
= = = = –3
f'(–1) = = =
= = = = –
f'(5) = = =
= = = = –
1
3
–1
h + 3
lím
h → 0
3 – h – 3
h(h + 3)
lím
h → 0
[3/(h + 3)] – 1
h
lím
h → 0
[3/(5 + h – 2)] – 1
h
lím
h → 0
f (5 + h) – f (5)
h
lím
h → 0
1
3
1
h – 3
lím
h → 0
3 + h – 3
h(h – 3)
lím
h → 0
[3/(h – 3)] + 1
h
lím
h → 0
[3/(–1 + h – 2)] – (–1)
h
lím
h → 0
f (–1 + h) – f (–1)
h
lím
h → 0
3
h – 1
lím
h → 0
3 + 3h – 3
(h – 1)h
lím
h → 0
[3/(h – 1)] + 3
h
lím
h → 0
[3/(1 + h – 2)] – (–3)
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
3
x – 2
lím
h → 0
(5 + h) (5 – 5 – h)
h
lím
h → 0
5(5 + h) – (5 + h)2 – 0
h
lím
h → 0
f (5 + h) – f (5)
h
lím
h → 0
lím
h → 0
h(–h – 3)
h
lím
h → 0
–h2 – 3h
h
lím
h → 0
20 + 5h – 16 – h2 – 8h – 4
h
lím
h → 0
5(4 + h) – (4 + h)2 – 4
h
lím
h → 0
f (4 + h) – f (4)
h
lím
h → 0
h (h – 6)
h
h2 – 6h
h
(1 + h)2 – 8(1 + h) + 12 – 5
h
f (1 + h) – f (1)
h

3. Halla la derivada de y = en los puntos de abscisas –2, –1, 1 y 2.
f'(–2) = = =
= = =
f'(–1) = = =
= = = –1
f'(1) = = =
= = = –1
f'(2) = = =
= = = =
4. Halla la derivada de y = x2 – 2x en los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4.
f'(–2) = = =
= = = = –6
f'(–1) = = =
= = = = –4
f'(0) = = = = –2
f'(1) = = =
= = = 0h2
h
lím
h → 0
1 + h2 + 2h – 2 – 2h + 1
h
lím
h → 0
(1 + h)2 – 2(1 + h) – (–1)
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
h(h – 2)
h
lím
h → 0
h2 – 2h – 0
h
lím
h → 0
f (0 + h) – f (0)
h
lím
h → 0
h(h – 4)
h
lím
h → 0
h2 – 4h
h
lím
h → 0
1 + h2 – 2h + 2 – 2h – 3
h
lím
h → 0
(–1 + h)2 – 2(–1 + h) – 3
h
lím
h → 0
f (–1 + h) – f (–1)
h
lím
h → 0
h(h – 6)
h
lím
h → 0
h2 – 6h
h
lím
h → 0
4 + h2 – 4h + 4 – 2h – 8
h
lím
h → 0
(–2 + h)2 – 2(–2 + h) – 8
h
lím
h → 0
f (–2 + h) – f (–2)
h
lím
h → 0
–1
4
–1
4 + 2h
lím
h → 0
h
h·(4 + 2h)
lím
h → 0
(2 – 2 – h)/2·(2 + h)
h
lím
h → 0
[1/(2 + h)] – (1/2)
h
lím
h → 0
f (2 + h) – f (2)
h
lím
h → 0
–1
1 + h
lím
h → 0
(1 – 1 – h)
h(1 + h)
lím
h → 0
[1/(1 + h)] – 1
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
1
h – 1
lím
h → 0
h/(h – 1)
h
lím
h → 0
[1/(–1 + h)] – (–1)
h
lím
h → 0
f (–1 + h) – f (–1)
h
lím
h → 0
–1
4
1
2h – 4
lím
h → 0
h/(–4 – 2h)
h
lím
h → 0
[1/(–2 + h)] – (–1/2)
h
lím
h → 0
f (–2 + h) – f (–2)
h
lím
h → 0
1
x

f'(2) = = =
= = = = 2
f'(3) = = =
= = = = 4
f'(4) = = =
= = = = 6
Página 309
1. Halla la derivada de f (x) = 5x – x2 y comprueba que, a partir de ella, se pue-
den obtener los valores concretos hallados en el ejercicio resuelto 1 y en el
ejercicio 1 de la página anterior.
f'(x) = = =
= = =
= = (–h – 2x + 5) = –2x + 5
Sustituyendo x por los valores indicados, obtenemos:
f'(1) = 3 f'(0) = 5 f'(3) = –1 f'(4) = –3 f'(5) = –5
2. Halla la derivada de f (x ) = x3.
f'(x) = = =
= = =
= = 3x2
3. Halla la derivada de f (x ) = y comprueba que, a partir de ella, se pueden
obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto 2 y en el ejer-
cicio 2 de la página anterior.
3
x – 2
h(h2 + 3xh + 3x2)
h
lím
h → 0
h3 + 3x h2 + 3x2 h
h
lím
h → 0
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 – x3
h
lím
h → 0
(x + h)3 – x3
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
lím
h → 0
h(–h – 2x + 5)
h
lím
h → 0
–h2 – 2xh + 5h
h
lím
h → 0
5x + 5h – x2 – h2 – 2xh – 5x + x2
h
lím
h → 0
5(x + h) – (x + h)2 – (5x – x2)
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
h(h + 6)
h
lím
h → 0
h2 + 6h
h
lím
h → 0
16 + h2 + 8h – 8 – 2h – 8
h
lím
h → 0
(4 + h)2 – 2(4 + h) – 8
h
lím
h → 0
f (4 + h) – f (4)
h
lím
h → 0
h(h + 4)
h
lím
h → 0
h2 + 4h
h
lím
h → 0
9 + h2 + 6h – 6 – 2h – 3
h
lím
h → 0
(3 + h)2 – 2(3 + h) – 3
h
lím
h → 0
f (3 + h) – f (3)
h
lím
h → 0
h(h + 2)
h
lím
h → 0
h2 + 2h
h
lím
h → 0
4 + h2 + 4h – 4 – 2h
h
lím
h → 0
(2 + h)2 – 2(2 + h) – 0
h
lím
h → 0
f (2 + h) – f (2)
h
lím
h → 0

f'(x) = = =
= = =
= = =
Sustituyendo x por los valores indicados, obtenemos:
f'(4) = – f'(1) = –3 f'(–1) = – f'(5) = –
4. Halla la función derivada de y = x3 + x2.
f'(x) = = =
= =
= = (3x2 + 3xh + h2 + 2x + h) = 3x2 + 2x
Página 311
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
1. f (x) = 3x2 – 6x + 5
f ' (x) = 6x – 6
2. f (x) = +
f ' (x) = +
3. f (x) = +
f ' (x) = +
4. f (x) =
f (x) = x–3/2 → f '(x) = – x–5/2 = =
5. f (x) = sen x cos x
f'(x) = cos2 x – sen2 x
–3
2x2 √x
–3
2√x5
3
2
1
x √x
5
3
3
√5x
1
√2x
3
√5x√2x
1
3
3
√x2
1
2√x
3
√x√x
lím
h → 0
h(3x2 + 3xh + h2 + 2x + h)
h
lím
h → 0
x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + x2 + 2xh + h2 – x3 – x2
h
lím
h → 0
(x + h)3 + (x + h)2 – (x3 + x2)
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
1
3
1
3
3
4
–3
(x – 2)2
–3
(x – 2) (x + h – 2)
lím
h → 0
–3h
h(x – 2) (x + h – 2)
lím
h → 0
3x – 6 – 3x – 3h + 6
h(x – 2) (x + h – 2)
lím
h → 0
3(x – 2) – 3(x + h – 2)
h(x – 2) (x + h – 2)
lím
h → 0
3/(x + h – 2) – 3/(x – 2)
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0

6. f (x) = tg x
f'(x) = 1 + tg2 x =
7. f (x) = x ex
f'(x) = ex + x ex = ex (1 + x)
8. f (x) = x · 2x
f'(x) = 2x + x · 2x · ln 2 = 2x (1 + x ln 2)
9. f (x) = (x2 + 1) · log2 x
f'(x) = 2x log2 x + (x2 + 1) · · = 2x log2 x +
10. f (x) =
f'(x) = = =
11. f (x) =
f'(x) = = = 2x + 3 –
12. f (x) =
f'(x) = =
Página 312
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
13. f (x) = sen (x2 – 5x + 7)
f'(x) = (2x – 5) cos (x2 – 5x + 7)
14. f (x) = = (5x + 3)2/3
f'(x) = (5x + 3)–1/3 · 5 =
10
3
3
√5x + 3
2
3
3
√(5x + 3)2
1 – ln 10 log x
x2 ln 10
[1/(ln 10)] – log x
x2
log x
x
3
x2
2x3 + 3x2 – 3
x2
(3x2 + 6x – 5) x – (x3 + 3x2 – 5x + 3)
x2
x3 + 3x2 – 5x + 3
x
–4x
(x2 – 1)2
2x3 – 2x – 2x3 – 2x
(x2 – 1)2
2x (x2 – 1) – (x2 + 1) 2x
(x2 – 1)2
x2 + 1
x2 – 1
(x2 + 1)
x ln 2
1
ln 2
1
x
1
cos2 x

15. f (x) = sen (3x + 1) · cos (3x + 1)
f'(x) = 3 [cos2 (3x + 1) – sen2 (3x + 1)]
16. f (x) =
f (x) = → f'(x) =
17. f (x) = cos (3x – π)
f'(x) = –3 sen (3x – π)
18. f (x) =
f'(x) =
19. f (x) = x e2x + 1
f'(x) = e2x + 1 + x e2x + 1 · 2 = e2x + 1 (1 + 2x)
20. f (x) =
f'(x) = =
=
Página 313
1. Calcula la función derivada de f (x) = x3 – 4x2 + 1 y halla:
a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas –1, 1 y 3.
b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.
c) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos.
d) ¿Es f (x) creciente o decreciente en x = 2?
f'(x) = 3x2 – 8x
a) 11, –5 y 3
b) y = 11(x + 1) – 4; y = –5(x – 1) – 2; y = 3(x – 3) – 8
c) f'(x) = 0 → x = 0, x = 8/3
d) f'(2) = –4 < 0 → decreciente
2x (1 – x2) cos (x2 + 1) + x sen (x2 + 1)
√(1 – x2)3
2x √
—
1 – x2 cos (x2 + 1) + [x sen (x2 + 1)]/√
—
1 – x2
1 – x2
sen (x2 + 1)
√1 – x2
1
√1 + 2x
√1 + 2x
2(1 – ln 10 log x)
x2 ln 10
2 log x
x
log x2
x

1. Representa estas funciones:
a) y = 2x3 – 3x2 – 12x + 8
b) y = –3x4 + 4x3 + 36x2 – 90
c) y = x4 + 4x3
a) f'(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0 → x1 = –1, x2 = 2
Máximo en (–1, 15).
Mínimo en (2, –12).
b) f'(x) = –12x3 + 12x2 + 72x = –12x (x2 – x – 6) = 0
x = 0
x = = =
Máximo en (–2, –26) y en (3, 99).
Mínimo en (0, –90).
c) f'(x) = 4x3 + 12x2 = 4x2(x + 3) = 0
Mínimo en (–3, –27).
Punto de inflexión en (0, 0).
f (x) = 0 → x3 (x + 4) = 0
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–4, 0)
Página 317
1. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la pági-
na anterior:
a) y = b) y = c) y = x2
x2 + 1
x2 + 3x
x + 1
x2 + 3x + 11
x + 1
x = 0
x = –4
x = 0
x = –3
x = 3
x = –2
1 ± 5
2
1 ± √1 + 24
2
10
20
–20
2 4–4 –2
–10
100
200
–200
2 4–4 –2
–100
20
40
–40
2 4–4 –2
–20

d) y = e) y = f) y =
a) f'(x) = = =
= = 0 → x1 = 2, x2 = –4
Máximo en (–4, –5).
Mínimo en (2, 7).
Asíntota vertical: x = –1
b) f'(x) = = =
= ≠ 0
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0)
c) f'(x) = = = → x = 0
Mínimo en (0, 0).
d) f'(x) = → x = 0
Máximo en (0, 1).
–2x
(x2 + 1)2
2x
(x2 + 1)2
2x3 + 2x – 2x3
(x2 + 1)2
2x (x2 + 1) – x2 · 2x
(x2 + 1)2
x2 + 2x + 3
(x + 1)2
2x2 + 2x + 3x + 3 – x2 – 3x
(x + 1)2
(2x + 3) (x + 1) – (x2 + 3x)
(x + 1)2
x2 + 2x – 8
(x + 1)2
2x2 + 2x + 3x + 3 – x2 – 3x – 11
(x + 1)2
(2x + 3) (x + 1) – (x2 + 3x + 11)
(x + 1)2
x2 – 1
x2
x2 + 2
x2 – 2x
1
x2 + 1
10
20
–20
4 8–8 –4
–10
10
20
–20
4 8–8 –4
–10
1
2
–2
2 4–4 –2
–1
1
2
–2
2 4–4 –2
–1

e) f'(x) = = =
= = 0 → x = =
Máximo en (0,73; –2,73).
Mínimo en (–2,73; 0,73).
Asíntotas verticales: x = 0, x = 2
f) • Dominio = Á – {0}
• Asíntota vertical:
• Asíntota horizontal:
y = = 1 – ; y = 1 es asíntota horizontal
Cuando x → –∞, y < 1; y cuando x → +∞, y < 1.
Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota.
• Puntos singulares:
f ' (x) = = = =
f ' (x) ≠ 0 → f (x) no tiene puntos singulares
Observamos que f ' (x) < 0 si x < 0; y que f ' (x) > 0 si x > 0. Luego la fun-
ción es decreciente en (–∞, 0) y es creciente en (0, +∞).
• Corta al eje x en (–1, 0) y (1, 0).
• Gráfica:
2
x3
2x
x4
2x3 – 2x3 + 2x
x4
2x · x2 – (x2 – 1) ·2x
x4
1
x2
x2 – 1
x2







x2 – 1
lím — = –∞
x → 0– x2
x2 – 1
lím — = –∞
x → 0+ x2
x1 = 0,73
x2 = –2,73
–2 ± √12
2
–2x2 – 4x + 4
(x2 – 2x)2
2x3 – 4x2 – 2x3 + 2x2 – 4x + 4
(x2 – 2x)2
2x (x2 – 2x) – (x2 + 2) (2x – 2)
(x2 – 2x)2
2
4
–4
2 4–4 –2
–2
2
2 4
y = 1
–4 –2
–4
–2
–6

PARA PRACTICAR
1 Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:
a) [–2, 0]
b) [0, 2]
c) [2, 5]
a) T.V.M. [–2, 0] = = = 1
b) T.V.M. [0, 2] = = = –
c) T.V.M. [2, 5] = = =
2 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e
indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:
a) f (x) = 1/x b) f (x) = (2 – x)3
c) f (x) = x2 – x + 1 d) f (x) = 2x
☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece.
T.V.M. [1, 3] = =
a) T.V.M. [1, 3] = = – → Decrece
b) T.V.M. [1, 3] = = –1 → Decrece
c) T.V.M. [1, 3] = = 3 → Crece
d) T.V.M. [1, 3] = = 3 → Crece
3 Dada la función f (x) = x2 – 1, halla la tasa de variación media en el interva-
lo [2, 2 + h].
T.V.M. [2, 2 + h] = = = h + 44 + h2 + 4h – 1 – 3
h
f (2 + h) – f (2)
h
8 – 2
2
7 – 1
2
–1 – 1
2
1
3
1/3 – 1
2
f (3) – f (1)
2
f (3) – f (1)
3 – 1
1
3
1 – 0
3
f (5) – f (2)
5 – 2
3
2
0 – 3
2
f (2) – f (0)
2 – 0
3 – 1
2
f (0) – f (–2)
0 + 2
2 5–2 0

4 Comprueba que la T.V.M. de la función f (x) = –x2 + 5x – 3 en el intervalo
[1, 1 + h] es igual a –h + 3.
Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [1, 2], [1; 1,5], utilizando la
expresión anterior.
T.V.M. [1, 1 + h] = = =
= 3 – h = –h + 3
T.V.M. [1, 2] = 2
T.V.M. [1; 1,5] = 2,5
5 Compara la T.V.M. de las funciones f (x) = x3 y g (x) = 3x en los intervalos
[2, 3] y [3, 4] y di cuál de las dos crece más en cada intervalo.
Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19
T.V.M. [3, 4] = 37
Para g(x): T.V.M. [2, 3] = 18
T.V.M. [3, 4] = 54
En [2, 3] crece más f (x).
En [3, 4] crece más g(x).
6 Aplicando la definición de derivada, calcula f' (–2) y f' (3), siendo:
f (x) =
f'(–2) = = = =
= =
f'(3) = = = =
= =
7 Halla la derivada de las siguientes funciones en x = 1, utilizando la defini-
ción de derivada:
a) f (x) = 3x2 – 1 b) f (x) = (2x + 1)2
c) f (x) = 3/x d) f (x) = 1/(x + 2)
2
5
2
5
lím
h → 0
6 + 2h – 3 – 3
5h
lím
h → 0
2(3 + h) – 3 3
—————— – —
5 5
h
f (3 + h) – f (3)
h
lím
h → 0
2
5
2
5
lím
h → 0
–4 + 2h – 3 – 7
5h
lím
h → 0
2(–2 + h) – 3 7
——————– – —
5 5
h
f (–2 + h) – f (–2)
h
lím
h → 0
2x – 3
5
–(1 + h2 + 2h) + 5 + 5h – 3 – 1
h
f (1 + h) – f (1)
h

a) f'(1) = = =
= = =
= = 6
b) f'(1) = = =
= = = = 12
c) f'(1) = = = = –3
d) f'(1) = = =
= = –
8 Halla el valor del crecimiento de f (x) = (x – 3)2 en los puntos x = 1 y x = 3.
f'(x) = 2(x – 3)
f'(1) = –4; f'(3) = 0
9 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = x2 – 5x + 1 en el punto de
abscisa x = –2.
f'(x) = 2x – 5; m = f'(–2) = –9
10 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = 4x – x2 en el punto de abs-
cisa x = 2.
f'(x) = 4 – 2x; f'(2) = 0
11 Comprueba que la función y = x2 – 5x + 1 tiene un punto de tangente hori-
zontal en x = 2,5.
f'(x) = 2x – 5 = 0 → x = 2,5
12 Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguien-
tes funciones es la que se indica en cada caso:
a) f (x) = 5x → f' (x) = 5 b) f (x) = 7x2 → f' (x) = 14x
c) f (x) = x2 + x → f' (x) = 2x + 1 d) f (x) = → f'(x) = –3
x2
3
x
1
9
3 – h – 3
3(h + 3) h
lím
h → 0
1 1
————— – —
1 + h + 2 3
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
3 – 3 – 3h
h(1 + h)
lím
h → 0
3/(1 + h) – 3
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
h(4h + 12)
h
lím
h → 0
4h2 + 9 + 12h – 9
h
lím
h → 0
(2h + 3)2 – 9
h
lím
h → 0
(2(1 + h) + 1)2 – 9
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0
h(3h + 6)
h
lím
h → 0
3 + 3h2 + 6h – 3
h
lím
h → 0
3(1 + h2 + 2h) – 3
h
lím
h → 0
3(1 + h)2 – 1 – 2
h
lím
h → 0
f (1 + h) – f (1)
h
lím
h → 0

a) f'(x) = = = =
= = 5
b) f'(x) = = =
= = =
= = 14x
c) f'(x) = = =
= = =
= = 2x + 1
d) f'(x) = = =
= = = =
= = =
13 Sabiendo que la derivada de f (x) = es f'(x) = , responde:
a) ¿Cuál es la ecuación de la tangente en x = 1?
b) ¿Tiene f puntos de tangente horizontal?
c) ¿Es creciente o decreciente en x = 4?
a) m = f'(1) = ; g (1) = 1
La recta es: y = (x – 1) + 1 = x – + 1 = x +
b) No, puesto que f'(x) ≠ 0
c) f'(4) = = > 0 → Es creciente en x = 4.
1
4
1
2√4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 √x
√x
–3
x2
–3
x (x + h)
lím
h → 0
–3h
hx (x + h)
lím
h → 0
–3h
—————
x (x + h)
h
lím
h → 0
3x – 3x – 3h
——————
x (x + h)
h
lím
h → 0
3x – 3(x + h)
———————
x (x + h)
h
lím
h → 0
3 3
——— – —
x + h x
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
h (h + 2x + 1)
h
lím
h → 0
h2 + 2xh + h
h
lím
h → 0
x2 + h2 + 2xh + x + h – x2 – x
h
lím
h → 0
(x + h)2 + (x + h) – (x2 + x)
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
h(7h + 14x)
h
lím
h → 0
7h2 + 14xh
h
lím
h → 0
7(x2 + h2 + 2xh) – 7x2
h
lím
h → 0
7(x + h)2 – 7x2
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0
5h
h
lím
h → 0
5x + 5h – 5x
h
lím
h → 0
5(x + h) – 5x
h
lím
h → 0
f (x + h) – f (x)
h
lím
h → 0

