Mecanica de materiales unidad 4
- 1. POR : SERGIO CADENA FLORES CUARTA UNIDAD
- 2. 4.1. Torsión en vigas de sección Circular 4.2. El cálculo de árboles de transmisión de potencia 4.3. Ángulo de torsión 4.4. Torsión de barras circulares TEMAS SOLICITADOS DE LA CUARTA UNIDAD
- 3. En ingeniería torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica). El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas. El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.
- 4. La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores , esto suele cumplirse en: 1.-Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma). 2-.Secciones tubulares cerradas de pared delgada. 3-.Secciones multicelulares de pared delgada. Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro. Torsión recta: Teoría de Coulomb: La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:
- 5. Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia . : Momento torsor total que actúa sobre la sección. : distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante. : Módulo de torsión. Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución , es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:
- 6. Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por: Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:
- 7. Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a: Torsión mixta En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant- Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.
- 8. Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el segundo momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos" se denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos. DISEÑO DE ÁRBOLES Los árboles y ejes son elementos de máquinas, generalmente de sección transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre árboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piñones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los árboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsión y transmitiendo potencia. muestran transmisiones por cadenas, por correas y por ruedas dentadas, respectivamente, en las cuales la transmisión de potencia se lleva a cabo mediante árboles, poleas, correas, ruedas dentadas, estrellas y cadenas, entre otros elementos.
- 9. Los árboles están sometidos a torsión, flexión, carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna de estas cargas es variable (en un árbol girando sometido a un momento flector constante, actúan esfuerzos normales variables). Como los esfuerzos en los árboles son combinados y variables, debe aplicarse la teoría de fatiga para esfuerzos combinados.
- 10. Configuración y accesorios de los árboles Usualmente, los árboles son cilindros escalonados, con el fin de que los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Además, los hombros sirven para transmitir cargas axiales. En los árboles se usan diferentes elementos para la transmisión de potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre éstos. Algunos métodos utilizados para transmitir pares de torsión y potencia son las cuñas o chavetas, ejes estriados, espigas o pasadores , ajustes a presión , ajustes ahusados (con superficies cónicas y conectores ranurados. Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijación o prisioneros , anillos de retención, pasadores , collarines de fijación, tornillos y manguitos. Algunos métodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como para transmitir par de torsión (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y los pasadores actúan como „fusibles‟, es decir, son elementos „débiles‟ (y baratos) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo así las piezas caras
- 11. Métodos para transmitir par de torsión y para fijar piezas sobre árboles y ejes
- 12. El material más utilizado para árboles y ejes es el acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son más exigentes que las de rigidez, podría optarse por aceros de mayor resistencia. La sección 7.4.2 lista algunos aceros comúnmente usados para árboles y ejes. Es necesario hacer el diseño constructivo al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias críticas, se requieren algunos datos sobre la geometría o dimensiones del árbol. Por ejemplo, para verificar la resistencia a la fatiga en una sección determinada es necesario tener información sobre los concentradores de esfuerzos que estarán presentes en dicha sección, así como algunas relaciones entre dimensiones. El diseño constructivo consiste en la determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos: Fácil montaje, desmontaje y mantenimiento. Los árboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud como en diámetro (recuérdese que a mayores longitudes, mayores tenderán a ser los esfuerzos debidos a flexión y, por lo tanto, los diámetros).
- 13. Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol para evitar movimientos indeseables. Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas. Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección, especialmente en sitios de grandes esfuerzos. Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas. Generalmente los árboles se soportan sólo en dos apoyos, con el fin de reducir problemas de alineamiento de éstos. Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. Mantener bajos los costos de fabricación. Basarse en árboles existentes o en la propia experiencia, para configurar el árbol (consultar catálogos y analizar reductores y sistemas de transmisión de potencia). Después del diseño constructivo puede procederse a verificar la resistencia del árbol. Los árboles deben tener la capacidad de soportar las cargas normales de trabajo y cargas eventuales máximas, durante la vida esperada. Entonces, se debe verificar la resistencia del árbol a la fatiga y a las cargas dinámicas; estas últimas son generalmente las cargas producidas durante el arranque del equipo. Debe hacerse también un análisis de las frecuencias naturales (críticas) del árbol. Todo sistema tiende a oscilar con una gran amplitud cuando se excita con determinadas frecuencias; esto se denomina
- 14. resonancia. Los árboles, junto con las piezas que se montan sobre ellos, tienden también a vibrar excesivamente cuando giran a las velocidades críticas. El diseñador debe asegurar que la velocidad de rotación del árbol sea bastante diferente de cualquier velocidad que produzca resonancia; de lo contrario, las deflexiones o deformaciones del árbol tenderían a ser grandes y a producir la falla. Finalmente, los árboles deben tener suficiente rigidez, con el objetivo de evitar que las deformaciones excesivas perjudiquen el buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre éstos. Por ejemplo, deformaciones excesivas en los árboles pueden hacer que el engrane de un par de ruedas dentadas no sea uniforme o no se extienda en toda la altura de trabajo del diente. Por otro lado, los cojinetes (de contacto rodante o deslizante) se pueden ver afectados si las pendientes del árbol en los sitios de los cojinetes son muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual módulo de elasticidad, la rigidez de los árboles debe controlarse mediante decisiones geométricas. En conclusión, el buen funcionamiento de un árbol depende de muchos factores, entre los cuales podemos mencionar una buena resistencia y rigidez, una correcta fijación de las piezas, una adecuada alineación y lubricación de los elementos que lo requieran.
