Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)
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El documento describe el método de arandelas para calcular el volumen de sólidos generados por la rotación de regiones entre dos curvas. Se detallan los aspectos matemáticos, como la expresión para el volumen y ejemplos prácticos de aplicación. Además, se presentan ecuaciones y cálculos para determinar el volumen de diferentes sólidos de revolución.
![La integral que contiene el radio interno representa el
volumen del hueco y se resta de la integral que
contiene el radio externo.
siendo la siguiente, la expresión matemática para
calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se
deduce lo siguiente:
𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2H
𝑉 = 𝜋h(R2 – r2)
𝑑𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[R2 – r2] 𝑑𝑥
EN DONDE:𝑅 = F(X)](https://image.slidesharecdn.com/mtododearandelas-140811173238-phpapp01/85/Metodo-de-arandelas-Volumen-de-solidos-de-revolucion-4-320.jpg)
![1. Igualar ambas ecuaciones para conocer el intervalo en el
que se encuentra el sólido y poder calcular el volumen.
𝑦 − 𝑦2 = 𝑦2 − 3
−2𝑦2 + 𝑦 + 3 = 0
𝑦 =
−1± 12−4(−2)(3)
2(−2)
𝑦 = −1 𝑦 =
3
2
INTERVALO [-1,
3
2
]](https://image.slidesharecdn.com/mtododearandelas-140811173238-phpapp01/85/Metodo-de-arandelas-Volumen-de-solidos-de-revolucion-10-320.jpg)
Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)
- 1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR- FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS QUIMICA FARMACEUTICA CALCULO II Integrantes: Grupo: N°1 • Aguinaga María Belén • Bohórquez Samantha • Cadena Diego • Lema Diego • Morales Margarita • Zurita Alejandro Tema: Método de arandelas
- 2. CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN MÉTODO DE ARANDELAS *Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas.
- 3. *Sí la región que giramos para formar un sólido que no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o anillo. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. *Donde se tiene un radio interno r y un radio externo R de la arandela
- 4. La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo. siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente: 𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2H 𝑉 = 𝜋h(R2 – r2) 𝑑𝑉 = 𝜋 𝑎 𝑏 [R2 – r2] 𝑑𝑥 EN DONDE:𝑅 = F(X)
- 5. Tomado de : Ing. Patricio Escobar González, M.Sc. Página 64
- 7. Ej. 132: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje “x”, la región acotada por: y = x2 + 1 y la recta y = x + 3 x2 + 1 = x+3 X2 - x – 2 = 0 (x - 2) (x + 1) = 0 X1 = 2 x2 = -1
- 8. Ej. 133: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre la recta 𝑥 = −4 , la región acotada por 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2 y 𝑥 = 𝑦2 − 3
- 9. La cónica 1 es 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2 La cónica 2 es 𝑥 = 𝑦2 − 3 r es radio menor R es el radio mayor
- 10. 1. Igualar ambas ecuaciones para conocer el intervalo en el que se encuentra el sólido y poder calcular el volumen. 𝑦 − 𝑦2 = 𝑦2 − 3 −2𝑦2 + 𝑦 + 3 = 0 𝑦 = −1± 12−4(−2)(3) 2(−2) 𝑦 = −1 𝑦 = 3 2 INTERVALO [-1, 3 2 ]
- 11. 2. Sabiendo que el volumen de la arandela es : 𝑉 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)ℎ El radio mayor R está limitado por la cónica 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦2 El radio menor r está limitado por la cónica 𝑥2 = 𝑦2 − 3 3. Sabiendo que 𝑥 = −4 y corresponde con el eje de revolución sustituimos en las en las ecuaciones que acotan el sólido de revolución: 𝑦 − 𝑦2 + 4 = 𝑅 𝑦2 + 1 = 𝑟 4. Con las ecuaciones resultantes podemos proceder a calcular el volumen mediante el método de la arandela
- 12. 𝑉 = 𝜋 −1 3 2 (𝑦 − 𝑦2 + 4)2 − 𝑦2 + 1 2 𝑑𝑦 𝑉 = 𝜋 −1 3 2 (𝑦4 − 2𝑦3 − 7𝑦2 + 8𝑦 + 16 − 𝑦4 − 2𝑦2 − 1 ) 𝑑𝑦 𝑉 = 𝜋 −1 3 2 (−2𝑦3 − 9𝑦2 + 8𝑦 + 15) 𝑑𝑦 𝑉 = 𝜋 (− 𝑦4 2 − 3𝑦3 + 4𝑦2 + 15𝑦) 𝑉 = 𝜋 − 81 32 − 81 8 + 9 + 45 2 − − 1 2 + 3 + 4 − 15 = 875 32 𝜋 𝑢3
- 14. EJ. 135: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje y, la región limita por 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1 𝑣 = 2π 𝑎 𝑏 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 2π 0 1 𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥 𝑣 = 2π 𝑥4 4 + 𝑥2 2 1 0 𝑣 = 2π 1 4 + 1 2 𝑣 = 2π 3 4 = 𝟑𝝅 𝟐 𝒖 𝟑
- 15. Ej. 136 Calcular el volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región limitada por: y x=y^2+ 1 x=3- y^2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y
- 18. Ej. 137.- Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región limitada por:f(x)=x^(1/2) Relleno 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y
- 19. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y