Matemáticas Básicas: Funciones

Matemáticas Básicas: Funciones
M. en C. Juliho Castillo
3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
1

¡Bienvenidas al Curso de Matemáticas Básicas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la
“o”.)
4

Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,
posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:
“Técnicas simplécticas aplicadas a las soluciones
generalizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajo
la dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,
CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha de
titulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación de
Capacidades Simplécticas en Superficies”, bajo la
dirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,
especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 de
enero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadores
de Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor Sanchez
5

Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: Manuscripta
Mathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo de
Investigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis
Semiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,
69-96, Artículo de exposición.
6

Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis de
Licenciatura en Matemáticas Aplicadas, Mención
Honorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,
ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana de
Matemáticas, Delegación Oaxaca
7

Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,
ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas
“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias y
Matemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,
Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académia
de Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,
Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,
Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,
8

1 Definiciones y ejemplos
2 Sistema de coordenadas rectangulares
Desplazamientos horizontales
Desplazamientos verticales
Cambio de coordenadas
3 Rectas
Paralelas y perpendiculares
4 Escalamiento y reflexión
5 Ecuaciones linales
6 Ecuaciones de segundo grado
Complemento de cuadrados
Intersecciones con los ejes
Diferencia de cuadrados
10

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjunto
de los primeros componentes de los pares ordenados se le
conoce como dominio de la relación. Al conjunto de los
siguientes componentes se les llama rando de la relación.
12

Ejemplo 2.1.
¿Cuál es el dominio y el rango de la relación
{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}?
Solución.
Dominio = {1, 2, 3, 4} , Rango = {3, 6, 9, 12} .
13

Definición 2.1.
Una función es una relación tal que cada elemento del dominio
tiene su par con un solo elemento del rango.
14

Ejemplo 2.2.
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}
3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}
Solución.
Sí
No, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3
Sí
15

Observación 2.1.
A menudo, las funciones y las relaciones se expresan
como ecuaciones.
Cuando no se especifica el domino, éste se determina
como el subconjunto más grande de números reales para
los que se define el ecuacipón.
El rango se define encontrando el valor de la ecuación
para cada uno de los valores del dominio.
16

La variable asociada con el dominio se llama independiente,
mientras que la variable asociada con el rango se llama
dependiente.
17

Ejemplo 2.3.
¿Cuál es el dominio y el rango de y = x2
+ 2?
18

Solución.
Figura 2.1: Dominio=(−∞, ∞) := R, Rango=[2, ∞)
19

Ejemplo 2.4.
¿Cual es el dominio y el rango de y = 1/(x − 3)?
20

Solución.
Figura 2.2: Dominio=R − {x = 3}, Rango=R − {y = 0}
21

Sistema de coordenadas
rectangulares
22

Un sistema de coordenadas rectangulares se utiliza para
representar una gráfica de la relación entre dos variables.
1 La recta X X, denominada eje x, se sitúa en posición
horizontal.
2 La recta Y Y, denominada eje y, se sitúa en posición
horizontal.
3 El punto O es el origen del sistema. 23

Definición 3.1.
La gráfica de una función y = f(x) es el lugar geométrico de
los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
y = f(x).
24

Observación 3.1.
¡Graficar una función es muy sencillo! En SageMath Cloud,
puede ocupar el siguiente código:
x=var("x") #se define la variable independiente
f(x)=x^2 #se define la funci'on
grafica = plot(f, (0,1))
show(grafica)
Puede ver ejemplos en SageMath Cloud.
25

rectangulares
Desplazamientos horizontales
26

La gráfica de la función f(x − c) es la misma que la gráfica de
la función f(x) pero desplezada a la



derecha c > 0
izquierda c < 0.
27

Ejemplo 3.1.
Figura 3.1: Parábolas desplzadas horizontalmente
28

Figura 3.2: Rectas desplazadas horizontalmente
29

Figura 3.3: Hipérbolas desplazadas horizontalmente
30

Figura 3.4: Raíces desplazadas horizontalmente
31

rectangulares
Desplazamientos verticales
32

Figura 3.5: Parábolas desplazadas verticalmente
33

Figura 3.6: Rectas desplazadas verticalmente
34

Figura 3.7: Hipérbolas desplazadas verticalmente
35

Figura 3.8: Raíces desplazadas verticalmente
36

rectangulares
37

La gráfica de la función
y = f(x − h) + k
es la misma que la gráfica de la función y = f(x), pero
desplazada hacia...



la derecha si h > 0
la izquierda si h < 0



arriba si k > 0
abajo si k < 0
h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene que
desplazar horizatalmente (resp. verticalmente).
38

Ejemplo 3.2.
Grafique y = (x − 2)2
+ 3; determine su dominio y su rango.
39

Figura 3.9: Grafica de la función y = (x − 2)2 + 3
40

Ejemplo 3.3.
Grafique y = 5 ∗ (x − 2) + 3; determine su dominio y su rango.
41

Figura 3.10: Grafica de la función y = 5 ∗ (x − 2) + 3
42

Ejemplo 3.4.
Grafique y =
√
x − 2 + 3; determine su dominio y su rango.
43

Figura 3.11: Grafica de la función y =
√
x − 2 + 3
44

Ejemplo 3.5.
Grafique y =
1
x − 2
+ 3; determine su dominio y su rango.
45

Figura 3.12: Grafica de la función y =
1
x − 2
+ 3
46

Puede graficar más funciones con cambios de coordenadas con
este script de SageMath.
47