14 Halla los puntos singulares de la función y = 2x3 – 3x2 + 1, de la que cono-
cemos su derivada y' = 6x2 – 6x.
y' = 0 → x = 0, x = 1. Puntos (0, 1) y (1, 0).
Reglas de derivación
Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que
se indican:
15 y = 2x3 + 3x2 – 6; x = 1
y' = 6x2 + 6x; y'(1) = 12
16 y = cos (2x + π); x = 0
y' = –2 sen (2x + π); y'(0) = 0
17 y = + ; x = –
y' = ; y' (– )=
18 y = ; x = 0
y' = ; y' (0) = –7
19 y = sen + cos ; x = π
y' = (cos – sen ); y' (π) = –
20 y = ; x = –1
y = 2(x + 3)–3 → y' = – 6(x + 3)–4 =
y' (–1) = =
21 y = + x2 – ; x = 2
y' = x2 + 3x – ; y' (2) =
23
2
1
2
3
2
x
2
3
2
x3
2
–3
8
–6
16
–6
(x + 3)4
2
(x + 3)3
1
2
x
2
x
2
1
2
x
2
x
2
–7
(7x + 1)2
1
7x + 1
1
3
17
3
1
3
17
3
√2
x
3

22 y = ; x = 8
y' = ; y' (8) = –
Página 323
23 y = x sen (π – x); x =
y' = sen (π – x) + x cos (π – x) · (–1) = sen (π – x) – x cox (π – x)
y' ( )= 1
24 y = (5x – 2)3; x =
y' = 15(5x – 2)2; y' ( )= 15
25 y = ; x = 3
y' = ; y' (3) = –
Halla la función derivada de estas funciones:
26 a) y = b) y = (x2 – 3)3
a) y' = b) y' = 6x (x2 – 3)2
27 a) y = b) y =
a) y' = 1 (si x ≠ 0) b) y' =
28 a) y = b) y = sen
a) y' = b) y' =
cos √x
2 √x
2
3
3
√(x + 6)
√x
3
√(x + 6)2
x
√x2 + 1
√x2 + 1
x3 – x2
x2
ex + e–x
2
ex + e–x
2
5
2
–10
(x – 5)2
x + 5
x – 5
1
5
1
5
π
2
π
2
1
16
–1
2√(x – 4)3
1
√x – 4

29 a) y = b) y = 7x + 1 · e–x
a) y = –3(1 – x2)–1/2; y' = (1 – x2)–3/2 · (–2x) =
b) y' = 7x + 1 · ln 7 · e–x + 7x + 1 · e–x · (–1) = 7x + 1 · e–x (ln 7 – 1)
30 a) y = + b) y = ln 3x + e√
—
x
a) y' = + b) y' = + e√
—
x = +
31 a) y = ( )
2
b) y = e2x · tg x
a) y' = 2 ( )· = · =
b) y' = 2e2x tg x + e2x (1 + tg2 x) = e2x (2 tg x + 1 + tg2 x) = e2x (1 + tg x)2
32 a) y = b) y = cos2 x + esen x
a) y' = = = =
=
b) y' = 2 cos x (–sen x) + esen x · cos x = cos x (–2 sen x + esen x)
33 a) y = b) y = ( )
3
· e1 – x
a) y = ( )
1/2
→ y' = ( )
–1/2
· =
= ( )
1/2
· = · · =
=
b) y' = 3 ( )
2
· e1 – x + ( )
3
· e1 – x · (–1) = x2 e1 – x – x3 e1 – x =
= e1 – x (3 – x) =
x2(3 – x) e1 – x
8
x2
8
1
8
3
8
x
2
1
2
x
2
x4 – 12x2
2 √x3(x2 – 4)
x4 – 12x2
√(x2 – 4)3
1
√x3
1
2
3x4 – 12x2 – 2x4
(x2 – 4)2
x2 – 4
x3
1
2
3x2 (x2 – 4) – x3 · 2x
(x2 – 4)2
x3
x2 – 4
1
2
x3
x2 – 4
x
2√ x3
x2 – 4
x3 – 3x2
(x – 1)3
3x3 – 3x2 – 2x3
(x – 1)3
3x2 (x – 1) – 2x3
(x – 1)3
3x2 (x – 1)2 – x3 · 2(x – 1)
(x – 1)4
x3
(x – 1)2
2x (1 – x2)
(1 + x2)3
1 – x2
(1 + x2)2
2x
(1 + x2)
1 + x2 – x · 2x
(1 + x2)2
x
1 + x2
x
1 + x2
e√
—
x
2 √x
1
x
1
2 √x
3
3x
1
3
–1
3x2
x
3
1
3x
–3x
√(1 – x2)3
3
2
–3
√1 – x2

34 a) y = sen b) y = log
a) y' = 0
b) y = log x2 – log (3 – x) = 2 log x – log (3 – x)
y' = +
35 a) y = tg3 x2 b) y =
a) y' = 3 tg2 x2 (1 + tg2 x2) · 2x = 6x tg2 x2 (1 + tg2 x2)
b) y' =
36 a) y = arc sen b) y = arc tg (x2 + 1)
a) y' = · = =
b) y' = · 2x =
37 a) y = arc cos b) y = arc tg
a) y' = · = =
b) y' = · = =
38 a) y = b) y = arc cos e–x
a) y' = · =
b) y' = · e–x · (–1) =
e–x
√1 – e–2x
–1
√1 – e–2x
1
2 (1 + x2) √arc tg x
1
(1 + x2)
1
2√arc tg x
√arc tg x
1
√x (4 + x)
1
4√x (1 + (x/4))
1
4√x
1
1 + (√x/2)2
1
x √x2 – 1
1/x2
√1 – 1/x 2
–1
x2
–1
√1 – (1/x)2
√x
2
1
x
2x
1 + (x2 + 1)2
1
1 + (x2 + 1)2
2x
√9 – x4
2x/3
√1 – x4/9
2x
3
1
√1 – (x2/3)2
x2
3
1
2x √ln x
√ln x
1
(3 – x) ln 10
2
x ln 10
x2
3 – x
3π
2

39 a) y = b) y = arc tg ( )
a) y' = ·
(1 +
)= ·
( )= =
= =
b) y' = · =
= · =
= · = =
= = = =
PARA RESOLVER
40
Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 20% cada
año, aproximadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coche desde que
se compró hasta 12 años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coche en
los dos primeros años, entre los años 4 y 6, y entre los años 8 y 10. ¿Es cons-
tante la depreciación?
Depreciación: [0, 2] → 9000 €
[4, 6] → 3500 €
[8, 10] → 1500 €
La depreciación no es constante.
–1
x2 + 1
–2
2(x2 + 1)
–2
2x2 + 2
–2
1 + x 2 + 2x + 1 + x2 – 2x
–2
(1 + x)2 + (1 – x)2
–2
(1 + x)2
(1 + x)2
(1 + x)2 + (1 – x)2
–1 – x – 1 + x
(1 + x)2
1
1 + [(1 – x)2/(1 + x)2]
–1(1 + x) – (1 – x)
(1 + x)2
1
1 + [(1 – x)/(1 + x)]2
2 √x + 1
4√x2 + x √
—
x
2 √x + 1
4 √x (x + √
—
x)
2 √x + 1
4√x · √
—
x + √
—
x
2 √x + 1
2√x
1
2√x + √
—
x
1
2√x
1
2√x + √
—
x
1 – x
1 + x
√x + √
—
x
1
10
20
2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (en años)
VALOR (en miles de euros)
11

41 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones:
a) y = 3x2 – 2x + 1 b) y = x3 – 3x
a) y' = 6x – 2 = 0 → x = . Punto ( , )
b) y' = 3x2 – 3 = 0 → x = –1, x = 1. Puntos (–1, 2) y (1, –2)
42 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 – 5x + 6 en el punto
de abscisa x = 2.
y' = 2x – 5; m = y' (2) = –1, y (2) = 0
La recta es y = –(x – 2) = 2 – x
43 Escribe la ecuación de la tangente a y = –x2 + 2x + 5 en el punto de abscisa
x = –1.
y' = –2x + 2; m = y' (–1) = 4, y (–1) = 2
La recta es y = 4(x + 1) + 2 = 4x + 6
44 Escribe la ecuación de la tangente a y = x2 + 4x + 1, cuya pendiente sea
igual a 2.
y' = 2x + 4 = 2 → x = –1; y (–1) = –2
La recta es y = 2(x + 1) – 2 = 2x
45 Halla la ecuación de la tangente a la curva y = en x = 0.
y' = ; m = y' (0) = , y (0) = 1
La recta es y = x + 1
46 La tasa de variación media de una función f (x) en el intervalo [3, 3 + h] es
igual a . ¿Cuál es el crecimiento de esa función en x = 3?
f '(3) = = 2
47 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x 3 – 3x que sean pa-
ralelas a la recta 6x – y + 10 = 0.
☛ La pendiente de la recta es el coeficiente de x cuando la y está despejada.
y' = 3x2 – 3 = 6 → x = – , x = . Puntos: (– , 0) y ( , 0)
Rectas: y = 6 (x + ), y = 6(x – )√3√3
√3√3√3√3
2 – 3h
h + 1
lím
h → 0
2 – 3h
h + 1
1
2
1
2
1
2√x + 1
√x + 1
2
3
1
3
1
3

48 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y = 4 – x2 en los puntos
de corte con el eje de abscisas.
Puntos de corte con el eje de abscisas: 4 – x2 = 0 → x = 2, x = –2
Puntos (2, 0) y (–2, 0)
y' = –2x, y' (2) = –4, y' (–2) = 4
Las rectas son: • En x = –2, y = 4x + 8
• En x = 2, y = –4x + 8
Página 324
49 Halla los puntos de tangente horizontal de la función y = x 3 – 3x 2 – 9x – 1.
y' = 3x2 – 6x – 9 = 0 → x = –1, x = 3.
Puntos (–1, 4) y (3, –28).
50 ¿En qué puntos de y = 1/x la tangente es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante? ¿Existe algún punto de tangente horizontal en esa función?
y' = – = –1 → x = –1, x = 1. Puntos (–1, –1) y (1, 1).
No existe ningún punto de tangente horizontal, pues y' = = 0 no tiene solución.
51 a) ¿Cuál es la derivada de y = 2x – 8 en cualquier punto?
b) ¿Cuánto ha de valer x para que la derivada de y = x2 – 6x + 5 sea igual a 2?
c) ¿En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y = x2 – 6x + 5
es paralela a la recta y = 2x + 8?
a) y' = 2
b) y' = 2x – 6 = 2 → x = 4
c) En el punto (4, –3).
52 ¿En qué puntos la recta tangente a y = x3 – 4x tiene la pendiente igual a 8?
y' = 3x2 – 4 = 8 → x = –2, x = 2
Puntos (–2, 0) y (2, 0).
53 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = que son
paralelas a la recta 2x + y = 0.
y' = = = –2 → (x – 1)2 = 1 → x = 0, x = 2
En (0, 0), y = –2x
En (2, 4), y = –2(x – 2) + 4 = –2x + 8
–2
(x – 1)2
2(x – 1) – 2x
(x – 1)2
2x
x – 1
1
x2
1
x2

54 Halla f' en los puntos de abscisas –3, 0 y 4.
☛ Halla las pendientes de las tangentes trazadas en esos
puntos.
f'(–3) = –3, f'(0) = , f'(4) = –2
55 Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada
es cero.
En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa? ¿Y en x = 3?
f'(x) = 0 en (–2, 2) y en (2, 7).
En x = 1 la derivada es positiva. En x = 3 es negativa.
56 ¿Existe algún punto en esta función en el que la derivada sea
negativa?
Compara los valores de f' (–2), f' (2) y f' (0).
No, pues es creciente.
f'(–2) < f'(0) < f'(2)
57 La ecuación de la recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisa
x = 2 es 4x – 3y + 1 = 0. ¿Cuál es el valor de f' (2)? ¿Y el de f (2)?
☛ Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada.
La recta tangente es y = ; su pendiente es = f'(2)
f (2) = 3
58 Indica en cada una de estas funciones los valores de x en los que f' es po-
sitiva y en los que f' es negativa.
☛ Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si x < –1.
a) f' > 0 si x < –1
f' < 0 si x > –1
b) f' > 0 si x < 0
f' < 0 si x > 0
c) f' > 0 si x ∈(–∞, –1) U (1, +∞)
f' < 0 si x ∈(–1, 1)
4
3
4x + 1
3
3
2
–2 2
2
4
6
4
f
–2 2
2
4
–2
–2
2
–2 2
2 –2 2
2

59 Representa una función y = f (x) de la que sabemos:
• Es continua.
• f (x) = +∞; f (x) = –∞
• Tiene tangente horizontal en (–3,
2) y en (1, 5).
Indica si los puntos de tangente
horizontal son máximos o míni-
mos.
(–3, 2) es un mínimo.
(1, 5) es un máximo.
60 De una función polinómica sabemos que:
• f (x) = +∞; f (x) = +∞
• Su derivada es 0 en (–2, 2) y en (2, –1).
• Corta a los ejes en (0, 0) y en (4, 0).
Represéntala gráficamente.
61 Representa la función continua y = f (x) de la que sabemos:
• En los puntos (–1, –2) y (1, 2) la tangente es horizontal.
• Sus ramas infinitas son así:
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
1
2
–2
1 2 3–2–3 –1
–1

62 Comprueba que la función y = (x – 1)3 pasa por los puntos (0, –1), (1, 0) y
(2, 1). Su derivada se anula en el punto (1, 0). ¿Puede ser un máximo o un
mínimo ese punto?
y' (x) = 3(x – 1)2: y (0) = –1 → pasa por (0, –1)
y (1) = 0 → pasa por (1, 0)
y (2) = 1 → pasa por (2, 1)
y' (1) = 0
El punto (1, 0) no es ni máximo ni mínimo.
63 Comprueba que la función y = tiene dos puntos
de tangente horizontal, (–1, –2) y (1, 2); sus asíntotas son
x = 0 e y = x y la posición de la curva respecto de las
asíntotas es la de la derecha. Represéntala.
y = x +
y' = 1 – = = 0 → x = –1, x = 1
Puntos (–1, –2) y (1, 2).
f (x) = +∞; f (x) = –∞
Asíntota vertical en x = 0.
Asíntota oblicua en y = x
Página 325
64 Comprueba que la función y = :
• Tiene derivada nula en (0, 0).
• La recta y = 2 es una asíntota horizontal.
• Posición de la curva respecto a la asíntota:
Si x → –∞, y < 2
Si x → +∞, y < 2
Represéntala.
2x2
x2 + 1
lím
x → 0–
lím
x → 0+
x2 – 1
x2
1
x2
1
x
x2 + 1
x

• y' (x) = =
y' (0) = 0; y (0) = 0
• = 2
65 Completa la gráfica de una función de la que sabemos
que tiene tres puntos de tangente horizontal:
(–3, – ) (0, 0) y (3, )
y que sus ramas infinitas son las representadas.
66 En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos de tangente ho-
rizontal y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mí-
nimos.
Represéntalas:
a) y = x3 – 3x2 b) y = x3 – 3x + 2
c) y = x4 + 4x3 d) y = x3 – 9x2 + 24x – 20
e) y = 12x – x3 f) y = –x4 + x2
g) y = x5 – 6x3 – 8x – 1 h) y = x4 – 8x2 + 2
5
2
5
2
2x2
x2 + 1
lím
x → ±∞
4x
(x2 + 1)2
4x (x2 + 1) – 2x(2x2)
(x2 + 1)2
–2
1
2

a) y' = 3x2 – 6x
y' (x) = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0
(x3 – 3x2) = –∞
(x3 – 3x2) = +∞
b) y' = 3x2 – 3
y' (x) = 0 ⇔ x = ±1
(x3 – 3x + 2) = –∞
(x3 – 3x + 2) = +∞
c) y' = 4x3 + 12x2
y' (x) = 0 ⇔
⇔
(x4 + 4x3) = (x4 + 4x3) = +∞lím
x → +∞
lím
x → –∞
x = 0 → f (0) = 0 → (0, 0)
x = –3 → f (–3) = –27 → (–3, –27)



lím
x → +∞
lím
x → –∞
f (1) = 0 → (1, 0)
f (–1) = 4 → (–1, 4)



lím
x → +∞
lím
x → –∞
x = 0 → f (0) = 0 → (0, 0)
x = 2 → f (2) = –4 → (2, –4)



y = x3 – 3x2
2
–2
–2–4–6 2 4 6
–4
–6
–8
–10
4
6
y = x3 – 3x + 2
2
–2
–2–4–6 2 4 6
–4
4
6
y = x4 + 4x3
5
–5
–2–4–6 2 4 6
–10
–15
–20
–25
10

d) y' = 3x2 – 18x + 24; y' (x) = 0 ⇔
⇔ x = = =
(x3 – 9x + 24x – 20) = –∞
(x3 – 9x2 + 24x – 20) = +∞
e) y' = 12 – 3x2; y' (x) = 0 ⇔ x = ±2
(12x – x3) = +∞
(12x – x3) = –∞
f) y' (x) = –4x3 + 2x; y' (x) = 0 ⇔
x = 0 → f (0) = 0 → (0, 0)
⇔
x = → f ( )= → ( , )
x = – → f (– )= → (– , )
(–x4 + x2) = –∞; (–x4 + x2) = –∞
g) y' = 5x4 – 18x2 – 8; y' (x) = 0 ⇔
⇔
(x5 – 6x3 – 8x – 1) = –∞
(x5 – 6x3 – 8x – 1) = +∞lím
x → +∞
lím
x → –∞
x = 2 → f (2) = –33 → (2, –33)
x = –2 → f (–2) = 31 → (–2, 31)



lím
x → +∞
lím
x → –∞
1
4
√2
2
1
4
√2
2
√2
2
1
4
√2
2
1
4
√2
2
√2
2
lím
x → +∞
lím
x → –∞
f (2) = 16 → (2, 16)
f (–2) = –16 → (–2, –16)



lím
x → +∞
lím
x → –∞
f (4) = –4 → (4, –4)
f (2) = 0 → (2, 0)



