Medidas de tendencia central 1
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Este documento describe las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y cómo calcularlas cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencia o no agrupados. Explica que la media proporciona el valor central promedio, la mediana divide los datos en dos partes iguales, y la moda es el valor que más se repite. Muestra fórmulas para calcular cada medida y ejemplos de su cálculo con datos agrupados y no agrupados.
Medidas de tendencia central 1
- 1. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de tendencia central: Media, mediana, moda CD. Ronald Mayhuasca Salgado UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA ESTADÍSTICA 2014 - II
- 2. Estadística Descriptiva •Organización de datos •Representación de datos: Tablas y Gráficos •Medidas de resumen •Medición de datos numéricos 1.Medidas de posición 2.Medidas de dispersión 3.Medidas de forma •Medición de datos nominales 1.Proporción 2.Razón 3.Medición epidemiológica
- 3. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez MEDIDAS DE RESUMEN Llamadas también medidas descriptivas porque tienen por objetivo describir la naturaleza de la característica en estudio.
- 4. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de Posición (o de tendencia central) Se llaman de tendencia central porque tienden a ubicar el centro de las observaciones, además el valor central es el más representativo de un conjunto de datos. Estas medidas se expresan en las mismas unidades de medición que los datos; o sea si la observación es en gramos, el valor de la tendencia central es en gramos. Las medidas de tendencia central son: media aritmética, moda, mediana, media geométrica, media armónica, etc., y las más usadas son: la media aritmética, mediana y moda.
- 5. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de Posición (o de tendencia central) Para tal punto es preciso recordar algunas notaciones: xi: valor individual o punto medio el intervalo. Se llama también marca de clase. fi: frecuencia absoluta simple de la clase i-ésima. Número de veces que se repite dicho valor en el intervalo i. Fi: frecuencia absoluta acumulada de la clase i-ésima. Es la suma de las frecuencias absolutas hasta ese intervalo: hi%: frecuencia relativa simple de la clase i-ésima. Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el total de observaciones por 100 F1= F2= F3= Hi%: frecuencia relativa acumulada de la clase i-ésima. Es el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el total de observaciones por 100 = fi/n . 100 = Fi/n . 100
- 6. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de Posición (o de tendencia central) 1.m= número de intervalos de Clase 2.R=(A-1) 3.C= R/m 4.Lii - Lsi traslapantes o no traslapantes 5.Xi Representaciones de la tabla de frecuencia por intervalos de clase: Clase Edad Xi fi hi (%) Fi Hi(%) Límites reales 1 2 3 4 5 6 7 5-6 7-8 9-10 11-12 13-14 15-16 17-18 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 17,5 3 3 4 10 7 14 5 6,5 6,5 8,7 21,7 15,2 30,5 10,9 3 6 10 20 27 41 46 6,5 13 21,7 43,4 58,6 89,1 100,0 4,5-6,5 6,5-8,5 8,5-10,5 10,5-12,5 12,5-14,5 14,5-16,5 16,5-18,5 Total 46 100,0 1+3,22 1,891 + 3,9910 2, 7560 + 5,8154
- 7. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez 1. Media aritmética o promedio Es una media de posición que proporciona el valor que tiende a tomar la variable para la mayoría de los elementos en la población o muestra según corresponda. Su determinación dependerá de: 1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia 2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia
- 8. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética N= Número de elementos en la población n= Número de elementos en la muestra xi: valor individual o punto medio el intervalo 1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia
- 9. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética 4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992 Determine el peso promedio. Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre 5,000ml, después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos: 1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia Rpta 4,9947
- 10. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética xi= marca de clase m= número de intervalos de clase fi= frecuencia absoluta 2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencia, la media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula.
- 11. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética De la siguiente tablas de frecuencias calcular la media aritmética: 2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia Pto ebullic Xi fi Fi hi (%) Hi(%) 136-144 2 6,7 144-152 6 20 152-160 13 43,3 160-168 22 73,3 168-176 27 90 176-184 30 Rpta 161,333°C
- 12. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Si cada observación Xi, tiene un peso o ponderación Wi, o sea cuando las observaciones no tienen la misma importancia dentro de una muestra, entonces tenemos la media ponderada que se calcula de la siguiente manera: Rpta 10,4 Ejemplo: Las notas de un alumno de estadística en el semestre 2014-I fueron: Determine el promedio ponderado del estudiante. Curso Nota Crédito Estadística 11 4 Materiales dentales 09 5 Anatomía 12 3
- 13. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez 2. Mediana (Me) Es el estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al conjunto de observaciones , es decir la mediana representa el valor central de una distribución de datos ordenados en forma creciente o decreciente…50% de los valores son menores o iguales que él, y el otro 50% son mayores o iguales que él.
