Mecanica de fluidos hidrocinematica

HIDROCINEMATICA
CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS
Galarza Espinoza.

TEMAS:
EL CAMPO DE VELOCIDADES.
EL CAMPO DE ACELERACIONES.
EL CAMPO ROTACIONAL.
CLASIFICACION DE LOS FLUJOS.
DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO.
LINEA DE CORRIENTE.TRAYECTORIA.
TUBO DE FLUJO.
CAUDAL O GASTO.

Introducción:
En un punto de la masa liquida en movimiento existen por
definir cantidades escalares y vectoriales. La viscosidad es una
manifestación del movimiento molecular dentro del fluido.
Las características físicas en el seno liquido, tanto escalares
como vectoriales pueden variar de un punto a otro del liquido y en
un mismo punto de un instante a otro. A esto se le dice “ las
cantidades escalares y vectoriales son funciones de punto y de
tiempo”
La región ocupada por el liquido en movimiento determina un
campo de flujo, dentro del cual es posible distinguir campos
escalares y vectoriales.

Concepto de Hidrocinematica:
• La cinemática de los líquidos estudia el movimiento puro
de las partículas, sin considerar la masa, ni las fuerzas
que lo producen.
• La descripción del movimiento se hace utilizando
únicamente la velocidad, la aceleración y la rotación.

1. El campo de velocidades.
• Una partícula del liquido recorre una línea usualmente
curva que se llama trayectoria.
• El estudio del movimiento de la partícula puede hacerse:
Utilizando el vector posición, como una función vectorial del tiempo.
 
r r t
( )
ˆ ˆ ˆ


r  X i  Y j 
Z k
X x t
( )

Y y t
( )

Z z t
( )


Utilizando la trayectoria y el cambio de recorrido, como una función escalar
del tiempo.
El vector velocidad de la partícula se define como la rapidez de cambio de
posición:
........(1)
dr
dt
v




El vector velocidad resulta ser un vector tangente a la trayectoria
en cada punto, que depende de la posición de la partícula y del
tiempo.
  
v v r t
( , )
ˆ ˆ ˆ
v  v i  v j 
v k
x y z


dx
dy
dz
dt
 
x x
( , , )
 
y y
( , , )
v v x y z
dt
v v x y z
dt
v v x y z
 
z z
( , , )
Se cumple:

dr  
dt ds
dr
dt

¡ IMPORTANTE! dr=ds

De modo que:
2 2 2
ds
v    
x y z
2 2 2







 





 





dz
dt
dy
dt
dx
dt
v
v v v
dt
Si el vector s es un vector unitario tangente en
cada punto de la trayectoria se cumple:

ds  ds.sˆ
Es decir,
ds
ds
ˆ ˆ .......(2)
dt
s
dt
v vs


  

2. El campo de aceleraciones.
• Es un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector
aceleración de la partícula en un punto se define como la rapidez de
cambio de su velocidad en ese punto.
 
dv

 
dt
a
• Sus componentes son:
d r
...................(3) 2
2
dt
dv
a z
x  ....(4)
dt
z 
dv
a y
dt
y 
dv
a x
dt
• Desarrollando estas derivadas se aprecia que las aceleraciones son
funciones de punto y de tiempo.

La aceleración en coordenadas
intrínsecas:
En la practica se dan situaciones en las que el
movimiento se supone unidimensional.
El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante
con el empleo de un sistema de coordenadas con su
origen en cada punto de la trayectoria; se denomina
sistema intrínseco de coordenadas y cualquier vector
puede expresarse según sus componentes en ese
sistema.