4
2
6 ± 2
2
6 ± √36 – 32
2
y = x3 – 9x2 + 24x – 20
2 4 6
–5
5
–20
–4 –2
2 4–4 –2
–5
–10
–15
5
10
15
y = 12x – x3









y = –x4 + x2
1–1
–1
1
5 15–5–10–15
–10
–20
–40
–30
20
30
40
y = x5 – 6x3 – 8x – 1
10
10

h) y' = 4x3 – 16x; y' (x) = 0 ⇔
⇔
(x4 – 8x2 + 2) = +∞
(x4 – 8x2 + 2) = –∞
67 Representa estas funciones hallando los puntos de tangente horizontal y
estudiando sus ramas infinitas:
a) y = x3 – 2x2 + x b) y = –x4 + 2x2
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
a) y' = 3x2 – 4x + 1 = 0 → x = , x = 1
Puntos de tangente horizontal:
( , ), (1, 0)
(x3 – 2x2 + x) = +∞
(x3 – 2x2 + x) = –∞
b) y' = –4x3 + 4x = –4x (x2 – 1) = 0 →
→ x = 0, x = 1, x = –1
(–1, 1), (0, 0) y (1, 1)
(–x4 + 2x2) = –∞
(–x4 + 2x2) = –∞lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
4
27
1
3
1
3
2x2
x + 2
x
(x + 5)2
1
x2 – 3x + 2
x
x2 + 5x + 4
lím
x → –∞
lím
x → +∞
x = 0 → f (0) = 2 → (0, 2)
x = 2 → f (2) = –14 → (2, –14)
x = –2 → f (–2) = –14 → (–2, –14)





2
2
4
6
4 6
y = x4 – 8x2 + 2
1–1
–1
1
y = x3 – 2x2 + x
y = –x4 + 2x2
21–2 –1
–1
–2
–3
1

c) y' = = = 0 → x = 2, x = –2
Puntos de tangente horizontal: (–2, 1), (2, )
= 0
= 0
d) y' = = 0 → x =
( , –4)
= 0
= 0
e) y' = =
= = 0 → x = 5
(5, )
= 0; = 0x
(x + 5)2
lím
x → –∞
x
(x + 5)2
lím
x → +∞
1
20
5 – x
(x + 5)3
(x + 5)2 – x · 2(x + 5)
(x + 5)4
1
x2 – 3x + 2
lím
x → –∞
1
x2 – 3x + 2
lím
x → +∞
3
2
3
2
–(2x – 3)
(x2 – 3x + 2)2
x
x2 + 5x + 4
lím
x → –∞
x
x2 + 5x + 4
lím
x → +∞
1
9
–x2 + 4
(x2 + 5x + 4)2
x2 + 5x + 4 – x (2x + 5)
(x2 + 5x + 4)2
y = —————
x
x2 + 5x + 4
1
1 2–2 –1–3–4 3
1
1 2–2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
2
–3 3
y = —————
1
x2 – 3x + 2 (—, – 4)3
2
y = ————
x
(x + 5)2
2
2 4–4 –2
–2
–4
–6
–6 6

f) y' = = = = 0 → x = 0, x = –4
(–4, –16), (0, 0)
= 2x – 4
(asíntota oblicua)
68 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal.
Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los
ejes:
a) y = b) y = c) y = + 4x d) y =
a) y' = ≠ 0
Los puntos de corte son:
(0, – ), (3, 0)
b) y' = ≠ 0
Los puntos de corte son:
(1, 0), (–1, 0)
x2 + 1
x2
3
2
5
(x + 2)2
1
(x – 2)2
x3
3
x2 – 1
x
x – 3
x + 2
lím
x → ±∞
2x (x + 4)
(x + 2)2
2x2 + 8x
(x + 2)2
4x (x + 2) – 2x2
(x + 2)2
y = ———
2x2
x + 2
5
2 4–2
–5
–10
–15
–20
10
15
–4–6 6
y = ———
x – 3
x + 2
2
4
6
–2
–4
2 4 6 8–4 –2–6–8–10
y = ———
x2 – 1
x 4
2
6
–2
–4
–6
2 4 6–4 –2–6

c) y' = x2 + 4 ≠ 0
El punto de corte es: (0, 0)
d) y' = ≠ 0
El punto de corte es: (0, )
69 Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
g) y = h) y =
i) y = j) y =
a) y' =
Asíntotas horizontales: y = 0
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-
gente horizontal.
–x2 – 16
(x2 – 16)2
x2 – 5
2x – 4
x2 – x + 1
x2 + x + 1
x2
(x – 2)2
x2
x2 – 4x + 3
x2
1 – x2
x2 – 1
x + 2
(x – 1)2
x + 2
x + 2
x2 – 6x + 5
x
1 – x2
x
x2 – 16
1
4
–2
(x – 2)3
y = — + 4x
x3
3 5
–5
2 4 6–4 –2–6
y = ————
1
(x – 2)2
4
2
2 4 6–4 –2
y = ————
x
x2 – 16
4
2
6
–2
–4
–6
2 4 6–4 –2–6
Y
X

b) y' =
Asíntotas verticales: x = 1, x = –1
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-
gente horizontal.
c) y' =
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son, aproximadamente:
(–6,58; –0,052), (2,58; –1,197)
d) y' =
Asíntotas verticales: x = –2
Asíntotas oblicuas: y = x – 4
No hay asíntotas horizontales.
tal son:
(1, 0), (–5, 12)
x2 + 4x – 5
(x + 2)2
–x2 – 4x + 17
(x2 – 6x + 5)2
x2 + 1
(1 – x2)2
y = ———
x
1 – x2
2
1
3
–1
–2
–3
1 2 3–2 –1–3
Y
X
y = —————
x + 2
x2 – 6x + 5 1
0,5
1,5
–0,5
–1
–1,5
2 4 6–4 –2–6
Y
X
y = ————
y = x – 4
(x – 1)2
x + 2
10
5
15
–5
–10
–15
–20
2 4 6–4 –2–6
Y
X

e) y' =
Asíntotas verticales: x = –2
Asíntotas oblicuas: y = x – 2
No hay asíntotas horizontales.
tal son, aproximadamente:
(–0,26; –0,54), (–3,73; –7,46)
f) y' =
Asíntotas verticales: x = 1, x = –1
Asíntotas horizontales: y = –1
Sus puntos de tangente horizontal son:
(0, 0)
g) y' =
tal son:
(0, 0), ( , –3)3
2
–4x2 + 6x
(x2 – 4x + 3)2
2x
(1 – x2)2
x2 + 4x + 1
(x + 2)2
y = ———
y = x – 2
x2 – 1
x + 2
2 4 6–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
y = ———
x2
1 – x
2 4 6–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
X
Y
y = —————
x2
x2 – 4x + 3
2 4 6–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y

h) y' = –
Asíntotas verticales: x = 2
tal son: (0, 0)
i) y' =
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(1, ), (–1, 3)
j) y' =
Asíntotas verticales: x = 2
Asíntotas oblicuas: y = + 1
No hay asíntotas horizontales ni puntos de
tangente horizontal.
70 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, 1) y que la
pendiente de la recta tangente en el punto (2, –1) vale 0.
☛ Llama a la función f (x) = ax2 + bx + c y ten en cuenta que f (0) = 1, f (2) = –1 y
f ' (2) = 0.
f (x) = ax2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
La función es f (x) = x2 – 2x + 1.
1
2
a = 1/2
b = –2
c = 1





f (0) = 1 → 1 = c
f (2) = –1 → –1 = 4a + 2b + c
f'(2) = 0 → 0 = 4a + b
x
2
2x2 – 8x + 10
(2x – 4)2
1
3
2x2 – 2
(x2 + x + 1)2
4x
(x – 2)3
y = ————
x2
(x – 2)2
2 4 6–2–4–6
2
4
6
X
Y
y = —————
x2 – x + 1
x2 + x + 1
2 4 6–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
y = ———
x2 – 5
2x – 4
2 4 6–2–4
–2
–4
2
4
6
X
Y

71 Halla el vértice de la parábola y = x2 + 6x + 11 teniendo en cuenta que en
ese punto la tangente es horizontal.
f'(x) = 2x + 6 = 0 → x = –3
Punto (–3, 2).
72 Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y = 2x – 3
en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, –2).
f (x) = ax2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
La función es f (x) = –x2 + 6x – 7.
73 Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y = 3x2 – 2x + 5 e
y = x2 + 6x sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.
6x – 2 = 2x + 6 ⇒ x = 2
Para y = 3x2 – 2x + 5 la tangente en x = 2 es:
y = 10(x – 2) + 13 → y = 10x – 7
Para y = x2 + 6x la tangente en x = 2 es:
y = 10(x – 2) + 16 → y = 10x – 4
74 Halla a, b y c en f (x) = x3 + ax2 + bx + c de modo que la gráfica de f ten-
ga tangente horizontal en x = –4 y en x = 0 y que pase por (1, 1).
f (x) = x3 + ax2 + bx + c
f'(x) = 3x2 + 2ax + b
La función es f (x) = x3 + 6x2 – 6.
Página 326
75 Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y = 3x2
+ 1 b) y = 5√
—
x
c) y = d) y =
e) y = f ) y = cos3(2x + 1)√sen x
x
ln x
ex + e–x
2
a = 6
b = 0
c = –6





f '(–4) = 0 → 48 – 8a + b = 0
f'(0) = 0 → b = 0
f (1) = 1 → 1 + a + b + c = 1



y = 3x2 – 2x + 5 → y' = 6x – 2
y = x2 + 6x → y' = 2x + 6
a = –1
b = 6
c = –7





f (2) = 1 → 4a + 2b + c = 1
f'(2) = 2 → 4a + b = 2
f (5) = –2 → 25a + 5b + c = –2

a) y' = 3x 2 + 1 · 2x · ln 3
b) y' = 5√
—
x · · ln 5
c) y' =
d) y' = =
e) y' = · cos x =
f) y' = 3cos2 (2x + 1) · (–sen (2x + 1)) · 2 = –6 cos2 (2x + 1) · sen (2x + 1)
76 Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones:
a) y = ln b) y = ln
c) y = ln x e–x d) y = log
e) y = log (tg x)2 f ) y = ln xx
a) y = ln (x2 + 1) – ln (x2 – 1)
y' = – = =
b) y = [ln x – ln (x2 + 1)]
y' = [ – ]= [ ]=
c) y = ln x + ln e–x = ln x – x
y' = – 1 =
d) y = 3 log (3x – 5) – log x
y' = 3 · · – · = [ – ]=
= · = 6x + 5
ln 10 (3x2 – 5x)
9x – 3x + 5
(3x2 – 5x)
1
ln 10
1
x
9
3x – 5
1
ln 10
1
ln 10
1
x
1
ln 10
3
3x – 5
1 – x
x
1
x
1 – x2
2x3 + 2x
x2 + 1 – 2x2
x3 + x
1
2
2x
x2 + 1
1
x
1
2
1
2
–4x
x4 – 1
2x3 – 2x – 2x3 – 2x
x4 – 1
2x
x2 – 1
2x
x2 + 1
(3x – 5)3
x
√ x
x2 + 1
x2 + 1
x2 – 1
cos x
2√sen x
1
2√sen x
(ln x) – 1
ln2 x
ln x – x · 1/x
(ln x)2
ex – e–x
2
1
2√x

e) y = 2 log (tg x)
y' = 2 · · =
f) y = x ln x
y' = ln x + x · = ln x + 1
77 Dada la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 4, obtén su función derivada y estu-
dia su signo. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
f ? ¿Tiene f máximo o mínimo?
f'(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3(x2 – 4x + 3) = 3(x – 1) (x – 3)
f'(x) = 0 → x = 1, x = 3
f'(x) > 0 → (–∞, 1) U (3, +∞) → Intervalos de crecimiento.
f'(x) < 0 → (1, 3) → Intervalo de decrecimiento.
Máximo en (1, 8) y mínimo en (3, 4).
78 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = 3x3 – 18x + 1.
f'(x) = 9x2 – 18 = 9(x2 – 2)
f'(x) = 0 → x = , x = –
f'(x) > 0 → (–∞, – ) U ( , +∞) → f (x) creciente
f'(x) < 0 → (– , ) → f (x) decreciente
79 Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el sig-
no de su derivada:
a) y = b) y = x 2 – 5x + 3
c) y = d) y = 1 + 2x – x 2
e) y = x 3 f ) y = (x + 1)4
g) y = (2 – x)5 h) y = (3 – x)3
a) y' = . Creciente para todo x.
b) y' = 2x – 5. Decrece en (–∞, ). Crece en ( , +∞).
c) y' = . Decrece en (–∞, ). Crece en ( , +∞).
d) y' = 2 – 2x. Crece en (–∞, 1). Decrece en (1, +∞).
1
3
1
3
3x – 1
2
5
2
5
2
1
5
3x2 – 2x + 1
4
x – 3
5
√2√2
√2√2
√2√2
1
x
2(1 + tg2 x)
tg x · ln 10
1
ln 10
1 + tg2 x
tg x

e) y' = 3x2. Creciente para todo x ≠ 0.
f) y' = 4(x + 1)3. Decrece en (–∞, –1). Crece en (–1, +∞).
g) y' = –5(2 – x)4. Decreciente para todo x ≠ 2.
h) y' = 3(3 – x)2 · (–1) = –3(3 – x)2; y' < 0 para x ≠ 3; y' = 0 en x = 3.
La función es decreciente.
80 Calcula la T.V.M. de f (x) = 3x – 2 en los intervalos [–1, 2], [1, 3] y [–3, 4].
Justifica por qué obtienes el mismo resultado.
T.V.M. [–1, 2] = = 3
T.V.M. [1, 3] = = 3
T.V.M. [–3, 4] = = 3
T.V.M. = 3 para todos. La función es una recta de pendiente 3.
81 Dibuja una función que tenga derivada nula en x = 1 y en x = –1, derivada
negativa en el intervalo [–1, 1] y positiva para cualquier otro valor de x.
82 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(x) = 2x. ¿Cuántas existen?
Existen infinitas.
f (x) = x2 + k, donde x es cualquier número.
83 Esta es la gráfica de la función y = x3.
Halla su tangente en x = 0 y comprueba que obtienes
la recta y = 0.
¿Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la
tangente de esa curva en (0, 0)?
Porque la ecuación del eje de abscisas es y = 0.
10 + 11
7
7 – 1
2
4 + 5
3
2
1
–1
–1
1
2
1 2

84 ¿Qué relación existe entre f y g ?
¿Y entre f' y g' ?
Son rectas paralelas (de igual pendiente).
85 ¿Existe algún punto de la función y = 4x – x2 en que la tan-
gente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y
(3, 3)? En caso afirmativo, hállalo.
4 – 2x = 1 → x =
Punto ( , )
86 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola
y = ax2 + bx + c es x = .
y' = 2ax + b = 0 → x =
87 Si f' (2) = 0, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta?
a) La función f tiene máximo o mínimo en x = 2.
b) La tangente en x = 2 es horizontal.
c) La función pasa por el punto (2, 0).
La correcta es la b).
88 Esta es la gráfica de la función derivada de f1.
a) ¿Tiene f1 algún punto de tangente horizontal?
b) ¿Es creciente o decreciente?
Justifica tus respuestas.
a) Sí, en x = 2,3, puesto que f'1(2, 3) = 0
b) Si x < 2,3 es creciente, pues f'1 > 0; y si x > 2,3 es decreciente, pues f'1 > 0.
–b
2a
–b
2a
15
4
3
2
3
2



y' = 4 – 2x
Pendiente de la recta = 1



f = g + 1
f' = g'
Y
X
f
g
0
4
4
2
2
Y
X
f'1

PARA PROFUNDIZAR
89 Halla la derivada de f (x) = en el punto de abscisa 2 aplicando la defi-
nición.
f'(2) = = =
= = =
= = =
90 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y estudia el creci-
miento y decrecimiento para decidir si son máximos o mínimos.
a) y = x ex b) y = c) y = e–x2
a) y' = (1 + x) ex = 0 → x = –1
Mínimo en (–1, – )
b) y' = = 0 → x = 1
Mínimo en (1, )
c) y' = –2x e–x2
= 0 → x = 0
Mínimo en (0, 1)
91 Halla la ecuación de la tangente a la curva y = ln x que es paralela a la recta
y = 3x – 2.
y' = = 3 → x = ; f ( )= ln = –ln 3
La recta es y = 3(x – )– ln 3 = 3x – 1 – ln 3
92 ¿Cuáles son los puntos singulares de las funciones y = sen x e y = cos x en
el intervalo [0, 2π]?
y = sen x → y' = cos x = 0 → x = , x =
3π
2
π
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
x



y' > 0 si x < 0 → Crece
y' < 0 si x > 0 → Decrece
1
e



y' > 0 si x < 1 → Crece
y' < 0 si x > 1 → Decrece
1 – x
ex
1
e



y' < 0 si x < –1 → Decrece
y' > 0 si x > –1 → Crece
x
ex
1
2 √
—
2
1
√
—
2 + √
—
2
lím
h → 0
1
√
—
2 + h + √
—
2
lím
h → 0
h
h (√
—
2 + h + √
—
2 )
lím
h → 0
(√
—
2 + h – √
—
2 ) (√
—
2 + h + √
—
2 )
h (√
—
2 + h + √
—
2 )
lím
h → 0
√2 + h – √
—
2
h
lím
h → 0
f (2 + h) – f (2)
h
lím
h → 0
√x