Diremos que una función f(x) es afín si es de la forma
f(x) = mx + b.
Muchas veces, a estas funciones también se les llama lineales;
pero este término no es del todo correcto.
49

La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; al
coeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,
ordenada al origen.
Figura 4.1: Colección de líneas rectas
50

Si la pendiente m es positiva, la recta es creciente.
Figura 4.2: Rectas con pendiente positiva
51

Si la pendiente m es negativa, la recta es decreciente.
Figura 4.3: Rectas con pendiente negativa
52

Si sabemos que la recta pasa por los puntos P0 = (x0, y0) y
P1 = (x1, y1), entonces la pendiente de la recta está dada por
m =
y1 − y0
x1 − x0
.
53

Ejemplo 4.1.
Determine la pendiente de la recta que pasa por los punto
(−2, 3) y (1, 8).
54

Si sabemos que la recta tiene pendiente m y pasa por el punto
Q = (a, b), entonces la ecuación de la recta está dada por
y = m ∗ (x − a) + b.
55

Ejemplo 4.2.
1 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto
(−2, 3) con pendiente m = 5
3
.
2 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto
(1, 8) con pendiente m = 5
3
.
56

Ejemplo 4.3.
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(−2, −5) y (3, 2).
57

Observación 4.1.
Si la ecuación de la recta y = mx + b se reescribe como
Ax + By + C = 0,
diremos que la ecuación está en su forma general. Siempre
preferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de ser
posible.
58

Ejemplo 4.4.
Reescriba la ecuación
y =
3
2
x +
7
5
en su forma normal, con coeficientes enteros.
59

Cuado y = 0, obtenemos la ecuación
Ax + C = 0;
la solución x∗
de ésta se llama raíz, y el punto (x∗
, 0) se
encuentra sobre el eje “x .
60

Cuando x = 0, obtenemos la ecuación
By + C = 0;
la solución y∗
de ésta se llama ordenada al origen, y el punto
(0, y∗
) se encuentra sobre el eje “y .
61

Si (x∗
, y∗
) = (0, 0), entonces podemos graficar la recta
uniendo los puntos (x∗
, 0) y (0, y∗
).
En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos
(0, 0) y (q, p), donde
m =
p
q
;
de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir éste con
(a + q, b + p) para graficar la recta.
62

Ejemplo 4.5.
Grafique
15x − 10y + 14 = 0.
63

Figura 4.4: 15x − 10y + 14 = 0
64

Rectas
Paralelas y perpendiculares
65

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:
m1 = m2.
Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen la
ecuación;
m1m2 = −1.
66

Ejemplo 4.6.
Determine si la recta que pasa por los puntos A y B es
paralela, perpendicular o ninguna de las opciones anteriores a
la recta que pasa por los puntos C y D :
1 A(2, 4), B(3, 8); C(5, 1), D(4, −3).
2 A(2, −3), B(−4, 5); C(0, −1), D(−4, −4).
3 A(1, 9), B(4, 0); C(0, 6), D(5, 3).
4 A(8, −1), B(2, 3); C(5, 1), D(2, −1).
67

Ejemplo 4.7.
Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (−5, 6) y
que es paralela a la recta
3x − 4y = 5.
68

Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 6) y
que es perpendicular a la recta
2x − y = 8.
69

En las sección anteriores, hemos considerado cambios de
coordenadas:
y = f(x − h) + k
es la misma gráfica que y = f(x), pero desplazada h unidades
horizontalmente y k unidades verticalmente.
71

Para finalizar consideraremos las siguientes transformaciones:
El escalamiento y la reflexión.
72

La gráfica y = m ∗ f(x) es similar a la gráfica y = f(x) pero



expandida si |m| > 1
contraída si |m| < 1;
además si m < 0, la gráfica se refleja verticalmente.
73

Método de solución
mx + b = c
→ mx = c − b
→ x =
c − b
m
79

Ejemplo 6.1.
Cecilia recibió $435.00 una semana por trabajar 52 horas. Su
patrón paga 1.5 = 150 % cada hora extra, por encima de las
40 horas semanales. Con esta información, determine el pago
por hora regular de Cecilia.
80

Definición 6.1.
El interés generado por una inversión P, a una tasa de interés
r en un tiempo t esta dado por
I = Prt (6.1)
81

Ejemplo 6.2.
Una inversionista con $70, 000 decide colocar parte de su
dinero en bonos corporativos que pagan 12 % anual, y el resto
en un Certificado de Depósito que paga 8 % anual. Si ella
desea obtener una ganacia total del 9 % anual, ¿cuánto debe
colocar en cada inversión?
82