• En cada punto de la trayectoria es posible distinguir tres
vectores unitarios s, n, b tales como:

s

n

b
Tangente a la curva(vector tangencial)
Normal a la tangente y colineal con el radio de curvatura,
saliendo de la curva.
Perpendicular al plano s y n (vector binomial)

• Los nombres de los planos respectivos son:
 
,
n s
 
,
b n
 
,
s b
Plano osculador.
Plano normal.
Plano rectificador.
• En este sistema:
ds
dv
 ..(5)
v s
d

a   ˆ
dt
dv
dt
a  
• Prestemos atención al termino:
ˆ
ˆ 2
ds
s v
dt

dsˆ
ds

• Puesto que p y p prima son dos puntos próximos entre si ds
tiene la misma dirección de n y sentido negativo; s y una
variación de s tienen prácticamente el mismo modulo unitario:




  
También: ds  rd
• Dividiendo:
ds d
ds d 
( nˆ)
ds
• Reemplazando en la ec.(5):
n
ds r
ˆ
1
 

..(5)
ds
ˆ
ˆ 2
ds
a  
s v
dv
dt


• De:
  
 
s n a a a
2
n
r
v

a  s

ˆ ˆ.....(6)
dv
dt
• Lo que quiere decir que el vector aceleración se encuentra en
el plano osculador.

• Averigüemos las componentes:

v
v

ds
v


v v
t
v

v

v


s
v s t
a
t
v
s
a
t
dt
s
a
t
t
a
s
s
s
s


  


 















2
( , )
2

• Tenemos:



2
as 
• Es decir:
v v
t
s

  

 



2
ˆ.....(7)
2

v v





as 
2
s
t
s




  

 




ˆ ............(8)
2
n
v
r

an  

3. El campo rotacional.
• Además de los campos de velocidades y aceleraciones,
existe en el seno liquido otro campo llamado campo
rotacional que se deriva de las velocidades.
• Se llama rotor de v o rotacional de v:
..............(9)
ˆ ˆ ˆ
i j k



x 
y 
z

x y z v v v

rot v

• Que también es función de punto y tiempo.

significado físico del rotor:
 Como en el cuerpo rígido, además de la
traslación una partícula puede
experimentar una rotación. Sea P
el
0centro de gravedad de la partícula y
el eje instantáneo correspondiente.
 En un plano perpendicular a

e
considerar dos líneas ortogonales que
servirán para estudiar la rotación pura
de la partícula.
 El punto P se halla mas próximo al

e
punto P
; la velocidad v es tangente a
0 
la trayectoria circular de radio dr
y
corresponde a la traslación pura del
punto P.

 Al producirse la rotación la velocidad
angular vale:
d
dt
 

 Por comodidad se puede tomar como el eje e
como el eje z y el plano en que se mueve P
como plano XY. Entonces el velocidad angular
es :
 

 La velocidad puede definirse como:
  

 El vector dr tiene la forma:

 Entonces:
v
k
  
v xdr
dr  dxiˆ  dyˆj
ˆ ˆ ˆ
xdr dyi ˆ dxj
ˆ
i j k
     
dx dy
0
0 0
 

 Luego tenemos:
ˆ ˆ ˆ
i j k



   
  2 ˆ 2 ...(10)
  k
x y z
0
 
 

 




dy dx
rotv rot xdr
 Lo cual significa que el rotor de la
velocidad en un movimiento de
rotación alrededor de un eje es
igual al doble del vector velocidad
angular.

• La figura muestra en forma aproximada la forma en que varia
la velocidad del agua en un canal:

• Si se coloca una ruedecita que puede girar libremente en su
plano, alrededor de su eje, se observara que:
En la zona (a) gira en sentido anti- horario, indicando con ello
que 
(vector normal al papel, saliendo).
0  v rot
En la zona (b) casi no se mueve

rotv  0
En la zona (c) gira en sentido horario, indicando con ello que
(vector normal al papel, penetrando)

0v rot

4. Clasificación de los flujos.
En la practica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el
interés se centra en las conducciones por tuberías y por canal, las
descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas conducciones
Flujo permanente Flujo no permanente
No uniforme
(variado)
uniforme
Gradualmente
variado
Rápidamente
variado.
Flujo
turbulento
Flujo
laminar

• Flujo permanente y no permanente.
En una sección de la conducción
permanecen constantes en el
tiempo las variables hidráulicas
del flujo(velocidad, presión,
densidad, etc)
En esta sección los valores de
las variables hidráulicas cambian
de un instante a otro.