Máximo en ( , 1) y mínimo en ( , –1).
y = cos x → y' = –sen x = 0 → x = 0, x = π
Máximo en (0, 1) y mínimo en (π, –1).
93 ¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y = tg x?
No, puesto que y' = ≠ 0 para todo x.
94 Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) y' = = ≠ 0
No hay puntos de tangente horizontal.
Puntos de corte con los ejes: ( , 0), (– , 0)
Dominio = Á – {0}
Asíntota oblicua: y = –2x
b) y' = = = = =
= = 0 → x = 0, x = – = –1,5
Mínimo en (–1,5; 2,25).
Punto de inflexión en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes: (0, 0).
Dominio = Á – {–1}
3
2
x2 (2x + 3)
3(x + 1)2
2x3 + 3x2
3(x + 1)2
6x3 + 9x2
9(x + 1)2
9x3 + 9x2 – 3x3
9(x + 1)2
3x2 · 3(x + 1) – x3 · 3
9(x + 1)2
√2√2
–2x2 – 4
x2
–4x2 – 4 + 2x2
x2
x4 – 2x2
x2 – 1
4 + 2x2 – x3
x2
x3
3 (x + 1)
4 – 2x2
x
1
cos2 x
3π
2
π
2
2
4
–4
2 4–4 –2
–2
Y
X
2
4
–4
2 4–4 –2
–2
Y
X

c) y' = = =
= =
= = 0 → x = –2
Mínimo en (–2, 5).
Dominio = Á – {0}
Asíntota oblicua: y = 2 – x
d) y' = = =
= = = 0 → x = 0
Mínimo en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes:
(0, 0), ( , 0), (– , 0)
Dominio = Á – {–1, 1}
95 Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas f (x) = x2 – 5x + 1 y
g (x) = en x = 1.
Recta tangente a f (x) = x2 – 5x + 1 en x = 1:
f'(x) = 2x – 5; f'(1) = –3; f (1) = –3
y = –3(x – 1) – 3 = –3x + 3 – 3 = –3x
Recta tangente a g(x) = en x = 1:
g'(x) = ; g'(1) = –1; g(1) = 1
y = –1(x – 1) + 1 = –x + 1 + 1 = –x + 2
Punto de corte:
–3x = –x + 2; –2x = 2; x = –1; y = 3
El punto de corte es (–1, 3).



y = –3x
y = –x + 2
–1
x2
1
x
1
x
√2√2
2x (x4 – 2x2 + 2)
(x2 – 1)2
2x [2x4 + 2 – 4x2 – x4 + 2x2]
(x2 – 1)2
4x (x2 – 1)2 – 2x (x4 – 2x2)
(x2 – 1)2
(4x3 – 4x) (x2 – 1) – (x4 – 2x2) 2x
(x2 – 1)2
–x3 – 8
x3
4x2 – 3x3 – 8 – 4x2 + 2x3
x3
(4x – 3x2)x – (4 + 2x2 – x3)2
x3
(4x – 3x2)x2 – (4 + 2x2 – x3)2x
x4
4
6
2 4–4 –2
–4
8
Y
X
2
4
2 4–4 –2
–2
–4
Y
X

96 Halla los polinomios de segundo grado que pasan por el origen de coorde-
nadas y tienen un mínimo en x = – . ¿Cuál de ellos pasa por el punto (5, 4)?
f (x) = ax2 + bx + c; f'(x) = 2ax + b
f (0) = 0 → c = 0
f' (– )= 0 → –a + b = 0 → b = a; a > 0 (para que sea mínimo).
Son los polinomios de la forma f (x) = ax2 + ax, con a > 0.
El que pasa por (5, 4) será:
f (5) = 4 → 25a + 5a = 4; 30a = 4; a = =
f (x) = x2 + x
97 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R (x),
en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x,
en miles de euros, por medio de la siguiente expresión:
R (x) = –0,001x2 + 0,04x + 3,5
a) ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabi-
lidad?
b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?
a) R'(x) = –0,002x + 0,04 = 0 → x = 20
Se deben invertir 20 000 €.
b) R (20) = 3,9
Se obtendrán 3 900 € de rentabilidad.
98 El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es:
C (q) = 3q2 + 5q + 75 dólares
El coste medio por unidad es M (q) = .
a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad
sea mínimo?
b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que has hallado en el apartado a).
a) M(q) =
M' = = =
= = 0 → q2 = 25 → q = 5 unidades
Se deben fabricar 5 unidades.
b) C(5) = 175; M(5) = 35
3q2 – 75
q2
6q2 + 5q – 3q2 – 5q – 75
q2
(6q + 5)q – (3q2 + 5q + 75)
q2
3q2 + 5q + 75
q
C (q)
q
2
15
2
15
2
15
4
30
1
2
1
2

99 La función f (x) = indica los beneficios obtenidos por una empresa
desde que comenzó a funcionar ( f(x) en miles de euros, x en años, x = 0 in-
dica el momento de constitución de la empresa).
a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en
cuenta el dominio válido en el contexto del problema.
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál
es ese beneficio?
c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un
momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta.
a) f'(x) = = = = 0 →
→ x = 3 (x = –3 no está en el dominio)
Máximo en (3, 10)
f (x) = 0 → asíntota horizontal: y = 0
La gráfica sería:
b) Beneficio máximo en x = 3 → A los 3 años.
El beneficio sería f (3) = 10 miles de euros.
c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pér-
didas, pues f (x) = 0 y f (x) > 0 para todo x > 0.
100 Averigua qué función y = f (x) cumple las siguientes condiciones:
a) Su derivada es f'(x) = 3x2 + 4x + 5.
b) Pasa por el punto (–2, 6).
f (x) = x3 + 2x2 + 5x + k, donde k es constante.
Hallamos el valor de k teniendo en cuenta que:
f (–2) = 6 → –8 + 8 – 10 + k = 6 → k = 16
Por tanto:
f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 16
lím
x → + ∞
–60x2 + 540
(x2 + 9)2
60x2 + 540 – 120x2
(x2 + 9)2
60(x2 + 9) – 60x · 2x
(x2 + 9)2
60x
x2 + 9
2
2 6
4
6
8
10
4 8 10 1412 16 18

101 La ecuación de un movimiento es e = t 2 – 6t + 9, t ≥ 3 (e = recorrido en me-
tros, t = tiempo en segundos).
Halla la ecuación de un movimiento uniforme (velocidad constante) que en
el instante t = 5 está en el mismo lugar y con la misma velocidad que el an-
terior.
Representa ambas ecuaciones en un diagrama e – t.
Llamamos a la función buscada f (t ) = at + b
Ha de cumplir que f (5) = e (5) y que f ' (5) = e ' (5)
Como:
f ' (t ) = a , e ' (t ) = 2t – 6
tenemos que:
Luego: f (t ) = 4t – 16
Las gráficas serían:
Página 328
RESUELVE TÚ
Dejamos mil moscas en una isla en la que no había ninguna y en la cual hay con-
diciones para que vivan, a lo sumo, 600 000. Cada día, el número de moscas au-
menta el 2%.
a) Expresa el crecimiento según el modelo exponencial, como si no hubiera li-
mitación.
b) Expresa el crecimiento según el modelo logístico.
c) Compara el número de moscas que habría a los 10, 100, 150, 200, 250, 300 y
400 días según cada modelo y razona sobre las diferencias observadas.
a) La función exponencial que expresa el crecimiento de la población de moscas es
M1 = 1000·(1,02)t; t en días.
a = 4
b = –16



f (5) = e (5) → 5a + b = 4
f'(5) = e' (5) → a = 4
1
1 3
2
–2
t
f (t)
e (t)
e
–1
3
4
5
2 4 5 6

b) El crecimiento, según el modelo logístico, será:
M2 = 600 000 · = 600 000 · , t en días
c)
En los primeros días (0, 100 y 150) las diferencias son muy pequeñas. A partir de los
250 días se empieza a apreciar una mayor diferencia, siendo bastante grande al cabo
de los 300 días. A los 400 días el número de moscas, según el modelo exponencial,
no tiene nada que ver con el número de moscas que obtenemos según el modelo lo-
gístico (el nivel de saturación está alrededor de los 600000 ejemplares).
1
1 + 599 ·(1,02)–t
1
600 000
1 +
(–––––––––– – 1
)·(1,02)–t
1000
TIEMPO M1: MODELO M2: MODELO DIFERENCIA
(días) EXPONENCIAL LOGÍSTICO M1 – M2
10 1219 1219 0
100 7245 7170 75
150 19500 18916 584
200 52485 48337 4148
250 141268 114500 26768
300 380235 232979 147256
400 2754664 492834 2261830

Problema 1
En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se
citan, haya relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este últi-
mo caso, indicar si es positiva o negativa:
• En un conjunto de familias: estatura media de los padres-estatura media de los
hijos.
Correlación positiva.
• Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada.
Funcional.
• Entro los países del mundo: volumen de exportación-volumen de importación
con España.
Correlación negativa.
• Entro los países del mundo: índice de mortalidad infantil-número de médicos
por cada 1 000 habitantes.
• kWk consumidos en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz.
Funcional.
• Número de personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos per-
didos.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos ga-
nados.
Página 333
Problema 2
En la siguente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatu-
ra de su padre y la ordenada su propia altura.
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales 1
DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES
13

a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.
b)Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón.
c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 16 chi-
cos y las de sus padres?
a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5)
b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5).
c) En general, sí.
Problema 3
Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que al-
canza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza
actúa en un tramo de 1 m.)
a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una
fuerza de 110 newton?
b)¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la
piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que
es impulsada hacia arriba?
ESTATURA HIJOS
ESTATURA
PADRES
190
180
170
160
160 170 180 190
ALTURA
(m)
FUERZA
(N)50
1
5
100
6
2
3
4
10

a) 4,5 m
b) Altura = – 1 para F ≥ 20
Obtención física de la fórmula:
La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es:
v =
donde v: Aumento de la velocidad en el tramo d.
a: Aceleración constante con la que se mueve el móvil.
d : Espacio que recorre con la aceleración a.
Así, la velocidad con que sale de la mano es:
vs = =
Además:
F = m (a + g) → a = – g = – 10
Luego:
vs = 2 ( – 10)=
Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad:
vs =
O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidad
vs, alcanza una altura h.
En este caso:
vs = =
Igualando:
= → h = – 1
Para que h ≥ 0, debe ser F ≥ 20.
Página 335
1. Esta tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países A, B, C… según dos va-
riables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Representa los
resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di cómo te pa-
rece la correlación.
F
20
√20h√F – 20
√20h√2 · 10 · h
√2gh
√F – 20F
2
F
2
F
m
√2a√2a 1
√2ad
F
20
PAÍSES A B C D E F G H I J
R.P.C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I.N. 10 6 9 5 7 4 1 3 8 2

La correlación es negativa y moderadamente alta (–0,62).
Página 337
1. Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las distri-
buciones Matemáticas-Filosofía y Distancia-Número de encestes de la página
334. Hazlo también con una calculadora con MODO LR.
Matemáticas-Filosofía:
–x = = 6
–y = = 5,25
σx = = 2,45
σy = = 1,92
σxy = – 6 · 5,25 = 2,75
Por tanto: r = = 0,58
Distancia-Número de encestes:
–x = = 4,5 –y = = 4
σx = = 2,29
σy = = 3,71
σxy = – 4,5 · 4 = –8
Por tanto: r = = –0,94
–8
2,29 · 3,71
80
8
√238
– 42
8
√204
– 4,52
8
32
8
36
8
2,75
2,45 · 1,92
411
12
√375
– 5,252
12
√504
– 62
12
63
12
72
12
2
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
I.N.
R.P.C.
xi yi xi
2 yi
2 xi yi
1 9 1 81 9
2 10 4 100 20
3 6 9 36 18
4 4 16 16 16
5 2 25 4 10
6 0 36 0 0
7 1 49 1 7
8 0 64 0 0
36 32 204 238 80
xi yi xi
2 yi
2 xi yi
2 2 4 4 4
3 5 9 25 15
4 2 16 4 8
4 7 16 49 28
5 5 25 25 25
6 4 36 16 24
6 6 36 36 36
7 6 49 36 42
7 7 49 49 49
8 5 64 25 40
10 5 100 25 50
10 9 100 81 90
72 63 504 375 411

PARA PRACTICAR
1 Para cada uno de los siguientes casos indica:
• Cuáles son las variables que se relacionan.
• Cuál es el colectivo de individuos que se estudia.
• Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística.
• El signo de la correlación.
a) Familias: estatura media de los padres – estatura media de los hijos mayo-
res de 17 años.
b) Entre los países europeos: volumen de exportación – volumen de importa-
ción (con España).
c) Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de mé-
dicos por cada 1 000 habitantes.
d) kW · h consumidos en cada casa de una ciudad durante el mes de
enero – coste del recibo de la luz.
e) Coste del recibo de la luz – número de personas que viven en cada casa.
Las variables que se relacionan están claras en todos los casos. El colectivo sobre el
que se hace el estudio también está claro salvo, acaso, en los apartados d) y e), en
qué es un grupo de casas (todas las de una barriada, una ciudad, un país…).
Solo hay relación funcional en d), el resto son relaciones estadísticas.
La correlación es positiva en a), d) y e), y es negativa en b) y c).
2 a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidi-
mensionales:
b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación
negativa?
c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión
analítica de la función que relaciona las dos variables?
d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.
b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.
c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x.
d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).
A
5
10
5
10
B
5
10
5
10
C
5
10
5
10
D
5
10
5
10

3 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17,
21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión es
y = 10,5 + 3,2x. Calcula ^
y (13), ^
y (20), ^
y (30), ^
y (100).
¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no
se debe hacer?
Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo: ^
y (13) = 52,1.
Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea próxi-
mo a 52.)
^
y(13) = 52,1;
^
y(20) = 74,5;
^
y(30) = 106,5;
^
y(100) = 330,5
Son fiables
^
y(13) e
^
y(20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utiliza-
dos para obtener la recta de regresión.
^
y(30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.
^
y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].
4 Los parámetros correspondientes a esta distribución bidimensional son:
–x = 4,4 –y = 4,9 σxy = 3,67
σx = 2,77 σy = 2,31 r = 0,57
Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre
X, y represéntalas junto con la nube de puntos.
myx = = 0,48
Recta de regresión de Y sobre X:
y = 4,9 + 0,48(x – 4,4) → y = 0,48x + 2,79
mxy = = 0,69
Recta de regresión de X sobre Y:
x = 4,4 + 0,69(y – 4,9) → y = 1,45x – 1,48
σxy
σy
2
σxy
σx
2
x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9
y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9
2
X sobre Y
Y sobre X
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
Y
X

5 Representa estos puntos y, sin efectuar cálcu-
los, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?
b) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.
c) A la vista de la respuesta anterior, da el valor de myx y el de mxy.
a) Los puntos están alineados todos ellos so-
bre la recta y = 12 – 2x. Por tanto, el coe-
ficiente de correlación es –1: r = –1.
b) Las dos rectas de regresión son coinciden-
tes. Su ecuación es y = 12 – 2x.
c) myx = –2 (pendiente de la recta de regre-
sión de Y sobre X).
mxy = –1/2
6 Calcula el coeficiente de correlación entre estas dos variables:
r = 0,5
7 La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg y la de
sus estaturas, 170 cm.
Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respectivamente, y la covarianza
de ambas variables es 40.
a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
b)Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.
c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm de estatura?
a) r = 0,8
b) y = 65 + 0,4(x – 170) = 0,4x – 3 →
c)
^
y (180) = 69 kg
Página 347
PARA RESOLVER
8 Estudia la correlación entre estas dos variables y explica el resultado:
r = 0,77
Hay una clara relación entre las dos variables.
x: estaturas en cm
y: pesos en kg



x 1 2 3 4 5 6
y 10 8 6 4 2 0
x: ALTITUD 365 450 350 220 150
y: LITROS DE LLUVIA 240 362 121 145 225
2
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
Y
X
Esp. Hol. Gre. Ita. Irl. Fra. Din. Bél. Lux. Al. R.U.
ÍNDICE MORTALIDAD 7,4 8,2 8,7 9,4 9,4 10 10,8 11,1 11,3 11,6 11,8
MAYORES 64 AÑOS 11,3 11,6 13,2 13,6 10,7 15,4 14,5 14,4 13,5 15,3 15,3

9 De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes alargamientos:
Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima el alargamiento que se
conseguirá con pesos de 100 g y de 500 g. ¿Cuál de las dos estimaciones es
más fiable?
r = 0,999; y = –0,01 + 0,051x
100 g → 5,09 cm
500 g → 25,49 cm (esta última es menos fiable).
10 La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centíme-
tro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por
cm3 en función del tiempo.
b)¿Qué cantidad de gérmenes por cm3 es predecible encontrar cuando ha-
yan transcurrido 6 horas? ¿Es buena esa predicción?
a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x → número horas, y → número de gérmenes
b)
^
y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes.
Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo de
valores considerado).
11 En un depósito cilíndrico, la altura del agua que contiene varía conforme
pasa el tiempo según la siguiente tabla:
a) Halla el coeficiente de correlación lineal entre el tiempo y la altura e in-
terprétalo.
b) ¿Cuál será la altura del agua cuando hayan transcurrido 40 horas?
c) Cuando la altura del agua es de 2 m, suena una alarma. ¿Qué tiempo ha de
pasar para que avise la alarma?
a) r = –0,997. Hay una relación muy fuerte entre las dos variables, y negativa. A
medida que pasa el tiempo, la altura va bajando (se va consumiendo el agua).
b) La recta de regresión es y = 19,37 – 0,26x, donde: x → tiempo, y → altura.
^
y (40) = 8,97 m
c) 2 = 19,37 – 0,26x → x = 66,8 h
x: MASA DE LA PESA (g) 0 10 30 60 90 120 150 200 250 350
y: ALARGAMIENTO (cm) 0 0,5 1 3 5 6,5 8 10,2 12,5 18
N-º DE HORAS 0 1 2 3 4 5
N-º DE GÉRMENES 20 26 33 41 47 53
TIEMPO (h) 8 22 27 33 50
ALTURA (m) 17 14 12 11 6