- 15. Esfuerzos en los árboles Los elementos de transmisión de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los árboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el árbol se producen generalmente esfuerzos por flexión, torsión, carga axial y cortante. muestra esquemáticamente un árbol en el cual está montado un engranaje cónico y una estrella. Se muestran las fuerzas sobre el engranaje, las cuales producen los cuatro tipos de solicitación mencionados.
- 16. Diagrama de cuerpo libre: Al analizar un árbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre para las diferentes solicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los pares de torsión, uno para las fuerzas axiales y otros dos para las cargas transversales y momentos flectores que actúan en dos planos perpendiculares. Sin embargo, para facilitar el entendimiento de este procedimiento presenta el diagrama de cuerpo libre completo del árbol. La reacción en cada apoyo podría tener componentes en x, y y z. Sin embargo, en el montaje se tiene que decidir cuál rodamiento soportará carga axial, ya que cualquiera de los dos o ambos lo pueden hacer. Por facilidad de montaje, es conveniente que el rodamiento C soporte la carga axial y que el otro quede “libre” axialmente. Si el rodamiento A soportara dicha carga, tendría que tener un ajuste a presión para evitar su movimiento. Esto no ocurre con C, ya que el hombro soporta la fuerza y no se requiere un ajuste a presión especial. Además, de esta manera parte del árbol queda a compresión, lo cual inhibe la fatiga. Nótese que los pequeños ángulos que las fuerzas F1 y F2 forman con el eje z se han despreciado.
- 17. Cálculo del par de torsión y diagrama de par de torsión: Como el sistema tiene una sola entrada y una sola salida de otencia, se requiere calcular un solo par de torsión, T, el cual depende de la potencia, P, y de la frecuencia de giro, n, de acuerdo con T = P/(2 n) (ecuación 3.16, capítulo 3). Si la frecuencia de giro está en revoluciones por minuto y la potencia en watt, el par de torsión nominal TN, en N m, está dado por la ecuación 3.17 (capítulo 3):
- 18. El par de torsión pico es el doble del nominal, entonces T = 159.15 N m. De la figura 7.9 se deduce que las fuerzas que producen momentos con respecto al eje del árbol (eje x) son Ft, F1 y F2. Por la rueda entra toda la potencia; entonces, el par de torsión producido por la fuerza pico Ft debe ser igual a T (par pico). Similarmente, por la polea sale toda la potencia; entonces, el par de torsión total producido por las fuerzas F1 y F2 es igual T. Analizando las fuerzas de la figura 7.9, se concluye que los pares de torsión en B y D tienen sentidos contrarios (ya que F1 > F2); por lo tanto, la suma de éstos es igual a cero, como debe ser, ya que el sistema está en equilibrio (cuando el árbol rota a velocidad constante). La figura 7.10 muestra el diagrama de cuerpo libre de pares de torsión y el diagrama de par de torsión del árbol. Nótese que los rodamientos en A y C no tienen reacciones, ya que ellos permiten la rotación libre del árbol. Según la figura, en el tramo AB no hay par de torsión interno y el tramo más cargado a torsión es el BCD, con un par constante de 159.15 N m.
- 19. INTRODUCCION Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple, cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como resultado una cumpla que queda contenida en el plano de la misma. La solución rigurosa del problema, para cualquier sección sólo puede obtenerse aplicando la Teoría de la Elasticidad, lo que escapa a los alcances de este curso. Con las herramientas de que disponemos en la Resistencia de Materiales vamos a realizar el estudio para algunas secciones particulares tales como la circular, la anular y los tubos de paredes delgadas, para las cuales la solución se encuentra planteado hipótesis muy sencilla. Para otras secciones tales como las rectangulares o los perfiles laminados, solamente analizaremos los resultados. El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros casos de torsión compuesta.
- 20. SECCION CIRCULAR Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma. Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:
- 21. Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia con el borde de la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de τ radial, la que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una generatriz del cilindro. Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio. Además, para que puedan cumplirse las ecuaciones debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean antimétricas a lo largo de los diámetros de la sección. De lo visto podemos obtener algunas conclusiones:
- 22. El ángulo γ resulta ser el “ángulo de istorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer γ ≅ tg
- 23. El ángulo de torsión específico θ resulta directamente proporcional al momento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe el nombre de “Rigidez a la torsión” y que mide la resistencia a dejarse retorcer. Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión tangencial máxima.
