Matemáticas II

Conjuntos y Números
Reales
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto- Edo. Lara
Carlos Bullones
28.516.393
0200

Definición de Conjuntos
 Un conjunto es una colección bien definida de objetos,
entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:
números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Y Se denotan
habitualmente por letras mayúsculas.

Operaciones con Conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener
nuevos conjuntos:
√Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
√Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes
A y B.
√Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A
cualquier elemento que esté en B.
√Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
√Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos
los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
√Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los
pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
•{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
•{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
•{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
•{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

Números Reales
 Los números reales son el conjunto que incluye los números
naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con
la letra ℜ. La palabra real se usa para distinguir estos números
del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o
√-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación
matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

Desigualdades
 En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que
se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los
enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. Por
ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será
nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona
dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.

Valor Absoluto
 El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el
mismo número pero con signo positivo. En otras palabras, es el
valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se
representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto de 4 se
representa como |4|, lo cual también equivale a 4.

Desigualdades con Valor Absoluto
El [valor absoluto] de un número o expresión es su distancia de
0 en la recta numérica. Como el valor absoluto sólo expresa
distancia, y no la dirección del número, siempre se expresa como
un número positivo o 0.
Por ejemplo, −4 y 4 ambos tienen un valor absoluto de 4 porque
ambos están a 4 unidades del 0 en la recta numérica — aunque
están localizados en direcciones opuestas a partir del 0.
Cuando resuelvas valores absolutos
en ecuaciones y desigualdades, debes considerar el
comportamiento del valor absoluto y las propiedades de la
equidad y la desigualdad.

Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
 Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto
positivo, resolver ecuaciones con valores absolutos significa
encontrar la solución para ambos valores positivo y negativo.
 Primero veamos un ejemplo básico:
La ecuación dice “el valor absoluto de x es igual a
cinco.” La solución es el valor o valores que estás
a cinco unidades a partir de 0 en la recta
numérica.
Podrías pensar inmediatamente en el 5; que es una
solución de la ecuación. Observa que −5 también
es una solución porque −5 está a 5 unidades del 0
en la dirección opuesta. Entonces la solución a la
ecuación es x = −5 o x = 5.

Un problema más complejo de valor absoluto se resuelve de
manera similar. Considera
Esta ecuación te pide encontrar qué número mas 5 tiene un valor absoluto de
15. Como 15 y −15 tienen valor absoluto de 15, la ecuación de valor absoluto
es válida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es −15, ya que |15| = 15 y
|−15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qué valor de x hará la expresión
igual a 15 así como qué valor de x hará la expresión igual a −15.
Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:

Puedes comprobar ambas soluciones en la ecuación de
valor absoluto para ver si x = 10 y x = −20 son correctos.
Resolver Ecuaciones de la Forma |x| = a
Para cualquier número positivo a, la solución de |x| = a es
x = a o x = −a
x puede ser una variable o una expresión algebraica.

Algunas veces, tienes que despejar el valor absoluto antes de
resolver la ecuación. Un ejemplo se muestra abajo.

Veamos otro ejemplo:
Resolver y.
Antes de eliminar el signo de valor absoluto y hacer dos
ecuaciones, piensa en lo que significa la ecuación. Dice “el
valor absoluto de la cantidad 3y menos 5 es igual a −1.”
Recuerda que un valor absoluto es la distancia de 0 en la recta
numérica, entonces debe ser un número positivo, Como es
imposible tener un valor absoluto igual a −1, esta ecuación no
tiene solución. No existen valores de y que hagan un enunciado
válido. No hay nada que hacer además de saber que la ecuación
no tiene soluciones.

Resolver Desigualdades que Contienen Valores Absolutos
Apliquemos lo que ya sabes sobre resolver ecuaciones que
contienen valores absolutos y lo que sabes sobre desigualdades
para resolver desigualdades que contienen valores absolutos.
Empecemos con una desigualdad simple.
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual
a 4.” Si se te pide resolver x, quieres encontrar los valores
de x que están a 4 unidades o menos de 0 en la recta
numérica. Podrías empezar imaginando la recta numérica y
los valores de x que satisfacen esta ecuación.

4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3
también son soluciones porque cada uno de estos valores está a menos
de cuatro unidades del 0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. —
hay un número infinito de valores de x que satisfacen la desigualdad.
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y
en −4. La distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está
coloreada de azul porque estos son los valores que satisfacen la
ecuación.
La solución se puede escribir de esta
manera: −4 x 4.

La situación es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o “mayor o igual
a.” Considera la desigualdad simple También, podrías pensar en la recta numérica y los valores de x mayores
de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no están incluidos en la solución, entonces hay dos círculos
abiertos en estos valores. 2 y −2 no serían soluciones porque no están a más de tres unidades del 0. Pero 5
y −5 si están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3. La
gráfica se vería como la que está abajo.
La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3.

Veamos algunos ejemplos de desigualdades que contienen valores
absolutos.

De la misma forma que con las ecuaciones, puede haber
ocasiones en las que no hay una solución para una
desigualdad.

Para resolver una ecuación que contiene un valor absoluto, debe
despejar la expresión que contiene el valor absoluto. Una vez
hecho esto, puedes reescribir la ecuación de valor absoluto como
dos ecuaciones, donde uno de los enunciados es igual al valor
dentro del valor absoluto a la cantidad positiva en el otro lado de
la ecuación y el otro es igual al valor absoluto del valor negativo
(u opuesto).
Las desigualdades también pueden contener valores absolutos. Las
desigualdades absolutas también pueden resolverse
reescribiéndolas usando desigualdades compuestas.

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