Definición 6.2.
Si un objeto se mueve a una velocidad media v, la distancia s
cubierta en el tiempo t está dada por la fórmula
s = vt. (6.2)
83

Ejemplo 6.3.
Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a una
velocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después de
que su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en su
automovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidad
de 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcance
a su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?
84

Ejemplo 6.4.
Un bote de motor avanza río arriba una distancia de 24 millas
en un río cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje de
ida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantiene
una velovidad constante relativa al agua, ¿cuál es su
velocidad?
85

Ecuaciones de segundo grado
87

Una función cuadrática es de la forma
f(x) = ax2
+ bx + c;
su gráfica se llama parábola.
88

Figura 7.1: y = x2 − 4x + 7
89

Complemento de cuadrados
90

Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma
f(x) = a(x − h)2
+ k,
por el método de complementos de cuadrado.
91

El punto (h, k) se llama vértice, y corresponde al extremo de
la parábola
y = a(x − h)2
+ k.
92

La fórmula para encontrar el vértice de la parábola
y = f(x) = ax2
+ bx + c es



h = −
b
2a
k = f(h).
93

Para completar el cuadrado, podemos usar el método de
división sintética:
h a b c
↓ +ah . . .
a . . . k
94

Ejemplo 7.1.
Complete el cuadrado de
y = x2
− 4x + 7.
95

Ejemplo 7.2.
Complete el cuadrádo de
y = 3x2
+ 30x + 63.
96

Intersecciones con los ejes
97

Las raíces de un polinomio p(x) son aquellos números reales r
tales que p(r) = 0.
98

Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,
necesitamos resolver la ecuación de segundo grado
a(x − h)2
+ k = 0.
99

Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2
+ k, entonces la parábola
y = a(x − h)2
+ k cruza al eje x en el punto (r, 0).
100

Observación 7.1.
Si k > 0, entonces a(x − h)2
+ k > 0 y por tanto no existen
raíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2
+ k nunca
cruza el eje x.
101

Ejemplo 7.3.
Determine si existen raíces de
y = x2
− 4x + 7,
102

Diferencia de cuadrados
103

Una identidad que es muy útil al momento de resolver
ecuaciones es la diferencia de cuadrados
(a − b) (a + b) = a2
− b2
.
104

Una ecuación de la forma
z2
− c2
= 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y por
tanto las soluciones son
z = ±c.
105

Ejemplo 7.4.
Encuentre las raíces de
y = 3x2
+ 30x + 63.
106

Ejemplos
108

Ejemplo 7.5.
Resuelva las siguientes ecuaciones
1 x2
− 40 = 9
2 2x2
− 400 = 0
3 x2
+ 36 = 9 − 2x2
109

Ejemplo 7.6.
Resuelva las siguientes ecuaciones
1
x
16
=
4
x
2
y2
3
=
y2
6
+ 2
110

Ejemplo 7.7.
Resuelva la siguiente ecuación
1 − 2x
3 − x
=
x − 2
3x − 1
.
111

Ejemplo 7.8.
1
2x − 1
−
1
2x + 1
=
1
4
.
112

Ejemplo 7.9.
x −
2x
x + 1
=
5
x + 1
− 1.
113

Ejemplo 7.10.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 7x2
− 5x
2 x2
− 5x + 6
3 3x2
+ 2x − 5
4 x2
− 4x + 4
114

Ejemplo 7.11.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 x2
− 6x − 2
2 3x2
− 5x + 1 = 0
3 4x2
− 6x + 3
115

Factorización
116

Si un polinomio p(x) = ax2
+ bx + c tiene raíces r1, r2
diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a(x − r1) (x − r2) .
117

Si el polinomio se puede escribir como
p(x) = a(x − h)2
− c2
,
podemos utilizar la diferencia de cuadrados y factorizar como
p(x) = a (x − h − c) (x − h + c) .
118

Si un polinomio p(x) = ax2
+ bx + c tiene una única raź r1,
entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a (x − r1)2
.
119

Ejemplo 7.12.
Factorice los polinomios del ejercicio 7.10.
120

Ejemplo 7.13.
Factorice los polinomios del ejercicio 7.11.
121

Aplicaciones
122

Ejemplo 7.14.
Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos es
igual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos es
igual a 68.
123

Ejemplo 7.15.
Encuentre un número sabiendo que la suma del triple del
mismo con el doble de su recíproco es igual a 5.
124

Ejemplo 7.16.
Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro es
de 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.
125

Ejemplo 7.17.
La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.
Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno de
ellos es 14 pulgadas mayor que el otro.
126

Ejemplo 7.18.
Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12
por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,
encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía es
de 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadas
cuadradas.
127

Ejemplo 7.19.
Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que si
aumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dicha
distancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidad
promedio.
128

Ejemplo 7.20.
Un comerciante compra determinado número de camisas por
$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 en
cada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en la
venta podría haber comprado 30 camisas más que antes,
calcule el precio de cada camisa.
129

Ejemplo 7.21.
Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 días.
Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B.
Encuentre el número de días que tardarían en hacer la tarea
trabajando cada no por sí sólo.
130

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