- 14. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana A. Datos NO agrupados en tablas de frecuencia 1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se toma en cuenta lo siguiente: Si, n es impar….la mediana es el valor central Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al contenido de flúor en el agua en partes por millón(ppm): 4520 4570 4520 4490 4500 4520 4590 4540 4500
- 15. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia 1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se toma en cuenta lo siguiente: Si, n es par….la mediana es igual al promedio de los 2 valores centrales 4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992 Determine la mediana. Ejemplo: Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre 5,000ml, después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:
- 16. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana B. Datos agrupados en tablas de frecuencia En este caso la mediana se calcula mediante la siguiente fórmula: •X`me-1: límite inferior de la clase mediana •Cme: tamaño del intervalo de la clase mediana •Fme-1: frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana •fme: frecuencia absoluta de la clase mediana Clase mediana: es aquel intervalo que contiene al valor que ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana
- 17. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana B. Datos agrupados en tablas de frecuencia Ejemplo De la tabla de frecuencia anterior, calcule la mediana: Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%) 136-144 140 2 6,7 2 6,7 144-152 148 4 13,3 6 20 152-160 156 7 23,3 13 43,3 160-168 164 9 30 22 73,3 168-176 172 5 16,7 27 90 176-184 180 3 10,0 30 100 •X`me-1: 160 •Cme: 8 •Fme-1: 13 •fme: 9 Rpta. Me: 161,7778°C
- 18. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez 3. Moda (Mo) Representa el valor que más se repite en un conjunto de observaciones. En una distribución puede haber uno o más valores que se repitan con mayor frecuencia en tal caso se tienen dos o más modas. Entonces: -Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor que más se repite: UNIMODAL: -Si la distribución presenta dos o más valores que se repitan: POLIMODAL -Si no hay ningún valor que se repita con más frecuencia: DISTRIBUCIÓN UNIFORME
- 19. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la moda A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia 1ro: Observar el dato que más se repite Ejemplo: Calcule la moda en cada caso: •4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5: Mo=5 (Unimodal) •7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8 MO= 7 y 8 (bimodal)
- 20. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la moda B. Datos agrupados en tablas de frecuencia En este caso la moda se calcula mediante la siguiente fórmula: •X`mo-1: límite inferior de la clase modal •Cmo: tamaño del intervalo de la clase modal •d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal menos la frecuencia absoluta anterior •d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la frecuencia modal menos la siguiente Clase modal: es aquel intervalo con la mayor frecuencia absoluta
- 21. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la moda B. Datos agrupados en tablas de frecuencia Ejemplo De la tabla de frecuencia anterior, calcule la moda: Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%) 136-144 140 2 6,7 2 6,7 144-152 148 4 13,3 6 20 152-160 156 7 23,3 13 43,3 160-168 164 9 30 22 73,3 168-176 172 5 16,7 27 90 176-184 180 3 10,0 30 100 •X`mo-1: 160 •Cmo: 8 •d1: 9’-7 = 2 •d2: 9- 5 = 4 Rpta. Mo: 162, 6667°C
- 22. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda Nótese que del cuadro anterior , para datos agrupados en tablas: la media aritmética, la mediana y la moda poseen valores muy cercanos entre sí. Mo: 162, 6667°C Me: 161,7778°C Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%) 136-144 140 2 6,7 2 6,7 144-152 148 4 13,3 6 20 152-160 156 7 23,3 13 43,3 160-168 164 9 30 22 73,3 168-176 172 5 16,7 27 90 176-184 180 3 10,0 30 100
- 23. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda La media aritmética es muy sensible cuando hay valores extremos, y como la mediana en un valor posicional, se ve menos afectada por valores extremos. X = Me = Mo, si la distribución es simétrica (frecuencias absolutas equidistantes son iguales), es decir polígono de frecuencias simétrico.
- 24. Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Dr. Jorge E. Manrique Chávez Resuelva Los siguientes datos corresponden a 20 lecturas de temperatura (en °F) tomadas en varios puntos de una esterilizadora de calor seco. 415 460 510 475 430 410 425 490 500 470 450 425 485 470 450 455 460 480 475 465 Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: la media aritmetica, mediana, moda e interprete.