12 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de
pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fue-
ron los siguientes:
a) ¿Cuál es el precio medio registrado?
b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.
c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pesca-
sen 2 600 kg.
a) –y = 1,51 euros
b) r = –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad
de pescado, menor es el precio por kilo.
c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x
^
y (2 600) = 1,59 euros
Página 348
13 Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche
(litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sido
los siguientes:
a) Halla el coeficiente de correlación lineal y la recta de regresión de Y so-
bre X.
b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible de-
bemos poner?
a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x
b)
^
y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros.
14 En una zona de una ciudad se ha tomado una muestra para estudiar el nú-
mero de habitaciones de que dispone un piso y el de personas que viven en
él, obteniéndose estos datos:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación.
x (kg) 2 000 2 400 2 500 3 000 2 900 2 800 3 160
y (euros/kg) 1,80 1,68 1,65 1,32 1,44 1,50 1,20
x (km) 100 80 50 100 10 100 70 120 150 220
y (l) 6,5 6 3 6 1 7 5,5 7,5 10 15
N-º DE HABITACIONES 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5
N-º DE PERSONAS 1 2 2 3 3 4 5 4 5 6

a)
b) r = 0,88. Hay una correlación alta entre las dos variables.
15 El consumo de energía “per cápita” en miles de kWh y la renta “per cápita”
en miles de euros de seis países de la U.E. son las siguientes:
a) Calcula la recta de regresión del consumo de energía (y) sobre la ren-
ta (x).
b) Indica el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta.
c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía “per cápita”
de Grecia si su renta es de 4,4 miles de euros?
a) y = 0,8 + 0,4x
b) r = 0,93
c)
^
y (4,4) = 2,56 kWh
16 La siguiente tabla relaciona el número atómico de varios metales de la mis-
ma fila en el sistema periódico (periodo 4), con su densidad:
Representa los puntos, calcula el coeficiente de correlación y halla la ecua-
ción de la recta de regresión. A partir de ella, estima la densidad del cromo
(Cr), cuyo número atómico es 24.
Haz otro tanto con la del escandio (Sc), de número atómico 21.
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
6
6
N-º DE HABITACIONES
N-º DE PERSONAS
ALEMANIA BÉLGICA DINAMARCA ESPAÑA FRANCIA ITALIA
CONSUMO (y) 5,7 5,0 5,1 2,7 4,6 3,1
RENTA (x) 11,1 8,5 11,3 4,5 9,9 6,5
ELEMENTO K Ca Ti V Mn Fe Co Ni
NÚMERO ATÓMICO 19 20 22 23 25 26 27 28
DENSIDAD (g/cm3) 0,86 1,54 4,5 5,6 7,11 7,88 8,7 8,8

r = 0,98
^
y = –16,5 + 0,93x
^
y (24) = 5,86
^
y (21) = 3,06
Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valores rea-
les de estas densidades son 7,1 y 2,9.)
17 La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación
en 1987 fue:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.
c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC ?
r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fia-
ble la tasa de inflación a partir del IPC (pues r  es muy bajo).
Página 349
18 El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si
los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de
correlación de esta nueva distribución?
El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional.
19
1
2
3
8
21 23 25 27
4
5
6
7
9
N-º ATÓMICO
DENSIDAD
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO
IPC 0,7 1,1 1,7 2 1,9 1,9
TASA DE INFLACIÓN 6 6 6,3 6,2 5,8 4,9
0,5
4,5
6
1 1,5 2 2,5
5
5,5
6,5
I.P.C.
TASA DE INFLACIÓN

19 Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado
negativa. Justifica por qué podemos afirmar que, tanto el coeficiente de
correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión, son núme-
ros negativos.
Hay que tener en cuenta que r = ; myx = ; mxy = y que σx ≥ 0,
σy ≥ 0 siempre.
Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo que σxy . (Además, suponemos σx ,
σy ≠ 0.)
20 ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?
El centro de gravedad de la distribución, ( –x, –y ).
21 ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la
recta de regresión sean fiables?
r debe estar próximo a 1.
22 Prueba que el producto de los coeficientes de regresión myx y mxy es igual
al cuadrado del coeficiente de correlación.
myx · mxy = · = ( )
2
= r2
23 De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resultados:
• Recta de regresión de Y sobre X: y = 8,7 – 0,76x
• Recta de regresión de X sobre Y: y = 11,36 – 1,3x
a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.
b) Halla el coeficiente de correlación.
El centro de gravedad, (–x, –y ), es el punto de corte entre las dos rectas:
8,7 – 0,76x = 11,36 – 1,3x
0,54x = 2,66
x = 4,93
y = 4,95
a) El centro de gravedad es (–x, –y ) = (4,93; 4,95).
b) Para hallar r tenemos en cuenta el ejercicio anterior:
r2 = myx · mxy = –0,76 · = 0,58 → r = 0,76
1
–1,3



y = 8,7 – 0,76x
y = 11,36 – 1,3x
σxy
σx σy
σxy
σy
2
σxy
σx
2
σxy
σy
2
σxy
σx
2
σxy
σx σy

24 La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con
una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respec-
to al peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).
a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?
b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?
a) La recta de regresión es:
y = –y + m (x – –x ) = 155 + 1,5(x – –x ) = 155 + 1,5x – 1,5–x = (155 – 1,5–x ) + 1,5x =
= 80 + 1,5x → 155 – 1,5–x = 80 → –x = 50 kg
b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).
PARA PROFUNDIZAR
25 En una muestra de 64 familias se han estudiado el nú-
mero de miembros en edad laboral, x, y el número de
ellos que están en activo, y. Los resultados son los de
la tabla. Calcula el coeficiente de correlación lineal en-
tre ambas variables e interprétalo.
r = 0,31. La relación entre las variables es débil.
26 Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el
número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y
las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CDs):
a) Calcula el número medio de CDs vendidos.
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.
d) Si un grupo musical vende 18 000 CDs, ¿qué número de conciertos se pre-
vé que dé?
x → CDs; y → Conciertos
a) –x = 9,6 ≈ 10
b) r = 0,814
c) y = 13,51 + 2,86x
d)
^
y (18) = 64,99 ≈ 65 conciertos
1
2
3
4
6
1
10
12
16
0
2
2
5
8
0
3
0
1
4
x
y
1 – 5
5 – 10
10 – 20
3
1
0
0
4
1
0
1
5
10 – 30 30 – 40 40 – 80
CONCIERTOS
(y)CDs (x)

27 Hemos obtenido 10 medidas de las variables X e Y correspondientes a una
distribución bidimensional. A partir de esos datos, conocemos:
Σxi = 200 Σyi = 50 r = –0,75
I. Una de las siguientes rectas es la de regresión de Y sobre X. Di cuál de
ellas es, justificadamente:
a) y = –4,5 + 2,5x b) y = 35 – 1,5x
c) y = 9 – 0,7x e) y = –200 + 50x
II. Halla la recta de regresión de X sobre Y.
I) –x = = = 20
–y = = = 5
La recta de regresión pasa por (–x, –y ). Además, el signo de r coincide con el
signo de la pendiente de la recta de regresión; luego es la b):
y = 35 – 1,5x
II) Por el ejercicio 22, sabemos que:
myx · mxy = r2 → mxy =
La pendiente de la recta de regresión de X sobre Y es:
= = = –2,67
Luego la recta es:
y = 5 – 2,67(x – 20) = 58,4 – 2,67x
–1,5
(–0,75)2
myx
r2
1
mxy
r2
myx
50
10
Σyi
n
200
10
Σxi
n

I Calcula matemáticamente cuál es la probabilidad de que “no toque raya” en la
cuadrícula de 3 cm × 3 cm una moneda de 1 cm de diámetro.
I ¿De qué tamaño debe ser un disco para que la probabilidad de que “no toque
raya” en una cuadrícula de 4 cm × 4 cm sea de 0,2?
I En una cuadrícula de 4 cm × 4 cm dejamos caer 5 000 veces una moneda y con-
tabilizamos que “no toca raya” en 1 341. Estima cuál es el diámetro de la mone-
da.
I Sobre un suelo de losetas hexagonales de 12 cm de lado se deja caer un disco de
10 cm de diámetro. ¿Cuál es la probabilidad de que “no toque raya”?
I Área del cuadrado grande = 32 = 9 cm2
Área del cuadrado pequeño = (3 – 1)2 = 4 cm2
P = ≈ 0,44
Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2
P = = 0,2 → (4 – d )2 = 3,2 → 4 – d = ±1,8
4 – d = 1,8 → d = 2,2 cm
4 – d = –1,8 → d = 5,8 cm → No vale
Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
(4 – d )2
16
4
9
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 1
CÁLCULO
DE PROBABILIDADES
14

Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2
P = = 0,2682 =
(4 – d )2 = 4,2912 → d = 1,93 cm
I Área del hexágono grande = = 374,4 cm2
Perímetro = 72 cm
a = = 10,4 cm
Área del hexágono pequeño = = 101,088 cm2
a' = a – r = 10,4 – 5 = 5,4 cm
l2 – = (a')2; = 29,16 → l = 6,24 cm → Perímetro = 37,44 cm
P = = 0,27
Página 352
1. Numeramos con 1, 2, 3 y 4 las cuatro caras alargadas
de una regleta.
Dejamos caer la regleta y anotamos el número de la ca-
ra superior.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe un suceso elemental y tres no elementales.
c) ¿Cuántos sucesos tiene esta experiencia?
a) E = {1, 2, 3, 4}
b) Elementales → {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales → {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},
{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}
c) 24 = 16 sucesos
Página 353
1. Justifica gráficamente las siguientes igualdades: A U(B IC ) = (A UB ) I(A UC )
101,088
374,4
3l2
4
l2
4
37,44 · 5,4
2
√122 – 62
72 · 10,4
2
(4 – d )2
16
1341
5000
a
12
12 cm
a' l
l l/2
E B
C
A U (B I C)
(A U B) I (A U C)
A U B
A U C
A
B
C
A
E

2. Justifica gráficamente la siguiente igualdad: A – B = AIB'
Página 357
1. Lanzamos un dado “chapucero” 1000 veces. Obtenemos f(1) = 117, f(2) = 302,
f(3) = 38, f(4) = 234, f(5) = 196, f(6) = 113. Estima las probabilidades de las dis-
tintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENOR QUE 6, {1, 2}?
P [1] = = 0,117 P [2] = 0,302 P [3] = 0,038
P [4] = 0,234 P [5] = 0,196 P [6] = 0,113
P [PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649
P [MENOR QUE 6] = 1 – P [6] = 1 – 0,113 = 0,887
P [{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos da-
dos correctos?
P = =
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de
sus puntuaciones sea 2?
P = =
2
9
8
36
1
9
4
36
117
1000
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
A – B
;;A I B'B'
A
;;;;
E
B
A
;E
B
A
;

1. Observa las bolas que hay en la urna.
a) Completa el cuadro de doble entrada en el que se repar-
tan las bolas según el color (V, R, N) y el número (1, 2).
b)Calcula la probabilidad de ROJO, NEGRO, VERDE, 1 y 2, sin más que observar la
composición de la urna.
c) Comprueba que las probabilidades obtenidas en b) se pueden obtener su-
mando filas o columnas del cuadro formado en a).
d)Calcula las probabilidades condicionadas: P [1/ROJO], P [1/VERDE], P [1/NEGRO],
P [2/ROJO], P [2/VERDE], P [2/NEGRO].
e) Di si alguno de los caracteres ROJO, NEGRO, VERDE es independiente de 1 o de 2.
a)
b) y c) P [R] = = = 0,5 P [1] = = = 0,6
P [N] = = 0,3 P [2] = = = 0,4
P [V] = = = 0,2
d) P [1/R] = ; P [1/V] = 1; P [1/N] =
P [2/R] = ; P [2/V] = 0; P [2/N] =
e) No son independientes.
Página 360
1. Calcula la probabilidad de obtener tres CUATROS al lanzar tres dados.
P = · · = ( )
3
= ≈ 0,0046
1
216
1
6
1
6
1
6
1
6
1
3
3
5
2
3
2
5
1
5
2
10
2
5
4
10
3
10
3
5
6
10
1
2
5
10
1 2 2 2 1
1 1
2
1 1
V R N
1 2 2 2 6
2 0 3 1 4
2 5 3 10
V R N
1
2
2
3
2

2. Calcula la probabilidad de NINGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (Cuatro veces NO
SEIS).
P = · · · = ( )
4
= 0,48
3. Calcula la probabilidad de obtener ALGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (ALGÚN SEIS
es el suceso contrario de NINGÚN SEIS).
1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52
4. Calcula la probabilidad de obtener ALGÚN SEIS al lanzar seis dados.
P [NINGÚN 6] = ( )6
= 0,335
P [ALGÚN 6] = 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,335 = 0,665
Página 361
5. Tenemos un dado y las dos urnas descritas. Lan-
zamos el dado. Si sale 1 ó 2, acudimos a la urna I.
Si sale 3, 4, 5 ó 6, acudimos a la urna II.
Extraemos una bola de la urna correspondiente.
a) Completa las probabilidades en el diagrama
en árbol.
b) Halla: P [{3, 4, 5, 6} y ], P [ /1], P [ /5] y P [2 y ].
a) Ver el ejemplo en la propia página 343.
b) · = , , y · = =
Página 363
1. Tenemos dos urnas. La experiencia con-
siste en extraer una bola de I, introducirla
en II, remover y extraer, finalmente, una
bola de II.
Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea:
a) roja
b) verde
c) negra
2
10
12
60
6
10
2
6
3
10
6
10
12
60
3
10
4
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
6
2
6
4
(1,2)
(3,4,5,6)
I II

a) P [2-ª ] = + + = =
b) P [2-ª ] = + + = =
c) P [2-ª ] = + + =
Página 365
1. En el ejercicio propuesto del apartado anterior, calcula:
a) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que
la primera también lo fuera? P [1-ª /2-ª ]
b)Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de que la
primera haya sido negra? P [1-ª /2-ª ]
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera verde siendo verde la se-
gunda? P [1-ª /2-ª ]
a) P [1-ª /2-ª ] = = =
b) P [1-ª /2-ª ] = = =
c) P [1-ª /2-ª ] = = = =
2
3
6
9
6/30
9/30
P [ y ]
P [2-ª ]
1
8
1/30
8/30
P [ y ]
P [2-ª ]
3
13
3/30
13/30
P [ y ]
P [2-ª ]
13
30
6
30
4
30
3
30
3
10
9
30
6
30
2
30
1
30
4
15
8
30
3
30
4
30
1
30
P [ y ] = — · — = —
1
6
3
5
3
30
P [ y ] = — · — = —
1
6
1
5
1
30
P [ y ] = — · — = —
1
6
1
5
1
30
P [ y ] = — · — = —
2
6
2
5
4
30
P [ y ] = — · — = —
2
6
2
5
4
30
P [ y ] = — · — = —
2
6
1
5
2
30
P [ y ] = — · — = —
3
6
2
5
6
30
P [ y ] = — · — = —
3
6
1
5
3
30
P [ y ] = — · — = —
3
6
2
5
6
30
3/5
1/5
1/5
2/5
1/5
1/6
3/6
2/6 2/5
2/5
2/5
1/5
II
II
II

PARA PRACTICAR
1 Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son (1, C), (1, +),
(2, C)…
a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta.
Sean los sucesos:
A = “Sacar uno o dos en el dado”
B = “sacar + en la moneda”
D = {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)}
b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos.
c) Halla A UB, A IB, A UD'
a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C),
(6, +)}
b) A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
c) A U B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
A I B = {(1, +), (2, +)}
D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
A U D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
2 Sea U = {a1, a2, a3} el espacio de sucesos elementales de un experimento
aleatorio. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad?
Justifica la respuesta.
a) P [a1] = 1/2 b) P [a1] = 3/4
P [a2] = 1/3 P [a2] = 1/4
P [a3] = 1/6 P [a3] = 1/4
c) P [a1] = 1/2 d) P [a1] = 2/3
P [a2] = 0 P [a2] = 1/3
P [a3] = 1/2 P [a3] = 1/3
a) P [a1] + P [a2] + P [a3] = + + = 1
Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
1
6
1
3
1
2

b) P [a1] + P [a2] + P [a3] = + + = > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
c) P [a1] + P [a2] + P [a3] = + 0 + = 1
Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
d) P [a1] + P [a2] + P [a3] = + + = > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
3 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B:
P [A] = 1/4, P [B] = 1/2, P [A UB] = 2/3
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A I B] = 0.
Como:
P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B]
= + – P [A I B] ⇒ P [A I B] = ≠ 0
los sucesos A y B son incompatibles.
4 Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien AS o bien OROS.
¿Qué probabilidad tenemos de ganar?
P [AS U OROS] = P [AS] + P [OROS] – P [AS I OROS] = + – =
5 En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por ejemplo
(V, M, M) significa que el mayor es varón y los otros dos mujeres. ¿Cuántos
elementos tiene el espacio muestral E ?
Describe los siguientes sucesos: A = “La menor es mujer”, B = “El mayor es
varón”. ¿En qué consiste A U B?
E tiene 23 = 8 elementos.
A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
A U B = “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” =
= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)}
13
40
1
40
10
40
4
40
1
12
1
2
1
4
2
3
4
3
1
3
1
3
2
3
1
2
1
2
5
4
1
4
1
4
3
4

6 Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuacio-
nes sea un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6.
☛ Completa esta tabla y razona sobre ella.
En la tabla vamos anotando la mayor puntuación obtenida. Así:
P [La mayor de las puntuaciones sea un 1] =
P [La mayor de las puntuaciones sea un 2] = =
P [La mayor de las puntuaciones sea un 5] = =
7 Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las
alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la
probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser:
a) Alumna o que aprueba las matemáticas.
b)Alumno que suspenda las matemáticas.
c) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las ma-
temáticas?
d)¿Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA MATEMÁTICAS?
☛ Haz una tabla de contingencia.
Hacemos la tabla de contingencia:
11
36
1
4
9
36
7
36
5
36
1
12
3
36
1
36
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6
ALUMNOS ALUMNAS
APRUEBAN MAT. 10 5 15
SUSPENDEN MAT. 10 5 15
20 10 30

a) P [alumna U aprueba mat.] = P [alumna] + P [aprueba mat.] –
– P [alumna I aprueba mat.] =
= + – = =
b) P [alumno I suspende mat.] = =
c) P [aprueba mat./alumno] = =
d) Hay que ver si:
P [alumno I aprueba mat.] = P [alumno] · P [aprueba mat.]
Calculamos cada una:
P [alumno I aprueba mat.] = =
P [alumno] = =
P [aprueba mat.] = =
Por tanto, sí son independientes.
8 Se elige al azar un número entre el 1 000 y el 5 000, ambos incluidos.
Calcula la probabilidad de que sea capicúa (se lee igual de izquierda a dere-
cha que de derecha a izquierda). Razona la respuesta.
— Entre 1000 y 5000 hay 4 · 10 = 40 números capicúas (pues la primera cifra pue-
de ser 1, 2, 3 ó 4; la segunda, cualquier número del 0 al 9; la tercera es igual que
la segunda; y la cuarta, igual que la primera).
— Entre 1000 y 5000 hay 4 001 números en total. Por tanto, la probabilidad pedida
es:
P = ≈ 0,009997
9 Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias
aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene mu-
chos, descríbelo y di el número total.
a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número.
b)Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo.
c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada
una.
d)Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado.
e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras.
40
4001
1
2
15
30
2
3
20
30
1
3
10
30
1
2
10
20
1
3
10
30
2
3
20
30
5
30
15
30
10
30
P [alumno] · P [aprueba mat.] = · =
1
3
1
2
2
3








a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
b) E = {OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS}
c) Llamamos: O = OROS; C = COPAS; E = ESPADAS; B = BASTOS.
Entonces:
E = {(O, O), (O, C), (O, E), (O, B), (C, O), (C, C), (C, E), (C, B), (E, O), (E, C),
(E, E), (E, B), (B, O), (B, C), (B, E), (B, B)}
d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por
seis resultados que pueden ser cara o cruz:
(x1, x2, x3, x4, x5, x6)
xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo:
(C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E.
e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Página 369
PARA RESOLVER
10 En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y
las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin
reemplazamiento.
a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
positivo.
b)Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
negativo.
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [⊕ ⊕] + P [– –] = + = = 0,4
b) P [⊕ –] + P [– ⊕] = + = = 0,6
6
10
3
10
3
10
4
10
2
10
2
10
P [⊕ ⊕] = — · — = —
1
2
2
5
2
10
P [⊕ ] = — · — = —
1
2
3
5
3
10
P [ ⊕] = — · — = —
1
2
3
5
3
10
P [ ] = — · — = —
1
2
2
5
2
10
2/5
1/2
1/2
3/5
3/5
2/5
⊕
⊕
⊕
−
−
− −
−
−
−

