Medidas de dispersión
- 1. Republica Bolivariana deVenezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede Barcelona - Edo. Anzoátegui IngenieríaCivil Catedra: Estadística Profesor: Pedro Beltrán Bachiller: Osmey González CI: 26.212.755 Sección:CV
- 2. Medidas de dispersión • CONCEPTO Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza). La Dispersión permite analizar cómo se dispersan los valores de una variable de tipo intervalo/razón de menor a mayor y la forma gráfica que estos valores presentan. Si se conoce la media e una población hay distintas posibles formas de distribuir los valores, e posible que todos estén alrededor de la media o podrán estar sesgados hacia un lado. Estudiar la dispersión es revisar el eje horizontal y observar donde están alojados los datos.
- 3. Medidas de dispersión mide que tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media. Ejemplo: se toman por ejemplo los tres conjuntos de datos que se observan a continuación. Conjunto de datos 1: 0,5,10 Conjunto de datos 2: 4,5,6 Conjunto de datos 3: 5,5,5 Los tres (3) tienen una media de cinco (5) ¿ Se debe por tanto concluir que los conjuntos de datos son similares ? Hay 2 tipos de medidas de dispersión, que son: 1. Medidas dispersión absolutas 2. Medidas dispersión relativa Medidas dispersión absoluta: · Rango o Recorrido · Rango o recorrido intercuartilico · Desviación media · Desviación estándar o típica · Varianza · Desigualdad de tchebycheff · Estandarización Medidas de dispersión absoluta ( viene expresada en el mismo valor de la variable)
- 5. Medidas de dispersión Medidas de dispersión relativa: · Coeficiente de variación Medidas de dispersión relativa ( viene expresada en porcentaje) • USOS DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN Tanto las unas como las otras, son medidas que se toman para tener la posibilidad de establecer comparaciones de diferentes muestras, para las cuales son conocidas ya medidas que se tienen como típicas en su clase. Por ejemplo: Si se conoce el valor promedio de los aprobados en las universidades venezolanas, y al estudiar una muestra de los resultados de los exámenes de alguna Universidad en particular, se encuentra un promedio mayor, o menor, del ya establecido; se podrá juzgar el rendimiento de dicha institución.
- 6. Rango • CONCEPTO Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el mas bajo(X1 ó Xmin) en un conjunto de datos. Rango para datos no agrupados; R = Xmáx.-Xmín= Xn-X1 Ejemplo: A) Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética promedio delas edades, se tiene que: R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
- 7. Rango • Concepto La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ. Desviaciones Típicas • Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
- 8. Rango • Ejemplo: Calcular la desviación típica de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desviaciones Típicas Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla: Xi fi Xi*fi xi²*fi [10, 20) 15 1 15 225 [20, 30) 25 8 200 5000 [30,40) 30 10 350 12250 [40, 50) 45 9 405 18225 [50, 60) 55 8 440 24200 [60, 70) 65 4 260 16900 [70, 80) 75 2 150 11250 42 1820 88050
- 9. VARIANZA • Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. • Concepto La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por signo
- 10. VARIANZA • Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Calcular la varianza de la distribución de la tabla: Xi fi Xi*fi xi²*fi [10, 20) 15 1 15 225 [20, 30) 25 8 200 5000 [30,40) 30 10 350 12250 [40, 50) 45 9 405 18225 [50, 60) 55 8 440 24200 [60, 70) 65 4 260 16900 [70, 80) 75 2 150 11250 42 1820 88050
- 11. Coeficiente de variación • Concepto El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. coeficiente de variación El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes: Coeficiente de variación El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
- 12. Coeficiente de variación • Ejemplo: Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión? La primera distribución presenta mayor dispersión. resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética. xi = Xi − X Puntuaciones típicas Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación. Las puntuaciones típicas se representan por z. Puntuaciones típicas Puntuaciones diferenciales Las puntuaciones diferenciales
- 13. Coeficiente de variación Observaciones sobre puntuaciones típicas • La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0. • La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1. • Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas. • Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones. Ejemplo: En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso? José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.