- 24. Torsión de barras circulares y anulares (2012) Problema 1. Considere la barra de sección circular mostrada en la figura y suponga que su radio es R. Se aplica como se muestra un momento torsor distribuido por unidad de longitud mt , de magnitud constante. La rigidez torsional G·I0 se considera conocida, las unidades consistentes y se desprecia el peso propio de la barra. Halle: a) Una expresión que represente el giro a de la barra como función de la coordenada axial. b) Una expresión que represente la máxima tensión τmax que soporta la barra, como función de la coordenada axial.
- 25. Problema 2. Considere la barra de secciones circulares mostrada en la figura y suponga que sus radios son R1 y R2 para las zonas 1 y 2 respectivamente. Es aplicado como se muestra un momento torsor distribuido por unidad de longitud mt en la zona denominada 1 y un momento torsor T0 en el extremo libre. El material es el mismo para ambos tramos y el momento polar de inercia es I01 e I02 para las zonas 1 y 2 respectivamente. Las unidades se suponen consistentes. Si se considera despreciable el peso propio de la barra, halle: a) Una expresión que represente el giro a de la barra como función de la coordenada axial. b) Una expresión que represente la máxima tensión max que soporta la barra, como función de la coordenada axial.
- 26. Problema 3. Sabiendo que el diámetro interno del árbol que se muestra en la figura es d = 0.9 in, halle el momento polar de inercia de la sección anular y determine la máxima tensión de corte causada por un torque de magnitud T = 9 kip·in. Problema 4. En condiciones normales de operación, el motor eléctrico ubicado en A produce un torque de 2.4 kN·m. Sabiendo que cada tramo del árbol es de sección circular sólida, determine la máxima tensión de corte en los tramos AB, BC y CD.
- 27. Problema 5. Considere la barra de sección circular mostrada en la figura y suponga que su radio es R. Se aplica como se muestra un momento torsor distribuido por unidad de longitud, de magnitud mt = 2·x y una carga puntual P en dirección axial como se muestra. El módulo de Young y el módulo de corte se consideran conocidos y de magnitudes E y G, respectivamente. Las unidades se suponen consistentes y se desprecia el peso. Se pide hallar: a) Una expresión para el giro de la barra en función de la coordenada x. b) El máximo valor que alcanza dicho giro y el lugar de la barra donde se produce. c) Expresiones para los desplazamientos u, v y w., en función de las coordenadas x, y y z. d) El máximo valor de los desplazamientos y los lugares de la barra donde se producen
- 28. Consideremos una barra o eje de sección transversal circular sujeta a torsión por pares T aplicados en sus extremos Una barra cargada en esta forma se considera sometida a torsion pura. Si se considera la simetría, se demuestra que las secciones transversales de la barra circular giran como cuerpos rígidos alrededor del eje longitudinal, los radios permanecen rectos y la sección transversal permanece plana y circular. También, si el ángulo de torsión total es pequeño, no variarán la longitud de la barra ni su radio. Durante la torsión ocurrirá una rotación alrededor del eje longitudinal, de un extremo de la barra respecto al otro. Por ejemplo, si se fija el extremo izquierdo de la barra, entonces el extremo derecho girará un pequeño ángulo φ con respecto al extremo izquierdo fig. 2. El ángulo φ se conoce como el Angulo de torsion. Además, una línea longitudinal en la superficie de la barra, tal como la línea nn, girará un pequeño ángulo a la posición nn¶. Debido a esta rotación, un elemento infinitesimal rectangular sobre la superficie de al barra, tal como el elemento de longitud G[, adquiere la forma de un romboide.
- 29. Durante la torsión la sección transversal derecha gira con respecto a la cara opuesta, y los puntos E y F se trasladan a E¶ y F¶, respectivamente. Las longitudes de los lados del elemento no cambian durante esta rotación, pero los ángulos de las esquinas ya no miden 90º. Así, se aprecia que el elemento está en un estado de cortante puro y la magnitud de la deformación por cortante ges igual a la disminución en el ángulo recto en D. Esta reducción en el ángulo es:
- 30. La distancia bb es la longitud de un arco pequeño de radio r subtendido por el ángulo d, que es el ángulo de rotación de una sección transversal con respecto a la otra. De esta manera, se determina que bb rd. Además, la distancia DE es igual a G[, la longitud del elemento. Al sustituir estas cantidades en la ecuación anterior, se obtiene una expresión similar a la deformación por cortante.: La cantidad d/dx representa la razón de cambio del Angulo de torsion. Tanto f, como d/dxson funciones de [. Se indicará la cantidad d/dx mediante el símbolo q y se referirá como ángulo de torsión por unidad de longitud.