• Flujo uniforme y no permanente.
Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas:
una tubería de diámetro constante y la otra con tubería de
diámetro decreciente.
En el flujo uniforme permanecen
constantes a lo largo de la
conducción las variables
hidráulicas del flujo (velocidad,
presión, densidad, etc)
En esta sección los valores de
las variables hidráulicas cambian
de un punto a otro de la
conducción, se le denomina
también flujo variado.

• Flujo gradualmente variado y rápidamente variado.
El esquema corresponde a un canal que tiene una grada en el
fondo, y es por si explicativo.
El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente(FGV) o bruscamente
(FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se desarrolla flujo
uniforme.

• Flujo unidimensional y bidimensional.
Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional. Sin
embargo cuando en el flujo prevalece una dirección es
considerado unidimensional, como ocurre con las tuberías y los
canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las
cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para
describir el flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o
bidimensional.

• Flujo laminar y turbulento.
VL
v
Re 
Velocidad media del escurrimiento.
Viscosidad cinemática.
Una longitud característica que en
tuberías es generalmente el diámetro
V
v
L
El numero de Reynolds hasta 2300 el flujo es laminar
Para valores mayores que 4000 el flujo es turbulento.
Valores intermedios corresponde al periodo de transición

• Flujo comprensible y incompresible.
 Lo ordinario es que al agua se le considere incomprensible
y al aire comprensible.
 Solo en situaciones que el agua sea sometida a grandes
presiones es necesario tratarla como comprensible.
 de manera análoga, cuando el aire soporta presiones muy
pequeñas durante su conducción como en los ductos de
ventilación puede ser considerado incompresible.

• Flujo rotacional y Irrotacional.
• Un flujo es rotacional si en su seno el campo de vectores rot v
adquiere valores distintos de cero, y es irrotacional si en todo
punto y en todo instante rot v=0.
Para Velocidades
ordinaria el movimiento
del agua es rotacional.
Liquido perfecto(sin
viscosidad) el
movimiento es
hecho irrotacional.
Para velocidades
altas puede ser
considerado
irrotacional.

• La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto
en planta:
Flujo Rotacional
(esquema real).
Flujo irrotacional
(esquema ideal)

5. Descripción del movimiento.
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se esta en
condiciones de conocer:
 El cambio de posición de una partícula.
 La variación de la velocidad en un punto.
 Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un
fluido.
 METODO DE EULER.
 METODO DE LAGRANGE.

 METODO DE EULER. Consiste de elegir un punto y determinar las variables
cinemáticas en ese punto, en cada instante, sin considerar el cambio que
después siga cada partícula individual. Se usa:
  

v v(r , t)
 METODO DE LAGRANGE. Consiste en elegir una partícula y determinar las
variables cinemáticas de esa partícula siguiendo su recorrido. Se usa:
 

( , ) 0 r r r t
De los dos métodos se prefiere el primero porque su manejo analítico es
mas simple.

6. Línea de corriente. Trayectoria. Tubo
de flujo.
En el flujo no permanente las variables cinemáticas varían en un mismo punto
de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el cambio de
velocidades v.
Se define línea de corriente (l.c.) toda línea trazada idealmente en el seno
liquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la
dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que
dos líneas de corriente tengan un punto común.
Líneas de corriente
para el instante “t”.
Si el flujo es no permanente
para otro instante t, la
configuración de las l.c. es
otra. Si el flujo es permanente
la configuración de las l.c. es
la misma en cualquier
momento.