11 En cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños.
Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga
ojos castaños?
b)Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos casta-
ños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
☛ Usa una tabla como la siguiente:
Hacemos la tabla:
a) = = 0,375
b) = = 0,6
c) = = 0,5
12 De los sucesos A y B se sabe que:
P [A] = , P [B] = y P [A' IB' ] = .
Halla P [A U B] y P [A I B].
• P [A' I B'] = P [(A U B)'] = 1 – P [A U B]
= 1 – P [A U B] → P [A U B] =
• P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B]
= + – P [A I B]
P [A I B] =
1
15
1
3
2
5
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
5
1
2
50
100
3
5
15
25
3
8
15
40
OJOS CAST. OJOS NO CAST.
CAB. CAST. 15 40
CAB. NO CAST.
25 100
OJOS CAST. OJOS NO CAST.
CAB. CAST. 15 25 40
CAB. NO CAST. 10 50 60
25 75 100

13 Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que:
P [A] = 0,4, P [B] = 0,3 y P [A IB ] = 0,1
Calcula razonadamente:
1) P [A UB ] 2) P [A' UB']
3) P [A/B ] 4) P [A' IB' ]
1) P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
2) P [A' U B'] = P [(A I B)'] = 1 – P [A I B] = 1 – 0,1 = 0,9
3) P [A/B] = = =
4) P [A' I B'] = P [(A U B)'] = 1 – P [A U B] = 1 – 0,6 = 0,4
14 A, B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función
de ellos los sucesos:
a) Se realiza alguno de los tres.
b) No se realiza ninguno de los tres.
c) Se realizan los tres.
d) Se realizan dos de los tres.
e) Se realizan, al menos, dos de los tres.
a) A U B U C
b) A' I B' I C'
c) A I B I C
d) (A I B I C') U (A I B' I C) U (A' I B I C)
e) (A I B I C') U (A I B' I C) U (A' I B I C) U (A I B I C)
15 Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda ti-
rada se obtenga un valor mayor que en la primera.
En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son igua-
les; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo
es mayor que el primero (con la misma probabilidad).
Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el
de la primera.
Por tanto, la probabilidad pedida es:
P = =
(NOTA: también se puede resolver el problema haciendo una tabla como la del ejer-
cicio número 6 y contar los casos).
5
12
15
36
1
3
0,1
0,3
P [A I B]
P [B]

16 Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que
pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8
y la de que pase ambas es 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
c) ¿Son las pruebas sucesos independientes?
d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado
la primera.
Tenemos que:
P [pase 1-ª] = 0,6; P [pase 2-ª] = 0,8; P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5
a) P [pase 1-ª U pase 2-ª] = P [pase 1-ª] + P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª] =
= 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1
c) P [pase 1-ª] · P [pase 2-ª] = 0,6 · 0,8 = 0,48
P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5 ≠ 0,48
No son independientes.
d) P [pase 2-ª/no pase 1-ª] = =
= =
= = = = 0,75
17 En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que
el 55% de las personas de esa comarca lee El Progresista (P), el 40% lee
El Liberal (L) y el 25% no lee ninguno de ellos.
Expresa en función de P y L estos sucesos:
a) Leer los dos periódicos.
b)Leer solo El Liberal.
c) Leer solo El Progresista.
d)Leer alguno de los dos periódicos.
e) No leer ninguno de los dos.
f) Leer solo uno de los dos.
g) Calcula las probabilidades de: P, L, P IL, P UL, P – L, L – P, (L UP)',
(L I P)'.
h)Sabemos que una persona lee El Progresista. ¿Qué probabilidad hay de
que, además, lea El Liberal ? ¿Y de que no lo lea?
3
4
0,3
0,4
0,8 – 0,5
1 – 0,6
P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª]
P [no pase 1-ª]
P [pase 2-ª I no pase 1-ª]
P [no pase 1-ª]

Tenemos que:
P [P] = 0,55; P [L] = 0,4; P [P' I L'] = 0,25
a) P [P' I L'] = P [(P U L)'] = 1 – P [P U L]
0,25 = 1 – P [P U L] → P [P U L] = 1 – 0,25 = 0,75
P [P U L] = P [P] + P [L] – P [P I L]
0,75 = 0,55 + 0,4 – P [P I L] → P [P I L] = 0,2
P [leer los dos] = P [P I L] = 0,2
b) P [L] – P [P I L] = 0,4 – 0,2 = 0,2
c) P [P] – P [P I L] = 0,55 – 0,2 = 0,35
d) P [P U L] = 0,75
e) P [P' I L'] = 0,25
f) P [P I L'] + P [P' I L] = 0,35 + 0,2 = 0,55
g) P [P] =0,55; P [L] = 0,4; P [P I L] = 0,2; P [P U L] = 0,75
P [P – L] = P [P] – P [P I L] = 0,35
P [L – P] = P [L] – P [P I L] = 0,2
P [(L U P)'] = P [L' I P'] = 0,25
P [(L I P)'] = 1 – P [L I P] = 1 – 0,2 = 0,8
h) P [L/P] = = = = ≈ 0,36
P [L'/P] = = = = ≈ 0,64
(o bien: P [L'/P] = 1 – P [L/P] = 1 – = )
18 Una urna A tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna B tiene 9 bolas
blancas y 1 negra. Escogemos una de las urnas al azar y de ella extraemos
una bola.
Calcula:
a) P [ BLANCA/A ]
b) P [ BLANCA/B ]
c) P [ A y BLANCA ]
d) P [ B y BLANCA ]
e) P [ BLANCA ]
f) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de
haber escogido la urna B ?
7
11
4
11
7
11
35
55
0,35
0,55
P [L' I P]
P [P]
4
11
20
55
0,2
0,55
P [L I P]
P [P]

a) P [BLANCA/A] = = 0,3
b) P [BLANCA/B] = = 0,9
c) P [A y BLANCA] = · = = 0,15
d) P [B y BLANCA] = · = = 0,45
e) P [BLANCA] = P [A y Blanca] + P [B y Blanca] = + = = = 0,6
f) P [B/BLANCA] = = = = = 0,75
Página 370
19 Tenemos las mismas urnas del ejercicio anterior. Sacamos una bola de A y
la echamos en B y, a continuación, sacamos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra?
b)Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de
que también la primera fuese negra?
a) P [2-ª NEGRA] = P [1-ª BLANCA y 2-ª NEGRA] + P [1-ª NEGRA y 2-ª NEGRA] =
= · + · = + =
b) P [1-ª NEGRA/2-ª NEGRA] = = =
= =
20 Tenemos dos urnas con estas composiciones:
Extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del
mismo color? ¿Y la probabilidad de que sean de distinto color?
P [mismo color] = · + · + · = + + = =
P [distinto color] = 1 – P [mismo color] = 1 – =
37
54
17
54
17
54
68
216
14
216
24
216
30
216
7
18
2
12
6
18
4
12
5
18
6
12
14
17
14/110
17/110
7/10 · 2/11
17/110
P [1-ª NEGRA y 2-ª NEGRA]
P [2-ª NEGRA]
17
110
14
110
3
110
2
11
7
10
1
11
3
10
3
4
9
12
9/20
12/20
P [B y Blanca]
P [Blanca]
3
5
12
20
9
20
3
20
9
20
9
10
1
2
3
20
3
10
1
2
9
10
3
10

21 Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad
de destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se des-
truya el puente si se lanzan las cinco bombas?
P [no dé ninguna de las 5 bombas] = ( )
5
= 0,85 = 0,32768
P [dé alguna de las 5] = 1 – 0,85 = 0,67232
22 Simultáneamente, se sacan dos cartas de una baraja española y se tira un da-
do. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el número del da-
do sea par?
P [1-ª SOTA y 2-ª SOTA y PAR en el dado] = · · = =
23 En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3 pares de cal-
cetines blancos y cuatro pares de calcetinos rojos; otro cajón contiene 4 cor-
batas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajón
un par de calcetines, y del segundo, una corbata.
Halla la probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color.
P [BLANCO y BLANCA] + P [ROJO y ROJA] = · + · = =
24 Un producto está formado de dos partes: A y B. El proceso de fabricación
es tal, que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de
un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea
defectuoso?
P [ningún defecto] = P [no defecto en A] · P [no defecto en B] =
= (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742
25 Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bo-
las con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 blancas y
una roja?
P [BBR] + P [BRB] + P [RBB] = 3 · P [BBR] = 3 · · · = = 0,15
26 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blan-
cas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resul-
tan ser blancas.
Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.
3
20
4
20
10
20
10
20
8
21
24
63
3
9
4
7
4
9
3
7
1
260
12
3120
1
2
3
39
4
40
4
5
P [A y 2b] = — · — · — = —2bA 6b 4n
1
2
6
10
5
9
1
6
— · —
6
10
5
9
P [B y 2b] = — · — · — = —2bB 5b 9n
1
2
5
14
4
13
5
91
— · —
5
14
4
13
1/2
1/2

P [2b] = + =
La probabilidad pedida será:
P [A/2b] = = = = 0,752
27 Sean A y B dos sucesos tales que: P [ A UB] = ; P [ B' ] = ; P [ A IB] = .
Halla P [ B ], P [ A ], P [ A' I B].
P [B] = 1 – P [B'] = 1 – =
P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B]
= P [A] + – → P [A] =
P [A' I B] = P [B] – P [A I B] = – =
28 En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de
la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para de-
tectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva en el
90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en
el 5% de personas sanas.
¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le
ha dado positiva?
P [POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152
P [NO ENF./POSITIVO] = = = 0,289
29 En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El
porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respecti-
vamente, 1%, 2% y 3%.
Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que
resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada
en la máquina A?
0,044
0,152
P [NO ENF. Y POSITIVO]
P [POSITIVO]
1
12
1
4
1
3
2
3
1
4
1
3
3
4
1
3
2
3
1
4
2
3
3
4
91
121
1/6
121/546
P [A y 2b]
P [2b]
121
546
5
91
1
6
P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108POSITIVOENFERMO
0,9
P [NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044POSITIVONO ENFERMO
0,05
0,12
0,88
DEFECTUOSA P [A y DEF.] = — · — = —
1
3
1
100
1
300
DEFECTUOSA P [B y DEF.] = — · — = —
1
3
2
100
2
300
DEFECTUOSA P [C y DEF.] = — · — = —
A
1/100
1/3
1/3
1/3
B
C
1
3
3
100
3
300
2/100
3/100

P [DEF.] = + + =
P [A/DEF.] = = =
30 Una caja A contiene dos bolas blancas y dos rojas, y otra caja B contiene
tres blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una
bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilidad de que la bola tras-
ladada haya sido blanca.
P [2-ª b] = + =
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P [1-ª b/2-ª b] = = =
31 Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4
negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser
negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B.
P [2n] = + =
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P [B/2n] = = =
32 Sean A y B dos sucesos tales que P[A] = 0,40; P[B/A] = 0,25 y P[B] = b.
Halla:
a) P [A IB].
b) P[A UB] si b = 0,5.
c) El menor valor posible de b.
d) El mayor valor posible de b.
56
101
1/15
101/840
P [B y 2n]
P [2n]
101
840
1
15
3
56
4
7
1/3
7/12
P [1-ª b y 2-ª b]
P [2-ª b]
7
12
1
4
1
3
1
6
1/300
6/300
P [A y DEF.]
P [DEF.]
6
300
3
300
2
300
1
300
b; P [1-ª b y 2-ª b] = — · — = —
2
4
4
6
1
3
4b 2rb B 4/6
2/4
2/4 b; P [1-ª r y 2-ª b] = — · — = —
2
4
3
6
1
4
3b 3rr B 3/6
2b 2rA
2n P [A y 2n] = — · — · — = —
1
2
3
8
2
7
3
56
5b 3nA
— · —
3
8
2
7
1/2
1/2
2n P [B y 2n] = — · — · — = —
1
2
4
10
3
9
1
15
6b 4nB
— · —
4
10
3
9

a) P [A I B] = P [A] · P [B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1
b) P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8
c) El menor valor posible de b es P [B] = P [A I B], es decir, 0,1.
d) El mayor valor posible de b es: 1 – (P [A] – P [A I B]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7
Página 371
33 Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p, ¿cuál es la pro-
babilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo.
Si P [A I B] = p, entonces:
P [A' U B'] = P [(A I B)'] = 1 – P [A I B] = 1 – p
34 Razona la siguiente afirmación: Si la probabilidad de que ocurran dos suce-
sos a la vez es menor que 1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por
separado), no puede exceder de 3/2.
P [A] + P [B] = P [A U B] + P [A I B] < 1 + =
pues P [A U B] ≤ 1 y P [A I B] < .
35 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. ¿Es posible que p
sea una probabilidad si: P [A] = , P [B] = y P [A' IB'] = ?
P [A' I B'] = P [(A U B)'] = 1 – P [A U B) = → P [A U B] =
Por otra parte:
P [A U B] = P [A] + P [B] – P [A I B]
= + – P [A I B] → P [A I B] =
Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa.
36 Sea A un suceso con 0 < P [A] < 1.
a) ¿Puede ser A independiente de su contrario A'?
b) Sea B otro suceso tal que B ⊂A. ¿Serán A y B independientes?
c) Sea C un suceso independiente de A. ¿Serán A y C ' independientes?
Justifica las respuestas.
a) P [A] = p ≠ 0; P [A'] = 1 – p ≠ 0
P [A] · P [A'] = p (1 – p) ≠ 0
P [A I A'] = P [Ø] = 0
No son independientes, porque P [A I A'] ≠ P [A] · P [A'].
–1
10
1
5
2
5
7
10
7
10
3
10
3
10
1
5
2
5
1
2
3
2
1
2

b) P [A I B] = P [B]
¿P [A] · P [B] = P [B]? Esto solo sería cierto si:
• P [A] = 1, lo cual no ocurre, pues P [A] < 1.
• P [B] = 0. Por tanto, solo son independientes si P [B] = 0.
c) A independiente de C → P [A I C] = P [A] · P [C]
P [A I C'] = P [A – (A I C)] = P [A] – P [A I C] =
= P [A] – P [A] · P [C] = P [A] (1 – P [C]) = P [A] · P [C']
Por tanto, A y C' son independientes.
37 Al tirar tres dados, podemos obtener suma 9 de seis formas distintas:
126, 135, 144, 225, 234, 333
y otras seis de obtener suma 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334.
Sin embargo, la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que
suma 9. ¿Por qué?
1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 → cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir:
3 · 3! = 3 · 6 = 18
1, 4, 4; 2, 2, 5 → cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6
18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9.
P [suma 9] = =
1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 → 6 · 3 = 18 formas
2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 → 3 · 3 = 9 formas
18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10.
P [suma 10] =
Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9].
PARA PROFUNDIZAR
38 Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces, a lo sumo. Cada
apuesta es de 1 euro. El hombre empieza con 1 euro y dejará de jugar cuan-
do pierda el euro o gane 3 euros.
a) Halla el espacio muestral de los resultados posibles.
b)Si la probabilidad de ganar o perder es la misma en cada apuesta, ¿cuál es
la probabilidad de que gane 3 euros?
27
216
25
216
25
63

a) Hacemos un esquema:
El espacio muestral sería:
E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG,
GPGPP, GPP, P}
donde G significa que gana esa partida y P que la pierde.
b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con:
GGG → probabilidad = · · =
GGPGG → probabilidad = ( )
5
=
GPGGG → probabilidad = ( )
5
=
Por tanto:
P [gane 3 euros] = + + = = 0,1875
39 En una baraja de 40 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la probabi-
lidad de que las tres sean números distintos.
P [3 números distintos] = 1 · P [2-ª dist. de la 1-ª] · P [3-ª dist. de la 1-ª y de la 2-ª] =
= 1 · · =
192
247
32
38
36
39
3
16
1
32
1
32
1
8
1
32
1
2
1
32
1
2
1
8
1
2
1
2
1
2
1(3) FIN → GGPGG
–1(1) FIN → GGPGP
1(2)
1(1) FIN → GGPPG
–1(–1) FIN → GGPPP
–1(0)
–1(1)
1(3) FIN GGG
1(3) FIN → GPGGG
–1(1) FIN → GPGGP
1(2)
1(1) FIN → GPGPG
–1(–1) FIN → GPGPP
–1(0)
1(1)
–1(0)
1(2)
1
–1(–1) FIN GPP
–1(–1) FIN P

40 Escogidas cinco personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos
dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana (es decir, en lunes,
martes, etc.)?
P [ninguna coincidencia] = 1 · P [2-ª en distinto día que la 1-ª] · …
… · P [5-ª en distinto día que 1-ª, 2-ª, 3-ª y 4-ª] =
= 1 · · · · = = 0,15
P [alguna coincidencia] = 1 – P [ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85
41 Una moneda se arroja repetidamente hasta que sale dos veces consecutivas
el mismo lado. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) El experimento consta exactamente de 4 lanzamientos.
b)El experimento consta exactamente de n lanzamientos, con 2 ≤ n ∈ N.
c) El experimento consta, como máximo, de 10 lanzamientos.
a) Consta de cuatro lanzamientos si ocurre:
C + C C o bien + C + +
Por tanto:
P [cuatro lanzamientos] = ( )4
+ ( )4
= 2 · ( )4
= ( )3
=
b) P [n lanzamientos] = ( )
n – 1
c) P [10 o menos lanzamientos] = P [2 lanzamientos] + P [3 lanzamientos] +
+ P [4 lanzamientos] + … + P [10 lanzamientos] = ( )+ ( )
2
+ ( )
3
+ … + ( )
9
Nos queda la suma de 9 términos de una progresión geométrica con:
a1 = y r =
Por tanto:
P [10 o menos lanzamientos] = ( )+ ( )
2
+ ( )
3
+ … + ( )
9
=
= = = 1 – ( )
9
= 1 – = = 0,998
42 A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el pró-
ximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averigua
que, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es ma-
yor si tiene melena que si está pelado:
(1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.
511
512
1
512
1
2
1/2 [1 – (1/2)9]
1/2
1/2 – (1/2)9 · 1/2
1 – 1/2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
8
1
2
1
2
1
2
1
2
360
2401
3
7
4
7
5
7
6
7

Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fies-
ta a la misma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:
(2) MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la
que vaya, ligará con un melenudo.
Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndo-
le de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fies-
ta. Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de to-
dos ellos las cosas cambian radicalmente.
(3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO]
Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.
¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para
dos tablas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la
primera se cumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas
se cumpla (3):
Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Su-
pongamos que tenemos lo siguiente:
Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidos
entre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocos
pijos melenudos.
Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del total
de pijos melenudos.
MELENA PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
10 Pijos
1 melenudo 1 divertido (100%)
9 pelados
8 divertidos (88,9%)
1 no divertido
10 Macarras
8 melenudos
3 no divertidos
2 pelados
1 divertido (50%)
1 no divertido
Al juntarlos a todos, tendríamos que:
20 Personas
9 melenudos
3 no divertidos
11 pelados
2 no divertidos

Problema 1
Al lanzar cuatro monedas pueden darse 16 posibilidades: CCCC, CCC+, CC+C,
CC++, C+CC, …
I Complétalas y justifica los resultados de esta tabla:
I Haz la tabla correspondiente al “NÚMERO DE CARAS” que puede obtenerse al lanzar
cinco monedas. Represéntala gráficamente.
I CCCC, CCC+, CC+C, C+CC, +CCC, CC++, C+C+, C++C, +CC+, +C+C, ++CC, C+++, +C++,
++C+, +++C, ++++
Estas son las 16 posibilidades. En ellas, si contamos el número de caras, obtenemos la
tabla:
I Para el caso de tener cinco monedas, si contamos el número de caras en todas las po-
sibilidades, obtendríamos la tabla:
La representación sería:
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 1
DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
15
N-º DE CARAS, xi 0 1 2 3 4
FRECUENCIA, fi 1 4 6 4 1
0 1 2 3 4
N-º DE CARAS 0 1 2 3 4
FRECUENCIA 1 4 6 4 1
N-º DE CARAS 0 1 2 3 4 5
FRECUENCIA 1 5 10 10 5 1
0 1 2 3 4 5

Problema 2
I Procediendo de la misma forma que en la página anterior, es decir, contando
cuadraditos, halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan:
a) P [x ≤ 2]
b) P [5 ≤ x ≤ 10]
c) P [x ≤ 10]
d) P [5 ≤ x ≤ 6]
a) P [x ≤ 2] = = 0,10
La probabilidad de tener que esperar menos de 2 minutos es 0,10 (del 10%).
b) P [5 ≤ x ≤ 10] = = 0,25
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 10 minutos es del 25%.
c) P [x ≤ 10] = = 0,50
La probabilidad de tener que esperar menos de 10 minutos es del 50%.
d) P [5 ≤ x ≤ 6] = = 0,05
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 6 minutos es del 5%.
Página 373
Problema 3
I Halla las probabilidades siguientes e interpreta lo que significan:
a) P [x ≤ 2]
b) P [5 ≤ x ≤ 10]
c) P [x ≤ 10]
d) P [5 ≤ x ≤ 6]
En total hay 100 cuadritos (el área total es 100). Así:
a) P [x ≤ 2] = = 0,19
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 2 minutos es del 19%.
b) P [5 ≤ x ≤ 10] = = 0,3125
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%.
(7,5 + 5)/2 · 5
100
(10 + 9)/2 · 2
100
5
100
50
100
25
100
10
100

c) P [x ≤ 10] = = 0,75
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 10 minutos es del 75%.
d) P [5 ≤ x ≤ 6] = = 0,0725
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.
Página 375
1. Calcula –x y σ en esta distribución: tiempo que emplean en ir de su casa al co-
legio un grupo de alumnos. [Recuerda: al intervalo (0, 5] le corresponde el va-
lor 2,5…]
Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
–x = = = 12,5
σ= = = = 5,65
Página 377
1. Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad corres-
pondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.
µ = = 3,5
σ = = = 1,71√2,92
√91
– 3,52
6
21
6
√31,94
√6 775
– 12,52
36√Σ fi xi
2
– –x
n
450
36
Σfi xi
n
(7,5 + 7)/2 · 1
100
(10 + 5)/2 · 10
100
xi fi fi xi fi xi
2
2,5 2 5 12,5
7,5 11 82,5 618,75
12,5 13 162,5 2 031,25
17,5 6 105 1 837,5
22,5 3 67,5 1518,75
27,5 1 27,5 756,25
36 450 6 775
xi pi pi xi pi xi
2
1 1/6 1/6 1/6
2 1/6 2/6 4/6
3 1/6 3/6 9/6
4 1/6 4/6 16/6
5 1/6 5/6 25/6
6 1/6 6/6 36/6
1 21/6 91/6
TIEMPO (minutos) (0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]
N-º DE ALUMNOS 2 11 13 6 3 1

2. Si se tiran dos monedas podemos obtener 0, 1 ó 2 caras. Calcula la media y la
desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente.
µ = 1
σ = = = = 0,71
3. En una bolsa hay bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dos y 6 con
un tres. Sacamos una bola y vemos qué número tiene.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
a)
b)
µ = = 1,85
σ = = = 0,85
Página 379
1. En una distribución binomial B (10; 0,4), halla P [x = 0], P [x = 3], P [x = 5],
P [x = 10] y el valor de los parámetros µ y σ.
P [x = 0] = 0,610 = 0,006047
P [x = 3] = ( )· 0,43 · 0,67 = 120 · 0,43 · 0,67 = 0,215
P [x = 5] = ( )· 0,45 · 0,65 = 252 · 0,45 · 0,65 = 0,201
P [x = 10] = 0,410 = 0,000105
µ = 10 · 0,4 = 4
σ = = = = 1,55√2,4√10 · 0,4 · 0,6√n p q
10
5
10
3
√0,73
√83
– 1,852
20
37
20
√1
2√ 3
– 1
2√6
– 12
4
xi pi pi xi pi xi
2
0 1/4 0 0
1 2/4 2/4 2/4
2 1/4 2/4 4/4
1 1 6/4
xi pi
1 9/20
2 5/20
3 6/20
1
xi pi pi xi pi xi
2
1 9/20 9/20 9/20
2 5/20 10/20 20/20
3 6/20 18/20 54/20
1 37/20 83/20

2. Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras.
Halla los valores de µ y σ.
Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5 → B(7; 0,5)
P [x = 3] = ( )· (0,5)3 · (0,5)4 = 35 · 0,125 · 0,0625 ≈ 0,273
P [x = 5] = ( )· (0,5)5 · (0,5)2 = 21 · 0,03125 · 0,25 ≈ 0,164
P [x = 6] = ( )· (0,5)6 · (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈ 0,0547
µ = n p = 7 · 0,5 = 3,5
σ = = ≈ 1,323
Página 381
1. Calcula k para que f (x) = sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P [4 < x < 6] b) P [2 < x ≤ 5]
c) P [x = 6] d) P [5 < x ≤ 10]
Como el área bajo la curva ha de ser igual a 1, tenemos que:
P [–∞ < x < +∞] = P [3 ≤ x ≤ 8] = 5k = 1 → k =
a) P [4 < x < 6] = (6 – 4) · =
b) P [2 < x ≤ 5] = P [3 ≤ x ≤ 5] = (5 – 3) · =
c) P [x = 6] = 0
d) P [5 < x ≤ 10] = P [5 ≤ x ≤ 8] = (8 – 5) · =
2. Calcula m para que f (x) = sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P[3 < x < 5] b) P[5 ≤ x < 7]
c) P[4 ≤ x ≤ 6] d) P[6 ≤ x < 11]
El área bajo la curva (área del trapecio señalado)
ha de ser igual a 1:
P [–∞ < x < +∞] = P [3 ≤ x ≤ 7] = =
= 20m = 1 → m =
1
20
(7m + 3m) · 4
2
mx, x ∈[3, 7]
0, x ∉[3, 7]



3
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
1
5
k, x ∈[3, 8]
0, x ∉[3, 8]



√7 · 0,5 · 0,5√n p q
7
6
7
5
7
3
3 m
7 m
3 7
Área = 1

a) P [3 < x < 5] = = =
b) P [5 ≤ x < 7] = = =
c) P [4 ≤ x ≤ 6] = = =
d) P [6 ≤ x < 11] = P [6 ≤ x ≤ 7] = =
Página 382
3. Halla la función de distribución de la v. a. cuya función de densidad es:
f (x) =
P [t ≤ x] = (x – 3) · =
La función de distribución es:
F(x) =
4. Halla la función de distribución de la v. a. cuya función de densidad es:
f (x) =
P [t ≤ x] = =
= =
La función de distribución es:
F(x) =
Página 384
1. Halla las siguientes probabilidades:
a) P [z ≤ 0,84] b) P [z < 1,5] c) P [z < 2] d) P [z < 1,87]
e) P [z < 2,35] f) P [z ≤ 0] g) P [z < 4] h) P [z = 1]
Mirando directamente la tabla, obtenemos:
a) 0,7996 b) 0,9332 c) 0,9772 d) 0,9693
e) 0,9906 f) 0,5000 g) 1 h) 0
0 si x ≤ 3
x2 – 9
–––––– si 3 ≤ x ≤ 7
40
1 si x ≥ 7







x2 – 9
40
(x + 3)(x – 3)
40
(x/20 + 3/20) · (x – 3)
2
x/20, x ∈[3, 7]
0, x ∉[3, 7]



0 si x ≤ 3
x – 3
––––– si 3 ≤ x ≤ 8
5
1 si x ≥ 8







x – 3
5
1
5
1/5, x ∈[3, 8]
0, x ∉[3, 8]



13
40
(7/20 + 6/20) · 1
2
1
2
10
20
(6/20 + 4/20) · 2
2
3
5
12
20
(7/20 + 5/20) · 2
2
2
5
8
20
(5/20 + 3/20) · 2
2
1/5
3 x 8
3/20
7/20
3 7x

2. Di el valor de k en cada caso:
a) P [z ≤ k] = 0,7019 b) P [z < k] = 0,8997
c) P [z ≤ k] = 0,5040 d) P [z < k] = 0,7054
a) k = 0,53 b) k = 1,28
c) k = 0,01 d) k = 0,54
3. Di el valor aproximado de k en cada caso:
a) P [z < k] = 0,9533 b) P [z ≤ k] = 0,62
a) k ≈ 1,68 b) k ≈ 0,305
Página 385
4. Halla: a) P [z > 1,3] b) P [z < –1,3]
c) P [z > –1,3] d) P [1,3 < z < 1,96]
e) P [–1,96 < z < –1,3] f) P [–1,3 < z < 1,96] g) P [–1,96 < z < 1,96]
a) P [z > 1,3] = 1 – P [z < 1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
b) P [z < –1,3] = 0,0968
c) P [z > –1,3] = 1 – 0,0968 = 0,9032
d) P [1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – 0,9032 = 0,0718
e) P [–1,96 < z < –1,3] = 0,0718
f) P [–1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – (1 – 0,9032) = 0,8782
g) P [–1,96 < z < 1,96] = 0,95
5. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:
a) P [–1 ≤ z ≤ 1] b) P [–2 ≤ z ≤ 2]
c) P [–3 ≤ z ≤ 3] d) P [–4 ≤ z ≤ 4]
a) P [–1 ≤ z ≤ 1] = 2(P [z ≤ 1] – 0,5) = 0,6826
b) P [–2 ≤ z ≤ 2] = 2(P [z ≤ 2] – 0,5) = 0,9544
c) P [–3 ≤ z ≤ 3] = 0,9974
d) P [–4 ≤ z ≤ 4] = 1
–1,3 1,30
–1 10

6. En una distribución N (173, 6), halla las siguientes probabilidades:
a) P [x ≤ 173] b) P [x ≥ 180,5] c) P [174 ≤ x ≤ 180,5]
d) P [161 ≤ x ≤ 180,5] e) P [161 ≤ x ≤ 170] f) P [x = 174]
g) P [x > 191] h) P [x < 155]
a) P [x ≤ 173] = 0,5
b) P [x ≥ 180,5] = P [z ≥ ]= P [z ≥ 1,25] = 1 – 0,8944 = 0,1056
c) P [174 ≤ x ≤ 180,5] = P [0,17 ≤ z ≤ 1,25] = 0,3269
d) P [161 ≤ x ≤ 180,5] = P [–2 ≤ z ≤ 1,25] = 0,8716
e) P [161 ≤ x ≤ 170] = P [–2 ≤ z ≤ –0,5] = 0,2857
f) P [x = 174] = P [z = 0,1667] = 0
g) P [x > 191] = P [z > 3] = 1 – φ(3) = 1 – 0,9987 = 0,0013
h) P [x < 155] = P [z < –3] = 1 – φ(3) = 0,0013
Página 388
1. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales median-
te aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el
ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a
una continua).
a) x es B (100; 0,1). Calcula P [x = 10], P [x < 2] y P [5 < x < 15].
b) x es B (1 000; 0,02). Calcula P [x > 30] y P [x < 80].
c) x es B (50; 0,9). Calcula P [x > 45] y P [x ≤ 30].
a) x es B (100; 0,1) ≈ x' es N (10; 3)
P [x = 10] = P [9,5 < x' < 10,5] = P [–0,17 < z < 0,17] = 0,135
P [x < 2] = P [x' ≤ 1,5] = P [z ≤ –2,83] = 0,0023
P [5 < x < 15] = P [5,5 ≤ x' ≤ 14,5] = P [–1,5 ≤ z ≤ 1,5] = 0,8664
b) x es B (1000; 0,02) ≈ x' es N (20; 4,427)
P [x > 30] = P [x' ≥ 30,5] = P [z ≥ 2,37] = 0,0089
P [x < 80] = P [x' ≤ 79,5] = P [z ≤ 13,44] = 1
c) x es B (50; 0,9) = x' es N (45; 2,12)
P [x > 45] = P [x' ≥ 45,5] = P [z ≥ 0,24] = 0,4052
P [x ≤ 30] = P [x' ≤ 30,5] = P [z ≤ –6,83] = 0
180,5 – 173
6

PARA PRACTICAR
Distribuciones de probabilidad
1 Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:
0,1 + 0,3 + P [2] + 0,1 = 1 → P [2] = 0,5
µ = Σ xi pi = 1,6
σ = = = 0,8
2 Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (0, 1 ó 2).
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
a)
b) µ = 0,2; σ = 0,42
3 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una
tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y
la desviación típica.
µ = 1,5; σ = 0,87
√0,64√3,2 – 1,62
xi 0 1 2 3
pi 0,1 0,3 … 0,1
xi pi xi pi pi xi
2
0 0,1 0 0
1 0,3 0,3 0,3
2 0,5 1 2
3 0,1 0,3 0,9
Σxi pi = 1,6 Σpi xi
2 = 3,2
xi 0 1 2
p
i · 2 · · ·
3
39
4
40
36
39
4
40
35
39
36
40
xi 0 1 2 3
p
i
1
8
3
8
3
8
1
8
0
1/8
2/8
3/8
1 2 3
pi
xi

4 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si en
cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las
posibles sumas 0, 1, 2…, 10, 11 y 12 con probabilidades distintas.
Haz la tabla con la distribución de probabilidades y calcula µ y σ.
µ = 6; σ = 3
5 Un alumno ha estudiado 12 temas de los 30 que entran en el examen. Se
eligen 2 temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o nin-
guno. Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráfica-
mente.
6 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extrac-
ciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento.
a)
b)
7 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas
numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola de
A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Represéntala gráficamente.
c) Calcula µ y σ.
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p
i
1
28
1
28
2
28
2
28
3
28
3
28
4
28
3
28
3
28
2
28
2
28
1
28
1
28
xi 0 1 2
pi 0,35 0,50 0,15
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1 2
pi
xi
xi 0 1 2
p
i · 2 · · ·
2
9
3
10
7
9
3
10
6
9
7
10
xi 0 1 2
p
i ( )
2
2 · · ( )
23
10
7
10
3
10
7
10

a)
b)
c) µ = 5,25; σ = 2,59
8 Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:
a) f (x) = 0,5 + 0,5x, x ∈ [0, 2]
b)f (x) = 0,5 – x, x ∈ [0, 2]
c) f (x) = 1 – 0,5x, x ∈ [0, 2]
Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es 1:
a)
Área = = 1,5 →
b) f (2) = –1,5 < 0 → No puede ser función de densidad, pues tendría que ser
f(x) ≥ 0
→
Distribución binomial
9 En una distribución binomial B (9; 0,2) calcula:
a) P [x < 3] b) P [x ≥ 7]
c) P[x ≠ 0] d) P [x ≤ 9]
Sí puede ser función
de densidad





1 · 2
Área = —— = 1
2
f (x) > 0
c)
No puede ser función
de densidad
1,5 · 2
2
xi 1 2 3 4 5
p
i · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
xi 6 7 8 9
p
i · = 0,125 0,125 0,125 0,125
1
4
1
2
1
0,1
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9
pi
xi
0,5
1
1,5
1,5
1 2
0,5
1
1,5
1 2

a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738
b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314
c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866
d) 1
10 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respues-
tas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas?
b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas?
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.
x es B (10; )
a) P [x = 4] = ( )· 0,254 · 0,756 = 0,146
b) P [x > 2] = 1 – P [x ≤ 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =
= 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474
c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056
11 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su
color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la
probabilidad de obtener:
a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas.
c) Más de tres rojas. d) Alguna roja.
Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3).
a) P [x = 3] = ( )· 0,33 · 0,72 = 0,1323
b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] =
= 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈ 0,8369
c) P [x > 3] = 1 – P [x ≤ 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308
d) P [x ≠ 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319
12 La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea de-
fectuoso, es 0,2. Al revisar cinco aparatos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso?
b) ¿Y la de que haya alguno defectuoso?
x es B (5; 0,2)
a) P [x = 0] = 0,85 = 0,328
b) P [x ≠ 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,328 = 0,672
5
3
10
4
1
4

Manejo de la tabla N (0, 1)
13 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P [z = 2] b) P [z ≤ 2] c) P [z ≥ 2]
d) P [z ≤ –2] e) P [z ≥ –2] f ) P [–2 ≤ z ≤ 2]
a) P [z = 2] = 0
b) P [z ≤ 2] = 0,9772
c) P [z ≥ 2] = 1 – 0,9792 = 0,0228
d) P [z ≤ –2] = 1 – 0,9772 = 0,0228
e) P [z ≥ –2] = 1 – 0,0228 = 0,9772
f) P [–2 ≤ z ≤ 2] = 2(P [z ≤ 2] – 0,5) = 0,9544
14 En una distribución N (0, 1), calcula:
a) P [z ≤ 1,83] b) P [z ≥ 0,27]
c) P [z ≤ –0,78] d) P [z ≥ 2,5]
a) P [z ≤ 1,83] = 0,9664 b) P [z ≥ 0,27] = 0,3935
c) P [z ≤ –0,78] = 0,2177 d) P [z ≥ 2,5] = 0,0062
Página 395
a) P [z = 1,6] b) P [–2,71 ≤ z ≤ –1,83]
c) P [1,5 ≤ z ≤ 2,5] d) P [–1,87 ≤ z ≤ 1,25]
a) P [z = 1,6] = 0
b) P [–2,71 ≤ z ≤ –1,83] = P [1,83 ≤ z ≤ 2,71] = P [z ≤ 2,71] – P [z ≤ 1,83] = 0,0302
c) P [1,5 ≤ z ≤ 2,5] = P [z ≤ 2,5] – P [z ≤ 1,5] = 0,0606
d) P [–1,87 ≤ z ≤ 1,25] = P [z ≤ 1,25] – P [z ≤ –1,87] = P [z ≤ 1,25] – P [z ≥ 1,87] =
= P [z ≤ 1,25] – (1 – P [z < 1,87]) = 0,8637
16 Calcula k en cada uno de los siguientes casos:
a) P [z < k] = 0,8365 b) P [z > k] = 0,8365 c) P [z < k] = 0,1894
a) k = 0,98 b) k = –0,98 c) k = –0,88
–1,87 1,250