Se define trayectoria (t.c.) la curva que marca el camino que sigue una
partícula con el transcurrir del tiempo.
Trayectoria
para la partícula “a”
Si el flujo es no permanente l.c. y trayectoria son líneas distintas, pero si el
flujo es permanente significan lo mismo.
La razón esta en que el flujo permanente el campo de velocidades no cambia
con el tiempo:
• Toda partícula que pasa por a
0 sigue la misma trayectoria.
• En cada punto el vector velocidad permanece igual.
a ,a ,a .......an 0 1 2

• Ecuaciones para la línea de corriente:
...(11)
dz
 o bien, para un instante : 0 t
dy
dx
v
v
x y z v
 
De la definición de l.c.:

ds

v

dt
 
ds 
vdt
Ecuación diferencial de
la t.c. en términos de las
componentes:
dx v dt
x
dy v dt
y

dz v dt
z


• Tubo de flujo:
Si se considera en el seno liquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por
cada uno de sus puntos, la totalidad de estas l.c. definen una superficie que se
denomina tubo de flujo o tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por
el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena liquida.

7. Caudal o gasto.
Considérese el tubo de flujo elemental, definido en las curvas cerradas
C1,C2 muy próximas entre si.
El vector n es un vector unitario normal a la superficie dA y cuyo sentido
positivo se establece por convenio.
dA dA n

.
. ˆ
v



En un intervalo dt el volumen de liquido que atraviesa el elemento de
superficie es igual al producto escalar:
 
. 0 
dV ds dA
Pero:
 
ds vdt
 

dV v dAdt
. 0 
Se define caudal o gasto a la relación:
v dA
dV
dt
dQ
 
. 0  

Si Da es un elemento de una superficie finita A, entonces:
 
Q dQ v.dA.........(13)
   
A
Y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las l.c. sean
normales a ella:
v dA
Q
 V  
O, como es costumbre:
............(14)
.
A
A
 
..........(15)
vdA
A
Q
 V  
A

QUE NECESITAMOS SABER:
1.ACELERACION:
v






a z x
t
v
x
v
v
x
v
v
x
v
dv
dt
z
y
y
x
x
x
  

 
x 






 
2






as
ˆ
s v v
t
s
2



   
 




2
an ˆ
n
v
r
 

ds  rd

2.ROTACIONAL:
i j k



x y z
x y z v v v
rotv




ˆ ˆ ˆ

3.ECUACIONES DE LA LINEA DE CORRIENTE:
ds vdt
ds
dt
v
 


  
dx v dt
x

dy v dt
y

dz v dt
z


4.CAUDAL O GASTO.:
 ˆ  ˆ  ˆ

v v i v j v k x y z
Q dQ v dA
   
A
 
.
Q vdA
 
A

Ejercicios.
1.El viento sopla horizontalmente con velocidad uniforme contra
una chimenea vertical de radio Supuesto el flujo irrotacional, la
velocidad sobre el eje X va disminuyendo hacia el punto de estancamiento
según la ley:

 


 
r
  2

2
0 1
x
v v x
Y la velocidad v
alrededor del cilindro es:
s
v 1.8m 0 
r  0.25m.
v v Sen 0  2
Averiguar:
a) La aceleración del aire en el punto x=-0.50 m.
b) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para 3
  
.
4

2.Encontrar el vector rotacional para el flujo permanente, plano, cuyo
campo de velocidades es:
 
v A x y
x
  
v Ax y
y
 

3.Determinar la ecuación de las l.c. de un flujo permanente,plano,simetrico
respecto del eje y, dirigiendo hacia abajo, que choca contra una placa
horizontal, cuyo campo de velocidades esta definido por las componentes:
v x
x

v y
y
3
3
 

4.En el problema 3, determinar el gasto por unidad de ancho del chorro
que incide sobre la placa y limitado en la forma que a continuación se
indica:
v x
x

v y
y
3
3
 

5.Si la velocidad del aceite que fluye entre dos placas convergentes varia
en una sección normal según la ecuación:
 
n
 
15
cm

2 .
:
4
y si
max
0
2 0
0
max
n cm
s
v
n n
n
v v


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