Tipificación
17 En un examen tipo test, la media fue 28 puntos y la desviación típica 10 pun-
tos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron:
a) 38 puntos. b) 14 puntos.
c) 45 puntos. d) 10 puntos.
µ = 28; σ = 10
a) = 1 b) = –1,4
c) = 1,7 d) = –1,8
18 Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un
alumno fue 0,8, ¿cuántos puntos obtuvo? ¿Cuántos puntos corresponden a
un valor tipificado de –0,2?
0,8 → 0,8 · 10 + 28 = 36
–0,2 → –0,2 · 10 + 28 = 26
19 Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y –0,4 y sus notas
reales fueron 88 y 64 puntos. ¿Cuál es la media y la desviación típica de las
puntuaciones del examen?
= 0,8 88 – µ = 0,88σ
88 – 0,8σ = 64 + 0,4σ → σ = 20; µ = 72
= –0,4 64 – µ = –0,4σ
La media es 72 y la desviación típica 20.
Cálculo de probabilidades en N (µ, σ)
a) P [x ≥ 43] b) P [x ≤ 30]
c) P [40 ≤ x ≤ 55] d) P [30 ≤ x ≤ 40]
a) P [x ≥ 43] = 0,5
b) P [x ≤ 30] = P [z ≤ ]= P [z ≤ –1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
c) P [40 ≤ x ≤ 55] = P [ ≤ z ≤ ]= P [–0,3 ≤ z ≤ 1,2] = 0,5028
d) P [30 ≤ x ≤ 40] = P [–1,3 ≤ z ≤ –0,3] = P [0,3 ≤ z ≤ 1,3] = P [z ≤ 1,3] – P [z ≤ 0,3] =
= 0,9032 – 0,6179 = 0,2853
55 – 43
10
40 – 43
10
30 – 43
10
64 – µ
σ
88 – µ
σ
10 – 28
10
45 – 28
10
14 – 28
10
38 – 28
10















21 En una distribución N (151, 15), calcula:
a) P [x ≤ 136] b) P [120 ≤ x ≤ 155]
c) P [x ≥ 185] d) P [140 ≤ x ≤ 160]
a) P [x ≤ 136] = P [z ≤ ]= P [z ≤ –1] = P [z ≥ 1] = 1 – P [z < 1] = 0,1587
b) P [120 ≤ x ≤ 155] = P [2,07 ≤ z ≤ 0,27] = 0,5873
c) P [x ≥ 185] = P [z ≥ 2,27] = 0,0116
d) P [140 ≤ x ≤ 160] = P [–0,73 ≤ z ≤ 0,6] = 0,5149
22 La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm y la des-
viación típica, 10 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la
probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de 180 cm.
¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?
x es N (165, 10); n = 200 alumnos
P [x > 180] = P [z > ]= P [z > 1,5] = 1 – 0,9332 = 0,0668
200 · 0,0668 = 13,36 ≈ 13 alumnos
23 Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media
65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado ele-
gido al azar pese:
a) Más de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg.
c) Menos de 70 kg. d) Más de 75 kg.
x es N (65, 8)
a) P [x > 61] = P [z > ]= P [z > –0,5] = P [z < 0,5] = 0,6915
b) P [63 < x < 69] = P [–0,25 < z < 0,5] = 0,2902
c) P [x < 70] = P [z < 0,625] = 0,7357
d) P [x > 75] = P [z > 1,25] = 1 – P [z ≤ 1,25] = 0,1056
24 Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 50
puntos o más. Por experiencia de años anteriores, sabemos que la distribu-
ción de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos
y desviación típica 10.
a) ¿Qué probabilidad hay de que un alumno apruebe?
b) Si se presentan al examen 400 alumnos, ¿cuántos cabe esperar que ingre-
sen en esa escuela?
x es N (55, 10)
a) P [x ≥ 50] = P [z ≥ ]= P [z ≥ –0,5] = P [z ≤ 0,5] = 0,6915
b) 400 · 0,6915 = 276,6 ≈ 277 alumnos
50 – 55
10
61 – 65
8
180 – 165
10
136 – 151
15

25 En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se
distribuyen normalmente con una media de 26 °C y una desviación típica
de 4 °C.
¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima com-
prendida entre 22 °C y 28 °C?
x es N (26, 4)
P [22 < x < 28] = P [–1 < z < 0,5] = 0,5328
0,5328 · 31 = 16,52 ≈ 17 días
Binomial → Normal
26 Si lanzamos un dado mil veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de
cincos obtenidos sea menor que 100?
x es B (1000; 0,1667) → x' es N (166,67; 11,79)
P [x < 100] = P [x' ≤ 99,5] = P [z ≤ –5,70] = 0
27 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número de
caras:
a) Sea mayor que 200.
b) Esté entre 180 y 220.
x es B (400; 0,5) → x' es N (200, 10)
a) P [x > 200] = P [x' ≥ 200,5] = P [z ≥ 0,05] = 0,4801
b) P [180 < x < 220] = P [180,5 ≤ x' ≤ 219,5] = P [–1,95 ≤ z ≤ 1,95] = 0,9488
28 En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, y
cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo.
a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez.
b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga
más de 12 veces.
a) x es B (3; 0,1)
P [x = 1] = 3 · 0,1 · 0,92 = 0,243
b) x es B (100; 0,1) → x' es N (10, 3)
P [x > 12] = P [x' ≥ 12,5] = P [z ≥ 0,83] = 0,2033
Página 396
PARA RESOLVER
29 Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener
cruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos dos veces y anotamos el número
de cruces. Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala
gráficamente y calcula su media y su desviación típica.

x es B (2; 0,4)
µ = 0,8
σ = 0,69
30 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos.
Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos.
Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos de-
fectuosos:
a) Ninguno.
b) Uno.
c) Más de dos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?
x es B (50; 0,02)
a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364
b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372
c) P [x > 2] =1 – P [x ≤ 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =
= 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078
Por término medio, habrá µ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.
31 El 20% de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a es-
tudios superiores. Sabemos que las notas medias finales en esa escuela se
distribuyen normalmente con media 5,8 y desviación típica 2. ¿Cuál es la no-
ta media mínima que debe obtener un alumno si quiere hacer estudios supe-
riores?
Si llamamos X a las notas medias finales, tenemos que X es N (5,8; 2).
Buscamos el valor de x para el cual P [X > x] = 0,2.
Para una N (0, 1), P [z > k] = 1 – P [z ≤ k] = 0,2 → P [z ≤ k] = 0,8 → k = 0,84
Por tanto:
= 0,84 → x = 7,84
Debe obtener una media de 7,84 puntos o superior.
32 En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo de
juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, apro-
ximadamente, normal con media de 1 500 horas y desviación típica de
200 horas.
x – 5,8
2
xi 0 1 2
pi 0,36 0,48 0,16
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1 2
pi
xi

a) Escogiendo uno de los focos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que luzca
por lo menos 1 000 horas?
b) Si se decide comprar 1 500 focos, ¿cuántos puede esperarse que luzcan
por lo menos 1 000 horas?
x es N (1500, 200)
a) P [x ≥ 1000] = P [z ≥ –2,5] = P [z ≤ 2,5] = 0,9938
b) 1500 · 0,9938 = 1490,7 ≈ 1491 focos
33 El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distri-
buye según una normal N (2 000, 250).
a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes
no supere los 2 100.
b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más
de 1 500.
c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el número de
visitantes supere los 2 210?
x ~ N (2000, 250) → z ~ N (0, 1)
a) P [x ≤ 2100] = P [z ≤ 0,4] = 0,6554
b) P [x ≥ 1500] = P [z ≥ –2] = P [z ≤ 2] = 0,9772
c) P [x ≥ 2210] = P [z ≥ 0,84] = 0,2004
30 · 0,2004 = 6,012 → 6 días
34 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blan-
co es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que:
a) Solo uno dé en el blanco.
b) Al menos uno dé en el blanco.
x es B (6; 0,4)
a) P [x = 1] = ( )· 0,4 · 0,65 = 0,1866
b) P [x ≥ 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533
35 a) Calcula el valor de k para que la función sea una función de densidad.
f (x) =
b)Halla las probabilidades:
P[2 < x < 5] y P[4 < x < 6]
c) Obtén la expresión de la función de distribución.
0, x < 1
k, 1 ≤ x ≤ 5
3k, 5 < x ≤ 7
0, x > 7







6
1

a)
El área bajo la curva debe ser 1:
Área = 4k + 2 · 3k = 4k + 6k = 10k = 1 → k =
b) P [2 < x < 5] = (5 – 2) · = = 0,3
P [4 < x < 6] = P [4 < x < 5] + P [5 < x < 6] = + = = = 0,4
c) Si x ≤ 1 → F (x) = 0
Si 1 ≤ x ≤ 5 → F (x) = (x – 1) · =
Si 5 ≤ x ≤ 7 → F (x) = + (x – 5) · = =
Si x ≥ 7 → F (x) = 1
F (x) =
36 En las últimas elecciones celebradas en un cierto país, la abstención fue del
25% del censo electoral.
a) Si se seleccionan al azar tres individuos del censo, ¿cuál es la probabilidad
de que ninguno haya votado?
b) Si se toman al azar 100 miembros del censo, ¿cuál es la probabilidad de
que se hayan abstenido al menos 30?
a) x es B (3; 0,25)
P [x = 3] = 0,253 = 0,0156
b) x es B (100; 0,25) → x' es N (25; 4,33)
P [x ≥ 30] = P [x' ≥ 29,5] = P [z ≥ 1,04] = 0,1492
37 Un examen tipo test tiene 50 preguntas y cada pregunta tres respuestas dife-
rentes, solo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder
correctamente a 25 preguntas; para un notable, 35; y para un sobresaliente,
45 respuestas.
Un estudiante responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe? ¿Y
la de que saque un notable? ¿Y un sobresaliente?
0 si x ≤ 1
x – 1
––––––– si 1 ≤ x ≤ 5
10
3x – 11
––––––––– si 5 ≤ x ≤ 7
10
1 si x ≥ 7
Por tanto:
3x – 11
10
4 + 3x – 15
10
3
10
4
10
x – 1
10
1
10
2
5
4
10
3
10
1
10
3
10
1
10
1
10
k
3k
1 5 7










x es B (50; 0,333) → x' es N (16,66; 3,33)
P [x ≥ 25] = P [x' ≥ 24,5] = P [z ≥ 2,35] = 0,0094 → probabilidad de aprobar
P [x ≥ 35] = P [x' ≥ 34,5] = P [z ≥ 5,36] = 0
La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es 0.
Página 397
38 En una distribución B (4; 0,25) comprueba que:
P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3] + P [x = 4] = 1
0,754 + 4 · 0,25 · 0,753 + 6 · 0,252 · 0,752 + 4 · 0,253 · 0,75 + 0,254 = 1
39 Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable:
ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se to-
man en consideración.)
Ganar dos de cuatro:
B (4, ); p [x = 2] = 6 · ( )
2
· ( )
2
=
Ganar tres de seis:
B (6, ); p [x = 3] = 20 · ( )
3
· ( )
3
= =
Es más probable lo primero: ganar dos de cuatro.
40 En una mano de póker se dan 5 cartas a cada jugador. Nos preguntamos por
la probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k = 0, 1, 2, 3, 4 ó 5).
¿Por qué no es una distribución binomial?
Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de esta. Por tan-
to, la probabilidad de “FIGURA” no es constante para cada una de las cinco cartas.
41 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial
y di los valores de n, p, µ y σ.
a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas,
de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número de
preguntas acertadas?
b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las res-
puestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos pregunta-
mos cuántas de ellas acertará.
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.
d) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea
el reintegro. En una familia juegan a 46 números.
e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Nú-
mero de soldaduras defectuosas que habrá.
5
16
20
64
1
2
1
2
1
2
6
16
1
2
1
2
1
2

a) B (50; ); µ = = 16,67; σ = 3,33
b) B (30; ); µ = 10; σ = 2,58 relativo a las que contesta al azar
c) B (400; ); µ = 200; σ = 10
d) B (46; 0,11); µ = 5,06; σ = 2,12
e) B (1000; 0,01); µ = 10; σ = 3,15
PARA PROFUNDIZAR
42 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas: la má-
quina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas
con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes.
El diámetro del taladro producido por A, en milímetros, es N (23; 0,5).
El grosor producido por B, en milímetros, es N (11,5; 0,4).
a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre
20,5 y 24 mm.
b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y
12,7 mm.
c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas
en a) y b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen.
☛ Se supone que las medidas están dadas exactamente.
a) P [20,5 ≤ x ≤ 24] = P [–5 ≤ z ≤ 2] = 0,9772 → 97,72%
b) P [10,5 ≤ x ≤ 12,7] = P [–2,5 ≤ z ≤ 3] = 0,9925 → 99,25%
c) 0,9772 · 0,9925 = 0,9699 → 96,99%
43 Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen N (65, 18).
Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntua-
ción obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios:
• duro de oído;
• poco sensible a la música;
• normal;
• sensible a la música;
• extraordinariamente dotado para la música,
de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un 10%, un
35%, un 30%, un 20% y un 5% del total de individuos observados.
¿En qué puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos?
1
2
1
3
50
3
1
3

Empezamos trabajando en una N (0, 1):
El valor de z bajo el cual un 10% de la población es opuesto a aquel por encima
del cual hay un 10%, es decir, por debajo del cual hay un 90%.
Este es, mirando las tablas, 1,28, aproximadamente.
(Obsérvese que P (z ≤ 1,28) = 0,8997 es la más próxima a 0,9).
Por tanto, P [z ≤ –1,28] ≈ 0,1.
Análogamente, el valor correspondiente al 45% (10% + 35%) lo obtenemos bus-
cando en la tabla una probabilidad lo más próxima posible al 55%, es decir, a
0,5500.
Esta está en el 0,13.
Por tanto, P [z ≤ –0,13] ≈ 0,45
• P [z ≤ k] = 0,75 → k ≈ 0,68
• P [z ≤ k] = 0,95 → k ≈ 1,65
El baremo lo realizamos “destipificando” los valores obtenidos para z:
–1,28 → (–1,28) · 18 + 65 = 41,96
–0,13 → (–0,13) · 18 + 65 = 62,66
0,68 → 0,68 · 18 + 65 = 77,24
1,65 → 1,65 · 18 + 65 = 94,7
BAREMO
Hasta 41: duro de oído
de 42 a 62: poco sensible a la música
de 63 a 77: normal
de 78 a 94: sensible a la música
de 95 en adelante: extraordinariamente dotado
44 En una circunferencia se señalan 16 puntos igualmente espaciados.
Se eligen al azar tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo de-
terminado por ellos:
a) sea equilátero?
b) sea rectángulo?

a)
α = = 22,5° = 22° 30'
Para que el triángulo fuera equilátero, debería ser:
nα = 120° → n = = 5,
)
3
que no es entero; por tanto, es imposible que el triángulo sea equilátero. (Para
poder obtenerlo, el número de puntos señalados debería ser múltiplo de 3).
Así: P [equilátero] = 0
b) Llamamos A, B, C a los vértices.
Para que el triángulo sea rectángulo, dos de
sus vértices deben ser opuestos respecto al
centro de la circunferencia. Luego la probabi-
lidad pedida es:
P [B opuesto a A] + P [B no opuesto a A] ·
· P [C opuesto a A o a B] =
= + · = = = 0,2
45 Un grupo de viajeros, al acabar una excursión, intercambiaron sus fotogra-
fías. Averigua cuántos eran sabiendo que se intercambiaron 812 fotografías.
Si n es el número de viajeros, se intercambiaron n · (n – 1) fotografías; es decir:
n (n – 1) = 812
Descomponiendo 812 en factores primos, observamos que:
812 = 22 · 7 · 29 = 28 · 29
Por tanto, n = 29 viajeros.
46 En la autopista, un cierto conductor cambia de carril cada minuto. Si la auto-
pista tiene cuatro carriles y el conductor pasa al azar de uno a otro, ¿cuál es
la probabilidad de que cuatro minutos más tarde se encuentre en el carril de
partida? (Estudia los casos en que el carril sea interior o exterior.)
Llamamos A, B, C, D a cada uno de los cuatro carriles.
1
5
3
15
2
14
14
15
1
15
120°
22,5°
360°
16
n α
α
A
B
C
A B C D

1er CASO: parte de un carril exterior (de A o de D):
P [acabar en A partiendo de A] = + =
Análogamente:
P [acabar en D partiendo de D] =
2-º CASO: parte de un carril interior (de B o de C ):
P [acabar en B partiendo de B] = + + + + =
Análogamente:
P [acabar en C partiendo de C ] =
11
16
11
16
1
8
1
16
1
8
1
8
1
4
3
8
3
8
1
8
1
4
1_er
minuto 2-º minuto 3_er
minuto 4-º minuto
A
C
BA
C
B
B1
1
1
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2 D
A A
C
C
1_er
minuto 2-º minuto 3_er
minuto 4-º minuto
A
C
BA
C
B
1
1
1/2
1/2 1/2
1/2
D
B
B
B
C
D
1/2
1/2
1/2
1/2
1
A
C
B
B
D
1/2
1/2
1/2
1/2
1
B
D
1/2
1/2

RESUELVE TÚ
Estimando la población española en 40 millones, ¿en cuántos de los españoles,
aproximadamente, se dará la circunstancia de que sus padres y alguno de sus
cuatro abuelos cumplan años el 1 de enero? (Para simplificar la resolución, ol-
videmos la posibilidad de nacer el 29 de febrero.)
P [una persona nazca el 1 de enero] =
P [padre y madre nazcan el 1 de enero] = ( )
2
= 7,5 · 10–6
P [ninguno de los cuatro abuelos nazca el 1 de enero] = ( )
4
= 0,9891
P[alguno de los cuatro abuelos nazca el 1 de enero] = 1 – 0,9891 = 0,0109 = 1,09 · 10–2
Por tanto:
P [los padres y uno de los abuelos nazca el 1 de enero] =
= 7,5 · 10–6 · 1,09 · 10–2 = 8,175 · 10–8
8,175 · 10–8 · 40 000 000 = 3,27
Es probable que en España haya 3 personas con esas circunstancias.
364
365
1
365
1
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